COL - Cálculo Diferencial e Integral em IRn

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Manual de Cálculo Diferencial e 
Integral em IRn 
 
4º ano 
 
 
 
Universidade Católica de Moçambique 
Centro de Ensino á Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Direitos de autor 
Todos os direitos dos autores deste módulo estão reservados. A reprodução, a locação, a 
fotocópia e venda deste manual, sem autorização prévia da UCM-CED, são passíveis a 
procedimentos judiciais. 
 
 Elaborado por: 
Alba Paulo Mate, natural de Manjacaze, Gaza. Fez o bacharelato em ensino 
de matemática com apresentação do relatório de práticas pedagógicas como título “análise do 
programa curricular do ensino secundário geral, 1°ciclo” e licenciou em Ensino de 
Matemática com apresentação e defesa da monografia intitulada “análise dos problemas 
encarrados no tratamento da trigonometria no distrtito de Machanga, provincial de Sofala”. 
Actualmente é docente da cadeira de Matemática aplicada a Economia e Gestão e a 
Administração na delegação de Tete da Universidade Católica de Moçambique onde exerce as 
funções de coordenador do departamento de Administração Pública. Exerceu também as 
funções de coordenador de actividades desportivas e extracurriculares no ano de 2010. É 
Tutor nas cadeiras de Cálculo Diferencial e Integral em IRn e de didáctica de Matemática, em 
Tete, para o Centro de Ensino a Distância da UCM. Foi professor de Desenho na Escola 
Secundária de manjacaze em Gaza durante o ano de 2004. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Católica de Moçambique 
Centro de Ensino à Distância 
825018440 
23311718 
Moçambique 
 Fax: 23326406 
 E-mail: eddistsofala@ucm.ac.mz 
 
Agradecimentos 
Agradeço a colaboração dos seguintes indivíduos e/ou pessoa colectiva na elaboração deste 
manual: 
 
Por ter me confiado na elaboração deste 
Módulo 
Ao coordenador do curso de Matemática 
Fernando Muchanga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Módulo de Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 i 
 
Índice 
Visão geral 1 
Bem-vindo a Cálculo Diferencial e Integral em IRn ....................................................... 1 
Objectivos do curso ....................................................................................................... 1 
Quem deveria estudar este módulo ................................................................................ 1 
Como está estruturado este módulo................................................................................ 2 
Ícones de actividade ...................................................................................................... 2 
Habilidades de estudo .................................................................................................... 3 
Precisa de apoio? ........................................................................................................... 3 
Unidade 01 5 
Funções reais de variáveis reais ..................................................................................... 5 
Introdução ............................................................................................................ 5 
ii Índice 
Objectivos da unidade ................................................................................................... 5 
1.1. Introdução .............................................................................................................. 5 
1.2. Definição (função real de duas variáveis) ................................................................ 6 
1.4. Domínio de uma função real de duas variáveis reais ............................................... 8 
1.5. Curvas de nível ..................................................................................................... 10 
Unidade 02 15 
Limites de funções reais de variáveis reais ................................................................... 15 
Objectivos da unidade ................................................................................................. 15 
Introdução ................................................................................................................... 15 
Definição ..................................................................................................................... 15 
Unidade 03 18 
Continuidade de funções reais de variáveis reais .......................................................... 18 
Objectivos da unidade ................................................................................................. 18 
Definição ..................................................................................................................... 18 
Unidade 04 20 
Derivadas de funções reais de variáveis reais ............................................................... 20 
4.1. Objectivos da unidade ........................................................................................... 20 
4.2. Breve introdução .................................................................................................. 20 
4.3. Definição .............................................................................................................. 20 
4.4. Derivadas parciais................................................................................................. 21 
4.5. Derivadas de maior ordem .................................................................................... 22 
Unidade 05 25 
Gradiente e seu significado .......................................................................................... 25 
5.1. Gradiente: conceito ............................................................................................... 25 
Unidade 06 27 
Derivada direccional .................................................................................................... 27 
6.1.0. Derivada direccional .......................................................................................... 27 
6.2.0. Relação entre a derivada direccional e gradiente ................................................ 28 
Unidade 07 31 
Diferencial de uma função ........................................................................................... 31 
Unidade 08 33 
Regra de derivação de funções compostas (a regra de cadeia) ...................................... 33 
8.1. Regra de cadeia para funções de duas variáveis ..................................................... 34 
Unidade 09 35 
Derivadas de funções vectoriais ................................................................................... 35 
 Módulo de Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 iii 
 
9.1. Derivada de funções vectoriais.............................................................................. 36 
Unidade 10 40 
Derivada de de funções implícitas ............................................................................... 40 
10.1. Regra geral para diferenciação implícita ............................................................. 41 
Unidade 11 42 
Optimização de funções reais de duas variáveis reais ................................................... 42 
Pontos Críticos ............................................................................................................ 42 
Unidade 12 49 
Métodos dos multiplicadores de Lagrange ................................................................... 49 
Método de Multiplicadores de Lagrange ...................................................................... 49 
Unidade 13 54 
Integrais duplas ...........................................................................................................54 
Teorema de Fubini (primeira forma) ............................................................................ 55 
Unidade 14 62 
Integrais triplas ............................................................................................................ 62 
Unidade 15 66 
Mudança de coordenadas para integrais múltiplas ........................................................ 66 
Unidade 16 74 
Integrais de linha ......................................................................................................... 74 
16.1. Independência de linha (caminho) ....................................................................... 75 
16.2. Teorema fundamental de cálculo para integral de linha ....................................... 76 
Bibliografia 78 
 
 
Visão geral 
Bem-vindo a Cálculo Diferencial e 
Integral em IRn 
 
Neste módulo procura-se em primeiro lugar familiarizar os estudantes apresentando tarefas e 
suas respectivas resoluções. 
Objectivos do curso 
Quando terminar o estudo de Cálculo Diferencial e Integral em IRn será 
capaz de: 
 
 
Objectivos 
 Definir uma função real de variáveis reais, determinar e esboçar o seu 
domínio; desenhar e indicar a importância das curvas de nível. 
Establecer diferenças/semelhanças com as funções reais de variável 
real; 
 Definir os conceitos limites, continuidade e derivadas de funções reais 
de variáveis reais; 
 Determinar diferenciais totais de funções de duas e três variáveis; 
 Determinar e aplicar em casos reais a regra de cadeia para o cálculo 
de derivadas; 
 Aplicar os conceitos de derivadas na optimização de funções reaias de 
variáveis reais usando o teste de segunda derivada ou através do 
método de multiplicadores de Lagrange; 
 Definir os conceitos de integrais múltiplas; 
 Determinar integrais duplas, triplas, curvelineas e superficiais; 
 Aplicar o conceito de integrais múltiplas para o cálculo de volumes ou 
áreas superficiais. 
 
Quem deveria estudar este 
módulo 
Este Módulo foi concebido para todos aqueles que terminar as cadeiras 
curriculares do 3ºano do curso de Matemática com maior destaque para 
as cadeiras de Cálculo Diferencial e Integral em IR 
2 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Como está estruturado este 
módulo 
Todos os módulos dos cursos produzidos por UCM - CED encontram-se 
estruturados da seguinte maneira: 
Páginas introdutórias 
 Um índice completo. 
 Uma visão geral detalhada do módulo, resumindo os aspectos-chave 
que você precisa conhecer para completar o estudo. Recomendamos 
vivamente que leia esta secção com atenção antes de começar o seu 
estudo. 
Conteúdo do módulo 
O módulo está estruturado em unidades. Cada unidade incluirá uma 
introdução, objectivos da unidade, conteúdo da unidade incluindo 
actividades de aprendizagem. 
Outros recursos 
Para quem esteja interessado em aprender mais, apresentamos uma lista 
de recursos adicionais para você explorar. Estes recursos que inclui 
livros, artigos ou sites na internet podem serem encontrados na pagina de 
referencias bibliográficas. 
Tarefas de avaliação e/ou Auto-avaliação 
Tarefas de avaliação para este módulo encontram-se no final de três ou 
quatro unidades. Sempre que necessário, inclui-se na apresentação dos 
conteúdos algumas actividades auxiliares que irão lhe ajudar a perceber a 
exposição dos restantes conteúdos. 
Comentários e sugestões 
Esta é a sua oportunidade para nos dar sugestões e fazer comentários 
sobre a estrutura e o conteúdo do módulo. Os seus comentários serão 
úteis para nos ajudar a avaliar e melhorar este módulo. 
 
Ícones de actividade 
Ao longo deste manual irá encontrar uma série de ícones nas margens das 
folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do processo 
de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de texto, uma 
nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. 
Neste módulo destacamos particularmente a marca que 
 
Lembre-se 
 
 
apresenta um conceito ou um teorema sobre as funções reais de 
variável real que possa ser relevante para a percepção do conceito 
em abordagem, já para funções reais de variáveis reais. 
Os exemplos são sempre antecedidos de uma marca (seta) do tipo 
Habilidades de estudo 
Para suceder-se bem neste módulo precisará de um pouco mais da sua 
dedicação e concentração. A maior dica para alcançar o sucesso é não 
ignorar os textos que são apresentados. Não ignore as actividades 
auxiliares pois as restantes actividades podem depender delas! 
Precisa de apoio? 
Em caso de dúvidas ou mesmo dificuldades na percepção dos conteúdos 
ou resolução das tarefas procure contactar o seu professor/tutor da 
cadeira ou ainda a coordenação do curso acessando a plataforma da 
UCM-CED Curso de Licenciatura em Ensino de Matemática. 
 
 
 
Unidade 01 
Funções reais de variáveis reais 
Introdução 
Nesta unidade pretende-se dar ao estudante a noção do surgimento da 
geometria projectiva assim como os principais precursores. Acredita-se 
que com a história da geometria projectiva o estudante poderá perceber a 
relevância do módulo no plano curricular doseu curso tendo em conta a 
exposição que será feita ao longo da unidade principalmente sobre a 
natureza das actividades que os precursores procuravam resolver. 
Objectivos da unidade 
Até ao fim desta unidade o estudante deve ser capaz de definir 
funções reais de variáveis reais e distingui-las de funções reais de 
variável real; caracterizar o domínio de uma função e estabelecer 
diferenças e/ou semelhanças com as funções de uma variável; a 
partir das curvas de nível, idealizar os gráficos de funções de duas 
varáveis; determinar e esboçar o domínio de uma função real de 
variáveis reais. 
1.1. Introdução 
Sabemos que em determinadas situações o valor de uma grandeza depende do valor de uma 
segunda grandeza. Por exemplo, a produção agrícola em agricultura não-mecanizada 
depende da chuva; a demanda de um determinado produto sem concorrência depende do 
preço aplicado a esse produto. Situações como estas são tidas como sendo funções de uma 
variável, isto é, a produção é função da chuva e a demanda de um produto é função do 
preço. 
Entretanto, nem sempre uma determinada grandeza determina-se conhecendo apenas uma 
outra grandeza, ou seja, há descrições que exigem que sejam consideradas várias variáveis. 
Por exemplo, a produção agrícola em agricultura mecanizada depende do volume de água 
regada, de fertilizantes do solo,... A produção de um refrigerante depende de açúcar, 
6 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
corantes, gaseificantes, água,... A receita diária de uma loja depende do preço aplicado a 
cada produto que a loja fornece. Estas situações são consideradas funções de duas ou mais 
variáveis. Ou seja, 
A produção agrícola, função de água e fertilizantes. É uma função de duas variáveis. 
A produção de um refrigerante, função de açúcar, corantes, gaseificantes e água. Função de 
quatro variáveis. Se a função depende de n variáveis, é função de n variáveis. 
 
 
 
 
1.2. Definição (função real de duas 
variáveis) 
Função de duas variáveis independentes é uma regra que atribui a cada par ordenado 
(x;y) pertencente a um dado conjunto D (o domínio de f) um e apenas um número real, 
representado pelo símbolo f(x;y). Pode-se denotar z = f(x;y), o que quer dizer que a 
variável (dependente) z depende das variáveis (independentes) x e y. 
Tal como as funções de uma variável, as funções de duas variáveis f(x;y) podem ser 
imaginadas como uma “máquina” que para cada “entrada” (x;y) produz uma “saida” z = 
f(x;y). Funções de três variáveis independentes f(x,y,z); de quatro variáveis, f(x,y,z,t) ou de 
mais variáveis definem-se da forma similar. 
Podemos notar que umafunção de duas variáveis é uma função cujo domínio é um 
subconjunto de IR2 e cuja imagem é um subconjunto de IR. Os objectos formam um plano 
(são pares ordenados) e as imagens formam uma recta (são valores reais). 
Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de 
todos pontos (x,y,z) em IR3 tal que z = f(x) e (x,y) pertençam a D. 
 
 
 
Lembre-se 
Função é uma regra ou lei que associa a cada elemento de 
um conjunto A (de partida) um e apenas um elemento do 
conjunto B (de chegada). Representa-se y = f(x), onde y é a 
variável dependente e x a independente. 
 
 Exemplos: 
1. O gráfico da função 32),( yxyxf  
 
2. O gráfico da função yxyxf  2),( e ao lado algumas linhas no plano xy que formam 
o seu domínio. 
 
 
 
 
 
Lembre-se 
Domínio de uma função é o conjunto de elementos do 
conjunto de partida que através da lei (função) tem um 
correspodente no conjunto de chegada. 
8 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
1.4. Domínio de uma função real 
de duas variáveis reais 
Como vimos para o caso de funções de uma variável que o domínio duma função definida por 
uma regra é o maior domínio no qual a regra dá um único valor e com sentido. Para funções 
de duas vaiáveis x e y o domínio D é um conjunto de pontos no plano xoy, ou seja, “é o 
conjunto D de todos os pares (x,y) para os quais a regra z = f(x,y) é definida”. 
Seja )1(,:  nIRIRUf n 
 definida seja /),...,,( 21 fIRxxxDf nn  
 
 Exemplo: 
1.O volume dum cilindro com base de raio r e altura h, é uma função de duas variáveis e é 
dada pela condição hrV 2. . Expressando V como função de r e h teremos 
hrhrV 2),(   . 
O domínio desta função são todos pares (raio, altura) que se podem tomar e dar sentido a 
expressão acima. Neste caso, o domínio será dado por: 
DomV=  00:),(  hrhr 
Nota: Observe-se que o raio e altura são sempre não negativos porque tratam-se de distância. 
2.Determine e esboce o domínio das seguintes funções: 
a) )ln(),(
2 xyxyxf  
 
0y condicao a verificamque pontos 
dos parte a tracejar e y xde grafico o mosrepresente 0y
0/),(
2
222
22



x
yxx
xyIRyxDf
 
 
 
0 
y 
x = y² 
x 
 
b) yxyxf  2),( 
 
02 condicao a verificamque pontos 
dos parte a tracejar e 2y de grafico o mosrepresente 202
02/),( 2



yx
xxyyx
yxIRyxDf
 
 
1 
2 
y 
x 
y = 2x 
 
c) 
4
),(
22 

yx
xyyxf 
 
2. raio e origem na centro de nciacircunfere uma e
 que 2y xde grafico o mosrepresente 204
04/),(
22222222
222


yxyx
yxIRyxDf
 
10 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
 
 
1.5. Curvas de nível 
Geralmente, é difícil desenhar o gráfico de uma função de duas variáveis. Uma maneira de 
tentar fazer isso é desenhar um conjunto de contornos unindo pontos que estão a mesma 
altura. 
O conjunto de pontos (x,y) no plano xy que satisfaz à equação kyxf ),( , é chamado de 
curva de nível de f em k. 
Fazendo variar o valor de C, é possível gerar uma família de curvas de nível, tal que plotando 
alguns membros dessa família no plano xy obtêm-se a forma aproximada da superfície (o 
gráfico da função). 
 Exemplo 
Esboce o gráfico da curva de nível para k = 0; 1; 2 e 3. 
a) 224),( yxyxf  
04
0),(
0k para
22 


yx
yxf 
Que é o ponto 
 0;0 
1
1
4
114
1),(
1k para
22
22 


yxyx
yxf
 
Que é uma elipse com 
2
1
a e 
1b 
1
2
2
124
2),(
2k para
22
22 


yxyx
yxf
 
Que é uma elipse com 
2
2a e 
2b 
 
 
 
y 
x 
2
3
 
2
2
 2
1
 
3 
2 
 
1 
3k 
2k 
1k 
0k 
 
E o gráfico correspondente é 
 
 
Para o ramo da economia, por exemplo, se a produção Q(x,y) de um processo é determinada 
por dois insumos x e y (capital imobilizado e horas trabalho, por exemplo) a curva de nível 
CyxQ ),,( é chamada de curva de produto constante C ou isoquanta. 
Noutro caso, as curvas de nível envolvem o conceito de curvas de indiferença. A um 
consumidor que está pensando em comprar várias unidades de dois produtos é associada uma 
função utilidade que mede a satisfação que o consumidor recebe ao adquirir x unidades do 
primeiro produto e y unidades do segundo. Neste caso, a curva de nível fornece todas as 
combinações possíveis de x e y que resultam no mesmo grau de satisfação do consumidor. 
 
12 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
 Exemplo: 
A utilidade para um consumidor da aquisição de x unidades de um produto e y unidades de um 
segundo produto é dada pela função de utilidade U(x,y) = x3/2y. Se o consumidor possui 16 
unidades do primeiro produto e 20 unidades do segundo, determine o nível de utilidade do 
consumidor e desenhar a curva de indiferença correspondente. 
RESOLUÇÃO 
O nível de utilidade é U(16,20) = (16)3/2(20) = 1280 
e a curva de indiferença correspondente é x3/2y = 1280 
 
 
 
1.Seja f(x,y) = ln(x + y – 1) 
i).Estime f(1,1) 
ii).Estime f(e,1) 
iii).Determine o domínio de f 
iv).Determine o contradomínio de f 
 
2.Dada a função f(x,y,z) = x2ln(x – y + z) 
i).Estime f(3,6,4) 
ii).Determine o domínio de f 
 
2.Um fabricante produz calculadoras científicas por um custo de 40,00 reais a unidade e 
calculadoras comerciais por um custo de 20,00 reais a unidade. 
Exercícios 
 
 
i).Expresse o custo de produção mensal do fabricante em função do número de calculadoras 
científicas e comerciais produzidas. 
ii).Calcule o custo mensal de produção de 500 calculadoras científicas e 800 calculadoras 
comerciais. 
iii).O fabricante pretende fabricar 50 calculadoras científicas a mais por mês que o número 
que aparece em ii. Qual deve ser a variação do número de calculadoras comerciais para que o 
custo mensal total não varie? 
 
3.Determine e esboce o domínio das seguintes funções 
i. ( , ) = √ − 
ii. ( , ) = 9 − ( + ) 
iii. ( , ) = 
iv. ( , ) = ln ( + 2 ) 
v. ( , ) = − 
vi. ( , ) = (9 − − 9 ) 
vii. ( , ) = + 
viii. ( , ) = + − 1 + ln(4 − − ) 
ix. ( , ) = √ + 
4.Desenhe várias curvas de nível das seguintes funções 
i). ( , ) = 
ii). ( , ) = − 
iii). ( , ) = − 
iv). ( , ) = 
v). ( , ) = − 
vi). ( , ) = + 
vii). ( , ) = 
5. A utilidade para o consumidor de x unidades de um produto e y unidades de um segundo 
produto é dada pela função de utilidade U(x,y) = 2x3y2. Um consumidor possui x = 5 unidades 
do primeiro produto e y = 4 unidades do segundo. Determine o nível de utilidade do 
consumidor e desenhe a curva de indiferença correspondente. 
 
14 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
6. A utilidade para o consumidor de x unidades de um produto e y unidades de um segundo 
produto é dada pela função de utilidade U(x,y) = (x + 1)(y + 2). Um consumidor possui x = 25 
unidades do primeiro produto e y = 8 unidades do segundo. Determine o nível de utilidade do 
consumidor e desenhe a curva de indiferença correspondente. 
 
 
 
Unidade 02 
Limites de funções reais de variáveis reais 
Objectivos da unidade 
Definir os limites de funções de duas ou mais variáveis e 
determina-los; estabelecer algumas diferenças/semelhanças com os 
limites de funções de uma variável. 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
O cálculo de limite de funções reais de variáveis reais é similar ao 
cálculo de limites de funções reais de variável, contudo há uma 
pequena diferença, a ser mais percebida ao longo da abordagem da 
unidade. 
 
 
 
Definição 
Dada uma função f de duas variáveis, com domínio D que contém arbitrariamente próximis 
de (a,b), diz-se que o limite de f(x,y) quando (x,y) tende para (a,b)é L e escreve-se 
Lembre-se 
Escrevemos Lxf
ax


)(lim e lemos “o limite de f(x), quando x 
tende para a, é igual a L” se for possivel tomar os valores de f(x) 
arbitrariamente próximos de L, tomando x suficientemente 
próximo de a, mas não necessariamente igual a a. Stewart (2001: 
xvii) 
Lembre-se 
Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, excepto 
possivelmente no próprio a. Então diz-se que o limite de f(x) quando x tende para a é L se para 
todo número ԑ há um número correspondente δ > 0 tal que  Lxf )( sempre que 
 ax0 . Stewart(2001: xviii) 
16 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Lyxf
bayx


),(lim
),(),(
 se para qualquer número 0 existe um número correspondente 0 
tal que )),,(( Lyxfd sempre que )),(),,(( bayxd (o mesmo que dizer 
   Lyxf ),(:00 sempre que 
22 )()( byax ). 
Isto quer dizer que os valores de f(x,y) estão mais próximos de L quanto nós queremos desde 
que tomemos os pontos (x,y) do domínio suficientemente próximos do ponto (a,b). 
Do mesmo modo se define limite de funções de três ou mais variáveis. 
Por exemplo, de três variáveis Lzyxf
c
b
a
z
y
x


















),,(lim significa que    Lzyxf ),,(:00
sempre que  222 )()()( czbyax . 
Note-se que enquanto para funções do tipo f: IR →IR os valores da variável independente 
tendem para um valor sobre uma e única linha, para as funções do tipo f: IR2 → IR, os pontos 
(x,y) do domínio, se aproximam de um ponto (a,b) de infinitas maneiras. 
Para o cálculo, dizer que Lyxf
bayx


),(lim
),(),(
 significa que a função tende para este único 
limite de todas as infinitas maneiras de (x,y) tender para (a,b) então: 
Se 1),(),( ),(lim Lyxfbayx  quando (x,y) → (a,b) de um caminho C1 e 2),(),( ),(lim Lyxfbayx  
quando (x,y) → (a,b) de um outro caminho C2 (≠ C1), não existe limite da função f(x,y). 
Estaríamos a dizer que uma função tem dois limites, o que contraria a definição. 
 
 
 Exemplo 
Determinemos o limite 
22
0
0
lim
yx
xy
y
x 







 
RESOLUÇÃO 
1).Seja y =3x → 0
10
3lim
9
3limlim
2
2
022
2
022
0
0



 






 x
x
xx
x
yx
xy
xx
y
x
 
2).Seja y = 0 → 00limlim
2022
0
0

 






 xyx
xy
x
y
x
 
 
 
3).Seja y = - x → 0
2
3limlimlim
2
2
022
2
022
0
0




 






 x
x
xx
x
yx
xy
xx
y
x
 
De 1), 2) e 3) tem- se que o limite é zero, logo 0lim
22
0
0








 yx
xy
y
x
 
Se os pontos, 1), 2) e 3) fossem diferentes, diríamos que o limite não existe. 
Observe-se que as funções supostas em 1), 2) e 3) são do tipo y = mx com m = const. 
 
 
Determine, se existir, o limite 
1. 
)4(lim 235
)0,0(),(
xyyxx
yx


 
2.
)2cos(lim
)3,6(),(
yxxy
yx


 
3.
22
2
)0,0(),(
lim
yx
x
yx 
 
4.
22
2
)0,0(),(
)(lim
yx
yx
yx 


 
5.
222)0,0,0(),,(
lim
zyx
zxyzxy
zyx 


 
6. 44
2lim 22)0,2(),( 

 xyx
yxy
yx
 
7.
222
22
)0,0,0(),,(
lim
zyx
xzyzxy
zyx 


 
8.
22)1,1,1(
2lim
zx
yzxy
P 


 
9.
)
2
(lim
)0,0,0(),,(
zsene xy
zyx


 
10.
)111(lim
4
3
1 zyx
z
y
x


















 11.
)seccos(lim 222
)0,3,3(
zyxsen
P


 
12.
222
)0,2,0(
lnlim zyx
P


 
 
 
Exercícios 
18 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Unidade 03 
Continuidade de funções reais de variáveis 
reais 
 
Objectivos da unidade 
Definir e verificar a continuidade de funções de várias variáveis; 
 
 
 
Definição 
Do mesmo jeito que definimos a continuidade para funções reais de variável real, 
definimo-la para funções reais de variáveis reais, ou seja, 
De acordo com Thomas (1999: 301), uma função f(x,y) é contínua no ponto (x0, y0) se 
1. f for definida em ),( 00 yx ; 
2. ),(lim
0
0
yxf
y
x
y
x









 existe 
3. ),(),(lim 00
0
0
yxfyxf
y
x
y
x










 
Uma função é contínua quando é contínua em todos os pontos do seu domínio. 
Esta definição aplica-se tanto para pontos de fronteira de f como a pontos interiores 
domínio. 
 
 Exemplo 
Mostre que a função f abaixo é contínua em todo ponto, excepto na origem. 
Lembre-se 
Uma função f é contínua em um número a se 
)()(lim afxf
ax


. Stewart (2001: xviii) 
 
 





,0
,2
),( 22 yx
xy
yxf 







)0,0(),,(
)0,0(),(
yx
yx
 
 
 
 
1.Em que pontos (x,y) no plano as funções abaixo são contínuas? 
i. )(),( yxsenyxf  ii. 
yx
yxyxf


),( iii. )/1(),( xysenyxf  iv. 
23
),( 2
22



xx
yxyxf 
v. )ln(),( 22 yxyxf  vi. 
1
),( 2 

x
yyxf vii. 
x
yxyxf
cos2
),(


 viii. 
yx
yxg

 2
1),( 
2.Em que pontos (x,y,z) no espaço as funções abaixo são contínuas? 
i. 222 2),,( zyxzyxf  
ii. )ln(),,( xyzzyxg  
iii. )cos(),,( zezyxh yx 
iv. 1),,( 22  yxzyxk 
v. )/1(),,( zxysenzyxf  
vi. 
1
1),,( 22 

zx
zyxh 
 
Exercícios 
20 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Unidade 04 
Derivadas de funções reais de variáveis reais 
 
4.1. Objectivos da unidade 
Até ao fim desta unidade o estudante deve estar em condições de 
definir derivada de uma função de várias variáveis; determinar as 
derivadas parciais; identificar formas de aplicar o conceito de 
derivada na vida real, por exemplo para o ramo da economia; 
4.2. Breve introdução 
Esta unidade mostra como as derivadas parciais aparecem e como 
são calculadas aplicando as regras para derivação de funções de 
uma variável. Esta unidade tem muita aplicação na vida, por 
exemplo para calcular volume de uma caixa com aumento de uma 
unidade da altura mantendo constantes o comprimento e a largura; 
 
 
 
 
4.3. Definição 
Seja dada uma função real f: U Ϲ IRn → IR. Tomemos n = 2, então suponhamos 
(P) = f(x,y) logo, ),(),( 0000 yxfyyxxf  e 220 )()(),( yxPPd  
Lembre-se 
a derivada de uma função f em um número a, denotado por 
ax
afxfaf
ax 



)()(lim)(' (se o limite existir). Stewart (2001:xix) 
 
 
Portanto, 
22
0000
0 )()(
),(),(
),( yx
yxfyyxxf
PPd 


 e se aplicamos o limite quando o 
ponto P tende a ser o ponto esoecífico P0, nos dois membros, teremos 
22
0000
)0,0(),(
0 )()(
),(),(lim
),(
lim
0 yx
yxfyyxxf
PPd yxPP 




 . 
A este limite chamamos de taxa de variação instantânea da função f no ponto ),( 000 yxP  
em relação a unidade de distância ),( 0 PPd . Tal como nas funções reais de variável real, 
chamamos a esta taxa de variação instantânea de derivada da função f no ponto 
),( 000 yxP  e escreve-se 
22
0000
)0,0(),(0 )()(
),(),(lim)('
yx
yxfyyxxfP
yx 



 
 
4.4. Derivadas parciais 
Em funções de duas variáveis, geralmente o objectivo tem sido determinar a taxa de 
variação da função com uma das variáveis mantendo a outra constante, ou seja, é derivar a 
função em relação a uma das variáveis mantendo a outra fixa. Esse processo é chamado de 
derivação parcial e a derivada resultante é chamada de derivada parcial. 
Se  yxP ; desloca-se apenas na direcção do eixo xO , então 0y mantém-se fixo e x 
varia em hx  e, 
   0000 ;; yxfyhxf  e   hxPPd 0 , portanto; 
 
 
   
h
yxfyhxf
PPd
P
hPP
0000
0
0
0 ;;limlim
0




 , a este limite chama-se derivada parcial de f 
em relação a variável x no ponto  000 ; yxP e representa-se por  00; yxfx ou 
 00; yxx
f


 
22 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agostode 2011 
Analogamente define-se a derivada parcial de f em relação à variável y no ponto 
 000 ; yxP como
      
   
k
yxfkyxf
PPd
Pyx
y
fyxf
kPP
y
0000
00
0
0000
;;limlim;;
0









 
Isto quer dizer que para determinar: 
x
ff x 

 … fixa- se y ( y - constante) e considera-se x como variável. 
y
ff y 

 … fixa- se x ( x - constante) e considera-se y como variável. 
 Exemplo 
Determine as derivadas parciais de 
  1053; 222  yxxyyxyxh 
  532; 2 

 yxyx
x
h
 e   162; 

 xyyyx
y
h
 
4.5. Derivadas de maior ordem 
As derivadas parciais de uma função de duas variáveis são também funções de duas 
variáveis. Portanto, elas podem ser ainda, derivadas, ou seja, delas derivam outras 
derivadas parciais. As funções resultantes são designadas derivadas parciais de segunda 
ordem. 
Se ),( yxfz  , 
1. A derivada parcial de fx em rela ção a x é   2
2
11 x
f
x
f
x
fff xxxx 











 
2. A derivada parcial de fx em rela ção a y é   yx
f
x
f
y
fff xyyx 












2
12 
3. A derivada parcial de fy em rela ção a x é   xy
f
y
f
x
fff yxxy 












2
21 
 
 
4. A derivada parcial de fy em rela ção a y é   2
2
22 y
f
y
f
y
fff yyyy 











 
A notação 
xy
ff xy 


2
, por exemplo, significa que primeiro derivamos em relação a x e 
depois em relação a y . 
 
 Exemplo 
Seja 2323 2),( yyxxyxf  
Derivadas parciais da primeira ordem: 
yyx
y
ffxyx
x
ff yx 4323
2232 





 
Derivadas parciais da segunda ordem: 
    232
2
332
2
2
6232623 xyxyx
yxy
ffyxxyx
xx
ff xyxx 










 
    4643643 2222
2
222
2












 yxyyx
yy
ffxyyyx
xyx
ff yyyx
 
 
 
 
 
1.Determine as derivadas parciais de segunda ordem 
i. ( , ) = 5 + 2 ii. ( , ) = iii. ( , ) = + 
iv. ( , ) = v. ( , ) = ln( + ) vi. ( , ) = 
2.Para as alíneas abaixo, verifique que yxxy ff  
i. )32ln(),( yxyxf  ii. 43322),( yxyxxyyxf  
Exercícios 
24 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
iii. xyxysenyxsenyxf  )()(),( iv. xyyxeyxf x  )ln(),( 
3.Qual é ordem de derivação calculará mais rapidamente possível a derivada xyf ? 
(primeiro x ou primeiro y). Tente responder sem fazer anotações 
i. yexsenyyxf ),( ii. xyxf /1),(  iii. )1ln(4),( 232  yyyxyyxf 
iv. )ln(),( xyxyxf  v. 
y
xyyxf ),( vi. 
xexsenxyxyxf 7)(5),( 2  
4.Determine a derivada parcial da quinta ordem 325 / yxf  (procure usar o caminho mais 
rápido) 
i. 2),( 24  xeyxyxf ii. ))((),( 42 xxsenyyyxf  
iii. 2
2
),(
y
xeyxf  
iv. xexsenxyxyxf 7)(5),( 2  
 
 
 
 
Unidade 05 
Gradiente e seu significado 
 
5.1. Gradiente: conceito 
Chama-se gradiente ao vector que indica o sentido para o qual a função cresce. Num 
determinado ponto, o gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por esse ponto. 
Escreve-se grad f ou f . Chama-se gradiente de f. 
O vector gradiente (gradiente) de f(x,y) no ponto ),( 000 yxP é o vector jy
fi
x
ff





 obtido 
por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P0. 
Portanto, gradiente de f é um vector formado pelas derivadas parciais da função f, ou seja, 
Para uma função de duas variáveis ),(),(),(
y
f
x
fyxgradfyxf




 
Para uma função de três variáveis ),,(),,(),,(
z
f
y
f
x
fzyxgradfzyxf






 
E para funções de n variáveis )...,,,()...,,,(
321
321
n
n x
f
x
f
x
f
x
fxxxxf








 
 
 Exemplo 
Determine a gradiente da função 23 43),( yxyxyxf  
Tratando-se de uma função de duas variáveis, o gradiente será dado por ),(),,(
y
f
x
fyxf




 . 
Portanto, calculemos as derivadas parciais 
x
f

 e 
y
f

 . 
yx
x
yxyx
x
f 33)43( 2
23





 e yx
y
yxyx
y
f 83)43(
23





 logo, o gradiente 
de f(x,y) será )83,33(),,( 2 yxyxyxf  . 
26 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
 
 
 
 
1.Determine o gradiente da função no ponto dado 
i. )1,2(),( xyyxf  ii. )0,1(,),( 2  xyyxf 
iii. )1,1(),ln(),( 22 yxyxf  iv. )1,2(,
22
),(
22 yxyxf  
v. )1,1,1(,ln2),,( 222 xzzyxzyxf  vi. )2,,2,1(),ln()(),,( 2/1222   xyzzyxzyxf
 
vii. )1,1,1(,)(32),,( 1223 xztgzyxzzyxf  viii. )6/,0,0(,)1(cos),,(
1 xsenyzezyxf yx  
 
 
 
Exercícios 
 
 
Unidade 06 
Derivada direccional 
 
6.1.0. Derivada direccional 
Com base na definição de derivada sabe-se que as derivadas parciais representam as taxas 
de variação de z = f(x,y) na direcção dos eixos x e y. Essa observação é particularmente 
importante quando a curva é uma recta na direcção de um vector unitário, u. Variando u, 
encontramos as taxas com que f varia em relação à distância quando nos movemos por P0 
em direcções diferentes. Suponhamos que a função f(x,y) seja definida em uma região R no 
plano xy, que P0 = (x0 ,y0) seja um ponto em R e que juiu 21 u seja um vector unitário. 
Então as equações 10 suxx  e 20 suyy  parametrizam a recta que passa por P0 
paralelamente a u. Se o parâmetro s mede o comprimento de arco de P0 na direcção de u, 
encontramos a taxa de variação de f em P0 na direcção de u calculando df/ds em P0. 
Definição: de acordo com Thomas (2009:330) a derivada direccional de f em ),( 000 yxP na 
direcção de um vector unitário juiuu 21  é o número 
s
yxfsuysuxfyxfD
su
),(),(lim),( 002010
000



, desde que o limite exista. 
Também escreve-se 
0,Puds
df





 ou 
0
)( Pu fD . Se o vector u, não é unitário, tomamos v
vv 



 
o seu correspondente unitário. 
 
28 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
6.2.0. Relação entre a derivada direccional e gradiente 
Dado um vector unitário 21,uuu 
 . Seja ),()( 2010 suysuxfsg  então ),()0( 00 yxfg  e 
)0()( gsgg  . Portanto, 
),(),(),(lim)0()(lim)0(' 0000201000 yxfDs
yxfsuysuxf
s
gsgg vss






. 
Todavia, sendo ),()( 2010 suysuxfsg  então g’(s) obtem-se derivando 
),()( 2010 suysuxfsg  em relação a s. Pode-se notar que xsux  10 e ysuy  20 o 
que significa que tanto x como y são funções de s, ou seja, x = x(s) e y = y(s). Por 
conseguinte, a função g é uma função de duas variáveis x e y que são por sua vez, funções de 
s. Portanto a função f é composta e por isso a sua derivada deverá seguir a regra de cadeia para 
derivadas. 
ds
dy
y
f
ds
dx
x
fsgsysxfsg 





 )('))(),(()( 
Como xsux  10 então 1uds
dx
 e ysuy  20 então 2uds
dy  , logo 
21)(' uy
fu
x
fsg 





 
Então 
















2
1
21 ).,()0(' u
u
y
f
x
fu
y
fu
x
fg 
Logo, uyxfyxfDu

  ),(),( 0000 
Ou seja, a derivada direcional da função em direcção ao vector unitário u é o produto escalar 
do vector u e gradiente. 
 
Atendendo que o vector unitário u = <u1, u2>, está no plano, 
 teremos u1=cos(θ) e u2 = sen(θ) 
Logo, )(
),(
)cos(
),(
),( 000000  seny
yxf
x
yxfyxfDu 




 . Onde ),( Oxu . 
 
 Exemplo, 
Determine a derivada direccional de yxeyxf 2),(  no ponto (5,0) com θ=π/2. 
Primeiro calculemos as derivadas parciais naquele ponto, 
1
)0,5()0,5(
)()0,5( 22 




  yy exe
x
f e 10
)0,5(
2
)0,5(
)()0,5( 22 




  yy xexe
y
f 
Portanto, 10)2/()10()2/cos(1),( 00   senyxfDu 
 
 
 
 
 
 
 
1.Encontre a derivada da função em 0P na direcção de A. Exercícios 
30 Cálculo Diferencial e Integral em IRnBeira, Agosto de 2011 
i. jiAPyxyyxf 34),5,5(,32),( 02  
ii. jiAPyxyxf 43),1,1(,2),( 022  
iii. 
kjiA
Pzxyzxyzyxf
263
),2,1,1(,),,( 0

 
iv. 
kjiA
Pzyxzyxf

 ),1,1,1(,32),,( 0
222
 
v. 
jiA
Pxy
x
yxyxf
512
),1,1(),2(sec3)(),( 0
1
2

  
vi.
jiA
Pxysenxytgyxf
23
),1,1(),2/(3)/(),( 0
11

  
vii.
kjiA
Pyzezyxf x
22
),0,0,0(,cos3),,( 0

 
viii.
kjiA
Pzxexyzyxf yz
22
),2/1,0,1(,lncos),,( 0

 
 
 
2.Em que direcção a derivada de 2),( yxyyxf  em )2,3(P é igual a zero? 
3.Em quais direcções a derivada de )/()(),( 2222 yxyxyxf  em )1,1(P é igual a zero? 
 
 
 
 
 
Unidade 07 
Diferencial de uma função 
Para uma função de uma única variável,  xfy  , definimos o diferencial dx como 
uma variável independente, ou seja, dx pode assumir qualquer número real. O diferencial 
de y é definido como  dxxfdy ' ( recorda-se da notação  xf
dx
dy ' ! ) 
Agora, para uma função de duas variáveis,  yxfz , , definimos os diferenciais 
dx e dy como variáveis independentes, isto é, podem ter qualquer valor real. Então o 
diferencial dz , também chamado diferencial total, é definido por 
    dy
y
zdx
x
zdyyxfdxyxfdz yx 


 ,, 
Se tomarmos axxdx  e byydy  o diferencial de z , dz, 
anterior fica; 
     bybafaxbafdz yx  ,, 
 
 
 
 Exemplo 
Se   22 3, yxyxyxfz  , determine o diferencial dz . 
a)-Se x varia de 2 a 2,05 e y varia de 3 a 2,96, qual deve ser o valor de dz ? 
 
 
 
32 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
RESOLUÇÃO 
   
   dyyxdxyxdf
dyyxyx
y
dxyxyx
x
df
dy
y
zdx
x
zdf
2332
33 2222














 
a) 05,0205,2 x e 04,0396,2 y 
     bybafaxbafdz yx  ,, 
65,0
)04,0)(3.22.3(05,0)3.32.2(


df
df
 
 
 
 
1.Determine o diferencial total de 
i. Z = xy2 + x3 
ii. Z = x3 + y3 
iii. Z = ln(x2 – y2) 
iv. 32 yxz  
v.  yxu 32ln  
vi. ts
rv
2
 
vii. 
z
yx
ew  
2.Se 225 yxz  e  yx, varia de  2;1 a  1,2;05,1 determine o valor de dz 
 
3.O comprimento e a largura de um rectângulo foram medidos como 30cm e 24cm, 
respectivamente, com um erro máximo de 0,1cm. Utilize os diferenciais para estimar o máximo 
erro cometido no cálculo da área do rectângulo. ( dica: procure a função área e calcule o 
diferencial dessa função tendo em conta que 1,0 cdc e 1,0 ldl ). 
 
4.As dimensões de uma caixa fechada retangular foram medidos como 80cm, 60cm e 50cm, 
repectivamente, com um erro màximo de 0,2cm em cada dimensão. Utilize diferenciais para 
estimar o máximo erro cometido no cálculo da área da superfície da caixa. 
Exercícios 
 
 
Unidade 08 
Regra de derivação de funções compostas 
(a regra de cadeia) 
 
Suponhamos que z é uma função de x e y, z = F(x,y), onde x e y são funções de uma 
variável t, x = f(t) e y = g(t). Então, z = F(f(t); g(t)) que expressa z em função de t. Será 
que uma variação de t produzirá uma variação de z? Se z varia, será no sentido de crescer 
ou decrescer? Respostas destas questões são obtidas determinando uma expressão para a 
derivada de z em relação a t (dz/dt), a taxa de variação de z em relação t. 
Regra de cadeia 
Se z = F(x,y), onde x = f(t) e y = g(t), então 
= ∙ + ∙ . 
Esta derivada é chamada de derivada total. 
 
 Exemplo 
Determine dz/dt sabendo que z = F(x,y) = x2 + y3, sendo x = t2 e y = 2t 
RESOLUÇÃO 
( , ) = 2 , ( , ) = 3 , = 2 = 2 , logo a derivada total dz/dt será dada por 
= 2 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 4 + 6 = 4 + 24 . 
 
 
 
34 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
8.1. Regra de cadeia para funções de duas 
variáveis 
Se z = F(x,y), onde x = f(t,s) e y = g(t,s), então, 
(a) = ∙ + ∙ 
(b) = ∙ + ∙ 
 
 Exemplo 
Determine , se z = F(x,y) = x2 + 2y2, sendo x = t – s2 e y = ts. 
Solução 
( , ) = 2 , ( , ) = 4 , = 1, = −2 , = = , logo 
(a). = 2 ∙ 1 + 4 ∙ = 2( − ) + 4 ∙ ∙ = 2 − 2 + 4 
(b). = 2 ∙ (−2 ) + 4 ∙ = −4( − ) + 4 = −4 + 4 + 4 
 
 
 
1.Usando a regra de cadeia, determine dz/dt. 
i. F(x,y) = x + y2, x = t2 e y = t3 ii. F(x,y) = xpyq, x = at e y = bt 
 
2.Usando a regra de cadeia, determine . 
i. Z = F(x,y) = x + y2, x = t – s e y = ts ii. Z = xy2, x = t + s2 e y = t2s 
iii. Z = F(x,y) = 2x2 + 3y3, x = t2 – s e y = t +2s3 iv. Z = (x – y)/(x + y), x = et + s e y = ets 
 
Exercícios 
 
 
Unidade 09 
Derivadas de funções vectoriais 
Imaginemos uma partícula que se move pelo plano durante um intervalo de tempo I. Nota-
se que as coordenadas da partícula são funções definidas em I: 
Itcomthztgytfx  )(),(),( 
Os pontos Itthtgtfzyx  )),(),(),((),,( , formam a curva no espaço que é a 
trajectória da partícula. Vejamos o gráfico 
 
O vector kthjtgitfOPr 

)()()( a partir da origem até a posição da partícula 
P(f(t), g(t), h(t)) no instante t é o vector posição da partícula. As funções f, g e h são as 
funções componentes (as componentes) do vector posição. A trajectória da partícula é a 
curva traçada por r durante o intervalo de tempo I. 
Definição: uma função vectorial ou função a valores vectoriais sobre um domínio D é uma 
regra que associa um vector no espaço a cada elemento de D. 
 
36 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
9.1. Derivada de funções vectoriais 
Verifiquemos primeiro o gráfico abaixo 
 
Vamos supor que kthjtgitftr  )()()()( seja o vector posição de uma partícula 
que se move ao longo de uma curva no plano e que f, g e h sejam funções deriváveis em t. 
Então, e de acordo com a figura, a diferença entre as posições da partícula no instante t e no 
instante t + ∆t é )()( trttrr  . Em termos de componentes do vector posição, temos 
  ])()()([)()()()()( kthjtgitfktthjttgittftrttrr  
kthtthjtgttgitfttfr  )]()([)]()([)]()([ 
À medida que ∆t tende para zero, três coisas parecem acontecer em simultâneo. Primeiro, 
que o ponto Q se aproxima do ponto P ao longo da curva. Depois, a recta secante PQ 
parece se aproximar de uma posição-limite tangente à curva em P. Em seguida e por 
último, o quociente ∆r/∆t (veja a figura abaixo) se aproxima do limite 
k
t
thtthj
t
tgttgi
t
tfttf
t
r
tttt






















)()()()()()(lim limlimlim
0000
 
k
dt
dhj
dt
dgi
dt
df
 
 
 
Definição: uma função vectorial kthjtgitftr  )()()()( tem uma derivada (é 
derivável) em t se f, g e h têm derivadas em t. A derivada é a função vectorial 
kthjtgitftr  )(')(')(')( . 
 
 Exemplo 
Uma pessoa em uma asa-delta está espiralando para cima devido ao ar ascendente muito 
veloz em trajectória com vector posição ktjsentittr  2)3()cos3()( . A trajectória é 
similar a uma hélice, tal como mostra afigura abaixo para 40  t . 
(a) Encontre os vectores velocidade e aceleração; 
(b) O módulo da velocidade da asa-delta em qualquer instante t; 
 
 
 
 
38 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
RESOLUÇÃO 
(a) ktjsentittr 
2)3()cos3()( 
Então, a velocidade será ktjtisenttrv  2)cos3()3()(' 
 e a aceleração será kjsentittrv  2)3()cos3()('' 
(b) O módulo da velocidade é a magnitude de v 
2222222 494cos99)2()cos3()3()( ttttsenttsenttv  
A asa-delta se move cada vez mais rápido à medida que sobe ao longo da sua trajectória. 
Uma pergunta relevante: Em que instante a velocidade e a aceleração da asa-delta são 
ortogonais? 
Note que as regrasde derivação de funções vectoriais são similares às das de funções reais. 
 
 
 
1. Movimentos no plano 
1. Determine os vectores velocidade e aceleração da particula no instante t dado 
i. 1,)1()1()( 2  tjtittr 
ii. 2/1,)12()1()( 2  tjtittr 
iii. 3ln,
9
2)( 2  tjeietr tt 
iv. 0,)23()2(cos)(  tjtsenittr 
v. 2/4/,)(cos)()(  etjtisenttr  
vi. 2/3,)
2
()
2
(cos)(  etjtsenittr  
vii. 2/3,)cos1()()(  etjtisentttr  
Exercícios 
 
 
viii. 1,0,1,)1()( 2  tjtittr 
 
2. Movimentos no espaço 
2. Determine a velocidade e a aceleração no espaço 
i. 1,2)1()1()( 2  ttkjtittr 
ii. 1,
3
)
2
()1()(
32
 tktjtittr 
iii. 2/,4)3()cos2()(  ttkjsentittr 
iv. 6/,
3
4)()(sec)(  ttkjtgtittr 
v. 1,
2
))1ln(2()(
2
2  tktjtittr 
vi. 0,)32()3cos2()()(   tktsenjtietr t 
3. Encontre os ângulos entre os vectores aceleração e velocidade no instante t = 0. 
i. ktjtittr 23)13()(  
ii. jttittr )16
2
2()
2
2()( 2 
iii. ktjttgittr   1)())1(ln()( 212 
iv. tkjtittr
3
1)1(
9
4)1(
9
4)( 2/32/3  
4. Determine o(s) instante(s) em que os vectores aceleração e velocidade são 
ortogonais 
i. 20,)cos1()(  tjtisentt ii. 0,)(cos)()(  tkttjisenttr 
40 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Unidade 10 
 Derivada de de funções implícitas 
 
Derivada de uma função implícita Uma função como 
yxyxyx 233 5723  define implicitamente y como função de x . 
Nestas condições, como determinar ?' 
dx
dyy 
Observe que y é uma função de x e, portanto, a sua diferenciação obdece a regra de cadeia 
(regra da função composta), isto é; 
yxyxyx 233 5723  
   
   
   
276
335'
335276
2572.333
257333
233
6
224
2246
4622
46222
5723







yxy
yxx
dx
dyy
yxxyxy
dx
dy
dx
dyx
dx
dyy
dx
dyyxyx
dx
dyx
dx
dyyy
dx
dxx
dx
dyx
yx
dx
dyxyx
dx
d
 
Sendo z uma função de x e y definida implicitamente pela equação 
323 322  xzzyzxxy , ache 
x
z

 e 
y
z


 
 
 
10.1. Regra geral para diferenciação 
implícita 
Sendo z uma função de x e y , definida implicitamente pela equação   0,, zyxF
, para determinar 
x
z

 e 
y
z

 calcula-se normalmente: 
x
F


, 
y
F


 e 
z
F


, depois determina-se
z
F
x
F
x
z






 e 
z
F
y
F
y
z






 
 Exemplo 
323 322  xzzyzxxy 
  333,, 322  zxyzxxyzyxF 
Determinemos primeiro, as derivadas parciais da função F e substituamos nas fórmulas, 



































39
32
39
16
32
39
16
22
32
22
32
32
22
32
yzx
zxxy
y
z
yzx
xyzy
x
z
zxxy
y
F
yzx
z
F
xyzy
x
F
 
 
 
Determine 
x
z


 e 
y
z

 
a) 3222  zxyzxy b) 0 xy zeyzxe 
c)   321ln zxyyzx  
 
 
Exercícios 
42 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Unidade 11 
Optimização de funções reais de duas 
variáveis reais 
 
Na abordagem de funções reais de variável real, vimos a optimização de funções envolvendo 
uma variável, uma aplicação das derivadas para a determinação de máximos e mínimos de 
funções. 
Entretanto, muitos problemas na vida real, de optimização, exigem a escolha simultânea de 
várias variáveis. Por exemplo, a minimização de custo de produção é em relação a factores 
como homes-horas e capital imobilizado; como maximizar o volume de uma caixa sem tampa 
com uma quantidade fixa de cartolina. 
Pontos Críticos 
Definição: 
Um ponto (a;b) de uma função f(x;y) é chamado de ponto crítico (ou estaccionário) se as 
derivadas parciais fx e fy existirem e fx (a;b) = 0 e fy(a;b) = 0. 
Teste de segunda derivada 
Suponhamos que (a;b) seja um ponto crítico da função f(x;y), ou seja, fx (a;b) = 0 e fy(a;b) 
= 0. Suponamos ainda que, D(a;b) = fxx(a;b)*fyy(a;b) – [fxy(a;b)]2 então: 
1. Se D < 0 então f(a;b) é ponto de sela. 
2. Se D > 0 e então fxx(a;b) < 0, então f(a;b) é um máximo local 
3. Se D > 0 e então fxx(a;b) > 0, então f(a;b) é um mínimo local 
4. Se D = 0, nada pode se concluir, ou seja, f(a;b) pode ser máximo, mínimo ou ponto de sela. 
 
 Exemplo 
1. Determine os pontos críticos da função 
14),( 44  xyyxyxf e classifique-os. 
 
 
RESOLUÇÃO 
1º passo: determinemos os pontos críticos, ou seja, os pontos (a;b) tais que fx(a,b) =0 e 
fy(a;b) = 0. 
f (x, y) = (x + y − 4xy + 1) = 4x − 4y 
f (x, y) = (x + y − 4xy + 1) = 4y − 4x 
4x − 4y = 0
4y − 4x = 0
 ↔ x − y = 0
y − x = 0
 ↔
y = x
−−−
↔
_____
x − x = 0 ↔
_____________
x(x − 1) = 0 ↔ x = 0 v x = −1 v x = 1 
Temos se 
se x = 0 → y = 0 = 0
x = −1 → y = (−1) = −1
se x = 1 → y = 1 = 1
 
Então os pontos críticos (a,b) são (-1;-1); (0;0) e (1;1). 
2º passo: Verificar qual é máximo, mínimo ou ponto de sela 
Apliquemos o teste de segunda derivada 
D- ? 
D(a;b) = fxx(a;b)*fyy(a;b) – [fxy(a;b)]2 
f (x, y) =
∂
∂x
(4x − 4y) = 12x 
f (x, y) =
∂
∂y
(4y − 4x) = 12y 
f (x, y) =
∂
∂y
(4x − 4y) = −4 
1. Para (x,y) = (0,0) 
Fxx(0,0) = 12*02 = 0 fyy(0,0) = 0 e fxy(0,0) = - 4 
Logo, D = 0*0 – (-4)2 = -16 < 0, portanto, f(0,0) é ponto de sela. 
2. Para (x,y) = (-1, -1) 
Fxx(-1, -1) = 12*(-1)2 = 12 fyy(-1, -1) = 12*(-1)2 fxy(-1, -1) = - 4 
44 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Logo, D = 12*12 – (-4)2 = 144 – 16 = 128 
Temos que D = 128 > 0 e fxx(-1, -1) = 12 > 0, portanto, f(-1, -1) é ponto de máximo local 
3. Para (x,y) = (1, 1) 
Fxx(1, 1) = 12*(1)2 = 12 fyy(1, 1) = 12*(1)2 fxy(1, 1) = - 4 
Logo, D = 12*12 – (-4)2 = 144 – 16 = 128 
Temos que D = 128 > 0 e fxx(1, 1) = 12 > 0, portanto, f(1, 1) é ponto de máximo local 
 
2.Uma açucareira produz dois tipos de açúcar, branco e castanho. O custo de produção de x 
quilogramas de açúcar branco e y quilogramas de açúcar castanho é dado por 
C(x, y) = 2x2 – 4xy + 4y2 – 40x – 20y + 14 
Suponha que a açucareira vende toda a sua produção a um preço igual a 24,00Mt por quilo 
de açúcar branco e 12,00Mt por quilo do açúcar castanho. Determine os níveis de 
produção, diários x e y que maximizam o lucro. 
 
RESOLUÇÃO 
Pretende- se maximizar o lucro da açucareira. Determinemos a função lucro 
L(x, y) = R(x, y) – C(x, y) 
R(x, y) = (nº de quilos x)*(preço de x) + (nº de quilos de y)*(preço de y) 
R(x, y) = x*24 + y* 12 = 24x + 12y 
 
L(x, y) = 24x + 12y – (2x2 – 4xy + 4y2 – 40x – 20y + 14) = -2x2 + 4xy – 4y2 + 64x + 32y – 11 
 
Determinemos os pontos críticos 
Lx (x, y) = -4x + 4y + 64 
Ly (x, y) = -8y + 4x + 32 
−4x + 4y + 64 = 0
−8y + 4x + 32 = 0 ↔ 
−x + y = −16
x − 2y = −8 ↔ 
x = 40
y = 24 
Isto quer dizer que o ponto crítico é o ponto de (40, 24) 
Será o ponto que maximiza o lucro? 
Lxx(x, y) = -4 Lyy( x, y) = -8 Lxy (x, y) = 4 
D = -4 * (-8) – 42 = 16 
Temos que D = 16 > 0 e Lxx(40,24) = -4 < 0, o ponto (40,24) é o ponto de máximo local. 
 
 
Resposta: para maximizar o lucro, a açucareira deve produzir por dia 40 quilogramas de 
açúcar branco e 24 quilogramas de açúcar castanho. 
 
 
 
 
1.Determine todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções 
i. 433),( 22  yxyxyxyxf 
ii. 46633),( 22  yxyxyxyxf 
iii. 444252),( 22  yxyxxyyxf 
iv. 44252),( 22  xyxxyyxf 
v. 523),( 2  yxxyxyxf 
vi. 222),( 2  yxxyyyxf 
vii. 26375),( 2  yxxxyyxf 
viii. 4322),( 22  xyxxyyxf 
ix. 264),( 22  yyxyxyxf 
x. yxyxyxyxf 42763),( 22  
 
2.Determine os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados 
(i) 1442),( 22  yyxxyxf na placatriangular fechada e limitada pelas 
rectas xyyx 2,2,0  no primeiro quadrante. 
(ii) 1),(
22  yxyxyxD na placa triangular fechada no primeiro quadrante 
limitada pelas rectas xyyx  ,4,0 
(iii) 
22),( yxyxg  na placa triangular fechada no primeiro quadrante limitada 
pelas rectas 22,0,0  xyyx . 
(iv) xyxyxyxT 6),(
22  na placa rectangular 33,50  yx 
(v) 26),(
22  xyxyxyxJ na placa rectangular 03,50  yx . 
(vi) 
23 243248),( yxxyyxf  na placa rectangular 10,10  yx . 
Exercícios 
46 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
(vii) 1284),(  yxyxyxf na placa triangular limitada pelas rectas 
1,0,0  yxyx . 
3.Encontre dois números a e b com ba  , tais que  
b
a
dxxx )6( 2 tenha o seu valor 
máximo. 
4.Encontre dois números a e b com ba  , tais que  
b
a
dxxx 3/12 )224( tenha o seu valor 
máximo. 
 
5.A figura abaixo mostra isotermas (curvas de temperaturas constantes) da função 
temperatura xyxyxT  22 2),( no disco 122  yx no plano xy. 
Encontre as temperaturas nos pontos mais quentes e 
mais frios da placa. 
6.Os lucros anuais (em milhões de dólares) para uma firma são dados por 
P(x, y) = -x2 – y2 + 22x +18y -22, onde x é o montante gasto na investigação (em milhões 
de dólares) e y é o montante gasto em anúncios (em milhões de dólares). 
a) Calcule os lucros quando x = 10 e y = 8 e quando x = 12 e y = 10. 
b) Calcule os valores de x e y que maximizam os lucros e o correspondente lucro. 
 
7.Uma firma produz dois bens. O custo de produção de x unidades da primeira mercadoria 
e y unidades da segunda é C(x,y) = x2 + xy + y2 + x + y + 14. Suponha que a firma vende 
toda produção de cada mercadoria aos preços p e q, respectivamente. Determine os valores 
de x e y que maximizam os lucros da firma. 
 
 
 
8.Uma loja de camisetes de futebol vende dois modelos, um com assinatura de Dominguez 
e outro com assinatura de Tico- Tico. O dono da loja sabe que se as camisetes de 
Dominguez forem vendidas por x meticais cada e as de Tico- Tico por cada e as de Tico- 
Tico por y meticais cada, os fregueses comprarão 40 – 50x + 40y camisetes de Dominguez 
e 20 + 60x – 70y camisetes de Tico- Tico. Ele compra os dois modelos por duzentos 
meticais por camisete (para os cálculos use 2,00Mt). Determine o preço da cada camisete 
de forma que o dono da loja obtenha o maior lucro possível. 
 
9.Uma fábrica de lacticínios produz leite integral e leite desnatado nas quantidades de x e y 
litros por hora, respectivamente. O preço de leite integral é p(x) = 100 – x e do leite 
desnatado é p(y) = 100 – y . A função custo conjunto dos dois leites é C(x, y) = x2 + xy + 
y2. Quais devem ser os valores de x e y para que o lucro seja máximo? 
 
10.Um fabricante com direitos de exclusividade em relação a um novo e sofisticado modelo 
de máquina industrial pretende vender um número limitado das máquinas no mercado 
interno no mercado externo. O preço de mercado das máquinas depende do número de 
máquinas fabricadas (se um número pequeno de máquinas for colocado a venda, a 
competição entre os possíveis compradores fará o preço subir). Estima-se que se o 
fabricante colocar à venda x máquinas no mercado interno e y máquinas no mercado 
externo, as máquinas serão vendidas por 60 – x/5 + y/20 milhares de reais no mercado 
interno e pelo equivalente a 50 – y/10 + x/20 milhares de reais no mercado externo. Se o 
custo unitário da fábrica for 10 000 reais, quantas máquinas devem ser colocadas em cada 
mercado de forma a maximizar o lucro? 
11.Determine a distância mais curta entre o ponto (1, 0, -2) e o plano 42  zyx . 
12.Determine o ponto do plano 12  zyx que está mais próximo do ponto (-4, 1, 3). 
13.Determine os pontos da superfície 12  xyz que estão mais próximos da origem. 
14.Determine os pontos da superfície 122 zyx que estão mais próximos da origem. 
15.Determine o volume máximo duma caixa sem tampa a ser feita com 12 m2 de papelão. 
48 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
16.Determine as dimensões de uma caixa rectangular de volume máximo tal que a soma 
dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c. 
17.A base de um aquário com volume V é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o 
preço da ardósia (por unidade de área) é cinco vezes maior que o preço do vidro, determine 
as dimensões do aquário para minimizar o custo do material. 
18.Determine três números positivos cuja soma é 100 e o produto é máximo. 
19.Determine três números positivos x, y e z, cuja soma é 100 tal que cba zyx seja máximo. 
 
 
 
Unidade 12 
Métodos dos multiplicadores de 
Lagrange 
 
No item anterior, vimos a optimização de funções sem que sejam impostas nenhumas 
condições. Contudo, com muitos problemas práticos de optimização exige-se frequentemente 
que as variáveis envolvidas satisfaçam algumas condições (restrições). Por exemplo, as 
quantidades diferentes de produtos procuradas por uma empresa devem satisfazer a restrição 
orçamental, ou seja, não pode ser possível querer adquirir um certo número de produtos cujo 
valor a pagar é superior ao valor orçamental existente. Uma editora, por exemplo, obrigada a 
respeitar um orçamento de 60 000,00Mt para lançamento de um disco pode ter necessidade de 
decidir qual é a melhor forma de dividir o dinheiro entre a produção e a propaganda do disco 
de modo a maximizar as vendas do disco. 
Método de Multiplicadores de 
Lagrange 
Para determinar os valores máximos e mínimos de f(x,y,z) sujeita a g(x,y,z) = k (supondo que 
estes valores existam), é preciso proceder da seguinte maneira: 
1º passo: escrever o problema na forma 
Maximizar (minimizar) f(x,y,z) sujeita a g(x,y,z) = k. 
2º passo: resolver o sistema de equações 
⎩
⎨
⎧
f (x, y, z) = λg (x, y, z)
f (x, y, z) = λg (x, y, z)
f (x, y, z) = λg (x, y, z)
g(x, y, z) = k
 
 Determinar os valores de x, y, z e λ 
3º passo: calcular o valor de f em todos pontos (x,y,z) encontrados no 2º passo. O maior 
desses valores é o máximo e o menor é o mínimo de f. 
 
50 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
 Exemplo 
1.Determine os valores extremos da função 22 2),( yxyxf  no círculo 
122  yx . 
RESOLUÇÃO 
1º passo: Max (ou Min) 22 2),( yxyxf  sujeita a g(x,y) = 122  yx 
2º passo: 

















1
24
22
22 yx
yy
xx
kg
gf
gf
yy
xx




 
De acordo com a primeira equação temos: 100)1(2   vxx 
Se 0x a última equação dá-nos 1y obtendo assim os pontos    1;01;0 e 
Se 0 a segunda equação dá-nos 0y e, de acordo com a última equação 1x 
obtendo deste modo os pontos    0;10;1 e . 
3º passo: Calculando f nestes pontos obtemos: 
11)0:1(
1)1()0:1(
21.2)1:0(
2)1(2)1;0(
2
2
2
2




f
f
f
f
 
Logo, o valor mínimo de f será 1)0;1( f e o valor máximo 2)1;0( f . 
 
2.Um consumidor tem 600, 00Mt para gastar em duas recargas, “vintinha” e “recarga de 
sms”. Sabe-se que vintinha custa 20,00Mt e a uma recarga de sms custa 30,00Mt. A 
utilidade para o consumidor de possuir x recargas vintinhas e y recargas de sms é dada pela 
 
 
função utilidade1 de Cobb-Douglas U(x,y) = 10x0. 6 y0. 4. Quantas unidades de cada produto 
o consumidor deve comprar para que a utilidade seja máxima? 
RESOLUÇÃO 
O gasto da sua compra será 20x + 30y. Sabe-se que o consumidor tem 60 000,00Mt para gastar, 
então o objectivo é maximizar a função U(x,y) sujeito a (com a restrição) 20x + 30y = 600. 
1º passo: 
Max U(x,y) = 10x0. 6 y0. 4 sujeito a g(x,y) = 20x + 30y = 600 
2º passo: Ux(x,y) = 6x - 0.4 y0.4, Uy(x,y) = 4x0.6 y - 0.6, gx(x,y) = 20 e gy(x,y)= 30 
6x . y . = 20λ
4x . y . = 30λ
20x + 30y = 600
 ↔
λ =
 . . 
λ =
. . 
_____________________
 ↔
 . . =
. . 
____________________________
__________________________
 
y =
4
9
x
________
________
 ↔ 
____________
____________
20x + 30 ∙
4
9
x = 600
 ↔ 
_______
_______
x = 18
 ↔ 
x = 18
y = 8 
Assim, para que a utilidade seja máxima, o consumidor deve comprar 18 recargas 
“vintinha” e 8 recargas de sms. 
 
 
 
1.Utilize os Multiplicadores de Langrange para determinar os valores máximo e mínimo da 
função sujeita à restrição dada 
a) 1;),(
2222  yxyxyxf 
b) 13;64),( 22  yxyxyxf 
c) 62;),( 222  yxxyyxf 
d) 35;1062),,( 222  zyxzyxzyxf 
 
1 A função utilidade U(x,y) é uma função usada para medir o grau de satisfação (ou 
utilidade) para o consumidor de possuir x unidades de um produto e y unidades do 
outro produto. 
Exercícios 
52 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
e) 632;),,( 222  zyxxyzzyxf 
f) Determinar os pontos da esfera 4222  zyx que estão mais próximo e mais distantes do 
ponto )1,1,3(  . 
 
2.Encontre os valores críticos para minimizar os custos de uma firma produtora de dois 
bens, ),( yx , quando a função custo total é 22 128 yxyxC  e a firma é 
obrigada, por força de contrato, a produzir um número combinado de produtos totalizando 
42, isto é, sujeita a condição 42 yx . 
 
3.Que combinação de bens x e y uma firma deve produzir para minimizar os custos 
quando a função custo conjunta é 30106 22  xyyxC e a firma tem uma 
quota de produção de 34 yx . 
 
4.Um consumidor dispõe de 280,00Mt para gastar na compra de dois produtos, o primeiro 
dos quais custa 2,00Mt e o segundo 5,00Mt a unidade. A utilidade para o consumidor de x 
unidades do primeiro e y unidades do segundo é dada por U(x,y) = 100x0. 25 y0. 75. Quantas 
unidades de cada produto o consumidor deve comprar para maximizar a utilidade? 
 
5.Mostre que para um nível constante de produção Axαyβ = k, com α + β =1, a função de 
custo C(x,y) = px + qy é minimizada para x = (α
β
)β e y = (β
α
)α. 
 
6.Um fazendeiro precisa cercar um pasto rectangular na margem do rio Zambeze. A área do 
pasto é 3200 metros quadrados e não é necessário cercar o lado limitado pelo rio. 
Determine as dimensões do pasto para que o comprimento total da cerca seja mínimo. 
 
7. Um fazendeiro dispõe de 320 metros de cerca para cercar um pasto rectangular. Que 
dimensões deve escolher para que o pasto tenha a maior área possivel? 
 
8.A produção de uma certa fábrica é Q(x,y) = 60 x1/3 y2/3 unidades quando x milhares de 
meticais são investidos em mão-de-obra e y milhares de meticais são investidos em 
 
 
equipamentos. Se o dono da fábrica dispõe de 120 000,00Mt quanto deve investir em mão-
de-obra e quanto em equipamentos para que a produção seja a maior possivel? 
 
9.Utilize multiplicadores de Lagrange para provar que o rectângulo com área máxima e que 
tem um perímetro constante é o quadrado. 
 
10.Utilize multiplicadores de Lagrange para provar que o triângulo com maior área e que 
tem um perímetro constante é equilátero. 
 
11.Determine os volumes máximo e mínimo da caixa rectangular cuja superfície tem 
1500cm2 e cuja soma dos comprimentos das arestas é 200cm. 
 
12.O plano 22  zyx intersecta o parabolóide 22 yxz  numa elipse. Determine os 
pontos dessa elipse que estão o mais próximo e mais longe possível da origem. 
 
13.Encontre os pontos sobre a curva 122  yxyx no plano xy que estão mais próximos 
e mais afastados da origem. 
 
14.Encontre os valores máximos e mínimos de 22 yx  sujeitos à restrição 
042 22  yyxx . 
 
15.Encontre três números reais cuja soma seja 9 e cuja soma de seus quadrados seja menor 
possível. 
 
16.Encontre o maior produto possível dos números x, y, e z se 162  zyx . 
 
54 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Unidade 13 
Integrais duplas 
 
Consideremos uma função f de duas variáveis definida num rectângulo fechado 
     dycbxaIRyxdcbaR  ,:),(,, 2 e supondo que a função f é não-negativa. 
Podemos dizer que o gráfico de f é a superfície com a equação ),( yxfz  . Seja S o sólido que 
está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de f, ou seja, 
 IRyxyxfzIRzyxS  ),(),,(0:),,( 3 . Qual é então, o volume de S? 
Dividamos o rectângulo R em sub-rectângulos, ou seja, dividir o intervalo [a, b] em m 
subintervalos [xi-1, xi] de mesmo comprimento mabx /)(  e dividir o intervalo [c, d] em 
n subintervalos [yj-1, yj] de mesmo comprimento ncdy /)(  . Portanto, traçando rectas 
paralelas aos eixos coordenados que passem pelos extremos dos subintervalos, formamos os 
sub-rectângulos      jjiijjiiij yyyxxxyxyyxxR   1111 ,:),(,, cada um dos quais 
com área yxA  . 
Se escolhermos um ponto arbitrário, e chamarmos ponto amostra, ),( ** ijij yx em cada ijR , 
poderemos aproximar a parte de S que está acima de ijR por uma caixa rectangular fina com 
base ijR e altura ),(
**
ijij yxf e, portanto, o volume dessa caixa é dado por Ayxf ijij ),(
** . 
Se fizermos o mesmo com todos os rectângulos e somarmos os volumes das caixas 
correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S: 
 

m
i
n
j
ijij AyxfV
1 1
** ),( . 
Contudo, quanto mais fores os valores de m e n, o valor de V, acima, fica cada vez mais 
próximo de do volume real de S, portanto, 
 


m
i
n
j
ijijnm
AyxfV
1 1
**
,
),(lim .(esta soma é chamda 
de soma dupla de Riemann e é usada como uma aproximação do valor da integral dupla). 
 
 
Portanto, a integral dupla de f sobre um rectângulo ],[],[ dcbaR  é 

 


m
i
n
j
ijijnm
R
AyxfdAyxf
1 1
**
,
),(lim),( , se este limite existir. Se f(x,y) ≥ 0, então o volume V 
do sólido que está acima do rectângulo R e abaixo da superfície z = f(x,y) é 
R
dAyxfV ),( . 
 
Teorema de Fubini (primeira forma) 
Se yxA  , quando m e n então dxdydA . Logo, se f(x,y) for contínua na 
região rectangular ,,: dycbxaR  então 
    
d
c
b
aR
b
a
d
c
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),( . 
Este teorema permite que se calcule a integral dupla integrando em qualquer ordem, ou seja, 
integrar em ordem a x fazendo constante a variável e y constante e depois integrar em relação 
a y ou o contrário. 
dydxyxfdxdyyxfdAyxf
d
c
b
aR
b
a
d
c
    











 ),(),(),( . 
Exemplo: Calcule  
R
dAyx )3( 3 onde  21,20:),(  yxyxR 
Temos que o nosso domínio é um rectângulo ]2,1[]2,0[ R , portanto segundo o teorema de 
Fubini, dxdyyxdAyx
R
   






2
0
2
1
33 )3()3( integrar primeiro em ordem a y (pela integral 
interna) e depois (pela externa) determinar a integral em relação a x e o resultado é o valor da 
integral dupla. Ou, dydxyxdAyx
R
  






2
1
2
0
33 )3()3( integrar primeiro em ordem a x (pela 
integral interna) e depois (pela externa) determinar a integral em relação a y e o resultado é o 
valor da integral dupla. 
Portanto, 12)7()()3()3(
2
0
2
0
2
1
3
2
0
2
1
33 





    dxxdxyxydxdyyxdAyx
R
 
56 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Vamos considerar agora, o domínio numa região não rectangular, ou seja, como deve-se 
calcular a integral dupla 
R
dAyxf ),( onde R é uma região não rectangular. 
Exemplo, o domínio é uma região qualquer 
 
Este domínio de integração pode ser dividido ao máximo em dois tipos de regiões, a saber: 
Região I: 
Onde o x varia de um ponto para o outro e o y varia de uma funçãoa outra: 
)()(, xhyxgbxa  , então dxdyyxfdAyxf
R
b
a
xhy
xgy
  


)(
)(
),(),( 
Regiões do tipo 
 
Região II: 
Onde o x varia de um ponto para o outro e o y varia de uma funnção a outra: 
)()(, yhxygdyc  , então dydxyxfdAyxf
R
d
c
yhx
ygx
  


)(
)(
),(),( 
Regiões do tipo 
 
 Note que em alguns casos o domínio é composto por várias regiões, ou seja, 
4321 DDDDD  
Observe-se que o conjunto D é a reunião dos conjuntos D1, D2, D3 e D4 não sobrepostos. 
 
 Exemplo 1 
Calcule  D dAyx )2( , onde D é a região limitada pelas parábolas 
22xy  e 21 xy  . 
RESOLUÇÃO 
Primeiro comecemos por desenhar a região de integração 
58 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
 
Podemos verificar que a região D é do tipo I pelo que, podemos escrever que 






 22 12,11),( xyxxyxD . 
A fronteira de baixo é 22xy  e a de baixo 21 xy  , logo a integral será 
  dxxxxxxxyxydydxyxdAyx
x
x
xy
xy
D   




 

1
1
222222
1
2
1
1
1
2
1
1
2 ])2()2()1()1([)2()2(
2
2
2
2
15
32
23
2
45
3)123(
1
1
23451
1
234 







 x
xxxxdxxxxx . 
 Exemplo 2 
Determine o volume do sólido que está contido debaixo do parabolóide 22 yxz  e acima 
da região D do plano xy limitada pela recta xy 2 e pela parábola 2xy  . 
RESOLUÇÃO 
Vejamos na figura a região D do plano xy, 
 
 
 
Por um lado a figura pode ser considerada da região I com 






 xyxxyxD 2,20),( 2 e o volume será 
35
216
6
7
5213
14
3
)()(
2
0
2
0
2 4572
0
3
4
6
2222
2












   
x
x
D
xxxdxxxxdydxyxdAyxV
 
E por outro, da região II com  






 yxyyyxD
2
1,40, e o volume será 
...)()( 2
4
0 2/
222    dxdyyxdAyxV
y
y
D
 (determine e compare os resultados). 
 
 
 
1. Calcule as integrais iteradas 
i.   
1
0 0
2
)2(
x
dydxyx 
ii.  
2
1
2
y
xydxdy 
iii. dxdyx
ye
y 
1
0
 
iv.  


2
1
2 2 )(
x
x
dydxyx 
2.Calcule a integral dupla 
i. 






 xyxxyxDdAyx
D
,20),(,23 
ii. 







 xyxyxDdAx
y
D
20,21),(,
2
4
3 
Exercícios 
60 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
iii. 







 xyxyxDdAx
y
D
0,10),(,
1
2
2 
iv. 






 yxyyxDdAe
D
y 0,10),(,
2
 
v. 






 3/ ,21),(, yxyyyxDdAe
D
yx 
vi. 






 yxyyxDdAxyx
D
0,10),(,22 
vii. 
D
ydAx ,cos D é limitada por 1,,0 2  xxyy 
viii. ,)( 
D
dAyx D é limitada por 2xyexy  
ix. 
D
dAy ,3 D é região triangular com vértices (0, 2), (1, 1) e (3,2) 
x.  
D
dAxy ,)( 2 D é limitada por 22 23, yxyx  
3.Determine o volume do sólido abaixo do parabolóide 22 yxz  e acima da região limitada 
por 22 yxexy  . 
4.Determine o volume do sólido abaixo do parabolóide 223 yxz  e acima da região limitada 
por yyxexy  2 . 
5.Determine o volume do sólido abaixo da superfície xyz  e acima do triângulo com vértices 
(1, 1), (4,1 ) e (1, 2). 
6.Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração 
i.  
1
0 0
),(
x
dydxyxf iii.  
2
1
ln
0
),(
x
dydxyxf v.  
4
0
2
2/
),(
y
dxdyyxf 
 
 
ii.  
2/
0 0
),(
 senx
dydxyxf iv.  
1
0
2
2
),(
y
y
dxdyyxf vi.  
1
0
4/
),(

arctgx
dydxyxf 
7.Calcule a integral trocando a ordem da integração 
i.  
1
0
3
3
2
y
x dxdye 
ii.   
1
0
1 3 1
y
dxdyx 
iii.  
3
0
9 2
2
)cos(
y
dxdyxy 
iv.  
1
0
1 33
2
)(
x
dydxysenx 
 
 
62 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Unidade 14 
Integrais triplas 
 
De forma análoga a apresentada para definir a integral simples para funções de uma 
variável e dupla para funções de duas variáveis, definire-se a integral tripla. Tomemos uma 
função f definida numa caixa rectangular,  szrdycbxazyxB  ,,:),,( . Ao 
dividirmos essa caixa por subcaixas, teremos ],[],[],[ 111 kkjjiiijk zzyyxxB   . Cada 
caixa aqui obtida, tem o volume zyxV  . 
Portanto, a soma tripla de Riemann será, Vzyxf ijk
l
i
m
j
n
k
ijkijk 
  
),,( *
1 1 1
** onde o ponto amostra 
 *** ,, ijkijkijk zyx está em ijkB . Analogamente, a definição da integral dupla, o limite das somas 
triplas de Riemann é a integral tripla de f. 
Definição: A integral tripla de f sobre a caixa B é 
 
  


B
l
i
m
j
n
k
kjinml
VzyxfdVzyxf
1 1 1,,
),,(lim),,( . 
Aplicando o teorema de Fubini para integrais triplas, se f é contínua numa caixa rectangular 
     srdcbaB ,,,  , então    
s
r
d
c
b
aB
dxdydzzyxfdVzyxf ),,(),,( . 
Essa integral mostra que primeiro integramos em relação a x (com y e z constantes), depois 
em relação a y (com z constante) e no fim em relação a z. Tal como nas integrais duplas, 
nas triplas podemos tracar a ordem da integração, pelo que o resultado será o mesmo. 
Em geral, a integral tripla sobre uma região limitada genérica E no espaço tridimensional 
será definida como foi definida a integral dupla. 
1. Se f for contínua e a região 
 ),(),(,),(:),,( 21 yxuzyxuDyxzyxE  onde D é a projecção de E sobre o plano xy, 
então  









D
yxu
yxuE
dAzyxfdVzyxf
),(
),(
2
1
),,(),,( . Portanto, as variáveis x e y são tidas como 
constantes e a integral é determinada em relação a z. 
 
De outro modo, se  ),(),(),()(,:),,( 2121 yxuzyxuxgyxgbxazyxE  então 
   
E
b
a
g
g
u
u
dzdydxzyxfdVzyxf
2
1
2
1
),,(),,( . 
Ou, se  ),(),(),()(,:),,( 2121 yxuzyxuyhxyhbyazyxE  então, 
   
E
b
a
h
h
u
u
dzdxdyzyxfdVzyxf
2
1
2
1
),,(),,( . 
 
 Exemplo 1 
Determine 
E
zdV , sabendo que E é um tetraedro sólido delimitado pelos quatros planos 
1,0,0,0  zyxezyx 
RESOLUÇÃO 
Para resolver este exercício, tentemos representar os planos e vermos as fronteiras do 
interior do tetraedro. 
 
Podemos a partir da figura que a fronteira inferior do tetraedro é o plano z = 0 e a superior 
é o plano )1(1 yxzouyxz  , portanto, teremos 
64 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
yxyxueyxu  1),(0),( 21 . Os planos 01  zeyxz se intersectam na recta 
)1(1 xyouyx  no plano xy. Logo teremos a seguinte região, 
yxzxyxzyxE  10,10,10:),,{( e desta forma a integral acima 
também pode ser escrita da seguinte forma   
 1
0
1
0
1
0
x yx
E
zdzdydxzdV 
E podemos resolver da seguinte forma 
dxyxdxdyyxdydxxzdzdydxzdV
xy
y
x x
yx
x yx
E


 

 
    




 
 





  
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
31
0
2
1
0
21
0
1
0
1
0 3
)1(
2
1)1(
2
1
2
= 
24
1
4
)1(
6
1)1(
6
1
3
)1(
2
1 1
0
1
0
4
3
1
0
1
0
3
 




 
 




 


xdxxdxyx
xy
y
 
 
 Exemplo 2 
Determine a região de integração E para calcular a integral dVzx
E
  22 , onde E é a 
região limitada pelo parabolóide 22 zxy  e pelo plano 4y . 
RESOLUÇÃO 
Comecemos por representar a região E de integração. 
 
 
 
Observemos que de 22 zxy  obtemos 2xyz  o que quer dizer que a superfície 
fronteira debaixo de E é 21 ),( xyyxuz  e a de cima é 
2
2 ),( xyyxuz  . 
Logo a nossa região de integração será 
 222 ,4,22:),,( xyzxyyxxzyxE  
 
 
 
1.Calcule a integral  
E
dVyzx )( 2 , onde 






 11,03,20),,( zyxzyxE 
utilizando três ordens diferentes de integração. 
2.Calcule a integraliterada 
i.   
1
0 0 0
6
z zx
xzdydxdz 
ii.   
2
1 0
1
0
23x y zdydxdzyx 
iii.    
1
0 0 0
2z y y dydxdzze 
iv.   
3
0
1
0
1
0
2z ydydxdzze 
 
3.Calcule a integral 
E
xdV ,2 onde 






 yzyxyzyxE 0,40,20),,( 2 
4.Calcule a integral 
E
dVxxy ,)cos( 5 onde 






 xzxxyxzyxE 2,0,10),,( 
 
 
 
 
 
Exercícios 
66 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Unidade 15 
Mudança de coordenadas para integrais 
múltiplas 
 
Coordenadas cilíndricas 
Observemos a figura abaixo, 
 
Obtemos coordenadas cilíndricas para o espaço combinado, coordenadas polares no plano xy 
com o eixo usual z. Isso associa cada ponto no espaço uma ou mais ternas ordenadas da 
forma ),,( zr  , de acordo com a figura acima. 
Denominam-se coordenadas cilíndricas que representam um ponto P no espaço por ternas 
ordenadas ),,( zr  nas quais 
1. er são coordenadas polares para a projecção vertical de P sobre o plano xy. 
2. Z é a coordenada vertical cartesiana. 
Deste modo, as equações que relacionam as coordenadas cartesianas ),,( zyx e cilíndricas 
),,( zr  são zzrsenyrx  ,,cos  . 
x
ytgyxr  ,222 
 
E logo a integral será    
E
h
h
rsenru
rsenru
rdzdrdzrsenrfdVzyxf







)(
)(
),cos(
),cos(
2
1
2
1
),,cos(),,( 
Esta é a fórmula para integração tripla em coordenadas cilíndricas. Recomenda-se o uso 
desta fórmula quando a região de integração E é uma região sólida cuja a descrição é mais 
simples em coordenadas cilíndricas, em especial quando a função f(x,y,z) envolve 
expressões 22 yx  . 
 
 Exemplo, 
Um sólido E está contido no cilindro 122  yx , abaixo do plano 4z e acima do 
parabolóide 221 yxz  . A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do 
ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de E. 
 
RESOLUÇÃO, 
Comecemos por desenhar a região E. 
 
Podemos verificar que o raio do cilindro é 1, ou seja, 1r e o parabolóide é 21 ry  , 
portanto a região E pode ser escrita,  41,10,20),,( 2  zrrzrE  . 
Como a densidade em (x,y,z) é proporcional à distância do eixo z, a função densidade é 
68 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
KryxKzyxf  22),,( , onde K é a constante de proporcionalidade. Então teremos, 
para o cálculo da massa de E,     
 20
1
0
4
1
22
2 )(r
E
rdzdrdKrdVyxKm 
 
5
12
5
2)3()1(4
1
0
5
32
0
1
0
422
0
1
0
22 KrrKdrdrrKdrdrKr   





    
 
 Exemplo 2 
Calcule    


 
2
2
4
4
2 222
2 22 )(
x
x yx
dzdydxyx 
Essa integral iterada é uma integral tripla sobre a região sólida 





  2,44,22),,( 2222 zyxxyxxzyxE e a projecção de E 
sobre o plano xy é o disco 422  yx . A superficie inferior de E é o cone 22 yxz  e a 
superfície superior é o plano 2z . Veja a figura: 
 
Todavia, essa região tem uma descrição muito mais simples em coordenadas cilíndricas: 





  2,20,20),,( zrrzrE  , e por isso teremos, 
     


 
2
0
3
2
0
2
2
2
0
2
0
22
2
2
4
4
2 22 )2()()(
2
2 22 drrrddzdrdrrdVyxdzdydxyx
E r
x
x yx


 
5
16
5
1
2
12
2
0
54  


  rr 
 
 
 
Coordenadas esféricas 
Observemos a figura abaixo, 
 
As coordenadas esféricas posicionam os pontos no espaço com dois ângulos e uma 
distância, de acordo com a figura acima. A distância é do ponto O ao ponto P (no espaço), 
portanto 

 OP que nunca é negativa (diferentemente de r, que podia ser). A segunda 
coordenada é o ângulo que 
___
OP forma com o eixo z, o ângulo  (que deve sempre estar no 
intervalo  ;0 ). A terceira coordenada é o ângulo  medido do mesmo modo que nas 
coordenadas cilíndricas. 
Deste modo, estas coordenadas (esféricas) relacionam-se com as variáveis (x, y, z) da 
seguinte maneira, 
 coscos,  senrxsenr 
 sensensenryz  ,cos 
22222 zrzyx  
70 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
E deste modo a nossa integral será 



dddsensensensenfdVzyxf
d
c
b
aE
    2)cos,,cos(),,( onde E 
é uma cunha esférica dada por 






 dcbaE  ,,),,( ou 
seja 






 ),(),(,,),,( 21  ggbaE 
 
 Exemplo 
Utilize as coordenadas esféricas para determinar o volume de um sólido que está acima do 
cone 22 yxz  e abaixo da esfera zzyx  222 . 
 
RESOLUÇÃO: Comecemos pelo gráfico 
 
A esfera passa pela origem dado que o seu centro tem as coordenadas )
2
1,0,0( . Podemos 
escrever a equação da esfera em coordenadas esféricas como  coscos2  ou 
e o cone pode ser escrito como  sensensensen  222222 coscos . 
Primeiro integraremos em relação a  , depois em relação a  e então em relação a  . O 
volume de E que estamos a procura será dada por 
 
 
84
cos
3
2
3
)(
4/
0
40
0
2
0
2/
0
cos
0
2
0
4/
0
3
2 


     





      








dsenddddsendVEV
sc
E
 
 
 
 
Com essas coordenadas temos as seguintes fórmulas correspondentes para dV em integrais 
triplas 
 
 
 
 
 
 
1.Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas 
i.   


2
0
1
0
2 2r
r
dzrdrd 
ii.   


2
0
3
0
18
3/
2
2
r
r
dzrdrd 
iii.   
 

2
0
2/
0
243
0
2r
dzrdrd
 
iv.   


 

0
/
0
43
4
2
2
r
r
zdzrdrd
v.   


2
0
1
0
2/1 2
3
r
r
dzrdrd
 
dzdydxdV  
dzrdrddV  
 dddsendV 2 
Agora vejamos o resumo das fórmulas 
de mudança de coordenadas 
Cilíndricas para 
Cartesianas 
Esféricas para 
Cartesianas 
Esféricas para 
Cilíndricas 
cosrx  
rseny  
zz  
 cos senx 
 senseny  
 cosz 
 senr  
 cosz 
  
Exercícios 
72 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
 
2.Seja dada a região D limitada abaixo pelo plano z = 0, acima pela esfera 4222  zyx 
e dos lados pelo cilindro 122  yx . Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas 
que dão volume de D usando os ordens a seguir 
i. dz dr dɵ ii. dr dz dɵ iii. dɵ dzdr 
3. Seja D a região limitada abaixo pelo cone 22 yxz  e acima pelo parabolóide 
222 yxz  . Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que dão o volume de 
D usando as ordens de integração 
i. dz dr dɵ ii. dr dz dɵ iii. dɵ dzdr 
4.Dê os limites de integração para calcular a integral     dzrdrdzrf ),,( como integral 
iterada sobre a região que é limitada abaixo pelo plano z=0, do lado pelo cilindro cosr 
e acima pelo parabolóide 23rz  . 
5.Converta a integral     dzdxdyyx )( 22 em uma integral equivalente em coordenadas 
cilíndricas e avalie o resultado. 
6.Calcule as integrais em coordenadas esféricas 
i.   
  

0 0
2
0
2sen dddsen 
ii.   
 

2
0
4/
0
2
0
2)cos( dddsen 
iii. 
   
2/3
0 0
1
0
335
 
 dddsen 
iv.   
 


2
0
3/
0
1
sec
23 dddsen 
v.   
  

2
0
4/
0
sec
0
2)cos( dddsen 
7.Seja dada a região D limitada abaixo pelo plano z = 0, acima pela esfera 4222  zyx 
e dos lados pelo cilindro 122  yx . Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas 
que dão volume de D usando as ordens a seguir 
i. dρ dφ dɵ ii. dφ dρ dɵ 
 
 
 
8.Seja D a região limitada abaixo pelo cone 22 yxz  e acima pelo parabolóide 1z . 
Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que dão o volume de D usando asordens de integração 
i. dρ dφ dɵ ii. dφ dρ dɵ 
 
 
 
74 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Unidade 16 
Integrais de linha 
 
Sabendo que com o cálculo de integrais definidas de uma função sobre um intervalo finito 
[a;b] no eixo x, podíamos encontrar a massa das hastes finas e rectas ou o trabalho 
realizado por uma força variável direccionada ao longo do eixo x. Nesta unidade, vamos 
calcular as massas de hastes ou cabos finos ao longo de uma curva no plano ou no espaço. 
Para isso precisamos de uma noção mais geral do que a de integração sobre um segmento 
de recta no eixo x para integral de “linha”. Determinaremos as integrais sobre as curvas C 
no plano ou na espaço. Essas integrais mais genéricas são chamadas integrais de linha. 
Vejamos a figura 
 
A curva é particionada em pequenos arcos de t= a até t= b. O comprimento de 
cada subarco típico é ks . 
Vamos supor que f(x, y, z) seja uma função real que queremos integrar sobre a curva 
btaktkjthitgtr  ,)()()()( dentro do domínio de f. Os valores de f ao longo da 
curva são dados pela função composta f(g(t), h(t), k(t)). Vamos integrar essa função em 
relação ao comprimento do arco de t=a a t=b. 
 
 
Em cada um dos subarcos escolhemos um ponto ),,( kkk zyx e formamos a soma 



n
k
kkkkn szyxfS
1
),,( . Se f é contínua e as funções g, h e k possuem derivadas de 
primeira ordem contínuas, então essas somas se aproximam de um limite à medida que n 
aumenta e os comprimentos ks se aproximam de zero. 
A esse limite chamamos de integral de linha de f sobre a curva de a a b. e denota-se por 

C
dszyxf ),,( onde C denota a curva. 
 
16.1. Independência de linha 
(caminho) 
Se a e b forem dois pontos de uma região aberta D no espaço, a integral 
C
dszyxf ),,(
geralmente depende do caminho percorrido. Para alguns casos especiais, o valor da integral é 
o mesmo para todos caminhos de a a b. 
Definições: independência do caminho e campo conservativo 
Seja F um campo definido em uma região aberta D no espaço e suponha que para quaisquer 
dois pontos A e B em D a integral 
B
A
Fdr será a mesma para todos caminhos de A para B. 
Então esta integral  Fdr é independente do caminho em D e o campo F é conservativo em 
D. 
Uma função vectorial F diz-se campo conservativo se ela fôr gradiente de uma função real f. 
Seja dada uma função F tal que 






dy
df
dx
dftytxftrF ;))(),(())(( então, 
 
b
aC
dttrtrFFd )('))(( . 
 
76 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
16.2. Teorema fundamental de cálculo para 
integral de linha 
Seja dada uma função vectorial PkNjMiF  cujas funções componentes são contínuas 
em uma região D aberta e conexa no espaço. Então, existe uma função diferenciável f tal 
que 
k
dz
dfj
dy
dfi
dx
dffF  se e somente se para todos os pontos A e B em D o valor de 
 
B
A
drF for independente do caminho que liga A e B em D. 
Portanto, se a integral for independente do caminho de A a B, o seu valor é 
)()( AfBfdrF
A

B
. 
Nota: Para uma curva fechada, a integral é nula ou seja, 0
C
Fdr . 
 
 Exemplo 
1. Calcule a integral curvilínea 
C
Fdr onde C é a curva dada por jteisentetr tt )cos()()(  
onde  t0 . 
 
RESOLUÇÃO 
1)1;0();0())0(())(()()( 3   efefrfrfAfBfFdr
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Indique dos campos abaixo, os conservativos e os que não são 
i. xykxzjyziF  
ii. kzxyjxsenziysenxF )cos()()(  
iii. ykjzxyiF  )( 
iv. xjyiF  
v. kxyzjizxF )()(  
vi. zkjsenxeiyeF xx  )()cos( 
 
2. Determine as integrais de kzejxyiyxF z )()( 22 sobre os caminhos de (1, 0, 0) 
a (1, 0, 1) a seguir. 
i. O segmento de recta x=1, y=o, 0≤ z ≤ 1 
ii. A hélice  20,)2/()()(cos)(  tktjsentittr 
 
 
 
Exercícios 
78 Cálculo Diferencial e Integral em IRn Beira, Agosto de 2011 
Bibliografia 
 
STEWART, James. Cálculo: vulume 2; tradução de Antonio Carlos Moretti, ANtonio Carlos 
Gilli Martins. São Paulo: Thomson Learning. 2007. 
WEIR, Maurice D. Cálculo (George B. Thomas Jr.), Volume II, 11ed.,Adison Wesley,São 
Paulo,2009. 
HOFFMANN, Laurence D. e BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso modern e suas 
aplicações. 10ed. LTC, Rio de Janeiro, 2010 
TAN, S. T., Matemática Aplicada a Administração e Economia. 2ed., CENGAGE Learning, 
2008