Elementos de Maquinas - Gabriel Barrientos

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Juan Pablo Castillo
en 9/4/2025
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541214: ELEMENTOS DE MAQUINAS
GABRIEL BARRIENTOS RIOS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA
MECANICA
Universidad de Concepción
Concepción, Chile
Agosto 2013
2 Gabriel Barrientos R.
Índice general
1. Introducción 9
1.1. Coeficientes de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1. Parámetros que influyen en la ruptura a la fatiga . . . 22
1.3.2. Esfuerzos de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2. Uniones por chavetas 29
2.1. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Cálculo uniones no forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1. Lengüetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2. Chavetas tangenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3. Selección de una chaveta . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Uniones por ejes estriados 45
3.1. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Consideraciones de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4. Uniones por pasadores 53
4.1. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Tipos de pasadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3. Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5. Algunas aplicaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
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4 Gabriel Barrientos R.
5. Uniones por interferencia 69
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3. Torque a transmitir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6. Uniones apernadas 79
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2. Tipos y usos de las uniones apernadas . . . . . . . . . . . . . 81
6.3. Cálculo de uniones apernadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1. Consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.2. Pernos sometidos a tracción . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.3. Coeficiente de dilatación lineal . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.4. Junta con empaquetadura . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.5. Consideraciones de rigidez en uniones sin empaque-
tadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.6. Pernos sometidos a cargas transversales . . . . . . . . 93
6.3.7. Pernos fijando planchas en voladizo . . . . . . . . . . 97
6.3.8. Pernos sometidos a corte . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4. Resistencia de los pernos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5. Fuentes de peligro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.6. Montaje e inspección de pernos de alta resistencia . . . . . . 103
6.6.1. Apriete final con llave de torque . . . . . . . . . . . . 103
6.6.2. Apriete mediante giro de tuerca en fracción de tuerca 105
6.7. Secuencia de apriete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.8. Aplicaciones en estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.8.1. Tipos de tornillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.8.2. Ventajas de los tornillos de alta resistencia . . . . . . 112
6.9. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7. Uniones soldadas 125
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2. Soldadura por fusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.3. Simboloǵıa y su uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4. Cálculo de espesor de soldadura . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4.1. Soldaduras sometidas a tracción y/o compresión . . . 130
7.4.2. Soldadura sometidas a efectos de torsión y flexión . . 131
7.5. Concentrador de esfuerzos en soldaduras . . . . . . . . . . . . 136
7.6. Aplicación de Métodos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.7. Esfuerzo residual. Soldabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Gabriel Barrientos R. 5
7.8. Electrodos para soldar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.9. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8. Uniones por resortes 155
8.1. Tipos de resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.2. Helicoidales de compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2.1. De espira redonda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2.2. Espiras activas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.2.3. Deflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.2.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.2.5. Valor útil caracteŕıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.2.6. Frecuencia natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.2.7. Espira rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.3. Helicoidales de tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.1. Espiras activas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.3.2. Esfuerzos en los ganchos . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.3.3. Precarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.4. Resortes de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.5. Resortes de Ballesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.6. Resortes Belleville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.7. Cálculo dinámico: fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.8. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.9. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9. Ejes 193
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.2. Fuerzas sobre los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.2.1. Engranajes rectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.2.2. Engranajes helicoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2.3. Engranajes cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2.4. Fuerzas en poleas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.2.5. Cadena-Sproker (piñón) . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3. Procedimiento de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.4. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.4.1. Fórmulas para cálculo de deflexiones en vigas . . . . . 205
9.5. Frecuencias naturales en flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.5.1. Método de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.5.2. Método de Dunkerley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.5.3. Método de los Coeficientes de influencia . . . . . . . . 210
9.6. Frecuencias naturales en torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
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9.7. Consideraciones de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.8. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.Descansos por rodadura 219
10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.2. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.2.1. Capacidad de carga de un rodamiento . . . . . . . . . 221
10.2.2. Velocidad de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.2.3. Carga variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.2.4. Vida de un rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.2.5. Vida nominal ajustada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.2.6. Selección de un rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.3.Resumen de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.4. Consideraciones de montaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.Engranajes 243
11.1. Geometŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.1.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.2. Diseño por resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11.2.1. Esfuerzos en engranajes rectos . . . . . . . . . . . . . 248
11.2.2. Engranajes helicoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.2.3. Engranajes cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.3. Definición paarámetros AGMA . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
11.4. Engrane tornillo sinfin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11.4.1. Parámetros para cálculo tornillo sinfin . . . . . . . . . 266
11.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.Elementos flexibles 273
12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.1.1. Ventajas de las correas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12.1.2. Ventajas de las cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12.1.3. Ventajas de los engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.2. Correas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.2.1. Transmisiones por correas . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.2.2. Tipos de correas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
12.2.3. Cálculo correas planas [3] . . . . . . . . . . . . . . . . 278
12.2.4. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Gabriel Barrientos R. 7
12.2.5. Selección de correas planas . . . . . . . . . . . . . . . 282
12.2.6. Sistema tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.2.7. Selección según catálogo . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.3. Cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
12.3.1. Tipos de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
12.3.2. Selección de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
12.3.3. Especificación de una cadena . . . . . . . . . . . . . . 291
12.4. Cables de acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
12.4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
12.4.2. Resistencia a la tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.Descansos deslizantes 303
13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
13.2. Tipos de cojinetes de deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . 304
13.3. Tipos de lubricación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.4. Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.5. Ley de Petroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
13.6. Lubricación estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
13.7. Lubricación hidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
13.8. Variables de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
13.8.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
13.8.2. Variables controladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
13.8.3. Variables dependientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
13.9. Consideraciones de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
13.10.Relaciones entre variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
13.10.1.Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13.10.2.Grosor mı́nimo de peĺıcula . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13.10.3.Coeficiente de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13.10.4.Flujo de lubricante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13.10.5.Presión de peĺıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
13.11.Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
14.Proyectos globales 327
14.1. Proyecto 1. Diseño de partes de una camioneta de doble cabina328
14.2. Proyecto 2. Reductor de engranajes . . . . . . . . . . . . . . . 331
14.3. Proyecto 3. Taladro Taller U.de C. . . . . . . . . . . . . . . . 332
8 Gabriel Barrientos R.
CIUDAD DE CONCEPCIÓN
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
Caṕıtulo 1
Introducción
Este texto representa la materia asociada a la asignatura de Elementos
de Máquinas para las carreras de Ingenieŕıa Civil Mecánica y Aeroespacial
de la Facultad de Ingenieŕıa de la Universidad de Concepción.
Los distintos capitulos abordados en este texto han sido recopilados y
ordenados por el autor desde diferentes bibliograf́ıas indicadas en cada ca-
so, enriquecidas con una serie de ejemplos de aplicaciones industriales que
permiten que los estudiantes adquieran un sólido conocimiento y seguridad
en los distintos temas expuestos.
En todo diseño se debe tener ciertas consideraciones que de acuerdo a los
9
10 Gabriel Barrientos R.
diferentes autores de literatura en el tema pueden subdivedirse de múltiples
formas. Aśı por ejemplo, el Shigley [17] y [3] considera algunos aspectos
importantes en un diseño, tales como:
Resistencia
Confiabilidad
Propiedades térmicas
Corrosión
Desgaste
Fricción
procesamiento
Utilidad
costo
Seguridad
Peso
Duración
Ruido
Estilización
forma
Tamaño
Flexibilidad
Control
Rigidez
Acabado superficial
Lubricación
Mantenimiento
Gabriel Barrientos R. 11
Volumen
Responsabilidad legal
Cada uno de estos factores tendrá diferentes grados de importancia depen-
diendo del tipo de máquina y de las condiciones impuestas en ese diseño en
particular.
Se supone conocidas materias previas tales como: materiales, tratamien-
tos térmicos, estática, dinámica, mecánica de sólidos, todas materias neces-
raias para complementarse en la aplicación de temas puntuales de elementos
de máquinas y en la aplicación global de la etapa preliminar de diseño en
un proyecto multidisciplinario.
Consideraciones especiales deberán plantearse cuando los equipos rigen
su diseño por estándares y/o normas impuestas en las industrias en general.
Dichas normas incluyen especificaciones que por lo general entregan respues-
tas más sobredimensionadas que los cálculos teóricos clásicos y que algunas
empresas siempre exigen que se cumplan en su totalidad. Representa para
ellas un verdadero coeficiente de seguridad. Respecto al área mecánica se
pueden mencionar normas tales como:
America Gear Manufacturers Association (AGMA)
American Institute of Steel Construction (AISC)
America Iron and Steel Institute (AISI)
American Society of Mechanical Engineering (ASME)
American Welding Society (AWS)
Anti-Friction Bearing Manufacturers Association (AFBMA)
International Standart Organization (ISO)
Society of Automative Engineers (SAE)
Elemento básico en el diseño lo representa el análisis de esfuerzos a la fatiga.
La mayoŕıa de los elementos reales están sometidos a fatiga por lo que el
alumno debe tener una sólida base teórica al respecto. Un completo estudio
sobre métodos para análisis de fatiga se presenta en el libro de Elementos
de Máquinas de Shigley [3]. La figura 1.1 muestra un ejempo clásico de falla
asociada al fenómeno de fatiga [15], donde el origen de la falla se produce en
12 Gabriel Barrientos R.
Figura 1.1: Eje rotatorio que presentó falla por fatiga, con inicio de grieta
en chavetero del eje
el fondo del chavetero en el eje y luego se propaga hasta el extremo opuesto.
Otras materias como métodos numéricos, transferencia de calor, elemen-
tos finitos ayudan a la solución global de los problemas en la medida que
se tengan los conocimientos y experiencia suficiente para poder aplicarlas
criteriosamente y representen lo más fielmente el problema real modelado.
La primera parte del libro corresponde a todo elemento de máquinas
asociadoa la transmisión de potencia entre ejes. Es de suma importancia
manejar bien los conceptos relacionados entre la velocidad, la potencia, el
torque transmitido y las fuerzas asociadas. Por ejemplo es necesario conocer
claramente la relación entre potencia P , torque T y velocidad angular ω,
dado por:
P = Tω (1.1)
Aśı, sin considerar las pérdidas mecánicas se debe saber que para trans-
mitir una misma potencia P entre ejes, el torque T es inversamente pro-
porcional a la velocidad de giro ω. Aśı un acoplamiento en el sistema de
transmisión deberá ser ubicado en el eje de mayor velocidad, ya que en él el
torque es menor y por lo tanto se requiere uno de menores dimensiones.
El método de elementos finitos (FEM) requiere especial atención ya que
actualmente existen muchos softwares que facilitan al usuario el ingreso de
datos e información relevante en cada problema.
Gabriel Barrientos R. 13
La duda está siempre en que si no se tiene experiencia en el uso del
método, los resultados entregados por los distintos programas comerciales
pueden ser erróneos. Se deben manejar conceptos claros respecto a la forma
de aplicación de las cargas en el modelo, del modelo mismo creado muchas
veces con otros programas de dibujo que deberá ser mallado adecuadamente,
las restricciones del modelo, las simetr̀ıas bien aplicadas, etc.
La figura 1.2 muestra varios ejemplos aplicados a equipos que trabajan
con elementos de máquinas y que fueron modelados en éste Departamento.
1.1. Coeficientes de seguridad
Se habla de resistencia de un material cuando se refiere al valor numérico
de algún material para el cual se alcanza alguna condición de criticidad. Por
ejemplo hablamos de resistencia a la flexión, resistencia a la fatiga, etc. Es
común que la mayoŕıa de los autores se refiera a la resistencia de un material
con la letra S como śımbolo. El valor dado como resistencia de un material
siempre se refiere al mı́nimo valor encontrado experimentalmente.
Adicionalmente siempre existirá en el diseño un grado de incertidumbre
sobre los parámetros usados. Entre las incertezas mencionadas en la liter-
atura se pueden considerar a manera de ejemplo:
composición del material y sus efectos sobre sus caracteŕısticas de re-
sistencia
falta de homogeneidad que permite que existan zonas de menor re-
sistencia
efectos de procedimientos que afectan las superficies, tales como la
soldadura
aplicación de las cargas (intensidad, zona de aplicación, variabilidad
en el tiempo)
Concentradores reales de esfuerzos dif́ıciles de cuantificar
efectos de desgaste y corrosión.
Para evaluar la seguridad con que se realiza un cálculo de esfuerzos los
autores se refieren al término permisible o admisible (σperm). Por ejemplo
14 Gabriel Barrientos R.
Figura 1.2: (a) Modelo geométrico usado en la representación de un harnero
vibratorio, (b) malla de elementos finitos aplicada al modelo geométrico
del harnero mostrado en (a), (c) Fotograf́ıa de un sistema de reducción en
un sistema de transporte de cinta industrial, (d) Mallado del sistema motor-
reductor del sistema mostrado en (c) y (e) Mallado aplicado a un convertidor
usado en la mineŕıa del cobre
Cuadro 1.1: Factores de seguridad según norma AISC
tensión 0,45S0 ≤ σperm ≤ 0,60S0
corte τperm = 0,40Sy
flexión 0,60S0 ≤ σperm ≤ 0,75S0
aplastamiento σperm = 0,90S0
Gabriel Barrientos R. 15
AISC especifica la relación que debe cumplirse entre la resistencia mı́nima
S y el esfuerzo permisible σperm según lo indicado en la tabla siguiente:
donde S0 es la resistencia a la fluencia. Norton [15] clasifica en tres
categoŕıas las incertidumbres respecto a la seguridad en el diseño, designados
como factores F1, F2 y F3 asociados a problemas de material, condiciones
de operación y modelos de cargas respectivamente.
La tabla 1.2 entrega valores para dichos coeficientes.
Cuadro 1.2: Factores de seguridad propuestos por Norton [15]
Información Calidad de información Factor
F1
El material realmente
utilizado fue probado 1.3
Datos del material Datos representativos del material
disponible de pruebas disponible a partir de pruebas 2
Datos suficientemente representativos del
material disponible a partir de pruebas 3
Datos poco representativos del material
disponibles a partir de pruebas ≥ 5
F2
Idénticas a las condiciones de prueba del material 1.3
Condiciones del entorno Esencialmente en un entorno de ambiente de
en el cual se utilizará habitación 2
Entorno moderadamente agresivo 3
F3
Entorno extremadamente agresivo ≥ 5
Los modelos han sido probados contra experimentos 1.3
Modelos anaĺıticos para Los modelos representan al sistema con precisión 2
carga y esfuerzos Los modelos representan al sistema con precisión 3
Los modelos son una burda aproximación. ≥ 5
Para materiales dúctiles se trabaja con el mayor valor, es decir, se aplica:
Nductil ≡MAX(F1, F2, F3) (1.2)
Para materiales frágiles a menudo se utiliza el doble del valor dado para
materiales dúctiles, es decir:
Nfragil ≡ 2 ·MAX(F1, F2, F3) (1.3)
Respecto a las fuerzas presentes en cualquier problema dado, las normas
permiten considerar la mayoŕıa de los efectos reales en función de la siguiente
expresión:
16 Gabriel Barrientos R.
F =
∑
Wm +
∑
Wv +
∑
KFv + Fw +
∑
Fdiv
Donde F será la fuerza total usada en el procedimiento de cálculos de la
pieza.
∑
Wm es la suma de los pesos muertos (peso de estructura de acero,
peso materiales y partes soportantes),
∑
Wv es el peso de las cargas vivas
(peso de equipos, personal, nieve). La consideración de cargas de impacto
se realiza amplificando la carga viva Fv por el factor de servicio dado por la
tabla 1.1 Fw representa las cargas del viento generalmente normalizadas y
Cuadro 1.3: Factores de servicio
para soportes de elevadores 2
para vigas maestras de soporte y sus conexiones
para grúas viajeras operadas desde la cabina 1.25
para vigas maestras de soporte y sus conexiones
para grúas viajeras operadas desde el piso 1.1
para soportes de maquinaria ligera impulsada con
eje de transmisión o motor ≥ 1,2
para soportes de maquinaria de mocvimiento alternativo
o unidades de potencia de impulsión propia ≥ 1,5
para suspensiones de piso y plataformas 1.33
∑
Fdiv representan efectos de terremotos, huracanes o algún tipo de carga
de ese tipo.
La forma directa en que se relacionan el esfuerzo presente y la resitencia del
material se conocecon el nombre de coeficiente de seguridad, definido como:
Nd =
resistencia
esfuerzo
(1.4)
La ecuación 1.4 sólo es válida en los casos en que el esfuerzo es linealmente
proporcional a la carga. Casos en que ello no se cumpla, se debeŕıa utilizar
como seguridad estática el valor dado por la ecuación 1.5
Nd = Resistencia (fuerza)/carga aplicada (fuerza) (1.5)
Se acostumbra a diferenciar el factor de seguridad de diseño correspondi-
ente a la intención con que el diseño fue realizado y el factor de seguridad
efectivo que corresponde al factor de seguridad que realmente se obtuvo. Es
importante destacar que el uso del coeficiente de seguridad debe ser crite-
rioso y todos los valores recomendados en la literatura deberán en la práctica
Gabriel Barrientos R. 17
hacerse efectivos basados en la experiencia del diseñador y siempre estable-
ciendo las condiciones de costos involucrados. El mejor ejercicio es realizar
un diseño básico y estudiar la influencia del costo del producto variando el
coeficiente de seguridad.
Coeficientes de seguridad a la fatiga deben ser siempre mayores que los
estáticos y en muchos casos ya está considerado el efecto de cargas dinámi-
cas y/o choqes en el diseño en los valores entregados por la literatura.
Faires [10] entrega valores que se muestran en la Tabla de la figura 1.3
para que el diseñador tenga una gúıa respecto a los coeficientes de seguridad.
Inclusive hace la diferencia en la experiencia del diseñador, señalando con
un (*) cuando la recomendación es para un diseñador de poca experiencia.
Figura 1.3: Coeficientes deseguridad. [10]
1.2. Materiales
En todo diseño la selección de los materiales es de fundamental impor-
tancia, por lo que es necesario tener conocimientos básicos de materiales, me-
talurgia, tecnoloǵıas mecánicas, etc. Es necesario conocer el comportamiento
de los diferentes tipos de materiales frente a la acción de agentes externos
tales como: temperatura, oxidación, etc. y también de su correspondiente
composición qúımica, estructura interna, etc.
18 Gabriel Barrientos R.
Una posible caracterización simple de los materiales puede ser presentada
como en la referencia [5]:
1. Desde un punto de vista intŕınseco
a) composición qúımica
b) su estructura (cristalina, micrográfica y macrográfica)
c) temperatura a la que tiene lugar el proceso, tales como: fusión,
solidificación y las transformaciones alotrópicas.
d) su constitución en el caso de metales: martenśıtica, austeńıtica,
etc.
2. Desde el punto de vista extŕınseco
a) propiedades f́ısicas
1) primarias
extensión
impenetrabilidad
masa-peso
2) térmicas
conductividad calórica
capacidad caloŕıfica
dilatabilidad
fusibilidad. Calor latente
3) eléctricas
conductividad eléctrica
emisión termoiónica (efecto Edison)
termoelectricidad (efecto de Thomson)
4) magnéticas
diamagnetismo
paramagnetismo
ferromagnetismo
b) propiedades qúımicas
oxidación
corrosión
otro tipo de ataque qúımico
Gabriel Barrientos R. 19
c) propiedades mecánicas
1) cohesión o resistencia a la separación
2) elasticidad
3) ductilidad
4) tenacidad (capacidad de almacenar enerǵıa)
5) fluencia
6) fatiga
Una vez seleccionado el material, sus caracteŕısticas pueden ser modifi-
cadas y/o alteradas con algunos tratamientos de tipo térmico, qúımico y/o
mecánico. Un resumen de ello se presenta en la siguiente clasificación:
1. Tratamientos térmicos
Temple.
Recocido.
Revenido.
2. Tratamientos termoqúımicos
Cementación
Nitruración
Cianuración
Carbonitruración
sulfunización
3. Tratamientos mecánicos
En caliente: Forja y estampado
En fŕıo: Deformación profunda y superficial
4. tratamientos superficiales
Cromado duro. Colocar sobre el acero electroĺıticamente una capa
de cromo dándole una gran resistencia al desgaste
Metalización. Proyectar metal fundido sobre la superficie de un
metal soporte
La Tabla de la figura 1.4 muestra la relación que se encuentra entre las
distintas escalas de dureza y las resistencias de algunos aceros comerciales.
Representa un primer intento en caracterizar el tipo de acero, ya que la
dureza se puede medir fácilmente sin necesidad de sacar muestras del mate-
rial. Es un ensayo no destructivo.
20 Gabriel Barrientos R.
Figura 1.4: Relación entre las durezas superficiales y las resistencias de los
distintos materiales
1.3. Fatiga
Cada vez son más las partes de piezas que deben ser diseñadas usando el
criterio de fatiga. Los esfuerzos variables están casi siempre presente en las
máquinas. Ya en el año 1852 el ingeniero alemán Wholer afirmaba: El hierro
y el acero pueden romperse bajo un esfuerzo inferior, no sólo al esfuerzo
de ruptura estático, sino también inferior al ĺımite elástico, siempre que el
esfuerzo se repita un número suficiente de veces. El fenómeno de ruptura
bajo cargas variables se denomina Falla por Fatiga.
Las teoŕıas de fatiga clásicas aparecen en toda literatura asociada al
diseño de elementos de máquinas. Ocuparemos las pricipales teoŕıas pero
debemos contar con material adicional como son las tablas de coeficientes
de concentración de esfuerzos. Los principales casos que se usan en la prácti-
ca se muestran en la figura 1.7.
Se acepta comúnmente que la falla por fatiga comienza con la formación
de una pequeña grieta o fractura que se inicia en un punto (foco), donde
existe un alto valor del esfuerzo (concentrador de esfuerzos). Una vez inici-
ada la fractura, ésta se propaga hasta que la sección resistente de la pieza
disminuye a tal grado, que acontece la ruptura.
La superficie de la pieza fracturada por fatiga, normalmente presenta
Gabriel Barrientos R. 21
Figura 1.5: Clasificación general de aceros y sus aleaciones según sistema
AISI
22 Gabriel Barrientos R.
Figura 1.6: Usos de aceros según clasificación AISI
una forma caracteŕıstica, con dos zonas claramente definidas: una zona lisa
que corresponde a la zona de propagación de la fisura y una zona granulada
que corresponde a la fractura final.
La figura 1.8 corresponde a t́ıpicos esfuerzos variables que se asemejan a
cargas reales en los elementos.
1.3.1. Parámetros que influyen en la ruptura a la fatiga
Forma en que se aplican los esfuerzos
Frecuencia: En general se observa poca variación del ĺımite de resisten-
cia a la fatiga con la variación de la frecuencia de la carga.(2 %)
Forma de aplicación de los esfuerzos: Se ha comprobado que la historia
de la carga de la pieza tiene gran importancia en la falla por fatiga.
Tensiones internas o residuales: La distribución de esfuerzos residuales
se suma a la distribución de esfuerzos causada por las solicitaciones
externas. En general se puede decir que los esfuerzos residuales de
tracción disminuyen la resistencia a la fatiga de un elemento, en cam-
Gabriel Barrientos R. 23
Figura 1.7: Criterios de diseño clásicos
bio los esfuerzos residuales por compresión contribuyen a aumentar la
duración de la pieza
Dimensiones y estado superficial de las piezas
Dimensiones: Se ha comprobado que las propiedades de resistencia
mecánica de una pieza, disminuyen a medida que aumenta el tamaño
de la misma. Este mismo fenómeno ocurre con la resistencia a la fatiga.
Entallas y concentradores de esfuerzos: estas singularidades o discon-
tinuidades producen aumentos localizados de los esfuerzos, lo que es
equivalente a una disminución de las propiedades mecánicas de la pieza
en esos puntos.
Terminación superficial: Las irregularidades en la terminación super-
ficial de una pieza, actúan produciendo el efecto de concentradores de
esfuerzo.
Temperatura: La temperatura tiene un efecto notable en la resisten-
cia a la fatiga. Piezas sometidas a esfuerzos ćıclicos a temperaturas
mayores que las ambientales tienen una menor duración.
Resistencia a la fatiga y curva S-N
La resistencia a la fatiga intŕınseca se obtiene en laboratorio bajo las
siguientes condiciones:
24 Gabriel Barrientos R.
Figura 1.8: Modelos de cargas variables
Ensayo de flexión rotativa
Superficie pulida a espejo
Probeta de sección circular de 0,3in de diámetro
Sin presencia de esfuerzos residuales ni concentradores de esfuerzo.
Los niveles de esfuerzos y respectivos ciclos de duración se grafican en un
diagrama bilogaŕıtmico, conocido con el nombre de curva S-N o diagrama
de Whöler (ver figura 1.9):
Se ha demostrado experimentalmente que los materiales ferrosos pueden
resistir un número infinito de ciclos si los esfuerzos están bajo un cierto valor
ĺımite de carga. Para un esfuerzo completamente invertido, este valor ĺımite
recibe el nombre de ĺımite de resistencia a la fatiga (ĺımite de endurancia).
Haciendo ensayos de fatiga a la flexión para diferentes aceros, se obtuvo
una relación emṕırica entre el valor de la resistencia a la ruptura Sr y el
valor ĺımite de resistencia a la fatiga (Sn).
Sn = 0,5Sr (1.6)
Gabriel Barrientos R. 25
Figura 1.9: T́ıpico gráfico de Whöler para la resistencia a la fatiga de un
acero: UNSG41300, Sut = 116kpsi máximo
En el caso de metales como el aluminio y otras aleaciones no ferrosas,
no existe un ĺımite de resistencia a la fatiga definido. Por este motivo, este
valor se define para un número de ciclos determinado. Para el Aluminio se
considera para N = 5x108 ciclos.
Para el acero este valor se considera para N = 106 ciclos. Dicho valor se
modifica en función de los efectos de carga, tamaño y terminación superficial
principalmente. De esta forma, la resistencia a la fatiga de una pieza de acero
cualquiera, para N = 106 ciclos , estádada por:
Sf = CcCtCsSn/Kf (1.7)
La figura 1.10 muestra por ejemplo valores para el coeficiente de super-
ficie Cs para distintas calidades en función de la resistencia a la ruptura del
acero. Valores para los distintos coeficientes Ci se encuentran en los libros
de resistencia de los materiales y/o Mecánica de Sólidos
26 Gabriel Barrientos R.
Figura 1.10: Coeficiente de superficie
1.3.2. Esfuerzos de contacto
La teoŕıa de contactos que permite evaluar los esfuerzos entre las su-
perficies bajo carga se denomina Teoŕıa de Hertz. El diseño de elementos
como los rodamientos y los engranajes generan fuerzas de contacto que esta
teoŕıa es capaz de predecir. La Tabla mostrada en la figura 1.11 [19] permite
determinar los esfuerzos de contacto en cada caso. La nomenclatura usada
es la siguiente:
Gabriel Barrientos R. 27
P0 máximo esfuerzo de compresión
a semi ancho de la zona de contacto
P carga total sobre la esfera
P1 carga por pulgada axial sobre el cilindro
ν = 0, 3 coeficiente de roce considerado en todos los casos
R Radio de la esfera o cilindro sobre el plano
R1, R2 Radios de ambos cilindros o esferas respectivamente
E1, E2 módulo de elasticidad de cada cilindro o esfera respectivamente
Figura 1.11: Cálculo de esfuerzos de contacto. Teoŕıa de Hertz
28 Gabriel Barrientos R.
Figura 1.12: Manipulación de hélice de barco de gran tamaño usando grúa
y dispositivos especiales
Caṕıtulo 2
Uniones por chavetas
2.1. Clasificación
Las uniones que han adquirido más amplia difusión debido a la sencillez y
seguridad de construcción, comodidad de montaje y desmontaje del conjun-
to, bajo costo, etc, son las uniones por chavetas. Las chavetas son elementos
mecánicos que permiten transmitir potencia entre ejes. Existen diferentes
formas, entre las que se pueden destacar:
De cuña:
29
30 Gabriel Barrientos R.
Chaveta cónica
Sin cabeza
Embutida
Plana sin cabeza
Media cuña sin cabeza
Media cuña con cabeza
Plana con cabeza
Media caña sin cabeza
Tangencial
Prismáticas o lenguetas:
De ajuste, extremos redondos
De ajuste, extremos rectos
Deslizantes extremos redondos
Deslizante, extremos rectos
Lenticulares o de disco
La figura 2.1 [7] muestra un esquema de clasificación general de chavetas
usadas en la insdustria. Por razones discutidas más adelante, las chavetas
de tipo cuña (con caras de apoyo inclinadas) ya están siendo desechadas y
en los textos actuales se ha eliminado su cálculo.
La forma de construcción de las chavetas planas del tipo lengüetas se
muestra en la figura 2.2. Cada caso trae consigo distintos concentradores de
esfuerzos sobre el eje, que en el diseño deberán considerarse adecuadamente.
La literatura especializada en general entrega valores de concentradores
de esfuerzos sobre el eje tales como los que se muestran en las figuras 2.3 y
2.4.
Algunas veces los elementos giratorios (engranajes, poleas, etc.) están
integrados a los ejes, pero con más frecuencia, dichas partes se fabrican por
separado y se montan en el eje con posterioridad. La parte del elemento
Gabriel Barrientos R. 31
Figura 2.1: Clasificación general de chavetas [7]
32 Gabriel Barrientos R.
Figura 2.2: Formas constructivas de un chavetero con fresas. Coeficientes de
concentración de esfuerzos [20]
Figura 2.3: Concentrador esfuerzos en chavetero [15]
Gabriel Barrientos R. 33
Figura 2.4: Concentrador esfuerzos en chavetero [1]
que está en contacto con el árbol se denomina cubo. De acuerdo con el
carácter del enlace las uniones árbol-cubo pueden clasificarse en dos grupos
fundamentales:
Uniones por rozamiento
Uniones por forma
Figura 2.5: Chavetas comunes. a) lenticular, b) de ajuste embutida, c)
deslizante [24]
A las uniones por rozamiento pertenecen las uniones encajadas a presión,
las uniones mediante cubos partidos y las uniones mediante cuñas.
Existen varios tipos de chavetas, para diferentes necesidades de diseño.
El tipo de chaveta a utilizar dependerá de la magnitud del par a transmitir,
34 Gabriel Barrientos R.
del tipo de carga (estable o variable), ajuste requerido, esfuerzo limitante en
el árbol, (debido al efecto de entalla) y costo. Algunos tipos más comunes
de chavetas se muestran en la Figura 2.5.
Figura 2.6: Otros tipos de chavetas existentes deniminadas por cierre de
forma. a) cónica, b) lenticular, c) embutida, d) de cuña, e) tangencial
Algunos otros tipos de forma de chavetas se muestran en la figura 2.6.
Actualmente en la maquinaria moderna (giran a mayores velocidades) ya no
se usan las chavetas denominadas de cuña, ya que al ser montadas ejercien-
do una fuerza axial, tienden a desplazar el centro geométrico respecto del
centro de giro del eje, lo que se refleja en una mayor vibración por desbal-
anceamiento.
En la literatura moderna, solo aparecen la forma de cálculo de las lengüe-
tas, chavetas lenticulares y chavetas tangenciales. El resto ya se ha discon-
tinuado por las razones dadas.
Las dimensiones transversales (ancho y alto) de una chaveta se encuen-
tran normalizadas según DIN (Normas Alemanas), ASA, SAE (Americanas),
y están predeterminadas según el diámetro del eje donde irá montado. La
figura 2.7 entrega un ejemplo de valores del chavetero para lengüetas según
las normas DIN.
Las desventajas más notorias de las chavetas se pueden resumir como:
1. Reducción de la capacidad para transmitir potencia debido a las ra-
nuras, rebajes o agujeros necesarios para el alojamiento y sujeción de
las chavetas y que a su vez implican elevadas concentraciones de es-
fuerzos sobre el eje y cubo.
2. Dificultad de un ajuste concéntrico de las piezas, especialmente en
presencia de altas velocidades de rotación
3. Imposibilidad de transmitir torques elevados
Gabriel Barrientos R. 35
Figura 2.7: Dimensiones normalizadas según DIN para chavetas lenticulares
(lengüetas) [11]
36 Gabriel Barrientos R.
De acuerdo a los esfuerzos producidos y al montaje de la chaveta se
pueden clasificar en 4 grupos:
1. Chavetas prismáticas (legüetas): El torque transmitido produce un
esfuerzo de aplastamiento y otro de corte (ver figura 2.5b, c)
2. Chavetas tangenciales: el torque produce solamente un esfuerzo de
aplastamiento. El corte producido es despreciable (ver figura 2.6e)
3. Chavetas de cuña: (ya de poco uso) el torque es transmitido por fuerzas
de fricción producida por una compresión superior e inferior de la
chaveta (ver figura 2.6c, d)
4. Chavetas cónicas: puede ser de secciones rectangulares o circulares.
El torque se transmite gracias a la acción simultánea de fuerza de
compresión, corte y fricción (ver figura 2.6a)
2.2. Cálculo uniones no forzadas
2.2.1. Lengüetas
Durante el proceso de transmisión de carga, las caras laterales de la
chaveta son las únicas que trabajan. Las figuras 2.8 y 2.9 muestran el modelo
de fuerzas presentes en la lengüeta lo que se traduce en posibilidad de falla
de aplastamiento y de corte directo:
Figura 2.8: Tipos de cargas que actúan en las chavetas tipo lengüetas [14]
Gabriel Barrientos R. 37
Figura 2.9: Equilibrio de las fuerzas que actúan en las chavetas tipo lengüetas
[20]
Aplastamiento de las superficies laterales
Para que los flancos resistan al aplastamiento, se debe cumplir la condi-
ción de diseño:
σaplast =
F
A
=
F
h
2L
≤ σadm.aplast =
Saplast
N
(2.1)
con L: longitud de la chaveta y N el coeficiente de seguridad utilizado
según recomendaciones. Si se admite que la fuerza actúa en d/2 , se tiene la
relación en función del torque a transmitir:
T =
d
2
F (2.2)
Corte en la sección longitudinal
La resistencia al corte de la chaveta se rige por la condición de diseño:
τ =
F
bL
≤ τadm =
S0s
N
(2.3)
con b el ancho de la chaveta, S0s la resistencia al corte del material de
la chaveta y N el coeficiente de seguridad recomendado para el corte.
38 Gabriel Barrientos R.
Figura 2.10: Chaveta tangencial [11]
2.2.2. Chavetas tangenciales
Esta configuración es usada cuando es necesario transmitirtorques muy
altos e incluso golpes, ya que poseen la ventaja, frente a las comunes, de
poseer una mayor resistencia al esfuerzo de corte ya que éste actúa en el
plano diagonal de la chaveta. Consta de dos cuñas de un sólo bisel de sec-
ción rectangular. La transmisión del torque implica considerables presiones
normales sobre las caras angostas. En USA también se les llama chaveta
LEWIS.
Si tiene sección cuadrada se le denomina chaveta KENNEDY. y se les ubica
a 90o respectivamente. En el caso general se ubican a 120o y se diseñan sólo
al aplastamiento.
2.2.3. Selección de una chaveta
No existe una receta para su selección. Sólo deberá tenerse presente la
magnitud de los elemento a unir y el tipo de carga que se transmite. Respecto
a la carga se puede agregar:
(a) las chavetas planas y de media caña no son apropiadas para trasmitir
torques altos ni mucho menos variables (dinámicos),
(b) En caso de cargas elevadas y variables se recomienda el uso de chave-
tas de cuña embutidas, siempre y cuando las cargas adicionales producidas
en el cubo no produzcan deformaciones elásticas de importancia,
(c) Para absorber golpes y torques elevados son apropiadas las chavetas
tangenciales, debido a que el esfuerzo de corte actúa sobre la diagonal de la
sección rectangular de la chaveta,
(d) Las chavetas prismáticas o lengüetas no son apropiadas para la fi-
Gabriel Barrientos R. 39
jación de elementos de máquinas o para la absorción de momentos de giro
alternativos. Se usan en caso de que el cubo quiera desplazarse a lo largo
del eje sobre una gúıa o bien cuando éste puede ser mantenido fijo en su
posición por algún elemento adicional (tuerca, anillo separador, resalte en
el eje).
La figura 2.11 entrega una gúıa del campo de aplicación de los diferentes
tipos de chavetas de cuña en poleas, ya sean estas partidas o no.
Figura 2.11: Aplicaciones de chavetas clásicas [11]
2.3. Aplicaciones
1. Para la chaveta de la figura 2.12, construida con perfiles en L, SAE1020
(espesor e = 8 mm) y soldada según lo indicado (electrodo E90xx),
determine el largo mı́nimo de la chaveta para transmitir el torque con-
stante T indicado. El diámetro del eje es d = 460mm.
2. En cada uno de los tres casos hipotéticos de transmisión de potencia
por chavetas (ver figura 2.13), la chaveta es de a × a y de espesor
t y el eje de diámetro d. Cuál de los tres casos recomendaria usar
basándose exclusivamente en la resistencia. Suponga que el torque T
vaŕıa ćıclicamente entre +T y -T . Use para cualquiera de los casos los
siguientes datos: Esfuerzo de fluencia = σ0. Esfuerzo de aplastamiento
=σ0/3, Esfuerzo de ruptura = 2σ0. Esfuerzo de fatiga = σ0/4. Esfuerzo
de corte de fluencia = σ0/2
3. La figura 2.14 representa un digestor donde en el interior se mueve la
pulpa que posteriormente se transformará en celulosa. Consta de un
40 Gabriel Barrientos R.
Figura 2.12: Chaveta a evaluar
Figura 2.13: Tres casos de formas extrañas de chavetas
motor de 70kW de potencia que trasmite el movimiento a las aspas del
digestor (raspador), ubicadas en el extremo superior del eje que gira
a 4rpm, pasando por la caja de engranajes (reductor). En el extremo
superior del eje va montado el cubo desde el cual salen las aspas o
raspadores del digestor. Sabiendo que el eje en el extremo donde se
monta el cubo tiene un diámetro de 277,5mm y una longitud máxima
(dirección axial) disponible de 630mm. Diseñe la unión entre cubo y
eje considerando las siguientes opciones:
a) Unión por chaveta prismática o lengüeta, con dimensiones transver-
sales de la chaveta de 63 (ancho) x32 (alto). (h = 19mm) Considere
que el esfuerzo de flexión en la zona más cŕıtica de la chaveta es numéri-
camente un 10 % del esfuerzo de torsión.
b) Unión por interferencia.
c) Unión por eje estriado. Considere un máximo de 32dientes. El
diámetro exterior debe ser de 277,5 y el diámetro de raiz de 241,5mm.
¿Cuál de las tres opciones recomendaŕıa?
Propiedades de los materiales:
Gabriel Barrientos R. 41
(i) Chaveta: (Basado en ensayo de dureza) σ0 = 240MPa. ; esfuerzo
de fluencia σr = 480MPa. ; esfuerzo de ruptura
(ii) Eje : (Basado en datos del fabricante) σ0 = 498MPa ; esfuerzo de
fluencia σr = 724MPa ; esfuerzo de ruptura
(iii) Cubo: (deben seleccionarse). Dimensiones necesarias deben ser
estimadas.
Figura 2.14: Digestor usado en la fabricación de celulosa
4. Su jefe en la empresa que usted trabaja le ofrece la opción de montar el
cubo en el eje según lo indicado en la figura 2.15. La chaveta se puede
confeccionar de perfiles en L disponibles, tal que en todos la distancia
a es la misma. Sólo se dispone de distintos espesores t. Si su jefe le
pide que verifique si ese tipo de chaveta resiste la carga transmitida,
(a) ¿cuál seŕıa el espesor necesario t del perfil utilizado si usted conoce
el ancho del cubo que está montado?. Suponga que conoce todos las
caracteŕısticas mecánicas del material de los perfiles
(b) ¿Cuál seŕıa el espesor mı́nimo de la soldadura?. Suponga que tam-
bién conoce todos las caracteŕısticas mecánicas del electrodo usado.
42 Gabriel Barrientos R.
(c) ¿le propondŕıa otra solución con los mismos perfiles disponibles?.
Justifique su respuesta.
Figura 2.15: Chaveta construida en base a perfiles en L soldados
5. La figura 2.16 representa un engranaje helicoidal montado sobre uno
de los extremos de un eje de diámetro d1. Se tiene dos posibilidades de
chaveta (o pasador) para transmitir el torque. Una de sección circular
de diámetro d y otra de sección cuadrada con la misma área de la
circular. El engranaje transmite la fuerza tangencial Ft = 3F , radial
Fr = 2F y axial Fa = F . El diámetro primitivo del engranaje es do.
Determine cual de las dos chavetas del mismo material usaŕıa (sólo
uno de ellos debe considerarse en cada cálculo). La longitud de las
chavetas es la misma. Considere conocidos los esfuerzos de fluencia, de
ruptura y de fatiga del material de la chaveta
6. Conocida la chaveta (sección uniforme) y para una misma longitud
L=10a y las dimensiones transversales indicadas en la figura 2.17, de-
termine cual de los 2 casos recomendaŕıa para ser usado al transmitir
el mismo torque estático T. Justifique su respuesta. En ambos casos,
los materiales del eje, chaveta y cubo se mantienen.
7. El jefe en la empresa en que usted trabaja le pide su opinión funda-
mentada respecto a cual de las cuatro opciones mostradas en la figura
2.18 es la mejor opción para transmitir el torque T . Las chavetas deben
ser del mismo material todas con un espesor t. El diámetro del eje es
d
Gabriel Barrientos R. 43
Figura 2.16: Chavetas en posición transversal
Figura 2.17: Figura ejemplo 6
Figura 2.18: Cuatro tipos diferentes propuestos como chaveta
44 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 3
Uniones por ejes estriados
En muchos casos la potencia a transmitir desde un árbol a algún elemen-
to mecánico es tan alta que hace imposible el uso de chavetas corrientes. Ello
trajo consigo la creación de los denominados acoplamientos estrella o estri-
ados. Consisten en varios salientes construidos sobre el mismo eje los cuales
deberán calzar en canales hechas en el cubo del elemento a montar. Este tipo
de unión además permite movimiento axial relativo entre cubo y eje sin que
por ello se pierda la capacidad de transmitir la potencia. Es ampliamente
usado en la industria automotriz (cajas de cambio, sistema de transmisión
delantera, etc.), en máquinas herramientas, etc.
45
46 Gabriel Barrientos R.
3.1. Clasificación
Se pueden clasificar según:
1. Móviles: cuando la pieza montada sobre el eje tiene un movimiento
axial relativo,
2. Fijas: cuando este elemento debe ser solidario al eje. En este caso la
parte estriada puede ser cónica, lo cual hace que la unión sea más
compacta y soporte mejor las cargas variables.
De acuerdo al perfil del diente (figura 3.1) se pueden dividir en:
dientes de lado recto,
dientes de evolvente,
dientes triangulares.Figura 3.1: Tipos de formas del perfil para ejes estriados
Las uniones de dientes evolventes poseen algunas ventajas con respecto
a las de flancos rectos:
(a) mayor capacidad de carga, debido a que el diente se va engrosando
gradualmente y no posee en la base una transición brusca, disminuyéndose
de esta forma la concentración de tensiones en dicha zona,
(b) gracias a la alta tecnoloǵıa, es posible una gran exactitud en sus
dimensiones, parecidas a la de una rueda dentada o engranaje,
(c) posibilidad de un mejor centrado entre las piezas.
Las uniones con dientes triangulares, se emplean para transmitir torques
pequeños, reemplazando con frecuencia a las uniones forzadas.
Debido a que existen problemas para obtener un centrado perfecto entre
eje estriado y cubo, ellos se pueden centrar según (figura 3.2):
1. diámetro exterior,
2. diámetro interior,
Gabriel Barrientos R. 47
Figura 3.2: Formas de centrado
3. por los flancos de los dientes.
El empleo de una u otra forma depende de la exactitud que se requiera
y según el régimen de carga existente. Aśı se tiene que para altas cargas y
baja exactitud de centrado se emplea aquel realizado por los flancos de los
dientes.
Para una alta exactitud de centrado, ésta se puede realizar ya sea por el
diámetro exterior o interior, siendo el primero el usado preferentemente en
casos en que la superficie del cubo y eje no se traten térmicamente o si su
dureza permite el calibrado con escariador o brochadora. En caso contrario
se emplea el diámetro interior. Las tolerancias para el centrado por diámetro
interior y de flancos está dada por normas.
3.2. Cálculo
Analizando las fallas encontradas en los ejes estriados, se ha visto que
ella es muy sensible al ensamble geométrico entre eje y cubo. Las principales
opciones de falla corresponden a aplastamiento y corte directo. Literatura
antigua muestra fórmulas teorico emṕıricas que evalúan el aplastamiento y
el corte de forma con las fórmulas tradicionales de resistencia de materiales,
pero otros autores entregan formulaciones que mezclan en cierta forma am-
bos tipos de fallas. Por el ejemplo el Norton habla directamente de corte,
pero no en la base del diente sino en una zona intermedia (diámetro de paso
dp).
De acuerdo a lo estimado por Norton [15], no existe método de fabri-
cación lo suficientemente exacto que permita asegurar que todos los dientes
del eje estriado (estŕıas) absorban carga en forma pareja. Cualquiera sea la
metodoloǵıa usada, de alguna forma pondera el número de dientes que en-
tra realmente en contacto. Este libro asegura que un diseño adecuado debe
considerar que sólo una cuarta parte de los dientes absorbe la carga trans-
mitida, es decir, el 25 % de los dientes se debe considerar en la fórmula de
diseño por resistencia al corte.
48 Gabriel Barrientos R.
Además el esfuerzo cortante se estima sucede en una zona intermedia
(diámetro de paso) dp de manera que el área resistente estará dada por la
relación:
Acorte =
πdpl
2
donde l la longitud axial de la zona estriada.
Con ambas consideraciones el esfuerzo de corte estará dado por la relación:
τ =
F
Acorte
4
=
16T
πd2pl
(3.1)
En donde T es el máximo torque a transmitir.
Si existe la posibilidad que el eje donde esté fabricado el eje estriado
sufra efectos de flexión, deberá diseñarse la unión en base a la teoŕıa de
fallas con esfuerzos combinados de corte y tracción por flexión en el punto
más desfavorable.
3.3. Consideraciones de diseño
Los valores de la resistencia admisible al aplastamiento es dificil de encon-
trar en la literatura. Quienes consideren este efecto en el cálculo debeŕıan
usar valores como los que están dados en la figura 3.3, según el tipo de
tratamiento superficial de la zona estriada, materiales en contacto y condi-
ciones de funcionamiento.
Las dimensiones fundamentales de los ejes estriados están normalizadas
según DIN, por ejemplo para dientes rectos usados en automóviles, las di-
mensiones se muestran en la figura 3.5. La fabricación de los ejes estriados se
realiza en máquinas de fresar por el procedimiento de rodadura y los cubos
ranurados en máquinas brochadoras.
Gabriel Barrientos R. 49
Figura 3.3: Resistencia admisibles al aplastamiento para materiales usados
en ejes estriados
50 Gabriel Barrientos R.
Figura 3.4: Dimensiones normalizadas según DIN para ejes estriados [24]
Gabriel Barrientos R. 51
Figura 3.5: Eje estriado completamente acotado con sus especificaciones
técnicas para su construcción [7]
52 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 4
Uniones por pasadores
4.1. Clasificación
Los pasadores son elementos mecánicos comunes usados para unir o ali-
near dos piezas. Pueden ser utilizados como:
1. Elemento de ajuste. En este caso el pasador tiene la función de fijar
exactamente la posición relativa de dos partes a unir. Según sea el caso
puede estar sometido a esfuerzos elevados o no, tal como se aprecia en
la figura 4.1. En ninguno de los dos casos actúa como un elemento de
unión sino como dispositivo de ajuste o montaje.
2. Elemento de unir. Permite transmitir una cierta fuerza o un torque
según sea el caso. Están sometidos a esfuerzos considerables, los cuales
son en la mayoŕıa de las veces esfuerzos de corte y de flexión. Pueden
usarse en uniones fijas o móviles o articuladas (ver figura 4.2).
3. Elementos de seguridad. Tiene por objeto evitar que se transmitan
sobrecargas a las máquinas mediante su rotura por esfuerzo excesivo.
53
54 Gabriel Barrientos R.
Figura 4.1: Pasador como elemento de ajuste (a) sin carga, (b) cargado
Figura 4.2: Pasadores como elementos de unión
Para ello se dimensionan de modo que se rompan al alcanzar el máxi-
mo esfuerzo fijado antes que cualquiera otra pieza más delicada de la
máquina.
4.2. Tipos de pasadores
Aun cuando existe una gran variedad de pasadores normalizados, la figu-
ra 4.3 muestra algunos de los casos más usados, según nomenclatura de
normas DIN. Se pueden clasificar de diversas maneras. Una forma seŕıa:
1. Cónicos: se utilizan en aquellos casos donde deben ser removidos con-
stantemente. Normalmente se emplea para uniones fijas (ver figura
4.4).
2. ciĺındricos: se emplean como elemento de unión y de ajuste, en donde
el agujero debe ir perfectamente rectificado. No deben ser removidos
constantemente.
3. cónicos partidos: posee la ventaja de poseer en su extremo dos aletas,
las cuales al doblarse hacia fuera permite que el pasador no se salga
de su posición original
Gabriel Barrientos R. 55
4. cónicos con un extremo roscado: el hilo en uno de sus extremos permite
usar tuerca que facilita su extracción .
5. pasadores partidos hendidos: poseen a lo largo de su superficie externa,
tres o cuatro ranuras en el caso de pasadores sólidos, o bien una ranura
longitudinal en el caso que sean ciĺındricos huecos. Por ello poseen
cierta elasticidad y una vez montados se expanden contra las paredes
del agujero quedando fijo en él. El agujero no requiere mayor tolerancia
que la dejada por la broca. Se pueden montar y desmontar sin mayores
deterioros.
Figura 4.3: Tipos de pasadores según nomenclatura DIN
4.3. Cálculo
Un sistema de unión por pasador involucra todos los elementos que la
componen. Por ejemplo en el caso especial mostrado en la figura 4.2c, el
diseñador o calculista debe preocuparse por los tres elementos: horquilla,
vástago y pasador.
La figura 4.5 muestra algunos tipos de bulones usados en la práctica
de acuerdo a normas DIN. La figura 4.6 muestra algunas aplicaciones y
algunos tipos de fijación en sus extremos. Los bulones son pasadores que se
mantienen fijos a los elementos de unión por medio de elementos externos,
permitiendo que tengan movimiento relativo de rotación respecto a los demás
elementos (horquilla y vástago).
Al final la decisión de con cual modelo de carga sobre el pasador se
debe utilizar también deberá considerar la condición más desfavorable. El
56 Gabriel Barrientos R.Figura 4.4: Tipos de pasadores cónicos y su forma de fijación según nomen-
clatura DIN
Figura 4.5: Bulones según nomenclatura DIN
Gabriel Barrientos R. 57
Figura 4.6: Ejemplos de uniones con bulones
ingeniero al decidirse por alguno de los modelos de carga estará sobredi-
mensionando o subdimensionando el cálculo y ello deberá ser evaluado ade-
cuadamente.
La figura 4.7 muestra la forma de carga simulada por ejemplo sobre
el pasador. La figura muestra la distribución de cargas sobre el pasador
suponiendo tres casos diferentes.
Será misión del ingeniero decidirse por alguna de ellas (u otra) de acuerdo
a su experiencia en la que necesariamente debe influir la forma de montaje
(juego entre pasador y apoyos). Las tres formas propuestas en la figura po-
dŕıan acercarse a la realidad. También las tres formas podŕıan ser diferentes
a lo que en la realidad está sucediendo en ese pasador.
Cualquiera sea el modelo a usar en este caso, el sistema queda expuesto
a fallas del tipo:
corte: horquilla, vástago y pasador
flexión: pasador
tracción: horquilla, vástago
58 Gabriel Barrientos R.
Figura 4.7: Pasador expuesto a flexión. Tres posibles modelos de carga equiv-
alente
Gabriel Barrientos R. 59
aplastamiento: horquilla, vástago, pasador
La figura 4.8 muestra algunos ejemplos de esfuerzos producidos en la
horquilla y/o vástago. En cada caso el esfuerzo representa la relación de
fuerza dividido por el área resistente a esa falla. El único cuidado es en
el cálculo de la condición de aplastamiento, que en estos caso por tratarse
de una superficie de apoyo curva (vástago-pasador o horquilla-pasador) se
trabaja con el área resistente proyectada. Por ejemplo si calculamos el aplas-
tamiento en el vástago (ver figura 4.8), el esfuerzo será σaplast =
F
dl
Figura 4.8: Posibilidad de falla en horquilla y/o vástago
El cálculo de flexión sobre el pasador deberá usar la fórmula σ = M(d/2)I
siendo M el momento en la sección dependiente del modelo de carga usado,
d/2 la fibra del pasador en su diámetro exterior e I = πd4/64 el momento
de inercia a la flexión del pasador de diámetro d.
4.4. Recomendaciones
En función de las dimensiones indicadas en la figura 4.8, para este tipo
de unión se recomienda usar:
l/d ≈ 1,5 a 1,7
l/b ≈ 2 a 3,5
Dc/d ≈ 2,5; acero sobre acero
Dc/d ≈ 3,5; acero sobre fundición
Ajustes: dK7/h6 ; d
F7/h6
1
60 Gabriel Barrientos R.
4.5. Algunas aplicaciones prácticas
La figura 4.9 y 4.10 muestra algunas aplicaciones prácticas en el uso de
pasadores en mecanismos y máquinas:
Figura 4.9: Usos de pasadores elásticos de fácil montaje [11] ... (continúa)..
4.6. Aplicaciones
1. Para los pasadores mostrados en la figura 4.11 establezca un procedi-
miento de cálculo del diámetro necesario en función de la fuerza P y/o
el momento Mt para los tres casos:
2. Para el pasador de la figura 4.12 determine el torque dinámico T , tal
que su magnitud vaŕıa entre +T y −0, 5T . Considere que sólo se debe
calcular pensando en la falla por corte directo.
d = 16mm ; diámetro pasador
σ0 = 250MPa ; fluencia
σr = 480MPa ; ruptura
σfat = σnCtCsCc = 80MPa ; fatiga
N = 2,2 ; Coef. Seguridad
3. El sistema de la figura se denomina junta de cardán y permite trans-
mitir potencia entre ejes cuyas direcciones axiales están inclinadas un
Gabriel Barrientos R. 61
Figura 4.10: Usos de pasadores elásticos de fácil montaje [11]
62 Gabriel Barrientos R.
Figura 4.11: Diseño para varios tipos de montajes con pasadores
ángulo. El elemento intermedio que transmite el momento se denom-
ina cruceta y está montado sobre las horquillas tal como se muestra
en los detalles de la figura 4.13. Si el momento a transmitir es M , ex-
plique claramente como se diseñaŕıa el diámetro mı́nimo de la cruceta.
Para ello utilice sus conocimientos de resistencia de materiales básicos,
estableciendo claramente las hipótesis que considera en cada cálculo.
Las dimensiones geométricas supóngalas proporcionales a la magnitud
a de manera que todas las fórmulas consideradas queden en función
de a, α,M y valores de resistencia y coeficientes de diseño que obten-
dŕıa de tablas. Las horquillas se montan sobre los ejes por una unión
de eje estriado, que permite desplazamientos axiales y aseguran el fun-
Gabriel Barrientos R. 63
Figura 4.12: Pasador especial. Carga externa de torsión sobre la unión
cionamiento. Suponga que las crucetas están montadas directamente a
las horquillas sin ningún elemento intermedio como por ejemplo bujes.
4. La horquilla de la figura 4.14 está cargada en su extremo derecho con
2 momentos de igual magnitud 3M y sentidos opuestos. Consta de dos
planchas curvas de espesor t, unidas en su extremo izquierdo por un
pasador, cuyo montaje se muestra en la vista en planta. Explique clara
y justificadamente cómo calcula el diámetro mı́nimo del pasador.
5. La disposición mostrada en la figura 4.15 une dos arcos semi circulares
de diámetro d por medio de pasadores en ambos lados. Determine en
función de los parámetros dados los parámetros que definen la unión
(horquilla, vástago y pasador). Use sólo letras para indicar resistencias
para los elementos involucrados.
6. Para la unión de un vagón de ferrocarriles mostrado en la figura 4.16,
determine el diámetro mı́nimo del pasador. Use letras para definir las
variables involucradas.
7. La figura 4.17 representa una grúa que debe mover una carga epecifica-
da en el plano de acuerdo al espacio disponible para sus maniobras. Se
pide diseñar los pasadores 1 y 2 indicados. Considere para este diseño
la posición del brazo indicada en la figura como el caos más desfavor-
able de carga. Diseñe (estime y dibuje claramente la forma geométrica
64 Gabriel Barrientos R.
Figura 4.13: Aplicación a crucetas
de la unión: vástago y horquilla) y en base a ello seleccione el diámetro
mı́nimo de los pasadores indicados.
Gabriel Barrientos R. 65
Figura 4.14: Unión de dos planchas curvas con pasador
Figura 4.15: Unión de arcos semicirculares
66 Gabriel Barrientos R.
Figura 4.16: Pasador t́ıpico de conexión de vagones de ferrocarriles
Gabriel Barrientos R. 67
Figura 4.17: Grúa de levante
68 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 5
Uniones por interferencia
5.1. Introducción
La unión por interferencia se obtiene maquineando el eje con un diámetro
levemente mayor al agujero que lo cobija. Existen varios métodos para mon-
tar estas partes. Destacan entre ellos el montaje forzado, usando una prensa
y ejerciendo una fuerza axial suficientemente grande como para producir la
fuerza de calado entre las partes o simplemente dilatando el agujero de man-
era que el diámetro aumente para que entre (axialmente) de manera libre
sobre el eje.
5.2. Interferencia
El principal objetivo es determinar la presión generada en la interferencia
entre las superficies. Aśı, usando los parámetros geométricos que se mues-
tran en la figura 5.1, se deben determinar los esfuerzos presentes en ambos
elementos (eje y cubo) utilizando la teoŕıa de cilindros gruesos sometidos
69
70 Gabriel Barrientos R.
a presión interna y/o externa. La figura 5.2 muestra la forma en que los
esfuerzos radiales σr y tangencial σt vaŕıan en función del radio r.
Figura 5.1: Sistema mecánico que simula eje y cubo montado por interfer-
encia
Se trata de un problema con simetŕıa axisimétrica, donde los esfuerzos
de corte son nulos. La figura 5.3 muestra la interferencia total δT = δi + δo.
Dicha interferencia está relacionada con la presión interna que se produce, lo
cual puede ser determinado usando un procedimiento en base a los siguientes
pasos:
1. Determinar la cantidad de interferencia a partir de las consideraciones
de diseño. Para ajustes estandart se puede usar la Tabla de la figu-
ra 5.4. La máxima interferencia generará las máximas tensiones. Los
valores de interferencia son diametrales (y no radiales) y corresponde
a la suma de la expansión del anillo exterior másla contracción del
elemento inferior. Ver figura 5.3
2. Determinar la presión entre las superficies en contacto a partir de la
ecuación 5.1 en el caso en que ambos elementos a unir son del mismo
tipo de material.
Gabriel Barrientos R. 71
Figura 5.2: Distribución de esfuerzos radial σr y tangencial σt en el cubo y
eje con interferencia
p =
Eδ
2b
[
(c2 − b2)(b2 − a2)
2b2(c2 − a2)
] (5.1)
Si ambas piezas son de distintos materiales se usa:
p =
δ
2b( 1Eo (
c2+b2
c2−b2 + νo) +
1
Ei
( b
2+a2
b2−a2 − νi))
(5.2)
donde;
a diámetro interior del eje
b diámetro interior del cubo igual al diámetro exterior del eje
c diámetro exterior del cubo
p es la presión entre las superficies de contacto
δT = δi + δo es la interferencia diametral total
E es el módulo de elasticidad del material
72 Gabriel Barrientos R.
Figura 5.3: Cubo montado con interferencia sobre eje hueco
o e i son los subindices exterior e interior respectivamente
ν es el módulo de Poisson
3. Calcular el esfuerzo de tracción (tangencial) en la pieza exterior según:
σo = p(
c2 + b2
c2 − b2
) (5.3)
4. Calcular la tensión por compresión (tangencial) en la pieza interior
según:
σi = −p(
b2 + a2
b2 − a2
) (5.4)
5. Si es necesario se puede calcular el incremento de diámetro de la pieza
exterior debido a la tensión por esfuerzo de tracción según la relación:
δo =
2bp
Eo
[
c2 + b2
c2 − b2
+ ν1
]
(5.5)
6. Si es necesario se puede calcular el decremento de diámetro de la pieza
interior debido a la tensión por esfuerzo de tracción según la relación:
δi = −
2bp
Ei
[
b2 + a2
b2 − a2
− ν1
]
(5.6)
Gabriel Barrientos R. 73
Figura 5.4: Tolerancias recomendadas para ejes con interferencia
Las relaciones dadas para los esfuerzos suponen igual longitud de ambos
cilindros (exterior e interior). Para piezas exteriores más cortas que el eje,
se pueden alcanzar esfuerzos hasta 2 veces el valor teórico dado. Un caso
práctico con presencia de momento en el eje se puede ver en la figura 5.5,
donde se ha realizado un rebaje para minimizar la concentración de esfuerzos
en esos extremos. La figura 5.6 muestra el factor K de aumento del esfuerzo
nominal que deberá incluirse en el cálculo para este caso, usado directamente
como factor de concentración de esfuerzos.
Después de calcular la interferencia δ, deberá tenerse en consideración
las tolerancias del eje y cubo en la zona de montaje. Para ello siempre se
deberá cumplir que la mı́nima interferencia (por tolerancia) que se indique en
el plano de fabricación deberá ser mayor o a lo sumo igual a la interferencia
mı́nima calculada para transmitir el torque.
74 Gabriel Barrientos R.
Figura 5.5: Eje con flexión
5.3. Torque a transmitir
El objetivo de la unión es transmitir el torque de diseño. Para ello se
deberá plantear:
Torque ≤ fuerzaderoce · radiointerferencia · b
que in extenso toma la forma dada por la ecuación 5.7.
T ≤ 2pπb2Lµ (5.7)
con L la longitud axial del cubo y µ el coeficiente de roce entre las
superficies. Un valor normal para µ es de 0,1. Para servicio severo se aconseja
estimar µ ≈ 0,05.
La fuerza de calado Fc con que debeŕıa empujarse el eje y/o cubo para
producir el montaje está dada por la relación 5.8 considerando 0,05 ≤ µ ≤
0,3, obteniendo sólo valores referenciales aproximados. Una forma gráfica de
representar este efecto se muestra en la figura 5.7
Fc ≥ pπ2bLµ (5.8)
Gabriel Barrientos R. 75
Figura 5.6: Curvas relacionando el factor de concentración de esfuerzos en
una unión por interferencia sometida a flexión con la geometŕıa
en este caso la superficie por efecto del roce se deteriora por lo que el
diseñador deberá prevenir un leve aumento de la interferencia. Esta inter-
ferencia deberá ser mayor en un porcentaje dependiente de las rugosidades
de los materiales a calar. Por ejemplo Falk [11] propone una interferencia
total δT dada por la relación 5.9.
δT = δteorico + 1,2(µ1 + µ2) · 10−3 (5.9)
con µ1 y µ2 las rugosidades de ambas superficies (eje y cubo) en micrones
Para cubos donde se pueda calentar y producir una dilatación suficiente
para deslizarlo sobre el eje y después enfriar, la tabla de la figura 5.8 entrega
valores de coeficientes de dilatación lineal α para diferentes materiales. Aśı la
variación de temperatura que produzca un nivel de dilatación en el diámetro
∆d del cubo está dado por la relación:
∆d = αdo∆T (5.10)
con ∆T la variación de temperatura necesaria para producir una variación
∆d en el diámetro do inicial del cubo.
76 Gabriel Barrientos R.
Figura 5.7: Fuerza de calado en unión forzada
5.4. Aplicaciones
1. La figura 5.9a muestra un eje y su agujero antes de ser montados con
ajuste por interferencia. El Eje se fabrica con una tolerancia tal que
sus dimensiones en el diámetro pueden variar entre 200, 037 y 200, 017
mm y el diámetro del agujero entre 200, 000 y 199, 070 mm. La figu-
ra 5.9b representa el mismo eje pero con una unión por interferencia
forzada, tal que el apriete de los pernos produce la presión necesaria
para transmitir la misma Potencia. Si el caso b requiere de dos per-
nos en cada lado, explique claramente como determinaŕıa el diámetro
mı́nimo de estos cuatro pernos. Establezca sus hipótesis con claridad
Gabriel Barrientos R. 77
Figura 5.8: Coeficientes de dilatación térmica para distintos materiales
y establezca en cada caso cuáles son las variables que usted conoce y
cuales debeŕıa calcular. La empaquetadura que existe entre las placas
ŕıgidas que abrazan el eje tiene una elasticidad tres veces menor a la
elasticidad de los pernos.
78 Gabriel Barrientos R.
Figura 5.9: Ejemplo 1
Caṕıtulo 6
Uniones apernadas
6.1. Introducción
El elemento común entre tuerca y el perno es la rosca. En términos
generales, la rosca es una hélice que al ser girada, hace que el tornillo avance
en la pieza de trabajo o en la tuerca. Las roscas pueden ser externas (pernos)
o internas (tuercas o perforación roscada). Las roscas eran distintas en cada
páıs, pero después de la segunda guerra mundial se estandarizaron en Gran
Bretaña, Canadá y Estados Unidos, en lo que ahora se conoce como la Serie
Unified National Standart (UNS), de acuerdo a lo mostrado en la Figura
6.1.
También ISO (International Standart Organization) ha definido un estándar
europeo, y la rosca tiene en esencia la misma forma de sección transversal,
pero con dimensiones métricas, por lo que no es intercambiable con las roscas
UNS. Tanto las roscas UNS como la ISO son de uso generalizado en Estados
Unidos. Ambas normas manejan un ángulo de 60o y definen el tamaño de la
79
80 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.1: Forma de la rosca de acuerdo a las normas UNS y estándar de
ISO
rosca por el diámetro exterior nominal de una rosca externa. El paso p de la
rosca es la distancia entre hilos adyacentes. Las crestas y ráıces se definen
como planos de manera de reducir la concentración de esfuerzos debido a es-
quinas agudas. Las especificaciones permiten que estas superficies planas se
vayan redondeando debido al desgaste. El diámetro de paso dp y el diámetro
de ráız (o de fondo) dr se definen en función del paso p de la rosca. El avance
L de la rosca es la distancia que una rosca acoplada (tuerca) avanzará axial-
mente con una revolución de la tuerca. Si se trata de rosca simple, el avance
será igual al paso. Una rosca doble avanzará dos pasos, etc.
ISO y UNS definen tres series estándart de familias: paso grueso, paso
fino y paso extrafino. La serie gruesa o basta es la más común y es la recomen-
dada para aplicaciones de tipo ordinario, en particular donde se requieran
repetidos montajes y desmontajes del perno, o donde el perno se rosque en
un material más blando. Las roscas finas resisten más el aflojamiento por
vibraciones que las roscas bastas debido a su menor ángulo de hélice y por
esta razón se usan en automóviles, aeronaves y otras aplicaciones expuestas
a vibraciones. Las roscas de la serie extrafina se aplicandonde el espesor de
la pared sea limitado y donde sus roscas muy cortas resultan ventajosas. Un
ejemplo de especificación de rosca métrica es : M8x1,25 (diámetro exterior
de 8mm con una rosca de paso 1,25mm en la serie basta de ISO). Un ejem-
plo de rosca UNS: 1/4-20UNC-2A (0,250in de diámetro con 20 hilos por
Gabriel Barrientos R. 81
pulgada, serie basta, ajuste clase 2, rosca externa). De manera preestable-
cida, todas las roscas son derechas (RH), a menos que se especifiquen como
izquierdas (LH). Las tuercas de rosca izquierda traen una ranura circunfer-
encial cortada alrededor de sus planos hexagonales.
6.2. Tipos y usos de las uniones apernadas
Figura 6.2: Diversos tipos de pernos y tuercas existentes [15]
Entre los elementos de máquinas, el perno o tornillo es el más amplia-
mente usado (ver figura 6.2). Se utiliza como:
1. tornillo de fijación para uniones desmontables,
2. tornillo de tracción para producir una tensión previa (dispositivo ten-
sor),
3. tornillo de cierre para obturación de orificios, por ejemplo para botel-
las,
4. tornillo de ajuste, para ajustar a reajustar un juego o desgaste,
82 Gabriel Barrientos R.
5. tornillo de medición para recorridos mı́nimos (micrómetros),
6. transformación de fuerza, para producir grandes esfuerzos longitudi-
nales mediante pequeñas fuerzas periféricas (prensa de husillo, tornillo
de banco),
7. tornillo transmisor de movimiento, para la conversión del movimiento
giratorio en longitudinal (tornillo de banco, husillo de gúıa), o para la
transformación de movimiento longitudinal en circular,
8. tornillo diferencial para obtener recorridos mı́nimos de roscas basta.
Algunas desventajas que en muchos casos requieren medidas especiales
en los tornillos de fijación son: su inseguro momento de arranque y la incierta
conservación de la tensión previa durante el funcionamiento, los frecuente-
mente y necesarios seguros contra el aflojamiento y, sobre todo, el efecto de
entalladura de la rosca. En los tornillos de movimiento, el bajo rendimiento,
el desgaste de los flancos de la rosca y, en ciertos casos, la holgura de ésta y
el centrado deficiente debido a ella.
La fabricación de los filetes de rosca se efectúa por procedimientos sin
arranque de viruta: embutido o laminado de los filetes de las roscas y recal-
cado de la cabeza del tornillo, o por procedimientos con arranque de viruta,
mediante torneado o fresado y recientemente, con cuchillas perfiladas de
roscar, a un muy elevado número de revoluciones, o por el procedimiento de
roscado con muelas de esmeril. La figura 6.3 (a) muestra el procedimiento
usado en la fabricación de una tuerca por forjado. La figura 6.3.b y c muestra
diversos tipos de tuerca y contratuerca. Existe una amplia gama de formas
de tornillos, tuercas y elementos de seguridad.
6.3. Cálculo de uniones apernadas
6.3.1. Consideraciones
La figura 6.4 muestra los esfuerzos t́ıpicos (y comunes) a los que queda
sometido un pernos al ser cargado. Las múltiples dificultades que se presen-
tan en una unión roscada se pueden resumir en la figura 6.5:
1) la carga no se distribuye sobre todos los hilos de la rosca,
2) el eje de las roscas internas no es perpendicular a la cara de asiento
de la tuerca,
3) la superficie no es plana y perpendicular al eje del perno,
4) el agujero no es perpendicular a la superficie (y paralelo al eje)
Gabriel Barrientos R. 83
Figura 6.3: (a) forjado de una tuerca. (b) y (c) usos de sistema de retención
con contratuerca
5) agujeros mal alineados,
6) superficie de apoyo de la cabeza no es perpendicular al eje,
7) la forma de aplicar carga externa puede originar flexión al perno. Hay
torsión por el apriete.
Estos detalles de montaje permiten asegurar que la carga dif́ıcilmente
sólo será de tracción sobre el perno. Finalmente la Figura 6.6 muestra una
propaganda (Revista Machine Design) de un perno donde se indican algu-
nas propiedades respecto a su resistencia y comportamiento en la unión.
Si una pieza como la mostrada en la figura 6.1 de la rosca (circular) fuese
traccionada se puede esperar que ella falle en función de su área de menor
resistencia, es decir, falle en su diámetro ráız dr. Sin embargo, pruebas con
varillas roscadas sometidas a tensión muestran que su resistencia a la tensión
se define mejor en función del promedio de los diámetros de ráız y de paso.
El área de esfuerzo en tensión At se define como:
At =
π
4
(
dp + dr
2
)2 (6.1)
Donde, para roscas ISO: dp = d − 0,649519p y dr = d − 1,226869p, con
84 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.4: Esquema de esfuerzos presentes en un perno trabajando
d = diámetro exterior y p = paso en miĺımetros.
La Tabla que aparece en la figura 6.7 muestra las dimensiones principales
para un tornillo métrico de acuerdo a normas ISO.
6.3.2. Pernos sometidos a tracción
Carga estática
Cuando un perno queda sometido a tracción estática, su esfuerzo de
trabajo se determina según la fórmula clásica dada por:
σt =
F
At
< σadm =
σ0
N
(6.2)
donde σ0 es el asfuerzo de fluencia del material y N el factor de seguridad
a utilizar.
Gabriel Barrientos R. 85
Figura 6.5: Causas comunes de falla en una unión roscada
Carga dinámica
Suponiendo que la carga de trabajo final que actúa sobre un perno vaŕıa
desde un valor mı́nimo Fmin hasta un valor máximo Fmax, se determinan
las componentes media y alterna que trabajan en el perno de la forma:
Fa =
Fmax − Fmin
2
Fm =
Fmax + Fmin
2
y los correspondientes esfuerzos están dados por:
σa = Kf
Fa
At
σm = Kfm
Fm
At
donde los sub-́ındices a y m representan la componente alterna y media
respectivamente. Kf es el factor de concentración de esfuerzos a la fatiga
86 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.6: Propaganda destacando propiedades mecánicas del perno
para el perno y Kfm es el factor de concentración de esfuerzos medio dado
por las relaciones:
si Kf |σmax| < Sy, entonces Kfm = Kf
si Kf |σmax| > Sy, entonces Kfm =
Sy−Kfσa
|σm|
si Kf |σmax − σmin| > 2Sy, entonces Kfm = 0
donde Sy es la resistencia a la fluencia del material del perno.
6.3.3. Coeficiente de dilatación lineal
Si la condición de trabajo impone aumentos significativos de la temper-
atura, el perno además de las cargas externas sufrirá una dilatación respecto
a las planchas que une, aumentando aún más su elongación. En ellas pre-
domina la expansión lineal en el diámetro según la relación:
∆L = αLo∆T (6.3)
que representa la variación de longitud para una barra de longitud inicial
Lo debido a un cambio de temperatura ∆T . El coeficiente de dilatación lineal
α de algunos materiales se entrega en la Tabla de la figura 6.9.
Como hipótesis simplificadora se puede considerar que el alargamiento
por dilatación sólo considerada la elongación por dilatación del perno y no
la compresión en las planchas.
Los valores anteriores son válidos en un rango que va desde 0 a 200oC.
Aceros especiales presentan caracteŕısticas de dilatación algo diferente, donde
Gabriel Barrientos R. 87
Figura 6.7: Propiedades de una rosca según normas ISO
el coeficiente puede llegar a 18,2x10−6 para el rango de calentamiento hasta
600oC. A temperaturas mayores, los aceros sufren cambios importantes en
su estructura.
6.3.4. Junta con empaquetadura
Consideremos un perno que une dos planchas elásticas unidas con una
empaquetadura. Este caso se presenta en estanques donde se debe manten-
er cierta hermeticidad. La figura 6.10 muestra un montaje de este tipo de
uniones en lo que podŕıa ser un intercambiador de calor por ejemplo. El
detalle de la unión lo podemos calcular de la siguiente forma:
La figura 6.11 muestra el montaje de la unión con empaquetadura. (a)
indica la unión descargada (sin apriete inicial sobre el perno o la tuerca) (b)
indica como se deforma la unión cuando se ha aplicado una carga de apriete
inicial Fi sobre el perno y (c) cuando se aplica una fuerza de trabajo. La
88 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.8: Cargas axial (tracción) en lasdiversas secciones de un perno
Figura 6.9: Coeficiente de dilatación lineal para diferentes materiales
relación entre la fuerza aplicada y las deformaciones producidas se expresan a
través de las constantes elásticas K del material del perno y empaquetadura
como una relación lineal. Aśı, asociando el sub́ındice 1 al perno y el sub́ındice
2 a la empaquetadura se puede expresar:
K1 =
F1
λ1
; y K2 =
F2
λ2
(6.4)
donde Fi representa la fuerza inicial de apriete actuando ya sea en el
perno y en la empaquetadura, y K1 y K2 las constantes de rigidez de re-
sorte del perno y la empaquetadura respectivamente. Los λ1 y λ2 son las
deformaciones sufridas por el perno y la empaquetadura respectivamente.
La fuerza inicial de apriete se recomienda para cada caso en particular y
Gabriel Barrientos R. 89
Figura 6.10: Montaje t́ıpico de la tapa de un intercambiador de calor, donde
se usa empaquetadura para producir estanqueidad en la unión apernada
es en la etapa de diseño del equipo donde se selecciona este valor. En general
la fuerza inicial de apriete está relacionada con la carga de trabajo del perno,
por lo que se estima un valor entre 1,5 a 2,0 veces la fuerza de trabajo. La
figura 6.12 representa el gráfico compuesto de ambas deformaciones (perno
y empaquetadura).
La figura 6.12.c representa la situación de la unión cuando actúa ahora
adicionalmente una fuerza de trabajo Ft. El perno se alarga un valor igual
a λz y la empaquetadura se comprime un valor δz = λz. La fuerza total
FT actuando sobre el perno será: FT = F
∗
t + Ft = Fi + Fz. Si se aumenta
la carga de trabajo Ft, la fuerza total actuando sobre el perno aumenta,
pero disminuye la fuerza de compresión Fi sobre la empaquetadura. Si esta
última llega a ser cero, la junta pierde su propiedad de ser estanca, o sea,
la fuerza de trabajo Ft es igual a FT y por lo tanto Fe es nula, tal como se
indica en la figura 6.13.
Usando los valores mostrados en los gráficos se puede deducir la expresión
para la fuerza total sobre el perno:
FT = Fi +
K1
K1 +K2
Ft (6.5)
es decir, cuando un perno está sometido a una tensión inicial Fi, luego
actúa la fuerza de trabajo Ft, él no queda cargado con todo el valor de Ft,
sino, con una fracción de él tanto menor cuanto más pequeño sea el valor
90 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.11: (a) unión con empaquetadura y sin apriete. (b) unión con carga
inicial de apriete (c) más carga de trabajo
de K1 con respecto a K2. Valores de módulos de elasticidad para materiales
usados en empaquetaduras se entregan en la Tabla 6.1.
material psi MPa
corcho 12,5x103 86
asbesto comprimido 70x103 480
cobre y asbesto 13,5x106 93x103
cobre (puro) 17,5x106 121x103
hule simple 10x102 69
espiral arrollada 41x103 280
teflón 35x103 240
fibra vegetal 17x103 120
Cuadro 6.1: Módulos de elasticidad para algunos materiales usados como
empaquetaduras
La Tabla 6.2 muestra algunos valores para el coeficiente K1/(K1 + K2)
para diferentes tipos de materiales. La figura 6.14 muestra algunos tipos de
uniones con juntas y/o empaquetaduras.
La figura 6.14 muestra algunos esquemas de montaje de uniones con
pernos donde existe algún tipo de sellos y/o empaquetadura.
Gabriel Barrientos R. 91
Figura 6.12: Curva fuerza deformación en perno con empaquetadura
Tipo de Junta K1K1+K2
con empaquetadura blanda y elástica 0,9 ÷ 1,0
empaquetadura de asbesto recubierta con Cu 0,6
empaquetadura corrugada de Cu blanda 0,4
empaquetadura de plomo 0,1
anillo de Cu delgado 0,01
junta sin empaquetadura 0,0
Cuadro 6.2: Valores de la relación K1K1+K2
6.3.5. Consideraciones de rigidez en uniones sin empaque-
tadura
Cuando el perno une planchas sin empaquetaduras entre ellos, la elasti-
cidad de las planchas actúa como empaquetadura que se comprime con la
acción del perno. Una hipótesis simplificadora es considerar que las planchas
son ŕıgidas y el perno absorbe toda la carga. En casos como estos lo correcto
es considerar que existe una zona de influencia denominada çono de influen-
cia”, llamado al sector donde las planchas son apretadas (comprimidas) por
la golilla del perno en cada lado de la unión. La figura 6.15 muestra un unión
simple de dos planchas unidas por un perno. El perno actúa como un resorte
lineal donde sius caracteŕısticas de rigidez están dadas por la relación:
El ángulo de inclinación respecto a la ĺınea axial del perno es variable
dependiendo del autor. Se puede estimar valores entre 30 hasta 45o. Una for-
ma teórica aproximada es suponer que el cono de influencia está compuesto
de cilindros en serie, cuya área (volumen) es análogo al área (volumen) del
cono de influencia. Aśı se puede modelar la unión de las planchas como dos
92 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.13: Curva de trabajo de la unión con empaquetadura
elementos elásticos en série tal como se muestra en la figura 6.16
σ = E� =
F
A
; � =
δ
L0
sabiendo que la relación entre la fuerza F y el alargamiento δ define la
rigidez k, despejando se obtiene:
k =
EA
L0
Análoga relación existirá para un cilindro hueco comprimido (planchas
comprimidas) como el mostrado en la figura 6.16. Acá el cálculo es análogo
al perno pero el área resistente es la de un cilindro hueco. Si los elementos
elásticos están esn série, la rigidez equivalente está dada por la relación:
δe = δ2 + δ3
1
ke
=
1
k2
+
1
k3
Gabriel Barrientos R. 93
Figura 6.14: Algunos esquemas de montaje para sello y/o empaquetaduras
usadas comunmente
Si algún diseño de unión de planchas es tal que ellas trabajan en paralelo,
la rigidez equivalente estaŕıa dada por la relación:
ke = k1 + k2 (6.6)
6.3.6. Pernos sometidos a cargas transversales
En este tipo de unión, lo más común es que el perno además esté ex-
puesto a esfuerzos de flexión debido al poco ajuste con el agujero. Ello no es
conveniente ya que el perno fallaŕıa rápidamente. Una forma de evitar esto
es proveer dispositivos especiales que descarguen el perno de los esfuerzos
flectores y de corte, asegurándose la inmovilidad relativa de los elementos a
unir (ver figura 6.17).
La figura 6.18 muestra dos formas de diseño de pernos expuestos a carga
transversal y que, por problemas de diseño no puedan evitarse. El primero
implica apretar el perno para que las superficies que unen generen una fuerza
de roce lo suficientemente grande y eviten el corte (perno pasante libre). La
otra forma es considerar un perno ajustado con tolerancias de manera que la
falla pueda ocurrir por corte y/o aplastamiento en la caña (perno de ajuste).
Para el caso mostrado en la figura 6.18.a, la fuerza de apriete debe ser
tal que produzca una fuerza de roce entre las superficies de contacto que
absorba las cargas transversales Fa < nµFi con µ el coeficiente de roce entre
94 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.15: Pernos uniendo planchas elásticas. (a) referencia [[21]] y b)
referencia [[15]
las superficies (se puede usar 0,2 para superficies secas) y n es el número
de superficies en conntacto, aśı se diseña como caso ĺımite según la relación
(6.7):
Fi ≥
Fa
nµ
(6.7)
Para el caso de un perno de ajuste, el agujero debe estar escariado. Es una
unión relativamente cara. El perno está sometido a corte y a aplastamiento
en la caña. La ecuación de diseño en ambos casos será:
τ =
Fa
A
≤ τadm =
τ0
Nc
(6.8)
σaplast =
Fa
dl
≤ σadm =
σaplast
Naplast
(6.9)
donde Nc es el coeficiente de seguridad usado en corte y Naplast es el
coefciente de seguridad al aplastamiento.
Gabriel Barrientos R. 95
Figura 6.16: Modelo práctico para simular unión de planchas elásticas sin
empaquetadura
96 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.17: (a) Zonas de un perno sometidas a esfuerzos de corte, (b) Al-
ternativas de montaje para evitar el corte
Figura 6.18: (a) Corte resistido por la fricción entre las superficies, (b) Perno
con ajuste
Gabriel Barrientos R. 97
6.3.7. Pernos fijando planchas en voladizo
Existen casos donde planchas expuestas a efectos de flexión deben fijarse
con pernos.En estos casos los pernos quedan sometidos a tracción. La figura
6.20 muestra dicha situación. Para su resolución (calcular el diámetro mı́ni-
mo de los pernos) se debe suponer que la plancha es ŕıgida respecto a los
pernos y que sus deformaciones son proporcionales a las distancias medidas
desde el punto de apoyo. Si la plancha pivoteara en el apoyo, produciŕıa
fuerzas proporcionales a las deflexiones δ1, δ2 y δn, tal que las fuerzas que
se produciŕıan a las distancias d1, d2 y dn respectivamente se determinan de
acuerdo a la relación 6.10:
M = F1d1 + F2d2 + ....+ Fndn = Fd (6.10)
y además:
Ki =
F1
δ1
=
F2
δ2
= ..... =
Fn
δn
(6.11)
donde d es la distancia de la fuerza al punto de apoyo de la plancha
(ĺınea respecto de la cual tiende a pivotear) y los δi es la deformación en el
perno i.
Figura 6.19: Posición del centroide en una distribución de pernos cualquiera
98 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.20: Deflexiones producidas en una plancha sometida a flexión
Gabriel Barrientos R. 99
Debe tenerse especial cuidado con el efecto que producen las fuerzas sobre
la plancha y por ende sobre los pernos. ALgunas situaciones para discutir
se presentan en la figura 6.21
Figura 6.21: Diferenctes cargas que producen flexión en la plancha lo que se
traduce en tracción en los pernos
6.3.8. Pernos sometidos a corte
Análogo al caso descrito de planchas expuestas a acciones de flexión,
es común encontrar distribución de pernos en un apoyo tal que se requiere
calcular el denominado Centroide, lugar f́ıcticio donde se supone actúa toda
la fuerza de reacción. En una distribución de pernos cualquiera, después de
elegir el sistema coordenado y ubicar su origen, el centroide se ubica según
la relación:
r =
∑n
i=1 riAi∑n
i=1 Ai
(6.12)
lo que genera las coordenadas del centroide dadas por:
x =
∑n
i=1 xiAi∑n
i=1Ai
, y =
∑n
i=1 yiAi∑n
i=1Ai
, z =
∑n
i=1 ziAi∑n
i=1Ai
(6.13)
Si la fuerza aplicada sobre la plancha tiende a hacerla girar respecto a un eje
perpendicular al plano y que pase por el centroide, se dice que la plancha
está sometida a torsión. En esa circunstancia, la fuerza que genera esta
100 Gabriel Barrientos R.
acción tiende a cortar los pernos con corte directo sobre la sección del perno.
El corte proviene de dos efectos:
a) corte directo: Se supone que la fuerza se divide en el número de pernos
de la unión. Genera reacciones en la misma dirección que la fuerza que las
genera.
b) corte por torsión. En este caso se supone que se puede aplicar la
teoŕıa de torsión para ejes circulares (Teoŕıa de Coulomb). Aśı se generan
reacciones debido a esta acción, perpendiculares al radio medido entre el
centroide y la sección del perno considerado.
La figura ?? muestra las fuerzas Fc que se producen debido al corte y
al efecto de torsión Ft. Se debeŕıa obtener la reacción mayor para diseñar
los pernos en función de esas reacciones en cada perno. Las ecuaciones que
permiten determinar estas fuerzas son:
T =
∑
Ftiri (6.14)
La carga que soporta cada perno depende de su carga radial desde el cen-
troide, es decir mientras mayor es esta distancia, mayor es la carga absorbida.
Aśı se cumple:
Fti
ri
= cte (6.15)
Figura 6.22: Cargas que producen esfuerzos de torsión en la plancha lo que
se traduce en corte en los pernos
Gabriel Barrientos R. 101
De esta forma se obtiene la relación final:
Ftn =
Trn∑n
i=1 r
n
i
(6.16)
La carga de corte total en cada perno será la suma vectorial de ambos efectos:
corte directo y torsión.
6.4. Resistencia de los pernos
Los pernos para aplicaciones estructurales donde se requiera el cálculo
por resistencia, deberán seleccionarse de acuerdo a lo especificado por las
Normas SAE, ASTM o ISO. Estas normas definen los grados o clases de
pernos y especifican el material, el tratamiento térmico y una resistencia
mı́nima de prueba Sp para el perno. Este valor indica el esfuerzo para el
cual en el perno se empieza a generar una deformación permanente y es
cercana pero inferior al ĺımite de fluencia elástico del material. Por ejemplo
las normas ASTM entregan valores de acuerdo a las indicadas en los anexos
(ver figura 6.23). En la práctica el grado se indica por marcas (o no) en la
cabeza del perno.
6.5. Fuentes de peligro
Algunas circunstancias que hacen peligrar las uniones apernadas son:
1. Inseguridad acerca de las fuerzas exteriores que efectivamente se pre-
sentan: reducir el esfuerzo admisible.
2. Apriete inadecuado de los pernos, especialmente los tornillos pequeños
se degüellan con facilidad: considerar para ellos un material de alta resisten-
cia o reducir el esfuerzo admisible. Los tornillos grandes reciben comúnmente
poca tensión inicial: llave demasiado corta, especialmente si existen varios
tornillos el apriete desigual trae consigo una desigual distribución de la carga,
y el alabeo de las piezas, por ejemplo en los cárteres de metal ligero de los mo-
tores. En tales casos lo mejor es apretar los tornillos hasta el 60 % del ĺımite
aparente de elasticidad con llave dinamométrica, o hasta un alargamiento
del tornillo que se ha de prescribir (comprobación con micrómetro).
3. Apoyo unilateral y la consecuente tensión adicional de flexión en el
tornillo,
4. Pérdida de la tensión inicial debido a dilatación térmica o a deforma-
ción plástica del tornillo, los apoyos o las capas intermedias (aún no existe
102 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.23: Resistencia de pernos según normas ASTM
Gabriel Barrientos R. 103
ninguna protección segura contra esto) Proposición: arandelas de plato co-
mo tuercas o arandelas, que al 60 % del ĺımite aparente de elasticidad de los
tornillos queden justamente aplastadas por la compresión. Las arandelas or-
dinarias, las arandelas elásticas, etc., actúan sólo desfavorablemente en este
caso.
5. Trabajo de choque adicional, al alternar la dirección de la fuerza,
por ejemplo, a causa de holgura en el asiento de tornillos de biela: emplear
tornillos extensibles con tuerca de tracción.
6. Aflojamiento automático en las sacudidas: prever seguros.
7. Ataque qúımico a electroĺıtico: para construcciones de metales ligeros,
los más ventajosos son los tornillos de latón y, después, los tornillos de metal
ligero electro-oxidado, tornillos de acero fosfatado y tornillos de acero con
arandelas de zinc. Para evitar el herrunbe o agarrotamiento por oxidación:
nitrurado de la tuerca o de la cana.
8. Desgaste de la rosca en tornillos de transmisión de movimiento: prestar
atención a la elección del material, al engrase y a la presión superficial.
9. Puntos de rotura: Los tornillos sometidos a solicitación dinámica se
rompen según lo mostrado en la figura 6.8a, siempre por el primer hilo
cargado: procurar una mejor distribución de esfuerzos, por ejemplo mediante
tuerca de tracción. Los demás puntos de rotura 1 y 2 (figura 6.8a) en las
transiciones pueden evitarse con un mejor redondeo: 0,1d
6.6. Montaje e inspección de pernos de alta re-
sistencia
Los métodos más usados para dar la tensión adecuada y controlada a los
pernos de alta resistencia consisten en: el apriete final con llave de torque y
el apriete mediante giro de tuerca en fracción de vuelta.
6.6.1. Apriete final con llave de torque
Este procedimiento se puede efectuar mediante llaves de torque manuales
o neumáticas: las manuales tienen un dial que indica el torque aplicado y
las neumáticas (llave de impacto) tienen una válvula ajustable que detiene
la llave cuando se alcanza el torque especificado. Este procedimiento exige
que se cumplan tres condiciones:
- Calibrar la llave de torque periódicamente,
- Usar golilla endurecida bajo la tuerca,
104 Gabriel Barrientos R.
- Aplicar un torque entre 5 % y 10 % mayor al indicado en tablas. De
la estática se puede relacionar la componente axial de la fuerza sobre los
filertes del perno y el torque necesario para vencer el movimiento entre
tuerca y tornillo. Aśı, es común encontrar relaciones tales como:Ti = Fi
dp
2
(µ+ tanλcosα)
(cosα− µtanλ)
+ Fi
dc
2
µc (6.17)
La cual se puede reducir a la expresión:
T = KidFi (6.18)
donde:
Ki ∼= 0,5
dp
2
(µ+ tanλcosα)
(cosα− µtanλ)
+ 0,625µc (6.19)
Ki se conoce con el nombre de coeficiente de par de torsión. En esta
expresión se asume un coeficiente de fricción µc = µ = 0,15 con los valores
estándar (normalizados) para dp (diámetro de paso). λ es el ángulo de hélice
de rosca y alpha el ángulo del perfil de la rosca de 60o. Los coeficientes
(teóricos) para Ki se muestran en la Tabla de la figura 6.24.
En la Tabla 6.3 se indica los valores de tensiones mı́nimas y torques
para los diferentes diámetros de pernos ASTM A325, sin recubrimiento. Los
valores indicados en la Tabla deberán multiplicarse por el factor 0,9 cuando
el perno tiene algún tipo de recubrimiento y por 0,8 cuando perno y tuerca
han sido recubiertos. En ella aparece el coeficiente Ki para diversos valores
del diámetro.
Diámetro nominal carga de prueba Torque T
d in lb kg lb-pie kg-m
1/2 12100 5470 100 14
5/8 19200 8710 200 28
3/4 28400 12900 355 49
7/8 39200 17800 525 731
1 51500 23400 790 110
1 1/8 56400 25600 1060 146
1 1/4 71700 32500 1490 207
1 3/8 85500 38800 1960 271
1 1/2 104000 47200 2600 359
Cuadro 6.3: Valores de tracción y torque para pernos ASTM A325
Gabriel Barrientos R. 105
Figura 6.24: Coeficiente Ki para cálculo de torque aplicado usando coefi-
ciente de fricción 0,15
Todos estos valores se pueden englobar en la fórmula anterior en base
a los coeficientes Ki. Cuando se trata de grandes torques que incluso no
aparecen en Tablas debe recurrirse al ingenio, tal como podŕıa ser el caso de
apriete mostrado en la Figura 6.25.
6.6.2. Apriete mediante giro de tuerca en fracción de tuerca
Este procedimiento consiste en apretar la tuerca hasta que las planchas
queden en perfecto contacto y luego dar una fracción de vuelta adicional
que garantice la tensión deseada. Para determinar la fracción de vuelta se
ha recurrido a experiencias de laboratorio en condiciones controladas. La
curva mostrada en la figura 6.26, si bien cuantitativa, grafica perfectamente
el comportamiento de un perno de alta resistencia tensionado mediante el
método giro de tuerca.
En el gráfico se observa que para los pernos A325 la carga máxima de
tracción se logra luego de girar la tuerca casi una vuelta, mientras la carga
de prueba se produce a ≈ 1/3 de vuelta. Para definir la fracción de vuelta a
girar la tuerca, AIC considera los siguientes casos:
La tolerancia de colocación para pernos instalados con 1/2 vuelta o
menos, es de 30o en ambos sentidos.
La tolerancia de colocación para pernos instalados con 2/3 de vuelta o
106 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.25: Esquema de apriete para un sistema de tubeŕıas roscadas de
gran tamaño
Gabriel Barrientos R. 107
más es de 45o en ambos sentidos.
Figura 6.26: Gráfico que define la fracción de vuelta a girar para obtener el
apriete deseado
Adicional al uso de equipos adecuados para la colocación y apriete de
pernos de alta resistencia, se requiere una buena organización, especialmente
en los grandes proyectos. Algunas recomendaciones para el supervisor se
resumen en:
Figura 6.27: Condiciones de las superficies apernadas
1. Formar cuadrillas de personal experimentado para tensionar los pernos
2. Definir el método de apriete
3. Instruir al personal para que conozca y se familiarice con el listado de
pernos
Tipos de pernos y largos a usar
Tipos de golillas, dónde se usaran y cuáles
108 Gabriel Barrientos R.
Detección de posibles errores en listado de pernos
4. Organizar adecuadamente la coordinación entre cuadrillas de distribu-
ción de pernos y las de colocación
5. Coordinar con la superintendencia los detalles de instalación de pernos
Ubicación de las tuercas
Torque: en la cabeza del perno o en la tuerca
Golillas: tipos y ubicación
6. Si es posible, organizar los grupos de trabajo destinándoles uniones
similares
7. Organizar la operación de apriete especialmente en la partida, deter-
minando la secuencia de tensionado de los pernos para cada unión
8. Asegurarse de que todas las conexiones (nudos) tensionados sean iden-
tificados, marcándolos con números o letras
La indicación de torque correspondiente a la tensión de calibración se
debe anotar y usar en la colocación de todos los pernos del lote.
Con el fin de obtener una tensión uniforme en todos los pernos de una
unión, es recomendable reapretar los primeros pernos tensionados en pre-
vención que se hayan soltado al apretar los siguientes. Esta operación debe
efectuarse sin cambiar la llave para mantener el torque.
El inspector deberá observar la colocación y el apriete de los pernos
para comprobar que el procedimiento elegido se usa adecuadamente. Esta
inspección dará seguridad de que se ha obtenido el apriete especificado para
los pernos.
En todo caso es usual realizar las siguientes inspecciones:
- Visual: asegurarse que todas las conexiones tengan su identificación,
- Visual: ver que el hexágono del perno o tuerca muestren marcas indi-
cando que la llave de impacto fue usada apropiadamente,
- Mecánica: para determinar en un porcentaje representativo de pernos,
que el torque fue aplicado por lo menos al mı́nimo.
No debe permitirse el re-uso de pernos de alta resistencia. Si bien la nor-
ma acepta re-usar una vez los tipos A325, ello sólo puede ser autorizado por
el inspector para su verificación. Todo perno de alta resistencia desmontado
de una estructura debe ser inutilizado, habitualmente rompiendo sus hilos.
Gabriel Barrientos R. 109
Cuando se usen pernos de alta resistencia y galvanizados, es necesario
lubricar los hilos del perno y tuerca y las golillas para evitar su atascamiento.
El lubricante ideal es el disulfito de molibdeno (molikote o similar).
Finalmente debe controlarse la superficie en contacto de la unión. Si
los pernos son del tipo fricción, estas superficies deben estar perfectamente
limpias y sin pintura, para asegurar que se generen las fuerzas de roce pre-
determinadas en el diseno. Para los pernos tipo aplastamiento, las superficies
pueden estar pintadas.
6.7. Secuencia de apriete
Cada uno de los fabricantes de equipos que usen pernos en gran can-
tidad, deben entregar las secuencias de apriete necesaria para obtener la
estanqueidad del equipo. La figura 6.28 muestra algunos ejemplos de tapas
de intercambiadores de calor en que se debe seguir una secuencia La Tabla
que se muestra en la figura 6.29 entrega los valores dados por la empre-
sa CHESTERTON para empaquetaduras, donde se indica la secuencia de
apriete para diversas configuraciones (número de pernos) alrededor de un
ćırculo.
Figura 6.28: Tapas de intercambiadores de calor donde debe aplizarse una
correcta secuencia de apriete
110 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.29: Secuencia de apriete para diversa cantidad de pernos. La gráfica
expĺıcita superior indica la numeración asociada a la Tabla con n pernos. La
gráfica inferior es otra forma de indicar secuancia de apriete
Gabriel Barrientos R. 111
6.8. Aplicaciones en estructuras
Durante muchos anos el método aceptado para conectar miembros de
una estructura de acero fue el remachado. Sin embargo, en anos recientes, el
uso de remaches ha declinado rápidamente debido al tremendo incremento
experimentado por la soldadura y, más recientemente, por el atornillado con
pernos o tornillos de alta resistencia. En este caso, además, se requiere mano
de obra menos especializada que en el caso de remaches y soldadura.
Figura 6.30: Aplicaciones para pernos estructurales. Montaje
6.8.1. Tipos de tornillos
Existen varios tipos de tornillos para conectar miembros de acero:
Tornillos ordinarios o comunes. La ASTM los designa como A307 y se
fabrican de acero al carbono con caracteŕısticas similares de resistencia al
A36. Están disponibles en diámetros que van desde 5/8 hasta 112 pulgada
en incrementos de 1/8 pulgada.
Tornillos de alta resistencia. Se fabricanen base aceros al carbono trata-
dos térmicamente y aceros aleados. Tiene el doble de resistencia que los co-
munes. Existen dos tipos básicos: los A325 (acero al carbono con tratamien-
to térmico) y los A490 de mayor resistencia (acero aleado con tratamiento
térmico)
112 Gabriel Barrientos R.
6.8.2. Ventajas de los tornillos de alta resistencia
Podemos mencionar las siguientes:
1. Las cuadrillas de hombres necesarias para atornillar son menores que
las que se usan para remaches
2. en comparación con los remaches, se requiere menor número de tornil-
los para proporcionar la misma resistencia
3. unas buenas juntas atornilladas la pueden realizar hombres con mucho
menor entrenamiento y experiencia que los necesarios para uniones
soldadas y/o remachadas. La instalación apropiada de tornillos de alta
resistencia se puede aprender en horas
4. no se requieren pernos de montaje que deban removerse después como
en las juntas soldadas
5. resulta menos ruidoso en comparación que las remachadas
6. se requiere equipo de menor costo para realizarlas
7. no existe el riesgo de incendio ni peligro por el lanzamiento de remaches
calientes
8. las pruebas hechas en juntas remachadas y en juntas atornilladas, bajo
condiciones idénticas, muestran definitivamente que las juntas atornil-
ladas tienen una mayor resistencia a la fatiga
9. donde las estructuras se alteran o desensamblan posteriormente, los
cambios en las conexiones son muy sencillos por la facilidad para quitar
los tornillos
6.9. Aplicaciones
1. Las figura 6.31 representan el tipo de camión que transporta mineral
de cobre en la mineŕıa. Este camión tiene las dimensiones básicas señal-
adas y está diseñado para transportar 350 Ton de mineral. Sin carga
tiene un peso neto de 80Ton. Suponga que el camión cargado tiene
su centro de masa en el punto GG de la figura y que las condiciones
de diseño son: El camión diariamente sube cargado y baja descarga-
do a una velocidad promedio de 40km/hr una diferencia de altura de
Gabriel Barrientos R. 113
90m con una pendiente del 8 %. El radio de curvatura del camino vis-
to en planta es en promedio de 100m. Calcular el diámetro mı́nimo y
la cantidad de pernos que sujetan la rueda si ellos están lo suficien-
temente apretados para que sólo trabajen a tracción. El diámetro en
que los pernos van ubicados en la rueda es de 0,8m. El eje de rotación
de los neumáticos está ubicado a 1,7m del suelo. Suponga pernos de
calidad mayor o igual a 8 del sistema métrico. Todas las dimensiones
geométricas necesarias deberán ser obtenidas proporcionalmente de las
figuras.
Figura 6.31: (a)Camión de faenas mineras. (b) Forma de trabajo en la descar-
ga del material a la molienda primaria (c) Tamaño relativo, (d) Recorrido
con carga en mina a tajo abierto
2. El sistema de la figura 6.32 representa una celda de carga. Está com-
puesto por un perno central de diámetro variable, al cual se le ha dado
un apriete inicial de 2F a través de la tuerca y se ha incorporado una
contratuerca para evitar que se suelte. Ambas vigas curvas pivoteadas
en su extremo son de bronce y la pieza intermedia comprimida de Alu-
114 Gabriel Barrientos R.
minio. Las caracteŕısticas de los materiales usados se muestran en la
tabla 6.4
material σo σr E
- MPa MPa kg/cm2
Acero (perno) 320 480 2,1x106
Aluminio 34 60 Eacero/3
Cobre 103 180 Eacero/2
Cuadro 6.4: caracteŕısticas de los materiales
Determine la máxima fuerza F que resiste la unión si se requiere
diseñar el perno con un grado de seguridad N = 3. Establezca clara-
mente sus hipótesis y justifique cada uno de los datos usados que usted
debe seleccionar.
Figura 6.32: Celda de carga
3. El auto especial de prueba mostrado en la figura 6.33 recorre una pista
circular de R = 50m de radio. Determine el diámetro minimo de los 4
pernos de cada una de las cuatro ruedas. El peso total del veh́ıculo es
de 1000kg. La prueba se realiza a una velocidad constante de 30km/hr.
Use dimensiones para las ruedas de cualquier veh́ıculo conocido.
Gabriel Barrientos R. 115
Figura 6.33: Veh́ıculo de prueba para diseño de pernos a la fatiga
4. Para la unión mostrada en la figura 6.34 ¿cuál de las dos opciones re-
comendaŕıa: el uso de los tres pernos de acero de diámetro d = 16mm,
o los dos cordones de soldadura que se indican de altura h = 10mm
con un electrodo de 500MPa como esfuerzo de fluencia?. Establezca
claramente sus hipótesis en la solución del problema. Use los siguientes
datos:
Esfuerzo fluencia pernos = 400MPa
Fuerza inicial de apriete de pernos tal que quede con un esfuerzo igual
a la mitad del esfuerzo de fluencia
L = 10cm
F = 4000kg
Si considera que algún dato no está dado y es necesario, debe estimarlo
adecuadamente
5. Para la unión apernada mostrada en la figura 6.35 determine con cual
de las tres opciones obtiene el menor diámetro del perno. Grafique en
cada caso como actúa la fuerza de trabajo en la unión. Considere que
los gráficos de fuerza entregados en la figura son en tracción (perno)
o en compresión (materiales). Establezca claramente las hipótesis que
estime necesarias.
6. La figura 6.36 representa uno de los innumerables pernos que sirven
de unión para fijar la tapa de algunos intercambiadores de calor de la
empresa en que usted trabaja. Las gráficas de la derecha representan
la relación de fuerza versus desplazamiento de dos tipos de pernos (P1
116 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.34: Ejemplo 5
y P2) y de la empaquetadura usada. Si la fuerza inicial de apriete es
5F y la fuerza de trabajo dinámica vaŕıa entre ±3F .
(i) Cual de los 2 tipos de pernos le recomendaŕıa que usara a su jefe.
Establezca claramente sus hipótesis y cálculos a realizar.
(ii) Al definirse por uno de los dos cual seŕıa la carga cŕıtica de apri-
ete inicial para evitar la pérdida de estanqueidad con un factor de
seguridad igual a 2.
7. La figura 6.37 representa la unión apernada de las tapas de un inter-
cambiador de calor. La unión consta de 5 partes cuya elasticidad se
muestra en el gráfico de fuerzas versus deformación. El diámetro de
ubicación de los pernos en el intercambiador es D. Cada una de las
5 partes miden lo mismo y en total (longitud inicial de trabajo del
perno) es L. Diseñar el diámetro mı́nimo y el número de pernos si se
tiene una fuerza inicial de apriete de 5F y luego actúa una fuerza de
trabajo que vaŕıa entre −2F y +4F . Los pernos son de material M−1.
Las caracteŕısticas elásticas de los materiales son conocidas.
8. Un fabricante de raquetas de tenis solicita a Nicolás y a Fernando (ver
Gabriel Barrientos R. 117
Figura 6.35: Diseño de unión con distintas posibilidades de materiales
Figura 6.36: Ejemplo de distintos materiales para el perno
Figura 6.37: Apriete de varias planchas sin empaquetaduras
118 Gabriel Barrientos R.
material Opcion 1 Opción 2 Opción 3
Material perno B B B
Material 1 A C C
Material 2 A C D
Coef. seguridad fatiga N N N
Coef. seguridad fluencia N/2 N/2 N/2
Fza. inicial de apriete Fi(N) F F F
Fza. de trabajo Ft(N) F/2 F/2 F/2
Esfuerzo fluencia perno σ0p σ0p σ0p
Esfuerzo fluencia mat. σ0A = 0,9σ0p σ0C = 0,8σ0p σ0C = 0,8σ0p
σ0C = 0,8σ0p σ0D = 0,7σ0p σ0D = 0,7σ0p
Esfuerzo admisible 0,6σ0p 0,6σ0mat,1 0,6σ0mat,2
Esfuerzo fatiga perno 0,1σ0p 0,1σ0p 0,1σ0p
Coef. concent. de esfuerzos K K K
Esfuerzo ruptura 1,45σ0p 1,45σ0mat,1 1,45σ0mat,2
L: espesor planchas mm 20 20 20
figura 6.38) probar la raqueta que a continuación se esquematiza en
la figuras. El mango de la raqueta es intercambiable y su montaje se
hace en base a dos pernos que se aprietan con una tuerca de mariposa.
En la unión se ubica un material elastómero cuya rigidez es 6 veces
menor que la del material de los pernos con el objeto de amortiguar la
reacción en cada golpe a la pelota. Suponiendo que la fuerza de impacto
en la raqueta es del orden de 10kg en promedio, se pide determinar el
diámetro mı́nimo de los pernos suponiendo que se use un coeficiente de
seguridad igual a 2. El materialdel perno tiene un esfuerzo de fluencia
de 700MPa, esfuerzo de ruptura de 1100MPa, limite a la fatiga de
500MPa y su módulo de elasticidad es de 2, 3x105MPa. Considere
que la fuerza inicial de apriete de los pernos es tal que queda sometido
a la mitad de su esfuerzo de fluencia.
9. La Figura 6.39 representa un rompe-rocas usado en la mineŕıa en el
proceso de molienda primaria, es decir cuando el mineral sale de la mi-
na. El camión del ejemplo anterior descarga el mineral en el chancador
primario (ver figura 6.39a. En esta etapa trae pedazos de rocas que
pueden trabar el funcionamiento normal de los molinos primarios. En
la parte superior del chancador se ubica el pica-rocas. En su extremo
tiene una herramienta neumática que es la que sirve para fracturar los
pedazos de roca que traban el sistema.
Gabriel Barrientos R. 119
Figura 6.38: Nuevo diseño de raquetas de tenis
120 Gabriel Barrientos R.
Este rompe-rocas se ubica sobre el chancador primario, de manera
de operar cuando estas rocas de mayor tamaño traban el sistema. El
sistema de movimiento de los brazos del rompe-rocas es accionado
por los cilindros hidraulicos mostrados, y además tiene un movimiento
circular de la tornamesa respecto de la base que está fija. El punzón
del martillo neumático se posiciona sobre la roca (Figura 6.39b) y
comienza a golpearla hasta que la fractura completamente y el sistema
de molienda puede seguir operando.
La Figura muestra las cargas que se transmiten a ese punto de la base
fija, producto de la operación cuando el martillo neumático está fun-
cionando. Suponga que estas cargas son dinámicas y que vaŕıan desde
0 (cero) hasta el valor indicado. Se pide disenar los pernos A y los per-
nos B que se indican. Las medidas necesarias a considerar en el cálculo
deben ser extrapoladas de la figura a suponiendo que las Figuras b,
c y d que se encuentran a escala. Los materiales y las demás carac-
teŕısticas que use en el cálculo deberán ser estimadas adecuadamente
e indicando la referencia desde donde fue obtenida.
Mo = 1250kNm ; momento respecto a un eje que sale del plano del
dibujo
Vx = 111kN ; carga de corte sobre la base
Vz = 165kN ; carga vertical sobre la base
10. La figura 6.40 representa varias planchas que deben unirse con pernos.
Determine el diámetro mı́nimo de los 5 pernos que unen las planchas
A y B ubicados cada 45o como se muestra en la figura. Para calcular
las reacciones en el perno considere que las planchas son ŕıgidas. Para
calcular la elasticidad de las planchas, considere que las planchas son
del material indicado en la Tabla 6.5. Las golillas tienen un diámetro el
doble que el diámetro nominal del perno. La fuerza inicial de apriete
(antes de que actúen las cargas externas) es tal que el perno queda
sometido a una fuerza axial que genera un esfuerzo igual a la mitad de
su esfuerzo de fluencia. L = 1m. a = 20mm,M = 2000Nm. Establezca
claramente sus hipótesis.
11. La figura 6.41 representa la unión entre 2 planchas del tipo A y 2
planchas del tipo B usando los 12 pernos que se muestran. Determine
el máximo momento M = T que es posible aplicar si se usan pernos
de diámetro igual a 10mm. M y T están en fase, es decir cuando M es
máximo T también es máximo. El valor mı́nimo es M = 0. La longitud
Gabriel Barrientos R. 121
Figura 6.39: a)Máquina minera denominada Pica rocas. (b) Descarga de
un camión de la mineŕıa sobre el chancador primario, c) Posición tipica de
trabajo para picar rocas de gran tamano que traban la molienda primaria,
d) Cargas de diseño en la base del picarocas, e) detalles de la base
122 Gabriel Barrientos R.
Plancha A B C pernos
Esfuerzo de fluencia MPa 100 200 300 600
Esfuerzo de ruptura MPa 200 350 400 1000
Esfuerzo de corte MPa 50 100 150 300
Esfuerzo de fatiga 40 60 80 100
Módulo Elasticidad MPa 2,1e11 1,8e11 1,1e11 2,1e11
Cuadro 6.5: Valores de los materiales para el problema de planchas aper-
nadas y soldadas
Figura 6.40: Planchas apernadas y soldadas
Gabriel Barrientos R. 123
de cada uno de los tres tramos longitudinales del perno es L/3 (L = 4d
es la longitud de trabajo del perno). Use un coeficiente de seguridad
a la fatiga igual a 2,5. Establezca claramente las hipótesis en cada
decisión que tome y use datos prácticos y de materiales obtenidos de
apuntes de clases. Para determinar la fuerza inicial de apriete considere
que las planchas son de acero.
Figura 6.41: Ejemplo de planchas apernadas con cargas múltiples
12. La figura 6.42 muestra una plancha cuadrada de lado L = 1m y espesor
h = 1in, fija a una mesa también cuadrada de lado L, con cuatro per-
nos pasantes simétricamente ubicados respecto al centro C indicado.
La plancha está girada respecto a la mesa (vista en planta) en 45o. En
cada uno de los cuatro vértices de la plancha se ubican cuatro momen-
tos constantes (cargas de trabajo) M = 10000Nm en las direcciones
que se indican. La mesa es de acero (E = 207GPa; módulo de elastici-
dad y σ0 = 440MPa; resistencia a la uencia) y la plancha de Aluminio
(E = 71GPa; módulos de elasticidad y σ0 = 76MPa; resistencia a
124 Gabriel Barrientos R.
la fluencia). Suponga una fuerza inicial de apriete un 50 % del valor
de la fluencia del material del perno que usted debe seleccionar de los
apuntes para que la unión quede trabajando con un coeficiente de se-
guridad N = 2, 5 del resto de elasticidad que disponen los pernos luego
del apriete inicial. Debe determinar el diámetro mı́nimo de los cuatro
pernos. Plantee sus hipótesis claramente y asigne valores adecuados de
parámetros que necesite y no estén especificados.
Figura 6.42: Ejemplo de planchas apernadas en mesa cuadrada
Caṕıtulo 7
Uniones soldadas
7.1. Introducción
Debido al menor costo inicial, muchas partes estructurales de maquinar-
ias hechas antiguamente por fundición, ahora se fabrican soldadas. Los com-
ponentes pueden cortarse mecánicamente o con soplete a partir de planchas
metálicas laminadas en caliente y luego soldarse entre śı.
La figura 7.1 muestra un amplio espectro de tipos de soldadura y sus
nombres asociados. Permite tener una visión de la forma en que se pueden
clasificar los distintos tipos de soldadura.
La figura 7.2 muestra algunas piezas soldadas. Los ensambles soldados
generalmente proporcionan mayor resistencia asociada a una reducción de
peso, lo cual representa una importante ventaja en las partes móviles de
máquinas y equipos de transporte. En un diseño soldado también en general
se efectúa menor cantidad de maquinado que en una fundición equivalente.
125
126 Gabriel Barrientos R.
El diseño debe proporcionar accesibilidad a las soldaduras de manera que
ellas puedan fabricarse e inspeccionarse apropiadamente.
7.2. Soldadura por fusión
En el proceso de fusión, el calor se obtiene de una flama de oxiacetileno o
de un arco eléctrico que se forma entre un electrodo y una pieza de trabajo.
Los bordes de las partes son calentadas a la temperatura de fusión y se unen
entre śı con la adición de material fundido de aportación proveniente de un
electrodo.
En la soldadura por arco metálico el electrodo está compuesto por ma-
terial de aportación apropiado que se funde y se vierte en la junta conforme
el proceso de soldadura avanza. La soldadura por arco protegido usa un
electrodo con un fuerte recubrimiento de materiales fundentes. Estos se con-
sumen al fundirse el electrodo y llevan a cabo las funciones usuales de un
fundente, tal como se muestra en la figura 7.3.
Cuando se usa la antorcha de oxiacetileno, el metal fundido es protegido
de la atmósfera por la envolvente exterior de la flama. La flama se ajusta
generalmente hasta que es neutra o ligeramente reductora. En la soldadura
por gas de algunos metales se usa un fundente para llevar a la superficie
cualquier impureza que pueda estar presente y ayudar aśı a formar una
soldadura sana.
Con el proceso de arco metálico puede usarse corriente directa o cor-
riente alterna. Cuando la soldadura es mayor de aproximadamente3/8 in
de espesor, es usual hacerla por depósitos de capas sucesivas. El metal de
soldadura depositado tiene con frecuencia la estructura burda caracteŕıstica
de los metales fundidos.
7.3. Simboloǵıa y su uso
La figura 7.4 muestra la forma en que está normalizada una construcción
con soldadura que debe incluirse en un planos de dibujo normalizado. La
figura está extráıda del libro de Elementos de Máquinas del autor Shigley
[17] basada en los estándares de la norma A.W.S.
En la figura 7.5 se muestran cómo se debe indicar en un plano varios
tipos de soldaduras. Las ĺıneas de segmento indicadas permiten visualizar
en algunos casos los biseles que deben realizarse en las planchas antes de
soldar. Las placas que son de 1/4 in de espesor y mayores, deben biselarse
antes de soldarlas.
Gabriel Barrientos R. 127
Figura 7.1: Clasificación de soldaduras usadas en la práctica [7]
128 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.2: Ejemplos de piezas soldadas
Figura 7.3: Soldadura de fusión por arco metálico
Gabriel Barrientos R. 129
Figura 7.4: Figura que muestra la forma de la simboloǵıa de soldadura
estándar A.W.S.
Figura 7.5: Algunos ejemplos de aplicación de la simboloǵıa
130 Gabriel Barrientos R.
7.4. Cálculo de espesor de soldadura
En el caso de una unión de dos planchas como en el caso mostrado en la
figura 7.6 se establecen dos hipótesis básicas:
1. Las planchas permanecen separadas después de constrúıdo el cordón
de soldadura. Como en el caso de una unión apernada, donde la in-
terracción entre las planchas a unir está asegurada por la acción de
los pernos que siempre las mantienen apretadas entre śı, en el caso
de planchas soldadas en la mayoŕıa de los casos las planchas pueden
quedar levemente separadas, por lo que los esfuerzos sólo los absorbe
el cordón de soldadura.
2. Se supone para el cálculo de esfuerzos teóricos en el cordón de soldadu-
ra, las planchas a unir son ŕıgidas. Cualquier cálculo que considere la
elasticidad de las planchas a unir debeŕıa hacerse en forma numérica,
por ejemplo con programas por elementos finitos.
Cuando la acción de fuerzas y/o momentos producen distintos efectos
sobre el cordón de soldadura, existen métodos para cuantificar los efectos en
forma individual a cada acción.
Figura 7.6: soldadura-plancha-cordon
7.4.1. Soldaduras sometidas a tracción y/o compresión
La figura 7.7 muestra algunos ejemplos de esfuerzos sometidos corte y/o
tracción en unónes soldadas simples ya sea a tope o a filete. El esfuerzo
Gabriel Barrientos R. 131
calculado proviene de una fórmula del tipo fuerza dividido por el área re-
sistente. Aśı por ejemplo en el caso de un filete como el de la figura 7.7a),
el esfuerzos está dado por la relación:
σ =
F
A
(7.1)
para el caso de esfuerzos debido a la tracción. La figura 7.7b) muestra el
cálculo para una unión sometida a esfuerzos de corte por carga transversal
τ =
F
A
(7.2)
donde F es la fuerza total sobre el conjunto de soldaduras resistentes y
A el área resistente total de los cordones.
Numéricamente ambos cálculos entregan el mismo valor pero conceptual-
mente son diferentes. Cada uno deberá ser comparado con las resistencias a
la tracción o la resistencia al corte del material del cordón repectivamente.
En casos como estos, se produce en la práctica un sobredimensionamiento
del cordón debido a que se calcula respecto al corte, siendo que en la realidad
en la gargante del cordón siempre se produce una combinación de esfuerzos
de tracción y corte. Ese sobredimensionamiento por diseñar considerando
sólo corte en la gargante produce niveles de esfuerzos 1.26 mayores respecto
del valor real de corte en esa sección. Para detalles de este cálculo ver lo
planteado por [17]
7.4.2. Soldadura sometidas a efectos de torsión y flexión
Cuando una plancha es unida por soldadura a otra, la accion de fuerzas
y/o momentos externos en varias direcciones producen esfuerzos combina-
dos. La figura 7.8 muestra un caso de ejemplo donde prediminan acciones
de flexión y torsión sobre el conjunto de cordones mostrado.
Torsión
En el caso del ejemplo dado por la figura 7.8 el efecto de torsión lo pro-
duce la acción de la fuerza Fy. El momento torsor está dado por la relación
T = Fyd donde la distancia d corresponde a la distancia entre la ĺınea de
acción de la fuerza que produce la torsión y el centroide C. El centroide C
de los cordones representa el punto por donde pasa hipotéticamente el eje
polar respecto al cual se produce la torsión. Su cálculo se basa en las mis-
mas ecuaciones dadas en el caṕıtulo para uniones apernadas. En este caso
132 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.7: Determinación de esfuerzos en juntas soldadas simples
Figura 7.8: soldadura con afectos de torsión y flexión sobre los cordones
Gabriel Barrientos R. 133
los esfuerzos calculados están basados en la teoŕıa de Coulomb para ejes
circulares, es decir se calculan de acuerdo a la relación:
τt =
Tr
J
(7.3)
La distancia r corresponde a la ĺınea perpendicular trazada desde el cen-
troide al punto que se quiere calcular el esfuerzo. J corresponde al segundo
momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centroide.
En la figura 7.8 se definen los siguientes parámetros:
(x, y, z): sistema de ejes coordenados necesario para definir la posición
del centroide de los cordones de soldadura. Permite a través de la
relación (6.12) ubicar la posición del centroide C.
(xC , yC , zC): sistema de ejes coordenados que pasan por el centroide
C y pararlelos a los ejes (x, y, z)
(xi, yi, zi): sistema de coordenadas locales para cada uno de los cor-
dones de soldadura presente con origen en Ci (centroide de cada cordón
i)
Fy: componente de la fuerza que produce el efecto de torsión sobre
los cordones de soldadura. Dicha torsión se produce respecto a un eje
perpendicular al plano (dirección z) que pasa por el centroide C.
Fz: componente de la fuerza que produce el efecto de flexión sobre los
cordones de soldadura.
El uso de la teoŕıa de Coulomb para ejes circulares implica una aproxi-
mación de los efectos, pero de acuerdo a mediciones y evaluaciones numéri-
cas presentan la suficiente confianza en que se están calculando esfuerzos
levemente sobredimensionados, lo que permite confiar en estos resultados.
Técnicas de fotoelasticidad, medición de deformaciones con strain gages y/o
modelación numérica por ejemplo con programas de elementos finitos han
corroborado estos cálculos sobredimensionados.
El principal problema para un caso general como el presentado radica en
el cálculo de los momentos de inercia con respecto a los ejes definidos. Para
el caso de la torsión, en la relación (7.3).
T = Fxd Nm es el torque presente en la soldadura (en el centroide) y r
representa la distancia perpendicular desde el punto de la soldadura donde
134 Gabriel Barrientos R.
se quiere determinar el esfuerzo τt hasta el centroide C donde el momento
polar de inercia J queda determinado por:
J = Ix + Iy (7.4)
donde por ejemplo el cálculo expĺıcito para este ejemplo del momento de
inercia Ix está dado por:
Ix = I
1
x + I
2
x + I
3
x =
b1a
3
1
12
+ a1b1d
2
1 +
a2b
3
2
12
+ a2b2d
2
2 +
b3a
3
3
12
+ a3b
2
3 (7.5)
El esfuerzo calculado según ecuación (7.3) es un esfuerzo de corte cuya
dirección es perpendicular a la distancia r.
Flexión
Usando la misma figura 7.8 se puede definir el efecto de flexión dado por
la fuerza Fz. En este ejemplo se produce flexión respecto a los ejes x y y
que pasan por el centroide C determinados según las relaciones My = Fzd
y Mx = Fze. Cuando existe simetŕıa geométrica y simetŕıa respecto a las
cargas, estos momentos dan origen al cálculo de esfuerzos:
σi =
Miyi
Ii
(7.6)
que corresponde a la ecuación de cálculos de esfuerzos por flexión cuando
la flexión se produce respecto a ejes principales. Si como en este ejemplo, x
e y no corresponden a direcciones principales, éstas se determinan a partir
de las direccionesx e y conocidas y calculadas en el centroide. Cuando ello
sucede, las direcciones principales se calculan de acuerdo a las relaciones:
I1,2 =
Ix + Iy
2
±
√
(
Ix − Iy
2
)2 + I2xy (7.7)
tan(2θ) = (−Ix − Iy
2Ixy
) (7.8)
y con respecto a estas direcciones es aplicable la ecuación de flexión (7.6)
estas direcciones con M1 =
∑
Mi1 es la sumatoria vectorial de los momentos
Mi que producen momento con respecto al eje principal 1.
Lo normal es calcular el tamaño del cordón de soldadura, lo que en
la práctica se define como una soldadura de espesor uniforme, es decir,
Gabriel Barrientos R. 135
por ejemplo en el caso de la figura 7.6 las dimensiones de los cordones
a1 = a2 = a3 puede igualarse a 1, lo que permite calcular los momentos
de inercia por unidad de longitud, con lo que se independiza del espesor.
Aśı este cálculo se realiza en forma unitaria y se denomina Iu en am-
bas direcciones 1 y 2 o el momento polar Ju de espesor unitario, tal que el
momento final J = 0,707hJu para el esfuerzo de torsión, o para la flexión
I1 = 0,707hIu1 ó I2 = 0,707hIu2.
Los libros de cálculo de soldaduras presentan valores de momentos de
inercia para distribución de cordones relativamente simétricos, tal como se
indica en las Tablas de las figuras 7.9 para torsión y 7.10 para flexión. Siem-
pre es más sencillo determinar los momentos de inercia en forma unitaria.
Figura 7.9: Momentos de inercia de cordones unitarios en torsión [17]
La referencia [25] realiza un estudio numérico de varios piezas soldadas
sometidas a cargas de todo tipo. Se comparan estos resultados numéricos con
las expresiones teóricas y se grafican las diferencias. Un ejemplo se muestra
en la figura 7.11 para una pieza soldada sometida a esfuerzos de flexión.
136 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.10: Momentos de inercia de cordones unitarios en flexión [17]
7.5. Concentrador de esfuerzos en soldaduras
Cuando se tienen cambios abruptos en las forma de las soldaduras, se
presentan concentraciones de esfuerzos. Los efectos de esta concentración
son usualmente ignorados para cargas estáticas y deben ser considerados en
el caso de cargas fluctuantes (fatiga). Debe tenerse cuidado que el metal de
aporte y las placas en la base de una soldadura a tope queden bien fundidas
entre śı. Cuando la fusión es insuficiente, muescas de esquinas agudas se
extienden hacia adentro, como se muestra en la figura 7.12a) y, resultan
de ello serias concentraciones de esfuerzos. Estas concentraciones ocurren
también en los puntos B donde la fuerza se difunde hacia el refuerzo. Un
filete de soldadura tiene concentraciones en la punta y en el talón (puntos A
y B de la figura 7.12b)), donde la fuerza pasa de una placa a la otra a través
de la soldadura. Algunos factores de concentración de esfuerzos se muestran
en la Tabla 7.1.
Un filete de soldadura cargado por fuerzas paralelas como en la figura
7.7c) tiene concentraciones de esfuerzos en cada extremo causadas por los
alargamientos desiguales de las placas. La placa superior en el punto B tiene
el alargamiento máximo porque ah́ı se está soportando toda la carga P .
La placa inferior en A tiene un alargamiento pequeño porque soporta muy
poca carga en ese punto. Como la soldadura une las dos placas entre śı,
Gabriel Barrientos R. 137
Figura 7.11: Ejemplo de cálculo numérico en soldaduras sometidas a flexión
[25]
Figura 7.12: Puntos de concentración de tensiones en una soldadura
Cuadro 7.1: Factores de concentración de esfuerzos en algunas soldaduras
Localización K
Soldadura a tope reforzada 1,2
Punta de la soldadura de filete transversa 1,5
Extremo de la soldadura de filete paralelo 2,7
Junta a tope con esquinas agudas 2,0
138 Gabriel Barrientos R.
está sometida a una mayor deformación que el promedio para la soldadura
como un todo, y un incremento o concentración de esfuerzos tiene lugar en
el extremo de la soldadura.
Razonamientos similares son aplicables al otro extremo, donde la placa
inferior en C tiene un alargamiento grande y la placa superior en D tiene un
alargamiento pequeño. Efectos similares de concentración de esfuerzos están
presentes en los extremos de la soldadura a tope en cortante, según la figura
7.7b).
7.6. Aplicación de Métodos Numéricos
Uno de los métodos más comunes para resolver problemas de carácter
estructural es el método de los elementos finitos. Comercialmente se puede
encontrar muchos sofware que permiten el cálculo de esfuerzos en partes
estructurales. Siempre deberá tenerse mucho cuidado con los datos que se
deben ingresar en el programa computacional, ya que debemos tener alguna
herramienta para verificar los resultados obtenidos en forma numérica, de
manera de tener certeza que ellos son cercanos a la realidad.
Las soldaduras en general son tratadas en forma localizada, de manera
que incluso en la práctica los cordones no se consideran en el modelo global y
sólo se realiza un análisis localizado cuando los esfuerzos locales en las zonas
donde existen soldaduras tienen magnitud significativa. Algunos ejemplos se
presentan en la figura 7.13 y 7.14.
7.7. Esfuerzo residual. Soldabilidad
Esfuerzos residuales de considerable magnitud pueden resultar de la con-
tracción del metal de aportación al enfriarse. Tales esfuerzos son usualmente
máximos en la dirección transversal y son por lo tanto más dañinos cuando
el cordón de soldadura está sometido a cargas de tensión.
La presencia de esfuerzos residuales es particularmente peligrosa si la
soldadura está sometida a cargas repetidas o de impacto. La eliminación de
cargas residuales puede hacerse con un recocido o por la aplicación de una
sobrecarga, que esfuerce toda la soldadura al valor del punto de fluencia.
Es importante que tanto el material de aporte como el base sea dúctil
y libre de fragilidad. Las propiedades del metal de aporte dependen de la
composición del electrodo a usar. Sin embargo, para metal base de acero con
Gabriel Barrientos R. 139
Figura 7.13: (a) Modelo de soldadura de dos planchas desalineadas (b) Ob-
tención de esfuerzos localizados
140 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.14: Tubeŕıa submarina que sufrió un daño en una zona soldada que
presentaba alto grado de desalineamientop (no colinealidad). Se muestra el
esquema del modelo numérico a construir y los correspondientes esfuerzos
un contenido de carbono mayor a 0.15 %, existe el peligro de endurecimien-
to por aire, al enfriarse rápidamente el metal desde la temperatura de fusión.
El efecto de templado del metal fŕıo que rodea a una soldadura puede ser
reducido si las partes se precalientan entre 600 y 1500oF antes de depositar la
soldadura. Un tratamiento de recocido después de soldar puede ser necesario
para restaurar la ductilidad original del metal base. Las caracteŕısticas de
fusión de la soldadura de algunos metales y aleaciones comúnmente usados
se muestran en la Tabla que se muestra en la figura 7.15.
Los esfuerzos residuales de soldadura en el hierro fundido y de aleación
pueden eliminarse precalentando antes de soldar, seguido de un enfriamiento
lento después de soldar. Las fundiciones de acero al carbono simple y alea-
do son comúnmente soldadas por los mismos procedimientos usados para el
acero laminado de composición similar. El endurecimiento por aire ocurre si
el contenido de carbono a de partes aleantes es suficientemente alto.
Los fundentes son necesarios para soldar aluminio para remover el re-
cubrimiento de óxido de metal base y de los electrodos. Cuando se termina
de soldar, las partes deben quedar limpias del fundente para evitar corrosión.
Como la temperatura de soldar del aluminio y del magnesio está por debajo
Gabriel Barrientos R. 141
Figura 7.15: Caracteŕısticas de soldabilidad de algunos metales
del rango de la luz visible, es dif́ıcil para el operador determinar cuando se
está llegando a la temperatura de soldar.
A temperaturas altas, esas aleaciones son muy débiles y existe una ten-
dencia a que el miembrose colapse a menos que se proporcione un soporte
efectivo durante la operación de soldadura.
7.8. Electrodos para soldar
Se han estandarizado una gran cantidad de electrodos para satisfacer
las diversas condiciones encontradas en los sistemas o estructuras soldadas.
En la Tabla 7.16 se entregan propiedades de resistencia de los electrodos de
algunos de ellos. El sistema de numeración se basa en el uso de un prefijo E
seguido de cuatro d́ıgitos. El último d́ıgito el grupo de variables relativa a la
técnica de soldadura, tales como el suministro y aplicación de la corriente.
El penúltimo d́ıgito indica la posición de soldar:
1: para todas las posiciones, plana, vertical, horizontal y elevada,
2: para soldadura de filete plano y horizontal,
3: para soldadura sólo en posición plana.
Los dos d́ıgitos a la izquierda indican la resistencia a la tensión aproxima-
da en miles de libras por pulgada cuadrada (kpsi). Se dispone de electrodos
para soldar en diámetros de 1/16 a 5/16in. En la Tabla que se muestra en la
142 Gabriel Barrientos R.
figura 7.17 se muestran las propiedades de aplicación para varios electrodos.
La selección del electrodo apropiado para una aplicación particular debe ser
hecha por una persona con gran experiencia en el campo de la soldadura.
Figura 7.16: Requisitos de resistencia del metal de aporte para varios elec-
trodos
Figura 7.17: Clasificación de los electrodos
7.9. Ejemplos
1. Para el problema de la figura 7.18 establezca claramente sus hipótesis.
El momento aplicado M es constante.
i) Determine el mı́nimo espesor de la soldadura que se muestra en la
figura para fijar el tubo de sección cuadrada (lado A y espesor de pared
T ). El largo del tubo es igual a L. Los materiales y sus resistencias
son conocidas.
Gabriel Barrientos R. 143
ii) Determine el diámetro mı́nimo de los cuatro pernos ubicados simétri-
camente en la plancha base. Establezca claramente las hipótesis sobre
las cuales basa sus cálculos.
La geometŕıa respecto a la ubicación de los pernos es conocida (ust-
ed debe asignarle las letras que identifiquen cualquier variable que
aparezca en los cálculos).
Figura 7.18: Soldadura de geometŕıa rectangular sometida a la acción de un
momento 2D
2. La figura 7.19 representa un acoplamiento denominado Oldham, que
consiste en dos piezas que conectan dos ejes colineales y transmiten la
potencia a través de un elemento intermedio tipo cruz como el que se
muestra en la figura. Por algún problema de fábrica una de las piezas
se quebró, y no existe repuesto en el comercio. Su jefe en la industria
en que usted trabaja le encomienda el cálculo del cordón de soldadura
necesario para que los ejes transmitan una potencia máxima de 10kW
a 20rpm. El diámetro D indicado es de 8cm. La profundidad de la
ranura de la pieza es de A = 2cm. Los datos de resistencia deben ser
tomados de tablas. Establezca claramente sus hipótesis.
3. Para la placa de la figura 7.20.a determine el espesor mı́nimo de sol-
dadura. Seleccione el electrodo adecuadamente y use un coeficiente
de seguridad igual a 2, 5. Aplique fatiga y obtenga los valores de re-
sistencia de materiales de tablas y/o recomendaciones. La fuerza F y
la fuerza Fcos45o apuntan en direcciones opuestas, es decir estan en
contra fase
4. Determine la carga T (momento) máximo que puede soportar la unión
144 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.19: Acoplamiento Oldham que debe ser soldado
Figura 7.20: (a) Soldadura con cargas de fatiga, (b)Placa sometida a flexión
soldada mostrada en la figura 7.20.b. Use cordones de 8 mm de gar-
ganta
5. Para la plancha soldada de la figura 7.21.a determine la carga máxima
F que puede soportar la unión soldada. Use materiales dados en clases
y establezca claramente sus hipótesis necesarias para desarrollar el
problema. Los datos geométricos son los siguientes: a = 20mm, b =
30mm, c = 6mm, d = 140mm, e = 80mm,
6. El eje de acero mostrado en la figura 7.21.b está soldado en su base
rectangular. En el cordón de soldadura se utiliza un electrodo de 393
MPa de resistencia a la fluencia y 482 MPa de resistencia a la ruptura.
Gabriel Barrientos R. 145
Figura 7.21: (a) Placa sometida a torsion y corte transversal, (b) Eje soldado
a una estructura fija
Determinar la fuerza P máxima a aplicar para que la soldadura trabaje
con un coeficiente de seguridad de 2,1
7. Para la plancha soldada de la figura 7.22.a , determine la carga máxima
F que puede soportar la unión. Use materiales dados en clases. Los
datos geométricos son los siguientes:
Espesor de la garganta del cordón = 8mm,
Espesor de la plancha a soldar = 10mm.
El torque T es aplicado perpendicular al plano del dibujo: T = 2F
(constante),
La fuerza F es alterna pura (+F,−F ).
R = 30cm; a = 10cm; b = 50cm.
Coeficiente de seguridad = 1,8
8. Para la plancha soldada de la figura 7.22.b, determine el cordón mı́nimo
de soldadura que une el cilindro de pared gruesa a la pared (cordón A)
y que pueda soportar la carga máxima de F = 1000 Kg. Suponga que
los espesores de las planchas permiten el tipo de cordón determinado
en sus cálculos. Los datos geométricos son los siguientes: a = 30 cm, ;
b = 40 cm ; c = 80 cm, Coeficiente de seguridad = 1,5. Use resistencia
de soldaduras dadas en clases.
146 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.22: (a) Ejemplo con base soldada circular, (b) Soldadura en torsión
9. Para la plancha de acero de la figura 7.23, de 12mm de espesor, de-
termine el espesor mı́nimo de los cordones de soldadura. El momento
externo constante es M = 3000Nm. Los valores de resistencia de los
materiales a usar deben ser obtenidos de recomendaciones de la liter-
atura especializada.
10. Para la plancha de la figura 7.24 de espesor e = 12mm, considere que
los cordones de soldadura A,B y C fueron realizados con los electrodos
cuyas caracteŕısticas mecánicas se muestran en la Tabla 7.2.
soldadura Electrodo Esfuerzo de fluencia (MPa)
A E60xx 427
B E80xx 551
C E120xx 827
Cuadro 7.2: electrodos
Considerando que a = 8mm determine la máxima fuerza estática F
que puede soportar la unión. Considere un factor de seguridad igual a
1, 8
11. Para la placa de la figura 7.25.a, determine el espesor mı́nimo de sol-
dadura. Seleccione el electrodo adecuadamente y use un coeficiente
de seguridad igual a 2, 5. Aplique fatiga y obtenga los valores de re-
sistencia de materiales de tablas y/o recomendaciones. La fuerza F y
la fuerza Fcos45o apuntan en direcciones opuestas, es decir están en
contra fase
Gabriel Barrientos R. 147
Figura 7.23: Plancha soldada con aplicación de momento externo 3D
12. Situación ficticia. El intercambiador de calor de la figura 7.25.b trabaja
con una presión interna variable (8÷ 12) atm.
Está constituido por un cuerpo ciĺındrico anclado a una fundación
y dos cabezales montados apernados con espárragos roscados y dos
tuercas empleando una empaquetadura apropiada para asegurar la
estanqueidad.
En uno de los cabezales se dispone montado un conjunto Moto-bomba
sobre una consola soldada al cabezal. Este conjunto pesa en total 50
kg, el diámetro de descarga es 2 in. En condiciones normales, la bomba
eleva el fluido a una presión de 20 atm., girando a una velocidad de
1500 RPM .
Se pide determinar el espesor mı́nimo de soldadura de la consola al
estanque.
Considere:
- Acero estructural.
- Se sabe también que la bomba posee un desbalanceo producto de la
rotura de un álabe, que se presume equivale a una masa de 150 gr,
con una excentricidad de 4 cm.
148 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.24: Figura ejemplo 10
13. Para la plancha soldada de la figura 7.26.a, determine el espesor mı́ni-
mo del cordón si la plancha tiene una densidad ρ y las dimensiones
están dadas en la figura.
DATOS: ρ densidad del material de la plancha, σo1 esfuerzo de fluencia
de la plancha, σo2 esfuerzo de fluencia de la soldadura, σr1 esfuerzo de
ruptura del material de la plancha, σr2 esfuerzo de ruptura del material
de la soldadura.
14. La plancha de espesor t de la figura7.26.b está soldada al muro según
los cordones simétricos indicados. La carga F variable apunta hacia el
centroide C de los cordones. Explique justificadamente como determi-
na el espesor mı́nimo de los cordones de soldadura.
15. La figura 7.27.a muestra un motor instalado sobre una placa metáli-
ca doblada de 112 in de espesor. El motor tiene un desbalanceamien-
to que produce una fuerza giratoria F = 1000sen(wt)N . La veloci-
dad de giro del motor es de 1500rpm. Esta fuerza gira en un ra-
dio de 15 cm respecto al eje de giro del motor. Considerando que
a = 80cm, b = 40cm, c = 80cm, d = 20cm, e = 40cm y el peso del mo-
tor es de 2500N , determine el espesor mı́nimo de soldadura indicado
en la figura. Los datos de resistencia de los electrodos obténgalos de
tablas en la literatura especializada.
16. Determine el espesor minimo de soldadura para el eje inclinado de
la figura 7.27.b que tiene aplicado un torque T = 5000 Nm en la
dirección indicada. Las dimensiones geométricas debe obtenerlas del
dibujo (escala 1:4 en miĺımetros). Considere los siguientes valores de
Gabriel Barrientos R. 149
Figura 7.25: (a) Soldadura sometida a esfuerzos variables, (b) Intercambi-
ador de calor
resistencia del cordón: σ0 = 45 kg/mm
2 como esfuerzos a la fluencia
y σr = 70 kg/mm
2 como esfuerzo de ruptura.
17. Para el problema dado en la sección de pernos representado en la figura
6.40, determine el coeficiente de seguridad para la soldadura mostrada
que une las planchas B y C. La resistencia a la fluencia del electrodo
es de 300 MPa. Resistencia a la ruptura = 600 MPa. Resistencia a
la fatiga = 100 MPa. Resistencia al corte = 150 MPa, Momento M
= 2000 Nm. L = 1 m , a = 20 mm. Considere que la forma de la
sección transversal del cordón de soldadura es un triángulo rectángulo
de hipotenusa 2a.
18. La figura 7.28 representa la unión entre 3 planchas sometidas a la
acción de las dos fuerzas F indicadas. Usando un coeficiente de seguri-
dad igual a 2,5 determine el mı́nimo espesor de soldadura para una
fuerza F = 5000 N . Considere a = 20 mm. Establezca claramente
las hipótesis en cada decisión que tome y use datos prácticos y de
materiales obtenidos de apuntes de clases.
19. Se requiere diseñar la unión soldada de la figura 7.29 con una fuerza
dinámica alterna pura de valor Fmax = ±1000 kg. La plancha de acero
estructural debe ser soldada sobre acero también estructural. Con-
sidere: L = 1 m, H = 2 in (espesor de la plancha). Elija el electrodo
150 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.26: (a) Placa de sección variable, (b) Placa curva con carga incli-
nada
según apuntes. Suponga todos los cordones de igual espesor. Indique
fundadamente las hipótesis necesarias cada vez que se requieran y con-
sidere cualquier parámetro que necesite según literatura disponible.
Determine el espesor mı́nimo del cordón de soldadura
20. Considere H = 1 in y F = 1000 kg. La figura 7.30 muestra varias plan-
chas soldadas. Determine el espesor mı́nimo de la soldadura indicada
bajo la acción de la carga dinámica ±F y la carga constante 2F según
las direcciones mostradas. Considere que el esfuerzo de fluencia del
electrodo es σ0 = 480 MPa. Use un coeficiente de seguridad a la fati-
ga Nf = 3 y un coeficiente de seguridad a la fluencia N0 = 2. Plantee
sus hipótesis claramente y asigne valores adecuados de parámetros que
necesite y no estén especificados.
21. Para los ejemplos de cálculos mostrados en la figura 7.31 verifique
los resultados mostrados en cada caso que se le indique. Dicha Tabla
aparece en la bibliograf́ıa [6].
Gabriel Barrientos R. 151
Figura 7.27: (a) Plancha soldada que fija un motor eléctrico, (b) eje sometido
torsion en base inclinada
Figura 7.28: Planchas soldadas cargada con una serie de fuerzas que pro-
ducen diversos efectos sobre los cordones
152 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.29: Planchas soldadas sometidas a una fuerza alterna pura
Figura 7.30: Planchas soldadas con cargas variables y combinadas
Gabriel Barrientos R. 153
Figura 7.31: Ejemplos de cálculo entregados en [6]
154 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 8
Uniones por resortes
8.1. Tipos de resortes
Los resortes son elementos de máquinas comunes que tienen varias uti-
lizades, entre las que destacan:
absorber enerǵıa o cargas de impacto
como elementos motores o fuentes de enerǵıa
para producir una presión o fuerza
para absorber vibraciones
La figura 8.1 [7] muestra un resumen de algunos de los muchos tipos de
resortes que aparecen en la literatura especializada. De entre ellos los más
importantes por su amplia aplicación en máquinas comunes son los resortes
155
156 Gabriel Barrientos R.
de compresión y tracción helicoidales, los resortes de torsión y los resortes
de ballesta.
La relación f́ısica entre la fuerza F que actúa en un resorte y su despla-
zamiento δ se denomina rigidez k del resorte y en general es una relación
constante, dada por la relación ya usada muchas veces: F = kδ.
En el caso de resortes de torsión, la relación análoga está dada por la
relación T = Kθ, donde T es el momento de torsión aplicado, θ es el ángulo
de torsión y K es la constante de rigidez torsional.
La figura 8.2 muestra diferentes curvas de la relación fuerza deflexión. En
el caso de resortes de goma la curva muestra un constante endurecimiento o
aumento de la rigidez. Para un resorte de compresión helicoidal de espiras
redondas, la relación fuerza deflexión es aproximadamente constante y por
último para un resorte de discos (Belleville), la curva muestra que la rigidez
va disminuyendio con la deflexión.
Las configuraciones que requieren resortes en su diseño, muchas veces
requieren que ellos sean montados en serie y/o en paralelo, que para efectos
de diseño pueden ser siempre tratados como resortes equivalentes desde el
punto de vista de la relación entre la fuerza y su desplazamiento. La figura
8.3 muestra los dos casos básicos de configuraciones en serie y en paralelo.
Según su forma los resortes se pueden clasificar en resortes helicoidales,
planos, de disco, de anillos o de barras. Según el tipo de solicitaciónse clasi-
fican en de compresión, de tracción, de torsión o de flexión. La figura 8.4
muestra algunos casos clásicos de formas de resortes usados en la práctica.
8.2. Helicoidales de compresión
8.2.1. De espira redonda
En la práctica es el de más amplio uso. Un resorte helicoidal de com-
presión cuya carga está aplicada centradamente sufre una serie de efectos
(esfuerzos) en sus espiras. La figura 8.5 muestra la descomposición de fuerzas
en una sección tranversal de la espira de este tipo de resorte.
Un análisis en la sección tranversal de la espira indica la presencia de dos
efectos: La fuerza F de reacción vertical en la espira y el torque T = FD/2,
donde D se denomina el diámetro del resorte (definido en la ĺınea media de
la espira) y d el diámetro de la espira.
Gabriel Barrientos R. 157
Figura 8.1: Clasificación de distintos tipos de resortes [7]. a. de tracción
b. compresión, c. compresion de sección rectangular, d. compresión cónico
espira circular, e. compresión cónico de espira rectangular, f.barra de torsión,
g. maciso de torsión, h. torsión ciĺındrico helicoidal, i. torsión de espiral, j.
de disco /belleville), k. flexión, l. de discos, m. compresión de bloque
158 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.2: Curva caracteŕıstica de diversos tipos de resortes a) de goma, b)
de compresión, c) belleville o de discos
Figura 8.3: Rigidez equivalente para resortes en série y/o en paralelo
Gabriel Barrientos R. 159
Figura 8.4: Distintos tipos de resortes [15]
Se usa como parámetro de diseño el factor C = D/d definido como el
ı́ndice del resorte. Estas reacciones en la espira pueden descomponerse en
las direcciones normal n y tangencial t a la sección, originando los siguientes
efectos:
Vt = Fcosα produce esfuerzos de corte por flexión (Jourasky)
Vn = Fsenα produce esfuerzos de compresión
Tn produceesfuerzos de torsión
Tt produce esfuerzos de flexión
De ellos el más significativo (como valor numérico absoluto) es el efecto
de torsión dado por Tn por lo que este tipo de resortes se diseña para que
no falle por torsión en la espira. Si al efecto de torsión se suma el efecto de
corte transversal (considerado como corte directo) de la siguiente forma:
τmax =
Tr
J
+
F
A
=
Td/2
πd4/32
+
F
πd2/4
=
8FD
πd3
+
4F
πd2
(8.1)
La fórmula 8.1 tiene varias consideraciones que pueden ser tratadas como
una aproximación a la realidad. No se ha considerado el ánulo λ de incli-
nación de la hélice del resorte respecto a la horizontal y el esfuerzo (por ser
160 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.5: Reacciones en la espira de un resorte de compresión helicoidal. Se
muestran las componentes de las cargas en la sección transversala la espira
en general d mucho menor a D) de corte de la reacción V se ha considerado
uniformemente distribúıdo.
Lo anterior se justifica ya que se hace un análisis de la influencia del
factor C respecto al factor de concentración de esfuerzos real presente en la
espira por efectos de curvatura y de corte directo.
Reemplazando en la ecuación 8.1 por el factor C = D/d se obtiene:
τmax =
8FD
πd3
(
1 +
0,5
D
)
= Ks
8FD
πd3
(8.2)
donde Ks = (1 + 0,5/C) se denomina factor de corte directo. Whal
experimentalmente determinó un factor que relaciona la curvatura de la
espira con los esfuerzos y obtuvo el denominado factor de Whal Kw dado
por la relación:
Kw =
4C − 1
4C − 4
+
0,615
C
(8.3)
Este factor por ser experimental incluye todos los efectos, por lo que se
acostumbra a separarlos según la relación:
Kw = KsKc (8.4)
donde Kc representa el factor de influencia de la curvatura.
La ecuación 8.2 es general y se aplica tanto a cargas estáticas como
dinámicas.
Si el problema es estático, el material al fluir eliminará el factor de con-
centración de esfuerzos por curvatura y podrá diseñarse el resorte usando la
Gabriel Barrientos R. 161
ecuación 8.2 y estaremos considerando sólo los efectos de corte directo.
El gráfico de la figura 8.6 muestra la dependencia del esfuerzo (concen-
trador de tensión) con respecto al ı́ndice del resorte (curvatura y corte). En
él se puede apreciar que para valores de C < 5 el factor K aumenta acel-
eradamente, tomándose este valor como la cota inferior respecto de C en el
diseño de estos resortes.
La cota superior la entrega la estabilidad del resorte, la cual en la práctica
es del orden de 12, por lo tanto se usa como criterio:
5 ≤ C ≤ 12 (8.5)
Figura 8.6: Coeficiente de corrección de esfuerzos según Whal. C = D/d.
Faires [10] usa K como Ks
Las ecuaciones dadas son válidas para espiras muy juntas (paso pequeño)
por lo que se debe verificar que el valor del ángulo α = arc tg(p/πD) ≤ 12o,
lo que es considerado aceptable sin atentar contra su estabilidad.
Estos apuntes consideran (al igual que el Shigley) en el cálculo el valor
de τ = KW (8FD)/(πd
3) para calcular el esfuerzo cortante máximo.
162 Gabriel Barrientos R.
8.2.2. Espiras activas
La figura 8.7 muestra distintos tipos de extremos de los resortes de com-
presión.Este efecto influye en los cálculos a través del número de espiras
activas Na. Los cuatro tipos indicados en la figura 8.7 representan:
(a) representa un resortes con extremos simples para lo cual se cumple
Na = Nf ,
(b) resorte de extremos simples rectificado con Na = Nf − 1,
(c) resorte de extremos cuadrados con Na = Nf − 2 y
(d) resorte de extremos cuadrados y rectificados con Na = Nf − 2.
Nf es el número total de espiras
Figura 8.7: Distintos tipos de formas de terminación en el extremo del re-
sorte. De izquierda a derecha: a, b, c y d respectivamente
8.2.3. Deflexión
La deflexión de un resorte helicoidal de compresión se obtiene utilizando
el teorema de Castigliano para barras circulares sometidas a corte por flexión
y corte transversal. El valor de la enerǵıa potencial elástica en este caso
está dada por la relación:
U =
T 2L
2GJ
+
F 2L
2AG
(8.6)
Para un resorte se demuestra que: T = FD/2 , L = πDNa, J = πd
4/32
y A = πd2/4 y reemplazando en la ecuación de la enerǵıa se obtiene:
U =
4F 2D3Na
d4G
+
F 2DNa
d2G
(8.7)
Gabriel Barrientos R. 163
Luego aplicando el teorema de Castigliano se puede obtener la deflexión
δ.
δ =
∂U
∂F
=
8FD3Na
d4G
(1 +
1
2C2
) ≈ 8FD
3Na
d4G
(8.8)
como se cumple para un resorte lineal k = F/δ, se tiene para la rigidez
k:
k =
d4G
8D3Na
(8.9)
8.2.4. Estabilidad
Los resortes de compresión pueden sufrir efectos de inestabilidad según
las condiciones de apoyos en sus extremos y según la relación C = D/d. La
figura 8.8 muestra la relación deflexión versus longitud libre Lf y las zonas
de inestabilidad (pandeo) que deberán evitarse en el diseño.
Figura 8.8: Curva de estabilidad en resortes de compresión
8.2.5. Valor útil caracteŕıstico
El valor caracteŕıstico relaciona el trabajo del resorte WF (área bajo la
curva en figura 8.2) con su volumen VF y el correspondiente esfuerzo máximo
al cuadrado según la siguiente relación.
ηA =
2EWF
VFσ2
(8.10)
164 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.9: Valor útil caracteŕıstico para diversos tipos de resortes [13]
ηA =
2GWF
VF τ2
(8.11)
La figura 8.9 muestra comparativamente entre resortes el valor de este
parámetro caracteŕıstico. Se utiliza para definir el denominado grado de uti-
lización de un resorte ya sea en función del volumen VF o en función del
peso GF .
ηV =
WF
VF
(8.12)
que representa el grado de utilización en volumen. y:
ηG =
WF
GF
(8.13)
el grado de utilización en peso.
Gabriel Barrientos R. 165
8.2.6. Frecuencia natural
Una compresión repentina del extremo de un resorte helicoidal puede
generar una onda de compresión que viaja a lo largo del resorte hasta que
se refleja en su otro extremo. La ecuación de la onda que representa el
comportamiento de un resorte montado entre dos placas planas está dado
por:
∂2u
∂y2
=
W
kgl2
∂2u
∂t2
(8.14)
donde k es la constante de rigidez del resorte, g = 9,8m/s2 es la ace-
leración de gravedad, W = ALρ = (π2d2Naρ)/4 es el peso del resorte por
unidad de longitud, y es la coordenada medida a lo largo del resorte y u es
el movimiento de una part́ıcula a la distancia y.
La solución de esta ecuación se resuelve por métodos clásicos e interesan
las frecuencias naturales expresadas en radianes por segundo, dadas por la
relación:
ω = mπ
√
kg
W
(8.15)
donde m = 1 corresponde a la primera frecuencia natural. Si se reemplaza
ω = 2πf se obtiene la primera frecuencia natural en ciclos por segundo (Hz).
f =
1
2
√
kg
W
(8.16)
Se recomienda que la primera frecuencia natural del resorte sea entre 15 a
20 veces como mı́nimo la de la fuerza que actúa sobre el resorte [17]. Si eso
no se cumple, deberá variarse k y/o W
8.2.7. Espira rectangular
En este caso el ı́ndice de resorte C = D/c donde c es el lado de la espiga
en el sentido axial del resorte. Los esfuerzos en la sección de la espira se
obtienen de la teoŕıa de torsión para secciones rectangulares. Los máximos
esfuerzos se encuentran en el punto medio de los lados de la sección, que en
la figura 8.10 se indican con las letras A1 y A2, cuyas expresiones se indican
en las ecuaciones 8.17 y 8.18.
τA1 =
PR
α1bc21
(8.17)
166 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.10: Resorte helicoidal con espira de sección rectangular
Figura 8.11: Resorte helicoidal de compresión de sección rectangular. b)
Curva fuerza deformación para resorte de espira rectangular cónico
Gabriel Barrientos R. 167
τA2 =
PR
α2bc21
(8.18)
A estos esfuerzos deberá sumarse algebraicamente el esfuerzo de corte
por flexión para una sección rectangular dado por 1, 5P/A en el punto A1 o
A2 según sea el caso.
Para obtener la ecuación de la deflexión se utiliza la fórmula del ángulo
de torsión para ejes de sección rectangular por unidad de longitud dado por
la relación 8.19
θ =
T
βGbc31
(8.19)
Reemplazando en 8.19 los valoresde θ = δRL (relación geométrica
aproximada entre θ y δ), y L = 2πRNa se obtiene:
δ =
2πPR3Na
βGbc31
; en punto A1 (8.20)
Los valores de las constantes α1, α2 y β se muestran en la Tabla 8.1 para
diversas relaciones entre a y b.
Cuadro 8.1: Constante de torsión en barras rectangulares
b/c 1.0 1.2 1.5 1.75 2.0 2.5
α1 0.208 0.219 0.231 0.239 0.246 0.258
α2 0.208 0.235 0.269 0.291 0.229 0.336
β 0.1406 0.166 0.196 0.214 0.229 0.249
b/c 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0 ∞
α1 0.267 0.282 0.291 0.299 0.307 0.312 0.333
α2 0.355 0.378 0.392 0.402 0.414 0.421 -
β 0.263 0.281 0.291 0.299 0.307 0.312 0.333
8.3. Helicoidales de tracción
Estos resortes son análogos a los resortes helicoidales de compresión con
la salvedad que son construidos con una pretensión que siempre producirán
esfuerzos de menor magnitud que los esfuerzos necesarios para separar las es-
piras (precarga). La figura 8.12 muestra algunos tipos de ganchos que deben
168 Gabriel Barrientos R.
ser usados para producir la tracción externa.
Independiente del trabajo en las espiras de las helicoides del resorte, tam-
bién debeŕıan calcularse los esfuerzos producidos en los ganchos. La figura
8.13 muestra algunos resortes comerciales usados en la industria con una
amplia variedad en la forma de los ganchos.
Figura 8.12: Algunos extremos de resortes de tracción con ganchos de difer-
entes formas
Figura 8.13: Algunos ejemplos de ganchos comerciales en resorte de tracción
8.3.1. Espiras activas
Se distinguen dos zonas en este tipo de resortes. El gancho de sujeción
en ambos extremos y el cuerpo del resorte. Todas las espiras que pertenecen
al cuerpo del resorte son consideradas como espiras activas.
Gabriel Barrientos R. 169
8.3.2. Esfuerzos en los ganchos
La forma de operación de los resortes de tracción necesariamente obliga a
diseñar ganchos para poder traccionarlos. Dichos extremos sufren esfuerzos
que deberán ser calculados para evitar su posibilidad de falla (ver figura
8-12). En la sección AA existe flexión en viga curva y en la sección BB
torsión. Notar la relación entre los radios de curvatura y los coeficientes K
de concentracion de tensiones en cada caso.
Figura 8.14: Esfuerzos calculados en los ganchos de un resorte de tracción
[20]
σAA =
My
I
= K
16FD
πd3
=
(
r1
r2
)
16FD
πd3
(8.21)
τBB =
Ty
J
=
8FD
πd3
= K
8FD
πd3
=
(
r4
r3
)
FD
πd3
(8.22)
8.3.3. Precarga
La figura 8.15 muestra el efecto de la precarga que debe necesariamente
darse a los resortes de tracción. Estos deben vencer una cierta resistencia
hasta que las espiras comiencen a separarse y los esfuerzos vuelvan a eval-
uarse de la misma forma que en el caso de los resortes de compresión. Este
nivel de precarga Fi se debe obtener durante el proceso de manufactura.
170 Gabriel Barrientos R.
La figura 8.16 muestra rangos de precarga deseados en función del ı́ndice
del resorte. Valores fuera de estos rangos son dif́ıciles de obtener. Las fun-
ciones cúbicas indicadas generan valores de τi en psi y el promedio de los
dos valores calculados representa un buen valor para el inicio del diseño.
Figura 8.15: Relación entre fuerza, fuerza inicial necesaria para separar las
espiras y el estiramiento del resorte
8.4. Resortes de torsión
Algunos tipos de resortes denominados de torsión se muestran en la
figura 8.17, y 8.18.
La espira está expuesta a esfuerzos de flexión, por lo que el problema
de diseño se basa en la teoŕıa de flexión en vigas curvas. En la práctica se
usa la teoŕıa de vigas rectas pero corregida por factores de concentración de
esfuerzos debidoa la curvatura. Wahl dedujo factores para estos resortes en
las fibras exteriores e interiores. Dichos coeficientes son de la forma:
Kbi =
4C2 − C − 1
4C(C − 1)
(8.23)
Kbo =
4C2 + C − 1
4C(C + 1)
(8.24)
Gabriel Barrientos R. 171
Figura 8.16: Gráfico que relaciona los esfuerzos torsionales debido a la pre-
carga en resortes de tracción, en función del ı́ndice C del resorte
donde el sub ı́ndice i representa la fibra interior y el sub ı́ndice o la fibra
exterior. El esfuerzo máximo a la flexión en la fibra interior (compresión)
para una espira redonda está dado por la relación:
σimax = Kbi
Mmaxc
I
= Kbi
32Mmax
πd3
(8.25)
8.5. Resortes de Ballesta
La figura 8.19 representa una viga de sección prismática variable simétri-
ca cargada con una fuerza F en su extremo libre. El otro extremo está em-
potrado. El esfuerzo a una distancia x del estremo libre está dado por la
relación σ = Mc/I. En este caso de acuerdo a la geometŕıa de la figura, el
esfuerzo máximo en la fibra exterior está dado por:
σ =
Mc
I
=
Fxh/2
th3/12
=
6Fx
th2
(8.26)
La ecuación de esfuerzo máximo debido a los efectos de flexión se de-
termina según la ecuación 8.26. La condición que permite establecer que el
172 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.17: Distintos tipos de resortes de torsión usados en la práctica
Figura 8.18: Aplicaciones para un resorte de torsión
Gabriel Barrientos R. 173
Figura 8.19: (a) Caso general de viga en flexión, (b) Condición de viga
con espesor constante t = h = constante, (c) Condición de viga con ancho
constante w = b = constante
esfuerzo dado por 8.26 se mantenga constante, se puede obtener bajo dos
premisas:
a) considerando que el espesor h es constante, lo que genera un perf́ıl
triangular de la viga 8.19b, y
b) considerando que el ancho w sea constante, lo que implica una viga
cuyo perf́ıl sea cuadrático. Ver figura 8.19c.
La opción de la viga con perfil triangular y de espesor constante es más
fácil de construir y a su vez se puede subdividir adecuadamente por razones
de espacio.
La figura 8.20 muestra la forma en que el resorte de forma triangular
es dividida para formar el denominado resorte de ballesta ya que se puede
visualizar fácilmente la simetŕıa correspondiente que da origen al resorte
completo. Esta redistribución de la viga permite mantener la condición de
esfuerzo constante a lo largo del resorte.
La viga triangular se divide en láminas de ancho constante las cuales se
ubican una sobre la otra según lo mostrado en la figura 8.21. La figura 8.22
muestra el resorte de Ballesta ya construido.
La teoŕıa desprecia los efectos de curvatura inicial de las láminas que
conforman el resorte y del roce entre ellas al flectarse. La comba o con-
traflecha suele tener el valor tal que permita que la hoja principal sea casi
recta bajo carga. (ver figura 8.23)
La figura 8.24 muestra una aplicación a veh́ıculos de carga (camioneta).
La figura 8.25 constituye una aproximación a los resortes semieĺıpticos
174 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.20: Forma triangular que permite esfuerzos constante a lo largo de
la viga
reales, obteniéndose para ellos:
δ =
K1FL
3(1− ν3)
3EI
=
K1WL
3(1− µ2)
6EI
(8.27)
donde W = 2F es la carga en la sección media de la viga simple de
longitud L, b = N1b
′
, donde b
′
es la anchura de la hoja y N1 es el número
de hojas. ν es el coeficiente de Poisson. La figura 8.25 muestra el factor de
corrección K1 aplicable a la ecuación 8.27.
8.6. Resortes Belleville
Los resortes de discos son comúnmente denominados como Resortes
Belleville. La teoŕıa que se puede desarrollar en este tipo de elemento mecá-
nico es bastante compleja y un acabado análisis de ella se puede encontrar
en la bibliograf́ıa [19].
El desarrollo de dicha teoŕıa escapa a los alcances de este libro por lo
que se deja como inquietud a los alumnos que deseen o tengan que investi-
gar más al respecto. Estos discos cónicos truncados se muestran en la figura
Gabriel Barrientos R. 175
Figura 8.21: Forma en que la viga triangular es dividida para formar el
resorte de ballesta
Figura 8.22: Apariencia de un resorte de Ballesta ya constrúıdo
176 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.23: Hojas para la formación del resorte de Ballesta. Notar su cur-
vatura inicial diferente (pre pinzado)
Figura 8.24: Paquete de resortes (Ballesta) montado en un veh́ıculo de carga
Gabriel Barrientos R. 177Figura 8.25: Factor de corrección K1 para el desplazamiento en resortes de
Ballesta
8.26 donde aparecen las distintas combinaciones de montaje. En el caso a)
se muestran discos ubicados en serie, en el caso b) en paralelo y en el caso
c) una combinación de ambos.
La ventaja de estos resortes es el poco espacio que necesitan en relación
a la capacidad de carga. La relación entre la carga y la deflexión es elástica
nolineal. Tal como se muestra en la figura 8.27 dicha relación es altamente
dependiente de los parámetros geométricos de los discos.
La curva a) mostrada en la bibliograf́ıa [15] y la curva b) obtenida de
la bibliograf́ıa [7] representan un ejemplos de estas relaciones entre fuerza y
deflexión para parámetros definidos.
Por ejemplo considerando la relación h/t igual a 2,83 o mayor, se presen-
ta una curva con forma de S usado en mecanismo de rápido accionamiento.
Valores entre 1,41 y 2,1 genera una curva con su parte central horizontal,
es decir permite mantener una carga constante con diferentes niveles de de-
flexión.
Cada disco reacciona según estas cargas, por lo que para consideraciones
de mayor carga debeŕıan aunarse los efectos de todos los discos. Como se di-
jo, la teoŕıa es compleja, pero la literatura clásica de elementos de máquinas
178 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.26: Disposiciones en la fabricación de resortes tipo Belleville. a) en
serie, b) en paralelo y c) como una combinación de ambos: serie y paralelo
propone formas más simples para evaluar los esfuerzos en los discos.
Por ejemplo el Spotts [18] evalúa los esfuerzos máximos en el resorte
usando la fórmula 8.28.
σt = C1
Et2
r20
(8.28)
Cuadro 8.2: Constante para el resorte Belleville de acero con h/t = δ/t = 1,5
r0/ri C1
r0σt√
F
1.25 -8.83 -22090
1.5 -6.29 -19430
1.75 -5.63 -19050
2.0 -5.44 -19350
2.5 -5.54 -20650
donde ri es el radio interior del disco, r0 es el radio exterior del disco, t
el espesor y F la fuerza axial total aplicada.
Este valor de esfuerzo máximo se presenta en el punto C de la figura
8.28 usando el valor de C1 dado por la tabla 8.2. Para otros valores de
relaciones geométricas de los discos deberá aplicarse teoŕıa más desarrollada
(ver bibliograf́ıa [19]).
En cambio el Norton [15] entrega valores de esfuerzos asociados a la
figura 8.28, dados por las siguientes relaciones:
Gabriel Barrientos R. 179
Figura 8.27: Curvas de diseño en función de las dimensiones geométricas de
los discos del resorte Belleville
180 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.28: Puntos donde se pueden calcular los esfuerzos según [15]
σc =
4Ey
(1− ν2)K1D20
[
K2(h−
y
2
)−K3t
]
(8.29)
σti =
4Ey
(1− ν2)K1D20
[
−K2(h−
y
2
)−K3t
]
(8.30)
σt0 =
4Ey
(1− ν2)K1D20
[
K4(h−
y
2
)−K5t
]
(8.31)
donde:
K1 =
6
πlnRd
(
(Rd − 1)2
R2d
)
(8.32)
K2 =
6
πlnRd
(
Rd − 1
lnRd
− 1
)
(8.33)
K3 =
6
πlnRd
(
Rd − 1
2
)
(8.34)
K4 =
[
RdlnRd − (Rd − 1)
lnRd
](
Rd
(Rd − 1)2
)
(8.35)
K5 =
Rd
2(Rd − 1)
(8.36)
Gabriel Barrientos R. 181
con Rd = D0/Di.
En la actualidad se cuenta con la poderosa herramienta computacional
de los elementos finitos. Teniendo disponibilidad de algún software se puede
modelar distintas condiciones de este resorte. La figura 8.29 muestra un
ejemplo de simulación desarrollado por un alumno en su memoria de Tit-
ulación [4]. Se ha modelado con simetŕıa axisimétrica, usando elementos
planos y considerando los efectos del roce.
Figura 8.29: Simulación por elementos finitos en un resorte tipo Belleville. Se
ha aprovechado la simetŕıa axisimétrica usando elementos planos. a) discos
en serie b) discos en paralelo
Una visión completa sobre el calculo de esfuerzos en los resortes tipo
Belleville se puede encontrar en [19].
8.7. Cálculo dinámico: fatiga
La condición clásica de diseño a la fatiga se usa en base a las siguientes
cálculos:
Fm =
Fmax+ Fmin
2
Fa =
Fmax− Fmin
2
Los esfuerzos medios y alternos se determinan con estas fuerzas medias y
alternas, según sea el esfuerzo a considerar. Con estos valores se aplica al-
guno de los inumerables criterios de falla por fatiga disponibles: Goodman,
Soderberg, Gerber, ....
182 Gabriel Barrientos R.
8.8. Materiales
La Tabla mostrada en la figura 8.30 entrega distintos tipos de materiales
usados para resortes. La resistencia de un resorte depende del diámetro del
resorte y de su forma de fabricación. En el proceso de fabricación se gener-
an esfuerzos residuales y concentradores de esfuerzos que hacen muy dif́ıcil
preestablecer valores de resistencia de resortes como en otros elementos de
máquinas. Valores experimentales se han plasmado en fórmulas que pueden
ser llevados por ejemplo a la ecuación 8.37
Sr =
A
dm
(8.37)
donde A y m son valores obtenidos de la Tabla 8.3.
Cuadro 8.3: Materiales para resortes
Material ASTM m A Costo
MPa relativo
alambre para cuerda musical A228 0.145 2211 2.6
alambre revenido en aceite A229 0.187 1855 1.3
alambre estirado duro A227 0.190 1783 1.0
alambre cromo vanadio A232 0.168 2005 3.1
alambre cromo silicio A401 0.108 1974 4.0
Un ejemplo de concentrador de esfuerzos para resortes de torsión se
muestra en la figura 8.31, obtenido de la bibliograf́ıa [16]. Muchas de estas
curvas están disponibles en la literatura especializada, de manera de poder
cuantificar los esfuerzos relaes lo más cercanos a la realidad en cada caso.
8.9. Aplicaciones
1. Para el resorte cónico de lámina en espiral, de sección rectangular
mostrado en la figura 8.32:
(a) Analice todos los tipos de esfuerzos que se presentan en la sección
de la espira.
(b) Explique como determinaŕıa el número de espiras necesario si
conoce el espacio f́ısico disponible.
2. Los resortes de la figura 8.33 representan el sistema restaurador del
mecanismo de cierre-abertura de la válvula de un motor de avión.
Gabriel Barrientos R. 183
Figura 8.30: Aceros de alto carbono y aleados para resortes
184 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.31: Factor de concentración de esfuerzos en resortes de torsión
Gabriel Barrientos R. 185
Figura 8.32: Resorte helicoidadl de compresión de forma cónica y sección
rectangular
Determine el coeficiente de seguridad con que se diseñan ambos re-
sortes. Establezca claramente las hipótesis necesarias para este cálculo.
Considere conocido: La carga de pre-compresión F , la carga total P
máxima sobre los resortes, el material de ambos resortes (incluida la
resistencia a la fatiga del material), el número de espiras activas Na,
el ángulo de la hélice.
3. Para el resorte de la figura 8.34 que soporta la acción del momento
estáticoM , determine el diámetro de la espira considerando la resisten-
cia del material. Deje todo en función de las letras que representan los
distintos parámetros del resorte.
4. La figura 8.35a, muestra un harnero vibratorio usado en la clasificación
de mineral en la industria. El mineral entra por la parte superior y este
harnero tiene dos mallas de clasificación. Las mallas permiten que sólo
el mineral de cierta granulometŕıa pase por ella a la segunda etapa, la
cual corresponde a otra malla más fina que produce el mismo efecto.
Está apoyado en 4 puntos cada uno de los cuales está compuesto por
tres resortes helicoidales de compresión tal cual se visualiza en la figu-
ra ??b. El harnero es excitado por un motor que hace girar un eje que
en sus dos extremos tiene dos excéntricas como las que se muestran en
186 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.33: Sistema cierre-abertura de válvula de un motor
Figura 8.34: Resorte helicoidal de compresión sometido a momento flector
externo
Gabriel Barrientos R. 187
la figura 8.36.
Figura 8.35: a. Harnero vibratorio usado en la mineŕıa para clasificar min-
eral Se pueden ver 2 de los cuatro apoyos con resortes. En la parte central
está la transmisión por correas desde el motor de accionamiento, b. Modelo
simplificado de uno de los cuatro apoyos del harnero
Figura 8.36: a. Una de las dos excéntricas montada en el eje del harnero que
produceel movimiento vibratorio, b. Detalle del montaje de las poleas que
están conectadas al motor
Estas excéntricas al girar producen un movimiento oscilatorio que hace
que el harnero vibre apoyado en los resortes y permite que el material
(mineral) atraviese (o no) la malla correspondiente. La transmisión de
la potencia se realiza por correas y poleas en un solo lado del harnero.
La figura 8.36b muestra el detalle de la polea montada en el eje del
harnero. También se puede ver una de las excéntricas montadas en el
eje.
La figura 8.37a, muestra un modelo dibujado con sistema CAD de
188 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.37: a. Modelo del harnero dibujado con programa CAD, b.Modelo
de movimiento del harnero
toda la estructura del harnero. El modelo usado para el movimiento
del harnero se muestra simplificado en la figura 8.37b. En ella se ven
los tres grados de libertad del sistema (x, y, φ) que permiten que el
harnero vibre y produzca la clasificación del mineral.
Se debe tener presente que en este caso los resortes actúan elástica-
mente en las dos direcciones. En la literatura especializada es posible
encontrar la relación entre la rigidez normal del resorte y la rigidez
lateral del mismo. En este caso se trabaja con una rigidez lateral de
un 60 % de la rigidez normal (sentido longitudinal), es decir: Si ky = k
y kx = 0,6k. La figura 8.38a, muestra las dos etapas de clasificación
del harnero (dos mallas) que deben considerar el peso del mineral. En
general se considera para el diseño valores promedio de carga en el
harnero. Aśı sólo se considera el peso de la estructura y de la carga
actuando en G. La posición de G se indica en la figura 8.38. Cualquier
otra cota deberá ser considera proporcional a las dadas en la figura
8.38b considerando el dibujo de la figura 8.36 que está a escala.
Con los datos dados a continuación estime el diámetro mı́nimo de la
espira de cada resorte si el diámetro D de cada resorte es 150mm.
Estime todos los parámetros necesarios para un diseño adecuado y
los datos de materiales que aparecen en la literatura para resortes.
Veririfique su diseño. El movimiento en cualquier punto y cualquier
dirección del harnero debe ser menor a 40mm.
DATOS:
Fuerza centŕıfuga por cada excéntrica: Fce = mω
2r = 181050 N
(ωeje = 83rad = s),
Fuerzas en las poleas de transmisión de potencia: F1 = 950N y F2 =
270N ,
Gabriel Barrientos R. 189
Figura 8.38: a. Distribución de la carga real estimada sobre las mallas del
harnero. Para efectos de diseño supondremos carga constante, b. Cotas de
posición generales del harnero. Posición de G (centro de masa)
Peso estructural harnero: 15000kg,
Peso del mineral ubicado en el centro de masas G = 5000kg.
5. La leva de la figura 8.39 gira a 10Hz generando un movimiento armónico
(senoidal) oscilatorio al seguidor. La carrera del seguidor es de 20mm
y todo el sistema alternativo unido al seguidor pesa 10kg. La función
del resorte es mantener siempre en contacto al seguidor con la leva.
El diámetro externo máximo disponible para el resorte es de 50mm y
el mı́nimo de 25mm. Determine una combinación satisfactoria entre
D (diámetro del resorte), d (diámetro de la espira), N (número de
espiras) y L (longitud libre). Verifique todas las condiciones de diseño
necesarias que se deban cumplir para un funcionamiento adecuado.
6. Un motor de automóvil requiere diseñar un resorte para controlar el
movimiento de una válvula expuesta a las aceleraciones mostradas
en la figura 8.40. Se requiere el resorte para permitir que el seguidor
esté en contacto con la leva durante la aceleración negativa. El punto
cŕıtico para el resorte es el acceleration reversal point, correspondi-
ente al caso cuando la válvula está abierta 0,201in. Una mayor fuerza
del resorte se requiere en el punto de máxima abertura de la válvula
(0,384in).
El problema es dar al resorte una frecuencia natural bastante alta sin
hacerlo muy ŕıgido y evitar que la fuerza del resorte en la válvula
190 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.39: Resorte de seguidor de leva
Figura 8.40: Gráfico de aceleraciones en las válvulas de un motor
Gabriel Barrientos R. 191
completamente abierta cause altos esfuerzos de contacto perjudiciales
cuando el motor está funcionando a baja velocidad. El resorte de válvu-
la debe satisfacer las siguientes especificaciones:
1. La longitud del resorte cuando la válvula está cerrada debe ser
menor a 1,5in por limitaciones de espacio.
2. Fuerza del resorte cuando la válvula está cerrada debe ser menor a
45lb.
3. La fuerza del resorte cuando la válvula está abierta en 0,201in (re-
versal point) debe ser menor a 70lb.
4. La fuerza en el resorte con máxima abertura de 0,384in debe ser
inferior a 90lb. (para prevenir el excesivo esfuerzo de contacto con el
eje de levas).
5. Diámetro externo del resorte debe ser menor a 1,65in por limita-
ciones de espacio.
6. Primera frecuencia natural menor a 390Hz.
7. Se debe usar un material de alta calidad.
8. Considerar extremos del resorte planos y fijos.
Determine una adecuada combinación de d,D, neyLf (ver gráfica). Las
figuras 8.41 ayudan a entender como funcionan este tipo de resortes
de válvulas.
192 Gabriel Barrientos R.
Figura 8.41: Resorte de leva
Caṕıtulo 9
Ejes
9.1. Introducción
Algunas definiciones preliminares:
1. Eje (rotatorios o inmóviles). Sirven unicamente para soportar piezas (o
que gira muy lentamente) por lo que están sometidos principalmente
a flexión.
2. Árbol (rotatorios). Transmiten momento de giro (torque) y además
están sometidos a flexión.
3. Husos o husillos. Árboles cortos que deben transmitir un movimiento
de precisión
4. Gorrón o Muñón. Son las partes de los ejes o árboles que giran dentro
de los cojinetes.
5. Bulones. Ejes cortos
Un árbol se diseña pensando en varios efectos sobre él:´
193
194 Gabriel Barrientos R.
Resistencia mecánica.
Deflexiones lineales.
Deflexiones angulares.
Frecuencias naturales.
El cálculo por resistencia se puede realizar por varios métodos, entre los que
destacan:
1. Código ASME. Representa una primera aproximación rápida respecto
a los esfuerzos que hacen fallar al eje.
2. Códigos de fatiga. Existe una gran variedad de métodos que permiten
obtener resistencia segura. La figura 1-7 permite calcular el eje en difer-
entes condiciones de seguridad. La zona interna representa los puntos
de esfuerzos de trabajo seguro y la curva misma el ĺımite máximo.
3. Método gráfico. No solo permite determinar esfuerzos en el eje sino
además las deflexiones lineales y/o angulares. Posee poca precisión
comparada con las fórmulas teóricas tradicionales.
4. Métodos numéricos. Destaca en este caso el uso del método de los
elementos finitos.
9.2. Fuerzas sobre los ejes
9.2.1. Engranajes rectos
La figura 9-1 muestra las fuerzas de interacción en los dientes de una
transmisión con engranajes rectos. Cada diente en contacto transmite una
fuerza en la dirección del ángulo de presión φ que puede descomponerse en
dos direcciones convenientes: una componente radial Fr y una componente
tangencial Ft. Si F es la fuerza total transmitida, entonces se cumplen las
relaciones:
Fr = Fsenφ (9.1)
Ft = Fcosφ (9.2)
T = Ft
D0
2
(9.3)
P = Tω (9.4)
donde P es la potencia a transmitir, T es el torque transmitido, ω la veloci-
dad angular y D0 el diámetro primitivo.
Gabriel Barrientos R. 195
Figura 9.1: Fuerzas producidas en un diente recto
9.2.2. Engranajes helicoidales
La figura 9.2 muestra el detalle de la fuerza transmitida en engranajes
helicoidales. En este caso la fuerza transmitida F se descompone en las
direcciones radial Fr, tangencial Ft y axial Fa, cuyas relaciones se expresan
de la siguiente forma:
Fr = Fttanφt (9.5)
Fa = Fttanψ (9.6)
F =
Ft
cosφncosψ
(9.7)
T = Ft
D0
2
(9.8)
P = Tω (9.9)
9.2.3. Engranajes cónicos
La figura 9.3 muestra el detalle de la fuerza transmitida F en engranajes
cónicos. En este caso la fuerza transmitida se descomponeen las direcciones
radial Fr, tangencial Ft y axial Fa, cuyas relaciones se expresan de la sigu-
iente forma:
Fa = Fttanφsenγ (9.10)
Fr = Fttanφcosγ (9.11)
196 Gabriel Barrientos R.
Figura 9.2: Fuerzas producidas en un diente helicoidal
dprom = d− bsenγ (9.12)
vprom = πdavN (9.13)
Ft =
P
vprom
(9.14)
donde dprom/2 es el radio medio mostrado en la figura. Para efectos de
diseño se supone que la fuerza actúa en este diámetro medio.
9.2.4. Fuerzas en poleas
La figura 9.4 muestra la nomenclatura usada en la transmisión polea
correa. El giro mostrado indica que el lado tenso genera la fuerza F1 y el
lado flojo la fuerza F2 con F1 > F2. Las relaciones que permiten determinar
Gabriel Barrientos R. 197
Figura 9.3: Fuerzas producidas en un diente cónico
estas fuerzas, están dadas por las siguientes expresiones:
P = Tω (9.15)
F1
F2
= e
µβ
senα2 (9.16)
TA = (F1 − F2)DA/2 (9.17)
TB = (F1 − F2)DB/2 (9.18)
donde µ es el coeficiente de roce entre la polea y la correa, β es el ángulo
de abrazamiento entre polea y correa y α es el ángulo de inclinación de las
caras laterales en una correa en V . DA es el diámetro de la polea menor
y DB es el diámetro de la polea mayor. Dependiendo de la inclinación de
las componentes F1 y F2 con respecto a la vertical (o horizontal), ellas se
transmiten al eje adecuadamente.
9.2.5. Cadena-Sproker (piñón)
Las fuerzas producidas en una cadena cuando transmiten potencia se
muestran en la figura 9.5. En este caso el lado suelto (flojo) se estima que
198 Gabriel Barrientos R.
Figura 9.4: Fuerzas producidas en una polea
no trasnmite fuerzas y el torque sólo se calcula en base a la fuerza Fc del
lado tenso. Esta seŕıa la fuerza que se transmite al eje correspondiente.
9.3. Procedimiento de cálculo
Antes de iniciar el cálculo por resistencia de un árbol, es necesario cono-
cer todas las cargas que actúan sobre él y usando los conocimientos de
estática y dinámica, calcular las reacciones en los apoyos. Con ello debeŕıa
construirse los correspondientes gráficos de cargas a lo largo del eje, esto es,
diagramas de tracción-compresión, diagramas de momentos flectores, dia-
grama de torques, diagrama de corte.
Con ellos debeŕıa ubicarse la sección más cargada y en ella calcularse
los correspondientes esfuerzos equivalentes necesarios para la evaluación del
diámetro mı́nimo por resistencia y deflexiones. Adicionalmente en esta eta-
pa debeŕıa obtenerse por algún método conocido la elástica del eje y sus
correspondientes deflexiones lineales y angulares que debeŕıan estar conve-
nientemente limitadas según los elementos usados sobre el eje: engranajes,
poleas, rodamientos, descansos deslizantes, cadenas, etc.
Gabriel Barrientos R. 199
Figura 9.5: Fuerzas producidas en una cadena
Los criterios de diseño estaŕıan regidos por condiciones tales como:
δi ≤ δ∗i (9.19)
es decir, la expresión obtenida para δi estará en función de los parámetros
del eje y del diámetro mı́nimo a determinar, el cual deberá ser menor o a lo
sumo igual a un valor pre-establecido δ∗i que deberá ser obtenido de valores
recomendados.
El caso t́ıpico lo representa un engranaje. Si en la posición i irá montado
un engranaje, éste debe limitarse: que sus distancias entre centros no vaŕıen
más de lo recomendado para obtener un buen funcionamiento.
Lo mismo es válido para los descansos. Si por ejemplo en un descanso se
tiene un rodamiento, éste para su buen funcionamiento deberá limitar (entre
otros) su deflexión angular, es decir, el diseño del eje también deberá satis-
facer la condición:
θj ≤ θ∗j (9.20)
es decir, la pendiente en ese descanso debe estar limitada por el tipo de
rodamiento seleccionado en el descanso j. Ese valor ĺımite θ∗j es dado por el
fabricante.
La figura 9.6 muestra un ejemplo clásico de cálculo de reacciones y dia-
gramas de momentos y de torque necesarios para detectar las secciones más
200 Gabriel Barrientos R.
cŕıticas desde el punto de vista de los esfuerzos.
La curva de la elástica y sus correspondientes deflexiones lineales y angu-
lares se obtiene de expresiones teóricas (ver tabla de la figura 9.12)(usando
además superposición) o de métodos de integración gráfica (ver figura 9.7).
Este método gráfico se usa cuando previo al diseño del diámetro mı́nimo
del eje se puede estimar que el eje será con ciertos cambios de sección pre
establecida.
Una vez trazado el diagrama M/EI en una escala conveniente se elige el
punto O1 denominado polo ubicada a una distancia conveniente P desde una
ĺınea vertical de referencia ab. Se dividen las áreas ubicadas bajo el gráfico
de M/EI generalmente con distancias horizontales igualmente espaciadas.
Las ĺıneas ĺımites son los trazos como cd.
Se traza la ordenada media de cada área tal como ef . Se proyectan estas
ordenadas medias sobre la ĺınea de referencia ab tal como fg. Se ubica un
punto de partida conveniente Q para la curva de pendiente y se trazan par-
alelas a los rayos O1b, ...., O1g, ..., O1a por ejemplo. Aśı hi es paralela a O1g.
Una vez terminado el diagrama de pendientes se elige un polo conveneinte
O2 para el diagrama θ y se realiza un proceso similar al anterior para obtener
la curva elástica y.
En la ubicación de los soportes se marcan los puntos m y n y se traza
la recta mn pudiéndose medir las desviaciones correspondientes de la curva
respecto a esta ĺınea. En Faires [10] y Hall [12] aparecen varios ejemplos
resueltos por este método.
Una forma alternativa de cálculo de las deflexiones lo representa el méto-
do numérico de elementos finitos. La figura 9.8 muestra un eje cualquiera que
a partir de su plano de fabricación se construye el correspondientes modelo
en base a elementos finitos de tipo 3D.
En la mayoŕıa de los casos las deflexiones se pueden determinar con sufi-
ciente exactitud usando elementos de viga unidimensionales. Cuando además
se requieren evaluar esfuerzos en diferentes puntos del eje es conveniente us-
ar el modelo 3D como el mostrado en la figura 9.9. Detalles del modelo se
muestran en las otras figuras 9.8d y e.
Gabriel Barrientos R. 201
Figura 9.6: Diagramas de momento y torque en un ejemplo cualquiera. [12]
202 Gabriel Barrientos R.
Figura 9.7: Ejemplo método de integración gráfica. [12]
Gabriel Barrientos R. 203
Figura 9.8: Modelo numérico por elementos finitos de un eje
204 Gabriel Barrientos R.
Figura 9.9: Modelo FEM con el detalle del chavetero
9.4. Resistencia
Cuando un árbol está sometido a esfuerzos combinados y se está calcu-
lando los esfuerzos de Von Mises (esfuerzos equivalentes), las componentes
medias y alterna del esfuerzo de Von Mises quedan dadas por las relaciones:
σ
′
a = (σ
2
xa + 3τ
2
xya)
1/2 (9.21)
σ
′
m = (σ
2
xm + 3τ
2
xym)
1/2 (9.22)
con:
σxa =
32Ma
πd3
; σxm =
32Mm
πd3
; τxya =
16Ta
πd3
; τxym =
16Tm
πd3
Aśı se obtiene:
σ
′
a =
[(
Kf
32Ma
πd3
)2
+ 3
(
Kfs
16Ta
πd3
)2]1/2
σ
′
m =
[(
Kf
32Mm
πd3
)2
+ 3
(
Kfs
16Tm
πd3
)2]1/2
Gabriel Barrientos R. 205
o en forma resumida:
σ
′
a =
16A
πd3
con A =
√
4(KfMa)2 + 3(KfsTa)2
σ
′
m =
16B
πd3
con B =
√
4(KfMm)2 + 3(KfsTm)2
donde Tm y Ta son las componentes media y alterna del torque en la sec-
ción y Mm y Ma son las componentes media y alterna del momento flector
resultante en la sección.
Con estos valores de los esfuerzos equivalentes se aplica el correspon-
diente criterio de falla. La tendencia actual es aplicar la teoŕıa de Gerber
[17] por considerarse más adecuada a este tipo de aplicaciones. Si se tu-
viera otros efectos significativos (tracción, compresión, corte), ellos debeŕıan
sumarse vectorialmente a los esfuerzos de flexión y torsión dados.
Si aplicamos Gerber, se obtiene la siguiente expresión para el diámetro
mı́nimo:
d =
{
8NA
πSe
[
1 + (1 + (
2BSe
ASu
))1/2
]}1/3
(9.23)
Los valores de Kf y Kfs debeŕıan estimarse en base a los concentradores
existentes en cada sección del eje. La figura 9.10 y 9.11 entregan valores parael concentrador de esfuerzos estático Kt para algunos casos t́ıpicos de ejes
sometidos a flexión y torsión.
El factor de concentración de esfuerzos a la fatiga Kf se obtiene con la
fórmula:
Kf = 1 + (Kt − 1)q (9.24)
donde q es el factor de sensibilidad a la entalla el cual depende del material
y se puede obtener de literatura especializada en cálculo a la fatiga.
q = 0 para materiales insensibles a la entalla.
q = 1 para materiales completamente sensibles a la entalla.
9.4.1. Fórmulas para cálculo de deflexiones en vigas
La Tabla de la figura 9.12 muestra un resumen de fórmulas que permiten
calcular directamente la deflexión en una viga (eje) en condiciones de car-
ga simples. Para casos más complicados, por ejemplo ejes con cambios de
sección, cambios de material, deberán usarse métodos más elaborados, tales
como: método de área momento o el método de Castigliano.
206 Gabriel Barrientos R.
Figura 9.10: Coeficientes de concentraciones de esfuerzos en ejes con distintos
tipos de cargas y/o configuraciones
Gabriel Barrientos R. 207
Figura 9.11: Otros coeficientes de concentraciones de esfuerzos en ejes con
distintos tipos de cargas y/o configuraciones
208 Gabriel Barrientos R.
Figura 9.12: Valores de deflexiones en vigas con diferentes configuraciones
9.5. Frecuencias naturales en flexión
Nunca un árbol gira concéntrico respecto a su eje geométrico. Eso per-
mite que el centro de masa del eje en conjunto con las partes y piezas que lo
componen tengan un movimiento circular que genere una fuerza centŕıfuga
sólo debido a este nivel de desbalanceamiento. Esta excentricidad traducida
en fuerza centŕıfuga Fc = mω
2r es resistida por la rigidez EI del eje. Mien-
tras las deflexiones sean pequeñas, menores a ciertos valores pre-establecidos,
el eje no sufre daño.
Se denomina velocidades cŕıticas del eje a ciertos valores de velocidad
Gabriel Barrientos R. 209
de giro que hacen que él gire en forma inestable, aumentando drásticamente
las deflexiones llegando incluso a su auto destrucción. Se ha encontrado que
este fenómeno propio de cualquier eje sobre el cual están montados diver-
sos elementos (masas) al girar a estas velocidades cŕıticas, es decir, que la
frecuencia de la carga excitadora (velocidad de rotación) se acerque a los
valores de las frecuencias cŕıticas, las deflexiones aumentan y se dice que
entran en zona resonante.
El problema consiste entonces en calcular las velocidades cŕıticas y tra-
bajar con las frecuencias de las fuerzas que producen la vibración lo suficien-
temente alejadas. Recomendaciones de diseño hablan de trabajar alejados
de las frecuencias naturales tal que por ejemplo la frecuencia de trabajo ω
se mantenga entre los valores: 0,8ωc1 ≥ ω ≥ 1,15ωc1 donde ωc1 es la primera
frecuencia natural del eje.
En la mayoŕıa de los casos las frecuencias naturales de ejes comunes son
lo suficientemente altas como para llegar a trabajar con fuerzas con esos
niveles de frecuencias. Aśı, es prioritario determinar la primera frecuencia
natural en la mayoŕıa de los casos prácticos y sólo cuando el eje trabaje entre
la primera y la segunda frecuencia natural (caso de los turbogeneradores)
deberemos preocuparnos de calcular ambas.
Los métodos clásicos en su mayoŕıa están orientados a calcular la primera
frecuencia natural. Entre los más usados están el método de Rayleigh y el
método de Dunkerley. El método de los coeficientes de influencia permite
también calcular otras frecuencias naturales de orden superior.
9.5.1. Método de Rayleigh
Para problemas simples, con eje de diámetro uniforme, simplemente
apoyado como el de la figura 9.13.b este método es aplicable en forma teórica
de la forma:
ωc1 =
(
π
l
)2√EI
m
=
(
π
l
)2√gEI
Aγ
donde m es la masa por unidad de longitud, A es el área de la sección
transversal, γ es el peso espećıfico, g es la aceleración de gravedad, l la lon-
gitud del eje y EI su rigidez flectora.
En el caso de considerar el eje en forma discreta (ver figura ??b), el
método de Rayleigh se transforma en:
210 Gabriel Barrientos R.
Figura 9.13: Variables usadas en los métodos de obtención de velocidades
cŕıticas para un eje y sus masas asociadas
ωc1 =
√
g
∑
Wiδi∑
Wiδ2i
(9.25)
donde Wi es el peso de la i-ésima ubicación y δi es la deflexión en la ubicación
del i-ésimo cuerpo considerado en o sobre el eje.
9.5.2. Método de Dunkerley
Al igual que el método de Rayleigh, sólo permite conocer la primera
velocidad cŕıtica del eje. Se determina con la relación:
1
ωc1
=
1
ω21
+
1
ω22
+ . . .+
1
ω2n
(9.26)
donde ωi es la velocidad cŕıtica del eje si sólo actuara la masa i en él, es
decir: ωi = g/δi, con δi la deflexión en el punto en que está ubicada la masa
i.
9.5.3. Método de los Coeficientes de influencia
Se determina igualando a cero el determinante de la siguiente matriz de
coeficientes:
α11m1 − 1ω2 α12m2 α13m3 · · · α1nmn
α21m1 α22m2 − 1ω2
α31m1 α33m3 − 1ω2 · · ·
α41m1 α44m4 − 1ω2
αn1m1 . . . αnnmn − 1ω2

Gabriel Barrientos R. 211
donde los αi son los coeficientes de influencia y se definen como la de-
flexión estática de la masa en la posición i debido a una fuerza unitaria
aplicada en la posición j, cuando ésta fuerza unitaria es la única que está ac-
tuando. Además se cumple que αij = αji. Por ejemplo α11 = δ1 = W1 con
δ1 la deflexión debido a una carga en 1 en la posición 1.
9.6. Frecuencias naturales en torsión
La tabla de la figura 9.14 muestra tres casos clásicos [2] donde se pueden
estimar las frecuencias naturales en torsión considerando conocida la rigidez
(k) en torsión del eje y las inercias de las masas montadas en el eje Ji. Los
primeros valores (cero) corresponden a modos de vibración de cuerpo ŕıgido.
Figura 9.14: Frecuencias naturales en torsión
9.7. Consideraciones de diseño
Existe una serie de criterios y disposiciones que deberán aplicarse cuan-
do se diseña un eje. Cada uno de los criterios aplicados (resistencia, deflex-
iones lineales, deflexiones angulares, frecuencias naturales) dará origen a un
diámetro mı́nimo. En general el criterio predominante será aquel del cual se
obtenga el mayor de los diámetros mı́nimos.
Si el eje a construir es único y la cantidad (costos) no constituye un cri-
terio importante, este diámetro mı́nimo seleccionado sufrirá modificaciones
212 Gabriel Barrientos R.
de acuerdo al montaje y funcionamiento de los elementos que van en él.
Siempre deberá ser considerado el montaje o desmontaje de los elementos
en forma fácil, por lo que al final resulta un eje más robusto hacia el centro,
tal como se visualiza en la figura 9.15, donde el diámetro mı́nimo seŕıa el
diámetro indicado en rojo.
Figura 9.15: Caso de ejemplo donde el diámetro mı́nimo se ha variado de
acuerdo a recomendaciones necesarias para la operación y/o montaje del
sistema
Las modificaciones realizadas finalmente al eje (queda más robusto: más
ŕıgido) dependen de recomendaciones prácticas encontradas en catálogos y/o
bibliograf́ıa dada en las referencias.
Si se trata de diseños donde los costos de producción serán significativos,
el proceso de diseño del diámetro mı́nimo del eje deberá ser iterativo, ya que
podrán existir zonas de diámetros menores a los del diámetro mı́nimo, en
cuyo caso deberán verificarse que los coeficientes de seguridad sean cumpli-
dos. Esto persigue disminuir el material del eje, hacerlo más liviano, menos
ŕıgido y que en grandes cantidades signifique un ahorro.
Como ya se mencionó, el método de elementos finitos permite afinar este
Gabriel Barrientos R. 213
cálculo con todas las consideraciones que en los métodos teóricos clásicos se
hace imposible considerar.
9.8. Aplicaciones
1. La figura 9.16 representa un sistema de transmisión por engranajes
rectos. El motor entrega una potencia de 100kW a 1500rpm. La po-
tencia es consumida en el eje hueco donde se ubican los engranajes
Z2 y Z3. Se consume la mitad de la potenciaen cada engranaje. Al
engranaje 3 se conectan otros tres ejes a través de los engranajes Z4
Z5 y Z10, cada uno de los cuales absorbe un sexto de la potencia, es
decir P/6. Conocidos todos los Z y los diámetros primitivos de los
engranajes, determinar:
(a) el diámetro mı́nimo del eje hueco sobre el cual están tallados los
engranajes 2 y 3. Cualquier dato que use deberá ser claramente especi-
ficado de acuerdo a tablas y/o recomendaciones.
Los datos de diámetros primitivos deberán ser estimados proporcional-
mente de la figura, tal que el resultado medido en miĺımetros sea mul-
tiplicado por 20 para obtener el valor real en miĺımetros. Para las
distancias entre los apoyos use el factor 30. Todos los ángulos de pre-
sión son 20o. Todos los módulos usados son de 10 mm. En base a estos
datos estimar adecuadamente la relación de transmisión en cada caso.
(b) Para el engranaje 2, dibuje la curva de esfuerzos debido a la flexión
de la carga tangencial en un punto cualquiera de la base de un diente.
Seleccionando los datos que faltan adecuadamente, determine el ancho
mı́nimo del diente. No use la formula de diseño según AGMA. Sólo
haga consideraciones teóricas asociadas a la mecánica de sólidos.
(c) Si la potencia del motor disminuye a la mitad, cuantifique el efecto
sobre la vida útil del rodamiento de bolas ubicado en el descanso B.
2. El eje intermedio 2 de la figura 9.17 debe ser diseñado de manera que
se cumpla la relación de diámetros indicada. La mitad del eje es de
diámetro d y la otra mitad de diámetro 2d. La potencia entra por la
polea A del eje superior 1 y se consume por el eje inferior 3. Se conoce
toda la geometŕıa del sistema excepto el diámetro mı́nimo d. Explique
como calcula el diámetro mı́nimo de este eje 2 por resistencia. Debe
ser claro incluyendo datos de entrada, procedimiento, hipótesis, dia-
gramas de cuerpo libre, fórmulas usadas cuando corresponda, selección
de materiales, etc.
214 Gabriel Barrientos R.
Figura 9.16: Figura ejemplo 1
3. El eje de la figura 9.18 tiene en la zona central una polea plana doble
A y B cuyos diámetros son dA = 200mm y dB = 140mm. El eje gira a
800rpm y la polea A es la que conecta el eje al motor de accionamiento
de 10HP . Suponiendo que la estructura interior de la polea es la indi-
cada y debe considerarse como un cuerpo ŕıgido, determine el diámetro
mı́nimo del eje considerando sólo efectos de resistencia de materiales.
Use datos de materiales y coeficientes, obtenidos de la literatura.
L1 = L2 = 200mm, a = 38mm. Coef. roce polea correa = 0, 7
4. El sistema de la figura 9.19 representa el esquema de una máquina que
recibe la potencia de entrada Pe en el eje 1 y la consume (potencia
de salida Ps) en el eje 3. Por medio de una palanca externa es posible
Gabriel Barrientos R. 215
Figura 9.17: Figura ejemplo 2
cambiar la relación de transmisión entre los ejes 1 y 2, moviendo axial-
mente el engrane montado en el eje 1 sobre una parte estriada. Todos
los engranajes son rectos y de acero con una densidad ρ = 7800kg/m3.
Si requiere alguna cota deberá asignarle una letra que la identifique.
Considerando una velocidad de entrada en el eje 1 ω1 = ω0 y la relación
de diámetros en los engranes D1 = D3 = D y D2 = D4 = D/2, D5 =
0,7D3 explique detalladamente (usando formulas de la resistencia de
materiales) como:
a) calcula el diámetro mı́nimo del eje 2 (sólo por resistencia)
b) calcula en espesor mı́nimo del engranaje D3 ó D4 por resistencia
(sin usar código AGMA)
c) selecciona los rodamientos del eje 2, Rc y RD
Todos las relaciones deben quedar en función de los parámetros dados:
216 Gabriel Barrientos R.
Figura 9.18: Figura ejemplo 3
Pe, Ps, D,w, γ, ω0, r.
5. El eje de la figura 9.20 tiene montado una polea doble en V ubicada
en su centro, tal como se indica en la figura.
Considerando que L = 0,8m y a = 0,1m, determine el diámetro mı́ni-
mo del eje por resistencia.
La polea A del eje de entrada, transmite una potencia de 10kW a
650rpm. El esfuerzo de fluencia del material del eje es 40 y el de ruptura
55 kg/mm2.
Use concentradores de esfuerzos en la zona de la polea de 1,5 para
flexión y 1,8 para torsión. Desprecie el corte de Jourasky.
La polea C transmite el movimiento al eje mediante una chaveta plana.
Considere que los ángulos de abrazamiento de las correas en la polea
C son: entre A y C 200o y entre B y C 220o.
Utilice los siguientes coeficientes: Coef. de tamaño = 0,8, coeficiente
de superficie = 0,9 y coeficiente de carga = 0,85
Gabriel Barrientos R. 217
Figura 9.19: Figura ejemplo 4
Figura 9.20: Figura ejemplo 5
218 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 10
Descansos por rodadura
10.1. Introducción
Los rodamientos son elementos usados en las máquinas que no se diseñan
sino que se seleccionan, por lo que nuestros esfuerzos radican en determinar
su vida útil estimada. La figura 10.1 muestra algunos tipos de rodamientos
que existen comercialmente [24].
Según sean las proporciones de las medidas exteriores: diámetro exterior
D, diámetro interior d y ancho B, los rodamientos se subdividen en las
siguientes series:
particularmente ligera
ligera
219
220 Gabriel Barrientos R.
Figura 10.1: Tipos de rodamientos clásicos: Fila superior: a. ŕıgido de una
hilera de bolas, b. radial de bolas a rótula, c. de bolas doble con contacto an-
gular, d. de bolas axial, Fila inferior: a. radial de rodillos ciĺındricos, b. radial
de rodillos esféricos (tipo barril), c. radial de rodillos esféricos autoalineables
de dos hileras, d. radial de rodillos cónicos
ligera ancha
media
media ancha
pesada
La figura 10.2 muestra proporcionalmente para un diámetro d común del eje
las series indicadas [7].
La designación de rodamientos sigue un estricto orden de acuerdo a nor-
mas. En su designación se usan números y letras que se ordenan según lo
mostrado en la figura 10.3. El detalle de este tipo de información está disponible
en cualquiera de los catálogos de fabricantes, entre los que destacan la FAG
[9], SKF [22], TIMKEN [23]. Cada uno de los prefijos usados en la desig-
nación están claramente explicitados en el catálogo. En el caso del ejemplo
dado en la figura 10.3 el rodamiento designado es:
Gabriel Barrientos R. 221
Figura 10.2: Clasificación de rodamientos según series
SKF 22316 CC/C3W33
El primer d́ıgito 2 indica el tipo de rodamiento: rodamiento de rodillos
a rótula, el segundo d́ıgito 2 indica la serie de anchos que define el ancho
B del rodamiento, el tercer d́ıgito: 3 indica la serie que define el diámetro
exterior. Los últimos dos d́ıgitos indican la quinta parte del diámetro, es
decir d/5 = 16mm. La especificación de este rodamiento indica de catálogo:
d = 80mm. Por ejemplo la designación W33 indica que se trata de un
rodamiento con 3 agujeros de lubricación en el aro exterior.
10.2. Definiciones básicas
10.2.1. Capacidad de carga de un rodamiento
Capacidad de carga estática
Debido a los altos esfuerzos de contacto una pequeña carga puede pro-
ducir deformaciones permanentes en los elementos que lo componen. Estas
identaciones por presión se denominan falsas huellas Brinell y el acto de
identación se denomina brinelación. Este daño tiene lugar mientras el ro-
damiento está en reposo y el problema es saber cuánta brinelación puede
ser aceptada para decir que el rodamiento queda inservible. Una medida
usualmente aceptada corresponde a la carga que produce una deformación
permanente de 0,0001D (D es el diámetro del elemento rodante). La capaci-
dad radial de carga estática se calcula por la ecuación de Stribeck 10.1:
C0 = CsNbD
2
b (10.1)
222 Gabriel Barrientos R.
Figura 10.3: Designación de rodamientos según normas
Gabriel Barrientos R. 223
con Nb el número de elementos rodantes, Db diámetro de los elementos
rodantes y Cs constante de proporcionalidad que depende del tipo de ro-
damiento y de los materiales. Por lo general todos los catálogos de fabricantes
de rodamientos entregan este valorde C0 directamente. Para rodamientos
que se seleccionan dinámicamente en base a su vida útil o duración, es re-
comendable comprobar la capacidad de carga estática en base a la siguiente
relación:
s0 =
C0
P0
(10.2)
donde P0 = X0Fr + Y0Fa es la carga estática equivalente y X0 e Y0 son
factores entregados en el correspondiente catálogo del fabricante. Si el valor
de s0 obtenido a partir de 10.2 es inferior a los recomendados y tabulados
por el fabricante, se deberá retroalimentar el cálculo hasta satisfacer esta
condición.
Capacidad de carga dinámica
Se define como la carga radial (axial) constante en un rodmiento radial
(axial) que puede soportar para que la duración nominal mı́nima sea de 106
revoluciones, equivalente aproximadamente a un giro de 33,3 rpm durante
500 horas con una confiabilidad del 90 %. En general la vida esperada de un
rodamiento sobrepasa este número de ciclos de 106 con creces. Evaluaciones
teóricas de C han sido recomendadas por la AFBMA (Anti Friction Bearing
Manufacturer Association) y dada por la relación 10.3:
C = fc(icosα)
0,7Z2/3D1,8 (10.3)
donde:
fc es una constante que depende del valor (Dcosα)/dm, tabulada en
[22]
i es el número de hileras de bolas en el rodamiento,
α es el ángulo nominal de contacto. Ángulo entre la ĺınea de acción de
la carga de la bola y el plano perpendicular al eje del descanso.
Z es el número de bolas por hilera,
D es el diámetro de la bola. Para bolas mayores de 1 pulgada de
diámetro, el exponente para D es 1,4
dm es el diámetro de paso de los carriles de la bola.
224 Gabriel Barrientos R.
La evaluación de este valor teórico se puede encontrar en literatura especial-
izada tal como Faires [10] y Spotts [18] entre otros, pero en la práctica se
usa directamente el valor entregado para cada rodamiento por el fabricante
en el correspondiente catálogo de selección.
10.2.2. Velocidad de giro
La velocidad máxima de funcionamiento de un rodamiento tiene como
principal limitante el calor generado, por lo que lo más común es asociar esta
velocidad ĺımite a la posibilidad de calentamiento de los elementos internos.
Parámetros que influyen en la temperatura de funcionamiento son el tipo,
tamaño, diseño interno, carga, lubricación, capacidad de refrigeración, diseño
de la jaula, exactitud de giro y juego interno y que limitan su velocidad.
Los fabricantes indican la velocidad nominal máxima de cada uno de sus
rodamientos en sus catlogos. Dicha velocidad es recomendada cuando el aro
interior gira. Para rodamientos en que el aro exterior gira, las velocidades
recomendadas por lo general debeŕıan ser menores.
10.2.3. Carga variable
En casos en que es imprescindible trabajar con cargas variables en el
rodamiento, en periodos de tiempo claramente establecidos, se acostumbra
a utilizar la carga media cúbica, basado en el supuesto que la duración es
inversamente proporcional al cubo de la carga. Aśı, la carga media cúbica
está dada por la relación:
Fm =
[
F 31 n1 + F
3
2 n2 + F
3
3 n3 + · · ·+ F 3nnn∑
n
]1/3
(10.4)
donde los ni son las rpm en que actúa Fi y Pn es el número total de rev-
oluciones. Si en cada caso se consideran velocidades de giro constantes, la
variable n puede cambiarse directamente por el tiempo t en que cada fuerza
actúa. Dicho cálculo queda representado gráficamente por la figura 10.4a,
obtenido del catálogo de la SKF [22] (se usa U en vez de n).
Cuando la velocidad del rodamiento y la dirección de la carga son con-
stantes pero la carga vaŕıa entre un valor mı́nimo Fmin y un valor máximo
Fmax el valor de la carga media se obtiene según la fórmula 10.5 representada
gráficamente por la figura 10.4b
Fm =
Fmin + 2Fmax
3
(10.5)
Gabriel Barrientos R. 225
Figura 10.4: Fuerzas variables sobre el descanso
226 Gabriel Barrientos R.
Si la carga total sobre el rodamiento está compuesta de una parte de mag-
nitud y dirección constante F1 y otra parte variable F2 tal como se muestra
en la figura 10.4c, la carga media se obtiene según la relación 10.6
Fm = fm(F1 + F2) (10.6)
donde los valores de fm están dados en el gráfico de la figura 10.4d
10.2.4. Vida de un rodamiento
La vida útil de un rodamiento se puede obtener con el grado de exactitud
siempre y cuando se tenga en consideración una serie de parámetros de
operación. La fórmula básica para calcular la vida útil de un rodamiento
está estandarizada por la ISO:
L10 = (
C
P
)k (10.7)
donde L10 es la vida nominal en millones de revoluciones , C es la capaci-
dad de carga dinámica entregada por el fabricante y expresa la carga que
puede soportar el rodamiento alcanzando una vida nominal de 1,000,000 de
revoluciones. Esa vida nominal se define como el número de revoluciones de
un rodamiento antes de manifestar śıntomas de fatiga superficial (pitting).
En general la información entregada por los fabricantes se basa en la vida
alcanzada por el 90 % de los rodamientos aparentemente idénticos de un
grupo suficientemente grande (figura 10.5). En general la vida media de un
rodamiento puede alcanzar hasta cinco veces la vida nominal.
Figura 10.5: Vida de un rodamiento según su confiabilidad
Gabriel Barrientos R. 227
Cuando el rodamiento de bolas radial acepta también un porcentaje de
carga axial, se define la carga radial equivalente P que ocasiona el mismo
daño que las cargas axial y radial combinadas al rodamiento. Se define como
factor de rotación V de modo que V = 1 cuando el anillo interior gira y
V = 1,2 cuando gira el anillo exterior. Se puede entonces formar dos grupos
adimensionales: P/(V Fr) y Fa/(V Fr). La gráfica de estos valores se muestra
en la figura 10.6. Del gráfico se deduce:
P
V Fr
= 1 ;
Fa
V Fr
≤ e (10.8)
Figura 10.6: Valores coeficiente X, Y y e
P
V Fr
= X + Y
Fa
V Fr
;
Fa
V Fr
> e (10.9)
Lo común es expresar estas ecuaciones en una sola de la forma 10.10:
P = XiV Fr + YiFa (10.10)
con Fr la carga radial real, Fa la carga axial real, X factor de carga radial
entregado por el fabricante e Y el factor de carga axial. Si el rodamiento
228 Gabriel Barrientos R.
sólo absorbe carga radial, P = Fr y si sólo absorbe carga axial (rodamiento
axial) P = Fa. k es el exponente que vale 3 para rodamientos de bolas y
10/3 para rodamientos de rodillos. Cuando el rodamiento trabaja a velocidad
constante, se acostumbra a expresar la vida en horas de funcionamiento, y
se designa por L10h:
L10h =
106
P
L10 (10.11)
Con n la velocidad de rotación en rpm. En el caso de rodamientos
de veh́ıculos de carretera se acostumbra a expresar la vida en millones de
kilómetros según la fórmula 10.12
L10s =
πD
1000
L10 (10.12)
donde D es el diámetro de la rueda en metros. Cualquiera sea el valor a
usar, los resultados de las ecuaciones 10.7, 10.11 y 10.12 corresponden a val-
ores teóricos dados por la norma, independiente de la marca del rodamiento.
En la práctica esta vida útil puede ser alterada por factores de funcionamien-
to que no se pueden controlar con el diseño (montaje defectuoso, lubricación
deficiente, etc.). Como una forma de considerar estos parámetros cada fab-
ricante ha adaptado la vida teórica a la denominada vida nominal ajustada.
Como referencia, cada fabricante propone una vida útil teórica para sus ro-
damientos. Por ejemplo SKF usa los valores mostrados en la Tabla mostrada
en la figura 10.7.
10.2.5. Vida nominal ajustada
Es conveniente considerar con más detalle la influencia de otros factores
en la duración del rodamiento. ISO introdujo en 1977 la fórmula de vida
ajustada una serie de factores externos al diseño, tales como: confiabilidad,
material, lubricación.
Lna = a1a2a3 · · · a− nL10 (10.13)
donde cada uno de los parámetros ai dependen de alguno(s) de los factores
mencionados. SKF usa la relación 10.14
Lna = a1aSKFL10 (10.14)
donde Lna representa la vida nominal ajustada en millones de revolu-
ciones . El sub́ındice n representa la diferencia entre la fiabilidad requerida
Gabriel Barrientos R. 229
Figura 10.7:Vida útil teórica recomendada por la SKF
y el 100 %. Fiabilidad es la probabilidad del rodamiento para alcanzar o
sobrepasar una duración determinada.
a1 es el factor de ajuste de la vida por fiabilidad. Estos valores lo entrega
cada fabricante. SKF usa los valores dados en la Tabla 10.1.
Fiabilidad Probabilidad de fallo n% Vida nominal SKF factor a1
90 10 L10a 1
95 5 L5a 0.62
96 4 L4a 0.53
97 3 L3a 0.44
98 2 L2a 0.33
99 1 L1a 0.21
Cuadro 10.1: Valores para el factor a1 de ajuste de la vida para un rodamien-
to
aSKF es el factor de ajuste que se obtiene a partir de 4 diagramas que se
entregan en el catálogo. La figura 10.8 muestra este factor para rodamientos
radiales de bolas. Aparece la definición de la carga ĺımite de fatiga (Pu/P que
dependen de las condiciones de lubricación (relación de viscosidad κ) y del
nivel de contaminación del rodamiento (ηc) que dependen de las condiciones
230 Gabriel Barrientos R.
de lubricación y está dada en el catálogo.
κ =
ν
ν1
(10.15)
donde ν es la viscosidad real de funcionamiento del lubricante a (mm2/s)
y ν1 la viscosidad nominal que depende del diámetro medio del rodamiento
y de la velocidad de giro, (mm2/s).Esto implica que una buena mantención,
operación y manejo del rodamiento, permite aumentar notoriamente el valor
de vida útil teórica.
Figura 10.8: Factor aSKF de ajuste para la vida de un rodamiento
Gabriel Barrientos R. 231
10.2.6. Selección de un rodamiento
En el diseño de máquinas que deben incorporar descansos de rodadura
existen una serie de factores que deben ser considerados y que de alguna
forma quedan ligados a la selección del rodamiento más adecuado. Estos
elementos de máquinas, por ser masivos, sólo de seleccionan de catálogo y
su diseño ya fue estudiado por los fabricantes.
En ese sentido la información disponible se centra en ser usada para una ópti-
ma selección del rodamiento. Por ello cada rodamiento ya viene totalmente
especificado tecnicamenete y en el catálogo aparece numerosa información
que tendrá que ser usada por el ingeniero. Algunos de estos factores son:
1. Ajustes de montaje Para los rodamientos cilindricos, el aro exterior
debe ser montado sobre la carcasa de la máquina y el aro interior
irá montado sobre el eje. Cada uno de las zonas de calado están fabri-
cadas con tolerancias normalizadas que deberán ser usadas para per-
mitir el montaje adecuado. Los rodamientos traen consiguo tolerancias
especificadas.
Por ejemplo los catálogos FAG [9] y SKF [22] entregan un completo de-
talle de cada una de las tolerancias que trae de fábrica el diámetro del
aro interior y exterior. La figura 10.9a, muestra lo entregado por SKF
y las tolerancias de fabricación de sus rodamientos. Lo mismo hace
la FAG en la figura 10.9 Ambos catálogos entregan tablas de toleran-
cias espećıficas en cada tipo de rodamiento particular, dependiendo de
su tamaño. Al mismo tiempo, cada fabricante recomienda tolerancias
en el eje y carcasa para que en el montaje quede una interferencia
adecuada al funcionamiento.
2. Fijación axial. Varios ejemplos prácticos se muestran en la figuras 10.12
3. Lubricación. Este tema es altamente influyente en la vida útil del ro-
damiento. Ya la vida ajustada está directamente involucrando la lu-
bricación, a tal punto que con una adecuada selección del lubricante,
la vida útil puede lleagr a aumentar hasta en más de 5 veces la vida
útil teórica, asi como también en disminuirla drásticamente si la man-
tención es inadecuada.
En general la elección del lubricante para los rodamientos está basa-
da en la denominada lubricación elasto-hidrodinámica, cuya teoŕıa
aparece en los libros de lubricación especializada basada en la teoŕıa
de Hertz sobre presiones de contacto. Los catálogos sólo entregan una
232 Gabriel Barrientos R.
Figura 10.9: Tolerancias para rodamientos según FAG y SKF
Gabriel Barrientos R. 233
bateŕıa de productos recomendados. Al respecto se puede señalar que
existen rodamientos lubricados con grasas y con aceites. Cada fab-
ricante recomienda grasas y aceites de su misma empresa y entrega
tablas que permiten su fácil selección (catálogo).
4. Desalineamientos angulares. En cada eje que se monta un rodamiento
deberá existir una restricción de deflexión angular sobre el sistema.
Cada fabricante recomienda valores admisibles de deflexión angular en
la sección del eje. Valores generales se pueden encontrar en la figura
10.13.
10.3. Resumen de selección
Una posible secuencia de etapas para seleccionar un rodamiento se puede
resumir de la siguiente manera:
A partir del dise ño del eje se tiene como base el diámetro mı́nimo a
considerar.
Respetando ese diámetro mı́nimo se deben establecer todos los cambios
de dimetro necesarios para el montaje de los elementos (inclu´´idos
los rodamientos) que irán en dicho eje. Ello produce en general un
ensanchamiento del eje y por lo tanto un sobre dimensionamiento. Si
el item costos es muy importante, podrán permitirse diámetros del eje
menores al de diseño, lo que debeŕıa ir acompañado de un recálculo
que asegure que todos los efectos considerados se satisfagan.
Calcular las cargas en los descansos donde irán los rodamientos.
Sólo un rodamiento deberá absorber la carga axial, excepto cuando
se trata de rodamientos que necesariamente deben ser montados con
precarga necesaria para su buen funcionamiento, por ejemplo en el caso
de rodamientos cónicos en ambos descansos. En esos casos la carga
axial en ambos sentidos es absorbida por cada uno de los rodamientos
respectivamente.
La selección del descanso que absorbe la carga axial deberá privilegiar
el que el eje quede sometido a cargas de tracción y no de compresión
que ayuden a los efectos de pandeo.
Debe seleccionarse el tipo de rodamiento. La primera opción por con-
cepto de costos la tiene el rodamiento ŕıgido de una hilera de bolas
234 Gabriel Barrientos R.
(el más barato). Deberá determinarse por catálogo si la relación en-
tre fuerza axial y fuerza radial soportada por el tipo de rodamiento
seleccionado cumple con lo recomendado en el catálogo del fabricante.
Si esta relación carga axial versus carga radial no se satisface, de-
berá usarse un rodamiuento de serie más pesado. Si aún esto no se
cumple, deberá separarse el efecto axial considerando en ese descanso
dos rodamientos: uno axial para absorber sólo la carga axial y otro
radial para absorber sólo la componente radial.
Cualquiera sea el caso deberá calcularse la carga dinámica equivalente
P según sea el tipo de rodamiento seleccionado.
De la tabla de recomendaciones (ver figura 10.7) de vida útil se obtiene
el valor de L10h recomendado para ese tipo de máquina (catálogo).
Se calcula la carga dinámica C para esas condiciones a partir de la
ecuación 10.7.
Con ese valor se ingresa a las tablas de los rodamientos disponibles
(tipo y diámetro d ya conocido) y se busca el rodamiento que satisfaga
la condición de C calculada.
10.4. Consideraciones de montaje
Cuando se selecciona un rodamientop de un catálogo cualquiera, debe
seguirse ciertas consideraciones para que el montaje y desmontaje se haga
con facilidad y funcionalidad. Existen una serie de consideraciones de mon-
taje, mucha de las cuales pueden deducirse a partir de las figuras mostradas
en la figura 10.10. En condiciones normales, un eje se apoya en por lo menos
2 descansos tal que los rodamientos en dichos descanssos puedan absorber
la carga radial y axial que transmite el eje.
Por lo general sólo uno de los rodamientos debe estar fijo axialmente en
ambos sentidos. Siempre el aro interior irá montado al eje y el aro exterior
a otro cuerpo que puede tener movimiento relativo (o estar fijo) respecto al
giro del eje.
Para el rodamiento que fija el movimiento axial, la restricción debe ser
dada en los dos aros (interno o externo). En cambio el rodamiento libre
puede moverse axialmente con uno de los dos aros fijo, tal como se muestra
Gabriel BarrientosR. 235
en las figuras a, b y c. El montaje d, de fijación cruzada es usada cuando el
movimiento axial es absorbido por sólo uno de los rodamientos dependiendo
de la dirección de la carga axial. Esta disposición es usada en ejes cortos y
está asociado a una precarga recomendada por el fabricante.
La figura 10.12 muestra alguna de las muchas formas de fijar un ro-
damiento al eje o a la carcasa. La figura 10.12 muestra casos de montaje
de rodamientos con diámetro interior cónico, donde se usan manguitos de
fijación. La figura ?? muestra una serie de sellos usados en la práctica para
evitar efectos de contaminación del lubricante y por ende proteger la vida
útil del rodamiento.
Figura 10.10: Montajes t́ıpicos de rodamientos [22]
10.5. Aplicaciones
A continuación se presentan una serie de montajes en máquinas reales
obtenidos del catálogo SKF [22] en sus antiguas ediciones. Representan una
236 Gabriel Barrientos R.
Figura 10.11: Montajes rodamientos radiales y su fijación axial. a. fijo al eje
con tuerca y arandela, b. fijo al eje con placa apernada, c. fijo a la carcasa con
tapa apernada, d. tope roscado en la carcasa, e. fijo con anillos de sujeción,
f. tapa apernada en carcasa y arandela en eje. [22]
serie de montajes de ejes y rodamientos bajo distintas condiciones de fun-
cionamiento. El alumno tendrá que ser capaz de interpretar el funcionamien-
to de cada parte y analizar las condiciones de diseño asociadas al montaje
y desmontaje de la máquina. (Ver figura 10.14)
10.6. Ejercicios
1. El eje de la figura está excitado en la polea C por un motor eléctrico.
Las masas excéntricas en los extremos (B) y la parte excéntrica en el
centro (corte A-A). Este efecto produce fuerzas centŕıfugas (centros de
masa conocidos) que permiten vibrar el equipo donde el eje completo
va montado (un Harnero vibratorio). Si conoce toda la geometŕıa, ex-
plique cómo selecciona en este caso los rodamientos de los descansos
D1 y D2. Debe establecer claramente sus hipótesis, datos de entrada,
Gabriel Barrientos R. 237
Figura 10.12: Montajes rodamientos con aro interior de apoyo cónico, a. con
tuerca y arandela, b, c y d. con tuerca y manguito de fijación
fórmulas usadas, diagramas de cuerpo libre y materiales.
238 Gabriel Barrientos R.
Figura 10.13: Deflexiones angulares recomendadas según tipo de rodamiento
[22]
Gabriel Barrientos R. 239
Figura 10.14: Ejemplos de montajes en máquinas obtenidos del catálogo
SKF [22]
240 Gabriel Barrientos R.
Figura 10.15: .............continuación figura 10.14
Gabriel Barrientos R. 241
Figura 10.16: .............continuación figura 10.14
242 Gabriel Barrientos R.
Figura 10.17: Figura ejemplo 1
Caṕıtulo 11
Engranajes
Los engranajes fallan por diversas razones, pero su estudio está centrado
en tres factores determinantes:
1. Fatiga por flexión, que siempre debe considerar la opción de flexión
(estática) por sobrecarga. En el caso de fatiga se utiliza la teoŕıa de
flexión de una viga, ya que el diente se simula como una viga en voladi-
zo,con las correcciones adecuadas a la teoŕıa de engranajes.
2. Fatiga por contacto (pitting) o picadura basada en la teoŕıa de contacto
de Hertz. Después de un número suficiente de ciclos de carga fragmen-
tos de metal sobre la superficie se fatigarán y se desprenderán. Prob-
lemas en la lubricación pueden contribuir a las fallas por picaduras.
3. Desgaste superficial abrasivo de dif́ıcil cuantificación debido a la falta
de valores de esfuerzos admisibles reales asociado al mecanismo de
desgaste de los materiales. La mayoŕıa de los metales no presentan un
claro ĺımite de fatiga por esfuerzos superficiales de contacto.
Generalmente los engranajes se calculan basados en los dos primeros formas
de falla. Todo lo anterior se ve afectado por parámetros que no están bajo
control del diseñador, por lo que cuando se trata de un análisis serio, debe
aplicarse la norma que en este caso se denomina NORMA AGMA (American
Gear Manufacturers Association).
243
244 Gabriel Barrientos R.
11.1. Geometŕıa
11.1.1. Introducción
Las ruedas dentadas (engranajes) son elementos destinados a transmitir
el movimiento de rotación y a través de él, determinar la fuerzas de inter-
acción que permitan diseñarlo como un elemento de máquinas expuesto a
distintos tipos de cargas y por ende a distintos tipos de fallas. En las ruedas
dentadas el contacto es directo como en las ruedas de fricción. Los dientes
de una rueda ejercen entonces un empuje contra los dientes de la otra, pro-
duciéndose aśı el movimiento y la transmisión de las fuerzas.
Existen tres condiciones que son fundamentales para el correcto funcionamien-
to de los engranajes:
1. La forma de las salientes o dientes, ha de ofrecer superficies en las que
el contacto se realice con suavidad y sin choque, para que con esto se
conserve invariable la relación de transmisión deseada.
2. Los dientes deben poseer formas y dimensiones tales que puedan resi-
stir el esfuerzo a transmitir.
3. La normal en el punto de tangencia de los perfiles de los dientes que
engranan ha de pasar siempre por el punto de contacto de las circunfer-
encias primitivas de las ruedas a las cuales respectivamente pertenecen
(ver figura 11.1).
Nombre Clase Disposición ejes Superficies primitivas
Rectos Paralelos Cilindros
cónicos diente recto se cortan conos
diente espiral secortan conos
diente oblicuo se cruzan hiperboloides
diente hipoidal se cruzan conos
helicoidales paralelos paralelos cilindros
cruzados se cruzan cilindros
tornillo sinfin ortogonales hiperboloides
Cuadro 11.1: Disposición de los diversos tipos de engranajes
11.1.2. Definiciones
La figura 11.1 y 11.2 muestra las formas de un par de engranajes rectos
e indican sus principales parámetros.
Gabriel Barrientos R. 245
Figura 11.1: Acción de la fuerza transmitida en el engrane
Piñón se designa a la menor rueda de un par de engranajes, la mayor
se llama Corona.
Relación de velocidades o Relación de transmisión (i = ω3/ω2 =
Z2/Z3 = d02/d03) es la razón entre el número de revoluciones de ambos
engranajes.
Superficie Primitiva es la del cilindro de rodadura (cono, etc.) imagi-
nario que podemos suponer reemplaza a la rueda dentada.
Módulo (m) es el cuociente entre el diámetro primitivo y el número de
dientes (m = d0/Z) caracteŕıstico del engrane. El módulo es el ı́ndice
del tamaño del diente en el SI. (m = 25,4/pd).
Número de dientes (Z) es la cantidad de dientes que tiene un engrane.
246 Gabriel Barrientos R.
Figura 11.2: Geometŕıa básica de un diente de engranaje
Punto Primitivo (P ) es el punto de tangencia común de las dos cir-
cunferencias primitivas del par.
Ĺınea de acción o ĺınea de presión es la ĺınea normal a los perfiles de
los dientes engranados en el punto de contacto.
Curva de Engrane es la ĺınea descrita por el punto de contacto de los
perfiles de dos dientes engranados.
Angulo de presión (α) es el formado por la normal común en el pun-
to de contacto y la tangente común a las circunferencias primitivas.
(Ĺınea de acción y la tangente común).
Paso diametral (pd) es el número de dientes por pulgada de diámetro
primitivo
Gabriel Barrientos R. 247
Circunferencia de Base (diámetro de base db = d0/cosα) es una cir-
cunferencia imaginaria usada en engranajes de evolvente para generar
los perfiles de los dientes, es tangente a la ĺınea de acción.
Distancia entre Centros (C) Distancia entre los centros de los engrana-
jes en contacto (C = (d0p + d0g)/2).
Circunferencia de Cabeza (Diámetro de cabeza dc) es la que limita a
los dientes por el exterior.
Circunferencia Primitiva (Diámetro primitivo d0 = mZ) es la base de
medición de los engranajes. Las circunferencias primitivas correspon-
den a los ćırculos imaginarios tangentes.
Circunferencia de Pie (Diámetro de pié dp) es la que limita a los espa-
cios entre dientes por el interior.
Altura de Cabeza (hc) (Addendum) es la distancia radial entre lacir-
cunferencia primitiva y la de cabeza.
Altura de Pié (hp) (Dedendum) es la distancia radial entre la circun-
ferencia primitiva y la de pié.
Altura total (h) es la altura total del diente (hc + hp).
Huelgo o juego de cabeza (jc) es la diferencia entre la altura de pié de
una rueda y la altura de cabeza de la otra rueda del par.
Cara de un diente es la parte de su superficie que queda por el exterior
de la superficie primitiva.
Flanco de un diente es la parte de su superficie que queda por el interior
de la superficie primitiva.
Espesor del diente (e) es el ancho del diente, medido sobre la circun-
ferencia primitiva (arco).
Ancho del hueco (s) es la distancia entre dos dientes consecutivos,
medida sobre la circunferencia primitiva.
Juego de flanco es la diferencia entre el espesor del diente de una rueda
y el ancho del hueco de la otra rueda del par. (espacio necesario debido
a imperfecciones de tallado y a lubricación)
248 Gabriel Barrientos R.
Paso (p) o Paso circular (pc = Pm) es el ancho de un diente y un hueco,
medido sobre la circunferencia primitiva.
Paso basal (Pb) es el ancho de un diente o un hueco, medido sobre la
circunferencia de base
Para que la relación de transmisión sea constante, es preciso que los per-
files de los dientes tengan determinada forma. Varias son las formas que
podŕıan satisfacer las exigencias anteriores y se denominan perfiles o curvas
conjugados; pero solamente dos son las formas más usadas para perfiles de
dientes. Evolvente (90 %) y Cicloidal (10 %). Cuando esto ocurre se dice que
las superficies son conjugadas.
11.2. Diseño por resistencia
En el caṕıtulo 9 se entrega un completo detalle de las fuerzas involucradas
en el cálculo de engranajes rectos, helicoidales, cónicos y de tornillo sin fin.
Son dichas fuerzas las que se usan en el diseño de engranajes. Un diente
de engranaje transmite la fuerza en la dirección de la ĺınea de contacto, es
decir, siempre la fuerza en el engrane mantiene su dirección que depende
directamente del ángulo de presión α (figura 11.1). Esta fuerza es la que
hará fallar al engranaje según lo expuesto: flexión y/o pitting.
11.2.1. Esfuerzos en engranajes rectos
Flexión
La figura 11.3b y c muestra los tipos de esfuerzos que se producen en
la base del diente debido a la fuerza radial y a la fuerza tangencial re-
spectivamente. Cada componente genera un tipo de esfuerzos que se dibu-
ja en colores. La fuerza tangencial Wt genera flexión y corte transversal y
la componente radial Wr genera compresión y flexión. Estos esfuerzos son
fácilmente evaluables a partir de la teoŕıa de resistencia de materiales. A
nivel industrial, sólo se diseñan engranajes usando los criterios dados por
la norma AGMA (American Gear Manufacterurs Association). Básicamente
existen dos fórmulas de diseño: a la flexión y al picado superficial (pitting).
La fórmula de diseño a la flexión de un diente de engranaje se encuentra
normalizada según normas AGMA y se basa en las siguientes hipótesis:
1. Todos los dientes están exentos de defectos
2. La razón de contacto transversal es entre 1 y 2.
Gabriel Barrientos R. 249
Figura 11.3: Esfuerzos en un diente de engranaje recto
3. No existe interferencia entre las puntas de los dientes y los filetes de
la ráız y no hay rebaje de los dientes sobre el inicio teórico del perfil
activo del diente.
4. Los dientes no son puntiagudos,
5. El huelgo es nulo,
6. Los filetes de las raices son estándar, tersos y producidos por un pro-
ceso de generación.
La fórmula fundamental de flexión se basa en suponer el diente como
una viga en voladizo, para lo cual existen fórmulas básicas (como la fórmula
de Lewis) que permiten realizar un primer cálculo de estimación. Desde el
punto de vista del diseño, la norma exige usar la fórmula 11.1 de la AGMA:
WtK0KvKs
Pd
F
KmKB
J
≤ SatYN
SFKTKR
(11.1)
donde:
Wt = Ft es la carga transversal transmitida,
Ko es el factor de sobrecarga,
250 Gabriel Barrientos R.
Kv es el factor dinámico,
Ks es el factor de tamaño,
Pd (para engranajes rectos = Pnd) es el paso diametral normal,
F es el ancho de cara del diente de menor longitud entre el piñón y la
corona,
Km es el factor de distribución de carga,
KB es el factor de espesor de borde,
J es el factor geométrico de la resistencia a la flexión,
”Sat es el esfuerzo permisible de flexión,
YN es el factor de ciclo de esfuerzo para resistencia a la flexión
SF ; factor de seguridad a la flexión
KT es el factor de temperatura,
KR es el factor de confiabilidad.
El correcto diseño de un engranaje debe satisfacer este criterio a la flexión.
Debe considerarse que en este cálculo está inclúıdo los efectos de fatiga a la
flexión, dado por los factores que considera la norma. Los distintos parámet-
ros de cálculo se encuentran en cualquier literatura relacionada a Diseño de
Elementos de Máquinas por ejemplo [16], [19], [22], entre otros.
Picadura (Pitting)
Como ya se mencionó una de los principales problemas de falla ocurre
por picaduras y/o desgastes en los flancos de los dientes. Espećıficamente el
diseño contra la posibilidad de picaduras en el flanco se basa en la teoŕıa de
contacto de Hertz, que supone que los ancos de los dientes son dos superficies
con curvatura definida que simulan dos cilindros en contacto. El esfuerzo de
contacto se resume en la ecuación de la AGMA dada por:
Cp
√
WtK0Kv
Km
dF
Cf
I
≤ Sac
SH
ZN
KT
CH
KR
(11.2)
donde:
Gabriel Barrientos R. 251
Cp es el coeficiente elástico,
Cf es el factor de condición superficial,
d = d0p es el diámetro del ćırculo primitivo operativo del piñón,
I es el factor geométrico para la resistencia a la picadura,
Sac; esfuerzo permisible de contacto del material
ZN es el factor de ciclos de esfuerzos para la resistencia a la picadura,
SH factor de seguridad a la picadura,
CH factor de relación de dureza para la resistencia a la picadura
11.2.2. Engranajes helicoidales
Las fórmulas dadas por la AGMA para engranajes rectos en flexión y pit-
ting son totalmente válidas para engranajes helicoidales con la única difer-
encia que los factores geométricos (en ambos casos) J e I se ven afectados
por el ángulo de hélice del diente.
11.2.3. Engranajes cónicos
Los engranajes cónicos también se diseñan a la flexión y al pitting. Las
fórmulas tienen leves variaciones y están dadas por las ecuaciones ?? para
flexión y ?? para pitting:
2TpKa
K ′v
PdKsKm
FdKxJ
≥ SatKL
SFKTKR
(11.3)
CpCb
√
2TDCa
C ′v
1
Fd2
CsCmCxcCf
I
(
Tp
TD
)2
≤ SacCLCH
SHCTCR
(11.4)
donde:
Tp; par de torsión aplicado al piñón,
Ka; factor dinámico externo,
Pd; paso diametral transversal en el extremo exterior del diente,
Ks; factor de tamaño.
K0v ; factor dinámico de engranaje cónico: K
′
v = 1/Kv
252 Gabriel Barrientos R.
Kx; factor de curvatura longitudinal del diente
KL; factor de vida por resistencia a la flexión
Cb; factor de ajuste del esfuerzo por resistencia al pitting
TD; par de diseño del piñón
Ca; factor dinámico externo
C
′
v; factor dinámico
Cs; factor de tamaño para la resistencia a la picadura
Cm; factor de distribución de carga
Cxc; factor de coronamiento longitudinal por picadura
z; exponente de carga
CL; factor de ciclo de esfuerzo por picadura
CT ; factor de temperatura al pitting
CR; factor de confiabilidad.
11.3. Definición paarámetros AGMA
1. K0. Factor de sobrecarga. Pondera el sobredimensionamiento estático
del engranaje respecto a la carga tangencial. El valor K0 = 1 indica
una capacidad de absorber hasta el doble de Wt en forma momentánea.
Sobrecargas mayores al 200 % implican usar este factor mayor a 1.
2. Kv. Factor dinámico. Incluye el efecto que la carga es absorbida por
un diente con un cierto nivel de impacto y que por lo tanto la carga
real es mayor. Tiene una alta dependencia de la calidad de fabricación
del perfil, de sus propiedades elásticas y de la velocidad. La figura 11.4
muestra los valores dadospor AGMA para este factor, dependiendo
del factor de calidad de fabricación Qv. Fabricaciones normales son de
calidad 5, 6 ó 7. Calidades desde la 8 a la 11 influyen en el acabado
superficial que se le da al perfil. La zona sombreada es sólo en el caso
de tener certeza de una fabricación muy exacta, válida en aplicaciones
especiales.
Gabriel Barrientos R. 253
Figura 11.4: Factor dinámico Kv dependiente del ı́ndice de calidad Qv
3. Ks. Factor de tamaño. Refleja la no uniformidad en las propiedades del
material. En general AGMA considera Ks = 1 pero algunos autores
han encontrado valores recomendables para este factor según el tamaño
del diente, tal como se indican en la tabla 11.1
paso diametral Pd Módulo métrico m Factor Ks
≥ 5 ≤ 5 1.00
4 6 1.05
3 8 1.15
2 12 1.25
1.25 20 1.40
Cuadro 11.2: Valores recomendados para factor de tamaño Ks
4. Km. Factor de distribución de carga. Corresponde a uno de los parámet-
ros más dificiles de estimar. Si la intensidad de carga en todas las partes
de todos los engranes en contacto es uniforme, el valor de Km = 1:
Dicha condición rara vez se puede presentar. Factores que afectan a
Km son:
dientes de los engranes poco precisos
desalineamiento en los ejes que soportan engranes
deformaciones elásticas en los engranes, ejes, cojinetes, carcasa,
juegos internos,
254 Gabriel Barrientos R.
distorsiones térmicas
otros
El estandart AGMA 2001-B88 presenta fórmulas para su evaluación.
Evaluaciones aproximadas son entregadas por gráficos como el de la
figura 11.5, los cuales deben ser cuidadosamente aplicados en caso de
engranes cŕıticos. La figura 11.5 se aplica a engranajes abiertos en los
que los cojinetes que soportan a los ejes se montan en elementos estruc-
turales de la máquina, donde es probable que se generen desalineamien-
tos relativamente grandes. La norma AGMA entrega mayor confianza
a la relación ??.
Km = 1,0 + Cmc(CpfCpm+ CmaC − e) (11.5)
Los factores Cmc: factor de modificación de avance, Cpf : factor de
proporción del piñón, Cpm: factor de modificación de proporción del
piñón, Cma: factor de alineamiento del acoplamiento y Ce: factor de
corrección por alineamiento del acoplamiento, se pueden encontrar con
mayor detalle en la bibiograf́ıa [22]. Norton [15] recomienda los valores
dados en la tabla 11.2 como una buena aproximación:
Figura 11.5: Factor de tamaño Km ó Cm. F es el ancho del diente y D = d0
el diámetro de paso
5. KB. Factor de espesor de borde. Está relacionado con el efecto de
considerar el diente como una viga en flexión empotrado en la base
supuestamente ŕıgida. Si el engranaje está tallado sobre una placa co-
mo la mostrada en la figura 11.6 dicho empotramiento vaŕıa su rigidez
Gabriel Barrientos R. 255
ancho de cara
F in (mm) Km
<2 (50) 1.6
6 (150) 1.7
9 (250) 1.8
> 20 (500) 2.0
Cuadro 11.3: Valores recomendados para factor de distribución de carga Km
con el espesor. Esa influencia lo pondera el factor KB. El término
mB = tR/ht se denomina relación de respaldo o apoyo y donde tR es
el espesor de la corona y ht la profundidad total de los dientes del
engranaje.
Figura 11.6: Factor de espesor del aro KB
6. J . Factor geométrico de la resistencia a la flexión. Corresponde a la
ponderación dada a la geometŕıa del diente respecto al esfuerzo gen-
erado por flexión en su base. Es diferente para engranajes rectos, he-
licoidales o cónicos. Es dependiente de la forma del diente y ella a su
vez de la herramienta con es generado el diente.
Por ejemplo la figura 11.7 muestra el factor de geométrico para en-
granajes rectos fabricados por generación con cremallera cuyo perfil se
indica expĺıcitamente en la figura. Para otro formas de la cremallera,
el factor geométrico cambiará. Mas detalles de otros gráficos para
otras cremalleras se pueden encontrar en los libros de elementos de
256 Gabriel Barrientos R.
máquinas.
Figura 11.7: Factor geométrico J para engranajes rectos
Algunos libros clásicos como el Spotts [18] y el Norton [15] entregan
valores del factor geométrico tabulados basados en algoritmos com-
plicados dados en la norma AGMA en su estándar 908-B89. La figura
11.8 muestra valores del factor geométrico para engranajes helicoidales
y la figura 11.9 el correspondiente factor de corrección del mismo.
También la norma entrega fórmulas para su obtención y algunos libros
presentan dicho factor en forma tabulada. La figura 11.10 muestra el
factor geométrico usado en los engranajes cónicos rectos que también
en alguna literatura es mostrado en forma tabulada y/o expresiones
complejas.
7. I. Factor geométrico para la resistencia a la picadura. Está directa-
mente relacionado a la falla por picadura. Considera el efecto del radio
de curvatura de ambos dientes al entrar en contacto. Existen fòrmulas
simples y directas que permiten su cuantificación.
Engranajes rectos
Gabriel Barrientos R. 257
Figura 11.8: Factor geométrico J ′ para engranajes helicoidales
AGMA define:
I =
cosα(
1
ρp
± 1ρg
)
2rp
(11.6)
donde:
ρp =
√
(rp + a)2 − (rpcosα)2 −
π
Pd
cosα (11.7)
ρg = Csenα∓ ρp a = 1−xpPd con a el tamaño del addendum, rp = d0p/2
el radio primitivo del piñón, α el ángulo de presión, C la distancia
entre centros y xp el porcentaje decimal de alargamiento del addendum
para dientes de addendum desiguales. Por ejemplo para dientes de
addendum 50 % largo, xp = 0,5. Los signos superiores en la expresión
de I y ρg son para engranajes externos y los signos inferiores para
engranajes internos.
Engranajes helicoidales
Se usa una expresión similar a la de los engranajes rectos dado por:
I =
cosα(
1
ρp
± 1ρg
)
2rpmN
(11.8)
258 Gabriel Barrientos R.
Figura 11.9: Factor de corrección para obtener J final de engranajes heli-
coidales
donde mN = F/Lmin es la razón de participación de la carga, F es
el ancho de la cara del diente y Lmin se conoce como la longitud
mı́nima de la ĺınea de acción calculada en base a los siguientes criterios:
Se usa el concepto de parte fraccional de la razón de contacto axial
mF = F/px con px = pn/(cosψsenψ) el paso axial (ψ el ángulo de
hélice) y parte fraccional de la razón de contacto transversal mp. Aśı se
definen:
nr: parte fraccionaria de mp,
na: parte fraccionaria de mF
Por ejemplo si mF = 1,8, entonces na = 0,8. El valor de Lmin se
determina en base a las siguientes consideraciones:
si na ≤ (1− nr), entonces:
Lmin =
mpF − nanrpx
cosϕ
(11.9)
si na > (1− nr), entonces:
Lmin =
mpF − (1− na)(1− nr)px
cosϕb
(11.10)
y el radio de curvatura de las dos super
Gabriel Barrientos R. 259
Figura 11.10: Factor geométrico J para engranajes cónicos
cies en contacto de los dientes del engrane helicoidal está dado por:
ρp =
√
0,5[(rp + ap)± (C − (rg + ag))]2 − (rpcosϕ)2 (11.11)
ρg = Csenϕ− ρp (11.12)
donde (rp, ap) y (rg, ag) son el radio de paso y altura de la cabeza del
diente para el piñón y engranaje respectivamente.
Engranajes cònicos
El factor geométrico I de pitting para engranajes cónicos se puede
encontrar expresado graficamente en la figura 11.11 para un tipo de
engranaje cónico. Casos especiales como engranajes cónicos hipoidales
y/u otros se pueden encontrar en las normas AGMA o en literatura
más especializada.
8. YN . Factor de ciclos de esfuerzos para flexión. ajusta el número de
ciclos de operación. Los números AGMA de esfuerzos permisibles están
considerados para 107 ciclos con una confiabilidad del 99 % para lo cual
260 Gabriel Barrientos R.
Figura 11.11: Factor geométrico I para engranajes cónicos
se cumple YN = 1,0. Si se requiere un número diferente a 10
7 puede
extraerse de la figura 11.12.
9. KT . Factor de temperatura. Se considera igual a 1 cuando se trabaja
con temperaturas del aceite inferior a 250◦F (120◦C). También para
temperaturas inferiores al punto de congelamiento del agua se debe
cuidar la selección de este factor. No es un factor muy común y por
lo tanto la literatura especializada en engranajes no lo trata. Para
valoresde temperatura diferentes a los mencionados deberá acudirse
a la norma AGMA 2001-C95.
10. KR. Factor de confiabilidad. Considera el efecto de las distribuciones
estad́ısticas de las fallas por fatiga del material. Los valores de resisten-
cia de AGMA se basan enn una confiabilidad del 99 %. Un ajuste por
mı́nimos cuadrados está dado por la relación 10.
KR = 0,658− 0,0759ln(1−R) 0,50 < R < 0,99
KR = 0,500− 0,1090ln(1−R) 0,99 < R < 0,9999
Valores más puntuales se pueden obtener de la tabla 11.4 [3]:
Gabriel Barrientos R. 261
Figura 11.12: Factor de ciclos de esfuerzos por resistencia a la flexión YN
Confiabilidad KR
0.9999 1.5
0.999 1.25
0.99 1.00
0.9 0.85
0.5 0.70
Cuadro 11.4: Valores recomendados para factor de confiabilidad KR
11. Cp. Coeficiente elástico usado para falla por pitting. Está directamente
relacionado a la deformación elástica que se produce en el contacto en-
tre dos cilindros cargados de acuerdo a alguna de las condiciones dadas
en la tabla ?? que simulan el contacto entre dos dientes engranando. La
teoŕıa asociada a estas deformaciones y esfuerzos se denomina teoŕıa
de contacto de Hertz. Asociando el punto de contacto entre los dos di-
entes con dos ćılindros imaginarios se pueden extrapolar relaciones de
elasticidad que permiten obtener este coeficiente elástico que aparece
en la condición de diseño por pitting. La relación dada por esta teoŕıa
está representada por la ecuación ??.
Cp =
 1
π
(
1−ν2p
Ep
+
1−ν2g
Eg
)

1/2
(11.13)
donde νp y νg son los módulos de Poisson del material del piñón p y
262 Gabriel Barrientos R.
corona g respectivamente y Ep y Eg los módulos de elasticidad.
12. Cf . Factor de condición superficial. Está relacionado al acabado super-
ficial de los esfuerzos residuales y de cualquier efecto plástico presente.
Para engranajes fabricados por métodos tradicionales se recomienda
Cf = 1. AGMA no tiene una posición claramente definida para este
parámetro y recomienda aumentarlo en la medida de la pérdida de
calidad superficial o sospechas de presencia de esfuerzos residuales.
13. ZN . Factor de ciclos de esfuerzos para resistencia a la picadura. Análoga-
mente lo expresado para flexión por el coeficiente YN , ZN es válido para
ponderar el esfuerzo de fatiga respecto a los ciclos diferentes a 107. La
figura ?? entrega valores para este factor.
Figura 11.13: Factor de ciclos de esfuerzos por pitting ZN
14. Sat. Esfuerzo permisible de flexión según normas AGMA. Depende
de factores tales como: composición del material, impurezas, esfuerzos
residuales, microestructura, calidad, tratamiento térmico, y proceso de
fabricación. AGMA entrega varias curvas que permiten estimar este
valor de resistencia al picado. Por ejemplo la figura 11.14 muestra
valores para engranajes de acero totalmente endurecidos en función de
la dureza superficial medida en unidades Brinell.
15. Sac. Esfuerzo permisible de contacto. Depende de factores tales como:
composición del material, impurezas, esfuerzos residuales, microestruc-
tura, calidad, tratamiento térmico, y proceso de fabricación. AGMA
Gabriel Barrientos R. 263
Figura 11.14: Esfuerzo permisible de flexión Sat para engranajes de acero
totalmente endurecidos
entrega varias curvas que permiten estimar este valor de resistencia al
picado. Por ejemplo la figura 11.15 muestra valores para engranajes
de acero totalmente endurecidos en función de la dureza superficial
medida en unidades Brinell.
16. Ka. Factor dinámico externo. Usado para engranajes cónicos. Cuantifi-
ca la incertidumbre respecto al par de torsión aplicado. Es parecido el
sentido al factor de sobrecarga K0. Su estimación se rige por fórmulas
complejas que deben ser obtenidas de las normas.
11.4. Engrane tornillo sinfin
Al contrario a los otros tipos de engrane, la selección y/o diseño de los
tornillos sin fin se basan en la capacidad de potencia y no en la resistencia
a la flexión y/o al pitting. El estandart 6034-B92 de la AGMA entrega las
bases para su proceso de diseño. Algunas consideraciones del diseño son:
1. Diámetro primitivo del tornillo sinfin. Se recomienda que el diámetro
primitivo dw del tornillo quede limitado en el rango:
C0,875
3
≤ dw ≤
C0,875
1,6
(11.14)
264 Gabriel Barrientos R.
Figura 11.15: Esfuerzo Sac permisible de contacto para engranajes de acero
totalmente endurecidos
donde C representa la distancia entre centros de tornillo y corona. Un valor
razonable, usado por muchos es:
dw =
C0,875
2,2
(11.15)
Por razones geométricas se puede establecer la relación:
dg + dw = 2C (11.16)
Con dg el diámetro primitivo de la corona.
2. Ancho de la cara. Se acostumbra por razones de proporcionalidad
asociada a la resistencia usar una relación entre el ancho de la cara Fmax en
función del diámetro del tornillo dada por:
Fmax < 0,67dw (11.17)
3. Potencia. La potencia de entrada de este tipo de transmisiones está da-
da en la norma según la relación:
Pi =
nWtdg
126000mg
+
vWf
33000
(11.18)
donde:
Pi es la potencia de entrada,
Gabriel Barrientos R. 265
Figura 11.16: Factor Cs usado en diseño de tornillo sinfin
m = N2/Z1 es la razón de engrane requerida,
Z1 son los dientes de entrada del tornillo,
Z2 son el número de dientes de la corona,
n es la velocidad angular del tornillo,
Wt es la carga tangencial sobre el diente del tornillo,
v es la velocidad de deslizamiento,
Wf es la fuerza de fricción entre tornillo y corona.
La relación ?? permite definir la eficiencia de un tornillo. Denominando a la
potencia de salida P0 al lado derecho de ?? y el segundo a permite definir
la eficiencia de un tornillo. Denominando a la potencia de salida P0 al lado
derecho de ?? y el segundo a la potencia perdida por fricción Pf , la eficiencia
queda determinada por la relación:
η =
P0
Pi
(11.19)
La carga tangencial Wt sobre el diente del tornillo está determinada por la
relación:
Wt = Csd
0,8
g FeCmCv (11.20)
266 Gabriel Barrientos R.
Donde Fe es el ancho efectivo de la corona, Cs es el factor que depende de
los materiales usados, Cm es el factor de corrección dependiente de la razón
de transmisión y Cv es factor de corrección por velocidad. Valores de estos
parámetros se entregan más adelante. La fuerza de fricción Wf se calcula
según la relación:
Wf =
µWt
cosλcosφn
(11.21)
µ es el coeficiente de fricción entre las superficies de los dientes del tornillo
y la corona. λ es el ángulo de avance en el diámetro medio del tornillo, φn
es el ángulo de presión normal de la rosca del tornillo en el diámetro medio.
La velocidad de deslizamiento v en el diámetro medio del gusano está dada
por por:
ν =
πndw
12cosλ
(11.22)
11.4.1. Parámetros para cálculo tornillo sinfin
Cm: denominado factor de corrección de razón:
rango mG Cm
3 ≤ mG ≤ 20 0,0200(−m2G + 40mG − 76)0,5 + 0,46
20 ≤ mG ≤ 76 0,0107(−m2G + 56mG − 5145)0,5
76 < mG 1,1483− 0,00658mG
Cv
v : pie/min Cv
0 ≤ v ≤ 700 0,659e−0,001v
700 ≤ v < 3000 13,31v−0,571
3000 < v 65,52v−0,774
(11.23)
ν
rango v pies/min ν
0 0,150
0 ≤ v ≤ 10 0,12e0,0784v0,645
10 < v 0,10e0,1100v
0,450
Gabriel Barrientos R. 267
Cs: Se define como el factor de materiales. La AGMA lo define para
engranajes de bronce con dureza superficial ≥ 56RC. Se sugiere:
Cs = 270 + 10,37C
3 C ≤ 3in
• Para engranajes fundidos en arena:
Cs = 1000 C > 3 dg ≤ 2,5in
Cs = 1190− 477logdg C > 3 dg > 2,5in
• Para engranajes enfriados en la fundición:
Cs = 1000 C > 3 dg ≤ 8in
Cs = 1412− 456logdg C > 3 dg > 8in
• Para engranajes hechos con fundición centŕıfuga:
Cs = 1000 C > 3 dg ≤ 25in
Cs = 1251− 180logdg C > 3 dg > 25in
11.5. Aplicaciones
1. El engranaje recto D es fijo con dientes por su interior. A es una
polea-correa en V que transmite potencia a 1500 rpm y está conectado
ŕıgidamente con el engranaje B. Tres engranajes C igualmente espaci-
ados ruedan entre los engranajes B y D, arrastrando en su movimiento
al brazo E, el cual está ŕıgidamente unido al eje F. Si la relación de
diámetrosnominales es: dB = 3 dC, explique claramente cómo de-
termina el ancho mı́nimo del diente si no tiene las normas AGMA a
disposición. Establezca claramente sus hipótesis. La geometŕıa (excep-
to el espesor del diente) es toda conocida
2. La figura representa un tren planetario de engranes rectos. La corona
dentada está fija (no rota) y el engrane sol (rota en sentido horario)
transmite una potencia P que se divide en partes iguales a cada uno de
los cuatro engranes planetarios que están sujetos por el elemento de-
nominado .acarreador”. Determine el ancho mı́nimo de los dientes del
sistema usando el criterio de falla por fatiga debido a los esfuerzos de
flexión. Se conoce la geometŕıa del diente, sus velocidades de rotación,
y el material de cada uno de ellos. Suponga que el grado de cubrimien-
to o razón de contacto es 2,3. USE SOLO ECUACIONES BASICAS
268 Gabriel Barrientos R.
DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES (NO USE NORMAS). Ex-
plique claramente usando dibujos y/o esquemas para definir cada una
de las variables que usará en los cálculos.
3. La figura 11.21 representa un turbogenerador cuya potencia nominal
es de 40 MW. La turbina conectada a la planta térmica produce la
enerǵıa que entra a este sistema y que pasa a través del reductor al
generador, que la convierte en enerǵıa eléctrica y alimenta los equipos
necesarios de la empresa. La velocidad de giro de la turbina es de
5600rpm. La figura 2 muestra el reductor cuando es desarmado por
una falla ocurrida en su interior. Al interior se ubican dos ejes sobre
descansos deslizantes. El de entrada (piñón) conectado directamente a
la turbina y el de salida (corona), conectada directamente al generador.
La reducción está dada por la relación de dientes: 31 : 116. Se trata de
dientes de módulo 10 helicoidales tipo espina de pescado, usados para
equilibrar la reacción axial en el reductor. Verifique la condición de
diseño de estos engranajes según fórmulas del código ASME. Suponga
que los datos de resistencia son de alta calidad y eĺıjalos de los gráficos
y/o tablas que dispone en la literatura especializada de elementos de
máquinas. Considere todos los efectos (coeficientes) necesarios.
Gabriel Barrientos R. 269
Figura 11.17: Factor Cm usado en diseño de tornillo sinfin
270 Gabriel Barrientos R.
Figura 11.18: Factor Cv usado en diseño de tornillo sinfin
Gabriel Barrientos R. 271
Figura 11.19: Figura ejemplo 1
Figura 11.20: Figura ejemplo 2
272 Gabriel Barrientos R.
Figura 11.21: Reductor de Turbogenerador industrial
Caṕıtulo 12
Elementos flexibles
12.1. Introducción
En este caṕıtulo se presentan tres tipos de elementos que transmiten
cargas y/o potencia: correas, cadenas y cables metálicos. [26] menciona al-
gunas consideraciones comparativas de sistemas de transmisión comunes,
que muestran las ventajas de cada tipo de transmisión en relación a las
correas, cadenas y engranajes. Una vez que se han realizado cálculos de re-
273
274 Gabriel Barrientos R.
sistencia y vida útil, tendrán que primar factores económicos para plantear
la solución final: costo proyecto original, costos directos de mantenimiento
y costos por pérdidas de producción debido a paradas programadas.
12.1.1. Ventajas de las correas
Aislamiento eléctrico ya que no hay contacto metal metal entre las
máquinas conductoras y las conducidas
Menos ruidosas que las cadenas
Correas planas pueden usarse en mayores distancias entre centros,
donde la cadena seŕıa muy pesada
Correas planas pueden usarse con velocidades bastante mayores que
las cadenas que son de mayor peso
No requieren lubricación
Requiere menor precisión en el alineamiento de las poleas que en una
cadena o más aun por engranes
12.1.2. Ventajas de las cadenas
Es más fácil regular la distancia entre centros que en un engrane que
debe respetarse rigurosamente
Son más fáciles de instalar y reemplazar que las correas debido a su
mejor ajuste a la distancia entre centros. Correas con empalmes mejo-
ran esta restricción
Lado flojo no requiere tensión implicando tensiones menores sobre los
apoyos (para una misma potencia)
Cadenas no deslizan ni resbalan. Se exceptúan correas dentadas.
Cadenas son más compactas con diámetros de poleas menores y más
delgadas a igualdad de potencias
No requieren tensión estática para su funcionamiento
Cadenas tienen mejor resistencia que las correas al paso del tiempo, al
calor y a los lubricantes
Cadenas operan a temperaturas mayores que las correas
Gabriel Barrientos R. 275
12.1.3. Ventajas de los engranajes
Son más compactas que las transmisiones por correas y cadenas ya
que las distancias entre centros son menores
Operan a velocidades mayores a las correas y cadenas
Los limites de relaciones de trasnmisión de velocidades son más amplios
que los usados en cadenas
transmiten potencias altas a velocidades altas mejor que las correas y
cadenas
soportan mejor el tiempo, el calor y la lubricación que cadenas y cor-
reas
No requeren de tensión estática previa.
Figura 12.1: Fotograf́ıa que muestra una disposición de correas multiples
tipo abierta a) plana, b) en V
12.2. Correas
12.2.1. Transmisiones por correas
Las correas ofrecen una alternativa sencilla y económica para transmitir
movimiento. La figura 12.1 muestra un ejemplo de trasnmisión por correas
múltiples plana y de tipo en V. Son elementos disponibles en el mercado
y el ingeniero debe tener herramientas para su selección de catálogo. Su
marcha es suave y casi silenciosa. Absorben vibraciones y choques casi sin
276 Gabriel Barrientos R.
mantención. Tienen buena eficiencia (94 a 98 %) y pueden transmitir altas
potencias.
Los inconvenientes como el resbalamiento (1 al 2 %), el tensado de la cor-
rea debido al alargamiento con el tiempo, temperatura y humedad, como
también la variación del coeficiente de roce a causa del polvo y suciedad,
limitan su aplicación. Generalmente las relaciones de transmisión no exce-
den de 6 : 1.
La fuerza máxima en la correa F1 se compone de tres efectos: T1 o tensión
en el lado tenso , Tb que representa la fuerza causada por la flexión de la
correa sobre la polea y Tc que es la fuerza debido a los efectos centŕıfugos.
Las correas se diseñan bajo el supuesto que soportan valores pick antes
que fallen por fatiga, la cual puede ocurrir por diversos factores. Los fab-
ricantes son quienes realizan las pruebas (experimentales) de fatiga en sus
productos del mercado.
12.2.2. Tipos de correas
Las correas en general pueden clasificarse en función de algunos factores:
Según sección transversal
Correas planas. Su mayor aplicación es para distancias entre centros
suficientemente largas. Requiere de mayor tensión para transmitir el
mismo torque que una correa en V.
Correas en V. Pueden operar con poleas más pequeñas y distancias
entre centros más cortas que las poleas planas.
Correas dentadas. Poseen dientes que se ajustan en ranuras sobre la
periferia de las poleas. No se alargan ni deslizan. Transmiten a ve-
locidad constante. No requieren tensión inicial y pueden usarse para
distancias entre ejes fijas. No requieren restricciones de velocidad, fun-
cionando a velocidades lentas o rápidas.
Correas redondas. De menor uso en la práctica.
La figura 12.2 muestra algunos ejemplos de secciones de correas de tipo
comercial. La figura 12.3 muestra las relaciones geométricas (ángulo de
abrazamiento y longitud) en función de la geometŕıa de la transmisión.
Gabriel Barrientos R. 277
Figura 12.2: Tipos de sección transversal en correas comerciales
Figura 12.3: Geometŕıa correas a) abierta y b) cruzada
278 Gabriel Barrientos R.
Según su disposición
La figura 12.4 muestra los distintos tipos de disposiciones encontradas
en la práctica.
Figura 12.4: Formas de disposición de correas. a) abierta, b) cruzada y c)
con tensor
12.2.3. Cálculo correas planas [3]
La figura 12.5 muestra disposicónes de correas cruzadas y forma de dis-
posición de correas enque se puede variar la velocidad. La ecuación básica
que limita el torque que puede transmitirse por correas planas son:
F1 − Fc
F2 − Fc
= eµβ (12.1)
donde: F1 y F2 son las tensiones de las correas, Fc = mω
2r es la fuerza
centŕıfuga, µ es el coeficiente de fricción entre la polea y la correa. β es el
ángulo de abrazamiento de la correa en la polea.
El coeficiente de rozamiento vaŕıa con la magnitud del deslizamiento.
Una parte del deslizamiento total es deslizamiento plástico de la correa, el
cual existe a causa de que la polea conductora recibe una correa más larga
que la que entrega y la polea conducida recibe una correa más corta que la
que entrega lo que genera un movimiento relativo entre polea y correa.
La figura 12.6 muestra gráficamente alguna variación del roce entre cor-
rea y polea según el material de la polea. Valores prácticos recomendados
son:
cuero sobre hierro o acero: µ = 0,3
Gabriel Barrientos R. 279
Figura 12.5: a) Transmisión para ejes perpendiculares. b) Variación de ve-
locidad por acción de horquilla, c) Disposición de correas con velocidad
variable
cuero sobre poleas de papel: µ = 0,5
La tensión inicial de la correa Fi depende de las caracteŕısticas elásticas de
la correa, pero es usual asumir la relación (ver figura 12.7:
F1 = Fi + Fc + ∆F
′
F2 = Fi + Fc −∆F
′
donde Fi es la tensión inicial, ∆F
′
representa la tensión debido a la torsión
transmitida por la correa. Combinando las ecuaciones se obtiene la relación:
Fi =
Teµβ + 1
Deµβ
(12.2)
De lo cual se deduce que si Fi es cero, debe cumplirse que T también sea
cero. No se puede transmitir el torque. Incorporando los efectos centŕıfugos
en el análisis, ya que la tensión inicial deberá mantener la capacidad de
transmisión del torque en funcionamiento, se pueden obtener las relaciones:
F1 = Fc + Fi
2eµβ
eµβ + 1
(12.3)
280 Gabriel Barrientos R.
Figura 12.6: curvas t́ıpicas de fricción versus deslizamiento para distintos
tipos de poleas
Figura 12.7: Fuerzas en la correa
Gabriel Barrientos R. 281
F2 = Fc + Fi
2
eµβ + 1
(12.4)
La ecuación 12.1 se denomina ecuación de la correa y siempre deberá cumplirse.
Las ecuaciones 12.2, 12.3 y 12.4 representan las condiciones para que el sis-
tema correa polea pueda transmitir el torque necesario. La figura 12.8 rep-
resenta la relación existente entre las componentes mencionadas. La figura
12.9 muestra cómo vaŕıan estas componentes a lo largo de la correa.
Figura 12.8: Gráfico en fuerzas en la correa
12.2.4. Resistencia
Por ser un elemento comercial, es responsabilidad del fabricante generar
información respecto a la resistencia (tensión permisible) de las distintas
correas que comercializa. Una estimación de esta resistencia la entrega [] de
la forma:
(F1)a = bFaCpCv (12.5)
donde b es el ancho de la correa, Fa la tensión resistente nominal en unidades
de fuerza por ancho unitario (N = m) (ver Tabla en figura ??, Cv factor
de corrección de la velocidad (figura ?? y Cp factor de corrección que cuan-
tifica la severidad de la flexión de la correa sobre la polea (figura ??. En el
cálculo se utiliza el factor de servicio Ks que cuantifica las desviaciones de
282 Gabriel Barrientos R.
Figura 12.9: Puntos asociados a las tensiones en la correa plana
la potencia nominal respecto ala potencia de diseño (figura ??. Se aplica en
la ecuación de la potencia según la formula:
Hd = HnomKsnd (12.6)
donde nd es el factor de diseño exigido por el ingeniero.
12.2.5. Selección de correas planas
Basado en el procedimiento propuesto por [3] el procedimiento de análisis
de correas planas se resume de la siguiente forma:
1. Calcular eµβ de la geometŕıa y caracteŕısticas de contacto polea - correa
2. A partir de la geometŕıa y velocidad determinar Fc
3. A partir de T = HnomKsnd/n se obtiene el torque necesario,
4. Calcular (F1)a − F2 = 2T/D
5. Determinar F2 a partir de (F1)a − [(F1)a − F2]
6. Calcular Fi = (F1 + F2)/2− Fc
Gabriel Barrientos R. 283
7. Veri
car fricción necesaria: µ
′
< µ despejándola desde:
µ
′
=
1
β
ln
(F1)aFc
F2 − Fc
(12.7)
8. Determinar factor de seguridad nfs = Hd/(HnomKs)
Algunas consideraciones prácticas que ayudan al ingeniero a aplicar con
mayor propiedad las ecuaciones de las correas son:
Las correas planas tienden a desalinearse. Una forma de evitar este
efecto es abombar la polea. Basta sólo con abombar la polea de mayor
diámetro.
Si los ejes no son horizontales (componente del peso influye) se deben
abombar ambas poleas
Demasiada tensión en la correa acelera la ruptura por fatiga y aumenta
el desgaste, calentamiento anormal y sobrecarga sobre los cojinetes
Correa poco tensa implica deslizamiento con ruido, calentamiento y
desgaste,
Desalineamiento en las correas implican desgaste acelerado y peligro
de desmontaje de correas
12.2.6. Sistema tensores
La figura 12.10 representa algunos esquemas de construcción que per-
miten controlar la tensión inicial para que la potencia se transmita y no
exista deslizamiento entre polea y correa. La figura 12.11 muestra cómo
está constituida una correa en V. A es el vulcanizado, B los elementos que
soportan la tracción, C coj́ın que soporta la carga de compresión y D la capa
de tracción que soporta la flexión repetitiva.
12.2.7. Selección según catálogo
Todos los fabricantes de correas de trasnmisión de potencia disponen de
catálogos de selección que facilitan su uso. En general para ello se debe tener
los siguientes parámetros conocidos:
Potencias a transmitir y caracteŕısticas del equipo impulsor
284 Gabriel Barrientos R.
Figura 12.10: a) Tensión con tornillo de potencia en la base, b) por peso
propio, c) por contrapeso y palanca
Figura 12.11: Interior de correa en V. Capas constructivas
Gabriel Barrientos R. 285
Tipo de máquina conducida
Velocidad de ambas poleas
Diámetros de las poleas
Condiciones y tiempo de trabajo
Aśı, el procedimiento casi automatizado se basa en los siguientes pasos:
1. Coeficiente de corrección de la potencia Fp. Se obtiene de alguna tabla
que considere: tipo de motor, máquina conducida y horas de servicio.
Pc = PFp donde Pc es la potencia corregida y P la potencia de diseño
2. Sección de la correa. Se determina usando un gráfico que está en fun-
ción de Pc y las RPM . Las diversas áreas del gráfico indican la sección
de la correa recomendada por el fabricantes para ese nivel de carga
3. Cálculo de relación de transmisión K,
4. Elección de diámetros primitivos de las correas según tablas,
5. Distancia entre ejes,
6. Longitud primitiva de la correa,
7. Factor de corrección para longitud de la correa, Fcl. Ver figura 12.12,
que muestra el factor Fcl en función de la longitud de la correa para
tres tipos de correas según normas SAE.
8. Determinación de arco de contacto.
9. Factor de corrección por arco de contacto. Fca. Ver figura 12.13 que
muestra el factor Fca en función del arco de abrazamiento β.
10. Velocidad de la correa. v.
11. Potencia prestación base. Pbk = Pb + Pa, donde Pa es dada por el
fabricante en función de K y Pb es dada por el fabricante en función
del tipo de correa seleccionado y las RPM de la polea menor.
12. Potencia efectiva de correa. Pe = PbkFclFca
13. Cantidad de correas Cc = Pc/Pe. Se aproxima al entero superior.
286 Gabriel Barrientos R.
Figura 12.12: Factor de corrección por longitud de la correa Fcl
Figura 12.13: Factor de corrección por arco de contacto Fac
Gabriel Barrientos R. 287
Figura 12.14: Puntos asociados a las tensiones en la correa en V
12.3. Cadenas
Se entiende por cadena a un conjunto de varios pares de elementos ŕıgi-
dos, unidos por articulaciones de forma que el movimiento de cualquiera de
ellos provoca el movimiento de todos los demás. Se tiene una cadena cin-
emática cerrada cuando el primer elemento del primer par esta ŕıgidamente
unido al segundo elemento del último par. La figura 12.16 muestra los prin-
cipales componentes del tipo de cadena tradicionalformado por eslabones,
pasadores y rodillos. Las cadenas se emplean en transmisiones de ejes par-
alelos para relaciones de transmisión de hasta 6: 1 con un rendimiento de
alrededor de 97 %.
12.3.1. Tipos de cadenas
Existen muchos tipos o formas de cadenas. La figura 12.15 muestra al-
gunos tipos clásicos de cadenas y se puede visulaizar sus principales partes
componentes.
12.3.2. Selección de cadenas
Los tipos de falla en una cadena son principalmente
288 Gabriel Barrientos R.
Figura 12.15: Tipos clásicos de cadenas comerciales: a. cadena de rodillos,
b. cadena silenciosa, c. articulada desmontable, d. de pernos de acero, e.
acodada para número impar de eslabones
Fatiga en la placa de los eslabones, Impacto de los pasadores con los
dientes al engranar raspaduras entre pasador y sus bujes
Asimismo pse pueden plantear las siguientes observaciones de diseño:
Las especificaciones se basan en la velocidad de la rueda más pequeña
Para una velocidad dada, la capacidad en HP aumenta con el número
de dientes
Para un tamaño de rueda dada y un número de dientes, la capacidad
de HP aumenta en función del incremento de velocidad hasta cierto
punto y luego disminuye
Algunas consideraciones en la selección y/o diseño de cadenas se pueden
resumir de la siguiente forma:
1. El número mı́nimo de dientes del piñón (sproket) debe ser en general
mayor o igual a 17
2. Máxima relación de velocidades cercana a 7
3. La distancia entre ejes entre 30 y 50 pasos
Gabriel Barrientos R. 289
Figura 12.16: Forma constructiva de una cadena
4. El arco de contacto de la polea menor debe ser menor o igual a 1200
5. En condiciones normales la rueda mayor debe ser mayor a 120 mm,
6. Se recomienda que ĺınea que une centros de las ruedas sea horizontal
con el lado tenso en la parte superior,
7. La longitud de la cadena debe ser un múltiplo del paso y se recomienda
un número par de pasos,
8. Diámetro de paso de ruedas dentadas D = p = sen(180 = N), donde
p es el paso y N el número de dientes
Los pasos a seguir en la selección de la cadena cualquiera sea el fabricante
deberán considerar los siguientes items:
1. Clasificación de la carga. Implica obtener el factor de servicio Fs del
catálogo considerando el tipo de carga de la máquina. La figura 12.17
muestra una tabla dada por algún fabricante donde se puede obten-
er Fs en función de las caracteŕısticas de las máquinas impulsoras e
impulsivas.
290 Gabriel Barrientos R.
Figura 12.17: Tabla que define factores de servicio
Gabriel Barrientos R. 291
2. Determinar la potencia de diseño Pd según: Pd = PnFs , donde Pn es
la potencia nominal.
3. Con la potencia de diseño Pd y las rpm del piñón se entra en una
gráfica que según la zona en que se encuentra especifica la cadena
necesaria para esos requerimientos. Ver figura 12.18
Figura 12.18: Potencia vs rpm
12.3.3. Especificación de una cadena
Se usan dos o tres d́ıgitos para identificar una cadena estándar asociada
a sus caracteŕısticas geométricas de tamaño y proporciones. El código usado
se basa en: ABCDE, donde:
292 Gabriel Barrientos R.
AB es el paso de la cadena en unidades de 1/8 de pulgada
C: Es igual a 0 para proporciones iguales, 1 para cadena de peso ligero
y 5 para cadenas de casquillos sin rodillos
D: n para n tramos. No se usa si n = 1.
E: H para cadena de trabajo pesado. En blanco para otro tipo de cadenas.
Por ejemplo una cadena número 25 es una cadena de casquillos sin rodil-
los con un paso de 1/8 de pulgada.
12.4. Cables de acero
12.4.1. Introducción
Se denomina cable de acero al cuerpo resistente formado por varios cor-
dones torcidos en forma helicoidal alrededor de un eje material llamado
alma. La figura ??, muestra los dos tipos de cables que existen: Cable torzal
regular y cable torzal Lang. La figura ??c, muestra una sección t́ıpica de
un cable de acero con su alma (parte central del cable) denominado según
las normas 6x7, es decir, este ejemplo está formado por 6 torones y cada
torón está formado de 7 alambres. El trenzado según el tipo definido genera
el cable total.
Todo cable de acero debe responder a caracteŕısticas bien definidas que de-
penderán en cada caso del uso al que será destinado. Las caracteŕısticas
fundamentales que determinan la elección del cable son:
1. La resistencia a la tracción del mismo.
2. La flexibilidad exigida al cable.
3. La resistencia al desgaste del cable por rozamiento.
4. La resistencia del cable a la acción corrosiva del medio ambiente en
que trabaja.
12.4.2. Resistencia a la tracción
Se define como resistencia a la tracción del cable al esfuerzo que produce
la rotura. A este valor se llama también carga de rotura efectiva. Debido
a que el esfuerzo a que es sometido un cable no se reparte uniformemente
en forma simultanea en los distintos alambres que componen el mismo, la
resistencia a la tracción del cable es menor que la suma de las resistencias a
la tracción de los alambres que lo componen.
La diferencia es mayor a medida que aumenta el número de cordones y
alambres que conforman el cable, pudiendo variar desde un 10 % hasta un
25 % de la resistencia teórica calculada como suma de las resistencias de los
Gabriel Barrientos R. 293
alambres.
Respecto a su fabricación se usan las siguientes calidades de alambres: Para
cables o cordones fijos que no trabajan sobre poleas, se emplean casi exclu-
sivamente acero de arado suave
Las otras calidades se emplean para diferentes usos: grúas, ascensores, mon-
tacargas, excavadoras, mineŕıa, perforaciones petroleras, usos navales, etc.
Los cables se calculan principalmente a la flexión, lo que ocurre cuando pasa
Figura 12.19: Partes de la sección transversal de un cable
por la polea. El esfuerzo de flexión en este caso se puede determinar a través
de la mecánica de sólidos:
M =
EI
ρ
=
σI
c
(12.8)
donde ρ = D/2 es el radio de curvatura de la polea, σ es el esfuerzo normal
debido a la flexión, M el momento en la sección del cable. Despejando se
obtiene:
σ =
Ec
ρ
(12.9)
considerando c = dw/2 con dw el diámetro del alambre, se obtiene:
σ = Er
dw
D
(12.10)
donde Er es el módulo de elasticidad del cable (no del alambre), producto
de la torsión y/o trensado del cable que hace diferentes la elasticidad del
alambre respecto a la elasticidad del cable. El esfuerzo σ es la tensión en los
294 Gabriel Barrientos R.
alambres exteriores del cable. La tensión de un cable de acero que genera
el mismo esfuerzo que la dada por flexión se denomina carga de flexión
equivalente Fb. Esto es:
Fb = σAm =
ErdwAm
D
(12.11)
donde Am es el área del metal del cable y en general es Am = 0,38d
2. Un
Figura 12.20: Diversos tipos de configuración de cables de acero
cable metálico puede fallar por carga estática de tracción sólo si en ella se
puede producir una sobrecarga. Ello no es falla de diseño sino de operación.
La primera consideración para seleccionar un cable metálico es la carga
estática basado Ft en los siguientes puntos:
1. Peso muerto
2. Cargas adicionales por paradas y/o arranques repentinos
3. cargas de impacto
4. fricción en cojinete de polea
La figura 12.21 muestra una de las tantas tablas que aparecen en la liter-
atura de cables que contienen las principales caracteŕısticas para distintas
Gabriel Barrientos R. 295
Figura 12.21: Caracteŕısticas de cables en la literatura
conformacónes de cables. La suma de todas estas cargas Ft se compara con
la resistencia última del cable Fu, lo que genera el factor de seguridad. Esta
resistencia última se ve reducida cuando el cable pasa sucesivamente por la
polea (sufre flexiones).
La figura ?? muestra la forma en que el número de flexiones repercute en la
resistencia del cable. Esta curva fue obtenida en cables de 6x17 y de 6x19.
La figura 12.23 muestra algunos coeficientes de seguridad usados en la
práctica, donde destacan los grandes factores en unidades en que se pone en
riesgo la vida humana. Aśı, el coeficiente de seguridadde un cable se define
como:
n =
Fu
Ft
(12.12)
con Fu es la fuerza última del cable y Ft la fuerza máxima de trabajo. Estos
cálculos hasta ahora representan un prediseño y/o selección del cable, ya
que debeŕıa asegurarse que el cable cumpla las especificaciones de flexión
(fatiga) de los alambres que lo conforman y también respecto al desgaste
que ocurre inevitablemente cuando el cable pasa por la polea. En ese paso,
el cable se estira, bajo presión de contacto con la polea, como un resorte.
Este desgaste se cuantifica en forma aproximada por la relación de presión
296 Gabriel Barrientos R.
Figura 12.22: Porcentaje de pérdida de resistencia versus D/d
Figura 12.23: Coeficientes de seguridad para distintas aplicaciones de cables
de acero
Gabriel Barrientos R. 297
(presión de apoyo) sobre la polea:
p =
2F
dD
(12.13)
donde F es la tensión en el cable, d el diámetro del cable y D el diámetro
de la polea. Las presiones admisibles que se usan en la práctica se pueden
encontrar en tablas como la indicada en la figura 12.24. Esto sólo asegura
una vida al desgaste aproximada y se acostumbra a respetar como condición
de diseño práctico. Posteriormente deberá chequearse que el cable no falle
Figura 12.24: Diversos tipos de material usados en poleas para cables de
acero. Presiones admisibles en psi
por fatiga a la flexión (debido al paso por las poleas). Para ello autores que
han trabajado en el tema han generado curvas de fatiga relacionadas a la
presión de apoyo mencionada. La figura 12.25, [?] muestra una gráfica que
relaciona la fatiga del cable con la presión p sobre la polea. Su representa
la resistencia última a la tensión del alambre (no del cable). La gráfica de
la figura indica como punto de interés el valor p = Su < 0,001 el cual al ser
incorporado a la ecuación 12.13 se reescribe como:
Su =
2000F
dD
(12.14)
Combinando estas ecuaciones se obtiene:
Ff =
(p/Su)SudD
2
(12.15)
donde Ff se interpreta la tensión permisible a la fatiga cuando el alambre
se flexiona un cierto número de veces dado por la relación de la figura 12.25
298 Gabriel Barrientos R.
Figura 12.25: Relación entre la vida en servicio relativa y la relación D/d
y alguna espectativa de vida definida por el gráfico. El factor de seguridad
a la fatiga se define como:
nf =
Ff − Fb
Ft
(12.16)
Ff es la resistencia a la flexión, Ft fuerza de trabajo. Una gúıa de resistencia
última de cables es:
Acero de arado mejorado 240 < Su < 280kpsi
Acero de arado 210 < Su < 340kpsi
Acero de arado dulce 180 < Su < 210kpsi
La tabla de la figura 12.26 muestra algunas caracteŕıstcas mecánicas de
cables t́ıpicos comerciales
Figura 12.26: Algunas caracteŕısticas mecánicas clásicas de un cable de acero
Gabriel Barrientos R. 299
Figura 12.27: Relación entre la presión cable-polea y el número de flexiones
Figura 12.28: Criterio para control de alambres rotos en un cable
300 Gabriel Barrientos R.
Figura 12.29: Número de flexiones recomendada versus el radio de la gar-
ganta en la ranura de la polea
Figura 12.30: Variación de la resistencia del cable en función del número de
flexiones
Gabriel Barrientos R. 301
Figura 12.31: Variación de la resistencia del cable en función del número de
flexiones para diferentes condiciones geométricos de la polea
302 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 13
Descansos deslizantes
13.1. Introducción
La vieja pregunta de si son mejores los cojinetes de deslizamiento o
los rodamientos, puede contestarse en el sentido que cada tipo posee sus
propiedades espećıficas y ninguno de ellos satisface todas las exigencias. En
los cojinetes de fricción, la gran superficie de lubricación actúa amortiguan-
do las oscilaciones, los golpes y los ruidos. Esta superficie es también menos
sensible a las vibraciones y a la penetración de polvo, permite un juego ra-
dial menor, y una tolerancia de ajuste relativamente grande.
Además, los cojinetes de deslizamiento son sencillos en su construcción,
fáciles de fabricar, requieren un diámetro menor en el montaje y se adaptan
bien a las diversas aplicaciones. Los cojinetes de fricción son adecuados a
usar:
303
304 Gabriel Barrientos R.
Cuando sea primordial un funcionamiento silencioso (por ejemplo elec-
tro domésticos como jugueras, aspiradoras, generadores pequeños, etc.)
Cuando sean suficientes los cojinetes de fricción y sus inconvenientes
no sean decisivos
Cuando se produzcan fuertes sacudidas y vibraciones
Cuando se requieran cojinetes partidos o diámetros pequeños
13.2. Tipos de cojinetes de deslizamiento
La forma más simple son los bujes, que generalmente están dotados
con agujero que permite su lubricación. En cojinetes de mayor importan-
cia, la superficie interior suele tener ranuras, o canales convenientemente
dispuestos, y comunicados con la entrada de lubricante, para facilitar su
distribución en toda la superficie.
La figura 13.1 muestra un montaje t́ıpico de un descanso hidrodinámico
con sus partes principales. Los cojinetes partidos son necesarios en los apoyos
intermedios de los árboles de gran longitud, o cuando los gorrones están dis-
puestos de modo que el cojinete no podŕıa entrar, como en los apoyos de los
cigueñales (ver ejemplo de figura 13.2.
Los cojinetes hidrodinámicos e hidrostático funcionan con servicio de
vida infinita bajo ciertos valores de carga y velocidad.
Figura 13.1: Partes principales de un descanso de fricción
Gabriel Barrientos R. 305
13.3. Tipos de lubricación
La literatura clásica de elementos de máquinas distingue cinco tipos de
lubricación:
Hidrodinámica . Existe una capa de lubricante lo suficientemente grue-
sa que impide el contacto metal metal. También se conoce como lubri-
cación copiosa, completa, gruesa o fluida. El movimiento relativo de
las partes a lubricar produce las presiones necesarias para mantener
las superficies separadas.
Hidrostática. Se introduce el lubricante (tambien puede ser aire o agua)
a presión entre las superficies. A diferencia de la hidrodinámica no es
necesario el movimiento relativo entre las superficies.
Lubricación elastohidrodinámica. El lubricante se introduce entre las
partes en contacto por rodante. Es usado por ejemplo en engranajes
y rodamientos. La teoŕıa es una combinación de la teoŕıa de contacto
de Hertz y la teoŕıa de mecánica de fluidos.
De capa ĺımite. (o escasa) Cuando las asperezas de mayor altura quedan
separadas por peĺıcula lubricante de sólo
De peĺıcula sólida. Se usa cuando se requieren temperaturas extremas.
Se usa lubricante de peĺıcula sólida.
Los cojinetes que requieren de nuestra atención en este curso son aquel-
los en que se presenta lubricación hidrodinámica. Aśı, es necesario manejar
parámetros básicos asociados a la teoŕıa de lubricación. La teoŕıa de lu-
bricación elastohidrodinámica, asociada a la lubricación de rodamientos y
engranajes no se estudia en este curso. En cursos de especialización se pro-
fundiza sobre este tipo de lubricación.
13.4. Viscosidad
Cuando una superficie se mueve a velocidad U sobre una capa de lubri-
cante de espesor h, éste se puede considerar como compuesto por varias ca-
pas horizontales que oponen resistencia en el sentido del movimiento. Dicha
situación queda representada por la figura 13.3. La velocidad de las capas
intermedias depende de la distancia desde la placa fija, cumpliendose la Ley
306 Gabriel Barrientos R.
Figura 13.2: Detalles internos en un descanso deslizante partido
de Newton, que dice que el esfuerzo es proporcional a la tasa de variación
de la velocidad con respecto al espesor, es decir:
τ =
F
A
= µ
du
dy
= µ
U
h
(13.1)
donde µ es el factor de proporcionalidad que produce la igualdad en la
ecuación y representa la viscosidad absoluta (medida en Pascal por segundo
o en Reynols) o también denominada viscosidad dinámica y dudy el gradiente
de la velocidad se considera constante, es decir, la intensidad del esfuerzo
deslizante no vaŕıa conel espesor de la capa lubricante.
También se acostumbra a definir la viscosidad cinemática ν:
ν =
µ
ρ
(13.2)
donde ρ es la densidad del lubricante.
Respecto a las unidades:
µ :
F/A
U(h
:
esfuerzo
vel.deslizamiento
:
N/m2
m/sm
:
Ns
m2
: Pa · s : Dina · s
cm2
= Poise
(13.3)
En el sistema ingles se usa:
µ :
lbf · s
in2
= Reynold
1centipoise = 1,019x10−8
kgf · s
cm2
Gabriel Barrientos R. 307
Figura 13.3: Capas de lubricante durante movimiento de una superficie plana
respecto de otra
13.5. Ley de Petroff
Fue Petroff quien dedujo una serie de relaciones adimensionales entre las
variables asociadas a la lubricación. La figura 13.4 muestra una chumacera
vertical con lubricante entre el muñón y el descanso. Si el eje gira a N , la
velocidad periférica U = 2πrN donde r es el radio del muñón. Si el muñón
está girando en un cojinete lubricado por peĺıcula de aceite, sin carga (muy
ligera y a velocidad baja) el muñón gira concéntricamente en el eje y el
gradiente de velocidad es constante. Se puede aplicar aśı la ley de Newton
para definir la viscosidad. El área sometida a esfuerzo cortante en el muñón
es πDL y el espesor de peĺıcula es igual al juego radial. El esfuerzo está dado
por la relación:
τ =
F
A
= µ
du
dy
= µ
U
c
(13.4)
donde c es la holgura radial. La fuerza necesaria para mover la peĺıcula
fluida es función del área resistente. Aśı, el momento torsor necesario para
este movimiento será:
T = (τA)(r) = (
2πrµN
c
)(2πrl)(r) =
4π2r3lµN
c
(13.5)
Considerando a W una fuerza de pequeña magnitud que actúa sobre el
cojinete, la presión P = W/2rl y la fuerza de roce será fW donde f es el
coeficiente de roce y permite decir que el torque o momento friccional T
será:
T = fWr = 2r2flP (13.6)
308 Gabriel Barrientos R.
Figura 13.4: Descanso deslizante vertical con carga radial mı́nima
combinando estas ecuaciones se obtiene finalmente:
f = 2π2
µN
P
r
c
(13.7)
Esta ecuación se denomina Ley de Petroff (1883) y es adimensional. Se define
además el número de Sommerfeld S, también adimensional que permite
combinarla con la ecuación ?? y obtener la relación:
f
r
c
= 2π2(
µN
P
)(
r
c
)2 = 2π2S (13.8)
con S dado por la relación:
S =
µN
P
(
r
c
)2 (13.9)
13.6. Lubricación estable
La diferencia entre la lubricación ĺımite y la lubricación hidrodinámica
se puede visualizar en la figura 13.5. Se muestra cómo vaŕıa el coeficiente
de roce f en función del parámetro adimensional fN = P . Ella define la
estabilidad de un lubricante y ayuda a comprender el fenómeno de la lu-
bricación hidrodinámica. Como puede verse, el tipo de lubricación que se
produce está muy ligado al espesor de la capa de lubricación que se forma.
Gabriel Barrientos R. 309
Una restricción de diseño para asegurar peĺıcula gruesa es considerar:
µN
P
≥ 1,7 · 10−6 (13.10)
Los descansos deslizantes debeŕıan diseñarse basados en la teoŕıa de lubri-
cación hidrodinámica.
13.7. Lubricación hidrodinámica
Figura 13.5: Variación coeficiente de fricción vs tipo de lubricación
Fue el investigador B. Tower (1886) quién experimentalmente descubrió la
alta presión que se origina al hacer girar un eje en un descanso. La figura
13.6a, muestra un esquema del equipo usado por Tower el cual graficó la
distribución de presiones en el interior del cojinete, obteniendo curvas como
las mostradas en la figura 13.6b y 13.6c. Se trata de un experimento que
simula un cojinete parcial. Intentó varias veces tapar el agujero superior del
cojinete sin éxito ya que al comenzar a girar, el tapón saltaba de su alo-
jamiento. La fundamentación teórica de este fenómeno se basa en la teoŕıa
de mecánica de fluidos desarrollada por Reynolds derivado del experimen-
to de Tower. La principal hipótesis de Reynolds en la que basó su estudio,
310 Gabriel Barrientos R.
es que consideró la curvatura del cojinete despreciable frente al espesor del
lubricante y trató el tema como dos placas rectas que se deslizan entre śı.
Otras hipótesis al problema son:
1. El lubricante sigue la Ley de Newton del movimiento de la corriente
de fluido con viscosidad apreciable
2. Las fuerzas debido a la inercia del lubricante se desprecian.
3. El lubricante es incompresible.
4. Viscosidad constante en toda la peĺıcula,
5. La presión no vaŕıa en dirección axial.
6. Longitud axial del cojinete infinita, es decir, no se considera flujo axial
del lubricante
7. presión de peĺıcula lubricante es constante en la dirección radial y
depende sólo de x.
8. velocidad de una part́ıcula de lubricante sólo depende de coordenadas
x e y.
Figura 13.6: a) experimento según Tower en cojinete deslizante. b) distribu-
ción de presiones longitudinales y c) distribución de presiones radiales
Cuando el modelo permite que las superficies en movimiento relativo
generen presión suficiente para generar carga sin contacto metal metal, es-
tamos en presencia de la lubricación hidrodinámica. Requisito fundamenteal
para que ello suceda es que el lubricante entre a la zona decarga por un canal
convergente. La curva DEF (figura 13.7) muestra que la presión aumenta
Gabriel Barrientos R. 311
desde la atmosférica hasta el máximo en E.
La distribución de velocidades debe ser tal que permita que se cumpla
la ley de continuidad de masas. El gradiente de velocidades no es constante
y el fluido está sometido a presión.
El mecanismo que hace que esto se produzca se puede visualizar en la
figura 13.8, donde se ve cómo el muñón se posiciona en el descanso cuando
se ha formado la peĺıcula de lubricación hidrodinámica. Con los primeros
giros existe contacto metal metal entre las superficies. El muñón se encara-
ma en el cojinete produciendo un efecto de cuña al lubricante. El efecto de
cuña hace que el eje se desplace hacia la izquierda generandose la lubricación
hidrodinámica (perfil de presiones).
Realizando un análisis de equilibrio de fuerzas en un elemento infinitesi-
mal del lubricante se puede obtener la ecuación de Reynolds unidimensional
de la forma:
Figura 13.7: Peĺıcula hidrodinámica
d
dx
(
h3
µ
dp
dx
) = −6U dh
dx
(13.11)
Si las fugas laterales en dirección axial z no se desprecian, esta ecuación
de Reynolds se puede expresar como:
∂
∂x
(
h3
µ
∂p
∂x
)− ∂
∂z
(
h3
µ
∂p
∂z
) = −6U ∂h
∂x
(13.12)
312 Gabriel Barrientos R.
Figura 13.8: Mecanismo de lubricación y formación de peĺıcula lubricante
No existe solución anaĺıtica para la ecuación 12.10. Una solución importante
y usada hasta estos d́ıas es la solución obtenida por Sommerfeld, la cual se
puede expresar de la forma:
r
c
f = Φ[(
r
c
)2
µN
P
] (13.13)
donde Φ representa una relación funcional.
13.8. Variables de diseño
13.8.1. Definiciones básicas
La figura 13.9 permite definir la variables involucradas en este tipo de
lubricación.
h0 = c−e. Corresponde al espesor mı́nimo de la peĺıcula de lubricante.
c = rcojinete/reje. Holgura radial.
e. Excentricidad.
∈= e/c. Relación de excentricidad.
L. Longitud de arco. Corresponde a la longitud de la superficie que
soporta la carga de un cojinete medida en dirección circunferencial.
β. Angulo del cojinete asociado a la dimensión L. Si β = 360o se trata
de un cojinete completo.
φ. Ángulo de excentricidad que determina la posición relativa a la
vertical, correspondiente a la ubicación de h0.
Se distinguen dos tipos de variables:
Gabriel Barrientos R. 313
Figura 13.9: Variables en un cojinete parcial
314 Gabriel Barrientos R.
13.8.2. Variables controladas
Corresponden a aquellas variables que el diseñador dispone como datos
de entrada al problema. Se destacan:
La viscosidad µ
La carga por unidad de área proyectada P
La velocidad de rotación N
Las dimensiones del cojinete tales como: r, c, β, l
13.8.3. Variables dependientes
El diseñador no tiene control directo. Expresan de alguna forma cuan
bien funciona el cojinete. Algunas que se pueden mencionar son:
El coeficiente de fricción fVariación de temperatura ∆T
Flujo de lubricante Q
Espesor mı́nimo de peĺıcula h0
En resumen, se trata de definir ĺımites satisfactorios para este segundo grupo
de variables escogiendo valores adecuados del primer grupo para que estas
limitaciones no se excedan.
13.9. Consideraciones de diseño
A continuación se presentan algunas consideraciones prácticas usadas en
el diseño de cojinetes deslizantes. La figura 13.10 muestra cómo afecta la dis-
tribución de presiones teórica cuando se incluye ranuras de lubricación que
rompen esta distribución. La figura 13.11 muestra dos formas alternativas
para obtener una mejor adaptación a las deflexiones angulares del descanso.
13.10. Relaciones entre variables
Fueron Raimondi y Boyd (1958) quienes resolvieron numéricamente la
ecuación de Reynolds para descansos hidrodinámicos. Publicaron su traba-
jo en tres partes con 45 diagramas detallados y 6 tablas extensas. Están
Gabriel Barrientos R. 315
Figura 13.10: Perfil de presiones longitudinal y radial con ranuras de dis-
tribución
Figura 13.11: Tres tipos de descansos hidrodinámicos
316 Gabriel Barrientos R.
basados en ciertas relaciones fijas como en el caso de l/d con relaciones
1 : 4, 1 : 2y1 : 1 y para ángulos β de 60o a 360o. El diseño se basa en ir
calculando valores gráficamente hasta obtenerlos todos. A continuación se
presenta secuencialmente la forma en que se van determinando las diversas
variables:
13.10.1. Viscosidad
La principal hipótesis de este planteamiento se basa en que la viscosidad
del lubricante no vaŕıa a medida que pasa por el cojinete. En realidad entre
la entrada y la salida del lubricante, la temperatura aumenta y por ende la
viscosidad vaŕıa, tal como se muestra en la figura 13.12 para diversos tipos de
lubricantes según clasificación SAE. El método nos dice que la temperatura
a usar es el promedio entre la entrada y salida, es decir:
Tmed = Ti +
∆T
2
(13.14)
con Ti la temperatura de entrada y ∆T la elevación de la temperatura
hasta la salida. Con Tmed se obtiene la viscosidad usada en las fórmulas y/o
gráficos.
13.10.2. Grosor mı́nimo de peĺıcula
El valor de h0 se determina según la gráfica 13.13, determinando pre-
viamente el valor del número de Sommerfeld S. Con ayuda del gráfico de
la figura 13.14 se obtiene la posición angular donde este espesor mı́nimo h0
se ubica en la periferia del cojinete. La figura 13.15 muestra esta posición
y la distribución cualitativa de la presión alrededor del cojinete. La zona
achurada en la figura 13.13 representa los valores extremos dados por la
carga máxima y por el coeficiente mı́nimo de fricción. Esta zona puede ser
considera como un valor deseable para el diseño.
13.10.3. Coeficiente de fricción
A partir del cálculo del ı́ndice de cojinete (o número de Sommerfeld)
S y para diversos valores de la relación l/d se obtiene la relación (r/c)f
obteniendo la fricción f usando el gráfico de la figura 13.16.
13.10.4. Flujo de lubricante
La variable de flujo Q/rcNl, que se obtiene del diagrama de la figura
13.17 se emplea para obtener el volumen de lubricante Q impulsado a la
Gabriel Barrientos R. 317
Figura 13.12: Diagrama viscosidad temperatura en unidades del sistema
internacional para diferentes tipos de aceites
318 Gabriel Barrientos R.
Figura 13.13: Diagrama de cálculo para el espesor mı́nimo h0 de peĺıcula
Gabriel Barrientos R. 319
Figura 13.14: Posición del espesor mı́nimo en el cojinete
320 Gabriel Barrientos R.
Figura 13.15: Diagrama de distribución de la presión alrededor del cojinete
Gabriel Barrientos R. 321
Figura 13.16: Diagrama para determinar el coeficiente de fricción
322 Gabriel Barrientos R.
zona convergente del muñón para distintas relaciones de l/d. De igual forma
la figura 13.18 permite calcular el flujo axial Qs.
Figura 13.17: Diagrama para calcular el flujo Q total
13.10.5. Presión de peĺıcula
La máxima presión pmax desarrollada en la peĺıcula de lubricante se
obtiene del gráfico de la figura 13.19 a partir del número de Sommerfeld
para distintos valores de l/d. El gráfico de la figura 13.20 permite ubicar
los inicios y términos del perfil de presiones presente en el cojinete según lo
mostrado en la figura 13.15.
Gabriel Barrientos R. 323
Figura 13.18: Diagrama para calcular el flujo lateral Qs
324 Gabriel Barrientos R.
Figura 13.19: Diagrama para determinar la presión máxima pmax de la
peĺıcula
13.11. Aplicaciones
1. Explique la relación entre los siguientes parámetros en lubricación
hidrodinámica:
a. Razón L/d vs. Temperatura del descanso
b. Razón L/d vs. Capacidad de carga
c. ho mı́nimo vs. Exactitud del montaje y pureza del lubricante
d. S vs. coeficiente de rozamiento
S=(r/c)2( N/P): número de Sommerfield, L: longitud del descanso, d:
diámetro del muñón; ho mı́n, espesor mı́nimo de peĺıcula; r: radio del
muñón; viscosidad absoluta; N velocidad de rotación en rev/s; P carga
por unidad de área proyectada.
2.
Gabriel Barrientos R. 325
Figura 13.20: Diagrama para determinar la posición terminal de la peĺıcula
de lubricante y la de la presión máxima en ella
326 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 14
Proyectos globales
Para todos los proyectos enunciados en este caṕıtulo se debe tener pre-
sente:
1. Se debe realizar en grupos de máximo 6 alumnos
2. Los grupos deben ser inscritos previamente en oficina de la Secretaŕıa
3. El informe final debe ser entregado como un proyecto de ingenieŕıa,
es decir, cumpliendo especificaciones mı́nimas tales como: sin faltas
de ortograf́ıa, dibujos a la altura de un estudiante de 4 año y futuro
ingeniero, planos de acuerdo a especificaciones y normas de dibujo.
4. En cada caso que sea necesario deberá establecer las hipótesis clara-
mente
5. Materiales y/o coeficientes necesarios para el cálculo deberán ser obte-
nidos de la literatura disponible de elementos de máquinas.
6. Cualquier uso de herramienta computacional como elementos finitos
está autorizada como apoyo al cálculo global,
7. Se recomienda que todos los alumnos del grupo participen en la confec-
ción del informe y en la toma de decisiones necesarias para el cálculo,
ya que queda abierta la posibilidad de interrogaciones individuales a
alumnos que se sospeche no se hayan dedicado al proyecto como el
grueso del grupo.
327
328 Gabriel Barrientos R.
14.1. Proyecto 1. Diseño de partes de una camione-
ta de doble cabina
Se desea calcular varias partes de una camioneta de doble cabina de
pasajeros con tracción en las cuatro ruedas. Las especificaciones dadas son
las siguientes:
Potencia máxima del motor = 220HP a 5400rpm. Considere el torque
máximo como el doble del torque a la potencia dada, el que se presenta
a 3000rpm
Peso total de la camioneta sin pasajeros = 1800kg.
Proponer adecuadamente las coordenadas geométricas necesarias y la
posición del centro de gravedad de la camioneta sin pasajeros.
Posición relativa de pasajeros y carga parte trasera debe ser propuesta.
Entregue un informe en base a lo siguiente:
1. Determinar el diámetro mı́nimo de los cuatro pernos (o tuercas) que
fijan las ruedas.
2. Elegir dimensiones estándares para el motor de una camioneta común
de entre 2200 a 3000cm3. Establezca la metodoloǵıa de cálculo para el
diseño de los pernos de la culata. Establezca las hipótesis necesarias
para realizar el cálculo
3. Suponga que la camioneta dispone de suspensión trasera con resortes
de Ballesta. Determine las dimensiones necesarias del paquete de re-
sortes. Explique el criterio de selección y/o diseño del amortiguador
asociado a este tipo de suspensión
4. Investigue sobre diferentes tipos de diferenciales de camionetas. Elija
uno simple para su veh́ıculo y calcule el ancho mı́nimo necesario en los
dientes de los engranajes del diferencial estimando adecuadamente la
velocidad de giro del eje de entrada de la potencia.
5. Investigue como operan las barras de torsión y calcule el diámetro nece-
sario dela barra de torsión para este veh́ıculo. Verifique sus cálculos
usando un modelo de elementos finitos para las condiciones dadas.
Gabriel Barrientos R. 329
Figura 14.1: Motivación: La fotograf́ıa muestra a Hugo Neira, Ingeniero Civil
Mecánico de nuestra Universidad quien trabaja en la Formula 1 para una
empresa que asesora a la fórmula 1
330 Gabriel Barrientos R.
6. Suponga que se debe reparar soldando la barra de torsión según lo
indicado en la figura 14.2. Determine en forma teórica el mı́nimo es-
pesor de la soldadura y modele esta unión mediante elementos finitos.
Determine los esfuerzos que le entrega el programa. Compare con la
solución anaĺıtica.
Figura 14.2: Fractura en barra de torsion. Fractura presentada en la barra
de torsión que debe soldarse
7. Determine el diámetro mı́nimo del muñón (eje) delantero y a partir de
esos cálculos diseñe el montaje de las ruedas delanteras incluyendo la
selección de los rodamientos (SKF) del sistema
8. Determine el diámetro mı́nimo del pasador que une el pistón con la
biela
9. Diseñe una biela para su motor basándose en una forma estándar.
Dibújelo con cualquier software que permita discretizar y aplicarle el
programa ANSYS. Aplique las cargas dinámicas que correspondan y
obtenga: niveles de esfuerzos, coeficientes de seguridad, deformaciones,
frecuencias naturales, modos de vibrar.
10. Calcule un sistema simple de frenos de balatas para las ruedas traseras
y de discos para las ruedas delanteras.
Gabriel Barrientos R. 331
14.2. Proyecto 2. Reductor de engranajes
El reductor de engranajes entrega la potencia a una prensa que consiste
de 2 tornillos sin fin que comprimen un cierto material. En las figuras se
presentan los planos que muestran como se distribuyen las diferentes etapas
de reducción. La figura 14.4 representa la vista frontal del reductor, donde
se indican los cortes que se muestran en las demás figuras. En cada uno de
ellos están montados engranajes en forma asimétrica respecto a los lados
derecho e izquierdo del reductor.
Cada uno de los engranajes y/o piñones del reductor se indican en estas
figuras asociados a cada uno de los ejes. Asigne en su informe a las coronas
con la letra A y los piñones con la letra B. Por ejemplo el engranaje 3-A rep-
resenta la corona montada en el eje 3. El motor está ubicado simétricamente
a la parte superior del reductor, accionando el eje 1 por medio de correas en
V.
Algunos caracteŕısticas geométricas de los engranajes se muestran en la
Tabla de la figura 14.3. El reductor trabaja 24 horas al d́ıa durante 6 meses
al año. El resto del tiempo se le realiza mantención. La figura 14-8 mues-
tra el sentido de giro de ambos tornillos. Los tornillos de salida sirven como
prensa para comprimir el producto, ya que el paso de los tornillo es variable,
disminuyendo a medida que se aproxima al extremo de salida. Averigue si
el sentido de giro mostrado en la figura 14.9 es el adecuado o deberá cam-
biarse. Considere que cada lado del reductor consume la mitad de la potencia
disponible. Los principales datos a considerar son:
Potencia del motor: 340KW
rpm motor: 1550rpm
diámetro piñón reductor 720mm
diámetro poiñón motor: 300mm
Se pide:
1. Seleccione el motor eléctrico. Explique cuales son más adecuados para
este tipo de máquinas e indique cuales son los parámetros a considerar
en la selección.
2. Seleccione las cadenas de transmisión entre motor y el eje 1 del reduc-
tor. Elija algún proveedor disponible en el mercado.
332 Gabriel Barrientos R.
3. Calcule los pernos presentes en el reductor: de la base con el piso, de
las diversas partes de la carcasa y de las tapas de los ejes que resistan
fuerzas axiales.
4. Verifique la selección de los rodamientos del eje 3.
5. Seleccione el rodamiento indicado en la figura 14.8. Suponga que toda
la fuerza axial es absorbida por este rodamiento. Indique las tolerancias
de montaje para cada uno de los rodamientos.
6. Verifique si los engranajes están bien diseñados.
7. Determine si el eje número 1 está bien diseñado, incluyendo sus chave-
tas.
8. Modele la carcasa del reductor en base a elementos tridimensionales.
Use valores geométricos proporcionales a los que aparecen en las fig-
uras. Someta este modelo a las cargas reales y calcule sus esfuerzos y
deformaciones. Determine frecuencias naturales y modos de vibrar.
9. Diseñe y calcule los 2 tornillos sin-fin que sirven de prensa. Suponga
que para su construcción dispone de 1 tubo y que las hélices del tornillo
están soldadas al tubo según las flechas mostradas en la figura 14.9. El
largo de cada tornillo es de 6m y suponga que la potencia transmitida
a ambos tornillos es consumida uniformemente en el movimiento axial
del material a prensar.
14.3. Proyecto 3. Taladro Taller U.de C.
La serie de fotograf́ıas y planos que se entregan en las figuras 14.10 a la
?? muestran el taladro radial del taller de máquinas herramientas del De-
partamento de Ingenieŕıa Mecánica. El motor eléctrico principal es de una
potencia nominal de 2,8kW . El catálogo completo de esta máquina se en-
cuentra a disposición de los alumnos en la secretaŕıa para ser consultado por
los grupos de trabajo. De igual forma cada grupo deberá coordinar visitas
programadas para ver el taladro en el taller y observar su funcionamiento.
En el catálogo aparecen todos los planos a que se hace mención en este
proyecto.
Se pide:
1. Un esquema claro del sistema de transmisión (relación de velocidades)
por engranajes desde el motor hasta el husillo de salida.
Gabriel Barrientos R. 333
Figura 14.3: Valores geométricos de engranajes del reductor
2. Calcule el eje (tornillo de potencia) que permite desplazar el motor y
permite obtener diferentes relaciones de transmisión
3. Indique el procedimiento de cálculo del disco de fricción que transmite
la potencia del motor a los ejes. (ver figura T3 del catálogo)
4. Diseñe el eje de salida del taladro (plano T8 del catálogo).
5. Calcule el eje estriado del eje II del plano T5
6. Seleccione los rodamientos del eje de salida (plano T8).
7. Diseñe la chaveta que une el disco de fricción al eje I (Plano T5)
8. Determine el diámetro mı́nimo de los pernos que unen el pedestal a la
base fija y de los pernos de anclaje entre base y fundación.
9. El pedestal es de un acero 4140 tubular. Determine el espesor mı́nimo
del tubo con que se fabrica proponiendo un montaje adecuado para su
funcionamiento
10. La base móvil del taladro (pieza 401 del plano T1) se quebró por
accidente. Diseñe esta base con acero 4140 con piezas soldadas. Haga
todos los cálculos de las soldaduras teóricamente.
334 Gabriel Barrientos R.
Figura 14.4: Vista frontal del reductor. En él se indican los cortes que apare-
cen en las figuras siguientes
Gabriel Barrientos R. 335
Figura 14.5: Corte DD que muestra el engrane entre los ejes 1 y 2
Figura 14.6: Detalle del corte CC que muestra los ejes 2 y 3
336 Gabriel Barrientos R.
Figura 14.7: Detalle del corte BB que muestra el montaje del eje-4
Figura 14.8: Detalle del corte AA que muestra la disposición del eje-5 del
lado derecho e izquierdo del reductor
Gabriel Barrientos R. 337
Figura 14.9: Esquema de funcionamiento de la prensa de tornillos. Las flechas
indican las zonas donde se utiliza soldadura como unión entre hélice y tubo
338 Gabriel Barrientos R.
11. Haga un modelo por elementos finitos tridimensional de esta base orig-
inal y determine los esfuerzo y deformaciones máximas producidas.
12. Diseñe el engrane más desfavorable del sistema. Suponga los materiales
adecuadamente.
13. Discuta el sistema de lubricación e investigue las propiedades de los
aceites lubricantes recomendados de acuerdo a la tabla que aparece en
plano T18.
Gabriel Barrientos R. 339
Figura 14.10: Detalle de transmisiones internas entre ejes
340 Gabriel Barrientos R.
Figura 14.11: Plano T8: de detalle de husillo porta brocas
Gabriel Barrientos R. 341
Figura 14.12: Vista externafrontal del taladro. Plani T1
342 Gabriel Barrientos R.
Figura 14.13: Vista externa lateral del taladro. Plano T1
Gabriel Barrientos R. 343
Figura 14.14: Diversas fotos del taladro
344 Gabriel Barrientos R.
Figura 14.15: Diversas fotos del cabezal superior del taladro
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Elementos de Maquinas - Gabriel Barrientos

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