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1 TEMA I Teoría de Circuitos 1 Teoría de Circuitos Electrónica II 2009 1 Teoría de Circuitos 1.1 Introducción. 1.2 Elementos básicos 1.3 Leyes de Kirchhoff. 1.4 Métodos de análisis: mallas y nodos. 1.5 Teoremas de circuitos: Thevennin y Norton. 2 1.6 Fuentes reales dependientes. 1.7 Condensadores e inductores. 1.8 Respuesta en frecuencia. 2 1.8 Respuesta en frecuencia Circuitos de primer orden Circuitos de orden superior Impedancia, reactancia y admitancia Frecuencia de resonancia 3 Circuito RLC Serie Circuito RLC Paralelo Resistencias y C.A. ◊ Son los únicos elementos pasivos para los cuales la respuesta es la misma tanto para C. A. como para C.C. ◊ Se dice que en una resistencia la tensión y la corriente están en fase. 4 3 Capacidad y C.A. ◊ En C.C. su comportamiento es similar a las resistencias. ◊ En cambio en C.A. las señales tensión y corriente mantienen la forma de onda pero desfasadas 90º. La corriente se adelanta 90º a la tensión. 5 La corriente no depende exclusivamente del valor de la tensión y de la reactancia capacitativa, sino también de la frecuencia, siendo directamente proporcional a esta. Capacidad y C.A. ◊ El parámetro que mide el valor de la reactancia capacitativa: XC = 1/2 f C = 1/w C Donde XC se expresa en ohms ◊ Como X V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos: 6 ◊ Como XC = V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos: i(t) = V(t)/XC = 2fC V(t) = wC V(t) 4 Inductancia y C.A. ◊ En C.C. su comportamiento es similar a las resistencias. ◊ En cambio en C.A. las señales tensión y corriente mantienen la forma de onda pero desfasadas 90º. La corriente atrasa 90º con respecto a la tensión. 7 La corriente no depende exclusivamente del valor de la tensión y de la reactancia inductiva, sino también de la frecuencia, siendo inversamente proporcional a esta. Inductancia y C.A. ◊ El parámetro que mide el valor de la inductancia es la reactancia inductiva: XL = 2 f L = w L Donde XL se expresa en ohms ◊ Como X V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos que: 8 ◊ Como XL = V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos que: i(t) = V(t)/XL = V(t)/2fL = V(t)/wL 5 Resistencia y reactancia ◊ La resistencia es el valor de oposición al paso de la corriente (sea continua o alterna) de la resistenciacorriente (sea continua o alterna) de la resistencia. ◊ La reactancia es el valor de la oposición al paso de la corriente alterna que tienen los condensadores y las bobinas. ◊ Existe la reactancia capacitativa debido a los condensadores y la reactancia inductiva debido a las bobinas. 9 bobinas. ◊ Cuando en un mismo circuito se tienen resistencias, condensadores y bobinas y por ellas circula corriente alterna, la oposición de este conjunto de elementos al paso de la corriente alterna se llama impedancia. Impedancia ◊ La impedancia tiene unidades de Ohmios (Ohms). Y es la suma de una componente resistiva (debido a las suma de una componente resistiva (debido a las resistencias) y una componente reactiva (debido a las bobinas y los condensadores). Z = R + j X La jota ( j ) que precede a la X, nos indica que la X es un número imaginario. ◊ La bobina y el condensador causan una oposición al paso de la corriente alterna; además de un desfase, pero idealmente no causa ninguna disipación de potencia, como si lo hace la resistencia (La Ley de Joule) 10 como si lo hace la resistencia (La Ley de Joule). ◊ El desfase que ofrece un bobina y un condensador son opuestos, y si estos llegaran a ser de la misma magnitud, se cancelarían y la impedancia total del circuito sería igual al valor de la resistencia. 6 Impedancia ◊ Las reactancias se muestran en el eje Y (el eje imaginario) pudiendo dirigirse para arriba o para abajo imaginario) pudiendo dirigirse para arriba o para abajo, dependiendo de si es mas alta la influencia de la bobina o el condensador y las resistencias en el eje X. (solo en la parte positiva del eje X). El valor de la impedancia (la línea diagonal) será: Z = R + j(XL - XC) 11 j( ) Impedancia y Admitancia ◊ Al ser la impedancia un valor complejo (suma t i l) id ód l fvectorial), se mide su módulo y fase: ◊ La inversa de la impedancia es la Admitancia 12 ◊ La inversa de la impedancia es la Admitancia (Y): Y = 1/Z 7 Circuitos de primer orden Circuitos de segundo orden Orden del circuito p Circuitos de segundo orden 13 Se reducen al equivalente de Thévenin/Norton conectado a un condensador o bobina. Combinaciones R-C ◊ Se combinan resistencias e inductancias: 14 En el diagrama vectorial de las tensiones del circuito ,vemos cómo VR está en fase con la corriente, VC está retrasada 90º con respecto a ésta. 8 Combinaciones R-L ◊ Se combinan resistencias e inductancias: 15 En el diagrama vectorial de las tensiones del circuito ,vemos cómo VR está en fase con la corriente, VL está adelantada 90º con respecto a ésta. Combinaciones R-L-C ◊ Se combinan resistencias, capacitancias e inductancias: 16 La tensión resultante total es función de las tres tensiones presentes, resultando la tensión total (VT) adelantada a la corriente si XL > XC, atrasada si XC > XL y estará en fase con la corriente si XC = XL. 9 Circuitos resonantes ◊ Un circuito de resonancia está compuesto por una i t i d d b bi l l resistencia un condensador y una bobina en el cual se alimentan de corriente alterna. ◊ Hay dos tipos de circuitos resonantes: serie y paralelo. 17 Cuando el circuito entra en resonancia, tanto el de serie como el de paralelo, la tensión en la bobina es la misma tensión del condensador, entonces eso quiere decir que el valor óhmico se iguala ( XL = XC ). Frecuencia de resonancia ◊ La reactancia de un condensador o de una bobina es el valor óhmico que se opone al paso de electrones valor óhmico que se opone al paso de electrones. Cuando la frecuencia crece la reactancia de la bobina aumenta, en tanto que al del condensador disminuye. Pero hay una determinada frecuencia en la que los valores absolutos de ambas reactancias se igualan y a este fenómeno se llama "Frecuencia de resonancia". Su valor se deduce de esta manera: XL = 2fL ; XC = 1/2fC ◊ Para la frecuencia de resonancia: f /√( ) 18 2f = 1/√(LC) ◊ El factor de calidad es algo más amplio, puede definirse en el caso de una bobina, como la reacción: Q = XL/RL ◊ El ancho de banda es el margen de frecuencias. 10 Circuito RC. Respuesta natural ◊ El interruptor ha estado cerrado para tiempo anterior al instante cero y por tanto el condensador ha almacenado energía ◊ De modo que en el instante cero entre sus placas tiene un potencial V0 Circuito RC. Respuesta natural ◊ A partir del instante cero el interruptor está abierto y por tanto tenemos el siguiente circuito ◊ La energía almacenada en el condensador se disipa en forma de calor a través de la resistencia 11 Circuito RC. Respuesta natural Ecuación homogénea diferencial de primer orden: ◊ Ordinaria una sola variable independiente (el tiempo) ◊ Primer orden primera derivada del voltaje ◊ Lineal la variable dependiente y sus derivadas no incluyen términos de segundo orden ◊ Coeficientes constantes C y R no dependen del tiempo ◊ Homogénea no hay términos que no incluyan el potencial o su derivada Circuito RC. Respuesta natural Integrando a ambos lados: Condiciones iniciales 12 Circuito RC. Respuesta natural El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞ Régimen permanente ∞ Régimen transitorio Circuito RC. Respuesta natural ◊ El producto RC (Ohmios x Faradios) tiene unidades de tiempo ◊ T= RC recibe el nombre de constante de tiempo del circuito ◊ Vemos que para t=T el voltaje ha caído un 63% del valor V0 ◊ Como este circuito no tiene ninguna fuente la solución que hemos hallado se llama respuesta natural (o no forzada) ◊ Y T recibe el nombre de constante de tiempo natural13 Circuito RC. Respuesta natural Energía en el condensador: Circuito RC. Respuesta forzada ◊ Ahora tenemos una ecuación no homogénea ◊ Solución: suma (superposición) de la homogénea y la solución de la ecuación particular 14 Circuito RC. Respuesta forzada Homogénea Particular ◊ Para el cálculo del parámetro A tenemos en cuenta las condiciones iniciales ◊ En el instante cero el voltaje en el condensador es V0 ◊ Así A= V0 - VS Circuito RC. Respuesta forzada ◊ Gráfica con el tiempo normalizado respecto a la constante de tiempo ◊ Después de 5 veces la constante de tiempo el voltaje en el condensador alcanza el 99% del voltaje Vs 15 Circuito RC. Entrada pulso l i h h d l i ió “ ” i◊ El switch ha estado en la posición “a” por un tiempo suficientemente largo para que el condensador esté completamente descargado ◊ En el instante inicial el switch cambia a la posición “b” y permanece en ella por un tiempo t1 y posteriormente retorna a la posición “a” Circuito RC. Entrada pulso Hasta t1 el circuito se comporta como un RC con respuesta forzada y voltaje inicial cero A partir de t1 el circuito es un RC con respuesta natural. Para conocer su condición inicial necesitamos hallar el voltaje en el instante t1 16 Circuito RC. Entrada pulso Gráfica normalizada respecto a la constante de tiempo Circuito RL. Respuesta natural ◊ Estamos en una situación similar a la anterior ◊ El inductor tiene almacenada una energía y en el instante inicial se conecta en serie con una resistencia ◊ Por tanto comienza a fluir corriente y la energía almacenada en la bobina se disipa en la resistencia 17 Circuito RL. Respuesta natural Asumiendo que la q solución tiene la forma Solución no trivial Condiciones Condiciones iniciales Circuito RL. Respuesta natural ◊ El producto L/R (henrios/ohmios) tiene unidades de tiempo ◊ T= L/R recibe el nombre de constante de tiempo del circuito ◊ Vemos que para t=T el voltaje ha caído un 63% del valor V0 ◊ Como este circuito no tiene ninguna fuente la solución que hemos hallado se llama respuesta natural (o no forzada) ◊ Y T recibe el nombre de constante de tiempo natural 18 Circuito RL. Respuesta natural Procedimiento análisis transitorio RC y RL ◊ 1 – Calcular la inductancia/ capacitancia equivalente ◊ 2 – Calcular la resistencia de Thévennin vista por la inductancia/ capacitancia equivalente ◊ 3 – La constante de tiempo es ReqCeq o Req/Leq ◊ 4 – Calcular el valor inicial de V o I en el circuito ◊ 5 – Buscar el valor final de Vc o IL para tiempo infinito ◊ 6 – Solución =valor final+[valor inicial-valor final] 19 Circuito con dos constantes de tiempo ◊ El switch ha estado en la posición “a” por un tiempo suficientemente largo para que el condensador esté completamente descargado ◊ En el instante inicial el switch cambia a la posición “b” y permanece en ella por un tiempo t1 y posteriormente retorna a la posición “a” Circuito con dos constantes de tiempo ◊ Las ecuaciones dependen de las dos constantes de tiempo 20 Circuito con dos constantes de tiempo parapara para Respuesta a un impulso Respuesta generalRespuesta general 21 Respuesta a un impulso respuestarespuesta ◊ Si el impulso es más estrecho la salida no alcanzará el valor máximo Circuito RLC serie ◊ La intensidad que pasa por todos los elementos es la misma. ◊ La suma (vectorial) de las tensiones de los tres elementos. El vector resultante de la suma de los tres vectores es: 42 Se denomina impedancia del circuito al término: El vector resultante de la suma de los tres vectores es: 22 Circuito RLC serie C i t i it 43 Corriente circuitoKVL Circuito RLC serie 44 Ecuación de segundo orden 23 Circuito RLC serie Ecuación de segundo orden Sol. Particular + sol homogénea 45 particular homogénea Circuito RLC serie homogénea Asumiendo que la solución tiene la forma Ecuación característica: 46 24 Circuito RLC serie Ecuación característica Raices Ecuación característica Solución de la homogénea 47 Solución completa A1 y A2 condiciones iniciales Circuito RLC serie Respuesta subamortiguada 48 ◊ Las raíces son complejas. ◊ El sistema presenta un comportamiento oscilatorio 25 Circuito RLC serie Respuesta Críticamente amortiguada 49 ◊ Las raíces son números reales y de igual valor ◊ El sistema no presenta oscilaciones Circuito RLC serie Respuesta Sobreamortiguada 50 ◊ Las raíces son números reales y son distintas ◊ No hay oscilación 26 Circuito RLC serie Parámetros Frecuencia de resonancia: Factor de amortiguamiento: Críticamente amortiguado Sobreamortiguado Subamortiguado Frecuencia natural del sistema. 51 ◊ Cuando se aumenta el valor de la resistencia aumenta el valor de alfa respuesta sobreamortiguada Circuito LC serie Asumiendo que la l ió dsolución es de la forma: Ecuación característica: 52 ◊ En el límite cuando la resistencia se hace cero el circuito RLC serie se reduce a el circuito LC serie Frecuencia de resonancia 27 Circuito RLC paralelo ◊ Determinar la corriente y la tensión en el inductor: 1 Establecemos las condiciones iniciales del sistema 53 1 – Establecemos las condiciones iniciales del sistema. 2 – Determinamos la ecuación que describe el sistema. 3 – resolvemos la ecuación. 4 – Distinguimos las características de operación en función de los parámetros de los elementos del circuito. Circuito RLC paralelo La caída de tensión es igual en los tres elementos: Condiciones iniciales: igual en los tres elementos: 54 KCL: 28 Circuito RLC paralelo Ecuación diferencial que describe al sistema La solución de la ecuación es la suma de la sol. homogénea y la sol. particular Solución Particular 55 Ecuación homogénea Circuito RLC paralelo Ecuación homogénea Ecuación característica La solución es de la forma: 56 Frecuencia resonancia Coeficiente amortiguamiento 29 Circuito RLC paralelo Ecuación característica: Raíces de ecuación característica La solución de la homogénea es una combinación lineal de: 57 Solución general Circuito RLC paralelo Críticamente amortiguado. S1 y S2 son iguales y reales. No respuesta oscilatoria Sobreamortig ado S1 S2 son distintos reales No 58 Sobreamortiguado. S1 y S2 son distintos y reales. No respuesta oscilatoria Subamortiguado. S1 y S2 son complejos. Respuesta oscilatoria 30 Circuito LC paralelo 59 En el circuito LC no hay amortiguamiento ◊ Resistencia infinita ◊ coeficiente de amortiguamiento nulo RLC respuesta transitoria Sumario ParaleloSerie Críticamente amortiguado 60 Sobreamortiguado Subamortiguado Respuesta
