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LA RECTA EN ℛ2 ECUACIONES DE LA RECTA LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante genera las distintas ecuaciones de una recta mediante dos puntos y resuelve ejercicios aplicados a la ingeniería donde utiliza el concepto de Pendiente de la Recta. Datos/Observaciones LA RECTA ECUACIONES LA RECTA EN ℛ𝟐 Para hallar la ecuación de una recta, es necesario un punto de paso y un vector director. 𝑃 𝑥0 , 𝑦0 Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 = 𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 𝑃 𝑄 I La Recta Mediante la Teoría de Vectores 1 ECUACIÓN VECTORIAL LA RECTA EN R2 Aquella que pasa por un punto 𝑷𝟎 en la dirección de 𝒗 : 2 ECUACION PARAMÉTRICA Aquella que pasa por un punto 𝑷𝟎 = 𝒙𝟎; 𝒚𝟎 en la dirección de 𝒗 = 𝒗𝟏; 𝒗𝟐 : 3 ECUACIÓN SIMÉTRICA Resulta de despejar el parámetro 𝒕 en cada una de las ecuaciones paramétricas e igualarlas: 4 ECUACIÓN GENERAL Se encuentra resolviendo la ecuación simétrica: 𝒕 ∈ 𝓡 𝒕 ∈ 𝓡 Determine todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−1,2) y 𝐵(7,−4). Ejemplo 19. SOLUCIÓN: 𝑃 = −1, 2 + 𝑡 8, −6 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 VECTORES PARALELOS Y PERPENDICULARES Ԧ𝑣 = 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 7,−4 − −1, 2 = 8, −6 ቊ 𝑥 = −1 + 8𝑡 𝑦 = 2 − 6𝑡 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝑥 + 1 8 = 𝑦 − 2 −6 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑺𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 −6 𝑥 + 1 = 8 𝑦 − 2 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 −6𝑥 − 6 = 8𝑦 − 16 0 = 6𝑥 + 8𝑦 − 10 ℒ: 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 𝐴 Ԧ𝑣 𝐵 Para hallar la ecuación de una recta, es necesario un punto de paso y la pendiente de la recta. 𝑃 𝑥0 , 𝑦0 𝑚 𝑚 = 𝑦1 − 𝑦0 𝑥1 − 𝑥0 𝑃 𝑄 𝑄 𝑥1 , 𝑦1 II La Recta Mediante la Geometría Analítica 1 ECUACIÓN ORDINARIA LA RECTA EN R2 Es aquella que pasa por un punto 𝑷𝟎 con pendiente 𝒎 2 ECUACION GENERAL Resulta de resolver la ecuación anterior. 𝑚 = − 𝐴 𝐵 Determine la Ecuación General de la Recta que pasa por los puntos 𝐴(−1; 2) y 𝐵(7;−4) y halle sus puntos de intersección con los ejes coordenados. Grafique Ejemplo 20. SOLUCIÓN: VECTORES PARALELOS Y PERPENDICULARES 𝑦 − 2 = − 3 4 𝑥 + 1 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0 4𝑦 − 8 = −3𝑥 − 3 𝓛: 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟓 = 𝟎 𝑚 = (−4) − (2) (7) − (−1) = −6 8 = − 3 4 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒋𝒆𝒔: 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 5 4 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 = 5 3 3 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA LA RECTA EN R2 La distancia de un punto 𝑸𝟎 = 𝒙𝟎; 𝒚𝟎 a la recta 𝓛: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 está dada por: 𝐴 𝑥1, 𝑦1 𝐵 𝑥2, 𝑦2 𝑄 𝑥0, 𝑦0 𝒅 𝑸𝟎, 𝑳 Halle la distancia del punto 𝑃(6 ; 12 ) a la recta que pasa por los puntos 𝐴(2 ; 5 ) y 𝐵(8 ; 9 ). Ejemplo 21. SOLUCIÓN: VECTORES PARALELOS Y PERPENDICULARES 3𝑦 − 15 = 2𝑥 − 4 𝑦 − 5 = 2 3 𝑥 − 2 ℒ: 2𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0 𝑚 = 9 − 5 8 − 2 = 4 6 = 2 3 𝑑 𝑃, ℒ = 2 6 − 3 12 + 11 22 + −3 2 𝑑 𝑃, ℒ = 12 − 36 + 11 13 = −13 13 𝑑 𝑃, ℒ = 13 13 13 13 = 13 13 13 2 = 13 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 𝐴(− 3 2 ; 5 ) 𝑦 𝐵(7 ; − 1 2 ) SOLUCIÓN: RPTA: VECTORES EN R2 ℒ: 22𝑥 + 34𝑦 − 137 = 0 𝐴𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑒𝑙𝑖𝑧 17𝑦 − 85 = −11𝑥 − 33 2 𝑦 − 5 = − 11 17 𝑥 − (− 3 2 ) ℒ: 11𝑥 + 17𝑦 − 137 2 = 0 𝑚 = (− 1 2) − (5) 7 − (− 3 2 ) = − 11 2 17 2 = − 11 17 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 2. Determine el punto de paso y el vector director de la recta cuya ecuación es: SOLUCIÓN: RPTA: 7 − 3𝑥 −2 = 2𝑦 + 7 3 = 𝑡 VECTORES EN R2 𝑃0 = 7 3 ;− 7 2 ; Ԧ𝑣 = 2 3 ; 3 2 7 − 3𝑥 −2 = 𝑡 7 − 3𝑥 = −2𝑡 ¡Recuerdo! 7 − 3𝑥 −2 = 2𝑦 + 7 3 Considerando: 2𝑦 + 7 3 = 𝑡 𝑦 = − 7 2 + 3 2 𝑡 7 + 2𝑡 = 3𝑥 𝑥 = 7 3 + 2 3 𝑡 2𝑦 + 7 = 3𝑡 2𝑦 = −7 + 3𝑡 Datos/Observaciones 3 FINALMENTE IMPORTANTE 1. El vector director es muy importante así como la pendiente, “encuentra su similitud” 2. Reconoce las distintas formas de la ecuación de la recta. Excelente tu participación Los retos sacan lo mejor de ti. Ésta sesión quedará grabada para tus consultas. PARA TI 1. Realiza los ejercicios propuestos de ésta sesión y práctica con la tarea . 2. Consulta en el FORO tus dudas. LISTO PARA MI EJERCICIO RETO EJERCICIO RETO Determine los valores de 𝑘 para que la recta 𝐿: 4𝑥 − 2 = −3𝑦 − 𝑘 tenga una distancia de 5 unidades al punto 𝑃(2;−3) Rpta.: −𝟐𝟐;𝟐𝟖 EJERCICIOS DE REPASO 1. Determine la ecuación general de la recta que pasa por: A −1 ; −5 ; B 3; 1 y C( 5; 4). 2. Al dueño de una papelería le compran 100 libretas a un precio de S/12,50 cada una, pero si le compran 120 el precio de cada libreta disminuye en S/0,50. Encuentre una ecuación que represente esta relación y determine el costo de cada libreta si se compran 160 libretas. 3. Determine 𝑘 tal que el punto 𝑃(𝑘: 4) sea equidistante de las rectas: 𝐿1 : 13𝑥 − 9𝑦 − 10 = 0 ; 𝐿2 ∶ 𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 4. Determine la distancia del punto C(6 ; 9 ) a la recta que pasa por los puntos A(2 ; 5 ) y B(10 ; 11 ). Datos/Observaciones La Recta en ℛ2
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