Ache, usando a definição, a transformada de Fourier da seguinte função: f(x) = { 0, se x ≤ 0; e−x, se x > 0. }

Para encontrar a transformada de Fourier da função \( f(x) = \begin{cases} 0, & \text{se } x \leq 0 \\ e^{-x}, & \text{se } x > 0 \end{cases} \), utilizamos a definição da transformada de Fourier: \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x} \, dx \] Como \( f(x) = 0 \) para \( x \leq 0 \), a integral se reduz a: \[ F(\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} e^{-i \omega x} \, dx \] Podemos simplificar a integral: \[ F(\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-(1 + i \omega)x} \, dx \] A integral de \( e^{-ax} \) de \( 0 \) a \( \infty \) é \( \frac{1}{a} \) para \( \text{Re}(a) > 0 \). Aqui, \( a = 1 + i \omega \), que tem parte real positiva. Portanto: \[ F(\omega) = \frac{1}{1 + i \omega} \] Assim, a transformada de Fourier da função \( f(x) \) é: \[ F(\omega) = \frac{1}{1 + i \omega} \]