Todo_2009_2

Vista previa del material en texto

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Repaso de Lógica
Profesor: José Miguel Sánchez Marzo 2011
1. Relaciones de Implicancia y Equivalencia
Sean A y B dos proposiciones que, como tales, pueden ser verdaderas o falsas. Se denota
A ⇒ B
a una relación de implicancia entre ambas proposiciones y se lee como “A implica B”. Cabe
mencionar que la proposición no establece la veracidad de A, sino que es una hipótesis que en
el caso de verificarse señala el cumplimiento de B. Las siguientes relaciones son equivalentes
en relación a A ⇒ B:
1) Si A ocurre, entonces B ocurre.
2) Si A es verdadera, B también lo es y si B es falsa, entonces A es falsa1.
3) A es suficiente para B, es decir, el hecho de que A es verdadero basta para saber que B
también lo es.
4) A es verdadero sólo si B es verdadero.
5) B es necesario para A, es decir, si A ocurre, necesariamente ocurre B.
Notar que de lo anterior se tiene que no puede pasar que A sea verdadero y B falso. De
esta forma, se tiene que:
¬B ⇒ ¬A
donde ¬ denota la negación de la proposición que tenga a su derecha. Esta es la forma
contrapositiva de una relación de implicancia.
Si en un caso particular se tiene que A ⇒ B y además que B ⇒ A, se dice que B es
equivalente a A y se denota:
A ⇔ B
1No se puede deducir una falsedad a partir de una verdad ni viceversa.
1
2. Demostraciones
Para establecer la veracidad de una relación del tipo A ⇒ B se puede proceder de dos
formas opuestas:
Si una proposición es verdadera, para establecerla se requiere una demostración.
Si una proposición es falsa, basta un contraejemplo. Para ilustrar, considere la frase:
“Todos los números impares son divisibles por 3.” Un contraejemplo que muestra la
falsedad de la frase es el número 5.
Cuando se quiere enunciar una relación A ⇒ B se requiere una demostración. Ella puede
proceder de tres maneras distintas.
a) Por construccción: Se comienza a partir de las premisas de A y se llega a B.
b) Por contradicción: Se supone que la relación A ⇒ ¬B es correcta y se demuestra que
es falsa. De esta forma, sólo es posible que A ⇒ B.
c) Por contrapositivo: Se demuestra por construcción, pero usando el contrapositivo.
Para establecer la veracidad de una proposición de la forma A ⇔ B se debe probar la
necesidad (⇒) y la suficiencia (⇐) de A para el cumplimiento de B.
2
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Repaso de Microeconomı́a
Profesor: José Miguel Sánchez Marzo 2011
Notación
A lo largo de estas notas de clase, se empleará la siguiente notación:
R = {x| −∞ < x <∞} denota el conjunto de los números reales.
Rk denota el espacio dado por el producto cartesiano:
R× R× · · · × R︸ ︷︷ ︸
k veces
donde x ∈ Rk ⇔ x = (x1, x2, ..., xk) con xi ∈ R para i = 1, 2, ..., k. Aśı x es un vector
de dimensión k. Como caso particular tenemos
R2 ≡ R× R = {(x1, x2)|x1 ∈ R, x2 ∈ R}
en donde cada elemento es un punto en el espacio euclidiano bidimensional.
x denota un vector que pertenece a Rk, mientras que x denota un escalar. En particular,
0 es un vector de ceros. Igual convención se aplica a las funciones; e.g. f(x) denota
una función f : R→ R, mientras que f(x) denota una función f : Rk → Rk.
Sean x,y ∈ Rk entonces
x ≥ 0⇔ xi ≥ 0 ∀ i = 1, 2, ..., k
x� 0⇔ xi > 0 ∀ i = 1, 2, ..., k
x ≥ y ⇔ xi ≥ yi ∀ i = 1, 2, ..., k
x� y ⇔ xi > yi ∀ i = 1, 2, ..., k
Se definen los conjuntos Rk+ y Rk++ según:
5 Rk+ = {x = (x1, ..., xk)|x ≥ 0} ⊂ Rk
5 Rk++ = {x = (x1, ..., xk)|x > 0} ⊂ Rk
Sean x y p vectores de Rk. Se define el producto punto como:
x · y = x1 · y1 + x2 · y2 + · · ·+ xk · yk
1
Parte 1
Teoŕıa del consumidor
1.1. Preferencias
Sea X el conjunto de posibilidades de consumo de k bienes donde X = Rk+. Las preferencias
de los consumidores deben ser tales que sean capaces de ordenar cualquier par de canastas
x,y ∈ X para lo cual se define sobre X la relación binaria � tal que al menos una de las
siguientes relaciones sea verdadera:
x � y y se lee “x es al menos tan preferido a y”
y � x
En el evento que ambas relaciones sean verdaderas, se denota x ∼ y que se lee “ x es
indiferente a y ” y cuando x � y es verdadera y y � x es falsa se escribe x � y que se lee
“la canasta x es preferida (estrictamente) a y”.
Definición 1.1
Sea � una relación binaria en un conjunto X no vaćıo. Se dice que X es:
i) Completa si ∀x,y ∈ X se tiene que x � y ó y � x
ii) Refleja si ∀x ∈ X, se tiene que x � x.
iii) Transitiva si ∀x,y, z ∈ X se tiene que si x � y y y � z entonces x � z
iv) Continua si el conjunto definido por Y = {x � x0|x ∈ X}, donde x0 es una canasta
arbitraria, es cerrado en Rk+. Dicho conjunto se denota � (x0) y se lee “el conjunto de
canastas al menos tan preferidas a x0.” Análogamente se define el conjunto Ỹ = {x �
x0|x ∈ X} se lee como el conjunto de canastas que no son mejores a x0. A consecuencia
de la definición de continuidad de � el conjunto Ỹ es también cerrado.
v) Monótona estricta1 si cumple x0 ≥ x1 ⇒ x0 � x1 y si x0 � x1 ⇒ x0 � x1 para todo
x0,x1 ∈ Rk+
1Esta es la noción de que más es preferido a menos.
2
vi) Estrictamente convexa en tanto para cualquier par de canastas en X tales que x1 6= x0
y x1 � x0 se tenga que
αx1 + (1− α)x0 � x0 ∀α ∈ (0, 1)
Esta propiedad permite que se verifique una preferencia por la “variedad”.
Supuesto 1.1
La relación de preferencias � del consumidor es completa, refleja, transitiva, continua,
estrictamente monotónica y estrictamente convexa en Rk+.
Definición 1.2
Sea � una relación binaria en X que cumple el supuesto 1.1 y sea u(·) : X→ R una función
real valorada. Se dice que u representa a � en X si ∀x,y ∈ X se tiene que:
x � y ⇔ u(x) ≥ u(y)
Otra manera de señalar lo anterior es que u representa las preferencias del consumidor y se
le conoce como “ función de utilidad”.
Definición 1.3
Sea f : D ⊂ Rn → R una función real valorada. Entonces f se le llama
i) Creciente si f(x0) ≥ f(x1) si x0 ≥ x1
ii) Estrictamente creciente si f(x0) > f(x1) si x0 � x1
Con el supuesto 1.1 se puede demostrar el siguiente teorema2 de existencia de la función
de utilidad.
Teorema 1.1
Si la relación binaria � es completa, transitiva y continua, entonces existe una función real
valorada continua, u : X→ R, que representa a � . Más aún, si f : R→ R es estrictamente
creciente, entonces v(x) = f(u(x)) también representa las preferencias descritas con la
relación � . Por otro lado, se tiene que:
i) u(x) es estrictamente creciente si y sólo si � es estrictamente monotónica.
ii) u(x) es cuasi-cóncava si y sólo si � es convexa.
iii) u(x) es estrictamente cuasicóncava si y sólo si � es estrictamente convexa.
2Ver Jehle G. y Reny P. (2000), “Advanced Microeconomic Theory” The Addison-Wesley series in econo-
mics, pág. 14 y siguientes.
3
Notar que sólo las primeras tres premisas del supuesto 1.1, descritos en la definición 1.1,
son necesarias para la existencia de la función de utilidad. Las otras dos premisas le otorgan
propiedades deseables que permiten que el problema del consumidor, descrito más adelante,
tenga solución interior permitiendo el uso de las herramientas de cálculo diferencial. No-
tar que el teorema sólo señala condiciones bajo las cuales u(x) es continua; no obstante,
generalmente se pide que ella sea diferenciable y no sólo continua.
1.2. Conjunto de Posibilidades
Sea y el ingreso del consumidor bajo análisis y sea p el vector de precios de los k bienes
que puede escoger. Al conjunto de posibilidades para el consumidor se le llama “restricción
presupuestaria”. Este conjunto se le supone no vaćıo, cerrado y acotado en Rk+ para p� 0
y de su definición se tiene que es convexo3:
B ≡ {x|x ∈ Rk+, p · x ≤ y}
6
-
x1
x2
Figura 1.1: Representación gráfica del conjunto B para k = 2
1.3. Problema del consumidor
El problema del consumidor se refiere a encontrar la canasta que sea la más preferida que
pertenezca al conjunto presupuestario. Matemáticamente, se busca x∗ ∈ X tal que:
x∗ � x ∀x∈ B
1.3.1. Problema Primal
De la definición 1.2 se tiene que el problema del consumidor puede ser expuesto como:
u(x∗) ≥ u(x) ∀x ∈ B
3Notar que aśı es un conjunto compacto. Si p 6� 0 el conjunto B no es compacto.
4
por lo que se busca un máximo global de u(x) en B que se puede escribir como:
máx
{x∈Rk+}
u(x) s.a. p · x ≤ y x ≥ 0 (1.1)
siendo esta la representación primal del problema del consumidor.
Como se está optimizando una función continua en un conjunto compacto, gracias al
teorema de Weiertrass4, existe un máximo en dicho conjunto. Más aún, debido a que la
función de utilidad es estrictamente cuasicóncava y el conjunto presupuestario es convexo,
la solución al problema del máximo es única y la función de demanda es continua. El que
u(·) sea estrictamente creciente permite que el máximo se encuentre en el borde del conjunto
presupuestario y aśı, en el óptimo se tiene que:
p · x∗ = y
Lo anterior se demuestra a continuación. Las condiciones necesarias, que también resultan ser
suficientes debido a la continuidad y cuasiconcavidad de u(·), del programa de Kuhn-Tucker
asociado son las siguientes:
a)
∂u(x)
∂xi
− λpi ≤ 0 para i = 1, 2, ..., k
b) xi ·
(
∂u(x)
∂xi
− λpi
)
= 0 para i = 1, 2, ..., k
c) y − p · x ≥ 0
d) λ · (y − p · x) = 0
e) λ ≥ 0 y xi ≥ 0 para i = 1, 2, ..., k
Por monotonicidad se tiene que:
∀x ∈ Rk+,
∂u(x)
∂xj
> 0 para algún j
aśı en el óptimo, por a) se tiene para algún bien j:
0 <
∂u(x∗)
∂xj
≤ λ · pj
⇒ λpj > 0 y como pj > 0
⇒ λ > 0
y resolviendo la condición d) se llega a que la restricción presupuestaria es activa en el
óptimo. Aśı, las condiciones de óptimo son:
4Ver teorema A1.10 del libro de Jehle & Reny (2000), op. cit.
5
a)
∂u(x∗)
∂xi
− λpi ≤ 0 para i = 1, 2, ..., k
b) xi ·
(
∂u(x)
∂xi
− λpi
)
= 0 para i = 1, 2, ..., k
c) p · x∗ = y
d) λ ≥ 0 y xi ≥ 0 para i = 1, 2, ..., k
Notar que si la solución es interior, i.e. x∗i > 0 para i = 1, 2, ..., k, entonces las condiciones
a) y b) se resumen en:
TMSij =
∂u(x∗)
∂xi
∂u(x∗)
∂xj
=
pi
pj
para i = 1, 2, ..., k
donde TMSij es la tasa marginal de sustitución del bien i con respecto al bien j. Lo anterior
en el caso k = 2 se representa gráficamente como:
•
@
@
@
@
@
@
@
x∗1 x1
x∗2
x2
A
.............................
−p2/p1
Cuando x∗i = 0 para algún i se tiene una solución de esquina que en el caso k = 2 se
representa:
6
-
.
........
........
.
.........
........
.........
........
.........
........
..........
.......
..........
......
...........
.....
............
....
...............
..aa
aa
aa
a
•A x1
x2
..........
.........
.
.........
.
−p2/p1
6
Sea x∗ la solución única5 del problema del consumidor descrito en (1.1), dicha solución
es la función de demanda marshalliana:
x∗ = f(p, y)
Esta función es homogénea de grado cero en (p, y); esto es, para todo λ > 0 se tiene que
f(λ · p, λ · y) = f(p, y)
Definición 1.4
La función v : Rk++ × R+ → R se le llama función de utilidad indirecta si para cada
(p, y) ∈ Rk++ × R+ se tiene:
v(p, y) = máx
{p·x≤y}
u(x)
Es decir, v(p, y) es una función de valor máximo.
Con esta definición se puede demostrar que:
v(p, y) = u(x∗) = u(f(p, y))
Teorema 1.2
Si u(·) es continua y estrictamente creciente en Rk+, entonces v(p, y) tiene las siguientes
propiedades:
i) v es continua para todo (p, y) ∈ Rk++ × R+.
ii) v es homogénea de grado cero en (p, y).
iii) v es decreciente en p y estrictamente creciente en y.
iv) v es cuasiconvexa en (p, y)
v) Identidad de Roy: Si v(p, y) es diferenciable en (p0, y0) y
∂v(p0, y0)
∂y
6= 0, entonces:
xi(p
0, y0) =
∂v(p0, y0)
∂pi
∂v(p0, y0)
∂y
∀i = 1, 2, ..., k
5Gracias a la cuasi-concavidad de u(·) y al hecho que B es convexo.
7
1.3.2. Problema dual
En el apartado anterior se sostuvo que el problema del consumidor puede resolverse de
la manera primal según (1.1). Una manera alternativa de solución es la siguiente:
mı́n
{x∈Rk+}
p · x s.a. u(x) ≥ u0 (1.2)
que es la representación dual del problema. Este problema responde a la pregunta de cuánto
es el mı́nimo nivel de gasto para alcanzar un nivel dado de utilidad.
Nuevamente, por los supuestos hechos [cuasiconcavidad estricta de u(·)], la solución del
problema es única y depende de p y u0.
Definición 1.5
Sea la función de gasto mı́nimo e : Rk++ × R→ R+ dada por:
e(p, u0) = mı́n
{x∈Rk+}
p · x s.a. u(x) = u0
La solución al problema (1.2) se llama demandas hicksianas o compensadas:
x∗ = h(p, u0)
por lo que la función de gasto mı́nimo adopta la forma:
e(p, u0) = p · h(p, u0)
que puede interpretarse como el costo de la canasta h(p, u0)
Teorema 1.3
Si u(·) es continua y estrictamente creciente, entonces e(p, u0) es:
i) Continua en el dominio Rk++ × R.
ii) Estrictamente creciente y no acotada por arriba en u0, para p� 0.
iii) Creciente en p.
iv) Homogénea de grado uno en p; i.e., para todo λ > 0 se tiene que e(λp, u0) = λe(p, u0)
v) Cóncava en p.
vi) Si u(·) es estrictamente cuasicóncava, se cumple el lema de Shephard :
• e(p, u0) es diferenciable en p en el punto (p0, u0) con p0 � 0 y:
8
hi(p
0, u0) =
∂e(p0, u0)
∂pi
De la propiedad vi) del teorema anterior se desprende que h(p, u0) es homogénea de
grado cero en p. Esto quiere decir que para cualquier λ > 0 se tiene:
h(λ · p, u0) = h(p, u0)
Teorema 1.4
(Dualidad) Las soluciones a los problemas representados en (1.1) y en (1.2) bajo el su-
puesto que u(·) es continua y cuasicóncava se encuentran relacionados según:
• xi(p, y) = hi(p, v(p, y))
• hi(p, u0) = xi(p, e(p, u0))
El teorema anterior permite afirmar que:
(a) Si x∗ es solución al problema (1.1) para (p, y), entonces x∗ es la solución del problema
(1.2) para (p, u0 = u(x∗)).
(b) Si x0 es la solución al problema (1.2) para (p, u0), entonces x0 es la solución del problema
(1.1) para (p, e(p, u0)).
y en conjunto con los teoremas (1.2) y (1.3) se puede hacer la figura 1.2.
1.4. Propiedades de la Demanda del Consumidor
En la sección anterior se estableció la ı́ntima relación entre los problemas (1.1) y (1.2)
que se representa en la figura 1.2. Ahora se busca explotar dichas relaciones para descubrir
propiedades de las funciones de demanda hicksianas y marshallianas.
La primera relación se le conoce como “ecuación de Slutsky” y es capaz de descomponer el
efecto de un cambio en un precio relativo de cualquier bien en el efecto sustitución e ingreso
asociado, al tiempo que relaciona las demandas marshallianas y las hicksianas.
Teorema 1.5
Sea x(p, y) las demandas marshallianas (u ordinarias) y sea u∗ el nivel de utilidad alcanzado
a los precios p e ingreso y. Entonces:
∂xi
∂pj
(p, y)︸ ︷︷ ︸
Efecto Total
=
∂hi
∂pj
(p, u∗)︸ ︷︷ ︸
Efecto Sustitución
−xj(p, y) ·
∂xi
∂y
(p, y)︸ ︷︷ ︸
Efecto Ingreso
(1.3)
9
Figura 1.2: Interacciones entre los problemas (1.1) y (1.2) gracias a la dualidad.
máx
x∈Rk+
u(x)
s.a. p · x ≤ y
Función de Utilidad
Indirecta
v(p, y) = u(x∗)
Sustitución
Demanda Marshalliana
x∗ = f(p, y)
?
Solución
6Identidad
de Roy
Invertir
mı́n
{x∈Rk+}
p · x
s.a. u(x) ≥ u0
6
?
? ?
Solución
Sustitución
Lema de
Shephard
-
Demanda Hicksiana
x∗ = h(p, u0)
Función de Gasto
e(p, u0) = p · x∗
�
Teorema 1.6
Supóngase que la función de utilidad del individuo es estrictamente creciente, por lo que:
y =
k∑
i=1
pi · xi(p, y)
entonces las siguientes relaciones son ciertas:
i) Agregación de Engel:
n∑
i=1
siηi = 1
donde si es la participación del ingreso gastado en el bien i,
(
si =
pi · xi(p, y)
y
)
, y ηi
es la elasticidad ingreso del bien i; ηi =
∂ lnxi(p, y)
∂y
.
ii) Agregación de Cournot:
n∑
i=1
si · �ij = −sj
donde �ij =
∂xi
∂pj
· xi
pj
(p, y) es la elasticidad cruzada de la demanda del bien i con respecto
al precio del bien j.
10
1.4.1. Condiciones Necesarias de las Funciones de Demanda Indi-
viduales
i) Gasto igual al ingreso:
p · h(p, u0) = p · f(p, y) = y
debido a que � es estrictamente monótona.
ii) Homogeneidad de grado cero:
h(λp, u0) = h(p, u0)
f(λp,λy) = f(p, y)
iii) El jacobiano de h(p, u0) en p se le conoce como matriz de sustitución, denotada S.
⇒ S =

∂h1
∂p1
(p, u0) · · · ∂h1
∂pk
(p, u0)
...
. . .
...
∂hk
∂p1
(p, u0) · · · ∂hk
∂pk
(p, u0)

Ella debe ser negativa semidefinida. Esto se debe al teorema de Young y al hecho que
e(p, u0) es cóncava en p (ver teorema 1.3).
iv) Simetŕıa de la matriz de Slutsky (S):
∂hj
∂pi
=
∂hi
∂pj
Esto se debe, nuevamente, al teorema de Young y al lema de Shephard (ver teorema 1.3).
En efecto; gracias a que
hj(p
0, u0) =
∂e(p0, u0)
∂pj
⇒ ∂hj
∂pi
=
∂2e(p0, u0)
∂pi∂pj
=
∂2e(p0, u0)
∂pj∂pi
=
∂hi(p
0, u0)
∂pj
v) Singularidad de la matriz S :
Para el vector p� 0 se tiene que:
pS = 0
de lo que se concluye que S es singular6. Esto se demuestra con el teorema de Euler7 y
al hecho que h(·) es homogénea de grado cero.
6Notar que la propiedad implica que S es singular y NO al revés. En particular, el saber que S es singular
no implica que provenga de funciones de demanda bien definidas.
7Ver teorema A2.7 del libro de Jehle & Reny (2000); op. cit.
11
Notar que estas propiedades se basan en demandas que no son observables, las hicksianas.
Sin embargo, con la ecuación de Slutsky en (1.3) se puede verificar emṕıricamente si las
propiedades anteriores se cumplen o no. Por otro lado, se puede demostrar que si f(p, y)
satisface i) y iv) (esta última se verifica con la ecuación de Slustky) entonces f(p, y) es
homogénea de grado cero en (p, y). Además, v) proviene de la homogeneidad de grado cero
en (p, y). La figura 1.3 resume las únicas implicancias para el comportamiento observables
de la teoŕıa del consumidor.
Figura 1.3: Condiciones Necesarias de la Teoŕıa del Consumidor
máx
x∈Rk+
u(x)
s.a. p · x ≤ y xi ≥ 0
Se satisfacen:
i)
iii)
iv)
=⇒
1.4.2. Condiciones Suficientes de la teoŕıa del Consumidor (Inte-
grabilidad)
La idea de la integrabilidad se ilustra en la figura 1.4.
Figura 1.4: Condiciones Suficientes de la Teoŕıa del Consumidor
máx
x∈Rk+
u(x)
s.a. p · x ≤ y xi ≥ 0
Condiciones
i), iii) y iv) del
apartado 1.4.1
⇐=
Supóngase que se cuenta con un sistema de ecuaciones de demandas ordinarias que cumple
con la condición i) del apartado 1.4.1:
xi = fi(p, y) ∀i = 1, 2, ..., k
la idea es determinar si estas demandas provienen o no de una maximización de una fun-
ción de utilidad bien comportada. De la ecuación de Slutsky (1.3) se pueden obtener las k
derivadas parciales siguientes:
∂hi
∂pj
(p, u∗) ∀ i = 1, 2, ..., k
y empleando el lema de Shephard se llega a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales
para e(p, u∗).
12
Hurwicz y Uzawa (1971)8 demostraron que las condiciones necesarias y suficientes que
aseguran que existe la función e(·) que soluciona dicho sistema son las siguientes:
∂xl
∂y
· xj(p, y) +
∂xl
∂pj
(p, y) =
∂xj
∂y
· xl(p, y) +
∂xj
∂pl
(p, y) ∀ i, j = 1, 2, ..., k
y que gracias a la ecuación de Slutsky se puede escribir:
∂hl
∂pj
=
∂hj
∂pl
de lo cual se desprende que la condición de simetŕıa de S resulta fundamental para la
integración. Sin embargo, esta condición por śı misma sólo es necesaria y no suficiente para
lograr el objetivo de la figura 1.4. Esto se debe a que la función que se obtiene de la resolución
del sistema debe ser en efecto una función de gasto. Para asegurarlo, ella debe ser cóncava y
homogénea de grado uno en precios. Pero esto se cumple automáticamente en la medida que S
sea simétrica y semidefinida negativa. La función de gasto aśı obtenida (que es la “inversa”,
en cierto sentido, de v(p, y)) es una representación dual de la función de utilidad y, por
tanto, constituye una representación alternativa del orden de preferencias del consumidor.
La discusión precedente se resume en el siguiente teorema de integrabilidad:
Teorema 1.7
Una función continuamente diferenciable x : Rk++ × R++ → Rk+ es la función de demanda
de un consumidor generada por alguna función de utilidad continua, estrictamente creciente
y estrictamente cuasicóncava si y sólo si dicha función x(·) cumple con las condiciones i),
iii) y iv) del apartado 1.4.1.
1.5. Agregación a través de consumidores
Considere un conjunto de demandas individuales de la forma xi(p, yi) para el individuo
i en donde hay n consumidores. Recordar que la demanda del consumidor i es un vector
xi(p, yi) =
(
xi1(p, y
i), xi2(p, y
i), ..., , xik(p, y
i)
)
Se define la demanda agregada como
X(p, y1, y2, ..., yn) ≡
n∑
i=1
xi(p, yi)
La demanda agregada por el bien j está dada por
xj(p,y)
8L. Hurwicz y H. Uzawa, 1971, “On the Integrability of Demand Functions”, en Chipman et al, editors,
Preferences, Utility and Demand.
13
donde y = (y1, y2, ..., yn); es decir, la demanda agregada es función de los precios y de
la distribución de la riqueza. En general la demanda agregada pierde propiedades de las
demandas individuales, aunque es posible crear funciones de utilidad que preserve algunas
o todas de ellas. Aśı, la teoŕıa del consumidor no impone restricciones sobre la demanda
agregada más que la continuidad y la homogeneidad de grado cero en precios e ingreso.
Proposición
Si las funciones de demanda individuales son continuas entonces la función de demanda
agregada es continua.
Notar que la proposición anterior es una de suficiencia. Más aun existen casos que mues-
tran que la continuidad de la demanda agregada no implica continuidad de la demanda
individual. Un ejemplo de lo anterior son las demandas unitarias.
14
Parte 2
Teoŕıa de la firma
En el caṕıtulo anterior se realizaron supuestos sobre las preferencias y dotaciones (in-
greso) de un individuo, con lo cual se derivaron las demandas marshallianas y hicksianas y
se estudiaron sus propiedades y relaciones. En este caṕıtulo se requieren supuestos sobre la
tecnoloǵıa, que se describe por las relaciones entre insumo y producto.
2.1. Tecnoloǵıa y funciones de producción
Sea Y el conjunto de posibilidades de producción con Y ⊂ Rk. Se dice que y =
(y1, y2, ..., yk) ∈ Y es un plan tecnológicamente factible, donde los componentes de y son
insumos o productos. La convención es que si para algún i = 1, 2, ...k se tiene que yi < 0,
entonces yi es un insumo, mientras que si yi > 0 es un producto.
Se restringe, por comodidad, el análisis a firmas que producen un sólo bien. Esto permite
representar la tecnoloǵıa con una función de producción. Sea q un escalar que representa el
(único) producto y sea x el vector de insumos:
⇒ y = (q,−x), q ∈ R+, x ∈ Rk−1+
Supuesto 2.1
Y satisface las siguientes propiedades:
i) Y no es vaćıo (siempre se puede producir si se tienen los insumos suficientes).
ii) Y es cerrado (i.e. contiene sus bordes). Esta condición permite asegurar que el ĺımite de
una secuencia de planes de producción tecnológicamente factibles (de existir) también
es factible; es decir:
Si yn → y con yn ∈ Y ⇒ y ∈ Y
iii) Es posible no producir (i.e. se permite el cierre de la firma):
0 ∈ Y
15
iv) No hay free lunch. Suponga que y ∈ Y y que y ≥ 0 entonces y = 0. Esto señala que
no es posible producir si no se usa al menos un factor.
v) Libre eliminación:
Si y ∈ Y y además y′ ≤ y ⇒ y′ ∈ Y
Esto nos dice que si y es factible y si y′ produce a lo más lo mismo que y con a lo menos
la misma cantidad de insumos que y, entonces y también es factible, ya que siempre
se puede absorber insumos en cantidades adicionales son reducir el producto. Es decir,
cantidades extra de insumos (o productos) pueden ser eliminados sin costo extra.
vi) Irreversibilidad:
Si y ∈ Y y además y 6= 0⇒ −y 6∈ Y
Es decir, si la empresa se compromete a producir y ella no puede deshacer el proceso
productivo al escoger el nivel de producción −y ya que no es factible.
Definición 2.1
Un plan de producción y = (q,−x) es factible y eficiente tecnológicamente si sólo si q = f(x)
donde f : Rk−1+ → R+ entrega el máximo nivel de producto dado el vector de insumos x. A
la función f se le conoce como función de producción.
Un ejemplo de una funciónde producción se encuentra en la figura 2.1.
Figura 2.1: Frontera de Posibilidades de Producción con un insumo
y
y = F (−L)
−L
Definición 2.2
Se definen las isocuantas como el conjunto de combinaciones de factores que entrega una
misma cantidad de producto q0. Matemáticamente, dicho conjunto viene dado por:{
x ∈ Rk−1+ |q0 ∈ R+, f(x) = q0
}
16
Para el caso de dos factores, la isocuanta para el nivel de producción q0 viene dada por:
q0 = f(v1, v2)
y aplicando diferencial total a esta ecuación se tiene:
dq0 =
∂f
∂v1
dv1 +
∂f
∂v2
dv2
pero, por definición, en una isocuanta se tiene que dq0 = 0. Aśı se define la tasa marginal de
sustitución técnica como:
TMSTv1,v2 ≡ −
dv2
dv1
=
∂f
∂v1
∂f
∂v2
donde ∂f
∂vi
es la productividad marginal del factor vi.
Definición 2.3
Sea q = f(x) una función de producción y sea y = (q,x) ∈ Y un plan de producción
cualquiera. Se dice que hay:
i) Retornos constantes a escala si ∀y ∈ Y se cumple que:
α · y ∈ Y para cualquier escalar α ≥ 0
Aśı f(x) es homogénea de grado uno; es decir, si para todo λ > 0 se tiene:
f(λx) = λf(x)
ii) Retornos decrecientes a escala si ∀y ∈ Y se cumple que:
α · y ∈ Y para α ∈ [0, 1]
Esto quiere decir que cualquier plan de producción puede ser escalado hacia abajo. Aśı,
para todo λ > 0 se tiene:
f(λx) < λf(x)
iii) Retornos crecientes a escala si ∀y ∈ Y se cumple que:
α · y ∈ Y para α ≥ 1
Es decir, cualquier plan de producción puede ser escalado hacia arriba. Aśı, para todo
λ > 0 se tiene:
f(λx) > λf(x)
En el caso que x sea escalar, los tres casos anteriores se representan en los siguientes
gráficos para algún 0 < α < 1 :
17
Figura 2.2: Retornos Constantes a Escala
q
v
Y
y
α · y
Figura 2.3: Retornos Decrecientes a Escala
q
v
Y
y
α · y
Π = p · y −w · x
Figura 2.4: Retornos Crecientes a Escala
q
v
•
•
•
y
α·y
,
,
, ,
,
, ,
,
,
, ,,, @
@
@
@
@
@
@
@
Y
e
e
e
e
e
e
e
e
Π0=p·y−w·x
2.2. Problema de la Firma
El objetivo de la firma ha de estar ligado al objetivo del consumidor, pues el dueño de
ella es a su vez consumidor. De esta manera se postula que el objetivo de la firma es la
maximización de ganancias, pues permite al dueño de la firma la maximización del conjunto
presupuestario que enfrenta como consumidor. Esto logra conciliar a la teoŕıa del consumidor
con la teoŕıa de la firma. El análisis versará sólo sobre tecnoloǵıas que presenten rendimientos
decrecientes a escala, ya que se pretende hacer un modelo de mercados competitivos (dejan
fuera los rendimientos crecientes) y se buscan relaciones precisas en cuanto a cantidades pro-
18
ducidas por cada firma, dejando fuera los rendimientos constantes. Además, se supondrá que
la firma es competitiva en el mercado de factores y de producto.
El problema de la firma es:
máx
{y}
p · y s.a. y ∈ Y
o, equivalentemente, para el caso de firmas uniproducto:
máx
{q,x}
p · q −w · x s.a. q ≥ 0, x ≥ 0, f(x) ≥ q (2.1)
La solución a este problema adopta la forma:
q(p,w) x(p,w)
y corresponden, respectivamente, a las funciones de oferta del bien y demanda derivada de
factores.
Supuesto 2.2
La función de producción f : Rk−1+ → R+ es continua, estrictamente creciente, estrictamente
cóncava y con f(0) = 0.
Este supuesto garantiza tanto la existencia como la unicidad de la solución al proble-
ma (2.1). Como f(x) es estrictamente creciente, en el óptimo:
f(x∗) = q∗
Suponiendo que f(x) es diferenciable y la solución es interior, el óptimo está caracterizado
por las condiciones de primer orden siguientes:
p · ∂f
∂xi
− wi = 0 ∀ i = 1, 2, ..., k
⇔ p · ∂f
∂xi
= wi
De estas ecuaciones se obtiene la demanda derivada de factores y al término p · ∂f
∂xi
se le
conoce como el “valor de la productividad marginal” del factor i, denotada por VPMgi.
Notar que para precios positivos, el óptimo resuelve:
TMSTi,j ≡
∂f
∂xi
∂f
∂xj
(x∗) =
wi
wj
que gráficamente se representa en la figura 2.5.
19
Figura 2.5: Solución Interior al Problema del Productor
•
@
@
@
@
@
@
@
x∗i xi
x∗j
xj
q0=f(x−i,−j ,xj ,xi)
.............................
−wj/wi
2.3. Función de beneficio
Análogamente a la teoŕıa del consumidor, se puede reemplazar la solución x∗ en la función
objetivo para obtener una función que entregará el máximo beneficio para cada punto (p,w).
Definición 2.4
Se define la función de beneficio como:
π(p,w) ≡máx
{x,q}
p · q −w · x (2.2)
s.a. f(x) = q
Gracias al supuesto 2.2 dicha función existe y está bien definida.
Teorema 2.1
Si f(x) satisface el supuesto 2.2 y la función de beneficios de (2.2) está bien definida,
entonces para cada precio p > 0 y w � 0 la función π(p,w) es:
i) Continua en (p,w).
ii) Creciente en p y decreciente en w.
iii) Homogénea de grado uno en (p,w).
iv) Convexa en (p,w).
v) Diferenciable en (p,w)� 0. Además se cumple el lema de Hotelling:
∂π
∂p
= q(p,w) − ∂π
∂wi
= xi(p,w) ∀i = 1, 2, ..., k − 1
El siguiente teorema señala propiedades de la función de oferta q(p,w) y de la demanda
de insumos x(p,w).
20
Teorema 2.2
Sea π(p,w) una función de beneficio doblemente diferenciable de alguna firma. Entonces,
para todo w � 0 y p > 0 se cumple que:
i) Las funciones q(p,w) y x(p,w) son homogéneas de grado cero en (p,w):
∀λ > 0 : q(λp, λw) = q(p,w)
∀λ > 0 : x(λp, λw) = x(p,w)
ii) Los efectos del precio de cada bien (factor) en la cantidad ofrecida (demandada) de este
mismo bien (factor)1 son tales que:
∂q
∂p
(p,w) ≥ 0 ∂xi
∂wi
(p,w) ≤ 0 ∀ i = 1, 2, ..., k − 1
iii) La matriz de sustitución definida según:
∂q
∂p
∂q
∂w1
· · · ∂q
∂wk−1
−∂x1
∂p
− ∂x1
∂w1
· · · − ∂x1
∂wk−1
...
...
. . .
...
−∂xk−1
∂p
−∂xk−1
∂w1
· · · ∂xk−1
∂wk−1

es simétrica y semidefinida positiva2.
2.4. Problema de Minimización de Costo
Para un w ∈ Rk−1++ dado y un nivel de producción dado q0, se puede considerar el siguiente
problema como alternativa a (2.1):
mı́n
{x}
k−1∑
i=1
wi · xi s.a. f(x) ≥ q (2.3)
La solución de este problema de optimización entrega al demandas de insumos condicio-
nales en el nivel de producto3 q0 :
x∗ = g(w, q0)
1Se les conoce como efectos propios.
2De aqúı se obtiene ii).
3Notar que es independiente del precio del producto.
21
Definición 2.5
Se define la función de costos de la firma como la función de valor mı́nimo:
C(w, q0) ≡ mı́n
{x}
w · x s.a. f(x) ≥ q0
=
k−1∑
i=1
pix
∗
i
que entrega el mı́nimo costo requerido para producir q0.
Ahora se realiza una comparación entre las soluciones entregadas por los problemas (2.1)
y (2.3). Para ello se comparan las condiciones de primer orden4:
Cuadro 2.1: Comparación de las condiciones de primer orden de los problemas (2.1) y (2.3).
Problema (2.1) Problema (2.3)
wi = p ·
∂f
∂xi
(x) wi = λ ·
∂f
∂xi
(x)
wi
wj
=
∂f
∂xi
∂f
∂xj
wi
wj
=
∂f
∂xi
∂f
∂xj
Como las condiciones marginales son las mismas se tiene que el problema (2.1) es condi-
ción suficiente para (2.3) para un nivel de producto y precio de factores dados. No obstante,
no se cumple a la inversa.
2.5. Ejemplos
Ejemplo 1
Supóngase la siguiente función de producción:
q = f(x1, x2) =
√
x1 +
√
x2
que claramente presenta rendimientos decrecientes a escala. Para precios dados p, w1 y w2
tales que el máximo sea interior (i.e. x∗1 > 0 y x
∗
2 > 0). El problema de la firma es maximizar:
p · (
√
x1 +
√
x2)− w1 · x1 − w2 · x2
Las condiciones necesarias de primer orden son:
4El escalar λ corresponde al multiplicador de Lagrange asociada a la única restricción de (2.3).
22
(1)
1
2
· px−1/21 − w1 = 0
(2)
1
2
· px−1/22 − w2 = 0
de las que se obtienen las demandas derivadas5 de factores:
x∗1 =
(
p
2w1
)2
x∗2 =
(
p
2w2
)2
La oferta se haya reemplazando en la función de producción:
q(p, w1, w2) =
p(w1 + w2)
2w1w2
Ejemplo 2
Considérese la siguiente función de producción con retornos crecientes a escala con un solo
factor:
f(x) = x2
con precios p y w tales que el óptimo es interior (x∗ > 0). Se busca maximizar:
px2 − wx
cuya condición de primerorden es:
2px− w = 0
de la cual se obtiene:
x =
w
2p
que corresponde a un mı́nimo, y no un máximo, de la función objetivo. En efecto, la condición
de segundo orden es:
2p > 0
Ejemplo 3
Por último, considérese una función de producción con retornos constantes a escala y un
sólo factor:
f(x) = x.
La función objetivo a maximizar por parte de esta firma es:
px− wx = (p− w) · x
que no tiene un máximo en tanto (p − w) > 0. Si (p − w) < 0, la función anterior se
maximiza en x∗ = 0 que corresponde al cierre de la firma. Si (p − w) = 0, la cantidad a
producir está indeterminada. La oferta en este último caso se representa en el gráfico 2.6.
5Se “derivan” de la demanda por producto. Es la función que relaciona la cantidad demandada de factor
con los precios del bien y de los factores.
23
Figura 2.6: Retornos constantes a escala y oferta horizontal
p
q
p = w̄
24
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Equilibrio General en Economı́a de Intercambio Puro
(Arrow-Debreu) y con Producción
Profesor: José Miguel Sánchez Marzo 2011
Introducción e Historia
Los modelos de equilibrio general pretenden entender como funciona una economı́a en
su totalidad cuando hay más de un mercado, estudiando las interacciones entre ellos. En
particular, dichos modelos suponen que todos los precios son endógenos de tal forma que los
mercados se aclaran (o vaćıan). La metodoloǵıa de análisis usada comienza con el análisis
del comportamiento individual de los agentes (consumidores y firmas), para posteriormente
evaluar como se comportan en su conjunto.
Para asir los conceptos de eficiencia y equilibrio se consideran dos escenarios que serán
estudiados en las partes 1 y 2:
1) Equilibrio de intercambio: sólo dotaciones, no hay producción ni mercados de bienes.
Se busca establecer las asignaciones eficientes (en algún sentido) de las dotaciones.
2) Equilibrio en sistemas de mercados competitivos: sólo dotaciones y todas las
transacciones se llevan a cabo en mercados competitivos, donde los todos los agentes
perciben los precios como dados. Aqúı se encuentra la asignación de equilibrio que resul-
ta ser eficiente (nuevamente, en cierto sentido) y los precios que vaćıan los mercados.
En la parte 3 se estudian los teoremas fundamentales del bienestar que se refieren a si las
asignaciones resultantes del equilibrio son o no “eficientes” bajo algún sentido. Finalmente,
en la parte 4 de este apunte se generalizan los resultados obtenidos de las partes 2 y 3 al
considerar la posibilidad de que parte de la dotación de los individuos sea empleada como
factor productivo de alguna firma.
El creador de los modelos de equilibrio general fue Leon Walras, un economista margina-
lista francés del siglo XIX, quien fue el primer autor en estudiar la determinación sistemática
de la oferta y la demanda en múltiples mercados; en derivar ecuaciones de demanda y oferta
como problemas de optimización; y en definir el equilibrio al combinar la determinación de
la demanda y la oferta con el vaciado del mercado. Sin embargo, al abocarse a la existencia
1
del equilibrio general1, le otorgó una respuesta tan sencilla como errada: como la existencia
del equilibrio se debe a la solución de un sistema de ecuaciones (demanda igual a oferta para
cada bien) en donde hay tantas variables como ecuaciones, entonces el sistema debe tener
solución2.
Walras también introdujo la noción del subastador que ajusta los precios en función del
exceso de demanda/oferta y, al igual que con la existencia del equilibrio, también supuso
obvia su estabilidad. Debido a sus fallidos intentos por popularizar sus ideas, se decidió a
buscar a alguien a quien legar su agenda de investigación. Tal persona resultó ser Wilfre-
do Pareto (1884-1923), un ingeniero y economista italinano con una sólida base matemática3.
Pareto definió una noción de equilibrio distinta a la de Walras. Para él, el equilibrio es
una situación en donde la tensión entre lo que es socialmente posible y lo que los individuos
quieren es máxima4. Además Pareto abrió el debate de la implementación de resultados
deseados mediante la autoridad5.
A pesar del sólido conocimiento matemático, los trabajos de Pareto eran poco formales.
Sin embargo fue Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926), economista inglés, quien hizo posi-
ble sus contribuciones. Edgeworth estudió el conjunto de asignaciones posibles en las cuales
ningún individuo o grupo de ellos, actuando independientemente, pudiera impedir dichas
asignaciones al marginarse del intercambio6. Él conjeturó que las asignaciones posibles con-
vergen al conjunto de posibles equilibrios walrasianos a medida que el número de agentes
aumenta.
La teoŕıa del equilibrio se detuvo momentáneamente entre 1910 y 1950 hasta que Ken-
neth Arrow (1991) y Gerard Debreu (1921-2004) se encontraron en la Cowles Comission in
Chicago. Arrow mostró que las nociones de equilibrio de Walras y de Pareto no son tan
diferentes como se pensaba: primero, el equilibrio de Walras es equilibrio en el sentido de
Pareto y segundo, que un equilibrio de Pareto puede ser implementado por un equilibrio
de Walras bajo redistribución de las dotaciones individuales. Estos dos resultados son tan
importantes que se les conoce, respectivamente, como el Primer y Segundo Teorema del Bie-
nestar. Posteriormente Arrow y Debreu demostraron la existencia del equilibrio walrasiano
bajo condiciones muy débiles y estudiaron la unicidad y estabilidad. Por todo lo anterior7,
Arrow ganó el premio Nobel en 1972 y Debreu en 1983.
1“Elements d’economie Politique Pure ou Theorie de la Richesse Sociale” o “Elementos de Economı́a
Poĺıtica Pura o Teoŕıa de la Riqueza Social”, (1874)
2Como contraejemplo, para el sistema x2 + y2 = 0, x2 − y2 = 1 no hay solución real.
3Ello a pesar de profundas diferencias personales e ideológicas entre él y Walras; entre ellas, Walras era
izquierdista mientras que Pareto un liberal.
4I.e., si los recursos son constantes, al mejorar a alguien se empeora a otro.
5Su argumento es: como el equilibrio warasiano es la solución de un sistema de ecuaciones, un gobierno
puede resolver el sistema e imponer una asignación sin la necesidad de los mercados. Claramente, Pareto
pasa por alto un problema informacional no menor.
6Esto es, si la asignación perjudica a uno de los individuos éste no comercia y consume su dotación.
7Además resolvieron la conjetura de Edgeworth.
2
Parte 1
Equilibrio de Intercambio
Tal como se dijo en la introducción, este modelo supone que no hay producción, sólo hay
dotaciones de bienes y que los consumidores son tomadores de precios1.
Los agentes intercambian entre ellos con el objetivo de maximizar su función de utilidad (o
equivalentemente, encontrar la canasta más preferida dentro de su conjunto presupuestario).
1.1. Caja de Edgeworth
Una manera conveniente de representar las asignaciones posibles en el caso de dos con-
sumidores, I = {1, 2}, la entrega la caja de Edgeworth.
Considérese el modelo con las siguientes caracteŕısticas:
Dos consumidores: i = 1, 2.
Dos bienes x1 y x2.
Preferencias representadas por la función de utilidad ui, con i = 1, 2, que es continua,
estrictamente creciente y estrictamente cuasicóncava en R2+.
La dotaciones del individuo i es wi = (wi1, w
i
2) para i = 1, 2.
Los sub́ındices denotarán al bien y los supráındices denotarán consumidor. Aśı xik es el
consumo del bien k por parte del consumidor i.
Definición 1.1
Una asignación es una canasta de consumo para cada consumidor:
X = (x1,x2) ≡
(
(x11, x
1
2), (x
2
1, x
2
2)
)
1Se dejan fuera consideraciones de carácter estratégico.
3
Definición 1.2
Una asignación es factible si solo si:
x11 + x
2
1 = w
1
1 + w
2
1 ≡ w1
x12 + x
2
2 = w
1
2 + w
2
2 ≡ w2
donde wi es la cantidad total disponible de bien i para i = 1, 2.
Con este modelo, la caja de Edgeworth se representa en la figura 1.1 donde la curva verde
es la curva de contrato,la cual une los puntos tangenciales de las curvas de indiferencia. Cada
punto dentro de la caja (incluso sus bordes) es una asignación factible.
Figura 1.1: Caja de Edgeworth
O1
O2
•
•
w = (w1, w2)
x = (x1, x2)
w12
w11 x
1
1
x12
x22
w22
w21 x
2
1
Eje Bien x1
Eje bien x2
Definición 1.3
Se define el conjunto ε = {ui,wi}i∈I como una economı́a de intercambio, donde ui es una
función de utilidad que representa las preferencias del individuo i.
Definición 1.4
Una asignación factible X = (x1,x2) se dice que es Pareto superior a otra asignación
factible Z = (z1, z2) si
∀ i ∈ I ui(xi) ≥ ui(zi) y
uj(xj) > uj(zj) para algún j ∈ I
4
Definición 1.5
Una asignación factible X es un óptimo de Pareto (o es Pareto eficiente) si no existe
ninguna otra asignación factible que sea Pareto superior a ella.
Figura 1.2: Distinción entre Eficiencia Paretiana y Pareto Superior
Notar que las asignaciones Pareto eficientes no son únicas. La diferencia entre estos dos
conceptos se ilustra en la figura 1.2. En donde el área amarilla representa el conjunto de asig-
naciones Pareto superiores a dotación inicial w. Notar que en tanto el intercambio reasigne
las dotaciones entre consumidores dentro de esta área, el bienestar de ambos consumidores
aumentará o quedará igual. Por su parte, la recta verde dentro del área amarilla es el con-
junto de asignaciones Pareto eficientes2, que claramente no son únicas.
El conjunto de asignaciones Pareto eficientes viene dada por la curva de contrato que es
definida impĺıcitamente por la ecuación:
∂u1
∂x1
(x1, x2)
∂u1
∂x2
(x1, x2)
=
∂u2
∂x1
(w1 − x1, w2 − x2)
∂u2
∂x2
(w1 − x1, w2 − x2)
en donde se igualan las tasas marginales de sustitución de cada consumidor.
Una generalización de este esquema para n consumidores se puede hallar en Jehle y Reny
(2001)3.
2Notar que esta afirmación es condicional en la dotación inicial de cada individuo.
3“Advanced Microeconomic Theory”, sección 5.1.
5
Parte 2
Equilibrio en Mercados Competitivos
Sea k la cantidad de bienes y supóngase que hay n consumidores indexados según I =
{1, 2, ..., n}. Cada consumidor i ∈ I cuenta con una dotación wi = (wi1, wi2, ..., wik) con wi ≥ 0
y enfrenta mercados competitivos (tomador de precios). Notar que la riqueza del consumidor,
el valor de su dotación, es endógena porque depende de los precios que también lo son.
Supuesto 2.1
Las preferencias de cada consumidor pueden ser representadas por una función de utilidad
ui que es continua, estrictamente creciente y estrictamente cuasicóncava en Rk+.
2.1. Problema del Consumidor
Sea p ≡ (p1, p2, ..., pk) � 0 el vector de precios de mercado. Entonces el consumidor i
resuelve:
máx
{xi∈Rk+}
ui(xi) s.a. p · xi ≤ p ·wi
cuya solución viene dada por:
xi(p,p ·wi)
que corresponde a la demanda del consumidor i.
Teorema 2.1
Si ui cumple el supuesto 2.1, entonces para cada p � 0, el problema del consumidor tiene
una única solución xi(p,p ·wi). Además, xi(p,p ·wi) es continua en p ∈ Rk++.
Demostración: La existencia de la solución se sigue directamente del hecho que p� 0,
por lo que el conjunto presupuestario es acotado. Del teorema del máximo se sigue la con-
tinuidad de xi(p,p ·wi). La unicidad viene del supuesto 2.1 pues al ser la función objetivo
cuasicóncava y el conjunto presupuestario convexo. Notar que xi(p,p ·wi) no es necesaria-
mente continua en Rk+ pues si algún precio tiende a cero, el hecho que ui sea estrictamente
creciente lleva a que la demanda por algún bien de precio nulo tienda a infinito.
6
Se ilustra lo anterior con el caso particular k = 2 e i = 1, 2. El conjunto presupuestario del
individuo 1 viene dado por:
B1(p) = {x1 = (x11, x12)|p · x1 ≤ p ·w1}
La recta presupuestaria viene dada por:
p1 · x11 + p2 · x12 = p ·w1
aśı, w1 = (w11, w
1
2) está siempre sobre la recta presupuestaria.
O1
O2Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
•
•w
B1(p) B2(p)
.
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
− p1
p2
Definición 2.1
Un equilibrio walrasiano para una economı́a de intercambio ε = {ui,wi}i∈I es un precio p∗
y una asignación factible X∗ = (x1∗,x2∗, ...,xn∗) tal que:
i) Los n consumidores actúan acorde a la maximización de su función de utilidad. Es decir
∀ i = 1, 2, ..., n se tiene que xi resuelve:
máx
{xi∈Rk+}
ui(xi) s.a. p∗ · xi ≤ p∗ ·wi
ii) Los mercados de los k bienes se aclaran. Es decir ∀ l = 1, 2, ..., k se tiene que:
n∑
i=1
xil =
n∑
i=1
wil = wl
En las figuras siguientes (ver 2.1 y 2.2) se incluyen un ejemplo de una situación de des-
equilibrio y una de equilibrio walrasiano.
Notar que en el caso de la figura 2.1, como x11 + x
2
1 > w1 hay exceso de demanda por el
bien uno. Asimismo, es fácil notar que hay un exceso de oferta del bien 2. Por su parte, en la
figura 2.2 se cumplen ambas condiciones para un equilibrio walrasiano. Notar que más aún,
dicho equilibrio es Pareto eficiente1.
1Esto será demostrado como un teorema más adelante.
7
Figura 2.1: Ejemplo de una situación de desequilibrio
O1
O2Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
.
.........
....
.........
....
........
.....
........
.....
........
.....
.........
....
− p
∗
1
p∗2
x11
x22
x21
x21
x12
x22 •
•
• w
Figura 2.2: Ejemplo de una situación de equilibrio walrasiano
O1
O2Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
.
.........
...
.........
...
.........
...
........
...
.........
...
.........
...
•
•X
∗ = (x1,x2)
w
− p
∗
1
p∗2
2.2. Equilibrio Walrasiano
En esta sección se aborda el problema del equilibrio walrasiano. De particular interés
resulta responder preguntas sobre existencia, unicidad, estabilidad (convergencia hacia el
equilibrio). Sin embargo, sólo se estudiará el tema de existencia y el cómo caracterizarlo.
Para ambas interrogantes resulta ser importante la siguiente función.
Definición 2.2
Se define la función de exceso de demanda agregada del bien j como la función zj(p) :
Rk++ → R real valorada dada por:
zj(p) ≡
n∑
i=1
xij(p,p ·wi)︸ ︷︷ ︸
Demanda Agregada bien j
−
n∑
i=1
wij︸ ︷︷ ︸
Oferta agregada bien j
8
Notar que cuando zj(p) > 0 hay exceso de demanda por el bien j y que cuando zj(p) < 0
hay exceso de oferta de bien j.
Definición 2.3
Se define la función de exceso de demanda agregada como la función vectorial:
z(p) ≡

z1(p)
z2(p)
...
zk(p)

Notar que las condiciones i) y ii) de la definición 2.1 se satisfacen en la medida que algún
p∗ cumpla con:
z(p∗) = 0
Teorema 2.2
Un equilibrio walrasiano según la definición 2.1 equivale a una asignación X∗ y un precio
p∗ ∈ Rk++ tales que z(p∗) = 0
Con preferencias estrictamente crecientes, cualquier equilibrio walrasiano debe tener p�
0 porque en caso contrario los consunidores demandan una cantidad no acotada de todos los
bienes libres cuyo precio es cero.
Teorema 2.3
Si para cada consumidor i ∈ I, su función de utilidad ui cumple con el supuesto 2.1 y las
dotaciones agregadas de cada bien son tales que ∀ l = 1, 2, ..., k wl > 0 (existen cantidades
positivas de cada bien) entonces la función z(p) posee las siguientes propiedades para todo
p� 0:
i) z(p) es continua en p.
ii) z(λ · p) = z(p) para cualquier λ > 0. Es decir, z(p) es homogénea de grado cero en p.
iii) Para todo precio p ∈ Rk+ se tiene que p ·z(p) = 0. Este resultado se conoce como ley de
Walras: el valor del exceso de demanda agregado es cero. En particular se cumple para
el precio de equilibrio.
iv) (Condición de borde) Si {pm}∞m=0 es una secuencia de vectores de precios en Rk++ que
convergen a p 6= 0 con pl = 0 para algún bien l. Entonces, para algún bien l′ con pl′ = 0,
la secuencia de excesos de demanda de dicho bien asociada a la secuencia de precios
{pm}∞m=0, denotada {zl′(pm)}∞m=0, no tiene cota superior.
9
A continuación se demuestran cada una de las propiedades anteriores.
Demostración parte I)
Las funciones de demanda individuales, xi(p,p · wi), son continuas por lo que la sumade
ellas también es una función continua.
Demostración parte II)
Las demandas individuales son homogéneas de grado cero en precios por cuanto el conjunto
presupuestario no se ve alterado cuando los precios aumentan todos en un factor de λ :
p · xi ≤ p ·wi ⇔ λp · xi ≤ λp ·wi
y como en la función de utilidad no influyen los precios de los bienes, la solución al problema
del consumidor es la misma usando una u otra restricción y aśı para todo i ∈ I y cualquier
λ > 0:
xi(p,p ·wi) = xi(λp, λp ·wi)
y es sencillo notar que la suma de funciones homogéneas de grado cero es también una función
homogénea de grado cero. De esta manera, sólo los precios relativos importan, lo que permite
normalizar de alguna forma arbitraria. La más conocida y simple de ellas es hacer de un bien
el numerario de la economı́a al fijar su precio en uno, aśı el vector de precios es de la forma
p = (1, p2, ..., pk).
Demostración parte III)
La ley de Walras se sigue del supuesto que ui es estrictamente creciente y aśı todo el ingreso
se gasta. De la definición de z(p) se tiene:
z(p) =
n∑
i=1
(xi(p,p ·wi)−wi)
/
p · (·)
⇒ p · z(p) = p ·
(
n∑
i=1
(xi(p,p ·wi)−wi)
)
=
n∑
i=1
p · (xi(p,p ·wi)−wi)
= 0
donde la última igualdad se debe al hecho que cada individuo agota su ingreso. La ley
de Walras implica que de haber equilibrio en k − 1 mercados, necesariamente el k está en
equilibrio. Sin embargo esta no es una condición de equilibrio puesto que se cumple para
todo p.
Demostración parte IV)
En otras palabras, la propiedad iv) significa que si los precios de algunos pero no de todos
10
los bienes se acercan arbitrariamente a cero, entonces el exceso de demanda de alguno de
esos bienes crece sin ĺımite alguno. Ahora se procede a su demostración. Supóngase que las
preferencias de los individuos satisfacen el supuesto 2.1.Considere una secuencia de vectores
de precio estrictamente positivos {pm}∞m=0 , que convergen a p 6= 0 tal que pk = 0 para algún
bien k . Como
n∑
i=1
wi � 0, debe cumplirse que p ·
n∑
i=1
wi > 0 y consecuentemente:
p ·
n∑
i=1
wi =
n∑
i=1
p ·wi > 0
entonces debe haber al menos un consumidor i para el cual p ·wi > 0, esto es, alguno de los
consumidores debe tener un ingreso positivo.
Considere la demanda de este consumidor i con ingreso positivo, xi(pm,pm · wi) a lo
largo de la secuencia de precios {pm}. Ahora suponga por contradicción, que esta secuencia
de vectores de demanda está acotada. Entonces, por teorema de secuencias acotadas en Rn,
debe existir una subsecuencia convergente.
Se puede asumir sin pérdida de generalidad que la secuencia original de demanda converge
a un punto que se denotará x∗. Esto es xi(pm,pm ·wi)→ x∗. Para simplificar notación sea
xm ≡ xi(pm,pm · wi) para todo m. Ahora como xm maximiza ui sujeto a la restricción
presupuestaria del consumidor i dados los precios pm y como uies estrictamente creciente,
la restricción presupuestaria debe cumplirse con igualdad. Esto es:
pm · xm = pm ·wi
para cada m. Tomando ĺımite cuando m→∞ se tiene
p · x∗ = p ·wi > 0 (2.1)
Donde la desigualdad estricta viene de nuestra elección del consumidor i. Ahora sea x̂= x∗+
(0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) donde el uno está en la posición k. Entonces como ui es estrictamente
creciente en Rn+,
ui(x̂) > ui(x∗) (2.2)
Adicionalmente, como pk = 0 la ecuación (2.1) implica que:
p · x̂ = p ·wi > 0 (2.3)
Entonces como ui es continua las ecuaciones (2.2) y (2.3) implican que existe un t ∈ (0, 1)
tal que:
ui(tx̂) > ui(x∗)
p · (tx̂) < p ·wi > 0
11
Pero como pm → p, xm→ x∗ y uies continua esto implica que para m suficientemente grande:
ui(tx̂) > ui(xm)
pm · (tx̂) < pm ·wi
Esto contradice el hecho que xm resuelve el problema del consumidor a los precios pm. Se
concluye entonces que la secuencia de vectores de demanda, {xm}∞m=0 , no tiene cota.
Como la secuencia de vectores de demanda del consumidor i no tiene cota y es no ne-
gativa, debe existir algún bien k ′ tal que {xmk′} no tenga cota superior. Como el ingreso del
consumidor i converge a p ·wi la secuencia de ingreso {pm ·wi} está acotada. Luego se debe
tener pmk′ → 0 ya que esta es la única manera que la demanda por el bien k ′ no esté acotada
y sea alcanzable. Entonces pk′ = ĺımm→∞ p
m
k′ = 0
Finalmente notar que como la oferta agregada del bien k ′ está fija y es igual a su dotación
agregada y todos los consumidores demandan cantidades no negativas del bien, el hecho que
la demanda del consumidor i por el bien k ′ no tenga cota superior implica que el exceso de
demanda agregada por el bien k ′ no tiene cota superior. Consecuentemente partiendo del
supuesto que pm → p 6= 0 y que pk = 0 para algún k se ha demostrado que existe algún bien
k ′ con pk′ = 0 tal que el exceso de demanda agregada por este bien no tiene cota superior a
lo largo de la secuencia de precios {pm} .
Resumen
Se resaltan aqúı los puntos más notables de esta sección.
(a) Las demandas y ofertas dependen solamente de los k − 1 precios relativos existentes.
Entre las normalizaciones más usadas están:
1) Hacer que el precio de uno de los bienes sea uno. Dicho bien será el numerario de la
economı́a. Aśı, el vector de precios resultantes es de la forma
p = (p1, p2, ..., pk−1, 1)
2) Suponer que el vector de precios pertenece al simplex unitario en Rk+, es decir los
precios satisfacen la relación
k∑
i=1
pi = 1
Ejemplo para k = 2. Sean p̂1 y p̂2 precios no-normalizados. La normalización simplex
para cada uno de ellos es
p̂1
p̂1 + p̂2︸ ︷︷ ︸
≡p1
+
p̂2
p̂1 + p̂2
= 1︸ ︷︷ ︸
≡p2
Notar que p1 y p2 ahora están normalizados mediante este método.
12
(b) El equilibrio de mercado requiere la compatibilización simultánea de acciones individua-
les, independientes y decentralizadas de agentes que maximizan su utilidad. Más aún el
equilibrio walrasiano requiere una cantidad de información mucho menor que en el caso
del equilibrio de intercambio, pues los agentes en el primer caso requieren conocer sólo
k− 1 precios relativos, mientras que en el segundo se requiere conocer las dotaciones de
cada individuo y sus preferencias (es decir, se requiere conocer la economı́a completa ε).
(c) Si la asignación inicial es w, la acción individual de agentes en mercados impersonales
lleva a una distribución del producto de la economı́a que está dentro del “lente” for-
mado por las curvas de indiferencia de la figura 1.2 (área amarilla) y sobre la curva de
contrato. Son asignaciones factibles en las cuales cada agente está mejor o igual que
con la asignación inicial (la dotación) y a partir de las cuales es imposible mejorar a al-
guien sin empeorar a otro. Esto implica que el equilibrio walrasiano tiene una propiedad
socialmente deseable: es eficiente en el sentido de Pareto.
2.3. Existencia del Equilibrio Walrasiano
Para comenzar esta sección, conviene recordar que la ley de Walras no es una condición
de equilibrio. De hecho, Leon Walras2 no resolvió el problema de existencia pues señaló que
el sistema z(p) = 0 al tener k ecuaciones (una para cada bien) y k incógnitas (cada precio)
siempre tiene solución3
Como ejercicio sencillo, se demuestra la existencia del equilibrio walrasiano para el caso
k = 2. Esta demostración consta de dos partes:
(a) Se demuestra que cuando p1 → 0 se tiene que z1(p1, 1)→ +∞.
(b) Para un p1 suficientemente grande, z1(p1, 1) < 0 (exceso de oferta)
y debido a que z1(p1, 1) es una función continua, por el teorema del valor intermedio, se tiene
que existe al menos un precio p∗ = (p∗1, 1) tal que z1(p
∗) = 0 (véase figura 2.3) Este precio
es el equilibrio walrasiano.
Demostración (a) A medida que p1 → 0, el exceso de demanda para algún bien se va a
infinito por la propiedad iv) del teorema 2.3. Los consumidores tienen
riqueza finita, luego deben tener demandas acotadas por el bien 2 que
tiene precio uno. Aśı:
ĺım
p1→0
z1(p1, 1) = +∞
2“Elements dé Economie Politique Pure” (1874)
3No obstante, esto es claramente falaz, tal como se ilustró en la introducción.
13
Figura2.3: Existencia del equilibrio walrasiano para k = 2
0 p1
z1
z1(p)
p∗1
6
-
Demostración (b) Considérese el vector de precios normalizados según p = (1, 1/p1). A
medida que p1 → +∞, claramente el precio relativo del bien 2 se va a
cero:
ĺım
p1→+∞
1
p1
= 0
y aśı, el exceso de demanda del bien 2 se va a infinito, mientras que el del
bien 1 está acotado mediante un argumento análogo a la demostración
de (a). Aśı, para p1 suficientemente grande se tiene:
z2(1, 1/p1) > 0
pero por la ley de Walras:
p1 · z1(1, 1/p1) = −p2 · z2(1, 1/p1) < 0
luego
z1(p1, 1) < 0
para p1 suficientemente grande.
El siguiente teorema resulta vital para probar la existencia del equilibrio walrasiano.
Teorema 2.8
(Teorema de Punto Fijo de Brouwer) Sea S ⊂ Rn un conjunto no vaćıo, compacto4
y convexo. Sea f : S → S una función continua. Entonces existe al menos un punto fijo en
S; esto es, existe al menos un punto x∗ ∈ S tal que:
f(x∗) = x∗
Para el caso n = 1, este teorema se reduce al teorema del valor intermedio de los cursos
de cálculo diferencial, véase la figura 2.3.
4I.e. cerrado y acotado.
14
Figura 2.4: Teorema de Brouwer para n = 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f(x) = x
a b
a
b
f(x∗)
x∗ x
f(x)
2.4. Demostración Existencia del Equilibrio Walrasiano
para el caso de k bienes
En esta sección se demostrará el siguiente teorema.
Teorema 2.9
Suponga que z(p) satisface las siguientes cuatro condiciones:
i) z(·) es continua en Rk++.
ii) (Homogeneidad) z(λp) = z(p) para todo λ > 0.
iii) p · z(p) = 0 para todo p� 0.
iv) (Condición de Borde) Si {pm} es una secuencia de vectores de precio en Rk++ que
converge a p 6= 0, con pj = 0 para algún bien j , entonces, para algún bien j ′ con pj′ = 0
la secuencia asociada de exceso de demanda en el mercado del bien j ′, {zj′(pm)}, no
tiene cota superior.
Entonces existe un vector de precios p∗ � 0 tal que z(p∗) = 0.
Antes de pasar a la demostración del teorema notar que la ausencia de continuidad de la
función demanda y por lo tanto de la función de exceso de demanda agregada, en la frontera
de los vectores de precios no negativos exige realizar un trabajo adicional para alejarse de
ese ĺımite. Para lograrlo, primero se define zj(p) = mı́n {zj(p), 1} para todo p � 0, y sea
z(p) = (z1(p), ..., zk(p)). Con esto se ha asegurado que zj(p) está acotado por arriba por 1,
por su definición misma. Ahora se define el conjunto Sε fijando ε ∈ (0, 1) y haciendo (ver
figura 2.5):
Sε =
{
p :
k∑
j=1
pj = 1 y pj ≥
ε
1 + 2k
∀j
}
15
Figura 2.5: Ilustración de Sε con k = 2
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
1
ε/5
ε/5 1
Sε = {(p1, p2)|p1 + p2 = 1 y p1, p2 ≥ ε/5}
En este conjunto se está excluyendo aquellos vectores de precios que contengan algún
precio que se aproxima o es igual a cero. Además se está normalizando los precios, esto lo
hacemos porque como la función de exceso de demanda agregada es homogénea de grado
cero en precios estos pueden normalizarse y expresar las demandas en función de los precios
relativos. Esto puede hacerse de muchas maneras, una de ellas es hacer:
pj =
p̂j
k∑
m=1
p̂m
donde p̂j es el precio absoluto. Note que
k∑
j=1
pj = 1.
Demostración: Se ha restringido la búsqueda del equilibrio Walrasiano de un precio
p∗ � 0 tal que z(p∗) = 0 al conjunto Sε. Esto se ha hecho de este modo porque se ha
construido un conjunto compacto y además convexo y no vaćıo. Por el teorema de Punto
Fijo de Brouwer 2.8 se sabe que toda función continua desde un conjunto convexo y compacto
a ese mismo conjunto tiene al menos un punto fijo. Para demostrar la existencia, se construye
una función continua tal que su punto fijo sea el equilibrio Walrasiano. Hay muchas funciones
que lo hacen pero sólo se necesita una. Se construye la siguiente función vectorial:
f : Sε → Sε
Donde,
f(p) ≡

f1(p)
f2(p)
...
fk(p)

16
Para j = 1, ..., k, fj(p) viene dado por:
fj(p) ≡
ε+ pj + máx(0, zj(p))
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(p))
j = 1, ..., k (2.4)
La función f puede interpretarse como la variación en los precios que producen los mercados
cuando no hay equilibrio. Si p es un vector de precios que no es de equilibrio y si zj(p) > 0,
es decir hay exceso de demanda por ese bien, entonces su precio relativo debe aumentar.
Notar que
k∑
j=1
fj(p) = 1:
k∑
j=1
fj(p) ≡
k∑
j=1
[ε+ pj + máx(0, zj(p))]
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(p))
=
kε+ 1 +
k∑
j=1
máx(0, zj(p)))
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(p))
= 1
Además notar que se cumple que fj(p) ≥ εkε+1+k ya que zj(p) ≤ 1 ∀ j entonces fj(p) ≥
ε
1+2k
.
Por lo tanto se cumple que f : Sε → Sε. Notar que fj(p) es continua en Sε ya que por la
condición i) del teorema 2.9 zj(p) es continua en Sε, por lo tanto zj(p) es continua en Sε ya
que la función de máximo es continua, entonces por composición de funciones fj(p) también
son funciones continuas en Sε. Luego f(p) es una función continua que mapea el conjunto
no vaćıo compacto y convexo Sε sobre si mismo. Por el teorema de punto fijo de Brouwer 2.8
se sabe que existe un pε ∈ Sε tal que f(pε) = pε. Esto es equivalente a que fj(pε) = pεj para
j = 1, ...., k.
ε+ pεj + máx(0, zj(p
ε))
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(pε))
= pεj j = 1, ..., k
pεj
[
kε+
k∑
m=1
máx
(
0, zm(p
ε)
)]
≡ ε+ máx(0, zm(pε)) (2.5)
Ahora se hace tender a cero a ε y se considera la secuencia de vectores de precios {pε} que
satisfaga (2.5). Notar que la secuencia de precios está acotada, porque pε ∈ Sε lo que implica
que el precio en cada mercado está siempre entre 0 y 1. En consecuencia por teorema de
secuencias acotadas alguna subsecuencia de {pε} debe converger. Supóngase, sin pérdida de
generalidad, que {pε} converge a p∗. Se sabe que p∗ ≥ 0 y p∗ 6= 0 porque sus componentes
suman uno. Se quiere mostrar que p∗ � 0. Se procede por contradicción: Supóngase que no
es el caso que p∗ � 0. Entonces para algún bien j se tiene p∗
j
= 0. Por condición iii) del
teorema 2.9 entonces debe existir algún bien j′ con p∗j′ = 0 tal que la secuencia asociada
de exceso de demanda en el mercado del bien j′, {zj′(pε)} , no tiene cota superior cuando
ε tiende a cero. Pero note que como pε → p∗, p∗j′ = 0 implica que pεj′ → 0. Luego el
lado izquierdo de (2.5) para j = j′ debe tender a cero ya que el término entre paréntesis
17
está acotado por la definición de z. Sin embargo el lado derecho aparentemente no tiende a
cero ya que zj′(p
ε) no está acotado por lo cual zj′(p
ε) toma su valor máximo de 1. Esto es
una contradicción porque ambos lados de la condición son iguales para todo ε. Se concluye
entonces que p∗ � 0. Entonces pε → p∗ � 0 a medida que ε → 0. Como z(·) es continua
en Rk++ se puede tomar ĺımite a (2.5) con ε→ 0 y se obtiene:
p∗j
k∑
m=1
máx(0, zm(p
∗)) ≡ máx(0, zj(p∗)) j = 1, ..., k
multiplicando ambos lados por zj(p
∗) en cada una de estas k ecuaciones:
zj(p
∗)p∗j
k∑
m=1
máx(0, zm(p
∗)) ≡ zj(p∗) máx(0, zj(p∗)) j = 1, ..., k
sumando sobre j = 1, ..., k bienes se tiene :
k∑
m=1
máx(0, zm(p
∗))
k∑
j=1
zj(p
∗)p∗j ≡
k∑
j=1
zj(p
∗) máx(0, zj(p
∗))
Pero por Ley de Walras se tiene que:
k∑
j=1
zj(p
∗)p∗j = 0
Luego:
k∑
j=1
zj(p
∗) máx(0, zj(p
∗)) = 0
Cada término de esta sumatoria es no negativo ya que es cero o positivo (ya que zj comparte
el signo de zj). Si algún término fuera estrictamente mayor que cero, la igualdad anterior
no se puede cumplir, por lo que cada término de la sumatoria debe ser igual a cero. Esto
implica que zj(p
∗) ≤ 0 para j = 1, ..., k y p∗ � 0. Claramente no puede ser que zj(p∗) < 0
y p∗ � 0.
Proposición: Si p∗ es un equilibrio walrasiano y zj(p
∗) < 0, entonces p∗j = 0, es decir,
si algún bien está en exceso de oferta, en el equilibrio walrasiano, debe ser bien libre.
• Demostración: Suponga que p∗ es un equilibrio walrasiano y que z(p∗) ≤ 0 entonces
p∗ · z(p∗) =
k∑
j=1
p∗jzj(p
∗) ≤ 0 porque los precios son no negativos. Si zj(p∗) < 0 y p∗j > 0 se
tendŕıa que p∗ · z(p∗) < 0 lo que contradice la Ley de Walras. Entonces si p∗ � 0 y p∗ es
un equilibrio walrasiano z(p∗)= 0.
Luego, mientras la función de exceso de demanda agregada sea continua en Rk++, sea ho-
mogénea de grado cero en precios, satisfaga la Ley de Walras y no tenga cota superior a
medida que un precio, pero no todos, se aproximan a cero entonces existe un equilibrio
Walrasiano con todos los precios estrictamente positivos.
18
Parte 3
Teoremas Fundamentales de Bienestar
3.1. Primer Teorema de Bienestar
Teorema 3.1
(Primer Teorema de Bienestar) Para la economı́a de intercambio ε = {ui, wi}i∈I si
ui es estrictamente creciente en Rk+, entonces todos los equilibrios walrasianos entregan una
asignación que es eficiente en el sentido de Pareto.
Este teorema señala que:
Equilibrio Walrasiano⇒ Eficiencia Paretiana
y para demostrarlo se requiere un supuesto muy débil sobre las preferencias de los consu-
midores: que existe no-saciedad local1. Algunos aspectos vitales que sustentan este teorema
son la inexistencia de externalidades (y por tanto no hay bienes públicos), hay competen-
cia perfecta, la información es perfecta y que los mercados son completos. La presencia de
externalidades y sus efectos en este teorema serán estudiados más adelante.
Definición 3.1
La relación de preferencias �i presenta no-saciedad local si para cada xi ∈ Rk+ y cada � > 0,
existe un xi′ tal que xi′ �i xi y que
‖xi′ − xi‖ < �
Esta propiedad impide que las curvas de indiferencias sean “gruesas”2.
1Esta propiedad es más laxa que el supuesto de estricta monotonicidad de � .
2No existe un entorno de un punto en la curva de indiferencia que tenga sólo canastas que son igualmente
preferidas.
19
Demostración Teorema 3.1: Se demuestra por contradicción. Supóngase que hay un
equilibrio walrasiano
(
p∗,X∗
)
que no es Pareto óptimo. Aśı, hay otra asignación factible Z
que es Pareto superior. Entonces por definición:
∀ i ∈ I ui(zi) ≥ ui(xi∗)
y para algún j ∈ I uj(zj) > uj(xj∗)
Por equilibrio walrasiano, cualquier asignación estrictamente preferida debe costar más (ar-
gumento de preferencias reveladas) dado que, por la no-saciedad local, el individuo gasta
todo su ingreso. De lo contrario, el consumidor la hubiese escogido en lugar de xi∗. Luego
debe darse que:
∀ i ∈ I p∗ · zi ≥ p∗ · xi∗
(por no-saciedad local, si p∗ · zi < p∗ ·xi∗, entonces existe alguna canasta xi∗ en el conjunto
presupuestario que seŕıa estrictamente preferida a zi y, por tanto, a xi∗, lo que viola el su-
puesto que xi∗ maximiza la utilidad en el conjunto presupuestario).
Por otro lado, debe darse que para aquellos consumidores con
uj(zj) > uj(xj∗)
que
p∗ · zj > p∗ · xj∗
porque de otra forma el consumidor hubiese escogido zj violando el supuesto de maximización
de utilidad. De esta forma, a nivel agregado debe cumplirse que:
p∗ ·
n∑
i=1
zj > p∗ ·
n∑
i=1
xj∗
y como cada consumidor agota su ingreso (no-saciedad local)
p∗ · xi∗ = p∗ ·wi
luego la desigualdad de arriba se transforma en:
p∗ ·
n∑
i=1
(zi −wi) > 0 (3.1)
Por otra parte, como Z es una asignación factible se cumple que:
n∑
i=1
zi =
n∑
i=1
wi
y por tanto
p∗ ·
n∑
i=1
(zi −wi) = 0 (3.2)
contradiciendo a la desigualdad (3.1).
Consecuentemente, no puede haber una asignación Z Pareto superior a la asignación del
equilibrio walrasiano, por lo que ésta es Pareto eficiente de acuerdo a la definición 1.5.
20
3.2. Segundo Teorema de Bienestar
Un equilibrio competitivo consigue explotar todas las posibles ganancias del intercambio
pero la distribución resultante es un reflejo de la dotación de cada individuo.
Es posible modificar las condiciones iniciales de forma que se llegue a una asignación final
con una distribución de los recursos predeterminada. Bajo este respecto conviene notar que:
(a) Las dotaciones dejan de ser exógenas y son variables del problema.
(b) Abre la posibilidad de conseguir asignaciones eficientes predeterminadas respetando el
sistema de precios y variando solamente el derecho de propiedad. Esto permite com-
patibilizar dos objetivos sociales importantes y muchas veces conflictivos: eficiencia y
equidad.
El primer teorema establećıa que el equilibrio walrasiano es una condición suficiente para
la eficiencia paretiana bajo ciertas circunstancias. Una pregunta natural es si esta condi-
ción es a su vez necesaria. Sin embargo esto es falso, pues el equilibrio walrasiano depende
de la asignación de la riqueza y nada garantiza que cualquier asignación sea factible para
cada individuo. Para que lo último sea cierto debe redistribuirse la dotación mediante un
impuesto de suma alzada que en la práctica es un “first best” imposible, ya que requiere
gravar todos los bienes con la misma tasa (para no cambiar los precios relativos y aśı no
alterar el comportamiento de los agentes). Pero un bien (al menos) no puede gravarse: el
ocio. Existe una numerosa literatura en finanzas públicas sobre el “second best” que señala
que para disminuir el problema, puede gravarse con una tasa mayor aquellos bienes que son
complementarios con el ocio.
Obviando la dificultad anterior, se enuncia el segundo teorema de bienestar.
Teorema 3.2
(Segundo Teorema de Bienestar) Considere una economı́a de intercambio ε = {ui,wi}i∈I
con dotación agregada w � 0 y con funciones de utilidad que satisfacen el supuesto 2.1.
Supóngase que se considera una asignación X que es eficiente en el sentido de Pareto para
dicha economı́a y tal que las dotaciones han sido redistribuidas de tal forma que el nue-
vo vector de dotaciones es X. Entonces X es un equilibrio walrasiano de la economı́a de
intercambio ε′ = {ui,xi}i∈I.
Demostración Teorema 3.2: Como X es Pareto óptimo, por definición es factible∑
i∈I
xi =
∑
i∈I
wi = w � 0
Por el teorema de existencia del equilibrio walrasiano, dado que ui satisface el supuesto 2.1
y w � 0 se tiene que existe al menos un vector p∗ tal que z(p∗) = 0 por lo que la economı́a
ε′ tiene una asignación de equilibrio walrasiano denotada X̂. Se demostrará que X̂ = X.
21
Por el equilibrio walrasiano, el consumidor i maximiza ui en su restricción presupuestaria.
Como i demanda x̂i y tiene una dotación xi, debe ser cierto que ∀i ∈ I
ui(x̂i) ≥ ui(xi) (3.3)
con x̂i factible. Como X̂ es una asignación de equilibrio walrasiano factible para la economı́a
ε′ entonces: ∑
i∈I
x̂i =
∑
i∈I
xi =
∑
i∈I
wi
por lo que X̂ es también factible para la economı́a original ε. Además como X es Pareto
óptimo se tiene que (3.3) se cumple con igualdad3.
⇒ ∀i ∈ I ui(x̂i) = ui(xi)
Ahora se procede a demostrar que x̂i = xi. Supóngase que x̂i 6= xi, entonces un consumidor
puede tomar una combinación lineal de las canastas, que es factible y que gracias a la estricta
cuasiconcavidad de ui entrega una mayor utilidad, negando el hecho que xi forma parte de
un equilibrio walrasiano.
⇒ x̂i = xi
Una manera equivalente de plantear el segundo teorema es la siguiente.
Teorema 3.3
Considérese las mismas premisas que en el teorema 3.2. Entonces hay un vector de precios
p tal que cuando la asignación de dotaciones es X, cada consumidor i ∈ I maximiza ui(xi)
sujeto a p · xi ≤ p · xi eligiendo xi = xi.
Bajo el teorema 3.2 se dice que p soporta la asignación X. La figura 3.1 muestra como
una redistribución de riqueza que lleva a las dotaciones a los puntos w′ o a X cambia el
equilibrio walrasiano (tanto el vector de precios de equilibrio como la asignación resultante).
3Al ser Pareto óptimo nadie puede estar estrictamente mejor.
22
Figura 3.1: Ejemplo de redistribución para el caso de dos consumidores y dos bienes
O1
O2
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
l
l
l
l
l
l
l
l
•
•
•
•
X
X
w′
w
23
Parte 4
Equilibrio Walrasiano con Producción
Al igual que antes hay k bienes y los n consumidores están indexados con I = {1, 2, ..., n},tienen
preferencias que satisfacen el supuesto 2.1 y tienen dotaciones wi. Sin embargo, ahora hay
firmas J indexadas con el conjunto J = {1, 2, ..., J} que se les supone:
i) Tomadoras de precio.
ii) Maximizadoras de beneficio.
Sea yj ∈ Rk un plan de producción para la firma j y notarque los supráındices indexan una
firma. Recordar que en el vector:
yj =

yj1
yj2
...
yjk

se dice que si yjk < 0, entonces el bien k es un insumo neto para la empresa j y que cuando
yjk > 0 se dice que el bien k es un producto neto para la empresa j. Por su parte, las
ganancias de las firmas constituyen parte del ingreso de los consumidores y los consumidores
son también oferentes de insumos.
Supuesto 4.1
Cada firma j ∈ J tiene un conjunto de posibilidades de producción Y j ⊆ Rk tal que:
i) 0 ∈ Y j. Esto garantiza que las ganancias están acotadas por debajo en cero, permitiendo
el cierre de la firma.
ii) Y j es un conjunto compacto1. Esto permite que Y j contenga sus bordes por lo que los
ĺımites de los planes de producción son posibles, al tiempo que impone continuidad. El
hecho que Y j sea acotado pretende capturar el hecho que los recursos son limitados.
iii) Y j ∩Rk+ = {0}. Esto significa que la producción siempre requiere de insumos, a menos
que la empresa cierre.
1Esto es, un conjunto cerrado y acotado en Rk.
24
iv) Y j es estrictamente convexo. Esto es:
∀ yj1,y
j
2 ∈ Y j y ∀ λ ∈ (0, 1), ∃ y ∈ Y j tal que y � λy
j
1 + (1− λ)y
j
2
Eliminando los retornos constantes y crecientes a escala se asegura que existe un único
máximo de beneficios que se alcanza con algún plan de producción.
Ahora se busca caracterizar el equilibrio walrasiano. Como el ingreso del consumidor
depende de la utilidad de las firmas en las que posee, conviene iniciar con el problema de la
firma para encontrar la función de beneficio.
4.1. Problema de la Firma
Cada firma j ∈ J enfrenta un vector de precios p ∈ Rk++ y elige un plan de producción
para resolver:
máx
{yj∈Y j}
p · yj
Notar que por la convención de signos de insumos y productos, lo anterior sigue siendo
ingresos menos costos. Como la función objetivo es continua y el conjunto de restricciones es
compacto, por el teorema de Weierstrass se sigue que un máximo existe. Luego, para cada
p ∈ Rk++ se define la función de beneficio:
πj(p) ≡ máx
{yj∈Y j}
p · yj
Por el teorema del máximo2 se tiene que πj(p) es continua en Rk+. La convexidad estricta
asegura que el plan yj(p) que maximiza los beneficios es único para p ∈ Rk++. A su vez, el
teorema del máximo asegura que yj(p) es continua en p ∈ Rk++. Notar que yj(p) es una
función vectorial, cuyos componentes son la oferta de la firma y la demanda de insumos. Lo
anterior se resume en el siguiente teorema.
Teorema 4.1
Si Y j satisface el supuesto 4.1, entonces para todo p ∈ Rk++ la solución al problema de la
firma es único y lo denotamos por yj(p). Más aún yj(p) es continua en Rk+. Adicionalmente,
p · yj(p) está bien definida, es continua en Rk++ y es homogénea de grado uno en el vector
de precios. Por su parte, yj(p) es homogénea de grado cero en precios.
Definición 4.1
Suponiendo la inexistencia de externalidades en la producción entre firmas, se define el
conjunto de posibilidades de producción agregada como:
Y ≡
{
y
∣∣y = ∑
j∈J
yj , con yj ∈ Y j
}
2Ver Jehle G. y Reny P. (2001), “Advanced Microeconomic Theory”; Apéndice A2, página 505.
25
Ejemplo:
La firma uno con 280 TM trigo3, 12 TM de hierro y 1000 hrs. de trabajo produce 600
TM trigo. Por su parte, la firma dos con 120 TM de trigo, 8 TM de hierro y 600 hrs. de
trabajo produce 20 TM de hierro. Aśı, los planes de producción de ambas firmas son
y1 =
 320−12
−1000
 y2 =
−12012
−600

Por tanto un plan de producción agregado es
y = y1 + y2 =
 2000
−1600

Teorema 4.2
Si cada Y j con j ∈ J cumple con el supuesto 4.1, entonces Y también las cumple.
Como no hay externalidades en producción, cada plan de producción y ∈ Y se puede
expresar como la suma de los J planes individuales de las firmas: y1,y2, ...,yJ . Un plan
y ∈ Y si y sólo si y puede escribirse como:
y =
J∑
j=1
yj con yj ∈ Y j para todo j ∈ J.
Es sencillo probar que Y preserva los supuestos i), ii) y iv) en tanto cada Y j los cumpla.
A pesar que se sigue cumpliendo la libre eliminación, en el sentido que siempre es posible
producir lo mismo o menos con más insumos, la condición iii) no necesariamente se cumple;
en efecto:
y1 =
[
−3
3
]
y2 =
[
4
−2
]
⇒ y = y1 + y2 =
[
1
1
]
∈ R2++
Para evitar esto a veces se supone irreversibilidad, extendiendo la imposibilidad de produc-
ción libre en el conjunto agregado. Este supuesto se escribe matemáticamente como
Y ∩ {−Y } = {0}
3Toneladas métricas de trigo.
26
Esto es, si y ∈ Y con y 6= 0, entonces −y 6∈ Y (si el plan y es factible entonces −y no lo
es). Se tiene que la libre eliminación y la irreversibilidad implican que Y ∩ Rk+ = {0}.
Teorema 4.3
Un plan de producción agregado y =
∑
j∈J
yj maximiza los beneficios agregados p · y para
y ∈ Y si y sólo si cada plan de producción individual yj maximiza las ganancias individuales
p·yj sobre todos los planes yj ∈ Y j para todo j ∈ J (ver figura 4.1 para el caso de un insumo
y un bien).
La demostración de este teorema se deja de ejercicio al lector4.
Figura 4.1: Maximización conjunta de beneficios como consecuencia de maximizaciones in-
dividuales
•
•
•
y2
Y 2
Y 1
Y y1+y2
y1
y1
y2
````````
````````````````
6
-
�
�
�
��
��
��
4.2. Problema del Consumidor
Se deben introducir dos nuevos elementos: la oferta de insumos y la distribución de los
beneficios. El siguiente ejemplo ilustra las modificaciones pertinentes al problema del consu-
midor.
Ejemplo: Considérese un modelo con dos bienes, uno de consumo y ocio, y con un sólo
individuo. Sean L̄ la dotación de tiempo del individuo, l las horas dedicadas a la producción
de bien de consumo, w el salario por unidad de trabajo (notar que es el precio del ocio a su
vez) y c̄ la dotación del bien de consumo. Notar que el ocio viene dado por:
L̄− l
Sea u( c
(+)
, L̄− l
(+)
) donde los signos debajo de los argumentos de u(·) señalan el signo de la
derivada parcial de dicho argumento.
4Ayuda: Una forma sencilla de lograrlo es mediante la contradicción.
27
En este caso, el problema a resolver es:
máx
{c,l}
u(c, L̄− l) s.a. p · c = w · l + p · c̄︸ ︷︷ ︸
ingreso
de cuya solución se extrae la demanda de bien de consumo y la oferta de trabajo.
La restricción presupuestaria puede ser reescrita como:
p · c+ w · (L̄− l) = w · L̄+ p · c̄
y al término w · L̄ + p · c̄ se le conoce como “ingreso completo” que corresponde al valor de
la dotación.
Ahora se procede a desarrollar un modelo general. Sea wi el vector de dotaciones del
individuo (bien de consumom y tiempo) i ∈ I, p el vector de precios (incluido el precio del
ocio). Se supone que existe un sistema de propiedad establecido que permite la distribución
de los beneficios. Sea θij la participación del individuo i en la firma j, para todo i ∈ I y
j ∈ J. Esta asignación para todo j ∈ J debe satisfacer :∑
i∈I
θij = 1
De esta forma, los beneficios que recibe el consumidor i por su propiedad en las firmas es:
J∑
j=1
θij · p · yj(p)
por lo que la recta presupuestaria del consumidor i es:
p · xi = p ·wi︸ ︷︷ ︸
Valor de la dotación
+
J∑
j=1
θij · p · yj(p)︸ ︷︷ ︸
Ingreso por propiedad de la firma
y de este modo, el problema que resuelve cada individuo i ∈ I es:
máx
{x∈Rk+}
ui(xi) s.a. p · xi = p ·wi +
J∑
j=1
θij · p · yj(p)
donde ui satisface el supuesto 2.1. De esta forma, la función xi(p) está bien definida, es
continua y homogénea de grado cero en precios5.
5Además de las otras propiedades enunciadas en el apunte “Repaso de Microeconomı́a”.
28
4.3. Caracterización del Equilibrio Walrasiano con Pro-
ducción
La economı́a con producción se queda descrita por la colección:
ε = {ui,wi, θij,Y j}i∈I,j∈J
Definición 4.2
Al sumar las demandas agregadas de los n consumidores se obtiene la demanda agregada,
denotada X(p) :
X(p) ≡
∑
i∈I
xi(p)
Definición 4.3
Se define la oferta agregada de los consumidores como:
W ≡
∑
i∈I
wi
Por su parte, se define la oferta agregada neta de las firmas como:
Y (p) ≡
∑
j∈J
yj(p)
Definición 4.4
Sedefine la función de exceso de exceso de demanda agregada como:
z(p) ≡X(p)− Y (p)−W
Si un componente de z(p) es negativo se dice que el bien respectivo está en exceso de oferta
neta y si es mayor que cero se dice que está en exceso de demanda neta.
Esta función de exceso de demanda agregada cumple con las cuatro propiedades del
teorema 2.3.
Teorema 4.4
Si para cada consumidor i ∈ I, su función de utilidad ui cumple con el supuesto 2.1, cada
Y j satisface el supuesto 4.1 y las dotaciones son tales que y+
∑
i∈Iw
i � 0 para algún vector
de producción agregada y ∈ Y entonces la función z(p) definida en 4.4 posee las siguientes
propiedades para cualquier p� 0:
29
i) z(p) es continua en Rk++.
ii) z(λ · p) = z(p) para cualquier λ > 0. Es decir, z(p) es homogénea de grado cero.
iii) p · z(p) = 0 (Ley de Walras).
iv) (Condición de borde) Si {pm}∞m=0 es una secuencia de vectores de precios en Rk++ que
convergen a p 6= 0 con pl = 0 para algún bien l. Entonces, para algún bien l′ con pl′ = 0,
la secuencia de excesos de demanda de dicho bien asociada a la secuencia de precios
{pm}∞m=0, denotada {zl′(pm)}∞m=0, no tiene cota superior.
De esta forma, acorde al teorema 2.9, existe al menos un equilibrio walrasiano.
Ahora se busca demostrar que z(p) cumple las propiedades anteriores. La demostración
de i) y de ii) es directa, pues se sigue del teorema 4.1 y del hecho que tanto X(p) como
Y (p) son continuas y homogéneas de grado cero. Sólo queda demostrar la veracidad de iii)
y iv).
Demostración III): Esta demostración se llevará a cabo por construcción.
p · z(p) = p ·X(p)− p · Y (p)− p ·W
= p ·
∑
i∈I
xi(p)− p ·
∑
j∈J
yj(p)− p ·
∑
i∈I
wi
pero se sabe que la restricción presupuestaria de cada individuo se cumple con igualdad, por
lo que para todo i ∈ I:
p · xi(p) = p ·wi +
J∑
j=1
θij · p · yj(p)
reemplazando esto en la suma inicial se obtiene:
p · z(p) = p ·
∑
i∈I
wi +
∑
i∈I
J∑
j=1
θij · p · yj − p ·
∑
j∈J
yj(p)− p ·
∑
i∈I
wi
=
( J∑
j=1
p · yj(p) ·
I∑
i=1
θij︸ ︷︷ ︸
=1
)
−
J∑
j=1
p · yj(p)
∴ p · z(p) = 0
Demostración IV): Considérese la secuencia {pm}∞m=1 de vectores de precios en Rk++
que converge a p 6= 0, con pl = 0 para algún bien l. Se quiere demostrar que para algún
bien l′ con pl′ = 0 la secuencia asociada de excesos de demanda {zl′ (pm)}∞m=1 no tiene cota
superior. Al igual que en la demostración del teorema 2.3 se encuentra a algún consumidor
30
con ingreso estrictamente positivo para el vector de precios ĺımite p. La existencia de dicho
consumidor está asegurada, ya que
p ·
(
y +
∑
i∈I
wi
)
> 0
para algún vector y ∈ Y gracias a la premisa(
y +
∑
i∈I
wi
)
� 0
y como el ingreso del consumidor i al precio ĺımite p es
mi(p) = p ·wi +
∑
j∈J
θijπj(p)
se tiene: ∑
i∈I
mi(p) =
∑
i∈I
(
p ·wi +
∑
j∈J
θijπj(p)
)
=
∑
i∈I
p ·wi +
∑
j∈J
πj(p)
≥
∑
i∈I
pwi + p · y
= p ·
(
y +
∑
i∈I
wi
)
> 0
donde la desigualdad débil viene del hecho que al ser y un vector cualquiera que pertenece
a Y ,las ganancias agregadas serán mayores o iguales a p ·y pues y no necesariamente maxi-
miza las ganancias agregadas. Aśı, como la suma de los ingresos de los individuos es positiva
al precio p, entonces existe al menos un consumidor cuyo ingreso es positivo a dicho precio.
El resto de la demostración es análoga a la del teorema 2.3.
Como se cumplen las premisas del teorema 2.9, se sigue que existe al menos un equilibrio
walrasiano en la economı́a con producción.
Definición 4.5
Un equilibrio walrasiano es un vector de precios p∗ y asignaciones de consumo (x1∗,x2∗, ...,xn∗)
y de producción (y1∗,y2∗, ...,xJ∗) tales que
z(p∗) =
∑
i∈I
xi∗ −
∑
j∈J
yj∗ −W = 0
31
Teorema 4.5
(Existencia del Equilibrio Walrasiano con Producción) Considere a una economı́a
ε = {ui,wi, θij,Y j}i∈I,j∈J. Si cada ui cumple con el supuesto 2.1, cada Y j cumple el supues-
to 4.1 y Y +
∑
i∈Iw
i � 0 para algún vector y ∈
∑
j∈J Y
j, entonces existe al menos un
vector de precios p∗ � 0 tal que z(p∗) = 0.
4.4. Economı́a Robinson Crusoe
Se procede a caracterizar el equilibrio general en una economı́a simple. En particular,
se considera un solo consumidor que produce y consume. El consumidor vende h horas de
trabajo al productor, el cual usa el trabajo para producir el bien “cocos” y que se lo vende
al consumidor. Los beneficios que obtiene esta firma son de propiedad del consumidor.
4.4.1. Tecnoloǵıa
El conjunto de posibilidades de producción de la firma (y de la economı́a a su vez)
está dada por:
Y = { (−h, y) | 0 ≤ −h ≤ b ; 0 ≤ y ≤ (−h)α}
donde b > 0 y α ∈ (0, 1). Por ejemplo, el plan de producción (−2, 2α) usa dos horas de
trabajo y obtiene 2α unidades de cocos.
6
-�
−b h
yy = (−h)α
Y
�� �� ��
��
��
��
Figura 4.2: Función de Producción
4.4.2. Preferencias
Sea u : R2+ → R la función de utilidad del único consumidor definida según:
u(h, y) = h1−βyβ
donde β ∈ (0, 1), h son las horas de ocio (no dedicadas al trabajo) e y es la cantidad de cocos
consumidos.
32
4.4.3. Dotaciones
La dotación inicial del consumidor es w = (T, 0), es decir, consta de T > 0 horas y 0
unidades de cocos. A los precios (w, p), la recta presupuestaria se representa en la figura 4.3
como la recta entrecortada.
Se escoge b (cota del conjunto de producción) de manera que b > T. De esta manera,
en cualquier equilibrio walrasiano, la restricción h ≤ b no será activa porque el número de
horas demandadas por la firma no ha de exceder el número de horas totales T. Sean p > 0
el precio de los cocos y w > 0 el precio del ocio.
h
T
y
T+ π̄
w
6
-
c
c
c
c
c
c
c
c
c
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l• •
(T,0)
p · y + w · h = w · T + π
Figura 4.3: Recta Presupuestaria
33
Problema de la Firma
Con los elementos anteriores, el problema de la firma es:
máx
{h≥0}
p · hα − w · h
Cuando α < 1, se tiene que h = 0 no es un máximo del problema anterior. Esto se
comprueba a continuación con las condiciones de primer orden:
d (p · hα − w · h)
dh
= αphα−1 − w = 0
⇔ αphα−1 = w
A partir de lo cual se obtiene la demanda por trabajo de la firma que se denotará hf :
hf =
(αp
w
) 1
1−α
y usando que y = hα se obtiene la oferta de producto como función de los precios w y p,
denotada yf :
yf =
(αp
w
) α
1−α
Luego, la función ganancia de la firma es:
π(w, p) =
(
1− α
α
)
· w ·
(αp
w
) 1
1−α
(4.1)
Notar que debido a que las ganancias son positivas si los precios son positivos, se tiene que
h = 0 no es óptimo.
34
Problema del consumidor
El ingreso del consumidor proviene de dos partes; la primera de ellas es el valor de la
dotación y la segunda son las ganancias de la firma:
Ingreso = w · T + π(w, p)
por lo que la restricción presupuestaria es:
p · y + w · h = w · T + π(w, p)
y el problema a resolver es:
máx
{(h,y)∈R2+}
h1−β · yβ s.a. p · y + w · h = w · T + π(w, p)
En este caso, se puede demostrar6 que la solución a dicho problema es:
hc =
(1− β) · (wT + π(w, p))
w
yc =
β(wT + π(w, p))
p
Caracterización del equilibrio
Se busca ahora el precio de equilibrio. Por homogeneidad de grado cero en precios de la
oferta y demanda de la firma y del consumidor, sólo se busca un precio relativo. Sea p∗ = 1
la normalización impuesta y gracias a la ley de walras, el imponer la condición de vaciado en
un sólo mercado (e.g. el del trabajo) asegura que el otro (e.g. el de cocos) esté en equilibrio.
De esta forma, se busca un w∗ tal que:
hc + hf =
(1− β)(w∗ · T + π(w∗, 1))
w∗
+
( α
w∗
) 1
1−α
= T
Reemplazando la ecuación (4.1) en esta condición, se tiene que:
(1− β)(1− α)
α
·
( α
w∗
) 1
1−α
+
( α
w∗
) 1
1−α
= T
⇒ (1− β)(1− α)
α
·
( α
w∗
) 1
1−α
+
( α
w∗
) 1
1−α
= βT
⇒ w∗ = α ·
(
1− β(1− α)
αβT
)1−α
> 0
De esta manera, el equilibrio walrasiano de esta economı́a está dado por los precios:
(1, w∗)
6Se plantea como ejercicio al alumno.
35
y las asignaciones:
(y∗c(1, w∗), hc(1, w∗)) y (y∗f (1, w∗), hf (1, w∗))
El equilibrio anterior se muestra en las figuras 4.4 y 4.5. Un ejemplo de desequilibrio se haya
en 4.6, en el cualse requiere que disminuya w/p para alcanzar el equilibrio walrasiano.
4.5. Condiciones de Primer Orden para la optimalidad
paretiana
Considérese una economı́a con producción:
ε = {ui, wi, θi,j,Y j}i∈I,j∈J
Definición 4.6
Una asignación (x,y) =
(
(x1, x2, ..., xI), (y1, y2, ..., yJ)
)
de canastas de consumo para los
consumidores y planes de producción para las firmas es factible si para todo xi ∈ Rk+ con
i ∈ I y para todo yj ∈ Y j con j ∈ J se tiene que:∑
i∈I
xi =
∑
i∈I
wi +
∑
j∈J
yj
Definición 4.7
Una asignación factible (x,y) es Pareto eficiente si no existe ninguna otra asignación
factible (x,y) tal que ui(xi) ≥ ui(xi) para todo i ∈ I con al menos una desigualdad estricta.
Supóngase que las canastas de consumo de cada consumidor posibles están dadas por Rk+
y que las preferencias están descritas por funciones de utilidad ui(xi) que son doblemente
diferenciables y estrictamente monotónicas.
El conjunto de producción de la firma j toma la forma:
Y j =
{
y ∈ Rk+ : F j(y) ≤ 0
}
donde F j(y) = 0 define la frontera de producción de la firma de forma impĺıcita. Suponga
que F j : Rk+ es doblemente diferenciable con segundas derivadas continuas7.
El problema de encontrar asignaciones pareto óptimas para esta economı́a consiste en
elegir asignaciones de la forma:
(x,y) = (x1,x2, ...,xn,y1,y2, ...,yJ) ∈ Rkn+ × RkJ+
7No se requieren supuestos, por el momento, de concavidad para la frontera de producción.
36
Figura 4.4: Representación del Equilibrio General
�
6
-
6
-
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
••
hf
yf yc
y
−b h hc h
.................................
.............................
−w/p −w/p
py+wh=wT+π∗
Figura 4.5: Otra Representación del Equilibrio en la Economı́a Robinson Crusoe
6 6
hofoc−b
bb
bb
bb
bb
bb
yy
y∗c A
hc hf
y∗f
T
π∗
w∗
p∗·y=w∗·(T−hc)+π∗
Figura 4.6: Ejemplo de Desequilibrio en la Economı́a Robinson Crusoe
6 6
hofoc−b
bb
bb
bb
bb
bb
yy
yc yc
yf
}
Exceso de Demanda
T
π∗
w∗
p∗·y=w∗·(T−hc)+π∗
hc hf︸ ︷︷ ︸
Exceso de Oferta de Trabajo
37
que resuelvan el siguiente problema:
máxu1(x11, x
1
2, ..., x
1
k) s.a.
(1)ui(xi) ≥ ui para i = 2, 3, ..., I
(2)
∑
i∈I
xil ≤ wl +
∑
j∈J
yjl para l = 1, 2, ..., k
(3)F j(yj1, y
j
2, ..., j
j
k) ≤ 0 para j = 1, ..., J
(4.2)
Sean (δ2, ..., δI) ≥ 0, (µ1, ..., µk) y (γ1, ..., γJ) los multiplicadores de Lagrange asociados,
respectivamente, a las restricciones (1), (2) y (3). Sea δ1 ≡ 1. El Lagrangeano asociado al
problema 4.2 es:
£ = u1(x1) +
∑
i∈I
δi · (ui(xi)− ui) +
k∑
l=1
µl ·
(
wl +
∑
j∈J
yjl +
∑
i∈I
xil
)
+
∑
j∈J
δj · (−F j(yj))
cuyas condiciones de primer orden, asumiendo una solución interior, son:
xil : δl ·
∂ui
∂xil
− µl = 0 ∀i ∈ I, l = 1, 2, ..., k
yjl : µl − γj ·
∂F j
∂yjl
= 0 ∀j ∈ J, l = 1, 2, ..., k
De esta manera, las condiciones pueden ser reescritas de tal forma que la eficiencia paretiana
puede ser interpretada de tres formas.
1. Asignación eficiente de los bienes entre consumidores:
∂ui/∂xil
∂ui/∂xil′
=
∂ui
′
/∂xi
′
l
∂ui′/∂xi
′
l′
para cualquier i, i′ ∈ I y l, l′ = 1, 2, ..., k
2. Producción eficiente a través de tecnoloǵıas de distintas firmas:
∂F j/∂yjl
∂F j/∂yjl′
=
∂F j
′
/∂yj
′
l
∂F j′/∂yj
′
l′
para todo j, j′ ∈ J
3. Nivel de producción agregado óptimo:
∂ui/∂xil
∂ui/∂xil′
=
∂F j/∂yjl
∂F j/∂yjl′
para cualquier i,∈ I , l, l′ = 1, 2, ..., k y j ∈ J
38
4.6. Generalización de los teoremas de bienestar.
4.6.1. Primer teorema del bienestar con producción
Teorema 4.6
Si cada ui es estrictamente creciente en Rk+, entonces la asignación de un equilibrio walra-
siano con producción es pareto óptima.
Demostración Teorema 4.6: Se muestra por contradicción. Supóngase que la asigna-
ción (x,y) y el precio p∗ es un equilibrio walrasiano pero la asignación resultante no es pareto
óptima. Como (x,y) es una asignación del equilibrio walrasiano, se sigue que es factible. Aśı:∑
i∈I
xi =
∑
j∈J
yj +
∑
i∈I
wi
Pero (x,y) no es Pareto eficiente, existe alguna otra asignación factible (x̂, ŷ) tal que:
ui(x̂i) ≥ ui(xi)
para todo i ∈ I con al menos una desigualdad estricta para algún i′ ∈ I. Al igual que en la
demostración del teorema 3.1, por un argumento de preferencias reveladas, se sigue que la
canasta de los consumidores i′ debe costar más que su asignación de equilibrio walrasiano.
Para el resto de los consumidores, la asignación x̂i cuesta a lo menos lo mismo que la canasta
xi. De esta forma, se tiene que para todo i ∈ I:
p∗ · x̂i ≥ p∗ · xi
con al menos una desigualdad estricta. Al sumar sobre todos los consumidores:
p∗ ·
∑
i∈I
x̂i > p∗ ·
∑
i∈I
xi
Empleando la condición de factibilidad de las asignaciones (x̂, ŷ) y (x,y), la desigualdad
anterior se traduce en:
p∗ ·
(∑
j∈J
ŷj +
∑
i∈I
wi
)
> p∗ ·
(∑
j∈J
yj +
∑
i∈I
wi
)
⇔ p∗ ·
∑
j∈J
ŷj > p∗ ·
∑
j∈J
yj
Para que la anterior desigualdad ocurra se requiere que para algún j ∈ J:
p∗ · ŷj > p∗ · yj
con ŷj ∈ Y j. Sin embargo, esta última desigualdad contradice la premisa que yj era el
plan de producción del equilibrio walrasiano, puesto que dicha desigualdad señala que yj no
maximiza los beneficios de la firma a los precios p∗, quedando aśı demostrado el teorema.
39
4.6.2. Segundo teorema del bienestar con producción 8
Teorema 4.7
Supóngase que:
(a) Cada ui satisface el supuesto 2.1.
(b) Cada Y j satisface el supuesto 4.1.
(c) y +
∑
i∈I
wI � 0 para algún vector agregado de producción y.
(d) La asignación (x̂, ŷ) es pareto eficiente
Entonces, hay transferencias de ingreso T1, T2, ..., TI con
∑
i∈I
Ti = 0 y un vector de precios
tal que:
i) Para todo i ∈ I, xi resuelve:
máxui(xi) s.a. p · xi ≤ p ·wI +
∑
j∈J
θij · πj(p) + Ti
ii) Para todo j ∈ J, yj resuelve:
máxp · yi s.a. yj ∈ Y j
8 La demostración de este teorema se puede hallar en Jehle y Reny (2001) “Advanced Microeconomic
Theory”, pág. 219.
40
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Bienes Públicos
Profesor: José Miguel Sánchez Mayo de 2011
Introducción
Un bien es considerado público si su uso por un agente no previene su uso por parte de
otros agentes, debido a la naturaleza f́ısica del bien o de la tecnoloǵıa. Aśı, se dice que no
existe rivalidad en el consumo. Si además no existe congestión (la utilidad de los agentes
no depende de la cantidad de agentes que consume el bien público), se le llama bien público
puro. Al igual que en el caso de las externalidades, se procederá evaluando si el primer
teorema del bienestar se sostiene o no en estas circunstancias y se propondrán soluciones.
Para ello, se compara el conjunto de asignaciones Pareto eficientes con el resultado del
equilibrio competitivo. Como se podrá intuir, el primer teorema del bienestar no se sostiene
y por ello se investigan cuatro soluciones para que se cumpla. Ellas son:
1.- Mecanismos de Contribución Voluntaria
2.- Equilibrio de Lindahl
3.- Mecanismo de Votación
4.- Impuesto de Groves-Clark
1. Asignaciones Pareto Óptimas
Supóngase una economı́a con n consumidores (al igual que antes, indexados con i ∈ I ≡
{1, 2, ..., n}) y dos bienes, uno privado y el otro público. Al igual que antes, una economı́a
está definida por la tecnoloǵıa, preferencias y dotaciones.
Tecnoloǵıa
El bien público es producido usando el bien privado, de acuerdo a una función de pro-
ducción con retornos decrecientes a escala:
y = g(z) g′(·) > 0 g′′(·) < 0
1
donde z es la cantidad de bien privado usado como insumo e y es la cantidad de bien público
producido.
Preferencias
Las preferencias del consumidor i pueden representarse a través de una función de utilidad
ui(xi, y) donde xi es la cantidad consumida del bien privado por parte del consumidor i e y
es la cantidad disponible de bien público.
Dotación
Sea wi > 0 la dotación privada de bien privado del individuo i y sea w la dotación agre-
gada de bien privado. No hay dotación inicial de bien público.
Las asignaciones Pareto óptimas pueden ser halladas de dos manerasalternativas. Una
de ellas es resolver:
máxu1(x1, y) s.a.
ui(xi, y) ≥ ui para i = 2, 3, ..., n
w −
∑
i∈I
xi − z ≥ 0 (Factibilidad)
g(z)− y ≥ 0 (Tecnoloǵıa)
y ≥ 0 z ≥ 0 xi ≥ 0 ∀ i ∈ I
La segunda manera es resolver:
máx
n∑
i=1
αi · ui(xi, y) s.a.
w −
∑
i∈I
xi − z ≥ 0 (Factibilidad)
g(z)− y ≥ 0 (Tecnoloǵıa)
y ≥ 0 z ≥ 0 xi ≥ 0 ∀ i ∈ I
donde αi son multiplicadores arbitrarios (aunque al fijar uno de ellos, el resto está comple-
tamente determinado).
La segunda forma de plantear el problema es más sencilla de tratar. El lagrangeano
asociado es:
£ =
n∑
i=1
αi · ui(xi, y) + λ ·
(
w −
n∑
i=1
xi − z
)
+ µ · (g(z)− y)
2
Las condiciones de primer orden (que son necesarias y suficientes para una solución interior)
del lagrangeano asociado son:
[xi] : αi · ∂u
i
∂xi
= λ para todo i = 1, ..., n (1)
[y] :
n∑
i=1
αi · ∂u
i
∂y
= µ (2)
[z] : µ · ∂g
∂z
= λ (3)
Reemplazando (3) en (1) se tiene:
µ =
αi · ∂u
i
∂xi
∂g
∂z
que reemplazado en (2) señala:
n∑
i=1
αi · ∂u
i
∂y
αi · ∂u
i
∂xi
=
1
∂g
∂z
Pero, de (1) se sabe que el término αi · ∂ui
∂xi
es constante para todo i, lo que permite escribir
la ecuación anterior como:
α1
∂u1
∂y
α1
∂u1
∂x1
+
α2
∂u2
∂y
α2
∂u2
∂x2
+ · · ·+
αn
∂un
∂y
αn
∂un
∂xn
=
1
∂g
∂z
y aśı, se obtiene la condición de Bowen-Lindahl-Samuelson (o, simplemente, regla de Sa-
muelson):
n∑
i=1
∂ui/∂y
∂ui/∂xi
=
(
∂g
∂z
)−1
la cual señala que la suma de las tasas marginales de sustitución entre el bien público y el
privado debe ser igual a la tasa marginal de transformación en la producción de ambos bienes
para que se obtenga una asignación Pareto eficiente. Intuitivamente, el lado izquierdo de la
ecuación corresponde a la suma vertical de las demandas individuales por el bien público (ver
figura 1). Ahora, se busca responder la pregunta de si habrán mecanismos de asignación de
recursos que produzcan, como resultado de un equilibrio competitivo, una asignación Pareto
óptima.
2. Equilibrio con Contribuciones Voluntarias
Supóngase que cada consumidor voluntariamente contribuye una cantidad zi del bien
privado para la producción del bien público.
3
Figura 1: Regla de Samuelson como suma vertical de demandas
-
yy∗
C.Mg(y)
@
@
@
@
@
@
@
@ Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
6
•
•
•
DA +DB
DB
DA
La producción del bien público está dada por:
y = g
(
n∑
i=1
zi
)
Dado el aporte de los demás consumidores z−i ≡ (z1, ..., zi−1, zi+1, ..., zn), el consumidor i
resuelve:
máx
{xi,y}
ui(xi, y) s.a.
xi = wi − zi
y = g
(
zi +
∑
j 6=i∈I
zj
)
zi ≥ 0 xi ≥ 0
que es equivalente a resolver:
máx
zi
φi(zi, z−i) ≡ ui
(
wi − zi, g
(
zi +
∑
j 6=i∈I
zj
))
s.a. wi ≥ zi ≥ 0
Notar que el equilibrio en contribuciones voluntarias es un equilibrio de Nash1. La con-
dición de primer orden del problema alternativo es:
[zi] :
∂ui
∂xi
· ∂x
i
∂zi︸︷︷︸
=−1
+
∂ui
∂y
· ∂y
∂zi
= 0
que es equivalente a:
∂ui
∂y
∂ui
∂xi
=
1
∂g
∂zi
1Más adelante se estudiará este concepto a cabalidad.
4
Por tanto, no se cumple la regla de Samuelson y el equilibrio resultante no será Pareto
óptimo.
Lo que ocurre es que cada agente i contribuye a la producción del bien público sólo
hasta que el costo marginal del bien público, medido en términos del bien privado (dadas
las contribuciones de los otros agentes), dado por
(
∂g
∂zi
)−1
sea igual a su tasa marginal de
sustitución privada. No considera el beneficio a otros agentes del producto que financia con
su contribución. Esto es cierto para cada consumidor, por lo que en el agregado se produce
menos bien público que el prescrito por la regla de Samuelson. Se le propone al lector que
demuestre que a mayor número de agentes, mayor será la subproducción de bien público.
3. Equilibrio de Lindahl
Considere una economı́a con dos agentes a y b, un bien privado xi y un bien público y.
Las preferencias están descritas por las funciones de utilidad:
ua(xa, y) ub(xb, y)
Cada unidad de bien público puede comprarse a un precio de p unidades de bien privado. El
problema consiste en determinar cuanto bien público se va a comprar y como se va a repartir
el costo de provisión entre los distintos agentes. El mecanismo de Lindahl puede resumirse
en tres etapas:
a) Cada individuo revela su función que establece el número de unidades de bien público
que a él le gustaŕıa tener como función del costo que él debe pagar (una parte de éste).
b) Se determina la división de los costos de provisión (que fracción de éste paga cada agente)
tal que dicha división permita que ambos individuos estén de acuerdo en la provisión del
bien público.
c) Se compra el bien público y se divide el costo de acuerdo a las participaciones acordadas.
Gráficamente esto se representa en la figura 2. Los elementos importantes son:
Da Es la demanda por el bien público del consumidor a como función de sa (la fracción
del gasto total en bien público que paga el agente a). Es la solución a:
máxua(xa, y) s.a. xa + sa · py = wa (4)
donde wa es la dotación inicial de bien privado del individuo a.
Db Análogamente, es la demanda demanda por el bien público del consumidor b como
función de sa. Es la solución a:
máxub(xb, y) s.a. xv + (1− sa) · py = wb (5)
5
Figura 2: Equilibrio de Lindahl
6 6y y
Oa Ob-
sa sb︸ ︷︷ ︸
Sa+Sb=1
�
DaDb
sa∗
•
E
sb∗ = 1− sa∗
y∗ y∗
E Determina y∗ y la forma como se paga, junto con el consumo privado de cada consu-
midor.
Lo interesante es que el equilibrio de Lindahl es Pareto óptimo y a continuación se de-
muestra.
En el equilibrio de Lindahl, el consumidor a consume xa = wa − sa∗ · py de bien privado
e y∗ unidades de público, mientras que b consume xb∗ = wb − (1− sa∗) · py del bien privado
e y∗ de bien público. Como la canasta (xa∗, y∗) resuelve el problema (4), se tiene que:
∂ua
∂y
∂ua
∂xa
= sa∗p
y análogamente, como el consumidor b resuelve (5) se da que:
∂ub
∂y
∂ub
∂xb
= (1− sa∗)p
por lo que en el equilibrio de Lindahl se cumple la regla de Samuelson:
∂ua
∂y
∂ua
∂xa
+
∂ub
∂y
∂ub
∂xb
= p
6
4. Regla de la Mayoŕıa
Considere una economı́a con n personas, donde n es un número impar.
Preferencias
Están descritas por una función de utilidad cuasilineal de la forma:
ui = βi · ln(y) + xi s.a. i = 1, 2, ..., n
en donde los individuos difieren en sus preferencias sobre el bien público a través del paráme-
tro βi. Supóngase que se ha indexado los individuos de tal forma que:
β1 < β2 < · · · < βn
Dotaciones
Cada individuo tiene un ingreso mi exógeno, en términos del bien privado.
Tecnoloǵıa
El bien público puede ser producido convirtiendo una unidad de ingreso en una unidad
de bien público. El costo de provisión del bien público es compartido de manera igualitaria
entre los n individuos, i.e. cada individuo paga 1/n del costo total del bien. Aśı, la restricción
presupuestaria del individuo es:
mi = xi +
1
n
y
A continuación se describe el equilibrio de la regla de la mayoŕıa. Para ello, se resuelve
el problema del consumidor:
máx
{xi,g}
βi ln(y) +mi −
1
n
· y para i = 1, 2, ..., n
por lo que cada individuo i elegirá un nivel de bien público y∗i tal que:
βi ·
1
y∗i
=
1
n
⇒ y∗i = βi · n
Es importante notar que la cantidad óptima de bien público no depende del nivel de ingreso
(gracias a la cuasilinealidad de la función objetivo). El teorema del votante medio señala que
la única opción capaz de concitar el apoyo de la mayoŕıa es igual a ym que es determinado
por el individuo m tal que βm sea la mediana del conjunto {βi}ni=1. Por tanto el nivel de
provisión del bien público en el equilibrio de regla de la mayoŕıa, denotado yv, está dado por:
yv = n · βm
7
donde m es el votante mediano.
Ahora se busca establecer si este equilibrio es o no Pareto óptimo. La suma de las tasas
marginales de sustitución de los n consumidores en el nivel óptimo de bien público ye es:
n∑
i=1
βi
ye
= 1
donde1 es el costo marginal del bien público en términos del bien privado.
⇒ ye =
n∑
i=1
βi
por lo que el equilibrio de regla de la mayoŕıa será eficiente si y solo si:
βm =
1
n
·
n∑
i=1
βi
Lo anterior ocurre en la medida que las preferencias del votante mediano sean iguales a la
media de las preferencias (por ejemplo con distribuciones simétricas). Esto no necesariamente
es aśı y por lo tanto se puede generar una sub o sobreproducción de bien público, dependiendo
de la forma de la distribución de preferencias por el bien público.
5. Impuesto de Groves-Clark
La idea de esta solución es la de gravar la conducta de ciertos agentes de tal manera
de alinear sus incentivos con los de los demás, determinando la provisión óptima de bien
público. Para ello consideramos la siguiente definición.
Definición 5.1
Consideremos n individuos. Se dice que el agente j es pivotal si su conducta es capaz de
alterar la decisión colectiva de provisión de un bien público.
Aśı, a modo de ejemplo, se puede decir que dentro del contexto de la regla de la mayoŕıa
(sección 4) con un número impar de individuos, el agente pivotal es aquél que está indiferente
entre que haya o no bien público. Cabe notar que en un contexto más general pueden haber
varios agentes pivotales o incluso ninguno. El impuesto de Groves-Clark reconoce el hecho
que para la decisión de proveer de un bien público o no, sólo los agentes pivotales son los
que importan por lo que, a fin de entregarles los incentivos correctos se les puede cobrar un
impuesto que los lleve en esa dirección.
Supongamos que hay n individuos que quieren evaluar la cantidad a proveer de un bien
público G, donde G =0 o G = 1. Existe un costo c > 0 de provisión de los cuales gi ≥ 0
es lo que gasta el individuo i (esta cantidad está predeterminada, por ejemplo, a través de
una regla de la mayoŕıa) y el beneficio individual (monetario) de que haya bien público es
8
de ui ≥ 0. Se define ni = ui− gi como el valor neto del individuo i y n̂i es la valoración neta
revelada por el individuo i. La decisión (colectiva) de provisión se toma según:
n∑
i=1
n̂i =
{
≥ 0 ⇒ G = 1 (hay bien público)
≤ 0 ⇒ G = 0 (no hay bien público)
Gracias a la manera como se toman las decisiones colectivas, el agente j es pivotal (ver
definición 5.1) si
n∑
i=1
n̂i ≥ 0 y
n∑
i=1
i 6=j
n̂i < 0 (6)
ó
n∑
i=1
n̂i < 0 y
n∑
i=1
i 6=j
n̂i ≥ 0 (7)
El impuesto de Groves-Clark grava la a los agentes pivotales de acuerdo al valor neto
que ellos causan a todos los otros agentes al cambiar la decisión social (e.g. a aquellos que
no valoran el bien público e igual pagan gi > 0 por él). En particular el impuesto cobrado al
agente pivotal j es de
Tj =

−
n∑
i=1
i 6=j
n̂i > 0 para el caso 6
n∑
i=1
i 6=j
n̂i > 0 para el caso 7
El impuesto anterior es capaz de alinear los incentivos de todos los agentes en el sentido
del siguiente teorema.
Teorema 5.1
El impuesto de Groves-Clark induce que todos los agentes revelen su propia valoración
(ni = n̂i, ∀i) como lo mejor que pueden hacer independiente de lo que hagan los demás
agentes2. Además la provisión del bien público es óptima.
Consideremos el ejemplo del cuadro 1. En él se aprecia que, socialmente, es beneficioso
que exista el bien público (G = 1) ya que los beneficios netos agregados seŕıan de 50. En este
caso, sólo i = 3 es agente pivotal (si los demás revelan n̂i = ni), ya que n1 + n2 = −100 < 0
y n1 + n2 + n3 = 50 > 0, por lo que solo él debe pagar el impuesto.
Ahora se explica por qué a los agentes les conviene revelar perfectamente su valoración
individual (n̂i = ni, ∀i). En efecto, tanto si i = 1 como i = 2 revelan un n̂i que sea más
bajo que −100, el valor neto agregado seŕıa negativo y si se excluye a dicho individuo seŕıa
2Este concepto, que será visto más adelante en el curso, es el de estrategia dominante.
9
Cuadro 1: Ejemplo sobre Groves-Clark
Agente gi ui ni Ti
1 100 50 -50 0
2 100 50 -50 0
3 50 200 150 100
c=250
∑
i ni = +50
positivo. En tal caso, el agente i = 1 o i = 2 seŕıa pivotal por lo que tendŕıa que pagar un
impuesto de n3 + nj 6=i = 150 − 50 = 100. Debido a esto, su valor neto real (no el revelado)
después de impuesto es de −Ti = −100 (como G = 0, no se paga gi ni se recibe ui), por lo
que el individuo i = 1 o i = 2 estaŕıa peor que si hubiese revelado la verdad. Algo similar
ocurre para i = 3, en donde disminuir su valoración no cambia su impuesto a pagar (y no
cambiaŕıa la decisión) a menos que lo baje a n̂3 < 100, en cuyo caso no se proveeŕıa el bien
público3.
Cabe notar que este impuesto, a fin de conseguir los objetivos alcanzados, deja los si-
guientes vaćıos:
No existen consideraciones de redistribución de lo recaudado.
De existir redistribuciones de los impuestos se distorsionan los incentivos para revelar
la verdadera valoración. Aśı, no se puede asegurar que todos los agentes estén mejor
a pesar que la cantidad provista del bien público sea eficiente en el sentido de Pareto.
Por ejemplo, en el cuadro 1, los agentes i = 1 y i = 2 terminan peor a causa de la
provisión del bien público.
No es robusto a la colusión. Por ejemplo, si hay un número impar de individuos y existe
un sólo individuo indiferente entre G = 0 o G = 1, un agente cualquiera puede pagarle
una cantidad marginal si revela n̂i más alto (si se quiere que haya bien público) o más
bajo. En tal caso, la decisión social puede no ser eficiente. En el cuadro 1, los agentes
i = 1, 2 se pueden coludir para impedir que se lleve a cabo el proyecto (por ejemplo,
revelando n̂1 = n̂2 = −75).
Este mecanismo no es usado en la práctica ya que los proyectos de bienes públicos suelen
involucrar a muchas personas (y para inducir la verdad se debe preguntarle a cada uno
su valoración) y, más aun, muy probablemente sólo un pequeño número de agentes sean
pivotales y que pagaŕıan más que los otros por el bien público y seŕıa poco factible cobrarle
impuestos a un grupo tan pequeño.
3Y aśı i = 3 estaŕıa peor que si revelara n̂i = ni.
10
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Externalidades
Profesor: José Miguel Sánchez Abril 2011
Introducción
Las externalidades se producen con la existencia de variables f́ısicas (no monetarias) que
son determinadas por terceros y que afectan la tecnoloǵıa y/o la utilidad de un individuo.
Hasta ahora se ha supuesto que la función de utilidad de cada individuo depende sólo de
sus variables de control (la cantidad de bienes que él consume) y que los planes posibles
de producción de una firma son invariantes a la producción de otra firma. En este apunte
se generalizan los resultados del modelo de equilibrio general con producción al permitir la
existencia de externalidades.
De los cursos introductorios de microeconomı́a se podrá recordar la forma en la que se
modela el efecto de una externalidad negativa en un equilibrio parcial, en donde hay una so-
breproducción del bien con externalidad negativa en relación a una situación de optimalidad
“social”, como se aprecia en la figura 1.
6
-
px
x
�
�
�
�
�
�
Costo Marginal Social
Costo Marginal Privado
Beneficio Marginal
Qs Qp
Figura 1: Existencia de Externalidades negativas
Para extender el modelo de equilibrio general a este caso se llevan a cabo los siguientes pasos:
i) Definir el concepto de eficiencia paretiana con externalidades
1
ii) Se compara el resultado del equilibrio competitivo con el criterio de eficiencia paretiana;
es decir, se verifica si el primer teorema del bienestar se cumple o no en la presencia de
externalidades.
iii) Se proponen instrumentos para resolver el problema de las externalidades.
1. Economı́a con externalidades
Se considera un modelo con dos bienes, dos firmas y un solo consumidor. Supóngase que
existen dos externalidades que afectan a la firma dos, una generada por el consumo de bien
uno, x1, y la otra, por la producción de bien uno de la firma uno, y
1
1.
TecnoloǵıasSean
y11 = f
1(y12) y
2
2 = f
2(y21, y
1
1, x1)
las funciones de producción de , respectivamente, las firmas uno y dos. Recordando la con-
vención de los signos de insumos y productos, estas funciones de producción son tales que:
df 1
dy12
≤ 0 ∂f
2
∂y21
≤ 0 ∂f
2
∂y11
< 0
∂f 2
∂x1
< 0
y se les supone cóncavas. Notar como se ve afectada la producción del bien y22 en la medida
que cambia y11 y x1 que calza con la definición de externalidad: son variables f́ısicas determi-
nadas por terceros (firma uno y consumidor) que alteran la tecnoloǵıa.
Preferencias del consumidor
Las preferencias del consumidor se pueden representar por una función de utilidad u(x1, x2)
que es diferenciable, continua y estrictamente cuasicóncava.
Dotaciones iniciales
El consumidor posee una dotación w = (w1, w2)� 0.
2
2. Asignaciones Pareto Óptimas
Al igual que antes, las asignaciones Pareto eficientes resuelven el problema:
máx
{(x1,x2)∈R2+}
u(x1, x2) s.a.
(1)y11 + y
2
1 + w1 − x1 ≥ 0
(2)y12 + y
2
2 + w2 − x2 ≥ 0
(3)− y11 + f 1(y12) ≥ 0
(4)− y22 + f 2(y21, y11, x1) ≥ 0
Las restricciones (1) y (2) son las de factibilidad y las restricciones (3) y (4) representan
la tecnoloǵıa. Dados el supuesto de cuasiconcavidad de u(x1, x2) y de concavidad de las
funciones de producción, se puede ignorar las desigualdades estrictas y las soluciones de
esquina, pues el máximo es interior y en la frontera de las restricciones. Esto además lleva a
que las condiciones de primer orden sean a su vez necesarias y suficientes para dicho máximo
interior. Escribiendo el lagrangeano:
£ = u(x1, x2)+λ1·(y11+y21+w1−x1)+λ2·(y12+y22+w2−x2)+µ1·(−y11+f 1(y12))+µ2·(−y22+f 2(y21, y11, x1))
Se pueden escribir las condiciones de primer orden con:
[x1] :
∂u
∂x1
− λ1 + µ2 ·
∂f 2
∂x1
= 0 (1)
[x2] :
∂u
∂x2
− λ2 = 0 (2)
[y11] : λ1 − µ1 + µ2 ·
∂f 2
∂y11
= 0 (3)
[y12] : λ2 + µ1 ·
∂f 1
∂y12
= 0 (4)
[y21] : λ1 + µ2 ·
∂f 2
∂y21
= 0 (5)
[y22] : λ2 − µ2 = 0 (6)
De la ecuación (2) se tiene que:
λ2 =
∂u
∂x2
y reemplazando este resultado en (6):
µ2 =
∂u
∂x2
3
Por tanto, de (5):
λ1 = −
∂u
∂x2
· ∂f
2
∂y21
se puede reemplazar finalmente en (1) para obtener:
∂u
∂x1
+
∂u
∂x2
· ∂f
2
∂y21
+
∂u
∂x2
· ∂f
2
∂x1
= 0
⇒
∂u
∂x1
+
∂u
∂x2
· ∂f
2
∂x1
∂u
∂x2
= −∂f
2
∂y21
(7)
Por otro lado, de la ecuación (3):
λ1 + µ2 ·
∂f 2
∂y11
= µ1
Además, de la ecuación (5):
−µ2 ·
∂f 2
∂y21
+ µ2 ·
∂f 2
∂y11
= µ1 (8)
mientras que de (4) y de (6) se puede escribir:
λ2
λ2
= −µ1
µ2
· ∂f
1
∂y12
⇒ µ2 = −µ1 ·
∂f 1
∂y12
Reemplazando estos resultados en (8):
µ1 ·
∂f 1
∂y12
· ∂f
2
∂y21
− µ1 ·
∂f 1
∂y12
· ∂f
2
∂y11
= µ1
−∂f
1
∂y12
· ∂f
2
∂y21
= −
(
1 +
∂f 1
∂y12
· ∂f
2
∂y11
)
Por tanto:
−∂f
2
∂y21
= −
(
1 +
∂f 1
∂y12
· ∂f
2
∂y11
)
∂f 1
∂y12
(9)
Juntando (7) y (9):
∂u
∂x1
+
∂u
∂x2
· ∂f
2
∂x1
∂u
∂x2
= −∂f
2
∂y21
= −
(
1 +
∂f 1
∂y12
· ∂f
2
∂y11
)
∂f 1
∂y12
(10)
4
El término:
∂u
∂x1
+
∂u
∂x2
· ∂f
2
∂x1
∂u
∂x2
de la ecuación (10) se le conoce como tasa marginal social de sustitución en consumo. Ella
toma en cuenta el hecho que al sustituir una unidad del bien uno por una del bien dos,
la producción (y, en equilibrio, el consumo) se afecta en ∂f 2/∂x1 y por lo tanto el nivel
de utilidad se afecta por
∂u
∂x2
· ∂f
2
∂x1
. Por su parte, la firma dos (no crea externalidades) la
tasa marginal social de transformación es igual a la tasa marginal privada y corresponde a
−∂f 2/∂y21.
Para la firma uno, se debe considerar que al usar una unidad adicional del bien dos como
insumo produce ∂f 1/∂y12 y, por lo tanto, afecta la producción del bien dos en
∂f 2
∂y11
· ∂f
1
∂y12
por
lo que la tasa marginal social de transformación de la firma dos es:
−
(
1 +
∂f 1
∂y12
· ∂f
2
∂y11
)
∂f 1
∂y12
De este análisis se concluye que desde el punto de vista de la optimalidad paretiana, la
existencia de una externalidad negativa no implica que el bien uno no deba ser producido,
sino que se deben y comparar las tasas marginales de sustitución sociales respectivas y no
sólo las privadas.
3. Equilibrio Competitivo con Externalidades
La única diferencia con el modelo de equilibrio competitivo con producción sin externalidades
es que cada agente, al resolver su problema de optimización, considera como parámetros no
sólo los precios sino que también las otras variables que caracterizan su conjunto de decisiones
(en otras palabras, las que causan externalidades). En equilibrio, estas variables deben ser
iguales a las decisiones tomadas por los otros agentes. Sea (p1, p2) ∈ R2+ el vector de precios
de los bienes uno y dos.
3.1. Problema Firma Uno
máx p1y
1
1 + p2y
1
2 s.a. y
1
1 = f
1(y12)
5
El lagrangeano asociado a este problema es:
£ = p1y
1
1 + p2y
1
2 + µ1 · (−y11 + f 1(y12))
y las condiciones de primer orden son:
[y11] : p1 − µ1 = 0
[y12] : p2 + µ1 ·
∂f 1
∂y12
= 0
De las cuales se obtiene:
− 1
∂f 1
∂y12
=
p1
p2
(11)
Esta condición se puede interpretar como una condición de optimalidad privada; que la tasa
marginal de sustitución técnica privada sea igual a los precios relativos.
3.2. Problema del Consumidor
máx u(x1, x2) s.a. p1x1 + p2x2 = R
donde R es el ingreso del consumidor, compuesto por el valor de la dotación y las ganancias
de las firmas. El lagrangeano asociado a este problema es:
£ = u(x1, x2) + λ · (R− p1x1 − p2x2)
cuyas condiciones de primer orden son:
[x1] :
∂u
∂x1
(x1, x2)− λp1 = 0
[x2] :
∂u
∂x2
(x1, x2)− λp2 = 0
de las cuales se obtiene:
∂u
∂x1
(x1, x2)
∂u
∂x2
(x1, x2)
=
p1
p2
(12)
Nuevamente, esta condición se puede interpretar como una condición de optimalidad privada,
en donde la tasa marginal de sustitución privada es igual a los precios relativos.
6
3.3. Problema Firma Dos
La formulación de su problema depende de las variables ambientales y11 y x1 que son elegidas
por otros agentes. De esta manera, la resolución se lleva a cabo de forma condicional en
dichas variables, por lo que se toman como fijas (exógenas): y11 y x1.
máx
{y22 ,y21}
p2y
2
2 + p1y
2
1 s.a. y
2
2 = f
2(y21, y
1
1, x1)
El lagrangeano asociado a este problema es:
£(y22, y
2
1, µ2) = p2y
2
2 + p1y
2
1 + µ2 ·
(
− y22 + f 2(y21, y11, x1)
)
cuyas condiciones de primer orden son:
[y22] : p2 − µ2 = 0
[y21] : p1 + µ2 ·
∂f 2
∂y21
= 0
de las cuales se desprende que:
−∂f
2
∂y21
(y21, y
1
1, x1) =
p1
p2
(13)
Definición 3.1
Un equilibrio competitivo con externalidades es un vector de precios p = (p1, p2) y una
asignación (x1, x2, y
1
1, y
1
2, y
2
1, y
2
2) tal que:
(a) (y11, y
1
2) resuelve:
máx p1y
1
1 + p2y
1
2 s.a. y
1
1 = f
1(y12)
(b) (y21, y
2
2) resuelve:
máx
{y22 ,y21}
p2y
2
2 + p1y
2
1 s.a. y
2
2 = f
2(y21, y
1
1, x1)
(c) (x1, x2) resuelve:
máx u(x1, x2) s.a. p1x1 + p2x2 = p1w1 + p2w2 + π(p) = R
donde π(p) = (p1y
1
1 + p2y
1
2) + (p2y
2
2 + p1y
2
1)
(d) Los mercados de los bienes uno y dos se aclaran (oferta igual demanda):
x1 =w1 + y
2
1 + y
2
1
x2 =w2 + y
2
2 + y
2
2
7
Notar que la maximización individual de las funciones objetivo lleva a que cada agente iguale
su tasa marginal de sustitución privada (de consumo o producción) a los precios relativos
cuya solución está descrita por las ecuaciones (11), (12) y (13) y la condición de vaciado de
mercado:
∂u
∂x1
(x1, x2)
∂u
∂x2
(x1, x2)
= −∂f
2
∂y21
= − 1
∂f 1
∂y12
Por su parte, la optimalidad de Pareto requiere igualar las tasas marginales sociales, que
son distintas en la presencia de externalidades. Aśı, en general, el equilibrio competitivo no
será Pareto óptimo, por lo que el primer teorema del bienestar se rompe en la presencia de
externalidades. A continuación se investigan tres soluciones al problema de las externalida-
des1.
4. Creación de Mercados Espećıficos de Derechos de
Propiedad
Se definen mercados por cada externalidad. En este caso se crean dos mercados por derechos
de polución, notar que el derecho de propiedad está a favor de la firma dos (la que sufre las
externalidades).La firma uno debe comprar los derechos a contaminar a la firma dos, a un precio q121 por
cada unidad de contaminación creada y11. De esta forma, el problema de la firma uno (quien
compra los derechos) está dado por:
máx p1y
1
1 + p2y
1
2 − q121 y121 s.a. y11 = f 1(y12); y121 = y11
donde y121 es la cantidad de derechos de polución demandados por la firma uno. El lagran-
geano asociado a este problema es:
£ = p1y
1
1 + p2y
1
2 − q121 + µ1
(
− y11 + f 1(y12)
)
+ µ2(y
12
1 − y11)
cuyas condiciones de primer orden son:
[y11] : p1 − µ1 − µ2 = 0 (14)
[y12] : p2 + µ1 ·
∂f 1
∂y12
= 0 (15)
[y121 ] : − q121 + µ2 = 0 ⇒ µ2 = q121 (16)
Reemplazando el resultado de (16) en (14):
p1 − q121 = µ1
1Un repertorio un poco más amplio se puede hallar en J. Laffont et al (1988) “Fundamentals of public
economics”, cap. 1.
8
y esto, a su vez, implica en la ecuación (15):
(p1 − q121 ) ·
∂f 1
∂y12
+ p2 = 0 (17)
Por otro lado, el consumidor también tiene que comprar derechos a la firma dos para
contaminar. Su problema a resolver es ahora:
máx u(x1, x2) s.a. p1x1 + p2x2 + p
12
1 x
12
1 = R; x
12
1 = x1
donde x121 es el número de derechos de polución demandados por el consumidor y p
12
1 es
su precio. El consumidor debe comprar tantos derechos como crea unidades de polución. El
lagrangeano asociado al problema es:
£ = u(x1, x2) + λ1 · (R− p1x1 − p2x2 − p121 x1)
cuyas condiciones de primer orden son:
[x1] :
∂u
∂x1
− λ1p1 − λ1p121 = 0
[x2] :
∂u
∂x2
− λ1p2 = 0
De estas condiciones se desprende que:
∂u/∂x1
∂u/∂x2
=
p1 + p
12
1
p2
(18)
Por último, la firma dos ofrece derechos (ẏ121 , ẋ
12
1 ) de acuerdo a la solución de:
máx
{y22 ,y21 ,ẏ121 ,ẋ121 }
p2y
2
2 + p1y
2
1 + q
12
1 ẏ
12
1 + p
12
1 ẋ
12
1 s.a. y
2
2 = f
2(y21, ẏ
12
1 , ẋ
12
1 )
por lo que el lagrangeano asociado es:
£(y22, y
2
1, ẏ
12
1 , ẋ
12
1 , µ1) = p2y
2
2 + p1y
2
1 + q
12
1 ẏ
12
1 + p
12
1 ẋ
12
1 + µ1 ·
(
− y22 + f 2(y21, ẏ121 , ẋ121 )
)
Las condiciones de primer orden son:
[y22] : p2 − µ1 = 0 ⇒ µ1 = p2 (19)
[y21] : p1 + µ1 ·
∂f 2
∂y21
= 0 (20)
[ẏ121 ] : q
12
1 + µ1 ·
∂f 2
∂ẏ121
= 0 (21)
[ẋ121 ] : p
12
1 + µ1 ·
∂f 2
∂ẋ121
= 0 (22)
9
Reemplazando el resultado de (19) en (20), (21) y (22) se pueden resumir las condiciones de
primer orden:
p1 + p2 ·
∂f 2
∂y21
= 0 (23)
q121 + p2 ·
∂f 2
∂ẏ121
= 0 (24)
p121 + p2 ·
∂f 2
∂ẋ121
= 0 (25)
Para completar la definición de equilibrio competitivo, sólo falta que el mercado de los
derechos se aclare:
ẏ121 = y
12
1 ẋ
12
1 = x
12
1
A continuación se demostrará que el haber creado estos mercados se permite que el primer
teorema del bienestar se cumpla. Para ello, se verificarán las condiciones de optimalidad
paretiana.
De la ecuación (17) se tiene:
p1 ·
∂f 1
∂y12
− q121 ·
∂f 1
∂y12
= −p2
Reemplazando aqúı las ecuaciones (23) y (24) implica:
−p2 ·
∂f 2
∂y21
· ∂f
1
∂y12
+ p2 ·
∂f 2
∂y11
· ∂f
1
∂y12
= −p2
=⇒ −∂f
2
∂y21
= −
1 + ∂f
2
∂y11
· ∂f1
∂y12
∂f 1/∂y12
permitiendo que se cumpla el lado derecho de (10).
De las ecuaciones (18), (23) y (25) se tiene:
∂u
∂x1
∂u
∂x2
=
p1 − p2 · ∂f
2
∂x1
p2
=
−p2 · ∂f
2
∂y21
− p2 · ∂f
2
∂x1
p2
⇔ ∂u
∂x1
= −∂f
2
∂y21
· ∂u
∂x2
− ∂f
2
∂x1
· ∂u
∂x2
⇔
∂u
∂x1
+
∂f 2
∂x1
· ∂u
∂x2
∂u
∂x2
= −∂f
2
∂y21
10
5. Teorema de Coase
Supóngase que se plantea el problema opuesto al de la sección anterior; es decir, se definen
los derechos de propiedad a favor de la firma uno, quien tiene el derecho a contaminar hasta
por un monto Q. La firma dos puede comprar reducciones del nivel de polución desde el
nivel Q. De manera análoga, el consumidor podŕıa tener un número de derechos de polución
igual a x que es mayor que su nivel deseado.
El problema para el consumidor es:
máx u(x1, x2) s.a. p1x1 + p2x2 = R + p
12
1 (x− x121 ); x121 = x1
donde (x − x121 ) es el monto de reducción en la contaminación. Notar que la restricción
presupuestaria puede ser escrita como:
p1x1 + p2x2 + p
12
1 x
12
1 = R + p
12
1 x
luego, las condiciones marginales del problema del consumidor son las mismas que cuando el
productor dos tiene el derecho a un ambiente libre de externalidades, tal como en la sección
anterior.
El problema de la firma uno en este escenario es:
máx p1y
1
1 + p2y
1
2 + q
12
1 · (Q− y121 )
⇔ máx p1y11 + p2y12 + q121 ·Q− q121 · y121
Notar que la función objetivo de este problema difiere sólo por una constante (que es Q · q121 )
con respecto al del problema de la firma uno cuando es la firma dos la dueña de los derechos
de contaminación. Luego las condiciones marginales de optimalidad siguen siendo las mismas
que antes. De forma análoga ocurre con la firma dos.
De aqúı se puede enunciar el famoso teorema de Coase:
Teorema 5.1
(Teorema de Coase) Si los costos de transacción son cero y no existen indefiniciones
en los derechos de propiedad, no importa como se asignen dichos derechos, la asignación
resultante de un equilibrio competitivo será Pareto eficiente.
Conviene rescatar que el equilibrio no es invariante a la asignación de los derechos, ya
que éstas cambian las restricciones presupuestarias de los agentes (y por tanto cambian sus
demandas).
6. Impuestos
Se normalizan los precios de tal manera que p2 = 1. Sea t el impuesto pagado por el consu-
midor por unidad de x1 consumida y sea τ el impuesto pagado por la firma uno por unidad
11
del bien uno producida. Por último, la recaudación total se distribuye al consumidor como
una transferencia de suma alzada T.
Definición 6.1
Un equilibrio competitivo con externalidades y con impuestos t y τ es un vector de precios
(p1, 1) y una asignación (x1, x2, y
1
1, y
1
2, y
2
1, y
2
2) tal que:
i) (y11, y
1
2) resuelve:
máx (p1 − τ) · y11 + y12 s.a. y11 = f 1(y12)
ii) (y21, y
2
2) resuelve:
máx p1 · y21 + y22 s.a. y22 = f 2(y21, y11, x1)
iii) (x1, x2) resuelve:
máx u(x1, x2) s.a. (p1 + t) · x1 + x2 = p1 · w1 + w2 + T + π(p1, 1)
donde (w1, w2) es la dotación del consumidor, T es la recaudación total de los impuestos
dada por:
T = τ · y11 + t · x1
y además:
π(p1, 1) = (p1 − τ) · y11 + y12 + (p1 · y21 + y22)
iv) Los mercados de los bienes se aclaran:
x1 = w1 + y
1
1 + y
2
1
x2 = w2 + y
1
2 + y
2
2
Por su parte, los impuestos se eligen de tal forma que sean óptimos:
t∗ = −∂f
2
∂x1
(∗) τ ∗ = −∂f
2
∂y11
(∗) (26)
donde la notación (∗) se refiere a que las derivadas parciales son evaluadas en algún punto
que es óptimo social.
Se procede a evaluar la optimalidad paretiana de este equilibrio competitivo con externalida-
des e impuestos t∗ y τ ∗. Para ello, sea el vector (p, 1) de precios de este equilibrio competitivo.
El problema del consumidor tiene por lagrangeano asociado a:
£ = u(x1, x2) + λ · (R− (p+ t∗) · x1 − x2)
12
cuyas condiciones de primer orden son:
[x1] :
∂u
∂x1
− λ(p+ t∗) = 0
[x2] :
∂u
∂x2
− λ = 0
de las cuales se deriva:
∂u/∂x1
∂u/∂x2
= (p+ t∗) (27)
El problema de la firma dos tiene por lagrangeano asociado a:
£ = py21 + y
2
2 + µ2 · (−y22 + f 2(y21, y11, x1))
De cuyas condiciones de primer orden se puede deducir:
p = −∂f
2
∂y21
(28)
Finalmente, el problema de la firma uno tiene por lagrangeano asociado:
£ = (p− τ ∗) · y11 + y12 + µ1(−y11 + f 1(y12))
cuyas condiciones de primer orden son:
[y11] : p− τ ∗ − µ1 = 0⇒ µ1 = p− τ ∗
[y12] : 1 + µ1 ·
∂f 1
∂y12
= 0
Reemplazando el resultado de la condición de primer orden para y11 en la condición para y
1
2
se tiene:
1 + (p− τ ∗) · ∂f
1
∂y12
= 0
⇔ − 1
∂f 1/∂y12
= (p− τ ∗)
La firma dos, tomando como dados a y1∗1 y a x
∗
1 elige necesariamente (y
2∗
1 , y
2∗
2 ), si la función
es estrictamente cóncava, de acuerdo a (28)
p = −∂f
2
∂y21
(y2∗1 ) (29)
Por otro lado, si la función objetivo de la firma dos es estrictamente cóncava en y12 elige
necesariamente (y2∗1 , y
2∗
2 ) dado que su condición marginal es:
p = − 1
∂f 1/∂y12(∗)
− ∂f
2
∂y11
(∗) (30)
13
Si el consumidor recibe los beneficios
(p− τ ∗)y1∗1 y2∗2 + py2∗1 + y2∗2
y las transferenciasτ ∗y1∗1 + t
∗x∗1
se tiene que por estricta cuasiconcavidad de u(x1, x2), el consumidor escogerá necesariamente
x∗1 y a x
∗
2 de acuerdo a (27), la cual puede reescribirse gracias a la definición 6.1 según:
p =
∂u/∂x1
∂u/∂x2
(∗) + ∂f
2
∂x1
(∗) (31)
Gracias a (28), la ecuación anterior se puede escribir como:
∂u/∂x1
∂u/∂x2
(∗) + ∂f
2
∂x1
(∗) = −∂f
2
∂y21
(y2∗1 )
⇔
∂u
∂x1
(∗) + ∂f
2
∂x1
(∗) · ∂u
∂x2
(∗)
∂u
∂x2
(∗)
= −∂f
2
∂y21
(y2∗1 )
asegurando el cumplimiento del lado izquierdo de (10). Por otro lado, reemplazando p
según (29) en (30) se tiene:
− 1
∂f 1/∂y12(∗)
− ∂f
2
∂y11
(∗) = −∂f
2
∂y21
(y2∗1 )
⇔ −
1 +
∂f 2
∂y11
(∗) · ∂f
1
∂y12
(∗)
∂f 1
∂y12
= −∂f
2
∂y21
(y2∗1 )
por lo que el lado derecho de (10). De este modo, como (10) se cumple, el equilibrio compe-
titivo de la definición 6.1 es Pareto óptimo.
Una observación relevante es que la aplicación de este método para corregir las externa-
lidades requiere conocer el daño marginal de las externalidades para colocar los impuestos
correctos de acuerdo a la definición 6.1. Otro aspecto es que no se requiere compensar a los
que sufren la externalidad (que en este caso es la firma dos).
7. Integración de las firmas
La última solución que se investigará para el problema de las externalidades de producción
es la integración de las firmas que causan las externalidades con aquellas que la padecen.
14
Supóngase que el modelo se simplifica al omitir externalidades de consumo del bien uno; esto
es:
∂f 2
∂x1
= 0
El problema de la firma que resulta de la integración de las firmas uno y dos es:
máx
{y11 ,y12 ,y21 ,y22}
(p1y
1
1 + p2y
1
2) + (p1y
2
1 + p2y
2
2)
s.a. y11 = f
1(y12)
y22 = f
2(y21, y
1
1)
El lagrangeano asociado a este problema es:
£ = p1(y
1
1 + y
2
1) + p2(y
1
2 + y
2
2) + µ1
(
− y11 + f 1(y12)
)
+ µ2
(
− y22 + f 2(y21, y11)
)
cuyas condiciones de primer orden son:
[y11] : p1 − µ1 + µ2
∂f 2
∂y11
= 0 (32)
[y12] : p2 + µ1
∂f 1
∂y12
= 0 (33)
[y21] : p1 + µ2
∂f 2
∂y21
= 0 (34)
[y22] : p2 − µ2 = 0⇒ µ2 = p2 (35)
Reemplazando el resultado de la ecuación (35) en (34) se obtiene:
p1
p2
= −∂f
2
∂y21
(36)
Por otro lado, de (32) se puede escribir:
µ1 = p1 + p2
∂f 2
∂y11
lo cual, en (33) lleva a:
p2 +
(
p1 + p2
∂f 2
∂y11
)
· ∂f
1
∂y12
= 0
p1
∂f 1
∂y12
+ p2
∂f 2
∂y11
· ∂f
1
∂y12
+ p2 = 0
⇔ p1
p2
= −
1 +
∂f 2
∂y11
· ∂f
1
∂y12
∂f 1
∂y12
15
Aśı, junto con la ecuación (36) se puede escribir:
p1
p2
= −∂f
2
∂y21
= −
1 +
∂f 2
∂y11
· ∂f
1
∂y12
∂f 1
∂y12
que es la condición de eficiencia en producción. Aśı, el equilibrio competitivo resultante de
este esquema es Pareto eficiente.
16
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Decisiones bajo incertidumbre
Profesor: José Miguel Sánchez Mayo 2011
Introducción
En primer lugar, conviene distinguir entre tres ambientes diferentes [Knight (1921)1]
1. Certidumbre: el consumidor puede predecir con exactitud el resultado de cualquier
decisión.
2. Riesgo: Los resultados pueden ser predichos con ciertas probabilidades (no con exacti-
tud), que siguen distribuciones conocidas ex-ante.
3. Incertidumbre: Los resultados son impredecibles y tampoco se conocen sus probabili-
dades. Esto es, las probabilidades no son conocidas de manera objetiva.
Sin embargo, en general se entiende por incertidumbre lo que Knight llamaba riesgo y el
apunte sigue dicha convención.
En este apunte, se desarrollará el enfoque axiomático de la utilidad esperada de Von
Neumann y Morgenstern para extender la teoŕıa del consumidor para ambientes de incerti-
dumbre. En particular, se definirán las preferencias del consumidor sobre loteŕıas (que son
distintas canastas de bienes que con cierta probabilidad se obtendrán). Posteriormente, se
definirán las funciones de utilidad Von Neumann-Morgenstern y, sobre esa construcción, fi-
nalmente se estudia el concepto de aversión al riesgo.
Para introducir el tema, supóngase que se ofrecen n premios, x1, x2, ..., xn, que pueden
ser positivos, negativos o cero. Sea πi la probabilidad de recibir xi, donde claramente πi ≥ 0
y si sólo un premio se otorga al jugador, entonces:
n∑
i=1
πi = 1
1Knight, F. (1921) Risk, Uncertainty and Profit. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. Reprint, London:
London School of Economics 1946.
1
Una pregunta natural se refiere al valor de participar en una loteŕıa semejante. Una
primera respuesta es el valor esperado de las ganancias que entregue la loteŕıa:
E[ganancia] =
n∑
i=1
πi · xi
que corresponde a lo que el jugador ganaŕıa en promedio si el juego se repite muchas veces.
Sin embargo, la paradoja de San Petersburgo2 pone dudas emṕıricas sobre si el valor espe-
rado es el precio adecuado.
Paradoja de San Petersburgo Una loteŕıa que consiste en tirar una moneda hasta
que salga cara y que paga
$2n
si ello ocurre en la n-ésima tirada no tiene valor esperado, ya que la serie que lo determina
diverge. Aśı, el criterio del valor esperado predeciŕıa que la disposición a pagar por participar
en esta loteŕıa seŕıa infinita. A continuación se explica esquemáticamente el porqué el valor
esperado diverge:
Aparece cara en el intento Probabilidad de ocurrencia Pago
1 1
2
21 = 2
2
(
1
2
)2
22 = 4
...
...
...
n
(
1
2
)n
2n
⇒ E[ganancia] =
(
1
2
)1
· 21 +
(
1
2
)2
· 22 +
(
1
2
)3
· 23 + · · ·
=
∞∑
n=1
(
1
2
)n
· 2n
=
∞∑
n=1
1→ +∞
Del ejercicio anterior se desprende que en vez de usar el valor esperado de la apuesta,
debiera considerarse (de alguna manera) el valor del resultado para el individuo.
A continuación se identifica el conjunto de elección y luego se postulan los axiomas que
darán forma a las funciones de utilidad Von Neumann-Morgenstern (en adelante funciones
de utilidad VNM).
2Atribuida al matemático del siglo XVIII Daniel Bernoulli.
2
1. Conjunto de Elección
Se supone que los individuos tienen un orden de preferencias sobre loteŕıas. Antes de
definir una loteŕıa formalmente, se define el espacio de resultados de cualquier loteŕıa.
Definición 1.1
Se define como el conjunto A = {a1, ..., an} de todos los resultados finales excluyentes de una
loteŕıa (cabe notar que es finito). Cada ai, con i = 1, 2, ..., n, no involucra incertidumbre.
Definición 1.2
Se define una loteŕıa simple L como un t́ıtulo que relaciona cada elemento ai del conjunto
A finito de resultados posibles con una probabilidad conocida pi ∈ [0, 1] y se denota:
L ≡
[
p1 ◦ a1 , p2 ◦ a2 , ... , pm ◦ an
]
Una loteŕıa compuesta permite que algunos de los pagos en algún estado de la naturaleza
sean a su vez loteŕıas.
Por ejemplo, para una loteŕıa que paga 1 si sale cara en el lanzamiento de una moneda
y −1 si sale sello, se tiene que
A = {$1, $− 1}
L =
[
1
2
◦ $1 , 1
2
◦ $− 1
]
De la definición 1.2 se desprende:
(a) Junto con la definición del conjunto A es claro que:
n∑
i=1
pi = 1
(b) Si ai ocurre con certeza, entonces se le llama loteŕıa “degenerada” y se denota L ≡ ai :
L = {0 ◦ a1 , ... , 0 ◦ ai−1 , 1 ◦ ai , 0 ◦ ai+1 , ... , 0 ◦ an} ≡ ai
(c) Si una loteŕıa ofrece sólo dos resultados, digamos ai y aj con probabilidades distintas de
cero p y 1− p, entonces escribimos
L = [p ◦ ai, (1− p) ◦ aj]
Definición 1.3
Sea Ls(A) el espacio de las loteŕıas simples disponibles para el consumidor, dado por:
Ls(A) ≡
{
(p1 ◦ a1 , ... , pn ◦ an)
∣∣∣∣pi ≥ 0; n∑
i=1
pi = 1
}
3
De la definición anterior, se tiene que Ls(A) es el conjunto de todas las posibles loteŕıas
que pueden construirse del conjunto A variando las probabilidades pi de obtener cada ai ∈ A,
provisto que
∑
i pi = 1.
Como cada ai es una loteŕıa degenerada en la que pi = 1 y pj = 0 para todo j 6= i, se
tiene que el conjunto de resultados A es un subconjunto de Ls(A).
Definición 1.4
Sea L(A) el conjunto de todas las loteŕıas simples y compuestas, definida recursivamente
según:
L0 = A
y para j = 1, 2, ...
Lj =
{
(p1 ◦ g1 , ... , pk ◦ gk)
∣∣∣∣ k ≥ 1, pi ≥ 0 gi ∈ Lj−1 ∀ i = 1, ..., k, k∑
i=1pi = 1
}
⇒ L(A) =
∞⋃
j=0
Lj
Notar que gi puede ser una loteŕıa simple, una loteŕıa compuesta o un resultado final. No
obstante, sólo se considerarán loteŕıas compuestas en las que la incertidumbre se resuelve en
un número finito de realizaciones.
2. Axiomas de la Elección bajo Incertidumbre
El problema de la elección bajo incertidumbre se puede ver como una elección entre
loteŕıas alternativas en L(A) mediante la relación de preferencias � . Los siguientes son los
axiomas para las preferencias del consumidor � sobre L(A).
Axioma 1
(Completitud) Para cualquier par de loteŕıas L y L′ ∈ L(A) se tiene que3:
L � L′ o L′ � L
3Tomando L′ = L, se sigue que la relación � es a su vez refleja.
4
Axioma 2
(Transitividad) Para tres loteŕıas L1, L2 y L3 ∈ L(A) tales que
L1 � L2 y L2 � L3
entonces
L1 � L3
Los axiomas 1 y 2 entregan un orden completo de las loteŕıas. Además como ai ∈ L(A),
pues es una loteŕıa degenerada, existe un resultado “mejor” (i.e. el más preferido) y uno
“peor” (i.e. el menos preferido) en A, denotados respectivamente ab y aw.
4 De la definición
de ambos5:
ab � ai ∀ ai ∈ A
ai � aw ∀ ai ∈ A
Lo anterior permite ordenar los elementos de A de manera que:
a1 � a2 � · · · � an−1 � an
donde ab = a1 y aw = an.
Axioma 3
(Continuidad) Para cualquier loteŕıa L ∈ L(A) existe una probabilidad z ∈ [0, 1] tal que6
L ∼ [z ◦ ab , (1− z) ◦ aw]
Este axioma señala que para cada loteŕıa de L ∈ L(A) existe otra loteŕıa consistente
sólo del mejor y el peor resultado (en adelante, loteŕıa mejor/peor) de A que es indiferente
a la loteŕıa L. ¿Es este axioma muy restrictivo? En realidad no lo es (tanto). Por ejemplo,
considérese el conjunto de resultados A = {1000, : 10, “muerte”}, en el cual (al menos para la
mayoŕıa de las personas) 1000 � 10 � “muerte”. Supongamos que una persona está dispuesta
a recorrer una vasta ciudad para obtener $ 1000 con una alta probabilidad p o morir (por
un accidente, digamos) con una baja probabilidad 1− p, en lugar de quedarse en su casa y
recibir $ 10. El axioma 3 señala que si aumenta 1 − p (la probabilidad de accidente) hasta
una probabilidad α que logre [α ◦ 1000 , (1 − α) ◦ “muerte”] ∼ 10, con (1 − α) > 0, se
cumplirá el axioma 3. En otras palabras, sólo si no hay una probabilidad 0 < α < 1 con la
cual el consumidor esté indiferente en recibir el pago de 10 con certeza o tomar la loteŕıa
L1 = [α ◦ 1000 , (1− α) ◦ “muerte”] no se cumpliŕıa el axioma 3.
Axioma 4
(Monotonicidad) Para cualquier par de loteŕıas mejor/peor L1 ≡ [p ◦ ab , (1 − p) ◦ aw] y
L2 ≡ [q ◦ ab , (1− q) ◦ aw] se tiene que
L1 � L2 ⇔ p ≥ q
4La existencia de tales resultados se debe al supuesto que el conjunto A es finito.
5Notar que pueden no ser únicos.
6Si bien no se ha definido formalmente la relación de indiferencia ∼, ella es análoga a la de la teoŕıa del
consumidor.
5
Axioma 5
(Sustituibilidad) Para cualquier resultado ai ∈ A y cualquier loteŕıa Lj ∈ L(A), si ai ∼ Lj
entonces:
[p1 ◦ a1 , ... , pi ◦ ai , ... , pn ◦ an] ∼ [p1 ◦ a1 , ... , pi ◦ Lj , ... , pn ◦ an]
Esto quiere decir que si un individuo está indiferente entre una loteŕıa y un resultado
cierto, entonces también debe estar indiferente entre dos loteŕıas idénticas excepto en que una
ofrece el resultado cierto y la otra ofrece la loteŕıa en cuestión, con una misma probabilidad.
Axioma 6
(Regla de la Probabilidad Neta o Reducción a Loteŕıas Simples) Sea la loteŕıa:
Li ≡ [p1 ◦ a1 , .... , pi ◦ Lj , ... , pn ◦ an]
donde Lj es la loteŕıa simple:
Lj ≡ [q1 ◦ a1 , ... , qi ◦ ai , ... , qn ◦ an]
entonces:
Li ∼ [(p1 + piq1) ◦ a1 , ... , (piqi) ◦ ai , ... , (pn + piqn) ◦ an]
De esta manera, al individuo sólo le interesa la probabilidad de obtener un resultado
final al momento de rankear una loteŕıa, dejando fuera la posibilidad de obtener utilidad
(o desutilidad) por el mero hecho de apostar. Por otro lado, gracias a los axiomas 2 y 6,
las preferencias del consumidor sobre loteŕıas compuestas o simples están completamente
definidas por las preferencias sobre loteŕıas simples.
Las probabilidades efectivas de cada resultado final se calculan de acuerdo a las reglas
ordinarias de la teoŕıa de probabilidades, tal como se verá a continuación. Suponga que el
conjunto de resultados es A = {a1, a2}. Considere la loteŕıa compuesta L1 = [α ◦ a1 , (1 −
α) ◦ L2] donde L2 = [β ◦ a1 , (1 − β) ◦ a2] : ¿cuál es la probabilidad que el resultado sea
a1? Notar que a1 puede ocurrir de dos maneras mutuamente excluyentes; directamente con
probabilidad α y como resultado de la loteŕıa L2 con probabilidad (1 − α) · β. Luego la
probabilidad que el resultado sea a1 es α+(1−α) ·β. El razonamiento del resultado anterior
es el siguiente, el cual emplea el teorema de la probabilidad total:
Pr[a1] =Pr[a1|Loteŕıa termina en 1o etapa] · Pr[Loteŕıa termina en 1o etapa]
+ Pr[a1|Loteŕıa termina en 2o etapa] · Pr[Loteŕıa termina en 2o etapa]
=1 · α + β · (1− α)
Al decir que el agente se comporta siguiendo el axioma 6 equivale a decir que éste está indife-
rente entre la loteŕıa compuesta L1 y la loteŕıa simple [(α+β ·(1−α))◦a1 , (1−α)·(1−β)◦a2].
Cabe notar que toda loteŕıa L ∈ L(A) induce una única loteŕıa simple L∗ ∈ Ls(A).
6
3. Función de Utilidad Von Neumann-Morgenstern
En esta sección se demuestra que las preferencias sobre loteŕıas pueden ser representadas
por una función de utilidad que es lineal en las probabilidades efectivas de los resultados,
razón por la cual se le llama usualmente función de utilidad esperada o función de utilidad
VNM. En particular, supóngase que la función U : L(A)→ R relaciona una loteŕıa L ∈ L(A)
con un número real es capaz de representar las preferencias �, asignando números mayores a
las loteŕıas más preferidas. En este sentido U es una función de utilidad común. Sin embargo,
si además los números asignados satisfacen:
U(L) =
n∑
i=1
pi · u(ai)
donde L = [p1◦a1 , ... , pn◦an] y u : A→ R es una función de utilidad. Se llamará a u función
de utilidad Bernoulli. Se tiene que esa función U es lineal en las probabilidades efectivas y
aditiva separable en la utilidad de los resultados posibles. Por tanto, una función de utilidad
posee la propiedad de la utilidad esperada si y solo si el número que asigna a cada loteŕıa
puede ser expresado como el valor esperado, empleando las probabilidades efectivas, de los
números que la función de utilidad asigna a los resultados finales de dicha loteŕıa.
4. Existencia de la Función de Utilidad VNM
Teorema 4.1
Supóngase que la relación de preferencias � satisface los axiomas 1 a 6. Entonces existe
una función u : L(A)→ R tal que para todo L1, L2 ∈ L(A) se tiene que
L1 � L2 ⇔ u(L1) ≥ u(L2)
y donde para cualquier loteŕıa L ∼ [p1 ◦ a1 , p2 ◦ a2 , ... , pn ◦ an] se tiene que
u(L) =
n∑
i=1
pi · u(ai)
Demostración:
Sea L ∈ L(A) una loteŕıa simple cualquiera:
L = [p1 ◦ a1, p2 ◦ a2, ..., pn ◦ an] (1)
Como se dijo anteriormente, los axiomas 1 y 2 permiten la existencia de un resultado más
preferido, ab, y del resultado menos preferido, aw. Para cada ai ∈ A, por el axioma 3 existe
una probabilidad de indiferencia zi ∈ [0, 1] que satisface:
ai ∼ [zi ◦ ab , (1− zi) ◦ aw] (2)
7
De acuerdo al axioma 5, se puede sustituir el lado derecho de (2) para cada ai en (1) lo que
lleva a:
L ∼
[
p1 ◦ [z1 ◦ ab , (1− z1) ◦ aw] , p2 ◦ [z2 ◦ ab , (1− z2) ◦ aw] , ... , pn ◦ [zn ◦ ab , (1− zn) ◦ aw]
]
y empleando los axiomas 2 y 6 se tiene que:
L ∼
[
n∑
i=1
pizi ◦ ab ,
(
1−
n∑
i=1
pizi
)
◦ aw
]
(3)
donde se ha usado el hecho que
∑
pi(1− zi) = 1−
∑
pizi dado que
∑
pi = 1. Notar que sólo
se ha hecho uso de los axiomas para demostrar que cualquier loteŕıa L en (1) es indiferente a
alguna loteŕıa mejor/peor gracias a (3). Ahora se propone una forma de mapear las loteŕıas
a los números reales.
Sea
u(L) ≡
n∑
i=1
piu(ai) (4)
donde
u(ai) ≡ zi ∀ i = 1, 2, ..., n (5)
y zi es la probabilidad de indiferencia de (2).
Ahora se debe probar que esta función representa larelación de preferencias � . Para
ello, considérese dos loteŕıas cualesquiera en L(A)
L1 ≡ [q1 ◦ a1 , ... , qn ◦ an]
L2 ≡ [r1 ◦ a1 , ... , rn ◦ an]
usando la función de (4) y (5) para L1 se tiene:
u(L1) ≡
n∑
i=1
qiu(ai) ≡
n∑
i=1
qizi
Pero de (3) se puede escribir:
L1 ∼
[
u(L1) ◦ ab , (1− u(L1)) ◦ aw
]
(6)
y por un argumento análogo:
L2 ∼
[
u(L2) ◦ ab , (1− u(L2)) ◦ aw
]
(7)
Notar que u(L1) y u(L2) son números en el intervalo [0, 1] que juegan el rol de probabilidades
en loteŕıas mejor/peor, por lo que del axioma 4 se sigue que
L1 � L2 ⇔ u(L1) ≥ u(L2)
8
por lo que la función u definida en (4) y en (5), representa las preferencias del individuo.
El teorema 4.1 también se cumple para loteŕıas cuyos resultados siguen distribuciones de
probabilidad continuas. Si fX(x) es la función de densidad definida sobre los resultados x,
entonces la utilidad de esta loteŕıa se puede escribir como:
u(L) =
∫
u(x) · fX(x) dx
Notar que este teorema establece condiciones suficientes para la existencia de una función
de utilidad VNM, al tiempo que la demostración señala como construirla en la práctica. Este
último punto se explota en la siguiente sección.
5. Construcción de una Función de Utilidad VNM
Para construir la función de utilidad VNM descrita en (4) y en (5), sólo se requiere pre-
guntarle a un individuo por la probabilidad del mejor resultado de una loteŕıa mejor/peor
(zi) que lo dejaŕıa indiferente entre dicha loteŕıa y el resultado ai con certeza. Repitiendo este
proceso para cada ai ∈ A se puede calcular la utilidad asociada a cualquier loteŕıa L ∈ L(A)
como el valor esperado de la utilidad de la loteŕıa L.
Ejemplo:
Suponga A = {$10, $4,−$2} donde ab = $10 y aw = −$2. Primero se deben encontrar las
probabilidades de indiferencia asociadas a estos tres resultados. Esto se logra construyendo
loteŕıas mejor/peor que ofrecen $ 10 y -$ 2 con probabilidades desconocidas que suman uno.
A continuación se le formula la siguiente pregunta al individuo para cada uno de los tres
resultados: ¿cuál es la probabilidad para ab que lo deja indiferente entre la loteŕıa mejor/peor
que se compone con dicha probabilidad y el resultado ai con certeza? Los resultados que se
obtengan serán los números de utilidad que se le asignan a esos resultados.
Supóngase que el individuo revela que:
$10 ∼ [1 ◦ $10 , 0 ◦ −$2]⇒ u(10) = 1
$4 ∼ [0,6 ◦ $10 , 0,4 ◦ −$2]⇒ u(4) = 0,6
−$2 ∼ [0 ◦ $10 , 1 ◦ −$2]⇒ u(−2) = 0
Notar que bajo este mapeo, la utilidad de ab debe ser uno y la de aw debe ser cero. Sin
embargo, la probabilidad de los otros resultados, como $ 4 en este ejemplo, depende de la
actitud individual a tomar riesgos.
Habiendo obtenido los números de utilidad para cada uno de los tres resultados posibles
se pueden rankear todas las loteŕıas que estén en L(A). Por ejemplo, para las loteŕıas:
L1 ≡ [0,2 ◦ $4 , 0,8 ◦ $10]
9
L2 ≡ [0,07 ◦ −$2 , 0,03 ◦ $4 , 0,9 ◦ $10]
el individuo escogerá aquella que entregue la mayor utilidad esperada. Usando los valores de
u(ai) obtenidos se tiene que:
u(L1) = 0,2 · u(4) + 0,8 · u(10) = 0,92
u(L2) = 0,07 · u(−2) + 0,03 · u(4) + 0,9 · u(10) = 0,918
por lo que L1 � L2. Un punto importante para una sección futura es que el valor esperado
de L2 es mayor que L1 y aún aśı el individuo prefiere la loteŕıa L1, contradiciendo el criterio
del valor esperado de la introducción. En efecto:
E[L1] = 0,2 · $4 + 0,8 · $10 = $8,8
E[L2] = 0,07 · −$2 + 0,03 · $4 + 0,9 · $10 = $8,98
por lo que E[L1] < E[L2] y L1 � L2. De esta observación se desprende que el individuo
prefiere evitar el riesgo de obtener el resultado -$ 2, aún cuando la probabilidad de obtener
el mejor resultado ($ 10) sea mayor en L2 que en L1. Para esclarecer este punto un poco
más, al comparar el resultado $ 4 con la loteŕıa mejor/peor [0,6 ◦ 10 , 0,4 ◦ −2] se ve que el
valor esperado de la loteŕıa es 0,6 · 10 + 0,4 · (−2) = 5,2 y sin embargo es indiferente a recibir
$ 4 con certeza. Como las preferencias se les supone monotónicas, se puede concluir que
preferirá estrictamente el resultado $ 4 a cualquier loteŕıa mejor/peor con una probabilidad
de obtener ab inferior a 0.6. En particular ello ocurre para la loteŕıa [0,5 ◦ 10 , 0,5 ◦ −2] que
tiene un valor esperado de $ 4 y aśı el individuo prefiere evitar el riesgo y se le llama averso
al riesgo.
Ahora se conocen las condiciones bajo las cuales la existencia de una función de utilidad
VNM está asegurada. Además se sabe que de existir la función u : L(A)→ R que represente
las preferencias, esto es
L1 � L2 ⇔ u(L1) ≥ u(L2)
es claro que la función g(u(·)) : L(A) → R también representa las preferencias en tanto la
función g : R→ R sea creciente, pues:
L1 � L2 ⇔ g(u(L1)) ≥ g(u(L2))
No obstante, si g(·) es una función no lineal, la propiedad de la utilidad esperada no se
preserva bajo dicha transformación, por lo que las funciones de utilidad VNM son únicas
hasta una transformación positiva af́ın.
Teorema 5.1
Sea la relación de preferencias � que satisface los axiomas 1 a 6 y suponga que la función
de utilidad VNM u : L(A)→ R representa las preferencias. Entonces, la función de utilidad
VNM v : L(A)→ R representa las preferencias si y solo si
v(L) = α + β · u(L) para escalares α ∈ R y β > 0.
10
Demostración:
(Suficiencia) Si u(L) es una función de utilidad esperada que describe una relación de
preferencias entonces v(L) = α + β · u(L) con β > 0 también representa las mismas
preferencias y es una función de utilidad VNM.
v([p ◦ a1 , (1− p) ◦ a2]) = β · u([p ◦ a1 , (1− p) ◦ a2]) + α
= β
(
p · u(a1) + (1− p) · u(a2)
)
+ α
= p ·
(
β · u(a1) + α
)
+ (1− p) ·
(
β · u(a2) + α
)
= p · v(a1) + (1− p) · v(a2)
(Necesidad) De la demostración del teorema 4.1 se sabe que si la función de utilidad
VNM u(·) representa la relación de preferencias �, entonces posee la propiedad de la
utilidad esperada y, por tanto, para cualquier loteŕıa L ∈ L(A) se puede escribir:
u(L) =
n∑
i=1
pi · u(ai) =
n∑
i=1
pi · zi
donde zi es tal que
ai ∼ [zi ◦ ab , (1− zi) ◦ aw] (8)
Supóngase ahora que v(·) es otra función de utilidad VNM que representa � . Entonces
se debe tener lo siguiente:
v(L) =
n∑
i=1
pi · v(ai)
=
n∑
i=1
pi · v
(
[zi ◦ ab , (1− zi) ◦ aw]
)
gracias a la ecuación (8), el axioma 5 y al hecho que v(·) representa � . Además
debido a que v(·) es una función de utilidad VNM, satisface la propiedad de la utilidad
esperada, entonces:
v(L) =
(
n∑
i=1
pi · zi
)
· v(ab) +
(
1−
n∑
i=1
pi · zi
)
· v(aw)
= u(L) · v(ab) + (1− u(L)) · v(aw)
Por lo que se puede escribir finalmente:
⇒ v(L) = v(aw) +
(
v(ab)− v(aw)
)
· u(L) (9)
11
Notar que para cualquier conjunto de resultados A y función de utilidad VNM v(·),
los números v(ab) y v(aw) son constantes con v(ab) > v(aw). Tomando α ≡ v(aw) y
β ≡ v(ab)− v(aw) > 0 se tiene que (9) es la definición de una transformación positiva
af́ın de u(·).
Para concluir esta sección, conviene rescatar que el teorema 5.1 establece que las funcio-
nes de utilidad VNM no son completamente únicas ni son sólo ordinales: todav́ıa se pueden
encontrar infinitas de ellas empleando transformaciones crecientes afines. Sin embargo, el
hecho de que no sean absolutamente ordinales no implica que se pueda atribuir algún sig-
nificado a los niveles absolutos de utilidad (intensidad de las preferencias) ni que se pueda
comparar utilidades entre personas.
6. Aversión al Riesgo
En esta sección se asume que las loteŕıas se refieren a distintos montos de riqueza y que
la función de utilidad u es diferenciable para valores de riqueza w ≥ 0 con u′(w) > 0.
Supóngase que los resultados de riqueza posibles son A = {w1, ..., wn}. El valor esperado
de cualquier loteŕıa simple L que ofrece wi con probabilidad pi está dado por:
E[L] =
n∑
i=1
pi · wi
Supóngase que el agente puede elegir entre aceptar la loteŕıa L o recibir con certeza el valor
esperado de L. Si u(·) es la función de utilidad VNM del agente entonces:
u(L) =
n∑
i=1
pi · u(wi)
u(E[L])= u
(
n∑
i=1
pi · wi
)
Si las preferencias satisfacen los axiomas 1 a 6 se sabe que el agente preferirá la alternativa
con el mayor valor de utilidad esperada.
Definición 6.1
Sea u(·) la función de utilidad VNM de un individuo para loteŕıas sobre niveles de riqueza.
Entonces para L ∈ L(A) una loteŕıa simple no-degenerada se dice que el individuo es:
i) Averso al riesgo cuando
u(E[L]) > u(L)
ii) Neutral al riesgo cuando
u(E[L]) = u(L)
12
iii) Amante del riesgo cuando
u(E[L]) < u(L)
Si estas relaciones se cumplen para toda loteŕıa L ∈ L(A), entonces estas definiciones se
aplican globalmente; e.g. se puede hablar de agentes globalmente aversos al riesgo.
Un punto importante es que una persona puede satisfacer los axiomas 1 a 6 y puede ser
averso, neutral o amante del riesgo.
Cada una de las actitudes frente al riesgo de la definición 6.1 es equivalente a una pro-
piedad particular de la función de utilidad Bernoulli.
Teorema 6.1
Sea U : L(A) → R la función de utilidad VNM que representa las preferencias de un
agente con función de utilidad Bernoulli u(·) diferenciable en el dominio relevante de riqueza.
Entonces:
i) El agente es averso al riesgo si y solo si u es estrictamente cóncava (u′′(·) < 0) en todo
el dominio relevante de riqueza.
ii) El agente es neutral al riesgo si y solo si u es lineal (u′′(·) = 0).
iii) El agente es amante del riesgo si y solo si u es estrictamente convexa (u′′(·) > 0) en
todo el dominio relevante de riqueza.
Considérese, a modo de ilustración, el primer caso del teorema 6.1 con una loteŕıa con
sólo dos resultados:
L ≡ [p ◦ w1 , (1− p) ◦ w2]
con w1 < w2. El individuo debe optar entre:
u(L) = p · u(w1) + (1− p) · u(w2)
u(E[L]) = u
(
p · w1 , (1− p) · w2
)
Como el individuo es averso es claro, de la definición 6.1, que:
u
(
p · w1 , (1− p) · w2
)
> p · u(w1) + (1− p) · u(w2)
Esta desigualdad se ilustra en la figura 1, estableciendo la parte i) del teorema 6.1.
Notar que si bien E[L] � L debe existir, por el axioma 3, un monto seguro EC tal que
EC ∼ L
13
donde claramente, si el individuo es averso, EC < E[L]. Este monto de riqueza cierta que
deja indiferente al agente entre aceptar la loteŕıa o el pago cierto se le llama equivalente
cierto.
Definición 6.2
El equivalente cierto de una loteŕıa L es un monto de riqueza cierta EC tal que7:
u(L) = u(EC)
La prima por riesgo es un monto de riqueza P tal que:
u(L) = u(E[L]− P )
Claramente, el equivalente cierto está relacionado con la prima por riesgo por:
P = E[L]− EC
Ambos conceptos se ilustran en la figura 2.
Ejemplo: Demanda por seguros
Suponga un consumidor que inicialmente tiene una riqueza monetaria de w. Hay una
probabilidad p de que pierda una cantidad l. El consumidor puede comprar un seguro que
le pagará q si ocurre el evento en el que pierde dicha cantidad. El monto de dinero que tiene
que pagar por q de cobertura es π · q, donde π es la prima por peso de cobertura. ¿Cuánta
cobertura comprará el consumidor si éste es averso al riesgo?
El problema del individuo es:
máx
{q}
p · u(w − l − π · q + q) + (1− p) · u(w − π · q)
cuya condición de primer orden (que es necesaria y suficiente al ser u(·) estrictamente cónca-
va) es:
p · u′(w − l − π · q + q) · (1− π)− (1− p) · u′(w − π · q) · π = 0
⇒ u
′(w − l + (1− π) · q∗)
u′(w − π · q∗)
=
(1− p)
p
· π
1− π
(10)
Desde el punto de vista de la firma, si el evento ocurre la compañ́ıa de seguros obtiene
beneficios de
π · q − q
7Se hace un abuso de notación para simplificar la exposición. En efecto u(L) es la utilidad VNM de la
loteŕıa L, mientras que u(EC) es la utilidad Bernoulli. Se puede pensar que EC denota la loteŕıa degenerada
[p1 ◦ EC , p2 ◦ EC , ..., pn ◦ EC].
14
6
-
��������
u
u(w2)
u(E[L])
u(L)=p·u(w1)+(1−p)·u(w2)
u(w1)
w1 p·w1+(1−p)·w2 w2
w
u(w)•
•
S
R
Figura 1: Aversión al Riesgo y la Concavidad de u(w).
6
-
��������
u
u(w2)
u(E[L])
u(L)
u(w1)
w1 E[L] w2
•
•
w
u(w)S
R
EC
P
Figura 2: Equivalente Cierto y Prima por Riesgo
15
mientras que si no ocurre, obtiene
π · q
Asumiendo que la compañ́ıa de seguros es neutral al riesgo, los beneficios esperados son:
p · (π · q − q) + (1− p) · π · q
y suponiendo que hay competencia y libre entrada en el mercado de seguros, los beneficios
esperados serán nulos y aśı:
p · (π · q − q) + (1− p) · π · q = 0⇔ π = p
De esta forma, bajo el supuesto de ganancias nulas, la compañ́ıa de seguros cobra una prima
actuarialmente justa: el costo de la prima es su valor esperado. Reemplazando este resultado
en (10) se tiene:
u′(w − l + (1− π) · q∗) = u′(w − π · q∗)
Si el consumidor averso al riesgo global, de tal forma que u′′(w) < 0 entonces esto implica
que la función u′ es monótona y aśı:
w − l + (1− π) · q∗ = w − π · q∗
⇒ q∗ = l
De este modo el consumidor se asegura completamente contra la pérdida l, si se supone la
inexistencia de moral hazard8.
Ejemplo 2
Suponga que u(w) = ln(w) y considere una loteŕıa L que ofrece una probabilidad de 0.5
de ganar o perder el mismo monto de riqueza h, de modo que:
l ≡ [0,5 ◦ (w + h) , 0,5 ◦ (w − h)]
donde w es la riqueza actual del individuo. Notar que E[L] = w.
a) ¿Qué tipo de actitud frente al riesgo tiene este individuo?
Como la función u(w) es estrictamente cóncava, el individuo es averso al riesgo.
u′′(w) =
−1
w2
< 0 para cualquier w > 0
b) ¿Cuál es el equivalente cierto de L?
El equivalente cierto EC está definido por:
u(EC) = u(L)
8El consumidor es incapaz de alterar la probabilidad p a través de su conducta.
16
que en este caso es:
ln(EC) = 0,5 · ln(w + h) + 0,5 · ln(w − h)
⇔ ln(EC) = ln
(
w2 − h2
)1/2
⇔ EC =
(
w2 − h2
)1/2
< w = E[L]
c) ¿Cuál es la prima por riesgo P asociada a L?
P = w −
(
w2 − h2
)1/2
> 0
7. Incertidumbre en el Modelo de Equilibrio General
de Intercambio
Para aplicar el modelo de equilibrio general en presencia de incertidumbre se permite la
existencia de bienes contingentes que se encuentran indexados no sólo por el tipo de bien
sino que también por el estado de la naturaleza.
Sea S = {1, 2, ..., S} el conjunto de estados de la naturaleza donde S es tal que:
a) El número de estados es finito.
b) Todos los elementos de S son mutuamente excluyentes (si ocurre el estado s, no puede
ocurrir el estado s′ con s 6= s′).
c) S es exhaustivo; i.e. todos los estados de la naturaleza están en él.
Al igual que antes, sea I = {1, 2, ..., I} el conjunto que indexa a los consumidores, sea
J = {1, 2, ..., J} el que indexa las firmas y sea K = {1, 2, ..., K} el que indexa los tipos de
bienes.
Es importante notar que todo el análisis subsecuente, ya sea desde el punto de vista del
consumidor o del productor, se lleva a cabo ex-ante con lo cual las decisiones de consumo
y/o producción son tomadas antes que se resuelva la incertidumbre.
7.1. Sin producción (sólo dotaciones)
Definición 7.1
(Bienes estado-contingentes) La asignación xiks corresponde a la cantidad consumida
por parte del individuo i del bien k en el estado s. Análogamente se define el vector xik como
17
la asignación del consumidor i ∈ I en donde recibe (o entrega) xiks unidades de cada bien
k ∈ K si solo si el estado s ocurre.
xik =

xik1
xik2
...
xikS

Finalmente, se define la canasta de consumo contingente del consumidor i como:
xi = (xi11 , ... , x
i
K1 ; x
i
12 , ... , x
i
K2 ; ... ; x
i
1S , ... , x
i
KS ) ∈ R
KS
con dotación inicial
wi = (wi11 , ... , w
i
K1 ; w
i
12 , ... , w
i
K2 ; ... ; w
i
1S , ... , w
i
KS ) ∈ R
KS
Aśı por ejemplo, se tiene que el vector [xi11 , ... , x
i
K1 ] son los derechos que tiene el consu-
midor i ∈ I a recibir de los bienes 1, 2, ..., K sólo si el estado 1 ∈ S ocurre. Análogamente,
el vector [wi11 , ... , w
i
K1 ] es la dotación que recibiŕıa el agente i ∈ I de los bienes 1, 2, ..., K
si y solo si el estado 1 ∈ S ocurre.
Las preferencias, al igual que las canastas de consumo contingentes, están definidas en
RKS permitiéndose que las preferencias sean contingentes alestado de la naturaleza (por
ejemplo, que el goce de una copa de vino puede variar de acuerdo al estado de salud). Sea
πis ∈ [0, 1] la probabilidad que el consumidor i le asigna (ya sea objetiva o subjetivamente) a la
ocurrencia del estado s ∈ S y sea ui : RK → R una función de utilidad Bernoulli9. Entonces,
la relación de preferencias �i puede representarse con la siguiente función de utilidad VNM:
xi �i x̂i ⇔
∑
s∈S
πis · ui(xi1s , ..., xiKs) ≥
∑
s∈S
πis · ui(x̂i1s , ..., x̂iKs)
De este modo, la economı́a bajo incertidumbre o economı́a contingente se define como:
ε = {S , ui , wi}Ii=1
Para determinar el equilibrio de esta economı́a se postula la existencia de un mercado
para cada bien contingente ks (aśı no habŕıan K bienes sino K · S) y que la información es
simétrica entre los agentes. Estos mercados operan antes que se resuelva la incertidumbre y
en ellos se compran (y venden) los derechos a recibir o a entregar cantidades del bien k en
la medida que ocurra el estado s. De este modo sólo las entregas son contingentes, pero los
pagos no.
Definición 7.2
El equilibrio Arrow-Debreu es una asignación x∗ ∈ RIKS y un vector de precios p∗ ∈ RKS++
tal que:
9Notar que la función es tal que ui : RK → R y NO ui : RKS → R.
18
i) Para todo i ∈ I, xi∗ maximiza ui sujeto a que xi∗ ∈ Bi donde
Bi = {x ∈ RKS
∣∣p∗ · x ≤ p∗ ·wi}
ii) x∗ es tal que ∑
i∈I
xi∗ =
∑
i∈I
wi∗
En esta economı́a se cumplen los teoremas de existencia del equilibrio y del bienestar.
7.2. Con producción
La tecnoloǵıa de la firma j ∈ J puede ser representada por un conjunto de posibilidades
de producción Y j ⊂ RKS. La interpretación de un plan de producción yj ∈ RKS estado-
contingente es que para todo s ∈ S el vector insumo-producto (yj1s , y
j
2s , ..., y
j
Ks) es factible
para la firma j sólo cuando el estado s ocurre.
Con respecto a la propiedad de cada firma por parte de los agentes, si bien puede hacerse
contingente10 se asumirá, sin pérdida de generalidad, que la propiedad es independiente del
estado. Aśı, el individuo i posee una proporción θij de los beneficios de la firma j donde∑
i∈I
θij = 1 ∀j ∈ J
Ejemplo:
Suponga que hay dos estados s1 y s2 que representan el buen y mal tiempo respecti-
vamente y que hay dos bienes, semillas (bien 1) y cosecha (bien 2). Aśı, los elementos de
Y j son de cuatro dimensiones. Supóngase que las semillas deben ser plantadas antes que se
resuelva la incertidumbre con respecto al tiempo y que una unidad de semilla produce una
unidad de cosecha si solo si el tiempo es bueno y no produce nada en el evento que el tiempo
sea malo. Aśı, un plan factible es
yj = (yj1s1 , y
j
2s1 , y
j
1s2 , y
j
2s2 ) = (−1, 1,−1, 0)
Notar que el plan (−1, 1, 0, 0) no es factible por la restricción que las semillas se plantan
antes de resolverse la incertidumbre.
Definición 7.3
Una asignación (x∗1, ...,x∗I ;y∗1, ...,y∗J) ∈ X1 × · · · ×XI × Y 1 × · · · × Y J ⊂ RKS·(I+J) y
un vector de precios para los bienes contingentes p = (p11 , ..., pKS) ∈ RKS es un equilibrio
Arrow-Debreu con producción si:
10Por ejemplo a través de opciones de compra sobre acciones de las firmas.
19
1. Para todo i ∈ I la asignación individual x∗i resuelve
máxui s.a. p · x∗i ≤ p ·wi +
∑
j∈J
θijp · y∗j
2. Para todo j ∈ J , y∗j resuelve
máx
yj∈Y j
πj(y
j)
3. (Factibilidad de la asignación)∑
i∈I
x∗i =
∑
j∈J
y∗j +
∑
i∈I
wi
20
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Teoŕıa de Juegos No Cooperativos
Profesor: José Miguel Sánchez Octubre de 2009
Introducción
Se busca modelar situaciones estratégicas entre agentes racionales (maximizadores de
utilidad o utilidad esperada) e “inteligentes” (entienden el juego, en particular su estructura
informacional).
Gibbons (1992)1 clasifica los juegos en cuatro clases, que serán estudiados en el mismo
orden a lo largo del apunte.
1. Juegos estáticos de información completa.
2. Juegos dinámicos de información completa.
3. Juegos estáticos de información incompleta.
4. Juegos dinámicos de información incompleta.
donde cada uno de ellos posee un concepto de estrategia y de equilibrio asociado.
1Gibbons, R. (1992) “A Primer in Game Theory”, Prentice Hall.
1
Parte 1
Juegos Estáticos de Información
Completa
Existen dos conceptos muy importantes en la teoŕıa de juegos, siendo éstos las acciones
disponibles y las estrategias. El conjunto de acciones de un jugador corresponde a lo que
éste puede hacer en el momento en el que le corresponda decidir. Dicho conjunto se escri-
birá como S = {a1, ..., an} donde ai es la i-ésima acción disponible para el jugador. Por otro
lado, las estrategias de un jugador especifican un plan de acción completo para cada posible
escenario en el cual le pueda jugar. Aśı informalmente las acciones indican qué es lo que
se hace, mientras que las estrategias implican un plan de acción completo que estipula una
acción para cada contingencia en la cual el jugador le pueda tocar mover.
En los juegos estáticos de información completa las estrategias de los jugadores son iguales
a las posibles acciones que ellos puedan emprender, por lo que se hablará indistintamente de
uno u otra forma sólo para este tipo de juego.
Definición 1.1
La representación en forma normal o estratégica de un juego con n jugadores especifica
los espacios de estrategias de los jugadores S1, S2, ..., Sn y sus funciones de pago u1, ..., un
donde ui(a1, a2, ..., an) y ai es la acción del jugador i. Dicho juego se expresa como:
G = {S1, S2, ..., Sn ; u1, ..., un}
Ejemplo 1
Cuando las dimensiones de los espacios de estrategias y el número de jugadores lo permi-
tan, es posible representar el juego usando una matriz de pagos. Usando esto, se expresa
sucintamente en forma normal el dilema del prisionero con la matriz del cuadro 1.1
2
Cuadro 1.1: Dilema del Prisionero
Preso 1 \Preso 2 No Confesar (NC) Confesar (C)
No Confesar (NC) (-1,-1) (-9,0)
Confesar C (0,-9) (-6,-6)
1.1. Equilibrio Estrategias Dominadas
Una estrategia se le dice dominada si el pago por usarla es menor que con otra indepen-
diente de lo que hagan los otros jugadores. La importancia que tienen estas estrategias es que
permite descartar ciertos desenlaces que jamás se producirán, dado el supuesto de jugadores
racionales. Formalmente:
Definición 1.2
En el juego en forma normal G = {S1, S2, ..., Sn ; u1, ..., un}, sean s′i y s′′i posibles estrategias
del jugador i, esto es s′i, s
′′
i ∈ Si. La estrategia s′i está estrictamente dominada por la
estrategia s′′i si para cada combinación de las estrategias de los jugadores restantes el pago
de i al usar s′i es estrictamente menor que el obtenido al usar s
′′
i :
ui(s1, ..., si−1, s
′
i, si+1, ..., sn) < ui(s1, ..., si−1, s
′′
i , si+1, ..., sn)
para cualquier sj ∈ Sj con j 6= i.
En el cuadro 1.1 se ve que para el jugador 1 la estrategia de no confesar está dominada
por la de confesar y de igual forma ocurre para el jugador 2. De esta forma, el equilibrio en
estrategias dominadas (EED) del dilema del prisionero anterior1 es:
EED={ (Confesar, Confesar) }
La definición 1.2 permite llevar a cabo la eliminación iterativa de estrategias estrictamente
dominadas, tal como se verá más adelante en el ejemplo 2. Sin embargo, el problema es que
en algunos juegos este procedimiento no puede llevarse a cabo, especialmente en juegos donde
el conjunto de estrategias es grande como el del cuadro 1.2 en donde EED={∅} pero śı existe
un equilibrio de Nash2.
Cuadro 1.2: Problemas con el Criterio de Dominancia
J1\J2 I C D
A (0,4) (4,0) (5,3)
M (4,0) (0,4) (5,3)
B (3,5) (3,5) (6,6)
Ejemplo 2
Considere el juego del cuadro 1.3. Como puede apreciarse, la estrategia “Derecha” para
1Es importante notar que los equilibrios siempre se definen en base a estrategias y no en base a pagos.
2Más adelante se define este concepto, pero dicho equilibrio es EN(G)={(B,D)}.
3
Cuadro 1.3: Estrategias Dominadas: Juego Original
J1 \J2 Izquierda Centro Derecha
Alta (1,0) (1,2) (0,1)Baja (0,3) (0,1) (2,0)
el jugador 2 está estrictamente dominada por la estrategia “Centro”, debido a lo cual se
tachó la columna respectiva.
Debido a la eliminación de la estrategia “Derecha”, el juego se puede reducir al del cua-
dro 1.4, ya que la estrategia “Baja” está dominada por la estrategia “Alta” para el jugador 1.
Cuadro 1.4: Estrategias Dominadas: Segunda Iteración
J1 \J2 Izquierda Centro
Alta (1,0) (1,2)
Baja (0,3) (0,1)
Por último, dado que el juego se resume en el del cuadro 1.5 se tiene que EED={Alta,Centro}.
Cuadro 1.5: Estrategias Dominadas: Tercera Iteración
J1 \J2 Izquierda Centro
Alta (1,0) (1,2)
1.2. Equilibrio de Nash
Definición 1.3
En el juego en forma normal G = {S1, S2, ..., Sn ; u1, ..., un} las estrategias (S∗1 , S∗2 , ..., S∗n)
forman un equilibrio de Nash si para cada jugador i, S∗i es la mejor respuesta del jugador i
3
(o al menos una de ellas) a las estrategias de los otros n−1 jugadores (S∗1 , ..., S∗i−1, S∗i+1, ...S∗n).
Esto es:
ui(S
∗
1 , ..., S
∗
i−1, S
∗
i , S
∗
i+1, ...S
∗
n) ≥ ui(S∗1 , ..., S∗i−1, Si, S∗i+1, ...S∗n)
para todo Si ∈ Si por lo que S∗i soluciona el problema
máx
{Si∈Si}
ui(S
∗
1 , ..., S
∗
i−1, Si, S
∗
i+1, ...S
∗
n)
3Esto es, que maximiza la función de utilidad.
4
El equilibrio de Nash tiene la gran ventaja que es un equilibrio estable; esto es, una vez
alcanzado nadie tiene incentivos a desviarse de éste. A modo de desventaja es que puede no
existir (en estrategias puras) y puede no ser único.
El equilibrio de Nash es un concepto más poderoso que el equilibrio de estrategias domi-
nadas, en el siguiente sentido:
Si las estrategias (s∗1, ..., s
∗
n) constituyen un equilibrio de Nash, entonces sobreviven a la
eliminación iterativa de estrategias dominadas. Sin embargo, pueden existir estrategias que
sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias dominadas y que no son parte de un
equilibrio de Nash4.
Por tanto si para el juego G se denota EED(G) al conjunto de estrategias que sobreviven
a la eliminación iterativa de estrategias dominadas y por EN(G) al conjunto de equilibrios
de Nash se tiene que
EN(G) ⊂ EED(G)
tal como muestra el siguiente resultado.
Teorema 1.1
En el juego en forma normal con n jugadores G = {S1, S2, ..., Sn ; u1, ..., un}, si las estrategias
(s∗1, s
∗
2, ..., s
∗
n) forman un equilibrio de Nash, entonces sobreviven a la eliminación iterativa
de estrategias estrictamente dominadas.
Demostración: Se procede por contradicción. Supóngamos que no se cumple, i.e. que
existe un equilibrio de Nash que es eliminado por la eliminación iterativa de estrategias
dominadas. Sea (s∗1, s
∗
2, ..., s
∗
n) el equilibrio de Nash descartado. Sea s
∗
i la primera estrategia
en ser descartada por ser estrictamente dominada. Entonces debe existir una estrategia s∗
′
i
que no ha sido eliminada de Si que domina estrictamente a s
∗
i por lo que
ui(s1, ..., si−1, s
∗
i , si+1, ..., sn)
para cada
(s1, ..., si−1, si+1, ..., sn)
que esté en las estrategias disponibles para los demás jugadores (las que no han sido aun
eliminadas). Como s∗i es la primera estrategia en ser eliminada, entonces se cumple que
ui(s
∗
1, ..., s
∗
i−1, s
∗
i , s
∗
i+1, ..., sn) < ui(s
∗
1, ..., s
∗
i−1, s
∗′
i , s
∗
i+1, ..., sn)
lo que contradice la definición 1.3 de equilibrio de Nash. Esto concluye la demostración.
Sin embargo, existe un converso parcial al teorema anterior:
4Esto es, el equilibrio de Nash es un refinamiento del equilibrio de estrategias dominadas.
5
Teorema 1.2
En el juego en formal normal con n jugadores G = {S1, S2, ..., Sn; u1, ..., un}, si la eliminación
iterativa de las estrategias estrictamente dominadas descarta todas las estrategias excepto
(s∗1, s
∗
2, ..., s
∗
n), entonces estas últimas estrategias constituyen el único equilibrio de Nash del
juego G.
Demostración: Ver Gibbons (1992)5, pág 14.
1.3. Estrategias Mixtas
Se busca modelar la incertidumbre en juegos donde las estrategias a usar por parte
de los jugadores son aleatorias. Supongamos que el jugador i cuenta con K estrategias
puras Si = {si1, si2, ..., siK}. En este caso, se dice que una estrategia mixta para el jugador
i es una distribución de probabilidad (pi1, ..., piK) en donde pik es la probabilidad que el
jugador i escoja la estrategia sik para k = 1, ..., K. Como (pi1, ..., piK) es una distribución de
probabilidades, ésta debe satisfacer que 0 ≤ pik ≤ 1 para k = 1, ..., K y que pi1+· · ·+piK = 1.
Se usará pi para denotar una estrategia mixta del conjunto de distribuciones de probabilidad
sobre Si. Lo anterior se resume formalmente en la siguiente definición.
Definición 1.4
Considere el juego en forma normal G = {S1, ..., Sn;u1, ..., un} en donde Si = {si1, ..., siK}.
Una estrategia mixta para el jugador i es una distribución de probabilidad pi = (pi1, ..., piK)
sobre el espacio de estrategias Si con 0 ≤ pik ≤ 1 para k = 1, ..., K y que pi1 + · · ·+ piK = 1.
Teorema 1.3
(Nash, 1950) En el juego en forma normal de n jugadores, G = {S1, ..., Sn;u1, ..., un}, si
n es un número finito de jugadores y Si es un conjunto finito para i = 1, 2, ..., n, entonces
existe al menos un equilibrio de Nash, el cual posiblemente incluye estrategias mixtas.
Demostración: Emplea el teorema de punto fijo de Kakutani6 para correspondencias.
Ver Nash (1950)7.
Ejemplo 3
Considérese el juego de la batalla de los sexos, descrito en el cuadro 1.6. Dicho juego posee
dos equilibrios de Nash en estrategias puras, dados por
EN(G)={(Ópera,Ópera) ; (Boxeo,Boxeo)}
5Op. cit.
6Kakutani, S. (1941) “A Generalization of Brouwer’s Fixed Point Theorem” Duke Mathematical Journal
No 8, págs 457-459.
7Nash, J. “Equilibrium Points in n−person Games” Proceedings of the National Academy of Sciences,
No 36, págs. 48-49.
6
Cuadro 1.6: Batalla de los Sexos
Ella (J1)\Él (J2) Boxeo (p2) Ópera (1− p2)
Boxeo (p1) (1,2) (0,0)
Ópera (1− p1) (0,0) (2,1)
Supóngase que con probabilidad p2 él escoge boxeo y que ella lo cree aśı. De igual manera
él cree que ella escoge boxeo con probabilidad p1.
Jugador 1 (Ella):
Ella escoge ópera o boxeo de acuerdo a la maximización de la utilidad esperada. Aśı:
u1(boxeo) = 1 · p2 + (1− p2) · 0 = p2
u1(ópera) = 0 · p2 + 2 · (1− p2) = 2 · (1− p2)
por lo que para p2 = 2/3 ella estará indiferente entre ópera y boxeo, con p2 > 2/3 escoge
siempre boxeo (p1 = 1) y con p2 < 2/3 ella siempre escoge ópera (p1 = 0).
Jugador 2 (Él):
Análogamente a lo que ocurre con el jugador 1:
u2(boxeo) = 2 · p1 + 0 · (1− p1) = 2 · p1
u2(ópera) = 0 · p1 + 1 · (1− p1) = (1− p1)
por lo que para p1 = 1/3 él estará indiferente entre ópera y boxeo, con p1 > 1/3 escoge
siempre boxeo (p2 = 1) y con p2 < 1/3 él siempre escoge ópera (p2 = 0).
Aśı, los equilibrios de Nash, representados gráficamente en la figura 1.1, de este juego
son:
EN(G) =
(ópera,ópera) ; (boxeo,boxeo) ;
[2/3 ópera, 1/3 boxeo]︸ ︷︷ ︸
Estrategia Jugador 1
, [1/3 ópera, 2/3 boxeo]︸ ︷︷ ︸
Estrategia Jugador 2

7
1
3
2
3
p1
p2
1
1
Figura 1.1: Equilibrios de Nash de juego de la batalla de los sexos
8
Parte 2
Juegos Dinámicos de Información
Completa
En este tipo de juegos ocurre la primera (importante) distinción entre acción y estrategia.
En los juegos estáticos de información completa eran conceptos equivalentes, pero en los
juegos dinámicos una estrategia de un jugador debe especificar una acción para cualquier
desarrollo posible del juego en donde algún jugador deba decidir.
2.1. Representación en Forma Extensiva de un Juego
La representación en forma extensiva contiene toda la información de la representación
normal, más el orden de interacción entre los jugadores; esto es, especifica qué decisiones se
toman secuencial o simultáneamente.
Definición 2.1
Un nodo es un punto del juego en el cual algún jugador (el cual puede ser la naturaleza
también) decide una acción o donde el juego termina. A continuación se describen ciertos
nodos especiales.
1. Nodo Sucesoral nodo x: Es un nodo que puede ser alcanzado si se ha llegado al
nodo x.
2. Nodo Predecesor al Nodo x: Es un nodo que debe ser alcanzado antes de que el
nodo x sea alcanzado.
3. Nodo Inicial: Es el nodo sin predecesores.
4. Nodo Terminal: Es un nodo sin sucesores.
Definición 2.2
La rama de un nodo es una acción del conjunto de acciones posibles para el jugador en
9
dicho nodo dado. Una senda es una secuencia de nodos y ramas que llevan del nodo inicial
a un nodo terminal.
Definición 2.3
Un conjunto de información de un jugador es una colección de nodos de decisión que
satisface:
i) A dicho jugador le corresponde jugar.
ii) Cuando en el transcurso del juego se llega a un nodo de esta colección, al jugador que
le corresponde decidir no sabe a que nodo de este conjunto ha llegado con certeza.
Definición 2.4
Un árbol del juego consiste en:
i) Configuración de nodos que corren sin loops cerrados1 de un nodo inicial a los nodos
finales o terminales.
ii) Una indicación de qué nodo pertenece cada jugador (quién decide).
iii) Una indicación de si juega la naturaleza y si ésta juega, indica las probabilidades con
las que se determina la rama a seguir.
iv) Conjuntos de información en los que se dividen los nodos de los jugadores.
v) Los pagos del juego para cada jugador en cada nodo terminal.
Definición 2.5
La representación en su forma extensiva de un juego especifica los jugadores, el
timing de los turnos de cada jugador, las ramas que existen en cada nodo de decisión y los
pagos recibidos para cada jugador en cada nodo terminal.
Ejemplo 1
(Representación Extensiva del Dilema del Prisionero) El juego del cuadro 1.1 puede
representarse en forma extensiva mediante la figura 2.1. La elipse de color negro rodea los
nodos del conjunto de información del jugador 2. El hecho que haya más de un nodo dentro
de esta elipse se debe a que la estructura informacional del juego señala que al momento
de que al jugador 2 le toca mover no sabe si el jugador 1 coopera o no. Debido a que el
conjunto de información del jugador dos contiene más de un elemento, este juego se le dice
de información imperfecta.
1Esto quiere decir que no es posible avanzar desde un nodo cualquiera y llegar a este mismo nodo.
10
Figura 2.1: Forma Extensiva del Dilema del Prisionero
Jugador 1
Jugador 2
C NC
C NC C NC
(−6,−6)(0,−9) (−9, 0) (−1,−1)
Definición 2.6
Un juego se le dice de información imperfecta si al menos un jugador posee un conjunto
de información con más de un elemento.
2.2. Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos
Considérese el siguiente ejemplo de un juego dinámico con información completa de la
figura 2.2.
Figura 2.2: Ejemplo Juego Dinámico de Información Completa
Jugador 1
Jugador 2
I D
I ′ D′ I ′ D′
(3, 1) (1, 2) (2, 1) (0, 0)
En este juego, el jugador 1 tiene un conjunto de información con un sólo elemento, mientras
que el jugador 2 tiene dos conjuntos de información con un sólo elemento (uno para cada
curso de acción que emprenda el jugador 1).
Definición 2.7
Una estrategia es un plan completo de acción que especifica una acción factible del ju-
gador en cada contingencia (cada conjunto de información) en la que el jugador le pudiese
corresponder decidir.
En el juego de la figura 2.2, las acciones factibles para el jugador 1 son
A1 = {I,D}
y el espacio de estrategias es
{I,D}
11
Por su parte, las acciones para el jugador 2 son
A2 = {I ′, D′}
y debido a que hay dos conjuntos de información y dos posibles acciones, hay cuatro estra-
tegias posibles. Ellas son
{(I ′, I ′) , (I ′, D′) , (D′, I ′) , (D′, D′)}
donde la estrategia E = (x, y) se lee como “jugar x si el jugador 1 juega I y jugar y si el
jugador 1 juega D”. La representación en forma normal del juego es la del cuadro 2.1 y, como
se puede deducir de la discusión de la sección 2.1, hay información valiosa que se pierde y
ello provoca obtener equilibrios poco razonables.
Cuadro 2.1: Representación en Forma Normal Juego de la figura 2.2.
J1\J2 (I ′, I ′) (I ′, D′) (D′, I ′) (D′, D′)
I (3, 1) (3, 1) (1, 2) (1, 2)
D (2, 1) (0, 0) (2, 1) (0, 0)
En particular, del cuadro 2.1 se desprende que hay dos equilibrios de Nash en estrategias
puras.
EN(G) =
{(
D, (D′, I ′)
)
;
(
I, (D′, D′)
)}
Sin embargo, el equilibrio
(
D, (I ′, D′)
)
es poco razonable, pues si el jugador 1 se desv́ıa y
usa la estrategia I, la mejor respuesta del jugador 2 es D′ y no I ′. Debido a esto, se busca
refinar el concepto de equilibrio de Nash mediante la búsqueda de equilibrios de Nash que
sean perfectos en subjuegos ; i.e. que en cada nodo de decisión, el jugador realiza su mejor
respuesta.
Definición 2.8
Se define un subjuego como un juego en forma extensiva que cumple tres requisitos.
i) Empieza en un nodo de decisión n que es un conjunto de información en śı mismo2.
ii) Incluye todos los nodos de decisión (incluyendo los finales) que son subsecuentes del
nodo n.
iii) No intersecta (o particiona) a ningún conjunto de información3
2Esto es, contiene un sólo elemento.
3Es decir, si un nodo de decisión n′ sucede a n en el árbol, entonces todos los nodos que estén en el mismo
conjunto de información que contiene a n′ son también sucesores de n y, por tanto, deben incluirse en el
subjuego.
12
Definición 2.9
(Reinhard Selten, 1965) Un perfil de estrategias es un equilibrio perfecto en subjuegos
si éste cumple con dos condiciones:
i) Es un equilibrio de Nash del juego completo.
ii) Las reglas de acción relevantes son equilibrios de Nash para cada subjuego.
Notar que de acuerdo a la definición 2.8, el juego completo es también un subjuego.
Para obtener los equilibrios de Nash en cada subjuego se usa la inducción hacia atrás. Esto
consiste en determinar cual es la decisión óptima en los nodos predecesores a los finales y
con esta información resolver el juego reducido que resulta. Repitiendo el proceso se puede
encontrar el equilibrio perfecto en subjuegos.
Volviendo al juego de la figura 2.2, se aplica el refinamiento de la inducción hacia atrás.
El equilibrio perfecto en subjuegos se ilustra en la figura 2.3, en donde las ĺıneas gruesas
representan la mejor respuesta del jugador que decide en el nodo en el cual éstas comienzan,
explicitándose como se descarta el equilibrio
(
I, (D′, D′)
)
. El resultado del juego es(
D, (D′, I ′)
)
Figura 2.3: Inducción hacia atrás
Jugador 1
Jugador 2
I D
I ′ D′ I ′ D′
(3, 1) (1, 2) (2, 1) (0, 0)
Consideremos el juego de la figura 2.4. En dicho juego las estrategias disponibles para
cada individuo son
Agente 1: (D,D′′), (D, I ′′), (I,D′′), (I, I ′′)
Agente 2: D′, I ′
En donde la estrategia (I,D′′) significa jugar I en la primera etapa y usar D′′ en la segunda
etapa (si eventualmente se diera tal etapa). La resolución de dicho juego se ilustra en la
figura 2.5.
13
Figura 2.4: Ejemplo de Inducción hacia Atrás
D′
D
′′
I
I ′
I
′′
1
1
2
(0, 2)
(3, 0)
(1, 1)
(2, 0)
2.3. Juegos Repetidos
Un juego repetido es un juego estático que se juega con las mismas reglas durante varios
peŕıodos. En este sentido, existen de dos tipos:
i) Juegos Repetidos Finitos.
ii) Juegos Repetidos Infinitos.
De la inducción hacia atrás se sigue que si el juego que se repite posee un único equilibrio
de Nash, entonces el único equilibrio de Nash perfecto en subjuegos de este juego repetido
finitamente es que en cada repetición se juege el equilibrio de Nash del juego estático.
A continuación se estudian los juegos repetidos infinitamente. Considérese el dilema del
prisionero del cuadro 2.2 y supóngase que si los pagos en cada peŕıodo del preso i son
{Ui(1), Ui(2), ...} entonces el pago total es:
Πi =
Ui(1)
(1 + r)0
+
Ui(2)
(1 + r)1
+ · · ·
Supóngase que el preso 1 tiene la siguiente estrategia: juega s1 mientras el preso 2 juega
t1. Pero si el preso 2 usa t2, entonces el preso 1 usa s2 ad inf́ınitum. Ahora se busca la mejor
respuesta del jugador 2 frente a esta estrategia. Ella puede tomarsólo la siguiente forma:
i) Jugar t1 siempre.
14
Figura 2.5: Resolución Ejemplo de Inducción hacia Atrás
Tercera Etapa
D′
D
′′
I
I ′
I
′′
1
1
2
(0, 2)
(3, 0)
(1, 1)
(2, 0)
D
D′
I
I ′
1
2
(3, 0)
(1, 1)
(2, 0)
D
I
1
(1, 1)
(2, 0)
Segunda Etapa
Primera Etapa
15
Cuadro 2.2: Dilema del Prisionero
Preso 1 \Preso 2 t1 t2
s1 (5,5) (-3,8)
s2 (8,-3) (0,0)
ii) Desviarse una vez, jugando t2, y por tanto juega t2 de alĺı en adelante.
Notar que estas son las únicas posibilidades debido a que el juego de la etapa siguiente
es igual al original y si, en algún instante le conviene cooperar, entonces siempre le conviene
y de manera inversa, si en un instante tiene incentivos a desviarse, nunca querŕıa cooperar
y por tanto se desviaŕıa el primer turno.
Los pagos de la estrategia i) son
Π1 =
5
(1 + r)0
+
5
(1 + r)1
+
5
(1 + r)2
+ · · · = 5 · r + 1
r
En cambio, los pagos de la estrategia ii) son
8
(1 + r)0
+
0
(1 + r)1
+ · · · = 8
por lo que el jugador 2 coopera (i.e. usa la estrategia i)) para siempre en tanto
5 · r + 1
r
> 8⇔ r < 5
3
Sin embargo, el equilibrio de Nash de este juego no es único. Por ejemplo4 los siguientes
dos pares de estrategias configuran un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos:
Equilibrio 2 El preso 1 alterna entre s1 y s2 mientras que el preso 2 usa t1 siempre. Si el
preso 2 se desv́ıa y juega t2, entonces el preso 1 juega s2 para siempre.
Equilibrio 3 El preso 2 alterna entre t1 y t2 mientras que el preso 1 usa s1 siempre. Si el
preso 1 se desv́ıa y juega s2, entonces el preso 2 juega t2 para siempre.
La razón de la existencia de equilibrios múltiples se haya en el siguiente teorema.
Teorema 2.1
(Teorema de Folk) Cualquier pago descontado factible puede ser sustentado como un
equilibrio en tanto cada jugador tenga un pago esperado que sea al menos tan grande como
el que el jugador puede asegurarse para śı mismo, aún cuando todos los jugadores juegen en
contra de él (castigo).
4Se deja de ejercicio la demostración.
16
Parte 3
Juegos Estáticos de Información
Incompleta
Supóngase que en un juego estático con dos jugadores, el jugador uno (J1) no sabe frente
a quién está jugando, pero sabe que es uno de dos tipos. En particular, sea S2 y N2 los
tipos que puede ser el jugador dos. Las matrices de pagos para ambas situaciones son las del
cuadro 3.1.
Cuadro 3.1: Ejemplo Juego Estático de Información Incompleta
Tipo S2 Tipo N2
J1\J2 O B
O (2,1) (0,0)
B (0,0) (1,2)
J1\J2 O B
O (2,0) (0,2)
B (0,1) (1,0)
La idea es modelar este tipo de situaciones donde el jugador uno no conoce las preferencias
del jugador 2.
3.1. Información Privada o Asimétrica
Definición 3.1
En un juego con información simétrica, el conjunto de información de un jugador ya
sea en cualquier nodo en el que el jugador elige una acción o en un nodo terminal contiene
los mismos elementos que los conjuntos de información de cualquier otro jugador. En caso
contrario, el juego es uno de información asimétrica.
3.2. Juegos Estáticos Bayesianos
En estos juegos existe incertidumbre respecto al tipo del otro jugador, donde “tipo”
denota aquello que es información privada. Sean ti el tipo del jugador i y Ti el conjunto de
17
tipos posibles para el jugador i, entonces se puede escribir la función de pagos como:
ui(a1, ..., an; ti) ti ∈ Ti
Se supondrá que si bien el jugador uno no sabe que tipo es el jugador dos, él posee una
distribución de creencias con respecto a ello. De esta manera el análisis se lleva a cabo para
una estructura de probabilidades.
Bajo la definición 3.1 es posible que la información privada de un jugador sea algo que
afecta la función de pagos del otro jugador. Un ejemplo de esto es el caso de dos empresas
en donde sólo una de ellas conoce con certeza la demanda y la otra no. En este caso, es claro
que la demanda afecta la función de pagos de ambas firmas. Para el caso de n jugadores, esto
se captura permitiendo que la función de pagos del jugador i dependa no sólo de su propio
tipo, sino que del tipo de todos los jugadores (t1, t2, ..., tn), en cuyo caso la función de pagos
seŕıa:
ui(a1, ..., an; t1, t2, ..., tn) ∀ tj ∈ Tj con j = 1, 2, ..., n
Como el juego es estático, no hay información nueva que permita alterar el equilibrio
del juego. Esto no ocurre en juegos dinámicos bayesianos, en donde a medida que se repite
el juego hay aprendizaje sobre el tipo de los otros jugadores que se refleja en creencias a
posteriori que difieren de las a priori.
Sea pi(t−i|ti) la distribución de probabilidad que denota la creencia (a priori) que tiene
el jugador i respecto del tipo de los demás jugadores t−i dado su propio tipo. Usualmente,
se supone, a fin de simplificar notación más que nada, que ti y t−i son independientes y aśı:
pi(t−i|ti) = pi(t−i)
Definición 3.2
La representación en forma normal de un juego estático bayesiano de n jugadores
especifica:
Los espacios de acciones de los jugadores A1, A2, ..., An.
Sus espacios de tipos T1, T2, ..., Tn
Las creencias p1, p2, ..., pn
Las funciones de pago u1, u2, ..., un.
El tipo del jugador i, ti es conocido privadamente por el propio jugador i y determina la
función de pagos ui(a1, ..., an; ti) donde ti ∈ Ti.
El juego se denota de la siguiente forma:
G =
{
A1, ..., An ; T1, ..., Tn ; p1, ..., pn ; u1, ..., un
}
18
3.3. Transformación de Harsanyi1
La transformación de Harsanyi permite transformar un juego de información incompleta
en un juego con información completa pero imperfecta. Se enuncia, nuevamente y adecuándo-
la a nuestro contexto, la definición 2.6 de información perfecta e imperfecta.
Definición 3.3
Un juego se le dice de información perfecta si todos los jugadores saben, en cualquier
ronda, todos los movimientos que se han hecho a lo largo del juego. En caso contrario se le
dice de información imperfecta.
Para hacer la transformación se introduce un nuevo jugador, la naturaleza, el cual decide
inicialmente los tipos de los jugadores y luego se los revela a algunos participantes del juego.
El juego de información incompleta del cuadro 3.1 puede transformarse en un juego de
información imperfecta de acuerdo a la figura 3.1.
Figura 3.1: Juego del cuadro 3.1 Transformado según Harsanyi
O B
O B O B
(2, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 2)
O B
O B O B
(2, 0) (0, 2) (0, 2) (1, 0)
1 1 1 1
2 2
S2 N2
Naturaleza
Pr[S2] = 0,5 Pr[N2] = 0,5
De manera general, la dinámica de la transformación de Harsanyi es la siguiente:
1) La naturaleza saca aleatoriamente un vector de tipos t = (t1, t2, ..., tn) con ti ∈ Ti para
todo i = 1, 2, ..., n.
2) La naturaleza revela ti sólo al jugador i (información privada del jugador i).
3) Los jugadores simultáneamente escogen acciones. Cada jugador i = 1, 2, ..., n elige algún
ai ∈ Ai.
4) Se reciben los pagos ui(a1, ..., an; ti).
Definición 3.4
Una estrategia (pura) para el jugador i debe especificar una acción factible para cada uno
de los posibles tipos de i. En particular, en un juego estático bayesiano
G =
{
A1, ..., An ; T1, ..., Tn ; p1, ..., pn ; u1, ..., un
}
1Desarrollada por John Harsanyi, quien fue premio Nobel de Economı́a en 1994.
19
una estrategia para el jugador i es una función si(ti) donde para cada tipo ti ∈ Ti especifica
una acción del conjunto factible Ai que el tipo ti elegiŕıa si es elegido por la naturaleza.
Definición 3.5
Una estrategia se le dice separadora si para cada ti ∈ Ti la función si(ti) especifica una
acción distinta ai ∈ Ai. Análogamente, una estrategia se le dice agrupadora si todos los
tipos ti ∈ Ti eligen la misma acción.
Definición 3.6
Un equilibrio de Nash Bayesiano en el juego estático bayesiano
G =
{
A1, ..., An ; T1, ..., Tn ; p1, ..., pn ; u1, ..., un
}
son las estrategias S∗ = (s∗1, s
∗
2, ..., s
∗
n) y creencias
(
p1(t−1), p2(t−2), ..., pn(t−n)
)
tales que
para cada jugador i y cada uno de sus tipos posibles ti ∈ Ti, la estrategia s∗i (ti) es una
solución a
máx
{ai∈Ai}
∑
t−i∈T−i
ui
(
s∗1(t1),..., s
∗
i−1(ti−1), ai, s
∗
i+1(ti+1), ..., s
∗
n(tn)
)
· pi(t−i|ti)
donde T−i es el conjunto de posibles tipos de todos los jugadores menos el i−ésimo.
3.4. Ejemplo 1
Considérese el cuadro 3.1, en donde las creencias del jugador 1 son
Pr(t2 = S2) = 0,5. Aśı Pr(t2 = N2) = 1− 0,5 = 0,5.
Tipo S2 Tipo N2
J1\J2 O B
O (2,1) (0,0)
B (0,0) (1,2)
J1\J2 O B
O (2,0) (0,2)
B (0,1) (1,0)
En este ejemplo, las estrategias posibles del jugador 2 son:
Separadora: Tipo S2 juega O y un tipo N2 juega B. Esto se denota con:
(O
S2
, B
N2
)
Separadora: Tipo S2 juega B y un tipo N2 juega O. Esto se escribe como:
(B
S2
, O
N2
)
20
Agrupadora: Tipo S2 juega O y un tipo N2 juega O. Es decir:
(O,O)
Agrupadora: Tipo S2 juega B y un tipo N2 juega B.
(B,B)
Si, por ejemplo, el jugador 2 juega (O,O), entonces el pago esperado del jugador 1 si
juega O es
1
2
· 2 + 1
2
· 2 = 2
y si jugase B el pago esperado seŕıa
1
2
· 0 + 1
2
· 0 = 0
Repitiendo el proceso para cada una de las cuatro estrategias anteriores, se puede construir
la tabla 3.2.
Cuadro 3.2: Pagos Esperados Jugador 1
(O,O) (O,B) (B,O) (B,B)
O 2 1 1 0
B 0 1/2 1/2 1
Se tiene que en este juego hay un único equilibrio de Nash bayesiano. Considere el perfil
de estrategias
(
O, (O,O)
)
. Del cuadro 3.2 se sabe que la mejor respuesta del jugador 1 frente
a (O,O) es O, por lo que sólo hay que verificar si (O,O) es la mejor respuesta del jugador 2
frente a O.
Si el jugador 2 es de tipo S2, frente a O la acción óptima es O.
Si el jugador 2 es de tipo N2, frente a O la acción óptima es B.
De esta manera, al no ser (O,O) es la mejor respuesta del jugador 2 frente a O, se tiene
que el perfil de estrategias
(
O, (O,O)
)
no forman parte del equilibrio de Nash bayesiano. Sin
embargo, ya que (O,B) es la mejor respuesta del jugador 2 a O y gracias al cuadro 3.2 se
sabe que O es la mejor respuesta del jugador 1 frente a (O,B). De esta manera, se tiene el
siguiente equilibrio de Nash separador:
ENB(G) =
{(
O, (O,B)
)
; Pr[t2 = S2] = 0,5
}
3.5. Ejemplo 2
Considere un juego en donde ninguno de los jugadores conoce los tipos del otro de acuerdo
al cuadro 3.3.
21
Cuadro 3.3: Juego con Información Privada en ambos Jugadores
Tipo S2 Tipo N2
Tipo S1
J1\J2 O B
O (2,1) (0,0)
B (0,0) (1,2)
Tipo S1
J1\J2 O B
O (2,0) (0,2)
B (0,1) (1,0)
Tipo S2 Tipo N2
Tipo N1
J1\J2 O B
O (0,1) (2,0)
B (1,0) (0,2)
Tipo N1
J1\J2 O B
O (0,0) (2,2)
B (1,1) (0,0)
En donde las creencias de cada jugador son:
Jugador 1: Pr[t2 = S2] = 1/2 y Pr[t2 = N2] = 1/2
Jugador 2: Pr[t1 = S1] = 2/3 y Pr[t1 = N1] = 1/3
En este ejemplo, cada jugador puede usar las siguientes estrategias:
(O,O) (O,B) (B,O) (B,B)
Los cuadros siguientes expresan los pagos esperados de cada jugador y de cada tipo de éste
y se construyen de manera análoga al cuadro 3.2, explicando como obtener uno de los pagos
a modo de ilustración.
Pagos Jugador 1
Si el jugador 1 es de tipo S1, el jugador 2 usa la estrategia (B,B) entonces el pago
esperado de jugar B es:
1
2
· 1 + 1
2
· 1 = 1
Cuadro 3.4: Pagos Esperados para S1
J1\J2 (O,O) (O,B) (B,O) (B,B)
O 2 1 1 0
B 0 1/2 1/2 1
Si el jugador 1 es de tipo N1, el jugador 2 usa la estrategia (O,B) entonces el pago
esperado de jugar B es:
1
2
· 1 + 1
2
· 0 = 1
2
22
Cuadro 3.5: Pagos Esperados para N1
J1\J2 (O,O) (O,B) (B,O) (B,B)
O 0 1 1 2
B 1 1/2 1/2 0
Pagos Jugador 2
Si el jugador 2 es de tipo S2, el jugador 1 usa la estrategia (B,O) entonces el pago
esperado de jugar O es:
2
3
· 0 + 1
3
· 1 = 1
3
Cuadro 3.6: Pagos Esperados para S2
J2\J1 (O,O) (O,B) (B,O) (B,B)
O 1 2/3 1/3 0
B 0 2/3 4/3 2
Como último ejemplo, si el jugador 2 es de tipo N2, el jugador 1 usa la estrategia (O,O)
entonces el pago esperado de jugar B es:
2
3
· 2 + 1
3
· 2 = 2
Cuadro 3.7: Pagos Esperados para N2
J2\J1 (O,O) (O,B) (B,O) (B,B)
O 0 1/3 2/3 1
B 2 4/3 2/3 0
Equilibrio de Nash Bayesiano
En este juego se tiene que:
A1 = {O,B} A2 = {O,B}
T1 = {S1, N1} T2 = {S2, N2}
p1 = {1/2, 1/2} p1 = {2/3, 1/3}
u1(a1, a2; t1) u2(a1, a2; t2)
Para encontrar el equilibrio de Nash bayesiano sólo se puede proceder mediante prueba
y error. Dadas las creencias, se procede a evaluar si tres candidatos a equilibrios son o no
23
equilibrios de Nash bayesianos.
Candidato 1
(
(O,B), (O,B)
)
Si el jugador 2 juega (O,B), un jugador 1 tipo S1 juega O, gracias al cuadro 3.4, pero un
jugador 1 tipo N1 frente a esta estrategia del jugador 2 prefiere jugar O por el cuadro 3.5.
De esta forma
(
(O,B), (O,B)
)
no forma parte de un equilibrio de Nash bayesiano.
Candidato 2
(
(O,O), (O,B)
)
Del análisis del candidato 1, se sabe que la mejor respuesta del jugador 1 frente a (O,B)
es (O,O). Hay que verificar que (O,B) es la mejor respuesta del jugador 2 frente a (O,O).
Si el jugador 2 es de tipo S2, frente a (O,B) escoge O gracias al cuadro 3.6. Por otro lado,
un jugador 2 tipo N2 escogeŕıa B frente a (O,B), gracias al cuadro 3.7. Aśı, este par de
estrategias forma parte de un equilibrio de Nash bayesiano.
Candidato 3
(
(B,O), (B,B)
)
Frente a (B,B), un jugador 1 tipo S1 escoge B (ver cuadro 3.4) mientras que uno de
tipo N1 elige O. Luego, en efecto, la mejor respuesta del jugador 1 a (B,B) es (B,O) y sólo
falta determinar que la mejor respuesta del jugador 2 frente a (B,O) es (B,B). Un jugador
2 tipo S2 frente a (B,O), del cuadro 3.6, escoge B y uno tipo N2 escoge O
2. De esta forma,
este perfil de estrategias conforma parte de un equilibrio de Nash bayesiano.
Finalmente, los equilibrios de Nash del juego son:
ENB(G) =
{(
(O,O), (O,B)
)
con creencias Pr[t1 = S1] = 2/3; Pr[t2 = S2] = 0,5(
(B,O), (B,B)
)
con creencias Pr[t1 = S1] = 2/3; Pr[t2 = S2] = 0,5
}
2Si bien hay indiferencia en este caso, de todas formas ella apoya al equilibrio de Nash bayesiano.
24
Parte 4
Juegos Dinámicos de Información
Incompleta
En este tipo de juegos se puede dar el aprendizaje; esto es, un jugador puede inferir
el tipo de otro a través del comportamiento del otro a lo largo del juego, modificando sus
creencias a priori a unas a posteriori sobre el tipo del otro jugador. Para que ello ocurra,
lógicamente este otro jugador ha de usar estrategias separadoras (o h́ıbridas) para que el
aprendizaje en efecto modifique las creencias. Este aprendizaje se lleva a cabo mediante el
teorema de Bayes:
Pr[A|B] = Pr[A ∩B]
Pr[B]
Para ilustrar los juegos dinámicos de información incompleta, se inicia con un ejemplo.
4.1. Siguiendo al Ĺıder
Suponga una situación en la que el jugador J no conoce con exactitud los pagos del
juego en forma precisa. En particular, el tiene una distribución a priori que representa las
creencias sobre la estructura de los pagos (distintos juegos) representadas en el cuadro 4.1.
Por su parte, el jugador R śı conoce que juego se está jugando. Los juegos se representan en
el cuadro 4.2. Para resolver el juego se realiza la transformación de Harsanyi que se aprecia
en el cuadro 4.3. De este modo, se modela como si la naturaleza moviese primero y eligiese
los pagos del juego de acuerdo a los juegos A, B o C según las probabilidades subjetivas del
jugador J. Luego el jugador R observa la movida de la naturaleza (pero no J).
25
Cuadro 4.1: Creencias del Jugador J
Creencias Juego
0.7 A
0.1 B
0.2 C
Cuadro 4.2: Creencia de los Pagos
R
L
S
J
J
L
L
S
S
(2, 2)
(−1,−1)
(−1,−1)
(1, 1)
Juego A
R
L
S
J
J
L
L
S
S
(5, 1)
(0, 2)
(−1,−1)
(2, 3)
Juego B
R
L
S
J
J
L
L
S
S
(0, 0)
(−1,−1)
(−1,−1)
(4, 4)
Juego C
26
Cuadro 4.3: Juego Completo Transformado
R
L
S
J
J
L
L
S
S
(2, 2)
(−1,−1)
(−1,−1)
(1, 1)
R
L
S
J
J
L
L
S
S
(5, 1)
(0, 2)
(−1,−1)
(2, 3)
R
L
S
J
J
L
L
S
S
(0, 0)
(−1,−1)
(−1,−1)
(4, 4)
A
B
C
N
0,7
0,2
0,1
27
En este último cuadro, se aprecia que el jugador J posee dos conjuntos de información,
consistentes en los nodos con puntos rojos o azules, debido a que el jugador J observa la
movida de R pero no la de la naturaleza. Por su parte, el jugador R posee tresconjuntos de
información con un sólo elemento (uno para cada estado de la naturaleza).
Definición 4.1
El tipo de un jugador es el conjunto de estrategias, partición de información y función
de pagos que escoge la naturaleza para algún jugador al inicio de un juego de información
incompleta. Un estado de la naturaleza es la elección del tipo hecha por la naturaleza.
Al igual que en la parte 3, las estrategias deben especificar un plan de acción para
cada contingencia que pueda enfrentar el jugador. Por ejemplo, considerando el juego del
cuadro 4.3, una estrategia posible del jugador R es la tripleta:
(LLS) =

Jugar L si A
Jugar L si B
Jugar S si C
Notar que esta estrategia especifica una acción a emprender para cada conjunto de informa-
ción del jugador R. Una estrategia para el jugador J es el par:
(LS) =
{
Jugar L si el jugador R usa L
Jugar S si el jugador R usa S
Un jugador tiene creencias acerca de los tipos de los demás jugadores y a medida
que los ve tomar decisiones, las actualiza bajo el supuesto de que están siguiendo un com-
portamiento de equilibrio. Luego, un equilibrio Bayesiano perfecto se usa para denotar un
equilibrio perfecto en subjuegos en donde los jugadores actualizan sus creencias de acuerdo
a la regla de Bayes. De manera informal, para determinar la existencia de un equilibrio se
debe realizar lo siguiente:
1. Se propone un candidato a equilibrio (un perfil de estrategias).
2. Obtener las creencias actualizadas según la regla de Bayes.
3. Dadas las creencias y dada la estrategia del otro, cada jugador debe elegir su mejor
respuesta simultáneamente.
A continuación se determina si
(
(LLS); (LS)
)
forma parte o no de un equilibrio bayesiano
perfecto.
28
Actualización de Creencias de cada Jugador
Dado que los conjuntos de información del jugador R tienen un sólo elemento, al mover
la naturaleza éste sabe con certeza el estado de la naturaleza prevaleciente, por lo que su
actualización resulta trivial. Para el jugador J, se requiere calcular:
Pr [A|L] Pr [B|L] Pr [C|L]
Pr [A|S] Pr [B|S] Pr [C|S]
•Pr[A|L]
Del teorema de Bayes, se tiene que
Pr[A|L] = Pr[L|A] · Pr[A]
Pr[L]
y por el teorema de la probabilidad total
Pr[L] = Pr[L|A] · Pr[A] + Pr[L|B] · Pr[B] + Pr[L|C] · Pr[C]
Dado que el jugador R usa la estrategia (LLS) es claro que
Pr[L|A] = 1 Pr[L|B] = 1 Pr[L|C] = 0
y dadas las creencias del cuadro 4.1 se tiene que
Pr[A|L] = 1 · 0,7
1 · 0,7 + 1 · 0,1 + 0
= 0,875
•Pr[B|L]
Pr[B|L] = Pr[L|B] · Pr[B]
Pr[L]
=
1 · 0,1
1 · 0,1 + 1 · 0,7 + 0
= 0,125
•Pr[C|L]
Pr[C|L] = Pr[L|C] · Pr[C]
Pr[L]
=
0 · 0,2
Pr[L]
= 0
De manera análoga se calcula el resto de las probabilidades.
Pr[A|S] = 0 Pr[B|S] = 0 Pr[C|S] = 1
Como último ejemplo se calcula Pr[C|S]
Pr[C|S] = Pr[S|C] · Pr[C]
Pr[S]
=
1 · 0,2
0 · Pr[S|A] + 0 · Pr[S|B] + 1 · 0,2
= 1
29
Mejor Respuesta de J dado (LLS) y las Creencias Actualizadas.
Los pagos al emplear cada acción posible, dado que el jugador R jugó L, son:
Pago esperado de Jugar L Pago esperado de Jugar S
2 · 0,875 + 1 · 0, 125 = 1,1875 −1 · 0,875 + 0,125 · 2 = −1,635
Aśı, la mejor respuesta de J dado que el jugador R usa L es L.
Si el jugador R usa S, el jugador J cree que, con probabilidad uno, la naturaleza jugó C.
La mejor respuesta de J ante S es emplear S.
De este modo, (LS) es la mejor respuesta del jugador J ante (LLS).
Mejor Respuesta de R dado (LS) y las Creencias Actualizadas.
Dado que la naturaleza escoge A y que el jugador J usa la estrategia (LS), los pagos de
usar L o S son:
Pago esperado de Jugar L Pago esperado de Jugar S
2 1
Aśı, la mejor respuesta del jugador R ante (LS) en el estado A es L.
Si la naturaleza escoge B y el jugador J usa (LS), los pagos para cada acción son:
Pago esperado de Jugar L Pago esperado de Jugar S
5 2
Aśı, la mejor respuesta del jugador R ante (LS) en el estado B es L.
Finalmente, si la naturaleza escoge C y el jugador J usa (LS), los pagos para cada acción
son:
Pago esperado de Jugar L Pago esperado de Jugar S
0 4
En este caso, la mejor respuesta del jugador R ante (LS) es S.
De esta forma, (LLS) es la mejor respuesta del jugador R ante (LS).
30
Debido a que simultáneamente las estrategias del jugador R, (LLS), y la del jugador J,
(LS), son mejor respuesta una de otra, el par {(LLS) ; (LS)} forma parte de un equilibrio
bayesiano perfecto1.
4.2. Equilibrio de Nash Bayesiano Perfecto
Este concepto de equilibrio es un refinamiento del equilibrio de Nash Bayesiano que
elimina las promesas o amenazas no créıbles. Este punto es ilustrado por el siguiente juego
con información completa, pero imperfecta. El jugador 1 escoge entre tres acciones I, C y D.
Si el jugador 1 escoge D el juego termina sin que el jugador 2 mueva. Si el jugador 1 escoge
I o C, entonces el jugador 2 sabe que D no fue escogido, pero no sabe si I o C fue jugado, y
escoge entre dos acciones I ′ y D′ tras lo cual el juego termina. La representación extensiva se
haya en la figura 4.1, donde p es la creencia de que, dado que el jugador 2 juega, el jugador 1
haya usado la acción I. Por otro lado, la representación normal está en el cuadro 4.4, donde
los números subrayados indican la mejor respuesta de cada jugador donde haya un equilibrio
de Nash.
Figura 4.1: Representación en forma extensiva
Jugador 2
Jugador 1
(1, 3)
(2, 1) (0, 0) (0, 2) (0, 1)
D
I C
I ′ D′ D
′
I ′
(1− p)p
Cuadro 4.4: Representación normal del juego
Jugador 1\Jugador 2 I’ D’
I (2,1) (0,0)
C (0,2) (0,1)
D (1,3) (1,3)
El cuadro 4.4 señala que
EN(G) =
{
(I, I ′) ; (D,D′)
}
= EPS(G)
En este caso, los equilibrios de Nash son a su vez equilibrios perfectos en subjuegos debido
a que el único subjuego del juego es el juego completo. Sin embargo, el equilibrio (D,D′)
se sustenta en una amenaza no créıble. Esto se debe a que si el jugador llegara a mover, la
estrategia I ′ domina a D′ de manera que el jugador 1 no se verá inducido a jugar D bajo la
1Se resalta la palabra parte, pues más adelante se define formalmente un equilibrio bayesiano perfecto, el
cual no sólo consta de un par de estrategias, al igual que el equilibrio de Nash Bayesiano.
31
amenaza de que el jugador 2 jugará D′. De esta manera se requiere refinar el concepto de
equilibrio para eliminar el equilibrio de Nash (D,D′).
4.2.1. Requisitos para el Equilibrio Perfecto Bayesiano
Requisito 1
En cada conjunto de información, al jugador que le toca decidir debe tener una creencia
acerca del nodo en el conjunto de información que se ha alcanzado.
Notar que en este caso, una creencia es una distribución de probabilidad sobre los nodos
del conjunto de información. En particular, en conjuntos de información con un sólo elemento,
las creencias del jugador asignarán una probabilidad uno en el único nodo de decisión.
Requisito 2
Dadas sus creencias, las estrategias de los jugadores deben ser secuencialmente racio-
nales; esto es, en cada conjunto de información la acción tomada por el jugador al que le
toca mover y las estrategias del jugador de ah́ı en adelante (estrategias subsecuentes) deben
ser óptimas dada las creencias de ese jugador en ese conjunto de información y dada las
estrategias siguientes de los otros jugadores.
En la figura 4.1 el requisito 1 implica que si le toca mover al jugador 2, éste debe poseer
ciertas creencias respecto a si el jugador 1 jugó I o si jugó C. Dichas creencias están repre-
sentadas por las probabilidades p y (1− p). Luego, dadas las creencias, el pago esperado de
jugar D′ es
0 · p+ (1− p) · 1 = 1− p
mientras que el pago esperado de jugar I ′ es
1 · p+ 2 · (1− p) = 2− p
y debido a que 2 − p > 1 − p para cualquier p ∈ [0, 1], entonces el requisito 2 evita que se
elija D′. Por tanto, los requisitos 1 y 2 eliminan a (D,D′) como equilibrio.
Definición 4.2
Para un equilibrio dado en un juego en forma extensiva, se dice que un conjunto de informa-
ción está en la trayectoria de equilibrio si éste conjunto de información será alcanzado
con probabilidad positivasi el juego se juega con las estrategias de equilibrio. Análogamen-
te, un conjunto de información está fuera de la trayectoria de equilibrio si de forma
segura no será alcanzado si se juegan las estrategias de equilibrio.
Requisito 3
En los conjuntos de información en las trayectorias de equilibrio, las creencias están deter-
minadas por la regla de Bayes y las estrategias de equilibrio de los jugadores.
32
De este modo, en el juego de la figura 4.1, en el equilibrio perfecto en subjuegos (I, I ′),
debe ser el caso que p = 1 para el jugador 2. Es decir, dada la estrategia de equilibrio del
jugador 1, entonces el jugador 2 sabe en que nodo están.
Formalmente, un equilibrio consiste no sólo de una estrategia para cada jugador sino que
también incluye una creencia de cada jugador en cada conjunto de información en el cual al
jugador le toca decidir.
Requisito 4
En los conjuntos de información fuera de la trayectoria de equilibrio, las creencias se deter-
minan por la regla de Bayes y las estrategias de equilibrio de los otros jugadores cuando es
posible.
Definición 4.3
Un equilibrio perfecto bayesiano consiste en estrategias y creencias que satisfacen los
requisitos 1 al 4.
Ejemplo 1
Considérese el juego en su forma extensiva del la figura 4.2.
Figura 4.2: Ejemplo Equilibrio Perfecto Bayesiano
Jugador 3
Jugador 2
D
(1, 2, 1) (3, 3, 3) (0, 1, 2) (0, 1, 1)
L R
L′ R′ R′L′
(1− p)p
Jugador 1
A
(2, 0, 0)
Considerando el subjuego donde decide el jugador 2, la representación en forma normal
es la del cuadro 4.5.
Para este subjuego, se tiene que
EN(G) =
{
(L,R′)
}
⇒ EPS(G) =
{
(D,L,R′)
}
Estas estrategias, con las creencias p = 1 satisfacen los requisitos 1 al 3 y también satisfacen,
trivialmente, el requisito 4 porque no hay conjuntos de información fuera de la trayectoria
33
Cuadro 4.5: Subjuego en forma normal
Jugador 2\Jugador 3 L′ R′
L (2, 1) (3, 3)
R (1, 2) (1, 1)
de equilibrio, luego de acuerdo a la definición 4.3 (D,L,R′) con la creencia p = 1 es un
equilibrio perfecto bayesiano.
Considere ahora las estrategias (A,L, L′) junto a la creencia p = 0. Se tiene que ellas
también configuran un equilibrio de Nash y satisface los requisitos 1 al 3. El jugador 3 tiene
una creencia y actúa óptimamente de acuerdo a ella. Dado esto, los jugadores 1 y 2 actúan
óptimamente dada las estrategias subsecuentes de los otros jugadores. Pero este equilibrio
de Nash no es perfecto en subjuegos, ya que la creencia del jugador 3, p = 0 ,es incongruente
con la estrategia de 2 (no resulta óptima), pero los requerimientos 1 al 3 no imponen restric-
ciones en las creencias del jugador 3, ya que el conjunto de información de dicho jugador no
se alcanza con las estrategias predeterminadas. No obstante, el requisito 4 fuerza a que las
creencias del jugador 3 estén determinadas por la estrategia del jugador 2: si la estrategia
del jugador 2 es R entonces p = 0, pero si p = 1, entonces el requisito 2 obliga a que la
estrategia del jugador 3 sea R′, luego las estrategias (A,L, L′) con la creencia p = 0 no es un
equilibrio perfecto bayesiano.
Ejemplo 2
Considere el juego en su forma extensiva de la figura 4.3, en donde se omiten los pagos
intencionalmente.
Figura 4.3: Juego Ejemplo 2
Jugador 3
Jugador 2
D
L R
L′ R′ L′
(1− p)p
Jugador 1
A
A′
R′
Si la estrategia de equilibrio del jugador 1 es A, entonces el conjunto de información del
jugador 3 está fuera de la senda de equilibrio, pero ahora el requisito 4 no puede determinar
34
las creencias del jugador 3 a partir de la estrategia del jugador 2. Esto se debe a que si la
estrategia del jugador 2 es A′, entonces el requisito 4 no impone restricciones en las creencias
del jugador 3, pero si la estrategia del jugador 2 es L con probabilidad q1, R con probabilidad
q2 y A
′ con probabilidad 1− q1 − q2, entonces el requisito 4 dice que la creencia del jugador
3 debe ser:
p =
q1
q1 + q2
4.3. Juegos de Señalización
Existen situaciones, dentro de la economı́a de la información2, donde se quiere modelar
la interacción estratégica entre dos partes y en donde una de ellas trata de informar a la
otra acerca de su tipo a través de una señal. Un ejemplo de esta interacción es la decisión de
educación de las personas al saber que el nivel de ésta comunica, de manera más o menos
créıble, las competencias y habilidades de las personas.
Definición 4.4
Un juego de señalización es un juego dinámico de información incompleta con dos jugadores:
un emisor (S) y un receptor (R) en donde se cumplen los siguientes requisitos:
i) La naturaleza escoge un tipo ti para el emisor de un conjunto de tipos factibles T =
{t1, ..., tI} de acuerdo a la distribución de probabilidad p(ti), donde p(ti) > 0 para todo
i y
p(t1) + p(t2) + · · ·+ p(tI) = 1
ii) El emisor observa ti y elige un mensaje mj de un conjunto de mensajes factibles M =
{m1, ...,mJ}.
iii) El receptor observa mj, pero no ti, y luego escoge una acción ak del conjunto de acciones
factibles A = {a1, ...a,k }.
iv) Los pagos de cada jugador están dados por uS(mj, ak; ti) y aR(mj, ak; ti).
Un ejemplo de juegos de esta clase se haya en la figura 4.4, en donde se omiten los pagos.
En este juego se tiene que
T = {t1, t2} M = {m1,m2} A = {a1, a2} p(t1) = p
2Será estudiado en la siguiente parte del curso.
35
Figura 4.4: Forma Extensiva Juego de Señalización
p
(1− p)
Naturaleza
Emisor
Emisor
t1
t2
Receptor Receptor
m1
m1
m2
m2
Definición 4.5
Una estrategia para el emisor en un juego de señalización es una función m(ti) que es-
pecifica el mensaje elegido para cada tipo que la naturaleza puede haber escogido. Por otro
lado, una estrategia para el receptor es una función a(mj) que indica la acción emprendida
para cada mensaje que el emisor pueda enviar.
De acuerdo a la definición 4.5, en el ejemplo de la figura 4.4 cada jugador tiene cuatro
estrategias posibles.
Estrategias para el emisor
1) Jugar m1 si la naturaleza escogiese t1 o t2.
2) Jugar m1 si la naturaleza determina t1 y jugar m2 si la naturaleza escoge t2.
3) Jugar m2 si la naturaleza determina t1 y jugar m1 si la naturaleza escoge t2.
4) Jugar m2 si la naturaleza escogiese t1 o t2.
Estrategias para el receptor
1) Jugar a1 si el emisor env́ıa m1 o si env́ıa m2.
2) Jugar a1 si el emisor env́ıa m1 y jugar a2 si env́ıa m2.
3) Jugar a2 si el emisor env́ıa m1 y jugar a1 si env́ıa m2.
4) Jugar a2 si el emisor env́ıa m1 o si env́ıa m2.
Ahora se procede a reescribir los requisitos 1 al 4 para el juego de señalización. Debido
a que el emisor conoce la historia completa del juego cuando elige un mensaje, su elección
ocurre en un set de información singleton (con un sólo elemento) por lo que el requisito 1 se
cumple de manera trivial para el emisor. Para el receptor en cambio, su elección ocurre en
un conjunto de información no-singleton.
Requisito de Señalización 1
Después de observar cualquier mensaje mj ∈M, el receptor debe tener una creencia acerca
de que tipos pueden haber enviado mj. Se llama a esta creencia la distribución de probabilidad
36
µ(ti|mj) donde
µ(ti|mj) ≥ 0 ∀ ti ∈ T y
∑
ti∈T
µ(ti|mj) = 1
Requisito de Señalización 2
(Receptor) Para cada mensaje mj ∈ M, la acción del receptor a∗j(mj) debe maximizar
la utilidad esperada dada su creencia µ(ti|mj) acerca de que tipos puede haber emitido el
mensaje. Esto es, a∗j(mj) resuelve el problema
máx
{ak∈A}
∑
ti∈T
µ(ti|mj) · uR(ak; ti)
(Emisor) Simultáneamente con lo anterior, para todo ti ∈ T, el mensaje m∗(ti) debe maxi-
mizar la utilidad del emisor dada la estrategia a∗(mj); es decir, m
∗(ti) resuelve:
máx
{mj∈M}
uS(ak,mj; ti)
Requisito de Señalización 3
Para mj ∈M, si existe ti ∈ T tal que m∗(ti) = mj,3 entonces la creencia del receptor en el
conjunto de información correspondiente a mj deben derivarse usando la regla de Bayes y la
estrategia del emisor:
µ(ti|mj)
Definición 4.6
Un equilibrio perfecto bayesiano en estrategias puras en un juego de señalización con-
sisteen un par de estrategias
(
m∗(ti) , a
∗(mj)
)
y en una creencia µ(ti|mj) que satisfacen los
requisitos de señalización 1, 2 y 3.
Ejemplo 3
Considere el juego de la figura ??. Sean (p, 1− p) y (q, 1− q) las creencias del receptor en
sus dos conjuntos de información. Este juego posee cuatro candidatos a equilibrios perfectos
bayesianos en estrategias puras.
1. Agrupador en L.
2. Agrupador en R.
3. Separador (L,R).
3Esto es; para cada conjunto de información en la senda de equilibrio.
37
4. Separador (R,L).
donde (m′,m′′) indica que un individuo tipo t1 env́ıa la señal m
′ y uno tipo t2 env́ıa la señal
m′′.
Figura 4.5: Ejemplo Juego de Señalización
0,5
0,5
Naturaleza
Emisor
Emisor
t1
t2
Receptor Receptor
L
L
R
R
u
d
u
d
u
d
u
d
(2, 1)
(0, 0)
(1, 0)
(1, 2)
(1, 3)
(4, 0)
(2, 4)
(0, 1)
p
(1− p)
q
(1− q)
Candidato 1: (L,L)
Estrategia del Receptor
Supóngase que existe un equilibrio en el cual la estrategia del emisor es (L,L), luego el
conjunto de información correspondiente a L está en la senda de equilibrio de manera que
las creencias
(
p, 1 − p
)
se determinan por la regla de Bayes. Intuitivamente, el recibir la
señal L no entrega información al receptor, pues ambos tipos env́ıan la misma, por lo que la
distribución a priori es igual a la a posteriori. Anaĺıticamente, esto se demuestra según:
Pr [t1|L] =
Pr [L|t1] · Pr [t1]
Pr [L]
⇒ Pr [t1|L] =
1 · 0,5
1
= 0,5
Dadas la estrategia (L,L) y las creencias p = 0,5 se busca la mejor respuesta de el
receptor frente a la acción L (en la senda de equilibrio).
Pago esperado de Jugar u Pago esperado de Jugar d
3 · 0,5 + 4 · 4 = 3,5 0 · 0,5 + 0,5 · 1 = 0,5
De este modo, frente a L la mejor respuesta del receptor es jugar u. Ahora se procede
a estudiar que hace el receptor en los conjuntos de información fuera de la trayectoria de
equilibrio. Sea q la probabilidad de que el emisor sea de tipo t1 dado que env́ıa la señal R.
Con esto, la utilidad esperada de jugar cada estrategia viene dado por lo siguiente.
E[UR(u|R)] = q · 1 + (1− q) · 0 = q
E[UR(d|R)] = q · 0 + (1− q) · 2 = 2(1− q)
38
Aśı, el receptor juega u si
q > 2− 2q ⇔ q > 2
3
y juega d si
q <
2
3
Estrategia del Emisor
La mejor respuesta del receptor frente a (L,L) es (u, u) si q >
2
3
y es (u, d) si q <
2
3
. Hay
que ver si la mejor respuesta del emisor frente a estas estrategias es o no (L,L).
Un emisor tipo t1 que juega R recibe los pagos
Pago esperado si q <
2
3
Pago esperado si q >
2
3
0 2
por lo que la acción L es la mejor respuesta sólo si q <
2
3
, pues en caso contrario un
emisor tipo t1 tiene incentivos a jugar R.
Un emisor tipo t2 que juega L, con lo que el receptor juega u, recibe los pagos el pago
de 2 que es mayor que el pago de jugar R para cualquier valor de q.
De esta manera, se ha probado que4:{
(L,L) , (u, d) , p = 0,5 , q ≤ 2
3
}
es un equilibrio perfecto bayesiano agrupador.
Candidato 2: (R,R)
Estrategia del Receptor
Supóngase que la estrategia de equilibrio del emisor es (R,R). De manera análoga al caso
anterior, la probabilidad revisada es q = 0,5 < 2/3 de manera que la mejor respuesta del
receptor a R es d, la cual otorga los pagos siguientes al emisor.
Pago tipo t1 Pago tipo t2
0 1
Pero, un individuo t1 puede obtener un pago de 1 jugando L, debido a que la mejor
respuesta del receptor a L es u para cualquier valor de p, de manera que no hay un equilibrio
perfecto bayesiano donde el emisor usa la estrategia (R,R).
4Cuando q = 2/3 el receptor está indiferente entre jugar u o d por lo que bien sustenta este equilibrio
bayesiano perfecto
39
Candidato 3: (L,R)
Si el emisor usa la estrategia (L,R) entonces ambos conjuntos de información estarán
en la trayectoria de equilibrio, por lo que ambas creencias (determinadas por p y q) vienen
dadas por la regla de Bayes. De hecho, en este caso:
p = Pr[t1|L] =
Pr[L|t1] · Pr[t1]
Pr[L]
=
1 · 0,5
1 · 0,5 + 0 · 0,5
= 1
ya que Pr[L] = Pr[L|t1] · Pr[t1] + Pr[L|t2] · Pr[t2]. Análogamente:
q = Pr[t1|R] =
Pr[R|t1] · Pr[t1]
Pr[R]
=
0 · 0,5
0 · 0,5 + 1 · 0,5
= 0
Las mejores respuestas del receptor frente a estas creencias son u y d respectivamente de
manera que el emisor recibe 1 independiente de su tipo, de manera que sólo puede chequearse
si las estrategias del emisor es óptima dada la estrategia del receptor (u, d). Sin embargo,
este no es el caso. Si el tipo t2 se desv́ıa usando L en vez de R, entonces el receptor responde
con u y t2 recibe 2 que es mayor que el pago de usar R.
Candidato 4: (R,L)
De igual manera que para el candidato anterior, la revisión de las creencias del receptor
dada la estrategia del emisor señala que p = 0 y que q = 1. Aśı, la mejor respuesta del
receptor es (u, u) y ambos tipos reciben un pago de 2. Si t1 se desviase jugando L, entonces
el receptor respondeŕıa con u y el pago del emisor t1 seŕıa 1. Luego no hay incentivos, para
un tipo t1, para desviarse de jugar R. Asimismo, si un tipo t2 se desviara y jugara R, el
receptor respondeŕıa con u y el tipo t2 obtendŕıa un pago de 1, por lo que tampoco tiene
incentivos a desviarse. De esta manera:{
(R,L) , (u, u) , p = 0 , q = 1
}
configura un equilibrio bayesiano perfecto separador.
40
	Teoría del consumidor
	Preferencias
	Conjunto de Posibilidades
	Problema del consumidor
	Problema Primal
	Problema dual
	Propiedades de la Demanda del Consumidor
	Condiciones Necesarias de las Funciones de Demanda Individuales
	Condiciones Suficientes de la teoría del Consumidor (Integrabilidad)
	Agregación a través de consumidores
	Teoría de la firma
	Tecnología y funciones de producción
	Problema de la Firma
	Función de beneficio
	Problema de Minimización de Costo
	Ejemplos
	Equilibrio de Intercambio
	Caja de Edgeworth
	Equilibrio en Mercados Competitivos
	Problema del Consumidor
	Equilibrio Walrasiano
	Existencia del Equilibrio Walrasiano
	Demostración Existencia del Equilibrio Walrasiano para el caso de k bienes
	Teoremas Fundamentales de Bienestar
	Primer Teorema de Bienestar
	Segundo Teorema de Bienestar
	Equilibrio Walrasiano con Producción
	Problema de la Firma
	Problema del Consumidor
	Caracterización del Equilibrio Walrasiano con Producción
	Economía Robinson Crusoe
	Tecnología
	Preferencias
	Dotaciones
	Condiciones de Primer Orden para la optimalidad paretiana
	Generalización de los teoremas de bienestar.
	Primer teorema del bienestar con producción
	Segundo teorema del bienestar con producción La demostración de este teorema se puede hallar en Jehle y Reny (2001) ``Advanced Microeconomic Theory'', pág. 219. 
	Asignaciones Pareto Óptimas
	Equilibrio con Contribuciones Voluntarias
	Equilibrio de Lindahl
	Regla de la Mayoría
	Impuesto de Groves-Clark
	Conjunto de Elección
	Axiomas de la Elección bajo Incertidumbre 
	Función de Utilidad Von Neumann-Morgenstern
	Existencia de la Función de Utilidad VNM
	Construcción de una Función de Utilidad VNM
	Aversión al Riesgo
	Incertidumbre en el Modelo de Equilibrio General de Intercambio
	Sin producción (sólo dotaciones)
	Con producción
	Juegos Estáticos de Información Completa
	Equilibrio Estrategias Dominadas
	Equilibrio de Nash
	Estrategias Mixtas
	Juegos Dinámicos de Información Completa
	Representación en Forma Extensiva de un Juego
	Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos
	Juegos Repetidos
	Juegos Estáticos de Información Incompleta
	Información Privada o Asimétrica
	Juegos Estáticos Bayesianos
	Transformación de HarsanyiDesarrollada por John Harsanyi, quien fue premio Nobel de Economía en 1994.
	Ejemplo 1
	Ejemplo 2
	Juegos Dinámicos de Información Incompleta
	Siguiendo al Líder
	Equilibrio de Nash Bayesiano Perfecto
	Requisitos para el Equilibrio Perfecto Bayesiano
	Juegos de Señalización