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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 564 — #574 564 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Os últimos dois termos, ambos de ordem (r2/r1)2, podem ser manipulados usando coordenadas cartesianas: (r1 · r2)2 = 3∑ i=1 x1ix2i 3∑ j=1 x1jx2j . Rearranjando variáveis para pegar as componentes x1 fora da integral, temos como resultado ϕ2(r1) = 1 4πε0 1 2r51 3∑ i,j=1 x1ix1j ∫ [ 3x2ix2j − δijr22 ] ρ(r2) d3r2. (12.12e) Esse é o termo do quadrupolo elétrico. Notamos que os colchetes no integrando forma um tensor simétrico de traço nulo. Também se pode desenvolver uma expansão multipolar eletrostática geral usando a Equação (12.12a) para o potencial ϕ(r1) e substituindo 1/(4π|r1 − r2|) pela função de Green, Equação (9.187). Isso resulta no potencial ϕ(r1) como uma série (dupla) dos harmônicos esféricos Y ml (θ1, ϕ1) e Y ml (θ2, ϕ2). Antes de deixarmos os campos multipolares, talvez seja interessante destacar três pontos: • Primeiro, um multipolo elétrico (ou magnético) é isolado e bem definido somente se todos os multipolos de ordem mais baixa desaparecerem. Por exemplo, o potencial de uma carga q em z = a foi expandido em uma série de polinômios de Legendre. Embora nessa expansão nos refiramos ao termo P1(cos θ) como um termo de dipolo, devemos lembrar que esse termo existe somente por causa das coordenadas que escolhemos. Também temos um monopolo, P0(cos θ). • Segundo, em sistemas fı́sicos não encontramos multipolos puros. Como exemplo, o potencial do dipolo finito (q em z = a,−q em z = −a) continha um termo P3(cos θ). Esses termos de ordem mais alta podem ser eliminados encolhendo o multipolo até um multipolo pontual, nesse caso mantendo o produto qa constante (a→ 0, q →∞) para manter o mesmo momento de dipolo. • Terceiro, a teoria de multipolo não está restrita a fenômenos elétricos. Configurações planetárias são descritas em termos de multipolos de massa, Seções 12.3 e 12.6. A radiação gravitacional depende do comportamento de quadrupolos de massa em relação ao tempo. (O campo de radiação gravitacional é um campo tensorial. A radiação quântica, grávitons, carrega duas unidades de momento angular.) Também poderı́amos observar que uma expansão de multipolo é, na verdade, uma decomposição nas representações irredutı́veis do grupo de rotação (Seção 4.2). Extensão para Polinômios Ultra-Esféricos A função geradora usada aqui, g(t, x), é, na realidade, um caso especial de uma função geradora mais geral, 1 (1− 2xt+ t2)α = ∞∑ n=0 C(α) n (x)tn. (12.13) Os coeficientes C(α) n (x) são os polinômios ultra-esféricos (proporcionais aos polinômios de Gegenbauer). Para α = 1/2, essa equação se reduz à Equação (12.4); isto é, C(1/2) n (x) = Pn(x). Os casos a = 0 e α = 1 são considerados no Capı́tulo 13 em conexão com os polinômios de Chebyshev. Exercı́cios 12.1.1 Desenvolva o potencial eletrostático para o arranjo de cargas a seguir, que representa um quadrupolo elétrico linear (Figura 12.4). 12.1.2 Calcule o potencial eletrostático do arranjo de cargas mostrado na Figura 12.5. Aqui temos um exemplo de dois dipolos iguais mas em direções opostas. As contribuições do dipolo se cancelam. Os termos do octopolo não se cancelam. 12.1.3 Mostre que o potencial eletrostático produzido por uma carga q em z = a para r < a é ϕ(r) = q 4πε0a ∞∑ n=0 ( r a )n Pn(cos θ). “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 565 — #575 12. FUNÇÕES DE LEGENDRE 565 Figura 12.4: Quadrupolo elétrico linear. Figura 12.5: Octopolo elétrico linear. 12.1.4 Usando E = −∇ϕ, determine as componentes do campo elétrico correspondente ao potencial de dipolo elétrico (puro) ϕ(r) = 2aqP1(cos θ) 4πε0r2 . Aqui, admitimos que r � a. Resposta: Er = + 4aq cos θ 4πε0r3 , Eθ = + 2aqsen θ 4πε0r3 , Eϕ = 0. 12.1.5 Um dipolo elétrico pontual de intensidade p(1) é colocado em z = a; um segundo dipolo elétrico pontual de intensidade igual, porém contrária, está na origem. Mantendo o produto p(1)a constante, deixe a→ 0. Mostre que isso resulta em um quadrupolo elétrico pontual. Sugestão: O Exercı́cio 12.2.5 (quando provado) será útil. 12.1.6 Uma carga pontual q está no interior de uma esfera condutora oca de raio r0. A carga q é deslocada a uma distância a do centro da esfera. Se a esfera condutora for aterrada, mostre que o potencial no interior produzido por q e a carga induzida distribuı́da é a mesma que a produzida por q e sua carga imagem q′. A carga imagem está à distância a′ = r20/a do centro, colinear com q e a origem (Figura 12.6). Figura 12.6: Esquema para o cálculo do potencial elétrico de uma esfera oca condutora aterrada utilizando-se o método das imagens. Sugestão: Calcule o potencial eletrostático para a < r0 < a′. Mostre que o potencial se anula para r = r0 se considerarmos q′ = −qr0/a. 12.1.7 Prove que Pn(cos θ) = (−1)n rn+1 n! ∂n ∂zn ( 1 r ) . Sugestão: Compare a expansão de polinômios de Legendre da função geradora (a → ∆z, Figura 12.1) com uma expansão de série de Taylor de 1/r, em que a dependência de z de r muda de z para z −∆z (Figura 12.7). “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 566 — #576 566 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Figura 12.7: 12.1.8 Por diferenciação e substituição direta da forma de série, Equação (12.8), mostre que Pn(x) satisfaz a EDO de Legendre. Note que não há nenhuma restrição sobre x. Podemos ter qualquer x,−∞ < x <∞ e, na verdade, qualquer z em todo o plano complexo finito. 12.1.9 Os polinômios de Chebyshev (tipo II) são gerados (Equação (13.93), Seção 13.3) 1 1− 2xt+ t2 = ∞∑ n=0 Un(x)tn. Usando as técnicas da Seção 5.4 para séries transformadoras, desenvolva uma representação de série de Un(x). Resposta: Un(x) = [n/2]∑ k=0 (−1)k (n− k)! k!(n− 2k)! (2x)n−2k. 12.2 Relações de Recorrência e Propriedades Especiais Relações de Recorrência A função geradora de polinômios de Legendre oferece um modo conveniente para derivar relações de recorrência4 e algumas propriedades especiais. Se nossa função geradora (Equação (12.4)) for diferenciada com relação a t, obtemos ∂g(t, x) ∂t = x− t (1− 2xt+ t2)3/2 = ∞∑ n=0 nPn(x)tn−1. (12.14) Substituindo a Equação (12.4) nessa expressão e rearranjando termos, temos ( 1− 2xt+ t2 ) ∞∑ n=0 nPn(x)tn−1 + (t− x) ∞∑ n=0 Pn(x)tn = 0. (12.15) O lado esquerdo é uma série de potências em t. Uma vez que essa série de potências se anula para todos os valores de t, o coeficiente de cada potência de t é igual a zero, isto é, nossa série de potências é única (Seção 5.7). Esses coeficientes são encontrados separando os somatórios individuais e usando ı́ndices de somatório distintos: ∞∑ m=0 mPm(x)tm−1 − ∞∑ n=0 2nxPn(x)tn + ∞∑ s=0 sPs(x)ts+1 + ∞∑ s=0 Ps(x)ts+1 − ∞∑ n=0 xPn(x)tn = 0. (12.16) Agora, fazendo m = n+ 1, s = n− 1, encontramos (2n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn−1(x), n = 1, 2, 3, . . . (12.17) Essa é outra relação de recorrência de três termos similar (mas não idêntica) à relação de recorrência para funções de Bessel. Com essa relação de recorrência podemos construir com facilidade os polinômios de Legendre de ordem 4Também podemos aplicar diretamente a forma de série explı́cita da Equação (12.8). “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 567 — #577 12. FUNÇÕES DE LEGENDRE 567 mais alta. Se considerarmos n = 1 e inserirmos os valores fáceis de achar de P0(x) e P1(x) (Exercı́cio 12.1.7 ou Equação (12.8)), obtemos 3xP1(x) = 2P2(x) + P0(x), (12.18) ou P2(x) = 1 2 ( 3x2 − 1 ) . (12.19) Esse processo pode ser continuado indefinidamente, e alguns dos primeiros polinômios de Legendre estão relacionados na Tabela 12.1. Tabela 12.1 Polinômios de Legendre P0(x) = 1 P1(x) = x P2(x) = 1 2 (3x2 − 1) P3(x) = 1 2 (5x3 − 3x) P4(x) = 1 8 (35x4 − 30x2 + 3) P5(x) = 1 8 (63x5 − 70x3 + 15x) P6(x) = 1 16 (231x6 − 315x4 + 105x2 − 5) P7(x) = 1 16 (429x7 − 693x5 + 315x3 − 35x) P8(x) = 1 128 (6435x8 − 12012x6 + 6930x4 − 1260x2 + 35)Por mais que essa técnica a princı́pio possa parecer incômoda, na verdade ela é mais eficiente para um computador digital do que a avaliação direta da série (Equação (12.8)). Para maior estabilidade (a fim de evitar acúmulo e aumento indevidos do erro de arredondamento), a Equação (12.17) é reescrita como Pn+1(x) = 2xPn(x)− Pn−1(x)− 1 n+ 1 [ xPn(x)− Pn−1(x) ] . (12.17a) Começamos com P0(x) = 1, P1(x) = x, e calculamos os valores numéricos de todos os Pn(x) para um dado valor de x até o valor desejado PN (x). Os valores de Pn(x), 0 ≤ n < N , estão disponı́veis como um benefı́cio adicional. Equações Diferenciais Podemos obter mais informações sobre os polinômios de Legendre se agora diferenciarmos a Equação (12.4) em relação a x. Isso resulta em ∂g(t, x) ∂x = t (1− 2xt+ t2)3/2 = ∞∑ n=0 P ′ n(x)t n, (12.20) ou ( 1− 2xt+ t2 ) ∞∑ n=0 P ′ n(x)t n − t ∞∑ n=0 Pn(x)tn = 0. (12.21) Como antes, o coeficiente de cada potência de t é igualado a zero e obtemos P ′ n+1(x) + P ′ n−1(x) = 2xP ′ n(x) + Pn(x). (12.22) Podemos encontrar uma relação mais útil diferenciando a Equação (12.17) com relação a x e multiplicando por 2. A isso adicionamos (2n+ 1) vezes a Equação (12.22), cancelando o termo P ′ n. O resultado é P ′ n+1(x)− P ′ n−1(x) = (2n+ 1)Pn(x). (12.23) “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 568 — #578 568 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Numerosas equações adicionais5 podem ser desenvolvidas pelas Equações (12.22) e (12.23), incluindo P ′ n+1(x) = (n+ 1)Pn(x) + xP ′ n(x), (12.24) P ′ n−1(x) = −nPn(x) + xP ′ n(x), (12.25)( 1− x2 ) P ′ n(x) = nPn−1(x)− nxPn(x), (12.26)( 1− x2 ) P ′ n(x) = (n+ 1)xPn(x)− (n+ 1)Pn+1(x). (12.27) Diferenciando a Equação (12.26) e usando a Equação (12.25) para eliminar P ′ n−1(x), constatamos que Pn(x) satisfaz a EDO linear de segunda ordem( 1− x2 ) P ′′ n (x)− 2xP ′ n(x) + n(n+ 1)Pn(x) = 0. (12.28) As equações anteriores, Equações (12.22) a (12.27), são todas EDOs de primeira ordem, porém com polinômios com dois ı́ndices diferentes. O preço para ter todos os ı́ndices iguais é uma equação diferencial de segunda ordem. A Equação (12.28) é uma EDO de Legendre. Agora vemos que os polinômios Pn(x) gerados pela série de potências para (1− 2xt+ t2)−1/2 satisfazem a equação de Legendre, o que, é claro, é a razão por que eles são denominados polinômios de Legendre. Na Equação (12.28) a diferenciação é em relação a x (x = cos θ). Freqüentemente, encontramos a equação de Legendre expressa em termos de diferenciação com relação a θ: 1 sen θ d dθ ( sen θ dPn(cos θ) dθ ) + n(n+ 1)Pn(cos θ) = 0. (12.29) Valores Especiais Nossa função geradora nos dá ainda mais informações sobre os polinômios de Legendre. Se fizermos x = 1, a Equação (12.4) se torna 1 (1− 2t+ t2)1/2 = 1 1− t = ∞∑ n=0 tn, (12.30) usando uma expansão binomial ou a série geométrica, Exemplo 5.1.1. Mas a Equação (12.4), para x = 1, define 1 (1− 2t+ t2)1/2 = ∞∑ n=0 Pn(1)tn. Comparando as duas expansões de série (unicidade da série de potências, Seção 5.7), temos Pn(1) = 1. (12.31) Se fizermos x = −1 na Equação (12.4) e usarmos 1 (1 + 2t+ t2)1/2 = 1 1 + t , isso mostra que Pn(−1) = (−1)n. (12.32) Para obter esses resultados, constatamos que a função geradora é mais conveniente do que a forma de série explı́cita, Equação (12.8). 5Usando o número da equação entre parênteses para denotar o lado esquerdo da equação, podemos escrever as derivadas como 2 · d dx (12.17) + (2n+ 1) · (12.22) ⇒ (12.23), 1 2 ˘ (12.22) + (12.23) ¯ ⇒ (12.24), 1 2 ˘ (12.22)− (12.23) ¯ ⇒ (12.25), (12.24)n→n−1 + x · (12.25) ⇒ (12.26), d dx (12.26) + n · (12.25) ⇒ (12.28).
