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9.5. Método prático para determinação da inversa 145 9.5 Método prático para determinação da inversa Com base na parte 3 do Exemplo 9.6, onde se usa uma matriz de ordem 2, vimos que uma forma de obter a inversa de uma matriz qualquer, M , de ordem n, é supor a existência de uma matriz M−1 genérica, também de ordem n, e forçar para que ocorra M M−1 = In . Com isso, chega-se a um sistema que de n equações e n incógnitas, que ao ser resolvido permite obter os elementos de M−1. Caso esse sistema seja impossível, significará que a matriz M não possui inversa. Uma forma prática de se obter a inversa de uma matriz A é com a utilização dos resultados garantidos pelo Teorema 9.6. Discussões desses resultados, e também suas demonstrações, podem ser obtidos em livros de Geometria Analítica e também Álgebra Linear [28, 30]. Teorema 9.6 Seja A uma matriz quadrada. Se apenas com operações elementares com linhas for possível reduzir A até que se obtenha In , então A é inversível e A−1 é obtida após se aplicar a mesma sequência de operações elementares em In . Ora, o Teorema 9.6 garante duas coisas: i. Se de A for possível obter In , apenas com operações elementares, então A é inversível. ii. Se existe A−1 ela é obtida aplicando-se em In as mesmas operações elementares usadas no item i. Isso permite concluir que é possível aplicar operações elementares simultanea- mente nas matrizes A e In , posicionadas da forma [A | In] . Se com isso, for obtido [In | B ] , significará que A é inversível e que A−1 = B . Caso não seja possível obter In a partir de A, significará que A é singular. Vejamos uma aplicação desse método. Exemplo 9.8 Mostre que A = 0 1 2 1 1 2 1 2 3 é inversível e obtenha A−1. Resolução: Primeiramente, vamos escrever a matriz A e I3 na forma [A | I3], ob- tendo: 0 1 2 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 2 3 0 0 1 . Fazendo a troca L1 ←→ L2 vem que 1 1 2 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 3 0 0 1 . 146 Capítulo 9. Determinante e a Matriz inversa Operando da forma L3 −→−L1 +L3 chega-se a 1 1 2 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 0 −1 1 . Fazendo L1 −→−L2 +L1 e L3 −→−L2 +L3, tem-se que 1 0 0 −1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 −1 −1 −1 1 . Agora, ao se fazer L3 −→−L3 1 0 0 −1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 −1 . Para finalizar, basta fazer L2 −→−2L3 +L2, obtendo 1 0 0 −1 1 0 0 1 0 −1 −2 2 0 0 1 1 1 −1 . Observe que o lado esquerdo, que era onde estavam os elementos da matriz A, foi reduzido à matriz I3. Isso implica, pelo Teorema 9.6, que A é inversível e que A−1 = −1 1 0 −1 −2 2 1 1 −1 . Observe que quando se quer obter a inversa de uma matriz A, caso exista, será geralmente mais prático usar esse método do que primeiro mostrar que det (A) 6= 0 para garantir que a inversa exista e, só depois, obter A−1. Isso porque, ao se usar o método, faz-se as duas ações simultaneamente, isto é, ao se mostrar que a inversa existe também se obtém seus elementos. 9.6 Exercícios 1. Seja a matriz A = 1 −2 0 7 8 0 2 −1 −3 . Obtenha |A|: a) Pela regra de Sarrus. b) Pelo Teorema Fundamental de Laplace, usando a terceira coluna. 2. Determine |B | e |B t | sendo B = −2 i 0 −1 0 −3i 1 −1 2 . 3. Considere as matrizes A = 1 2 −3 4 8 2 0 0 0 , B = π 2 0 2 8 0 −3 0 0 , C = [ 1 2 4 −3 ] , D = [ 4 −3 1 2 ] e E = [ 1 −4 1 −4 ] . Determinante e a Matriz inversa Método prático para determinação da inversa Exercícios
