Electro

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Universidad Andrés Bello
Electromagnetismo
Luis Alvarez Thon
Edición 2014
FMF-241
L U I S A LVA R E Z T H O N
E L E C T R O M A G N E T I S M O
F M F - 2 4 1 ( 2 0 1 4 )
D E PA R TA M E N T O D E C I E N C I A S F Í S I C A S
U N I V E R S I D A D A N D R É S B E L L O
© 2014 Luis Alvarez Thon
This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.en_US.
Contenido
1. Matemáticas del curso 9
1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Operadores vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Integrales especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. Teoremas integrales importantes . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5. Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6. Operadores en coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . 38
2. Electrostática 43
2.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3. Principio de Superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5. Distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6. Flujo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.7. La ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.8. Aplicaciones de la ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 84
3. El potencial electrostático 93
3.1. Significado físico del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2. Potencial eléctrico de cargas puntuales . . . . . . . . . . . 95
3.3. Potencial eléctrico de distribuciones continuas de carga . . 96
3.4. Energía potencial electrostática . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.6. Cálculo del potencial por integración . . . . . . . . . . . . 101
3.7. Las ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . 104
3.8. Conexión entre el campo eléctrico, el potencial eléctrico y
la densidad de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.9. El momento dipolar eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.10. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.11. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.12. Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4. Corriente eléctrica 141
4.1. Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2. Densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.4. La ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5. Conexión de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.6. Dieléctricos imperfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.7. Densidad de corriente en régimen permanente . . . . . . . 153
4.8. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.9. El método de las mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6 luis alvarez thon
4.10. La ley de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5. Magnetismo 163
5.1. Campo magnéticos y fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2. Fuerza magnética sobre un conductor con corriente . . . . 164
5.3. Torque sobre una espira con corriente . . . . . . . . . . . 168
5.4. La ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.5. Propiedades del campo magnético en el espacio libre . . . 174
5.6. La ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.7. Propiedades magnéticas de la materia . . . . . . . . . . . 181
5.8. Intensidad de campo magnético . . . . . . . . . . . . . . 182
5.9. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.10. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.11. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.12. Inductancia e inductancia mutua . . . . . . . . . . . . . . 192
5.13. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Índice alfabético 201
Introducción
Estos son apuntes complementarios para el curso de “Electromagne-
tismo” (FMF241) y están basados en varios libros de texto y otras fuentes
de información. Si bien existe una buena cantidad de excelentes libros de
texto, a veces el alumno se ve sobrepasado por la gran cantidad de infor-
mación y no sabe distinguir lo que es más relevante. Estos apuntes siguen,
en estricto rigor, el orden de materias que aparecen en el “syllabus” del
curso.
Debo recalcar que el objetivo de estos apuntes no es reemplazar los
excelentes libros de texto disponibles en la biblioteca, sino que tienen
como objetivo guiar al alumno a consultar esos textos. La bibliografía
tentativa es la siguiente:
Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería David K. Cheng
Edit. Addison-Wesley Longman
Fundamentos de la Teoría Electromagnética Reitz/Milford/Christy Addison-
Wesley Iberoamericana
Teoría Electromagnética Hayt/Buck Edit. Mc Graw Hill
Electromagnetismo M. Furman
Electricidad y Magnetismo Berkeley Physics Course- Volumen 2 Edit.
Reverté
Física Universitaria Sears - Zemansky - Young Edit. Pearson
El primer capitulo del curso es opcional y tiene como objetivo refrescar y
reforzar los conocimientos de matemáticas que se necesitan en este curso.
CAPÍTULO1
Matemáticas del curso
En un curso de esta categoría se asume que el estudiante tiene la
preparación adecuada en cálculo integral y diferencial, cálculo vectorial
y en el manejo de sistemas de coordenadas curvilíneas. En el transcurso
de las materias, nos encontraremos que las leyes del electromagnetismo
serán expresadas mediante integrales de línea, integrales de superficie,
ecuaciones y operadores diferenciales, y operadores vectoriales.
Usted se puede preguntar porqué he incluido este capítulo de ma-
temáticas si ya ustedes han pasado por cursos avanzados de álgebra y
cálculo. El problema es que las matemáticas y la física se enseñan en
forma independiente y a veces existe una desconexión entre ellas. Pero
las matemáticas es el lenguaje natural de la física y fueron desarrolladas
para describir y resolver problemas de la vida real. La experiencia de los
profesores de física es que los prerrequisitos matemáticos no son suficien-
tes y que los alumnos necesitan más experiencia en usar las matemáticas
eficientemente y en poseer una intuición acerca de los procesos físicos.
Este capítulo no pretende ser un curso de “Métodos Matemáticos
de la Física” sino que tiene como objetivo cubrir, en forma específica, las
técnicas y métodos justos y necesarios para resolver problemas avanzados
de electromagnetismo.
1.1 Vectores
Muchas cantidades en física e ingeniería son tratadas como vectores
porque tienen asociadas un magnitud y una dirección; la velocidad, fuer- Vector: magnitud y dirección
Escalar: magnitudza, momentum angular, campo eléctrico o magnético son algunos ejem-
plos de vectores. En cambio cantidades tales como tiempo, temperatura
o densidad sólo tienen magnitud y son llamadas escalares.
¿Esto quiere decir que un vector es todo aquello que tiene magnitud
y dirección? Bueno, hay que reconocer que esta definición no es la
más correcta pues usted podría preguntarse: ¿acaso un auto tiene
magnitud y dirección?, ¿eso convierte a un auto en un vector?. Un
matemático diría: un vector es un elemento de un espacio vectorial.
En términos simples, un espacio vectorial en un conjunto de “co-
sas” para las cuales se ha definido la operación de adición y también
la operación de multiplicación por un escalar.
Un vector puede ser representado gráficamente mediante una flecha
y un largo proporcional a su magnitud. Además los vectores pueden ser
10 electromagnetismo fmf-241 (2014)
representados en dos o tres dimensiones.1 Si dos o más vectores tienen 1 Por simplicidad vamos a dibujarlos en
dosdimensiones por el momento.la misma dirección y magnitud entonces son iguales (ver figura 1.1). No
hay diferencia donde empieza la cola del vector, aunque por conveniencia
se prefiere localizarla en el origen de coordenadas.
Figura 1.1: Todos los vectores de la fi-
gura son iguales porque tienen la mis-
ma dirección y largo.
Simbólicamente un vector se representa por medio de una letra con
una flecha arriba, ~A y el largo (magnitud) como A =
∣∣∣ ~A∣∣∣.
En la mayoría de los libros de texto, un vector ~A se representa con
el símbolo en negrita A y la magnitud mediante A. Por lo tanto, en
los libros de texto, hay que tener cuidado de no confundir A con A.
1.1.1 Operaciones con vectores
En esta representación gráfica, la adición de vectores2 2 La adición de dos vectores solo tiene
sentido físico si ellos son de la misma
clase, por ejemplo si ambos son fuerzas
actuando en dos o tres dimensiones.
~C = ~A+ ~B
consiste en colocar la cola del vector ~B en la punta del vector ~A. El
vector ~C es entonces representado por una flecha dibujada desde la cola
del vector ~A hasta la punta del vector ~B. Esta forma de sumar vectores
se llama regla del triángulo. (Fig. 1.2).
Figura 1.2: Adición de dos vectores
mostrando la relación de conmutación.
La figura 1.2 también muestra la regla del paralelogramo que consiste
en trasladar los dos vectores hasta formar un paralelogramo de tal manera
que el vector resultante será aquel formado por la diagonal que parte de
las dos colas hasta el punto donde se encuentran las dos puntas. Además,
esto demuestra gráficamente que la adición de vectores es conmutativa,
es decir ~A+ ~B = ~B + ~A.
La generalización de este procedimiento para la adición de tres o más
vectores es clara y conduce a la propiedad de asociatividad de la adición
(ver figura 1.3), por ejemplo
~A+ ( ~B + ~C) = ( ~A+ ~B) + ~C
La sustracción de dos vectores es muy similar a la adición (ver figura
1.4), es decir,
~A− ~B = ~A+ (− ~B)
donde − ~B es un vector de igual magnitud pero en dirección exactamente
opuesta al vector ~B. La sustracción de dos vectores iguales, ~A+ (− ~A),
da como resultado el vector nulo ~0, el cual tiene magnitud cero y no tiene
asociada ninguna dirección.
matemáticas del curso 11
Figura 1.3: Adición de tres vectores
mostrando la propiedad de asociativi-
dad.
Figura 1.4: Sustracción de dos vectores.
12 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Figura 1.5: Multiplicación del vector ~A
por un escalar (λ > 0).
La multiplicación de un vector por un escalar da como resultado un
vector en la misma dirección que el original pero de una magnitud pro-
porcional (ver figura 1.5). La multiplicación por un escalar es asociativa,
conmutativa y distributiva con respecto a la adición. Para vectores arbi-
trarios ~A y ~B y escalares arbitrarios α y β se cumple
(αβ) ~A = α(β ~A) = β(α ~A)
α( ~A+ ~B) = α ~A+ α~B
(α+ β) ~A = α ~A+ β ~A
1.1.2 Vectores base y componentes
Los vectores en dos dimensiones pueden ser representados como pares
ordenados de números reales (a, b) y que obedecen ciertas reglas que
veremos más adelante.3 Los números a y b son llamados componentes 3 Reglas de un espacio vectorial.
del vector. El vector ~A = (a, b) puede ser representado geométricamente
mediante una flecha que va desde el origen hasta el punto (a, b).
Figura 1.6: Las componentes del vector
~A son la proyecciones en los ejes coor-
denados.
La extensión a tres dimensiones es directa. Un vector ~A puede ser
representado mediante tres números Ax,Ay y Az (ver figura 1.7)
~A = (Ax,Ay,Az)
Aunque ~A podría representar cualquier cantidad vectorial (momen-
tum, campo eléctrico, etc.), existe un cantidad vectorial, el desplazamien-
to desde el origen de coordenadas al punto (x, y, z), es denotado por el
símbolo especial ~r. Entonces tenemos la elección de referirnos al despla-
zamiento ya sea como el vector ~r o las las coordenadas del punto final
(x, y, z):4 4 Este vector también se llama vector
posición.~r ↔ (x, y, z)
Figura 1.7: En tres dimensiones, las
componentes cartesianas del vector ~A
son la proyecciones en los ejes coorde-
nados.
En esta etapa es conveniente introducir vectores unitarios5 a lo largo 5 Vectores de magnitud o largo 1.
de cada uno de los ejes coordenados. Estos vectores se denotan î, ĵ y
k̂ apuntando a lo largo de los ejes cartesianos x, y y z respectivamente
(ver figura 1.8). Sea ~A = (Ax,Ay,Az) entonces Axî es un vector con
matemáticas del curso 13
magnitud igual a |Ax| en la dirección x. Un vector ~A puede ser entonces
escrito como una suma de tres vectores, cada uno paralelo a un eje de
coordenadas diferente (ver figura 1.9):
Figura 1.8: Los vectores unitarios,
î, ĵ, k̂, de un sistema de coordenadas
cartesianas tridimensionales.
~A = Axî+Ay ĵ +Az k̂
Esto significa que estos vectores unitarios sirven como una base, o
un conjunto completo de vectores en el espacio Euclidiano. Es decir
cualquier vector puede ser expresado como una combinación lineal
de ellos. Los vectores base se pueden escribir también como
î = (1, 0, 0) ĵ = (0, 1, 0) k̂ = (0, 0, 1)
Figura 1.9: Los vectores unitarios,
î, ĵ, k̂, de un sistema de coordenadas
cartesianas tridimensionales. El vector
~A es la suma vectorial de los tres vec-
tores a lo largo de los ejes coordenados.
Podemos considerar la adición y sustracción de vectores en términos
de sus componentes. La adición de dos vectores ~A y ~B se encuentra
simplemente sumando sus componentes, o sea
~A+ ~B = Axî+Ay ĵ +Az k̂+Bxî+By ĵ +Bz k̂
= (Ax +Bx)î+ (Ay +By)ĵ + (Az +Bz)k̂
y la sustracción:
~A− ~B = Axî+Ay ĵ +Az k̂− (Bxî+By ĵ +Bz k̂)
= (Ax −Bx)î+ (Ay −By)ĵ + (Az −Bz)k̂
¡cuidado!: No sumar magnitudes de vectores.
Si un vector es la suma de dos vectores, la magnitud del vector
suma no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores
originales. Por ejemplo, la magnitud del vector 3 î es 3 y la magnitud
del vector −2 î es 2, !pero la magnitud del vector (3 î) + (−2 î) = î
es 1, no 5!.
14 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.1.3 Igualdad de vectores
En la figura 1.1 describimos gráficamente la igualdad de vectores. Aho-
ra que podemos definir un vector en forma analítica, podemos decir que
un vector es igual a otro vector si y solo si todas las respectivas compo-
nentes de los vectores son iguales. Es decir si ~A = Axî+ Ay ĵ + Az k̂ y
~B = Bxî+By ĵ +Bz k̂, entonces ~A = ~B si
Ax = Bx y Ay = By y Az = Bz
1.1.4 Magnitud de un vector en términos de sus compo-
nentes
La magnitud
∣∣∣ ~A∣∣∣ de un vector ~A se puede inferir de la figura 1.9
∣∣∣ ~A∣∣∣ = A =√A2x +A2y +A2z
Un vector nulo ~A = 0 significa que todas sus componentes son nulas
Ax = Ay = Az = 0, por lo tanto su magnitud es cero.
1.1.5 El vector unitario
Como ya se explicó, los vectores î, ĵ y k̂ tienen magnitud la unidad.
Sin embargo, estos no son los únicos vectores unitarios. Es a veces útil
encontrar un vector unitario que tenga una dirección especificada. Su-
pongamos que queremos encontrar un vector unitario en la dirección del
vector ~A. Esto es muy simple, el vector unitario (Â) se obtiene dividiendo
el vector por su magnitud:
 =
~A√
A2x +A2y +A2z
=
~A∣∣∣ ~A∣∣∣
Por definición, un vector unitario tiene magnitud 1 y no tiene unidades.
Supongamos que r̂ es un vector unitario con dirección de 36.0° (sen-
tido antihorario, desde la dirección +x en el plano xy). El hecho de que
un vector unitario tenga magnitud 1 y sin unidades, significa que si uno
multiplica un vector unitario por un escalar, el vector resultante tiene
una magnitud igual al valor del escalar y con las mismas unidades. Por
ejemplo, si multiplicamos el vector r̂ por 5.0m/s, obtenemos un vec-
tor velocidad (5.0m/s) r̂ que tiene una magnitud de 5.0m/s y apunta
en la misma dirección que r̂. Entonces en este caso (5.0m/s) r̂ significa
(5.0m/s) haciendo un ángulo de 36.0° con el eje x.
1.1.6 Un vector no tiene signo
Consideremos el vector
~v = (8× 106 î+ 0 ĵ,−2× 107 k̂)m/s
¿Es este vector positivo, negativo o cero?. Ninguna de las descripciones
es apropiada. La componentex de este vector en positiva, la componente
matemáticas del curso 15
y es cero y la componente z es negativa. Los vectores no son positivos,
negativos o cero. Sus componentes pueden tener signo, pero esto no sig-
nifica nada cuando consideramos el vector como un todo. Por otro lado,
la magnitud de un vector |~v| es siempre positiva.
1.1.7 Cambio en una cantidad: la letra griega ∆
Frecuentemente necesitaremos calcular el cambio en una cantidad. Por
ejemplo, podremos desear saber el cambio de la posición de un objeto
en movimiento o el cambio de sus velocidad durante cierto intervalo de
tiempo. la letra griega ∆ (la “d” por diferencia) es usada para denotar el
cambio en una cantidad ya sea escalar o vectorial. Por ejemplo cuando la
altura de un niño cambia de 1.1m hasta 1.2m, el cambio es ∆h = +0.1m,
es un cambio positivo. Si el saldo de su cuenta bancaria pasa de $150000
a $130000, la variación es negativa ∆(saldo) = −$20000.
Para el caso vectorial, ponemos como ejemplo los vectores de posición
~r1 = 3 î− 2 ĵ y ~r2 = 5 î+ 2 ĵ
el cambio de ~r1 a ~r2 se denota como ∆~r = ~r2 − ~r1
∆~r = (5 î+ 2 ĵ)− (3 î− 2 ĵ) = 2 î+ 4 ĵ
es decir hay una variación de +2m en la dirección x y una variación de
+4m en la dirección y.
La cantidad ∆~r = ~r2−~r1 también representa el vector posición relati-
vo, es decir la posición de un objeto relativo a otro. En la figura 1.10 el
objeto 1 está en la posición ~r1 y el objeto 2 en la posición ~r2. Queremos
conocer las componentes del vector que apunta de desde el objeto 1 al
objeto 2. Este es el vector ∆~r = ~r2 − ~r1. Notar que la forma es siempre
“final” menos “inicial”.
Figura 1.10: Vector posición relativo,
~r2 − ~r1.
1.1.8 Multiplicación de vectores
Podemos definir el producto punto o producto escalar entre dos vec-
tores ~A y ~B como Producto escalar
16 electromagnetismo fmf-241 (2014)
~A · ~B = ~B · ~A = AB cos θ
donde A y B son las longitudes de ~A y ~B, y θ es el ángulo formado por
los dos vectores. De acuerdo a esta definición los productos punto de los
vectores unitarios î, ĵ y k̂ son
î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1
î · ĵ = ĵ · î = î · k̂ = k̂ · î = ĵ · k̂ = k̂ · ĵ = 0
así se puede demostrar fácilmente que
~A · ~B = (Axî+Ay ĵ +Az k̂) · (Bxî+By ĵ +Bz k̂)
= AxBx +AyBy +AzBz
Esta es una expresión muy útil para encontrar el ángulo entre dos vecto-
res:
cos θ =
~A · ~B
AB
Alternativamente, la magnitud de un vector también se puede definir
como
A =
√
~A · ~A
Hemos definido el producto punto de dos vectores, el cual es una canti-
dad escalar. Hay otra definición muy útil del producto entre dos vectores
cuyo resultado es un vector. Definimos el producto cruz o producto vec-
torial de ~A y ~B Producto vectorial
~A× ~B = AB sin θ n̂
donde θ es el ángulo (< 180°) entre ~A y ~B y n̂ es un vector unitario
perpendicular al plano formado por los dos vectores. Como consecuencia
n̂ es perpendicular a ~A y a ~B y es paralelo a ~A× ~B. La dirección de n̂
es la misma que el avance de un tornillo de rosca derecha si ~A es rotado
hacia ~B. En la figura 1.11 se muestran dos formas de usuales de ilustrar
el producto cruz: regla de la mano derecha y regla del tornillo de rosca
derecha.
Ya que sin θ = 0 si θ = 0, tenemos que para vectores paralelos ~A× ~B =
0 y en especial ~A× ~A = 0. También se cumple que
~A× ~B = − ~B × ~A
Si nos referimos a la figura 1.8 podemos aplicar las dos propiedades an-
teriores a los vectores unitarios î, ĵ y k̂:
î× î = ĵ × ĵ = k̂× k̂ = 0
î× ĵ = k̂ ĵ × î =−k̂
î× k̂ = −ĵ k̂× î = ĵ
ĵ × k̂ = î k̂× ĵ =−î
También existe una ley distributiva
~A× ( ~B + ~C) = ~A× ~B + ~A× ~C
matemáticas del curso 17
Figura 1.11: El producto cruz ilustrado
de dos maneras: regla de la mano dere-
cha y regla del tornillo de rosca derecha.
El vector unitario n̂ es perpendicular a
~A y a ~B y es paralelo a ~A× ~B.
El producto cruz de ~A y ~B en términos de î, ĵ y k̂ está dado por:6 6 Este es un buen ejercicio.
~A× ~B = (Axî+Ay ĵ +Az k̂)× (Bxî+By ĵ +Bz k̂)
= (AyBz −AzBy)î+ (AzBx −AxBz)ĵ + (AxBy −AyBx)k̂
Esto se puede escribir en forma más compacta mediante el determinante
~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣∣
errores comunes en multiplicación vectorial:
1. El producto punto de dos vectores es un escalar y no un vector
2. El producto cruz de dos vectores en un vector y no un escalar.
1.1.9 Operaciones ilegales con vectores
Aunque el álgebra vectorial es similar a las operaciones ordinarias de
los escalares, hay ciertas operaciones que no son legales (y carentes de
significado) para vectores:
Un vector no puede ser igual a un escalar.
Un vector no puede ser sumado o restado de un escalar.
Un vector no puede estar en el denominador de una expresión. Es
decir no se puede dividir por un vector (sin embargo se puede dividir
un vector por un escalar).
18 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Figura 1.12: Operaciones vectoriales
prohibidas.
1.1.10 Componentes de un vector en una dirección
Hemos puesto este tópico en una sección aparte para enfatizar la im-
portancia de encontrar la componente de un vector en una dirección de-
terminada. Por ejemplo si tomamos el vector ~A = Axî + Ay ĵ + Az k̂,
entonces la componente escalar de este vector en la dirección î es obvia-
mente Ax, lo que es equivalente a efectuar el producto punto
~A � î =
(
Axî+Ay ĵ +Az k̂
)
� î = Ax
Esta componente no es otra cosa que la proyección de vector ~A sobre el
eje x (ver figura 1.7). En el caso general, la proyección del vector ~A en la
dirección de un vector unitario û
~A � û =
∣∣∣ ~A∣∣∣ |û| cos θ
donde θ es el ángulo entre los dos vectores. Puesto que û es un vector
unitario, |û| = 1, entonces
(a)
(b)
Figura 1.13: (a) La componente escalar
de ~A en la dirección del vector unitario
û es ~A � û. (b) La componente vectorial
de ~A en la dirección del vector unitario
û es ( ~A � û)û.
~A � û =
∣∣∣ ~A∣∣∣ cos θ
Si nos referimos a la figura 1.13 vemos claramente que
∣∣∣ ~A∣∣∣ cos θ es la
proyección del vector ~A en la dirección û. Podemos distinguir dos proyec-
ciones: la proyección escalar, ~A � û y la proyección vectorial, ( ~A � û)û, en
la dirección û.
matemáticas del curso 19
1.1.11 Campos vectoriales y escalares
Durante el curso vamos a trabajar con conceptos tales como campo
eléctrico, campo magnético, densidad de corriente, etc. Todos ellos son
campos vectoriales. Un campo vectorial en el espacio de dos (o tres)
dimensiones, es una función ~F que asigna a cada punto (x, y) (o (x, y, z))
un vector en dos (o tres) dimensiones dado por ~F (x, y) (o ~F (x, y, z)). Es
posible que esto no parezca tener sentido, pero la mayoría de la gente ya
ha visto, por ejemplo, un esquema de las líneas de campo magnético de
la tierra (ver figura 1.14).
N
S
Figura 1.14: Las líneas del campo mag-
nético terrestre.
La notación estándar para la función ~F es,
~F (x, y) = P (x, y)î+Q(x, y)ĵ
~F (x, y, z) = P (x, y, z)î+Q(x, y, z)ĵ +R(x, y, z)k̂
Por ejemplo, en la figura 1.15 se muestran los campos vectoriales:
~F (x, y) = −yî+ xĵ y ~F (x, y) = cos(x2 + y)î+ (1 + x− y2)ĵ
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
- 2 - 1 0 1 2
- 2
- 1
0
1
2
~F (x, y) = −yî+xĵ ~F (x, y) = cos(x2 + y)î+(1+x−y2)ĵ
Figura 1.15: Las líneas de campo para
dos campos vectoriales en dos dimen-
siones.
Por otro lado, la figura 1.16 ilustra un ejemplo en tres dimensiones co-
rrespondiente a un campo con simetría radial:
~F (x, y, z) = ~r = xî+ yĵ + zk̂
- 2
0
2
- 2
0
2
- 2
0
2
Figura 1.16: Las líneas del campo vec-
torial radial ~F (x, y) = xî+ yĵ + zk̂.
Un campo escalar es un nombre elegante para una función del espacio,
es decir, una función que asocia un número real con cada posición en un
espacio. En otras palabras es una función que tiene diferente valor en ca-
da punto de un espacio, por ejemplo, en tres dimensiones φ = φ(x, y, z).
Formalmente, escalar es una palabra usada para distinguir el campo de
un campo vectorial. Ejemplos simples de campos escalares incluyenla
presión, P (x, y, z), en cada punto de un fluido o la distribución de tem-
peratura, T (x, y, z), a través de un material.
La representación gráfica de P (x, y, z) o T (x, y, z) no es posible debido
a que no podemos dibujar una función en cuatro dimensiones, pero sí
podemos dibujar un campo escalar del tipo z = f(x, y). Hay dos formas
de representar un campo escalar del tipo z = f(x, y). Una forma es
dibujando en tres dimensiones (diagrama de contorno) y la otra en dos
20 electromagnetismo fmf-241 (2014)
dimensiones mediante curvas de nivel, cuya forma algebraica es f(x, y) =
k para todos los valores posibles de k.
La figura 1.17 ilustra un ejemplo donde se ha dibujado una montaña
en tres dimensiones y las curvas de nivel en dos dimensiones.
Representación
en relieve
Representación en
curvas de nivel
Figura 1.17: Representación de una
campo escalar (altura de la superficie
de la montaña) en 3D y curvas de nivel
en 2D. Cada curva de nivel es del tipo
f (x, y) = k
con k = 0, 20, 40, 60, 80.
Un ejemplo más matemático sería considerar la función paraboloide
hiperbólico
z = φ(x, y) = x2 − y2
cuyas gráficas en 3D y curvas de nivel, se muestran en la figura 1.18.
Figura 1.18: Representación del campo
escalar φ(x, y) = x2 − y2. A la izquier-
da la gráfica en 3D y a la derecha las
curvas de nivel.
matemáticas del curso 21
1.1.12 Funciones vectoriales en tres dimensiones
Anteriormente definimos el vector posición, como un vector que va
desde el origen de coordenadas hasta un punto dado (x, y, z)
~r = xî+ yĵ + zk̂
Ahora, si el punto (x, y, z) se mueve en el transcurso del tiempo, entonces
~r(t) = x(t)î+ y(t)ĵ + z(t)k̂ es una función vectorial del tiempo. La fun-
ción ~r(t) traza una curva en el espacio cuando t varía. Podemos denotar
un punto en el espacio como ~r(x, y, z) = ~r(x(t), y(t), z(t)) = ~r(t). La
velocidad del punto se obtiene por diferenciación vectorial
~v(t) = ~r′(t) =
dx
dt
î+
dy
dt
ĵ +
dz
dt
k̂
Una aplicación interesante es la segunda ley de Newton
m
d2~r
dt2
= ~F (x, y, z)
EJEMPLO 1.1
La fuerza que actúa sobre una partícula de carga q moviéndose a una velocidad ~v en un campo magnético ~B
es ~F = q~v× ~B. Determinar la ecuación de movimiento de la partícula si ~B = Bk̂, donde B es una constante.
Solución: No necesitamos saber lo que es una carga o un campo magnético para resolver este problema. La
segunda ley de Newton dice
m
d2~r
dt2
= m
d~v
dt
= ~F
m
d~v
dt
= q~v× ~B
ahora necesitamos calcular ~v× ~B sabiendo que ~v = vxî+ vy ĵ + vz k̂ y ~B = Bk̂
~v× ~B =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
vx vy vz
0 0 B
∣∣∣∣∣∣∣ = vyBî− vxBĵ + 0k̂
así la ecuación de movimiento queda
m
(
dvx
dt
î+
dvy
dt
ĵ +
dvz
dt
k̂
)
= q(vyBî− vxBĵ)
de esta manera obtenemos tres ecuaciones diferenciales acopladas
m
dvx
dt
= qvyB m
dvy
dt
= −qvxB m
dvz
dt
= 0 (?)
primero se resuelve para ~v(t) y luego para ~r(t). Usted puede comprobar que las expresiones siguientes son
soluciones de (∗)
x(t) = a cos qBt
m
x(t) = a sin qBt
m
z(t) = bt
donde a y b son constantes que dependen de los valores iniciales de ~r(t) y ~v(t). Esta trayectoria corresponde
a una hélice con velocidad uniforme en la dirección z.
22 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.1.13 Diferencial de un vector
En la sección anterior vimos que para obtener la velocidad a partir
de vector posición tenemos que tomar las derivadas de cada componente.
Al igual que en el caso de funciones escalares, también podemos definir
el diferencial de un vector. Supongamos que el vector ~A depende de una
variable u, entonces la derivada de ~A respecto a u es
d ~A
du
=
dAx
du
î+
dAy
du
ĵ +
dAz
du
k̂
En esto usamos la noción de que un pequeño cambio ∆ ~A en el vector ~A(u)
es el resultado de un pequeño cambio ∆u. De aquí definimos el diferencial
de ~A como7 7 Notar que d ~A es también un vector.
d ~A =
d ~A
du
du
Un ejemplo es el cambio infinitesimal del vector posición de una partícula
en un tiempo infinitesimal dt
d~r =
d~r
dt
dt = ~vdt
Si el vector ~A depende de más de una variable, digamos u, v , escribi-
mos ~A = ~A(u, v). Entonces
d ~A =
∂ ~A
∂u
du+
∂ ~A
∂v
dv
1.2 Operadores vectoriales
Más adelante nos encontraremos campos vectoriales y escalares conti-
nuos y nos veremos en la necesidad de considerar sus derivadas y tam-
bién la integración de cantidades (campos) a lo largo de lineas, sobre
superficies y a través de volúmenes en el campo. En esta sección nos con-
centraremos en la definición de operadores diferenciales vectoriales y sus
propiedades.
1.2.1 Gradiente de un campo escalar
Consideremos una sala donde la temperatura puede variar de un lugar
a otro (por ejemplo a lado de una ventana la temperatura puede ser
menor). Es decir, la temperatura en la sala dependerá de las coordenadas
(x, y, z). Como la temperatura es un escalar, la expresamos como:
T = T (x, y, z)
Ahora si deseamos saber como varía la temperatura ante un cambio infi-
nitesimal de la posición (x, y, z) escribimos el diferencial de T
dT =
∂T
∂x
dx+
∂T
∂y
dy+
∂T
∂z
dz
y notemos que esta expresión se puede escribir como el producto punto
de vectores
matemáticas del curso 23
dT =
(
∂T
∂x
î+
∂T
∂y
ĵ +
∂T
∂z
k̂
)
· (dxî+ dyĵ + dzk̂) (?)
El término dxî+dyĵ+dzk̂ no es otra cosa que d~r, el vector que representa
un incremento o desplazamiento desde (x, y, z) a (x + dx, y + dy, z +
dz). El otro término del segundo miembro de (?) es el gradiente de la
temperatura y es representado por el símbolo ∇T . Entonces podemos
escribir (?) como
dT = ∇T · d~r
Usando la definición de producto punto, lo anterior también se puede
escribir como
dT = |∇T | · |d~r| cos θ
Ahora, si fijamos la magnitud de d~r en algún valor específico (por ejemplo,
en uno) entonces el mayor valor que puede tomar dT es cuando ∇T y
d~r son paralelos (cos θ = 1). Esto nos dice que la dirección del vector
gradiente representa la dirección del incremento más rápido (máxima
pendiente) de la temperatura. Adicionalmente, la magnitud del gradiente,
|∇T |, es el incremento más rápido en la dirección de máxima pendiente.
El gradiente aparece frecuentemente en aplicaciones físicas. En me-
cánica clásica, si V (x, y, z) representa la energía potencial, entonces el
campo de fuerza correspondiente está dado por
~F (x, y, z) = −∇V (x, y, z)
En electricidad y magnetismo (este curso) veremos que si V (x, y, z) repre-
senta el potencial electrostático, entonces la intensidad del campo eléc-
trico correspondiente está dado por
~E(x, y, z) = −∇V (x, y, z)
En el caso general de una función f(x, y, z) el gradiente en coordenadas
cartesianas es El gradiente es un vector, es por eso
que algunos libros de texto se escribe
~∇f para enfatizar su naturaleza.∇f(x, y, z) =
∂f
∂x
î+
∂f
∂y
ĵ +
∂f
∂z
k̂
∇f es un vector que expresa como varía la función f en la proximidad
de un punto. Por supuesto que debemos asumir que f(x, y, z) es diferen-
ciable, de lo contrario ∇f no existiría.
Si omitimos la función f , podemos definir el operador nabla Gradiente como el operador nabla ∇.
∇ = ∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
que aplicado a una función f no da ∇f .
El vector gradiente tiene dos interpretaciones geométricas importantes:
C A SO 1: Consideremos dos puntos P yQ sobre una superficie f(x, y, z) =
C, con C constante tal como muestra la figura 1.19. Los dos puntos están
a una distancia d~r uno del otro. Al movernos del punto P al Q no hay
cambios en f (df = 0), pues f(P ) = P (Q) = C. Entonces tenemos que
df = ∇f · d~r = 0
24 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Para que esto ocurra debe tenerse que ∇f debe ser perpendicular a d~r.
En otras palabras, ∇f es un vector normal a la superficie f(x, y, z) = C
en cada punto.
Figura 1.19: El vector gradiente es per-
pendicular a la superficie f (x, y, z) = C
cuando el vector d~r está sobre la super-
ficie.
CA SO 2: Si ahora permitimos que d~r nos lleve desde la superficie C1
hasta la superficie adyacente C2 (ver figura 1.20), tenemos que la variación
de f es
df = C1 −C2 = ∆C = ∇f · d~r
Figura 1.20: El vector gradiente.Si mantenemos fijo el valor de df
|d~r| = df
|∇f | cos θ
y entonces se ve que |d~r| toma un valor mínimo (camino más corto)
cuando nos movemos en forma paralela a ∇f (cos θ = 1).
Por otro lado, para un valor fijo de |d~r|
df = |∇f | · |d~r| cos θ
matemáticas del curso 25
el cambio en la función escalar f es maximizado al elegir d~r paralelo a
∇f (ver el caso anterior de la temperatura T ). Es decir ∇f es el máximo
valor que podría tomar df .
Esto identifica a ∇f como un vector que tiene la dirección del máximo
incremento de f .
Finalmente, para reforzar el caso 2 con otro ejemplo, podemos fijarnos
en la figura 1.21a donde se ha representado, en 3D, una función de dos
variables f(x, y). El sentido del vector∇f en un punto es el sentido en que
debemos movernos a partir del punto para hallar el incremento más rápido
de la función f . Si colocáramos una bolita en el punto donde calculamos
el gradiente, entonces la bolita tendría máxima velocidad en la dirección
negativa de ∇f . En la figura 1.21b representa mediante vectores en el
plano xy el gradiente de f . En especial, en el punto (x1, y1), la superficie
se eleva bruscamente.
Dirección de la
máxima pendiente
(a) (b)
Figura 1.21: La función escalar f (x, y)
está representada por la superficie en
3D en (a). En (b) se representa la fun-
ción vectorial ∇f .
26 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.2.2 Divergencia de un campo vectorial
Para un campo vectorial ~A(x, y, z), la divergencia (∇ � ~A) está definida
por8 8 En algunos libros de texto también se
usa div ~A
∇ � ~A = ∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
donde Ax,Ay y Az son las componentes de ~A. Claramente ∇ � ~A, es un
campo escalar. Cualquier campo vectorial para lo cual ∇ � ~A = 0 se dice
que es solenoidal.
Por el momento pospondremos la interpretación física rigurosa de la
divergencia. Solo diremos que la divergencia puede ser considerada co-
mo una medida cuantitativa de cuanto un campo vectorial “diverge” (se
difunde o desparrama) o “converge” en un punto dado. Por ejemplo la
figura 1.22 ilustra el signo de la divergencia dependiendo de la forma
del campo vectorial ~E. Cuando ∇ · ~E > 0 en algún punto, estamos en
presencia de una fuente o manantial9 desde donde el campo vectorial ra- 9 Por ejemplo una fuente de fluido en el
interior de un volumen.dia hacia el exterior. Si ∇ · ~E < 0 estamos en presencia de un sumidero
pues el campo “converge” hacia dicho punto. Si ∇ · ~E = 0 en campo no
converge ni diverge (no hay manantiales ni sumideros).
Figura 1.22: Interpretación geométrica
del signo de la divergencia.
Un campo vectorial con divergencia nula (solenoidal) significa que las
líneas de campo no convergen ni divergen en ningún punto; no pueden
tener extremos localizados. Gráficamente las lineas solo pueden ser
cerradas, o ir del infinito al infinito (ver figura 1.22), o dar vueltas
sobre sí mismas, sin llegar a cerrarse. Por ejemplo el campo ~F (x, y) =
−yî+ xĵ (ver figura 1.15) es solenoidal pues ∇ � ~F = 0 y además las
líneas de campo describen circunferencias en torno al eje z.
En la sección anterior definimos el operador gradiente ∇ como
∇ = ∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
entonces la divergencia se puede definir en forma alternativa como el
matemáticas del curso 27
producto punto entre ~∇ y el vector ~A
∇ � ~A =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
� (Axî+Ay ĵ +Az k̂)
=
∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
Hay dos ejemplos interesantes a considerar. El primero es la divergencia
del vector posición
∇ · ~r =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
� (xî+ yĵ + zk̂)
=
∂x
∂x
+
∂y
∂y
+
∂z
∂z
= 3
Otro ejemplo es la divergencia de un campo central ~rf(r) donde r =√
x2 + y2 + z2
∇ � (~rf(r)) =
∂
∂x
[xf(r)] +
∂
∂y
[yf(r)] +
∂
∂z
[zf(r)]
= 3f(r) + x
2
r
df
dr
+
y2
r
df
dr
+
z2
r
df
dr
= 3f(r) + r df
dr
1.2.3 Rotor de un campo vectorial
Siguiendo con la misma lógica de operadores, podemos efectuar el pro-
ducto cruz entre el operador ∇ y un campo escalar ~A. Así definimos otra
operación llamada rotor (o rotacional)10 10 En algunos libros de texto también
se usa rot ~A
∇× ~A =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
× (Axî+Ay ĵ +Az k̂)
=
(
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
)
î+
(
∂Ax
∂z
− ∂Az
∂x
)
ĵ +
(
∂Ay
∂x
− ∂Ax
∂y
)
k̂
lo cual se puede colocar en forma de determinante
∇× ~A =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
∣∣∣∣∣∣∣
El rotor asociado a un campo vectorial ~A es otro campo vectorial, y por
lo tanto el rotor calculado en un punto da como resultado un vector.
El rotor es un operador vectorial (∇×) que muestra la tendencia de un
campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Si el rotor de un campo vectorial (por ejemplo un fluido) es cero en un
punto significa que el campo vectorial (fluido) no tiene rotaciones en ese
punto (campo irrotacional), es decir no tiene circulación, turbulencia o
remolinos. En cambio si el rotor es distinto de cero significa que el campo
tiene circulación o remolinos. La figura 1.23 ilustra los dos casos para un
campo vectorial representado por un fluido.
28 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Figura 1.23: A la izquierda el fluido
(campo vectorial) es un campo irrota-
cional pues no tiene remolinos, por lo
tanto la pelota no rota y solo se tras-
lada. A la derecha el fluido tiene circu-
lación (rotor distinto de cero) que hace
que la pelota rote.
Más adelante veremos que el campo eléctrico radiado por una carga
puntual q positiva es radial (ver figura 1.24) y se expresa como
~E = ke
q
r2
r̂
donde r̂ es un vector unitario que apunta en forma radial. Claramente
las lineas de campo no tienen circulación por lo tanto el campo eléctrico
debe ser irrotacional, ∇× ~E = 0. En efecto
∇× ~E = ∇×
(
ke
q
r2
r̂
)
= ke
q
r2
∇× r̂ = ke
q
r2
∇×
(
~r
r
)
= ke
q
r2
∇× ~r
recordemos que el rotor actúa solo sobre el vector ~r, entonces ∇× ~E = 0
pues
∇× ~r =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x y z
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
Figura 1.24: Lineas de campo eléctrico
de una carga puntual positiva. Las li-
neas no tienen circulación, por lo tanto
este campo es irrotacional.
1.2.4 El Laplaciano
¿Que pasa si hacemos el producto punto entre dos operadores ∇?
∇ �∇ = ∇2 =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
�
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
=
(
∂
∂x
î
)
�
(
∂
∂x
î
)
+
(
∂
∂y
ĵ
)
�
(
∂
∂y
ĵ
)
+
(
∂
∂z
k̂
)
�
(
∂
∂z
k̂
)
=
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
= ∇2
De aquí surge la definición de Laplaciano de un campo escalar ϕ(x, y, z)11 11 Es la divergencia del gradiente,
∇2ϕ = ∇ � (∇ϕ)
∇2ϕ = ∂
2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂y2
+
∂2ϕ
∂z2
Este operador será de gran importancia en este curso, donde necesita-
remos encontrar el potencial electrostático, V (una función escalar) por
medio de una ecuación diferencial. Por ejemplo la ecuación diferencial
siguiente se llama ecuación de Poisson
∇2V = − ρ
�0
matemáticas del curso 29
donde ρ es la densidad de carga (una función escalar). Por otro lado, la
ecuación siguiente se llama ecuación de Laplace
∇2V = 0
aparece en muchas ramas de la física.
1.3 Integrales especiales
En los próximos capítulos nos vamos a encontrar con campos escalares
que varían en el espacio. también necesitaremos con frecuencia considerar
la integración de estos campos a lo largo de líneas , sobre superficies y
a través de volúmenes. En general, el integrando puede tener naturaleza
escalar o vectorial, pero la evaluación de esas integrales se verá reducida
a una o más integrales escalares. En el caso de integrales de superficie y
volumen, la evaluación implica integrales dobles o triples.
1.3.1 Integrales de línea
Las integrales de línea pueden tener la siguiente forma
ˆ
C
φd~r,
ˆ
C
~A � d~r,
ˆ
C
~A× d~r
donde φ es un campo escalar, ~A es un campo vectorial y d~r un vector
de desplazamiento infinitesimal. Las tres integrales tienen carácter vec-
torial, escalar y vectorial respectivamente. Como veremos más adelante,
las integrales del tipo
´
C
~A � d~r son las de mayor uso en electromagne-
tismo.12 La evaluación de la integral se hace a lo largo de una trayec- 12 Cuando la curva de integraciónes ce-
rrada escribimos el símbolo
¸
C
~A � d~rtoria o curva C. En coordenadas cartesianas ~A = Axî + Ay ĵ + Az k̂ y
d~r = dxî+ dyĵ + dzk̂, entonces13 13 También acostumbra a usar el sím-
bolo d~l en vez de d~r.ˆ
C
~A � d~r =
ˆ
C
(
Axî+Ay ĵ +Az k̂
)
� (dxî+ dyĵ + dzk̂)
=
ˆ
C
(Axdx+Aydy+Azdz)
=
ˆ
C
Axdx+
ˆ
C
Aydy+
ˆ
C
Azdz
Es decir, tenemos la evaluación de tres integrales “normales”. Un proce-
dimiento similar se aplica para los otros tipos de integrales.
Un campo vectorial ~A se dice que es conservativo si existe un campo
escalar ϕ tal que Campo conservativo.
~A = ∇ϕ
De aquí se deriva el teorema fundamental para gradientes, el cual expresa
que14 14 Otra forma de escribir esto es
bˆ
aC
(∇ϕ) � d~r = ϕ(b)−ϕ(a)
bˆ
aC
~A � d~r = ϕ(b)−ϕ(a)
30 electromagnetismo fmf-241 (2014)
es decir, dado que existe un potencial escalar ϕ que genera ~A, entonces
el valor de la integral de línea es dado por el valor de la función escalar
en los puntos a y b. Esto implica dos cosas
1.
´ b
aC
~A � d~r es independiente del camino C tomado desde a hasta b,
pues su valor depende de la diferencia ϕ(b)−ϕ(a).
2.
� b
aC
~A � d~r = 0 para una trayectoria cerrada,15 en otras palabras 15 La “circulación” es la integral alrede-
dor de una curva cerrada.ϕ(b)−ϕ(a) = 0 pues el punto a y el punto b son coincidentes.
EJEMPLO 1.2: Trabajo efectuado por una fuerza
La fuerza ejercida sobre un cuerpo está dada por ~F = −yî+ x~j. Calcular el trabajo efectuado al ir desde el
origen hasta el punto (1, 1).
Solución: Aquí necesitamos calcular la integral
W =
(1,1)ˆ
(0,0)
~F � d~r =
(1,1)ˆ
(0,0)
(−yî+ x~j) � (dxî+ dyĵ) =
(1,1)ˆ
(0,0)
(−ydx+ xdy)
Separando las dos integrales, obtenemos
W = −
1ˆ
0
ydx+
1ˆ
0
xdy
La primera integral no puede ser evaluada hasta que especifiquemos como varía y en función de x. Lo mismo
para la otra integral. Entonces elegimos un camino de integración (0, 0)→ (1, 0)→ (1, 1)
W = −
1ˆ
0
0dx+
1ˆ
0
1dy = 1
puesto que y = 0 a lo largo del primer segmento del camino y x = 1 a lo largo del segundo segmento. Si
ahora elegimos otro camino, (1, 0)→ (0, 1)→ (1, 1), entonces
W = −
1ˆ
0
1dx+
1ˆ
0
0dy = −1
y comprobamos que en este caso el trabajo depende de la trayectoria (~F es no conservativo).
1.3.2 Integrales de superficie
Este es otro tipo de integrales que aparecen con mucha frecuencia. Las
más comunes son
ˆ
S
ϕd~S,
ˆ
S
~A � d~S,
ˆ
S
~A× d~S
Todas estas integrales se toman sobre una superficie S, la cual puede
ser abierta o cerrada, y son por lo general, integrales dobles. Siguiendo la
matemáticas del curso 31
notación de integrales de línea, para superficies cerradas se usa el símbolo¸
S .
El diferencial vectorial d~S representa un elemento de área vectorial de
la superficie S. El elemento se define perpendicular a la superficie y a veces
se escribe como d~S = n̂dS donde n̂ es un vector unitario perpendicular a
la superficie en la posición del elemento y dS es la magnitud (escalar) de
d~S (ver figura 1.25). La superficie cerrada en 1.25-a encierra un volumen
V mientras que la superficie abierta en 1.25-b genera un perímetro C.
(a) (b)
Figura 1.25: (a) Una superficie cerrada
y (b) una superficie abierta. En cada
caso se muestra un vector normal a la
superficie d~S = n̂dS, el cual forma un
ángulo θ con el campo vectorial ~A en el
punto.
Nuevamente las integrales de superficie más comunes son las del tipo
φA =
´
S
~A � d~S. A este tipo de integrales se les llama integrales de flujo y
las encontraremos más adelante cuando veamos campo eléctrico y campo
magnético.
Una manera alternativa de definir la divergencia de un campo vec-
torial es usar las integrales de flujo. La divergencia de un campo vectorial
~A en un punto, se define como el flujo neto de salida de ~A por unidad de
volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero. Es decir
en cualquier punto P
∇ � ~A = ĺım
V→0
(
1
V
˛
S
~A � d~S
)
(Forma integral de la divergencia)
Análogamente, puede demostrarse que los otro operadores vectoriales (ro-
tor y gradiente) se pueden definir como
∇× ~A = ĺım
V→0
(
1
V
˛
S
d~S × ~A
)
(Forma integral del rotor)
∇ϕ = ĺım
V→0
(
1
V
˛
S
ϕd~S
)
(Forma integral del gradiente)
En cada caso, V es un pequeño volumen que encierra el punto P y S es
la superficie que rodea a ese volumen.
32 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.3.3 Integrales de volumen
Estas integrales son más simples de calcular, ya que el elemento de
volumen dV es una cantidad escalar. En coordenadas cartesianas dv =
dxdydz16 16 En algunos libros de texto nos encon-
traremos con las notaciones d3r ó d3x
para el elemento de volumen.
ˆ
V
~Adv = î
ˆ
V
Axdv+ ĵ
ˆ
V
Aydv+ k̂
ˆ
V
Azdv
La cual se ha reducido a calcular tres integrales de volumen escalares.
1.4 Teoremas integrales importantes
1.4.1 El teorema de la divergencia
Supongamos que V representa un volumen en el espacio de tres dimen-
siones, S la superficie que encierra ese volumen, y ~A un campo vectorial.
El teorema de la divergencia establece que17 17 También conocido como teorema de
Gauss.ˆ
V
(∇ � ~A)dv =
˛
S
~A � d~S
El teorema de la divergencia puede ser usado para relacionar integrales
de volumen e integrales de superficie para cierto tipo de integrandos.
1.4.2 El teorema de Stokes
Este es un teorema fundamental para rotores
ˆ
S
(∇× ~A) � d~S =
˛
C
~A � d~r
Aquí el rotor es sobre una superficie abierta y C es la curva o períme-
tro que rodea la superficie. Este teorema puede ser usado para evaluar
integrales de superficie de la forma
´
S(∇× ~A) � d~S como integrales de
linea y vice versa. La curva C es recorrida en la dirección con respecto
a la normal, n̂ de acuerdo a la regla de la mano derecha (o la regla del
tornillo), ver figura 1.26.
Figura 1.26: La curva cerrada C es el
contorno que rodea de la superficie S.
La dirección del vector normal es deter-
minada por la regla de la mano derecha
(o tornillo), es decir los dedos apuntas
en la dirección de circulación y el pulgar
apunta en dirección del vector normal.
matemáticas del curso 33
1.5 Coordenadas curvilíneas
En problemas de electromagnetismo, nos encontraremos muy frecuen-
temente con geometrías que contengan cilindros o esferas. La geometría
del sistema de coordenadas cartesianas no es el más adecuada para tratar
geometrías esféricas y cilíndricas. En especial, si hay simetrías asociadas
con el problema tal como una invariancia con un ángulo o distancia desde
un punto dado, se pueden obtener simplificaciones considerables en los
cálculo si se usan otros sistemas de coordenadas.
Las coordenadas curvilíneas son sistemas de coordenadas en el espacio
Euclidiano donde las líneas pueden ser curvas. Estas coordenadas pueden
ser obtenidas a partir del sistema de coordenadas Cartesiano mediante
una transformación que es invertible (un mapeo 1-1) en cada punto. Estos
significa que podemos convertir un punto dado en coordenadas Cartesia-
nas a un sistema curvilíneo y vice versa.
1.5.1 Coordenadas cartesianas
Más adelante nos encontraremos con problemas donde hay que calcular
integrales expresadas en diferentes sistemas de coordenadas. Necesitare-
mos expresar cantidades infinitesimales tales como elementos de línea,
área y volumen. En el sistema cartesiano esto es simple.
Figura 1.27: Vector de desplazamiento
entre dos puntos.
Consideremos un pequeño desplazamiento entre los puntos P1 y P2 (ver
figura 1.27). este vector puede ser descompuesto y obtener el elemento
infinitesimal (o diferencial) de línea:
d~s = dxî+ dyĵ + dzk̂
El elemento infinitesimal de volumen es simple. En la figura 1.27 te-
nemos un cubo con aristas de longitud dx, dy y dz
Figura 1.28: Elemento de volumen en
coordenadas Cartesianas.
d3r = dV = dxdydz
Para el elemento infinitesimal de área (o superficie) tenemos tres op-
ciones correspondientes a tres planos
Figura 1.29: Elemento de área en coor-
denadas Cartesianas. El vector d ~A es
perpendicular a la cara y de magnitud
dA = dxdx
dA = dydz dA = dxdy dA = dxdz
Los elementos deárea son en realidad vectores donde la dirección del
vector d ~A es perpendicular al plano definido por el área. El vector área
es elegido apuntando hacia afuera desde una superficie cerrada. Entonces
para los tres casos anteriores escribimos
d ~A = dydzî d ~A = dxdyk̂ d ~A = dxdzĵ
En general, la magnitud de d ~A representa el área y a veces escribimos
d ~A = dA n̂
donde n̂ es un vector perpendicular a la superficie de área dA.
34 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.5.2 Coordenadas esféricas
En vez de localizar un punto en el espacio mediante coordenadas carte-
sianas, podemos usar coordenadas esféricas r, θ y φ. De la figura 1.30
se desprende que la relación entre los dos sistemas de coordenadas está
dada por
x = r sin θ cosφ
y = r sin θ sinφ
z = r cos θ
Figura 1.30: Una representación de un
sistema de coordenadas esféricas. Un
punto es especificado por las coordena-
das esféricas r, θ y φ.
Desafortunadamente, la convención de los símbolos θ y φ, usada aquí,
es revertida en algunos libros de texto. Eso no significa que alguien
esté equivocado, simplemente puede resultar confuso y conducir a
errores. En algunos libros el ángulo (cenit) que forma r con eje z se
denota por φ. También es frecuente encontrar que el símbolo r se
cambia por ρ, y los símbolos ϕ y ψ se usan en vez de φ.
Este sistema de coordenadas es llamado sistema de coordenadas esféricas
porque la gráfica de la ecuación r = c = constante es una esfera de radio
c centrada en el origen.
Las restricciones para r, θ y φ son
0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ φ ≤ 2π 0 ≤ r <∞
Algunas veces necesitaremos conocer r, θ y φ en función de x, y, z
r =
√
x2 + y2 + z2
cos θ = z
r
=
z√
x2 + y2 + z2
tanφ = y
x
En el caso de las coordenadas cartesianas tenemos una base ortonormal
de tres vectores î ĵ y k̂. Aquí definimos los vectores r̂, θ̂ y φ̂, que son la
base ortonormal en el sistema de coordenadas esféricas. De acuerdo a la
figura 1.31 debe cumplirse
r̂ � φ̂ = r̂ � θ̂ = θ̂ � φ̂ = 0
φ̂× r̂ = θ̂ r̂× θ̂ = φ̂ θ̂× φ̂ = r̂
r̂× φ̂ = −θ̂ θ̂× r̂ = −φ̂ φ̂× θ̂ = −r̂
Figura 1.31: Los tres vectores unitarios
de un sistema de coordenadas esféricas.
Los vectores r̂, θ̂ y φ̂ también están relacionados con las coordenadas
cartesianas
r̂ = sin θ cosφî+ sin θ sinφĵ + cos θk̂
θ̂ = cos θ cosφî+ cos θ sinφĵ − sin θk̂
φ̂ = − sinφî+ cosφĵ
î = sin θ cosφr̂+ cos θ cosφθ̂− sinφφ̂
matemáticas del curso 35
ĵ = sin θ sinφr̂+ cos θ sinφθ̂+ cosφφ̂
k̂ = cos θr̂− sin θθ̂
Los cantidades infinitesimales en coordenadas esféricas son un poco
más complicadas. De la figura 1.32 se puede ver que el elemento infinite-
simal (diferencial) de área es
dA = r2 sin θdθdφ
El vector diferencial de área resulta de considerar un vector perpendicular
a la superficie esférica. Ese vector es r̂
d ~A = r2 sin θdθdφr̂
Similarmente (figura 1.32) el elemento infinitesimal de volumen es sim-
plemente dV = (dA)dr
dV = r2 sin θdθdφdr
Finalmente el elemento infinitesimal de línea resulta de sumar los vec-
tores drr̂, r sin θdφφ̂ y rdθθ̂
d~s = drr̂+ r sin θdφφ̂+ rdθθ̂
Figura 1.32: Una construcción geomé-
trica del elemento diferencial de área y
volumen en coordenadas esféricas.
36 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.5.3 Coordenadas cilíndricas
Un punto en coordenadas cilíndricas se especifica mediante tres coor-
denadas (r,φ, z).18 Con referencia la figura 1.33 podemos ver que 18 También es usual utilizar el símbolo
ρ en vez de r.
x = r cosφ
y = r sinφ
z = z
Figura 1.33: Una representación de un
sistema de coordenadas cilíndricas. Un
punto es especificado por las coordena-
das cilíndricas r, φ y z.
Este sistema de coordenadas es llamado sistema de coordenadas cilíndri-
cas porque la gráfica de la ecuación r = c = constante es una cilindro de
radio c centrado en el origen.
Las restricciones para φ,r y z son
0 ≤ φ ≤ 2π 0 ≤ r <∞ −∞ < z < +∞
Algunas veces necesitaremos conocer r, φ y en función de x, y, z
r =
√
x2 + y2
tanφ = y
x
z = z
La base ortonormal la forman los vectores r̂, φ̂ y k̂.19. De acuerdo a la 19 También se acostumbra a usar ẑ en
vez de k̂.figura 1.34 debe cumplirse
r̂ � φ̂ = r̂ � k̂ = k̂ � φ̂ = 0
φ̂× k̂ = r̂ r̂× φ̂ = k̂ k̂× r̂ = φ̂
k̂× φ̂ = −r̂ φ̂× r̂ = −k̂ r̂× k̂ = −φ̂
Figura 1.34: Los tres vectores unitarios
de un sistema de coordenadas esféricas.
Los vectores unitarios también están relacionados con los vectores uni-
tarios en coordenadas cartesianas
r̂ = cosφî+ sinφĵ
θ̂ = − sinφî+ cosφĵ
k̂ = k̂
î = cosφr̂− sinφφ̂
ĵ = sinφr̂+ cosφφ̂
De la figura 1.35 se puede ver que el elemento infinitesimal (diferencial)
de área sobre el manto de cilindro es
dA = rdφdz
El vector diferencial de área resulta de considerar un vector perpendicular
a la superficie cilíndrica. Ese vector es r̂
d ~A = rdφdzr̂
También el elemento diferencial de área sobre la tapa superior del cilindro
es
matemáticas del curso 37
d ~A = rdφdrk̂
Similarmente (figura 1.35) el elemento infinitesimal de volumen es sim-
plemente dV = (dA)dr
dV = rdφdzdr
Finalmente el elemento infinitesimal de línea resulta de sumar los vec-
tores drr̂, rdφφ̂ y zk̂
d~s = drr̂+ rdφφ̂+ zk̂
Figura 1.35: Una construcción geomé-
trica del elemento diferencial de área y
volumen en coordenadas cilíndricas.
1.5.4 Coordenadas polares
No hay nada nuevo en estas coordenadas pues se trata de las mismas
coordenadas cilíndricas pero el plano xy (z = 0), es decir se pueden usar
las mismas relaciones de las coordenadas cilíndricas, pero sin considerar
la tercera componente. Un punto en el plano está determinado por dos
coordenadas (r,φ).
1.5.5 Resumen de elementos diferenciales
d~s d ~A dV
Cartesianas dx î+ dy ĵ + dz k̂ dxdy k̂; dxdz ĵ; dydz î dxdydz
Cilíndricas dr r̂+ rdφ φ̂+ dz k̂ rdφdz r̂; rdφdr k̂ rdφdzdr
Esféricas dr r̂+ r sin θdφ φ̂+ rdθ θ̂ r2 sin θdθdφ r̂ r2 sin θdθdφdr
38 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.6 Operadores en coordenadas curvilíneas
En la sección 1.2 definimos lo operadores escalares y vectoriales en
coordenadas Cartesianas. Ahora veremos la forma que tienen estos ope-
radores en coordenadas esféricas y cilíndricas.
Gradiente (grad ≡ ∇)
∇ = î ∂
∂x
+ ĵ
∂
∂y
+ k̂
∂
∂z
Coordenadas cartesianas
Se aplica a un campo escalar F (x, y,x) y lo convierte en el vector∇F (x, y,x)
∇F = î ∂F
∂x
+ ĵ
∂F
∂y
+ k̂
∂F
∂z
∇ = r̂ ∂
∂r
+ φ̂
1
r
∂
∂φ
+ ẑ
∂
∂z
Coordenadas cilíndricas
Se aplica a un campo escalar F (r,φ, z) y lo convierte en el vector∇F (r,φ, z)
∇F = r̂ ∂F
∂r
+ φ̂
1
r
∂F
∂φ
+ k̂
∂F
∂z
∇ = r̂ ∂
∂r
+ θ̂
1
r
∂
∂θ
+ φ̂
1
r sin θ
∂
∂φ
Coordenadas esféricas
Se aplica a un campo escalar F (r, θ,φ) y lo convierte en el vector∇F (r, θ,φ)
∇F = r̂ ∂F
∂r
+ θ̂
1
r
∂F
∂θ
+ φ̂
1
r sin θ
∂F
∂φ
Divergencia (div ≡ ∇�)
Este operador se puede interpretar como el producto “punto” entre ∇ y
~A
∇ � ~A =
(
î
∂
∂x
+ ĵ
∂
∂y
+ k̂
∂
∂z
)
· (îAx + ĵAy + k̂Az)
Convierte el campo vectorial ~A(x, y, z) en un escalar ∇ � ~A(x, y, z)
∇ � ~A = ∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
Coordenadas cartesianas
matemáticas del curso 39
∇ � ~A = 1
r
∂(rAr)
∂r
+
1
r
∂Aθ
∂θ
+
∂Az
∂z
Coordenadas cilíndricas
∇ · ~A = 1
r2
∂
∂r
(r2Ar) +
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θAθ) +
1
r sin θ
∂Aφ
∂φ
Coordenadas esféricas
Laplaciano (∇2)
Se puede definir como el producto punto de dos operadores nabla
∇ �∇ =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
︸ ︷︷ ︸
∇
�
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
︸ ︷︷ ︸
∇
=
∂
∂x
∂
∂x
+
∂
∂y
∂
∂y
+
∂
∂z
∂
∂z
=
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
= ∇2
∇2 = ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
C
Convierte el campo escalar F (x, y, z) en un escalar ∇2F (x, y, z)
∇2F = ∂
2F
∂x2
+
∂2F
∂y2
+
∂2F
∂z2
∇2 = 1
r
∂
∂r
(
r
∂
∂r
)
+
1
r2
∂2
∂φ2
+
∂2
∂z2
Coordenadas cilíndricas
Convierte el campo escalar F (r,φ, z) en un escalar ∇2F (r,φ, z)
∇2F = 1
r
∂
∂r
(
r
∂F
∂r
)
+
1
r2
∂2F
∂φ2
+
∂2F
∂z2
∇2 = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ ∂
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
∂2
∂φ2
Coordenadas esféricas
Convierte el campo escalar F (r, θ,φ) en un escalar ∇2F (r, θ,φ)
∇2F = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂F
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂∂θ
(
sin θ∂F
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
∂2F
∂φ2
40 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Rotor (∇×)
Este operador se puede interpretar como el producto “cruz” entre ∇ y ~A
∇× ~A =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
× (Axî+Ay ĵ +Az k̂)
=
(
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
)
î+
(
∂Ax
∂z
− ∂Az
∂x
)
ĵ +
(
∂Ay
∂x
− ∂Ax
∂y
)
k̂
el cual se puede colocar en forma de determinante
∇× ~A =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Coordenadas cartesianas
matemáticas del curso 41
PROBLEMAS
1.1 Dados los puntos M (−1, 2, 1),N(3,−3, 0) y P (−2,−3,−4). Encontrar (a) ~RMN ; (b) ~RMN + ~RMP ; (c)
|~rM |; (d) R̂MP ; (e) |2~rP − 3~rN |
Sol.: (a) 4î− 5ĵ − k̂; (b) 3î− 10ĵ − 6k̂; (c) 2.45; (d) −0.14î− 0.7ĵ − 0.7k̂; (e) 15.56
1.2 Encontrar el ángulo entre los vectores: ~a = î+ 2ĵ + 3k̂ y ~b = 2î+ 3~j + 4k̂
Sol.: 0.12 rad
1.3 Mostrar que los siguientes vectores forman los lados de un triangulo rectángulo:
~A = 2î− ĵ + k̂ ~B = î− 3ĵ − 5k̂ ~C = 3î− 4ĵ − 4k̂
1.4 Un campo vectorial ~S es expresado en coordenadas rectangulares como
~S(x, y, z) = 125
(x− 1)2 + (y− 2)2 + (z + 1)2
[
(x− 1)î+ (y− 2)ĵ + (z + 1)k̂
]
(a) Evaluar ~S en P (2, 4, 3). (b) Determinar un vector unitario que de la dirección de ~S en P . (c) Especificar la
superficie f(x, y, z) cuando
∣∣∣~S∣∣∣ = 1.
Sol.: (a) 5.95î+ 11.90ĵ + 23.8k̂; (b) 0.218î+ 0.436ĵ + 0.873k̂; (c)
√
(x− 1)2 + (y− 2)2 + (z + 1)2 = 125
1.5 Considere el campo vectorial ~G = yî− 2.5xĵ + 3k̂ y el punto Q(4, 5, 2). Encontrar (a) ~G(~rQ) (~G en Q);
(b) la componente escalar de ~G(~rQ) en la dirección ~a = 13 (2î+ ĵ − 2k̂); (c) la componente vectorial de ~G(~rQ)
en la dirección ~a; (d) el ángulo θ entre ~G(~rQ) y ~a.
Sol.: (a) ~G(~rQ) = 5î− 10ĵ + 3~k; (b) −2; (c) −1.333î− 0.667ĵ + 1.333k̂; (d) 99.9°
1.6 Los tres vértices de un triangulo están localizados en A(6,−1, 2), B(−2, 3,−4) y C(−3, 1, 5). Encontrar:
(a) ~RAB × ~RAC ; (b) Un vector unitario perpendicular al plano del triangulo.
Sol.: (a) 24î+ 78ĵ + 20k̂; (b) 0.286î+ 0.928ĵ + 0.238k̂
1.7 Demuestre que
d
dt
(~u � ~v) =
d~u
dt
� ~v+ ~u �
d~v
dt
1.8 El potencial electrostático producido por el momento dipolar ~µ localizado en el origen y dirigido a lo largo
del eje x está dado por
V (x, y, z) = µx
(x2 + y2 + z2)3/2
(x, y, z 6= 0)
Encontrar la expresión de campo eléctrico asociado a este potencial.
Sol.: ~E = î
[
3µx2
(x2+y2+z2)5/2
− µ
(x2+y2+z2)3/2
]
+ ĵ
[
3µxy
(x2+y2+z2)5/2
]
+ k̂
[
3µxz
(x2+y2+z2)5/2
]
1.9 Calcular la integral de línea de la función vectorial ~v = y2î+ 2x(y+ 1)ĵ desde el punto (1, 1, 0) al punto
(2, 2, 0), a lo largo de las trayectorias: (a) (1, 1, 0)→ (2, 1, 0)→ (2, 2, 0) y (b) (1, 1, 0)→ (2, 2, 0)
Sol.: (a) 11; (b) 10
CAPÍTULO2
Electrostática
Era muy conocido por los antiguos griegos que al frotar un trozo de
ámbar se “electrificaba” al ser frotado con piel y a la vez podía atraer
pequeños objetos. De hecho la palabra "electricidad" viene del vocablo
Griego ámbar (elektron).
En tiempos modernos, estamos acostumbrados a tratar con el término
electricidad. Las fuerzas eléctricas son las que sostienen el mundo mate-
rial. Estas fuerzas enlazan los electrones y núcleos para formar átomos,
a su vez los átomos son enlazados a otros átomos para formar moléculas.
El objetivo de la electrostática es estudiar las fuerzas y otros efectos
que se producen entre los cuerpos que poseen carga eléctrica en reposo,
además de los campos eléctricos que no cambian en el tiempo.
2.1 Carga eléctrica
¿Qué es la carga eléctrica?
Lo que podemos decir es que hay dos tipos de carga, las cuales se designan
como positiva (+) y negativa (−). Cuando frotamos una varilla de vidrio
contra un pedazo de seda, la varilla de vidrio queda “electrificada” o
“cargada” y llamamos a esa carga positiva. Ahora si frotamos una varilla
de goma contra un pedazo de piel, entonces la varilla queda con carga
negativa (Fig. 1.1).
Goma
Piel de gato
Vidrio
Seda
Figura 2.1: La varilla de goma queda
cargada negativamente al ser frotada
con piel. La varilla de vidrio queda car-
gada positivamente al ser frotada con
seda.
También se puede comprobar experimentalmente (Figura 2.2) que car-
gas iguales se repelen y cargas distintas se atraen.
¿Pero cual es el origen la carga eléctrica?
La materia está constituida de átomos. Cada átomo consiste de un núcleo,
que contiene protones y neutrones, y este núcleo está rodeado por un
44 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Goma
Goma
Vidrio
Goma
(a) (b)
Figura 2.2: Comprobación de que car-
gas iguales se atraen y cargas distintas
se repelen.
cierto número de electrones. La figura 2.3 muestra esquemáticamente un
átomo de Litio (Li). En el lado izquierdo está el átomo de litio neutro
(carga cero), que consiste en un núcleo de tres protones (+) y cuatro
neutrones (carga cero), y tres electrones (-) moviéndose alrededor del
núcleo. En el medio está el mismo átomo con un electrón de menos, por
lo tanto, el ion litio (Li+) tendrá una carga neta de +1e. En el lado
derecho se ha agregado un electrón al átomo y tendremos el ion (Li−)
con una carga en exceso de −1e.
Figura 2.3: Esquema de un átomo de li-
tio neutro Li y los iones Li− y Li+. Los
electrones no tienen trayectorias defini-
das así que las curvas azules en la fi-
gura sólo tienen carácter esquemático.
Sea positivo, done un electrón.
La fuerza de repulsión o atracción entre dos cuerpos cargados depende-
rá de la “cantidad neta de carga” que posean. Por carga neta se entiende
la carga en exceso (positiva o negativa) que un cuerpo posee comparado
con el mismo cuerpo neutro.
Carga positiva Carga neutra Carga negativa
Figura 2.4: Un cuerpo neutro posee
la misma cantidad de cargas negativas
que positivas. En un cuerpo con una
carga neta, alguno de los dos tipos de
cargas está en exceso.
electrostática 45
2.1.1 Cuantización de la carga
Los experimentos demuestran además que la carga está cuantizada.
Esto quiere decir que la carga viene en múltiplos enteros de una carga
elemental (e). Por ejemplo si un cuerpo tiene una carga neta Q, entonces
necesariamente se cumple que
Q = Ne
donde N = 1, 2, 3, · · · es un número entero y e es la carga fundamental,
que tiene un valor de 1.602× 10−19 C. Donde la unidad de carga es lla-
mada Coulomb (C). Esto quiere decir que no puede haber una carga más Coulomb (C) es la unidad de carga.
pequeña que 1.602× 10−19 C.
Notar que la unidad de carga eléctrica (1 Coulomb) es una cantidad
extremadamente grande, ya que son necesarios 6× 1018 electrones
para completar una carga de −1.0C. Por ejemplo, si dos cargas de
un Coulomb cada una están separadas un metro, entonces aplicando
la ley de Coulomb, la fuerza de repulsión es aproximadamente 9×
109 N. ¡Esto es alrededor de un millón de toneladas!.
Para darse una idea del tamaño de las partículas que constituyen un
átomo, se muestran en la tabla, las masas de los electrones, protones y
neutrones junto con sus respectivas cargas.
Partícula Masa (kg) Carga (C)
electrón 9.11× 10−31 −1.602× 10−19 (−e)
protón 1.673× 10−27 +1.602× 10−19 (+e)
neutrón 1.675× 10−27 0
Tabla 2.1: Masas y cargas de las partí-
culas que forman un átomo.
EJEMPLO 2.1: Carga de electrones
¿Cual es la carga total de 75.0 kg de electrones?
Solución: La masa de un electrón es 9.11× 10−31 kg, de tal manera que una masa M = 75.0 kg contiene
N =
M
me
=
75 kg
9.11× 10−31 kg = 8.3× 10
31electrones
La carga de de un electrón es −e = −1.602× 10−19 C, por lo tanto la carga de N electrones es
Q = N(−e) = 8.3× 1031 × (−1.602× 10−19 C) = −1.32× 1013 C
2.1.2 Ley de conservación de la carga
Esta ley establece que la carga neta de un sistema aislado permanece
constante.
Si un sistema parte con un número igual de cargas positivas y nega-
tivas, no se puede hacer nada para crear un exceso de carga negativa o
positiva en el sistema a menos que traigamos una carga desde afuera del
46 electromagnetismo fmf-241 (2014)
sistema (o quitar alguna carga del sistema). De la misma forma, si al-
gún sistema parte con una cierta carga neta (+ o -),por ejemplo +100e,
el sistema tendrá siempre +100e, a menos que se le permita al sistema
interactuar con el exterior.
2.1.3 Tipos de materiales
Las fuerzas entre dos objetos cargados pueden ser muy grandes. La
mayoría de los objetos son eléctricamente neutros; tienen igual cantidad
de cargas positivas que negativas.
Los metales son buenos conductores de carga eléctrica, mientras que
los plásticos, madera, y goma no lo son (se les llama aislantes). La carga
no fluye muy fácilmente en los aislantes comparado con los metales.
Los materiales están divididos en tres categorías, dependiendo cuan
fácilmente permitan el flujo de carga (ej. electrones) a los largo de ellos.
Estos son: Tipos de materiales.
Conductores - por ejemplo los metales.
Semiconductores - el silicio es un buen ejemplo.
Aisladores - por ejemplo: goma, madera, plástico.
2.1.4 Modos de cargar un objeto
Hay tres maneras de cargar un objeto. Estas son:
1. Por fricción: esto es útil para cargar aisladores.
2. Por conducción: es útil para cargar metales y otros conductores. Si un
objeto cargado toca a un conductor, una cantidad de carga será trans-
ferida entre el objeto y el conductor, de tal manera que el conductor
quedará cargado con el mismo signo que la carga del objeto.
3. Por inducción: también es útil para cargar metales y otros conductores.
La figura de abajo muestra un ejemplo de como cargar una esfera
metálica por el método de inducción:
(a) (b) (c)
(d) (e)
Tierra
Figura 2.5: (a) Una esfera conductora
y aislada. (b) Se acerca una barra car-
gada negativamente y las cargas en la
esfera se polarizan, pero la esfera sigue
siendo neutra. (c) Se conecta un cable a
tierra y las cargas negativas fluyen ha-
cia la tierra. (d) Se desconecta el cable
y la esfera queda cargada positivamen-
te y la tierra negativamente. (d) Se ale-
ja la barra y las cargas positivas en la
esfera se distribuyen uniformemente en
su superficie.
electrostática 47
2.2 Ley de Coulomb
Charles Coulomb (1736–1806) se las arregló para medir las magnitudes de
las fuerzas eléctricas entre dos objetos cargados. Coulomb confirmó que
la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos pequeñas esferas cargadas es
proporcional al inverso del cuadrado de la distancia de separación r, es
decir
F ∝ 1/r2
si las cargas son q1 y q2, entonces la magnitud de la fuerza está dada por:
Figura 2.6: La fuerza de atracción entre
dos cargas depende de la separación de
las dos cargas.
F = ke
|q1| |q2|
r2
donde ke es llamada la constante de Coulomb:
ke = 8.9875× 109 N.m2/C2
también esta constante se puede expresar como
ke =
1
4π�0
donde �0 = 8.8542×10−12 C2/N.m2 es la permitividad del espacio
vacío.
La ley de Coulomb es válida cuando dos objetos cargados actúan
como cargas puntuales. Una esfera conductora cargada interactúa
con otro objeto cargado como si toda la carga estuviera concentrada
en el centro de la esfera.
Ahora, sabemos que la fuerza es un vector, así que la forma correcta
de formular la ley de Coulomb en forma vectorial es1 1 El vector r̂12 apunta de “1” a “2” y
el símbolo ~F12 significa “fuerza 1 sobre
2”, pero en otros libros de texto la fuer-
za sobre la carga q2 también se escribe
simplemente ~F2.
~F12 = ke
q1q2
r2
r̂12
Según la figura 2.7-(a), r̂12 es un vector unitario que apunta desde la
carga q1 a la q2 y ~F12 es la fuerza sobre la carga q2 debido a la carga q1.
Puesto que esta fuerza debe obedecer al la tercera ley de Newton entonces
debe cumplirse que ~F12 = −~F21
~F12 = ke
q1q2
r2
r̂12 = −~F21
(a) (b)
Figura 2.7: Repulsión y atracción de
dos cargas. El vector unitario r̂12 apun-
ta en la dirección de la fuerza que ejerce
q1 sobre q2. En ambos casos se cumple
la tercera ley de Newton ~F12 = −~F21.
En otros libros de texto la forma vectorial de la ley de Coulomb es como
sigue: si ~r1 es el vector posición de la carga q1 y ~r2 es el vector posición
de la carga q2, entonces las distancia entre las cargas está dada por el
módulo del vector ~r12 = ~r2 − ~r1 (ver figura 2.8), así la fuerza de la carga
q1 sobre la q2 es
~F12 = ke
q1q2
r212
r̂12
48 electromagnetismo fmf-241 (2014)
la escribimos
~F12 = ke
q1q2
r212
~r12
r12
donde hemos reemplazado el vector unitario2 r̂12 por ~r12r12 y r12 = |~r12| =
2 Recordar que para obtener un vector
unitario que apunte en la dirección de
~A, debemos dividir ese vector por su
módulo, es decir  = ~A|A|
|~r2 − ~r1|. Así podemos expresar la fuerza en diferentes formas:
~F12 = ke
q1q2
|~r2 − ~r1|2
~r12
|~r2 − ~r1|
= ke
q1q2
|~r2 − ~r1|3
~r12 = keq1q2
~r2 − ~r1
|~r2 − ~r1|3
Adoptamos la expresión siguiente por ser la más usada:
~F12 = keq1q2
~r2 − ~r1
|~r2 − ~r1|3
(2.1)
Figura 2.8: La posición de las cargas en
función de los vectores de posición.
pregunta:
¿Quién descubrió la ley de Coulomb?
respuesta:
¡Sorpresa! NO fue Charles Coulomb; ¡fue Henry Cavendish!. Henry
Cavendish (1731–1810) fue un científico brillante, pero también era muy
retraído, solitario, misógino y excéntrico. También fue el primero en de-
terminar el valor de la constante de gravitación universal (G). El des-
cubrió que el agua es un compuesto molecular y no un elemento (como
se pensaba). El también determinó la ley de fuerzas para cargas eléctri-
cas (F = kq1q2/R2). Sin embargo, Cavendish raramente publicaba sus
hallazgos. Así que años más tarde, fue Coulomb quien recibió todos los
créditos al descubrir la ley de fuerza eléctrica.
electrostática 49
EJEMPLO 2.2
Fuerza sobre la carga 2
Las cargas y coordenadas de dos partículas fijas
en el plano xy son: q1 = +3.0µC, x1 = 3.5 cm,
y1 = 0.5 cm, y q2 = −4.0µC, x2 = −2.0 cm,
y2 = 1.5 cm. Encontrar la magnitud y dirección
de la fuerza electrostática sobre q2.
Solución: De acuerdo al esquema, claramente q2
será atraída por q1. Primeramente, encontramos
la distancia entre los dos puntos:
r =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
=
√
(−2.0− 3.5)2 + (1.5− 0.50)2
= 5.59 cm=5.59×10−2 m
luego encontramos la magnitud de la fuerza sobre q2
F = ke
|q1| |q2|
r2
=
(
8.9× 109 N.m
2
C2
)
(3.0× 10−6 C)(4.0× 10−6 C)
(5.59× 10−2 m)2 = 34N
Puesto que q2 es atraída por q1, la dirección de la fuerza es la misma que el vector ~r que apunta de q2 hacia
q1. Ese vector es:
~r = ~r21 = (x1 − x2)î+ (y1 − y2)ĵ = (5.5 cm)î+ (−1.0 cm)ĵ
y su dirección (ángulo formado con el eje x):
θ = arctan
(
−1.0
+5.5
)
= −10.3◦
La fuerza en forma vectorial se escribe:
~F = F r̂21 = 34N×
(5.5)î+ (−1.0)ĵ
5.59 = (33.45î− 6.08ĵ) N
otra forma: Habiendo calculado la magnitud
de la fuerza, es más fácil obtener el vector fuerza
considerando el ángulo α de la figura. Sabemos
que la fuerza va en la dirección de ~r21, entonces
expresamos ~F en función de sus componentes:
~F = F cosα î−F sinα~j
Notar que hemos colocado un signo menos en la
componente y de la fuerza porque eso lo sabemos
50 electromagnetismo fmf-241 (2014)
de la figura. A partir del gráfico obtenemos
~F = 34× 5.55.59 î− 34×
1.0
5.59 ĵ
= (33.45î− 6.08ĵ) N
Notar que en la solución hemos usado los valores absolutos de las cargas y la dirección de la fuerza la
hemos determinado “a mano”. Puesto que nos están pidiendo ~F12, podemos resolver este problema en
forma alternativa usando
~F12 = ke
q1q2
r3
~r12
Primero obtenemos ~r12
~r12 = (−5.5 cm)î+ (1.0 cm)ĵ = (−5.5× 10−2 m)î+ (1.0× 10−2 m)ĵ
Además r3 = (5.59× 10−2 m)3 = 1.746× 10−4 m3 entonces
~F12 =
(
8.9× 109 N.m
2
C2
)
(3.0× 10−6 C)(−4.0× 10−6 C)
1.746× 10−4 m3
(
−5.5× 10−2 m î+ 1.0× 10−2 m ĵ
)
= 33.5 î− 6.1 ĵ
Aquí hemos dejado que las matemáticas funcionen, pues hemos usado las cargas con sus respectivos
signos y no hemos hecho ninguna consideración acerca de la dirección de la fuerza.
EJEMPLO 2.3
Dos esferas pequeñas cargadas tienen una carga total combinada de 5.0× 10−5 C. Si las esferas se repelen
con una fuerza electrostática de 1.0N, cuando las esferas están a una distancia de separación de 2.0m, ¿Cual
es la carga de cada esfera?
Solución: Sean q1 y q2 las dos cargas. La condición dada es que la carga combinada (suma) sea
q1 + q2 = 5.0×10−5 C (?)
dela ecuación
F12 = ke
q1q2
r2
⇒ q1q2 =
F12r2
ke
q1q2 =
(1.0N)(2.0m)2
8.9 109 N.m2C2
= 4.449× 10−10 C2
Combinado esta expresión con (?) obtenemos
q21 − (5.0×10−5 C)q1 + 4.449× 10−10 C2 = 0
Esta es una ecuación de segundo grado en q1
q1 = 5.0×10−5 ±
√
(5.0×10−5)− 4(4.449× 10−10)
2 =
3.84××10−5 C1.16××10−5 C
La solución para q2 sale de (?)
q2 = 5.0×10−5 C− q1
electrostática 51
Tenemos dos valores para q1. Probamos con q1 = 3.84××10−5 C
q2 = 5.0×10−5 C− 3.84××10−5 C = 1.16C
y con q1 = 1.16××10−5 C
q2 = 5.0×10−5 C− 1.16××10−5 C = 3.84C
Ambos son las misma solución. La respuesta es que las cargas son 1.16C y 3.84C.
EJEMPLO 2.4
Una cierta carga Q es dividida en dos partes q y (Q− q), las cuales están separadas por una cierta distancia.
¿Cual debe ser el valor de q en términos de Q para que la fuerza de repulsión sea máxima entre las dos
cargas?
Solución: Si suponemos que la distancia entre las dos cargas es r entonces la magnitud de la fuerza es:
F = ke
|q| |Q− q|
r2
sabemos que q y Q tienen el mismo signo, así que podemos omitir los valores absolutos y asegurarnos de que
F sea positiva
F = ke
q(Q− q)
r2
= ke
qQ− q2
r2
para encontrar el valor de q que hace máxima esta repulsión derivamos F con respecto a q e igualamos a
cero:
dF
dq
= ke
Q− 2q
r2
= 0
ecuación que tiene como solución q = Q/2. Es decir, la máxima repulsión es cuando dividimos Q por la
mitad.
52 electromagnetismo fmf-241 (2014)
2.3 Principio de Superposición
¿Que pasa si tenemos muchas cargas y queremos calcular al fuerza
ejercida sobre una de ellas debido al resto de las cargas?
La ley de Coulomb se aplica a cada par de cargas puntuales. Cuando
dos o más cargas están presentes, la fuerza neta sobre cualquiera de las
cargas es simplemente la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre esa
carga por el resto de las cargas. Por ejemplo si tenemos 3 cargas, la fuerza
resultante (~F3) sobre la carga q3 debido a q1 y q2 será La fuerza sobre q3 es la suma de las
otras dos cargas sobre ella.
~F3 = ~F13 + ~F23
En general si tenemos N cargas, entonces la fuerza sobre i-ésima carga
debido al resto de las cargas es3 3 La expresión j 6= i significa sumar so-
bre todos los valores de j excepto cuan-
do j = i.
~Fi = keqi
N∑
j 6=i
qj
r2ji
r̂ji = keqi
N∑
j 6=i
qj
r3ji
~rji
Otra forma de expresar lo anterior es en función de las posiciones de las
cargas
~Fi = keqi
N∑
j 6=i
qj
~ri − ~rj∣∣~ri − ~rj∣∣3
EJEMPLO 2.5
Tres cargas están configuradas de acuerdo a la figura. Encontrar al fuerza
sobre la carga q3 asumiendo que q1 = 6.0× 10−6 C, q2 = −q1 = −6.0×
10−6 C, q3 = +3.0× 10−6 C y a = 2.0× 10−1 m.
Solución: Usando el principio de superposición, la fuerza sobre q3 es
~F3 = ~F13 + ~F23 = ke
(
q1q3
r213
r̂13 +
q2q3
r223
r̂23
)
la tarea “complicada” aquí es encontrar los vectores unitarios r̂13 y r̂23.
De acuerdo a la figura, el vector ~r13 apunta desde la carga q1 hacia la
carga q3:
~r13 =
√
2a cos θî+
√
2a sin θĵ
así, si dividimos este vector por su módulo (
√
2a) obtenemos el vector unitario r̂13
r̂13 = cos θî+ sin θĵ =
√
2
2 (î+ ĵ)
puesto que cos θ = sin θ =
√
2
2 . El vector r̂23 es más fácil, pues éste apunta en la dirección positiva de x:
r̂23 = î
Así la fuerza total es:
~F3 = ke
q1q3
r213
√
2
2 (î+ ĵ) + ke
q2q3
r223
î
electrostática 53
y sabiendo que r13 =
√
2a y r23 = a, obtendremos finalmente:
~F3 =
keq1q3
(
√
2a)2
√
2
2 (î+ ĵ) +
keq2q3
a2
î =
keq1q3
a2
√
2
4 (î+ ĵ) +
keq2q3
a2
î
Si reemplazamos los valores numéricos, obtendremos ~F3 (en unidades de Newton):
~F3 = −2.615î+ 1.429ĵ
La magnitud de ~F3 es
√
(−2.615)2 + 1.4292 ≈ 3.0N.
Una forma alternativa de resolver este problema es primero calcular las magnitudes de cada una de las
las fuerzas F = ke |Q1||Q2|r2 y luego calcular sus componentes.
EJEMPLO 2.6
Ahora un problema más difícil. En la figura se muestran dos cargas positivas
+q y una carga negativa −Q que puede moverse libremente y que se encuentra
inicialmente en reposo. Si las dos cargas q están fijas:
a) Determinar el periodo de movimiento de la carga −Q.
Solución: puesto que las dos cargas positivas atraen a −Q, esta carga se des-
plazará a lo largo del eje x. Una vez que pase hacia el lado negativo, volverá
a ser atraída hacia el lado positivo, y así sucesivamente, de manera que −Q
comenzará a moverse de una lado para otro describiendo un movimiento osci-
latorio.
La magnitud de la fuerza ejercida por una de las cargas q sobre −Q será
FqQ = ke
qQ
r2
donde r =
√
x2 + (d/2)2. Puesto que por simetría la fuerza resultante, debido a las dos cargas q, será en la
dirección horizontal, debemos entonces calcular la componente horizontal de FqQ
Fx = FqQ cos θ = ke
qQ
r2
cos θ
donde θ es el ángulo entre la línea qQ y el eje horizontal, es decir cos θ = xr =
x√
x2+(d/2)2
Fx = ke
qQ
r2
x
r
= ke
qQ
x2 + (d/2)2
x√
x2 + (d/2)2
= ke
qQx
(x2 + (d/2)2)3/2
pero, en la expresión anterior Fx es la fuerza debido a una sola carga, por lo tanto, la magnitud de la fuerza
total sobre −Q será el doble
2ke
qQx
(x2 + (d/2)2)3/2
Ahora, para describir el movimiento de −Q, usamos la segunda ley de Newton (F = ma = md2x
dt2 )
2ke
qQx
(x2 + (d/2)2)3/2
= −md
2x
dt2
donde m es la masa de −Q y se ha introducido el signo (−) debido que la fuerza sobre la carga −Q actúa
como restauradora (como en un resorte). Lamentablemente esta es una ecuación diferencial difícil de resolver,
54 electromagnetismo fmf-241 (2014)
pero podemos hacer una aproximación razonable si suponemos que x es pequeño comparado con d (x� d),
entonces
(
x2 + (d/2)2
)3/2 es aproximadamente igual (0+(d/2)2)3/2 = (d/2)3, por lo tanto podemos escribir
16keqQx
d3
= −md
2x
dt2
⇒ d
2x
dt2
+
16keqQx
md3
= 0
Si definimos ω2 = 16keqQ
md3 , nuestra ecuación queda:
d2x
dt2
+ ω2x = 0
Esta es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico, cuya solución se conoce y el periodo T = 2π/ω
T =
2π
ω
=
π
2
√
md3
keqQ
b) ¿Cual será la rapidez de −Q cuando esté en el punto medio de las dos cargas q, si inicialmente es soltada
a una distancia a� d desde el centro?
Solución: La rapidez será máxima en el punto medio de oscilación y está dada por
vmax = ωA
donde A es la amplitud máxima que en este caso es a
vmax = ωa =
√
16keqQ
md3
a = 4a
√
keqQ
md3
electrostática 55
2.4 Campo eléctrico
La presencia de una carga eléctrica produce una fuerza sobre todas las
otras cargas presentes. La fuerza eléctrica produce una “acción a distan-
cia”; los objetos cargados pueden influenciar a otros sin tocarlos.
Figura 2.9: La presencia de una carga
produce perturbaciones a su alrededor.
Viendo la figura 2.9, la ley de Coulomb nos permite calcular la fuerza
ejercida por la carga q2 sobre la q1. Si acercamos la carga q2 hacia q1
entonces la magnitud de la fuerza sobre q1 se incrementará. Sin embargo,
este cambio no ocurre instantáneamente (ninguna señal se puede propagar
más rápidamente que la luz). La cargas ejercen una fuerza sobre las otras
mediante perturbaciones que ellas generan en el espacio que las rodean.
Estas perturbaciones se llaman campos eléctricos. Cada objeto cargado
genera un campo eléctrico que influencia el espacio alrededor.
Figura 2.10: Una carga de prueba q0 en
presencia del campo eléctrico generado
por la carga Q.
El campo eléctrico ~E generado por una carga Q puede ser medido po-
niendo una carga de prueba q0 en alguna posición (ver figura 2.10). La car-
ga de prueba “sentirá” una fuerza eléctrica de magnitud F = keq0Q/r2.
Entonces se define el campo eléctrico ~E a una distancia r de la carga Q
como
~E ≡
~F
q0
Definición de campo eléctrico.
2.4.1 Campo eléctrico de cargas puntuales
Queremos encontrar el campo eléctrico ejercido por una carga puntual
positiva q. Como en la figuras 2.11 y 2.12, si ponemos una carga de prueba
q0 a una distancia r de q, la fuerza sobre q0 es
~F = ke
qq0
r2
r̂
(a) (b)
Figura 2.11: Si q > 0, la carga de prue-
ba será repelida y en el punto P habrá
un campo eléctrico en la misma direc-
ción que ~F .
(a) (b)
Figura 2.12:Si q < 0, la carga de prue-
ba será atraída y en el punto P habrá
un campo eléctrico en la misma direc-
ción que ~F .
entonces, de acuerdo a la definición, ~E = ~F/q0
56 electromagnetismo fmf-241 (2014)
~E = ke
q
r2
r̂
Es más conveniente escribir la formula anterior en función de radios
vectores. Si tenemos una carga qi con radio vector ~ri el campo eléctrico
generado por qi en la posición ~r es:
~E(~r) = keqi
~r− ~ri
|~r− ~ri|3
La unidad de campo eléctrico debería ser fuerza por unidad de carga
(N/C), pero por razones que se explicarán más adelante la unidad elegida
es V/m (Volt/metro).
En la definición anterior se supone que las cargas que generan el
campo permanecen fijas en su posición cuando se acerca la carga de
prueba q0. Para evitar perturbaciones a estas cargas, se usan cargas
de prueba muy pequeñas. De hecho, ~E se puede definir en forma
operacional:
~E = ĺım
q0→0
~F
q0
El principio de superposición también es aplicable al campo eléctrico.
Dado un conjunto de cargas puntuales q1,q2,q3 . . . qN , el campo eléctrico
en un punto P de espacio localizado a distancias r1,r2,r3 . . . rN de las
cargas, está dado por:
~E = ~E1 + ~E2 + ~E3 + · · · ~EN =
N∑
i=1
~Ei = ke
N∑
i=1
qi
r2i
r̂i
De forma similar a como se definió en la ecuación 2.1, ahora si tenemos
N cargas q1,q2,q3 . . . qN con vectores posición ~r1,~r2,~r3 . . . ~rN entonces el
campo eléctrico ~E en un punto situado en ~r será
~E = ke
N∑
i=1
qi
~r− ~ri
|~r− ~ri|3
(2.2)
2.4.2 Lineas de fuerza de cargas puntuales
Figura 2.13: Líneas de fuerza para los
dos tipos de cargas puntuales.
Para representar la naturaleza vectorial del campo eléctrico, es convenien-
te tratar de visualizarlo mediante lineas de fuerza de campo eléctrico. En
vez de dibujar una infinidad de flechas de vectores en el espacio que ro-
dea a la carga, es quizás más útil dibujar un patrón de algunas líneas que
parten de la carga y se extienden hasta el infinito. Estas líneas, también
llamadas lineas de campo eléctrico, apuntan en la dirección que aceleraría
una carga de prueba positiva colocada en esa línea.
electrostática 57
Es decir, las líneas se alejan desde una carga positiva y se acercan
hacia una carga negativa. Un diagrama como el anterior podría incluir
un infinito número de líneas, pero por razones de visualización se limita
el número de ellas.
Hay dos reglas para las líneas de campo:
1. La dirección del campo eléctrico es, en todas partes, tangente a las
líneas de campo y van en el sentido de las flechas en las líneas.
Figura 2.14: La densidad de líneas es
una indicación de la magnitud del cam-
po eléctrico.
2. La magnitud del campo es proporcional al número de líneas de cam-
po por unidad de área que pasan a través de una pequeña superficie
normal a las líneas. En el caso de las cargas puntuales, la magnitud
del campo eléctrico es mayor cerca de la carga (hay mayor densidad
de líneas). La figura 2.14 muestra un ejemplo donde un campo eléctri-
co penetra dos superficies. La magnitud del campo eléctrico es mayor
en la superficie A (hay mayor densidad de líneas por unidad de área
atravesando la superficie) que en la B.
En la figura 2.15 se muestra una carga puntual y donde se ve que magni-
tud del campo eléctrico disminuye con la distancia y también se ve que
la cantidad de líneas de campo que atraviesan la misma área disminuye.
A A
A
Figura 2.15: La magnitud del campo
eléctrico disminuye en la proporción
1/r2 con la distancia r. La densidad de
líneas que atraviesan una misma área
también disminuye .
Las lineas de campo correspondientes a dos cargas puntuales idénticas
se muestran en la figura 2.16. A la izquierda se muestran dos cargas
positivas y a la derecha una carga positiva y otra negativa:
Figura 2.16: Líneas de campo de dos
cargas puntuales.
58 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Finalmente la figura 2.17 muestra una carga puntual y las líneas de
campo eléctrico en presencia de tres conductores (ver sección 3.10). Los
conductores (neutros) se polarizan y como consecuencia se producen li-
neas de campo eléctrico debido a los conductores.
−+
− − −−−−−−
+
+
+ + + + + +
−−
−
−
−
−
+ + +
−
−
+
+
+
+
+
−
−−−− − − −
+ + + + ++
+
Figura 2.17: Líneas de campo de una
carga puntual en presencia de tres
conductores. La configuración produce
además una polarización electrostática
en los conductores, los que a su vez ge-
neran campos eléctricos.
De acuerdo a la regla 2, el campo eléctrico es tangente a las líneas de
campo (Fig. 2.18) y sabiendo cuales son las componentes de ~E en todo el
espacio, podríamos obtener la ecuaciones, z = f(x, y), que describen las
curvas, sabiendo que la condición es:
Figura 2.18: El campo ~E en cualquier
punto es tangente a las líneas de campo.
dy
dx
=
Ey
Ex
EJEMPLO 2.7
Encontrar la ecuación de la streamline que pasa a través del punto P (1, 4,−2), si el campo está dado por:
~E = −8xy î+ 4
x2
y2 ĵ
Solución: sabemos que dydx =
Ey
Ex
, es decir
dy
dx
=
Ey
Ex
=
4x2
y2
−8xy
= − x2y
o sea 2ydy = −xdx la cual se integra:
y2
2 = −
x2
2 +C
la constante se encuentra con la condición que la curva debe pasar por P (1, 4,−2), dando como resultado
C = 33/2, así la ecuación resulta ser una elipse:
2y2 + x2 = 33
2.5 Distribuciones continuas de carga
Hasta el momento hemos vivido en el maravilloso mundo de las car-
gas puntuales (o distribuciones discretas de cargas). Como ya sabemos la
carga está siempre cuantizada, donde la cantidad más pequeña de carga
es 1.602× 10−19 C. El espacio total cubierto por cualquier carga es muy
pequeño comparado con la distancia entre dos cargas. Hasta el momento
electrostática 59
hemos idealizado la situación y hemos supuesto que la carga puntual ocu-
pa la extensión de un punto (volumen cero). Sin embargo en la realidad
los cuerpos cargados ocupan un volumen finito y no pueden ser conside-
rados como un punto.
Figura 2.19: Campo eléctrico en P ge-
nerado por una carga puntual en una
distribución continua de carga.
En una distribución de carga continua, todas las cargas están muy
próximas las unas a las otras. Supongamos que tenemos un volumen
como en la figura 2.19 y queremos calcular ~E en el punto P exterior.
Tomamos un elemento de volumen ∆V con carga ∆q, entonces el campo
en el punto P debido a esta pequeña carga es:
∆ ~E = ke
∆q
r2
r̂
donde r es la distancia desde el elemento de carga ∆q al punto P . Ahora,
si nos imaginamos que dividimos el volumen total en muchos “cubitos”
de volumen ∆V , el campo en P será aproximadamente igual a la suma
de pequeñas contribuciones:
~E ≈ ke
∑ ∆qi
r2i
r̂i
para una distribución continua debemos hacer ∆qi → 0 (∆qi → dq)
~E = ke ĺım
∆qi→0
∑ ∆qi
r2i
r̂i = ke
ˆ
dq
r2
r̂
~E = ke
ˆ
dq
r2
r̂
2.5.1 Densidades de carga
En la práctica es conveniente describir la distribución de cargas en
función de densidades de carga , pues la carga puede estar distribuida en
una línea, superficie o volumen.
Densidad volumétrica de carga ρ = ĺım∆V→0 ∆q∆V
C
m3
Densidad superficial de carga σ = ĺım∆S→0 ∆q∆S
C
m2
Densidad lineal de carga λ = ĺım∆l→0 ∆q∆l
C
m
En el caso de que, por ejemplo, ρ sea uniforme
ρ =
q
V
donde q es la carga total y V el volumen total de la distribución.
La forma analítica de las distribuciones de carga se pueden usar para
encontrar la carga total. Por ejemplo, puesto que dq = ρdV , se integra y
se obtiene
q =
ˆ
V
ρdV
60 electromagnetismo fmf-241 (2014)
aquí ρ es variable, así que no puede salir fuera de la integral. Similarmente,
para una distribución superficial y una lineal:
q =
ˆ
S
σdS ó q =
ˆ
L
λdl
Así el campo eléctrico puede escribirse, por ejemplo, en función de ρ
~E = ke
ˆ
vol
r̂
ρ
r2
dv
Mediante vectores de posición, r̂ = ~r−~r′|~r−~r′| y r
2 = |~r− ~r′|2, entonces la
expresión anterior queda:
~E(~r) = ke
ˆ
vol
ρ(~r′)dv′
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
EJEMPLO 2.8
Encontrar la carga total contendida en el cilindro de la figura, sa-
biendo que la densidad de carga está dada por ρ(z, r) = −5.0 ×
10−6e−105rz C/m2, es decir, la densidad volumétrica depende de lacoordenada z y de la distancia, r, desde el eje del cilindro.
Solución: estrictamente Q viene dado por:
Q =
ˆ
cilindro
ρdV
Puesto que la simetría es cilíndrica, es conveniente usar coordenadas
cilíndricas. El elemento de volumen (en coordenadas cilíndricas) es
dV = rdrdφdz
Q =
ˆ
ρ(z, r)rdrdφdz =
0.04ˆ
0.02
2πˆ
0
0.01ˆ
0
−5.0× 10−6e−105rzrdrdφdz
donde hemos puesto los límites de integración de acuerdo al tamaño del cilindro (en metros). Notar que
ρ(r, z) no depende de φ. Si integramos en φ nos queda un factor de 2π
Q =
0.04ˆ
0.02
0.01ˆ
0
−10−5πe−105rzrdrdφdz
al integrar ahora con respecto a z queda
Q =
0.01ˆ
0
(
−10−5π
−105�r
e−10
5rz
�rdr
)z=0.04
z=0.02
=
0.01ˆ
0
−10−10π(e−2000r − e−4000r)dr
Q = −10−10π
(
e−2000r
−2000 −
e−4000r
−400
)0.01
0
≈ −0.0785 pC
donde pC indica pico-Coulomb. 1pC = 10−12 C.
electrostática 61
EJEMPLO 2.9
Una distribución continua de carga es definida como ρ = (x2 + y2 + z2)5/2 de distribuye en la región 0 ≤
x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 y 0 ≤ z ≤ 1 y es cero en el resto del espacio. Encontrar el campo eléctrico en el origen.
Solución: La región en claramente un cubo y además la densidad de carga no es uniforme. La expresión
general de ~E para el campo eléctrico en P (x, y, z) cuyo radio vector es ~r = xî+ yĵ + zk̂
~E(~r) = ke
ˆ
vol
ρ(~r′)dV ′
~r− ~r′∣∣∣~r− ~r′∣∣∣3
En nuestro caso ~r = 0 (el origen), además ~r − ~r′ = −(x′î+ y′ĵ + z′k̂), |~r− ~r′|3 = (x′2 + y′2 + z′2)3/2 y
ρ(~r′) = (x′2 + y′2 + z′2)5/2 por lo tanto
~E(0) = ke
ˆ
vol
(x′2 + y′2 + z′2)5/2dx′dy′dz′
−(x′̂i+ y′ĵ + z′k̂)
(x′2 + y′2 + z′2)3/2
donde dV ′ = dx′dy′dz′ es el elemento de volumen. Ahora ponemos los límites de integración y además, por
comodidad nos olvidamos de los prima
~E(0) = −ke
ˆ 1
0
ˆ 1
0
ˆ 1
0
(x2 + y2 + z2)5/2dxdydz
(xî+ yĵ + zk̂)
(x2 + y2 + z2)3/2
= −ke
ˆ 1
0
ˆ 1
0
ˆ 1
0
(x2 + y2 + z2)(xî+ yĵ + zk̂)dxdydz
Por la simetría de la expresión anterior, cada una de las componentes de ~E(0) tendrá la misma magnitud.
Así calculamos Ex
Ex = −ke
ˆ 1
0
ˆ 1
0
ˆ 1
0
(x2 + y2 + z2)xdxdydz
= −ke
ˆ 1
0
ˆ 1
0
ˆ 1
0
(x3 + xy2 + xz2)dxdydz
= −ke
ˆ 1
0
ˆ 1
0
[
x4
4 +
x2
2 y
2 +
x2
2 z
2
]1
0
dydz = −ke
ˆ 1
0
ˆ 1
0
(
1
4 +
1
2y
2 +
1
2z
2)dydz
= −ke
ˆ 1
0
[
1
4y+
1
6y
3 +
1
2z
2y
]1
0
dz = −ke
ˆ 1
0
(
1
4 +
1
6 +
1
2z
2)dz
= −ke
[
1
4z +
1
6z +
1
6z
3
]1
0
= −ke(
1
4 +
1
6 +
1
6 )
= −9× 109 × 712
por lo tanto Ex = Ey = Ez = −5.25× 109 N/C y
~E(0) = −5.25× 109(−î− ĵ − k̂) [N/C]
La magnitud de ~E es
√
(−5.25)2 + (−5.25)2 + (−5.25)2 × 109 = 9.1× 109 N/C y ~E estará dirigido en la
dirección (−î− ĵ − k̂).
62 electromagnetismo fmf-241 (2014)
2.5.2 Trabajo efectuado por el campo eléctrico
Supongamos que tenemos un campo eléctrico ~E y necesitamos calcular
el trabajo hecho por ~E para mover una carga q desde A hasta B. La fuerza
sobre q es q ~E, y el trabajo está dado por la integral de línea
Figura 2.20: El campo eléctrico efectúa
un trabajo para mover la carga q de A
hasta B.
W = q
ˆ B
A
~E � d~l
Un caso especial lo constituye cuando el campo eléctrico es uniforme,
puesto que éste puede salir fuera de la integral:
W = q
ˆ B
A
~E � d~l = q ~E �
(ˆ B
A
d~l
)
En la figura 2.21 se ilustran tres posibles trayectorias para evaluar la
integral de línea
´ B
A d
~l. Aceptando, por ahora, que el campo eléctrico es
un campo conservativo, el resultado de la integral de línea no depende de
la trayectoria, así que elegimos el camino directo A-B A
B
Figura 2.21: Trabajo efectuado por
un campo eléctrico uniforme. Como el
campo es conservativo, el trabajo no
depende de la trayectoria.
W = q ~E �
ˆ B
A
d~l = q ~E � ~L = qEL cos θ
Finalmente si la trayectoria es paralela al campo, el trabajo será
W = qEL
EJEMPLO 2.10
Consideremos el campo eléctrico ~E = yĵ. Determinar el trabajo hecho por el campo eléctrico para mover
una carga de 3µC desde el punto A(0, 0, 0) hasta B(1, 1, 0) a través de la trayectoria dada por la parábola
y = x2.
Solución: para calcular la integral W = q
´ B
A
~E � d~l debemos tener en cuenta que para un punto arbitrario
(x, y, 0)
d~l = dxî+ dyĵ
y puesto que dy = 2xdx
d~l = dxî+ 2xdxĵ
el valor de ~E � d~l en el punto (x, y, 0) es
~E � d~l = yĵ · (dxî+ 2xdxĵ)
= x2ĵ · (dxî+ 2xdxĵ)
= 2x2dx
luego el trabajo requerido es
WAB = q
ˆ B
A
~E � d~l = 3× 10−6
ˆ (1,1,0)
(0,0,0)
2x3dx = 3× 10−6
[
2x
4
4
](1,1,0)
(0,0,0)
= 1.5µJ
electrostática 63
2.5.3 Cálculo de campos por integración directa
A continuación algunos problemas de cálculo de campo eléctrico debido
a distribuciones continuas de carga. Estos son ejemplos que aparecen en
todos los libro de texto, pero que son muy ilustrativos.
EJEMPLO 2.11: Campo producido por una barra cargada
Una barra de longitud L y densidad lineal positiva de carga λ.
Calcular el campo eléctrico en un punto P sobre el eje x a una
distancia x0 de uno de los extremos de la barra.
Solución: Visualizamos la situación de acuerdo a la figura. Como λ
es positiva, el campo eléctrico apuntará hacia la izquierda. Tomamos
un pequeño segmento dx′ de la barra que llevará una carga dq. El campo eléctrico debido a esta carga
infinitesimal en el punto P es d ~E. La densidad de carga lineal es uniforme y está dada por λ = Q/L, donde
Q es la carga total (¡pero no es un dato del problema!), por lo tanto el campo es
d ~E = −ke
dq
x′2
î
Recordar que el campo apunta hacia la izquierda (de ahí el signo −). Si reemplazamos dq = λdx′
d ~E = −ke
λdx′
x′2
î
para encontrar ~E debemos integrar en los límites de la barra:
~E = −ke
x0+Lˆ
x0
λdx′
x′2
î = −keλ
x0+Lˆ
x0
dx′
x′2
î = −keλ
(
− 1
x
)x0+L
x0
î = −keλ(
1
x0
− 1
x0 + L
)î = −keλ
L
x0(x0 + L)
î
la magnitud de ~E es:
E = keλ
L
x0(x0 + L)
Notar que si en vez de λ se hubiera dado Q, entonces
E = ke
Q
l
L
x0(x0 + L)
= ke
Q
x0(x0 + L)
Si el punto P está muy alejado del extremo de la barra, entonces x0 � L y x0 + L ≈ x0
E ≈ ke
Q
x20
que no es otra cosa que la magnitud del campo eléctrico de una carga puntual.
64 electromagnetismo fmf-241 (2014)
EJEMPLO 2.12: Anillo cargado uniformemente
En la figura el anillo tiene una carga uniforme total Q y hay que en-
contrar el campo eléctrico en un punto de eje z.
Solución: Lo primero que hay que preguntarse es: ¿Cual es la dirección
de ~E?. Por simetría debería apuntar en la dirección positiva del eje z.
En el dibujo hemos elegido un elemento de carga dq de tal manera que
el campo en el punto P es d ~E. Pero al otro lado del anillo hay otro
elemento de carga que generará un campo eléctrico de igual magnitud
en el punto P de tal manera que el campo total en P deberá ser la suma
de los dos campos. Si analizamos las componentes de estos campos,
veremos que las componentes horizontales (paralelas al plano xy) se
van a cancelar y solamente las componentes paralelas al eje z van a
sobrevivir. Así podemos decir a priori que el campo eléctrico en P debe apuntar hacia +z.
dEz = dE cos θ = ke
dq
r2
cos θ = keλRdφ
′
R2 + z2
z√
R2 + z2
=
kezλRdφ
′
(R2 + z2)3/2
donde hemos usado el hecho que la longitud de arco Rdφ′ lleva una carga dq y la distancia del elemento
de carga al punto P es r =
√
R2 + z2. El campo entonces depende de una sola variable de integración
0 ≤ φ′ ≤ 2π
Ez =
2πˆ
0
kezλRdφ
′
(R2 + z2)3/2
=
kezλR
(R2 + z2)3/2
2πˆ
0
dφ′ =
kezλR
(R2 + z2)3/2
2π
La expresión anterior no es totalmente correcta, pues la densidad λ no se conoce y se usó solamente como
una variable auxiliar. Pero sabemos que λ = Q/2πR, así que
Ez =
kezλR
(R2 + z2)3/2
2π =
kez
Q
2πRR
(R2 + z2)3/2
2π = keQz
(R2 + z2)3/2
Notar que el campo eléctrico es cero en el centro (z = 0). Si z está muy alejado del centro del anillo
entonces R2 + z2 ≈ z2 y Ez ≈ keQ/z2 y el anillo se comporta como una carga puntual.
electrostática 65
EJEMPLO 2.13: Alambres finitos e infinitos
Una alambre no conductor de longitud l , densidad de carga uniforme λ y carga total Q se extiende a lo largo
del eje x (ver figura). Calcular el campo eléctrico en un punto P , localizadoa una distancia y del centro del
alambre.
Solución: Según la figura de la izquierda, la contribución al campo eléctrico en P debido al elemento de
línea dx′ que lleva una carga dq = λdx′ es
dE = ke
dq
r′2
=
keλdx
′
x′2 + y2
Ahora debemos usar argumentos de simetría para resolver este problema más fácilmente. De acuerdo a la
figura de la derecha la componente horizontal del campo en P debe anularse porque dado un elemento de
carga dq en x′ > 0, existe otro dq en x′ < 0. Por lo tanto el campo resultante debe apuntar en la dirección
de y. La magnitud de d ~Ey será
dEy = dE cosϕ =
keλdx
′
x′2 + y2
y√
x′2 + y2
=
keλydx
′
(x′2 + y2)3/2
que queda expresada en términos de la única variable x′. Integramos:
Ey = keλy
L/2ˆ
−L/2
dx′
(x′2 + y)3/2
= 2keλy
L/2ˆ
0
dx′
(x′2 + y)3/2
Esta no es una integral fácil; la podemos buscar en una tabla de integrales, o hacer el cambio de variables:
x′ = y tanϕ ⇒ dx′ = y sec2 ϕdϕ
y al sustituir:
Ey = 2keλy
sin θ
y2
= 2keλ
sin θ
y
= 2ke
λ
y
L/2√
y2 + (L/2)2
alambre finito
Partiendo de este resultado podemos calcular el campo debido a un alambre infinito. Solo debemos hacer
θ → π ó L→∞
Ey =
2keλ
y
alambre infinito
66 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Podemos hacer una variación de este problema y resolver mediante vectores de posición, usando
d ~E(~r) = kedq
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
con ~r = yĵ y ~r′ = xî de tal forma que ~r− ~r′ = yĵ − xî y |~r− ~r′| =
√
x2 + y2
d ~E(~r) = kedq
yĵ − xî
(x2 + y2)3/2
Aquí vamos a integrar entre −∞ y +∞ para obtener el resultado del alambra infinito. Poniendo dq = λdx
~E(~r) = keλ
+∞ˆ
−∞
dx
yĵ − xî
(x2 + y2)3/2
= keλ

+∞ˆ
−∞
yĵdx
(x2 + y2)3/2
−
+∞ˆ
−∞
xdxî
(x2 + y2)3/2︸ ︷︷ ︸
0

La integral del lado derecho es cero, pues el argumento es una función impar. Así que el campo es
~E(~r) = keλyĵ
+∞ˆ
−∞
dx
(x2 + y2)3/2
= 2keλyĵ
+∞ˆ
0
dx
(x2 + y2)3/2
=
2keλ
y
ĵ
La integral anterior es la misma que resolvimos anteriormente, así que no es necesario repetirla.
Así que nuevamente hemos obtenido el campo eléctrico. La diferencia es que con este método no tuvimos
la necesidad de recurrir a argumentos de simetría y la componente x se anuló naturalmente.
EJEMPLO 2.14: Plano infinito
Imaginemos un plano infinito que coincide con el plano yz y que tiene una densidad superficial uniforme de
carga σ y queremos calcular el campo en un punto P (x, 0, 0), es decir a una distancia x del plano (el plano
coincide con la hoja).
Solución: En la figura de la izquierda las líneas de campo son perpendiculares al plano (Ey = Ez = 0) y
además la magnitud del campo será independiente de las coordenadas y y z. Es por eso que hemos elegido en
forma arbitraria, en la figura de la derecha, el punto P a lo largo del eje x. Elegimos convenientemente una
cinta de ancho dy′ y largo infinito que llevará una carga dq. Esta cinta está a una distancia R =
√
x2 + y′2
de P . Para todos los efectos, esta cinta es un “alambre” infinito con carga dq. En el ejemplo anterior vimos
electrostática 67
que el campo eléctrico a una distancia r de un alambre infinito con densidad de carga λ era:
Eal =
2keλ
r
aplicando esta fórmula a nuestro caso, la magnitud del campo eléctrico debido a la cinta (alambre) infinita
es
dEx = dEcos θ =
2keλ′
R
cos θ
¿Porqué el cos θ? Porque el ~E total tiene solo componente x.
Debemos hacer notar que λ′ sería la densidad lineal de carga de la cinta, pero lamentablemente λ′ no se
conoce. Podemos solucionar esto recordando que σ = Q′/A y λ′ = Q′/L. A es el área de un rectángulo de
ancho dy′ y largo L (A = Ldy′). Por lo tanto podemos deducir que λ′ = σdy′
dEx =
2keσdy′
R
cos θ = 2keσdy
′√
x2 + y′2
x√
x2 + y′2
= 2keσx
dy′
x2 + y′2
Ese es el campo de una cinta. Si sumamos el efecto de todas cintas (son infinitas), obtenemos
Ex =
+∞ˆ
−∞
2keσx
dy′
x2 + y′2
= 2keσ
+∞ˆ
−∞
xdy′
x2 + y′2
esta integral es “conocida”:
´ xdy′
x2+y′2 = arctan(y
′/x). Finalmente
Ex = 2keσ
[
arctan(y
′
x
)
]+∞
−∞
= 2keσ(
π
2 − (−
π
2 )) = 2keσπ
sustituyendo ke = 14π�0 obtenemos la conocida fórmula
Ex =
σ
2�0
que es independiente de la distancia x al plano.
EJEMPLO 2.15: Disco cargado
Un disco cargado uniformemente de radio R con carga total Q yace en el plano xy. Encontrar el campo
eléctrico en un punto P a lo largo de eje z cono se muestra en la figura.
Solución: En la figura de la izquierda, elegimos convenientemente un elemento de carga dq contenido en un
anillo de ancho infinitesimal (dr′). Cualquier punto del anillo se encuentra a una distancia r del punto P . La
simetría del problema nos dice que el campo eléctrico apunta en la dirección +z. El anillo lleva una carga
dq = σ(2πr′dr′).
68 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Por otro lado, la figura de la derecha es un anillo de radio R y cargado uniformemente con carga total
Q, y de acuerdo al problema 2.12 el campo eléctrico a una distancia z del centro es:
Ez =
keQz
(R2 + z2)3/2
Si aplicamos el resultado anterior a nuestro anillo de radio r′ y carga dq = σ(2πrdr′), obtenemos dEz:
dEz =
keσ(2πr′dr′)z
(r′2 + z2)3/2
para obtener el campo eléctrico total, integramos desde r′ = 0 hasta r′ = R
Ez = keσπz
R̂
0
2r′dr′
(r′2 + z2)3/2
= keσπz(−2)
[
1√
r′2 + z2
]R
0
= −2keσπz(
1√
R2 + z2
− 1
|z|
)
⇒ Ez =
σ
2�0
(
z
|z|
− z√
R2 + z2
)
Con los dos posibles valores de |z| existen dos soluciones:
Ez =

σ
2�0
[
1− z√
R2+z2
]
, z > 0
σ
2�0
[
−1− z√
R2+z2
]
, z < 0
Es interesante analizar el resultado anterior a grandes distancias, es decir z � R. Expandimos en serie
el término 1− z√
R2+z2
, aprovechando el hecho de que R/z es pequeño. Efectivamente, si x � 1, la
expansión en serie (1+ x)n = 1+ nx+ n(n− 1)x2 + · · · puede ser cortada y (1+ x)n ≈ 1+ nx, lo cual
permite aproximar
Ez ≈
σ
2�0
1
2
R2
z2
=
Q
πR2
4�0
R2
z2
=
1
4π�0
Q
z2
= ke
Q
z2
que tiene la forma del campo eléctrico de una carga puntual.
Si el radio del disco es muy grande, entonces podríamos usar este resultado para obtener el campo
eléctrico de un plano infinito.
Eplano = ĺım
R→∞
Edisco = ĺım
R→∞
σ
2�0
[
1− z√
R2 + z2
]
=
σ
2�0
que constituye una forma muchísimo más simple de resolver el problema. ¿Acaso un plano infinito
no es lo mismo que un disco de radio infinito?
electrostática 69
2.5.4 Fuerza eléctrica entre distribuciones
Fuerza eléctrica entre una distribución y una carga puntual
Supongamos que tenemos una distribución continua de carga ocupando
un volumen V ′ y queremos calcular la fuerza que este objeto o distribución
ejerce sobre una carga puntual q localizada en un punto de vector posición
~r.
Figura 2.22: Una carga q en presencia
de una distribución de cargas.
Ya sabemos calcular el campo eléctrico debido a una distribución con-
tinua de carga, así que calcular la fuerza sobre la carga puntual q es
simple:
d ~Fq = qd ~E = qkeρ(~r′)dV
′ ~r− ~r′
|~r− ~r′|3
de tal manera que la fuerza total sobre q debido a la distribución de
cargas, se obtiene por integración
~Fq = keq
ˆ
V ′
ρ(~r′)
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
dV ′
Fuerza eléctrica entre dos distribuciones
La idea es encontrar la fuerza que la distribución de carga de volumen V ′
efectúa sobre la distribución de carga de volumen V . En la figura tenemos
un elemento de carga dq y volumen dV . La fuerza sobre dq es debido al
campo eléctrico ~E(~r) generado por V ′
Figura 2.23: Una distribución V en pre-
sencia de otra distribución V ′.
d~F = dq ~E(~r)
donde
~E(~r) = ke
ˆ
V ′
ρ(~r′)
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
dV ′
Al integrar, la fuerza sobre la distribución de volumen V es:
~F =
ˆ
V
~E(~r)dq =
ˆ
V
~E(~r)ρ(~r)dV
EJEMPLO 2.16
Tenemos dos segmentos de longitud L1 y L2 y cargas Q1 y Q2 respectivamente. Calcular la fuerza eléctrica
sobre el segmento de la derecha debido al de la izquierda.
Solución: Primero recordemos un problema anterior donde se pedía calcular el campo eléctrico en un punto
P tal como se muestra en la figura
la magnitud del campo eléctrico era
E = ke
Q
x0(x0 + L)
y va dirigido hacia la derecha si Q > 0.
70 electromagnetismofmf-241 (2014)
Aplicamos este resultado para resolver este problema. En la figura siguiente el elemento de longitud dx
lleva una carga dq = λ2dx y el campo ~E es debido al segmento de la izquierda
y cuya magnitud es:
E = ke
Q1
(d+ x)(d+ x+ L1)
entonces la magnitud de la fuerza sobre la carga dq es dqE
dF = dqke
Q1
(d+ x)(d+ x+ L1)
= keλ2dx
Q1
(d+ x)(d+ x+ L1)
así
F = keλ2Q1
L2ˆ
0
dx
(d+ x)(d+ x+ L1)
La integral la podemos encontrar en una tabla
´
dx
(d+x)(d+x+L1)
= 1L1 ln(d+ x)−
1
L1
ln(d+ x+L1). Entonces
F = keλ2Q1
1
L1
[ln(d+ L2)− ln(d+ L2 + L1)− ln(d) + ln(d+ L1)]
juntando términos
F = keλ2Q1
1
L1
[
ln
(
d+ L1
d
)
− ln
(
d+ L2 + L1
d+ L2
)]
como λ2 = Q2/L2, la fuerza entre los dos segmentos es
F = keQ2Q1
1
L1L2
[
ln
(
d+ L1
d
)
− ln
(
d+ L2 + L1
d+ L2
)]
Es interesante analizar que pasa cuando los dos segmentos están muy alejados, es decir d es mucho mayor
que los segmentos L1 y L2. Para eso expresamos el resultado anterior como:
F = keQ2Q1
1
L1L2
[
ln
(
1 + L1
d
)
− ln
(
1 + L1
d+ L2
)]
puesto que d � L1,L2, entonces L1d y
L1
d+L2
son términos pequeños y usamos aproximación para el
logaritmo ln (1 + x) = x− 12x2 +
1
3x
3 + · · · cuando |x| � 1. Nosotros usaremos esta aproximación a
primer orden:
ln
(
1 + L1
d
)
− ln
(
1 + L1
d+ L2
)
≈ L1
d
−
(
L1
d+ L2
)
= L1
(
1
d
− 1
d+ L2
)
= L
d+ L2 − d
d(d+ L2)
=
L1L2
d(d+ L2)
si nuevamente aproximamos d+ L2 ≈ d, la expresión anterior se reduce a L1L2d2 de tal manera que
F ≈ keQ2Q1
1
L1L2
L1L2
d2
= ke
Q2Q1
d2
lo que corresponde a la fuerza Coulombiana entre dos cargas puntuales separadas por una distancia d.
electrostática 71
EJEMPLO 2.17
Un alambre infinito está compuesto por dos alambres semi-infinitos con densidades de carga lineal λ > 0 y
−λ < 0, como se muestra en la figura. Calcule la fuerza que el alambre infinito ejerce sobre la barra vertical
de largo L y que tiene una densidad lineal de carga λ > 0.
Solución: Vamos a resolver este problema, calculando primero, el campo eléctrico debido a la barra infinita
en cualquier punto en un eje vertical que pase por el origen de coordenadas O. Notemos que el campo eléctrico
a una altura y sobre el centro del alambre, producido por la sección derecha e izquierda son vectores con
componentes verticales de igual magnitud pero de sentido opuesto. Estas componentes se anulan, por lo tanto
el campo resultante tiene dirección −x y es el resultado de considerar dos veces la componente horizontal del
campo producido por el lado derecho del alambre (ver figura de abajo).
Sabiendo que ~r = yĵ y ~r′ = x′î , el campo generado por un elemento de longitud de la sección derecha es
d ~Ed =
1
4π�0
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
dq =
1
4π�0
yĵ − x′î
(x′2 + y2)3/2
dq
con dq = +λdx′ integramos para obtener ~Ed.
~Ed =
1
4π�0
+∞ˆ
0
yĵ − x′î
(x′2 + y2)3/2
λdx′
Pero el campo total, ~E, está dado por dos veces la componente horizontal de ~Ed
72 electromagnetismo fmf-241 (2014)
~E = 2× 14π�0
+∞ˆ
0
−x′î
(x′2 + y2)3/2
λdx′
Después de integrar el resultado final es:
~E(y) = − λ2π�0y
î
El signo es compatible con la dirección del campo. Con este campo en cualquier posición del eje y estamos
en condiciones de calcular la fuerza sobre la barra vertical de largo L.
d~F (y) = dq ~E(y)
donde dq = λdy es un elemento de carga de la barra vertical. Entonces
d~F (y) = − λ2π�0y
λdyî
La barra vertical se extiende entre L y 2L. Por lo tanto la fuerza total sobre la barra es
~F = − λ
2
2π�0
2Lˆ
L
dy
y
î =
(
− λ
2
2π�0
ln 2
)
î
electrostática 73
2.6 Flujo eléctrico
Ya hemos visto que los campos eléctricos pueden ser representados
geométricamente mediante las líneas de campo eléctrico. Ya vimos que
las líneas indican la dirección del campo eléctrico y las densidad de las
líneas indican la magnitud del campo.
Vamos a introducir una nueva cantidad matemática llamada flujo de
campo eléctrico, la cual medirá el número de líneas que pasan a través
de una superficie.
Figura 2.24: Líneas de campo eléctrico
uniforme atravesando en forma perpen-
dicular a una superficie de área A.
Para ilustrar el concepto, consideremos un campo eléctrico uniforme
~E y que es perpendicular a una superficie de área A tal como muestra la
figura anterior. Queremos definir una cantidad que de cuenta del número
de líneas de campo que atraviesan esa superficie. Usamos la letra Φ para
definir el flujo eléctrico (un escalar)
Φ ≡ EA
es decir, Φ es simplemente la magnitud del campo uniforme multiplicado
por el área. Esta es la definición más sencilla de flujo eléctrico. Las unidad
se desprende fácilmente de la definición: [Φ] =
[
N
C .m2
]
.
Ahora consideremos el mismo campo eléctrico uniforme ~E y suponga-
mos que la superficie está inclinada en un ángulo θ como se muestra en
la figura 2.25. Claramente el número de líneas atravesando el área A será
menor (el flujo será menor). El área efectiva que “verá” el campo será
A′ = A cos θ, entonces el flujo es
Normal
Figura 2.25: Las líneas de campo que
atraviesan la superficie disminuye de-
bido a la inclinación del plano.
Φ = EA′ = EA cos θ
De esta expresión, vemos que el flujo será máximo cuando θ = 0 y se-
ra mínimo (cero) cuando θ = π/2. Pero la expresión anterior se puede
escribir como un producto punto
Φ = ~E � ~A
donde ~A es un vector perpendicular a la superficie y de magnitud A. A
veces también es conveniente escribir lo anterior como
Φ = A~E n̂
donde n̂ es un vector unitario perpendicular a la superficie, de tal manera
que ~A = An̂. Poco flujo Mucho flujo
Figura 2.26: Analogía para ilustrar la
disminución de “flujo solar” debido a
la inclinación de los paneles solares.
Una manera de ilustrar lo anterior es mediante una analogía con pane-
les solares. En la figura 2.26 los dos paneles tienen exactamente la misma
área y el brillo del sol es exactamente el mismo en ambos paneles. Lo que
hace la diferencia es el ángulo de incidencia. En el panel de la derecha los
rayos del sol son perpendiculares a la superficie y por lo tanto el flujo es
mayor.
La definición de flujo puede aplicarse a cualquier campo vectorial. Por
ejemplo, supongamos que tenemos un campo vectorial que represente
74 electromagnetismo fmf-241 (2014)
el movimiento de un fluido. Este campo vectorial lo denotamos por ~v
sea y se mide en centímetros por segundo. Si ~A es el área orientada, en
centímetros cuadrados, de una superficie sumergida en el agua (ver figura
2.27), entonces las unidades de ~v � ~A son
cm
s × cm
2 =
cm3
s
es decir, volumen por unidad de tiempo.
°
Fluido
Figura 2.27: El flujo a través de la figu-
ra de área ~A es ~v � ~A.Si ~v es la velocidad
de un fluido, el flujo es el volumen de
fluido que atraviesa la figura, por uni-
dad de tiempo.
Consideremos el caso general, donde ~E no es uniforme y atra-
viesa una superficie sin simetría como se muestra en la figura:
Aquí hemos dibujado un vector d ~A perpendicular a un elemento de
área infinitesimal dA. El campo eléctrico d ~E atraviesa la superficie in-
finitesimal formando un ángulo θ con ella. El “flujito” a través de esta
superficie es:
Figura 2.28: Un elemento de superficie
d ~A atravesado por el campo eléctrico.
El flujo a través de d ~A es dΦ = ~E � d ~A
dΦ = ~E � d ~A
para obtener el flujo total integramos a través de la superficie
Φ =
ˆ
S
~E � d ~A
Esta es una integral de superficie, que puede ser complicada si la superficie
es irregular.
Hay que notar que la superficie puede ser abierta o cerrada. En el caso
de una superficie cerrada el flujo se anota:
Φ =
˛
S
~E � d ~A
En una superficie cerrada, el flujo puede ser positivo, negativo o cero.
El flujo puede definirse de manera alternativa, recordando el
teorema de la divergencia4 para campos vectoriales, donde podemos re- 4 Ver sección 1.4, donde para un campo
vectorial ~G se cumple:
ˆ
V
(∇ � ~G)dv =
˛
S
~G � d ~A
emplazar la integral de superficie
¸
S
~E � d ~A por una integral de volumen:
Forma alternativa de flujo.Φ =
˛
V
(∇ � ~E)dv
electrostática 75
Un caso especial es cuando dentro dela superficie cerrada no hay
ninguna carga. Si tenemos un campo eléctrico cualquiera, que atra-
viesa esa superficie, entonces el número de líneas que entran en esa
superficie es igual al número de líneas que salen de ella.
De ese modo, el flujo neto (número de lineas neto) será cero, no
importando la naturaleza del campo que atraviesa la superficie.
EJEMPLO 2.18
Ejemplo para ilustrar la idea anterior: dado un campo eléc-
trico uniforme calcular el flujo a través de la superficie de
un cubo.
Solución: Como se puede ver en la figura el campo eléctri-
co es uniforme. El flujo total a través del cubo es la suma
del flujo a través de cada cara:
Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 + Φ5 + Φ6
Φ =
ˆ
S1
~E � d ~A+
ˆ
S2
~E � d ~A+ · · ·+
ˆ
S6
~E � d ~A
Notar que en las caras 1, 2, 5 y 6 el campo eléctrico es, en todas partes, perpendicular a la superficie, en otras
palabras ~E es perpendicular al vector normal d ~A, por lo tanto ~E � d ~A = 0. Eso significa que el flujo a través
de estas caras es cero. Solo nos queda analizar las caras 3 y 4. En la cara 4 el campo eléctrico es paralelo a
d ~A4, por lo tanto ~E � d ~A4 = E cos 0A4 = EdA4. Por otro lado en la cara 3 el campo y d ~A3 están opuestos y
forman un ángulo de 180° entre si. En este caso ~E � d ~A3 = E cos 180°dA3 = −EdA3. El flujo total es entonces:
Φ = 0 + 0 +
ˆ
S3
−EdA3 +
ˆ
S4
EdA4 + 0 + 0 = −E
ˆ
S3
dA3 +E
ˆ
S4
dA4 = −EA+EA = 0
76 electromagnetismo fmf-241 (2014)
EJEMPLO 2.19: Flujo a través de una semi-esfera
entrando
Vista desde abajo
Ahora tenemos un hemisferio de radio R que es
atravesado por un campo eléctrico uniforme como
se muestra en la figura. Encontrar el flujo eléctrico.
Solución: Queremos encontrar
´
S
~E � d ~A donde
~E = Ek̂ y d ~A = dAr̂, donde r̂ es un vector uni-
tario radial. En coordenadas esféricas el elemento
de área es dA = R2 sin θdφdθ
Φ =
ˆ
S
k̂ � r̂R2E sin θdφdθ = ER2
ˆ
S
k̂ � r̂ sin θdφdθ
además el ángulo entre k̂ y r̂ es θ, así que k̂ � r̂ =
cos θ
Φ = ER2
ˆ
S
cos θ sin θdφdθ
Φ = ER2
π/2ˆ
0
cos θ sin θdθ
2πˆ
0
dφ = 2πER2
π/2ˆ
0
cos θ sin θdθ
finalmente:
Φ = 2πER2
[
sin2 θ
2
]π/2
0
= EπR2
El flujo resultó ser el área de un circulo de radio R multiplicado por la magnitud del campo eléctrico.
Pero esa área no es otra cosa que el área proyectada perpendicular al campo eléctrico.
¿Cual será entonces el flujo total a través de una esfera? (no hay cargas en el interior)
Solución: este es otro ejemplo del flujo a través de una su-
perficie cerrada. El flujo es cero, pues si dividimos la esfera en
dos hemisferios, el flujo por el hemisferio de abajo será −EπR2
(las líneas entran en la superficie) mientras que por el otro será
+EπR2 (las líneas abandonan la superficie), es decir la suma
es cero.
electrostática 77
EJEMPLO 2.20: Flujo mediante dos métodos
Un cilindro de radio a está en presencia de un campo eléctrico dado por
~E = E0
{
xî+ yĵ + (z2 − 1)k̂
}
donde E0 es constante. Evaluar el flujo de ~E a través de la superficie de dos maneras.
Primero por integración directa y luego usando el teorema de la divergencia.
Solución:
(1) Integración directa: En la tapa de abajo z = 0 y el elemento de área apunta en
la dirección −z
ˆ
~E � d ~A =
ˆ
E0
{
xî+ yĵ + (02 − 1)k̂
}
� (−dAk̂) = E0
ˆ {
−k̂
}
� (−dAk̂) = E0πa2
En la tapa de arriba, z = 1, el elemento de área apunta en la dirección +z, el campo eléctrico se reduce a
~E = E0
{
xî+ yĵ
}
y por lo tanto
ˆ
~E � d ~A =
ˆ
E0
{
xî+ yĵ
}
� (+dAk̂) = 0
En el manto del cilindro usamos coordenadas cilíndricas para expresar el elemento diferencial de área
d ~A = adφdzr̂
ˆ
~E � d ~A =
ˆ
E0
{
xî+ yĵ + (z2 − 1)k̂
}
� (adφdzr̂)
Ahora tenemos una mezcla de coordenadas cilíndricas y cartesianas. Podemos resolver esto si expresamos el
vector unitario r̂ en función de los vectores unitarios en coordenadas cartesianas (ver capitulo 1):
r̂ = cosφî+ sinφĵ
ˆ
~E � d ~A =
ˆ
E0
{
xî+ yĵ + (z2 − 1)k̂
}
� (cosφî+ sinφĵ)adφdz
= E0a
ˆ
{x cosφ+ y sinφ} dφdz
= E0a
ˆ
(a cosφ cosφ+ a sinφ sinφ)dφdz
= E0a
ˆ
a(cos2 φ+ sin2 φ)dφdz
= E0a
2
ˆ 1
0
ˆ 2π
0
dφdz = 2πE0a2
Donde hemos usado la equivalencia entre coordenadas cartesianas y cilíndricas (x = a cosφ; y = a sinφ).
Sumando los tres resultados anteriores, el flujo total es
ˆ
~E � d ~A = 3πE0a2
(2) La divergencia de ~E es
∇ � ~E = E0(2 + 2z)
78 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Sabiendo que el elemento de volumen en coordenadas cilíndricas es dv = rdφdzdr, el flujo es
˛
V
(∇ � ~E)dv =
˛
V
(E0(2 + 2z)rdφdzdr
= E0
ˆ a
0
rdr
ˆ 2π
0
dφ
ˆ 1
0
(2 + 2z)dz
= 3πE0a2
Obtuvimos el mismo resultado.
Otro caso especial es cuando el campo eléctrico es uniforme, de tal
manera que puede salir fuera de la integral
Φ =
ˆ
S
~E � d ~A =
ˆ
S
EdA cos θ = E
ˆ
S
dA cos θ
es más, si el campo eléctrico es perpendicular a la superficie θ = 0 y
así recobramos la definición básica de flujo eléctrico:
Φ = E
ˆ
S
dA cos 0 = E
ˆ
S
dA = EA
Un tercer caso especial es cuando tenemos cargas (o distribución de cargas) encerradas dentro de una
superficie cerrada. Consideremos los 4 casos de la figura de abajo:
1. La carga +q generará un campo eléctrico cuyas líneas atravesarán la superficie. Supongamos que el flujo
a través de la superficie es +Φ, es decir las líneas abandonan la superficie.
2. Aquí hay una carga que es el doble que la anterior, por lo tanto el flujo será el doble, +2Φ (el doble de
líneas atraviesan la superficie).
3. Tenemos una carga negativa, así que las líneas de campo entran a la superficie, por lo tanto el flujo es
−Φ.
4. En este caso la carga neta encerrada es cero (+q − q). El flujo es cero, pues el número de lineas que
entran es igual al número líneas que salen (Φ = 0).
electrostática 79
EJEMPLO 2.21
Otro ejemplo: Supongamos que tenemos una carga +q en el centro de una esfera
de radio r. ¿Cual es el flujo a través de la esfera?
Respuesta: Aquí hay algo muy importante que notar. Puesto que ~E está en todas
partes apuntando radialmente hacia afuera, y el vector d ~A en cualquier parte sobre
la esfera también apunta radialmente, entonces en cualquier elemento de área dA,
~E y d ~A son paralelos (ver figura).
Ya sabemos que el campo eléctrico generado por una carga q a una distancia r
es ~E = ke qr2 r̂. Entonces como Φ =
´
S
~E � d ~A, tenemos
Φ =
ˆ
Esfera
ke
q
r2
r̂ � d ~A =
keq
r2
ˆ
Esfera
r̂ � d ~A
donde hemos sacado a r y a q fuera de la integral, pues son constantes en este caso. Además como r̂ � d ~A = dA
Φ =
keq
r2
ˆ
Esfera
dA = ke
q
r2
4πr2 = 14π�0
q4πr2
r2
=
q
�0
Este es un importante resultado, pues demostraremos más adelante, que el flujo siempre vale q/�0, no im-
portando la superficie elegida. Notar además que el resultado NO depende de r.
EJEMPLO 2.22
El último ejemplo antes de ver la Ley de Gauss. Tenemos una superficie cúbica de
lado a y en el centro hay una carga positiva q. Calcular el flujo a través de una de
las caras del cubo.
Solución: de acuerdo a la figura vamos a calcular el flujo a través de la cara
derecha. El origen de coordenadas se encuentra en el centro del cubo y el cubo se
extiende entre −a/2 y +a/2 en las tres direcciones. El vector ~r va desde el origen
al elemento de área dA. El flujo es:
Φ =
ˆ
Cara
~E � d ~A
Puesto que el cubo tiene lado a y la carga está en el centro, cualquier punto de la cara derecha tiene
coordenadas (x, a/2, z). Por otro lado el campo eléctrico en el elemento de área dA debido a la carga puntual
es ~E = ke qr2 r̂. Donde r̂ =
~r
r =
xŷ+ a2 ĵ+zk̂
r y r =
√
x2 + z2 + (a/2)2.
El vector d ~A es perpendicular a la cara y se puede escribir como d ~A = dAĵ = dxdzĵ. Por lo tanto
~E � d ~A =
keq
r2
(
xŷ+ a2 ĵ + zk̂
r
)
� dAĵ = keq
a
2
dA
r3
= keq
a
2
dxdz
(x2 + z2 + (a/2)2) 3/2
El flujo resulta de calcular la doble integral:
Φ = keq
a
2
ˆ a/2
−a/2
ˆ a/2
−a/2
dxdz
(x2 + z2 + a2/4) 3/2
= keq
a
2
ˆ a/2
−a/2
[ˆ a/2
−a/2
dx
(x2 + z2 + a2/4) 3/2
]
dz
80 electromagnetismo fmf-241 (2014)
podemos encontrar la integral entre paréntesis en una tabla:
ˆ a/2
−a/2
dx
(x2 + z2+ a2/4) 3/2
=
4a
(a2 + 4z2)
√
a2/2 + z2
al sustituir calculamos otra integral más difícil
Φ = keq
a
2
ˆ a/2
−a/2
4a
(a2 + 4z2)
√
a2/2 + z2
dz = keq
a
2
4π
3a =
1
4π�0
q
a
2
4π
3a =
1
6
q
�0
El flujo resultó ser 16
q
�0
. Si ahora queremos calcular el flujo a través de las 6 caras del cubo obtenemos
Φ = q�0 . Este resultado es el mismo que para una carga encerrada en una esfera (ver ejemplo anterior).
Esto nos hace sospechar que tal vez el resultado sea independiente de la superficie elegida. En efecto,
esta es una ley llamada Ley de Gauss.
electrostática 81
2.7 La ley de Gauss
La ley de Gauss es una de las leyes elementales del electromagnetis-
mo que viene de la observación experimental y que también puede ser
demostrada matemáticamente.5 En los dos ejemplos anteriores ya vimos 5 La demostración rigurosa de la ley de
Gauss no la veremos en este curso.un adelanto de esta ley.
2.7.1 Forma integral de la ley de Gauss
el flujo eléctrico total a través de una superficie es
igual a la carga encerrada dividido por la permitividad. Ley de Gauss.
Si el medio donde está la carga es el vacío, entonces la permitividad
es �0
Φ =
qenc
�0
La carga neta encerrada, qenc, puede ser cualquier distribución de carga
y no necesariamente cargas puntuales. El flujo además es independiente
de la superficie cerrada. En su forma integral Forma integral de la ley de Gauss
Φ =
˛
S
~E � d ~A =
qenc
�0
La superficie S se llama superficie Gaussiana y es una superficie imagi-
naria que sirve para calcular la integral de superficie
¸
S
~E � d ~A. Como la
integral es independiente de S, entonces podemos escoger la superficie
más conveniente con el objetivo de facilitar el cálculo de la integral.
En la figura siguiente tenemos una distribución de cargas encerradas
dentro de tres superficies Gaussianas, S1,S2 y S3
Distribución
de cargas
Figura 2.29: Una distribución de cargas
encerrada por varias superficies. Notar
que algunas líneas salen y otras entran
a través de las superficies.
Notar que las líneas de campo eléctrico salen y entran a través de
las tres superficies, pues las cargas pueden ser positivas o negativas.6 6 En efecto podría ocurrir que la carga
total positiva sea igual a la carga total
negativa. En ese caso la carga neta
sería cero y por lo tanto el flujo es
cero.
El teorema de Gauss dice que el flujo a través de cualquiera de estas
superficies es el mismo:
El flujo es independiente de la superfi-
cie elegida.
Φ =
˛
S1
~E � d ~A =
˛
S2
~E � d ~A =
˛
S3
~E � d ~A =
qenc
�0
82 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Calcular el flujo eléctrico mediante la ley de Gauss puede ser bastante
más fácil que mediante integración directa. Por otro lado, la aplicación
de la ley de Gauss está limitada a problemas donde haya un cierto grado
de simetría de la distribución de carga.
2.7.2 Forma diferencial de la ley de Gauss
A veces es conveniente escribir la ley de Gauss en su forma diferencial.
Partamos por la expresión:
˛
S
~E � d ~A =
qenc
�0
Sea V es el volumen que encerrado por la superficie S. Si ρ(~r) es la
densidad de carga, entonces la carga encerrada se obtiene
qenc =
ˆ
V
ρ(~r)dV
por lo tanto: ˛
S
~E � d ~A =
1
�0
ˆ
V
ρ(~r)dV (2.3)
Usando el teorema de la divergencia7 podemos reemplazar la integral 7 Ver sección 1.4, donde para un campo
vectorial ~G se cumple:
ˆ
V
(∇ � ~G)dv =
˛
S
~G � d ~A
de superficie en 2.3 por una integral de volumen:
˛
V
(∇ � ~E)dV = 1
�0
ˆ
V
ρ(~r)dV
Si pasamos todo bajo una sola integral
˛
V
(
∇ � ~E − 1
�0
ρ(~r)
)
dV = 0
Esta integral es cero dado cualquier volumen V , así que la única alterna-
tiva para que la integral sea nula es que el integrando sea siempre cero.
De esto obtenemos la forma diferencial de la ley de Gauss Forma diferencial de la ley de Gauss.
∇ � ~E = 1
�0
ρ(~r)
Recordemos la interpretación de la divergencia de un campo vectorial
que vimos en la sección 1.2.2. En el caso del campo eléctrico, la interpre-
tación es la misma.
∇ � ~E = ĺım
∆V→0
¸
S
~E � d ~A
∆V
∇ � ~E es una medida del flujo del campo eléctrico ~E a través de una región
infinitesimal del espacio. Es decir la divergencia de ~E da cuenta de cuanto
flujo por unidad de volumen es generado o perdido en un punto.
La figura de abajo ilustra idea de la divergencia de ~E en un punto. Ese
punto corresponde a:
Un sumidero si ∇ � ~E < 0, (lineas entran o convergen).
Una fuente ∇ � ~E > 0, (lineas salen o divergen).
electrostática 83
Figura 2.30: Ejemplo gráfico de la di-
vergencia de un campo eléctrico.
Una transferencia pura si ∇ � ~E = 0 (por ejemplo para un campo
uniforme).
EJEMPLO 2.23
Si el campo eléctrico es conocido, la ley de Gauss puede servir para cal-
cular la carga dentro de una región. Por ejemplo, la figura muestra una
superficie y un campo eléctrico paralelo al eje x dado por ~E = (5+ 2x2)î.
Calcular la carga encerrada por la superficie.
Solución: Como el campo es paralelo al eje x, cualquier contribución al
flujo eléctrico estará dado por las dos caras perpendiculares al eje x.
Φ = −E(x = a)ab+E(x = a+ c)ab
= −(5 + 2a2)ab+ (5 + 2(a+ c)2)
=
Qenc
�0
y después de factorizar términos queda
Qenc = 2abc(2a+ c)�0
Aquí hemos usado la forma integral de la ley de Gauss. La otra forma es usar la forma diferencial sabiendo
que
∇ � ~E = 4x = ρ
�0
⇒ ρ(x) = 4x�0
y para calcular la carga debemos integrar ρ en todo el volumen
Qenc =
˛
V
ρ(x, y,x)dxdydz =
˛
V
4x�0dxdydz = 4�0
bˆ
0
dz
aˆ
0
dy
a+cˆ
a
xdx = 4�0ab
a+cˆ
a
xdx = 4�0ab
[
x2
2
]a+c
a
Después de arreglar términos obtenemos nuevamente Qenc = 2abc(2a+ c)�0.
84 electromagnetismo fmf-241 (2014)
2.8 Aplicaciones de la ley de Gauss
La principal utilidad de la ley de Gauss es para encontrar el campo
eléctrico de distribuciones con simetría. Veremos que en algunos casos es
muy sencillo comparado con la integración directa que vimos en la sección
2.5.3.
EJEMPLO 2.24: Esfera sólida
Superficie Gaussiana
encierra toda la carga
En primer lugar, el típico ejemplo de una esfera sólida y
aislante: la esfera tiene radio a, carga Q y una densidad
de carga volumétrica uniforme ρ. Encontrar el campo
eléctrico afuera y dentro de la esfera.
Solución: en primer lugar si quisiéramos usar la in-
tegración directa ~E = ke
´ dq
r2 r̂, resultaría un procedi-
miento matemático un poco complicado. Puesto que la
configuración de carga tiene una alta simetría, la ley
de Gauss nos puede ayudar. Dividiremos el problema
en dos partes: consideraremos un punto afuera de la
esfera y otro dentro de ella.
a) Caso r>a : La superficie Gaussiana es una esfera
concéntrica de radio r pues queremos calcular el cam-
po eléctrico a una distancia r del centro de la esfera.
Esta superficie imaginaria encierra toda la carga Q y
además por simetría el campo eléctrico debe apuntar
radialmente (igual que una carga puntual). Supondre-
mos entonces que la magnitud del campo eléctrico es
la misma en todos los puntos de la la superficie Gaus-
siana. Por definición cualquier vector d ~A debe ser perpendicular a la superficie, por lo tanto d ~A y ~E(r) son
paralelos y apuntan en la dirección radial r̂. El flujo es
Φ =
˛
S
~E � d ~A =
˛
S
Er̂ � dAr̂ =
˛
S
EdA
el campo eléctrico es uniforme y puede salir fuera de la integral
Φ = E
˛
S
dA = E4πr2
hemos calculado la integral de superficie que corresponde a una esfera. Pero recordemos que el flujo debe
valer qenc/�0 y que qenc = Q
E4πr2 = Q
�0
es decir, la magnitud del campo es
E =
Q
4π�0r2
=
keQ
r2
r > a
Notar que el resultado es idéntico al de una carga puntual y no depende del radio de la esfera.
electrostática 85
Superficie gaussiana
encierra sólo una
fracción de la carga
b) Caso r<a : En un punto adentro de la esfera, elegimos una esfera Gaus-
siana de radio r. Análogamente al caso anterior d ~A y ~E(r) son paralelos y
radiales. Ahora sin embargo la esfera Gaussiana no encierra toda la carga
Q, sino que una fracción de ella. Calculamos el flujo:
Φ =
˛
S
~E � d ~A =
˛
S
Er̂ � dAr̂ =
˛
S
EdA =
qenc
�0
hasta aquí todo parece igual, pero ahora lacarga encerrada no es Q sino Q′
E4πr2 = Q
′
�0
una manera de obtener Q′ es suponer que existe una densidad volumétrica
uniforme de carga. Para la superficie Gaussiana ρ = Q′/V ′, donde V ′ =
4
3πr
3. Así reemplazando Q′ = ρ43πr3
E4πr2 = 1
�0
ρ
4
3πr
3 ⇒ E = ρr3�0
Este resultado depende de un ρ desconocido, pero sabemos que ρ = Q/( 43πa3). Finalmente:
E(r) =
1
4π�0
Qr
a3
= ke
Qr
a3
(para r < a)
Este resultado es distinto al anterior, pues ahora el campo depende de r. Sin embargo cuando r → a, ambas
expresiones coinciden pues E(a) = ke Qaa3 = ke
Q
a2 , es decir el campo eléctrico es una función continua en
r = a.
La introducción de ρ como una variable auxiliar no era necesaria en este problema. Si hubiéramos
supuesto que existe una proporcionalidad directa entre las cargas y los volúmenes de las esferas
Q
4
3πa
3 =
Q′
4
3πr
3
se obtiene Q′ = Qr
3
a3 y se reemplaza directamente en E4πr
2 = Q
′
�0
.
EJEMPLO 2.25: Esfera con una cavidad esférica
Otro problema de esferas: Una esfera sólida de radio R tiene una densidad de
carga uniforme ρ. La esfera tiene una cavidad esférica de radio R/2 tal como
se muestra en la figura. ¿Cual es el campo eléctrico en cualquier punto de la
cavidad?
Solución: El problema lo podemos plantear como una superposición de campos
eléctricos. El campo eléctrico de la esfera entera es igual a la suma del campo
eléctrico de la esfera con la cavidad más el campo debido a una esfera de radio
R/2, tal como muestra la figura:
86 electromagnetismo fmf-241 (2014)
por lo tanto el campo de la esfera con la cavidad se puede expresar como:
En el problema 2.24 vimos que la magnitud del campo en el interior de una esfera
es E = ρr3�0 y en forma vectorial el campo es radial
~E = ρ~r3�0 donde ~r es un vector
apuntado a un punto P a una distancia r del centro. Si aplicamos este resultado
a las dos esferas sólidas de la figura anterior (lado derecho de la igualdad), el
campo eléctrico en el punto P de la esfera con la cavidad es:
~E =
ρ~r
3�0
− ρ~rOP3�0
=
ρ
3�0
(~r− ~rOP )
De acuerdo a la regla del triángulo para sumar vectores ~rO + ~rOP = ~r
~E =
ρ
3�0
~rO
pero ~rO es un vector que apunta en dirección paralela a la línea que une los centros de las dos esferas, en este
caso en la dirección x, pues ~rO = 12Rî. Entonces el campo resulta ser uniforme e independiente de r
~E =
ρR
6�0
î
La cavidad tiene un radio igual a R/2 en este problema, pero podemos generalizar el resultado
poniendo ~rO = bî, donde 0 < b < R/2.
Si usted quiere, puede plantear este problema de otra manera: el campo eléctrico en la cavidad es la
suma del campo eléctrico de la esfera de radio R y densidad ρ más el campo eléctrico de una esfera de
radio R/2 y densidad -ρ .
electrostática 87
EJEMPLO 2.26: ¡Otra vez el plano infinito!
Recordemos que el campo eléctrico a cualquier distancia del plano es σ/2�0 y lo hemos calculado mediante
integración directa (¡un poco complicado!). Después, en el problema 2.15, encontramos el campo eléctrico
debido a un disco cargado, tomamos el límite cuando el radio tiende a infinito y obtuvimos σ/2�0 nueva-
mente.
Ahora usaremos la ley de Gauss. El único problema es encontrar una superficie Gaussiana que facilite la
integración, y para ello vamos a hacer un previo:
Supongamos que tenemos un plano infinito y colocamos una superficie esférica con un hemisferio a cada
lado del plano como se muestra en la figura de abajo.
Notar que el campo eléctrico sale siempre de la esfera. Necesitamos calcular el flujo a través de la esfera.
entrando
Vista desde abajo
¿Se acuerdan del problema 2.19? El flujo a tra-
vés de esta semiesfera resultó ser EπR2. En-
tonces podemos decir que, en caso actual, el
flujo total del campo eléctrico a través de la
esfera es 2EπR2 y eso debe ser igual a qenc/�0
de acuerdo a la ley de Gauss:
2EπR2 = qenc
ε0
pero la carga encerrada es qenc = σA, donde
A = πR2 es el área del círculo que genera el
plano al “cortar” la esfera en dos mitades
2EπR2 = σ
ε0
πR2 ⇒ E = σ2ε0
un resultado que era de esperar. La solución resultó ser “simple”, pero tuvimos que usar el resultado del
problema 2.19, el cual requiere más elaboración.
Ahora vamos a calcular el campo eléctrico del plano mediante el método tradicional que aparece en los
libros de texto. La figuras siguientes muestran un plano infinito y una superficie Gaussiana que consiste en
un cilindro de largo arbitrario L y área transversal A (la famosa “caja de píldoras”).
88 electromagnetismo fmf-241 (2014)
El vector d ~A es perpendicular al campo eléctrico en la superficie lateral (“manto”) del cilindro, por lo tanto
~E � d ~A = 0. Por otro lado d ~A es paralelo en los extremos (“tapas”) del cilindro y tendremos ~E � d ~A = EdA.
El flujo total será la suma de tres términos:
Φ =
ˆ
tapa1
~E � d ~A+
ˆ
tapa2
~E � d ~A+
ˆ
manto
~E � d ~A =
qenc
�0
E
ˆ
tapa1
dA+E
ˆ
tapa2
dA+ 0 = qenc
�0
EA+EA+ 0 = qenc
�0
⇒ E = qenc2A�0
La carga encerrada es aquella contenida en el círculo de área A, y está dada por qenc = σA
E =
σA
2A�0
=
σ
2�0
En este problema hicimos la suposición de que el campo es cons-
tante en todas partes no importando la distancia al plano. Po-
demos demostrar esto si colocamos un cilindro Gaussiano fuera
del plano (ver figura), entonces no hay ninguna carga encerrada
y según la ley de Gauss, el flujo a través del cilindro es cero. Si
E1 y E2 son las magnitudes del campo eléctrico en las tapas del
cilindro, entonces
Φ = −E1A+E2A = 0
es decir E1 = E2, indicando que el campo es constante.
electrostática 89
EJEMPLO 2.27: Alambre infinito
Este es un problema que puede resolverse fácilmente
usando la ley de Gauss. Queremos encontrar el campo
eléctrico en un punto a una distancia r de una alam-
bre infinito con densidad uniforme de carga λ. Para ello
rodeamos el alambre con una superficie gaussiana con-
sistente en un cilindro concéntrico de largo L y radio r
tal como se muestra en la figura.
Por simetría el campo debe ser radial y perpendicular
al alambre. En las dos tapas del cilindro ~E es perpen-
dicular a la superficie y tenemos que ~E � d ~A = 0. En el
manto ~E es paralelo a cualquier vector d ~A y tenemos que
~E � d ~A = EdA. Por lo tanto el flujo total es:
Φ =
ˆ
tapa1
~E � d ~A+
ˆ
tapa2
~E � d ~A+
ˆ
manto
~E � d ~A =
qenc
�0
0 + 0 +E
ˆ
manto
dA =
qenc
�0
el área del manto es
´
manto dA = 2πrL y la carga encerrada es la que lleva el trozo de alambre de largo L,
qenc = λL. Entonces
E2πrL = λL
�0
llegando a un resultado es independiente de L
E =
λ
2π�0r
=
2keλ
r
90 electromagnetismo fmf-241 (2014)
PROBLEMAS
2.1 Dos cargas q1 = 3× 10−4 C y q2 = −10−4 C están localizadas en (1, 2, 3) y (2, 0, 5) respectivamente.
¿Cual es la fuerza sobre q2? (las distancias están en metros).
Resp.: ~F12 = −10î+ 20ĵ−20k̂ [N].
2.2 Cuatro cargas puntuales idénticas, cada una con carga +q, están fijas en las esquinas de un cuadrado de
lado L. Una quinta carga −Q está situada a una distancia z a lo largo de una línea perpendicular al plano del
cuadrado y que pasa a través del centro del cuadrado. Demuestre que la fuerza ejercida por las cuatro cargas
+q sobre la carga −Q es:
~FQ = −
4keqQz
[z2 + L2/2]3/2
k̂
2.3 Dos partículas, cada una de masa m y carga q estás suspendidas por hilos de longitud l desde un punto
común. Demostrar que el ángulo θ que cada hilo hace con la vertical es
θ = 3
√
q2
16π�0mgl2
2.4 Dos pequeñas esferas conductoras tienen cargas de 2.0× 10−9 C y −0.5× 10−9 C, respectivamente. (a)
¿Cual es la fuerza cuando las esferas están separadas 4 cm?; (b) Si las esferas son puestas en contacto y después
nuevamente separadas 4 cm, ¿cual es la fuerza entre ellas?; (c) ¿Qué importancia tiene que las esferas sean
conductoras?
Resp.: (a) 0.56× 10−5 N; (b) +1.26× 10−5 N
2.5 Cuatro partículas cargadas positivamente, dos de carga Q y dos de carga q, están conectadas por cuatro
hilos inextensibles de igual longitud. En ausencia de fuerzas externas las cargas asumen una configuración de
equilibrio como se muestra en la figura. Demostrar que tan3θ = q2/Q2. (Considerar que hay tensiones en los
hilos).
2.6 Suponer que tres partículas cargadas positivamente están obligadas a moverse en una linea circular fija.
Si todas las cargas fueran iguales, una distribución de equilibrio sería, obviamente, simétrica con las cargas
separadas 120° en torno a la circunferencia. Supongamos que dos de las cargas son iguales y la distribución de
equilibrio es tal que estas dos cargas forman 90° en vez de 120°. ¿Cual es el valor relativo de la tercera carga?
Resp.: 3.154.
2.7 Una anillo de radio R tiene una carga +Q uniformemente distribuida a lo largo de su extensión.
(a) Calcular el campo eléctrico en el centro de anillo.
(b) Considere una carga −Q constreñida a deslizarse a lo largo del eje del anillo. Muestre que la carga se moverá
con movimiento armónico simple para pequeños desplazamientos perpendiculares al plano de anillo.
2.8 Calcular la carga total dentro de los volúmenes y con las densidades de carga indicados:
(a) 0.1 ≤ |x| , |y| , |z| ≤ 0.2 : ρ(x, y, z) = 1
x3y3z3
(b) 0 ≤ ρ ≤ 0.1, 0 ≤ φ ≤ π, 2 ≤ z ≤ 4 : ρ = r2z2 sin 0.6φ
(b) Todo el espacio: ρ = e−2r/r2
electrostática 91
Resp.: 27mC; 1.778mC; 6.28C
2.9 Una linea de carga positiva se dobla para formar un semicírculo de radio R = 60 cm como se muestra en
la figura. La carga por unidad de longitud a lo largo del semicírculo es descrita por la expresión λ = λ0 cos θ.
La carga total del semicírculo es 12.0µC. Calcular la fuerza total sobre una carga de 3.0C colocada en el centro
de curvatura.
Resp.: −0.707ĵN
2.10 Considere una anillo circular de radio a, sobre el plano xy, con densidad lineal de carga no uniforme
dada por λ(φ) = k sinφ. Calcular el campo eléctrico en cualquier punto del eje z
Resp.: ~E = − ka24�0(a2+z2)3/2 ĵ
2.11 Una cascarón cilíndrico de radio a, con densidad uniforme de carga σ se extiende desde −h hasta +h a
lo largo del eje z. Demuestre que el campo eléctrico en el punto (0, 0, k) es
~E =
σa
2�0
[
1√
a2 + (k− h)2
− 1√
a2 + (k+ h)2
]
k̂
2.12 Un cilindro muy largo de de radio r = 8 cm contiene la densidad de carga superficial, σ = 5e−20|z| nC/m2.
¿Cual es la carga total presente?
Resp.: 0.25nC
2.13 Dos superficies cilíndricas coaxiales de longitud infinita, de radios a y b (b > a) tienen densidades
superficiales de carga σa y σb respectivamente.
(a) Determine ~E en todos los puntos.
(b) ¿Cual debe ser la relación entre a y b para que ~E se anule para r > b?
Resp.: (a) E = 0, r < a; E = aσa/�0r, a < r < b; E = (aσa + bσb)/�0r, r > b; (b) b/a = −σa/σb.
2.14 Un arreglo de materiales está formado por una esfera no conductora de radio a que porta una densidad
volumétrica de carga uniforme ρ (esfera de la izquierda), un cascarón esférico de radio a que porta una densidad
superficial de carga uniforme σ (cascarón de la derecha). Los centros de la esfera sólida y el cascarón están
separados una distancia 4a. A una distancia L del punto medio de la línea que junta los centros de la esfera y
el cascarón, se coloca un alambre de longitud a con densidad lineal de carga uniforme λ (ver figura).
92 electromagnetismo fmf-241 (2014)
(a) Calcule el campo eléctrico en el punto (x = 0, y) producido por la esferas.
(b) Suponga que tanto en la esfera sólida como en el cascarón se distribuye la misma carga Q. En este caso
calcule el campo eléctrico en términos de Q. ¿en que dirección apunta?
(c) Empleando el campo encontrado en el punto (b). Calcule la fuerza que ejercen las esferas sobre el alambre
cargado.
Resp.: (a) ~E = 2ρa
4−6σa3
3�0(4a2+y2)3/2
î+ y(ρa
3+3σa2)
3�0(4a2+y2)3/2
ĵ; (b) ~E = yQ2π�0(4a2+y2)3/2 ĵ; (c)
~F = Qλ2π�0
(
1√
y2+L2
− 1√
y2+(L+a)2
)
ĵ
CAPÍTULO3
El potencial electrostático
Existe una propiedad vectorial que dice que si tenemos un campo vec-
torial ~A y ocurre que el rotor de ese campo es cero (∇× ~A = 0), entonces
~A puede ser expresado como el gradiente de un campo escalar. Es decir
existe una función escalar f(x, y, z) tal que ~A = ∇f . ¿Porqué? Bueno, se
puede demostrar fácilmente que para cualquier f
∇× (∇f) = 0
Recordemos que si tenemos una distribución continua en un volumen
V , el campo eléctrico está dado por
~E(~r) = ke
ˆ
V
ρ(~r′)dv′
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
entonces se puede demostrar que ∇× ~E = 0,1 por lo tanto existe un 1 Ver apéndice para la demostración.
escalar V tal que ~E = ∇V . El escalar es llama potencial electrostático y
se acostumbra a incluir un signo menos por conveniencia
~E= −∇V
Podemos aplicar el teorema fundamental para gradientes2 (ver sección 2 El teorema fundamental para gra-
dientes, dice que si ~A = ∇ϕ, entonces
bˆ
aC
~A � d~r = ϕ(b)−ϕ(a)
1.3.1) al campo ~E que se deriva de un potencial ( ~E = ∇V ). En este caso
se cumple que
−
ˆ B
A
~E � d~l = VB − VA
lo cual nos lleva a definir el escalar diferencia de potencial electrostático
∆V = VB − VA = −
ˆ B
A
~E � d~l
3.1 Significado físico del potencial
Figura 3.1: Trabajo efectuado por el
campo eléctrico producido por q para
mover q0 desde A hasta B.
También de puede justificar la existencia del potencial elec-
trostático teniendo en cuenta que la fuerza electrostática es una fuerza
conservativa, es decir, el trabajo hecho por la fuerza, para mover una car-
ga de prueba desde un punto hasta otro, es independiente del camino que
conecta a los dos puntos. Por ejemplo, consideremos el campo eléctrico
~E =
keq
r2
r̂
radiado por una carga puntual, q, en el origen de coordenadas (ver figura
3.1). La fuerza sobre una carga de prueba q0 es q0 ~E y entonces el término
dW = q0 ~E � d~l
94 electromagnetismo fmf-241 (2014)
es el trabajo hecho por el campo para mover la carga q0 una pequeño
desplazamiento d~l. El trabajo total efectuado para mover q0 desde A
hasta B está dado por la integral de línea
W =
ˆ B
A
q0 ~E � d~l =
ˆ B
A
q0
(
keq
r2
r̂
)
� d~l
El campo es radial, por lo tanto si expresamos d~l en coordenadas esféricas
d~l = drr̂+ rdθθ̂+ r sin θφ̂
tendremos r̂ � d~l = dr y entonces
W = keq0q
ˆ
dr
r2
= keq0q
ˆ B
A
dr
r
= keq0q
[
− 1
r2
]B
A
= keq0q
(
1
a
− 1
b
)
El trabajo no depende de la trayectoria,
sino del punto de partida y llegada.
W = keq0q
(
1
a
− 1
b
)
Expresión que depende sólo de los puntos A y B.
En el caso anterior, calculamos el trabajo efectuado por la fuerza de-
bido a q para mover la carga q0 desde A hasta B. Si ahora actuamos
de forma externa para mover la carga desde A hasta B, tendremos que
efectuar un trabajo −W . El trabajo hecho por ~E tiene signo
contrario al trabajo efectuado por una
fuerza externa.
En el caso general, donde tenemos un campo ~E, se define el cambio
de energía potencial electrostática (también energía potencial eléctrica o
simplemente energía potencial) como
∆U ≡ UB −UA = −W = −q0
ˆ B
A
~E � d~l
y puesto que q0 ~E es una fuerza conservativa, la integral de linea no de-
pende de la trayectoria para ir desde A hasta B.3 3 De hecho, la diferencia UB − UA nos
dice que la integral depende sólo de los
puntos inicial y final de la trayectoria.
Si ahora dividimos ∆U por q0 obtenemos una cantidad que es indepen-
diente de q0 y que tiene el nombre de diferencia de potencial electrostático
(también potencial eléctrico o simplemente potencial) y se define como
∆V = VB − VA ≡
∆U
q0
= −
ˆ B
A
~E � d~l
y cuya unidad es el “Volt”
1V = 1 volt = 1 J1C =
1 Joule
1Coulomb
Puesto que ∆V = −
´ B
A
~E � d~l (o dV = − ~E � d~l), el campo eléctrico y el
potencial están relacionados entre si. En efecto, recordemos que habíamos
encontrado al principio de esta sección que existía una función escalar tal
que ~E= −∇V . El potencial es una cantidad escalar y es mucho más
fácil evaluar V que ~E, lo cual indica que ahora tenemos una manera más
fácil de obtener ~E.
el potencial electrostático 95
EJEMPLO 3.1
En cierta región del espacio el potencial está dado por V (x, y,x) = x2 + xy. Si el potencial está en Volt y las
distancias en metros calcular el campo eléctrico en el punto (2, 1).
Solución: Usando ~E = −∇V = −∂V∂x î+−
∂V
∂y ĵ = (−2x−y)î−xĵ, y evaluado en (2, 1) se tiene ~E = −5î−2ĵ.El valor de V en una posición no tiene sentido (Al igual que en el
caso gravitacional, sólo las diferencias de (energía) potencial tienen
significado) a menos que definamos una posición de referencia donde
el potencial valga cero. Es usual elegir A en el infinito del tal forma
que V∞ = 0 de tal manera que podemos definir el potencial en un
punto B como
VB = −
ˆ B
∞
~E � d~l
Hay que hacer notar que el punto de referencia en el infinito podría
ser una elección inapropiada para algunas distribuciones infinitas de
carga (por ejemplo un alambre) donde el campo no decae tan rápido
como para que la integral se haga cero.
Hay que tener cuidado de no confundir energía potencial elec-
trostática con potencial electrostático. La energía potencial se
mide en “Joule” y es un número único (es trabajo) mientras que el
potencial se mide en “Volt” (Joule/Coulomb) y es diferente en todas
partes del espacio.
3.2 Potencial eléctrico de cargas puntuales
Dada una carga q (ver figura 3.1), habíamos encontrado que
W = keq0q
(
1
a
− 1
b
)
entonces la diferencia de potencial es
∆V = VB − VA =
∆U
q0
= −W
q0
= − 1
q0
keq0q
(
1
a
− 1
b
)
= keq
(
1
b
− 1
a
)
Si elegimos la referencia V = 0 en a = ∞, definimos el potencial de una
carga q a una distancia b = r como:
V = ke
q
r
Para obtener el potencial eléctrico resultante de dos o más cargas se
aplica el principio de superposición. Es decir, el potencial eléctrico total
96 electromagnetismo fmf-241 (2014)
en un punto P debido a varias cargas, es la suma de los potenciales
individuales:
VP = ke
∑
i
qi
ri
En cada caso ri es la distancia desde la carga qi al punto P .
El potencial en función de los vectores de posición es:
V (~r) = ke
∑
i
qi
|~r− ~ri|
donde ~r es el vector posición del punto donde queremos calcular el po-
tencial y ~ri es la posición individual de cada carga.
3.3 Potencial eléctrico de distribuciones conti-
nuas de carga
Para una distribución continua de cargas consideramos un elemento de
carga dq en el volumen V .
Figura 3.2: El potencial en P debido al
elemento de carga dq
El potencial en P debido a dq es dV = ke dqr y por lo tanto el potencial
total en P será
VP = ke
ˆ
dq
r
La otra manera de expresar el potencial es cuando se especifica el radio
vector ~r del punto P
Figura 3.3: El potencial en ~r debido al
elemento de carga dq′
V (r) = ke
ˆ
dq′
|~r− ~r′|
= ke
ˆ
V ′
ρ(~r′)
|~r− ~r′|
dv′
en esta ecuación ~r′ es el radio vector de un elemento de carga dq en la
distribución de cargas.
En la expresión del potencial para una carga puntual o una distribu-
ción continua estamos suponiendo que V (∞) = 0, pero hay casos en
que esa elección no es posible (ver ejemplo del plano infinito más ade-
lante). Siempre hay que tener en mente que lo que se está calculando,
el potencial electrostático 97
es en realidad una diferencia de potencial
∆V = VP − Vref = ke
ˆ
dq
r
donde Vref es el potencial de referencia. Además, observemos que ∆V
se expresa mediante una integral indefinida, pero también se puede
escribir
∆V = VP − Vref = ke
ˆ P
ref
dq
r
En cualquiera de los dos casos, hay una constante que hay que de-
terminar y en la mayoría de los casos se impone la condición de que
V = 0 en el infinito.
EJEMPLO 3.2
Este es un ejemplo interesante cuando la referencia no es en el infinito. Se tiene una carga puntual q en el
origen y se pide encontrar el potencial a una distancia r de la carga con la condición de que el potencial es
cero en el punto (1, 0, 0).
Solución: Al elegir la referencia V = 0 en r =∞, la solución es trivial V = ke qr , pero debemos recordar que
estrictamente, calculamos
V − Vref = ke
q
r
el punto (1, 0, 0) se encuentra a una distancia de 1, es decir como el potencial es esférico, todos los puntos
en una esfera de radio 1 se encuentran al mismo potencial (la esfera es una superficie equipotencial). La
condición es que V (1) = 0, lo que permite calcular Vref y obtener el resultado
V = keq
(
1
r
− 1
)
3.4 Energía potencial electrostática
Si V2 es el potencial en punto P debido a la carga q2 y queremos traer
una carga q1 desde el infinito hasta el punto P , debemos efectuar un
trabajo en contra del campo eléctrico creado por q2, que está dado por: 4 4 Esto sale de la definición ∆U = q∆V
y suponiendo el cero de potencial en el
infinito.
U = q1V2 = q1ke
q2
r12
= ke
q1q2
r12
donde r12 es la distancia entre q1 y q2.
Si tenemos más de dos cargas puntuales, la energía potencial electros-
tática se obtiene sumando U para cada par de cargas. Por ejemplo para
tres cargas:
U = ke
(
q1q2
r12
+
q1q3
r13
+
q2q3
r23
)
Podemos reescribir la expresión anterior de la forma
U =
1
2
[
q1
(
ke
q2
r12
+ ke
q3
r13
)
+ q2
(
ke
q1
r12
+ ke
q3
r23
)
+ q3
(
ke
q1
r13
+ ke
q2
r23
)]
Si ahora consideramos que el potencial en la posición de la carga q1 debido
a las cargas q2 y q3 está dado por V1 = ke q2r12 + ke
q3
r13
y de forma similar
para los otros términos:5 5 No confundir V1 con el potencial de-
bido a V1 = keq1/r.
98 electromagnetismo fmf-241 (2014)
U =
1
2 (q1V1 + q2V2 + q2V3)
Generalizando para N cargas:
U =
1
2
N∑
k=1
QkVk
donde Vk que es el potencial eléctrico en la posición de Qk se debe a las
demás cargas.
En el caso de una distribución continua de cargas, que posea
una densidad de carga ρ, entonces en la ecuación anterior sustituimos Qk
por ρdv y la sumatoria por una integral
U =
1
2
ˆ
v’
ρV dv
donde V es el potencial en el punto donde la densidad volumétrica de
carga vale ρ y v′ es volumen de la región donde existe ρ.
EJEMPLO 3.3
Encontrar la energía necesaria para formar una esfera de carga total Q, con
radio R y densidad volumétrica de carga ρ.
Solución: Vamos a suponer que la esfera se forma a partir de cascarones
esféricos de radio r y grosor infinitesimal dr. Sea Qr la carga contenida por
una esfera de radio r, entonces el potencial en la superficie es:
Vr = ke
Qr
r
=
1
4π�0
ρ43πr
3
r
=
ρr2
3�0
con Qr = ρ43πr3. Cada cascarón lleva una carga dQr = ρ4πr2dr, entonces la
energía para formar una carga dQr es
dW = VrdQr =
ρr2
3�0
(ρ4πr2dr) = 43�0
πρ2r4dr
el trabajo o energía total se obtiene al integrar
W =
4
3�0
πρ2
R̂
0
r4dr =
4
3�0
πρ2
R5
5 =
4π
15�0
ρ2R5
podemos eliminar ρ y colocar el resultado en función de la carga total Q = ρ43πR3
W =
3Q2
20π�0R
3.5 Superficies equipotenciales
Supongamos que tenemos una distribución de cargas y podemos cal-
cular el potencial en cualquier punto del espacio. Una superficie equipo-
tencial se define como una superficie en que el potencial es constante. En
otras palabras Condición de superficie equipotencial.
el potencial electrostático 99
∆V = 0
y puesto que ∆U = q0∆V , esto también significa que no se efectúa trabajo
para mover una partícula cargada entre dos puntos de la misma superficie
equipotencial.
De la expresión ∆V = −
´ B
A
~E �d~l podemos decir que cuando una carga
efectúa un desplazamiento infinitesimal d~l a lo largo de una superficie
equipotencial, entonces
~E � d~l = 0 ⇒ ~E ⊥ d~ldV = ~E � d~l = 0
lo que indica claramente que ~E es perpendicular a la superficie. La
3.4 ilustra claramente este hecho. En (a) tenemos un campo eléctrico
uniforme y se muestran las superficies equipotenciales (planos perpendi-
culares a la hoja) perpendiculares a las líneas de campo. En (b) las líneas
de campo son radiales y las superficies equipotenciales son esferas con-
céntricas. Notar además que a medida que nos alejamos de la carga las
superficies están más separadas, indicando que el potencial disminuye.
En (c) vemos superficies equipotenciales de dos cargas (dipolo).
(a) (b) (c)
Figura 3.4: Las lineas azules correspon-
den a superficies equipotenciales.
Figura 3.5: Una configuración más
complicada: un plano cargado negati-
vamente y una carga positiva. Las li-
neas de campo salen de la carga hacia
el plano y las equipotenciales (en azul)
son perpendiculares a las lineas rojas
del campo eléctrico.
100 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Las superficies equipotenciales nunca se tocan ni cruzan. ¿porqué?Bueno, puesto que el campo eléctrico es perpendicular a las superfi-
cies equipotenciales, eso significaría que si dos superficies se tocan en
un punto, el campo eléctrico no tendría una única dirección en ese
punto. También se puede argumentar que como las superficies equi-
potenciales por definición tienen valores fijos (constantes), si ellas se
cruzaran significaría que en un punto del espacio el potencial tendría
dos valores diferentes; eso es absurdo.
el potencial electrostático 101
3.6 Cálculo del potencial por integración
Aquí revisaremos algunos ejemplos clásicos de los libros de texto.
EJEMPLO 3.4: Anillo cargado uniformemente
En la figura el anillo tiene una carga uniforme total Q y hay que encon-
trar el potencial en un punto de eje z.
Solución: De acuerdo a la figura, el potencial en el punto P debido a
la carga puntual dq es dV = ke dqr y donde r =
√
z2 +R2 es la distancia
del elemento de carga dq al punto P . Ahora integramos para obtener
el potencial debido a todo el anillo en el punto P ||
V =
ˆ
ke
dq
r
= ke
ˆ
dq√
z2 +R2
hay que hacer notar que cualquier elemento de carga dq del anillo está siempre a la misma distancia del punto
P , por lo tanto
√
z2 +R2 es constante y puede salir fuera de la integral
V (z) =
ke√
z2 +R2
ˆ
dq =
keQ√
z2 +R2
idéntico resultado se obtiene al plantear el problema en
coordenadas cilíndricas (con z = 0), mediante
dV = ke
dq′
|~r− ~r′|
con dq′ = λdl = λRdφ′, ~r = zk̂, ~r′ = Rr̂, y |~r− ~r′| =
√
z2 +R2
dV = ke
λRdφ′√
z2 +R2
⇒ V = keλR√
z2 +R2
2πˆ
0
dφ =
keλR√
z2 +R2
2π = keQ√
z2 +R2
donde hemos usado el hecho de que Q = 2πRλ.
Este resultado sirve para calcular el campo eléctrico en el punto P . El potencial sólo depende de la variable
z y por consideraciones de simetría el campo eléctrico debe apuntar en la dirección z. Haciendo uso de que
~E = −∇V
Ez = −
dV
dz
= − d
dz
(
keQ√
z2 +R2
)
= −keQ
(
(−1/2) 2z
(z2 +R2)3/2
)
=
keQz
(z2 +R2)3/2
Recordemos que habíamos obtenido este resultado por integración directa y el procedimiento había resultado
ser bastante más complicado.
102 electromagnetismo fmf-241 (2014)
EJEMPLO 3.5: Disco cargado uniformemente
En la figura el disco tiene una carga uniforme total Q y hay que en-
contrar el potencial en un punto de eje z.
Solución: De acuerdo a la figura, hemos elegido como elemento de
carga (dq) un anillo de radio r concéntrico al disco y de ancho dr.
Ahora recordemos el problema anterior, en que el potencial para un
anillo de radio R y cargado con carga Q es keQ√
z2+R2
. En nuestro caso
el anillo tiene carga dq y radio r. Aplicando esta fórmula
dV = ke
dq√
z2 + r2
y donde
√
z2 +R2 es la distancia del elemento de carga dq al punto
P . En dV tenemos dos variables dq y r, por lo tanto es conveniente
eliminar una de ellas para poder integrar. Si suponemos que el anillo tiene una densidad de carga superficial
σ, entonces dq = σdA, donde dA = 2πrdr
dV = ke
σ2πrdr√
z2 + r2
aquí z es constante y al integrar r debe tomar valores entre 0 y R para barrer todo el disco
V = keσ2π
R̂
0
rdr√
z2 + r2
la integral
´
rdr√
z2+r2
=
√
z2 + r2
V = keσ2π
[√
z2 + r2
]R
0
= keσ2π(
√
z2 +R2 − z) z > 0
el mismo resultado puede ser escrito en función de la carga total Q = σπR2.
También podemos calcular el campo eléctrico en el punto P . El potencial sólo depende de la variable z y
por consideraciones de simetría el campo eléctrico debe apuntar en la dirección z. Haciendo uso de que
~E = −∇V
Ez = −
dV
dz
= − d
dz
(
keσ2π(
√
z2 +R2 − z)
)
= −keσ2π
(
z√
z2 +R2
− 1
)
= kσ2π
(
1− z√
z2 +R2
)
otra forma de resolver el problema, sería usar coordenadas cilín-
dricas y la forma V (r) = ke
´ dq′
|~r−~r′| . Elegimos un elemento de área con
carga dq′ = σdA′, a una distancia r′ del centro del disco.
En coordenadas cilíndricas dA′ = r′dφdr′ y además |~r− ~r′| =√
z2 + r′2, luego
dV = ke
σr′dφdr′√
z2 + r′2
integrando
V = keσ
2πˆ
0
dφ
R̂
0
r′dr′√
z2 + r′2
= . . . = keσ2π(
√
z2 +R2 − z)
el potencial electrostático 103
El resultado que hemos obtenido para V es para z > 0, pero es evidente por la simetría que este resultado
debe ser válido también para z < 0. En la evaluación de
[√
z2 + r2
]R
0
hicimos la elección de que
√
z2 = z.
La expresión correcta del potencial para y < 0 es eligiendo
√
z2 = −z
V = keσ2π(
√
z2 +R2 + z) z < 0
EJEMPLO 3.6: Esfera aislante cargada uniformemente
Una esfera aislante de radio R con carga Q distribuida uniforme-
mente.
Solución: Calcularemos el potencial adentro y afuera de la esfera.
En vez de calcular el potencial directamente vamos a usar el resul-
tado que obtuvimos para el campo eléctrico, de tal manera que a
partir dV = − ~E · d~l vamos a integrar.
Caso (a) r ≥ R: El campo eléctrico es radial y es equivalente a una
carga puntual
~E =
keQ
r2
r̂
A partir de dV = − ~E · d~l
dV = −
(
keQ
r2
r̂
)
· d~l = −keQ
r2
dr
aquí hemos puesto r̂ · d~l = dr (la componente de d~l en la dirección de r̂; como el campo es radial podemos
suponer también que d~l = d~r = drr̂, luego r̂ · d~l = r̂ · drr̂ = dr) la integración se hace considerando que el
potencial es cero en el infinito
VP = −keQ
rPˆ
−∞
dr
r2
=
[
1
r
]rP
∞
= keQ(
1
rP
− 0) = keQ
r
VP =
keQ
r
r ≥ R
Caso (b) r < R: Aquí debemos recordar que el campo eléctrico es E = keQr
R3 . Además la integración será en
dos regiones:
VP = −
rPˆ
∞
Edr = −
R̂
∞
keQ
r2
dr
︸ ︷︷ ︸
r≥R
−
rPˆ
R
keQr
R3︸ ︷︷ ︸
r<R
= VP =
keQ
R
+
keQ
2R3 (R
2 − r2)
Factorizando tenemos el resultado final
VP =
keQ
2R
(
3− r
2
R2
)
r < R
104 electromagnetismo fmf-241 (2014)
EJEMPLO 3.7: Potencial de un plano infinito
Este es una caso especial donde no podemos asumir que el potencial es cero en el infinito. Podríamos
intentar usar el resultado del potencial de un disco infinito y tomar el límite cuando el radio es infinito
ĺım
R→∞
Vdisco = ĺım
R→∞
keσ2π(
√
z2 +R2 − z) =∞
es decir esta ecuación no puede ser usada.
Pero conocemos el campo eléctrico de un plano infinito
~E =
σ
2�0
î
donde hemos puesto el plano coincidente con el plano yz, así que el campo va en la dirección positiva del eje
x
dV = − ~E · d~l = − σ2�0
î · d~l = − σ2�0
dx
donde hemos usado el hecho de que î · d~l = î · (dxî+ dyĵ + dzk̂) = dx. Ahora integramos
V = − σ2�0
x+ V0 x > 0
donde la constante de integración V0 es el potencial en x = 0. Notar que el potencial decrece cuando x crece.
De hecho V → −∞ si x→∞.
Si x < 0 el potencial es
V =
σ
2�0
x+ V0 x < 0
El potencial también disminuye si x se hace más negativo. Podemos resumir los dos resultados en una sola
fórmula para cualquier valor de x:
V = − σ2�0
|x|+ V0
3.7 Las ecuaciones de Poisson y Laplace
Recordemos la forma diferencial de la ley de Gauss
∇ � ~E = 1
�0
ρ(~r)
y puesto que ahora sabemos que ~E = −∇V , podemos combinar estos dos
términos
∇ � (−∇V ) = −∇ �∇V = 1
�0
ρ(~r)
La expresión ∇ �∇ corresponde al laplaciano ∇2, el producto “punto”
entre dos operadores “nabla” (ver sección 1.2), entonces obtenemos la
ecuación de Poisson Ecuación de Poisson
∇2V = − ρ
�0
El operador ∇2 involucra derivadas parciales respecto a las coordena-
das. Si conocemos ρ(x, y, z) y las condiciones de borde apropiadas, esta-
remos en condiciones de resolver esta ecuación diferencial en derivadas
parciales.
el potencial electrostático 105
Hay algunos problemas de electrostática donde ρ es cero en casi todas
las partes del espacio. Entonces la ecuación de Poisson se reduce a la
ecuación de Laplace: ecuación de Laplace
∇2V = 0
Para resolver cualquiera de las dos ecuaciones diferenciales, tendremos
que hacer consideraciones de simetría y expresar el Laplaciano en un
sistema de coordenadas adecuado para facilitar los cálculos.
3.8 Conexión entre el campo eléctrico, el po-
tencial eléctrico y la densidad de carga
Es interesante hacer un resumen de la relación entre las tres cantida-
des más importantes que hemos visto hasta ahora: el campo eléctrico,
el potencial eléctrico y la densidad de carga. La figura 3.6 resume estas
ecuaciones y puede ser de ayuda cuandose trate de obtener una de estas
cantidades a partir de otra.
Potencial
eléctrico
Densidad
de carga
Campo
eléctrico
Figura 3.6: Ecuaciones que relacionan
la densidad de carga, el potencial eléc-
trico y el campo eléctrico.
106 electromagnetismo fmf-241 (2014)
EJEMPLO 3.8
Se sabe que el potencial está dado por V = 80 r0.6. Asumiendo condiciones del espacio libre, encontrar:
(a) El campo eléctrico: sabemos que ~E = −∇V , pero puesto que V depende de r el campo eléctrico debe ser
expresado en coordenadas esféricas. El operador gradiente en coordenadas esféricas es
∇ = r̂ ∂
∂r
+ θ̂
1
r
∂
∂θ
+ φ̂
1
r sin θ
∂
∂φ
y como V = V (r) se reduce a:
~E = −∇V = −∂V
∂r
r̂ = −80(0.6)r−0.4r̂ = −48r−0.4r̂
(b) La densidad de carga volumétrica en r = 0.5m: La densidad se obtiene de ∇ · ~E = ρ/�0. En coordenadas
esféricas
∇ · ~E = 1
r2
∂
∂r
(r2Er) +
1
r sin θ
∂
∂θ
(Eθ sin θ) +
1
r sin θ
∂Eφ
∂φ
y nuevamente por se ve reducido a
∇ · ~E = 1
r2
∂
∂r
(r2Er)
ρ(r) = �0
1
r2
∂
∂r
(r2Er) = �0
1
r2
∂
∂r
(−r248r−0.4) = −48�0
1
r2
∂
∂r
(r1.6) = −48�0
1
r2
(1.6)r0.6 = −76.8�0
r1.4
y evaluada en r = 0.5
ρ(0.5) = −1.79nC/m3
Por supuesto que hubiéramos obtenido ρ directamente de la ecuación de Poisson∇2V = − ρ
�0
. En coordenadas
esféricas el laplaciano es:
∇2 = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ ∂
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
∂2
∂φ2
y que en nuestro caso se reduce a ∇2V = 1
r2
∂
∂r
(
r2 ∂V∂r
)
.
(c) La carga total encerrada en la superficie r = 0.6: La manera más fácil es usando la ley de Gauss eligiendo
una superficie esférica de radio r:
Qenc = �0
ˆ
esfera
~E � d ~A =
ˆ
−48r−0.4r̂ · d ~A = −48r−0.4
ˆ
dA
donde hemos usado el hecho de que el campo es radial y es paralelo a d ~A y además es constante en cualquier
parte de la superficie de la esfera.
Qenc = −48�0r−0.44πr2
y al evaluar Qenc(0.6) = −2.36nC.
Otra manera es integrar la densidad de carga ρ(r) = −76.8�0
r1.4 usando coordenadas esféricas en
Qenc =
ˆ
ρ(r)dV
el potencial electrostático 107
EJEMPLO 3.9
Espacio aislante
para que los planos
no se toquen
Este es un ejemplo sencillo y muy conocido donde se resuelve
la ecuación de Laplace con condiciones de borde. Se tienen
dos planos conductores aislados infinitos. Uno de ellos está
a potencial 0 (conectado a tierra) y el otro a potencial V0.
Los planos forman un ángulo α tal como se muestra en la
figura. Determinar el potencial en función del ángulo φ en
las regiones:
(a) 0 < φ < α: Es decir, se pide calcular el potencial en la re-
gión entre los dos planos. En este caso elegimos coordenadas
cilíndricas para resolver la ecuación de Laplace:
∇2V = 1
r
∂
∂r
(
r
∂V
∂r
)
+
1
r2
∂2V
∂φ2
+
∂2V
∂z2
= 0
Puesto que los planos son infinitos, podemos decir es que
V no cambiará con z (plano infinito). Las superficies equipotenciales son planos radiales con φ constante
tal como se muestra en la figura. A partir de esto podemos asumir que el potencial sólo depende de φ y la
ecuación de Laplace se reduce a:
1
r2
∂2V
∂φ2
= 0
y para r 6= 0 se tiene ∂2V
∂φ2 =0 . Esta es una ecuación diferencial simple, que puede resolverse integrando dos
veces
V (φ) = C1φ+C2
Las constantes C1 y C2 se obtienen de las condiciones de borde V (0) = 0 y V (α) = V0
V (0) = 0 +C2 = 0 ⇒ C2 = 0
V (α) = C1α+C2 = V0 ⇒ C1 =
V0
α
De esta manera la solución es
V (φ) =
V0
α
φ 0 < φ < α
Superficies equipotenciales
(b) α ≤ φ ≤ 2π: En este caso estamos en la región exterior y las condi-
ciones de borde son V (α) = V0 y V (2π) = 0
V (α) = C1α+C2 = V0
V (2π) = C12π+C2 = 0
despejando, obtenemos C1 = − V02π−α y C2 =
2πV0
2π−α y la solución queda
V (φ) =
V0
2π− α (2π− φ) α ≤ φ ≤ 2π
Ahora como ejercicio adicional, podemos calcular el campo eléctrico para el caso 0 < φ < α. El operador
gradiente en coordenadas cilíndricas es
108 electromagnetismo fmf-241 (2014)
∇ = r̂ ∂
∂r
+ φ̂
1
r
∂
∂φ
+ ẑ
∂
∂z
el cual se ve reducido a ∇ = φ̂1r
∂
∂φ en este problema. De esta forma
~E = −∇V = −1
r
∂
∂φ
(
V0
α
φ
)
φ̂ = −V0
αr
φ̂
Notar que la magnitud de ~E es función de r y no de φ, pero ~E depende de φ pues φ̂ aparece en la ecuación.
EJEMPLO 3.10
Supongamos que tenemos dos cilindros coaxiales muy largos, a dife-
rente potencial como se muestra en la figura. Encontrar el potencial
entre los cilindros.
Solución: Debido a la simetría del problema, las superficies equipo-
tenciales son cilindros concéntricos de radio r = constante. Usando
coordenadas cilíndricas, el potencial no depende de φ ni de z. La
ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas es
∇2V = 1
r
∂
∂r
(
r
∂V
∂r
)
+
1
r2
∂2V
∂φ2
+
∂2V
∂z2
= 0
la cual se ve reducida a
1
r
∂
∂r
(
r
∂V
∂r
)
= 0
para ello debe cumplirse que
r
∂V
∂r
= A ⇒ ∂V
∂r
=
A
r
⇒ V (r) = A ln r+B
donde A y B son constantes, que se determinan con las condiciones de borde V (a) = V0 y V (b) = 0,
obteniéndose
V (r) = V0
ln(b/r)
ln(b/a)
De aquí podemos obtener inmediatamente el campo eléctrico
~E = −∇V = −
(
r̂
∂V
∂r
+ φ̂
1
r
∂V
∂φ
+ ẑ
∂V
∂z
)
=
V0
r ln(b/a) r̂
EJEMPLO 3.11
Espacio
Ahora un ejemplo donde se involucren coordenadas esféricas. Se tiene un cono con-
ductor a potencial V0 como se muestra en la figura. Calcular el potencial en todo el
espacio.
Solución: Debido a la simetría, las superficies equipotenciales son conos con θ =
constante, independiente del ángulo φ y de r. El laplaciano en coordenadas esféricas
es (ver sección 1.2)
∇2 = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ ∂
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
∂2
∂φ2
el potencial electrostático 109
y puesto que V solo depende del ángulo azimutal θ, la ecuación de Laplace queda
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂V
∂θ
)
= 0
al excluir r = 0 y θ = 0
∂
∂θ
(
sin θ∂V
∂θ
)
= 0
vemos que al integrar una vez en θ
sin θ∂V
∂θ
= A
La segunda integral es
V =
ˆ
A
sin θdθ+B
donde A y B son constantes de integración. Esta integral no es trivial y se puede buscar en una tabla
V = A ln
(
tan θ2
)
+B
Con las condiciones de borde V (π/2) = 0 y V (α) = V0, α < π/2, se obtienen las constantes
V (θ) = V0
ln(tan θ2 )
ln(tan α2 )
El campo eléctrico se obtiene de ~E = −∇V = −1r
∂V
∂θ θ̂
~E(r, θ) = − V0
r sin θ ln(tan α2 )
θ̂
Todavía le podemos sacar más información de este problema. Por ejemplo el campo eléctrico en la superficie
del cono es (haciendo θ = α)
~E(r,α) = − V0
r sinα ln(tan α2 )
θ̂
y es perpendicular a la superficie del cono.
Usando el teorema de Gauss podemos determinar la densidad de carga superficial del cono (para ello
elegimos un cilindro perpendicular a la superficie del cono como superficie Gaussiana). Obtenemos
σ = − �0V0
r sinα ln(tan α2 )
110 electromagnetismo fmf-241 (2014)
3.9 El momento dipolar eléctrico
El concepto de momento dipolar eléctrico merece una sección especial.
Es un concepto útil en átomos y moléculas y también en dieléctricos como
veremos más adelante.
Se define un dipolo eléctrico a un sistema de dos cargas iguales y de
signo contrario, separadas entre sí por una pequeña distancia.
Figura 3.7: Un dipolo son dos cargas de
igual magnitud y signo contrario sepa-
radas por una distancia.
El momento dipolar eléctrico ~p es una magnitud vectorial cuyo módulo
equivale al producto de la carga Q por la distancia entre las cargas
p = Qd
La dirección del vector ~p va desde la carga negativa a la positiva
~p = Q~d
y la unidad de momento dipolar es [C.m], pero en la práctica se usa la
unidad Debye [D], donde 1D = 3.335× 10−30 C.m.
Ahora procederemos a calcular el potencial eléctrico debido a un di-
polo. En la figura 3.8 elegimos coordenadas esféricas para describir el
problema.
Figura 3.8: Geometría del problema pa-
ra calcular el campo eléctrico produci-
do por un dipolo.
El punto P tiene coordenadas (r,φ, θ), pero da lo mismo cualquier valor
de φ, así que colocamos el punto P en el plano yz (φ = 0). El potencial en
P será la suma de los potenciales de las cargas puntuales por separado:
V = ke
Q
R1
+ ke
(−Q)
R2
= keQ
(
1
R1
− 1
R2
)
= keQ
(
R2 −R1
R1R2
)
Ahora la idea es expresar el potencial en funciónde r y θ. Esto no
resulta en una expresión simple, pero para efectos prácticos necesitamos
conocer el potencial a una distancia r muy grande comparada con d
(d� r). Cuando P se encuentra muy alejado del dipolo, las líneas R1, r
y R2 son prácticamente paralelas, tal como muestra la figura 3.9.
Podemos seguir dos caminos para la aproximación:
(a) De acuerdo a la figura R2 −R1 ≈ d cos θ y R1R2 ≈ r2, con lo cual
el potencial es
V ≈ keQ
(
R2 −R1
R1R2
)
= ke
Qd cos θ
r2
el potencial electrostático 111
muy alejado
Figura 3.9: Situación donde el punto P
se encuentra muy alejado del dipolo, es
decir r � d.
(b) La otra forma es que de acuerdo a la figura R1 ≈ r − d2 cos θ y
R2 ≈ r+ d2 cos θ
V =V ≈ keQ
(
1
R1
− 1
R2
)
= keQ
(
1
r− d2 cos θ
− 1
r+ d2 cos θ
)
=keQ
(
r+ d2 cos θ− r+
d
2 cos θ
(r− d2 cos θ)(r+
d
2 cos θ)
)
después de simplificar
V ≈ ke
Qd cos θ
r2 − d24 cos2 θ
y después de considerar que d� r , r2 − d24 cos2 θ ≈ r2 y tenemos Potencial de un dipolo a una gran dis-
tancia.
V ≈ ke
Qd cos θ
r2
Notar que el potencial es cero en el plano xy (θ = π/2). Además de
la figura anterior ~d · r̂ = d cos θ, y como ~p = Q~d, podemos reescribir el
potencial en función del momento dipolar:
V ≈ ke
~p · r̂
r2
El campo eléctrico producido por el dipolo se calcula usando el gra-
diente en coordenadas esféricas
~E = −∇V = −
(
r̂
∂V
∂r
+ θ̂
1
r
∂V
∂θ
+ φ̂
1
r sin θ
∂V
∂φ
)
Campo eléctrico de un dipolo a una
gran distancia.
~E = ke
Qd
r3
(2 cos θr̂+ sin θθ̂)
112 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Figura 3.10: Lineas de campo eléctri-
co (negro) y superficies equipotenciales
(azul) de un dipolo eléctrico.
3.10 Conductores
En la sección 1.1 clasificamos los tipos de materiales de acuerdo a la
mayor o menor facilidad con que los electrones se mueven en un ma-
terial. En los conductores, por ejemplo los metales, los electrones son
esencialmente libres de moverse dentro del material. Estos electrones son
sensibles a fuerzas producidas, incluso, por pequeños campos eléctricos y
estos siguen moviéndose mientras persista el campo eléctrico.
3.10.1 Conductores en equilibrio electrostático
Figura 3.11: En (a) las cargas no es-
tán en equilibrio, pues existe un campo
eléctrico en el interior. En (b) el campo
es cero en el interior cuando se logra el
equilibrio electrostático.
Ahora vamos a examinar un caso especial cuando las cargas en un
conductor no se mueven, es decir están en equilibrio electrostático.
El equilibrio electrostático es una situación estacionaria e independien-
te del tiempo, y establece que en un conductor (cargado), las cargas (en
exceso) se distribuyen de tal manera de reducir la repulsión entre ellas.
Como resultado no hay movimiento neto de carga dentro del conductor.
Por ejemplo en la figura 3.11-a, supongamos que existe un campo eléc-
trico en el interior de un conductor. Este campo ejerce una fuerza sobre
las cargas que las ponen en movimiento (situación de no equilibrio). El
equilibrio se logra por medio de una redistribución de las cargas libres de
tal manera que ellas no sufran ninguna fuerza neta. El tiempo que esto
toma depende de la composición molecular del conductor. Como conse-
cuencia el campo eléctrico en el interior es cero, pero al estar las cargas
separadas (polarizadas), estas generarán un campo eléctrico que irradia
hacia el exterior del conductor (Fig. 3.11-b). Además en el exterior el
campo eléctrico no es cero.
el potencial electrostático 113
3.10.2 Propiedades de conductores en equilibrio electros-
tático
Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propieda-
des:
1. El campo eléctrico dentro de un conductor en equilibrio electrostático
es cero.
2. Cualquier carga neta en un conductor aislado debe estar en la super-
ficie.
3. El campo eléctrico justo afuera de un conductor cargado es perpendi-
cular a la superficie y la magnitud debe tener magnitud σ/�0.
4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga es mayor
donde el radio de curvatura de la superficie es menor
el campo eléctrico dentro de un conductor en equili-
brio electrostático es cero: Esto ya lo vimos en la figura an-
terior, pero para ilustrar con un caso especial, consideremos una placa
conductora en presencia de un campo eléctrico externo ~Eext (Fig. 3.12).
Antes de que se aplique el campo externo, los electrones estarán uni-
formemente distribuidos dentro del conductor. Una vez que se aplica el
campo ~Eext, las cargas positivas serán repelidas por el campo mientras
que las cargas negativas serán atraídas. Al estar la cargas separadas se
creará un campo eléctrico interno ~Eint en dirección contraria a ~Eext. Al
inicio ~Eint será pequeño, pero después de un tiempo muy corto (10−16 s)
~Eint = − ~Eext de tal manera que el campo en el interior será nulo.
Figura 3.12: Ilustración de que el cam-
po eléctrico en el interior de un con-
ductor en equilibrio electrostático es ce-
ro. Al inicio el conductor no estará en
equilibrio pues las cargas serán movidas
por el campo eléctrico externo. Debido
a la separación de las cargas aparece
un campo eléctrico interno que se opo-
ne al campo eléctrico externo. Después
de un tiempo corto se logrará el equi-
librio cuando la magnitud del campo
eléctrico interno sea igual a la del cam-
po eléctrico externo.
Si el campo en el interior no fuera nulo entonces, las cargas serían ace-
leradas por el campo; eso sería una contradicción de que el conductor
está en equilibrio electrostático. Esta propiedad es válida para conducto-
res cargados o conductores en presencia de campos eléctricos. Además,
puesto que el conductor puede tener cualquier forma la distribución de
carga es, en general, no uniforme para poder anular el campo eléctrico
en el interior. La figura 3.13 muestra una caja metálica en presencia de
114 electromagnetismo fmf-241 (2014)
tres campos eléctricos externos. También se han representado las líneas
de campo. Independientemente si la caja tiene carga en exceso (carga-
da), la acción de cada campo es ejercer una fuerza sobre las cargas y
distribuirlas de forma no uniforme. El campo eléctrico en todo punto del
espacio (incluyendo el interior de la caja) es la suma del campo debido a
la distribución de cargas en la caja y el campo externo. Como resultado
el campo al interior de la caja es nulo.
Figura 3.13: El campo eléctrico es nulo
en cualquier punto interior de una caja
conductora cerrada.
Por otro lado, la figura 3.14 es otro ejemplo donde se muestra una carga
puntual en presencia de tres conductores. La carga en los conductores se
polariza para a su vez generar campos eléctricos. El resultado es que el
campo eléctrico al interior de cada conductor en nulo.
−+
− − −−−−−−
+
+
+ + + + + +
−−
−
−
−
−
+ + +
−
−
+
+
+
+
+
−
−−−− − − −
+ + + + ++
+
Figura 3.14: Líneas de campo de una
carga puntual en presencia de tres
conductores. La configuración produce
además una polarización electrostática
en los conductores, los que a su vez ge-
neran campos eléctricos.
el potencial electrostático 115
cualquier carga neta en un conductor aislado debe es-
tar en la superficie: Podemos usar la ley de Gauss para demostrar
esta propiedad. Supongamos que tenemos un conductor cargado. Imagi-
nemos una superficie gaussiana muy cercana a la superficie del conductor
tal como muestra la figura. La ley de Gauss dice que el flujo a través de
esa superficie debe ser igual a la carga encerrada:
Figura 3.15: Un conductor de forma ar-
bitraria y una superficie gaussiana que
podemos colocar a cualquier distancia
de la superficie conductora.
Φ =
˛
S
~E · d ~A = Qenc/�0
pero, puesto que ~E = 0 en el interior, Φ=0, y en consecuencia Qenc = 0.
Es decir no hay carga en el interior.6 Ahora si colocamos la superficie
6 También podemos decir que la densi-
dad de carga es cero en el interior. La
forma diferencial de la ley de Gauss es-
tablece que ∇ ~E = ρ/�0 y recordando
que ~E = 0 en el interior, entonces ρ=0.
gaussiana arbitrariamente muy cerca de la superficie conductora, el re-
sultado será el mismo.Por lo tanto, si el conductor está cargado, la carga
debe estar necesariamente localizada en la superficie.
La figura 3.16 muestra dos esferas conductoras, una esfera más pequeña
cargada y la otra más grande neutra. El campo eléctrico radiado por la
esfera cargada mueve las cargas en la esfera neutra de tal forma que la
distribución de cargas no es uniforme. En efecto, la esfera neutra queda
con cargas negativas inducidas en un lado y con cargas positivas inducidas
en el otro lado (polarización electrostática). En ambos casos la carga se
distribuye sobre la superficie de las esferas conductoras.
Figura 3.16: Lineas de campo eléctrico
(sólidas) alrededor de dos esferas con-
ductoras esféricas. La esfera de la iz-
quierda tiene una carga neta Q , y la
esfera de la derecha es neutra. La car-
ga en ambas esferas se distribuye sobre
la superficie. Las líneas punteadas son
superficies equipotenciales.
el campo eléctrico justo afuera de un conductor carga-
do es perpendicular a la superficie y la magnitud debe
tener magnitud σ/�0: El campo en la superficie debe ser necesa-
riamente perpendicular a la superficie, pues si no lo fuera, existiría una
componente paralela a la superficie, lo que haría mover a los electrones
libres en contradicción con la condición de equilibrio electrostático.
Para demostrar que el campo tiene una magnitud de σ/�0, usamos la
ley de Gauss. Elegimos un cilindro como superficie gaussiana (Fig. 3.18).
116 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Figura 3.17: Si existiera una componen-
te paralela a la superficie, ~E‖ los elec-
trones acelerarían en contradicción con
la condición de equilibrio electrostáti-
co.
Como el campo en el interior es cero el flujo a través de la tapa interior del
cilindro es cero. Además como el campo es perpendicular a la superficie
del conductor, el flujo a través del manto del cilindro también será cero.
Por lo tanto, el flujo total a través del cilindro será Φ = EA. La carga
encerrada por el cilindro será simplemente la carga superficial contenida
en la superficie de área A. Es decir, Qenc = σA. Así la ley de Gauss queda
expresada:
EA = σA/�0
lo que demuestra que E = σ/�0.
Figura 3.18: Un pequeño cilindro es
usado como una superficie gaussiana
para calcular el campo afuera del con-
ductor. Como ~E es perpendicular a la
superficie, el flujo a través de las caras
del cilindro es EA.
El hecho de que el campo sea perpendicular a la superficie significa
que el conductor es una superficie equipotencial (∆V = 0). Efec-
tivamente si A y B son dos puntos en la superficie del conductor
entonces
∆V = VB − VA = −
B̂
A
~E · d~r
y puesto que ~E · d~r = 0, entonces ∆V = 0.
en un conductor de forma irregular, la densidad de car-
ga es mayor donde el radio de curvatura de la superficie
es menor: Esto es también conocido como “efecto punta”. Si un con-
ductor tiene un exceso de electrones libres, estos electrones se repelerán
y tratarán de estar lo más alejados posible unos de otros. En superficies
planas los electrones sienten una repulsión mayor que si estuvieran en una
región con alto grado de curvatura. En regiones con puntas los electrones
sentirán menos repulsión entre sí y habrá una mayor densidad de carga
en esa región y como consecuencia el campo eléctrico será más intenso.
"Plano""Plano" "Punta"Aumento de curvatura
Aumento de la magnitud del campo elećtrico
Figura 3.19: Efecto “punta”. A medida
que aumenta la curvatura la densidad
de carga aumenta y como consecuen-
cia el campo eléctrico incrementará su
intensidad.
Conductor
"Puntas"
Figura 3.20: Una superficie con dos
“puntas”. cada punta se puede imaginar
como dos esferas con diferentes radios
que dan cuenta del radio de curvatura.
Podemos ilustrar el “efecto punta” calculando la magnitud del cam-
po eléctrico para un caso especial. Supongamos que tenemos un conductor
el potencial electrostático 117
con una superficie irregular y localizamos dos puntas, tal como se muestra
en la Figura 3.20. Estas puntas las podemos aproximar como pequeñas
esferas conectadas entre sí, para que estén al mismo potencial. La figura
3.21 muestras estas dos esferitas con cargas q1 y q2 y que tienen radios
r1 y r2 respectivamente. La condición de superficie equipotencial de las
dos esferas es:
Figura 3.21: Las dos esferitas conecta-
das por un alambre están al mismo po-
tencial. Esta configuración se usa para
ilustrar el “efecto punta”.
V = ke
q1
r1
= ke
q2
r2
es decir q1q2 =
r1
r2
. Los respectivos campos eléctricos son:
E1 = ke
q1
r21
y E2 = ke
q2
r22
Lo que trae como consecuencia que
E1
E2
=
r2
r1
De este resultado se desprende que si r1 < r2 entonces E1 > E2. Es decir, El “efecto punta”. La esfera más peque-
ña genera un campo eléctrico más in-
tenso.
el campo es más intenso en las cercanías de la esfera más pequeña (con
mayor grado de curvatura).
EJEMPLO 3.12: Esfera neutra conductora
Capa conductora
Una carga puntual positiva Q está en el centro de una capa conductora
esférica con radio interior a y radio exterior b. Determinar el campo
eléctrico y el potencial en términos de la distancia radial r.
Solución: Usaremos la ley de Gauss. En la figura hemos dibujado tres
superficies gaussianas para los tres casos posibles.
Caso r > b: La superficie gaussiana S1 rodea a la carga Q y a la esfera
conductora. Como la esfera no tiene carga neta, la carga encerrada es
simplemente Q : ˛
~E · d ~A = Q/�0
y puesto que el campo es radial y de magnitud constante en la superficie,
se obtiene
Er = ke
Q
r2
r > b
el campo resultó ser el mismo de una carga puntual Q en ausencia de la esfera. El potencial considerando
V = 0 en el infinito es:
V1 = −
rˆ
−∞
~E · d~l = −
rˆ
−∞
Erdr = ke
Q
r
Caso a < r < b: Estamos en un punto del interior del conductor y consideramos la superficie gaussiana S2.
No hay que hacer ningún cálculo en realidad, el campo debe ser cero en el interior del conductor
Er = 0 a < r < b
Como el campo es cero, eso significa que el potencial V2 debe ser constante. Para calcular la constante, usamos
118 electromagnetismo fmf-241 (2014)
la continuidad del potencial en la frontera r = b
V2 = V1(b) = ke
Q
b
Como el campo es cero y la carga encerrada por la superficie S2 deber ser cero, eso
significa, que necesariamente, la cara interior del conductor debe estar cargada
con carga −Q y la cara exterior con carga −Q (ver figura).
Caso r < a: La superficie gaussiana S3 rodea a Q y el campo tiene la misma forma que en el caso r > b
Er = ke
Q
r2
r < a
y el potencial
V3 = −
ˆ
Erdr+C = ke
Q
r
+C
donde la constante de integración se calcula por la continuidad en r = a, V2(a) = V3(a)
ke
Q
b
= ke
Q
a
+C ⇒ C = keQ
(
1
b
− 1
a
)
y así obtenemos finalmente
V3 = keQ
(
1
r
+
1
b
− 1
a
)
el potencial electrostático 119
3.11 Condensadores
Comenzaremos por la definición más general de condensador.7 Un con- 7 También conocido por el nombre de
“capacitor”.densador tiene gran importancia práctica, y se compone de dos conduc-
tores aislados eléctricamente uno del otro, ya sea por medio del vacío o
un aislante (dieléctrico). Los conductores pueden tener cualquier forma
(ver figura 3.22), tienen cargas iguales y opuestas, y además existe una
diferencia de potencial entre ellos.
se puede demostrar experimentalmente que la magnitud de
la carga Q es proporcional a la diferencia de potencial V , y la constante de
proporcionalidad C se denomina capacidad del condensador y se escribe
como
Figura 3.22: Dos conductores aislados,
cargados y separados constituyen un
condensador.
C ≡ Q
V
La unidad de capacitancia es el Faradio (F)
1F = 1C1V
La capacidad de un condensador es una propiedad física de dos conducto-
res. La capacidad del condensador depende de dos factores: la geometría
del condensador y la permitividad (�) del medio.
3.11.1 Cálculo de capacidad
Puesto que la capacidad se define como Q/V necesitamos dos conduc-
tores con cargas opuestas de magnitud Q y además debemos calcular la
diferencia de potencial entre los conductores. Esta diferencia de potencial
se puede calcularcon las técnicas que ya hemos vistos en las secciones
anteriores.
EJEMPLO 3.13: Condensador de placas paralelas
Este condensador consiste en dos placas metálicas para-
lelas de área A, cargadas con una carga Q y separadas
por una distancia d. Si ignoramos los efectos de borde
podemos considerar el campo en el interior como unifor-
me, es decir estamos haciendo la aproximación de dos
planos infinitos. Si las placas tienen una densidad su-
perficial de carga σ, la carga se puede expresar como Q = σA. Fácilmente se obtiene que la magnitud del
campo en el interior es
E = σ/�0
La diferencia de potencial se obtiene de
∆V = VB − VA = −
bˆ
a
~E � d~l = −
bˆ
a
σ/�0dl = −σ/�0
bˆ
a
dl = − σ
�0
d = −Ed
120 electromagnetismo fmf-241 (2014)
donde b− a = d. Tomando el módulo de ∆V , la capacidad es
C =
Q
|∆V |
=
σA
σ
�0
d
=
�0A
d
EJEMPLO 3.14: Condensador cilíndrico
Este condensador consiste en un cilindro sólido de radio a y carga +Q rodeado
coaxialmente por una cáscara cilíndrica de radio b y carga opuesta −Q. La capa-
cidad se calcula conociendo el campo eléctrico entre a y b el cual es idéntico al del
alambre infinito:
~E =
2keλ
r
r̂
El campo es radial y hemos elegido el largo L del cilindro lo suficientemente grande
como para que la aproximación sea válida.
La diferencia de potencial entre los puntos a y b es
∆V = Vb − Va = −
bˆ
a
~E � d~l = −
bˆ
a
2keλ
r
r̂ � d~l
en coordenadas cilíndricas
r̂ � d~l = r̂ � (drr̂+ rdφφ̂+ dzẑ) = dr
por lo tanto
∆V = Vb − Va = −2keλ
bˆ
a
dr
r
= −2keλ ln(b/a)
por lo tanto la capacidad es
C =
Q
|∆V |
=
Q
2keλ ln(b/a)
pero λ = Q/L, donde L es el largo del cilindro
C =
L
2ke ln(b/a)
también se expresa como capacidad por unidad de longitud:
C
L
=
1
2ke ln(b/a)
Superficie gaussiana
Para calcular el campo eléctrico entre a y b. se usa la ley de Gauss. Para ello
elegimos una superficie gaussiana consistente en un cilindro coaxial de radio r
(ver figura). El procedimiento es casi idéntico al del alambre infinito.
el potencial electrostático 121
EJEMPLO 3.15: Condensador esférico
Un condensador esférico consiste de un cascarón conductor de radio b y
carga −Q concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio
a y carga +Q. Encontrar la capacidad de este sistema.
Solución: Lo primero es encontrar la diferencia de potencial entre los
conductores. Por medio de la ley de Gauss encontramos fácilmente que
el campo eléctrico para una distancia desde el centro de la esfera más
pequeña es
Er = ke
Q
r2
a < r < b
Este campo es radial, y por medio de integración obtenemos la diferencia
de potencial
Vb−Va = −
bˆ
a
Erdr = −
bˆ
a
ke
Q
r2
dr = −keQ
bˆ
a
dr
r2
= keQ
(
1
b
− 1
a
)
Notar que la diferencia de potencial es negativa. A nosotros nos interesa la magnitud para calcular la capacidad
∆V = |Vb−Va| = keQ
(b− a)
ab
entonces
C =
Q
∆V
=
ab
ke(b− a)
Con la expresión anterior podemos calcular la capacidad de un conductor aislado. Si hacemos que b→∞,
la capacidad es
C = ĺım
b→∞
ab
ke(b− a)
= ĺım
b→∞
a
ke(1− a/b)
=
a
ke
= 4π�0a
122 electromagnetismo fmf-241 (2014)
3.11.2 Conexión de condensadores
En primer lugar vamos a describir el proceso de carga del un condensador.
En el caso de un condensador de placas paralelas, inicialmente las placas
están neutras. Al conectar una batería los electrones son empujados desde
una placa hasta la otra de tal manera que una placa queda con deficiencia
de electrones (positiva) mientras que la otra placa queda con exceso de
electrones (negativa).
Figura 3.23: Símbolos para batería y
condensador.
En el proceso de carga, la batería pierde energía al efectuar trabajo
sobre los electrones. El proceso continua hasta que las placas llegan a su
capacidad máxima de recibir carga.
Figura 3.24: Proceso de carga de un
condensador. La energía invertida por
la batería se utiliza para trasferir elec-
trones de una placa a la otra.
3.11.3 Energía almacenada en un condensador
Supongamos que tenemos un condensador con capacidad C y una di-
ferencia de potencial ∆V entre las placas. De acuerdo a la definición de
capacidad, la carga q es igual a C∆V . Si transportamos una carga +dq
desde la placa negativa a la positiva, actuando contra la diferencia de
potencial ∆V . El trabajo realizado es
dW = ∆V dq =
q
C
dq
Ahora, partiendo de un condensador totalmente descargado, el trabajo
para llegar hasta una carga total Q es:
W =
Q̂
0
q
C
dq =
1
C
Q̂
0
qdq =
Q2
2C
Este trabajo aparece como energía potencial U almacenada en el conden-
sador. Usando la definición C = Q/∆V , la energía potencial se puede
escribir de tres maneras: Esta ecuación es válida para cualquier
condensador no importando su geome-
tría.
W =
Q2
2C =
1
2Q∆V =
1
2C(∆V )
2
el potencial electrostático 123
3.12 Dieléctricos
Hasta aquí hemos considerado solamente cargas en el vacío. En el
caso del condensador de placas paralelas supusimos que no había ningún
medio material entre las placas (vacío). Si colocáramos el condensador en
un medio no conductor o dieléctrico, entonces la capacidad cambiaría.
Figura 3.25: Representación de una mo-
lécula con un momento dipolar perma-
nente.
Las moléculas son neutras a nivel macroscópico, pero si éstas son so-
metidas a un campo eléctrico externo, se producen desplazamientos de
cargas dentro de la molécula de tal forma que se crean pequeños dipolos
eléctricos (momentos dipolares inducidos). La mayoría de las moléculas
tienen un momento dipolar permanente así que las moléculas se reorien-
tan en presencia de un campo eléctrico externo (Fig. 3.26).
a) Sin campo b) Campo aplicado
Figura 3.26: a) Las moléculas están
orientadas en forma aleatoria en un ma-
terial dieléctrico. b) Se aplica un cam-
po eléctrico externo y las moléculas se
orientan con el campo.
Al ser orientadas las moléculas en el dieléctrico, estas generan “di-
politos” que a su vez generan pequeños campos eléctricos en dirección
contraria al campo eléctrico externo (Fig. 3.27). La suma de estos peque-
ños campos eléctricos (∆ ~Eind) da origen a un campo eléctrico inducido
~Eind que se opone al campo externo ~E0.
~Eind =
∑
∆ ~Eind
Figura 3.27: Al reorientarse los dipolos,
estos crean un campo eléctrico induci-
do que se opone al campo eléctrico ex-
terno.
Como resultado tenemos un campo neto ~E en el interior del dieléctrico,
que es la suma vectorial de ~E0 y ~Eind:
~E = ~E0 + ~Eind
Puesto que ~E0 y ~Eind apuntan en dirección contraria, la magnitud de ~E
se expresa como
E = E0 −Eind
En el caso de un condensador de placas paralelas (Fig. 3.28), experi-
mentalmente se demuestra que al introducir un dieléctrico entre
124 electromagnetismo fmf-241 (2014)
las placas, la diferencia de potencial y la magnitud del campo eléctrico
disminuyen en un factor κ
Figura 3.28: Al introducir un dieléctri-
co entre las placas de un condensador
de placas paralelas, la capacidad au-
menta en un factor κ > 1.
V =
V0
κ
~E =
~E0
κ
donde κ > 1 es llamada la constante dieléctrica del dieléctrico.
Puesto que C0 = Q0/V0, la nueva capacidad se obtiene
C =
Q0
V
=
Q0
V0
κ
= κ
Q0
V0
= κC0
C = κC0
es decir, la nueva capacidad aumenta en un factor κ.
La aparición de ~Eind en el condensador de placas paralelas es equiva-
lente a la aparición de una densidad de carga superficial en ambas caras
del dieléctrico (Fig. 3.29). Partiendo de
E = E0 −Eind
y dado que E0 = σ/�0, E = E0/κ = σ/κ�0 y Eind = σind/�0
σ
κ�0
=
σ
�0
− σind
�0
y se obtiene la densidad de carga superficial inducida
Figura 3.29: El campo eléctrico induci-
do es equivalente a un campo generado
por dos placas paralelas con densidad
de carga σind.
σind =
(
κ− 1
κ
)
σ
3.12.1 Vector de polarización
Para formalizar todo lo anterior, vamos a introducir el concepto de
vector de polarización ~P . Este vector expresa la densidad permanente o
inducida de momento dipolar en un medio dieléctrico.
Supongamos una región pequeña ∆v de un dieléctrico y sea N el nú-
mero de dipolos que hay en el interior de ∆v,8entonces se define ~P : 8 Si n es el númerode dipolos por uni-
dad de volumen (dipolos/volumen), en-
tonces en un volumen ∆v hay N = n∆v
dipolos.
~P ≡ ĺım
∆v→0
N∑
i=1
~pi
∆v
El vector de polarización es la densidad de volumen del momento dipolar
eléctrico. También en los libros de texto ~P se define como ∆~p∆v cuando
∆v → 0. De este modo ~P se convierte en una función de las coordenadas,
~P (x, y, z).
Figura 3.30: El número dipolos en un
pequeño volumen ∆v define el vector de
polarización en esa región.
¿Se acuerdan del potencial en función del momento dipolar?
V = ke
~p � r̂
r2
el potencial electrostático 125
de aquí
dV = ke
d~p � r̂
r2
Si consideramos un volumen elemental dv (Fig. 3.31), el momento dipolar
se puede escribir en función de ~P
d~p = ~Pdv
por lo tanto
Figura 3.31: El potencial dV a una dis-
tancia r del elemento de volumen dv en
un dieléctrico.
dV = ke
( ~Pdv) � r̂
r2
= ke
~P � r̂
r2
dv
Ahora integramos sobre el volumen V del dieléctrico para obtener el
potencial total
V = ke
ˆ
V
~P � r̂
r2
dv
Análogamente el potencial expresado en función de los vectores de
posición (Fig. 3.32) se expresa como:
V (~r) = ke
ˆ
V ′
~P (~r′) � (~r− ~r′)
|~r− ~r′|3
dv′
Figura 3.32: El potencial en un punto
cuyo radio vector es ~r.
La expresión anterior se puede escribir de otra manera más conveniente:9
9 Se deja al lector la deducción o pue-
de consultar el libro de Reitz-Milford-
Christy, páginas 100-101.
V (~r) = ke
˛
A′
~P � n̂
|~r− ~r′|
dA′ + ke
ˆ
V ′
(−∇′ � ~P )
|~r− ~r′|
dv′
donde ∇′ � ~P significa derivadas con respecto a las coordenadas primas
(x′, y′, z′) en el dieléctrico, V ′ es el volumen del dieléctrico, A′ es la su-
perficie que rodea a V ′ y el vector n̂ es un vector unitario normal saliendo
desde el elemento de superficie dA′.
Los términos ~P � n̂ y −∇′ � ~P reciben nombres especiales:
Densidad superficial de carga de polarización
σP ≡ ~P � n̂ [C/m2]
Densidad volumétrica de carga de polarización
ρP ≡ −∇ � ~P [C/m3]
Con esto reescribimos el potencial:
V (~r) = ke
˛
A′
σP
|~r− ~r′|
dA′ + ke
ˆ
V ′
ρP
|~r− ~r′|
dv′
EJEMPLO 3.16
El vector de polarización en una esfera dieléctrica de radio R es ~P = P0î. Determinar:
(a) La densidad superficial de polarización y la carga de polarización:
La densidad de carga de polarización superficial es σP = ~P � n̂, donde n̂ es normal a la superficie de la
esfera de radio R. En este caso usamos r̂en vez de n̂
σP = ~P � n̂ = ~P � r̂ = P0î � r̂
126 electromagnetismo fmf-241 (2014)
obviamente aquí tenemos la dificultad de calcular cuanto vale î · r̂. Para ello escribimos el vector unitario r̂
expresado en función de los vectores unitarios cartesianos, r̂ = sin θ cosφî+ sin θ sinφĵ + cos θk̂, de tal modo
que
î � r̂ = î � (sin θ cosφî+ sin θ sinφĵ + cos θk̂) = sin θ cosφ
es decir
σP = P0 sin θ cosφ
La carga superficial de polarización se calcula con dA en coordenadas esféricas, dA = R2 sin θdθdφ
QS =
˛
σP dA =
2πˆ
0
π̂
0
(P0 sin θ cosφ)R2 sin θdθdφ = P0R2
2πˆ
0
π̂
0
sin2 θ cosφdθdφ = 0
es cero pues integral
´ π
0 cosφdφ = 0
(b) La densidad volumétrica de polarización y la carga de polarización:
El resultado es inmediato, pues
ρP = −∇ � ~P = −∇ � (P0î) = −P0∇ � (î) = 0
así que la carga dentro de la esfera es
Qv =
˛
ρP dv = 0
Nota: La carga total de la esfera es QS +Qv = 0. Es un resultado esperado pues la esfera es neutra.
3.12.2 Vector de desplazamiento
Como vimos anteriormente, cuando un dieléctrico está polarizado, apa-
rece una densidad volumétrica de carga ρP . Esta densidad genera a su
vez un campo eléctrico, el cual se superpone a cualquier otro campo eléc-
trico presente. Si partimos de la forma diferencial de la ley de Gauss en
el vacío
∇ � ~E = ρ/�0
en el caso de un dieléctrico hay que incluir la densidad ρP en la ecuación10 10 En algunos libros de texto, ρ se llama
“densidad de carga libre” y ρP se llama
“densidad de carga ligada”. Entonces se
escribe:
∇ · ~E = 1
�0
(ρlibre + ρligada)
∇ � ~E = 1
�0
(ρ+ ρP )
pero como ρP = −∇ · ~P , lo reemplazamos en la ecuación anterior
∇ � ~E = 1
�0
(ρ−∇ � ~P )
y reordenando
∇ � (�0 ~E + ~P ) = ρ
La expresión entre paréntesis se llama densidad de flujo eléctrico o des-
plazamiento eléctrico, ~D que tiene unidades de [C/m2]
~D = �0 ~E + ~P
Esto nos permite formular la forma diferencial de la ley de Gauss en
forma más general Forma diferencial de la ley de Gauss en
un dieléctrico.∇ � ~D = ρ
el potencial electrostático 127
donde ρ es la densidad de carga volumétrica de las cargas libres (o den-
sidad de carga externa).
Análogamente la forma integral de la ley de Gauss en presencia de
dieléctricos es Forma integral de la ley de Gauss en un
dieléctrico.˛
S
~D � d ~A = Q
3.12.3 Susceptibilidad eléctrica y constante dieléctrica
El grado de polarización de un dieléctrico va a depender de la natura-
leza molecular del dieléctrico y también del campo eléctrico aplicado. A
nivel macroscópico, experimentalmente se encuentra que ~P depende de
~E, ~P = ~P ( ~E), es decir si ~E varía en todo punto del material, entonces
así lo hará ~P .
La forma más sencilla es cuando el material es isotrópico y ~P depende
linealmente de ~E:
~P = χ(E) ~E
donde la cantidad escalar χ(E) es llamada susceptibilidad eléctrica del
material.
Podemos combinar esta ecuación con ~D = �0 ~E + ~P
~D = �0 ~E + χ(E) ~E = (�0 + χ(E)) ~E
y definir la permitividad del material �(E)
�(E) = �0 + χ(E)
de tal forma que el desplazamiento toma una forma más simple11 11 Escribimos χ(E) o �(E) diciendo que
estas “constantes” dependen de ~E, pero
en algunos materiales lineales estas son
independientes del campo y escribimos
simplemente � = �0 + χ.
Si χ es constante, entonces ~P es pa-
ralelo a ~E.
Si � es constante, entonces ~D es pa-
ralelo a ~E.
~D = �(E) ~E
Recordemos que ya habíamos introducido la constante dieléctrica κ,
la cual ahora podemos relacionar con �
� = κ�0
y puesto que κ es una cantidad adimensional, es más conveniente trabajar
con ella
κ =
�
�0
= 1 + χ
�0
por lo tanto, para un medio lineal
~P = (κ− 1)�0 ~E = (�− �0) ~E y ~D = κ�0 ~E
128 electromagnetismo fmf-241 (2014)
EJEMPLO 3.17: Carga puntual en un medio dieléctrico
Superficie
gaussiana
Este es el ejemplo muy sencillo, pero muy ilustrativo.
Sea una carga puntual q localizada en el origen y sumi-
da en un dieléctrico de extensión infinita y constante κ.
Encontrar el campo eléctrico en el dieléctrico.
Solución: Si la carga estuviera situada en el vacío el
campo sería simplemente keq/r2. Vamos a suponer que
el material es lineal de forma que ~E, ~D y ~P son paralelos.
El campo eléctrico es radial, así que ~D y ~P también lo
son.
Vamos a proceder a usar la ley de Gauss y elegimos
como superficie gaussiana una esfera de radio r
˛
S
~D � d ~A = q
la carga encerrada es q, ~D tiene magnitud constante en
toda la superficie gaussiana de radio r y además es pa-
ralelo a d ~A
D
˛
S
dA = q ⇒ D4πr2 = q ⇒ D = q4πr2
En forma vectorial queda
~D =
q
4πr2 r̂ =
q
4πr3~r
El campo eléctrico se evalúa de ~D = � ~E = κ�0 ~E
~E =
q
4πκ�0r2
r̂ =
q
4πκ�0r3
~r
y la polarización de ~P = (κ− 1)�0 ~E
~P =
(κ− 1)q
4πκr3 ~r
Nota: Como se puede observar en la figura, el campo eléctrico generado por q hace que el medio dieléctrico
se polarice y puesto que κ > 1, el campo eléctrico se debilita en un factor κ. Además si el medio dieléctrico
es el vacío, κ = 1 y la polarización se anula.
el potencial electrostático 129
3.12.4 Condiciones de borde
Ahora vamos a considerar dos dieléctricos separados por una superfi-
cie de frontera (lado izquierdo de la figura 3.33). Queremos saber como
cambian los vectores ~E y ~D cuando estos cruzan la frontera.
a
b
c
d
Región 1
Región 2
Figura 3.33: Superficie de separación
entre dos medios dieléctricos. A la iz-
quierda una trayectoria rectangular y
a la derecha una superficie gaussiana
en forma de cilindro. En ambos casos
∆h es muy pequeño de tal forma que se
cumpla la condición de frontera.
Primero comenzamos con el hecho de que el campo eléctrico es conser-
vativo, y por lotanto la integral de línea a través de un camino cerrado es
cero. En nuestro caso elegimos el camino abcd de la figura 3.33 y hacemos
∆h muy pequeño para que se cumpla la condición de frontera:
˛
abcd
~E � d~l = 0
Ahora descomponemos la trayectoria abcd en los trazos ab, bc, cd y da:
˛
ab
~E � d~l+
˛
bc
~E � d~l+
˛
cd
~E � d~l+
˛
da
~E � d~l = 0
Vemos que
¸
bc
~E � d~l =
¸
da
~E � d~l = 0 si hacemos que ∆h→ 0, pues de esa
forma las contribuciones de estos dos trazos se hace cero. Entonces sólo
nos queda evaluar la expresión:
˛
ab
~E � d~l+
˛
cd
~E � d~l = 0
En los trazos ab y cd, sólo las componentes tangenciales contribuyen a las
integrales. Entonces ~E2 � d~l = E2t∆w y ~E1 � d~l = E1t(−∆w), por lo tanto
˛
ab
~E � d~l+
˛
cd
~E � d~l = E2t∆w−E21∆w = 0
de ese modo
E2t∆w−E21∆w = (E2t −E21)∆w = 0
Puesto que ∆w 6=0, tenemos la condición de frontera para el campo eléc-
trico es Condición de frontera para el campo
eléctrico. La componente tangencial es
continua a través de una superficie de
separación.
E1t = E2t
130 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Recordando que ~D = � ~E, si tenemos dos medios con permitividades
�1 y �2, se cumple que
D1t
�1
=
D2t
�2
La otra condición de frontera es para el vector desplazamiento
eléctrico ~D. Para ello construimos una caja de “píldoras” que esté entre
la frontera de los dos medios (lado derecho de la figura 3.33). Usamos la
ley de Gauss ˛
S
~D � ~dA = Q
Descomponemos la integral en dos partes correspondientes a los dos me-
dios dieléctricos: ˛
S1
~D1 � ~dA+
˛
S2
~D2 � ~dA = Q
Donde S1 y S2 representan las superficies parciales del cilindro en el medio
1 y medio 2 respectivamente. Nuevamente consideramos que la altura ∆h
del cilindro es muy pequeña tal que las contribuciones del manto es cero.
Sólo no queda la contribución de las dos tapas, donde las componentes
perpendiculares del vector ~D son paralelas a d ~A:
˛
S1
~D � d ~A+
˛
S2
~D � ~dA = −D1n
˛
S1
dA+D2n
˛
S2
dA = Q
El signo menos viene del hecho de que d ~A forma un ángulo de 180°
con ~D1n en el medio 1. La carga encerrada se expresa en función de la
densidad superficial de carga, Q = σ∆A
−D1n∆A+D2n∆A = σ∆A
con lo que se obtiene la segunda condición de frontera: La componente normal de ~D es discon-
tinua a través de una superficie de sepa-
ración cuando existe una carga superfi-
cial.
D2n −D1n = σ ó �2E2n − �1E1n = σ
Se debe tener en cuenta que D1n, D2n, E1n y E2n son todos valores
absolutos. Una forma menos peligrosa de escribir lo anterior es:
( ~D1 − ~D2) · n̂2 = σ
donde el vector unitario normal n̂2 apunta hacia afuera del medio 2 (o
hacia adentro del medio 1).
el potencial electrostático 131
EJEMPLO 3.18: Lámina dieléctrica en un campo eléctrico uniforme
Espacio
libre
Espacio
libre
Se introduce perpendicularmente una lámina de dieléctrico con κ = 3.2 en un
campo eléctrico uniforme ~E0 = E0î en el espacio libre. Determinar ~Ei, ~Di y ~Pi
en el interior de la lámina.
Solución: Vamos a suponer que el campo eléctrico ~E0 no cambiará al introducir
la lámina. En la figura las superficies de separación son perpendiculares al campo
eléctrico y además no hay cargas libres (σ = 0). Aplicamos la segunda condición
de frontera que relaciona las componentes normales del vector desplazamiento
(D2n −D1n = σ).
Di︸︷︷︸
dielectrico
− D0︸︷︷︸
vacio
= 0
pero como el campo eléctrico y el desplazamiento son paralelos y van en la
dirección x, D0 = �0Eo, tenemos
Di = D0 = �0Eo
o en forma vectorial
~Di = �0Eoî
El campo eléctrico es
~Ei =
1
�
~Di =
�0Eo
�
î =
1
κ
Eoî =
Eo
3.2 î
La polarización se calcula de ~Pi = (κ− 1)�0 ~Ei
~Pi = (κ− 1)�0
Eo
κ
î = 0.6875�0Eoî
Finalmente si aplicamos las mismas condiciones de borde en el lado derecho de la lámina, el resultado será
el mismo.
EJEMPLO 3.19
Superficie
sin carga
Dos medios dieléctricos con permitividades �1 y �2 están separados
por una frontera libre de cargas. Los vectores ~E1y ~E2 forman ángulos
θ1 y θ2 con la normal respectivamente, tal como se muestra en la
figura. De la condición E1t = E2t se obtiene:
E1 sin θ1 = E2 sin θ2 (∗)
Por otro lado, ya que σ = 0, la condición para ~D es D1n −D2n = 0
D1 cos θ1 = D2 cos θ2
pero como D1 = �1E1 y D2 = �2E2 reemplazamos en la anterior
�1E1 cos θ1 = �2E2 cos θ2 (∗∗)
132 electromagnetismo fmf-241 (2014)
dividiendo (*) por (**) llegamos a
E1 sin θ1
�1E1 cos θ1
=
E2 sin θ2
�2E2 cos θ2
⇒ tan θ1
�1
=
tan θ2
�2
es decir
tan θ1
tan θ2
=
�1
�2
La magnitud de ~E2 se calcula de
E2 =
√
E22t +E
2
2n =
√
(E2 sin θ2)2 + (E2 cos θ2)2
si ahora reemplazamos E2 = E1 sin θ1sin θ2 en la expresión anterior:
E2 =
√
(E1
sin θ1
sin θ2
sin θ2)2 + (E1
sin θ1
sin θ2
cos θ2)2 =
√
(E1 sin θ1)2 + (E1
sin θ1
sin θ2
cos θ2)2
de la expresión tan θ1tan θ2 =
�1
�2
se encuentra que sin θ1 cos θ2sin θ2 =
�1 cos θ1
�2
y
E2 =
√
(E1 sin θ1)2 + (
�1
�2
E1 cos θ1)2
obteniéndose finalmente
E2 = E1
√
sin2 θ1 + (
�1
�2
cos θ1)2
EJEMPLO 3.20: Condensador con dos dieléctricos
Ahora vamos a considerar un condensador de placas paralelas con dos
medios dieléctricos de permitividad distinta. Suponemos un diferencia de
potencial V entre las placas. Los campos eléctricos en las dos regiones
son uniformes y debe cumplirse que
V = E1d1 +E2d2 (∗)
En la interfaz dieléctrica no hay carga libre y debe cumplirse la condición de frontera para ~D
D1n = D2n ó �1E1 = �2E2
Si eliminamos E2 y reemplazamos en (*)
V = E1d1 +
�1E1
�2
d2 = E1(d1 +
�1
�2
d2)
despejamos E1
E1 =
V
d1 +
�1
�2
d2
(∗∗)
Por otro lado, la placa inferior es un conductor, por lo tanto ~Dplaca = 0 y como la condición de frontera dice
que D1 −Dplaca = D1 − 0 = σ, se obtiene
D1 = �1E1 = σ
el potencial electrostático 133
y reemplazamos esto en (**)
σ
�1
=
V
d1 +
�1
�2
d2
⇒ V = σ
�1
(d1 +
�1
�2
d2) = σ
(
d1
�1
+
d2
�2
)
Puesto que D1 = D2, la magnitud de la carga superficial es la misma en ambas caras. La capacidad se calcula
de:
C =
Q
V
=
σA
V
=
σA
σ
(
d1
�1
+ d2�2
) = 1(
d1
�1A
+ d2�2A
) (∗ ∗ ∗)
Si imaginamos que el condensador está compuesto por dos condensadores en serie con capacidades
C1 =
�1A
d1
y C2 =
�2A
d2
vemos que de (***)
1
C
=
d1
�1A
+
d2
�2A
=
1
C1
+
1
C2
que es la fórmula para calcular la capacidad de dos condensadores en serie.
EJEMPLO 3.21
Las placas conductoras del condensador de la figura tienen largo L (hacia
el fondo) y una densidad de carga +σ(r) y −σ(r) respectivamente.
Donde σ(r) = Ar , A > 0. Calcular:
(a) La carga por unidad de largo en cada una de las placas.
(b) La diferencia de potencial entre las placas.
(c) Las cargas de polarización del dieléctrico.
Solución (a): La carga se calcula integrando la densidad en una de
las superficies metálicas y considerando el elemento de área dado por
dA = drdz
Q =
ˆ
placa
σdA =
L̂
0
bˆ
a
A
r
drdz = LA ln
(
b
a
)
donde L es el largo del la placa. Por lo tanto la carga por unidad de longitud es
Q
L
= A ln
(
b
a
)
Solución (b): Suponemos que las placas están a una diferencia de potencial V0. Ahora vamos a calcular el
potencial en cualquier punto entre las placas con el objetivo de calcular el campo eléctrico y luego el vector
desplazamiento. Por la simetría del problema las superficies equipotenciales corresponden a planos que pasan
por el vértice y por lo tanto el potencial sólo dependerá del ángulo φ en coordenadas cilíndricas (esta parte
del problema es idéntica al ejemplo 3.9).
1
r2
∂2V
∂φ2
= 0
y para r 6= 0 se tiene ∂2V
∂φ2 =0 . Esta es una ecuación diferencial simple, que puede resolverse integrando dos
veces V (φ) = C1φ+C2. Las constantes C1 y C2 se obtienen imponiendo las condiciones de borde V (0) = 0
134 electromagnetismo fmf-241 (2014)
y V (α) = V0 para llegar a:
V (φ) =
V0
α
φ 0 < φ < α
El campo eléctrico se obtiene de
~E = −1
r
∂V
∂φ
φ̂ = −V0
rα
φ̂ ~D = � ~E = −�V0
rα
φ̂
Vamos a usar la condición de discontinuidad del vector desplazamiento en la frontera dieléctrico-conductor.
Vamos a considerar la placa superior que está a potencial V0. Entonces el medio 2 es el conductory el medio
1 es el dieléctrico. Usando D2n −D1n = σ
0−Dn = −
(
−�V0
rα
)
= σ ⇒ σ = �V0
rα
(∗)
donde el vector desplazamiento dentro del conductor (medio 2) es cero. Ahora igualamos (*) con Ar
�V0
rα
=
A
r
⇒ V0 =
Aα
�
También podríamos haber usado la forma ( ~D1− ~D2) � n̂2 = σ. En nuestro caso el medio 1 es el dieléctrico,
el medio 2 es la placa (conductor) de arriba y n̂2 = −φ̂ sale de la placa (entra en el dieléctrico). Además
sabemos que en el conductor no hay campo eléctrico, luego ~D2 = 0. Si ponemos ~D1 = ~D, tenemos que
~D · n̂2 = σ
~D � (−φ̂) = σ ⇒ −�V0
rα
φ̂ � (−φ̂) = �V0
rα
= σ
Solución (c): La cargas de polarización se obtienen calculando primero:
~P = (�− �0) ~E = −(�− �0)
V0
rα
φ̂ = −(�− �0)
A
r�
φ̂
La densidad volumétrica de carga de polarización es ρP = −∇ · ~P
ρP = −∇ � ~P = −
(
1
r
∂(rPr)
∂r
+
1
r
∂Pφ
∂φ
+
∂Pz
∂z
)
= −1
r
∂Pφ
∂φ
= 0
es cero porque Pφ no depende de φ.
La densidad superficial de carga de polarización es σP = ~P · n̂, donde n̂ es un vector normal que sale de
la superficie del dieléctrico. Tenemos dos fronteras:
σP = ~P · n̂ = −(�− �0)
A
r�
φ̂ · (−φ̂) = (�− �0)
A
r�
θ = 0
σP = ~P · n̂ = −(�− �0)
A
r�
φ̂ · (+φ̂) = −(�− �0)
A
r�
θ = α
Notar que la suma de todas las cargas de polarización es cero.
el potencial electrostático 135
3.12.5 La ecuación de Poisson y Laplace en un medio
dieléctrico
Si el medio dieléctrico es lineal, estas ecuaciones se pueden deducir de
∇ · ~D = ρ, ~D = � ~E y de ~E = −∇V Ecuación de Poisson en un dieléctrico
de permitividad �.
∇2V = −ρ
�
donde todo parece suponer que se ha reemplazado �0 por �. Por otro lado
la ecuación de Laplace queda idéntica a la del vacío Ecuación de Laplace.
∇2V = 0
EJEMPLO 3.22
Considere dos placas rectangulares conductoras perfectas dis-
puestas con sus planos formando un ángulo α como muestra
la figura. El largo de las placas en dirección perpendicular al
papel es L. El espacio entre las placas se rellena con materiales
dieléctricos distintos, de constantes dieléctricas �1, �2 y �3. Se
conecta la placa inferior a tierra (V = 0) y la superior a un
potencial V = V0.
Considerando solo el primer trozo, en a < r < b, calcule los
campos ~E, ~D, ~P , la densidad de carga libre sobre cada pla-
ca, las densidades superficiales de carga de polarización y la
capacidad.
Solución: En un problema anterior habíamos calculado el
potencial entre las placas resolviendo la ecuación de Lapla-
ce en coordenadas cilíndricas: 1
r2
∂2V
∂φ2 = 0 cuya solución era
V (φ) = C1φ+C2 y con las condiciones de obtuvimos
V (α) =
V0
α
φ 0 < φ < α
El campo eléctrico es
~E = −∇V = −1
r
∂
∂φ
(
V0
α
φ
)
φ̂ = −V0
αr
φ̂
El desplazamiento en el dieléctrico 1 es
~D1 = �1 ~E1 = −
�1V0
αr
φ̂
~P1 = (κ1 − 1)�0 ~E = (�1 − �0) ~E = −(�1 − �0)
V0
αr
φ̂
La densidad de carga libre se obtiene de la discontinuidad del vector ~D
( ~D1 − ~D2) · n̂2 = σ
donde n̂2 es el vector unitario normal que sale de la superficie 2.
136 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Para la placa de abajo elegimos ~D1 en el dieléctrico y ~D2 = 0 dentro de la placa metálica y además n̂2 = φ̂
(saliendo de la región 2, la placa). Nos quedamos con la condición:
σ = ( ~D1 − 0) · φ̂ = −
�1V0
αr
φ̂ · φ̂ = −�1V0
αr
En la placa superior el vector normal n̂2 = −φ̂ y la superficie 2 es la placa
σ = ( ~D1 − 0) · (−φ̂) = −
�1V0
αr
φ̂ · (−φ̂) = + �1V0
αr
Ahora calculamos la carga en la placa superior teniendo en cuenta que el elemento de área en la placa es
dA = drdz:
Q1 =
ˆ
σdA =
L̂
0
bˆ
a
�1V0
αr
drdz = L
�1V0
α
bˆ
a
dr
r
= L
�1V0
α
ln(b/a)
entonces la capacidad es Q/V0
C1 =
L�1
α
ln(b/a)
Las densidades superficiales de carga de polarización se calculan de σP = ~P1 · n̂2. En la superficie inferior
n̂2 = −φ̂, por lo tanto
σP = −(�1 − �0)
V0
αr
φ̂ · (−φ̂) = (�1 − �0)
V0
αr
φ̂
en la placa superior es el negativo pues n̂2 = φ̂.
Cada placa es una equipotencial, por lo tanto la diferencia de potencial es la misma en todos los trozos
con diferente permitividad. Lo mismo ocurre con ~E. Todo lo demás depende de la permitividad, así que
serán distintos en cada dieléctrico.
Cada trozo está entre placas a igual potencial, por lo que están en paralelo y la capacidad total será:
C =
L
α
[�1 ln(b/a) + �2 ln(c/b) + �3 ln(d/c)]
EJEMPLO 3.23
Considere dos cascarones metálicos cilíndricos y concéntricos de radios a y
b y largo L� b, a. El interior de este condensador se llena con 8 materiales
distintos de forma regular, es decir, cada material ocupa el mismo espacio
entre los conductores, como se muestra en la figura. Cada material es
caracterizado por una constante dieléctrica uniforme. Suponiendo que el
conductor interior se conecta a un potencial V0 y el exterior a tierra (V =
0), determinar:
(a) La capacitancia de un condensador consistente de un sólo dieléctrico
con las dimensiones de la figura. Puede ocupar por ejemplo el condensador
que tiene permitividad �1.
(b) La capacitancia total del sistema mostrado en la figura. ¿Como es la
conexión de los dieléctricos? ¿En paralelo o en serie?
(c) Determine ~P y la densidad superficial de carga de polarización sobre las superficies de o cada dieléctrico.
Solución:
el potencial electrostático 137
(a) Para calcular la capacidad necesitamos primero calcular la carga sobre la superficie de una de las esferas.
Para ello necesitamos calcular el vector ~D = �1 ~E. El campo lo obtenemos del potencial que se calcula de
la ecuación de Laplace en coordenada cilíndricas. El potencial dependerá solamente de r pues las superficies
equipotenciales son esferas concéntricas:
∇2V1 =
1
r
∂
∂r
(
r
∂V
∂r
)
= 0
para r 6= 0 se tiene
∂
∂r
(
r
∂V
∂r
)
= 0 ⇒ r ∂V
∂r
= A ⇒ V = A ln r+B
las constantes A y B se encuentran a partir de las condiciones de borde V (a) = V0 y V (b) = 0, es decir
A =
V0
ln(a/b) y B = −
V0 ln b
ln(a/b)
V =
V0
ln(a/b) ln r−
V0 ln b
ln(a/b) =
V0
ln(a/b) ln(r/b)
El campo eléctrico es
~E = −∇V = −r̂ ∂V
∂r
= − V0ln(a/b)
1
r
r̂ =
V0
ln(b/a)
1
r
r̂ ⇒ ~D = �1 ~E =
�1V0
ln(b/a)
1
r
r̂
Ahora procedemos a calcular la carga a partir de la ley de Gauss considerando que ~D es radial y por lo
tanto es paralelo al vector d ~A
Q =
ˆ
S
~D · d ~A
para ello elegimos la superficie gaussiana como un cilindro que encierra la región del dieléctrico de largo L
y que corresponde a un octavo del cilindro con un ángulo 2π/8 = π/4. Considerando que ~D es paralelo al
vector d ~A y que el elemento de área en coordenadas cilíndricas es dA = rdφdz
Q =
π/4ˆ
0
L̂
0
DdA =
π/4ˆ
0
 L̂
0
�1V0
ln(b/a)
1
r
rdz
 dφ = �1V0Lπ4 ln(b/a)
Finalmente la capacidad es
C1 =
Q
V0
=
�1Lπ
4 ln(b/a)
Otra forma de haber calculado la carga es usando la discontinuidad del vector ~D en la superficie:
D1n −D2n = σ
donde D2n = 0, que corresponde adentro del conductor, entonces σ = �1V0ln(b/a)
1
r y se obtiene la misma carga
de
Q =
ˆ
S
σdA
(b) Para calcular la capacidad total debemos observar que todos los condensadores están a una misma
diferencia de potencial, por lo tanto están en paralelo. La capacidad total es la suma de las capacidades
C =
�1Lπ
4 ln(b/a) +
�2Lπ
4 ln(b/a) + · · · =
Lπ
4 ln(b/a) (�1 + �2 + �3 + �4 + �5 + �6 + �7 + �8)
138 electromagnetismo fmf-241 (2014)
(c) La carga de polarización es σP = ~P � n̂, donde ~P = (�1− �0) ~E = V0(�1−�0)ln(b/a)
1
r r̂. Para la superficie a potencial
cero n̂ = r̂ y para la superficie a potencial V0 n̂ = −r̂ y obtenemos dos densidades de polarización:
σP0 =
~P � (r̂) =
V0(�− �0)
ln(b/a)
1
r
y σPV0 =
~P � (−r̂) = −V0(�− �0)ln(b/a)
1
r
Por supuesto que la carga total de polarización es cero. De forma análoga obtenemos las densidades para el
resto de los dieléctricos.
El campo eléctrico no depende de las permitividades �. Eso es una consecuencia directa de la continuidad
de la componente tangencial del campo eléctrico en la frontera de los dieléctricos. En efecto como el campo
es radial, este será tangente al la frontera entre dos dieléctricos.
3.12.6 Energía electrostática en términos de ~E y ~D
Partiendo de la expresiónde energía electrostática de una distribución
continua de cargas
U =
1
2
ˆ
V ’
ρV dv
sustituimos ρ = ∇ · ~D
U =
1
2
ˆ
V ’
(∇ · ~D)V dv
y usando la identidad ∇ · (V ~D) = V∇ · ~D+ ~D · ∇V
U =
1
2
ˆ
V ’
(∇ · (V ~D)− ~D · ∇V )V dv = 12
ˆ
V ’
∇ · (V ~D)dv− 12
ˆ
V ’
~D · ∇V dv
Para la primera integral usamos el teorema de la divergencia
ˆ
V ’
∇ · (V ~D)dv =
‰
S′
V ~D · d ~A
y sustituimos ∇V = − ~E
U =
1
2
‰
S′
V ~D · d ~A+ 12
ˆ
V ’
~D · ~Edv
Podemos hacer una simplificación a la expresión anterior. La superficie
S′ puede ser cualquiera que rodee a las cargas, por lo tanto podemos elegir
una esfera de radio R. A medida que R → ∞ el potencial disminuye a
razón de 1/R mientras que el desplazamiento disminuye a razón de 1/R2.
Por otro lado la superficie S′ aumenta a razón de R2. Es decir la primera
integral disminuye a razón de 1/R y se hará cero conforme R → ∞. De
esta manera podemos despreciar la integral de superficie y quedarnos con Energía eléctrica en términos de ~E y ~D.
U =
1
2
ˆ
V ’
~D · ~Edv
el potencial electrostático 139
Para un medio lineal e isótropo ~D = � ~E Energía eléctrica para un medio lineal
e isótropo.
U =
1
2
ˆ
V ’
�E2dv
140 electromagnetismo fmf-241 (2014)
PROBLEMAS
3.1 Dado el potencial V = (Ar4 +Br−4) sin 4φ
(a) Demuestre que ∇2V = 0
(b) Encuentre las constantes A y B para que se cumpla que V = 100V y
∣∣∣ ~E∣∣∣ = 500V/m en el punto P (r =
1,φ = 22.5°, z = 2).
Resp.: (b) A = 112.5; B = −12.5 (o ; B = 112.5)
3.2 Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial dada por σ = σ0r2/R2, donde σ0 es una
constante y r es la distancia desde el centro del disco. Encontrar:
(a) La carga total sobre el disco.
(b) Encontrar la expresión para el potencial electrostático a una distancia z desde el centro del disco, sobre el
eje que pasa a través del centro del disco y es perpendicular al plano del disco.
Resp.: (a) Q = 12πσ0R2; (b) V =
2πkeσ0
3R2
[
(R2 − 2x2)
√
x2 +R2 + 2x3
]
CAPÍTULO4
Corriente eléctrica
En el capitulo anterior las cargas involucradas en los procesos físicos
estaban en reposo, de ahí la palabra electrostática. Ahora vamos a revisar
procesos donde las cargas están en movimiento que constituyen el flujo
de corriente.
4.1 Corriente eléctrica
El circuito de la figura 4.1 tiene una batería la cual establece una
diferencia de potencial entre sus terminales (bornes). Cuando se cierra el
circuito para encender la ampolleta, la batería invierte energía (química)
para mover carga desde el terminal negativo (potencial bajo) hasta el
terminal positivo (potencial alto). Este movimiento de cargas se hace
en el circuito interno de la batería. Si la batería se mantiene conectada
entonces habrá un flujo constante de carga a través del circuito interno y
las cargas saldrán por el terminal positivo hacia el circuito externo para
pasar a través de la ampolleta. Después de eso, las cargas habrán perdido
energía y volverán a pasar por el terminal negativo. A este flujo de cargas
la llamaremos corriente eléctrica.
Potencial
bajo
Potencial
alto
Corr
iente
C
orriente
Corrie
nte
Figura 4.1: Al conectar la ampolleta,
la batería gastará energía química pa-
ra mover cargas de un potencial bajo a
uno más alto.
Al establecer esta diferencia de potencial, se hace posible que la carga
fluya a través del circuito externo. Este movimiento de carga es natural y
no requiere energía. La figura 4.2 muestra una analogía con el caso gravi-
tacional, donde para elevar un objeto se necesita hacer un trabajo contra
las fuerza de gravedad, es decir hay que aumentar la energía potencial
gravitacional. Para que el objeto vuelva a bajar no se necesita invertir
energía, pues el proceso es espontáneo.
Por otro lado, los cargas (electrones) no fluirán si ambos bornes de
la batería tienen el mismo potencial; las cargas fluirán desde un punto a
otro solamente si existe una diferencia de potencial (voltaje) entre esos
dos puntos. Un voltaje alto resulta en una mayor tasa de flujo de carga.
Como ya mencionamos anteriormente este flujo se llama corriente. La fi-
gura 4.3 muestra una analogía con el caso gravitacional; una persona no
se deslizará hacia abajo si no hay una diferencia de altura; la persona se
deslizará solamente si existe una diferencia de alturas (diferencia de ener-
gía potencial gravitatoria) entre dos puntos. A mayor diferencia de altura
resultará en una mayor rapidez de deslizamiento y esto es equivalente a
una mayor cantidad de corriente fluyendo por el circuito.
142 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Potencial
bajo
Potencial
alto
Se requiere energía para mover
un objeto desde un potencial
bajo a un potencial más alto
No se requiere energía para que
el objeto se mueva hacia abajo
Potencial
bajo
Se requiere energía para mover
la carga desde un potencial
bajo a un potencial más alto
No se requiere energía para que
la carga se mueva hacia un
un potencial más bajo.
Borne
negativo.
Potencial bajo.
Borne
positivo.
Potencial alto.
Borne
negativo.
Potencial bajo.
Flu
jo 
al 
int
eri
or 
de
 la
 ba
ter
ía
Flujo a través del circuito
Figura 4.2: Analogía gravitacional: Se
necesita energía para elevar un objeto.
Para que el objeto caiga no es necesario
invertir energía; el proceso es espontá-
neo.
Alto voltaje Bajo voltaje
Alta elevación Baja elevación
Figura 4.3: Otra analogía con el caso
gravitacional. Mayor diferencia de al-
turas es análogo a mayor diferencia de
potencial.
corriente eléctrica 143
Para ser más precisos vamos a suponer un alambre conductor de sec-
ción transversal A. Se define corriente como la velocidad o razón con que
pasan las cargas a través de esta superficie. Si ∆Q es la carga que pa-
sa a través de esta superficie un un intervalo de tiempo ∆t, la corriente
promedio es:
Figura 4.4: La corriente tiene que ver
con el número de coulombs de carga que
pasan a través de un punto del circuito
por unidad de tiempo.
Iprom =
∆Q
∆t
Si la carga que fluye a través de A varía en el tiempo, definimos la
corriente instantánea I
I ≡ dQ
dt
La unidad de corriente es el ampere (A)
1A = 1C/s
convención para la dirección de la corriente: Las partícu-
las que transportan carga a través del alambre son los electrones móviles.
La dirección del campo eléctrico dentro del circuito es, por definición, la
dirección que tomaría una carga de prueba positiva. Entonces, los elec-
trones se mueven en la dirección contraria al campo eléctrico. Decimos
que los electrones son los portadores de carga en alambres metálicos. Convención: La dirección de la corrien-
te es opuesta al movimiento de los elec-
trones. Esta convención ha permaneci-
do así sólo por razones históricas.
Dentro de la batería la corriente va desde el terminal negativo al posi-
tivo, mientras que en el circuito externo, la corriente va desde el terminal
positivo al negativo.
4.2 Densidad de corriente
Vamos a introducir este concepto de la forma más sencilla posible.
La densidad de corriente J se define como la cantidad de corriente por
unidad de área. Si tomamos como referencia la figura 4.4
J ≡ I
A
[
A/m2
]
Esta definición sólo es válida si la densidad de corriente es uniforme y
la corriente es perpendicular a la superficie. En realidad la densidad de
corriente es un vector ~J . Si el flujo de carga es a través de cualquier
superficie S, la corriente se puede calcular:
I =
ˆ
S
~J · d ~A
144 electromagnetismo fmf-241 (2014)
EJEMPLO 4.1
Detalle
Suponer que la densidad de corriente a lo largo de un alambre es ~J =
−2.4k̂ (A/mm2). Calcular al corriente total que pasa por una capa semi-
esférica de radio R = 5 mm.
Solución: La densidad de corriente va en la dirección −z. Por otro lado
d ~A tiene dirección radial dada por d ~A = dAr̂. El ángulo que forman r̂ y
k̂ es θ, así que k̂ · r̂ = cos θ
dI = ~J � d ~A = (−2.4k̂) � dAr̂ = −2.4dAk̂ � r̂ = −2.4dAk̂ � r̂ = −2.4dA cos θ
el elemento de área en coordenadas esféricas es dA = R2 sin θdθdφ. Para
una semiesfera 0 ≤ φ ≤ 2π y 0 ≤ θ ≤ π/2. De esto la corriente se obtiene
de la integración:
I =
2πˆ0
π/2ˆ
0
(−2.4 cos θ)R2 sin θdθdφ =
2πˆ
0
π/2ˆ
0
(−2.4 cos θ)52 sin θdθdφ
= −2π
π/2ˆ
0
60 sin θ cos θdθ = −120π
(
sin2 θ
2
)π/2
0
= −60π = −188.5A
4.3 Ecuación de continuidad
La densidad de corriente ~J y la densidad volumétrica de carga ρ son
cantidades que están relacionadas por medio de una ecuación diferencial,
llamada ecuación de continuidad. Si calculamos I =
´
S
~J · d ~A en una
superficie cerrada que encierra un volumen V , entonces la corriente que
entra en la superficie es
I = −
˛
S
~J � d ~A
el signo menos es porque d ~A siempre apunta hacia afuera en una superficie
cerrada mientras que ~J entra. Aplicando el teorema de la divergencia
I = −
˛
S
~J � d ~A = −
ˆ
V
∇ � ~Jdv (∗)
pero sabemos que I = dQdt y la carga Q se puede obtener a partir de la
densidad de carga Q =
´
V ρdv, así que
I =
d
dt
ˆ
V
ρdv

el volumen es fijo y debemos considerar que la densidad depende de las
coordenadas y también del tiempo, por lo tanto la derivada dentro de la
integral debe ser una derivada parcial
I =
ˆ
V
∂ρ
∂t
dv (∗∗)
corriente eléctrica 145
igualando (*) y (**)
−
ˆ
V
∇ � ~Jdv =
ˆ
V
∂ρ
∂t
dv ⇒
ˆ
V
(
∂ρ
∂t
+∇ � ~J
)
dv = 0
puesto que V es arbitrario, entonces para que la expresión anterior sea
cero, el integrando deber ser cero Ecuación de continuidad.
∂ρ
∂t
+∇ · ~J = 0
La ecuación de continuidad es una ley fundamental de la física rela-
cionada con la conservación de la carga: las cargas eléctricas no se crean
ni se destruyen.
EJEMPLO 4.2
Consideremos una densidad de corriente dirigida radialmente hacia afuera y que decrece exponencialmente
con el tiempo, ~J = 1r e−tr̂. Calcular la densidad de carga.
Solución: Usando la ecuación de continuidad ∂ρ∂t +∇ � ~J = 0
−∂ρ
∂t
= ∇ � ~J = ∇ �
(
1
r
e−tr̂
)
aquí debemos recordar que la divergencia en coordenada esféricas es ∇ · ~J = 1
r2
∂
∂r (r
2Jr) cuando ~J sólo
depende de r como es en el presente caso:
−∂ρ
∂t
=
1
r2
∂
∂r
(
r2
1
r
e−t
)
=
1
r2
e−t
con esto se establece una ecuación diferencial en derivadas parciales
∂ρ
∂t
= − 1
r2
e−t
la densidad depende de las coordenadas y del tiempo, así que al integrar con respecto a t aparece una
constante de integración que depende de las coordenadas.
ρ(r, t) =
ˆ
− 1
r2
e−tdt+C(r) =
1
r2
e−t +C(r)
asumiendo que la densidad se anula en un tiempo largo (ρ → 0 si t → ∞), se encuentra que C(r) = 0. Por
lo tanto
ρ(r, t) = 1
r2
e−t
4.4 La ley de Ohm
Experimentalmente se encuentra que en un metal, a temperatura cons-
tante, la densidad de corriente ~J es directamente proporcional al campo
eléctrico ~E, es decir Forma puntual de la Ley de Ohm.
~J = g ~E
la constante de proporcionalidad g se llama conductividad.1 Esta ecua- 1 En algunos libros se usa el símbolo σ
que es el mismo símbolo para expresar
la densidad superficial de carga. Aquí
usaremos el símbolo g para evitar con-
fusiones.
ción se llama forma puntual de la ley de Ohm y es una muy buena apro-
ximación para una gran cantidad de materiales conductores. Nosotros
146 electromagnetismo fmf-241 (2014)
trataremos con medios lineales isotrópicos, donde la conductividad g se
mantiene constante.2 Sin embargo en el caso general g puede depender 2 Materiales óhmicos.
del campo eléctrico g = g( ~E).
También se acostumbra a definir la resistividad µ como el recíproco de
la conductividad3 3 En algunos libros se usa el símbolo ρ
que es el mismo símbolo para expresar
la densidad volumétrica de carga. Aquí
usaremos el símbolo µ para evitar con-
fusiones.
µ =
1
g
que tiene unidades de ohm.metro donde
1 ohm = 1 Ω ≡ 1 volt1 ampere
Consideremos ahora un alambre homogéneo de sección A y largo L
que obedezca a la ley de Ohm con conductividad g (Fig. 4.5).
Figura 4.5: Alambre homogéneo que
obedece la ley de Ohm.
Asumiremos que ~E y ~J son uniformes, bajo estas condiciones ~E y ~J
son perpendiculares a la sección de área A del del cilindro. La corriente
se calcula de la definición básica
J =
I
A
(∗)
por otro lado notemos que el punto 1 está a mayor potencial que el punto
2. De esto la diferencia de potencial (positiva) entre los extremos del
alambre es
V = V21 = −
1ˆ
2
~E · d~l = −E
1ˆ
2
dl = E
2ˆ
1
dl = EL (∗)
Combinando la ley de Ohm J = gE con (*) y (**)
J =
I
A
= gE = g
V
L
es decir
I
A
= g
V
L
⇒ V = L
gA
I
Si llamamos resistencia al término
R =
L
gA
=
µL
A
[Ω]
obtenemos la formula más familiar de la ley de Ohm: En la mayoría de los libros se llama a
esta ecuación “ley de Ohm”, aunque al-
gunos autores difieren de este nombre
pues esta ecuación simplemente define
resistencia R y sólo provee una relación
entre voltaje, corriente y resistencia.
V = IR
La ecuación V = IR nos permite obtener la resistencia de objetos
conductores que poseen campos uniformes. Si los campos no son uniforme,
la resistencia puede ser definida de todas maneras como V /I, donde V
es la diferencia de potencial entre dos superficies a distinto potencial en
el material, y I es la corriente total que va del conductor positivo al
negativo. Recordando que
V = −
ˆ
C
~E · dl y I =
‰
S
~J · d ~A
corriente eléctrica 147
de aquí obtenemos la resistencia
R =
V
I
=
−
´
C
~E · dl�
S
~J · d ~A
=
−
´
C
~E · dl�
S g
~E · d ~A
La integral de linea se toma entre dos superficies equipotenciales en
el conductor (potencial menor a potencial mayor), y la integral de su-
perficie se evalúa sobre la superficie más positiva de las dos superficies
equipotenciales.
4.5 Conexión de resistencias
en serie: En el circuito de la figura 4.6 tenemos dos resistencias co-
nectadas en serie, donde la corriente I es la misma que pasa por ambas
resistencias:
Figura 4.6: Resistencia equivalente de
dos resistencias en serie.
∆V = V1 + V2
aplicando V = IR:
∆V = IR1 + IR2 = I(R1 +R2)
vemos que podemos definir una resistencia equivalente
Req = R1 +R2
La generalización para varias resistencias en serie es
Req = R1 +R2 +R3 + · · ·
en paralelo: En el circuito de la figura 4.7 tenemos dos resistencias
conectadas en paralelo, donde ambas están a la misma diferencia de po-
tencial. Además la corriente I de bifurca en I1 y I2 y como la carga debe
conservarse
I = I1 + I2
148 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Figura 4.7: Resistencia equivalente de
dos resistencias en paralelo.
De la expresión I = V /R obtenemos
I = I1 + I2 =
∆V
R1
+
∆V
R2
= ∆V
(
1
R1
+
1
R2
)
=
∆V
Req
donde Req es la resistencia equivalente del circuito
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
La generalización para varias resistencias en paralelo es
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
+ · · ·
EJEMPLO 4.3
Un material de resistividad uniforme µ tiene forma de cuña tal como se muestra en la figura. Encontrar la
resistencia entre la cara A y la cara B.
corriente eléctrica 149
Solución: La clave es usar la fórmula R = µLA , pero en este caso el área transversal no es constante.
Procedemos a usar diferenciales y a considerar pequeños bloques de largo dx, altura y ancho w (figura de la
derecha). El área transversal de cada bloque es A = wy y la resistencia es
dR = µ
dx
A
=
µdx
wy
tanto x como y son variables a lo largo de la cuña. La variable y se puede calcular teniendo en cuenta que la
línea inclinada obedece a la ecuación de una recta con pendiente h2−h1L e intercepto h1
y =
h2 − h1
L
x+ h1
es decir
dR =
µdx
w
(
h2−h1
L x+ h1
)
Cada uno de los bloques está en serie para formar la cuña, entonces integramos (sumamos) para calcular la
resistencia total
R =
µ
w
L̂
0
dx(
h2−h1
L x+ h1
) = µ
w
1
h2−h1
L
ln
(
h2 − h1
L
x+ h1
)L
0
=
µL
w(h2 − h1)
ln
(
h2
h1
)
Si la sección transversal es constante, h2 = h1, entonces debemos tomar el límite en la expresión anterior:
R = ĺım
h2→h1
µL
w(h2 − h1)
ln
(
h2
h1
)
= ĺım
h2→h1
µL
w
1
h2/h1
1
1
h1
=
µL
wh2
=
µL
A
Obviamente este es un resultado esperado. El área transversal es A = wh2 y puesto que el límite es del
tipo 0/0, hemos empleado la regla de L’hôpital.
EJEMPLO 4.4: Resistencia radial de un cable coaxial
Una cable coaxial consiste de dos conductores cilindros concéntricos. La regiónentre los conductores está
completamente llena con silicio. Un efecto indeseable es que la corriente se filtre a través del silicio, en la
dirección radial (el cable está diseñado para conducir corriente a lo largo de su longitud y no en forma radial).
El radio interior es a, el radio exterior es b y la longitud de los cilindros es L. Calcular la resistencia del silicio
entre los conductores.
Conductor interno
Conductor externo
Silicio
Dirección de
la corriente
Solución: La corriente indeseable es en dirección radial y en consecuencia vamos a calcular la resistencia en
dirección radial y no a lo largo. Para un alambre con sección constante la resistencia se calcula con R = µL/A.
Para aplicar esta ecuación vamos a dividir la capa de silicio en cilindros huecos concéntricos de radio r y de
150 electromagnetismo fmf-241 (2014)
espesor dr. Entonces para aplicar la ecuación anterior debemos reemplazar L por dr y escribir
dR =
µdr
A
que es la resistencia del cilindro de espesor dr y área A. Consideremos que cualquier carga que pase desde el
conductor interno al conductor externo debe pasar en forma radial a través del cilindro de espesor dr, y el
área por la cual pasa la carga tiene el valor 2πrL (esto equivale a desenrollar el cilindro). Luego
dR =
µdr
2πrL
Cada capa de espesor dr se encuentra en serie con la siguiente, así que la resistencia total, se obtiene integrando
R =
bˆ
a
µdr
2πrL =
µ
2πL
bˆ
a
dr
r
=
µ
2πL ln(b/a)
EJEMPLO 4.5: Resistencia de una arandela
Un material conductor de grosor uniforme h y conductividad g tiene la forma
de un cuarto de arandela circular plana, con radio interior a y radio exterior
b. Determinar la resistencia entre las caras de los extremos.
Solución:
Dada la simetría de la arandela, vamos a usar coordenadas cilíndricas. Vamos a
suponer que hay una diferencia de potencial V0 entre las caras. Por simplicidad
suponemos que V = 0 en la cara de abajo (y = 0, φ = 0) y que V = V0 en la
cara de arriba (x = 0, φ = π/2)
V =
0 si φ = 0V0 si φ = π/2 (∗)
Vista a lo largo de x
El potencial sólo dependerá de φ y podemos usar la
ecuación de Laplace para determinar el potencial
d2V
dφ2
= 0
cuya solución general es:
V = c1φ+ c2
con las condiciones (*) se encuentran las constantes
V =
2V0
π
φ
Para encontrar la corriente, primero obtenemos la densidad de corriente de ~J = g ~E = −g∇V
~J = −g
(
1
r
∂V
∂φ
φ̂
)
= −2gV0
πr
φ̂
donde hemos usando el gradiente en coordenadas cilíndricas. Para calcular la corriente, integramos sobre
la superficie (cara) que esta a mayor potencial, es decir φ = π/2. Para encontrar el elemento de área d ~A
corriente eléctrica 151
debemos tener en cuenta la figura de la izquierda donde dA = hdr y la dirección de d ~A es la dirección −φ̂ en
esa cara (la dirección de ~J), es decir d ~A = −hdrφ̂
I =
ˆ
S
~J · d ~A =
ˆ
S
(
−2gV0
πr
φ̂
)
· (−hdrφ̂) = 2ghV0
π
ˆ b
a
dr
r
=
2ghV0
π
ln(b/a)
finalmente la resistencia es
R =
V0
2ghV0
π ln(b/a)
=
π
2gh ln(b/a)
152 electromagnetismo fmf-241 (2014)
4.6 Dieléctricos imperfectos
Recordemos que la resistencia se puede obtener de
R =
−
´
C
~E · dl�
S g
~E · d ~A
donde la integral de linea se toma entre dos superficies equipotenciales
en el conductor, y la integral de superficie se evalúa sobre la superficie
más positiva de las dos superficies equipotenciales.
Figura 4.8: Dos conductores en un me-
dio dieléctrico con pérdidas. Se estable-
ce una corriente en el dieléctrico y es
aplicable la ley de Ohm.
Por otro lado, si los conductores se encuentran en un medio dieléctrico,
la capacidad se puede calcular como
C =
Q
V
=
�
S
~D · d ~A
−
´
C
~E · dl
=
�
S �
~E · d ~A
−
´
C
~E · dl
Cuando el medio dieléctrico es imperfecto (con pérdidas), es decir tie-
ne una conductividad muy pequeña, fluirá una corriente del conductor
positivo al negativo y se establecerá en el medio una densidad de corrien-
te (Fig. 4.8). Entonces si el medio es homogéneo (independiente de las
coordenadas espaciales) podemos juntar las dos ecuaciones anteriores
RC =
−
´
C
~E · dl�
S g
~E · d ~A
×
�
S �
~E · d ~A
−
´
C
~E · dl
=
�
S �
~E · d ~A�
S g
~E · d ~A
=
�
�
S
~E · d ~A
g
�
S
~E · d ~A
es decir Relación entre la permitividad y la con-
ductividad de un dieléctrico con pérdi-
das.RC =
�
g
Si se conoce la capacidad entre los conductores, podemos obtener la
resistencia o la conductividad (g) directamente sin necesidad de hacer
nuevos cálculos.
EJEMPLO 4.6
El material dieléctrico entre las placas de un condensador de placas paralelas tiene una conductividad distinta
de cero g . Si A es el área de cada placa y d es la distancia entre ellas. Sea κ la constante dieléctrica del
material entre las placas. Mostrar explícitamente que RC = κ�0g .
Solución: La capacidad del condensador de placas paralelas se conoce C = �Ad =
κ�0A
d , y la resistencia del
dieléctrico de conductividad g, largo d y área transversal A es R = dgA , por lo tanto
RC =
κ�0A
d
× d
gA
=
κ�0
g
=
�
g
corriente eléctrica 153
4.7 Densidad de corriente en régimen perma-
nente
Si los campos eléctricos aplicados son estacionarios,4 entonces las co- 4 En estado estacionario o en régimen
permanente.rrientes estarán en estado estacionario y la densidad de carga no variará
en el tiempo. Esto se expresa como
∂ρ
∂t
= 0
Si recordamos la ecuación de continuidad ∂ρ∂t +∇ · ~J = 0, entonces las
corrientes estacionarias tienen divergencia nula
∇ · ~J = 0
esto tiene como consecuencia inmediata que5 5 Recordar el teorema de la divergencia´
V (∇ � ~F )dv =
¸
S
~F � d ~A.‰
S
~J · d ~A = 0
Recordar que hicimos el mismo razonamiento para el vector desplaza-
miento eléctrico ~D donde teníamos que cuando no hay cargas libres¸
S
~D · ~dA = 0 y se obtuvo la condición de frontera D1n = D2n. En
nuestro caso la condición de frontera para ~J es:
J1n = J2n ó g1E1n = g2E2n
La condición de frontera para el campo eléctrico es idéntica a la ante-
rior:
E1t = E2t
pero como ~J = g ~E, obtenemos una condición para la componente tan-
gencial de ~J
J1t
g1
=
J2t
g2
Estas condiciones de frontera para ~J se pueden combinar con las con-
diciones de frontera para el vector ~D en un dieléctrico isotrópico:
~D = � ~E ~J = g ~E
E1t = E2t E1t = E2t
D1t
�1
=
D2t
�2
J1t
g1
=
J2t
g2
D1n −D2n = σ J1n = J2n = Jn
�1E1n − �2E2n = σ g1E1n = g2E2n
Jn
(
�1
g1
− �2
g2
)
= σ
154 electromagnetismo fmf-241 (2014)
EJEMPLO 4.7
Dos bloques de material conductor están en contacto en el plano z = 0. En el punto P de la superficie de
separación, la densidad de corriente del medio 1 es ~J1 = 10(3ĵ + 4k̂) (A/m2). Determinar ~J2 en el medio 2
si g2 = 2g1.
Solución: El vector ~J1 no tiene componente x, por lo tanto podemos suponer que ~J2 = J2ĵ+ J2k̂. La primera
condición es para las componentes normales:
J1z = J2z ⇒ J2z = 40
Por otro lado, las componentes tangenciales del campo eléctrico deben cumplir con E1y = E2y, o equivalen-
temente
J1y
g1
=
J2y
g2
⇒ 30
g1
=
J2z
g2
⇒ J2z =
g230
g1
=
2g130
g1
= 60
de este modo
~J2 = 20(3ĵ + 2k̂) (A/m2)
EJEMPLO 4.8: Resistencia de esféricas concéntricas
Dos cascarones esféricos concéntricos de radios a y c están rellenos por dos
materiales conductores distintos, uno en a < r < b con conductividad g1 y el
otro en b < r < c con conductividad g2.
a) Calcule la resistencia entre los dos cascarones.
b) Se conecta una pila a la resistencia. El potencial es Vo en el cascarón interno
y V = 0 en el externo. Describa lo que pasa después de conectar la pila.
c) Se espera hasta que se llegue al régimen estacionario. En este régimen, calcule
la densidad de corriente ~J y el campo eléctrico ~E en ambas regiones de la
resistencia y la densidad superficial de carga en la interfaz. Si el material interno
es mejor conductor que el externo, ¿que signo tiene esta densidad de carga?
Solución: Llamamos región 1 a la que va entre a < r < b y región 2 a b < r < c. Se procede en forma similar
al problema 4.4 de los cilindros concéntricos. En este caso son dos cascarones esféricos y vamos a calcular la
resistenciaen dirección radial.
Dirección de
la corriente
(a) La resistencia total puede interpretarse como dos resistencias conectadas
en serie, R = R1 +R2. Para un alambre con sección constante la resistencia
se calcula con R = L/gA. Para aplicar esta ecuación vamos a considerar
capas esféricas concéntricas de radio r y de espesor dr. Entonces para aplicar
la ecuación anterior debemos reemplazar r por L y escribimos
dR =
dr
gA
Consideremos que cualquier carga que pase desde el conductor interno al
conductor externo debe pasar en forma radial a través de la capa de espesor
dr, y el área por la cual pasa la carga tiene el valor 4πr2. La resistencia de los dos conductores se obtiene
integrando:
R =
ˆ b
a
dr
4πr2g1
+
ˆ c
b
dr
4πr2g2
=
1
4πg1
(
1
a
− 1
b
)
+
1
4πg2
(
1
b
− 1
c
)
corriente eléctrica 155
(b) Como el cascarón interno está a mayor potencial, comenzará a fluir corriente radialmente entre r = a y
r = b. Al tener distintas conductividades, los dos materiales permitirán el paso de distintas intensidades de
corriente, por lo que se acumulará carga libre en la interfaz entre los dos materiales. La densidad de carga
superficial en la interfaz hará que disminuya el campo eléctrico en un material y que aumente en el otro,
hasta que las intensidades de corriente a través de ambos sean iguales. En ese momento se alcanza el régimen
estacionario.
(c) Primero calculamos la corriente mediante I = Vo/R con R calculado en la parte (a). La corriente debe
fluir en forma radial por lo que la densidad de corriente es
~J =
I
4πr2 r̂
Como en régimen estacionario la intensidad de corriente a través de cada material debe ser la misma, esta
ecuación es válida para ambos materiales. El campo eléctrico se encuentra usando la relación ~J = g ~E
~E1 = ~J/g1 =
Vo
4πr2Rg1
r̂
~E2 = ~J/g2 =
Vo
4πr2Rg2
r̂
La densidad superficial de carga en la interfaz se encuentra por la discontinuidad en el campo eléctrico radial
(normal), que es la dirección perpendicular (normal) a la superficie cargada.
σ = ∆(En)�o = (E2 −E1)�o =
Vo�o
4πr2R
(
1
g2
− 1
g1
)
Si el material interno es mejor conductor que el externo entonces g1 > g2, por lo tanto la carga en la interfaz
es positiva.
4.8 Leyes de Kirchhoff
Uno de los objetivos principales de la teoría de circuitos es saber cuales
son las corrientes que circulan por un circuito determinado. Ahora vamos
a ocuparnos de corrientes estacionarias, es decir corrientes en circuitos de
corriente continua.
Vamos a comenzar por definir el concepto de fem (fuerza electromo-
triz)6 de una batería, que el es máximo voltaje que la batería puede 6 Por razones históricas se usa este tér-
mino. No es una fuerza sino una dife-
rencia de potencial en volts.
suministrar entre sus terminales.
En una batería real que está hecha de materiales conductores hay una
resistencia al paso de las cargas dentro de la batería. Esta resistencia
se llama resistencia interna r. Si miramos la figura 4.9, podemos esque-
matizar la batería internamente. Si hay una corriente circulando por el
circuito (circuito cerrado), la diferencia de potencial entre los puntos a y
d no es igual a la fem ε. Si una carga pasa desde a hasta b su potencial se
ve incrementado en ε y cuando pasa por la resistencia interna el potencial
disminuye en Ir por lo tanto Estructura interna de la batería
Figura 4.9: Estructura interna de una
batería.
∆V = Vd − Va = ε− Ir
pero ∆V debe ser también la diferencia de potencial entre e y f de la
resistencia R (resistencia de carga) que está dada por IR
IR = ε− Ir
156 electromagnetismo fmf-241 (2014)
de aquí se tiene que
ε = I(R+ r) ó I = ε
R+ r
En un circuito cerrado como el de la figura 4.9, si medimos con un
instrumento (voltímetro), la diferencia de potencial ∆V = Vd − Va,
lo que estaremos midiendo, en realidad, es la tensión de la batería (el
valor práctico) menos la caída de tensión Ir debido a la resistencia
interna.
En un circuito abierto (no existe ningún circuito conectado a
la batería) no circula corriente, por lo tanto el voltímetro mediría
∆V = Vd− Va ≈ ε. Ponemos el signo de aproximación (≈) porque el
voltímetro también tiene una pequeña resistencia interna.
Un circuito puede consistir de varias ramas o mallas cada una con
una fem distinta. El problema central del análisis de circuitos consiste en
que dadas las resistencias y las fems de cada rama, se pide encontrar las
corrientes que circulan por cada una de las ramas. Por ejemplo la figura
4.10 muestra un circuito donde las cinco resistencias y las dos fems son
conocidas. El problema consiste en determinar las seis corrientes.
Figura 4.10: Un circuito ejemplo donde
las incógnitas son las seis corrientes.
Para resolver este problema necesitamos formular las dos leyes de
Kirchhoff
1. la suma algebraica de las corrientes que fluyen ha-
cia un nodo es cero, es decir
∑
Ij = 0
Esta ley es una manifestación de que la carga no se acumula en un
nodo del circuito debido al régimen estacionario de la corriente.
corriente eléctrica 157
2. la suma algebraica de las fems en cualquier malla del
circuito es igual a la suma algebraica de los produc-
tos IR en esa malla, es decir∑
εi =
∑
IjRj ⇐⇒
∑
εi −
∑
IjRj = 0
Esta ley es una generalización de la expresión ε = IR+ Ir que obtu-
vimos para una batería.
Dirección de recorrido del circuito
Figura 4.11: Reglas para determinar las
diferencias de potencial a través de una
resistencia y una batería. (Se supone
una batería sin resistencia interna) Ca-
da elemento de circuito es atravesado
de izquierda a derecha como indica la
flecha de arriba.
Con estas dos leyes estamos en condiciones de resolver el problema de
la figura 4.10. Se pueden establecer seis ecuaciones para determinar las
corrientes que son las seis incógnitas. Por ejemplo:
−I1 + I3 + I5 = 0
ε1 = I6R6 + I5R5 + I1R1 etc
Para aplicar la segunda ley, podemos imaginarnos moviéndonos alre-
dedor de una malla y considerando cargas en un potencial eléctrico en
vez de cambios en energía potencial. La figura 4.11 ilustra cuatro casos
de la convención de signos para determinar las diferencias de potenciales
a través de una resistencia y una batería.
EJEMPLO 4.9
En el circuito de la figura se pide determinar las tres corrientes.
Solución: Aplicando la primera regla de Kirchhoff en cualquiera de
los dos nodos (b) o (c)
I1 + I2 = I3
Ahora aplicamos la segunda regla de Kirchhoff a la malla (abcda)
10.0V− (6.0 Ω)I1 − (2.0 Ω)I3 = 0
Para la malla (befce)
−14.0V+ (6.0 Ω)I1 − 10.0V− (4.0 Ω)I2 = 0
Tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, las cuales forman un sistema de tres ecuaciones lineales:
I1 + I2 − I3 = 0
3I1 + I3 = 5
3I1 − 2I2 = 12

Aunque este sistema de ecuaciones es sencillo de resolver, una forma cómoda de resolverlo es usar el método
de eliminación gaussiana, que consiste en transformar este sistema de ecuaciones en una matriz aumentada
y luego efectuar operaciones entre filas: 1 1 −1 03 0 1 5
3 −2 0 12
 (1) + (2)−−−−−−→
 1 1 −1 04 1 0 5
3 −2 0 12
 2× (2) + (3)−−−−−−−−−→
 1 1 −1 04 1 0 5
11 0 0 22

158 electromagnetismo fmf-241 (2014)
De aquí se desprende fácilmente que 11I1 = 22⇒ I1 = 2.0. También de la fila (2): 4(2)+ I2 = 5⇒ I2 = −3.0.
De la primera fila: 2− 3− I3 = 0⇒ I3 = −1.0
I1 = 2.0A I2 = −3.0A I3 = −1.0A
Las corrientes I2 e I3 son negativas indicando en realidad que estas corrientes van en el sentido contrario
en la figura.
EJEMPLO 4.10
En el circuito de la figura si está en condiciones estacionarias, encontrar las corrientes.
Solución: En primer lugar hay que notar que en la figura se han dibujado sólo tres corrientes, pero ninguna
en los trazos (bg) y (ah). La razón es que estamos en condiciones estacionarias donde el condensador ya se
ha cargado completamente y ya no recibe más carga. Por lo tanto Iah = 0 y Ibg = I1.
En el nodo (c) o (f) se cumple
I1 + I2 = I3
En la malla (defcd) hacemos el recorrido horario �
4− 3I2 − 5I3 = 0
En la malla (cfgbc) �
+3I2 − 5I1 + 8 = 0
Con estas tres ecuaciones construimos la matriz aumentada: 1 1 −100 3 5 4
5 −3 0 8
−5× (1) + (3)−−−−−−−−−−→
 1 1 −1 00 3 5 4
0 −8 5 8
−1× (2) + (3)−−−−−−−−−−→
 1 1 −1 00 3 5 4
0 −11 0 4

De esto se ve de inmediato que −11I2 = 4 ⇒ I2 = −4/11 = −0.364. Los otros dos valores se obtienen
sustituyendo I2.
I1 = 1.38A I2 = −0.364A I3 = 1.02A
corriente eléctrica 159
¿Cual es la carga en el condensador?
Solución: Si aplicamos la segunda regla en la malla (bghab) nos estamos moviendo en el sentido horario
−8 + ∆VC − 3 = 0 ⇒ ∆VC = 11.0V
y la carga se obtiene de Q = C∆VC , luego
Q = 66.0µC
EJEMPLO 4.11
En el circuito de la figura calcular la diferencia de potencial entre los
puntos a y b e identificar el punto que está a mayor potencial.
Solución: En la malla asignamos una corriente I y aplicamos la segunda
regla de Kirchhoff (�)
+12− 2I − 4I = 0 ⇒ I = 2.0A
Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la malla de circuito abierto
(Va − Vb) + 4.0V− (2.0A)(4.0 Ω) ⇒ Vb − Va = −4.0V
El signo negativo indica que el punto a está a mayor potencial.
160 electromagnetismo fmf-241 (2014)
4.9 El método de las mallas
El número de corrientes a determinar en un circuito crece con el nú-
mero de mallas. Las leyes de Kirchhoff permiten determinar todas las
corrientes, pero se necesita resolver un sistema lineal de ecuaciones, cu-
yo número es igual al número de corrientes a determinar. En el caso del
circuito de la figura 4.10 el sistema consiste consta de seis ecuaciones.
Para simplificar el problema, vamos a introducir el método de corrien-
tes de malla, que aplicado con cuidado, permite minimizar los cálculos.
La metodología consiste en asignar a cada una de las mallas del circuito
una corriente imaginaria o ficticia que circula en sentido horario � o
antihorario 	 y de preferencia se asignan a todas las corrientes el mismo
sentido. Usando las leyes de Kirchhoff se plantean tantas ecuaciones como
el número mallas. La ventaja es que estas corrientes ficticias permiten
reducir drásticamente el número de ecuaciones.
EJEMPLO 4.12
Puesto que no hay nada mejor que un ejemplo, revisemos el
circuito de la figura 4.10 donde hemos asignado valores a las
resistencias y a las fems:
Hemos creado tres corrientes ficticias i1,i2 y i3 correspon-
dientes a tres mallas tal como se indica en la figura. Para
utilizar el método de las mallas sólo utilizaremos estas co-
rrientes.
Primero aplicamos el método a la malla superior izquierda
donde circula i1 por toda la malla, pero también la corriente
i2 pasa por la resistencia de 4 Ω y i3 pasa por la resistencia
de 2 Ω
−3i1 − 4i1 + 4i2 − 8− 2i1 + 2i3 = 0
notar que hemos sumado los términos 4i2 y 2i3 porque esas corrientes son compartidas con las otras mallas
y además esas corrientes circulan en sentido contrario a la dirección de circulación que hemos elegido (�).
Simplificando
−9i1 + 4i2 + 2i3 = 8 (∗)
En la malla de la derecha
−2i2 − 6i2 + 6i3 + 8− 4i2 + 4i1 = 0
o sea
2i1 − 6i2 + 3i3 = −4 (∗∗)
En la malla de abajo:
−2i3 + 2i1 − 6i3 + 6i2 − 10− 5i3 = 0
2i1 + 6i2 − 13i3 = 10 (∗ ∗ ∗)
De (*), (**) y (***) formamos la matriz aumentada:
corriente eléctrica 161
 −9 4 2 82 −6 3 −4
2 6 −13 10
 (2) + (3)−−−−−−→
 −9 4 2 84 0 −10 6
2 6 −13 10
 (1)× 3/2− (3)−−−−−−−−−−−→
 −
31
2 0 16 2
2 0 −5 3
2 6 −13 10
 (1)× 5 + (2)× 16−−−−−−−−−−−−−→
 −
91
2 0 0 58
2 0 −5 3
2 6 −13 10

de aquí se desprende que −912 i1 = 58⇒ i1 = −
116
91 A.
Ahora resulta más fácil obtener las otras corrientes:
i1 = −
116
91 A i2 = −
57
182 A i3 = −
101
91 A
Recordemos que las corrientes que hemos obtenidos son ficticias. Ahora debemos asociarlas con las seis
corrientes I1 · · · I6. En el circuito vemos que
I1 = −i3 =
101
91 A = 1.11A I2 = i2 − i1 ==
25
26 A = 0.96A
I3 = −i1 =
116
91 A = 1.27AA I4 = −i2 =
57
182 A = 0.31A
I5 = i1 − i3 = −
15
91 A = −0.16A I6=i2-i3=
145
182 A=0.80A
Notar que I5 + I3 = I1, I2 + I5 = I6 y I2 + I4 = I3.
4.10 La ley de Joule
En términos simples el ”efecto Joule” es el fenómeno que ocurre en
conductor por el cual circula una corriente eléctrica. Parte de la energía
cinética de los electrones se transforma en calor debido a los choques
que sufren con los átomos del material conductor por el que circulan, en
consecuencia la temperatura del conductor aumenta.
Figura 4.12: Efecto Joule: cuando la co-
rriente pasa por la resistencia se produ-
ce una caída de potencial.
De acuerdo a la figura 4.12 las cargas eléctricas que atraviesan una
resistencia entran con una energía qV1 mayor que con la que salen qV2.
La diferencia de energía es:
∆U = qV2 − qV1 = q(V2 − V1) = qIR
La rapidez con la que las cargas pierden la energía es la potencia disipada
en la resistencia R
P =
dU
dt
=
d
dt
(qIR) = IR
dq
dt
⇒ P = I2R [W ]
A nivel microscópico la potencia es: Ley de Joule.
P =
ˆ
V
~E · ~Jdv
Un caso especial para la expresión anterior es cuando tenemos un con-
ductor de sección transversal constante. En ese caso dv = dAdl y además
162 electromagnetismo fmf-241 (2014)
la densidad de corriente y el campo van en la dirección de la longitud
( ~E ‖ ~J ‖ d~l). Considerando esto la expresión anterior se puede escribir
P =
ˆ
V
~E · ~Jdv =
ˆ
L
Edl︸ ︷︷ ︸
V
ˆ
S
JdA︸ ︷︷ ︸
I
donde I es la corriente y como V = IR recobramos la expresión para el
caso macroscópico P = I2R.
CAPÍTULO5
Magnetismo
Aparte del campo eléctrico que vimos en la primera parte, ahora ne-
cesitamos el concepto de campo magnético que se origina debido al mo-
vimiento de las cargas.
S
N
Figura 5.1: Lineas de campo magnéti-
co de la tierra apuntan desde el polo
norte magnético a polo sur magnético.
Además el polo sur magnético no coin-
cide exactamente con el polo geográfico
norte, hay una desviación de 11°.
El origen del magnetismo se remonta al descubrimiento de la magnetita
(Fe3O4) que es capaz de atraer pedazos de hierro. También se descubrió
que cualquier magneto (imán) no importa su forma, tiene dos polos, lla-
mados polo norte (N) y polo sur (S), los cuales ejercen fuerzas sobre otros
polos magnéticos similarmente como lo hacen las cargas eléctricas entre
ellas. Al igual que las cargas eléctricas, los polos iguales se repelen y los
polos distintos se atraen. El nombre “polo” viene del hecho de que una
brújula se orienta de acuerdo al campo magnético de la tierra y los polos
magnéticos son cercanos a los polos geográficos (Fig. 5.1).
N
S
N N
S S
S
S
N
N
N
N
S
S
Figura 5.2: La división sucesiva de una
barra magnética vuelve a formar los po-
los norte y sur.
La designación tradicional de polos norte y sur tiene su analogía con las
cargas positivas y negativas. En el caso eléctrico podemos tener cargas
positivas o negativas aisladas, pero en el caso magnético no es posible
aislar los polos. Si uno considera un imán con sus dos polos es imposible
separarlos. Si partimos el imán en dos partes aparecerán dos nuevos polos
norte y sur en cada uno de los trozos. Si después partimos estos dos imanes
en dos trozos tendremos cuatro imanes cada uno con un polo norte y sur.
Podríamos seguir así casi indefinidamente. En consecuencia no se pueden
aislar los polos magnéticos.
5.1 Campo magnéticos y fuerzas
A continuación vamos a estudiar los campos magnéticos estáticos, pe-
ro, por el momento, sin preocuparnos cual es el origen de ellos. En la
primera parte vimos que si poníamos una carga de prueba q en presencia
de una campo eléctrico ~E, la carga experimenta una fuerza dada por
~Fe = q ~E
Ahora si ponemos la misma carga en movimiento con velocidad ~v en
presencia del campo magnético, experimentalmente se demuestra que la
carga experimenta una fuerza
~Fm = q~v× ~B
donde el vector ~B se llama inducción magnética.1 La unidad de ~B es el 1 En otros textos también se usa el tér-
mino densidad de flujo magnético.Tesla (T) o Weber por metro cuadrado (Wb/m2) donde
1T = 1 NA.m
164 electromagnetismo fmf-241 (2014)
(a) (b)
Figura 5.3: Fuerza magnética sobre una
carga en movimiento. Si q > 0 la fuerza
apunta hacia arriba. Si q < 0 la fuerza
se invierte.
Como hay un producto cruz involucrado el vector ~Fmes perpendicular
a ~v y a ~B (Fig. 5.3). La magnitud de la fuerza magnética sobre la carga
es
Fm = |q| vB sin θ
donde θ es el ángulo menor entre ~v y ~B. De esta expresión se desprende
que la fuerza es nula si ~v es paralelo o antiparalelo a ~B (θ = 0 o θ = 180°)
y es máxima cuando ~v y ~B son perpendiculares (θ = 90°).
También se pueden usar reglas gráficas para recordar la dirección de
la fuerza, tal como se muestra en las dos figuras siguientes:
B
v
F
+
x
y
z
B
v
F
+
B
v
F
-
Figura 5.4: Regla de la mano derecha
para determinar la dirección de la fuer-
za sobre q. Notar que la dirección de ~F
cambia si la carga cambia de signo.
Figura 5.5: Otra versión de la regla de
la mano derecha.
Si sumamos la fuerza eléctrica y la magnética obtenemos la fuerza de
Lorentz:
~F = q( ~E + ~v× ~B)
5.2 Fuerza magnética sobre un conductor con
corriente
Ya vimos que existe una fuerza sobre una carga en movimiento en pre-
sencia de un campo magnético. Ahora si tenemos una alambre por el cual
pasa una corriente, entonces es de esperar que se ejerza una fuerza sobre
el alambre, pues después de todo una corriente son cargas en movimien-
to. La fuerza total sobre el alambre será la suma vectorial de todas las
fuerzas sobre cada una de las cargas.
Figura 5.6: Sección de un alambre por
donde se mueven los portadores de car-
ga con velocidad ~vd.
Consideremos un conductor con una sección de área A (Fig. 5.6). El
volumen del trozo de largo ∆x es A∆x. Si n representa el número de
portadores de carga2 móviles por unidad de volumen (densidad de porta-
2 Los portadores de carga son los res-
ponsables de la corriente eléctrica: car-
gas positivas o negativas.
dores de carga), entonces el número de portadores de carga en la sección
magnetismo 165
de largo ∆x es nA∆x. En consecuencia la carga total en esa sección es
∆Q = (número de portadores)×(carga del portador) = (nA∆x)q
Si los portadores se mueven con velocidad de deriva ~vd entonces en un
intervalo de tiempo ∆t estos se desplazarán una distancia
∆x = vd∆t
si suponemos que este tiempo es el mismo que se demoran los portadores
para pasar de una cara a la otra:
∆Q = (nAvd∆t)q
al dividir ambos lados por ∆t, obtenemos la corriente en un conductor en
términos de cantidades microscópicas
I =
∆Q
∆t
= nAvdq
El campo entra
en la página
Figura 5.7: Sección de segmento de
alambre por donde se mueven los por-
tadores de carga con velocidad ~vd. el
campo magnético es perpendicular al
segmento y va entrando en la página.
Consideremos ahora un campo magnético perpendicular al segmento
de alambre tal como muestra la figura 5.7. La fuerza magnética sobre una
carga q con velocidad ~vd es
~Fq = q~vd × ~B
Para encontrar la fuerza total sobre el segmento multiplicamos q~vd ×
~B por el número de cargas en el segmento de alambre. El volumen del
segmento es AL, lo que significa que el número de cargas es nAL
~Fm = nAL(q~vd × ~B)
pero ya sabemos que la corriente es I = nAvdq y si la reemplazamos en
la expresión anterior Fuerza sobre un segmento de alambre
cuando es campo magnético es perpen-
dicular al alambre.
~Fm = I~L× ~B
donde ~L es un vector de magnitud L y apunta en la misma dirección que
la corriente.
Fuerza saliendo
Figura 5.8: En ambos casos el cam-
po magnético uniforme es perpendicu-
lar al alambre. La magnitud de la fuer-
za magnética es F = IBL.
El resultado anterior es muy importante y nos vamos a encontrar fre-
cuentemente con campos magnéticos que son perpendiculares a un seg-
mento de alambre. La expresión ~Fm = I~L× ~B indica claramente que la
fuerza es perpendicular al campo magnético y a la dirección de la co-
rriente. Esto queda ilustrado en la figura 5.8 donde el campo magnético
se muestra entrando en la página o apuntando hacia arriba. La magnitud
de la fuerza es:
Fm = IBL
Ahora vamos a ver el caso general donde el alambre no necesaria-
mente está en una linea recta y ~B y puede tener cualquier dirección. La
referencia es la figura 5.9 y supongamos que por el elemento de linea d~l
pasa una corriente I. La fuerza sobre ese segmento es
d~Fm = Id~l× ~B
166 electromagnetismo fmf-241 (2014)
donde d~Fm se dirige hacia afuera de la página. La ecuación anterior puede
ser integrada sobre un circuito parcial o completo.
~Fm = I
bˆ
a
d~l× ~B
donde a y b representan los extremos del alambre. Si el circuito es cerrado
Figura 5.9: Caso general de un alam-
bre con corriente en presencia de una
campo magnético.
~Fm = I
˛
C
d~l× ~B
Un caso especial es cuando ~B es uniforme, pues este puede salir fuera de
la integral
~Fm = I
{˛
C
d~l
}
× ~B
La integral de linea cerrada es fácil de evaluar, pues la suma de vectores
infinitesimales que forman un circuito cerrado es cero. De este modo
~Fm = I
˛
C
d~l× ~B = 0 ( ~B uniforme)
EJEMPLO 5.1
Un alambre que se dobla en forma de un semicírculo de radio R forma un
circuito cerrado y lleva una corriente I. El alambre está obre el plano xy, y un
campo uniforme se dirige a lo largo del eje +y como se muestra en la figura.
Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza sobre la parte recta del alambre
y sobre la parte curva.
Solución: Como el campo magnético uniforme es perpendicular al segmento
recto ab, la magnitud de la fuerza sobre ese segmento es simplemente Fab = ILB = I2RB, además la
dirección de la fuerza es hacia afuera de la página. Sólo nos falta calcular la fuerza sobre el segmento curvo.
la respuesta es muy sencilla pues sabemos que la fuerza total sobre el circuito cerrado es cero, entonces la
magnitud de la fuerza es también es I2RB, pero con dirección entrando en la página. En resumen, las dos
fuerzas son:
~Fab = 2RIBk̂ ~Fba = −2RIBk̂
Es un buen ejercicio obtener en forma explícita ~Fba.
EJEMPLO 5.2
a
b
c
d
En la figura, el cubo tiene un lado de 40.0 cm. Los cuatro segmentos
rectos de alambre ab, bc, cd, y da forman un circuito cerrado que lleva
una corriente I = 5.00A, en la dirección mostrada. Un campo magnético
uniforme de magnitud B = 0.0200T se dirige a lo largo de la dirección
y. Determinar la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre cada
segmento..
Solución: Este es un caso de un segmento de alambre recto en presencia
de un campo magnético uniforme. Entonces podemos usar la ecuación
~Fm = I~L× ~B para este problema.
En primer lugar, obtenemos las direcciones de las corrientes (en uni-
magnetismo 167
dades de metros):
~Lab = −0.400 ĵ ~Lbc = 0.400 k̂ ~Lcd = −0.400 î+ 0.400 ĵ ~Lda = 0.400 î− 0.400 k̂
Considerando que el campo magnético es ~B = 0.0200 ĵ, formamos los productos cruz para obtener la fuerzas
(en Newton). En el primer caso la fuerza es nula porque ~B es paralelo al segmento ab
~Fab = I~Lab × ~B = 0
Similarmente
~Fbc = I~Lbc × ~B = −40.0× 10−3 î
~Fcd = I~Lcd × ~B = −40.0× 10−3 k̂
~Fda = I~Lda × ~B = 40.0× 10−3 (î+ k̂)
Notar que la fuerza total sobre el circuito es cero.
EJEMPLO 5.3
entrando
alambres flexibles
conductor
batería
Un conductor es suspendido por dos alambres flexi-
bles como se muestra en la figura. El conductor tie-
ne una masa por unidad de longitud de 0.0400 kg/m.
Existe un campo campo magnético uniforme entran-
do en la página de magnitud 3.60T. ¿Cuál debe ser
la corriente en el conductor para que la tensión en los
alambres de soporte sea cero? ¿Cuál es la dirección
de la corriente?
Solución:
En ausencia de campo magnético, la tensión de los
cables debe igualar al peso del conductor. Para que
la tensión de los cables sea cero, la fuerza magnética
debe ser igual al peso del conductor. La figura muestra la dirección que debe tener la corriente para que la
fuerza magnética apunte hacia arriba. Entonces la condición es
entrando
mg = Fm = ILB
donde L es el largo y m la masa del conductor. De
esta expresión obtenemos la corriente
I =
mg
LB
De esta expresión no conocemos ni L ni m. Sin em-
bargo m/L = 0.0400 kg/m es la masa por unidad
de longitud. Luego
I =
0.0400 kg/m× 9.8m/s2
3.60T = 0.109A
168 electromagnetismo fmf-241 (2014)
5.3 Torque sobre una espira con corriente
En la sección vimosque un campo magnético ejerce una fuerza sobre
un conductor con corriente y también concluimos que si el el campo es
uniforme la fuerza neta sobre un circuito cerrado es cero. Sin embargo a
pesar que la fuerza neta es cero, eso no significa que el torque neto sea
cero. Por ejemplo la figura 5.10 muestra una espira rectangular en pre-
sencia de una campo magnético uniforme ~B. La magnitud de las fuerzas
sobre los segmentos de longitud a son
(a) Vista superior
(b) Vista de perfil
Figura 5.10: Una espira rectangular
donde el vector unitario n̂ forma un án-
gulo θ con el campo magnético unifor-
me ~B.
F1 = IaB F2 = IaB
pero con direcciones opuestas de tal manera que ellas forman una par de
fuerzas que ejercen un torque que hace girar la espira. Para cada fuerza,
el brazo de palanca es b2 sin θ, entonces la magnitud de los torques es:
τ1 =
b
2 sin θF1 =
b
2 sin θIaB y τ2 =
b
2 sin θF2 =
b
2 sin θIaB
La magnitud del torque total sobre la espira es
τ = τ1 + τ2 = IabB sin θ = IAB sin θ
donde A = ab es el área de la espira. Si la espira tiene N vueltas el torque
es
τ = NIAB sin θ
magnetismo 169
Este torque hace girar la espira de tal forma que n̂ tiende a estar paralelo
a ~B. Una forma conveniente de expresar este torque es en forma vectorial
~τ = I ~A× ~B
donde ~A es un vector de magnitud A = ab y es perpendicular a la super-
ficie formada por la espira.
El torque sobre una espira con corriente en presencia de un campo
magnético es la base como funcionan los motores eléctricos. Como mues-
tra la figura 5.11, la armadura de un motor consiste en una espira de
alambre (con muchas vueltas) que puede rotar en un eje. Cuando una
corriente pasa a través de la espira, el campo magnético ejerce un tor-
que sobre la armadura y causa que esta rote. La corriente no puede ser
constante porque la armadura solo oscilaría alrededor de la posición de
equilibrio. Para mantener el motor girando, se usa un conmutador, que
tiene como función revertir la dirección de la corriente cada 180°. La in-
versión de la corriente hace que el motor siempre e impide que este llegue
a la posición de equilibrio.
N
S
El Conmutador invierte la corriente en la
espira cada medio ciclo. De ese modo la
fuerza en la parte izquierda de la espira
es siempre hacia arriba.
Rotación Figura 5.11: Principio básico de un mo-
tor eléctrico. Notar que el conmutador
está dividido en dos partes, de tal for-
ma que el terminal positivo de la bate-
ría envía corriente a cualquiera de los
alambres que toque la mitad derecha
del conmutador.
170 electromagnetismo fmf-241 (2014)
5.4 La ley de Biot y Savart
La fuente de un campo magnético estático puede ser un magneto
(imán), un campo eléctrico que varía en el tiempo, o una corriente con-
tinua.
Vamos a considerar por el momento una corriente continua que pasa
por un elemento diferencial de alambre, tal como muestra la figura 5.12.
El campo magnético en el posición 2 debido a ese elemento diferencial
viene dado por la expresión Punto 1
Punto 2
Figura 5.12: La ley de Biot-Savart ex-
presa el campo magnético d ~B2 produ-
cido por un elemento diferencial d~l1. La
dirección de d ~B2 es entrando en la pa-
gina.
d ~B2 =
µ0I1
4π
d~l1 × r̂12
r212
(?)
donde r̂12 es un vector unitario dirigido desde el punto 1 (punto fuente)
hasta el punto 2 (punto campo). La expresión anterior no puede ser verifi-
cada experimentalmente porque es imposible aislar el elemento diferencial
de corriente.
La constante µ0/4π se define en función de la permeabilidad del espa-
cio libre, µ0, por medio de
µ0
4π = 10
−7 N/A2
La expresión (?) también se puede escribir como
d ~B2 =
µ0I1
4π
d~l1 × ~r12
r312
En régimen permanente (ver sección 4.7) vimos que la densidad de
carga debe ser constante en el tiempo (∂ρ∂t = 0) y de acuerdo a la ecuación
de continuidad ∂ρ∂t +∇· ~J = 0, entonces las corrientes estacionarias tienen
divergencia nula, ∇· ~J = 0. Esto tiene como consecuencia inmediata que3 3 Recordar el teorema de la divergencia.
‰
S
~J · d ~A = 0
es decir, la corriente total que cruza cualquier superficie cerrada es cero,
y esta condición solo puede ser cumplida asumiendo una corriente alre-
dedor de una trayectoria cerrada. Entonces, bajo esta condición, puede
ser demostrada experimentalmente la ley de Biot-Savart:
~B(~r2) =
µ0I1
4π
˛
C1
d~l1 × ~r12
r312
Esta fórmula permite encontrar la inducción magnética causada por la
corriente I1 en una trayectoria cerrada C1.
El campo magnético también se puede escribir en función de la den-
sidad de corriente ~J1. En una alambre delgado (Fig. 5.12) con sección
transversal A, el volumen es dv1 = Adl1 y el flujo de corriente es total-
mente a lo largo del alambre. Tenemos
~J1dv1 = ~J1Adl1 = (J1A)d~l1 = Id~l1
magnetismo 171
entonces al sustituir obtenemos:
~B(~r2) =
µ0
4π
ˆ
V
~J1 × ~r12
r312
dv1
Como es de costumbre, las dos fórmulas principales anteriores se pue-
den escribir en función de los radios vectores, considerando que ~r12 =
~r2 − ~r1
~B(~r2) =
µ0I1
4π
˛
C1
d~l1 × (~r2 − ~r1)
|~r2 − ~r1|3
~B(~r2) =
µ0
4π
ˆ
V
~J1 × (~r2 − ~r1)
|~r2 − ~r1|3
dv1
También podemos usar la notación “prima” para indicar la fuente de
la inducción magnética
~B(~r) =
µ0I ′
4π
˛
C
d~l′ × ~r
r3
~B(~r) =
µ0I ′
4π
˛
C′
d~l′ × (~r− ~r′)
|~r− ~r′|3
I
B
Figura 5.13: Regla de la mano derecha
para determinar la dirección del cam-
po magnético alrededor de un alambre
largo que lleva una corriente. La punta
de los dedos da la dirección de ~B.
Antes de ver un ejemplo vamos a mencionar que existe una regla grá-
fica para determinar la dirección del campo magnético, si conocemos la
dirección de la corriente. La figura 5.13 ilustra el método para un alam-
bre muy largo con corriente, pero el método también se puede aplicar a
conductores con otra forma.
EJEMPLO 5.4: Campo magnético debido a un alambre largo
Considerar un alambre recto y delgado que lleva una corriente
constante I y colocado a lo largo del eje x. Determinar el campo
magnético en el punto P debido a la corriente.
Solución: Vamos a obtener el campo magnético en el punto
P a una distancia y del eje x. El campo magnético debido al
diferencial dx es
d ~B(~r2) =
µ0I
4π
d~l1 × (~r2 − ~r1)
|~r2 − ~r1|3
(∗)
en nuestro caso ~r1 = xî, ~r2 = yĵ y d~l1 = d~x. Por la regla de la mano derecha el campo en el punto P apunta
hacia afuera de la hoja (dirección k̂). Además la expresión d~l1× (~r2−~r1) = d~x× (yĵ−xî) = dxî× (yĵ−xî) =
ydxk̂ indica la misma dirección. Entonces al reemplazar en (*)
d ~B(~r2) =
µ0I
4π
ydx
|~r2 − ~r1|3
k̂ (∗∗)
De la figura se tiene que |~r2 − ~r1| =
√
x2 + y2 y podemos expresar (**) en función de x, para luego integrar
entre −∞ y +∞. Sin embargo, podemos seguir un camino alternativo y expresar la integral en función de θ.
172 electromagnetismo fmf-241 (2014)
En efecto, de la figura
|~r2 − ~r1| = y csc(π− θ) = y csc θ
y también
y
x
= tan(π− θ) = − tan θ ⇒ dx = y csc2 θdθ
y remplazamos todo en (**)
d ~B(~r2) =
µ0I
4π
y(y csc2 θdθ)
(y csc θ)3 k̂ =
µ0I
4π
dθ
y csc θ k̂ =
µ0I
4πy sin θk̂
para un alambre infinito integramos entre θ = 0 y θ = π
~B(y) =
µ0I
4πy k̂
π̂
0
sin θ = µ0I4πy k̂(− cos θ)
∣∣∣∣π
0
=
µ0I
2πy k̂
Podríamos haber buscado en una tabla, la integral
ˆ
du
(u2 + a2)3/2
=
u
a2
√
u2 + a2
para obtener el campo
~B(~r2) =
µ0Iy
4π
+∞ˆ
−∞
dx
(x2 + y2)3/2
k̂ = 2µ0Iy4π
[
x
y2
√
x2 + y2
]+∞
0
k̂
=
µ0Iy
2π
[
1
y2
√
1 + (y/x)2
]+∞
0
k̂ =
µ0Iy
2π
(
1
y2
− 0
)
k̂ =
µ0I
2πy k̂
EJEMPLO 5.5: Campo magnético sobre el eje de una espira con corriente
Considerar una espira circular de radio a localizada en el
plano xy y que lleva una corriente I. Calcular el campo mag-
nético en un punto axial a una distancia z del centro de la
espira.
Solución: De acuerdo a la figura:
~r1 = ar̂, ~r2 = zk̂, d~l = adθθ̂ y ~r2 − ~r1 = zk̂− ar̂
Aquí tenemos una mezcla de coordenadas cartesianas y coor-
denadas cilíndricas. Expresamos todo en coordenadas carte-
sianas:
θ̂ = −î sin θ+ ĵ cos θ y r̂ = î cos θ+ ĵ sin θ
entonces
~r2−~r1 = zk̂− îa cos θ−ĵa sin θ y d~l = adθ(−î sin θ+ ĵ cos θ)
además
|~r2 − ~r1| =
√
a2 + z2
magnetismo 173
por lo tanto
d ~B(z) =
µ0I
4π
d~l× (~r2 − ~r1)
|~r2 − ~r1|3
=
µ0I
4π
adθ(−î sin θ+ ĵ cos θ)× (zk̂− îa cos θ− ĵa sin θ)
(a2 + z2)3/2
y que debido a la ortogonalidad de los vectores unitarios se reduce a:
d ~B(z) =
µ0I
4π
(ĵz sin θ+ k̂a sin2 θ+ îz cos θ+ k̂a cos2 θ)
(a2 + z2)3/2
adθ =
µ0I
4π
(ĵz sin θ+ îz cos θ+ k̂a)
(a2 + z2)3/2
adθ
Finalmente integramos en θ
~B(z) =
µ0I
4π
2πˆ
0
(ĵza sin θ+ îza cos θ+ k̂a2)
(a2 + z2)3/2
dθ
resulta que los dos primeros términos son cero y nos quedamos con el resultado final:
~B(z) =
µ0I
4π 2π
a2
(a2 + z2)3/2
k̂ =
µ0I
2
a2
(a2 + z2)3/2
k̂
Otra forma: Podemos resolver este problema más fácilmente usando argumentos de simetría para evitar
trabajar con vectores. Trabajaremos con la formula
~B(~r) =
µ0I
4π
˛
d~l× ~r
r3
=
µ0I
4π
˛
d~l× r̂
r2
donde r̂ es un vector unitario que apunta desde el elemento de longitud d~l al punto P .
De acuerdo a la figura de la izquierda, el vector d~l es perpendicular al vector r̂ que apunta desde el elemento
de longitud al punto P . La dirección de d ~B en P será la dirección del producto cruz d~l× r̂, es decir d ~B será
perpendicular a d~l y a r̂. Puesto que
∣∣∣d~l× r̂∣∣∣ = dl sin 90° = dl, la magnitud de d ~B es
dB =
µ0I
4π
dl
r2
174 electromagnetismo fmf-241 (2014)
de la figura r2 = a2 + z2 y entonces
dB =
µ0I
4π
dl
a2 + z2
Por otro lado, si consideramos que para cada elemento de longitud, existe otro al lado opuesto que hace que
las componentes x del campo magnético se anulen. Por lo tanto el campo magnético solo tiene dirección z.
Esto es ilustrado en la figura de la derecha donde se muestran las lineas de campo. La línea que pasa justo
por el centro de anillo va en la dirección de eje z.
De la figura de la izquierda
dBz = dB cos θ =
µ0I
4π
dl
a2 + z2
cos θ = µ0I4π
dl
a2 + z2
a√
a2 + z2
al integrar
Bz =
ˆ
µ0I
4π
dl
a2 + z2
a√
a2 + z2
=
µ0I
4π
a
(a2 + z2)3/2
ˆ
dl =
µ0I
4π
a
(a2 + z2)3/2
2πa
Finalmente obtenemos el mismo resultado:
Bz =
µ0I
2
a2
(a2 + z2)3/2
5.5 Propiedades del campo magnético en el es-
pacio libre
Es un hecho experimental que todos lo campos magnético pueden ser
descritos en función de una distribución de corriente. Es decir, para co-
rrientes estacionarias, el campo magnético siempre toma la forma descrita
en la sección anterior:
~B(~r2) =
µ0
4π
ˆ
V
~J1 × (~r2 − ~r1)
|~r2 − ~r1|3
dv1
donde ~J1 es una densidad de corriente. Se puede demostrar matemática-
mente que si ~B tiene la forma de la ecuación anterior entonces se cumple
que La divergencia de ~B es nula. También
se le conoce como ley de Gauss del mag-
netismo.∇ · ~B(~r2) = 0
Esta forma diferencial también se puede expresar en forma integral al
aplicar el teorema de la divergencia:
‰
S
~B(~r2) · d ~A = 0
Donde la integral de superficie se aplica a una superficie que rodea a un
volumen arbitrario. Este hecho implica que no hay fuentes de flujo mag-
nético y la lineas de flujo magnético siempre se cierran sobre si mismas.4 4 En otras palabras, no hay polos mag-
néticos aislados (monopolos).
El hecho de que la divergencia del campo magnético se anule puede
ser ser postulada sin mayor demostración. Similarmente se puede postular
que Forma diferencial de la ley de Ampère
magnetismo 175
∇× ~B(~r2) = µ0 ~J(~r2)
En resumen, las dos expresiones Postulados de la magnetostática en el
vacío.
∇ · ~B = 0 y ∇× ~B = µ0 ~J
constituyen los postulados fundamentales de la magnetos-
tática en el vacío. En especial, la expresión ∇· ~B = 0 también se conoce
como la ley de Gauss en magnetismo.
176 electromagnetismo fmf-241 (2014)
5.6 La ley de Ampère
Esta ley permite encontrar campos magnéticos en casos donde la ley
de Biot-Savart resultaría muy complicada de aplicar.
Si Partimos con
∇× ~B = µ0 ~J
y evaluamos una integral de superficie en ambos miembros
ˆ
S
(∇× ~B) · d ~A =
ˆ
S
µ0 ~J · d ~A
y aplicamos el teorema de Stokes5 a la integral del lado izquierdo: 5 El teorema de Stokes establece que
para una campo vectorial ~F se cumple
que
´
S(∇× ~F ) · d ~A =
¸
C
~F · d~l donde
la integral se linea se hace a través de
una curva que rodea la superficie.
ˆ
S
(∇× ~B) · d ~A =
˛
C
~B · d~l
de esta forma se tiene la ley de Ampère
˛
C
~B · d~l = µ0
ˆ
S
~J · d ~A
y puesto que la integral del lado derecho es la corriente
˛
C
~B · d~l = µ0I
EJEMPLO 5.6: Campo magnético debido a una alambre largo
Este problema se resuelve muy fácilmente usando la ley de Am-
père ˛
C
~B · d~l = µ0I
Para ello elegimos una curva que rodee al alambre. En este caso
elegimos una circunferencia por conveniencia. Si observamos la
figura vemos que ~B es paralelo al elemento de longitud d~l, por lo
tanto ~B · d~l = Bdl˛
C
~B · d~l =
˛
C
Bdl = µ0I
el campo puede salir fuera de la integral pues este constante en cualquier punto de la trayectoria circular de
radio y. Entonces obtenemos
B
˛
C
dl = µ0I ⇒ B2πy = µ0I ⇒ B =
µ0I
2πy
magnetismo 177
EJEMPLO 5.7: Campo magnético debido a una alambre grueso
Calcular el campo magnético producido por un alambre largo de radio R y que lleva una corriente uniforme-
mente a través de su sección.
Solución: Para r ≥ R elegimos un circulo de radio r. De la misma forma que en el ejemplo anterior, vemos
que ~B es paralelo al elemento de longitud d~l y por lo tanto ~B · d~l = Bdl
˛
C
~B · d~l =
˛
C
Bdl = µ0I
donde I es la corriente que pasa a través de la superficie rodeada por la circunferencia de radio r. Obtenemos
el mismo resultado que para un alambre delgado
B =
µ0I
2πr r ≥ R
Para r < R la corriente que pasa a través del circulo no es la corriente total I sino que una fracción de ella.
Si aplicamos la ley de Ampère obtenemos el resultado similar
B =
µ0I ′
2πr
donde I ′ es la corriente que pasa a través del circulo de radio r. Podemos establecer una proporcionalidad
directa entre las corrientes y las respectivas áreas de cada circulo
I
πR2
=
I ′
πr2
⇒ I ′ = I r
2
R2
Esta proporcionalidad directa se justifica porque corriente/área no es otra cosa que la densidad de corriente
uniforme en el alambre. Entonces
B =
µ0
2πr I
′ =
µ0
2πr I
r2
R2
=
µ0I
2πR2 r r < R
178 electromagnetismo fmf-241 (2014)
EJEMPLO 5.8: Campo magnético de un solenoide
Un solenoide es un alambre largo enrollado en la forma de una hélice. Con esta configuración se produce
un campo magnético aproximadamente uniforme en el espacio (interior) rodeado por el alambre. Calcular ~B
cuando el largo del solenoide es lo suficientemente largo para evitar problemas de borde.
Solución: Cuando el alambre es suficientemente largo, el
campo en el interior es aproximadamente uniforme. En la
figura de la izquierda se muestra un corte vertical del sole-
noide. Para usar la ley de Ampère elegimos una trayectoria
rectangular (1234) de tal manera que la corriente la atra-
viese ˆ
1234
~B · d~l = µ0I ′
La integral se puede dividir en cuatro contribuciones: En el interior (1) ~B es uniforme y paralelo a d~l. En (2)
y (4) ~B es perpendicular a d~l y las contribuciones serán cero. En el exterior (3) ~B es aproximadamente nulo,
es decir la contribución en el segmento 3 es aproximadamente cero:
B
ˆ
1
dl︸ ︷︷ ︸
( ~B‖d~l)
+
ˆ
2
~B · d~l︸ ︷︷ ︸
0 ( ~B⊥d~l)
+
ˆ
3
~B · d~l︸ ︷︷ ︸
0 ( ~B≈0)
+
ˆ
4
~B · d~l︸ ︷︷ ︸
0 ( ~B⊥d~l)
= µ0I
′
Aquí I ′ es la corriente que atraviesa el rectángulo. Por el rectángulo pasan varias vueltas del alambre. Si
definimos n como el número de vueltas por unidad de longitud del solenoide
n =
vueltas
longitud
entonces el número de vueltas en la longitud L es nL. Con esto la corriente es I ′ = nLI y tenemos
B
ˆ
1
dl = µ0nLI ⇒ BL = µ0nLI ⇒ B = µ0nI
Solución: Cuando el alambre es suficientemente largo, el campo en el interior es aproximadamente uniforme.
En la figura de arriba a la derecha se muestra un corte vertical del solenoide. Para usar la ley de Ampère
elegimos una trayectoria rectangular de tal manera que la corriente la atraviese
ˆ
1234
~B · d~l = µ0I ′
Laintegral se puede dividir en cuatro contribuciones: En el interior (1) ~B es uniforme y paralelo a d~l. En (2)
y (4) ~B es perpendicular a d~l y las contribuciones serán cero. En el exterior (3) ~B es aproximadamente nulo,
es decir la contribución en el segmento 3 es aproximadamente cero:
magnetismo 179
B
ˆ
1
dl︸ ︷︷ ︸
( ~B‖d~l)
+
ˆ
2
~B · d~l︸ ︷︷ ︸
0 ( ~B⊥d~l)
+
ˆ
3
~B · d~l︸ ︷︷ ︸
0 ( ~B≈0)
+
ˆ
4
~B · d~l︸ ︷︷ ︸
0 ( ~B⊥d~l)
= µ0I
′
aquí I ′ es la corriente que atraviesa el rectángulo. Por el rectángulo pasan varias vueltas del alambre, si
definimos n como el número de vueltas por unidad de longitud del solenoide
n =
vueltas
longitud
entonces el número de vueltas en la longitud L es nL. Con esto la corriente es I ′ = nLI y tenemos
B
ˆ
1
dl = µ0nLI ⇒ BL = µ0nLI ⇒ B = µ0nI
180 electromagnetismo fmf-241 (2014)
EJEMPLO 5.9: Campo magnético de un toroide
Un toroide de sección rectangular y radio interior R con-
siste de N vueltas de alambre que lleva una corriente I.
Calcular el campo magnético dentro del toroide.
Solución:
Este es un problema estándar en todos los libros de texto.
La simetría cilíndrica asegura que ~B solo tiene componente
φ y que es constante a lo largo de la trayectoria circular
de radio r de la figura de abajo. Además suponemos que
el campo magnético al exterior del toroide en nulo. Es el
mismo argumento que usamos para resolver el problema
5.8 de un solenoide (esto es razonable, pues después de todo un toroide es un solenoide doblado).
Para aplicar la ley de Ampère usamos el contorno (tra-
yectoria) circular de radio r. Además consideramos el he-
cho de que ~B es tangente a la trayectoria y por lo tanto
~B � d~l = Bφdl
˛
C
~B � d~l =
˛
C
Bφdl = Bφ
˛
C
dl = µ0NI
La cantidad NI representa la corriente total que atraviesa
el círculo de radio r. Luego
Bφ2πr = µ0NI ⇒ Bφ =
µ0NI
2πr
Notar que el resultado no depende de R y tampoco de la
forma de la sección transversal del toroide.
magnetismo 181
5.7 Propiedades magnéticas de la materia
El campo magnético producido por una corriente en una espira nos da
un indicio acerca de lo que causa por las cuales ciertos materiales poseen
fuertes propiedades magnéticas.
Cuando calculamos el torque sobre una espira cuadrada con corriente
I, la fórmula que obtuvimos es
Figura 5.14: Momento dipolar de una
espira con corriente. La magnitud de
m = IA.
~τ = I ~A× ~B
pero a pesar de que la deducción fue para un caso especial, la fórmula
anterior es válida para una espira con cualquier forma. La cantidad I ~A
aparece en forma muy frecuente en la teoría magnética, así que le daremos
un nombre, momento magnético dipolar:
~m = I ~A
donde ~A es un vector perpendicular a la superficie y de magnitud A. En
general cualquier espira con corriente tiene un campo magnético y por
lo tanto un dipolo magnético, incluso a nivel atómico donde se puede
imaginar al electrón como una corriente eléctrica en una espira circular.
Como todos los materiales están compuestos por átomos, es razonable
pensar que a nivel macroscópico los materiales también posean un mo-
mento magnético.
Figura 5.15: Dipolos magnéticos en un
material, con orientaciones aleatorias.
El momento magnético neto es aproxi-
madamente cero.
Cuando no hay un campo magnético externo, los dipolos magnéticos
de los átomos de la mayoría de los materiales tienen orientaciones aleato-
rias (Fig. 5.15) de tal manera que no hay un momento magnético neto.6
6 Con excepción de los imanes perma-
nentes.
La aplicación de un campo magnético externo implica una alineación de
los momentos magnéticos de los electrones. Tal como el estado de polari-
zación de una substancia se describe por medio del vector de polarización
~P , el estado magnético de una substancia se describe mediante el vector
de magnetización ~M
~M = ĺım
∆v→0
n∆v∑
k=1
~mk
∆v
donde n es la cantidad de átomos por unidad de volumen y la expresión
n∆n es la cantidad de átomos en el volumen ∆v. De acuerdo a esta
definición ~M representa una densidad volumétrica de momento magnético
y tiene una analogía directa con el vector de polarización ~P .7
7 Recordar que ~P = lim
∆v→0
n∆v∑
i=1
~pi
∆v
Teniendo un campo magnético externo ~B0 y el vector ~M , el campo
magnético total en un punto dentro de un material o substancia depende
de ambos.
En la sección de electrostática definimos dos cantidades escalares, den-
sidad superficial de polarización y densidad volumétrica de polarización.
Análogamente en magnetismo, es conveniente definir dos cantidades vec-
toriales:
El vector
~Jv = ∇× ~M [A/m2]
182 electromagnetismo fmf-241 (2014)
es la densidad volumétrica de corriente de magnetización.
Y el vector
~Js = ~M × n̂ [A/m]
es la densidad superficial de corriente de magnetización. Donde n̂ es un
vector unitario normal que apunta hacia afuera de la frontera.
Figura 5.16: La corriente total I que
atraviesa la longitud transversal b don-
de hay una densidad superficial de co-
rriente de magnetización es I = Jsb.
La unidad de Js es “amperes por metro de ancho”, es decir si la densidad
de corriente superficial, Js, es uniforme, la corriente total I en un ancho
b es (Fig. 5.16)
I = Jsb
donde asumimos que el ancho b es medido perpendicularmente a la di-
rección de la corriente. Para una Js no uniforme es necesario integrar
I =
ˆ
JsdN
donde dN es el diferencial de longitud transversal a la dirección de la
corriente.
B
Frontera
Figura 5.17: Corte transversal de un
material magnetizado. El vector mag-
netización ~M apunta hacia afuera de
la página. En el interior, los dipolos se
anulan entre si, pero en la frontera los
dipolos contribuyen a una corriente su-
perficial.
Para entender la expresión ~Js = ~M × n̂ podemos recurrir a la figura
5.17 que representa un corte transversal de un material magnetizado de
cierto espesor. En la superficie del material (lado izquierdo y derecho de
las lineas punteadas), los dipolos magnéticos contribuyen a una corriente
superficial efectiva. Claramente el producto cruz ~M × n̂ es un vector que
sigue la trayectoria circular de cada dipolo.
5.8 Intensidad de campo magnético
Cuando se aplica un campo magnético externo ~B, los dipolos magné-
ticos del material se alinean con ~B y lo mismo ocurre con el momento
magnético inducido. El resultado es que el campo magnético total en pre-
sencia de un material magnético sea diferente de su valor en el espacio
libre. A nivel macroscópico la magnetización se puede describir en térmi-
nos de la densidad de corriente volumétrica de magnetización, ~Jv. Si a la
ecuación
∇× ~B = µ0 ~J
le agregamos ~Jv, tenemos
∇× ~B = µ0( ~J + ~Jv)
y como ~Jv = ∇× ~M
∇× ~B = µ0( ~J +∇× ~M ) ⇒ ∇×
(
~B
µ0
− ~M
)
= ~J
magnetismo 183
con esto definimos una nueva cantidad, llamada intensidad de campo
magnético ~H
~H =
~B
µ0
− ~M
de tal forma que obtenemos una nueva ecuación:
∇× ~H = ~J
Notar que ~J es la densidad de corriente libre (de una batería, etc).
La forma integral de la ecuación anterior se obtiene tomando la integral
de superficie en ambos lados y aplicando el teorema de Stokes:
˛
C
~H · d~l =
ˆ
S
~J · d ~A ⇒
‰
C
~H · d~l = I
donde C es el contorno (trayectoria cerrada) que limita la superficie S.
Esta ecuación es la ley de Ampère en un medio magnético.
En situaciones cuando el medio magnético es lineal e isótropo, la mag-
netización es directamente proporcional a ~H
~M = χm ~H
donde la cantidad adimensional χm es la susceptibilidad magnética.8 Al 8 Aquí hay una clara analogía con las
susceptibilidad eléctrica ~P = χ~E.sustituir esta ecuación en ~H = ~Bµ0 −
~M
~H =
~B
µ0
− ~M =
~B
µ0
− χm ~H ⇒
~B = µ0(1 + χm) ~H = µ0µr ~H = µ ~H
con
µr = (1 + χm) =
µ
µ0
aquí µr es una cantidad adimensional llamada permeabilidad relativa del
medio y µ = µrµ0 es la permeabilidad absoluta.9 9 Notar la analogía de
~B = µ ~H y µ = µrµ0
con el caso de un dieléctrico
~E = 1
�
~D y � = κ�0.
En general todos los materiales son magnéticos (aunque la mayoría
muy débilmente). Para ver el grado de magnetismo de un material es
útil analizar los valoresde χm, que se obtienen de observaciones expe-
rimentales. En efecto, al analizar la fórmula ~B = µ0(1 + χm) ~H vemos
que dependiendo del signo de χm el campo magnético en el interior de
una material puede aumentar o disminuir. La tabla siguiente muestra
valores de la susceptibilidad magnética para algunos materiales. Los ma-
teriales son clasificados de acuerdo al signo de χm. Si χm > 0 decimos
que es un material paramagnético. En cambio si χm < 0 el material es
diamagnético.
184 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Substancia χm Substancia χm
paramagnética diamagnética
Aluminio 2.3× 10−5 Bismuto −1.66× 10−5
Calcio 1.9× 10−5 Cobre −9.8× 10−6
Cromo 2.7× 10−4 Diamante −2.2× 10−5
Litio 2.1× 10−5 Oro −3.6× 10−5
Magnesio 1.2× 10−5 Plomo −1.7× 10−5
Niobio 2.6× 10−4 Mercurio −2.9× 10−5
Oxigeno 2.1× 10−6 Nitrógeno −5.0× 10−9
Platino 2.9× 10−4 Plata −2.6× 10−5
Tungsteno 6.8× 10−5 Silicio −4.2× 10−6
Tabla 5.1: Susceptibilidad magnética
de algunas substancia paramagnéticas
y diamagnéticas a 300K.
5.8.1 Materiales diamagnéticos
En los materiales diamagnéticos el valor de χm es negativo y el campo
magnético se debilita por la presencia del material. Esto se justifica por
medio de la figura 5.18. En ausencia de un campo magnético externo
~B, tenemos un material con sus dipolos atómicos nulos y por tanto una
magnetización total ~M = 0. Al aplicar un campo magnético externo ~B el
material se magnetiza de tal forma que el vector ~M se opone a ~B. Esto
es debido a la ley de Lenz que veremos más adelante.
Figura 5.18: Material diamagnético,
χm < 0, los momentos magnéticos ató-
micos son nulos y la aplicación de una
campo magnético ~B induce un magne-
tización contraria a ~B.
5.8.2 Materiales paramagnéticos
El paramagnetismo solo ocurre ante la presencia de un campo magnéti-
co externo. En ausencia de un ~B externo, el momento magnético atómico
o molecular es distinto de cero, ~m 6= 0, pero como estos están orientados
aleatoriamente, la magnetización, ~M , es nula. Al aplicar el campo mag-
nético ~B los dipolos se orientan en favor de ~B de tal forma que aparece
una magnetización ~M que va en la misma dirección de ~B. Como con-
secuencia el campo magnético total se incrementa por la presencia del
material (Fig. 5.19).
Figura 5.19: Material paramagnético,
χm > 0, los ~m 6= 0 pero están orien-
tados aleatoriamente tal que ~M = 0.
La aplicación de ~B hace que los dipolos
atómicos se alineen tal que aparece una
magnetización en el mismo sentido que
~B.
5.8.3 Materiales ferromagnéticos
Los materiales ferromagnéticos (por ejemplo hierro, níquel y cobalto)
son otra clase de material magnético. Como muestra la figura 5.20 el
magnetismo 185
material tiene una magnetización permanente incluso en ausencia de una
campo magnético externo. Estos tipos de materiales son no lineales, es
decir no están regidos por las ecuaciones ~M = χm ~H y ~B = µ ~H. Además
χm es un número muy grande.
Figura 5.20: Un material ferromagnéti-
co tiene una magnetización permanen-
te, incluso si no hay una campo externo
aplicado.
El ferromagnetismo puede ser ilustrado con la figura 5.21 donde se
muestran que el material se divide en dominios magnetizados, que con-
tienen una gran cantidad de átomos (1015 o 1016) magnetizados dando
como resultado una magnetización neta en esa región, incluso en ausencia
de una campo magnético. Cada dominio es separado por una pared de
dominio que no está magnetizada.
Dominio
magnetizado
Pared de
Dominio
(a) (b)
Dominios con mayor volumen Figura 5.21: (a) En ausencia de un cam-
po ~B los momentos magnéticos de do-
minio tiene una orientación aleatoria.
(b) Los dominios alineados con ~B cre-
cen y como consecuencia aparece un
momento magnético neto.
En una muestra no magnetizada, los momentos magnéticos en los do-
minios están orientados aleatoriamente de tal forma que el momento mag-
nético neto es cero. Cuando la muestra se coloca en un campo magnético
externo, los dominios alineados con el campo magnético aumentan su
volumen
EJEMPLO 5.10
Determinar el campo magnético ~B en el eje de un cilindro circular
uniformemente magnetizado de material magnético. El cilindro tiene
radio b, longitud L y magnetización axial ~M =M0k̂. Solución: Puesto
que ~M es uniforme (constante) a lo largo del eje z, la densidad de
corriente volumétrica de magnetización es ~Jv = ∇× ~M = 0. Por otro
lado la densidad de corriente superficial de magnetización es
~Js = ~M × n̂
donden̂ es normal a la pared lateral (manto) del cilindro, que en este
caso es radial, es decir n̂ = r̂ (en coordenadas cilíndricas)
~Js = ~M × r̂ = (M0k̂)× r̂ =M0φ̂
Es decir esta barra magnetizada (imán) se comporta como una lamina
cilíndrica con una densidad lineal de corriente circunferencial M0. Además no hay corriente superficial en las
tapas del cilindro ( ~M × n̂ = 0).
Para hallar ~B en P (0, 0, z) consideraremos una cinta de ancho dz′ a una distancia z′ del origen. Esta cinta
lleva una corriente dada por Jsdz′ pues la corriente atraviesa una distancia transversal dz′ (ver figura 5.16).
En un problema anterior habíamos encontrado que el campo magnético en el eje de un anillo de radio a y
186 electromagnetismo fmf-241 (2014)
que lleva una corriente I era:
Bz =
µ0I
2
a2
(a2 + z2)3/2
en nuestro caso a→ b, z → z − z′ y I = Jsdz′, entonces al reemplazar
dB =
µ0(Jsdz′)
2
b2
(b2 + (z − z′)2)3/2
=
M0µ0b2dz′
2 (b2 + (z − z′)2)3/2
y al integrar
B(z) =
M0µ0b2
2
L̂
0
dz′
(b2 + (z − z′)2)3/2
=
M0µ0b2
2
z′ − z
b2
√
b2 + (z − z′)2
∣∣∣∣L
0
y obtenemos finalmente
~B(z) =
M0µ0
2
[
z√
b2 + z2
− z −L√
b2 + (z −L)2
]
k̂
magnetismo 187
5.9 Condiciones de borde
Para resolver problemas de campos magnéticos debemos saber como
cambian los vectores ~B y ~H al pasar la frontera entre dos medios. Usa-
remos técnicas similares a las usadas en los dieléctricos.
Lo primero es que como divergencia del campo magnético es nula,
∇ · ~B = 0 y al pasar de un medio al otro, la componente normal del
campo es continua
B1n = B2n
y en el caso de materiales lineales ~B1 = µ1 ~H1 y ~B2 = µ2 ~H2 y tenemos
la condición
µ1B1n = µ2B2n
Ahora necesitamos una condición de borde para la componente tan-
gencial de ~H. La componente tangencial no será continua si existe una
corriente superficial en la superficie de separación (frontera). Procede-
remos a usar la ecuación
�
C
~H · d~l = I en la configuración de la figura
5.22.
a
b
c
d
Medio 1
Medio 2
Figura 5.22: Condición de frontera para
~H.
La trayectoria cerrada abcda está en la superficie de separación de los
dos medios:
‰
C
~H · d~l =
ˆ
ab
~H · d~l+
ˆ
bc
~H · d~l+
ˆ
cd
~H · d~l+
ˆ
da
~H · d~l
si hacemos que ∆h se aproximen a cero, podemos ignorar las integrales
en esos segmentos pues
´
bc
~H · d~l =
´
ad
~H · d~l = 0. Tenemos
‰
C
~H · d~l =
ˆ
ab
~H · d~l︸ ︷︷ ︸
~H1·∆~w
+
ˆ
cd
~H · d~l︸ ︷︷ ︸
~H1·(−∆~w)
= ~H1 · ∆~w+ ~H2 · (−∆~w) = I
en este caso I es una corriente superficial que pasa a través de la superficie
rodeada por el contorno abcda. La corriente en función de la densidad
superficial de corriente se expresa como I = Jsn∆w. Tenemos
~H1 · ∆~w+ ~H2 · (−∆~w) = Jsn∆w
donde hemos puesto Jns para indicar que ~Js es normal a la superficie
rodeada por el contorno, es decir ~Js apunta hacia afuera de la hoja. La
ecuación anterior es equivalente a:
H1t −H2t = Jsn
y la forma más general de escribir esta ecuación es
n̂2 × ( ~H1 − ~H2) = ~Js
donde n̂2 es un vector unitario normal que apunta hacia afuera del medio
2.
Afortunadamente las dos ecuaciones anteriores pueden ser empleadas
de una forma más simple, pues en la mayoría de los medios físicos la
188 electromagnetismo fmf-241 (2014)
componente tangencial de ~H es continua a través de la frontera y no
existen corrientes libres superficiales. Por lo tanto podemos suponer que La componente tangencial de ~H es con-
tinua en la mayoría de los casos.
H1t = H2t
5.10 Flujo magnético
El flujo magnético se define de la misma forma que el flujo eléctrico.
La integral de superficie
Φm =
ˆ
S
~B · d ~A
es el flujo magnéticoa través de la superficie S limitada por un contorno
C.
Una situación especial es cuando la superficie es cerrada. En ese caso
usamos el hecho de que ∇ · ~B = 0 (ley de Gauss en magnetismo), lo que
trae como consecuencia que
Φm =
˛
S
~B · d ~A = 0
es decir, el flujo magnético a través de una superficie cerrada es nulo.
EJEMPLO 5.11
Una espira rectangular de ancho a y largo b está locali-
zada cerca de un alambre largo que lleva una corriente
I. La distancia entre el alambre y el lado más cercano a
la espira es c. el alambre es paralelo a lado de largo b.
Encontrar el flujo total de campo magnético a través de
la espira, debido a la corriente en el alambre.
Solución: En la figura, la magnitud del campo magné-
tico generado un alambre con corriente I es
B =
µ0I
2πr
donde r es la distancia al alambre y el campo apunta
hacia adentro en la región donde se encuentra la espi-
ra. Puesto que el campo es variable con la distancia al
alambre, elegimos una franja de ancho dr y largo b a una distancia r del alambre. El flujo es:
Φm =
ˆ
S
~B · d ~A =
ˆ
S
BdA
donde hemos puesto ~B · d ~A = B · dA porque ~B es paralelo a d ~A. Además dA = bdr. Reemplazando:
Φm =
ˆ a+c
c
µ0I
2πr bdr =
µ0Ib
2π
ˆ a+c
c
dr
r
=
µ0Ib
2π ln r
∣∣∣∣a+c
c
=
µ0Ib
2π ln
(
1 + a
c
)
magnetismo 189
EJEMPLO 5.12
Un conductor delgado a lo largo del eje z lleva una corriente de 16A
en la dirección k̂, un cascarón cilíndrico de radio r = 6 lleva una
corriente de 12A en la dirección −k̂ y otro cascarón cilíndrico de
radio r = 10 lleva una corriente de 4A en la dirección −k̂.
(a) Encontrar ~H en todo el espacio.
Solución: Usamos la ley de Ampère
�
C
~H · d~l = I donde ya sabe-
mos que ~H tiene la dirección φ̂ o −φ̂ de acuerdo al la regla de la
mano derecha. La trayectoria C será una circunferencia de radio r
y concéntrica con el eje z.
(i) Para 0 < r < 6 : 2πrH = 16 ⇒ ~H = 162πr φ̂
(ii) Para 6 < r < 10 : 2πrH = 16− 12 ⇒ ~H = 42πr φ̂
(iii) Para r > 10 : 2πrH = 16− 12− 4 = 0 ⇒ ~H = 0
(b) Hallar el flujo total a través de la superficie 1 < r < 7, 0 < z < 1.
Solución: La superficie corresponde a un rectángulo de ancho 6 y alto 1 perpendicular al plano xy. Un
elemento de área en este rectángulo es dA = dzdr, además usamos ~B = µ0 ~H para calcular el flujo
Φ =
ˆ
~B · d ~A =
ˆ
BdA =
ˆ
Bdrdz
=
1ˆ
0
6ˆ
1
16µ0
2πr drdz +
1ˆ
0
7ˆ
6
4µ0
2πrdrdz
= 2µ0
π
[4 ln 4 + ln 7/6] = 5.9µWb
Nota: Hemos usado a propósito la forma,
�
C
~H · d~l = I, de la ley de Ampère, aunque en este caso no era
necesario pues con
�
C
~B · d~l = µ0I habría sido más directo.
5.11 Inducción electromagnética
Michael Faraday contribuyó a uno de los mayores avances en la teoría
electromagnética. El descubrió que si en una espira había un flujo variable
de campo magnético, entonces se inducía una fem en la espira. En otras
palabras, se establece una corriente eléctrica en la espira sin que esté
conectada una batería.
La ley de Faraday es establece que la fem inducida en un circuito
está relacionada con la variación del flujo magnético:10 10 El signo negativo indica que la di-
rección de la fem inducida es tal que
se opone al cambio que la produce (ver
ley de Lenz).ε = −dΦ
dt
Esta es una ley experimental que no puede ser deducida de otras leyes
experimentales.
190 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Por definición la fem es
ε =
˛
~E · d~l
y también
Φm =
ˆ
S
~B · d ~A
de ε = −dΦdt escribimos
ε = − d
dt
ˆ
S
~B · d ~A
para un circuito que no cambia de forma, la derivada total puede pasar
hacia adentro de la integral en forma de derivada parcial
ε = −
ˆ
S
∂ ~B
∂t
· d ~A =
˛
~E · d~l
aplicamos el teorema de Stokes a la integral del lado derecho
¸
~E · d~l =´
S(∇× ~E) · d ~A de tal forma que
ˆ
S
(∇× ~E) · d ~A = −
ˆ
S
∂ ~B
∂t
· d ~A ⇒
ˆ
S
(
∇× ~E + ∂
~B
∂t
)
· d ~A = 0
Este resultado es válido para cualquier superficie, por lo tanto si la in-
tegral es nula, entonces ∇× ~E + ∂ ~B∂t = 0 independiente de la superficie.
Con esto obtenemos la ley de Faraday en forma diferencial:11 11 Para campos estáticos teníamos que
∇× ~E = 0. La ley de Faraday es una
generalización.
∇× ~E = −∂
~B
∂t
L EY DE LEN Z
“Las fems inducidas son de un sentido tal que se oponen a la variación
del flujo magnético que las produjo”
Por ejemplo, si intentamos incrementar el flujo a través de un circuito,
la fem inducida tiende a causar corrientes en una dirección para decre-
mentar el flujo.
EJEMPLO 5.13
Un circuito circular formado por N vueltas de alambre conductor está
en el plano xy con el centro en el origen de un campo magnético dado
por ~B = k̂B0 cos(πr/2b) sinωt, donde b es el radio del circuito y ω es
la frecuencia angular. Determinar la fem inducida en el circuito.
Solución: El campo magnético es variable con el tiempo y el circuito
no cambia de forma, es decir el flujo del campo magnético depende
del tiempo. Primero calculamos el flujo y después la fem
Φm =
ˆ
S
~B · d ~A
en este caso d ~A es el área de una franja circular de radio r y apunta
magnetismo 191
en la dirección z, es decir d ~A = dAk̂ = 2πrdrk̂
Φm =
ˆ b
0
(k̂B0 cos(πr/2b) sinωt) · (2πrdrk̂) =
8b2
π
(π
2 − 1
)
B0 sinωt
puesto que hay N vueltas, el flujo total es NΦ y obtenemos
ε = −N dΦ
dt
= −8N
π
b2
(π
2 − 1
)
B0ω cosωt
EJEMPLO 5.14: Conductor movil en un campo magnético estático
Cuando un conductor se mueve en un campo magnético estático con una velocidad
~v, los electrones en el conductor experimentarán una fuerza hacia arriba dada por
~Fm = q~v× ~B
en esta situación la parte abajo del conductor quedará con deficiencia de electrones y
la parte de arriba con exceso de electrones. Esto significa que se establecerá un campo
eléctrico ~E y por lo tanto una fuerza en dirección contraria a la fuerza magnética. Esta
separación de cargas será hasta que las fuerzas magnética y eléctrica se equilibren,
es decir
qE = qvB ⇒ E = vB
pero el campo eléctrico está relacionado con la diferencia de potencial ∆V entre ambos extremos del conductor,
que está dada por
∆V = EL
entonces tenemos la condición
∆V = vBL
se establece una diferencia de potencial entre los extremos del conductor, donde el extremo de abajo está a
mayor potencial.
EJEMPLO 5.15
Dos alambres paralelos e infinitos separados por una distancia
d llevan corrientes iguales y en direcciones opuestas, con I
incrementándose a una razón de dIdt . Una espira cuadrada de
alambre de lado d se coloca a un lado y en el mismo plano
de los alambres a una distancia d de uno de los alambres.
Encontrar la fem inducida y la dirección de esta en la espira.
Solución: El campo magnético producido por una alambre
con corriente I a una distancia r es un resultado muy cono-
cido que puede obtenerse fácilmente por medio de la ley de
Ampère:
B =
µ0I
2πr
y su dirección es tangencial a la circunferencia de radio r (regla de la mano derecha). Entonces el flujo
192 electromagnetismo fmf-241 (2014)
magnético a través de la espira debido al alambre más alejado es
Φ1 =
ˆ
S
~B · d ~A =
ˆ
S
BdA =
3dˆ
2d
µ0Id
2πr dr =
µ0Id
2π ln
3
2
donde dA = (d)dr es un elemento de superficie que corresponde a una cinta de alto d y ancho dr en la espira.
En este caso el flujo se dirige hacia adentro de la página.
Análogamente para el otro alambre
Φ2 =
2dˆ
d
µ0Id
2πr dr =
µ0Id
2π ln 2
apuntando hacia afuera de la página. Entonces el flujo total es
Φ = Φ2 −Φ1 =
µ0Id
2π ln
4
3
apuntando hacia fuera de la página.
En consecuencia la fem inducida en la espira es
ε = −dΦ
dt
= −µ0d2π ln
4
3
dI
dt
El campo magnético producido por la corriente inducida debe tender a oponerse al cambio de flujo magnético,
de tal forma que el campo debe entrar en la página. Entonces por la regla de la mano derecha la corriente
debe fluir en el sentido horario.
5.12 Inductancia e inductancia mutua
5.12.1 Inductancia
La inductancia12 es uno de los tres parámetros importantes en la teoría 12 También conocida como auto induc-
tancia.de circuitos. Los otros dos parámetros ya los vimos y son la resistencia y
la capacidad.
Vamos a considerarla relación entre el flujo magnético y la corriente
asociados a un circuito aislado. Si queremos calcular el flujo magnético
asociado a un circuito aislado depende de su geometría, y de acuerdo
a la ley de Biot-Savart ~B(~r2) = µ0I14π
´ d~l1×~r12
r312
depende linealmente de
la corriente en el circuito. Entonces para un circuito que no cambia de
forma, la única manera que cambie el flujo es debido al cambio en la
corriente. La expresión de flujo la podemos escribir
dΦ
dt
=
dΦ
dI
dI
dt
Puede suceder que la ley de Biot-Savart es válida ( ~B es proporcional a
I) o que el flujo sea directamente proporcional a la corriente (en ese caso
dΦ
dI es una constante igual a
Φ
I ). En cualquiera de los dos casos definimos
la inductancia L como
L =
dΦ
dI
de este modo la ley de inducción se puede escribir
magnetismo 193
ε = −LdI
dt
que es una ecuación de considerable utilidad. La unidad de inductancia
es el henry (H).
EJEMPLO 5.16: Inductancia de un toroide
Un dispositivo llamado toroide se usa frecuentemente para crear un campo magnético aproximadamente
uniforme. un toroide consiste de un alambre conductor enrollado alrededor de un anilla (toro) hecho de un
material no conductor. Para un toro con N vueltas, calcular la auto inductancia.
Solución: Debemos calcular el flujo magnético, pero primero hay que calcular el campo magnético. De
acuerdo a la figura ~B ‖ d~l, es decir ~B · d~l = Bdl. La aplicación de la ley de Ampère nos lleva a
˛
~B · d~l =
˛
Bdl = µ0NI
el campo magnético es constante en cualquier punto de una circunferencia de radio r
B
˛
dl = µ0NI ⇒ B2πr = µ0NI
B =
µ0NI
2πr
Este campo depende de r por lo tanto no es uniforme dentro del toroide. Sin embargo para r mucho mayor
que el radio de la sección transversal de toro, podemos considerar un campo aproximadamente uniforme.
Ahora procedemos a calcular el flujo. El flujo para cada vuelta es µ0NIA2πr , donde A es el área de la sección
transversal del toro. Como hay N vueltas, el flujo total es
Φ = N
µ0NIA
2πr =
µ0N2AI
2πr
de esta forma, la inductancia es aproximadamente
L =
µ0N2A
2πr
5.12.2 Inductancia mutua
En la sección anterior sólo consideramos un circuito aislado. Ahora
consideremos que hay n circuitos. El flujo sobre el i-ésimo circuito debido
a al resto de los n− 1 circuitos se calcula como
Φi = Φi1 + Φi2 + · · ·+ Φii + · · ·+ Φin =
n∑
j=1
Φij
donde Φi1 significa el flujo sobre el circuito i debido al circuito 1, etc. la
fem inducida sobre el i-ésimo circuito es
ε = −dΦi
dt
= −
[
dΦi1
dt
+
dΦi2
dt
+ · · ·+ dΦii
dt
++ · · ·+ dΦin
dt
]
= −
n∑
j=1
dΦij
dt
Si cada uno de los circuitos es rígido y estacionario, entonces
dΦij
dt
=
dΦij
dI
dIj
dt
194 electromagnetismo fmf-241 (2014)
al igual que en el caso de un sólo circuito, los términos dΦijdI son constantes
y definimos la inductancia mutua entre el circuito i y el circuito j como
Mij =
dΦij
dIj
i 6= j
Se puede demostrar que Mij =Mji.
EJEMPLO 5.17
Supongamos que en el toro del problema anterior hay N1 vueltas y le enrollamos otro alambre con N2vueltas.
Calcular la inductancia y la inductancia mutua.
Solución: El campo magnético producido por la corriente 1 es (ver problema anterior) La inductancia para
el circuito 1 es
B =
µ0N1I1
2πr
en consecuencia los flujos son:
Φ11 =
µ0N21AI1
2πr y Φ21 =
µ0N1N2AI1
2πr
de estos flujos sigue que
L1 =
µ0N21A
2πr y M21 =
µ0N1N2A
2πr
de la misma manera
L2 =
µ0N22A
2πr y M12 =
µ0N1N2A
2πr
demostrando que, en este caso, se cumple M12 =M21.
Nota: Puesto que M12 =M21, es interesante considerar
M12M21 =M
2
12 =
(
µ0N1N2A
2πr
)2
=
µ0N21A
2πr
µ0N22A
2πr = L1L2
es decir M12 =
√
L1L2
magnetismo 195
5.13 Ecuaciones de Maxwell
La ecuaciones de Maxwell representan una de las formas más elegantes
y concisas de establecer los fundamentos de la electricidad y el magnetis-
mo. De estas ecuaciones podemos desarrollar la mayoría de las relaciones
necesarias en este campo. La formulación concisa de estas ecuaciones in-
volucran un alto nivel de sofisticación matemática, y son usadas como
punto de partida para cursos más avanzados.
Figura 5.23: James Clerk Maxwell
[1831-1879] fue un físico escocés, quien
originó la idea de radiación electromag-
nética. Su trabajo fue la base para la
teoría especial de la relatividad de Eins-
tein. El también determinó la naturale-
za de los anillos de Saturno e inventó
la teoría cinética de los gases. La ideas
de Maxwell son la base de la mecánica
cuántica y de la teoría de la estructura
de los átomos y las moléculas.
James Clerk Maxwell fue un genio al mismo nivel que Einstein o New-
ton. Maxwell tomó un conjunto de leyes experimentales conocidas (ley de
Faraday, ley de Ampère) y las unificó en un conjunto simétrico y coheren-
te de ecuaciones conocidas como ecuaciones de Maxwell. Maxwell fue uno
de los primeros en determinar que la rapidez de propagación de las ondas
electromagnéticas es la misma que la rapidez de luz; con esto concluyó
que las ondas electromagnéticas y la luz son la misma cosa.
Originalmente las ecuaciones de Maxwell fueron escritas para campos
en el vacío, en presencia de una densidad de carga eléctrica ρ, y densidad
de corriente ~J (cargas en movimiento). Durante el curso hemos formulado
algunas de las ecuaciones de Maxwell sin haberlo mencionado:
5.13.1 Forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell
Las cuatro ecuaciones para el vacío son:
∇× ~E = −∂
~B
∂t
Ley de inducción de Faraday
∇× ~B = µ0ε0
∂ ~E
∂t
+ µ0 ~J Ley de Ampère
∇ � ~E = 1
ε0
ρ Ley de Gauss de la electricidad
∇ � ~B = 0 Ley de Gauss del magnetismo
Las mismas ecuaciones también pueden ser escritas para medios magné-
ticos o medios polarizables
∇× ~E = −∂
~B
∂t
Ley de inducción de Faraday
∇× ~H = ∂
~D
∂t
+ ~J Ley de Ampère
∇ � ~D = ρ Ley de Gauss de la electricidad
∇ � ~B = 0 Ley de Gauss del magnetismo
Con:
196 electromagnetismo fmf-241 (2014)
~D = ε0 ~E + ~P Caso general
~D = ε0 ~E Espacio libre
~D = ε ~E Dieléctrico lineal isotrópico
~B = µ0( ~H + ~M ) Caso general
~B = µ0 ~H Espacio libre
~B = µ ~H Medio magnético lineal isotrópico
5.13.2 Forma integral de las ecuaciones de Maxwell
Durante el curso hemos estado más familiarizados con la forma integral
de las ecuaciones de Maxwell. Las cuatro ecuaciones para el vacío son:
‰
C
~E � d~l = −dΦ
dt
Ley de inducción de Faraday
‰
C
~B � d~l = µ0I + µ0ε0
ˆ
S
∂ ~E
∂t
� d ~A Ley de Ampère
ˆ
S
~E � d ~A =
1
ε0
Q Ley de Gauss de la electricidad
ˆ
S
~B � d ~A = 0 Ley de Gauss del magnetismo
Las mismas ecuaciones también pueden ser escritas para medios magné-
ticos o medios polarizables‰
C
~E � d~l = −dΦ
dt
Ley de inducción de Faraday
‰
C
~H � d~l = I +
ˆ
S
∂ ~D
∂t
� d ~A Ley de Ampère
ˆ
S
~D � d ~A = Q Ley de Gauss de la electricidad
ˆ
S
~B � d ~A = 0 Ley de Gauss del magnetismo
magnetismo 197
5.13.3 Ecuaciones fundamentales del electromagnetismo
Las ecuaciones de Maxwell en sus formas diferencial e integral se en-
cuentran resumidas en la tabla siguiente:
Forma diferencial Forma integral Significado
∇× ~E = −∂
~B
∂t
‰
C
~E � d~l = −dΦ
dt
Ley de inducción de Faraday
∇× ~H = ∂
~D
∂t
+ ~J
‰
C
~H � d~l = I +
ˆ
S
∂ ~D
∂t
� d ~A Ley de Ampère
∇ � ~D = ρ
ˆ
S
~D � d ~A = Q Ley de Gauss de la electricidad
∇ � ~B = 0
ˆ
S
~B � d ~A = 0 Ley de Gauss del magnetismo
Las ecuaciones de Maxwell, junto con la ecuación de continuidad
∂ρ
∂t
+∇ · ~J = 0
y la fuerza de Lorentz
~F = q( ~E + ~v× ~B)
constituyen las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. Estas
ecuaciones pueden ser usadas para explicar y predecir todos lo fenó-
menos macroscópicos electromagnéticos.
Apéndice A
Elementos diferenciales
d~s d ~A dV
Cartesianas dx î+ dy ĵ + dz k̂ dxdy k̂; dxdz ĵ; dydz î dxdydz
Cilíndricas dr r̂+ rdφ φ̂+ dz k̂ rdφdz r̂; rdφdr k̂ rdφdzdr
Esféricas dr r̂+ r sin θdφ φ̂+ rdθ θ̂ r2 sin θdθdφ r̂ r2 sin θdθdφdr
Demostración de que ∇× ~E = 0
Partiendo de
~E(~r) = ke
ˆ
V
ρ(~r′)dv′
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
el rotor de ~E es
∇× ~E = ∇×
(
ke
ˆ
V
ρ(~r′)dv′
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
)
El campo depende solode ~r, así que
∇× ~E = ke
ˆ
V
ρ(~r′)dv′∇×
(
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
)
Para desarrollar esta expresión usamos una identidad vectorial. Sea f una
función escalar y ~A un campo vectorial, entonces se cumple que
∇× (f ~A) = f∇× f +∇f × ~A
En el término ~r−~r′
|~r−~r′|3
, ~r − ~r′ es un vector y 1
|~r−~r′|3
es un escalar que
depende de ~r. Si aplicamos la identidad anterior
∇×
(
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
)
=
1
|~r− ~r′|3
∇× (~r− ~r′) +∇
(
1
|~r− ~r′|3
)
× (~r− ~r′)
Se puede demostrar fácilmente que ∇× (~r− ~r′) = 0. Por otro lado
∇
(
1
|~r− ~r′|3
)
= ∇
(
1
[(x− x′)2 + (y− y′)2 + (z − z′)2]3/2
)
Empezaremos con la componente x del gradiente:
∇
(
1
|~r− ~r′|3
)
x
=
∂
∂x
(
1
[(x− x′)2 + (y− y′)2 + (z − z′)2]3/2
)
= −32
2(x− x´)
[(x− x′)2 + (y− y′)2 + (z − z′)2]5/2
= −3 x− x
′
|~r− ~r′|5
200 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Similarmente para las otras componentes:
∇
(
1
|~r− ~r′|3
)
y
= −3 y− y
′
|~r− ~r′|5
y ∇
(
1
|~r− ~r′|3
)
z
= −3 z − z
′
|~r− ~r′|5
es decir
∇
(
1
|~r− ~r′|3
)
= −3 ~F = q( ~E + ~v× ~B) ~r− ~r
′
|~r− ~r′|5
Por lo tanto
∇×
(
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
)
= 0− 3 ~r− ~r
′
|~r− ~r′|5
× (~r− ~r′) = −3
0︷ ︸︸ ︷
(~r− ~r′)× (~r− ~r′)
|~r− ~r′|5
= 0
es cero porque para cualquier vector ~A, el producto vectorial ~A× ~A = 0.
Finalmente
∇× ~E = ke
ˆ
V
ρ(~r′)dv′∇×
(
~r− ~r′
|~r− ~r′|3
)
︸ ︷︷ ︸
0
= 0
Ecuaciones de Maxwell
Forma diferencial Forma integral Significado
∇× ~E = −∂
~B
∂t
‰
C
~E � d~l = −dΦ
dt
Ley de inducción de Faraday
∇× ~H = ∂
~D
∂t
+ ~J
‰
C
~H � d~l = I +
ˆ
S
∂ ~D
∂t
� d ~A Ley de Ampère
∇ � ~D = ρ
ˆ
S
~D � d ~A = Q Ley de Gauss de la electricidad
∇ � ~B = 0
ˆ
S
~B � d ~A = 0 Ley de Gauss del magnetismo
~D = ε0 ~E + ~P Caso general
~D = ε0 ~E Espacio libre
~D = ε ~E Dieléctrico lineal isotrópico
~B = µ0( ~H + ~M ) Caso general
~B = µ0 ~H Espacio libre
~B = µ ~H Medio magnético lineal isotrópico
Índice alfabético
adición de vectores, 10
aisladores, 46
base ortonormal, 34, 36
campo conservativo, 29, 62
campo eléctrico, 55
campo escalar, 19
campo irrotacional, 27
campo magnético, 163
campo solenoidal, 26
campo vectorial, 19
capacidad, 119
carga de prueba, 55
carga eléctrica, 43
carga fundamental, 45
carga puntual, 47
circulación, 30
condensadores, 119
condición de frontera, 129
condiciones de borde, 129
conducción, 46
conductores, 46, 112
conjunto completo, 13
conservación de la carga, 45
constante dieléctrica, 124, 127
coordenadas cilíndricas, 36
coordenadas curvilíneas, 33
coordenadas esféricas, 34
coordenadas polares, 37
corriente continua, 155
corriente eléctrica, 141
cuantización de la carga, 45
curvas de nivel, 20
densidad de corriente, 143
densidad de corriente en
régimen permanente, 153
densidad de flujo eléctrico,
126
densidad lineal de carga, 59
densidad superficial de carga,
59
densidad superficial de carga
de polarización, 125
densidad volumétrica de carga,
59
densidad volumétrica de carga
de polarización, 125
desplazamiento eléctrico, 126
diagrama de contorno, 19
dieléctricos, 123
dieléctricos imperfectos, 152
diferenciación vectorial, 21
distribución continua de carga,
58
divergencia, 26
ecuación de continuidad, 144,
197
ecuación de Laplace, 29, 105,
135
ecuación de Poisson, 28, 104,
135
ecuaciones de Maxwell, 195
efecto Joule, 161
efecto punta, 116
electrostática, 43
elemento infinitesimal de área,
33
elemento infinitesimal de
línea, 33
elemento infinitesimal de
volumen, 33
energía electrostática, 138
energía potencial, 94
energía potencial eléctrica, 94
equilibrio electrostático, 112
espacio vectorial, 9
forma diferencial de la ley de
Gauss, 82, 126
forma integral de la ley de
Gauss, 81, 127
fricción, 46
fuente, 26
fuerza conservativa, 93
fuerza de Lorentz, 164, 197
fuerza eléctrica, 47, 69
funciones vectoriales, 21
gradiente, 22
inducción, 46
inducción magnética, 163
inductancia, 192
inductancia mutua, 194
Laplaciano, 28
Ley de Coulomb, 47
ley de Gauss, 81
ley de Joule, 161
ley de Ohm, 145
leyes de Kirchhoff, 155
lineas de campo, 56
lineas de fuerza, 56
método de corrientes de malla,
160
magnitud de un vector, 14
manantial, 26
momento dipolar eléctrico, 110
operador nabla, 23
operadores, 38
permitividad del espacio vacío,
47
potencia disipada, 161
potencial eléctrico, 94
potencial electrostático, 93
principio de superposición, 52,
56
producto cruz, 16
producto escalar, 15
producto punto, 15
producto vectorial, 16
proyección de un vector, 18
regla del paralelogramo, 10
regla del triángulo, 10
rotacional, 27
rotor, 27
semiconductores, 46
sumidero, 26
superficie de frontera, 129
superficie equipotencial, 117
Susceptibilidad eléctrica, 127
sustracción de vectores, 10
teorema de la divergencia, 32
teorema de Stokes, 32
vector, 9
vector base, 12, 13
vector de desplazamiento, 126
vector de polarización, 124
vector posición, 12, 21
vector unitario, 12
velocidad de deriva, 165
Volt, 94