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2.7. Tipos especiais de conjuntos 35
− Tomemos x ∈ (
AC
)C =⇒ x ∉ AC =⇒ x ∈ A. Logo, ∀ x ∈ (
AC
)C
vale que x ∈ A,
ie,
(
AC
)C ⊂ A.
− Seja agora, x ∈ A =⇒ x ∉ AC =⇒ x ∈ (
AC
)C
, ie, ∀ x ∈ A vale que x ∈ (
AC
)C
.
Isso implica em A ⊂ (
AC
)C
.
∴
(
AC )C = A.
d) Considere um x ∈ A∩AC =⇒ x ∈ A e x ∈ AC , o que é um ABSURDO pela Definição
2.12 ou também, pela Observação 2.18. Portanto, @ x ∈ A∩ AC e, por isso, tem-se
que A∩ AC =;.
Além das Propriedades 2.4, descritas anteriormente, destacam-se outras duas pro-
priedades, denominadas Leis de De Morgam ou leis de Dualidade, enunciadas aqui
pelo Teorema 2.1.
Teorema 2.1 (Leis de De Morgan ou de Dualidade) Para quaisquer dois conjuntos A e
B de um universo U , vale que:
a) (A∩B)C = AC ∪BC
b) (A∪B)C = AC ∩BC
Demonstração:
a) Seja x ∈U . Se x ∈ (A∩B)C ⇒ x ∉ (A∩B) ⇒ x ∉ A ou x ∉ B . Logo,
x ∈ AC ou x ∈ BC ⇒ x ∈ (AC ∪BC ) ⇒ (A∩B)C ⊂ (AC ∪BC ).
Se x ∈ (AC ∪BC ) ⇒ x ∈ AC ou x ∈ BC
⇒ x ∉ A ou x ∉ B
⇒ x ∉ A∩B
⇒ x ∈ (A∩B)C
⇒ AC ∪BC ⊂ (A∩B)C .
∴ (A∩B)C = AC ∪BC .
b) Deixada como exercício.
Existem muitas outras propriedades dos conjuntos, mas o objetivo desse capítulo
é apenas introduzir os conceitos iniciais e apresentar alguns exemplos de demonstra-
ções para que o aluno se familiarize com as notações e alguns raciocínios utilizados
em demonstrações que envolvem conjuntos genéricos. Propriedades mais complexas
geralmente são estudadas e demonstradas em cursos de álgebra abstrata e de análise
real.
36 Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
2.8 Exercícios
1. Descreva os conjuntos abaixo por meio das propriedades de seus elementos.
a) A = {4, 6, 8, 10, 12}
b) B = {2, 3, 5, 7}
c) C = {Lua}
d) D = {
Mer cúr i o, V ênus, M ar te, Júpi ter, Satur no, Ur ano, Netuno
}
2. Quais dos conjuntos abaixo são unitários? Justifique sua resposta.
a) A = {x ∈N | x ≥ 2 e x < 1}
c) C = {Lua}
e) E = {
y ∈Z | −4 < y ≤−3
}
b) B = {2, 3, 5, 7}
d) D = {x | x < 0 e x ∈N}
3. Algum conjunto do exercício anterior é vazio? Justifique.
4. Classifique cada sentença abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F), apresentando
uma justificativa para as sentenças falsas.
a) 0 ∈ {0, 1, 2, 3}
c) −4 ∈ {−7, −5, −4, 0}
e) −9 ∈ {−10, −8, −5, −4}
g) ;∈ {1, 2, 9}
i) ;⊂ {1, 2, 9}
k)
p
23 ∈Q
m) 0,7777777... ∈Q
o)
p
37 ∈R
b) {a, b} ⊂ {a,b,c}
d) {a, b} ∈ {a,b,c}
f) −5 ∈Z
h) −5 ∈N
j)
10
5
∈Z
l)
p
11 ∈ I
n) −234,541 ∈Q
p) 0,000000032 ∈ I
5. Use verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das afirmações. Para as afirmações
falsas apresente uma justificativa.
a) Q∩ I=;
c) Q∪ I=R
e) N∩Z=Z
g) N∩Z=N
i) Q∪Z=Q
b) Q∩Z=Q
d) Q∩Z=Z
f) I∪Z= I
h) Q∪Z=Z
j) Z∪N=N
Teoria Elementar dos Conjuntos
Exercícios