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9.4. Matriz inversa 143
3. Determine a inversa de M =
[
3 7
5 11
]
.
Resolução: Como M tem ordem 2, segue que M−1 terá ordem 2. Então, a forma
genérica dessa inversa é
M−1 =
[
a b
c d
]
.
Deve-se ter que M M−1 = I2. Logo,[
3 7
5 11
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇒
[
3a +7c 3b +7d
5a +11c 5b +11d
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Pela igualdade de matrizes segue que{
3a +7c = 1 (1)
5a +11c = 0 (2) e
{
3b +7d = 0
5b +11d = 1
Da Eq. (2) do primeiro sistema vem que
a =−11
5
c (∗)
Levando a Eq. (∗) na Eq. (1) desse sistema obtém-se
3 ·
(
−11
5
c
)
+7c = 1 ⇒ −33c +35c
5
= 1 ⇒ 2c
5
= 1 ⇒ c = 5
2
.
Substituindo o valor encontrado para c na Eq. (∗) chega-se à conclusão que
a =−11
2
.
Resolvendo-se o segundo sistema chega-se à conclusão de que
b = 7
2
e d =−3
2
=⇒ M−1 =
[ −11/2 7/2
5/2 −3/2
]
.
O Teorema 9.3 garante que dada uma matriz quadrada A, se existir uma matriz B tal
que AB = I , necessariamente acontecerá que B A = I , e portanto, basta que uma dessas
condições seja verificada para garantir que B é a inversa de A.
Teorema 9.3 Sejam A e B matrizes de ordem n. Então, AB = In se, e somente se, B A = In .
A demonstração desse teorema será omitida nesse texto por estar além do seu
escopo. Contudo, alunos interessados podem pesquisá-la nas referências [28, p. 74; 30,
p. 75, 85].
Teorema 9.4 Sejam A e B matrizes inversíveis e de mesma ordem. Então, AB é inversível
e (AB)−1 = B−1 A−1.
Demonstração: Por hipótese A e B são inversíveis e de mesma ordem, digamos
n. Logo, existem A−1 e B−1, ambas de ordem n. Então, multiplicando AB por B−1 A−1
obtém-se que:
(AB)
(
B−1 A−1)= A
(
BB−1) A−1 = AIn A−1 = A A−1 = In = (
B−1 A−1) (AB).
Portanto, a inversa de AB existe e é igual a B−1 A−1.
144 Capítulo 9. Determinante e a Matriz inversa
Observação 9.3 Na Definição 9.4 ficou claro que nem toda matriz possui inversa. Um
exemplo desse tipo de matriz é A =
[
3 0
2 0
]
. De fato, considere que exista B =
[
a b
c d
]
tal que AB = I2, ou seja, [
3 0
2 0
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Isso implica que a = 1/3 e a = 0 simultaneamente, o que é um absurdo, e mostra
que é impossível que exista a matriz B = A−1. Portanto, A é uma matriz singular.
Então, será que existe uma condição que garanta quando uma matriz quadrada A
irá possuir inversa? A resposta para essa pergunta é sim e é dada pelo Teorema 9.5, cuja
demonstração completa pode ser obtida em nossas referências [28, p. 109; 31, p. 176].
Teorema 9.5 Uma matriz A de ordem n admite inversa se, e somente se, det (A) 6= 0.
Demonstração: Aqui, vamos demonstrar apenas a “ida”, ou seja: Se A admite in-
versa, então det (A) 6= 0. De fato, como existe A−1 tal que A A−1 = In , pela parte 6 das
Propriedades 9.1 segue que:
det (A A−1) = det (A) ·det
(
A−1) .
Além disso, como det (In) = 1 (Veja o Exercício 10), segue que
det (A) ·det
(
A−1)= 1. (9.1)
Da Equação (9.1) segue diretamente que det (A) 6= 0.
Observação 9.4 A Equação (9.1) permite obter outra conclusão muito útil, que é
det
(
A−1)= 1
det (A)
,
ou seja, o inverso do determinante de uma matriz é igual ao determinante da matriz
inversa.
Corolário 9.1 Considere A uma matriz quadrada. Então, A é singular se, e somente se,
det (A) = 0.
A demonstração da validade do Corolário 9.1 pode ser feita como consequência
direta do Teorema 9.5.
Exemplo 9.7 Para a matriz M parte 3 do Exemplo 9.6 tem-se que
det (M) =
∣∣∣∣ 3 7
5 11
∣∣∣∣= 3 ·11−7 ·5 = 33−35 =−2.
Portanto, pela Observação 9.4 vem diretamente que
det
(
M−1)= 1
det (M)
=−1
2
.
De fato, observe que
det
(
M−1)= (
−11
2
)
·
(
−3
2
)
− 7
2
· 5
2
= 33
4
− 35
4
=−1
2
.