Introdução Algebra (48)

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5.9. Exercícios 85
24. Sem efetuar a divisão, prove que f (x) = x4 +3x3 −6x −4 é divisível por g (x) =
x2 +3x +2.
25. Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, determinar quociente e resto da
divisão de f por g :
a) f = 5x4 −12x3 +x2 −13 e g = x +3
b) f = 81x5 +32 e g = x − 2
3
26. Sendo P (x) = Q(x)+ x2 + x +1 e sabendo que 2 é raiz de P (x) e que 1 é raiz de
Q(x), então P (1)−Q(2) vale:
a) 0 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10
27. (Vunesp-SP) Dada a equação x2+x−p
2 = 0, calcule a soma dos inversos de suas
raízes.
28. (OBMEP - 2007, Nível 3 da Lista 8) As duas partículas - Duas partículas, A e B ,
percorrem uma circunferência de 120 m de comprimento. A partícula A gasta
3 segundos menos que B , por estar animada com uma velocidade maior de 2
metros por segundo. Qual é a velocidade de cada partícula?
29. (OBMEP - 2008, Nível 2 da Lista 4) Soma de cubos - Se x + y = 1 e x2 + y2 = 2,
calcule x3 + y3.
30. (UFMA) Sabendo-se que P (x) é um polinômio de terceiro grau, que é divisível
por x −3, e que P (x) = P (x −3)−x2 −3, determine o produto das raízes de P (x).
31. Obtenha um polinômio de grau 4 que tenha como raízes os números complexos:
i , −i , 3i e 2.
32. (UFMG) Sejam p(x) = ax2+(a−15)x+1 e q(x) = 2x2−3x+ 1
b polinômios com
coeficientes reais.
Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é CORRETO
afirmar que o valor de a +b é
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12
33. Determine um polinômio que possua, ao menos, as raízes x1 = 2 (raiz simples),
x2 =−3, x3 = 2i e x4 =−2i , sendo que x2, x3 e x4 são de multiplicidade 2.
a) Qual é o menor grau possível para esse polinômio?
b) Esse polinômio pode ter grau maior do que 10?
34. Resolva a equação 2x3 +3x2 −1 = 0 sabendo que ela admite uma raiz de multipli-
cidade 2.
35. Determine os reais a, b, c de modo que f (x) = (a −2)x3 + (b +2)x + (3− c) seja o
polinômio nulo.
36. (UFMG - 2003) Sabendo-se que p(1+2i ) = 0, CALCULE todas as raízes do polinô-
mio p(x) = x5 +x4 +13x2 +5x.
37. Dadas as funções polinomiais A(x) = (a −1)x2 +bx + c e B(x) = 2ax2 +2bx + c,
quais são as condições para que se obtenha a identidade A(x) = B(x)?
86 Capítulo 5. Polinômios
38. Dada a função polinomial f (x) = x3 +x2 +x +1, determine:
a) f (0) b) f (−1) c) f (1) d) f (x +1) e) f ( f (−1))
39. (UFMG - 2006 - Modificada) Considere o polinômio p(x) = x4 −2mx2 +2m −1,
sendo m um número real > 1. CALCULE as raízes de p(x) em função de m.
40. (UFPA) O polinômio P (x) = ax3 +bx2 + cx +d é idêntico a Q(x) = 5x2 −3x +4.
Então, temos que a +b + c +d é igual a:
a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) −3
41. Qual é o quociente da divisão de P (x) = 4x4 −4x3 +x −1 por Q(x) = 4x3 +1 ?
a) x −5 b) x −1 c) x +5 d) 4x −5 e) 4x +8
42. Considere os polinômios A(x) = x2 +ax +b e B(x) = x4 +1. Determine a,b ∈R
para os quais se garanta que B é divisível por A.
43. Sabe-se que na divisão de um polinômio A por (x −5) o resto obtido é 8 e que na
divisão desse mesmo polinômio por (x −3) o resto é 6. Qual é o resto da divisão
de A por (x −5)(x −3)?
44. (UFMG) O quociente do polinômio P (x) = x4 +a2x2 +a4 pelo polinômio q(x) =
x2 −ax +a2, a ∈R, é:
a) x2 −ax +a b) x2 −ax +a2 c) x2 −a2x +a d) x2 +ax +a2
45. (UFMG) Os valores de m e n, para os quais o resto da divisão de p(x) = 2x3−3x2+
mx +n por q(x) = x2 −3x +2, seja 2x +1, são respectivamente:
a) 9 e −1 b) −3 e 7 c) 2 e 3 d) 2 e 1 e) −6 e 2
46. Obtenha o valor numérico de P (x) = 2x4 +2i x3 +x + i para x = i e x = −1
3p2
.
47. Determinar as raízes, em C, e suas respectivas multiplicidades, considerando
3(x +4)(x2 +1) = 0.
48. Qual é o grau de um polinomio P (x) cujas raízes são 3, 2, -1 com multiplicidades
7, 6 e 10, respectivamente?
49. Escreva os polinômios abaixo nas suas respectivas formas fatoradas, conside-
rando U =C:
a) P (x) = 2x2 −8x +6 b) Q(x) = 2x2 −18
c) R(x) = x2 +16 d) S(x) = (x −2)(x2 −3x +2)
e) T (x) = 9x2 −1 f) U (x) = 4x4 +2x3 −x2
50. Sabendo que x = 1/3 é raiz de p(x) = 9x3 − 9x2 − x + 1, obtenha a sua forma
fatorada.
51. (UECE) Se p e q são as raízes da equação 2x2 −6x +7 = 0, então (p +3)(q +3) é
igual a:
a) 41
2 b) 43
2 c) 45
2 d) 47
2