01 FÍSICA

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119
C.T.A. – FÍSICA
Análisis Dimensional y Análisis Vectorial
ANÁLISIS DIMENSIONAL
INDICADORES DE LOGRO:
- Identificar los diferentes tipos de magnitudes en el S.I. y su
relación entre ellas.
- Encontrar las dimensiones de magnitudes desconocidas apli-
cando las reglas de las ecuaciones dimensionales.
MAGNITUD
Es todo aquello que es susceptible de ser medido y que se puede
percibir por algun medio. Por consiguiente, MAGNITUD es todo
aquello que se puede medir.
UNIDAD
Es aquella cantidad elegida como patrón de comparación, es decir,
patrón de medida.
MEDIR
Es averiguar cuántas veces está contenida la unidad de una magnitud.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)
La 11a Conferencia General de Pesas y Medidas, en sus sesiones de
octubre de 1960 celebradas en París, cuna del Sistema Métrico Decimal,
estableció definitivamente el Sistema Internacional de Medidas (S.I.),
basado en 6 unidades fundamentales -metro, kilogramo, segundo,
ampere, Kelvin, candela-, perfeccionado y completado posteriormente
en las 12a, 13a y 14a Conferencias, agregándose en 1971 la séptima
unidad fundamental, la mol, que mide la cantidad de materia.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES
1. Por su origen:
1.1Magnitudes fundamentales
Son aquellas elegidas arbitrariamente como base para
establecer las unidades de un SISTEMA DE UNIDADES y en
función de las cuales se expresan las demás magnitudes.
Ejemplos:
Longitud, masa, tiempo, etc.
MAGNITUD FUNDAMENTAL DIMENSIÓN[ ] UNIDAD
SÍMBOLO 
DE LA 
UNIDAD
Longitud L metro mMasa
 
M
 
kilogramo kg
Tiempo T
 
segundo s
Temperatura 
 
kelvin K
Intensi dad de Corriente
Eléctrica I ampere A
Intensidad Luminosa J candela cd
Cantidad de Sustancia N mol mol
1.2 Magnitudes auxiliares
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO 
Ángulo plano 
Ángulo sólido 
radián 
estereoradián 
rad 
sr 
1.2. Magnitudes derivadas
Son aquellas magnitudes que se expresan en función de las
magnitudes asumidas como fundamentales.
Ejemplos:
Área, velocidad, fuerza, trabajo, etc.
2. Por su naturaleza
2.1. Magnitudes escalares
Son aquellas que enunciando su valor seguido de su
correspondiente unidad quedan perfectamente definidas, a
veces afectado de un signo negativo convencionalmente
elegido.
Ejemplos:
La masa: 120 kg
Son magnitudes escalares: longitud, masa, tiempo, volumen,
densidad, trabajo, potencia, energía, carga eléctrica,
intensidad de corriente eléctrica, potencial eléctrico,
iluminación, etc.
2.2. Magnitudes vectoriales
Son aquellas que además de conocer su módulo o valor, es
necesario conocer su dirección y sentido para que esté
completamente definida.
Son magnitudes vectoriales: desplazamiento, velocidad,
aceleración, fuerza, torque, impulso, cantidad de movimiento,
intensidad de campo eléctrico, inducción magnética, etc.
ECUACIONES DIMENSIONALES
Son aquellas igualdades matemáticas que sirven para expresar las
magnitudes derivadas en función de las fundamentales.
a b c d e f gx L .M . T . .I . J .N   
Las unidades de «x» en el sistema internacional.
Unidades de (x) =ma . kgb . sc . Kd . Ae . cdf . molg
Notación:
[A]: dimensión de la magnitud física "A"
Ejemplos:
1. [Longitud]=L
2. [masa]=M
3. [tiempo]=T
4. [intensidad de corriente]= I
5. [temperatura]= 
6. [intensidad luminosa]=J
7. [cantidad de sustancia]=N
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
Si una fórmula física es correcta, todos los términos de la ecuación
deben ser dimensionalmente iguales.
"Todos los términos de las ecuaciones físicas deben de tener las
mismas dimensiones"
La ecuación dimensional: [A]+[B]=[C]–[D]
Será homogénea si: [A]=[B]=[C]=[D]
PROPIEDADES
a) Todo número es adimensional, para cálculos su dimensión es 1.
[3]=1, [0,025]=1, [5/6]=1
b) La dimensión de cualquier función trigonométrica es la unidad.
[sen 30°]=1, [tan 3x]=1, [cosec 20°]=1
c) La dimensión de cualquier función logarítmica es uno.
[log 300]=[(ln)275,3]=[log 1]=1
d) Toda constante numérica es adimensional.
[e]=[]=1
e) Las dimensiones de una constante física no es la unidad.
g =10m/s2, entonces: [g]=LT-2.
FÓRMULAS DIMENSIONALES BÁSICAS
1. [Área]=L2 11.[Energía]=ML2T-2
2. [Volumen]=L3 12.[Potencia]=ML2T-3
3. [Densidad]=ML-3 13.[Presión]=ML-1T-2
4. [Velocidad Lineal]=LT-1 14.[Periodo]=T
5. [Aceleración Lineal]=LT-2 15.[Frecuencia]=T-1
6. [Fuerza]=MLT-2 16.[Velocidad angular]=T-1
7. [Trabajo]=ML2T-2 17. [Caudal]=L3T-1
8. [Aceleración Angular]=T-2 18. [Impulso]=MLT-1
9. [Distancia]=[Altura]=[Radio] = L 19.[Carga eléctrica]=IT
10. [Cantidad de movimiento]=MLT-1
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y ANÁLISIS
VECTORIAL1
120
C.T.A. – FÍSICA
Análisis Dimensional y Análisis Vectorial
ANÁLISIS VECTORIAL
INDICADORES DE LOGRO
* Identificar a un vector como un ente físico que es sumamente útil
para la descripción de los fenómenos físicos y asi comprender las
leyes físicas que los rigen.
* Establecer algoritmos para la adición, sustracción y multiplicación
de vectores.
VECTOR
Segmento de recta orientada que sirve para representar a las
magnitudes vectoriales.
y
x
Mó
du
lo
|A
|
A
 (Dirección)
Línea de
acción
SentidoM
N
A

= Vector «A»
A

= Módulo del vector «A»
M = Origen del vector
N = Extremo del vector
TIPOS DE VECTORES:
a) V. Codirigidos. Poseen igual dirección: A B
 
b) V. Contrariamente dirigidos. Poseen direcciones opuestas.
A B
 
c) V. Ortogonales. Son aquellos cuyas direcciones forman 90°: A B
 
.
IGUALDAD DE VECTORES
A B
A B
A B
  

 
 
OPUESTO DE UN VECTOR
Sea B

 el opuesto de A

, entonces:
A B
B A
A B
   

 
 
OPERACIONES CON VECTORES.
Suma de vectores  Vector resultante ( R )
R : Es aquel vector que reemplazará a dos o más vectores, causando
el mismo efecto.
B
A
* Para:  = 0º
B
A A B
R
R = A + Bmáx
* Para:  = 180º
B
A
R
R = A - Bmín
BA
* Para:  = 90º
R = A + B2 2
B
A
B
A
R
* Para "  " cualquiera:
R = A + B2 2 + 2.A.B.cos
B
A
R
 Casos especiales (Para dos vectores de igual módulo):
 
x
R
x
R = x 3
x
x R
R = x 2
x
x
R
R = x
 Método del polígono
B
A
A
B
R
R = A + B
Caso especial
"poligono cerrado"
R = 0
A
B
C
D
 Método de las componentes rectangulares.
Paso # 1: Los vectores a sumar se disponen partiendo del origen
de coordenadas.
Paso # 2: Los vectores inclinados respecto a los ejes se
reemplazan por sus componentes rectangulares.
Paso # 3: Se calcula la resultante parcial en el eje X, así como la
resultante parcial en el eje Y, para esto se suman algebraicamente
las componentes en cada eje.
R = x R = y
eje x eje y
vectores vectores
Paso # 4: Se calcula finalmente el módulo de la resultante, así:
Resultante = R + Rx y
2 2
121
C.T.A. – FÍSICA
Análisis Dimensional y Análisis Vectorial
¿Qué es el vector unitario?
Es un vector cuyo módulo es la unidad. Para un vector dado, se
define matemáticamente como el cociente entre dicho vector y el
módulo de este.
1
u
A
Es decir:
A
u
A



Observación:
Todo vector puede expresarse en función de su módulo y de su
vector unitario.
  
Vector V.UnitarioMódulo
A A . u
  
Vectores unitarios cartesianos
Son aquellos asociados a los ejes positivos del sistema de coordenadas
cartesianas. Se les denota por: ,i j k
  
.
* i j k 1  
  
* i j k 
  
 
x
y
z
j
k
i
Cualquier vector en este sistema podrá ser expresado en función de
estos vectores unitarios. Ejemplos:
1. En el plano 2. En el Espacio
A = Ax i + Ay j ..... (1)
AAy
Ax x
y
 
A = Ax i + Ay j + Az k ..... (2) 
Ax
Ay
A
z
y
x
Az
Las expresiones (1) y (2) son l lamados EXPRESIONES
VECTORIALES del vector A

.
Propiedades de los vectores espaciales
1.- zyx AAA


2.-
2 2 2
x y zA A A A  
   
3.- Cosenos directores:
* Eje x: cos
xA
A

* Eje y: cos
yA
A

* Eje z: cos γ
zA
A

4. 1coscoscos 222 
Los vectores también pueden expresarse en forma de coorde-
nada es decir:
)Az;Ay;Ax(k̂AĵAîAA zyx 

¿Qué es el productode vectores?
Es una operación en la que de dos vectores dados, puede resultar un
número o un vector; esto quiere decir que se tendrá dos clases de
producto.
a) Producto escalar:
El resultado es un número real. Se define así:

A
B
Si los vectores se expresan en forma de coordenada, entonces
el producto escalar también puede hallarse así:
 cos|B||A|BA

Siendo:
 : ángulo entre los vectores A y B
 
b) Producto vectorial
El resultado es un vector perpendicular al plano formado por
los dos vectores. Se define así:
A
BAx

B

 ˆ.sen|B||A|BxA

 
k̂)ABBA(ĵ)ABBA(î)ABBA(BxA
BBB
AAA
k̂ĵî
BxA
yxyxzxzxzyzy
zyx
zyx




En el sistema levógiro debes tener en cuenta que:
i j k
i k j
j i k
j k i
k j i
 
  
  
 
  
  
  
  
  
  
 
i i 0
j j 0
k k 0
 
 
 
 
 
  
i
j k
122
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática I
Ejemplo 01
Si la ecuación indica es homogénea.
UNA+UNI=IPEN
Tal que: U=energía, R=radio, entonces, determina las dimensio-
nes de [PERU]
a) L4M4T–4 b) L–4M2T4 c) L4M2T–4
d) L5M2T–4 e) L5M5T–4
Solución:
* [UNI]=[IPEN]
[U]=[PE]
* [PERU] =[URU]
=[U2R]
=(M2L4T–4)(L)
=M2L5T–4
Ejemplo 02
Determina la E.D. de la constante de gravitación universal.
a) LMT–1 b) LMT–2 c) LMT–3
d) L3MT–1 e) L3M–1T–2
Solución:
2
1 2
F.d
m .m
 
CINEMÁTICA I2
2 2
2
3 1 2
LMT .L
| |
M
| | L M T

 
 
 
Ejemplo 03
En el cubo determina en qué relación se en cuentran los módulos de
los vectores A B
 
 y A B
 
A
B
y
z
x
a) 1/3 b) 2 c) 
2
3
d) 
3
2
 e) 3
Solución:
i. Sea b la arista del cubo:
A b i b j b k
B b i o j b k
  
  
   
   
ii. | A B| 3b 
 
; | A B| b 
 
Luego. 
| A B|
3
| A B|



 
 
CINEMÁTICA
INDICADORES DE LOGRO:
- Describir geométricamente al movimiento mecánico.
- Conocer los conceptos de desplazamiento, velocidad y acelera-
ción.
- Interpretar las leyes del movimiento rectilíneo uniforme y uni-
formemente variado.
- Interpretar las gráficas del movimiento e identificar sus propie-
dades.
En esta parte de la física nos proponemos describir geométrica y
matemáticamente al movimiento mecánico y conocer sus leyes y
propiedades; pero sin darle gran importancia a las causas que producen
cada tipo de movimiento, es decir no vamos analizar por que el
cuerpo se mueve de una manera u otra.
MOVIMIENTO MECÁNICO
"Es un cambio continuo de posición que experimenta una partícula
respecto a un sistema de referencia"
y
x1 x2
x
El móvil esta cambiando
de posición.
0
CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO:
a) Según su rapidez: Uniforme y variado.
b) Según su trayectoria: Rectilíneo y curvilíneo
c) Según su orientación: Traslación, rotación, traslación y rota-
ción en forma simultánea.
SISTEMA DE REFERENCIA
Es un conjunto formado por el observador, el sistema cartesiano x-
y-z y reloj (sistema horarrio), el cual permite describir al movimiento
con gran precisión. Debe recordar que el observador siempre se
encontrará en el origen de coordenadas del sistema cartesiano xyz.
ELEMENTOS DESCRIPTIVOS DEL MOVIMIENTO.
El movimiento mecánico posee los siguientes elementos:
d
y
x
rA
rB
(A)
(B)
1. Vector posición ( r

)
Nos indica la posición del móvil en un instante de tiempo.
• Ar : Vector posición en (A)
• Br : Vector posición en (B)
123
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática I
2. Vector desplazamiento ( d

= r

 )
Es aquel vector que nos indica el cambio de posición del
móvil.
d

= AB rrr


3. Recorrido (e)
Es la longitud de la trayectoria entre 2 puntos cualquiera.
4. Distancia (d)
Es la longitud o módulo del vector desplazamiento.
 d | r |

MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO
A. Velocidad ( V

)
Es una magnitud física vectorial que nos expresa mediante su
valor la rapidez con que un cuerpo cambia de posición y ade-
más nos indica en qué dirección se mueve el cuerpo.
Además la velocidad se puede medir en un intervalo de tiempo
(velocidad media) o en un instante (velocidad instantá-
nea).
Velocidad = Rapidez + dirección
Velocidad media ( mV

):  m
d
v m / s
t


Rapidez media ( MV

): M
e
V
t
 (m/s)
Velocidad instantánea ( V

): drV
dt


 (m/s) (Es tangente a la tra-
yectoria)
Aceleración media ( ma

) m
V
a
t




(m/s2)
Aceleración instantánea ( a

)
dV
a
dt


 (m/s2) (Esta orientada ha-
cia la concavidad de la trayectoria)
 
x
y
V1
V2
V3
a1
a3
a2
 
 
x
y
V1
V1
V1
V2
V2
V2
am
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
Un móvil posee MRU, si su velocidad es constante. Esto supone que
la trayectoria es rectilínea y que su rapidez se mantiene siempre igual.
Cuando esto ocurre el móvil experimenta: «desplazamientos iguales
en tiempos iguales».
Puesto que la trayectoria es rectilínea y de una misma dirección, esto
equivale a decir que el móvil recorre desplazamientos iguales en
intervalos de tiempos iguales(t) .
LEYES DEL MRU:
V

=constante 
d
V t
1.- v=d/t
2.- d=vt
3.- t=d/v
Tiempo de encuentro: e
1 2
d
t
v v


Tiempo de alcance: a
1 2
d
t
v v


Tiempo de cruce: 
1 2
c
1 2
L L
t
V V



MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
VARIADO (MRUV)
En este movimiento el móvil experimenta cambios iguales en su
velocidad en intervalos de tiempo también iguales. Esto ocurre por
que el móvil está afectado de una aceleración constante.
TIPOS DE MOVIMIENTO VARIADO
a) Mov. acelerado. En este caso la velocidad aumenta de valor
dado que: v a
 
b) Mov. desacelerado: En este caso la velocidad disminuye de va-
lor dado que: v a
 
ECUACIONES ESCALARES
En estas ecuaciones no se consideran las características vectoriales
del desplazamiento, velocidad y aceleración:
a

=constante
f o
2 2
f o
2
o
o f
m
1) v v at
2) v v 2ad
a( ) movimiento acelerado 1
3) d v t at a( ) movimiento desacelerado2
v v d
4) v
2 t
  

 
  
   
  

NÚMEROS DE GALILEO
 
a
t t t
k 3k 5k
V=0
 (MRUA)
 
a
t t t
k3k5k
V
V =0F
 (MRUD)
En ambos casos si t= 1 s, entonces k=a/2 ¡No lo olvide!
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO
GRÁFICAS DEL MRU
1. Velocidad (V) vs Tiempo (t)
La gráfica es una recta paralela al eje del tiempo.
t t(s)
V
V(m/s)
Área=d
0
Note que la velocidad permanece constante en todo el movi-
miento. Para un determinado tiempo (t) el área del rectángulo
nos da la distancia.
2. Posición (x) vs tiempo (t)
f
o
t t(s)
X
X
x(m)
0
124
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática I
Análisis: La gráfica nos muestra el alejamiento del móvil del
origen de coordenadas hacia el eje positivo de las «x».
Propiedad:
tan velocidad 
Demostrando: de la figura se tiene:
F Ox x dTan V
t t

   
   
GRÁFICAS DEL M.R.U.V.
1. Aceleración (a) Vs Tiempo (t)
La aceleración es constante por lo tanto la gráfica es una línea
paralela al eje del tiempo.
t t(s)
a
a(m/s )
Área= V
0
2
En esta gráfica el área sombreada nos da el cambio de velocidad
que experimenta el móvil en un intervalo de tiempo (t).
De la figura se tiene:
Área = a.t
Vf - Vo = a.t
Por lo tanto: Área = Cambio de velocidad
2. Velocidad ( V

) Vs tiempo (t)
f
o
t t(s)
v
v
V(m)
0
A
A
1
2
En este caso la velocidad aumenta uniformemente desde Vo
hasta Vf.
El área debajo la gráfica es numéricamente igual a la distancia:
Demostrando: De la gráfica se obtiene:
Área =A1(rectángulo) + A2(triángulo rec.)
f oo
1
área V .t (V V ).t
2
  
  
Al segundo elemento de la ecuación multiplicamos y dividimos
por «t»:
f o
o
a
2
o
Dis tan cia
1 (V V )
área V .t .t.t
2 t
1
área V .t a.t
2
área DISTANCIA

 
 


 

 

* Además se puede notar que:
 
f o
Aceleración
V V
tan ( )
t
tan Aceleración

 
 
 

3. Posición(x) Vs Tiempo (t)
La gráfica es una parábola, debido a que la posición de la partí-
cula en movimiento varía con el cuadrado del tiempo.
2
0 0
1
x xv .t a t
2
  
   
Movimiento acelerado (aumento de velocidad).
o
t t(s)
x
x(m)
0
tan  =Velocidad, para el instante «t».
Movimiento desacelerado.
o
t t(s)
x
x(m)
0
Recta 
tangente
tan  = Velocidad….. Para el instante (t)
ECUACIONES VECTORIALES DEL M.R.U.V.
Permiten generalizar la descripción matemática del movimiento,
estas son:
* )tt(aVV oof 

* 2oooof )tt(a2
1
)tt(Vrr 

ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO
2 3 4 no o o O
1 1 1 1
x x v t a r bt c t ... zt
2 6 24 n!
  
     
donde z es la magnitud física que se mantiene constante en el
tiempo.
Ejemplo 01
Con una rapidez constante de 2 m/s un ciclista recorre 30m y a
causa de un obstáculo desvía su trayecto en 60° y recorre 50m
más. Determina el módulo de la velocidad media.
a) 1,09 m/s b) 1,25 m/s c) 1,45 m/s
d) 1,75 m/s e) 2,0 m/s
Solución:
i.
 
30m
50
m 2m/s
2m/s
d
60°
ii. d 10 9 25 2(3)(5) cos 60º 70m   
iii. m
70m
| V | 1,75m/s
40s
 

125
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática II
Ejemplo 02
Se muestra el impacto de una pelota que 0,2s. Determina su
aceleración media (en m/s2).
20m /s 10m /s
53°53°
y
x
a) 50 i 50 j 
 
b ) 100 i 150 j 
 
c) 50 i 100 j 
 
d) 50 j

e) 40 i 90 j 
 
Solución:
f o
m
2
m
V VV 8i 18j
a
t t 0,2
a ( 40i 90j)m / s
  
  
 
  
   
  
Ejemplo 03
En el gráfico mostrado, un móvil en t=0 se encuentra en
ox 15m

 ; determina su posición en t=7s.
2
8
113
t(s)
V(m /s)
a) –10m
b) –5m
c) +16m
d) +24m
e) +39m
Solución:
i.
4
8
113
t(s)
V(m /s)
7
A1 A2
ii. 1 2
2 8 4 8
d | A A | .3 .4
2 2
d 15 24 39m
          
   
  
iii. fx 39 15 24m   

CINEMÁTICA II3
MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (M.V.C.L)
1. Actúa únicamente la fuerza de gravedad, el cual origina una
aceleración constante denominada aceleración de la gravedad.
2. No se considera la forma, tamaño ni la masa del cuerpo tampoco
la viscosidad de aire.
3. La caída se realiza en el vacío en cercanías de la superficie de la
tierrra en donde consideramos el valor promedio de la grave-
dad g=9,81 m/s2.
ECUACIONES DEL MVCL.
f o
2 2
f o
2
o
o f
V V gt
V V 2gh
1
h V t gt
2
V V
h t
2
 
 
 
 
  
 




(+) : Cuerpo desciende ( ) : Cuerpo asciende
ECUACIONES ADICIONALES.
2
o o
vmáx
V 2V
h t
2g g
 
 Números de Galileo: (si la g = 10 m/s2)
5 m
15 m
25 m
35 m
45 m
50m/s
40m/s
30m/s
20m/s
10m/s
10m/s
20m/s
30m/s
40m/s
50m/s
V=0
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
126
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática II
MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE (MPCL)
Movimiento
Parabólico =
Movimiento
Horizontal (M.R.U.)
Movimiento
Vertical (M.R.U.V.)+
1k
3k
5k
7k
v1
v2
v3
d
A
B
C
g
d d d
vx
vx
vx
vx
Vx
TIRO PARABÓLICO
Una partícula se ha lanzado desde "A" con una velocidad "vi" y una
inclinación "", tal como se muestra en la figura. Por efecto de la
gravedad, a medida que el proyectil sube de manera inclinada se ve
forzada a bajar, retornando al piso en "B".
d d d
L
H
Vx
VxV =0y
k
3kh
x x
Vx
VxV1y
V1
V2y V2

g
M

t
t
t
d
V0y

V
t
y
En el punto "A" las componentes de la velocidad son:
* Componente horizontal: vx = vOcos
* Componente vertical inicial: v0y = vOsen
Observación
En la figura, se verifica que:
a.  =  b. 1y 2yV V
 
 c. 1 2V V
 

Observación
* La velocidad total del proyectil es siempre tangente a la parábola
en cualquier punto de esta, y su valor se puede determinar así:
2
fy
2
xT vvv 
Tiro horizontal
Vy
V0
y
x
V0
t =
x = V .to
V = g.ty
V = V + VR
2
0
2y
g
2
y
Ecuaciones Auxiliares del Lanzamiento parabólico
1. Tiempo de vuelo (tV): 
o
Vuelo
2V Sen
t
g


2. Alcance horizontal (R): 
2 2
0 02V sen .cos V sen2R
g g
  
 
3. Altura máxima (Hmáx): 
22 2
oy0
máx
VV sen
H
2g 2g

 
4. Relación entre H y tv: 
2
vgtH
8

5. Ecuación de la trayectoria: 
2
2 2
0
g x
y x.tg
2v cos
  

x
y x.tg (1 )
R
  
6. Relación entre H y R: máxR 4H Ctg
7. Relación geométrica del movimiento parabólico.

V
MRU
d=
V.t
1
2
gt =h2
L
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME
( M . C . U . )
Cuando una partícula describe una circunferencia de manera que
recorre arcos iguales en tiempos también iguales, diremos que posee
un movimiento circunferencial uniforme. Este movimiento se
caracteriza por que la velocidad angular es constante.
V V
V
ac
ac
ac
S
S
S


W=cte
* Velocidad angular *Velocidad tangencial

 t


t
rad
rad/s
s t t
m
m/s
sV
S SV
Periodo (T)
Es el tiempo empleado en una vuelta.

 2T
En el S.I., el período se expresa en segundos (s).
Frecuencia (f)
t
N
f
tiempo
vueltasdenúmero
f 
127
C.T.A. – FÍSICA
Cinemática II
VaT
ac
a
En medidas angulares En medidas lineales
 
f o
2 2
f o
t 2
o
o t
w w t
w w 2
1
w t
2
w w
t
2
  
  
   
 
   
 
f o
2 2
f o T
21
o T2
f
V V at
V V 2a S
S V t a t
(Vo V )
S
2
 
 
 


Usar: (+) MCUV acelerado
 ( - ) MCUV desacelerado
TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO CIRCULAR
a. Fajas y Engranes
 
A 
B 
C 
D 
VA = VB VC = VD 
A A B Bw R w R C C D Dw R w R
b. Cuerpos rígidos por un eje.
  A A= =

VA
VB
A
B
A B
A B
V V
R R

Ejemplo 01
Dado el siguiente gráfico V Vs t 

, ubique verdadero (V) o
falso (F), según corresponda.
U
10
115
t(s)
V(m /s)
6
CN
P
( ) El valor de la aceleración en "UN" y "CP" es igual.
( ) El recorrido en los primeros 11s es 66m
( ) El tramo "NC" nos muestra en MRU
a) VFF b) VVF c) FVF d) VVV e) VFV
Velocidad tangencial (Vt)
Su módulo es constante durante todo el M.C.U.
tV .R
Donde  es la velocidad angular con que gira el radio vector ( r

) que
sigue a la partícula, comprobándose además que los vectores que
representan a tV

, r

 y  son perpendiculares entre sí, tal como se
puede observar en la figura.
Unidades S.I.: (  ) = rad/s, (r) = m, (vt) = m/s
Eje de giro
r
s t
vt
O
Aceleración centrípeta ( ca

)
Modifica la dirección de la velocidad tangencial.
r.
r
v
|a| 2
2
t
c 

 (m/s2)
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORMEMENTE
VARIADO(M.C.U.V.)
Es aquel movimiento alrededor de un circunferencia en el cual la
aceleración angular y el módulo de la aceleración tangencial
permanecen constante.
* Aceleración angular (  ) y aceleración tangencial ( Ta

)
wo
wF

Vo
VF
* Aceleración lineal o total ( a

)
 Es la suma vectorial de las aceleraciones tangencial y centrípeta.
128
C.T.A. – FÍSICA
Estática
ESTÁTICA4
Solución:
(V) 2UN
2
CP
| V | 10m / s
| a | | a | 2m / s
t 5s
10m / s
| a | 2m / s
5s

   

 
 

(F) El recorrido (e) lo encontramos con el área del trapecio.
(11 1).10
e 60m
2

 
(V) En NC se observa una velocidad constante por lo tanto
es un MRU.
Ejemplo 02
En el caso mostrado determina Vx. (g=10m/s
2)
80m
Vx
120m
g
a) 60 m/s b) 40 m/s c) 30 m/s d) 20 m/s e) 10 m/s
Solución:
h=K+3K+5K+7K=80m
t=4s
x
x
120m
V
4s
V 30 m/s
 

Ejemplo 03
La partícula realiza MCUV partiendo del reposo ¿En qué
instante (en s) su aceleración centrípeta será el doble de la
que era en el instante t=2s?
a) 2 2s b) 7 2 c) 10 2
d) 15 2 e) 20 2
Solución:
 2= t
 1= 2

f o
f
t
t
    
  
Consición del problema
c c2 1
2 2
2 1
2 2 2
a 2a
R 2 R
t 8
t 2 2s

  
  

INDICADORES DE LOGRO:
- Identificar las condicones para que un cuerpo se encuentre en
equilibrio.
- Encontrar el C.G de los cuerpos homogéneos y compuestos.
- Discriminar los distintos tipos de fuerza para establecer el equilibrio
de los cuerpos.
E S T Á T I C A
Es parte de la mecánica que estudia al sistema de fuerzas que actúan
sobre un cuerpo material haciendo que estos lo mantengan en
equilibrio mecánico.
PRIMERA LEY DE NEWTON
Llamada Ley de la Inercia
Si un cuerpo se halla en reposo; si está realizando M.R.U., continuarácon M.R.U a no ser que sobre él actúe una fuerza y modifique dicho
estado mecánico.
Equilibrio estático
Equilibrio cinético
V=0
V=cte (M.R.U.)
a=0
TERCERA LEY DE NEWTON
Llamada Ley de Acción y Reacción
Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B (una "acción"),
entonces, B ejerce una fuerza sobre A (una "reacción"). Estas dos
fuerzas tienen el mismo módulo pero dirección opuesta y actúan
sobre diferentes cuerpos.
Fuerza
Antes de estudiar las leyes de la estática debemos conocer el concepto
de fuerza. La fuerza es la medida vectorial de la intensidad de la
interacción entre dos o más cuerpos.
a) FUERZA GRAVITATORIA (Fg)
Se representa como un vector dirigido hacia abajo.
MT
RT
C.G.
FGh
C.G.
FGh
 
wws
en
wcos
GF m.g
m=masa (kg)
g=aceleración de gravedad (m/s2)
FG=fuerza gravitatoria (N)
b) FUERZA DE TENSIÓN ( T

)
Se da en todos los cuerpos cuando son sometidos a estiramientos
por agentes externos, pero es más frecuente encontrarlo en las
cuerdas haciendo un corte imaginario en él; esta fuerza siempre
ingresa al corte. Es una fuerza que se da a nivel molecular cuando
se intenta separar a las moléculas de un cuerpo.
129
C.T.A. – FÍSICA
Estática
c) FUERZA DE REACCIÓN NORMAL (FN , N o R)
Aparece en el interior de dos superficies en contacto, se le grafica
por un vector perpendicular al plano donde actúa, empujando
al cuerpo.
mg
FN
m ge
N1
N2


d) Fuerza Elástica ( Fe

)
Es una fuerza que surge al interior de los cuerpos con propieda-
des elásticas cuando están deformados (estirado o comprimido)
x
F
separación
imaginaria
(Fuerza
deformadora)
Lo
x=0
Fe
Fe
eF = k.x ..... Ley de Hooke
Donde:
Fe : módulo de la fuerza elástica (en N)
x : deformación del resorte (en m o cm)
K : rigidez (en N/m o N/cm)
e) Fuerza de rozamiento por deslizamiento
Es aquella fuerza que surge entre dos superficies ásperas y se
opone al deslizamiento o tendencia de deslizamiento entre di-
chas superficies.
Fuerza de rozamiento estático (fs)
Es la fuerza que surge cuando una superficie rugosa de un cuer-
po intenta deslizar sobre la superficie rugosa de otro cuerpo.
Fg
R=FN
V=0F=0
PISO
BLOQUE
Irregularidades
F1
Fg
Fs
FN
Cuando el bloque está a punto de deslizarse.
 
Fg
R
V=0
F
fs(máx)
FN
s
 
 
    
 
s s(max)
s(max)
s
N
s(max) s N
O f f
f
CTE tg
F
f .F
Donde:
s : coeficiente de rozamiento estático
gF

: fuerza de gravedad; R

: reacción del piso
NF

: fuerza normal
s(máx)f

: fuerza de rozamiento estático máximo
 Fuerza de rozamiento cinético (fk)
Es la fuerza que surge cuando la superficie rugosa de un cuerpo
desliza sobre otra que también es rugosa.
Donde:
:coeficiente de 
rozamiento cinético
IMPORTANTE: > 

 
k
s k
Fg V
F
fk
FN
k
 k k Nf F
Recuerde que cuando la superficie es rugosa la reacción del piso sobre
la base del bloque se obtiene asi:
2 2
NR f F 
Diagrama de cuerpo libre (D.C.L.)
Gráfico donde se aisla a un cuerpo o sistema para graficar sobre él
todas las fuerzas externas que actúan sobre él indicando el ángulo
entre las fuerzas.
PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO
Diremos que un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación cuando
presenta una aceleración lineal (a = 0), y esto ocurre cuando la resultante
de las fuerzas que lo afectan es cero.
x
R
y
F 0; ( ) ( )
F F 0
F 0; ( ) ( )
                  
  
• No olvidar que: llamamos equilibrio mecánico al estado de
reposo o de movimiento rectilíneo uniforme que presenta un
cuerpo en un determinado marco de referencia.
• Debes saber que: un cuerpo rígido permanece en equilibrio
bajo la acción de dos fuerzas si y solo si estas fuerzas tienen igual
módulo, y están dirigidas según la misma recta en sentidos con-
trarios.
mg
R
Observación !!!
Si un cuerpo está en equilibrio y le hacemos el D.C.L. y resulta que
solo le afectan tres fuerzas entonces dichas fuerzas deben se
concurrentes, y al ser dibujadas en secuencia formarán un triángulo.
Ejemplo:
FN
T
mg

mg
T
FN

MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE 
F
O(M ) .
Es una magnitud vectorial, cuyo módulo expresa el efecto o posible
efecto que tiene una fuerza para producir la rotación de un cuerpo
con respecto a un centro de giro.
130
C.T.A. – FÍSICA
Estática
F
b
Centro de 
giro
RMD
línea de
acción de FMFo
F: (N)
b: brazo de
 fuerza (m)
 : Momento de
 fuerza(N.m) 
MFo
CONVENCIÓN DE SIGNOS
+
Antihorario
 

Antihorario Horario
 
F
oM F.b


 
SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO
Un cuerpo se encuentra en equilibrio rotacional cuando el momento
resultante respecto a cualquier punto, dentro o fuera del cuerpo, es
nulo.
EQUILIBRIO
ROTACIONAL  = 0 Mo
RES = 0 ó
  M(+)= M( )
 M = M
Mo
RES = 0
EQUILIBRIO MECÁNICO
Un cuerpo o sistema estará en equilibrio mecánico, si y solo si sobre
el cuerpo o sistema se cumple simultáneamente el equilibrio de
traslación y de rotación.
EQUILIBRIO
MECÁNICO
EQUILIBRIO
DE TRASLACIÓN ( FR = 0 ó a = 0 )
EQUILIBRIO
DE ROTACIÓN Mo
RES = 0 ó  = 0
TEOREMA DE LAS TRES FUERZAS
Cuando sobre un cuerpo actúan 3 fuerzas y no son paralelas ni
colineales entonces estas deben concurrir en un solo punto (de
hecho que se pueden prolongar sus líneas de acción y éstas son las
que se pueden cortar en un sólo punto).
Ejemplo:
La barra homogénea de 8 kg, está a punto de deslizar. Determina la
reacción de la pared rugosa (g=10 m/s2).
Liso Rugoso
37°
Resolución:
37°
N R
80N
37° 37°
Método del triángulo
F 0 ---- R=50 N 

40N
40N
37° 
37°
FN
R=50N
CENTRO DE GRAVEDAD
Es un punto interior o exterior a un cuerpo donde se supone concen-
trado todo el peso del cuerpo.
El centroide, el centro de gravedad y el centro de masa pueden
coincidir bajo ciertos parámetros, estos son cuando el cuerpo es ho-
mogéneo y del mismo espesor. Recuerda que el centroide es estricta-
mente geométrico y el centro de gravedad asi como el centro de masa
son características físicas del cuerpo.
Para el cálculo del centro de masas usaremos el teorema de Varignon
y se dividirá al cuerpo en pequeñas masas de tal modo que su centro
de masa de cada parte sea conocida y luego aplicamos.
CENTRO DE GRAVEDAD
Abscisa ( X ) Ordenada ( Y )
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .w x .w ... x .w
X
w w .. w
  

   
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .w y .w ... y .w
Y
w w .. w
  

  
CENTRO DE MASAS
Abscisa ( X ) Ordenada ( Y )
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .m x .m ... x .m
X
m m .. m
  

   
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .m y .m ... y .m
Y
m m .. m
  

  
CENTROIDES
De volumen (por comodidad trabajemos en el plano)
Abscisa ( X ) Ordenada ( Y )
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .V x .V ... x .V
X
V V .. V
  

   
1 1 2 2 n n
1 2 n
V .m V .m ... V .m
Y
m m .. m
  

  
De superficie
Abscisa ( X ) Ordenada ( Y )
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .A x .A ... x .A
X
A A .. A
  

   
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .A y .A ... y .A
Y
A A .. A
  

  
De línea
Abscisa ( X ) Ordenada ( Y )
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .L x .L ... x .L
X
L L .. L
  

   
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .L y .L ... y .L
Y
L L .. L
  

  
Para cuerpos homogéneos el C.G. coincidirá con el centro geométrico
del cuerpo.
CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS MÁS USUALES
De líneas
Figura Representación X i Yi
Barra
homogénea
C.G.x
L
L/2 0
Semicircun-
ferencia
y
x
y
xx
y
Eje de
simetría
R
R 2R
 
Cuarto de
circunferencia
y
xx
y
R
C.G.
C.G. 2R
 
2R
 
Sector circun-
ferencial
y
x
x
R
C.G.
R
Rsen
 
0
131
C.T.A. – FÍSICA
Estática
De supercficies y volúmenes
Figura Representación X i Yi
Rectángulo b/2 h/2
Triángulo
rectángulo
y
xx
y
Eje de
simetría
R
b
3
h
3
Semicírculo
y
xx
y
R
C.G.
C.G.
4R
 
Cuadrante de
círculo
2Rsen
 
Sector
Circular
y
xx
R
C.G.
R
y
xC.G.
y
x
C.G. h
b
y
x
x
y
b
h
R


4R
 
4R
 
0
De Volúmenes
Cilíndroy prisma
y
x
z
h
CG
x
y
hCG
z z
h
z
2

Cono y pirámide
z
z
x
y
CG
h
z
x
y
CG
h
z
h
z
4

Semiesfera
R
y
x
z
CG
z 3Rz
8

Ejemplo 01
En la figura se muestra una barra homogénea de 5kg. Determi-
na el valor de la tensión en al cuerda. (g=10m/s2). AB=3,6 m;
CD=2,5m
4kg
A D B
37°g
C
a) 395 N
b) 390 N
c) 200 N
d) 232 N
e) 195 N
Solución:
Tcos37°
50N40N
B
40 50 T cos 37
B B B
M 0
M M M
4 3
40(3,6) 50(1,8) T
5 2
T 195N
 
 
        
   

Ejemplo 02
La esfera mostrada pesa 10N. Determina la reacción normal del
piso horizontal sobre la esfera. Considerar las superficies lisas.
8N
45°
a) 0 N
b) 2 N
c) 7 N
d) 12 N
e) 16 N
Solución:
8N
R = ax
R = ayFN
10N
x y
x
Si : 45
R R a
F 0
a 8
  
  
 

y
N
N
N
F 0
F a 10
F 8 10
F 2N
 
 
 

Ejemplo 03
Determina, las coordenadas del c.g. del alambre homogéneo
mostrado.
132
C.T.A. – FÍSICA
Dinámica y Gravitación Universal
DINÁMICA Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL5
10
3
2
3
y(cm )
x(cm )
a) 1,844...; 3,6 ...) b) (1,194...; 3,361...) c) (3; 5)
d) (4; 6) e) (6, 5)
Solución:
L1=10 x1=0 y1=5
L2=3 x2=1,5 y2=0
L3=3 x3=3 y3=1,5
L4=2 x4=4 y4=3
L 18 
x 1,194...cm
y 3,361...cm


INDICADORES DE LOGRO:
- Identificar la relación causa y efecto del movimiento y aplicarlo en
la resolución de problemas.
- Aplicar la 2da ley de Newton y explicar la causa del movimiento
circular.
- Interpretar las leyes del movimiento de los planetas en torno al Sol.
Introducción
Dentro del contexto histórico podemos encontrar en Galileo el que
primero dió las primeras pautas acerca del estudio del movimiento
mecánico al examinarlo y describirlo bajo diversos puntos de vista,
estableciendo leyes cuantitativas que regían dichos movimientos.
De la misma manera el astrónomo y físico alemán Johanes Kepler
describe el movimiento de los planetas, estableciendo sus tres leyes
que cuantifican dicho movimiento.
Tiempos después aparece en la historia el Físico inglés Isaac Newton
quien va a sistematizar todos estos conocimientos previos y publicarlo
en su obra "Principios matemáticos de la filosofía natural" la cual es la
obra más famosa en lo que a aspecto científico se refiere, en ellas se
encuentran las "leyes del movimiento mecánico", "El análisis de la
composición de la luz", "La gravitación universal" y "El desarrollo del
cálculo diferencial e integral". En los cuales da sus tres leyes que rigen
el estudio de la mecánica, del mismo modo plantea la teoría corpuscular
de la luz e inventa una poderosa herramienta matemática para el estu-
dio minucioso y analítico de la física cual es el cálculo utilizando la
palabra "derivada" e "integral".
LEY DE LA INERCIA
Si la fuerza neta sobre un cuerpo es nula, no se producirá cambio alguno en
la rapidez o dirección del movimiento del cuerpo. Por consiguiente el
cuerpo estará en reposo (caso particular del MRU) o estará moviéndose en
línea recta y a velocidad constante.
La inercia se manifiesta como la oposición o resistencia al cambio de estado
mecánico, cuando sobre un cuerpo queremos cambiar su velocidad.
F =0R

Reposo
F =0R

MRU
liso
V
MASA (m)
La masa de un cuerpo está involucrada en su movimiento, porque influye
en el estado del mismo, la masa es la medida dinámica de la inercia de un
cuerpo. Si quisiéramos mover dos esferas, una de plástico y otra de
plomo, aunque ambas de forma idéntica, resulta más difícil mover la de
plomo, porque contiene más inercia, ya que tiene mayor masa. La unidad
de la masa en el SI es el kilogramo (kg).
SEGUNDA LEY DE NEWTON
(Ley de Fuerza y aceleración)
Para poder plantearlo examinaremos los siguientes ejemplos:
I. El bloque de 2 kg inicialmente en reposo sufre la acción de 2
fuerzas, estas mantienen en equilibrio al cuerpo.
 
 F =10N F =10N1 2
Se observa que: FR = 0, la opción es; que el cuerpo esté en
reposo o se mueva con MRU.
II. Si F1 = 40 N y F2 = 10 N; se nota que existe una fuerza resultante
F =30N (  ), esto presupone un movimiento hacia la derecha
en forma acelerada.
 F =40N F =10N1 2
 
F =30NR
a
Se observa que: a =30/2 = 15 m/s2
Luego la segunda Ley lo podemos plantear así:
«La aceleración que adquiere un cuerpo sometido a la acción de
una fuerza resultante es directamente proporcional a esta, e
inversamente proporcional a su masa».
m
FR
a
F = Fuerza resultante
m = masa
a = aceleración
Unidades en el S.I.
F = m.aR
m
Kg
a
m/s
F 
Newton (N)
R
R
APLICACIONES DE LA SEGUNDA LEY
I. Al movimiento rectilíneo
Ejemplo: Determina la aceleración con la que avanza el bloque:
(m = 5 kg)
133
C.T.A. – FÍSICA
Dinámica y Gravitación Universal
F = 1001 F = 602 
W
N
a
Las fuerzas perpendiculares al 
movimiento se anulan
2da Ley de Newton:
FRE = m.a
F1 - F2 = m.a
100 - 60 = 5.a
a = 8 m/s2
Aceleración en poleas móviles
 
a a
a
1 2
O
1 2
o
a a
a
2


 
Caso especial
 
a
a
a
1
2
o=a
=2a
=0 
La aceleración del 
centro es la mitad de 
la aceleración del extremo.
II. Aplicaciones al movimiento circular
Al analizar un movimiento curvilíneo cualquiera, observaremos que la
velocidad tangencial cambia continuamente de dirección; ello
presupone la existencia de una aceleración, la cual solo podrá justificarse
si existe una fuerza resultante que la produce. Esto nos conduce a la
aceptación del siguiente principio:
"Ningún cuerpo con movimiento curvilíneo
se encuentra en equilibrio".
Así pues, los movimientos de trayectoria curva se deberán analizar
como un caso especial de la dinámica, a la que denominaremos
dinámica circular, para lo cual la segunda ley de Newton se reformula
utilizando los conceptos de aceleración y fuerza centrípeta.
DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL
Es la parte de la física que estudia las condiciones que debe cumplir
un cuerpo para que se encuentre en movimiento circunferencial.
En este caso se aplica la segunda ley en los ejes "Radial" y "Tangencial"
en forma separada.
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
Llamada también aceleración normal y es perpendicular a la velocidad
tangencial, su función es cambiar de dirección y sentido a la velocidad,
provocando así un movimiento circunferencial. La aceleración
centrípeta siempre está dirigida hacia el centro de la circunferencia.
2
2
c
V
a W .R
R
 
= Aceleración centrípeta
= Velocidad tangencial
= Velocidad angular
= Radio de la circunferencia
aC


R
FUERZA CENTRÍPETA
Es una fuerza resultante de todas las fuerzas radiales, que genera la
aceleración centrípeta y siempre va dirigida hacia el centro de
curvatura.
Por la segunda ley de Newton:
FT
FC
aT
aC m
R
Eje
tangencial
Eje Radial
W
V
Se observa las fuerzas 
c TF y F
 
 que es la resultante en dirección
radial y tangente respectivamente, luego la segunda ley de Newton
se aplica asi;
Eje radial
 cp cpF ma
 
=m
2V
R
=m 2W .R
 cp ingresan salen del
al centro al centro
(radial) (radial)
F F F   
Eje tangencial
T TF ma
 
En dirección tangente se aplicará para movimientos variados. En el
MCU la Ta

 es nula por lo tanto 
TF

=0.
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Introducción
Desde tiempos muy remotos el movimiento de los planetas fue motivo
de estudio y formulación de diversas teorías que trataban de explicarlo.
Entre las más importantes tenemos la Teoría Geocéntrica de
«Ptolomeo» quien sostenía que la Tierra era el centro del Universo.
Otra teoría importante es la de Copérnico llamada Heliocéntrica por
que sostenía que el Sol era el centro del Sistema Solar y que las
órbitas de los planetas eran circulares. Durante mucho tiempo ambas
teorías fueron discutidas sin que pudiera aprobarse ninguna de las
dos.
Un astrónomo llamado Ticho Brahe tomo datos sobre el movimiento
de los planetas por más de 20 años sin poder determinar cual era la
verdadera. Fue un discípulo suyo el que formuló las siguientes leyes:
LEYES DE KEPLER
1. LEY DE LAS ÓRBITAS:
El movimiento de los planetas es alrededor del Sol describiendo
órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.
2. LEY DE LAS ÁREAS:La línea que une el Sol con un planeta (radio vector) describe
áreas iguales en tiempos iguales.
Sol
A1
A2
(A)
(B)
(D)
C( )
t1
t2
134
C.T.A. – FÍSICA
Dinámica y Gravitación Universal
En general se tiene: 
1 2
1 2
A A
t t

3. LEY DE LOS PERÍODOS:
Los cuadrados de los períodos de revolución del movimiento de
los planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a
los cubos de sus distancias al Sol.
M
1
2
R2
R1
 
2 2
1 2
3 3
1 2
T T
K(constante)
R R
T = Período (tiempo empleado en una vuelta en torno al Sol)
R = Radio medio de orbita
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Fue enunciada por Isaac Newton y establece que:
«La fuerza de atracción entre dos masas cualquiera en- cualquier
parte del universo -es directamente proporcional al producto de las
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
separa a sus centros geométricos»
r
F F
m1 m2
1 2
2
Gm .m
F
r

Donde:
Unidades S.I.
F= Fuerza gravitacional (N)
G= Constante de gravitación universal: 6,67.10-11Nm2 / kg2
m1 y m2= masas (kg)
r = distancia entre centros de las masas (m)
Observaciones
1. Las masas se consideran puntuales cuando sus dimensiones son
pequeños en comparación con la distancia que las separa.
2. Toda esfera maciza y homogénea puede considerarse como una
masa concentrada y puntual en su centro.
3. En todo cascarón esférico no existe fuerza de gravitación sobre
una pequeña masa que se encuentre en su interior por lo tanto
no existe campo gravitacional en el interior del cascarón.
F 0
g 0
m
¿Cómo podemos determinar la aceleración de la gravedad
en la superficie, en el interior y en puntos fuera de un
planeta?
Para ello utilizamos la ley de gravitación universal de Newton, el cual
actuaría sobre una masa puntual y seguidamente aplicamos la 2da
Ley de Newton; tal como mostramos en cada uno de los casos:
a) En la superficie del planeta(gA):
 
b) A una altura «h» sobre la superficie del planeta (gh).
h
M
F
m
R
 
2
h A
R
g g
R H
   
  
c) En el interior del planeta.
Mx
Cm
x
El cascaron no ejerce ninguna fuerza gravitacional sobre «m», solo
se tiene la fuerza gravitatoria ejercida por la esfera de radio «x», así:
F = peso(x)
(x)
c2
GM m
mg
x

gC = (x)2
GM
....................(1)
x
r(x) =x
(considerando a la tierra como un planeta de densidad uniforme)
(x)
(x)
M M
V V

(x)
3 3
M M
4 4
x R
3 3

 
M(x) = 
3
3
Mx
R
En (1):
3
3
int 2
Mx
G
Rg
x
  gC = 2
GM x
R R
 
 
  
o
int
g .x
g
R

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA (U)
Es el trabajo que se debe realizar para mover una masa «m» desde
el infinito hasta un punto del campo gravitacional de una esfera o
planeta de masa «M».
r
M
F
m
135
C.T.A. – FÍSICA
Trabajo, Potencia y Energía
Si. E = 0 Velocidad de escape.
Ejemplo 01
En el momento mostrado, el resorte se encuentra estirado en
40cm. Determina el módulo de la aceleración de cada bloque (en
m/s2) desprecie el rozamiento (K=100N/m)
4kg 10kg
A B 
a) 10–10 b) 10–8 c) 10–2 d) 10–4 e) 5–2
Solución:
i.
2
2
A
Fe Kx
100.40.10 4a
a 10m / s




ii. 2
2
B
100.40.10 10a
a 4m / s
 

Ejemplo 02
El bloque mostrado en la figura se mueve sobre la superficie. Si
se aplica una fuerza F=50N éste adquiere una aceleración a1, si
se aplica una fuerza F=80N acelera con a2. Determina la relación
1
2
a
a (g=10m/s
2)
1kg
FK= 0,35
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/10
Solución:
1kg
F
fk mg
N
i. F1–fK=ma1
ii. F2–fK=ma2
1
2
a 1
a 3
 
Ejemplo 03
En el caso mostrado se deja deslizar un bloque. Si este llega al punto
A en 3s. Determina el coeficiente de rozamiento. (g=10m/s2).
6m
V = 0o
µ= ??
37°
A
a) 3/4 b) 4/5 c) 3/5 d) 4/15 e) 17/36
Solución:
2
2
1
10m .a.(3s)
2
20 m
a
9 s


2 2
20 m m 3 4
10 µ.
9 5 5s s
17
µ
36
    
 

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA6
INDICADORES DE LOGRO:
- Reconocer al trabajo mecánico como la medida de la transferencia
de movimiento de una fuerza a un cuerpo.
- Identificar la naturaleza escalar del trabajo, potencia y energía.
- Identificar los casos en lo cuales la energía se conserva y en que
casos la energía se modifica.
- Evaluar la rapidez con la cual se realiza trabajo mecánico.
TRABAJO MECÁNICO
La transferencia de movimiento mecánico de un cuerpo a otro
recibe el nombre de Trabajo Mecánico
TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE ( FW )
Sea una fuerza constante y paralela al desplazamiento, el trabajo que
esta fuerza desarrolla sobre el bloque al desplazarlo una distancia “d”
viene dado por:
 
F F
V=0
V
A Bd
d.FwF BA 

Donde:
F: Módulo de fuerza que realiza el trabajo (en N).
d: Distancia (en m).
FW : Trabajo de la fuerza “F”..
UNIDAD DEL TRABAJO
La unidad del trabajo que utilizamos con mayor frecuencia es el
“Joule” que es el trabajo desarrollado por una fuerza de un newton
al mover su punto de aplicación un metro en su propia dirección,
esto es:
Joule = Newton x metro; 1 J = 1 N x m.
El nombre de Joule se adoptó en honor del físico inglés James Prescott
Joule (1818-1869), cervecero de profesión, pero a quien su
acomodada posición económica, permitió hacer notables
investigaciones en la física.
Al ubicar un eje de coordenadas (eje x) en la dirección del
movimiento, se puede observar como varía “F” en relación a su
posición “x” para luego graficar “F” vs “X”.
En nuestro caso, F es constante y presenta el mismo valor en cualquier
posición, siendo su gráfico (F vs X) el siguiente.
Al calcular el trabajo obtenemos:
136
C.T.A. – FÍSICA
Trabajo, Potencia y Energía
 
1 2
F
x x 2 1
desplazamiento
W = F x - x

Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos:
Área:  2 1F x – x .
¡El área bajo la gráfica “F vs X” es numéricamente igual al
trabajo!
1 2
F
x xW Área 
Para una fuerza no constante
Si la fuerza es de módulo variable pero de dirección constante,
entonces, el área bajo la gráfica “F vs X” sigue siendo igual al trabajo,
aunque en este caso puede que el área no sea de una región
conocida.
En este caso el módulo de la fuerza toma distintos valores para cada
posición, sin embargo, el área bajo la curva "F vs X" sigue siendo
igual al trabajo.
variable
1 3
F
x xW =Área
Para el caso de una dependencia lineal de “F” respecto de “X” se
puede utilizar el concepto de fuerza media.
 1 2 2 1
media
F + F
Área = x - x
2
Área = F . d
 
 
  
TRABAJO TOTAL O NETO (WNETO)
El trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo sobre el cual actúan
varias fuerzas es la sumatoria de los trabajos realizados por cada
fuerza independientemente de las demás:
F1
F2
F3
A B
d
...WWWW 3F BA
2F
BA
1F
BA
NETO
BA  

Nótese que esta suma es escalar, los sumandos pueden ser positivos,
negativos o cero, lo mismo ocurre con el resultado.
También se puede hallar el trabajo neto como el trabajo de la fuerza
resultante, así, si:
2 3R 1F =F +F +F +...
Nótese que es una suma vectorial, para obtener RF hay que tener
bastante cuidado con las direcciones y los módulos de cada fuerza.
 
FR
d
 




Cos d.Fw
ww
R
NETO
BA
RF
BA
NETO
BA

Si RF 0 (cuerpo en equilibrio) 
NETOW = 0
• Si el movimiento del bloque es uniforme (movimiento a
rapidez constante). F V
90º
R 
 = 
NETOW = 0
Por propia experiencia sabemos que necesitamos fuerza para alterar
la rapidez de un objeto, para vencer el rozamiento, para comprimir
un resorte, para moverse en contra de la gravedad; en cada caso
debe realizarse trabajo. En tal sentido, el trabajo es vencer siempre
una resistencia. Luego, entendemos por trabajo a la facultad que
tienen las fuerzas para generar movimiento venciendo siempre una
resistencia, sea esta una fuerza o bien la propia inercia de los cuerpos,
y solo habrá trabajo sobre un cuerpo si este se desplaza a lo largo de
la línea de acción de la fuerza aplicada.
POTENCIA
La definición de trabajo no mencionó el tiempo empleado, por ejemplo,
si se quiere desplazar un bloque una distancia horizontal de 5m
mediante una fuerza horizontal de 10 N el trabajo que se tiene que
desarrollar sería:  FW = F. d =10 N 5 m = 50 J independientemente
de cuanto tiempo nos tardemos, pues podría ser 1 s, 1 día, 1 año, etc.
Pero muchas veces necesitamos conocer la rapidez con la cual se
efectúa un trabajo, esto se describe en términos de potencia que es
el trabajo efectuado en la unidad de tiempo, esto es:
m
Trabajo F .dPotenciamedia= F .V
Tiempo t
 
Eficiencia de una máquina (  )
Toda máquina necesita de un suministro de potencia para realizar
algún tipo de trabajo, esto es, para desarrollar una potencia útil. Así
se define la eficiencia de una máquina como la razón entre las potencias
útiles a la entregada a la máquina.
útil
entregada
P
P

Note que la eficiencia es un número adimensional y que  < 1 pues:
entregada útilP P
Esto es, toda la potencia que se entrega a una máquina no es
aprovechada íntegramente por esta para realizar trabajo, pues hay
pérdidas por rozamiento que normalmente se presencia en forma de
calor (la máquina se calienta).
137
C.T.A. – FÍSICA
Trabajo, Potencia y Energía
entregada perdidaútilP P P 
Observación
La potencia se suele expresar también en términos de tanto por
ciento esto es:
útil
entregada
P
100%
P
  
ENERGÍA MECÁNICA
Capacidad para desarrollar trabajo mecánico, esto es transmitir mo-
vimiento mecánico.
Energía cinética (EK)
Es la energía asociada al movimiento de los cuerpos.
2
K
1E mV
2

Donde:
m : masa del cuerpo (en kg)
V : rapidez del cuerpo (en m/s)
EK: energía cinética (en J)
Energía potencial (Ep)
Es la energía que tienen los cuerpos y que está asociada a la interacción
con otros cuerpos, esto es, depende de su ubicación o posición
frente a otros cuerpos. Estudiaremos las siguientes clases de energía
potencial.
1. Energía potencial gravitatoria (Epg)
Si dicha posición es una altura respecto a la tierra o a cualquier
nivel de referencia, donde se asume dicha energía como nula.
pgE mgh
Donde:
m: masa del cuerpo (en kg)
h: altura (en m)
g: aceleración de la gravedad (en m/s2)
Epg: energía potencial gravitatoria (en J)
Observación:
La "Epg" es relativa; pues depende del nivel de referencia que se
tome como cero.
2. Energía potencial elástica (Epe)
Si dicha posición es una desviación respecto a una posición de
equilibrio, la presentan comúnmente los cuerpos elásticos cuan-
do son deformados.
 
K
x
Sin
deformar
21Ep Kx
2

Donde:
x: deformación del resorte (en m).
K: constante de fuerza del resorte en (N/m).
Epe: energía portencia elástica (en J).
En conclusión
La energía mide las diversas formas de movimiento e interacción de
las partículas que conforman un sistema.
RELACIÓN ENTRE EL TRABAJO Y LA ENERGÍA
 
El joven realizó trabajo (+) sobre el bloque y este adquirió energía
cinética.
La “ kf ” realiza sobre el bloque trabajo (–) reduciendo su energía
cinética.
Neto KW =ΔE
0Neto Kf KW = E -E
FUERZAS CONSERVATIVAS
Son aquellas fuerzas cuyo trabajo está asociado a una función poten-
cial, esto es, su trabajo puede expresarse como una diferencia de
energías potenciales en sus puntos final e inicial independientemente del
trayecto seguido. Las fuerzas conservativas más comunes son:
• Fuerza de gravedad  asociada a la Epg
• Fuerza elástica  asociada a la Epe
• Fuerza eléctrica  asociada a la eléctricaEp
F.conservW Ep  
 F.conserv o fW Ep Ep 
A B C DM M M M
E E E E  
Caso especial: de la conservación de la energía mecánica:
 
Ahora, si sobre un cuerpo realizan trabajo fuerzas conservativas y
no conservativas tenemos:
F.conserv F.no conserv
K
Ep
W W E
 
  
138
C.T.A. – FÍSICA
Cantidad de Movimiento y M.A.S.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y M.A.S.7
 
f
F.N.conserv
K p
K p
M M Mo
W E E
E E
E E E
   
  
   
F.N.conserv
MW E 
Ejemplo 01
Una esfera de masa 4kg, se suelta de cierta altura impacta con el
suelo luego de 3s. Determina el valor del trabajo realizado por el
peso de la esfera (g=10m/s2).
a) 3,6 KJ b) 2,7 KJ c) 1,8 KJ d) 1,2 KJ e) 0,9 KJ
Solución:
3s
2
h 45m K 3K 5K
W mgh
W 4Kg.10m / s .45m
W 1,8KJ
   
 



Ejemplo 02
Un bloque 40N es abandonado en la posición que se indica en la
figura, cuando el resorte de K=20N/cm está sin deformar, halla la
máxima deformación que presenta el resorte.
K
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm
Solución:
i. La máxima deformación se da cuando el bloque después de
haberse soltado se detiene.
K
m
m
VC
(A)
(B) V = 0B
h= x
N. Ref.
A B 2
H M
1
E E mgx Kx
2
2mg 2.40
x x
K 2000
4
x m x 4cm
100
 
 
  
Ejemplo 03
03. El bloque de 2kg se suelta a partir del reposo en el caso mostra-
do. Determina la energía elástica acumulada en el resorte cuan-
do el bloque presiona al resorte. (K=24 N/m; g=10m/s2)
m
V
= 0
0
20
0c
m
K
37°
= 0
a) 24 J b) 36 J c) 48 J d) 60 J e) 96 J
Solución:
* Por conservación de energía:
2
2
1
mg(2 x)sen37 Kx
2
x x 2 0
x 2m
  
  

2
Pe
PR
1 N
E .24 .4m
2 m
E 48J
 

INDICADORES DE LOGRO:
- Establecer la relación entre el impulso y la cantidad de
movimiento.
- Reformular las leyes de Newton de la Mecánica, en términos de
la cantidad de movimiento e impulso.
- Analizar las leyes del movimiento armónico simple.
- Interpretar la conservación de la energía en el M.A.S.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTUM LINEAL (p

)
¿Qué entendemos por cantidad de movimiento?
Es una medida vectorial del movimiento mecánico cuya transmisión
es instantánea y se hace por vía del impulso. Para un movimiento de
traslación esta dado por el producto de la masa y la velocidad.
P m v
 

Unidad (S.I.):
m= kg; v= m/s; y p = kg.m/s
Si comparamos a un tren de 3 500 kg que se desplaza a una velocidad
de 0,01m/s y una bala de fusil de 0,1 kg con velocidad de 350 m/s,
notaremos que ambos tienen la misma cantidad de movimiento (p =
35 kg.m/s).
CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
(
SISP
 )
¿Cómo se puede determinar la cantidad de movimiento de
un sistema de partículas?
Para este caso se debe tener presente que la cantidad de movimiento
es vectorial y se le debe tratar como tal. Cada partícula integrante del
sistema de partículas crea su propia cantidad de movimiento, luego la
cantidad de movimiento del sistema de partículas se obtiene ( P

sist)
sumando vectorialmente cada una de la cantidad de movimiento de
cada partícula, así:
sist 1 2 nP P P ... P
   
   
Así pues, cuando las partículas se desplazan sobre el eje x-x se debe
tener en cuenta el sentido del movimiento y convencionalmente se
adopta si la partícula se desplaza hacia la derecha: (p) es positivo y si
es hacia la izquierda (p): es negativo, lo mismo se debe tener en
cuenta con las velocidades.
Ejemplo 1
Determina la cantidad de movimiento del sistema de partículas que se
muestra.
139
C.T.A. – FÍSICA
Cantidad de Movimiento y M.A.S.
+3m/s
2kg
-5m/s
4kg
-6m/s
5kg
+4m/s
3kg
+2m/s
2kg
Resolución
Teniendo en cuenta la regla de signos y trabajando en el S.I. se
tiene:
         SIT
SIT
SIT
P 2. 3 4 5 3 6 3 4 2 2
P 6 20 18 12 4
P 10kg.m/s 10i m/s
         
    
   


 
Ejemplo 2
Determina la cantidad de movimiento del sistema.
V =8m/s2
V =6m/s1
3kg
3kg
Resolución
Haciendo uso de los vectores se tiene (p2 = 3.8 = 24 kg.m/s y p1 =3.6
= 18 kg.m/s).
18 kg.m/s
24kg.m/s
P =30kg.m/sSist
Así mismo en el gráfico se observa la cantidad de movimiento del
sistema como el vector resultante en donde su valor se puede
obtener por triángulos notables o haciendo uso del teorema de
Pitágoras.
2 2
Sist
Sist
P 18 24
P 30 kg.m / s
 

IMPULSO ( I

)
¿Qué entendemos por impulso?
El impulso nos indica el grado de efectividad que posee una fuerza
para poner en movimiento a un cuerpo (su acción es instantánea).
Así pues, su valor es directamente proporcional a la fuerza F aplicada
y con el tiempo (  t) que duró su aplicación.
I F. t 
 
Unidad (S.I.):
F: fuerza (N);  t:tiempo (s), y I: impulso (N.s); el equivalente
de N.s es kg.m/s.
¡Importante!
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo comúnmente son variables
y es por ello si realizamos un gráfico Fuerza versus tiempo podemos
comprobar que el área debajo la gráfica es igual al impulso que
recibe un cuerpo en un intervalo de tiempo dado.
F(N)
Fmáx
t(s)t
J=A
Área Impulso
TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
¿Qué pasa con la cantidad de movimiento de un cuerpo cuando
sobre él actúa un impulso?
Todo impulso que se ejerce sobre un cuerpo le ocasiona un cambio
en su cantidad de movimiento, de tal manera que el impulso es igual
a la variación en su cantidad de movimiento.
f 0I p p 
  
Ejemplo
Una pelota de tenis impacta sobre una raqueta en forma horizontal
con +12 m/s y rebota en forma opuesta con -8 m/s, si la masa de la
pelota es de 400 g, determina el impulso que recibió la pelota por
parte de la raqueta.
Resolución
Haciendo un gráfico esquemático:
+12m/s
-8m/s
F
I
m
m
0p

=(0,4 kg)(-8 m/s)= -3,2 kg.m/s
fp

=(0,4 kg)(+12m/s)= +4,8 kg.m/s
Por el teorema del impulso y la cantidad de movimiento se tiene
f 0I p p 
  
I

= +4,8 – (-3,2)
I

= +8 N.s …..Rpta.
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
¿En qué casos la cantidad de movimiento se conserva, es
decir no sufre variaciones?
Cuando la fuerza resultante externa que actúa sobre el cuerpo o el
sistema es nulo (sistema aislado) la cantidad de movimiento se
conserva.
Como externasF 0 

 entonces el impulso es nulo por tanto I

=0,
luego la conservación de la cantidad de movimiento queda así:
inicial final
sist sistP P
 
i i i im .v (iniciales) m .v (finales)  
 
Ejemplo
Un cañón de 100 kg, apoyado sobre una superficie lisa, dispara un
proyectil es de 2 kg con 160 m/s, ¿cuánto tiempo le tomará al cañón
para retroceder 32 m?
a) 5 s b) 10 s c) 15 s
d) 20 s e) 25 s
Resolución
Realizando un diagrama interpretativo del problema, en el cual se
muestra la posición inicial y final de la bala y el cañón.
u2 u =160m/s1100kg
2kg
Inicial 
Final
32m
t=?
Como no hay rozamiento la cantidad de movimiento se conserva.
en x-x:
140
C.T.A. – FÍSICA
Cantidad de Movimiento y M.A.S.
inicial final
sist sist
x x x x
P P
 

 
0 = 100 (-u2) +2.160
u2 =3,2 m/s
Luego como no hay fricción el cañón retrocederá con M.R.U., para
recorrer una distancia de 32 m, empleará un tiempo de:
2
d 32
t
u 3,2
 
t=10 s ..................Rpta
Clave (b)
CHOQUES O COLISIONES
Son impactos violentos en los cuales se produce disipación de
energía en forma de calor.
CLASIFICACIÓN
Por la trayectoria que siguen antes y después del choque se clasifican
en:
1. Choques Frontales
Ocurre cuando la trayectoria de los móviles antes y después del
choque es el mismo. Para este tipo de choque se define el
concepto de coeficiente de restitución (e).
Coeficiente de restitución (e)
Es un factor adimensional que nos da la relación entre la
velocidad relativa de alejamiento después del choque y la
velocidad relativa de acercamiento antes del choque, así:
V1 V2 u1 u2
Antes del choque Después del choque
21
12
VV
uu
e



Se debe tener en cuenta que el coeficiente de restitución varía
entre 0 y 1(0  e  1).
2. Choques excéntricos
Ocurre cuando la línea de acción de las partículas antes y después
del choque son diferentes inclusive lo cuerpos después del
choque pueden estar girando.
¿De acuerdo a la disipación de energía como se clasifican
los choques?
Se clasifican en:
1. Choque elástico (e=1)
En este choque no se produce disipación de energía, es decir
la energía mecánica de los cuerpos antes y después del choque
se conserva.
A.ch D.ch
M ME E
2. Choque inelástico (0<e<1)
En este choque se produce deformación en los cuerpos y por
ende se disipa energía en forma de calor de tal forma que:
A.Ch. D.Ch.M M
E E Q(calor) 
3. Choque totalmente inelástico o Plástico (e=0)
En este choque los cuerpos sufren deformaciones permanentes,
la energía mecánica no se conserva. Los cuerpos después del
choque quedan adheridos es decir tienen la misma velocidad.
M MA.Ch. D.Ch.
E E Q(calor) 
¡Para tener en cuenta!
En todo choque la cantidad de movimiento se conserva:
sisA.Ch. sisD.Ch.P P
Ecuaciones adicionales:
 
 
V
U h
H
Vo=0
 
2
2n
n
h He 1 rebote
h He n rebote
U eV
 
 

 
 
i r
Normal a la
superficie
tan(i)
e
tan(r)



MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)
¿Qué se entiende por M. A. S?
* Es un movimiento rectilíneo, periódico y oscilatorio.
Lo más común es el estudio del sistema masa – resorte.
m
K
-A +A
P.Eq.
* PERIODO (T)
Tiempo empleado en una oscilación completa (ida y vuelta),
debe ser igual en cada oscilación.
P.Eq.P.E. P.E.
T/2
T/2
-A +A
K
Por dinámica, para una posición cualquiera del bloque, se
tiene:
Posición
cualquiera
P.Eq.
x
Fe=Kx
aMAS
Fe = m.aM.A.S.
Kx = m w2 x
K
w
m

Por teoría se sabe que:
T
π2
W   
w
π2
T   
K
m
π2T 
En el S.I. se tiene:
m: masa (kg); T: Periodo (s)
W : frecuencia angular (rad/s)
AMPLITUD (A)
Es la máxima deformación, es la longitud recorrida entre la posición
de equilibrio y una posición extrema. Es decir la masa oscila entre
dichas amplitudes.
ECUACIONES DEL M.A.S
Como se observa el M.A.S. es un movimiento con aceleración variable
asimismo con velocidad variable, entonces para calcular su velocidad
141
C.T.A. – FÍSICA
Cantidad de Movimiento y M.A.S.
(V), posición (x) y aceleración en función del tiempo (t) transcurrido
se tendrá en cuenta el movimiento oscilatorio que realizan y basados
en un análisis matemático y sus aproximaciones las ecuaciones serán:
1. Posición(x):
Se mide respecto de la posición de equilibrio positivo a la derecha
de la P.Eq. y negativo a la izquierda de esta.
 x ASen wt 

Debe recordar:
w = frecuencia angular o circular (rad/s)
t = tiempo transcurrido (s)
 = ángulo de desfase se determina con las condiciones .
2. Velocidad ( MASV

)
Es positiva si se dirige hacia la derecha y negativa si se dirige
hacia al izquierda cuando el movimiento se realiza sobre el eje x
– x (en realidad depende de la posición de equilibrio(P.eq.) y el
plano de oscilación.
MAS
2 2
MAS
V Aw cos(wt )
V w A x
  
 

El signo a elegir va a depender del plano de oscilación como ya
se manifestó.
Si: x = ± A y v = 0
(En las posiciones extremas)
x = 0 y vmáx = wA
(En la posición de equilibrio)
3. Aceleración (aMAS)
Es proporcional al desplazamiento:
aMAS = - Aw
2 Sen(wt +  )
aMAS = ± w
2 x
El máximo valor de la aceleración se da en los extremos del
movimiento y el mínimo valor de la aceleración se da en la posición
de equilibrio (amax=w
2A).
4. Energía en el M.A.S.
Es notorio que cuando un cuerpo desarrolla un M.A.S. en un
plano horizontal están presentes la energía potencial elástica y la
energía cinética. Analizando las posiciones fundamentales del
M.A.S. se concluye que en los extremos la energía mecánica es
igual a la energía potencial elástica y en la posición de equilibrio
la energía cinética es máxima(x=0) e igual a la energía mecánica
del oscilador armónico.
K
P.Eq.
m
P. Ext.
+A
v=0 V =wAmáx
mm
x
V
22222
M kx2
1
mV
2
1
AmW
2
1
kA
2
1
E 
 en x=A en x=0 en una pos. cualquiera
5. ACOPLAMIENTO DE RESORTES
5.1 En Serie 5.2 En Paralelo
K1
K2
K3
K1 K2 K3
321e K
1 
K
1 
K
1 
K
1  321e K K K K 
MOVIMIENTO PENDULAR
L
 
Periodo de oscilación
L
T=2
g

3. Periodo en sistemas acelerados
efectiva
L
T 2
g
 
efecg g a 
  
 a

: aceleración del lugar donde se encuentra el péndulo.
Ejemplo 01
Un cañón de 5kg comprime el resorte 10cm al retorceder cuan-
do dispara una bala de 30g con una rapidez de 500 m/s. Deter-
mina la constante del resorte en KN/m.
a) 2,5 b) 3,5 c) 4,5 d) 5,5 e) 9,0
Solución:
o f
C
C
o e
2 2
P P
5Kg.V 0,03Kg.500m / s
V 3m / s
EK EP
1 1
.5.3 K.(0,1)
2 2





K=4500 N/m K=4,5KN/m
Ejemplo 02
El período de oscilación de un péndulo simple es 10s , si su
longitud disminuye en un 10%. Determina su nuevo período.
a) 1s b) 2s c) 3s d) 2s e) 3 9s
Solución:
1
1
1
L
T 2 10s
g
0,9L
T 2
g
T 0,9L
T 3s
10 L
  
 
   
Ejemplo 03
Un cuerpo de 1kg realiza un MAS de 25cm de amplitud y un
período de 0,5s. Determina su energía cinética cuando el cuerpo
pase por el punto de equilibrio.
a) 2/2J b) 22 J c) 22 J d) 23 J e) 2 / 4J
Solución:
máx
2
k máx
rad
4
s
1
A m
4
m
V A
s
1
E m V
2
  

   

m
P. E.
2
KE J2


142
C.T.A. – FÍSICA
Hidrostática - Hidrodinámica
INDICADORES DE LOGRO:
- Conocer las propiedades básicas de los fluidos.
- Comprender la naturaleza de la presión, sus formas de transfe-
rencia y la ley que la fundamenta.
- Interpretar los principios de Arquímedes y Pascal. Resuelve ejer-
cicios relacionados con la hidrostática.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Es la parte de la Física que estudia las propiedades de los fluidos
(líquidos y gases), y que tiene la finalidad de analizar el
comportamiento y efectos físicos que originan los fluidos en el estado
de reposo y en el estado dinámico.
FLUIDO
Es toda sustancia que se deforma continuamente cuando es sometido
a un esfuerzo cortante o tangencial, aún por muy pequeño que sea
este.
La mecánica de fluidos se puede clasificar de la siguiente manera:
Está tica
- H id ro s tá t ica
d e
- N eu m o stá ticaM EC Á N IC A F lu id o s
D E 
D in ám icaF LU ID O S - H id ro d inám ica
d e
- N eu m o d in ám ica
F lu ido s

 




  

La Hidrostática: Es parte de la mecánica de fluidos que estudia a los
fluidos en reposo.
La Hidrodinámica: Es rama de la mecánica de fluidos que se
encarga de estudiar los líquidos en movimiento. Cuando los líquidos
fluyen, sus moléculas componentes se mueven describiendo curvas
llamadas líneas de corriente.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
I. PRESIÓN Y DENSIDAD
La presión "p" se define como una magnitud física tensorial que
expresa la distribución normal de una fuerza sobre una superficie.
 

La presión es directamente proporcional a la fuerza
e inversamente proporcional a la superficie.
Magnitud tensorial implica que la presión tiene infinitos puntos
de aplicación y manifestación normal sobre todas las superficies.
 
Fuerza Normal Presión 
Área  
 FP
A
Unidades de Presión:
En el S.I., la unidad de presión es: 1 N/m2 = 1 Pascal
Otras unidades prácticas de presión frecuentemente empleadas
son el milímetro de mercurio (mmHg) y la atmósfera (atm).
1 atm = 760 mmHg = 1,01325 x 105 N/m2
La densidad () de un fluido homogéneo representa la masa (m)
por la unidad de volumen (V).
 = m/v
Unidades: kg/m3, g/cm3
HIDROSTÁTICA - HIDRODINÁMICA8
II. PROPIEDADES DE LOS LÍQUIDOS EN REPOSO
• La superficie de un líquido, que está en equilibrio es plana y
horizontal.
• La fuerza ejercida por un líquido sobre una superficie
cualquiera es siempre perpendicular a esta superficie.
• Si en un recipiente echamos diversos líquidos se establece el
equilibrio colocándose unos sobre otros, según el orden de
sus densidades; así, el más denso se coloca en el fondo.
III.PRESIÓN ATMOSFÉRICA
La presión atmosférica es la presión ejercida sobre todos los
objetos de la Tierra por la capa de aire de varios kilómetros de
altura que envuelven nuestro planeta. La atmósfera terrestre
ejerce presión sobre cualquier parte de la superficie terrestre.
Fue Torricelli, físico italiano del siglo XVII, quien hizo la primera
demostración al llenar de mercurio un tubo de vidrio y colocarlo
en posición invertida sobre un recipiente, este bajó en el tubo
hasta un cierto nivel. Como no hay aire en la parte superior
cerrada del tubo, se concluye que el peso de la columna de
mercurio, situada por encima del nivel del depósito, es equilibrado
por la presión atmosférica.
Presión
atmosférica
Vacío
Altura de
columna de
mercurio
Esquema de 
un barómetro 
de mercurio
El tubo de Torricelli no es otra cosa que un barómetro de
mercurio. Toda variación en la altura de la columna de mercurio
corresponde a una variación de la presión atmosférica, llamada
también presión barométrica.
IV. PRESIÓN DE UN LÍQUIDO EN REPOSO (PRESIÓN
HIDROSTÁTICA)
Es la presión que soporta todo cuerpo sumergido en forma
parcial o total en un líquido en reposo relativo. La presión
hidrostática se debe a la acción de la gravedad sobre el líquido.
Consideremos un recipiente que contiene un líquido de densi-
dad " L ".
 
A
h
A
h
PH
mg
143
C.T.A. – FÍSICA
Hidrostática - Hidrodinámica
Se puede observar que la columna del líquido ejerce una presión
sobre la superficie del área "A" debido a su peso, esto es:
PH = 
NF
A
; pero: FN = mg
PH = 
mg
A = 
L(p Vol)g
A
= L
p (A.h)g
A
PH =.g.h
L: Densidad del líquido (kg/m
3)
h: Profundidad (m)
PRINCIPO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA
«La diferencia de presiones hidrostáticas entre los puntos situados
en un mismo líquido en reposo relativo es igual al producto de la
densidad del líquido por la altura entre dichos puntos por la
gravedad».
 
2h
1h
H
Nivel 1
Nivel 2
2 liq 2
1 liq 1
P gh
P gh



 
2 1 liq 2 1
2 1 liq
liq
P P g(h h )
P P gH
P gH



  
 
 
Donde: 2 1H h h 
Nota: Si: 1 2h h (a un mismo nivel)
2 1P P 0   2 1 P P 
 Se denominan líquidos inmiscibles a aquellos que cuando se juntan
no llegan a mezclarse. Los menos densos tienden a subir a la
superficie y los demás tratan de quedarse en el fondo.
 
 
C
B
A
Ch
Bh
Ah
 Si: A B C   
A A B B C CP h h h    
VASOS COMUNICANTES
En todo vaso comunicante, los puntos que se encuentran a igual
profundidad soportaran igual presión hidrostática.
A B C
PRINCIPIO DE PASCAL
En el gráfico se muestra un líquido dentro de un recipiente provisto
de un pistón al cual podemos aplicar cualquier presión externa.
P =2Pa1
P =6Pa2
A=1m2
Si ahora aplicamos sobre el émbolo una fuerza de 2N observamos
que:
P’ =4Pa1
P’ =8Pa2
F=2N
La presión ejercida por la fuerza de 2N sobre el líquido es:
P=
F
A = 2
2N
1m
= 2 Pa
Que justamente es igual a la variación de la presión en las dos lecturas:
(P1 - P1 y P2 - P2)
"El fluido (gas o líquido) transmite la presión que se ejerce en todas
las direcciones y con igual valor".
PRENSA HIDRÁULICA
Es una máquina simple que tiene por objetivo multiplicar la fuerza
que se le comunica. Sus aplicaciones se dan para levantar cargas
pesadas.
Aquí se cumple el principio de Pascal
 
2F
2Area A 1Area A
1F
 
1 1
2 2
F A
F A
Desplazamiento de émbolos
Los volúmenes de líquido desplazado son iguales, de donde se
establece que:
Al ejercer sobre el pistón de área "A1" una fuerza F1 este trasmite al
líquido una presión P1 dada por:
P1 = 
1
1
F
A
Luego, el líquido le trasmite al pistón de área "A2" una presión P2
dada por:
P2 = 
2
2
F
A
Pero, de acuerdo al principio de Pascal.
P1 = P2
1 2
1 2
F F
A A
 
De donde:
2
2
1
1
A
F F
A
 
  
 
 ; 
1 1 2
2 2 1
F A h
F A h
 
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
«Todo cuerpo sumergido parcial o totalmente en un líquido recibe
una fuerza vertical de abajo hacia arriba, denominada empuje cuyo
valor es igual al peso del líquido desalojado».
Si colocamos un bloque de madera sobre un recipiente lleno de
agua, observaremos que éste flota. ¿Cómo se puede explicar esto?
144
C.T.A. – FÍSICA
Hidrostática - Hidrodinámica
Consideramos un cuerpo en forma de paralelepípedo sumergido
dentro de un líquido de densidad "PL" tal como se muestra.
 
Las fuerzas que actúan en las caras laterales son iguales y se
equilibran, es decir, F3 = F4. Por el efecto de estas fuerzas el cuerpo
solo se comprime.
En la vertical, como P2 > P1 entonces F2 > F1 por esta razón el cuerpo
es empujado por una fuerza resultante F2 - F1 a la cual se denomina
empuje hidrostático (E).
E = F2 - F1
 = P2A - P1A= (P2 - P1) A
 = ( Lgh2 - Lgh )A
 = Lg(h2 - h1)A
E= L.g.Vsum
Generalizando este resultado
VsumM
E
 sumL V.g.E 
LEYES DE FLOTACIÓN
1ª Ley: «Si el peso específico del cuerpo es mayor que el del líquido
en el cual se sumerge, entonces, el cuerpo se hunde hasta el fondo,
con una aceleración a

>>.
 
L
C
CV
W
Ea
1 
líq
cuerpo
a g


 
   
 
2ª Ley: «Si el peso específico del cuerpo es igual a la del líquido en
el que se sumerge, entonces el cuerpo flota entre las aguas.
 C líq 
3ª Ley: "Si el peso específico del cuerpo es menor que el peso
específico del líquido, entonces, el cuerpo flota con parte de su
volumen fuera del líquido"
Vsum
Vcuerpo
L
Sum
Cuerpo L
Cuerpo
V
V
 
     
 
PESO APARENTE
Se llama así a la diferencia entre el peso real de un cuerpo, (peso
medido en el vacío) y el empuje del fluido en el que se encuentra el
cuerpo.
Empuje=Peso Real Peso Aparente
En el caso de un cuerpo sumergido en líquidos inmiscibles, el empuje
se obtiene de la siguiente manera:
 
1
2
3
1V
W
2V
3V
 1 2 3TE E E E   T 1 1 2 2 3 3E V V V    
 El empuje hidrostático en recipientes acelerados, es perpendicular
a la superficie libre del líquido y dicha superficie se inclina tal como se
muestra.
 
 
 a g tan 
H I D R O D I N Á M I C A
Es la rama de la Mecánica de Fluidos que se encarga de estudiar el
comportamiento de los líquidos en movimiento.
TIPOS DE FLUJO
Cuando los líquidos fluyen sus moléculas componentes se mueven
describiendo curvas llamadas líneas de corriente. Lo pueden hacer
mediante un movimiento. Si estas no cambian en el tiempo el
movimiento se llamará estacionario y si lo hace se denomina turbulento.
Y la corriente se llamará estacionario y si lo hace se denomina
turbulento. Y la corriente se llamará uniforme si las líneas de corriente
son paralelas, notándose que la velocidad es la misma en todos los
puntos del fluido.
a) Flujo de régimen estable: Cuando en cualquier punto del fluido
el vector velocidad es idéntico (en módulo y en dirección).
b) Flujo de régimen variable: Cuando el vector velocidad varía
con el tiempo.
c) Flujo de régimen turbulento: Es el más frecuente de los casos
prácticos. Se trata cuando las partículas del fluido se mueven
siguiendo trayectorias muy irregulares.
d) Flujo real o viscoso: Cuando se considera el rozamiento o vis-
cosidad.
e) Flujo ideal o no viscoso: Es cuando se supone sin rozamiento o
sea, viscosidad nula y que no es turbulento.
f) Flujo compresible: Cuando la densidad del fluido es función de
la posición en el espacio y del tiempo (x, y, z, t).
g) Flujo Incompresible: Cuando la densidad es constante.
h) Flujo rotacional: Cuando las partículas del fluido en cada punto,
tienen una velocidad angular neta con respecto a ese punto.
i) Flujo irrotacional: Cuando se tiene el caso contrario al flujo
rotacional.
CAUDAL
Se denomina así al volumen que atraviesa la sección recta de una
corriente en cada unidad de tiempo.
Q: La rapidez de flujo de volumen es el volumen del flujo de fluido
que pasa por una sección por unidad de tiempo.

 

3V m
Q A.V. ;
t s
W: La rapidez de flujo de peso es el peso del fluido que fluye por una
sección por unidada de tiempo.  
O N
W Q ;
s
M:la rapidez de flujo de masa es la masa del fluido que fluye por una
sección por unidad de tiempo.  
O Kg
M Q;
s
145
C.T.A. – FÍSICA
Hidrostática - Hidrodinámica
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
El volumen de fluido que atraviesa en la unidad de tiempo cualquier
sección recta de la corriente es el mismo. Si tenemos:
1 1 2 2Q A ; A  
Donde: 1 1A ; 2 2A ;=Sección transversal (m2)
1 1A ;2 2A ; =rapidez (m/s)
ECUACIÓN DE BERNOULLI
La energía total de un fluido incompresible con movimiento
estacionario se mantiene constante.
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
p v gh p v gh cte
2 2
        
 
2V
2A
2h
1h
1V
1A
Esta ecuación se cumple con gran aproximación en los líquidos pero
es mucho más exacta para gases debido a su gran compresibilidad.
21 v p cte
2
  
Esta expresión nos indica que allí donde la velocidad es mayor la
presión es menor.
APLICACIONES
a) Teorema de Torricelli v 2g h
b) Contador de Venturi 
1 2
2 1 2 2
1 2
2(p p )
v A
(A A )



c) Tubo de Pitot 02
2g h
v



0 : Líquido manométrico
d) Atomizador Spray “donde mayor es la velocidad menor es la
presión”.
e) Sustentación del ala de un avión 
2 2
2 1
1
F (v v )A
2
 
f) Empuje sobre un cohete 
0
esc
emp 0 0
2(p p )
v
F 2A (p p )

 
 

  
VISCOSIDAD
Es la oposición que ofrecen las moléculas de un fluido al desplazamiento
de un cuerpo en contacto con ellas.
Fuerza de Viscosidad:
A.v
F
h

 : Coeficiente de viscosidad
A : Área de la lámina
v : Velocidad de la lámina
h : Altura de líquido
Ley de Stokes
F 6 R v  (Esfera)
En general:
F k v (Velocidades pequeñas)
2F k v (Velocidades grandes)
Ejemplo 01
Un tubo en U contiene mercurio, si cuendo en su rama derecha
se vierte 27,2 cm de agua, ¿qué altura se eleva el mercurio en la
rama izquierda a partir de su nivel inicial? ( 3Hg 13,6g / cm  )
a) 0,5 cm b) 1,0 cm d) 1,5 cm d) 2,0 cm e) 2,5 cm
Solución:
Hg
x
x
27,2 cm
H O2g
Hg H O2
g(2x) g(27,2)
13,6(2x) 27,2
x 1cm
  


Ejemplo 02
Un bloque cúbico de 10cm de arista y densidad 0,5 g/cm3 flota
en un recipiente que contiene agua y aceite. Si el espesor de la
capa de aceite es 5cm y su densidad es 0,8 g/cm3. Determina qué
longitud de la arista del cubo está por encima de la superficie del
aceite.
aceite
g
Agua
a) 1 cm b) 2 cm c) 2,5 cm d) 3 cm e) 4 cm
Solución:
1° D.C.L. del bloque cúbico:
 
EH2O
Wb
Eaceite
x
5cm
h
g
2° 2H O ACEITEE E Wb 
H O AC b2
gAx gA(5) P gA(10)
x 4 5 x 1cm; h 5cm 1cm 10cm
   
      
Luego: h=4cm
Ejemplo 03
En un barómetro la altura de la columna líquida es 2,28m. Deter-
mina la densidad del líquido respecto a la densidad de mercurio.
a) 1/8 b) 1/6 c) 1/3 d) 1/5 d) 1/2
Solución:
L L Hg Hgp .g.h .g.h   
HgL
Hg L
h 76cm 1
h 228cm 3

  

146
C.T.A. – FÍSICA
Fenómenos Térmicos
INDICADORES DE LOGRO:
- Reconocer un fenómeno térmico y la energía interna.
- Analizar e interpreta el comportamiento térmico de los cuerpos
cuando cambian de temperatura y cambian de fase.
- Diferenciar estado termodinámico y fase.
FENÓMENOS TÉRMICOS
Temperatura: Es una magnitud física tensorial, mide el grado de
agitación molecular de una sustancia.
Ley Cero de la Termodinámica
Dos sistemas en equilibrio térmico con un tercero, están en equilibrio
térmico entre sí.
baja E altaT T T 
Escalas termométricas
 
Escala
Absoluta
Escala
Relativa
273
0
100
460
32
212
0
273
373
0
492
672
 R KºFºC
Punto de ebullición 
del agua
Punto de fusión
del agua
Relación entre la variación de temperatura:
   
    
C K F R
T
5 5 9 9
Creación de nuevas escalas:
2
2 2
Escala" x" Pto de fusión de H O
Pto de ebullición de H O Pto de fusión de H O


Los puntos de fusión y ebullición deben estar expresados en la nueva
escala.
DILATACIÓN
Es el fenómeno que consiste en la variación de las dimensiones de un
cuerpo como resultado del aumento de temperatura. Para sólidos y
líquidos se cumple que:
Dilatación lineal: Es el aumento de longitud que experimentan los
cuerpos lineales al aumentar su temperatura.
Estado inicial
 
0T
0L
Estado final
 
fT
0L L
fL
  f 0T T T    0L L T
Como: f 0L L L     f 0L L (1 T)
Donde:  : coeficiente de dilatación lineal
     1 1º C , K
 T : Variación de temperatura
Dilatación superficial:Es el aumento de superficie de aquellos cuer-
pos (planchas, placas) debido al incremento de temperatura.
FENÓMENOS TÉRMICOS9
Estado inicial
 
0T0A
Estado final
 
FTF
  f 0T T T    0A A T
Como: f 0A A A     f 0A A (1 T)
Donde:   2 : coeficiente de dilatación superficial
     1 1º C , K
T : Variación de temperatura en ºK
Dilatación volumétrica: Es el aumento de volumen por
aumento de temperatura.
Estado inicial0T0V
Estado final
 
fTfV
  f 0T T T    0V V T
Como: f 0V V V     f 0V V (1 T)
Donde: 3   : coef. de dilatación volumétrica
     1 1º C , K
T : Variación de temperatura en ºK
Variación de la densidad con la temperatura
0 : Densidad inicial a temperatura “T”
 f : Densidad final a temperatura “  T T ”

 
 
0
f 1 T
Propiedades:
a) La relación entre los coeficientes de dilatación es:
1 2 3
   
b) Para la mayoría de materiales se verifica que:
5 410 10   (1/ ºC)
c) Los agujeros se dilatan o se contraen
Comportamiento anómalo del agua
El agua se contrae al calentarse de 0 ºC a 4 ºC.
C A L O R I M E T R Í A
Es parte de la física que estudia las condiciones que deben cumplirse
para que se produzca transferencia de calor.
CALOR
Es una energía no almacenable, y solo existe mientras exista una
diferencia de temperaturas.
Unidad: 1 cal = 4,18 J
1 Kcal = 1000 cal
1 J = 0,24 cal
147
C.T.A. – FÍSICA
Fenómenos Térmicos
Cantidad de calor (Q): Es la medida de energía en forma de calor
que ingresa o sale de un cuerpo.
Capacidad calorífica (C): Es la cantidad de calor que absorbe cierta
cantidad de masa para elevar su temperatura en 1 ºC.


Q
C
T
 Unidades: 

c a l J
;
C K
Calor específico ( eC )
Viene a ser la cantidad de calor que se le debe dar o extraer a la
unidad de masa para aumentar o disminuir su temperatura en un
grado.
 
Q
Ce
m T


Unidades: 
cal J
; 
g º C kg º C
Calor sensible ( Q ): Es la cantidad de calor que el cuerpo utiliza
para aumentar o disminuir su temperatura.
 eQ mC T
Si: TF > To Q = (+) calor ganado
TF < To Q = (-) calor perdido
Equilibrio Térmico
En toda mezcla de cuerpos a diferentes temperaturas, se verifica que
el calor que pierden los cuerpos calientes es igual al calor que ganan
los cuerpos fríos.
Del principio de conservación de la energía, se cumple que el calor
ganado por el cuerpo frío es igual al calor perdido por el cuerpo
caliente.
(ganado) (perdido)Q Q
DIAGRAMA LINEAL
Hielo Agua Vapor
Cº10 Cº0 Cº100 Cº120
1Q
2Q
3Q
4Q
5Q
54321T QQQQQQ 
Señal curva:calor sensible
Señal vertical: Calor de fusión o vaporización
Equivalente en agua de un calorímetro
Es aquella cantidad de agua que absorbe o disipa la misma cantidad
de calor, que un calorímetro con el mismo cambio de temperatura.
(agua) (calorímetro)Q Q
H O e(H O) (cal) e(cal)2 2m C m C
Calor específico del agua ( 2H O )

e (H O )2
c a l
C 1
g C

e (h ie lo )
ca l
C 0 , 5
g C

e( vapor)
ca l
C 0 , 5
g C
CAMBIO DE FASE
 
Sublimación regresiva
Fusión
Solidificación
Sublimación directa
Vaporización
Condensación
CALOR LATENTE
Denominado también calor de transformación. Es aquella cantidad
de calor necesaria que se debe entregar a una sustancia para que
esta pueda cambiar de fase.
Calor de Transformación: Q mL=
Calor Latente Específico (L) m
Q
 L 
m : masa (en g)
L : en cal/g, kcal/kg
a) Fusión - Solidificación (T = 0 ºC)
Donde: f
cal
L 80
g
b) Vaporización-Condensación(T=100ºC)
 Donde: V
cal
L 540
g
PUNTO TRIPLE
Es aquel valor de la temperatura y presión de saturación, para el cual
la sustancia se encuentra en las tres fases (sólido, líquido, vapor)
Las condiciones naturales en las cuales coexisten las tres fases o
estados del agua se da cuando: p=4,5mmHg; T=0,01°C.
 
273,01
Sublimación
VAPOR
SOLIDO
LIQUIDO
Condensación
Solidificacion
fusión
Vaporización
611,3
)K(T
)m/N(p 2
Ejemplo 01
El coeficiente de dilatación lineal de un metal es 0,000016° C–1.
Si una barra de dicho metal se calienta en 100°C, su longitud
aumenta en un:
a) 1,5% b) 15% c) 6,67% d) 1,0015% e) 0,16%
Solución:
Lo l
T= 100°C
= 0,000016°C
-1
El aumento de longitud es:
oL . T  
El porcentaje de aumento es:
o
º
o
o
x 100%
L
L . t
x .100%
L
x 0,000016.100.100%
x 0,16%

 





148
C.T.A. – FÍSICA
Termodinámica
TERMODINÁMICA10
Ejemplo 02
En una tetera se coloca una cantidad de agua a 10°C y se pone
a calentar sobre un hornillo. Si se observa que hasta que empie-
za a hervir pasan 10min. ¿Cuánto tiempo tardará en vaporizarse
completamente?
a) 60 min b) 40 min d) 30 min d) 20 min e) 10 min
Solución:
Se debe considerar el flujo de calor constante.
abs(1) abs(2)
1 2
s T v
2 2
2
Q Q
t t
Q Q mLCem T
10min t 10min t
t 60min


  
 
Ejemplo 03
En un recipiente de capacidad calorífica igual a 300 cal/°C hay
100 cm3 de agua a 0°C. Si se introducen unas pepitas de oro de
2g c/u a 350°C. Determina el número de pepitas que se debe
introducir para que la temperatura de equilibrio sea de 30°C?
(Ce  U=0,03 cal/g°C)
Solución:
 H O2
0°C 350°C
QS1
Qs2
Qs3
m = ?2
30°C
S1 S2 S3
2
2 pepitas
Q Q Q
C T Cem T Cem . T
m 1250g n 625 pepitas
  
    
  
INDICADORES DE LOGRO:
- Estudiar la transformación de energía calorífica en trabajo mecánico.
- Estudiar las leyes que describen cuantitativa y cualitativamente
la transformación y conservación de energía.
- Conocer las propiedades de los gases a través de un modelo
molecuar, considerando al gas como la sustancia que transfor-
mará la energía calorífica en trabajo.
1. SISTEMA MACROSCÓPICO AISLADO:
Es el espacio aislado (real o imaginario) que es objeto de estudio.
2. SUSTANCIA DE TRABAJO:
Fluido ideal empleado para transformar la energía calorífica en
energía mecánica.
3. GAS IDEAL:
Gas diluido e incompresible. Fluido utilizado idealmente como
sustancia de trabajo.
4. ESTADO TERMODINÁMICO:
Está determinado por sus coordenadas termodinámicas: pre-
sión (p), volumen (V) y temperatura; y por sus propiedades
termodinámicas: número de moles (n).
1(p , V ,T )1 1 1
T
V
p
Estas variables termodinámicas se relacionan mediante una ecua-
ción denominada: Ecuación de estado termodinámico, que
para gases ideales se expresa:
pV = nRT con: 
mn
M
Donde:
p = presión ( Pa )
V = volumen ( m3 )
T = temperatura absoluta ( K )
n = cantidad de sustancia (mol)
m = masa ( g )
M = masa molecular (g/mol)
R = constante universal de los gases
R = 8,31 
mol.K
J
= 1,98 
mol.K
cal
5. FUNCIONES DE ESTADO:
Magnitudes físicas que intervienen en las transformaciones ener-
géticas de la sustancia de trabajo, estas son: calor (Q), trabajo
(W) y energía interna (U); las mismas que dependen de las
coordenadas y/o propiedades termodinámicas.
6. EQUILIBRIO TERMODINÁMICO:
Se produce cuando sus variables termodinámicas permanecen
constantes en el tiempo.
7. PROCESO TERMODINÁMICO:
Se produce cuando hay un cambio de estado termodinámico.
En general si todas las variables termodinámicas cambiasen ob-
tendríamos una relación entre ellas mediante la ecuación deno-
minada: Ecuación general de los gases ideales, expresada
como:
........ cte= = =
p V p V1 1 2 2
n T n T1 1 2 2
Si no hay fuga ni ingreso de masa, entonces n = cte, con lo cual
la ecuación quedaría simplificada a:
1
V
2
p
p1
p2
V1 V2
......... cte= = =
p V p V1 1 2 2
T T1 2
8. CICLO TERMODINÁMICO
Es el fenómeno por el cual una sustancia, partiendo de un esta-
do, desarrolla varios procesos, al final de los cuales retorna al
estado inicial.
2
1
V
p
3
 
N E T O
S e c u m p le :
U 0
W Q
9. ENERGÍA INTERNA:
La energía interna de una sustancia se define como la sumatoria
de todas las formas de energía asociadas a las moléculas que las
constituyen.
149
C.T.A. – FÍSICA
Termodinámica
- En el caso de un gas ideal (moléculas monoatómicas)
.V.p
2
3
.T.R.n
2
3
U 
- En el caso de un gas ideal (moléculas diatómicas)
.V.p
2
5
.T.R.n
2
5
U 
10. TRABAJO (W)
Cuando un sistema evoluciona de un estado (1) a otro (2), el
trabajo realizado por el sistema, es numéricamente igual al área
bajo la curva en el diagrama p-V.
Para un Proceso
1
V
2
p
p1
p2
V1 V2
ÁreaW 21 
* Si el volumen aumenta : W(+)
* Si el volumen disminuye : W(-)
* Si la gráfica es perpendicular al eje del volumen:  W = 0
Para un Ciclo
2
1
V
p
3 W(+) W( )
W = AREAencerradaciclo
* En un ciclo completo: U = 0 Uinicial = Ufinal
11. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA:
"La energía calórica (Q) que se suministra a un sistema, parte se
convierte en trabajo (W) o se utiliza en variar su energía interna (U)"
W
Q
U
 
  
NETO
Q W U (Para Pr ocesos)
W Q (Para Ciclos)
Q = cantidad de calor requerida (cal)
W = trabajo mecánico realizado (J)
U= variación de la energía intern(J)
12. PROCESOS TERMODINÁMICOS:
Se denomina proceso termodinámico a aquel conjunto de esta-
dos por los que atraviesa un sistema termodinámico para ir de
un estado extremo a otro.
Un proceso termodinámico se dice que se desarrolla en equili-
brio (proceso cuasi-estático) si el sistema recorre con una lenti-
tud infinita una serie continúa de estados termodinámicos en
equilibrio infinitamente próximos.
La figura representa un proceso termodinámico en equilibrio
pasando del estado (1) al estado (2).
2
22
1
11
T
V.P
T
V.P

 Proceso Isobárico (p=cte)
1
T
V
2Isóbara
 

 
1 2
1 2
p
Ley de Charles
V V
T T
Q n.C . T
1
V
V2
2
p
p = p1 2
V1
Isobara
Q
   
   
2 1W P(V V ) p. V
Q W U
Cp = Capacidad calorífica molar a presión constante.
Proceso Isotérmico (T= cte)
1
V
2
P
TA
P1
P2
V1 V2
Q
TB
TC
isoterma
CBA TTT 

 

 
   
 
1 1 1 2
2
1
Ley de B oy le M a rio tte
P V P V
U 0
Q W
V
W n.R .T .Ln
V
Proceso Isocórico (V = cte)
1
T
p
2isócora
1 2
1 2
Ley de Gay - Lussac
P P
T T
1
V
2
P
P1
P2
V =1 V2
Q
isócora

  
 V
W 0
Q U
Q n C T
Cv = Capacidad calorífica molar a volumen constante.
Proceso Adiabático (Q=0)
1
V
2
p
p1
p2
V1 V2
 
   
   
   


 


2 2 1 1
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
Q W U 0
W U
P V P V
W
1
P V P V
T V T V
V
P
C
C

150
C.T.A. – FÍSICA
Termodinámica
 
GAS Cv
cal
molKo
Cp cal
molKo
Monoatómico
Diatómico
3 5
5 7
13. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA:
Se puede enunciar de las siguientes maneras:
- Enunciado de Kelvin y Planck:
“Es imposible construir una máquina que sea 100% eficiente”
- Enunciado de Clausius:
“Es imposible que un cuerpo frío entregue calor de forma
natural a un cuerpo caliente, solo invirtiendo trabajo lo pue-
de hacer de manera forzada”
- La entropía siempre aumenta de manera natural.
La entropía se puede considerar como una medida de lo
próximo o no que se halla un sistema del equilibrio; o tam-
bién se le suele designar como una medida del desorden
(espacial y térmico) del sistema.
14. MÁQUINAS TÉRMICAS:
Dispositivos capaces de realizar intercambios de energía calorífica
y mecánica. Para su funcionamiento generalmente necesita de
un combustible y un fluido para poner en movimiento las distin-
tas piezas de la misma.
 
FOCO FRÍO 
FOCO CALIENTE 
 M 
T 
QC 
QF 
TC 
TF 
EFICIENCIA: Es la relación entre el trabajo realizado por una
máquina térmica (W) respecto al calor suministrado para tal fin (Q).
Matemáticamente se calcula por:
C
W
Q
  ó 
C
W
x 100%
Q
 
Donde:
 = eficiencia
W = trabajo realizado la máquina
W = Q QC F
Calor absorbido del foco caliente
Calor cedido al foco frío
Luego:
C F F
C C
Q Q Q
1
Q Q


  
real ó Irreversible ideal ó Reversible
1
2
Q
Q
1  
1
2
T
T
1 
   R i 100%
CICLO DE CARNOT: Ciclo ideal propuesto por el físico francés Sadi
Carnot, en el cual una máquina térmica obtiene una máxima eficiencia,
es decir convierte la máxima energía térmica posible en trabajo
mecánico.
4
3
V
21 Q1
Q
T =cte1
T =cte2
2
P
Q=0 Q=0
Consta de 4 procesos:
1  2 : expansión isotérmica; el gas gana Q1
2  3 : expansión adiabática
3  4 : compresión isotérmica, el gas pierde Q2
4  1 : compresión adiabática
El trabajo generado por la máquina de Carnot será:
W = QC – QF
EFICIENCIA EN EL CICLO DE CARNOT
1
2
1
21
T
T
1
T
TT
n 


T2 < T1
T1 = Temperatura de entrada (K)
T2 = Temperatura de salida (K)
 Relación de Kelvin
2
1
2
1
Q
Q
T
T

Observaciones
Q( ) Q( )
W( )
W( )
sistema
 
Q(+): El sistema recibe calor
Q(-): El sistema pierde calor
W(+) : Trabajo realizado por el sistema
W(-) : Trabajo realizado sobre el sistema
DU(+): El sistema se calienta
DU(-): El sistema se enfría
El ciclo de Carnot es reversible, si invertimos el orden de los
procesos, obtendremos lo que se denomina como un REFRI-
GERADOR DE CARNOT.
FOCO FRÍO 
FOCO CALIENTE 
 M 
R 
QC 
QF 
TC 
TF 
F F
C F C F
Q T
Q Q T T
  
 
Pero como: W = Q – Q C F 
Si hipotéticamente una máquina de 
Carnot operara como refrigerador de 
Carnot, la eficienc ia ( ) y el 
coeficiente de performance ( ) 
estarán relacionados por:
1
1

 
Ejemplo 01
Determina el cambio de energía interna que sufre 1 mol de
gas monoatómico al pasar del estaso "A" al estado "B" siendo
su temperatura inicial 100K.
151
C.T.A. – FÍSICA
Electrostática
2Po
Po A
B
Vo 2Vo
V(g)
P(atm)
a) 50R b) 100R c) 300 R e) 450R e) 600R
Solución:
o o o o
F
F
P V (2P )(2V )
100 T
T 400K
 

3
U Rn T
2
3
R(1)(400 100)
2
450R
  
 

Ejemplo 02
En el plano P–V se muestra un proceso isotérmico de dos moles
de cierto gas ideal. Las afirmaciones ciertas son: (Ln2=0,7)
2P
P
V 2V
V
P
Isoterma
T= 500K
I. La energía interna del gas no varía
II. EL trabajo del gas es 5817 J
III. El gas ha recibido un calor de 5817 J
a) I, II b) II y III c) I y III
d) todas e) Ninguna
I. U 0.....(V) 
II.
2V
W nRTLn
V
   
 
(R(0,31)(500)(0,7)....(V)
5817J


III. Q U W
Q W ...(V)
Q 5817 J
  


Ejemplo 03
Un gas ideal a través de una transformación reversible pasa del
estado inicial (1) al estado final (2). Determina la presión en (2).
3
20 40
V(m )3
P(10 Pa)5
(2)
(a)
(1)
TA
TB
a) 1,6.105Pa b) 1,8.105Pa c) 1,5.105Pa
d) 1,9.105Pa e) 165.105Pa
Solución:
i. isoterma "TA"
3.105.20=P2.40
1,5.105Pa=P2
ELECTROSTÁTICA11
INDICADORES DE LOGRO:
- Entender qué es la carga eléctrica y los fenómenos relacionados
con cuerpos electrizados.
- Plantear y poner en práctica las leyes de la electrostática, conti-
nuar con el estudio de algunas propiedades generales del campo
eléctrico y examinar el comportamiento de las partículas electri-
zadas y su interacción mediante el campo eléctrico.
- Conocer las características del campo eléctrico y de las líneas
que lo representan.
- Comprender por qué algunas sustancias son llamadas conduc-
tores y otras dieléctricos, así como también conocer sus propie-
dades y características.
E L E C T R I C I D A D
Es el efecto que producen los electrones al trasladarse de un punto a otro.
Todo cuerpo esta constituido por partículas, estas por moléculas y
estas a su vez por átomos. Los átomos tienen un núcleo y los electro-
nes giran alrededor de él. Dentro del núcleo se encuentran los
protones y neutrones.
ÁTOMO.- Esta compuesto por:
Partícula Carga Masa
electrón -1,6.10-19 C 9,1091.10-31 kg
protón +1,6.10-19 C 1,6725.10-27 kg
neutrón ---- 1,6748.10-27 kg
CUERPOS SEGÚN SUS PROPIEDADES ELÉCTRICAS
a) CONDUCTORES.- Son aquellos que permiten el paso de las
cargas eléctricas sin alterar sus propiedades químicas.
b) AISLANTES.- Se les llama también dieléctricos o malos conduc-
tores, se caracterizan por ofrecer gran resistencia al paso de las
cargas eléctricas. Sin embargo, se electrizan fácilmente por fro-
tación.
E L E C T R O S T Á T I C A
Es la rama de la Física que estudia todos los fenómenos en los que las
cargas eléctricas son los agentes principales de los cambios, pero en
los que aquellas se mantienen en estado de reposo.
CARGA ELÉCTRICA
La carga eléctrica es una propiedad inherente de las partículas ele-
mentales; electrones y protones, por la cual se dan las interacciones
entre ellos; átsomos, iones, moléculas y partículas electrizadas.
La carga eléctrica es después de la inercia, la segunda propiedad más
importante que presenta la materia y que determina su comporta-
miento en el mundo circundante. La existencia de la carga eléctrica
enuna partícula como el electrón y el protón está l igada
indisolublemente con toda la estructura, de lo que, por ahora, se
sabe poco o nada.
CUANTIFICACIÓN DE LA CARGA ELÉCTRICA
Toda carga será siempre un múltiplo entero de la carga del electrón
dado que este posee la mínima cantidad de carga por tal motivo se le
152
C.T.A. – FÍSICA
Electrostática
considera la unidad natural de carga eléctrica.
 
e
Q
n
q
 Donde: 19e 1,6.10 C 
El Coulomb (C) es la unidad de carga eléctrica
 181C 6,25 10 e 
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA ELÉCTRICA
La carga eléctrica total durante un fenómeno eléctrico no se altera, es
decir no aumenta ni disminuye, solo se distribuye o cambia de lugar.
En todo proceso de transferencia de electrones entre los cuerpos, la
cantidad de carga del sistema se conserva, es decir, la suma de cantidades
de carga al inicio y al final son iguales.
inicio finalQ Q 
ELECTRIZACIÓN DE LOS CUERPOS
1. POR FROTACIÓN
Al frotar dos cuerpos uno pierde electrones y se carga positiva-
mente, el otro gana los electrones y se carga negativamente
2. POR CONTACTO
Al poner en contacto un conductor cargado con otro sin carga,
existirá entre ellos un flujo de electrones que durará hasta que se
equilibren electrostáticamente.
3. POR INDUCCIÓN
Si acercamos un cuerpo cargado llamado inductor a un con-
ductor llamado inducido, las cargas atómicas de éste se
reacomodan de manera que las de signo contrario al del induc-
tor se sitúan lo más próximo a él.
4. POR CONTACTO
a. ESFERAS PUESTAS EN CONTACTO DIRECTO
Antes del
contacto
Durante el
contacto
Despues del
contacto
fQ
fq
Q q
rR
2
f
2
f
r
q
 
R
Q

b. ESFERAS CONECTADAS POR UN CONDUCTOR
Q q
rR
Antes del
contacto
Durante el
contacto
Despues del
contacto
f
qf
Q
r
q
 
R
Q ff 
c. ESFERAS IDÉNTICAS (R = r)
Válido para los dos casos anteriores
2
q Q
 q Q ff

5. POR EFECTO FOTOELÉCTRICO
Una placa de Zinc irradiada con luz de alta frecuencia, el cual le
produce una pérdida de electrones. Este hecho trae como
consecuancia que la placa quedaría cargada positivamente.
INTERACCIÓN DE CARGAS
a) Ley Cualitativa o Primera Ley de la Electrostática
+ -
Atracción
F F
+ +
Repulsión
F F
«Las cargas del mismo signo se repelen y cargas eléctricas de
signos diferentes se atraen.»
b) Ley Cuantitativa o Ley de Coulomb
«Dos cuerpos cargados se atraen o repelen con fuerzas de igual
intensidad pero de direcciones opuestas y cuyo valor es direc-
tamente proporcional con el producto de las cargas pero
inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia que
las separa.»
Se atraen con fuerza F:
 
+ 
d
+q1 q2
se atraen
FF
Se repelen con fuerza F:
+ 
d
+q1 q2
se repelen FF
 Ley de Coulomb 1 2
2
K Q Q
F
d

Donde:
0 r
1K
4 
 Vacío: 9 2 2K 9 10 Nm /C 
Donde:


2
9
2
0
6
1 NmK 9 10 
4 C
1 C 10 C

  




F : Fuerza de atracción o repulsión (en N)
q1, q2 : Cargas eléctricas (en C)
d : Distancia entre los centros de masa (en m)
k : Constante eléctrica
0 : Coeficiente de permitividad
" " es la permitividad eléctrica relativa del medio o constante
dieléctrica (caracteriza las propiedades dieléctrico del medio).
aire 1  , vacío 1 
Unidades (S.I.):
q F d K 
C o u lom b N e w to n m e tro 2
9
2
N m9 1 0 
C
 
CARGA PUNTUAL Y ESFERA CONDUCTORA
Q
R
d
q
2
2
q R/d
F k
(d+x)

Donde: 
2Rx
d

153
C.T.A. – FÍSICA
Electrostática
CAMPO ELÉCTRICO
Se sabe que los cuerpos electrizados interactúan atrayéndose o
repeliéndose estando separados. Ante la pregunta del por qué
suecede este fenómeno, se plantearon las siguientes hipótesis:
- La interacción de cuerpos electrizados se da sin la participación
de un intermediario, por ella la denominaron acción a distancia.
- La interacción de los cuerpos electrizados se tiene que llevar a
cabo por un intermediario, por ello la interacción de los cuerpos
electrizados fue denominada acción próxima. Michael Faraday,
el cual en base a muchos experimentos estaba convencido que
a los cuerpos o partículas electrizadas rodea un medio material
(no sustancial) que les permite actuar sobre los demás cuerpos
electrizados. Faraday a tal medio lo denominó campo eléctri-
co.
Es la región que rodea a toda carga eléctrica y que posee propiedades
especiales que le permite transmitir las interacciones entre cargas
eléctricas.
LÍNEAS DE FUERZA
Son figuras imaginarias que permiten representar gráficamente al
campo eléctrico. Convencionalmente las líneas de fuerza salen de las
cargas positivas e ingresan a las cargas negativas y nunca se cortan
entre sí.
 
+

 
+
+
 
+

pE
1E
2E
Tenga presente que a todo cuerpo electrizado en reposo se le asocia
un campo eléctrico (denominado campo electrostático).
 
1Q
Campo
eléctrico
Carga puntual
 
 
Repulsión entre dos cargas en presencia
de un campo eléctrico
1Q
EF 2
Q
EF
1
Campo eléctrico
asociado a +Q 2
Campo eléctrico
asociado a +Q
El campo eléctrico asociado a Q1 actúa sobre Q2 y el campo asociado
a Q2 actúa sobre Q1, luego:
Como consecuencia de la interacción de los campos eléctricos
asociados a Q1 y Q2 surgen las fuerzas de repulsión.
Para advertir la presencia de un campo eléctrico en cierta región del
espacio se coloca una partícula electrizada positivamente para indicar
como es el campo en un punto introducimos una magnitud vectorial
denominada intensidad de campo eléctrico.
INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO ( E )
Es una magnitud física vectorial, que sirve para describir el campo
eléctrico. Se define la intensidad del campo eléctrico en un punto de
él, como la fuerza que recibiría la unidad de carga eléctrica puntual y
positiva colocada en dicho lugar.
La intensidad de campo eléctrico en un punto, se define
matemáticamente como la fuerza eléctrica ( F ) que experimenta una
partícula colocada en dicho punto por unidad de carga (q).
Por definición, en el punto “A” se tiene que:
Q
d
qo
+
F
E
+
A
FE
q
= Unidades: E en 
Newton N
Coulomb C
 
 
 
Se deduce la fuerza del campo: F qE , esta relación nos permite
determinar la fuerza eléctrica sobre una partícula sin recurrir a “La ley
de Coulomb”, además se deduce que:
i. Si q>0  E y F tienen la misma dirección
ii. Si q<0  E y F son opuestos
INTENSIDAD DE CAMPO CREADO POR UNA CARGA PUN-
TUAL
Q
+
d
q
F
E


2A
K Q
E
d No se considera el signo de Q
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
El campo en un punto debido a varias cargas se obtiene sumando
vectorialmente los campos que cada una de éstas crean en dicho
punto. 



P

1q
2q
3q
4q
4d
1d
2d
3d 1E
3E
2E
4E
El campo eléctrico total estará dado por: 
 
T iE E 
El campo eléctrico total es la resultante de todos los vectores:
    
T 1 2 3 4E E E E E   
En módulo: 

TTE E
LÍNEAS DE FUERZA DE UN CAMPO ELÉCTRICO HOMOGÉNEO
(UNIFORME)
 E cte
Q Q
placa




















AA E
BB E
CC E
A un campo eléctrico se le considera homogéneo cuando en cada
punto de la región, la intensidad de campo eléctrico (

E ) es la misma
(esto es aproximadamente), por ejemplo en el gráfico:
  
A B CE E E  Además, si colocamos una partícula electrizada
al interior del campo, ésta experimenta una fuerza eléctrica (

F ) que
se evalúa mediante:
 
F qE 

F cte
Considerando sólo el módulo, se tiene: F=|q|E
Observaciones:
· Las líneas de fuerza son líneas continuas, que empiezan en los
cuerpos electrizados positivos y terminan en los negativos.
· Las líneas de fuerza no son cerradas para los campos
electrostáticos.
154
C.T.A. – FÍSICA
Electrostática
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA (U
PE
)
La energía caracteriza cualitativa y cuantitativamente las diversas
formas de movimiento e interacción de la materia, así tenemos las
energías: cinética, térmica, potencial gravitatoria, potencial elástica.
Debido a las interacciones (atracción o repulsión) de las partículas
electrizadas asociamos ahora, una energía "energía potencialeléctrica".
La energía potencial eléctrica es aquella energía asociada a las
interacciones eléctricas entre cuerpos y/o partículas.
A
+
Q
WFELA
q+ FELFEL
 
ELF o
P.E. A
Q.q
U W k.
d
Unidad: Joule (J)
"En el cálculo de la energía potencial eléctrica, se debe considerar el
signo de la cantidad de carga de las partículas".
POTENCIAL ELÉCTRICO (V)
Es una magnitud escalar que nos expresa la cantidad de trabajo que
puede desarrollar el campo eléctrico para trasladar una unidad de
cantidad de carga eléctrica desde un punto A hasta el infinito (  )
Q+ +
+++ d
A
U >0PEA
U =0PEB

q+
o
FEL
FELWA
LÍMITE DEL
CAMPO
 
FEL
A
A A
o
W Q
V K V :En V
q d
 
Unidad:
J
1 voltio(V)
C

"En el cálculo del potencial eléctrico, se debe considerar el signo de
la carga".
POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN PUNTO DEBIDO A UN
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Esta dado por la suma escalar de los potenciales de cada partícula en
dicho punto.
q
n
q
2
q
1
P
P
P 1 2 n
V V
V V V ...V

  

DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO O VOLTAJE
La energía potencial gravitatoria en un punto depende del nivel
(nulo) que se elija como referencia, lo mismo ocurre con el potencial
eléctrico en un punto, para el cual su nivel (nulo) de referencia está
en un punto muy alejado (infinito). En la práctica el potencial eléctrico
en un punto no tiene significado físico, mientras que la diferencia de
potencial entre dos puntos sí lo tiene y a la vez presenta mayor
aplicación.
Q + ++++
FEL
FEL
A BW
FEL
BW
Límite del
campo

A B
FEL
AW
Del gráfico:
F F FEL EL EL
A A B B
F F FEL EL EL
A B A B
W W W
W W W
  
  
 
 
Por definición de potencial eléctrico
FEL
A BA B
FEL
A B ABA B
W qV qV
W q(V V ) qV


 
   
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Las líneas de fuerzas nos permiten describir y representar a un campo
electrostático; las superficies equipotenciales también nos permitirán
hacer algo similar.
Una superficie equipotencial es aquella superficie imaginaria que
presenta todos sus puntos a igual potencial eléctrico (potencial
constante).
Para una partícula electrizada, las superficies equipotenciales son
esferas concéntricas, teniendo como centro a dicha partícula.
S3
S2
S1
B
A C
+Q
superficie
equipotencial
línea de
fuerza


A B
A C
V V
V V
Para un campo eléctrico homogéneo
+q FEL
FEL
-q
V1 V2 V3 V4
E=CTE
  1 2 3 4V V V V
A B
AB ABV E.d
El trabajo del campo eléctrico, para trasladar una 
partícula electrizada entre superficies equipotenciales 
es igual, e independiente de la trayectoria seguida 
entre dichas superficies.
155
C.T.A. – FÍSICA
Electrostática
CAPACIDAD ELÉCTRICA
La transferencia de carga eléctrica a un conductor, se llama
electrización. Cuando mayor es la carga que ha recibido un conductor,
tanto mayor es su electrización y por lo tanto; más alto es su potencial
eléctrico. En términos matemáticos, se verifica que la cantidad de
carga de un conductor independiente define la ecuación:

Q
C
V
Por lo tanto, la capacidad eléctrica es una propiedad de un conductor
metálico electrizado, aislado y en equilibrio electrostático; que
caracteriza la capacidad de acumular cargas en proporciones definidas
por su potencia eléctrica en su superficie. Dicha propiedad lo medimos
a través de una magnitud denominada capacitancia.
CAPACITANCIA ELÉCTRICA (C)
Magnitud física escalar que se define como la cantidad de carga
eléctrica transferida por unidad de potencial que varía en el cuerpo.
Q=V.C
+ + + + + + +
+
+
+++++
+
+
+
Q
donde :
Q : cantidad de c arga (en C)
V : potencial eléctrico (en V)
C : en faradios (F)
Existe un dispositivo eléctrico que nos permite almacenar grandes
cantidades de carga eléctrica y a una baja diferencia de potencial
(tensión), este dispositivo es el capacitor o condensador eléctrico.
CAPACITOR O CONDENSADOR
Es aquel dispositivo eléctrico, que esta constituido o conformado por
dos conductores (armaduras o placas) electrizados con la misma cantidad
de carga eléctrica (Q) pero de signos contrarios y separados por una
pequeña distancia (para homgenizar el campo electrostático entre
conductores), así como, aislados mutuamente y de la influencia externa.
+
+
+
+
+
+
+
+
Q -Q
A
B

AB
Q
C ..... (en F)
V
CONDENSADOR PLANO
+
+
+
+
+
+
+ VB
A
VA
Q -Q
Aire o
vacío
d



o
2
o
12
Si el medio que rodea
a las placas es el aire
o vacío.
A
C .
d
donde :
A : área de cada placa (en m )
d : dis tancia (en m)
: permitividad eléctrica
del aire o vacío
(8,85 10 F m)
C : en F
ε
ε
Representación de un
condensador plano
 
sin dieléctrico con dieléctrico
F oC K.C
k : cons tan te dieléctrica

KCo
ENERGÍA ALMACENADORA POR UN CONDENSADOR. (U)
Un capacitor es capaz de almacenar energía en el campo eléctrico que se
establece entre sus placas, por lo cual tienen una aplicación práctica
como almacenadores de energía, por ejemplo: al descargarse a través
de un circuito de poca resistencia cede la energía casi instantáneamente;
la lámpara de destello o flash que se utiliza en la fotografía.
  
2
21 1 1 QU QV CV (J)
2 2 2 C
ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES
1. EN SERIE. (Q= CTE)
 
+
+
C1
Q
+
+
C2
Q
+
+
C3
Q
+
V
+
+
Ceq
Q
V
< >
  1 2 3V V V V
Q

eq
Q
C

1
Q
C

2
Q
C
   
3
eq 2 2 3
C
1 1 1 1
C C C C
2. EN PARALELO. (V=CTE)
+
+
C1
Q1
+
+
C2
Q2
+
+ C3
Q3
+
Vab
+
Vab
+
+
Ceq
Q
  1 2 3
eq ab
Q Q Q Q
C . V  1 abC .V  2 abC .V  3 abC .V
   eq 1 2 3C C C C
Ejemplo 01
Determina el trabajo realizado por un agente externo para tras-
ladar una carga q=+4mC de B hasta C.
1800V
1200V
C
B
q
Q
a) 1,4 J b) –1,4 J c) 2,4 J d) –2,4 J e) –3,6 J
Solución:
Fext 3
B C C B
Fext
B C
W q(V V ) 4.10 (1200 1800)
W 2,4J



   
 
Ejemplo 02
Para el esquema mostrado se pide determinar (en v) el potencial
eléctrico de la superficie equipotencial B, si: VA=40v y VC=–70v
E
2m 3m
VA VB VC
a) +5 b) –10 c) +8 d) –3 e) –4
Solución:
A C
A B
V V E(5)....(i)
V V E(2)....(ii)
  
  
 B
B
(i) (ii)
110 5
40 V 2
V 4V



 
156
C.T.A. – FÍSICA
Electrodinámica
ELECTRODINÁMICA12
Ejemplo 03
Determina la carga eléctrica almacenada por el circuito mostrado
(todos los capacitores están en µF)
a) 25µC b) 30µC c) 40µC d) 45µC e) 50µC
Solución:
1° hallando Ceq:
En paralelo: Cey=5+2+3=10µF
2° Halland qT
qT=Ceq.V=10(4,5)
qT=45µC
INDICADORES DE LOGRO:
- Definir el concepto de corriente eléctrica.
- Analizar el paso de la corriente eléctrica en los conductores y la
oposición de estos a su movimiento libre.
- Establecer una de las leyes fundamentales de los circuitos eléctri-
cos: "la ley de Ohm".
- Simplificar el análisis de circuitos eléctricos a través de algunas
reglas conocidas como reglas de Kirchoff.
- Analizar e interpretar circuitos eléctricos.
ELECTRODINÁMICA
Estudia el movimiento de los portadores de carga y los fenómenos
eléctricos producidos por el traslado de las cargas eléctricas a través de
los conductores.
CORRIENTE ELÉCTRICA
Movimiento forzado (orientado) de cargas libres a través de un conductor
debido a la influencia de un campo eléctrico, el cual es, a su vez, debido
a una diferencia de potencial entre dos puntos del conductor.
El sentido del movimiento de las cargas libres determina el sentido de la
corriente, el cual depende del signo de las cargas.
Se tienen los siguientes casos:
 
En la práctica, se emplea el sentido convencional, es decir, se considera
el sentido que tendría si la corriente estuviera formada por cargas
libres positivas.
(VA > VB)
Conductor metálico
INTENSIDAD DE CORRIENTE (I)
Caracteriza la rapidez con la cual se desplazan las cargas libres que
forman una corriente. Determina la cantidad de carga que pasa por
la sección transversal del con ductor en la unidad de tiempo.
 
QI
t


Unidad:
Ampere (A) = 
Coulomb (C)
Segundo (s)
Para el efecto de una corriente continua o directa (C. C. o C. D.), se tiene
que:
 
QI ==cte.
T
FUERZA ELECTROMOTRIZ (FEM ;  )
De modo general la carga positiva se mueve (flujo eléctrico) de una
carga de mayor potencial a otra de menor potencial hasta que se
nivelen los potenciales.
Conforme se desarrolla al flujo de mayor a menor potencial, estos
potenciales tenderán lentamente a igualarse cesando finalmente la
corriente.
¿Cómo mantener la diferencia de potencial para que que continúe el
flujo eléctrico?
La solución es regresar la carga de una superficie de menor potencial
a otro de mayor potencial mediante algún mecanismo energético no
eléctrico. El trabajo necesario para mover la carga positiva de menor
a mayor potencial se denomina "fuerza electromotriz" con la cual las
cargas vuelven a circular.
En una fuenrte de fuerza electromotriz (f.e.m.) la energía: mecánica,
química, magnética, luminosa, etc. se convierte en energía eléctrica
con la que se realiza trabajo sobre los portadores de carga para
llevarlos de menor a mayor potencial tal que continún el flujo eléctrico
y se mantenga la diferencia de potencial entre los extremos del
conductor. La f.e.m. es una característica del generador, y no depende
de la intensidad de corriente que circule a través de este.
 
 
Energía=
Carga

 Unidad: Volt (V) = J/C
Observación
1. Todo generador, debido a los elementos que lo forman, presenta
una resistencia interna (r).
2. El voltaje entre los polos de un generador depende de la
intensidad y sentido de la corriente que circule a través de este.
Descarga del generador:
V = V - V = - Ira b 
Carga del generador:
 
157
C.T.A. – FÍSICA
Electrodinámica
 V = V - V = + Ira b 
RESISTENCIA ELÉCTRICA
La resistencia eléctrica caracteriza el grado de oposición que un
conductor presenta a la corriente eléctrica.
Su unidad en el S.I. es el OHM (  )
Todo cuerpo con una determinada resistencia se denomina resistor.
R R
R 0 R=CTE
R

POTENCIOMETRO
R
Cursor
R CTE (REOSTATO)
LEY DE POULLIET
Resistencia
eléctrica
Del material y
su forma geométrica
depende
 
L
R .
A
A
L
2
Donde :
:Resistividad eléctrica (en .m)
L :Longitud (en m)
A : Área de la sec ción recta (En m )
R : (En )
 

Unidad: El Ohmio (  1V
A
LEY DE OHM
Expresa la relación entre la intensidad de la corriente (i), la diferencia
de potencial (V) llamada también voltaje y la resistencia eléctrica (R).
 V1
V2
i1 i2 i
V (V)
(A)
 
V
CTE
i
Del gráfico
V
tg
i
V
R ..... (En )
i

 
 
R
V
A B
i V >VA B
POTENCIA ELÉCTRICA (P)
Determina la cantidad de energía que consume o suministra un
dispositivo eléctrico en la unidad de tiempo.
 P I. V
Unidad: Watt (W) = Ampere (Volt)
Para una resistencia (R) Ohmica ( V = IR) se tiene:
P = I V = 2I R = 2V / R
EFECTO JOULE
Aplicación del principio de conservación de la energía. La energía
consumida por una resistencia se transforma completamente en calor,
por lo que la potencia se puede expresar como:
Energía consumida Calor Generado (Q)
P = =
Tiempo Tiempo
Donde: Q = Pt  2Q = I Rt
Unidades: Joule = W. s = 2A . .s
Observación:
1. La cantidad de calor no depende del sentido de la corriente.
2. Para expresar "Q" en calorías, recordar: 1J = 0,24 cal.
ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS
Obedece a nuchas necesidades, tales como dividir corrientes, regular
voltajes, estabilizar térmicamente circuitos de gran consumo de
corriente eléctrica, es decir para darles una mejor utilidad. En sus
formas más simples pueden ser:
A . SERIE
 
• "I" es común
• 1 2 3V V V V      
• R = R + R +RE 1 2 3
B. PARALELO
• " V " es común
• I = I + I + I1 2 3
•
1 1 1 1= + +
R R R RE 1 2 3
PUENTE DE WHEATSTONE
Si el galvanómetro indica cero, es decir 5I 0 , con lo que se
verificará que C DV V y se cumple:
1 4 2 3R R R R
 

G

1R 3R
2R 4R
A B
C
D
5R 5I
4I
2I
1I
3I
Asociaciones Especiales
 
1R 2R
3R
a
bc
 
aR
bRcR
a
bc
158
C.T.A. – FÍSICA
Electrodinámica
Transformación Delta – Estrella y Viceversa ( Y  , Y   )
1 2
1 2 3
2 3
1 2 3
1 3
1 2 3
a
b
c
R R
R
R R R
R R
R
R R R
R R
R
R R R
   
   

  
 
1
2
3
a b b c a c
b
a b b c a c
c
a b b c a c
a
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
R R R R R R
R
R
  

  

  


CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Es un conjunto de elementos eléctricos tales como: fuentes de voltaje,
resistores y capacitores conectados en varias combinaciones.
PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF
Llamada también Ley de Nodos o Corrientes; se basa en la Ley de
conservación de la cantidad de carga eléctrica, y establece que "En
todo nodo o nudo la suma de corrientes que llegan es igual a la suma de
corrientes que salen". (Cuando nos referimos a corriente, nos refe-
rimos a sus intensidades).
+
-
E
I2 I4
A
R
I1
I3 A
En el nodo "A" se debe cumplir la primera ley de Kirchhoff.
1 2 3 4I I I I  
 En general:
I entran (nodo) I salen (nodo) 
SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF
En cualquier circuito, la suma algebraica de las f.e.m. debe ser igual
a la suma algebraica de las caídas de potencial (IR) de cada resistencia
del circuito.
I4
I3
I2
R3
R1 V3
R2
V1
V2 R1
I1
 Matemáticamente: V IR 
A. Leyes de Kirchhoff en un circuito de una malla
Para instalaciones que tienen solamente una malla, la segunda
ley de Kirchhoff es la siguiente:
V IR 
Como solamente hay un circuito, la corriente que circula por
cada resistencia es la misma, factorizando esta corriente
tendremos:
V I R 
REGLA DE LA TRAYECTORIA
1 1 2A BV IR V IR V   
ENERGÍA DISIPADA EN UN RESISTOR (EFECTO JOULE)
Cuando una carga eléctrica cruza una resistencia, realiza trabajo y pierde
energía, esta pérdida de energía se va al medio ambiente en forma de
calor.
W = Vq ................. (1)
Recordemos que:
q
I q It
t
  
Reemplazando en (1):
W VIt
POTENCIA DISIPADA EN UN RESISTOR
Es la rapidez con la cual la energía de una resistencia se consume en
forma de calor.
Matemáticamente:
WP
t

La energía disipada (W) se puede escribir de tres modos diferentes:
2
2
v tVIt I Rt RP
t t t
   
2
2 VP VI I R
R
  
Unidades:
V : Volt I : Ampere (A)
R : Ohm (  ) t : Segundo (S)
W : Joule (J) P : Watt (W)
Ejemplo 01
Si la intensidad de corriente que pasa por un conductor varía
con el tiempo según la gráfica. Determine el número de electro-
nes que fluyen en los primeros 4s.
4
6
4
t(s)
I(m A)
a) 12,5.1016 b) 25.1016 c) 16.1016
d) 32.1016 e) 4,8.1016
Solución:
1° 3 34 6q AREA .4.10 20.10 C
2
     
 

2°
3
20
16
| q | 20.10
n
| | 16.10
n 12,5.10


 


Ejemplo 02
En la figura se muestra la gráfica de la corriente versus el tiempo
que circula por un conductor. Determina el número de electro-
nes que atravesaron dicho conductor.
2
6
10
t(s)
I(A)
159
C.T.A. – FÍSICA
Electromagnetismo
a) 20×1019 b) 29×1019 c) 19×1019
d) 25×1019 e) 35×1019
Solución:
Área=qneta
A=40C
qe=1,6×10
–19C
n=25×1019e–
Ejemplo 03
Una batería tiene una f.e.m. de 6V y una resistencia interior de
0,6  , y proporciona 0,5A. Determina el voltaje entre los bornes
a y b.
+
I
r
ab
a) 5,1 V
b) 4,7
c) 5,5
d) 4,5
e) 5,7
Solución:
Trayectoria:
Vb+6V–I.R=Va
Va–VB=5,7V
ELECTROMAGNETISMO13
INDICADORES DE LOGRO:
- Establecer características que describen los fenómenos magné-
ticos.
- Reconocer y aplicar los efectos de las cargas magnéticas móviles.
- Identificar el vínculo o relación entre los fenómenos eléctricos y
magnéticos.
MAGNETISMO
Es parte de la física que estudia las propiedades de los imanes
IMANES
Son cuerpos que tienen dos propiedades:
- Atraen al hierro
- Se orientan en una determinada dirección
CLASES DE IMANES
a) Naturales
Son los minerales de hierro que se conocen con el nombre de
Magnetita(Fe3O4)
b) Artificiales
Están constituidos de acero y se pueden obtener por diferentes
métodos(electroimanes)
POLOS MAGNÉTICOS
Se llama polos magnéticos o centros magnéticos las zonas donde se
concentran los efectos magnéticos extremos del imán
La concentración de estos polos se hallan a una distancia de extremos
iguala 1/12 de la longitud del imán.
L
d
S
d
N
12
L d 
* Inseparabilidad de polos
Los polos de un imán son inseparables, es decir si cortamos un
imán en dos partes, cada una de las proporciones obtenidas
constituyen un nuevo imán con sus respectivos polos magnéticos
norte y sur.
* Carga Magnética
Es aquella magnitud física escalar que va asociada a todo polo
magnético, y nos indica de un modo directo el nivel de
magnetismo que posee. En una barra de imán se verifica que los
dos polos tienen la misma carga magnética pero de signos
diferentes. En el SI se expresa en A.m
* Desmagnetización
Un imán pierde sus propiedades magnét icas debido
fundamentalmente a dos razones:
1º Cuando se golpea repentinamente provocándole un
desordenamiento molecular.
2º Cuando se calienta hasta alcanzar una temperatura
característica conocida con el nombre de CURIE.
LEYES DEL MAGNETISMO
1ra Ley Cualitativa
Los polos magnéticos externos del mismo nombre se repelen y
los de nombre diferentes se atraen
2da Ley Cuantitativa (Ley de Coulomb)
La fuerza de atracción o repulsión entre dos polos magnéticos es:
d
F F
q*Q*
 2
**
m
d
q.Q
.K F 
F : Fuerza de atracción o repulsión magnética (N)
Q*,q* : Carga magnética (A.m)
d : Distancia de separación entre los polos (m)
Km : Constante magnética
m : permeabilidad mag. en el vacío
2
7o
m
A
N
 10 
4
 K 



2
7
o
A
N
 10 .4 
CAMPO MAGNÉTICO
Es materia no sustancial que se encuentra asociado a los imanes y a
los portadores de carga eléctrica en movimiento, mediante el cual
estos interactúan.
LÍNEAS DE FUERZA
Son aquellas fuerzas geométricas que sirven para representar
gráficamente el campo magnético.
SN
INTENSIDAD DE CAMPO MAGNÉTICO ( B

)
Q* q*
d F
B
B = F
|q*|
B=Km.|Q*|
d2
Donde:
Q*: carga magnética creadora del campo (A.m)
q*: carga magnética detectora del campo magnético (A.m)
d: distancia de separación (m)
B: en tesla (T)
Consideraciones:
a) Las líneas de fuerza de un campo magnético van del polo norte al
polo sur, en el exterior del imán.
b) La intensidad de campo en cada punto es tangente a la línea de
fuerza que pasa por ese punto
c) Las líneas de fuerza de un mismo campo no se interfieren.
ELECTROMAGNETISMO
Parte de la física que estudia la relación entre la electricidad y el
magnetismo.
160
C.T.A. – FÍSICA
Electromagnetismo
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE
ELÉCTRICA (EFECTO DE OERSTED)
Todo conductor con corriente eléctrica tiene asociado a su alrededor
un campo magnético, las cuales se representan gráficamente mediante
líneas de inducción magnética. (regla de la mano derecha)
 
B
i
i
discontinuos
i i x
Visto de arriba Visto de abajo
Dirección de "i" saliente Dirección de "i" ingresante
LEY DE BIOT-SAVART
Permite caracterizar la inducción magnética 

B asociado a la corriente
eléctrica.
* Para un segmento de conductor rectilíneo
xr
i B
o
7
o
7
i
B . (sen sen )
4 r
T.m
4 .10
A
i
B 10 . (sen sen )
r



   

  
    
Su unidad: tesla (T)
* En un conductor infinitamente largo.
B
d
 
I
 7
i
B 2.10
d
Su unidad: tesla (T)
* En un conductor recto semiinfinito
 
I
 NB
d
N
M
0
0
4
M
N
B
I
B
d




Unidad: tesla (T)
* En el centro de un arco conductor
r
B
i
 
7 iB 10 .
r
 
Unidad: tesla (T)
* En el centro de una espira.
I
B R 
  7
i
B 2 .10
R
Su unidad: tesla (T)
* Iducción magnética 

B en el centro de un solenoide
Solenoide es una bobina cilíndrica de gran número de espiras
de conductor que forman una "línea helicoidal".
 I
I
I L
I
N SurNorte I .o
En el centro
N.B 
L
Además: centro externo B 2B  ;  
-7
o m4 .10 T. 
A
Donde:
 0 :Permeabilidad magnética del aire o el vacío
N:Número de espiras
L:Longitud del solenoide
I:Intensidad de corriente
Inducción magnética 

B en la línea axial del Toroide
Cuando se juntan los extremos de selenoide para hacer una corona
o anillo se forma un toroide; que viene a ser una bobina anular cuyas
espiras van arrolladas sobre un núcleo en forma de toro.
I
B
I 




r o
m
1 2
m
. .N.
B 
2 .R
R R
R 
2
mr : permeabilidad magnética relativa
mo : permeabilidad magnética del vacío
Rm : radio medio
FUERZA MAGNÉTICA
Es la medida vectorial de la interacción de dos campos magnéticos.
FUERZA MAGÉTICA SOBRE UNA CARGA MÓVIL (FUERZA
DE LORENTZ)
Es la fuerza como producto de la interacción del campo magnético
asociado a la partícula y del campo exterior.
S
FM
V
q+
N
B
FM
B
V
Regla de la mano
derecha
MF | q| .VBsen 
 
 
M
| q |: en C ángulo formado por : V y B
V : en m / s B : en Tesla (T)
F : en newton(N)
161
C.T.A. – FÍSICA
Electromagnetismo
       
    
MAG MIN
MAG MÁX
Si º y 180º F F 0
Si 90º F F | q | VB
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR CON
CORRIENTE (FUERZA DE AMPERE)
S
FMAG
FMAG
N
B
B
i
i Regla de la mano
derecha
 MF BiL.sen
Donde:
B: en tesla (T)  : ángulo formado por i y B
i: en amperios (A) L: en metros (m)
FMAG:en Newton (N)
FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CONDUCTORES PARALELOS
i2i1
Fm Fm
d
7
m 1 2
L
F 2.10 .i .i .
d

NOTA:
Cuando por un conductor doblado o curvo circule corriente y esté
en un campo magnético homogéneo.
i
lAB
MAG AB
AB
F B.i.l .sen
Donde :
l : Longitud entre
los extremos
 
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.
Es aquel fenómeno en el que la corriente eléctrica en un circuito; surge
cuando este se encuentra en un campo magnético variable con el
tiempo, o que el conductor se mueva dentro de un campo magnético.
FLUJO MAGNÉTICO
Es el número de líneas de fuerza perteneciente al campo magnético
que atraviesan perpendicularmente al área de la sección de un cuerpo,
que se encuentra en dicho campo.
A
B

2
B.A
B : En T
A : En m
: En weber (Wb)


 EN GENERAL
B
A

  B.A.cos
LEY DE FARADAY
Todo circuito eléctrico cerrado expuesto a un campo magnético
variable, genera en el una corriente eléctrica, denominada corriente
inducida.
Campo magnético en movimiento
G
Ii
 
 

N
t
e : Fuerza electromotriz Inducida “f.e.m” (V)
N : Número de espiras
Df : Variación de flujo (Wb)      f o
Dt : intervalo de tiempo
FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA ( i)
A. CONDUCTOR EN MOVIMIENTO DENTRO DE UN CAMPO
MAGNÉTICO
Consideramos una barra conductora de longitud "L" que se mue-
ve con velocidad constante en el interior de un campo magnético.
l
FMAG
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xB
A
B
A
+++
+ (+)
( )
< > i
VV
iε .V.B l
B. PARA UNA ESPIRA CONDUCTORA
V
t
Ni 


Donde:
i : f..e.m. (V)
N: Número de espiras
 : Variación de flujo
t : Intervalo de tiempo
LEY DE LENZ
En un circuito cerrado, se establece una  y una corriente inducida
(iIND), cuyo campo magnético se opone a la causa que la produce.
V
V
BIMAN
BESPIRA
BESPIRA
iIND
162
C.T.A. – FÍSICA
Óptica y Física Moderna
ÓPTICA Y FÍSICA MODERNA14
Ejemplo 01
Indica en qué dirección estará el campo magnético B

 en el
punto P debido a los conductores infinitos y rectilíneos que
transportan igual intensidad de corriente I.
x
P(3;4)
x
y
I
I
a) B

b) B

 c) B


d) B

e) B


Solución:
Usamos la R.M.A.
x
B3
x
y
B1
B2
5
4
3
(1)
(2)I
I
Ejemplo 02
Determina el valor de inducción magnética del segmento
AB =25cm en el punto A: (I=60A)
53°
60A
12cm
A
A’ B’
37°
a) 3.10–5T b) 4.10–5T c) 5.10–5T
d) 8.10–5T e) 7.10–5T
Solución:
7 5
2
60
B 10 . (cos 53 cos 37 ) B 7.10 T
12.10
 

     
Ejemplo 03
La figura muestra dos conductores rectilíneos infinitamente lar-
gos. Determina la magnitud de la intensidad de campo magnéti-
co en el punto C.
I = 30A1 I = 50A2
1,5cm 0,5cm
C
a) 8.10–4T b) 16.10–4T c) 24.10–4T
d) 32.10–4T e) 48.10–4T
Solución:
7
C 1 2 3 3
4
C
30 50
B B B 2.10
15.10 5.10
B 16.10 T

 

       
 

INDICADORES DE LOGRO:
- Interpretar los fenómenos que produce la luz durante su propagación.
- Identificar las leyes de lareflexión y su aplicación en los espejos
planos y esféricos.
- Analizar el fenómeno de refracción de la luz, las leyes que lo
gobiernan y la aplicación en la formación de imágenes en las lentes.
- Interpretar el efecto fotoeléctrico.
- Establecer las leyes de la Teoría de la Relatividad.
Ó P T I C A
Estudia la naturaleza de la luz, sus fuentes de producción, su
propagación y sus fenómenos que experimenta y produce.
Naturaleza de la Luz
I. Teoría Corpuscular
Sustentada por Isaac Newton (1888), quien formula que la luz
estaba formada por pequeños corpúsculos emitidos por los cuer-
pos luminosos.
II. Teoría Ondulatoria
a) Iniciada por Cristian Hüygens (1668) quien asumía que
la luz estaba formado por ondas semejantes a las del sonido
(ondas longitudinales) explica la reflexión, refracción y do-
ble refracción.
b) Thomas Yung y Agustin Fresnel (1860) anuncia que la
luz son ondas semejantes a las que firman en una cuerda en
vibración (ondas transversales) y que eran emitidas por cuer-
pos luminosos, explica los fenómenos de interferencia
difracción y polarización.
c) James Maxwell (1873) anuncia que la luz son ondas
transversales de orden electromagnético provocado por
actuaciones del campo magnético de los átomos de los cuer-
pos luminosos.
d) Henrich Hertz (1887) experimentalmente demostró que
la luz tiene la misma velocidad de propagación de las ondas
electromagnéticas.
III.Teoría Cuántica
Propuesta por Max Planck (1900) y confirmada por Albert Einstein
(1905) considera que la energía transportada por una onda
transversal electromagnética no esta distribuida en forma conti-
nua sino en paquetes o corpúsculos energéticos llamados fotones
(fenómeno fotoeléctrico).
Conclusión:
La luz presenta naturaleza dual, cuando se propaga se comporta
como onda transversal electromagnética, pero cuando
interacciona con la materia, presenta carácter corpuscular.
Velocidad de la Luz (c): 3.108 m/s.
F O T O M E T R Í A
Es la parte de la óptica que estudia las mediciones prácticas y
geométricas de la luz.
1. ANGULO SÓLIDO (  )
Se denomina así al espacio comprendido en un conjunto de
rectas no coplanares que tienen un punto común.
Se mide en stereoradian (sr)
163
C.T.A. – FÍSICA
Óptica y Física Moderna
2. FLUJO LUMINOSO (  )
Energía Luminosa
Tiempo
segundo
joule
 1 lumen 1 
3. INTENSIDAD LUMINOSA (I)
Es el flujo luminoso que emite un foco luminoso por unidad de
ángulo sólido.
 
 I ..... candela (cd)
2m
lumen 1 lx 1 
4. FLUJO LUMINOSO TOTAL EMITIDO POR UN FOCO SIN
PANTALLA
sr 4 
r
r4 
d
A
 
2
2
2
esf era
TOTAL 

 I 4 
5. ILUMINACIÓN (E)
Es el flujo luminoso por área iluminada
A
 E  ..... lux (lx) 2m
lumen 1 lx 1 
ILUMINACIÓN PRODUCIDA POR UN FOCO PUNTUAL
normal
d
r


21 d
 E I  Cos.
r
 E
22
I
OBS: Cuando un punto de la superficie es iluminado por más de un
foco puntual, la iluminación es la suma de las iluminaciones.
6. FOTÓMETRO DE BUNSEN
 
d1
I1
d2
I2
21 E E  2
2
2
2
1
1
d
 
d
II

7. Rendimiento de un foco luminoso
 
P
 nL
 100.
P
 (%)nL

 100).W
W
( (%)n
eléctrica
osaminlu
L 
 Unidad: 
lm
w
REFLEXIÓN DE LA LUZ
Es aquel fenómeno que experimentan los rayos luminosos al incidir en
una superficie reflectante.
CLASES DE REFLEXIÓN
1. Reflexión Regular:
Esta reflexión ocurre en superficies pulidas (espejos)
Superficie Pulimentada
Espejo
2 . Reflexión Irregular:
Es cuando la superficie reflectante es rugosa.
Superficie Rugosa
LEYES DE LA REFLEXIÓN
1ra Ley:
El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.
 
R.I R.R
ri ˆ ˆi r
2da Ley: ´
El rayo incidente (R.I), la normal, rayo reflejado (R.R) están en un
plano que es perpendicular al espejo.
E S P E J O S
Son superficies pulimentadas que reflejan los rayos luminosos en
forma regular.
Los espejos se clasifican en planos y esféricos
* Objeto:
Cuerpo que se coloca frente a la superficie reflectora del espejo
* Imagen:
Figura que se observa al colocar un objeto frente al espejo.
* Zona Real:
Espacio que rodea al objeto
* Zona Virtual:
Región del espacio frente a la superficie reflectiva del espejo.
1. ESPEJOS PLANOS
* Formación de imágenes en un espejo plano
ZR(+)
objeto imagen
ZV(-)
0 = I
La distancia objeto es igual a la distancia imagen.
* Características de la Imagen en un espejo plano.
Es simétrica con respecto al espejo, la imagen es derecha, la imagen
es de igual tamaño del objeto y es virtual.
* Número de Imágenes de los espejos angulares.
1 60º3 N 


 Nota: Los espejos paralelos forman infinitas imágenes.
164
C.T.A. – FÍSICA
Óptica y Física Moderna
2. ESPEJOS ESFÉRICOS
a) Espejos Cóncavos:
Son aquellos que tienen la superficie reflectante en la parte
interior
b) Espejos Convexos:
Son aquellos que tienen la superficie reflectante en la parte
exterior.
Concavo Convexo
 Elementos de un Espejo Esférico
F C

R
A
A´
f f
V
C: Centro de curvatura
R: Radio de curvatura
F: Foco
V. Vértice
AA’: Abertura
 : Ángulo central
Nota:
Se debe cumplir que «  » no supere los 20º para tener imáge-
nes claras, si  > 20º se produce los fenómenos de aberración.
RAYOS PRINCIPALES
Rayo Paralelo (RP) al eje principal, al ser reflejado pasa por el
foco.
C F F C
Rayo Focal (RF) es el rayo que pasa por el foco, al reflejarse
pasa paralelamente por el eje principal.
 
C F F C
* Rayo Central (RC) es el rayo que luego de pasar por el centro de
curvatura e incidir en el espejo se refleja sobre si mismo.
 
C F F C
FORMACIÓN DE IMÁGENES DE UN ESPEJO CÓNCAVO
1er Caso: Objeto más allá de «C»
 
F C 
 
enorM 
Invertida 
alRe 
:agenIm
2do Caso: Objeto en «C»
 
F C 
 
Igual 
Invertida 
alRe 
:agenIm
3er Caso: Objeto entre «F» y «C»
 
F C 
 
yoraM 
Invertida 
alRe 
:agenIm
4to Caso: Objeto en el foco
 
CF 
 
hay oN 
:agenIm
5to Caso: Objeto entre «F» y el espejo
 
CF 
 
yoraM 
erechaD 
irtualV 
:agenIm
FORMACIÓN DE IMÁGENES EN UN ESPEJO CONVEXO
A cualquier distancia delante del espejo:
 ZR(+)
C
F
ZV(-)
f o
i
 
Menor 
erechaD 
irtualV 
:agenIm
ECUACIÓN DE ESPEJOS ESFERICOS
Ecuación de Focos Conjugados (Descartes)
 
o
1 
i
1 
f
1 
165
C.T.A. – FÍSICA
Óptica y Física Moderna
Aumento Lineal
 
o
i A 
 
o
i
h
h
 |A| 
Regla de Signos
 
 
derecha virtual, imagen )(
 invertida real, imagen )(
 i





 
 
 convexo espejo )(
 cóncavo espejo )(
 f





REFRACCION DE LA LUZ
Es el fenómeno que experimenta la luz por el cual el rayo luminoso
sufre una desviación y un cambio de velocidad al pasar de un medio
a otro
 
Medio (2)
Medio (1)
Rayo incidente
Rayo refractado
Ángulo
refractado
Ángulo
incidenciai
r
Normal
Índice de refracción (n)
Se define así a la relación entre la rapidez de la luz (c) en el vacío y la
rapidez de la luz en el medio considerado (v)
 
V
c n 
 
3
4 nagua  2
3 nv idrio 
 1 n v acio/aire 
LEYES DE LA REFRACCIÓN
1ra Ley:
«El rayo incidente, la normal y el rayo refractado se hallan en un
mismo plano el cual es perpendicular a la superficie refractante»
2da Ley: Ley de Snell
 r̂Sen.n î.Senn 21 
Observaciones:
i
r
1
2
n >n1 2
n <n1 2
Normal
ÁNGULO LÍMITE (L)
Es el ángulo de incidencia al cual corresponde un ángulo de refracción
de 90º
 
1RI
RR2
L
 
 
L Arcsen
n
n
 2
1
PRISMA ÓPTICO
 1
i
RI RR
r
d
A
2
 
 











 

2
ASen
2
Ad
Sen
 n
m
LENTES
Son cuerpos transparentes que se encuentran limitados por dos
superficies esféricas o por una superficie esférica y otra plana.
Tipos
1) Convergentes
 Son más gruesos en el centro que en los bordes.
 
 
a b c
 
 
econvergent Menisco c)
convexo Plano b)
Biconvexa a)
2) Divergentes
 Son más gruesas en los bordes que en el centro.a b c
 
 
divergente Menisco c)
cóncavo Plano b)
Bicóncavo a)
FORMACIÓN DE IMAGEN EN LENTE CONVERGENTE
1er Caso: Objeto más allá de «2f»
 
C2 F2
F1
Z.R.(+)Z.V.(-)
C1
 
Menor 
Invertida 
alRe 
:agenIm
2do caso: Objeto en el centro de curvatura
 
C2 F2
F1
Z.R.(+)Z.V.(-)
C1
 
 
gualI 
Invertida 
alRe 
:agenIm
3er Caso: Objeto entre «2f» y «F»
 
C2 F2
F1
Z.R.(+)Z.V.(-)
C1
 
ayorM 
Invertida 
alRe 
:agenIm
4to Caso: Objeto en «F»
 
C2 F2
F1
Z.R.(+)Z.V.(-)
C1
 
 
Hay oN 
:agenIm
166
C.T.A. – FÍSICA
Óptica y Física Moderna
5to Caso: Objeto entre «F» y la lente
 
C2 F2
F1
Z.R.(+)
Z.V.(-)
C1 
 
ayorM 
erechaD 
irtualV 
:agenIm
FORMACIÓN DE IMAGEN EN LENTE DIVERGENTE
1 A cualquier distancia de la lente
 
F
 
enorM 
erechaD 
irtualV 
:agenIm
ECUACIONES RELATIVAS A LAS LENTES
1) Ecuación de Gauss (focos conjugados)
 
o
1 
i
1 
f
1 
2) Ecuación de Newton
 212 x. x f 
x1: distancia del objeto al foco objeto
x2: distancia de la imagen al foco imagen
III) ECUACIÓN DEL FABRICANTE
 R1
R2
n2
c1 c2
 







21 R
1 
R
11) - n( 
f
1
R (+) cara convexa
R (–) cara cóncava
IV) ECUACIÓN DE AUMENTO (A)
Aumento Lineal
 
o
i A  
 
o
i
h
h
 |A| 
Donde: A(+): imagen derecha
A(-) Imagen invertida
V) POTENCIA DE UNA LENTE O PODER CONVERGENTE
 Por definición:
 
f
1 P 
Cuando «f» está en metros la potencia está en Dioptrías.
FÍSICA MODERNA
TEORÍA CUÁNTICA
Es aquella que se encarga de estudiar la cuantificación de la energía
(cuantum) o paquetes de energía.
La revolución de esta teoría consiste en descubrir que la energía
existe en forma discreta y no en forma continua.
A. ANALOGÍA
Los granos de maíz se pueden cuantificar, es decir existe un
elemento mínimo, el grano luego se puede contar; 1; 2; 3; ...; n
granos (forma discreta).
La cantidad de agua varía en forma continua (aparentemente).
Uno de los pioneros de esta teoría fue el físico alemán Max
Planck (1858 – 1947). El análisis científico se explica a continua-
ción: Si se dirige un rayo de luz de un cuerpo incandescente
hasta un prisma, se formaría un espectro de luz aparentemente
contínuo. El cuerpo caliente, emite radiaciones que dan un as-
pecto contínuo, sin embargo, la luz emitida no es uniforme, pues
depende de:
• La naturaleza química;
• y de la temperatura del cuerpo.
Ahora; para que la luz emitida sea uniforme a una determinada
temperatura independiente de la naturaleza química del cuerpo,
se hizo uso del cuerpo negro.
Cuerpo negro
caliente
luz uniforme
espectro
Cuando el cuerpo negro es calentado hasta alcanzar una temperatura
suficientemente elevada, este emite luz uniforme.
Los trabajos de Maxwell y Hertz llevaron a Max Planck a afirmar que
la radiación se origina en cada electrón, que oscila con una frecuencia
"f" dada (osciladores eléctricos miscroscópicos).
Planck llevó a cabo varios modelos matemáticos, de los cuales la
única manera de llegar a la misma respuesta experimental era
asumiendo que un oscilador podría emitir solo ciertas energías, es
decir, que son múltiplos de hf(h = Cte de Planck), f = frecuencia, ó
 = frecuencia.
En síntesis, la energía de un oscilador puede ser:
0; 1 h  ; 2 h  ; 3h  ; ... nh 
E= nh 
n = número entero
h = 6,6.10–34 Joule–s (constante de Plack)
E = energía
 = frecuencia
B. CUERPO NEGRO
Es quel que absorve en un 100% toda radiación que cae sobre
él, y no refleja nada. Un modelo ideal de cuerpo negro es una
esfera de hierro con un orificio muy pequeño a través del cual se
puede ver su interior.
En la figura se observa que una radiacción ingresa a la esfera
hueca; esta se refleja varias veces hasta que al final es absorvida
totalmente. También sería preferible llamarlo radiador integral,
en lugar de cuerpo negro, porque a temperatura suficientemente
elevada el cuerpo negro emite "luz uniforme", lo cual contrasta
con su nombre.
167
C.T.A. – FÍSICA
Óptica y Física Moderna
Espectro de radiación (1899) de cuerpo negro a tres temperaturas
diferentes.
EFECTO FOTOELÉCTRICO
Es aquel fenómeno en el cual, ciertas placas metálicas emiten electro-
nes cuando se someten a la acción de luz. El fenómeno se hace más
acentuado cuando las radiaciones son de alta frecuencia (ondas
ultravioletas) y con metales como el cesio, el sodio y el potasio.
placa metálica
luz
A. ¿Cómo explicar la naturaleza de dicho fenómeno?
Albert Einstein, científico alemán nacionalizado en EE.UU., pro-
puso basarse en los estudios de Max Planck (el Cuantum). Einstein
llamó al Cuantum de luz: Foton o partícula de luz. Con esto la luz
es tratada como si tuviera naturaleza corpuscular. Al igual que
Planck, Einstein planteó su modelo matemático, el cual fue afina-
do hasta que al final obtuvo.
w½ mv2
B. Otro punto de vista
0 máxEi Ec  
Ei = energía incidente
0 = h .
0
0 0
0
función trabajo
h . o energia umbral
frecuencia umbral
 
   

 

máxc
E energía cinética máxima.
máx
2
c
1E m V
2

Ei h frecuencia incidente.  
De la conservación de energía

máx
oc
E eV
e: carga del electrón
V0: potencial de frenado
Resultados experimentales
• Para cada metal una frecuencia umbral.
• 0 :   para que haya emisión de electrones.
•
máx.c
E de los electrones emitidos es proporcional a  0–
e independiente de la intensidad de la radiación incidente.
C. Frecuencia constante
v0 es el mismo sin importar la intencidad.
Se denomina potencial de frenado, al voltaje explicado tal que
anula la fotocorriente.
El potencial de frenado (V0) es diferente para cada frecuencia.
Nota
La función trabajo f0 es la energía mínima requerida para un
electrón para abandonar la superficie del metal.
TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Albert Einstein, el más grande físico de todos los tiempos fue el creador
de la Teoría de la Relatividad. En 1905, a la edad de 26 años, publicó su
teoría junto con otros artículos que revolucionaron la física.
La teoría de la relatividad especial representa unas de las hazañas
intelectuales más grandes del siglo XX, con ella los resultados
experimentales como la invariancia de la velocidad de la luz medida
en diferentes sistemas en movimiento uniforme o sistemas inerciales y
otros fenómenos contradictorios son resueltos satisfactoriamente.
Esta teoría extendió y generalizó la mecánica de Newton, además
predice los resultados de los experimentos mecánicos, en todo el
rango de velocidad, desde cero, hasta la velocidad de la luz. Pero la
teoría de Einstein, no invalida la mecánica Newtoniana, sino que este
queda como un caso especial (para determinados valores de la
velocidad de la luz) de otra teoría mas general. La teoría de Einstein
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C.T.A. – FÍSICA
Óptica y Física Moderna
fue revolucionaria porque presentó una visión completamente
diferente de la naturaleza del espacio y del tiempo.
La teoría especial o restringida se basa en dos postulados:
I. El principio de la relatividad:
«Todas las leyes de la naturaleza (leyes de la mecánica y el
electromagnetismo) son las mismas en todos los marcos de refe-
rencia o sistemas inerciales. En consecuencia todos los marcos
inerciales son equivalentes».
Este postulado enunciado por Galileo para la mecánica. Fue
ampliado por Einstein para toda la física.
El postulado establece que no es posible determinar si un sistema de
coordenadas esta en reposo o tiene un movimiento rectilíneo unifor-
me. También establece que no hay sistema absoluto o privilegiado.
II. La constancia de la velocidad de la luz:
«La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor (c=3x108
m/s) en todos los marcos inerciales, independientemente de la
velocidad del observador o de la velocidad de la fuente que
emite la luz. No se pueden emitir señales o energía con una
velocidad mayor que la velocidad de la luz».
De acuerdo a este postulado, se deduce que el movimiento
relativono es importante cuando se mide la velocidad de la luz,
también que debamos modificar nuestra noción y lo que nos
indica el sentido común acerca del espacio y del tiempo.
Dilatación del tiempo
 E
L
O
O'
Se tienen dos observadores O y ,O de tal modo que 
,O está en
reposo dentro de un vehiculo que se mueve con velocidad V hacia
la derecha, con respecto a O. En el techo del vehiculo hay espejo E
a una distancia vertical L de la mano del observador. En cierto instante
,O lanza una señal luminosa hacia el espejo, se refleja y regresa a
,O quien registra un tiempo 0T entre la emisión y la recepción.
  0
2LT
c
 … (1)
Donde: «c» velocidad de la luz para cualquier observador como la
emisión y la recepción de la señal luminosa se hicieron en el mismo
sistema de referencia de ,O , el tiempo medido por ,O en estas
condiciones se denomina 0T  tiempo propio.
 
Tc
2
Tc
2
M
TV
2
TV
2
BA
E
L
Consideremos ahora el mismo experimento pero observado por
O que está en reposo en tierra que es su sistema. La luz que parte de
A y va al espejo del techo recorre una distancia TV
2
 y el vehículo
avanza una distancia VT.
La luz se refleja en E y regresa en B al cabo de un tiempo T medido
por O.
2
2
2LT
V1
c

 …............. (2)
Observe que la emisión es en el punto A y la recepción en B dos
lugares diferentes, del sistema en referencia del observador O.
El tiempo medido en estas condiciones se llama T: Tiempo impropio.
Sustituyendo (1) en (2):
0
2
2
T
 T 
V1
c


Observaciones:
1. El intervalo de tiempo es más corto (el tiempo pasa más rápido)
para aquel observador para quien los eventos ocurren en el
mismo lugar o sistema (tiempo propio).
2. El tiempo entre cada tic tac de un reloj en movimiento
 (
2 L
c

) es más largo que el lapso entre los tic tac de un reloj en
reposo (
2L
c ). Podemos afirmar que un reloj en movimiento
funciona más lento que un reloj en reposo.
3. Podemos generalizar estos resultados estableciendo que todos
los procesos físicos, químicos y biológicos se retardan respecto
de un reloj estacionario, cuando dichos procesos ocurren en
un marco o sistema en movimiento.
4. Esta relatividad del tiempo ha sido comprobada experimental-
mente. Por ejemplo los muones son partículas elementales ines-
tables.
Contracción de la longitud o distancia
La distancia entre dos puntos depende también del marco de
referencia. La longitud propia de un objeto es la longitud del objeto
medida por un observador que está en reposo con respecto del
objeto. La longitud de un objeto siempre es menor que la longitud
propia. Este efecto se conoce como contracción de la longitud.
Supongamos que una nave espacial viaja con velocidad «V» entre
las estaciones espaciales A y B separadas una distancia L.
En su sistema de referencia, la nave recorre las dos: distancias L en
un tiempo 0T . Para el astronauta que lleva su reloj y con él mide los
dos sucesos (salida de A y llegada a B) en el mismo marco de referencia,
la nave espacial, el tiempo 0T es propio luego:
0
L T 
V
 ........… (1)
Para un observador en la Tierra, el mide primero la salida de A y
después la llegada a B. Luego el tiempo T que él mide es impropio y
en ese tiempo recorre la distancia entre las dos estaciones medida
para un observador en reposo por lo que se llama distancia propia.
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C.T.A. – FÍSICA
Óptica y Física Moderna
0LT
V
 …............ (2)
Pero:
0
2
2
T
T
V1
c

 … (3)
Entonces:
1/ 22
0 2
VL L 1
c
 
   
 
Como el factor 
1 / 22
2
V1
c
 
  
 
 es siempre menor que la unidad se
obtiene que: 0L L
La distancia L medida por un observador en movimiento paralelo a
ella; es menor que su distancia propia 0L medida en un sistema en
reposo con respecto a ella.
MASA RELATIVISTA
La masa de un cuerpo en movimiento es mayor que cuando el
cuerpo se encuentra en reposo. La relación entre la masa «m» medida
en movimiento y la masa « 0m » medida en reposo es:
0
1
2 2
2
m
 m 
V1
c

 
  
 
"Esta expresión indica que la masa puede ser infinita cuando la
velocidad se acerca a la velocidad de la luz. Por la segunda ley de
Newton, se necesita una fuerza infinita para acelerarlo lo que es
imposible, por lo tanto, no es posible alcanzar la velocidad de la luz".
Ejemplo 01
Se muestra dos espejos plano que forman 110° y un rayo de
luz, que incide en un espejo reflejado también en el otro.
Determina el ángulo  .

110°
30°
a) 60°
b) 50°
c) 30°
e) 40°
e) 10°
Solución:
=40
40°
30°30°40°
 40 
Ejemplo 02
El esquema muestra un rayo de luz que pasa del aire a un
líquido. Determine el indice de refracción del líquido.
30°
45°
Aire
Líquido
n =1aire
a) 2 2
b) 2 3
c) 6
d) 2 6
e) 6 / 2
Solución:
Ley de Snell:
nairesen30°=n2.sen45°
L
6
M
2
 
Ejemplo 03
Según Einsten la equivalencia entre la energía E y la masa m
de una partícula es: E=mc2, donde C es la velocidad de la
luz, Un fotón tiene la energía E=hf, sabiendo que el producto
de la masa por la velocidad se denomina momentum, el
momento del fotón es:
a) 2
hf
c
b) 
2hc
h
 c) 
hf
c
d) 
m c
h
e) 
2m c
h
Solución:
E=hf.
E=mc2
2 momentohfhf mc mc
c de un foton
    
hf
P
c
