85664694-Calculo-1-Ej

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Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de F́ısica y Matemáticas
Departamento de Matemáticas
Cálculo 1
—————————♦—————————
Problemas
México, 2012
ii
ESFM-IPN
1
Cálculo 1
§1.1 Preliminares
–1– Encontrar la expresión
p
q
∈ Q, (p, q) = 1 de
i) 12.013255 ii) 0.32612
–2– Sean x, y, z ∈ Q con las expresiones decimales iniciales dadas por
x = 1.0234107, y = 1.0235106, z = 1.235106
Indicar la veracidad, falsedad o si no puede decirse nada acerca de esta, de las siguientes
proposiciones
i) 1.02 < x ≤ 1.03
ii) x < 1.03
iii) 1.0234107 < x
iv) x < y
v) x+ y < 2.048
vi) x+ y < 2.046
vii) 2.04692 < x+ y
viii) x < z
ix) y = z
x) 1.04 < yz
xi) x = 1.0234108
xii) x = 1.0234109
–3– ¿Dados x = 0.45637070070007 y y = 0.4563707, cuál es mayor?
–4– Encontrar un irracional entre x = 0.102030405060708090100 y y = 0.112131415161718191101
–5– Ordenar en forma creciente
i) x = 0.20406080100120 ii) y = 0.204060 iii) z = 0.20406
–6– Encontrar un número irracional entre x = 0.00112 y y = 0.00112001120011
–7– Determinar a tal que si |x− 2| < a y |y − 6| < a, entonces |x+ y − 8| < 1
10
–8– Determinar a y b tales que si |x− 5| < a y |x− 8| < b, entonces |xy − 40| < 1
@aosoriocruz
2 Cálculo 1
–9– ¿Cuan próximo a 3 debe estar x para garantizar que para todo y tal que 1.95 < y < 2.05,
se tenga que |xy − 6| < 1
4
?
–10– Sean x, y fijos tales que |x| < 100, 1 < |y| < 100. Encontrar a tal que si |x− x| < a y
|y − y| < 3a, entonces
∣∣∣∣xy − xy
∣∣∣∣ < 12
–11– Encontrar a y b tales que si x difiere de 4 en menos de a, y difiere de 8 en menos de
0.01 y z difiere de z en menos de b, x+
y
z
difiere de 6 en menos de 0.011
–12– Calcular
i) 22.41 + 10.132 con un error interior a 2× 10−4
ii) (8.3)(0.998) con un error interior a 0.01
iii)
0.5
0.0002
con un error no mayor qu 10−2
iv)
(0.15)
√
3 + π(3.15)
(0.0001)e+ 1.01
con un error interior a
1
103
§1.2 Bases
–13– Construir las tablas de suma y producto para las bases 4, 5, 13 y 16
–14– Sumar, multiplicar y hacer la diferencia de (1302)4 con (2332)4 y de (2AC3)16 con
(AE476)16.
–15– Expresar (3012)5 y (0.3012)5 en base 8
–16– ¿Para qué base 3× 3 = 10? ¿Para qué base 3× 3 = 11? ¿Para qué base 3× 3 = 12?
–17– ¿Puede 27 representar un número par en alguna base? ¿Puede 72 representar un número
impar en alguna base?
–18– Encontrar b tal que 79 = (142)b. Encontrar b tal que 72 = (2200)b.
–19– Un número de 3 d́ıgitos en la base 7 tiene sus d́ıgitos al revés cuando es expresado en
base 9. Encontrar estos 3 d́ıgitos
–20– ¿Cuál es la base más pequeña para la cual 301 representa un cuadrado?
–21– Si b > 2, demostrar (121)b es el cuadrado de un entero. Si b > 4, demostrar que (40001)b
es divisible por (221)b
–22– Si 77 = 823543, escribir entonces inmediatamente sin hacer tantas operaciones el
número 823543 en base 7
–23– ¿Puedes descubrir un patrón para convertir de una base a otra cuando una base sea
una potencia de la otra?
ESFM-IPN
1.3 Inducción 3
§1.3 Inducción
–24– Demostrar por inducción
i)
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
ii)
n∑
i=1
(2i− 1)3 = n2(2n2 − 1)
iii)
n∑
i=1
(3i− 2) = n(3n− 1)
2
iv)
n∑
i=1
(5i− 3) = n(5n− 1)
2
v)
n∑
i=1
(6i− 5) = n(3n− 2)
vi)
n∑
i=1
2i−1 = 2n − 1
vii)
n∑
i=1
i2i−1 = (n− 1)2n + 1
viii)
n∑
i=1
3i−1 =
3n − 1
2
ix)
n∑
i=1
i3i−1 =
(2n− 1)3n + 1
4
x)
n∑
i=1
5i−1 =
5n − 1
4
xi)
n∑
i=1
i5i−1 =
(4n− 1)5n + 1
16
xii)
n∑
i=1
i(i+ 1) =
n(n+ 1)(n+ 2)
3
xiii)
n∑
i=1
i(i+ 2) =
n(n+ 1)(2n+ 7)
6
xiv)
n∑
i=1
i(2i− 1) = n(n+ 1)(4n− 1)
6
xv)
n∑
i=1
(−1)i = (−1)
n − 1
2
xvi)
4n∑
i=1
(
5 +
i
2n
)
= 24n+ 1
xvii)
n∑
i=1
1
4i2 − 1
=
n
2n+ 1
xviii)
n∑
i=1
1
i(i+ 1)
=
n
n+ 1
xix)
n∑
i=1
1
2i
= 1− 1
2n
xx)
n∑
i=1
i+ 2
i(i+ 1)2i
= 1− 1
(n+ 1)2n
xxi)
n∑
i=1
1
i(i+ 1)(i+ 2)
=
n(n+ 3)
4(n+ 1)(n+ 2)
xxii)
n∑
i=1
i+ 4
i(i+ 1)(i+ 2)
=
n(3n+ 7)
2(n+ 1)(n+ 2)
xxiii)
n∑
i=1
i4 =
n(n+ 1)(2n+ 1)(3n2 + 3n− 1)
30
xxiv)
n∑
i=1
(a+ (i− 1)r) = n(2a+ (n− 1)r)
2
xxv)
n∑
i=1
iqi−1 =
1− (n+ 1)qn + nqn+1
(1− q)2
–25– Obtener fórmulas para las siguientes expresiones y demostrarlas por inducción
@aosoriocruz
4 Cálculo 1
i)
n∑
i=1
i2 =
ii)
n∑
i=1
i3 =
iii)
n∑
i=1
(2i− 1) =
iv)
n∑
i=1
(2i− 1)2 =
v)
n∑
i=1
2i+ 1
n2 (n+ 1)2
=
–26– Probar que
xn+1 − yn+1 = (x− y)
n∑
i=0
xn−iyi ∀ x, y ∈ R; ∀ n ∈ N
–27– Obtener y demostrar la fórmula
n∑
i=0
qi =
qn+1 − 1
q − 1
, si q 6= 1
–28– Demostrar que
i) 2|n2 − n
ii) 2|n2 + 2
iii) 2|n2 + n
iv) 3|n3 − n
v) 3|n3 + 2n
vi) 3|n3 + 5n
vii) 3|n3 + 3n2 + 3n
viii) 3|5n − 2n
ix) 3|2n + 1 si n es impar
x) 4|32n − 1
xi) 4|5n − 1
xii) 5|7(16n) + 3
xiii) 5|6n − 5n+ 4
xiv) 5|6n+1 + 4
xv) 5|7n − 2n
xvi) 8|32n − 1
xvii) 8|32n + 7
xviii) 9|10n + 3
(
4n+2
)
+ 5
xix) 9|10n+1 + 3 (10n) + 5
xx) 9|22n − 3n− 1 si n > 1
xxi) 24|n(n2 − 1) si n es impar
xxii) 133|11n+2 + 12n+1
xxiii) 2n|n2 + 2
xxiv) a+ 1|a2n − 1
xxv) a+ b|an − bn
xxvi) a− b|an − bn
xxvii) a+ b|a2n − b2n
xxviii) a− b|a2n − b2n
xxix) a+ b|a2n−1 + b2n−1
xxx) a+ b|a2n−1 − b2n−1
–29– Demostrar que
i) n < 2n ∀ n ≥ 0
ii) n+ 5 < 2n
iii) 2n ≤ 2n
iv) n2 ≤ 2n
ESFM-IPN
1.3 Inducción 5
v) 2n+ 1 ≤ 3n
vi) 3n ≤ 3n
vii) n2 ≤ 4n
viii)
22n−1
n
<
(
2n
n
)
∀ n ≥ 2
ix) 2n−1 ≤ n!
x) (2n)! < 22n(n!)2
xi) 3n+ 3 < n3 ∀ n ≥ 3
xii) n2 + 3 < n3 ∀ n ≥ 2
xiii)
(a
b
)n+1
<
(a
b
)n
si 0 < a < b
xiv) 1 < an si 1 < a
xv)
n∑
i=1
i <
(2n+ 1)2
8
–30– Observar que
1 = 1
1− 4 = −(1 + 2)
1− 4 + 9 = 1 + 2 + 3
1− 4 + 9− 16 = −(1 + 2 + 3 + 4)
...
Inducir y demostrar la fórmula
n∑
k=1
(−1)k+1k2 = (−1)k+1
n∑
k=1
k.
–31– Demostrar que ∀ n ∈ N
i)
2n∏
i=1
(
1 + qi
)
=
q2n+1 − 1
q − 1
iii)
(
1 +
1
n
)n
<
(
1 +
1
n+ 1
)n+1
ii)
n∏
i=2
(
1− 1
i
)
=
1
n
iv) un =
3n4 − 34n3 + 141n2 − 206n
24
∈ N
v) si u1 = 0 y un+1 = (1 + x)un − nx, =⇒ un =
1 + nx− (1 + x)n
x
vi) si {fn}∞n=1 es la sucesión de Fibonacci, entonces
fn =
1√
5
((
1 +
√
5
2
)n
−
(
1−
√
5
2
)n)
∈ N
–32– Demostrar que
i)
(
n+ 1
k
)
=
(
n
k − 1
)
+
(
n
k
)
ii)
(
n
k
)
∈ N
–33– Desmostrar el teorema del binomio o binomio de Newton
(x+ y)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
xn−kyk ∀ x, y ∈ R; ∀ n ∈ N.
@aosoriocruz
6 Cálculo 1
–34– Sean ai, bi ∈ R para i ∈ [[1, n]]. Desmostrar las siguientes desigualdades
i) Cauchy-Schwarz.
(
n∑
i=1
aibi
)2
≤
(
n∑
i=1
a2i
)(
n∑
i=1
b2i
)
ii) Minkowski.
(
n∑
i=1
(ai + bi)
2
) 1
2
≤
(
n∑
i=1
a2i
) 1
2
+
(
n∑
i=1
b2i
) 1
2
–35– Desmostrar la desigualdad de Bernoulli. Si h > −1, entonces
i) (1 + h)n ≥ 1 + nh
ii) (1 + h)n ≥ 1 + nh+ n(n− 1)
2
h2 +
n(n− 1)(n− 2)
6
h3 ∀ n ≥ 3
–36– Sean ai ∈ R+ para i ∈ [[1, n]]. Desmostrar que
i) si
n∏
i=1
ai = 1, =⇒ n ≤
n∑
i=1
ai
ii)
n
n∑
i=1
1
ai
≤
(
n∏
i=1
ai
) 1
n
≤ 1
n
n∑
i=1
ai
iii) n2 ≤
n∑
i=1
ai
n∑
i=1
1
ai
iv) ln
(
n∏
i=1
ai
)
=
n∑
i=1
ln (ai)
–37– Demostrar la identidad de Catalán.
2n∑
i=n+1
1
i
=
2n∑
i=1
(−1)i+1
i
§1.4 Números
–38– Demostrar que si zi ∈ C para i ∈ [[1, n]], entonces
n∏
i=1
zi =
n∏
i=1
zi; concluir que si z ∈ C,
entonces zn = zn ∀n ∈ N.
–39– Demostrar que los siguientes números son irracionales
i)
√
3,
√
5,
√
6
ii)
3
√
2,
3
√
3
iii)
√
2 +
√
3
iv)
√
6−
√
3−
√
2
v)
√
2 +
3
√
2
vi)
√
3 +
3
√
3
–40– Sean a, b, c, d ∈ R y m, n ∈ N. Demostrar que
ESFM-IPN
1.4 Números 7
i) bc 6= 0 y d 6= 0 ⇐⇒
a
b
c
d
=
ad
bc
ii) si b, d 6= 0, =⇒
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
iii) si b, d 6= 0, =⇒(a
b
)( c
d
)
=
ac
bd
iv) si ab = 0, =⇒ a = 0 o b = 0
v) (ab)n = anbn
vi) (am)n = amn
–41– Probar que si n ∈ N 3 n 6= q2, ∀ q ∈ Z, =⇒
√
n ∈ I
–42– Sean r ∈ Q y a ∈ I, demostrar que a+ r ∈ I y que si r 6= 0, =⇒ ar ∈ I
–43– Demostrar que entre 2 racionales existe siempre un irracional
–44– Probar que {x ∈ R | x8 + 7x6 + 2x− 3 < 0} tiene supremo e ı́nfimo
–45– Hallar el supremo y el ı́nfimo de {x ∈ R− | x2 + x− 1 < 0}
–46– Encontrar; si existen; inf, sup, min y max de
{
x ∈ R
∣∣∣∣ x = 1− 12n , n ∈ N
}
–47– Probar lo siguiente
i) x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
ii) si x2 = y2, =⇒ x = y ó x = −y
iii) x3 − y3= (x− y)(x2 + xy + y2)
iv) si n es impar y x < y, =⇒ xn < yn
(Sug. para los ejercicios v) al viii) considerar ej. ??)
v) si 0 ≤ x < y, =⇒ xn < yn
vi) si n es impar y xn = yn, =⇒ x = y
vii) si n es par y xn = yn, =⇒ x = y ó x = −y
viii) x3 + y3 = (x+ y)(x2 − xy + y2)
ix) si x y y no son ambos 0, entonces x2+xy+y2 6= 0 y x4+x3y+x2y2+xy3+y4 6= 0
@aosoriocruz
8 Cálculo 1
–48– ¿Cuál es el error en la siguiente prueba?
x = y
x2 = xy
x2 − y2 = xy − y2
(x− y)(x+ y) = (x− y)y
x+ y = y
y + y = y
2y = y
2 = 1
–49– Sean a, b, c y d ∈ R, demostrar las siguientes propiedades de orden
i) si a < b, =⇒ −b < −a
ii) si a < b y c < d, =⇒ a− d < b− c
iii) si a < b y 0 < c, =⇒ ac < bc
iv) si a < b y c < 0, =⇒ bc < ac
v) si 0 6= a < b y 0 ≤ c < d, =⇒ ac < bd
vi) si 1 < |a|, =⇒ |a| < a2
vii) si 0 < a < 1, =⇒ a2 < a
viii) si 0 ≤ a < b, =⇒ a2 < b2
ix) si 0 ≤ a, 0 ≤ b y a2 ≤ b2, =⇒ a < b
x) si 0 < a < b, =⇒ a <
√
ab <
a+ b
2
< b
–50– Probar que si 1 < a, =⇒ a < a2. Enunciar la afirmación rećıproca y verificar que es
falsa. Probar que si 0 < a < a2, =⇒ 1 < a
–51– Sean x, y y z ∈ R, demostrar las siguientes propiedades de orden y valor absoluto
i) |x| = | − x|
ii) |x− y| ≤ |x|+ |y|
iii) ||x| − |y|| ≤ |x− y|
iv) |x+ y + z| ≤ |x|+ |y|+ |z|
v) |x| − |y| ≤ |x− y|
vi) |x| − |y| − |z| ≤ |x− y − z|
vii) |xy| = |x||y|
viii)
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y|
–52– Expresar lo siguiente prescindiendo de los signos de valor absoluto y de ser necesario
separar en casos distintos
ESFM-IPN
1.4 Números 9
i) |x+ y| − |y|
ii) ||x| − 1|
iii) |x| − |x|2
iv) |x− |x− |x|||
–53– ¿Para qué valores de a y b será válida la siguiente desigualdad
|a||a+ b| − |b||a+ b| <
∣∣a2 − b2∣∣?
–54– Demostrar que
max{x, y} = x+ y + |y − x|
2
, min{x, y} = x+ y − |y − x|
2
.
Deducir una fórmula para max{x, y, z} y min{x, y, z}. (Sug. max{x, y, z} =
max{x, max{y, z}} )
–55– Resolver para x ∈ R
i) 0 < (x− 1)(x− 3)
ii) 0 <
x− 1
x+ 1
iii) |x− 1||x+ 2| = 3
iv) 4− x < 3− 2x
v) 0 < x2 − 2x+ 2
vi) 2 < x2 + x+ 1
vii) 5 < |2x+ 1|
viii) 1 < |x− 1|+ |x− 2|
ix) |x− 2| < 3
x) 1 <
∣∣x2 − 3x+ 2∣∣
xi) −2 < 6− 4x ≤ 8
xii) |4x| ≤ |9− 2x|
xiii)
∣∣∣∣ x+ 22x− 3
∣∣∣∣ < 4
xiv) |x− a| < |x− b|
xv)
∣∣x2 − a∣∣ < b
xvi) |x− 1||x+ 2| = 3
xvii) |x− 1||x+ 2| < 3
xviii) 3 ≤ 16x− 81
4x− 5
–56– Encontrar el supremo y el ı́nfimo de los siguientes conjuntos
i)
{
x ∈ Q
∣∣ x2 − 4 < 6}
ii)
{
x ∈ Q
∣∣ x3 − 1 < 15}
iv)
{
x ∈ Q
∣∣∣ x 13 + 2 < 4}
v)
{
x ∈ R
∣∣ x2 + x < 2}
iii)
{
x ∈ R
∣∣ x = 0.12a2a3 . . . , ai ∈ [[0, 9]]}
–57– Sean ∅ 6= A y B 2 conjuntos. Demostrar que
i) si A está acotado inferiormente y −A =
{
−a
∣∣ a ∈ A}, entonces −A 6= ∅, −A
está acotado superiormente y − sup{−A} = inf{A}
ii) si A está acotado inferiormente y B =
{
x
∣∣ x es cota inferior de A}, entonces
B 6= ∅, B está acotado superiormente y sup{B} = inf{A}
@aosoriocruz
10 Cálculo 1
iii) si A y B estan acotados superiormente y A+B =
{
a+ b
∣∣ a ∈ A, b ∈ B}, entonces
sup{A + B} = sup{A}+ sup{B}
–58– Usando únicamente ??, demostrar que x2 + xy + y2 > 0
§1.5 Funciones
–59– Sea f una función lineal tal que f(4) = −2 y f(5) = 6. Determinar la regla de
correspondencia
–60– Sea f(x) = 3x2 − 4, encontrar
i) f (−4)
ii) f
(
1
2
) iii) f (x2)iv) f (3x2 − 4)
v) f (x− h)
vi) f (x)− f (h)
vii)
f (x+ h)− f(x)
h
, h 6= 0
–61– Sea f(x) =
√
2x+ 3, encontrar
i) f (−1)
ii) f (4)
iii) f
(
1
2
)
iv) f (30)
v) f (2x+ 3)
vi)
f (x+ h)− f(x)
h
, h 6= 0
–62– Sea f(x) =

|x|
x
, si x 6= 0
1, si x = 0
, encontrar
i) f (1)
ii) f (−1)
iii) f (4)
iv) f (−4)
v) f (−x)
vi) f (x+ 1)− f (h)
vii) f
(
x2
)
viii) f
(
−x2
)
–63– Determinar el dominio de las siguientes funciones representándolo en la recta real
i) f(x) =
√
x+ 2
ii) f(x) =
√
2− x− x2
iii) f(x) =
√
−x+ 1√
x+ 2
iv) f(x) =
√
x2 − 2
v) f(x) =
√
2− x2 +
√
2 + x− x2
–64– Determinar y graficar el dominio y el rango de las siguientes funciones
i) f(x) =
1
1− x
ii) f(x) =
2x− 3
3x+ 2
iii) f(x) = x+
1
x2
ESFM-IPN
1.5 Funciones 11
iv) f(x) =

3− x2, si |x| ≤ 1
2
|x|
, si |x| > 1
v) f(x) =

√
4− x2, si |x| ≤ 2
√
x2 − 4, si |x| > 2
vi) f(x) = 3x− 1
vii) f(x) = x2 + 2
viii) f(x) = 3x2 − 6
ix) f(x) =
√
x+ 1
x) f(x) =
√
3x− 4
xi) f(x) =
√
4− x2
xii) f(x) = |x− 3|
xiii) f(x) = |3x+ 2|
xiv) f(x) =

√
25− x2, si x ≤ 5
x− 5, si x > 5
xv) f(x) = x− bxc
xvi) f(x) =
bxc
x
xvii) f(x) = U(x− 1), si
U(x) =

0, si x < 0
1, si x ≥ 0
es la función escalón
xviii) f(x) = xU(x)
–65– Sea
f(x) =

1, si − 3 ≤ x < −1
|x|, si − 1 ≤ x < 0
1, si x =
1
2
x2, si 1 < x < 3
i) ¿Cuál es el dominio de f?
ii) Trazar la gráfica de f
iii) Encontrar f(2), f
(
2
3
)
, f
(
−1
2
)
, f
(
−
√
2
2
)
,
(√
2
)
, f(−2)
–66– Determinar los intervalos de monotońıa de las siguientes funciones
i) f(x) =
1
x− 1
ii) f(x) =
1
x2 − 1
iii) f(x) = ax2 + bx+ c, a, b, c ∈ R
–67– Determinar f + g, f − g, fg, f
g
,
g
f
, f ◦ g g ◦ f , aśı como el dominio de la función
resultante si f y g están dadas por
i) f(x) = x− 5, g(x) = x2 − 1
ii) f(x) =
√
x, g(x) = x2 + 1
iii) f(x) =
x+ 1
x− 1
, g(x) =
1
x
iv) f(x) =
√
x− 2, g(x) = 1
x
v) f(x) =
√
x2 − 1, g(x) =
√
x− 1
vi) f(x) = |x|, g(x) = |x− 3|
–68– Determinar si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos, sobre el
dominio dado
@aosoriocruz
12 Cálculo 1
i) f(x) = 2x4 − 3x2 + 1, sobre R
ii) f(x) = 5x3 − 7x, sobre R
iii) f(x) = x2 + 2x+ 2, sobre R
iv) f(x) = x6 − 1, sobre R
v) f(x) = 5x7 + 1, sobre R
vi) f(x) = |x|, sobre R+
vii) f(x) =
x3 − x
x2 + 1
, sobre R
viii) f(x) =
x− 1
x+ 1
, sobre R
ix) f(x) = |x|, sobre R
x) f(x) = x, sobre (−∞, 9)
xi) f(x) = x+ 1, sobre R
xii) f(x) = x2, sobre R+0
xiii) f(x) = 3x, sobre R
–69– Demostrar que toda función f : R −→ R puede expresarse como la suma de una función
par y una impar (Sug. suponer f = P + I, con P : R −→ R par y I : R −→ R impar,
luego evaluar f(x) y f(−x) para obtener P e I)
–70– Hallar una función f 6= cte tal que |f(x)− f(y)| ≤ |x− y|
–71– Si f ◦ g = Id, demostrar que
i) si x 6= y, entonces g(x) 6= g(y)
ii) todo número b ∈ R puede escribirse como b = f(a) para algún a ∈ R
–72– Demostrar que el producto de dos funciones con la misma paridad es una función par,
mientras que el de dos de distinta paridad es una función impar
–73– Determinar f ◦ g y g ◦ f , si f(x) = x2 y g(x) = 2x
–74– Determinar f ◦ f ◦ f , si f(x) = 1
1− x
–75– Determinar f(x+ 1), si f(x− 1) = x2
–76– Sean f, g, h : R −→ R tales que f ◦ g = Id y g ◦ h = Id. Demostrar que f = h
(Sug. asociatividad de la composición)
–77– Sea f(x) =
3
√
1− x3. Determinar y graficar
i) Dominio
ii) Rango
iii) y = f(x)
iv) Inversa
v) Dominio de la inversa
vi) Rango de la inversa
–78– Sea sn la suma de los primeros n elementos de una progresión aritmética. Demostrar
que
sn+3 − 3sn+2 + 3sn+1 − sn = 0
–79– Sea f(x) = ln
(
1 + x
1− x
)
. Demostrar que f(x) + f(y) =
(
x+ y
1 + xy
)
ESFM-IPN
1.6 Ĺımites 13
–80– Hallar el dominio de f(x) =
√
1−
√
1− x2
–81– Determinar el conjunto de polinomios p que satisfacen p(2x) = 2p(x) ∀ x ∈ R
–82– Demostrar que no existen funciones f y g tales que f(x)g(y) = x+ y ∀ x, y ∈ R
–83– Graficar f(x) = x cos2 x+ x2 sin2 x, x ∈ [−π, π]
–84– Sea f(x) =
1
1− x
, hallar el menor n ∈ N tal que f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸
n veces
(x) = x, si x 6= 0, 1
–85– Sea f ∈ R[x], demostrar que existe y ∈ R tal que |f(y)| ≤ |f(x)| ∀ x ∈ R
–86– Hallar f−1 si f(x) =
x
1− x2
para x ∈ (−1, 1).
–87– Graficar los siguientes conjuntos de puntos
i)
{
(x, y) ∈ R2 | |x|+ |y| = 1
}
ii)
{
(x, y) ∈ R2 | |x| − |y| = 1
}
iii)
{
(x, y) ∈ R2 | |x− 1| = |y − 1|
}
iv)
{
(x, y) ∈ R2 | x2 = y2
}
v)
{
(x, y) ∈ R2 | y = bxc
}
vi)
{
(x, y) ∈ R2 | x > y
}
vii)
{
(x, y) ∈ R2 | x+ a > y + b
}
viii)
{
(x, y) ∈ R2 | y < x2
}
ix)
{
(x, y) ∈ R2 | y ≤ x2
}
x)
{
(x, y) ∈ R2 | |x+ y| < 1
}
xi)
{
(x, y) ∈ R2 | y = x− bxc
}
xii)
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣∣ y = ⌊1x
⌋}
–88– Sea f(x) =
3x
x− 1
. Demostrar que f es biyectiva. Determinar ygraficar
i) Dominio
ii) Rango
iii) Aśıntotas verticales
iv) Aśıntotas horizontales
v) Puntos de discontinuidad
vi) Inversa
–89– Determinar f ◦ g, g ◦ f , aśı como su dominio si f : [−10,∞) −→ R y g : R −→ R están
dadas por
f(x) = x2 − 4, g(x) =

2x− 1, si x ∈ (−∞,−1]
3, si x ∈ [0,∞)
§1.6 Ĺımites
–90– Demostrar que 1.99 −→ 2
–91– Calcular
@aosoriocruz
14 Cálculo 1
i) lim
x→1
x2 − 1
x+ 2
ii) lim
x→2
x3 − 8
x− 2
iii) lim
x→3
x3 − 8
x− 2
iv) lim
x→y
xn − yn
x− y
v) lim
y→x
xn − yn
x− y
vi) lim
x→0
√
a+ b−
√
a
x
vii) lim
x→0
1−
√
1− x2
x
viii) lim
x→0
1−
√
1− x2
x2
–92– Calcular los siguientes ĺımites si existen y probar que lo son o que no lo son
i) lim
x→∞
x+ sen 3(x)
5x+ 6
ii) lim
x→0
x2(1 + sen 2(x))
(x+ sen (x))2
iii) lim
x→∞
x sen 2(x)
iv) lim
x→∞
x
(
1 + sen 2(x)
)
v) lim
x→3
sen (x2 − 9)
x− 3
vi) lim
x→1
sen (x2 − 1)
x− 1
vii) lim
h→0
sen (x+ h)− sen (x)
h
viii) lim
x→1
(
x2 − 1
)3
sen
(
1
x− 1
)3
ix) lim
x→0
sen (tan(x))
sen (x)
x) lim
x→0
tan(x)− x
x− sen (x)
xi) lim
x→∞
√
x2 + x− x
xii) lim
x→∞
√
x2 + 2x− x
xiii) lim
x→∞
x3 + 4x− 7
7x− x+ 1
xiv) lim
x→∞
√
|x|
x
xv) lim
x→1
x− (n+ 1)xn+1 + nxn+2
(1− x)2
, n ∈ N
–93– En cada caso encontrar un δ > 0 tal que |f(x)− l| < ε ∀ x 3 0 < |x− a| < δ si
i) f(x) = x4, a = 0, l = a4
ii) f(x) = x4, a 6= 0, l = a4
iii) f(x) =
1
x
, a = 1, l = 1
iv) f(x) =
1
x
, a = 2, l =
1
2
v) f(x) =
√
|x|, a = 0, l = 0
vi) f(x) =
√
|x|, a = 1, l = 1
vii) f(x) = x4 +
1
x
, a = 1, l = 2
viii) f(x) =
x
x+ sen 2(x)
, a = 0, l = 0
–94– Demostrar o dar un contra-ejemplo.
i) Si lim
x→a
f(x) y lim
x→a
g(x) no existen, puede existir lim
x→a
(f(x) + g(x)) o lim
x→a
f(x)g(x)
ii) Si lim
x→a
f(x) y lim
x→a
(f(x) + g(x)) existen, entonces existe lim
x→a
g(x)
iii) Si lim
x→a
f(x) y lim
x→a
f(x)g(x) existen, entonces existe lim
x→a
g(x)
–95– Demostrar que lim
x→a
f(x) = lim
h→0
f(a+ h)
ESFM-IPN
1.6 Ĺımites 15
–96– Demostrar que lim
x→a
f(x) = l ⇐⇒ lim
x→a
(f(x)− l) = 0
–97– Dar un ejemplo en el que exista lim
x→0
f
(
x2
)
, pero no lim
x→0
f (x)
–98– Demostrar que si lim
x→0
f(x)
x
= l y b 6= 0, entonces lim
x→0
f(bx)
x
= bl (Sug.
f(bx)
x
= b
f(bx)
bx
).
¿Qué ocurre si b = 0?
–99– Sea α = lim
x→0
sen (x)
x
. Encontrar en función de α los siguientes ĺımites
i) lim
x→0
sen (2x)
x
ii) lim
x→0
sen 2(x)
x
iii) lim
x→0
1− cos(x)
x2
iv) lim
x→0
tan2(x) + 2x
x+ x2
v) lim
x→0
(
1
x
− tan2(x)
)
vi) lim
x→1
sen
(
x2 − 1
)
x− 1
vii) lim
x→1
(
x2 − 1
)
sen
(
1
x− 1
)3
–100– Demostrar que si lim
x→0
g(x) = 0, =⇒ lim
x→0
g(x) sen
(
1
x
)
= 0
–101– Demostrar que lim
x→0
x4sen
(
1
3
√
x
)
= 0
–102– Si n ∈ N y 0 ≤ f(x) ≤ n ∀ x ∈ R, entonces lim
x→0
x2f(x) = 0
–103– Generalizar: Si lim
x→0
g(x) = 0 y |f(x)| < M, =⇒ lim
x→0
g(x)f(x) = 0
–104– Demostrar que lim
x→a
f(x) existe si, y sólo si, lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x)
–105– ¿Qué ocurre con las ráıces de f(x) = ax2 + bx + c, si a −→ 0; b, c se mantienen
constantes y b > 0?
–106– Probar usando la definición que lim
x→1
f(x) = 6 si
f(x) =

x+ 5, si x ≥ 1
8− 2x, si x < 1
–107– Demostrar que
i) lim
x→0−
f(−x) = lim
x→0+
f(x)
ii) lim
x→0
f(|x|) = lim
x→0+
f(x)
iii) lim
x→0
f
(
x2
)
= lim
x→0+
f(x)
@aosoriocruz
16 Cálculo 1
–108– Encontrar
lim
x→±∞
(
xn +
n∑
k=1
an−kx
n−k
)
(Sug. considerar los casos n par e impar)
–109– Demostrar que
lim
x→∞
n∑
k=0
an−kx
n−k
m∑
k=0
bn−kx
n−k
existe si, y sólo si, m ≥ n ¿Cuál es el ĺımite cuando m = n? ¿Qué pasa cuando m < n?
–110– Probar que si lim
x→a
f(x) = l, =⇒ lim
x→a
|f |(x) = |l|
–111– Probar que no existen los siguientes ĺımites
i) lim
x→0
1
x
ii) lim
x→1
1
x− 1
–112– Sea a 6= 0, probar lim
x→a
f(x) no existe si
f(x) =

x, si x ∈ Q
−x, si x ∈ I
–113– Demostrar que lim
x→a
f(x) no existe ∀ a ∈ R si
f(x) =

1, si x ∈ Q
−1, si x ∈ I
–114– Probar que lim
x→0+
f
(
1
x
)
= lim
x→∞
f(x)
–115– Si r ∈ Q y a > 0, entonces lim
x→a
xr = ar. ¿Bajo qué condiciones es cierto esto si a < 0?
–116– Sean f(x) = 0 y g(x) = |x|, demostrar que lim
x→0
|x|√
x4 + 4x2 + 7
= 0. (Sug. sandwich)
–117– Si lim
x→a
f(x) = l 6= 0 y lim
x→a
g(x) = 0, entonces lim
x→a
f(x)
g(x)
no existe. (Sug. si existe
M ∈ R tal que lim
x→a
f(x)
g(x)
=M , considerar lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x)
(
f(x)
g(x)
)
)
–118– Si lim
x→a
f(x) = l < 0 (> 0), entonces existe I ⊂ R intervalo abierto, tal que a ∈ I y tal
que f(x) < 0 (> 0) ∀ x ∈ I con la posible excepción de x = a
ESFM-IPN
1.7 Continuidad 17
§1.7 Continuidad
–119– Sea f continua en (a, b) y c ∈ (a, b) tal que f(c) > 0. Demostrar que f(x) > 0 en todo
un sub-intervalo que contiene a c. (Sug. ej. 118).
–120– Probar que
f(x) =

sen (tan(x))
sen (x)
, si x 6= 0
1, si x = 0
es continua en 0
–121– Probar que
f(x) =

tan(x)
x , si x 6= 0
1, si x = 0
es continua en
(
−π
2
,
π
2
)
–122– Demostrar que
x4 + 2x2 + 5
x− 1
+
x6 + 2x4 + 6
x− 7
= 0
tiene una solución entre 1 y 7
–123– Sea f(x) =
xn − 1
x− 1
, n ∈ N, hallar el valor que hay que asignar en 1 para que f sea
continua alĺı
–124– Sean a, b ∈ R con 0 < a < b y f : R −→ R continua, tal que |f(x)| < |x| ∀ x 6= 0.
Probar que f(0) = 0 y que ∃ k < 1 3 |f(x)| < k|x| si a ≤ |x| ≤ b
–125– Sean f : [a, b] −→ R, g : [b, c] −→ R continuas, con f(b) = g(b) y
h(x) =

f(x), si x ∈ [a, b)
g(x), si x ∈ [b, c]
.
Probar que h es continua en [a, c]
–126– Sea f : [a, b] −→ R continua con f(a) < f(b), probar que f tiene una ráız en [a, b] que
es la mayor (Sug. usar el hecho de que con las mismas hipótesis f tiene una ráız más
pequeña)
–127– Sea f : [a, b] −→ R continua con f(a) = f(b) = 0, si f(x0) > 0 para algún x0 ∈ [a, b],
demostrar que existen c, d ∈ [a, b] con c < x0 < d tales que f(c) = f(d) = 0 y
f(x) > 0 ∀ x ∈ (c, d)
@aosoriocruz
18 Cálculo 1
–128– Sea f :
[
0,
π
2
]
−→ R+ continua y tal que f(0) = 1
2
, demostrar que existe al menos un
a ∈
[
0,
π
2
]
tal que f(a)− cos a = 0
–129– Sea f : [a, b] −→ R continua y tal que f(a) ≤ a y b ≤ f(b), entonces existe al menos
un x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = x0
i) Dar mediante una gráfica una interpretación geométrica de este resultado
ii) Demostrar esta proposición usando uno de los teoremas fuertes de continuidad
–130– Demostrar que f es discontinua ∀ a ∈ R si
f(x) =

0, x ∈ Q
1, x ∈ I
–131– Sean f y g tales que ∀ ε y ∀ x ∈ R
1. si 0 < |x− 2| < sin2
(
ε2
9
)
+ ε, =⇒ |f(x)− 2| < ε
2. si 0 < |x− 2| < ε2, =⇒ |g(x)− 4| < ε.
Para cada ε > 0 hallar δ > 0 tal que ∀ x ∈ R
i) si 0 < |x− 2| < δ, =⇒ |f(x) + g(x)− 6| < ε,
ii) si 0 < |x− 2| < δ, =⇒ |f(x)g(x)− 8| < ε.
–132– ¿Para cuál(es) de las siguientes funciones f : R −→ R existe F : R −→ R función
continua tal que F (x) = f(x) ∀ x ∈ Dom(f)?
i) f(x) =
x2 − 4
x− 2
ii) f(x) =
|x|
x
iii) f(x) =

0, si x ∈ I
1
q , si x =
p
q ∈ Q, (p, q) = 1
–133– Sea f una función tal que |f(x)| ≤ |x| ∀ x ∈ R, entonces f es continua en 0
–134– Dar un ejemplo de una función discontinua en R∗
–135– Sea f continua en 0, tal que f(0) = 0 y |g(x)| ≤ |f(x)|, entonces g es continua en 0
–136– Sea f continua en 0, tal que f(x+ y) = f(x) + f(y), entonces f es continua en R
–137– Sea f continua, tal que f(x+ y) = f(x) + f(y), entonces f(x) = ax
ESFM-IPN
1.8 Sucesiones 19
–138– Sea f continua en a, tal que f(a) = 0 y si α 6= 0, entonces f+α 6= 0 en algún intervalo
que contenga a a
–139– Sea f(x) = xn +
n∑
k=1
an−kx
n−k ∈ R[x]. Probar que si n ∈ N es impar, entonces f(x)
tiene al menos una ráız real y que si a0 < 0, entonces f tiene al menos una ráız positiva
–140– Probar que existe al menos un x ∈ R tal que
i) x179 +
163
1 + x2 + sen 2(x)
= 119 ii) sen (x) = x− 1
–141– Sea f : [a, b] −→ Q continua. ¿Qué se puede decir acerca de f?
–142– Sea f continua, tal que f(x) = 0 sólo si x = a y f(x) > 0 para algún x 6= a. ¿Qué se
puede decir acerca de f(x) ∀ x 6= a?
–143– Dar un ejemplo de una función continua que sea continua en exactamenteun solo
punto
–144– Dar un ejemplo de una función f discontinua en todo punto y tal que |f | sea continua
en todo punto
–145– Demostrar que toda función continua f puede escribirse en la forma f = g − h con g
y h continuas y no negativas
–146– Demostrar que f : (0, 1) −→ R es continua en (0, 1) ∩ I si
f(x) =

0, si x ∈ I
1
q , si x =
p
q ∈ Q, (p, q) = 1
–147– Demostrar que toda función polinomial es continua
–148– Demostrar que f es continua en a ∈ R si, y sólo si, lim
h→0
f(a+ h) = f(a)
§1.8 Sucesiones
–149– Escribir los primeros 6 términos de las siguientes sucesiones
i) an = n
2 − n, n ∈ N
ii) an = (−1)n(n− 1)3, n ∈ N
iii) an = (−2)n, n ∈ N
iv) an =
n
n2 + 1
, n ∈ N
v) an = n
n−4, n ∈ N
vi) an = 2n+ (−1)n, n ≥ 3
vii) an =
2n+ 1
2n
, n ≥ 5
viii) si a1 = 1, a2 = 2, an = 2an−1 −
an−2, n ≥ 3
ix) si a1 = 2, a2 = 4, an =
(
an−1
an−2
)
, n ≥ 3
@aosoriocruz
20 Cálculo 1
–150– Determinar an si
i) a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16, a5 = 25, a6 = 36, . . .
ii) a2 = 4, a3 = 8, a4 = 16, a5 = 32, a6 = 64, a7 = 128, . . . ¿Cuánto vale a1?
iii) a1 = 0, a2 = 4, a3 = 8, a4 = 12, a5 = 16, a6 = 20, . . .
iv) a1 = 1, a2 = −4, a3 = 7, a4 = −10, a5 = 13, a6 = −16, . . .
v) a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, a5 = 11, a6 = 13, . . .
–151– Sea an =
(−1)nn+ 1
n
.
i) ¿Qué términos de la sucesión están dentro del intervalo (0.998, 1.002)?
ii) ¿A partir de qué n se tiene que |an + 1| <
1
10, 000
?
¿Es -1 el ĺımite de esta sucesión?
–152– Sea an =
2n− 1
2n+ 1
. ¿A partir de qué n se tiene que
i) |an − 1| <
1
1, 000
?
ii) |an − 1| <
1
100, 000
?
¿Es 1 el ĺımite de esta sucesión?
–153– Sea lim
n→∞
an = l, encontrar min
{
k ∈ N
∣∣∣∣∣ |an − l| < ε si k < n
}
para ε =
1
10
, ε =
1
1, 000
, ε =
1
100, 000
si
i) an =
5
n
y l = 0
ii) an =
1− 2n
1 + n
y l = −2
iii) an =
n2 + n− 1
3n2 + 1
y l =
1
3
iv) an =
1√
n2 + 1
y l = 0
v) an =
(
−9
10
)n
y l = 0
–154– Demostrar que
i) lim
n→∞
1
2n
= 0
i) lim
n→∞
n
2n
= 0
i) lim
n→∞
(√
n2 + 1− n
)
= 0
i) lim
n→∞
(
3
√
n+ 1− 3
√
n
)
= 0
i) lim
n→∞
n
n+ 1
= 1
i) lim
n→∞
1√
n
= 0
ESFM-IPN
1.8 Sucesiones 21
i) lim
n→∞
sen (n)
n
= 0
i) lim
n→∞
√
4 +
1
n
= 2
i) lim
n→∞
n
√
q = 1, si 0 < q
i) lim
n→∞
q
n
n+1 = q
i) lim
n→∞
qn = 0, si |q| < 1
i) lim
n→∞
qn =∞, si 1 < q
i) lim
n→∞
qn
n!
= 0, si q ∈ R
i) lim
n→∞
2n + 3n
3n + 4n
= 0
i) lim
n→∞
n!
nn
= 0
i) lim
n→∞
8
√
n2 + 1− 4
√
n+ 1 = 0
i) lim
n→∞
n
√
n2 + n = 1
i) lim
n→∞
n2
(1.01)n
= 0
i) lim
n→∞
n
√
an + bn = max{a, b}, si 0 < a y
0 < b (Sug. si 0 < y < x, =⇒ x <
x+ y < 2x)
i) lim
n→∞
n∑
k=1
k
n2
=
1
2
i) lim
n→∞
2n∑
k=n
1
k2
= 0
i) lim
n→∞
2n∑
k=n
1√
k
=∞
i) lim
n→∞
n∑
k=1
1√
n2 + k
= 1
i) lim
n→∞
n
√
n = 1
–155– Probar que la sucesión an = (−1)n no converge
–156– Demostrar usando la definición que
i) lim
n→∞
1, 000
n
= 0 ii) lim
n→∞
2n
3n+ 1
=
2
3
–157– Calcular
i) lim
n→∞
(−1)n
√
n sen (nn)
n+ 1
ii) lim
n→∞
2n
2
n!
iii) lim
n→∞
sen
(
1
n
)
n
iv) lim
n→∞
cos (n)
n
v) lim
n→∞
sen
(
1
n
)
cos(n)
(Sug. |sen (x)| < |x| ∀ x ∈ R)
–158– ¿Qué se puede decir acerca de la sucesión convergente {an}n∈N ⊂ Z?
–159– Sea {an}n∈N ⊂ R tal que limn→∞ a2n = l y limn→∞ a2n+1 = l, entonces limn→∞ an = l
–160– Dar un ejemplo de una sucesión tal que su sub-sucesión de términos pares sea conver-
gente, pero que la sucesión completa no lo sea
–161– ¿Por qué lim
n→∞
an = a si an = a ∀ n ∈ N?
@aosoriocruz
22 Cálculo 1
–162– Dar 3 ejemplos de sucesiones acotadas pero no convergentes
–163– Sean {an}∞n=1 , {bn}n∈N ⊂ R tales que limn→∞ an = 0 y bn está acotada. Demostrar que
lim
n→∞
(an bn) = 0
–164– Si {an}∞n=1 ⊂ R
+
0 , tal que limn→∞
an = l ≥ 0, entonces lim
n→∞
√
an =
√
l
–165– Sea {an}∞n=1 ⊂ R tal que limn→∞ an = l. Demostrar que limn→∞ bn = l, donde bn = an+5.
–166– Demostrar que
i) lim
n→∞
2n∑
k=n
1
k
existe y es tal que
1
2
≤ l < 1
ii) lim
n→∞
2n∑
k=n+1
1
k
existe y es igual al anterior
–167– Probar que la sucesión dada por a1 =
√
c, an+1 =
√
c+ an con 0 < c es convergente
–168– Probar que lim
n→∞
an =
2
3
si a1 = 0, a2 = 1, an =
an−1 + an−2
2
(Sug. ej. ??)
–169– Determinar y demostrar el carácter de las siguiente sucesiones
i)
{(
1 +
1
n
)n}∞
n=1
ii)
{(
1− 1
5
)n}∞
n=1
iii)
{(
1− 1
n
)n}∞
n=1
iv)
{(
1 +
1
n
)n2}∞
n=1
v)
{(
1 +
1
n2
)n}∞
n=1
vi)
{(
1 +
1
2
)n}∞
n=1
vii)
{(
1 +
2
n
)n}∞
n=1
–170– Demostrar que las siguientes sucesiones no son convergentes
i)
{
(−1)n + 1
n
}∞
n=1
ii) {(−1)n n+ n}∞n=1
iii)
{
(−1)n n(n+ 1)
2
n
√
n
}∞
n=1
–171– Demostrar que si lim
n→∞
an =∞ o lim
n→∞
an = −∞, entonces lim
n→∞
1
an
= 0
–172– Sean {an}∞n=1 , {bn}n∈N ⊂ R tales que limn→∞ an = ±l 6= 0 y existe k ∈ N 3 ∀ n ≥
k bn > 0 y lim
n→∞
bn = 0. Demostrar que lim
n→∞
an
bn
= ±∞ (el signo es el de l)
–173– Sea {an}∞n=1 ⊂ R tal que limn→∞ an = l, entonces
ESFM-IPN
1.8 Sucesiones 23
i) lim
n→∞
n∑
k=1
ak
n
= l
ii) lim
n→∞
n
√√√√ n∏
k=1
ak = l, si 0 < ak ∀ k ∈ N
iii) lim
n→∞
an
n
= l, si lim
n→∞
(an+1 − an) = l
iv) lim
n→∞
n
√
an = l, si 0 < an ∀ n ∈ N y
lim
n→∞
an+1
an
= l.
v) Evaluar lim
n→∞
n
√
n; lim
n→∞
1
n
√
n!
; lim
n→∞
n
√
n!
n
;
lim
n→∞
n
√
a, si 0 < a
–174– Sea {an}n∈N ⊂ R
+ tal que lim
n→∞
an = l ∈ R. Demostrar que
i) lim
n→∞
n
√
a1a2 · · · an = l ii) lim
n→∞
n
√
np = 1 si p ∈ R+ fijo.
–175– Sean ∅ 6= A ⊂ R acotado superiormente y s ∈ A. Demostrar que s = sup{A} si, y
sólo si,
i) s es cota superior de A
ii) existe {an}∞n=1 ⊂ A tal que limn→∞ an = s
–176– Si l ∈ R, entonces existe {an}∞n=1 ⊂ I tal que limn→∞ an = l
–177– Demostrar la convergencia o la divergencia de la sucesión an =
(−1)n
n
+
1 + (−1)n
2
.
–178– Sea {an}∞n=1 ⊂ R+ tal que limn→∞ an = 0, demostrar que {an}
∞
n=1 tiene un máximo.
–179– Sea {an}∞n=1 ⊂ R tal que an =
bn+1
bn
, donde b1 = b2 = 1 y bn+2 = bn+1+bn. Demostrar
que lim
n→∞
an =
1 +
√
5
2
. (Sug. probar que bn+2bn − b2n+1 = (−1)n+1, luego deducir que
|an − an+1| <
1
n2
para n > 4)
–180– Sean {an}∞n=1 , {bn}n∈N ⊂ R tales que limn→∞ an = a ∈ R
+ y lim sup(bn) = ∞; k > 0.
Demostrar que
i) lim sup(anbn) = a lim sup(bn)
ii) lim sup(kbn) =∞.
–181– Sea {an}n∈N ⊂ R
∗ una sucesión. Demostrar que
lim inf
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ ≤ lim inf |an| 1n ≤ lim sup |an| 1n ≤ lim sup ∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣
–182– Demostrar que toda sucesión {an}n∈N ⊆ R tiene una subsucesión monótona.
@aosoriocruz
24 Cálculo 1
§1.9 Series
–183– Calcular las primeras 6 sumas parciales de las siguientes series
i)
∞∑
n=1
n
n+ 1
ii)
∞∑
n=0
2n
iii)
∞∑
n=1
n∏
k=1
(3k − 2)
3n
–184– Hallar una serie cuya n-sima suma parcial Sn valga
n
n+ 1
–185– Determinar el carácter de la siguientes series y, en su caso, calcular la suma
i)
∞∑
n=1
1
n1+
1
n
ii)
∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
iii)
∞∑
n=1
n!
(n+ 2)!
iv)
∞∑
n=1
n2
2n
.
v)
∞∑
n=1
2 + (−1)n
2n
.
vi)
∞∑
n=1
1√
n2 + n
.
vii)
∞∑
n=1
sen
(
nπ +
1
n
)
viii)
∞∑
n=1
(
1
9n
+
1
10n
)
ix)
∞∑
n=1
n!
9n
x)
∞∑
n=1
(2n)!
n!n!
xi)
∞∑
n=0
π√
2n
i)
∞∑
n=1
n+ 1
2n− 3
i)
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
i)
∞∑
n=1
n∑
k=1
j
k
i)
∞∑
n=1
n
sen (n)
i)
∞∑
n=1
1√
n+ 1 +
√
n
i)
∞∑
n=1
2n+1
3n
i)
∞∑
n=1
(−1)n−1 5
7n−1
i)
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
i)
∞∑
n=2
1
(n− 1)(n+ 1)
i)
∞∑
n=0
q
n
3 , si |q| < 1
i)
∞∑
n=0
(2n + an), si
∞∑
n=0
an es
una serie convergente
i)
∞∑
n=0
(−1)nq
n
2 , si 0 ≤ q < 1
i)
∞∑
n=0
sen 2n(q), si |q| < 1
i)
∞∑
n=1
((
1
2
)n
+
(
1
3
)n)
–186– Usando; cuando sea aplicable; el teorema de comparación, determinar el carácter de
la siguientes series
i)
∞∑
n=0
cos2(n)
2n
ii)
∞∑
n=1
2 + cos(n)
n
iii)
∞∑
n=0
1
2n + 1
iv)
∞∑
n=1
1√
n
v)
∞∑
n=1
1
3n − sen (n)
ESFM-IPN
1.9 Series 25
–187– Usando; cuando sea aplicable; el teorema del cociente, determinar el carácter de la
siguientes series
i)
∞∑
n=0
en
n!
ii)
∞∑
n=1
2n
(n!)λ
iii)
∞∑
n=1
n3
en
iv)
∞∑
n=1
(2n)!
n!n!
v)
∞∑
n=1
n!
nn
vi)
∞∑
n=1
n
(
3
4
)n
vii)
∞∑
n=1n!
9n
viii)
∞∑
n=1
3n
n 2n
–188– Mostrar si la siguientes series convergen de manera condicional o absoluta
i)
∞∑
n=0
qn, si |q| < 1
ii)
∞∑
n=1
(−1)n√
n
iii)
∞∑
n=1
(−1)n+1√
n3
iv)
∞∑
n=1
sen (n)
n2
v)
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)!
vi)
∞∑
n=2
(
2
n
− 1
n
)
vii)
∞∑
n=1
(−1)n
2n+ 1
–189– Sea {an}∞n=1 ⊂ Z tal que an ∈ [[0, 9]] ∀ n ∈ N. Demostrar que
∞∑
n=1
an
10n
existe y está
en [0, 1]. Este número se designa por 0.a1a2a3 . . .
–190– Sea 0 ≤ a ≤ 1. Demostrar que existe {an}∞n=1 ⊂ Z tal que an ∈ [[0, 9]] ∀ n ∈ N y
a =
∞∑
n=1
an
10n
(Sug. considere an = ba10nc − 10
⌊
a10n−1
⌋
)
–191– Demostrar que {an}∞n=1 ⊂ Z tal que an ∈ [[0, 9]] ∀ n ∈ N y es periódica, entonces
∞∑
n=1
an
10n
es racional. El mismo resultado es válido si {an}∞n=1 se repite eventualmente,
es decir si {ak+n}∞n=1 se repite para algún n ∈ N
–192– Demostrar que si a =
∞∑
n=1
an
10n
∈ Q, entonces {an}∞n=1 se repite eventualmente
–193– Demostrar que si {an}∞n=1 satisface el teorema de Leibniz, entonces
∣∣∣∣∣
∞∑
n=k+1
(−1)n+1an
∣∣∣∣∣ <
ak
–194– Demostrar que si
∞∑
n=1
an converge absolutamente y {bn}∞n=1 es una subsucesión de
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26 Cálculo 1
{an}∞n=1, entonces
∞∑
n=1
bn converge.
Demostrar que la condición de convergencia absoluta es necesaria.
–195– Demostrar que si
∞∑
n=1
an converge absolutamente, entonces
∞∑
n=1
an =
∞∑
k=1
a2k−1+
∞∑
k=1
a2k
–196– Demostrar que si
∞∑
n=1
an converge absolutamente, entonces
∣∣∣∣∣
∞∑
n=1
an
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
n=1
|an|
–197– Sea Sn =
n∑
k=1
ak, tal que {Sn}∞n=1 es acotada y {bn}∞n=1 decreciente con limn→∞ bn = 0.
Demostrar que
∞∑
n=1
an bn converge
–198– Demostrar que N ≤
NN∑
n=1
1
n
∀ n ∈ N
–199– Demostrar que
∞∑
n=1
1
n
=∞
–200– Demostrar que si {an}∞n=1 ⊂ R
+
0 y
∞∑
n=1
an diverge, entonces
∞∑
n=1
an
1 + an
diverge. ¿Vale
la afirmación rećıproca? (Sug. comparar las sumas parciales)
–201– Sea {an}∞n=1 ⊂ R tal que limn→∞ an = 0. Demostrar que
∞∑
n=1
an converge ⇐⇒
∞∑
n=1
(an + 2an+1) converge
–202– Demostrar que si
∞∑
n=1
an converge, no necesariamente
∞∑
n=1
a2n converge, pero que si
∞∑
n=1
an converge absolutamente, entonces
∞∑
n=1
a2n converge
–203– Demostrar que si
∞∑
n=1
a2n converge, no necesariamente
∞∑
n=1
an converge
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