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FENOMENOS_DE_TRANSPORTE_BIRD_2ED_ESP (1)
Alexandra Joselyn Vazquez Sanchez
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FENOMENOS DE
TRANSPORTE
S E G U N D A E D I C I Ó N
Fenómenos
de transporte
Segunda edición
R. Byron Bird
Warren E. Stewart
Edwin N. Lightfoot
Departamento de Ingeniería Química
Universidad de Wisconsin-Madison
O LIMUSA WILEY 8
Bird, Robert
Fenómenos de transporte = Transport phenomena / Robert Byron Bird. -- 2a. ed.
-- México : Limusa Wiley, 2006.
1062 p. : il., fot. ; 20 cm.
ISBN: 968-1 8-6365-8.
Rústica.
1. Dlnamica de fluidos
l. Steward, Warren, coaut. II. Ligthfoot, Edwin, coaut.
111. Viliagórnez Velázquez, Hugo, tr. \V. Zetina Vélez, Atma Rosa, colab.
LC: QA929 Dewey: 530.1 38 - dc21
V E R S I ~ N AUTORIZADA AL ESPAÑOL DE LA OBRA
ORIGINALMENTE PUBLICADA EN INGLES POR JOHN WILEY
& SONS, CON EL T~TULO
TRANSPORT PHENOMENA
COLABORAD~R EN LA TRADUCCI~N
HUGO VILLAG6MEZ VELÁZQUEZ
REVISI~N T~CNICA
ALMA ROSA GRISELDA ZETINA VÉLEZ
INGENIERA Q~~~MICA POR LA FACULTAD DE QU~MICA DE LA
UN~VERSIDAD NACIONAL AUT~NOMA DE MEKICO.
DOCEME EN MATEMATICAS, UNAM. PROFESORA DE LA
ESCUELA DE CIENCIAS QU~MICAS DE LA UNIVERSIDAO LA
SALLE.
FENÓMENOS DE TRANSPORTE
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA
PUEDE SER REPRODUCIOA O TRANSMITIDA. MEDIANTE NINGÚN
SISTEMA O MÉTODO, EFECTR~NIMOMECANICO (INCLUYENDO
EL FOTOCOPIADO, LA GRABACI~N O CUALCiUlER SISTEMA DE
RECUPERACI~N Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N), SIN
CONSENflMlENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.
O 2006, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V.
GRUPO NORIEGA EDITORES
BALOEFIAS 95, MCx ico , D.F.
C.P. 06040
m 51 30 0700
55 12 2903
+ tirnusa@noriega.com.mx
www.noriega.com.mx
SEGUNDA EDICIÓN
HECHO EN MEXICO
ISBN 968-1 8-6365-8
Prólogo
La transferencia de cantidad de movimiento, la transmisión de calor y la transferen-
cia de materia surgieron como ramas independientes de la física clásica desde hace
mucho, pem el estudio unificado de estas disciplinas se ha constituido en un área
fundamental de las ciencias de ingeniería. Este desarrollo, a su vez, iniciado hace
menos de medio siglo, continúa avanzando y encontrando aplicaciones en campos
nuevos como la biotecnología, la microelectrónica, la nanotecnología y la ciencia de
polimeros.
La evolucibn de los fenómenos de transporte ha sido tan rápida y extensa que
es imposible abarcarla por completo en un solo libro. A pesar de que hemos inclui-
do muchos ejemplos representativos, nuestro interés primordial, necesariamente,
han sido los aspectos básicos de este campo. Además, en pláticas con colegas hemos
encontrado que los fenómenos de transporte se enseñan de varias formas y a diver-
sos niveles. En esta edición se ha incluido suficiente material para cubrir dos moda-
lidades de cursos: uno intraductorio y otro avanzado. El curso elemental, a su vez,
puede dividirse en un curso cobre transferencia de cantidad de movimiento y en
otro sobw transmisión de calor y transferencia de materia, lo que proporciona más
oportunidades para demostrar la utilidad de este material en aplicaciones prácticas.
La identificación de algunas secciones como opcionales (O) y otras como avanzadas
(O) puede ser útil para estudiantes y profesores.
Considerados durante mucho tiempo m6s bien como un tema matemático, los
fenómenos de transporte con más significativos por su importancia física. La esen-
cia medular de este tema la constituye el planteamiento cuidadoso y conciso de los
principios de conservación, junto con las expresiones de densidad de flujo (flux), re-
calcando las semejanzas y diferencias entre los tres procesos de transporte conside-
rados. A menudo, la especialización hasta las condiciones límite y las propiedades
físicas en un problema específico puede proporcionar una visión útil con esfuerzo
mínimo. No obstante, el lenguaje de los fenómenos de transporte es matemático, y
en este libro hemos asumido que el lector está familiarizado con ecuaciones diferen-
ciales ordinarias y con an6lisis vectorial elemental. Introducimos el uso de las ecua-
ciones diferenciales parciales con una explicación suficiente de modo que el
estudiante interesado pueda dominar el material presentado. Las técnicas numéri-
cas se posponen, a pesar de su relevancia evidente, para que el estudiante se con-
centre en la comprensión fundamental.
A lo largo del texto se da prioridad a Ias citas y referencias bibliográficas, esto
con el fin de ubicar los fendmenos de transporte en su contexto histórico propio y
para orientar al lector que desee ahondar en el estudio de los fundamentos y las
aplicaciones. Hemos estado particularmente interesados en presentar a los pioneros,
a quienes tanto debernos, y en quienes podemos seguir encontrando inspiración
útil. Se trata de personas no tan distintas de nosotros mismos, y quizás algunos de
nuestros lectores encuentren en ellos inspiración para realizar contribuciones seme-
jantes.
Es evidente que tanto las necesidades de nuestros lectores como las herramien-
tas de que disponen han cambiado enormemente desde que se escribió Ia primera
edición hace más de 40 años. Hemos hecho esfuerzos muy serios para actualizar el
texto, dentro de los Límites de espacio y de nuestras habilidades, y nos hemos esfor-
zado por anticipar desarrollos futuros. Algunos de los cambios mis importantes res-
pecto a la primera edición incluyen los siguientes: ,
vi Prólogo
propiedades de transporte de sistemas de dos fases
uso de "densidades de flujos combinadas" para establecer balances de envol-
tura y ecuaciones de variación
conservación de la cantidad de movimiento angular y sus consecuencias
obtención completa del balance de energía mecánica
tratamiento más amplio de la teoría de la capa límite
dispersión de Taylor
análisis mejorados de transporte turbulento
análisis de Fourier de transporte turbulento a Pr o Sc elevados
inclusión de más material sobre coeficientes de transmisión de calor y trans-
ferencia de masa
análisis más completos de análisis dimensional y escalación
métodos matriciales para transferencia de materia de varios componentes
sistemas iónicos, separaciones de membrana y medio poroso
relación entre la ecuación de Boltzmann y las ecuaciones sobre el continuo
uso de la convención "Q + W" en tratamientos de energía, de conformidad
con los textos más importantes de física o fisicoquímica.
Sin embargo, siempre es la generación más joven de profesionistas la que ve el fu-
turo con mayor claridad y ec la que debe construir su realidad sobre una herencia
imperfecta.
Queda mucho por hacer, aunque es de esperar que la utilidad de los fenóme-
nos de transporte aumente en vez de disminuir. Cada una de las estimulantes nuevas
tecnologías que están floreciendo a nuestro alrededor se rige, en el nivel de interés
detallado que se quiera, por las leyes de conservación y las expresiones de densi-
dad de flujo, junto con información sobre los coeficientes de transporte. Adaptar
los planteamientos de los problemas y las técnicas de solución para estas nuevas
áreas indudablemente mantendrá ocupados a los ingenieros durante mucho tiem-
po, y lo único que podemos esperar es haber proporcionado una base útil a partir
de la cual empezar.
El é,to de cada libro nuevo depende de muchas más personas que las que se
sefialan en la portada. La deuda más evidente es ciertamente con los estudiantes
perseverantes e inteligentes que en conjunto nos han enseñado mucho más de lo
que nosotros les hemos enseñado. Asimismo, los profesores que revisaron el manus-
crito merecen un agradecimiento especial por sus numerosas correcciones y comen-
tarios ilustrativos: Yu-Ling Cheng (Universidad de Toronto), Michael D. Graham
(Univ'ersidad de Wisconsin), Susan J. Muller (Universidad de California-Berkeley),
William B. Russel (Universidad de Princeton), Jay D. Schieber (Instituto de Tecnolo-
gía de Illinois) y john F. Wendt (Instituto von Kármán para Dinámica de Fluidos).
Sin embargo, en un nivel más profundo, nos hemos beneficiado de la estructura y
las tradiciones departamentalescreadas por nuestros antecesores aquí en Madison.
En primer lugar se encuentra Olaf Andreas Hougen, a cuya memoria está dedicado
este libro.
Madison, Wisconsin. R.B.B.
W.E.S.
E.N.L.
Contenido
. -p. . .. - --
Prólogo Ej. 2.3-1 Determinación de la viscosidad a parfir de
datos de flujo capilar 59 , , .
Capítulo O El tema de los fenómenos Ej. 2.3-2 Flujo comprecible en un tubo circular
de transporte 1 horizontal 60
S2.4 Flujo a través de un hibo concéntrico 61
s2.5 lujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes 64
52 6 Flujo reptante alrededor dc una esfera 66
Parte I Transporte de cantidad fl 2 6-7 Dettrnllrrncicín de la ziiscosrdnd a partir dr la zvlocirlnd final d~ 1471d c~ftnra que desrterrdt 70
de n3ovbiento I'reguntns para discusióii 70
Probiemas 71
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del
transporte de cantidad de
movimiento 11
51.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte
de cantidad de movimiento moiecular) 11
Ej. 7.1-1 Cdlculo de la densidad de Pujo de canfidad de
mouirniento 16
1 . 2 Generalización de Ia ley de viscosidad
de Newton 16
1 . 3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la
presión y la temperatura 22
Ej. 1.3-1 Esfimación de la viscosidad a parfir de las
propiedades críticas 24
51.4" Teoría rnolecular de la viscosidad de gases
a baja densidad 25
Ej. 1.4-7 Cá[cuIo de la viscosidad de u n gas puro a baja
denstdad 29
Ej. 1.4-2 Predicción de la viscosidad de una mezcla de
gases a baja densidad 30
51.5" Teoría molecular de la viscosidad de líquidos 31
Ej. 1.5-1 Estimación de la viscosidad de un líquido
puro 33
s1.6" Viscosidad de suspensiones y de emulsiones 34
7 Transporte de cantidad de movimiento
convectivo 37
Preguntas para discusión 40
Problemas 41 ,
Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento
en la envoltura y distribuciones de
velocidad en flujo laminar 45
2 . Balances de cantidad de movimiento en Ia
envoltura y condiciones límite 46
s2.2 Flujo de una pelicula descendente 48
Ej. 2.2-2 Cálculo de fa velocidad de una película 53
Ej. 2.2-2 Película descendente con viscosidad
variable 53
S2.3 flujo a través de un tubo circular 54
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas
isotérmicos 85
53.1. Ecuación de continuidad 87
Ej. 3.1-1 Esfuerzos normales en superficies sólidas
para fluidos nmtonianos incompresibles 88
53.2 Ecuación de movimiento 89
93.3 Ecuación de energía mecánica 91
53.4" Ecuación de cantidad de movimieiito angular 93
53.5 Ecuaciones de variación en términos de la
derivada sustancial 94
Ej. 3.5-2 La ecuación de Bernoulli para el flujo en
estado estacionario de fluidos no viscosos 97
S3.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver
problemas de flujo 98
Ej. 3.6-1 Flujo estacionario en un tubo circular
largo 99
Ej. 3.6-2 Película desccndentr con viscosidad
variable 101
Ej. 3.6-3 Operacidn de un uiscocímetro
de Couette 101
Ej. 3.6-4 Forma de la superficie de un líquido en
rofación 106
Ej. 3.6-5 Flujo cerca de una esfera que gira
lentamente 108
53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de
variación 110
Ej. 3.7-1 Flujo transversal alrededor de un cilindro
circular 171
Ej. 3.7-2 Flujo estacionario en un tanque
agitado 214
Ej. 3:7-3 Caída de presión para flujo reptante en un
tubo de relleno 117
Preguntas para discusión 118
Problemas 118
Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más
de una variable independiente 129
4 Flujo dependiente del tiempo de fluidos
newtonianos 129
vii
viii Contenido
Ej. 4.1-1 Flujo cerca de una pared que se pone
sribifamente en movimiento 130
Ej. 4.1-2 Flujo laminar no estacionario entre dos
ldminas paralelas 132
Ej. 4.1-3 Flujo laminar no estacionario cerca de una
ldmina que oscila 135
54.2" Solución de problemas de flujo usando una
función de corriente 137
Ej. 4.2-2 Flujo reptante alrededor de una esfera 238
g . 3 " Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo
del potencial de velocidad 141
Ej. 4.3-1 Flujo potencial alrededor de un
cilindro 145
Ej. 4.3-2 Flujo Iincia el interior de un canal
rectangular 146
Ej. 4.3-3 Flujo cerca de una esquina 148
54.4" mujo cerca de superficies sólidas por medio de la
teoría de la capa limite 150
Ej. 4.4-1 Flujo laminar a lo largo de una ldmina plana
(solucidn aproximada) 154
E j . 4.4-2 Flujo laminar a lo largo de una lámina plana
(solución eracfa) 155
Ej. 4.4-3 Flujo cerca de un;l esquina 157
Preguntas para discusión 158
Problemas 159
Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo
turbulento 173
5 . 1 Comparaciones de los flujos laminar y
turbulento 175
55.2 Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para
fluidos incompresibles 178
55.3 Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de
una pared 181
35.4 Expresiones empíricas pa7.a la densidad de flujo
de cantidad de movimiento turbulento 184
Ej. 5.4-1 Desarrollo de ia expresión de e s fumo de
Reynolds en la vecindad de la pared 186
55.5 Flujo turbulento en ductos 187
Ej. 5.5-1 Estimacidn de la velocidad media en un tubo
C ~ ~ C U ! U ~ 188
Ej. 5.5-2 Aplicación de la fdrmula de longitud de
mezcla de PraiiJtl a flujo furbulento en un tubo
circular 190
Ej. 5.5-3 Magnitud relitiva de la viscosidad y la
viscosidad de remolino 190
55.6" Flujo turbulento en chorros 191
Ej. 5.6-1 Distribución de velocidad con ajusfe de
tiempo en un chorro de pared circular 191
Preguntas para discusión 196
Problemas 196
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas
isotérmicos 201
6 . 1 Definición de factores de fricción 202
56.2 Factores de fricci6n para flujo en tubos 204
Ej. 6.2-3 Cuída de presión requerida para una
velocidad de flujo dada 208
Ej. 6.2-2 Velocidad de Pujo para una caída de presión
dada 209
96.3 Factores de fricción para flujo alrededor de
esferas 210
Ej. 6.3-1 Determinación del diámetro de una esfe~a que
desciende 214
56.4" Factores de fricción para columnas de
relleno 215
Preguntas para discusión 220
Problemas 221
Capítulo 7 Balances macroscópicos para
sistemas con flujo isotérmico 229
7 . 1 Balance macrosc6pico de materia 231
E j . 7.1-1 Vaciado de un tanque esférico 231
57.2 Balance macroscópico de cantidad de
movimiento 233
Ej. 7.2-1 Fuerza ejercida por u n chorro
(Parte a) 234
57.3 Balance macroscópico de cantidad de movimiento
angular 235
Ej. 7.3-1 Momento de torsidn en un recipienfe
mezclador 236
57.4 Balance rnacroscópico de energía mecánica 237
Ej. 7.4-1 Fuerza ejercida por un chorro (Parte b) 239
s7.5 Estimación de la pérdida viscosa 240
E j . 7.5-1 Potencia necesa~ia para el flujo en una
tuberfa 242
s7.6 Uso de los balances macroscópicos para problemas
de estado estacionario 244
Ej. 7.6-1 Aumenfo de presidn y ptrdida por fricción en
un ensanchamiento brusco 244
Ej. 7.6-2 Rendimiento deun eyector
líquido-líquido 246
Ej. 7.6-3 Empuje sobre el codo de un fubo 247
Ej. 7 . 64 Chorro que incide 250
Ej. 7.6-5 Flujo isoférmico de un líquido a través de un
orificio 251
57.7" Uso de los balances macroscópicos para problemas
de estado no estacionario 253
Ej. 7.7-1 Efectos de la aceleración en flujo no
esfacionnrio desde un tanque cilíndrico 253
Ej. 7.7-2 Oscilaciones en un mandmetro 256
57.8. Deducción del balance macroscópico de energía
mecánica 258
Preguntas para discusi6n 261
Problemas 261
Capítulo 8 Líquidos poliméricos 271
8 . 1 Ejemplos del comportamiento de líquidos
poliméricos 272
98.2 Reometría y funciones del material 277
58.3 Viscosidad no newtoniana y los modelos
newtonianos generalizados 281
Ej. 8.3-1 Flujo laminar en un tubo circular de un
fiuido incompresible que obedece la ley
de potencias 284
Ej. 8.3-2 Flujo en una rendija estrecha de u n f[uido que
obedece la ley de potencias 284
Ej. 8.3-3 Flujo tangencia1 en tubos concéntricos de un
fluido que obedece la ley de pofencias 285
98.4" Elasticidad y los modelos viscoelásticos Lineales 286
Ej. 8.4-1 Movimiento oscilatorio de amplitudpequeña 289
Ej. 8.4-2 Flujo uiscoelástico no estacionario cerca de
una lámina oscilatoria 290
58.50 Las derivadas corrotacionales y los modelos
viscoelásticos no lineales 291
Ej . 8.5-1 Funciones del material para el modelo de
Oldroyd de 6 constantes 293
58.6. Teorias moleculares para líquidos
poliméricos 295
Ej. 8.6-1 Funciones materiales para el modelo
ENEF-P 297
Preguntas para discusión 300
Problemas 301
Preguntas para discusión 334
Problemas 335
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura
y distribuciones de temperatura en
sólidos y en fIujo laminar 341
510.1 Balances de energía en la envoltura: condiciones
límite 342
s10.2 Conducción de calor con una fuente de calor
eléctrica 343
Ej. 10.2-1 Voltaje necesario para producir una
determinada elevación de temueratura en un
alambre calentado por una corriente elécfrica 347
Ej. 30.2-2 Alambre calentado con coeficiente de
transmisidn de calor y temperatura ambiente de1
aire especificados 347
510.3 Conducción de calor con una fuente de calor
nuclear 348
510.4 Conducción de calor con una fuente de calor
viscosa 351
910.5 Conducción de calor con una fuente de
calor química 354
910.6 ~ond;ccion de calor a través de paredes
compuestas 357
E). 10.t;-! Partrlt-S 1 cilínclrrn~s cornpucsfas 360
Parte 11 Transporte de energía 910.7 Condiiccióii de cal;)r en una aleta de
erifrianiiento ,762
Capítulo 9 Conductividad térmica y los Ej. 10.7-1 Error en la medición del terinopar 364
mecanismos de transporte de 510.8 Convección forzada 366
energía 309 s10.9 Convección libre 372
Preguntas para discusi6n 376
9 . 1 Ley de Fourier de la conducción de calor Problemas 377
(transporte molecular de energía) 310
Ej. 9.1-1 Medición de la conductividad térmica 315 Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas
59.2 Dependencia de la conductividad térmica con no isotérmicos 393
respecto a la temperatura y la presión 316
Ej. 9.2-1 Efecto de le presi6n sobre la conductividad
férrnica 318
Teoría de la conductividad térmica de gases a baja
densidad 318
Ej. 9.3-1 Cálculo de la conductividad térmica de un
gas monoatómico a baja densidad 323
E]. 9.3-2 Estimación de la conductiuidad térmica de un
gas poliatómico a baja densidad 324
Ej. 9.3-3 Prediccidn de la coriductiuidad térmica de
una mezcla de gases a baja densidad 324
Teoría de la conductividad térmica de
líquidos 325
Ej. 9.4-1 Prediccidn de la conductiuidad térmica de un
líquido 326
Conductividad térmica de sólidos 327
Conductividad térmica efectiva de sólidos
compuestos 328
Tkansporte de energía convectiva 331
Trabajo asociado con movimientos
moleculares 332
Ecuación de energía 394
Formas especiale; de la ecuación de energía 396
La ecuación de movimiento de Boussinesq para
convección forzada y libre 399
Uso de las ecuaciones de variación para resolver
problemas de estado estacionario 400
E j . 11.4-1 Transmisión de calor por convección forzada
en estado estacionario en flujo laminar en un tubo
circular 401
Ej. 11.4-2 Flujo tangencia1 en tubos concéntricos con
generación de calor viscoso 404
Ej. 11.4-3 Flujo estacionario en una película no
isot&tnica 405
Ej. 11.4-4 Enfriamienfo por transpiración 406
Ej. 11.4-5 Transmisión de calor por conveccidn libre
desde una ldmina vertical 408
Ej. 11.4-6 Procesos adiabdticos sin fricción en un gas
ideal 411
Ej. 11.4-7 Flujo compresible unidimensional: perfiles
de velocidad, temperatura y presión en una onda de
choque estacionaria 412
x Contenido
511.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de
variación para sistemas no isotérmicos 416
E j . 11.5-1 Distribución de temperafura alrededor de un
cilindro largo 419
Ej . 11.5-2 Conveccidn libre en una capa horizontal de
fluido; formación de las celdas de Bénard 421
Ej. 11.5-3 Temperatura en la superficie de un serpentín
calentador eléctrico 423
Preguntas para discusión 424
Problemas 425
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más
de una variable independiente 439
512.1 Conducción de calor no estacionaria en
sólidos 439
Ej. 12.2-1 Calen famiento de una placa
semiinfinita 440
Ej . 12.1-2 Calentamiento de una placa finita 441
Ej. 12.1-3 Conduccidn de calor no estacionaria cerca de
una pared con densidad de flujo de calor
sinusoidal 445
Ej. 12.1-4 Enfriamiento de una esfera en contacto con
un fluido bien agitado 446
512.2" Conducción de calor estacionaria en flujo laminar
incompresible 448
Ej. 22.2-1 Flujo laminar en un fubo con densidad de
flujo de caior constante en la pared 449
Ej. 22.2-2 Flujo laminar en un fubo con densidad de
flujo de calor constanfe en la pared: solución
asin fótica para la región de embocadura 450
512.3" Flujo potencial de calor estacionario en
sólidos 452
Ej. 12.3-1 Distribucidn de temperatura en una
pared 453
512.4' Teoría de la capa limite para flujo no
isotérmico 454
Ej.12.4-1 Transrnisió~i de calor en convección forzada
laminar a lo largo de una ldmina plana calentada
(método integral de von Kfrmán) 456
Ej. 12.4-2 Transmisidn de calor en convección forzada
laminar a lo largo de una ldminn plana calentada
(solución asintótica para números de Prandfl
elevados) 458
E j . 12.4-3 Convección forzada en flujo tridimensional
estacionaria a números de.Prandt1 elmados 460
Preguntas para discusión 463
Problemas 463
Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en
flujo turbulento 479
513.1 Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para
flujo no isotérmico incompresible 479
913.2 El perfil de temperatura con ajuste de tiempo cerca
de una pared 481
513.3 Expresiones empíricas para la densidad de flujo
de calor turbulento 482
Ej . 13.3-1 Una relación aproximada para la densidad
de flujo de calor en una pared para flujo turbulento
en un tubo 483
513.4' Distribución de temperatura para flujo turbulento
en tubos 4&4
513.5" Distribución de temperatura para flujo
turbulento en chorros 488
513.6. Análisis de Fourier de transporte de energía en el
flujo en un tubo con números de Prandtl
elevados 490
Preguntas para discusión 491
Problemas 492
Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas
no isotéxmicos 497
514.1 Definiciones de los coeficientes de transmisión
de calor 498
Ej. 14.1-1 Cdlculo de los coeficientes de transrnisidn de
calor a partir de datos experimentales 501
514.2 Cálculos analíticos de los coeficientes de
transmisión de calor para convección forzada
a través de hibos y rendijas 503
514.3 Coeficientes de transmisión de calor para
convección forzada en tubos 509
Ej. 14.3-1 Diseño de un calentador tubular 514
514.4 Coeficientes de transmisión de calor para
convección forzada alrededor de objetos
sumergidos 514
514.5 Coeficientes de transmisión de calor para
convección forzada a través de lechos de
relleno 518
s14.6" Coeficientes de transmisión de caior para
convección libre y mixta 519
Ej. 14.6-1 Pérdida de calor por convección libre desde
un fubo horizontal 523
514.7" Coeficientes de transmisión de calor para
condensación de vapores puros sobre superficies
sólidas 524
Ej. 14.7-1 Condensación de vapor en una superficie
vertical 527
Preguntas para discusión 528
Problemas 528
Capítulo 15 Balances rnacroscópicos para sistemas
no isotérmicos 533
--
515.1 Balance macrosc6pico de energía 534
515.2 Balance macroscópico de energía mecánica 536
515.3 Uso de los balances macroscópicos para resolver
problemas de estado estacionario con perfiles
de velocidad planos 538
Ej. 15.3-1 Enfriamiento de un gas ideal 539
Ej. 15.3-2 Mezcla de dos corrientes de gas ideal 540
515.4 Las formas d de los balances macroscópicos 541
Ej. 15.4-1 Intercambiadores de calor paralelos
O a confracorriente 543
Contenido xi
Ej. 15.4-2 Potencia necesaria para bombear uíz fluido
compresible a través de una fuberiá de grandes
dirnensioms 444
515.5" Uso de los balances macroscópicos para resolver
problemas de estado no estacionario y problemas
con perfilesde velocidad no planos 547
Ej . 15.5-1 Calentamiento de un líquido en un tanque
agitado 547
Ej. 15.5-2 Operación de un controlador de temperatura
simple 550
Ej. 15.5-3 Flujo de fluidos compresibles a través de
medidores de calor 553
Ej. 15.5-4 Expansión libre intermitente de un fluido
compresible 554
Preguntas para discusión 557
Problemas 557
Capitulo 16 Transporte de energía por
radiación 571
316.1 El espectro de radiación electromagn6tica 572
516.2 Absorción y emisión en superficies sólidas 574
916.3 Ley de distribución de Manck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de
Stefan-Boltzmann 577
E j . 16.3-1 Tmperatura y emisión de enerpk radiante
del Sol 581
516.4 Radiación directa entre cuerpos negros en el vacío
a diferentes temperaturas 581
Ej. 16.4-1 Estimación de la constanfe solar 586
Ej . 16.4-2 Transmisión de calor radiante entre
discos 586
516.5" Radiación entre cuerpos no negros a diferentes
temperaturas 586
Ej. 16.5-1 Escudos de radiación 589
Ej. 16.5-2 Pkrdidas de calor por radiación y por
convección libre en un tubo horizontal 590
Ej. 16.5-3 Radiación y convección combinadas 590
516.6" Transporte de energía radiante en medios
absorbentes 591
Ej. 16.6-1 Absorción de una emisión de rayos de
radiación monocromdfica 593
Preguntas para discusión 593
Problemas 594
,-,,ae * ,'wwP RL<&<.
l'a "rannsporte de materia
%m><* JfQh
Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de
transporte de materia 599
917.1 Ley de Fick de la difusión binaria (transporte
molecular de materia) 600
Ej. 17.1-1 Difusión del helio a través de cristal
Pyrex 605
Ej. 17.1-2 Equivalencia de -OAB y -OBA 606
917.2 Dependencia de las difusividades con respecto a Ia
temperatura y la presión 607
Ej. 17.2-1 Estimación de la difusividad a baja
densidad 609
Ej. 17.2-2 Estimación de la autodifusividad a alta
densidad 610
El. 17.2-3 Estimación de la difusividad binaria a alta
densidad 610
517.3" Teoría de la difusión en gases a baja densidad 611
Ej. 17.3-1 Cómputo de la difusividad de masa para
gases monoatómicos a baja densidad 615
917.4" Teoría de la difusión en líquidos binarios 615
E j . 17.4-1 Esf~macidn de la difusividad
en líquidos 618
317.5" Teoría de la difusión en suspensiones
coloidales 618
517.6" Teoría de la difusión en polímeros 620
317.7 Transporte de materia y molar por
convección 620
517.8 Resumen de densidades de flujo de masa y
molar 624
$17.9" Ecuaciones de Maxweil-Stefan para difusión de
varios componentes en gases a baja densidad 626
Preguntas para discusión 627
Problemas 627
Capítulo 18 Distribuciones de concentración en
sólidos y flujo laminar 633
518.1 Balances de materia en h envoltura: condiciones
límite 635
918.2 Difusión a través de una película de gas
estancada 636
Ej. 18.2-1 Difusión con una iriterfase móvil 640
Ej. 18.2-2 Determinación de la difusividad 641
Ej. 18.2-3 Difusión a través de una película esférica
no isofémiica 641
318.3 Difusión con una reacción química
heterogénea 643
Ej. 18.3-1 Difusiórr can una reacción heterogénea
Ientn 645
s18.4 Difusión con una reacción química
homogénea 646
Ej. 18.4-1 Absorción de un gas con reacción química
en un tanque agitado 648
518.5 Difusión a una película líquida descendente
(absorción de un gas) 650
Ej. 18.5-1 Absorción de un gas desde burbujas
ascendentes 654
518.6 Difusión a una película líquida descendente
(disolución de un sólido) 655
518.7 Difusión y reacción química dentro de un
catalizador poroso 658
518.8" Difusión en un sistema gaseoso de tres
componentes 662
Preguntas para discusión 664
Problemas 664
xii Contenido
Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas
de varias componentes 681
g19.1 Las ecuaciones de continuidad para una mezcla de
varias componentes 681
Ej. 19.1-1 Difusión, convecci6n y reaccidn
quimica 685
519.2 Resumen de las ecuaciones de variación de varias
componentes 686
919.3 Resumen de las densidades de flujo de varias
componentes 691.
E j . 19.3-1 Entalpiá molar parcial 692
s19.4 Uso de las ecuaciones de variación para
mezclas 694
Ej. 19.4-1 Transporfe sirnultdneo de calor
y de materia 694
Ej. 29.4-2 Pofil de concentración en un reactor
tubular 697
Ej . 19.4-3 Oxidación catalítica del monóxido de
carbono 699
Ej. 19.4-4 Conducfividad ténntca de un gas
poliatómico 701
519.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de
variación para mezclas binarias
no reactivas 702
Ej. 19.5-1 Distribución de concenfracidn alrededor de
un cilindro largo 704
Ej. 19.5-2 Fomacidn de niebla durante la
deshumidificación 706
Ej. 19.5-3 Mezcla de fluidos miscibles 708
Preguntas para discusión 710
Problemas 71 0
Capítulo 20 Distribuciones de concentración
con más de una variable
independiente 719
520.1 Difusión dependiente del tiempo 720
Ej. 20.1-1 Evaporación en estado no estacionario de un
liquido (el "problema de Arnold") 721
Ej . 20.1-2 Absorcibn de un gas con reacción
rdpida 724
Ej. 20.1-3 Difusión no estacionaria con reacción
homoghea de primer orden 726
Ej. 20.1-4 Influencia det drea interfacial variable sobre
la transferencia de materia en una interfase 728
520.2' Transporte en estado estacionario en capas límite
binarias 731
Ej. 20.2-1 Difusión y rmcción química en flujo
laminar isotPrmico a lo largo de una Límina plana
soluble 733
Ej. 20.2-2 Convección forzada desde una lámina plana
a altas velocidades de transferencia de
rnnteria 735
Ej. 20.2-3 Analogías aproximadas para la lámina plam
a bajas velocidades de transferencia de
materia 741
520.30 Teoría de capa límite en estado estacionario para
flujo alrededor de objetos 741
Ej. 20.3-1 Transferencia de materia para flujo reptante
alrededor de una burbuja de gas 745
520.40 Transporte de materia de capa límite con
movimiento interfacial complejo 746
Ej. 20.4-1 Transferencia de materia con deformación
interfacial no uniforme 751
Ej. 20.4-2 Absorción de un gas con reaccidn rápida y
deformación interfacial 752
920.5. "Dispersión de Taylor" en flujo laminar
en un tubo 753
Preguntas para discusibn 758
Problemas 758
Capítulo 21 Distribuciones de concentración en
flujo turbulento 769
521.1 Fluctuaciones de concentración y la concentración
con ajuste de tiempo 769
921.2 Ajuste de tiempo de la ecuación de continuidad
deA 770
521.3 Expresiones semiempíncas para ¡a densidad
de flujo turbulento de materia 771
521.4" Mejoramiento de la transferencia de materia
por medio de una reacción de primer orden en
flujo turbulento 772
521.5. Mezclado turbulento y flujo turbulento con
reacción de segundo orden 777
Preguntas para discusión 782
Problemas 782
Capitulo 22 Transporte interfásico en mezclas
no isotérmicas 787
522.1 Definición de los coeficientes de transferencia
en una fase 788
522.2 Expresiones analíticas para los coeficientes de
transferencia de materia 793
s22.3 Correlación de los coeficientes binarios de
transferencia en una fase 797
Ej. 22.3-1 Evaporación desde una gota que cae
libremente 801
Ej. 22.3-2 El psicrómetro de bulbo húmedo
y seco 802
Ej. 22.3-3 Transferencia de materia en flujo reptanfe a
trav6s de lechos de relleno 805
Ej. 22.34 Transferencia de materia a gotas
y burbujas 806
522.4 Definición de los coeficientes de transferencia
en dos fases 807
Ej. 22.4-1 Determinación de la resistencia
de controI 810
Ej. 22.4-2 Inferacción de las resistencias de fase 812
Ej. 22.4-3 Promedio de área 814
522.5" Transferencia de materia y reacciones
quimicas 815
Contenido xiii
E j . 22.5-1 Estimación del área interfacial en una
columna de relleno 816
E j . 22.5-2 Estimación de los coeficientes volumétricos
de transferencia de materia 817
Ej. 22.5-3 Correlaciones insensibles al modelo para
absorción con reacción rápida 818
€j22h0 Combinación de transmisión de calor y
transferencia de materia por convección libre 820
Ej. 22.6-1 Aditividad de los números de Grashof 820
E j . 22.6-2Transmisidn de calor por conveccidn libre
como fuente de transferencia de materia por
conveccidn forzada 820
$22.7" Efectos de las fuerzas interfaaales sobre la
transmisión de calor y la transferencia de
materia 822
E j . 22.7-1 Eliminación de lo circulacidn en una burbu-
ja de gas ascendente 824
Ej. 22.7-2 Inestabilidad de Marangoni en una película
descendente 825
922.8" Coeficientes de transferencia a altas velocidades
de transferencia neta de materia 826
Ej. 22.8-1 Evaporación rdpida de un lfquido desde una
superficie plana 834
Ej. 22.8-2 Factores de correccidn en la a~aporación de
una gotita 835
Ej. 22.8-3 Desempeño corregido de un bulbo húmedo
piara velocidad de transferencia de materia 835
Ej . 22 -84 Comparación de los modelos de película y de
penetración para evaporacidn no estacionaria ett un
tubo largo 837
E j . 22.8-5 Polariuzción de concentración en
ultrafiltrnción 838
522.9. Aproximaciones matriciales para transporte de
materia de varias componentes 842
Preguntas para discusión 849
Problemas 849
Capitulo 23 Balances macroscópicos en sistemas
de varias componentes 853
323.1 Balances macrosc6picos de materia 854
Ej . 23.1-1 Disposición de un producto de desecho no
estacionario 855
E j . 23.1-2 Partidores de muestras binarios 857
Ej. 23.1-3 Balances macroscdpicos, "capacidad
separathra" y la "función de valor" de Dirac 859
E j . 23.1 -4 Análisis por compartimientos 862
Ej . 23.1-5 Constantes de tiempo e insensibilidad
al modelo 865
s23.2' Balances macrosc6picos de cantidad de
moviiniento y de cantidad de movimiento
angular 868
s23.3 Balance macroscópico de energía 868
923.4 Balance macroscópico de energía mecánica 869
523.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver
problemas de estado estacionario 869
Ej. 23.5-1 Balances de energúl para un convertidor de
dióxido de azufre 869
E). 23 .S-2 Altura de una torre de abcorcidn
de relleno 872
Ej. 23.5-3 Cascadas lineales 877
Ej. 23.54 Expansión de una niacla degases reacfivn a
través de una boquiILa adiabática sin fricción 881
523.6" Uso de los balances macrosc6picos para resolver
problemas de estado no estacionario 884
Ej. 23.6-1 Puesta en marcha de un reactor
químico 884
Ej. 23.6-2 Ope~ación de una columna de ell le no en
estado no estacionario 885
Ej. 23.6-3 Utilidad de los monlentos de orden
bajo 889
Preguntas para discusión 892
Problemas 892
Capitulo 24 Otros mecanisinos del transporte
de materia 899
524.1 Ecuación de variación para entropia 900
524.2. Expresiones de densidad de flujo para calor
y materia 902
Ej. 24.2-1 Difusidn termica y la columnu de Clusius-
Dickel 906
Ej. 24.2-2 Di@si6n de presión
y la ultracen frifugadora 908
924.3' Difusión de concentración y fuerzas
impulsoras 910
924.4' Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas
de Maxwell-Stefan 912
Ej. 24.4-1 Centrifugado de profefnas 913
Ej. 24.4-2 Proteínas como partículas
hidrodindmicas 916
Ej. 24.4-3 Difusión de cales eví una solucidn
acuosa 917
Ej. 24.4-4 Desviaciones con respecfo a la
elecfroneutralidad local: electrodsrnosis 919
Ej. 24.4-5 Fuerzas impulsoras adicionales de
transferencia de materia 921
524.5" Transporte de materia a través
de membranas selectivamente
permeables 923
Ej. 24.5-2 Difusidn de concentracidn entre fases
z7olumAricas mayores preexistentes 926
Ej. 24.5-2 Ulftafiftración y ósmosis inversa 928
Ej. 24.5-3 Membranas cargadas y exclusidn de
Donnan 930
s24.6' Transporte de masa en medios
porosos 932
E j . 24.6-1 Difusión de Knudsen 934
Ej. 24.6-2 Transporte desde una solución binaria
externa 937
Preguntas para discusión 938
Problemas 939
Epílogo 945
xiv Contenido
A peiid ices
Apéndice A Notación vectorial y tensorial 947
Operaciones vectoriales desde un punto de vista
geométrico 948
operaciones vectoriales en términos de
componentes 951
Ej . A.2-1 Wernostrnci6n de una identidad
vecforial 955
Operaciones tensoriales en términos de
componentes 956
operaciones diferenciales para vectores
y tensores 962
E j . A.4-1 Probar una identidad tensorial 966
Teoremas integrales para vectores y tensores 968
Álgebra de vectores y tensores en coordenadas
curvilíneas 970
Operaciones diferenciales en coordenadas
curvilíneas 974
Ej . A.7-I Operaciones diferenciales en coordenadas
cilindricas 977
Ej. A.7-2 Operaciones diferenciales en coordenadas
esféricas 984
Operaciones integrales en coordenadas
curvilíneas 986
Comentarios adicionales sobre la notación
vector-tensor 988
Apéndice B Densidades de flujo y las ecuaciones
de variación 991
1 Ley de viscosidad de Newton 991
sB.2 Ley de conducción de calor de Fourier 993
5B.3 (Primera) Ley de Fick de la difusión binaria 994
gB.4 La ecuación de continuidad 994
5B.5 La ecuación de movimiento en términos de T 995
3B.6 La ecuación de movimiento para un fluido
newtoniano con p y p constantes 996
58.7 La función de disipación m, para fluidos
newtonianos 997
50.8 La ecuación de energía en términos de q 997
5B.9 La ecuación de energía para fluidos newtonianos
puros con p y k constantes 998
5B.10 La ecuación de continuidad para la especie a en
términos de j, 998
gB.11 La ecuación de continuidad para la especie A en
términos de wA para p%AB constante 999
Apéndice C Temas matemáticos 1001
C . Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias y
sus soluciones 1001
5C.2 Expansión de funciones en serie de Taylor 1002
5C.3 Diferenciación de integrales
(fórmula de Leibniz) 1003
5C.4 La función gamma 1004
5C.5 Las funciones hiperbólicas 1005
5C.6 La función de error 1006
Apéndice D La teoría cinética de los gases 1007
D . Ecuación de Boitzmann 1007
5D.2 Ecuaciones de variación 1008
5D.3 Expresiones moleculares para las densidades
de flujo 1009
5D.4 Soluci6n de la ecuación de Boltzmann 1009
5D.5 Las densidades de flujo en términos de las
propiedades de transporte 1010
5D.6 Las propiedades de transporte en términos de
las fuerzas intermoleculares 1010
5D.7 Comentarios finales 1011
Apéndice E Tablas para predicción de
propiedades de transporte 1013
E Parámetros y propiedades críticas de la fuerza
intermolecular 1014
5E.2 Funciones para la predicción de propiedades
de transporte de gases a bajas densidades 1016
Apéndice F Constantes y factores de
conversión 1017
§El Constantes matemáticas 1017
5F.2 Constantes físicas 1017
5F.3 Factores de conversión 1018
Notación 1023
Índice de autores 1029
Índice temático 1037
Capítulo 0
El tema de los fenómenos de transporte
0 . ¿Qué son los fenómenos de transporte?
50.2 Tres niveles en los que es posible estudiar los fenómenos de transporte
w.3 Las leyes de conservación: un ejemplo
50.4 Comentarios finales
El propósito de este capitulo introductono es describir el alcance, los objetivos y los
métodos del tema de los fenómenos de transporte. Es importante tener una idea
acerca de la estructura del campo antes de entrar en los detalles; sin esta perspecti-
va no es posible apreciar los principios unificadores del tema y la interrelación de
los diversos temas individuales. Para entender muchos procesos en ingeniería, agri-
cultura, meteorología, fisiología, biología, química analítica, ciencia de materiales,
farmacia y otras áreas, es esencial tener una buena comprensión de los fenómenos
de transporte. Tales fenómenos constituyen una rama bien desarrollada y eminen-
temente útil de la física que trasciende muchas áreas de la ciencia aplicada.
0 . ¿QUÉ SON LOS FENÓMENOS DE TRANSPORTE?
El dominio de los fenómenos de transporte comprende tres temas estrechamente
relacionados: dinámica de fluidos, transmisión de calor y transferencia de materia.
La dinámica de fluidos se refiere al transporte de cantidad de movimiento, la trans-
misión de calor trata sobre el transporte de energía, y la transferencia de materia
estudia el transporte de materia de varias especies químicas. En un nivel introduc-
torio, estostres fenómenos de transporte deben estudiarse juntos por las siguientes
razones:
A menudo se presentan de manera simultánea en problemas industriales, bio-
lógicos, agrícolas y meteorológicos; de hecho, el desarrollo de cualquier pro-
ceso de transporte en forma individual es la excepción, más que la regla.
Las ecuaciones básicas que describen los tres fenómenos de transporte están
bastante relacionadas entre sí. La semejanza de las ecuaciones en condiciones
simples es la base para resolver problemas "por analogía".
Las herramientas matemáticas necesarias para describir estos fenómenos son
muy semejantes. Aunque el propósito de este libro no es enseñar matemáti-
cas, se pedirá al estudiante que revise varios temas matemáticos a medida
que se avanza. Aprender cómo aplicar las matemáticas puede ser un resulta-
do indirecto bastante útil del estudio de esta materia.
Los mecanismos moleculares que constituyen la base de los diversos fenóme-
nos de transporte tienen una estrecha relación entre sí. Toda la materia está
2 Capitulo O El tema de los fenómenos de transporte
hecha de moléculas, y los mismos movimientos e interacciones moleculares
son responsables de la viscosidad, la conductividad térmica y la difusión.
Los objetivos principales de este libro son proporcionar una visión completa y ba-
lanceada del campo de los fenómenos de transporte, presentar las ecuaciones fun-
damentales de la materia y mostrar corno usarlas para resolver problemas.
Hay numerosos y excelentes tratados sobre dinámica de fluidos, transmisión de
calor y transferencia de materia. Además, hay muchas revistas de investigación de-
dicadas a estos temas individuales e incluso a subcampos especializados. El lector
que domine el contenido de este libro estará en posibilidad de consultar tratados y
revistas, y abordar con mayor profundidad otros aspectos de la teoría, técnicas expe-
rimentales, correlaciones empíricas, métodos de diseño y aplicaciones. Es decir, este
libro no debe considerarse como la presentación completa del tema, sino más bien co-
mo un escalón para llegar a la abundancia de conocimientos que está más allá.
90.2 TRES NIVELES EN LOS QUE ES POSIBLE ESTUDIAR
LOS FEN~MENOS DE TRANSPORTE
En la figura 0.2-1 se muestra el diagrama de un sistema grande; por ejempjo, una
pieza de equipo grande a travQ de la cual fluye una mezcla de fluido. El transpor-
te de materia, cantidad de movimiento, energía y cantidad de movimiento angular
se pueden describir en tres niveles distintos.
Nivel macroscópico (figura 0.2-la). En este nivel se anota un conjunto de ecuacio-
nes denominadas "balances macroscópicos", que describen cómo cambian la mate-
ria, la cantidad de movimiento, la energía y la cantidad de movimiento angular en
el sistema debido a la introducción y eliminación de estas entidades por las corrien-
tes que entran y salen, y también debido a otras entradas al sistema provenientes del
entorno. No se hace ningún intento por comprender todos los detalles del sistema.
A1 estudiar un sistema de ingeniería o uno biológico es conveniente empezar con es-
ta descripción rnacroscópica a fin de hacer una valoracián global del problema; eii
algunos casos todo lo que se requiere es esta visión general.
Nivel microscópico (figura 0.2-16). En este nivel se analiza lo que esta ocurriendo a
la mezcla de fluido en una pequeña región dentro del equipo. Se anota un conjunto
de ecuaciones denominadas "ecuaciones de variación", que describen cómo la mate-
ria, la cantidad de movimiento, la energía y la cantidad de movimiento angular cam-
bian dentro de esta pequeña región. El objetivo aquí consiste en obtener información
Q = calor añadido al sistema
A'
Figura 0.2-1 a) Sistema
de flujo macroscí>pico ' W, = trabajo realizado sobre el que contiene N2 y 02;
1 sistema por el entorno b) región microscópica
por medio de partes móvikes dentro del sistema
macrciscópico que contie-
ne Ni y 02, que se
encuentran en estado de
flujo; C ) colisiún entre
una molécuIa de N, y una
molécula de Q1.
50.2 Tres niveles en los que es posible estudiar los fen6menos de transporte 3
, acerca de la velocidad, la temperatura, la presión y los perfiles de concentración den-
tro del sistema. Esta información más detallada puede ser necesaria para comprender
algunos procesos.
Nivel molecular (figura 0.2-112). En este nivel se busca una comprensión funda-
mental de los mecanismos de transporte de materia, cantidad de movimiento, ener-
gía y cantidad de movimiento angular en términos de la estructura molecular y las
fuerzas intermoleculares. En general éste es el dominio del físico teórico o del físico
químico, aunque hay ocasiones en que los ingenieros y los científicos aplicados de-
ben participar en este nivel. Esto es particularmente cierto si los procesos que se es-
tán estudiando implican moléculas complejas, intervalos extremos de temperahra
y preción, o sistemas químicamente reactivos.
Debe resultar evidente que estos tres niveles de descripción suponen diferentes
"escalas de longitud": por ejemplo, en un problema industrial tipico, en el nivel ma-
croscópico las dimensiones de 10s sistemas de flujo pueden ser del orden de centí-
metros o metros; el nivel microscópico implica lo que está ocurriendo en el intervalo
de micras a centímetros; y los probgemas en el nivel molecular contemplan interna-
los aproximados de 1 a 1000 nanómetros.
Este libro está dividido en tres partes que tratan lo siguiente:
Flujo de fluidos puros a temperatura constante (haciendo énfasis en el trans-
porte viscoso y convectivo de cantidad de movimiento): capítulos 1 a 8.
Flujo de fluidos puros con temperatura variable (haciendo énfasis en el trans-
porte de energía conductivo, convectivo y radiactivo): capítulos 9 a 16.
Flujo de mezclas de fluidos de composición variable (haciendo énfasis en el
transporte difusivo y convectivo de materia): capítulos 17 a 24.
Es decir, avanzamos desde los problemas más simples hasta los más difíciles. En ca-
da una de estas partes comenzamos con un capitulo inicial que aborda algunos re-
sultados de la teoría molecular de las propiedades de transporte (viscosidad,
condudividad térmica y difusividad). En seguida procedemos al nivel microscópico
y aprendemos cómo determinar la velocidad, la temperatura y Ios perfiles de con-
centración en varios tipos de sistemas. La discusión concluye con el nivel macroscó-
pico y la descripción de grandes sistemas.
A medida que se avance en el análisis, e1 lector apreciará que existen muchas re-
laciones entre los niveles de descripción. Las propiedades de transporte especifica-
das en la teoría molecular se usan en el nivel microscópico. Además, las ecuaciones
que se desarrollan en el mismo nivel son necesarias para proporcionar alguna infor-
mación inicial a la solución de problemas en el nivel macroscópico.
También hay relaciones entre las tres áreas de transporte de cantidad de movi-
miento, energía y materia. Al aprender cómo resolver problemas en un áxea, también
se aprenden las técnicas para resolverlos en otra. Las semejanzas de las ecuaciones en
las tres áreas significan que en muchos casos es posible resolver un probIema "por
analogia"; es decir, tomar una solución directamente de un área y, carnbianGr, luego
los símbolos en las ecuaciones, anotar la solución de un problema en otra área.
EI estudiante encontrará que estas relaciones - en t r e niveles y entre los diver-
sos fenómenos de transporte- refuerzan el proceso de aprendizaje. A medida que
se pasa de la primera parte del libro (transporte de cantidad de movimiento) a la se-
gunda (transporte de energía), y luego a la tercera (transporte de materia), la histo-
ria será muy parecida, pero los "nombres de los jugadores" cambiarán.
En la tabla 0.2-1 se muestra la disposición de los capítulos en forma de una "ma-
triz'' de 3 x 8. Un rápido vistazo a la matriz deja muy claro qué tipos de interrelacio-
4 Capítulo OEl tema de los fenómenos de transporte
Tabla 0.2-1 Organización de los temas en este libro
Cantidad de
Tipo de transporte movimiento Energía Materia
Transporte debido al 1 Viscosidad y el 9 Conductividad 17 Difusividad y los
movimiento tensor de esfuerzo térmica y el vector vectores de
molecular (densidad de flujo de densidad de densidad de flujo
de cantidad de Aujo de calor de materia
movimiento)
Transporte en una 2 Balances de 10 Balances de 18 Balances de
dimensión (métodos envoltura de la envoltura de envoltura de
de balances de cantidad de energía y materia y
envoltura) movimiento y distribuciones de distribuciones de
distribuciones de temperatura concentración
velocidad
Transporte en 3 Ecuaciones de 11 Ecuaciones de 19 Bcuaciones de
medios continuos variación y su uso variación y su uso variación y su uso
arbitrarios (uso de [isotérmicasl [no isotérmicas] [mezclas]
las ecuaciones
generales de
transporte)
Transporte con dos 4 Transporte de 12 Transporte de 20 Transporte de
variables cantidad de energía con dos materia con dos
inde~endientes movimiento con variables variables
r,inétodos especiales) dos variables independientes independientes
independientes
Transporte en flujo 5 Transporte 13 Transporte 21 Transporte
turbulento y turbulento de turbulento de turbulento de
propiedades de cantidad de energía; materia;
zransporte de movimiento; conductividad difusividad de
remolino viscosidad de térmica de remo1 ino
remolino remolino
Transporte a través 6 Factores de 14 Coeficientes de 22 Coeficientes de
de límites de fases fricción; uso de transmisión de transferencia de
correlaciones calor; uso de materia; uso de
empíricas correlaciones correIaciones
empíricas empíricas
Transporte en 7 Balances 15 Balances 23 Balances
grandes sistemas, macroscópicos macroscópicos macroscópicos
como piezas de [isotérmicos] [no isotérmicosl [mezclas]
equipo o partes de
este
Transporte por 8 Transporte de 16 Transporte de 24 Transporte de
medio de otros cantidad de energía por materia en
mecanismos movimiento en radiación sistemas de varios
líquidos componentes;
poliméricos efectos cruzados
nes pueden esperarse en el transcurso del estudio del libro. Recomendamos estudiar los
temas por columnas, en particular para cursos de pregrado. Para bs estudiantes de pos-
grado, p r otra parte, hacer e1 estudio de los temas por renglones puede ser una opor-
tunidad para reforzar las relaciones entre las tres áreas de los fenómenos de transporte.
g0.3 Las leyes de conservación: un ejemplo 5
En los tres niveles de descripción -molecular, microscópico y macroscópico-,
las leyes de conservación desempeñan un papel fundamental. La obtención de las le-
yes de conservación para sistemas moleculares es directa e instructiva. Con física
elemental y un mínimo de matemáticas es posible ilustrar los conceptos principales
y revisar cantidades físicas clave que se encontrarán a lo largo de este libro. Ese es
el tema de la siguiente sección.
El sistema que consideramos es el de dos moléculas diatómicas que chocan. Para fa-
cilitar las cosas, suponemos que las moléculas no interactúan químicamente y que ca-
da una de ellas es homonuclear; es decir, que sus núcleos atómicos son idénticos. Las
moléculas están en un gas a baja densidad, de modo que no es necesario considerar
interacciones con otras moléculas en el entorno. En la figura 0.3-1 se muestra la coli-
sión entre las dos moléculas diatómicas hornonucleares, A y B, y en la figura 0.3-2 se
muestra la notación para especificar las ubicaciones de los dos átomos de una molé-
cula por medio de vectores de posición trazados desde un origen arbitrario.
En realidad, la descripción de eventos que ocurren a nive1 atómico y molecular
debe hacerse usando mecánica cuántica. Sin embargo, excepto para las moléculas
más ligeras (H2 y He) a temperaluras menores que 50 K, la teoría cinética de los ga-
ses puede desarrollarse con bastante precisión por medio de la mecánica clásica.
Antes y después de una colisión deben mantenerse varias relaciones entre can-
tidades. Tanto antes como después de la colisión se supone que las moléculas están
lo suficientemente distanciadas, de modo que las dos moléculas son incapaces de
"percibir" la fuerza intermolecular entre ellas; más allá de una distancia aproxima-
da de 5 diámetros moleculares se sabe que la fuerza intermolecular es despreciable.
Las cantidades después de la colisión se indican con primas.
a) Según la ley de conservación de la materia, la materia total de las moléculas que
entran a la colisión y salen de ésta debe ser igual:
Aquí rnA y rnB son las masas de las molécuIas A y B. Debido a que no hay reacciones
químicas, las masas de las especies individuales también se conservan, de modo que
,,@--\
k., 1. Figura 0.3-1 Coli-
sión entre molécu- -"O :
1
Molécula A antes de la colisión /
las diatómicas
i / Molécula B antes de la colisióii hornonucleares, co-
l L
/ \ mo Nz y O2 La mo-
/ \ lécula A está
/
/ '\ compuesta por dos '\ átomos, A l y A2
La molécula B está
compuesta tarnbih
Molécula B después de la coli51on Dc,r dos ~1 r
Molécula A después de la colisión y H2.
6 Capitulo O El tema de los fenbmenos de transporte
O
Origen arbitrario
fijado en ei espacio Figvra 0.3-2 Vectores de posición para los átomos A l y A2 en la molécula A.
b) Según la ley de conseniación de la cantidad de movimiento, la suma de las canti-
dades de movimiento de todos los átomos antes de la colisión debe ser igual a la co-
rrespondiente después de la colisi6n, de modo que
donde rAl es el vedor de posición para el átamo 1 d e la molécula A, y fAl es su ve-
locidad. Luego se escribe rAl = FA + RAl, de modo que rAl está escrito como la suma
del vector de posición para el centro de masa y el vector de pasición del átomo res-
pecto al centro de masa, y se reconoce que RA2 = -RAr; las mismas relaciones tam-
bién se escriben para los vectores de velocidad. Asi, podemos volver a escribir la
ecuación 0.3-3 como
Es decir, el planteamiento de conservación puede escribirse en términos de las ma-
sas y velocidades moleculares, y las cantidades at6micas correspondientes pueden
eliminarse. Para obtener la ecuación 0.3-4 se usó la ecuación 0.3-2 y el hecho de que
para moléculas diatómicas hornonucleares se cumple que mAl = nzA2 = mA.
C) Se@ la ley de conservacidn de la energia, la energía del par de moléculas que
chocan debe ser la misma antes y después de la colisi6n. La energía de una moiécu-
la aislada es la suma de las energías cinéticas de los dos átomos y la energía poten-
cial interatómica, que describe la fuerza del enlace químico que une los dos
átomos I y 2 de la molécuia A, y es una función de la distancia interatómica I rA;! -
rAl 1 . En consecuencia, la conservación de la energía lleva a lo siguiente:
Nótese que utilizamos la notación estándar abreviada de que*l = (tAl fAl). Luego
escribimos la velocidad del átomo 1 de la molécula A como la suma de la velocidad
del centro de masa de A y la velocidad de 1 respecto al centro de masa; es decir,
kAl = tA +RAI . Así, 4 ecuación 0.3-5 se convierte en
donde uA = $ mA1Ri1 + mA2R& + #A es la suma de las energías cinéticas de los áto-
mos, referida al centro de masa de la molécula A, y el potencial interat6mico de la mo-
90.4 Comentarios finales 7
léala A. Es decir, la enex@ de cada molécuia se divide en su energía &ética respecto
a coordenadas fijas y en h energla interna de la mol6cda (que h l u y e sus energías de
vibración, rotadonal y potencial). La w d 6 n 0.3-6 hace evidente que ias energías ciné-
ticas de ki inolécuias que chocan pueden transformarse en energía intema o viceversa.
Esta idea de un intercambio entre en* cinbtica y energía interna surgir6 de nuevo
d o analicemos las daames de energía m los niveles micmc6pico y m a m p m .
d) Pot iíltimo, la ley de conservación de la cantidad de movimiento altgular puede
apiicarse a una colisión paraobtener
donde X se usa para indica el producto cruz de dos vectores. Luego & introducen
los vectores de centro de maca y de pusici6n relativa y los vectores de velocidad co-
mo antes, y obtenemos:
donde lA = [ R ~ ~ x mAjtAl] + IR, x es la suma de 10s momentos de canti-
dad de movimiento angular de los Atomos referida a un origen de coordenadas en
el centro de masa de h-molécula; es decir, la "cantidad de movimiento angular fn-
terno". El punto importante es que existe la posibilidad de intercambio entre la can-
tidad de movimiento angular de las moléculas (respecto al origen de coordenadas)
y su cantidad de movimiento angular interno (respecto al centro de masa de la mo-
lécula). Más tarde se hará referencia a este hecho en relación con la ecuación de va-
riación para la cantidad de movimiento angular.
Lac leyes de conse~ación, se&n se aplican a colisiones de moléculas mon~atd-
micas, pueden obtenerse a partir de los resultados anteriores como sigue: las ecua-
ciones 0.3-1,032 y 0.3-4 son aplicables directamente; la ecuación 0.3-6 es aplicable si
se omiten las contribuciones de en+ intema; y Ia ecuación 0.3-8 puede usarse si se
descartan los términos de la cantidad de movimiento angular interno.
Una parte importante de este libro estii relacionada con el establecimiento de las
leyes de conservaci6n en los niveles microscópico y macroscópico y su aplicación a
problemas de interés en ingenie& y ciencias. El anáIisis anterior debe proporcionar
un entorno aceptable para emprender esta tarea. Para repasar las leyes de conserva-
ción por especie para materia, cantidad de movimiento y energia en los niveles mi-
croscópico y macroscópico, consdte las tablas 19.2-1 y 23.5-1.
.4 COMENTARIOS FINALES
Para utilizar de manera inteligente los balances macroscópicos, es necesario valerse
de informaci6n sobre transporte de interface que proviene de las ecuarione~ de va-
riación. Pata usar estas ecuadones se requieren las propiedades de transporte, que
est6n descritas por vanas teorias moleculares. En consecuencia, desde el punto de
vista de la enseñanza, parece mejor comenzar en el nivel molecular y progresar ha-
cia sistemas m6s grandes.
Todos los tratamientos teóricos van acompañados de ejemplos pafa ilustrar ró-
mo la teoria se aplica a la solución de problemas. Al final de cada capitulo se pre-
cenan probIemas para reforzar las ideas desarrolladas en el capítulo. Los problemas
e s t h agrupados en cuatro clases:
8 Capítulo O El tema de los fenómenos de transporte
Clase A: problemas numéricos, diseñados para destacar ecuaciones importan-
tes del texto y para desarrollar sensibilidad respecto a los órdenes de
magnitud.
Clase B: problemas analíticos que requieren realizar deducciones elementales
aplicando conceptos fundamentales del capítulo.
Clase C: problemas analíticos más avanzados que pueden requerir consultar
los conceptos de otros capítulos o de otros libros.
Clase D: problemas que requieren habilidades matemáticas intermedias.
Muchos de los problemas y ejemplos ilustrativos son más bien elementales en el
sentido de que implican sistemas demasiado simplificados o modelos muy ideales.
No obstante, es necesario empezar con estos problemas elementales para entender
cómo funciona la teoría y adquirir confianza en su empleo. Además, algunos de es-
tos problemas pueden ser muy útiles para reaLizar estimaciones sobre el orden d e
magnitud en problemas complejos.
A continuación se presentan algunas sugerencias para estudiar el tema de los fe-
nómenos de transporte:
Leer siempre e1 libro teniendo lápiz y papel a la mano; trabajar todos los de-
talles de los desarrollos matemáticos y anotar los pasos faltantes.
Siempre que sea necesario, consultar los textos de matemáticas para repasar
cálculo, ecuaciones diferenciales, vectores, etc. Ésta es una oportunidad exce-
lente para repasar los contenidos matemáticos aprendidos previamente (aun-
que quizá no con tanto cuidado como debió haber sido).
Empeñarse en interpretar físicamente 10s resultados clave; es decir, adquirir
el hábito de relacionar las ideas físicas con las ecuaciones.
Preguntar siempre si los resultados parecen razonables. Si los resultados no
coinciden con la intuición, es importante descubrir cuál es el error.
Acostumbrarse a comprobar las dimensiones de todos los resultados. Ésta es
una muy buena manera de ubicar errores en las deducciones.
Esperamos que el lector comparta nuestro entusiasmo por el tema de los fenómenos
de transporte. Para dominar la materia se requerirá algo de esfuerzo, pero las re-
compensas merecerán el tiempo y la energía invertidos.
¿Cuáles son las definiciones de cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular y
energía cinética para una partícula simple? ¿Cuáles son las dimensiones de estas cantidades?
¿Cuáles son las dimensiones de velocidad, velocidad angular, presión, densidad, fuerza, tra-
bajo y momento de torsión? ¿Cuáles son algunas unidades comunes usadas para estas canti-
dades?
Verificar que es posible pasar de la ecuación 0.3-3 a la ecuación 0.3-4.
Describir todos los detalles necesarios para obtener la ecuación 0.3-6 a partir de la ecuación
0.3-5.
Suponga que el origen de coordenadas se ha desplazado a una nueva posición. ¿Cómo afec-
ta este hecho a la ecuación 0.3-7? ¿Cambia la ecuación?
Compare y contraste la velocidad angular y la cantidad de movimiento angular.
'Qué se entiende por energía interna?, ¿y por energía potencial?
La ley de conservación de la materia, jsiempre es válida? ¿Cuáles son sus limitaciones?
Capítulo 1
Viscosidad y mecanismos del transporte
de cantidad de movimiento
91.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento rnolecular)
512 Generalizaci6n de la ley de viscosidad de Newton
1.3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura
51.4" Teoría molecular de la viscosidad de gases a baja densidad
51.5" Teoría molecular de la viscosidad de líquidos
91.6" Viscosidad de suspensiones y de emulsiones
51.7 Transporte de cantidad de movimiento convectivo
La primera parte de este libro trata acerca del flujo de fluidos viscosos. Para fluidos de
peso molecular bajo, la propiedad física que caracteriza la resistencia a fluir es la vis-
cosidad. Cualquiera que haya comprado aceite para motor sabe que algunos aceites
con más ''viscosos'' que otros y que la viscosidad es una función de la temperatura.
Empezamos en 91.1 con el flujo cortante simple enfxe láminas paralelas y analiza-
mos cómo la cantidad de movimiento se transfiere a través del fluido por acción vis-
cosa. Éste es un ejemplo elemental de transporte de cantidad de movimiento molecular y
sirve para introducir la "ley de viscosidad de Newton" junto con la definición de vis-
cosidad p. Luego, en 51.2 mostramos cómo es posible generalizar la ley de Newton
para patrones de flujo arbitrarios. Los efectos de la temperatura y la presión sobre
la viscosidad de gases y líquidos se resumen en 91.3 por medio de una griSfica adi-
mencional. A continuación, s1.4 dice cómo las viscosidades de los gases pueden cal-
cularse a partir de la teoría cinética de los gases, y en 91.5 se proporciona un análisis
semejante para los líquidos. En s1.6 se presentan algunos comentarios sobre la vis-
cosidad de suspensiones y emukiones.
Por último, en s1.7 se muestra que la cantidad de movimiento también puede
transferirse por el movimiento volumétrico (global) del fluido y que tal fransporfe de
la cantihd de movimiento convectiva es proporcional a la densidad p del fluido.
51.1 LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON (TRANSPORTE DE CANTIDAD
DE MOVIMIENTO MOLECULAR)
En la figura 1.1-1 se muestra un par de placas paralelas largas, cada una de área A, se-
paradas por una distancia Y. En el espacio entre ellas se encuentra un fluido, ya sea
un gas o un líquido. Este sistema está inicialmente en reposo, pero en el tiempo f = O
la placa inferior se pone en movimiento en la direcciónx positiva a una velocidad
constante V. A medida que transcurre el tiempo, el fluido adquiere cantidad de movi-
miento y finalmente se establece el perfil de velocidad lineal en estado estacionario
que se observa en la figura. Se requiere que el flujo sea laminar (el flujo "laminar" es
12 Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Figura 1.1-1 Forma-
ción del perfil de velo-
Fluido inicialmente
en reposo cidad laminar
estacionario para un
fluido contenido entre
dos placas. El flujo se
denomina "laminar"
t = o Placa inferior puesta porque las capas adya-
en movimiento centes del fluido ("lá-
t pequeño q
t grande e
minas") se deslizan
una sobre otra de ma-
nera ordenada.
Formación d e la velocidad
en flujo no estacionario
Distribución final
d e velocidad para
flub estacionario
el tipo de flujo ordenado que suele observarse cuando se vierte jarabe, en contraste
con el flujo "turbulento", que es el flujo caótico irregular que se observa en una licua-
dora a gran velocidad). Cuando se alcanza el estado final de movimiento en estado es-
tacionario, para mantener el movimiento de la placa inferior se requiere una fuerza
constante 1". El sentido común sugiere que esta fuerza puede expresarse como sigue:
Es decir, la fuerza debe ser directamente proporcional al área y a la velocidad, e in-
versamente proporcional a la distancia entre las placas. La constante de proporcio-
nalidad p es una propiedad del fluido, definida como la viscosidad.
Ahora volvamos la atención a la notación que se utilizará a lo largo del texto.
Primero sustituimos F/A por el símbolo T ~ ~ , que es la fuerza en Ia dirección x sobre
un área unitaria perpendicular a la dirección y. Se entiende que ésta es la fuerza ejer-
cida por el fluido de menor y sobre el fluido de mayor y. Además, V / Y se sustituye
por -dv,/dy. Así, en términos de estos símbolos, Ia ecuación 1.1-1 se convierte en
Esta ecuación, que establece que la fuerza cortante por área unitaria es proporcional
al negativo del gradiente de velocidad, a menudo se denomina ley de viscosidad de
N e ~ f o n . ~ En realidad no debemos referirnos a la ecuación 1.1-2 como una "ley", ya
' Algunos autores escriben la ecuación 1 .l-2 en la fonna
donde .ryx [=] Ibf/pi& v, [=] pie/s, y [=] pie y p [=] lb,/pie . S; la cantidad g, es el "factor de conversión gravitaciorial"
con el valor de 32.174 poundals/lb En este libro siempre usaremos la ecuación 7.1-2 en vez de la ecuación 1.1-2a. f'
Sir isaac Newton (1643-1723, profesor en la Universidad de Cambridge y luego director de la Casa de
Moneda, fue el fundador de la mecánica cldsica y contribuyó también a otros campos de la física. En realidad, la
ecuación 1.1-2 no aparece en la obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Sir Isaac Newton, aunquc la idea
seminal está presente ahí. Para comentarios ilustrativos, véase D.J. Acheson, Eleincntn y Fluid Qnainics, Oxford
University Press, 1990, @.l.
51.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento moiecular) 13
que Newton la sugirió como un empirismo:3 la proposición más simple que puede
hacerse para relacionar el esfuerzo y el gradiente de velocidad. Sin embargo, se ha
encontrado que la resistencia a fluir de todos los gases y líquidos con peso molecu-
lar menor que aproximadamente 5000 está descrita por la ecuación 1.1-2, y tales flui-
dos se denominan fluidos nautonianos. Los líquidos poliméricos -suspensiones,
pastas, lechadas (lodos) y otros fluidos complejos- no son descritos por la ecuación
1.1-2 y se denominan fluidos no newtonianos. Los líquidos poliméricos se describen
en el capítulo 8.
La ecuación 1.1-2 puede interpretarse de otra manera. En la vecindad de la su-
perficie sólida en movimiento en y = O el fluido adquiere cierta cantidad de movi-
miento en la dirección x. Este fluido al mismo tiempo imparte cantidad de
movimiento a la capa adyacente del líquido, provocando que permanezca en movi-
miento en la dirección x. Por lo tanto, la cantidad de movimiento en la dirección x se
transmite a través del fluido en la dirección y positiva. En consecuencia, rF también
puede interpretarse como la densidad de flujo de cantidad de movimiento de la dirección x,
en la dirección y positiva, donde el término "densidad de flujo" (f Iux) significa "flujo
por área unitaria". Esta interpretación es consistente con la representación molecu-
lar de transporte de cantidad de movimiento y con las teorías cinéticas de los gases
y los líquidos. También está en armonía con el tratamiento análogo que se da más
adelante para la transmisión de calor y el transporte de materia.
La idea planteada en el párrafo anterior puede parafrasearse afirmando que la
cantidad de movimiento va "cuesta abajo" desde una región de alta velocidad hacia
una región de baja velocidad: de la misma forma en que un trineo se desliza cuesta
abajo desde un lugar elevado hasta otro más bajo, o como fluye el calor de una región
de alta temperatura a una región de baja temperatura. En consecuencia, e1 gradien-
te de velocidad puede entenderse como una "fuerza impulsora" del transporte de
cantidad de movimiento.
En lo que sigue, algunas veces nos referiremos a la ley de Newton de la ecua-
ción 1.1-2 en términos de fuerzas (lo cual recalca la naturaleza mecánica del tema),
y otras veces en términos de transporte de cantidad de movimiento (lo cual recalca
las analogías con el transporte de calor y de materia). Este punto de vista dual pro-
bará su utilidad en las interpretaciones físicas.
A menudo los expertos en dinámica de fluidos usan el símbolo v para representar
la viscosidad dividida entre la densidad (masa por volumen unitario) del fluido; así,
Esta cantidad se denomina viscosidad cincmáfica.
A continuación se exponen algunos comentarios sobre las unidades de las can-
tidades que se han definido. Si el significado del símbolo [=] es "tiene unidades de",
entonces en el sistema SI se tiene que % I=l ~ / r n ~ = Pa, v , I=l m/s y y [=1 m, de mo-
do que
ya que las unidades en ambos miembros de la ecuación 1.1-2 deben coincidir. En la
tabla 1.1-1 se resume lo anterior y también se proporcionan las unidades para los sis-
3Una relación de la forma de la ecuación 1.1-2 proviene de la teoría cinéiica simple de los gases (ecuación 1.4-7).
No obstante, una teoría rigurosa para gases bosquejada en el apéndice D hace evidente que la ecuación 1.1-2 surge como
el primer término en una expansión, y que es de esperar la aparición de términos adicionales (de orden superior). Tam-
bién, incluso una tmría cinética elemental de ios Líquidos predice un comportamiento no newtoniano (ecuación 1.5-6).
14 Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Tabla 1.1-1 Resumen de unidades para cantidades
relacionadas con la ecuación 1.1-2
SI %S Inglés
ryx pa dina/cm2 poundals/piez
ei, m/s cm/s pie / S
Y m cm pie
E*. P a - S gm/cm-s=poise Ib,/pie.s
Y m2/s cm2/s pie2 / S
Nota: el pascal, Pa, es lo mismo que N/m2; y el newton, N,
es lo mismo que kg . m/s2. La abreviatura de "centipow" es "cp".
temas cgs e inglés. Las tablas de conversibn del apéndice F seren muy útiles para re-
solver problemas numéricos que implican diversos sistemas de unidades.
Las viscosidades de los fluidos varían sobre muchos órdenes de magnitud, con
la viscosidad del aire a 20°C igual a 1.8 X lod5 Pa S y la del glicerol aproximada-
mente de 1 Pa . s, donde algunos aceites de siiicón son aún mds viscosos. En las ta-
blas 1.1-2,l.l-3 y 1.1-4 se muestran datos experimentaIes4 para fluidos puros a 1 atm
de presión. Nótese que para gases a baja densidad, la viscosidad aumenta con un in-
cremento en la temperatura, mientras que para líquidos la viscosidad suele dismi-
nuir con un incremento en la temperatura. En gases, la cantidad de movimiento es
transportada por las moléculas en vuelo Iibre entre coIisiones, pero en los iiquidos
el transporte seUeva a cabo predominantemente en virtud de las fuerzas intermole-
culares que experimentan pares de moléculas a medida que serpentean aleatoria-
Tabla 1.1-2 Viscosidad de1 agua y del aire a 1 atm de presión
Agua (Ilq.1' Aireb
Temperatura Viscosidad Viscosidad cinembtica Viseasidad Viscosidad cinemática
T(o0 dmPa . S) v(cmZ/s) p(mPsr . S) vlcm2/s>
<alculados a partir de los resultadas de R.C. Hady y R,L. Cattington, 1. Research Npt, BUT, Standarda, U ,
573-578 (1949); y J.E Gwidellc, J.R. Coe, Ir,, y T.B, Gd&y,J. Reaearch Ngt. Bur, Stanáard@, 48,l-31 (1952),
Calculados a partir de "Tables of Themal PmperHes of Gaeee", Npfional B~reuu o! Standarda Circular
464 (1955), capitula 2.
- ~
' Unít extensa representación de técnicas experimentales para medir propiedades de transporte puede encontrar-
se en W.A. Wakeham, A. Nagashima y J. V. Sengers, Measuremenf of Ihe Transpart Pmperties of Ffuids, CRC Press, h a
Ratón, Fla. (1991). Las fuentes de datos experimentales son: Landolt-Bomtein, Zuhlenwute und Funktionen, Vol. II,5,
Springer (19681969); Intrmational Cn'fical Ibbles, McGraw-HU, Nueva York (1926); Y.S. Touloukian, P.E. Liley y S.C.
Saxena, Thermophysical Pmperties of Matter, Plenum Pmss, Nueva York (1970); y también numerosos manuales de quí-
mica, fs~ca, dinámica de fluidos y transmisión de calor.
s1.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento molecular) 15
Tabla 1.1-3 Viscosidades de alanos p;ases Y líquidos a presión atrnosf6ricaa
Temperatura Viscosidad Temperatura Viscosidad
Gases V°C) p(mPa . S) Líquidos T("C) ,u(mPa S)
i-C4Hlo 23 0.0076c (Cz&)20 O 0.283
sh 23 0.0153 25 0.224
Ch 20 0.0109b C6H6 20 0.649
H20 100 0.01211d Br2 25 0.744
CQ 20 0.0146~ Hg 20 1.552
N2 20 0.0175~ C2H50H O 1.786
0, 20 0.0204 25 1.074
Hg 380 0.0654~ 50 0.694
H2m4 25 25.54
Glicerol 25 934
Vaiores tomados de N.A. Lange, Handbook of Chemisty, McGraw-Hill, Nueva York, 15a ed. (19991,
tabIas 5.16 y 5.18.
b H.L. Johnston y K.E. McKloskey, J. Phys. C . . , 44,1038-1058 (1940).
C CRC f i n d h k of Chemisty and Physics, CRC Press, Boca Ratón, Fla. (1999).
d hndolt-Bornstein Zahlenwerfe und Funktionen, Springer (1969).
Tabla 1.1-4 Viscosidades de algunos metales
líquidos
Temperatura Viscosidad
Metal T("C) da S)
Datos tomados de The Reactor Handbwk, Vol. 2, Atomic
Energy Commission AECD-3646, U.S. Govemment
Printing Office, Washington, D.C. (mayo 1955),
pp 258 et seq.
mente en torno a sus vecinas. En s 1 . 4 y 1.5 se proporcionan algunos razonamien-
tos de la teoría cinética elemental para explicar la dependencia de fa viscosidad con
respecto a la temperatura.
16 Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Cdlcttlo de la densidad de
flujo de caiitidad de
Calcular la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario ry, en
y/pies2 cuando la velocidad V de la placa inferior en la figura 1 .l-1 es 1 pie/s en la di-
reccion x positiva, la separación Y de las placas es de 0.001 pie y la viscosidad ,LL del flui-
do es 0.7 cp,
movimiento
Debido a que T ~ , se pide en unidades del sistema inglés, es necesario convertir la viscosidad
a ese sistema de unidades. Así, con ayuda del apéndice F se encuentra quep = (0.7 cp)(2.0886
x = 1.46 X 10-5 lbi ~ / ~ i e s ~ . El perfil de velocidad es lineal, de modo que
dv, - Av, - -1 .O pie / s
= -1 000s-1
dy Ay 0.001 pie
Al sustituir en la ecuación 1.1-2 se obtiene
En la sección precedente Ia viscosidad se definió por medio de la ecuación 1.1-2, en
términos de un flujo cortante simple en estado estacionario en el que v, es una fun-
ción sólo de y, y v y y v, son cero. Por lo general se tiene interés en flujos más com-
plicados en los que las tres componentes de la velocidad pueden depender de las
tres coordenadas y quizá del tiempo. En consecue~icia, es necesario contar con una
expresión más general que la ecuación 1.1-2, pero que pueda simplificarse a la ecua-
ción 1.1-2 para fhjo cortante en estado estacionario.
Esta generalizaciiin no es sencilla; de hecho, a los niatemáticos les llevó casi un
siglo y medio lograrla. No es apropiado presentar aquí todos los detalles de este de-
sarrollo, ya que es posible consultarlos en muchos libros sobre dinámica de fluid0s.l
En vez de ello explicaremos brevemente las ideas primordiales que condujeron al
descubrimiento de la generalización requerida de la ley de viscosidad de Ne~7ton.
Para hacerlo consideraremos un patrón de flujo muy general, donde Ia veloci-
dad del fluido puede ser en varias direcciones en diversos sitios y puede depender
del tiempo t. Así, las componentes de la velocidad están dadas por
En esta situación, hay nueve componentes del esfuerzo r.. (donde i y j pueden asu-
'1
mir las designaciones .y, y y z), en vez de la componente r que aparece en la ecuación
'Y 1 .l-2. En consecuencia, debemos comenzar por la definicion de estas componentes del
esfuerzo.
' W Prager, Introducfíon to Mechanics of Conti?run, Ginn, Boston (1961), pp. 89-91; R. Aris, Vectors, Tcnsors, and the
Basic Equntions offiuid Mecknnics, Freiitice-Hall, Englewood CIiHs, N.J. (19621, pp. 30-34,99112; L. Landau y E.M.
Lifshitz, Fluid Mechanicc, Pergamon, Londres, 2a. edición (1987), pp. 44-45. Lev Davydavich Landau (1908-1968)
recibió e1 premio Nobei en 1962 por su obra sobre dinámica de heüo y dinámica de superfluidos.
51.2 Generalización de la ley de viscosidad de Newton 17
En la figura 1.2-1 se muestra un pequeño elemento de volumen en forma de cu-
bo dentro del campo de flujo, donde el área de cada cara es unitaria. El centro del
elemento de volumen está en la posición x, y, z. En cualquier instante es posible re-
banar el elemento de volumen de manera que se elimine la mitad del fluido de su
interior. Como se observa en la figura, cada vez es posible cortar el volumen en for-
ma perpendicular a cada una de las tres direcciones de coordenadas. Luego es posi-
ble preguntar por la fuerza que debe aplicarse en la superficie libre (sombreada)
para sustituir la fuerza que ejercía sobre esta superficie el fluido que se ha elimina-
do. Habrá dos contribuciones a esta fuerza: la asociada con la presión y la asociada
con las fuerzas viscosas.
La fuerza de presión siempre será perpendicular a la superficie expuesta. Por lo
tanto, en (a) Ia fuerza por área unitaria en la superficie sombreada será un vector p8,;
es decir, ia presión (un escalar) multiplicada por el vector unitario 6, en la dirección
x. En forma semejante, la fuerza sobre la superficie sombreada en (b) será pS y en Y'
(c) la fuerza será p6,. Las fuerzas de presión serán ejercidas cuando el fluido sea es-
tacionario, así como cuando esté en movimiento.
Las fuerzas viscosas entran en acción sólo cuando dentro del fluido hay gra-
dientes de velocidad. En general, no son perpendiculares al elemento superficial
ni paralelas a éste, sino que forman algún ángulo respecto a la superficie (véase
la figura 1.2-1). En (a) se observa una fuerza por área unitaria -, ejercida sobre el
área sombreada, y en (b) y en (c) se observan las fuerzas por área unitaria T y 7,.
Cada una de estas fuerzas (que son vectores) tiene componentes (escalares!; por
ejemplo, 7, tiene las componentes T,,, rXy y r,,. Por lo tanto, ahora es posible resu-
mir en la tabla 1.2-1 las fuerzas que actúan sobre las tres áreas sombreadas de la
figura 1.2-1. Esta tabuIación es un resumen de las fuerzas por área unitaria (esfuer-
zos) ejercidas dentro de un fluido, tanto por la presión termodinámica como por
Figura 1.2-1 Fuerzas de presión y viscosas que actúan sobre planos en el fluido, perpendiculares
a los tres sistemas de coordenadas. Los planos sombreados tienen área unitaria.
18 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
los esfuerzos viscosos. Algunas veces serfi conveniente coniar con un símbolo que
incluya ambos tipos de esfuerzo, de modo que los esfuerzos moleculares se definenMateriales relacionados
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