Iniciação à Aritmética (12)

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“principal”
2010/4/19
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N SEC. 1.5: MÚLTIPLOS 15
Problema 1.15.
(a) Quantos múltiplos de 8 existem entre 32 e 8 000, inclusive?
(b) Quantos números pares existem entre 3 211 e 6 321?
(c) Quantas dúzias podemos formar com 180 laranjas? E com 220
laranjas?
(d) Quantas semanas formam 280 dias? E 360 dias?
Problema 1.16. Seja c 6= 0.
(a) Mostre que
0 < c < 2 × c < 3 × c < 4 × c < 5 × c.
Fica assim “bastante evidente”, por analogia, ou por indução empírica,
que se a < b, então a × c < b × c (uma prova rigorosa disto pode ser
dada usando Indução Matemática).
(b) Mostre que vale a recíproca da propriedade acima, isto é que se
a × c < b × c, então a < b.
Sugestão: Mostre que qualquer uma das opções, a = b ou b < a,
implica numa contradição, restando assim, por tricotomia (recorde
que a ordem é total), a única possibilidade: a < b.
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16 � CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
1.6 Multiplicação
Tomar múltiplos define uma operação nos números naturais, a×b,
que se lê a vezes b, representando o múltiplo a vezes b de b. Assim,
a × b =



0, se a = 0,
b, se a = 1,
b + b + · · · + b
︸ ︷︷ ︸
a parcelas
, se a > 1.
O número a× b será chamado o produto de a por b e será também
denotado por ab, quando não houver risco de confusão.
Exemplos: 2 × 3 = 3 + 3 = 6, 3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6,
5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, 2 × 5 = 5 + 5 = 10 etc.
Dos exemplos acima temos que
2 × 3 = 6 = 3 × 2 e 5 × 2 = 10 = 2 × 5.
De novo, isto não é mera coincidência, pois ocorre sempre. Vamos
admitir que a multiplicação possua a seguinte propriedade:
Propriedade comutativa da multiplicação. Quaisquer que sejam
os números naturais a e b, temos que
a × b = b × a.
De modo semelhante à adição, a multiplicação também possui a
seguinte propriedade: