Iniciação à Aritmética (14)

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N SEC. 1.7: MÚLTIPLOS COMUNS 19
Problema 1.21. Sejam dados números naturais a, b e c tais que a é
múltiplo de c. Mostre que a + b é múltiplo de c se, e somente se, b é
múltiplo de c.
Multiplicação e Ordem. A relação entre a adição e a ordem se
reflete numa relação entre a multiplicação e a ordem que já tivemos
oportunidade de abordar no Problema 1.16:
Se a < b e c > 0, então c × a < c × b.
Problema 1.22. Mostre que o menor elemento do conjunto dos
múltiplos não nulos de um número natural a > 0 é o próprio a.
1.7 Múltiplos Comuns
Um conceito importante é o de múltiplo comum de dois números.
Por exemplo, considere a sequência dos múltiplos de 3:
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, . . .
e a sequência dos múltiplos de 5:
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, . . .
Assim, a sequência dos números que são simultaneamente múlti-
plos de 3 e de 5 é:
0, 15, 30, 45, . . .
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20 � CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
Você saberia continuar a sequência acima? Aparentemente, trata-
se da sequência dos múltiplos de 15, ou seja, os múltiplos do menor
múltiplo comum não nulo de 3 e de 5, que é 15.
Isso é absolutamente correto e é um resultado geral que provare-
mos a seu tempo.
Problema 1.23. Determine os dois primeiros múltiplos comuns de
4 e 14. Como você continuaria esta sequência?
Se a e b são números naturais não nulos, sabemos por definição
que o número a× b é um múltiplo não nulo de b. Por outro lado, pela
propriedade comutativa da multiplicação, tem-se que ele é também
um múltiplo de a. Assim, o conjunto dos múltiplos comuns de a e b,
além de conter o número 0, contém também o número a × b 6= 0.
Definição. O menor múltiplo comum não nulo de dois números na-
turais não nulos a e b é denotado por mmc(a, b) e será chamado de
mínimo múltiplo comum1 de a e b (ou abreviadamente mmc).
Problema 1.24. Ache o mmc dos seguintes pares de números:
3 e 4; 6 e 11; 6 e 8; 3 e 9.
Voce percebeu que algumas vezes mmc(a, b) = a × b e outras
vezes não? Qual será a razão? Desvendaremos mais este mistério no
Capítulo 3.
1Este número existe em função da observação acima e do Princípio da Boa
Ordem.