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Mecânica Estat́ıstica I - 2016.1 - Lista de Problemas 2.1 1
Mecânica Estat́ıstica I
Lista de Problemas 2.1
Prof. Marco Polo
Questão 01:
A energia de um sistema de N ı́ons magnéticos localizados, a temperatura T , na
presença de um campo magnético B, pode ser escrito na forma
H = D
N∑
k=1
S2k − µ0B
N∑
k=1
Sk,
onde os parâmetros D, µ0 e B são positivos e Sk = +1, 0, ou −1, para qualquer
śıtio k.
(a) Obtenha a entropia do sistema por śıtio.
(b) Obtenha a energia interna do sistema por śıtio.
(c) Obtenha a magnetização do sistema por śıtio.
(d) Obtenha o valor esperado do “momento de quadrupolo”: Q =
1
N
〈∑N
k=1 S
2
k
〉
.
Resp: (a)
s = −kB ln
[
1 + 2e−D/kBT cosh
µ0B
kBT
]
− 1
T
e−D/kBT
2D cosh
(
µ0B
kBT
)
+ µ0B sinh
(
µ0B
kBT
)
1 + 2e−D/kBT cosh
(
µ0B
kBT
)
,
(b) u = −e−D/kBT
2D cosh
(
µ0B
kBT
)
+ µ0B sinh
(
µ0B
kBT
)
1 + 2e−D/kBT cosh
(
µ0B
kBT
)
,
(c) m =
2µ0e
−D/kBT sinh
(
µ0B
kBT
)
1 + 2e−D/kBT cosh
(
µ0B
kBT
) , (d) Q = 2e−D/kBT cosh
(
µ0B
kBT
)
1 + 2e−D/kBT cosh
(
µ0B
kBT
) .
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Questão 02:
Considere um sistema magnético unidimensional de N spins localizados, a tempe-
ratura T , definido pela energia
H = −J
N∑
k=1,3,5,...
σkσk+1 − µ0B
N∑
k=1
σk,
onde os parâmetros J , µ0 e B são positivos e σk = ±1 para qualquer śıtio k. Su-
ponha que N seja um número par e observe que a primeira soma é sobre os valores
ı́mpares de k.
(a) Obtenha a função de partição canônica do sistema.
(b) Obtenha a energia interna do sistema por spin.
(c) Obtenha a expressão para a magnetização do sistema por part́ıcula,
m =
1
N
〈
µ0
N∑
k=1
σk
〉
.
Resp:
(a) Z = 2N/2
[
e−J/kBT + eJ/kBT cosh
(
2µ0B
kBT
)]N/2
,
(b) u =
1
2
Je−2J/kBT − J cosh
(
2µ0B
kBT
)
− 2µ0B sinh
(
2µ0B
kBT
)
e−2J/kBT + cosh
(
2µ0B
kBT
) ,
(c) m = µ0
sinh
(
2µ0B
kBT
)
e−2J/kBT + cosh
(
2µ0B
kBT
) .
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Questão 03:
Um sistema de N osciladores quânticos localizados e independentes esta em contato
com um reservatório térmico temperatura T . Os ńıveis de energia de cada oscilador
são dados por
En = }ω0
(
n+
1
2
)
, com n = 1, 3, 5, 7, . . .
Note que n é um número inteiro e ı́mpar.
(a) Obtenha uma expressão para a energia interna u por oscilador em função da
temperatura T . Esboce um gráfico de u contra T . Mostre que, no limite
clássico, u→ kBT .
(b) Obtenha uma expressão para a entropia s por oscilador em função da tempe-
ratura. Esboce um gráfico da entropia contra a temperatura. Mostre que, no
limite clássico, s→ kB [1− ln (2}ω0) + ln (kBT )].
(c) Mostre que, no limite clássico, o calor espećıfico tende a kB.
Resp:
(a) u =
3
2
}ω0 +
2}ω0
e2}ω0/kBT − 1
,
(b) s = −kB ln
(
1− e2}ω0/kBT
)
+
2}ω0
T (e2}ω0/kBT − 1)
.
Questão 04:
Considere um sistema de N part́ıculas clássicas e não-interagentes. Os estados
de part́ıcula única têm energia En = n� e são n vezes degenerados (� > 0;n =
1, 2, 3, . . .).
(a) Calcule a função de partição canônica do sistema.
(b) Obtenha uma expressão para a energia interna por part́ıcula.
Resp:
(a) Z =
[
e�/kBT
(e�/kBT − 1)2
]N
, (b) u = −�+ 2�
1− e−�/kBT
.
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Questão 05:
Um conjunto de N osciladores clássicos em uma dimensão é definido pelo hamilto-
niano
H =
N∑
k=1
(
1
2m
p2k +
1
2
mω2q2k
)
.
Utilize o formalismo do ensemble canônico no espaço de fase clássico para calcular
as seguintes grandezas.
(a) A função de partição canônica do sistema.
(b) A energia por oscilador.
(c) A entropia por oscilador.
(d) O calor espećıfico.
Resp:
(a) Z =
(
2πkBT
ω
)N
, (b) u = kBT , (c) s = kB ln
(
2πkBT
ω
)
+ kB, (d) c = kB.
Questão 06:
Um sistema de N osciladores unidimensionais localizados, a uma dada temperatura
T , é definido pelo hamiltoniano
H =
N∑
k=1
(
1
2m
p2k + V (qk)
)
,
onde
V (q) =

1
2
mω2q2, se q > 0,
1
2
mω2q2 + �, se q ≤ 0.
com � > 0. Mostre que a função de partição canônica desse sistema é dada por
Z =
[
πkBT
ω
(
1 + e−�/kBT
)]N
.
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