Libro_Cohete_1

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INDICE 
APUNTES 
Lección 1: Descripción, Clasificación y Aplicaciones 
Lección 2: Estudio Propulsivo y Empuje 
Lección 3: Análisis de Utilización 
Lección 4: Termodinámica de los Procesos de Combustión 
Lección 5: Actuaciones de Motores Cohete Térmicos 
Lección 6: Actuaciones y Diseño de Toberas 
Lección 7: Estudio Teórico y Experimental de Efectos Reales 
Lección 8: Motores Cohete de Propulsante Sólido (MCPS) 
Lección 9: Propulsantes Sólidos 
Lección 10: Actuaciones de MCPS 
Lección 11: Aspectos de diseño de MCPS 
 
PRESENTACIONES DE CLASE 
Lección 6b: Desprendimiento en toberas sobreexpansionadas 
Lección 10e: Combustión Lateral 
Lección 11a: Cinemática de superficies de combustión 
Lección 13a: Motores cohete de propulsante líquido 
Lección 14a: Propulsantes líquidos 
Lección 14b: Sistemas de Inyección. Cámaras de combustión 
Lección 14c: Transmisión de calor y refrigeración 
Lección 15a_bis: Turbomáquinas 
Lección 15c: MCPL: Ciclos en motores turboalimentados 
Lección 16a: Sistema de alimentación por presurización 
Lección 19a: Motores Cohete Eléctricos 
Lección 19b: Conceptos de Física del Plasma 
Lección 20a: Motores Electromagnéticos 
Lección 21a: Motores Electrotérmicos 
Lección 22a: Motores Electroestáticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas notas están pensadas para guiar a los alumnos de Grado en Ingeniería Aeronáutica en el estudio de la asignatura de Motores 
Cohete en la Universidad Politécnica de Madrid, con la intención de que a resultas de ese estudio, sean capaces de interpretar la 
información técnica pertinente, comprendan cómo y porqué funcionan estos sistemas, lleven a cabo análisis rigurosos del conjunto o 
sus partes, emitan juicios técnicos acertados y conozcan los rudimentos de diseño más importantes. 
La confección de este material no hubiera sido posible sin la ayuda de Emilio Isidoro Carmona que se ha encargado de la edición y ha 
soportado estoicamente mi ineficiente método de trabajo. En cuanto a la utilidad que puedan tener estos apuntes se debe, sin duda, 
al Profesor D. José Juan Salvá Monfort, con el que colaboré durante varios años en el curso de Motores Cohete que él impartía en la 
anterior titulación de Ingeniero Aeronáutico y en el que hacía desplegaba gran calidad académica y rigurosidad científica. Desde aquí 
apelo a su benevolencia, pues reconocerá en éstas notas muchas de las expresiones que él utilizaba en sus clases y no pocas similitudes 
en los planteamientos y desarrollos de las diferentes situaciones que, para explicar la asignatura de Motores Cohete a sus alumnos, 
empleaba con envidiable destreza didáctica. 
Lección 1: Descripción, Clasificación y 
Aplicaciones 
Introducción 
Los motores a reacción son los sistemas mayoritariamente encargados de proporcionar la 
fuerza propulsiva que necesitan los vehículos aéreos y espaciales. A la fuerza propulsiva se le 
denomina empuje y es el resultado de la reacción, que se ejerce sobre el vehículo al expulsar 
un fluido, al que llamaremos propulsante1, a gran velocidad por la parte posterior. 
La primera clasificación que puede establecerse para los motores a reacción es aquella que 
distingue entre sistemas autónomos y sistemas no-autónomos en virtud de si la totalidad del 
propulsante inicialmente forma parte del vehículo o no. Así, en los vehículos propulsados por 
motores cohete solo existe una superficie de salida de propulsante, mientras que en los 
aerorreactores el propulsante está mayoritariamente compuesto por aire ambiente, que entra 
en el motor, actúa como oxidante y es expulsado al exterior a gran velocidad. Los primeros 
son sistemas autónomos, mientras que los segundos, los aerorreactores, no. A simple vista, es 
evidente la ventaja que presentan los sistema autónomos que pueden actuar en cualquier 
ambiente al no necesitar sustancia alguna, ajena a las disponibles en el interior del vehículo, 
para funcionar. Por contra, también es inmediato señalar que los sistemas no-autónomos 
gozan de la ventaja de obtener “gratis” parte del propulsante empleado, al encontrárselo en su 
camino. Para establecer con claridad en qué circunstancias pueden ser adecuados cada uno de 
ellos debemos fijar nuestra atención en la figura 1.1. 
 
Figura 1.1: Impulso en función del número de Mach de vuelo para diferentes 
sistemas de propulsión autónomos y no-autónomos. 
 
1 El diccionario de la Real Academia de la Lengua no recoge el término “propulsante” para denominar al fluido que utiliza el 
motor a reacción, en su lugar acuña el término “propergol”, pero con un significado que hace referencia a procesos de 
combustión y la mezcla de hidrocarburos (carburante) con aire, es decir, con sentido diferente y uso poco extendido. 
Una de las características más importantes de los motores a reacción es el impulso, 𝐼 = 𝐸 �̇�⁄ , 
definido como el empuje dividido por el gasto de propulsante. En principio, se puede asociar 
una mayor eficiencia a aquellos sistemas que produzcan más empuje a igualdad de 
propulsante utilizado, es decir, los de mayor impulso. En la figura 1.1 se representan los 
valores característicos que presenta el impulso para diferentes sistemas, en función del 
número de Mach de vuelo. Todos los sistemas que aparecen son aerorreactores (turbofán, 
estatorreactor, etc.) excepto los “rocket”, nombre en inglés de los motores cohete y téngase en 
cuenta, además, que la definición de impulso no es la habitual para los aerorreactores, pues la 
empleada aquí solo tiene en cuenta el gasto de combustible transportado por el vehículo, es 
decir, en la figura se representa el inverso del consumo específico de todos los sistemas 
representados. El consumo específico es la medida más objetiva de la capacidad de los 
diferentes sistemas propulsivos pues, en temas de transporte, refleja la capacidad de ir más 
lejos o de forma más barata. Rápidamente se observa la enorme ventaja que ofrecen los 
sistemas no-autónomos frente a los motores cohete, sobre todo, a bajas velocidades de vuelo, 
hecho que ha relegado a los motores cohete a misiones muy concretas en vuelo en la 
atmosfera que no pueden abordar los sistemas autónomos y, naturalmente, su uso en el 
espacio es indiscutible. 
Como los sistemas autónomos transportan en su interior todas las sustancias necesarias para 
su funcionamiento y como existen gran variedad de situaciones, es conveniente atender a un 
diagrama de bloques que establezca las posibles relaciones entre los distintos elementos del 
motor y/o del vehículo. Consideremos la figura 1.2 en la que de forma esquemática, se 
mencionan los elementos funcionales principales de un vehículo propulsando por un motor 
cohete. Primeramente, hay que destacar que el vehículo tendrá encomendada una misión que, 
usualmente, estipulará el colocar una carga útil en algún punto del espacio a velocidad 
preestablecida. 
 
Figura 1.2: Diagrama genérico de elementos funcionales de un vehículo 
propulsado por un motor cohete. 
El principal protagonista de los procesos que tienen lugar, es el propulsante que puede sufrir 
diversas transformaciones antes de ingresar en un sistema de aceleración en el que se 
incrementa su velocidad hasta 𝑉𝑠, es decir, se desprende de una potencia cinética igual a 
1
2�̇�𝑉𝑠
2, lo que necesariamente ocurre mediante un aporte de energía que puede obtenerse 
mediante un captador o liberarse de la almacenada en el vehículo. El convertidor, en la figura 
1.2, representa las posibles transformaciones que sufre el propulsante y las que también se 
puedan articular en cuanto a las formas de energía, almacenada, utilizada o degradada 
(radiador) en uno u otro sistema. 
Niveles de desarrollo 
Antes de enumerar y establecer una clasificación de los motores cohete conviene establecer 
una medida del nivel tecnológico de desarrollo en el que se pueda encontrar cada uno de ellos, 
ya que, existe una gran variedad desistemas, cuyo funcionamiento se basa en fenómenos 
físicos de naturaleza diferente. Excepto los sistemas en vuelo actualmente, todos presentan 
diferentes estados de desarrollo científico o tecnológico y es conveniente establecer una escala 
que caracterice este hecho y permita valorar la relevancia del sistema en el ámbito científico 
o industrial. En este sentido se pueden emplear los niveles establecidos por la NASA 
(también dispone la ESA de una escala muy parecida) denominados Technology Readiness 
Levels (TRL) y que fueron establecidos a finales de los años 1970’s en el marco de un 
proyecto de exploración de Júpiter. Se trata de una escala de nueve peldaños con la que 
describir el nivel de desarrollo tecnológico de un determinado sistema, desde el simple 
enunciado del concepto físico (TRL 1) hasta el sistema en pleno uso industrial (TRL 9). 
 
Figura 1.3: Esquema de los TRL de la agencia americana (NASA) con 
indicación del ámbito científico, tecnológico e industrial en el que se 
enmarca cada uno de ellos. 
El propósito principal de utilizar la valoración TRL es ayudar a la gestión en la toma de 
decisiones sobre el desarrollo, transferencia y uso de tecnología. Es una herramienta útil que 
se necesita para administrar el progreso de la actividad de investigación y desarrollo dentro 
de las distintas organizaciones. Los enunciados ESA, más concisos que los americanos, pero 
equivalentes en esencia, son: 
TRL 1: Principios básicos observados y explicados. 
TRL 2: Formulación del concepto y/o aplicación tecnológica. 
TRL 3: Concepto probado analítica o experimentalmente. 
TRL 4: Prueba de laboratorio de componentes y sistemas. 
TRL 5: Pruebas en entorno relevante de componentes y sistemas. 
TRL 6: Demostración de prototipo en un entorno relevante (tierra o en el espacio). 
TRL 7: Demostración de prototipo en un entorno espacial. 
TRL 8: Obtención de la “Cualificación de vuelo” mediante prueba y demostración 
(tierra o en el espacio). 
TRL 9: Obtención de la “Prueba de vuelo” a través de operaciones de la misión con 
éxito. 
Como fácilmente se observa hasta el nivel 4 o 5 el concepto se circunscribe al ámbito 
científico en el que, paulatinamente, se sustancian realizaciones de carácter práctico. A partir 
de ahí, los niveles se vuelven más industriales, mediante la necesidad de ensayar con un 
prototipo, para llegar a los niveles 8 y 9, en los que el sistema se utiliza con plena 
funcionalidad en el espacio. En la tabla 1.1 se incluyen algunos de los sistemas que se van a 
describir en la lección y que será objeto de estudio a lo largo del curso, así como otros, más 
exóticos, y que, como se observa en la tabla, se encuentra en niveles de desarrollo intermedio, 
muy básico o especulativo. 
TRL Sistema 
1 Alcubierre Warp Drive 
2 
Nuclear propulsion (Project Daedalus), Gas core reactor 
rocket, Fission sail, Fission-fragment rocket, Nuclear 
photonic rocket, Fusion rocket, Antimatter catalyzed nuclear, 
Antimatter rocket, Bussard ramjet, Gravitoelectromagnetic 
toroidal launchers 
3 Nuclear pulse propulsion (Orion Project), Reaction Engines 
SABRE and Magnetic sails 
4 Solar thermal rocket, Radioisotope rocket y Nuclear electric 
rocket 
5 Pulsed inductive thruster(PIT), VASIMR 
 y Magnetic field oscillating amplified thruster 
6 
Velas solares, motores electromagnéticos (MPD), 
termonucleares, LAR, sistemas Tether y elevadores 
espaciales 
7 Pulsed plasma thruster (PPT) y dual mode propulsion rocket 
8 Motores cohete termoeléctricos y coloidales (FEEP) 
9 Motores cohete químicos, de aceleración electroestática de 
iones y de efecto Hall 
Tabla 1.1: Algunos sistemas de propulsión catalogados por el nivel TRL 
(fuente Wikipedia). 
El establecimiento de una escala de éstas características tiene diversas ventajas: 
• Proporciona una medida objetiva del estado de la tecnología. 
• Permite gestionar el riesgo eficazmente. 
• Es útil para tomar decisiones en materia de financiación. 
• Se utiliza para tomar decisiones en encrucijadas tecnológicas. 
Aunque también tiene desventajas, casi todas concernientes a que el nivel de simplificación es 
excesivo ante la diversidad de los hechos científicos, el desarrollo tecnológico y el tipo de 
aplicaciones posibles. Por otra parte, no se incluyen factores negativos, trabas de desarrollo o 
posibles obsolescencias. 
En lo que sigue se tratará de incluir el TRL de cada sistema que se comente para que quede 
constancia del nivel de desarrollo del sistema del que se está hablando. 
Clasificación y descripción de los motores cohete 
A causa de que existe una amplia gama de principios de funcionamiento, configuraciones y 
soluciones tecnológicas, las clasificaciones posibles son varias. La clasificación clásica los 
agrupa en atención a la fuente de energía primaria utilizada, en químicos, nucleares y 
eléctricos, para luego desglosar cada categoría según criterios de distinta naturaleza. Esta 
clasificación tiene en cuenta principalmente la fuente de energía utilizada pero engloba bajo 
el mismo epígrafe diferentes sistemas de aceleración que, según el caso, pueden presentar un 
sustancial consumo de energía. 
Como la principal tarea del motor es producir un flujo a alta velocidad es conveniente 
recordar la ecuación de cantidad de movimiento de un fluido que describe como se acelera, 
teniendo en cuenta las fuerzas que actúan, incluso las debidas a campos eléctricos y 
magnéticos (𝐸�⃗ y 𝐵�⃗ ): 
𝜌
DV��⃗
𝐷𝑡
= −∇𝑝 + 𝜌𝑞𝐸�⃗ + 𝚥 × 𝐵�⃗ + ∇ ∙ 𝜏′ (1.1) 
donde, omitiendo comentarios sobre las fuerzas de viscosidad, ∇ ∙ 𝜏′, se establece que la 
velocidad del fluido, V��⃗ , puede aumentarse mediante fuerzas de presión, ∇𝑝, fuerzas 
electroestáticas que actúan sobre las cargas eléctricas, con densidad 𝜌𝑞, o mediante fuerzas 
magnéticas, que actúan, una vez se han establecidos convenientes corrientes eléctricas, 𝚥, a 
través del fluido. 
A la vista de las consideraciones anteriores, es posible establecer la siguiente clasificación: en 
virtud de la fuente de energía directamente suministrada al fluido, en térmicos y eléctricos, 
de tal manera que los primeros emplean la energía de la fuente en producir un aumento de 
temperatura del propulsante, mientras que, los segundos, sacan partido de fenómenos y 
fuerzas electromagnéticos para acondicionar y acelerar el fluido de trabajo. 
 
TÉRMICOS 
Termoquímicos 
Propulsante sólido, 
Propulsante líquido 
Propulsante híbrido 
Termonucleares Reactor de fusión o fisión 
Termoeléctricos 
Resistencia eléctrica 
Arco eléctrico 
ELÉCTRICOS 
Electroestáticos 
Acelerador de iones 
Motor de Efecto Hall 
FEED y coloidal 
Electromagnéticos 
Propulsores PPT 
Aceleradores MPD 
VASIMR 
Tabla 1.2: Clasificación simple de los motores cohete 
En la tabla 1.2 se presenta la clasificación que establece tres niveles, uno básico que 
diferencia entre térmicos y eléctricos. En el segundo nivel se distingue en los térmicos cómo se 
calienta el fluido, distinguiéndose entre si se utiliza la energía liberada en reacciones de 
combustión, la liberada en reacciones nucleares o calentamiento Joule debido a la resistividad 
eléctrica de las sustancias y en los eléctricos, el segundo nivel, identifica el tipo de fuerza con 
la que se acelera el fluido, debida a campos electroestáticos o magnéticos. El tercer nivel 
recopila sistemas concretos o grupos de sistemas muy homogéneos tecnológicamente, como se 
verá más adelante. 
Motores Cohete Térmicos 
El funcionamiento de los motores cohete térmicos consiste en la aceleración de un fluido 
(propulsante) desde una cámara a alta presión y temperatura a lo largo de una tobera 
convergente-divergente (véase figura 1.4). Como consecuencia, el propulsante eyectado a alta 
velocidad genera por reacción una fuerza de empuje sobre el resto de la estructura. El 
funcionamiento del sistema queda determinado por la presión alcanzada, pc, en la cámara, de 
la que es responsable fundamentalmente el sistema de alimentación, y por la temperatura dela cámara, Tc , que es consecuencia del sistema de calentamiento empleado. 
 
Figura 1.4: Esquema de un motor cohete de tipo térmico en el que el propulsante es acelerado 
mediante fuerzas de presión en una tobera convergente-divergente. 
El denominador común de todos estos sistemas es el uso de una tobera convergente-
divergente como elemento fundamental en la aceleración del propulsante. La manera en la 
que las sustancias se suministran en la cámara y la forma en la que se eleva su temperatura 
caracteriza los diferentes sistemas. Si el aumento de temperatura tiene lugar en virtud de un 
proceso de combustión el motor se denomina termoquímico o simplemente motor cohete 
químico, si se trata de un reactor nuclear en el que la refrigeración del núcleo produce el 
aumento de temperatura de la sustancia refrigerante, motor cohete nuclear, y si se trata de 
una resistencia eléctrica o un arco eléctrico estaríamos hablando de un motor cohete 
termoeléctrico. 
Motores cohete termoquímicos 
Los motores cohete termoquímicos obtiene la energía de una reacción química de combustión 
que tiene lugar, usualmente, entre una sustancia oxidante y una reductora. En esta categoría 
también se incluyen aquellos en los que una reacción química, empleando normalmente un 
catalizador produce la descomposición de una única sustancia que se denominan 
monopropulsantes. Por similitud en la arquitectura del sistema de alimentación, los 
propulsores de gas frio, en los que no existe reacción química alguna, quedarían 
implícitamente englobados dentro de esta clasificación. 
Los motores termoquímicos se desglosan según la naturaleza de los propulsantes en sólidos, 
líquidos e híbridos, debido a las diferencias tecnológicas que implican su diseño y desarrollo. 
Motor cohete de propulsante sólido (TRL 9) 
El motor cohete de propulsante solido es el sistema de propulsión más sencillo que se puede 
imaginar (figura 1.6). Consiste en una vasija de presión rellena de una mezcla de 
componentes energéticos en estado sólido que reaccionan químicamente de manera que los 
gases generados presurizan el interior de la cámara, y son expelidos por una tobera en la que 
aumenta la velocidad. 
 
Figura 1.6: Esquema de las partes más representativas de un motor cohete 
de propulsante sólido. 
El funcionamiento del motor comienza mediante un sistema de ignición (típicamente 
pirotécnico) que inicia una secuencia de reacciones químicas sobre la superficie del sólido 
reactivo que desemboca en el encendido del motor y la estabilización de un proceso de 
combustión en fase gaseosa sobre la superficie del propulsante que lo consume 
paulatinamente por capas. La magnitud de la superficie involucrada determina el caudal de 
productos generado y, por lo tanto, el nivel de presión en la cámara de combustión que 
desaloja el gasto de propulsante por la tobera. 
El número de soluciones tecnológicas diferentes es abundante, siendo amplio el rango de 
esbelteces, la arquitectura y materiales de las toberas y las diferentes geometrías de 
propulsantes utilizadas. Así mismo, también es amplio el catálogo de sustancias adecuadas 
para ser empleadas como propulsantes, con propiedades diversas, que conducen a aplicaciones 
también muy amplias, desde misiones de lanzamiento con altos empujes, a todo tipo de 
misiones más modestas en el ámbito espacial o de la defensa. 
Motor cohete de propulsante líquido (TRL 9) 
El motor cohete de propulsante líquido consiste en la utilización de sustancias en estado 
líquido, que sufren después de ser suministradas en una cámara una reacción exotérmica de 
combustión que libera gran cantidad de energía en una cámara de combustión. Las 
posibilidades de suministro de los propulsantes son muy amplias, así como, los líquidos a 
emplear. 
 
Figura 1.7: Representación esquemática de los dos sistemas de alimentación 
principales de los motores cohete de propulsante líquido mediante un 
sistema de turboalimentación o mediante presurización previa de las 
sustancias en los tanques de almacenamiento. 
Las actuaciones más interesante que puede presentar el sistema es mediante el empleo de 
propulsantes criogénicos (usualmente, oxigeno e hidrogeno líquidos) lo que obliga a su presu-
rización mediante un sistema de turbo-alimentación. La otra opción es que los propulsantes 
sean previamente presurizados en los depósitos en los que se almacenan y que paulatinamente 
mediante diversas estrategias se vayan suministrando en la cámara de combustión. 
Los rangos de utilización de este tipo de sistemas son muy amplios, abarcando todo el 
espectro desde misiones terrestres de todo tipo a misiones espaciales de propulsión principal 
y, también, en sistemas de posicionamiento y corrección. 
Motor cohete de propulsante hibrido (TRL 9) 
El motor cohete de propulsante híbrido consiste en la utilización de propulsantes sólidos y 
líquidos simultáneamente (usualmente reductor sólido con oxidante líquido) compartiendo las 
ventajas e inconvenientes de cada uno de los sistemas. 
 
Figura 1.8: Esquema de un motor cohete hibrido en el que un sistema de 
presurización por gas inerte alimenta el oxidante en una cámara de 
combustión conformada por el reductor en estado sólido. 
No existen demasiados motores cohete híbridos operativos debido sin duda a que la 
combinación de ventajas e inconvenientes no resulta favorable; sin embargo, en octubre de 
2004, el SpaceShipOne consiguió alcanzar el espacio (una altura de 100 km) y ganar el 
premio Ansari X-Prize, dotado con 10 millones de dólares, al proclamarse el primer vehículo 
espacial tripulado de capital privado. Se utilizó un motor de cohete que consume una mezcla 
de combustible sólido y óxido nitroso. El sistema combina la ventaja de poder variar el nivel 
de empuje (incluso paradas y arranques) con la simplicidad y compacidad que da el uso de 
un propulsante sólido y que no es necesario sistema de presurización al tener el óxido nitroso 
una presión de vapor a temperatura ambiente de 70 bares. A cambio las actuaciones 
propulsivas de este reductor y oxidante son relativamente modestas. 
A modo de resumen se presenta en la Tabla 1.3 una comparativa de las principales ventajas y 
desventajas de los motores cohete termoquímicos 
 
PROPULSANTE SÓLIDO 
Simple 
Alta fiabilidad 
Fácil operación 
Fácil almacenaje. 
Fácilmente escalable 
Densidad de energía alta. 
Tiempo de combustión limitado 
Control en diseño 
Imposibilidad de ensayo 
PROPULSANTE LÍQUIDO 
Complejo 
Buena fiabilidad 
Difícil operación 
Almacenaje comprometido 
Difícilmente escalable 
Densidad de energía muy alta. 
Tiempo de combustión alto 
Capacidad de control 
Pruebas funcionales pre-vuelo. 
Tabla 1.3: Comparativa de las características más sobresalientes de los 
motores cohete de propulsante sólido y líquido. 
Motor Cohete Termonucleares (TRL 6) 
Los motores cohete termonucleares funcionan utilizando el núcleo del reactor nuclear como 
fuente de energía térmica para calentar el propulsante (usualmente hidrogeno) que 
posteriormente se expansiona en una tobera convergente-divergente obteniendo altas 
velocidades de salida que proporcionan altos impulsos específicos. 
 
Figura 1.9: Esquema de un motor cohete nuclear en el que se observa que el 
propulsante actúa como sustancia refrigerante del propio reactor. Se trata 
de un ciclo abierto en el que parte del propulsante sangrado de la cámara de 
calentamiento alimenta una turbina para mover una bomba que presuriza el 
propio propulsante. 
Los motores cohete termonucleares han sido objeto de intensos programas de investigación, 
llegándose a ensayar diversos prototipos. El proyecto NERVA comenzó en 1955 cuando la 
Comisión de la Energía Atómica americana y los Laboratorios de Los Álamos querían 
desarrollar un misil militar propulsado por energía nuclear. La creación de la NASA en 1958 
propicio que el desarrollo se trasladara a Aerojet y Westinghouse. Durante finales de los 60´s 
y principios de los 70´s se trabajó en varios proyectos(KIWI-A, KIWI-B, Phoebus, etc.) pero 
la administración americana recortó presupuestos en esta área y, desde entonces, se ha 
relegado el uso de la energía nuclear como fuente de potencia para alimentar aceleradores de 
iones en misiones espaciales. 
Motores cohete termoeléctricos 
En este caso, la energía eléctrica se emplea en calentar el propulsante que se suministra en 
una cámara de calentamiento. Las soluciones tecnológicas son diversas aunque, 
conceptualmente, los sistemas son sencillos. 
Motor cohete Resistojet (TRL 8) 
Los resistojet son sistemas conceptualmente sencillos en los que por medio de una resistencia 
eléctrica se calienta el fluido de trabajo que luego es expandido en una tobera convencional 
(figura 1.10) 
 
Figura 1.10: Diferentes configuraciones esquemáticas de las posibilidades a 
la hora de situar una resistencia en la cámara de calentamiento. 
Motores cohete de arco eléctrico (TRL 7-8) 
El fluido de trabajo se calienta mediante un arco eléctrico que se establece entre un ánodo y 
un cátodo sometidos a una alta diferencia de potencial y posteriormente es acelerado en una 
tobera convencional. 
 
Figura 1.11: Esquema de funcionamiento de un motor de arco o eléctrico en 
que se muestran el cátodo, el ánodo conformado con un canal de 
estabilización que desemboca en el divergente de una tobera convencional. A 
la izquierda el ensayo de uno de estos motores. 
Una de las principales desventajas de estos sistemas es el desgaste que sufre el cátodo que 
tiene repercusiones sobre las actuaciones del sistema limitando la vida. Por otra parte las 
características del arco eléctrico, en concreto, su delgado espesor, producen un campo fluido 
muy inhomogéneo en la sección de salida lo que va en detrimento del impulso efectivo 
conseguido. 
Motores Cohete Eléctricos 
Motores Cohete Electrostáticos 
Los motores cohete electroestáticos funcionan acelerando el propulsante ionizado mediante la 
intervención de campos electroestáticos. Resulta imprescindible contar, además, con un 
sistema de producción de iones y un sistema de neutralización del chorro de salida que 
impida la atracción de estos por el vehículo así como la adquisición de carga eléctrica neta. 
 
Figura 1.12: Esquema de las partes principales de un motor electrostático. 
En la actualidad los diferentes conceptos de motor se diferencian en el sistema de producción 
de iones. Algunos primeros desarrollos emplearon ionización por contacto pero, en la 
actualidad, la ionización por radio frecuencia o por bombardeo son los sistemas en desarrollo. 
Existen una gran variedad de proyectos recientes, realizados o en curso, que implican el 
desarrollo de aceleradores de iones: 
• Proyecto de la sonda DeepSpace (NSTAR) de la NASA en 1998. 
• Evolutionary Xenon Thruster (NEXT), Proyecto NASA de 2003. 
• Nuclear Electric Xenon Ion System (NEXIS) 
• High Power Electric Propulsion (HiPEP) 
• Radio-Frequency Ion Thruster (RIT), de EADS. 
• Dual-Stage 4-Grid (DS4G) proyecto de ESA-ANU de 2006. 
Estos proyectos abordan el desarrollo de aceleradores de iones mejorando la vida, 
aumentando la potencia o ensayando configuraciones avanzadas. 
FEEP: Field Emission Electric Propulsion (TRL 8) 
El funcionamiento (figura 1.13) se basa en la atomización electrostática de aceites dieléctricos 
de muy baja presión de vapor, cesio y glicerina. La diferencia de potencial entre la aguja y la 
rejilla de aceleración es de varios kilovoltios, produciéndose la ionización cuando el campo 
eléctrico local alcanza un valor umbral típico. Motores muy eficientes (rendimientos altos de 
hasta 95%) con alto impulso especifico (entre 4000 s a 6000s) y muy bajo empuje (inferior al 
milinewton por cada centímetro de profundidad del motor). 
 
Figura 1.13: Esquema simplificado del funcionamiento de un propulsor 
FEED 
Motores de efecto Hall (TRL 8-9) 
El motor del efecto de Hall, también conocido simplemente como propulsores de plasma, se 
utiliza el efecto Hall para atrapar electrones en un canal anular, que son utilizados para 
ionizar el propulsante, el plasma así generado es acelerado por el campo magnético radial 
aunque el efecto es equivalente a la aceleración que sufren los iones bajo la acción del campo 
eléctrico. Finalmente los electrones generados por el cátodo exterior también son utilizados 
para neutralizar los iones en el penacho de salida. 
 
Figura 1.14: Esquema de funcionamiento de un motor de efecto Hall en la 
que se observan los elementos principales. A la derecha el motor STP-1 en 
banco de ensayos (Stationary Plasma Thruster). 
Estos motores se estudiaron independientemente en los E.E.U.U. y la Unión Soviética en los 
años 50 y los años 60, aunque su desarrollo tecnológico como motor tuvo lugar primeramente 
en la URSS (unos 200 motores han volado en los satélites soviéticos/rusos en los últimos 
treinta años). Utilizados, principalmente para tareas de mantenimiento de orbita y 
orientación de satélites, en la actualidad se trabaja en su escalado para desarrollar sistemas 
de propulsión principal. 
Motores Cohete Electromagnéticos 
El funcionamiento básico de un motor cohete de fundamento electromagnético es la 
aceleración de un plasma mediante las fuerzas de Lorentz que aparecen cuando se aplica un 
campo magnético sobre una corriente eléctrica. 
 
Figura 1.15: Esquema básico del funcionamiento de un acelerador 
electromagnético 
Como se ve en la figura 1.15, el funcionamiento básico consistiría en establecer una corriente 
eléctrica entre un cátodo y un ánodo (en la figura el campo eléctrico y vector de corriente 
verticales) que atraviese un flujo de plasma y mediante la aplicación de un campo magnético 
externo transversal al movimiento (en la figura mediante un imán permanente) y al campo 
eléctrico obtener la consiguiente fuerza aceleradora. A continuación de describen algunos de 
los sistemas electromagnéticos de propulsión más populares. 
VASIMR: Variable Specific Impulse Magnetoplasma Rocket (TRL 5) 
El motor VASIMR fue ideado por el costarricense y ex-astronauta de la NASA Franking 
Chang Díaz en 1979. Se trata de un motor de gran potencia (hasta 10 MW) que tiene la 
interesante capacidad de modular el impulso específico (entre 3000 s. y 30000s) en 
combinación con la potencia desplegada. El funcionamiento, véase la figura 1.16, se basa en 
la ionización del hidrogeno mediante radiofrecuencia (antena Helicón) su recalentamiento 
mediante el uso de microondas a temperaturas extremas (ion cyclotron) y, finalmente, el 
plasma es acelerado en una tobera magnética cuyo funcionamiento es análogo al de una 
tobera convencional pero sin paredes físicas. 
 
Figura 1.16: Esquema da las partes principales del motor VASIMR que 
presenta la particularidad de utilizar para acelerar el plasme una tobera 
magnética. 
La tobera magnética conduce el plasma mediante una configuración de líneas de campo 
magnético a través de una sección convergente-divergente que produce su aceleración 
emulando el comportamiento de las toberas clásicas fluidodinámicas. 
Pulse Plasma Thruster (TRL 7-8) 
En la Figura 1.17 se representa los componentes principales de un motor PPT en la que se 
aprecia su simplicidad. El propulsante empleado es teflón que se vaporiza por la irrupción de 
una chispa de encendido periódica que se proporciona mediante una bujía. El campo 
magnético transversal al eje del motor y a la dirección del arco eléctrico generado por los 
electrodos acelera el plasma hacia la salida del motor. 
 
Figura 1.17: A la izquierda esquema de la disposición típica de un 
acelerador de plasma pulsante (PPT) de teflón. En la derecha aparece uno 
de los motores PPT para el satélite de observación terrestre EO-1. 
En la misma figura se representa una imagen de uno de los propulsores de teflón empleados 
en el satélite EOS que tiene un impulso específico es de 1150 segundos y aunque la relación 
empuje/peso es deficiente (0,1 mN/kg) la precisión alcanzada en los pulsos (del orden del 
micronewtonpara cada uno) es muy alta, permitiendo maniobras muy precisas. Es 
precisamente esta característica junto con su simplicidad las mayores ventajas del sistema 
que bajo ciertas circunstancias compensan el bajo rendimiento que presentan. 
Motor Cohete Electromagnético, MPD (TRL 6) 
El esquema de funcionamiento de un motor MPD (Magneto Plasma Dynamics) (véase figura 
1.18) es similar al motor de arco eléctrico pero con tensiones de funcionamiento mayores que 
producen corrientes tan intensas que, incluso, el campo magnético autoinducido juega un 
papel importante en el proceso de aceleración del plasma impulsado por un campo magnético 
exterior. 
 
Figura 1.18: Motor MPD en la que se muestran sus partes principales y un 
esquema de los campos magnéticos y corrientes que intervienen. A la 
derecha uno de estos motores en funcionamiento. 
Lección 2: Estudio Propulsivo y Empuje 
Introducción 
Los motores cohete producen una fuerza propulsiva como resultado de la interacción 
mecánica que se establece entre el propulsante y el vehículo. Para definir el empuje, plantear 
con claridad la ecuación del movimiento del vehículo y proceder a un balance energético 
adecuado, se van a plantear las ecuaciones de conservación con cierto rigor. Por tanto, en 
esta lección, se aplican los principios de conservación de masa, cantidad de movimiento y 
energía en forma integral, para identificar los diferentes flujos que se presentan y establecer 
definiciones rigurosas de empuje y rendimientos. 
Estudio propulsivo 
Considérese el movimiento de un vehículo, representado en la figura 2.1, propulsado por un 
motor cohete que sigue una trayectoria arbitraria con velocidad 𝑉�⃗ , respecto a un sistema de 
referencia inercial, mientras que el propulsante es expulsado con una velocidad 𝑉�⃗𝑠, relativa al 
vehiculo. En estas condiciones la velocidad absoluta del propulsante es 𝑉�⃗ + 𝑉�⃗𝑠. 
 
Figura 2.1: Representación esquemática de un vehículo propulsado por un 
motor cohete. 
Se define el volumen de control, Ω, mediante la superficie exterior del móvil (en la figura, 
𝐴𝑒𝑥𝑡) que es impermeable y una superficie arbitrariamente elegida (en la figura, 𝐴𝑠), 
permeable, que cierra el volumen y por la que está fluyendo el propulsante. 
Ecuación de continuidad 
La ecuación de continuidad en forma integral aplicada al volumen de control es: 
𝑑
𝑑𝑡
� 𝜌𝑑Ω
Ω
+ � 𝜌(�⃗�𝑟 ⋅ 𝑛�⃗ )𝑑A = �̇�𝑒𝑥𝑡
A
 (2.1) 
donde �⃗�𝑟 es la velocidad del fluido relativa a la superficie de control 𝑑𝐴 y �̇�𝑒𝑥𝑡 un término 
fuente que puede ser empleado con diversos fines y que, en este momento, no va a ser tenido 
en cuenta ��̇�𝑒𝑥𝑡 = 0�. Definiendo el gasto másico del sistema de propulsión como �̇� =
−𝑑𝑀 𝑑𝑡⁄ , queda: 
�̇� = � 𝜌𝑠�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝜎
𝐴𝑠
 (2.2) 
donde 𝑀 = ∫ 𝜌𝑑ΩΩ es la masa instantánea del vehículo y 𝑚 ̇ el gasto másico desalojado por el 
sistema de propulsión. La ecuación pone de manifiesto que la masa del vehículo disminuye al 
ritmo marcado por el gasto másico del sistema de propulsión. 
Ecuación de cantidad de movimiento 
La ecuación de cantidad de movimiento en forma integral aplicada al volumen de control de 
la figura 2.1 es 
𝑑
𝑑𝑡
� 𝜌�⃗�𝑑Ω
Ω
+ � 𝜌�⃗�(�⃗�𝑟 ⋅ 𝑛�⃗ )𝑑𝐴 = � (−(𝑝 − 𝑝𝑎)𝐼 + 𝜏′) ⋅ 𝑛�⃗ 𝑑𝐴 + �⃗�𝑒𝑥𝑡
𝐴A
 (2.3) 
donde la fuerza de presión ha sido referida a la presión ambiente, 𝑝𝑎, habida cuenta de que la 
resultante de las fuerzas debidas a una presión uniforme sobre un volumen cerrado es nula 
(∮𝑝𝑎𝑛�⃗ 𝑑A = 0). El término de fuerzas exteriores, �⃗�𝑒𝑥𝑡, hace referencia a todas aquellas 
solicitaciones sobre el volumen de control distintas a las fuerzas de presión y fricción sobre las 
superficies que lo delimitan. El primer término de la ecuación 2.3 se puede escribir de la 
siguiente manera 
𝑑
𝑑𝑡
� 𝜌�⃗�𝑑Ω
Ω
=
𝑑
𝑑𝑡
� 𝜌𝑉�⃗ 𝑑Ω +
𝑑
𝑑𝑡Ω𝑓𝑖𝑗𝑎
� 𝜌�𝑉�⃗𝑟 + 𝑉�⃗ �𝑑Ω
Ω𝑝
 (2.4) 
teniendo en cuenta que el vehículo está compuesto por una masa de propulsante y una masa 
fija �𝑀 = 𝑀𝑓 + 𝑀𝑝� y que la velocidad es aquella que se observa en ejes tierra (denominando 
𝑉�⃗𝑟 a la velocidad relativa del propulsante en el interior del vehículo). Como quiera que la 
velocidad de vuelo, no depende de la posición en el interior del volumen, desarrollando la 
derivada temporal del producto adecuadamente, resulta 
𝑑
𝑑𝑡
� 𝜌�⃗�𝑑Ω
Ω
= 𝑉�⃗
𝑑
𝑑𝑡
� 𝜌𝑑Ω
Ω𝑝
+ �𝑀𝑓 + 𝑀𝑝�
𝑑𝑉�⃗
𝑑𝑡
+
𝑑
𝑑𝑡
� 𝜌𝑉�⃗𝑟𝑑Ω
Ω𝑝
 (2.5) 
Asumiendo que el motor funciona en régimen permanente, el último término será nulo en la 
práctica totalidad del volumen de propulsante, excepto en la superficie libre que registra el 
consumo de propulsante en el interior de los depósitos. No obstante, se asume que 
𝑑
𝑑𝑡
�𝜌𝑉�⃗𝑟𝑑Ω ≪ �𝜌𝑉�⃗ �𝑉�⃗ ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝜎 ∼ �̇�𝑉𝑠 (2.6) 
Cierto, ya que el primer término es del orden de 𝑉�𝑟𝑑𝑀 𝑑𝑡 = �̇�𝑉𝑟⁄ y, por continuidad, 𝑉𝑟 ≪ 𝑉𝑠 
en virtud de las bajas velocidades dentro del vehículo. El lector puede apreciar que en 
situaciones no estacionarias, por ejemplo en el arranque del vehículo, este término es de 
fundamental importancia, cobrando un peso similar al de los demás implicados en la 
ecuación, en concreto, el que tiene en cuenta la aceleración del propio vehículo. 
El segundo término de la ecuación 2.3 se desglosa de forma similar adoptando para la 
velocidad en la sección de salida la definición ya utilizada �𝑉�⃗𝑠 = 𝑉�⃗𝑟�: 
� 𝜌�⃗�(�⃗�𝑟 ⋅ 𝑛�⃗ )𝑑A = � 𝜌�𝑉�⃗𝑠 + 𝑉�⃗ � ⋅ �𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴 = � 𝜌𝑉�⃗𝑠�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴 +
𝐴𝑠𝐴A
𝑉�⃗ � 𝜌�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴
𝐴𝑠
 (2.7) 
Obsérvese que la aplicación de la ecuación de continuidad provoca la cancelación del primer 
término del segundo miembro de 2.5 junto con el último término del segundo miembro de la 
ecuación 2.7, ambos multiplicados por 𝑉�⃗ , lo que permite escribir la ecuación de cantidad de 
movimiento de esta forma: 
𝑀
𝑑𝑉�⃗
𝑑𝑡
+ � 𝜌𝑉�⃗𝑠
𝐴𝑠
�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴 = � (−(𝑝 − 𝑝𝑎)𝐼 + 𝜏′) ⋅
𝐴𝑒𝑥𝑡+𝐴𝑠
𝑛�⃗ 𝑑𝐴 + �⃗�𝑒𝑥𝑡 (2.8) 
Introduciendo las fuerzas debidas al campo gravitatorio, 𝑀�⃗�, y definiendo la fuerza 
aerodinámica sobre el vehículo como la producida por las fuerzas de presión, referida a la 
presión ambiente, y fricción sobre la superficie externa 
�⃗�𝑎𝑒𝑟 = � (−(𝑝 − 𝑝𝑎)𝐼 + 𝜏′) ⋅
𝐴𝑒𝑥𝑡
𝑛�⃗ 𝑑𝐴 (2.9) 
se obtiene la expresión: 
𝑀
𝑑𝑉�⃗
𝑑𝑡
= −� 𝜌𝑉�⃗𝑠
𝐴𝑠
�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴 + � (−(𝑝 − 𝑃𝑎)𝐼 + 𝜏′) ⋅
𝐴𝑠
𝑛�⃗ 𝑑𝐴 + �⃗�𝑎𝑒𝑟 +𝑀�⃗� + �⃗�𝑒𝑥𝑡 (2.10) 
en la que se han despreciado los términos de fuerzas de viscosidad frente al termino 
convectivo, 
� 𝜏′ ⋅
𝐴𝑠
𝑛�⃗ 𝑑𝐴 ≪ � 𝜌𝑉�⃗𝑠�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴
𝐴𝑠
 (2.11) 
suponiendo que el movimiento en la salida del motor tiene lugar a altos números de Reynolds 
basado en el diámetro de salida, los efectos de la viscosidad quedarán confinados a las capas 
de cortadura cerca de las paredes de la tobera, de pequeño espesor y, por lo tanto, con 
despreciable repercusión en la ecuación del movimiento del vehículo. 
A la vista de la ecuación 2.10, parece conveniente definir el empuje de la siguiente manera: 
𝐸�⃗ = �� 𝜌𝑠𝑉�⃗𝑠�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴
𝐴𝑠
+ � (𝑝𝑠 − 𝑝𝑎)
𝐴𝑠
⋅ 𝑛�⃗ 𝑑𝐴� (2.12) 
en términos de las variables fluidas evaluadas en la sección de salida del motor. 
Inmediatamente, se obtiene la siguiente expresión para la ecuación 2.10: 
𝑀
𝑑𝑉�⃗
𝑑𝑡
= 𝐸�⃗ + �⃗�𝑎𝑒𝑟 +𝑀�⃗� + �⃗�𝑒𝑥𝑡 (2.13) 
que constituye la ecuación del movimiento del vehículo, que se puede enunciar diciendo que 
la masa instantánea multiplicada por la aceleración es igual a la suma de fuerzas que actúan 
sobre el vehículo. 
Empuje 
Con la intención de interpretar adecuadamente la expresión del empuje obtenida, se puede 
plantear la ecuación de cantidad de movimiento al volumen de control de la figura 2.2 que 
abarca todo el volumen interior del motor y está delimitado por la superficie interior de este 
y se cierra con el área de salida. 
 
Figura 2.2: Volumen de control delimitado por las paredes interioresdel 
motor y la sección de salida, con lo que todo el volumen de propulsante 
queda encerrado dentro 
La ecuación de cantidad de movimiento en ejes relativos y haciendo la hipótesis de 
movimiento estacionario (equivalente a despreciar los términos inerciales de la relación 2.6) 
� 𝜌�⃗�(�⃗�𝑟 ⋅ 𝑛�⃗ )𝑑A = � (−(𝑝 − 𝑝𝑎)𝐼 + 𝜏′) ⋅ 𝑛�⃗ 𝑑𝐴
𝐴𝑠+𝐴𝑖𝑛𝑡𝐴𝑠+𝐴𝑖𝑛𝑡
 (2.14) 
Como el volumen de control se apoya interiormente en paredes del motor en las que la 
velocidad relativa es nula, la integral de superficie del primer miembro sólo es distinta de 
cero en la superficie de salida. 
� 𝜌�⃗�(�⃗�𝑟 ⋅ 𝑛�⃗ )𝑑A = � �𝑉�⃗𝑠 + 𝑉�⃗ ��𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴 +
𝐴𝑠𝐴
 (2.15) 
Reordenando, 
� 𝜌𝑠𝑉�⃗𝑠
𝐴𝑠
�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴 + � (𝑝𝑠 − 𝑝𝑎)𝑛�⃗ 𝑑𝐴 = � (−(𝑝 − 𝑝𝑎)𝐼 + 𝜏′) ⋅
𝐴𝑖𝑛𝑡
 
𝐴𝑠
𝑛�⃗ 𝑑𝐴 (2.16) 
En la que se ha despreciado la contribución de la viscosidad en el supuesto de que se verifica 
la relación 2.11. La expresión 2.17 permite establecer la definición de empuje como resultante 
de las fuerzas de presión referidas a la presión ambiente y fricción sobre las caras internas 
del motor, es decir 
𝐸�⃗ = −� (−(𝑝 − 𝑝𝑎)𝐼 + 𝜏′) ⋅ 𝑛�⃗ 𝑑𝐴
𝐴𝑖𝑛𝑡
 (2.17) 
considerando el objeto a ser propulsado como el constituido por la masa seca, justamente la 
fuerza que el propulsante ejerce sobre él. Por lo tanto, el empuje se puede evaluar mediante 
la expresión ya obtenida 
𝐸�⃗ = �� 𝜌𝑠𝑉�⃗𝑠�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴 + � (𝑝 − 𝑝𝑎)
𝐴𝑠
⋅ 𝑛�⃗ 𝑑𝐴
𝐴𝑠
� (2.18) 
que es una expresión vectorial y permite evaluar el empuje en casos de carácter general, en 
los que las complejidades geométricas del motor sean elevadas. No obstante, considerando 
propiedades uniformes en la sección de salida y que ésta es plana y perpendicular a los 
vectores velocidad, el empuje queda 
𝐸 = �̇�𝑉𝑠 + 𝐴𝑠(𝑝𝑠 − 𝑝𝑎) (2.19) 
que es la expresión escalar que se utilizará habitualmente y para la que, en caso de tener en 
cuenta efectos no-unidimensionales, se deberán utilizar valores medios (definidos a 
continuación) o correcciones adecuadas dependiendo del fenómeno a considerar. 
Expresión vectorial del empuje 
La expresión 2.19 permite evaluar la magnitud y dirección de la fuerza propulsiva sea cual 
sea la geometría de la sección de salida (que se puede fijar de forma arbitraria) y la 
distribución espacial de magnitudes fluidas. Inmediatamente surge la necesidad de definir 
variables medias de forma precisa. El gasto másico 
�̇� = � 𝜌𝑠�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴, 
𝐴𝑠
 (2.20) 
es la referencia para definir la velocidad media de salida 
〈𝑉𝑠〉������⃗ =
1
�̇�
� 𝜌𝑠𝑉�⃗𝑠�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑A, 
𝐴𝑠
 (2.21) 
porque de esta manera se evalúa adecuadamente el flujo de cantidad de movimiento, 
mientras que el área efectiva de salida es 
〈𝐴𝑠〉𝑛�⃗ 𝑠 = � 𝑛�⃗ 𝑑𝐴
𝐴𝑠
 (2.22) 
que se emplea en la definición de la fuerza de presión media, en la sección de salida 
〈𝑝𝑠〉�������⃗ =
1
〈𝐴𝑠〉
= � 𝑝𝑠𝑛�⃗ 𝑑𝐴
𝐴𝑠
 (2.23) 
Finalmente el empuje queda: 
𝐸�⃗ = �̇�〈𝑉𝑠〉������⃗ + 〈𝐴𝑠〉 �〈𝑝𝑠〉�������⃗ − 𝑛�⃗ 𝑠𝑝𝑎� (2.24) 
Normalmente, la geometría del motor tendrá simetría de revolución, de tal forma que la 
resultante de evaluar las anteriores integrales tendrá componente únicamente sobre el eje y, 
en estas circunstancias, se puede escribir directamente: 
𝐸 = �̇�〈𝑉𝑠〉 + 〈𝐴𝑠〉[〈𝑝𝑠〉 − 𝑝𝑎] (2.25) 
donde 〈𝐴𝑠〉 es la proyección del área de salida sobre un plano perpendicular al eje de simetría, 
es decir, 〈𝐴𝑠〉𝑡 = ∫ 𝑛�⃗ 𝑑𝐴𝑠𝐴𝑠 , siendo 𝑡 el vector director en la dirección del eje del motor (en 
realidad 𝑛�⃗ 𝑠 = 𝑡 en este caso) y entonces las resultantes quedan 〈𝑉𝑠〉𝑡 = 〈𝑉𝑠〉������⃗ y 〈𝑝𝑠〉 = 𝑡 〈𝑝𝑠〉�������⃗ : 
〈𝑝𝑠〉𝑡 =
1
𝐴𝑠
� 𝑝𝑠𝑛�⃗ 𝑑𝐴
𝐴𝑠
, 〈𝑉𝑠〉𝑡 =
1
�̇�
� 𝑝𝑉�⃗𝑠�𝑉�⃗𝑠 ⋅ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴, 
𝐴𝑠
 (2.26) 
A menudo, únicamente se tienen en cuenta los efectos de desalineación con el eje del motor 
de los vectores velocidad, mediante un coeficiente, 𝜆 = 〈𝑉𝑠〉 𝑉𝑠,1𝐷⁄ , que define la velocidad 
media a partir del resultado de un cálculo unidimensional, 𝑉𝑠,1𝐷. En estas circunstancias, la 
expresión del empuje del motor es 
𝐸 = �̇�𝜆𝑉𝑠,1𝐷 + 𝐴𝑠�𝑝𝑠,1𝐷 − 𝑝𝑎� (2.27) 
donde, normalmente para la presión se mantiene el valor calculado, 〈𝑝𝑠〉 = 𝑝𝑠,1𝐷, mediante el 
modelo unidimensional. 
Balance energético 
Para plantear la ecuación de la energía es conveniente, en referencia a los motores 
termoquímicos, utilizar una superficie interior que delimite el volumen de control donde 
tienen lugar los intercambios energéticos y a la que los propulsantes acceden a baja velocidad 
(su energía cinética en ejes absolutos es ~12�̇�𝑉
2
2T) y a la temperatura de almacenamiento. Si se 
emplea la superficie del apartado anterior, la salida neta de masa con la correspondiente 
entalpía invalida la hipótesis de proceso estacionario necesaria para establecer un 
planteamiento permanente y los resultados que se obtendrían harían referencia al contenido 
global de energía intercambiado durante el completo consumo de propulsantes. La ecuación 
de la energía así planteada, es 
� 𝜌�ℎ +
1
2
𝑣2�
𝐴=𝐴𝑠+A𝑖𝑛𝑡+𝐴𝑒
(�⃗�𝑟 ⋅ 𝑛�⃗ )𝑑𝐴 = −� �⃗� ⋅ 𝑛�⃗ 𝑑𝐴 + �̇�𝑒𝑥𝑡
𝐴
 (2.28) 
donde, ℎ es la entalpía, �⃗� = 𝑘∇𝑇2T el calor transmitio, �̇�𝑒𝑥𝑡 2T se emplea en este caso para incluir 
el trabajo de las fuerzas exteriores sobre el volumen de control, 𝐴𝑒 es la superficie de entrada 
de propulsantes y en el resto de superficies interiores, 𝐴𝑖𝑛𝑡, el gasto másico es nulo. El primer 
miembro expresa el flujo de entalpía de remanso: 
� 𝜌 �ℎ +
1
2
𝑣2�
𝐴𝑒
(�⃗�𝑟 ⋅ 𝑛�⃗ )𝑑𝐴 = −��̇�𝑖𝑒 �ℎ𝑖𝑒(𝑇𝑖𝑒) +
1
2
𝑉2�
𝑖
 (2.29 ) 
que simbólicamente se puede expresar mediante un calor de combustión o liberado por una 
fuente de energía, �̇�𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 2T, que calienta las sustancias con una determinada eficacia, 𝜂𝑞, es 
decir: 
� 𝜌�ℎ +
1
2
𝑣2�
𝐴𝑒
(�⃗�𝑟 ⋅ 𝑛�⃗ )𝑑𝐴 = −�𝜂𝑞�̇�𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 − �̇�ℎ𝑒(𝑇𝑒)� −
1
2
�̇�𝑉2, (2.30 ) 
en la que la conservación de la masa obliga a ∑ �̇�𝑖 = �̇�𝑖 . 
Igualmente, el flujo de entalpia por la sección de salida es: 
� 𝜌�ℎ +
1
2
𝑣2�
𝐴𝑠
(�⃗�𝑟 ⋅ 𝑛�⃗ )𝑑𝐴 = �̇� �ℎ𝑠(𝑇𝑠) +
1
2
(𝑉 − 𝑉𝑠)2� (2.31) 
donde se ha supuesto que los vectores velocidad tienen sentidos opuestos. 
El calor que se “pierde” por las paredes es: 
−� �⃗� ⋅ 𝑛�⃗ 𝑑𝐴 = �̇�𝑙𝑜𝑠𝑠
𝐴𝑖𝑛𝑡
 (2.32) 
y se desprecian los flujos de calor por las superficies permeables, mientras que el trabajo de 
las fuerzas exteriores es: 
�̇�𝑒𝑥𝑡 = 𝐹𝑒𝑥𝑡𝑉 = −�𝐸 − 𝐴𝑠(𝑝𝑠 − 𝑝𝑎)�𝑉 (2.33) 
donde, es necesario agregar al empuje, conjunto de fuerzas de presión y fricción sobre las 
caras internas, las correspondientes a la sección de salida (despreciando las de fricción frente 
al flujo de cantidad de movimiento como ya ha sido hecho). 
Finalmente, el balance energético queda: 
𝜂𝑞𝑄𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 +
1
2
�̇�𝑉2
= �̇��ℎ𝑠(𝑇𝑠) − ℎ𝑒(𝑇𝑒)� +
1
2
�̇�(𝑉 − 𝑉𝑠)2 + 𝐸𝑉 − 𝐴𝑠(𝑝𝑠 − 𝑝𝑎)𝑉 + �̇�𝑙𝑜𝑠𝑠 
(2.34) 
Como la expresión así obtenida es difícil de interpretar, recurrimos a la siguiente identidad: 
1
2
�̇�𝑉𝑠2 +
1
2
�̇�𝑉2 =
1
2
�̇�(𝑉 − 𝑉𝑠)2 + �̇�𝑉𝑠𝑉 =
1
2
�̇�(𝑉 − 𝑉𝑠)2 + 𝐸𝑉 − 𝐴𝑠(𝑝𝑠 − 𝑝𝑎)𝑉 (2.35) 
que expresa una equivalencia entre las definiciones de energía mecánica generada expresada 
en ejes ligados al móvil o en ejes tierra. Finalmente, 
𝜂𝑞𝑄𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = �̇��ℎ𝑠(𝑇𝑠) − ℎ𝑒(𝑇𝑒)� +
1
2
�̇�𝑉𝑠2 + �̇�𝑙𝑜𝑠𝑠 (2.36) 
que es la expresión del balance energético del motor cohete. Se puede enunciar diciendo que 
la energía liberada por la fuente se emplea en aumentar la entalpía sensible del propulsante 
que abandona el móvil (�̇�Δℎ) en producir potencia mecánica neta �1
2
�̇�𝑉𝑠2� y en pérdidas a 
través de las paredes ��̇�𝑙𝑜𝑠𝑠�. En estas circunstancias, se define el rendimiento motor del 
sistema, como el cociente entre la potencia mecánica neta producida y la empleada de la 
fuente 
𝜂𝑀=
1
2 �̇�𝑉𝑠
2
𝑄𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
 (2.37) 
El rendimientomotor es una variable de calidad del sistema directamente relacionada con el 
impulso específico pues, asumiendo tobera adaptada, 𝐼𝑠𝑝 ∼ �2𝜂𝑀�𝑄𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 �̇�⁄ �, con lo que un 
mejor aprovechamiento de la energía por unidad de masa de propulsante desemboca en un 
aumento del impulso específico. El rendimiento propulsivo se define como la potencia 
mecánica total empleada en la propulsión del móvil entre la potencia mecánica puesta en 
juego (la potencia neta debe añadirse a la potencia cinética inicial del propio propulsante): 
𝜂𝑃 =
𝐸𝑉
1
2 �̇�𝑉𝑠
2 + 12 �̇�𝑉
2
 (2.38) 
Sería posible redefinir el rendimiento motor compatible con la anterior definición de 
rendimiento propulsivo teniendo en cuenta el término de potencia cinética inicial del 
propulsante de la siguiente forma: 
𝜂𝑀=
1
2 �̇�𝑉𝑠
2 + 12 �̇�𝑉
2
𝑄𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 +
1
2 �̇�𝑉
2
 (2.39) 
que expresa el cociente entre la potencia mecánica total y la puesta en juego por el vehículo. 
Finalmente, el rendimiento propulsivo asumiendo 𝐸 ∼ �̇�𝑉𝑠, se simplifica en: 
𝜂𝑃 =
2𝑉 𝑉𝑠⁄
1 + (𝑉 𝑉𝑠⁄ )2
 (2.40) 
Esta expresión puede representarse gráficamente en función del cociente de velocidades 𝑉 𝑉𝑠⁄ , 
tal y como se hace en la figura 2.3, en la que se observa que el rendimiento propulsivo es nulo 
cuando la velocidad de vuelo es nula, consecuencia lógica de la inmovilidad del vehículo en la 
que toda la energía cinética del propulsante se desaprovecha (se disipa): también es nulo 
cuando la velocidad de salida del propulsante es despreciable frente a la de vuelo en la que la 
energía desplegada por el sistema de propulsión resulta no tener impacto sobre el movimiento 
del vehículo. 
 
Figura 2.3: Rendimiento propulsivo en función de la relación de velocidades 
entre la velocidad de vuelo y la de salida del sistema de propulsión relativa 
al vehículo. 
La situación óptima desde el punto de vista propulsivo es aquella en la que ambas 
velocidades se igualan, que corresponde a la situación en la que el vehículo depositael 
propulsante a velocidad nula en ejes tierra, alcanzándose una situación de propulsión 
“perfecta” en la que toda la energía mecánica producida es empleada eficientemente. 
Como dato curioso sigamos el perfil de vuelo de los motores cohete de propulsante liquido de 
la ya en desuso lanzadera norteamericana (Space Shuttle Main Engine) cuya velocidad de 
salida es, aproximadamente, 5000 m/s. Los motores permanecen encendidos colaborando en 
la propulsión del vehículo desde segundos antes del lanzamiento (con rendimiento propulsivo 
nulo) hasta ser los responsables principales del empuje en la alta atmósfera, donde la 
velocidad de inyección en una órbita terrestre baja ronda los 7 km/s. es decir, el rendimiento 
propulsivo crece hasta valor unidad en una fase intermedia, (𝑉 < 𝑉𝑠), para luego disminuir 
en los últimos instantes, (𝑉 > 𝑉𝑠). 
No obstante, debe tenerse en cuenta que el rendimiento propulsivo en sistemas autónomos no 
tiene la repercusión tan alta que se constata en los no autónomos, en los que el consumo 
específico es inversamente proporcional al producto del rendimiento motor y el propulsivo. 
En motores cohete la situación es radicalmente distinta, el consumo específico es una variable 
prácticamente independiente de la condición de vuelo con valor proporcional, exclusivamente, 
al inverso del impulso específico y, por lo tanto, desacoplada del valor del rendimiento 
propulsivo. 
Por último, cabe decir que la velocidad de vuelo de un vehículo dotado de un sistema 
autónomo de propulsión es irrelevante respecto al sistema de propulsión; el empuje es 
independiente de la velocidad de vuelo y el consumo de propulsante también, no hay ninguna 
razón para que la velocidad influya. 
En la figura 2.4 se representan esquemáticamente el empuje de un motor cohete en función 
de la altura y velocidad de vuelo y se compara con el comportamiento típico de un 
aerorreactor (sistema no-autónomo). 
 
Figura 2.4: Comparación cualitativa de las actuaciones frente a velocidad y 
altura de vuelo de los motores a reacción autónomos y no autónomos. 
Las actuaciones de los aerorreactores se ven fuertemente influidas por la altura y la velocidad 
de vuelo, habida cuenta que éstas influyen de forma notable en el aire que se incorpora al 
motor, de tal forma que el empuje disminuye notoriamente con la altura y, salvo un 
comportamiento no sistemático a baja velocidad, antes o después, deja de proporcionar 
empuje a altas velocidades de vuelo. Sin embargo, como todos los términos que definen el 
empuje de un motor cohete, excepto la presión ambiente, provienen del interior del motor, 
son independientes de la situación de vuelo (altura y velocidad), con lo que el empuje de un 
motor cohete crece, monótonamente, con la altura de vuelo y es insensible a la velocidad del 
vehículo. Se trata de dos sistemas conceptualmente muy semejantes que presentan un 
comportamiento diametralmente opuesto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lección 3: Análisis de utilización 
Introducción 
Los motores cohete son sistemas versátiles que se pueden utilizar en muchos cometidos de 
diferente propósito. El uso de un sistema u otro en una misión específica, vendrá determinado 
mediante algún juicio técnico, que muestre las ventajas que el sistema aporta frente a otros. 
Como existe gran cantidad de misiones que se pueden llevar a cabo de forma eficiente con 
motores cohete, y hay una gran cantidad de motores que presentan características diferentes, 
a menudo contradictorias, se dificulta la selección del tipo más adecuado de propulsión, aun 
atendiendo a aspectos relativamente simples, como pueden ser utilizar la mínima cantidad de 
propulsante, que el sistema sea ligero o que sea barato. 
En esta lección se presentan algunas herramientas básicas, que permiten tomar decisiones 
acertadas, desde diferentes puntos de vista, sobre qué sistemas elegir y qué diseños conducen 
a soluciones óptimas. Para ello, se deduce la Ecuación del Cohete como representativa de las 
relaciones que se establecen entre las necesidades propulsivas de una determinada misión y 
las posibilidades de los sistemas de propulsión. También se obtiene una versión simple de la 
ecuación de Breguet con los mismos fines. A continuación, se repasa el catálogo de misiones 
típicas y los parámetros fundamentales que las definen y finalmente, se aplica la ecuación del 
cohete en el uso diferentes sistemas propulsivos, lo que permiten realizar un análisis de 
utilización que pone de manifiesto algunos aspectos relevantes a tener en cuenta en un diseño 
eficiente. 
Impulso específico 
El impulso específico es el cociente entre el empuje del motor y el gasto másico de 
propulsante, es decir, 
𝐼𝑠𝑝 = 𝐸 �̇�⁄ (3.1) 
Es una variable intensiva (no depende del tamaño del sistema) directamente relacionada con 
las actuaciones del motor, pues a mayor impulso especifico, mayor empuje empleando la 
misma cantidad de propulsante, con lo que se completan misiones más ambiciosas. 
La unidad de medida es la correspondiente a velocidad, [m/s] en el Sistema Internacional, y 
su valor se corresponde, muy aproximadamente, con la velocidad con que el propulsante es 
expelido respecto del motor, 𝐼𝑠𝑝~𝑉𝑠. 
No obstante, en la literatura especializada es habitual encontrarse el impulso (no es posible si 
se quiere hablar con corrección emplear la palabra “específico”) definido como el empuje 
dividido por el peso de propulsante empleado por unidad de tiempo: 
𝐼 = 𝐸 (�̇�𝑔0)⁄ (3.2) 
donde 𝑔0 ≅ 9.80665 𝑚 𝑠2⁄ es el valor de la intensidad del campo gravitatorio a nivel del 
mar. Como se observa fácilmente, 𝐼 = 𝐼𝑠𝑝 𝑔0⁄ y la unidad de medida en el Sistema 
Internacional es el segundo [s]. 
En algunas aplicaciones (sistemas con el volumen limitado) tiene interés el empuje obtenido 
por unidad de volumen de propulsante desalojado, es decir, impulso volumétrico, cuya 
definición es: 
𝐼0 = 𝐸 (�̇� 𝜌𝑃⁄)⁄ (3.3) 
donde 𝜌𝑃, es la densidad del propulsante. Su relación con el impulso específico es 𝐼0 = 𝜌𝑃𝐼𝑠𝑝 
y la unidad de medida es [kg/m2s]. Es evidente que los propulsantes de alta densidad 
presentaran una capacidad de empaquetamiento mayor, al presentar impulsos volumétricos 
mayores. 
Tipo 
Impulso 
(s) 
Impulso 
volumétrico 
(g-s/dm3) 
MCPL (LOX/H2) 260-410 (390) 100-430(100) 
Híbridos (LOX-HTPB) 280-380(330) 300-520 (350) 
MCPS (AP/Binder/Al) 190-270(270) 290-470 (470) 
Tabla 3.1: Valores representativos del impulso y el impulso volumétrico de 
los sistemas de propulsión termoquímicos. 
En la tabla 3.1 se recogen algunos valores característicos del impulso volumétrico y se 
compara con el impulso, comprobándose como la mayor densidad de los propulsantes sólidos 
da clara ventaja cuando es ésta la figura de mérito. 
Como ya se ha dicho, el impulso específico es proporcional a la velocidad de salida del 
propulsante, pues de la definición de empuje se obtiene 
𝐼𝑠𝑝 = 𝑉𝑠 + (𝑝𝑠 − 𝑝𝑎)𝐴𝑠 �̇�⁄ (3.4) 
recordando la definición de número de Mach y evaluando el gasto másico a la salida del 
motor como �̇� = 𝜌𝑠𝑉𝑠𝐴𝑠, fácilmente se llega a 
𝐼𝑠𝑝 = 𝑉𝑠 {1 + (1 − 𝑝𝑎 𝑝𝑠⁄ ) (𝛾𝑀𝑠2)⁄ } (3.5) 
Como quiera que en vuelo atmosférico, la presión de salida es próxima a la ambiental o el 
número de Mach a la salida de las toberas convencionales es alto, tanto más en misiones 
espaciales (en el vacío, 𝑝𝑎 es nula), resulta que el impulso especifico del motor, se parece 
mucho a la velocidad de salida 𝐼𝑠𝑝~𝑉𝑠, y es una medida adecuada a la hora de estimarlo. 
Ecuación del Cohete 
Consideremos la situación de la figura 3.1 en la que un vehículo asciende en presencia de un 
campo gravitatorio formando un ángulo 𝛾 con la vertical 
 
Figura 3.1: Diagrama de fuerzas actuando sobre un vehículo en vuelo 
atmosférico propulsado por un motor cohete. 
La ecuación del movimiento, proyectada en la dirección de la velocidad, es 
𝑀
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝐸 − 𝐷 −𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠(𝛾) (3.6) 
donde, 𝑀 es la masa instantánea del vehículo, 𝑉 la velocidad a la que se desplaza, 𝐸 el 
empuje, 𝐷 es la fuerza de resistencia aerodinámica. Introduciendo la definición de impulso 
específico 𝐸 = 𝐼𝑠𝑝�̇�, se escribe: 
𝑀
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝐼𝑠𝑝
𝑑𝑀
𝑑𝑡
− 𝐷 −𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠(𝛾) (3.7) 
multiplicando por 𝑑𝑡 𝑀 ⁄ y reordenando 
𝑑𝑉 +
𝐷
𝑀
𝑑𝑡 + 𝑔𝑐𝑜𝑠(𝛾)𝑑𝑡 = −𝐼𝑠𝑝
𝑑𝑀
𝑀
 (3.8) 
La expresión 3.8 se puede integrar a lo largo del tiempo de funcionamiento del sistema de 
propulsión (𝑑𝑀 ≠ 0) desde el instante inicial, 𝑡𝑖 = 0, a uno final, 𝑡𝑓 = 𝑡𝑏, obteniéndose: 
Δ𝑉𝑣 + Δ𝑉𝑎 + Δ𝑉𝑔 = −� 𝐼𝑠𝑝
𝑑𝑀
𝑀𝑡𝑏
= 〈𝐼𝑠𝑝〉𝑙𝑛 �
𝑀𝑖
𝑀𝑓
� (3.9) 
siendo 𝑀𝑖 y 𝑀𝑓 las masas inicial y final del vehículo y habiendose definido 
Δ𝑉𝑣 = � 𝑑𝑉
𝑡𝑏
= 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖, Δ𝑉𝑎 = �
𝐷
𝑀
𝑑𝑡
𝑡𝑏
 y Δ𝑉𝑔 = � 𝑔𝑐𝑜𝑠(𝛾)𝑑𝑡
𝑡𝑏
 (3.10) 
Condensando los diferentes términos en un incremento de velocidad efectivo, Δ𝑉 = Δ𝑉𝑣 +
Δ𝑉𝑎 + Δ𝑉𝑔, se obtiene: 
Δ𝑉 = 𝐼𝑠𝑝𝑙𝑛 �
𝑀𝑖
𝑀𝑓
� (3.11) 
La anterior relación se denomina tradicionalmente Ecuación el Cohete y expresa cómo 
dependen las actuaciones del vehículo (lado izquierdo de la ecuación) de las características del 
sistema de propulsión, que son el impulso específico y la fracción de propulsante empleado 
(lado derecho de la ecuación). Obsérvese que la expresión en el interior del logaritmo pone de 
manifiesto aspectos de diseño del motor que repercuten en la masa de éste. 
La inspección de la ecuación sugiere que a mayor impulso específico, más grande es el 
incremento de velocidad que sufre el vehículo. No obstante, debe tenerse en cuenta la 
repercusión que decisiones de diseño tendentes a aumentar el impulso específico pueden 
producir en el interior del término logarítmico un efecto indeseado si penalizan las masas del 
sistema haciendo que el término logarítmico sea menos favorable. 
La ecuación del cohete fue empleada en esta forma por primera vez por Konstantin 
Tsiolkovsky (1857-1935) que es reconocido como el padre de la astronáutica; era un maestro 
de escuela y científico autodidacta, instaló un pequeño laboratorio en su casa y publicó varios 
trabajos pioneros, demostrando la necesidad de los motores cohete para los viajes espaciales y 
afirmando, entre otros estudios, que el sistema más conveniente serían los cohetes de varios 
escalones, alimentados mediante propulsantes líquidos. 
Formula de Breguet 
En caso de vuelo estacionario, horizontal, rectilíneo y uniforme (véase la figura 3.2), 
 
Figura 3.2: Esquema de fuerzas en vuelo rectilíneo y uniforme. 
el equilibrio de fuerzas vertical (entre sustentación y peso), 𝐿 = 𝑀𝑔, y horizontal (entre 
empuje y resistencia), 𝐸 = 𝐷, se puede combinar de la siguiente forma 
1
𝐿 𝐷⁄
=
𝐸
Mg (3.12) 
que resalta la influencia de la eficiencia aerodinámica (𝐿/𝐷) sobre el consumo específico de la 
aeronave (en el caso de un sistema de propulsión autónomo igual al inverso del impulso 
específico) de la siguiente manera 
1
𝐿 𝐷⁄
=
�̇�𝐼𝑠𝑝
𝑀𝑔
 (3.13) 
en vista de que 𝐸 = �̇�𝐼𝑠𝑝 y finalmente, como �̇� = − 𝑑𝑀 𝑑𝑡⁄ , reordenando se obtiene: 
𝑔
𝑑𝑡
(𝐿 𝐷⁄ )
= −𝐼𝑠𝑝
𝑑𝑀
𝑀
 (3.14) 
que es la Fórmula de Breguet en una de sus versiones más simples. A la vista de que tanto la 
fórmula de Breguet como la Ecuación de Cohete conducen a expresiones similares que 
implican al impulso específico del sistema y la variación de masa de éste con el incremento de 
velocidad que sufre el móvil, ∆𝑉, el alcance 𝑅 o la autonomía 𝑇, es decir, de forma 
generalizada resulta, 
𝑔𝑑𝑇
(𝐿 𝐷⁄ )
=
𝑔𝑑𝑅
𝑉(𝐿 𝐷⁄ )
= 𝑑𝑉 = −𝐼𝑠𝑝
𝑑𝑀
𝑀
 (3.15) 
El vuelo más rápido, más lejos o durante más tiempo, queda determinado por la misma 
expresión y valdrá la pena analizarla con profundidad en cada aplicación. 
Impulso total 
El impulso total es la integral del empuje a lo largo del tiempo de funcionamiento del motor 
𝐼𝑇 = � 𝐸𝑑𝑡
𝑡𝑏
 (3.17) 
En caso de que la masa del vehículo permaneciera constante, el impulso total es, en ausencia 
de otras fuerzas, la variación de cantidad de movimiento del vehículo. También se interpreta 
(sobre todo en motores cohete de propulsante solido) como el área encerrada debajo de la 
curva de empuje, lo que tiene interesantes implicaciones en el análisis de los resultados de 
ensayos con estos motores. 
El impulso total define las capacidades propulsivas del sistema con independencia de la 
estructura del vehículo y de la misión en la que esté involucrado. Además, está relacionado 
directamente con el impulso específico del sistema, ya que, teniendo en cuenta que 𝐸𝑑𝑡 =
𝐼𝑠𝑝𝑑𝑀 
𝐼𝑇 = 〈𝐼𝑠𝑝〉𝑀𝑝 (3.18) 
donde 〈𝐼𝑠𝑝〉 es el valor medio del impulso específico durante la misión. El impulso total define 
las características propulsivas del sistema, pues depende del impulso específico y de la 
cantidad de propulsante empleado. 
Habitualmente, las misiones se definen en función del incremento de velocidad. No obstante, 
algunas misiones quedan caracterizadas por un determinado nivel de empuje y tiempo de 
funcionamiento, es decir, el impulso total que debe proporcionar el sistema de propulsión. La 
relación entre ambas magnitudes (impulso total e incremento de velocidad) se puede 
establecer fácilmente eliminando el impulso específico entre ambas, obteniéndose 
𝑀𝑖Δ𝑉
𝐼𝑇
=
𝑀𝑖
𝑀𝑝
𝑙𝑛
1
1 −𝑀𝑝 𝑀𝑖⁄
 (3.19) 
La expresión 3.19 se representa a continuación en la figura 3.3 donde se observa que en el 
caso de que la masa de propulsante empleada sea pequeña en comparación con la masa inicial 
del vehículo ambas definiciones coinciden (𝐼𝑇 ≈ 𝑀𝑖Δ𝑉) pero cuando la fracción de propulsante 
empleada es significativa la variación de cantidad de movimiento del vehículo referida a la 
masa inicial es mayor debido a que paulatinamente se va acelerando un móvil más ligero. 
 
Figura 3.3: Relación entre el impulso total y el incremento de velocidad 
alcanzado en función de la fracción ocupadapor el propulsante 
En definitiva, impulso total e incremento de velocidad son posibles requisitos determinados 
por la misión, el primero afecta solo al sistema de propulsión y el segundo depende de cómo 
se distribuyan el resto de masas del sistema. 
Vehículos multietapa 
Los vehículos multietapa están compuestos por varias etapas de propulsión que actúan 
secuencialmente. La utilización de etapas múltiples fue anticipada por Tsiolkovsky y supone 
un método de aumentar el incremento de velocidad conseguido aligerando de masa inerte al 
vehículo, pues a cada puesta en marcha de una nueva etapa propulsiva se prescinde de los 
motores y depósitos de la anterior, disminuyendo la masa seca (inerte) a lo largo del vuelo 
propulsado. La desventaja es el encarecimiento en la fabricación de varias unidades 
propulsivas, la complejidad que entraña la integración y operación del conjunto y la 
penalización en peso que supone duplicar estructuras que permanecen inactivas en espera de 
ser utilizadas. En la práctica, el número de escalones óptimo se encuentra entre dos y seis, 
dependiendo de la misión. 
Consideremos el caso de 𝑛 escalones de propulsión en los que cada uno incrementa la 
velocidad del vehículo en Δ𝑉𝑖 con lo que el incremento total será: 
Δ𝑉 = �Δ𝑉𝑗
𝑛
𝑗=1
 (3.20) 
es decir: 
Δ𝑉 = �𝐼𝑠𝑝,𝑗 𝑙𝑛
𝑛
𝑗=1
𝑀𝑖,𝑗
𝑀𝑓,𝑗
 (3.21) 
en la que si todos los motores tienen igual impulso, 𝐼𝑠𝑝,𝑗 = 𝐼𝑠𝑝, y las relaciones de masas son 
iguales, 𝑀𝑖,𝑗 𝑀𝑓,𝑗⁄ = 1 𝑀𝑅⁄ , resulta: 
Δ𝑉 = 𝑛 𝐼𝑠𝑝 𝑙𝑛
1
𝑀𝑅
 (3.22) 
con la evidente ventaja de utilizar escalonamiento, 𝑛 > 1. 
Desde un punto de vista más preciso, es posible elaborar un análisis (véase Hill y Peterson, 
1992), en el que se mantiene constante la relación estructural 𝜀𝑗 = 𝑀𝑠,𝑗 �𝑀𝑝,𝑗 + 𝑀𝑠,𝑗�⁄ donde 
𝑀𝑠,𝑗 es la masa estructural y 𝑀𝑝,𝑗 la masa del propulsante del escalón 𝑗 y la optimización de 
la velocidad de salida lleva al empleo de relaciones de masa 𝑀𝑅𝑗 iguales, si todos los escalones 
tienen igual impulso específico, con lo que resulta en: 
Δ𝑉ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 𝐼𝑠𝑝 𝑛 𝑙𝑛 �
�𝑀𝑖 𝑀𝑐𝑝⁄ �
1 𝑛⁄
𝜀 ��𝑀𝑖 𝑀𝑐𝑝⁄ �
1 𝑛⁄ − 1� + 1
� (3.23) 
donde, 𝑀𝑐𝑝 es la masa de carga de pago e implícitamente se ha supuesto que la masa inicial 
es 𝑀𝑖 = 𝑀𝑐𝑝 + 𝑀𝑠 + 𝑀𝑝. En la práctica, este resultado utilidad reducida pues lo normal es que 
el impulso específico de los escalones no sea igual o incluso, como en el caso de la lanzadera 
americana, los escalones sean diferentes, incluso en las relaciones estructurales. Sin embargo, 
los resultados son representativos. 
Catálogo de Misiones 
Las misiones en las que la utilización de motores cohete es adecuada o, simplemente, 
imprescindible se pueden clasificar de la siguiente manera: 
• Vehículos lanzadores: en este caso que incluye los misiles estratégicos, las potencias 
desplegadas pueden ser muy grandes (del orden del gigavatio) es prioritario que el empuje 
debe superar al peso y los incrementos de velocidad típicos superan los 5 km/s siendo 
habitual el uso de varios escalones. Se utilizan exclusivamente motores cohete químicos. 
• Misiles tácticos y misiones terrestres: la propulsión de misiles tácticos es llevada a cabo 
muy a menudo mediante motores cohete que destacan por su esbeltez y simplicidad de 
diseño. En este apartado se incluyen las misiones tipo JATO (o RATO) aunque ahora en 
desuso, si no es para la ayuda en vehículos UAV’s. Este tipo de misiones se encargan 
habitualmente a motores cohete de propulsante sólido. 
• Satélites y plataformas espaciales: los vehículos espaciales tienen una amplia cartera de 
necesidades propulsivas que necesitan niveles de empuje y/o incremento de velocidad 
modestos. Cabe destacar la compensación de resistencia, las correcciones de posición y 
orbita y el control de orientación, entre otras. Tradicionalmente han sido llevadas a cabo 
por sistemas químicos monopropulsantes pero últimamente se utilizan motores cohete 
eléctricos en número creciente. 
• Transferencia orbital: habitualmente alcanzar una determinada posición orbital operativa 
se lleva a cabo mediante sucesivos procesos de transferencia entre orbitas, es decir, 
períodos propulsados de cambio de parámetros orbitales con un principio y final 
definidos. En estas situaciones, se distingue entre maniobras de “bajo empuje” en las que 
la trayectoria está continuamente propulsada o los tiempos de viaje son relativamente 
largos y maniobras “impulsivas” en las que los tiempos de funcionamiento del motor son 
cortos, los empujes altos y el viaje suele transcurrir como una sucesión de cruceros no 
propulsados separados por impulsos puntuales. 
• Sondas y naves interplanetarias: Similar al caso anterior pero, en este caso, las órbitas de 
partida y llegada corresponden a cuerpos o planetas diferentes. Naturalmente, son menos 
habituales, con cierta complejidad, extendidas en el tiempo y de carácter científico. No 
obstante, los requisitos de propulsión pueden ser importantes (por ejemplo, la sonda 
Voyager ∆𝑉~0.15 𝑘𝑚/𝑠 frente a la sonda Galileo con ∆𝑉~1.7 𝑘𝑚/𝑠) 
• Nave interestelar: El viaje a las estrellas como puede verse en el cuadro adjunto (tabla 
3.2) constituye un muy ambicioso proyecto que implica incrementos de velocidad en el 
rango relativista (del orden de la velocidad de la luz), inalcanzables por la tecnología 
actual, ni en un futuro relativamente próximo. 
En el siguiente cuadro, Tabla 3.2, se muestran algunos valores significativos de los 
incrementos de velocidad necesarios en diferentes misiones de lanzamiento y transferencia 
orbital que son las más exigentes desde el punto de vista propulsivo. 
 
Tabla 3.2: Valores típicos de los incrementos de velocidad necesarios en 
diferentes misiones de lanzamiento y transferencia orbital e interplanetaria. 
Y en la tabla 3.3, a modo de ejemplo, se consignan valores significativos de los necesarios en 
diferentes misiones propulsivas a lo largo de la vida operativa de satélites y naves espaciales y 
que, como puede verse, significan requisitos muchos más modestos a imponer al sistema 
propulsivo. 
 
Tabla 3.3: Valores típicos de los incrementos de velocidad necesarios en 
diferentes misiones en satélites y naves espaciales 
Contando con la intervención de la ecuación del cohete y valores característicos del impulso 
específico es posible evaluar las capacidades propulsivas en términos del incremento de 
velocidad que son capaces de alcanzar los diferentes tipos de motores cohete. Se incorpora 
valores relevantes a este aspecto en la tabla 3.4 junto con otra información en cuanto a la 
selección previa de un tipo de sistema de propulsión, como son la capacidad de escalado y la 
relación empuje-peso del motor. 
 
Tabla 3.4: Datos característicos de los diferentes sistemas de propulsión en 
relación a la posibilidad de llevar a cabo una misión, definido por el 
incremento de velocidad calculado en base al impulso específico típico del 
sistema. 
A la vista del cuadro, se deduce inmediatamente que los sistemas termoquímicos son los 
únicos capaces de actuar en presencia de campos gravitatorios y que los sistemas eléctricos 
presentan valores de incremento de velocidad muy interesantes, debido a los altos impulsos, 
pero que sólo pueden ser utilizados en misiones en las que los niveles de empuje requeridos 
puedan ser bajos o muy bajos. 
Análisis de utilización 
La ecuación del cohete proporciona la relación necesaria para evaluar la capacidad propulsiva 
de un determinado sistema siempre y cuando se puedan cuantificar y relacionar con el motor 
la masa final e inicial del vehículo. Además, la generalización obtenida en la ecuación de 
Breguet permite inferir que los análisis basados en estas expresiones son suficientemente 
representativos de les posibilidades de los diferentes sistemas en un amplio rango de 
situaciones. 
Inventario de masas 
A la vista de la definición de cada misión se podrá establecer un inventario de las masasde 
cada uno de los elementos del vehículo. Con carácter general este inventario se puede esbozar 
de la siguiente manera: 
𝑀𝑖 = 𝑀𝑐𝑝 + 𝑀𝑚 + 𝑀𝑝𝑝 + 𝑀𝑑 + 𝑀𝑝 (3.24) 
donde 𝑀𝑖 es la masa inicial al comienzo de la misión, 𝑀𝑐𝑝 la masa de la carga de pago, 𝑀𝑚 la 
masa del motor, 𝑀𝑝𝑝 la masa la planta de potencia, 𝑀𝑑 la masa de los depósitos y 𝑀𝑝 la 
masa se propulsante. Dividiendo la ecuación 3.24 por la masa inicial, 
1 = r + (1 + 𝑘)𝑀𝑝 𝑀𝑖⁄ (3.25) 
en la que se utiliza la fracción de carga de pago 𝑟 = 𝑀𝑐𝑝 𝑀𝑖⁄ , el factor estructural de los 
depósitos 𝑘 = 𝑀𝑑 𝑀𝑝⁄ y, por sencillez, se han despreciado la masa de la planta de potencia y 
del motor 𝑀𝑚,𝑝𝑝 𝑀𝑖 ≪ 1⁄ . Finalmente, obtenemos el incremento de velocidad mediante la 
ecuación del cohete en función de los parámetros definidos 
∆𝑉
𝐼𝑠𝑝
= ln
1 + 𝑘
𝑟 + 𝑘
 (3.26) 
o, bien, podemos despejar la fracción de carga de pago 
r = (1 + 𝑘)𝑒−∆𝑉/𝐼𝑠𝑝 − 𝑘 (3.27) 
como variable más representativa de la misión. Obsérvese que es de primordial importancia 
pues, dada una masa de carga de pago que deba ser impulsada con un incremento de 
velocidad, la masa inicial del sistema es 𝑀𝑖 = 𝑀𝑐𝑝 𝑟⁄ , lo que significa que todo aumento de la 
fracción de carga de pago, implica una disminución directa de la masa inicial, con el 
consiguiente ahorro económico u operacional. Minimizar el peso de lanzamiento reduce costes, 
complejidad y problemas de logística. 
Es sencillo representar gráficamente la fracción de carga de pago en función de ∆𝑉 𝐼𝑠𝑝 ⁄ para 
un valor arbitrario de k (figura 3.4). La fracción de carga de pago depende de la variable 
∆𝑉 𝐼𝑠𝑝 ⁄ , es decir, los incrementos de velocidad alcanzables escalan proporcionalmente con el 
impulso específico que se utilice. 
 
Figura 3.4: Representación esquemática de la fracción de carga de pago en 
función de ∆𝑉/𝐼𝑠𝑝R y el factor estructural k. 
Como se ve en la figura la función es monótona decreciente, presenta una asíntota horizontal 
al valor negativo 𝑟 = −𝑘 y cruza el eje cuando 
∆𝑉 𝐼𝑠𝑝⁄ �𝑟=0 = ln[(1 + 𝑘) 𝑘⁄ ] (3.28) 
La consecuencia evidente es que un aumento del incremento de velocidad deseado reduce la 
fracción de carga de pago que se puede transportar. Como no tiene sentido fracciones de 
carga de pago negativas, para un determinado impulso específico y factor estructural de los 
depósitos de propulsante, hay un incremento de velocidad máximo que se puede alcanzar, que 
limita las expectativas más ambiciosas de cada sistema de propulsión. 
Por otro lado, derivando y manipulando la expresión para referir las variaciones con su 
propio valor, es posible obtener la siguiente relación 
𝛿𝑟
𝑟
=
Δ𝑉
𝐼𝑠𝑝
�
𝑟 + 𝑘
𝑟
�
𝛿𝐼𝑠𝑝
𝐼𝑠𝑝
 (3.29) 
que expresa la proporcionalidad entre la fracción de la carga de pago y el impulso 
específico, para un valor dado de ∆𝑉, de tal manera que multiplicar por dos el impulso 
específico da lugar a sistemas con la mitad de peso (por ejemplo, es inviable la utilización de 
un sistema de gas frio, 𝐼 < 100 𝑠, en una misión interplanetaria frente a un sistema 
bipropulsante presurizado, 𝐼 ~230 𝑠, al quedar multiplicados por, al menos, un factor de 3 
todos los costes de lanzamiento). Naturalmente, estas consideraciones son adecuadas cuando 
el factor es de orden unidad, es decir, ∆𝑉~𝐼𝑠𝑝, y, por ejemplo, 𝑘 ≪ 𝑟 como puede ser habitual. 
Si el sistema utiliza muy poco propulsante en una misión poco exigente (bajo incremento de 
velocidad) el impacto de emplear un sistema de mucho impulso es irrelevante a efectos de 
masa y, como económicamente es muy caro, no merece la pena (por eso se emplean sistemas 
muy sencillos en misiones poco exigidas). 
En el caso de ∆𝑉~𝐼𝑠𝑝 la fracción de carga de pago es de orden unidad (o más pequeña) y el 
impulso específico tiene una gran influencia provocando cambios en la masa (precio, coste de 
lanzamiento, volumen embarcado, etc.) del orden de él mismo. 
Motor cohete de propulsante líquido 
Las ecuaciones obtenidas previamente se ajustan bastante bien al análisis de un vehículo 
propulsado por motores cohete de propulsante líquido. El factor estructural, 𝑘, que relaciona 
la masa del depósito con la de propulsante, depende del nivel de presurización a la que se 
someta a los depósitos (que a su vez, tiene que ver con obviar problemas de cavitación en las 
bombas o, en el caso de sistemas presurizados tiene implicaciones algo más complejas 
parecidas a las de los motores de propulsante solido que se analizan a continuación) y la 
densidad de los propulsantes (típicamente, 𝑘 ~ 0.2 para los ligeros como el hidrógeno líquido 
o 𝑘 ~ 0.01 para propulsantes pesados). 
Como se ha mostrado en el apartado anterior, a la vista de la ecuación se deduce que, en 
general, el incremento de velocidad se maximiza cuando se toma el impulso específico 
máximo. No obstante, le elección de propulsantes que den alto impulso especifico conduce, 
por ejemplo, a la utilización de LH2/LO2 que implica la utilización de voluminosos depósitos 
de hidrógeno cuyo peso y volumen pueden aconsejar empobrecer la mezcla para aumentar el 
incremento de velocidad mejorando el término del logaritmo y la aerodinámica (recuérdese 
que el termino ΔV engloba las pérdidas por resistencia). Claro, en este caso, el factor 
estructural global depende de la relación de mezcla, O/F, entre oxidante y reductor: 
𝑘 =
𝑘0𝑂 𝐹 + 𝑘𝐹⁄
𝑂 𝐹 + 1⁄
 (3.30) 
Donde, los subíndices O y F corresponden a oxidante y reductor, respectivamente, lo que 
conlleva que el valor del factor estructural dependa de la relación de mezcla, O/F, en cámara 
de combustión al igual que el impulso especifico. La relación de mezcla que maximice el 
incremento de velocidad diferirá de la que maximice el impulso especifico si las relaciones 
estructurales de ambos depósitos son muy diferentes. 
Motor cohete de propulsante sólido 
Los motores cohete de propulsante sólido presentan una disposición muy peculiar, en la que 
el motor y el depósito de propulsante son indistinguibles e, incluso, el propio propulsante 
forma parte de la integridad estructural de la cámara de combustión. En estas condiciones se 
engloban las masas de estos elementos en una sola (identificándose con la masa de la carcasa, 
𝑀𝑐): 
𝑀𝑚 + 𝑀𝑑 = 𝑀𝑐 = 𝑎𝑀𝑝 (3.31) 
ahora al factor estructural se ha denominado ‘𝑎 = 𝑀𝑐 𝑀𝑝⁄ ’, y expresa la necesidad de diseñar 
cámaras más robustas si la presión de ésta es mayor. La ecuación de cohete queda con la 
forma habitual: 
∆𝑉 = 𝐼𝑠𝑝ln
1 + 𝑎
𝑟 + 𝑎
 (3.32) 
Como todo el conjunto (cámara y tobera) debe estar dimensionado para soportar la presión 
de funcionamiento del motor, el factor 𝑎, expresa la influencia de las reglas de diseño 
empleadas (determinación de la presión de diseño, factores de seguridad, resistencia específica 
del material, forma de la cámara y densidad de propulsante). Al aumentar la presión de 
cámara aumenta el impulso específico (adaptando la tobera a la presión ambiente a la altura 
de vuelo) y cuando 𝑎 aumenta el logaritmo disminuye, presentándose la posibilidad de 
seleccionar una presión de cámara óptima que maximice ∆𝑉. 
Motor cohete eléctrico 
Los motores cohete eléctricos presentan un serie de elementos, captadores de energía, 
baterías, sistemas de ionización, solenoides, entrehierros, imanes, cátodos, ánodos o rejillas de 
aceleración, cuya masa es, en primera aproximación, proporcional a la potencia eléctrica 
empleada y ésta, a su vez, proporcional a la potencia cinética del chorro, es decir, se puede 
establecer una relación de proporcionalidad entre ambas, de la forma: 
1
2
𝑀𝑝𝐼𝑠𝑝2 = �𝑀𝑝𝑝 + 𝑀𝑚�𝑍 (3.33) 
expresión que define la energía específica, 𝑍 (sus unidades son J/kg), que es “la energía que es 
capaz de desplegar el sistema durante el tiempo de propulsión” produciendo un chorro de 
velocidad 𝑉𝑠 ~𝐼𝑠𝑝. Más adelante, se darán argumentos suficientes que permitan cuantificar 𝑍 
en función de característicasconstructivas del motor. 
En estas condiciones la masa inicial del vehículo es 
𝑀𝑖 = 𝑀𝑐𝑝 + �
1
2
 𝐼𝑠𝑝2 𝑍⁄ �𝑀𝑝 + (1 + 𝑘)𝑀𝑝 (3.34) 
y la ecuación de cohete toma la forma siguiente 
∆𝑉 = 𝐼𝑠𝑝𝑙𝑛
1 + 𝑘 + 12 𝐼𝑠𝑝
2 𝑍⁄
𝑟 + 𝑘 + 12 𝐼𝑠𝑝
2 𝑍⁄
 (3.35) 
En la que claramente el impulso específico con el que funcione el motor, influye en el interior 
del logaritmo de manera que el incremento de velocidad puede presentar un máximo en 
función del impulso específico para una fracción de carga de pago dada o existe un impulso 
específico que maximiza la carga de pago para un incremento de velocidad dado. Bajo ciertas 
condiciones el impulso que maximiza el incremento de velocidad tiene el valor aproximado 
�𝐼𝑠𝑝 √𝑍⁄ �𝑜𝑝𝑡 ≈ �2(1 − 𝑟) 𝑙𝑛[(1 + 𝑘) (𝑟 + 𝑘)⁄ ]⁄ (3.36) 
Obsérvese en la ecuación (3.36) que, para valores habituales del factor estructural de los 
depósitos y cargas de pago, el impulso específico escala como la raíz cuadrada de la energía 
específica, 𝐼𝑠𝑝~√𝑍, lo que supone que el esfuerzo tecnológico de aumentar 𝑍 no tiene una 
contrapartida proporcional en las posibilidades propulsivas del sistema. Los valores habituales 
de las anteriores variables pueden estar en torno a 𝑍 = 109 𝐽/𝑘𝑔 para un motor termonuclear 
que produzca unos 900 segundos de impulso y 𝑍 = 1011 𝐽/𝑘𝑔 para un acelerador de iones que 
utilice como fuente de energía un reactor nuclear y que produzca entre 4000 y 5000 segundos 
de impulso. Con todo y con eso los incrementos de velocidad como el lector puede comprobar 
no superan los 100 km/s que confina los posibles viajes a, como mucho, los planetas 
exteriores del Sistema Solar. 
Lección 4: Termodinámica de los Procesos de 
Combustión 
Introducción 
Las cámaras de combustión de los motores cohete termoquímicos se diseñan de forma que las 
reacciones químicas liberen la mayor cantidad de energía posible. La situación óptima es la 
de equilibrio químico, relativamente sencilla de calcular con las herramientas adecuadas, que 
serán motivo de atención en esta lección. Por estos motivos, se incluye a continuación un 
resumen de los aspectos más relevantes que describen estos procesos, y se aprovecha para 
recordar principios básicos de Termodinámica, que también serán útiles a lo largo del curso. 
Primer principio de la termodinámica 
Este principio establece que la suma de todas las energías permanece constante en un sistema 
cerrado y aislado. Se puede expresar matemáticamente diciendo que el cambio de energía 
interna, 𝑑𝑢, de un sistema viene determinado por la cantidad de calor, 𝛿𝑄, y de trabajo, 𝛿𝑊, 
que entran en el sistema, 
𝑑𝑢 = 𝛿𝑄 + 𝛿𝑊 (4.1) 
Se definen las variables de estado, Z, como aquéllas que sólo dependen del estado del sistema 
y se deduce inmediatamente que ∮𝑑𝑍 = 0, a diferencia de aquéllas (símbolo 𝛿) que, cuando el 
sistema evoluciona cíclicamente, su variación no tiene por qué ser nula. 
Se pueden cuantificar diversos tipos de trabajo que originarán una variación de la energía 
interna; por ejemplo, trabajo de carácter eléctrico, 𝐸𝑑𝑞, requerido para modificar la carga 
eléctrica en presencia de un campo eléctrico, trabajo superficial, 𝜎𝑑𝐴, en el que el trabajo se 
ejerce al modificar la superficie de una entre-fase sometida a fuerzas de tensión superficial o 
el trabajo de compresión −𝑝𝑑𝑉 que se ejerce sobre un volumen variable sometido a presión. 
Para los sistemas termodinámicos que nos interesan expresaremos el principio de 
conservación de la energía de la siguiente manera 
𝑑𝑢 = 𝛿𝑄 − 𝑝𝑑𝑉 (4.2) 
Como a menudo el proceso puede tener lugar a presión constante será interesante sumar 
𝑑(𝑝𝑉) = 𝑝𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑝 a la expresión anterior y obtener 
𝑑(𝑢 + 𝑝𝑉) = 𝛿𝑄 + 𝑉𝑑𝑝 (4.3) 
Como el primer término está compuesto por variables de estado, define en sí mismo una 
variable de estado que es la entalpía, ℎ = 𝑢 + 𝑝𝑉, con lo que el primer principio queda: 
𝑑ℎ = 𝛿𝑄 + 𝑉𝑑𝑝 (4.4) 
que es la variable adecuada al cuantificar cambios energéticos a presión constante. 
Calor específico 
Como las transferencias de calor originan cambios de temperatura es conveniente definir el 
ritmo al que se producen estos cambios mediante la definición de calor específico como aquél 
que es necesario suministrar por cada grado que se eleva la temperatura, es decir, 𝑐 = 𝛿𝑄 𝑑𝑇⁄ . 
Si el proceso tiene lugar a presión constante, el calor no sólo incrementa la temperatura sino 
que también aumenta el volumen (capacidad de generar trabajo), con lo que el calor 
específico, 𝑐𝑝, a presión constante es mayor que el calor específico a volumen constante, 𝑐𝑣. 
Utilizando el primer principio, resulta que 
𝑑𝑢 = 𝑐𝑣𝑑𝑇 y 𝑑ℎ = 𝑐𝑝𝑑𝑇 (4.5) 
y, además, 𝑐𝑝 = 𝑅 + 𝐶𝑣, 𝑅 = ℛ ℳ⁄ , con ℛ = 8314 𝐽/𝑘𝑔 𝑚𝑜𝑙 = 1.9872 𝑐𝑎𝑙/𝑘𝑔 𝑚𝑜𝑙 y ℳ el 
peso molecular de la sustancia. 
Funciones termodinámicas de un gas ideal 
Las condiciones en las que las sustancias gaseosas presentes en los motores cohete son 
adecuadas para poder ser tratadas como gases ideales son frecuentes y, por lo tanto, es 
conveniente establecer las relaciones correspondientes. 
Ecuación de estado 
La ecuación de estado de un gas ideal es: 
𝑝 𝜌 = 𝑅𝑇⁄ (4.6) 
Energía interna, entalpía y entropía 
La energía interna es 
𝑢 = 𝑢0 +� 𝑐𝑣(𝑇)𝑑𝑇
𝑇
𝑇0
 (4.7) 
y la entalpía 
ℎ = ℎ0 + � 𝑐𝑝(𝑇)𝑑𝑇
𝑇
𝑇0
 (4.8) 
El estado de referencia es 𝑇0 = 298.16 𝐾 y 𝑝0 = 1 𝑏𝑎𝑟, y naturalmente ℎ0 = 𝑢0 + 𝑝0 𝜌0⁄ . Para 
la entropía de un gas perfecto 
𝑠 = 𝑠0 − 𝑅𝑙𝑛
𝑝
𝑝0
+ �
𝑐𝑝(𝑇)
𝑇
𝑑𝑇
𝑇
𝑇0
 (4.9) 
Entalpía estándar de formación 
Los cambios energéticos, variaciones de energía interna y entalpía, pueden medirse en 
calorímetros y bombas de combustión. Se trata de recintos cerrados de volumen constante en 
los que se hacen reaccionar las sustancias implicadas, usualmente a alta presión, lo que 
garantiza alta velocidad de reacción. El reactor se sumerge en un baño de agua aislado, en el 
que se evalúa la energía transferida y, por lo tanto, los cambios en energía interna y/o 
entalpía. 
Como ejemplo, tomemos la reacción de combustión del hidrógeno con oxígeno 
2𝐻2 + 𝑂2 → 2𝐻2𝑂 (4.10) 
que puede ser codificada mediante una reacción de tipo genérico 
�𝜐𝑖′𝐴𝛼
𝑖
→�𝜐𝑖′′𝐴𝛼
𝑖
 (4.11) 
adoptando 𝐴1 = 𝐻2, 𝐴2 = 𝑂2, 𝐴3 = 𝐻2𝑂, 𝜐1′ = 2, 𝜐2′ = 1, 𝜐3′ = 0, 𝜐1′′ = 𝜐2′′ = 0, 𝜐3′′ = 2 . El 
cambio en energía interna y entalpía de la reacción es: 
∆𝑅𝑈𝜊 = �(𝜐𝑖′′ − 𝜐𝑖′)𝑈𝑖𝜊 (4.13) 
donde 𝑈𝑖𝜊 y 𝐻𝑖𝜊 son la energía interna y entalpías molares de la especie i. Como sólo es 
posible evaluar cambios, es necesario definir un estado de referencia. Se adopta el valor cero 
para la entalpía de elementos puros en el estado más estable a temperatura y presión de 
referencia de 𝑇𝑟𝑒𝑓 = 298.15 𝐾 y 𝑃𝑟𝑒𝑓 = 105 𝑃𝑎R (denominado estado estándar). De esta 
manera, es posible definir la entalpía estándar de formación Δ𝐻𝑓,298𝜊 de un compuesto como la 
entalpía de reacción Δ𝑅𝐻𝜊, de la reacción de formación a partir de sustancias puras a la 
temperatura de 298.15 K y a la presión de 1 bar. 
Desde el punto de vista práctico, no se pueden formar fácilmente todos los compuestos de 
interés a partir de sus elementos puros, pero se puede utilizar la propiedad de que, al ser una 
variable de estado, podemos utilizar caminos indirectos. 
 
Sustancia Δ𝐻𝑡,298𝜊 (𝑘𝐽/𝑚𝑜𝑙) Δ𝑆298𝜊 (𝐽/𝑚𝑜𝑙 𝐾) 
Oxígeno, O2 (g) 0.00 204.04 
Oxígeno atómico, O (g) 249.2 160.95 
Hidrógeno, H2 (g) 0.00 130.57 
Hidrógeno atómico, H (g) 218.00 114.60 
Agua, H2O (g) -241.81 188.72 
Agua, H2O (l) -284.83 69.95 
Radical hidróxido, OH (g) 39.3 183.60 
Carbono (grafito), C(s) 0.00 4.74 
Nitrógeno, N2 (g) 0.00 191.50 
Nitrógeno atómico, N (g) 472.68 153.19 
Dióxido de nitrógeno, N2O (g) 33.10 239.91 
Monóxido de carbono CO (g) -110.53 197.56 
Dióxido de carbono CO2 (g) -393.50 213.68 
 
Tabla 1. Entalpías y entropías de formación de algunos compuestos que 
aparecen típicamenteen las reacciones de combustión 
∆𝑅𝐻𝜊 = �(𝜐𝑖′′ − 𝜐𝑖′)𝐻𝑖𝜊 (4.12) 
Segundo principio de la termodinámica 
Hay una serie de fenómenos que tienen lugar en la Naturaleza cuya certeza de ocurrencia es 
muy alta aunque, desde el punto de vista macroscópico, no responden a razón alguna, sin 
embargo, y su persistencia acaba creando una asimetría en el mundo microscópico. De esta 
forma, cuando dos cuerpos a diferente temperatura se ponen en contacto y se aíslan del 
exterior, indefectiblemente, el calor fluye del caliente al frío hasta que se alcanza un estado de 
igualdad de temperaturas. Lo anterior constituye uno de los enunciados más sencillos del 
Segundo Principio de la Termodinámica. Otro enunciado muy popular, es que podemos 
observar procesos en los que el valor íntegro de la energía mecánica puede ser transformado 
en calor, pero es imposible observar un proceso en el que una determinada cantidad de calor 
pueda ser íntegramente transformada en trabajo. Es evidente, que en la Naturaleza parece 
haber caminos que solo pueden recorrerse en un sentido. 
En termodinámica se definen los procesos reversibles como aquéllos que pueden recorrerse en 
sentido contrario, simplemente revirtiendo las interacciones sobre el sistema, retornando éste 
a su estado original. Es posible definir una variable de estado extensiva (que en el fondo 
constituye un nuevo enunciado del Segundo Principio) con las siguientes propiedades 
𝑑𝑆 = 𝛿𝑄𝑟𝑒𝑣 𝑇⁄ , 𝑑𝑆 > 𝛿𝑄𝑖𝑟𝑟𝑒𝑣 𝑇⁄ (4.14) 
Que se denomina entropía, palabra griega utilizada primeramente por Clasius que significa 
evolución o transformación y que ha dado lugar a no pocos equívocos y ambigüedades. 
El Tercer Principio de la Termodinámica fija el valor de referencia para la entropía en el cero 
absoluto, lim𝑇→0 𝑆 = 0, para cristales ideales de sustancias puras. 
Criterio de equilibrio 
Si se sustituye el valor del calor dado por la variación de entropía en la ecuación del Primer 
Principio se obtiene 
𝑑𝑈 + 𝑝𝑑𝑉 − T𝑑𝑆 ≤ 0 (4.15) 
en el que el signo “=” debe emplearse en evoluciones reversibles, mientras que el signo “<” en 
irreversibles. 
Supongamos un sistema de varios componentes en equilibrio al que se agrega una pequeña 
cantidad de uno de ellos, la condición de equilibrio será: 
𝑑𝑈 + 𝑝𝑑𝑉 − 𝑇𝑑𝑆 = 0 (4.16) 
o bien 
𝑑(𝑈 − 𝑇𝑆) + 𝑝𝑑𝑉 + S𝑑𝑇 = 0 (4.17) 
donde 𝐴 = 𝑈 − 𝑇𝑆 es la energía libre o función de Helmholtz, aunque también se puede poner 
𝑑(𝑈 − 𝑇𝑆 + 𝑝𝑉) − 𝑉𝑑𝑝 + 𝑆𝑑𝑇 = 0 (4.18) 
en la que 𝐺 = 𝐻 − 𝑇𝑆 se denomina entalpía libre o función de Gibbs. En todos los casos, 
𝑑𝑈𝑉,𝑆 = 𝑑A𝑉,𝑇 = 𝑑𝐺𝑃,𝑇 = 0 (4.19) 
expresa la condición de equilibrio del sistema y se puede utilizar uno u otro, según convenga, 
en función de las variables de estado que se quiera establecer para definir el estado del 
sistema. 
Mezcla de gases 
Consideremos una mezcla de 𝑀 especies químicas diferentes que se comportan 
individualmente como gases ideales, y que su respuesta individual es como si se encontraran 
aislados, con lo que podemos hablar de una mezcla ideal de gases ideales. 
Llamando 𝑛𝑖 al número de moles de la sustancia 𝑖, el número total de moles será: 𝑛 = ∑ 𝑛𝑖𝑖 
con lo que se puede definir la fracción molar de la especie 𝑖 como 𝑋𝑖 = 𝑛𝑖 𝑛⁄ con lo que, 
rápidamente, se observa que ∑ 𝑋𝑖 = 1𝑖 . Si llamamos 𝜌𝑖 a la densidad parcial de la especie 𝑖, es 
posible definir la fracción másica de la especie como 𝑌𝑖 = 𝜌𝑖 𝜌⁄ (lo que inmediatamente 
proporciona ∑𝑌𝑖 = 1, nuevamente). Como por definición 𝑛𝑖 = 𝜌𝑖 ℳ𝑖⁄ , resulta que 𝑛𝑖 = 𝜌𝑌𝑖 ℳ𝑖⁄ 
y de 
𝑛 = 𝜌�
𝑌𝐽
ℳ𝐽𝐽
 (4.20) 
se sigue inmediatamente 
𝑋𝑖 =
𝑌𝑖 ℳ𝑖⁄
∑𝑌𝐽 ℳ𝐽⁄
 (4.21) 
o su inversa 
𝑌𝑖 =
𝑋𝑖ℳ𝑖
∑𝑋𝑖ℳ𝑖
 (4.22) 
siendo ℳ𝑚 = ∑𝑋𝑖ℳ𝑖 el peso molecular medio de la mezcla que, en función de las fracciones 
másicas, es: 
1
ℳ𝑚
= �
𝑌𝐽
ℳ𝐽𝐽
 (4.23) 
Los valores de energía interna, entalpía y entropía para la mezcla se calculan fácilmente a 
tenor de la idealización asumida, 
𝑢 = �𝑢𝑖𝑌𝑖, ℎ = �ℎ𝑖𝑌𝑖, 𝑠 = �𝑠𝑖𝑌𝑖 (4.24) 
Con expresiones similares para los valores de referencia: 
𝑢0 = �𝑢0𝑖𝑌𝑖, ℎ = �ℎ𝑖0𝑌𝑖 , 𝑠 = �𝑠0𝑖𝑌𝑖 (4.25) 
Las expresiones quedan idénticas a las correspondientes a un solo componente, adoptando los 
valores medios del peso molecular, ℳ𝑚, ya definido y de 
𝑐𝑣𝑚 = �𝑐𝑣𝑖𝑌𝑖 , 𝑐𝑝𝑚 = �𝑐𝑝𝑖𝑌𝑖, 𝑅𝑚 = ℛ ℳ𝑚⁄ (4.26) 
Mezcla de gases en equilibrio 
Definiendo el potencial químico, 𝜇𝑖, de un compuesto como la derivada parcial de la energía 
libre de Gibbs respecto a la concentración del componente i, 
(𝜇𝑖) = �
𝜕𝐺
𝜕𝑛𝑖
�
𝑛𝑗,𝑝,𝑇
 (4.27) 
que significa que para un compuesto puro el potencial químico es la derivada de la 
función de Gibbs molar, 𝜇 = (𝜕𝐺 𝜕𝑛⁄ )𝑇,𝑃, y como (𝑑𝐺)𝑇 = 𝑉𝑑𝑝, integrando 
𝐺(𝑇,𝑝) = 𝐺0(𝑇) + � 𝑉𝑑𝑝 = 𝐺0(𝑇)
𝑝
𝑝0
� 𝑛𝑅𝑇
𝑑𝑝
𝑝
= 𝐺0(𝑇) + 𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛
𝑝
𝑝0
𝑝
𝑝0
 (4.28) 
y como el potencial químico se obtiene derivando respecto a n: 
𝜇 = 𝜇0(𝑇) + 𝑅𝑇𝑙𝑛
𝑝
𝑝0
 (4.29) 
lo que permite generalizar para una mezcla de gases, obteniendo 
𝜇𝑖 = 𝜇𝑖0(𝑇) + 𝑅𝑇𝑙𝑛
𝑝𝑖
𝑝0
 (4.30) 
que es congruente con expresar la función de Gibbs para una mezcla de la siguiente manera: 
𝑑𝐺 = 𝑉𝑑𝑝 + 𝑆𝑑𝑇 + �𝜇𝑖𝑑𝑛𝑖
𝑖
 (4.31) 
Podemos considerar la variable de progresión, 𝜉, mediante la relación 𝑑𝑛𝑖 = (𝜐𝑖′′ − 𝜐𝑖′)𝑑𝜉 y 
que define los límites de variación de la variable de progresión 𝜉 ∈ [0,1]. En estas condiciones, 
la ecuación que permite obtener la composición en el equilibrio a presión y temperatura 
constante es: 
0 = �𝜇𝑖𝑑𝑛𝑖
𝑖
= �(𝜐𝑖′′ − 𝜐𝑖′)
𝑖
𝜇𝑖𝑑𝜉 (4.32) 
que implica 
�(𝜐𝑖′′ − 𝜐𝑖′)
𝑖
𝜇𝑖 = 0 (4.33) 
sustituyendo los potenciales químicos 
�(𝜐𝑖′′ − 𝜐𝑖′)
𝑖
𝜇𝑖0 + 𝑅𝑇�(𝜐𝑖′′ − 𝜐𝑖′)
𝑖
𝑙𝑛
𝑝𝑖
𝑝0
= 0 (4.34) 
que se puede expresar mediante las constantes de equilibrio 
𝐾𝑝 = ��
𝑝𝑖
𝑝0
�
�𝜐𝑖
′′−𝜐𝑖
′�
,
𝑖
 𝐾𝑐 = �𝑋𝑖
�𝜐𝑖
′′−𝜐𝑖
′�
𝑖
 (4.35) 
con las siguientes relaciones: 
𝐾𝑝 = 𝑒
−Δ𝑅𝐺0RT ; 𝐾𝑐 = 𝑒
−Δ𝑅𝐴0RT (4.36) 
Donde Δ𝑅𝐺0 = ∑ (𝜐𝑖′′ − 𝜐𝑖′)𝑖 𝜇𝑖0 o Δ𝑅𝐺0 = Δ𝑅𝐴0 + 𝑝0𝑉0. 
Composición de equilibrio 
El problema consiste en la determinación de la composición de equilibrio de un sistema a una 
presión y temperatura dadas. Los pasos son los siguientes: 
• Selección de especies: se deben determinar los componentes del sistema mediante un juicio 
adecuado que dependerá de la aplicación en la que se esté trabajando. Por ejemplo, si se 
pretende obtener la composición de equilibrio del sistema O-H a 1500 K y 1 bar es 
razonable suponer que 𝑂2,𝐻2,𝑂,𝐻,𝑂𝐻,𝐻2𝑂 serán especies (𝑆 = 6) presentes en el sistema. 
• Determinación de los componentes: habitualmente los componentes serán los átomos 
distintos del sistema (𝐾 = 2), que deben determinarse mediante las condiciones del 
problema planteado, es decir, la composición inicial del sistema. 
• Determinación de las reacciones independientes: se deben enumerar 𝑅 = 𝑆 − 𝐾 reacciones 
independientes en las que implementar la condición de equilibrio, 𝑅 = 4 
��𝜐𝑖𝑗′′ − 𝜐𝑖𝑗′ �
𝑖
𝜇𝑖 = 0, 𝑗 = 1. .𝑅 (4.37) 
• Solución del sistema: usualmente será necesario implementar algún método de solución de 
ecuaciones no lineales. 
Temperatura adiabática de combustión, 𝑻𝒇 
Se ha mostrado en el apartado anterior el procedimiento general para establecer la 
composición de equilibrio en un sistema en el que se conocen la presión y temperatura de 
antemano. Si consideramos el proceso que tiene lugar en una bomba de calor, en la que se 
incorporan unas cantidades conocidas de sustancias reactantes, que sufren un proceso de 
combustión, produciendo una serie de productos y que, mediante algún mecanismo (variando 
el volumen) se mantiene la presión constante durante el proceso, como se ha supuesto que la 
bomba está aislada térmicamente (𝛿𝑄 = 0), se verifica que 𝑑𝐻 = 0 y esta ecuación permite 
obtenerla temperatura que alcanzará el sistema, expresando que la entalpía de reactantes es 
igual a la de productos 𝐻𝑟(𝑇0) = 𝐻𝑝�𝑇𝑓� 
�𝜐𝑖′ℎ𝑖0 =�𝜐𝑖′′ℎ𝑖0 (4.38) 
que desarrollado queda: 
�𝜐𝑖′�∆𝑓ℎi0 + �ℎi0(𝑇0) − ℎi0(298.15)�� = �𝜐𝑖′′�∆𝑓ℎi0 + �ℎi0�𝑇𝑓� − ℎi0(298.15)��
𝑖𝑖
 (4.39) 
donde, 𝑇0 es la temperatura inicial de los reactantes y 𝑇𝑓 es la temperatura adiabática de 
combustión con composición de equilibrio para la mezcla final. En este caso el proceso 
iterativo se hace más necesario al ser función de la temperatura el valor de las entalpías. 
Este cálculo será muy fructífero para la simulación de los procesos que tienen lugar en los 
motores cohete térmicos pues será una buena aproximación de la composición y temperatura 
alcanzada en un gran número de elementos del motor. 
 
 
 
 
 
Lección 5: Actuaciones de Motores Cohete 
Térmicos 
Introducción 
Los motores cohete térmicos presentan, en general, un complejo funcionamiento en el que la 
liberación de energía tiene lugar mediante procesos de combustión no estacionarios, 
tridimensionales y turbulentos de difícil descripción. Excepción a esto puede ser la relativa 
sencillez del cambiador de calor que refrigera una resistencia eléctrica o el campo fluido del 
núcleo de un reactor nuclear. 
A pesar de la complejidad del sistema, los modelos empleados en diversos niveles de 
aproximación pueden ofrecer resultados satisfactorios con esfuerzos de cálculo modestos. 
El método habitual de abordar el problema de las actuaciones de estos sistemas es la 
descripción de los subsistemas en los que se pueden emplear hipótesis simplificadoras que, si 
bien no son de aplicación en el sistema completo, suponen una buena aproximación para una 
porción de él. La división más simple es separar el sistema que aloja el proceso de combustión 
en el que tienen lugar las reacciones químicas irreversibles y fuertemente exotérmicas de la 
tobera del motor, en la que como mucho tiene lugar un proceso de desplazamiento del 
equilibrio químico, y en el que la aceleración del propulsante es predominante. 
Habitualmente, en la literatura especializada se pueden encontrar los modelos descritos en 
tres categorías diferentes. 
Modelos simples 
En estas descripciones, las hipótesis son drásticas; a menudo se ignoran fenómenos 
importantes y, a cambio, se incorpora cierta información empírica que ajusta los resultados. 
El nivel de descripción es modesto pero, aun así, se obtiene cuáles son los parámetros 
relevantes e información valiosa referente su influencia en las actuaciones del sistema, 
además, es posible establecer un dimensionado inicial del sistema. Estos modelos requieren un 
número limitado de parámetros de entrada y pueden ser utilizados por personal con poca 
experiencia. Naturalmente, el nivel de fidelidad no es alto. 
Las características típicas de este tipo de descripciones son: 
• Modelos de combustión simples: combustión completa, composición de equilibrio en 
reactores homogéneos (sin dimensiones espaciales). 
• Modelos unidimensionales del movimiento en la tobera. Modelos simples de fluido, 
ideal, homogéneo, shifting equilibrium, etc. 
• Correcciones empíricas por efectos reales, pérdidas por divergencia. 
Modelo de ingeniería 
En estos modelos las hipótesis deben ser justificadas para obtener niveles de descripción 
suficientemente adecuados a la construcción de un prototipo. La formación de los usuarios es 
a nivel de experto y la experiencia juega un papel importante, pues hay gran cantidad de 
datos de entrada. El nivel de fidelidad es alto. 
A nivel de ingeniería las situaciones se complican: 
• Modelos de combustión. Modelos de mezcla. 
• Incorporación de cinética finita en el cálculo a lo largo de la tobera. 
• Códigos bidimensionales de análisis de la tobera con la influencia de la viscosidad 
(turbulencia). 
• Se añaden estudios sobre estabilidad de combustión, erosión de materiales, 
transmisión de calor, etc. 
Modelos complejos o de investigación 
El siguiente nivel corresponde a modelos detallados, muy completos, en los que el número de 
hipótesis simplificadoras es reducido. Estos modelos necesitan expertos para su uso, y los 
tiempos, tanto de preparación de datos como obtención de resultados, son muy altos. 
En el terreno de la investigación la complejidad alcanza niveles elevados al aumentar el nivel 
de detalle que se emplea, por ejemplo: 
• Modelos 3D, no estacionarios para los fenómenos de combustión, tanto en 
combustibles sólidos como líquidos. 
• Estudio de los transitorios de arranque y parada. 
• Inestabilidades de combustión. Acoplamiento mecánico. 
• Fenómenos no axilsimétricos, desprendimiento de toberas. 
• Etc. 
Las características de los modelos mencionados se pueden describir en la tabla 5.1. por 
comparación de unos con otros 
 
MODELO SIMPLE INGENIERÍA INVESTIGACIÓN 
Cantidad y complejidad de los 
datos de entrada utilizados 
POCOS MUCHOS MUCHOS 
Confianza en los datos 
empleados 
ALTA MEDIA MEDIA-BAJA 
Formación necesaria del 
personal que utiliza el modelo 
NORMAL EXPERTA MUY ALTA 
Ciclo de trabajo, tiempo de 
respuesta. 
CORTO 
MEDIO-
LARGO 
LARGO 
Nivel de fidelidad alcanzada, 
precisión, predictibilidad. 
MODERADA BUENA ALTA 
Tabla 5.1 algunas características de uso de los modelos empleados en la 
descripción de actuaciones y diseño de motores cohete termoquímicos. 
Las categorías mostradas a menudo permiten abordar la descripción del sistema desde la 
sencillez de los modelos más simples hacia la obtención de resultados más precisos 
incorporando paulatinos ajustes y submodelos que refinan las herramientas empleadas. Este 
proceso se agota en la necesidad de prescindir de una hipótesis que obliga a emplear un 
modelo nuevo como, por ejemplo, pasar de un modelo unidimensional a uno bidimensional en 
el que necesariamente el programa de cálculo es distinto. 
Modelo simple 
El modelo más simple describe el motor estudiando por separado la cámara de combustión y 
la tobera, en atención a que los fenómenos característicos de cada uno no se presentan en el 
otro: 
• Cámara de combustión: un reactor sin dimensiones materiales (cero-dimensional y 
bien mezclado) en el que se suministran unas sustancias y se obtienen productos de 
combustión cuya composición, en el caso más complejo, es la de equilibrio. 
• Tobera: un conducto de sección variable (unidimensional) por el que discurre en 
régimen estacionario un fluido homogéneo, sin reacción química (flujo congelado), sin 
pérdidas por fricción, ni intercambio de calor con las paredes. 
Modelo de cámara de combustión 
El modelo de cámara de combustión tiene que proporcionar la composición y la temperatura 
de combustión, correspondientes a una determinada proporción inicial de sustancias 
reactantes para un valor dado de la presión a la que tiene lugar el proceso. 
Combustión completa 
El modelo más simple posible es el de combustión completa y entre los posibles ingredientes 
una de las combinaciones más representativa, de aplicación en motores cohete termoquímicos, 
es la que tiene por reactantes hidrogeno y oxígeno. 
2𝐻2 + 𝑂2 → 2𝐻2𝑂 
Este sistema, simple en principio, entraña cierta complejidad que puede ser abordada de 
forma escalonada, empezando por el análisis del caso en el que las sustancias en estado 
gaseoso reaccionan proporcionando la composición correspondiente a la combustión completa 
de alguno de los reactantes. Para establecer la composición de los reactantes se utiliza la 
riqueza de la mezcla, 𝑓 = 𝑀𝐹/𝑀𝑂, (donde 𝑀𝐹 es la masa de reductor y 𝑀𝑂 la de oxidante) o 
la relación de mezcla 𝑂/𝐹 = 1/𝑓. Cuando se consumen simultáneamente reductor y oxidante 
la proporción estequiometrica correspondiente (en el caso de la reacción entre oxigeno e 
hidrogeno es 𝑓𝑠𝑡 ≈ 1/8 o (𝑂/𝐹)𝑠𝑡 ≈ 8) permite introducir la relación de equivalencia 𝜙 =
 𝑓 / 𝑓𝑠𝑡 (también 𝜙 = (𝑂/𝐹)𝑠𝑡 / (𝑂/𝐹)) como parámetro fundamental funcionamiento de la 
cámara. A continuación se presentaun sencillo análisis de esta situación, si se muestra que el 
modelo simple más adecuado es el de cálculo de la composición de equilibrio químico, a la 
vista de lo irreal de los resultados obtenidos y la evidente activación de las reacciones de 
disociación de especies moleculares. 
Para tener en cuenta de manera simultánea el posible exceso de cualquiera de los reactantes 
cuando se introducen 𝜙 moles de 𝐻2 con medio mol de 𝑂2, la reacción se puede ajustar de la 
siguiente manera: 
𝜙𝐻2+
1
2
𝑂2 → {1 + 𝜍(1 − 𝜙)}𝐻2𝑂 + 𝜍(𝜙 − 1)𝐻2+
1
2
𝜍(1 − 𝜙)𝑂2 (5.1) 
en la que la función 𝜍(𝑥) = 12[𝑥 + |𝑥|] permite anular los coeficientes estequiométricos de los 
productos en defecto en función del valor de la relación de equivalencia, 𝜙, que se emplee. 
Para la obtención de la temperatura de combustión, se emplea la ecuación de la energía, para 
describir la evolución adiabática, a presión constante, que tiene lugar en el reactor bien 
mezclado, con el que estamos modelando la cámara de combustión. En estas condiciones el 
principio de conservación de la energía se enuncia diciendo que la entalpia de los productos es 
igual a la entalpia de los reactantes, es decir, 
� �𝜈′𝑖�𝛥𝑓ℎ𝑖𝑜 + �ℎ𝑖𝑜(𝑇0)− ℎ𝑖𝑜�𝑇𝑟𝑒𝑓����
𝑖
= � �𝜈′′𝑖�𝛥𝑓ℎ𝑖𝑜 + �ℎ𝑖𝑜�𝑇𝑓� − ℎ𝑖𝑜�𝑇𝑟𝑒𝑓����
𝑖
 (5.2) 
con 𝑇𝑟𝑒𝑓 = 298.15 𝐾 y los símbolos correspondientes a la ecuación, es decir, 𝜈′𝐻2 = 𝜙, 
𝜈′𝑂2 = 1/2, 𝜈
′
𝐻2𝑂 = 0, 𝜈′
′
𝐻2 = 𝜍(𝜙 − 1), 𝜈′
′
𝑂2 =
1
2𝜍(1 − 𝜙) y 𝜈
′′
𝐻2𝑂 = 1 + 𝜍(1 − 𝜙). 
Para este caso se puede simplificar, suponiendo gases perfectos (con 𝑐𝑝𝐻2 = 36 𝐽/𝑚𝑜𝑙 𝐾, 
𝑐𝑝𝑂2 = 39 𝐽/𝑚𝑜𝑙 𝐾 y 𝑐𝑝𝐻2𝑂 = 53 𝐽/𝑚𝑜𝑙 𝐾) temperatura inicial igual a la de referencia y 
teniendo en cuenta que las entalpias de formación son, 𝛥𝑓ℎ𝐻2
𝑜 = 𝛥𝑓ℎ𝑂2
𝑜 = 0 y 𝛥𝑓ℎ𝐻2𝑂
𝑜 =
−241.83 𝑘𝐽 fácilmente se obtienen los gráficos de la figura 5.1 en los que se representa la 
temperatura de combustión, el peso molecular medio de los productos y el parámetro de 
velocidad característica, c∗. El impulso especifico del motor es proporcional a esta variable, 
que será definida más adelante en esta lección; por ahora, es suficiente saber que es 
proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura de combustión dividida por el peso 
molecular medio, c∗~�𝑇𝑓 ℳ⁄ . 
 
Figura 5.1: Temperatura de combustión, peso molecular medio y parámetro 
de velocidad característica en función de la relación de mezcla para la 
reacción de combustión completa de oxigeno e hidrogeno gaseosos. 
En la figura 5.1 rápidamente se observa que la temperatura de combustión es máxima cuando 
la proporción corresponde al completo consumo de ambos reactantes, porque de esta manera 
no hay ninguna especie inerte (el exceso de reactante se comporta como una especie inerte) 
que sea necesario calentar. El peso molecular medio crece al hacerlo la relación de mezcla, 
debido a que el hidrogeno es la especie más ligera, mientras que el oxígeno es la más pesada. 
Finalmente, el comportamiento del parámetro de velocidad característica (proporcional al 
impulso) es más complejo pues en su gráfica se observa la discontinuidad correspondiente a la 
proporción estequiométrica pero, como el peso molecular con mezcla rica es más bajo, el 
máximo de c* necesariamente se debe alcanzar en esta región. Se observa que en el modelo 
descrito el parámetro de velocidad característica es máximo para una relación de mezcla de 
aproximadamente 𝑂/𝐹 ≈ 4, muy alejado del máximo de temperatura que se alcanza en 
𝑂/𝐹 = 8 y que corresponde a un peso molecular medio en torno a ℳ~10. 
Es evidente, a la vista de los resultados, que la fracción de mezcla es una variable de vital 
importancia en las actuaciones de los motores termoquímicos y que, su correcta elección será 
motivo de vivo interés por parte del diseñador. 
Composición e equilibrio 
El modelo de combustión completa pone de manifiesto la importancia de la elección de la 
fracción de mezcla y su impacto sobre las actuaciones del motor, sin embargo, la temperatura 
de combustión alcanzada es excesivamente alta, lo que conduce a que se activen las 
reacciones de disociación de especies y la composición obtenida sea irreal. Por otro lado, la 
temperatura presentará un valor de equilibrio es más bajo debido a la energía empleada en 
disociar a diferentes sustancias. 
Consideremos la reacción de combustión de oxigeno e hidrogeno gaseosos que dé lugar a las 
siguientes especies 
𝜙𝐻2+
1
2
𝑂2 → 𝑛𝐻2𝑂𝐻2𝑂 + 𝑛𝐻2𝐻2 + 𝑛𝑂2𝑂2 + 𝑛𝐻𝐻 + 𝑛𝑂𝐻𝑂 + 𝑛𝑂𝐻𝑂𝐻 (5.3) 
donde inicialmente se descartan las especies 𝐻2𝑂2 y 𝐻𝑂2 que, como se verá, resultan 
minoritarias. 
Como tenemos una mezcla de 6 especies y 8 incógnitas, correspondientes a las 6 
concentraciones de las especies presentes y dos propiedades termodinámicas. Como se dispone 
de la composición inicial y hay dos elementos presentes (𝑂 y 𝐻) necesitamos 6-2 ecuaciones 
de equilibrio independientes (a menudo es suficiente con ecuaciones de formación para las 
especies presentes) para completar el sistema. Como en el cálculo se pretende obtener la 
temperatura adiabática de combustión las variables termodinámicas a especificar son la 
presión final de la mezcla y la entalpia inicial de los reactantes. 
El número de átomos de cada elemento en la mezcla será 
𝑛𝐻 = 𝑛𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙�2𝑋𝐻2𝑂 + 2𝑋𝐻2 + 𝑋𝐻 + 𝑋𝑂𝐻� 
𝑛𝑂 = 𝑛𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙�𝑋𝐻2𝑂 + 2𝑋𝑂2 + 𝑋𝑂 + 𝑋𝑂𝐻� 
(5.4) 
donde, 𝑛𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 es el número total de moles y 𝑋𝑖 son las fracciones molares de los diferentes 
elementos, es decir, 
𝑋𝐻2𝑂 + 𝑋𝑂2 + 𝑋𝐻2 + 𝑋𝑂 + 𝑋𝐻 + 𝑋𝑂𝐻 = 1 (5.5) 
Como se suministra 𝜙 moles de 𝐻2 será 𝑛𝐻 = 2𝜙 y medio mol de 𝑂2, 𝑛𝑂 = 1, lo que permite 
eliminar 𝑛𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 y obtener 
2𝜙 =
2𝑋𝐻2𝑂 + 2𝑋𝐻2 + 𝑋𝐻 + 𝑋𝑂𝐻
𝑋𝐻2𝑂 + 2𝑋𝑂2 + 𝑋𝑂 + 𝑋𝑂𝐻
 (5.6) 
Que, junto con lo anterior, proporciona las dos relaciones buscadas que fijan la composición 
inicial. 
Se necesitan cuatro reacciones de equilibrio, como por ejemplo 
H2 +
1
2
O2 ⇌ H2O 
1
2
H2 +
1
2
O2 ⇌ OH 
1
2
H2 ⇌ H 
1
2
O2 ⇌ O 
 
Para las que se pueden plantear las correspondientes ecuaciones de equilibrio 
𝐾𝑃𝑓,𝐻2𝑂 = 𝑝
1 2⁄ 𝑋𝐻2𝑂
𝑋𝐻2𝑋𝑂2
1 2⁄ 
𝐾𝑃𝑓,𝑂𝐻 =
𝑋𝑂𝐻
𝑋𝐻2
1 2⁄ 𝑋𝑂2
1 2⁄ 
𝐾𝑃𝑓,𝐻 = 𝑝1 2⁄
𝑋𝐻
𝑋𝐻2
1 2⁄ 
𝐾𝑃𝑓,𝐻 = 𝑝1 2⁄
𝑋𝑂
𝑋𝑂2
1 2⁄ 
 
Con lo que queda planteado el problema. 
 
Figura 5.2: Fracciones másicas de las diferentes especies que aparecen en la 
composición de equilibrio del sistema 𝑂 − 𝐻 gaseoso en función de la 
relación de equivalencia. 
En las figuras 5.2 y 5.3 se presentan los resultados obtenidos al emplear el programa CEA 
(Gordon y McBride, 2002) que permite el cálculo, entre otros muy interesantes, de la 
composición de equilibrio y temperatura de combustión. En la figura 5.2 se presentan las 
concentraciones de las especies consideradas en función de la relación de equivalencia. Las 
altas temperaturas originan la disociación de las moléculas de agua, oxigeno e hidrogeno 
dando concentraciones significativas de 𝑂𝐻, 𝑂 y 𝐻 en las regiones correspondientes a mezcla 
estequiométrica, pobre y rica, respectivamente. El resto de especies aparece de forma 
marginal y han sido incluidas para poner de manifiesto la elección inicial realizada. 
Las temperaturas de combustión obtenidas se presentan en la figura 5.3 en función de la 
relación de equivalencia. Como cabía esperar la temperatura alcanza el máximo para 𝜙 = 1 
en todos los casos. 
 
Figura 5.3: Temperatura de equilibrio del sistema gaseoso 𝐻 − 𝑂 en función 
de la relación de equivalencia para distintas presión típicas de las cámaras 
de combustión de motores cohete de propulsante líquido. 
La influencia de la presión (figura 5.3) es moderada aumentando la temperatura de 
combustión a medida que aumenta ésta. El efecto, se puede analizar atendiendo al Principio 
de Chatelier que enuncia que el equilibrio se desplazara en el sentido de contrarrestar el 
cambio producido, es decir, frente a unaumento de la presión el equilibrio se desplaza 
produciendo menos moles que desplazan las reacciones hacia el lado exotérmico de las 
reacciones, al menos, globalmente. 
 
Figura 5.4: Temperatura de combustión e impulso especifico en función de 
la proporción de perclorato amónico (AP) en un propulsante solido 
compuesto (HTPB-AP) y la influencia de añadir partículas de aluminio 
como combustible adicional. 
En la figura 5.4 se presentan los resultados obtenidos al resolver el problema de composición 
de equilibrio y temperatura de combustión para el sistema constituido por varias sustancias 
empleadas en la formulación de propulsantes sólidos. 
Se observa cómo la adecuada elección de las proporciones de las sustancia puede permitir 
obtener formulaciones optimas en las que las actuaciones del sistema (impulso especifico) sea 
máximo. Adicionalmente, por ejemplo, se constata la poca influencia que tiene superar un 
determinado nivel de contenido de aluminio. 
Modelo simple de tobera 
El modelo más simple para el movimiento en una tobera es el que responde a las siguientes 
hipótesis: 
• Unidimensional. 
• Estacionario. 
• Adiabático. 
• No viscosos. 
• Gas perfecto. 
Las hipótesis conducen a que el proceso es isentrópico y la presión, 𝑝𝑐, y temperatura de 
remanso, 𝑇𝑐, son constantes y si se toman los valores a la entrada del conducto, se cumple 
que a lo largo de él las variables termodinámicas estáticas se relacionan con el número de 
Mach mediante: 
𝑇𝑐
𝑇
= �
𝑝𝑐
𝑝
�
𝛾−1
𝛾
= �
𝜌𝑐
𝜌
�
𝛾−1
= 1 +
𝛾 − 1
2
𝑀2 (5.7) 
donde 𝑀 = 𝑉 �𝛾𝑅𝑇⁄ es el número de Mach. Se deduce inmediatamente que las variables 
críticas (𝑀 = 1) se pueden calcular mediante 
𝑇𝑐
𝑇∗
= �
𝑝𝑐
𝑝∗
�
𝛾−1
𝛾
= �
𝜌𝑐
𝜌∗
�
𝛾−1
=
𝛾 + 1
2
 (5.8) 
Cuando se aplica la ecuación de continuidad entre una sección genérica de área, 𝐴, y la 
sección crítica de área, 𝐴∗, se obtiene 
𝐴
𝐴∗
=
1
𝑀
�
2
𝛾 + 1
�
𝛾+1
2(𝛾−1)
�1 +
𝛾 − 1
2
𝑀2�
𝛾+1
2(𝛾−1)
 (5.9) 
que expresa que la relación de áreas, 𝐴 𝐴∗⁄ , es función exclusivamente del valor de 𝛾 y del 
número de Mach. 
En la figura 5.5 se representa el valor de las variables termodinámicas, 𝑝,𝑇 y 𝜌 
adimensionalizadas con las de remanso, junto con el valor de la relación de áreas 𝐴 𝐴∗⁄ en 
función del número de Mach, única variable independiente del problema junto con la relación 
de calores específicos. 
 
Figura 5.5: Presión, densidad, temperatura y área en función del número de 
Mach, para 𝛾 = 1.2. 
Desde un punto de vista formal se pueden enunciar las ecuaciones de evolución que describen 
las variables fluidas a lo largo de la tobera, planteando las ecuaciones de conservación a un 
conducto de sección lentamente variable en el que se busca la solución unidimensional, es 
decir, las variables corresponden a la media tomada sobre la sección correspondiente. 
 
Figura 5.6: Representación esquemática de una sección “delgada” en el 
interior de un conducto de área lentamente variable delimitada por dos 
sección en las que las variables fluidas han sufrido cambios infinitesimales. 
Consideremos el esquema de la figura 5.6, en la que se van a aplicar las ecuaciones de 
conservación a un volumen de control de espesor diferencial, 𝑑𝑥, que se extiende entre la 
sección 𝐴 y la 𝐴 + 𝑑𝐴 de un conducto de área lentamente variable (es decir, la longitud es 
mucho más grande que la altura y es posible suponer que las variables son uniformes a lo 
largo de la sección). En estas circunstancias, como el gasto de entrada al volumen, 𝜌𝑉𝐴, debe 
ser igual al que lo abandona, (𝜌 + 𝑑𝜌)(𝑉 + 𝑑𝑉)(𝐴 + 𝑑𝐴), donde, despreciando términos de 
segundo orden resulta 𝑑(𝜌𝑉𝐴) = 0. En cuanto a la variación de cantidad de movimiento entre 
la entrada y la salida, se plantearía así 
−ρ𝑉2𝐴 + (𝜌𝑉𝐴)(𝑉 + 𝑑𝑉) = 𝑝𝐴 − (𝑝 + 𝑑𝑝)(𝐴 + 𝑑𝐴) + 𝑝𝑑𝐴 (5.10) 
que, finalmente, queda, 𝜌𝑉𝑑𝐴 + 𝑑𝑝 = 0. Por último, la entalpía de remanso debe conservarse 
y, en forma diferencial esto se expresa diciendo, 𝑐𝑝𝑑𝑇 + 𝑉𝑑𝑉 = 0. 
En definitiva las ecuaciones que predicen la evolución de las variables termodinámicas y la 
velocidad a lo largo del conducto son: 
𝑑(𝜌𝑉𝐴) = 0 
𝑉𝑑𝑉 + 𝑑𝑝 𝜌⁄ = 0 
𝑐𝑝𝑑𝑇 + 𝑉𝑑𝑉 = 0 
(5.11) 
A las que hay que añadir la ecuación de estado, 𝑝 𝜌⁄ = 𝑅𝑇. El problema queda planteado al 
añadir las condiciones iniciales o de contorno que, usualmente, consisten en la presión y 
temperatura de remanso a la entrada del conducto, eventualmente la presión de salida y la 
distribución de áreas a lo largo del eje de la tobera. Obsérvese, además, que la forma de 
relacionar el valor de las variables termodinámicas y la velocidad con la posición a lo largo de 
la tobera es la distribución de áreas que se estipule 𝐴 = 𝐴(𝑥), con lo que el problema se puede 
resolver implícitamente, en función del área de la sección sin que la forma de la tobera tenga 
que ser conocida. 
En el ámbito del estudio de actuaciones de motores cohete, la variable independiente más útil 
a la hora de describir el movimiento a lo largo de la tobera es la relación de presiones, 𝑝 𝑝𝑐⁄ , 
en vez de la que, habitualmente, se utiliza en el movimiento en conductos lentamente 
variables, que es el número de Mach. Por lo tanto, es conveniente expresar el número de 
Mach en función de la relación de presiones, teniendo en cuenta 5.7: 
𝑀 = �
2
𝛾 − 1
�1 − (𝑝 𝑝𝑐⁄ )
𝛾−1
𝛾 � (𝑝 𝑝𝑐⁄ )
𝛾−1
𝛾� (5.12) 
lo que permite obtener para la relación de áreas 
𝐴
𝐴𝑔
=
Γ(𝛾)
(𝑝 𝑝𝑐⁄ )
1
𝛾� 2𝛾𝛾 − 1 �1 − (𝑝 𝑝𝑐⁄ )
𝛾−1
𝛾 �
 
(5.13) 
donde se ha llamado 𝐴𝑔 a la sección mínima de la garganta de la tobera. 
 
Figura 5.7: Número de Mach y relación de presiones en función de la 
relación de áreas para dos valores distintos de la relación de calores 
específicos. 
La expresión (5.13) es interesante pues ofrece dos soluciones para la relación de presiones 
para cada relación de áreas, una subsónica y la otra supersónica tal y como se observa en la 
figura 5.7 en la que, para dos valores distintos de la relación de calores específicos, se 
presentan el número de Mach y la relación de presiones en función de la relación de áreas. 
Esta circunstancia puede dificultar los algoritmos de resolución de la ecuación conocida la 
relación de áreas para los que normalmente bastará elegir una buena solución inicial. 
Parámetro de velocidad característica 
La definición del parámetro de velocidad característica (se nombra “ce-estrella”) es 
𝑐∗ =
𝑝𝑐𝐴𝑔
�̇�
 (5.14) 
y permite identificar si el proceso de combustión ha tenido lugar de forma eficiente, ya que, 
está directamente relacionado con la temperatura de cámara. Así es, teniendo en cuenta que 
se puede evaluar el gasto en la garganta de la tobera mediante �̇� = 𝜌𝑔𝑉𝑔𝐴𝑔, y que en esta 
sección los valores estáticos de las variables termodinámicas coinciden con los valores críticos, 
 𝑐∗ =
𝑝𝑐𝐴𝑔
𝑝∗ (𝑅𝑇∗)�𝛾𝑅𝑇∗𝐴𝑔⁄
=
𝑝𝑐
𝑝∗
�
𝑇∗
T𝑐
�
𝑅𝑇𝑐
𝛾
 (5.15) 
en el supuesto de que haya tenido lugar un proceso isentrópico desde la cámara, se pueden 
utilizar las relaciones (5.8) y se obtiene 
𝑐∗ =
�𝑅𝑇𝑐
Γ(𝛾)
 (5.16) 
habiendo definido 
Γ(𝛾) = �𝛾 �
2
𝛾 + 1
�
𝛾+1
2(𝛾−1)
 (5.17) 
Téngase presente que, para valores habituales como 𝛾 ∼ 1.2, el valor del parámetro Γ(𝛾) es 
de orden unidad (Γ(𝛾) ∼ 0.685). Así mismo, la constante del gas R = ℛ ℳ⁄ debe ser evaluada 
a partir de la constante universal de los gases ℛ = 8314 J/kg K y del peso molecular del 
fluido. 
Como quiera que “c-estrella” es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura de cámara 
dividida por el peso molecular de los productos y que, experimentalmente, se puede evaluar 
midiendo la presión de la cámara, el área de garganta y el gasto másico, es posible “estimar” 
el valor alcanzado por la temperatura de cámara en el disparo del motor de forma indirecta; 
y es posible la comparación de éste con el valor idealizado que proporcione la mejor teoría 
posible. 
Velocidadde salida 
La conservación de la entalpía de remanso a lo largo de la tobera 𝑐𝑝𝑇𝑐 = 𝑐𝑝𝑇 +
1
2
𝑉2 
proporciona un sencillo procedimiento de evaluar la velocidad que, en concreto, en la salida 
es: 
𝑉𝑠 = �2𝑐𝑝𝑇𝑐(1− 𝑇𝑠 𝑇𝑐⁄ ) (5.18) 
En la que, aplicando las relaciones isentrópicas (5.1), rápidamente se llega a: 
𝑉𝑠 = �
2𝛾
𝛾 − 1
𝑅𝑇𝑐 �1 − (𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ )
𝛾−1
𝛾 � (5.19) 
Y que, junto con la definición de velocidad característica, 𝑐∗ = �𝑅𝑇𝑐 Γ(𝛾)� , permite poner 
que: 
𝑉𝑠 = 𝑐∗Γ(𝛾)�
2𝛾
𝛾 − 1�
1 − (𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ )
𝛾−1
𝛾 � (5.20) 
es decir, 𝑉𝑠~𝑐∗ es un correcto método de estimación de la velocidad a falta de un ajuste “fino” 
por parte del proceso de expansión. 
Coeficiente de empuje 
Se define el coeficiente de empuje, C𝐸, como el empuje dividido por el producto entre la 
presión de cámara y el área de garganta, 
C𝐸 =
𝐸
𝑝𝑐𝐴𝑔
 (5.21) 
es decir, se trata de la definición del empuje adimensional. 
Recordando la definición escalar del empuje, E = �̇�𝑉𝑠 + (𝑝𝑠 − 𝑝𝑎)𝐴𝑠 y del parámetro de velocidad 
característica, 𝑐∗ = 𝑝𝑐𝐴𝑔 �̇�⁄ , se obtiene: 
C𝐸 =
𝑝𝑐𝐴𝑔
𝑐∗
𝑉𝑠
𝑝𝑐𝐴𝑔
+ �
𝑝𝑠
𝑝𝑐
−
𝑝𝑎
𝑝𝑐
�
𝐴𝑠
𝐴𝑔
 (5.22) 
y recordando que 
𝑉𝑠 = 𝑐∗Γ(𝛾)�
2𝛾
𝛾−1 �1− (𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ )
𝛾−1
𝛾 � (5.23) 
se obtiene finalmente 
𝐶𝐸 = Γ(𝛾)�
2𝛾
𝛾−1 �1− (𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ )
𝛾−1
𝛾 �+ ε �
𝑝𝑠
𝑝𝑐
−
𝑝𝑎
𝑝𝑐
� (5.24) 
es decir, el empuje adimensional del motor, 𝐶𝐸 = 𝑓(𝛾,𝑝𝑠 𝑝𝑐 , 𝑝𝑎 𝑝𝑐⁄⁄ ), depende de la relación de 
calores específicos, 𝛾, de la relación de presiones de la tobera, 𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ , y de la relación de 
presiones del motor, 𝑝𝑎 𝑝𝑐⁄ . 
 
Figura 5.9: Gráfica del coeficiente de empuje en función de la relación de 
áreas de la tobera para diferentes relaciones de la presión ambiente dividido 
por la presión de cámara 
El coeficiente de empuje se representa en la figura 5.9 en función de la relación de áreas de la 
tobera, 𝜀 = 𝐴𝑠 𝐴𝑔⁄ , para distintos valores de la presión ambiente adimensional, 𝑝𝑎 𝑝𝑐⁄ , y para 
un valor del cociente de calores específicos determinado, (𝛾 = 1.2). En la figura se observa 
que para cada valor 𝑝𝑎 𝑝𝑐⁄ el coeficiente de empuje presenta un máximo con la relación de 
áreas cuando 𝑝𝑠 = 𝑝𝑎 y en el que la tobera funciona adaptada. Como fácilmente se ve en la 
ecuación 5.24, al disminuir 𝑝𝑎 𝑝𝑐⁄ (lo que se identifica con un aumento de la altura de vuelo) 
el coeficiente de empuje crece monótonamente alcanzando para cada 𝜀 = 𝑓(𝛾,𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ ) un 
máximo absoluto cuando el motor funciona en vacío, 𝑝𝑎 = 0. Así pues, la línea de máximos 
que se traza con coeficientes de empuje con tobera adaptada 
𝐶𝐸𝑎𝑑 = Γ(𝛾)�
2𝛾
𝛾−1�1 − (𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ )
𝛾−1
𝛾 � (5.25) 
es únicamente función de la relación de calores específicos y la relación de áreas 𝐶𝐸𝑎𝑑 =
𝑓𝑎𝑑(𝛾, 𝜀), mientras que el coeficiente de empuje en vacío, 
𝐶𝐸𝑉 = Γ(𝛾)�
2𝛾
𝛾−1�1 − (𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ )
𝛾−1
𝛾 �+ 𝜀
𝑝𝑠
𝑝𝑐
 (5.26) 
es también función de las mismas variables, 𝐶𝐸𝑉 = 𝑓𝑉(𝛾, 𝜀) y delimitan una región en la que 
es conveniente que funcione el motor pues, como se ve en el gráfico, corresponde a los valores 
más altos posibles del coeficiente de empuje. Del estudio de la gráfica se desprende que se 
intentará dentro de lo posible funcionar con la relación de áreas más grande que se a 
compatible con la condición de vuelo. 
Actuaciones idealizadas de un motor cohete 
A la hora de describir el comportamiento de un motor cohete termoquímico, la situación más 
simple es unir las actuaciones de una cámara de combustión idealizada mediante un reactor 
bien mezclado y una tobera idealizada mediante la descripción del movimiento de un gas 
perfecto en un conducto de sección variable. 
Cámara de combustión 
Considerado un reactor bien mezclado cero-dimensional, el cálculo proporciona la 
composición (𝛾,ℳ) y la temperatura 𝑇𝑐 de salida de la cámara (entrada de la tobera) para 
un valor dado de la presión, 𝑝𝑐, con lo que es posible calcular el valor idealizado del 
parámetro de velocidad característica 
𝑐∗ = �𝑅𝑇𝑐 ∕ Γ(𝛾) (5.27) 
 
Tobera 
La teoría unidimensional del movimiento de fluidos ideales en conductos de sección variable 
describe cómo un fluido compresible se acelera en una tobera convergente-divergente de 
relación de áreas 𝜀 = 𝐴𝑠 𝐴𝑔⁄ , en la que la presión desciende desde el valor de remanso aguas 
arriba, 𝑝𝑐, al valor obtenido al resolver la rama supersónica de la ecuación 
𝜀 =
𝛤(𝛾)
(𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ )
1
𝛾� 2γ𝛾 − 1 {1 − (𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ )
(𝛾−1) 𝛾⁄ }
 
(5.28) 
Los parámetros relevantes que determinan el empuje 
𝐸 = �̇�𝑉𝑠 + 𝐴𝑠(𝑝𝑠 − 𝑝𝑎) (5.29) 
Recordando el coeficiente de empuje 
que dimensiona el impulso del motor, 𝐼𝑠𝑝 = 𝑐∗𝐶𝐸, como la variable intensiva que mejor 
caracteriza el comportamiento de éste en función de la naturaleza de las sustancias, 
(𝛾, y 𝑅 = ℜ ℳ⁄ ), la temperatura de cámara, 𝑇𝑐, la relación de áreas, 𝜀 = 𝐴𝑠 ∕ 𝐴𝑔 y la relación 
de presiones del motor, 𝑝𝑎 ∕ 𝑝𝑐. Finalmente, el empuje y el gasto másico necesitan del valor 
de la presión de cámara y el área de la garganta 
𝐸 = 𝑝𝑐𝐴𝑔𝐶𝐸 (5.31) 
�̇� = 𝑝𝑐𝐴𝑠 ∕ 𝑐∗ (5.32) 
para su cálculo. 
𝐶𝐸 = Γ(𝛾)�
2
𝛾 − 1
{1 − (𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ )(𝛾−1) 𝛾⁄ } + 𝜀(𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ − 𝑝𝑎 𝑝𝑐⁄ ) (5.30) 
Lección 6: Actuaciones y diseño de toberas 
Introducción 
La tobera del motor es un elemento simple geométricamente, sobre el que descansa la misión 
de acelerar el propulsante de manera eficiente, transformando la potencia desplegada por el 
motor en potencia mecánica y en empuje. De su diseño aerodinámico depende toda la 
capacidad operativa del motor, debiéndose prestar especial atención a la eficiencia con que la 
tobera expansiona el fluido. En este capítulo se prestará especial atención a cuales son las 
características del campo fluido que mejoran las actuaciones del motor y como deben ser las 
toberas que lo consiguen. 
Quedaran al margen cuestiones relativas al diseño térmico y estructural de la tobera que, en 
principio, será muy diferente dependiendo del tipo de motor y de la aplicación que 
establecen las solicitaciones sobre la tobera y las posibilidades de refrigeración. Además, 
sistemas como el control vectorial de empuje, el espacio disponible (toberas desplegables o 
sumergidas) o consideraciones sobre la misión o el vehículo (toberas desplazadas, múltiples, 
etc.) presentan un amplio abanico de situaciones interesantes. 
Actuaciones de toberas 
El modelo unidimensional de tobera permite predecir adecuadamente el comportamiento del 
motor cohete al variar la altura de vuelo y se deduce fácilmente de la representación gráfica 
del coeficiente de empuje en función de la relación de áreas para distintas relaciones de 
presión del motor (𝑝𝑠/𝑝𝑐). 
 
Figura 6.1: Impulso específico en función de la altura de funcionamiento 
para diferente relación de áreas de la tobera y comparación con el que se 
obtiene adaptando la tobera a cada altura con indicación de la relación de 
áreas necesaria. 
No obstante, es conveniente poner de manifiesto la influencia directa de la altura mediante 
una representación como la de la figura 6.1, en la que se representa el impulso especifico que 
presenta un motor cohete químico (𝐻2/𝑂2) en función de la altura de operación para 
distintas relaciones de áreas de la tobera. En la figura también se incluye el impulso 
específico que tendría un motor de geometría variable capaz de adaptar la presión de salida 
de la tobera a cada altura de vuelo y en el eje secundario la relación de áreas necesaria en 
este caso. 
En la figura 6.1 se observa el aumento monótono del impulso especifico con la altura para 
una relación de áreas fija con dos regiones en las que este aumento presenta una rápida 
variación a baja cota y solamente una pequeña ganancia a alturas superiores a la de 
adaptación (que en la figura se identifica fácilmente como el punto de tangencia con la curva 
de impulso con tobera adaptada en toda condición).También se hace patente la pérdida de 
características que no adaptar la tobera en el punto adecuado acarrea y la conveniencia de 
utilizar geometría variable aunque esta última posibilidad desencadena una serie de 
desarrollos tecnológicos económicamente discutibles. La alternativa son las toberas 
autoadaptables que mitigan en parte el problema proporcionando actuaciones intermedias 
entre la situación idealizada y la tobera de geometría fija. 
Relación de áreas óptima 
El empuje en un motor con geometría fija, crece monótonamente con la altura de operación 
hasta alcanzar su valor máximo en el vacío (𝑝𝑎 = 0). No obstante, el empuje en cada altura 
de vuelo presenta un máximo relativo con la relación de áreas, debido a que al aumentar ésta 
si bien la velocidad de salida crece monótonamente, el término de presiones decrece, con lo 
que el resultado es un máximo a un valor intermedio que se puede obtener mediante la 
búsqueda clásica de extremos. 
Es sencillo obtener la condición que se cumple en el máximo, de la manera que sigue. la 
variación del empuje frente a cambios en el área de salida 
𝛿𝐸 = �̇�𝛿𝑉𝑠 + 𝛿𝑉𝑠(𝑝𝑠 − 𝑝𝑎) + 𝐴𝑠𝛿𝑉𝑠 (6.1) 
si se manteniene constante el área de la garganta lo que asegura el gasto constante. 
Evaluando el gasto en la sección de salida tenemos 
𝛿𝐸 = 𝜌𝑠𝑉𝑠𝐴𝑠𝛿𝑉𝑠 + 𝛿𝑉𝑠(𝑝𝑠 − 𝑝𝑎) + 𝐴𝑠𝛿𝑉𝑠 (6.2) 
y reagrupando convenientemente, se obtiene: 
𝛿𝐸 = 𝜌𝑠𝐴𝑠(𝑉𝑠𝛿𝑉𝑠 + 𝛿𝑝𝑠 ∕ 𝜌𝑠) + 𝛿𝐴𝑠(𝑝𝑠 − 𝑝𝑎) (6.3) 
Teniendo en cuenta que 𝑇𝑑𝑆 = 𝑑ℎ − 𝑑𝑝 𝜌⁄ y que la entalpia es 𝑑ℎ = 𝑑ℎ𝑡 − 𝑉𝑑𝑉 resulta 
𝑇𝑑𝑆 = 𝑑ℎ𝑡 − 𝑉𝑑𝑉 − 𝑑𝑝 ∕ 𝜌 (6.4) 
y considerando movimiento adiabático e isentrópico (𝑑𝑆 = 𝑑ℎ𝑡 = 0) se llega que en la sección 
de salida se verifica 𝑉𝑠𝛿𝑉𝑠 + 𝛿𝑝𝑠 𝜌𝑠⁄ = 0, que conduce en la ecuación de la variación del 
empuje a la siguiente conclusión 
𝛿𝐸 = 𝛿𝐴𝑠(𝑝𝑠 − 𝑝𝑐) (6.5) 
Es decir, la curva del empuje presenta con la relación de áreas pendiente positiva con tobera 
subexpansionada, 𝑝𝑠 > 𝑝𝑎, y negativa cuando la tobera está sobreexpansionada, 𝑝𝑠 < 𝑝𝑎. En 
consecuencia, el empuje máximo (máximo coeficiente de empuje) se obtiene cuando la presión 
de salida es igual a la presión ambiente, 𝑝𝑠 = 𝑝𝑎, lo que, con algún criterio para seleccionar la 
presión de cámara, conduce a un valor óptimo de la relación de áreas de la tobera, 
𝜀𝑜𝑝𝑡 = Γ(𝛾)(𝑝𝑎 ∕ 𝑝𝑐)−1/𝛾 �
2𝛾
𝛾−1
[1− (𝑝𝑎 ∕ 𝑝𝑐)(𝛾−1)∕𝛾]� (6.6) 
funcionando a una determinada altura. Lo que establece un claro criterio una pauta de diseño 
para las toberas de los motores cohete que operan en la atmósfera. 
Impulso total máximo 
El impulso total es 𝐼𝑇 = ∫𝐸𝑑𝑡, y si el empuje cambia con la altura de vuelo del vehículo. 
Surge inmediatamente la cuestión de que la relación de áreas es la que permite obtener las 
mejores prestaciones del motor en términos de maximizar el impulso total. El impulso total 
será: 
𝐼𝑇 = 𝑝𝑐𝐴𝑔 ��𝐶𝐸,𝑉 − 𝜀𝑝𝑎 ∕ 𝑝𝑐�𝑑𝑡 = 𝐼𝑇 = 𝑝𝑐𝐴𝑔 ��𝐶𝐸,𝑉 − 𝜀𝑝𝑎 ∕ 𝑝𝑐�𝑑𝑡
𝑡𝑏
 
 
(6.7) 
donde 𝐶𝐸,𝑣𝑎𝑐 es el coeficiente de empuje en vacío (función exclusivamente de 𝛾 y 𝜀) y cuando 
el vehículo se mueve entre dos alturas en vuelo atmosférico, el único término que cambia es 
la presión ambiente. Con lo que: 
𝐼𝑇 = 𝑝𝑐𝐴𝑔𝑡𝑏�𝐶𝐸,𝑎 + 𝜀{(𝑝𝑎 ∕ 𝑝𝑐) − (�̅�𝑎 ∕ 𝑝𝑐)}� (6.8) 
donde, naturalmente, 
�̅�𝑎 =
1
𝑡𝑏
�𝑝𝑎𝑑𝑡 (6.9) 
que haciendo el cambio de variable 𝑑𝑡 = 𝑑ℎ/𝑉 permite obtener 𝑝𝑎 a partir de: 
�̅�𝑎 =
1
𝑡𝑏
�
𝑝𝑎(ℎ)
𝑉∆ℎ
𝑑ℎ 
(6.10) 
Como un promedio ponderado de las presiones ambiente que se encuentra el vehículo en el 
vuelo. 
Efectos bidimensionales 
En la práctica, las toberas de los motores cohete presentan simetría de revolución (excepto 
aquéllos que por motivos diversos se truncan por superficies ni planas ni perpendiculares al 
eje de la tobera) y el movimiento en su interior es axil-simétrico (o en algunos casos como las 
toberas “aerospike”, bidimensional). En estas circunstancias, los valores de la teoría unidimen-
sional deben considerarse como promedios de los que se presentan en las diferentes secciones 
rectas a lo largo del eje de la tobera, y la pregunta que inmediatamente surge es ¿cuál es la 
distribución espacial de las variables fluidas más conveniente? 
Consideremos la evolución adiabática y sin pérdidas en el interior de una tobera en el que el 
perfil a la salida de entalpías de remanso puede ser variable, pero la energía suministrada en 
la cámara tiene un valor dado, es decir: 
� ℎ𝑡
𝐴𝑠
𝑑�̇� = �̇�𝑐𝑝𝑇𝑐 = 𝑐𝑡𝑒 (6.11) 
con la definición habitual ℎ𝑡 = 𝑐𝑝𝑇 +
1
2
𝑉2 mientras que la tobera tiene una relación de áreas 
que en promedio adapta la presión de salida a un valor dado, 𝑝𝑎, que se obtiene mediante 
𝑝𝑎 =
1
�̇�
� 𝑝𝑠
𝐴𝑠
𝑑�̇� (6.12) 
En estas circunstancias, el empuje del motor es 
𝐸 = � 𝑉𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑑�̇�
𝐴𝑠
 (6.13) 
donde 𝜃 es el ángulo que forma el vector velocidad (de módulo 𝑉) con el eje de la tobera, ya 
que, implícitamente, se ha supuesto simetría de revolución. 
Se busca la distribución de velocidades que maximiza el empuje con las condiciones 
expresadas (energía suministrada y presión media de salida prefijadas), para ello construimos 
la función 
𝐻 = � {𝑉𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝜆1ℎ𝑡 + 𝜆2𝑝𝑠}
𝐴𝑠
𝑑�̇� + 𝑐𝑡𝑒 (6.14) 
donde, 𝜆1 y 𝜆2 son multiplicadores de Lagrange, que se va a maximizar con las restricciones 
comentadas. Obteniendo las variaciones correspondientes y teniendo en cuenta que bajo la 
hipótesis de flujo isentrópico se verifica 𝑝~𝑇𝛾 (𝛾−1)⁄ se tiene 
𝛿𝐻 = � �𝛿𝑉𝑐𝑜𝑠(𝜃)− 𝑉𝛿𝜃𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜆1�𝑐𝑝𝛿𝑇 + 𝑉𝛿𝑉� + 𝜆2
𝛾
𝛾 − 1
𝑇1 (𝛾−1)⁄ 𝛿𝑇� 𝑑�̇�
𝐴𝑠
 (6.15) 
Como todos los parámetros considerados son independientes, se tiene que cumplir 
simultáneamente: 
𝛿𝑉[𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝜆1𝑉] = 0 (6.16) 
𝛿𝜃[𝑠𝑒𝑛(𝜃)] = 0 (6.17) 
𝛿𝑇 �𝜆1𝑐𝑝 + 𝜆2
𝛾
𝛾 − 1
𝑇1 (𝛾−1)⁄ � = 0 (6.18) 
lo que implica que 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒. ,𝜃 = 0,𝑇 = 𝑐𝑡𝑒., es decir, los perfiles transversales de velocidad y 
entalpía de remanso que producen empuje máximo son aquéllos en las que estas variables 
termodinámicas son uniformes y el vector velocidad está alineado con el eje de la tobera. 
La consecuencia es que aparecerán pérdidas por divergencia si los vectores velocidad no están 
alineados con el eje de la tobera y aquellos motores (como los arcjet) en los que el 
calentamiento del fluido es muy desigual sufrirán de una pérdida de eficiencia debida a la 
falta de homogeneidad de las distribuciones de entalpia de remanso y/o temperatura a la 
salida del motor. 
La tobera de máximo empuje deberá presentar perfiles uniformes en la sección de salida y 
vectores velocidad alineados con el eje de la tobera. Las toberas que consiguen estas 
condiciones se denominan, tradicionalmente, toberas ideales y, en esta lección, se aprenderá a 
trazar el contorno aerodinámico que, para una geometría de la garganta dada, consiga las 
condiciones deseadas a la salida con la menor longitud posible. 
Tipos de toberas 
Desde el punto de vista puramente aerodinámico las toberas se pueden dividir en 
axilsimétricas y bidimensionales, por una parte y convencionales y autoadaptables por la otra. 
Naturalmente hay situaciones especiales no incluidas como, por ejemplo, cuando se trunca 
una tobera axilsimétrica por un plano no perpendicular al eje, “scarfed nozzle”, generalmente 
por razones de aerodinámica del vehículo propulsado. 
 
Figuar 6.2: Clásica representación de los diferentes tipos de tobera del libro 
de Huzel y Huang de 1992 “Modern Engineering for Desing of Liquid 
Propellant Rocket Engines”. 
A su vez las toberas axilsimétricas convencionales pueden clasificarse por la forma del 
contorno en cónicas o contorneadas (“bell nozzles”) o con diferentes denominaciones 
dependiendo de cómo han sido creadas (IC para Ideal Contour, TIC para Truncated Ideal 
Contour, CTIC para Compressed Truncated Ideal Contour, TOC para Thrust Optimized 
Contour o TOP paraThrust Optimized Parabola). 
Las autoadaptables, en versión axilsimetrica o bidimensional, pueden ser tipo espiga 
(“aerospike”) o de expansión-deflexión (veasé figura 6.2). El principio de funcionamiento es 
similar en estas toberas en las que la existencia de una superficie libre como “contorno” que 
cambia de posición, permite una adaptación parcial a la circunstancia de vuelo en función de 
la presión ambiente. 
Definiciones geométricas 
Las toberas convencionales de los motores cohete consisten en conductos convergentes-
divergentes que actualmente se describen mediante curvas discretizadas por puntos pero sus 
características geométricas se pueden enumerar siguiendo la figura 6.2. El parámetro 
geométrico más importante de la tobera es la relación de áreas, 𝜀 = 𝐴𝑠 𝐴𝑔⁄ , que para el caso 
axilsimétrico permite relacionar los radios de salida y de garganta mediante 𝑅𝑠 = 𝑅𝑔√𝜀. 
Finalmente, la longitud de la tobera 𝐿, definida como la distancia a lo largo del eje entre la 
sección minima y la salida, fija completamente el volumen ocupado por ésta. 
 
Figura 6.2: Definición geométrica simple de una tobera contorneada. 
Como la geometría de la región del convergente tiene poco impacto sobre la aerodinámica de 
la tobera no suele detallarse demasiado y suele consistir en formas cónicas de semi-ángulo 
comprendido entre 45º y 60º. La región de la garganta se caracteriza, al menos, por un radio 
de acuerdo, 𝑅𝑎𝑔, de centro C en la sección mínima que finaliza en el punto N, con el ángulo 
del contorno en la sección inicial del divergente 𝜃𝑛, que evoluciona a lo largo de la tobera 
tomando el valor a la salida 𝜃𝑒 en el punto E. El angulo del cono inscrito es 𝛼𝑐 y la longitud 
de la tobera se puede expresar mediante: 
𝐿 =
𝑅𝑔�√𝜀 − 1� + 𝑅𝑎𝑔(cos−1 𝜃𝑛 − 1)
tan𝛼𝑐
 
Obsérvese que el ángulo promedio 12(𝛼𝑐 + 𝜃𝑒) tiene relevancia en la estimación de las 
actuaciones de la tobera y que para toberas cónicas es 𝛼𝑐 = 𝜃𝑛 = 𝜃𝑒. 
La longitud fraccional de la tobera se define como 𝐿𝑓 = 𝐿/𝐿15°, es decir, la longitud actual de 
la tobera dividida por la longitud de la tobera cónica de 15º de igual relación de áreas y se 
define la longitud relativa, 𝐿𝑟 = 𝐿/𝑅𝑔, como la longitud dividida por el radio de la garganta. 
Aerodinámica de toberas 
En las toberas convergentes-divergentes el fluido presenta movimiento subsónico en el 
convergente, una región transónica en la zona de la garganta y movimiento supersónico en el 
divergente. El análisis fluidodinámico de esta situación, aún en el caso más simple de un 
fluido ideal, entraña cierta complejidad y necesita la intervención de técnicas de simulación 
numérica avanzadas. 
No obstante, es posible establecer un análisis simplificado atendiendo a las especiales 
características de cada zona. En el caso del flujo supersónico en el divergente 
tradicionalmente se ha utilizado el Método de las Características (en inglés, MOC, 
correspondiente a las siglas de “Method of Charactaristics”) que ofrece una excelente 
aproximación al cálculo del campo fluido. Como quiera que el método requiere flujo 
supersónico en toda la región de cálculo, habitualmente se utiliza algún procedimiento 
aproximado en región de la garganta para conseguir resolver las ecuaciones de forma analítica 
una vez simplificadas en atención a algún hecho significativo. El sistema de análisis se puede 
completar acoplando al cálculo del flujo potencial, obtenido mediante MOC, un método 
integral de capa límite que proporción una distribución de espesores de desplazamiento y 
establecer una realimentación que acople ambos efectos. 
Región transónica de la garganta 
La descripción del campo fluido en la región de la garganta de las toberas de motores cohete 
presenta la dificultad de que coexisten zonas subsónicas con zonas supersónicas y la solución 
es, al menos, bidimensional. Sin embargo, se puede sacar partido del hecho de que el número 
de Mach es próximo a uno y de que las paredes se trazan mediante contornos suaves. 
En la figura 6.3 se presenta el resultado de la simulación numérica mediante las ecuaciones de 
Euler (flujo no viscoso de un gas ideal) en la región de la garganta de una tobera contorneada 
en la que se trazan los contornos de número de Mach constante empezando por el de 𝑀 = 1. 
La solución dista de ser unidimensional y presenta discrepancias frente a las conclusiones 
manejadas hasta ahora. El perfil de velocidades en la sección mínima de la tobera no es 
uniforme, la velocidad es más alta en el eje de la tobera e inferior en la región cercana a la 
pared. Incluso se puede afirmar que cerca del eje el número de Mach es inferior que uno 
mientras que en las cercanías de la pared el flujo es supersónico. 
 
Figura 6.3: Contornos de número de Mach constante (empezando por 𝑀 =
1) en la región de la graganta de una tobera contorneada (bell nozzle). 
Esta descripción es fruto de la observación de un caso particular de cálculo, pero tienen 
carácter general en cuanto a la estructura del campo fluido en la región de la garganta; 
aunque para poder afirmar este hecho es necesario abordar el problema de forma general. En 
el Apéndice 6A se presenta un conocido análisis que emplea las particularidades apuntadas 
(flujo transónico y radios de curvatura grandes), en el que se concluye que las líneas de Mach 
constante son, aproximadamente, parábolas de eje horizontal, como las mostradas en la 
figura 6.3 y se detalla una completa descripción del campo de velocidades. 
Método de las características (MOC) 
Consideremos la situación bidimensional de la figura 6.4 en la que se describe el movimiento 
del fluido en un sistema cartesiano OXY mediante el módulo de la velocidad 𝑉 y el angulo, 𝜃, 
que forma con la dirección OX. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un fluido 
irrotacional, ideal y no viscoso son: 
𝜕𝜐
𝜕𝜉
+
𝜕𝜃
𝜕𝜉
−
𝜎𝑠𝑒𝑛𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜇)
𝜕𝑦
𝜕𝜉
= 0 (6.19) 
𝜕𝜐
𝜕𝜂
+
𝜕𝜃
𝜕𝜂
−
𝜎𝑠𝑒𝑛𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 𝜇)
𝜕𝑦
𝜕𝜂
= 0 (6.20) 
en las que 𝜐(𝑀) es la función de Prandtl 
𝜐(𝑀) = �
𝛾 + 1
𝛾 − 1
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔�
𝛾 − 1
𝛾 + 1
(𝑀2 − 1) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔�𝑀2 − 1 (6.21) 
que depende fundamentalmente del número de Mach, 𝜃 es el ángulo de la velocidad con una 
dirección de referencia (véase figura 6.4) y s es un coeficiente de métrica nulo (𝜎 = 0) en el 
caso bidimensional y de valor unidad (𝜎 = 1) en el caso axilsimétrico para el que la dirección 
radial estaría representada por la coordenada OY y el eje de simetría seria el OX. 
 
Figura 6.4: Esquema del trazado de las líneas características conocido el 
campo fluido. 
En las ecuaciones (6.19) y (6.20), se han utilizado como variables independientes 𝜉(𝑥,𝑦) y 
𝜂(𝑥,𝑦), tal que las líneas 𝜉 = 𝑐𝑡𝑒 y 𝜂 = 𝑐𝑡𝑒, son las líneas características, coincidentes con las 
líneas de Mach de ecuaciones: 
𝜉 = 𝑐𝑡𝑒 ⟶
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= tg(𝜃 + 𝜇) (6.19) 
𝜂 = 𝑐𝑡𝑒 ⟶
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= tg(𝜃 − 𝜇) (6.20) 
donde 𝜇 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(1/𝑀) es el ángulo de Mach. 
Las ecuaciones (6.19) y (6.20) pueden ser resueltas mediante un simple proceso de diferencias 
finitas y constituyen la base del método de las características. Obsérvese que una vez 
determinados el número de Mach y el ángulo de la velocidad, θυ y )(M , el resto de 
variables fluidas se determina fácilmente mediante las relaciones isentrópicas entre variables 
estáticas y de remanso con el número de Mach. El procedimiento de cálculo numérico 
consiste en determinar los nudos de la red de características y las variables fluidas en cada 
uno de los nudos de la red, como muestra la figura 6.5. 
 
Figura 6.5: Representación esquemática de la forma de proceder al calcular 
un campo supersónico trazando la red de características. 
Consideremos los puntos 1, 2 y 3 de la figura como aquéllos que delimitan la región conocida 
del campo fluido (a la izquierda de la imagen). En el punto 1 se puede trazar la característica 
por la derecha que será tangente a larecta 
𝑦𝑝 − 𝑦1
𝑥𝑝 − 𝑥1
= 𝑡𝑔�𝜃1𝑝 − 𝜇1𝑝� (6.24) 
donde los valores etiquetados 1𝑝 serán definidos más adelante, mientras que desde el punto 2 
se puede trazar la característica por la izquierda tangente a la recta de ecuación 
𝑦𝑝 − 𝑦2
𝑥𝑝 − 𝑥2
= 𝑡𝑔�𝜃2𝑝 + 𝜇2𝑝� (6.25) 
en el punto 2, que se cruzarán en el punto P definiendo un nuevo punto de la red de 
características. Este procedimiento se puede llevar a cabo por todo el contorno del campo 
conocido. Es evidente que, en las cercanías de una condición de contorno del fluido (una 
pared o el eje de la tobera), la correspondiente línea característica cortará el contorno en un 
punto en el que aplicar las relaciones correspondientes a la condición de contorno que 
normalmente afectaran al ángulo de la velocidad. 
Una vez definida la posición del punto P, es posible evaluar en el número de Mach y el 
ángulo de la velocidad, integrando las relaciones (6.21) y (6.22) de la siguiente manera: 
�𝜐𝑝 + 𝜃𝑝� − (𝜐1 − 𝜃1)− 2
𝜎𝑠𝑒𝑛𝜇1p𝑠𝑒𝑛𝜃1p
𝑠𝑒𝑛�𝜃1p − 𝜇1𝑝�
�
𝑦𝑝 − 𝑦1
𝑦p + 𝑦1
� = 0 (6.26) 
�𝜐𝑝 − 𝜃𝑝� − (𝜐2 − 𝜃2) − 2
𝜎𝑠𝑒𝑛𝜇2p𝑠𝑒𝑛𝜃2p
𝑠𝑒𝑛�𝜃2p + 𝜇2p�
�
𝑦𝑝 − 𝑦2
𝑦p + 𝑦2
� = 0 (6.27) 
que son dos ecuaciones con dos incógnitas, el número de Mach, 𝜐𝑝�𝑀𝑝�, y el ángulo, 𝜃𝑝. Para 
obtener más precisión en el trazado de la red de características, la inclinación de las líneas 
tangentes se puede obtener por interpolación, de manera que 𝜃1𝑝 = �𝜃1 + 𝜃𝑝� 2⁄ , 𝜇1𝑝 =
�𝜇1 + 𝜇𝑝� 2⁄ , para la que parte del punto 1 y 𝜃2𝑝 = �𝜃2 + 𝜃𝑝� 2⁄ y 𝜇2𝑝 = �𝜇2 + 𝜇𝑝� 2⁄ para 
la que sale del punto 2. Naturalmente, este procedimiento exige realizar un cierto número de 
iteraciones debido a la no linealidad del sistema de ecuaciones así planteado. 
En definitiva el MOC ofrece una posibilidad de cálculo rápida y precisa que permite llevar a 
cabo tareas complejas como las de diseño de contornos que cumplan determinados requisitos. 
Tobera ideal (IC, Ideal Contour) 
La tobera ideal es aquella cuyo contorno aerodinámico es tal que produce una distribución 
uniforme de velocidad de salida con vectores alineados con el eje. Naturalmente, el problema 
debe restringirse a aquellas toberas cuya longitud sea la menor posible, lo que en principio, 
para una relación de áreas dada, implicará área mínima, necesidad de refrigeración menor, 
mínimo peso, etc., pues sin limitación de longitud el problema es trivial y de solución 
multiple. 
El problema se puede enunciar como la obtención del contorno de la tobera que tiene por 
consecuencia a la salida un perfil de velocidades uniforme y paralelo al eje de la tobera, más 
corto posible dada una relación de áreas y una geometría de la garganta. 
 
Figura 6.6: Esquema representativo y nomenclatura 
utilizada en la descripción del procedimiento que permite 
trazar el contorno óptimo de la tobera ideal. 
Consideremos una tobera de área de garganta conocida 𝐴𝑔 = 𝜋𝑅𝑔2 y relación de áreas fijada 
𝜀 = 𝐴𝑠 𝐴𝑔⁄ = �𝑅𝑠 𝑅𝑔⁄ �
2, dotada de una geometría del contorno en las proximidades de la 
garganta conocida, mediante el radio de acuerdo 𝑅𝑎𝑔 que define completamente la solución 
del problema aerodinámico en esta región mediante, por ejemplo, la solución de Sauer que 
proporciona las líneas de número de Mach constante como parábolas de eje horizontal. Sea la 
línea AB de la figura 6.6 una línea arbitraria correspondiente a una situación ligeramente 
supersónica de manera que es posible a partir de ella obtener la solución del flujo supersónico 
en la región ABCD mediante el Método de las Características. Supóngase que la línea DC 
corresponde a la característica por la derecha (m+) que parte del punto D del contorno 
conocido de la garganta y llega al eje en el punto C, delimitando la región en la que el 
contorno AD y la porción del eje, BC determinan completamente el campo fluido y, en 
concreto, la velocidad del fluido en C es la correspondiente a la que hay que alcanzar en la 
sección de salida. La región ABCD se denomina kernel y queda totalmente determinada por 
la forma del contorno impuesto en la región de la garganta. 
Consideremos el perfil de velocidades uniformes en la sección de salida ES y la región de 
condiciones uniformes CSE que necesariamente debe anteceder a la salida uniforme y sin la 
que no es posible obtener la distribución prescrita. Esta región, ocupa un cono de vértice C y 
semiángulo 𝜇𝑠 = (1 + 𝑀𝑠2 )−1 2⁄ y en la que el número de Mach es constante e igual al de 
salida (obsérvese que este resultado es independiente de la métrica, bidimensional o 
axilsimétrica, en la que se describa el flujo). La condición que permite construir la tobera de 
mínima longitud es aquella en la que con la geometría de la garganta dada, la expansión 
producida por el contorno AD conduce a obtener un número de Mach sobre el eje (punto C) 
igual al requerido en la región simple ESC quedando, además, la posición del punto D fijada 
por tal condición y siendo a partir de ese momento necesario calcular el contorno que une los 
puntos D y E pues cualquier otro contorno sería incompatible con la región simple. En este 
punto, es necesario emplear de nuevo el MOC para construir la solución en la región DCE 
empleando una red, construida mediante características por la izquierda (desde el punto D’ 
hacia E’) aguas abajo de las líneas DC y características por la derecha (desde el punto C’ 
hacia el E’) aguas arriba desde las líneas CE con la condición de que la líneas DE’E sea una 
línea de corriente, es decir, el gasto a través de DD’, D’E’, E’C’ o C’E coinciden. 
El contorno ideal así obtenido está sujeto a la geometría de la garganta impuesta de 
antemano pero la única condición que debe cumplirse para obtener un perfil uniforme de 
velocidades es la existencia de la región ESC y como se alcance el valor de 𝑀𝑠 en el punto C 
es irrelevante. 
Es posible suponer una situación idealizada en la que la expansión AD tenga lugar lo más 
rápidamente posible (garganta de borde afilado) y por simplicidad se suponga que la línea 
crítica es una recta vertical que coincide con la sección mínima de la tobera. En la figura 6.7 
se muestra la red de líneas características del “kernel” de una tobera ideal de relación de 
áreas 𝜀 = 70, con un valor de la relación de calores específicos 𝛾 = 1.35, con lo que el 
número de Mach de diseño es 𝑀𝑠 = 5.89 y la longitud relativa resultante de la tobera 
𝐿/𝑅𝑔 = 55.1. 
Para el cálculo simplificado se emplea una línea sónica recta y vertical situada en la garganta 
coincidiendo con la sección mínima de ésta y una expansión brusca en el contorno de la 
garganta correspondiente a un radio de acuerdo nulo (localmente tiene lugar una expansión 
de Prandtl-Meyer hasta un número de Mach máximo en el labio de 𝑀𝑐 = 1.723 a un ángulo 
con el eje de 𝜃𝑐 = 19.2°). 
 
Figura 6.7: Red de características correspondiente al “kernel” generado por 
una expansión brusca en la garganta con línea sónica recta. 
Estas son las condiciones con las que se obtiene la figura 6.8, en la que se representan los 
contornos aerodinámicos de las toberas ideales para distintas relaciones de áreas y ciertas 
condiciones. 
 
Figura 6.8: Contornos de las diferentes toberas ideales que se consiguen 
mediante una expansión brusca en la garganta. 
En la figura 6.8 se representan los contornos a escala natural (la abscisa del gráfico es la 
longitud relativa, 𝐿/𝑅𝑔, y la ordenada el radio relativo de cada punto, 𝑅/𝑅𝑔) que resultan de 
aplicar el método descrito cuando en la garganta de la tobera se considera radio de acuerdo 
nulo y línea sónica recta y vertical. En estas condiciones, los contornos correspondientes a las 
relaciones de áreas: 2, 4, 5, 8 y 10 aparecen completos, mientras que, a partir de aquí, las 
toberas son más grandes que la máxima longitud representada �𝐿/𝑅𝑔 = 18�. En el gráfico se 
proporciona, además, información de interés consistente en las líneas de área lateral de la 
toberaconstante (son las líneas prácticamente rectas de pendiente negativa que cruzan el 
gráfico desde la esquina superior izquierda hacia la inferior derecha, y las líneas de coeficiente 
d empuje en vacío constante correspondientes cada una al valor que presenta la 
correspondiente tobera si se recorta en ese punto. Por ejemplo, si la tobera de relación de 
áreas 𝜀 = 30 se trunca a una longitud relativa de 𝐿 𝑅𝑔⁄ = 12, el coeficiente de empuje que 
presentaría sería 𝐶𝐸𝑉 = 1.79. En estas circunstancias, se deje al lector el ejercicio de 
determinar la tobera más corta con un determinado coeficiente de empuje, o la que presenta 
menor área lateral (peso o necesidades de refrigeración). 
Toberas optimizadas 
La tobera ideal, que produce un perfil uniforme de velocidades y variables termodinámicas a 
la salida, es una elección óptima de diseño desde el punto de vista del rendimiento 
aerodinámico del elemento. De hecho, los túneles aerodinámicos supersónicos en los que el 
diseño debe garantizar uniformidad de los perfiles en la sección e ensayo, están diseñados con 
estas tecnicas y también se utilizan contornos similares en el diseño aerodinámico de perfiles 
de rotores de turbinas de impulso con entrada y salida supersónica. Sin embargo, en los 
motores cohete el objetivo de diseño es más complejo y las actuaciones aerodinámicas de las 
toberas (buen coeficiente de empuje) no es el objetivo último. Cuando se pretende acometer 
una misión específica hay que valorar hasta qué punto es mejor utilizar toberas menos 
eficientes paro más cortas, es decir, de menor costo, peso y/o volumen y como afecta esto al 
resto del diseño. Inmediatamente surge la pregunta de si es posible encontrar un contorno 
aerodinámico óptimo, en el sentido de obtener el máximo coeficiente de empuje posible, para 
una determina longitud, necesariamente más corta que la que presenta la tobera de contorno 
ideal. 
Desde un punto de vista heurístico se pretende expansionar la corriente hasta condiciones 
estipuladas de forma rápida (en corto espacio) de manera que la longitud sea la menor 
posible. En este sentido en las cercanías de la región de la garganta el contorno debe 
proporciona una rápida expansión (mas intentas que la proporcionada por el contorno ideal) 
y a continuación, aguas abajo, reconducir la corrien5te reorientando a la dirección axial los 
vectores velocidad. 
Naturalmente, existen infinitos contornos capaces de hacer esta tarea pero únicamente uno 
tendrá máximo coeficiente de empuje dada una geometría de la región de la garganta, una 
relación de áreas de diseño y una condición relativa a la longitud. Este problema, fue resuelto 
de forma muy elegante por G. V. R. Rao, en un ya clásico artículo de 1958 y es la base del 
diseño actual de todas las toberas contorneadas (bell nozzles) que actualmente funcionan en 
los motores actuales bajo diversas denominaciones TOC (Thrust Optimized Contour) para la 
tobera original de Rao o TOP (Thrust Optimized Parabola) cuando el contorno se genera 
mediante una función parabólica que lo aproxima. Para los detalles del desarrollo y obtención 
del trazado optimo puede consultarse el Apéndice 6B. 
 
Figura 6.9: Definiciones geométricas de las toberas optimizadas mediante el 
procedimiento de Rao. 
La geometría de la tobera empleada por Rao se detalla en la figura 6.9, que tiene la 
particularidad de tener radios de acuerdo en la garganta distintos en el convergente y el 
divergente porque el primero es responsable de la morfología del campo fluido en la región 
transónica y su regularidad, mientras que el segundo, más pequeño, conduce una rápida 
expansión de la corriente permitiendo la confección de toberas mas cortas. 
 
 
Figura 6.10: Valores de los ángulos inicial y final del divergente de toberas 
optimizadas de Rao en función de la relación de áreas y la longitud 
fraccional. 
Para permitir un rápido dimensionado de las toberas optimizadas se elaboró la gráfica de la 
figura 6.10 en la que en función de la relación de áreas y la longitud fraccional se pueden 
obtener el ángulo inicial y final del divergente de las toberas de Rao. Esto permite el trazado 
del divergente mediante métodos aproximados sin tener que conocer el conjunto de puntos 
que lo definen que sería diferente para cada pareja (𝜀, 𝐿𝑓). El método más popular es el 
empleo de una parábola de eje inclinado que pasa por los puntos N y E con tangente según 
los ángulos correspondientes 𝜃𝑛 y 𝜃𝑒. 
 
Figura 6.11: Factor de desalineación de las toberas optimizadas de Rao en 
función de la longitud fraccional para diferentes relaciones de áreas junto 
con los valores que presentan las toberas conicas. 
Las actuaciones de las toberas de Rao se pueden comparar con las de la tobera ideal o con las 
toberas cónicas mediante la gráfica de la figura 6.11 en la que se representa en coeficiente de 
angularidad de estas toberas en función de la longitud fraccional. En este punto cabe 
recordar que la longitud de una tobera cónica es función básicamente de la relación de áreas 
(una vez fijado el radio de acuerdo de la garganta, claro) y por lo tanto especificar el valor de 
la longitud fraccional de una tobera cónica implica el valor de la relación de áreas y 
viceversa. En este sentido la línea de la figura 6.11 de toberas cónicas determina la relación 
de áreas o el ángulo de la tobera y por lo tanto el coeficiente de angularidad. Como se ve en 
la figura para las toberas optimizadas, el coeficiente de angularidad disminuye al disminuir la 
longitud poniendo de manifiesto el mayor esfuerzo que hay que realizar para manipular la 
corriente en menos espacio. Por contar resulta que las toberas de mayor relación de áreas 
tienen mejores coeficientes de empuje, esto se debe al hecho de estar comparando para 
longitud fraccional constante y esta ser función a su vez de la relación de áreas. 
 
Figura 6.11: Comparación de la longitud relativa de distintas toberas en 
función de la relación de áreas. Las toberas optimizadas y “plug” han sido 
trazadas con el mismo coeficiente de empuje que la cónica de 15º. 
En la figura 6.11 se representan las longitudes relativas (la longitud referida al radio de la 
garganta) de varios tipos de toberas. Se observa que las toberas ideales presentan demasiada 
longitud en comparación con los otros tipos, sobre todo en la región de relaciones de áreas 
altas. 
 
Apéndice 6A: Efecto de la viscosidad en la optimización 
Las actuaciones de las toberas ideales con un modelo unidimensional predicen que se obtiene 
empuje máximo cuando la relación de áreas de la tobera consigue adaptarla a la altura de 
funcionamiento. Sin duda los efectos, aunque pequeños, de fricción y transmisión de calor en 
las paredes pueden tener influencia en este resultado modificándolo. Un primer razonamiento 
puede conducir a las siguientes conclusiones: 
- En el supuesto de superponer el efecto de fricción parece lógico pensar que el empuje 
máximo se obtendrá con tobera sub-expansionada puesto que esto acorta la longitud de la 
tobera (disminuye las perdidas por fricción) con un efecto despreciable sobre el empuje 
ideal que con tobera adaptada se encuentra en un máximo (pendiente nula). 
- Por otro lado el efecto de transmisión de calor modifica para una relación de expansión la 
velocidad de salida que acoplara el problema pero poco más puede decirse sin un modelo 
adecuado. 
- Otro efecto que debe valorarse es el desplazamiento de la capa limite que pondrá cierta 
distancia entre la geometría proyectada (con el modelo ideal) y la que efectivamente 
actúe en la tobera. Métodos de combinación flujo potencial – capa límite. 
 
Figura 6A.1: Esquema del volumen de control de espesor infinitesimal 
empleado para plantear las ecuaciones en la tobera con fricción y 
transmisión de calor. 
Los efectos de fricción y transmisión de calor se pueden incorporar al modelo unidimensional 
fácilmente, a la vista de la figura 6A.1, consideremos las ecuaciones de continuidad, cantidad 
de movimientoy energía unidimensionales e incorporemos los efectos mediante un coeficiente 
de fricción y un calor cedido por las paredes del volumen de control: 
𝑑(𝜌𝑉𝐴) = 0 
𝜌𝑉𝐴𝑑𝑉 + 𝐴𝑑𝑃 =
1
2
𝜌𝑉2𝑐𝑓𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠(𝛼) 
𝑐𝑝𝑑𝑇 + 𝑉𝑑𝑉 = 𝑑𝑞𝑤 
El análisis sigue los pasos de obtener la variación del empuje cuando únicamente se cambia el 
área de salida, lo que origina cambios en la velocidad y presión, pero no del gasto, que está 
determinado por el flujo en la garganta. Como el empuje es 𝐸 = �̇�𝑉𝑠 + 𝐴𝑠(𝑃𝑠 − 𝑃𝑎), su 
variación, ya conocida, queda 
𝛿𝐸 = �̇�𝛿𝑉𝑠 + 𝛿𝐴𝑠(𝑃𝑠 − 𝑃𝑎) + 𝐴𝑠𝛿𝑃𝑠 
pero de la ecuación de cantidad de movimiento se deduce para este caso que la variación de 
empuje es 
𝛿𝐸 = �(𝑃𝑠 − 𝑃𝑎)−
1
2
𝜌𝑠𝑉𝑠2𝑐𝑓 𝑡𝑔(𝛼)⁄ � 𝛿𝐴𝑠 
y al imponer la condición de óptimo, 𝛿𝐸 = 0, se obtiene una ecuación para la presión de 
salida: 
𝑃𝑎
𝑃𝑠,𝑜𝑝𝑡
= 1 −
1
2
𝛾𝑀𝑠2𝑐𝑓 𝑡𝑔(𝛼�)⁄ 
que difiere del resultado no viscoso. 
El modelo es muy simple y debe interpretarse adecuadamente. Por ejemplo, el ángulo 𝛼 es 
local, pero esto daría como resultado que en toberas de contorno ideal (𝛼𝑠 = 0) la distorsión 
introducida es enorme pues el modelo exige truncar la tobera a un valor de 𝛼𝑠 > 0. 
Otra conclusión interesante es que en primera aproximación los efectos de transmisión de 
calor no afectan a la forma del contorno aerodinámico óptimo, al menos, en lo que a la 
presión de salida que se debe conseguir. Naturalmente, el modelo ya no es isentrópico y la 
ecuación que proporciona la relación de áreas en función de la relación de presiones cambia. 
Por otra parte, pone de manifiesto que cuando se empleen modelos más sofisticados debe re-
optimizarse los contornos aerodinámicos. 
 
Apéndice 6B: Solución de Sauer 
La región de la garganta de un tobera axilsimétrica (o bidimensional) presenta una 
configuración compleja en la que coexisten flujo subsónico y supersónico. Como las 
geometrías habitualmente son suaves, los métodos de perturbaciones pueden sacar ventaja del 
hecho de que el número de Mach en la región es próximo a la unidad, de que las líneas de 
corriente en la región son muy paraleles o de que las variaciones longitudinales de las 
variables sean más pequeñas frente a las propias variables. De los diferentes métodos 
aproximados que describen el flujo se presenta los hechos más destacados del trabajo de R. 
Sauer de título “General Characteristics of the Flow Through Nozzles at Near Critical 
Speeds” de 1947 recogido como Technical Memorandun con numero 1147 por NACA. 
Para un fluido ideal e irrotacional, la ecuación del potencial es: 
𝜕𝑢�
𝜕𝑥
(𝑎2 − 𝑢�2) +
𝜕𝑣�
𝜕𝑦
(𝑎2 − 𝑣�2) − 2𝑢�𝑣� +
𝜕𝑢�
𝜕𝑦
+ 𝜎𝑎2
𝑣�
𝑦
= 0 (6B.1) 
donde 𝜎 es un coeficiente relacionado con la métrica (𝜎 = 1, axilsimétrico y 𝜎 = 0 plano) y en 
la que la velocidad del sonido es: 
𝑎2 =
𝛾 + 1
2
𝑎∗2 −
𝛾 − 1
2
(𝑢�2 − 𝑣�2) = 0 (6B.2) 
en términos de la velocidad del sonido a la temperatura crítica, 𝑎∗ = �𝛾𝑅𝑇∗. Refiriendo las 
velocidades a este valor 𝑈 = 𝑢� 𝑎∗⁄ , 𝑉 = 𝑣� 𝑎∗⁄ , y haciendo 𝑈 = 1 + 𝑢,𝑉 = 𝑣, siendo 𝑢 y 𝑣 
pequeñas, se llega a: 
(1 + 𝛾)𝑢
𝜕𝑢
∂𝑥
−
𝜕𝑣
∂𝑦
− σ
𝑣
𝑦
= 0 (6B.3) 
Adoptando la descripción del campo fluido mediante la función de corriente (𝑢 =
𝜕𝜑 ∂𝑥, 𝑣 = 𝜕𝜑 ∂𝑦⁄⁄ ) y desarrollando en serie 
𝜑 = 𝑓0(𝑥) + 𝑦2𝑓2(𝑥) + 𝑦4𝑓4(𝑥) (6B.4) 
las velocidades son 
𝑢 = 𝑓0′ + 𝑦2𝑓2′ + ⋯ 
 𝑣 = 2𝑦𝑓2 + 4𝑦3𝑓4 + ⋯ 
(6B.5) 
 
y sustituyendo en la ecuación (6B.3) se tiene: 
(1 + 𝛾)(𝑓0′ + 𝑦2𝑓2′ + ⋯ )(𝑓0′′ + 𝑦2𝑓2′′ + ⋯ )
= 2𝑓2 + 12𝑦2𝑓4 + ⋯+ 2𝜎(𝑓2 + 2𝑦2𝑓4 + ⋯ ) 
(6B.6) 
Igualando factores de igual potencia en la coordenada y: 
2(1 + 𝜎)𝑓2 = (1 + 𝛾) 𝑓0′𝑓0′′ (6B.7) 
2(6 + 2𝜎)𝑓4 = (1 + 𝛾) (𝑓0′𝑓2′′ + 𝑓0′′𝑓2′ ) (6B.8) 
Lo que permite obtener las diferentes funciones si se adopta como condición 𝑓0′(𝑥) = 𝑎𝑥, que 
equivale a imponer un gradiente constante de la velocidad sobre el eje, en la forma: 
𝑓2 =
1
2
 
1 + 𝛾
1 + 𝜎
𝛼2𝑥 (6B.9) 
𝑓4 =
1
8
 
(1 + 𝛾)2
(1 + 𝜎)(3 + 𝜎)
𝛼3 (6B.10) 
O, lo que es lo mismo, para las velocidades: 
𝑢 = 𝛼𝑥 +
1
2
 
1 + 𝛾
1 + 𝜎
𝛼2𝑦2 + ⋯ (6B.11) 
𝑣 =
1 + 𝛾
1 + 𝜎
𝛼2𝑥𝑦 +
1
2
(1 + 𝛾)2
(1 + 𝜎)(3 + 𝜎)
𝛼3𝑦3 + ⋯ (6B.12) 
El valor en el que el módulo de la velocidad adimensional es la unidad 
(1 + 𝑢)2 + 𝑣2 = 1 (6B.13) 
será la línea sónica, es decir: 
𝑥𝑀=1 = −
1
2
1 + 𝛾
1 + 𝜎
 𝛼𝑦𝑀=12 (6B.14) 
El radio de curvatura en el eje de esta curva es: 
1
𝜌𝑀=1
=
1 + 𝛾
1 + 𝜎
 𝛼 (6B.15) 
El lugar geométrico de los puntos con vectores de velocidad alineados con el eje ( )0v = son 
𝑥𝜃=0 = −
1
2
1 + 𝛾
3 + 𝜎
 𝛼𝑦𝜃=02 (6B.16) 
 
Figura 6B.1: Representación esquemática del campo fluido generado por la 
solución de Sauer con indicación de la geometría generada. 
En este punto conviene observar que el campo fluido consiste en un haz de líneas de corriente 
convergentes divergentes que presentan pendiente nula sobre la parábola 6B.16, es decir, 
seleccionando una de ellas como contorno de la pared de una hipotética tobera, sobre las 
ecuaciones 6B.11 y 6B.12 resuelven el campo fluido y la posición de la garganta sobre el eje 
de la tobera �𝑥𝑔� para un radio de la garganta determinado como el punto en el que: 
𝑥𝑔 = −
1
2
1 + 𝛾
3 + 𝜎
 𝛼𝑅𝑔2 (6B.17) 
La curvatura del contorno de la pared en la región de la garganta se obtiene evaluando la 
variación de la tangente a la curva en ese punto, es decir, despreciando términos de segundo 
orden 
𝑑𝜔 =
𝑑𝑣
1 + 𝑢
=
1
1 + 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝑥 = 
1
1 + 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝑠 (6B.18) 
Y el radio de curvatura por definición es: 
1
𝑅𝑎𝑔
=
𝑑𝜔
𝑑𝑠
=
1
1 + 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 (6B.19) 
1
𝑅𝑎𝑔
=
1 + γ
1 + 𝜎
𝛼2𝑦 =
1 + γ
1 + 𝜎
𝛼2𝑅𝑔 (6B.20) 
Con lo que se puede expresar el inicialmente desconocido parámetro 𝛼 en función de la 
geometría de la tobera: 
𝛼 = �
1 + 𝜎
1 + 𝛾
𝑅𝑔
𝑅𝑎𝑔
1
𝑅𝑔
 (6B.21) 
con el origen de coordenadas situado de manera que: 
𝑥𝑔 = −
1
2
�(1 + 𝛾)(1 + 𝜎)
3 + 𝜎 �
𝑅𝑔
𝑅𝑎𝑔
𝑅𝑔 (6B.22) 
y el campo de velocidades resulta: 
𝑢 = �
1 + 𝜎
1 + 𝛾 �
𝑅𝑔
𝑅𝑎𝑔
𝑥
𝑅𝑔
+
1
2
𝑅𝑔
𝑅𝑎𝑔
�
𝑦
𝑅𝑔
�+ 𝑂 ��
𝑅𝑔
𝑅𝑎𝑔
�
3/2
� (6B.23) 
𝑣 = �
𝑅𝑔
𝑅𝑎𝑔
�
𝑥
𝑅𝑔
𝑦
𝑅𝑔
+ 𝑂 ��
𝑅𝑔
𝑅𝑎𝑔
�
3/2
� (6B.24) 
los lugares geométricos más significativos en la zona de la garganta son parábolas de 
expresión: 
�
𝑥
𝑅𝑔
�
𝑀=1
= −
1
2
�1 + 𝛾
1 + 𝜎�
𝑅𝑔
𝑅𝑎𝑔
�
𝑦
𝑅𝑔
�
𝑀=1
2
 (6B.25) 
�
𝑥
𝑅𝑔
�
𝜃=0
= −
1
2
�(1 + 𝛾)(1 + 𝜎)
3 + 𝜎 �
𝑅𝑔
𝑅𝑎𝑔
�
𝑦
𝑅𝑔
�
𝜃=0
2
 (6B.26) 
La coherencia del desarrollo realizado está avalado si 𝑢, 𝑣 ≪ 1 , que será cierto si el conducto 
en el que tiene lugar el movimiento es esbelto, es decir, 𝑅𝑔 ≪ 𝑅𝑎𝑔 y el parámetro pequeño que 
se debe adoptar es 𝜀 = 𝑅𝑔 𝑅𝑎𝑔⁄ , con lo que el resto de variables quedan: 
𝑥 ∼ 𝜀1/2𝑅𝑔, 𝑦 ∼ 𝑅𝑔, 𝑢 ∼ ε, 𝑣 ∼ 𝜀3/2, 𝜑 ∼ 𝜀1/2𝑅𝑔 (6B.27) 
lo que permite evaluar la bondad de la aproximación y los límites a los que se puede llegar. 
 
Apéndice 6C: Toberas contorneadas óptimas o de Rao 
Tal y como se representa en la figura 6C.1, ATBE es el contorno de una tobera convergente-
divergente sobre el plano meridional (en el caso axilsimétrico, σ = 1) en la que 𝐴𝑇 es el 
contorno del convergente, mientras que TBE constituye la parte divergente (obsérvese que T 
coincide con la sección de mínima área). 
En el problema que se plantea la región de entrada hasta el punto B debe ser fijada con 
anterioridad mediante algún método de análisis adecuado. Por ejemplo, se puede establecer 
una garganta afilada en el que tenga lugar una expansión de Prandtl-Meyer desde una 
idealizada línea sónica perpendicular al eje de la tobera o bien establecer una geometría fijada 
(por ejemplo, por un radio de acuerdo) y utilizar algún método de perturbaciones que 
permita obtener el campo fluido en la región transónica. En este sentido, la posición del 
puntoB no está preestablecida y debe ser obtenida como parte de la solución. 
 
 
 
Figura 6C.1: Nomenclatura utilizada en la referencia Rao (1959), para la 
optimización del contorno de una tobera. 
Una manera de abordar el análisis de la expansión inicial es el Método de Sauer de aplicación 
cuando el radio de acuerdo en la garganta es grande frente al radio de garganta. La línea TT’ 
de la figura 1 puede tomarse como una línea de Mach constante que permite el método de las 
características, obteniendo el campo fluido en la región aguas debajo de la garganta que 
define un “Kernel” invariable de la solución del problema, ya que la forma del contorno BE 
no altera la red de características creada. 
Formulación del problema 
El problema planteado es encontrar el contorno BE que maximiza el empuje de la tobera 
para una relación de áreas dada y una longitud dada. 
Consideremos la superficie de control CE que queda definida por la posición del punto C y la 
distribución de ángulos 𝜙(𝑗). El elemento de área sobre la superficie CE se representa en la 
figura 2 y tiene la expresión 𝑑𝐴 = 𝑦𝜎𝑑𝑆 donde 𝑑𝑆 = 𝑑𝑦/𝑠𝑒𝑛𝜙. Tomando 𝜌,𝑉 y 𝜃 para la 
densidad, modelo de la velocidad y ángulo de ésta con el eje, se puede expresar el gasto 
másico: 
𝜌𝑉
𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜃)
𝑠𝑒𝑛𝜙
2𝜋𝑟𝑑𝑟 
El flujo de cantidad de movimiento en la dirección del eje de la tobera 
𝜌𝑉2
𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜙
2𝜋𝑟𝑑𝑟 
que, adimensionalizando con la expresión de remanso y un área de referencia dimensionada 
con el valor rT de manera que la coordenada radial valga la unidad en la garganta, queda: 
𝑑�̇� = �𝛾𝑀 �1 +
𝛾 − 1
𝛾
𝑀2�
− 𝛾+12(𝛾+1)
 
𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜃)
𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑦𝜎𝑑𝑟 
 
𝑑𝑝 =
𝛾𝑀2
�1 + 𝛾 − 1𝛾 𝑀
2�
𝛾
𝛾−1
 
𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜃)
𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑦𝜎𝑑𝑦 
Con lo que el gasto másico adimensional se obtendría integrando la expresión 
�̇� = �𝛾� 𝑀 �1 +
𝛾 − 1
𝛾
𝑀2�
− 𝛾+12(𝛾+1)𝐸
𝐶
 
𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜃)
𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑦𝜎𝑑𝑦 
Y el empuje añadiendo el término de presión 
𝐸 = �
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝛾𝑀2
�1 + 𝛾 − 1𝛾 𝑀
2�
𝛾
𝛾−1
 
𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜃)
𝑠𝑒𝑛𝜙
+
1
�1 + 𝛾 − 1𝛾 𝑀
2�
𝛾
𝛾−1
−
𝑝𝑎
𝑝0
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
𝐸
𝐶
𝑦𝜎𝑑𝑦 
que deben ser maximizado por el correcto trazado del contorno BE. 
La distancia axial entre C y E es: 
𝑋𝐸 − 𝑋𝐶 = �
𝑑𝑦
𝑡𝑔(𝜙)
𝐸
𝐶
 
Luego la longitud del divergente de la tobera es: 
𝐿 = 𝑋𝐶 + �
𝑑𝑦
𝑡𝑔(𝜙)
𝐸
𝐶
 
Al variar el contorno de la tobera se obtendrían diferentes longitudes y estas variaciones 
pueden realizarse manteniendo el punto C fijo; luego basta asegurar que la integral 
permanece constante. 
El problema de optimización se plantea utilizando el método de los multiplicadores de 
Lagrange, que se reduce a encontrar el máximo de la siguiente expresión integral: 
𝐼 = � (𝑓1 + 𝜆2𝑓2 + 𝜆3𝑓3)𝑑𝑦
𝐸
𝐶
 
𝑓1 = 𝑦𝜎
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧1 + 𝛾𝑀2 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙
�1 + 𝛾 − 1𝛾 𝑀
2�
𝛾
𝛾−1
−
𝑝𝑎
𝑝0
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
 
𝑓2 = 𝑦𝜎�𝛾𝑀 �1 +
𝛾 − 1
𝛾
𝑀2�
− 𝛾+12(𝛾+1) 𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝜃)
𝑠𝑒𝑛𝜙
 
𝑓3 =
1
𝑡𝑔𝜙
 
donde las constantes 𝜆2 y 𝜆3 son los multiplicadores de Lagrange. 
Solución del problema 
La solución del problema se alcanza igualando a cero la diferencial de la integral I, 
obteniendo la superficie de control. 
Tal y como se planteó al principio, sobre el contorno conocido TBB’ tiene lugar una 
expansión que genera una red de características de tal manera que la característica por la 
derecha que nace en el punto B intercepta a la superficie de control CE en el punto D (véase 
figura 1). Cualquier cambio que experimente el contorno BE no afecta al campo fluido de la 
superficie de control en la región CD. 
Es conveniente asumir que el segundo CD coincide con la característica izquierda desde C, 
con lo que 𝛿𝐶, 𝛿𝑀, 𝛿𝜙 y 𝛿𝜃 son cero cuando se hace cualquier cambio en el contorno BE. Sin 
embargo, no se `puede confirmar que Dδ sea nulo. Entre D y E tenemos 𝛿𝐷, 𝛿𝑀, 𝛿𝜙 y 𝛿𝜃 
distintos de cero. Como solamente imponemos la longitud de la tobera, 𝛿 y E tampoco es 
nulo. La integral, no obstante, es continua a lo largo de CDE, ya que 𝜃,𝑀 y 𝜙 lo son, lo que 
origina que 𝛿𝐷 no forma parte de la primera variación de la integral, entonces: 
 
 
Referencias 
Rao, G. V. R., “Exhaust Nozzle Contour for Optimum Thrust”, Jet Propulsion, June 1958. 
Rao, G. V. R., “Approximation of Optimum Thrust Nozzle Contour”, ARS Journal, June 
1960 
Rao, G. V. R., “Recent Developments in Rocket Nozzle Configurations”, ARS Journal, Nov. 
1961 
Rao, G. V. R. y Dang, A. L., “Thrust Optimization of Nozzle Contour including Finite Rate 
Chemical Kinetics”, AIAA Paper 92-3729, 28th Join Propulsion Conference and Exhibit, 
Nashville TN, 1992 
Rao, G. V. R., et al. “Nozzle Optimization for space-Based Vehicles”, AIAA Paper 99-31323, 
35th Joint Propulsion Conference and Exhibit, CA 1999 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lección 7: Estudio teórico y experimental de 
efectos reales 
Introducción 
El impulso especifico del motor 𝐼𝑠𝑝 = 𝑐∗𝐶𝐸, es la variable principal que describe sus 
actuaciones y resulta sencilla su estimación contando con algún modelo de cámara de 
combustión para evaluar 𝑐∗, mientras que el coeficiente de empuje se puede obtener de la 
teoría unidimensional del movimiento de fluidos ideales en conductos esbeltos. Naturalmente, 
este nivel de simplificación, aunque adecuado para identificar los parámetros relevantes y 
obtener, o bien un dimensionado previo del motor, o bien una estimación de sus actuaciones, 
es insuficiente desde un punto de vista técnico o científico. No obstante, es imprescindible 
contar con herramientas simples y rápidas de estimación del impulso específico del sistema 
que permite dimensionados iniciales y una toma de decisiones adecuada en las primeras fases 
del diseño. 
En ésta lección se describe la metodología descrita en la referencia “JANNAF Rocket Engine 
Performance Prediction and Evaluation,” informe 246 del CPIA (Chemical Propulsion 
Information Agency) editado en 1975, en la que se desplegó una gran cantidad de trabajo por 
parte de todas las instituciones gubernamentales y privadas que tenían algo que ver con el 
desarrollo de motores cohete, en estandarizar los procedimientos más adecuados de predicción 
y evaluación de las actuaciones de motores cohete de propulsante líquido necesarias para su 
diseño y desarrollo. La metodología se ha extendido a los motores cohete de propulsante 
sólido, en el desarrollo del programa SPP, que está adoptada por la práctica totalidad de 
agentes relacionados. 
 
Figura7.1: Representación esquematizada de los efectos que hay que tener 
en cuenta a la hora de estimar las actuaciones de un motor cohete de 
térmico a partir de métodos simplificados. 
Con carácter general en esta lección se cuantifican los efectos reales que alejan las actuaciones 
de los motores cohete del comportamiento ideal mediante la expresión 
𝐼𝑠𝑝 = 𝜂𝑘𝑖𝑛𝜂𝑑𝑖𝑣𝜂𝑓𝑟𝑖𝑐𝐶𝐸𝑂𝐷𝐸𝜉𝑏𝑐𝑖
∗ (7.1) 
donde 𝜂𝑘𝑖𝑛, 𝜂𝑑𝑖𝑣 y 𝜂𝑓𝑟𝑖𝑐, son correcciones (fracciones de la unidad) que tienen en cuenta los 
efectos de cinética química finita, efectos de divergencia en la tobera y perdidas por fricción y 
transmisión de calor sobre el coeficiente de empuje, 𝐶𝐸𝑂𝐷𝐸 , calculado con teoría 
unidimensional y flujo adiabático con composición de equilibrio local (shift equilibrium). 
Finalmente, 𝜉𝑏, es una eficiencia de combustión que aplicada sobre el parámetro de velocidad 
característica, 𝑐𝑖∗, obtenido con condiciones idealizadas en la cámara de combustión 
(composición de equilibrio) estima el valor real de éste. 
Desglose de pérdidas 
A la hora de incorporar los diferentes efectos sobre las actuaciones del motor se adopta una 
metodología simplista en la que se supone que no existen efectos cruzados y cada fenómeno 
repercute con independencia de los demás sobre el comportamiento del motor. Siguiendo esta 
forma de actuar, a continuación se desglosan y comentan los diferentes efectos que, de forma 
esquemática,se presentan en la figura 7.1 
Efecto de la viscosidad y transmisión de calor: La capa limite en las paredes de la tobera 
produce una disipación de energía cinética que se traduce en pérdida de empuje. Unido a este 
fenómeno, también existen pérdidas de energía por transmisión de calor a las paredes que, 
necesariamente, suelen encontrarse a temperaturas más bajas que la corriente. El efecto es 
pequeño, normalmente inferior al 1%. 
Efectos bidimensionales: La no orientación axial de los vectores de velocidad a la salida de la 
tobera originan una pérdida de empuje axial que en el caso de simetría de revolución dan 
resultante nula y en otros casos la posible aparición de cargas laterales. Cuando el motor es 
de altas prestaciones, la aerodinámica de la tobera está muy cuidada y las pérdidas por 
divergencia son poco importantes. Sin embargo, en misiles tácticos, por ejemplo, en el que el 
uso de toberas cónicas es habitual, pueden llegar al 2-3%. 
Presencia de ondas de choque en el interior de la tobera: Debido a posibles anomalías en el 
trazado del contorno aerodinámico de la tobera, pueden producirse ondas de compresión que, 
eventualmente, coalescen formando ondas de choque (característica onda de choque oblicua 
que se refleja en el eje en la región de salida). Este hecho produce una pérdida de presión de 
remanso e inhomogeneidad de perfiles de salida. 
Flujo heterogéneo: Presencia de varias fases en el proceso de expansión, normalmente 
partículas sólidas en motores cohete de propulsante sólido a los que se añade, por ejemplo, 
aluminio para aumentar la temperatura de combustión, originando ineficiencia en la 
expansión del fluido en la tobera, que puede llegar a ser de cierta importancia (rondando 
valores del orden de 2% a 5% en perdida de empuje). 
Combustión incompleta: Se trata de pérdidas en la liberación de la energía química de los 
propulsantes debido a imperfecciones de los procesos en la cámara de combustión. Por 
ejemplo, la falta de homogeneidad en la distribución de los propulsantes (intencionadas o no), 
atomización defectuosa o evaporación incompletas, degradaciones térmicas de alguna 
sustancia, etc. En general, no se trata de perdidas con mucho impacto, del orden de 1 % al 
2%. 
Flujo reactante. Cambio de composición: El desplazamiento del equilibrio que produce el 
descenso de la temperatura a lo largo de la tobera puede ser seguido por el flujo si la 
velocidad de reacción es lo suficientemente alta, en caso contrario la situación corresponderá 
a una intermedia entre flujo congelado y flujo en equilibrio. Como el equilibrio se desplaza 
contrarrestando el descenso de temperatura en la expansión en la tobera, en general, las 
reacciones se desplazaran liberando calor para contrarrestar la influencia con lo que si el flujo 
se congela se acusara un defecto de impulso como resultado final. 
No adaptación o desprendimiento en toberas sobre-expansionadas: La variación del 
coeficiente de empuje por efecto de no adaptación (aspectos de selección del área de salida o 
variación de altura) puede ser muy importante. En régimen sobre-expandido puede 
producirse el desprendimiento de la corriente, con una estructura compleja de ondas de 
choque en el interior de la tobera y la posible aparición de cargas laterales y/o no 
estacionarias. Esta situación es indeseable y puede limitar la relación de áreas del motor. Las 
pérdidas por no adaptación de la tobera pueden llegar a ser muy importantes (del orden 
incluso del 15%) con lo que se justifica el esfuerzo en realizar un buen diseño. 
Otros: Dependiendo del sistema se deben tener en cuanta diferentes fuentes de perdidas, 
como por ejemplo, configuración de tobera en motores de propulsante solido sumergida o 
desplazada, flujo interno complejo en propulsantes sólidos, perdidas asociadas a sistemas de 
aceleración no fluidodinámicos (rejillas, etc.). 
Modelos: rendimientos 
Para una correcta descripción de lo que ocurre en la cámara de combustión, el modelo debe 
incorporar los efectos de: 
• Atomización, evaporación y combustión 
• Modelo de turbulencia 
• Esquema cinético 
para, a partir de un valor idealizado del parámetro de velocidad característica, 𝑐𝑖∗, obtener 
una estimación realista mediante: 
𝑐∗ = 𝜉𝑏𝑐𝑖∗ (7.2) 
Normalmente, el análisis del flujo unidimensional con composición de equilibrio cambiante 
(Shift equilibrium) que ofrecen programas como CEA (Gordon and McBrid, 1976) ofrece 
valores del coeficiente de empuje 𝐶𝐸𝑂𝐷𝐸 de notable calidad bajo las hipótesis de: 
• Unidimensional 
• Adiabático y sin viscosidad 
• Composición de equilibrio 
que se pueden mejorar incorporando esquemas cinéticos de no equilibrio a lo largo de la 
tobera 
𝐶𝐸𝑂𝐷𝐾 = 𝜂𝑘𝑖𝑛𝐶𝐸𝑂𝐷𝐸 (7.3) 
que tengan en cuenta las relaciones entre tiempos de residencia y tiempos químicos que 
conducen a la congelación del flujo a medida que la temperatura disminuye. 
La incorporación de códigos bidimensionales de análisis del campo fluido 
𝐶𝐸2𝐷 = 𝜂𝑑𝑖𝑣𝐶𝐸𝑂𝐷𝐾 (7.4) 
supone un salto escalón en la complejidad del análisis, pero permite incorporar modelos 
complejos que tengan en cuenta efectos de viscosidad y turbulencia con lo que se ofrece para 
el coeficiente de empuje 
𝐶𝐸 = 𝜂𝑓𝑟𝑖𝑐𝐶𝐸2𝐷 (7.5) 
las mejores estimaciones de las actuaciones del sistema, es decir, la expresión final del 
impulso 
𝐼𝑠𝑝 = 𝜂𝑘𝑖𝑛𝜂𝑑𝑖𝑣𝜂𝑓𝑟𝑖𝑐𝐶𝐸𝑂𝐷𝐸𝜉𝑏𝑐𝑖
∗ (7.6) 
que se citaba al principio de esta lección. 
Efectos de compresibilidad 
En la región de la garganta de la tobera el flujo es complejo de carácter mixto y con una 
estructura característica en la que la línea sónica es parabólica adelantando el paso a flujo 
supersónico en las cercanías de la pared y retrasándolo sobre el eje. 
El contorno del divergente tiene gran influencia en las características aerodinámicas en el 
interior de la tobera y en la sección de salida. 
 
Figura 7.2: Líneas de isomach para diferentes tipos de toberas (TOC Thrust 
Optimized Contoured nozzle, TIC Truncated Ideal Contoured nozzle TOP 
Thrust Optimized Parabolic) 
Las toberas de contorno ideal presentan regiones más suaves en los gradientes de las variables 
fluidas mientras que otros contornos, aun correspondientes a situaciones idealizadas u 
optimizadas, dan lugar a re-compresiones de cierta intensidad que eventualmente desembocan 
en la formación de ondas de choque en el interior de la tobera. 
 
Efecto de viscosidad 
Los efectos de viscosidad (y transmisión de calor) quedan confinados a una delgada capa 
limite sobre las paredes de la tobera. Los espesores relativos de las capas limites térmicas y 
viscosas están relacionados por el valor del número de Prandtl que en la mayoría de los 
productos de combustión habituales en motores cohete termoquímicos es del orden de la 
unidad, haciendo que los efectos sean comparables. 
 
Figura 7.2: Contornos de número de Mach constante en la simulación 
numérica de una tobera cónica con diferentes modelos de viscosidad, arriba 
sin viscosidad, modelo laminar en el centro y modelo turbulento (RANS) 
abajo. 
En una tobera convergente-divergente la capa límite está sometida a un gradiente favorable 
de presiones, resulta bastante buena aproximación la utilización de cálculos no-viscosos 
acoplados con métodos especiales (a menudo, cálculos integrales de capa limite son 
suficientes) de tratamiento de lo que ocurre en el interior del capas límites. En estas 
circunstancias se suele proceder por iteración repercutiendo el efecto de desplazamiento sobre 
la región no viscosa. También son de aplicación las aproximaciones “Parabolized N-S” o “Thin 
Layer N-S” que, básicamente, se basan en despreciar los gradientes de velocidad 
longitudinales. 
Se debe mencionar que es la existencia de una capa limite en que, necesariamente, debe haber 
una subcapa subsónica la responsable de que la información de alta presión ambiente, en 
toberas sobre expansionadas, progrese aguas arriba de la salida de la tobera iniciando y 
estableciendolos fenómeno de desprendimiento que pueden presentarse en estas situaciones. 
Además, será su estabilidad en el proceso de interacción onda de choque - capa limite quien 
dicte la configuración alcanzada. 
Efectos bidimensionales 
Para tener en cuenta adecuadamente los efectos debidos a la bidimensionalidad del flujo en la 
tobera, hay que recurrir a la expresión vectorial del empuje 
𝐸�⃗ = −�� 𝜌𝑉�⃗𝑠�𝑉�⃗𝑠 ∙ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴
𝐴𝑆
+� (𝑝𝑠 − 𝑝𝑎) ∙ 𝑛�⃗ 𝑑𝐴
𝐴𝑆
� (7.7) 
en la que se pueden definir adecuadamente valores medios 
𝐸 = �̇�〈𝑉𝑠〉 + (〈𝑝𝑠〉 − 𝑝𝑎)𝐴𝑠 (7.8) 
que comparado con la expresión del empuje obtenido con teoría unidimensional 
𝐸𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙−1𝐷 = �̇�𝑉𝑠,1𝐷 + �𝑝𝑠,1𝐷 − 𝑝𝑎�𝐴𝑠 (7.9) 
permite definir un coeficiente de divergencia, 𝜆, que relaciona ambas expresiones: 
𝐸 = �̇�𝜆𝑉𝑠 + (〈𝑝𝑠〉 − 𝑝𝑎)𝐴𝑠 (7.10) 
donde 〈𝑉𝑠〉 = 𝜆𝑉𝑠,1𝐷 y normalmente se adopta 〈𝑃𝑠〉 ∼ 𝑃𝑠,1𝐷 . Con la definición de valores medios 
habitual, el valor del coeficiente de divergencia se puede calcular con precisión mediante 
λ =
1
�̇�𝑉𝑠,1𝐷
�𝜌𝑉�⃗𝑠�𝑉�⃗𝑠 ∙ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴 (7.11) 
para contornos arbitrarios de las toberas. 
Tobera cónica 
Se considera que el flujo a la salida de la tobera cónica es el resultado de una configuración 
de vectores velocidad alineados con un punto del espacio que coincide con el vértice del cono 
que genera el contorno de la tobera y que, sobre superficies esféricas, todos tienen el mismo 
módulo. La velocidad y la presión se consideran uniformes a lo largo del casquete esférico que 
se apoya sobre la sección de salida y corresponden a la solución unidimensional. 
 
Figura 7.3: Esquema del campo fluido simplificado que presenta una tobera 
cónica 
En estas condiciones los promedios quedan: 
�̇� = � 𝜌𝑉𝑠,1𝐷𝑑𝐴 = � 𝜌𝑉𝑠,1𝐷(2𝜋𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙)
𝛼
0𝐴𝑆
𝑟𝑑𝜙 = 𝜌𝑉𝑠,1𝐷2𝜋𝑟2(1− 𝑐𝑜𝑠𝛼) (7.12) 
Siendo 𝛼 el semiángulo de la tobera. La velocidad efectiva es 
〈𝑉𝑠〉 =
1
�̇�
� 𝜌𝑉𝑠,1𝐷�𝑉𝑠,1𝐷𝑐𝑜𝑠𝜙�𝑑𝐴 =
1
�̇�
𝜌𝑉𝑠,1𝐷2 � 𝑐𝑜𝑠𝜙(2𝜋𝑟𝑠𝑒𝑛)𝑟𝑑𝜙
𝛼
0𝐴𝑠
 (7.13) 
Es decir, 
〈𝑉𝑠〉 = 𝑉𝑠,1𝐷
1
2 𝑠𝑒𝑛
2𝛼
1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼
= 𝑉𝑠,1𝐷
1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
2
 (7.14) 
Con lo que el coeficiente de divergencia es: 
𝜆 =
〈𝑉𝑠〉
𝑉𝑠,1𝐷
=
1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
2
 (7.15) 
Téngase en cuenta que para ser consecuente con el anterior análisis y con una definición de la 
relación de áreas basada en la sección recta (perpendicular al eje de la tobera) las magnitudes 
fluidas para el cálculo del empuje (coeficiente de empuje) se deben evaluar en el labio de la 
tobera correspondientes a una expansión hasta el área del casquete esférico que se apoya 
sobre él (en un sistema de representación esférico las ecuaciones del movimiento de un fluido 
ideal con velocidad con componente únicamente radial son las mismas que en el caso 
unidimensional tomando las áreas como las de los casquetes esféricos que se atraviesan). 
 
Fig. 7.4: Campbell, C. E. y Farley, F. M., “Performance of Several Conical 
Convergent-Divergent Rocket-Type Exhaust Nozzles”, NASA TN D47, sept. 
1960 
Obsérvese que siendo consistente con la aproximación hecha los perfiles de velocidad y 
presión son uniformes sobre la superficie esférica que se apoya sobre la salida de la tobera y 
que la fuerza de presión tiene componente longitudinal únicamente e igual a la presión por el 
área transversal de salida, con lo que hay que hacer una salvedad en el cálculo de velocidad y 
presión unidimensionales 
𝜆 =
〈𝑉𝑠〉
𝑉𝑠,1𝐷
=
1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
2
 (7.16) 
𝐸 = �̇�𝜆𝑉𝑠,1𝐷 + 𝐴𝑠(𝑃𝑒 − 𝑃𝑎), 
𝑃𝑒
𝑃𝑐
= 𝑓 �
𝐴𝑒
𝐴𝑔
� (7.17) 
Es posible establecer una estimación grosso modo del valor del coeficiente de divergencia para 
toberas contorneadas 
λ =
1 + 𝑐𝑜𝑠 �12 (𝛼𝑐 + 𝜃𝑐)�
2
 (7.18) 
tomando la expresión de las toberas cónicas el ángulo promedio entre el del labio de la tobera 
y el del cono inscrito 1
2
(𝛼𝑐 + 𝜃𝑐). 
Flujo heterogéneo 
El efecto de incluir una fase sólida en la composición del fluido que evoluciona en la tobera se 
manifiesta en varios aspectos. 
Impulso específico: la inclusión de sólidos combustibles (Al, Bo, Mg, ...) en las formulaciones 
de propulsantes sólidos tiene por objeto aumentar el impulso especifico aumentando la 
temperatura de combustión del propulsante. 
Inestabilidades de combustión: la presencia de partículas sólidas en la cámara de combustión 
puede tener un efecto amortiguador mitigando la aparición de inestabilidades de combustión, 
al cambiar la respuesta acústica del fluido de la cámara. Se han descritos situaciones en las 
que añadiendo una fase solida dispersa se ha conseguido eliminar éstas oscilaciones. 
Firma: la presencia de partículas de óxido de aluminio en el penacho de salida de motores 
cohete de propulsante solido genera gran cantidad de humo de color blanco que delata la 
presencia del motor. 
Expansión en la tobera: la influencia de la presencia de partículas en el flujo en la tobera 
depende de la forma y distribución de tamaño y de las propiedades físicas del material, dando 
lugar a efectos dinámicos y térmicos que modifican el campo fluido e influ6yen en el 
coeficiente de empuje obtenido. 
 
Figura 7.5: Perfiles de número de Mach (a y b) y vectores velocidad (c y d) 
en una tobera cónica en presencia de partículas de dos diámetros diferentes. 
Las partículas calentadas a temperatura de cámara son impulsadas por el flujo a baja 
velocidad que ingresa en la zona convergente de la tobera. A partir de ese momento la 
corriente gaseosa se enfría y acelera paulatinamente. Dependiendo de la inercia mecánica y 
térmica de las partículas (dadas unas propiedades del material y una forma característica, 
esta inercia está directamente relacionada con el tamaño de las partículas) éstas “seguirán” al 
flujo principal, calentándose y acelerándose a lo largo de la tobera. En la medida en que esto 
no ocurra la presencia de partículas sólidas supondrá una penalización de las actuaciones del 
sistema. Como se observa en la figura 7.5 el tamaño de las partículas directamente está 
relacionado con la interacción aerodinámica con la fase gaseosa y produce efectos que pueden 
ser muy acusados en la aerodinámica de la tobera, impactando directamente sobre el flujo de 
salida. 
 
Figura 7.6: Efecto sobre el coeficiente de empuje de la presencia de una fase 
sólida en cuatro extremos. 
Con carácter general, y por fracciones másicas sólidas, 𝑌𝑓𝑠 pequeñas, se puede poner 
𝐶𝐸𝑎𝑑 (𝐶𝐸𝑎𝑑)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = 1 − 𝑎𝑌𝑓𝑠⁄ (7.19) 
Con el coeficiente en el rango (𝑎~0.35− 0.9), dependiendo de las circunstancias que tengan 
lugar. 
Procesos en la cámara de combustión 
En los motores cohete de propulsión química suelen tener lugar gran cantidad de complejos 
procesos (atomización, evaporación, mezcla, combustión, ...) que pueden dan lugar a 
imperfecciones respecto a la situación idealizada en la que se produzca un proceso de 
combustión alcanzándose la composición de equilibrio sin la formación de inquemados ni 
sustancias resultantes de reacciones menos eficientes. Se define el rendimiento de combustión, 
𝜉𝑏 = 𝑐∗ 𝑐𝑖∗⁄ , que resulta ser una buena medida de la temperatura alcanzada 
𝜉𝑏 =
𝑐∗
𝑐𝑖∗
≈ �
𝑇𝑐
𝑇𝑐𝑖
 (7.20) 
Si consideramos que no hay pérdida de presión de remanso en el convergente de la tobera, no 
hay variación de 𝛾 del caso ideal al real y el posible cambio de composición tampoco afecta a 
la constante de los gases. 
A menudo (motores cohete de propulsante sólido, por ejemplo) la evaluación del gasto másico 
mediante algún método (por pesada) comparado con el calculado teóricamente en base a 
medidas de la presión de cámara y el área de garganta permite estimar el rendimiento de 
combustión sin tener que medir directamente la temperatura en la cámara. 
Cambio de composición en la tobera 
Desde el punto de vista idealizado los dos modelos posibles para la composición a lo largo de 
la tobera son el de flujo no-reactante con composición fija (flujo congelado) o composición 
cambiante (shift equilibrium)que se adapta inmediatamente a las condiciones de presión y 
temperatura locales ajustando la composición a la de equilibrio químico (flujo en equilibrio). 
 
Figura 7.7: Comparación del impulso obtenido con LH2/LO2 en función de 
la relación de mezcla para varias presiones de cámara en los casos de flujo 
congelado y flujo en equilibrio 
En la figura 7.7 es presentan los casos para el sistema LH2/LO2 en función de la fracción de 
mezcla y tomando como parámetro la presión de cámara, mientras que en la figura 7.8 se 
pone de relieve el efecto sobre el impulso específico. Como el equilibrio se desplaza en contra 
del cambio experimentado, el descenso de temperatura en la expansión en la tobera se 
contrarresta globalmente liberando calor en reacciones exotérmicas con lo que aumenta la 
velocidad de los gases en la salida aumentando el impulso. Sobre la composición a la salida el 
descenso de presión en la expansión desplaza el equilibrio dependiendo de la molaridad de las 
reacciones. En el caso del ejemplo, el resultado es que el óptimo de impulso específico se 
presenta para mezclas más pobres con composición de equilibrio que en el caso congelado, 
favoreciendo la aerodinámica del vehículo y el peso de depósitos. 
 
 
Figura 7.8: Efecto del modelo (flujo congelado frente a flujo en equilibrio) 
sobre el impulso del motor. 
La rule of thumb es que como quiera que en el proceso de expansión la situación será 
intermedia es necesario un cálculo detallado que mida la extensión del efecto. Como primera 
aproximación al problema se suele utilizar la regla del 1/3 propuesta por Coats que permite 
estimas rápidamente el coeficiente 𝜂𝑘𝑖𝑛 mediante la formula 
𝜂𝑘𝑖𝑛 =
2
3
+
1
3
𝐶𝐸
𝑓𝑟𝑜𝑧𝑒𝑛
𝐶𝐸𝑂𝐷𝐸
 (7.21) 
El modelo de composición de equilibrio es adecuado en la cámara de combustión, ya que, una 
vez desencadenado el proceso de combustión mediante reacciones de iniciación la 
recombinación y encadenamiento de las transformaciones químicas conduce, si se permite un 
lapso de tiempo suficiente, a que se alcancen las condiciones de equilibrio químico, dando 
lugar a una composición de equilibrio estable mientras no cambien las condiciones de presión 
y temperatura. El proceso de expansión que se origina en el convergente de la tobera 
desencadena el desplazamiento del equilibrio al modificarse las condiciones de presión y 
temperatura. Que se alcance localmente la composición de equilibrio depende de la relación 
de tiempos característicos implicados, por un lado, el tiempo de residencia que es alto a la 
salida de la cámara de combustión; el fluido ingresa a régimen subsónico en el convergente de 
la tobera y el tiempo de residencia se va acortando a medida que aumenta la velocidad, 
alcanzando valores realmente cortos (del orden del milisegundo) aguas debajo de la garganta 
y que se puede cuantificar mediante 
1
𝜏𝑐
=
𝑉𝑐
𝐿𝑐
~
𝑀�𝛾𝑅𝑇
𝐷𝑔
 (7.22) 
Por otra parte, el tiempo químico estará controlado por la reacción de recombinación más 
lenta del esquema de cinética química, que se puede expresar mediante una relación de tipo 
Arrhenius, en la que la disminución de la temperatura que sufre el fluido en la tobera va 
alargando el tiempo químico, ralentizando los procesos de recombinación. 
1
𝜏𝑞
= ~𝐴(𝑇)𝑒−𝐸𝑎 𝑅𝑇⁄ (7.23) 
donde, 𝐴(𝑇) es un factor de frecuencia función de la temperatura, 𝐸𝑎 es la energia de 
activación. La relación entre estas dos magnitudes controla el tipo de flujo. Como quiera que 
a lo largo de la tobera uno aumentar y el otro disminuye, puede existir algún punto 
intermedio del proceso de expansión en el que cambie la relación inicial, que es la 
correspondiente a tiempo alto de residencia frente a tiempo pequeño químico, es decir, flujo 
en equilibrio. 
La temperatura a la que el tiempo de residencia y el tiempo químico se igualen marcará la 
frontera de validez de la hipótesis de flujo en equilibrio o flujo congelado. Considerando que 
esto tiene lugar a una temperatura característica 𝑇𝑐, su valor quedará determinado por la 
ecuación: 
𝑀�𝛾𝑅𝑇𝑐
𝐷𝑔
= 𝐴(𝑇𝑐)𝑒−𝐸𝑎 𝑅𝑇𝑐⁄ (7.24) 
En la figura 7.6 claramente se aprecia el punto de cruce de las curvas de tiempos 
característicos. La posición relativa de ambas curvas en el inicio de la tobera (lado izquierdo 
de la gráfica) es el correcto si la cámara ha sido diseñada de manera que los tiempos de 
residencia sean bajos para alcanzar el equilibrio. 
A medida que la temperatura desciende a lo largo de la tobera las curvas confluyen y 
pertenece a las condiciones particulares de cada situación (propulsantes y relación de 
expansión) si el cruce tiene lugar o no. En el caso de los motores de propulsantes líquidos 
criogénicos la situación de equilibrio perdura más que la que tiene lugar en los motores de 
propulsantes sólidos. En el ejemplo mostrado la situación de equilibrio químico permanece 
más allá de la garganta del motor. 
 
Figura 7.9: Inverso de los tiempos de residencia y de reacción en función de 
la temperatura para valores particulares de los parámetros de los que 
dependen a lo largo del proceso 
Resulta interesante llevar a cabo un análisis de la relación de tiempos característicos 
introduciendo el valor de la temperatura de cruce en del factor de frecuencia, de (7.22) y 
(7.23) empleando (7.24) se tiene 
1
𝜏𝑞
=
1
𝜏𝑟
𝑀𝑐
𝑀
�𝑇𝑐
𝑇
𝑒−
𝐸𝑎
𝑅𝑇+
𝐸𝑎
𝑅𝑇𝑐 (7.25) 
Suponiendo que no hay gran variación entre números de Mach (𝑀~𝑀𝑐) y temperaturas 
(𝑇~𝑇𝑐) se puede poner 
1
𝜏𝑞
~
1
𝜏𝑟
𝑒
𝐸𝑎
𝑅𝑇𝑐
�𝑇𝑐−𝑇𝑇𝑐
� (7.26) 
Que tiene interesantes aplicaciones si la energía de activación es grande en comparación con 
𝑅𝑇𝑐, es decir, 𝑅𝑇𝑐 𝐸𝑎~𝜀⁄ y calcular el limite cuando la energía de activación tiende a infinito 
resulta que 
lim
𝜀→0
�
𝜏𝑟
𝜏𝑞
� = �0,𝑇 > 𝑇𝑐∞,𝑇 < 𝑇𝑐
 (7.27) 
es decir, hay un estrecho margen de temperaturas entorno a 𝑇𝑐 para las que se produce la 
transición brusca entre flujo en equilibrio y flujo congelado, la línea que representa el tiempo 
químico en el diagrama (7.6) es muy vertical. En contraste si la energía de activación de las 
reacciones son muy bajas la línea es muy horizontal y presumiblemente es más difícil que 
pueda cortar a la del tiempo de residencia partiendo de una situación inicial en la que éste es 
más grande. 
Flujo reactante en la tobera 
Para poner de manifiesto el método de cálculo que puede seguirse se plantea el problema 
unidimensional de cálculo de flujo reactante, en el que se consideran n especies que 
reaccionan según un esquema cinético de m reacciones de la forma: 
�𝑣𝑖𝑗′
𝑖
𝑀𝑖 ⇄�𝑣𝑖𝑗′′
𝑖
𝑀𝑖 𝑗 = 1 …𝑚 (7.28) 
Las ecuaciones que distan la evolución de las variables fluidas y las fracciones másicas de las 
n especies son: 
𝜌𝑉𝐴 = �̇� 
𝑉𝑑𝑉 +
𝑑𝑝
𝜌
= 0 
𝜌𝑉
𝑑𝑌𝑖
𝑑𝑥
= ��̇�𝑖𝑗 𝑖 = 1 …𝑛
𝑗
 
�𝑌𝑖ℎ𝑖 +
1
2
𝑖
𝑉2 = 𝑐𝑡𝑒 
(7.29) 
Las condiciones extremas de flujo congelado y flujo en equilibrio son situaciones en las que la 
entropía permanece constante a lo largo de la tobera: 
𝑇𝑑𝑆 = 𝑑 ��𝑌𝑖ℎ𝑖
𝑖
� −
𝑑𝑃
𝜌
−��
𝜇𝑖
𝑀𝑖
� 𝑑𝑌𝑖
𝑖
 (7.30) 
pero 
𝑑 ��𝑌𝑖ℎ𝑖
𝑖
� −
𝑑𝑃
𝜌
= 0 (7.31) 
y queda: 
𝑇𝑑𝑆 = −��
𝜇𝑖
𝑀𝑖
� 𝑑𝑌𝑖
𝑖
 (7.32) 
que se corresponde con las dos situaciones límite 
𝑑𝑆 = 0 ⟺ �
��
𝜇𝑖
𝑀𝑖
� 𝑑𝑌𝑖
𝑖
𝑑𝑌𝑖 = 0 
 (7.33) 
Para las condiciones de contorno debe especificarse la composición y temperatura en la 
cámara, en principio, como resultado de un cálculo de composición de equilibrio en el que la 
presión actuaría como un parámetro fijado de forma externa. Especial cuidado debe tenerse 
entre condiciones idealizadas de una cámara de combustión con velocidad prácticamente nula 
y la entrada de la tobera de área finita. 
La relación 𝜀 = 𝐴(𝑥) 𝐴𝑔⁄ permite el cálculo avanzando a lo largo de la tobera integrando el 
sistema de ecuaciones y procediendo por iteración para fijar la presión aguas arriba que 
permite la operación con garganta bloqueada.Lección 8: Motores cohete de propulsante 
solido 
Introducción 
El motor cohete de propulsante solido es el sistema de propulsión de altas prestaciones más 
sencillo que se ha ideado. Consiste en una vasija rellena de una mezcla de componentes 
solidos energéticos, que reaccionan químicamente a ritmo rápido produciendo gases a alta 
temperatura y presión que son expelidos a través de una tobera que los acelera, produciendo 
la consiguiente fuerza de reacción, es decir, empuje. Al producirse la ignición del propulsante 
sólido y formarse un frente de combustión sobre su superficie, éste se consume por capas, 
paulatinamente. La geometría de combustión determina la respuesta propulsiva del sistema, 
pues controla directamente la masa liberada. La capacidad de variación de empuje se 
anticipa en el diseño geométrico del propulsante (throttling by design), dimensionando 
adecuadamente el área expuesta inicialmente durante el proceso de combustión. La 
simplicidad del sistema conlleva algunas deficiencias, entre las que destacan la imposibilidad 
de variar el nivel de empuje y la intrínseca dificultad para articular arranques y paradas. 
Frente a los modestos valores de impulso específico, los más bajos de los sistemas con 
combustión, contrasta la alta densidad de los propulsantes, la facilidad de almacenamiento, la 
simplicidad de uso y su versatilidad. 
 
Figura 8.1: Esquema de un motor cohete de propulsante sólido en el que se 
detallan los elementos de los que consta habitualmente. 
Estos sistemas (véase la figura 8.1) normalmente están compuestos por una carcasa 
estructural, metálica o de material compuesto, que incorpora los anclajes con el vehículo y la 
tobera, un sistema de ignición, el propulsante, la tobera y diversas protecciones térmicas. El 
propulsante puede estar adherido o no a la carcasa y es posible que existan zonas de la 
carcasa y tobera protegidas térmicamente por materiales aislantes. Es de especial interés la 
geometría inicial de la superficie del propulsante que determina la evolución temporal de la 
curva de empuje. La tobera del motor suele ser un elemento de complejo diseño 
termomecánico en el que se combinan materiales estructurales con otros, en los que sus 
características como aislantes o como resistentes a la abrasión son primordiales. 
Eventualmente, las toberas incorporan algún sistema de control o vectorización de empuje 
(no mostrado en la figura). 
Aplicaciones 
Los motores cohete de propulsante solido se emplean en la práctica totalidad de aplicaciones 
aéreas y espaciales en las que intervienen motores cohete. Los usos más comunes son: 
Lanzadores: primeros y segundos escalones en misiones de inyección en órbita de cargas de 
pago (satélites, tripulaciones ISS, etc.) o misiles balísticos, es decir, como “boosters” de todo 
tipo. Habitualmente la esbeltez es alta (de 2 a 7), la altura de operación baja, las toberas 
tienen baja relación de áreas (5 a 15) y los tiempos de combustión son (60 s. a 120 s.) largos. 
Aplicación espacial (“upper stage”): segundas o terceras etapas de lanzadores o misiles y 
misiones de maniobra espacial. Se trata de sistemas con propulsantes de alto impulso, toberas 
con relaciones de áreas grandes (20 a 200), carcasas con esbeltez pequeña (1 a 2) y tiempos 
de combustión grandes (40 s. a 120 s.). 
Cohetes de sondeo: primeras (“booster”) y segundas etapas (“sustainer”) de cohetes de sondeo 
(alturas de operación de 30 a 200 km). Son sistemas de tamaño moderado y esbeltez alta. 
Misiles tácticos: todo tipo de misiles de corto alcance de alta aceleración (p.e. antitanque) o 
medio alcance de moderada aceleración (aire-aire, guiados, etc.). La esbeltez es alta (5 a 15), 
el diámetro pequeño, los tiempos de combustión cortos (incluso <1 s.), la estabilización 
aerodinámica puede ser por giro, están sometidos a restricciones de firma y se les exige 
amplio rango de temperaturas de utilización. 
Asistencia propulsiva (JATO o RATO): sistema obsoleto (para aviación en general) que se 
sigue utilizando en aplicaciones especiales o misiones muy concretas como lanzamiento de 
vehículos no tripulados (UAV’s). 
Misiles de defensa: utilizados como protección ante misiles balísticos y de tecnología similar a 
estos, ya incluidos en el primer epígrafe. 
Generadores de gas: todo tipo de aplicaciones como actuadores pirotécnicos, generadores de 
gas en tubos de lanzamiento, válvulas, suministro de potencia en sistemas de arranque, 
airbag, etc. Usualmente, el objetivo es generar gran cantidad de gas a baja temperatura, lo 
que condiciona la formulación de los propulsantes. 
Actuaciones de motor 
Funcionamiento básico 
Como se ha comentado en la introducción, el MCPS funciona gracias a la reacción de 
combustión que tiene lugar entre los diferentes componentes del propulsante que inicialmente 
se encuentra en estado sólido y que es calentado y gasificado por el aporte energético que 
recibe de la propia reacción química. Los procesos que desencadenan la generación de los 
productos de combustión (un fluido a alta temperatura) tienen lugar a lo largo de una región 
entorno a la superficie del propulsante, de pequeño espesor, que actúa como un frente que 
avanza hacia el interior (según la dirección normal a la superficie) consumiéndolo de forma 
paulatina, capa a capa. El ingreso de estos gases calientes en la cámara del motor tiende a 
aumentar la presión, efecto regulado por el flujo másico por la tobera cuya sección mínima 
funcionará en estado crítico. Eventualmente, si los cambios geométricos no son bruscos, la 
situación alcanza un estado cuasi-estacionario en el que las variables fluidas en el interior de 
la cámara permanecen estables con el tiempo, es decir, si cambian lo hacen de forma 
paulatina. La evolución de la superficie de combustión, que instantáneamente coincide con la 
del sólido, determina directamente el gasto de propulsante consumido y por lo tanto la 
presión en la cámara, con lo que la determinación de las actuaciones del sistema a lo largo del 
tiempo, entraña la solución de un problema geométrico que determine la superficie de 
combustión en cada instante temporal. Finalmente, el consumo de propulsante desemboca en 
la disminución del gasto de entrada y la cámara se descarga en un proceso no estacionario. 
Propulsantes 
Existen dos tipos principales de propulsantes sólidos; propulsantes homogéneos, también 
denominados de doble base, que son mezclas a nivel coloidal de sustancias cuya formulación 
molecular contiene, simultáneamente, elementos de carácter oxidante y reductor. 
Prácticamente, todos los propulsantes homogéneos utilizados, independientemente de su 
denominación comercial, son una mezcla de nitroglicerina y nitrocelulosa (y aditivos para 
mejorar sus características de combustión, de resistencia o de vida). Aunque son de difícil 
manejo y almacenamiento y sus prestaciones propulsivas son modestas, tienen la ventaja de 
emitir una baja firma. 
El segundo tipo son los propulsantes heterogéneos o compuestos, que están formados, 
normalmente, por una mezcla física de una sustancia oxidante y otra reductora. En estas 
aplicaciones son habituales como oxidantes el nitrato amónico (AN) y el perclorato amónico 
(AP). Ejemplos de sustancias reductoras son aquéllas cuya molécula contiene C, H, O y N y 
las podemos encontrar en polímeros, resinas, gomas, cauchos, etc. Como el oxidante suele ser 
un sólido granulado, los propulsantes compuestos no son microscópicamente homogéneos, 
presentando una estructura de partículas de oxidante dispersas en el reductor. Obviamente, 
tanto la resistencia mecánica como las características energéticas y de combustión dependen 
de la relación en peso reductor/oxidante y de la naturaleza de éstos. Son más fáciles de 
manejar y almacenar que los de doble base y en general presentan mejores características 
propulsivas. 
Velocidad de recesión 
El propulsante sufre un proceso por capas con un frente de combustión paralelo a la 
superficie que va consumiéndolo. Siel consumo de propulsante es uniforme, las capas tienen 
espesor uniforme y la descripción de la evolución de la superficie se reduce a un cálculo 
geométrico, en el que el parámetro es la profundidad alcanzada por el frente. 
Hacia 1839 el general Guillaume Piobert, profesor de artillería en una escuela militar 
francesa, hizo un enunciado más o menos parecido a este: “La superficie de la combustión de 
un propulsante retrocede capa a capa en dirección normal a la propia superficie, en cada 
punto” para explicar los fenómenos observados en el disparo de proyectiles y cohetes 
mediante el encendido de polvoras. 
 
Figura x.x: Aspecto del propulsante de un motor cohete en el estado inicial 
(t = 0) y después de haber apagado el motor en instantes sucesivos (en t = 
1.5 s y t = 2.5 s) para observar el estado del solido. 
En la figura x.x se puede observar la geometría de la superficie de combustión de un motor 
cuyo propulsante tiene una geometría longitudinal con sección transversal en forma de 
estrella. Las figuras corresponden a la situación inicial, 1.5 segundos y 2.5 segundos después 
del encendido. En ella se puede observar como el propulsante se consume, permanaciendo 
inalterado en su estructura interna y como la superficie sufre una evolución geométricamente 
previsible suponiendo velocidad de recesión constante. 
Una de las características más sobresalientes de los propulsantes sólidos y que determina las 
actuaciones del sistema es la velocidad a la que se consume el propulsante bajo la acción del 
frente de combustión. Con carácter general, la velocidad de recesión de la superficie, es decir, 
la velocidad a la que avanza el frente de combustión, aumenta al hacerlo la presión en el 
interior de la cámara como resultado de la disminución de las escalas que intensifica los flujos 
de calor aumentando los ritmos de reacción. 
Hacia 1893 Paul Vieille, científico francés inventor de la pólvora sin humo, propuso que la 
velocidad de combustión, �̇�𝑏, de un propulsante responde a la ley potencial del tipo 
�̇�𝑏 = 𝑎𝑝𝑐𝑛 (8.1) 
en función de la presión a la que se encuentra la cámara, 𝑝𝑐, y dos valores empíricos, el factor 
𝑎 y el exponente 𝑛. 
Presión de cámara 
La variable operacional más importante del MCPS es la presión de cámara que dicta el nivel 
de empuje alcanzado 
𝐸 = 𝑝𝑐𝐴𝑔C𝐸 (8.2) 
y su evolución temporal. Como ya se ha mostrado el valor de la presión de cámara depende 
de muchos factores en este tipo de motores y su control no es directo. 
La presión de cámara que es el resultado del equilibrio entre el gasto producido por el proceso 
de combustión del propulsante y el desalojado por la tobera del motor. La expresión 
matemática más simple corresponde a 
𝑝𝑐 = �𝜌𝑝𝑎𝑐∗𝐾�
1 (1−𝑛)⁄ (8.3) 
donde, 𝜌𝑝 es la densidad del propulsante, 𝑎 y 𝑛 son los valores de la ley de Vieille, 𝑐∗ el 
parematro de velocidad característica en la tobera y 𝐾 = 𝐴𝑏 𝐴𝑔⁄ , la relación de áreas entre la 
de la superficie de combustión 𝐴𝑏, y la de la garganta de la tobera 𝐴𝑔. 
En la expresión (8.3) se puede ver la clara influencia sobre el empuje del motor de aspectos 
tan dispares como las características de combustión del propulsante (𝑎, 𝑛, 𝑇𝑐) o la geometría 
del conjunto (𝐴𝑏 y 𝐴𝑔) 
Curva de empuje 
El comportamiento del motor queda reflejado en la curva empuje-tiempo, que se puede 
obtener de forma teórica o experimental. Se distinguen, normalmente, varias fases 
diferenciadas que se representan en la figura 8.2 que se describen a continuación: 
Fase de arranque: consiste en el encendido del motor, que entraña una serie de fenómenos no 
estacionarios y complejos, desde el punto de vista químico y fluidodinámico. Normalmente el 
sistema de ignición consiste en un sistema que libera gran cantidad de gases a alta 
temperatura que, además, producen cierto aumento de la presión, aunque primordialmente es 
el calentamiento del propulsante el que origina su ignición. Se trata de un periodo claramente 
no-estacionario en el que, una vez que comienza la ignición del propulsante, la presión en la 
cámara aumenta rápidamente. 
Fase permanente: es la fase principal de funcionamiento del motor. Esta fase puede ser de 
empuje constate, creciente o decreciente (combustión neutra, progresiva o regresiva) o puede 
englobar diversas fases que sean de interés para la misión a cumplir, como por ejemplo una 
primera fase de alto empuje (booster) seguida de una fase de empuje más bajo de crucero 
(sustainer). En ocasiones los perfiles de la curva de empuje son más complicados y responden 
a necesidades muy concretas de la misión en las que limitaciones de carácter estructural y/o 
térmico condicionan la presión de cámara. 
En esta fase la presión de cámara y, por lo tanto, el empuje están determinados por el 
equilibrio entre los gases de combustión producidos por la superficie del propulsante y el flujo 
de éstos por la tobera. 
 
Figura 8.2: Representación esquemática de la curva de empuje de un motor 
cohete de propulsante sólido en la que se muestran las fases principales que 
suelen presentarse. 
Fase de empuje de cola: en esta fase el propulsante ha sido consumido (total o parcialmente) 
y se corresponde con la descarga de la cámara en un proceso claramente no-estacionario. A 
menudo, las geometrías de los propulsantes evolucionan de forma que al final del periodo de 
combustión queden restos de propulsante sin quemar (sliver fraction), cuya combustión (o 
no) tiene lugar durante la fase de empuje de cola. Así mismo, como la cámara queda al 
descubierto, los aislantes empleados en su protección pueden también sufrir procesos de 
descomposición y/o combustión que da lugar a que el gasto desalojado pueda contener parte 
de estas sustancias. 
Componentes de un Motor Cohete de Propulsante Sólido 
La arquitectura de los motores cohete de propulsante sólido es, en principio, sencilla 
constando de pocos elementos que se especializan fundamentalmente dependiendo de la 
aplicación. En este sentido, los motores más sencillos son los que propulsan misiles tácticos 
mientras que los más sofisticados son los empleados en misiones de lanzamiento y espaciales. 
Carcasa 
Las carcasas de los motores de propulsante solido se diseñan como recipientes a presión en los 
que el aislamiento necesario para proteger de la exposición a gases calientes es un aspecto 
importante. En este sentido se emplean los materiales estructurales habituales, metálicos y 
compuestos, y materiales aislantes de todo tipo. El diseño estructural tiene un gran impacto 
en las actuaciones del vehículo, pues establece una relación directa entre el peso de la carcasa 
y el impulso específico del motor. El primero está directamente relacionado con la presión 
máxima de utilización y el segundo, en el caso de vuelo atmosférico, mejora al aumentar la 
presión de cámara. 
Tobera 
Las toberas de los motores pueden ser muy sencillas fabricadas con materiales estructurales 
de moderada resistencia térmica para aplicaciones terrestres, fundamentalmente militares o 
muy complicadas, con diseños muy aquilatados empleando materiales sofisticados con 
cometidos muy concretos (resistencia a la erosión, al choque térmico, aislantes, estructurales, 
ligeros, etc.) para aplicaciones espaciales o en tareas de responsabilidad en lanzamientos 
terrestres. Si bien, no incorporan sistemas de refrigeración, si presentan una amplia gama de 
configuraciones al servicio del diseño del conjunto e integran sistemas de ignición o de control 
vectorial de empuje. 
Los tipos de toberas que se encuentran en los motores cohete de propulsante solido pueden 
ser de diferentes tipos: 
 Exterior 
 Sumergida 
 Desplazada 
 Múltiple 
 Desplegable 
La tobera exterior (figura 8.5) presenta un configuración clásica en la que el camino seguido 
por el flujo a la salida de la cámara de combustión de conduce mediante un convergente 
hasta la garganta y a continuación el divergente. La tobera sumergida (figuras 8.5 y 8.6) 
carece deconvergente al haber sido introducida en el interior de la cavidad de la cámara 
conservando exclusivamente la región de la garganta y el divergente. El ahorro de espacio y 
peso es evidente, sin embargo, se produce una penalización en las actuaciones del motor 
debido a que se complica el flujo en la región de entrada de la tobera. 
 
Figura 8.5: Corte ilustrativo de una tobera convencional (a) y una tobera 
sumergida (b) 
La tobera desplazada es la que se sitúa a cierta distancia de la cámara de combustión por 
distintos motivos, usualmente relacionados con el balance de masas del motor (estabilidad 
aerodinámica) la configuración “booster-sustainer” de algunos misiles o la necesidad de alojar 
equipos de diversa naturaleza en la parte trasera del vehículo. 
Es también el caso de las toberas múltiples en las que, cualquiera de las consideraciones 
anteriores aconseje separar los flujos. No obstante, para grandes toberas de motores 
lanzadores la opción de utilizar varias toberas tiene que ver con el ahorro de peso y longitud. 
Efectivamente, la masa de un recipiente a presión es proporcional al volumen, 𝑀𝑡𝑜𝑏~𝑛𝐷𝑠3, y 
en el caso de las toberas, la longitud es una fracción del diámetro en virtud del diseño 
aerodinámico del contorno, al distribuir el flujo en 𝑛 toberas se debe conservar el área de 
salida, 𝐴𝑠 = 𝑛𝐷𝑠2, con lo que la masa queda 𝑀𝑡𝑜𝑏~𝐴𝑠
3 2⁄ 𝑛1 2⁄⁄ , que indica que se ahorra peso y 
longitud al utilizar mas unidades. Sin embargo, aumenta el costo de producción y algunos 
aspectos de diseño mecánico también incrementan el peso y empobrecen las actuaciones. 
 
Figura 8.6: Corte longitudinal de la tobera del motor STAR 48 de ARK en 
la que se aprecia la complejidad del diseño de una tobera sumergida en la 
que integra el sistema de ignición junto con los dedicados a aislamiento e 
integridad estructural. 
En los motores cohete espaciales la condición de diseño para la tobera es que la relación de 
áreas sea lo más grande posible. Debido a la especial configuración de éste elemento con 
longitud grande en comparación con el diámetro de la garganta y proporcional a la relación 
de áreas se presentan problemas de espacio evidentes. Un solución tecnológicamente 
complicada es la utilización de toberas desplegables (figura 8.7) que proporcionan un extra de 
empuje sobre la tobera que podría empaquetarte en el tamaño inicial. 
 
Figura 8.7: Corte descriptivo de un motor que se encarga de misiones de 
transferencia orbital en el que se observa las dos posiciones de una tobera 
telescópica. 
Los motores cohete espaciales incorporan toberas de complejo diseño térmico y estructural 
(figura 8.8) en las que los requisitos impuestos son muy severos. Usualmente el sistema tiene 
que funcionar sin refrigeración activa alguna durante largos periodos de tiempo (del orden de 
decenas de segundos) ofreciendo muy baja erosión de garganta, a menudo, la especificación 
pide que no exista erosión. 
 
Figura 8.8: Corte longitudinal de una tobera de uso espacial con detalle de 
los diferentes materiales utilizados y su función. 
 
Control vectorial de empuje 
Los métodos de control de empuje en motores cohete de propulsante solido son: 
 Inyección líquido/gaseosa. 
 Aletas. 
 Unión flexible. 
 Unión giratoria. 
El procedimiento de inyección de líquido está relativamente extendido en el ámbito militar 
para etapas de lanzamiento de vehículo propulsados exclusivamente por motores de 
propulsante sólido. Es un sistema que mediante la inyección de un líquido o un gas en el 
interior de la tobera consigue crear una asimetría en el flujo que inclina el vector de empuje, 
con lo que actuando sobre dos ejes (cuatro lugares de inyección) se consigue un control total. 
Los inconvenientes son el evidente deterioro en el impulso y la necesidad de disponer de un 
fluido que inyectar. 
El control por aletas o por pestañas se utiliza habitualmente en el control de todo tipo de 
misiles tácticos en los que la simplicidad del sistema y su efectividad guiando compensan las 
actuaciones perdidas. 
Las uniones flexibles suponen la mejor opción a la hora de conservar actuaciones del sistema 
pues el deterioro es mínimo. La dificultad reside en al diseño termo-mecánico de las uniones 
que se ven sometidas a condiciones muy adversas de operación. Una solución intermedia 
pueden ser las uniones giratorias pero presentan limitaciones de operación importantes. 
Sistema de ignición 
En general, para producir la ignición hay que presurizar y calentar la superficie del 
propulsante por encima de una presión y temperatura denominadas presión y temperatura de 
ignición. Esto se logra con los gases calientes producidos por un sistema como el ilustrado en 
la figura 8.10. 
 
Figura 8.9: Sistema de ignición mediante un cartucho de propulsante de 
geometría estriada que se activa mediante un iniciador. 
El diseño de los sistemas de ignición se aborda mediante métodos semiempíricos que 
normalmente dimensionan el tamaño del cartucho de ignición en función del volumen libre 
inicialmente en la cámara de combustión. 
 
 
Figura 8.10: Presión mínima del proceso de combustión del propulsante y 
carga recomendada en función del volumen inicial de cámara. 
En la figura 8.10 de representa por un lado la velocidad de recesión en función de la presión 
que pone de manifiesto una presión mínima por debajo de la cual no es posible un proceso 
estable y que por lo tanto debe ser garantizada por el sistema de ignición que en ocasiones se 
ayuda de oclusiones interpuestas en la tobera que son expulsadas a resultas del aumento de la 
presión. En la segunda parte de la figura se representa la masa necesaria de sustancia 
pirotécnica capaz de producir la ignición en función del volumen inicial de la cámara. Como 
se observa la correlación es clara y la función ajuste solo necesita dos parámetros. 
 
Apéndice 8.A: Algunos datos de motores 
El motor STAR 48B de tobera larga certificado en 1984 como sustituto del STAR 48 para la 
tercera etapa del vehículo de lanzamiento Delta II. Esta versión voló por primera vez en 
junio de 1985 desde el transbordador espacial para colocar el satélite Morelos en órbita. El 
diseño utiliza un propulsante de alta energía y la carcasa de titanio de alta resistencia. La 
tobera sumergida utiliza un cono de salida de material compuesto carbón-fenólico y una 
garganta carbono-carbono 3-D. 
(http://www.ltas-vis.ulg.ac.be/cmsms/uploads/File/DataSheetSolidATK.pdf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lección 9: Propulsantes solidos 
Introducción 
Usualmente los propulsantes sólidos se clasifican en homogéneos y heterogéneos de acuerdo 
con su composición química y estructura macroscópica. Los primeros poseen sustancias 
reductoras y oxidantes integradas simultáneamente es su estructura molecular mientras que 
los segundos, reductores y oxidantes se presentan como sustancias independientes mezcladas 
físicamente. Los ingredientes de los propulsantes homogéneos se pueden englobar en cuatro 
categorías: nitramidas (RDX, HMX, CL-20, HNF) azidas (GAP, BAMO, AMMO) esteres de 
nitrato (NG, NC, BTTN, TMETN, DEGDN) o nitratos (ADN, AN). Los propulsantes 
compuestos utilizan a menudo AP, AN y KN como oxidantes y HTPB, HTPE y CTPB como 
combustibles. Además, de las sustancias energéticas mencionadas los propulsantes sólidos se 
formulan añadiendo otras sustancias con cometidos diversos relacionados con sus propiedades 
mecánicas, proceso de fabricación o envejecimiento. 
La historia del desarrollo de esas sustancias en larga e interesante (Davenas, 2003) y 
comienza con el descubrimiento y utilización de la pólvora negra por el pueblo Chino al final 
del primer milenio de nuestra era. Poco se avanza desde entonces hasta el siglo XIX, época 
dorada en el desarrollo de estas sustancias, si no son los logros en terreno militar de William 
Congreve, a partir de los cohetes traídos de India. Hay que esperar a 1886 cuando Paul 
Vieille encuentra la forma de nitrar algodón de formaque se pudiera gelatinizar para ser 
utilizado como pólvora en armas. En 1887 Alfred Nobel patenta la Ballistita, explosivo a base 
de nitrocelulosa plastificada con nitroglicerina que ha sido la base de todos los propulsantes 
homogéneos actuales. Los estudios científicos de la época son notables, destacando los 
trabajos de Piobert en la primera mitad del siglo XIX en los que postula que el proceso de 
reacción química en los propulsantes debía corresponder a una combustión por capas que 
paulatinamente consumía las sustancias y que permitió a Vieille enuncia la ley de 
dependencia con la presión de la velocidad de recesión, 𝑎𝑝𝑐𝑛, que lleva su nombre. 
Por su parte los propulsantes compuestos son de reciente invención, pues corresponde a los 
trabajos de John W. Parsons hacia 1942 como resultado de los estudios iniciados en el 
GALCIT (organismo precursor del Jet Propulsion Laboratory norteamericano) bajo la 
dirección de Thodore Von Karman. Nombres como, Edward Forman, Frank Malina o Martin 
Summerfield fundan Aerojet en 1942, fecha en la que Pearson mezcla perclorato potásico y 
asfalto, fabricando el primer propulsante compuesto de la historia, el GALCIT 53. Casi 
inmediatamente empezó a usarse perclorato amónico como oxidante que evitaba la formación 
de la fase condensada del KCl, mientras que los ensayos con ligantes poliméricos han 
conducido a las formulaciones actuales basadas en moléculas de butadieno y similares. 
Sustancias y funciones 
Oxidantes y Combustibles (Oxidizers and fuels) 
Son los ingredientes principales de un propulsante sólido cuya función es reaccionar entre si 
liberando gran cantidad de energía. El oxidante más habitual es AP, ya que presenta buenas 
características: compatibilidad con otras sustancias, buenas características propulsivas (bajo 
peso molecular de productos y alta temperatura de combustión), no es higroscópico, 
detonabilidad aceptable, precio razonable, etc. También se usan AN y KN que con 
prestaciones propulsivas inferiores pueden ser más baratos y presentan gases de salida sin 
humo, ni toxicidad. 
Como combustibles se encuentran algunos metales (como por ejemplo, Al y Bo). El más 
usado con diferencia es el aluminio en forma de partículas de pequeño tamaño (5-60 µm) que 
en proporciones de hasta el 20% produce un aumento considerable de densidad, temperatura 
de combustión e impulso específico. 
Por otra parte, un número apreciable de sustancias pueden actuar, simultáneamente, como 
oxidantes o reductores, como la NC. 
 
Propulsante Fórmula Observaciones 
Aluminum Al Combustible 
Ammonium Di-Nitramide (ADN) H4N4O4 Oxidante 
Ammonium perchlorate (AP) ClH4NO4 Oxidante 
Ammonium nitrate (AN) H4N2O3 Oxidante 
Glycidyl Azide Polymer (GAP) 
 
Ligante energético 
Hydrazinium Notro Formate 
(HNF) 
N2H5C(NO2)3 Ligante energético 
HTPB C10H15,385O0,073 Ligante 
Nitrocellulose (NC) C6H7O5(NO2)3 Base simple 
Nitroglycerine (NG) C3H5(ONO2)3 Base simple 
Polyethene (PE) (C2H4)n Ligante 
Potassium perchlorate (KP) ClKO4 Oxidante 
HMX or Octogen C4H8N4(NO2)4 
Explosivos 
RDX or cyclonite, hexogen C3H6N3(NO2)3 
 
Tabla 9.1: Sustancias de uso común como propulsantes, nombre inglés, 
abreviatura usual, su fórmula química y algunos comentarios sobre su 
función 
Los materiales energéticos están compuestos por componentes reductores y oxidantes dentro 
de su estructura química. Los componentes reductores incorporan átomos de carbono e 
hidrógeno mientras que los oxidantes, como el NO2, incorporan átomos de carbono, nitrógeno 
u oxígeno en hidrocarburos para formar grupos como C-NO2, N-NO2 o O-NO2. La rotura de 
los enlaces N-N u O-O genera gran cantidad de energía formando CO2 y N2. 
El proceso de combustión de los propulsantes sólidos depende de las características físicas y 
químicas de los componentes, de la proporción en que aparecen en la formulación del 
propulsante, de cómo están mezclados, de la presencia de aditivos y catalizadores, así como, 
de la presión a la que tiene lugar el proceso y la temperatura inicial a la que se encuentran. 
Ligantes (Binders) 
Los ligantes proporcionan una base estructural que caracteriza el comportamiento del 
propulsante solido en la respuesta mecánica, el proceso de fabricación y el envejecimiento. 
Sustancias habituales son HTPB, CTPB y NG, cuyo papel energético es el de combustibles 
que se recombinan con el oxidante. Eventualmente, se utiliza, GAP, también como ligante 
energético. 
Catalizadores (Burning-rate catalyst) 
Se utilizan catalizadores que modifican el ritmo de reacción de la superficie del sólido para 
adaptarlo a las necesidades del diseño. El óxido de hierro, por ejemplo, incrementa el ritmo 
de velocidad de recesión de la superficie, mientras que el fluoruro de litio la disminuye. 
Plastificantes (Plastidizers) 
A menudo se facilitan los procesos de fabricación añadiendo sustancias que contribuyen a 
mejorar las características mecánicas y de fabricación y que como en el caso de emplear NG, 
GAP o DEP, contribuyen de forma apreciable en las reacciones de combustión. 
Agentes de curado (Curing agents or crosslinkers) 
La misión de los agentes de curado es la de inducir la formación de largas cadenas y las 
uniones intermedias entre éstas, que desembocan en la estructura final de los polímeros 
empleados en propulsantes sólidos. En proporciones muy bajas, tienen un efecto importante 
en las propiedades físicas finales, así como en los procesos de conformación o en el posterior 
envejecimiento. 
Otros aditivos 
Además de los productos enumerados, se emplean gran cantidad de ingredientes con 
funciones diversas. Opacidizadores que impiden el calentamiento interior del propulsante por 
radiación. Agentes adhesivos que facilitan el pegado del propulsante con la cámara del motor. 
Desensibilizadores que aumentan la resistencia a la ignición, haciendo la manipulación más 
segura y un largo etc. 
 
Figura 9.1: Esquema funcional de algunas de las sustancias mencionadas a 
lo largo del texto 
El propulsante solido de un motor cohete juega un papel primordial en las actuaciones del 
sistema. A diferencia de los propulsantes líquidos, que permanecen almacenados a la espera 
de ser utilizados, los propulsantes sólidos conforman la cámara de combustión en la que son 
consumidos con responsabilidades que exceden las de cualquier otro elemento del motor. 
Participa en el proceso de suministro de propulsante, dicta el nivel de presión alcanzado, 
establece la temperatura de los gases en la cámara, participa en la integridad estructural del 
sistema, aísla térmicamente grandes zonas del motor, participa en la dinámica y estabilidad 
aerodinámica del vehículo, establece la vida operativa del motor, limita las condiciones de 
almacenamiento y, en definitiva, tiene un papel central en el diseño. 
Por estos motivos la lista de requisitos es larga: 
• Temperatura de combustión alta. 
• Bajo peso molecular de productos. 
• Alta densidad. 
• Buenas propiedades mecánicas. 
• Buenas propiedades de adherencia. 
• Resistencia al envejecimiento. 
• Características adecuadas de ignición. 
• Seguridad en la manipulación y fabricación. 
• Comportamiento reproducible. 
• Bajo coeficiente de expansión térmica. 
• Baja producción de humo. 
• Ausencia de productos tóxicos. 
• Baja absorción de agua. 
• Baja sensibilidad a la temperatura inicial. 
• Bajo exponente de presión. 
• Fenómeno de combustión erosiva moderado. 
Balance de oxígeno 
El índice de oxígeno, 𝐼𝑂𝑋, de un propulsante es la cantidad de oxigeno (porcentaje en peso) 
que resulta liberado cuando se produce la conversión completa de C, H, S, Al, etc. en 
productos como CO2, H2O, SO2 o Al2O3. Si se produce un exceso de oxigeno el balance es 
positivo, por el contrario, si para formar los productos se consume oxigeno adicional, el 
balance es negativo. La fórmula es 
𝐼𝑂𝑋 = 100 ×
𝐸𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑂2 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑙 
𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑙 
 (9.1) 
Por ejemplo, en el caso del RDX (C3H6O6N6) paracalcular el IOX se procede de la siguiente 
forma recolectando los átomos de oxigeno necesarios para formar los productos: 
− Los 3 átomos de C producen 3 moléculas de CO2 y necesitan 6 átomos de oxígeno. 
− Los 6 átomos de H producen 3 moléculas de H2O y necesitan 3 átomos de oxígeno. 
− Y los 6 átomos de N producen 3 moléculas de N2 y no necesitan átomos de oxígeno. 
En consecuencia el RDX necesita 9 átomos de oxígeno y cuenta con 6 en su molécula, dando 
un balance negativo de 3×15,9994=47.998 gramos de oxigeno frente a los 222.117 gramos de 
peso molecular de la sustancia, dando un índice de oxigeno IOX = -22.61 %. 
 
Tabla 9.2: Índices de oxigeno de las sustancias habitualmente utilizadas en 
la formulación de propulsantes sólidos. 
En la tabla 9.2 se recogen los índices de oxígeno de las sustancias mencionadas hasta ahora. 
Impulso densidad 
Una de las ventajas de los motores cohete de propulsante solido es la relativamente alta 
densidad del propulsante. El incremento de velocidad es ∆𝑉 = 𝐼𝑠𝑝ln�𝑀𝑖 𝑀𝑓⁄ � y como 𝑀𝑖 =
𝑀𝑓 + 𝑀𝑝, contando con 𝑀𝑝 ≪ 𝑀𝑓 resulta ∆𝑉~𝐼𝑠𝑝�𝑀𝑝 𝑀𝑓⁄ �, es decir, 
∆𝑉 ∝ 𝐼𝑠𝑝𝜌𝑝 (9.2) 
Generalizando, el parámetro relevante será: 
∆𝑉 ∝ 𝐼𝑠𝑝𝜌𝑝𝛼 (9.3) 
con el exponente entre 0.15 y 1. 
En la Tabla 9.3 se detalla una comparativa de valores del impulso-densidad para varias 
combinaciones de propulsantes, dando el rango de impulsos específicos y un valor 
característico para una combinación particular en cada caso. 
 
Sistema I (s) D- I (g-s/cm3) 
Propulsante liquido 260-410 (LOX/H2: 390) 100-430 (LOX/H2: 100) 
Hibrido 280-380 (LOX/HTPB: 330) 300-520 (LOX/HTPB: 330) 
Propulsante solido 190-270 (AP/Binder/Al: 270) 290-470 (AP/Binder/Al: 470) 
Tabla 9.3: Comparativa de impulsos específicos y el producto del impulso 
por la densidad del propulsante 
Como se ve en la tabla 9.3 los propulsantes sólidos presentan una muy atractiva opción 
cuando el volumen del vehículo es importante, ya que ofrece los valores máximos. 
 
Figura 9.2: Impulso especifico en función de la densidad del propulsante en 
el que se muestran las líneas de impulso-densidad constantes. 
En este sentido se pueden elaborar ábacos de decisión como el esquematizado en la figura 9.2 
para las distintas familias de propulsantes que pongan de manifiesto las actuaciones de cada 
una de ellas en el que se presenta el impulso especifico en función de la densidad del 
propulsante. Es posible dibujar las líneas de impulso-densidad constantes y, por lo tanto, 
identificar regiones de diseño optimas, por ejemplo, máximo impulso, mínimo volumen o 
máximo incremento de velocidad a volumen dado que correspondería, ésta última, con los 
puntos de tangencia de las líneas punteadas (impulso densidad constante) con la envolvente 
de cada familia. 
Clasificación 
La clasificación de los propulsantes sólidos se hace en virtud del estado de agregación de la 
sustancia final, distinguiéndose, fundamentalmente, en homogéneos y heterogéneos. En lo que 
sigue, se adopta la clasificación que puede encontrarse en Davenas (2001). 
Propulsantes homogéneos 
El sólido es homogéneo, oxidante y reductor se combinan a nivel molecular de tal forma que, 
en principio, se trata de una única sustancia como la nitrocelulosa (NC), aunque lo más 
habitual es la mezcla a nivel coloidal de nitrocelulosa y nitroglicerina (NC y NG) 
denominándose propulsantes de doble base. No obstante, se tienen las siguientes categorías: 
Single-base propellant: el ingrediente principal es NC disuelta en alcohol etílico. Se suelen 
añadir pequeñas cantidades de estabilizadores y supresores de llama, así como, otras 
sustancias que mejoran su proceso. 
Double-base propellant: el propulsantes solido homogéneo más utilizado, combinando NC y 
NG (a veces se sustituye esta última por TMETN o DEGDN). La nitroglicerina, liquida a 
temperatura ambiente, se gelatiniza y estabiliza por medio de la nitrocelulosa resultando en 
propulsantes de moderadas características propulsivas y baja emisión de humos en los 
productos de combustión. 
Triple-base propellant: se puede añadir NQ (nitroguanidina) a la convencional composición de 
NG y NC para obtener un propulsante que produce más cantidad de átomos de hidrogeno 
disminuyendo el peso molecular de los productos y mejorando, en consecuencia, el impulso 
especifico. 
Propulsantes mixtos (CMDB, EMCDB∗) 
Se puede incrementar la energía liberada en los propulsantes de doble base (NG+NC) 
añadiendo partículas de AP, HMX o RDX, (CmDB) o añadir ligantes elastoméricos que 
mejoran las características físicas y permiten añadir más nitramidas (EMCDB) o añadir 
partículas de solidos cristalinos, como AP o Al, incrementando el impulso y la densidad 
(CMDB) resultado en un propulsante cuyas características caen a medio camino entre un 
propulsante homogéneo y otro heterogéneo. 
Propulsantes heterogéneos (Composite propellant) 
Los propulsantes heterogéneos (propulsantes compuestos) se consiguen mediante la mezcla de 
partículas de oxidantes cristalinos y un ligante (binder) de matriz polimérica. Los oxidantes 
habituales son AP y AN por su alta capacidad de producir oxígeno en su descomposición 
(véase tabla 9.2). Típicamente, se utilizan hidrocarburos como HTPB, CTPB y PBAN. 
Finalmente, para incrementar la energía desplegada, se pueden añadir partículas de Aluminio 
o Boro que aumentan apreciablemente el impulso específico. 
 
∗ Existe una terminología propia para definir las diferentes familias de propulsantes, EDB: extruded double-base, CDB: cast 
double-base, CmDB: Cast-modified double-base, EMCDB: Elastomeric-modified cast double-base, CMDB: Composite modified 
double-base propellant. 
 
• El propulsante compuesto más utilizado en AP-HTPB y a menudo aluminizado AP-
HTPB-Al. En el caso de no utilizar aluminio en los productos de combustión está 
presente un humo blanco producido por la hidrólisis con la humedad ambiente del HCL. 
Cuando se añade aluminio la situación se agrava por la presencia de partículas sólidas de 
óxido de aluminio. La situación anterior se evita utilizando AN en vez de AP que elimina 
el cloro. 
• Es posible la utilización como ligante de DEGN. Por otra parte, se ha ensayado la 
utilización de explosivos cristalinos como RDX y HMX, y es posible añadir NC o NG 
mejorando las características propulsivas, haciendo la manipulación más segura, etc. 
Combustión de propulsantes solidos 
En la Figura 9.3 se presentan algunas fotografías de la región de combustión de diversas 
probetas de propulsantes sólidos, sobre las que se pueden realizar algunos comentarios 
iniciales. En todas ellas se aprecia una región de intensa reacción química (zona luminosa) en 
las proximidades de la superficie del propulsante y con una marcada configuración 
unidimensional, con bordes del sólido, de la zona luminosa y de otros detalles muy rectos y 
horizontales. Las tres primeras por la izquierda corresponden a la combustión de un 
propulsante de doble base a diferentes presiones en las que se hace evidente que la región 
luminosa correspondiente a la zona de combustión intensa se aproxima a la superficie a 
medida que la presión aumenta. 
 
Figura 9.3: Fotografías de las llamas producidas por varios propulsantes 
sólidos (DB: doble base y compuestos) a diferentes presiones. 
Debe también observarse que en el caso de las tres últimas (propulsantes compuestos de 
diferente composición a la misma presión) la región luminosa está muy cerca de la superficie 
poniendo de manifiesto la singularidad de la zona oscura del caso de los propulsantes de 
doble base. 
El proceso de combustión de los propulsantes de doble base es complejo pero la 
homogeneidad del compuesto permite el análisis de lo que ocurre bajo un prisma de 
unidimensionalidad que no es posible aplicar, al menos al nivel del detalle cerca de la 
superficie, a los propulsante compuestos en los que la presencia de varias sustancias mezclada 
imponen que no se pueda olvidar en la explicaciónde los fenómenos que las estructuras de la 
zona de reacción van a presentar geometrías tridimensionales complejas. 
En la figura 9.4 se presenta un esquema de la zona de combustión de un propulsante de doble 
base de composición típica. La estructura es unidimensional, sucediéndose una capa de 
calentamiento del sólido, una región de descomposición de éste en la superficie y una región 
de reacción química en fase gaseosa, caracterizada por la presencia de dos zonas de reacción. 
La más cercana a la superficie del solido se denomina zona o llama oscura, ya que en las 
observaciones en el visible realizadas esta zona permanece sin luminosidad (véase figura 9.3), 
mientras que la zona final si emite luz debido a la presencia de CO2 y la temperatura más 
alta. 
 
Figura 9.4: Perfil de temperaturas y muestra de las trazas de especies en el 
proceso de combustión de un propulsante de doble base. 
En la figura 9.5 se esquematiza la compleja y tridimensional región de combustión de un 
propulsante compuesto típico en el que se aprecian hasta tres tipos diferentes de llamas. El 
perclorato amónico (AP) puede actuar como monopropulsante, pues presenta un proceso de 
combustión en fase gaseosa presentando una llama unidimensional cerca de la superficie (AP 
Flame), mientras que en la región delimitada por el ligante los vapores de ambos compuestos 
se mezclan alejándose de la superficie una distancia tal que transcurra el tiempo necesario 
(inducción) para que se active una reacción entre reductor y oxidante premezclados formando 
una llama de pre-mezcla (PLEF). Como la llama premezclada presenta dos regiones una 
pobre en el lado del oxidante y otra rica en el del reductor, los productos de combustión en 
ella presentaran exceso del reactante correspondiente y es posible que se establezca entre 
ellos, aguas abajo, un proceso de combustión (Diffusion Flame) en el que oxidante y 
reductor acceden a la zona de reacción desde los lados opuestos de la llama. 
 
Figura 9.5: Representación esquemática de la estructura de la zona de 
reacción en fase gaseosa del proceso de combustión de un propulsante 
compuesto. 
Como consecuencia de todo lo anterior es fácil imaginar que dependiendo de los tamaños de 
las partículas de oxidante y los espesores de las diferentes estructuras descritas el proceso de 
combustión de propulsantes compuestos pueden presentar características diferentes y cambios 
de comportamiento ante variaciones de la presión (principal variable en las actuaciones del 
motor) que modifican las escalas de los proceso. 
Velocidad de recesión: Ley de Vieille 
En la Figura 9.6 se muestran resultados experimentales típicos, obtenidos con probetas 
cilíndricas en ensayos estandarizados, en las que se ve la influencia sobre la velocidad de 
recesión de la presión tanto para propulsantes homogéneos como para heterogéneos. 
 
Figura 9.6: Velocidad de recesión de la superficie del propulsante en función 
de la presión de la cámara para propulsantes homogéneos (izquierda) y 
heterogéneos (derecha). 
Los gráficos, en escala logarítmica, ponen de manifiesto la posibilidad de tener en cuenta la 
influencia de la presión mediante una expresión exponencial conocida como Ley de Vieille: 
�̇�𝑝 = 𝑎𝑝𝑐𝑛 (9.4) 
donde 𝑎 = 𝑎�𝑇𝑝0� es función de la temperatura inicial, 𝑇𝑝0, del propulsante. 
Con carácter general, al aumentar la presión, los espesores de las capas térmicas en el gas 
disminuyen y, como la temperatura de combustión no se ve modificada apreciablemente, el 
ritmo de transmisión de calor se incrementan aumentando la velocidad de combustión. 
Además, la velocidad de reacción de los procesos superficiales, que en alguna medida pueden 
controlar la velocidad de recesión, también depende de la presión. Para los propulsante, de 
doble base la influencia de la presión pone de manifiesto la existencia de diversos regímenes a 
medida que la presión aumenta pues la disminución del espesor característico acaba por 
provocar la desaparición de la llama oscura (cambio de pendiente en la figura 9.6). 
En el caso de propulsantes compuestos, a presiones bajas el ritmo de recesión es bajo y los 
espesores de las capas térmicas altos, grandes en comparación con el tamaño de las 
partículas. En fase gaseosa, los efectos tridimensionales no se notan, los reactantes se mezclan 
en distancias grandes y el ritmo de combustión está controlado por cinética química. En 
consecuencia, el tamaño de las partículas tiene poca influencia. A presiones intermedias (1-15 
MPa), los efectos de la difusión de los reactantes en fase gaseosa se dejan notar y la 
estructura que se observa es la de llamas de premezcla y difusión actuando simultáneamente. 
En este rango los exponentes de la velocidad de recesión son moderados (entre 0.3 y 0.4) y el 
tamaño de las partículas de AP tiene una influencia notable, aumentando la velocidad de 
combustión al disminuir su tamaño, debido a que disminuyen las escalas de mezcla acercando 
a la superficie las llamas e incrementando los flujos de calor. Finalmente, a altas presiones 
(por encima de 15MPa) aparece un nuevo régimen con exponentes de la presión elevados (0.6 
a 0.7) en el que la presión modifica los ritmos de descomposición (fase sólida) y reacción del 
AP. 
 
Figura 9.7: Influencia de la temperatura inicial del propulsante en la 
velocidad de recesión de la superficie de combustión. 
Como se puede observar en la figura 9.7 la temperatura inicial del propulsante tiene 
influencia en el valor de la velocidad de recesión, registrándose un aumento de esta al 
aumentar la temperatura inicial. Este efecto, se incorpora en la Ley de Vieille mediante una 
tasa de aumento constante, definida como 
𝜎𝑝 =
1
�̇�𝑝
�
𝜕�̇�𝑝
𝜕𝑇𝑝0
�
𝑝
 (9.5) 
es decir, expresando el aumento relativo por grado a presión constante. Como 𝛿𝑙𝑛��̇�𝑝� =
𝛿𝑙𝑛(a) a presión constante, enseguida se sigue que 𝛿𝑙𝑛(a) = 𝜎𝑝𝛿𝑇𝑝0 y una simple cuadratura 
permite obtener una expresión para el factor de la ley potencial 
𝑎 = 𝑎𝑟𝑒𝑓𝑒
𝜎𝑝�𝑇𝑝0−𝑇𝑝0
𝑟𝑒𝑓� (9.6) 
en la que se ha fijado un estado de referencia en el que 𝑎 = 𝑎𝑟𝑒𝑓 cuando 𝑇𝑝0 = 𝑇𝑝0
𝑟𝑒𝑓. 
Combustión erosiva 
Se observa experimentalmente que, en motores de combustión lateral, la velocidad de 
recesión del propulsante puede resultar mayor que la que proporciona la ley de Vieille (caso 
sin flujo cruzado). Este efecto se denomina en la literatura especializada erosive burning 
aunque en realidad no se trate de un efecto de erosión propiamente dicho, sino de 
disminución de los espesores caracteristicos que se produce a consecuencia del aumento de la 
velocidad de recesión debido a la presencia de un flujo cruzado. 
 
Figura 9.8: velocidad de recesión de la superficie de combustión en función 
de la presión de funcionamiento para diferentes velocidades de la corriente 
cruzada en condiciones de combustión lateral. 
Como se ve en la Figura 9.8, la velocidad de recesión de la superficie de combustión se ve 
afectada por la presencia de flujo cruzado. Experimentalmente se observa un valor umbral 
por debajo del cual la velocidad exterior no tiene influencia, sin embargo, para velocidades 
del flujo exterior mayores el ritmo de combustión aumenta. Usualmente, se modifica la ley de 
recesión mediante expresiones del tipo 
�̇�𝑝 = 𝑎𝑝𝑐𝑛{1 + 𝐾𝑚(𝑀−𝑀𝑢)𝑚} (9.7) 
En las que 𝑀 es el número de Mach de la corriente exterior, 𝑀𝑢 el valor umbral y 𝐾𝑚 y 𝑚 
valores a determinar experimentalmente. Naturalmente la expresión debe ser usada de forma 
que se haga 𝐾𝑚 = 0 para 𝑀 < 𝑀𝑢. 
El análisis de este fenómeno implica la solución del campo fluido en el interior del motor para 
disponer de los datos de velocidad a lo largo de la superficie de combustión, lo que implica la 
resolución del problema interno mediante, por ejemplo, técnicas numéricas. 
Determinación de la velocidad de recesión 
La velocidad de recesión de la superficie de combustión se determina en instalaciones 
experimentales especiales, comola denominada Bomba Crawford (figura 9.9) que, 
básicamente, consiste en un recipiente presurizado en el que se puede mantener constante la 
presión, mientras una muestra de propulsante se quema. Por lo tanto, la instalación de 
ensayo debe estar provista de un sistema de renovación de la carga y control que mantenga 
la presión en el interior regulando el flujo de un gas inerte (generalmente nitrógeno) en un 
valor prefijado para el ensayo. Se emplea una probeta alargada (de menos de un centímetro 
cuadrado de sección y varias decenas de centímetros de largo) inhibida lateralmente que se 
atraviesa a intervalos regulares por varios hilos conductores. El frente de combustión que 
avanza por la muestra quema los hilos abriendo un circuito eléctrico, instante que queda 
registrado para calcular la velocidad de dicho frente. 
 
Figura 9.9: Esquema de una Bomba Crawford en la que se representa la 
muestra atravesada por tres hilos conductores, uno de ignición y los otros 
dos para la medida del tiempo que emplea el frente de llama en recorrer la 
distancia que los separa. 
Las medidas así obtenidas difieren de las que el propulsante presenta en el motor a escala 
real debido a varios factores como, son la falta de unidimensionalidad debida a las 
deficiencias del inhibidor como aislante o ciertos problemas de escala con los propulsantes 
compuestos. No obstante, es habitual la caracterización de propulsante mediante este tipo de 
procedimientos que acaban estandarizados (por ejemplo, la presión típica de ensayo es 1000 
psia que equivalen aproximadamente a 70 bar) y que, en definitiva, ofrecen una forma de 
comparar unos propulsantes con otros. 
La importancia de reproducir las actuaciones del motor con precisión aconseja la obtención 
del comportamiento cuando el proceso de combustión se ve influido por el flujo cruzado que 
se establece bajo condiciones de combustión lateral. 
 
Figura 9.10: Aparato para medir la velocidad de recesión en condiciones de 
flujo cruzado, “erosive burng” en el que se recurre a un generador de gas 
para producir dicho flujo y la posición de la superficie de combustión se 
determina por ultra sonidos. 
Un ejemplo, de la instalación experimental necesaria se muestra en la figura 9.10, en la que se 
somete la probeta al flujo cruzado proveniente de un generador de gas. En este caso, como se 
aprecia en la figura, se sugiere seguir la posición del frente de combustión de la muestra 
mediante un captador de ultrasonidos. 
Apéndice 9A: Familias de propulsantes 
Es posible establecer una catergorización atendiendo a similitudes en el proceso de fabricación 
y en la composición de los propulsantes agrupándolos en familias 
Extruded double-base (EDB) 
Se trata de la clásica combinación en la que se impregna NC (lo más habitual es con un 
12.6% de nitrógeno) con NG en agua para obtener una pasta. La solubilidad y plasticidad 
depende del contenido de nitrógeno. Finalmente se añaden aditivos, estabilizadores, 
modificadores de velocidad de recesión, supresores de llama y otros. El producto se conforma 
por extrusión a la forma deseada. El diámetro máximo está limitado a unos 300 mm 
pudiéndose obtener longitudes grandes. También, es posible algún tipo de mecanización. 
Cast double-base (CDB) 
Con ingredientes similares a los EDB se obtienen mediante colada de una mezcla de NG y un 
plastificador inerte en un molde (incluso la propia carcasa del motor) que contiene NC en 
polvo y diversos aditivos. El disolvente de curado actúa durante varios días a alta 
temperatura (60 ºC). Las restricciones de tamaño son menores y existe la posibilidad de 
moldear geometrías tridimensionales complejas. 
Composite modified double-base (CMDB) 
Partiendo del proceso que da lugar a los CDB se añaden solidos energéticos y NG 
aumentando el nivel energético del propulsante. Cuando estos propulsantes solo contienen 
partículas de nitramidas (HMX y RDX) se obtienen propulsantes que producen la mínima 
cantidad posible de humo, ya que, hay muy pocas partículas condensadas en la salida y 
ausencia de condensación secundaria. 
Elastomeric modified cast double-base (EMCDB) 
Desarrollados en el Reino Unido proporcionan mejores características mecánicas y adhesivas. 
Se producen de forma similar a los CDB y CMDB pero se añade un pre polímero (como 
poliéster o policaprolactonato) y un isocianato como agentes de curado. 
Composite propellant 
Basados en un polímero poco energético y altos niveles de AP. Pueden contener o no polvo 
de aluminio como combustible. Se obtienen mediante mezcla física de los componentes en 
condiciones de vacío y un posterior proceso de curado para obtener el sólido final. Los 
propulsantes sin aluminio se denominan de humo reducido por la ausencia de humo primario. 
La aparición de agua condensada en el penacho debido a la acción del clorhídrico depende de 
las condiciones atmosféricas. 
High energy propellant 
Son composiciones basadas en una base plastificada por éster nítrico y solidos energéticos 
como las nitramidas. También pueden contener AP y polvo de aluminio. En ocasiones se les 
denomina cross-linked double-base (XLDB) aunque no haya NC en el ligante. El sistema de 
producción es similar al de los propulsantes compuestos. Presenta buenas características 
mecánicas que los hacen buenos candidatos para colarlos sobre la carcasa del motor al tener 
bajo módulo elástico y alta elongación 
Apendice 9B: Modelo térmico de la velocidad de recesión 
Consideremos la situación esquematizada en la Figura 9B.1 en la que se representa el perfil 
de temperatura a lo largo de la coordenada normal a la superficie de combustión 
distinguiéndose tres regiones: 
Región I: región de calentamiento del propulsante sólido, transmisión de calor sin reacción 
química. La temperatura aumenta desde al valor ambiente Ti hasta Tu. 
Región II: región sobre la superficie en la que el propulsante sufre, en general, un proceso de 
descomposición térmica que desemboca en la producción de gases que emanan de la 
superficie. Tienen lugar procesos de descomposición, pirolisis y reacciones químicas. A 
menudo, se trata de una región compleja en la que coexisten varias fases (foam). Existe un 
cambio de temperatura en el interior de esta delgada capa que refleja los procesos energéticos 
que tiene lugar en su interior. 
Región III: Zona fluida adyacente a la superficie de combustión. En ella tienen lugar 
complejos procesos de reacción química en la que la temperatura crece rápidamente desde la 
de los productos de pirolisis, Ts, hasta la temperatura de llama Tg. Dependiendo de la 
presión pueden existir varias regiones de reacción. 
 
Figura 9B.1: Representación esquemática del perfil de temperaturas en un 
modelo simple del proceso de combustión que tiene lugar en la superficie de 
un propulsante solido en el que se distinguen tres regiones: I capa limite 
térmica en el sólido, II zona de reacción superficial y III zona de reacción en 
el gas. 
 
Estructura de la región 
Es conveniente anticipar el espesor de las distintas regiones y otros parámetros de interés de 
forma previa al análisis de los procesos. En el sólido el espesor de la capa de calentamiento se 
puede estimar igualando los términos de convección debido al movimiento de la superficie de 
combustión con el de transmisión de calor (que involucra a la difusibidad térmica de éste) 
resultando 𝛿𝑠~𝛼𝑠 �̇�𝑏⁄ . El espesor de la capa de degradación sobre la superficie es muy 
pequeño, en muchos modelos se toma despreciable frente a otros mayores, y se puede estimar 
como 𝛿𝑟~𝛿𝑠 (1 − 𝑇𝑢 𝑇𝑠⁄ )⁄ , es decir, una fracción del espesor térmico en el sólido determinada 
por la variación de temperatura en la capa. En el gas, como el proceso está dominado por el 
espesor térmico, una expresión análoga a la del solido es 𝛿𝑔~𝛼𝑔 𝑢𝑔⁄ que, finalmente, se puede 
relacionar con la velocidad de recesión de la superficie, 𝛿𝑔~𝛼0 �̇�⁄ . Los tiempos de residencia 
son proporcionales a los espesorescorrespondientes divididos por la velocidad del sistema de 
referencia en el que se consideran estacionarios los procesos, en concreto, para el sólido 
tenemos 𝜏𝑠~ 𝛿𝑠 �̇�𝑏~𝛼𝑠 �̇�𝑏2⁄⁄ 
 
Presión (bar) 10 50 
Velocidad de recesión (mm/s) 2 7 
Temperatura de la superficie (K) 610 660 
Espesor térmico en el sólido (µm) 160 50 
Tiempo de residencia en el sólido (ms) 100 8 
Espesor de la capa de pirolisis (µm) 11 3 
Tiempo de residencia (ms) 6 0.5 
Distancia de la llama a la superficie (µm) 
(espesor en el gas) 
200 75 
 
Tabla 9B.1: Valores característicos (estimados o medidos) de los espesores y 
tiempos de residencia en la zona de reacción de un propulsante solido típico. 
En la tabla 9B.1 se recogen algunos de estos valores para dos presiones diferentes para un 
propulsante de tipo doble base. Como se ve, para valores típicos de la velocidad de 
combustión, los espesores son inferiores al milímetro y los tiempos de residencia del orden del 
milisegundo. 
A la vista de estos valores y las geometrías y tiempos de funcionamiento habituales de estos 
sistemas, la solución en la superficie del sólido es la correspondiente a movimiento 
estacionario y unidimensional, ya que, no encontraremos, ni geometrías más pequeñas, ni 
eventos más rápidos, en la operación de estos motores. 
Ecuaciones en fase sólida 
En el supuesto de que no hay reacciones químicas volumétricas, ni difusión de especies y que 
las propiedades en el propulsante solido son constantes, la ecuación de la energía ligada a 
unos ejes que se desplazan con la superficie de combustión a la velocidad de recesión de ésta, 
�̇�𝑏, se escribe igualando el flujo convectivo al de transmisión de calor 
𝜌𝑝�̇�𝑏𝑐𝑠
𝑑𝑇
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
�𝑘𝑠
𝑑𝑇
𝑑𝑥
� (9B.1) 
Con las condiciones de contorno, 𝑇 = 𝑇𝑠 𝑒𝑛 𝑥 = 0 y 𝑇 = 𝑇𝑝0 𝑒𝑛 𝑥 → −∞. La ecuación, con 
coeficientes constantes, se puede integrar una vez 
𝜌𝑝�̇�𝑏𝑐𝑠�𝑇 − 𝑇𝑝0� = 𝑘𝑠
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 (9B.2) 
en la que ya se ha aplicado la condición de contorno en 𝑥 → −∞ región en la que el gradiente 
de temperaturas tiene que ser necesariamente nulo. La ecuación 9B.2 permite obtener el flujo 
de calor al solido 𝑞𝑠 = (𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ )𝑥=0− si se conoce el valor de la temperatura de la superficie: 
𝑞𝑠 = 𝜌𝑝�̇�𝑏𝑐𝑠�𝑇𝑠 − 𝑇𝑝0� (9B.3) 
Finalmente, es sencillo integrar de nuevo la ecuación y obtener la distribución de 
temperaturas en el solido 
𝑇 = 𝑇𝑝0 + �𝑇𝑠 − 𝑇𝑝0�𝑒�̇�𝑥 𝛿𝑠⁄ (9B.4) 
que pone de manifiesto el espesor de la capa térmica en el sólido 𝛿𝑠~𝛼𝑠 �̇�⁄ , donde 𝛼𝑠 =
𝑘𝑠 𝜌𝑠𝑐𝑠⁄ es la difusividad térmica del sólido. 
 
Figura 9B.2: Representación esquemática de la distribución de temperaturas 
en el interior del propulsante sólido. 
Como puede verse en la ecuación 9B.4, el espesor de la región precalentada decrece al 
aumentar la velocidad de combustión y el calor que soporta la región de calentamiento crece 
linealmente con la velocidad de combustión. Dado el pequeño espesor de la región 
precalentada, una partícula material sufre el calentamiento desde la temperatura inicial hasta 
la de la superficie en un tiempo muy corto �𝜏𝑠 ≈ 𝛿𝑠 𝑟𝑝⁄ �, que son del orden del milisegundo. 
Solamente, eventos más rápidos, producirán una respuesta no estacionaria del sólido, en caso 
contrario el sólido responde con rapidez a los eventos “lentos”, es decir, de forma instantánea. 
Ecuaciones en fase gaseosa 
Para el gas también se adopta un tratamiento en ejes ligados a la superficie de combustión, 
despreciando la velocidad de esta frente a la convectiva en el gas a la vista de la diferencia de 
densidades, las ecuaciones de continuidad y energía son 
𝑑
𝑑𝑥 �
ρ𝑔𝑢𝑔� = 0 (9B.5) 
𝜌𝑔𝑢𝑔𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝜔𝑔𝑄𝑔 +
𝑑
𝑑𝑥
�𝑘𝑔
𝑑𝑇
𝑑𝑥
� (9B.6) 
En el presente análisis cualitativo no es necesario recurrir a las ecuaciones de conservación de 
las diferentes especies que aparecen, pero para descripciones más aquilatadas se deben 
plantear ecuaciones de la forma 
𝜌𝑔𝑢𝑔
𝑑𝑌𝑖
𝑑𝑥
= −𝜔𝑔𝑖 +
𝑑
𝑑𝑥
�𝐷𝑖
𝑑𝑌𝑖
𝑑𝑥
� (9B.7) 
que permitan obtener la concentración de las especies que intervienen. 
Condiciones en la superficie 
La integración de la ecuación de continuidad, 𝜌𝑔𝑢𝑔 = 𝑐𝑡𝑒. simplifica notablemente la solución 
del problema, y la constante de integración que aparece es precisamente el gasto de 
propulsante solido consumido por la superficie en recesión 
𝜌𝑔𝑢𝑔 = 𝜌𝑝�̇�𝑏 (9B.8) 
En este contexto la velocidad 𝑢𝑔 es la velocidad relativa en el sistema de referencia adoptado. 
El balance térmico en la superficie se expresa diciendo que el calor aportado por conducción 
desde el gas se invierte en sostener el proceso de descomposición de la superficie 
(supuestamente endotérmico) y el proceso de regresión de ésta que, necesariamente, requiere 
el calentamiento de la capa térmica del solido: 
𝑘𝑔 �
𝑑𝑇
𝑑𝑥�0+
= 𝑘𝑠 �
𝑑𝑇
𝑑𝑥�0−
+ 𝜌𝑝�̇�𝑏𝑄𝑠 (9B.9) 
donde 𝑄𝑠 es el calor de reacción de los procesos en la superficie. 
El calor en el lado del sólido 𝑞𝑠 = 𝑘𝑠(𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ )0− se ha obtenido de la integración de la 
ecuación de la energía en el apartado anterior y quedad 
𝑘𝑔 �
𝑑𝑇
𝑑𝑥�0−
= 𝜌𝑝�̇�𝑏𝑐𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇𝑖) + 𝜌𝑝�̇�𝑏𝑄𝑠 (9B.10) 
Lo que finalmente proporciona el calor desde el gas necesario 
𝑘𝑔 �
𝑑𝑇
𝑑𝑥�0−
= 𝜌𝑝�̇�𝑏[𝑐𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇𝑖) + 𝑄𝑠] (9B.11) 
y explica cómo un aumento del calor proporcionado por la fase gaseosa incrementa la 
velocidad de recesión de la superficie. 
Solución aproximada en el gas 
En el supuesto de calor específico y conductividad térmica sean constantes es posible 
integrar una vez la ecuación (9B.6) mediante la intervención de un factor de integración, que 
combine las derivadas espaciales de primer y segundo orden. Multiplicando la ecuación por 
éste factor (no nulo): 
�
𝑑
𝑑𝑥
�𝑘𝑔
𝑑𝑇
𝑑𝑥
� − 𝜌𝑔𝑢𝑔𝑐𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑥
+𝜔𝑔𝑄𝑔� 𝑒−�𝜌𝑔𝑢𝑔𝑐𝑝 𝑘𝑔⁄ �𝑥 = 0 (9B.12) 
es decir, 
𝑑
𝑑𝑥
�𝑘𝑔
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑒−𝑢𝑔 𝛼𝑔𝑥⁄ � = −𝜔𝑔𝑄𝑔𝑒−�𝑢𝑔 𝛼𝑔⁄ �𝑥 (9B.13) 
con 𝛼𝑔 = 𝑘𝑔 𝑐𝑝𝜌𝑔⁄ . La exoresión anterior puede integrarse una vez, 
�𝑘𝑔
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑒−𝑥 𝛿𝑔⁄ �
𝑥=0
𝑥→∞
= −� 𝜔𝑔𝑄𝑔𝑒−𝑥 𝛿𝑔⁄
∞
0
𝑑𝑥 (9B.14) 
donde se ha definido la dimensión característica 𝛿𝑔 = 𝛼𝑔 𝑢𝑔⁄ , dejando explicito el valor del 
calor transmitido por el gas al sólido, parte fundamental del balance energético de la 
superficie 𝑞𝑔 = 𝑘𝑔[𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ ]0+ al particularizar los límites de integración. Considerando una 
situación simplificada, en la que la región en la que tiene lugar la reacción química queda 
confinada a una capa de espesor 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖, como se muestra en la figura 9.13, 
𝑞𝑔 ≈ 𝜔�𝑔𝛿𝑔𝑄𝑔�𝑒−𝑥𝑖 𝛿𝑔⁄ − 𝑒−𝑥𝑓 𝛿𝑔⁄ � (9B.15) 
donde 𝜔�𝑔 es un valor medio del término de producción que se caracterizará de forma 
aproximada más adelante. 
 
Figura 9B.3: Esquema del campo de temperaturas unidimensional y 
descripción de diferentes zonas. 
El espesor de la capa térmica en el gas se puede expresar 
𝛿𝑔 =
𝛼𝑔
𝑢𝑔
=
𝑘𝑔
𝜌𝑝�̇�𝑏𝑐𝑝
 (9B.16) 
y adoptando, como simplificación, 𝑥𝑖 ≪ 𝛿𝑔 ≪ 𝑥𝑓, queda 
𝑘𝑔 �
𝑑𝑇
𝑑𝑥�0−
≈ 𝜔�𝑔𝛿𝑔𝑄𝑔 (9B.17) 
Y sustituyendo en el balance energético en la superficie: 
𝜔�𝑔
𝑘𝑔
𝜌𝑝�̇�𝑏𝑐𝑝
𝑄𝑔 = 𝜌𝑝�̇�𝑏[𝑐𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇𝑖) + 𝑄𝑠] (9B.18) 
En la que es posible despejar el valor de la velocidad de recesión: 
�̇�𝑏 = �
𝑘𝑔𝜔�𝑔𝑄𝑔
𝜌𝑝2𝑐𝑝[𝑐𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇𝑖) + 𝑄𝑠]
 (9B.19) 
Adoptando una estimación grosera del término de reacción, 𝜔�𝑔 ≈ ∆𝑛𝑘𝑓𝜌𝑔2𝑋𝑓𝑋0, en el que la 
constante de reacción sigue una expresión tipo Arrhenius, 𝑘𝑓 = 𝐴𝑔𝑒−𝐸𝑔 𝑅𝑢𝑇𝑔⁄ , se obtiene: 
�̇�𝑏 = �
𝑘𝑔∆𝑛𝐴𝑔𝑒−𝐸𝑔 𝑅𝑢𝑇𝑔⁄ 𝜌𝑔2𝑋𝑓𝑋0𝑄𝑔
𝜌𝑝2𝑐𝑝[𝑐𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇𝑖) + 𝑄𝑠]
 (9B.20) 
En la que el valor de la densidad en el gas, 𝜌𝑔~ 𝑝𝑔 𝑅𝑇𝑔⁄ , ofrece la dependencia con la presión 
de cámara de la velocidad de recesión 
�̇�𝑏 = 𝑝𝑔�
𝑘𝑔∆𝑛𝐴𝑔𝑒−𝐸𝑔 𝑅𝑢𝑇𝑔⁄ 𝑋𝑓𝑋0𝑄𝑔
𝜌𝑝2𝑐𝑝�𝑅𝑇𝑔�
2𝑐𝑝[𝑐𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇𝑖) + 𝑄𝑠]
 (9B.21) 
La velocidad de recesiónes el resultado combinado del proceso de calentamiento y 
descomposición del propulsante sólido y de las reacciones que tienen lugar en fase gaseosa y 
que sustentaban energéticamente el fenómeno. A la vista de la ecuación, la velocidad de 
recesión crece cuando: 
• Aumenta el calor liberado en zona gaseosa. 
• Disminuye el calor de descomposición (endotérmico) del sólido. 
• Aumenta la presión. 
• Al disminuir la temperatura inicial de la superficie. 
Al aumentar la temperatura inicial del propulsante 
Para la determinación de la velocidad de recesión es necesario resolver la ecuación también 
para la temperatura de la superficie y se suele utilizar un término de tipo Arrhenius. 
�̇�𝑏 = 𝐴𝑠𝑒−𝐸𝑠 𝑅𝑢𝑇𝑠⁄ (9B.22) 
Aunque la complejidad de las expresiones 9B.21 y 9B.22 impide la obtención de una 
expresión explícita. 
 
Figura 9B.4: Velocidades de recesión como función de la temperatura de la 
superficie a diferentes presiones. 
No obstante, como se ve en la figura 9B.4, los altos valores de la energía de activación de la 
sección superficial 𝐸𝑠, confina el rango de variación de la temperatura de la superficie a una 
estrecha banda, con lo que no quedan invalidadas las consideraciones hechas sobre la 
ecuación 9B.22. 
 
 Lección 10: Actuaciones de MCPS 
Introducción 
El objetivo de este tema es mostrar las herramientas que permiten determinar el empuje, la 
presión de cámara y el impulso en función del tiempo, toda vez que se conoce la geometría, el 
tipo de propulsante y las condiciones de operación (temperatura y presión ambientes). 
La figura 10.1 traza las curvas de empuje y presión de cámara del motor STAR 31, según 
aparece en el catálogo de productos de la empresa ATK, en la que se pueden apreciar las 
diferentes fases de combustión (ignición, fase permanente y empuje de cola). 
 
Figura 10.1: Curva de empuje (F) y presión de cámara (P) del motor de 
Thiokol STAR 31, en función del tiempo. 
Naturalmente, la determinación última de la curva de empuje se debe realizar mediante 
ensayo del motor pero, a lo largo de esta lección, se repasaran herramientas sencillas que 
permiten su estimación 
Ensayo de motor 
Considerando una evolución temporal del empuje de tipo aproximadamente neutra a la hora 
de establecer las actuaciones experimentales de un motor hay que adoptar una serie de 
decisiones y procedimientos que permitan analizar los resultados y establecer comparaciones 
entre ensayos y con otros motores. El ensayo del motor se ve sometido a un cumulo de 
circunstancias que hacen que los resultados obtenidos difieran en mayor o menor medida de 
los obtenidos de forma teórica, en este sentido, es necesario establecer los procedimientos de 
análisis y comparación entre resultados experimentales y teóricos y entre los propios 
experimentos entre diferentes motores. 
Tiempo de combustión (burning time): Corresponde con el tiempo en el que el propulsante 
sufre un proceso de combustión interno y se puede calcular (véase figura 10.2) como el 
tiempo que transcurre desde que se alcanza el 10% de empuje máximo hasta que éste cae al 
90% del valor máximo. Se debe utilizar para los cálculos que impliquen masa de propulsante 
consumida. 
Tiempo de funcionamiento (action time): Es el tiempo de funcionamiento, es decir, aquel 
durante el cual el motor da un empuje significativo, incluidos los impulsos que se obtienen de 
la fase de arranque y cola. Se puede calcular como el que transcurre desde que el empuje 
alcanza el 10% del máximo hasta que cae nuevamente al 10%. Se debe utilizar al calcular 
actuaciones globales como el impulso total. 
 
Figura 10.2: Representación esquemática de la curva de empuje de un motor 
en la que se pone de manifiesto las diferentes definiciones a la hora de 
caracterizar las actuaciones. 
Para situaciones en las que la curva de empuje no sea cuasi-neutra será necesario adoptar 
medidas ligeramente diferentes que dependerán de cada caso. 
La caída del empuje al 90% del máximo se considera como un posible indicativo de que el 
propulsante ha sido agotado (se agota y desvirtúa la geometría de combustión, quedando 
restos de propulsante, “sliver fraction”). En la fase de cola de empuje (tail-off period) se 
consumen los restos de propulsante y parte de los inertes que componen los aislantes, 
materiales de tobera, etc. 
Para la evaluación del gasto másico se procede por pesada antes y después del ensayo y aquí 
se pone de manifiesto el consumo de otros materiales distintos al propulsante. 
A menudo para la determinación de puntos característicos se recurre a la intersección con la 
bisectriz de las tangentes. 
El impulso total es el área que delimita la curva de empuje-tiempo de fácil evaluación gráfica 
y pueden definirse dos valores en función del intervalo de tiempo considerado 
𝐼𝑇𝑎 = � 𝐸𝑑𝑡, 𝐼𝑇𝑏 = � 𝐸𝑑𝑡
𝑡𝑏𝑡𝑎
 (10.1) 
Con lo que el empuje medio desarrollado por el motor admite también dos versiones, 
𝐸�𝑎 = 𝐼𝑇𝑎 𝑡𝑎⁄ , basado en el tiempo de funcionamiento y 𝐸�𝑏 = 𝐼𝑇𝑏 𝑡𝑏⁄ en el tiempo de 
combustión. Cada una de ellas útil según el caso. El empuje medio basado en el tiempo de 
quemado compara bien con los resultados anticipados con el análisis del motor y corresponde 
al empuje en fase permanente. Por otra parte, el empuje medido durante el tiempo de acción 
tiene que ver con las actuaciones del vehículo. 
E
t
bt
at
maxE
90% maxE
10% maxE
Conocido el impulso total se puede calcular el impulso específico una vez decidido qué valor 
de masa de propulsante se usa 𝐼𝑠𝑝 = 𝐼𝑇𝑎 𝑀𝑝⁄ y �𝐼𝑠𝑝�𝑒𝑓𝑓 = 𝐼𝑇𝑎 �𝑀𝑖 − 𝑀𝑓�⁄ 
Es normal medir el área de garganta después del ensayo del motor y utilizar un valor medio a 
la hora de estimar coeficiente de empuje y presión de cámara media 
�̅�𝑔 =
1
2 �
𝐴𝑔𝑖 + 𝐴𝑔𝑓� (10.2) 
que utilizada como una relación de aéreas efectiva permite calcular el coeficiente de empuje, 
gasto másico y empuje promedio. 
Determinación de la presión de cámara 
Como en todos los motores cohete termoquímicos la presión de cámara queda determinada 
por el sistema de alimentación en combinación con el proceso de descarga por la tobera. En el 
caso de los motores de propulsante sólido, el gasto de propulsante aumenta al aumentar la 
presión (ley de Vieille) mientras que el que fluye por la tobera también, de tal forma que el 
proceso puede ser estable o no dependiendo de los parámetros involucrados. 
Fundamentalmente, la presión de cámara es la que se alcanza cuando los gastos producido 
por el proceso de combustión y evacuado por la tobera se igualan, es decir, es necesario 
plantear la ecuación de continuidad para encontrar la relación correcta. 
Ecuación de continuidad 
Consideremos el volumen de control representado en la figura 10.3 deformable que ocupe 
toda la cavidad de la cámara de combustión hasta la garganta delimitado por las siguientes 
superficies: 
• Superficie de la garganta (Ag): superficie fija, permeable por la que fluye el gasto que 
atraviesa la garganta. Eventualmente el área de garganta puede aumentar 
apreciablemente por erosión. 
• Paredes inertes (Aw): superficies impermeables y fijas, sobre las paredes del interior de la 
cámara. La ausencia de gasto asegura que aunque aumente su superficie esto no tenga 
consecuencia en el planteamiento que sigue. 
• Superficie de combustión (Ab): superficie deformable y permeable, que se establece sobre 
el área de combustión y que se mueve con ésta a la velocidad de recesión de la superficie 
de combustión. 
 
Figura 10.3: Representación esquemática del volumen de control que se 
establece en el interior de la cámara de combustión 
En lo que respecta a la ecuación de continuidad es irrelevante si la superficie de combustión, 
𝐴𝑏 se establece en el interior del sólido o en el exterior, siempre que el proceso sea cuasi-
estacionario. Sin embargo, en lo que sigue se supondrá que la superficie del volumen de 
control se establece en el lado gaseoso fuera de la capa de combustión, de formaque los 
valores de presión temperatura y velocidad son los correspondiente a la combustión completa 
del propulsante (más adelante se discutirá con detalle la situación a ambos lados de la 
superficie de combustión). 
A la hora de plantear la ecuación de continuidad en forma integral, es necesario esgrimir una 
serie de hipótesis simplificatorias: 
• Número de Mach pequeño en el interior de la cámara, lo que permite considerar las 
variables fluidas uniformes a lo largo de la cámara y distribución de velocidades de 
combustión uniforme en la cámara. 
• Temperatura de remanso en la cámara uniforme. 
• Densidad en la cámara pequeña frente a la densidad del propulsante sólido. 
• Proceso estacionario (tiempo de descarga pequeño frente al tiempo característico de 
variación de las condiciones de contorno). 
 
Aplicando la ecuación de continuidad al volumen de control descrito 
𝑑
𝑑𝑡
� 𝜌𝑐(�⃗�, 𝑡)𝑑𝜗𝑐 −� 𝜌𝑐𝑢𝑐(�⃗�𝑏, 𝑡)𝑑𝐴𝑏 +
𝐴𝑏(𝑡)
� 𝜌𝑔�𝑉�⃗𝑔 ∙ 𝑛�⃗ �𝑑𝐴𝑔
𝐴𝑔(𝑡)
= 0
𝜗𝑐(𝑡)
 (10.3) 
Es posible definir la densidad media en la cámara evaluando la integral 
�̅�𝑐(𝑡) =
1
𝜗𝑐
 � 𝜌𝑐(�⃗�, 𝑡)𝑑𝜗𝑐
𝜗𝑐(𝑡)
 (10.4) 
Es decir, 
𝑑(�̅�𝑐𝜗𝑐)
𝑑𝑡
= � 𝜌𝑝�̇�𝑏(�⃗�𝑏 , 𝑡)𝑑𝐴𝑏 −
𝐴𝑏(𝑡)
�̇�𝑔 (10.5) 
Se puede asumir que el gasto por la tobera se representa adecuadamente por �̇�𝑔~ 𝑝𝑐𝐴𝑔 𝑐∗⁄ , 
donde 𝑝𝑐 debe ser la presión de remanso en la sección de la garganta de la tobera y el 
parámetro de velocidad característica se calcula con la temperatura, también de remanso, en 
esa sección, porque, en principio, las condiciones en la cámara no tienen por qué ser 
uniformes. 
Es posible aplicar la ecuación de continuidad a un elemento cilíndrico de base 𝛿𝐴𝑏 y altura 
suficiente para que las bases reposen una en el interior del solido (lejos de la superficie donde 
la temperatura sea la inicial del propulsante) y otra en el gas coincidiendo con la utilizada 
anteriormente (también lejos cuando el proceso de combustión ha tenido lugar 
completamente). Se asume que los espesores de la capa limite térmica en el sólido y de la 
capa limite reactante en el gas son muy pequeños con lo que la altura del cilindro en 
despreciable frente a cualquier longitud característica de la geometría de combustión con lo 
que el proceso se puede considerar unidimensional y estacionario. En estas condiciones la 
ecuación de continuidad se escribe 
−𝜌𝑝�̇�𝑏𝛿𝐴𝑏 + 𝜌𝑐(𝑢𝑐 + �̇�𝑏)𝛿𝐴𝑏 = 0 (10.6) 
donde 𝑢𝑐 es la velocidad del gas en la cámara (lado gaseoso) sobre la superficie de 
combustión. Con lo que el término de gasto por unidad de área en el gas es 𝜌𝑐𝑢𝑐 =
�𝜌𝑝 − 𝜌𝑐��̇�𝑏. La densidad de los propulsante usualmente utilizados ronda los 𝜌𝑝~1000 𝑘𝑔 𝑚3⁄ 
mientras que la densidad típica de los gases de combustión puede alcanzar valores del orden 
de 𝜌𝑐~10 𝑘𝑔 𝑚3⁄ si tenemos en cuenta que se trata de gases a 3000 K y presiones, 
típicamente, cien veces superiores a la ambiente. En estas condiciones es posible despreciar la 
densidad del gas frente a la del sólido, 𝜌𝑐 ≪ 𝜌𝑝, y concluir que 𝜌𝑝�̇�𝑏 ≈ 𝜌𝑐𝑢𝑐. 
𝑑(�̅�𝑐𝜗𝑐)
𝑑𝑡
= � 𝜌𝑝�̇�𝑏(�⃗�𝑏 , 𝑡)𝑑𝐴𝑏 −
𝐴𝑏(𝑡)
�̇�𝑔 (10.7) 
el término no estacionario 
𝑑(�̅�𝑐𝜗𝑐)
𝑑𝑡
= 𝜗𝑐
𝑑�̅�𝑐
𝑑𝑡
+ �̅�𝑐
𝑑𝜗𝑐
𝑑𝑡
= 𝜗𝑐
𝑑�̅�𝑐
𝑑𝑡
+ �̅�𝑐 � �̇�𝑏(�⃗�𝑏, 𝑡)𝑑𝐴𝑏
𝐴𝑏(𝑡)
 (10.8) 
con lo que la ecuación queda 
𝜗𝑐
𝑑�̅�𝑐
𝑑𝑡
= � �𝜌𝑝 − �̅�𝑐��̇�𝑏(�⃗�𝑏, 𝑡)𝑑𝐴𝑏 − �̇�𝑔
𝐴𝑏(𝑡)
 (10.9) 
Finalmente, asumiendo condiciones uniformes en la cámara: 
𝜗𝑐
𝑅𝑇𝑐
𝑑𝑝𝑐
𝑑𝑡
= �𝜌𝑝 − �̅�𝑐��̇�𝑏𝐴𝑏 −
𝑝𝑐𝐴𝑔
𝑐∗
 (10.10) 
En la que la velocidad de recesión se puede calcular con la Ley de Vieille, �̇�𝑏 = 𝑎𝑝𝑐𝑛, y, 
atendiendo a la disparidad de escalas, no se tiene en cuenta la diferencia de densidades, 
𝜗𝑐
𝑅𝑇𝑐
𝑑𝑝𝑐
𝑑𝑡
= 𝜌𝑝𝑎𝑝𝑐𝑛𝐴𝑏 −
𝑝𝑐𝐴𝑔
𝑐∗
 (10.11) 
La ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria de primera orden que, integrada a 
lo largo del tiempo, ofrece la evolución de la presión de cámara conocidos los ritmos de 
cambio del área de garganta, del área de combustión y del volumen de cámara. 
Solución cuasi-estacionaria 
Considerando que los tres términos de la ecuación 10.11 son del mismo orden, es posible 
obtener el tiempo característico en el que la presión responde a los cambios que se produzcan 
a lo largo del tiempo de combustión del propulsante, 𝑡𝑏. En primer lugar, el volumen de la 
cámara será del orden de 𝜗𝑐~�̇�𝑡𝑏𝐴𝑏, con lo que: 
�̇�𝑡𝑏𝐴𝑏
𝜌𝑐
𝑡𝑐
~𝜌𝑝�̇�𝐴𝑏~
𝑝𝑐𝐴𝑔
𝑐∗
 (10.12) 
y el tiempo característico de respuesta del sistema es 𝑡𝑐~𝑡𝑏�𝜌𝑐 𝜌𝑝⁄ �, que se identifica con el 
tiempo necesario para llenar o vaciar la cámara, es decir, el tiempo característico de descarga. 
En la situación habitual, 𝜌𝑐 ≪ 𝜌𝑝, resulta 𝑡𝑐 ≪ 𝑡𝑏, es decir, que el tiempo característico es 
pequeño en comparación con la duración de los procesos que desembocan en el consumo del 
propulsante y para los tiempos del orden de 𝑡~𝑡𝑏 el término no estacionario es despreciable 
frente a los otros dos. 
En general será necesario realizar una integración precisa en el tiempo cuando se produzcan 
cambios bruscos de las condiciones de contorno, Δ𝑡 < 𝑡𝑐, en cualquier caso la solución 
estacionaria de la ecuación es 
𝜌𝑝𝑎𝑝𝑐𝑛𝐴𝑏 −
𝑝𝑐𝐴𝑔
𝑐∗
= 0 (10.13) 
y da el siguiente valor para la presión de cámara 
𝑝𝑐 = �𝜌𝑐𝑎𝑐∗
𝐴𝑏
𝐴𝑔
�
1
1−𝑛
 (10.14) 
que, a menudo, se identifica con la solución del problema de determinar la presión de cámara 
en una situación de combustión frontal en la que la constancia del área de quemado genera 
este tipo de solución. 
A la vista de la ecuación se concluye que la presión de cámara de equilibrio depende de: 
• La densidad del propulsante y sus características de combustión (factor de la velocidad de 
combustión, temperatura y composición, a través del parámetro de velocidad específica) 
de tal forma que crece al hacerlo cualquiera de estos parámetros. 
• El exponente de la presión en la Ley de Vieille. Interesa que el valor sea pequeño de tal 
forma que la presión permanezca lo más acotada posible. 
• Aumenta con el área de combustión. La evolución de ésta marcará en principio el 
carácter regresivo, neutro o progresivo de la curva de empuje del motor. 
• Disminuye al aumentar el área de garganta. Claramente, la erosión de la garganta que 
presentan muchos motores cohete, originará una disminución de la presión de cámara (y 
del empuje y gasto másico). 
Una de las variables de diseño más característica de los motores cohete es la denominada con 
el vocablo alemán “klemmung”, K=Ab/Ag, que es habitual tome valores altos (del orden de 
102 a 103) y controla el valor de la presión de cámara. 
Curva de empuje 
En la situación límite de ausencia de efectos no estacionarios se produce la situación en la que 
la presión en el interior de la cámara sigue instantáneamente las variaciones de área de 
combustión que la geometría cambiante del propulsante va imponiendo. 
En la solución cuasi-estacionaria el tiempo juega el papel de un parámetro que va 
modificando la geometría del área de combustión modificando, por consiguiente, la presión de 
cámara, velocidad de recesión y gasto de propulsante. Como la expresión ha sido obtenida en 
el supuesto de velocidad de combustión uniforme en cada instante dentro de la cámara, es 
habitual plantear el problema geométrico que brinda la evolución de la presión de cámara, y 
todos los parámetros propulsivos, en función de la coordenada normal de avance de la 
superficie de combustión, que llamamos y. La expresión de la presión de cámara 
𝑝𝑐(𝑦) = �𝜌𝑐𝑎𝑐∗
𝐴𝑏(𝑦)
𝐴𝑔
�
1
1−𝑛
 (10.15) 
y la curva de la presión de cámara en función del tiempo se obtiene mediante una simple 
cuadratura. Si se tiene en cuenta que �̇�𝑏 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡⁄ y la ley de Vieille, �̇�𝑏 = 𝑎𝑝𝑐𝑛, que relaciona 
el ritmo de avance con la presión se obtiene que 𝑑𝑦 = 𝑎𝑝𝑐𝑛𝑑𝑡 y el tiempo de combustión 
�
𝑑𝑦
𝑎[𝑝𝑐(𝑦)]𝑛
𝑦0
= � 𝑑𝑡
𝑡
0
 (10.16) 
Mediante una simple cuadratura entre los valores inicial y final. 
Análisis de estabilidad 
Es sencillo establecer un análisis heurístico de la estabilidad de la presión de cámara de 
equilibrio a, por ejemplo, perturbaciones que cambien el gasto másico. 
 
Figura 10.5: Representación de los gastos con la presión de cámara. 
En la figura 10.5 se representa esquemáticamente el gasto que sale por la tobera, que crece 
linealmente con la presión, el que se genera por combustión del propulsante, que presenta una 
rama potencial que dependiendo del valor del exponente, 𝑛, tiene mayor o menor pendiente, 
en el punto de equilibrio de la rama lineal. Se observa que si por algún motivo la presión 
aumenta por encima del punto de equilibrio y 𝑛 > 1, el término de producción de masa 
supera al que es capaz de salir por la tobera y la acumulación de masa aumenta la presión, 
realimentando la perturbación inicial, que crece descontrolada; igualmente, si la presión 
disminuye, como ingresa menos gasto que el que sale, la disminución se acentúa, también de 
forma no acotada. 
Se concluye que en el caso 𝑛 > 1, el punto de equilibrio es inestable, mientras que, un 
razonamiento similar conduce a que en el caso 𝑛 < 1 la respuesta contrarresta la perturbación 
restableciéndose la condición de equilibrio, es decir, el proceso es estable. 
No obstante, se puede hacer un análisis formal a partir de la ecuación 10.21 que es la versión 
adimensional de 10.11 tal y como se obtiene del siguiente apartado. Considerando valores de 
presión de la forma 𝑝𝑐 = 𝑝𝑐0 + δ𝑝𝑐, permite escribir 
𝑑𝛿𝑝𝑐
𝛿𝑝𝑐
= (𝑛 − 1)𝑑𝜏 (10.17) 
con 𝜏 = 𝑡 𝑡𝑏⁄ �𝜌𝑝 𝜌𝑐⁄ � y en la que se ha supuesto δ𝑝𝑐 ≪ 𝑝𝑐, para poder despreciar términos de 
orden superior al primero. Como de la ecuación (10.17) resulta que 𝛿𝑝𝑐~𝑒(𝑛−1)𝜏, las 
perturbaciones de presión no están acotadas si 𝑛 > 1 y el sistema es estáticamente inestable 
en estas circunstancias. 
Evolución temporal de la presión de cámara 
La ecuación de la evolución temporal de la presión de cámara es 
𝜗𝑐
𝑅𝑇𝑐
𝑑𝑝𝑐
𝑑𝑡
= 𝜌𝑝𝑎𝑝𝑐𝑛𝐴𝑏 −
𝑝𝑐𝐴𝑔
𝑐∗
+ �̇�𝑒𝑥𝑡 (10.18) 
Para establecer unos valores de referencia se puede asumir que los valores iniciales son los 
corresponden a un proceso cuasi estacionario, es decir 
𝜌𝑝𝑎𝑝𝑐0𝑛 𝐴𝑏0 = 𝑝𝑐0𝐴𝑔0 𝑐0∗ =⁄ �̇�0 (10.19) 
Recordando la definición de la fracción volumétrica de propulsante como el volumen de 
propulsante dividido por el volumen disponible χ = 𝜗𝑝 𝜗𝑐⁄ , siendo el volumen de propulsante 
el desalojado durante un cierto tiempo de combustión 𝜗𝑝 = 𝑎𝑝𝑐0𝑛 𝐴𝑏0𝑡𝑏0. 
El tiempo característico basado en los valores de referencia se define como 𝑡𝑐 = 𝜒𝑡𝑏0 𝜌𝑐0 𝜌𝑝0⁄ 
con 𝜌𝑐0 = 𝑝𝑐0 𝑅𝑇𝑐0⁄ que permite establecer un tiempo adimensional como 𝜏 = 𝑡 𝑡∗⁄ 
Utilizando las variables de referencia para adimensionalizar 
𝑑
𝑑𝜏
�
𝑝𝑐
𝑝𝑐0
� = �
𝑝𝑐
𝑝𝑐0
�
𝑛 𝐴𝑏
𝐴𝑏0
− �
𝑝𝑐
𝑝𝑐0
��
𝐴𝑔
𝐴𝑔0
�
𝑐∗
𝑐0∗
� +
�̇�𝑒𝑥𝑡
�̇�0
 (10.20) 
Llamando 𝑝 = 𝑝𝑐 𝑝𝑐0⁄ a la presión adimensional, se obtiene 
𝑑𝑝
𝑑𝜏
= 𝑏𝑝𝑛 − 𝑎𝑝 𝑐⁄ + 𝑚 (10.21) 
Con la condición inicial de que en 𝜏 = 0 sea 𝑝 = 1. Considerando 𝑚 = 0, la ecuación (10.21) 
presenta la solución asintótica 𝑝∞ = (𝑏𝑐 𝑎⁄ )1 (1−𝑛)⁄ cuando se deja transcurrir tiempo infinito 
y solución general es 
𝑝1−𝑛 − 𝑝∞1−𝑛
1 − 𝑝∞1−𝑛
= 𝑒−(𝑎 𝑐⁄ )(1−𝑛)𝜏 (10.22) 
En la tabla 10.1 se presentan varios de los casos límite que se pueden presentar al resolver la 
ecuación (10.21) 
 
 
 
 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚 
Arranque 0 0 (-) 1 𝑝 = 𝑚𝜏 + 1 
Régimen 
permanente 1 1 1 0 1 (𝜏 → ∞) 
Salto escalón 
𝑎 𝑏 𝑐 0 
𝑝1−𝑛 − 𝑝∞1−𝑛
1 − 𝑝∞1−𝑛
= 𝑒−(𝑎 𝑐⁄ )(1−𝑛)𝜏 
Empuje de cola 
(isotermo) 
1 0 1 0 𝑝 = 𝑒−𝜏 
Empuje de cola 
(adiabático) 1 0 𝑝
(𝛾−1) 2𝛾⁄ 0 𝑝 = �1−
𝛾 − 1
2𝛾
𝜏�
2𝛾
𝛾−1
 
Tabla 10.1: Resumen de diversas evoluciones temporales de la presión de 
cámara en diferentes situaciones de interés. 
Régimen cuasiestacionario: en el caso de que todas las variables sean constantes 
𝐴𝑏
𝐴𝑏0
=
𝐴𝑔
𝐴𝑔0
=
𝑐∗
𝑐0∗
= 1, 
�̇�𝑒𝑥𝑡
�̇�0
= 0 (10.23) 
y la solución es 𝑝 = 1. 
Régimen de arranque: en este caso se puede considerar 
𝐴𝑏
𝐴𝑏0
=
𝐴𝑔
𝐴𝑔0
= 0, 
�̇�𝑒𝑥𝑡
�̇�0
= 𝑚 (10.24) 
y resulta 
𝑝 = 𝑚𝜏 + 1 (10.25) 
para los estados iniciales en los que se puede despreciar el gasto por la garganta o, 
simplemente, se encuentra inicialmente tapada. 
En el caso de descarga isoterma, una vez que se haya acabado el propulsante 
𝐴𝑏
𝐴𝑏0
= 0, 
𝐴𝑔
𝐴𝑔0
=
𝑐∗
𝑐0∗
= 1 (10.26) 
y la solución es: 
𝑝 = 𝑒−𝜏 (10.27) 
Y, en el caso adiabático, que puede considerarse isentrópico 
𝐴𝑏
𝐴𝑏0
= 0, 
𝐴𝑔
𝐴𝑔0
= 1, 
𝑐∗
𝑐0∗
= 𝑝
𝛾−1
2𝛾 (10.28) 
La solución es: 
𝑝 = �1−
𝛾 − 1
2𝛾
𝜏�
2𝛾
𝛾−1
 (10.29) 
que tiende a 𝑝 = 𝑒−𝜏 cuando 𝛾 → 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lección 11: Aspectos de diseño de MCPS 
Introducción 
Los motores cohete de propulsante sólido se emplean en todo el espectro de misiones posibles 
tanto en vuelo atmosférico como en el espacio para misiones de alto empuje (lanzamiento o 
JATO) como misiones más modestas en cuanto a empuje pero exigentes en cuanto a precisión 
(transferencia orbital) o fiabilidad (escalones superiores). Ademas, llevan a cabo misiones de 
carácter especial en suelta de cargas (sistemas pirotécnicos) o generadores de gas (sistemas de 
inflado o extracción). En todas estas situaciones los requisitos funcionales y especificaciones 
son de muy diferente naturaleza y afectan a aspectos aerodinámicos, estructurales y térmicos, 
condicionan los materiales empleados, la formulación de los propulsantes y las configuraciones 
posibles, con lo que cada diseño debe seguir pautas diferentes y concretarse en 
especificaciones distintas. 
No obstante, en el ámbito de su empleo como sistema de propulsión, especificar el valor o la 
condición de sea máximo el impulso total, 𝐼𝑇 = ∫𝐸𝑑𝑡, es una práctica habitual de diseño para 
los motores cohete de propulsante sólido y es la figura de mérito que se empleara en este 
capítulo en lo referente al dimensionado estructural del motor y a la selección de las 
principales variables de diseño que son, la presión de cámara, el área de garganta y la 
relación de áreas de la tobera. 
El tipo de propulsante empleado influye de forma decisiva en las actuaciones del sistema, 
mediante la densidad del propulsante y el parámetro de velocidad característica y en otros 
aspectos como la firma, el tipo y duración del almacenamiento, aspectos de fabricación, de 
compatibilidad con materiales estructurales y de seguridad (“intensive munitions”). 
Impulso total con presión de cámara variable 
Usualmente la presión de cámara de un motor cohete de propulsante solido cambia con el 
tiempo presentando perfiles no completamente constantes en los que es posible definir 
variables globales y medias que difieren de los valores instantáneos. 
La obtención de máximo impulso total mediante la selección de la presión de salida como la 
correspondiente a un valor promedio de las presiones ambientes durante el vuelo es un 
resultado obtenido con presión de cámara constate y que conviene revisar. El impulso total es 
𝐼𝑇 = � 𝑝𝑐𝐴𝑔𝐶𝐸𝑑𝑡
𝑡𝑏
 
El coeficiente de empuje, 𝐶𝐸 = 𝐶𝐸,𝑎𝑑 + 𝜀(𝑝𝑠 𝑝𝑐 − 𝑝𝑎 𝑝𝑐⁄⁄ ), despreciando efectos no 
estacionarios, tiene todos sus términos constantes excepto el ultimo, 𝑝𝑎 𝑝𝑐⁄ , que depende de la 
altura y del tiempo al ser la presión de cámara variable con este. Sustituyendo 
𝐼𝑇 = � 𝑝𝑐𝐴𝑔𝐶𝐸,𝑎𝑑𝑑𝑡
𝑡𝑏
+� 𝐴𝑔𝜀(𝑝𝑠 − 𝑝𝑎)𝑑𝑡
𝑡𝑏
 (11.1) 
El primer término de 11.4 es proporcional a la masa de propulsante expelida durante el 
funcionamiento, ya que 𝑝𝑐𝐴𝑔 = 𝑐∗�̇� de forma instantánea y su integral es 𝑐∗𝑀𝑝𝐶𝐸,𝑎𝑑, 
mientras que la segunda integral se calcula fácilmente expresada en función de la presión de 
salida media y la presiónambiente media, ambas durante el vuelo, con lo que 𝐼𝑇 =
𝑐∗𝑀𝑝𝐶𝐸,𝑎𝑑 + 𝑡𝑏𝐴𝑔𝜀(�̅�𝑠 − �̅�𝑎), es decir, 
𝐼𝑇 = �̅�𝑐𝐴𝑔𝑡𝑏�𝐶𝐸,𝑎𝑑 + 𝜀(𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ − �̅�𝑎 �̅�𝑐⁄ )� (11.2) 
cuando la presión de cámara media se obtiene como aquella que cumple, �̅�𝑐𝐴𝑔𝑡𝑏 = 𝑐∗𝑀𝑝, y la 
presión de salida media se refiere a la de cámara media atendiendo a que la relación de 
expansión está determinada por la relación de áreas. 
�̅�𝑠 =
1
𝑡𝑏
�𝑝𝑐(𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ )𝑑𝑡 (11.3) 
es decir, �̅�𝑠 = �̅�𝑐(𝑝𝑠 𝑝𝑐⁄ ). 
Como ya ha sido mostrado, la obtención de máximo impulso total en vuelo atmosférico 
conduce, una vez conocida la trayectoria del vehículo, a la imposición de la presión de salida 
óptima, �̅�𝑠 = �̅�𝑎, calculada mediante 
�̅�𝑎 =
〈𝑉〉
∆ℎ
� 𝑝𝑎(ℎ)
𝑑ℎ
𝑉∆ℎ
 (11.4) 
lo que permite evaluar el impulso total óptimo 
𝐼𝑇,𝑚𝑎𝑥 = 𝑐∗𝑀𝑝𝛤(𝛾)�
2𝛾
𝛾−1
[1− (�̅�𝑎 �̅�𝑐⁄ )(𝛾−1) 𝛾⁄ ] (11.5) 
A la vista de la expresión anterior, se deduce que aumentar la presión de cámara conduce a 
mejores actuaciones del sistema, disminuyendo la cantidad de propulsante que es necesario 
transportar y mejorando, de forma genérica, el diseño, sea cual sea éste. 
Vuelo de crucero 
Consideremos la situación de vuelo horizontal rectilíneo y uniforme de un vehículo en el que 
la fuerza de sustentación compensa el peso del sistema y el empuje del motor cohete la 
resistencia aerodinámica, 𝐸 = 𝐷, es decir 
𝑝𝑐𝐴𝑔𝐶𝐸 =
1
2
𝜌𝑎𝑉02𝐴𝐹𝐶𝑑 (11.6) 
donde, 𝜌𝑎 es la densidad ambiente, 𝑉0 la velocidad de vuelo, 𝐴𝐹 el área frontal del vehículo y 
𝐶𝑑 es el coeficiente de resistencia aerodinámico. Dividiendo por 𝑝𝑎𝐴𝑠 y operando 
𝑝𝑐
𝑝𝑎
𝐴𝑔
𝐴𝑠
𝐶𝐸 =
1
2
𝜌𝑎
𝑉02
𝑝𝑎 𝜌𝑎⁄
𝐴𝐹
𝐴𝑠
𝐶𝑑 
como �𝛾𝑝𝑎 𝜌𝑎⁄ es la velocidad del sonido ambiente, queda 
𝐶𝐸
𝜀(𝑝𝑎 𝑝𝑐⁄ )
=
1
2
 𝛾𝑀02(𝐴𝐹 𝐴𝑠⁄ )𝐶𝑑 (11.7) 
Si el motor ha sido optimizado a esa altura de vuelo, la tobera estará adaptada, 𝑝𝑠 = 𝑝𝑎, y el 
primer termino de la ecuación es función exclusivamente de la relación de presiones del motor 
que por simplicidad se puede expresar como 𝛿 = (𝑝𝑎 𝑝𝑐⁄ )𝛾 (𝛾−1)⁄ con lo que (11.8) finalmente 
queda 
2𝛾
𝛾 − 1
1 − 𝛿
𝛿
=
1
2
 𝛾𝑀02(𝐴𝐹 𝐴𝑠⁄ )𝐶𝑑 (11.8) 
En la que claramente se tiene que 
𝐸
𝑝𝑎𝐴𝑠
=
2𝛾
𝛾 − 1
1 − 𝛿
𝛿
 (11.9) 
En la figura 11.1 se representa la expresión anterior, el empuje adimensional en función del 
inverso de la relación de expansión que naturalmente presenta una asíntota vertical en 𝛿 → 0 
y un valor máximo de 𝛿 = 𝛿∗ relacionado con la suposición implícita de garganta en 
condiciones críticas y relación de áreas unidad. 
 
Figura 11.1: Empuje adimensional en función del inverso de la relación de 
expansión de la tobera del motor. 
Expresión que tiene interés en el contexto en el que la presión ambiente está dada por la 
altura de vuelo y el área de salida limitada por el diámetro del vehículo. En relación con la 
figura 11.1, si la presión de cámara está limitada por alguna circunstancia, el valor de 𝛿 
alcanza un mínimo que proporciona el valor mas alto posible de 𝐸 𝑝𝑎𝐴𝑠⁄ con lo que como el 
área se salida está limitada por el área frontal del vehículo el empuje está limitado. 
Número de Mach máximo 
Como la situación ha sido planteada partiendo de la expresión de empuje adaptado, un 
aumento de la relación de áreas implica aumento del empuje y la posibilidad de volar más 
rápido presentándose como limite el área frontal del vehículo, despejando 𝛿 en 11.8 queda 
𝛿 = �1 +
𝛾 − 1
4
𝑀02(𝐴𝐹 𝐴𝑠⁄ )𝐶𝑑�
−1
 (11.10) 
En la expresión anterior a la izquierda del igual, un valor fijo que depende de la altura de 
vuelo y del método seguido para fijar la presión de cámara del motor y a la derecha 
parámetros de operación (número de Mach de vuelo, número de Reynolds, etc.) de diseño 
(coeficiente de resistencia, es decir, ojiva, aletas, etc.) y de integración con el sistema de 
propulsión (relación AF/As). 
En la figura 11.2 se representa la función 11.10 y la relación de áreas correspondiente con 
cada caso. Las gráficas muestran las posibilidades del sistema. Para un número de Mach de 
vuelo prefijado por razones operativas, hay un rango posible de relaciones de área que se 
pueden seleccionar y de disposiciones geométricas 𝐴𝐹 𝐴𝑠⁄ posibles, asi mismo, como la presión 
ambiente viene determinada también por la misión el valor de la presión de cámara también 
queda establecido. 
 
Figura 11.2: Representación gráfica de la ecuación 11.14 para diferentes 
cocientes entre el área frontal del vehículo y el área de salida de la tobera. 
En la figura 11.2 se ve claramente los límites de vuelo que puede presentar un misil en el que 
no es posible sobrepasar 𝐴𝐹 𝐴𝑠⁄ = 1 sin cambiar la aerodinámica del vehículo y como volar 
más rápido exige funcionar con una presión de cámara mayor. 
Naturalmente, todas estas consideraciones deberán sintonizarse con otras relacionadas con 
una visión completa de la misión que, por ejemplo, tengan en cuenta como llega el vehiculo a 
esa situación de vuelo. 
Análisis de utilización 
Inventario de masas 
A la hora de establecer un diseño inicial de cualquier sistema aeronáutico es imprescindible 
realizar una estimación de la masa del sistema. Esta tarea puede ser muy incierta, en la 
medida en que el diseño en detalle de los elementos del sistema no ha sido abordada todavía, 
sin embargo, debido al alto coste que significa cometer errores en la definición de los 
parámetros principales del sistema en las fases iniciales, se debe hacer especial hincapié en 
llevar a cabo una estimación de masas lo más precisa posible. 
Para una correcta estimación de la masa total será necesario establecer un desglose de los 
diferentes elementos, que permita identificar la dependencia funcional con los parámetros de 
diseño del sistema. La masa del vehículo será 
𝑀𝑖 = 𝑀𝑐𝑝 + 𝑀𝑠𝑡 + 𝑀𝑠𝑝 + 𝑀𝑝 (11.11) 
Donde, 𝑀𝑖 es la masa inicial, 𝑀𝑐𝑝 es la masa de la carga de pago, 𝑀𝑠𝑡 es la masa de la 
estructura, 𝑀𝑠𝑝 es la masa del sistema de propulsión y 𝑀𝑝 es la masa de propulsdsante. El 
motor por su parte admite el siguiente desglose de masas 
𝑀𝑠𝑝 = 𝑀𝑐 + 𝑀𝑎𝑖𝑠 +𝑀𝑡𝑜𝑏 +𝑀𝑎𝑢𝑥 (11.12) 
donde, 𝑀𝑐 es la masa de la carcasa, 𝑀𝑎𝑖𝑠 es la masa del aislante, 𝑀𝑡𝑜𝑏 es la masa de la tobera 
y 𝑀𝑎𝑢𝑥 es la mas de los componentes auxilieraes entre los que se pueden incluir sistema de 
ignición o control de empuje. 
Presión de cámara óptima 
Si la misión que desempeña el motor es el vuelo atmosférico entre dos alturas el impulso total 
óptimo, selecciona la presión de salida adecuada, y vale 
𝐼𝑇,𝑚𝑎𝑥 = 𝑐∗𝑀𝑝𝛤(𝛾)�
2𝛾
𝛾−1
[1− (�̅�𝑎 �̅�𝑐⁄ )(𝛾−1) 𝛾⁄ ] (11.13) 
donde, �̅�𝑎 es un promedio de las presiones ambientes durante el vuelo (ecuación 11.4). 
Aumentar la presión de cámara mejora el valor del impulso total pero implica un aumento de 
la solicitación mecánica sobre los elementos estructurales del motor y por lo tanto su peso. 
En estas circunstancias, se hace imprescindible evaluar el peso del motor, 𝑀𝑠𝑝, en función de 
la propia presión de funcionamiento. Para la carcasa del motor se puede llevar a cabo un 
sencillo análisis (Apendice 11A) que dimensione su masa en función de la presión interior y 
que proporciona el conocido resultado de ser proporcional al producto de la presión y el 
volumen de la vasija que se puede relacionar con la masa de propulsante mediante la 
densidad de éste: 
𝑀𝑐 =
𝑎
�̅�𝑎 �̅�𝑐⁄
𝑀𝑝 (11.14) 
con la siguiente definición del factor 𝑎: 
𝑎 = 4
𝜅�̅�𝑎�𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃 �̅�𝑐⁄ �
𝜌𝑝𝜒(𝜎𝑢 𝜌𝑀⁄ )
 (11.15) 
donde, 𝜅 es el coeficiente de seguridad estructural, 𝜎𝑢 𝜌𝑀⁄ es el esfuerzo esopecifico máximo 
de trabajo del material, 𝜌𝑝 es la densidad de propulsante, 𝜒 es la fracción volumétrica de 
propulsante, 𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃 es la presión de cámara máxima esperada durante el funcionamiento y 
�̅�𝑎 la presión ambiente media. Obsérvese que por razones que quedaran claras 
inmediatamente se ha introducidouna dependencia ficticia de la presión ambiente en 11.15. 
Sustituyendo 11.14 en 11.12, la masa del motor es 
𝑀𝑠𝑝 ≈ 𝑀𝑝 + 𝑀𝑐 = [1 + 𝑎 (�̅�𝑎 �̅�𝑐⁄ )⁄ ]𝑀𝑝 (11.16) 
asumiendo que tanto el aislante como los elementos auxiliares tiene masa pequeña frente al 
resto y que la tobera (dejando al margen detalles de diseño estructural y térmico) se 
caracteriza adecuadamente como la carcasa, mediante el modelo de vasija a presión, con lo 
que la expresión anterior evalúa adecuadamente las reacciones funcionales y quedaría a 
expensas de ajustar valores absolutos en algún punto. Sustituyendo la masa de propulsante 
de (11.14) en (11.13) se obtiene: 
𝑐∗𝑀𝑠𝑝
𝐼𝑇,𝑚𝑎𝑥
=
1 + 𝑎 (�̅�𝑎 �̅�𝑐⁄ )⁄
Γ(𝛾)� 2𝛾𝛾−1[1 − (�̅�𝑎 �̅�𝑐⁄ )
(𝛾−1) 𝛾⁄ ]
 
(11.17) 
que relaciona la figura de merito 𝑐∗𝑀𝑠𝑝 𝐼𝑇,𝑚𝑎𝑥⁄ con la relación de áreas de la tobera pertinente 
para producir la expansión �̅�𝑎 �̅�𝑐⁄ , es decir, con el valor de la presión de cámara media. En la 
expresión (11.17) aparece el parámetro 𝑎 que engloba características del material estructural, 
la altura de vuelo y criterios de diseño, ecuación (11.15). Como ejemplo, podemos tomar 
coeficiente de seguridad igual a 1.5, fracción volumétrica de 0.85, presión atmosférica de 2∙104 
Pa, densidad del propulsante 1800 kg/m3, valores típicos de los esfuerzos específicos de 105-
106 Nm/kg que permite calcular 
𝑎 ∼
4
0.85
20000 1800⁄
105 − 106
1.5�̅�𝑐
�̅�𝑐
∼ 2 ∙ 10−4 (11.18) 
Que permite trazar la gráfica de la figura (11.3) para valores coherentes del parámetro en un 
rango apropiado. En el grafica se observa que existe para cada curva un valor de la relación 
de áreas que minimiza el parámetro 𝑐∗𝑀𝑠𝑝 𝐼𝑇,𝑚𝑎𝑥⁄ , correspondiendo a un óptimo de mínimo 
peso o máximo impulso total. Es decir, existe una presión de cámara que optimiza la 
actuación del sistema en el sentido de que valores mayores darían lugar a sobre-dimensiones 
(más peso) para soportar los esfuerzos y valores más pequeños corresponderían a coeficientes 
de empuje demasiado pequeños que limitan las actuaciones del sistema. 
La función anterior evaluada en el mínimo se puede interpretar como el motor más ligero 
capaz de proporcionar cierto impulso total o como el impulso total más grande que se puede 
obtener con un motor de masa dada. 
 
Figura 11.3: Optimización de la masa del motor en función de la relación de 
áreas. 
Los mínimos de masa total se obtienen para valores crecientes de la presión de cámara 
cuando el parámetro 𝑎 disminuye, lo que implica relaciones de áreas óptimas cada vez 
mayores. El resultado anterior se puede generalizar mediante estableciendo una correlación, 
𝜀ó𝑝𝑡~0.191𝑎−0.6, obtenida cuando 𝛾 = 1.2. 
Si el área frontal del vehículo limita el área de salida, una presión de cámara creciente 
implica mayores masas de motor al no obtenerse ventaja mejorando el coeficiente de empuje. 
La línea punteada de leyenda 𝜀 = 10 en la figura 11.3 corresponde a congelar la relación de 
áreas en ese valor para 𝑎 = 10−4 y muestra el deterior progresivo que implica utilizar toberas 
truncadas. 
Motor espacial 
Debe tenerse en cuenta que se ha introducido de forma gratuita la presión ambiente dentro 
del parámetro que gobierna la el valor de la relación de áreas optima y cuando el motor opere 
en vacío se debe proceder con cierto cuidado. Primeramente, el óptimo de la relación de áreas 
es 𝜀ó𝑝𝑡 ⟶ ∞, sea cual sea la presión de cámara del sistema y el impulso total resulta ser 
𝐼𝑇 = 𝑐∗𝑀𝑝C𝐸,𝑣𝑎𝑐 con lo que su optimización termina con la selección de la mayor relación de 
áreas posible. No obstante, el sistema ha tenido que ser colocado en condiciones de actuar en 
el espacio y la masa que tenga debería ser la mínima posible que vendrá dada por la 
simplificación hecha en 11.16 que hay que reescribir en el sentido de omitir el empleo de la 
presión ambiente: 
𝑐∗𝑀𝑠𝑝C𝐸,𝑣𝑎𝑐 𝐼𝑇⁄ = 1 + 4
𝜅�̅�𝑐�𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃 �̅�𝑐⁄ �
𝜌𝑝𝜒(𝜎𝑢 𝜌𝑀⁄ )
 (11.19) 
Es posible definir factor con dimensiones de presión con el que medir la presión media de 
cámara mediante 
𝑝° =
𝜌𝑝𝜒(𝜎𝑢 𝜌𝑀⁄ )
𝜅�𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃 �̅�𝑐⁄ �
 (11.20) 
de manera que cuando �̅�𝑐 = 𝑝° es 𝑐∗𝑀𝑠𝑝C𝐸,𝑣𝑎𝑐 𝐼𝑇⁄ = 2. Para los valores que dan lugar a la 
estimación hecha anteriormente resulta 𝑝° ≈ 70 MPa, es decir, el termino correspondiente a la 
carcasa representa para motores actuales entre el 5% y 10% del peso de propulsante. La 
ecuación (11.19) queda 
𝑐∗𝑀𝑠𝑝C𝐸,𝑣𝑎𝑐 𝐼𝑇⁄ = 1 + �̅�𝑐 𝑝°⁄ (11.21) 
A la vista de la ecuación es evidente que las presiones de funcionamiento de los motores 
cohete espaciales deben ser menores que las correspondientes a los terrestres. No obstante, la 
repercusión de cambiar la presión de cámara viene modulada por el valor de 𝑝° que es un 
orden de magnitud mayor que las empleadas habitualmente. La ecuación (11.21) no tiene 
cota inferior para la presión, ahora bien, si se fija algún parámetro operacional como, por 
ejemplo, el tiempo de combustión o el empuje (puede ser necesario marcar un nivel mínimo 
del empuje o máximo del tiempo de combustión relacionado con la operatividad de la misión) 
entonces disminución de la presión de cámara conduce a un aumento del área de garganta y 
del tamaño. 
Otro aspecto de este tipo de motor que merece especial atención es la carga térmica sobre la 
estructura y en concreto sobre la tobera. Aumentar el tiempo de combustión puede ir en 
detrimento de la resistencia de la estructura pues aumentan las temperaturas alcanzadas y la 
penetración de la onda térmica, al permanecer inalteradas las temperaturas de combustión 
del propulsante. 
Resultados similares se obtienen si es el incremento de velocidad alcanzado el requisito de 
diseño, recordando la definición de fracción de masa de carga de pago 𝑟 = 𝑀𝑐𝑝 𝑀𝑖⁄ la ecuación 
del cohete es 
∆𝑉 = 𝑐∗C𝐸,𝑣𝑎𝑐ln
1 + �̅�𝑐 𝑝°⁄
𝑟 + �̅�𝑐 𝑝°⁄
 (11.22) 
y despejando 
𝑟 = e−∆𝑉 𝑐∗C𝐸,𝑣𝑎𝑐⁄ − �1 − e−∆𝑉 𝑐∗C𝐸,𝑣𝑎𝑐⁄ � �̅�𝑐 𝑝°⁄ (11.23) 
Que pone de manifiesto la repercusión del valor la presión de cámara sobre la carga de pago 
objeto de la misión. Obsérvese que esta influencia es limitada, en misiones poco exigidas, 
∆𝑉 ≪ 𝑐∗C𝐸,𝑣𝑎𝑐, y resulta 𝑟~1 − �∆𝑉 𝑐∗C𝐸,𝑣𝑎𝑐⁄ � �̅�𝑐 𝑝°⁄ , el impacto es pequeño; en misiones de 
transferencia orbital ∆𝑉~𝑐∗C𝐸,𝑣𝑎𝑐, con lo que la repercusión es mayor, pero debe tenerse en 
cuenta que, como ya se ha dicho, 𝑝° es un orden de magnitud mayor que las presiones de 
cámara habituales con lo que variaciones porcentuales del 10% en la presión de cámara 
repercuten como un 2% en la fracción de carga de pago. 
 
Apendice 11A: Cálculo estructural de carcasas de MCPS 
Consideremos la situación de la figura 11A.1, en la que se representa un corte de un 
recipiente esférico o cilíndrico (lejos de las bases) y las fuerzas que actuarían en el supuesto 
de que el espesor, 𝑒, sea pequeño en relación al diámetro 𝐷𝑐. 
 
Figura 11A.1: Esquema del equilibrio de fuerzas que se produce en la 
situación de una vasija a presión. 
El equilibrio de fuerzas, que dimensiona el valor del espesor necesario, en el caso del cilindro 
es cuando se le somete a una presión interior 𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃 (“maximum expected operating 
pressure”) es: 
2𝜎𝑢𝑒𝑐 = κ𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃𝐷𝑐 (11A.1) 
donde, 𝜎𝑢 es el esfuerzo último del material y 𝜎𝑢 el coeficiente de seguridad (que puede tomar 
valores entre 1.2 y 1.8 dependiendo de la aplicación). Por otra parte, la masa de una carcasa 
cilíndrica de longitud 𝐿𝑐 es 𝑀𝑐 = 𝜌𝑀𝜋𝐷𝑐𝐿𝑐𝑒𝑐, cuando está construida con un material de 
densidad 𝜌𝑀. Sustituyendo el espesor de 8.1 se obtiene 
𝑀𝑐 = 2κ𝜋(𝐷𝑐2 4⁄ )𝐿𝑐𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃 (𝜎𝑢 𝜌𝑀⁄ )⁄ (11A.2) 
Que resulta, como cabía esperar, proporcional al producto de la presión de trabajo 
multiplicada por el volumen contenido. Teniendo en cuenta que inicialmente la carcasa del 
motor está llena de propulsante con una fracción volumétrica 𝜒, el volumen de la cámara es 
𝑀𝑝 �𝜌𝑝𝜒�⁄ y la masa dela carcasa resulta proporcional a la masa de propulsante mediante 
𝑀𝑐 = 2𝑀𝑝κ𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃 �𝜌𝑝𝜒 𝜎𝑢 𝜌𝑀⁄ �⁄ (11A.3) 
Asumiendo que el motor funciona con una presión media �̅�𝑐, durante laoperación más 
desfavorable de este, el valor del cociente de seguridad 𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃 �̅�𝑐⁄ es un criterio de diseño, 
mientras que �̅�𝑎 �̅�𝑐⁄ tiene que ver con las actuaciones en vuelo atmosférico 
𝑀𝑐
𝑀𝑝
=
2𝜅�𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃 �̅�𝑐⁄ �
𝜌𝑝𝜒(𝜎𝑢 𝜌𝑀⁄ )
�̅�𝑎
�̅�𝑎 �̅�𝑐⁄
 (11A.4) 
La expresión indica que la masa de la carcasa es proporcional a la de propulsante y el factor 
de proporcionalidad depende de los coeficientes de seguridad empleados, 𝜅 y 𝑝𝑐,𝑀𝐸𝑂𝑃 �̅�𝑐⁄ , la 
densidad del propulsante, 𝜌𝑝, la fracción volumétrica de la geometría de combustión elegida, 
𝜒, y el esfuerzo especifico, (𝜎𝑢 𝜌𝑀⁄ ), del material de la carcasa. Naturalmente, la masa es 
proporcional al nivel de presión interior que, en la expresión 11A.4 se ha referido a la presión 
ambiente para obtener explícitamente la dependencia con la relación de presiones del motor 
que podrá ser elegida de manera que algún criterio de diseño, como el de obtener máximo 
impulso total, sea alcanzado. Téngase en cuenta, que en la expresión 8.4 basta sustituir el 
factor ‘2’ por ‘3/2’ para tener la relación adecuada para depósitos esféricos y que, 
seguramente en un análisis más pormenorizado, se deba añadir algún coeficiente relacionado 
con la concentración de esfuerzos que las zonas terminales de ambas geometrías impongan. 
 
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	00_Leccion-00_Caratula-Indice
	00_Leccion-01_Descripcion_Clasificacion_y_Aplicaciones
	Lección 1: Descripción, Clasificación y Aplicaciones
	Introducción
	Niveles de desarrollo
	Clasificación y descripción de los motores cohete
	Motores Cohete Térmicos
	Motores cohete termoquímicos
	Motor cohete de propulsante sólido (TRL 9)
	Motor cohete de propulsante líquido (TRL 9)
	Motor cohete de propulsante hibrido (TRL 9)
	Motor Cohete Termonucleares (TRL 6)
	Motores cohete termoeléctricos
	Motor cohete Resistojet (TRL 8)
	Motores cohete de arco eléctrico (TRL 7-8)
	Motores Cohete Eléctricos
	Motores Cohete Electrostáticos
	FEEP: Field Emission Electric Propulsion (TRL 8)
	Motores de efecto Hall (TRL 8-9)
	Motores Cohete Electromagnéticos
	VASIMR: Variable Specific Impulse Magnetoplasma Rocket (TRL 5)
	Pulse Plasma Thruster (TRL 7-8)
	Motor Cohete Electromagnético, MPD (TRL 6)
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	Lección 2: Estudio Propulsivo y Empuje
	Introducción
	Estudio propulsivo
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	Ecuación de cantidad de movimiento
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	Motor cohete de propulsante sólido
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	00_Leccion-04_Termodinámica de los Procesos de Combustión
	Lección 4: Termodinámica de los Procesos de Combustión
	Introducción
	Primer principio de la termodinámica
	Calor específico
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	Entalpía estándar de formación
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	Mezcla de gases en equilibrio
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	Temperatura adiabática de combustión, ,𝑻-𝒇.
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	Lección 5: Actuaciones de Motores Cohete Térmicos
	Introducción
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	Modelo de ingeniería
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	Composición e equilibrio
	Modelo simple de tobera
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	Actuaciones idealizadas de un motor cohete
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	Tobera
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	Lección 6: Actuaciones y diseño de toberas
	Introducción
	Actuaciones de toberas
	Relación de áreas óptima
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	Tipos de toberas
	Definiciones geométricas
	Aerodinámica de toberas
	Región transónica de la garganta
	Método de las características (MOC)
	Tobera ideal (IC, Ideal Contour)
	Toberas optimizadas
	Apéndice 6A: Efecto de la viscosidad en la optimización
	Apéndice 6B: Solución de Sauer
	Apéndice 6C: Toberas contorneadas óptimas o de Rao
	Formulación del problema
	Solución del problema
	Referencias
	00_Leccion-07_Efectos Reales
	Lección 7: Estudio teórico y experimental de efectos reales
	Introducción
	Desglose de pérdidas
	Modelos: rendimientos
	Efectos de compresibilidad
	Efecto de viscosidad
	Efectos bidimensionales
	Tobera cónica
	Flujo heterogéneo
	Procesos en la cámara de combustión
	Cambio de composición en la tobera
	Flujo reactante en la tobera
	00_Leccion-08_Motores-Cohete-Propulsante-Solido
	Lección 8: Motores cohete de propulsante solido
	Introducción
	Aplicaciones
	Actuaciones de motor
	Funcionamiento básico
	Propulsantes
	Velocidad de recesión
	Presión de cámara
	Curva de empuje
	Componentes de un Motor Cohete de Propulsante Sólido
	Carcasa
	Tobera
	Control vectorial de empuje
	Sistema de ignición
	Apéndice 8.A: Algunos datos de motores
	00_Leccion-09_Propulsantes-Solidos
	Lección 9: Propulsantes solidos
	Introducción
	Sustancias y funciones
	Balance de oxígeno
	Impulso densidad
	Clasificación
	Propulsantes homogéneosPropulsantes mixtos (CMDB, EMCDB0F()
	Propulsantes heterogéneos (Composite propellant)
	Combustión de propulsantes solidos
	Velocidad de recesión: Ley de Vieille
	Combustión erosiva
	Determinación de la velocidad de recesión
	Apéndice 9A: Familias de propulsantes
	Extruded double-base (EDB)
	Cast double-base (CDB)
	Composite modified double-base (CMDB)
	Elastomeric modified cast double-base (EMCDB)
	Composite propellant
	High energy propellant
	Apendice 9B: Modelo térmico de la velocidad de recesión
	Estructura de la región
	Ecuaciones en fase sólida
	Ecuaciones en fase gaseosa
	Condiciones en la superficie
	Solución aproximada en el gas
	00_Lección-10_Determinación de Actuaciones
	Lección 10: Actuaciones de MCPS
	Introducción
	Ensayo de motor
	Determinación de la presión de cámara
	Solución cuasi-estacionaria
	Curva de empuje
	Análisis de estabilidad
	Evolución temporal de la presión de cámara
	00_Lección-11_Diseño-de-MCPS
	Lección 11: Aspectos de diseño de MCPS
	Introducción
	Impulso total con presión de cámara variable
	Vuelo de crucero
	Número de Mach máximo
	Análisis de utilización
	Inventario de masas
	Presión de cámara óptima
	Motor espacial
	Apendice 11A: Cálculo estructural de carcasas de MCPS
	00_Leccion-99_Bibliografia
	Bibliografia