Números Complejos

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VARIABLE COMPLEJA Ing. ROSIO CARRASCO MENDOZA 
Capítulo I 
NÚMEROS COMPLEJOS 
Introducción: La teoría de funciones de una variable compleja, llamada también por 
brevedad VARIABLE COMPLEJA ó ANÁLISIS COMPLEJO, es una de las ramas de la 
matemática más útiles en la formación de ingenieros, físicos, matemáticos y otros 
científicos. Desde el punto de vista teórico este se debe a que muchos conceptos 
matemáticos se aclaran y unifican cuando se analizan bajo la teoría de variable compleja. 
Desde el punto de vista práctico, esta teoría es de gran valor para la resolución de 
problemas de flujos de calor, teoría potencial, mecánica de Fluidos, teoría 
electromagnética, aerodinámica, elasticidad, circuitos y muchos otros campos de la 
ciencia y la ingeniería. 
Sistema de los Números Complejos: No existe ningún número real x que satisfaga la 
ecuación 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎. Para hallar su solución es necesario introducir el concepto de 
número complejo. 
Definición: Se denomina número complejo a un par ordenado de números reales el cual 
se denota por: 𝒛 = (𝒙, 𝒚) ó 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒊 = √−𝟏. Esta forma de representar un 
número complejo se denomina forma cartesiana o binómica, existen otras notaciones 
como la polar y exponencial que se verán más adelante. Al conjunto de los números 
complejos se denotará de la siguiente forma: 
ℂ = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℝ 𝒙 ℝ/𝒙 ∈ ℝ ˄ 𝒚 ∈ ℝ} 
 La parte real de un número complejo es la primera componente del par ordenado y la 
parte imaginaria es su segundo componente, luego tanto la parte real como la parte 
imaginaria de un número complejo son números reales y se denotan por: 
ℝ𝒆(𝒛) = 𝒙 𝑦 𝕀𝒎(𝒛) = 𝒚 
Plano Complejo: Entre los números complejos y los puntos del plano cartesiano existe 
una correspondencia biunívoca, de forma tal que todo número complejo se puede 
representar geométricamente por un segmento orientado (flecha) que tiene su origen 
en el origen de coordenadas y su extremo en el punto (𝒙, 𝒚). Por lo anteriormente 
expuesto podemos decir que un número complejo se comporta igual que un vector en el 
plano (gráfico) 
Ejem. 1 Describir analítica y gráficamente las siguientes relaciones 
a) Igualdad de Números Complejos: Dos números complejos son iguales cuando 
también lo son su parte real e imaginaria, es decir: 
(𝒂, 𝒃) = (𝒄, 𝒅) ⇔ 𝒂 = 𝒄 ˄ 𝒃 = 𝒅 
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Ejem. 2 Hallar los valores de x e y reales para satisfacer las ecuaciones dadas 
b) Suma y Diferencia de Números Complejos: La suma de dos números complejos, 
es un número complejo que tiene como parte real a la suma de las partes reales 
de los sumandos y por parte imaginaria a la suma de las partes imaginarias de las 
mismas, de la misma forma se trabaja con la diferencia, es decir: 
Sean: 𝒛𝟏 = 𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏 y 𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐 la suma y diferencia está dada por: 
 
𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = (𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏) + (𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐) 
𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐) + 𝒊(𝒚𝟏 + 𝒚𝟐) 
 
𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 = (𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏) − (𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐) 
𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 = (𝒙𝟏 − 𝒙𝟐) + 𝒊(𝒚𝟏 − 𝒚𝟐) 
 
Interpretación geométrica: Tanto la suma como la diferencia de dos complejos, al igual 
que en vectores, representan las diagonales de un paralelogramo cuyos lados 
corresponden a los vectores posición de los números complejos. (Gráfico) 
Propiedades de la Suma de Números Complejos: Sean: 𝒛𝟏, 𝒛𝟐 y 𝒛𝟑 tres números 
complejos, entonces se verifica: 
P1: Clausura para la suma: 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 pertenece a los complejos 
P2: Propiedad Conmutativa: 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐 + 𝒛𝟏 
P3: Propiedad Asociativa: 𝒛𝟏 + (𝒛𝟐 + 𝒛𝟑) = (𝒛𝟏 + 𝒛𝟐) + 𝒛𝟑 
P4: Existencia y Unicidad del Neutro Aditivo: Existe un elemento neutro w ∈ ₵ tal que: 
𝒛 + 𝒘 = 𝒛, ∀ 𝒛 ∈ ℂ 
P5: Existencia del Negativo (Opuesto Aditivo), para cualquier 𝒛 ∈ ℂ existe otro 
elemento que denotaremos por (−𝒛), tal que: 𝒛 + (−𝒛) = (𝟎, 𝟎) 
c) Multiplicación de Números Complejos: Entre dos números complejos se define 
como: 
𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐 = (𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏) ∙ (𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐) 
𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐 = (𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 − 𝒚𝟏 ∙ 𝒚𝟐) + 𝒊(𝒙𝟏 ∙ 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 ∙ 𝒚𝟏) 
 
Propiedades de la Multiplicación de Números Complejos: Sean: 𝒛𝟏, 𝒛𝟐 y 𝒛𝟑 tres 
números complejos, entonces se verifica: 
P1: Clausura para la multiplicación: 𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐 pertenece a los complejos 
P2: Propiedad Conmutativa: 𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐 ∙ 𝒛𝟏 
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P3: Propiedad Asociativa: 𝒛𝟏 ∙ (𝒛𝟐 ∙ 𝒛𝟑) = (𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐) ∙ 𝒛𝟑 
P4: Propiedad Distributiva: 𝒛𝟏 ∙ (𝒛𝟐 + 𝒛𝟑) = (𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐) + (𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟑) 
P5: Existencia y Unicidad del Neutro Multiplicativo: Existe un único número complejo u 
tal que: 𝒖 ∙ 𝒛 = 𝒛, ∀ 𝒛 ∈ ℂ 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝒖 = (𝟏, 𝟎) 
P6: Existencia y unicidad del inverso multiplicativo: Para cada número complejo: 
 
𝒛 ≠ (𝟎, 𝟎), ∃ 𝜶 ∈ ℂ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝒛 ∙ 𝜶 = 𝒖 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜶 = 𝒛−𝟏 
 
P7: Multiplicación por un escalar (Número Real): Sea 𝒛 un número complejo y k un 
número real entonces: 𝒌 ∙ 𝒛 = 𝒌(𝒂, 𝒃) = (𝒌𝒂, 𝒌𝒃) 
 
Unidad y Recíproco: El elemento neutro multiplicativo es la unidad compleja y se denota 
por 𝒖 = (𝟏, 𝟎) 
 
El inverso multiplicativo 𝜶 = 𝒛−𝟏 de un número complejo 𝒛 = (𝒙,𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎) se llama 
recíproco de z y se denota por: 
𝜶 = 𝒛−𝟏 = (
𝒂
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
 ; 
−𝒃
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
) 
d) División de Números Complejos: Entre dos números complejos se define como: 
 
𝒛𝟏
𝒛𝟐
=
𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏
𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐
 ⇒ 
𝒛𝟏
𝒛𝟐
=
𝒙𝟏+ 𝒊𝒚𝟏
𝒙𝟐+ 𝒊𝒚𝟐
∙
𝒙𝟐 − 𝒊𝒚𝟐
𝒙𝟐 − 𝒊𝒚𝟐
 
𝒛𝟏
𝒛𝟐
=
(𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏) ∙ (𝒙𝟐− 𝒊𝒚𝟐)
(𝒙𝟏)
𝟐 + (𝒙𝟐)
𝟐 
 
Nota: Sea 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 un número complejo su conjugada se denota como: �̅� = 𝒙 − 𝒊𝒚. 
Como se pudo observar líneas arriba para efectuar la división se debe multiplicar y 
dividir toda la expresión por la conjugada del denominador. 
 
La Conjugación en C: Dos números complejos son conjugados si difieren solamente en 
el signo de sus partes imaginarias. 
 
Propiedades: Sean 𝒛𝟏 𝑦 𝒛𝟐 dos números complejos, entonces se verifica: 
 
1. 𝒛𝟏 ± 𝒛𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒛𝟏̅̅ ̅ + 𝒛𝟐̅̅ ̅ 
2. 𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒛𝟏̅̅ ̅ ∙ 𝒛𝟐̅̅ ̅ 
3. 𝒛𝟏 = 𝒛𝟏̿̿ ̿ 
4. (
𝒛𝟏
𝒛𝟐
)
̅̅ ̅̅ ̅
=
𝒛𝟏̅̅ ̅
𝒛𝟐̅̅ ̅
 
5. (𝒛𝟏̅̅ ̅)
−𝟏 = (𝒛𝟏
−𝟏)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
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Ejem. 3 Dados los complejos efectuar las operaciones indicadas 
 
Módulo de un Número Complejo: El módulo de un número complejo 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 es un 
número real positivo definido por: ‖𝒛‖ = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
 
Propiedades: Sean: 𝒛𝟏, 𝒛𝟐 y 𝒛𝟑 tres números complejos, entonces se verifica: 
1. 𝒛 = (𝒙, 𝒚) ⇒ ‖𝒛‖ ≥ 𝟎 la igualdad se cumple solo si 𝒛 = (𝟎, 𝟎) 
2. ‖𝒛‖ = ‖−𝒛‖ = ‖�̅�‖ 
3. ‖𝒛‖𝟐 = 𝒛 ∙ �̅� 
4. ‖𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐‖ = ‖𝒛𝟏‖ ∙ ‖𝒛𝟐‖ 
5. ‖
𝒛𝟏
𝒛𝟐
‖ =
‖𝒛𝟏‖
‖𝒛𝟐‖
 
6. ‖𝒛𝟏 + 𝒛𝟐‖ ≤ ‖𝒛𝟏‖ + ‖𝒛𝟐‖ 
Ejem. 4 Describir gráfica y analíticamente la región representada por cada una de las 
siguientes ecuaciones y/o desigualdades 
 
Potencias de i: Para calcular 𝒊𝒏, donde n es un entero se disponen de las siguientes 
fórmulas: 
 
Si n es par entonces: 
a) 𝒏=𝟒𝒌 ,𝒌∈ℤ, entonces 𝒊𝒏 = 𝒊𝟒𝒌 = 𝟏 
b) 𝒏=𝟒𝒌+𝟐 ,𝒌∈ℤ, entonces 𝒊𝒏 = 𝒊𝟒𝒌+𝟐 ⇒ 𝒊𝟒𝒌 ∙ 𝒊𝟐 = −𝟏 
 
Si n es impar entonces: 
c) 𝒏=𝟒𝒌+𝟏 ,𝒌∈ℤ, entonces 𝒊𝒏 = 𝒊𝟒𝒌+𝟏 ⇒ 𝒊𝟒𝒌 ∙ 𝒊 = 𝒊 
d) 𝒏=𝟒𝒌+𝟑 ,𝒌∈ℤ, entonces 𝒊𝒏 = 𝒊𝟒𝒌+𝟑 ⇒ 𝒊𝟒𝒌 ∙ 𝒊𝟐 ∙ 𝒊 = −𝒊 
 
Forma Trigonométrica o Polar de un Número Complejo: Está basada en coordenadas 
polares, tomando a la parte real e imaginaria como las componentes de un vector (par 
ordenado) de la siguiente forma (gráfico). 
 
𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝜽) 
 
En forma simplificada se puede escribir: 𝒛 = 𝒓 𝑪𝑰𝑺 𝜽 
 
Dónde: 𝒓 es el módulo y 𝜽 es el argumento del número complejo: 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 los mismos 
están definidos de la siguiente forma: 
 
‖𝑧‖ = 𝒓 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝑦 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝒚
𝒙
) 
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Forma Exponencial: Otra forma de representar un número complejo es en su forma 
exponencial, la cual es la siguiente: 
 
𝒛 = 𝒓 𝒆𝒊𝜽 
 
Nota: Las operaciones de suma y resta de números complejos siempre se la efectúa en 
forma rectangular o binomial, mientras que la multiplicación, así como la división se la 
puede efectuar en cualquiera de sus tres notaciones. Mientras que, para la potencia y 
radicación, los complejos deben estar en forma polar. 
 
Equivalencias de Forma Polar ó Exponencial a Binómica: Las relaciones son las 
siguientes: 
 
𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜽 y 𝒚 = 𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 
 
Multiplicación y División en Forma Polar: Sean 𝒛𝟏 𝑦 𝒛𝟐 dos números complejos de la 
forma: 
 
𝒛𝟏 = 𝒓𝟏 𝑪𝑰𝑺 𝜽𝟏 y 𝒛𝟐 = 𝒓𝟐 𝑪𝑰𝑺 𝜽𝟐 
 
El producto está definido como: 𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐 = (𝒓𝟏 𝑪𝑰𝑺 𝜽𝟏) ∙ (𝒓𝟐 𝑪𝑰𝑺 𝜽𝟐) 
 
𝒛𝟏 ∙ 𝒛𝟐 = 𝒓𝟏 ∙ 𝒓𝟐 𝑪𝑰𝑺 (𝜽𝟏 + 𝜽𝟐) 
 
Si 𝒛𝟐 ≠ (𝟎, 𝟎), entonces la división está definida como: 
 
𝒛𝟏
𝒛𝟐
=
𝒓𝟏𝑪𝑰𝑺 𝜽𝟏
𝒓𝟐 𝑪𝑰𝑺 𝜽𝟐
=
𝒓𝟏
𝒓𝟐
 𝑪𝑰𝑺 (𝜽𝟏 + 𝜽𝟐) 
 
Potencias y Raíces de Números Complejos: Aunque para hallar la potencia de un 
número complejo se puede usar el binomio de Newton, cuando la potencia es muy alta 
conviene utilizar el Teorema de Moivre. 
 
Teorema de Moivre: Para todo 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 y todo entero positivo n se cumple la 
siguiente relación: 
𝒛𝒏 = (𝒙 + 𝒊𝒚)𝒏 ⇒ 𝒛𝒏 = (𝒓 𝑪𝑰𝑺 𝜽)𝒏 ⇒ 𝒛𝒏 = 𝒓𝒏 𝑪𝑰𝑺 𝒏𝜽 
 
Raices de los Números Complejos: 
Teorema: Si 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 es un número complejo y n es un entero positivo; la raíz n-
esima de z está definida como: 
 
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𝒘𝑘 = √𝒛
𝒏
= √𝒛
𝒏
 𝑪𝑰𝑺 (
𝟐𝒌𝝅
𝒏
) 
 
Para valores de: 𝒌=𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,… ,𝒏−𝟏 
 
Raices n-esimas de la Unidad: Sea: 𝒛𝒏 = 𝟏 = 𝑪𝑰𝑺 𝟐𝒌𝝅 = 𝒆𝟐𝒌𝝅𝒊 𝑐𝑜𝑛 𝒏 ∈ ℤ 
 
√𝟏
𝒏
= 𝑪𝑰𝑺 (
𝟐𝒌𝝅
𝒏
) = 𝒆
𝟐𝒌𝝅𝒊
𝒏 
 
Donde basta tomar: 𝒌=𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,…,𝒏 puesto que todos los valores de k conducen a la 
repetición las raíces de la unidad serán: 𝟏,𝝎,𝝎𝟐, 𝝎𝟑, … ,𝝎𝒏 siendo: 𝝎 = 𝒆
𝟐𝒌𝝅𝒊
𝒏 
 
Ejem. 5 Dados los complejos calcular: 
 
Otras operaciones: 
 
1. Producto Vectorial y Escalar: Sean: 𝒛𝟏 = 𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏 y 𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐 dos 
números complejos el producto escalar entre ellos está definido como: 
 
𝒛𝟏 𝐨 𝒛𝟐 = ‖𝒛𝟏‖ ∙ ‖𝒛𝟐‖ 𝑪𝒐𝒔 𝜽 ⇒ 𝒛𝟏 𝐨 𝒛𝟐 = 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟏 ∙ 𝒚𝟐 
 
𝒛𝟏 𝐨 𝒛𝟐 = ℝ𝒆(𝒛𝟏̅̅ ̅ ∙ 𝒛𝟐) 
 
 Dónde: 𝜽 es el ángulo formado entre los dos números complejos, el mismo que 
esta entre 0 y 2𝝅 
 
 Mientras que el producto vectorial está definido como: 
 
𝒛𝟏 𝐱 𝒛𝟐 = ‖𝒛𝟏‖ ∙ ‖𝒛𝟐‖ 𝑺𝒆𝒏 𝜽 ⇒ 𝒛𝟏 𝐱 𝒛𝟐 = 𝒙𝟏 ∙ 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 ∙ 𝒙𝟐 
 
𝒛𝟏 𝐱 𝒛𝟐 = 𝕀𝒎(𝒛𝟏̅̅ ̅ ∙ 𝒛𝟐) 
 
2. Coordenadas Conjugadas: Un punto en el plano complejo se puede localizar por sus 
coordenadas rectangulares (𝒙, 𝒚) o por sus coordenadas polares (𝒓, 𝜽). Existen muchas 
otras posibilidades, una de las cuales utiliza el hecho de que: 
 
𝒙 =
𝟏
𝟐
(𝒛 + �̅�) y 𝒚 =
𝟏
𝟐𝒊
(𝒛 − �̅�) 
 
Dónde: 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 las coordenadas (𝒛, 𝒛 ) que localizan un punto, se llaman coordenadas 
conjugadas complejas. 
 
Ejem. 6 
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3. Conjunto de Puntos: Cualquier colección de puntos en el plano complejo se denomina 
un conjunto (bidimensional) de puntos, y cada uno es miembro o elemento del conjunto. 
 
Las definiciones fundamentales de un conjunto de puntos son las siguientes: 
 
 Vecindades: Una vecindad de radio 𝜹 de un punto 𝒛𝟎 es el conjunto de todos los 
puntos z tales que: |𝒛 − 𝒛𝟎 | < 𝜹 donde 𝜹 es cualquier número positivo dado. 
 Puntos Límites: Un punto 𝒛𝟎 se denomina un punto límite o punto de acumulación 
de un conjunto S si cada vecindad 𝜹 reducida de 𝒛𝟎 contiene puntos de S. 
 Conjuntos Cerrados: Un conjunto S se dice que es cerrado si cada punto límite 
de S pertenece a S, esto es, si S contiene todos sus puntos límites. 
 Conjuntos Acotados: Un conjunto S se dice que es acotado si podemos 
encontrar una constante M tal que: |𝒛| < 𝑴 para cada punto z en S. Un conjunto 
ilimitado es un conjunto que no es acotado. Un conjunto que es acotado y cerrado 
se llama compacto. 
 Puntos Interior, Exterior y Frontera: Un punto 𝒛𝟎 se llama un punto interior 
de un conjunto S si podemos encontrar una vecindad de 𝒛𝟎 cuyos puntos 
pertenecen todos a S. Si cada vecindad 𝜹 de 𝒛𝟎 contiene puntos pertenecientes 
a S y también puntos no pertenecientes a S, entonces 𝒛𝟎 se llama un punto de 
frontera. Si un punto no es punto interior ni punto de frontera de un conjunto 
S, es un punto exterior de S. 
 Conjuntos Abiertos: Es un conjunto que consiste solamente de puntos 
interiores. 
 Conjuntos Conexos: Un conjunto abierto S es conexo si cualquier par de puntos 
del conjunto pueden ser unidos por un camino formado por segmentos de recta 
(camino poligonal) contenidos en S. 
 Regiones Abierta o Dominios: Un conjunto abierto conexo es llamado una región 
abierta o dominio. 
 Clausura de un conjunto: si a un conjunto S agregamos todos los puntos límites 
de S el nuevo conjunto se denomina la Clausura de S y es un conjunto de S. 
 Regiones Cerradas: La clausura de una región abierta o dominio se llama Región 
Cerrada. 
 
 Regiones: Si a una región abierta o dominio agregamos algunos, todos o ninguno 
de sus puntos límites, se tiene un conjunto llamado Región. Si se agregan todos 
los puntos límites, la región está Cerrada; si ninguno es agregado, la región esta 
Abierta. 
 
Operaciones entre conjuntos y Conjuntos Especiales: 
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a) Unión e Intersección de Conjuntos: Un conjunto consistente de todos los puntos 
de 𝑺𝟏 o al conjunto de 𝑺𝟐 o a ambos conjuntos 𝑺𝟏 𝑦 𝑺𝟐, se llama la unión de 𝑺𝟏 𝑦 𝑺𝟐 y se 
denota por: 𝑺𝟏 𝑦 𝑺𝟐 ó 𝑺𝟏 ∪ 𝑺𝟐. 
 
Un conjunto consistente de todos los puntos pertenecientes a ambos conjuntos𝑺𝟏 𝑦 𝑺𝟐, 
se llama intersección de 𝑺𝟏 𝑦 𝑺𝟐y se denota por: 𝑺𝟏 ∙ 𝑺𝟐 ó 𝑺𝟏 ∩ 𝑺𝟐. 
 
b) Complemento de un Conjunto: Un conjunto que consiste de todos los puntos que no 
pertenecen a S, se llama el complemento de S y se denota por: 𝑺𝑐. 
 
c) Conjuntos vacíos y sub-conjuntos: Es conveniente considerar un conjunto sin 
puntos, este conjunto se llama conjunto vacío y se denota por ∅. Si dos conjuntos 
𝑺𝟏 𝑦 𝑺𝟐 no tienen puntos en común (conjuntos disjuntos) se puede escribir como: 
 
 𝑺𝟏 ∩ 𝑺𝟐 = ∅ 
 
Cualquier conjunto formado por elección de alguno, todos o ninguno de los puntos de un 
conjunto S se llama un subconjunto del mismo conjunto. Si excluimos el caso en que 
todos los puntos de S son escogidos, el conjunto se denomina un subconjunto propio de 
S. 
 
Ejem. 7 
 
Ejercicios: