Fisica_matematica_ Arfken-130

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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 634 — #644
634 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Figura 13.3: Contorno do polinômio de Laguerre.
É exatamente isso que obterı́amos da série
g(x, z) =
e−xz/(1−z)
1− z
=
∞∑
n=0
Ln(x)zn, |z| < 1, (13.56)
se multiplicássemos g(x, z) por z−n−1 e integrássemos ao redor da origem. Assim como no desenvolvimento do
cálculo de resı́duos (Seção 7.1), somente o termo z−1 da série sobrevive. Tendo isso como base, identificamos
g(x, z) como a função geradora para os polinômios de Laguerre.
Figura 13.4: Polinômios de Laguerre.
Com a transformação
xz
1− z
= s− x ou z =
s− x
s
, (13.57)
Ln(x) =
ex
2πi
∮
sne−s
(s− x)n+1
ds, (13.58)
o novo contorno que circunda o ponto s = x no plano s. Pela fórmula integral de Cauchy (para derivadas),
Ln(x) =
ex
n!
dn
dxn
(
xne−x
)
(n inteiro), (13.59)
“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 635 — #645
13. MAIS FUNÇÕES ESPECIAIS 635
dando a fórmula de Rodrigues para polinômios de Laguerre. Por essas representações de Ln(x) encontramos a
forma de série (para n inteiro),
Ln(x) =
(−1)n
n!
[
xn − n2
1!
xn−1 +
n2(n− 1)2
2!
xn−2 − · · ·+ (−1)nn!
]
=
n∑
m=0
(−1)mn!xm
(n−m)!m!m!
=
n∑
s=0
(−1)n−sn!xn−s
(n− s)!(n− s)!s!
, (13.60)
e os polinômios especı́ficos listados na Tabela 13.2 (Exercı́cio 13.2.1). Está claro que a definição de polinômios
de Laguerre nas Equações (13.55), (13.56), (13.59) e (13.60) é equivalente. Aplicações práticas decidirão qual
abordagem usaremos como nosso ponto de partida. A Equação (13.59) é muito conveniente para gerar a Tabela
13.2, a Equação (13.56) para derivar relações de recorrência a partir das quais a EDO Equação (13.52) é recuperada.
Tabela 13.2 Polinômios de Laguerre
L0(x) = 1
L1(x) = −x+ 1
2!L2(x) = x2 − 4x+ 2
3!L3(x) = −x3 + 9x2 − 18x+ 6
4!L4(x) = x4 − 16x3 + 72x2 − 96x+ 24
5!L5(x) = −x5 + 25x4 − 200x3 + 600x2 − 600x+ 120
6!L6(x) = x6 − 36x5 + 450x4 − 2400x3 + 5400x2 − 4320x+ 720
Por diferenciação da função geradora na Equação (13.56) em relação a x e z, obtemos relações de recorrência
para os polinômios de Laguerre, como descrevemos a seguir. Usando a regra do produto para diferenciação,
verificamos as identidades
(1− z)2 ∂g
∂z
= (1− x− z)g(x, z), (z − 1)
∂g
∂x
= zg(x, z). (13.61)
Escrevendo os lados esquerdo e direito da primeira identidade em termos de polinômios de Laguerre usando a
Equação (13.56), obtemos ∑
n
[
(n+ 1)Ln+1(x)− 2nLn(x) + (n− 1)Ln−1(x)
]
zn
=
∑
n
[
(1− x)Ln(x)− Ln−1(x)
]
zn.
Igualando coeficientes de zn, temos como resultado
(n+ 1)Ln+1(x) = (2n+ 1− x)Ln(x)− nLn−1(x). (13.62)
Para obter a segunda relação de recursão, usamos ambas as identidades das Equações (13.61) para verificar a
terceira identidade,
x
∂g
∂x
= z
∂g
∂z
− z ∂(zg)
∂z
, (13.63)
que, quando escrita da mesma forma em termos de polinômios de Laguerre, verificamos ser equivalente a
xL′n(x) = nLn(x)− nLn−1(x). (13.64)
A Equação (13.61), modificada para ser lida como
Ln+1(x) = 2Ln(x)− Ln−1(x)−
1
n+ 1
[
(1 + x)Ln(x)− Ln−1(x)
]
, (13.65)
por razões de economia e estabilidade numérica, é usada para cálculo de valores numéricos de Ln(x). O
computador começa com valores numéricos conhecidos de L0(x) eL1(x), Tabela 13.2, e prossegue passo a passo.
Essa é a mesma técnica discutida para o cálculo de polinômios de Legendre, Seção 12.2.
Além disso, pela Equação (13.56) encontramos
g(0, z) =
1
1− z
=
∞∑
n=0
zn =
∞∑
n=0
Ln(0)zn,
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636 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
que dá como resultado os valores especiais de polinômios de Laguerre
Ln(0) = 1. (13.66)
Como vemos pela forma da função geradora, pela forma da EDO de Laguerre ou pela Tabela 13.2, os polinômios
de Laguerre não têm nem simetria ı́mpar nem simetria par sob a transformação de paridade x→ −x.
A EDO de Laguerre não é auto-adjunta, e os polinômios de Laguerre Ln(x) por si mesmos não formam um
conjunto ortogonal. Todavia, seguindo o método da Seção 10.1, se multiplicarmos a Equação (13.52) por e−x
(Exercı́cio 10.1.1), obtemos ∫ ∞
0
e−xLm(x)Ln(x) dx = δmn. (13.67)
Essa ortogonalidade é uma conseqüência da teoria de Sturm-Liouville, Seção 10.1. A normalização resulta da
função geradora. Às vezes é conveniente definir funções ortogonalizadas de Laguerre (com a função de peso
unitária) por
ϕn(x) = e−x/2Ln(x). (13.68)
Nossa nova função ortonormal, ϕn(x), satisfaz a EDO
xϕ′′n(x) + ϕ′n(x) +
(
n+
1
2
− x
4
)
ϕn(x) = 0, (13.69)
que verificamos ter a forma (auto-adjunta) de Sturm-Liouville. Note que o intervalo (0 ≤ x <∞) foi usado porque
as condições de fronteira de Sturm-Liouville são satisfeitas em suas extremidades.
Polinômios Associados de Laguerre
Em muitas aplicações, em particular em Mecânica Quântica, precisamos dos polinômios associados de Laguerre
definidos por6
Lkn(x) = (−1)k
dk
dxk
Ln+k(x). (13.70)
Pela forma de série de Ln(x), verificamos que os polinômios associados de Laguerre mais baixos são dados por
Lk0(x) = 1,
Lk1(x) = −x+ k + 1,
Lk2(x) =
x2
2
− (k + 2)x+
(k + 2)(k + 1)
2
. (13.71)
Em geral,
Lkn(x) =
n∑
m=0
(−1)m
(n+ k)!
(n−m)!(k +m)!m!
xm, k > −1. (13.72)
Pode-se desenvolver uma função geradora diferenciando a função geradora de Laguerre k vezes para obter como
resultado
(−1)k
dk
dxk
e−xz/(1−z)
1− z
= (−1)k
∞∑
n=0
dk
dxk
Ln+k(x)zn+k =
∞∑
n=0
Lkn(x)z
n+k
=
(
z
1− z
)k
exz/(1−z)
1− z
.
Pelos dois últimos membros dessa equação, cancelando o fator comum zk, obtemos
e−xz/(1−z)
(1− z)k+1
=
∞∑
n=0
Lkn(x)z
n, |z| < 1. (13.73)
6Alguns autores usam Lk
n+k(x) = (dk/dxk)[Ln+k(x)]. Daı́, nossa Lk
n(x) = (−1)kLk
n+k(x).
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13. MAIS FUNÇÕES ESPECIAIS 637
Por essa expressão, a expansão binomial para x = 0,
1
(1− z)k+1
=
∞∑
n=0
(
−k − 1
n
)
(−z)n =
∞∑
n=0
Lkn(0)zn
resulta em
Lkn(0) =
(n+ k)!
n!k!
. (13.74)
Podem-se derivar relações de recorrência a partir da função geradora ou por diferenciação das relações de
recorrência do polinômio de Laguerre. Entre as numerosas possibilidades estão
(n+ 1)Lkn+1(x) = (2n+ k + 1− x)Lkn(x)− (n+ k)Lkn−1(x), (13.75)
x
dLkn(x)
dx
= nLkn(x)− (n+ k)Lkn−1(x). (13.76)
Assim, diferenciando a EDO de Laguerre uma vez, obtemos
x
dL′′n
dx
+ L′′n − L′n + (1− x)dL
′
n
dx
+ n
dLn
dx
= 0,
e, diferenciando a EDO de Laguerre k vezes, por fim obtemos
x
dk
dxk
L′′n + k
dk−1
dxk−1
L′′n − k
dk−1
dxk−1
L′n + (1− x) d
k
dxk
L′n + n
dk
dxk
Ln = 0.
Ajustando o ı́ndice n→ n+ k, temos a EDO associada de Laguerre
x
d2Lkn(x)
dx2
+ (k + 1− x)dL
k
n(x)
dx
+ nLkn(x) = 0. (13.77)
Quando polinômios associados de Laguerre aparecem em um problema fı́sico, em geral é porque o problema em
questão envolve a Equação (13.77). A aplicação mais importante é nos estados ligados do átomo de hidrogênio
que são derivados no Exemplo 13.2.1 mais adiante.
Pode-se obter uma representação de Rodrigues do polinômio associado de Laguerre
Lkn(x) =
exx−k
n!
dn
dxn
(
e−xxn+k
)
, (13.78)
substituindo a Equação (13.59) na Equação (13.70). Note que todas essas fórmulas para polinômios associados de
Legendre Lkn(x) se reduzem às expressões correspondentes para Ln(x), quando k = 0.
A equação associada de Laguerre, Equação (13.77), não é auto-adjunta, mas pode ser colocada em forma auto-
adjunta, multiplicando por e−xxk, que se torna a função de peso (Seção 10.1). Obtemos∫ ∞
0
e−xxkLkn(x)L
k
m(x) dx =
(n+ k)!
n!
δmn. (13.79)
A Equação (13.79) mostra o mesmo intervalo de ortogonalidade (0,∞) dos polinômios de Laguerre, mas, com uma
nova função de peso, temos um novo conjunto de polinômios ortogonais, os polinômios associados de Laguerre.
Fazer ψkn(x) = e−x/2xk/2Lkn(x), ψ
k
n(x) satisfaz a EDO auto-adjunta
x
d2ψkn(x)
dx2
+
dψkn(x)
dx
+
(
−x
4
+
2n+ k + 1
2
− k2
4x
)
ψkn(x) = 0. (13.80)
As ψkn(x) às vezes são denominadas funções de Laguerre. A Equação (13.67) é ocaso especial k = 0 da
Equação (13.79).
Uma outra forma útil é dada definindo7
Φkn(x) = e−x/2x(k+1)/2Lkn(x). (13.81)
7Isso corresponde a modificar a função ψ na Equação (13.80) para eliminar a derivada de primeira ordem (compare com o Exercı́cio 9.6.11).
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638 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Substituição na equação associada de Laguerre, resulta em
d2Φkn(x)
dx2
+
(
−1
4
+
2n+ k + 1
2x
− k2 − 1
4x2
)
Φkn(x) = 0. (13.82)
A integral de normalização correspondente
∫∞
0
|Φkn(x)|2 dx é∫ ∞
0
e−xxk+1
[
Lkn(x)
]2
dx =
(n+ k)!
n!
(2n+ k + 1). (13.83)
Observe que as Φkn(x) não formam um conjunto ortogonal (exceto com x−1 como uma função de peso) por causa
do x−1 no termo (2n+ k+ 1)/2x. (As funções de Laguerre Lµν (x) nas quais os ı́ndices ν e µ são não são inteiros
podem ser definidas usando as funções hipergeométricas confluentes da Seção 13.5.)
Exemplo 13.2.1 ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
A aplicação mais importante dos polinômios de Laguerre é na solução da equação de Schrödinger para o átomo de
hidrogênio. Essa equação é
− ~2
2m
∇2ψ − Ze2
4πε0r
ψ = Eψ, (13.84)
na qual Z = 1 para hidrogênio, 2 para hélio ionizado, e assim por diante. Separando variáveis, constatamos que a
dependência angular de ψ são os harmônicos esféricos YML (θ, ϕ). A parte radial, R(r), satisfaz a equação
− ~2
2m
1
r2
d
dr
(
r2
dR
dr
)
− Ze2
4πε0r
R+
~2
2m
L(L+ 1)
r2
R = ER. (13.85)
Para estados ligados, R→ 0, quando r →∞, e R é finito na origem, r = 0. Não consideramos estados contı́nuos
com energia positiva. Somente quando eles estiverem incluı́dos é que as funções de onda do hidrogênio formam
um conjunto completo.
Usando abreviações (resultantes de aumentar novamente r até a variável radial sem dimensão ρ)
ρ = αr, com α2 = −8mE
~2
, E < 0, λ =
mZe2
2πε0α~2
, (13.86)
a Equação (13.85) se torna
1
ρ2
d
dρ
(
ρ2 dχ(ρ)
dρ
)
+
(
λ
ρ
− 1
4
− L(L+ 1)
ρ2
)
χ(ρ) = 0, (13.87)
em que χ(ρ) = R(ρ/α). Uma comparação com a Equação (13.82) para Φkn(x) mostra que a Equação (13.87) é
satisfeita por
ρχ(ρ) = e−ρ/2ρL+1L2L+1
λ−L−1(ρ), (13.88)
na qual k é substituı́do por 2L+ 1 por n by λ− L− 1, pela utilização de
1
ρ2
d
dρ
ρ2 dχ
dρ
=
1
ρ
d2
dρ2
(ρχ).
Devemos restringir o parâmetro λ impondo que ele seja um inteiro n, n = 1, 2, 3, . . .8 Isso é necessário porque
a função de Laguerre de n não-inteiro divergiria9 como ρneρ, o que é inaceitável para nosso problema fı́sico, no
qual
lim
r→∞
R(r) = 0.
Essa restrição a λ, imposta por nossa condição de contorno, tem o efeito de quantizar a energia,
En = − Z2m
2n2~2
(
e2
4πε0
)2
. (13.89)
8Essa é a notação convencional para λ. Esse n não é o mesmo ı́ndice n em Φk
n(x).
9Isso pode ser mostrado, como no Exercı́cio 9.5.5.