410878941-Prob-v-Compleja-00

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Caṕıtulo 1
Variable Compleja
1. En cada caso bosquejar el conjunto y determinar si es un dominio (abierto y
conexo)
i) |z + 2 + i| ≤ 1
ii) |2z − 3| ≥ 4
iii) =(z) < 1
iv) |=(z)| > 1
v) |z| > 0, 0 ≤ arg(z) ≤ π
3
vi) |z + 4| ≥ |z|
vii) 0 < |z − z0| ≤ δ donde z0 es un
punto fijo y δ ∈ R+
¿Qué conjuntos no son abiertos ni cerrados? ¿Qué conjuntos son acotados?
2. Sean v, z, w ∈ C, probar que
i) |zw| = |z||w|
ii) si ĺım
z→v
f(z) = w, entonces ĺım
z→v
|f(z)| = |w|, i. e., ĺım
z→v
|f(z)| =
∣∣∣ĺım
z→v
f(z)
∣∣∣
iii) la función f(z) = |z|2 es continua en C
iv) la función f(z) = z es diferenciable en ninguna parte
3. Determinar si la función f(z) = =(z) es diferenciable en algún punto.
4. Describa la forma en que se pueden usar números complejos para representar
funciones simples en el plano
i) una translación
ii) una rotación sobre el origen
iii) una reflexión en el eje x
¿Que pasa con una rotación en un punto distinto al origen? ¿Una reflexión en una
ĺınea cualquiera que pase por el origen? ¿una reflexión “glide”?
5. Escribir
osca
2 Variable Compleja
i)
∣∣e3z+i∣∣ ii) ∣∣∣eiz2∣∣∣
en términos de x y y.
6. Demostrar que
i)
∣∣∣e2z+i + eiz2∣∣∣ ≤ e2x + e−2xy ii) Log (√5 + 2) = −Log (√5− 2)
7. Encontrar las raices de cos z = 2.
8. Demostrar que si
i) <(z) > 0, <(w) > 0 entonces, Log (zw) = Log z + Log w
ii) log z = Log r + iθ
(
r > 0,
π
4
< θ < 9
π
4
)
, entonces log
(
i2
)
= 2 log i
iii) log z = Log r + iθ
(
r > 0, 3
π
4
< θ < 11
π
4
)
, entonces log
(
i2
)
6= 2 log i
9. Encontrar el valor principal de
i) i3i ii)
(e
2
(
−1 + i
√
3
))3πi
10. Sin usar el teorema de Cauchy, evaluar
i)
∫ π
4
0
eit d t ii)
∫ 2π
0
eimt e−int d t, con m, n ∈ Z
11. Sean [a, b] ⊂ R y f : [a, b] −→ C; f(t) = u(t) + iv(t); una función continua a
trozos. Demostrar ¡sin usar el teorema de Cauchy! que si F (t) = U(t) + iV (t) es
una función tal que F ′(t) = f(t), entonces∫ b
a
f(t) d t = F (b)− F (a).
12. Si f(z) =
z − 2
z
, encontrar el valor de
∫
C
f(z) d z para
i) C =
{
z ∈ C | z = 2eiθ, 0 ≤ θ ≤ π
}
ii) C =
{
z ∈ C | z = 2eiθ, π ≤ θ ≤ 2π
}
iii) C =
{
z ∈ C | z = 2eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π
}
sin usar el teorema de Cauchy. ¿Es C un contorno? ¿Es f continua a trozos?
13. Si f(z) = ez, encontrar el valor de
∫
C
f(z) d z para el arco C de z = πi a z = 1
que consiste de
Ejercicios
3
i) el segmento de ĺınea que une a estos puntos
ii) la porción de ejes coordenados que une a estos puntos
sin usar el teorema de Cauchy. ¿Es C un contorno? ¿Es f continua a trozos?
14. Sean C el ćırculo |z| = 3 descrito en el sentido positivo y
g (z0) =
∫
C
2z2 − z − 2
z − z0
d z, (|z0| 6= 3) .
Encontrar el valor de g(2). Encontrar el valor de g (z0) cuando |z0| > 3.
15. Sean C un contorno simple cerrado descrito en el sentido positivo y
g (z0) =
∫
C
z3 + 2z
(z − z0)3
d z.
Encontrar el valor de g (z0) cuando z0 está dentro de C y cuando está fuera.
16. Sea C el contorno simple cerrado |z − i| = 2 descrito en el sentido positivo. En-
contrar el valor de ∫
C
g (z) d z
cuando
i) g (z) =
1
z2 + 4
ii) g (z) =
1
(z2 + 4)2
17. Teorema del módulo mı́nimo
Sean R una región cerrada acotada; f una función continua, anaĺıtica, no constante
en el interior de R y f(z) 6= 0 ∀ z ∈ R. Considere la función 1
f(z)
para probar que
|f(z)| tiene un valor mı́nimo N en algún punto de R, y que |f(z)| > N para cada
punto z en el interior de R.
Dar un ejemplo para mostrar que la condición f(z) 6= 0 ∀ z ∈ R es necesaria para
probar el resultado, i. e., muestre que |f(z)| puede alcanzar su valor mı́nimo en
un punto interior cuando ese valor mı́nimo es 0.
18. Usar el teorema de Taylor para expandir sin z en una serie de Taylor alrededor del
punto z =
π
2
. ¿Existe una manera “inteligente” de hacer esto?
19. Expandir la función
1
z
en términos de una serie de potencias de z − 1 y usarla
para obtener por diferenciación la expansión de
1
z2
en términos de una serie de
potencias de z − 1 y dar la región de validez en cada caso.
osca
4 Variable Compleja
20. Obtener la expansión de Maclaurin de la función
z + 1
z − 1
y dar la región de validez
para esta representación. Dar también la expansión de Laurent para el dominio
|z| > 1.
21. Expandir la función
z − 1
z2
en
i) su serie de Taylor en potencias de z − 1 y dar su región de validez
ii) su serie de Laurent para el dominio |z − 1| > 1.
22. Escribir la expansión en serie de Laurent de la función
1
z − k
para el dominio
|z| > |k|, donde k ∈ R y −1 < k < 1. Luego escriba z = eiθ para obtener las
fórmulas
i)
k∑
n=1
kn cos(nθ) =
k cos θ − k2
1− 2k cos θ + k2
ii)
k∑
n=1
kn sin(nθ) =
k sin θ
1− 2k cos θ + k2
23. Usar residuos para establecer que
i)
∫ ∞
0
x2
(x2 + 9) (x2 + 4)2
dx =
π
200
ii)
∫ 2π
0
1
5 + 4 sin θ
d θ =
2π
3
24. Determinar el valor principal de Cauchy de la siguiente integral convergente∫ ∞
−∞
sinx
x2 + 4x+ 5
dx
(
= −π
e
)
.
25. Probar que |<(z)| + |=(z)| ≤
√
2|z| y deducir el valor máximo alcanzado por
cos θ + sin θ.
26. Bosquejar el conjunto de puntos determinados por la condición dada
i) |z + 1− i| = 1
ii) |z − i| ≤ 3
iii) <(z + i) = 2
iv) |z − i| = |z + i|
27. Dado que z1z2 6= 0, usar la forma polar para probar que
<(z1z2) = |z1||z2| ⇐⇒ θ1 − θ2 = 2nπ, n ∈ Z, θ1 = arg(z1), θ2 = arg(z2).
Deducir que
|z1 + z2| = |z1|+ |z2| ⇐⇒ θ1 − θ2 = 2nπ, n ∈ Z, θ1 = arg(z1), θ2 = arg(z2)
y verificar esta aseveración geométricamente.
28. En cada caso encontrar las raices y exhibirlas geométricamente
Ejercicios
5
i)
√
5i
ii)
4
√
i
iii) 4
√
−1
iv)
5
√
4
29. Encontrar las 4 raices de la ecuación z4 + 4 = 0, y usarlas para factorizar z4 + 4
en factores cuadráticos con coeficientes reales.
30. Suponiendo el teorema de suficiencia para diferenciabilidad y que f ′(z) = ux + ivx
probar que f ′(z) y su derivada f ′′(z) existen en todas partes y encontrarlas cuando
i) f(z) = 2z + i
ii) f(z) = e−x e−iy
iii) f(z) = z3
31. Si f(z) = x3−i(y−1)3, entonces ux+ivx = 3x2. ¿Por qué es cierto que f ′(z) = 3x2
solo en el punto z = i?
32. Demostrar que u es harmónica en algún dominio y encontrar una harmónica con-
jugada v cuando
i) u(x, y) = 2x(1− y)
ii) u(x, y) = 2x− x3 + 3xy2
iii) sinhx sin y
33. Demostrar que
i) e2±5πi = −e2
ii) e(
2+πi
4 ) =
√
e
(
1 + i√
2
) iii) ez−πi = −ez
34. Considerando el residuo RN(z) demostrar que
∞∑
n=1
zn =
z
1− z
si z ∈ C y |z| < 1.
35. Demostrar que si
∞∑
n=1
zn = S, entonces
∞∑
n=1
zn = S.
36. Sea {zn}∞n=1 una sucesión tal que
ĺım
n→∞
zn = z
con |zn| ≤ M ∀ n ∈ N, entonces |z| ≤ M.
37. Demostrar que ez = e+ e
∞∑
n=1
(z − 1)n
n!
cuando |z| <∞.
38. Demostrar que
1
4z − z2
=
∞∑
n=0
zn−1
4n+1
cuando 0 < |z| < 4.
osca
6 Variable Compleja
39. Encontrar la imagen de el cuadrante x > 1, 0 > y bajo la transformación f(z) =
1
z
.
¿Cómo es la imagen de la frontera de este cuadrante?
40. Expresar la función f(z) =
z + 1
z − 1
como una combinación de funciones más simples
y luego encontrar la imagen del semiplano x > 0 bajo esta función.
41. Demostrar que
sin z = sinx cosh y + i cosx sinh y.
Aún más dif́ıcil, considerando la imagen de las ĺıneas verticales x = c, (−π
2
≤ c ≤
π
2
), demostrar que w = sin z es una función 1 a 1 de la franja −π
2
≤ x ≤ π
2
, y ≥ 0
sobre la mitad superior de el w−plano. Describir las porciones correspondientes de
la frontera.
42. Encontrar la imagen de la franja x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ π bajo la transformación exp(z),
y describir las porciones correspondientes de la frontera.
43. Encontrar
∫
C
f(z) d z para cada una de las siguientes funciones
i) f(z) = ze−z
ii) f(z) =
1
z2 + 2z + 2
iii) f(z) = sech z
iv) f(z) = tan z
v) f(z) = Log (z + 2)
donde C es el ćırculo |z| = 1.
44. Demostrar que si z1 6= 0, z2 6= 0 y z1 6= z2, entonces
∫ z2
z1
1
z2
d z =
1
z1
− 1
z2
, siempre
que la curva de integración esté en el interior de un dominio simple cerrado que no
contenga al origen. Demostrar cómo se sigue que, para un contorno simple cerrado
Cdonde el origen es un punto interior ó exterior,
∫
C
1
z2
d z = 0.
45. Sea C la frontera del cuadrado cuyos lados estan sobre las ĺıneas x = ±2 y y = ±2
y con C recorrido en sentido positivo (contrario a las manecillas del reloj). Evaluar
i)
∫
C
e−z
z − πi
2
d z ii)
∫
C
cos z
z(z2 + 8)
d z
iii)
∫
C
z
2z + 1
d z
46. Sea C el ćırculo unitario z = eiθ descrita de −π ≤ θ ≤ π. Demostrar que ∀ a ∈ R,∫
C
eaz
z
d z = 2πi. Luego escriba esta integral en términos de θ para derivar∫ π
0
ea cos θ cos(a sin θ) d θ = π.
Ejercicios
7
47. Dar 2 expansiones de Laurent en serie de potencias de z para f(z) =
1
z2(1 + z)
, y
especificar las regiones en las cuales son válidas estas expansiones.
48. En cada caso escribir la parte principal de la función en su punto singular aislado
y determinar si este punto es un polo, un punto singular esencial o removible de
la función dada
i) ze
1
z
ii)
z2
1− z
iii)
sin z
z
iv)
cos z
z
49. Demostrar que todos los puntos singulares de cada una de las siguientes funciones
son polos. Determinar el orden m de cada polo y encontrar su correspondiente
residuo K.
i)
z + 1
z2 + 2z
ii)
1− e2z
z4
iii)
e2z
(z + 1)2
iv)
ez
z2 + π2
50. Encontrar
∫
C
1
z3(z + 4)
d z recorrida en el sentido contrario a las manecillas del
reloj alrededor del ćırculo
i) |z| = 2 ii) |z + 2| = 3
51. Sea SO(2;R) el conjunto de matrices 2× 2 ortogonales con determinante 1. (Una
matriz es ortogonal si tiene filas y columnas ortonormales, o, equivalentemente,
si su transpuesta es su inversa. Tales matrices tienen determinante ±1). Sea C el
conjunto de todas las matrices reales 2×2 de la forma aQ con a ∈ R, Q ∈ SO(2;R).
Probar que
i) C es un campo. ii) C es isomorfo a C
52. Usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para probar que
i) si la parte real de una función anaĺıtica es constante en una región, entonces
también lo es la función,
ii) si el valor absoluto de una función anaĺıtica es constante en una región, en-
tonces también lo es la función.
53. Encontrar mapeos conformes de el disco unitario sobre cada una de las regiones
siguientes:
osca
8 Variable Compleja
i) la mitad derecha del plano
ii) C \ {x | x ≤ 0}
iii) C \ {x | −1 ≤ x ≤ 1}
54. SeaD el disco unitario abierto, γ la curva usual que atraviesa su frontera, y suponga
que f es una función anaĺıtica sobre C \D que satisface ĺım
z→∞
f(z) = 5. Probar que
1
2πi
∫
γ
f(w)
w − z
d w = 5− f(z); z ∈ C \D.
55. Sea D el disco unitario y sean a, b ∈ D. Dar una expresión expĺıcita para una
función anaĺıtica 1 a 1 f que mapea D sobre si mismo con f(a) = b. Verifique que
f satisface estas condiciones.
56. Demostrar que si 0 < r < R, entonces existe un � > 0 tal que
sup{|p(z)− z−1| | r < |z| < R} > �,
para todo polinomio p(z).
57. Sea a > 1. Evaluar
∫ 2π
0
d θ
a+ sin θ
. ¡Son necesarios calculos de residuos!.
Ejercicios
9
Problemas de Funciones de Variable Compleja II
1. Aplique el Lema de Schwarz para demostrar que ß contiene a todas las funciones
en A que son acotadas
Solución. Sean
ϕ, ψ, f : D 7→ D dadas por:
ϕ(z) =
w + z
1 + wz
, ψ(z) =
z − f(w)
1− f(w)z
, f ∈ A y acotada en D
ϕ′(z) =
1− |w|2
(1 + wz)2
, ψ′(z) =
1− |f(w)|2
(1 + f(w)z)2
Sea ψ ◦ f ◦ ϕ : D 7→ D, note que (ψ ◦ f ◦ ϕ)(0) = 0 por tanto podemos
aplicar el lema de Schwartz aśı:
|(ψ ◦ f ◦ ϕ)(z)| ≤ |z| para cada z ∈ D
⇒ |(ψ ◦ f ◦ ϕ)′(z)| ≤ 1
‖(ψ ◦ f ◦ ϕ)′(0)| = |ψ′(f(ϕ(0)))||(f ◦ ϕ)′(0)| = |ψ′(f(w))||f ′(ϕ(0))||ϕ′(0)| =
=
1− |f(w)|2
|1− |f(w)|2|2
|f ′(w)||1− |w|2| ≤ 1
(1.1)
⇒ |1− |w|2||f ′(w)| ≤ |1− |f(w)|2| ≤M pues |f(z)|está acotada
⇒ sup |1− |w|2||f ′(w)| ≤ +∞
⇒ f ∈ ß
2. Sea a0 ∈ D fijo, investigar si ϕa(x) ∈ ß
Solución. Para cada a ∈ D
ϕa(z) =
a− z
1− āz
es anaĺıtica y acotada en D, mas aún
|ϕa(z)| → 1 si |z| → 1 y por el ejercicio anterior ϕa(z) ∈ ß
osca
10 Variable Compleja
3. Sea
ft =
e−it
2
log
(
1 + e−it
1− e−it
)
, z ∈ D, 0 ≤ t ≤ π
2
Ver que ft es anaĺıtica en D
Solución Sea t0 ∈ [0, π2 ] fijo
g(z) = 1+e
−it0
1−e−it0 , g(z) es anaĺıtica en D pues 1 + e
−it0 = 0 y 1− e−it0 = 0 solo
si z ∈ ∂D y además g(z) 6= 0 para cada z ∈ D pues si 1 + e−it0 = 0⇒ z ∈ D
g es transformación de Möbius y transforma a ∂D en una recta que pasa
por cero, por tanto D es mapeado de manera continua en el semiplano
superior o inferior delimitado por esta recta y en ambos casos g(D) es una
región simplemente conexa que no contiene a cero y por tanto la función
log
(
1+e−it0
1−e−it0
)
está bien definida y es anaĺıtica en D, y como e
−it0
2
es anaĺıtica
en D se tiene que ft0 es anaĺıtica en D
4. Pruebe que para cada n ≥ 2
máx
r∈(0,1)
rn−1(1− r2) =
(
n− 1
n+ 1
)n−1
2 2
n+ 1
& ĺım
n→∞
n+ 1
n
(
n+ 1
n− 1
)n−1
2
= e
Solución
i) Usando el método de máximos y minimos se verifica facilmente que
máx
r∈(0,1)
rn−1(1− r2) =
(
n− 1
n+ 1
)n−1
2 2
n+ 1
ii) Para encontrar
ĺım
n→∞
n+ 1
n
(
n+ 1
n− 1
)n−1
2
haciendo k = n−1
2
se llega a:
ĺım
n→∞
n+ 1
n
(
n+ 1
n− 1
)n−1
2
= ĺım
n→∞
2k + 2
2k + 1
(
1 +
1
k
)k
= e
Ejercicios
11
5. Probar que
ĺım
n→0
u
ln 1+u
1−u
=
1
2
Solución La función u
ln 1+u
1−u
satisface las hipótesis del teorema de L’Hopital, por
tanto:
ĺım
n→0
u
ln 1+u
1−u
= ĺım
n→0
1
2
(1−u)2
= ĺım
n→0
(1− u)2
2
=
1
2
usando este hecho obtenemos:
ĺım
w→z
|ϕz(w)|
1
2
dh(z, w)
= 1
6. Si f ∈ A, entonces son equivalentes:
1) f ∈ ß0
2) ĺım|z|→1(1− |z|2)nf (n)(z) = 0
Solución
i) 1)⇒ 2) Por la fórmula integral de Cauchy
f (n)(z) = (f ′)(n−1)(z) =
(n− 1)!
2πi
∫
γ
f ′(ξ)
(ξ − z)n
dξ
haciendo γ(t) = reit con r = 1+|z|
2
, por otra parte vimos que si f ∈ ß vale la
desigualdad:
(1− |z|2)n|f (n)(z)| ≤ (n− 1)!2n−1(1− |ρ|2) sup
|ρ|= 1+|z|
2
|f ′(ρ)|
tomando limites cuando |z| → 1
⇒ ĺım
|z|→1
(1− |z|2)n|f (n)(z)| = 0
ii) 2)⇒ 1) Inmediato, hagase n = 1
osca
12 Variable Compleja
7. Sea h anaĺıtica en D, inyectiva, con h(0) = 0 y h′(0) = 1, definase
g(z) = h(z)
z
⇒ g ∈ A y g(z) 6= 0 con g′(0) = 1 y además:
mı́n
|z|=r
|g(z)| ≤ |g(0)| = 1 r ∈ (0, 1)
entonces existe {ξn} ⊂ D con |ξn| → 1 & |g(ξn)| → 1
Solución La función h, satisface el lema de Schwartz ⇒ |h(z)| ≤ |z| para cada
z ∈ D en particular, si {ξn} ⊂ D con |ξn| → 1⇒ h(ξn)ξn ≤ 1⇔ |g(ξn)| ≤ 1
8. Pruebe que ß0 contiene a las funciones en A y continuas en D̄
Solución Sea f ∈ A y continua en D̄ ⇒ f ∈ ß y por el problema 1, vale la
desigualdad
|1− |w|2||f ′(w)| ≤ |1− |f(w)|2| ≤M para cada z ∈ D̄
⇒ ĺım
|w|→1
|1− |w|2||f ′(w)| = 0⇒ f ∈ ß0
9. Demuestre que f(z) = e−
1+z
1−z no está en ß0
Solición
f ′(z) = − 2
(1− z)2
e−
1+z
1−z ⇒ |f ′(z)| = 2
|1− z|2
e
x2−1+y2
(x−1)2+y2
tomando z = x ∈ [0, 1)
ĺım
x→1−
(1− |z|2)|f ′(z)| = ĺım
x→1−
2
1− x2
(1− x)2
e
1−x2
(1−x)2 = ĺım
x→1−
2
1 + x
1− x
e
1+x
1−x →∞
Ejercicios
13
10. Sea
S =
∫∫
D
|f ′(z)|2 dx d y
Pruebe que S es el área de f(D) contando multiplicidades
Solución f es un mapeo de D en f(D), podemos verlo como un mapeo de R2
en R2 desde el punto de vista geométrico.
f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), las derivadas parciales existen y son continuas,
entonces, aplicando el teorema de cambio de variable
Area(f(D)) =
∫∫
D
|J(f)| dx d y
donde |J(f)| =
∣∣∣∣ ∂u∂x ∂u∂y∂v
∂x
∂v
∂y
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∂u∂x ∂v∂y − ∂u∂y ∂v∂x
∣∣∣∣
Por otra parte
f ′(z) =
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
⇒ |f ′(z)|2 =
(
∂u
∂x
)2
+
(
∂v
∂x
)2
como f satisface las condiciones de Cauchy-Riemman
⇒
∫∫
D
|J(D)| dx d y =
∫∫
D
|f ′(z)|2 dx d y
En general la función f no es uno a uno por tanto S es el área de f(D)
contando multiplicidades
osca
14 Variable Compleja
11. Verifique que
f(z) =
∞∑
n=2
zn
n lnn
(1.2)
no esta acotada
Solución Dado que la serie (1.2) Converge uniformemente en D
∞∑
n=2
zn
n lnn
=
∫ ∞∑
n=1
zn
ln(n+ 1)
Por otra parte, fijemonos solo cuando z ∈ [0, 1), y como ln(n+ 1) < n
⇒
∫ ∞∑
n=1
xn
n
<
∫ ∞∑
n=1
xn
ln(n+ 1)
donde (1.3)
∞∑
n=1
xn
n
=
∞∑
n=0
∫
xn dx =
∫ ∞∑
n=0
xn =
∫
1
1− x
dx = − ln(1− x)
⇒
∫ ∞∑
n=1
xn
n
= −
∫
ln(1− x) d x = x(1− ln(1−x)) + ln(1− x)
Aśı
ĺım
x→1
∫ ∞∑
n=1
xn
n
= ĺım
x→1
|x(1− ln(1− x)) + ln(1− x)| → ∞
por la desigualdad (1.3) f(z) no puede estar acotada.
Ejercicios
15
12. Pruebe que D además de ser espacio de Banach es de Hilbert donde:
D =
{
f ∈ A
∣∣∣ ∫∫
D
|f ′(z)|2 dx d y <∞
}
‖f‖2D = |f(0)|2 +
∫∫
D
|f ′(z)|2 dx d y
Solución Sean f, g ∈ D, verifiquemos que:
(f, g) = f(0)g(0) +
∫∫
Ω
f ′(z)g′(z) d Ω
es un producto interno sobre D
1) Primero notese que Re(f ′g′) = Re(g′f ′) y Im(f ′g′) = −Im(g′f ′) usando este
hecho se tiene:
(f, g) = g(0)f(0) +
∫∫
Ω
Re(f ′(z)g′(z)) d Ω + i
∫∫
Ω
Im(f ′(z)g′(z)) d Ω
= g(0)f(0) +
∫∫
Ω
Re(g′(z)f ′(z)) d Ω− i
∫∫
Ω
Im(g′(z)f ′(z)) d Ω
= (g, f) (1.4)
2) para cada a ∈ C
(af, g) = a(f(0)g(0)) + a
∫∫
Ω
f ′(z)g′(z) d Ω = a(f, g)
3) Para cada f, g, h ∈ D tenemos:
(f, g + h) = f(0)g(0) + f(0)h(0) +
∫∫
Ω
f ′(z)g′(z) d Ω +
∫∫
Ω
f ′(z)h′(z) d Ω
= (f, g) + (f, h)
Lo anterior prueba que ( , ) : D ×D → C es efectivamente un producto
inerno sobre D, y la norma proviene de este, pues:
(f, f) = |f(0)|2 +
∫∫
D
|f ′(z)|2 dx d y = ‖f‖2D
osca