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Microeconomía II
Profesor: Francisco Da Silva
Vicente García Casassus
vsgarcia@uc.cl
Índice
Economía de Intercambio 2
Economía con Producción 25
Juegos de Información Completa 32
Juegos de Información Incompleta 45
Este material está basado principalmente en los libros: Microeconomía, Vial y Zurita, Intermediate
Microeconomics, Varian, Hal., A Primer in Game Theory, Gibbons, R. y Microeconomic Theory,
Oxford.
Las palabras subrayadas corresponden a conceptos nuevos.
Más material en: https://drive.google.com/drive/folders/0Bx20jJIsUiAOU1RTUFg2QlU3V2M
mailto:vsgarcia@uc.cl
https://drive.google.com/drive/folders/0Bx20jJIsUiAOU1RTUFg2QlU3V2M
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Economía de Intercambio
- Una economía suele buscar poder llevar a un equilibrio, dado que este corresponde al estado
de mayor eficiencia posible, sin embargo, pueden existir distintos tipos de equilibrio dentro de
una vasta economía.
- Se conoce como equilibrio parcial al estado donde sólo uno de los mercados que componen la
economía se encuentra en equilibrio. Es decir, sólo hay un mercado donde el precio y la
cantidad transada corresponde a la intersección de las curvas de oferta y demanda.
- El óptimo de eficiencia sería que en todos los mercados hubiese equilibrio, en otras palabras,
que haya equilibrio general. No obstante, este estado no se suele encontrar frecuentemente en
la realidad.
- Dentro de las economías de intercambio hay distintos procesos, pero todas tienen en común las
siguiente:
1- Producción de bienes.
2- Transacción.
3- Consumo.
4- Muerte.
- Analizaremos una por una. Para ello tenemos que partir de los casos más básicos, una economía
donde sólo hay dos consumidores (1 y 2), dos bienes (x e y) y, por lo tanto, sólo dos mercados
(mercado donde se transa x y el mercado donde se transa y).
- Además, asumimos que cada agente tiene una producción/dotación fija. Dicha dotación inicial
es representada como (𝐱 �̅�, 𝐲�̅�) y a la dotación final, es decir, la canasta o cantidad de bienes que
se consume en un determinado periodo, como (𝐱𝐢, 𝐲𝐢).
- Finalmente, asumiremos que cada agente tiene una función de utilidad o preferencias dada e
invariable, la cual gira en torno a la dotación final del individuo. Ui (xi, yi) = xi + yi, por ejemplo.
- Dadas estas condiciones se deben cumplir los siguientes tres supuestos:
1- Ui (xi, yi) > 0. Las funciones de utilidades son estrictamente crecientes.
2- Ui (𝐱𝐢, 𝐲𝐢) es continua, nunca discreta.
3- Ui (xi, yi) es diferenciable en todos sus puntos.
- El tercer supuesto implica que no trabajaremos con funciones de utilidad para bienes
complementarios. Ui (xi, yi) = min(xi, yi) es una función que no es diferenciable en todos sus
puntos, no es estrictamente creciente y da paja hacer algo tan específico.
- El primer supuesto se rige bajo la noción de que consumir más siempre es mejor, pero si
aumento la cantidad del bien x que voy a consumir y bajo la cantidad del bien y ¿estoy mejor o
peor?
- Ciertamente hay canastas de bienes que entregan el mismo nivel de utilidad. Por ejemplo, si
U1(x1, y1) = x1 + y1, entonces las canastas (5, 5), (6, 4), (10, 0), (1, 9), etc. Entregan el mismo nivel
de utilidad, Ui (xi, yi) = 10.
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- Esto significa que, para un nivel de utilidad dado (�̅�) hay un conjunto de indiferencia (I) que
nos entrega un mismo nivel de utilidad. Matemáticamente, esto último se representa de la
siguiente manera:
IU̅,i = {(xi, yi) ϵ ℝ2+ tal que Ui (xi, yi) = U̅}
- Dado que las funciones de utilidad son estrictamente crecientes, no puede haber dos canastas
distintas con mismo �̅� y una dotación igual. Es decir, no puede ocurrir que:
U̅ = U(xA, yB) = U(xA, yC) con yB ≠ yC
- Por lo tanto, para cada xi sólo existe un yi tal que Ui (𝐱𝐢, 𝐲𝐢) = �̅�.
- Las curvas de indiferencia (CI) o “curvas de preferencia” se definen como el conjunto de puntos
en el espacio de canastas para los que un determinado nivel de utilidad (�̅�) se mantiene
constante.
- Es decir, para todos los puntos pertenecientes a una misma curva, el consumidor no tiene
preferencia por la combinación representada por uno sobre la combinación representada por
otro. Matemáticamente:
CIU̅,i
(xi) → Ui (xi, CIU̅,i
(xi)) = U̅
- Apliquémoslo en un ejemplo, si U1 = x1 + y1, entonces CIU̅,i
(xi) = y1 = U̅ – x1. Dado que es
estrictamente creciente y continua, la CI debe ser decreciente y continua. En un gráfico:
- La forma que tiene la curva de indiferencia dependerá de la forma de la función de utilidad.
1- U es estrictamente cuasi-cóncava, CI es convexa.
2- U es estrictamente cuasi-convexa, CI es cóncava.
3- U es lineal, CI es lineal.
- Las representaciones gráficas de las curvas de indiferencia son:
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- ¿Cómo verificamos la “forma” que tiene una curva de indiferencia? Por medio de la derivada
parcial de la función de utilidad. Veamos los pasos a seguir:
1- Calcular la tasa marginal de sustitución (TMS) de la función de utilidad:
TMSi = –
𝑑Ui
𝑑xi
𝑑Ui
𝑑 yi
= –
U′x
U′y
2- Evaluar si la TMS es creciente o decreciente, es decir:
𝑑TMSi
𝑑xi
=
𝑑TMSi(xi,CIU̅,i (xi))
𝑑xi
+
𝑑TMSi(xi,CIU̅,i (xi))
𝑑yi
* CI’(Xi)
3- Calcular la derivada con respecto a x:
𝑑TMSi
𝑑xi
<> 0
4- Calcular la derivada con respecto a y:
𝑑TMSi
𝑑yi
<> 0
- La forma de la función de utilidad y de la curva de indiferencia dependerán de si la TMS es
creciente o decreciente (si el paso 2 nos da algo positivo o negativo). Como somos buenos para
buscar atajos, aquí mostramos uno.
- Ya sabemos que la curva de indiferencia es decreciente (ya que la función de utilidad siempre
es creciente) podemos obtener tres posibles casos, los cuales dependen sólo del paso 3 y 4:
1- La derivada parcial es positiva, es decir:
Si
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢
𝒅𝐱𝐢
> 0 y
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢
𝒅𝐲𝐢
< 0, entonces la función de utilidad es estrictamente cuasi cóncava
y la curva de indiferencia es convexa.
2- La derivada parcial es negativa, es decir:
Si
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢
𝒅𝐱𝐢
< 0 y
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢
𝒅𝐲𝐢
> 0, entonces la función de utilidad es estrictamente cuasi convexa
y la curva de indiferencia es cóncava.
3- La derivada parcial es cero, es decir:
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Si
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢
𝒅𝐱𝐢
= 0 y
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢
𝒅𝐲𝐢
= 0, entonces la función de utilidad es lineal y la curva de indiferencia
es lineal.
- Como bien dijimos, la asignación, inicial o final, de un agente se podía representar como (xi̅, yi̅)
y (xi, yi), respectivamente. Pero esto es para ver las dotaciones de cada agente por separado, si
quisiésemos ver las dotaciones todas juntas usamos la notación A(x1̅, y1̅, x2̅̅̅, y2̅̅̅) para la dotación
inicial del agente 1 y agente 2. También se usa la notación A(x1, y1, x2, y2) para ver el consumo
final de cada agente.
- Se considera que una asignación (A) es factible sí y sólo sí:
𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 < 𝐱𝟏̅̅ ̅ + 𝐱𝟐̅̅ ̅ = �̅�
𝐲𝟏 + 𝐲𝟐 < 𝐲𝟏̅̅ ̅ + 𝐲𝟐̅̅ ̅ = �̅�
- Esto quiere decir que una asignación puede ser eficiente incluso si hay desperdicio.
- Esto quiere decir que la cantidad demandada por un bien debe ser igual a la cantidad ofrecida
del bien, no puede haber desperdicios. No puede haber desperdicios ya que de lo contrario
no se cumpliría el supuesto de “consumir más siempre es mejor”.
- Las asignaciones se pueden representar en una caja de Edgeworth. La caja de Edgeworth es un
instrumento gráfico utilizado para representar y analizar el intercambio de dos bienes entre dos
individuos. Se utiliza para mostrar la eficiencia enel intercambio.
- La caja de Edgeworth permite representar las canastas factibles de consumo y las preferencias
de dos consumidores, proporcionando una descripción completa de las características
económicamente relevantes de ambos. Veamos cómo se representa A(x1̅, y1̅, x2̅̅̅, y2̅̅̅) en una caja
de Edgeworth:
- ¿Cómo se interpreta? Las esquinas inferior izquierda y superior derecha son los “puntos de
vista” que tiene cada agente de su propia curva de indiferencia. Por ejemplo, supongamos que
hay dos agentes, Ana (A) y Elena (E), las dos tienen preferencias cuasi-cóncavas:
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- Como Elena es nuestro “agente 2” damos vuelta su gráfico:
- Y ahora los unimos para formar la caja de Edgeworth:
- Se conoce a la eficiencia de Pareto como el estado donde ninguno de los agentes puede estar
mejor sin que los demás estén peor. ¿Cómo se aplica a las economías de intercambio? Hay
asignaciones que “Pareto dominan” a otras.
- Extrayendo el concepto de Pareto, una asignación A Pareto domina a una asignación B si los
dos agentes están mejor en la asignación A. Si uno está mejor en la A mientras que el otro está
mejor en la B, entonces ninguna Pareto domina a la otra.
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- De manera más formal, dada una asignación A( x1
A, y1
A , x2
A, y2
A ) y una asignación
B(x1
B, y1
B, x2
B, y2
B), A Pareto domina a B si se cumplen estas dos condiciones:
U1(𝐱𝟏
𝐀, 𝐲𝟏
𝐀) > U1(𝐱𝟏
𝐁, 𝐲𝟏
𝐁)
U2(𝐱𝟐
𝐀, 𝐲𝟐
𝐀) > U2(𝐱𝟐
𝐁, 𝐲𝟐
𝐁)
- Se habla de dominancia estricta si al menos una de las condiciones es estricta, es decir, si una
de las dos ecuaciones tiene > en vez de >.
- Una asignación que no es Pareto dominada por ninguna otra se conoce como una asignación
Pareto eficiente. Por lo tanto, una asignación es Pareto eficiente si:
1- Es factible (demanda de bienes debe ser igual a la suma de dotaciones iniciales.
2- No hay otra asignación que la domine.
- Una asignación es “Pareto segura” si, para todas las funciones de utilidad posibles, un agente
no puede estar mejor y el otro no puede estar peor. Sólo existen dos puntos y son los orígenes
de la caja de Edgeworth, asignaciones de consumo: A(0, 0, x2̅̅̅, y2̅̅̅) y A(x1̅, y1̅, 0, 0).
- Antes mencionamos que hay casos donde una asignación no puede Pareto dominar a otra
porque los agentes están mejor en una, pero no en la otra. Estas dos asignaciones, en caso de
ser Pareto eficientes, serían parte del conjunto de Pareto, es decir, parte del conjunto de
asignaciones eficientes.
- ¿Cómo encontrarlas? Veamos el siguiente ejemplo:
- A medida que la curva de indiferencia de Ana se mueve hacia la derecha y hacia arriba, su
utilidad aumenta. En el caso de Elena, su utilidad aumenta mientras más cerca esté de O1.
Analicemos cada uno de los puntos:
1- Puntos G: Ana estaría mejor en el punto G que en el punto I ya que su curva de indiferencia
estaría en un mayor nivel. Elena también prefiere el punto G a los puntos I ya que también
tendría una mayor utilidad. Ergo, el punto G Pareto domina a los puntos I.
2- Puntos J: Para llegar a este punto las dos curvas de indiferencia tendrían que “bajar de nivel”
por lo que Ana y Elena estarían peor. Punto G sigue siendo el que domina.
3- Punto H: Se puede aplicar el mismo análisis que para el punto J.
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4- Punto K: Si Ana alcanza el punto K estaría mejor que en el punto G, pero Elena estaría peor.
Por lo tanto, el punto G no domina al K, pero el K tampoco domina al G.
5- Punto L: Si Elena alcanza el punto L estaría mejor que en el punto G, pero Ana estaría peor.
Por lo tanto, el punto G no domina al L, pero el L tampoco domina al G.
- Aplicando la lógica de los primeros tres puntos, se estará más cerca de la asignación Pareto
eficiente a medida que disminuya la distancia entre las curvas de indiferencia. ¿Cuál es el punto
donde la distancia es la menor? En la tangencia de las curvas.
- Si realizamos esto para todas las posibles curvas de indiferencia de cada agente llegaríamos a:
- El conjunto de Pareto es toda la línea negra dentro de la caja. En nuestros ejercicios del curso
no tenemos conjuntos de Pareto en forma de culebra, pero me dio paja buscar uno que fuese
recto. No obstante, perfectamente podemos encontrarnos conjuntos de Pareto cóncavos o
convexos. Para ello revisar ayudantía 2 del 2018-2.
- Ojo, como veremos más adelante, el método de encontrar el conjunto de Pareto por medio
de igualación de TMS’s sirve sólo si las funciones de utilidad de los dos agentes son cuasi-
cóncavas.
- Luego de igualar las tasas marginales de sustitución, se despeja y1d y el consumo final del agente
dos se deja en función del consumo del agente uno. Luego se traza el conjunto de Pareto en la
caja.
- Hay que tener en cuenta que los puntos del conjunto de Pareto deben ser interiores, es decir,
los bordes y las esquinas no cuentan bajo esta condición. Sin embargo, habíamos mencionado
que los extremos (los orígenes de la caja de Edgeworth) son eficientes siempre, por lo que
técnicamente también se consideran en el conjunto de Pareto.
- Veamos un ejemplo, sea Ui = xiyi + yi, ¿cuál es el conjunto Pareto eficiente?
1- Verificamos que las funciones de utilidad sean cuasi-cóncavas:
TMSi = –
𝑑Ui
𝑑xi
𝑑Ui
𝑑 yi
= –
U′x
U′y
= –
yi
xi + 1
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𝑑TMSi
𝑑xi
= –
𝑑
yi
xi + 1
𝑑xi
=
yi
(xi + 1)2
> 0
𝑑TMSi
𝑑yi
= –
𝑑
yi
xi + 1
𝑑yi
= –
1
xi + 1
< 0
La función de utilidad es cuasi-cóncava, por lo que podemos igualar TMS’s.
2- Igualamos las TMS’s:
y1
x1 + 1
=
y2
x2 + 1
3- Dejamos el consumo del agente 2 en función del consumo del agente 1. ¿Cómo se hace
esto? Sabemos que se debe cumplir que la demanda es igual a la oferta, es decir:
x1 + x2 = x̅
y1 + y2 = y̅
Dejamos el consumo del agente 2 en función del agente 1:
x2 = x̅ – x1
y2 = y̅ – y1
Reemplazamos:
y1
x1 + 1
=
y̅ – y1
x̅ – x1 + 1
4- Despejamos y1d:
y1(x̅ - x1 + 1) = (y̅ - y1)(x1 + 1)
y1 = x1
y̅
x̅ + 2
+
y̅
x̅ + 2
5- La graficamos en la caja de Edgeworth:
La mejor forma es preguntarse ¿qué valor toma y1 cuando x1 es 0? ¿Y cuándo x1 es �̅�?
Si x1 = 0 → y1 =
y̅
x̅ + 2
Si x1 = x̅ → y1 =
y̅(x̅ + 1)
x̅ + 2
~ y̅
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- Como se puede ver, la recta no va de extremo a extremo. A pesar de que se había dicho que el
conjunto de Pareto correspondía sólo a asignaciones interiores, en casos así, los bordes
ennegrecidos también son parte del conjunto de Pareto.
- Antes habíamos dicho que la igualación de TMS’s sólo se puede hacer si las funciones de utilidad
son cuasi-cóncavas, entonces ¿qué se hace en los otros casos?
- Veamos primero el caso en que las TMS’s son lineales. Sea Ui = αixi + βiyi, la tasa marginal de
sustitución de cada agente será:
TMSi = –
αi
βi
- Sólo habrá tangencia de TMS’s si:
TMS1 = –
α1
β1
= –
α2
β2
= TMS2
- En dicho caso, el conjunto de Pareto será toda la caja. ¿Por qué? Porque las curvas de
indiferencia son las mismas en todos los puntos. Supongamos que
αi
βi
= 1, la representación
gráfica sería:
- Haciéndolo esto para cada nivel de utilidad, para todas las curvas de indiferencia de los agentes
llegamos a:
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- En cambio, si las TMS’s son distintas, en particular si se cumple que TMS1 < TMS2, el conjunto
de Pareto es el borde derecho e inferior de la caja. Por ejemplo, TMS1 = -10 y TMS2 = -0,1:
- Como se puede ver, el punto G Pareto domina al F y el punto H domina al punto G. El único
punto eficiente sería el gráfico de la izquierda. Ahora, si hacemos esto para más pares de curvas
de indiferencia obtenemos el gráfico de la derecha:
- Por lo tanto, el conjunto de Pareto es el borde inferior y el derecho:
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- Análogamente, cuando TMS1 > TMS2, el conjunto de Pareto es el borde izquierdo y superior
de la caja:
-Ahora analizaremos el caso en que las dos funciones de utilidad son cuasi-convexas.
Recordemos que la curva de indiferencia de una función de utilidad cuasi-convexa se vería como
en el cuadro izquierdo. Por lo tanto, la tangencia de dos curvas de indiferencia convexas en la
caja de Edgeworth se vería como la caja de la derecha:
- Como se puede ver, el punto G Pareto domina al punto F ya que ambos agentes estarían mejor
en dicha asignación. Esta es la razón por la cual no podemos usar la tangencia de las tasas
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marginales de sustitución y la razón por la cual es tan importante determinar qué forma
tienen las funciones de utilidad antes de partir haciendo ejercicios.
- El conjunto eficiente se encontrará en los bordes donde se corten las curvas de indiferencia, por
lo tanto, hay dos posibles conjuntos de Pareto: El borde inferior más el derecho o el borde
superior más el izquierdo:
- Para determinar qué bordes son hay que pensar “para un mismo nivel de utilidad, ¿deberé
consumir más x o y en los extremos?” En el gráfico de la izquierda, se puede ver que el agente
1 (azul) consume menos x que y en los bordes.
- Por ejemplo, sea la función de utilidad Ui = 2x2 + y2. Para saber qué borde es conjunto de Pareto
usemos un nivel de utilidad dado, 50. ¿Cuánto hay que consumir de un solo bien? Comparemos:
Consumo sólo X Consumo sólo y
50 50
2(X)2 + (0)2 2(0)2 + (Y)2
2(5)2 + (0)2 2(0)2 + (√50)2
(5, 0) (0, √50)
- Gráficamente:
- Como se puede ver, hay que consumir menos de x, ergo, el borde inferior de la caja será parte
del conjunto de Pareto.
- Ahora, dado que sabes y podemos distinguir qué asignaciones son eficientes, ¿cuál se elige?
Dada las dotaciones iniciales, se puede transar en el mercado para así poder conseguir
aquellas canastas que maximicen la utilidad de cada agente. Dicha asignación es:
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E*[x1(Px
∗), y1(Py
∗), x2(Px
∗), y2(Py
∗)] = E*[x1
∗, y1
∗, x2
∗, y2
∗]
- ¿Cómo se encuentran los precios de equilibrio? Se debe cumplir:
x1(Px
∗, Py
∗) + x2(Px
∗, Py
∗) = x1̅ + x2̅̅̅ = x̅
y1(Px
∗, Py
∗) + y2(Px
∗, Py
∗) = y1̅ + y2̅̅̅ = y̅
- Asumimos que no somos tomadores de precio, es decir, dado que estamos en una economía
de sólo dos personas, nuestra decisión de comprar y vender afecta los precios. Por lo tanto, el
equilibrio es:
E*[x1
d, y1
d, x2
d, y2
d), (Px
∗, Py
∗)]
- Pero los agentes no pueden llegar y consumir como se les plazca, deben hacerlo en torno a su
dotación inicial, es decir, tienen una restricción de presupuesto o restricción presupuestaria
(𝐈i). Esta es tal que:
Ii = Px * x̅i + Py * y̅i
- El hecho de que un agente no puedo consumir por sobre su restricción presupuestaria significa
que:
Px * �̅�i + Py * �̅�i < Px * xi + Py * yi
- Cada agente maximiza su utilidad dada su demanda por bienes (x
1
d, y
1
d), restringido por su
presupuesto:
Máx Ui(xi
d, yi
d); Px * xi + Py * yi = Px * x̅i + Py * y̅i
- Además, como nuestras decisiones de consumo afectan el mercado, podemos decir que nuestro
consumo dependerá de la relación que haya entre los precios, para ello denotaremos P =
𝐏𝐱
𝐏𝐲
.
Esto deja el problema de maximización como:
Máx Ui(𝐱𝐢
𝐝, 𝐲𝐢
𝐝); s.a Pxi + yi = P�̅�i + �̅�i
- Veamos el siguiente ejemplo:
Roger y Juan son famosos jugadores de tenis, ambos naufragaron en una isla desierta y su
único pasatiempo es jugar al tenis. En la isla se pueden encontrar dos tipos de golpes, Saque
(x) y Volea (y). Las dotaciones son las siguiente: W1(x̅1,y̅1) = (30,10) y W2(x̅2,y̅2) = (10,25).
Encontrar la función de demanda de cada individuo y el precio relativo de equilibrio si las
funciones de utilidad son: Roger: U1(x, y) = 0,25logx1 + 0,75logy1. Juan: U2(x, y) 2x20,4y20,6.
- Primero, vemos la forma de las funciones de utilidad:
TMS1 = –
y1
3x1
TMS2 = –
2y2
3x2
TMS1y = –
1
3x1
TMS1x =
y1
3x12
TMS2y = –
2
3x2
TMS2x =
2y2
3x22
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- Dado que en ambos casos se tiene que TMSiy < 0 y TMSix > 0, se puede decir que las dos funciones
de utilidad son cuasi-cóncavas. A lo que viene que hay que resolver el siguiente sistema de
ecuaciones:
- Aplicando para el agente 1:
y1
3x1
= P
Px1 + y1 = 30P + 10
- Como recomendación, siempre dejar el lado de la dotación inicial intacta. Ahora, buscamos
y1d y x1d:
- Estas serán las demandas siempre y cuando:
y1d =
3(30P + 10)
4
> 0 x1d =
30P + 10
4P
> 0
P > -
1
3
P ϵ (-∞, -
1
3
) U (0, ∞)
- Como sólo nos importan los precios positivos:
P > 0 P > 0
- Es decir, las demandas siempre serán positivas.
Como la relación de precios siempre va a ser positiva entonces no hay problema, los problemas
parten si la relación de precios debe ser mayor que una constante positiva, pero eso lo
veremos en el siguiente ejercicio.
- Ahora debemos hacer el mismo procedimiento para el agente 2:
2y2
3x2
= P
Px2 + y2 = 10P + 25
- Ahora, buscamos y2d y x2d:
2y2
3
= Px2 y2=
3
2
Px2
2y2
3
+ y2 = 10P + 25 Px2 +
3
2
Px2 = 10P + 25
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16
y2d =
3(10P + 25)
5
x2d =
2(10P + 25)
5P
- Comprobamos que estas sean las demandas para todos los posibles precios:
y2d =
3(10P + 25)
5
> 0 x2d =
4P + 10
P
> 0
P > -2,5 P ϵ (-∞, -2,5) U (0, ∞)
- Las demandas siempre serán positivas.
- Ahora hay que encontrar el equilibrio en los dos mercados, esto se puede hacer de dos
maneras. La primera es encontrar el precio relativo de equilibrio en un mercado y luego
reemplazarlo en el otro para comprobar que se cumpla el equilibrio, o bien, buscar el
equilibrio en el segundo mercado y asegurarse de que el precio de equilibrio sea el mismo que
en el primero:
x1d + x2d = x̅ y1d + y2d = y̅
30P + 10
4P
+
16P + 40
4P
= 40
3(30P + 10)
4
+
3(10P + 25)
5
= 35
46P + 50 = 160P
45P + 15
2
+
12P + 30
2
= 35
P* =
25
57
P* =
25
57
- La segunda opción habría sido invocar la Ley de Walras. Esta ley nos dice que en una economía
con n mercados, si n - 1 de los mercados están en equilibrio, obligatoriamente el enésimo
mercado también lo estará. La demostración matemática es:
Px xid (P) + Py yid(P) = Px x̅i + Py y̅i
Px [x1d (P) + x2d (P)] + Py [y1d(P) + y2d(P)] = Px (x̅1 + x̅2) + Py (y̅1 + y̅2)
- Si hay (Px*, Py*), hay equilibrio en el mercado X, por lo tanto, hay equilibrio en el mercado Y, es
decir, si se cumple que:
Px [x1d (P) + x2d (P)] = Px (x̅1 + x̅2)
- Entonces:
Px [x1d (P) + x2d (P)] + Py [y1d(P) + y2d(P)] = Px (x̅1 + x̅2) + Py (y̅1 + y̅2)
Px (x̅1 + x̅2) + Py [y1d(P) + y2d(P)] = Px (x̅1 + x̅2) + Py (y̅1 + y̅2)
Py [y1d(P) + y2d(P)] = Py (y̅1 + y̅2)
- Hay que destacar una diferencia entre el método de análisis que se emplea para encontrar el
conjunto de Pareto y el equilibrio de mercado. Para ello supongamos que tenemos la siguiente
función de utilidad:
U1 = x1 + y1 + αx2 + βy2
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- Para el conjunto de Pareto podemos decir que x2 está en función de x1, es decir, x2 = x̅ –x1. En
otras palabras, x2 es una variable de decisión (lo que consume la otra persona depende de mí).
- Cuando se estudia el equilibrio a uno no le interesa lo que consuma el otro, mi demanda
dependerá sólo de mí y de nadie más. El hecho de que la combinación de demandas sea posible
es otro tema. Por lo tanto, en esta función de utilidad x2 funciona como una constante, no una
variable de decisión.
- Antes habíamos mencionado que las demandas no presentaban problemas siempre y cuando
los precios fuesen mayores que algo negativo, veamos qué pasa si no se cumple esto:
El Chino Ríos y Nicolás Massú son famosos jugadores de tenis, ambos naufragaron en una
isla desierta y su único pasatiempo es jugar al tenis. En la isla se pueden encontrar dos tipos
de golpes, Saque (x) y Volea (y). Las dotaciones son las siguiente: W1(x̅1,y̅1) = (30,10) y
W2(x̅2,y̅2) = (10,25). Encontrar la función de demanda de cada individuo y el precio relativo
de equilibrio si las funciones de utilidad son: Chino Ríos: U1(x, y) = x1 y1 + 15x1. Massú: U2(x,y)
x20,2y20,8.
- Repetimos los mismos pasos que antes:
TMS1 = –
y1 + 15
x1
TMS2 = –
y2
4x2
TMS1y = –
15
x1
TMS1x =
y1 + 15
x12
TMS2y = –
1
4x2
TMS2x =
y2
4x22
- Las funciones de utilidad son cuasi-cóncavas. Ahora resolvemos las demandas de cada agente a
partir del sistema de ecuaciones:
- Aplicando para el agente 1:
y1 + 15
x1
= P
Px1 + y1 = 30P + 10
- Ahora, buscamos y1d y x1d:
y1 + 15 = Px1 y1= Px1 – 15
y1 + 15 + y1 = 30P + 10 Px1 + Px1 – 15 = 30P + 10
y1d =
30P − 5
2
x1d =
30P + 25
2P
- Estas serán las demandas siempre y cuando:
y1d =
30P − 5
2
> 0 x1d =
30P + 25
2P
> 0
VGC
18
P >
1
6
P ϵ (-∞, -
5
6
) U (0, ∞)
- Esa será la demanda de y1 siempre y cuando el precio sea mayor que 1/6, ¿qué pasa si el precio
es menor que eso? El agente 1 no consumiría del bien y. Por lo tanto, tenemos una demanda
por tramos:
- ¿De dónde sale la demanda por tramos de x1? En caso de que el precio sea menor a 1/6,
demandaremos y1 = 0, esto quiere decir que ya no nos regimos por la tangencia entre la TMS
y la razón de precios, sino que sólo por la restricción presupuestaria, es decir:
Px1 + y1 = 30P + 10
- Dado que y1 = 0:
Px1 = 30P + 10
x1d =
30P + 10
P
- Recién ahora podemos hacer el cálculo para el agente 2:
y2
4
= Px2 y2= 4Px2
y2
4
+ y2 = 10P + 25 Px2 + 4Px2 = 10P + 25
y2d = 8P + 20 x2d =
2P + 5
P
- Comprobamos que estas sean las demandas para todos los posibles precios:
y2d = 8P + 20 > 0 x2d =
2P + 5
P
> 0
P > -2,5 P ϵ (-∞, -2,5) U (0, ∞)
- Ambas demandas siempre serán positivas.
- Ahora pasamos al equilibrio. A diferencia de antes, como nos enfrentamos a un caso donde hay
demandas por tramos, el equilibrio dependerá del precio relativo crítico:
- Si P > 1/6
y1d + y2d =
30P − 5
2
+ 8P + 20 = 35 → 23P = 17,5 → P* =
17,5
23
>
1
6
. Existe un equilibrio.
- Si P < 1/6
VGC
19
y1d + y2d = 8P + 20 = 35 → P* =
15
8
. Como el precio de equilibrio no cumple la condición, entonces
no hay un equilibrio con P <
1
6
.
- ¿Cómo se hace para las funciones de utilidad lineales? La canasta que se elija dependerá de la
relación que haya entre la TMS y la ratio de precios:
- A partir de estos gráficos, podemos construir las demandas por bienes, para ello hay que
recordar que la restricción presupuestaria es Pxi + yi = P�̅�i + �̅�i:
- Luego, habría que determinar el equilibrio en cada uno de los intervalos de precio. Por ejemplo,
supongamos que TMS1 = -1 y que TMS2 = -2, habría que revisar el equilibrio para:
P < 1
P = 1
1 < P < 2
2 = P
2 < P
- Para ver un ejemplo más concreto ir a ayudantía 4, ejercicio 1)b).
- Finalmente, tenemos el caso de las funciones de utilidad cuasi-convexas, como vimos antes,
con curvas de indiferencia cóncavas no se puede trabajar con la tangencia ya que se alcanzan
mayores niveles de utilidad si la curva de indiferencia se sigue desplazando.
- Para cuando tenemos la restricción presupuestaria sucede algo similar, veamos las canastas de
consumo para las distintas curvas de indiferencia:
VGC
20
- Es decir, puedo preferir consumir sólo X, sólo Y o tener la opción de elegir entre los dos, ojo,
elegir entre los dos, no elegir una combinación lineal.
- A diferencia de los casos anteriores, que veíamos la forma de la curva de indiferencia por medio
de las tasas marginales de sustitución, en este caso no se puede aplicar. Entonces, ¿cómo vemos
en cuál de los tres casos estamos? Reemplazando en la función de utilidad misma. Por ejemplo:
Supongamos que en una economía hay dos hermanos con funciones de utilidad muy
parecidas, estas son: U1 = 2x12 + y12, U2 = x22 + 2y22. ¿Cuáles son sus demandas si las
dotaciones de cada uno es Wi(x̅i,y̅i) = (20,10)?
- Hay que encontrar la ratio de precios crítica que hace que un agente prefiera entre consumir
sólo de un bien o sólo de otro. Para ello hay que verificarlo simplemente por medio de las
funciones de utilidad. Antes que nada, hay que verificar que la función de utilidad sea cuasi-
convexa, pero me da lata demostrar que lo son, por lo que asumiremos que hice la
demostración:
Consumo sólo X → U1(
Px̅1 + y̅1
P
, 0) Consumo sólo Y → U1(0, Px̅1 + y̅1)
U1(
Px̅1 + y̅1
P
, 0) = 2(
Px̅1 + y̅1
P
)2 + 02 U1(0, Px̅1 + y̅1) = 2*0
2 + (Px̅1 + y̅1)
2
U1= 2(
20P + 10
P
)2 U1 = (20P + 10)2
- ¿Con que relación de precios prefiero consumir sólo X?
2(
20P + 10
P
)2 > (20P + 10)2
2
P2
> 1
√2 > P
- Esto nos deja con que las demandas del agente 1 es:
VGC
21
- Haciendo lo mismo para el agente 2:
Consumo sólo X → U1(
Px̅1 + y̅1
P
, 0) Consumo sólo Y → U1(0, Px̅1 + y̅1)
U1(
Px̅1 + y̅1
P
, 0) = (
Px̅1 + y̅1
P
)2 + 2*02 U1(0, Px̅1 + y̅1) = 0
2 + 2(Px̅1 + y̅1)
2
U1= (
20P + 10
P
)2 U1 = 2(20P + 10)2
- ¿Con que relación de precios prefiero consumir sólo X?
(
20P + 10
P
)2 > 2(20P + 10)2
1
P2
> 2
√2
2
> P
- Esto nos deja con que las demandas del agente 2 es:
- Ahora hay que revisar los posibles equilibrios:
P <
√2
2
: y1d + y2d = 0. No hay demanda, pero la oferta es �̅� = 20. Por lo tanto, no hay equilibrio.
P =
√2
2
: x1d + x2d =
20P + 10
P
+
20P + 10
P
= 40 → P* = 0. O bien, x1d + x2d =
20P + 10
P
= 40 → P* = 0,5. En
ambos casos P* ≠
√2
2
. Por lo tanto, no hay equilibrio.
VGC
22
√2
2
< P < √2: x1d + x2d = x1d =
20P + 10
P
= 40 → P* = 0,5 ∉ (
√2
2
, √2). Por lo tanto, no hay equilibrio.
√2 = P: x1d + x2d = x1d =
20P + 10
P
= 40 → P* = 0,5 ≠ √2. Por lo tanto, no hay equilibrio.
√2 < P: x1d + x2d = 0. No hay demanda, pero la oferta es �̅� = 40. Por lo tanto, no hay equilibrio.
- Ahora bien, no es necesario que los dos agentes tengan funciones de utilidad iguales, puede haber
mezclas entre las que acabamos de ver. En ese caso, hay que tratarlas por separadas y luego
revisar los posibles equilibrios en los rangos dentro de las ratios de precio crítico.- El primer teorema fundamental del bienestar establece que cualquier situación de equilibrio
general walrasiano es Pareto eficiente con funciones de utilidad son crecientes. Formalmente, el
teorema puede ser propuesto de la siguiente manera: Si las preferencias locales se satisfacen
inicialmente y si la relación entre compras, bienes y precios (x*, y*, P) establece un equilibrio
competitivo, entonces (x*, y*) es una distribución óptima en el sentido de Pareto.
- Una asignación es de equilibrio si U1(xz, yz) < U1(xE,yE) y que U2(xw, yw) < U2(xE, yE). Esto se cumple ya
que no existe alguna asignación que deje a ambos agentes mejor que en la asignación E.
- Por otro lado, si consideramos que la asignación E es la de equilibrio, por definición es preferida por
sobre la asignación V ya que de lo contrario V sería la asignación de equilibrio.
- Supongamos que Ui = xiyi, y que la dotación inicial es (4, 6, 6, 4). El conjunto de Pareto es:
.
y1
x1
=
y2
x2
y1
x1
=
y̅ – y1
x̅ – x1
y1(x̅ - x1) = (y̅ - y1)x1
.
y1(x̅ - x1) + y1x1 = y̅ x1
y1 = x1
y̅
x̅
= x1
- Gráficamente:
https://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_general
https://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_general
https://es.wikipedia.org/wiki/Preferencia
VGC
23
- ¿Puede el equilibrio ser una asignación A(4, 4, 6, 6)? No, ya que la relación de precio sería igual
a infinito. El único equilibrio posible es E(5, 5, 5, 5) ya que es una asignación eficiente y es
consistente con la relación de precio igual a 1. El precio es igual a uno ya que P = TMS. Como
las TMS siempre están sobre la curva y = x, TMSi =
y1
x1
= 1.
- Este análisis se puede aplicar para todas las dotaciones posibles y de todas formas se llegará a
que el equilibrio está en E.
- El primer teorema fundamental del bienestar también implica que los posibles equilibrios sólo
se pueden encontrar en el conjunto de Pareto.
- El segundo teorema fundamental del bienestar nos dice que cualquier asignación eficiente
puede ser alcanzada por un equilibrio competitivo, dados los mecanismos de mercado que
conducen a la redistribución.
- Si la función de utilidad es creciente, cuasi-cóncava y continua, entonces si una asignación
eficiente A es interior, existen transferencias que hacen que A sea una asignación de equilibrio.
- Es importante recordar que el criterio de Pareto no nos permite ordenar las distintas
asignaciones que pertenecen al conjunto de Pareto: todas ellas son eficientes, pero no podemos
decir si unas son más o menos preferidas por la sociedad.
- Si la sociedad tiene una asignación preferida, es difícil argumentar que dicha asignación no
pertenecerá al conjunto de Pareto: sería posible aumentar la utilidad de al menos uno de los
agentes sin disminuir la utilidad del otro.
- Supongamos que tenemos una dotación inicial D y una asignación preferida A que puede ser
alcanzada como asignación de equilibrio en una economía competitiva:
VGC
24
- Haciendo una redistribución de riqueza (D → D’) que puede hacer una autoridad (el Estado, por
ejemplo), se puede alcanzar la asignación de equilibrio A (que es la preferida) en vez de la
asignación B, que habría sido la asignación de equilibrio sin la redistribución de riqueza.
- Este teorema es importante porque permite una separación de las cuestiones de eficiencia y
distribución. Aquellos que apoyan la intervención gubernamental pedirán por tanto políticas de
redistribución de la riqueza.
VGC
25
Economía con Producción
- Antes veíamos equilibrio general con intercambio donde a cada agente se le otorgaba una
dotación inicial con la cual podían transar y que una autoridad puede redistribuir. Si embargo,
en la vida real las dotaciones son un output, es decir, son el fruto de una producción.
- Parecido a la materia vista antes, habrá una dotación inicial, pero de inputs (factores de
prodición), que para nuestro ejercicio serán una dotación inicial de trabajo (L) y capital (K).
Ambos agentes dedican distintas cantidades de sus factores de producción para producir del
bien x o del bien y.
- La cantidad de bienes que va a producir cada gente y cuánto va a consumir para uno se
determinará al final en el equilibrio. Para ello, asumiremos la asignación de consumo a partir
de los inputs que se dedican a cada bien y el consumo que tiene cada agente, de forma genérica:
A(L1X, K1X, L1Y, K1Y, L2X, K2X, L2Y, K2Y, x1, y1, x2, y2)
- La función de producción de la economía también se puede escribir de manera generalizada:
F*(L1X + L2X, K1X + K2X) = x
F*(L1Y + L2Y, K1Y + K2Y) = y
- Una asignación será factible sí y sólo sí:
L1X + L1Y < �̅�1 L2X + L2Y < �̅�2
K1X + K1Y < �̅�1 K2X + K2Y < �̅�2
𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 < F
x(Lx, Kx) 𝐲𝟏 + 𝐲𝟐 < F
y(Ly, Ky)
- Es decir, si no se usan más factores de producción que los otorgados inicialmente y que lo
demandado no sea mayor que lo producido/ofrecido.
- Una asignación será eficiente sí y sólo sí es factible y si no hay alguna otra asignación factible
que la Pareto domine, es decir, los mismos requerimientos que en la primera parte del curso.
- ¿Por qué no puede haber desperdicio en los factores de producción para que la asignación sea
eficiente? Esto se debe a que, si no se usan todos los recursos, entonces no se obtendrá el
máximo nivel de producción posible o, al menos, no se produce todo lo que se puede producir,
esto implicar que no se consumiría todo lo que se puede consumir. Ergo, hay alguna otra
asignación que entre una mayor utilidad que la dada, es decir, otra asignación que la domine.
- Al igual que antes, deberemos establecer ciertos supuestos, todas las funciones de producción
y la función de utilidad son crecientes con respecto a sus inputs.
- Veamos el siguiente ejemplo. Para ser originales, digamos que las dotaciones iniciales de cada
input es 10. Una asignación eficiente podría ser:
- ¿Qué otra asignación sería eficiente? Dado que no conocemos las funciones de utilidad, no
podemos decir que una asignación es eficiente sólo por el consumir más de un bien y menos de
VGC
26
otro. Lo que hay que hacer es modificar los inputs de modo que no se modifiquen los outputs.
Por ejemplo:
E’(6, 5, 4, 5, 4, 5, 6, 5, x1, y1, x2, y2)
- ¿A qué se debe esto? Inicialmente teníamos en la asignación E:
L1X + L1Y = 5 + 5 < L̅1 = 10 L2X + L2Y = 5 + 5 < L̅2 = 10
K1X + K1Y = 5 + 5 < K̅1 = 10 K2X + K2Y = 5 + 5 < K̅2 = 10
x1 + x2 < F
x(5 + 5, 5 + 5) y1 + y2 < F
y(5 + 5, 5 + 5)
- Luego, en la asignación E’ tenemos:
L1X + L1Y = 6 + 4 < L̅1 = 10 L2X + L2Y = 4 + 6 < L̅2 = 10
K1X + K1Y = 5 + 5 < K̅1 = 10 K2X + K2Y = 5 + 5 < K̅2 = 10
x1 + x2 < F
x(6 + 4, 5 + 5) y1 + y2 < F
y(4 + 6, 5 + 5)
- Como se puede ver, se mantienen los inputs agregados de las funciones de producción (10),
pero se modifica el aporte individual que realiza cada agente en dicho input.
- ¿Cómo verificamos la “forma” que tiene una función de producción? Al igual que antes:
1- Calcular la tasa marginal de sustitución técnica (TMST) de la función de producción:
TMSTx = –
𝑑Fx
𝑑Lx
𝑑Fx
𝑑 Kx
= –
F′L
F′K
- Es como si L fuese el x y K fuese y.
- Supondremos que las funciones de producción son positivas, pero decrecientes, es decir:
2- Calcular la derivada con respecto al trabajo:
𝑑TMSTx
𝑑Lx
> 0
3- Calcular la derivada con respecto al capital:
𝑑TMSTx
𝑑Kx
< 0
- Dada la caja de Edgeworth, podemos resumir una dotación como:
A(LX, KX, LY, KY, x1, y1, x2, y2)
- Gráficamente:
VGC
27
- También podemos hacer una caja para el caso de la producción,para ello debemos encontrar
la TMST de cada bien e igualarlos:
VGC
28
- Si hacemos esto para cada nivel de TSMT obtendríamos algo así:
- Lo que para la caja de Edgeworth en consumo conocíamos como el contrato/conjunto de
Pareto, para la caja de producción se conoce como la frontera de posibilidades de producción
(FPP).
- Las esquinas no necesariamente son eficientes a diferencia de la caja de Edgeworth ya que en
(�̅�, �̅�, 0, 0) sólo produzco del bien y. Si Ui = xiyi entonces la utilidad sería igual a cero. Por lo
tanto, se debe cumplir una tercera condición:
𝐝𝐅𝐱
𝐝𝐋𝐱
𝐝𝐔𝐢
𝐝𝐱𝐢
=
𝐝𝐅𝐲
𝐝𝐋𝐲
𝐝𝐔𝐢
𝐝𝐲𝐢
- Un tipo de utilidad ajustada por producción. Si se diese que esta ecuación en verdad es una
inecuación, sea el caso de:
𝑑𝐹𝑥
𝑑Lx
𝑑Ui
𝑑xi
>
𝑑𝐹𝑦
𝑑Ly
𝑑Ui
𝑑yi
VGC
29
- Esto querría decir que se está consumiendo poco x, lo que nos llevaría a consumir más de este
bien. Mientras mayor sea el consumo de x, menor será la utilidad marginal que esta entrega.
UMgX se achica hasta alcanzar la igualdad.
- Otra forma de escribirlo sería:
𝒅𝐔𝐌𝐠𝐗
𝒅𝐔𝐌𝐠𝐘
= TMS1 = TMTL
- Donde:
TMTL = -
𝒅𝑭𝒚
𝒅𝐋𝐲
𝒅𝑭𝒙
𝒅𝐋𝐱
= -
𝑭′𝑳𝒚
𝑭′𝑳𝒙
- Dadas las primeras dos condiciones también tenemos:
TMTL = TMS1 = TMTK
- Esto se debe a que se cumpliría que TMSTL = TMSTK.
- Veamos el siguiente ejemplo: Ui = √𝑥𝑖𝑦𝑖, F
x = Lx β Kx 1-β, F y = Ly β Ky 1-β con β ϵ (0, 1). ¿Cuál asignación
sería eficiente de modo que se cumpla que U2 = �̅�2?
- Tenemos que TMSi = -
𝑦𝑖
𝑥𝑖
, es estrictamente cuasicóncava así que todo bien. Luego las TMST:
TMSTx = -
𝑑Fx
𝑑Lx
𝑑Fx
𝑑 Kx
= -
𝛽 𝐾𝑥
(1−𝛽)𝐿𝑥
TMSTy = -
𝑑Fy
𝑑Ly
𝑑Fy
𝑑 Ky
= -
𝛽 𝐾𝑦
(1−𝛽)𝐿𝑦
- Es estrictamente cuasicóncava así que todo sigue bien. Ahora, hay que revisar TMS1 = TMS2,
TMSTx = TMSTy, TMS1 = TMTL. Eficiencia de consumo, eficiencia en producción y eficiencia mixta,
respectivamente. Estos pasos siempre se deben hacer:
1- TMS1 = TMS2 → -
𝑦1
𝑥1
= -
𝑦2
𝑥2
→ y1 =
�̅�
�̅�
x1
2- TMSTx = TMSTy → -
𝛽 𝐾𝑥
(1−𝛽)𝐿𝑥
= -
𝛽 𝐾𝑦
(1−𝛽)𝐿𝑦
→
𝐾𝑥
𝐿𝑥
=
𝐾𝑦
𝐿𝑦
→
𝐾𝑥
𝐿𝑥
=
𝐾 − 𝐾𝑥
�̅� − 𝐿𝑥
→ Kx =
𝐾
�̅�
Lx
3- TMS1 = TMSL → -
𝑦1
𝑥1
= -
𝐹′𝐿𝑦
𝐹′𝐿𝑥
→
𝑦1
𝑥1
=
β(
𝐾𝑦
𝐿𝑦
)1−𝛽
β(
𝐾𝑥
𝐿𝑥
)1−𝛽
= (
𝐾𝑦
𝐿𝑦
𝐿𝑥
𝐾𝑥
)1−𝛽 = 11-β → y1 = x1
- Siempre hay que tratar de meter el resultado de una ecuación dentro de otra. Dado que x1 =
y1, x2 = y2, se debe cumplir que Fx = Fy. Es decir:
Lx β Kx 1-β = Ly β Ky 1-β
- Reemplazando Kx =
𝐾
�̅�
Lx, → Ky =
𝐾
�̅�
Ly, llegamos a la conclusión de que Lx = Ly y que Kx = Ky. Por
tanto:
VGC
30
Lx = Ly =
�̅�
2
Kx = Ky =
𝐾
2
- Aplicando esto en la función de utilidad llegamos a que U2 = √𝑥2𝑦2 = √𝑥2𝑥2 = x2 = y2 = �̅�2
- Dado que x1 + x2 = Fx:
x1 = Fx – x2 = Lx β Kx 1-β – x2 = Lx β Kx 1-β – �̅�2 = (
�̅�
2
)
𝛽
(
�̅�
2
)
1−𝛽
– �̅�2 = y1
- Las empresas suelen buscar maximizar sus ganancias, supongamos que ahora nuestra
economía tiene dos empresas, x e y, que (sorprendentemente) producen los bienes x e y,
respectivamente. Los mismos agentes son dueños de las empresas, cada uno posee un
porcentaje αi,x de la empresa x y un porcentaje αi,y de la empresa y.
- Supondremos que la empresa vende todo lo que produce, no mantiene inventario. Por lo tanto,
se cumple que el beneficio de la empresa x es:
πx = Px Fx (Lx, Kx) – wLLx – wKKx = Px XS – wLLx – wKKx
- A partir de ello obtenemos las CPO:
[Lx]: Px FxL (Lx, Kx) – wL = 0
[Kx]: Px FxK (Lx, Kx) – wK = 0
- De aquí saldrán las demandas por bienes. Dado lo anterior se debe cumplir que:
TMSTx = -
𝑑Fx
𝑑Lx
𝑑Fx
𝑑 Kx
= -
PxwL
PxwK
= -
wL
wK
TMSTy = -
𝑑Fy
𝑑Ly
𝑑Fy
𝑑 Ky
= -
PywL
PywK
= -
wL
wK
- Por lo tanto:
TMSTx = -
𝐰𝐋
𝐰𝐊
= TMSTy
- Desde el punto de vista del agente tenemos él busca maximizar su propia utilidad, sin embargo,
la restricción presupuestaria no es la misma que antes, ahora hay que considerar (por la parte
de los ingresos del agente) lo que le entra por arrendar los factores de producción y las
ganancias que obtiene por la empresa, considerando su participación en ella. Es decir,
maximiza:
Ui(xi, yi) s.a. Px xi + Py yi < wL �̅�i + wK �̅�i + αi,x πx + αi,y πy
- Al resolver TMSi = -P y reemplazar en la RP obtenemos xid e yid.
- Lo único que nos falta es la oferta de factores productivos, la que es:
LiS = �̅�i
KiS = 𝐾i
- El equilibrio se obtendrá por medio de:
E[(L1x, K1x, L1y, K1y, L2x, K2x, L2y, K2y, x1, y1, x2, y2)*,(wL, wK, P)*]
VGC
31
- Donde los asteriscos implican que corresponden a los óptimos, es decir, las demandas óptimas.
- Aquí aprovecho de dejar las ecuaciones más importantes:
�̅� = Lx + Ly = (L1x + L2x) + (L1y + L2y) = �̅�1 + �̅�2
�̅� = Kx + Ky = (K1x + K2x) + (K1y + K2y) = �̅�1 + �̅�2
�̅�i = Lxi + Lyi
�̅�i = Kxi + Kyi
x1 + x2 = XD = XS = Fx
y1 + y2 = YD = YS = Fy
TMS1 = TMS2 → Eficiencia de Consumo
TMSTx = TMSTy → Eficiente en Producción
TMS1 = TMTL → Eficiencia Mixta
VGC
32
Juegos de Información Completa
- A los juegos o a las loterías se les conoce como prospects. Es una situación en la que unos
jugadores toman decisiones estratégicas. Estas decisiones estratégicas generan pagos a los
jugadores, los resultados pueden generan beneficios o pérdidas.
- Cada jugador tiene un espacio de acción o conjunto de estrategias (Si) disponibles. Todos los
juegos poseen tres elementos básicos: jugadores, estrategias y pagos.
- El objetivo de la Teoría de Juegos es determinar la estrategia óptima (Δi) para cada jugador.
- Una estrategia es una regla o un plan de acción para enfrentar un juego, la estrategia óptima
para un jugador es aquella que maximiza el pago esperado. Se asume que los jugadores son
racionales.
- Un juego se representa por medio de una matriz de pagos donde las acciones del primer
jugador están presentadas en la primera columna y las acciones del segundo en la primera
fila. Se conoce como estrategia pura cuando la probabilidad de un jugador de elegir una
determinada acción es 1. Nosotros trabajaremos sólo con este tipo de estrategia.
- Veamos el siguiente ejemplo:
Cuando salió la Wii, Nintendo monopolizó el mercado de las consolas con sensores de
movimiento ya que era la única que lo tenía. Sony, al ver que los ingresos de Nintendo
aumentaban en gran cantidad, tuvo que evaluar si desarrollar o no desarrollar un sensor de
movimiento para el PS3. Ante esta situación, Nintendo se vio obligada a determinar si fijar
los precios (no todos podrían acceder al Wii) o saturar el mercado (venderlo barato para que
todos tenga la Wii y nadie quiera el PS3), para esto habría que tener un nivel de producción
bajo o alto, respectivamente.
- La siguiente matriz de pagos describe la situación estratégica en la que se encontraban Nintendo
y Sony.
Sony/Nintendo Producción Baja Producción Alta
Desarrollar 3, 3 1, 5
No Desarrollar 0, 10 0, 8
- Los valores en cada celda hacen referencia a la “magnitud del beneficio” que percibiría cada
empresa, la empresa buscará elegir aquella opción que le dé mayor beneficio dada la elección
de la competencia.
- Esta es la representación de un juego simultáneo, es decir, ambos eligen al mismo tiempo y
sin saber qué es lo que va a hacer el otro jugador. Lo único que se sabe es el beneficio que le
traería a cada uno cada estado.
- A partir de la información que nos entrega el beneficio de cada jugador en cada estado nos
permitirá encontrar la estrategia que maximiza la utilidad esperada de un jugador en función
de lo que cree que su oponente hará.
VGC
33
- Desde el punto devista de Nintendo: Comenzará haciendo una conjetura sobre lo que Sony va
a hacer, dada esa conjetura, Nintendo jugará su mejor jugada posible. Por ejemplo, si espero
que Sony decida desarrollar entonces lo mejor que puede hacer es tener una producción alta.
- Desde el punto de vista de Sony: Comenzará haciendo una conjetura sobre lo que Nintendo va
a hacer, luego jugará su mejor jugada posible. Si espera que Nintendo tenga una producción alta
entonces lo mejor que puede hacer es desarrollar. Supongamos que la conjetura de Nintendo
es correcta y que elige la mejor jugada, en este caso no tiene sentido que Nintendo cambie lo
que está haciendo, dado que está haciendo lo mejor que puede para responder a Sony.
- De igual manera, si la conjetura de Sony es correcta, elige la mejor respuesta, no tiene sentido
que Sony cambie de acción.
- Sólo cuando un agente realiza una conjetura equivocada entonces tendrá que cambiar de
acción.
- Si no hay que hacer un cambio de acción entonces los agentes se encuentran en un equilibrio
de Nash. Este equilibrio se cumple cuando:
1- Cada jugador elige la mejor respuesta a sus conjeturas.
2- Las conjeturas de todos los jugadores son correctas.
- Una estrategia dominante es aquella que siempre se elegirá independiente de lo que elija el
otro jugador. Como se ve en el gráfico de más abajo, Sony tiene estrategia dominante y
Nintendo no.
- Un equilibrio de Nash puede definirse como una situación en la que ningún agente puede
ganar por desviarse unilateralmente, es decir, si el otro agente no cambia su acción.
- O bien, más formalmente, un equilibrio de Nash es un perfil de estrategias con la propiedad de
que ningún jugador quiere cambiar unilateralmente su decisión, esto es, un par de estrategias
(posiblemente mixtas) (a*, b*) tal que:
U1 (a*, b*) > U1 (a’, b*)
U2 (a*, b*) > U2 (a*, b’)
- O, equivalentemente:
a* ∈ argmáx U1 (a, b*)
b* ∈ argmáx U1 (a*, b)
- A continuación, se presenta la matriz de pagos a partir de las conjeturas hechas por cada
empresa y el equilibrio de Nash.
VGC
34
- “Si Sony elige desarrollar (D), yo elegiré producir en alta capacidad (A), y si no (N) elijo baja
capacidad”.
- “Si Nintendo elige producir a alta capacidad (A) voy a desarrollar (D) y si no (B), de igual manera
voy a desarrollar (D).”
- Sin embargo, puede haber juegos donde no existe un equilibrio de Nash, pongamos el ejemplo
del “cachipún”. Como todos los eventos tienen igual probabilidad de suceso, no va a haber un
único posible resultado ya que, en caso de perder, habrá un incentivo a desviarse
unilateralmente para así “ganar”.
- Una estrategia dominada es aquella que en todos los casos es peor que otra(s). En el juego
discreto es fácil darse cuenta, si hay una estrategia dominante entonces habrá una estrategia
dominada. Esto es verdadero para un juego discreto de 2x2. ¿Qué ocurre si hay más variables
de decisión?
J1/J2 L M R
T 1, 0 1, 2 0, 1
B 0, 3 0, 1 2, 0
- Como podemos ver, no hay estrategia dominante. ¿Hay alguna estrategia dominada? Sí, el
jugador dos nunca elegirá optar por R, por lo que uno puede reducir el cuadro de estrategias
a:
J1/J2 L M
T 1, 0 1, 2
B 0, 3 0, 1
- Ahora, ¿hay estrategias dominantes? Sí, sabemos que el jugador uno siempre elegirá optar
por T, es decir, la estrategia B es una estrategia dominada. Por lo tanto, se puede eliminar de
nuestra matriz de pagos:
J1/J2 L M
T 1, 0 1, 2
- ¿Sigue habiendo una estrategia dominante? Ahora el jugador dos tiene una estrategia
dominante y una dominada, por lo que se puede volver a reducir la matriz:
J1/J2 M
T 1, 2
- Aquí se llega al equilibrio por eliminación sucesiva de estrategias dominadas (EESEED), el cual
es (T, M).
- Las estrategias no siempre son elegir uno u otro, sino que se puede elegir “entre medio”, es
decir, existen las estrategias continuas. ¿Cómo se ven las estrategias dominantes y dominadas
para este caso?
VGC
35
- Si S1 ϵ [0, 1] y S2 ϵ [0, 1], el beneficio está dado por las decisiones (Δi) de cada agente Fi(Δ1, Δ2) =
–(Δ1 + Δ2)2. Por condición de primer orden tenemos que cada uno va a elegir de modo que Δ1 =
Δ2. ¿Hay alguna estrategia dominante? No. Si Δ1 = 0, Δ2 = 0, si Δ1 = 1, Δ2 = 1. Como se puede ver,
tampoco hay estrategia dominada.
- ¿Qué pasa si hay un único cambio, S2 ϵ [0, 2]? Sigue sin haber una estrategia dominante, pero
el jugador dos tiene estrategias dominadas, nunca elegirá Δ2 ϵ ]1, 2], por lo que todas esas
estrategias son dominadas.
- El equilibrio también puede encontrarse utilizando las funciones de reacción (Ri(Δk)], es decir,
la mejor respuesta a partir de lo que decidió hacer el otro jugador.
- En otras palabras, es la acción que maximiza el pago del jugador, dada la acción del otro jugador.
El equilibrio será el lugar donde se cruzan las funciones de reacción.
- Los elementos necesarios para poder determinar el resultado del juego son:
1- Jugadores.
2- Acciones.
3- Pagos (beneficios).
4- Secuencia del juego (¿Quién elige primero? ¿Eligen al mismo tiempo?)
5- Estructura de la información: ¿Qué información poseen los jugadores al momento de tomar
acción?
- Un juego secuencial es aquel donde un jugador elige antes que otro, las estrategias pueden ser
discretas o continuas, veamos el primer caso.
Una pareja está decidiendo qué harán el sábado en la noche, él tiene muchas ganas de ir a ver la
pelea del siglo entre Floyd “Money” Mayweather contra Manny Pacquiao. A ella no le gusta
mucho la idea y le propone ir a la ópera a ver “El cisne negro”. Supongamos que ella elige primero,
¿cómo se puede representar el juego si es que hacemos una elección secuencial? Supongamos
que si toman decisiones opuestas cada uno recibe cero, pero si eligen boxeo, él recibe 2 y ella 1.
Lo opuesto pasa con la ópera.
- El juego secuencial se representaría como:
VGC
36
- Como se puede ver, en este caso hay tres subjuegos, uno por cada cuadrado que hay.
- Por lo tanto, ¿cuáles son las variables de decisión? Ella puede elegir entre boxeo u ópera, pero
él debe elegir entre boxeo y ópera dado que ella elige boxeo, o debe elegir entre boxeo u
ópera dado que ella eligió ópera, es decir:
S1 (B, O) S2 (bb, bo, ob, oo)
- Las decisiones de la persona dos puede ser un poco difícil de entender. El caso de S2(bb) nos
quiere decir que si S1 = B, S2 = b. Si S1 = O, S2 = b. Para el caso de S2(bo) tenemos que si S1 = B,
S2 = b, si S1 = O, S2 = o. Para el caso de S2(ob) tenemos que si S1 = B, S2 = o, si S1 = O, S2 = b.
- Esto se puede resumir en la matriz de pago como:
J1/J2
bb bo ob oo
B
(1, 2) (1, 2) (0, 0) (0, 0)
>
O
(0, 0) (2, 1) (0, 0) (2, 1)
- Entonces, ¿Cuáles son los equilibrios de Nash? Con esta matriz de pagos hay 3 equilibrios de
Nash de estrategias puras (B, bb), (O, bo) y (O, oo). Para encontrar el equilibrio hay que intentar
resolverlo como si fuese un juego simultáneo. Veamos cada caso particular:
1- (B, bb): Si ella anticipara que él irá al boxeo independientemente del lugar que ella le
indique, ella preferiría también ir al boxeo. A su vez, si ella va al boxeo, él prefiere también
ir al boxeo, de esta forma los dos obtienen algo de beneficio.
2- (O, bo): Si ella anticipara que él iría adonde ella le diga, entonces la decisión depende sólo
de ella, por lo que prefiere la ópera.
3- (O, oo): Si ella anticipara que él iría a la ópera independientemente de lo que ella le diga,
entonces ella preferiría ir a la ópera. A su vez, si ella va a la ópera, él prefiere también ir a la
ópera.
- ¿Son los equilibrios razonables? No. Veamos el primer caso, digamos que ella no cree en la
promesa de (bb) ya que, en caso de que ella elija ópera, él puede elegir entre beneficiarse (elegir
ópera) o no tener ningún beneficio (boxeo). Como quiere tener cierto beneficio elegiría ópera,
por lo que su promesa de siempre elegirboxeo se podría considerar como una promesa que no
vale mucho (suponiendo que él es un ente racional). La amenaza no es creíble.
- Lo mismo ocurre si él es un sumiso y dice que sí o sí irá a la ópera, ¿qué ocurriría si ella decide
ir al boxeo? Su promesa también sería poco creíble ya que, si él opta por ir a la ópera, ninguno
se beneficiará. Por lo tanto, la promesa es poco creíble.
- Esto nos deja con la estrategia (O, bo), donde él va a donde ella vaya ya que de esta forma sí o
sí los dos se verán beneficiados. Esta elección corresponde a un equilibrio perfecto en subjuegos
(EPSJ). Es decir, es un perfil de estrategias con la propiedad de que ningún jugador quiere
cambiar unilateralmente su estrategia, y en que cada parte de cada estrategia es una mejor
respuesta en su respectivo nodo.
- Para juegos simultáneos, el equilibrio perfecto equivale al equilibrio de Nash, en subjuegos es
lo mismo que el equilibrio encontrado por inducción hacia atrás. ¿En qué consiste esto último?
- Empezamos viendo al último jugador (él), y vemos cuál es su mejor respuesta para cada posible
caso, estos son: boxeo si ella dice boxeo, y ópera si no.
VGC
37
- Para ello hay que resolver cada subjuego de manera individual, de abajo hacia arriba. En el
subjuego azul podemos ver que él elegiría Boxeo ya que le entregar mayor utilidad que la
Ópera(2 vs 0). En el subjuego rojo, sin embargo, él elige la Ópera (1 vs 0). Finalmente, en el
subjuego morado, ella ya sabe qué elegirá él en cada caso, dado lo anterior, ella elige la Ópera
(2 vs 1). Gráficamente:
- En este caso el EPSJ es (O, bo). El resultado es que los dos van a la Ópera. El equilibrio se
refiere al conjunto de estrategias mientras que el resultado es el conjunto de acciones finales.
- Cabe resaltar que en el caso de juego simultáneo también hay una representación extensiva.
Para ello, “conectamos” con una línea punteada todos los nodos en los cuales el jugador
considera posible encontrarse, por ejemplo:
- Así, en la primera versión del juego, en que él no sabe qué decisión tomará ella, los dos nodos
en que él debe escoger le parecen uno solo: es el mismo conjunto de información. En todos
los nodos dentro de un conjunto de información, el jugador sabe lo mismo y tiene las mismas
acciones disponibles. El jugador sabe en qué conjunto de información se encuentra, pero no
en qué nodo particular.
VGC
38
- En resumen, si hay una línea u óvalo segmentado que envuelve los nodos de decisión, es que
estamos frente a un juego simultáneo.
- A diferencia de antes, los conjuntos de decisiones ahora son:
S1 (B, O) S2(b, o)
- Esto se debe a que la decisión del jugador dos ya no está ligado a lo que elegirá la jugadora 1.
El jugador dos elegirá boxeo o la ópera, ya no tendrá que tomar una decisión a partir de lo que
decidió la jugadora 1 (bb, ob, bo, oo).
- Las funciones de reacción no necesariamente deben ser discretas, también pueden ser
continuas, un ejemplo de un ejercicio sencillo sería:
Tony y Stark (i = 1, 2) están trabajando en un proyecto de investigación para desarrollar un traje
exoesquelético militar, cada uno debe decidir cuantas horas a la semana dedicar al proyecto (xi).
La cantidad de la investigación depende del número de horas totales dedicadas al proyecto. Si la
utilidad neta de cada jugador es Fi(x1, x2) = x1 + x2 + x1x2 – xi2. ¿Cuál es el equilibrio de Nash?
- Cada jugador buscará poder maximizar su utilidad por medio de su función de reacción. Para
ello usaremos la condición de primer orden:
[x1] = 1 + x2 – 2x1 = 0
[x2] = 1 + x1 – 2x2 = 0
- Despejando llegamos a que:
x1R (x2) = 0,5 + 0,5x2
x2R (x1) = 0,5 + 0,5x1
- Resolvemos el equilibrio al reemplazar una en otra:
x1 = 0,5 + 0,5(0,5 + 0,5x1) = 0,5 + 0,25 + 0,25x1
x1 = 1 = x2
- Notemos que, en este ejemplo, la situación de los dos jugadores es simétrica porque tienen
las mismas funciones de utilidad y costo. En este caso podemos anticipar que habrá un
equilibrio de Nash simétrico (ENS), es decir, un equilibrio en el que los dos jugadores eligen el
mismo nivel para su acción: x1* = x2*.
- Ahora haremos un cambio de enfoque. Antes suponíamos que todos los jugadores contaban
con la misma información al momento de jugar. Ahora incorporaremos la posibilidad de que
exista información asimétrica: la posibilidad de que uno o más jugadores desconozca
información relevante acerca del juego que sí es conocida por otro jugador.
- La asimetría en la información se puede deber a la incapacidad de uno o más jugadores de
observar la acción que otro jugador llevó a cabo en alguna etapa anterior del juego. En ese
caso, decimos que existe un problema de información imperfecta o riesgo moral.
- Otra forma de información asimétrica es la que surge por la incapacidad de uno o más
jugadores de observar características importantes de sus oponentes. Ese es el caso de un
problema de información incompleta o selección adversa, el que será abordado más adelante.
- En presencia de riesgo moral no es claro cuál será la productividad marginal del trabajador,
ya que su esfuerzo no es directamente observable o verificable.
VGC
39
- En esta parte analizaremos cómo el diseño de diferentes formas de pago, o contratos, puede
modificar el resultado de la interacción entre un principal (dueño de la empresa, en esta
aplicación) y un agente o delegado (trabajador) en un ambiente con incertidumbre en que no
es posible hacer un contrato en que el pago al delegado sea contingente en su nivel de esfuerzo
debido a que éste no es verificable.
- En otras palabras, analizaremos cómo el diseño del contrato puede afectar el nivel de esfuerzo
que el trabajador escoge y, por tanto, su productividad marginal.
- Un empleado puede escoger rechazar el contrato o hacer un esfuerzo (alto o bajo, eH o eL). lo
que afecta en los resultados (alto o bajo, �̅� o y). Un contrato puede realizarse sobre el esfuerzo
y los resultados o sólo en los resultados. Esto se debe a que el esfuerzo no siempre es
verificable.
- Si el nivel de esfuerzo es alto, hay una probabilidad PH de que los resultados sean altos y una
probabilidad 1 – PH de que los resultados sean bajos. Análogamente, si el nivel de esfuerzo es
bajo, hay una probabilidad PL de que los resultados sean altos y una probabilidad 1 – PH de
que los resultados sean bajos. Esto siempre que PH > PL.
- Podríamos diseñar el contrato para un empleador neutral al riesgo a partir del esfuerzo del
empleado. Si el empleado hace un esfuerzo e, el pago esperado que recibirá el
principal/empleador:
Pe[�̅� – w(e, �̅�)] + (1 – Pe)[y – w(e, y)]
- Por otro lado, el empleado/agente es averso al riesgo, por lo que su pago para un nivel de
esfuerzo dado sería:
Pe U(w(e, �̅�)) + (1 – Pe) U(w(e, y)) – G(e)
- A partir de ello sabemos que U’ > 0 y que U’’ < 0. Además, G(eL) < G(eH). Mientras más esfuerzo
hago, mayor es mi costo.
- Un ejemplo de contrato ofrecido por el principal sería:
w(eH, �̅�) = 10
w(eH, y) = 9
w(eL, �̅�) = 8
w(eL, y) = 7
- Para dicho contrato, el agente podría elegir esforzarse harto, poco o simplemente rechazar.
Por lo que, por cada contrato, hay un subjuego. Si hay infinitos contratos, la cantidad de
subjuegos son infinito + 1.
- Si hacemos inducción hacia atrás, ¿Qué elegirá el agente?
Siendo UH = PH U(w(eH, �̅�)) + (1 – PH) U(w(eH, y)) – G(eH)
VGC
40
UL = PL U(w(eL, �̅�)) + (1 – PL) U(w(eL, y)) – G(eL)
- Siendo �̅� la máxima utilidad que puede conseguir el agente haciendo cualquier otra cosa que
trabajar para el empleador. Emprender, buscar trabajo en algún otro lado, hacer nada, etc.
- Como sabemos, el equilibrio perfecto en subjuegos se describe como (Δ1*, Δ2*). Por lo tanto,
ahora hay que ver qué hace el principal, hay que considerar que el principal sabe que el agente
rechazará algunos contratos, se esforzará poco en algunosy se esforzará mucho en el resto. A
raíz de esto, el principal clasifica cada contrato según estos criterios y luego busca el mejor
contrato posible en cada criterio.
- En el caso de los contratos rechazados, siempre le pagará cero al agente ya que no se llega a
ningún acuerdo.
- En el caso en que yo (como principal) quiero que el agente se esfuerce poco, mi utilidad se
maximiza bajo:
Máx π = PL[�̅� – w(eL, �̅�)] + (1 – PL) [y – w(eL, y)]
- Pero esto se encuentra restringido por las condiciones impuestas por el agente, es decir, la
maximización del principal se ve sujeta a la restricción a la compatibilidad de incentivos (CI) y
a la restricción de participación (RP):
PL U(w(eL, �̅�)) + (1 – PL) U(w(eL, y)) – G(eL) > PH U(w(eH, �̅�)) + (1 – PH) U(w(eH, y)) – G(eH)
PL U(w(eL, �̅�)) + (1 – PL) U(w(eL, y)) – G(eL) > �̅�
- Veamos cómo se resuelve este problema. Esto nos deja las CPO como:
[w(eH, �̅�)]: - λI PH U’[w(eH, �̅�)] = 0
[w(eH, y)]: - λI PH U’[w(eH, y)] = 0
[w(eL, �̅�)]: - PL + λI PLU’[w(eL, �̅�)] + λPPLU’[w(eL, �̅�)] = 0
[w(eL, y)]: - (1 - PL) + λI PLU’[w(eL, y)] + λP (1 - PL) U’[w(eL, y)] = 0
- Donde λI corresponde al precio sombra de la restricción de incentivos y λP al de participación.
- Al resolver las primeras dos CPO, obtenemos que λI = 0, es decir, la restricción de compatibilidad
de incentivos no está activa, se podría eliminar. Reemplazando esto en la tercera y cuarta CPO
llegamos a que:
PL = λPPLU’[w(eL, �̅�)]
1 - PL = λP (1 - PL) U’[w(eL, y)]
- Trabajando en ambas llegamos a que:
1 = λPU’[w(eL, �̅�)]
1 = λP U’[w(eL, y)]
- Por tanto:
U’[w(eL, �̅�)] = U’[w(eL, y)] = U’[w*]
- Para todo λP > 0 se cumple que la restricción de participación se cumple con igualdad. Por tanto:
PL U(w(eL, y̅)) + (1 – PL) U(w(eL, y)) – G(eL) > u̅
VGC
41
U[w*] – G(eL) = u̅
w* = U-1[G(eL) + �̅�]
- Es decir, al agente se le pagará un salario w* para que sí o sí haga un esfuerzo bajo. Y ¿cómo
nos aseguramos de que sólo haga esfuerzo bajo? Se le comunica al agente que, si llega a hacer
un esfuerzo distinto al esfuerzo bajo, se le pagará un salario menor. ¿Cuál es el menor salario
que se le puede pagar en dicho caso? Cero.
- Entonces el salario óptimo al inducir esfuerzo bajo es:
- Otra forma de verlo es que al agente se le diga que independiente de cuánto se esfuerce, se le
pagará lo mismo. Dadas esas condiciones, si independiente de lo que hagas te pagarán lo mismo
¿quién querría esforzarse más que el mínimo?
- Esto nos deja que, para cuando se induce un esfuerzo bajo la utilidad del empresario y del
agente son:
PL[�̅� – w*)] + (1 – PL) [y – w*]
PL U(w*) + (1 – PL) U(w*) – G(eL) > �̅�
- Ahora veremos el caso en el que se busca inducir que el agente haga un esfuerzo alto.
- En el caso de los contratos que hacen que el agente se esfuerce alto tenemos que el principal
maximiza su utilidad cuando:
Máx π = PH[�̅� – w(eH, �̅�)] + (1 – PH) [y – w(eH, y)]
- Pero esto se encuentra restringido por las condiciones impuestas por el agente, incentivos y
participación:
UH > �̅� > UL
PH U(w(eH, �̅�)) + (1 – PH) U(w(eH, y)) – G(eH) > PL U(w(eL, �̅�)) + (1 – PL) U(w(eL, y)) – G(eL)
PH U(w(eH, �̅�)) + (1 – PH) U(w(eH, y)) – G(eH) > �̅�
- Veamos cómo se resuelve este problema. Esto nos deja las CPO como:
[w(eH, �̅�)]: - PH + λI PH U’[w(eH, �̅�)] + λPPHU’[w(eL, �̅�)] = 0
[w(eH, y)]: - (1 – PH) + λI PHU’[w(eL, y)] + λP (1 – PH) U’[w(eL, y)] = 0
[w(eL, �̅�)]: λI PLU’[w(eL, �̅�)] = 0
[w(eL, y)]: λI PLU’[w(eL, y)] = 0
- Al resolver la tercera y cuarta, obtenemos que λI = 0, es decir, la restricción de compatibilidad
de incentivos no está activa, se podría eliminar. Reemplazando esto en la primera y segunda
CPO llegamos a que:
VGC
42
PH = λPPHU’[w(eL, �̅�)]
1 – PH = λP (1 – PH) U’[w(eL, y)]
- Trabajando en ambas llegamos a que:
1 = λPU’[w(eH, �̅�)]
1 = λP U’[w(eH, y)]
- Por tanto:
U’[w(eH, �̅�)] = U’[w(eH, y)] = U’[w*]
- Para todo λP > 0 se cumple que la restricción de participación se cumple con igualdad. Por tanto:
PH U(w(eH, �̅�)) + (1 – PH) U(w(eH, y)) – G(eH) > �̅�
U[w*] – G(eH) = �̅�
w* = U-1[G(eH) + �̅�]
- Como podemos ver, llegamos a la misma conclusión para cuando queremos inducir un esfuerzo
bajo, para asegurarnos de que el agente haga un esfuerzo alto se le dice que sólo se le pagará
el salario óptimo si realiza dicho esfuerzo. En caso contrario, se le pagará una cifra tal que se
desincentive el desviarse, por lo general este pago sería igual a 0).
- Entonces el salario óptimo es:
- Nuevamente, por lo general trabajamos con que el salario que se le pagaría en caso de que el
agente se desviase es cero.
- Podemos concluir que el pago que se le hará al agente sólo dependerá de su esfuerzo y no del
resultado, esto se debe a que el agente no puede controlar el resultado. Se le pagará un monto
óptimo siempre y cuando haga el esfuerzo que se le exige.
- ¿Por qué se le exigiría que se esfuerce poco? Bien se puede dar que el aporte que haga el agente
a la empresa al esforzarse más no sea tan grande, al menos no alcanza a compensar el costo
que le implica a él esforzarse más.
- Veamos el caso donde el esfuerzo no es verificable. Este es exactamente lo mismo que antes,
sólo que el salario dependerá sólo de los resultados. En caso de que quisiésemos inducir
esfuerzo bajo resolvemos el problema:
Máx π = PL[�̅� – w(�̅�)] + (1 – PL) [y – w(y)]
- Al igual que antes esto se encuentra restringido por las condiciones impuestas por el agente, λI
y λP:
PL U(w(y̅)) + (1 – PL) U(w(y)) – G(eL) > PH U(w(y̅)) + (1 – PH) U(w(y)) – G(eH)
VGC
43
PL U(w(y̅)) + (1 – PL) U(w(y)) – G(eL) > u̅
- Veamos cómo se resuelve este problema. Esto nos deja las CPO como:
[w(�̅�)]: - PL + λI(PL U’[w(�̅�)] – PH U’[w(�̅�)]) + λPPL U’[w(�̅�)] = 0
[w(y)]: -(1 - PL) + λI((1 - PL) U’[w(y)] – (1 – PH) U’[w(y)]) + λP(1 - PL) U’[w(y)] = 0
- Resolviendo para λI = 0 tenemos:
PL = λPPL U’[w(�̅�)]
1 - PL = λP(1 - PL) U’[w(y)]
U’[w(�̅�)] = U’[w(y)]
- Este caso de maximización de un problema “relajado” (sólo con la restricción de participación,
λI = 0) llegamos a la conclusión que w(�̅�) = w(y) = U-1[G(eL) + �̅�]. Una vez encontrada la solución
se reemplaza en la restricción de incentivos y vemos que se cumple. Para cuando se induce
esfuerzo bajo la restricción siempre se cumple.
- Lamentablemente, eso no pasa para cuando se induce el esfuerzo alto. El tema es que ahora
tenemos que la restricción de incentivos está activa ya que, ante un mismo salario constante e
invariable, siempre preferiré esforzarme bajo. Por tanto, se violaría la restricción de
incentivos. Hay buscar el beneficio que recibe el agente lo deje indiferente en ambos casos.
- Entonces, ambas restricciones están activas, se tienen igualdad. Dos ecuaciones y dos
incógnitas (salarios para resultados buenos y malos). Se resuelve por sistema de ecuaciones y
se obtienen los salarios óptimos.
- ¿Qué ocurre si hay más de dos posibles resultados? Para el caso de contratos que se rechazan
y para contratos en que se induce esfuerzo bajo no hay cambios ya que en el primer caso no
se paga nada mientras que en el segundo se paga un salario invariable independiente del
resultado. Pero para el esfuerzo alto hay cambios. Se plantea el problema:
Máx π = Σ P(yj|eH)[yj – w(yj)]
- Sujeto a:
Σ P(yj|eH)U[w(yj)] – G(eH) > Σ P(yj|eL)U[w(yj)] – G(eL)
Σ P(yj|eH)U[w(yj)] – G(eH) > �̅�
VGC
44
- A diferencia de antes, tenemos una gran cantidad de salarios, uno por cada posible resultado
de j, y sólo tenemos dos ecuaciones. Por lo tanto, resolvemos esto por medio de KKT. Esto nos
deja la siguiente CPO:
1 = [λI (1 -
1
L(yj)
) + λP]U’[w(yj)]
- Donde L(yj) es el ratio de verosimilitud y es igual a
𝑃(𝑦𝑗|𝑒𝐻)
𝑃(𝑦𝑗|𝑒L)
.
- A medida que el ratio de verosimilitud aumenta,la utilidad marginal debe disminuir para
poder mantener la igualdad a la unidad.
- Como podemos ver, ahora tenemos j CPO (una por cada contrato posible) y dos restricciones.
Además, tenemos j incógnitas y dos precios sombra. Ahora sí podemos resolver por medio de
sistemas de ecuaciones.
- Pongamos el caso en que hay tres posibles resultados, así como muestra la siguiente tabla:
P(yj|e) yL yM yH
eL 50% 30% 20%
eH 20% 30% 50%
- Entonces, ¿cuáles son los ratios de verosimilitud?
L(yL) = 20%/50% = 0,4
L(yM) = 30%/30% = 1
L(yH) = 50%/20% = 2,5
- Por lo tanto, se cumple que los salarios serán:
w(yH) > w(yM) > w(yL)
- Pero no siempre se cumple que el mayor salario va al resultado más alto:
P(yj|e) yL yM yH
eL 40% 20% 40%
eH 20% 30% 50%
L(yL) = 20%/40% = 0,5
L(yM) = 30%/20% = 1,5
L(yH) = 50%/40% = 1,25
- Por lo tanto, se cumple que los salarios serán:
w(yM) > w(yH) > w(yL)
VGC
45
Juegos de Información Incompleta
- Como ya había mencionado, no siempre se tiene toda la información en la vida real, por lo que
podemos vernos enfrentados a la problemática de la selección adversa: información
incompleta.
- Se introduce un personaje ficticio, la Naturaleza y cuya “función” es actuar como un jugador
cero, su única decisión es elegir un estado de la naturaleza u otro acorde a una determinada
probabilidad, es exógeno.
Supongamos que hay un juego de dos periodos, 1 y 2, y hay dos jugadores. El juego consiste
en una lotería, lotería que se puede realizar en el periodo t = 1 con una probabilidad P y una
probabilidad (1 – P) en el periodo t=2, la Naturaleza es quien lo determina. El jugador uno
sólo conoce sus pagos, pero no los pagos del jugador dos. Sin embargo, el jugador dos conoce
todos los pagos. Ambos juegan al mismo tiempo.
- Las matrices de pagos de los juegos simultáneos serían:
t = 1 J1 |J2 L R
U 1, 1 0, 0
D 0, 1 1, 0
t = 2 J1 | J2 L R
U 1, 0 0, 1
D 0, 0 1, 1
- La forma extensiva sería:
- Como es un juego simultaneo, da lo mismo en qué orden se pongan los jugadores. Lo
importante es que el jugador 2, en este caso, es el único que puede ver qué hace la naturaleza.
Recomiendo usar este tipo de gráfico ya que es más fácil pasar los datos de la tabla.
- Por lo tanto, las posibles tomas de decisiones son:
VGC
46
S1 = (U, D)
S2 = (LL, LR, RL, RR)
- Dado que el jugador 1 no tiene la información completa (no puede observar lo que hace la
naturaleza) va a elegir sólo Up o Down, sin embargo, el jugador dos puede ver qué es lo que va
a hacer la naturaleza, por lo que elegirá una estrategia acorde a si el juego se realiza en t=1 o
t=2.
- ¿Cómo serían los pagos según las estrategias? Veamos el caso de (U, LR):
U1 (U, LR) = P*1 + (1-P)*0 = P
U2 (U, LR) = P*1 + (1-P)*1 = 1
- La matriz de pagos según estrategia sería:
LL LR RL RR
U (1, P) (P, 1) (1 - P, 0) (0, 1 - P)
D (0, P) (1 - P, 1) (P, 0) (1, 1 - P)
- ¿Cómo encontrar el equilibrio perfecto? Hay que hacerlo por medio del equilibrio de Bayes–
Nash, el equilibrio de Nash del juego ficticio. Se trabaja igual que un juego simultáneo.
- En este caso, el equilibrio dependerá de los valores que pueda tomar P, según la tabla se ve que
el jugador 2 siempre elegirá la estrategia LR. El jugador 1 elegirá U si P > 0,5 y elegirá D si P <
0,5.
- Si P ϵ ]1/2, 1], el equilibrio Bayes – Nash es (U, LR), si P ϵ (0, 1/2(, el equilibrio BN es (D, LR).
- Otro caso sería trabajar con los beneficios de las empresas, sea πi = (A – q1 – q2)*qi - Cqi.
Podríamos suponer que sólo la empresa 1 conoce los costos de las dos empresas, pero la
empresa 2 sólo conoce sus costos. La naturaleza determinará si el costo marginal de la empresa
uno será alto o bajo, costo que afectará la cantidad óptima de producción de J1.
- En el gráfico se ve como si tanto J1 como J2 pueden tomar 5 decisiones de qi, pero la verdad es
que pueden elegir infinitas cantidades de producción. La diferencia está en que la estrategia
de J1 dependerá de si el costo es alto o bajo. Por otro lado, como J2 no sabe nada sobre la
Naturaleza, elegirá una cantidad a producir independiente de cuál sea el estado de la
Naturaleza.
- Es decir, la cantidad de estrategias que pueden elegir son S1 = (R x R) = (ΔH, ΔL) y S2 = (R), siendo
R todos los reales. Esto nos deja con:
U1((ΔH, ΔL), Δ2) = P [(A – ΔH – Δ2)ΔH – CH*ΔH] + (1 – P)[(A – ΔL – Δ2)ΔL – CL*ΔL]
U2((ΔH, ΔL), Δ2) = P[(A – ΔH – Δ2)Δ2 – C2*Δ2] + (1 – P)[(A – ΔL – Δ2)Δ2 – C2*Δ2]
- Aplicando condiciones de primer orden, es decir, (ΔH*, ΔL*) ϵ argmáx U1((ΔH, ΔL), Δ2*):
[ΔH]: A – 2ΔH* - Δ2* - CH = 0
[ΔL]: A – 2ΔL* - Δ2* - CL = 0
[Δ2]: P(A – ΔH* - 2Δ2* - C2) + (1 – P)(A – ΔL* - 2Δ2* - C2) = 0
VGC
47
- Como tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, se puede resolver y encontrar los Δ*, es
decir, las cantidades óptimas. Esta es una bella forma para complicar de manera innecesaria un
juego secuencial y continuo. Me dio paja poner los q de J2 al final de cada ramita porque, que
paja.
- Cuando el jugador informado juega primero, se abre la posibilidad de que sus decisiones
reflejen la información que este posee. Sus decisiones pueden “señalizar” o reflejar su tipo.
La señalización tiene impacto siempre y cuando hablemos de juegos secuenciales.
- Un ejemplo sería:
Considere el caso de un consumidor que puede comprar (c) o no comprar (n) un bien durable
a un productor, el que puede ser de tipo alto (θ1) o bajo (θ2). Un productor de tipo θ1 vende
un producto uno que falla con una probabilidad de 5%, mientras que uno de tipo θ2 vende
que falla con probabilidad de 60%. A priori el consumidor cree que enfrenta a un productor
de tipo θ1 con una probabilidad de 50%. El consumidor valora el bien en $120 si funciona
VGC
48
bien (es decir, si no falla, o si fallando es reparado), y en $50 si falla y no es reparado. El
precio de venta es de $100, y el costo de producción es de $80 para ambos tipos de
productor. El productor puede escoger ofrecer el bien con (g) o sin garantía (s). Si ofrece la
garantía y el producto falla, entonces debe repararlo a un costo de $60.
- El problema se puede representar gráficamente como:
- El conjunto de estrategias del jugador 1 se mantiene, S1:(ss, sg, gs, gg). Sin embargo, a diferencia
de antes, las estrategias del jugador 2 cambian ya que el juego es secuencial, S2:(cc, cn, nc,
nn).
- Un perfil de estrategias forma parte de un equilibrio bayesiano perfecto (EPB) si y sólo si ningún
jugador quiere cambiar unilateralmente su estrategia, y cada parte de cada estrategia es una
mejor respuesta en su respectivo conjunto de información.
- El sistema de creencias de equilibrio, por otra parte, asigna una probabilidad a cada nodo
dentro de cada conjunto de información usando la actualización bayesiana de la creencia a
priori si es posible.
- Es decir, un equilibrio bayesiano perfecto es un perfil de estrategias y un sistema de creencias,
tales que:
1- Cada acción especificada en cada estrategia maximiza la utilidad esperada del jugador que
decide, condicional en la historia observada y en la estrategia que ocupa el resto.
2- La probabilidad condicional coincide con la regla de Bayes:
VGC
49
- Donde ai corresponde a las posibles decisiones que tiene el jugador 1.
- Se conoce como un equilibrio perfecto bayesiano separador si la estrategia es mixta, por
ejemplo, que J1 elija sg. Un equilibrio perfecto bayesiano agrupador habría sido ss, por ejemplo.
- Veamos cuál sería la probabilidad de que el jugador 1 eligiese la estrategia sg (elige s cuando el
tipo es alto, H y elige g cuando el tipo es bajo, L):
Pr (t = H|s) =
𝐏𝐫(𝐬|𝐭=𝐇) 𝐏𝐫(𝐭=𝐇)
𝐏𝐫(𝐬|𝐭=𝐇) 𝐏𝐫(𝐭=𝐇) + 𝐏𝐫(𝐬|𝐭=𝐋) 𝐏𝐫(𝐭=𝐋)
- Es decir, cuál es la probabilidad de que el jugador 1 sea de tipo alto dado quedecidió jugar s.
- Dada la estrategia que se eligió, sabemos que la probabilidad de que el jugador 1 elija s si el tipo
es bajo es 0 (ya que la estrategia es sg). Análogamente, sabemos que la probabilidad de que
elija s dado que el alto es igual a 1. Luego, reemplazando:
Pr (t = H|s) =
1 ∗ 0,5
1∗0,5 + 0∗0,5
= 1
- Podemos hacer lo mismo, pero para g:
Pr (t = L|g) =
Pr(g|t=L) Pr(t=L)
Pr(g|t=H) Pr(t=H) + Pr(g|t=L) Pr(t=L)
=
1 ∗ 0,5
0∗0,5 + 1∗0,5
= 1
- Viendo el gráfico, sabemos que la mejor respuesta para la estrategia sg, es cc. Pero este no es
un resultado favorable para el jugador 1. El J1 mira las posibles estrategias de J2. Si J2 elige cc,
J1 anticiparía esto y elegiría ss. Y como sg ≠ ss, este no es un EPB.
- Evaluemos el caso de la estrategia gs:
Pr (t = H|g) =
Pr(g|t=H) Pr(t=H)
Pr(g|t=H) Pr(t=H) + Pr(g|t=L) Pr(t=L)
=
1 ∗ 0,5
1∗0,5 + 0∗0,5
= 1
Pr (t = L|s) =
Pr(s|t=L) Pr(t=L)
Pr(s|t=H) Pr(t=H) + Pr(s|t=L) Pr(t=L)
=
1 ∗ 0,5
0∗0,5 + 1∗0,5
= 1
VGC
50
- Dada la estrategia gs, la mejor respuesta de jugador 2 es nc. Dado que el jugador 1 sabe que
el jugador 2 prefiere esta estrategia, gráficamente vemos que la mejor decisión de jugador 1
es la estrategia gs. Ergo, (gs, nc) es un EPB.
- Técnicamente habría que hacer esto para las 4 estrategias del jugador 1 para así poder
encontrar el o los EPB.
- Veamos el caso de las estrategias agrupadas, ss y gg. Para el caso de que el jugador 1 siempre
elija ss. En el caso de las estrategias agrupadas se usa más lógica que matemática. Si el jugador
1 siempre elije s, independiente de lo que indique la naturaleza, entonces su elección no nos
permite determinar su tipo. Es decir,
Pr (t = H|s) = Pr (t = L|s) = 0,5
- Lo que sí se ve matemáticamente, son las decisiones que NO se toman, es decir, los posibles
tipos dada la decisión de garantía:
Pr (t = H|g) =
Pr(g|t=H) Pr(t=H)
Pr(g|t=H) Pr(t=H) + Pr(g|t=L) Pr(t=L)
=
Pr(g|t=H) Pr(t=H)
Pr(g)
- El problema está en que nunca se elegiría g (ya que la estrategia es ss), por lo que Pr(g) es cero.
Asignaremos una probabilidad P a que el jugador 1 elija g con t = H y una probabilidad (1 – P)
a que t = L. Dado esto, hay que resolver un sistema de ecuaciones a la “Bayes-Nash”. Ver los
pagos esperados:
Compra: 20P +20(1 – P) = 20
No Compra: 0P + 0(1 – P) = 0
- A partir de esto sabemos que, en caso de que el jugador 1 eligiese g (lo que nunca hará, pero
necesitamos suponerlo para definir la estrategia del jugador 2), el jugador 2 elegirá comprar.
Por tanto, si jugador 1 elige ss, jugador 2 elige nc, por lo que el jugador 1 elige gs. Este no es
EPB.
VGC
51
- Finalmente, analizamos la estrategia gg. El pago esperado en caso de que hubiese elegido ss
habría sido:
Compra: 16,5P -22(1 – P) = 38,5P - 22
No Compra: 0P + 0(1 – P) = 0
- Por tanto, el jugador 2 elegirá comprar, dado ss, siempre y cuando P > 22/38,5. Esto nos deja
que la estrategia de jugador 2 es cc o nc, dependiendo de las probabilidades. ¿Cómo anticipa
jugador 1 para cada una de estas opciones?
gg → cc → ss
gg → nc → gs
- Por tanto, en ningún caso se observa EPB. De haber habido, se puede decir que “hay EPB sujeto
a que P menor/mayor que -probabilidad encontrada-“.
- La teoría de la señalización estudia en el marco de la información asimétrica, los mecanismos
utilizados en algunos mercados que resuelven los problemas de desequilibrio en la información.
- La utilización, bajo ciertas condiciones, por los participantes en un mercado, bien informados,
que mejoran los resultados de sus transacciones al señalizar su información privada a la
contraparte que no tiene medios, en principio, para distinguir adecuadamente
- Por ejemplo, en el modelo de señalización del mercado de trabajo de Michael Spence, los
potenciales empleados envían una señal acerca de su nivel de habilidad a los empleadores
mediante la adquisición de ciertos niveles educativos.
- El valor informativo de la credencial viene del hecho de que el empleador asume que existe una
correlación positiva entre el nivel educativo y las mayores habilidades para desempeño de un
puesto de trabajo.
https://es.wikipedia.org/wiki/Informaci%C3%B3n_asim%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Michael_Spence
VGC
52
- Aplicando las herramientas que hemos estudiado tenemos que la naturaleza escoge un tipo θ
que representa la productividad del trabajo (0 < θL < θH < 1), la facilidad que tendrá la persona
para aprender, por ejemplo.
- Luego, el agente elegirá si se educa o no y en qué nivel (continuo) de educación. Finalmente,
el mercado observa el nivel de educación (e), pero no su productividad (θ), a partir de lo cual
elige un salario w.
- La utilidad del trabajador (jugador 1) es: w – e(1 – θ). La utilidad del mercado (jugador 2, que
no puede ver el estado de la naturaleza) es: – (w – θ)2.
- ¿Cuáles son las posibles estrategias de los jugadores?
S1 = (eH, eL)
S2 = f(e)
- Antes que nada, veamos un juego de información completa, donde el mercado también puede
ver la productividad del trabajador. Un juego secuencial. ¿Cuál será el EPSJ?
- Teniendo en consideración las funciones de utilidad, sabemos que el mercado maximiza su
beneficio cuando paga la productividad del trabajador, por lo tanto:
- Dado que sólo se paga acorde al tipo que entregó la naturaleza, no hay un verdadero incentivo
para educarse (independiente de su θ). Por tanto:
S1* = (0, 0)
- Ahora volvamos al caso de Bayes-Nash, donde el mercado no se percata del θ. Consideremos
inicialmente una estrategia separadora por parte del trabajador:
- Por tanto, el mercado deduce que, si el trabajador tiene un alto nivel educacional, es porque
esta persona tiene que haberse visto beneficiada con un nivel de productividad alto. Lo mismo
se puede aplicar para un nivel de educación baja. En otras palabras:
Pr (θ = θH|eH) = 1 Pr (θ = θL|eL) = 1
- Esto lleva a que el conjunto de estrategias del mercado sea
VGC
53
- Se paga θL cuando hay una desviación del trabajador ya que no le podemos pagar cero, no hay
un sustento en las creencias que nos lleven a esa conclusión, pero tampoco podemos pagar θH
ya que habría un incentivo a desviarse. Esto nos deja en que el menor salario posible sea θL.
- La lógica es, si alguien con θH haría eH, entonces alguien que haga cualquier esfuerzo distinto
a eH, es porque es irracional o porque tu tipo es bajo.
- Volvamos a la estrategia del jugador 1. El trabajador ve las estrategias del mercado y encuentra
un incentivo a no educarse (e = 0) si tiene una productividad baja ya que tiene un salario
constante y porque no incurriría en costo. Esto nos deja con que, necesariamente, con eL = 0.
- ¿Qué ocurre con el nivel de educación alto? Con un nivel de productividad alto, la utilidad del
trabajador debe ser tal que no tenga incentivos a desviarse. Además, debe cumplirse que, bajo
un nivel de productividad bajo, el salario que le pagarían (θL) debe ser mayor que la utilidad que
tendría al desviarse. Matemáticamente:
θH – eH(1 – θH) > θL (1)
θL > θH – eH(1 – θL) (2)
.
- La ecuación 1 representa la condición necesaria para que una persona con productividad alta
no se desvíe y la ecuación 2 para una persona con productividad baja no lo haga. Esto nos deja
con:
eH =
θH − θL
1 − θH
eL =
θH − θL
1 − θL
.
- Los posibles contratos son:
1- Para θH:
(wH, eH) = (θH, e ϵ [
θH − θL
1 − θL
,
θH − θL
1 − θH
])
.
2- Para θL:
(wL, eL) = (θL, 0)
- Veamos el tercer caso, el trabajador elige una estrategia agrupadora, eH = eL = ê:
- El mercado pagará un salario óptimo, ŵ, siempre que el trabajador haga un esfuerzo ê. ¿Cuál es
ŵ? Dado:
Pr (θ = θH|ê) = P
- Esto deja que:
ŵ = argmáx – P(x – θH)2– (1 – P)(x – θL)2
VGC
54
ŵ = P θH + (1 – P) θL
- Es decir,
- Dada las estrategias del jugador 2, el jugador 1 se enfrenta a las siguientes restricciones:
ŵ – (1 – θH) ê > θL
ŵ – (1 – θH) ê > θL
- Es decir:
<<<<
ê <
ŵ − θL
1 − θL
- A diferencia de los modelos de señalización, en que es el jugador informado quien primero
escoge su acción y puede con ello entregar información al desinformado, en un modelo de
autoselección el jugador informado juega de último. En este caso, entonces, no hay espacio
para que el desinformado actualice sus creencias en el transcurso del juego.
- Ahora, si bien el desinformado desconoce el tipo del informado durante todo el transcurso del
juego, él sí conoce las preferencias de cada tipo, y puede utilizar ese conocimiento para anticipar
cómo reaccionará el informado ante su elección.
- En un juego de autoselección, la Naturaleza mueve primero, escogiendo un tipo para el jugador
informado (J2). El jugador desinformado (J1) mueve luego de que la Naturaleza juega, y
finalmente mueve el informado, conociendo la elección del desinformado.
- La versión extensiva de un ejemplo cualquiera sería:
- Como el jugador desinformado juega primero, su estrategia es S1 = (LR). Para el jugador 2 hay
más opciones, S2 = [(UUUU), (UUUD), (UUDU), (UDUU), (DUUU), (UUDD), (UDUD)… (DDDD)].
VGC
55
- Las primeras dos letras corresponden a la estrategia acorde al estado de la Naturaleza θ1, y a si
se juega L y R, respectivamente.
- ¿Cómo se resuelve el equilibrio? Vemos la mejor respuesta del jugador 2 dado que el jugador 1
elige L o R:
L: 2P + 0(1 – P) = 2P
R: 4P + 0(1 – O) = 4P
- ¿De dónde salen estos valores? Hay que ver qué elegiría el jugador 2 en cada caso:
- Esto nos deja con que el EPB es [R, (DUUD)].
- Veamos un caso más económico, hay un vendedor monopólico (desinformado) y un
comprador (informado). La naturaleza dicta un θ ϵ (θL o θH) equiprobable (considerémoslo
como el “estado anímico” del J2). De modo que 0 < θL < θH. El vendedor escoge un determinado
precio y el consumidor elige si compra o no.
- Esto nos deja con que la utilidad del vendedor sea P si le compran y 0 si no. Para el consumidor
es θ – P si compra y 0 si no. Supongamos que θL = 1 y θH = 2.
- Esto nos deja con que la estrategia del jugador informado dependerá de si su utilidad es positiva
o negativa:
- ¿Cuál es el precio óptimo? Veamos que ocurre al establecer distintos precios:
1- P = 0,5 → En este caso, el consumidor compraría independiente del tipo. Esto dejaría al
vendedor con una utilidad de 0,5.
2- P = 1 → Aquí el consumidor sigue comprando en ambos casos, sólo que el consumidor en el
tipo low quedaría con un beneficio de 0. Esto deja al vendedor con una utilidad de 1.
VGC
56
3- P = 1,5 → El consumidor sólo compra si es de tipo high, esto deja al vendedor con utilidad
0,5*1,5 = 0,75.
4- P = 2 → De nuevo, el consumidor sólo consume si es tipo high. Esto deja al vendedor con
utilidad esperada de 0,5*2 = 1.
5- P = 3 → En este caso el consumidor no compra bajo ninguna condición, por lo que ambos
jugadores se llevan 0.
- Podemos ver que los precios óptimos son iguales al valor de los tipos.
- Agreguemos como factor la calidad (q) del producto, un factor exógeno y que es conocido por
ambos. Dicha calidad puede tomar los valores 0, 1 o 2. Una calidad cero implica que el producto
no se compra, 1 es que se compra el producto de baja calidad y 2 el de alta calidad. Supongamos
que el vendedor sólo incurre costos de producción si la calidad es alta. Esto nos deja con
utilidades:
- Entonces, ¿cuál es el mejor P(1) y mejor P(2)? El vendedor tiene que decidirlo a partir de las
decisiones que tomará el jugador 2. Por lo tanto, al vendedor no le queda otra más que tratar
de inducir consumo dependiendo de la calidad. Hay que encontrar las mejores respuestas para
los 9 casos que hay:
(1) (q = 0, q = 0) (4) (q = 1, q = 0) (7) (q = 2, q = 0)
(2) (q = 0, q = 1) (5) (q = 1, q = 1) (8) (q = 2, q = 1)
(3) (q = 0, q = 2) (6) (q = 1, q = 2) (9) (q = 2, q = 2)
- ¿Qué es lo que esto nos quiere decir? Por ejemplo, el caso 2 (q = 0, q = 1) nos dice que el
vendedor tratará inducir que si el consumidor es de tipo bajo compre sólo si el producto tiene
calidad cero y que si es de tipo alto compre sólo si es de calidad uno.
- ¿Cómo se induce dichas decisiones? Con la maximización de precios sujeto a restricciones.
- ¿Qué restricciones? Que el consumidor no compre ninguna de las otras dos calidades
independiente del tipo. Es decir, para cada caso habrá 4 restricciones. Por ejemplo, para el
caso 1 hay que poner que las restricciones de la utilidad entregada por consumir el bien de
calidad cero debe ser mayor o igual que la utilidad que entregaría el bien de calidad uno y dos.
Esto para el tipo alto y bajo.
- Evaluemos cada caso:
VGC
57
1- Sabemos que es 0 ya que independiente del precio nadie compra, la utilidad del vendedor
será 0.
2- Se busca maximizar la utilidad del vendedor sujeto a que 0 > θL – P(1), 0 > 2θL – P(2),
θH – P(1) > 0 y θH – P(1) > 2θH – P(2):
0,5*0 + 0,5*P(1)
La maximización nos deja en que el P(1) debe ser igual a θH bajo la misma lógica de la página
anterior y que el P(2) sea infinito ya que estamos induciendo que el consumidor no se vaya
por esta opción. Por tanto, la utilidad esperada del vendedor es
θH
2
.
3- Aplicado la misma lógica llegamos a 0,5(2θH – C).
4- No hay ya que sería ilógico que el consumidor prefiriese consumir un bien de calidad 1 si
es de tipo low y consumir uno de peor calidad siendo de tipo alto.
5- θL
6- Se busca maximizar la utilidad del vendedor sujeto a que θL – P(1) > 0, θL – P(1) > 2θL – P(2),
2θH – P(2) > 0 y 2θH – P(2) > θH – P(1):
0,5*P(1) + 0,5*(P(2) – C)
Las restricciones en negrita son las restricciones de participación, mientras que las otras dos
son las restricciones de incentivo. La tercera restricción se cumple dadas las restricciones 1
y 4. Esto nos deja con que las restricciones son:
θL – P(1) > 0
θL – P(1) > 2θL – P(2)
2θH – P(2) > θH – P(1)
Podríamos plantear un problema relajado, donde eliminamos temporalmente una
restricción, eliminemos la segunda restricción:
θL – P(1) > 0
2θH – P(2) > θH – P(1)
La primera restricción podría estar activa, de manera que P(1) = θL. En este caso, no se
puede dar que P(2) sea infinito ya que no se cumpliría la última restricción. Por ello, hay un
máximo valor posible. Reemplazamos el P(1) en esta restricción activa y obtenemos:
2θH – P(2) = θH – θL
P(2) = θH + θL
¿Cómo saber si estos precios son los óptimos? Reemplazamos los valores sobre la
restricción que omitimos temporalmente:
θL – P(1) > 2θL – P(2)
θL – θL > 2θL – (θH + θL)
θH > θL
VGC
58
Como se cumple la desigualdad, estos son los precios óptimos. Por tanto, la utilidad
esperada del vendedor es
(θL) + (θH + θL − C)
2
.
7- No hay.
8- No hay.
9- P(1) sería infinito y P(2) = 2θL. Esto nos deja que la utilidad esperada sea 2θL – C.
- Ahora, habría que elegir los precios que entreguen la mayor utilidad posible dados los 9 casos.
- ¿Qué pasa si las calidades son continuas? El vendedor elige P(q), luego, el comprador escoge q.
Las utilidades esperadas son:
Uv = P(q) – C(q) Uc = qθ – P(q)
- Pongamos el ejemplo que tenemos las siguientes calidades y precios:
q P(q)
1 3
2 7
3 10
4 12
5 15
- Supongamos que θL = 2 y θH = 4. Sólo se consumirá qL = 2 y qH = 4, por lo que podríamos subir
los precios de todos los otros q y no se afectaría el resultado:
q P(q)
1 ∞
2 7
3 ∞
4 12
5 ∞
- Esto nos deja en que los precios serán:
- Por lo tanto, se buscará maximizar la utilidadesperada del vendedor:
0,5[PH – C(qH) + PL – C(qL)]
- Según PL, PH, qL, qH sujeto a las restricciones:
θLqL – PL > θLqH - PH
θLqL – PL > 0
VGC
59
θHqH – PH > θHqL – PL
θHqH – PH > 0
- La cuarta restricción se cumple dadas las restricciones 1 y 3. Obviemos la primera restricción
de modo que nos queda un problema simplificado sujeto a las restricciones:
θLqL – PL > 0
θHqH – PH > θHqL – PL
- Estas restricciones se deben cumplir con igualdad:
θLqL = PL
θHqH – PH = θHqL – θLqL
θHqH – θHqL + θLqL = PH
- Por lo que el problema de maximización es:
0,5[θH(qH – qL) + θLqL – C(qH) + θLqL – C(qL)]
- Las CPO son:
[qH]: 0,5(θH – C’(qH)) = 0 → θH = C’(qH)
[qL]: 0,5(-θH + 2θL - C’(qL)) = 0 → 2θL = θH + C’(qL)
- Sea C(q) = q2/2:
θH = qH
2θL - θH = qL
- Reemplazamos los valores encontrados en la restricción omitida:
θLqL – PL > θLqH - PH
θLqL – θLqL > θL θH – [θH(qH – qL) + θLqL]
0 > θL θH - θH(θH – 2θL + θH) - θL(2θL - θH)
0 > θL θH - 2θH θH + 2θL θH - 2θL θL + θL θH
0 < 2θH θH - 4θL θH + 2θL θL
0 < (θH - θL)2
- Como se cumple, se da que las calidades y precios son óptimos.
- Veamos el siguiente juego, hay un juez y un acusado. El acusado será considerado culpable (c)
con una probabilidad del 50% e inocente (i) con el restante. El juez debe estimar una sanción
óptima (X). Esto nos deja con que las utilidades son:
VGC
60
- Pero las probabilidades de ser considerado o culpable, que es elegido por la Naturaleza, puede
ser modificado. ¿Cómo? Se podría traer evidencia (S), como una huella (1):
S ϵ (0, 1)
- Esto nos deja en que:
P (S = 1 | c) = P = 1/2
P (S = 1 | i) = q = 1/4
- Esto lleva a que el juez deba estimar una sanción para cada caso, X0 si no hay huella y X1 si se
encuentra una huella del acusado. Por lo tanto, el juez debe maximizar para el caso donde sea
culpa e inocente:
Max [culpable y huella + culpable y sin huella + inocente y huella + inocente y sin huella]
Max [Pr(θc)*P*Uj + Pr(θc)*(1 - P)*Uj + Pr(θi)*q*Uj + Pr(θi)*(1 – q)*Uj]
Max -
1
2
1
2
(X1 - 20)2 -
1
2
1
2
(X0 - 20)2 -
1
2
1
4
X12 -
1
2
3
4
X02
- Esto lleva a que las condiciones de primer orden sean:
[X0]: –
1
2
(X0 – 20) –
3
4
X0 = 0 → –
5
4
X0 + 10 = 0 → X0* = 8
[X1]: –
1
2
(X1 – 20) –
1
4
X1 = 0 → –
3
4
X1 + 10 = 0 → X1* = 13,33
- La otra forma es:
1- El juez le propone al acusado distintas sanciones para distintos casos:
(X0a, X1a), (X0b, X1b), (X0c, X1c)
(0, 20) (7, 13) (8, 12)
2- El acusado escoge a, b o c según sus preferencias.
3- S se realiza.
- Esta mejora se debe a que la información que entrega la huella es imperfecta. Sería perfecta si
el encontrar la huella implicaría inequívocamente la culpabilidad y la ausencia de esta la
inocencia. Sólo se puede mejorar el juego si la información es imperfecta.
- ¿Cuál es la lógica? Si sé que soy culpable, elegiré aquel contrato donde X1 sea menor. Si soy
inocente elegiré el que entregue el menor X0. Es decir, el contrato b está de más. Esto se debe
a que hay sólo dos tipos.
- Supongamos que el juez ofrece los contratos:
(X0a, X1a), (X0b, X1b)
- Donde X1b < X1a y X0b > X0a
- Por lo tanto, la maximización será:
Max –
1
2
1
2
(X1b – 20)2 –
1
2
1
2
(X0b – 20)2 –
1
2
1
4
(X1a)2 –
1
2
3
4
(X0a)2
VGC
61
- Sujeto a las restricciones que el culpable quiera escoger el contrato b y que el inocente quiera
elegir el contrato a (compatibilidad de incentivos):
–
1
2
X1b –
1
2
X0b > –
1
2
X1a –
1
2
X0a
–
1
4
X1a –
3
4
X0a > –
1
4
X1b –
3
4
X0b
- Ahora, ¿cuál de las dos podemos obviar/omitir para simplificar el problema? Dado que sólo el
culpable tendría incentivos a desviarse y decir que es inocente (cuando no lo es), tenemos que
mantener la compatibilidad de incentivos del culpable, la primera restricción, activa.
- Esto deja a la primera restricción con igualdad:
X1b + X0b = X1a + X0a
X0b = X1a + X0a - X1b
- Reemplazamos en la función de maximización y buscamos las condiciones de primer orden:
Max –
1
2
1
2
(X1b – 20)2 –
1
2
1
2
([X1a + X0a – X1b] – 20)2 –
1
2
1
4
(X1a)2 –
1
2
3
4
(X0a)2
[X1b]: –
1
2
(X1b – 20) +
1
2
([X1a + X0a – X1b] – 20) = 0 → 10 +
1
2
(X1a + X0a) – 10 = X1b → X1b =
X1
a + X0
a
2
- Reemplazando los resultados en la igualdad de más arriba:
X0b = X1b + X0a –
X1
a + X0
a
2
=
X1
a + X0
a
2
= X1b
- Las otras dos CPO son:
[X1a]: –
1
2
(
X1
a + X0
a
2
– 20) –
1
4
X1a = 0 → –
X1
a + X0
a
4
+ 10 –
1
4
X1a = 0 → X1a = 20 –
X0
a
2
[X0a]: –
1
2
(
X1
a + X0
a
2
– 20) –
3
4
X0a = 0 → –
20 –
X0
a
2
+ X0
a
4
+ 10 –
3
4
X0a = 0 → X0a = 5.714
- Dado esto, tenemos que X0a = 5,714; X1a = 17,143; X1b = X0b = 11,428. Lo que queda es
reemplazar en la restricción que fue omitida y ver que se cumpla:
–
1
4
X1a –
3
4
X0a > –
1
4
X1b –
3
4
X0b
X1a + 3X0a < X1b + 3X0b
17,143 + 3*5,714 = 34,285 < 45,71
- Como se cumple la desigualdad todo está bien, esas sanciones son las óptimas.
- Si no se hubiese cumplido el reemplazo en la restricción, entonces las dos restricciones son
activas, por lo que habría que hacer la maximización sujeto a las dos restricciones.
VGC.