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CAPÍTULO 6 Tópicos de Cálculo Algébrico Nesse capítulo, apresentaremos algumas definições e exemplos relativos às expressões algébricas, expressões algébricas inteiras e fracionárias, racionalização de denominado- res e operações com frações algébricas. Ressaltamos ainda, que em todo esse capítulo o universo de trabalho será o conjunto dos números complexos, C. 6.1 Expressões algébricas e fracionárias Expressões algébricas Definição 6.1 Denomina-se por expressão algébrica toda expressão matemática cujos termos são constituídos de variáveis (letras) e números (constantes). Exemplo 6.1 Sendo a,b constantes complexas, todas as expressões abaixo são algébricas: a) −3i x2 +5ax +2y b) −3 7 x y1/2 +3bz2 −2y z c) bx +1 Classificação As expressões algébricas são classificadas em: • Irracionais: Quando as variáveis estão sujeitas à operação de radiciação. É o caso do item b do Exemplo 6.1. • Racionais: Quando as variáveis não estão sujeitas à operação de radiciação. É o caso dos itens a e c do Exemplo 6.1. Observe que uma expressão algébrica só será racional quando os expoentes das variáveis forem números inteiros. Como as expressões algébricas estão associadas às variáveis, é comum usar uma outra letra, acompanhada das variáveis envolvidas, entre parênteses, para representar 90 Capítulo 6. Tópicos de Cálculo Algébrico cada expressãoi, assim como é feito para polinômios. As expressões apresentadas no Exemplo 6.1 podem ser representadas por: P (x, y) =−3i x2 +5ax +2y, Q(x, y, z) =−3 7 x y1/2 +3bz2 −2y z e R(x) = bx +1. Valor numérico Ao se substituir as variáveis de uma expressão algébrica por números específicos, onde essa expressão esteja definida, e se efetuar as operações indicadas, o valor obtido é denominado valor numérico da expressão para aqueles valores. Exemplo 6.2 a) O valor numérico da expressão algébrica A(x, y) = −3i x2 +5x +2y para x = i e y =−2 é dado por A(i ,−2) =−3i · i 2 +5 · i +2 · (−2) =−3i · (−1)+5i −4 =⇒ A(i ,−2) = 8i −4. b) Sendo B(x, y, z) =−3 7 x y +3z2 −2y z2/3, segue que B(7,−2, i ) =−3 7 ·7 · (−2)+3 · i 2 −2 · (−2) · 3 √ i 2 = 6−3+4 3p−1 =⇒ B(7,−2, i ) =−1. c) Se o valor numérico da expressão −7x +3 é 12, qual deve ser o valor da variável x? Resolução: Ora, como o valor numérico é 12, pode-se escrever que −7x +3 = 12 =⇒ 7x = 3−12 =⇒ x =−9 7 . Expressões fracionárias Definição 6.2 Diremos que uma expressão algébrica racional é uma expressão fracio- nária quando ela possuir pelo menos uma variável no denominador. Caso contrário, ela será chamada de expressão inteira. Exemplo 6.3 Em a), b), c) e d) temos expressões algébricas fracionárias e em e) e f) expressões inteiras. a) 2x y+2i y 3z y b) 2xa2 z c) 3i w z3 x y+a d) 3a2+4b3−x y w a+3b e) 2a2b 5 e f) −3z 2 . Observação 6.1 Atente para o fato de que, nas expressões fracionárias, como o denomi- nador sempre terá pelo menos uma variável, os valores que anularem o denominador estarão fora do domínio dessa expressão, que é o conjunto de todos os valores que as variáveis podem assumir. Por exemplo, no item a) do Exemplo 6.3 deve-se ter que z 6= 0 e y 6= 0 e no item b) deve-se ter que z 6= 0. i Quando não gerar ambiquidades, também é comum utilizar as letras, sem as variáveis. Ou seja, para o exemplo apresentado, usaria-se P = P (x, y), Q =Q(x, y, z) e R = R(x) Tópicos de Cálculo Algébrico Expressões algébricas e fracionárias
