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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA MÉTODOS CUANTITATIVOS PROFESOR: HUGO GONZÁLEZ A. Página Nº 1 UN PROBLEMA DE P.L. RESUELTO MÉTODOS CUANTITATIVOS – Ingeco Problema: La fábrica de ladrillos “Hércules” produce, entre otros productos, cuatro tipos de ladrillos de cemento. El proceso de fabricación está compuesto de 3 etapas: mezclado, vibrado e inspección. Dentro de las condiciones diarias, se dispone de 10000 horas de máquina para mezclado, 14000 horas para vibrado y 2000 horas-hombre de inspección. La fábrica desea maximizar las utilidades diarias, y para ello se ha formulado el siguiente modelo de programación lineal: Máx Z = 10X1 + 15X2 + 30X3 + 50X4 S.T. X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 ≤ 10000 1,5X1 + 2X2 + 4X3 + 8X4 ≤ 14000 0,2X1 + 0,3X2 + 0,8X3 + 0,8X4 ≤ 2000 X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0 Donde Xi = Cantidad de ladrillos tipo i a elaborar en el día. Cuya Solución óptima, es la que se muestra en el tablero simplex y salida computacional correspondiente: X1 X2 X3 X4 H1 H2 H3V.B. Cj 10 15 30 50 0 0 0 Disp X3 30 0,00 0,50 1,00 -0,25 0,75 -0,50 0,00 500 X1 10 1,00 0,00 0,00 6,00 -2,00 2,00 0,00 8000 H3 0 0,00 -0,10 0,00 -0,20 -0,20 0,00 1,00 0 Zj 10 15 30 52,5 2,5 5 0 Cj - Zj 0 0 0 -2,5 -2,5 -5 0 95000 Salida Computacional OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 95000.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 8000.000000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 X3 500.000000 0.000000 X4 0.000000 2.500000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 2.500000 3) 0.000000 5.000000 4) 0.000000 0.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT COEF ALLOWABLE INCREASE ALLOWABLE DECREASE X1 10.000000 1.250000 0.416667 X2 15.000000 0.000000 INFINITY X3 30.000000 10.000000 0.000000 X4 50.000000 2.500000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT RHS ALLOWABLE INCREASE ALLOWABLE DECREASE 2 10000.000000 0.000000 666.666687 3 14000.000000 1000.000000 4000.000000 4 2000.000000 INFINITY 0.000000 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA MÉTODOS CUANTITATIVOS PROFESOR: HUGO GONZÁLEZ A. Página Nº 2 1.1. Explique la segunda restricción. Ésta se refiere al recurso Horas Máquina de Vibrado, estableciendo que cada unidad de ladrillo elaborada utiliza 1,5; 2; 4 y 8 horas máquina respectivamente, disponiéndose de un total de 14000 horas. 1.2. Establezca la solución óptima y el estado de los recursos en el contexto de la situación La solución óptima establece que se deben elaborar diariamente 8000 unidades del ladrillo tipo 1 y 500 unidades del ladrillo tipo 3, con esto se utilizan todos los recursos disponibles, produciéndose un beneficio económico de 9500 unidades monetarias por día. 1.3. De acuerdo con la solución, establezca las características del programa. Fundamente. A la luz del tableau final y de la salida computacional, se observa que este programa posee dos características, que son: Soluciones Múltiples, puesto que la variable no básica representada por X2 tiene costo reducido nulo, lo que significa que su incorporación a la base no afectaría al beneficio económico. Solución degenerada, ya que la variable básica H3 es nula, lo que significa que esta restricción es redundante. 1.4. Si se necesita elaborar el ladrillo tipo 4. ¿Cuál es la cantidad máxima que se puede elaborar y el resultado económico que se obtendría bajo este escenario?. Analizando el tableau final, se tiene: X4 V.B. Cj 50 Sea Δ la cantidad de ladrillos tipo 4 a elaborar Disp X3 30 -0,25 X3 = 500 - Δ*(- 0,25) 500 X1 10 6,00 X1 =8000 - Δ*6 8000 H3 0 -0,20 H3 = 0 - Δ*(-0,2) 0 Zj 52,5 Cj - Zj -2,5 95000 Aplicando principio de no negatividad, se tiene: X3 >= 0 ⇒ 500 + 0,25Δ >=0 X1 >= 0 ⇒ 8000 – 6Δ >=0 ⇒ Δ <= 8000/6 = 1333,3 unidades (1333) H3 >= 0 ⇒ 0 + 0,2Δ >=0 Lo que reduce el resultado económico a 9500 – 2,5Δ = 95000 – 2.5 * 1333 = -91667,5 X1 = 8000 -6 * 1333 = 2 ⇒ Contribución = 20 X3 = 500 + 1333 * 0,25 = 833,25 ⇒ Contribución = 24997,5 X4 = 1333 ⇒ Contribución = 66650,0 ⇒ Beneficio Total 91667,5 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA MÉTODOS CUANTITATIVOS PROFESOR: HUGO GONZÁLEZ A. Página Nº 3 1.5. ¿Cuál debería ser la contribución mínima que debería proporcionar el producto 4 para que fuera conveniente su producción? Contribución Actual = 50 Costo Reducido = 2,5 ⇒ Contribución Mínima del Producto 4 = 52,5 1.6. ¿Esta solución es única?. Si su respuesta es negativa, proporcione otras dos soluciones. No, el programa admite soluciones múltiples. Por lo tanto, a partir de la información disponible, se tiene que la variable que puede formar parte de la base es X2, de donde se obtiene el otro punto extremo: X2V.B. Cj 15 Si Δ es la máxima cantidad de X2, entonces Plan Original X3 30 0,50 X3 = 500 - Δ*(0,5) 500 X1 10 0,00 X1 =8000 - Δ*0 8000 H3 0 -0,10 H3 = 0 - Δ*(-0,1) 0 Zj 15 Cj - Zj 0 95000 Aplicando principio de no negatividad, se tiene: X3 >= 0 ⇒ 500 - 0,5Δ >=0 ⇒ Δ <= 1000 X1 >= 0 ⇒ 8000 - 0Δ >=0 ⇒ Δ = 8000 H3 >= 0 ⇒ 0 + 0,1Δ >=0 ⇒ Δ >= 0 De donde se observa que la solución óptima alternativa es: X1 = 8000 X2 = 1000 X3 = 0 X4 = 0 Z = 95000 Por lo tanto, cualquier combinación lineal de la forma α*(8000, 0, 500, 0) + (1-α)*(8000, 0, 1000, 0), con 0≤α≤1, es una solución alternativa para la situación. 1.7. Si las contribuciones unitarias para cada tipo de ladrillo fuera 8; 12; 24 y 40 u.m. respectivamente. ¿Cuál es el plan óptimo de producción y el resultado económico? En este caso están cambiando todas las contribuciones unitarias en la misma proporción, en este caso, todas disminuyen en un 20%, por lo tanto, el plan óptimo de producción se mantiene, produciendo un beneficio económico de 76000 u.m. 1.8. Si la disponibilidad de horas máquina de mezclado fuese 9800, la de vibrado fuese 14500 y las horas hombre de inspección fuese 2500. ¿Cuál sériale plan óptimo de producción y el resultado económico? HM Mezclado Disminuye en 200 horas ; Máx Disminución = 666,6687 ⇒ Va = 200/666,66687 = 0,3 HM Vibrado aumenta en 500 horas ; Máximo Incremento = 1000 ⇒ Va = 500/1000 = 0,5 HH Inspección alimenta en 500 horas ; Máximo Incremento = Infinito ⇒ Va = 500/∞ = 0 SUMA DE LAS VARIACIONES PORCENTUALES = 0,8 (80%) UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA MÉTODOS CUANTITATIVOS PROFESOR: HUGO GONZÁLEZ A. Página Nº 4 Considerando que la VARIACIÓN PORCENTUAL TOTAL NO SUPERA AL 100%, LAS ACTIVIDES RENTABLES, SIGUEN SIENDO RENTABLES, Y EL NUEVO PLAN ÓPTIMO DE PRODUCCIÓN ES: H1 H2 H3V.B. Cj 0 0 0 Nuevo Plan de Producción Plan Original X3 30 0,75 -0,50 0,00 X3 = 500 – 200*0,75+500*(-0,5)+500*0 = 100 500 X1 10 -2,00 2,00 0,00 X1 =8000– 200*(-2)+500*(2)+500*0 = 9400 8000 H3 0 -0,20 0,00 1,00 H3 = 0 - 200+(-0,2)+500*0+500*1 = 540 0 Zj 2,5 5 0 Cj - Zj -2,5 -5 0 Z = 95000-200*2,5+500*5+500*0 = 97000 95000 1.9. Un competidor le ofrece arrendarle capacidad adicional para mezclado a 4 u.m. por hora ¿Debe aceptar su oferta? No, ya que de acuerdo con las condiciones del problema el valor máximo que debería cancelar por cada hora adicional de mezclado es 2,5 u.m. 1.10. ¿A qué precio estaría Ud. dispuesto a arrendar a su competidor horas de vibrado? ¿Hasta cuántas horas? El arriendo de horas adicionales de vibrado debe ser por un valor máximo de 5 u.m. por hora, siendo 1000 la máxima cantidad de horas a arrendar . 1.11. Su competidor piensa arrendarle la capacidad disponible de mezclado, vibrado e inspección, y producir él los cuatro tipos de ladrillo. Para ello él quiere determinar un precio de arriendo que sea atractivo para Ud. Plantee el problema que debe resolver su competidor explicando claramente a que corresponde la función objetivo y las restricciones. Mín W = 10000Y1 + 14000Y2 + 2000Y3 S.T. Y1 +1,5Y2 + 0,2Y3 ≥ 10 2Y1 + 2Y2 + 0,3Y3 ≥ 15 4Y1 + 4Y2 + 0,8Y3 ≥ 30 5Y1 + 8Y2 + 0,8Y3 ≥ 50 Y1 , Y2 , Y3 ≥ 0 En este caso la función objetivo corresponde al valor total por el uso de los recursos, mientras que las restricciones al valor de los recursos consumidos por cada una de las actividades. Lo que corresponde al programa DUAL. 1.12. De acuerdo con el programa formulado ¿Cuáles deberían ser los precios de arriendo? La Hora de Mezclado a un valor máximo de 2,5 u.m. La hora de Vibrado a un valor máximo de 5 u.m. La Hora de Inspección no debe ser arrendada. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA MÉTODOS CUANTITATIVOS PROFESOR: HUGO GONZÁLEZ A. Página Nº 5 1.13. Un cliente ha solicitado un nuevo tipo de ladrillo, el cual requiere 4 horas de mezclado. 4 de vibrado y 0.5 horas de inspección por cada unidad producida. ¿Cuál debería ser la utilidad unitaria de este nuevo ladrillo para que Ud. considere su producción? Sea X5 = La cantidad del nuevo tipo de Ladrillo a elaborar, cuya contribución económica no se conoce (Genéricamente A), con lo que el programa queda: Máx Z = 10X1 + 15X2 + 30X3 + 50X4 + AX5 S.T. X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 + 4X5 ≤ 10000 1,5X1 + 2X2 + 4X3 + 8X4 + 4X5 ≤ 14000 0,2X1 + 0,3X2 + 0,8X3 + 0,8X4 + 0,5X4 ≤ 2000 X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ≥ 0 Dando origen a la siguiente restricción en el dual: 4Y1 + 4Y2 + 0,5Y3 ≥ A Donde al considerar la solución Dual, se tiene: 4*2,5 + 4*5 + 0,8*0 = 30 ≥ A Por lo tanto la utilidad mínima que debe ofrecer cada unidad de este tipo de ladrillo para que ser incorporado al plan de producción es de 30 u.m., ya que con una contribución de menos de 30 u.m., se satisface la restricción dual, por lo que el nuevo tipo de ladrillo pasaría a ser una actividad no rentable no alterando así el plan óptimo original OTRAS PREGUNTAS DE INTERÉS 1.14. Hasta el momento el proceso de secado es realizado artesanalmente, por lo que se está evaluando la posibilidad de confeccionar una sala especial de secado. La distribución física de la planta permite determinar que dicha sala tendría capacidad para 12000 ladrillos. Considerando esta situación. ¿Cuál es el nuevo programa y su solución óptima? 1.15. ¿Cómo cambiaría la situación del problema anterior, si la capacidad de la sala de secado fuese de 8000 ladrillos. 1.16. Una nueva norma aprobada por el INN, establece que el ladrillo tipo 3 debe ser sometido a 5 horas de vibrado. ¿Cómo afecta esta modificación al plan de producción? 1.17. Si el cambio en la normativa afectase al ladrillo tipo 2 incrementando el tiempo de mezclado en una hora ¿Cuál es el plan de producción? 1.18. Si el ladrillo tipo 4 es el que presenta la mayor utilidad bruta por unidad, por que es una actividad no rentable? 1.19. Una iteración conduce al siguiente tableau: X1 X2 X3 X4 H1 H2 H3V.B. Cj 10 15 30 50 0 0 0 Disp X3 30 1/24 0,5 1 0 2/3 - 5/12 0 833,333 X4 50 1/6 0 0 1 -1/3 1/3 0 1333,33 H3 0 1/30 -0,1 0 0 -4/15 1/15 1 266,667 Zj 9 7/12 15 30 50 3,333333 4,16667 0 Cj - Zj 5/12 0 0 0 -3,33333 -4,16667 0 91666,7 Encuentre la solución óptima, considerando todas las posibles vías que le ofrece este tablero.
