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6.2. Fatoração de expressões algébricas inteiras 93 que corresponde ao segundo termo do trinômio (item 3). Portanto, esse trinômio é um quadrado perfeito e pode ser fatorado da forma 9x2 +24x y +16y2 = ( 3x +4y )2 . b) No trinômio t 4 −2t 3 + t 2 observe que√ t 4 = t 2 e √ t 2 = t . Além disso, −2 · t 2 · t =−2t 3, que é exatamente o 2º termo do trinômio, o que confirma que ele é um trinômio quadrado perfeito, correspondente ao quadrado da diferença de dois termos. Portanto, temos que t 4 −2t 3 + t 2 = ( t 2 − t )2 . c) O trinômio m2 −mn +n2 não é um quadrado perfeito pois:√ m2 = m, √ n2 = n, mas 2mn 6= −mn e −2mn 6= −mn. Diferença de quadrados Esse caso corresponde ao processo inverso do produto da soma pela diferença de dois termos, quando se quer fatorar a diferença de dois quadrados. Para isso, basta extrairmos a raiz quadrada dos dois termos. A fatoração será o produto da soma pela diferença desses resultados. Vejamos os exemplos: Exemplo 6.7 Fatore o binômio 25x2 −144y2. Resolução: Observe que p 25x2 = 5x e que √ 144y2 = 12y , considerando x, y > 0. Logo 25x2 −144y2 = ( 5x +12y )( 5x −12y ) . Soma e diferença de cubos Verifica-se facilmente que a soma de dois cubos, x3 + y3, é igual ao produto do fator (x + y) pelo fator (x2 −x y + y2), isto é: x3 + y3 = (x + y)(x2 −x y + y2). Também se verifica que a diferença de dois cubos, x3 − y3, é igual ao produto do fator (x − y) pelo fator (x2 +x y + y2), isto é: x3 − y3 = (x − y)(x2 +x y + y2). Esses dois resultados representam a fatoração de binômios escritos como soma ou diferença de cubos. Vejamos: 94 Capítulo 6. Tópicos de Cálculo Algébrico Exemplo 6.8 Fatore as expressões y3 +125 e 27x3 −1. a) Observe que y3 +125 = y3 +53 =⇒ y3 +125 = (y +5)(y2 −5y +25). b) A expressão 27x3 −1 pode ser reescrita na forma 27x3 −1 = (3x)3 −13 = (3x −1)(9x2 +3x +1) = (3x −1)(3x +1)2. 6.3 Frações algébricas e simplificação Definição 6.3 Frações algébricas são as frações onde numerador e denominador são expressões algébricas. Exemplo 6.9 a) x2 +2x y + y2 x2 − y2 , b) −y2 +x2 z y2 − zx2 e c) y3 +27z3 2x y +6xz . Simplificação de frações algébricas Para se efetuar a simplificação de frações algébricas, basta fatorar o numerador e o denominador, e, em seguida, cancelar (ou simplificar) os fatores comuns. É importante, também, indicar as condições de existência da fração, caso seja necessário. Exemplo 6.10 Vamos simplificar as três frações algébricas apresentadas no Exemplo 6.9. a) x2 +2x y + y2 x2 − y2 = (x + y)2 (x + y)(x − y) , cujas condições de existência são x + y 6= 0 e x − y 6= 0. Logo, deve-se ter, nesse caso, que x 6= −y e x 6= y . Voltemos, agora, à simplificação: x2 +2x y + y2 x2 − y2 = (x + y)2 (x + y)(x − y) = x + y x − y . b) −y2 +x2 z y2 − zx2 = −(y2 −x2) z(y2 −x2) =−1 z . Observe que a fração algébrica original tem como condições de existência z 6= 0 e y2 −x2 = (y +x)(y −x) 6= 0, ou seja, deve-se ter que z 6= 0, y 6= −x e y 6= x. c) y3 +27z3 2x y +6xz = y3 + (3z)3 2x(y +3z) = (y +3z)(y2 −3y z +9z2) 2x(y +3z) = y2 −3y z +9z2 2x . Observe que para a fração algébrica original estar bem definida, é necessário que 2x 6= 0 e y +3z 6= 0 =⇒ x 6= 0 e y 6= −3z. Tópicos de Cálculo Algébrico Frações algébricas e simplificação
