Text Material Preview
CAPÍTULO 3. Teoria de Grupos Abstratos 117
Epimorfismo. Dados os grupos G = {G; ∗} e G′ = {G′; •}, o mapeamento Φ : G 7−→ G′ será
denominado um epimorfismo do grupo G para o grupo G′ se:
1. O mapeamento for homomórfico.
2. O mapeamento for sobrejetivo, i. e., todos os elementos de G′ forem mapeados a partir
de algum elemento de G.
Isomorfismo. Dados os grupos G = {G; ∗}, de ordem |G|, e G′ = {G′; •}, de ordem |G′|, o mapea-
mento Φ : G 7−→ G′ será denominado um isomorfismo se:
1. Existir um homomorfismo do grupo G para o grupo G′.
2. Os grupos tiverem a mesma ordem; i. e., |G′| = |G|.
3. Existir uma correspondência bijetora entre cada elemento g ∈ G com cada elemento
g′ ∈ G′, i. e., se G =
{
g1, g2, . . . , g|G|
}
e G′ =
{
g′1, g
′
2, . . . , g
′
|G|
}
, então
g1 ↔ g′1, g2 ↔ g′2, . . . , g|G| ↔ g′|G|.
Os grupos G e G′ são ditos então isomórficos, escrevendo-se G ∼= G′.
Endomorfismo. Dado o grupo G = {G; ∗}, o mapeamento Φ : G 7−→ G é denominado um endo-
morfismo de G.
Automorfismo. Dado o grupo G = {G; ∗}, o mapeamento Φ : G 7−→ G é denominado um auto-
morfismo de G se:
1. O mapeamento for endomórfico.
2. O mapeamento for isomórfico.
Exercício 3.13. Mostre que o mapeamento definido no exemplo 3.10 é um tipo de homomor-
fismo e classifique o mesmo.
Resolução: Dadas as matrizes A1,A2 ∈ GL (n,R) e os números reais ∆1,∆2 ∈ (R∗,×) tais que
∆1 = det (A1) e ∆2 = det (A2). O mapeamento Φ : GL (n,R) 7−→ (R∗;×) | Φ (A) = det (A) é um
homomorfismo porque
det (A1A2) = det (A1) det (A2) = ∆1∆2.
Além disso, o mapeamento será um epimorfismo porque, uma vez que o grupo GL (n,R) é de
dimensão n2, sempre haverá uma combinação de parâmetros da matriz A cujo determinante
será mapeado a qualquer número real ∆. Por outro lado, o mapeamento não é isomórfico porque
a um dado ∆ sempre haverá mais de uma matriz A mapeada ao mesmo.
Alguns exemplos de homomorfismo:
• No exercício 3.11 já foi demonstrado o isomorfismo entre os grupos C3v, D3 e S3.
• Φ : C4 7−→ Z4, com E ↔ 1, C4 ↔ i, C2
4 ↔ −1 e C3
4 ↔ −i. Observa-se o isomorfismo claramente
nas tabelas de multiplicação:
C4
E C4 C2
4 C3
4
C4 C2
4 C3
4 E
C2
4 C3
4 E C4
C3
4 E C4 C2
4
Z4
1 i −1 −i
i −1 −i 1
−1 −i 1 i
−i 1 i −1
• Dados o grupo (Z; +) e o grupo cíclico Z/3 = {0, 1, 2; + (mod 3)}, o mapeamento Φ : (Z; +) 7−→
Z/3, onde para todo n ∈ Z, Φ (n) = n (mod 3) forma um epimorfismo.
• Dados H ⊂ GL (2,R), formado pelo conjunto
H =
{(
a b
0 1
)∣∣∣∣a > 0, b ∈ R
}
,
para qualquer u ∈ C, define-se fu : H 7−→ (C \ {0} ;×) tal que
fu
[(
a b
0 1
)]
= au.
Novamente este mapeamento consiste em um epimorfismo.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 05/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
118 3.6. Mapeamentos entre grupos
Algumas observações e consequências diretas das definições do homomorfismo Φ : G 7−→ G′
acima:
• Se n elementos de G forem mapeados ao mesmo elemento de G′, diz-se que ocorre um
mapeamento ou homomorfismo n-para-1 de G para G′. Claramente, se n = 1 para todo
g ∈ G, o mapeamento se reduz a um isomorfismo.
• Se I ∈ G e I ′ ∈ G′ forem os respectivos elementos identidade, então, para todo g ∈ G e
g′ = Φ (g) ∈ G′,
g′ = Φ (I ∗ g) = Φ (I) • Φ (g) = Φ (I) • g′ =⇒ I 7−→ I ′. (3.8a)
Ou seja, o elemento identidade em G é sempre mapeado ao elemento identidade I ′ em G′.
• Se g, g−1 ∈ G forem tais que g∗g−1 = I e g′, (g′)−1 ∈ G′ forem tais que g′•(g′)−1
= I ′ e g′ = Φ (g),
então
I ′ = Φ
(
g ∗ g−1
)
= Φ (g) • Φ
(
g−1
)
= g′ • Φ
(
g−1
)
=⇒ (g′)
−1
= Φ
(
g−1
)
. (3.8b)
Ou seja, o elemento inverso em G é mapeado ao respectivo elemento inverso em G′.
• Se o elemento g ∈ G for de ordem n (finita), i. e., gn = I, então
I ′ = Φ (gn) = Φ (g) • Φ
(
gn−1
)
= g′ • Φ
(
gn−1
)
= · · · = g′ • g′ • · · · • g′︸ ︷︷ ︸
n vezes
.
Ou seja,
(g′)
n
= I ′. (3.8c)
O teorema a seguir está relacionado com a propriedade (3.8c).
Teorema 3.5 (Ordem da imagem sob o homomorfismo). Sejam os grupos G = {G; ∗; I} e G′ =
{G′; •; I ′}. Seja o mapeamento Φ : G −→ G′, o qual forma um homomorfismo de G em G′. Seja g ∈ G
um elemento de ordem finita. Então, ord (Φ (g)) divide ord (g).
Demonstração. Seja g′ = Φ (g); sejam n,m ∈ Z tais que n = ord (g) e m = ord (g′). Então, elevando-
se ambos os lados da identidade (g′)
m
= I ′ a uma potência inteira positiva k resulta (g′)
km
= I ′,
o que implica, pela propriedade (3.8c), que
km = n =⇒ n
m
= k = 1, 2, . . . .
Se o mapeamento for monomórfico, então, necessariamente, m = n; caso contrário, é possível
que m < n. A ordem da imagem do homomorfismo também é um divisor da ordem do grupo do
domínio. A demonstração disto é dada pelo primeiro teorema do isomorfismo abaixo.
Mais algumas definições e consequências importantes:
Definição 3.24 (Núcleo e imagem do homomorfismo). Dado o homomorfismo Φ : G 7−→ G′, o
núcleo20 de Φ é o conjunto de elementos de G que são mapeados ao elemento identidade de G′.
Este conjunto é representado por
ker (Φ) = {g ∈ G | Φ (g) = I ′} .
A imagem de Φ é o conjunto de imagens dos elementos de G em G′, i. e.,
Im (Φ) ≡ Φ (G) = {Φ (g) , ∀g ∈ G} .
A importância das definições acima está nos seguintes teoremas:
Teorema 3.6 (Primeiro teorema do isomorfismo). Dados os grupos G = {G; ∗} e G′ = {G′; •},
se o mapeamento Φ : G 7−→ G′ forma um homomorfismo de G em G′, então:
1. O núcleo do homomorfismo forma um subgrupo invariante de G.
2. A imagem do homomorfismo forma um subgrupo de G′.
20Em alemão: Kernel.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 05/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022