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<p>28/02/2023</p><p>1</p><p>Física Geral e</p><p>Experimental:</p><p>Energia</p><p>Rotação de corpos rígidos</p><p>Prof.ª Ms. Katielly Tavares dos Santos</p><p>Ponto material versus Corpo Rígido</p><p>Translação e rotação</p><p>Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq</p><p>Movimento</p><p>Circular Uniforme</p><p>Movimento Circular</p><p>É necessário:</p><p>• Uma força que mude a direção do vetor</p><p>velocidade;</p><p>• Grandezas lineares e grandezas angulares</p><p>para marcar a posição de um objeto que</p><p>realiza um movimento circular.</p><p>�⃗�</p><p>𝑟</p><p>Fonte: https://bit.ly/38C1V5e</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>5 6</p><p>28/02/2023</p><p>2</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>�⃗�</p><p>𝜔</p><p>𝐹 = 𝐹 = 𝑚𝑎</p><p>Força</p><p>centrípeta</p><p>Força Centrípeta</p><p>• Tensão em uma corda de comprimento constante atuando sobre um</p><p>objeto que gira em um círculo;</p><p>• Força gravitacional atuando em um planeta que viaja em torno do Sol</p><p>em uma órbita perfeitamente circular;</p><p>• Força magnética atuando sobre uma partícula carregada que se move</p><p>em um campo magnético uniforme;</p><p>• Força elétrica que atua sobre um elétron em órbita</p><p>em torno de um núcleo do átomo de H.</p><p>Fonte: https://bit.ly/38F6yvm</p><p>𝑦</p><p>𝑡0</p><p>𝜃</p><p>𝑟</p><p>𝑟</p><p>Posição inicial</p><p>Posição final</p><p>∆𝜃</p><p>𝜃</p><p>𝑆 = 𝑟𝜃</p><p>∆𝑠</p><p>𝜃 𝑟𝑎𝑑</p><p>Grandezas Angulares</p><p>𝑆</p><p>𝑆 Fonte: https://cutt.ly/Dgw413i</p><p>Linha de</p><p>referência</p><p>𝑃</p><p>𝑟</p><p>Eixo de</p><p>rotação</p><p>𝑦</p><p>𝑡</p><p>0</p><p>𝑟</p><p>𝑟</p><p>∆𝜃</p><p>∆𝑠</p><p>𝜔 = 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝛼 = 𝑟𝑎𝑑/𝑠</p><p>∆𝜃 =</p><p>∆𝑆</p><p>𝑟</p><p>𝜔 é =</p><p>∆𝜃</p><p>∆𝑡</p><p>𝛼 é =</p><p>∆𝜔</p><p>∆𝑡</p><p>𝜔 =</p><p>𝑑𝜃</p><p>𝑑𝑡</p><p>𝛼 =</p><p>𝑑𝜔</p><p>𝑑𝑡</p><p>Grandezas Lineares</p><p>𝑆 = 𝑟𝜃 𝑣 =</p><p>𝑑𝑆</p><p>𝑑𝑡</p><p>𝑎 =</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑡</p><p>𝑣 = 𝜔𝑟</p><p>𝑎 = 𝛼𝑟</p><p>7 8</p><p>9 10</p><p>11 12</p><p>28/02/2023</p><p>3</p><p>Fonte: https://cutt.ly/Dgw413i</p><p>𝑣 = 𝜔𝑟</p><p>Movimento Circular Uniforme</p><p>• Trajetória circunferência de raio 𝑟 ou parte</p><p>de uma circunferência de raio 𝑟;</p><p>• �⃗� 𝑣 constante;</p><p>• �⃗� direção e sentido variáveis.</p><p>Fonte: https://bit.ly/3aLma1D</p><p>�⃗�</p><p>Movimento Circular Uniforme</p><p>𝑎 =</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑡</p><p>= 0</p><p>𝑎 =</p><p>𝑣</p><p>𝑟</p><p>𝑆 = 𝑆 + 𝑣𝑡</p><p>𝑎 = 𝜔 𝑟</p><p>𝜃 = 𝜃 + 𝜔𝑡</p><p>Período e Frequência – MCU</p><p>• No movimento rotacional, o corpo retorna à sua orientação</p><p>original podemos associar ao movimento algumas grandezas</p><p>do movimento oscilatório;</p><p>• Este conceito não tem análogo no movimento</p><p>translacional.</p><p>Movimento</p><p>oscilatório!!!</p><p>𝑇 = 𝑠 𝑓 = 𝐻𝑧</p><p>𝑇 =</p><p>2𝜋𝑟</p><p>𝑣</p><p>𝑇 =</p><p>2𝜋</p><p>𝜔</p><p>𝑓 =</p><p>1</p><p>𝑇</p><p>Momento de</p><p>Inércia</p><p>13 14</p><p>15 16</p><p>17 18</p><p>28/02/2023</p><p>4</p><p>Inércia Rotacional</p><p>Um objeto que roda em torno de um eixo</p><p>tende a permanecer rodando em torno</p><p>desse mesmo eixo, a menos que sofra algum</p><p>tipo de interferência externa.</p><p>Primeira lei de</p><p>Newton?</p><p>Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq Fonte: https://cutt.ly/ygtCliZ</p><p>Momento de inércia ou Inércia Rotacional</p><p>• Propriedade de um objeto resistir a alterações em seu estado de</p><p>movimento de rotação ideia do quão difícil é fazer o objeto girar,</p><p>ou pará-lo, quando já estiver em movimento giratório;</p><p>• Calculado em relação ao eixo de rotação depende da distribuição</p><p>de massa em relação ao eixo de rotação;</p><p>• Quanto maior for a distância entre a maior parte</p><p>da massa de um objeto e seu eixo de rotação,</p><p>maior será sua inércia rotacional.</p><p>Massa e Momento de Inércia</p><p>• Massa propriedade inerente de um corpo;</p><p>• Momento de inércia depende da escolha do eixo de rotação do</p><p>corpo em análise;</p><p>• Não existe uma valor único para um corpo existe uma valor</p><p>mínimo que é calculado em torno de um eixo que</p><p>passa pelo seu centro de massa!</p><p>PartículaPartícula</p><p>𝐼 = 𝑚𝑟</p><p>Distribuição</p><p>discreta</p><p>Distribuição</p><p>discreta</p><p>𝐼 = 𝑚 𝑟</p><p>Distribuição</p><p>contínua</p><p>Distribuição</p><p>contínua</p><p>𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚</p><p>𝐼 = 𝑘𝑔. 𝑚</p><p>Corpos rígidos</p><p>homogêneos!</p><p>Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq</p><p>Fonte: https://bit.ly/2UuOS0a</p><p>𝐼 =</p><p>1</p><p>12</p><p>𝑀𝐿</p><p>𝐼 =</p><p>2</p><p>5</p><p>𝑀𝑅</p><p>𝐼 =</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑀𝑅</p><p>𝐼 =</p><p>1</p><p>3</p><p>𝑀𝐿</p><p>Fonte: https://bit.ly/2UuOS0a</p><p>𝐼 = 𝑀𝑅</p><p>𝐼 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑀𝑅</p><p>𝐼 =</p><p>1</p><p>12</p><p>𝑀 𝑎 + 𝑏</p><p>𝐼 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑀(𝑅 + 𝑅 )</p><p>19 20</p><p>21 22</p><p>23 24</p><p>28/02/2023</p><p>5</p><p>Fonte: https://bit.ly/2xiJNQI</p><p>Exemplo</p><p>Imagine um cilindro e uma esfera, ambos com massa de 5 kg e raio de 20 cm. Qual</p><p>deles possui maior momento de inércia? Considere que o cilindro gira ao redor de</p><p>seu eixo central e a esfera em torno de qualquer eixo passando por seu centro. Energia cinética</p><p>de rotação</p><p>Energia cinética e energia cinética de rotação</p><p>• Está presente em todo o corpo dotado de movimento;</p><p>• Essa energia pode ser transformada e aproveitada.</p><p>𝐾 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣 𝐾 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐼𝜔</p><p>Energia cinética de</p><p>translação!</p><p>Energia cinética de</p><p>rotação!</p><p>• Podemos estudar a energia cinética de rotação separadamente da</p><p>energia cinética do movimento de translação é sempre possível</p><p>separar um movimento complicado em dois simples: o de</p><p>translação do centro de massa e o de rotação.</p><p>Fonte: https://cutt.ly/sgeCfXA</p><p>25 26</p><p>27 28</p><p>29 30</p><p>28/02/2023</p><p>6</p><p>Tipos possíveis de movimento</p><p>• Considere uma bola de boliche movendo-se em</p><p>uma superfície plana.</p><p>• A bola tem três maneiras de se movimentar:</p><p>(a) rolando suavemente sobre a superfície;</p><p>(b) deslizando sem rolar numa superfície sem atrito;</p><p>(c) rolando e deslizando ao mesmo tempo.</p><p>Fonte: https://cutt.ly/8geZbsR</p><p>Nos três casos, a energia cinética</p><p>total é composta de: energia</p><p>cinética de translação do centro</p><p>de massa e energia cinética de</p><p>rotação.</p><p>Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq</p><p>𝐾 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐼𝜔</p><p>Exemplo</p><p>Uma bola de 5,05 kg e raio de 0,21 m é arremessada sobre uma rampa.</p><p>Em determinado momento, sua velocidade é medida e verifica-se que o centro de</p><p>massa se move em linha reta, com velocidade 1,59 m/s, enquanto que todos os</p><p>pontos de sua extremidade giram com velocidade angular 2,87 rad/s.</p><p>Calcule sua energia cinética total.</p><p>Resolução</p><p>Teoria dos eixos</p><p>paralelos</p><p>Eixo de rotação</p><p>• Na resolução de problemas de rotação deve-se especificar um</p><p>eixo de rotação;</p><p>• A escolha é arbitrária, mas, uma vez feita, deve ser mantida</p><p>consistentemente em todo o problema;</p><p>• Em alguns problemas a situação física sugere</p><p>um eixo natural como ao longo do eixo de uma</p><p>roda de automóvel.</p><p>31 32</p><p>33 34</p><p>35 36</p><p>28/02/2023</p><p>7</p><p>Momento de inércia</p><p>• O cálculo de momentos de inércia de um corpo sobre um eixo</p><p>arbitrário pode ser trabalhoso, mesmo para um corpo altamente</p><p>simétrico;</p><p>• O uso do teorema dos eixos paralelos, em geral, simplifica esse</p><p>cálculo.</p><p>Teorema dos eixos paralelos</p><p>Se conhecemos o momento de inércia de um</p><p>corpo girando em torno de um determinado eixo</p><p>que passa através de seu centro de massa,</p><p>podemos obter o momento de inércia para</p><p>qualquer movimento de rotação em torno de um</p><p>outro eixo, paralelo ao original.</p><p>Fonte: https://cutt.ly/ogewLl1</p><p>𝑥</p><p>𝑀</p><p>• Sendo 𝑥 a distância entre o eixo que passa</p><p>pelo centro de massa e o novo eixo de</p><p>rotação e 𝑀 é a massa do objeto:</p><p>Fonte: https://cutt.ly/ogewLl1</p><p>𝑥</p><p>𝑀</p><p>𝐼 = 𝐼 + 𝑀𝑥</p><p>Exemplo</p><p>Um marceneiro toma uma casca esférica de madeira de raio 1 m e</p><p>massa 3 kg e faz um furo atravessando a casca esférica, que não</p><p>passa em seu centro, mas forma uma linha reta paralela a uma linha</p><p>imaginária passando através de seu centro. Ambas as linhas distam</p><p>em 30 cm uma da outra.</p><p>Se por esse furo for inserido um eixo fino preso a um motor elétrico,</p><p>qual será o momento de inércia do sistema?</p><p>Dado: momento de inércia de uma casca esférica girando em torno</p><p>de um eixo que passa através de seu centro</p><p>Resolução Situação Problema</p><p>Pilotos de aviões militares e astronautas em treinamento, antes de suas missões, precisam ser testados em</p><p>sua resistência a acelerações muito altas às quais serão expostos, devido à aceleração dos aviões supersônicos</p><p>ou dos foguetes espaciais.</p><p>Uma maneira de fazer isso é colocando o candidato em uma centrífuga que, devido à sua alta velocidade de</p><p>rotação, faz com que eles simulem tal condição. Uma dessas centrífugas consiste, aproximadamente, em um</p><p>cilindro fino metálico de 5 m de comprimento no fim do qual se encontra uma casca esférica de 1 m de raio,</p><p>em que a extremidade oposta gira sob o impulso de um motor. Se o cilindro metálico tem uma massa de 200</p><p>kg e a casca esférica, vazia, tem massa de 300 kg, qual é o</p><p>momento de inércia da centrífuga? Dado:</p><p>momento de inércia de um bastão girado a partir de seu centro</p><p>casca esférica girando em torno</p><p>de um eixo que atravessa seu centro</p><p>37 38</p><p>39 40</p><p>41 42</p><p>28/02/2023</p><p>8</p><p>Resolução</p><p>Recapitulando</p><p>MASSA Propriedade inerente de um corpo.</p><p>MOMENTO DE INÉRCIA</p><p>Depende da escolha do eixo de rotação do corpo em análise;</p><p>Não existe um valor único para um corpo existe uma valor mínimo que é</p><p>calculado em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa;</p><p>Cresce mais rapidamente com o aumento da distância</p><p>do que com o aumento da massa.</p><p>Partícula Distribuição discreta Distribuição contínua</p><p>𝐼 = 𝑚𝑟 𝐼 = 𝑚 𝑟 𝐼 = 𝑟 𝑑𝑚</p><p>ENERGIA CINÉTICA</p><p>Translação Rotação Translação + Rotação</p><p>𝐾 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣 𝐾 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐼𝜔 𝐾 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐼𝜔</p><p>Fonte: https://cutt.ly/sgeCfXA</p><p>TEORIA DOS EIXOS PARALELOS</p><p>Se conhecemos o momento de inércia de um</p><p>corpo girando em torno de um determinado eixo</p><p>que passa através de seu centro de massa, podemos</p><p>obter o momento de inércia para qualquer</p><p>movimento de rotação em torno de um outro eixo,</p><p>paralelo ao original.</p><p>𝐼 = 𝐼 + 𝑀𝑥 Fonte: https://cutt.ly/ogewLl1</p><p>𝑥</p><p>𝑀</p><p>43 44</p><p>45 46</p><p>47</p>
