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“principal” 2010/4/19 page 21 Estilo OBMEPi i i i i i i i N SEC. 1.8: POTENCIAÇÃO 21 1.8 Potenciação Dados dois números naturais a 6= 0 e n qualquer, definimos a operação de potenciação como segue: an = 1, se n = 0, a, se n = 1, a × a × · · · × a ︸ ︷︷ ︸ n fatores , se n > 1. Define-se também 0n = 0, para todo n 6= 0. Exemplo: 20 = 1, 21 = 2, 22 = 2 × 2 = 4, 23 = 8, 02 = 0 etc. Observação. Fica de fora 00, que não é definido. Problema 1.25. Convença-se de que a potenciação possui as seguin- tes propriedades: (a) 1n = 1; (b) anam = an+m; (c) (an)m = anm; (d) anbn = (ab)n. Existem também fórmulas para escrever a potência de uma soma. Por exemplo, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. “principal” 2010/4/19 page 22 Estilo OBMEPi i i i i i i i 22 � CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS Em geral, (a+ b)n se escreve como a soma dos produtos de potên- cias aibj , onde i + j = n, multiplicados por certos números naturais. Esta fórmula geral que não apresentaremos aqui é chamada de fór- mula do binômio de Newton. Para maiores informações sobre esta fórmula, veja o texto sobre indução do autor, já citado anteriormente e listado na bibliografia no final do livro. Problema 1.26. Desenvolva (a + b)5.
