FISICA II

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INDICE
Tema I: La Carga Y La Materia
Pág.
1.1.- Introducción 2 
1.2.- Conductores y Aisladores 3
1.3.- Conservación y Cuantización de la Carga 3
1.4.- Ley de Coulomb 4
1.5.- Fuerzas en las que intervienen fuerzas multiples 6
1.6.- Fuerzas en las que intervienen distribuciones continúas de cargas 7
1.7.- Ejercicios propuestos 11
Tema II: Campo Eléctrico
2.1.- Introducción 15
2.2.- Campo Eléctrico 15
2.3.- Campo Eléctrico de una carga puntual 15
2.4.- Campo Eléctrico debido a cargas múltiples 16
2.5.- Dipolos eléctricos 18
2.6.- Líneas del campo eléctrico 19
2.7.- Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga 20
2.8.- El movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico 23
2.9.- Ejercicios propuestos 24
Tema III: Ley de Gauss
3.1.- Introducción 28
3.2.- Flujo eléctrico 28
3.3.- Ley de Gauss 31
3.4.- Aplicación de la Ley de Gauss 33
3.5.- Conductores y Campos eléctricos 35
3.6.- Ejercicios propuestos 39
Tema IV: Potencial Eléctrico
4.1.- Introducción 43
4.2.- Potencial Eléctrico 43
4.3.- Potencial de potencial eléctrico 43
4.4.- Diferencia de potencial eléctrico 45
4.5.- Potencial eléctrico debido a distribuciones de cargas 46
4.6.- Energía potencial eléctrica 48
4.7.- Superficies equipotenciales 50
4.8.- Determinación de campos eléctricos a partir de potenciales eléctricos 50
4.9.- Potencial de un conductor cargado 51
4.10.- Ejercicios propuestos 52
Tema V: Capacitores y Dieléctricos 
5.1.- Introducción 56
5.2.- Capacitancia 56
5.3.- Calculo de la Capacitancia 57
5.4.- Energía en capacitores 58
5.5.- Energía en capacitores 59
5.6.- Combinación de capacitores 60
5.7.- Dieléctricos 62
5.8.- Ejercicios propuestos 63
Tema VI: La Corriente y La Resistencia
6.1.- Introducción 67
6.2.- La corriente eléctrica y la densidad de corriente 67
6.3.- Resistencia, Resistividad y Conductividad 70
6.4.- Modelo de conducción eléctrica 71
6.5.- Energía y Potencia eléctrica 73
6.6.- Ejercicios propuestos 74
Tema VII: Circuitos de Corriente directa
7.1.- Introducción 78
7.2.- Fuerza electromotriz 78
7.3.- Resistores en serie y paralela 79
7.4.- Regla de Kirchoff 81
7.5.- Circuitos RC 82
7.6.- Instrumentos de medición 85
7.7.- Ejercicios propuestos 86
Tema VIII: Campos Magnéticos
8.1.- Introducción 90
8.2.- Campos magnéticos 90
8.3.- Fuerzas magnéticas sobre un conductor que lleva una corriente 92
8.4.- Momento de torsión sobre una espira de corriente en un campo 
magnético uniforme 94
8.5.- Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético 95
2
8.6.- Selector de velocidades, espectrómetro de masa y ciclotrón 96
8.7.- Efecto may 99
8.8.- Ejercicios propuestos 100
Tema IX: Ley de Ampere
9.1.- Introducción 104
9.2.- Ley de Biot - Savart 104
9.3.- Ley de Ampere 105
9.4.- Fuerzas magnéticas entre dos conductores paralelos 106
9.5.- Campo magnético de un solenoide 107
9.6.- Flujo Magnético 108
9.7.- La corriente de desplazamiento de Maxwell 109
9.8.- Ejercicios propuestos 111
Tema X: Ley de Faraday
10.1.- Introducción 115
10.2.- Ley de Faraday y la Inductancia magnética 115
10.3.- Ley de Lenz 117
10.4.- fuerza electromotriz en movimiento 117
10.5.- Fuerza, energía y potencia en la fuerza electromotriz de movimiento 119
10.6.- Fuerza electromotriz y campos eléctricos 120
10.7.- Generadores y Motores 122
10.8.- Ejercicios propuestos 125
Tema XI: Inductancia
11.1.- Introducción 130
11.2.- Inductancia 130
11.3.- Circuitos RL 132
11.4.- Energía en Inductores 134
11.5.- Energía en campos magnéticos 135
11.6.- Inductancia mutua 137
11.7.- Osciladores en un circuito LC 138
11.8.- Circuitos RCL 141
11.9.- Ejercicios propuestos 142
Tema XII: Inductancia
12.1.- Introducción 147
12.2.- Transformadores 147
12.3.- Elementos individuales de circuitos de C.A. 149
3
12.4.- Circuitos de corriente alterna en serie con RCL 153
12.5.- Potencia en un circuito de C.A. 155
12.6.- Resonancia en un circuito en serie RLC 157
12.7.- Circuitos filtros 158
12.8.- Ejercicios propuestos 159
Anexos 160
Respuestas 166
Bibliografía 179
4
TEMA I
LA CARGA Y LA MATERIA
1.1 INTRODUCCIÓN:
 Un átomo de cualquier elemento está formado por tres tipos de partículas 
subatómicas: electrones, protones y neutrones. Los protones y neutrones contribuyen la 
parte central del átomo, llamado núcleo atómico, en cuyo alrededor se encuentran los 
electrones.
 La masa de un protón es aproximadamente igual a la de un neutrón pero la del 
electrón es 1.840 veces menor que la de un protón o un neutrón.
La carga del electrón 191,6 10e coulomb− −= × y su masa es 
319,11 10 .Kg−×
La carga del protón 191,6 10e coulomb−= × y su masa es 271,6 10 .Kg−×
Ordinariamente el átomo de un elemento tiene igual número de protones que de 
electrones.
Los protones ejercen una fuerza de atracción sobre los electrones; pero los protones 
entre sí se repelen, ocurriendo este mismo fenómeno de repulsión entre los electrones. 
Estos fenómenos de atracción y repulsión se explican atribuyéndole una propiedad llamada 
electricidad o carga eléctrica a estas partículas; que por convención es positiva para los 
protones y negativa para los electrones.
Podemos concluir que un cuerpo electrizado positivamente tiene déficit de 
electrones y si esta electrizado negativamente tiene exceso de electrones y estado neutro 
tiene igual número de protones que de electrones.
La electrización puede darse por Frotamiento o por Inducción.
- Electrización por frotamiento
-
Podemos transferir carga eléctrica frotando una varilla de vidrio con un paño, o 
frotando una varilla de teflón con un trozo de piel. (ver figura 1.1)
5
La varilla de vidrio se carga eléctricamente positiva (protones) y el paño de seda se 
carga eléctricamente negativo (electrones), lo que a ocurrido entre los dos es una 
transferencia de cagas, la varilla de vidrio le cedió electrones a el paño de seda y esta a su 
vez le cedió protones a la varilla de vidrio. Si frotamos la varilla de teflón con el trozo de 
piel la transferencia de carga que ocurre entre ellos es que la varilla de teflón se carga 
eléctricamente positivo (protones).
- Electrización por Inducción.
Utilizamos dos esferas metálicas neutras, sosteniendo cada una por un soporte 
aislado, tocándose cada una (Figura 1-2.a). Si llevamos una varilla de teflón, con cargas 
negativas, muy cerca de una de las esferas, los electrones en movimiento en la esfera se van 
al lado opuesto de la otra esfera, dejando cargas opuestas en las dos esferas (Figura 1.2.b). 
Mientras sigue cerca la varilla de teflón, separamos las dos esferas, dejándolas con cargas 
opuestas (Figura 1.2.c). Aun cuando quitemos la varilla de teflón, las cargas inducidas por 
ella permanecen en las dos esferas metálicas (figura 1.2.d). Decimos que las dos esferas se 
han cargado por inducción.
6
1.2 CONDUCTORES Y AISLADORES
Los conductores son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con 
bastante libertad, mientras que los aisladores son materiales que no transportan la carga con 
facilidad. Los materiales como el vidrio, el caucho y la lucita son aisladores. Cuando este 
tipo de material se carga por frotamiento, sólo el área que se frota se carga y no existe 
tendencia a la que carga se mueve hacia otras regiones del material.
Los materiales como el cobre, aluminio y plata son buenos conductores. Cuando 
este tipo de material se carga en alguna pequeña región, la carga se distribuye con facilidad 
sobre la superficie del conductor.
Existe una tercera clase de materiales los semiconductores y sus propiedades 
eléctricas se encuentran entre los correspondientes alos aisladores y conductores, un 
ejemplo de estos son el silicio y el germanio.
1.3 CONSERVACIÓN Y CUANTIZACIÓN DE LA CARGA.
- Conservación de la carga.
La carga neta es igual antes y después de cualquier interacción. Un ejemplo de esto 
lo observamos en las electrizaciones que indicamos en el punto anterior. El intercambio de 
electrones y interactuando no hace que varíe la carga total del sistema. Nadie ha 
presenciado caso alguno en la que aparezca una carga neta.
- Cuantización de la carga.
La carga se representa en múltiplos enteros de la carga del electrón y al hecho de 
que nunca se han observado cargas menores que la del electrón.
En general, las cargas ni se crean, ni se destruyen, ni se transforman, sino que sólo 
se desplazan y a lo sumo se fraccionan pero nunca más allá de un quantum de carga e− , o 
sea un electrón.
1.4 LEY DE COULOMB.
• Esta ley es única y exclusiva para dos cargas puntuales.
• La fuerza sobre cada partícula actúa siempre a lo largo de recta que las une.
• Las cargas son magnitudes algebraicas que pueden ser positivas o negativas.
• La fuerza puede ser de atracción si las cargas son de signos diferentes o de repulsión 
si son de signos iguales.
• K es una constante de proporcionalidad, cuyo valor depende de las unidades en que 
se expresen F, q y r.
7
2
9
2
0
1 9 10
4
Nw mK
Cπ
= = ×
∈
• 0∈ constante de permisividad del espacio vacío.
2
12
0 28,85 10
C
Nw m
−∈ = ×
La Ley de Coulomb establece:
“La fuerza de atracción o repulsión entre dos carpas puntuales es directamente 
proporcional al producto de ellas e inversamente proporcional al cuadro de la distancia que 
las separa”.
2
0
1 '
4
K
q q
rπ
=
∈
F
123
r
(1.1)
Donde:
F = Es la fuerza que ejerce q sobre q’.
k = Es el vector unitario de vector posición.
r = Es la magnitud del vector posición.
K = Constantemente de proporcionalidad.
q y q’= Son las cargas que interactúan.
La unidad de carga es el Coulomb. Decimos que cuando la fuerza entre dos cargas 
determinadas separadas por 1 mts es igual al valor numérico de K en Newtons, esas cargas 
son de 1C cada una.
Ejemplo:
Si un electrón se coloca en un punto (3,0,0) cm y un protón se coloca en el punto 
(0,2,0) cm, halle: a) La fuerza con la cual el electrón actúa sobre el protón, b) El módulo de 
la fuerza con la cual el protón actúa sobre el electrón.
 
DATOS:
19
2
2
1,6 10
3 3 10
2 2 10
e p C
x cm m
y cm m
− + −
−
−
= = ×
= = ×
= = ×
 
 
8
 ( ) ( )2 22 2 2 33 10 2 10 1,3 10ep m m m− − −= × + × = ×r
a) Aplicando la Ley de Coulomb. 
( )
2
2
0
25 26
1,
4
, 1,47 10 9,74 10
qe p
r
e p Nw
π
−
− − −
=
∈
= − × + ×
F r
F i j
b) , ,e p p e− −= −F F entonces:
( ) ( )2 225 26, , 1, 47 10 9,74 10e p p e Nw− − − −= = × + ×F F
25, 1,76 10p e Nw− −= ×F
1.5 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN CARGAS MULTIPLES.
Se aplica el principio de Superposición: la fuerza sobre cualquier carga, originada 
por un conjunto de carga individual.
1 2 3
2
1 104
t n
n n
i
t i i
i i i
F F F F F
qqF F r
rπ= =
= + + + +
= =
∈∑ ∑
KK
(1,2)
Pasos para resolver ejercicios de este tipo.
1.- Realizar un diagrama en un sistema de coordenadas indicando todas las fuerzas que 
interactúan.
2.- No olvidar que la fuerza eléctrica que actúan sobre una carga es una cantidad 
vectorial.
3.- Busque simetrías en la distribución de las cargas, que den lugar a la fuerza eléctrica.
Ejemplo:
Las cargas q, 2q, -4q y-2q ocupan las cuatro esquinas de un cuadro de 2L de lado, 
centrado en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Calcular: a) ¿Cuál es la 
fuerza neta sobre la carga q, debida a las otras cargas?, b) ¿Cuál es el modulo de dicha 
fuerza? (ver Figura 1.4).
9
1) Indicamos un sistema de coordenadas sobre la carga que se va a estudiar el efecto.
( )
3 21 2 4 2
2, 4,2 3,2 1,22 2 2
0 1,2 3,2 4,2
2 2 2
2, 2 2 2
2
9 9
2, 2
2
9
2, 2
1
4
2 4 4cos sin
4 8 8
1.3185 10 7.695 10
7.807 10
TOTAL
TOTAL
total
total
Q QQ Q Q Q Nw
r r r
q q qk Nw
L L L
q Nw
L
q Nw
L
π
θ θ
 
= + + ∈   
 
= + − + − 
 
= × ×
= ×
F r r r
F i i j
F i - j
F
1.6 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN DISTRIBUCIONES CONTINUAS 
DE CARGAS. 
Es cuando las partículas se componen de grandes cantidades de electrones o 
protones, por lo que dichas cargas están muy próximas unas de otras.
10
Puede ser buena aproximación manejar un gran conjunto de cargas puntuales como 
una distribución continua de carga eléctrica.
Para evaluar la fuerza eléctrica se realizan los siguientes pasos: (Figura 1.6)
.- Se divide la distribución continua de carga en pequeños elementos de .q∆
.- Se aplica la ley de Coulomb para calcular la fuerza eléctrica sobre la carga de 
prueba.
2
0
1 '
4
q q
rπ
∆∆ =
∈
F r
.- Se evalúa la fuerza total sobre la carga de prueba, debido a la distribución continua 
de cargas, sumando las contribuciones de todos los elementos de carga.
2
10
'
4
n
i
i
i i
qq
rπ =
∆≅
∈ ∑F r
Este valor de la fuerza es aproximado
.- Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeño 
comparado con la distribución a ρ , entonces podemos decir que el límite de 
0.iq∆ →
20 10
' lim
4 i
n
i
iq i i
qq
rπ ∆ → =
∆=
∈ ∑F r
2
0
'
4
q db
rπ
=
∈ ∫F r (1.3)
11
En donde la integración es una operación vectorial.
Esta es la fuerza total ejercida por una distribución continua de cargas sobre una 
carga de prueba q’.
Al llevar a cabo cálculos de este tipo resulta conveniente utilizar el concepto de 
densidad de carga, definimos densidad de carga como la carga total de una distribución 
continua (Q) por unidad de volumen, de área o lineal.
- Densidad volumétrica de carga.
Si una carga Q está distribuida uniformemente en todo un volumen V, la carga por 
unidad de volumen, ( ) ,rhoρ se define por:
Q
V
ρ = en donde ρ tiene las unidades 3
C
m
(1.4).
- Densidad superficial de carga.
Si una carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie cuya área es A, 
la densidad lineal de carga, ( ) ,sigmaσ se define por:
,Q
A
σ = en donde σ tiene las unidades de 2
C
m
(1.5).
- Densidad lineal de carga.
Si una Q está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud L, la 
densidad lineal de carga, ( ) ,landaλ se define por:
Q
L
λ = en donde λ tiene las unidades de 
C
m
(1.56).
Si la carga está distribuida de manera no uniforme sobre un volumen, superficie o 
línea, se tendría que expresar las densidades de carga como.
; ;dQ dQ dQ
dV dA dL
ρ σ λ= = = (1.7)
Ejemplo:
Una varilla recta de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de 
longitud λ y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre una carga de 
prueba q’ ubicada en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de uno de 
los extremos.
12
Solución: 
 
1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeños q∆
2.- Aplicamos la Ley de Coulomb
2
0
1 '
4
q q
rπ
∆∆ =
∈
F r
Como 
q
L
λ ∆=
∆
 despejando q Lλ∆ = ∆ donde L x∆ = ∆
Sustituyendo en la ecuación en la ecuación
2
0
1 '
4
q x
x
λ
π
∆∆ =
∈
F i
3.- Se evalúa la fuerza eléctrica total
( ) ( )
2
0
0
0 0
'
4
' 1
4
' 1 '
4 4
L d
d
L d
d
q dx
x
q i
x
q L q Q
d L d d l d
π
π
π π
+
+∆= =
∈
∆ −= =
∈
∆= =
∈ + ∈ +
∫F i
F
F i i
Ejemplo:
13
Calcular la fuerza que ejerce un anillo cargado uniformemente con una carga total 
Q, sobre una carga puntual q’, colocada en el eje.
El radio del anillo es R, y q’, está a una distancia L del centro del anillo. (ver Figura 
1.8)
Solución:
.- Dividimos la solución continua de carga en pequeños .q∆
Si observamos los componentes de las fuerzas en el eje Z son de igual magnitud 
pero de sentido contrario por lo que se anulan, esto va a ocurrir para todas las fuerzas 
perpendiculares.
Entonces las fuerzas que van a ejercer sobre la carga de prueba son las que se 
realizan sobre el eje y.
.- Aplicando la Ley de Coulomb.
14( )
( )
2
0
2 2
0
2 2
0
1 '
4
' cos
4
'
4
q qy r
r
q qy
R L
q qLy
R L
π
θ
π
π
∆∆ =
∈
∆∆ = =
∈ +
∆∆ =
∈ +
F
F
F
.- Se evalúa la fuerza eléctrica total.
( )
( )
3 22 2
0
3 22 2
0
'
4
'
4
q LFy dq
R L
q LFy
R L
π
π
=
∈ +
=
∈ +
∫
1.7 EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es 
55 10 .C−× ¿Cómo esta distribuida la carga total entre las esferas, si la fuerza 
repulsiva entre ellas es de 1Nw cuando las esferas están separadas 2mts?
2) Dos cargas de 91 10 C−× están en el aire separadas 8 cm.
Hallase el valor y dirección de la fuerza ejercida por estas cargas sobre una 
tercera de 115 10 C−× distante 5cm de cada una de las dos primeras cargas.
3) Tres cargas puntuales están a lo largo del eje y. una carga 61 2 10q C
−= × 
están en y = 2m y una carga 62 3 10q C
−= − × está en y = 1m ¿En donde debe 
colocarse una tercera carga positiva, 3,q de modo que la fuerza resultante 
sobre ella sea cero?.
4) Se supone que un protón está formado de dos quarks “arriba” de carga +(2/3) 
e y uno “abajo” de carga -(1/3)e. Suponga que los 1510 .x m− ¿Cuáles son las 
fuerzas electrostáticas entre cada par de los tres quarks?
15
5) En el punto ( )132 10 m−− × se coloca una carga - e y en el punto ( )132 10 m−× 
otra carga +e. Halle la fuerza F que actúa sobre una carga +e situada en el 
punto ( )130,10 10 .m−×
6) Una carga de 63 10 C−× se coloca a 12 cm de una segunda carga de 
61,5 10 .C−− × Calcúlese la magnitud, dirección y sentido de la fuerza que obra 
sobre cada carga
7) Una cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-p. ¿Cuál es la relación de Q 
a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separación, 
tenga una repulsión Coulombiana máxima?
8) Cierta esfera metálica de volumen igual a 31cm posee una masa de 7,5gr y 
contiene 228,2 10× electrones libres. a)¿Cuantos electrones han de quitarse de 
cada una para que la fuerza electrostática de repulsión entre ellas equilibre 
exactamente a la fuerza de atracción gravitatoria? Supóngase que la distancia 
entre las esferas es lo bastante grande para que las cargas sobre cada una de 
ellas pueda considerarse como puntuales b) Exprésese el número de electrones 
eliminados como fracción del número de electrones eliminados como fracción 
del número total de electrones libres.
9) Dos partículas puntuales se colocan a una distancia de 8,75cm entre si y se les 
comunican carga igual. La primera partícula, de 31,3gr de masa, tiene 
21,93m s de aceleración inicial hacia la segunda partícula. a) ¿Cuál es la 
masa de la segunda partícula, si su aceleración inicial hacia la primera es 
25,36m s ? Qué carga tiene cada partícula.
10) Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices de un cuadrado de lados 
a, como se ve en la Figura 1.10. Determine la fuerza resultante sobre la carga 
positiva q.
16
11) Una carga Q se coloca en cada uno de los vértices opuestos de un cuadrado. 
Una carga q se coloca en cada uno de los otros vértices. Si la fuerza eléctrica 
resultante sobre Q es cero ¿Cómo están relacionados q y Q?.
12) Se colocan tres cargas positivas iguales, de magnitud 61,2 10 C−× en las 
esquina de un triangulo equilátero de 6cm de lado. ¿Cuál es la fuerza eléctrica 
neta sobre una carga de 62 10 C−− × que se coloca en el punto medio de uno 
de los lados?
13) Un cubo de aristas a tiene una carga q en cada vértice. a) Demostrar que 
la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre cualquiera de estas cargas 
es 2 200,0252F q a= ∈ b) ¿Cuál es la fuerza resultante de F sobre una carga 
puntual Q colocada en el centro del Cubo?
14) Dos esferas similares de masa m cuelga de hilos de seda de longitud L y tiene 
cargas semejantes q, como se muestra en la Figura 1.9. Suponer que θ es lo 
suficientemente pequeño como para que la tanθ puede reemplazarse por el 
senθ . Utilizando esta aproximación, a) demostrar que ( ) 1 302x qL mgπ= ∈ en 
donde x es la separación entre las esferas b) ¿Cuánto vale q sí L =120cm, m 
=10gr y x5cm? C) Explique en detalles lo que sucedería si las bolas son 
conductoras y se descargase una de ellas totalmente.
17
15) a) ¿Cuál es la magnitud de las cargas positivas iguales que deberían colocarse 
sobre la tierra y sobre la luna para neutralizar su atracción gravitacional? b) 
¿Se tiene que conocer las distancias de la tierra a la luna para resolver este 
problema?
16) Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud 
2L, que va de y =-L, como se muestra en la figura (1.12). Se coloca una carga 
q’ en el eje x, en x =D. Si la varilla tiene una densidad de carga 02 /D Lλ λ= 
y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre q’.
17) Calcule la fuerza que ejerce una lámina plana infinita con densidad superficial 
de carga σ , sobre una carga q.
18
18) Se tiene una lámina vertical infinita que tiene una carga de 4 210 / .C m− Se 
cuelga una pelota de corcho de 5gr de masa, mediante un hilo de 60cm de 
longitud, a una distancia de 20cm de la lámina cargada. ¿Cuál es la 
orientación del hilo?. a) ¿Sí la carga de la pelota de corcho es 95 10q C−= × ? 
b) ¿Sí es 92,4 10 C−− × ?.
19) Una varilla larga y delgada, de longitud L, que contiene una distribución 
uniforme de carga Q, se aleja de una carga puntual q. La parte más cercana de 
la varilla está a una distancia d de la carga puntual. ¿Cuál es la fuerza 
eléctrica que ejerce la varilla sobre la carga q?
20) Dos varillas, cada una con longitud 2L, se colocan paralelas entre sí a una 
distancia R. Cada una tiene una carga total Q, Distribuida uniformemente en la 
longitud de la varilla, pero no la evalúe. Sin desarrollar las integrales, ¿Puede 
usted determinar la fuerza entre las varillas cuando R>>L?
19
TEMA II
CAMPO ELÉCTRICO
1.8 INTRODUCCIÓN:
Si colocamos una partícula de propiedades conocidas en un punto del espacio y 
medimos las fuerzas que se ejercen sobre ella, podemos determinar las propiedades locales 
del espacio en ese punto, es lo que se conoce como campo, se trata generalmente de 
magnitudes vectoriales.
2.2 CAMPO ELÉCTRICO
Se define como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva q’ 
colocada en un punto, dividida entre la magnitud de la carga de prueba q’.
'
Nw
q C
= FE (2.1)
La dirección del vector Campo Eléctrico esta determinada por la Fuerza eléctrica 
que actúa sobre la carga que prueba q’.
2.3 CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL.
Si tenemos una carga q que actúa sobre un punto p que contiene una carga de prueba 
q’, separadas por una distancia r. Recordemos la Ley de Coulomb
2
0
1 '
4
q q
rπ
=
∈
F r
Si sustituimos este valor en la ecuación de campo eléctrico obtenemos:
2
0
1
4
q
rπ
=
∈
E r (2.2)
Esta última ecuación obtenida es la que se utiliza para obtener el campo eléctrico 
generado por una carga puntual.
Ejemplo:
Una carga de 63 10 C−× está ubicada en ( ) ( ), 0 ,3 .x y cm cm= Determine el campo 
eléctrico en un punto ( ) ( ), 4 ,9 .P x y cm cm=
20
( ) ( )
( )
2
0
2 22 2 2 2
2 2 2
2 2 2
9
1
4
4 6
16 36 52
52 10
9 10
qE r
r
r x y cm
r cm cm
r m
Nw mE
π
−
=
∈
= + = +
= + =
= ×
= ×
2
C
6
2
3 10 C−×
252 10 m−×
2
2
4 10 m−×
272 10 m−×
26 10 mi
−×+ 272 10 m−×
( )
( )
4
3 3
5,19 10 0,055 0,083
2,88 10 4,33 10
j
NwE i j
C
NwE i j
C
=
= × +
= × + ×
2.4 CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS MULTIPLES
Cuando se tiene cargas múltiples aplicamos el principio de superposición para 
determinar el campo eléctrico neto o resultante. Este principio establece que la fuerza 
eléctrica neta sobre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas debida a las cargas 
puntuales individuales. O sea que el campo eléctrico neto es la suma vectorial de los 
campos de las cargas individuales presentes.21
1 2 3
2
1 10
1
4
T n
n n
i
T T
i i i
E E E E E
qE E ri
rπ= =
= + + + +
= =
∈∑ ∑
KKK
(2.3)
Ejemplo:
Tres cargas están en los vértices de un triangulo equilátero, como en la figura (2.2) 
Calcule la intensidad del campo eléctrico en la posición de la carga 68 10 ,C−× el modulo 
del campo eléctrico y su dirección
Solución:
a) 
22
( ) ( )
( )
( )
1 2
2 2
0 1 0 2
2 6 6
9
2 22 2 2
2
9 5 2 5 2
2
4
2 6
92
2 2 2
0 2
1 1 1 2
4 4
5 10 3 109 10 60
50 10 50 10
9 10 2 10 / 1,04 10 /
8,65 10
1 3 10cos 9 10
4 50 1
x
y
Ex E E
g qEx i sen i
r r
Nwm C CEx sen i
C m m
NwmEx C m C m i
C
NwEx i
C
q Nwm CEy E j
r C
θ
π π
θ
π
− −
− −
− −
−
= +
= −
∈ ∈
 × × = × −
 × × 
= × × − ×
= ×
×= = − = ×
∈ ×( )
( )
( )
( )
22
4
4 4
cos 60
0
5, 4 10
8,65 10 5,4 10T
j
m
NwEy j
C
NwE i j
C
−
−
= × −
= × − ×
b) El modulo del campo eléctrico 
( ) ( )2 22 4
9 9
4
8,65 10 5, 4 10 /
7.48 10 2,92 10 /
10,19 10 /
T
T
T
E Nw C
E Nw C
E Nw C
= × + ×
= × + ×
= ×
c) La dirección es:
4
4
5,4 10 0,62 0,62
8,65 10
31,96 32
Eytg tg arctg
Ex
θ θ θ
θ
×= = ⇒ = ⇒ =
×
= ≅ o
23
θxE
yE
tE
X
Y
Figura 
2.4
2.5 DIPOLO ELÉCTRICOS
Un dipolo eléctrico consta de dos cargas igual magnitud pero con signo contrario, 
separadas por una distancia L. (Figura 2.5)
Ejemplo:
Si se tienen dos cargas iguales pero de signos contrarios, separadas por una 
distancia 2ª, en un configuración llamada dipolo eléctrico. ¿Cuál es el campo eléctrico E 
debido a estas dos cargas, en un punto P que se encuentra a una distancia x sobre la 
perpendicular al punto medio que une a las dos cargas? Suponga que x>>a. (Figura 2.6)
Solución:
Como los campos generados en el eje de las x son iguales pero de sentidos 
contrarios el campo resultante en esa coordenada es cero
( ) ( )
1 2
1 2 2 2
0 1 2
1
22 2 2 2 2
0 1 0
1
4
1 22 cos
4 4
x x
q qEy E E sen sen j
r r
q q aEy j j
r a x a x
θ θ
π
θ
π π
 
= + = + − ∈  
 
= − = − = ∈ ∈ +  +
g
24
P
1xE2xE
+q
a
a
-q 2E 2 yE 1yE 1E
Figura 2.7
θθ
( )3 22 20
2
4
aqEy j
a xπ
= −
∈ + como x>>a
( )3 2 320
2 21
4
a aq qEy j k
xxπ
= =
∈
2.6 LINEAS DEL CAMPO ELÉCTRICO
El campo eléctrico debido a una distribución de carga se pueden visualizar en 
términos de las líneas de campo eléctrico. Las líneas del campo eléctrico son continuas en 
el espacio y son una alternativa más adecuada a la representación visual.
Para una carga puntual positiva, las líneas son radiales hacia adentro, como lo indica 
la figura. (Figura 2.8)
Para una carga puntual negativa, las líneas son radiales hacia adentro, como lo 
indica la figura. (Figura 2.9)
Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal modo que la tangente a la línea del 
campo, en cada punto, especifique la dirección del campo eléctrico en ese punto.
La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto, es 
proporcional a la intensidad del campo eléctrico en ese punto.
Propiedades de las líneas de campo eléctrico
1.- En una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí. 
En esta región podemos tomar un área pequeña que esté orientada perpendicular 
a las líneas casi paralelas del campo. La densidad de las líneas, es el número de 
líneas que cruzan esa área pequeña, dividió entre el valor del área.
2.- Las líneas pueden indicarse o terminar sólo en cargas y nunca en el espacio 
vacío. Si no se crean nuevas líneas de fuerza al retirarnos de una carga, será 
igual a N (número de líneas) dividido entre el área de la superficie perpendicular 
a las líneas. Esa superficie es una esfera de radio R y la densidad de las líneas es 
2/ 4 .N Rπ La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo 
eléctrico.
3.- Las líneas se originan en las cargas positivas y se prolongan hacia las cargas 
negativas. Las eléctricas son las fuentes de los campos eléctricos, que apuntan 
alejándose de las cargas negativas.
4.- Nunca se cruzan dos líneas de campo eléctrico.
25
2.7 CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE 
CARGA.
Con mucha frecuencia las cargas que interactuar entre sí están muy próximas, a este 
tipo de situaciones se le considera un sistema de carga continuo, es decir, que el sistema de 
cargas con espacios muy reducidos entre sí equivalen a una carga total Q que está 
continuamente distribuida en todo un volumen, superficie o línea.
Para evaluar en una distribución continua de carga en el Campo Eléctrico se realizan 
los siguientes pasos. (Figura 2.10)
Se divide la distribución de carga en pequeños elementos .q∆
Se aplica la Ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a estos elementos en 
el punto P.
2
0
1
4
qE r
rπ
∆∆ =
∈
Se evalúa el campo eléctrico total sobre el punto P, debido a la distribución de carga, 
sumando las contribuciones de todos los elementos de cargas.
2
10
1
4
n
i i
qiE ri
rπ =
∆=
∈ ∑
 Este valor de la fuerza es aproximado.
Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeña comparado 
con la distancia a P, entonces podemos decir que el limite de 0qi∆ →
20 10
1 lim
4
n
q i i
qiE ri
rπ ∆ → =
∆=
∈ ∑
2
0
1
4
dqE r
rπ
=
∈ ∫ (2.4)
 
 Esta integración es una operación es vertical.
 El resultado obtenido de esta integración es el campo eléctrico total ejercido por una 
distribución continua de carga sobre un punto P.
Debemos recordar lo establecido en el tema anterior en el punto 1.7 con respecto a 
la densidad de carga.
26
 Densidad Volumétrica de carga ( )2.5Q
V
ρ =
 Densidad Superficial de carga ( )2.6Q
A
σ =
 Densidad Lineal de carga ( )2.7Q
L
λ =
Ejemplo:
Una barra de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud λ 
y una carga total Q. ¿Calcular el campo eléctrico en el punto P que esta a una distancia d de 
un uno de los extremos de la barra?
Solución:
1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeña .q∆
2.- Aplicamos la Ley de Coulomb
2
0
1
4
qE r
rπ
∆∆ =
∈
 Como 
q
L
λ ∆=
∆
 despejando q Lλ∆ = ∆ donde L x∆ = ∆ 
 Sustituyendo en la ecuación:
2
0
1
4
xE r
r
λ
π
∆∆ =
∈
3.- Se evalúa el campo eléctrico total.
27
L d
P
xE
X∆
2
0
0 0
4
1 1 1 1
4 4
d L
d
d L
d
dxE i
x
E i
r d d L
λ
π
λ
π π
+
+
=
∈
−   = = −   ∈ ∈ +   
∫
∫
( )
( )
0
0
4
4
d L dE i
d L d
LE i
d L d
λ
π
λ λ
π
 − + += =  ∈ + 
=
∈ +
Ejemplo:
Una lamina plana infinita, la carga positiva está distribuida de manera uniforme 
sobre todo el plano xy, con una densidad superficial de carga, .σ Calcular la intensidad del 
campo eléctrico en un punto P que esta en el eje Z a una distancia Z = a. (Figura 2.12)
Dividimos la distribución en pequeños diferenciales de .q∆
Aplicamos la Ley de Coulomb.
2
0
1
4
qE r
rπ
∆∆ =
∈
 
 El área de una porción de franja de longitud L es L dx y la carga sobre la franja es 
dq Ldyσ= por lo que la carga dλ por unidad de longitud es
dq Ldyd dy
L L
σλ σ= = =
 En virtud de que la franja crea en el punto P un campo eléctrico ,E∆ que esta en l plano 
y,z
0
2
4
dyE r
r
σ
π
∆ =
∈
 Este campo tiene componentes en y y z, pero como las componentes en y por simetría 
son iguales pero de sentido contrario la suma dará cero al considerar la lamina entera.
28
0
2
4
dyEz r
r
σ
π
∆ =
∈
Evaluado el campo eléctrico total
0
cos
2
dyE
r
σ θ
π
∞
−∞
=
∈ ∫
 Como 2cos cos
a ady d yrθ
θ θ
= = sustituyendo
cos
a
dy
r
θ =
2cos θ
a
2cos θ
cosd dθ θ θ=g
 Cambiando los límites de integración 2 2aπ π−
(
2 2
2 2
2
E d K K
E
π π
π π
σ θ σ θ
σ
π
− −
= = =
=
∫ ∫
0
π
∈ 02
K E Kσ
π
⇒ =
∈
2.8 EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO 
ELÉCTRICO.
 Si tenemos una partícula de carga q y la colocamos en un campo eléctrico E, entonces la 
furaza eléctrica es F = E . q Si esta es la única fuerzaejercida sobre la carga, entonces 
aplicamos de 2da Ley de Newton.
F = m . a ; F = E . q 
Igualando tenemos
ma = E . q despejando la aceleración 
.E qa
m
= (2.8)
 Si el campo eléctrico es uniforme la aceleración es constante. Si la carga es positiva, la 
aceleración será en la dirección del campo eléctrico; si es negativa, la aceleración será en 
dirección opuesta a la del campo electrónico.
 Este movimiento cuando se realiza entre dos placas metálicas planas con cargas 
opuestas, pueden aplicarse las ecuaciones de la Cinemática Bidimensional. (Figura 2.13)
29
Ejemplo:
Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo 
eléctrico uniforme E, dirigido a lo largo del eje x, describiremos su movimiento.
( )
2
2
0
2
2
2 2
2
2 2
1
2
at Eq Eqx Vot t V V at t
m m
qE
V Vo ax x
M
Ek mV Eqx
= + = ⇒ = + =
= + =
= =
2.9 EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Una carga de 612 10 C−− × está en el punto x =0m y una segunda carga 90,5 10 ,C−× en 
el punto x =0,1m. ¿Cuál s la magnitud y la dirección del campo eléctrico a) en 
x =1m y b) x =0,11m? 
2) Una carga eléctrica de 62,8 10 C−− × está ubicada en el origen. Determine el campo 
eléctrico a) sobre el eje x =2m y b) sobre el eje y en y =-3.
3) Un pequeño objeto, que tiene una carga de 95 10 ,C−− × experimenta una fuerza hacia 
debajo de 920 10 Nw−× cuando se coloca en cierto punto de un campo eléctrico a) 
¿Cuál es el campo en dicho punto? b) Cuáles serian la magnitud y sentido de la fuerza 
que actuaría sobre un electrón colocado en tal punto?
4) Calcular la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P, de la siguiente 
figura. (Figura 2.15)
5) ¿Cuál es el vector de un campo eléctrico en el cual la fuerza sobre un electrón es igual 
a su peso?
30
0 0θ = E
q X
θ
Figura 2.14
6) Tres cargas iguales q están en los vértices de un triangulo equilátero de lado a, como 
se muestra en la figura (2,.16) a)¿En qué punto (que no sea ∞ )?el campo eléctrico es 
cero? b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P?
7) Una pequeña esfera, de masa 0,1gr, lleva una carga de 103 10 C−× y esta sujeta en el 
extremo del hilo está atado a un gran conductor vertical plano, que tiene una densidad 
de carga de 6 225 10 / .C m−× Hállese el ángulo que forma el hilo con la vertical.
8) Una varilla delgada no conducta de longitud L, tiene una carga total q distribuida de 
modo uniforme en toda su longitud. Demostrar que el valor de E en un punto P sobre 
la perpendicular al punto medio de la varilla es
2 2
0
1
2 4
qE
y L yπ
=
∈ +
9) Una barra de 10cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de 
65 10 .C−− × Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje 
de la barra, en el punto a 30cm de su centro.
10) Un disco cargado uniformemente de 8cm de radio tiene una densidad de carga de 
4 26 10 / .C m−× Calcule el campo eléctrico sobre el eje del disco a) 2cm, b) 20cm.
11) Dos placas grandes, planas y verticales son paralelas entre sí y están separadas por 
una distancia d. Ambas tienen una distancia uniforme de carga, ,σ positiva. ¿Cuál es 
el campo eléctrico? a) en el espacio que las rodea y b) entre ellas?
12) Se tienen una varilla delgada, con carga uniforme, de 50cm de longitud y se dobla en 
semicírculo. La carga total sobre la varilla es 62 10 .C−× ¿Cuáles son la magnitud y 
dirección de campo eléctrico en el centro del semicírculo?
13) Un disco delgado circular de radio a está cargado uniformemente, y su carga por 
unidad de área es 62 10 .C−× Encontrar el campo eléctrico en el eje del disco a una 
distancia r del disco.
14) El campo eléctrico en el espacio comprendido entre dos laminas planas y paralelas, 
cargadas iguales y de signos opuestos, cada una de ellas de 2100cm de superficie, es 
41 10 / .N C× ¿Cuál es la carga de cada lámina? Deprecie los efectos de los bordes.
15) Se lanza un electrón de un campo eléctrico uniforme de 35 10 / ,N C× dirigido 
verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 71 10 /m s× y forma 
un ángulo de 30º por encima de la horizontal. a) ¿Calcúlese la altura máxima inicial? 
b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá el electrón antes de recobrar su altura inicial?
31
16) Un protón se acelera a partir del reposo, en un campo eléctrico uniforme de 
25 10 / .N C× En cierto instante posterior, su velocidad es de 62,5 10 / .m s× a) 
¿Determine la aceleración del protón en alcanzar esta velocidad? b) ¿Cuánto tarda el 
protón en alcanzar esta velocidad? c) ¿Qué distancia recorre en este tiempo? d) ¿Cuál 
es su energía cinética en ese instante?
17) Se proyecta un electrón formando un ángulo de 37º con la horizontalidad, con una 
velocidad inicial de 54,5 10 / ,m s× en una región de un campo eléctrico 200 .E j N C= 
Calcule: a) el tiempo que tarda el electrón en regresara su altura inicial. b) la altura 
máxima alcanzada por el electrón y c) su desplazamiento horizontal al alcanzar su 
altura máxima.
18) a) ¿Cuál es la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de 
61 10 .N C× ? b) ¿Cuánto tiempo transcurre, si parte del reposo, para que su rapidez 
sea de un décimo de la velocidad de luz?
19) En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas, cargadas con cargas 
iguales y opuestas, existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado llega 
a la superficie de la lámina opuesta, situada a 2cm de distancia de la primera, al cabo 
de 81,5 10 .seg−× Hállese: a) El campo eléctrico. b) La velocidad del electrón cuando 
llega a la segunda lámina.
20) Un electrón entra a la región de un campo eléctrico uniforme, velocidad inicial 
63 10 /m s× y un campo eléctrico 200 N/C. la anchura de las placas es L = 0,1 m. a) 
¿Determinar la aceleración del electrón mientras se encuentra en el campo eléctrico?. 
b) Calcular el tiempo que tarda el electrón en recorrer la región del campo eléctrico. 
c) ¿Cuál es el desplazamiento vertical y del electrón mientras está en campo eléctrico?. 
d) ¿Cuál es la velocidad del electrón al salir del campo eléctrico?
32
TEMA III
LEY DE GAUSS
1.9 INTRODUCCIÓN
Esta ley facilita en muchos casos el cálculo de los campos eléctricos, cuando hay 
simetría en la distribución de la carga. Su utilidad esta en la habilidad que se tenga para 
encontrar una superficie gaussiana adecuada en la cual se conozca el comportamiento del 
campo eléctrico.
En el tema anterior vimos como a través de la Ley de Coulomb se calculaba el 
campo eléctrico partiendo de la distribución de cargas. Esta Ley de Coulomb puede 
expresarse a través de la Ley de Gauss. Donde los cálculos no son tan laboriosos.
3.2 FLUJO ELÉCTRICO 
Es una propiedad de todos los campos vectoriales. Flujo electrónico es una medida 
de número de líneas del campo eléctrico que atraviesan cierta superficie. El número neto de 
líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en el 
interior de ella.
Tomemos una plano de área A, orientando perpendicularmente al flujo Figura 3.1. 
Recordando que el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del 
campo eléctrico, entonces el número de líneas que atraviesan la superficie de área A es 
proporcional al producto de EA, o sea es flujo eléctrico ∅
EA∅ = (3.1)
Las unidades del flujo eléctrico con Nw. M2/C
Si tomamos ese mismo plano de área A y lo inclinamos en ese mismo campo 
eléctrico formando un ángulo θ con la vertical Figura 3.2. El número de líneas que pasan a 
través de ella debe ser menor. Como el número de líneas que atraviesan la superficie A, es 
igual al que atraviesan las superficie A’, entonces el flujo deseado es:
'EA∅ =
Como la relación entre las dos áreas es cosA A θ=
cosEA θ∅ = (3.2)
Con esto podemos concluir:
El flujo máximo cuando la superficie es perpendicular al campo eléctrico.El flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo.
33
Claro que esta definición es para un pequeño diferencial de área. Consideremos 
ahora una superficie general dividida en un gran número de elementos de área A∆ (Fig. 
3.3) Si tomamos un pequeño elemento de área como lo indicamos en el dibujo y calculamos 
el flujo eléctrico a través de él.
cos .i Ei Ai Ei Aiθ∆ ∅ = ∆ = ∆123
Producto escalar de dos vectores
Si usamos todas las contribuciones de los elementos de área obtenemos el flujo total 
que pasa por la superficie.
1
.
n
i
Ei Ai
=
∅≈ ∆∑
Si el área de cada uno de los elementos se hace tender a cero, entonces el número de 
elemento tiende al infinito y la suma se sustituye por una integral.
0 1 sup
lim . .
n
A i erficie
Ei i E dA
∆ →
=
∅ ≡ ∆ =∑ ∫
Por lo general se trata de evaluar el flujo que pasa por una superficie cerrada, por lo 
que la ecuación se puede escribir como
.c E dA∅ = ∫ (3.3)
Podemos decir que si una superficie cerrada tienen más límites salientes que 
entrantes, el flujo es positivo y si entran más líneas que las que salen, el flujo es negativo.
Ejemplo:
Se aplica un campo eléctrico de 45 10 / ,Nw C× a lo largo del eje x de anchura y 0,8 
m de largo, si a) éste es paralelo al plano y z, b) es paralelo al plano y c) contiene al eje y, y 
su normal, forma un ángulo de 53º con el eje x.
Solución:
a)
Figura 3.4
34
y
x
E
Área A
d
El flujo es: . cosE dA EdA θ∅ = =∫ ∫
El ángulo entre E y A es cero grado. Cos 0 = 1
.E dA E A∅ = =∫
El área es b . h
2
4 3 .. . 5 10 / .0.8 .0, 2 8 10 Nw mE b h Nw C m m
C
∅ = = × = ×
b)
 Figura 3.5
El flujo es: . . cosE dA E dA θ∅ = =∫ ∫
El ángulo entre E y A es de 90º, cos 90=0 por lo que el flujo es cero 0∅ =
c)
Figura 3.6
El flujo . . cosE dA E dA θ∅ = =∫ ∫
el ángulo entre E y A es de 53º, cos 53º = 0,60
35
y
x
E
Áre
a
d
A
z
E
z
x
yθ
dA
cos . cos53ºE dA E Aθ∅ = =∫
2
4 3 .5 10 / .0,8 .0,2 .0,60 4,81 10 Nw mNw C m m
C
∅ = × = ×
3.3 LEY DE GAUSS
Para usar la Ley de Gauss necesitamos determinar el flujo eléctrico a través de una 
superficie cerrada. Esas superficies, que por lo general serán imaginarias, pueden que tenga 
simetría. A estas superficies las llamamos superficies gaussianas.
La Ley de Gauss expresa el flujo en términos de la carga encerrada. Si no hay carga 
dentro de una superficie cerrada, el flujo eléctrico a través de la superficie es cero. 
Consideramos una carga puntual positiva Figura 3.7, escogeremos una esfera como 
superficie gaussiana, de radio R, ubicando la carga en el centro de la esfera. Sabemos que el 
campo eléctrico por ley de coulomb es:
2
0
1
4
qE r
rπ= ∈
Como podemos observar las líneas del campo eléctrico son reales en toda la 
superficie y hacia fuera, por lo que son perpendiculares a la superficie en cada punto. O sea 
que el campo eléctrico en cada punto que tomemos es paralelo al pequeño ,A∆ entonces:
. .E A E A∆ = ∆∫
Por lo que: 2
0
1.
4
qd E dA dA
rπ
∅ = =
∈
Integrando obtenemos:
2
0
1.
4
qE dA dA
rπ
∅ = = =
∈∫
2
0
1
4
q
rπ
∅ =
∈ 20
1
4
qdA A
Rπ
=
∈
Como el área de una esfera es 24 RΠ sustituyendo
2
2
0 0
1 4
4
q qR
R
π
π
∅ = ⇒ ∅ =
∈ ∈ (3.4)
Este resultado nos indica que el flujo eléctrico que emana de una carga puntual es 
independiente del radio de la esfera gaussiana.
0
. qE dA∅ = =
∈∫
36
Podemos decir que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es 
independiente de la forma de esa superficie. De hacho, el flujo neto a través de cualquier 
superficie cerrada que rodee a una carga puntual q es /q o∈
Pasos para utilizar la Ley de Gauss en la solución de un Problema:
Hacer un esquema de la distribución de carga, que ayudará a ubicar la simetría adecuada.
Identificar la simetría espacial de la distribución de carga y de campo eléctrico que 
produce.
Escoger la superficie gaussiana que sea adecuada a simetría identificada.
Aplicar la ecuación de flujo eléctrico para una superficie gaussiana.
Ejemplo:
El flujo eléctrico neto que pasa por una superficie cerrada dada es 2 24 10 / .Nwm c− × 
¿Qué carga está contenida dentro de la superficie, si ésta es a) una esfera de 3cm de lado b) 
un cubo de lado 3cm y c) un cilindro circular recto de 3cm de altura y 1cm de radio.
No necesitamos llevar a cabo la integración, según la ley de Gauss, el flujo eléctrico 
total es tan solo / ,q o∅ = ∈ sin importar la forma de la superficie, por lo que la carga 
encerrada es igual en los tres casos indicados en el problema
2. 0 4 10
0
q q Nwm∅ = ⇒ = ∅ ∈ = − ×
∈
2
2 2/ .8,85 10 CC
Nwm
−× 2
93,54 10 C−∅ = − ×
3.4 APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.
Presentamos algunos ejemplos de cómo utilizar la Ley de Gauss.
Debemos recordar que la Ley de Gauss sólo es útil cuando existe un alto grado de 
simetría en la distribución de carga y siempre debe elegirse la superficie gaussiana de modo 
que tenga la misma simetría que la correspondiente a la distribución de carga.
Ejemplos:
1.- Determine el campo eléctrico debido a una varilla infinitamente larga, recta, y cargada 
con densidad lineal de carga positiva λ , constante, como se observa en la Figura 3.8.
Solución:
Por simetría, la dirección del campo eléctrico es radia en el plano x, y, como se 
observa en la Figura 3.9.
37
La superficie gaussiana que tiene simetría con la varilla es un cilindro, el cual lo 
indicamos centrado en la varilla, con un radio r y una altura h, como se observa en la Figura 
3.10.
Calculamos el flujo a través del cilindro, indicando las direcciones de las áreas, dA 
para las diversa superficies del cilindro.
1 2 3
1 2 3
. . .E dA E dA E dA∅ = + +∫ ∫ ∫
El campo eléctrico es paralelo a esa superficie por 
lo que E es perpendicular a 1;cos90 0dA =
o
 el campo eléctrico es perpendicular a la superficie por 
lo que E es paralelo a 2;cos 0º 1dA =
 
el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo 
que E es perpendicular a 3;cos90 0dA =
o
entonces el flujo es : E∅ = 2 2.dA E A=
el área lateral de un cilindro recto de altura h es 2 rhπ
.2E rhπ∅ =
Aplicando la Ley Gauss: 
0
.q∅ =
∈
Igualando las ecuaciones obtenemos:
0 0
.2
2
q qE rh E
rh
π
π
= ⇒ =
∈ ∈
como la densidad de carga ;
q q L
L
λ λ= = donde L=h
Sustituyendo
0 02 2
hE E
rh r
λ λ
π π
= ⇒ =
∈ ∈
2.- Determine el campo eléctrico fuera y dentro de un cascarón esférico de radio R que 
tiene una carga total Q positiva distribuida uniformemente sobre una superficie externa.
38
0∅ =
1 1 1
1
. cos ;E dA θ∅ = ∫
2 2 2
2
. cos ;E dA θ∅ = ∫
2 2
2
.E dA∅ = ∫
3 3 3. cos ;E dA θ∅ = ∫
3 0∅ =
a) CAMPO ELÉCTRICO FUERA Figura 3.11
Solución: Por simetría el campo eléctrico es radial hacia fuera y r > R, aplicando la 
ecuación de flujo.
. cos , 0 cos 1E dA E dA θ θ θ∅ = = = ⇒ =∫ ∫
. ;E dA E A∅ = =∫ el área de la esfera gaussiana es 24 rπ
24 ;E rπ∅ = aplicando la Ley de Gauss 
0
q∅ =
∈
2
04
qE
rπ
=
∈
b) CAMPO ELÉCTRICO DENTRO Figura 3.12
Solución: Dentro del cascarón el radio de este es mayor al de la superficie gaussiana R > r, 
para este caso la superficie gaussiana no encierra carga alguna, por lo que el campo 
eléctrico dentro del cascarón esférico es cero (Q = 0).
2
0
0
4
qE E
rπ
= ⇒ =
∈
3.- Calcule el campo eléctrico fuera de una lámina infinita no conductora, con la densidad 
uniforme de carga, .σ Figura 3.13
Para resolver este ejercicio debemos ubicar la superficie gaussiana simétrica, en este caso 
podemos utilizar un cilindro igual que el primer ejemplo. Figura 3.14
1 2 3
1 2 3
EdA EdA EdA∅ = + +∫ ∫ ∫
el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por 
lo que E es paralelo a dA; cos 0º = 1
 
el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo 
que E es perpendicular a dA, cos 90º = 0
el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por 
lo que E es paralelo a dA, cos 0º = 1
paralelo a dA, cos 0º = 1
39
1 1
1
;EdA∅ =∫
1 1E dA∅ = ∫
2 2
2
;EdA∅ =∫
2 0∅ =
3 3
3
;EdA∅ =∫
3 3
3
E dA∅ = ∫
entonces el flujo es: 
1 2 2 2 .E dA E dAE dA E A∅ = + = =∫ ∫ ∫
recordando que 
Q Q A
A
σ σ= ⇒ = sustituyendo en la ley de gauss.
0 0
Q Aσ∅ = =
∈ ∈
igualando las dos ecuaciones:
0 0
2 AEA Eσ σ= ⇒ =
∈ ∈
3.5 CONDUCTORES Y CAMPO ELÉCTRICOS.
Los conductores tienen gran número de electrones libres. Cualquier campo eléctrico 
que se desarrolle dentro de un conductor, por efecto de un campo eléctrico externo, hará 
que los electrones se muevan y en menos de un microsegundo, se reacomodan en una 
configuración que anula el campo eléctrico dentro del conductor. Los conductores no tienen 
campo eléctrico estático interno.
El movimiento de cargas en respuesta a campos eléctricos aplicados se llama 
inducción.
Como podemos observar Figura 3.14 el campo inicial, no tiene su forma original al 
que se genera a través de las cargas inducidas.
Veamos que sucede cuando a un conductor se le colocan cargas en ellos o cerca de 
ellos o cuando se colocan en campos eléctricos externos con la Ley de Gauss.
a) Cuando colocan cargas en los conductores (exceso de carga).
Vemos que dentro de la superficie Gaussiana Figura 3.15 no hay campo, no hay 
flujo y no hay carga neta, todo el exceso de carga está en la superficie externa de un 
conductor se mueve al exterior E = 0. Figura 3.16.
Cuando la burbuja esta cargada +Q, esta inducirá una carga -Q en la superficie del 
metal, lo cual mantiene al campo eléctrico dentro del metal en cero E = 0. Figura 3.17.
40
b) Campos eléctricos cerca de conductores.
1) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor, debe ser perpendicular a la 
superficie del conductor.
2) Empleando la Ley de Gauss, podemos calcular el valor de ese campo eléctrico 
perpendicular cerca de la superficie, en términos de la densidad de carga en ella.
Ejemplo:
Conductor con una superficie gaussiana pequeña perpendicular a la superficie del 
conductor o cuya tapa es paralela a la superficie. Figura 3.18.
La densidad ( )sigmaσ de carga superficial puede variar en el conductor, por lo que 
tomamos una superficie gaussiana muy pero muy pequeña donde tanto la densidad de carga 
( )σ superficial y E se puede considerar constante en ella.
0
; .Q E dA EA∅ = ∅ = =
∈
Como sabemos la carga total de q encerrada en la superficie gaussiana es Aσ de 
modo que: igualando las ecuaciones
0
.Q E A=
∈
y sustituyendo el valor de la carga total
0
.A E Aσ = ⇒
∈
nos queda 
0
E σ=
∈ el campo eléctrico inmediatamente fuera de la superficie es 
proporciaonal a la densidad local de carga.
En resumen:
1) El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.
2) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor es perpendicular a la 
superficie de éste, y tiene el valor ,oσ ∈ siendo σ la densidad superficial de carga 
local.
41
3) Un conductor en equilibrio eléctrico, ----- uno que contenga burbujas no conductoras, 
sólo puede tener carga n su superficie exterior, siempre que las burbujas no contengan 
carga neta.
Ejemplo:
Dos cascarones concéntricos, conductores perfectos (Figura 3.19), tienen radios R y 
2R, respectivamente. Se coloca una carga q en la esfera interna, y de -2q en la externa. 
¿Cuáles son los campos eléctricos en todo el espacio, debido a los dos cascarones?
Solución
a) Cuando el radio de la superficie Gaussiana es menor que el radio R r < R. Como la 
superficie GAussiana no encierra carga alguna, el campo eléctrico dentro del 
cascarón de radio R es cero E = 0.
b) Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el cascarón de radio R y 
menor que el de 2R R < < 2R, (Fig.3.20), para este caso la carga que esta encerrada 
por la superficie gaussiana es la del menor cascarón (q) aplicando la ecuación del 
flujo eléctrico para calcular el campo eléctrico.
. . cos ,E dA E dA θ∅ = = como el campo eléctrico E es paralelo a 
, 0 ,cos0 1edA θ− = =o o
. ,E dA E A∅ = =∫ el área de una esfera gaussiana es 24 rπ
2.4E rπ∅ =
La ley de Gauss es 
0
,q∅ =
∈ igualando
2
0
.4 qE rπ∅ = =
∈ despejando
2
04
qE
rπ
=
∈
c) Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el del cascarón mayor (2R), 
2R < r (Fig. 3.21). La carga cerrada por la superficie gaussiana es la carga total 
interna qiut = q -2. q qiut = -q, con esta carga calculamos el campo eléctrico a través 
del flujo eléctrico.
42
 el campo eléctrico E es paralelo a 
, 0 ;cos 0 1dA θ = =o o
el área de una esfera gaussiana es 24 rπ
2.4E rπ∅ =
la ley de gauss es 
0
;q∅ =
∈ Igualando las ecuaciones:
2
0
.4 ;qE rπ −=
∈ despejando 204
qE
rπ
−=
∈
3.6 EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Una placa infinitamente grande, delgada y no conductora, tiene una densidad uniforme 
de carga, σ a) ¿Cuál es el flujo eléctrico de un circulo de radio R paralelo a la placa? 
b)¿Cuál es el flujo por ese circulo si el plano del circulo tiene una inclinación de 30º 
con respecto a su orientación original?.
2) El campo eléctrico en determinada región del espacio tiene la dirección de z y su 
magnitud es E = 4XZ, en la cual X y Z se miden a partir de cierto origen. Calcule el 
flujo eléctrico de ese campo a través de un cuadrado perpendicular al eje Z; las 
esquinas del cuadro están (X, Y, Z)= (1,1,3); (1,2,3); (2,2,3) y (2,1,3). Todos los 
campos se miden en Nw/C y todas las distancias en m.
3) Un campo eléctrico de dirección constante es perpendicular al plano de un circulo de 
radio R. la magnitud máxima del campo en ese plano se tiene en el círculo. Suponga 
que la magnitud del campo eléctrico en el plano decrece desde un valor axial, en la 
forma 1/r. Determine el flujo eléctrico a través del plano del círculo.
4) Una carga q se coloca justo arriba del centro de un círculo horizontal de radio r, y 
sobre la carga se coloca un hemisferio de ese radio (Fig. 3.22). Calcule el flujo 
eléctrico a través de la superficie cerrada que consiste del hemisferio y el círculo 
plano.
5) Una carga de 6120 10 C−× está en el centro de un cubo con los lados 25cm a) 
Determine el flujo total a través de cada cara del cubo b) ¿Halle el flujo a través de la 
superficie completa del cubo?
6) Una carga puntual, q, está en el centro de un tetraedro de lado L (Fig. 3.23). ¿Cuál es 
el valor promedio del campo eléctrico sobre una cara del tetraedro?
43
. . cos ,E dA E dA θ∅ = =∫ ∫
. ,E dA E A∅ = =∫
7) La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su superficie es 130 /Nw C≅ y 
apunta hacia abajo ¿Cuál es la carga de la tierra, suponiendo que este campo sea 
causado por tal carga?
8) Un globo de 30cm de radio tiene una carga de 83 10 C−× distribuida uniformemente 
sobre su superficie . ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 49cm del centro del 
globo?. Suponga que el globo se encoge a un radio de 10cm, pero no pierde carga. 
¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 40cm del centro?
9) Una lámina plana grande cargada tiene una carga por unidad de área de 
67,5 10 / 2.C m−× Halle la intensidad del campo eléctrico precisamente arriba de la 
superficie de la lámina medio desde su punto medio.
10) Un cascarón esférico grueso, no conductor, con carga total Q distribuida 
uniformemente tiene radio interior R, y radio exterior 2.R Calcule el campo eléctrico 
resultante, en todo lugar del espacio.
11) A lo largo de un cilindro infinito de radio r se distribuye uniformemente una carga a) 
Demostrar que E, para distancias r medidas desde el eje del cilindro(r < R), está dado 
por / 2 0E rρ= ∈ en donde ρ es la densidad de carga b) ¿Cuál serían el resultado 
esperado para (r>R)?.
12) Se tiene un cubo de lado a ubicado en el origen, ver Figura (3.24), suponga que un 
campo eléctrico está presente, y está descrito por 2 ,bx i cxzk+ siendo b y c cantidades 
constante. Calcule el flujo a través de cada lado del cubo, y use el resultado para 
calcular la carga dentro del cubo.
13) Dos láminas no conductoras infinitas con carga son paralelas entre sí, como se ve en lafigura (3.25). La lámina de la izquierda tiene una densidad de carga uniforme σ y la 
lámina de la derecha tiene una densidad de carga uniforme .σ− Calcule el valor del 
campo eléctrico en los puntos a) a la izquierda de las dos láminas b) entre ellas y c) a 
la derecha de ellas.
14) Una superficie cerrada cuyas dimensiones son a=b=0,4m y c=0,6m está ubicada como 
se indica en la figura (3.26). El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y está 
dado por ( )23 2 .E x i= + Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie 
cerrada. ¿Cuál es la carga neta encerrada por la superficie?
15) Un conductor tiene una superficie orientada en el plano yz, que es la frontera de una 
región en la cual hay campo eléctrico orientado hacia la dirección +x. La intensidad 
de este campo decrece linealmente a medida que aumenta x de x =0m a x =3m. Al 
principio de la región, en x =0, la intensidad de campo ha bajado a cero. describa la 
distribución, en dirección x, de la carga que produce ese campo.
44
16) Dos grandes placas metálicas de área 21m están colocadas frente a frente (Fig. 3.27). 
Están separadas 5cm y tienen cargas iguales y opuestas en sus superficies interiores. Si 
E entre las placas es de 55 /Nw C ¿Cuál es la carga en las placas?
17) Un cascarón esférico conductor de radio 8cm lleva una carga neta de 62 10 ,C−× 
uniformemente distribuida sobre su superficie. Obtenga el campo eléctrico en los 
puntos a) fuera del cascarón b) dentro del mismo.
18) Una pequeña esfera cuya m es 31 10 gr−× tiene una carga q de 82 10 .C−× Cuelga de un 
hilo de seda que forma un ángulo de 30º con una gran lámina conductora cargada 
como muestra en la figura (3.28). Calcule la densidad de carga superficial σ de la 
lámina.
19) Una partida ,α que se dirige a la superficie de un núcleo de oro se encuentra a una 
distancia igual a un radio nuclear ( )156,9 10 m−× de esa superficie. ¿Cuáles son las 
fuerzas sobre esa partícula α y su aceleración en ese punto? ( )276,7 10 .m Kgα −= ×
20) Un alambre recto largo está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide 
con el del alambre. El alambre sólido tiene una carga por unidad de longitud de ,λ+ y 
el cilindro hueco tiene una carga neta por unidad de longitud de 2 .λ+ Con base en 
esta información, aplique la ley de Gauss para hallar a) la carga por unidad de 
longitud sobre las superficies interior y exterior del cilindro hueco y b) el campo 
eléctrico afuera del cilindro hueco, a una distancia r del eje.
45
TEMA IV
POTENCIAL ELÉCTRICO
1.10 INTRODUCCIÓN
El potencial eléctrico ofrece una manera más sencilla de describir los fenómenos 
electrostáticos que la que presenta el campo eléctrico. Esta es la principal razón por la cual 
este concepto ha alcanzado una mayor aplicación.
Como la fuerza electrostática dada por la ley de coulomb es conservativa, es posible 
describir convenientemente los fenómenos electrostáticos en términos de una energía 
potencial eléctrica. Esto es lo que nos permite definir una magnitud escalar llamada 
Potencial Eléctrico. 
En los circuitos eléctricos de voltaje, o tensión, medida entre dos puntos 
cualesquiera es simplemente la diferencia de potencial eléctrico entre esos dos puntos.
1.11 POTENCIAL ELÉCTRICO:
El potencial eléctrico es una función escalar que representa el trabajo por unidad de 
carga, realizado por un agente externo para cambiar la posición de una carga eléctrica 
determinada dentro de una región donde existe una campo eléctrico.
El potencial eléctrico solo es una propiedad de larga o la distribución de carga que 
los produce (q) y no de la carga de prueba (q’). 
1.12 POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL:
Tomemos dos cargas puntuales q y q’, separadas por una distancia r. Entonces el 
potencial eléctrico es.
( ) ( )
.
' 'r
W F R qV r
q q
= = = ' .E R
q
( ) 2
0
'
1.
4r
qrV E r
r r
= =
∈
(4.1) Calculo del potencial eléctrico de una carga 
puntual q a una distancia r de la carga.
La unidad de potencial eléctrico es el Joule entre coulomb (J/C), a esta unidad se le 
dio el nombre de voltio.
46
( )
0
1
4r
qV
r r
=
∈
1 1 /V J C=
Como el potencial eléctrico tiene las dimensiones de campo eléctrico multiplicado 
por la longitud, entonces.
1 / 1 /N C V m=
Para el cálculo del Potencial Eléctrico de dos o más cargas puntuales aplicamos el 
principio de Súper posición. El potencial total en un punto P, debido a varias caras 
puntuales, es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales.
1 2t nV V V V= + + +KKKK
1 10
1
4
n n
t
i i
qiV Vi
riπ= =
= =
∈∑ ∑ (4.2)
Observamos que es una suma algebraica.
Ejemplo:
Se colocan dos cargas en el eje 61: 4 10X q C
−= × en 2cm y 62 2 10q C
−= − × 
en 4cm. Determine los puntos en el eje de las X donde el potencial es cero.
Solución:
a) El punto izquierdo al lado de la carga q1
2
1 2
2 2 10
0t
m m
V V V
−= ×
= + =
47
q1 2cm q2
2cm 4cm
X
p x
y
Figura 4.1
1 2
1 2
0 1 0 2
0
1 1
4 4
1
4
V V
q q
r rπ π
π
= − ⇒
=
∈ ∈
∈
6
0
4 10 1
4
C
X π
−× = −
∈ ( )
6
2
6 6 6
2
2 10
2 10
4 10 2 10 4 10
2 10
C
X X m
C C C
X X m
−
−
− − −
−
− ×
+
× × ×= ⇒
+ × 22 10 C−× ( )
( )
2
2
2
2 2
2
2 10
2 2 2 10
2 10
2 4 10 2 4 10 0
4 10
X
X X m
X X X m X
X X m
X X m X X X m X
X X m
−
−
−
− −
−
=
+
= ⇒ + =
+
+ = ⇒ + − =
= −
b) El punto derecho al lado de la carga 2q
1 2
1
V V= −
04π ∈
1
1
1q
r
= −
04π ∈
2
2
6 6
1 2
2
1 2
6 2 2
6
2 2
2
4 10 2 10
2 10
4 10 2 10 2 102
2 10
2 2 10 2 2 10
2 10
q
r
q q x C C
r r X X m X
x C X X m X X m
x C X X
X X X m X X X m
X X m
− −
−
− − −
−
− −
−
− ×= − ⇒ = ⇒
+
+ += ⇒ =
= + ⇒ − = ⇒
=
48
q1
2cm
p
X
x
y
Figura 4.2
4.4 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO.
Es el trabajo por unidad de carga que se debe efectuar para mover una carga de 
prueba desde el punto a hasta el punto sin cambiar su energía cinte. También la podemos 
definir como el cambio en energía potencial dividido entre la carga de prueba q’.
. '.
' ' '
B B
AB
AB
A A
W F ds q dsV V
q q q
•∆ = = = − = −∫ ∫
B
AB
A
V ds= − •∫
El signo negativo aparece debido a que el trabajo es realizado por un agente externo 
cuya aplicada F es igual a - q E.
También podemos hacer referencia q que la diferencia de potencial es un trabajo 
que se produce de potencial es un trabajo que se produce a través de la variación de la 
energía potencial por lo que.
AB ABW EU= −∆ (4.4)
Ejemplo:
Entre dos láminas paralelas situadas en el aire se establece una diferencia de 
Potencial 32 10 ,× si el aire se hace conductor cuando la intensidad del campo eléctrico 
excede de 63 10 / .N C× ¿Cuál es la separación mínima de las láminas?
Solución:
( )
B B
AB
A A
V Edx E dx E X= − = − = − −∫ ∫
.ABV E X= ⇒ despejando a X
2.000ABV NX
E
= = . /m C63 10 /N C×
46,67 10 m= ×
4.5 POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES DE CARGAS 
Como el potencial eléctrico es una magnitud escalar, la integral que resolveremos es 
escalar también, la distribución continua de cargas las subdividimos en pequeños .q∆
0
1
4
dqdV
rπ
=
∈
49
para calcular el potencial eléctrico total, integramos:
0
1
4
dqV dV
rπ
= =
∈∫ ∫ (4.5)
Ejemplo:
Dos placas metálicas paralelas tienen 2125cm de área, cada una, están separadas por 
L =0,8cm. Tienen una diferencia de potencia de potencial de 0,5 V. Determine el valor 
numérico del campo eléctrico. ¿Cuáles so la densidad de carga y la carga total de cada 
placa?
Solución:
a)
3
0,5 62,50 /
2 8 10
L
O
V E dx V E dx V EL
V VE V m
m−
∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ =
∆= = =
×
∫ ∫
b) El campo eléctrico entre dos placas paralelas es 0σ ∈
0
0
.E Eσ σ= ⇒ = ∈
∈ esta es la densidad de carga.
12 102
262,5 / .8,85 10 5,53 10 / 2
CV m c m
Nwm
σ − −= × = ×
c) La densidad de carga superficial es:
10
.
5,53 10
Q Q A
A
CQ
m
σ σ
−
= ⇒ =
= × 22 . 1,25 10 m
−×( )2 126,91 10 C−= ×
Ejemplo:Determine el potencial eléctrico de un disco de delgado, plano y uniformemente 
cargado, de radio R y carga total Q, en un punto P en su eje
Solución:
dq dq dA
dA
σ σ= ⇒ =
50
( )
( )
2 2 2 2
0 0
2 2
2 2
0 00 0
2 2
0
2 2
2
0
2
1 2 1
4 2
2 2
2
2
R R
dq rdr
rdr rdrdV
r x r x
rdrV r x
r x
V R x x
QV R x x
R
σ π
σ π σ
π
σ σ
σ
π
=
= =
∈ ∈+ +

= + =∈ ∈+ 
= + −
∈
= + −
∈
∫ ∫
4.6 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA 
La energía mecánica es igual a la suma de la Energía cinética mas la Energía 
Potencial.
Em EK Eu= +
Y que cambio de la energía mecánica en cero.
0
0
Em Em EmA
Em Ek Eu
= − =
= + =
V
V V V
O sea que la variación de la energía cinética es igual al cambio o variación de la 
energía potencial pero con igual signo opuesta.
0Ek Eu
Ek Eu
+ =
= −
V V
V V
El teorema de la energía cinética establece que:
W Ek=V
por lo que podemos decir que:
W Ek= −V
Eu W= −V
51
.
B
A
Eu F ds= − ∫V (4.6)
Para fuerzas conservativas el valor de F es independiente de la trayectoria de 
integración entre los puntos a y b.
. .F ds F dr=
2
0
2
0 0
0 0
1 '
4
1 1 1' '
4 4
1 ' 1 '
4 4
b b
a a
b
a
qqEu Fdr dr
r
drEu q q q q
r r
q q q qEu
rb ra
π
π π
π π
= − = −
∈
− = − =  ∈ ∈  
   
= −   ∈ ∈   
∫ ∫
∫
V
V
V
1442443 1442443
Eu EuB EuA= −V
a.- Energía Potencial en un sistema de cargas:
Si en el sistema existen mas de dos partículas cargadas, puede obtenerse la energía 
potencial total, calculando Eu para cada par de cargas y sumando algebraicamente los 
términos:
1 3 2 31 2
0 1.2 1.3 2.3
1
4
q q q qq qEut
r r rπ
 
= + + ∈ 
 (4.8)
Ejemplo:
Una carga de 42 10 C−× está fija en el origen de un sistema de coordenadas. En 
una pesa con 11gr de masa se coloca una carga de 62 10 C−× la pasa se acerca, desde muy 
lejos, hasta un punto a 45cm del origen. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del sistema?
Solución:
52
2 4 6
91 2
2 2
0 1.2
1 . 2 10 .2 109 10
4 45 10
8
q q Nw m C CEu
r C
Eu Joule
π
− −
−
× ×= = ×
∈ ×
=
b.- Electrón Volt:
Con frecuencia calculamos la energía multiplicando el voltaje por la carga. Esta 
unidad de energía se llama electrón volt y consiste en multiplicar un electrón por un voltio.
( ) ( )9 191 1,6 10 1 1,6 10ev C V Joule− −= × = ×
4.7 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Son regiones en las que el potencial eléctrico de una distribución de carga tiene 
valores constantes. Por lo que podemos, decir, que cuando desplazamos una carga de 
prueba q’ que a lo largo de una superficie equipotencial, no se realiza trabajo alguno. Las 
superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de fuerza y por 
consiguiente, al campo eléctrico.
4.8 DETERMINACIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DE 
POTENCIALES ELÉCTRICOS
Recordando que la diferencia de potenciales es:
.dv E ds=
Descomponemos a ds en coordenadas cartesianas:
ds dxi dyj dzK= + +
El producto escalar es:
.dv E ds Exdxi Eydyj Ezdzk= = − − −
Si despejamos el campo eléctrico, tenemos que este es igual al valor negativo de la 
derivada del potencial con respecto a alguna coordenada.
dv v v vE i j k
ds x y z
− ∂ − ∂ − ∂= − = − −
∂ ∂ ∂
O sea que el vector campo eléctrico se expresa en términos de las derivadas del potencial 
eléctrico.
53
Ejemplo:
Una distribución de potencial en el espacio está descrita por la función: 
2 3 22 ,V Axy B yz Cx z= − + donde A, B y C son constantes. Determine el campo eléctrico:
Solución:
( )2 2VEx Ay CxZ ix
∂= = +
∂
( )32 2VEy Axy Bz jy
∂= = −
∂
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 3 2 2
6
2 2 2 6
VEz Byz Cx k
x
E Ay Cxz i Ay Bz j Byz Cx k
∂= = − +
∂
= − + − − − − +
4.9 POTENCIAL DE UN CONDUCTOR CARGADO
Consideremos dos puntos y B sobre la superficie de un conductor cargado. E 
siempre es perpendicular al desplazamiento ds por lo que E.ds=0:, Observemos la figura 
4.4.
. 0
B
A A AB
A
V V V E ds− = = − =∫
La superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio es una superficie 
equipotencial. Además, ya que el campo eléctrico es cero dentro del conductor, se concluye 
que el potencial es constante en todo punto del interior del conductor es igual a su valor en 
la superficie.
ANEXO 1: Tabla (4.1)
Ejemplo:
Un disco delgado de 23cm de radio tiene una carga total de 71,5 10 ,C−× repartida 
uniformemente en su superficie. ¿Cuál es el trabajo mínimo que se requiere para traer una 
carga 82 10q C−= × en reposo, desde el infinito a una distancia de 78cm del disco, a lo 
largo de su eje?
Solución:
.WV W V q
Q
= ⇒ = revisando la tabla anterior
54
( )2 22
0
.
2
QW R x x q
Rπ
= + −
∈
el potencial en un disco cargado
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
7
212 2 2
2 22 2 2 8
7
1,5 10
2 3,14 8,85 10 / 23 10
23 10 78 10 78 10 .2 10
1,5 10
CW
C Nwm m
m m m C
CW
−
− −
− − − −
−
×=
× ×
× + × − × ×
×=
122,94 10 C−× 2
( ) 8. 0,033 .2 10
/
m C
Nw
−×
17
12
5
9,9 10
2,94 10
3,37 10
Nwm
W Joule
−
−
−
×=
×
= ×
4.10 EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Se trae del infinito una carga de 63 10 ,C−× y se fija en el origen de un sistema de 
coordenadas a) ¿Cuando trabajo se efectúa? b) Del infinito se trae una segunda carga 
de 65 10 ,C−× y se coloca a 10cm de distancia de la primera. ¿Cuándo trabajo efectúa 
el campo eléctrico de la primera carga cuando se trae la segunda carga? c) ¿Cuando 
trabajo efectúa el agente externo para traer la segunda carga, si esta se mueve con la 
energía cinética invariable?
2) ¿A través de que diferencia de potencial se necesita acelerar un electrón para alcanzar 
una velocidad del 60% de la velocidad de la luz a partir del reposo? ( )83 10 / .C m s= ×
3) Dos cargas puntuales 9 91 240 10 30 10q Cyq C
− −= × = − × a una distancia de 
10cm. El punto A se encuentra en el punto medio del segmento que los une, y el B dista 
8cm de 1q y 6cm de 2.q Hallase: a) el potencial en el punto A; b) el potencial en el 
punto B; c) el trabajo necesario para transportar una carga de 925 10 C−× desde el 
punto B al punto A?
4) El potencial a cierta distancia de una carga puntual es 600V, y el campo eléctrico es 
de 200 N/C a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? b) ¿y el valor de la carga?
5) Un campo eléctrico uniforme de magnitud 400 V/M esta dirigido en la dirección y 
negativa, ver la figura 4.5; las coordenadas del punto A son (-0,4, 0.6) m y las del 
punto B son (0.5, 0.7)m. Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre A y B, 
utilizando la trayectoria A C B.
6) Un protón pasa del punto A al punto B bajo la influencia única del campo eléctrico, 
perdiendo velocidad al hacerlo, desde 43 10 /AV m s= × hasta 
33 10 /BV m s= × ¿Cuál es 
la diferencia de potencial entre los dos puntos?
55
7) A una distancia r de una carga puntual 1q el potencial eléctrico es V =600V y la 
magnitud del campo eléctrico es E =200N/C. Determine el valor de q y r.
8) Determinada distribución de cargas estáticas en el espacio produce un potencial 
eléctrico de la forma ( ) 22 3, , , ,V x y x a a xz a z= + + siendo constantes los coeficientes a;. 
Determine el campo eléctrico E en el origen y el punto (x,y,z)=(0m,0m,1m) .
9) Calcule el potencial eléctrico en el punto P, sobre el eje de la corona mostrada en la 
figura 4.6, la cual tiene una densidad de carga uniforme σ y radios interior y exterior 
iguales a A y B, respectivamente.
10) Demostrar que el potencial eléctrico en un punto sobre el eje de un anillo de radio a, 
esta dado por:
2
0
1
4
qV
x aπ
=
∈ +
11) Un largo cilindro metálico, de radio ,ar esta sostenido por un pie aislante sobre el eje 
de otro largo cilindro metálico hueco de radio interior .br La carga positiva por 
unidad de longitud en el cilindro interior es ,λ y sobre el cilindro exterior existe una 
densidad de carga lineal negativa igual negativa. a) Demuestre que la diferencia de 
potencial entre los cilindro es 2 / .b ak Lnr rλ b) pruébese que el campo eléctricoen 
cualquier punto situado entre los cilindros es ( )/ / .1/ .ab b aV Ln r r r
12) El potencial, Vr, de una distribución de carga esféricamente simétrica, esta expresa 
por ( ) ( ) 20/ 4 5 4 /Vr Q r Rπ  = ∈ −  para r<R, y por 0/ 4 ,Vr Q rπ= ∈ para r>R. a) 
Determine el campo eléctrico. b) ¿Dónde esta la carga, y como se distribuye?
13) El potencial eléctrico en una cierta región es 2 7V zx y= + − ¿Determine el ángulo 
entre la dirección eléctrico, E, y la dirección del eje x positivo, en el punto P, el cual 
tiene las coordenadas (en metros) (2,1,2)?.
14) Dos conductores esféricos de radios 1 2r yr están conectados por medio de un alambre 
conductor, como se indica en la figura 4.9. Si 1 0,3r m= y 2 0,15r m= y el campo 
eléctrico en la superficie de la esfera mas pequeña es de 500 Nw/C, calcule la 
magnitud de la carga en exceso en la esfera grande.
15) Deduzca una ecuación para el potencial eléctrico en todos los puntos, debido a una 
varilla de longitud L y densidad lineal uniforme de carga, ,λ empleando la ecuación 
01 4 .V d q rπ= ∈ ∫ La varilla esta orientada en el eje z, con su centro en el origen. 
56
Demuestre que a distancias muchos mayores que L a la varilla, el potencial se reduce 
al de una carga puntual / ,Q Lλ= en el origen.
16) Un cilindro infinitamente largo, de radio R, se llena con una densidad volumétrica 
uniforme de carga .ρ Calcule el potencial dentro y fuera del cilindro.
17) Considere una disposición de ocho cargas negativas iguales ubicadas de modo que 
queden definidos los vértices de un cubo con arista de longitud L =0,15m.Si cada una 
de las ocho cargas mide 66 10 ,q C−= − × determine el potencial en el centro del cubo.
18) Dos esféricas conductoras idénticas de radio r =0,15m están separadas por una 
distancia a =10m ¿Cuál es la carga de cada esfera si el potencial de una es 1500 V y el 
de la otra es -1500 V?.
19) Una lamina cuadrada cuyos lados tienen una longitud L, contiene una densidad 
superficial de carga informe σ y esta situada en el plano x y, como en la figura 4.8. 
Establezca la expresión integral necesaria para calcular el potencial eléctrico en un 
punto p, sobre una recta perpendicular a un eje que pase por el centro de la lámina. 
Suponga que el punto P esta a una distancia d de la lámina.
20) Por frotamiento, se puede producir una carga de 810 .C− ¿Cuál seria el aumento en el 
potencial que tal carga produciría en una esfera conductora aislada de 10cm de 
radio?.
57
TEMA V
CAPACITORES Y DIELECTRICOS
1.13 INTRODUCCIÓN
Como ya sabemos todo conductor tiene un potencial eléctrico constante en todos sus 
puntos y dentro de el, por ser superficies equipotenciales. Si tenemos un sistema formado 
por conductores cargados los cuales están cerca entre si, el potencial de cada conductor no 
solo va a estar determinado por su carga, si no que también va estar influenciado por el 
valor y signo, el tamaño, la forma y posición de los otros conductores que intervienen en el 
sistema.
La diferencia de potencial entre dos conductores cargados puede acelerar una carga 
de prueba o varias, por lo que podemos decir que el sistema almacena energía. Un capacitor 
en un sistema que almacena energía. La relación entre la cantidad de carga que almacena un 
capacitor, y la diferencia de potencia de sus conductores, va a depender de la geometría del 
capacitor.
1.14 CAPACITANCIA
Si tenemos dos conductores separados por el espacio vacío o por un material 
conductor, supongamos que los conductores tienen cargas iguales pero de signos opuestos, 
de manera que la carga neta es cero. Esta combinación es lo que conocemos como 
capacitador. La razón de la magnitud de la diferencia de potencia de potencial entre ellos es 
lo que conocemos como Capacitancia (C).
QC
V
= (5.1)
La capacitancia siempre es una cantidad positiva, la capacitancia tiene las unidades 
de coulombs por volt.
CoulombC Faradio
Volt
= =
Esta unidad del Fardio es muy grande, por lo que las más comunes son el 
microfaradio 61 10MF F−= y el picofaradio 121 10 ,pf F−= la capacitancia de un 
dispositivo depende de la disposición geométrica de los conductores.
Algunas aplicaciones:
58
Para eliminar la chispa que se produce cuando se interrumpe rápidamente un circuito que 
posee autoinducción.
Para sintonizar circuitos de radio.
Para igualar la corriente rectificada proporcionada por el generador e energía.
1.15 CALCULO DE LA CAPACITANCIA
Capacitor esférico
La Capacitancia de un conductor esférico de radio R y carga Q, el segundo 
conductor es una esfera conductora hueca concéntrica de radio infinito.
 ;
QC
V
= como el potencial de la esfera es KQ/R,
 y el de la esfera de radio infinito es 0.
04/
Q RC R
KQ R K
π= = = ∈
Capacitor de placas paralelas.
Como se observa en la Figura 5.1, dos placas paralelas de igual área separadas por 
una distancia d, con cargas +Q y -Q. Si las placas están muy próximas entre si, se pueden 
despreciar los efectos externos y suponer que E es uniforme entre ellas y cero entre los 
demás puntos.
El campo eléctrico entre las placas es 0σ ∈ y la carga por unidad de área en 
cualquiera de las dos placas es .Q Aσ =
0
QE
A
=
∈
la diferencia de potencial entre las placas es de E.d. 
0
. QDV E d
A
= =
∈
la capacitancia es C =Q/V sustituyendo
0
0
AQC
Qd A d
∈= =
∈
59
Con este resultado obtenemos que la capacitancia de un capacitor de placas 
paralelas es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia 
que la separa.
Capacitor cilíndrico
Un conductor cilindrico, como se observa en la Figura 5.2, de radio a y carga +Q es 
concéntrico con un cascaron cilíndrico mas grande de radio b y carga -Q: determinar la 
capacitancia de este capacitor cilíndrico si su longitud es L.. Un ejemplo de este es un cable 
coaxial.
Ejemplo: (un cable coaxial)
Solución: 
B B
AB
A A
V Eds Erdr= − = −∫ ∫
La carga por unidad de longitud Q Lλ =
Q Lλ= y el campo eléctrico es 2 /K rλ
( )2 2 ln
B
AB
A
drV k k b a
r
λ λ= − = −∫
La capacitancia es:
QC
V
= = sustituyendo de potencial es positiva dado que el cilindro interior tiene mayor 
potencial.
1.16 ENERGÍA EN CAPACITORES
Un capacitor es capaz de efectuar un trabajo. Podemos determinar la energía 
contenida en un capacitor cargado determinado cuando trabajo necesita para cargarlo 
inicialmente.
Para cargar un capacitor tomamos un pequeño diferencial de carga adquirida de uno 
de los conductores y lo pasamos al otro conductor, al continuar moviendo la carga adicional 
dq, las cargas existentes en los conductores se opondrán a la transferencia de más cargas, 
por lo que tenemos que efectuar un trabajo para mover cada carga adicional. 
qdw Vdq dq
C
= =
21
2
Q Q
O O
q QW dw dq qdq
C C C
= = = =∫ ∫ (5.2)
60
Este es un resultado general para todos los capacitares, ese trabajo queda 
almacenado en el capacitor como energía potencial. Esta es la energía que puede mover una 
carga de prueba colocada entre los conductores.
2
2 2 2
; (5.3)
2
(5.4)
2 2
(5.5)
2
QEu como Q Cv
C
C V CVEu Eu
C
QVEu
= =
= ⇒ =
=
Ejemplo:
¿Cuántas energía se almacena en una esfera metálica de 12cm de radio cuando s 
coloca en ella una carga de 54 10 C−× ?
Solución
0
52
0
0
;
2 4
4 104
2 8
QV QEu el potencial es
r
QQ Cr QEu
r
π
π
π
=
∈
× −∈= =
∈
( ) 2
128 8,85 10 Cπ −×( )
12
2 12 10 m−×
2Nwm
9
11
1,6 10 59,93
2,67 10
Eu Nw Eu Joule
−
−
 
 
 
×= ⇒ =
×
1.17 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS
En los capacitares las líneas del campo eléctrico van del conductor positivo al 
negativo. Este campo eléctrico es el que acelera a la carga de prueba, colocada entre las 
placas del capacitor.
Pongamos un ejemplo con un capacitor de placas paralelas.
61
Capacitancia 0
AC
d
∈=
Campo eléctrico 
0
E σ=
∈
Diferencia de potencial V = E.d( ) ( ) ( )
22
20 0
2 2 2
A ECVEu Ed Eu Ad volumen
d
∈ ∈= = ⇒ =
La densidad de energía (u) es el coeficiente de volumen en la ecuación anterior.
( ) ( )
2
0
2
EEu EuU Ad
volumen Ad
∈= = =
2
0
2
Eu ∈= esta es la densidad local de energía en el espacio vacío, a un 
cundo el campo eléctrico sea variable.
1.18 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS
Los capacitares se pueden asociar de varias maneras, en serie y en paralelo. A 
continuación veremos como puede calcularse la capacitancia equivalente de estas 
combinaciones.
Asociación en paralelo:
La siguiente Figura 5.3, describe una asociación de capacitares en paralelo tienen el 
mismo potencial entre sus conductores.
1 1 2 2Q C V y Q C V= =
La carga total en ambos capacitares es:
( )
( )
1 2
1 2 1 2
5.6Qt Q Q
Qt C V C V C C V
= +
= + = +
Despejando V obtenemos la capacitancia equivalente
1 2 QtC C
V
+ =
62
Capacitancia equivalente es: 1 2Cep C C= +
Por lo que podemos decir que la capacitancia equivalente de un grupo de capacitares 
en paralelo es la suma de cada una de las capacitancia de dichos capacitares.
( )1 2 5.7eq nC C C C= + + +KKKK
1
n
eq i
i
C C
=
=∑
Concluimos que la capacitancia equivalente es una asociación en paralelo es mayor 
que cualquiera de las capacitancias individuales.
Asociación en serie:
La siguiente Figura 5.4, describe una asociación de capacitares en serie. Los 
capacitores conectados en serie tienen la misma carga. Observamos al conectar la batería y 
esta mantiene un potencial fijo y se transfieren carga negativa a la placa derecha y carga 
positiva la placa izquierda (d) la parte pespunteada de la figura se carga por inducción, la 
carga positiva en la placa a induce una carga negativa en la placa b y la placa d induce una 
carga positiva en la placa c.
1 2Q Q Q= =
El potencial en cada capacitor es:
1 1 2 2V Q C y V Q C= =
Por lo que:
( )
1 2 1 2
1 2 .
(5.8)
1 1
T
T equi
V V V Q C Q C
V Q C C Q C
= + = +
= + =
Por lo que la capacitancia equivalente es:
. 1 21 1 1equiC C C= +
Cuando tenemos n capacitares conectados en serie:
. 1 2
1
1 1 1 1 1 (5.9)
n
equi n i
i
C C C C C
=
= + + + = ∑KKK
63
La capacitancia equivalente es una asociación en serie en menor que cualquiera de 
las capacitancias individuales.
Ejemplo:
Calcule la capacitancia equivalente a los siguientes capacitores de circuito, Figura 
5.5.
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
5 10
10 10
6 10
2 10
8 10
C F
C F
C F
C F
C F
−
−
−
−
−
= ×
= ×
= ×
= ×
= ×
Figura 5.5
Solución:
6 6
1.2 1 2
6
1.2
3.4 3 4
6 6
3.4
. 1.2 3.4 5
5 10 10 10
1,5 10
6 10 2 10
1 1 1 1equi
C C C F F
C F
C C C
C F F
C C C C
− −
−
− −
=
= + = × + ×
= ×
= +
= × + ×
+ +
( )
5 6 6
.
4 5 5 5
.
6
5
1 1 1 1
1,5 10 8 10 8 10
1 6,67 10 1, 25 10 1,25 10 3,17 10
1 3,16 10
3,17 10
equ
equ
equ equ
C F F F
V F
C
C C F
− − −
−
= + + =
× × ×
= = × + × + × = ×
= ⇒ = ×
×
5.7 DIELÉCTRICOS 
Un dieléctrico es material no conductor, como el papel, plástico y el vidrio. Si 
introducimos un dieléctrico entre las placas de un capacitor, la capacitancia generalmente 
aumenta, observe la Figura 5.8.
64
Si tenemos un capacitor de placas paralelas de la carga 0Q y capacitancia 0 ,C 
cuando no existe dieléctrico, la diferencia de potencial será 0 0 0/ .V Q C= Si le colocamos 
un dieléctrico entre las placas Figura 5.9, el potencial disminuye en un factor K (constante 
dieléctrica).
0 (5.10)VV
K
=
Esta constante dieléctrica va a depender del tipo de material del dieléctrico, observe 
la Tabla 5.1 ANEXO 2.
Y la capacitancia aumenta en el factor K.
( )0 5.11C C K=
Cuando un capacitor de placas paralelas esta lleno con un dieléctrico la capacitancia 
se puede expresar como:
( )
0 0 0
0
;
5.12
C KC donde C E A d
E AC K
d
= =
=
Ejemplos:
Un acumulador de automóvil, de 1 z V, puede almacenar 64 10 J× de energía. 
Calcule el área de un capacitor de placas paralelas que pueda almacenar la misma energía, 
si la separación entre las placas es 1mm y entre ellas hay un dieléctrico con K =3.
Solución:
65
( )
( )
( ) ( )
2
6 6
3
22
0
3 3 2
12 2
1112
0
2
2 4 102 8 10 55,56 10
14412
. 55,56 10 .1 10 55,56 2,1 10
2,66 103 8,85 10 /
CVEu despejando C
JEu JC F
V VV
K AC despejando A
D
C d F m mA A m
K F m
−
−−
=
× ×= = = = ×
∈=
× ×= = = = = ×
∈ ××
5.8 EJERCICIOS PROPUESTOS 
1) Dos conductores aislados entre si se cargan al transferir electrones de uno al otro. 
Después de haber transferido 122,5 10× electrones, la deferencia de potencial entre los 
conductores resulta ser 16 V. ¿Cuál es la capacitancia del sistema?
2) Dos esferas conductoras concéntricas tienen 5cm y 23cm de radio, respectivamente, y 
una carga igual, pero opuesta, de 76,3 10 .C−× ¿Cuál es la diferencia de potencial 
entre ellas?
3) Un capacitor de placas paralelas tiene placas cuadradas de 40cm por lado, separadas 
5mm. El capacitor se carga a 230v y se desconecta de la fuente de carga ¿Cuál es la 
densidad de carga en las placas? ¿Cuál es la carga total en cada placa?.
4) ¿Cuál debe ser la capacitancia necesaria para almacenar una energía 10Kw.h a una 
diferencia de potencial de 1000V?
5) Demuestre que la energía asociada con una esfera conductora de R y carga Q, 
rodeada por un vacío, se expresa como 2 / 2 .Eu KQ R=
6) Un cable coaxial con conductor interno de 3mm de diámetro y blindaje exterior de 
8mm de diámetro, tiene un potencial de 1KV entre los conductores. a) ¿Cuál es la 
capacitancia de 10m de cable? b) ¿Cuánta energía se almacena en un tramo de 10m 
del cable? c) ¿Cuánta energía se almacena en un tramo de 1km?
7) Las placas de un capacitor de placas paralelas tiene 2600cm de área y están a 0,2cm 
de distancia. La diferencia de potencial entre ellas es 800v. a) ¿Cuál es el campo entre 
las placas? b) ¿Cuál es la carga en cada placa? c) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el 
campo sobre una de las placas? d) Suponga que se tira de las placas para separarlas, 
66
de modo que la distancia entre ellas aumenta 10%. ¿Cuál es el cambio de la energía 
almacenada?.
8) La batería de la figura 5.10 suministra 12v. a) Encontrar la carga en cada uno de los 
capacitadotes cuando se cierra el interruptor 1S y b) cuando se cierra el interruptor 
2S . Considérese que 6 6 6 61 2 3 41 10 , 2 10 , 3 10 4 10 .C C F C F y C F
− − − −= × = × = × = ×
9) Considere la combinación de capacitares de la figura 5.11 a) ¿Cuál es la capacitancia 
equivalente entre los puntos a y b? b) ¿Determine la carga en cada capacitor si 
36aV V= ? 6 6 6 61 2 3 44 10 , 2 10 , 24 10 , 8 10 .C F C F C F C F
− − − −= × = × = × = ×
10) En la figura 5.12, cada capacitor 61 3 10C F
−= × y cada capacitor 62 2 10C F
−= × a) 
Calcúlese la capacitancia equivalente del circuito b) Hállese la carga de cada uno de 
los capacitares cuando 900abV V= y c) Calcúlese Vcd cuando 900abV V= .
11) El capacitor 1C tiene una capacitancia de 62 10 C−× y el 2C tiene 63 10 F−× de 
capacitancia. Una carga 610 10q C−= × se coloca en 1,C mientras que 2C se lleva a 
una diferencia de potencial entre sus placas de 50V. ¿Cuál es la energía total 
almacenada en los dos capacitores?.
12) Encontrar en la siguiente Figura 5.13, a) la carga, b) la diferencia de potencial y c) la 
energía almacenada en cada capacitor. 
6 6 6
1 2 310 10 , 5 10 , 4 10 , 100 .C F C F C F V V
− − −= × = × = × =
13) Un capacitor consiste en dos cascarones esféricos concentricos, de radio 1 2 ,r y r 
respectivamente. Calcule la capacitancia si el espacio entre los cascarones se llena 
con un dieléctrico cuya constante es k si el primer capacitor tiene aire entre sus 
cascarones, y tiene carga Q, y s el espacio se llena a continuación con el dialéctico, 
¿Cuál es el cambio de energía?.
14) Se va a construir un capacitor de placas paralelas utilizando papel como dieléctrico. Si 
se desea obtener un voltaje máximo de 46 10 V× antes de la destrucción.¿Qué espesor 
del dieléctrico se necesita?.
15) Dos placas paralelas de 3100cm de área se cargan con una misma, carga de signos 
opuestos, de 78,9 10 .C−× El campo eléctrico en el material dieléctrico que llena el 
espacio entre las placas es de 61,4 10 / .V m× a) Encontrar la constante dieléctrica del 
material. b) Determinar la magnitud de la carga inducida en cada una de las 
superficies del dieléctrico.
67
16) Los capacitares 6 61 26 10 2 10C F y C F
− −= × = × se cargan como una combinación 
en paralelo a través de una batería de 250V los capacitares se desconectan de la 
batería y entre si y, a continuación, se conectan placa positiva con positiva y negativa 
con negativa. Calcule la carga resultante en cada capacitor.
17) Se suministra a dos laminas paralelas de 2100cm de área, cargas iguales y opuestas de 
710 .C− El espacio entre las laminas esta ocupado por un dieléctrico y el campo 
eléctrico dentro es 53,3 10 /V m× a) ¿Cuál es la constante eléctrica? b) ¿Cuál es la 
densidad de carga inducida sobre cada una de sus caras?.
18) Un capacitor consta de 12 placas conectadas alternadamente a la terminal positiva y a 
la negativa las placas son 8 x 15cm y están a 0,30mm de distancia ¿Cuál es la 
capacitancia?. Suponga que la zona entre las placas se rellena con material de 
constante dieléctrica 2,5. ¿Cuál es la capacitancia?
19) Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 64 10 F−× las placas se 
cargan a 600V a) ¿Cuál es la energía almacenada en el capacitor? b) ¿Cuánto trabajo 
se necesita para introducir un dieléctrico cuya constante es K =2 entre las placas? 
Suponga que el capacitor se desconecta de la fuente de voltaje antes de introducir el 
dieléctrico.
20) Tres capacitares, de fuerza de 6 6 61 10 , 2 10 4 10 ,F F y F− − −× × × respectivamente, se 
pueden conectar de diversas formas entre dos puntos. ¿Qué arreglo produce la 
capacitancia equivalente menor y cual es la mayor?.
68
TEMA VI
LA CORRIENTE Y LA RESISTENCIA
1.19 INTRODUCCIÓN
Hemos estudiado cargas eléctricas que están en reposo, ahora estudiaremos el 
comportamiento de estas mismas cargas pero en movimiento. Como ya sabemos las cargas 
eléctricas se mueven bajo el efecto de los campos eléctricos, este movimiento que se genera 
es lo que llamaremos corriente eléctrica. Esta corriente eléctrica nos describe la rapidez de 
flujo de cargas a través de alguna región del espacio. Para detallar el flujo de las corrientes 
eléctricas, definiremos que es resistencia, resistividad y conductividad.
Muchos de los aparatos domésticos funcionan con corrientes eléctricas.
1.20 LA CORRIENTE ELÉCTRICA Y LA DENSIDAD DE CORRIENTE.
Definiremos a la corriente eléctrica como la carga total que pasa a través de un área 
A de sección transversal, por unidad de tiempo. Consideremos la carga que pasa a través de 
un alambre. Figura 6.1.
Tomemos una sección de área A, no necesitamos especificar la forma ni la 
orientación de área, si Q∆ es la carga neta que pasa a través de esta área en un intervalo de 
tiempo ,t∆ la corriente J la expresamos como:
(6.1)QI
t
∆=
∆
si la corriente eléctrica varia en función del tiempo, entonces cuando el limite de t∆ 
cuando tiene cero, podemos definir a la corriente eléctrica en un instante determinado:
(6.2)dQI
dt
=
como podemos observar la unidad de corriente eléctrica es el Coulomb entre el tiempo, a 
esta unidad se le dio el nombre de Ampere (A).
1 1CA
s
=
esta unidad de Ampere (A) es muy grande, por lo que se usan otras unidades como 
miliamperes (mA), microAmperes ( )Aµ y el nanoAmperes ( ) .Aη
69
3
6
9
1 10
1 10
1 10
mA A
A A
A A
µ
η
−
−
−
=
=
=
Se ha convenido en elegir la dirección de la corriente eléctrica como si fuera en la 
dirección del flujo de la carga positiva la corriente eléctrica es una cantidad escalar, pero 
tiene signo asociado.
La densidad de corriente eléctrica (J) es la rapidez de flujo de carga por unidad de 
superficie, que pasa por un área infinitesimal, la densidad de corriente es un vector. 
Observe la Figura 6.2.
( ). 6.3dI J dA=
como observamos esto es un producto escalar por lo que:
( ). cos 6.4dI J dA θ=
donde θ es el ángulo que forman la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área 
dA. Cuando la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área dA son paralelos, o 
sea 0,θ = la corriente diferencial dI es máxima y cuando la densidad de corriente eléctrica 
J y el elemento de área dA son perpendiculares, o sea 90,θ = la corriente diferencial dI es 
cero.
Para calcular la corriente total que pasa por el área A integramos la ecuación 
anterior.
( ). 6.5
S
I J dA= ∫
Densidad de corriente eléctrica de un grupo de cargas en movimiento, ver Figura 6.3, para 
calcular esta densidad tenemos que tomar en cuenta la densidad numérica (nq) que es el 
número de portadores de carga móviles por unidad de volumen, la velocidad (V) con 
que se muevan todas las partículas, la cantidad de carga que pasa por un área dada (A). 
Por lo que la carga Q∆ en este elemento es:
( )qQ n A x q∆ = ∆
donde x∆ es la longitud del conductor.
XV
t
∆=
∆
70
despejando x V t∆ = ∆
( ).qQ n AV t q∆ = ∆
Utilizando la ecuación de la corriente eléctrica.
.qn AVQI
t
∆∆= =
∆
( )t q
∆ t
. .qI n AV q=
Utilizando la ecuación de densidad de corriente eléctrica 
. .qn AV qIJ
A A
= =
( ). . 6.6qJ n V q=
Donde la dirección de la densidad de J queda indicada por la velocidad.
Ejemplo:
1.- Calcule la corriente cuando 142 10× electrones pasan por una sección transversal dada 
de un conductor, cada segundo.
Solución:
( ) ( )14 19 52 10 1,6 10 3,2 10 /
1
CQI C seg
t seg
−
−
× ×∆= = = ×
∆
32I Aµ=
2.- La cantidad de carga q (en C) que pasa a través de una superficie cuya área es de 21cm 
varia con el tiempo según la expresión 23 2 2,q t t= − + en donde t esta en segundo. a) 
¿Cuál es la corriente eléctrica instantánea a través de las superficies, en el instante t 
=0,5 seg.? b) ¿Cuál es el valor de la densidad de corriente eléctrica?.
Solución:
71
( )
( )
2
3
4 2
2 4 2
3 2 2
6 2 .
6 0,5 2 1 1 10
1 1 1 10 /
1 1 10
dq dI t t
dt dE
I t sustituyendo el valor det
I I A mA
I A AJ A m
A cm m
−
−
= = − +
= −
= − ⇒ • = • = • ×
• •= = = = ×
×
3.- Los portadores de carga en un semiconductor tienen densidad numérica 
24 32,3 10 / .qn portadores m= × Cada portador tiene una carga cuya magnitud es la de 
la carga de un electrón. Si la densidad de corriente es 4 21,2 10 /A m× ¿Cuál es la 
velocidad de los portadores?.
Solución:
( ) ( )
4 2 4
524 3 19
.
1,2 10 / 1,2 10 /
. 3,68 10 /2,3 10 / 1,6 10q
V nq qV despejando
J A m C SV
n Q C mpor m C−
=
× ×= = =
×× ×
332,61 10 /V m s−= ×
6.3 RESISTENCIA, RESISTIVIDAD Y CONDUCTIVIDAD.
RESISTENCIA (r): es I a diferencia de potencial entre dos puntos y la corriente eléctrica 
que pasa por el. 
( )/ 6.7R V I=
Como la unidad de la diferencia de potencia de potencial es el voltio y la de la corriente 
eléctrica es el Amper.
/R Voltio Amper=
La ley de Ohm establece que la resistencia para muchos materiales es constante dentro de 
un amplio margen de diferencias de potencia.
RESISTIVIDAD ( ρ ): es una cantidad asociada con la resistencia, que es característica del 
material.
72
/R A Lρ = las unidades de la resistividad es ( ).m ohm metroΩ − esta ecuación se 
formula normalmente.
/ (6.8)R L Aρ=
CONDUCTIVIDAD (σ ): es la densidad de corriente por unidad de intensidad del campo 
eléctrico, es el inverso de la resistividad.
( )1 6.9J
E
σ
ρ
= = las unidades de la conductividad es ( )1 mΩ
La resistividad de los materiales tienen dependencia de la temperatura.
( ) ( )0 01 6.10T Tρ ρ α= + −  
ρ = es la resistividad a cierta temperatura T
0ρ = es la resistividad a cierta temperatura 0T
0T = por lo común es 20 ºC
α = coeficiente de temperatura de laresistividad.
Como la resistencia de un conductor es proporcional a la resistividad, la variación de la 
resistencia con temperatura es:
( )0 01R R T Tα= + −  
ANEXO 3: Tabla 6.1
Ejemplos:
1.- Un conductor subterráneo de aluminio tiene 91,4m de longitud y área de 0,30cm2 a) 
¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuál es el radio de un alambre de cobre de la misma 
longitud y resistencia?
Solución:
ρ del aluminio 82,82 10 .m−× Ω 
ρ del cobre 81,72 10 .m−× Ω 
73
8) 2,82 10 .La R m
A
ρ −= = × Ω 91,4 m
53 10 m−× 2
3
2
8
85,9 10
)
1,72 10
R
LL Lb R r
A r R
r
ρρ ρ
π π
−
−
= = × Ω
= = ⇒ = =
= × Ω
( ) 3
91, 4.
3,14 85,9 10
mm
−× Ω( )
32,41 10r m−= = ×
2.- Si un alambre de plata tiene una resistencia de 10 20ºa CΩ ¿Qué resistencia 
tendrá a 40º C? (desprecie todo cambio en la longitud o en el área de la sección 
transversal debido al cambio en la temperatura).
3 13,8 10 ºCσ − −= ×
( ) ( )30 01 10 1 3,8 10 º 40º 20ºR R T T C C Cα − = + − = Ω + × −    
10,76R = Ω
6.4 MODELO DE CONDUCCIÓN ELÉCTRICA
Recordando la segunda ley de Newton 
Fa
m
= (la fuerza eléctrica es F =q E)
qEa
m
=
Esta aceleración es corta entre los Choques.
1 0 0
qEtV V aT V
m
= + = +
Si asumimos que la velocidad inicial es cero y el tiempo promedio de las colisiones es .ℑ
( )6.11d
qEV
M
= ℑ
Esta es la velocidad se deriva.
74
Recordando la densidad de corriente eléctrica tenemos que:
( )
2
. . . .
6.12
dq q
q
qEJ n V q n q
m
n q E
J
m
ℑ= =
ℑ
=
La conductividad seria:
( )
2
6.13q
n q
m
σ
ℑ
=
Y la resistividad:
( )2 6.14
q
m
n q
ρ =
ℑ
El tiempo promedio ( ℑ ) entre las colisiones esta relacionado con distancia L y la velocidad 
térmica promedio .ν .
( )6.15L
ν
ℑ =
Ejemplos:
1.- Calcular la trayectoria libre media entre choques de los electrones en el cobre, a una 
temperatura correspondiente a una velocidad térmica media de 61,3 10 / .m s×
Solución:
Nq del cobre es 28 38,48 10 m−×
ρ del cobre 81,7 10 m−× Ω
191,6 10e C− −= ×
319,11 10em Kg
−= ×
75
( ) ( ) ( )
31
2 28 3 19 8
14
14
9,11 10
8,48 10 1,6 10 1,7 10
2, 47 10
2, 47 10
e
q
m Kg
n q m C m
Seg
L L Seg
ρ
ν
ν
−
− − −
−
−
×ℑ = = =
× × × Ω
ℑ = ×
ℑ = ⇒ = ℑ = × 6.1,3 10 /m Seg×
83, 21 10 3, 21m ó−ℑ = × Α
6.5 ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA
Parte de la energía eléctrica que se consume en un circuito eléctrico se dispara al 
sistema en forma de calor. Para calcular esta energía perdida por unidad de tiempo cuando 
una corriente pasa por un material, tomemos una carga pequeña dq que se mueve a través 
de una diferencia de potencial V.
;dwP
dt
= potencia eléctrica es la rapidez con que realiza un trabajo.
udw dE=
;uEP
Dt
= la energía potencial es la diferencia de potencial por carga.
;dqP V
dt
= la corriente eléctrica es dq/dE
( )6.16P VI=
Esta es la potencia perdida en una resistencia.
Ejemplo:
Se mantiene una corriente eléctrica de 8 A en un resistor de 150Ω durante 1 h. Calcule la 
energía empleada en el resistor.
Solución:
. . ;uE P T P V I V IR= = = =
76
Entonces:
2 2. ; . .uP I R E I R T= =
( ) ( ) ( )28 . 150 . 1 9,6 .uE A h Kwh= Ω =
6.6 EJERCICIOS PROPUESTOS
Un alambre de 1,6mm de radio conduce una corriente eléctrica de 0,092 A ¿Cuántos 
electrones cruzan una sección determinar del alambre en 1seg?.
La densidad de corriente en el interior de un conductor cuyo radio uniforme mide 0,3cm es 
0,35 mA/m2. ¿En cuantos segundos pasaran el número de Avogadro de electrones por 
un punto dado del conductor?
La densidad de los electrones portadores de corriente en el cobre, es 
28 38,5 10 / .electrones m× Por un alambre de 1,8mm de radio pasa una corriente de 1,2 
A. a) ¿Cuál es la velocidad de los electrones ?. b) ¿Cómo cambia esa velocidad en otro 
alambre, de 2,4mm de diámetro, conectado al extremo del primero?.
Un alambre de longitud 16,5m y sección transversal de 0,02cm2 tiene una resistencia 
media de 0,12 .Ω Calcule la conductividad del material con el cual se hizo el alambre.
Un alambre de aluminio de 50mm2 de área, colocado a lo largo del eje X, trasporta 
10.000C en una hora. Suponga que hay un electrón libre por cada átomo de aluminio. 
Determine a) la corriente, b) la densidad de corriente, c)la velocidad del 
desplazamiento, teniendo que la densidad del aluminio es de 2,7g/cm3.
Un alambre de longitud 2m y sección trasversal de 0,25mm2 tiene una resistencia de 
43 20º .a CΩ Si la resistencia del alambre aumenta hasta 43,2 32º ,a CΩ ¿Cuál es el 
coeficiente de temperatura de la resistividad?.
Calcule la resistividad del cobre a partir de los siguiente una diferencia de potencia de 
1,2V produce una corriente de 1,8 A en un alambre de cobre cuya longitud es de 100m 
y 0,18cm de diámetro y esta a una temperatura de 20 º C. 
¿Cuánta plata, cuya densidad es de 3 310,5 10 / ,Kg m× se necesitaria para formar un 
alambre de 1 Km de longitud, que tuviera una resistencia de 5Ω ?.
El aluminio tiene 3 32,7 10 /Kg m× de densidad. Calcular: a) ¿Cuál es la resistencia de un 
alambre de aluminio de 2cm de diámetro y 250m de longitud?. b)¿Cuál es la masa del 
alambre de aluminio?. c) ¿Cuál es la masa del alambre de cobre, de 3 38,9 10 /Kg cm× 
de densidad, con la misma longitud y resistencia total?.
77
El embobinado de cobre de un motor tiene una resistencia de 50Ω a 20 ºC cuando el 
motor esta inactivo. Después de funcionar por varias horas, la resistencia aumenta a 
58Ω ¿Cuál es la temperatura del embobinado?.
Un calefactor de inmersión de 500w se coloca en un recipiente que contiene 2,0 litros de 
agua a 20 ºC. a) ¿Cuánto tiempo tardara en elevarse la temperatura del agua hasta su 
temperatura de ebullición, suponiendo que el agua absorbe el 80% de la energía 
disponible? b) ¿Cuánto tiempo más tardara en evaporarse la mitad del agua?.
Un calefactor por radiación, de 1250w, se fabrica de tal forma que opera a 115V. a) ¿Cuál 
será la resistencia de la bobina calefactora? c) ¿Cuántas Kilocalorías irradia l 
calefactor en una hora?.
En una instalación hidroeléctrica, una tubería entrega 2000 hp a un generador, el cual, a 
su vez, convierte el 90% de la energía mecánica en energía eléctrica. Bajo estas 
condiciones, ¿Cuánta corriente eléctrica entregara el generador a una diferencia de 
potencial entre terminales de 3000V?.
Se tienen las terminales de un acumulador de 12V conectadas entre si con un conductor de 
cobre. ¿Qué longitud debe tener el conductor, si su área de sección transversal es 
5 23 10 ,m−× y la potencia disipada es 1,2Kw?.
Un acumulador de 12 V se conecta a dos conductores metálicos sumergidos en un 
recipiente de agua. Durante 240 horas pasa una corriente eléctrica de 100 mA. 
¿Cuánta energía se tomo del acumulador durante ese lapso?.
Dos cascarones esféricos concéntricos cuyos radios interior y exterior son ,a br y r 
respectivamente forman un elemento resistivo cuando la región entre las dos 
superficies contienen un material de resistividad .ρ Demuestre que la resistencia del 
dispositivo es:
1 1
4 a b
R
r r
ρ
π
 
= − 
 
Un conductor cilíndrico de Tungteno tiene una longitud inicial 1L y un área de la sección 
transversal 1.A El metal se estira uniformemente hasta alcanzar una longitud final 
2 110 .L L= Si la resistencia del conductor con la nueva longitud es de 75 .Ω ¿Cuál es el 
valor inicial de R?.
Un generador entre 60A a 110V a) ¿Qué potencia entrega ese generador? b) ¿Cuánto 
tardaría en evaporar 1 litro de agua, iniciando en 20ºC?.
78
Un tostador que utiliza un elemento de calentamiento de nicrom funciona a 120V. Cuando 
se le conecta a 0ºC, transporta una corriente eléctrica inicial de 1,5 A. algunos 
segundos después la intensidad alcanza un vapor estacionario de 1,33 A. ¿Cuál es la 
temperatura final del elemento?. El valor medio del coeficiente térmico del Nicrom 
para eseintervalo de temperatura es ( ) 144,5 10 º .C −−×
Una barra de aluminio de 2,5m de longitud tiene una sección rectangular de 1 por 5cm a) 
¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuál seria la longitud de un hierro de 15mm de diámetro 
que tuviese la misma resistencia?.
79
TEMA VII
CIRCUITOSDE CORRIENTE DIRECTA
1.21 INTRODUCCIÓN
Estudiamos a continuación circuitos sencillos, en donde conectaremos entre si 
resistores, capacitares y acumuladores, mediante cables conductores. Para el análisis de 
estos circuitos utilizaremos dos reglas (Kirchhoff).
Estas reglas deducen a partir de las leyes de la conservación de la energía y de la 
conservación de la carga.
También describiremos los instrumentos utilizados para medir la corriente eléctrica, 
la diferencia de potencial y la resistencia en los circuitos eléctricos.
1.22 FUERZA ELECTROMOTRIZ
Una fuerza electromotriz es una fuente de energía que hace posible mantener una 
corriente eléctrica constante en un circuito cerrado, la fuerza electromotriz de una fuente 
describe el trabajo realizado por unidad de carga, la unidad de la fuerza electromotriz es el 
volt.
Consideremos una carga positiva que se mueve desde a hasta b, como la Figura 7.1, 
donde la fem (fuerza electromotriz) le indicamos con la letra ,ε r es la resistencia interna 
de la fem, y I es la corriente eléctrica que circula por el circuito y R es una resistencia 
externa.
Cuando la carga pasa del terminal negativo al positivo su potencial aumenta en .ε 
Pero la resistencia interna r hace que el potencial disminuya I r. Entonces.
( )7.1V Irε= −
Revisando el circuito vemos que la tensión entre terminales V también debe ser 
igual a la diferencia de potencial a través de la resistencia externa R.
( )7.2V IR=
Sustituyendo esta ecuación en la anterior obtendremos:
( )7.3IR Irε = +
80
Sacando factor común de la corriente y despejando obtenemos:
( )7.4I
R r
ε=
+
La resistencia interna es mucho menor que la resistencia externa, por lo que en 
muchos circuitos se deprecia este valor.
Ejemplo:
Una batería con un fem de 8V y una resistencia interna de 0,5Ω se conecta a través 
de un resistor d carga R. Si la corriente es de 2A a) ¿Cuál es el valor de R? b) ¿Cuántas 
potencia se disipa en la resistencia interna R de la batería del circuito?.
( ) ( )
( ) ( )
22
22
8 0,5 3,5
2
2 . 0,5 2
2 . 3,5 14R
VI R r
R r I A
Pr I r A w
P I R A w
ε ε= ⇒ = − = − Ω = Ω
+
= = Ω =
= = Ω =
7.3 RESISTORES EN SERIE Y EN PARALELO
Asociación de resistores en serie
La corriente que circula en este tipo de asociación es la misma para cada resistor, ya 
que cualquier carga que fluya a través de 2.R
( ) ( )2 1 2 7.5V IR IR I R R= + = +
A los resistores R1 y R2 se les puede reemplazar por una sola resistencia 
equivalente.
( )1 2 7.6eqR R R= +
La resistencia equivalente de una conexión en serie de resistores siempre es mayor 
que cualquiera de las resistencias.
Asociación de resistores en paralelo
La diferencia de potencial a través de cada resistor es la misma, en la asociación en 
paralelo, pero la corriente en cada resistor es diferente. Cuando la corriente del circuito 
81
llega al punto (nodo), se separa en dos partes una I, que pasa por R1 y otra I2 que pasa por 
R2. La corriente que entra en el punto a es igual a la sale de este punto, por lo que.
( )1 2 7.7I I I= +
Como el potencial es el mismo, tenemos por ley de ohm.
( )1 1 2 2; 7.8V R I V R I= =
Despejando las intensidades y sustituyendo en la ecuación (7.7).
1 2 1 2
1 1V VI V
R R R R
 
= + = + 
 
la resistencia equivalente entonces va a será:
( )
1 2
1 2
1 2
1 1 1
7.9
eq
eq
R R R
R RR
R R
= +
=
+
La resistencia equivalente de una asociación en paralelo de resistores es menor que 
cualquiera de las resistencias.
Ejemplo:
Se aplica una diferencia de potencial de 25V entre los puntos a y b como se muestra 
en la figura. Calcule la corriente en cada resistor.
Solución:
Como en esta asociación en serie la corriente s la misma.
( )
2,3 4
1 2,3 4 1 2,3 4
2 3
2,3
2 3
5 .10 3,33
5 10
I I I I
V IR IR IR I R R R
R RR
R R
= = =
= + + = + +
Ω Ω= = = Ω
+ Ω + Ω
82
Despejando la corriente:
1 2,3 4
25 3
3 3,33 2
V VI A
R R R
= = =
+ + Ω + Ω + Ω
Entonces: 1 2,3 43 ; 3 3I A I A y I A= = =
Calculemos a 2 3I y I
2,3 2,3 2,3. 3 . 3,33 9,99V I R A V= = Ω =
Como V2,3 es igual a V2 y V3 en asociación en paralelo 
32
2 3
2 3
9,99 9,99; 1
5 10
VV V VI I A
R R
= = = = =
Ω Ω
I2=2 A I3=1 A
7.4 REGLAS DE KIRCHHOFF
Para analizar circuitos cerrados complejos aplicamos las reglas de Kirchhoff.
Primera regla: la suma de las corrientes que llegan a cualquier nodo (unión) debe ser 
igual a la suma de las corrientes que salen de él.
Segunda regla: la suma de las diferencias de potencial a través de cada elemento, en torno 
de cualquier circuito cerrado, debe ser cero.
Un nodo es cualquier punto del circuito en el que las corrientes pueden separarse.
La primera regla es un enunciado de la conservación de la energía.
Para aplicar la segunda regla debemos tomar en cuenta las siguientes indicaciones:
1.- Si se recorre un resistor en dirección de la corriente, el cambio en el potencial a través 
de el es -IR. Figura 7.5 a.
b aV V V IR∆ = − = −
2.- Si se recorre un resistor en dirección opuesta a la corriente, el cambio en el potencial a 
través de el es +IR. Figura 7.5 b.
b aV V V IR∆ = − = +
83
3.- Si se recorre una fuente de fem en dirección opuesta a la misma, desde + hasta - en los 
terminales, el cambio en el potencial es +E. Figura 7.5c.
b aV V V E∆ = − = +
4.- Si se recorre una fuente de fem en la dirección de la misma, desde - hasta + en los 
terminales, el cambio en el potencial es -E. Figura 7.5d.
b aV V V ε∆ = − = −
Para resolver este tipo de circuitos cerrados primero debemos indicar los símbolos y 
las direcciones de las corrientes en las diversas ramas, después aplicar las reglas de 
Kirchhoff.
El número de ecuaciones independientes debe ser al menos igual al número de 
incógnitas. Si obtenemos una respuesta negativa en una de las corrientes indica que esta 
tiene la dirección opuesta a la que supuso.
Ejemplo: 
Los elementos conocidos del circuito de la Figura 7.6 son: 
1 2 1 2 35 ; 20 , 3 ; 6 , 0,1 .R R V V I Aε ε= Ω = Ω = = = Calcule el valor de R3 y las 
corrientes I1 y I2.
Solución:
1 2 3
3 3 1 1 1
3 3 2 2 2
1)
2) 0
3) 0
I I I
I R I R
I R I R
ε
ε
+ = ⇒
− − + =
+ + =
FIGURA 7.6
sustituyendo valores:
1) 1 2 0,1I I A+ =
3 12) 0,1 5 3 0R I− − + = resolviendo este sistema de ecuaciones
3 13) 0,1 20 8 0R I− + = tenemos que:
________________________________
1 10 25 11 0 0,44I I A− + = ⇒ =
sustituyendo este valor en la ecuación 3
3 1 320 8 8 8R I R= + = Ω ⇒ = Ω
 __________
0,1
84
para calcular a I2 utilizamos la ecuación #1
2 10,1 0,1 0,44 0,34I A I A A A= − ⇒ − = −
7.5 CIRCUITOS RC
Son circuitos formados con resistores y capacitares, este tipo de circuitos varían con 
el tiempo. Cuando aplicamos una diferencia de potencial a través de un capacitor, la rapidez 
con la que se carga depende de su capacitancia y de la resistencia del circuito.
Consideremos el siguiente circuito, si accionamos el interruptor en un instante T =0, 
se presentara una corriente a través del resistor y el capacitor empezara a cargarse.
La carga se va a transferir desde una de las placas del capacitor a la otra, hasta que 
queda completamente cargado. Este valor va a depender de la fem de la batería. Cuando se 
alcanza la carga máxima, la corriente en el circuito es cero.
Aplicamos la 2da regla de Kirchhoff, después de cerrar el interruptor.
( )0 7.10qIR
C
ε = − =
I R es la caída de potencial a través del resistor
q/C es la caída de potencial a través de capacitor
I y q son valores instantáneos.
La corriente máxima o inicial del circuito es:
( )0 7.11I R
ε=
Cuando el capacitor se carga hasta su valor máximo, la larga deja de fluir, la 
corriente en el circuito es cero la cargamáxima en el capacitor es:
( ). 7.12Q C ε=
Como la corriente y la carga varían en función del tiempo, por lo que derivamos en 
función del tiempo la ecuación (7.10);
( ) 0d IR q C
dt
ε − − =
Como ε es constante:
85
1 0dI dqR
dt dt C
− =
Como 
dqI
Dt
=
1 0dI R
dt C
− − =
despejando:
dI IR
dt C
− =
1dI dt
I RC
= −
Dado que R y C soi constantes, integramos:
0
0
1I t
I
dI dt
I RC
I tLn
I RC
−=
  −= 
 
∫ ∫
Si queremos hallar la carga en el capacitor recordamos que /I dq dt= y lo sustituimos 
en la ecuación anterior (7.12).
/
/
t RC
t RC
dq e
dt R
dq dt
R
ε
ε
−
−
=
=
Integrando:
/
q t
t RC
O O
dq e dt
R
ε −=∫ ∫
Obtenemos la ecuación para determinar la carga en función del tiempo.
( ) ( ) ( )/1 7.13t RCq t C eε − = − 
donde Q Cε= es la carga máxima en el capacitor.
( ) ( )/( ) 1 7.14t RCq t Q e−= −
86
Ejemplo:
Considere un circuito RC como el de la Figura 7.9, para el que 
62 10 , 6 20 .R C Nf y Vε= × Ω = = Halle a) la constante de tiempo del circuito, b) la carga 
máxima en el capacitor, c) la corriente máxima en el circuito, y d) la carga y la corriente 
como funciones del tiempo.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
6 6
6 4
5
0 6
/
4 /12
) 2 10 6 10 12
) 6 10 20 1, 2 10
20) 1 10
2 10
) ( ) 1
( ) 1, 2 10 1
t RC
t
a RC F seg
b Q C F V C
Vc I R A
d q t Q e
q t e C
ε
ε
−
− −
−
− −
ℑ = = × Ω × =
= = × = ×
= = = ×
× Ω
= − −
= × −
Figura
le damos valores a t; para conseguir a q(t) y I(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 6 8 10 12
14 16
2 18,4 , 34 , 47,2 , 58,4 , 67,8 ,
75,8 , 82,6 , 88,4
q f q c q c q c q c q
c q c q c
µ µ µ µ µ
µ µ µ
= = = = =
= = =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
/ 5 /12
0
2 4 6 8
10 12 14 16
1 10
8,5 7, 2 6,1 5,1
4,3 3,7 3,1 2,6
t RC t
tI I e e A
I A I A I A I A
I A I A I A I A
µ µ µ µ
µ µ µ µ
− − −= = ×
= = = =
= = = =
ANEXO 4: Grafico 01 y 02
7.6 INSTRUMENTO DE MEDICIÓN
Amperímetros:
Miden las corrientes en los conductores de los circuitos. El amperímetro se conecta 
en serie en el segmento del circuito se va a medir, por lo que el amperímetro debe tener una 
resistencia pequeña para que no afecte a la corriente que va a medir.
( )7.15
A
I
R R
ε=
+
87
Donde RA es la resistencia del amperímetro, pero RA<<R, la corriente será igual.
Voltímetro:
Miden las diferencias de potencial a través de elementos de circuitos con los que se 
conectan en paralelo. Al contrario del amperímetro el voltímetro debe tener una gran 
resistencia, para que no afecte al circuito que va a medir.
( )1 1 1 7.16
eqR Rv R
= +
Donde Rv es la resistencia del voltímetro que es mucho más grande que el circuito 
Rv>>R, por lo que la resistencia equivalente es casi igual a la del circuito.
( )1 1 1 7.17
eqR Rv R
= +
y no afectara los parámetros del circuito original.
Ohmetros:
Mide resistencias y esta compuesto de un galvanómetro, una resistencia interna de 
referencia y una batería de fuerza electromotriz conocida.
7.7 EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Demostrar que la potencia suministrada a R como energía térmica en el circuito de la 
Figura 7.12 es un máximo cuando R es igual a la resistencia interna r de la batería b) 
Demostrar que esta potencia máxima es 2 / 4 .P E r=
2) Una resistencia de 0,1Ω debe generar energía térmica con un ritmo de 10w al 
conectarse a una batería cuya fem es de 1,5 V. a) ¿Cuál es la resistencia interna de la 
batería?, b)¿Cuál es la diferencia de potencia que existe a través de la resistencia?.
3) Determinado acumulador automotriz tiene una fuerza electromotriz de 12 V. Cuando 
produce una corriente de 100a, el voltaje entre terminales es 9V. Calcule la resistencia 
interna de acumulador. ¿Cuál es la potencia que disipa el acumulador cuando produce 
esa corriente?.
4) ¿Qué diferencia de potencia se medirá a través de un resistor de carga 12Ω cuando se 
conecta a través de una batería de 6V de fem que tiene una resistencia interna de 
0,15Ω ?.
5) Las baterías de niquel-cadmio que se usan en los vuelos espaciales pueden mandar 30a 
durante 1 h y su fem es de 30V. ¿Cuánta energía contienen esas batería?.
88
6) Dos resistores de 60Ω se conectan en serie entre dos terminales, cuya diferencia de 
potencial es d 120V. ¿Cuál es la potencia total disipada?.
7) Determine la resistencia equivalente entre los puntos a y b de la figura.
8) Considere la combinación de resistores de la Figura 7.14, a) Halle la resistencia entre 
los puntos a y b, b) Si la corriente en el resistor 5Ω es de 1 A, ¿Cuál s la diferencia de 
potencial entre los puntos a y b.?
9) a)¿Para que valor de R2 en la Figura 7.15, es cero el voltaje entre los puntos a y b?. b) 
¿Para que valor es cero la corriente en el circuito?.
10) a) Determine l valor de I1 e I3 en el circuito de la Figura 7.16, si la batería de 4V se 
reemplaza por un capacitor de 4NF, b) determine la carga en el capacitor de 4NF.
11) Determine el valor de la corriente en cada uno de los cuatros resistores mostrados en 
el circuito de la Figura 7.17.
12) Doce resistores, cada uno de resistencia R, se interconectan formando un cubo, como 
en la Figura 7.18, a) determine la resistencia equivalente RAB de una arista, b) 
Calcular la resistencia equivalente RBC de la diagonal de una de las caras. c) 
Determinar la resistencia equivalente RAC de una diagonal del cubo.
13) Un cubo esta formado por conductores idénticos, como se observa en la Figura 7.19, 
cada uno con resistencia r1 y se conecta a un voltaje de línea V, a) ¿Cuál es la 
resistencia equivalente del cubo?, b) ¿Cuál es la corriente en cada uno de los 
conductores?.
14) Un capacitor de 33 10 Fµ−× con una carga inicial de 6,2NC se carga a través de un 
resistor de 1500Ω a) ¿Cuánta energía esta almacenada inicialmente en el capacitor? 
b) Si el capacitor se descarga completamente a través del resistor, ¿Cuánta energía se 
dispara como calor en este?.
15) Tiene usted dos capacitores, de 20 ,Fµ y tres resistores, uno de 4Ω y los otros dos de 
2 .Ω Determinar la conexión de esos elementos que produzca un circuito cuya 
constante de tiempo se 55 10 .seg−×
16) Un resistor de 3 106× Ω y un capacitor de 1 Fµ se conecta un circuito de una sola 
malla con una fuente de fem 4 .Vε = Después de 1 seg. de haber establecido la 
conexión, a) ¿Con que ritmo aumenta la carga del capacitor, b) se almacena la energía 
en el capacitor; c) Se genera energía térmica en el resistor, y d) suministra energía de 
la fuente fem?.
89
17) La diferencia de potencial entre las placas de un capacitor de 2 Fµ que tiene una 
fuga, disminuye de V0 a V(1/4 V0) en un tiempo de 2 seg. ¿Cuál es la resistencia 
equivalente entre las placas del capacitor?.
18) Hallase las fuerzas electromotrices 1 2yε ε en el circuito de la Figura 7.20 y la 
diferencia de potencial entre los puntos a y b.
19) a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b de la Figura 7.21, cuando 
esta abierto el interruptor S?, b) ¿Cuál de los dos puntos, a y b, esta a mayor 
potencial?, c) ¿Cuál será el potencial final del punto b cuando se cierre el interruptor 
S?, d) ¿Cuánto cambia la carga de cada condensador cuando se cierra S?.
20) Considere el circuito de la Figura 5.21, a) Calcule la corriente en el resistor de 5Ω , b) 
¿Cuánta potencia disipa todo el circuito?, c) Determine la diferencia de potencial 
entre los puntos a y b, y c) ¿Cuál es el punto que esta al potencial más elevado?.
FIGURA 5.21
90
TEMA VIII
CAMPOS MAGNÉTICOS 
1.23 INTRODUCCIÓN
Desde el año 800 a.c., aproximadamente, los griegos conocían el fenómeno del 
magnetismo. Estos descubrieron que determinadas piedras tenían la propiedad de atraer 
pequeños trozos de hierro, los imanes tiene polos magnéticos, un polo magnético norte (N) 
y otro sur (S), los polos magnéticos no pueden separarse, ya que si partimos un imánen dos 
partes, estas partes formaran dos nuevos imanes. Si tratamos de unir las partes por donde se 
partió el imán no es puede, porque las fuerzas magnéticas no lo permiten. Esto se debe a 
que polos iguales fuerzas magnéticas no lo permiten. Esto se debe a que polos iguales se 
repelen y polos diferentes se atraen.
En la actualidad existen imágenes artificiales como los electroimanes.
En este capitulo veremos como están relacionadas las fuerzas magnéticas con los 
campos eléctricos. También estudiaremos los efectos de los campos magnéticos, ya que son 
generados por los imanes y cargas en movimiento.
1.24 CAMPOS MAGNÉTICOS (B).
Definiremos el vector campo B en un punto del espacio, en términos de una fuerza 
magnética. Si tomamos una partícula cargada que se mueve con una velocidad ν los 
efectos que se producen sobre esta partícula cargada por un campo magnético son:
1.- La fuerza magnéticas es proporcional a la carga q a la velocidad ν de la partícula.
2.- La magnitud y dirección de la fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula.
3.- Cuando una partícula cargada se mueve en una dirección paralela al vector campo 
magnético, la fuerza magnética F sobre la carga es cero.
4.- Cuando el vector velocidad forma un ángulo θ con el campo magnético, la fuerza 
magnética actúa en una dirección perpendicular tanto a ν como B; en donde, F es 
perpendicular al plano formado por ν y B. (ver Figura 8.1).
5.- La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene la dirección opuesta a la fuerza que 
actúa sobre una carga negativa que se mueve en la misma dirección.
6.- Si el vector velocidad forma un ángulo θ con el campo magnético, la magnitud de la 
fuerza magnética es proporcional a sen θ
91
Con estos efectos que se producen podemos decir como es la fuerza magnética 
sobre una partícula cargada en movimiento en un campo magnético.
( )8.1F q Bν= ×
Campo podemos observar Bν × es un producto vectorial:
( )8.2F q B senν θ= ×
Por lo que cuando θ es igual a 0º o 180º la fuerza es cero y cuando es 90º la fuerza 
tiene su valor máximo.
Podemos concluir que la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético, 
que actúa sobre una partícula cargada solo cuando esta se encuentra en movimiento y 
cuando esta asociada con un campo magnético estacionario no realiza cuando la partícula 
se desplaza.
Un campo magnético aplicado puede alterar la dirección del vector velocidad, pero 
no puede cambiar la rapidez de la partícula.
Las unidades de campo magnético es el weber por metro cuadrado; que lleva el 
nombre de tesla (T).
2 . / .
Wb Nw NwB T
M C m s A m
= = = =
Ejemplo:
El campo magnético sobre cierta región es B = (2,3j) T. Un electrón se mueve en el 
campo con una velocidad ( )2 3 / .i j k m sν = + −
Con la notación de vectores unitarios exprese la fuerza ejercida sobre el electrón por 
el campo magnético.
Solución:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
19
19
18 19 18
1,6 10 2 3 / 2 3
1,6 10 0 3 4 0 6 9 /
1,44 10 9,6 10 1,12 10
F q B C i j k m s i j T
F C k k j i N C
F i j k Nw
ν −
−
− − −
= × = × + − × −
= × − − + − −
= − × + × + ×
92
1.25 FUERZA MAGNETICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE LLEVA UNA 
CORRIENTE.
La fuerza total sobre un conductor con corriente es la suma vectorial de las fuerzas 
magnéticas sobre todas las cargas en movimiento en su interior. Este cálculo se realiza 
determinando la fuerza sobre un pequeño segmento del conductor y después se suman, o 
integran, la fuerza infinitesimal en cada segmento.
Observamos las Figura (8.2 a y b) adjuntas y recordamos que la velocidad es el 
desplazamiento en función del tiempo.
dIV
dt
=
La corriente es la carga en función del tiempo
dqI dq Idt
dt
= ⇒ =
Como estamos hablando de un pequeño segmento del conductor, entonces la fuerza 
magnética es:
dF dq B I dtν= × = /dI dt( )B×
dF IdI B= ×
Donde la magnitud de dF es:
dF IdIBsenθ=
El ángulo θ es el que se forma entre dI y b.
La fuerza neta sobre dicho conductor es la integración de dF.
( ) ( )8.3FB I dI B= ×∫
Ejemplo:
1) Un alambre largo conduce una corriente de 15 A. Un imán recto se acerca al alambre de 
tal modo que los portadores de carga, con velocidad 10-3 cm/s, sienten un campo 
magnético de 25 10 ,T−× perpendicular a su dirección de movimiento. Calcule la fuerza, 
a) sobre cada portador de carga (electrón) en movimiento, y b) sobre un tramo de 1m de 
alambre.
93
Solución:
)a F q Bν= ×
( )19 5 21,6 10 1 10 / 5 10 / / 90F q Bsen C m s Nw Cm s senν θ − − −= × = × × × × o
268 10F Nw−= ×
( )) 115b F I dI B F IB dIsen IBI Aθ= × ⇒ = = =∫ 2.5 10 / .Nw A m−× .1m( )∫
275 10F Nw−= ×
2) Un alambre en forma de u de masa m y longitud L se coloca con sus dos extremos en 
mercurio. El alambre se encuentra en un campo homogéneo de inducción magnética B. 
Si se manda por el alambre una carga ,q Idt= ∫ el alambre salta. Conociendo la altura h 
que alcanza el alambre. Calcular la magnitud de la carga q, cuando 
20,1 / , 10 , 20 3 .B w m m g L cm y h m= = = =
Solución:
Recordando la relación de impulso y cantidad de movimiento.
( ).Fdt m v y F I B sen fuerza magneticaθ= =∫
Sustituyendo el valor de la fuerza magnética en la relación de impulso y cantidad de 
movimiento.
.
.
.
.
I Bdt m
IB Idt m v como q Idt
IBq m v despejando a q
m vq
IB
ν=
= ⇒ =
=
=
∫
∫ ∫
Recordando la ley de la conservación de la energía.
94
2
mA mBE E
Ek Eu
L m
=
=
2V m= 2gY V gy⇒ =
Sustituyendo en q
( )
3
2
2
10 10
20 10 0,1 / /
mq gY
IB
Kgq
m Nw C m s
−
−
=
×=
× ( )
.2 9,8 /m s ( )( ). 3 0,5 / / .7,67 /m C m s m s=
q=2,83C
8.4 MOVIMIENTO DE TORSIÓN SOBRE UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN 
UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME
Consideremos una espira rectangular que lleva una corriente I, en presencia de un 
campo uniforme en plano de ella como lo indica la Figura 8.3. La magnitud de las fuerzas 
es.
1 2F F IbB= =
F1 es la fuerza sobre el lado izquierdo de la espira y F2 es la fuerza sobre el lado derecho 
como se observa en la parte b de la Figura (8.3). El momento de torsión neto sobre la espira 
tiende a hacerla girar alrededor del punto 0.
1 2
9 9
2 2
F F IabBℑ = + =
Como el área de la espira es A =ab
IABℑ=
Este resultado solo es cuando el campo B esta en el plano de la espira.
Si consideramos una espira rectangular con una corriente I, y el campo magnético forma un 
ángulo θ con la normal al plano de la espira ver la Figura (8.4a) como 1 2 ,F F IbB= = el 
momento de torsión neto respecto a un punto 0 es.
1 22 2
a aF sen F sen I ab senθ θ θℑ = + =
95
Donde el brazo de momento es 2a senθ como se ve en la Figura (8.4b) donde el área es A 
=ab.
IABsenθℑ =
Esto es un producto vectorial:
( )8.4IA Bℑ = ×
A es un vector perpendicular al plano de la espira, el sentido de este vector se determina por 
la regla de la mano derecha ver Figura 8.5. Donde IA se define como el momento 
magnético M de la espira.
(8.5)M IA=
Por lo que el momento de torsión se puede expresar como:
( )8.6M Bℑ = ×
Ejemplo:
En la Figura 8.6 se muestra una bobina rectangular, de alambre, con 20vueltas, de 
10x5cm. Transporta una corriente de 0,10 A y esta pivoteada por uno de sus lados. Cual es 
el momento de torsión que actúa en la espira si se monta de tal forma que su plano forma 
un ángulo de 30º con respecto a la dirección de un campo magnético uniforme de 0,5 T.
Calculemos el momento con respecto al origen:
1 60r F Frsenℑ = × =
o
como F ILB= entonces
1 60ILBrsenℑ = o
para calcular el momento con respecto a las 20 espiras
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
3
20 20 60
20 0,10 10 10 0,5 5 10 60
4,33 10
ILBrsen
A m T m sen
Nw
− −
−
ℑ = ℑ =
ℑ = × ×
ℑ = ×
o
o
8.5 MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO 
MAGNÉTICO 
Observamos la figura (8.7) y apliquemos la segunda ley de Newton
; .F q B F m aν= =
96
Esta aceleración es centrípeta 2 / ;a rν= igualamos las dos ecuaciones
.q B m aν =
qν 2B mν= / r
Si despejamos a r obtendremos el radio de la órbita circularmr
qB
ν=
La frecuencia angular de rotación de la partícula cargada s
( )8.7qB
r m
νω = =
Y el periodo de su movimiento es
( )2 2 2 8.8r mT
qB
π π π
ν ω
= = =
Ejemplo:
Un protón, un dentaron y una partícula alfa, con iguales energías cinéticas, entra en 
una región de campo magnético uniforme, moviéndose perpendicularmente a B. Comparar 
los radios de sus trayectorias circulares, ( )
27 273,34 10 ; 1,67 10 ,pdm Kg m Kg
− −= × = × 
( ) ( ) ( )
19 27 191,6 10 ; 6,68 10 , 3, 2 10Pq C m Kg q Cαα
− − −= × = × = ×
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2
2
2 2 2 2 2 2
1 2
2 2
2
; ;
2 2 2
2 2
1, 4
2 2
1, 4
p p d d
k p k d k
p d
k p k d
p p d d
d
p d
d p d d p
p
p p
p
p p
p
p d
q B R q B R q B R
E E E
m m m
E E
q B R q B R
despejando a R
m m
R R m R R
Ek Ek
Q B R q B R
m m
q R m
R
m q
R R R R
α α
α
α
α
α α
α
α
α
α
α α
= = =
=
=
= ⇒ =
=
=
=
= =
97
8.6 SELECTOR DE VELOCIDADES; ESPECTROMETRO DE MASA Y 
CICLOTRON
A continuación describiremos algunos aparatos que miden al movimiento de 
partículas cargadas en campos magnéticos uniformes.
Las cargas reaccionan en forma independiente a los campos eléctricos y magnéticos, 
por lo que la fuerza total que actúa sobre dicha carga es:
( )F q E Bν= + × Fuerza de Lorente (8.9)
Selector de velocidades:
Es un dispositivo especial de campos eléctricos y magnéticos, un par de placas 
paralelas cargadas, como se observa en la Figura (8.8), generan un campo eléctrico 
uniforme, mientras se aplica un campo magnético uniforme perpendicular (indicado por las 
cruces). Si se introduce una carga q positiva, esta por el efecto de dichos campos se moverá 
en línea recta horizontal.
( )/ 8.10E Bν =
Si la velocidad es mayor que esta se desviaran hacia arriba y las de menos velocidad 
se desviaran hacia abajo.
Espectrómetro de masas:
Es un aparato que separa iones atómicos y moleculares conforme a su razón masa a 
carga.
( )2/ 8.11gVE B
m
ν = =
Elevando al cuadrado ambas ecuaciones obtendremos
( )
2
2/ 8.122
Eq m
VB
=
Ciclotrón:
Es una maquina que puede acelerar partículas cargadas hasta velocidades muy altas.
2 2 2
21
2 2k
q B RE mv
m
= =
Ek = es la energía cinética máxima al salir del ciclotrón.
98
Y la fuerza responsable de la aceleración es: 
2mvF qvB
R
= =
Despejando a R tenemos:
( )8.13mvR
qB
=
Ejemplos:
1) El espectrómetro de masas de la Figura 8.9 muestra un dispositivo usado por Dempster 
para medir las masas de los iones. Un ion de masa M y cargada + q se produce, 
esencialmente en reposo, en la fuente S, que es una cámara en la que se produce una 
descarga gaseosa. El ion se acelera a través de una diferencia de potencial V y penetra 
en un campo magnético B. Dentro de campo, el ion se mueve en circulo e incide sobre 
una placa fotográfica colocada a una distancia x desde la rendija de entrada y se registra 
el impacto. Demostrar que la masa M queda expresada:
2
2
8
B qM x
V
=
aplicando la 2da ley de Newton:
2 2 2 2
2
2
v q B rF qvB m v
R m
= = ⇒ =
y la relación entre el campo eléctrico y la energía cinética:
2 2 2
2
2
1 1 22
q B rqv mv qv m
m
 
= ⇒ =  
 
despejando a la masa:
2 2
8
qB xm
V
=
2) En un gran ciclotrón se esta movimiento un denteron en un campo magnético de 1,5 T 
y en orbita de 2 m de radio debido a un choque rasante con un blanco, el denteron se 
desintegra, con una perdida insignificante de energía cinética en un protón y newton. 
Estudiar los movimientos resultantes de cada partícula. Supóngase que la energía del 
denteron se disminuye por partes iguales entre el protón y neutrón al desintegrarse.
99
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
27 19 27
8
11
11
3,34 10 1,6 10 1,67 10 .
1, 44 10 /
1 3,46 102
1,73 10
2
d d p d
d d
d
p n
M Kg q C m Kg V
qBr m s
Ek m Joules
Ek
Ek Joules Ek
− − −
−
−
−
= × = × = × =
= ×
= = ×
= = × =
El neutrón no tiene carga por lo que conservara su energía cinética y no se 
puede predecir su trayectoria porque el campo magnético no actúa sobre él.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1,44 108
1,002
p
p
p
p p
p
p
Ek
V Joule
M
m v
R m
Q B
= = ×
= =
8.7 EFECTO HALL
Es un experimento que permite determinar el siglo de los transportadores de carga 
en un conductor si tenemos una tira plana de cobre que transporta una corriente como se 
indica en la figura (8.10) para encontrar una expresión del voltaje de Hall. 
Observamos que a fuerza magnética que actúa sobre los portadores es:
abF qV B=
Donde EH es el campo eléctrico debido a la separación de las cargas.
HF qE=
Entonces el potencial de Hall es:
ab H
H ab
qV B qE
E V B
=
=
Entonces el potencial de Hall es:
H H ab ab abV E d V Bd= =
100
Y la velocidad de deriva es:
ab
IV
NqA
=
Sustituyendo en la ecuación anterior de potencial.
H
IBdV
nqA
=
recordando que A =td es el espesor de la muestra.
H
IBV
nqt
=
donde 1/nq es el coeficiente de Hall RH.
Ejemplo:
Se utiliza una sección de conductor con un espesor de 0,15cm, como el espécimen 
experimental en una medición del efecto Hall. Si se mide un voltaje de Hall de 660 10 ,W−× 
para una corriente de 15 A en un campo magnético de 1,5 T, calcule el coeficiente de Hall 
para el conductor.
H
H
IBRV
T
=
7 34 10 /HH
V tR electrones m
IB
−= = ×
8.8 EJERCICIOS PROPUESTOS 
1) Se proyecta un electrón hacia un campo magnético uniforme dado por 
( )0,2 5 .B L J T= + Determine la expresión vectorial de la fuerza sobre el electrón, 
cuando su velocidad es 65 10 / .v Jm s= ×
2) Los electrones sin perturbar, en mi cinescopio de Tv, viajarían a una velocidad de 
77 10 /m s× a lo largo de la dirección +x la Tv esta en u lugar de la superficie terrestre 
en el cual el campo magnético tiene una componente vertical de 13 NT y horizontal de 
22,5 T. El componente horizontal esta en línea con la dirección +x y definimos a la 
101
dirección vertical como dirección Z. El tubo tiene 0,3m de longitud. Calcule la 
desviación, en dirección y magnitud, del haz de electrones debida al campo terrestre.
3) Un electrón tiene una velocidad dada por ( )6 62 10 3 10 / .v L m s= × + × Penetra en un 
campo magnético cuyo valor es ( )0,03 0,15B L J T= − a) Encontrar la magnitud y 
dirección de la fuerza que actúa sobre el electrón, b) Repetir los cálculos para 
denteron que tenga la misma velocidad.
4) Un protón y una partícula alfa, que tiene el doble de la carga y cuatro veces la masa 
del perímetro, se acelera con la misma diferencia de potencial y entran a una región de 
campo magnético constante, perpendicular a sus trayectorias. a) ¿Cuál es la relación 
de los radios de sus orbitas?. b) ¿Cuál es la relación de las frecuencias de sus orbitas?.
5) Un alambre metálico de masa m se desliza sin filtración en dos rieles espaciados a una 
distancia d, tal como se indica en la Figura (8.11). El dispositivo se encuentra en un 
campo magnético uniforme vertical B. Del generador G fluye una corriente constante I 
a lo largo de un riel, a través del alambre y de regreso por el otro riel. Encontrar la 
velocidad del alambre como función del tiempo, suponiendo que el instante t =0 estaba 
en reposo.
6) La figura 8.12, muestra un anillo de radio a perpendicular a la dirección general de un 
campo magnético que diverge siguiendo a una simetría radial, la magnitud B del 
campo magnético en la posición del anillo es la misma y su dirección forma, en todos 
los sitios del anillo, un ángulo θ respecto a la normal al plano del anillo, los alambres 
de conexión enrollados no tienen efecto alguno. Determinar la magnitud y la dirección 
de fuerza que ejerce el campo sobre el anillo si este transporta una corriente I como la 
mostrada en la figura.
7) Un alambre recto y delgadoconduce una corriente de 10 mA y forma un ángulo de 60º 
con un campo magnético constante de 10.-5T. LA parte del alambre dentro del campo 
tiene una longitud de 10cm. Calcule la fuerza, tanto en dirección como en magnitud, 
sobre el segmento del alambre.
8) El segmento de conductor mostrado en la Figura (8.13) lleva una corriente I =0,5 A, la 
sección más corta tiene 0,75m de largo, y el largo de la sección de mayor longitud 
mide 1,5m. Determine la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre el 
conductor si existe un campo magnético uniforme B =0, L T en la región.
9) El cubo de la Figura (8.1) de 0,5m de arista, se encuentra en un campo magnético 
uniforme de 0,6 T, paralelo al eje X. El hilo abcdef transporta una corriente de 44 A en 
el sentido indicado. Determínese la , magnitud, dirección y sentido de las fuerzas que 
actuan sobre las porciones ab, cd, de y ef.
102
10) Supongamos que la figura (8.15) representa una cinta de cobre con dimensiones 
1 12 1 .Z cm e y mm= = Cuando la inducción magnetica es 5 T y la intensidad 100 A, la 
fem Hall resulta ser 45,4 NV. ¿Cuál es la concentración de electrones libres?.
11) La Figura (8.16) muestra un cilindro de madera cuya masa m es de 0,25Kg, su radio es 
R, su longitud L es de 0,1m y con un número N =10 de vueltas de alambre enrolladas 
longitudinalmente en l eje, de tal forma que el plano de las espiras de alambre contiene 
al eje del cilindro. ¿Cuál es la menor de las corrientes a través de la espira que impide 
que I cilindro ruede por el plano inclinado, que forma un ángulo θ respecto a la 
horizontal, en presencia de un campo vertical cuya inducción magnética es de 0,5 T, si 
el plano de las espiras es paralelo al plano inclinado?.
12) Un alambre de longitud L transporta una corriente I. Demostrar que si el alambre se 
enrolla para formar una bobina circular, la torca máxima en un campo magnético 
dado se obtiene cuando la bobina tiene solo una vuelta y que el valor máximo de esta 
torca es 21 4 .L IBπℑ =
13) Una espira rectangular consta de 40 vueltas enrolladas apretadamente y sus 
dimensiones 0,25m por 0,20m, la espira esta articulada a lo largo del eje y el plano de 
la bobina forma un ángulo de 45º con el eje x, como se observa en la Figura (8.17). a) 
¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por un campo 
magnético uniforme de 0,25T dirigido a lo largo del eje x, cuando la corriente en los 
arrollamientos tiene un valor de 0,5 A, en la dirección indicada?. b) ¿Cuál es la 
dirección esperada de rotación de la espira?.
14) ¿Cuál es el momento máximo sobre una bobina de 2cm x12cm que tiene 600 vueltas, 
cuando transporta una intensidad de corriente de 10-5 A en un campo uniforme de 
0,10T?.
15) Una bobina circular tiene N vueltas, radio R y conduce una corriente I. El momento 
bipolar magnético esta alineado inicialmente con un campo magnético externo fijo B. 
¿Cuánto trabajo debe efectuar una fuerza para hacer girar la bobina a un ángulo θ ?.
16) ¿Qué campo magnético se requeriría para hacer que un electrón cuya energía es de 
4400 e V se mantenga en una trayectoria circular de radio 0,8m?.
17) El ciclotrón se ajusta normalmente para acelerar denterones. a)¿Cuál seria la energía 
que se podría producir en protones, utilizando la misma frecuencia del oscilados que 
utilizaba para los denterones?. b) ¿Qué campo magnético se necesitaría?. c) ¿Cuál 
seria la energía de los protones que se producirían si el campo magnético se 
conservara con el mismo valor que se utilizaba para los dentrones ? d) ¿Cuál seria la 
frecuencia del oscilador que se necesitaría en este caso?. e) Responder las mismas 
preguntas para el caso de partículas α .
103
18) Se lleva a cabo un experimento de efecto Hall con una banda de aluminio, cuya 
densidad es 32,7 / ,g cm la banda tiene 1cm de ancho, que es la distancia a la cual se 
mide el voltaje de Hall, y 0,50mm de espesor. Cuando el campo magnético es 0,050T y 
la corriente es de 96 A el voltaje de Hall es 1nV. ¿Cuántos electrones por átomo están 
libres para conducir corriente en el aluminio?.
19) Una bobina circular de 8cm de diámetro tiene 12 espiras y transporta una corriente de 
5ª, la bobina se encuentra en un campo magnético de 0,6 T. a) ¿Cuál es el momento 
máximo sobre la bobina?. b) ¿Para que posición tendría el momento un valor igual a 
la mitad del calculado en a?.
20) Una partícula alfa tiene una velocidad 53 10 /v Lm s= × y entra a una región en la que 
el campo magnético tiene un valor B =1,2KT. Determine la magnitud y dirección 
requerida de un campo eléctrico E que hará a la partícula alfa seguir moviéndose a lo 
largo del eje x.
104
TEMA IX
LEY DE AMPERE
1.26 INTRODUCCIÓN
En este capitulo estudiaremos que los campos magnéticos son producidos por cargas 
en movimiento. Empezaremos hablando de la ley de Biot y Savart, que describe los campos 
magnéticos que producen las cargas en movimiento y después la ley de Ampere para 
determinar el campo magnético de configuración de alta simetría que conduce en corrientes 
constantes.
1.27 LEY BIOT-SAVART
Si un alambre conduce una corriente constante I, el campo magnético dB en un 
punto P debido a un elemento ds tiene las siguientes propiedades (ver Figura 9.1):
El vector dB es perpendicular tanto a ds (el cual tiene la dirección de la corriente) como al 
vector unitario r dirigido desde el elemento al punto P.
La magnitud de dB es inversamente proporcional a r2, donde r es la distancia desde el 
elemento al punto P.
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la longitud ds del elemento.
LA magnitud de dB es proporcional a sen ,θ donde θ es al ángulo entre los vectores ds y 
r.
( )2
Ids rdB km ley de Biot Sa art
r
ν×= −
km. es una constante 70 / 4 10 / .w A mµ π
−=
Para determinar el campo total, se deben sumar todas las contribuciones de dB.
( )0 2 9.14
I ds rB
r
µ
π
×= ∫
Ejemplo:
El alambre mostrado en la Figura 9.2, transporta una corriente I. ¿Cuál es el campo 
magnético B en el centro C del semicírculo proveniente de : a) cada uno de los segmentos 
rectos de longitud L, b) del segmento semicircular d radio R y c) del alambre completo?.
105
a) Según la ley de Biot-Savart
0
2 ;4
I dL rdB
r
µ
π
×= como el ángulo entre ds y r es 0º
0
3 0 04
I dLrdB sen
r
µ
π
= =o
Los segmentos rectos no contribuyen a la inducción magnética.
b)
0
3 3
0 0 0
2
0 0
; 2
4
4 4 4
I dLrsendB y dL Rd
r r
I I IRdB B d B
R R
π π
µ α α π θ
π
µ µ µθ θ
π π π
= =
= ⇒ = ⇒ =∫ ∫
c) el resultado b es el campo producido en todo el alambre.
9.3 LEY DE AMPERE
Usted demostró claramente que un alambre portador de corriente produce un campo 
magnético, si se toma el alambre con la mano derecha, como se observa en la Figura 9.3, en 
forma tal que el dedo pulgar apunte en dirección de la corriente, los dedos cerrados 
definirán la dirección de B.
La ley de Ampere establece que la integral de línea de B.ds alrededor de cualquier 
trayectoria cerrada es igual a 0 ,Iµ donde I es la corriente constante total que atraviesa la 
trayectoria.
( )0 9.2Bds Iµ=∫
esta ley solamente es valida para corrientes estacionarias.
Ejemplo:
Un alambre sin forro, del num. 10 (0,10 pulgadas de diámetro), puede transportar 
una corriente de 50 A sin sobrecalentarse. ¿Cuál es valor de B en la superficie de este 
alambre cuando circula tal corriente?.
106
0
0
0
30
cos 0
2
7,87 10
2
Bds I
Bds I
B r I
IB T
r
µ
µ
π µ
µ
π
−
=
=
=
= = ×
∫
∫
∫
9.4 FUERZAS MAGNETICAS ENTRE DOS CONDUCTORES PARALELOS
Observemos la Figura 9.4, el alambre 1 producirá un campo magnético de B1, en el 
alambre 2, debido a una corriente I1.
( )0 11 9.32
IB
d
µ
π
=
el alambre 2, tiene una corriente I2, y esta siendo afectado por un campo B, externo, por lo 
que la fuerza magnética sobre una longitud L del alambre es:
( )0 2 12 2 1 9.42
LI IF I LB
a
µ
π
==
la fuerza que un alambre ejerce sobre el otro es igual y opuesta:
( )0 2 1 9.5
2
I IF
L a
µ
π
=
esta es la fuerza por unidad de longitud.
Ejemplo:
Dos conductores paralelos, separados a una distancia a =0,2m, llevan corrientes en 
la misma dirección, como se ven en la Figura 9.5. Si ejerce cada conductor sobre el otro?.
40 2 1 1,5 10 /
2
I IF Nw m
L a
µ
π
−= = ×
9.5 CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLENOIDE
Es un alambre largo devanado en la forma de una hélice, que genera campos 
magnéticos semejantes a los campos eléctricos que genera un capacitador de placas 
paralelas. Ver Figura 9.6.
El campo magnético en el interior de un solenoide largo es
107
( )0 9.6B nIµ=
Este campo magnético es uniforme y donde n es el número de espiras por unidad de 
longitud n = M/L.
Ejemplo:
1) Un solenoide cuyas espiras se han devanado estrechamente tiene una longitud de 0,25m 
y conduce una corriente I =0,5 A. La cual produce un campo magnético 58 10 .B T−= × 
¿Cuántas espiras tiene el solenoide?.
0
MB I
L
µ=
0
31,8BLM vueltas
Iµ
= =
2) Deducir la ecuación para el campo debido a un solenoide partiendo de la expresión 
magnético:
( )
2
0
3 22 22
IRB
R X
µ=
+
Obtenida de una espira circular, de la Figura 9.7. (sugerencia: dividir al solenoide en 
una serie de espiras de corriente de espesor infinitesimal y después realizar la integración).
Siendo I la corriente de la espira. Si tengo varias espiras delgadas:
0I I n n= × = número de espiras por unidad de longitud.
0I = corriente que lleva cada espira.
0dI I ndx=
( ) ( )
( )
2 2
0 0 0
3 2 3 22 2 2 2
0 0
2 1/ 22 20 0
3
0
2 2
2
I
R dI R I ndxB
R X R X
n R dxB como r R x
r
µ µ
µ
∞ ∞
∞
= =
+ +
= = +
∫ ∫
∫
Hagamos un cambio de variable:
108
(
2
2 3
0 0
3 3
0
2
20 0 0 0
0
0
; sec ;cos
sec
sec
2 sec
cos
2 2
RX Rtg dx R d
r
r R
I n R dB
R
I n I nB d sen
π
π
π
α α α α
α
µ α α
α
µ µα α α
= = =
=
=
= =
∫
∫
0 0
2
I nB µ=
9.6 FLUJO MAGNÉTICO
El flujo magnético a través de un elemento de área dA se obtiene mediante:
( ). 9.7m B dAφ = ∫
Ejemplo:
Dos alambres de cobre del número 10 (diámetro 0,10 pulg.) largos y paralelos, 
transportan corrientes de 10ª en direcciones opuestas. 
Si sus centros se encuentran separados 2 cm. a) Calcular el flujo por metro de 
conductor que existe en el espacio entre los ejes de estos dos alambres. b) ¿Qué fracción del 
flujo se encuentra dentro de los alambres?. c) repetir el cálculo de (a) para corrientes 
paralelas.
21 2
601
)
10 /
4
Ta X
L L L
I w m
L
φ φ φ
µφ
π
−
 = +  
= =
 Los flujos tienen la misma dirección igual y deben 
sumarse
109
0,02
0 02
1,27 10 3
0,0202
1,27 10 3
52
5
2 2
2
5,51 10 /
1,302 10 /T
I IdrBdA B dA Ldr
L r
I nr
L
w m
L
w m
L
µ µφ
π π
µφ
π
φ
φ
× −
× −
−
−
= = = = =
Ι=
= ×
= ×
∫ ∫
1
2
2 /) 0,15
/
Lb f
L
φ
φ
= =
c) Como los flujos producidos por los alambres son iguales pero sentidos 
contrarios se anulan.
0Tφ =
La ley de gauss del magnetismo establece que el flujo magnético neto a través de 
cualquier superficie cerrada siempre es cero.
. 0m B dAφ = =∫
9.7 LA CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO DE MAXWELL
La ley de Ampere se aplica integrando una trayectoria cerrada. Cuando una 
corriente es continua, la corriente que cruza cualquiera de esas superficies debe ser igual a 
la corriente que cruza cualquier otra ver Figura 9.9.
Ahora en la Figura 9.10 tenemos dos superficies con la misma espira como limite y 
podemos observar que una corriente I cruza la superficie 1 en el sentido positivo y en la 
superficie 2 no hay corriente, con la ley de Ampere no hay forma de distinguir las dos 
superficies.
Maxwell presenta una modificación que corriente esa falla, en la superficie 2 que no 
pasa corriente hay un flujo eléctrico variable.
0
0
E E
q qφ φ= ⇒∈ =
∈
Si se deriva en función del tiempo:
110
0
Ed dq I
dt dt
φ∈ = =
Este término de flujo variable es la corriente de desplazamiento.
( )0 9.8Ed
dI
dt
φ= ∈
La suma de la corriente ordinaria y la corriente de desplazamiento, es continua, la 
ley de Ampere quedaría satisfecha para cualquier superficie y se aplica aun cuando las 
corrientes varíen a través del tiempo.
( ) ( )0 0 0 0. 9.9Ed
dB ds I I I
dt
φµ µ µ= + = + ∈∫
Ejemplo:
El voltaje aplicando entre las placas de un capacitor de 3NF varía con el tiempo 
según la expresión ( )/ 46 1 ,tapV e V= − donde t esta en segundos. Calcule a) la 
corriente de desplazamiento como una función del tiempo, b) el valor de la corriente en 
T=2seg.
( ) ( )6 / 4
6 / 4
6 2/ 4
6
)
3 10 6 1
4,5 10
) 4,5 10
2,73 10
d
t
d
t
d
d
d
dq dVa I C
dt dt
dI F e V
dt
I e F
b I e F
I F
− −
− −
− −
−
= =
 = × − 
= ×
= ×
= ×
9.8 EJERCICIOS PROPUESTOS 
1) Un topógrafo usa una brújula a 6,10m, debajo de una línea de energía eléctrica por la 
cual pasa una corriente constante de 100 A. ¿Se alterara sensiblemente la lectura de la 
brújula debido a esta corriente?, la componente horizontal del campo magnético 
terrestre es aproximadamente 0,2 gauss.
111
2) Un alambre recto largo lleva una corriente de 50 A. Un electrón que lleva una 
velocidad de 710 / .,m seg se encuentra a 5cm del alambre. ¿Qué fuerza obra sobre, b) 
paralela al alambre y c) perpendicularmente a la dirección dada por (a) y (b)?.
3) Cuatro alambres de cobre, largos y paralelos, están colocados de tal forma que sus 
secciones transversales forman un cuadrado de 20cm de lado. Por cada alambre 
circula una corriente de 20 A en el sentido mostrado en la Figura (9.110). ¿Cuál es la 
magnitud y l dirección de B en el centro del cuadrado?.
4) En el ejercicio anterior (3) ¿Cuál es la fuerza por metro que obra en el alambre 
inferior izquierdo, en magnitud y dirección?.
5) En la Figura (9.12) muestra a un alambre largo que transporta una corriente de 30 A. 
La espira rectangular transporta una corriente de 20ª. Calcular la fuerza resultante 
que actúa sobre la espira. Suponer que a =1cm; b =8cm y L =30cm.
6) Un alambre se dobla para formar una “horquilla” larga como la mostrada en la 
Figura (9.14). Si por ella circula una corriente de 10 A, a)¿Cuál es la dirección y la 
magnitud de B en el punto a?, b) ¿Y en el punto b?, considerar R =0,50m.
7) Calcular el campo magnético B aproximado en el punto P de la Figura (9.15). Suponer 
que I =10 A y q q =8cm.
8) Una espira circula de cobre de 10cm de radio transporta una corriente de 15ª. En su 
centro esta colocada una segunda espira de 1cm de radio, de 50 vueltas y que 
transporta una corriente de 1 A. a) ¿Cuál es el campo magnético B producido por la 
espira grande en su centro?. b) ¿Cuál es la torca que actúa sobre la espira pequeña?. 
c) Supóngase que los planos de las dos espiras son perpendiculares y que el campo 
magnético B producido por la espira grande esencialmente uniforme en el espacio 
ocupado por la espira pequeña.
9) Por el cilindro interior de un cable coaxial pasa una corriente hacia abajo, y regresa 
por el cilindro interior, como se muestra en la Figura 9.16. El radio del cilindro 
interior es 0,50cm y el del cascaron es 0,8cm. calcule el campo magnético en la 
superficie cilíndrica, en un punto intermedio (a medio camino) entre las superficies 
interior y exterior, cuando la corriente sea 5 A. No tome en cuenta los efectos en los 
extremos.
10) Un solenoide superconductor largo se devana con alambre fino de niobio, de modo que 
hay 3x104 vueltas/m. Si una fuente de corriente produce 50 A. ¿Cuál es el campo 
magnético dentro del solenoide?.
112
11) Calcule el campo magnético al centro de una bonina cuadrada de alambre con 20 
vueltas, de 25cm de longitud, y que lleva una corriente de 4ª.
12) Comienza a pasar una corriente de 1 NA en un circuito con un capacitor de 115 10 ,F−× 
de a cm2 de área, cuando t =0seg. a) ¿Con que rapidez cambia el voltaje entre las 
placasdel capacitor, cuando t =0?. b) Con el resultado anterior, calcule en forma 
explicita /Ed dtφ y la corriente de desplazamiento cuando t =0seg.
13) Calcule la fuerza por unidad de área entre dos laminas metálicas que conduzca 
corrientes idénticas en la misma dirección, la corriente que pasa por las laminas tiene 
una densidad lineal h A//m.
14) ¿Cuántas espiras deberá tener una bobina de vueltas circulares estrechamente 
enrolladas, de radio 0,4m, para que una corriente de 3,2 A, produzca un campo 
magnético de 41,61 10 T−× en su centro?.
15) Una bobina toroidal de la Figura (9.17) esta formada por 400 espiras sobre un núcleo 
que tiene radio interior a =8cm y radio exterior b =10cm. Calcule la magnitud del 
campo magnético en el punto central entre las paredes interior y exterior del núcleo, 
cuando circula una corriente de 0,75 A en el devanado.
16) La arista de un cubo tiene una longitud L =0,15m y el cubo esta ubicado como se 
muestra en la Figura (9.18). Existe además un campo magnético uniforme por toda la 
región dado por ( )6 3 1,5 .B L J K T= + + a) Calcule el flujo a través de la cara 
sombreada del cubo. b) ¿Cuál es el flujo total a través de las seis del cubo?.
17) Un solenoide tiene 400 espiras, longitud de 50cm, radio de 8cm y transporta una 
corriente de 6 A. Calcule el campo magnético en un punto axial, a una distancia de 
15cm del centro (es decir, a 10cm de un extremo).
18) Por un tira de metal delgada, muy larga y de anchura w pasa una corriente I. 
Determine el campo magnético en el plano de la tira (en un punto extremo) a una 
distancia b de un lado.
 
19) Un solenoide de 30cm de longitud esta arrollado con dos capas de hilo, la interior 
tiene 300 y exterior 250 espiras, la intensidad es 3 A, con el mismo sentido en ambas 
capas ¿Cuál es el campo magnético en un próximo al centro de solenoide?
20) Un anillo de madera cuyo diámetro medio es 10cm lleva un arrollamiento toroidal de 
500 espiras apretadas. Calculase el campo en un punto de la circunferencia media del 
anillo cuando la corriente que circula por el arrollamiento es de 0,3 A.
113
TEMA X
LEY DE FARADAY
1.28 INTRODUCCIÓN
Estudiaremos a continuación campos magnéticos variables que originan campos 
eléctricos. Estos campos eléctricos no se relacionan con fuerzas conservativas. Con esta ley 
complementamos la introducción a las leyes fundamentales del electromagnetismo. Esta en 
todo nuestro sistema de generación de energía eléctrica y desempeña un papel en la mayor 
parte de los artículos electrónicos que usamos.
1.29 LEY DE FARADAY Y LA INDUCCIÓN MAGNETICA
Describiremos un experimento de fem inducida. Consideremos una espira de 
alambre conectada a un galvanómetro, como se ve en la Figura 10.1, si movemos un imán 
hacia el interior de la espira, observaremos que la aguja del galvanómetro cambiara de 
orientación.
Si por el contrario alejamos el imán de la espira, la aguja del galvanómetro se 
moverá en sentido contrario. Si ese mismo imán lo dejamos estacionario, respecto a la 
espira, en el galvanómetro no se observara ninguna lectura y finalmente si el imán se 
mantiene estacionario y el circuito de la espira se mueve acercándose o alejándose del 
imán, la aguja también se moverá. Con estas observaciones podemos concluir que siempre 
que exista un movimiento relativo entre el imán y el circuito de la espira. Se genera una 
corriente en el circuito, aun cuando no existan baterías en dicho circuito. Estas corrientes se 
denominan corrientes inducidas, y se producen por una fem inducida.
La ley Faraday establece que la fem inducida en un circuito es directamente 
proporcional, a la razón de variación del flujo magnético a través d un circuito con respecto 
al tiempo.
( )10.1md
dt
φε −=
donde mφ es el flujo magnético que varia con el tiempo
.m B dAφ = ∫
Si el circuito es una bobina de N espiras
114
( )10.2mdN
dt
φε = −
Si el flujo magnético es uniforme en un circuito de área A que esta en un plano, 
como se muestra en la Figura 10.2, la fem inducida se puede expresar:
( ) ( )cos 10.3d BA
dt
ε θ−=
Como podemos observar es posible inducir una fem en el circuito en varias formas:
la magnitud de B puede variar con el tiempo.
el área del circuito puede cambiar con el tiempo.
el ángulo θ entre B y la normal al plano puede variar con el tiempo.
puede ocurrir cualquier combinación de estas formas.
Ejemplo:
Se hace una bonita con 100 vueltas de alambre de cobre aislado, enrolladas sobre un 
cilindro de hierro cuya sección trasversal es de 0,001m2 y se conecta con una resistencia. La 
resistencia total en el circuito es de 10 .Ω Si la inducción magnética longitudinal en el 
hierro cambia de 1 T en un sentido a 1 T en sentido contrario, ¿Qué cantidad de carga fluye 
por el circuito?.
115
1
2
22 1
;
. . 0,1
0,1
2 10
m
t m
t
q q
t t
t m
q
m m
q
m
m
m m
d d d
d
d d
I I despejando
R d R d
d dd
R R
dd q
R R
M B A T
T
q C
R
φε ε φ
ε ε
ε φ
φ φ
φ
φ
φ φ −
= ⇒ =
= = ⇒ =
= =
∆= ⇒ =
= = −
=
−= = ×
∫ ∫
1.30 LEY DE LENZ
El signo negativo de la ecuación anterior, se incluye como recordatorio de que el 
sentido de la fem inducida obedece a la ley de Lenz, ósea que con esta ley se puede ley se 
puede determinar la dirección de la fem y de la corriente inducida.
“La corriente y la fem inducida actúan en tal dirección que tienden a oponerse a 
cualquier cambio en el número neto de líneas de flujo que pasan a través de la sección 
transversal del circuito”.
Supongamos que tenemos una barra que se mueve hacia la derecha, como se mueve 
en la Figura 10.3. Cuando la barra se mueve hacia la derecha, el flujo magnético a través 
del circuito aumenta con el tiempo y la corriente inducida debe circular en el sentido 
contrario a las manecillas del reloj.
Si por el contrario la barra se mueve hacia la izquierda, como se muestra en la 
Figura 10.4, el flujo magnético decrecerá con el tiempo y la corriente inducida tendrá que 
ser en el sentido de las manecillas del reloj. En cualquier caso se observa que la corriente 
inducida tiende a mantener el flujo original a través del circuito.
116
1.31 FUERZA ELECTROMOTRIZ EN MOVIMIENTO
Observamos la Figura 10.5, donde tenemos a un conductor rectilíneo de longitud L 
que se mueve con velocidad constante v a través de un campo magnético uniforme. 
Consideremos que el conductor se mueve perpendicularmente al campo, las cargas libres 
que se encuentran en el conductor van a estar bajo la influencia de una fuerza definida por 
qv x B. Esta fuerza moverá a los electrones hacia el extremo inferior del conductor dejando 
a los electrones hacia el extremo inferior del conductor dejando a los protones en el 
extremo superior. En consecuencia se produce un campo eléctrico dentro del conductor, la 
carga en los extremos va aumentando hasta que la magnitud de la fuerza magnética q v B se 
equilibre con la fuerza eléctrica q .ε En este punto la carga cesa de fluir y la condición de 
equilibrio es:
;q q B Bε ν ε ν= =
Este potencial generado en los extremos es más alto en la parte superior que en la inferior.
Consideremos ahora un circuito que consta de un barra conductora de longitud L 
que se desliza a lo largo de dos rieles conductores paralelos fijos, como se muestra en la 
Figura 10.6. Supongamos que la barra móvil tiene una resistencia nula y que los rieles 
tienen una resistencia R. Aplicamos un campo magnético uniforme y constante B y 
perpendicular al plano del circulo. Si aplicamos una fuerza (Fapl) hacia la derecha, las 
cargas libres en la barra experimentan una fuerza magnética, que genera una corriente 
inducida. En este circuito cerrado el flujo magnético externo es:
m BLxφ =
Donde Lx es el área del circuito en cualquier instante, donde x es el ancho del circuito, y 
cambia con el tiempo. La fem inducida mediante la ley deFaraday es:
( )
( )10.4
md d BLx
dt dt
dxBL
dt
BLv
φε
ε
ε
= − =
= −
=
Esta última ecuación es la fem de movimiento. Llamamos la fem de movimiento, 
cuando una barra conductora de longitud L se mueve a través de un campo magnético B 
con una velocidad v, de modo que B sea perpendicularmente a la barra.
117
 Ejemplo:
La figura 10.7, muestra una barra de cobre que se mueve sobre unas vías 
conductoras con una velocidad v paralela a un alambre recto, largo, que transporta una 
corriente I. Calcular la fem ( )ε inducida en la barra, suponiendo que 
5 / ; 100 ; 1 20 .v m s I A a cm y b cm= = = =
;BL d B dxε ν ε ν= =
Como B depende de x, tenemos:
0 0
2 2
I I dxB donde d E
x x
µ µ ν
π π
= =
integrando obtenemos:
( )0 0
0
4
2 2
3 10
b
a
I Idxd Ln b a
x
Volts
ε µ ν µ νε ε
π π
ε −
= = =
= ×
∫ ∫
1.32 FUERZAS, ENERGÍA Y POTENCIA EN LA FUERZA ELECTROMOTRIZ 
DE MOVIMIENTO
En el tema anterior hablamos de una fuerza magnética que actúa sobre la corriente 
inducida que inhibe siempre el movimiento que produce la fuerza electromotriz de 
movimiento. Esta fuerza magnética es:
( ) ( )10.5BF I dL B= ×∫
Donde dL describe un elemento de longitud del alambre y B es el campo magnético 
en ese elemento.
La fuerza aplicada ( )aplF es:
aplF ILB=
Donde /I B L Rν=
Por lo que: 2 2aplF L Bν=
118
La potencia disipada, debida al flujo de corriente a través de un resistor, es igual a la 
potencia requerida, para mantener moviéndose a la espira.
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2
. 10.6
10.7
apl
L BP F
R
BvL v L Bo P I R R
R R
νν= =
 = = =  
Ejemplo:
Se dispone de un alambre de cobre de 50cm del Nro 18 (diámetro =0,001016m). Se 
le da la forma de una espira circular y se coloca perpendicularmente en un campo 
magnético uniforme que esta aumentado con el tiempo a razón constante de 100 gauss/seg. 
¿Con que rapidez se genera calor por el efecto Joule en la espira?
Solución:
( )
( ) ( )
2 2
2 2
100 / 10 /
. 0,5 / 2 0,02e e
dB gauss seg Weber m seg
dt
A dBI A m
R R dt
ε π π
−= =
= = = =
( )
( )
( )
( )
8
2
1,7 10 0,5
0,01
0,0005
a
a
L
R
A
ρ
π
−×
= = = donde ρ es la resistividad del cobre 81,7 10 .m−× Ω
( ) ( )
2
22 60,02 10 4 10 .
0,01
P watts− −= = ×
1.33 FUERZAS ELECTROMOTRICES Y CAMPOS ELÉCTRICOS
La ley de la inducción electromagnética demuestra que siempre se crea un campo 
eléctrico mediante un flujo magnético variable. Este campo eléctrico inducido tiene 
propiedades que son muy diferentes de aquellas que corresponden al campo electrostático 
producido por cargas estacionarias.
Si tenemos una espira conductora de radio r situada en un campo magnético 
uniforme y perpendicular al plano de la espira, como se muestra en la Figura 10.8, la ley de 
Faraday establece:
119
d m
dt
φε = −
La corriente inducida indica la presencia de un campo eléctrico ,ε que debe ser 
tangente a la espira ya que todos los puntos de ella son equivalentes.
W =F . A
Donde W es el trabajo efectuado para mover una carga de prueba alrededor de la 
espira; F es la fuerza eléctrica que actúa sobre dicha carga y A es el perímetro de la espira: 
; 2 .W q A rε π= =
F qε=
Sustituyendo obtenemos:
( )2q q rε ε π=
Despejando al campo eléctrico:
2 r
εε
π
=
Si utilizamos la ley de Faraday:
1
2
d m
r dt
φε
π
−=
Donde:
2m BA B rφ π= =
Entonces:
( )10.8
2
r Db
dt
ε = −
El signo negativo indica que el campo eléctrico inducido se opone al cambio del 
campo magnético. Este resultado también es valido en ausencia de un conductor.
Podemos representar de forma general la ley de Faraday de la inducción de la 
siguiente manera:
120
( ). 10.9d mds
dt
φε ε= = −∫
Este campo eléctrico no es conservativo, ya que varia con el tiempo y se genera por 
un campo magnético variable.
Ejemplo:
La Figura 10.9, muestra a un campo magnético uniforme B restringido aun volumen 
cilíndrico de radio R, la magnitud de B disminuye con ritmo constante de 0,010 T/seg. 
¿Cuál es la aceleración instantánea (en dirección y en magnitud) que experimentaría un 
electrón colocado en a, en b y en c?. Suponer que r =5cm (la curvatura necesaria, del campo 
más allá de R no cambia la respuesta, siempre y cuando exista simetría axial de R no 
cambia la respuesta, siempre y cuando exista simetría axial respecto de un eje perpendicular 
al plano de la figura y que pase por b).
) d ma dL
dt
φε = −∫
( ) ( )22
2
0,01 /
dBr r
dt
dB r
dt
dB T seg
dt
ε π π
ε
= −
= −
=
,
2
dB rF q q
dt
ε= = recordando 
Fa
m
=
( ) ( )
( )
19
7 2
31
1,6 10 0,05 0,01
4,4 10
2 2 9,1 10
qr dBa m s
m dt
−
−
×
= = = ×
×
) 0; 0b a pues r= =
7 2) 4, 4 10 /c a m s= × en la dirección que se indica en la figura.
121
1.34 GENERADORES Y MOTORES
Estos son mecanismos que funcionan a través de la inducción electromagnética.
Generador de corriente alterna (ca), es un dispositivo que convierte la energía 
mecánica en energía eléctrica.
Consta de una bobina de N espiras que forma un círculo de área A, que gira por 
algún medio externo en un campo magnético B, como se observa en la Figura 10.10, con 
una velocidad angular angular ω respecto a un eje perpendicular al campo. Al girar la 
bobina, el flujo magnético a través de ella cambia con el tiempo, y se induce una fem. si la 
velocidad angular w es constante y θ es el ángulo entre el campo magnético y la normal al 
plano, entonces el flujo magnético a través de la bobina en cualquier tiempo es:
cos cosm BA AB AB tφ θ ω= = =
Y la fem inducida en la bobina es:
( )
( )
cos
10.10
d m dN NAB t
dt dt
NAB sen t
φε ω
ε ω ω
= − = −
=
Este resultado muestra que la fem varía senoidalmente con el tiempo, como se ve en la 
Figura 10.11.
Cuando 90 270 ,t oω = o o la fem inducida tendrá su valor máximo.
( )max 10.11NABε ε ω= =
Y cuando 0 180º ,t oω = ósea B sea perpendicular al plano de la bobina, la fem inducida 
es cero.
Representamos a un generador mediante un círculo que encierra una onda senoidal, 
como se muestra en la Figura 10.12. Si a este generador lo conectamos como elemento de 
un círculo en serie, con resistencia R, entonces, se genera una corriente en el circuito.
( )NABI sen t
R R
ε ω ω= =
Y su magnitud máxima es:
122
( )10.12NABI
R
ω=
La potencia entregada a este circuito es:
( ) ( )10.13P I INAB sen tε ω ω= =
Y la potencia mecánica que debe ejercer la fuerza que hace girar la espira es:
( )10.14mecP B senω µ ω θ= ℑ =
Donde µ es el momento bipolar magnético en un campo magnético B.
La dependencia explicita con respecto al tiempo, de la potencia, se calcula con el 
producto de la corriente por el potencial
( ) ( ) ( )
22
2 10.15
NABVP sen t
R R
ω
ω= =
Este valor siempre es positivo, en contraste con la fuerza electromotriz o la corriente 
las cuales alternan su signo, como se muestra en la Figura 10.13.
Ejemplo:
Un generador de corriente alterna, una espira rectangular de N vueltas, longitud a y 
ancho b, gira con un frecuencia v en un campo magnético uniforme b, tal como se muestra 
en la Figura 10.14. a) Demostrar que sobre la espira aparece una fem inducida por la 
expresión:
02 2 2NbaBsen t sen tε π ν π ν ε π ν= =
Este es el principio de operación de los generadores comerciales de corriente 
alterna. b) Diseñar una espira que produciría una fem de 0 150Vε = cuando gira 60rev/s en 
un campo de 0,5 T.
a) Tomemos una vista lateral de una espira ladeada en un instante t
. cosm B dA Babφ θ= =∫
Como θ esta en función del tiempo:
123
2 2
wV como w V
t t
θ θ
π π
= = ⇒ =
Donde 2 ,Vtθ π= sustituyendo:
( )cos 2m Bab Vtφ θ π=
Sabemos que la fem inducida es
( )2 2d m VBab en Vt
Dt
φε π π= =
Este resultado obtenido es para una espira
Ahora para N vueltas:
( )2 2d m VNBab en Vt
dt
φ π π=
Para 
1
4
t
V
= la ecuación nos queda:
0 2 22
VNBab en VNBabπε π π= =
Donde 0ε el valor máximo de :ε
( )0 2en Vtε ε π=
b) 0 2 VNAε π= como ab es el área de la espira
( )
20 150 0,8
2 2 60
A m
VN N Nε
π π
= = =
si diseñamos una bobina de una espira, tenemos:
20,8A m=
se elegirán las dimensiones para lograr un área de esta magnitud, por ejemplo una espira 
cuadrada de lado 
0,8 .m
124
1.35 EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Un campo uniforme de inducción B es normal al plano de un anillo circular de 10cm 
de diámetro hecho de alambre de cobre Nro 10(diámetro =0,00254m)¿con que rapidez 
debe cambiar B al transcurrir el tiempo para que se forme una corriente de 10 A en el 
anillo ?.
2) Un alambre rígido doblado en forma de un semicírculo de radio R gira con una 
frecuencia v en un campo uniforme B, tal como se ve en la Figura 10.14. ¿Cuál es la 
amplitud, la frecuencia de la fem inducida y la corriente inducida cuando la resistencia 
interna del medidor M es Rm y el resto del circulo tiene una resistencia que se puede 
ignorar?.
3) Un disco de cobre circular de 10cm de diámetro gira a razón de 1800 rev/min 
alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al disco. Un campo 
uniforme inducido B de 10.000 gauss, es normal al disco. ¿Qué diferencia de potencial 
se desarrolla entre el eje del disco y su borde?.
4) El flujo magnético a través de la espira de la Figura 10.15 es perpendicular al plano de 
la espira, esta dirigido hacia adentro de la pagina y varia de acuerdo con la relación 
26 7 1,m t tφ = + + en donde mφ esta dado en miliwebers ( )31 10mwb wb−= y t esta en 
segundos. a) ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida en la espira después de t 
=20seg?. b) ¿Cuál es la dirección de la corriente a través de R?.
5) La barra conductora AB de la Figura 10.16 hace contacto con dos rieles metálicos AD 
y BC separados 50cm en un campo magnético uniforme de 1 T perpendicular al plano 
de la pagina, la resistencia total del circuito ABCD es de 0,4 ohms (supuesta 
constante). a) ¿Cuál es la magnitud y el sentido de la fem inducida en la barra cuando 
se mueve hacia la izquierda con la rapidez de 8 m/s?. b)¿Qué fuerza se necesita para 
mantener a la barra en movimiento?. c) Comparar el ritmo con el cual la fuerza F 
realiza trabajo mecánico con el ritmo de aumento de la energía térmica en el circuito.
6) El plano de una bobina rectangular de dimensiones 10cm por 8c, es perpendicular a la 
dirección de un campo magnético B, si la bobina tiene 50 espiras y una resistencia 
total de 12Ω , ¿En qué proporción debe cambiar la magnitud de B para poder inducir 
una corriente de 5 mA en los devanados de la bobina? .
7) Una bobina de 125 vueltas, de 2cm de radio y cuya resistencia es de 3 ,Ω gira sobre un 
diámetro, dentro de un campo magnético uniforme de 0,5 T. ¿A qué velocidad debe 
girar para producir una corriente máxima de 6 A en la bobina?
8) Un bocing 747 vuela hacia el norte, a 900 Km/h en un lugar donde el campo magnético 
terrestre consiste de un componente vertical hacia arriba de 52 10 ,T−× y un 
125
componente hacia el sur de 53 10 .T−× Si la envergadura de las alas 747 es 35cm, 
calcule la fem inducida entre ellas. Si la aeronave volara hacia el este, en lugar de 
hacia el norte ¿Cómo cambiaría la respuesta?.
9) Una espira cuadrada de alambre, de dimensiones LxL, esta en un plano perpendicular 
a un campo magnético constante. El campo solo ocupa una determinada región, cuyo 
limite es definido en la Figura 10.17, los lados d la espira forman un ángulo de 45º con 
ese limite, y una fuerza externa hace mover a la espira a una velocidad v, saliendo de 
la región del campo constante. ¿Cuánta potencial debe suministrar la fuerza externa, 
como función del tiempo?.
10) Un solenoide largo, de radio r y n vueltas por unidad de longitud, conduce una 
corriente alterna ( )0 ,I I se wt= observar la Figura 10.18. ¿Cuáles son los campos 
eléctricos que se inducen dentro del solenoide, a una distancia R/2, y fuera del 
solenoide, a una distancia de 2 R? (sugerencia: aplique la ley de Faraday, a las dos 
trayectorias que se indican, y use la simetría).
11) Una bobina de 5cm2 de área, con 50 vueltas de alambre, se conecta con un resistor de 
50Ω de resistencia. Se hace girar a mano, a una frecuencia de 1 rev/s dentro de un 
campo magnético de 0,5 T. a) ¿Cuál es la cantidad máxima de corriente que produce? 
b) ¿Cuál es la potencia promedio que se produce?.
12) Una bobina con 300 vueltas, de 10cm de diámetro y 20Ω de resistencia, se coloca en 
dirección perpendicular a un campo magnético uniforme de 1 T. De repente, el campo 
magnético invierte su dirección. ¿Cuál es la carga total que pasa por la bobina?.
13) Una aleta de hélice gira con una rapidez constante en el campo magnético de la tierra, 
la rotación ocurre en una región donde la componente del campo magnético 
perpendicular al plano de rotación es de 52,2 10 .T−× Si la aleta tiene una longitud de 
1,2 m y su velocidad angular es 15 / .rad sπ ¿Qué diferencia de potencial se desarrolla 
entre sus extremos?.
14) Un campo magnético que esta dirigido entrando a la pagina y cambia con el tiempo 
conforme a ( )20,05 0 ,B t T= + donde t esta en seg. El campo tiene una sección 
transversal circular de radio R =0,05m, como se observa en la Figura 10.19. ¿Cuál es 
la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P, cuando t =4s y r1=0,0m?
15) Una bobina circular de 500 espiras y radio 20cm esta girando alrededor de un 
perpendicular a un campo magnético de 0,01T. ¿Qué velocidad angular producirá una 
fem inducida máxima de 2 mV?.
16) Una espira única de alambre de forma cuadrada, con 10cm por lado se coloca entre 
los polos de un electroimán. El campo magnético es 1,2 T y esta dirigido 
126
perpendicularmente al plano de la espira. Calcular la fem inducida en la espira si el 
campo se reduce a cero con velocidad uniforme en 2,4 seg.
17) Una bobina rectangular de 8cm de ancho por 12cm de longitud tiene 80 vueltas. ¿A 
que velocidad debe girar en un campo de 0,8 T para que su voltaje máximo inducido 
sea de 80V?.
18) Un disco conductor de radio 0,25m gira alrededor de un eje que pasa por su centro con 
una velocidad angular de 10 / .w rad s= Un campo magnético uniforme de 1,2T actúa 
perpendicularmente al plano del disco (paralelo al eje de rotación). Calcule de 
diferencia d potencial que se desarrolla entre la orilla y el eje del disco.
19) La bobina de encendido de un automóvil consiste de dos solenoides, de 2cm de 
diámetro y 8cm de longitud. Uno conectado al acumulador de 12 V a través del 
distribuidor tiene 20 vueltas y una resistencia de 2,4 .Ω El segundo solenoide se 
devana sobre el primero y tiene 2400 vueltas. Cuando se abre el platino del 
distribuidor, la corriente en el primer solenoide cae a cero en 3 .sµ ¿Cuál es la fem 
promedio inducida entre las terminales de la segunda bobina durante este intervalo de 
tiempo?.
20) El conjunto de carriles horizontales y paralelos que se muestran en la Figura 10.20 
esta dentro de una región de campo magnético B uniforme, con una magnitud de 0,05T 
y dirigido a lo largo de la vertical y señalando hacia arriba. Cuándo una barra 
metálica resbala a lo largo de los carriles hacia el oeste (izquierda) con una velocidad 
de 10 m/s, a) ¿Cuál será la lectura del voltímetro conectado entre las terminales A y 
B?, b) ¿y entre las terminales A’ y B’?.
 
127
TEMA XI
INDUCTANCIA
1.36 INTRODUCCIÓN
Como ya hemos estudiado las resistencias son causa de la perdida de energía y los 
capacitores son los que almacenan la energía en un campo eléctrico y los inductores 
almacenan la energía en un campo magnético. En este capitulo estudiaremos los inductores. 
Los inductores sólo son activos cuando cambian las corrientes. Estos permiten un grado 
fundamental de control de los circuitos, los circuitos eléctricos con inductores, capacitares y 
resistores son análogos a osciladoresarmónicos amortiguados.
 Cuando una corriente eléctrica atraviesa una bobina esta varía en el tiempo y 
produce una fuerza electromotriz entre los terminales de la bobina misma. Este fenómeno 
recibe el nombre de autoinducción y dicha fuerza electromotriz se denomina autoinducida.
Esta fuerza electromotriz autoinducida se encuentra relacionada con la rapidez de 
variación de la corriente por medio de un término conocido como inductancia del circuito la 
cual es constante para cada bobina que no presenta materiales ferromagnéticos en su 
vecindad.
1.37 INDUCTANCIA
En todo circuito eléctrico cerrado en el que la corriente tenga alguna dependencia 
con respecto al tiempo, se va a incluir una fuerza electromotriz adicional en el circuito.
Consideremos un circuito aislado, como se observa en la Figura 11.1 que está 
formado por un interruptor que se cierra cuando t = o, un resistor y una fuente de fem 
cuando cerramos el interruptor inducida se opone a la fuerza electromotriz de la batería y 
desacelera el flujo de la corriente. El resultado es que las corrientes variables en los 
circuitos originan efectos de inducción que tratan de reducir la rapidez de cambio de esas 
corrientes.
La fem que se crea en estas condiciones se denominan fem autoinducida, la fem 
autoinducida siempre es proporcional a la razón de variación de la corriente con respecto al 
tiempo como el campo magnético que se establece alrededor de un alambre que conduce 
una corriente I es proporcional a I, el flujo magnético a través de un circuito también es 
proporcional a L (es la constante de proporcionalidad denominada inductancia). L depende 
de la superficie determinada, o sea, de la geometría del circuito en el cual se induce la 
fuerza electromotriz.
m LIφ =
128
según la ley de Faraday:
md dIE L
dt dt
φ= − = −
La inductancia de una bobina de N vueltas es
mNL
I
φ=
Estableciendo relación entre las ecuaciones anteriores obtenemos:
EL
dI dt
= −
La unidad SI de la inductancia es el envío (H)
.1 1volt segH
Amp
=
Ejemplo:
Un solenoide con una sola capa de espiras tiene 6cm de longitud y 4cm de diámetro 
y un total de 800 vueltas. Calcule la inductancia de esta bobina. Si la corriente aumenta con 
una rapidez de 103 A/S calcule la ffem inducida durante ese periodo.
a) el campo magnético dentro de un solenoide es:
0 0
NB nI Iµ µ= =
Ι
el flujo magnético a través del solenoide es:
0m
ANBA Iφ µ= =
Ι
donde 0µ es la permeabilidad del espacio vacío ( )74 10 /H mπ −× y la inductancia es:
( ) ( ) ( )
( )
2 27 24 10 / 2 10 800
6 10 2
H m m
L
m
π π− − × ×  =
× −
21,68 10L H−= ×
129
b) la fuerza electromotriz inducida es:
( )( )2 31,68 10 10 /dIE L H A sdt
−= − = ×
16,8E V= −
11.3 CIRCUITOS RL
Estudiaremos un circuito como se ve en la Figura 11.2, que consiste de una 
inductancia, más resistencia en serie con una batería y un interruptor.
Si se cierra el interruptor, la corriente comenzará a crecer pero el inductor producirá 
una fem que opone al aumento en la corriente. Por lo que podemos decir que el inductor 
actúa como una batería cuya polaridad es opuesta a la batería real que hay en el circuito. 
Esta fuerza contraelectromotriz se obtiene:
L
dIE L
dt
=−
Esto produce una caída de potencial entre los puntos a y b a través del inductor y 
donde el punto a está a un potencial mayor que el punto b.
Aplicando la ecuación de mallas de Kirchhoff.
0dIE IR L
dt
− − =
Donde I R es la caída de voltaje para encontrar una solución a esta ecuación 
diferencial realizamos un cambio de variables.
Ex I y dx dI
R
= − = −
Sustituyendo:
0L dxX
R dt
dx R dt
x L
+ =
=−
Integrando obtenemos:
130
0
n
x RL t
x L
= = −
Tomando el antilogaritmo de este resultado:
0
Rt Lx x e−=
Como en t = o; I0 , entonces x0 =E/R, sustituyendo valores:
( )1
Rt L
Rt L
E EI e
R R
EI e
R
−
−
− =
= −
Esta ecuación también se puede escribir así:
( )1 tEI eR
− ℑ= −
Donde ℑ es la constante de tiempo del circuito RL
L
R
ℑ=
Ejemplo:
Considera el circuito de la Figura 11.3, E = 12V, L = 12mH y R = 18 Ω , a) ¿Cuál es 
la constante de tiempo inductiva del circuito?, b) calcule la corriente en el circuito en un 
tiempo de 500 sµ después que se haya cerrado el interruptor S1 y c) ¿Cuál es el valor final 
de la corriente de estado estacionario?
( ) ( )
3
4
/ 500 10 6/ 6,67 10 4
max
12 10 6,67 10
18
121 1
18
0,35
12 0,667
18
t
L H S
R
E VI e e
R
I A
E VI A
R
−
−
− ℑ − × − × −
×ℑ= = = ×
Ω
= − = −
Ω
=
= = =
Ω
131
11.4 ENERGÍA EN INDUCTORES
Un inductor es un componente que almacena energía n el campo magnético un 
solenoide forma un inductor simple con inductancia fácil de calcular y tiene un campo 
magnético uniforme en su interior.
Una batería debe efectuar un trabajo para hacer que una corriente pase a través de 
un inductor. La cantidad que se efectúa es una medida de la energía almacenada en el 
inductor.
( )
( )ext
dwP potencia
dt
P IE potencia
=
=
Igualando:
ext
dw IE
dt
=
Donde extE es la fuerza electromotriz externa, y si la fuerza electromotriz externa y 
el inductor son los únicos elementos del circuito, la primera debe ser igual, pero opuesta a 
la fuerza electromotriz inducida en el inductor:
dw dILI
dt dt
=
Si la corriente aumenta, la potencia es positiva la energía interna, Eul, del inductor 
aumenta. Si la corriente decrece la potencia es negativa, la energía interna disminuye. 
Entonces el cambio de energía. ,Eul∆ total de inductor se puede calcular integrando el 
trabajo efectuado por la fuente externa al cambiar la corriente:
2 2 2
1 1 1
2 2
2 1
1 1
2 2
t t t
um
t t t
um
dw dIE dt LI dt L IdI
dt dt
E LI LI
∆ = = =
∆ = −
∫ ∫ ∫
La energía del inductor es:
21
2um
E LI=
132
Ejemplo:
Un capacitor con 0,02 ,C Fµ= tiene una carga de 15 Cµ ¿Cuál es la 
corriente estable equivalente que debe conducir un inductor de 20L Hµ= para que 
almacene la misma cantidad de energía?.
( )
( )
62
3
8
2
3
6
15 101 1 5,63 10
2 2 2 10
21
2
2 5,63 10
23,72
20 10
uc
uc
ul uc uc
CQE Joule
C C
E
E E LI E I
L
J
I A
H
−
−
−
−
−
×
= = = ×
×
= ⇒ = ⇒ =
×
= =
×
11.5 ENERGÍA EN CAMPO MAGNETICOS
Los elementos de circuito tienen una energía asociada con su campo magnético. El 
solenoide ideal constituye una herramienta para determinar la densidad de energía en un 
campo magnético, éste dentro de un solenoide es uniforme.
Como determinamos anteriormente la energía del inductor:
21
2um
E LI=
Recordando la ecuación de inductancia de un solenoide ideal:
2
0I A nµ= Ι
Y el campo magnético en el solenoide es proporcional a la corriente:
0B nIµ=
Sustituyendo en la ecuación de energía del inductor las ecuaciones de L y B 
obtenemos:
2
0
1
2um
BE A
µ
= Ι
133
Como el campo magnético es constante dentro del solenoide, podemos identificar la 
densidad de energía (um) que es la energía por unidad de volumen del campo magnético, 
como:
2
0
1
2
3
m
BU µ=
La unidad de energía de un campo eléctrico es:
2
0
1
2E
U E E=
Y la densidad de energía es la suma de las densidades de energía eléctrica y 
magnética.
2
2
0
0
1
2m E
Bu u u E E
µ
 
= + = + 
 
Ejemplo:
Considera el circuito de la Figura 11.4, ¿Qué energía se almacena en el inductor 
cuando la corriente alcanza su valor final del equilibrio después de que se ha cerrado el 
interruptor?.
24 3
8
E VI A
R
= = =
Ω
( )( )221 1 4 3 18
2 2um
E I H A J= Ι = =
11.6 INDUCTANCIA MUTUA
La interacción entre dos circuitos se conoce como inducción mutua. O sea cuando l 
flujo magnético a través de un circuito varía con el tiempo debido a corrientes variables 
existentes en circuitos cercanos.
Veamos los dos circuitos de la Figura 11.5 la corriente I que pasa por el circuito 1 y 
la corriente I2 por el circuito 2 generan un campo magnético. El flujo magnético generado a 
través del área del circuito 1 es.
( ) 1 1 12 21m L I M Iφ = +
134
Donde M12 esla inductancia neutra del circuito 1 debido al circuito 2 tanto L como 
M12 dependen tan sólo de la geometría.
El flujo magnético a través d la espira 2 tiene un término proporcional a su propia 
corriente y también uno proporcional a la corriente en la espira 1.
( ) 2 2 21 22m L I M Iφ = +
La fem inducida por inducción mutua en una bobina siempre es proporcional a la 
razón de variación de la corriente en la otra bobina. Esto sugiere que las inductancias 
mutuas son iguales:
12 21M M M= =
La Ley de Faraday que expresa la fuerza electromotriz inducida se convierte en:
1 2
2 2
dI dIE M y E M
dt dt
= − = −
Si las proporciones en las cuales las corrientes cambian con el tiempo son iguales 
entonces se encuentran que E1 = E2.
La unidad de inductancia mutua también es el envió.
 Ejemplo:
Dos bobinas adyacentes A y B tiene una inductancia mutua M = 30mH ¿Cuál es la 
fem inducida en la bobina A como una función del tiempo cuando la corriente en la bobina 
B se obtiene de la expresión 22 3 ,I t t= + − donde I esta en amperios y t está en 
segundos?.
( ) ( ) ( )
2
3 230 10 2 3 0,04 0,06
dIE M
dt
dE H t t E t V
dt
−
= −
= × + − ⇒ = −
11.7 OSCILADORES EN UN CIRCUITO L C
Analicemos el circuito mostrador en la Figura 11.6 cuándo cerramos el interruptor, 
se producirán osciladores en la carga y corriente del capacitador. Si la resistencia del 
circuito es despreciable no se dispara energía como calor por efecto Joule, la carga inicial 
del capacitor es Qm y el interruptor se cierra t = 0.
135
Cuando el capacitor está completamente cargado, la energía total Eu en el circuito 
se almacena en el campo eléctrico del capacitor ( )2 / 2Q m C En este tiempo, la corriente 
es cero y n hay energía almacenada en el inductor. A medida que el capacitor empieza a 
descargarse, la energía almacenada en su campo eléctrico disminuye. Simultáneamente la 
corriente aumenta y parte de la energía se almacena ahora en el campo magnético del 
inductor.
Cuando el capacitor ha quedado completamente descargado no almacena energía. 
En este tiempo la corriente alcanza su valor máximo y todas las energías se almacenan 
ahora en el inductor. El proceso se repite entonces en la dirección contraria.
La energía continúa transfiriéndose entre el inductor y el capacitor en forma 
indefinida y esta corresponde a oscilaciones en la corriente y en la carga. Consideramos un 
tiempo t donde el capacitor y el inductor almacenan energía.
2
21
2 2u uc uL
QE E E LI
C
= + = +
Eu es la energía total almacenada en el circuito LC donde la resistencia del circuito 
es nula y la energía total debe permanecer constante en el tiempo. al derivar la ecuación con 
respecto al tiempo.
2
21 0
2 2
udE d Q Q dQ dILI LI
dt dt C C dt dt
 
= + = + = 
 
como I = dQ / dt, sustituyendo:
( )
2
2
2
2
0
1
cos 8m
d Q QLI
dt C
d Q Q
dt LC
Q Q wt
+ =
=−
= +
Carga contra el tiempo del circuito LC donde Qm es la carga máxima del capacitor y 
W la frecuencia angular de oscilación que depende únicamente de la inductancia y 
capacitancia.
1W
LC
=
136
Como Q varía periódicamente la corriente también varía periódicamente, o sea:
( )8m
dQI wQ sen wt
dt
= = − +
Que es la corriente contra el tiempo del circuito LC.
Las variaciones de q y de I con respecto al tiempo se obtienen mediante:
cosmQ Q wt=
m mI WQ sen wt I senwt= − = −
Donde m mI WQ= es la corriente máxima en el circuito.
En la Figura 11.7, se muestran las gráficas de Q y de I en función del tiempo, donde 
podemos observar que cuando la carga alcanza un valor extremo la corriente es cero, y 
cuando la carga es cero, la corriente adquiere un valor límite.
En análisis energético del circuito LC resulta que la energía total es:
2 2
2 2cos
2 2
m m
u uc uc
Q LIE E E wt sen wt
C
= + = +
Como la energía, máxima almacenada en el capacitor debe ser igual en el inductor:
2
21
2 2
mQ LI m
C
=
Sustituyendo:
( )
2 2
2 2cos
2 2
m m
u
Q QE wt sen wt
C C
= + =
Es conveniente recordar que la energía total Eu sólo permanece constante si es 
desprecian las perdidas de energía.
Ejemplo:
En el capacitor es ( )2 / 2Q C y la energía acumulada en el inductor es 
21 2 ,LI pero la energía total deja de ser constante yq que a causa del resistor se disipa 
137
energía como calor por efecto Joule, la rapidez de la energía disipada a través de un resistor 
es:
2uDE I R
Dt
= −
Donde el signo negativo significa que Eu está disminuyendo con el tiempo. 
Recordando que:
uDE dI Q dQLI
Dt dt C dt
= +
Igualando estas dos ecuaciones obtenemos:
2dI Q dQLI I R
dt C dt
+ = −
Aplicando el concepto de que 2 2/ /I dQ dt y dI d Q dt= = obtenemos:
2
2 0
d Q dQ QL R
dt dt C
+ + =
En este caso de que R es razonablemente pequeña, la solución de la ecuación es:
/ 2 cosRt LmQ Q e wdt
−=
Un circuito LC del tipo que se muestra en la Figura 11.8, tiene una inductancia de 
0.63mH y una capacitancia de 10pF. El capacitar se descarga a su valor máximo mediante 
una batería de 24 V. Después se suprime la batería del circuito y el capacitor descarga a 
través del inductor a) Si se desprecia toda la resistencia del circuito, determine el valor de la 
corriente en el circuito oscilatoria. B) ¿A que frecuencia oscilará el circuito? C) ¿Cuál es la 
energía frecuencia máxima almacenada en el circuito magnético del inductor?.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
12 10
10
3
3 12
6
3 12
22 3 3 9
) . 10 10 24 2,4 10
2, 4 10. 3,02 10
0,63 10 10 10
1 1) 2,01 10
2 2 0,63 10 10 102
1 1) 0,63 10 3,02 10 2,87 10
2 2
m
m
m m
u m
a Q C V F V C
Q CI w Q A
H FLC
wb f Hz
H FLC
c E LI H A J
π ππ
− −
−
−
− −
− −
− − −
= = × = ×
×= = = = ×
× ×
= = = = ×
× ×
= = × × = ×
138
11.8 CIRCUITO R C L
Es un circuito como el que es muestra en la Figura 11.9, cuándo se cierra el 
interruptor del circuito y se establece una corriente en él, la energía almacenada donde:
( )
1 22
1
2d
R
W
LC L
 
= − 
  
Cuando se consideran grandes valores de R, se encuentra que las oscilaciones se 
amortiguan mucho más rápido. Existe un valor crítico de la resistencia Rc por arriba del 
cual no ocurren oscilaciones.
4cR L C=
Ejemplo:
Considera el circuito descrito en la Figura 11.10, ¿Cuál es el valor máximo del 
resistor que una vez conectado en serie es L y C, permitirá que el circuito continúe 
oscilando?
( ) ( )3 124 4 2,81 10 / 9 10
35.339,6
c
c
R L C H F
R
− −= = × ×
= Ω
11.9 EJERCICIOS PROPUESTOS
1) La corriente e n un inductor de 10H varía con el tiempo según 22 3 ,I t t= − donde I 
está en A y t en seg. a) Calcule la magnitud de la fem inducida en t = y t = 3 seg. b) 
¿Para que valor de t la fem inducida será cero?.
2) Una corriente de 1 A pasa por un circuito completamente aislado. Un flujo magnético 
de 0,01T.m2 pasa por el lugar del circuito. Cuando el circuito se coloca cerca de otro 
que tiene 2 A de corriente, el flujo magnético a través del primer circuito aumenta a 
0,012 T.m2. a) ¿Cuál es la inductancia mutua de los dos circuitos? b) ¿Cuánto flujo 
magnético pasa a través del segundo circuito, cuya autoinductancia es 1mH?.
3) Dos bolívares se devana sobre el mismo núcleo toroidal de 10cm de radio promedio y 
1,2cm de diámetro de su sección transversal. Una bobina tiene 400 vueltas y la otra 
24000 vueltas. Fluye una corriente de 2 A por la de 400 vueltas cuando se conecta a 
una batería de 12V. Si al abrir el interruptor se reduce esta corriente a cero en 20 ,sµ 
¿Cuál es el fem inducida entre los extremos de la bobina de 2400 vueltas?.
139
4) Se tiene un toroide de sección transversal cuadrada. L radio del mismo, que es la 
distancia del eje de simetría al centro del cuadrado, es 20cm; los lados del cuadrado 
tienen 3cm. El toroide se devana con 1000 con 1000 vueltas de alambre. a) ¿Cuál es la 
autoinductancia del toroide? b) ¿Cuál es la autoinductancia si el núcleo del toroide se 
fabrica con hierro dulce, cuya 02000µµ= ?.
5) Considere el circuito de la Figura 11.11, se toma 12 , 12 18 .E V L mH y R= = = Ω a) 
¿Cuál es la constante de tiempo inductiva del circuito? b) Calcule la corriente en el 
circuito en un tiempo de 500 sµ después de que se haya cerrado el interruptor S1. c) 
¿Cuál es el valor final de la corriente de estado estacionario? d) ¿Cuánto tarda la 
corriente en alcanzar el 80% de su valor máximo?.
6) En el circuito RL de la Figura 11.12, se toma L = 4H; R=6 y 48 ,E VΩ = a) 
¿Cuál es el valor de la fem autoinducida , Vab,, 0.5 seg después de cerrar el 
interruptor?.
7) Una batería para la cual E = 12V se conecta a un circuito RL en el que 
0.5 4 .L H y R= = Ω Cuando la corriente ha alcanzado la mitad de su valor final, ¿Qué 
fracción de a energía magnética total se ha almacenado en el inductor?.
8) Supóngase que la corriente máxima que puede conducir un alambre superconductor es 
250 A. Un toroide tiene un radio promedio R = 20cm y el diámetro d bobina es de 
2,5cm; se construye usando 500m de dicho alambre. ¿Cuánta energía se puede 
almacenar en este toroide?.
9) Un ingeniero electricista forma un solenoide cilíndrico de 5cm2 área y 10cm de 
longitud con 1000m de alambre delgado. El alambre maneja una corriente máxima de 
100m A a) ¿Cuál es la inductancia del solenoide?, b) ¿Cuanta energía puede 
almacenar el inductor?.
10) Una bobina de 2 H de inductancia y 10Ω de resistencia se conecta súbitamente a una 
batería sin resistencia de E = 100V. a) ¿Cuál es la corriente de equilibrio?, b) ¿Cuánta 
energía almacena el campo magnético cuando esta corriente circula en la bobina?.
11) Un alambre de cobre de Min 10 transporta una corriente de 10 A. Calcular: a) La 
densidad de energía magnética y b) la densidad de energía eléctrica en la superficie 
del alambre. El diámetro del alambre es de 0,10 p/g y su resistencia por unidad de 
longitud es de 1 /1000 .piesΩ
12) a) ¿Cuál es la densidad de energía del campo magnético fuera de un alambre recto de 
radio a que conduce una corriente I?; b) ¿Cuál es la energía total por unidad de 
longitud debida a ese campo magnético que está dentro de un cilindro de radio R 
(R>a)centrado en el alambre?.
140
13) Una bobina de 20 espiras está enrollada sobre un solenoide largo como se ilustra en la 
Figura 11.13. El solenoide tiene una sección transversal de 3 24 10 ,m−× y está 
devanado uniformemente con 1200 vueltas por metro de longitud. Calcule la 
inductancia mutua de los dos devanados.
14) a) ¿Qué valor de capacitancia debe combinarse con un inductor de 80 mH para que 
sea posible obtener una frecuencia de resonancia de 200 Hz?. b) ¿Qué intervalos de 
tiempo transcurren entre acumulaciones de carga máxima del mismo signo en un placa 
del capacitor?.
15) Un circuito RCL tiene 10 , 3 10 .R L mH y C Fµ= Ω = = a) Calcule el factor de 
amortiguamiento y la frecuencia angular. b) Si la resistencia fuera variable, ¿Qué 
valor de R daría un amortiguamiento critico?.
16) Un capacitor y una resistencia de 200Ω se conectan en serie y los terminales de una 
fuente de 120V 60 Hz. La corriente en el circuito es de 0,20 A. Calcule la capacitancia 
del capacitor.
17) El Interruptor del circuito de la Figura 11.14 se ha cerrado en cada tramo del circuito. 
a) Cuál es la corriente en cada tramo del circuito, b) Cuándo se abre el interruptor la 
corriente en el inducir baja en un factor de 3, en 5m seg. ¿Cuál es el valor de la 
inductancia? c) ¿Cuánto vale la corriente que pasa en cada tramo a los 10m seg?.
18) a) ¿Cuáles son las corrientes a través de cada uno de los tres resistores de la Figura 
11.15, inmediatamente después de haber cerrado el interruptor? b) ¿Cuáles son 
después de un tiempo largo?.
19) La bobina toroidal de la Figura 11.16, consta de N espiras y tiene una sección 
transversal rectangular. Sus radios interior y exterior son a y b respectivamente. a) 
Demuestre que la autoinductancia de la bobina es:
( )
2
0
2
N hL Ln b aµ π=
b) Si a = 3cm, b = 5cm y h = 1cm ¿Cuál número de vueltas producirán una inductancia de 
0.5 mH?.
20) Un solenoide de núcleo de aire tiene 0,5m de longitud consta de 1000 espiras y tienen 
un área de sección transversal de 1cm2. a) deprecie los efectos de los extremos y 
determine la autoinductancia. B) un segundo devanado enrollado alrededor del centro 
del solenoide tiene 100 vueltas. ¿Cuál es la inductancia mutua?. c) En el segundo 
devanado fluye una corriente constante de 1 A y el solenoide está conectado a una 
carga de 310 Ω . Se interrumpe repentinamente la corriente constante. ¿Cuánta carga 
fluye a través del resistor de carga?.
141
TEMA XII
CORRIENTES ALTERNAS
1.38 INTRODUCCIÓN
La fuerza automotriz inducida produce una corriente alterna, que es fuente de 
potencia. Los generadores de CA convierten la energía mecánica del agua que cae, o del 
vapor de agua a presión y caliente, en energía mediante turbinas, y son el punto inicial en el 
suministro de la potencia eléctrica. A continuación describiremos los principios básicos de 
los circuitos simples de corriente alterna.
También se investigara las características de los circuitos que contengan elementos 
conocidos y que sean excitados por un voltaje aplicado senoidal. Al conectar resistores, 
inductores y capacitadotes en circuitos con fuentes de fuerza electromotriz de corrientes 
alterna, se hacen posibles corrientes y voltajes con nuevos comportamientos dependientes 
del tiempo, se podrá ver que cuando el voltaje aplicado por el generador es senoidal, la 
corriente en cada elemento también es senoidal, pero que no necesariamente esta en fase 
con el voltaje aplicado. Los sistemas de este tipo presentan el fenómeno de la resonancia.
1.39 TRANSFORMADORES
Cuando se transmite energía eléctrica a través de grandes distancias, resulta 
económico utilizar un voltaje alto y una corriente baja para reducir al mínimo las perdidas 
I2 R por calentamiento en las líneas de transmisión. En el extremo receptor de tales líneas, 
el consumidor requiere energía a un voltaje bajo y a una corriente alta para aplicarlo a 
aparatos y maquinas accionadas por motor. El transformador de CA es un dispositivo que 
se utiliza para elevar (o bajar) el voltaje V y la corriente I de CA sin que provoque cambios 
apreciables en el producto I V.
El transformador de CA consta de dos bobinas de alambre devanadas alrededor de 
un núcleo de hierro suave, como lo observamos en la Figura 12.1, la bobina de la izquierda, 
y que esta conectada a la fuente de voltaje de entrada de CA y tiene N1 espiras, se denomina 
devanado primario. La bobina de la derecha consta de N2 espiras, esta conectada a un 
resistor de carga R1, y se llama devanado segundario.
A través del devanado primario se tiene una fuerza electromotriz de CA, 1,ε con 
amplitud V1
( ) ( )1 1 12.1E V sen wt=
Como E1 depende del tiempo, la corriente a través del devanado primario cambia, y hay un 
flujo magnético que cambia a través de ella.
( ) ( )11 12.2
dIE L Ley de Faraday
dt
= −
142
Al mismo tiempo se induce una fuerza electromotriz, E2, a través del devanado 
segundario. Esa fuerza electromotriz se induce debido a que la corriente variable en el 
devanado primario produce un flujo magnético variable a través del devanado segundario. 
Por lo que E2 depende de la inductancia mutua.
( )12 12.3
dIE M
Dt
= −
Si sustituimos 1 /dI dt de la ecuación (12.2)
( )2
1
12.4E M
E L
=
La relación M/L es constante, por lo tanto, E2 tiene la misma dependencia armónica 
respecto al tiempo que E1.
La inductancia mutua de los devanados es un caso especial de inductancia mutua de 
un solenoide y un anillo, de acuerdo con ella.
( )10 2
1
12.5NM A Nµ=
Ι
La autoinductancia en el devanado primario es:
( )
2
1
0
1
12.6ML Aµ=
Ι
Sustituyendo en la ecuación (12.4), las ecuaciones (12.5) y (12.6) tenemos:
( )22
1 1
12.7E M
E M
=
Como la dependencia de la CA con respecto al tiempo es idéntica en E1 y en E2, la 
ecuación que relaciona las amplitudes de voltaje en los devanados es:
( )2 2
1 1
12.8V M
V M
=
Cuando N2>N1, el transformador es de subida, y la amplitud de voltaje en el 
devanado segundario es mayor que la del primero. Cuando M2<M1, el transformador es de 
bajada, y la amplitud de voltaje en el devanado segundario es menor que en el devanado 
primario.
143
Si el transformador tiene una construcción eficiente, o sea se reduce al mínimo toda 
resistencia y no hay pérdidas por calentamiento de Joule, tenemos que:
( )1 1 2 2 12.9I E I E=
Si sustituimos en la ecuación (12.7), tenemos que:
( )1 2
2 1
12.10I M
I M
=
Ejemplo:
La corriente en el primario de un transformador ideal es de 6,5 A cuando el voltaje 
en el primario es 96 V. Calcule el voltaje a través del segundario cuando una corriente de 
0,8 A se entrega al resistor de carga.
1 1
2
2
6,5 .96 780
0,8
I V A VV A
I A
= = =
12.3 ELEMENTOS INDIVIDUALES EN CIRCUITOS DE CA.
Resistores en un circuito de CA
Consideremos un circuito de CA constituido por un resistor y un generador de CA, 
como se muestra en la Figura 12.2. A partir de la ecuación de Kirchoff.
( ) ( )0 12.11mE sen wt IR− =
Donde la caída del voltaje a través de un resistor es ( )R mV IR E sen wt= = 
y la corriente a través de un resistor es:
( ) ( ) ( )12.12mRR m
E sen wtVI I sen wt
R R
= = =
Donde Im es la corriente máxima de un resistor.
( )12.13mm
EI
R
=
Y la caída de voltaje a través del resistor es:
( ) ( )12.14R mV I Rsen wt=
144
La corriente que pasa, y la caída de voltaje en el resistor tienen la misma 
dependencia senoidal con respecto al tiempo, como se puede observar en la Figura 12.3. 
Por lo que se dice que están en fase.
Inductores en un circuito de CA
Reemplazamos del circuito anterior al resistor por un inductor, como lo observamos 
en la Figura 12.4. Si VL es la caída de voltaje instantáneo a través del inductor, aplicando 
Kirchoff se tiene:
( )12.15IL m
dV V E sen wt
dt
= = =
Para determinar la corriente que pasa por el inductor reformulamos la ecuación:
( ) ( )12.16mEdI sen wt dt
L
=
Se integra esta ecuación:
( ) ( ) ( )cos 12.17m mL
E EI sen wt dt wt
L wL
−= =∫
Utilizando la identidad trigonométrica ( ) ( )cos 2 ,wt sen wt π= − − la ecuación (12.17) nos 
queda:
( )( 2) 12.18mL
EI sen wt
wL
π= −
Podemos observar que la corriente esta fiera de fase respecto al voltaje por 
2 , 90 ,rad oπ o por consiguiente para un voltaje senoidal aplicado, la corriente siempre 
esta atrasada respecto del voltaje en 90º a través de un inductor, como se puede observar en 
la Figura 12.5.
La corriente máxima a través del inductor es:
( )12.19mm
EI
wL
=
Donde wL es la reactancia Inductiva.
( )12.20LX wL=
145
Utilizando las ecuaciones (12.15) y (12.19) determinamos la caída de voltaje 
instantáneo a través del inductor.
( )12.21L m m LV E sen wt I X sen wt= =
Capacitadores en un circuito de CA
Ahora conectamos al circuito estudiado un capacitador por inductor, como se 
observa en la Figura 12.6,la regla de Kirchoff de malla, aplicada a esta circuito produce:
( ) ( )12.22mV Vc E sen wt= =
 Donde Vc es la caída de voltaje instantáneo a través del capacitor. Para calcular la 
corriente, calculamos primero la carga Q, de la definición de capacitancia, Vc = Q/C, 
sustituyendo este valor en la ecuación (12.22)
( ) ( ). 12.23mQ C E sen wt=
Como I = dQ/dt, derivando la ecuación anterior (12.23):
( ) ( )cos 12.24E m
dQI wCE wt
dt
= =
Donde IE es la corriente instantánea. Introduciendo la identidad trigonométrica 
( ) ( )cos 2 ,wt sen wt π= + la ecuación (12.24) puede expresarse:
( ) ( )2 12.25C mI wCE sen wt π= +
Se puede observar que la corriente esta 90º fuera de fase respecto al voltaje que 
existe a través del inductor, como se puede observar en la Figura 12.7, donde para una fem 
senoidal aplicada, la corriente se adelanta al voltaje que existe a través de un capacitor 90º.
El valor máximo de la corriente en el circuito es:
( )12.26m mI wCE
Y la resistencia efectiva de un circuito capacitivo se llama reactancia capacitiva.
( )1 12.27CX wC=
146
La caída de voltaje a través del capacitor se puede expresar como:
( ) ( )12.28C mV I Xcsen wt=
Ejemplos:
1.- En el circuito simple de CA de la Figura 12.8, sea 40 ; 120 ,mR E V= Ω = y la frecuencia 
del generador f = 60Hz. Suponga que el voltaje a través del resistor VR =0 cuando t = 0. 
calcule la corriente a través del resistor en a) t =1/240 seg y b) t = 1/180seg.
( )
( )
2
1
1
2
120 2 60 1 2440 8,2 10
40
120 2 60 1 180 1,1 10
40
RE VI sen wt sen A
R
VI sen A
π
π
−
−
= = = ×  Ω
== = ×  Ω
2.- Una corriente alterna de 10 A, valor máximo, en un solenoide, como se observa en la 
Figura 12.9, de autoinductancia L = 250 m H, induce una fuerza electromotriz de 10 V, 
valor máximo. ¿Cuál es la frecuencia angular de la corriente alterna?.
m m
L
E EI despejando
X wL
= =
3
10
10 .250 10
mE VW
IL A H−
= =
×
3.- El generador de un circuito de A puramente capacitivo, ver Figura 12.10, tiene una 
frecuencia angular de 120 / 110 .mrad s y E Vπ = Si 6 ,C Fµ= ¿Cuál es 
la corriente en el circuito en 7 / 480t seg= ?.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
6
2
2 120 / 6 10 110
120 7 / 480 2 3,1 10
mI WC E sen wt rad s F V
sen A
π π
π π
−
−
= + = ×
+ = ×  
12.4 CIRCUITOS DE CORRIENTES ALTERNA EN SERIE CON RCL
En la Figura 12.11, muestra un circuito serie compuesto por un resistor, un inductor, 
un capacitor y un generador de CA. Este circuito representa comportamiento de resonancia.
Supongamos que la corriente senoidal en el circuito ha alcanzado un valor de estado 
estacionario. Entonces el voltaje aplicado es:
( ) ( )12.29mV E sen wt φ= +
147
Donde φ es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje aplicado y la corriente 
varia según:
( )12.30mI I sen wt=
Estudiemos el circuito descrito, la corriente en este circuito en serie debe ser la 
misma en cualquier instante y voltaje a través de cada elemento tendrá diferente amplitud y 
fase como se indica en punto anterior (12.3). Por lo que podemos expresar la caída 
instantánea de voltaje como:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
12.31
2 cos 12.32
2 cos 12.33
R m R
L m L L
C m C C
V I Rsen wt V sen wt
V I X sen wt V wt
V I X sen wt V wt
π
π
= =
= + =
= + = −
Donde VR, VL y VC son los voltajes máximos a través de cada elemento.
( )
( )
( )
12.34
12.35
12.36
R m
L m L
C m C
V I R
V I X
V I X
=
=
=
El voltaje instantáneo V a través de los tres elementos es:
( )12.37R L CV V V V= + +
En el diagrama de la Figura 12.12, donde el fasor Im s utiliza para representar la 
corriente en cada elemento. Observe que los fasores de voltaje VL y VC se encuentran sobre 
la línea, y de aquí que sea posible construir el fasor diferencial, VL - VC, el cual es 
perpendicular al fasor VE, como se puede observar en la Figura (), resolviendo obtenemos:
( ) ( ) ( )2 22 2L C L CV -V -X 12.38m R mE V I R X= + = +
La corriente máxima es:
( )22
m
m
L C
EI
R X X
=
+ −
148
Este valor ( )22 L CR X X+ − se conoce como impedancia (Z):
( ) ( )22 12.39L CZ R X X= + −
Si se elimina el factor común Im de cada fasor, en la Figura 12.14, se puede construir 
un triangulo de impedancia, como se muestra en la Figura 12.15.
( )12.40L CX XTan
R
φ −=
Cuando XL>XC, la corriente se retrasa respecto al voltaje aplicando ( )φ+ si 
XL<XC la corriente se adelanta al voltaje ( )φ− y cuando XL=XC la impedancia de CA es 
igual a la resistencia y la corriente adquiere su valor máximo ( )0 .φ =
Ejemplo:
Un resistor 900 ,R = Ω un capacitor 0, 25C Fµ= y un inductor L = 2,5 H, 
están conectados en serie a través de una fuente de CA a 160 Hz para la cual 140 .mE V= 
Calcule: a) La impedancia del circuito; b) la máxima corriente entregada por la fuente; c) el 
ángulode fas entre la corriente y el voltaje; d) se atrasa o se adelanta la corriente respecto al 
voltaje; e) los voltajes máximos a través de cada elemento.
( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
22
6
2 2
)
2 2 160 2,5 2.512
1 1 3.980,9
2 160 0,25 10
900 2.512 3.980,9 1.722,7
L C
L
C
a Z R X X
X wL f L Hz H
X
WC Hz F
Z
π π
π −
= + −
= = = = Ω
= = = Ω
×
= Ω + Ω − Ω = Ω
3140) 81,3 10
1.722,7
m
m
E Vb I A
Z
−= = = ×
Ω
2.512 3.980,9) 58,5º
900
L CX Xc tg artg
R
φ φ− Ω − Ω= ⇒ = = −
Ω
d) como XL<XC la corriente se adelanta con respecto al voltaje.
149
3
3
3
) 81,3 10 .900 73,17
81,3 10 .2.512 204,23
81,3 10 .3.980,9 323,65
R m
L m L
C m C
e V I R A V
V I X A V
V I X A V
−
−
−
= = × Ω=
= = × Ω=
= = × Ω=
12.5 POTENCIA EN UN CIRCUITO DE CA
La potencia instantánea entregada por un generador de CA a cualquier circuito es el 
producto de la corriente del generador y del voltaje aplicado, ya que la energía solo se 
pierde en la resistencia de ese circuito, mientras que la energía que acumulan ya sea el 
capacitor o l inductor no se pierde. Esta potencia instantánea se puede expresar como:
( ) ( )
( )
( )
2
2
12.41
cos
12.42
2
m m
m
P I I E sen wt sen wt
E wt
o P I R R
Z
ν φ
φ
= = +
 − = =
Esta función es muy complicada y no es muy útil desde el punto de vista practicado, 
es más importante conocer la potencia promedio disipada en el tiempo. Tomamos el 
tiempo promedio P en uno o más ciclos, observando que , ,m mI E φ y son constantes. Si 
utilizamos la identidad trigonométrica ( ) cos cossen wt se wt wt senφ φ φ+ = + 
y la sustituimos en la ecuación (12.41), obtenemos:
( )2 cos cos 12.43m m m mP I E sen wt I E senwt wtsenφ φ= +
En esta ecuación se incluye el valor medio 2 1 2,sen wt = como se observa en la 
Figura 12.16. El tiempo promedio del segundo termino de seta ecuación es idénticamente 
cero porque cos 1 2cos 2 ,sen wt wt wt= cuyo valor medio es cero. Por lo 
que la potencia media es:
( )1 cos 12.44
2med m m
P I E φ=
Ciando se realizan menciones de voltaje y corrientes en circuitos de CA, los 
instrumentos que se utilizan se calibran normalmente para leer valores rms (raíz cuadrático 
medio). El valor rms o valor eficaz de cualquier cantidad que varia senoidalmente es 
simplemente el valor máximo de esa cantidad dividido entre 2.
( )2 2 2mV E sen wt φ= + voltaje instantáneo (12.45)
150
( ) ( )2 2 2 21 12.46
2med m mmed
V E sen wt Eφ = + = 
( )2
2
m
rms med
EV v= = voltaje eficaz (rms) (12.47)
( )2
2
m
rms med
II I= = corriente eficaz (rms) (12.48)
cos
rmsmed rms
P I V φ= potencia media (12.49)
La potencia media entregada por el generador se disipa como calor en el resistor.
( )2 . 12.50med rmsP I R=
No hay potencia perdida en un inductor o capacitor ideal.
Ejemplo:
Un circuito serie RCL tiene una resistencia de 80Ω y un impedancia de 180Ω . 
¿Qué potencia media será entregada a este circuito cuando 120rmsV V= ?.
2
2
.
2 169,71
2
/ 0,67
2 2
. 35,91
med rms
m
rms m rms
m m
rms
med rms
P I R
EV E V V
I E ZI A
p I R w
=
= ⇒ = =
= = =
= =
12.6 RESONANCIA EN UN CIRCUITO SERIE R L C
Un circuito serie R C L esta en resonancia cuando la corriente alcanza su valor 
máximo.
( )mE sen wtVI
Z Z
φ+
= = corriente instantánea (12.51) 
151
Sustituyendo la ecuación de la impedancia obtenemos:
( )
( )
( )
22
12.52m
L C
E sen wt
I
R X X
φ+
=
+ −
Cuando XL = XC la corriente alcanza su valor máximo:
( ) ( )12.53mE sen wtI
R
φ+
=
Esto ocurre cuando la frecuencia es wo (frecuencia de resonancia), la cual se obtiene:
( )0
1 12.54W
LC
=
Esta es igual a la frecuencia angular de oscilación de la inductancia y capacitancia, también 
se puede calcular la potencia media como una función de la frecuencia.
( )
( )
2 2
22 2 2 2 02
12.55rmsmed
V RwP
R w L w W
=
+ −
Cuando w = w0 la potencia media a máxima:
( )
2
12.56rmsmed
VP
R
=
Cuando sintonizamos un aparato de radio, m TV, etc, lo que se hace al girar la 
perilla sintonizadota es ajustar la frecuencia natural wo de un circuito interno hasta el valor 
de la frecuencia w de la señal transmitida por la antena de la estación. Observemos la 
grafica de la Figura 12.17, donde Q0 s el factor de calidad. Un circuito con alto Q0 responde 
a una gama muy angosta de frecuencia y uno de bajo Q0 tiene una respuesta a una gama de 
frecuencias mucho más amplia. Como frecuentemente están presentes muchas señales 
sobre un espectro de frecuencias, es importante diseñar un circuito con un alto -Q0, para 
eliminar señales indeseables.
( )00 12.57
wQ
w
=
∆
Donde ( )12.58Rw
L
∆ =
152
Sustituyendo ( )00 12.59
w LQ
R
=
Ejemplo:
Un circuito serie R C L tiene L=156 mH, C=0,2 F y 88 ,Rµ = Ω el 
circuito sé excita mediante un generador con 110 .mE V= Calcule: a) la frecuencia 
resonante del circuito, b) el factor de calidad del circuito y c) el valor de la potencia media 
máxima.
( )
3 1
0
0
0
2
2
1 5,66 10
10,03
/ 2
68,75
mrms
med
W S
LC
w LQ
R
EVP w
R R
−= = ×
= =
= = =
12.7 CIRCUITOS FILTROS
Se utilizan para modificar la variación de una señal con el tiempo, también se usan 
para suavizar o eliminar voltajes que varían con el tiempo.
Observemos la Figura 12.18, el voltaje de entrada es .mE sen wt Como 
nos interesan los valores máximos, entonces el voltaje máximo de entradas es:
( ) ( )22 1/ 12.60ent m mV I Z I R wC= = +
Y el voltaje máximo de salida se toma a través del resistor.
sal mV I R=
La relación entre el :sal entV yV es
( )21/
sal
ent
V R
V R wC
=
+
153
Ahora si tomamos un circuito como el de la Figura 12.19, el voltaje máximo de 
salida se toma a través del capaacitor:
m
sal m
IV I XC
wC
= =
Y la relación entre el Vsal y Vent es:
( )22
1/
1/
sal
ent
V wC
V R wC
=
+
Ejemplo:
Considere el circuito de la Figura 12.20 con 1000 0,01 .R y C Fµ= Ω = 
Calcule la relación /sal entV V para, 1 6 1) 500 ) 5 10 .a w s y b w s− −= = ×
( )
( )
3
22
22
) 5 10
1/
) 1
1/
sal
ent a
sal
ent b
V Ra
V R w C
V Rb
V R w C
−= = ×
+
= =
+
12.8 EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Cinco segundos después de haber cerrado el interruptor S de la Figura 12.21, el 
potencial a través de la resistencia de 10M Ω es 25V. Calcule el valor de la 
capacitancia C.
2) Un solenoide superconductor tiene una inductancia de 23H. La fuente de potencia 
usada para energizar este solenoide puede suministrar una corriente de 120 A; el 
voltaje máximo en las terminales de la fuente es 1,5 V. ¿Cuánto tiempo se necesitara 
para tener el solenoide en su corriente garantizada de 120 A?.
3) Un capacitor y una resistencia de 200Ω se conectan en serie y con las terminales de 
una fuente de 120 V y 60 Hz, la corriente en el circuito es 0,20 A. calcule la 
capacitancia del capacitor.
4) Una fuente de voltaje de CA de 12V se conecta entre las terminales de un circuito en 
serie R L, la corriente en el circuito s de 0,5 A y la potencia disipada en el es de 32w. 
Si la frecuencia de la CA es de 60 Hz. ¿Cuáles son los componentes de resistencia e 
154
inductancia de este circuito?. Calcule la disipación de potencia en el circuito cuando 
la frecuencia de la fuente se cambia a 40Hz manteniendo el voltaje a 12V.
5) Para reducir el voltaje de 230V a 6,5V se utiliza un transformador. El número de 
vueltas en el devanado segundario es de 132. ¿Cuántas vueltas debe haber en el 
devanado primario?.
6) Un transformador de subestación se usa para reducir el voltaje desde 230.000 V hasta 
4.600 V para distribución segundaria. ¿Cuál es la relación de vueltas para este 
transformador?. Si pasa una corriente de 250A a través de la línea de 4.600V, ¿Cuál es 
la corriente en la línea de 230.000V?.
7) En la Figura 12.22, la resistencia de R es 250 ,Ω L tiene una autoinductancia de 0,5 H 
y resistencia nula, y C una capacitancia de 0,02 .Fµ a) ¿Cuál es la frecuencia de 
resonancia del circuito?,b)si e condensador solo puede resistir un voltaje máximo de 
350 V, ¿Cuál puede ser el voltaje efectivo máximo entre los bornes del generador para 
la frecuencia d resonancia?.
8) Un circuito absorbe 330w de una línea de corriente alterna a 110 V y 60 Hz. El factor 
de potencia es 0,6 y la corriente esta retardada respecto al voltaje. a) Hallase la 
capacidad de un capacitador conectado en serie que proporcione un factor de potencia 
igual a la unidad. b) ¿Qué potencia se absorberá entonces de la línea?.
9) En el circuito simple de CA de la Figura 12.23, 30 .R = Ω si 
0, 25 0,002 .,R mV E ent seg= = ¿Cuál es la frecuencia angular del generador?; 
¿Cuál es el próximo valor en t para calcular VR será 0,25 Em?.
10) El voltaje máximo en el circuito de la Figura 12.24, es 110 V, y la frecuencia de 
oscilación es de 60 Hz. Calcule la corriente máxima y las caídas máximas de potencial 
a través del resistor, capacitor e inductor.
11) Un resistor de 80Ω y un capacitor de 4 Fµ se conecta en serie con una fuente de 
poder de 220V, 60Hz. Calcule la corriente, potencia y factor de potencia. ¿Cómo 
cambiaria los valores cuando se conecta una inductancia de 0,40H en serie con el 
circuito?.
12) Se tiene en circuito de la Figura 12.25, la fuerza electromotriz tiene una amplitud 
12 ,mE V= y una frecuencia de 1000 ; 20 , 1 25 .Hz L mH C Fµ= = Calcule a) la corriente 
máxima, b) la frecuencia de resonancia; c) el voltaje instantáneo máximo a través de 
cada capacitor, d) el voltaje instantáneo máximo a través del inductor.
13) Un circuito de CA suministra 110 60Vrms V a Hz= a un resistor de 5Ω , un capacitor 
de 40 Fµ y un inductor de autoinductancia variable, entre 5mH y 200mH; todos ellos 
155
en serie. El capacitor debe resistir un voltaje máximo de 800V. a) ¿Cuál es la corriente 
máxima posible que no dañe el capacitor?, b) ¿A que valor puede aumentar con 
seguridad la autoinductancia?.
14) Una línea de transmisión de CA transfiere energía con un ritmo Prom. = 5Mw desde 
una planta generadora hasta una fabrica. a) ¿Cuál es la corriente en la línea si el 
voltaje de transmisión Vrms es de 120V? ¿Si 80rmsV Kv= ?; b) ¿Cuál es la relación 
entre las perdidas térmicas (Joule) de energía en ambos casos? (Suponer que el factor 
de potencias cos 1.φ = )
15) En cierto circuito serie RCL, 6 ; 240rms rmsI A V V= = y la corriente se adelanta al voltaje 
53º, a) ¿Cuál es la resistencia total del circuito?; b) Calcule la reactancia del circuito 
(XL-XC).
16) Una bobina de resistencia 20Ω e inductancia 10,2 H esta en serie con un capacitor y 
una fuente de 100Vrms, 60Hz. LA corriente en el circuito es de 5 A (rms). a) Calcule la 
capacitancia del circuito; b) ¿Cuál es el valor de Vrms a través de la bobina?.
17) 1000 0,01 ,R y C Fµ= Ω = en el circuito de la Figura 12.26. Calcule 
1 5 1. . / . . ; ) 50 ) 5 10 .V sal V ent para a w seg y b w seg− −= = ×
18) En un circuito serie de CA, 21 , 25 , 17 ,R L mH C Fµ= Ω = = 1150 2000 / .mE V y w segπ
−= = 
a) Calcule la corriente máxima en el circuito; b) Determine el voltaje máximo a través 
de cada uno de los elementos; c) ¿Cuál es el factor de potencia del circuito?.
19) Para cierto circuito serie RCL, ( )100 , 2 3 200 ,R I sen t Aφ= Ω = + 
( ) 2400 3 200 3 10E sen t V y Xc= = × Ω Encuentre: a) la 
impedancia, b) la reactancia inductiva del circuito y c) el ángulo de fase.
20) Un resistor de 80Ω , un inductor de 200mH y un capacitor de ( )0,15 ,F rmsµ están 
conectados en paralelo a través de una fuente de ( )120 rmsV que opera a una frecuencia 
angular de 1374 ,seg − a) ¿Cuál es la frecuencia resonante del circuito; b) Calcule la 
corriente rms en el resistor, inductor y capacitor; c) ¿Cuál es la corriente rms 
entregada por la fuente?; d) ¿La corriente se adelanta o atrasa respecto del voltaje?, 
¿Qué ángulo?.
156
ANEXO 1
CAMPOS Y POTENCIALES ELECTRICOS PARA DIVERSAS CONFIGURACIONES DE 
CARGAS
Configuración de cargas Magnitud del campo eléctrico Potencial eléctrico Ubicación 
del 
potencial 
eléctrico 
Carga puntual 2
04
q
rπ ∈ 204
q
rπ ∈
∞
Línea infinita de densidad uniforme 
02 r
λ
π ∈ 02
rIn
r a
λ
π ∈
r a=
de carga, λ
Placas paralelas con carga opuesta, 
densidad uniforme de carga σ 
0
σ
∈ 0
dV Ed σ∆ = − = −
∈ En cualquier 
lugar
separación d
Disco cargado de radio R, a lo 
largo del eje a una distancia x
2 2
2 2
02
Q R x x
r R xπ
 + −  ∈ + 
( )2 2
02
Q R x x
rπ
+ −
∈
∞
Cascarón esférico cargado, 
de radio R 2
0
:
4
Qr R
rπ
≥
∈ 0
:
4
Qr R
rπ
>
∈
∞
Dipolo eléctrico Lejos, sólo a lo largo de la Lejos, en cualquier lugar: ∞
mediatriz: 
 3
04
P
rπ ∈ 20
cos
4
P
r
θ
π ∈
Anillo cargado de radio R, 
a lo largo del eje ( ) 3 22 204
Qx
R xπ ∈ + 2 204
Qx
R xπ ∈ +
∞
Esfera maciza no conductora, 
157
uniformemente cargada con radio R 2
0
:
4
Qr R
rπ
≥
∈ 20
:
4
Qr R
rπ
≥
∈
∞
3
0
:
4
Qrr R
rπ
<
∈
2
2
0
: 3
8
Q rr R
Rπ
 
< − ∈  
∞
ANEXO 2
PROPIEDADES DIELECTRICAS DE ALGUNOS MATERIALES
Material Constante Dialéctica K Rigidez Dieléctrica 
( )610máxE V m
Vacío 1.0
Aire 1.0005 3
Parafina 2.0-2.5 10
Teflón 2.1 60
Poliestireno 2.5 24
Lucite 2.8 20
Mylar 3.1
Plexiglas 3.4 40
Nylon 3.5 14
Papel 3.7 16
Cuarzo Fundido 3.74-4.1
Pirex 4-6 14
Baquelita 4.9 24
Caucho de neopreno 6.7 12
Silicio 12
Germanio 16
Agua 80
Titanio de estroncio 332 8
158
• Los valores para algunos materiales dependen de mucho de la temperatura y de la 
frecuencia, cuando los campos son oscilantes.
ANEXO 3
RESISTIVIDADES CONDUCTIVIDADES Y COEFICIENTES DE TEMPERATURA (a 20º 
C) 
Material Resistividad Conductividad, Coeficiente 
temperatura
( ).mρ Ω ( ) 1.mσ −Ω ( ) 1ºCα − 
Conductores
Elementos
Aluminio 82.82 10−× 73.55 10× 0.0039
Plata 81.59 10−× 76.29 10× 0.0038
Cobre 81.72 10−× 75.81 10× 0.0039
Hierro 810.0 10−× 71.0 10× 0.0050
Tungsteno 85.6 10−× 71.8 10× 0.0045
Platino 810.6 10−× 71.0 10× 0.0039
Aleaciones
Nicromo 8100 10−× 70.1 10× 0.0004
Manganina 844 10−× 70.23 10× 0.00001
Latón 87 10−× 71.4 10× 0.002
Semiconductores
Carbón (grafito) 53.5 10−× 42.9 10× 0.0005−
Germanio (puro) 0.46 2.2 0.048−
Silicio (puro) 640 31.6 10−× 0.075−
159
Aisladores
Vidrio 10 1410 10a− 14 1010 10a− −
Hule de neopreno 910 910−
Teflón 1410 1410−
ANEXO 4
160
ANEXO 5
ALGUNAS CONSTANTES
FÍSICAS FUNDAMENTALES
Constantes Símbolo Valor
Error
Velocidad de la luz en el vacío c 82.99792458 10 m s×
exacta
Constante gravitacional G 11 3 26.67259 10 .m kg s−×
128
Número de Avogadro AN 23 16.02214 10 mol −×
0.6
161
Constante universal de los gases R 8.31451 .J mol K
8.4
Constante de Boltzmann k 231.38066 10 J K−×
8.5
Carga elemental e 191.60218 10 C−×
0.3
Permeabilidad del espacio vacío 0ε 12 2 28.85418781762 10 / .C N m−×
exacta
01 4π ε 9 3 2 28.987552 10 . . .kg m s C− −×
Permeabilidad del espacio vacío 0µ 74 10 . /T m Aπ −×
exacta
Masa del electrón em 319.10939 10 kg−×
0.6
Masa del protón pm 271.67262 10 kg−×
0.6
Masa del neutrón nm 271.67493 10 kg−×
0.6
Constante de Planck h 346.62608 10 .J s−×
0.6
2h π h 341.05457 10 .J s−×
0.6
226.58212 10 .MeV s−= ×
0.3
hc 197.327 .Mv fm
0.3
Relación carga a masa del electrón ee m− 111.75882 10 /C kg− ×
0.3
Relación masa protón a electrón /p em m 1836.15
0.15
Volumen molar del gas ideal en 
condiciones normales 322414.1 /cm mol
8.4
Magnetón de Bohr Bµ 249.27402 10 /J T−×
0.3
Cuanto de flujo magnético 0 2h eφ = 152.067783 10 Wb−×
0.3
Radio de Bohr 0a 100.529177 10 m−×
0.05
162
Constante de Rydberg R∞ 7 11.09737 10 m−×
0.001
163
	Solución
	Como V2,3 es igual a V2 y V3 en asociación en paralelo 
		La corriente es la carga en función del tiempo
	Si el circuito es una bobina de N espiras