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Campo Electrico y Ley de Gauss
Tema 2
Contenido
● Campo Eléctrico de una carga puntual
● Campo Electrico de varias cargas puntuales 
● Campo Eléctrico (distribución contínua)
● Lineas de Campo Eléctrico
● Ley de Gauss
● Aplicaciones de la Ley de Gauss
Campo Eléctrico
¿Cómo es posible que una carga eléctrica ejerca una fuerza sobre otra 
carga sin que no haya nada entremedio? 
En un principio se pensaba que las cargas ejercían una “acción a 
distancia”. La interpretación actual, desde Faraday (1836) es que una 
carga eléctrica modifica al medio que la rodea y a la propiedad que 
adquiere se le llama Campo Eléctrico y es este campo el que actúa sobre 
las cargas que lleguen o se encuentren en él.
Para veriguar si en un punto de un recinto existe un campo eléctrico, se 
coloca allí una carga de prueba, q
0 
, supuesta positiva y pequeña con el fin 
de que no altere las propiedades del medio, y si dicha carga de prueba 
experimenta una fuerza es porque ahí existe un campo eléctrico.
Si se saca la carga de prueba, el campo sigue existiendo. Así, el 
campo eléctrico es el intermediario entre las cargas que interactúan.
Campo Eléctrico
Se define la intensidad de campo eléctrico en un punto como el cociente
entre la fuerza eléctrica que experimenta una carga de prueba en ese
punto por la carga . Es decir, el campo eléctrico en un punto determinado
es igual a la fuerza eléctrica en cada unidad de carga que experimenta una 
carga en ese punto. Y se define operacionalmente como:
E
F 0 q0
q0
E=lim
q00
F 0
q0
Si se conoce el campo eléctrico (en el vacío), entonces la fuerza eléctrica que
experimenta una carga puntual es
F 0=q0 E
(1)
q0
(2)
Campo Eléctrico (Ley de Coulomb)
Supongamos que tenemos una carga qi y una carga puntual q0 , por ley de
Coulomb sabemos que
F 0 i=
1
4o
q0 qi
r0 i
2 r0 i
Entonces, por la definición de campo eléctrico, podemos escribir
Eoi=lim
q00
F 0 i
q0
= 1
4o
qi
r0 i
2 r0 i
En general, si consideramos q0 como un punto de campo P. El campo 
eléctrico está dado vectorialmente, usando q en vez de qi, por
E= 1
4o
q
r2
r (3)
Lineas de Campo Eléctrico (carga positiva)
P
+
E PQ
EQ
R
E R
r R
r Q
r P
Lineas de Campo Eléctrico (carga negativa)
P
-
E P
Q
EQ
R
E R
r R
rQ
r P
Campo Eléctrico (forma vectorial)
Debido al carácter vectorial de la Ley de Coulomb para fuerzas eléctricas, 
se aplican las mismas definiciones y propiedades para el Campo Eléctrico, 
Por ejemplo,
E neto=∑ E=E1E2E3...
P
E1
E3 E2
(4)
E neto
Campo Eléctrico (forma vectorial)
Así podemos escribir que el campo eléctrico en el punto P se puede 
escribir de la siguiente manera
E neta=∑
i=1
N
E Pi=E P1E P2E P3... (5)
O bien
E neta=k∑
i=1
N qi
r Pi
2 r Pi (6)
P
qi
E neta
Campo Eléctrico (distribución contínua)
En este caso, al igual que para la ley de Coulomb, el vector unitario, , tiene 
dirección variable, que llega al punto P desde el elemento de carga dq. 
r
dq
P
d E=k dq
r2
r
r
r
Distribución contínua de cargas
E=k∫ dq
r2
r
(7)
(8)
En que, según sea el caso
dq=dv= dS=dl
Distribuciones contínuas (Ejemplo)
Ejemplo 1: Una carga eléctrica positiva q está distribuida 
uniformemente a lo largo de una línea de longitud 2a, que yace sobre el 
eje “y” entre y=-a e y=+a. Encuentre, ahora, el campo eléctrico que 
actúa sobre un punto P situado sobre el eje “x” a una distancia x del 
orígen.
dl=dy
dq
x
y
O
a
-a
α
y
x
r
d Fd E y
d E x
q
P
Distribuciones contínuas
Del ejemplo anterior el campo eléctrico se puede escribir de la siguiente 
manera:
E P=
1
40
2a
x  x2a2
i (9)
¿Qué sucede si la linea de carga uniforme es infinita? Podemos usar el 
límite cuando a→∞, en la ec. (19), es decir,
E P=lim
a∞
1
40
2a
x  x2a2
i
E P=
1
40
2
x
lim
a∞
a
 x2a2
i
E P=
1
40
2
x
i=2 k

x
i (10)
Campo Eléctrico (radial)
Ahora que se ha obtenido este resultado final, se puede hacer el cambio de 
nombre de x → r, en que r es la distancia perpendicular desde el punto P a 
la linea de carga uniforme, quedando la conocida fórmula
E=

20 r
r (11)
En ella se observa que el campo 
eléctrico tiene simetría radial, el vector 
unitario radial tiene dirección 
perpendicular a la línea, y también se 
observa que la magnitud del campo es 
inversamente proporcional a la primera 
potencia de r.
+ + + + + + + + + +
E
E
E
E
Que sea inversamente proporcional a r y no a r2 significa que el 
campo de una línea es más intenso que si fuera el de una carga 
puntual.
Lineas de Campo Eléctrico (carga puntual)
Las líneas de campo eléctrico se dibujan en la dirección y sentido del 
campo eléctrico, así , el campo resulta tangente a estas lineas. En el caso 
de una carga puntual, las lineas de fuerza son radiales y se han colocado 
unas punta de flecha para indicar el sentido de ellas. Cerca de la carga las 
lineas son mas densas, luego el campo es más intenso ahí.
Lineas de Campo Eléctrico (2 cargas iguales)
E
E
Lineas de Campo Eléctrico (2 cargas distintas)
Lineas de Campo Eléctrico (láminas)
Ley de Gauss (para el campo eléctrico)
La ley de Gauss es una consecuencia de la ley de Coulomb, pero está 
formulada de una manera tal que permite calcular fácilmente los campos 
eléctricos producidos por distribuciones de carga altamente simétricas. 
Por ejemplo esferas aisladas, esferas concéntricas, cilindros aislados, 
cilindros concéntricos, lineas rectas, planos aislados, planos paralelos, 
etc.
Enunciado:
El flujo eléctrico total que atraviesa una superficie cerrada 
arbitraria es igual a la carga total en su interior dividida por
la permitividad del vacío ε
0
E=∮ E⋅d S=
qtotal
0
(12)
Ley de Gauss (para el campo eléctrico)
Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como 
una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en 
cuestión. Para una carga puntual es evidente que este número es constante 
si la carga está contenida por la superficie y es nulo si esta fuera (ya que 
hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser 
la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que 
este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.
Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de 
superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, 
resultando la ley de Gauss.
Ley de Gauss (para el campo eléctrico)
Ejemplo 2: Demostrar la ley de Gauss para una esfera de radio r 
concéntrica con una carga puntual q.
Ejemplo 3: Determinar el campo eléctrico de una lámina plana infinita 
que tiene una densidad de carga total σ=cte
Respuesta: E x=

20
Algunas consecuencias de la Ley de Gauss 
● En la electrostática, adentro de los metales, el campo eléctrico es cero
● Si, dentro de los metales, tienen un exceso de carga ésta se sitúa en su 
superficie.
● En los casos de distribuciones continuas de carga, al aplicar la ley de 
Gauss, la carga interior de las superficies gaussianas debe evaluarse 
con una integral,
qtotal=∫dv=∫ dS=∫dl
Algunas consecuencias de la Ley de Gauss 
Existen 3 casos de importancia:
1.- Cargas puntuales y esferas aisladas con 
densidad de carga radial. Como el campo es 
radial se impone usar esferas gaussianas
2.- Lineas rectas de carga y cilindros largos 
con densidad de carga radial cilíndrica. 
Aquí el campo es cilíndrico y, obviamente 
se usan cilíndros gaussianos.
3.- Planos geométricos de carga y láminas 
metálicas. La densidad de carga de una lámina 
metálica es el doble de la de cada cara. En 
ambos casos usamos cajitas gaussianas
Aplicaciones de la Ley de Gauss 
Ejemplo 4: Una esfera metálica de radio R tiene una carga Q. Encontrar el 
campo eléctrico a) afuera de la esfera, b) adentro de la esfera, c) Encontrar la 
densidad superficial de carga. 
Ejemplo 5: Una esfera de radio R tiene una densidad volúmicade carga 
ρ=cte, y carga total Q. Determinar el campo eléctrico a) afuera de la esfera, 
y b) adentro de la esfera
Ejemplo 6: Determinar el campo eléctrico de una lámina metálica con 
densidad de carga σ1. Aquí se llama σ1 a la densidad de cargaen cada lado 
del metal, de modo que σ=2σ1.
Ejemplo 7: Determinar el campo eléctrico de un capacitor plano con 
densidad de carga σ. Un capacitor plano es un sistema de 2 láminas planas 
paralelas con densidades de carga iguales y contrarias.
Ejemplo 8: Encontrar el campo eléctrico a una distancia r de una linea de 
carga recta, muy larga, cuya densidad de carga linea es constante.
Ley de Gauss (forma diferencial) 
La Ley de Gauss (para la electroestática)
∮ E⋅d S= q0
(13)
Para cargas distribuidas podemos escribir la carga por
q=∫dv
Luego la primera ecuación de Maxwell se puede escribir
∮ E⋅d S= 10∫
dv
Por el teorema de Gauss tenemos
∇⋅E=

0
(14)
∮ E⋅d S=∫ ∇⋅E dv