Introdução Algebra (28)

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3.2. Radiciação 45
3.2 Radiciação
Definição 3.2 Sejam a ∈R e n ∈N. Define-se a raiz enésima de a, onde a e n são deno-
minados respectivamente por radicando e índice da raiz, da forma
n
p
a = b ⇐⇒ bn = a,
sendo que o número b é único e:
− se n for par =⇒ a ≥ 0 e b ≥ 0;
− se n for ímpar e a < 0 =⇒ b < 0;
− se a ≥ 0 =⇒ b ≥ 0 ∀ n ∈N.
Observação 3.2
1. Pela Definição 3.2 segue que a raiz de índice 1 de a é igual ao próprio a, ou seja,
1
p
a = a. Esse tipo de raiz geralmente não é utilizada e as vezes nem é considerada
na definição.
2. Para a raiz de índice 2, denominada raiz quadrada, é muito comum não apresen-
tar esse índice de forma explícita, isto é, 2
p
a é geralmente representada, da formap
a.
3. Uma raiz de índice 3 é denominada raiz cúbica, de índice 4 é raiz quarta, de
índice 5 é raiz quinta e assim sucessivamente.
Exemplo 3.6 Observe os valores calculados para as raízes apresentadas:
a)
p
9 = 3, pois 32 = 9. Ou seja, a raiz quadrada de 9 é igual a 3.
b) 2
p
49 = 7, pois 72 = 49.
c) 3
p
8 = 2, já que 23 = 8. Isto é, a raiz cúbica de 8 é igual a 2.
d) 3
p−8 =−2, já que (−2)3 =−8. Isto é, a raiz cúbica de −8 é igual a −2.
e) 5
p−32 =−2, pois (−2)5 =−32.
f) 5
p
32 = 2, pois 25 = 32.
g) 7
p
0 = 0, pois 07 = 0.
h) 3
p−64 =−4, visto que (−4)3 =−64.
Observação 3.3 É comum alguns alunos confundirem e considerarem, por exemplo,
que
p
4 =±2. Isso porque, pensam apenas que a raiz quadrada de 4 deve ser o número
que elevado ao quadrado resulte em 4, e tanto 2 quanto −2 possuem essa característica.
Contudo, a definição é clara em garantir que qualquer raiz enésima de um número não
negativo será sempre não negativa. Isso garante que 2 é o único resultado para
p
4.
Uma definição que ajuda a garantir que esse tipo de confusão não aconteça é
escrever a Definição 3.2, na parte relacionada ao caso onde o índice da raiz é par, da
seguinte forma:
Definição 3.3 Se n é par e a ∈R, então n
p
an = |a| =
{ −a se a < 0
a se a ≥ 0 .
46 Capítulo 3. Potenciação e Radiciação
Exemplo 3.7
a) O número 4 pode ser escrito como 22 e (−2)2. Então,
p
4 =
√
22 = |2| = 2 e
p
4 =
√
(−2)2 = |−2| = 2.
b) 4
√
(−3)4 = |−3| = 3 6= −3.
c)
6
√(
5−p
41
)6 = |5−p
41| =p
41−5, pois 5 <p
41.
Observação 3.4 Atente para o fato de que essa definição deixa claro que uma forma
para calcular n
p
an , com n par, não é “cortar” ou “cancelar” o expoente do radicando com
o índice (como muitas vezes é ensinado, ou entendido!), mas sim, considerar o módulo
de a.
Potenciação com expoente racional
Nessa seção vamos apresentar a definição de potência de expoente racional. A ideia
por traz dessa definição será garantir que todas as propriedades de potênciação válidas
para expoentes inteiros também sejam válidas quando eles forem quaisquer racionais.
Considere n ∈Z∗, a ∈R+ e o caso particular do racional 1/n. Para que a propriedade
do produto de potências de mesma base continue válida, é necessário que se tenha(
a
1
n
)n = a
1
n ·a
1
n · . . . ·a
1
n︸ ︷︷ ︸
n vezes
= a
1
n + 1
n +···+ 1
n = a
n
n = a1 = a.
Portanto, a potência a
1
n deve ser o número positivo que elevado a n resulta em a.
Sendo assim, de acordo com a definição de raiz enésima, segue que esse número é a
raiz enésima de a, ou seja, consideraremos que
a
1
n = n
p
a.
Considere agora o racional m/n. Com a mesma ideia, temos que(
a
m
n
)n = a
m
n ·a
m
n · . . . ·a
m
n︸ ︷︷ ︸
n vezes
= a
m
n +m
n +···+m
n = a
mn
n = am .
Então, como a
m
n é o número positivo que elevado a n resulta em am , segue pela
definição de raiz que a raiz enésima de am deve ser a
m
n . Com isso, apresentamos a
definição formal de potência de expoente racional.
Definição 3.4 (Potência de expoente racional) Sejam a ∈R+, m ∈Z e n ∈Z∗. Define-se
que
a
m
n = np
am .
Exemplo 3.8
a)
p
5 = 5
1
2
b) 4
3
4 = 4p
43 = 4
p
64
c) 9
−1
2 = 2p
9−1 = 2
√
1
9
= 1
3
	Potenciação e Radiciação
	Radiciação