1- Sistema PU

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Capítulo 5 SISTEMA EM POR UNIDADE 
 
 
Sumário 
5.1 Introdução 
5.2 Sistema PU em Transformadores Monofásicos 
5.3 Mudança de Base 
5.4 Sistema PU em Circuitos Trifásicos Equilibrados 
5.5 Sistema PU em Transformadores Trifásicos 
5.6 Transformadores com Relação de Transformação Fora 
do Nominal 
 
5.7 Transformadores em Paralelo 
5.8 Considerações Finais 
 
5.1 Introdução 
 
Em muitas aplicações na engenharia é útil escalar, ou normalizar, 
quantidades com dimensão tornando-as adimensionais. Vários 
componentes físicos do sistema têm diferentes valores nominais. 
Torna-se conveniente, portanto, obter a representação do sistema com 
uma base comum. 
 
O sistema por unidade permite uma pronta combinação dos elementos 
de circuito de um sistema, em que estão presentes diferentes níveis 
de tensão, sem a necessidade de converter impedâncias cada vez que 
se deseja uma resposta em um diferente nível de tensão. 
 
Quando um equipamento elétrico, por exemplo, uma máquina elétrica 
ou um transformador, é analisado usando as grandezas exatas ou 
dimensionais de seus parâmetros, não fica imediatamente evidente o 
seu desempenho quando comparado a seu similar projetado para 
diferente tensão e potência nominal. Entretanto, se tais parâmetros 
forem expressos em relação a valores de base pré-especificados, e 
em geral aos valores nominais do próprio equipamento, as 
comparações entre equipamentos de mesma natureza podem ser 
estabelecidas. Por exemplo, quando é dito que o enrolamento primário 
de um transformador é 10Ω, este valor de resistência pode ser muito 
alto para um transformador ou muito baixo para um outro 
transformador. No entanto, se é dito que a resistência de primário é 
0,1pu, significa que a queda de tensão na resistência para a corrente 
nominal será de 10% da tensão nominal. Este resultado tem 
significado independente da tensão e correntes nominais do 
transformador. 
 
Historicamente, nos Sistemas Elétricos de Potência a normalização 
das grandezas do sistema foi adotada para simplificar os cálculos 
numéricos. O uso de computadores digitais embora tenha resolvido o 
problema com o volume de cálculos não fez cair a representação do 
sistema ‘por unidade’. 
 
Uma grandeza expressa em pu (por unidade) é definida como: 
 
 
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5-3
p.u. = Valor 
Valor Base
Dimensional (5.1) 
 
O valor dimensional refere-se ao valor real da grandeza. Este valor 
real depende das condições operacionais. O valor de base tem a 
mesma dimensão do valor dimensional. 
 
Características do sistema pu: 
 
Š Grandeza adimensional. 
Š Valor dimensional pode ser complexo. 
Š Valor base é sempre um número real. 
Š Ângulo da grandeza complexa não é normalizado. 
 
Vantagens do Sistema Por Unidade - PU 
 
ƒ Normaliza ou referencia as grandezas com dimensão. 
ƒ Os equipamentos podem variar largamente em tamanho e suas 
perdas e queda de tensão também variarão consideravelmente. 
Porém, para equipamentos de mesma natureza, as perdas e queda 
de tensão em pu estão na mesma ordem de grandeza 
independente do tamanho do equipamento. 
ƒ Torna possível a comparação de desempenho entre equipamentos. 
ƒ Os parâmetros dos equipamentos expressos em pu tendem a 
situar-se em uma faixa estreita de valores, tornando os erros mais 
evidentes. 
ƒ Elimina os enrolamentos de um transformador ideal quando a 
relação entre as tensões de base é igual à relação entre as tensões 
nominais dos enrolamentos de primário e secundário. 
ƒ O uso do fator √3 é eliminado nas relações entre tensão de linha e 
de fase, e na definição de potência trifásica. 
ƒ O fator 3 é eliminado na equivalência de cargas em Y e Δ, e na 
relação entre potência trifásica e monofásica. 
ƒ O circuito trifásico é analisado como um circuito monofásico. 
 
Nos sistemas elétricos de potência para expressar os parâmetros de 
um equipamento em valores normalizados ou em pu, os valores de 
referência ou valores de base devem ser inicialmente selecionados. 
 
 
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5-4
Na escolha dos valores de base, os valores nominais do equipamento 
são normalmente escolhidos como referência. Com base na relação 
|S| = |V|.|I|, não importa se para valores de base são selecionadas 
tensão nominal e corrente nominal, ou tensão nominal e potência 
nominal, ou corrente nominal e potência nominal. Uma vez escolhidos 
dois valores de base, os demais serão determinados em função dos 
dois primeiros. 
 
É comum ter como valores de base a tensão nominal em kV e a 
potência aparente nominal em kVA ou MVA, por serem estas duas 
grandezas, na sua grande maioria, disponibilizadas pelos fabricantes 
de equipamentos ao usuário. 
 
Os sistemas de transmissão e várias partes do sistema de distribuição 
operam com tensões em nível de quilo volts (kV). Isto resulta em 
grandes quantidades de potência sendo transmitida, na faixa entre 
kVA e MVA. Por isso, é interessante tomar como valores de base 
grandezas elétricas com grandes valores. 
 
Em se tratando de um sistema, com diversos equipamentos de 
diferentes valores nominais, os valores de base podem ser 
selecionados arbitrariamente. 
 
— A tensão Vb pode ser selecionada “arbitrariamente”, mas em geral 
coincide com o valor nominal de um dos lados, primário ou 
secundário, de um transformador que compõe o sistema. Ex.: 
13,8kV, 69kV, 138kV, 230kV, etc. 
 
— A potência aparente de base, Sb, é escolhida arbitrariamente, e em 
geral com um valor múltiplo de 10. Ex.: 1MVA, 10 MVA, 100 MVA. 
 
Se Vb e Sb são tensão e potência de base, a corrente e impedância de 
base são obtidas, respectivamente, por: 
 
b
b
b V
SI = (5.2) 
e 
 
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5-5
b
2
b
b
b
b S
V
I
V
Z == (5.3) 
 
A impedância em pu é dada por: 
 
bbbb
pu Z
Xj
Z
R
Z
jXR
Z
ZZ ±=±== (5.4) 
 
Portanto, a resistência em pu é a relação entre resistência e 
impedância de base, e a reatância em pu é definida pela relação entre 
reatância e impedância de base. Vale lembrar que a impedância de 
base é uma grandeza real, portanto trata da magnitude da impedância. 
 
A potência complexa em pu é definida como: 
 
bbbb
pu S
Qj
S
P
S
jQP
S
SS ±=±== (5.5) 
 
em que Sb é uma potência aparente. 
 
Note que a relação 5.4 e 5.5 não alteram o ângulo de fase da 
grandeza complexa. 
 
Problema 5.1 
 
Considere uma fonte senoidal monofásica de 100 V em série com um 
resistor de 3 Ω, um indutor de 8 Ω e um capacitor de 4 Ω. 
a) Desenhe o diagrama unifilar do circuito representando suas 
grandezas V e Z. 
b) Para valores de base Vb=100 V e Sb=500 VA, represente o circuito 
equivalente monofásico do item (a) em pu. 
c) Qual a potência em cada componente do circuito? 
d) A partir dos valores em pu, obtenha as grandezas reais do circuito. 
 
 
 
Problema 5.2 
 
 
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5-6
Uma carga consome 2 A a um fator de potência de 0,9 capacitivo 
quando conectada a uma fonte de 600V, 60Hz. Determine as 
grandezas atuais e em pu, V, I, S e Z, da carga para valores de base 
de 100 V e 1000 VA. 
 
5.2 Sistema PU em Transformadores Monofásicos 
 
Para cada lado do transformador existe uma tensão de base, tensão 
de base de primário V1b e tensão de base de secundário V2b. 
 
As tensões de base entre primário e secundário, V1b/V2b, obedecem a 
relação de transformação do transformador, V1,Nom/V2,Nom. 
 
A potência aparente de base é a mesma para os dois lados do 
transformador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1: Relação de Transformação em Transformador Monofásico. 
 
A grandeza “a“ representa a relação de transformaçãoentre tensão de 
primário e tensão de secundário representadas pelos sub-índices 1 e 2 
respectivamente1. 
 
A tensão em pu é dada por: 
 
1 Observe que se “a” é a relação entre tensão de primário e secundário, para a>1 tem-se um transformador 
abaixador e para a<1 tem-se um transformador elevador. Há autores que expressam a relação de 
transformação de um trafo como sendo tensão de secundário pela tensão de primário. Neste caso, a>1 trata-se 
de trafo elevador e a<1 trafo abaixador. 
V1 V2 
N1 N2 
V1 V2 
a 1 :
 
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5-7
b2
2
b1
1
pu1
aV
aV
V
VV
=
=
 (5.6) 
 
Portanto 
V1pu = V2pu (5.7) 
 
Como visto no Capítulo 4, a impedância ôhmica de um transformador 
pode ser referenciada quer ao primário, quer ao secundário. 
 
Figura 5.2 Circuito Equivalente Monofásico. 
 
Quando a impedância é referida ao lado do secundário, tem-se: 
 
2, 2 12
1
eqR R R
a
= + ⋅ (5.8) 
e 
2, 2 12
1
eqX X X
a
= + ⋅ (5.9) 
 
De modo semelhante, quando a impedância é referida ao lado do 
primário tem-se: 
2
1, 1 2eqR R a R= + ⋅ (5.10) 
e 
2
1, 1 2eqX X a X= + ⋅ (5.11) 
 
É também possível calcular a impedância equivalente do primário 
refletida no secundário como se segue: 
 
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5-8
 
( )
( )
2, 2, 1, 1,2
2 2
1 2 1 22
2 1 2 12 2
1
1
1 1
eq eq eq eqR jX R jX
a
R a R jX j a X
a
R R j X X
a a
+ = +
= + + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (5.12) 
 
De modo semelhante, a impedância equivalente do secundário vista 
do primário é expressa como: 
 ( )21, 1, 2, 2,eq eq eq eqR jX a R jX+ = + (5.13) 
 
Pode-se então observar que a impedância equivalente de primário 
está relacionada com a impedância equivalente de secundário pela 
magnitude da relação de transformação ao quadrado. 
 
Para expressar a impedância de um transformador em p.u. é 
necessário calcular as impedâncias de base do transformador. 
 
Como regra, toma-se para potência aparente de base a potência 
aparente nominal do transformador. As tensões de base podem ser 
também as tensões nominais. Portanto, duas impedâncias de base 
serão calculadas: uma para o lado primário e outra para o secundário. 
 
Z1b = 
b
2
b1
S
V
 (5.14) 
e 
Z2b = 
b
2
b2
S
V
 (5.15) 
 
A relação entre as Eq.5.14 e 5.15 resulta em: 
 
 
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5-9
2
1 2
21 1
2
22 2
b
b b b
bb b
b
V
Z S V a
VZ V
S
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
2
1 2b bZ a Z= ⋅ (5.16) 
 
 
As impedâncias em p.u. são calculadas dividindo-se a impedância 
equivalente do lado primário, Z1eq, e do lado secundário, Z2eq, pelas 
respectivas impedâncias de base, Z1b e Z2b. 
 
b1
eq,1
.u.p1 Z
Z
Z = (5.17) 
e 
b2
eq,2
.u.p2 Z
Z
Z = (5.18) 
 
A impedância Z2p.u., por exemplo, pode ser re-escrita: 
 
1,2
2 . . 1 . .
1,2
1
1
eq
p u p u
b
Z
a
Z Z
Z
a
= =
⋅ (5.19) 
 
A impedância em p.u. de um transformador é a mesma independente 
do lado do transformador. 
 
Quando a relação das tensões operativas de um transformador (V1/V2) 
é igual à relação de suas tensões de base (Vb,1/ Vb,2) que é igual à 
relação entre as tensões nominais (Vb,1/ Vb,2= VNOM,1/ VNOM,2), a relação 
de transformação “a” em p.u. torna-se: 
 
 
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5-10
1
a
1a
V
V
V
V
V
V
V
V
a
1,b
2,b
2
1
2,b
2
1,b
1
.u.p =⋅=⋅== (5.20) 
 
A relação de transformação é então 1:1. Isto é, quando o 
transformador opera com relação de espiras igual a nominal (N1:N2) a 
relação de transformação em pu é igual a 1. 
 
Neste caso, o circuito equivalente do transformador, sem considerar o 
ramo em derivação, no sistema em p.u. é mostrado na figura abaixo. 
 
 
Fig.5.3. Circuito Equivalente em PU de Transformador Monofásico 
 
Note que a relação de transformação foi eliminada, pois em pu a f.e.m. 
de primário é igual a f.e.m. de secundário. A diferença entre as 
tensões terminais V1pu e V2pu é dada pela queda de tensão provocada 
pela impedância equivalente em pu.. 
 
Exemplo 5.1 
 
Considere um transformador monofásico com valores nominais de 
tensão de 220V/110V, operando em sua relação nominal de espiras 
(N1:N2). Se o transformador está com uma tensão no primário de 215 
V, considerando que a tensão de base do primário é igual à tensão 
nominal de 220 V, determine: 
a) A relação de transformação nominal. 
b) A tensão de base do secundário. 
c) A tensão em pu de primário e secundário. 
d) A relação de transformação em p.u. 
 
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5-11
 
A relação de transformação do transformador é 
 
a = 220/110 = 2 
 
A tensão de base do secundário 
 
V2b = (1/a)V1b = 220/2 = 110 V 
 
A tensão do primário em pu 
 
V1pu = V1/V1b = 215/220 = 0,98 pu 
 
Note que é perceptível que a tensão de primário é 98% da nominal. 
 
A tensão do secundário em pu é obtida calculando-se em primeiro 
lugar a tensão atual do secundário sob a condição que o trafo opera 
na relação N1:N2, i.é., 
 
V2 = (1/a)V1 = 215/2 = 107,5V 
V2pu = V2/V2b = 107,5/110 = 0,98 pu 
 
A relação "a" em pu é dada por 
 
apu = (V1/V1b)/(V2/V2b) = (215/220)/(107,5/110) =1 
 
Exemplo 5.2 
 
Um transformador de 1,1kVA, 440/110 V, 60 Hz tem os seguintes 
parâmetros referidos ao primário: R1,eq=1,5Ω, X1,eq=2,5Ω, Rc=3000Ω, e 
Xm=2500Ω. O transformador quando em plena carga opera à tensão 
nominal, alimentando uma carga com um fator de potência de 0,707 
atrasado. Determine para valores de base iguais aos nominais de 
Sb=1100VA e V2b=110 V: 
a) Os parâmetros em pu, R1,eq, X1,eq, Rc e Xm. 
b) A regulação de tensão. 
c) A eficiência do trafo. 
 
 
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5-12
 
A tensão de base no primário é: 
 
' 1
1 2 2 2
2
440110 440
110
NOM
b b b bNOM
VV V aV V V
V
⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
Os valores de base das outras quantidades do transformador são: 
 
I1b=Sb/V1b=1100/440=2,5A 
e 
Z1b=V1b/I1b=440/2,5=176Ω 
 
ou simplesmente 
Ω=== 176
1100
440
S
VZ
2
b
2
b1
b1 
 
Os parâmetros equivalentes em pu são calculados como: 
 
R 1eq,pu= 1,5/176=0,0085 pu 
X 1eq,pu= 2,5/176=0,0142 pu 
R 1c,pu= 3000/176=17,0455 pu 
X 1m,pu= 2500/176=14,2045 pu 
 
Notar que as impedâncias do transformador quando expressas em pu 
independem do lado do transformador, i.é., a impedância em pu no 
primário é a mesma impedância em pu no secundário. Para verificação 
da afirmação considere a impedância equivalente de primário refletida 
para o secundário: 
 
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5-13
Ω+=+⋅=+ 625,0j375,0jXR
a
1jXR eq,1eq,12eq,2eq,2 
 
A impedância de base do secundário é dada por: 
Ω=⋅= 44Z
a
1Z b12b2 
 
A impedância equivalente em pu vista do secundário é então: 
 
( ) ( )
( )
[ ]
2, 2, 2, 2,
2
1
1 0,375 0,625
44
0,0085 0,0142
eq eq eq eqpu
b
R jX R jX
Z
j
j pu
+ = ⋅ +
= +
= +
 
 
Como a tensão e corrente nominais são os valores de base, a tensão 
e corrente da carga em pu refletidas para o primário são: 
 
V’1pu = 1,0∠0o pu 
I’1pu = 1,0∠-45o pu 
 
em que –45o corresponde a um fator de potência de 0,707 indutivo. 
 
A corrente de excitação I0 é dada pela componente de corrente 
através do resistor mais a componente de corrente através dareatância de magnetização. 
 
pu01067,58
0455,17
01I 03
0
pu,C ∠×=∠= − 
 
pu901040,70
2045,14j
01I 03
0
pu,m −∠×=∠= − 
 
e finalmente a corrente de excitação I0 
 
 
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5-14
I0,pu=IC,pu + jIm,pu = (58,67-j70,40)x10-3pu=91,64 x10-3∠-50,19o pu 
 
A corrente I1pu é dada por: 
 
I1pu = I’1pu + I0pu= 1,0∠-450+ 91,64 x10-3∠-50,19o=1,09∠-45,410 pu 
 
A tensão aplicada V1pu é dada por: 
 
V1pu= V’1pu + (R1eq,pu +j X 1eq,pu)I1pu 
 
 =1∠0o+(0,0085+j0,0142)(1,09∠-45,410) = 1,02∠0,24º pu 
 
A tensão de primário V1 é 2% maior que a tensão nominal de primário 
para que a tensão no secundário se mantenha em seu valor nominal 
de 110 V. 
 
A tensão primária em Volts é 
 
V1=V1b.V1pu=440. 1,02∠0,24o= 448,80∠0,24o V 
 
A regulação de tensão é: 
100
V
VV
%RV
PC
PCvazio
×−= 
 
Em plena carga a tensão no secundário é de 110 V, para tanto a 
tensão no primário deve ser mantida em 448,80V. Em vazio, para uma 
tensão no primário de 448,8V a tensão corresponde no secundário é 
de 112,2V. Assim a regulação de tensão pode ser obtida a partir de 
valores dimensionais ou em pu: 
 
( ) %2100102,1100
110
1102,112%RV =×−=×−= 
ou 
%2100
0,1
0,102,1%RV =×−= 
 
 
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5-15
Se ao invés de tensão no lado do secundário a regulação for calculada 
para valores de tensão no primário nas condições em vazio e plena 
carga, tem-se: 
 
( ) %2100102,1100
440
44080,448%RV =×−=×−= 
 
A eficiência do transformador é calculada pela relação entre perdas e 
potência de entrada, i.é., 
 
inin
in
in
out
P
Perdas1
P
PerdasP
P
P −=−==η 
 
A potência útil de entrada em pu é dada por 
 
Pin,pu=V1pu.I1,pu.cosθ 
 
portanto 
 
Pin,pu=V1pu.Iin,pu.cosθ=1,02x1,09.cos(0,24o+45,41o)= 0,78 pu 
 
As perdas ativas no núcleo 
 
Pc,pu=Rc,puIc,pu2=17,0455x(58,67x10-3)2=0,059 pu 
 
As perdas ativas de enrolamento representadas pela resistência 
equivalente de primário: 
 
Penr,pu=R1eq,pu.(I1pu)2=0,0085x(1,09)2=0,010 pu 
 
A perda total 
 
Pt = Pc + Penr = 0,059 + 0,010= 0,069 
 
O rendimento do transformador é então de: 
 
912,0
78,0
069,01 =−=η ou 91,2% 
 
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5-16
 
 
5.3 Mudança de Base de Valores em PU 
 
Em muitas circunstâncias, a impedância em pu de um componente do 
sistema elétrico é especificada com relação aos valores nominais do 
próprio componente, os quais podem diferir dos valores de base 
selecionados para a parte do sistema onde o componente está 
inserido. No entanto, para proceder a análise de um sistema, faz-se 
necessário que todas as impedâncias em qualquer parte do sistema 
sejam expressas em uma mesma base. Como resultado é necessário 
converter os valores em pu, expressos em relação a uma base dita 
“velha”, para uma base comum a todo sistema dita “nova”. 
 
No processo de conversão de uma impedância em pu da base velha 
para a base nova, tem-se em primeiro momento que: 
 
[ ]( )
[ ]MVA S
kV V
Z
old
b
2old
bold
b = (5.21) 
e 
[ ]( )
[ ]MVA S
kV V
Z
new
b
2new
bnew
b = (5.22) 
 
A impedância em seu valor dimensional Z é obtida por: 
 
[ ] [ ]( )[ ]MVA S kV VZ Z oldb
2old
bold
pu ⋅=Ω (5.23) 
 
A mudança para a nova base Zpunew: 
 
 
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5-17
( ) [ ]( )[ ] [ ][ ]( )
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅=
⋅⋅=⋅=
 MVA
 MVA
 kV
 kVZ
kV V
MVA S
MVA S
kV VZ
V
SZZ
old
b
new
b
2
new
b
old
bold
pu
2new
b
new
b
old
b
2old
bold
pu2new
b
new
bnew
pu
 (5.24) 
 
Na mudança de base de impedância de um transformador, é 
importante notar que é indiferente se se usa tensões de primário ou 
tensões de secundário na relação de tensões, contanto que se VbOLD é 
de primário, VbNEW deverá ser de primário, ou se VbOLD é de 
secundário, VbNEW deverá ser de secundário. 
 
Em sistemas trifásicos, é indiferente se se usa potências monofásicas 
ou potências trifásicas, conquanto que as potências nova e velha 
sejam do mesmo tipo, quer monofásicas, ou quer trifásicas. Ainda em 
sistemas trifásicos pode-se usar quer tensões de linha, quer tensões 
de fase contanto que as tensões velha e nova sejam do mesmo tipo. 
 
 
Exemplo 5.3 
 
Considere o sistema mostrado na figura abaixo em que dois 
transformadores monofásicos alimentam uma carga resistiva de 
10kVA, a tensão na carga sendo mantida a 200 V. Determine o circuito 
equivalente em pu considerando uma potência de base de 10kVA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C A 
200V 
100:400V 
X=0,1pu 
15kVA 
~
400:200V 
X=0,15pu 
15kVA 
Vs 
B 
T1 T2
 
Profa Ruth P.S. Leão Email: rleao@dee.ufc.br HP: www.dee.ufc.br/~rleao 
5-18
No circuito apresentado há três níveis de tensão envolvidos: 100 V no 
segmento A, 400 V em B e 200 V em C. Para cada segmento do 
circuito deverá ser obtida uma tensão de base. Embora não seja 
essencial que as tensões nominais sejam usadas como base, é 
essencial que as tensões de base estejam relacionadas pela relação 
de tensões nominais. 
 
Se a tensão do segmento A é tomada como tensão de base, Vb,A=100 
V, então as tensões de base dos segmentos B e C são: 
 
V4001004V
V
VV
a
1V A,b
1T1
2
A,b
1T
B,b =×=⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⋅= 
 
V2004005,0V
V
VV
a
1V B,b
2T1
2
B,b
2T
C,b =×=⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⋅= 
 
Para uma potência de base igual a Sb=10 kVA, as reatância dos 
transformadores 1 e 2 devem ser transformadas para os novos valores 
de base, i.e.: 
pu0667,0
15
10
400
4001,0
15
10
100
1001,0
S
S
V
V
XX
2
2
OLD,b
NEW,b
2
NEW,b
OLD,bOLD
pu,1Tpu,1T
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅=
 
 
pu1,0
15
10
100
10015,0
15
10
400
40015,0X
2
2
pu,2T
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=
 
 
A impedância da carga é dada por: 
 
 
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5-19
2200 4
10.000L
Z = = Ω 
 
A impedância de base em C é dada por: 
 
Ω== 4
000.10
200Z
2
C,b 
 
A resistência da carga em pu: 
 
pu1
4
4
Z
RR
C,b
pu,L === 
 
O circuito equivalente em pu é mostrado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão na carga é 1,0∠0o pu uma vez que a tensão na carga é igual 
à tensão de base em C. Qual o valor da tensão Vs? 
 
S LV jX I V= ⋅ + 
 
Se a resistência da carga é igual 1,0 pu e a tensão na carga também 
igual 1,0∠0o pu, a corrente então é de 1,0∠0o pu. Assim, a tensão Vs é 
dada por: 
 
Vs=(0,1667∠90o x 1,0∠0o) + 1,0∠0o =1,014∠9,4810opu 
ou 
Vs=(1+0,1667∠90o). 1,0∠0o=1,014∠9,4810opu 
 
A tensão Vs em volts: 
 
VS VL=1∠0opu 
j0,0667pu j0,1pu 
RL=1,0pu 
T1 T2 
 
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5-20
VVVV Abpuss
DD 5,94,1011005,9014,1,, ∠=×∠=⋅= 
 
Se a potência de base escolhida fosse de 15kVA, mantida as mesmas 
tensões de base, as reatâncias de dispersão dos transformadores T1 e 
T2 não sofreriam alteração, mas apenas a resistência da carga que 
passaria a ser de: 
 
( ) [ ]
22
,
, 3
200
2,67
15 10
b C
b C
b
V
Z
S
= = = Ω× 
 
[ ], 4 1,52,67L puZ pu= = 
 
Neste caso, a corrente no circuito em pu é igual a: 
 
[ ],,
,
1,0 0 0,67 0
1,5 0
L pu
L pu
L pu
V
I pu
Z
∠= = = ∠∠
D
D
D 
 
e a tensão VS igual a: 
 
Vs=(0,25∠90o x 0,67∠0o) + 1,0∠0o =1,014∠9,4810o pu 
 
A tensão Vs em volts: 
 
VVVV AbpussDD 5,94,1011005,9014,1,, ∠=×∠=⋅= 
 
Se a tensão de base escolhida fosse de 500 V para o segmento B do 
circuito e a potência de base 10kVA, ter-se-ia que as reatâncias dos 
transformadores para os novos valores de base seriam: 
 
 
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5-21
[ ]
2
, ,
1, 1,
, ,
2
2
400 100,1
500 15
100 100,1 0,0427
125 15
b OLD b NEWOLD
T pu T pu
b NEW b OLD
V S
X X
V S
pu
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
[ ]
2
2,
2
400 100,15
500 15
200 100,15 0,064
250 15
T puX
pu
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
Independente qual seja os valores de base selecionados, a 
impedância em pu de T1 é menor que a de T2. 
 
A tensão de entrada Vs,pu: 
 ( ), 1, 2, , ,s pu T pu T pu L pu L puV j X X I V= + + 
 
A tensão da carga em pu: 
 
[ ],
, ,
2
200 0 200 0 0,8 01 500 2502
L L
L pu
b C b B
T
V VV pu
V Va
∠ ∠= = = = = ∠⋅
D D
D 
 
A corrente em pu da carga: 
 
[ ],,
,
1 0 1, 25 0
0,8 0
L pu
L pu
L pu
S
I pu
V
∗⎛ ⎞ ∠= = = ∠⎜ ⎟⎜ ⎟ ∠⎝ ⎠
D
D
D 
 
Então, Vs,pu: 
 
 
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5-22
( )
[ ]
, 0,043 0,064 1,25 0 0,8 0
0,107 90 1, 25 0 0,8 0 0,134 90 0,8 0 0,81 9,5
s puV j j
pu
= + ∠ + ∠
= ∠ ⋅ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠
D D
DD D D D D 
 
O valor da tensão Vs em volts é simplesmente: 
 
[ ], , 1000,81 9,5 500 0,81 125 101, 25 9,5400s s pu b AV V V V⎛ ⎞= ⋅ = ∠ × × = × = ∠⎜ ⎟⎝ ⎠D D 
 
O mesmo circuito pode ser analisado para obtenção de VS, utilizando-
se valores dimensionais. As correntes e tensões obtidas a partir da 
condição de operação da carga devem ser refletidas para o primário 
de T1, levando-se em consideração as relações de transformação 
existentes entre fonte e carga, bem como as impedâncias. O volume 
de cálculo, neste caso, seria maior. 
 
5.4 Sistema PU em Circuitos Trifásicos Equilibrados 
 
a) Tensão 
 
Tensão linha-neutro em pu: 
bLN
LN
puLN V
VV
,
, = (5.25) 
 
Tensão linha-linha em pu: 
bLL
LL
puLL V
VV
,
, = (5.26) 
 
A relação entre as tensões de base de linha-linha e linha-neutro é 
dada por: 
3
,
,
bLL
bLN
V
V = (5.27) 
 
Substituindo em VLNpu os valores de linha-neutro por valores de linha-
linha tem-se: 
 
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5-23
D
D
30
3
30
3
,
,
,
−∠=
−∠
=
bLL
LL
bLL
LL
puLN
V
V
V
V
V
 (5.28) 
Portanto 
D30,, −∠= puLLpuLN VV (5.29) 
 
Em um sistema trifásico equilibrado, a tensão de fase em pu difere da 
tensão de linha em pu apenas na abertura angular sendo as 
magnitudes iguais. 
 
Na obtenção da tensão linha-linha em pu a partir de tensões linha-
neutro em pu, tem-se que: 
 
( )
,
, ,
, ,
,
1 1
3 3
ab a b
ab pu
LL b LL b
a b
a pu b pu
LN b
V V VV
V V
V V V V
V
−= =
⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 (5.30) 
 
A Eq. 5.30 é válida para sistemas equilibrados e desequilibrados. Se o 
sistema é equilibrado tem-se que: 
 
( )
( )
( ) ( )
, , ,
, ,
, ,
,
1
3
1 120
3
1 1 240 3 30
3 3
30
ab pu a pu b pu
a pu a pu
a pu a pu
a pu
V V V
V V
V V
V
= −
= − ∠−
= − ∠ = ∠
= ∠
D
D D
D
 (5.31) 
 
Note que para condição de tensões desequilibradas a relação 
|Vab|=√3|Va| já não mais se aplica e a igualdade entre tensões de linha 
em pu e tensões de fase em pu deixa de existir. No entanto, na análise 
de sistemas de potência, como p.ex. fluxo de carga, o sistema é 
 
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5-24
considerado equilibrado. Em análise de curto-circuito para a condição 
pré-falta é assumido que o sistema está equilibrado. 
 
b) Potência 
 
Potência monofásica em pu: 
1
1 ,
1 ,
pu
b
S
S
S
φ
φ
φ
= (5.32) 
Potência trifásica em pu: 
3
3 ,
3 ,
pu
b
S
S
S
φ
φ
φ
= (5.33) 
 
Relação entre a potência de base trifásica e monofásica: 
 
3
,3
,1
b
b
S
S φφ = (5.34) 
 
Expressando S1φpu em termos de potência trifásica, tem-se: 
 
3
1 ,
3
3
3pu base
S
S
S
φ
φ
φ
= (5.35) 
Portanto 
 
pupu SS ,3,1 φφ = (5.36) 
 
A expressão 5.36 é válida somente para sistemas equilibrados. Em um 
sistema trifásico qualquer se tem que: 
 
( )pucpubpua
b
cba
b
pu SSSS
SSS
S
S
S ,,,
,1,3
3
,3 3
1
3
++=++==
φφ
φ
φ (5.37) 
 
Quando o sistema é equilibrado (Sa,pu= Sb,pu= Sc,pu) a potência trifásica 
em pu torna-se igual à potência monofásica em pu. 
 
 
 
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5-25
c) Corrente 
 
Corrente de fase em pu: 
b,F
F
pu,F I
II = (5.38) 
 
Corrente de linha em pu: 
b,L
L
pu,L I
II = (5.39) 
 
 
A relação entre as correntes de base de linha e de fase é: 
 
3
I
I b,Lb,F = (5.40) 
 
Expressando a corrente de fase em pu, IFpu, em termos de valores de 
linha, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
D
D
D
30
30
3
30
3
,
,,
,
+∠=
+∠=
+∠
=
puL
bL
L
bL
L
puF
I
I
I
I
I
I
 (5.41) 
 
Em um sistema trifásico qualquer (desequilibrado ou equilibrado), tem-
se que a corrente de linha a é dada por: 
 
a ab caI I I= − (5.42) 
Em pu: 
 ( ) ( ) ( ), , ,
,
1 1
3 3
ab ca ab ca
a pu ab pu ca pu
L b F
I I I I
I I I
I I
− −= = ⋅ = ⋅ − (5.43) 
 
Iab 
Ibc 
Ica 
Ia 
 
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5-26
d) Impedância 
 
Impedância Y em pu: 
2
1
LN
Y
VZ
S φ
∗= ou 
2
3
LL
Y
VZ
S φ
∗= (5.44) 
 
2
1
,
,
LN
Y pu
Y b
V
SZ Z
φ
∗
= (5.45) 
ou 
2
3
,
,
LL
Y pu
Y b
V
SZ Z
φ
∗
= (5.46) 
 
Impedância Δ de cada fase em pu: 
 
2
1
,
,
LL
pu
b
V
SZ Z
φ
∗
Δ Δ
= (5.47) 
 
Expressando a relação entre as impedâncias de base Y e Δ, tem-se: 
 
b,Yb, Z3Z =Δ (5.48) 
 
A impedância Y em pu expressa em função da impedância em Δ: 
 
2 2
3 1
, ,
3
LL LL
Ypu
b b
V V
S S
Z Z Z
φ φ
∗ ∗
Δ Δ
= = 
 
Portanto 
pu,pu,Y ZZ Δ= (5.49)
 
ou simplesmente 
 
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5-27
pu,Y
b,Y
Y
b,
pu,
Z
Z3
Z3
Z
ZZ
==
=
Δ
Δ
Δ
 (5.50) 
 
Exemplo 5.4 
 
Teste de curto circuito em um transformador monofásico de 100 kVA, 
2400 V:120 V, 60 Hz, resultou em impedância série equivalente 
referida ao lado de alta tensão igual a 0,478+j1,19 Ω. Três dessas 
unidades monofásicas são conectadas em Δ-Y formando um banco de 
transformadores trifásicos. O banco é suprido por um alimentador cuja 
impedância por fase é de 0,065+j0,87 Ω. A tensão no terminal 
transmissor da linha é mantida constante em 2400 V linha-linha. 
Escolha valores de base convenientes e determine a tensão em pu no 
lado de baixa tensão do transformador quando o banco entrega 
corrente nominal a uma carga trifásica equilibrada de fator de potência 
unitário. 
 
 
 
 
 
 
Seleção de valores de base: 
[ ]
[ ]
,3
1
300
2400
b
b
S kVA
V V
φ =
= 
 
Cálculo da impedância de base: 
Como a impedância dada do transformador é referida ao lado AT e os 
enrolamentos estão em Δ, a impedância de base é dada por: 
 
( ) [ ]
22
,1
1 3
,1
2400
57,6
100 10
b
b
b
V
Z
S φ
= = = Ω× 
 
Cálculoda impedância do transformador monofásico em %: 
 
VrVs 
a∠-30º:1ZLT ZT 
2400
3s
V θ⎛ ⎞= ∠⎜ ⎟⎝ ⎠
 [ ]1 0rI pu= ∠ D
 
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5-28
1,
,
,1
0, 478 1,19 2,22% 68,12 0,83 2,07%
57,6
T
T pu
b
Z jZ j
Z
+= = = ∠ = +D 
 
A impedância ZT,pu pode representar a impedância do transformador 
no lado de alta e de baixa tensão, para conexão Δ ou Y. 
 
A impedância da linha em pu: 
 
( ) [ ]
22
,
3
3 ,
2400
19,2
300 10
L b
b
b
V
Z
S φ
= = = Ω× 
,
,1
0,065 0,87 4,54% 85,73 0,33 4,53%
19, 2
LT
LT pu
b
Z jZ j
Z
+= = = ∠ = +D 
 
Como o transformador entrega corrente nominal a uma carga resistiva, 
significa que a corrente entregue à carga é igual a 1,0∠0o pu. Assim, 
 
 
 
 
 ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
, , , , ,
,
,
,
1,0 0,0033 0,045 0,0083 0,021 1,0 30 30
0,012 0,066 1,0 30 30
0,043 0,051 0,866 0,5
s pu LT pu T pu r pu r pu
r pu
r pu
r pu
V Z Z I V
j j V
j V
j j V
θ
′ ′= + +
′∠ = + + + ∠− + ∠−
′= + ∠− + ∠−
′= + + −
D D
D D
 
 
Embora existam 2 incógnitas, a equação acima pode ser dividida em 
parte real e parte imaginária: 
 
,
,
cos 0,043 0,866
0,051 0,5
r pu
r pu
V
sen V
θ
θ
′= +
′= − 
 
Elevando ao quadrado as duas equações acima e somando-se o 
resultado, obtém-se: 
 
VrVs 
1∠-30º:1ZLT ZT 
[ ]1 0rI pu= ∠ D
 
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5-29
( )
( )
2 22
, , ,
2 22
, , ,
cos 0,043 0,866 0,0018 0,074 0,75
0,051 0,5 0,0026 0,051 0, 25
r pu r pu r pu
r pu r pu r pu
V V V
sen V V V
θ
θ
′ ′ ′= + = + +
′ ′ ′= − = − +
 
 
2
, ,
2
, ,
1 0,0044 0,023
0,023 0,996 0
r pu r pu
r pu r pu
V V
V V
′ ′= + +
′ ′+ − =
 
 
Resolvendo a equação do 2º grau em ,r puV ′ , tem-se: 
 
( ) ( )2
,
0,023 0,023 4 1 0,996
2 1
0,023 3,984 0,023 1,996
2 2
r puV
− ± − × × −′ = ×
− ± − ±= =
 
 
Como ,r puV ′ refere-se a valor eficaz, tem-se que: 
 
, 0,987r puV pu′ = 
 
A tensão de fase em volts na carga: 
 
[ ], ,2 0,987 120 118, 4 0r r pu bV V V V= ⋅ = × = ∠ D 
 
A magnitude da tensão de linha na carga: 
 
( ) [ ], 3 3 118,4 205,1r LL rV V V= = ⋅ = 
 
Para uma tensão de linha no terminal transmissor igual a 2400 V, a 
tensão de linha na carga é de 205,1V, quando a tensão nominal na 
carga é de 207,8 V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5-30
Exemplo 5.5 
 
Um transformador trifásico de 300 kVA, Δ-Y, 2400/208 V de tensão de 
linha, 60 Hz, tem como parâmetros Z=2,23% e R/X=40,17%. Calcule a 
impedância por fase do transformador em ohms, vista do lado de alta 
e baixa tensão. 
 
A impedância do transformador é obtida por: 
 
( )22 2 2 2 20,4017 1,16Z R X X X X= + = + = 
( )20,0223
2,07%
1,16
X = ± = ± 
 
Como a reatância série do transformador é indutiva a raiz negativa é 
desconsiderada e a resistência é então dada por: 
0,4017 0,832% 0,00832R X pu= = ≡ 
 
Assim: 
 
, 0,0083 0,0207 pu 0,832 2,07 %T puZ j j= + ≡ + 
 
As impedâncias de base do transformador são: 
 
( ) [ ]
22
,2
,2 3
208
0,144
300 10
b
b
b
V
Z
S
= = = Ω× 
 
 
( ) [ ]
22
,1
,1 3
2400
57,6
100 10
b
b
b
V
Z
S
= = = Ω× 
 
Note que as impedâncias de base do secundário estão relacionadas 
ao tipo de conexão Y, i.e., Zb,2 refere-se à conexão estrela e Zb,1 
refere-se à conexão delta. 
 
A impedância do transformador em ohms vista do lado Y e delta é 
dada por: 
 
 
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5-31
( )
[ ]
, , ,2 0,00832 0,0207 0,144
0,0012 0,003 0,00321 68,1
T Y T pu bZ Z Z j
j
= ⋅ = + ⋅
= + = ∠ ΩD 
 
( )
[ ]
, , ,1 0,00832 0,0207 57,6
0,479 1,192 1,29 68,1
T T pu bZ Z Z j
j
Δ = ⋅ = + ⋅
= + = ∠ ΩD 
 
Note que se para ZΔ vista do primário for calculada seu equivalente Y e 
refletida para o secundário, tem-se: 
 
[ ]
,
, 2
1 1 1,29 68,1
3 133,14 3
0,00323 68,1 0,0012 0,003 0,00321 68,1
T
T Y
Z
Z
a
j
Δ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∠′ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ∠ = + = ∠ Ω
D
D D
 
 
Observe que ZΔ é a impedância em ohms do transformador 
monofásico do Exemplo 5.4.