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1.2. Axiomas e tipos de Teorema 7
1.2 Axiomas e tipos de Teorema
Muitas ciências importantes como a Química, Física e Biologia, denominadas exatas
empíricas, fazem algumas de suas demonstrações por meio de observações experimen-
tais e testes. Esse não é o caso da Matemática, onde observações experimentais servem,
apenas, para “indicar” ou “nos questionar” se determinado conjunto apresenta uma
certa propriedade, mas isso não é aceito como demonstração.
Como exemplo, observe a sequência de igualdades:
4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 5+5, 12 = 5+7, 14 = 7+7, 16 = 5+11, 18 = 7+11
Nela, percebe-se que todos os números pares maiores que 2 e menores ou iguais a
18, foram escritos como soma de dois números primosi. Se continuarmos a pegar os
próximos números pares maiores que 18, veremos que é possível escrevê-los, também,
como soma de dois primos. Isso “indica” que:
Todo número par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos.
(Conjectura de Goldbach)
O termo “indica” significa que essa propriedade talvez seja verdadeira, pois para to-
dos os casos testados até um determinado valor, ela funcionou. Contudo, como existem
infinitos números pares maiores que 2, para que se tenha certeza que esse resultado é
sempre verdadeiro, é necessário demonstrar que qualquer um desses infinitos números
pode ser escrito como soma de dois primos.
É claro que, como o conjunto de valores a serem testados é infinito, nesse caso,
não é possível testar todos da forma como foi feito na sequência de igualdade acima.
Isso significa, que para se demonstrar esse resultado é necessário se pensar em uma
forma que possibilite provar a propriedade para todos os casos possíveis, sem ter que
considerar número por número.
Saber demonstrar que alguns resultados são verdadeiros, ou procurar formas de
demonstrar que alguns são falsos é de extrema importância na matemática, mesmo que
o resultado pareça obviamente verdadeiro, ou falso. Aliás, tome cuidado com isso, pois
muitas vezes você pode se deparar com um resultado que aparentemente é verdadeiro,
mas que na realidade pode ser falso. Um ótimo exemplo para ilustrar esse fato é a
proposição:
O conjunto dos números naturais,N= {1, 2, 3, 4, . . .}, possui mais elementos do que
o conjunto dos números pares positivos, P = {2, 4, 6, 8, . . .}.
Apesar da proposição anterior aparentar, obviamente, ter o valor lógico V , é possível
utilizar um resultado matemático, relativo à bijeção de funções, para provar que, na
realidade, seu valor lógico é F e que esses dois conjuntos possuem a mesma quantidade
de elementos. Mais detalhes em [7, p. 9-10].
Sendo assim, é necessário não se deixar levar pelas aparências de que uma proposi-
ção deve ser obviamente verdadeira ou falsa.
Para se poder pensar em como se fazer uma determinada demonstração, é necessá-
rio, antes de tudo, conhecer as principais técnicas demonstrativas, e esse será o principal
i Números inteiros positivos maiores do que 1 e com exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo. Mais
detalhes sobre esses números podem ser obtidos em [5, 6].
8 Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração
objetivo da Seção 1.4. Antes disso, apresentamos algumas definições importantes e
uma tabela com os principais símbolos matemáticos usados nesse texto.
Definição 1.5 (Axioma) É uma proposição que se assume como verdadeira e que não
precisa de prova.
Os axiomas e definições teóricas são usados para demonstrar vários resultados:
Teoremas, Proposições, Corolários e Lemas.
Definição 1.6 (Teorema) É uma proposição que pode ser demonstrada a partir de defi-
nições e axiomas, e também por teoremas já demonstrados.
Os teoremas podem ser divididos em categorias, de acordo com a importância do
resultado:
Definição 1.7 (Proposição) É um teorema de menor destaque.
Definição 1.8 (Corolário) Resultado facilmente obtido como consequência de um teo-
rema ou proposição.
Definição 1.9 (Lema) Resultado obtido com a finalidade de auxiliar na demonstração
dos teoremas ou proposições.
Mas como saber se um resultado será um teorema, proposição ou corolário?
Não existe uma regra que permita mensurar a importância de um resultado. Por isso,
um mesmo resultado pode aparecer como teorema em um texto, proposição em outro
texto e até mesmo como corolário.
Além dos termos já definidos anteriormente, em matemática dois outros termos
figuram constantemente e seus significados são pouco conhecidos: conjectura e para-
doxo.
Definição 1.10 (Conjectura) É um resultado que acredita-se ser válido, mas que ainda
não foi demonstrado. Se a demonstração for feita, passará a ser um teorema.
Um exemplo famoso é a já discutida Conjectura de Goldbach, que ainda não possui
demonstração, apesar de que todos os testes já feitos para números pares extremamente
grandes tenham indicado que ela seja verdadeira. Uma referência muito interessante, e
que narra a tentativa de uma vida inteira de um matemático grego em demonstrar esse
resultado é o livro “Tio Petros e a Conjectura de Goldbach” [8].
Definição 1.11 (Paradoxo) É uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma
contradição lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum.
Exemplo 1.12 Observem dois exemplos de paradoxos:
a) O melhor improviso é aquele que é melhor preparado.
b) O queijo suíço é conhecido por ter muitos buracos. Assim, quanto mais queijo,
mais buracos. Porém quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais
queijo, menos queijo!
Introdução às Técnicas de Demonstração
Axiomas e tipos de Teorema