mec fluidos libro

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MECÁNICA DE FLUIDOS
D. ALFONSO SAMANO
 MIHIR SEN
SARA L. MOYA
2
PRÓLOGO
Estos apuntes comenzaron a escribirse en 1975 cuando DAS y MS trabajaban en la
Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México. Hace poco SLM le
agregó unos capítulos más e hizo una revisión completa. Aunque todavía le falta mucho por
hacer pensamos que aún en esta forma pueda ser útil para los estudantes que llevan y profesores
que imparten la materia. Seguiremos haciéndole cambios, por lo que agradecemos las
sugerencias de los lectores.
D. Alfonso Sámano, Energia y Ecologia, México
Mihir Sen, Universidad de Notre Dame, EE.UU.
Sara L. Moya, Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET), México
3
MECÁNICA DE FLUIDOS
1. INTRODUCCIÓN 1
2. CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS 23
3. ECUACIONES DE MOVIMIENTO 47
4. TEOREMAS ESPECIALES 63
5. ESTÁTICA DE FLUIDOS 75
6. FLUJOS POTENCIALES 99
7. FLUJOS VISCOSOS INCOMPRESIBLES 128
8. FLUJOS COMPRESIBLES 166
APÉNDICES
BIBLIOGRAFÍA
4
CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
1.1 Aplicaciones 3
1.2 Definiciones 3
1.3 Propiedades del flujo 4
1.4 Propiedades del fluido 7
1.5 Análisis dimensional 10
1.6 Sistemas de unidades 15
 Problemas 16
5
INTRODUCCIÓN
1.1.- Aplicaciones.
El flujo de fluidos es un fenómeno común a la vida diaria. El estudio de su mecanismo es
esencialmente impulsado por entender la física involucrada, así como su control en diversas
aplicaciones de ingeniería. La astrofísica, meteorología, oceanografía, aerodinámica,
hidrodinámica, lubricación, ingeniería marina, turbomaquinaria, ingenieria de yacimientos e
ingeniería de la combustión, son algunos de los campos donde la mecánica de fluidos se emplea.
En este texto se tratarán las bases de la mecánica que son comunes a estas disciplinas.
Habrá algunos ejemplos específicos no con el objeto de dar recetas para problemas en la práctica,
sino con el objeto de mostrar los principios generales y su manejo.
1.2.- Definiciones
 El continuo.- La materia consiste de moléculas en constante movimiento y colisión. Sin
embargo, en la aproximación al continuo, se ignora la existencia de la estructura molecular y se
considera una distribución continua de materia. Este punto de vista es válido si:
La longitud de la trayectoria libre promedio (Λ) de la molécula es mucho más pequeña
que la dimensión de longitud (l) menor considerada en el problema físico. En otras palabras, el
número de Knudsen ( definido como Λ / l ) deberá ser mucho más pequeño que la unidad, para
que la hipótesis del continuo sea válida.
Fluido.- Se define fluido como una sustancia que sufre una deformación continua cuando
se le aplica un esfuerzo cortante muy pequeño. En cambio, cuando se le aplica la acción de un
esfuerzo cortante pequeño a un sólido elástico no se deforma continuamente, sino que asume una
configuración determinada fija. Esta distinción entre un sólido y un fluido es muy simplificada
porque existen ciertos materiales que exhiben ambas características.
6
Líquidos y gases.- Los fluidos se clasifican en líquidos y gases. Las fuerzas
intermoleculares son mayores en los primeros, por lo que, al variar la presión o la temperatura
los gases cambian fácilmente su volumen. La compresibilidad puede usarse para distinguir los
líquidos de los gases; los gases son mucho más compresibles que los líquidos. Desde el punto de
vista de la dinámica, no importa si el fluido es líquido o gas. Las leyes que se aplican son las
mismas, pero en ocasiones, dependiendo del fluido que se trate, es posible despreciar algunos
efectos y simplificar su estudio. Frecuentemente, líquidos tales como el agua pueden considerarse
incomprensibles.
1.3.- Propiedades del flujo.
En esta sección se definen algunas propiedades dinámicas y termodinámicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido. Estas propiedades pueden representar un
campo en el fluido, es decir, pueden tener una distribución espacial en el fluido, o bien de
partícula a partícula cuando el fluido se considere de esta manera. El campo puede ser una
variable escalar, vectorial o tensorial. El cálculo de estos campos en una situación determinada es
un problema representativo de la mecánica de fluidos.
Temperatura (T).- Es un escalar que representa la actividad interna (escala
microscópica) de una sustancia. Este concepto está ligado al transporte de energía en forma de
calor. Dos regiones en contacto térmico que se encuentran a la misma temperatura no tienen
transporte de calor entre ellas. Esta es la condición de equilibrio térmico que establece la ley cero
de la termodinámica.
Velocidad ( )
r
U .- Es un vector que representa la dirección, sentido y magnitud de la
rapidez de movimiento del fluido. El caso especial donde la velocidad es cero en todo el espacio
considerado se estudia en la estática de los fluidos.
7
 Esfuerzo(τ ).- Si se toma una porción de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de
fuerzas actuando sobre esa porción, fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie. Las fuerzas de
cuerpo son aquellas que actúan sobre el mismo sin contacto físico directo; por ejemplo: la fuerza
de gravedad, la fuerza electromagnética, etc. Las fuerzas de superficie son debidas al material
externo en contacto físico con la frontera de la porción considerada. En la figura 1.3.1 se muestra
una porción aislada de fluido.Considere una fuerza 
r
F que actúa sobre un área infinitesimal (∆A)
de esa superficie, cuya dirección (de la superficie) se indica con el vector normal unitario $n. 
)n
F
 figura 1.3.1
La dirección de la fuerza, en general, no es la dirección de $n . Esta fuerza puede
descomponerse en dos vectores:
 F = Fn $n + F t $t (1.3.1)
donde $t es un vector unitario tangente al área infinitesimal.
Esfuerzo se define como la fuerza que actúa en el área unitaria. En este caso se pueden definir
dos tipos de esfuerzos:
τ n A
nlim
F
A
=
→∆ ∆0
 (1.3.2)
 τ t A
tlim
F
A
=
→∆ ∆0
 (1.3.3)
.
τn es el esfuerzo normal, τt es el esfuerzo tangencial o de corte.
8
Considérese un volumen infinitesimal en la forma de un paralelepípedo de lados
dx1,dx2,dx3 como se muestra en la figura 1.3.2.
x2
x1
x3
dx1
dx3
dx2
τ21
τ12
τ13
τ33
τ11
τ22
τ32
τ31
τ23
figura 1.3.2
Las fuerzas de superficie que actúan sobre cada una de las seis caras se pueden
descomponer en las tres direcciones x1,x2,x3. Estas fuerzas se pueden dividir entre el área
correspondiente, obteniendo de esta manera los esfuerzos que actúan en cada área. Estos
esfuerzos se muestran en la figura 1.3.2, para tres caras. En las tres caras restantes la
representación es similar.
La convención de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente: el primer
subíndice indica la cara sobre la cual actúa el esfuerzo, y el segundo subíndice su dirección.
Para especificar el estado de esfuerzos en un punto del fluido se necesitan los valores de
los nueve componentes τij, que también se puede representar en la forma convencional de matriz.
9
≈
=










τ
τ τ τ
τ τ τ
τ τ τ
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Los términos diagonales representan esfuerzos normales, los restantes, esfuerzos tangenciales.
1.4 Propiedades del fluido.
Las siguientes son algunas de las propiedades de los fluidos. Los
valores de éstas pueden depender de otras variables como: temperatura, presión, etc.
Densidad. La densidad (ρ ) de un fluido es su masa por unidad de volumen. Si ∆m es la masa de
una porción de fluido dentro de un cubo de lado ∆l, entonces el fluido tiene densidad
( )ρ ε=






→
lim
m
ll∆
∆
∆ 3(1.4.1)
donde ε es muy pequeña, pero de acuerdo con la consideración hecha en el continuo, es mucho
más grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la partícula.
Volumen específico. El volumen específico(νs ) de un fluido es su volumen por unidad de masa,
o sea el recíproco de la densidad
νs = 1 / ρ (1.4.2)
Peso específico. El peso especifico ( γ) es el peso por unidad de volumen del fluido
γ = ρg (1.4.3)
donde g es la aceleración debida a la gravedad.
Tensión superficial. Cuando se hacen burbujas de jabón con un popote y se desea aumentar el
tamaño de la burbuja, es necesario soplar más fuerte, lo que implica desarrollar un trabajo para
aumentar el tamaño de la misma. En otras palabras, la energía se almacena en la superficie de la
burbuja, a causa de las fuerzas intermoleculares.
10
El mismo efecto se observa si tenemos una película de jabón entre los alambres, como se
muestra en la figura
FL
alambre móvil
figura 1.4.1
Si se desea mantener un área de la película de jabón se necesita una fuerza . Esta fuerza
representa la tensión superficial. El coeficiente de tensión superficial ( σ ) se define como
σ = F / 2L (1.4.4)
En este caso se tienen dos interfases entre la solución de jabón y el aire. Por esta razón se
necesita una fuerza F/2 para cada superficie.
El valor de σ depende principalmente de la naturaleza de los fluidos que presentan
interfase. Si se desea aumentar el área de la película se desplaza el alambre móvil una distancia
l, lo que implica un trabajo de magnitud F·l. Esta energía se almacena en las superficies.
Compresibilidad. Es el efecto de cambio de volumen con la variación de presión (p).
Este proceso de cambio de volumen puede ser isotérmico, isoentrópico o cualquier otro.
Entonces el módulo de elasticidad volumétrico (βc ) se puede definir de varias maneras.
Para un proceso isoentrópico :
β υ ∂
δυc s s
p
= − (1.4.5)
 Con la ayuda de (1.4.2) se obtiene
β ρ
∂
∂ρc
p
= (1.4.6)
Dilatación volumétrica. Es el efecto de cambio de volumen con la variación de temperatura (T)
a presión constante. El coeficiente de dilatación volumétrica (βD ) se define
β
υ
∂ υ
∂ ρ
δρ
δD s
s1 1= = −
lT T
 (1.4.7)
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donde la presión se mantiene constante.
Calor específico. Se define como el calor necesario para aumentar la temperatura de una masa
unitaria un grado. Este proceso puede realizarse a volumen constante o a presión constante lo que
conduce a dos valores de calor específico: calor específico a presión constante (Cp) y calor
específico a volumen constante(Cv).
Viscosidad. En la práctica se observa que algunos fluidos se mueven con mayor facilidad que
otros. Esto se debe a fuerzas de rozamiento internas en el fluido. Este efecto se conoce como
viscosidad.
Una de las formas de cuantificar el efecto de la viscosidad consiste en considerar el flujo
mostrado en la figura 1.4.2
h
x
F
 Uo
y
figura 1.4.2
El fluido se encuentra entre dos placas paralelas horizontales muy grandes, sin cambio de
presión en la dirección x. La placa superior se mueve con respecto a la inferior con una velocidad
baja (Uo). Para muchos fluidos se observa que la velocidad del fluido en cada punto sólo tiene
componente x, y que la variación con y es lineal como se muestra en la figura 1.4.2. La
velocidad del fluido que está en contacto con las placas tienen la misma velocidad que éstas.
Se necesita una fuerza F para mantener la placa superior en movimiento uniforme. Esto es
debido a que hay que vencer las fuerzas de rozamiento internas en el fluido.
Si A representa el área de una placa, se define el coeficiente de viscosidad dinámica (µ )
como
12
 µ =
F A
U ho
/
/
 (1.4.8)
El coeficiente de viscosidad cinemática (ν ) se define
ν = µ / ρ (1.4.9)
Los fluidos que se comportan de la manera descrita anteriormente se llaman fluidos newtonianos.
1.5 Análisis dimensional
Todas las variables físicas se miden como múltiplos de ciertas cantidades llamadas
unidades. Algunas unidades se expresan en términos de otras. Se pueden encontrar ciertas
unidades, cuya combinación permite expresar todas las demás unidades de las variables físicas.
Un ejemplo que satisface esta condición son las unidades de masa, longitud, tiempo y
temperatura; otro ejemplo puede ser, las unidades de fuerza, longitud, tiempo y temperatura. La
dimensión es el tipo de variable que puede medirse. En el primer ejemplo las dimensiones
fundamentales son masa, longitud, tiempo y temperatura.
Los dos sistemas de dimensiones fundamentales más convencionales son,por un lado
M, L t, T
que representa: masa, longitud, tiempo y temperatura
y F,L t, T
que representa: fuerza, longitud, tiempo y temperatura.
Las dimensiones de otras variables físicas pueden expresarse en términos de las dimensiones
fundamentales.
Cantidad Dimensiones
M,L,t,T F,L,t,T
Masa M F t+2 L-1
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Longitud
Tiempo
Temperatura
Velocidad
Aceleración
Fuerza
Esfuerzo o presión
Densidad
Peso específico
Viscosidad dinámica
Viscosidad cinemática
Módulo de elasticidad volumétrica
Coeficiente de dilatación volumétrica
L
t
T
Lt-1
Lt-2
MLt -2
ML -1t-2
ML -3
ML -2t-2
ML -1t-1
L2t-1
ML -1t-2
T-1
L
t
T
Lt-1
Lt-2
F
FL-2
Ft2 L--4
FL-3
Ft L--2
L2t-1
FL--2
T-1
Tabla 1.5.1
La mayor parte de las ecuaciones en las ciencias naturales son dimensionalmente homogéneas.
De ésta manera se puede utilizar la ecuación misma para determinar la dimensión de uno de los
parámetros si se conocen las dimensiones de los otros.
Grupos adimensionales. Se pueden combinar las variables físicas de tal forma que resulta
un grupo adimensional; por ejemplo1
ρ
µ
UL ML Lt L
ML t
M L t





 = =
− −
− −
1 3 1
1 1
0 0 0( )( )( )
( )
Este grupo, llamado número de Reynolds, no tiene dimensiones.
Teorema π de Buckingham
Si n es el número de variables en el problema y r el número de dimensiones fundamentales
involucradas en estas variables, entonces es posible encontrar n-r grupos adimensionales
 
1 NOTA: Por convención, cuando se encierra una o más váriables entre paréntesis cuadrados, se indican sus dimensiones.
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independientes. Se mostrará la manera de encontrar estos grupos adimensionales con el siguiente
ejemplo.
 En mecánica de fluidos sin transmisión de calor, las siguientes variables pueden ser
importantes: presión (p), longitud (l), coeficiente de viscosidad dinámica( µ), tensión superficial (
σ), velocidad del sonido ( a), aceleración de gravedad (g), densidad (ρ ) y velocidad (U).
Se desea encontrar los grupos adimensionales. El número de variables es 8. Las
dimensiones de las variables en el sistema M,L,t,T son:
[p] = ML -1t-2
[l]=L
[µ ]= ML -1t-1
[σ ]= Mt-2
[a]= Lt-1
[g]= Lt-2
[ρ ]= ML -3
[U]= Lt -1
como se puede observar el número de dimensiones involucradas es r = 3. Aplicando el teorema π
de Buckingham se tiene: n-r = 8-3 = 5 grupos adimensionales.
Si π es un número adimensional, se puede representar
π µ σ ρα α α α α α βα α =p a g U1 2 3 4 5 6 7 81
sustituyendo las dimensiones de las variables, se tiene[π]= [ML -1t-2]α1 [L] α2 [ML -1t-1]α3 [Mt -2]α4 [Lt -1]α5 [Lt -2]α6 [ML -3]α7 [Lt -1]α8
 =M L tα α α α α α α α α α α α α α α α α1 3 4 7 1 2 3 5 6 7 8 1 3 4 5 6 83 2 2 2+ + + − + − + + − + − − − − − −
Pero π no tiene dimensiones, entonces
α1 +α3 +α4 +α7 = 0
-α1 +α2 -α3 + α5 + α6 -3α7 + α8 = 0
15
-2α1 -α3 -2 α4 -α5 -2α6 -α8 = 0
El anterior es un sistema de tres ecuaciones y ocho incógnitas, por lo que se pueden
expresar tres de las incógnitas en función de las cinco restantes. Por ejemplo
α7 = -α1 -α3 -α4
α2 = -α3 -α4 + α6
α8 = -2α1 -α3 -2 α4 -α5 -2α6
sustituyendo estos valores en la ecuación de π se tiene
π µ σ ρ
ρ
µ
ρ
σ
ρ
α α α α α α α α α α α α α α α α
α α α α α
=




















 

 

 


− − + − − − − − − − −p l a g U
p
U l U lU
a
U U
1 3 4 6 3 4 5 6 1 3 4 1 3 4 5 6
1 3 4 5 6
2 2 2
2 2 2 =
lg
Debido a que se consideró π sin dimensiones y los exponentes α1,α2,...,α8 son números
sin dimensiones, los grupos entre paréntesis son adimensionales.
Los grupos que se encontraron en el ejemplo tienen nombre asignado en la mecánica de
los fluidos.
Número de Euler = p / ρU2
Número de Reynolds = lρU / µ
Número de Weber = ρU2l / σ
Número de Mach = U / a
Número de Froude = U2 / lg
Si en vez de despejar α2, α7, y α8 se despejan otros tres, se obtienen cinco grupos
adimensionales diferentes, pero estos grupos son combinación de los primeros. Si se usa el
sistema F,L,t,T el resultado es el mismo.
Similitud. Muchas veces para estudiar un fenómeno experimentalmente es necesario
reproducirlo en el laboratorio en una escala diferente. Por ejemplo, cuando se desea estudiar los
problemas que se presentan en una presa, es más fácil construir un modelo en el laboratorio que
estudiar en el prototipo. En ocasiones el modelo sirve para diseñar el prototipo que aun no se ha
16
construido. Para diseñar un avión se construye un modelo y se prueba en un túnel de viento. En la
construcción de modelos es necesario relacionar los parámetros de éstos con el prototipo por
medio de los grupos adimensionales. Cada grupo adimensional relevante debe tener el mismo
valor en el modelo y en el prototipo. Muchas veces no es posible cumplir con todos los grupos
adimensionales relevantes, en este caso se escogen los más importantes. Por ejemplo, en
problemas donde el efecto viscoso sea muy importante, se debe escoger el número de Reynolds,
donde el efecto de compresibilidad sea predominante, el número de Mach escala mejor al
fenómeno.
En la misma forma, los resultados de las pruebas en el modelo se transforman en
información aplicable al prototipo.
 Esta similitud entre modelo y prototipo puede ser:
a) geométrica: flujos con fronteras de la misma geometría pero escala diferente.
b) cinemática: flujos donde existe semejanza en el movimiento
c) dinámica: flujos donde existe correspondencia en la distribución de esfuerzos
1.6 Sistemas de unidades
Existen varios sistemas de unidades de uso común para expresar las cantidades físicas. La
construcción de estos sistemas es arbitraria: se definen unidades fundamentales y a partir de estas
se obtienen las unidades derivadas con las relaciones fisicas correspondientes.
Por ejemplo, si se escogen metros (m) y segundos (s) como unidades fundamentales de
longitud y tiempo respectivamente, la unidad de velocidad queda definida en m/s. Pero también
se pueden utilizar múltiplos de unidades, por ejemplo, la velocidad en kilómetros por hora
(km/h).
Los sistemas comunes en ingeniería son:
a) fuerza en kilogramo fuerza (kgf), longitud en metros (m), tiempo en segundos (s) y
temperatura en grados Kelvin (K). En este sistema la masa es una unidad derivada que se obtiene
a partir de la ecuación de la segunda ley de Newton para una partícula expresada como F=ma.
La unidad derivada es entonces kgfs
2/m, denominada como Unidad Técnica de Masa (UTM)
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b) masa en kilogramo masa (kgm), longitud en metros (m), tiempo en segundos (s) y temperatura
en grados Kelvin (K). La fuerza es una unidad derivada y la ecuación de la segunda ley de
Newton para una partícula toma la misma forma del caso anterior. La fuerza tiene las unidades
fundamentales kgmm/s
2, que en conjunto es la unidad derivada denominada Newton (N).
c) masa en kilogramo masa (kgm), fuerza en kilogramo fuerza (kgf), longitud en metros (m) y
temperatura en grados Kelvin (K). En este caso la ecuación de la segunda ley de Newton para una
partícula no toma la misma forma debido a que no presentaría consistencia dimensional. Hay que
definir una constante de proporcionalidad con dimensiones (gc), es decir,
F = ma / gc
donde gc=9.81 kgm m / s
2kgf
En los sistemas anteriores gc es unitario, de donde se obtiene que 1 kgf= 9.81 kgmm/seg
2= 9.81N
Problemas
1.1. Dado el campo de velocidad
U
~
(x,y,z,t) = (xz2+y) î - (yz2) $j +(2xy-3t) k
^
obtenga el vector de velocidad en el punto (1,3,2), en el instante t=1 y la magnitud de la
velocidad.
[ U
~
 (1,3,2,1)=7 î -12$j +3k
^
; U
~
=√202]
1.2 La distribución de las fuerzas de cuerpo por unidad de masa para el cubo en la figura p.1.2
está dada por B
~
=6x î +6k
^
18
z
y
x
 l
l
 l
Figura p.1.2
El campo de la densidad del material es ρ = x+y+z. Determine la fuerza de cuerpo total.
[F
~
=5î+9k
^
]
1.3 Encuentre la diferencia de presiones (interior y exterior) en la burbuja esférica de aire en
agua de radio R y coeficiente de tensión superficial en la interfase σ [∆p=2σ/R]
1.4 Una fuerza F
~
=10î+4$j +3k
^
 expresada en kgf actúa sobre un área de 10 centímetros
cuadrados que se localiza en el plano yz. Encuentre a)las componentes normal y tangencial de la
fuerza y sus magnitudes, b)los esfuerzos tangencial y normal.
[a) F
~
n=10î, F
~
t=4$j +3k
^
, F
~
n=10kgf, F
~
t=5kgf ; b) σn=1kgf/cm2, σt=0.5 kgf/cm2]
1.5 ¿Cuál es el incremento de presión necesario para variar el volumen en uno por ciento del
volumen total de un líquido cuyo módulo de elasticidad volumétrico es βc=104 kgf/cm2?
[∆p=100 kgf/cm2]
1.6 Considere que los parámetros importantes en el flujo de fluidos en tubos son: densidad(ρ),
velocidad(U), viscosidad(µ), diámetro de la tubería(D), longitud(l). Encuentre los grupos
adimensionales.
[π1=ρUD/µ ,π2=D/l ]
19
1.7 Se desea construir el modelo de un río en el cual se considera el número de Froude como el
grupo adimensional más importante. El río tiene una profundidad media de 2m, y la velocidad
media del flujo es de 0.3m/s. Si se quiere construir el modelo con una profundidad de 5 cm,
encuentre la velocidad media del flujo en el mismo. [U=0.047m/s].
1.8 Encontrar las unidades en que se pueden expresar:µ,ν,σ,βc,βD
20
CAPITULO 2. CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS
2.1 Descripción Lagrangiana y Euleriana 19
2.2 Volumen de control y sistema 19
2.3 Derivada material 19
2.4 Teorema de Reynolds 21
2.5 Líneas de flujo 23
2.6 Circulación y Vorticidad 26
2.7 Tubos de Corriente y Tubos de Vórtice 26
2.8 Gradiente de Velocidad 28
2.9 Sistemas inerciales y no inerciales 31
Problemas 34
21
CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS
Se estudiará el movimiento de los fluidos sin importar la causa que lo origina. Se
describirá la herramienta necesaria para describir este movimiento.
2.1. Descripción Lagrangiana y Euleriana
Existen básicamente dos formas de describir el movimiento de un fluido. La primera
manera llamada Lagrangiana consiste en fijar la atención sobre una porción muy pequeña del
fluido en movimiento. Por ejemplo, en el instante t=0 consideramos la partícula que ocupa la
posición r
~
0. Nos interesa seguir esta partícula con movimiento constante, la cual ocupa un lugar
r
~
 en un tiempo t. El vector de posición r
~
 depende de qué partícula se haya elegido y que tiempo
haya transcurrido, o sea r
~
 = r
~
(r
~
0,t). Si se tiene el valor de 
r
r para todo r0 y todo t, se tiene una
descripción completa del flujo.
En la descripción llamada Euleriana fijamos la atención en un punto (x,y,z) en el espacio.Nos interesa conocer las características del flujo como velocidad, densidad, temperatura, etc. de
las partículas que pasen por este punto como función del tiempo. (Nótese que no se está
siguiendo una partícula como en la descripción Lagrangiana). Si se hace lo mismo para todos los
puntos del espacio que ocupa el flujo, se tiene una descripción completa del flujo.
2.2. Volumen de Control y Sistema
Para aplicar las leyes físicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
Volumen de Control y de Sistema.
Se entiende por volumen de control una región fija en el espacio donde puede existir flujo
de fluido a través de sus fronteras. Por esta razón, en diferentes instantes, se pueden tener
diferentes partículas en el interior del volumen del control.
Sistema se refiere a un conjunto de partículas en el cual permanecen siempre las mismas.
Es decir, se está observando siempre una cantidad fija de materia.
2.3 Derivada material
El cambio con el tiempo de una variable de campo en un flujo se puede expresar en forma
Lagrangiana y Euleriana. La rapidez de cambio siguiendo una partícula ( punto de vista
Lagrangiano ) se llama derivada material (o total o sustancial) y se escribe D/Dt. Las letras
mayúsculas se usan para enfatizar que se trata de una descripción lagrangiana.
Considérese una variable de campo α , que en una especificación Euleriana tiene la forma
α=α(x,y,z,t). Siguiendo una partícula, el cambio de α en un tiempo δt es (Dα/Dt)δt.
En este tiempo δt la partícula se ha movido una distancia δx, δy , δz en las direcciones x,
y, z , respectivamente.
22
Desde el punto de vista Euleriano, el cambio de α es
∂α
∂
δ
∂α
∂
δ
∂α
∂
δ
∂α
∂
δ
t
t
x
x
y
y
z
z+ + +
El cambio en ambas descripciones es el mismo por lo que
D
Dt
t
t
t
x
x
y
y
z
z
α
δ
∂α
∂
δ
∂α
∂
δ
∂α
∂
δ
∂α
∂
δ= + + +
de donde
D
Dt t x
x
t y
y
t z
z
t
α ∂α
∂
∂α
∂
δ
δ
∂α
∂
δ
δ
∂α
∂
δ
δ
= + + +
Para δt muy pequeño, δx/δt, δy/δt, δz/δt tienden a las velocidades de la partícula en las
direcciones x,y,z , que son u, v, w respectivamente. Entonces
D
Dt t x
u
y
v
z
w
α ∂α
∂
∂α
∂
∂α
∂
∂α
∂
= + + + (2.3.1)
En notación indicial (en este texto, la notación indicial implica el uso de coordenadas
cartesianas):
D
Dt t
u
xi i
α ∂α
∂
∂α
∂
= + (2.3.2)
y en notación vectorial
D
Dt
α ∂α
∂
α= + ⋅ ∇
t
U
~
( ) (2.3.3)
En las ecuaciones anteriores el primer término de la derecha significa la rapidez de
cambio α en un punto (derivada local). Los otros términos representan el cambio convectivo de α
, es decir, el cambio a consecuencia del movimiento del fluido.
α es una variable de campo que puede ser escalar, vector o tensor. En el caso especial
donde α es la velocidad U
~
D U U
t
U U~ ~
~ ~Dt
= + ⋅ ∇
∂
∂
( )
donde el lado izquierdo representa la aceleración de la partícula.
-------------------------------------------------------
23
Nota: La forma 
r
U ⋅ ∇ sólo es válida en notación cartesiana. Las otras formas se encuentran en el apéndice. Además U
~
⋅∇ es una abreviación
del operador u
x
v
y
w
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+ + . Nótese que U
~
⋅∇ ≠ ∇⋅ U
~
.
2.4 Teorema de Reynolds.
El teorema de transporte de Reynolds relaciona, la derivada Lagrangiana de una integral
de volumen de un sistema, con una integral en derivadas Eulerianas.
Consideremos un sistema en dos instantes de tiempo t y t+δt. Sea α alguna propiedad por
unidad de volumen. El sistema puede tener un cambio de volumen y posición como se muestra
en la figura 2.4.1.
s(t)
V(t)
U
~
tiempo t
V(t+δt)
s(t+δt)
tiempo t + δt
)n
figura 2.4.1
La cantidad total de la propiedad α en el sistema en el instante t es
α ( )
( )
t dV
V t
∫
y la cantidad de α en el instante t+δt es
α δ
δ
( )
( )
t t dV
V t t
+
+
∫
La derivada material de la cantidad total de α en el sistema se puede expresar
D
Dt
(t)dV lím
1
 t
(t t)dV (t)dV
t 0
V(t V(t)V(t)
α
δ
α δ α
δ
δ
= + −








→
+
∫ ∫∫
t)
 (2.4.1)
que se obtiene de la definición de derivada
D
Dt
(t)dV lím
1
 t
 (t t)dV
1
t
(t t)dV (t)dV
t 0
V(t) V(t) V(t)V(t)
α
δ
α δ δ α δ
δ
α δ α
δ δ
= + − +








+ + −
















→ +∫ ∫ ∫ ∫∫ ( )( )t t VV t t (2.4.2)
En esta ecuación
24
lím
1
t
(t t)dV (t t)dV
t 0
V(t t) V(t)
δ δδ
α δ α δ
→
+
+ − +






∫ ∫ (2.4.3)
representa el integrando fijo con cambio de volumen como se muestra en la figura.
U
~
$n
figura 2.4.2
y estas dos integrales se pueden reducir a
lím
1
t
(t t)dV
t 0
V(t t) V(t)
δ
δ
δ
α δ
→
+ −
+∫ (2.4.4)
Si consideramos que un elemento dS de la superficie del sistema tiene dos posiciones
diferentes en los dos instantes de tiempo considerados t y t+δt, el barrido de ésta superficie entre
los dos instantes conforma el elemento de volumen dV como se muestra en la figura
$n
U
~
ds
figura 2.4.3
Si $n es el vector normal a la superficie y U
~
 representa la velocidad, U
~
. $n será la
velocidad normal a la superficie. En el tiempo δt la superficie se mueve una distancia U
~
. $n δt
normal a la misma. Por lo que
dV= U
~
. $n δtdS
La integral (2.4.4) se reduce a la integral sobre la superficie
lim t t U ndS
t
s t
δ
α δ
→
+ ⋅∫0 ( )
( )
)
Tomando el límite se simplifica a
α ( ) $
~
( )
t U ndS
S t
⋅∫ (2.4.5)
Aplicando el teorema de Gauss (Apéndice A) esta integral toma la forma
∇ ⋅∫ ( )
~
( )
α U dV
V t
 (2.4.6)
dos términos de la ecuación (2.4.2) pueden simplificarse como:
25
lim
t
t t dV t dV lim
t
t t t dV
t
dV
t
V t V t
t
V tV t
δ δδ
α δ α
δ
α δ α
∂α
∂ → →
+ −





 = + − =∫ ∫ ∫∫
0 0
1 1
( ) ( ) [ ( ) ( )]
( ) ( ) ( )( )
 (2.4.7)
Con estas simplificaciones ( 2.4.2) toma la forma
D
Dt
t dV
t
U dV
V t V t
α ∂α
∂
α( ) ( )
( ) ( )
∫ ∫= + ∇ ⋅

 
r
 (2.4.8)
En notación indical
D
Dt
t dV
t
u
x
dV
V t
i
iV t
α ∂α
∂
∂ α
∂
( )
( )
( ) ( )
∫ ∫= +


 
 (2.4.9)
2.5 Líneas de flujo
Existen tres tipos de líneas de flujo de uso común. Estas son: líneas de corriente, líneas de
trayectoria y líneas de emisión.
Líneas de corriente.
Son líneas cuya tangente es en todos los puntos paralela al vector velocidad en un
instante. El flujo donde las líneas de corriente no cambian con el tiempo se llama flujo
permanente. En este caso el campo de velocidad no depende del tiempo. Consideremos una línea
de corriente con un elemento diferencial dS.
ds
P U~
figura 2.5.1
Este elemento tiene componentes dx, dy, dz en los ejes cartesianos x, y, z,
respectivamente. Por la definición de línea de corriente, la velocidad 
r
U del flujo en el punto P es
paralela a la dirección de dS. Los componentes de 
r
U son u, v, w. El vector unitario en la
dirección del elemento dS debe ser igual al vector unitario de
r
U . De donde:
26
ds
dS
dx
dS
i
dy
dS
j
dz
dS
k
U
U
u
U
i
v
U
j
w
U
k= + + = = + +$ $ $ $ $
r
r r r r
r
Entonces
dx
d S
u
U
dy
d S
v
U
dz
d S
w
U
=
=
=
r
r
r
 .
que implica
 
dx
u
dy
v
dz
w
= = (2.5.1)
Esta es la ecuación de la línea de corriente en términos del campo de velocidad.
Una línea de corriente es entonces una curva imaginaria que conecta una serie de puntos
en el espacio en un instante dado, de tal forma que todas las partículasque están sobre la curva
en ese instante tienen velocidades cuyos vectores son tangentes a la misma. De aquí las líneas de
corriente indican la dirección del movimiento de las partículas que se encuentran a lo largo de
ellas, en el instante dado.
Líneas de trayectoria.
La línea de trayectoria es la que describe una partícula en el flujo. Si r
~
 indica la posición
de una partícula, su velocidad es
dr dt U x y z t/ ( , , , )=
r
 (2.5.2)
De la solución de esta ecuación se obtienen las ecuaciones paramétricas de las líneas de
trayectoria.
Líneas de emisión.
Si inyectamos continuamente un colorante en un punto en el flujo, la huella del colorante
en cualquier instante representa una línea de emisión. El humo que sale de una chimenea es un
ejemplo.
27
Resolviendo para un instante dado la ecuación (2.5.2), para las partículas que han pasado
por r0
~
 se obtiene la ecuación de la línea de emisión.
El método para determinar las ecuaciones de las líneas de flujo se muestra en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo: Dado el campo de velocidad bidimensional: 
r
U xi y t j= − +$ ( ) $ calcule las ecuaciones
de a) la línea de corriente en t=0 que pasa por (1,1); b) la línea de trayectoria de la partícula que
tiene la posición (1,1) en t=0; c) la línea de emisión cuando t=0 de las partículas que pasaron por
(1,1).
a) 
dx
x
dy
y t
= −
+( )
de (2.5.1) la solución es
ln x = -ln(y+t) + ln c ó x(y+t) = c
para (1,1) y t = 0 tenemos c = 1
De donde
x(y+t)=1
es la ecuación de la línea de corriente.
b) De (2.5.2) se establece
dx
dt
x= , 
dy
dt
y t= − +( )
La solución es
x = c1e
t
y=c2e
-t + t-1 ( i )
para (1,1) y t=0; c1 = 1 y c2 = 2
De donde las ecuaciones paramétricas de la línea de trayectoria son
x= et
y= 2e-t + t-1
Eliminando t se obtiene la ecuación de esta línea
y
x
x= + −
2
1ln
28
c) Las ecuaciones (i) representan la posición de una partícula. Consideremos la posición de las
partículas que han pasado por (1,1) cuando t=ζ ( ζ es una variable y depende de cada partícula).
Sustituyendo estas condiciones en las ecuaciones (i) se obtiene c1= e
-ζ; c2 = ( 2-ζ) eζ
Las ecuaciones paramétricas de las líneas de emisión para un tiempo t son
x = et-ζ
y = (2-ζ)eζ-t + t-1
Para t = 0, tienen la forma
x = e-ζ
y = (2-ζ)eζ -1
Eliminando t se obtiene la ecuación de la línea de emisión
y
x
x
=
+
−
2
1
ln
Puede observarse que las tres líneas de flujo son distintas. Para un caso de flujo permanente, las
ecuaciones para las tres líneas de flujo serían iguales.
2.6 Circulación y vorticidad
La circulación contenida en una curva cerrada dentro del flujo se define como la inte
29
30
En al figura 2.7.1.a se muestra un segmento de tubo de corriente en las secciones 1 y 2. En la
figura 2.7.1.b se muestra de forma similar un tubo de vórtice.
2.8 Gradiente de velocidad.
Un elemento de fluido en un flujo puede sufrir: traslación, rotación, cambio de forma
lineal y angular.
En un flujo donde el vector velocidad es igual en todos los puntos (flujo uniforme) sólo
existe traslación del elemento. Pero en un flujo no uniforme existe además rotación y cambio de
forma lineal y angular. A esto se le llama gradiente de velocidad. Entonces, el tensor de gradiente
de velocidad (D, Dij) queda definido
31
D
u
xi j
i
j
=
∂
∂ (2.8.1)
o bien
D U= ∇
r
 (2.8.2)
Cualquier tensor puede descomponerse en la parte simétrica y la parte antisimetrica. Por lo cual
D
u
x
u
x
u
x
u
xij
i
j
j
i
i
j
j
i
= +





 + −






1
2
1
2
δ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 (2.8.3)
[ ] [ ]D U U U UT T= ∇ + ∇ + ∇ − ∇1
2
1
2
r r r r
( ) ( ) (2.8.4)
de donde ( )∇
r
U T representa el tensor transpuesto de ∇
r
U .
Llamemos
e
u
x
u
x
u
x
u
xij
i
j
j
i
ij
i
j
j
i
= +





 = −






∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 ; Ω (2.8.5)
o bien
[ ] [ ]e U U U UT T= ∇ + ∇ ∇ − ∇r r r r( ) ( ) ; =Ω (2.8.6)
que implica
D ei j i j i j 
1
2
1
2
+ Ω ; D e= +
≈
1
2
1
2
Ω (2.8.7)
Rapidez de rotación
Considérese un elemento en el plano x1,x2 que solo tiene rotación. La figura 2.8.1b
muestra la configuración un tiempo δt después de la de 2.8.1.a
U2
x2 x2
x1 x1
D
D C
C
A A
B
B
δ x1
U
U
x
x1
1
2
2+
∂
∂
δ
U
U
x
x2
2
1
1+
∂
∂
δ
figura 2.8.1
32
La línea AB tiene una velocidad angular 
∂
∂
u
x
2
1
 en el sentido contrareloj. La línea AD tiene
una velocidad angular 
∂
∂
u
x
1
2
 en el sentido del reloj. El promedio de la rapidez de rotación del
elemento en el sentido contrareloj es 
1
2
2
1
1
2
∂
∂
∂
∂
u
x
u
x
−





 . De la ecuación (2.6.4) se ve que la
cantidad entre paréntesis es la componente de la vorticidad en el eje x3 ,que es perpendicular al
elemento mostrado.
w
u
x
u
x3
2
1
1
2
= −






∂
∂
∂
∂
En el espacio tridimensional el elemento girará sobre los tres ejes, y la rapidez de rotación
sobre cualquier eje es la mitad de la componente de la vorticidad en este eje.
Además, se observa que el tensor antisimétrico
Ω =
− −
− −
− −
















0
0
0
1
2
2
1
1
3
3
1
2
1
1
2
2
3
3
2
3
1
1
3
3
2
2
3
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
tiene el vector correspondiente
 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
x
u
x
i
u
x
u
x
i
u
x
u
x
i3
2
2
3
1
1
3
3
1
2
2
1
1
2
3−





 + −





 + −





$ $ $
que es el vector de vorticidad w .
El tensor Ω es entonces el tensor de vorticidad.
Rapidez de deformación.
Considérese ahora que el elemento en la figura 2.8.1.a no tiene rotación pero cambia su
forma geométrica. Después de un tiempo δt el elemento tiene la siguiente configuración:
lucila
Text Box
tensor antisimetrico


















33
x2
x1
C
D
B
A
 θ2
θ1
figura 2.8.2
De la figura
d
dt
u
x
d
dt
u
x
θ ∂
∂
θ ∂
∂
1 2
1
2 1
2
= = y 
La suma representa la rapidez de cambio de forma del elemento 
∂
∂
∂
∂
u
x
u
x
2
1
1
2
+





 en este plano.
En un espacio tridimensional, los elementos del tensor e
≈
 representan la rapidez de cambio de
forma o la rapidez de corte de un elemento tridimensional:
e
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
=
+ +
+ +
+ +
















2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
3
3
1
2
1
1
2
2
2
2
3
3
2
3
1
1
3
3
2
2
3
3
3
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Los términos diagonales representan el cambio de forma lineal. El resto, el cambio de
forma angular. El tensor e se llama tensor de rapidez de deformación.
2.9 Sistemas inerciales y no inerciales.
A veces se miden las variables de campo con respecto a un sistema de coordenadas en
movimiento. Estas variables tienen relación con respecto a otro sistema fijo. En este último
sistema, la segunda ley de Newton para una partícula:
r r
F mdU dt= / , es válida. Esto puede servir
para definir el sistema fijo también llamado inercial. Las variables de campo escalares sonlucila
Highlight
lucila
Highlight
lucila
Highlight
lucila
Accepted
lucila
Highlight
34
invariantes con respecto al sistema escogido. A continuación se analizará la transformación de
otras variables.
Considérese un sistema inercial SI y otro sistema no inercial SN. El origen de SN tiene
posición r0 y velocidad 
r
U 0 con respecto a SI y sus ejes de coordenadas tienen una velocidad
angular 
r
Ω con respecto a SI. Los subíndices I y N se refieren a las variables medidas en los
sistemas inercial y no inercial respectivamente. La posición de un punto queda determinada por
rI = r0+ rN (2.9.1)
En coordenadas cartesianas
r x iN iN iN= $ (2.9.2)
La derivada con respecto al tiempo de (2. 9.1)es:
d
dt
r
d
dt
r
d
dt
rI N
~ ~ ~
= +0 (2.9.3)
De (2.9.2):
d
dt
r
dx
dt
i x
di
dtN
iN
iN iN
iN
~
$
$
=





 +





 (2.9.4)
$iiN son las bases del sistema SN, que por el movimiento de los ejes tienen derivadas con respecto
al tiempo. En la figura 2.9.1 se muestran las posiciones del vector $iiN en un instante t y otro t +δt.
Ωδt δ $iiN
($ )iiN t t+δ 
($ )iiN t
figura 2.9.1
En la figura 2.9.1 el vector diferencia
 δ δ$ $i x i tiiN iN=
r
Ω 
de donde
di
dt
x iiN iN
$
$=
r
Ω (2.9.5)
entonces
dr
dt
U x r
N
N N= +
r r
Ω (2.9.6)
y de (2.9.3)r r r r
U U U x rI N N= + +0 Ω (2.9.7)
35
Derivando con respecto al tiempo (2.9.7) se obtiene la aceleración
d
dt
U
d
dt
U
d
dt
U
d
dt
r
dr
dtI N N
N
r r r r
= + + × + ×0
Ω
Ω (2.9.8)
Pero r
U u iN iN iN= $
De manera similar que en (2.9.6)
dU dt a x UN N N
r r r r
/ = + Ω (2.9.9)
utilizando (2.9.6) y (2.9.9) en (2.9.8) se tiene
r r r r r r r
r
a a a x U x x r
d
dt
x rI N N N N= + + + +





0 2Ω Ω Ω
Ω
 ( ) (2.9.10)
donde a
dU
dt0
0=
r
En esta ecuación se observa que la aceleración (
r
aI ) medida en SI no es igual a la
aceleración 
r
a N medida en SN. El termino 2
r r
Ω x U N se llama la aceleración de Coriolis y el
término 
r r
Ω Ω x x rN( ) la aceleración centrípeta.
Para un flujo de un fluido, la aceleración de una partícula corresponde a la derivada
material y se puede escribir
D
Dt
U a
D
Dt
U U r
d
dt
rI N N N N
r r r r r r r r
r
r= + + × + × × + ×0 2Ω Ω Ω
Ω
( ) (2.9.11)
36
Problemas
2.1 Obtenga la forma de la derivada material en coordenadas cilíndricas
2.2 Calcule la aceleración de una partícula en el punto (1,3,2) y t=1 del flujo del problema 1.1;
R = [ ]28 12 15$ $ $i j k+ + . 
2.3 Considere el flujo bidimensional definido por 
r
U x t i yj= + +( )$ $1 2 . Determine a) en el el
tiempo t=0, la línea de corriente que pasa por (1,1); b) La línea de la trayectoria de partícula que
pasa por (1,1) en t=0; c) la línea de emisión en el tiempo t=0 de las partículas que pasaron por
(1,1). Dibuje las tres líneas.
R = [a) x=y; b) x=y1+lny; c) x=y1-lny ]
2.4 Muestre que en coordenadas polares las líneas de corriente son la solución de
dr/µr=rdθ/µθ
2.5 En el flujo plano: µr=U0cosθ(1-a2/r2) ; uθ= -U0senθ(1+a2/r2). Encuentre la línea de corriente
que pasa por (r,θ )=(2a, π/2)
R = 
r
r a a2 2
2
3−
=



senθ
2.6 Considere el flujo bidimensional 
r
U x i x y j= + + +( )$ ( ) $1
Determine : las líneas de flujo que pasan por (1,1).
R = [y=(x3+5)/(3(1+x))]
2.7 Calcule el vector vorticidad del flujo en el problema 1.1 en el punto (1,3,2)
37
R = [ ]14 2$ $ $i j k− +
2.8 Para un flujo laminar entre dos placas paralelas estacionarias, la velocidad del fluido está
dada por [ ]
r
U U z b i= −0
21 ( / ) $ .
x
z
--perfil de velocidad
b
Encuentre y grafique la distribución de vorticidad.
 R = −



U
z
b
j0 2
2 $ 
2.9 Para el flujo 
r
U x y z i x y j x y z k= + + + + + − −( )$ ( ) $ ( ) $2 3 6 2 2 4
Determine: a)El campo de vorticidad; b) la circulación alrededor de un cuadrado con vértices en
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0) y (0,1,0); c)
R = [ ]a i j k b) $ $ $; )− + − −2 5 2 2 
2.10 Para el flujo del problema 2.9 encuentre a) el tensor de vorticidad, b) el tensor de rapidez de
deformación, c) el tensor de gradiente de velocidad.
 R = a) ) )
0 2 5
2 0 2
5 2 0
4 4 7
4 4 2
7 2 8
2 3 6
1 2 0
1 2 4
−
− −








−
− −







 − −


















 ; b ; c
2.11 En el flujo del problema 2.8 encuentre las componentes del tensor de rapidez de
deformación que existen.
 R = [e13=e31= -Uo2z/b
2]
2.12 Verifique que el flujo del problema 2.5 es irrotacional para r>a.
2.13 Viviendo en un sistema de referencia el cual es casi inercial estamos acostumbrados a
sostener nuestro vaso mas o menos directamente debajo de la botella invertida mientras se sirve
la cerveza. Para una separación vertical dada (L), ¿ donde debe poner su vaso cuando viaja en un
tren acelerado (a)?
[l=aL/g]
38
y
x
L
l
a
figura P.2.13
2.14 Se deja caer una masa desde una torre de 100m de altura en la ciudad de México. Tomando
en cuenta la aceleración de la gravedad y la aceleración de Coriolis debida a la rotación de la
tierra, encuentre la desviación de la masa con respecto a una vertical cuando llega al piso.
R = [6.183cm]
2.15 Una masa se hace girar atada a un cordel con una velocidad angular de 120 rev/min,
calcular su aceleración en un sistema inercial si el cordel tiene una longitud de 1m desde el
centro de giro a la masa
 R = [158 m/s2].
2.16 Sobre una ruleta que gira a 1 rad/seg, una pelota que se encuentra en la posición
r
r i j m= +4 3$ $( ) tiene una velocidad 
r
U i m s= 2$( / ) con respecto a la ruleta. Encuentre la velocidad
y aceleración en un sistema fijo en el instante que ambos sistemas coinciden.
 R = [ ]− + − +$ $; $ $i j i j4 4 .
39
CAPITULO 3. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
• 3.1 Conservación de masa 38
• 3.2 Conservación de momentum 39
• 3.3 Conservación de energía 42
• 3.4 Ecuaciones constitutivas 45
• 3.5 Ecuaciones de movimiento de un fluido newtoniano 49
40
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
3.1 Conservación de masa
 La masa no se crea ni se destruye, sino que se conserva. Este principio es uno de los
básicos en el estudio del movimiento de los fluidos. Se desarrollará este concepto en forma de
ecuaciones diferenciales e integrales.
Considérese un volumen de control de forma arbitraria en el flujo. Por el principio de
conservación de masa , la suma de la rapidez de variación de la masa dentro del volumen y la
salida neta de masa a través de la superficie del volumen es cero.
dA
n
U
Fig. 3.1.1
Por lo tanto la forma integral es
∫∫ ⋅+
AV
dAnUdV
t
0 = ˆ 
 
r
ρρ
∂
∂
 (3.1.1)
Transformando la segunda integral con el teorema de la divergencia de Gauss, e
introduciendo la derivada dentro de la primera integral (el volumen V es independiente del
tiempo)
( ) 0 
 
 =


 ⋅∇+∫ dVUt
V
r
ρ
∂
ρ∂
 (3.1.2)
Como el volumen V es arbitrario esta ecuación es válida para cualquier volumen. Esto
implica que el integrandoes cero.
( )∂ ρ
∂
ρ
 
 
 
t
U+ ∇ ⋅ =
r
0 (3.1.3)
41
Esta es la forma diferencial de la conservación de masa. A estas ecuaciones (diferencial e
integral) se les llama ecuaciones de continuidad.
En notación indicial la ecuación (3.1.3) es
( )∂ ρ∂
∂
∂
ρ
 
 
 
t x
u
j
j+ = 0 (3.1.4)
Desarrollando (3.1.3) y (3.1.4) y utilizando la derivada material la ecuación de
continuidad se puede escribir
D
D t
U
 
 
 
ρ
ρ+ ∇ ⋅ =
r
0 (3.1.5)
0
 
 
 
 =+
j
j
x
u
tD
D
∂
∂
ρρ (3.1.6)
Para un flujo incompresible (ρ = cte) la ecuación de continuidad se simplifica a
∇ ⋅ =
r
U 0 (3.1.7)
∂
∂
 
 
 
u
x
j
j
= 0 (3.1.8)
3.2 Conservación de momentum (cantidad de movimiento ).
Momentum lineal
Esta es la consideración de la segunda ley de Newton: la suma de las fuerzas sobre una
partícula es igual a la rapidez de variación de su momentum lineal. En el estudio de medios
continuos este concepto Lagrangiano se transforma a una forma Euleriana para facilitar su
manejo.
Considérese un sistema con un campo de velocidad 
r
U , fuerzas de cuerpo por unidad de
masa 
r
f y superficiales por unidad de área representadas por el vector 
r
P. Aplicando la segunda
ley de Newton a este sistema:
42
∫∫∫ +=
VAV
dVfdAPdVU
tD
D
 
 
rrr
ρρ (3.2.1)
∫∫∫ +=
V
i
A
i
V
i dVfdAPdVutD
D
 
 
ρρ (3.2.2)
El vector 
r
P está relacionado con el tensor de esfuerzos τ definido en la sección 1.3. De
la Figura 1.3.2 se observa que la componente total en la dirección 1, P1, es la suma de las fuerzas
en la dirección 1 en las caras 1,2 y 3. Entonces P1 = τ11 n1 + τ21 n2 + τ31 n3.
Generalizando:
r
P n= τ $ (3.2.3)
r
P ji j1 = τ η (3.2.4)
Se puede simplificar la forma integral de la ecuación (3.2.1) y (3.2.2), aplicando el
teorema de Reynolds en el lado izquierdo y (3.2.3) ó (3.2.4) en la primera integral del lado
derecho
( ) ( ) ∫ ∫∫ += ⋅∇+
A VV
dVfdAndVUUU
t
 ˆ 
 
rrrr
ρτρρ
∂
∂
 (3.2.5)
( ) ( ) ∫ ∫∫ += +
A V
ijji
V
ki
k
i dVfdAndVuux
u
t
 
 
 
 
ρτρ
∂
∂ρ
∂
∂
 (3.2.6)
Aplicando el teorema de Gauss a la primera integral del lado derecho
( ) ( ) ∫ ∫∫ +⋅∇= ⋅∇+
V V
dVfdVdVUUU
t
 
 
rrrr
ρτρρ
∂
∂
 (3.2.7)
( ) ( ) ∫ ∫∫ += +
V V
iji
j
V
ki
k
i dVfdVx
dVuu
x
u
t
 
 
 
 
 
 
ρτ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂
 (3.2.8)
43
Debido a que el volumen V es arbitrario:
( ) ( ) fUUU
t
rrrr
 
 
ρτρρ
∂
∂ +⋅∇=⋅∇+ (3.2.9)
( ) ( ) iji
j
ki
k
i fx
uu
x
u
t
 
 
 
 
 
 
ρτ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ +=+ (3.2.10)
O bien
( ) ( ) ( ) ( ) fUUUU
t
UU
t
rrrrrrr
 
 
ρτρρρ
∂
∂
∂
∂ρ +⋅∇=∇⋅+⋅∇++ (3.2.11)
( ) ( ) ( ) ( ) iji
j
i
k
kk
k
iii fx
u
x
uu
x
u
t
uu
t
 
 
 
 
ρτ
∂
∂
∂
∂ρρ
∂
∂ρ
∂
∂
∂
∂ρ +=+++ (3.2.12)
El segundo y tercer término es un múltiplo de la ecuación de continuidad (3.1.3) y (3.1.4)
Entonces
( ) ( ) fUUU
t
rrrr
 
 
ρτρ
∂
∂ρ +⋅∇=∇⋅+ (3.2.13)
( ) ( ) iji
j
i
k
ki fx
u
x
u
t
 
 
ρτ
∂
∂
∂
∂ρµ
∂
∂ρ +=+ (3.2.14)
Esta es la forma diferencial de la conservación de momentum. Usando la derivada
material
f
tD
UD r
r
 
 
ρτρ +⋅∇= (3.2.15)
iji
j
i f
xtD
uD
 
 
 ρτ
∂
∂ρ += (3.2.16)
Esta expresión muestra el balance entre la aceleración por unidad de volumen del lado
izquierdo y las fuerzas de superficie y las de cuerpo respectivamente del lado derecho.
44
Momentum angular.
La conservación del momentum angular implica que la suma de los momentos de las
fuerzas que actúan sobre un sistema es igual a la rapidez de cambio del momentum angular. Esta
relación es útil en algunos problemas que involucran rotación del fluido, por ejemplo,
turbomaquinaria.
El momento del momentum lineal (momentum angular) con respecto al origen del
elemento de masaρ dV del sistema es ρ r
r
r UdV× , donde 
r
r es el vector de posición de este
elemento. La fuerza 
r
PdA sobre un elemento de la superficie del sistema tiene un momento
r r
r PdA× y la fuerza de cuerpo sobre el elemento de masa ρdV del sistema tiene un momento
ρ r
r
r fdV× . Según la conservación de momentum angular para todo el sistema es
∫∫∫ ×+×=×
VAV
dVfrdAPrdVUr
tD
D
 
 
rrrrrr ρρ (3.2.17)
∫∫∫ +=
V
jiijk
A
jiijk
V
jiijk dVfrdAPrdVrtD
D
 
 
ρεεµρε (3.2.18)
sustituyendo 
r
P de (3.2.3) y (3.2.4)
∫∫∫ ×+×=×
VAV
dVfrdAnrdVUr
tD
D
 ˆ 
 
rrrrr ρτρ (3.2.19)
∫∫∫ +=
V
jiijk
A
lljiijk
V
jiijk dVfrdAnrdVurtD
D
 
 
ρετερε (3.2.20)
Esta es la forma integral de la ecuación de momentum angular. La forma diferencial
correspondiente muestra que el tensor de esfuerzo τ es simétrico.
3.3 Conservación de energía.
La primera ley de la termodinámica establece la conservación de la energía. Si se
considera un sistema, el cambio de energía del sistema es la suma de la entrada de energía en
forma de calor y de trabajo.
45
La energía del sistema comprende la energía interna y la energía cinética.
La energía interna por unidad de masa es e. Considerando un elemento de volumen dV
del sistema, ρedV es su energía interna y 1/2ρ 
r r
U UdV⋅ su energía cinética.
Considerando un elemento de superficie del sistema dA, 
r
q ndA⋅ $ representa la rapidez de
salida de calor, donde 
r
q es el vector de flujo de calor.
El trabajo se efectúa por las fuerzas de cuerpo y las fuerzas de superficie. El vector 
r
PdA
representa la fuerza de superficie sobre el elemento dA y 
r r
U PdA⋅ la rapidez con la que realiza
este trabajo. El vector ρ 
r
fdV es la fuerza de cuerpo sobre el elemento dV y 
r r
U fdV⋅ ρ la rapidez
del trabajo realizado por la fuerza del cuerpo.
Entonces, considerando la rapidez del cambio de energía del sistema
∫ ∫∫∫ ⋅−⋅+⋅= ⋅+
V AAV
dAnqdVfUdAPUdVUUe
Dt
D
 ˆ 
2
1
 r
rrrrrr
ρρρ (3.3.1)
∫ ∫∫∫ −+= +
V A
iiii
A
ii
V
ii dAnqdVfudAPudVuueDt
D
 
2
1 ρρρ (3.3.2)
donde por convención el vector qr se toma positivo hacia afuera con respecto al sistema.
Sustituyendo 
r
P de (3.2.3) y (3.2.4) y utilizando el teorema de Reynolds
∫ ∫∫∫ ⋅−⋅+⋅=  ⋅+⋅∇+ ⋅+
V AAV
dAnqdVfUdAnUdVUUUeUUe
t
 ˆ ˆ 
2
1
 
2
1rrrrrrrrr ρτρρρρ
∂
∂
(3.3.3)
∫ ∫∫∫ −+=  ++ +
V A
iiii
A
kkii
V
kii
k
ii dAnqdVfudAnkudVuuuex
uue
t
 
2
1
 
 
 
2
1
 
 
ρρρ
∂
∂ρρ
∂
∂
(3.3.4)
Utilizando el teorema de Gauss
( ) ∫ ∫∫∫ ⋅∇−⋅+⋅⋅∇=  ⋅+⋅∇+ ⋅+
V VVV
dVqdVfUdVUdVUUUeUUe
t
 
2
1
 
2
1
 
 
rrrrrrrrr ρτρρρρ
∂
∂
(3.3.5)
46
dVq
x
dVfudVu
x
dVuuue
x
uue
t
i
V
i
V
ii
V
kii
k
V
kii
k
ii 
 
 
 
2
1
 
 
 
2
1
 
 ∫∫∫∫ −+=  ++ + ∂∂ρτ∂ ∂ρρ∂∂ρρ∂∂
(3.3.6)
Puesto que V es un volumen arbitrario se establece
qfUUUUUeUUe
t
rrrrrrrrr ⋅∇−⋅+⋅⋅∇=



 ⋅+⋅∇+



 ⋅+ )( 
2
1
 
2
1
 
 
ρτρρρρ
∂
∂ (3.3.7)
i
i
iiiki
k
kii
k
ii qx
fuu
x
uuue
x
uue
t 
 
 
 
2
1
 
 
 
2
1
 
 ∂
∂ρτ
∂
∂ρρ
∂
∂ρρ
∂
∂ −+=



 ⋅++



 + (3.3.8)
Resolviendo las expresiones anteriores
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) qfUUUUUUeU
U
t
UUU
t
eUU
t
e
t
rrrrrrrrr
rrrrrr
⋅∇−⋅+∇⋅+⋅∇⋅=



 ⋅∇⋅+∇⋅
+



 ⋅∇+⋅+



 ⋅∇++



 ⋅+
 
2
1
 
 2
1
 2
1
 
ρττρρ
ρρ
∂
∂ρρ
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂ρ
 (3.3.9)
( ) ( )
i
i
iii
k
kiki
k
iii
k
k
k
k
k
k
iik
k
ii
q
x
fuu
xx
uuu
x
ue
x
u
u
xt
uuu
xt
euu
t
e
t
 
 
 2
1
 
 
 
 
 
 2
1
 
 
 
2
1
 
 ∂
∂ρ
∂
∂ττ
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂ρ
−++=



+
+



++



++



+
 (3.3.10)
Por continuidad (ecs. 3.1.3 y 3.1.4):
( ) ( ) ( ) ( ) qfUUUUUUeUU
t
Ue
t
rrrrrrrrrrr ⋅∇−⋅+∇+⋅∇⋅=∇⋅⋅+∇⋅+⋅+ : 
 
ρττρρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ (3.3.11)
i
i
iii
k
kiikii
k
ii
k
ki
k
kii qx
fuu
xx
uu
x
uue
x
uu
t
ue
t 
 
 
 
 ∂
∂ρ
∂
∂ττ
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ −++=+++ (3.3.12)
Esta es la ecuación de conservación de energía total. Sin embargo, la conservación de la
energía mecánica se obtiene multiplicando escalarmente las ecuaciones (3.2.13) y (3.2.14) por la
velocidad 
r
U
( ) fUUUUUU
t
U
rrrrrrrr
 )( 
 
 ρτρ
∂
∂ρ ⋅+⋅∇⋅=∇⋅⋅+⋅ (3.3.13)
47
iiki
k
ii
k
kiii fux
uu
x
uuu
t
u 
 
)(
 
ρτ
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂ρ +=+ (3.3.14)
Restando estas ecuaciones a las anteriores
( ) ( ) qUeUe
t
rrr ⋅∇−∇=∇⋅+ : 
 
τρ
∂
∂ρ (3.3.15)
i
i
i
k
ik
k
k qx
u
x
e
x
ue
t 
 
 ∂
∂
∂
∂τ
∂
∂ρ
∂
∂ρ −=+ (3.3.16)
Esta es la forma diferencial de la conservación de energía interna. Usando la derivada
material:
( ) qU
tD
De rr ⋅∇−∇= :
 
τρ (3.3.17)
i
i
i
k
ki qx
u
xtD
De
 ∂
∂
∂
∂τρ −= (3.3.18)
El lado izquierdo representa la rapidez de cambio de energía interna, el primer término
del lado derecho la acción del esfuerzo sobre la deformación y el último término el efecto de la
transmisión de calor.
3.4 Ecuaciones constitutivas.
Hasta ahora se tienen las ecuaciones de conservación, pero no se ha especificado de que
material se trata. Según el material que se estudie el comportamiento será diferente. Las
ecuaciones anteriores son aplicables en general, pero para aplicarlas a un problema específico,
habrá que introducir la información relacionada con la naturaleza del material en estudio. Esta
relación que se busca es la ecuación constitutiva del material.
Las ecuaciones (3.1.4), (3.2.14) y (3.3.16) constituyen un sistema de cinco ecuaciones
escalares con las variables incógnitas: ρ, ui (tres componentes), τij (nueve elementos), e, qi (tres
componentes). La fuerza de cuerpo fi depende de factores externos del material, y se estima de
acuerdo con el fenómeno físico que produce dicha fuerza.
Si se pueden escribir τij y qi en términos de las otras variables incógnitas, se tendrá un
sistema determinado.
48
Se busca entonces, dos ecuaciones constitutivas que relacionen
τ ij= τij(ρ, ui, e) (3.4.1)
qi = qi(ρ, ui, e) (3.4.2)
Un material polar es aquel en el que existen momentos de cuerpo (por ejemplo los
momentos por unidad de volumen causados por ciertos efectos magnéticos ). En un material no
polar, la derivación de Ec. 3.2.20 es válida, en donde se obtiene que el tensor de esfuerzo es
simétrico.
Según el postulado de estado en termodinámica, es posible establecer para algunas
sustancias las relaciones
p= p(ρ, T) (3.4.3)
e= e(ρ,T) (3.4.4)
Estas relaciones dependen del fluido que se trate. Para el caso especial de un gas perfecto
(3.3.3) toma la forma
p= RTρ (3.4.5)
y (3.4.4)
∫=
T
T
v dTCe
0
 (3.4.6)
donde R es la constante del gas, T0 una temperatura de referencia y p la presión.
En general, las ecuaciones constitutivas (3.4.1) y (3.4.2) se pueden expresar como función
de la temperatura
τij= τij(ρ, ui, T) (3.4.7)
qi= qi(ρ, ui, T) (3.4.8)
49
Ecuación de Fourier
Si qi es debido sólo a la conducción, la ecuación de Fourier establece
q=-k∇T (3.4.9)
qi=-k∂T/∂xi (3.4.10)
donde k es el coeficiente de transmisión de calor por conducción. El signo menos es debido a que
el flujo de calor es en sentido contrario al crecimiento de la temperatura.
Fluido ideal
Un fluido ideal es aquel en el cual el tensor de esfuerzos es isotrópico. τij es un múltiplo
de ji δ que es el único tensor isotrópico de segundo orden. Por lo tanto
τ δ = − p (3.4.11)
jiji p δτ −= (3.4.12)
donde δ es el tensor identidad y p es la presión en el fluido y el signo negativo indica que la
presión es un esfuerzo normal (de compresión).
La ecuación de conservación de momentum se reduce a
( ) ( ) fpUUU
t
rrrr
 
 
ρρ
∂
∂ρ +−∇=∇⋅+ (3.4.13)
( ) ( ) i
i
i
k
ki fx
p
u
x
uu
t
 
 
 
 
 
 
ρ
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂ρ +−=+ (3.4.14)
A estas ecuaciones se les llama ecuaciones de Euler. La de energía interna se reduce a
( ) qUpeUe
t
rrr ⋅∇−⋅∇−=∇⋅+ ρ
∂
∂ρ
 
 (3.4.15)
i
i
i
ik
k qxx
pe
x
ue
t ∂
∂µ
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂ρ −−=+ (3.4.16)
50
Fluido NewtonianoEn un fluido viscoso además de los esfuerzos normales existen esfuerzos cortantes
debidos a la viscosidad. La ecuación constitutiva para el fluido newtoniano toma la forma
( ) )( TUUUp rrv ∇+∇+⋅∇+−= µδλδτ (3.4.17)








+++−=
i
j
j
i
k
k
jiji x
u
x
u
x
u
p
 
 
 
 
 
 
 
 ij ∂
∂
∂
∂µ
∂
∂δλδτ (3.4.18)
Esta ecuación constitutiva satisface las siguientes restricciones: a) cuando el fluido está
en reposo el esfuerzo es debido solamente a la presión ejercida por él mismo; b) τij está
linealmente relacionado con eij y no depende de la rotación Ωij; y c) El fluido es isotrópico.
En la ecuación constitutiva λ y µ son coeficientes de viscosidad y son propiedades del
fluido.
Para el flujo unidimensional referido en la sección 1.4, donde 
r
U = u(y)$i , el tensor de
esfuerzo es
















−
−
−
=
p
p
dy
u
dy
u
p
00
0
 
0
 
∂µ
∂µ
τ (3.4.19)
El valor del elemento τ12 permite calcular el coeficiente de viscosidad µ. El coeficiente de
viscosidad λ es difícil de determinar. La siguiente consideración simplifica el problema y permite
poner el valor de λ en función de µ. La suma de los esfuerzos normales es:
( ) Uptr
r
⋅∇++−= 2 33 µλτ (3.4.20)
τii=-3p+(3λ+2µ) 
i
i
x
u
 
 
∂
∂
 (3.4.21)
Si se considera que el promedio de los esfuerzos normales 1/3τii no depende de la
viscosidad
51
3λ+2µ=0 (3.4.22)
Un fluido que satisface esta relación se llama fluido de Stokes e incluye gases
monoatómicos. Esta relación se aproxima al comportamiento de otros gases.
Para un fluido incompresible usando la ecuación de continuidad (3.1.7) y (3.1.8) la
ecuación constitutiva se reduce a
( )( ) TUUp rr ∇+∇+−= µδτ (3.4.23)








++−=
i
j
j
i
ijij x
u
x
u
p
 
 
 
 
 
∂
∂
∂
∂µδτ (3.4.24)
Se observa que la relación es independiente del valor de λ.
Fluidos no newtonianos.
Los fluidos que no cumplen con la ecuación constitutiva newtoniana (3.4.17) y ( (3.4.18)
se llaman fluidos no newtonianos. La mayoría de los fluidos que se encuentran comunmente son
no newtonianos , por ejemplo: la sangre, la pintura, etc. Cada uno de estos fluidos tienen su
propia ecuación constitutiva que se determina experimentalmente.
3.5 Ecuaciones de movimiento de un fluido newtoniano.
Aunque en la naturaleza la mayoría de los fluidos son no newtonianos, el caso
newtoniano es el más sencillo de los fluidos viscosos. Además su estudio se justifica debido a
que en muchos fenómenos que interesan en ingeniería se trata con aire o agua, cuyo
comportamiento es newtoniano.
Sustituyendo la ecuación constitutiva (3.4.17) y (3.4.18) en las ecuaciones de
movimiento,se obtiene:
Conservación de masa
( ) 0 
 
 =⋅∇+ U
t
r
ρ
∂
ρ∂
( ) 0 
 
 =+ i
i
u
t
ρ
µ∂
∂
∂
ρ∂
52
Conservación de momentum (ecuaciones de Navier-Stokes)
( ) ( )( )[ ] fUUUpUU
t
U T rrrrrr
r
 ) ( 
 
 ρµλρ
∂
∂ρ +∇+∇∇+⋅∇∇+−∇=∇⋅+ (3.5.1)
i
i
j
j
i
jk
k
iik
i
k
i f
x
u
x
u
xx
u
xx
p
x
u
u
t
u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ρ
∂
∂
∂
∂µ
∂
∂
∂
∂λ
∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂ρ +
















++



+−=+ (3.5.2)
Conservación de energía. Empleando además la ecuación de Fourier (3.4.9) y (3.4.10)
( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( )TkUUUUUpeU
t
e T ∇⋅∇+∇∇+∇+⋅∇+⋅∇−=∇⋅+
rrrrrr
: 
 
 2 µλρ
∂
∂ρ (3.5.3)




+
















++



+−=+
iii
j
i
j
j
i
k
k
ki
k
k
k x
T
k
xx
u
x
u
x
u
x
u
x
u
p
x
e
u
t
e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂µ
∂
∂λ
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂ρ (3.5.4)
Estas ecuaciones junto con las relaciones p=p(ρ, T) y e=e(ρ, T) forman un sistema de
siete ecuaciones escalares con las siete incógnitas: ρ. uI (tres), p, e y T.
Función de disipación
En las ecuaciones (3.5.3) y (3.5.4) los términos de viscosidad
( )[ ] UUUuU T rrrr ∇∇+∇+⋅∇=Φ :)()( 2λ (3.5.5)
















++



=Φ
i
j
i
j
j
i
k
k
x
u
x
u
x
u
x
u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂µ
∂
∂λ (3.5.6)
representan la rapidez de disipación de energía por unidad de volumen debido a los efectos
viscosos. El escalar Φ se llama la función de disipación.
Condiciones de frontera
Para resolver estas ecuaciones diferenciales parciales se necesitan establecer las
condiciones de frontera .
53
Las condiciones de frontera mas usuales para la velocidad son:
a) La condición de no resbalamiento que implica que el fluido tiene la misma velocidad
de la frontera que confina el flujo.
b) Para un flujo no confinado, la velocidad del fluido muy lejos de la región de
perturbación del flujo es la velocidad de la corriente libre.
Cuando se incluyen efectos térmicos es necesario especificar la temperatura en las
fronteras o bien el flujo de calor.
Condiciones iniciales.
En el caso de flujo no permanente se necesitan especificar las condiciones iniciales (t=0) del
fluido, tales como la distribución de velocidad y temperatura.
54
CAPITULO 4. TEOREMAS ESPECIALES
4.1 Teorema de Helmholtz 53
4.2 Teorema de Kelvin 54
4.3 Ecuación de vorticidad 56
4.4 Ecuación de Bernoulli 56
4.5 Ecuación de Crocco 59
55
 TEOREMAS ESPECIALES
Las ecuaciones de movimiento del capítulo 3 son generales. Sin embargo, existen formas
especiales de estas ecuaciones y en algunos casos, formas simplificadas que son más más
prácticas de manejar.
4.1 Teorema de Helmholtz
La definición del vector vorticidad
r r
ω = ∇ × U
permite establecer
∇ ⋅ = ∇
r
ω 0
que indica que el vector 
r
ω es solenoidal.
Entonces, para un volumen V arbitrario
∇ ⋅ =∫ rωdV
V
0
Usando el teorema de Gauss, la integral anterior se convierte en una integral sobre la
superficie que encierra el volumen V.
r )ω ⋅ =∫ ndA
A
0 (4.1.2)
A1
A2
Figura 4.1.1 Tubo de vórtice
Considerando el tubo de vórtice mostrado en la figura 4.1.1 
r )ω ⋅ n es cero en las paredes,
debido a que las forman líneas de vórtice. Por lo tanto (4.1.2) implica
Γ1=Γ2 ( 4.1.3)
donde
Γ1 1
1
= − ⋅∫ r )ω ndA
A
Γ2 2
2
= − ⋅∫ r )ω ndA
A
56
Si 
r r
ω ω1 2 y representan el promedio de vorticidad sobre las áreas A1 y A2
respectivamente, (4.1.3) se puede escribir
r r
ω ω1 1 2 2A A= (4.1.4)
Este resultado es válido para cualquier tipo de fluido y significa que los tubos de vórtice
son cerrados(como los anillos de humo) o terminan en alguna frontera.
4.2 Teorema de Kelvin.
Este teorema se desarrolla para un fluido no viscoso y un campo conservativo de fuerzas
de cuerpo
f
G
xi i
=
∂
∂
 (4.2.1)
donde G es el potencial del campo conservativo.
Considérese una curva material C (formado por partículas). la rapidez de cambio de
circulación siguiendo estacurva es
D
Dt
D
Dt
u dx
Du
Dt
dx u
D dx
Dt
i i
C
i
i i
i
C
Γ =
= +



∫
∫ ( )
 (4.2.2)
donde la derivada material se intercambia con la integral porque esta se hace sobre una curva
material.
dxi son los componentes del elemento dl
r
 de la curva C y son funcióm del tiempo debido
a que el elemento dl
r
 cambia de tamaño y su dirección. Además, la rapidez de cambio dxi es la
diferencia de velocidad en los extremos de dl
r
en esa dirección. Por esto
D dx
Dt
dui i
( )
= (4.2.3)
La ecuación de movimiento para este fluido es
Du
Dt x
G
x
i
i i
= − +1
ρ
∂ρ
∂
∂
∂
 (4.2.4)
57
sustituyendo (4.2.3) y (4.2.4) en (4.2.2), se tiene
D
Dt
p
x
dx
G
x
dx u dx
dp
dG d u u
i
i
i
i i i
C
i
i i
C
Γ = − + +






= − + +






∫
∫
1
1
2
ρ
∂
∂
∂
∂
ρ
 ( )
donde dp y dG representan la variación espacial de p y G respectivamente. La integral sobre una
trayectoria cerrada dφ =∫ 0, donde φ es cualquier cantidad escalar. Por lo que
D
Dt
dp
C
Γ = −∫ ρ (4.2.5)
Caso a) Flujo incompresible
Si la densidad ρ es constante, (4.2.5) se reduce a
D
Dt
dp
C
Γ = − ∫1ρ
Y por la razón antes expuesta
D
Dt
Γ
= 0
Caso b) Flujo barotrópico
Para un flujo barotrópico p es una función explícita de ρ.
P=P(ρ)
Entonces (4.2.5) se escribe
[ ]D
Dt
p
d d p
C C
Γ = − = −∫ ∫( ) (ln )ρρ ρ ρ
Por la misma razón
D
Dt
Γ
= 0
Entonces, el teorema de Kelvin establece que para un fluido incompresible o barotrópico;
además no viscoso y con campo de fuerzas conservativo, la circulación alrededor de una curva
material no varía con el tiempo, aunque ésta cambie su forma.
58
4.3 Ecuación de vorticidad
Para un fluido incompresible, en un campo de fuerzas conservativo, las ecuaciones de
Navier-Stokes toman la forma
ρ ∂
∂
ρ µ
r
r r rU
t
U U P U+ ⋅ ∇ = −∇ + ∇( ) 2 (4.3.1)
Usando la identidad de la sección A.4 del apéndice A, la ecuación se escribe
ρ ∂
∂
ρ ρ µ
r r
r r rU
t
U
U U P U+ ∇ − × ∇ × = −∇ + ∇
2
2
2
( )
Tomando el rotacional de esta ecuación y empleando la definición de vorticidad
ρ ∂ω
∂
ρ ω µ ω
r r r
 t
U− ∇ × × = ∇( ) 2 (4.3.2)
donde se considera que los operadores diferenciales son intercambiables y que el
rotacional de un gradiente es cero. De la identidad de la sección A.4 del apéndice A.
∇ × × = ∇ ⋅ − ∇ ⋅ − ⋅ ∇ + ⋅ ∇( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r r r r r r r r r r
U U U U Uω ω ω ω ω
 = − ⋅ ∇ + ⋅ ∇( ) ( )
r r r r
U Uω ω
Por la condición de incompresibilidad y que el vector 
r
w es solenoidal. la ecuación
(4.3.2) toma entonces la forma
ρ ω ρ ∂ω
∂
ρ ω ρ ω µ ωD
Dt t
U U
r r r r r r r
= + ⋅ ∇ = ⋅ ∇ + ∇( ) ( ) 2 (4.3.3)
Esta ecuación de vorticidad establece que la rapidez de cambio de la vorticidad de un elemento
de fluido depende del gradiente de velocidad y de su difusión por efectos viscosos.
4.4 Ecuación de Bernoulli.
Considérese un fluido no viscoso y fuerzas de cuerpo conservativas. Bajo estas
consideraciones, en casos específicos las ecuaciones de cantidad tienen una integral sencilla para
un instante de tiempo dado. A esta integral se le llama ecuación de Bernoulli. Las ecuaciones de
Euler (3.4.13) toman la forma
∂
∂
ω
ρ
 
 
r r
r rU
t
U
U p G+ ∇








− × = − ∇ + ∇
2
2
1
 (4.4.1)
Tomando el producto escalar del termino de presión con elemento arbitrario dr
r
 y usando la
relación
59
dr dx
x
dy
y
dz
z
d⋅ ∇ = + + =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 (4.4.2)
de donde d es un operador diferencial en espacio, se tiene
dr P
dP
d
dP
⋅ ∇ = = ∫1ρ ρ ρ (4.4.3)
donde la integral se hace en el espacio para un instante dado. Usando (4.4.2) nuevamente.
dr P dr
dPr r⋅ ∇ = ⋅ ∇





∫1ρ ρ
Como dr
r
 es arbitrario
⋅ ∇ = ∇∫1ρ ρp
dp
 (4.4.4)
sustituyendo en (4.4.1)
∂
∂ ρ
ω
r r
r rU
t
dp U
G U+ ∇ + −








= ×∫
2
2
 (4.4.5)
La integración espacial de esta ecuación es fácil para los siguientes casos.
Flujo permanente. La ecuación (4.4.5) se reduce a
∇ + −








= ×∫ dp
U
G U
ρ
ω
r
r r
2
2
 (4.4.6)
El producto escalar de 
r
U con esta ecuación es
r
r
U
dp U
G⋅ ∇ + −








=∫ ρ
2
2
0
donde el vector 
r r
U × ω es un vector normal a 
r r r r
U U U y ⋅ ⋅ =ω 0 . La ecuación anterior
representa la derivada material para flujo permanente, o sea
D
Dt
dp U
G
ρ
+ −








=∫
r 2
2
0 (4.4.7)
Esto implica que la cantidad entre paréntesis es constante siguiendo la trayectoria de una
partícula o bien
60
dP U
G B
ρ
+ − =∫
r 2
2
 (4.4.8)
a lo largo de una línea de flujo.
Flujo irrotacional. En este caso el vector vorticidad es cero
r r
ω = ∇ × =U 0
Usando la identidad del apéndice A- 4
∇×∇φ = 0
se ve que el vector velocidad puede expresarse en términos de un escalar φ llamado
potencial de velocidad.r
U = ∇φ (4.4.9)
(cualquier múltiplo de φ satisface la identidad por lo que en ocasiones aparece 
r
U = −∇φ ).
La ecuación (4.4.5) toma la forma
∇ + +
∇
− =∫( )∂φ∂ ρ
φ
 t
dP
G
2
2
0 (4.4.10)
Esto implica que la cantidad entre paréntesis es constante en el espacio pero puede variar
con el tiempo o sea
∂
∂ ρ
U
t
dP
G B t+ +
∇φ
− =∫
2
2
( ) (4.4.11)
Para incluir B(t) en el lado izquierdo se define
φ φ’ ( )= − ∫B t dt
de donde
∂φ
∂
∂φ
∂
’
( )
t t
B t= −
Y la ecuación (4.4.11) toma la forma
∂φ
∂ ρ
’
t
dP
G+ +
∇φ
− =∫
2
2
0 (4.4.12)
para todo el espacio.
De la relación ∇φ′=∇φ se ve que la relación (4.4.9) no se altera.
61
En general la ecuación de Bernoulli no es una ecuación de energía. Es la integral
(parcial,en un instante dado) de la ecuación de momentum. Sin embargo para flujos permanentes
e isoentrópicos es idéntica ala ecuación de energía.
4.5 Ecuación de Crocco.
Esta ecuación relaciona la vorticidad de un flujo con la entropia del fluido. Considerando
un flujo permanente, no viscoso, sin fuerzas de cuerpo, las ecuaciones de Euler se pueden
escribir
∇ − × = − ∇( )
r
r rU
U p
2
2
1ω
ρ
 (4.5.1)
La identidad del apéndice C.3 es
Tds=dh-1/ρdP
Usando la relación (4.4.2) donde φ es ahora una diferencial total porque se trata de un
flujo permanente, la identidad se escribe
dr T s dr h p
r r⋅ ∇ = ⋅ ∇ − ∇( ) ( )1 ρ
Por la arbitrariedaddel vector dr
r
 se tiene
T∇=∇h-1/ρ∇P (4.5.2)
Sustituyendo esta relación en (4.5.1) obtenemos la ecuación de Crocco
∇ + = ∇ + ×( )h
U
T s U
r
r r
2
2
ω (4.5.3)
Flujo isoentrópico. La ecuación de energía (3.4.15) para este caso se reduce a
ρ D
Dt
e U= −∇ ⋅
r
 (4.5.4)
De la definición de entalpía
h= e+p/ρ
Dh
Dt
De
Dt
p
dp dp= − +
ρ ρ2
1
Sustituyendo en (4.5.4)
62
ρ
ρ
ρ ρDh
Dt
Dp
Dt
p D
Dt
U= − + ∇ ⋅



r
Por continuidad (ecuación 3.1.5)
 ρ
Dh
Dt
DP
Dt
= (4.5.5)
Tomando el producto escalar con la ecuación de Euler
ρ DU
Dt
p
r
= −∇
se tiene
ρ D
Dt
U U p
1
2
2r r



= − ⋅ ∇ (4.5.6)
La suma de (4.5.5) y (4.5.6) es
ρ D
Dt
h
U Dp
Dt
U p( )+ = − ⋅ ∇
r
r
2
2
 = 0 (para flujo permanente)
 (4.5.7)
La cantidad
h h
U
0
2
2
= +
r
 (4.5.8)
se llama entalpía de estancamiento y es constante a lo largo de una línea de flujo.
Dh
Dt
0 0=
h0 puede tener valores diferentes para cada línea de flujo
La ecuación de Crocco (4.5.3) se escribe
∇ = ∇ + ×h T s U0
r r
ω
El gradiente de h0 solo tiene componentes perpendiculares a las líneas de flujo, tambiénr r
U × ω . Esto implica que la entropía varía en las direcciones normales a la línea de flujo.
63
Si 
) ) )t ,n y b representan los vectores unitarios en la dirección tangente, normal y binormal
a la línea de flujo como se muestra en la figura.
n
t
b
figura 4.5.1 Línea de flujo
la ecuación (4.5.9) tiene componentes
0 0
0
0
=
= −
= −
∂
∂
∂
∂
ω
∂
∂
∂
∂
ω
h
n
T
s
n
U
h
b
T
s
b
U
b
n
r
r
 (4.5.10)
respectivamente.
Si la entropía y la entalpía son constantes en todo el espacio el flujo es irrotacional.
64
CAPITULO 5. ESTÁTICA DE FLUIDOS
5.1 Presión hidrostática 63
5.2 Fluidos con autogravitacion 65
5.3 Fuerzas sobre superficies sumergidas 67
5.4 Flotación 69
5.5 Tensión superficial 73
5.6 Equilibrio con aceleración uniforme 78
65
.
ESTÁTICA DE FLUIDOS
En este capítulo se estudiará el comportamiento de los fluidos en reposo (hidrostática)
5.1 Presión hidrostática.
Para un fluido en reposo y considerando un sistema de coordenadas fijo al fluido, la
velocidad U del fluido es cero. En este caso la ecuación de continuidad (3.1.3), las ecuaciones de
conservación de momentum (3.5.1) y la de conservación de energía (3.5.3) se reducen a
(5.1.3) ).(
(5.1.2) 
(5.1.1) 0
Tk
t
e
fp
t
∇∇=
=∇
=
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
r
La primera ecuación denota que la densidad no varía con el tiempo, la segunda, que el
cambio de presión es a causa de las fuerzas de cuerpo y la tercera, que la rapidez del cambio de
energía interna es a causa de la transmisión de calor por conducción. La ecuación (5.1.2) es la
única que involucra presión. Para determinar la distribución de presión hidrostática se necesita la
solución de ésta.
Campo gravitacional unidimensional.
Si la fuerza de cuerpo esr
f gk= − $ (5.1.4)
donde $k es un vector unitario y sustituyendo en (5.1.2) se tiene
 siendo la presión constante en las otras direcciones.
Si se conoce la variación de la densidad se puede integrar la ecuación. Algunos ejemplos
son:
a) densidad y gravedad constantes. La integral es
p=- ρgz +p0
donde p0 es la presión en z = 0.
b) atmósfera isotérmica de gas perfecto. En este caso
p= ρRT0
donde RT0 es constante. Sustituyendo en (5.1.5)
pg
dz
dp −= )5.1.5(
dz
RT
g
p
dp
0
−=
66
cuya integral para gravedad constante es
La distribución de densidad es entonces
z
RTo
g
e
RT
p −=
0
0ρ
c) atmósfera politrópica de gas perfecto. En este caso
p= kρn
y
p= ρRT
donde k y n son constantes.
De (5.1.5) se obtiene
dp
p
gdz
k
p p
n
n p
gz
k
p
k
n
n p
gz
k
T
p
R
k
p
n
n p
gz
k
n n
n
n n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n n
1 1
0
0
1 1
1
0
1
0
1 1
1
1
0
0
1
0
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
= −
= −
−







=





 −
−







=





 −
−







−
−
−
−
−
Integrando
entonces la densidad es
y la temperatura
ρ
Campo gravitacional con simetría esférica
Considerando una atmósfera alrededor de un planeta de radio Rp y masa Mp, la
aceleración de gravedad a una distancia r del centro del planeta es
z
RT
g
epp 00
−
=
2r
GMp
g = Para r > RP
67
donde G es la constante gravitacional.
La ecuación (5.1.2) en coordenadas esféricas se simplifica para este caso
Si se considera una atmósfera isotérmica de gas perfecto la ecuación anterior toma la
forma










−−=
−=
rRpRTo
GMp
pp
ndoInte
r
dr
RTo
GMp
p
dp
11
exp
gra
0
2
donde po es la presión en r = Rp.
5.2 Fluidos con autogravitación
Considérese un fluido con simetría esférica y densidad ρ(r). Para la fuerza sobre un
elemento de fluido a una distancia r1, del origen, se establece que:
i) no depende de la masa del fluido para r > r1
ii) toda la masa para r < r1 se puede considerar concentrada en el origen
Con estas consideraciones, la fuerza por unidad de masa del fluido debida a la gravitación
del mismo fluido es
f r
G
r
r r dr
r
( ) ( )= ∫4 2 1 12 1
0
π
ρ (5.2.1)
actuando hacia el origen.
Sustituyendo en la ecuación (5.1.2) en coordenadas esféricas, la componente radial es
dp
dr
r
G
r
r r dr
r
= − ∫ρ π ρ( ) ( )4 2 1 12 10 (5.2.2)
Derivando con respecto a r y reordenando
d p
dr
dp
dr
dp
dr r
dp
dr
G
2
2
21 2 4 0− + + =
ρ
π ρ (5.2.3)
Esta es una ecuación no lineal de segundo orden con dos incógnitas, p y ρ. Para resolverla
se necesita una relación entre P y ρ. Un caso especial es la relación politrópica
p=kρn
Sustituyendo en la ecuación diferencial (5.2.3) se obtiene
2r
GMp
dr
dp ρ−=
68
0
421 2
2
2
2
2
=++



− n
n
p
k
G
dr
dp
rdr
dp
nPdr
pd π
 (5.2.4)
Las condiciones de frontera apropiadas son:
i) 0
0
=



=rdr
dp
por la simetría de la presión con respecto al origen
ii) p(0) es finita
Para algunos valores de n existen soluciones en forma cerrada. Por ejemplo, para n=1.2
0
42
6
5 3
5
3
5
2
2
2
=++



− p
k
G
dr
dp
rdr
dp
Pdr
pd π
la solución es
3
2
3/5
3
2
0
0
9
2
1
















−
=
r
k
Gp
p
p
π
donde p0 es la presión en el origen. La solución puede verificarse por sustitución. Para la
densidad se tiene
2/5
2
5/4
0
0
9
2
1












−
=
r
k
Gρπ
ρρ
donde ρ0=(P0/k)5/6
La masa total es
69
2
0
2
3
0
2/3
0
2
2
18
 
)(4
ρπ
ρπ
p
G
drrrM
=
= ∫
∞
 Considerando un gas perfecto la distribución de temperatura es
2/1
2
3/5
3/2
0
0
9
2
1












−
=
r
k
Gp
T
T
π
5.3 Fuerzas sobre superficiessumergidas.
La fuerza que ejerce la presión sobre un elemento de superficie es perpendicular a este. Si dA es el
elemento de la superficie A y n un vector unitario normal a la superficie dirigido hacia afuera, la fuerza sobre
este elemento es
de donde, la fuerza total sobre la superficie es
 
∫
∫
−=
−=
A
ii
A
dApnF
dAnpF
sonfuerzaséstasdescomponenteLas
ˆ
 (5.3.2)
donde n1, n2, n3 son los cosenos directores
Fuerzas sobre superficies planas.
dA
Ø
dA
)1.3.5(
y
xdA
Superficie libre 0
Figura 5.3.1
dAnpFd ˆ−=
rr
dA
h
70
La figura muestra una superficie plana sumergida en un fluido de densidad constante. La presión
sobre el elemento de área dA es
dF = pdA
Si se considera la presión en la superficie libre como cero, la presión a una profundidad h
es
p= ρgh
En términos de y
p=ρgysenθ
y la fuerza sobre el área sumergida es
 sen ∫=
A
ydAgF θρ (5.3.3)
Las coordenadas del centroide son
x
xdA
A
y
ydA
A
c
A
c
A
=
=
∫
∫
entonces, la fuerza total toma la forma
F= ρgsenθ ycA= pcA
donde pc es la presión en el centroide.
El centro de presión es el punto (x´,y´) donde la fuerza total F causa un momento
equivalente al de la distribución de fuerzas hidrostáticas. Tomando momentos con respecto al
origen 0 (figura 5.3.1)
71
Fy g y dA
Fx g xy dA
Ixx y dA
Ixy xydA
se tiene
x
Ixy
y A
y
Ixx
y A
A
A
A
A
c
c
′ =
′ =
=
=
′ =
′ =
∫
∫
∫
∫
ρ θ
ρ θ
sen
sen
2
2
 (5.3.4)
 (5.3.5)
 Usando las definiciones de momento de inercia Ixx y producto de inercia Ixy
 
 (5.3.6)
 (5.3.7)
Si se trabaja con coordenadas ξ, η que pasan por el centroide del área y paralelas a x, y,
el momento y el producto de inercia en estas nuevas coordenadas son
Iξξ=Ixx-Ayc
2
Iξη=Ixy-Ax cyc
de
donde
(5.3.9) 
(5.3.8) 
Ay
I
yy
Ay
I
xx
c
c
c
c
ξξ
ξη
+=′
+=′
 Se puede observar que el centro de presiones siempre es más profundo que el centroide.
5.4 Flotación
Leyes de flotación.
Cuando un cuerpo se encuentra sumergido en un fluido experimenta una fuerza llamada
de flotación. Considérese el cuerpo de la figura 5.4.1 en un campo vertical de gravedad y en un
fluido de densidad constante.
PidA
z
y
PsdA
Superficie Libre
g
x
72
figura 5.4.1
Si las presiones en las superficies superior e inferior son ps y pi, la fuerza total sobre un
prisma de sección dA como el mostrado en la figura 5.4.1 es
dF=(pi-ps)dA
con dirección ascendente. Si hs y hi son las distancias desde la superficie libre hasta un punto
sobre las superficies superior e inferior del cuerpo respectivamente,
dF= ρg(hi-hs)dA
La fuerza de flotación total es
F g h h d A g Vi s= − =∫ρ ρ( ) (5 .4 .1 )
donde V es el volumen del cuerpo, ρgV representa el peso del fluido desplazado por el cuerpo.
Este es el principio de Arquímedes.
El momento causado por la presión hidrostática es equivalente al momento de la fuerza
total de flotación actuando sobre el centro de flotación
(5.4.3) 
(5.4.2) 
)(
V
ydV
V
xdV
x
xdVgdAhhxgFx si
∫
∫
∫ ∫
=′
=−=′ ρρ
De aquí se concluye que la fuerza de flotación pasa por el centroide del volumen
desplazado por el cuerpo.
Estabilidad.
Se dice que un cuerpo está en equilibrio estable si ante cualquier desplazamiento pequeño
aparecen fuerzas que tienden a restablecer la posición inicial.
En el caso de un cuerpo completamente sumergido en un fluido es condición necesaria y
suficiente para que el equilibrio sea estable, que el centro de gravedad del cuerpo esté por debajo
del centro de flotación. Por ejemplo, el caso de un globo como el que se muestra en la figura
5.4.2 es estable.
De manera similar
73
F F
P
P
(a) (b)
centro de
gravedad
figura 5.4.2
5.4.2.(a) muestra la posición en equilibrio estable y 5.4.2(b) la posición desplazada en la
cual se observa que la fuerza de flotación F y el peso P causan un momento de restauración.
Para cuerpos parcialmente sumergidos, el centro de flotación se mueve con el
desplazamiento angular del cuerpo. El peso P y la fuerza de flotación F producen un momento, y
la dirección de este momento determina si este cuerpo es estable. Por ejemplo, en la figura 5.4.3
(b) el movimiento del centro de flotación es lo suficientemente grande como para causar un
momento de restauración. En este caso el cuerpo está en equilibrio estable. En la figura 5.4.4 (b)
se muestra otro cuerpo en el cual para el mismo desplazamiento angular, el movimiento del
centro de flotación no presenta un momento de restauración, sino un momento que tiende a
continuar el desplazamiento. Este cuerpo está en equilibrio inestable.
(a) (b) (a) (b)
 Figura 5.4.3 Figura 5.4.4
P
P
PP
FFF
F
Para predecir la estabilidad del equilibrio de un cuerpo en flotación se hace el siguiente análisis cuantitativo. El
cuerpo de la figura 5.4.5 esta en una posición desplazada un ángulo δθ
M
C
x x
74
.
figura 5.4.5
El centro de flotación para la posición de equilibrio es C, y para la nueva posición del cuerpo es C´. El
centro de gravedad del cuerpo es G. Al girar el cuerpo , la cantidad de líquido desplazada ADE es la misma que se
abandona ABC. Virtualmente se puede considerar que existe una fuerza ascendente en la sección ADE, ∫F debido al
líquido adicional desplazado. De la misma manera en la sección ABC existe una fuerza descendente ∫F. Estas
fuerzas forman un par T. La fuerza de flotación F en C, es equivalente a la fuerza F en C´y el par T. Por lo que el
movimiento del centro de flotación ∫L se calcula tomando momentos con respecto a C
 donde la fuerza F es igual al peso P del cuerpo debido al equilibrio estático. De la figura
Se observa que si el punto M está por encima de G, el momento causado por la fuerza de
flotación F y el peso P es un momento restaurador y el equilibrio del cuerpo flotando es estable.
A la distancia se le llama altura metacéntrica y es la base para este criterio de estabilidad.
Cuando existe estabilidad
MC’ > GC’
Para determinar la altura metacéntrica, se calculará primero el par T.
Se escogen dos volúmenes dV correspondientes, en las secciones ABC y ADE. Estos
volúmenes se encuentran a una distancia x del punto A y son de sección horizontal dA. Por lo
que
dV= x senδθ dA
Cada volumen dV tiene una fuerza asociada dF :
dF= ρgxsenδθdA
G
B
E
D δθdF
dFdv
dv
P
A
F
T
L =δ
(5.4.5)
(5.4.6)
δθ
δ
sen
L
CM =′
rr
(5.4.4)
δl
C
F
F
C’
G
75
El par debido a estas fuerzas es
dT=2ρgx2 senδθdA
Integrando
T g x dA
L
= ∫2 2
0
ρ δθsen
donde L= AC=AE. Considerando el momento de inercia I de la sección horizontal del cuerpo, al
nivel de la superficie libre,
Por lo que
Sustituyendo (5.4.7) en (5.4.4) y usando F=P
La que para ángulos pequeños se reduce a
(5.4.10)CG
P
gI
=CG-CM=GM
(5.4.9)
P
rgI
CM
rrrrrrrr
rr
′−′′
=′
ρ
Sutituyendo (5.4.8) en (5.4.5)
∫=
L
dAxI
0
22 (5.4.7)
IgsenT δθρ=
P
Igsen
L
δθρδ =
δθ
δθρ sen
P
gI
CM =′
rr
76
Los valores positivos de MG en esta relación implican que M estará por encima de G, y el cuerpo estará en
equilibrio estable. Si MG es cero coinciden los puntos G y M y la estabilidad del equilibrio del cuerpo es
indiferente. Si el valor de MG en la relación (5.4.10) es negativo, G está por encima de M y el equilibrio es
inestable.
Se debe recordar que esteanálisis es para ángulos de giro δθ muy pequeños y sin considerar otras
fuerzas, como la del viento, etc., que puedan modificar la estabilidad del cuerpo.
5.5 Tensión superficial.
En las interfases entre dos medios inmisibles como entre aire y agua, agua y aceite, agua y
vidrio, etc., existen fuerzas de tensión. Para dos medios 1 y 2 la fuerza de tensión superficial por
unidad de longitud es σ12 . Este fenómeno ocurre en situaciones estáticas o dinámicas .
Contacto entre tres medios. Considérese tres medios en contacto como se muestra en la figura
5.5.1, con la tangente a la línea de contacto entre los tres medios normal al plano del dibujo. En
la figura también se muestran las fuerzas sobre un elemento de la línea de contacto. Si esta línea
está en equilibrio estático, las fuerzas forman un triángulo como en la figura 5.5.2 Si las fuerzas
no están en equilibrio, la fuerza resultante tratará de mover la línea de contacto.
σ23
σ12
σ23
σ13σ 12
σ13
1
2
3
Figura 5.5.1 Figura 5.5.2
Si uno de los medios es un cuerpo sólido dos de esas fuerzas están alineadas, como se
muestra en la figura 5.5.3
∝ σ23
σ13
Gas o líquido
Líquido
Sólido
σ121
2
3
77
figura 5.5.3
En equilibrio, las componentes horizontales de las fuerzas son
σ12cosα= σ23 - σ13 (5.5.1)
Si el medio 2 es un gas y además σ23-σ13<0, entonces α > π/2 y se dice que este líquido
no moja al sólido. Por ejemplo, para mercurio y vidrio en aire
figura 5.5.4
Pero si σ23-σ13 >0 entonces α < π/2 y se dice que el líquido moja al sólido. Por ejemplo
agua y vidrio en aire
vidrio
aire
agua
α
figura 5.5.5
Si σ23-σ13>σ12 no existe forma estable.
En la figura 5.5.3 en ausencia de otra fuerzas no hay equilibrio en la dirección vertical.
Pero se observa que en muchos casos sí existe tal equilibrio. Esto implica que existe una
distribución de presión estática que se debe tomar en cuenta en el balance de fuerzas.
Tubos capilares. Cuando un tubo de vidrio se introduce en agua se observa que ésta sube. Este
fenómeno se llama capilaridad y ocurre también entre placas de vidrio con una separación muy
pequeña. Pero si se introduce el mismo tubo en mercurio, la superficie baja, debido también al
efecto de tensión superficial.
El efecto de capilaridad se estudia considerando el equilibrio en la columna de líquido
elevada. En la figura 5.5.6 H representa la altura de la columna y α el ángulo de contacto entre el
líquido y el tubo. El peso de esta columna menos su fuerza debida al gas desplazado, está en
equilibrio con la componente vertical de la tensión superficial.
gas
Ltquido
 α
H
figura 5.5.6
∝ Aire
Vidrio
∝
Mercurio
78
(ρL-ρg)gπR2H=2πRσcosα
donde ρL y ρg son las densidades del líquido y del gas respectivamente, R es el radio del tubo y σ
el coeficiente de tensión superficial entre el tubo y el líquido. Si ρL>>ρg
Para α > π/2 (por ejemplo el caso de mercurio en un tubo de vidrio) H es negativa.
Interfase. En la interfase entre dos medios fluidos en general existe una diferencia de presiones
entre los fluidos para balancear las fuerzas de tensión superficial. Considérese un elemento de
superficie de la interfase en equilibrio como se muestra en la figura 5.5.7
figura 5.5.7
La diferencia de presiones causa una fuerza ∆pdl1dl2. Los ejes 1 y 2 se escogieron de tal
manera que los centros de curvatura 01 y 02 en los planos de cada eje sean colineales con el
centro 0. A estos ejes se les llama ejes principales.
σdl2
O2
d∝2
d∝1
21
σdl2 d∝1
 2
O1
O
D
gR
H
Lρ
ασ cos2= (5.5.2)
P1
P2
R1 R2
A
B
C
dι2 dι1
R1
01
R1d∝1
d∝1
 2
79
figura 5.5.8
Las componentes verticales de las fuerzas actuando sobre los lados AB y CD (figura
5.5.8) son
dF dl
d
dl d dl
dl
R2 2
1
2 1 2
1
1
2
2
=





 = =σ
α
σ α σsen
donde se ha considerado el ángulo dα1 muy pequeño.
De manera similar
dF1=σdl1dl2/R2
La suma de dF1 y dF2 se balancean con la fuerza debida a la presión para que exista
equilibrio. De donde
∆p=σ(1/R1 + 1/R2) (5.5.3)
R1 y R2 son los radios de curvatura en los planos de los ejes principales. Pero se puede mostrar
que para otro sistema de ejes ortogonales x,y en la interfase los nuevos radios de curvatura Rx y
Ry satisfacen la igualdad
por lo cual
Interfase bidimensional de pendiente pequeña. Si la interfase es bidimensional, uno de los radios
de curvatura es infinito, por lo que
∆p=σ/R
Si a la interfase le asignamos una función η(x) que la describa, entonces, el radio de
curvatura se puede escribir
( )[ ]
1
1
2 3 2R
x
x
=
′′
+ ′
η
η
( )
( )
/ (5.5.5)
21
1111
RRRR yx
+=+








+=∆
yx RR
p
11σ (5.5.4)
η(x)
dl1
80
Expandiendo la ecuación (5.5.5)
Para pendientes η´(x) muy pequeñas
Por ejemplo, se considera el caso de un líquido que presenta una superficie libre en un
recipiente grande como se muestra en la figura
ggas
líquido
y
x
η(x)
figura 5.5.10
en el líquido
donde ρ es la densidad del líquido. Integrando
p=p0-ρgy
donde p0 es la presión en y=0.
En la superficie y=η(x)
p(η)=p0-ρgη (5.5.7)
si la presión en el gas es p0
p0-p(η)=ση′′ (5.5.8)
x
( )x
R
η ′′=1
g
y
P ρ−=
∂
∂
Interfase
Figura 5.5.9
( ) ( )( ) ( )












−′




 +




+′−= ...)(
2
1
2
3
2
3
2
3
1
1 42 xxx
R
M ηηη (5.5.6)
81
donde se ha usado la aproximación de pendiente muy pequeña
Sustituyendo (5.5.7) en (5.5.8)
La solución de esta es
η(x)=Aekx+Be-kx (5.5.10)
donde k=(ρg/σ)½
aplicando las condiciones de frontera:
η′(x)=0 cuando x→∞
se tiene
5.6 Equilibrio con aceleración uniforme.
Si se tiene un fluido de densidad constante con aceleración, sin deformación, o sea como
un cuerpo rígido, el problema se puede resolver desde un punto de vista estático.
Sin deformación, no hay fuerzas viscosas y las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a
 
1
fP
tD
UD r
r
+∇−=
ρ
 (5.6.1)
Si 
r
U (x,y,z,t) describe el movimiento como un cuerpo rígido, entonces
),,,( tzyxa
Dt
UD r
r
= es la aceleración del mismo; (5.6.1) toma la forma
∇p=ρ[f-a] (5.6.2)
esta forma es muy similar (5.1.2), y significa que los métodos de hidrostática son aplicables a
este problema.
Por ejemplo, considérese un recipiente cilíndrico vertical, girando a una velocidad ω. El
recipiente tiene un líquido de densidad constante, el cual antes de girar tenia una profundidad h.
Se supone que ha transcurrido el tiempo suficiente para que todo el fluido gire como un sólido.
0=−
′′
σ
ηρη g (5.5.9)
( ) kxe
K
x −



 −



= απη
2
1
( )
2
0
παη −=′
82
Figura 5.6.1
(5.6.2) para este problema en coordenadas cilíndricas, es
La función p(r,z) es la solución de
dp=ρω2rdr - ρgdz
Para la superficie libre la presión es constante y z=η(r), entonces
0=ρω2rdr - ρgdη
o bien,
La solución de esta ecuación es
la constante C se evalúa considerando que el volumen girando es igual al volumen antes de girar
πR2h.
que da como resultado:
η(r)
z
g
ω=0
R
h
g
r
dr
d 2ωη =
( ) c
g
r
r +=
2
22ωη
r
r
p
g
z
p
2ρω
ρ
=
∂
∂
−=
∂
∂
dz
z
p
dr
r
p
dp
∂
∂+
∂
∂=
∫=
R
drrrhR
0
2 )(2 ηππ
ω=0
83
C h
R
g
= −
ω 2 2
4
la superficie libre,es entonces
)
2
(
2
)(
2
2
2 R
r
g
hr −+=
ωη
84
CAPITULO 6.FLUJOS POTENCIALES
 6.1 Conceptos y definiciones 82
 6.2 Flujos sencillos 86
 6.3 Flujos compuestos 89
 6.4 Flujos axisimetricos 98
 Problemas 102
85
 FLUJOS POTENCIALES.
6.1 Conceptos y definiciones.
Para un fluido no viscoso e incompresible, las ecuaciones de continuidad y conservación
de momentum son
∇ ⋅ =
+ ⋅ ∇ = − ∇ +
r
r
r r r
U
U U p f
0
1
 (6.1.1)
 U
 t
 (6.1.2)
∂
∂ ρ
( )
La condición de frontera de no resbalamiento no se puede cumplir debido a la falta de
viscosidad. Así sólo se considera la condición de que no existe flujo a través de las fronteras. Por
esto la frontera es una línea de corriente del flujo.
Si existe un flujo irrotacional el teorema de Kelvin garantiza que en este caso el flujo
seguirá siendo irrotacional. Bajo estas condiciones el vector ω de vorticidad será cero en todo el
espacio en todo tiempo:
r r
ω = ∇ × =U 0
Usando la identidad del apéndice A.4
∇ × ∇ =φ 0
implica que
U = ∇φ (6.1.3)
donde φ es un escalar llamado potencial de velocidad. Sustituyendo en (6.1.1), se tiene la
ecuación de Laplace:
∇2φ=0 (6.1.4)
 
La ecuación (6.1.2) tiene la integral
∂φ
∂ ρ
φ φ
t
P
G+ + ∇ ⋅ ∇ − =1
2
0 (6.1.5)
que es la ecuación de Bernoulli para todo el espacio.
86
Flujo bidimensional. Para flujo bidimensional (6.1.3) es, en coordenadas cartesianas
u
x
= ∂φ
∂
 (6.1.6)
v
y
= ∂φ
∂
y en coordenadas polares
u
rr
= ∂φ
∂
 (6.1.7)
u
rθ
∂φ
∂θ
= 1
La ecuación (6.1.4) toma la forma (cartesiana)
∂ φ
∂
∂ φ
∂
2
2
2
2
0
x y
+ = (6.1.8)
y en coordenadas cilíndricas
1 1
0
2
2
2r r
r
r r
∂
∂
∂φ
∂
∂ φ
∂θ




+ = (6.1.9)
La ecuación (6.1.1) en coordenadas cartesianas es
∂
∂
∂
∂
u
x
v
y
+ = 0 (6.1.10)
y en forma polar
( )∂
∂
∂
∂θ
θ
r
ru
u
r + = 0 (6.1.11)
Se observa que si se define un escalar ψ, tal que
u
y
=
∂ψ
∂
 (6.1.12)
v
x
= −
∂ψ
∂
la ecuación (6.1.10) se satisface íntegramente.
87
En coordenadas polares la definición de ψ es
u
rr
= 1
∂ψ
∂θ
 (6.1.13)
u
rθ
∂ψ
∂
= −
que también satisface la ecuación (6.1.11).
A la función ψ(x, y), o ψ(r, θ), se le llama la función de corriente (satisface continuidad
para flujo bidimensional, aun para flujo rotacional).
Se puede verificar las siguientes propiedades de φ y ψ :
a) En general
d
x
dx
y
dy
vdx udy
ψ ∂ψ
∂
∂ψ
∂
= 



+






= − + 
 (6.1.14)
En las líneas de ψ=cte., dψ=0 y dx/u=dy/v que es la ecuación de una línea de corriente. O sea
que para una línea de corriente, ψ =cte.
 b)
B
A
ψ=ψ1
ψ=ψ2 dy
dx
Figura 6.1.1
La línea AB es una línea arbitraria entre dos líneas de corriente. Considerando un
elemento diferencial de esta línea de componentes dx y dy, el gasto por el lado dx es vdx en
sentido ascendente, y por el lado dy es udy hacia la derecha, todo por espesor unitario. El gasto
total a través de la línea AB es
88
Q udy vdx
A
B
A
B
= −
= −
∫∫
∫
De (6.1.14)
Q = d (6.1.15)
A
B
ψ ψ ψ2 1
O sea , el gasto por espesor unitario entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia de los
valores ψ .
c) También
d
x
dx
y
dy udx vdyφ ∂φ
∂
∂φ
∂
= + = − +
y para una línea φ = cte, dφ = 0 , y
dy
dx
u
v




= −
φ
Pero de (6.1.4) las líneas de ψ=cte tienen la pendiente:
dy
dx
u
v




=
ψ
 y
dy
dx
dy
dx








= −
φ ψ
1
lo que indica que las líneas φ=cte (equipotenciales) son ortogonales a las líneas de ψ=cte (líneas
de corriente).
d) De (6.1.6) y (6.1.12) en coordenadas cartesianas:
∂φ
∂
∂ψ
∂x y
=
 (6.1.16)
∂φ
∂
∂ψ
∂y x
= −
89
Estas relaciones entre φ y ψ son las condiciones de Cauchy-Riemann. En coordenadas
cilíndricas estas condiciones son
∂φ
∂
∂ψ
∂φr r
= 1
 (6.1.17)
1
r r
∂φ
∂θ
∂ψ
∂
= −
e) La condición de irrotacionalidad para flujos bidimensionales es
∂
∂
∂
∂
v
x
u
y
− = 0 (6.1.18)
Sustituyendo las ecuaciones (6.1.12) se tiene
∂ ψ
∂
∂ ψ
∂
2
2
2
2
0
x y
+ = (6.1.19)
Esto indica que la función de corriente también es una función armónica (como φ ).
6.2 Flujos sencillos.
Es posible proponer potenciales de velocidad o funciones de corriente que satisfagan la
ecuación de Laplace. Algunos de los flujos mas útiles se discutirán a continuación.
Flujo uniforme.
Si
ψ α α= − +U x y0 ( sen cos ) (6.2.1)
las líneas de ψ constante son líneas rectas paralelas e inclinadas un ángulo α con respecto al eje
x.
90
ψ=cte.
φ=cte
α
x
y
Figura 6.2.1
Si se sustituye ψ en la ecuación en (6.1.19) se observa que la satisface. El campo de
velocidad se obtiene de (6.1.12) y es
u = Uo cosα
v = Uo senα (6.2.2)
Este es un flujo uniforme de magnitud Uo. De las ecuaciones (6.1.16)
∂φ/∂x = Uo cosα
∂φ/∂y = Uo senα
Integrando la primera ecuación
φ = Uo x cosα + f(y)
donde f(y) es una función arbitraria de y. Diferenciando con respecto a y e igualando con la
segunda ecuación
f´(y) = Uo senα
De donde
f(y)=Uoysenα+ C
donde C es una constante arbitraria por lo que
φ=Uoxcosα + Uoysenα + C
Por conveniencia se toma C=0.
φ=Uoxcosα + Uoysenα (6.2.3)
Fuente y sumidero
Considérese la función armónica: ψ=Cθ
donde C es una constante. Las líneas de corriente son rectas radiales.
91
Figura 6.2.2
El campo de velocidad se obtiene de las ecuaciones (6.1.13)
u
C
rr
=
uθ = 0 (6.2.4)
Este es un flujo radialmente saliente para C>0. A este flujo se le llama una fuente. Si C<0
el flujo es radialmente entrante y a este flujo se le llama sumidero.
Se observa que en ambos casos en el origen la velocidad ur es infinita. Este punto se llama punto
de singularidad. Estas singularidades no pueden ocurrir en flujos reales por que la velocidad tiene
que ser finita.
De las ecuaciones (6.1.17)
∂φ
∂
∂φ
∂
r
C
r
r
=
= 0
por lo que
φ = C rln (6.2.5)
Vórtice libre. Si se considera la función armónica
ψ = k rln (6.2.6)
donde k es una constante. Las líneas de corriente son círculos concéntricos
De las ecuaciones (6.1.13)
u
u
k
r
r =
= −
0
θ
92
Este flujo representa un vórtice, donde k>0 indica flujo en el sentido del reloj. Se observa
que en este caso también el origen es un punto de singularidad. De las ecuaciones (6.1.17)
∂φ
∂∂φ
∂θ
θ θ
r
k
k
=
= −
= −
0
 de donde
 (6.2.8)
Flujo en una esquina. Considérese la función armónica
ψ θ= U r nn0 sen( ) (6.2.9)
donde Uo y n son constantes. La línea de corriente ψ=0 es la línea formada por θ=0 y θ=π/n. En
flujos potenciales cualquier línea de corriente puede representar una frontera, este flujo
representa el flujo en la esquina formada por la línea ψ=0.
Figura 6.2.4
De las ecuaciones (6.1.13)
u U r n nr
n= −0
1 cos θ
 (6.2.10)
u U r n nnθ θ= −
−
0
1 sen
De las ecuaciones (6.1.17)
∂φ
∂
θ
∂φ
∂θ
θ
r
U r n n
U r n n
n
n
=
=
−
0
1
0
cos
sen
Por lo que
93
φ θ= U r nn0 cos (6.2.11)
En la figura 6.2.4 se muestra el flujo interno a una esquina, aunque tanto ψ como φ son
validas también en la región externa, que es el flujo exterior a la esquina.
6.3 Flujos compuestos.
ψ y φ satisfacen la ecuación de Laplace. Esta ecuación es lineal, por lo que la
combinación lineal de varias soluciones de ψ o de φ es también una solución. A continuación se
trataran de algunos flujos útiles que se obtienen por la combinación de los flujos ya discutidos.
Doblete. Considérese un sumidero en el punto (x,y)= (a,0) y una fuente de igual magnitud en
(-a, 0).
 r2
 r r1
 X
(-a,0)
fuente
(a, 0)
sumidero
P(x, y)y
Figura 6.3.1
El valor de φ en el punto P es la suma de φ debido al sumidero y φ debido a la fuente.
Usando la constante C para la fuente y -C para el sumidero.
φ = −C r r(ln ln )2 1
pero
r r a ra
r r a ra
1
2 2 2
2
2 2 2
2
2
= + −
= + +
cos
cos
θ
θ
entonces
[ ]φ θ θ
θ θ
θ θ
= + + − + −
= + +
+










− + −
+
















= +
+




− −
+








C
r a ra r a ra
C
r a
ra
r a
r a
ra
r a
C ra
r a
ra
r a
2
2 2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
ln( cos ) ln( cos )
ln ( )
cos
ln ( )
cos
ln
cos
ln
cos
 
 
Usando la expansión
94
ln( ) ...1
2 3 4
2 3 4
+ = − + − +x x x x x
para x≤1
Cuando a → 0
ln
cos cos cos cos
...
ln
cos cos cos cos
...
1
2 2 1
2
2 1
3
2
1
2 2 1
2
2 1
3
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
3
2 2 2 2 2 2
2
2 2
3
+
+




=
+
−
+




+
+




−
−
+




= −
+
−
+




−
+




−
ra
r a
ra
r a
ra
r a
ra
r a
ra
r a
ra
r a
ra
r a
ra
r a
θ θ θ θ
θ θ θ θ
entonces
φ θ θ=
+
+
+




+








C
ra
r a
ra
r a
2 1
3
2
2 2 2 2
3
cos cos
...
Si se fija el valor de C cuando a → 0, entonces φ=0 en el limite. En este caso la fuente y el
sumidero se anulan y no existe flujo, pero si se varia C de tal forma que
aC= ½ µ (constante)
cuando a→0, entonces en el limite.
φ θ= u
r
cos
 (6.3.1)
El campo de velocidad es
u
u
rr
= − cosθ
2
 (6.3.2)
u
u
rθ
θ= − sen
2
el cual tiene singularidad en r=0.
De las ecuaciones (6.1.17)
∂ψ
∂θ
θ
∂ψ
∂
θ
= −
=
u
r
r
u
r
cos
sen
2
 y
ψ θ= − u
r
sen
 (6.3.3)
En coordenadas cartesianas donde
95
 
r y
r x
r x y
sen
cos
θ
θ
=
=
= +2 2 2
(6.3.3) tiene la forma
ψ = −
+
uy
x y2 2
La línea de corriente ψ=ψ1 (constante) es
x y
u
y2 2
1
0+ + =
ψ
Esta línea es una circunferencia con centro en el eje y.
 Y
 Figura 6.3.2
Flujo alrededor de un cilindro sin circulación. Considérese un flujo uniforme (α=0) y un doblete
en el origen. Este flujo compuesto tiene
φ θ= +U x u
r0
cos
(6.3.4)
ψ θ= −U y u
r0
sen
que se obtienen de (6.2.1), (6.2.3), (6.3.1) y 96.3.3).
La línea de corriente para ψ=0 esta dada por
U y
u
r
U r
u
r
0
0
0
0
− =
−



=
sen
sen
θ
θ
y en forma polar
La solución de esta ecuación son las líneas θ=0 y θ=π y el circulo de radio (u/Uo)1/2 con
centro en el origen: Llamaremos a= (u/Uo)1/2 , y ψ tiene la forma
96
 ψ θ= −





U r
a
r0
2
2
1sen (6.3.5)
 φ θ= +





U r
a
r0
2
2
1cos (6.3.6)
Figura 6.3.3
Cualquier línea de corriente puede considerarse como una frontera debido a que no existe
flujo normal a línea y esta es la condición de frontera no viscosa. En este caso si se toma la
circunferencia de radio a como la frontera, el flujo fuera de este circulo representa el flujo
alrededor de un cilindro normal a este. Se observa que ahora la singularidad está dentro del
cilindro, y por esto fuera de la región de flujo.
De (6.1.7) o (6.1.13) el campo d velocidad es
u U
a
rr
= −





0
2
21cosθ
u U
a
rθ
θ= − +





0
2
2
1sen (6.3.7)
para r muy grande.
u U
u U
r =
=
0
0
cos
sen
θ
θθ
que en coordenadas cartesianas son
u=Uo
v=0
Esto indica que el flujo muy alejado del cilindro (corriente libre) es un flujo uniforme en
la dirección x de velocidad Uo.
En la superficie del cilindro, r=a, las velocidades son
ur=0
uθ=-2Uorsenθ (6.3.8)
En los puntos θ=0 y θ=π del cilindro las velocidades son
ur=0
uθ=0
A estos puntos se les llama punto de estancamiento.
97
De la ecuación (6.1.5) para flujo permanente y sin fuerzas de cuerpo, se tiene el campo de
presión, si P0 es la presión en un punto muy alejado del cilindro.
p p U
a
r
a
r
a
r
a
r
= − −





 +





0 0
2
2
2
2
2
2
2
2
4
41 2 2 4 2/ senρ θ (6.3.9)
En la superficie del cilindro, r=a, se tiene
p p Ur a= = − −0 0
2 21
2
4 1ρ θ( sen ) (6.3.10)
Esta presión actuando sobre la superficie del cilindro, tiene una fuerza resultante. La
componente de esta fuerza en la dirección de la corriente libre se llama fuerza de arrastre y la
componente normal a esta se llama fuerza de sustentación
 Figura 6.3.4
Considérese un elemento de área del cilindro de radio a y longitud L mostrado en la
figura 6.3.4. El área de este elemento es
dA=Ladθ
y la fuerza sobre este elemento es
dF p U Lad= − −


0 0
2 21
2
4 1ρ θ θ( sen )
que tiene dirección radial. Las componentes en x,y son
dF p U La dx = − − −



0 0
2 21
2
4 1ρ θ θ θ( sen ) cos
dF p U La dy = − − −



0 0
2 21
2
4 1ρ θ θ θ( sen ) sen
La fuerza total será la integral sobre toda la superficie. La fuerza en la dirección x será la
de arrastre (FA) y es
a
98
F La
p U d
La p d U d U d
A = −
− −



= − − +



=
∫
∫ ∫ ∫
0 0
2 2
0
2
0 0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
1
2
4 1
2
1
2
0
ρ θ θ θ
θ θ ρ θ θ θ ρ θ θ
π
π π π
( sen ) cos
cos sen cos cos 
 
La fuerza en la dirección y será la de sustentación (Fs) y es
F La p d U d U dS = − − + =∫ ∫∫[ sen sen sen ]0 02 30
2
0
2
0
2
0
2
2
1
2
0θ θ ρ θ θ ρ θ θ
π ππ
 
En un flujo potencial no existen fuerzas sobre un cilindro. Esto es contradictoriocon la
experiencia, donde se observa que existe una fuerza de arrastre en un cilindro inmerso en un flujo
uniforme. Esta contradicción es la paradoja de D’Alember. La discrepancia entre esta teoría y la
practica se debe a efectos viscosos que no se han considerado.
En el caso del cilindro el flujo potencial es simétrico con respecto a ambos ejes. Pero para otros
cuerpos donde el flujo es asimétrico con respecto a cualquiera de los ejes, existirá una fuerza
resultante.
Flujo alrededor de un cilindro con circulación.
Considérese un flujo compuesto por un flujo uniforme, un doblete y un vórtice libre.
 El potencial de velocidad y la función de corriente son
φ θ θ= + −U x u
r
k0
cos
 (6.3.11)
ψ θ= − +U y u
r
k r0
sen
ln (6.3.12)
En coordenadas polares
ψ θ= −



+U r u
r
k r0 sen ln
r
u
U
a= =
0
, se tiene
ψ = k aln =constante
r=a es entonces una línea de corriente.
El potencial de velocidad y la función de corriente toman la forma
99
φ θ θ= +





 −U r
a
r
k0
2
2
1 cos (6.3.13)
ψ θ= −





 +U r
a
r
k r0
2
2
1 sen ln (6.3.14)
Tomando la línea de corriente con ψ=klna como una frontera, se tiene un flujo alrededor
de un cilindro.
De (6.1.7) o (6.1.13) se tiene el campo de velocidad
u U
a
rr
= −





0
2
2
1cosθ 
u U
a
r
k
rθ
θ= − +





 −0
2
2
1sen (6.3.15)
Para r muy grande,el flujo uniforme Uo. En la superficie del cilindro, r=a, las velocidades son
ur=0
u U
k
a0 0
2= − −senθ (6.3.16)
Para estas velocidades en la superficie, la circulación sobre la superficie del cilindro es
Γ
Γ
= − +



= −
∫a U ka d
k
2
2
0
0
2
senθ θ
π
π
 
El signo menos indica que la circulación es en el sentido de las manecillas del reloj.
Sustituyendo este resultado en 6.3.13 y 6.3.14 se tiene
φ θ
π
θ= +





 +U r
a
r0
2
2
1
2
cos
Γ
 (6.3.18)
ψ θ
π
= −





 +U r
a
r
r0
2
2
1
2
sen ln
Γ
 (6.3.19)
Los puntos de estancamiento( donde la velocidad es cero) del flujo, en la superficie del
cilindro satisfacen
− +2
20
U
ae
senθ
π
Γ
de donde
θ
πe U a
=





arcsen
Γ
4 0
 (6.3.20)
Considérense los siguientes casos:
a) Γ=0
Este caso se reduce al flujo alrededor de un cilindro sin circulación como en la figura 6.6.3
100
b) Γe< 4πUoa
Existen dos valores de θe para el punto de estancamiento como se muestra en la figura 6.3.5
 Figura 6.3.5
c) Γ=4πUoa
Para este caso los dos puntos de estancamiento se juntan como se muestra en la figura
Figura 6.3.6
d) Γ>4πUoa
En este caso no existe solución de (6.3.20) y el punto de estancamiento no esta en la
superficie del cilindro.
Figura 6.3.7
De la ecuación (6.1.5) para flujo permanente y sin fuerzas de cuerpo se tiene el campo de
presión.
p p
U a
r
a
r r U rU
a
r
= − − + + − +





0
0
2 2
2
2
4
4
2
2 2
0
2
0
2
22
2 2 1
4
1
ρ
θ
π π
θ( sen ) sen ( )Γ Γ (6.3.21)
donde Po y Uo son la presión y la velocidad en un punto alejado del cilindro.
En la superficie del cilindro r=a, se tiene
101
p p
U
r U rU
aL p
U
r U rU
d
aL p
U
r U rU
r a= = − − + −






= − − − + −














=
= − − − + −














∫
0
0
2
2
2
2 2
0
2
0
0
0
2
2
2
2 2
0
2
00
2
0
0
2
2
2
2 2
0
2
0
2
4 1
4
2
2
4 1
4
2
0
2
4 1
4
2
ρ
θ
π π
θ
ρ
θ
π π
θ θ θ
ρ
θ
π π
θ θ
π
sen sen
sen sen cos
sen sen sen
Γ Γ
Γ Γ
Γ Γ
 (6.3.22)
La fuerza de arrastre es
F
y la fuerza de sustentacion es
F
A
A d
U L
d
U L
θ
ρ
π
θ θ
ρ
π
π
0
2
0 2
0
2
0
∫
∫= −
= −
Γ
Γ
sen
 (6.3.23)
En las figuras 6.3.5 , 6.3.6 y 6.3.7 la dirección de la circulación es tal que Γ es negativa.
La fuerza de sustentación es positiva, o sea ascendente. El hecho de que la circulación alrededor
de en flujo potencial produzca una sustentación es importante para el estudio de alas. A la
ecuación 6.3.23 se le llama ley de Kutta- Joukowski. La sección de las alas de los aviones son de
tal forma que produzcan una circulación alrededor de esta sección la cual da una fuerza que
sostiene el avión. En el caso del cilindro con circulación se produce ésta debido a la rotación del
cilindro. Por efectos viscosos la superficie del cilindro tiende a arrastrar el fluido produciendo la
circulación. En el caso de alas, los efectos de los flujos reales y la geometría de la misma
producen la circulación necesaria sin movimiento giratorio del ala.
Es necesario aclarar que aunque el flujo tiene una circulación alrededor de una curva que
incluya al cilindro, el flujo es potencial. El rotacional del vector velocidad es
ω ∂
∂
∂
∂θθ
= ∇ × = −



U
e
r r
ru uz r( ) ( )
Sustituyendo (6.3.15), se tiene
ω θ θ θ= − + + −











 =
e
r
U U
a
r
U
a
r
z
0 0
2
2 0
2
2
1 0sen sen sen
fuera del origen. lo cual verifica que el flujo es potencial.
6.4 Flujos axisiméricos.
En esta sección se estudiaran flujos potenciales en tres dimensiones con simetría con
respecto a un eje. Para flujo irrotacional
ϖ = ∇ × =
r
U 0
De donde se puede definir
102
 
r
U = ∇φ (6.4.1)
donde φ es el potencial de velocidad. Sustituyendo en la ecuación para flujos incompresibles
(6.1.1), se tiene la ecuación de Laplace
∇2φ=0
la cual en coordenadas esféricas es
∇ =


 

 + +2 2
2
2
1 1
1
1
2 2
1
2
2
1 1 1
φ
∂
∂
∂φ
∂ θ
∂
∂θ
θ
∂φ
∂θ θ
∂ φ
∂θr r
r
r r rsen
(sen )
sen
Si no existe variación de φ con respecto a θz el flujo es axisimetrico y la ecuación se
reduce
∂
∂
∂φ
∂ θ
∂
∂θ
θ ∂φ
∂θr
r
r
2 1 0




+ =
sen
(sen ) (6.4.2)
donde por conveniencia se ha escrito θ en vez de θ1 . En estas coordenadas, (6.4.1) tiene
las componentes
u
rr
= ∂φ
∂
(6.4.3)
u
rθ
∂φ
∂θ
= 1
Entonces la ecuación de continuidad (6.1.1) para estas coordenadas es
1 1
0
2
2
r r
r u ur
∂
∂ θ
∂
∂θ
θ θ( ) sen
(sen+ = (6.4.4)
 Si se define
u
rr
S= 1
2 senθ
∂ψ
∂θ
 (6.4.5)
u
r r
S
θ θ
∂ψ
∂
= −1
2 sen
la ecuación (6.4.2) se satisface. A ψs se le llama la función de corriente de Stokes. Si se
sustituye (6.4.5) en la condición de irrotacionalidad
103
r r
) ) )
ω
θ
∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ
∂ ψ
∂
θ ∂
∂θ θ
∂ψ
∂θ
θ θ
θ
= ∇ × = =
+ 



=
U
r
e e e
r
u ru
r
r
r
s s
1
0
0
1
0
2
1
1 2
2
2
1 2
1
sen
/ / /
sen
sen
se reduce a
r 2
(6.4.6)
La función de corriente de Stokes satisface esta ecuación (que no es la ecuación de
Laplace).
La línea ψs constante es una línea de corriente que se demuestra de la siguiente manera.
Parauna línea de corriente
dx/u=dy/v
Si x es el eje de simetría, entonces
x=rcosθ u=urcosθ-uθsenθ
y=rsenθ v=ursenθ-uθcosθ
La ecuación de la línea de corriente es
− +
−
= +
+
=
= +
r d dr
u u
r d dr
u u
d u dr
r
dr d
r r
s s
sen cos
cos sen
cos sen
sen cos
θ θ θ
θ θ
θ θ θ
θ θ
θ
ψ
ψ ∂ψ
∂
∂ψ
∂θ
θ
θ θ
θ
que se reduce a
ru 
La derivada total de es
d
r
s
s
 (6.4.7)
Sustituyendo (6.4.5) en la ecuación anterior para ψs constante , se tiene
0=-urrsenθdr+r2senθurdθ
que se reduce a (6.4.7), lo que indica que la línea de ψs constante es una línea de
corriente.
Flujos sencillos.
A continuación se trata con algunas funciones φ y ψs que satisfacen (6.4.2) y (6.4.6)
Flujo uniforme. Sea la función armónica
φ θ= U r0 cos
104
El campo de velocidad, de las ecuaciones 6.4.3, es
u U rr = 0 cosθ
u U rθ θ= − 0 sen
De 6.4.5 se obtiene
ψ θS
U r
= 0
2
2
2
sen
Fuente y sumidero. Dada la función armónica
φ=- m/r
donde m es constante, el campo de velocidad es
ur=m/r
2
uθ=0
y la función de corriente de Stokes es
ψs=-mcosθ
m positiva representa una fuente y m negativa representa un sumidero.
Flujos compuestos.
Las ecuaciones (6.4.2) y (6.4.6) son lineales, por lo que la combinación lineal de las
soluciones de φ y ψs es también una solución.
Doblete.
Considérese una fuente en el punto (a, π) y un sumidero de igual magnitud en (a,0). El
potencial de velocidad del flujo resultante es
φ=-m(1/r1-1/r2)
 = m (r1-r2)/r1 r2
Para a<<r r1-r2 ≈ 2acosθ
de donde
φ=m2acosθ/r1r2
Cuando a→0, pero que el valor ma sea constante( u/2 )
φ=ucosθ/r2
P(r,θ)
θ2θθ1
fuente
(a, π)
sumidero
(a, 0)
0
r1
r2
105
El campo de velocidad es
ur=-2ucosθ/r3
que representa el flujo debido a un doblete en el origen. La función de corriente de Stokes
es
ψs=-usen2θ/r
Flujo alrededor de una esfera. Considérese un flujo compuesto de un flujo uniforme y un doblete
en el origen. En este flujo
ψs=(Uor2/2 -u/r)sen2θ
La línea de corriente ψs=0 corresponde a
(Uor2/2 -u/r)sen2θ=0
cuya solución es θ=0, θ=π o
r=(2u/Uo)1/3
Si se considera esta línea de corriente como una frontera el flujo representa el flujo
alrededor de una esfera. Llamando
a=(2u/Uo)1/3
ψ=(Uo/2)r2sen2θ(1-a2/r2)
y el campo de velocidad es
ur=Uocosθ(1-a2/r2)
uθ=-Uosenθ(1+a3/2r3)
y el potencial de velocidad es
φ=Uorcosθ(1+a3/2r3)
Problemas
6.1 Encontrar el potencial de la velocidad de un flujo generado por una línea de
sumideros de intensidad uniforme. Determinar la distribución de presiones y los puntos de
estancamiento (componentes de velocidad cero).
6.2 Demuestre que las líneas de corriente y las de trayectoria coinciden para el flujo
U
x
ti
i=
+1
6.3 Demostrar que el potencial de velocidad φ y la función de corriente de los siguientes
flujos satisfacen la ecuación de Laplace:
106
a) Flujo rectilíneo bidimensional
b) Flujo fuente
c) Doblete
6.4 El potencial de velocidad para un flujo tridimensional con simetría axial es
φ θ= c
r 2
cos
en donde c es una constante. Obtener la correspondiente función de corriente.
6.5 Investigue el flujo correspondiente al potencial:
( )φ = − + −k x y z2 2 22
 Encuentre la distribución de presiones y los puntos de estancamiento.
107
CAPITULO 7 FLUJOS VISCOSOS INCOMPRESIBLES
7.1 Soluciones exactas 104
7.2 Flujo de Couette 104
7.3 Flujo de Poiseville 107
7.4 Flujo entre cilindros giratorios 110
7.5 Primer problema de Stokes 113
7.6 Segundo problema de Stokes 118
7.7 Capa límite 122
7.8 Ecuaciones de la capa límite 124
7.9 Solución de Blasius 125
7.10 Método de integral de momentum 130
7.11 Separación de la capa límite 134
108
CAPITULO 7 FLUJOS VISCOSOS INCOMPRESIBLES
En este capitulo se discutirá el flujo de fluidos incompresibles con viscosidad
newtoniana.
 Las ecuaciones para este caso son:
0=⋅∇ U
r
(7.1)
( ) fUpUU rrrr
r
 
 t
U 2 ρµρ
∂
∂ρ +∇+−∇=∇⋅+
(7.2)
Estas cuatro ecuaciones escalares para las cuatro variables escalares u,v,w y p son casos
especiales de la ecuación de continuidad (3.1.5) y las ecuaciones de conservación de momentum
(3.5.1) para fluidos incompresibles. Estas ecuaciones más las condiciones de frontera para
cualquier problema constituyen un sistema cerrado.
Debido a la no linealidad de ( )UU rr ∇⋅ en Ur de la ecuación (7.2) este sistema de
ecuaciones en general no tiene una solución analítica. En algunos casos particulares es posible
obtener la solución analítica. En otros casos se necesitan hacer simplificaciones o algunas
aproximaciones para obtener soluciones analíticas, por ejemplo, en un flujo con bajo numero de
Reynolds donde es posible despreciar el término no lineal. Para números de Reynolds más altos,
una aproximación es dividir el flujo en dos regiones, una capa viscosa cerca de la frontera del
flujo y el resto, de flujo no viscoso.
7.1 Soluciones exactas.
Para algunos problemas específicos, el término no lineal es idénticamente cero y las
ecuaciones tienen soluciones analíticas o exactas. A continuación se describen algunos de estos
problemas.
7.2 Flujo de Couette.
109
Considérense dos placas planas paralelas infinitas separadas una distancia h entre las
cuales existe un fluido. Una de las placas se mueve con una velocidad Uo con respecto a la otra y
en una dirección paralela a la misma.
Figura 7.2.1
En coordenadas cartesianas las ecuaciones son
(7.2.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7.2.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7.2.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7.2.1) 0
 
 
 
 
 
 
 2
2
2
2
2
2
 2
2
2
2
2
2
 2
2
2
2
2
2
z
y
x
f
z
w
y
w
x
w
z
p
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
f
z
v
y
v
x
v
y
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
f
z
u
y
u
x
u
x
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
z
w
y
v
x
u
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+





+++−=





+++
+





+++−=





+++
+





+++−=





+++
=++
Escogiendo los ejes mostrados en la Figura 7.2.1 se pueden hacer las siguientes
consideraciones: el flujo será solo en la dirección del eje x (v=w=0), la presión es constante, flujo
permanente 0 
 
=
∂
∂
t
, sin fuerzas de cuerpo (fx=fy=fz=0), la velocidad u no depende de la
coordenada z.
De la ecuación de continuidad (7.2.1) resulta que
0 
 
 =
∂
∂
x
u
De esta manera las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a
h
y
x
Uo
110
2
2
 
0
yd
ud= 
(7.2.5)
donde la derivada total sustituye la derivada parcial, porque u es solo función de y.
Integrando dos veces
1 
 
C
yd
ud = 
(7.2.6)
21 CyCu += 
(7.2.7)
Las constantes C1 y C2 se determinan de las condiciones de frontera. Para este problema
son:
a) u=U0 en y=h
b) u=0 en y=0 por la condición de no resbalamiento.
Sustituyendo estas condiciones en la solución (7.2.7)
Uo=C1h+C2
0=0+C2
de donde
h
U
C 01 =
02 =C
El campo de velocidades es entonces
h
y
Uu 0=
v=w=0
El tensor de esfuerzos según (3.4.19) es
111
















−
−
−
=
p
p
h
U
h
U
p
00
0
 
0
 
0
0
µ
µ
τ
Se observa que τ es independiente de la posición.
7.3 Flujo de Poiseville.
Considérese un tubo infinito de sección circular de radio ro a través del cual se mueve un
fluido. El movimiento del fluido se debe a la acción de la variación de la presión a lo largo del
eje longitudinal z.
Para este caso es conveniente considerar las ecuaciones en coordenadas cilíndricas. El
fluido se mueve en el sentido longitudinal (uθ= ur =0), y uz por simetría no dependede θ. El flujo
es permanente y sin fuerzas de cuerpo.
La ecuación de continuidad se reduce a
0 
 
 
=
∂
∂
z
uz
y las ecuaciones de Navier-Stokes a
r
p
 
 
0
∂
∂=
θ 
 
0
∂
∂= p





∂
∂





∂
∂




+
∂
∂−=
r
u
r
rrz
p z
 
 
 
 
 
 
1
 
 
 
0 µ
La presión varia sólo con la coordenada z y la velocidad uz con r. La ecuación anterior se puede
escribir con derivadas totales.
112









+−=
rd
ud
r
rd
d
zd
pd
r z
 
 
 
 
 
 
0 µ 
(7.3.1)




+−=
rd
ud
r
rd
d
zd
pd
r z
 
 
 
 
0 µ
Integrando con respecto a r
rd
ud
r
zd
Pdr
C z
 
 
 
 
 
2
2
1 µ+







−=
de donde
r
C
zd
Pdr
rd
ud z
 
 
 2 
 1
µµ
+



=
y la segunda integral es
( ) 21
2
ln 
 
 
 
4
Cr
C
zd
Pdr
uz +



+








=
µµ
(7.3.2)
Para r=0, uz es infinita, excepto si se escoge C1=0. En las paredes (r=ro), uz=0, por la
condición de no resbalamiento, por lo que








 −
=
zd
Pdr
C
 
 
 
 4
2
0
2 µ
El campo de velocidad es
( )220 
 
 
 4
1
rr
zd
Pd
uz −







−=
µ
 (7.3.3)
0== θuur
uz>0 con la disminución de presión a lo largo de z.
ro
r
z
113
Figura 7.3.1
La velocidad máxima (uz)max ocurre en el centro del tubo.
( ) 20 
 
 
 4
1
r
zd
Pd
U maxz 







−=
µ
 
(7.3.4)
Se define la velocidad media zu como aquella velocidad uniforme sobre la sección
transversal del tubo que produce el mismo gasto Q.
∫== 0
 
0 
2
0 2 
r
zz drururQ ππ
de donde
∫ −−= o
r
o
o
z drrrrdz
dP
r
u
 
0 
32
2
)(
2
1
µ
 
8
2
0
dz
dPr
µ
−= (7.3.5)
maxzu )(2
1
=
La caída de presión ∆P a lo largo del tubo por una longitud L es
2
 8
 
o
z
r
uL
P=
µ∆
En términos del diámetro del tubo D
 
 
32 
2D
uL
P=
zµ∆ (7.3.6)
114
Si se expresa ∆P en términos de un factor de rozamiento f
2
 
2
zu
D
L
P=f ρ∆
entonces, comparando con (7.3.6)
Re
64=f
donde el número de Reynolds es
µ
ρ zuD 
Re =
7.4 Flujo entre cilindros giratorios.
Considérense dos cilindros concéntricos infinitos de radios r1 y r2 (r2>r1), girando a
velocidades angulares ω1 y ω2 respectivamente.
 w2
 r1
 Figura 7.4.1
Usando coordenadas cilíndricas la única componente de la velocidad es la velocidad
tangencial uθ (ur=uz=0) y es independiente del eje z. El flujo es permanente, sin fuerzas de cuerpo
y por simetría la presión no varia con θ .
La ecuación de continuidad se reduce a
0
 
 
=
∂
∂
θ
θu
y las ecuaciones de Navier- Stokes a
115
r
p
r
u
 
 2
∂
∂−=− θ
ρ
 (7.4.1)




−




∂
∂
∂
∂=
2 
 
 
1
 0
r
u
r
u
r
rr
θθµ (7.4.2)
z
P
 
 
0
∂
∂−=
La presión p y la velocidad uθ son sólo función de r, y las derivadas se pueden escribir
como derivadas totales
rd
pd
r
u
 
 2 =θρ
(7.4.3)
r
u
rd
ud
r
rd
d θθ =









 
 
 
 
 (7.4.4)
La ecuación (7.4.4) se puede escribir también en la forma
0
 2
2
=



+
r
u
rd
d
rd
ud θθ
Integrando
1 
 
C
r
u
rd
ud
=+ θθ
o bien
drrCdrudur 1=+ θθ
cuya integral es
2
21
2
 Cr
C
Ur +=θ
de donde
r
C
r
C
u 21 
2
+



=θ (7.4.5)
Las condiciones de frontera son:
116
a) 11rwu =θ cuando 1rr =
b) 22rwu =θ cuando 2rr = por la condición de no resbalamiento. Utilizando estas condiciones
en (7.4.5) se obtiene
1
2
1
1
11 2 r
C
r
C
rw +



=
2
2
2
1
22 2 r
C
r
C
rw +



=
de donde




−
−
=
2
2
2
1
2
22
2
11
1 2 rr
rwrw
C




−
−
−=
2
2
2
1
212
2
2
12 rr
ww
rrC
y el campo de velocidades es




−
−−



−
−=
2
2
2
1
21
2
2
2
1
2
2
2
1
2
22
2
11 
rr
ww
r
rr
r
rr
rwrw
uθ 
(7.4.6)
0== zr uu
La variación de presión se obtiene de la integración de (7.4.3)
∫ += 
2
Cdr
r
u
p θρ (7.4.7)
Sustituyendo (7.4.6) en la integral anterior e integrando resulta la ecuación (7.4.8)
( ) ( )( ) ( ) 
4
ln 2
2)(
)( 
2
4
2
4
12
12
2
1
2
1
2
2
2
212
2
2
2
1
2
22
1
2
1
2
2
2
222
1
2
2
C
r
rr
rrrrr
r
rr
rr
rp +





−−−−−−
−
= ωωωωωωωωρ
La constante de integración C se calcula si se conoce el valor de la presión en un punto.
117
El esfuerzo cortante sobre el cilindro interior es
1 
1 
 
 
rrrd
ud
=
= θµτ












−
−
+



−
−
=
2
2
2
1
212
22
2
2
1
2
22
2
11
1 
rr
ww
r
rr
rwrwµτ
El par por unidad de longitud sobre el cilindro interior es












−
−
+



−
−
=
2
2
2
1
212
22
2
2
1
2
22
2
11
11 2
rr
ww
r
rr
rwrw
rM µπ
7.5 Primer problema de Stokes.
Considere una placa infinita en un fluido inicialmente en reposo. En el instante t = 0 la
placa comienza a moverse sobre su mismo plano con una velocidad constante U0
 
 y
 t4 > t3 > t2 > t1 > 0
 x
 0
U0 U0(t > 0)
Figura 7.5.1
El flujo será solo en la dirección de x (v=w=0), la presión es constante, sin fuerzas de
cuerpo (fx=fy=fz=0) y la velocidad u solo depende del tiempo t y de la coordenada y. Las
ecuaciones de movimiento se reducen a
2
2
 
 
 
 
y
u
t
u
∂
∂=
∂
∂ µρ (7.5.1)
118
Un método de solución de este tipo de ecuaciones es por similaridad. En este método se
escoge una variable de similaridad η(y, t) de tal manera que la ecuación diferencial parcial u(x,y)
se convierte en una ecuación diferencial ordinaria de u(η).
Para especificar el método se escogerá η de una forma general
η=yαtβ (7.5.2)
donde α y β son constantes.
La solución de la ecuación es
u = u (η) (7.5.3)
Entonces las derivadas son
( ) ( )ηηη ’
 
 
 
 
 
 
u
t
u
tt
u
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
( ) ( )ηηη ’
 
 
 
 
 
 
u
y
u
yy
u
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
( ) 1 ’
 
 −=
∂
∂ βα βη tyu
t
u
( ) ( ) ( )ηααηα βααβ ’1 ’’ 
 
22222
2
2
utyuyt
y
u −− −+=
∂
∂
( ) ( )ηηη ’’
 
 
’
 
u
y
u
y ∂
∂=
∂
∂
sustituyendo en (7.5.1) y simplificando se tiene
( ) ( ) ( ) ( )ηααηαηβ αβ ’ 1 ’’’ 1 2
2
uuytu
t
y
v
−+=



 (7.5.4)
donde se escribió
ρ
µ=v
119
α y β se escogen de tal forma que la ecuación quede sólo en función de la variable independiente
η. Existen varias posibilidades para esto, pero los valores
α=1
2
1−=β
proporcionan la forma más sencilla o la ecuación diferencial ordinaria que resulta de (7.5.4). Esta
es
( ) ( ) 0
2
’
’’ =+
v
u
u
ηηη (7.5.5)
donde
21t
y=η
Esta ecuación se puede escribir
( )
( ) ( )[ ]ηηη
η
’ln
 ’
’’
u
d
d
u
u =
( )[ ]
v
u
d
d
2
’ln
 
ηη
η
−=
Integrando se tiene
( ) 1
2 
 ln
4
’ln C
v
u +−= ηη
o bien
( ) ( ) 2411 ’ ηη veCu −=
cuya integral es
120
∫ += −
η ην ηη
 
0 2
)4/1(
1
2
)( CdeCu
Entonces la solución de (7.5.1) es
 C = t)u(y, 2
/ 
0 
4
1
1
2
Cde
ty
+∫
−
η
η
ν (7.5.6)
Las condiciones de frontera son
a) u(0, t)= Uo para t>0
b) u(y, 0)=0 para y>0
( ) ( ) ( )[ ]tuutu ,0 ,0 ηη ==
( ) ( ) ( )[ ]0, 0, yuuyu ηη ==
Sustituyendo la condición a) en (7.5.6) se obtiene
C2= U0
La condición inicial b) da
Uode
ty
+∫
−
ξ
ξ
ν
/ 
0 
4
1
1
2
C =0
Haciendo cambio de variable
 
 
2
1= ξ
ν
ς
 (7.5.7)
 
2
C 
0 
1 2
ςν ς de
Uo
∫
∞ −
=
La integral
121
 
2
 
 
0 
2 πςς =∫
∞ − de
de donde
νπ
Uo−=1C
El campo de velocidad en términos de ζ
 
2
-1Uo= t)u(y, 2
 
0 
2






∫ − ςπ
ν ς det
y
 (7.5.8)
La integral
)(
2
 2
 
0 
2
xerfdet
y
=∫ − ςπ
ν ς
es una función de x llamada función de error normalizada. Esta función se puede encontrar
tabulada en los manuales de matemáticas. De esta manera la ecuación se puede escribir
( )
( ) 











−=
210 2
 1ty, 
vt
y
erfUu (7.5.9)
En la figura 7.5.1 se muestran perfiles de velocidad para diferentes tiempos, que
corresponden a la ecuación (7.5.9). Se observa que la velocidad u varía de su valor máximo Uo
en la placa hasta el valor cero alejado de la placa de una manera asintótica. En la medida que
transcurre el tiempo el efecto del movimiento de la placa se nota en una región mayor. La
ecuación (7.5.1) es una ecuación de difusión de la velocidad u (momentum por unidad de masa)
en la coordenada y con el tiempo.
La ecuación de vorticidad (4.3.3) en este caso toma la forma
2
2
 y
w
t
w zz
∂
∂
=
∂
∂ µρ
122
de donde wz es la única componente de la vorticidad. Esta ecuación es también una ecuación de
difusión de wz. La solución de ésta se puede obtener de (7.5.8). Por la definición de vorticidad
(2.6.4)
x
v
y
u
wz 
 
 
 
∂
∂−
∂
∂=
y
u
 
 
 
∂
∂=
debido a que v=0. Derivando (7.5.8)
ω
πν
ν
z
y
t
Uo
t
e= −
−
2
4 (7.5.10)
La ventaja de escribir las ecuaciones en función de la variable de similaridad es que los
perfiles de velocidad mostrados en la figura 7.5.1 y los correspondientes a la ecuación (7.5.10) se
reducen a una sola curva en ambos casos. Por ejemplo los perfiles de velocidad tienen la forma
Figura 7.5.2
donde la ordenada es
µ
Uo
y/(2(νt)1/2)
123
( ) 21 2 vt
y
en vez de y.
Se puede encontrar una región donde el efecto de la placa es notorio. El espesor de esta
región se nota de la figura 7.5.2 y es del orden de (νt)1/2. La relación exacta entre este espesor y
(νt)1/2 depende de la definición precisa de esta región.
7. 6 Segundo problema de Stokes.
Considere una placa infinita oscilando en su mismo plano en un fluido.
Uo cos nt
x
y
Figura 7.6.1
124
Por las mismas consideraciones del problema anterior la ecuación que describe el flujo es
2
2
 
 
y
u
v
t
u
∂
∂=
∂
∂
 (7.6.1)
Otro método de solución para este tipo de ecuaciones es el método de separación de
variables. Se propone la solución u como un producto de una función solo de t con otra función
solo de y. Sea
( ) ( ) ( )tTyYtyu , =
Sustituyendo en (7.6.1) y ordenando
2
2
 
1 
 
 
 
1
yd
Yd
Y
v
td
Td
T




=




En esta ecuación el lado izquierdo es una función únicamente de t y el lado derecho otra
función de y. Para que se cumpla la igualdad cada lado debe ser igual a una misma constante
puesto que y y t son variables independientes. De esta manera se tienen dos ecuaciones
k
td
Td
T
=




 
 
 
1
k
yd
Yd
Y
v =




2
2
 
 
1
 
donde k es una constante. Ordenando se tiene
0
 
 =− kT
td
Td
 (7.6.3)
0
 2
2
=−
v
Y
k
yd
Yd
 (7.6.4)
Estas dos ecuaciones ordinarias se pueden resolver para T(t) y Y(y), y el producto debe
cumplir con las condiciones de frontera para u , que para este caso son
125
a) u=Uo cos nt para y = 0;
donde la constante n es la frecuencia de oscilación de la placa.
b) u finita para y → ∞.
Con respecto al valor de k, se puede mostrar que para valores reales y cero, la ecuación no
satisface las condiciones de frontera. Se pueden tener los siguientes casos:
i) k=0
Las soluciones de (7.6.3) y (7.6.4) son
T(t)=C1
Y(y)= C2 y+C3
Por (7.6.2) la solución de u es
u(y, t)=C1 (C2 y+C3)
Esta forma de la solución no puede cumplir con la condición de frontera a)
ii) k real y diferente de cero
Las soluciones de (7.6.3) y (7.6.4) son
kteCtT 1)( =
y
k
y
k
eCeCyY νν
−
+= 32)(








+
− y
k
y
k
kt eCeCeu(y,t)=C νν 321
Esta solución es una exponencial en el tiempo y no es compatible con la oscilación que se
necesita según la condición de frontera a).
iii) k imaginaria
Tomando k=iλ donde λ es real y positiva, las soluciones de (7.6.3) y (7.6.4) son
126
tieCtT λ1)( =
y
i
y
i
eCeCyY ν
λ
ν
λ −
+= 32)(
además
tieCtT λ1)( =
y
i
y
i
eCeCyY ν
λ
ν
λ
−
+= 32)(








+
− y
i
y
i
ti eCeCeu(y,t)=C
λλ
λ
321
Para que se cumpla la condición de frontera b)
A=0
La condición de frontera a), también se puede escribir como u=eint para y=0; donde, por
convención se considera solo la parte real de la función eint. Sustituyendo esta condición de
frontera se tiene
Uo eint= B eiλt
de donde
B=Uo
λ=n
Entonces, el campo de velocidad es
 
2
cos=t)u(y, 2 





−
−
yntUoe
y
ν
λν
λ
 (7.6.5)
v = w = 0
127
La solución representa una oscilación del fluido con la misma frecuencia que la
excitación de la placa. La amplitud es máxima en la placa y disminuye de una manera
exponencial. El ángulo de fase también varia de una manera lineal con y. El perfil de velocidades
para un instante se muestra en la figura 7.6.1. El efecto notorio del movimiento de la placa se
localiza en una región cuyo espesor es del orden de ν
n
 como se ve en la ecuación (7.6.5).
7.7 Capa límite.
En los problemas de flujos viscosos anteriores se obtuvieron soluciones exactas, pero en
general no siempre es posible lograr esto. Para flujos con números de Reynolds más o menos
altos, se acostumbra usar la técnica propuesta por Prandtl. En esta aproximación se considera que
el flujo cerca de una frontera se puede dividir en dos regiones:
a) próximo al cuerpo los efectos viscosos son importantes y hay que considerar el término
viscoso. A esta región se le llama capa límite.
b) fuera de la capa límite el gradiente de la velocidad es pequeño y aunque el coeficiente
de viscosidad sea el mismo, el término viscoso es despreciable. Por esta razón esta región se
puede considerar como no viscosa.
Determinar donde termina una región y comienza la otra depende de la definición precisa
que se emplee para esto. Además en algunos casos, debido a la geometría del flujo no existe la
región no viscosa, como por ejemplo los flujos internos de Poiseville y Couette.
Las formas más comunes de definir el espesor de la capa límite son las siguientes:
i) espesor de la capa límite δ.
El espesor δ se define como la distancia de la frontera al punto donde la velocidad es
0.99 de la velocidad en la región no viscosa (llamada corriente libre). En ocasiones se usa otro
porcentaje en lugar de 0.99 (como por ejemplo 0.95).
ii) espesor de desplazamiento δ*.
En la figura 7.7.1.a se muestra el perfil de velocidades de un flujo viscoso cercano a una
frontera. La figura 7.7.1.b muestra un flujo hipotético en el cual la velocidad es cero para 0<y<
δ*, y para y≥δ∗ el flujo es uniforme y su velocidad es la de la corriente libre Uo.
128
δ
*
yy
UoUo
u(y)
a) b)
Figura 7.7.1
Si en ambos casos el déficit de gasto con respecto a la corriente libre Uo es el mismo, la
distancia δ∗ es el espesor de desplazamiento. O sea , las áreas sombreadas son iguales. De tal
manera
∫∫ =−
∞ * 
0 0
 
0 0
 )(
δ
dyUdyuU
*
0= δU
de donde
 1
 
0 
0
* ∫
∞




−= dy
U
uδ (7.7.1)
iii) espesor de momentum θ.
Supóngase en la figura 7.7.1.b, que la región de velocidad cero se extiende hasta una
distancia θ. Si el déficit de flujo de momentum en ambos casos con respecto a la corriente libre
Uo es el mismo, la distancia θ es el espesor de momentum. De esta forma
( ) ∫∫ =−
∞ θ
ρρ
 
0 
2
0
 
0 
 dyUdyuUou
θρ 20 = U
de donde
 1=
 
0 
00
∫
∞




− dy
U
u
U
uθ (7.7.2)
129
7.8 Ecuaciones de la capa límite.
Considérese una frontera plana (o un pequeñosegmento de una frontera curva) en un
flujo. Por efectos viscosos existe una capa límite. En la figura, la distancia entre la línea punteada
y la frontera representa el espesor de la capa límite δ.
Figura 7.8.1
la capa límite comienza en x = 0, donde δ = 0. O sea, es el lugar donde el flujo encuentra la
frontera y los efectos viscosos empiezan a sentirse. Corriente abajo la capa límite se desarrolla y
el espesor δ crece con x.
Las ecuaciones de movimiento para un flujo bidimensional, permanente, incompresible y
sin fuerzas de cuerpo son:
 0
 
u 
 
 =+
yx
u
∂
∂
∂
∂
 (7.8.1)
 
 
 1
 
 
 
 
2
2
2
2
y
u
x
u
x
p
y
u
v
x
u
u
∂
∂ν
∂
∂ν
∂
∂
ρ∂
∂
∂
∂ ++−=+ (7.8.2)
 
 
u
 
u
 
 1
 
u 
 
u 
2
2
2
2
yxy
p
y
v
x
u
∂
∂ν
∂
∂ν
∂
∂
ρ∂
∂
∂
∂ ++−=+ (7.8.3)
Se considera una sección de la capa límite suficientemente alejada de x=0. En esta
sección la distancia x es muy grande comparado con δ, y el flujo es casi unidimensional. Por lo
que
y
Uo
δ
x
130
u >> u (7.8.4)
La derivada 
 x∂
∂
es del orden de 
1
x
 y la derivada 
 y∂
∂
 del orden 
 
1
δ
, entonces
 
 xy ∂
∂
∂
∂ >> (7.8.5)
Empleando estas aproximaciones las ecuaciones de movimiento se simplifican. Se
observa que cada término de (7.8.3) excepto el de presión es mucho más pequeño que su
correspondiente a (7.8.2). Entonces estos términos en (7.8.3) son despreciables en este conjunto
de ecuaciones. A esta aproximación corresponde
 0
 
 =
y
p
∂
∂
 (7.8.6)
O sea, que la presión es casi constante a lo ancho de la capa límite. Y la presión es sólo
función de x, determinada por el flujo externo no viscoso.
La ecuación de continuidad (7.8.1) indica que las desigualdades (7.8.4) y (7.8.5) son de la
misma magnitud. Esto asegura que los términos de la izquierda de la ecuación (7.8.2) son del
mismo orden. En el lado derecho se desprecia 
 2
2
x
u
∂
∂
 con respecto a 
 2
2
y
u
∂
∂
. Respecto al término
de presión se ignora su variación, puesto que depende del flujo externo. Las ecuaciones se
reducen a
 0
 
u 
 
 =+
yx
u
∂
∂
∂
∂
 
 
 1
 
 
 
 
 
2
2
y
u
x
p
y
u
v
x
u
u
∂
∂ν
∂
∂
ρ∂
∂
∂
∂ +−=+ (7.8.7)
Estas ecuaciones de la capa límite se llaman también las ecuaciones de Prandtl.
7.9 Solución de Blasius.
La solución de Blasius se refiere a un flujo unidimensional uniforme sobre una placa
plana. Si el flujo se extiende hasta el infinito sobre la placa, la presión es independiente de x. Las
ecuaciones de movimiento tienen la forma
131
 0
 
 
 
 =+
y
u
x
u
∂
∂
∂
∂
 
 
 
 
 
2
2
y
u
y
u
u
x
u
u
∂
∂ν
∂
∂
∂
∂ =+
Las condiciones de frontera correspondientes son
a) u= u= 0 para y=0
b) u =U0 para y → ∞
Las dos ecuaciones se reducen a una sola empleando la función de corriente que se define
 
 
 
y
u
∂
∂ Ψ=
 
 
 
x
v
∂
∂ Ψ−=
La ecuación de continuidad se satisface idénticamente y la segunda ecuación a
 
 
 
 
 
3
3
2
22
yyxyxy ∂
ψ∂ν
∂
ψ∂
∂
ψ∂
∂∂
ψ∂
∂
ψ∂ =− (7.9.1)
Esta ecuación diferencial parcial se reduce a una ecuación diferencial ordinaria
empleando la variable de similaridad:
0
 
U
x
y
ν
η = (7.9.2)
y la solución
)( U=)(= 0 ηνψ fxx,y (7.9.3)
Las derivadas presentes en (7.9.1) son las siguientes
132
f
x
U
f
x
U
x
00 
2
1
 
 
2
1
 
 νην
∂
ψ∂ +′−=
’’
2 
0
2
f
x
U
yx
η
∂∂
ψ∂ −=
fU
y
′= 
 
 
0∂
ψ∂
f
x
U
U
y
′′=
 
0
02
2
ν∂
ψ∂
f
x
U
y
′′′=
 
2
0
3
3
ν∂
ψ∂
Sustituyendo en (7.9.1)
f
x
U
f
vx
U
Uof
x
vU
f
x
vU
f
x
U
-fU o ′′′=′′





+′−−


 ′′′
2
0000
0 2
1
 
2
1
 
2
 ηη
que se simplifica a
f´´´+ ½ ff´´=0 (7.9.4)
ecuación diferencial ordinaria no lineal.
Las condiciones de frontera se transforman de la siguiente manera
a) cuando y=0, η =0. Además
0’ 
 
 
0 ==∂
∂= fU
y
u
ψ ⇒ f ' = 0
de donde
f´(0)=0
También
133
0
 
2
1
 
 
2
1
 
 00 =+′−=−= f
x
U
f
x
U
x
v
νην
∂
ψ∂ ⇒ ρ = 0
por lo que
f(0)=0
b) Cuando y → ∞, η → ∞. Y de u= U0 f´= U0, se obtiene
f´(η)=1 cuando η → ∞
La ecuación (7.9.4) es diferencial ordinaria pero no lineal. Esta se puede resolver con
métodos numéricos. La solución se muestra gráficamente en la figura 7.9.1
Figura 7.9.1
La velocidad u en términos de esta solución f(η) es
u= U0 f ’(η)
El perfil de velocidades correspondiente a esta solución aparece en la figura 7.9.2 En la
figura también se muestran algunas mediciones experimentales que indican buena aproximación
con los resultados teóricos
f(η)
η=y(Uo/xν)1/2
5
5 10.0
134
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
u/Uo
η=y(Uo/νx)
1/2
Figura 7.9.2
El esfuerzo de corte en la superficie de la placa es
)0(
 
 
 
)0,( 
)(
3
0 f
x
U
y
xu
xo ′′== ν
µ
∂
∂µτ
x
f
U Re
)0(2
 
2
1
(x)
2
0
′′
=
ρ
τ
donde
ν
xU 
Re 0x =
y
f ’’ (0) = 0.332,
calculado por métodos numéricos.
135
La fuerza de arrastre por unidad de ancho hasta x=L en la placa, es
∫=
L
oA dxxF
 
0 
)(τ
( )0 2= 
3
0 f
v
LU ′′µ
De la solución graficada en la figura 7.9.2 se observa que u = 0.99U0 cuando η = 5; sustituyendo
en (7.9.2) y arreglando se tiene
( ) 21 Re 0.5 −= xx
δ
Sustituyendo la solución numérica de u en (7.7.1) y (7.7.2) se obtiene
( ) 21 Re 72.1 −
∗
= xx
δ
( ) 21 Re 664.0 −= xx
θ
Estos resultados muestran que
δ = 2.9δ∗
δ = 7.5θ
Se nota también que el espesor de la capa límite crece con x1/2.
7.10 Método de la integral de momentum.
Este método debido a Von Karman aplicado a una placa plana proporciona resultados
aproximados. Las ecuaciones de la capa límite para una placa plana son
136
 0
 
u 
 
 =+
yx
u
∂
∂
∂
∂
 
 
 
u
 
 
2
2
y
u
y
u
x
u
u
∂
∂ν
∂
∂
∂
∂ =+
El término 
 x
 u
u
∂
∂
 se puede transformar en
x
u
uu
 x x
 u
u
 
 
)( 2
∂
∂
∂
∂
∂
∂ −=
y
uu
x 
u 
)(
 
= 2
∂
∂
∂
∂ +
utilizando la ecuación de continuidad.
La ecuación de conservación de momentum es
2
2
2
 
 
u
 
u 
)(
 y
u
y
u
y
uu
x ∂
∂ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂ =++
o bien
2
2
2
 
)u (
 
)(
 
 
y
u
u
y
u
x ∂
∂ν
∂
∂
∂
∂ =+
Integrando esta ecuación de y=0 a y=δ.
 
 
 
u )(
 
0
0
2 
0 
δ
δδ
∂
∂ν
∂
∂
y
u
udyu
x
=+∫ (7.10.1)
Usando las condiciones de frontera
( )δδ ,u 00 xUvu =
137
Considerando que el gradiente de la velocidad en y=δ es prácticamente nulo y que el
esfuerzo en la placa es τo, se tiene
µ
τ
δ
0
0
 
 −=
∂
∂
y
u
Integrando la ecuación de continuidad desde y = 0 a y = δ :
∫ =+
δ δ
∂
∂ 
0 0
0
 
 
vdy
x
u
de donde
( ) ∫
δ
∂
∂δ
 
0 
 
u 
-= , dy
x
xv
Ahora la ecuación (7.10.1) se reduce a
( ) 
 
 
 
 
 
0 
 
0 
0
2
ρ
τ
∂
∂
∂
∂
δδ
ody
x
u
Udyu
x
−=− ∫∫ (7.10.2)
La regla de Leibnitz establece
( ) ( ) ( ) ( )
xd
d
x
dx
d
xfdy
x
yxf
dyyxf
xd
d xx
x 
,f-,
 
, 
 ,
 
)( 
(x) 
)( 
)( 
ααββ
∂
∂β
α
β
α ∫∫ +=
Aplicándola a este caso
( )
xd
d
Udyu
x
dyu
xd
d
o 
 
 
 
0 
22 
0 
2 δ
∂
∂δδ
∫∫ +=
 
 
 
 
 
 
0 0
 
0 xd
d
Udy
x
u
dyu
xd
d δ
∂
∂δδ
∫∫ +=
Sustituyendo en (7.10.2)
138
 
 
 
0 
 
0 0
2
ρ
τδδ odyu
xd
d
Udyu
xd
d −=− ∫∫
o bien
 )( 
 
 
0 
0 ρ
τ
δ
odyuUu
xd
d =−∫ (7.10.3)
Esta es la ecuación de la integral de momentum. Físicamente representa que el cambio de
momentum de la capa límite es la fuerza de arrastre sobre la placa. Para encontrar el espesor de la
capa límite se utiliza esta ecuación de la siguiente manera.
Se propone un perfil de velocidad en la capa límite de la forma
2
21
0




++=
δδ
y
a
y
aa
U
u
o
Esta forma debe satisfacer las siguientes condiciones
u(x,0)=0
u(x,δ)=U0
( )
0
 
, =
∂
∂
y
xu δ
de donde
0=a0
1=a0+a1+a2
0=a1+2a2 
y
a0=0
a1=2139
a2=-1
El perfil de velocidad es entonces
2
0
 2




−=
δδ
yy
U
u
En (7.10.3) la integral del lado izquierdo es
∫ =−
δ
δ
 
0 
2
00 15
2
 )( UdyuUu
Además
δ
µ
∂
∂µτ 0
0
2
 
 U
y
u
y
o ==
=
Sustituyendo en (7.10.3)
δ
δ 020 2 15
2
 
U
vU
xd
d =




o bien
0
15 
U
dx
vd =δδ
Integrando, con la condición δ = 0, cuando x = 0, se tiene
21
0
30 



=
U
x
vδ
En forma adimensional
140
( ) 21Re48.5 −= xx
δ
Resultado muy próximo al obtenido en la solución de Blasius.
El método de la integral de momentum se ha ilustrado con un polinomio de segundo
orden. Las tres constantes de este polinomio se obtuvieron debido a tres condiciones. Si se
emplea un polinomio de más alto orden, los resultados son mejores, pero también son necesarias
más condiciones sobre la velocidad u para calcular el valor de las constantes del polinomio. Por
ejemplo, de la ecuación de conservación de momentum se observa que si en la pared u = u = 0,
entonces 0
 
 
2
2
=
y
u
∂
∂
para y = 0. Otra condición que puede emplearse para mejorar el perfil en y =
δ es 0
 
 
2
2
=
y
u
∂
∂
. Las derivadas de la ecuación de conservación de momentum se pueden emplear
para obtener más condiciones si se necesitan.
7.11 Separación de la capa límite.
En el flujo alrededor de un cilindro se forma una capa límite junto a la superficie. La
presión en la capa límite se determina por el flujo potencial fuera de esta capa.
B
CA
B
Fgura 7.11.1
Despreciando por el momento la existencia de la capa límite, el flujo potencial alrededor
del cilindro es como se muestra en la figura 7.11.1 En este flujo, la presión sobre la superficie del
cilindro disminuye del punto A al punto B. De B a C la presión aumenta hasta que recupera su
valor en el punto A.
141
En un flujo viscoso la capa límite tiene un gradiente de presión entre A y B negativo. O
sea, que las fuerzas de presión se presentan en el sentido del flujo. Pero entre B y C las fuerzas de
presión tienen sentido contrario al flujo. O sea que se tiene un gradiente positivo. En ocasiones
este gradiente puede ser suficientemente grande como para forzar que el fluido adyacente al
cilindro se mueva en dirección contraria a la corriente libre como se muestra en la figura 7.11.2.
Figura 7.11.2
En el punto (a) la capa límite se separa de la superficie del cilindro. En (b) la capa límite
ya está separada y entre ésta y la superficie del cilindro existe un flujo secundario en sentido
contrario al flujo principal. En el punto de separación existe la siguiente condición
( )
 0
 
0, =
y
xu
∂
∂
Este fenómeno de separación de la capa límite puede ocurrir en cualquier flujo que tenga
un gradiente de presiones positivo (adverso). Por ejemplo, hay peligro de separación en un
difusor y es común que se presente atrás de cuerpos en movimiento relativo con un fluido.
B
C
a
b
x
y
142
CAPITULO 8. FLUJOS COMPRESIBLES
8.1 Ondas acústicas 137
143
FLUJOS COMPRESIBLES.
En los capítulos anteriores se ha tratado con fluidos incompresibles. Sin embargo, existen
algunos fenómenos que se deben a la compresibilidad del fluido. Aquí se estudiarán estos
fenómenos, para lo cual se consideran estos efectos en las ecuaciones de movimiento.
Con el objeto de simplificar las ecuaciones en ocasiones se despreciará la viscosidad del
fluido. Bajo estas condiciones y despreciando las fuerzas de cuerpo,las ecuaciones para este caso
son:
∂ρ
∂
ρ
t
U+ ∇ ⋅ =( ) 0 (8.1)
ρ ∂
∂
ρ ρ
r
r rU
t
U U+ ⋅ ∇ = −∇( ) (8.2)
ρ ∂
∂
ρ ρe
t
U e U k T+ ⋅ ∇ = − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ∇( ) ( )
r r
 (8.3)
Es necesario introducir la ecuación de conservación de energía debido a que con (8.1) y
(8.2) se tienen cuatro ecuaciones escalares y cinco incógnitas escalares.
Físicamente, por la compresibilidad del fluido se tienen variaciones de temperatura. Esto
lo toma 4en cuenta la ecuación de energía. Estas ecuaciones junto con
 p p T= ( , )ρ (8.4)
 e e T= ( , )ρ (8.5)
forman un sistema cerrado de siete ecuaciones escalares y siete incógnitas escalares.
En la ecuación de conservación de la energía se considera que la interacción de calor
entre el medio ambiente y el fluido es por conducción.
Para el caso de un gas perfecto, las ecuaciones (8.4) y (8.5) toman la forma:
P RT= ρ (8.6)
e c Tv= (8.7)
Donde R es la constante del gas y cv es el calor específico a volumen constante que se
tomará invariable.
8.1 Ondas acústicas.
144
Si se le dá al fluido un disturbio pequeño en la presión este se propaga en el espacio en
forma de ondas. Estas fluctuaciones de presión en un punto causan
fluctuaciones correspondientes de velocidad, densidad y temperatura, relacionadas por las
ecuaciones de movimiento.
En el caso unidimensional no viscoso las ecuaciones (8.1) y (8.2) toman la forma
 
∂ρ
∂
∂
∂
ρ
t x
u+ =( ) 0 (8.1.1)
 
∂
∂
∂
∂ ρ
∂ρ
∂
u
t
u
u
x x
+ = − 1 (8.1.2)
Para flujo barotrópico:
p p= ρ( )
de donde
∂
∂ ρ
∂ρ
∂
p
x
dp
d x
=
y la ecuación (8.1.2) se puede escribir
∂
∂
∂
∂ ρ ρ
∂ρ
∂
u
t
u
u
x
dp
d x
+ + =1 0 (8.1.3)
A un fluido en reposo con densidad ρ 0 , presión p0, uniformes, se le perturba u’ en
velocidad, ρ ’ en densidad y p’ en presión. Entonces, la velocidad, la presión y la densidad son
u u
p p p
= ′
= + ′
= + ′
0
0ρ ρ ρ
`Sustituyendo en (8.1.1) y (8.1.3)
∂ρ
∂
∂ρ
∂
ρ ρ ∂
∂
′ + ′
′ + + ′ ′ =
t
u
p
u
x
( )0 0 (8.1.4)
∂
∂
∂
∂ ρ ρ ρ
∂ρ
∂
′ + ′ ′ +
+ ′
′ =u
t
u
u
x
dp
d x
1
0
0
 (8.1.5)
Haciendo la expansión de 
1
0ρ ρ+ ′
 y de 
dp
dρ
se tiene
145
( ) ( )
1 1
1
2
0 0 0 0
2
0
0
2
2
0
0
2 3
3
0
ρ ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ
+ ′
= − ′ + ′





 +








=





 + −





 +
− 




 +
...
!
...
dp
d
dp
d
d p
d
d p
d
Donde el subíndice cero se refiere a las condiciones en reposo. Puesto que las
fluctuaciones son muy pequeños los términos cuadráticos, cúbicos, etc., de estas son
despreciables con respecto a las fluctuaciones. Este proceso de linealización reduce (8.1.4) y
(8.1.9) a
 
∂ρ
∂
ρ ∂
∂
′ + ′ =
t
u
x0
0 (8.1.6)
∂
∂ ρ ρ
∂ρ
∂
′ +






′
=u
t
dp
d x
1
0
0 0
 (8.1.7)
Derivando (8.1.6) con respecto a t y (8.1.7) con respecto a x, se tiene
∂ ρ
∂
ρ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂ ρ ρ
∂ ρ
∂
2
2 0
2
2
0
2
2
0
1
0
′ + ′ =
′ +
′






′ =
t
u
x t
u
x t
dp
d x
Eliminando u’ de ambas ecuaciones
 
∂ ρ
∂
∂ ρ
∂
2
2 0
2
2
2
′ = ′
t
a
x(8.1.8)
donde
a
dt
d0
0
=





ρ
 (8.1.9)
La solución de (8.1.8) es de la forma
( ) ( ) ( )′ = − + +ρ x t f x a t g x a t, 0 0 (8.1.10)
Donde f y g son funciones arbitrarias. La solución se puede verificar sustituyendo en
(8.1.8). Considérese la primera parte de la solución f (x-a0t). El valor de esta función es constante
para
146
x-a0 t = c
que representa una linea recta en el plano x-t, con pendiente 
1
0a
Figura 8.1.1
En la figura 8.1.1 se muestra esta linea para c = c1. Las posiciones en las cuales
( )′ =ρ f c1 depende del tiempo. Para t = t1 esta posición es x1 y para t = t2 es x2. O sea que el
punto donde ′ρ es constante se desplaza con velocidad a0 en el sentido positivo de x. Esta es una
onda de ′ρ .
De la misma forma g (x + a0 t) representa una onda de ′ρ que se desplaza con velocidad a0 en el
sentido negativo de x.
Por esta razón a la ecuación (8.1.8) se le llama ecuación de onda.
Eliminando ′ρ entre (8.1.6) y (8.1.7) se tiene
∂
∂
∂
∂
2
2 0
2
2
′ = ′u
t
a
u
x
 (8.1.11)
Esto indica que la perturbación de la velocidad u’ se propaga también en forma de onda.
Y puesto que se consideró el flujo como barotrópico, la presión es únicamente una función de la
densidad y la presión se propaga en forma de onda. La velocidad de propagación de estas ondas
es la velocidad acústica a0, que se puede calcular de (8.1.9).
Caso 1. Líquido
Considérese un volumen V de líquido cuyo módulo de compresibilidad es K, entonces:
t
t2
t1
x1 x2
x
c = c1
c1
147
k
dp
dV
V
= −
por lo tanto
dp
d
k
ρ ρ
= 
y la velocidad acústica es:
a
k
0
0
=
ρ
 (8.1.12)
para agua a 15° C
a0 = 1430 m/seg.
Caso 2. Gas perfecto en un proceso isoentrópico.
La consideración de proceso isoentrópico es posible debido a que las fluctuaciones en la
ondas acústicas son tan rápidas que la transmición de calor es despreciable y que desde el
principio se ha despreciado la disipación viscosa de energía.
En estas condiciones
p
c
ργ
=
Donde c es una constante y γ es la relación de calores específicos. Derivando
dp
d
c
p
RT
ρ
γρ
γ
ρ
γ
γ=
=
=
−1
 
 
Usando la ecuación de estado (8.6), la velocidad acústica es:
a
p
0
0
0
= γ
ρ
 (8.1.13)
 = γRT0 (8.1.14)
Para aire a 270 C
148
a0=348 m/seg
La velocidad acústica no necesariamente es constante en un fluido, sino depende de las
propiedades en cada punto del fluido.
Se calculó la velocidad acústica para un fluido en reposo. Sin embargo, el análisis para la
velocidad acústica en un fluido en movimiento uniforme, es el mismo sobre un marco de
referencia que se mueve con el fluido. La velocidad acústica es la calculada anteriormente, pero
relativa al flujo. La velocidad del flujo en un punto comparada con la velocidad acústica en el
mismo punto, se define como número de Mach (M). O sea:
M
U
a
=
0
 (8.1.15)
Donde U es la magnitud de la velocidad es el punto considerado.
De la definición de módulo de compresibilidad k s4e nota que para fluidos
incompresibles, k tiende a ser infinito. De (8.1.12) se observa que la velocidad acústica también
tiende a infinito, y en (8.1.15) el número de Mach acero. Sin embargo,como no existen fluidos
perfectamente incompresibles el número de Mach solamente podrá ser pequeño. Entonces el
número de Mach es un índic de la importancia de la compresibilidad en un flujo. Para números
de Mach hsata 0.2 ó 0.3, dependiendo de la presición que se requiera, el flujo se puede tomar
como incompresible.
Para números de Mach más altos que los mencionados anteriormente, los efectos de la
compresibilidad son importantes. estos flujos compresibles se dividen en dos grupos:
 i) Flujos subsónicos (M<1)
El flujo donde el número de Mach es menor que uno en todas partes, es flujo subsónico.
149
150
CAPITULO 9. MODELACION MATEMATICA DEL TRANSPORTE DE MASA Y ENERGIA EN
YACIMIENTOS GEOTERMICOS (MEDIO ROCA-FLUIDO).Error! Bookmark not defined.
9.1 Introducción.
9.2 Ecuaciones gobernantes del transporte de masa y energía en los yacimientos geotérmicos.
9.3 Métodos numéricos para la solución de las ecuaciones gobernantes.
9.4 Aplicación del método numérico de Diferencias Finitas Integradas (DFI) para la solución de las
ecuaciones gobernantes.
9.5 Referencias.
MODELACION MATEMATICA DEL TRANSPORTE DE MASA Y ENERGIA EN YACIMIENTOS
GEOTERMICOS (MEDIO ROCA-FLUIDO).
9.1 Introducción
 La modelación del transporte de masa y energía en los yacimientos geotérmicos es una herramienta muy
poderosa en el área de ingeniería de yacimientos. Permite establecer y/o reforzar modelos conceptuales de diversos
tipos de yacimientos y decidir estrategias de exploración y explotación de los mismos. La ingeniería de yacimientos
es considerada como un enlace entre los trabajos de exploración geológica y la utilización de los fluidos producidos;
incluye desde mediciones durante la perforación de pozos, hasta el cálculo del potencial del campo y la predicción
de su comportamiento bajo diferentes estrategias de explotación. Al inicio de la explotación de un campo
geotérmico, la información es escasa y el comportamiento se trata de predecir en base a modelos simplificados.
Conforme se va incrementando el número de pozos, la información es mayor y las predicciones más precisas al
considerar modelos más completos. No obstante, la modelación de un campo geotérmico es complicada. Esto a
causa de las continuas transiciones de fase líquido-vapor, de la presencia de sales y de gases no condensables en el
agua geotérmica y a que el medio rocoso es esencialmente fracturado, entre otros aspectos.
 Dada la complejidad de la modelación de un campo geotérmico, los simuladores numéricos geotérmicos se han
dividido prácticamente en dos clases. Una comprende la simulación del transporte de masa y energía en el medio
roca-fluido de los yacimientos geotérmicos (in-situ) resolviendo las ecuaciones gobernantes para el transporte de
fluidos en un medio poroso (Bear, 1972). El efecto de pozo en estos simuladores de yacimiento es únicamente a
través de un término fuente/sumidero en las ecuaciones gobernantes. La otra clase de simuladores geotérmicos
comprende la simulación del transporte de masa y energía en el pozo mismo (e.g. Gunn y Freeston, 1991)
considerando el efecto del yacimiento (medio roca-fluido) a través de un índice de productividad dependiente de las
propiedades del yacimiento. Sustanciales avances se han obtenido en las dos clases de simuladores geotérmicos aun
cuando todavía queda mucho por hacer, principalmente en lo que respecta al tratamiento de las fracturas en los
yacimientos, y en lo que respecta a los mapas y correlaciones empleados para la modelación del flujo geotérmico en
los pozos (Hadgu, 1989). Estos mapas de patrones de flujo y las correlaciones para obtener la caída de presión en
los pozos geotérmicos son, por lo general, rigurosamente válidos para sistemas agua-aire, a falta de suficiente
información experimental para sistemas geotérmicos. En la actualidad, se está dedicando gran esfuerzo en acoplar
los mejores simuladores geotérmicos de ambas clases (e.g. Hadgu et al., 1993; Murray y Gunn, 1993), de
yacimiento y de pozo, para obtener simuladores acoplados yacimiento-pozo que representen mejor el transporte demasa y energía en el medio roca-fluido-pozo de los campos geotérmicos.
 Mucho del conocimiento adquirido hasta el presente acerca del comportamiento general de los campos
geotérmicos ha sido en base a modelos numéricos de medios porosos homogéneos. En este contexto, algunos de los
trabajos numéricos más importantes publicados en la literatura especializada son los de Narasimhan y Witherspoon,
1976; Grant, 1977; Faust y Mercer, 1979; Zyvoloski y O'Sullivan, 1980; Atkinson et al., 1980; Bodvarsson, 1984;
O'Sullivan et al., 1985; McKibbin y Pruess, 1988 y 1989; entre otros. Dichos trabajos, en su mayoría, se abocan al
estudio de campos geotérmicos reales como los de Wairakei, Ohaaki y Broadlands en Nueva Zelanda, y Bagnore y
Larderello en Italia. Comprenden problemas complejos de flujos multifásicos, geometrías regulares e irregulares y
campos con muchos años de producción.
desarrollado por Barenblatt et al. (1960) y por Warren y Root (1963). En esta aproximación, un medio poroso
fracturado es particionado en dos medios continuos con flujos cuasi-estacionarios, uno constituído de pequeños
poros en la matriz rocosa (porosidad primaria) y el otro constituído de una red de fracturas y fisuras interconectadas
(porosidad secundaria). El flujo en cada uno de estos medios continuos se supone gobernado por la ley de Darcy
(Bear, 1972). Se supone además que el flujo global ocurre principalmente a través de la red de fracturas con
interacción local entre fractura y matriz porosa. Warren y Root aplicaron este método para casos de flujos de fase
simple e isotérmicos en yacimientos petroleros.
 A diferencia de los yacimientos petroleros, en los yacimientos geotérmicos la transferencia de energía en forma de
calor es intrínseca y no puede suponerse como un sistema isotérmico. El flujo de calor y masa es bifásico, acoplado
y el período de flujo transitorio entre fractura y matriz porosa puede ser muy largo. Pruess y Narasimhan (1982a,b)
adaptaron el método de doble porosidad de Warren y Root a condiciones geotérmicas dando lugar al método MINC
(Multiple INteracting Continuum). El método supone que el flujo global en el yacimiento geotérmico ocurre
principalmente a través del medio continuo de fracturas interconectadas y que las variaciones en las condiciones
termodinámicas son menos pronunciadas en la dirección de una fractura que perpendicular a ella. Una descripción
detallada se encuentra en Pruess (1983). No obstante que el método MINC ha sido aplicado exitosamente (Lippman
et al., 1985; Bodvarsson y Gaulke, 1987; Pruess et al., 1990; Suárez, 1995; entre otros) a problemas de flujo
simultáneo de calor y fluido, para fluidos multicomponentes y multifásicos, etc., existe poca información
cuantitativa disponible respecto a su rango de validez y la aproximación que puede obtenerse para diferentes tipos
de sistemas de flujo.
 La principal dificultad en la modelación de procesos térmicos en medios fracturados, es que pueden ocurrir
fuertes variaciones en las condiciones termodinámicas entre fractura y matriz porosa a distancias relativamente
cortas. Las perturbaciones térmicas o hidrológicas a las que está sometido un yacimiento geotérmico tenderán a
propagarse rápidamente a través de las fracturas pero lentamente en la matriz porosa. Si la velocidad de cambio en
las condiciones termodinámicas causada por las perturbaciones externas es suficientemente lenta y el equilibrio
entre fractura y matriz suficientemente rápido, sólo entonces, la fractura y la matriz porosa permanecerán en
condiciones de equilibrio termodinámico local. En esta circunstancia y cuando el espaciamiento entre fracturas es
pequeño en comparación al tamaño del yacimiento, la roca fracturada puede tratarse como un "medio continuo
efectivo" o "medio poroso equivalente" con parámetros físicos en términos de las propiedades de la matriz porosa y
de la red de fracturas interconectadas (Rybach y Muffler, 1981; Pruess et al., 1990). La viabilidad de la
aproximación de un medio continuo efectivo (Pruess et al., 1988) dependerá de la naturaleza de la perturbación
externa, de las propiedades del medio poroso fracturado, y de las escalas de observación de espacio y tiempo. Es
una aproximación que requiere evaluarse cuidadosamente para un caso particular de circunstancias y condiciones.
9.2 Ecuaciones gobernantes.
 Las ecuaciones generales que gobiernan el transporte de masa, cantidad de movimiento y energía de una mezcla
roca-líquido-vapor-gas son complejas. No obtante algunas hipótesis son válidas para la mayoría de los yacimientos
monofásicos (Moya et al., 1987). Sin embargo, no es adecuada para flujos geotérmicos, a causa de las constantes
transiciones de fase.
 La transferencia de energía se lleva a cabo principalmente mediante el movimiento del fluido (convección
forzada) y mediante conducción a través del medio roca-fluido. El mecanismo convectivo predomina y es el
causante de la no linealidad de la ecuación de conservación de la energía. No obstante, existen algunos sistemas
geotérmicos con régimen conductivo predominante como los acuíferos de baja temperatura y de baja entalpía
(incluyendo yacimientos geopresurizados) y los sistemas denominados de roca seca caliente.
 Considerando los mecanismos físicos mencionados, las ecuaciones gobernantes que se describen a continuación
son las generalmente empleadas en la modelación de yacimientos geotérmicos. Se establecen para un medio roca-
fluido en equilibrio termodinámico local, constituído por roca porosa homogénea y por un flujo bifásico de agua
con sales y gases no condensables.
La integración es sobre un subdominio Vn (volumen de control) limitado por una superficie cerrada τn . La ecuación
establece que la acumulación de masa (o energía) M en el volumen de control, es la suma de los flujos de masa (o
energía) a través de la superficie cerrada y de las fuentes/sumideros de masa (o energía) q presentes en el volumen
de control. M denota masa para k=1,...,NK componentes (H2O, CO2, NaCl, etc.), o energía por unidad de volumen
para k=NK+1. La masa total M de cada componente se obtiene sumando las contribuciones de las fases líquida y
vapor:
con β=1 para la fase líquida y β=2 para la fase gaseosa (vapor y gas). φ es la porosidad del medio rocoso, Sβ la
saturación (fracción volumétrica) de la fase β, ρβ la densidad de la fase β y Xβ(k) la fracción másica de la
componente k presente en la fase β.
 Similarmente, el término de acumulación de energía en forma de calor en un sistema multifásico es:
donde uβ denota la energía interna específica de la fase β y ρR y CR la densidad y el calor específico del material
rocoso, respectivamente.
dVq + dnF = dVM
Dt
D )(
V
)()(
V nnn
κκ
τ
κ τ ∫•∫∫ r
r
(1)
XS = M )(
2
1=
)( κ
βββ
β
κ ρφ ∑ (2)
TC)-(1 + uS = M RR
2
1=
1)+(NK ρφρφ βββ
β
∑ (3)
siendo K la permeabilidad absoluta dependiente principalmente de la porosidad, Krβ la permeabilidad relativa de
cada fase β dependiente de la saturación de las fases y de la temperatura T, la viscosidad dinámica µβ en general
depende de la presión y temperatura. El vector g→ denota la aceleración gravitacional y Pß la presión de la fase ß.
La ley de Darcy (Bear, 1972) en su forma original fue obtenida empíricamente para el flujo isotérmico de agua a
través de arena (Darcy, 1856), tiene una forma similar a la ley de Fourier para la conducción del calor o a la ley de
Fick para la difusión de masa. Ha sido extendida a materiales no isotrópicos introduciendo un tensor de
permeabilidades. Asimismo se ha modificado para incluir efectos inerciales, turbulentos y efectos viscosos de gran
escala.
 La diferencia entre las presiones P de las fases líquida y vapor es equivalente a la presión capilar (Pl-Pv≡Pc). En
un proceso en ebullición, la presión capilar tiene el efecto de disminuir la presión de vapor (Torrance, 1983) y es
importante en materiales con poros muy pequeños. Suponer equilibrio mecánico (Pl=Pv) es suponer que la presión
capilar es despreciable. Para sistemas bifásicos dealta temperatura la presión capilar es menor de 1 bar y es, por
tanto, insignificante en comparación con los cambios de presión inducidos por la producción o inyección.
 El flujo de energía en forma de calor contiene componentes conductiva y convectiva:
donde K es la conductividad térmica equivalente del medio roca-fluido, y hß=uß+P/ρß es la entalpía específica de la
fase ß.
 La densidad (ρR) porosidad (φ), permeabilidad (K ), calor específico (CR) y la conductividad térmica (k), son
propiedades termofísicas de la roca que deben estipularse para poder resolver el sistema de ecuaciones planteado.
Cuanto más sofisticado es un modelo matemático, mayor es la necesidad de una caracterización espacial y temporal
de la roca geotérmica. Existen diferentes metodologías experimentales para la determinación de las propiedades
termofísicas de un medio rocoso. En particular, el Departamento de Geotermia del Instituto de Investigaciones
Eléctricas cuenta con un simulador físico de yacimientos geotérmicos (Contreras y Garfias, 1988) que permite
obtener las propiedades bajo condiciones de temperatura, presión, esfuerzo y saturación prevalecientes en los
yacimientos. Algunas correlaciones para la determinación de estas propiedades y de las propiedades de transporte
como viscosidad (µ), permeabilidad relativa (Krß) y conductividad térmica efectiva (K) pueden encontrarse en
Moya et al., (1995), como función de P y T. Un modelo de solubilidad del CO2 en agua para condiciones
geotérmicas puede encontrarse en Moya e Iglesias (1992).
9.3 Métodos numéricos para la solución de las ecuaciones gobernantes.
Las ecuaciones gobernantes del transporte de masa y energía en el sistema roca fluido de los yacimientos
Fh+T-=F 1)+(NK ββ
β
∑Κ∆ (6)
regulares e irregulares. En combinación con el método Newton-Raphson para manejar las no linealidades de las
ecuaciones y de un algoritmo numérico eficiente para invertir las matrices dispersas generadas, el método DFI ha
sido la base de los simuladores geotérmicos desarrollados en el Laboratorio de Lawrence Berkeley, California
(Pruess, 1988). Entre estos se encuentran los simuladores SHAFT79 (Pruess y Schroeder, 1980) en el que se
considera agua pura bifásica como el fluido geotérmico y TOUGH2 (Pruess, 1991) en el que se consideran
diferentes sistemas binarios y ternarios.
 El método de Diferencias Finitas Integrales (DFI) fue introducido en 1953 (Narasimhan y Witherspoon, 1976)
por MacNeal (1953) para resolver problemas de valores a la frontera. Tyson-Weber (1964) y Cooley (1971) lo
emplearon en problemas de flujo subterráneo; Dusinberre (1961) y Edwards (1972) en algunos problemas de
transferencia de calor. En 1976, Narasimhan y Witherspoon describieron por primera vez el método como una
herramienta muy poderosa para estudiar el movimiento de fluidos en medios porosos. Pruess (1988) lo emplea en el
análisis del transporte de masa y energía en yacimientos geotérmicos y desde entonces se ha demostrado su
capacidad para modelar flujo multifásico y efectos por cambios de fase. Una descripción detallada del método DFI
puede encontrarse en Suárez
y de la Torre, 1991).
9.4 Aplicación del método de Diferencias Finitas Integrales (DFI) a sistemas geotérmicos.
 El método numérico DFI puede aplicarse, entre otros problemas, al flujo simultáneo de fluido y calor en
yacimientos geotérmicos. Aplicando DFI a la ecuación gobernante (1), la discretización espacial se hace por
introducción de promedios volumétricos apropiados. La forma discreta resultante es:
donde M denota masa o energía y Mn es el valor promedio de M sobre Vn. La integral de superficie se expresa
como una suma discreta de valores medios de los flujos normales atravesando el segmento de superficie Anm:
el flujo másico (ley de Darcy) se expresa en términos de los valores medios de los parámetros en los elementos Vn y
Vm, esta es:
MV=MdV nnV n∫ (7)
FA=ndF nmnm
m
n ∑•∫ ττ (8)
]gP
-P[]
k
[K=F
m,n,r ρ
ρ ββββ (9)
 La discretización en tiempo es implícita, en forma de diferencias finitas de primer orden e involucrando los
términos de flujo y de fuente/sumidero en el nivel de tiempo más reciente tk+1=tk + δt. Esto permite obtener
(Peaceman, 1977) la estabilidad numérica necesaria para un cálculo eficiente de flujo multifásico. La discretización
en tiempo resulta en el siguiente grupo de ecuaciones algebraicas, acopladas, no lineales:
Para N bloques o número de elementos de volumen Vn de la malla numérica, las ecuaciones (11) representan un
sistema de (NK+1)N ecuaciones algebraicas. El sistema es no lineal y acoplado. La no linealidad se presenta en la
ecuación de transferencia de energía por los cambios de orden de magnitud en los parámetros durante las
transiciones de fase y por las propiedades no lineales del material rocoso (como permeabilidades relativas y
presiones capilares). El acoplamiento es a consecuencia de la interdependencia de los flujos de masa y energía.
Estas características hacen necesaria una solución simultánea de las ecuaciones de balance, teniendo en cuenta todos
los términos de acoplamiento. Para manejar las no linealidades es recomendable el empleo de la técnica
Newton/Raphson. Las variables desconocidas son las (NK+1)N variables primarias independientes las cuales
definen completamente el estado termodinámico del sistema de flujo en el nivel de tiempo tk+1. Para cada elemento
de volumen existen NK+1 variables primarias, la elección de las cuales depende de las fases presentes de acuerdo a
la siguiente tabla:
VARIABLES TERMODINAMICAS PRIMARIAS PARA UN SISTEMA H2O-CO2
Error! Bookmark
not defined.# de
fases
 variable # 1 variable # 2 variable # 3
fase simple
dos fases
P-presión (Pa) P (Pa) T-temperatura(°C)
Sg-sat. de gas
X-frac.mas.CO2
 T (°C)
 El procedimiento iterativo Newton/Raphson es como se describe a continuación.
 Denotando las variables primarias colectivamente como (xi: i=1,...,3N), expandiendo a primer orden los
residuales en el índice de iteración p y demandando que los residuales Rn
(k)k+1 en las ecuaciones (11) sean cero en el
q+FA
V
1
=
dt
dM (k)
n
(k)
nmnm
mn
(k)
n ∑ (10)
0=}qV+FA{
V
t
-M-MR
1+)k(
nn
1+)k(
nmnm
mn
)k(
n
1+)k(
n
1+)k(
n
κκκκκ ∑∆≡ (11)
representando un sistema de (NK+1)N ecuaciones lineales acopladas para los incrementos (xi,p+1 - xi,p). Este sistema
puede resolverse con un algoritmo directo eficiente como el desarrollado por Duff (1977) que almacena únicamente
coeficientes de la matriz diferentes de cero. Todas las derivadas ∂Rn/∂xi en la matriz jacobiana pueden evaluarse
numéricamente. El criterio de convergencia establecido es:
si no se obtiene convergencia dentro de un cierto número de iteraciones globales, se reduce el tamaño de la etapa de
tiempo δt iniciándose un nuevo proceso de iteración.
 La información geométrica requerida por la ecuación (11) consiste, por un lado, de los volúmenes Vn de cada
elemento de la malla numérica y por el otro, lo referente a intercaras entre elementos, es decir, áreas interfaciales
Anm, distancias internodales Dnm y componentes gnm del vector de aceleración gravitacional. No existe referencia a
un sistema global de coordenadas, o a la dimensionalidad de un problema particular. Las ecuaciones son válidas
tanto para geometrías regulares como para irregulares, en una, dos o tres dimensiones. La precisión de las
soluciones depende de la precisión con que los diversos parámetros interfaciales puedan expresarse en términos de
condiciones medias en los elementos. Una condición suficiente para que esto sea posible es que exista equilibrio
termodinámico aproximado en todos los elementos, en todos los tiempos (Pruess y Narasimhan, 1985). Para mallas
regulares referidas a coordenadas globales (tales como r-z o x-y-z), el sistema de ecuaciones (11) es idéntico a una
formulación convencional de diferencias finitas (Peaceman, 1977).
εκ
κ
11+)k(
1+pn,
1+)k(
1+pn, |
M
R| ≤ (13)
11
 Resumiendo, el método numérico descrito consiste en: a) DFI para la discretización espacialde las ecuaciones
gobernantes; b) diferencias finitas de primer orden y una formulación implícita en tiempo para obtener estabilidad
numérica y tolerancia en la etapa de tiempo; c) solución simultánea de las ecuaciones así discretizadas e iteración
Newton-Raphson para manejar las no linealidades; d) por último, inversión eficiente de las matrices originadas en
cada iteración Newton-Raphson.
 Lo anterior constituye el soporte de los simuladores geotérmicos más conocidos como es el caso del simulador
SHAFT79 (Pruess y Schroeder, 1980) en el cual se considera agua pura bifásica, y el caso del simulador
MULKOM (Pruess, 1988) que involucra además la presencia de CO2 o de NaCl. SHAFT79 ha sido la herramienta
de numerosos estudios geotérmicos efectuados hasta la actualidad mientras que el MULKOM se encuentra aún en
etapa de investigación. De MULKOM se deriva el simulador TOUGH2 (Pruess, 1991) el cual tiene la opción de un
nuevo código (T2CG1, Moridis y Pruess, 1995) que permite una mayor eficiencia en la inversión de matrices y el
manejo de un mayor número de ecuaciones.
9.5 Referencias del Capítulo 9:
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12
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14
CAPITULO 10 MEDIOS POROSOS
15
9.1 INTRODUCCION
Muchos problemas prácticos de transferencia de calor por convección
natural pueden estudiarse como cavidades llenas de un fluido Newtoniano
sujetas a las condiciones de frontera correspondientes. Así, por ejemplo,
la determinación de la transferencia de calor a través de un espacio de
aire de tamaño y geometría conocidos es un problema que surge
frecuentemente en relación con el aislamiento térmico de construcciones.
El problema fue formulado por Batchelor (1954) en la siguiente forma
bidimensional:
 Un fluido de viscosidad cinemática v,
conductividad térmica k, y con coeficiente de
expansión volumétrica β, llena una cavidad
rectangular limitada por dos paredes verticales
separadas una distancia L, y dos paredes horizontales
aisladas separadas una distancia H. Si las dos
paredes verticales se mantienen a diferentes
temperaturas T 1 y T 2, ¿Cuál es la velocidad de
transferencia de calor a través del fluido desde una
pared vertical a la otra?
Esta cavidad se representa de manera esquemática en la figura 1.
9.2 PARAMETROS ADIMENSIONALES
Para especificar el problema son necesarios tres parámetros
adimensionales. Los más convenientes son:
Número de Prandtl (parámetro de difusividad térmica):
 (9.1)
Número de Rayleigh (parámetro de convección natural):
 (9.2)
Razón de Aspecto:
RA = H / L (9.3)
Siendo k la difusividad térmica (= k/p 0Cp), g la aceleración de la
gravedad y ∆T la diferencia de temperaturas T 1 - T 2. P 0 es la densidad del
fluido a la temperatura de referencia T 0 y C p el calor específico.
k
=Pr
ν
νβ k / L T g =a R 3∆
16
Esquema de una cavidad rectangular de longitud L,
9.3 APROXIMACION DE BOUSSINESQ
17
Como se observa, si v y k son constantes, Pr es función de
propiedades físicas constantes y es por tanto constante para un fluido
dado. Si la densidad también se considera constante excepto para efecto de
la fuerza de gravedad, es común expresar esta variación como
 (9.4) 
Al hecho de considerar las propiedades físicas de la manera descrita
se le conoce como la aproximación de Boussinesq (Gray (1976)), e implica
esencialmente un fluido incomprensible con valores pequeños de (T 2 - T 1) /
T1. El parámetro que cuantifica el fenómeno convectivo natural ( a causa
de la fuerza de gravedad) es el número de R a y es una medida de la
aceleración del fluido a causa de la variación de densidad como función de
la temperatura.
9.4 REGIMENES DE FLUJO
El patrón de líneas de corriente ψ (u= / y, v=- / x) e isotermas
T de un fluido específico en una cavidad de ciertas dimensiones, es decir
Pr y h constantes, dependerá del valor de R a. La celda convectiva ψ
mostrada en la figura 1 es el patrón de flujo característico de la
convección natural en cavidades. La intensidad de la circulación del flujo
aumenta con R a. McGregor y Emery (1969) reportaron los siguientes
regímenes de flujo como función de R a : para R a < 10 
3 se tiene un regimen
conductivo en el cual el fluido está prácticamente sin movimiento y el
mecanismo de transferencia de calor es la conducción. Para 10 3 < R a < 10
4 el
regimen es intermedio y entre 10 4 < R a < 10
6 es de capa límite laminar. Este
último regimen se caracteriza porque el calor se transfiere principalmente
por convección en las regiones adyacententes a las paredes verticales y
mínimamente por conducción a través de la región central. Entre
10 6 < R a < 10
7 se tiene un flujo de transición, y para R a > 10
7 un flujo
de capa límite turbulenta. Por otra parte, Elder (1965) y otros
investigadores coinciden en que cerca de R a = 10
5 pueden generarse flujos
secundarios sobrepuestos al flujo básico.
9.5 NUMERO DE NUSSELT
El conocimiento de la rapidez de transferencia de calor en las
paredes verticales es de gran interés práctico. Esta transferencia se
expresa en términos del número de Nusselt N u que es un parámetro
adimensional y se define como la razón de transferencias de calor por
convección y por conducción. Esto es
 (9.5)
donde h es el coeficiente de transferencia de calor local (para
una cierta posición x en la pared) por convección. También es importante
conocer el valor medio de la transferencia de calor en toda la pared, este
se define como:
(9.6)
Si T', x' y y' son la temperatura y las coordenadas adimensionales,
definidas como T'=( T- T 2) / (T 1 - T 2), x'= x / h, y'= y / L,
respectivamente; Nu x puede expresarse como:
 ) ) T-(T-1 ( = 00 βρρ
k
hl
 = u N x
dx uN 
H
1
 = uN x
H
0∫
18
 (9.7)
y
 (9.8)
9.6 ECUACIONES GOBERNANTES
Entonces para evaluar Nu es necesario conocer el campo de
temperaturas en la cavidad que a la vez depende del campo de velocidades y
presiones. El problema puede formularse matemáticamente en función de las
llamadas variables primarias: presión p, componente u del vector velocidad
en la dirección x, y componente v del vector velocidad en dirección y. O
bién, en función de las variables secundarias: función de corriente, ψ, y
vorticidad, ξ.
Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del flujo en función
de las variables p, u, v y T son las ecuaciones de conservación de la
cantidad de movimiento (ecuaciones de Navier Stokes), la ecuación de
conservación de la energía y la ecuación de continuidad (conservación de
masa). Estas son:
Ecuación de la cantidad
de movimiento en
dirección x
 (9.9 )
Ecuación de la cantidad de movimiento en dirección y
 
(9.10)
Ecuación de la energía
 (9.11)
Ecuación de continuidad
 (9.12)
)
y
T
( - = u N 1 ,0 = yx ′′ ′∂
′∂
xd)
y
T
( - = u N 1 ,0 = y
1
0
′
′∂
′∂
∫ ′
) T - T ( g + )
y
u
 + 
x
u
( + 
x
P1
- = 
y
u
v + 
x
u
u + 
t
u
a2
2
2
2
0
βν
ρ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
)
y
v
 + 
x
v
( + 
y
p1
- = 
y
v
v + 
x
v
u + 
t
v
2
2
2
2
0 ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ν
ρ
)
y 
T 
 + 
x 
T 
( = 
y
T
v + 
x
T
u + 
t
T
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ κ
0 = 
y 
v 
 + 
x 
u 
∂
∂
∂
∂
19
Las ecuaciones (9.9)-(9.12) constituyen un sistema de ecuaciones no
lineal y acoplado que sólo puede resolverse mediante técnicas numéricas y
en forma iterativa. El acoplamiento de las ecuaciones es através de la
aproximación de Boussinesq en el término de las fuerzas de cuerpo de la
ecuación (9.9).
Las ecuaciones de cantidad de movimiento (9.9) y (9.10) son una
aplicación de la segunda ley de Newton. Cada una de ellas establece que la
fuerza de inercia (debida a la aceleración del fluido) es igual a la fuerza
neta externa que actúa sobre el fluido. El primer término es la aceleración
local, mientras que el segundo y tercer términos constituyen la aceleración
convectiva y son términos no lineales (convección forzada). Los dos
primeros términos del lado derecho de la igualdad son las fuerzas
superficiales, motriz y viscosa, repectivamente. El término g β(T - T 0) es
la fuerza de flotación pg/p 0 de acuerdo a la aproximación de Boussinesq,
denota el fenómeno convectivo natural.
La ecuación (9.11) es una consecuencia de la primera ley de la
termodinámica. El lado izquierdo representa la rapidezde cambio de
energia interna (transferencia convectiva) y el lado derecho representa la
rapidez a la cual se adiciona calor por conducción. En esta ecuación se
desprecia la disipación viscosa de acuerdo a la aproximación de Boussinesq.
La disipación viscosa es importante para flujos muy viscosos moviéndose a
altas velocidades.
Por último, la ecuación (9.12) establece la conservación de masa
para un fluido incompresible.
9.7 CONDICIONES DE FRONTERA
Para la solución de las ecuaciones gobernantes es necesario
especificar el problema (Fig. 1) estableciendo las condiciones de frontera
y las condiciones iniciales respectivas. Se considerará el caso del estado
permanente, es decir, el caso en que el comportamiento
del flujo y de la transferencia de calor no cambian con
respecto al tiempo.
Las condiciones de frontera para el campo de velocidades son las
correspondientes a no deslizamiento del fluido en las paredes, esto es:
u(0,y) = u (H,y) = u (x,0) = u (x,L) = 0 ( 9.13 )
v (0,y) = v (H,y) = v (x,0) = v (x,L) = 0 ( 9.14 )
Las condiciones de frontera para el campo de temperaturas corresponden a
dos paredes isotérmicas y dos paredes adiabáticas:
T(x,0) = T 1 ( 9.15 )
T (x,L) = T 2 
( 9.16 )
0 = 
t
T
 = 
t
v
 = 
t
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0 = )
x 
T 
( = )
x 
T 
( H = x0 = x ∂
∂
∂
∂
20
 
( 9.17 )
las cuales representan cuatro condiciones de frontera (cuatro paredes) para
cada una de las variables (u, v, T). Esto a causa de que las ecuaciones
(9.9)-(9.10) involucran segundas derivadas en ambas direcciones, para cada
una de estas variables.
Las primeras derivadas de presión en las ecuaciones (9.9) y (9.10)
requieren establecer sólo dos condiciones de frontera para esta variable,
una en cada dirección. Sin embargo, no es sencillo establecerlas
explícitamente. Una alternativa es encontrar los valores de p en esas
fronteras a partir de las mismas ecuaciones (9.9) y (9.10). Otra forma es
aplicando la divergencia a estas ecuaciones y resolver la ecuación de
Poisson correspondiente:
 (9.18 )
 e involucra
continuidad.
Esta ecuación permite encontrar p implícitamente al requerir cuatro
condiciones de frontera para su solución, dos en cada dirección.
Las ecuaciones (9.9) - (9.12), ó (9.11) - (9.12) y (9.18), en estado
permanente, junto con las condiciones de frontera (9.13) - (9.17), definen
el comportamiento del flujo y constituyen un sistema de ecuaciones
diferenciales parciales no lineal y acoplado. Para resolver un sistema de
tales características es necesario el empleo de métodos numéricos que en su
mayoria son de tipo iterativo. Entre los métodos numéricos más usados para
resolver ecuaciones diferenciales parciales se encuentran (Smith, 1985), el
método de diferencias finitas, el método del elemento finito, el de volumen
finito y más recientemente el de diferencias finitas integradas.
9.8 FORMULACION DEL PROBLEMA EN FUNCION DE VARIABLES SECUNDARIAS
La formulación del problema (Fig. 1) en función de las variables
secundarias función de corriente ψ y vorticidad ξ es de uso más
generalizado por no involucrar condiciones de frontera sobre la presión que
pueden generar inestabilidades numéricas. La formulación ψ, ξ se obtiene
derivando las ecuaciones (9.9) y (9.10) con respecto a -y y x,
respectivamente y efectuando su diferencia, es decir, se obtiene aplicando
el rotacional a esas ecuaciones. El resultado es:
 ( 9.19 )
conocida como la ecuación de
transporte de vorticidad en la cual va implícita la ecuación de
continuidad. La definición de ξ es
x 
T 
 g + )
y 
)v( + 
y x 
(uv)
 + 
xSUP2 
)u((- = )
y 
p 
 + 
x 
p 
( 
1
2
22222
2
2
2
2
0 ∂′
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ β
ρ
y 
T 
 g -)
y 
 
 + 
x 
 
( = 
y 
 
 v + 
x 
 
 u + 
t 
 
2
2
2
2
∂′
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ βξξνξξξ
21
 ( 9.20 )
y, por definición de ψ
, ( 9.21 )
se obtiene:
 ( 9.22 )
que es la ecuación de Poissón para ψ.
La formulación ψ, ξ está constituída entonces por las ecuaciones
(9.11), (9.19) y (9.22). Las condiciones de frontera correspondientes,
considerando estado permanente, son
ψ ( o,y ) = ψ ( H,y ) = ψ ( x,o ) = ψ ( x,L ) = 0 ( 9.23)
T ( x,o ) = T1 ( 9.15)
T ( x,L ) = T2 ( 9.16)
 ( 9.17)
Las formulaciones u,v,P,T y ψ, ξ,T involucran
condiciones de frontera para P y ξ, respectivamente, que no se conocen
explícitamente. El tratamiento numérico de estas condiciones debe ser por
tanto riguroso para evitar errores apreciables en los resultados, tanto
desde el punto de vista cualitativo, como cuantitativo.
Otra formulación importante en variables secundarias se obtiene
sustituyendo las ecuaciones (9.21) y (9.22) en la ecuación (9.19) en
estado permanente, esto es
 (9.24)
 (9.25)
y sus condiciones de frontera son:
ψ ( o,y ) = ψ ( H,y ) = ψ ( x,o ) = ψ ( x,L ) = 0 (9.23)
 
 (9.26)
)
y 
u 
 - 
x 
v 
( = 
∂
∂
∂
∂ξ
x 
 
- = v
∂
∂ψ
y 
y 
 
 = u
∂
∂ψ
ψψψξ - = )
y 
 
 + 
x 
 
( - = 22
2
2
2
∇
∂
∂
∂
∂
0 = )
x 
T 
( = )
x 
T 
(
H = x0 = x ∂
∂
∂
∂
y 
T 
 g - = 
y 
 
 
x 
 
 - 
x 
 
 
y 
 422
∂
∂
∇∂
∂
∇∂
∂
∂
∂
∇∂
∂ βψνψψψψ
T k = 
y 
T 
x 
 
 - 
x 
T 
y 
 2∇∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ψψ
0 =)
y 
 
( =)
y 
 
( =)
x 
 
( =)
x 
 
(
L =y 0 =y H = x0 = x ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ψψψψ
22
T ( x,0 ) = T1 (9.15)
T ( x,L ) = T2 
 (9.16)
(9.17)
 
La ventaja de escribir la ecuación (9.19) en términos de la función
de corriente es que tanto ψ como sus derivadas normales están completamente
definidas sobre las fronteras. No obstante, debe resolverse una ecuación de
cuarto orden por lo que esta formulación es poco usada.
9.9 GENERALIDADES DE LAS FORMULACIONES ADIMENSIONALES
Las formulaciones anteriores en forma adimensional permiten predecir
el comportamiento del flujo y de la transferencia de calor en función de
los valores de los parámetros RA, P r y Ra, es decir, en función de
diferentes esbelteces de la cavidad, de diferentes fluidos y de diferentes
grados de intensidad del fenómeno convectivo natural. Asimismo, con el
conocimiento del campo de temperaturas adimensional en cado caso, es
posible conocer la transferencia de calor respectiva en las paredes de la
cavidad (N u) empleando las ecuaciones (9.7) y (9.8).
Las soluciones en estado permanenete pueden obtenerse considerando
en cada una de las formulaciones correspondientes y aplicando sus
respectivas condiciones de frontera adimensionales. Pero además, las
soluciones en estado permanente pueden obtenerse considerando los términos
temporales y avanzando a través del tiempo hasta llegar al estado
permanente. En este caso, es necesario especificar además de las
condiciones de frontera adimensionales, las respectivas condiciones
iniciales adimensionales, es decir, los valores de las variables
adimensionales cuando t' = 0. Es común establecer como condiciones
iniciales las correspondientes a un flujo sin movimiento con transferencia
de calor por conducción (régimen de flujo conductivo).
Ambas formas de obtener la solución permanente no presentan en la
actualidad muchos problemas al tratarse numéricamente. La ventaja principal
de la segunda alternativa ( ∂ (A) / ∂t' > 0; con A = u', v', T', ξ', ψ' ,
ó ∇ 2 ψ') es su reducido tiempo de cómputo. Las ecuaciones de tipo
elíptico ( ∂ (A) / ∂ t' = 0) requieren por lo regular de muchas iteraciones
internas que aumentan considerablemente el tiempo de cómputo. En las dos
alternativas sin embargo, se involucran en las formulaciones completas
respectivas, las ecuaciones de Poisson para P' ó ψ' que son ecuaciones
elípticas.
9.10 OTRAS CONDICIONES DE FRONTERA
0 =)
x 
T 
( =)
x 
T 
(
H = x0 = x ∂
∂
∂
∂
0 = 
t 
) (
 = 
t 
 
=
t 
T
 = 
t 
v 
 = 
t 
u 2 ′
′∂
′∇∂
′∂
′∂
′∂
′∂′
′∂
′∂
′∂
′∂ ψξ
23
Una condición de frontera más realista en la pared donde se
suministra calor es suponer un flujo de calor constante en vez de una pared
isotérmica. En esta circunstancia se establece queel gradiente de
temperatura en dirección normal a esa pared es constante.
Las pérdidas de calor por convección natural en colectores solares
planos también pueden determinarse con cualesquiera de las formulaciones ya
explicadas, considerando cavidades rectangulares bidimensionales
inclinadas, con la pared inferior (placa obscura) a una temperatura más
elevada que la pared opuesta (cubierta de vidrio) y las dos paredes
restantes térmicamente aisladas (Ramos et al., 1982).
Existen problemas de transferencia de calor convectiva que difieren
de los anteriores en las condiciones de frontera dinámicas. Uno de ellos
es el de la cavidad abierta en la parte superior, es decir, una cavidad sin
pared horizontal superior. En esta superficie libre las condiciones de
frontera son
ξ (H,y) = ψ (H,y) = 0 condición de superficie libre ( 9.26 )
Los problemas de transferencia de calor en tuberías o en canales
requieren establecer los perfiles de velocidad a la entrada y salida de los
ductos que muchas veces se establecen como perfiles de flujo completamente
desarrollado, ya sea en régimen laminar o turbulento.
La competencia entre la convección natural y forzada en estructuras
parecidas a chimeneas, con ventanas de captación del viento en la parte
superior para ventilación de viviendas, es un problema que requiere también
establecer condiciones de frontera dinámicas. El problema puede modelarse
como el flujo entre dos placas planas verticales (una de mayor longitud)
bajo distintos parámetros de intensidad de viento y radiación solar (Moya
et al., 1982, Moya et al., 1983). Los perfiles de velocidad a la entrada
(parte superior) y a la salida (parte inferior) son las condiciones de
frontera dinámicas necesarias y estos perfiles pueden no ser
unidireccionales según sea la dirección e intensidad del viento y pueden
presentar reversibilidad del flujo según sea el calentamiento solar en la
pared.
Otros problemas de convección natural pueden tratarse de manera
similar empleando la formulación más conveniente y aplicando las
condiciones de frontera adecuadas.
9.11 CONVECCION EN UN MEDIO POROSO
La convección natural en un medio poroso es un problema
particularmente simple de tratar numéricamente porque las condiciones de
frontera dinámicas son las más sencillas posibles. Por otra parte, no
existe difusión de vorticidad ( ∇ 2 ξ = 0) y la no linealidad del sistema de
ecuaciones gobernantes se presenta sólo en los términos de convección de
calor de la ecuación de conservación de la energía, ecuación (9.11). Los
términos no lineales de las ecuaciones de cantidad de movimiento (9.9) y
(9.10) son despreciables, ya que se considera que el fluido que satura el
medio poroso se mueve lentamente. Problemas prácticos de la convección en
un medio poroso son el aislamiento de tanques almacenadores de energía
térmica solar y el aislamiento de construcciones.
La formulación matemática del problema físico puede establecerse
suponiendo que el fluido y el material poroso se encuentran en equilibrio
térmico local y que la ley de Darcy (Bear, 1972; Aziz y Kashef, 1987)
24
describe adecuadamente el movimiento del fluido. Según Burns (1977), la ley
de Darcy es válida para flujos con números de Reynolds (basados sobre el
diámetro del poro) menores que 1. Por otra parte, aunque en un medio poroso
pueden existir fuertes gradientes de temperatura, se considera que la
aproximación de Boussinesq es válida. Las ecuaciones de movimiento en
direcciones x y y, la de conservación de la energía y la de continuidad,
para un medio poroso sujeto a la aproximación de Boussinesq, son,
respectivamente:
 
 ( 9.27 )
 
 ( 9.28 )
 ( 9.11)
 
 
 ( 9.12 )
Donde K x y K y son las permeabilidades en las direcciones x y y
respectivamente. Para el caso isotrópico K x = K y = K. µ es la
viscosidad dinámica y k la conductividad térmica efectiva del medio roca-
fluido. Aplicando la divergencia a las ecuaciones de movimiento (9.27) Y
(9.28) se obtiente la ecuación de Poisson para p aplicable a un medio
poroso. El resultado es
 ( 9.29 )
Las condiciones de frontera dinámicas son:
u ( 0,y ) = u ( H,y ) = 0 ( 9.30 )
v ( x,0 ) = v ( x,L ) = 0 ( 9.31 )
Las ecuaciones (9.11) y (9.29) junto con las condiciones de frontera
(9.30) - (9.31) y (9.15) - (9.17) constituyen la formulación u,v,P,T.
La formulación ψ se obtiene aplicando el rotacional a las ecuaciones de
movimiento (9.27) y (9.28), esto resulta
 ( 9.32 )
Las ecuaciones (9.32), (9.11) y (9.21) definen
los campos de ψ, T, u y v en el medio poroso, cuando se resuelven con sus
correpondientes condiciones de frontera.
Condiciones de frontera:
ψ ( 0,y ) = ψ ( H,y ) = ψ (x,0 ) = ψ( x,y ) = 0 ( 9.23 )
T ( x,0 ) = T1 ( 9.15 )
))T - (T g - 
x 
P 
( K- = u 00
x βρ
µ ∂
∂
)
y 
P 
(K - = v y
∂
∂
µ
y 
T 
 + 
x 
T 
 = 
y 
T 
 v + 
x 
T 
 u 2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ κ
0 = 
y 
v 
+
x 
u 
∂
∂
∂
∂
x 
T 
 g = p 2
∂
∂
∇ β
y 
T 
 g 
K
 = 2
∂
∂
∇ βν
ψ
25
T ( x,L ) = T2 
 ( 9.16 )
 ( 9.17 )
Para un medio poroso el parámetro de convección natural se define:
Ra = K g β ( T 2 - T 1 ) L / kv ( 9.33 )
siendo K la permeabilidad absoluta del medio poroso.
Si la cavidad o el medio poroso son calentados a flujo de calor
constante q (problema mixto), el número de Rayleigh puede definirse en base
a una temperatura media de la pared caliente denotada como T m.
 Problema mixto de la cavidad ( 9.34 )
 Problema mixto del medio poroso ( 9.35 )
y en base al valor del flujo de calor constante q:
 Problema mixto de la cavidad ( 9.36 )
 Problema mixto del medio poroso ( 9.37 )
En su estudio de un medio poroso, Prasad y Kulacki (1982) usaron la
siguiente expresión para el número de Nusselt medio:
 ( 9.38 )
donde
( 9.39 )
Este valor del número de Nusselt es importante para propósitos de
diseño debido a que proporciona de una manera directa la temperatura media,
Tm , para cualquier flujo de calor aplicado. Prasad y Kulacki definieron
la temperatura adimesional de la manera siguiente:
T’ = ( T - T1) / ( q L / k ) ( 9.40 )
donde
0 = )
x 
T 
( =)
x 
T 
(
H = x0 = x ∂
∂
∂
∂
νβ k / L )T - T( g = R 32ma
νβ k / L )T - T( Kg = R 2ma
νβ 24* k / L q g = Ra
K k / L q Kg = Ra 2* νβ
 T
1
 = N
m
u ′
26
 ( 9.41 )
Los problemas que se han descrito son algunos ejemplos de los
muchos problemas que se pueden estudiar en el campo de la convección
natural en cavidades y en medios porosos. Cada problema puede formularse
de la manera más conveniente a partir de la ecuaciones de cantidad de
movimiento, energía y continuidad y de las condiciones de frontera
adecuadas. Las tres formulaciones explicadas: variables primarias u,v,P,T;
variables secundarias ψ, ξ,T; y la formulación ψ, T; son las formas más
generales del tratamiento matemático de los problemas físicos. Tales
formulaciones en forma adimensional ( u', v', P', T'; ψ', ξ', T'; ψ', T'
) permiten obtener resultados en función de los parámetros adimensionales
Pr, R a y RA (e.g. Moya et al., 1987) y poder así reproducir los resultados
a diversas escalas (laboratorio, prototipo, planta, etc.). Los campos de
T' obtenidos para cada caso permiten conocer las pérdidas o ganancias de
calor en las paredes (Nu) y poder así eficientar el proceso de la
transferencia de calor.
9.12 FORMULACION ADIMENSIONAL.
En esta sección las formulaciones se expresarán en forma
adimensional y se describirá un método numérico simple para su solución. Se
eligió la formulación ξ, ψ, T para todos los problemas por considerar que
es más conveniente trabajar las condiciones de frontera en función de estas
variables que en función de las variables primitivas u, v, p y T. En
otras palabras, es más conveniente trabajar la vorticidad en las fronteras
que trabajar la presión. Además, usando variables primitivas se pueden
tener inestabilidades convectivas al tratar de satisfacer la ecuación de
continuidad. Finalmente,el procedimiento iterativo basado en las
ecuaciones de variables primitivas es menos satisfactorio en su
comportamiento de convergencia.
El sistema de ecuaciones (9.11), (9.19) y (9.22), las condiciones de
frontera (9.15)-(9.17) y (9.23) y las ecuaciones auxiliares (9.21) y
(9.23) pueden expresarse en forma adimensional considerando H y L; kH/L 2
y k/L; y kH/L y kH/L 3, como factores de escala para las longitudes en
las direcciones x y y; para las componentes de velocidad u y v; y
para la función de corriente ψ y vorticidad ξ; respectivamente. Para la
temperatura se considera T' = ( T-T 2 ) / (T 1 - T 2). Las formas
adimensionales :
)T - T( 
L
k
 = q 1m
y 
T 
 + 
x 
T 
)
H
L
( = 
y 
T 
 v + 
x 
T 
 u 2
2
2
22
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂′
′∂
′∂′
y 
T 
 )
H
L
( PRSUBa - 
y 
 
 + 
x 
 
H
L
_ P = 
y 
 
 v + 
x 
 
 u r2
2
2
22
r ′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂′
′∂
′∂′ _ξξξξ
y 
u 
 - 
x 
v 
)
H
L
( = 
x 
 
 + 
x 
 
)
H
L
(_ = 
2
2
2
2
22
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂′ _ψψξ
27
que para la cavidad cuadrada
se reducen a
( I.9’ )
 ( I.17’
)
 ( I.20’ )
donde
Ra = g β ( T1 - T2 ) L
3 / k v , y ( I.2
)
Pr = v / k ( I.1
)
las condiciones de frontera correspondientes (I.13) - (I.15) y (I.21) en
forma adimensional son
T’ ( x’,0 ) = 1; para el problema mixto: ((∂ T’) / (∂ y’) )y’ = 0 = q’ (
I.13’ )
T’ ( x’,1 ) = 0 ( I.14’
)
 ( I.15’ )
ψ’ ( 0,y’ ) = ψ’ ( 1,y’ ) = ψ’ (x’,0) = ψ’ (
x’,0 ) = 0 ( I.21’ )
La formulación anterior gobierna completamente el comportamiento
del flujo. Como se observa, el sistema de ecuaciones (I.9'), (I.17'),
y (I.20') es un sistema de ecuaciones parciales, no lineal y acoplado que
debe resolverse numéricamente; típicamente se suponen distribuciones de
T', ξ', ψ', ξ', ψ', u' y v', y se hace la consideración linealizante
de que ésas ecuaciones pueden trabajarse como ecuaciones que son sólo
función de T', ξ', y ψ', respectivamente.
Para ilustrar el método de solucioón de cada ecuación se considerará
la aproximación en diferencias finitas de la ecuación de vorticidad.
La variable ξ' en cada punto de la malla se denota por ξ'(I,J). Se
usa una malla con espaciamientos ∆x' y ∆y' en las diorecciones I y J,
y 
 
 = u y , ,
x 
 
 - = v
′∂
′∂′
′∂
′∂′ ψψ
y 
T 
 + 
x 
T 
 = 
y 
T 
 v + 
x 
T 
 u 2
2
2
2
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂′
′∂
′∂′
y 
T 
PSUBr R - ]
y 
 
 + 
x 
 
[ P = 
y 
 
 v + 
x 
 
 u a2
2
2
2
r ′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂′
′∂
′∂′ ξξξξ
y 
u 
 - 
x 
v 
 = 
x 
 
 + 
x 
 
 = 
2
2
2
2
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂′ ψψξ
0 = )
x 
T 
( = )
x 
T 
(
1 = x0 = x ′∂
′∂
′∂
′∂
′′
28
respectivamente. En todas las derivadas se usan diferencias centrales. La
notación es
La aproximación de
diferencias finitas para (I.17') puede entonces escribirse como
u’ δx ’ ξ’ + v’ δy ’ ξ’ = Pr { δx ’ ξ’ + δy ’ ξ’ } - Ra Pr δ y ’ T’
y en forma extensa
u’ ( I,J ) 1 / ( 2∆x’ ) { ξ’ ( I + 1,J ) - ξ’ ( I - 1,J ) } +
v’ ( I,J ) ( 1 / ( 2∆y’ ) ) { ξ’ ( I, J +1 ) - ξ’ ( I,J - 1 ) } =
Pr 1 / ( ∆x’
2 ) { ξ’ ( I + 1,J ) - 2 ξ’ ( I,J ) + ξ’ ( I - 1,J ) } +
1 / ( 2∆y’2 ) { ξ’ ( I,J + 1 ) - 2 ξ’ ( I,J ) + ξ’ ( I,J - 1 ) } -
Ra Pr ( 1 / ( 2∆y’) ) { T’ ( I,J + 1 ) - T’ ( I,J - 1 ) }
para visualizar mejor el procedimiento de solución podemos agrupar la
ecuación anterior de la siguiente manera:
_J)1, - I ( - ) J1,+I ( _ 
x 2
1
 = x ξξξδ ′′′∆
′′
_ J)1, - I ( + ) JI, ( 2 - ) J1,+I ( _ 
x 
1
 = 
2
2
x ξξξξδ ′′′
′∆
′′
+ ) J ,1 - I ( 
x 
1
PSUBr - 
x 2
1
 ) JI, ( u - _
2
ξ ′
′∆′∆
′ _
+ ) J ,I ( 
y 
1
 P 2 + 
x 
1
 P 2 _ 2r2r ξ ′′∆′∆
_
= ) J ,1 + I ( 
x 
1
PSUBr - 
x 
1
 ) J ,I ( u _
2
ξ ′
′∆′∆
′ _
+ ) 1 - J ,I ( 
y 
1
PSUBr + 
y 
1
 ) J ,I ( v _ 2 ξ ′′∆′∆
′ _
29
 ( I.17’’ )
equivalentemente
{ aI } ξ’ (I -1, J) +
{ bI } ξ’ (I , J) +
{ cI } ξ’ (I + 1 , J) =
{ dI }
donde aI , bI y cI son los coeficientes para cada I, y dI
engloba el lado derecho de la igualdad para ésa I. Debido a la
consideración linealizante todos los coeficientes y las temperaturs son
valores conocidos. Los valores de vorticidad que se encuentran en el lado
izquierdo de la igualdad se toman como incógnitas mientras que los se
encuentran en el lado derecho se toman como conocidos (ecuación implícita).
Se observa que los valores de velocidad desconocidos provienen de
las derivadas con respecto a x' y, por el contrario, los que se
consideran conocidos provienen de las derivadas conrespecto a y', excepto
el valor del término central de la discretización de la segunda derivada en
y' que se considera también como incógnita. El considerar este término
como incógnita, permite la convergencia del método para L/H diferentes a
la unidad.
Puesto que los valores de vorticidad incógnitas son para una J fija
la solución puede encontrarse avanzando en la dirección de I (
dirección x' ) a partir de dos valores conocidos en las fronteras (Fig.
18).
Si ahora se supone que los valores de vorticidad incógnitas son para
un I fija la solución puede encontrarse en la dirección contraria, también
a partir de dos valores conocidos en las fronteras (Fig. 18).
+ ) 1 + J ,I ( 
y 
1
PSUBr + 
y 
1
 ) J ,I ( v - _ 2 ξ ′′∆′∆
′ _
) ) 1 - J ,I ( T - ) 1 + J ,I ( T ( 
y 2
1
 P R - _ ra ′′′∆
_
30
El procedimiento se repite hasta que los dos campos de ξ’ (I,J)
obtenidos en cada dirección sean los mismos. Se trata entonces de un
método de solución numerica iteractivo de direcciones alternadas y además
implícito puesto que se incluyen dos condiciones de frontera para calcular
cada hilera o columna de valores de, en este caso, vorticidad. Las
condiciones de frontera se expresan en función de los componentes de la
velocidad usando diferencias de dos puntos hacia adelante, ó de tres puntos
hacia adelante.
en x' = 0
similarmente para x' = 1;
en y' = 0
similarmente para y' = 1 .
Con éstos valores frontera se efectúan
iteraciones hasta que los campos de vorticidad en
el interior de la cavidad satisfagan algún criterio de convergencia. Los
valores frontera de vorticidad deben satisfacer el criterio de convergencia
global.
La ecuacion (I.17'') puede escribirse como
aI ξ' ( I - 1,J ) + b I ξ' ( I,J ) + c I ξ' ( I + 1,J ) = d I (
I.17'' )
asimismo las ecuaciones (I.9') y (I.20') en forma de diferencias finitas
pueden simplificarse a formas equivalentes.
 Si el número de * distingue los coeficientes de cada euación discreta, el
istema de ecuaciones (I.17'), (I.9') y (I.20') puede expresarse como
a*I ξ' ( I - 1,J ) + b
*
I ξ' ( I,J ) + C
*
I ξ' ( I + 1,J ) = d
*
I ( I.17''
)
a**I T' ( I - 1,J ) + b
**
I T' ( I,J ) + C
**
I T' ( I + 1,J ) = d
**
I 
( I.9'' )
a***I ψ' ( I - 1,J ) + b
***
I ψ' ( I,J ) + C
***
I ψ' ( I + 1,J ) = d
***
I ( I.17''
)
Los valores frontera para T' y ψ' son valores fijos. Las
condiciones de frontera para el flujo de calor (tambièn fijas se expresaron
a partir de expansiones en series de Taylor que se incluyen en los términos
de difución de calor, ∂2 T' / ∂x 12 y/o ∂2 T' / ∂y 12 según el problema.
Entonces los valores de ( ∂T / ∂x' ) en las fronteras se inclñiuyen
implícitamente en d I **. Si IQ es el número de puntos de la malla en la
dirección I, los sistemas de ecuaciones de (I.17''), (I.9'') ó (I.20'')
para I = 2, IQ -1, cada uno en forma de matriz, puede escribirse
como
 J ,3 ( v - ) J ,2 ( v 4 _ 
x 2
1
=) J ,1 ( ′′
′∆
′ξ
 3 ,I ( u - ) 2 ,I ( u 4 _ 
y 2
1
 - =) 1 ,I ( ′′
′∆
′ξ
31
=
donde x puede ser cualquier de las variables ξ', T', ó ψ'. Cada
sistema de ecuaciones es un sistema lineal con el mismo número de
ecuaciones e incógnitas. La matriz asociada al sistema pertenece a la
clase de matrices llamadas tridiagonales o bandeadas. Estas matrices
pueden invertirse fácilmente por mediode un algoritmo simple que puede ser
una adaptación especial del procedimiento de eliminación Gaussiana. (
Smith (1971)).
El procedimiento de solución global implermentado es como sigue: la
iteración global se inicia calculando T' empleando (I.9). A esto sigue el
cálculo de la vorticidad en las fronteras para luego obtener la vorticidad
en el interior mediante (I.17''). Después se calcula el campo ψ' con
(I.20''), y finalmente se obtienen los campos de velocidades con las
ecuaciones (I.19''). Para iniciar el procedimiento se dan distribuciones
arbitrarias, en éste caso campos cero, de T', ψ' y ξ' y las
correspondientes condiciones de frontera. Asimismo se dan los valores de
los parámetros de flujo P y R , y la razón de aspecto de cavidad h.
El algoritmo de solución global se muestra de manera esquemática en la
Figura 19.a.
El esquema de solución descrito para cada ecuación recibe el nombre
de método implícito de dirección alternada (ADI). La naturaleza del
 1-bIQ1-aIQ000 
 2-cIQ2-bIQ2-aIQ 
 
 
 
 00 
 cba0 
 0 0cba 
 000cb 
444
333
22
•••••••
•
••••••••
•••••
•••••
••••
•
•••••••
1-dIQ
2-dIQ
d
d
d
4
3
2
•
•
•
•
32
esquema, debido a Peaceman y Rachford (discutido por Widlund (1967)), es
la responsable de la estabilidad del método numérico. Existen muchas
sofisticaciones del ADI, todas ellas encaminadas a aumentar la eficiencia
en términos del número de operaciones requeridas para cada etapa (cada
ecuación) y por consiguiente disminuir el tiempo de cómputo. Sin embargo,
la calidad de los resultados con cualquiera de los métodos ADI es más o
menos la misma. El tratamiento numérico de las condiciones de frontera y
el algoritmo de solución global son lo que pueden producir algunas
discrepancias en los valores obtenidos, por ejemplo las diferencias entre
los resultados de Wilkes y Churchill (1966) y de Mac Gregor y Emery (1969).
La forma usada de diferencia central de tres puntos para los
términos de convección, hace que el error de truncamiento sea del orden
0( ∆x') 2 + 0( ∆y') 2. Cuando ∆x' y ∆y' son pequeños, estos errores de
truncamiento pueden despreciarse.
Con ésto en consideración y la naturaleza implícita del método se
evitaq el falso transporte de difusión y convección, Torrance (1968), por
lo que los resultados pueden interpretarse con realidad (comportamineto
cualitativo). Sin embargo, la forma discreta de los términos de
convección del presente método impiden conservación: ciertas diferencias
entre la rapidez de adición de calor y la rapidez del calor removido; y
existen sobre todo para problemas con condiciones de frontera para flujo de
calor. Para el caso de condiciones de frontera isotérmicas, la simetría
del calentamiento tiende a enmascarar la no-conservación.
Por otra parte, la solución iterativa de la ecuación de Poisson
(I.20'') se resuelve usualmente con un método de sobre-relajación sucesiva
(SOR), ejemplo, Wilkes y Churchill (1966), ó con el método de
extrapolación de Liebmann como hiciera Elder (1966), ó con el recientemente
establecido método de reducción cíclica, como lo hicieran Kublbeck,
Merker y Straub (1980). A decir de los autores éstos métodos son muy
ràpidos y eficientes.
III.2 FORMULACION DEL PROBLEMA MIXTO DEL MEDIO POROSO
(Figura 8)
Las ecuaciones (I.9) y (I.31) y las condiciones de frontera
(I.14), (I.15) y (I.21), constituyen la formulación dimensional del
problema. La correspondiente formulación adimensional se obtiene
introduciendo los mismos factores de escala de los problemas anteriores.
El resultado es
 ( I.31' )
 ( I.9' )
( I.19'
)
y 
T 
 R = 
y 
 + 
x 
 
a2
2
2
2
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂ ψψ
y 
T 
 + 
x 
T 
 = 
y 
T 
 v + 
x 
T 
 u 2
2
2
2
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂
′∂′
′∂
′∂′
y 
 
 = uy ,
x 
 
- = v
′∂
′∂′
′∂
′∂′ ψψ
condiciones de frontera
ψ’ ( 0,y’ ) = ψ’ ( 1,y’ ) = ψ’ ( x’,0 ) = ψ’ ( x’,1 ) = 0 (
I.21’ )
T’ ( x’ , 1 ) = 0 ( I.14’ )
 ( I.15’ )
Las ecuaciones anteriores gobiernan el comportamiento del flujo en un
medio poroso en función de R a. El sistema de ecuaciones también es no lineal
y acoplado, pero en este caso la no linealidad se encuentra sólo en los
términos de convección forzada del calor. La solución al sistema se obtiene
entonces empleado métodos numéricos. Se empleó el mismo método implícito
de dirección alternada usado en los problemas anteriores. El algoritmo de
solución global se muestra en la Figura 19.b. Este problema es mucho mas
sencillo de tratar numericamente que los dos problemas formulados en la
subsección III.1. Lo anterior se debe a que las condiciones de frontera son
de las mas simples posibles ya que noexiste difusión de vorticidad, ademas de
que la no-linealidad se presenta solamente en la ecuación de energia. Elder
(1966) antes de obtener su solución numerica para el problema de condiciones
isotermicas (Figura 4) probo su algoritmo numerico en el problema de un medio
poroso. Esto le permitio demostrar la validez de su metodo y plicarlo
posteriormente para construir un program versatil para resolver grupos de
ecuaciones diferenciales parciales no lineales y elipticos.
q = ) 
y 
T 
 ( 0 = y ′′∂
′∂
′
0 = ) 
x 
T 
 ( = ) 
x 
T 
 (
1 = x0 = x ′∂
′∂
′∂
′∂
′′
1
APENDICE A
VECTORES
A.1 Identidades (ágebre de vectores) A1
 A.2 Sistemas de coordenadas A1
 A.3 Operadores diferenciales A2
 A.4 Identidades A3
 A.5 Teoremas integrales A3
2
VECTORES
 A.1 IDENTIDADES (álgebra de vectores)
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
r r r r r r r r r
r r r r r r r r r
r r r r r r r r r r r r
r r r r r r r r r r r r
r r r r r r r r
A B C B A C C A B
A B C A B C B C A
A B C D A C B D A D B C
A B C D B A C D A B C D
C A B D D A B C
× × = ⋅ − ⋅
⋅ × = × ⋅ = ⋅ ×
× ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
× × × = ⋅ × − ×
= ⋅ × ⋅ ×
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
 
 
 
 
 - 
 A.2 SISTEMAS DE COORDENADAS
CARTESIANO: h1=1, h2=1, h3=1
 x1=x, x2=y, x3=z
CILÍNDRICO: h1=1, h2=r, h3=1
 x1=r, x2=θ, x3=z
 ESFÉRICO: h1=1, h2=r, h3= r sen θ1
 x1=r, x2=θ1 x3= θ2
z
x
y
y
z
x
p(x,y,z)
3
cartesiano
x
y
z
p(r,θ,z)
z
r
θ
cilíndrico
x
y
z
p(r,θ1,θ2)
θ2
r
θ1
esférico
A.3 OPERADORES DIFERENCIALES
 GRADIENTE
grad φ φ ∂φ
∂
∂φ
∂
∂φ
∂
= ∇ = + +1 1 1
1 1
1
2 2
2
3 3
3h x
i
h x
i
h x
i
) ) )
4
 DIVERGENCIA
div 
r r
A A
h h h x
h h A
x
h h A
x
h h A= ∇ ⋅ = + +






1
1 2 3 1
2 3 1
2
1 3 2
3
1 2 3
∂
∂
∂
∂
∂
∂
( ) ( ( )
ROTACIONAL
rot 
 
 
 
r r
) ) )
r r r
A A
h h h
h i h i h i
x x x
h A h A h A
= ∇ ⋅ = 1
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 2 3
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 LAPLACIANO
∇ = ∇ ⋅ ∇ =





 +





 +












= 



+ 









2
1 2 3 1
2 3
1 1 2
3 1
2 2 3
1 2
3 3
1
1 1
φ φ ∂
∂
∂φ
∂
∂
∂
∂φ
∂
∂
∂
∂φ
∂
∂
∂
∂φ
∂
∂
∂θ
∂φ
∂θ
( )
h h h x
h h
h x x
h h
h x x
h h
h x
r r
r
r r
 
 DERIVADA MATERIAL
D
Dt t
U
h x
U
h x
U
h x
= + + +∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
1 1
2
2 2
3
3 3
Donde la velocidad es 
r
U U U U= ( , , )1 2 3
A.4 IDENTIDADES (Cálculo vectorial)
5
curva c
dl
dA
superficie A
n
∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇
∇ ⋅ ∇ × =
∇ × ∇ =
∇ × ∇ × = ∇ ∇ ⋅ − ∇
⋅ ∇ = ∇







 − × ∇ ×
∇ × × = ⋅ ∇ − ∇ ⋅ − ⋅ ∇ + ∇ ⋅
∇ ⋅ × = ⋅ ∇ × − ⋅ ∇ ×
∇ ⋅ ⋅ =
2
2
2
0
0
2
r r
r
r r r
r r
r
r r
r r r r r r r r r r
r r r r r r
r r
A A
A
A A A
A A
A
A A
A B B A B A A B A B
A B B A A B
A B
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) (
φ
r r r rr r r
B A A B B A A B⋅ ∇ + ⋅ ∇ + × ∇ × + × ∇ ×) ( ) ( ) ( )
A.5 TEOREMAS INTEGRALES
 TEOREMA DE STOKES.
r r r )B dl B ndA
A
C
⋅ = ∇ × ⋅∫∫ ( )
6
 TEOREMA DE DIVERGENCIA DE GAUSS.
∇ ⋅ = ⋅∫∫
r r )BdV B ndA
AV
La superficie A encierra el volumen V.
 TEOREMA DE GREEN.
∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ −
∇
= ∇ ⋅ − ∇
∫∫∫
∫∫
φ ψ φ ψ φ ψ
ψ φ ψ φ
dV ndA
dV
ndA dV
vAV
VA
)
)
2
2 
 TEOREMA DEL GRADIENTE.
∇ = ∫∫ φ φdV ndAAV
)
7
APENDICE B
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
 B.1 ECUACION DE CONTINUIDAD
 B.2 ECUACIONES DE NAVIER-STOKES
 B.3 ECUACION DE ENERGIA
8
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Las siguientes ecuaciones son para un fluido incompresible y coeficiente de viscosidad
constante. El vector velocidad será expresado en forma
cartesiana 
r
U u v w= ( , , )
cilíndrica 
r
U c z= ( , , )ν ν νθ
esférica 
r
U r= ( , , )ν ν νθ 0
B.1 Ecuación de Continuidad
 cartesiana 
∂
∂
∂ν
∂
∂
∂
u
x y
w
z
+ + = 0
 cilíndrica 
1 1
0
r r
r
r zr z
∂
∂
ν ∂
∂θ
ν ∂
∂
νθ( ) ( ) ( )+ + =
 esférica 
1 1 1
02
1
1
1 2
1 2r r
r
r rr
∂
∂
ν
θ
∂
∂θ
ν θ
θ
∂
∂θ
νθ θ( ) sen
( sen )
sen
( )+ + =
B.2 Ecuaciones de Navier - Stokes.
cartesiana
D
Dt t
u
x y
w
z
x y z
Du
Dt
p
x
mu u fx
Dv
Dt
p
y
mu fy
D
Dt
p
z
mu w fz
= + + +
∇ = + +
= − + ∇ +
= − + ∇ +
= − + ∇ +
∂
∂
∂
∂
ν ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ρ ∂
∂
ρ ∂
∂
ν
ρ ω ∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
 cilíndrica
D
Dt t r r z
r r r r z
D
Dt r
p
r r r
fr
D
Dt r r
p
r
u
r
f
D
Dt
p
z
fz
r z
r
r
r
r r
z
z
= + + +
∇ = + + +
−





 = − + ∇ − −




+
+



= − + ∇ + −



+




= − + ∇ +
∂
∂
ν ∂
∂
ν ∂
∂θ
ν ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂θ
∂
∂
ρ ν
ν ∂
∂
µ ν ν
∂ν
∂θ
ρ
ν ν ν ∂
∂θ
µ ν ∂
∂θ
ν
ρ ν ∂
∂
µ ν
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
1 1
2
1 2
esférica
D
Dt t r r r
r r
r
r r r
D
Dt r
p
r r r r r
fr
D
Dt
r
r r
r
r
r
= + + +
∇ = 



+





 +
−
+







= − + ∇ − − − −





 +
+
−
∂
∂
ν ∂
∂
ν ∂
∂θ
ν
θ
∂
∂θ
∂
∂
∂
∂ θ
∂
∂θ
θ ∂
∂θ θ
∂
∂θ
ρ ν
ν ν ∂
∂
µ ν ν
∂ν
∂θ
ν θ
θ
∂ν
∂θ
ρ
ν ν ν
θ θ
θ θ θ θ
θ θ
1 2
1 1 1 2
1 1
1 1 2
2
2
2
2
1 1
1
1
2 2
1
2
2
2 2
2
2 2
1
1
2 2
1 2
1 1 1
2 2 2 2
sen
sen
sen
sen
cot
sen
 
ν θ ∂
∂θ
µ
ν ∂ν
∂θ
ν
θ
θ
θ
∂ν
∂θ
θ
ρ
ν ν ν ν ν θ
θ
∂
∂θ
µ
ν
ν
θ
θ
∂ν
∂θ
θ
θ
∂ν
∂θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ
2
1
1
2
2 2 1 2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2 2
1
1
2 2
1 2
1
1
1 2
2
2 2
1
2 2
1 2
1
2 2
1 2
1
2
2
1
2 2
cot sen
cos
sen
cot
sen
sen
sen
cos
sen
r r
p r r
r
f
D
Dt r r r
p r
r r
r
r
r








= +
∇ + − −














+
+ +





 = − +
∇ − +
+














+ fθ 2
10
B.3 Ecuación de energía
Considerando el coeficiente de transmisión de calor por conducción (k) constante, la
ecuación de enertgía para los tres sistemas de coordenadas es
pc
DT
Dt
k T= ∇ +2 φ
Donde c es el calor específico y φ la función de disipación que toma la siguiente forma:
Cartesiana
φ µ ∂
∂
∂ν
∂
∂ω
∂
∂
∂
∂ν
∂
∂ν
∂
∂ω
∂
∂ω
∂
∂
∂
= 



+





 +




+ +





 + +





 + +












2
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2 2 2
u
x y z
u
y x z y x
u
z
Cilíndrica
φ µ
∂ν
∂
∂ν
∂θ
ν ∂ν
∂
∂ν
∂θ
∂ν
∂
∂ν
∂
∂ν
∂
∂ν
∂θ
∂ν
∂
ν
θ θ
θ θ
=




+ +



+ 











+ +



+
+



+ + −

















2
1 1
1
2 2 2 2
2
r r z z
r z r
r r r z r z
z r r r r
Esférica
φ µ
∂ν
∂
∂
∂θ
ν
θ
∂ν
∂θ
ν ν θ
θ
∂ν
∂θ
θ ∂
∂θ
ν
θ θ
∂
∂θ
∂
∂
ν
∂
∂
ν ∂ν
∂θ
θ θ θ
θ θ θ
θ
=




+ +





 + + +














+ +











 + +












+





 +






2
1 1
1 1
1
2
1
2
1 2
1
2
1 2
1
1 1
2
1 2
2
1 2 1
1 1
1
r r
r
r
r r
u r
r r r r
r r r
u
r
r r
r
r r r
z
sen
cot
sen
sen
sen sen
2
























11
APENDICE C
TERMODINAMICA
C.1 POSTULADOS
 C.2 DEFINICIONES
 C.3
 C.4 GAS PERFECTO
12
TERMODINAMICA
C.1 Postulados
1a. Ley de la Termodinámica.
∆ ∆ ∆e e e q wc p+ + = +
Donde e es la energía interna, ec la energía cinética,ep la energía potencial, q el calor que
entra al sistema, y w el trabajo que se hace sobre el sistema, todos por unidad de masa.
2a. Ley de la Termodinámica.
Tds dq≥
Donde T es la temperatura y s la entropía por unidad de masa. Si la entrada de calor es
en un proceso reversible.
Tds dq=
C.2 Definiciones.
Entalpía
h e
p= +
ρ
Calores específicos
Cp
h
T p
= 



∂
∂
 Cv
e
T V
= 



∂
∂
C.3
13
Tds de
p
d
Tds dh dp
= −
= −
ρ
ρ
ρ
2
1
C.4 Gas Perfecto.
Ecuación de estado
P RT= ρ
Relaciones
de CvdT
dh CpdT
Cp
Cv
Cp Cv R
S Cv T R
p
cte
=
=
=
− =
= −
=
γ
ρ
ρ γ
ln ln
. para un proceso isoentropico
14
APENDICE D
FACTORES DE CONVERSION
LONGITUD
1 Amstrong = 10-10 m.
1 micrón = 10-6 m.
AREA
1 Hectárea = 104 m2 .
VOLUMEN
1litro = 10-3 m3.
MASA
1 UTM = 1 kgf seg
2/m.
1 UTM = 9.806 kgm .
FUERZA
1 kgf = 9.806 New.
1 New. = 1 kgm m/seg
2.
PRESION
1 atm. = 1.033 kgf / cm
2.
1 bar = 105 New/m2.
1 torr = 1.332 x 102 New./ m2.
1 cm. de Hg. = 1.333 x 103 New./ m2.
1 cm de H2O = 9.806 x 10
1 New./ m2.
ENERGIA
1 caloría = 4.186 Joule.
1 Joule = 1 New. x m.
POTENCIA
1 HP = 76 kgf m/ seg.
15
1 watt = 1 Joule / seg.
1 HP = 745.7 watts.
16
BIBLIOGRAFIA
* Aris R. Vectors, Tensors and the equations of fluid mechanics.
 Prentice- Hall.1962.
* Batchelor, G.K. An introduction to fluid Dynamics, Cambridge Univ. Press. 1970.
* Bradssaw, P. Experimental fluid Mechanics.
* Campbell R>G> Foundations of fluid flows theory. Addison-Wesley. 1973.
* Courant , R. y Friedrichs, K.O. Supersonic Flow and Shock Wares. 
Interscience.1948
* Currie, I.G. Fundamental Mechanics of Fluids. Mc. Graw-Hill . 1974.
* J.Daily, J.W. y Harleman D.R.F. Fluid Dynamics . Addison-Wesley. 19966.
* Daugherty, R.L. y Ingersoll A.C. Mechanics with Engineering Aplicatons. 
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