Lista 2 - Transformada de fourier

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Lista de Exerćıcios de Transformada de Fourier
1. Ache, usando a definição, a transformada de Fourier da seguinte função:
f(x) =
{
0, se x ≤ 0
e−x, se x > 0.
2. Encontre a transformada de Fourier das funções:
f(x) = 2(1 + 2x2)e−x2/2;
g(x) = e−2x2
+
e−
x2
8
2
.
3. Encontre a função cuja transformada de Fourier é dada por:
f̂(w) =
sen(ω)
ω
e−2ω2
.
4. Seja f̂(ω) a transformada de Fourier da funçãof(x). Mostre que
F(f(ax)) =
1
|a|
f̂(
ω
a
).
5. Seja f(x) a transformada inversa de Fourier da função f̂(ω). Mostre
que
F−1(f̂(ω) cos(cω)) = [f(x+ c) + f(x− c)]/2.
6. Resolva o problema abaixo, utilizando transformada de Fourier:
∂2u
∂t2
(x, t) = a2 ∂
2u
∂x2 (x, t)
u(x, 0) = f(x)
∂u
∂t
(x, 0) = 0.
7. Seja a equação
ut − α2uxx = −γu ,
onde α e γ são constantes positivas. Se a temperatura inicial é u(x, 0) =
e−x2
, calcule u(x, t) para t > 0.