Fisica_matematica_ Arfken-137

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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 669 — #679
14. SÉRIES DE FOURIER 669
Completude
O problema de estabelecer a completude pode ser abordado de vários modos diferentes. Um deles é transformar a
série trigonométrica de Fourier para a forma exponencial e compará-la com uma série de Laurent. Se expandirmos
f(z)) em uma série de Laurent3 (admitindo que f(z) é analı́tica),
f(z) =
∞∑
n=−∞
dnz
n. (14.12)
No cı́rculo unitário z = eiθ e
f(z) = f(eiθ) =
∞∑
n=−∞
dne
inθ. (14.13)
Figura 14.1: Representação de Fourier de onda em dente de serra.
A expansão de Laurent no cı́rculo unitário (Equação (14.13)) tem a mesma forma que a série complexa de
Fourier (Equação (14.12)), o que mostra a equivalência entre as duas expansões. Uma vez que a série de Laurent,
por ser uma série de potências, tem a propriedade de completude, vemos que as funções de Fourier einx formam
um conjunto completo. Aqui há uma limitação significativa. Séries de Laurent e séries de potências complexas não
podem tratar descontinuidades como uma onda quadrada ou a onda em dente de serra da Figura 14.1 exceto no
cı́rculo de convergência.
A teoria de espaços vetoriais oferece uma segunda abordagem para a completude dos senos e co-senos. Nesse
caso, a completude é estabelecida pelo teorema de Weierstrass para duas variáveis. A expansão de Fourier e a
propriedade de completude podem ser esperadas porque as funções sen nx, cosnx, einx são todas autofunções de
uma EDO linear auto-adjunta
y′′ + n2y = 0. (14.14)
Obtemos autofunções ortogonais para diferentes valores do autovalor n para o intervalo [0, 2π] que satisfazem as
condições de contorno na teoria de Sturm-Liouville (Capı́tulo 10). Diferentes autofunções para o mesmo autovalor
n são ortogonais. Temos ∫ 2π
0
sen mxsen nx dx =
{
πδmn, m 6= 0,
0, m = 0, (14.15)∫ 2π
0
cosmx cosnx dx =
{
πδmn, m 6= 0,
2π, m = n = 0, (14.16)∫ 2π
0
sen mx cosnx dx = 0 para todo inteiro m e n. (14.17)
3Seção 6.5.
“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 670 — #680
670 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Note que qualquer intervalo x0 ≤ x ≤ x0 + 2π será igualmente satisfatório. Freqüentemente, usaremos x0 = −π
para obter o intervalo −π ≤ x ≤ π. A ortogonalidade para as autofunções complexas e±inx costuma ser definida
em termos do conjugado complexo de um de dois fatores,∫ 2π
0
(
eimx
)∗
einx dx = 2πδmn. (14.18)
Essa expressão está de acordo com o tratamento dos harmônicos esféricos (Seção 12.6).
Teoria de Sturm-Liouville
A teoria de Sturm-Liouville garante a validade da Equação (14.1) (para funções que satisfazem as condições de
Dirichlet) e utilizar as relações de ortogonalidade, Equações (14.15), (14.16) e (14.17), nos permite calcular os
coeficientes de expansão an, bn, como mostram as Equações (14.2) e (14.3). Substituindo as Equações (14.2) e
(14.3) na Equação (14.1), escrevemos nossa expansão de Fourier como
f(x) =
1
2π
∫ 2π
0
f(t) dt
+
1
π
∞∑
n=1
(
cosnx
∫ 2π
0
f(t) cosnt dt+ sen nx
∫ 2π
0
f(t)sen nt dt
)
=
1
2π
∫ 2π
0
f(t) dt+
1
π
∞∑
n=1
∫ 2π
0
f(t) cosn(t− x) dt, (14.19)
sendo que o primeiro termo (constante) é o valor médio de f(x) no intervalo [0, 2π]. A Equação (14.19) oferece
uma abordagem para o desenvolvimento da integral de Fourier e de transformadas de Fourier, Seção 15.1.
Um outro modo de descrever o que estamos fazendo aqui é dizer que f(x) é parte de um espaço de Hilbert
de número infinito de dimensões, tendo cosnx e sen nx ortogonais como base. (Eles sempre podem voltar a
ser normalizados para a unidade, se desejado.) Afirmar que cosnx e sen nx (n = 0, 1, 2, . . .) abrangem esse
espaço de Hilbert equivale a dizer que eles formam um conjunto completo. Por fim, os coeficientes de expansão
an e bn correspondem às projeções de f(x), com as integrais de produtos internos (Equações (14.2) e (14.3))
desempenhando o papel do produto escalar da Seção 1.3. Esses pontos são esboçados na Seção 10.4.
Exemplo 14.1.2 ONDA EM DENTE DE SERRA
Podemos ter uma idéia da convergência de uma série de Fourier e do erro pela utilização de apenas um número
finito de termos na série considerando a expansão de
f(x) =
{
x, 0 ≤ x < π,
x− 2π, π < x ≤ 2π. (14.20)
Essa é uma onda em dente de serra e, por conveniência, vamos deslocar nosso intervalo de [0, 2π] para [−π, π].
Nesse intervalo temos f(x) = x. Usando as Equações (14.2) e (14.3), mostramos que a expansão é
f(x) = x = 2
[
senx− sen2x
2
+
sen3x
3
− · · ·+ (−1)n+1 sennx
n
+ · · ·
]
. (14.21)
A Figura 14.1 mostra f(x), para 0 ≤ x < π, para a soma de 4, 6 e 10 termos da série. Três caracterı́sticas merecem
comentário.
1. Há um aumento constante na precisão da representação à medida que aumenta o número de termos incluı́dos.
2. Todas as curvas passam pelo ponto do meio, f(x) = 0, em x = π.
3. Na vizinhança de x = π há um aumento excessivo momentâneo (overshoot) que persiste e não mostra nenhum
sinal de diminuição.
Apenas por uma questão de interesse incidental, fazendo x = π/2 na Equação (14.21), temos uma derivação
alternativa da fórmula de Leibniz, Exercı́cio 5.7.6.
�
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14. SÉRIES DE FOURIER 671
Comportamento de Descontinuidades
O comportamento de uma onda em dente de serra f(x) em x = π é um exemplo de uma regra geral que diz que
em uma descontinuidade finita a série converge para a média aritmética. Para uma descontinuidade em x = x0 a
série resulta em
f(x0) = 1
2
[
f(x0 + 0) + f(x0 − 0)
]
, (14.22)
a média aritmética entre as aproximações a x = x0 pela esquerda e pela direita. Uma prova geral usando somas
parciais, como na Seção (14.5), é dada por Jeffreys e Jeffreys e por Carslaw (veja as Leituras Adicionais). A prova
pode ser simplificada pelo uso das funções delta de Dirac, Exercı́cio 14.5.1.
O overshoot da curva em dente de serra antes de x = π na Figura 14.1 é um exemplo do fenômeno de Gibbs
discutido na Seção 14.5.
Exercı́cios
14.1.1 Uma função f(x) (de quadrado integrável ) deve ser representada por uma série de Fourier finita.
Uma medida conveniente da precisão da série é dada pela integral do quadrado do desvio,
∆p =
∫ 2π
0
[
f(x)− a0
2
−
p∑
n=1
(an cosnx+ bnsen nx)
]2
dx.
Mostre que o requisito de minimização de ∆p, isto é,
∂∆p
∂an
= 0,
∂∆p
∂bn
= 0,
para todo n, leva à escolha de an e bn como dados nas Equações (14.2) e (14.3).
Nota: Os coeficientes an e bn são independentes de p. Essa independência é uma conseqüência da
ortogonalidade e não seria válida para potências de x, ajustando uma curva com polinômios.
14.1.2 Na análise de uma forma de onda complexa (marés oceânicas, terremotos, tons musicais etc.) talvez
fosse mais conveniente escrever a série de Fourier como
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
αn cos(nx− θn).
Mostre que essa expressão equivale à Equação (14.1), com
an = αn cos θn, α2
n = a2
n + b2n,
bn = αnsen θn, tgθn = bn/an.
Nota: Os coeficientes α2
n como uma função de n definem o que denominamos espectro da po-
tência. A importância de α2
n é sua invariância sob um deslocamento na fase θn.
14.1.3 Uma função f(x) é expandida em um série exponencial de Fourier
f(x) =
∞∑
n=−∞
cne
inx.
Se f(x) for real, f(x) = f∗(x), qual restrição é imposta aos coeficientes cn?
14.1.4 Admitindo que
∫ π
−π[f(x)]2 dx é finita, mostre que
lim
m→∞
am = 0, lim
m→∞
bm = 0.
Sugestão: Integre [f(x) − sn(x)]2, em que sn(x) é a enésima soma parcial e use a desigualdade
de Bessel, Seção 10.4. Para nosso intervalo finito a suposição de que f(x) é de quadrado integrável
(
∫ π
−π |f(x)|2 dx é finita) implica que
∫ π
−π |f(x)| dx também é finita. O contrário não é verdadeiro.
14.1.5 Aplique a técnica do somatório desta seção para mostrar que
∞∑
n=1
sen nx
n
=
{
1
2 (π − x), 0 < x ≤ π
− 1
2 (π + x), −π ≤ x < 0
(Figura 14.2).
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672 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Figura 14.2: Onda emdente de serra inversa.
14.1.6 Some a série trigonométrica ∞∑
n=1
(−1)n+1 sen nx
n
e mostre que é igual a x/2.
14.1.7 Some a série trigonométrica ∞∑
n=0
sen(2n+ 1)x
2n+ 1
e mostre que é igual a {
π/4, 0 < x < π
−π/4, −π < x < 0.
14.1.8 Calcule a soma da série de Fourier finita de seno para a onda em dente de serra, f(x) = x, (−π, π),
Equação (14.21). Use a série de termos 4, 6, 8 e 10 e x/π = 0, 00(0, 02)1, 00. Se houver uma rotina
de construção de gráficos disponı́vel, construa um gráfico com seus resultados e compare com a
Figura 14.1.
14.1.9 Seja f(z) = ln(1 + z) =
∑∞
n=1(−1)n+1zn/n. (Essa série converge para ln(1 + z) para |z| ≤ 1,
exceto no ponto z = −1.)
(a) Pela parte real, mostre que
ln
(
2 cos
θ
2
)
=
∞∑
n=1
(−1)n+1 cosnθ
n
, −π < θ < π.
(b) Usando uma troca de variável, transforme a parte (a) em
− ln
(
2sen
θ
2
)
=
∞∑
n=1
cosnθ
n
, 0 < θ < 2π.
14.2 Vantagens, Usos da Série de Fourier
Funções Descontı́nuas
Uma das vantagens de uma representação de Fourier sobre alguma outra representação, tal como uma série de
Taylor, é que ela pode representar uma função descontı́nua. Um exemplo é a onda em dente de serra da seção
anterior. Outros exemplos são considerados na Seção 14.3 e nos exercı́cios.
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14. SÉRIES DE FOURIER 673
Funções Periódicas
Relacionada com essa vantagem está a utilidade de uma série de Fourier na representação de uma função
periódica. Se f(x) tiver um perı́odo 2π, talvez seja muito natural expandi-la em uma série de funções com perı́odo
2π, 2π/2, 2π/3, . . . . Isso garante que, se nossa f(x) periódica é representada em um intervalo [0, 2π] ou [−π, π],
a representação vale para todo x finito.
Nesse ponto é conveniente considerar as propriedades de simetria. Usando o intervalo [−π, π], sen x é ı́mpar e
cosx é uma função par de x. Daı́, pelas Equações (14.2) e (14.3),4 se f(x) for ı́mpar, todos os an = 0 e se f(x)
for par, todos os bn = 0. Em outras palavras,
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cosnx, f(x) par, (14.23)
f(x) =
∞∑
n=1
bnsen nx, f(x) ı́mpar, (14.24)
Freqüentemente essas propriedades são úteis para expandir uma função dada.
Notamos que a série de Fourier é periódica. Isso é importante quando consideramos se a Equação (14.1) é válida
fora do intervalo inicial. Suponha que temos apenas que
f(x) = x, 0 ≤ x < π (14.25)
e que nos pedem para representar f(x) por uma expansão de série. Vamos considerar três entre o número infinito
de expansões possı́veis.
1. Se admitirmos uma expansão de Taylor, temos
f(x) = x, (14.26)
uma série de um termo. Essa série (de um termo) é definida para todo x finito.
2. Usando a série de Fourier de co-senos (Equação (14.23), e por isso admitindo que a função é representada
fielmente no intervalo [0, π) e estendida aos intervalos vizinhos usando as propriedades de simetria conhecidas,
prevemos que
f(x) = −x, −π < x ≤ 0,
f(x) = 2π − x, π < x < 2π. (14.27)
3. Por fim, pela série de Fourier de senos (Equação (14.24)), temos
f(x) = x, −π < x ≤ 0,
f(x) = x− 2π, π < x < 2π. (14.28)
Cada uma dessas três possibilidades — série de Taylor, série de Fourier de co-senos e série de Fourier de
senos — é perfeitamente válida no intervalo original [0, π]. Fora dele, entretanto, o comportamento dessas séries
é surpreendentemente diferente (compare com a Figura 14.3). Então, qual das três é correta? Essa pergunta não
tem resposta, a menos que nos dêem mais informações sobre f(x). Pode ser qualquer das três ou nenhuma delas.
Nossas expansões de Fourier são válidas no intervalo básico. A menos que saibamos que a função f(x) é periódica
com um perı́odo igual a nosso intervalo básico ou a (1/n) de nosso intervalo básico, não há nenhuma segurança
de que a representação (Equação (14.1)) terá qualquer significado fora do intervalo básico.
Além das vantagens de representar funções descontı́nuas e periódicas, há uma terceira vantagem muito real na
utilização de uma série de Fourier. Suponha que estejamos resolvendo a equação do movimento de uma partı́cula
oscilatória sujeita a uma força de impulsão periódica. A expansão de Fourier da força de impulsão nos dá o termo
fundamental e uma série de harmônicos. A EDO (linear) pode ser resolvida para cada um desses harmônicos
individualmente, um processo que pode ser muito mais fácil do que lidar com a força impulsora original. Então,
contanto que a EDO seja linear, todas as soluções podem ser somadas para obter a solução final.5 Isso é mais do
que apenas um estratagema matemático esperto.
• Corresponde a achar a resposta do sistema à freqüência fundamental e a cada uma das freqüências harmônicas.
4Com a faixa de integração −π ≤ x ≤ π.
5Uma das caracterı́sticas mais detestáveis das equações diferenciais não-lineares é que esse princı́pio da sobreposição não é válido.