Fisica_matematica_ Arfken-58

Text Material Preview

“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 274 — #284
274 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
incluindo efeitos relativistas. Ache o deslocamento x como uma série de potências em tempo t.
Compare com o resultado clássico,
x = 1
2gt
2.
5.6.16 Usando a teoria relativista de Dirac, a fórmula de estrutura fina de espectroscopia atômica é dada
por
E = mc2
[
1 +
γ2
(s+ n− |k|)2
]−1/2
,
em que
s =
(
|k|2 − γ2
)1/2
, k = ±1,±2,±3, . . . .
Expanda em potências de γ2 pela ordem γ4 (γ2 = Ze2/4πε0~c, sendo Z o número atômico). Essa
expansão é útil em comparações das previsões da teoria de elétrons de Dirac com as de uma teoria
relativista de elétrons de Schrödinger. Resultados experimentais apóiam a teoria de Dirac.
5.6.17 Em uma colisão frontal próton-próton, a razão entre a energia cinética no centro do sistema de
massa e a energia cinética incidente é
R =
[√
2mc2
(
Ek + 2mc2
)
− 2mc2
]
/Ek.
Ache o valor dessa razão de energias cinéticas para
(a) Ek � mc2 (não-relativista)
(b) Ek � mc2 (relativista extrema).
Resposta: (a) 1
2 , (b) 0. A última resposta é um tipo de lei
de retornos decrescentes para aceleradores de partı́culas
de altas energias (com alvos estacionários).
5.6.18 Com expansões binomiais
x
1− x
=
∞∑
n=1
xn,
x
x− 1
=
1
1− x−1
=
∞∑
n=0
x−n.
A soma dessas duas séries resulta em
∑∞
n=−∞ xn = 0.
Tenho certeza de que todos concordamos que isso é um absurdo, mas o que deu errado?
5.6.19 (a) A teoria de Planck de osciladores quantizados leva a uma energia média
〈ε〉 =
∑∞
n=1 nε0 exp(−nε0/kT )∑∞
n=0 exp(−nε0/kT )
,
em que ε0 é uma energia fixa. Identifique o numerador e o denominador como expansões
binomiais e mostre que a razão entre eles é
〈ε〉 =
ε0
exp(ε0/kT )− 1
.
(b) Mostre que o 〈ε〉 da parte (a) se reduz a kT , o resultado clássico, para kT � ε0.
5.6.20 (a) Expanda pelo teorema binomial e integre termo a termo para obter a série de Gregory para
y = tg−1x (note que tgy = x):
tg−1x =
∫ x
0
dt
1 + t2
=
∫ x
0
{
1− t2 + t4 − t6 + · · ·
}
dt
=
∞∑
n=0
(−1)n
x2n+1
2n+ 1
, −1 ≤ x ≤ 1.
(b) Comparando expansões de séries, mostre que
tg−1x =
i
2
ln
(
1− ix
1 + ix
)
.
Sugestão: Compare com o Exercı́cio 5.4.1.
“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 275 — #285
5. SÉRIES INFINITAS 275
5.6.21 Em análise numérica, muitas vezes é conveniente aproximar
d2
dx2
ψ(x) ≈ 1
h2
[
ψ(x+ h)− 2ψ(x) + ψ(x− h)
]
.
Ache o erro dessa aproximação.
Resposta: Erro =
h2
12
ψ(4)(x).
5.6.22 Você tem uma função y(x) tabulada em valores igualmente espaçados do argumento{
yn = y(xn)
xn = x+ nh.
Mostre que a combinação linear
1
12h
{−y2 + 8y1 − 8y−1 + y−2}
resulta em
y′0 −
h4
30
y
(5)
0 + · · · .
Por conseguinte, essa combinação linear resulta em y′0 se (h4/30)y(5)
0 e potências mais altas de h e
derivadas de ordens mais altas de y(x) são desprezı́veis.
5.6.23 Em uma integração numérica de uma equação diferencial parcial, o laplaciano tridimensional é
substituı́do por
∇2ψ(x, y, z)→ h−2
[
ψ(x+ h, y, z) + ψ(x− h, y, z)
+ ψ(x, y + h, z) + ψ(x, y − h, z) + ψ(x, y, z + h)
+ ψ(x, y, z − h)− 6ψ(x, y, z)
]
.
Determine o erro dessa aproximação. Aqui, h é o tamanho do espaçamento, a distância entre pontos
adjacentes na direção x, y ou z.
5.6.24 Usando precisão dupla, calcule e por sua série de Maclaurin.
Nota: Essa abordagem simples, direta, é o melhor modo de calcular e com alta precisão. Dezesseis
termos dão e até 16 algarismos significativos. Os fatoriais recı́procos dão convergência muito rápida.
5.7 Série de Potências
A série de potências é um tipo extremamente útil de série infinita da forma
f(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3 + · · · =
∞∑
n=0
anx
n, (5.110)
em que os coeficientes ai são constantes, independentes de x.13
Convergência
A Equação (5.110) pode ser testada de imediato para convergência pelo teste da raiz de Cauchy ou pelo teste da
razão de d’Alembert (Seção 5.2). Se
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = R−1, (5.111)
a série converge para −R < x < R. Esse é o intervalo ou raio de convergência. Uma vez que os testes da raiz e da
razão falham quando o limite é a unidade, as extremidades do intervalo requerem especial atenção. Por exemplo,
se an = n−1, então R = 1, pelas Seções 5.1, 5.2 e 5.3, a série converge para x = −1 mas diverge para x = +1.
Se an = n!, então R = 0 e a série diverge para todo x 6= 0.
13A Equação (5.110) pode ser generalizada para z = x+ iy, substituindo x. Então, os dois capı́tulos seguintes darão convergência uniforme,
integrabilidade e diferenciabilidade em uma região de um plano complexo em lugar de um intervalo no eixo x.
“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 276 — #286
276 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Convergência Uniforme e Absoluta
Suponha que constatemos que nossa série de potências (Equação (5.110)) é convergente para −R < x < R; então
ela será uniforme e absolutamente convergente em qualquer intervalo interior −S ≤ x ≤ S, em que 0 < S < R.
Isso pode ser provado diretamente pelo teste M de Weierstrass (Seção 5.5).
Continuidade
Visto que cada um dos termos un(x) = anx
n é uma função contı́nua de x e f(x) =
∑
anx
n converge
uniformemente para −S ≤ x ≤ S, f(x) deve ser uma função contı́nua no intervalo de convergência uniforme.
Esse comportamento deve ser comparado com o comportamento surpreendentemente diferente da série de
Fourier (Capı́tulo 14), no qual essa série é freqüentemente usada para representar funções descontı́nuas, tais como
ondas em dente de serra e ondas quadradas.
Diferenciação e Integração
Sendo un(x) contı́nua e
∑
anx
n uniformemente convergente, constatamos que a série diferenciada é uma série de
potências com funções contı́nuas e o mesmo raio de convergência da série original. Os novos fatores introduzidos
por diferenciação (ou integração) não afetam nem o teste da raiz nem o teste da razão. Portanto, nossa série de
potências pode ser diferenciada ou integrada com a freqüência que se desejar dentro do intervalo de convergência
uniforme (Exercı́cio 5.7.13).
Em vista das restrições bastante sérias aplicadas à diferenciação (Seção 5.5), esse é um resultado notável e
valioso.
Teorema da Unicidade
Na seção precedente, usando a série de Maclaurin, expandimos ex e ln(1 + x) em séries infinitas. Nos
capı́tulos subseqüentes, funções são freqüentemente representadas ou talvez definidas por séries infinitas. Agora,
determinamos que a representação da série de potências é única.
Se
f(x) =
∞∑
n=0
anx
n, −Ra < x < Ra
=
∞∑
n=0
bnx
n, −Rb < x < Rb, (5.112)
com intervalos de convergência sobrepostos, incluindo a origem, então
an = bn (5.113)
para todo n; isto é, admitimos duas representações (diferentes) de séries de potências e passamos a mostrar que,
na verdade, as duas são idênticas.
Pela Equação (5.112),
∞∑
n=0
anx
n =
∞∑
n=0
bnx
n, −R < x < R, (5.114)
em queR é o menor deRa, Rb. Estabelecendo x = 0 para eliminar todos os termos, exceto os constantes, obtemos
a0 = b0. (5.115)
Agora, explorando a diferenciabilidade de nossa série de potências, diferenciamos a Equação (5.114), obtendo
∞∑
n=1
nanx
n−1 =
∞∑
n=1
nbnx
n−1. (5.116)
Mais uma vez estabelecemos x = 0, para isolar os novos tempos constantes e achamos
a1 = b1. (5.117)
Repetindo esse processo n vezes, temos
an = bn, (5.118)
“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 277 — #287
5. SÉRIES INFINITAS 277
o que mostra que as duas séries coincidem. Portanto, nossa representação de séries de potências é única.
Isso será um ponto crucial na Seção 9.5, na qual usamos uma série de potências para desenvolver soluções
de equações diferenciais. Essa unicidade da série de potências aparece com muita freqüência na fı́sica teórica. O
estabelecimento da teoria da perturbação em mecânica quântica é um exemplo. A representação de funções por
séries de potências costuma ser útil para avaliar formas indeterminadas, em particular quando aregra de l’Hôpital
pode ser incômoda de aplicar (Exercı́cio 5.7.9).
Exemplo 5.7.1 REGRA DE L’HÔPITAL
Avalie
lim
x→0
1− cosx
x2
. (5.119)
Substituindo cosx por sua expansão de série de Maclaurin, obtemos
1− cosx
x2
=
1− (1− 1
2!x
2 + 1
4!x
4 − · · · )
x2
=
1
2!
− x2
4!
+ · · · .
Deixando que x→ 0, temos
lim
x→0
1− cosx
x2
=
1
2
. (5.120)
A unicidade de séries de potências significa que os coeficientes an podem ser identificados com as derivadas
em uma série de Maclaurin. Por
f(x) =
∞∑
n=0
anx
n =
∞∑
n=0
1
n!
f (n)(0)xn
temos
an =
1
n!
f (n)(0).
�
Inversão de Séries de Potências
Suponha que temos uma série
y − y0 = a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · · =
∞∑
n=1
an(x− x0)n. (5.121)
Isso dá (y− y0) em termos de (x−x0). Contudo, pode ser desejável ter uma expressão explı́cita para (x−x0) em
termos de (y − y0). Podemos resolver a Equação (5.121) para x− x0 por inversão de nossa série. Admita que
x− x0 =
∞∑
n=1
bn(y − y0)n, (5.122)
com bn determinado em termos de an. Uma abordagem de força bruta, que é perfeitamente adequada para
alguns poucos primeiros coeficientes, é simplesmente substituir a Equação (5.121) na Equação (5.122). Igualando
coeficientes de (x−x0)n em ambos os lados da Equação (5.122), uma vez que a série de potências é única, obtemos
b1 =
1
a1
,
b2 = −a2
a3
1
,
b3 =
1
a5
1
(
2a2
2 − a1a3
)
, (5.123)
b4 =
1
a7
1
(
5a1a2a3 − a2
1a4 − 5a3
2
)
, e assim por diante.
Alguns dos coeficientes mais altos são listados por Dwight.14
14H. B. Dwight, Tables of Integrals and Other Mathematical Data, 44 ed. Nova York: Macmillan (1961). (Compare com a Fórmula n0 50.)
“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 278 — #288
278 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Exercı́cios
5.7.1 A clássica teoria do magnetismo de Langevin leva a uma expressão para a polarização magnética,
P (x) = c
(
coshx
sen hx
− 1
x
)
.
Expanda P (x) como uma série de potências para pequenos x (campos baixos, alta temperatura).
5.7.2 O fator de despolarização L para um elipsóide oblato em um campo elétrico uniforme paralelo ao
eixo de rotação é
L =
1
ε0
(
1 + ζ2
0
)(
1− ζ0 cot−1 ζ0
)
,
em que ζ0 define um elipsóide oblato em coordenadas esféricas oblatas (ξ, ζ, ϕ). Mostre que
lim
ζ0→∞
L =
1
3ε0
(esfera), lim
ζ0→0
L =
1
ε0
(lâmina fina).
5.7.3 O fator de despolarização (Exercı́cio 5.7.2) para um elipsóide prolato (oblongo) é
L =
1
ε0
(
η2
0 − 1
)(1
2
η0 ln
η0 + 1
η0 − 1
− 1
)
.
Mostre que
lim
η0→∞
L =
1
3ε0
(esfera), lim
η0→0
L = 0 (agulha longa).
5.7.4 A análise do padrão de difração de uma abertura circular envolve∫ 2π
0
cos(c cosϕ) dϕ.
Expanda o integrando em uma série e integre usando∫ 2π
0
cos2n ϕdϕ =
(2n)!
22n(n!)2
· 2π,
∫ 2π
0
cos2n+1 ϕdϕ = 0.
O resultado é 2π vezes a função de Bessel J0(c).
5.7.5 Nêutrons são criados (por uma reação nuclear) dentro de uma esfera oca de raio R. Os nêutrons
recém-criados são distribuı́dos uniformemente pelo volume esférico. Admitindo que todas as
direções são igualmente prováveis (isotropia), que distância média um nêutron percorrerá antes
de se chocar com a superfı́cie da esfera? Admita movimento em linha reta sem colisões.
(a) Mostre que
r̄ = 3
2R
∫ 1
0
∫ π
0
√
1− k2sen2θk2 dksenθ dθ.
(b) Expanda o integrando como uma série e integre para obter
r̄ = R
[
1− 3
∞∑
n=1
1
(2n− 1)(2n+ 1)(2n+ 3)
]
.
(c) Mostre que a soma dessa série infinita é 1/12, dando r̄ = 3
4R.
Sugestão: Mostre que sn = 1/12 − [4(2n + 1)(2n + 3)]−1 por indução matemática. Então deixe
n→∞.
5.7.6 Dado que ∫ 1
0
dx
1 + x2
= tg−1x
∣∣∣1
0
=
π
4
,