Opciones y Futuros

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Opciones y Futuros 
 
Profesor: David Buchuk 
Vicente García Casassus 
vsgarcia@uc.cl 
 
Índice 
Introducción 2 
Forward y Futuros 4 
Opciones 22 
Modelos de tasa de interés y swaps 55 
Administración del Riesgo 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este material está basado principalmente en el libro: Options, Futures & Other Derivatives, John 
Hull. 
Las palabras subrayadas corresponden a conceptos nuevos. 
Más material en: https://drive.google.com/drive/folders/0Bx20jJIsUiAOU1RTUFg2QlU3V2M 
 
 
mailto:vsgarcia@uc.cl
https://drive.google.com/drive/folders/0Bx20jJIsUiAOU1RTUFg2QlU3V2M
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Introducción 
- Un activo derivado es un activo cuyo precio depende de otro activo, que se denomina activo 
subyacente. No se entregan derechos ni propiedad de control. Es un contrato entre un 
comprador y un vendedor. 
- Un derivado no entrega derechos de propiedad ni control, permiten traspasar riesgos entre 
distintas partes de la economía y son transados activamente en mercados tales como en 
exchanges (bolsas) u operaciones over de counter (OTC). En una operación OTC se 
negocian instrumentos financieros directamente entre dos partes, no pasa por el mercado. 
- Un tipo de derivado son los contratos que fijan un precio, permite fijar hoy un precio o tasa en 
el futuro. Por ejemplo: 
1- Forwards: Compromiso de ejecutar hoy una cierta transacción en el futuro que operan 
fuera de mercados organizados, es decir, OTC. La contraparte es una persona. 
2- Futuros: Contratos estandarizados y formalizados que se tranzan en mercados 
financieros. La contraparte es una clearing house. 
3- Swaps: Contratos de tipo forward, pero multiperiodo. En vez de hacer 2, 3, 4, etc. 
forwards, se hace un swap que compromete a las partes a tranzar en múltiples fechas. 
- Diferencias entre Forwards, Futuros y Opciones: 
 
 
 
- Hay un par de conceptos que estaremos utilizando y que es muy importante tener claros: 
REALMENTE RECOMIENDO LEER LA PRÓXIMA PÁGINA 
https://es.wikipedia.org/wiki/Instrumento_financiero
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1- Tasa continuamente compuesta: Nosotros estamos acostumbrados a la tasa compuesta que 
cumple (1 + rmes1)(1+ rmes2)(1 + rmes3)…(1 + rmes12) = 1 + raño. Esta tasa se diferencia de la tasa 
continuamente compuesta es que la tasa se multiplica compuestamente cada segundo, es 
decir, (1 + rseg1)(1+ rseg2)(1 + rseg3)…(1 + rseg12) = 1 + r*año = er 
r* año se diferencia de r año en que incorpora los intereses generados instantáneamente, 
mientras que r lo hace mensualmente. Por lo tanto, para este curso usaremos la fórmula erT 
en vez de (1 + r)T, donde T es unidad de tiempo medida en años. 
i Por ejemplo, para traer a llevar a valor futuro un flujo F que está a dos años con tasa 
de interés del 11% tenemos: Valor Futuro (F) = Fe11% x 2 
ii Para traer a valor presente un flujo F a dos años a una tasa del 11% tenemos: 
Valor Presente (F) = 
F
e11% x 2
 = Fe–11% x 2 
2- Yield Anualizada: Las tasas que veremos en este curso siempre estarán anualizadas, de nada 
tiene sentido comparar las rentabilidades un bono de 1 año con un bono de 2 años. 
Supongamos que ambos bonos rentaron un 10% el primer año y que el segundo bono rentó 
15% el segundo año, las rentabilidades de cada bono serían: 
i Bono 1: 10% 
ii Bono 2: (1 + 10%)(1 + 15%) – 1 = 26,5% 
Cuando se habla de bonos se suele hablar de cuánto rindió anualmente, es decir, cuál es 
su yield. Se utiliza este concepto de modo que se pueda comparar más fácilmente el retorno 
de los bonos: 
i Yield Bono 1: 10% = (1 + yield) – 1 = 10% 
ii Yield Bono 2: 26,5% = (1 + yield)(1+ yield) – 1 = 12,47% 
¿Cómo hacerlo en el caso de un bono que tenga fecha de expiración menora un año? Por 
ejemplo: un bono, con expiración en 3 meses, rinde un 2%, ¿cuánto es su tasa de interés 
anualizada? (1 + 2%)4 – 1 = yield = 8,24%. 
En este curso todas las tasas ya vienen anualizadas, por lo que no es necesario hacer el 
cálculo, en el ejemplo anterior, la información se presentará como “la tasa de retorno anual 
de un bono a tres meses es 8,24%”. 
3- Aplicando los dos conceptos: “Calcule el precio (valor presente) de un bono que no paga 
intereses y que, cuando venza en 5 meses, pague $100. Suponga que la tasa de retorno 
anualizada de dicho bono el del 6%” 
Precio Bono = VP(Bono) = $100 e– 6% x 5/12 = $97,53 
Los $100 son el flujo a descontar, el –6% es porque lo estamos trayendo a valor presente 
con una tasa anualizada del 6% y 5/12 es porque, como vimos en la fórmula, T se mide en 
años (ya que usamos una tasa anualizada). 
 
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Forward y Futuros 
- Los futuros son contratos que fijan hoy las condiciones que cierto activo o bien será transado 
en una fecha específica en el futuro. Por ejemplo: 
 
Hoy (13 de agosto 2017), el Bitcoin está en $4.046,64, pero yo creo que la burbuja recién 
está comenzando a inflarse, por lo que hago un forward con Pablo, en el que me 
comprometo a comprarle un Bitcoin el 13 de diciembre (4 meses más) por $5.000. Como 
Pablo cree que el valor actual del Bitcoin ya está inflado, acepta. Llegado el día de la 
transacción, Pablo está obligado a venderme una Bitcoin por $5.000 y yo puedo venderla en 
su valor actual de $19.298,4. 
- Los futuros especifican el precio (F), la cantidad, el tipo de activos y las fechas (T). Por ejemplo, 
un forward podría ser una promesa de compra de una casa en el futuro, hoy se fija el precio de 
la casa y sus características. Se establece el pago en el futuro y hoy no hay flujos. 
- Los futuros son parecidos a los forwards, pero se diferencian en que los futuros se transan en 
mercados organizados. La contraparte no es otro individuo, sino que es una “clearing house”, 
una institución financiera especializada. Requiere depositar un margen diariamente según la 
evolución del precio. 
- Los futuros están vinculados directamente con el precio spot (ST) de su subyacente. Se 
entiende precio spot como el precio de un bien en el presente, en este mismo momento. Esto 
se debe a que se usa como referencia para fijar el precio del forward. 
- Si “compro un forward” significa que me comprometo a comprar el activo subyacente a un 
precio de ejercicio (F), es decir, lo que vale hoy, en una fecha predeterminada (T). Por lo tanto, 
si vendo un forward, me estoy comprometiendo a vender el activo subyacente a un precio F 
en la fecha T. 
- El flujo de caja que se tendrá al comprar un forward de petróleo, por ejemplo, con fecha de 
vencimiento en T va a ser: ST – F, es decir, en el periodo T yo pagaré “F” por el petróleo (ya que 
esto fue lo acordado) y lo venderé a un precio spot de ST. De manera más concreta: 
 
Hoy compro un forward de petróleo valorado con precio de ejercicio igual a $50 y con fecha 
de vencimiento de un año. ¿Cómo se modela el flujo de pago/flujo forward a partir de 
distintos precios spots posibles? 
 
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- El gráfico representa la relación entre el precio spot del petróleo (eje x) y el flujo de caja o flujo 
forward (eje y). Si el precio spot en T hubiese es de $80, entré un flujo de caja de $30. 
- Este análisis se puede realizar de manera análoga con las ventas en corto. El flujo forward estará 
determinado por: F – ST, es decir, dependerá de la diferencia entre el precio determinado de 
venta corta y el precio spot. 
 
Supongamos que hacemos una venta corta de un forward de petróleo con precio de ejercicio 
igual a $50 y fecha para un año. Sorpresivamente, durante ese año se descubrió un nuevo 
combustible llamado “Aldunatinium”, que es mil veces más eficiente que el petróleo por lo 
que el valor del petróleo se va en picada. ¿Cuál es el flujo forward para los distintosprecios 
spot del petróleo? 
 
- Un par de conceptos clave: 
1- Spot price: precio del activo subyacente para compra inmediata. 
2- Valor nocional: cantidad de activo subyacente en el contrato. 
3- Posición larga: parte del contrato que se compromete a comprar. 
4- Posición corta: parte del contrato que se compromete a vender. 
5- Settlement price: el precio justo antes de que se cierre el trading diario. 
i Se usa para el proceso de liquidación diario. 
6- Open interest: se refiere al número total de contratos de derivados pendientes que no se 
han liquidado en el mercado. Es igual al número de posiciones largas o al número de 
posiciones cortas, no ambas. 
7- Volumen: número de transacciones en un día. 
8- Q: Cantidad de activos en un contrato. Por ejemplo. Compré 1 forward con Q = 50 de 
acción de Microsoft. Esto quiere decir que me comprometo a comprar 1 x 50 acciones de 
Microsoft en T. 
- Puede haber un mayor volumen que el open interest. Esto se debe a que una persona que 
tenga posición larga puede vendérsela a otra persona (sin cerrar el contrato). De esta manera, 
el open interest se mantiene en 1, pero el volumen es 2. 
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- Para operar con futuros es necesario abrir una cuenta con un broker que participe en una bolsa 
de futuros. La apertura de una cuenta exige abrir una “cuenta de margen”. La cuenta de margen 
es una cantidad de dinero líquidas depositadas con el broker, funciona como garantía. El 
propósito de la cuenta de margen es minimizar el riesgo de default (no poder pagar). 
- El margen inicial es el saldo inicial que debe tener la cuenta de margen de un inversionista para 
poder operar con futuros. 
- Una margin call ocurre cuando nuestra cuenta de margen cae por debajo del margen de 
mantenimiento (saldo mínimo que puede tener la cuenta de margen). Si el precio cae a F0 – Fc, 
se activa la margin call. 
- El inversor se verá obligado a depositar suficiente dinero como para volver al margen inicial o 
a vender el contrato. 
- Si tengo una posición larga, al final del día mi cuenta de margen cambia en: Ft − Ft−1. Si tengo 
una posición corta, al final del día mi cuenta de margen cambia en: –(Ft − Ft–1). 
- Veamos el siguiente ejemplo: 
El día 5 de junio un inversionista toma una posición larga en 2 contratos a futuros de oro 
para diciembre. Cada contrato es por 100 oz. El precio futuro es US$1,250 por oz de oro. El 
margen inicial requerido es US$6,000 por cada contrato (US$12,000 en total). El margen de 
mantenimiento requerido es US$4,500 por cada contrato (US$9,000 en total). 
 
- ¿Cómo se calculan las ganancias o pérdidas diarias? Muestre la ganancia/pérdida del primer día: 
Como estamos frente a una posición larga, el día t generaremos una ganancia de: 
π = (Ft − Ft−1) x N x Q 
π = (F1 – F0) x 2 x 100 = ($1.249 – $1.250) x 2 x 100 = –$1.800 
- ¿Cuál es el precio que activa una margin call? 
Fc = 
Margen inicial − Margen Mantenimiento
Q
 
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Por lo tanto, para que se active la margin call, el precio del futuro debe caer en: 
Fc = 
$6.000 −$4.500
100
 = $15 
Esto nos deja con que el precio que activa la margin call es F0 – Fc = $1.250 – $15 = $1.235 
- ¿Cuánto es el valor que tendrá X, la margin call en el día 7? 
Dado que hay que volver al margen inicial ($12.000) y nuestra cuenta de margen se 
encuentra actualmente en ($7.980), el monto es la diferencia, $4.020. 
- ¿Cuál fue el settle price del día 15? 
π = (Ft − Ft−1) x N x Q 
$780 = ($1.226,9 – F15) x 2 x 100 
F15 = $1223. 
- Clearing house es la entidad intermediaria en la transacciones de contratos futuros. 
Corredores (brokers) deben canalizar sus órdenes a través de algún miembro de la Clearing 
House. Esta garantiza el funcionamiento del mercado de futuros: 
1- Mantiene el registro de la transacciones y calcula la posición neta de cada uno de sus 
miembros. 
2- Mantiene un fondo destinado a cubrir pérdidas en caso de quiebra de uno de sus miembros. 
3- Miembros de la Clearing House mantienen una cuenta de margen con la Clearing House de 
acuerdo a su posición neta. 
- Si bien la lógica de cómo obtener beneficios no es complicada, también hay que realizar el 
análisis de cuánto vale un futuro, ¿cuál es el precio predeterminado? Y ¿cómo se calcula? Si 
compro un futuro que fija un precio F0 en el periodo T, mi flujo será: ST – F0. De manera 
alternativa podemos generar los mismos flujos del futuro usando sólo el activo subyacente: 
1- Comprar hoy el subyacente por S0 y venderlo en T por ST. Esto nos da el ingreso por ST. 
2- Para poder realizar la compra hubo que pedir un préstamo tal que F0 e–rT = S0. De esta 
manera, en el periodo T hay que pagarle al banco un monto S0 erT = F0. 
- En una matriz de pagos: 
 
 T = 0 T = 1 
Compra del subyacente – S0 + ST 
Endeudamiento + F0 e–rT = + S0 – F0 = – S0 erT 
Total 0 ST – F0 
Simulación futuro No hay flujo hoy ST – F0 
 
- Recordar que, como se explicó en la página 3, se da que 
𝟏
(𝟏 + 𝐫)𝐓
 = 
𝟏
 𝐞𝐫𝐓
, siempre que r sea la 
tasa anual y T esté medido en años. 
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- Dado lo anterior, se deduce que FT = ST ya que hay convergencia del precio del futo al precio 
spot: 
 
- La razón matemática la podemos encontrar usando la lógica de la calculación del precio del 
futuro. Como vimos antes, es la tasa de interés la que determina el precio del futuro. Mientras 
mayor sea la distancia entre el momento de compra del futuro y el momento en que expira el 
contrato, mayor será el precio del futuro ya que la tasa de interés será mayor. 
- Pero ¿qué pasa a medida que nos acercamos a la fecha de expiración? La tasa de interés va 
disminuyendo. Esto es lógico porque la tasa de interés de 1 mes es menor que la de 6 meses a 
la de 1 año. Eventualmente, ante un periodo de tiempo muy pequeño, r = 0, FT = ST. 
- Esta convergencia también puede explicarse por el arbitraje. Por ejemplo, supongamos que el 
contrato de futuros para el petróleo tiene un precio más alto que el precio spot a medida que 
el tiempo se acerca al mes de entrega del contrato (gráfico de la izquierda). En esta situación, 
los operadores tendrán la oportunidad de arbitraje de vender en corto los contratos de futuros, 
comprar el activo subyacente y luego realizar la entrega. 
- En términos de oferta y demanda, el efecto de los que hacen arbitraje al vender futuros en corto 
provoca una caída en los precios de futuros porque crea un aumento en la oferta de contratos 
disponibles para el comercio. Posteriormente, la compra del activo subyacente provoca un 
aumento en la demanda general del activo y, como resultado, el precio spot del activo 
subyacente aumentará, lo que termina llevando a la convergencia. 
- ¿Qué relación hay entre el futuro y la expectativa actual del precio spot en el periodo T (F vs 
E[ST])? Es decir, ¿hay alguna relación entre el precio del forward hoy y el precio del activo 
subyacente en T? ¡No! F va a depender sólo de la tasa libre de riesgo. 
- Los hedgers abren posiciones en futuros para eliminar o reducir el riesgo asociado con el precio 
spot del activo subyacente: 
1- Cobertura larga (long futures hedge) es adecuada cuando sabemos que queremos comprar 
un activo en el futuro y queremos fijar hoy el precio. 
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2- Cobertura corta (short futures hedge) es adecuada cuando sabemos que queremos vender 
un activo en el futuro y queremos fijar hoy el precio. 
- En ambos casos, las ganancias o pérdidas en el negocio físico se cancelan con las ganancias o 
pérdidas de la cobertura con futuros. 
- ¿Por qué realizar o no una cobertura con futuros? Argumentos a favor: 
1- Las empresas deben enfocarse en su principal negocio y tomar medidas para minimizar 
riesgos no relacionados con su negocio para los que no se tiene expertise. 
2- Un gerente averso al riesgo puede preferir reducir el riesgo de quiebra de la empresa y no 
exponerse a la pérdida de su trabajo. 
3- Cobertura puede disminuirel pago de impuestos cuando pérdidas pasadas se pueden 
descontar de las Utilidades Antes de Impuestos. 
- Argumentos en contra: 
1- Accionistas estén en general bien diversificados y pueden tomar sus propias decisiones de 
cobertura. 
2- Accionistas pueden estar interesados en tomar exposición a cierto riesgo. 
3- Cobertura puede aumentar el riesgo si la competencia no la usa. 
4- Puede ser difícil explicar una situación donde hay una pérdida por la cobertura y una 
ganancia en activo físico. 
- En la práctica la cobertura con futuros no siempre es perfecta, el activo que queremos cubrir 
puede ser distinto al activo subyacente del contrato usado. Puede existir incertidumbre en 
cuanto a la fecha en que el activo físico será vendido o comprado. Además, la cobertura puede 
requerir liquidar la posición en futuros antes de la fecha de expiración del contrato. Estas 
imperfecciones generan el “riesgo base”. El riesgo base se define como 
 
- Si el activo a ser cubierto y el activo subyacente al contrato de futuros son los mismos, la base 
debe ser cero al vencimiento del contrato de futuros. Antes del vencimiento, la base puede ser 
positiva o negativa. El riesgo base se obtiene al cerrar un contrato ANTES de que este expire. 
- Si yo tenía un contrato de petróleo para diciembre, pero lo cierro en noviembre, entonces 
incurro en este costo. El precio que pago al final será el precio del futuro más el riesgo base. 
- Veamos el siguiente ejemplo de short hedge: 
Supongamos queremos cubrir hoy (t = 1) la venta física de un activo en el futuro (t = 2) usando 
contratos futuros que expiran en t = 3 (después de la venta física). 
- Si F1 es el precio futuro al momento de abrir la cobertura, F2 el precio futuro al momento de la 
venta física del activo, S2 precio spot al momento de la venta física del activo y b2: Basis al 
momento de la venta física del activo. 
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¿Cuál es el precio de venta del activo? ⇒ S2 
¿Cuál es la ganancia por cierre anticipado? Posición corta ⇒ F1 − F2 
¿Cuánto vale el forward? ¿Cuánto se gana por el cierre anticipado?: F1 − F2 = F1 – S2 + b2 
Conoceremos b2 solo cuando expire el contrato ya que: b2 = S2 – F2 
- Si el contrato hubiese expirado en t = 2, ocurre que F2 = S2, es por esto que decimos que el 
basis sería cero y que la ganancia por el contrato sería F1 − S2. 
- En el caso de un long hedge: 
Supongamos queremos cubrir hoy (t = 1) la venta física de un activo en el futuro (t = 2) usando 
contratos futuros que expiran en t = 3 (después de la compra física). 
- Si F1 es el precio futuro al momento de abrir la cobertura, F2 el precio futuro al momento de la 
compra física del activo, S2 precio spot al momento de la compra física del activo y b2: Basis al 
momento de la compra física del activo. 
¿Cuál es el precio de compra del activo? ⇒ S2 
¿Cuál es la ganancia de la posición en futuros? ⇒ F2 − F1 
¿Cuánto vale el forward? ¿Cuánto se gana por el cierre anticipado?: F2 − F1 = S2 – F1 + b2 
Conoceremos b2 solo cuando expire el contrato ya que: b2 = F2 – S2 
- En resumen, cuando se cierra un contrato antes de que este expira, el precio del forward será 
el precio spot menos el riesgo base. 
- En los casos anteriores, el activo subyacente al contrato de futuros era el mismo que el activo 
cuyo precio se estaba cubriendo. El cross hedge ocurre cuando los dos activos son diferentes. 
Consideremos, por ejemplo, una aerolínea está preocupada por el precio futuro del 
combustible para aviones, pero los futuros de combustible para aviones no se transan. Por 
tanto, podría optar por utilizar contratos de futuros de combustible de automóviles para 
cubrir su exposición. Mientras más se parezcan y correlacionen los activos, mejor. 
Supongamos queremos cubrir hoy (t = 1) la compra física de un activo en el futuro (t = 2) 
usando contratos futuros cuyo activo subyacente es distinto al activo físico. 
- Definamos: 
F1: precio futuro al momento de abrir la cobertura. 
F2: precio futuro al momento de la compra física del activo. 
S2: precio spot al comprar el activo. Este es el activo que queremos cubrir pero no se puede. 
b2: Basis. 
S2*: precio spot del activo que usamos como sustituto. 
- El precio efectivo pagado por la compra con cobertura es: 
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- Ahora hay dos fuentes de riesgo base. 
- Se recomienda elegir contratos con fecha de entrega lo más cercana posible y posterior a la 
fecha del cierre de la cobertura. Si no existen contratos futuros sobre el activo que queremos 
cubrir, podemos elegir contratos de futuros de otro activo, siempre y cuando este tenga una 
correlación positiva y fuerte con el activo que queríamos cubrir inicialmente. 
- Por otro lado, un hedge ratio es la razón entre el tamaño de la posición en futuros y el tamaño 
de la posición física que se quiere cubrir. Cuando el activo subyacente al contrato de futuros 
es el mismo que el activo que se está cubriendo, es natural usar un índice de cobertura de 1. 
Esta es la relación de cobertura que hemos utilizado en los ejemplos considerados hasta ahora. 
- Podemos encontrar el hedge ratio óptimo (h∗) que minimiza la varianza del cambio en el valor 
de la posición a cubrir. Para simplificar, asumamos que no hay liquidación diaria y definimos: 
∆S: Cambio en precio spot del activo que nos interesa 
∆F: Cambio en precio futuro del activo que usamos como sustituto 
- El cambio en el valor de nuestra posición con cobertura (corta) es: ∆S − h × ∆F 
- Encontramos h∗ resolviendo el siguiente problema: 
 
 
- σS es la desviación estándar del retorno del precio de S y σF es la desviación estándar del 
retorno de F. Si ambos activos del cross hedge se correlacionan a la perfección, h* = 1. 
- Ahora, para encontrar el número óptimo de contratos para abrir se encuentra según: 
QA: cantidad de activos físicos necesito (unidades del activo que nos importa). 
QF: cantidad de activos físicos que hay en cada contrato. 
N*: número óptimo de contratos futuros. 
- El numero óptimo de contratos es entonces: 
 
- Apliquémoslo al siguiente ejemplo: 
Una aerolínea espera comprar 2 millones de galones de combustible para aviones en 1 mes 
y decide utilizar futuros de combustible de automóvil para cobertura. Supongamos que 
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obtenemos las siguientes desviaciones y correlación a partir de una tabla que nos muestra 
los cambios en los últimos 15 meses: σF = 0,0313 y σS = 0,0263 con una correlación p = 0,928. 
Cada contrato de combustible de auto comercializado por el Grupo CME tiene 42.000 
galones. ¿Cuántos contratos de 
- Esto nos deja con h *: 
 
- Por tanto, el número óptimo de contratos es: 
 
- Los futuros sirven no solo para cubrir flujos con tasas de interés o riesgo operacional, con 
commodities. Sino que también sirve para cubrir portafolios por medio de índices accionarios. 
Futuros sobre índices accionarios se pueden usar para: 
1- Proteger el valor de un portafolio diversificado de acciones 
2- Modificar el “beta” de un portafolio diversificado de acciones 
- Permite “salirse del mercado” (sacar las inversiones del mercado) por un periodo de tiempo 
evitando los costos de rebalancear el portafolio. Definamos: 
VA: valor actual del portafolio. 
VF: valor actual de un contrato futuro (unidades × precio futuro). 
- Si el portafolio no replica el índice, el hedge ratio óptimo está dado por el “beta” del CAPM 
(con el índice como portafolio de mercado). Entonces, el numero óptimo de contratos es: 
 
Supongamos que un portafolio con un valor de $5.050.000 imita el S&P 500, pero no a la 
perfección ya que el portafolio tiene un β = 1,5. El precio de futuros del índice es de $1.010 
y cada contrato de futuros tiene un valor de 250 veces el índice. En este caso, tenemos que 
VA = $5.050.000 y VF = $1.010 x 250 = $252.500. ¿Cuántos contratos de futuro se necesitan 
para protegerel portafolio? 
 
- El hedge ratio óptimo reduce el beta de un portafolio a cero. Podemos usar distintos hedge 
ratios para modificar el beta de un portafolio, si el beta de nuestro portafolio sin cobertura es 
β, el portafolio con cobertura tiene beta: 
β* = beta [h ∆VA − h ∆VF] = β − h × 1 
- Podemos modificar el beta de nuestro portafolio a un valor β* (por ejemplo, de 1,5 a 0,75), 
tomando una posición corta en: 
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- En el ejemplo anterior, para bajar el β de 1,5 a 0,75 habría que tomar: 
(0,75 – 1,5) 
𝟓.𝟎𝟓𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟓𝟐.𝟓𝟎𝟎
 = –15 
- Una posición corta en 15 contratos. Si queremos subir el β de 1,5 a 2 hay que irse en largo con 
10 contratos. El signo te indica si es posición corta (–) o posición larga (+). 
- Antes habíamos visto lo que sucedía cuando el contrato vencía antes de que necesitáramos el 
activo. También puede pasar que el contrato vence antes de lo que queremos. 
- En este caso se puede implementar la estrategia stack and roll, que consiste tomar la misma 
cantidad de contratos en un nuevo forward con mayor plazo de vencimiento y luego cerrar el 
forward que teníamos abierto inicialmente. Repetir cuantas veces sea necesario. 
 
- En la práctica muchas empresas usan sólo futuros que vencen el siguiente mes, o front–month 
futures (porque son más líquidos) y siguen la estrategia stack and roll para completar la 
cobertura. 
- Si se hace una cobertura perfecta, se deberá usar el mismo número de contratos a lo largo de 
la estrategia. 
- Al considerar los forwards y futuros, es importante distinguir entre activos de inversión y activos 
de consumo. Un activo de inversión es un activo que se mantiene con fines de inversión por al 
menos algunos comerciantes. Las acciones y los bonos son claramente activos de inversión. El 
oro y la plata también son ejemplos de activos de inversión (aunque tengan un uso industrial). 
- Un activo de consumo es un activo que se mantiene principalmente para consumo. 
Normalmente no se mantiene para inversión. Ejemplos de activos de consumo son productos 
básicos como cobre y petróleo crudo (commodities cuyo fin es usarlos en la empresa, no para 
tenerlo como reservas de valor). 
- Supuestos: 
1- No existen costos de transacción (comisión). 
2- Los participantes del mercado están sujetos a la misma tasa de impuestos. 
3- Los participantes del mercado pueden prestar y endeudarse a la misma tasa libre de riesgo. 
4- Los participantes del mercado aprovechan cualquier oportunidad de arbitraje que 
encuentren. 
- Usaremos la siguiente notación: 
1- T: tiempo restante para la fecha de entrega de un contrato forward o futuro (en años). 
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2- S0: precio spot hoy del activo subyacente. 
3- Ft: precio forward o precio futuro en t. 
4- r: tasa anual, libre de riesgo, continuamente compuesta, cero cupón. 
- El precio forward hoy, F0, de un contrato con entrega en T, sobre un activo de inversión que no 
paga dividendos, cuyo precio spot es S0, debe cumplir: F0 = S0 erT para no permitir oportunidades 
de arbitraje. 
Sea el precio spot de una acción igual a $40, el precio del futuro a 3 meses es $43 y la tasa 
libre de riesgo anual es del 5%. La acción no entrega dividendos. ¿Hay oportunidad de 
arbitraje? 
- Un arbitrador puede pedir prestados $40 a una tasa de interés libre de riesgo del 5% anual, 
comprar una acción y vender en corto el forward. Al final de los 3 meses, se entrega la acción 
en forma de pago del forward y recibo $43. La suma de dinero requerida para pagar el préstamo 
es de F0 = S0 (1 + 5%)0,25 = S0 erT = $40 e5% x 0,25 = $40,5. En el neto quedé con $43 – $40,5 = $2,5. 
- La fórmula anterior asume que el activo subyacente no entrega ningún flujo durante la vida del 
contrato. ¿Qué hacer si entrega flujos/dividendos? El precio forward de un contrato que paga 
dividendos con valor presente igual a I debe cumplir: F0 = (S0 − I) erT = (S0 – DivT e–rT) erT 
Supongamos el mismo caso anterior, pero que la acción entrega un dividendo en 3 meses 
(justo antes de que cierre el forward) por un monto de $5. ¿Hay oportunidad de arbitraje? 
- El valor presente de los flujos que entrega la acción es de: 
$5e–5% x 0,25 = $4,93 
F0 = (S0 − I) erT = ($40 − $4,93) e5% x 0,25 = $35,51 
- El valor de un forward (f)¸es decir, la ganancia que genera el contrato en t va variando con el 
tiempo. Cuando recién se compra el futuro f es cero. Cuando estudiamos el riesgo base lo 
mencionamos implícitamente cuando preguntamos “¿cuánto ganamos al cerrar 
anticipadamente el contrato?”. 
- Supongamos que K es el precio de entrega de un contrato que se negoció hace algún tiempo. Al 
comienzo de la vigencia del forward, el precio de entrega se establece igual al precio forward 
en ese momento y el valor del contrato, f, es 0. A medida que pasa el tiempo, K permanece 
igual (porque es parte de la definición del contrato), pero el precio del forward cambia y el valor 
del contrato se vuelve positivo o negativo. 
- Un resultado general, aplicable a todos los contratos a largo plazo (tanto los activos de inversión 
como los activos de consumo), es 
f0 = (F0 – K)e–rT 
- Para ver por qué esta ecuación es correcta, asumamos que hoy formamos un portafolio que 
consiste en un contrato forward para comprar el activo subyacente por un monto K en T y un 
contrato forward para vender el activo por un monto F0 en T. 
VGC 
 
 
15 
 
- El pago del portafolio en el momento T es ST – K del primer contrato y F0 – ST del segundo 
contrato. La recompensa total es F0 – K y hoy se conoce con certeza. Por lo tanto, el portafolio 
es una inversión libre de riesgo y su valor actual es el pago en T descontado a la tasa libre de 
riesgo (F0 – K)e–rT. 
- Hoy, f del portafolio es cero. De ello se deduce que K = F0. Una vez que se calcula K, queda fijo. 
Sin embargo, se puede usar otra fórmula para ir calculando el valor del contrato en el tiempo: 
f0 = (F0 – K)e–rT 
f0 = (S0erT – K)e–rT 
f0 = S0 – Ke–rT 
- Apliquémoslo a un ejemplo: 
Hace un año tomamos una posición larga en un contrato forward sobre una acción que no 
paga dividendos y el precio de entrega acordado es de $24. Al contrato forward le quedan 6 
meses hasta su vencimiento. Si la tasa anualizada a 6 meses es 10% y el precio de la acción 
hoy es $25. ¿Cuánto vale este contrato forward hoy? 
F0 = S0 erT = $25 e10% x 0,5 = $26,28 
f = (F0 – K)e–rT = ($26,28 – $24)e–10% x 0,5 = $2,17 
f = S0 – Ke–rT = $25 – $24e–10% x 0,5 = $2,17 
¿Cómo cambia la respuesta si la acción paga un dividendo en tres meses por un monto de 
$2? Considerando que la tasa anualizada a tres meses es de 8%. 
F0 = (S0 – Div e–rT) erT = ($25 – $2e–8% x 0,25) e10% x 0,5 = $24,22 
f = (F0 – K)e–rT = ($26,28 – $24)e–10% x 0,5 = $0,21 
- Cuando las tasas de interés varían de manera impredecible (como lo hacen en el mundo real), 
los precios de forwards y futuros ya no son los mismos en teoría. Podemos tener una idea de 
la naturaleza de la relación al considerar la situación en la que el precio del activo subyacente, 
S, está fuertemente correlacionado positivamente con las tasas de interés. 
- Cuando S aumenta, un inversor que mantiene una posición de futuros larga obtiene una 
ganancia inmediata debido al procedimiento de liquidación diario. La correlación positiva 
indica que es probable que las tasas de interés también hayan aumentado. 
- Por lo tanto, la ganancia tenderá a invertirse a una tasa de interés más alta que la media. Del 
mismo modo, cuando S disminuye, el inversor incurrirá en una pérdida inmediata. Esta pérdida 
tenderá a financiarse a una tasa de interés inferior a la media. 
- Un inversor con un forward en lugar de un futuros no se ve afectado por los movimientos de 
las tasas de interés (ya que el precio F es acordado por las contrapartes). De ello se deduce 
que un contrato de futuros a largo plazo será un poco más atractivo que un contrato a largo 
plazo similar. 
VGC16 
 
Por lo tanto, cuando S está fuertemente correlacionado positivamente con las tasas de interés, 
es mejor tener una posición larga en futuro que posición larga en forward. 
 
- Las diferencias teóricas entre los precios forwards y futuros de los contratos que duran solo 
unos pocos meses son, en la mayoría de los casos, lo suficientemente pequeños como para ser 
ignorados. 
- En la práctica, hay una serie de factores que no se reflejan en los modelos teóricos que pueden 
hacer que los precios futuros y futuros sean diferentes. Estos incluyen impuestos, costos de 
transacción y requisitos de margen. El riesgo de incumplimiento de la contraparte puede ser 
menor en el caso de un contrato de futuros debido a la función de la cámara de compensación 
de cambio. Es decir, fricciones. 
- Además, en algunos casos, los contratos de futuros son más líquidos y más fáciles de negociar 
que los forwards. A pesar de todos estos puntos, para la mayoría de los propósitos es razonable 
suponer que los precios forward y futuros son los mismos. Esta suposición haremos. Se usará F0 
para representar tanto el precio de futuros como el de forwards. 
- Ahora pasamos a considerar contratos de divisas extranjeras forwards y futuros desde la 
perspectiva de un inversor estadounidense. El activo subyacente es una unidad de la moneda 
extranjera. Por lo tanto, definiremos la variable S0 como el precio spot actual en dólares 
estadounidenses de una unidad de la moneda extranjera y F0 como el precio forwards o futuros 
en dólares estadounidenses de una unidad de la moneda extranjera. 
- Sin embargo, no se corresponde necesariamente con la forma en que se cotizan los tipos de 
cambio spot y forward. Para los tipos de cambio más importantes que no sean la libra esterlina, 
el euro o el dólar australiano, un tipo de cambio al contado o forwards normalmente se cotiza 
como el número de unidades de la moneda que equivalen a un dólar estadounidense. 
- Una moneda extranjera tiene la propiedad de que el titular de la moneda puede ganar intereses 
a la tasa de interés libre de riesgo que prevalece en el país extranjero. Por ejemplo, el titular 
puede invertir la moneda en un bono denominado en el extranjero. Definimos rf como el valor 
de la tasa de interés libre de riesgo extranjera cuando se invierte dinero por tiempo T. La 
VGC 
 
 
17 
 
variable r es la tasa libre de riesgo cuando se invierte dinero para este periodo en dólares 
estadounidenses. La relación entre F0 y S0 es 
F0 = S0𝐞(𝐫 −𝐫𝒇)𝐓 
- Esto se cumplirá siempre y cuando el tipo de cambio esté representado en la forma: 
X monto 
𝐌𝐨𝐧𝐞𝐝𝐚 𝐧𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥
𝐌𝐨𝐧𝐞𝐝𝐚 𝐞𝐱𝐭𝐫𝐚𝐧𝐣𝐞𝐫𝐚
 
- Es decir, debo dar un monto X de mi moneda nacional por 1 de tu moneda internacional. En 
las pruebas y ejercicios esto se presentará como: el valor spot de “moneda extranjera” es $X. 
Significa que debo dar $X de mi moneda extranjera por 1 de tu moneda extranjera. 
- Esta es la conocida relación de paridad de tasas de interés de las finanzas internacionales. La 
razón por la cual es cierta se ilustra en el siguiente diagrama: 
 
- Supongamos que un individuo comienza con 1,000 unidades de la moneda extranjera (€). Hay 
dos formas en que puede convertirse a dólares ($) en el momento T: 
1- Invirtiéndola durante T años en rf (tasa de interés europea) y celebrando un contrato 
forwards para vender los ingresos en dólares en el momento T. Esto genera 1,000er𝑓 TF0 
dólares. 
2- Intercambiando la moneda extranjera por dólares en el mercado spot e invirtiendo los 
ingresos durante T años a la tasa r (tasa de interés de EEUU). Esto genera 1,000S0erT dólares. 
En ausencia de oportunidades de arbitraje, las dos estrategias deben dar el mismo resultado. 
- Por lo tanto, 
1000er𝑓T F0 = 1000S0erT 
F0 = S0e(r−r𝑓)T 
Supongamos que las tasas de interés a 2 años en Australia y los Estados Unidos son del 3% y 
1%, respectivamente, y el valor spot del dólar australiano es 0,98 USD por 1 AUD. 
- El tipo de cambio forward de 2 años debe ser 
F0 = S0e(r−r𝑓)T = 0,98e(1% – 3%) x 2 = 0,9416 
VGC 
 
 
18 
 
- Supongamos primero que el tipo de cambio forward de 2 años es menor que esto, digamos 
0.9300. Se puede buscar oportunidad de arbitraje al: 
1- Pedir prestados 1.000 AUD al 3% anual durante 2 años, convertirlos a 980 USD e invertirlos 
al 1%. 
2- Dado que me endeudé en AUD, deberé pagar la deuda más intereses en AUD: 1,000e3% x 2 = 
1.061,84. El tipo de cambio que usaré será el del forward. 1.061,84 x 0,9416 = 987,51 USD. 
- Por lo tanto, la estrategia da lugar a una ganancia sin riesgo de $999,80 – $987,51 = $12,29 USD. 
- A este tipo de forward se le conoce como paridad cubierta de tasas de interés. Y se caracteriza 
por la relación que establece entre las tasas de interés de los distintos países, la tasa de cambio 
y el contrato forward. 
- Lo importante es que, al usar la fórmula F0 = S0𝐞(𝐫 − 𝐫𝒇)𝐓, si r > rf, F0 > S0. 
- En resumen, el paso a paso a hacer en este tipo de ejercicios es: 
1- Obtengo el F0 del tipo de cambio en T 
2- Me endeudo en la moneda extranjera y paso a moneda local para invertir en moneda local 
3- Veo cuánta deuda e interés deberé pagar en T en moneda extranjera 
4- Multiplico dicho monto por F0 
5- Tomo la cantidad de forwards hoy para dicho monto 
6- Si hay arbitraje, disfrutar de las ganancias (?) 
- Viéndolo en un diagrama de paso a paso: 
 
Acciones T = 0 T = 2 
Camino 1 + 1.000 AUD → $980 USD → 0 999,8 USD 
Camino 2 987,51 forwards AUD/USD – 1.061,84 AUD → – 987,51 USD 
Neto 0 12,29 USD 
 
- Las estrategias de cobertura de los productores de oro conllevan el requisito de los bancos de 
inversión de pedir prestado oro. Los propietarios de oro, como los bancos centrales, cobran 
intereses en forma de lo que se conoce como tasa de arrendamiento de oro cuando prestan 
oro. Lo mismo es cierto para la plata. Por lo tanto, el oro y la plata pueden proporcionar ingresos 
al titular. Al igual que otros productos, también tienen costos de almacenamiento. 
- Habíamos visto que, en ausencia de costos e ingresos de almacenamiento, el precio forward de 
un producto que es un activo de inversión viene dado por 
F0 = S0erT 
- Los costos de almacenamiento pueden tratarse como ingresos negativos. Si U es el valor 
presente de todos los costos de almacenamiento, neto de ingresos, durante la vida de un 
contrato forward, se deduce que el precio del forward será: 
F0 = (S0 + U)erT 
VGC 
 
 
19 
 
- Veamos un ejemplo: 
Considere un contrato de futuros de 1 año sobre un activo de inversión que no proporciona 
ingresos. Cuesta $2 por unidad almacenar el activo, y el pago se realiza al final del año. 
Suponga que el precio spot es de $450 por unidad y que la tasa libre de riesgo es del 7% 
anual para todos los vencimientos. ¿Cuál es el precio del forward? 
U = 2e–7% x 1 = $1,87 
- F0, viene dado por 
F0 = ($450 + $1,87)e7% x 1 = $484,63 
- Cualquier precio distinto a este permite arbitraje: 
1- Si F0 > (S0 + U)erT, un arbitrador obtiene una ganancia si: 
i Endeudarse para comprar el activo hoy y pagar los costos de almacenaje. 
ii Tomar una posición corta en el contrato forward. 
2- Si F0 < (S0 + U)erT, se obtiene ganancia si: 
i Vender el activo hoy e invierte ese flujo a la tasa libre de riesgo. 
ii Tomar una posición larga en el contrato forward. 
- Se conoce como convenience yield al beneficio que entrega un activo de consumo. Por 
ejemplo, para una refinadora de petróleo el convenience yield es el beneficio que significa 
tener petróleo en inventario y no parar la operación por falta de petróleo. Este beneficio no 
lo entrega una posición larga en el contrato forward o futuro. 
- El convenience yield es alto si se espera que haya escasez del activo en el futuro, y es bajo si 
hay altos inventarios en el presente. 
- Podemos definir el convenience yield, “y”, de tal forma que se cumpla: 
F0eyT = (S0 + U)erT 
F0 = (S0+ U)e(r – y)T 
- Si los costos de almacenamiento se miden en términos de rentabilidad, u: 
F0 = S0e(r + u – y)T 
- Nos referimos a la opinión promedio del mercado sobre cuál será el precio spot de un activo en 
un momento futuro determinado como el precio spot esperado del activo en ese momento. 
- Supongamos que ahora es junio y el precio de futuros del maíz en septiembre es de 350 dólares. 
Es interesante preguntar cuál es el precio spot esperado del maíz en septiembre. ¿Es menos de 
350 dólares, más de 350 dólares o exactamente igual a 350 dólares? 
- El precio de futuros converge al precio spot al vencimiento. Si el precio spot esperado es inferior 
a 350 dólares, el mercado debe esperar que el precio de los futuros de septiembre disminuya, 
por lo que los operadores con posiciones cortas ganan y los operadores con posiciones largas 
pierden. Si el precio spot esperado es mayor a 350 dólares, lo contrario debe ser cierto. 
VGC 
 
 
20 
 
- El mercado debe esperar que aumente el precio de los futuros de septiembre, de modo que los 
operadores con posiciones largas ganen mientras que aquellos con posiciones cortas pierdan. 
Es decir, 
1- Si E(ST) < F0 ⇒ E(FT) < F0, se espera que una posición corta gane y una posición larga pierda. 
2- Si E(ST) > F0 ⇒ E(FT) > F0, se espera que una posición corta pierda y una posición larga gane. 
- Keynes & Hicks plantean que: 
1- Especuladores exigen un premio por asumir riesgo, mientras que hedgers están dispuestos 
a pagar por disminuir sus riesgos. 
2- Si especuladores mantienen posiciones cortas y hedgers posiciones largas ⇒ E(ST) < F0. 
3- Si especuladores mantienen posiciones largas y hedgers posiciones cortas ⇒ E(ST) > F0. 
- Si un especulador toma una posición larga en un forward porque cree que E(St) > F0, el 
especulador invierte una cantidad F0e–rT a la tasa libre de riesgo para luego comprar el activo en 
T a un precio F0 y venderlo inmediatamente en el mercado a ST. 
- Entonces: 
1- En t = 0, sus flujos son: –F0e–rT 
2- En t = T sus flujos son: F0 – F0 + ST = ST 
- El VPN de esta inversión es 
–F0e–rT + E(ST)ekT 
- donde k es la tasa de descuento apropiada. Ergo, 
VPN = E(ST)e(r – k)T – F0 
- Según el CAPM, la tasa de descuento (retorno esperado), k, depende del riesgo sistemático del 
activo: 
 
- Cuando el precio de los futuros está por debajo del precio spot futuro esperado, la situación se 
conoce como “backwardation”; y cuando el precio de futuros está por encima del precio spot 
futuro esperado, la situación se conoce como “contango”. Sin embargo, debe tenerse en cuenta 
que a veces estos términos se usan para referirse a si el precio de futuros está por debajo o por 
encima del precio spot actual, en lugar del precio spot futuro esperado. En otras palabras: 
1- Contango: F0 > S0 (esto es lo normal a menos que la tasa de interés sea negativa). 
2- Backwardation: F0 < S0 
VGC 
 
 
21 
 
 
- Por otro lado, 
1- Normal Contango: F0 > E(S0): procesadores del commodity dominan el mercado, es decir, 
hedgers tienden a tomar posiciones largas y especuladores toman la posición corta. 
2- Normal Backwardation: F0 < E(ST): productores del commodity dominan el mercado, es decir 
hedgers tienden a tomar posiciones cortas y especuladores toman la posición larga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VGC 
 
 
22 
 
Opciones 
- El otro tipo de contrato es aquel que contrato que “protege” el precio. Funcionan como un 
seguro frente a caídas o subidas del precio. Por ejemplo, las opciones. Es como un forward, 
pero una vez llegada la fecha de la transacción, el comprador puede decidir si efectivamente 
compra o no. ¿Qué incentivo tiene la contraparte? Cobra un interés para disminuir el riesgo. 
- Las opciones se denominan “put” o “call” dependiendo de si dan derecho (no obligación) a 
vender o comprar a un determinado precio, respectivamente. Este precio se denomina precio 
de ejercicio (K). 
- Además, estos derivados especifican una fecha para el ejercicio: 
1- Opciones europeas: Sólo puede ser ejercida en una fecha predeterminada específica. 
2- Opciones americanas: Puede ser ejercida en cualquier momento hasta una determinada 
fecha. 
- Usaremos la siguiente notación: 
 
- Si compro una opción, hoy pago un cierto precio (prima) y cuando la opción vence puedo 
ejercerla o no al precio del ejercicio. Dado que la prima (c0 o po) se paga hoy, en el periodo T 
dicho monto habría tenido un valor de cT = c0 erT. Veamos un ejemplo de compra de opción: 
 
Supongamos que hoy las acciones de Apple están a $45, y sabemos que el próximo mes van 
a sacar un nuevo y revolucionario iPhone y creemos que eso hará que suba el valor de sus 
acciones. Queremos tener una acción en el futuro, pero considerando el precio de hoy, por 
lo que se compra una call option europea a $50 a tres meses, con una prima de $5. Esto 
significa que de aquí a tres meses podremos ejercer la opción, y entonces el vendedor nos 
tendría que vender la acción a $50. Además, supongamos la tasa de interés anualizada a tres 
meses es 10%. 
 
- De aquí se derivan tres casos dependiendo de cuánto valga la acción de Apple en tres meses: 
1- El valor es menor a $50 (ST – K < 0): En este caso simplemente no compramos la acción 
de Apple, es decir, no ejercemos el derecho. De nada nos sirve ejercer la opción, pagarle 
$50 para luego venderla en el mercado a menos que eso. Quedamos con pérdidas $5. 
VGC 
 
 
23 
 
2- El valor está entre $50 y $55,5 (ST – K < c0 erT): Aquí ejercemos la opción, sin embargo, el 
beneficio obtenido no es suficiente como para compensar la prima de la opción. 
Quedamos con pérdidas. 
3- El valor es mayor a $55,5 (ST – K – c0 erT > 0). Aquí volvemos a ejercer la opción, la utilidad 
es suficiente como para cubrir el costo de la opción y salir con una ganancia neta. 
- Ahora veamos el caso de una put option: 
 
Supongamos que, ante el nuevo y revolucionario iPhone, hay expectativas de que el precio 
de las acciones de Samsung caiga. Decidimos entonces vender una acción (comprar una put 
option) a $50 en tres meses, también con una prima de $5. Esto significa que de aquí a tres 
meses podremos ejercer la opción, y entonces el comprador nos tendrá que comprar la 
acción a $50. Además, supongamos rT = 10%. 
 
- De aquí tres tipos de casos análogos al anterior: 
1- El valor es mayor a $50 (K – ST < 0): No ejercemos la opción de venta ya que habría que 
comprar una acción a más de $50 para luego venderla en $50. Quedamos en pérdida por 
–5,5. 
2- El valor está entre $44,5 y $50 (K – ST > 0, pero K – ST – p0 erT < 0): Ejercemos la opción 
para disminuir las pérdidas por la prima. 
3- El valor es menor a $44,5 (K – ST – p0 erT > 0): Ejercemos la opción. La utilidad neta, ya 
descontada la prima, es positiva. 
- De manera más formal, el flujo de pago de las opciones estará determinado por el precio spot, 
el precio del ejercicio y por sus primas: 
1- Call option: máx(0, ST – K) 
2- Put option: máx(K – ST, 0) 
- Según la relación entre las variables se dice que una opción está (suponiendo r = 0%): 
1- In-The-Money (ITM): El flujo de pagos te deja un beneficio. Para un call sería: ST > K. Para 
un put sería: ST < K. 
2- Out-of-The-Money (OTM): El flujo de pagos te deja una pérdida: Para un call sería: ST < 
K. Para un put sería: ST > K. 
3- At-The-Money (ATM): El flujo de pagos no genera pérdida ni ganancia. Para un call sería: 
ST = K. Para un put sería: ST = K. 
- Ahora, veamos el análisis de las opciones desde la contraparte (la parte que vende las 
opciones). La parte que no tiene el derecho. Por ejemplo: 
 
Supongamos que usted le vende una opción put a su amiga con un precio de ejercicio de $50 
y una prima de $5. ¿Cuál será el flujo de opción si el precio spot es $40 y r es 0? 
 
- Yo estoy vendiendo una put, esto quiere decir que tengo que comprarle el activo subyacente 
a mi amiga en caso de que ella quiera ejercerla opción. 
- En este caso a mi amiga le conviene ejercer su derecho, ya que puede comprar una acción en 
$40, vendérmela en $50 y yo, obligatoriamente deberé comprársela. Luego, la venderé en el 
mercado a $40, lo que me deja en una pérdida de –$10, pero tengo la prima (P0) de $5. Por lo 
que mi utilidad neta es de –$5. 
VGC 
 
 
24 
 
- Si el precio spot hubiese sido de $60, ella habría tenido que comprar una acción en $60 y 
vendérmela en $50, lo que no le habría convenido, por lo que no ejerce la opción. Mi utilidad 
neta sería de $5. 
- Todo esto se puede resumir en el siguiente cuadro: 
 
 
- Los flujos también se pueden resumir en: 
 
VGC 
 
 
25 
 
- Dado que el mercado es anónimo, un inversionista que quiere cerrar su posición puede entrar 
en la posición opuesta del mismo contrato. 
1- Un inversionista con una posición larga que quiere salir del mercado puede ejercer la opción 
(si es americana) o abrir una posición corta por igual número de la misma opción. 
2- Un inversionista con una posición corta que quiere salir del mercado puede ejercer la opción 
(si es americana) o abrir una posición larga por igual número de la misma opción. 
- Los inversionistas a veces combinan posiciones en opciones por medio de mantener un 
portafolio de éstas. Dentro de los portafolios de opciones más comunes podemos encontrar: 
- El cono. Un portafolio de opciones tipo cono se caracteriza por tener dos posiciones largas, se 
compra una call y una put del mismo activo subyacente, a un mismo precio de ejercicio y con 
igual fecha de vencimiento. ¿Cuál es la lógica de esto? Digamos que el precio del activo 
subyacente es cero, a uno sí o sí le conviene ejercer el put y no el call, de esta manera uno tiene 
una utilidad segura. Por otro lado, si el precio es infinito, no ejerzo la put, pero si la call, así 
tendré una utilidad enorme de manera segura. Gráficamente: 
 
 
 
- Al combinar una opción call (línea gris, la no punteada de la derecha) con una put (línea negra, 
la no punteada de la izquierda), se obtiene flujo de pago positivo siempre y cuando no se expire 
at the money (St – K = 0). Entre más lejos esté el precio spot del precio de ejercicio, mayor será 
el flujo de pago (línea continua). 
- Sin embargo, para construir la combinación se requiere comprar ambas opciones, por lo que las 
utilidades después de deducir este costo son negativas para precios de acciones cercanos al de 
ejercicio, y positivas en cualquier otro lado (línea discontinua). 
- Esta estrategia es perfecta para activos subyacentes volátiles (ya sea que el precio sube o baja 
mucho). Por el contrario, si se cree que el activo subyacente no tendrá grandes cambios, si se 
cree que el activo se mantendrá estable, entonces se vende el cono, es decir, se toma posición 
corta en la put y la call. 
- Es importante denotar que, para determinar la cantidad de activos que tiene un flujo, es cosa 
de encontrar la pendiente de dicho flujo. Este tip es muy útil para cuando te pidan imitar 
flujos. 
VGC 
 
 
26 
 
- Una opción “naked” es una estrategia de opciones en la que un inversionista vende opciones 
call o put en el mercado abierto sin poseer el activo subyacente. Esto contrasta con una 
estrategia cubierta, donde el inversor posee el subyacente. 
- A diferencia de las posiciones largas, una opción naked, o bien, una posición corta en una 
opción requiere tener una cuenta de margen. Esto se debe a que las pérdidas pueden llegar a 
ser enormes sino infinitas. A diferencia de una posición larga en la cual, en el peor de los casos, 
se pierde la prima de la opción. 
- Por definición, la institución que se encarga de las opciones naked establece una cantidad de 
100 activos por contrato. El margen inicial requerido para una posición larga en naked call 
option es el mayor de los dos cálculos siguientes: 
1- La prima más el 20% del precio de la acción subyacente menos el monto out–of–the–money 
(si es que está out of the money). 
2- La prima más el 10% del precio de la acción subyacente. 
- Ergo, 
Margen inicial = N x Q x max(C0 + 0,2 x S0 – (K – S0); C0 + 0,1 x S0) 
- Para una naked put option, es la mayor de 
1- Prima más el 20% del precio de la acción subyacente menos el monto out–of–the–money (si 
es que está out of the money). 
2- Prima más el 10% del precio de ejercicio. 
- Ergo, 
Margen inicial = N x Q x max(P0 + 0,2 x S0 – (S0 – K); P0 + 0,1 x S0) 
- El 20% en los cálculos anteriores se reemplaza por el 15% para las opciones en un índice bursátil 
de base amplia porque un índice bursátil generalmente es menos volátil que el precio de una 
acción individual. 
- Hay restricciones de margen para posiciones largas especifican máximo porcentaje a pagar con 
deuda. Por ejemplo: 
1- Opciones de corto plazo (menos de 9 meses), 0% deuda. 
2- Opciones de largo plazo (más de 9 meses), hasta 25% del precio con deuda. 
- Por ejemplo: 
Un inversor escribe cuatro naked call options sobre una acción. El precio de la opción es de 
$5, el precio de ejercicio es de $40 y el precio de las acciones es de $38. 
Debido a que la opción está $2 out of the money, el primer cálculo da 
N x Q x (c0 + 0,2 x S0 – (K – S0)) 
4 x 100 x (5 + 0,2 x 38 – 2) = $4.240 
El segundo cálculo da 
4 x 100 x (5 + 0,1 x 38) = $3.520 
VGC 
 
 
27 
 
Por lo tanto, el margen inicial requerido es de $4.240. Si la opción hubiera sido una opción put, 
sería $2 in the money y el margen requerido sería: 
Margen inicial = N x Q x max(p0 + 0,2 x S0 – (S0 – K); p0 + 0,1 x S0) 
4 x 100 x max(5 + 0,2 x 38; 5 + 0,1 x 38) = $5.040 
- No se resta S0 – K ya que en este caso se considera “in the money”. 
- Supongamos tenemos N opciones de Q acciones con precio de ejercicio K, en caso de dividendo 
en efectivo no hay ajuste a la posición. En caso de split (se multiplica la cantidad de acciones 
en el mercado) en que la cantidad aumenta en una proporción 
n
m
 (n > m), para que no tenga 
efecto en una posición: 
1- el precio de ejercicio baja a mK/n 
2- tamaño de la posición aumenta a nQ/m. 
Ejemplo: Opción Call para comprar 100 acciones a un precio de $20 por acción. Después de 
un split 2 por 1 (se duplica la cantidad de acciones) los términos cambian a: el precio de 
ejercicio cambia a $20/2 = $10 o el tamaño de la opción aumenta a 2 × 100 = 200, es decir, 
da derecho a comprar 200 acciones. 
- Dividendos en acciones es equivalente a un split con n < m. 
- Los warrants son opciones emitidas por una institución financiera o corporación no financiera. 
Un uso común de warrants es en el momento de la emisión de bonos. La corporación emite 
warrants sobre sus propias acciones y luego los adjunta a la emisión de bonos para que sea más 
atractiva para los inversores. 
1- Después de la emisión, el número de warrants cambia sólo cuando se ejercen o expiran. 
2- Cuando una compañía emite call warrants, ejercicio implica emisión de nuevas acciones. 
3- Típico ejemplo: compañía emite bonos con warrants sobre sus acciones como “agregado”. 
- Las opciones sobre acciones para empleados/employee stock options son opciones call (con 
activo subyacente la acción de la empresa) entregadas a los empleados para motivarlos a 
actuar en el mejor interés de los accionistas de la compañía. Por lo general, están en ATM. Por 
norma de la FASB están entregas se contabilizan en los EERR. El ejercicio implica emisión de 
nuevas acciones. 
- Los bonos convertibles son bonos emitidos por una empresa que pueden convertirse en 
acciones en determinados momentos utilizando una relación de cambio predeterminada. Por 
lo tanto, son bonos con una opción de compra integrada en las acciones de la empresa. 
- Los callable bonds son bonos corporativos en que el emisor tiene el derecho a prepagar o 
recomprar el bono antes de su fecha de expiración. 
- Hay seis factores que afectan el precio de una opción de compra de acciones: 
1- El precio actual de las acciones, S0 
2- El preciode ejercicio, K 
3- El tiempo de vencimiento, T 
4- La volatilidad del precio de las acciones. 
VGC 
 
 
28 
 
5- La tasa de interés libre de riesgo, r 
6- Los dividendos que se espera pagar. 
- Consideramos qué sucede con los precios de las opciones (c0, p0, C0, P0) cuando hay un cambio 
en uno de estos factores, y todos los demás factores permanecen fijos. Los resultados son 
resumidos en la siguiente tabla: 
 
- Precio de acciones y strike price. Si se ejerce una call, el beneficio obtenido es el precio de la 
acción excede el precio de ejercicio (ST – K) . Por lo tanto, las call se vuelven más valiosas a 
medida que aumenta ST y menos valiosas a medida que aumenta K. Bajo esta misma lógica, 
las put se vuelven menos valiosas a medida que aumenta ST y más valiosas a medida que 
aumenta K ya que el beneficio al ejercer la opción es K – ST. 
- Volatilidad. La lógica es simple, cuando compras una opción, en el peor de los casos no la ejerces 
y pierdes el monto que pagaste por ella. Pero si la volatilidad es muy grande, tu probabilidad de 
generar ganancias aumenta, mientras que la probabilidad de generar pérdidas se mantiene 
constante. Por tanto, a mayor volatilidad, mayor es el valor presente de la opción, ergo, mayor 
es su precio. 
- Tiempo de expiración. El caso de la expiración se puede resolver de una forma similar a la 
volatilidad. Para opciones americanas (las que se pueden ejercer en cualquier momento), a 
medida que el tiempo hasta la expiración aumenta, el dueño de la opción tiene más 
alternativas para ejercer, lo que hace que la opciones americana sea más valiosa. Para opciones 
europeas (solo se pueden ejercer en T), a medida que el tiempo hasta la expiración aumenta, 
generalmente la opción se hace más valiosa, porque aumenta la incertidumbre acerca del 
precio de la acción al momento de expiración la opción. Sin embargo, si consideramos 
dividendos, podrían hacerse menos valiosas a medida que aumentamos el tiempo hasta la 
expiración. 
- Tasa de interés libre de riesgo. A medida que la tasa interés aumenta, el valor presente de 
cualquier flujo futuro recibido por el dueño de una opción disminuye. Si vemos las ganancias de 
las call y puts: 
 
 
VGC 
 
 
29 
 
- Dejando ST constante, una mayor tasa de interés hace que K baje en el caso de las call y suba en 
el caso de las put. 
- Cantidad de dividendos futuros. Según la teoría, el precio de una acción debe caer cuando esta 
emite dividendos (si la acción valía $10, emite un dividendo de $1, la acción debería valer $9 
después de la emisión). Por lo tanto, si hay dividendos, ST va a caer, lo que es malo para las calls 
y bueno para las put. 
- Ahora veremos los límites superior e inferior para los precios de las opciones. Si el precio de 
una opción está por encima del límite superior o por debajo del límite inferior existen 
oportunidades rentables para arbitrar. 
- Una opción de compra americana o europea le da al dueño el derecho de comprar una acción 
por un precio determinado (K). Pase lo que pase, la opción nunca puede valer más que la acción. 
Por lo tanto, el precio de la acción es un límite superior al precio de la opción: 
ct < St y C < St 
- Si estas relaciones no fuesen ciertas, se podría obtener fácilmente una ganancia sin riesgo 
comprando acciones y vendiendo la opción de compra. Asumamos St = $100, sabemos que 
cualquier llamada sobre este activo tiene que tener un precio Ct ≤ $100. Si, por ejemplo, Ct = 
$110 un árbitro puede comprar la acción y vender la opción generando inmediatamente una 
ganancia de $110 – $100 = $10. Como el inversionista es dueño de la acción, puede vender a 
cualquier precio K, si el dueño de la opción la ejerce. 
- Por otro lado, el precio de compra de la call americana debe ser: 
Ct > max(St – K, 0) 
- De lo contrario es una ganancia segura ya que se podría ejercer instantáneamente. 
- El caso de una call europea su límite inferior es: 
ct > max(St – Ke–rT; 0) 
- Supongamos que St = $20, K = $18, r = 10% y T = 1 año. S0 – Ke–rT = 20 – 18e–0,1 = 3,71. 
Supongamos que ct = $3.00, que es inferior al mínimo teórico de $3.71. Podríamos vender en 
corto la acción y comprar la call, con esto tenemos un ingreso $20 – $3 = $17. Si se invierte 
durante 1 año al 10% anual, crece a 17e0,1 = $18,79. Cuando venza la opción si ST > $18, se ejerce 
la opción por $18, cerramos la posición corta y se obtiene una ganancia de $18,79 – $18 = $0,79. 
Si ST < $18, no se ejerce la opción y se compra ST en el mercado para cerrar la posición corta. 
- Una opción put americana le da al titular el derecho de vender una acción de K. No importa 
cuán bajo sea el precio de la acción, la opción nunca puede valer más que K ya que de lo 
contrario se podría arbitrar. Por lo tanto, 
P < K 
- Para las opciones europeas, sabemos que al vencimiento, la opción no puede valer más que K. 
Se deduce que no puede valer más que el valor actual de K hoy: 
p < Ke–rT 
VGC 
 
 
30 
 
- De forma equivalente a las call, las put tienen límite inferior tal que: 
P > max(K – St; 0) 
p > max(Ke–rT – St; 0) 
- Habíamos definido: Valor Tiempo = Prima − Valor Intrínseco 
- Donde el VI equivale al valor de la call o put en cualquier momento. El valor tiempo de una 
opción podemos pensarlo como una combinación del valor tiempo del dinero y del insurance 
value (valor de la protección ante evento desfavorable). 
- El valor tiempo disminuye mientras la opción se hace más OTM o más ITM: 
 
- Es lógico pensar que el valor tiempo disminuye si estamos ITM ya que el valor intrínseco va 
aumentando con el precio del subyacente. El caso del OTM se debe a que el valor intrínseco 
es 0. Sin embargo, la prima también se ve afectada por ello, mientras más OTM esté una 
opción, menor valdrá, menor será la prima, menor será el valor tiempo. 
- Ahora veamos de qué manera se puede armar un portafolio de con los activos que hemos visto 
hasta ahora, para ello tengamos presente el siguiente caso: 
 
Supongamos que compraste una call option con precio de ejercicio de $50. Además, vendiste 
una put option con igual precio de ejercicio y fecha de vencimiento. ¿Cuál es el diagrama de 
pagos en t=1? 
 
- Calculemos primero los pagos el día de vencimiento: 
 
 
 
- La modelación gráfica es: 
VGC 
 
 
31 
 
 
Supongamos que, además, que compramos un bono libre de riesgo que paga $50 y vence en la 
misma fecha. 
- El portafolio de pagos en t = 1 será: 
 
- Gráficamente: 
 
- La acción paga su valor en ST. Al igual que el payoff total, su función de pagos es una línea recta 
con pendiente 45°. 
- Como podemos ver, este portafolio imita perfectamente los pagos de una acción. Por no 
arbitraje (LOOP), el precio o costo de haber construido este tipo de portafolio tiene que haber 
sido el mismo: 
pt – ct = Ke– r (T–t) – St 
 
- Por no arbitraje esta igualdad se tiene que cumplir en todo momento del tiempo, t. La idea es 
que sabiendo la prima de una de las opciones se puede obtener la prima de la otra. 
- En teoría, podemos obtener cualquier incógnita siempre y cuando tengamos los demás 
componentes. Por ejemplo, podemos obtener una tasa libre de riesgo sintética: 
VGC 
 
 
32 
 
 
- La paridad put call se define como la relación entre las primas de una call option europea y 
una put option europea, ambas con el mismo precio de ejercicio y fecha de vencimiento. Es 
decir: 
pt – ct = Ke–rT – (St – I) 
pt – ct = Ke–rT – Ste–qT 
- Recordar que I es el valor presente de los dividendos y que q es la dividend yield. 
- La estrategia llamada Box spread permite obtener una tasa de interés libre de riesgo a partir de 
los precios de opciones solamente: 
 
 
- Nunca es óptimo ejercer una opción call americana antes de su fecha de expiración si la acción 
no paga dividendos durante la vida de la opción. Si un inversionista desea cerrar una posición 
larga en una opción call americana antes de su fecha de vencimiento, elvalor de mercado 
siempre es mayor que el valor intrínseco (ya que Ct > max(St – K, 0), de lo contrario se podría 
arbitrar). 
- Al ejercer la opción en la fecha de vencimiento, el precio de ejercicio, K, se paga más tarde que 
si se pagara hoy al ejercer la opción inmediatamente, ganándose entonces intereses sobre K. Si 
asumimos que existe al menos un inversionista con efectivo K en la mano que desea mantener 
la acción comprada al ejercer la acción hasta la fecha de vencimiento. 
- Aun si la tasa fuera cero, si la opción se ejerce temprano, su posición en T tiene un valor ST , si 
espera a expiración su posición en T tiene un valor igual a max(K, ST ) y ST ≤ max(K, ST). 
VGC 
 
 
33 
 
- El derecho a ejercer la opción americana antes de la fecha de vencimiento, si la acción no paga 
dividendos, entonces, no tiene valor. Matemáticamente, ct = Ct. 
- En algunos casos puede ser una estrategia óptima ejercer una opción put americana sobre una 
acción que no paga dividendos antes de la fecha de expiración si la opción put está 
suficientemente in–the–money. ¿Por qué? 
- Asumamos que aún queda tiempo para la expiración y el precio de la acción es cero. Si se ejerce 
la opción inmediatamente, el dueño de la opción obtiene una ganancia K – St = K, y como P > 
max(K – ST; 0), P = K. Sin embargo, no es necesario que St = 0 para que sea óptima ejercer. Esto 
se debe a que, si el precio de la acción es casi cero, estaríamos eligiendo entre recibir K – ε hoy 
o recibir otro monto en el futuro (que puede ser menor o mayor): 
1- Si el valor de la acción sube, perderemos el beneficio que habíamos obtenido. 
2- Si el valor de la acción baja no necesariamente estaremos mejor ya que depende del valor 
tiempo del ΔSt. Si la tasa de interés es muy alta, puede que no convenga esperar a que el 
valor de la acción caiga. 
- En general, ejercer temprano una opción put americana se hace más atractivo cuando: 
1- St disminuye (el flujo hoy es mayor), 
2- r aumenta (los intereses que puedo recibir invirtiendo los ingresos de la venta de la acción 
son mayores), 
3- la volatilidad de la acción disminuye (el insurance value de la opción en menor). 
- Las compañías anuncian su intención de pagar dividendos en una fecha específica en el futuro: 
el día “ex–dividend”. Un inversionista que es dueño de una acción antes del día exdividend, 
tiene derecho a recibir el dividendo. El precio de la acción cae en $D/acción cuando la acción 
pasa a ex–dividend. 
- Una opción call pierde valor cuando el precio de la acción cae. Los mercados de opciones no 
compensan a los dueños de opciones call por la pérdida en valor que produce el reparto de 
dividendos. 
- Por lo tanto, los límites con dividendos son: 
1- max (St − D − Ke−rT, 0) < ct 
2- max (Ke−rT − St + D, 0) < pt 
- Donde D es el valor presente de los dividendos. 
- Con esto hay un ajuste en la put–call parity: 
ct + D − pt = St − Ke−rT 
- Ahora veremos estrategias de inversión y cobertura con opciones para ello asumimos que cada 
elemento de la estrategia se mantiene abierto hasta la fecha de expiración de las opciones. Hay 
que hacer diferencia entre flujos y ganancia/pérdida: 
1- Flujo: el monto de dinero por acción que se transfiere en un determinado momento. 
2- Ganancia/Pérdida: Flujo por acción en la fecha de expiración más flujo inicial por acción (es 
decir, ct, pt, St o Ke–r(T–t) ), sin considerar el valor tiempo del dinero. 
- Nos enfocaremos en las ganancias/pérdidas en la fecha de expiración de las opciones. 
VGC 
 
 
34 
 
- La primera estrategia que veremos es Principal Protected Notes. Esta permite tomar exposición 
al precio de un activo riesgoso sin poner en riesgo el capital inicial. Por ejemplo: un inversionista 
desea invertir $100, un banco puede ofrecerle el siguiente portafolio: 
1- Comprar un Activo Libre de Riesgo (ALR) con principal, K, $100. 
2- Compra una call europea con c < 100 − PV(100) 
 
- La gracia está en que los intereses que genera el ALR me cubre el costo de la call (por eso es 
importante que c < 100 − PV(100) = intereses que genera el ALR). En el peor de los casos “quedo 
igual”, en el mejor de los casos obtengo el valor intrínseco de la opción. 
- El banco consigue una ganancia y a la vez el inversionista no pone en riesgo su capital. Para el 
inversionista podría ser más costoso replicar la estrategia por su cuenta (enfrenta mayores 
costos de transacción, menor tasa de interés). 
- Otra estrategia es una covered call. Esta está compuesta por una posición larga en una acción 
y una posición corta en una call europea con precio strike K: 
 
- Covered Call es una estrategia muy popular por ser considerada una estrategia con buen retorno 
y bajo riesgo. Pero los flujos de una Covered Call tienen el mismo perfil de riesgo que una 
posición corta en una opción put y al tomar posición larga en un activo libre de riesgo igual a 
VP(K). Además, es probable que en la práctica se paguen más comisiones al implementar una 
Covered Call que al vender una put. 
- Por la paridad put–call: ct − St = pt − Ke−rT, es decir, una Covered Call no debiera entregar mejores 
retornos que una posición larga en una put más una posición corta en el ALR. 
- ¿Por qué es tan popular entonces? Puede ser adecuada si un inversionista ya es dueño de la 
acción. 
VGC 
 
 
35 
 
- De forma análoga tenemos la protective put. Esta está compuesta por una posición larga en una 
acción y una posición larga en una put europea con precio strike K: 
 
- Un bear spread tiene como objetivo obtener una ganancia para el inversor cuando el precio 
del valor subyacente disminuye. La estrategia implica la compra y venta simultánea de put para 
el mismo contrato subyacente con la misma fecha de vencimiento pero a diferentes precios de 
ejercicio: 
 
- También se puede implementar vendiendo call europea K1 y comprando call europea K2 
(implica flujo inicial positivo). 
- Similar a la bear spread, tenemos la bull spread. La cual también consiste en una posición corta 
y larga, pero en calls: 
 
- Esta estrategia limita las pérdidas, pero también limita las ganancias a cambio de un menor 
costo. También se puede implementar comprando put europea K1 y vendiendo put europea 
K2 (implica flujo inicial positivo). 
- Un butterfly spread es una estrategia que combina Bulls y bear spreads, con un riesgo fijo y 
ganancias limitadas. Estos spreads, que involucran ya sea cuatro call o cuatro put, están 
VGC 
 
 
36 
 
destinados a ser una estrategia neutral para el mercado y son los más rentables si el subyacente 
no se mueve antes del vencimiento de la opción. Por ejemplo: 
1- Largo Call K1 
2- 2 Corto Call K2 
3- Largo Call K3 
 
- También se puede implementar comprando una put europea K1 y una put europea K3 y 
vendiendo 2 puts europeas K2. 
- Si 2K2 = K1 + K3, como la relación entre el precio de una opción call y el precio de ejercicio K es 
convexa (mientras mayor sea K, menor será el valor de la call, pero menos que una relación 
lineal), esta estrategia tiene flujo negativo inicial (2c2 < c1 + c3). Implementar una butterfly 
spread con puts tiene el mismo costo que implementarla con calls. 
- El cono/straddle es un portafolio en el que compra una call y una put del mismo activo 
subyacente, a un mismo precio de ejercicio y con igual fecha de vencimiento. ¿Cuál es la lógica 
de esto? Se apuesta a la volatilidad del activo subyacente: 
 
- De forma similar, pero con K diferentes, tenemos el strangle: 
VGC 
 
 
37 
 
 
- Se puede preferir un strangle en vez de un cono ya que el cono tiene un mayor costo. Esto se 
puede deducir ya que, a mayor K, menor c y porque a menor K, menor p. 
- Nuestro estudio comienza con el estudio de la determinación del precio de una opción por 
medio del Modelo Binomial de Valuación de Opciones. Este modelo hace la suposición que el 
precio de la acción sólo tiene dos valores posibles en t + 1, por lo que es posiblereproducir 
con exactitud los pagos de la opción por medio de un portafolio que contenga un bono libre 
de riesgo y el activo subyacente. Por ejemplo: 
Supongamos que compramos una call que vence en un periodo más y que tiene un precio 
de ejercicio de $21. Además, el precio de las acciones hoy (t = 0) es igual a $20. En tres meses 
(t = 1) se espera una subida o caída del precio en $2. Los bonos a 3 meses tienen una yield 
anualizada de 12%. Esta información se resume así: 
 
- La LOOP nos dice que no se puede arbitrar con estos tres activos, es decir, se puede encontrar 
el precio de la opción usando sólo la acción y el bono. ¿Cómo? Si se compran Δ acciones y B 
bonos debo obtener el mismo flujo que al comprar c0 y vender c1. Sólo hay que replicar los 
flujos futuros para así encontrar la cantidad de acciones y de bonos que hay que comprar: 
 
 Precio (t = 0) Estado de la Naturaleza 1 Estado de la Naturaleza 2 
Acción $20 $22 $18 
Bono 1 $1e12% x 0,25 = 1,03 $1e12% x 0,25 = 1,03 
Call c0 max(ST – K; 0) = $1 max(ST – K; 0) = $0 
 
- De esta manera, si se compran Δ acciones y B bonos, las cantidades deberían ser: 
1 = 22Δ + 1,03B 
0 = 18Δ + 1,03B 
- Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos: 
Δ = 0,25 B = – 
4,5
1,03
 = – 4,37 
VGC 
 
 
38 
 
- Por lo tanto, si los flujos futuros son iguales (obtengo el mismo retorno en S1 como en S2), 
también los deben ser los costos hoy. Es decir, usando los precios hoy de la acción y del bono 
podemos componer la prima de la opción: 
 
SΔ + B = $20 x 0,25 – $1 x 4,37 = $0,63 = c0 
- Como se puede ver, pudimos encontrar la prima de la call sin saber la probabilidad de cada 
uno de los sucesos, en otras palabras, la prima de una opción cualquiera es independiente del 
retorno esperado del activo subyacente. 
- En términos generales, uno puede suponer que el precio inicial de la acción es S, y que en el 
periodo T su precio subirá a S x u = Su o bajará a Sd, u y d son los retornos de la acción en un 
periodo T/n. Tanto u como d dependen de la volatilidad del activo subyacente. 
- El yield anualizado del activo libre de riesgo es r. La call tiene un precio de ejercicio K y los flujos 
de pago de la call será de máx[Su – K, 0] = cu en caso de que el precio de la acción suba y máx[Sd 
– K, 0] = cd en caso de que el precio de la acción baje. 
- Dado que cu y cd corresponden a los flujos netos de la opción, entonces se puede hacer un 
portafolio imitador similar al anterior, donde se busque imitar los flujos de la opción a partir de 
la acción y el bono: 
Δ Su + B e(r x T) = cu 
Δ Sd + B e(r x T) = cd 
- Al resolver estas dos ecuaciones para las dos incógnitas, Δ y B, se obtiene la fórmula general 
para el portafolio replicante en el modelo binomial: 
Δ = 
𝐜𝐮 − 𝐜𝐝
𝐒𝐮 − 𝐒𝐝
 B = 
𝐜𝐝 − 𝚫𝐒𝐝
𝐞𝐫 𝐓
 = 
𝐜𝐮 − 𝚫𝐒𝐮
𝐞𝐫 𝐓
 
- De forma análoga, la prima hoy de la opción (frente a incertidumbre por los posibles estados de 
la acción) se puede definir como la suma de la cantidad de acciones por su precio spot en el 
periodo correspondiente y el precio spot del bono (todos en t = 0): 
c0 = ΔS + B 
- Estas últimas fórmulas resumen el modelo binomial de una opción cualquiera, incluidas las put. 
Además, la prima hoy puede considerarse como la esperanza del valor presente de los flujos 
futuros: c0 = ΔS + B 
c0 = S
cu − cd
Su − Sd
 + 
cd − Sd
cu − cd
Su − Sd
erT
 
c0 = 
erT
erT
 
cu − cd
u − d
 + 
cd(u − d) − d(cu − cd)
erT(u − d)
 
c0 = 
erT cu − e
rT cd + ucd − dcd − dcu+ dcd
erT(u − d)
 
c0 = 
erT − d
u − d
cu + 
u − erT
u − d
cd
erT
 
VGC 
 
 
39 
 
c0 = 
𝑝cu+(1 – 𝑝)cd
erT
 
- La probabilidad neutral al riesgo (p) no es la probabilidad real de que el precio de las acciones 
se incremente. En vez de ello, representa la manera en que tendría que ajustarse (la 
probabilidad real) para mantener al precio de las acciones igual al que tendrían en un mundo 
neutral ante el riesgo. 
- La probabilidad neutral al riesgo nos permite encontrar el precio de un activo sin que éste se 
vea afectado por la aversión al riesgo de los inversionistas. 
- En general, p no es la probabilidad de que el precio suba en el mundo real. La probabilidad en 
el mundo real de que el precio suba, p∗ , está relacionada con el retorno esperado de la acción, 
entonces, con las preferencias por riesgo de los inversionistas. 
- Supongamos que el retorno esperado de la acción es µS = 16%. Ahora podemos inferir la 
probabilidad en el mundo real de que el precio suba: 
S0 = $20 = (p∗ × 22 + (1 − p∗) × 18)e−16% × 0.25 
p∗ = 0.7041 
- Sin embargo, no es fácil conocer el retorno esperado de un activo riesgoso en el mundo real. La 
opción es un activo más riesgoso que la acción, por lo tanto, su retorno esperado en el mundo 
real debiera ser mayor que el retorno esperado de la acción. 
- Asumiendo que el retorno esperado de la acción en el mundo real es µS = 16%, entonces 
podemos inferir el retorno esperado de la opción en el mundo real, µc, es: 
c0 = $0,63 = (0,7041 × 1 + 0,2959 × 0)e−µc × 0,25 
µc = 0,4258 = 42,58% 
- Para el caso de la put se usa la misma metodología: 
Supongamos que compramos una put que vence en un periodo más y que tiene un precio 
de ejercicio de $21. Además, el precio de las acciones hoy (t = 0) es igual a $20. En tres meses 
(t = 1) se espera una subida o caída del precio en $2. Los bonos a 3 meses tienen una yield 
anualizada de 12%. Esta información se resume así: 
 
 Precio (t = 0) Estado de la Naturaleza 1 Estado de la Naturaleza 2 
Acción $20 $22 $18 
Bono 1 $1e12% x 0,25 = 1,03 $1e12% x 0,25 = 1,03 
Put p0 max(K – S; 0) = $0 max(K – S; 0) = $3 
 
- De esta manera, si se compran Δ acciones y B bonos, las cantidades deberían ser: 
0 = 22Δ + 1,03B 
VGC 
 
 
40 
 
3 = 18Δ + 1,03B 
- Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos: 
Δ = – 0,75 B = 
22 x 0,75
1,03
 = 16,02 
p0 = ΔS + B = –0,75 x 20 + 16,02 = 1,02 
- El modelo binomial se puede aplicar para cualquier periodo en donde haya sólo dos posibles 
resultados para el precio futuro de la acción, incluso, es posible usar este modelo para dos 
periodos consecutivos. 
- Sigamos con el ejemplo anterior: 
Supongamos que estamos en t = 0 y que el precio de la acción es $20, al pasar de un periodo 
a otro la acción puede subir o bajar $2 en tres meses, pero en tres meses más (t=2) también 
puede tomar otros valores (mostrados más abajo en el árbol). ¿Cuál es el árbol binomial de 
este caso entre t = 0 y t = 2? ¿Cuánto es c0? Supongamos que la yield a tres meses es del 12% 
y que K sigue siendo $21. El árbol de precios es: 
 
- Para poder encontrar c0 se debe resolver por inducción hacia atrás, es decir, se trabaja de 
adelante hacia atrás. Hay que encontrar cd y cu primero para luego obtener c0. 
- Podemos obtener cd relativamente fácil, dado que cdd y cdu son 0, cd debe ser 0 (un activo que 
paga 0 en todos sus estados de la naturaleza debe valer 0 por LUSP). Para cu sabemos que: 
 
e12% x 3/12 = 1,03 
3,2 = 24,2Δ + 1,03 B 
0 = 19,8Δ + 1,03 B 
- Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos: 
Δu = 0,727 Bu = – 
19,8 x 0,727
1,03
 = – 13,98 
- Luego, 
SuΔu + Bu = $22 x 0,727 – $13,98 = $2,03 = cu 
- Ahora que tenemos cu, repetimos para encontrar c0: 
2,02 = 22Δ0 + 1,03B0 
0 = 18Δ0 + 1,03B0 
- Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos: 
VGC 
 
 
41 
 
Δ0 = 0,505 B0 = – 
18 x 0,505
1,03
 = – 8,825 
- Luego, 
S0Δ0 + B0 = $20 x 0,505 – $8,825 = $1,28 = c0 
O bien, podemos hacer el ejercicio de forma más rápida si encontramos p: p = 
𝐞𝐫𝐓 − 𝐝
𝐮 − 𝐝
 
Su
Su
 = 
Su erT − Sud
Suu − Sud
 = 
22e(12% x 3/12) − 19,8
24,2 − 19,8
 = 0,6522 
- Por lo tanto: 
cu = (p cuu + (1 – p)cud)e–rT = (0,6522 x 3,2 + 0,3478 x 0)e–12% x 3/12 = 2,0257 
c0 = (p cu + (1 – p)cd)e–rT = (0,6522 x 2,0257 + 0,3478 x 0)e–12% x 3/12 = 1,2823 
- Cuando estamos usando opciones, estamos frentea riesgo. Una forma de cubrirse del riego 
es tomar una posición en acciones. ¿Cómo? Tomando Δ acciones (en el capítulo 5, 
administración del riesgo se explicará en más detalle). 
- En nuestro ejemplo de la call, si queremos cubrirnos del riesgo en t = 0, deben tomar Δ0 = 0,505 
acciones. Luego, si el precio de la acción sube, deberemos tomar Δu – Δ0 = 0,727 – 0,505 = 0,222 
acciones. 
- Si la acción tiene dividendos, usamos S* en vez de S0, donde S* = S0 – VP(Div). Las opciones 
europeas pueden analizarse suponiendo que el precio de las acciones es la suma de dos 
componentes: un componente sin riesgo que corresponde a los dividendos conocidos durante 
la vida de la opción y un componente riesgoso. El componente sin riesgo es el valor presente 
de todos los dividendos durante la vida de la opción descontada desde las fechas ex dividendo 
hasta el presente a la tasa libre de riesgo. Para cuando la opción madure, los dividendos habrán 
sido pagados y el componente sin riesgo ya no existirá. Esta es la razón por la cual se le debe 
restar el componente sin riesgo al precio de la acción. 
- Si la acción tiene dividend yield (q), usamos Se–qT en vez de S0. Por lo tanto, las únicas fórmulas 
que cambian son: 
c0 = ΔS𝐞−𝐪𝐓 + B 
p = 
𝐞(𝐫−𝐪) 𝐓 − 𝐝
𝐮 − 𝐝
 
- La forma de calcular las opciones americanas es muy similar a las europeas. Habíamos dicho que 
el valor de las europeas se podía encontrar por: 
cu = (p cuu + (1 – p)cud)e–rT 
- El valor de las americanas esa esta misma lógica. El valor de la opción será el máximo entre 
ejercerla en ese minuto (valor intrínseco) y esperar. Por tanto: 
Cu = max(Su – K; p Cuu + (1 – p)Cud)e–rT) 
- Y la misma lógica para las put americanas: 
Pu = max(K – Su; p Puu + (1 – p)Pud)e–rT) 
- Habíamos mencionado que los parámetros u y d de un árbol binomial se calibran para que 
sean consistentes con la volatilidad del precio de la acción. Definamos la varianza anualizada 
VGC 
 
 
42 
 
de los retornos como σ2. Para un periodo T, la varianza es σ2 T, por lo tanto, la volatilidad 
(desviación estándar de los retornos) es σ √T. 
- Por lo tanto, sea la volatilidad entre periodos igual a σ: 
u = 𝐞𝛔√𝐓 
d = 𝐞−𝛔√𝐓 
- En nuestro primer ejercicio de árbol binomial teníamos: 
 
- Esto quiere decir que: 
22 = Su = Seσ√T = 20 e
σ√
3
12 
1,1 = e
σ√
3
12 
ln 1,1 = σ√
3
12
 
σ = 19,06% 
- Como las soluciones para u y d no dependen del retorno esperado de la acción, obtenemos 
las mismas soluciones en el mundo real y en el mundo neutral al riesgo. Por lo tanto, cuando 
nos movemos del mundo real al mundo neutral al riesgo el retorno esperado de la acción 
cambia, pero la volatilidad es la misma. 
- Este resultado se conoce como el Teorema de Girsanov. Podemos entonces estimar la 
volatilidad en el mundo real (a partir de precios históricos) y usarla para construir un árbol 
binomial para un activo en el mundo neutral al riesgo. 
- En la práctica, la vida de una opción generalmente se divide en 30 o más periodos para obtener 
una valoración más precisa. Con 30 periodos tenemos: 
1- 31 posibles precios de la acción en T 
2- 230, o cerca de 1,000 millones, de posibles caminos que puede seguir la acción durante la 
vidad de la opción. 
- Cuando usamos un árbol binomial para valorar una opción europea, a medida que aumentamos 
el número de periodos el precio converge al precio que entrega el modelo de Black–Scholes–
Merton. 
- El modelo Black&Scholes se basa en el modelo binomial, pero se aplica para infinitos periodos 
y la distancia entre periodos es 0. El modelo Binominal se ve como en 1 y el Black&Scholes en 
2: 
VGC 
 
 
43 
 
 
- Como se puede ver, se obtienen variaciones de precios más parecidas a lo que es la realidad. 
- Se dice que sigue un proceso estocástico cualquier variable cuyo valor cambia en el tiempo de 
forma aleatoria. Los procesos pueden ser clasificados en: 
1- Tiempo discreto: el valor de la variable puede cambiar solo en ciertos puntos fijos en el 
tiempo 
2- Tiempo continuo: los cambios en el valor de la variable pueden ocurrir en cualquier 
momento 
3- Variable discreta: la variable puede tomar solo algunos valores discretos 
4- Variable continua: la variable puede tomar cualquier valor dentro de cierto rango 
- Un Proceso de Markov es un proceso estocástico para el que solo el valor actual de la variable 
es relevante para predecir el valor futuro de la variable. La historia pasada de la variable es 
irrelevante. En general, asumimos que los precios de acciones siguen un Proceso de Markov. 
- En tiempo discreto, el elemento básico de un proceso estocástico es una secuencia de variables 
aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d) 
εt ∼ i.i.d 
- i.i.d. implica que el valor esperado en t + 1, Et(εt+1), y la varianza, σ2 (εt), son constantes. En 
general, también asumimos Et(εt+1) = 0. Podemos generar un random walk a partir de este 
elemento: 
 
- Definamos el proceso estocástico de variable continua en tiempo continuo, zt. zt es un 
Movimiento Browniano si cumple las siguientes propiedades: 
1- El cambio, dzt, durante un periodo corto de tiempo dt tiene distribución dzt ∼ N(0, dt) 
2- Dos valores de dzt, para cualquier par de periodos cortos de tiempo diferentes, dt, son 
independientes (lo que implica que zt es un Proceso de Markov). 
VGC 
 
 
44 
 
- Los movimiento brownianos nos sirven para entender el comportamiento de un instrumento 
en función de cómo se mueva su variable. Por ejemplo, ¿cómo varía el precio de un bono si 
su yield tiene mayor o menor volatilidad? ¿Cómo cambia el precio de una opción dependiendo 
del valor esperado y la varianza de su activo subyacente? 
- Podemos pensar en dzt como el equivalente en tiempo continuo de εt. 
- Por ejemplo: 
 
- Si hacemos Zoom a la zona cuadriculada: 
 
- Por más que nos “acerquemos” o hagamos zoom, el Movimiento Browniano no se suaviza. 
Entonces, no podemos usar cálculo tradicional para encontrar derivadas, necesitamos cálculo 
estocástico. 
- Veamos una de las propiedades de la varianza. Tomemos el Movimiento Browniano zt, si el 
cambio en el valor de zt durante un año es ∼ N(0, 1). ¿Cuál es la distribución de probabilidad del 
cambio en el valor de zt durante 2 años? 
- El cambio en el valor de la variable en dos años es la suma de dos variables con distribución 
normal, cada una con media igual a 0 y varianza 1. Como asumimos que los incrementos son 
VGC 
 
 
45 
 
independientes, el resultado tiene distribución normal, con media igual a la suma de las medias 
y varianza igual a la suma de las varianzas. Por lo tanto, el cambio en el valor de la variable en 2 
años tiene distribución N(0, 2). 
- Cuando asumimos incrementos independientes en el tiempo, la varianza de incrementos en 
periodos sucesivos es aditiva y, por lo mismo, la desviación estándar (volatilidad) no es aditiva. 
La desviación estándar del cambio en la variable en 2 y 3 años es √2 y √3, respectivamente. Por 
esta razón se dice que la incertidumbre (o el riesgo) aumenta proporcionalmente con la raíz 
del tiempo. 
- El cambio esperado por unidad de tiempo de un proceso estocástico se conoce como drift rate. 
El Movimiento Browniano básico, zt , tiene drift rate igual a cero y varianza por unidad de tiempo 
igual a 1. 
- Creamos el Movimiento Browniano Generalizado a partir de un proceso estocástico para una 
variable xt como función de dzt de la siguiente forma: dxt = a dt + b dzt donde a y b son 
constantes. 
 
1- Drift: El término a dt implica que el drift rate de x es a (constante). En un periodo de tiempo 
de largo T, la variable x tiene un aumento esperado aT. Es el crecimiento/decrecimiento sin 
incertidumbre. 
2- Parte estocástica: El término b dzt se puede interpretar como ruido o variabilidad agregada 
sobre el camino que sigue x. La cantidad de ruido o variabilidad es b veces la variabilidad del 
Movimiento Browniano zt. Dado que el MovimientoBrowniano tiene varianza por unidad 
de tiempo igual a 1, entonces b veces un Movimiento Browniano tiene una varianza por 
unidad de tiempo igual a b2. Es el crecimiento/decrecimiento con incertidumbre. 
- Veamos el siguiente ejemplo: 
Sea dxt = 0,1dt + 0,2dzt. ¿Cuál es el valor esperado y varianza de xt en 4 años más? 
E(xt) para t = 4: a * x = 0,1 * 4 = 0,4 
σ(xt) para t = 4: b * √𝑥 = 0,2 * √4 = 0,4 
V(xt) para t = 4: b2 * x = σ2 = 0,16 
- Por tanto, podemos reescribir el movimiento como: 
dxt = μ dt + σ dzt 
- Si x es un proceso estocástico, que satisface dxt = μ dt + σ dzt, y f es una función continua, no 
estocástica y dos veces diferenciable, entonces yt = f(t, xt) también el proceso estocástico puede 
ser descrito por la fórmula de Itô: 
dyt = (
𝛛𝐟
𝛛𝐭
 + μt 
𝛛𝐟
𝛛𝐱𝐭
 + 
𝟏
𝟐
 
𝛛𝟐𝐟
𝛛𝐱𝟐𝐭
 σ2t)dt + (σt 
𝛛𝐟
𝛛𝐱𝐭
)dzt 
VGC 
 
 
46 
 
- Ojo, 
𝛛𝟐𝐟
𝛛𝐱𝟐
 significa que la función f se deriva dos veces por x. Si f(x) = x3, 
𝛛𝟐𝐟
𝛛𝐱𝟐
 = 6x. 
Por ejemplo, sea xt = zt y f(x) = x2, ¿cuánto es dyt? 
dyt = (0 + μ 2x + 
1
2
 σ2 2)dt + σ 2x dzt 
dyt = (2μx + σ2)dt + 2σx dzt 
Si me dicen que xt = zt, entonces dxt = dzt, pero por fórmula se debería cumplir dxt = μ dt + σ dzt 
entonces μ = 0 y σ = 1. Luego, dyt es tal: 
dyt = dt + 2z dzt 
- Un ejercicio tipo de ayudantía sería: 
Una empresa mantiene una posición de efectivo medida en millones de dólares que varía 
aleatoriamente siguiendo un Movimiento Browniano Generalizado con un 0,5 y 4 de drift 
rate y varianza trimestrales, respectivamente. ¿Cuál debe ser la posición inicial en efectivo si 
la probabilidad de tener una posición de efectivo negativa en un año sea menor al 5%? 
Por lo tanto, si nuestra posición inicial de efectivo es X y, dado que el movimiento es browniano 
generalizado, podemos esperar que se cumpla: 
E(xt) para t = 4: X + 0,5 * 4 = X + 2 
V(xt) para t = 4: 4 * 4 = 16 
Por lo que la distribución de probabilidad de la posición de efectivo al final de un año distribuye 
~ϕ(μ; σ2) = N(X + 2; 16). Por lo tanto, cuánto debe ser x de modo que P(z < 0) = 5%. Para ello 
debemos estandarizar: w = 
x − μ
σ
 = 
0 − (X + 2)
4
 de modo que P(z < 
− X − 2
4
) = 5%. 
Recordando inferencia, P(z < w) = 1 – P(z < – w). Este cambio se suele hacer cuando t piden 
encontrar una probabilidad menor al 50%. Por lo que: 
P(z < 
− X − 2
4
) = 5% → P(z < 
X + 2
4
) = 95% 
El 95% se obtiene para w = 1,64. De ahí: 
w = 1,645 = 
X + 2
4
 
X = 4,58 
La posición inicial debe ser de 4,58 millones de dólares aproximadamente. 
- ¿Cuán buen modelo es el Movimiento Browniano Generalizado para describir los precios de 
acciones? El proceso tiene una tendencia creciente de largo plazo y variabilidad de corto plazo. 
Sin embargo, este modelo no captura dos aspectos clave que describen los precios de 
acciones: 
1- Precios no pueden ser negativos. 
2- El retorno (porcentual) esperado de una acción es independiente del precio de la acción. 
- En resumen, vale copi. Sin embargo, la versión mejorada, el Movimiento Browniano Geométrico 
(MBG) es más preciso ya que incorpora el precio de la acción en el análisis. Asumimos ahora 
VGC 
 
 
47 
 
que la variabilidad del retorno porcentual en un corto periodo de tiempo, dt, es constante e 
independiente del precio de la acción: 
 
- Es decir, durante un corto periodo de tiempo, dt, el cambio en el valor de cualquier derivado, f, 
es (usando la fórmula de Ito modificada): 
df = (
𝛛𝐟
𝛛𝐭
 + μS 
𝛛𝐟
𝛛𝐒
 + 
𝟏
𝟐
 
𝛛𝟐𝐟
𝛛𝐒𝟐
 S2σ2)dt + (Sσ 
𝛛𝐟
𝛛𝐒
)dz 
- Por ejemplo: 
¿La siguiente función sigue el MBG? f(S, t) = Sn 
df = (0 + nμSn + n(n−1)
2
 Sn σ2)dt + (nσ Sn)dz 
Reemplazando Sn = f 
df = (nμf + n(n−1)
2
 σ2f)dt + (nσ f)dz 
𝑑f
f
 = (nμ + n(n−1)
2
 σ2)dt + nσdz 
 
Si sigue el MBG con retorno esperado igual a nμ + 
n(n−1)
2
 σ2 y volatilidad nσ. Ojo, esto es distinto 
al retorno esperado y volatilidad de S, que son μ y σ. 
- Ahora apliquemos estos conceptos a materia que ya hayamos visto: 
Dado que una acción S posee un movimiento estocástico tal que dS = µS dt + σS dz, donde 
dz es un Movimiento Browniano. Determine el proceso estocástico que sigue un forward 
sobre dicha acción. 
Recordemos que F = f(x, t) = Ser(T – t), donde x = S. Al analizar el movimiento browniano, vemos 
la fórmula de Ito: 
df = (
∂f
∂t
 + μt 
∂f
∂xt
 + 
1
2
 
∂2f
∂x2t
 σ2t)dt + (σt 
∂B
∂xt
)dzt 
Aplicándolo para el forward: 
dF = (
∂F
∂t
 + μt 
∂F
∂S0
 + 
1
2
 
∂2F
∂S2o
 σ2t)dt + (σt 
∂F
∂S0
)dzt 
dF = (–r Ser(T – t) + μt er(T – t) + 
1
2
 0 σ2t)dt + (σt er(T – t))dzt 
Ahora bien, recordar que dado dS = µS dt + σS dz, µt = µS y σt = σS. Reemplazando estos valores 
en nuestra derivada: 
dF = (–r Ser(T – t) + μ Ser(T – t))dt + (σ Ser(T – t))dzt 
VGC 
 
 
48 
 
Reemplazando por F = Ser(T – t) 
dF = (–r F + μ F)dt + (σ F)dzt 
𝑑F
F
 = (μ – r)dt + σdzt 
- Esto nos deja que el forward tiene una esperanza (μ – r) y volatilidad σ. 
- Una diferencia matemática entre el movimiento generalizado y el geométrico es que el 
generalizado no permite despejar f. 
- Se dice que St tiene distribución log–normal, porque el logaritmo natural de St tiene 
distribución normal. Esta distribución implica que f(x, t) = ln(St) dado dS = µS dt + σS dz. Si 
aplicamos la fórmula de Ito deberíamos obtener: 
 
- Si St tiene distribución log–normal entonces: 
 
- De esta fórmula obtenemos: 
 
 
- Veamos un ejemplo: 
Considere una acción donde el precio actual es de $ 20, el retorno esperado es del 20% anual 
y la volatilidad es del 40% anual. El precio esperado de las acciones y la varianza del precio 
de las acciones en 1 año serán: 
 
- Esta distribución nos permite simular el comportamiento de una acción de forma más real: 
VGC 
 
 
49 
 
 
- El modelo original de valoración de opciones, que asume un proceso estocástico de tiempo 
continuo y variable continua, fue desarrollado por Black, Scholes y Merton en 1973. El modelo 
se rige en los siguientes supuestos: 
1- El precio de la acción sigue un Movimiento Browniano Geométrico, con µ y σ constantes. 
2- No hay restricciones a las ventas cortas. 
3- No hay imperfecciones de mercado y todos los activos financieros son divisibles. 
4- El activo subyacente no entrega dividendos durante la vida del derivado. 
5- No existen oportunidades de arbitraje. 
6- Los activos se transan continuamente en el tiempo. 
7- La tasa de interés libre de riesgo, r, es constante y la misma para todos los horizontes. 
- El precio de la opción y de la acción tienen la misma fuente de incertidumbre (dependen de un 
mismo Movimiento Browniano). Podemos formar un portafolio con la acción y la opción de tal 
forma de eliminar (o cancelar) esta única fuente de incertidumbre. 
- Durante un periodo de tiempo muy corto (dt) el portafolio es libre de riesgo, entonces debe 
entregar un retorno igual al del activo libre de riesgo. Siguiendo este argumento planteamos la 
ecuación diferencial de Black–Scholes. 
- Para derivar el modelo Black–Scholes hagamos un portafolio con –1 derivados y + 
∂f
∂S
 acciones, 
entonces el valor del portafolio es: 
 
- El cambio en el valor del portafolio durante un periodo corto de tiempo dt es: 
VGC 
 
 
50 
 
 
- el cual no tiene parte estocástica (no depende de dz). 
- Por lo tanto, el retorno de este portafolio debe ser el retorno del activo libre de riesgo. Entonces: 
 
- Reemplazando Π y dΠ en esta ecuación obtenemos la ecuación diferencial de Black–Scholes: 
 
- La función a utilizar para las call y put será respectivamente: 
1- f = max(S – K, 0) 
2- f = max(K – S, 0) 
- Resolviendo la ecuación diferencial con estas condiciones de frontera obtenemos la fórmula de 
Black–Scholes: 
 
- Donde 
 
- Al igual que en todos los casos, cuando tenemos que la acción entrega dividendos (ya sea en 
dividendo fijo, I, o en dividend yields, q, hay que ajustar el valor de S0 = S – VP(I)= Se–qT) 
- La función N(x) es la distribución de probabilidad acumulada de la distribución normal estándar. 
- Reordenando: 
 
- Cuando S/Ke−rT aumenta, la probabilidad de ejercer la opción call aumenta (en la fórmula d1 y 
d2 aumentan y N(d1) y N(d2) se acercan a 1). La diferencia d1 − d2 es una desviación estándar. 
VGC 
 
 
51 
 
Cuando σ aumenta, d1 − d2 aumenta, es decir, N(d1) y N(d2) divergen y el valor de la opción call 
aumenta. 
- Veamos el siguiente ejemplo: 
El precio de una acción es $42. El precio de ejercicio de opciones call y put europeas sobre 
la acción es $40. Las dos opciones expiran en 6 meses. La tasa anual de interés libre de riesgo 
es 6% y la volatilidad anual de la acción es 25%. ¿Cuáles son los precios de las opciones call y 
put? 
- S0 = 42, K = 40, r = 6%, σ = 25%, y T = 0.5 
 
- Entonces: 
 
 
- La volatilidad, σ, de un activo es la desviación estándar de los retornos continuamente 
compuestos en un año. Recordemos que la desviación estándar de los cambios porcentuales en 
el precio de una acción, en un período de tiempo dt, es aproximadamente igual a σ√dt. 
- Por ejemplo, supongamos que la volatilidad anual de una acción es del 30% y que el precio es 
$50. La desviación estándar de los cambios porcentuales en el precio de la acción en una semana 
sería aproximadamente: 
 
- Es decir, podríamos esperar que el precio de la acción suba o baje 50 × 4,16% = 2,08 la próxima 
semana. 
- ¿Cómo estimar la volatilidad histórica? 
1- Consideramos: 
i Número de observaciones: n + 1 
ii Si es el precio de la acción en el periodo 0 < i < n 
2- Definimos τ como el largo de cada intervalo en años. 
i Si el intervalo entre i y i + 1 es 1 semana, entonces τ = 1/52. 
VGC 
 
 
52 
 
ii Si el intervalo es 1 día, entonces τ = 1/365 si usamos días calendario, o τ = 1/252 si 
usamos días de trading. 
3- Calculamos el retorno continuamente compuesto en cada intervalo: 
 
Podemos usar ln en vez de 
Pt
Pt−1
 para calcular retornos brutos porque son casi lo mismo. 
4- Entonces la desviación estándar, s, de los retornos brutos, ui: 
 
donde u̅ es el retorno bruto promedio. 
5- La desviación estándar de los ui s es una estimación de σ√τ, de modo que s = σ√τ. Pero si 
hacemos el proceso inverso: buscar la volatilidad a partir de la desviación estándar de los 
retornos brutos en verdad obteniendo la volatilidad implícita (σ̂), donde: 
 
- La volatilidad implícita de una opción es la volatilidad para la cual la fórmula de Black–Scholes 
nos entrega el precio de mercado de la opción. Existe una relación uno a uno entre los precios 
y las volatilidades implícitas. Lamentablemente, no existe una forma para despejar la 
volatilidad de esta fórmula. La única forma de obtener el valor de la volatilidad implícita es 
intentar varios valores hasta encontrar el correcto. 
- Para ilustrar cómo se calculan las volatilidades implícitas, suponga que el valor de una opción 
de compra europea en una acción que no paga dividendos es 1,875 cuando S0 = 21; K = 20, r = 
10% y T = 0,25. La volatilidad implícita es el valor de eso, cuando se sustituye en la ecuación la 
ecuación B y S para una llamada: c = 1,875. Desafortunadamente, no es posible invertir la 
ecuación: 
 
- Y despejar σ para dejarla en función de S0, K, r, T y c. Sin embargo, se puede utilizar un 
procedimiento de búsqueda iterativo para encontrar lo implícito. 
- Por ejemplo, podemos comenzar probando σ = 20%. Esto da un valor de c igual a 1,76, que es 
demasiado bajo. Como c es una función creciente de σ: 
VGC 
 
 
53 
 
 
- Se requiere un valor más alto de σ. A continuación, podemos probar un valor del 30% para σ. 
Esto da un valor de c igual a 2.10, que es demasiado alto y significa que σ debe estar entre 20% 
y 30%. 
- A continuación, se puede probar un valor del 25% para σ. Esto también demuestra ser 
demasiado alto, lo que demuestra que se encuentra entre 20% y 25%. 
- Procediendo de esta manera, podemos reducir a la mitad el rango para cada iteración y el valor 
correcto de σ se puede calcular con la precisión requerida. En este ejemplo, la volatilidad 
implícita es del 23.5% anual. 
- Se puede usar un procedimiento similar junto con árboles binomiales para encontrar 
volatilidades implícitas para las opciones estadounidenses. 
- Muchas veces los traders y corredores manejan volatilidades implícitas como medida del valor 
de una opción en vez de trabajar con los precios en dólares, ya que facilita hacer comparaciones. 
- En 1993, el Chicago Board Options Exchange (CBOE) introdujo un índice de volatilidad del 
mercado accionario llamado VIX. Este índice, también conocido como investor fear index, 
captura las expectativas agregadas del mercado acerca de la volatilidad en los próximos 30 días, 
y se calcula aproximadamente cada 15 segundos durante horas de trading. 
- Hasta el 22 de septiembre de 2003, VIX se calculaba usando la fórmula de Black–Scholes para 
opciones at–the–money sobre el índice S&P 100 (OEX). Actualmente, se calcula como el valor 
justo de varianza que es consistente con los precios de opciones sobre el índice S&P 500 (SPX) 
para un amplio rango de precios de ejercicio. 
- Un gráfico de la volatilidad implícita de opciones, con cierta fecha de expiración, como función 
de su precio de ejercicio se conoce como volatility smile. según los supuestos del modelo de 
Black–Scholes–Merton, la volatilidad implícita de una opción debiera ser independiente de su 
precio de ejercicio, es decir, al graficar volatilidad implícita como función del precio de ejercicio 
debiéramos obtener una línea horizontal. 
VGC 
 
 
54 
 
- Sin embargo, empíricamente se observa que opciones muy in–the–money y muy out–of–the–
money tienen precios más altos (y por lo tanto también volatilidades implícitas más altas) que 
lo que predice el modelo de Black–Scholes–Merton: 
- . 
 
- En la práctica, traders permiten que la volatilidad usada para valorar opciones sí dependa del 
precio de ejercicio. 
- La volatilidad implícita de una opción con un cierto precio de ejercicio como función de su 
tiempo hasta expiración se conoce como volatility term structure. según los supuestos del 
modelo de Black–Scholes–Merton, la volatilidad es constante en el tiempo, entonces, la 
volatilidad implícita de una opción debiera ser independiente del tiempo hasta expiración. 
- Es decir, al graficar la volatilidad implícita como función del tiempo hasta expiración deberíamos 
obtener una línea horizontal. 
- Empíricamente, la volatilidad implícita puede ser una función creciente o decreciente del 
tiempo hasta expiración, dependiendo de las expectativas del mercado acerca de la volatilidad 
futura. En la práctica, traders permiten que la volatilidad usada para valorar opciones dependa 
también del tiempo hasta expiración de la opción. 
 
 
 
 
VGC 
 
 
55 
 
Modelos de tasa de interés y swaps 
- Los tipos de tasas de interés son: 
1- Treasury rates: tasa de los bonos que emite un gobierno para financiarse en su moneda 
local. 
2- LIBOR (London Interbank Offered Rate): es una tasa de corto plazo para préstamos no 
garantizados entre bancos (usualmente son bancos seguros, de categoría AA para arriba). 
Existe para diferentes monedas y plazos (hasta 1 año). 
3- Overnight Rate: es la tasa para préstamos o depósitos que bancos realizan al ajustar al final 
de cada día su reservas de capital en el banco central (encaje). 
4- Repo rate: tasa de contratos de recompra garantizados (repo o repurchase agreement). En 
estos contratos una entidad vende un activo (Ej: T–bills) con la promesa de comprarlo de 
vuelta a un precio más alto más adelante. 
5- Swap rate: es la tasa fija en un contrato swap en el que se intercambia una tasa fija por 
una tasa flotante. O sea, un swap (múltiples forwards) de una tasa de interés. 
6- OIS rate (overnight indexed swap rate): tasa swap de contratos overnight indexed swaps 
queintercambian tasa fija por la overnight rate promedio durante un periodo (tasa flotante). 
7- Tasa libre de riesgo: A pesar del bajo riesgo de default y liquidez de los bonos del tesoro de 
US, la treasury rate no se usa como tasa libre de riesgo en la valoración de derivados en la 
práctica. Dado la treasury rate que entrega algunas ventajas tributarias y regulación 
especial, es considerada artificialmente baja. Lo inversionistas usan en la práctica: 
i LIBOR antes del 2007 
ii OIS después del 2007 
8- Tasa cero cupón/Tasa spot: Llamaremos B(t, T) al precio en t de un bono cero–cupón que 
paga un único flujo de $1 en T. 
 
Llamaremos tasa cero cupón a la TIR (yield) de un bono cero cupón con vencimiento en T. 
Matemáticamente: 
 
- La yield curve o curva de tasas cero cupón representa el conjunto de tasas cero cupón como 
función de su vencimiento. Se conoce también como la “estructura de tasas de interés o interest 
rate term structure. Por ejemplo: 
VGC 
 
 
56 
 
 
- Recordar que las tasas en el recuadro rojo son tasas ANUALIZADAS. Ante la duda, ir a la página 
3 donde explico en más detalle cómo funcionan. 
- En la práctica la curva de tasas puede ser creciente (que es lo más común), plana o decreciente. 
Cuando la curva se vuelve decreciente se habla de la inverted yield curve, la cual suele ser un 
indicador que se acerca una recesión económica. 
- La forma de la curva de tasas puede capturar varios factores: 
1- Expectativas del mercado acerca de las tasas futuras 
2- Premios por riesgo 
3- Oferta y demanda de los bonos cero cupón subyacentes 
- Al igual que en cursos anteriores, para calcular el precio de un bono con cupones, descontamos 
cada flujo a su tasa cero cupón correspondiente. En nuestro ejemplo, el precio teórico de un 
bono con vencimiento, T, en 2 años, con un principal (valor carátula) de $100, y que paga 
cupones semestrales (periodicidad, T* = 0,5) del 6% entrega cupones por: 
Cupón = Principal x Tasa Cupón x T* = 100 x 6% x 0,5 = 3 
 
 
- Las tasas usadas son los que salen en la tabla al inicio de esta página. 
- La TIR (yield–to–maturity) de un bono con cupones es la tasa de descuento que hace el valor 
presente del bono igual a su precio de mercado. Supongamos que $92.8 es el precio de mercado 
del bono, entonces, podemos encontrar la TIR: 
 
- La tasa par de un bono es la tasa cupón que hace que el precio bono sea igual su valor carátula. 
 
- Por tanto, la tasa es: 
Cupón = Principal x Tasa Par x T* 
5 = 100 x Tasa Par x 0,5 → Tasa Par = 10% 
VGC 
 
 
57 
 
 
- Varias metodologías permiten encontrar las tasas cero–cuón a partir de los precios de bonos 
con cupones (por si suena esto se vio en Conta 2). Consideremos los siguientes bonos: 
 
- Supongamos que los bonos que pagan cupón, los pagan de forma semestral. 
- El método bootstrap calcula las tasas cero–cupón recursivamente a partir de bonos con cupones 
comenzando desde los vencimientos más cortos. Los tres primeros bonos del ejemplo son 
cero–cupón, entonces sus TIR son las tasas cero–cupón. El cuarto bono tiene cupones y vence 
en 1.5 años, entonces, podemos extraer la tasa cero cupón a 1,5 años de este bono: 
 
- El quinto bono tiene cupones y vence en 2 años, entonces, podemos extraer la tasa cero cupón 
a 2 años de este bono: 
 
- Con esto llegamos a: 
 
- Las tasas forward son las tasas de interés cero cupón implícitas en la curva de tasas cero cupón 
para periodos de inversión en el futuro. Por ejemplo: 
 
VGC 
 
 
58 
 
- ¿Cuál es la tasa de interés implícita para una inversión durante el periodo comprendido entre el 
año 1 y el año 2? 
 
- Como se puede ver, la tasa forward se escribe con tres argumentos: f(t, T1, T2): 
1- t: ¿Dónde estoy parado? Por lo general hago la evaluación en t = 0 
2- T1: Inicio del periodo que quiero evaluar 
3- T2: Final del periodo que quiero evaluar 
- Esta debe ser la tasa para el segundo año que combinada con el 3% del primer año resulta en la 
tasa de 4% del periodo completo de dos años. 
 
- La tasa entre 0 y 2 es el promedio de la tasa entre 0 y 1 y la tasa entre 1 y 2. 
- En general, si en t (por lo general t = 0) conocemos R(t, T1) y R(t, T2), entonces la tasa de interés 
forward observada en t para el periodo entre T1 y T2 es: 
 
- En función de los precios de los bonos: 
 
- Un forward rate agreement (FRA) es un contrato OTC que fija la tasa de interés que será válida 
para invertir o endeudarse por un cierto monto principal y para un cierto periodo en el futuro. 
Cuando se fija la tasa al comienzo del contrato, esta es igual a la tasa forward, de manera que 
el valor del contrato sea cero. 
- En la práctica, el contrato se liquida por diferencia con respecto a una tasa de referencia, es 
decir, por lo general, una empresa nunca hará uso de su FRA. Una vez llegado el día de firmar 
el contrato, las entidades calculan la ganancia/pérdida que tendría cada una y se liquida la 
diferencia. 
- Podemos entender un FRA como el intercambio de una tasa fija por una tasa flotante. Por 
ejemplo: 
VGC 
 
 
59 
 
Supongamos hoy (1 de enero) necesitamos endeudarnos por $100 millones en 5 meses más 
(1 de junio) por un periodo de 3 meses (hasta 1 de septiembre). El banco nos ofrece un FRA 
por 100 millones a una tasa de 6% (compuesta trimestral). 
Supongamos preferimos recibir la diferencia hoy en vez de endeudarnos al 6% e invertir al 
8%. ¿Cuánta es la ganancia por el acuerdo si esperamos hasta septiembre? ¿Cuánta es la 
ganancia por el acuerdo si liquidamos el contrato hoy? 
- Dado que ya no estamos trabajando con tasas continuamente compuestas, tenemos que 
operar a la antigua. Sin embargo, esta tasa está anualizada, por lo que tenemos que 
multiplicar por T. 
- Si quisiésemos aprovechar la diferencia de tasas de interés, nos endeudaríamos por 
$100.000.000 al 6% trimestral e invertiríamos al 8% trimestral. De modo que en septiembre, en 
92 días más, recibiríamos en intereses: 
1- + 100.000.000 → 6% → - 100.000.000 x 6% x 3/12 
2- - 100.000.000 → 8% → + 100.000.000 x 8% x 3/12 
- Entonces, al final del octavo mes recibo un flujo: $100.000.000 × (0.08 − 0.06) × (3/12) = 
$500.000 
- Sin embargo, si decidimos liquidar el contrato hoy (y ahorrarnos la espera de los 3 meses), es 
cosa de descontar la ganancia a la tasa de mercado, la LIBOR a 3 meses en este caso: 
 
- En general, el flujo que recibe en la fecha T2 la posición larga en un FRA, por un principal LN, para 
el periodo entre T1 y T2 es: 
 
- En algunos casos, se paga el flujo descontado en T1: 
 
- El FRAP representa la ganancia o pérdida por liquidación del contrato FRA. 
- Eso sí, es más común usar la convención días/360 en vez de meses/12 para medir el tiempo y 
tasas compuestas con una frecuencia correspondiente al largo del periodo al cual se aplican. 
- ¿Cómo determina un banco el valor de un contrato FRA? Se hace de manera que el valor del 
contrato sea cero. Si tomamos una posición larga en el contrato FRA para las fechas T1 y T2, y al 
mismo tiempo hoy nos endeudamos hasta T1 e invertimos hoy hasta T2, tenemos los siguientes 
flujos: 
VGC 
 
 
60 
 
 
- El flujo total en T2 es cero cuando fFRA = f (0, T1, T2). 
- En t = 0, cuando se inicia el contrato, fFRA = f (0, T1, T2), y el valor del contrato es cero. Para 
encontrar el valor de un contrato en una fecha t posterior debemos comparar dos FRA: uno que 
promete pagar la tasa forward actual f (t, T1, T2), otro que promete pagar la tasa fijada 
inicialmente fFRA. 
- El flujo que paga este portafolio en T2 es: 
 
- Este flujo es conocido hoy, entonces podemos encontrar el valor del FRA (que es igual al valor 
del portafolio) descontando a la tasa libre de riesgo: 
 
- Continuando con el ejemplo, supongamos que el 1 de febrero, la tasa forward para el periodo 
entre 1 de junio y 1 de septiembre es 7%, y la tasa libre de riesgo cero cupón para flujos en el 1 
de septiembre es 3%. El valorde la posición larga en el FRA es: 
VFRA = $100,000,000 × (0.07 − 0.06) × (92/360) e −0.03×(7/12) = $251,122.24 
- En un swap de tasa de interés plain vanilla una parte se compromete a pagar intereses 
periódicos sobre un monto a una tasa fija predeterminada por un período de tiempo. La 
contraparte del contrato paga a cambio intereses periódicos sobre el mismo monto a una tasa 
flotante (variable) de referencia por el mismo período de tiempo. La tasa de interés de 
referencia más usada como tasa variable en estos contratos es LIBOR: 
 
- Por ejemplo: 
Fixed Towers y Floating Cruisers entran en un Swap a 3 años que se inicia el 1 de enero de 
2020 y finaliza el 1 de enero del 2023. El monto nocional del contrato es $100 millones. Fixed 
Towers (fixed–rate payer) se compromete a pagar a Floating Crusiers una tasa de interés fija 
de 3% es compuesta semestralmente al año. Floating Cruisers (floating–rate payer) se 
compromete a pagar a Fixed Towers a cambio la tasa LIBOR de 6 meses. 
VGC 
 
 
61 
 
 
- Asumamos que el día en que comienza el contrato swap, la tasa LIBOR de 6 meses es 2.20%. El 
primer flujo que recibe Fixed Towers es el 1 de junio de 2020: 
 
- Los flujos de Fixed Towers durante la vida del swap son los siguientes (flujos medidos en 
millones): 
 
- El monto de $100.000.000 nunca es intercambiado. En cada fecha de pago, la tasa variable se 
fija 6 meses antes de ser pagada (el 1 de junio de 2020 se paga un flujo de acuerdo a la tasa 
LIBOR observada el 1 de enero de 2020). 
- ¿Qué incentivos tiene una empresa para meterse a un swap? Para “neutralizar” otros pagos 
variables. Supongamos que Fixed Towers había pedido un préstamo de $100.000.000 con tasas 
variable donde pagaría intereses semestrales a LIBOR + 1%. Los directores de la empresa, no 
muy felices por tener que pagar a tasas variables, le piden al CEO que haga algo para reducir la 
incertidumbre. Lo que se puede hacer es recibir intereses LIBOR de modo que Fixed Tower 
podría usar el Swap para transformar la naturaleza de un pasivo de tasa flotante a tasa fija: 
 
- En este caso, terminaría pagando intereses al 3% + 0,1% semestral, en vez de pagos variables. 
- También se puede hacer de la otra forma. Fixed Towers está recibiendo pagos fijos al 2,7%, pero 
prefiere recibir pagos variables. En este caso, Fixed Tower podría usar el Swap para transformar 
la naturaleza de un activo de tasa fija a tasa variable: 
 
VGC 
 
 
62 
 
- ¿Por qué los swaps son tan populares? 
1- Una compañía podría recibir un tratamiento más favorable en un mercado respecto de 
otro. 
i Por ejemplo: una compañía podría tener una ventaja para endeudarse en tasa fija y 
querer endeudarse a tasa variable, o al revés. 
2- El swap le sirve para tomar la deuda en el mercado que más le conviene y luego 
transformar la naturaleza del pasivo. 
- Veamos el siguiente ejemplo: 
Dos compañías AAACorp y BBBCorp desean endeudarse en $10 millones por 5 años. 
AAACorp desea endeudarse a tasa variable indexada a LIBOR y BBBCorp desea endeudarse a 
tasa fija. Las tasas ofrecidas son: 
 
AAACorp tiene una ventaja comparativa en tasa fija: paga una tasa fija 1.2% más baja que 
BBBCorp, comparada con una ventaja de sólo 0.7% en tasa variable. BBBCorp tiene, 
entonces, una ventaja comparativa en tasa variable: una tasa variable sólo 0.7% más alta que 
AAACorp, comparada con una diferencia de 1.2% en tasa fija. 
- Ambas empresas pueden trabajar en conjunto para obtener el mejor financiamiento ofrecido 
y llevarse una ganancia ya que los spread entre tasas no es el mismo (tasa fija AAA – tasa fijo 
BBB vs tasa variable AAA vs tasa variable BBB). 
- Para aprovechar esta oportunidad, cada empresa debe endeudarse en la tasa en la cual tienen 
ventaja competitiva. La ganancia potencial es de 0,5% = (5,2% - 4%) – (0,6% - -0,1%) en la tasa 
de endeudamiento. Luego, las empresas establecen un swap donde la tasa variable sea la LIBOR 
y la tasa fija no sea mayor a la ventaja comparativa en la tasa fija más la reducción obtenida. 
- Si BBB se endeuda a LIBOR + 0,6%, este esperaría recibir una tasa LIBOR de AAA a cambio de 
pagarle a AAA una tasa fija no mayor a 4,6%. ¿Por qué no mayor a 4,6%? Porque, al pagarle a 
AAA una tasa fija del 4,6% en total estaría pagando deuda por: 
LIBOR + 0,6% - LIBOR + 4,6% = 5,2% 
- Y 5,2% es la tasa fija que le ofrecía el banco. 
- De la misma forma, AAA no estaría dispuesta a aceptar una tasa menor a 4,1% ya que: 
4% - 4,1% + LIBOR = LIBOR – 0,1% 
- Por lo tanto, la tasa fija a elegir entre AAA y BBB debe ser 4,1% < x < 4,6%. Si suponemos que se 
reparten la ganancia potencial en partes iguales, la tasa fija sería de 4,35%. De modo que: 
 
VGC 
 
 
63 
 
- Si la transacción es intermediada por una institución financiera, una posible estructura sería la 
siguiente: 
 
- Aquí, AAACorp y BBBCorp reducen su costo de endeudamiento en 0.23% y la Institución 
Financiera se gana el 0.04% restante. 
- ¿Por qué el spread que paga AAACorp y BBBCorp podría ser distinto en mercados de tasa fija y 
mercados de tasa variable? 
1- Los contratos en distintos mercados pueden ser distintos (¿distinto plazo?). 
2- La tasa variable es en general una tasa de corto plazo y la tasa fija del swap podría ser de 
largo plazo. 
3- Puede que sea más probable que AAACorp pague su deuda de corto plazo que su deuda de 
largo plazo. 
4- Además, se está asumiendo que BBBCorp puede seguir endeudandose a tasa variable 
durante la vida del swap. 
- La tasa fija de un contrato swap se elige de forma de que el contrato tiene un valor igual a 
cero al inicio. Posteriormente, al cambiar los valores de las tasas de mercado el valor del swap 
puede hacerse positivo o negativo. Flujos: 
1- Al inicio el primer flujo de un swap es conocido y depende el valor de la tasa variable de 
mercado en ese momento 
2- Cada uno de los otros flujos es equivalente al flujo de un contrato FRA donde se intercambia 
la tasa variable por la tasa fijada por el swap 
 
- Podemos valorar un swap de tasa de interés de la misma forma en que valoramos un contrato 
FRA, asumiendo que el swap es un portafolio de contratos FRA, podemos asumir que la tasa 
variable que se pagará en el futuro es la actual tasa forward. 
- Procedimiento de valoración flujos a tasa variable: 
1- Calcular las tasas forward para cada tasa LIBOR asociada a los pagos futuros. 
2- Calcular los flujos variables asumiendo que la tasa variable pagada será igual a la actual tasa 
forward. 
VGC 
 
 
64 
 
3- Descontar todos los flujos a la tasa libre de riesgo. 
- El valor del swap para el fixed rate payer será: Vswap = VFloat − VFix 
- Un último ejemplo sería: 
Tiempo atrás se inició un swap con pagos semestrales, tasa fija de 3% anual (compuesta 
semestral) y tasa variable LIBOR de 6 meses (compuesta semestral). El principal es $100.000 
y al contrato le quedan 15 meses de vida. La tasa LIBOR a 3 meses para el siguiente pago del 
swap es 2.9%. La estructura de tasas LIBOR y OIS (tasa libre de riesgo continuamente 
compuesta) es actualmente: 
 
 
- Consideremos: 
 
- Calculamos el valor de los pagos a tasa variable: 
1- Los forward son: f(0; 0; 0,25) = 2,9%, f(0; 0,25; 0,75) = 2,5037% y f(0; 0,75; 1;25) = 3,2546% 
2- Flujos variables: LN x T* x f(0, Ti-1, Ti) = $100.000 x 0,5 x f(0, Ti-1, Ti) = $1.450, $1.251,85, y 
$1.251,85 
3- El valor de los flujos a tasa variables es: 
 
VGC 
 
 
65 
 
Administración del Riesgo 
- Asumamos que una institución financiera que vendió 100,000 en opciones call acciones de una 
acción que no paga dividendos. Suponemos que el precio de las acciones es de $49, el precio de 
ejercicio es de $50, la tasa de interés libre de riesgo es del 5% anual, la volatilidad del precio de 
las acciones es del 20% anual, el tiempo de vencimiento es de 20 semanas (0,3846 años), y el 
retorno esperado de las acciones es del 13% anual. Con nuestra notación habitual, estosignifica 
que 
 
- Haciendo el cálculo Black&Scholes veríamos que el precio de cada una de las call vendidas 
debería ser de $2,4, es decir, la empresa debería recibir $240.000. Sin embargo, esta recibió 
$300.000. ¿Cómo cubre el banco su riesgo de obtener una ganancia de $ 60,000? 
- Una estrategia es simplemente no hacer nada: no tomar medidas y permanecer expuesto al 
riesgo de la opción. 
- En este ejemplo, dado que la empresa vendió las call, espera que la acción permanezca por 
debajo del precio de ejercicio ($50) para que la otra parte no ejerza la opción y la empresa 
conserve la prima en su totalidad. 
- Pero si la acción sube a, digamos, $ 60, la empresa pierde ($60 – $50) × 100,000 = $1.000.000, 
lo que es considerablemente más que los $300.000 que recibió por la venta. 
- Una estrategia de cobertura sería comprar 100.000 acciones hoy en anticipación de tener que 
entregarlas en el futuro si la acción sube. 
- Sin embargo, si la acción disminuye, la opción no se ejerce pero la posición de la acción se ve 
afectada. Por ejemplo, si la acción baja a $40, la pérdida es ($49 – $40) × 100.000 = $900.000. 
Lo cual sigue siendo una pérdida grande. 
- Una estrategia para cubrirse del riego es determinar cuánta pérdida estoy dispuesta a aceptar, 
la estrategia stop–loss está diseñada para garantizar que la empresa sea propietaria de las 
acciones si la opción se cierra ITM y no es propietaria de las acciones si la opción se cierra OTM. 
En este caso, una estrategia de stop–loss sería: 
1- Comprar 100.000 acciones cuando el precio de las acciones alcance los $50. 
2- Vender 100.000 acciones cuando el precio de la acción caiga por debajo de $50. 
- Sin embargo, es poco probable que se puedan realizar compras y ventas en exactamente el 
mismo precio K. Además, las transacciones repetidas de toda la posición (costosas) y el hecho 
de que siempre comprará en K + ε y venderá en K – ε hace que esta estrategia no sea muy viable. 
- La mayoría de las empresa utilizan estrategias de cobertura más sofisticadas que las 
mencionadas hasta ahora. Estas incluyen el cálculo de medidas como delta, gamma y vega. 
VGC 
 
 
66 
 
- Delta, Δ, ya ha sido estudiada por nosotros (cuando partimos viendo el árbol binomial, 
representa cuando acciones debe tener el portafolio imitador para poder imitar precio de la 
opción). 
- Delta se define como la tasa de cambio del precio de la opción con respecto al precio del activo 
subyacente, para los más financieros, pensar en delta como el “beta” de la opción sobre el 
precio del subyacente. Supongamos que el delta de una opción call es 0,6. Esto significa que 
cuando el precio de las acciones cambia en una $1, el precio de la opción cambia debería 
cambiar en $0,6. 
- La siguiente figura muestra la relación entre un precio de una call y el precio de la acción 
subyacente: 
 
- Cuando el precio de la acción corresponde al punto A, el precio de la opción corresponde al 
punto B y es la pendiente de la línea indicada, por lo tanto, podemos decir que delta es la 
pendiente de la curva la que relaciona el precio de la opción con el precio del activo 
subyacente. En general, se cumple que: 
 
- Supongamos que el precio de la acción es de $49, el precio de la opción call es $2,4, el inversor 
ha vendido 100.000 opciones. Además, supongamos que el inversor ha decidido cubrirse con 
0,6 × 100.000 = 60.000 acciones. 
- ¿Qué sucede si el precio de las acciones sube en $ 1? 
1- El inversor obtendrá una ganancia de $60.000 por las acciones compradas. 
2- El precio de la opción subiría en 0,6 × $1 por acción, produciendo una pérdida de $60.000. 
- ¿Qué sucede si el precio de las acciones baja en $ 1? 
1- El inversor obtendrá una pérdida de $60.000 en las acciones compradas. 
2- El precio de la opción bajaría en 0,6 × $1 por acción, produciendo una ganancia de $60.000. 
- Es importante darse cuenta de que, dado que el delta de una opción no permanece constante, 
la posición del comerciante permanece cubierta delta (o delta neutral) durante un período de 
VGC 
 
 
67 
 
tiempo relativamente corto. La cobertura tiene que ser ajustada periódicamente. Esto se 
conoce como reequilibrio o rebalancing. 
- Ahora, supongamos que el delta aumenta de 0,60 a 0,65. Dado que el delta cambió, habrá que 
hacer un rebalancing, es decir, comprar (0,65 – 0,6) x 100.000 = 5.000 acciones adicionales para 
mantener la cobertura. 
- Un procedimiento como este, en el que la cobertura se ajusta de forma regular, se conoce como 
cobertura dinámica. Se puede contrastar con una cobertura estática, donde inicialmente se 
establece una cobertura y nunca se ajusta. La cobertura estática a veces también se conoce 
como "cubrir y olvidar" o “hedge–and–forget”. 
- En el modelo de árbol binomial, ∆ era el número de acciones necesarias junto con una posición 
corta en una unidad del derivado, como que el portafolio no tenía riesgo en un solo paso. En el 
modelo de Black–Scholes, ∆ tenía la misma interpretación que en el modelo de árbol binomial, 
la única diferencia es que el paso de tiempo fue aquí un período de tiempo muy corto. 
- Por lo tanto, podemos decir que las opciones se pueden valorar estableciendo una posición 
neutral en delta y argumentando que el retorno de la posición debería (instantáneamente) ser 
la tasa de interés libre de riesgo. 
- Se puede demostrar que el delta de una posición larga en una call sobre una acción que no paga 
dividendos es: 
 
- Donde 
 
- El delta de una posición corta en una call es −N (d1). 
- Para una opción de venta europea en una acción que no paga dividendos, el delta viene dado 
por: 
 
- Por lo tanto, el delta de una put siempre será negativa. Por lo tanto, la posición corta en una 
opción de venta debe cubrirse con una posición corta en la acción subyacente. 
- Para comprobar esto retomemos nuestro ejemplo inicial: 
 
- Luego, 
 
 
VGC 
 
 
68 
 
- Hay que destacar que delta varía entre –1 y 1. En particular: 
1- En el caso de las call: ∆ ϵ ]0, 1[ 
2- En el caso de las put: ∆ ϵ ]0, 1[ 
- Gráficamente: 
 
- Aprovecho de destacar que esto no es contradictorio con el delta que vemos en los árboles 
binomiales. ¿Por qué sería contradictorio? Porque hay ejercicios donde el delta es mayor que 1. 
Esto pasa porque estamos frente a cambios en el tiempo discretos, lo que no aplica a la realidad. 
Una vez que estamos a nivel de Black&Scholes es que se cumple que ∆ < |1|. 
- El theta (Θ) deun portafolio de opciones es la tasa de cambio del valor del portafolio con 
respecto al paso del tiempo, es decir, es el “beta” de la opción en relación al tiempo 
(usualmente medido en días): 
 
- Theta a veces se conoce como time decay. El theta de una call o put usualmente es negativo. 
Esto significa que, con el paso del tiempo, el precio de la call y put irán disminuyendo, bajo 
ceteris paribus. 
- Para las opciones europeas en una acción que no paga dividendos, se puede mostrar a partir de 
las fórmulas de Black–Scholes que: 
 
VGC 
 
 
69 
 
- ¿Cómo es la variación de theta de una call europea con respecto al precio de las acciones? 
 
- Volvamos a retomar nuestro ejemplo inicial: 
 
- Luego, 
 
- Por lo tanto, esta call (que ahora está valorada en $2,4) pierde 0,0118 de su precio por día. 
- Gamma (Γ) de una opción sobre un activo subyacente es la tasa de cambio del delta con 
respecto al precio del activo subyacente. Es decir, es el “beta” de Δ sobre S. 
- Otra forma de verlo es que es la segunda derivada parcial del portafolio con respecto al precio 
del activo: 
 
- Por razones matemáticas que desconozco ya que soy mortal, se cumple que: Γ(c) = Γ(p). 
VGC 
 
 
70 
 
- Para una opción de compra o venta europea en una acción que no paga dividendos, la gamma 
viene dada por 
 
- La gamma de una posición larga siempre es positiva. Si gamma es pequeño, el delta cambia 
lentamente, y los ajustes para mantenerun portafolio deltaneutral solo deben realizarse con 
relativa poca frecuencia; sin embargo, si el gamma es altamente positivo, el delta es muy 
sensible al precio del activo subyacente. En otras palabras, sería bastante arriesgado dejar una 
posición sin cubrir con gamma alto. 
- La relación que tiene gamma con relación al precio es: 
 
- Vega (v) mide la sensibilidad del precio de la opción a cambios en la volatilidad de los retornos 
del activo subyacente: 
 
- Para una opción de compra o venta europea en una acción que no paga dividendos, vega está 
dada por 
 
- Recordar que: 
 
- Vega de una posición larga en una opción europea o estadounidense siempre es positiva. 
- Veamos un ejemplo: 
 
VGC 
 
 
71 
 
 
- Por lo tanto, un aumento en 1 punto porcentual en la volatilidad (del 20% a 21%, no de 20% a 
20,2%) aumenta el precio de la opción en aproximadamente 1% × 12,1 = 0,121. 
- Finalmente, la última letra griega es rho (p). Rho mide la sensibilidad del precio de la opción a 
cambios en la tasa de interés. 
 
- Luego, 
 
- Aplicándolo a nuestro ejemplo: 
 
 
- Por lo tanto, un aumento en 1 punto porcentual en la tasa de interés (del 5% a 6%) aumenta el 
precio de la opción en aproximadamente 1% × 8,907 = 0,08907. 
- A modo de resumen, para un activo financiero X: 
1- Delta: ΔX = 
𝛛𝐗
𝛛𝐒
 
2- Theta: ΘX = 
𝛛𝐗
𝛛𝐭
 
3- Gamma: ΓX = 
𝛛𝚫(𝐗)
𝛛𝐒
 = 
𝛛𝚫(𝐗)
𝛛𝐒
 = 
𝛛𝟐𝐗
𝛛𝐒𝟐
 
4- Vega: vX = 
𝛛𝐗
𝛛𝛔
 
5- Rho: pX = 
𝛛𝐗
𝛛𝐫
 
VGC 
 
 
72 
 
- Todas estas fórmulas son para acciones que no pagan dividendos, ¿cómo cambia la cosa si los 
pagase? Si la acción tiene un dividend yield igual a q: 
 
- Dado que los portafolios son combinaciones de acciones y opciones, estos también tienen sus 
propias letras griegas. Por lo tanto, como ya estudiamos las sensibilidades de las opciones, 
también debemos comprender las sensibilidades del valor del activo subyacente, S. 
- Por definición: 
1- Delta: ΔS = 
𝛛𝐒
𝛛𝐒
 = 1 
2- Theta: ΘS = 
𝛛𝐒
𝛛𝐭
 = 0 
3- Gamma: ΓS = 
𝛛𝚫(𝐒)
𝛛𝐒
 = 
𝛛𝚫(𝐒)
𝛛𝐒
 = 0 
4- Vega: vS = 
𝛛𝐒
𝛛𝛔
 = 0 
5- Rho: pS = 
𝛛𝐒
𝛛𝐫
 = 0 
- Por tanto, las letras griegas de un portafolio, que a partir de ahora denotaremos como Π, son: 
1- Delta: ΔΠ = 
∂Π
∂S
 
2- Theta: ΘΠ = 
∂Π
∂t
 
3- Gamma: ΓΠ = 
∂Δ(Π)
∂S
 
4- Vega: vΠ = 
∂Π
∂σ
 
5- Rho: pΠ = 
∂Π
∂r
 
- Veamos el caso de delta del portafolio, si un portafolio de N opciones consta de una cantidad 
n(ci) de la opción i, el delta del portafolio viene dado por 
 
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73 
 
- Apliquémoslo al siguiente ejemplo: 
Supongamos que un banco tiene un portafolio con las siguientes posiciones: 
a. 100.000 posiciones largas en opciones call con un delta de 0.533 para cada una. 
b. 200.000 posiciones cortas en opciones call con un delta de 0.468 para cada una. 
c. 50.000 posiciones corta en opciones put con un delta de −0.508 para cada una. 
¿Cuál es el delta del portafolio? ¿Qué posición en acciones habría que tomar para ser neutral 
al riesgo? 
- El delta será la suma de las posiciones que tenemos por el delta de cada posición: 
 
- Por lo tanto, el portafolio se puede hacer neutral en delta comprando 14.900 acciones de las 
acciones subyacentes. También significa que cuando la acción sube en $1, el valor del portafolio 
baja en $14.900. 
- Siguiendo esta lógica operativa de letras griegas, veamos un ejemplo más completo: 
Suponga que todas las siguientes opciones están en la misma acción subyacente (no 
necesariamente el mismo precio de ejercicio), y cada contrato de opción cubre 100 acciones: 
 
¿Cuál es el delta, gamma y vega del portafolio? 
- Siguiendo la lógica que la letra griega del portafolio es la suma de, la posición que se tiene 
(corto/largo = +1/–1) por la cantidad de opciones que se tenga por la letra griega: 
 
- Una institución financiera generalmente calcula cada una de estas medidas cada día para cada 
variable de mercado a la que está expuesta. A menudo hay cientos, o incluso miles, de estas 
variables de mercado. Un análisis delta–gamma–vega, por lo tanto, conduce a una gran cantidad 
de diferentes medidas de riesgo que se producen cada día. 
- Estas medidas de riesgo proporcionan información valiosa para los comerciantes de la 
institución financiera. Sin embargo, no proporcionan una forma de medir el riesgo total al que 
está expuesta la institución financiera. 
- Value at Risk (VaR) es un intento de proporcionar un número único que resuma el riesgo total 
enun portafolio de activos financieros. Ha sido ampliamente utilizado por tesoreros 
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corporativos y gestores de fondos, así como por instituciones financieras. Los reguladores 
bancarios han utilizado tradicionalmente el VaR para determinar el capital que debe mantener 
un banco por los riesgos que conlleva. 
- Al usar la medida VaR, un analista está interesado en hacer una declaración de la siguiente 
forma: "Estoy X% seguro de que no perderé más de V dólares en los próximos N días". 
- La variable V es el VaR del portafolio. Es una función de dos parámetros: el horizonte de tiempo 
(N días) y el nivel de confianza (X%). V es el nivel de pérdida durante N días que tiene una 
probabilidad de solo (100 – X%) de ser excedido. Los reguladores bancarios requieren que los 
bancos calculen el VaR para el riesgo de mercado con N = 10 y X = 99. 
- VaR es una medida atractiva porque es fácil de entender. En esencia, hace la simple pregunta 
"¿Qué tan mal pueden ponerse las cosas?". Esta es la pregunta que todos los gerentes quieren 
que se responda. Se sienten muy cómodos con la idea de comprimir todas las letras griegas para 
todas las variables de mercado subyacentes a un portafolio en un solo número. 
- Si aceptamos que es útil tener un solo número para describir el riesgo de un portafolio, una 
pregunta interesante es si VaR es la mejor alternativa. Algunos investigadores han 
argumentado que VaR puede tentar a los comerciantes a elegir un portafolio con una 
distribución de retorno similar a: 
 
- Sin embargo, el riesgo no se tiene por qué distribuirse de forma normal, también puede ser: 
 
- Estas figuras representan portafolios distintos, pero con el mismo VaR. Sin embargo, podemos 
ver que el segundo portafolio es mucho más riesgoso porque las pérdidas potenciales son 
mucho mayores. 
- Una medida que arregla este “problema de distribución de riesgo no–simétrica” es el expected 
shortfall, o bien, déficit esperado (C–VaR). Mientras que el VaR hace la pregunta ' ¿Qué tan mal 
VGC 
 
 
75 
 
pueden ponerse las cosas? '', el C–VaR pregunta: “Si las cosas se ponen mal, ¿cuánto puede 
esperar perder la empresa?”. 
- Entonces, el C–VaR es la pérdida esperada durante un período de N días condicional a que la 
pérdida sea peor que la pérdida de VaR. Por ejemplo, con X = 99 y N = 10, el C–VaR es la cantidad 
promedio que la compañía pierde durante un período de 10 días cuando la pérdida es peor que 
el VaR de 99% de 10 días. 
- La simulación histórica es una forma de estimar VaR. Implica utilizar datos pasados como guía 
de lo que sucederá en el futuro. Supongamos que queremos calcular el VaR para un portafolio 
utilizando un horizonte temporal de un día, un nivel de confianza del 99% y 501 días de datos. 
- El primer paso es identificar las variables del mercado que afectan al portafolio. Por lo general, 
serán tasas de interés, precios de acciones, precios de productos básicos, etc. Todos los precios 
se miden en moneda local. Por ejemplo, una variable de mercado para un banco alemán 
probablemente sea el S&P 500 medido en euros. 
- Se recopilan datos sobre los movimientos en las variables del mercado durante los últimos 501 
días. Esto proporciona 500 escenarios alternativos para lo que puede suceder entre hoy y 
mañana. 
- Si tomamos el primer día como Día 0, el segundo día como Día 1, etc. El escenario 1 es donde 
los cambios porcentuales en los valores de todas las variablesson los mismos que fueron entre 
el día 0 y el día 1, el escenario 2 es donde son los mismos que entre el día 1 y el día 2, y así 
sucesivamente. 
- En términos algebraicos, sea vi el valor de una variable de mercado en el día i. Supongamos que 
hoy es el día n. El escenario i–ésimo en el enfoque de simulación histórica supone que el valor 
de la variable de mercado de mañana será 
 
- Al final, lo que se busca es obtener los retornos que hubo en esos 500 casos y simular cómo 
cambiaría nuestra inversión dependiendo de la data histórica. 
- Supongamos que un inversor posee un portafolio de $10 millones que consiste en inversiones 
en cuatro índices bursátiles: Dow Jones (DIJA), FTSE 100, CAC 40 y Nikkei 225. El valor de la 
inversión en cada índice el 25 de septiembre de 2008 se muestra en la siguiente tabla: 
 
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76 
 
- Además, tenemos el precio de cierre de los últimos 501 días (hábiles) de cada uno de estos 
índices (recordar que toda inversión debe estar en la moneda local): 
 
- Considerando estos datos, los 500 posibles escenarios serían: 
 
- ¿Cómo se formó el escenario 1 para el DIJA? 
Escenario 1 = Precio hoy x 
Dato 1
Dato 0
 = 11.022,06 x 
11.173,59
11.219,38
 = 10.977,08 
- ¿Cuánto valdría el portafolio en el escenario 1? 
 
- Se toman 4.000 para el DIJA en vez de los 11.022,06 porque al final lo que nos importa es ver 
cuánto rentaría nuestra inversión si el DIJA renta de la misma forma a como lo hizo en el 
escenario 1, hace 500 días. 
- Por lo tanto, bajo el escenario 1 tendríamos una ganancia de (10.014,33 – 10.000) = 14,33. 
- Si calculamos la ganancia de nuestro portafolio para los otros 499 casos y hacemos un gráfico 
de frecuencias obtendríamos: 
 
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77 
 
- Como se puede ver, la distribución tiene algo parecido a una distribución normal: media en cero 
y baja varianza. 
- Si hacemos un ranking con mayores pérdidas a menores pérdidas/mayores ganancias 
tendríamos algo así: 
 
- Por lo tanto, si hacemos la pregunta VaR: "¿Qué tan mal pueden ponerse las cosas?" La 
respuesta dependerá de con cuánta confianza queremos responder. Si queremos responder 
con el 99% de confianza, buscamos el (100% – X%) * Cantidad de datos = 1% * 500 = 5to dato. 
Luego, podemos responder: "Estoy 99% segura de que no perderé más de $253,38 dólares en 
el próximo día". 
- El cálculo siempre se hace pensando en los escenarios para “mañana”. ¿Qué hacer si se quiere 
ver la potencial pérdida a N días? Al igual que como vimos previamente en el curso, el riesgo 
crece con la raíz del tiempo. Luego, 
 
- Entonces, si queremos responder a "¿Qué tan mal pueden ponerse las cosas en 10 días?", sólo 
hay que buscar el dato que corresponde a ese nivel de confianza y ajustarlo por la raíz del 
tiempo: 
√N x 253,38 = √10 x 253,38 = 801,26 
- La principal alternativa a la simulación histórica (la pajita que acabamos de hacer) es hacer 
suposiciones sobre las distribuciones de probabilidad del retorno de las variables del mercado 
y calcular la distribución de probabilidad del cambio en el valor del portafolio de forma analítica. 
Esto se conoce como el enfoque varianza–covarianza o enfoque construcción de modelos. 
- En la fijación de precios de opciones, el tiempo generalmente se mide en años, y la volatilidad 
de un activo generalmente se cita como una "volatilidad por año". Cuando se utiliza el enfoque 
de construcción de modelos para calcular el VaR para el riesgo de mercado, el tiempo 
generalmente se mide en días y la volatilidad de un activo generalmente se cita como una 
"volatilidad por día". 
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78 
 
- ¿Cuál es la relación entre la volatilidad por año utilizada en el precio de las opciones y la 
volatilidad por día utilizada en los cálculos de VaR? 
- Definamos el año como la volatilidad por año de un determinado activo y el día como la 
volatilidad equivalente por día del activo. Suponiendo 252 días de negociación en un año, la 
desviación estándar del retorno compuesto continuo del activo en 1 año como σaño o σdía. De 
modo que: 
 
- Teóricamente, σdía es la desviación estándar del retorno compuesto continuo en un día. En la 
práctica, podemos suponer que es la desviación estándar del cambio porcentual en un día. 
- Por lo general, suponemos que los cambios porcentuales en las variables del mercado se 
distribuyen normalmente. Supongamos que σ es la volatilidad diaria estimada del cambio 
porcentual sobre el valor de un portafolio, y que el cambio porcentual esperado en un día es 
cero (buen supuesto para períodos cortos de tiempo), entonces 
 
- ¿De dónde salieron esos números? De los intervalos de confianza. No se si te acordai de 
inferencia, pero cuando nos preguntaban por la P(x < 1,64), íbamos a la tablita de distribuciones 
estándar y buscábamos el % de confianza con el que x < 1,64. Bueno, es eso mismo para los 
otros números. Deal with it. O bien, la razón matemática donde N–1(1 – 99%) = 2,326, lo que es 
básicamente lo mismo a lo que acabo de decir. 
- Consideremos cómo se calcula el VaR utilizando el enfoque de construcción de modelos en una 
situación muy simple donde el portafolio consiste en una posición en una sola acción: $10 
millones en acciones de Microsoft. Suponemos que N = 10 y X = 99, si la volatilidad de Microsoft 
es del 2% por día (o alrededor del 32% por año), ¿cuál es el valor del 99% a 10 días en riesgo? 
- Debido a que el tamaño de la posición es de $10 millones, la desviación estándar de los 
cambios diarios en el valor de la posición es del 2% de $10 millones, es decir, $200.000. 
- Suponiendo que el cambio esperado es cero y la distribución de probabilidad del cambio es 
normal, entonces: 
 
- ¿Y si la empresa solo tuviese $5 millones en AT&T, que tiene una volatilidad diaria del 1%? 
 
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- Ahora consideremos un portafolio compuesto por Microsoft y AT&T. La posición en AT&T es de 
$5 millones y en Microsoft sigue siendo de $10 millones. Suponga que la volatilidad diaria de 
AT&T es del 1% y de Microsoft del 2% y que los rendimientos de las dos acciones tienen una 
distribución normal bivariada con una correlación de 0,3 ¿Cuál es el valor del 99% a 10 días en 
riesgo? 
- Recordando finanzas 1, el riesgo de un portafolio con activos X e Y cumplen: 
 
- En este caso, a diferencia de finanzas 1, asumiremos que σx = $200.000 = 2% x $10.000.000 y 
que σy = $50.000. Luego, 
 
- Se supone que el cambio medio es cero y el cambio se distribuye normalmente. Entonces el 99% 
VaR de 1 día es, por lo tanto, 
 
- Por lo tanto, el VaR a 10 días del portafolio es: 
 
- En el ejemplo que acabamos de considerar: 
1- El VaR del 99% a 10 días para el portafolio de acciones de Microsoft es de $1.471.300. 
2- El VaR del 99% a 10 días para el portafolio de acciones de AT&T es de $367.800. 
3- El VaR del 99% a 10 días para el portafolio de acciones de Microsoft y AT&T es de $1.620.100. 
- El monto ($1.471.300 + $367.800) – $1.620.100 = $219.000 representa los beneficios de la 
diversificación. Si Microsoft y AT&T estuvieran perfectamente correlacionados, el VaR para el 
portafolio de Microsoft y AT&T sería igual al VaR para el portafolio de Microsoft más el VaR para 
el portafolio de AT&T. Una correlación menos que perfecta conduce a que parte del riesgo sea 
"diversificado". 
- El modelo lineal es una generalización de los ejemplos anteriores del enfoque de construcción 
de modelos para calcular el VaR. El cambio diario en el valor de un portafolio está relacionado 
linealmente con los rendimientos diarios de las variables del mercado. Los rendimientos de las 
variables del mercado se distribuyen normalmente. 
- De finanzas 1 (ahora sí) y de Markowitz, sabemos que la varianza de un portafolio es: 
 
- Supongamos que tenemos un portafolio que vale P. Este consta de n activos con una cantidad 
αi invertida en el activo i (αi = ωi × P). Si Ri es el rendimiento del activo i en un día. El cambio en 
dólares en el valorde nuestra inversión en el activo i en un día es αi × Ri y 
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- donde dP es el cambio en dólares en el valor de toda el portafolio en un día. La varianza de dP 
es entonces 
 
- La desviación estándar del cambio en el valor del portafolio durante N días es 
 
- El 99% VaR para un horizonte temporal de N días es 
 
- La aplicación más simple del modelo lineal es un portafolio sin derivados que consista en 
posiciones en acciones, bonos, divisas y materias primas. El cambio en el valor del portafolio 
depende linealmente de los cambios porcentuales en los precios de los activos que componen 
el portafolio. Pero la cosa cambia cuando hay opciones. 
- Consideremos un portafolio de opciones que depende de un precio de acción único, S. Si ∆ es el 
delta de la opción, entonces es aproximadamente cierto que 
 
- Si definimos el retorno diario como 
 
- Luego 
 
- Del mismo modo, cuando hay muchas variables de mercado subyacentes 
 
- donde ∆i es el delta del portafolio con respecto al activo i–ésimo. 
- Por lo tanto, tenemos que ajustar la varianza del portafolio: 
 
- Apliquemos lo anterior a un ejemplo: 
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Consideremos una inversión en opciones en Microsoft y AT&T. Supongamos que los precios 
de las acciones son de $120 y $30 respectivamente y los deltas del portafolio con respecto a 
los dos precios de las acciones son de 1.000 y 20.000 respectivamente. Como una 
aproximación 
dP ≈ 120 × 1.000 × R1 + 30 × 20.000 × R2 
donde R1 y R2 son los retornos de Microsoft y AT&T en 1 día. Mantengamos la suposición 
que la volatilidad diaria de Microsoft es del 2% y la volatilidad diaria de AT&T es del 1% y la 
correlación entre los cambios diarios es de 0.3. ¿Cuál es el 95% VaR a 5 días para este 
portafolio? 
- La desviación estándar de este portafolio será: 
σp = √(120 𝑥 1.000 𝑥 2%)2 + (30 𝑥 20.000 𝑥 1%)2 + 2 𝑥 120 𝑥 1.000 𝑥 2% 𝑥 30 𝑥 20.000 𝑥 1% 𝑥 0,3 
σp = 7.099 
- Luego, el VaR a 5 días es: 
7.099 x √5 x 1,6449 = 26.110,9 
- Como alternativa al procedimiento descrito hasta ahora, el enfoque de construcción de modelos 
puede implementarse utilizando la simulación de Monte Carlo para generar la distribución de 
probabilidad para dP. Supongamos que deseamos calcular un VaR de 1 día para una cartera. El 
procedimiento es el siguiente: 
1- Valorar el portafolio hoy 
2- Sacar muestras de la distribución multivariante de Ri (así como el ejemplo donde hacíamos 
una estimación histórica con los 501 datos, página 76) para cada uno de los activos 
3- Usar el Ri de cada acción para ver cómo cambiaría el precio de la acción 
4- Revalorizar la cartera al final del día, 
5- Calcular dP 
- Apliquémoslo al siguiente ejemplo: 
Supongamos que tenemos una inversión en 10.000 opciones call a 6 meses en Microsoft y 
50.000 opciones put a 3 meses en AT&T. Los precios de las acciones son de $120 y $30, 
respectivamente, y los precios de ejercicio de las opciones son de $125 y $30, 
respectivamente. Si la volatilidad diaria de Microsoft es del 2% y de AT&T es del 1%, la 
correlación entre los rendimientos es de 0.3 y la tasa de interés libre de riesgo del 5%, el 
valor actual de la cartera es 
 
- Esto suponiendo que encontramos los valores de las opciones usando Black&Scholes. 
Supongamos que sacamos muestras de los últimos 10.000 precios de cierre, la frecuencia de las 
ganancias en términos porcentuales de cada acción sería: 
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- Ahora hacemos el paso 3, esos 10% lo ajustamos a los precios de las acciones: 
 
- Luego, paso 4 y 5, sería ver cómo cambia el precio del portafolio considerando estos posibles 
cambios, es decir, las distribuciones que acabamos de ver pasarlas a ganancia: 
 
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- Luego, se multiplica por la cantidad de opciones que se tenía y luego se suma verticalmente, de 
modo que se tiene el dP del portafolio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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