campos electromagneticos - problemas resueltos

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AULA POLITÈCNICA 61
Campos electromagnéticos.
Problemas resueltos
AULA POLITÈCNICA / ETSETB
EDICIONS UPC
Campos electromagnéticos.
Problemas resueltos
Federico Dios - David Artigas 
Ferran Canal - Jaume Recolons
La presente obra fue galardonada en el octavo concurso
"Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.
Primera edición: septiembre de 2001
Diseño de la cubierta: Manuel Andreu 
© Los autores, 2001
© Edicions UPC, 2001
Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL
Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona
Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885
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La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona
Depósito legal: B-28.243-2001
ISBN: 84-8301-519-6
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las san-
ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro-
cedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de
ella mediante alquiler o préstamo públicos.
 Índice 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 
Presentación..................................................................................................................... 
 
 
Problemas 
 
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas..................................................................... 
2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas.................................................................. 
3 Ondas planas............................................................................................................................. 
4 Incidencia de ondas planas....................................................................................................... 
5 Guías de onda............................................................................................................................ 
6 Radiación de antenas elementales............................................................................................. 
 
 
Indicaciones y sugerencias ............................................................................................ 
 
Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas........................................................................ 
Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas..................................................................... 
Ondas planas................................................................................................................................ 
Incidencia de ondas planas........................................................................................................... 
Guías de onda............................................................................................................................... 
Radiación de antenas elementales................................................................................................ 
 
 
Soluciones ...................................................................................................................... 
 
Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas........................................................................ 
Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas..................................................................... 
Ondas planas................................................................................................................................ 
Incidencia de ondas planas.......................................................................................................... 
Guías de onda............................................................................................................................... 
Radiación de antenas elementales................................................................................................ 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
11 
17 
23 
29 
37 
43 
 
 
47 
 
49 
55 
59 
65 
71 
75 
 
 
79 
 
79 
81 
83 
86 
90 
93 
 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
 Presentación 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Presentación 
 
La presente obra pretende llenar un hueco en la literatura técnica que habitualmente hay a disposición 
de los estudiantes de Campos Electromagnéticos, sea en Escuelas Técnicas o en Facultades de 
Ciencias. Ese presunto hueco no es detectado tan fácilmente por los profesores como por los mismos 
alumnos, y debemos confesar que en nuestro caso ha sido su insistencia la que ha hecho que, por fin, 
pusiéramos manos a la obra para tratar en lo posible de satisfacer su petición. 
 
Es sabido que los profesores no somos por lo general partidarios de los libros de problemas resueltos, 
aunque a los alumnos puede parecerles haber encontrado una auténtica joya cuando descubren alguno, 
con contenidos que se adapten bien al temario que ellos siguen. No nos parece un material adecuado, 
porque, en muchas ocasiones, el hecho de tener la solución y la resolución de un problema tan sólo a 
unas páginas de distancia es una tentación demasiado fuerte como para intentar hacer un esfuerzo 
adicional, que pueden imaginar, incluso, innecesario. Afortunada o desgraciadamente, lo cierto es que 
no hay sucedáneo para el trabajo individual, y que las explicaciones sobre el método correcto de 
enfocar un problema se muestran tanto más esclarecedoras cuanto mayor ha sido el esfuerzo previo en 
solitario por buscarlo. 
 
Por llegar a una solución de compromiso –y para no dar al estudiante gato por liebre–, hemos optado 
por no resolver realmente los problemas que constituyen esta colección. A cambio se dan indicaciones 
y sugerencias sobre cómo deben enfocarse para hallar la solución de una manera lógica y coherente 
con la teoría. Al final del libro se dan escuetamente las expresiones finales o los valores numéricos 
que representan la solución final a cada problema. De esta manera, el estudiante puede comprobar sus 
resultados. 
 
Los problemas de este libro se han repartido en seis capítulos que, con algunas variantes, recogen los 
temas habituales en un curso intermedio sobre Electromagnetismo para Ingenieros de 
Telecomunicación. 
 
La primera parte del libro presenta los enunciados de los problemas. Por lo general, son problemas 
procedentes de exámenes parciales y finales de los últimos años de la asignatura de Campos 
Electromagnéticos impartida en la Escuela Superior de Ingeniería de Telecomunicaciones de la 
Universidad Politécnica de Cataluña. Se ha tratado de no incluir aquellos problemas que ya 
aparecieron en el libro Campos Electromagnéticos, publicado también por Edicions UPC, y que tiene 
casi los mismos autores que este nuevo libro. 
 
La segunda parte la constituyen las indicaciones y sugerencias con que se pretende orientar al 
estudiante para la resolución de los problemas. Como ya hemos explicado, no hemos querido dar 
orientaciones demasiado explícitas, de forma que el estudiante se vea forzado a seguir pensando por 
su cuenta para llegar a la solución. No obstante, como el lector podrá comprobar, el grado de 
explicitación es diferente según los problemas, puesto que algunos son más difíciles, técnica o 
conceptualmente, que otros, y precisan de más explicaciones. 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
 Presentación 10 
 
Indudablemente, el creer que una determinada explicación constituye para otra persona una pista real 
para resolver un problema supone una base común de conocimientos, o que se conoce con cierta 
aproximación lo que esa persona sabe y cómo tenderá a enfocar el problema. En nuestro caso, la larga 
experiencia en la didáctica del Electromagnetismo nos hace suponer que algo sabemos sobre ello. Por 
otro lado, muchos de los potenciales usuarios del libro serán nuestros propios futuros alumnos, razón 
por la cual tenemos una idea bastante aproximada de la manera en que van asimilando yorganizando 
los nuevos conceptos que van aprendiendo durante el curso. 
 
Tan sólo nos resta pedir comprensión y disculpas al lector por los posibles errores que pueda 
encontrar en el libro. Los que tengan experiencia en publicar trabajos sabrán cuán difícil resulta, 
independientemente del número de revisiones realizadas, que no aparezcan al menos unos pocos 
gazapos. Que sepa el lector que, aun con todo, hemos tratado por todos los medios de escapar a esa 
fatídica ley. 
 
 
 Los autores 
 Barcelona, abril de 2001 
 
 
 
 
 
 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas 
 
Este primer capítulo sirve de repaso a los conceptos y métodos que se vieron en el curso introductorio 
de Física sobre Teoría Electromagnética. Se analizan situaciones típicas en las que determinadas 
distribuciones de carga conocidas –sean puntuales, dipolos, o distribuciones continuas– producen 
campos y potenciales en el espacio. Algunos otros problemas hacen referencia a corrientes 
estacionarias y sus distribuciones de campo magnético. Se emplean herramientas conocidas, como las 
leyes integrales de Gauss y Ampère y las ecuaciones diferenciales de Laplace y Poisson. Se han 
incluido también ejercicios de inducción electromagnética, resolubles mediante la ley de Faraday. 
Estos problemas se incluyen en algunos textos bajo el epígrafe de Campos lentamente variables en el 
tiempo, y es cierto que ya no son problemas en régimen estático, y que implican relaciones entre 
campos eléctricos y magnéticos. Sin embargo, los incluimos en este primer capítulo porque reflejan 
situaciones ya conocidas por los estudiantes. 
 
 
 
1. Calcule el flujo del campo eléctrico creado por una carga puntual, de valor q, situada en el origen 
de coordenadas, a través de las dos superficies siguientes: 
 
a) una semiesfera de radio R, cuyo centro (el origen de los radios) coincide con la carga. 
b) el plano y = d . 
 
 
2. Un medio dieléctrico sometido a la acción de un campo eléctrico se polariza y, como consecuencia, 
aparecen en el medio las llamadas densidades de carga ligada, volúmica y superficial. El vector de 
polarización da cuenta del estado de polarización del medio y aquellas densidades de carga pueden 
calcularse a partir de este vector. Las expresiones son, respectivamente: 
 
Pb
�
⋅−∇=ρ 
nPb ˆ⋅=
�
σ 
 
A partir de la igualdad ∫ ε=⋅S QsdE 0/
�
�
, deduzca la ley de Gauss para el vector desplazamiento que, 
en el caso más sencillo y más habitual de que no haya cargas libres en el dieléctrico, toma la forma 
 
∫ =⋅S sdD 0
�
�
 
 
El vector desplazamiento eléctrico D
�
 se define como PED
���
+ε= 0 . 
 
 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
12 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
3. Calcule el potencial eléctrico en el interior de una esfera de radio a que contiene una densidad de 
carga eléctrica 
)( 210
a
r
+= ρρ 
 
sabiendo que el potencial es nulo en el infinito. Haga el cálculo a partir de la ecuación de Poisson. 
 
 
4. Determine el campo eléctrico dentro y fuera de una distribución esférica de carga de densidad 
constante ρ 0 y radio R. Utilice la ley de Gauss. 
 
 
5. Algunas de las líneas de campo electrostático de la figura 1, donde A y B son conductores 
perfectos, no son posibles. ¿Cuáles son?, ¿por qué? 
 
A
B
 
 
 
Fig. 1 Líneas de campo electrostático entre dos conductores. 
 Algunas de esas líneas no son posibles físicamente 
 
 
 
6. Dos cargas puntuales de valores +q y -q están situadas, respectivamente, en los puntos z = s/2 y z 
= -s/2, formando un dipolo eléctrico. 
 
a) Calcule el potencial eléctrico creado por el dipolo en todo el espacio. 
b) Aproxime la expresión anterior para puntos tales que r >> s. 
 
 
7. La gráfica de la figura 2 representa la distribución de carga volúmica en una unión p-n no 
polarizada. Esa distribución, debida a la huida de los portadores mayoritarios de uno y otro lado de la 
unión, se denomina zona de carga espacial. Ocurre que el exceso de electrones libres debido a los 
átomos donadores de la zona n han escapado, dejando tras de sí una zona iónica de carga neta 
positiva, y también algunos electrones de la banda de valencia han sido capturados por los átomos 
aceptores de la zona p, formando un volumen de iones negativos. 
 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas 13 
a) A partir de la ley de Gauss en forma diferencial, determine de forma gráfica la 
dependencia del campo eléctrico con x a lo largo de la unión, ignorando las variaciones en las 
otras dos direcciones. 
b) Obtenga la gráfica de la función potencial φ(x), mediante su relación con el campo 
eléctrico, o a partir de la ecuación de Poisson. Como no disponemos en este caso de 
referencias externas de potencial, podemos fijar arbitrariamente φ(x=0) = 0. 
 
x
ρ(x)
pn
 
 
Fig. 2 Unión p-n y zona de carga espacial 
 
 
 
8. Una barra de un semiconductor dopado tipo n (cuyos portadores son electrones en la banda de 
conducción) es atravesada por una densidad de corriente homogénea de valor J0. La corriente está 
provocada por una tensión aplicada en los extremos de la barra, mV500 =V . Suponemos que el 
campo eléctrico que se establece es constante a lo largo de toda la longitud del semiconductor. La 
concentración de portadores a la temperatura de trabajo es .melectr.1024.6 325×=N La carga del 
electrón es C10602.1 19−×−=q . La conductividad del semiconductor es 114 m1012.3 −−Ω×=σ . 
 
a) ¿Cuánto vale la densidad de corriente? 
b) Calcule la intensidad de corriente que circula por la barra. 
c) ¿Cuál es la velocidad media de los portadores? 
 
 
V
0
25 mm
1 mm
5 m
m
 
 
Fig. 3 La barra de semiconductor del problema 8 
 
 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
14 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
Se sumerge la barra en el seno de un campo magnético homogéneo orientado transversalmente a la 
dirección de la corriente, con .T0.10 =B 
 
d) ¿Cuál será la magnitud de la fuerza magnética por unidad de carga que experimentan los 
portadores? ¿Variará la densidad de corriente respecto a la situación en que no había campo 
magnético? ¿Y la intensidad de corriente en la barra? 
 
 
9. Calcule la capacidad de un condensador formado por dos placas metálicas de dimensiones 21 cm x 
29 cm separadas por una hoja de papel (εr = 2, d = 0,1 mm). 
 
 
10. Una corriente circula a través de un hilo conductor recto extendido en la dirección del eje Z. La 
densidad volúmica de corriente es 
 
 
�
�
J r J
a
z( )
�
= 0
2
2
ρ
 
 
donde a es el radio del conductor y ρ la coordenada radial cilíndrica. 
 
a) Calcule la intensidad de corriente I que atraviesa el hilo. 
b) Si I = 1 A y a = 0,3 mm ¿cuál es el valor de J0? 
c) Calcule el valor del campo magnético creado a 1 cm del hilo conductor. 
 
 
11. Dos láminas conductoras paralelas de muy pequeño grosor, anchura h y longitud l, separadas una 
distancia d, forman una línea de transmisión. Ambas conducen una densidad superficial uniforme y 
constante en el tiempo, de valor J0, en sentidos opuestos. Las dimensiones de la línea satisfacen las 
condiciones l >> h y h >> d. Calcule mediante la ley integral de Ampère y aplicando superposición 
cómo será la distribución del campo magnético producido por las corrientes. 
 
X
Z
Y
h
l d
J 0
 
 
Fig. 4 Línea de transmisión formada por dos láminas conductoras delgadas y paralelas 
 
 
12. Se utilizan dos imanes cilíndricos con sus ejes alineados y con una cierta separación entre ellos 
paraproducir un campo magnético aproximadamente constante, de valor B0. Entre medio de ambos se 
sitúa un arrollamiento formado por N espiras de radio a, que se hace girar a n r.p.m. 
 
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1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas 15 
a) ¿Qué frecuencia tiene la tensión generada en el arrollamiento? 
b) ¿Cuál es su amplitud? 
c) Calcule el valor numérico de ambas magnitudes con los siguientes datos: B0 = 10-2 T, N = 
100 espiras, a = 1 cm, n = 2000 r.p.m. 
 
 
13. Calcule la resistencia a lo largo de un hilo de cobre de sección circular de 50 m de longitud y 0,6 
mm de diámetro. La conductividad del cobre es σ = 5,9x107 1/Ωm. 
 
 
14. Calcule la capacidad por unidad de longitud de un cable coaxial formado por un hilo central de 
1,0 mm de diámetro y una malla exterior de 8,0 mm de diámetro. El dieléctrico que separa ambos 
conductores tiene una constante εr = 3,2. 
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2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas 
 
Al incluir la variación temporal desaparece la distinción rígida, propia de la Estática, entre campos 
eléctricos y magnéticos. Los problemas de este capítulo se acercan, aunque tímidamente, al tema de 
ondas, que constituye el tema fundamental de la Teoría Electromagnética. Los próximos capítulos se 
dedican exclusivamente a ellas, razón por la cuál aquí hemos preferido centrarnos en otras 
aplicaciones y derivaciones de las ecuaciones de Maxwell. 
 
 
 
15. Un buen conductor se caracteriza por el valor de su conductividad, que será elevado, pero también 
por su constante dieléctrica y su permeabilidad magnética. Una de las características fundamentales 
de los buenos conductores es que no pueden almacenar carga libre neta en su interior, sino tan sólo 
en su superficie. A partir de la ley de Gauss, de la ley de Ohm y de la ecuación de continuidad, todas 
ellas en su forma diferencial; compruebe que si en un instante inicial existiera una densidad volúmica 
no nula en el interior de un buen conductor, introducida artificialmente de algún modo, entonces esa 
densidad de carga desaparecería muy rápidamente, según una constante de tiempo inversamente 
proporcional a la conductividad del medio. 
 
 
16. Un medio material presenta una constante dieléctrica 2=rε y una conductividad elevada, σ = 
5,6 x 106 (Ωm)-1 . 
 
a) Calcule la densidad de corriente de conducción y la densidad de corriente de 
desplazamiento en función del campo eléctrico cuando en el interior del medio aparecen 
campos de frecuencia f = 1,0 GHz. ¿Son comparables ambas densidades de corriente? 
b) Teniendo en cuenta el resultado anterior compruebe que para ondas con variación 
temporal arbitraria que viajen en el medio se ha de cumplir muy aproximadamente la 
ecuación: 
 
H
H �
�
21 ∇=
∂
∂
σµt
 
 
c) Compruebe que para una onda con variación temporal arbitraria y dependiente únicamente 
de la coordenada espacial en la dirección de propagación, z, la ecuación anterior tiene una 
posible solución de la forma: 
 
x
tD
z
tD
A
tz ˆ)
4
exp(),(
2
−=
π
H
�
 
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18 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 
donde A y D son constantes. ¿Cuál es el valor de la constante D ? 
 
d) Obtenga el campo eléctrico. 
 
e) Un pulso electromagnético muy corto, del orden de algunos nanosegundos, incide sobre la 
superficie plana de separación entre el aire y el medio descrito. Como resultado, parte de la 
radiación se refleja y otra parte penetra en el medio, en donde el campo magnético adopta 
la forma dada en el apartado c). Represente la forma de H en función de z para algunos 
valores entre z = 0 y z = 100 µm en los dos instantes de tiempo t = 1 ns (10-9 s) y t = 
4 ns. Para ello tome los valores A = 2,11 x 10-3 H y D = 0,142 m2/s. 
 
 
17. En el proceso de carga de un condensador plano, como el que se muestra en la figura 5, 
supondremos que la tensión aplicada crece linealmente en el tiempo. Se considera que las placas son 
conductores perfectos y que la densidad superficial de corriente que recorre las placas tiene 
únicamente componente longitudinal. 
 
 
V(t)
+
X
J + (x) σ+ (t)
σ− (t)
a
Z
Y
d b
 
Fig. 5 Condensador de placas paralelas en el proceso de carga 
 
 
La tensión puede tomarse en la forma V(t) = K t y se hará la aproximación a, b >> d. Se comprueba 
que la densidad de corriente, que tiene igual magnitud y diferente signo en cada una de las armaduras, 
es 
J r J a x xS ( ) ( )
��
= ± −0 
 
a) A partir de la ecuación de continuidad (en dos dimensiones), calcule la densidad 
superficial de carga en las armaduras. 
b) Calcule el campo eléctrico entre las placas mediante la ley de Gauss integral. 
c) Calcule el campo magnético entre las placas. 
d) Obtenga la energía eléctrica instantánea almacenada por el condensador. 
e) ¿Cuál es el valor de J0 ? 
 
 
18. Un cable conductor cilíndrico y rectilíneo, orientado en la dirección del eje Z, está recorrido por 
una densidad volúmica de corriente cuya expresión es: 
 
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2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas 19 
20
ˆ)cos()(),( 1
m
A
zbzteeJtrJ za
r
−−= − ωα
�
�
 
 
donde a es el radio del cable, α y β son, respectivamente, constantes de atenuación y de propagación, 
y ρ es la coordenada cilíndrica de cada punto considerado. 
 
a) Obtenga la expresión del fasor correspondiente. 
b) Calcule la densidad volúmica de carga presente en el cable. 
c) El cable no puede ser un conductor perfecto a la vista de lo anterior. Explíquelo más 
claramente. 
d) ¿Qué intensidad de corriente instantánea circula por el cable? 
 
 
19. La transformada de Fourier ),(ˆ kS
�
ω (simultánea en frecuencia temporal y frecuencias espaciales) 
de un campo ),( rtS
�
�
 se define como: 
 
∫∫ ⋅+− dVrkjtjrtSdt )exp(),(
)2(
1
2/3
�
�
�
�
ω
π
 
 
Escriba las ecuaciones de Maxwell en el espacio ),( k
�
ω y demuestre que cuando no hay cargas, el 
campo eléctrico es transversal, es decir: 0=⋅ Ek
��
. Así mismo, demuestre que el campo magnético 
siempre es transversal: 0=⋅ Bk
��
. 
 
 
20. Dos placas conductoras perfectas, paralelas, de anchura a, longitud l y situadas a una distancia d 
llevan corrientes de igual valor y signo contrario, tal como se muestra en la figura 6. El espesor de las 
placas es muy pequeño y las densidades de corriente pueden considerarse laminares. Su expresión es 
 
m
AytJrJ ˆ)()( cos0 ω±=
�
�
 
 
Indique cuáles de las afirmaciones que siguen son ciertas y cuáles no, y razone su respuesta en cada 
caso, basándose en alguna de las ecuaciones fundamentales del Electromagnetismo. 
 
X
Z
Y
a
l
d
 
 
Fig. 6 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
20 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 
 
a) Aparecerá un campo magnético en el espacio que rodea las placas porque las corrientes 
varían en el tiempo; 
b) ese campo magnético será también variable en el tiempo. 
c) En cada una de las placas debe existir un campo eléctrico tangencial, proporcional al 
valor de la corriente. 
d) El campo magnético rodeará a cada placa, con dirección predominante según X, 
e) pero entre ambas placas el campo magnético tiende a cancelarse. 
f) Debe existir además un campo eléctrico entre ambas placas, que invierte su signo en cada 
semiperiodo de variación temporal de la corriente. 
g) La expresión dada para la corriente debe ser unaaproximación si la longitud l en la que se 
utiliza es pequeña (en comparación con λ), porque la expresión exacta sería cos(ω t - ky) 
para el término de variación temporal de la corriente. 
h) Si la frecuencia se hace cero, desaparecerá el campo magnético 
i) y el eléctrico. 
 
 
21. Algunos problemas prácticos electromagnéticos tratan con geometrías complicadas, que incluso 
de forma aproximada son muy difíciles de resolver analíticamente. En estos casos se recurre a 
menudo a la reproducción de los fenómenos en laboratorio. Por otro lado, no siempre esa 
reproducción puede hacerse a la escala real del fenómeno, sino que debe emplearse una escala 
reducida. Esto ocurre, por poner un ejemplo, cuando se desea estudiar el comportamiento de una 
antena de grandes dimensiones y que debe radiar a grandes distancias. El empleo de una escala 
espacial reducida fuerza a resolver algunas cuestiones adicionales, para construir correctamente el 
prototipo y trasladar después los resultados obtenidos a la escala real. 
Denominemos x, y, z, t, 
�
E , 
�
B , εr , µr , σ , etc., a las variables y magnitudes reales, y utilicemos x’, 
y’, z’, t’, 
�
′E , 
�
′B , etc., para las variables y magnitudes medidas en el laboratorio, a escala reducida. 
Unas y otras variables se han de relacionar linealmente, en la forma: 
 
h
H
H
e
E
E
t
t
l
z
z
y
y
x
x =
′
=
′
=
′
=
′
=
′
=
′
τ 
 
a) Compruebe en primer lugar que los operadores diferenciales se transforman en la forma: 
 
� �
∇ = ′∇ =
′
1 1
l t t
∂
∂ τ
∂
∂ 
 
y que la frecuencia también sufre transformación, en la forma f f= ′
1
τ
 cuando se trabaja 
en RSP. 
 
b) A partir de las ecuaciones tercera y cuarta de Maxwell obtenga las relaciones entre 
µ µ ε ε σ σr r r ri i i′ ′ ′ 
 
c) Obtenga también las relaciones entre 
�
B y 
�
′B , 
�
D y 
�
′D , 
 
d) y entre V y V’ , I y I’ . 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas 21 
 
NOTA: µ0 y ε0 no sufren ningún cambio de escala, ya que no son variables, sino constantes 
particulares del vacío. 
 
 
22. Una zona del espacio está ocupada por un campo magnético, que podemos considerar en la zona 
de estudio como aproximadamente uniforme, o con variaciones espaciales muy lentas, y que varía 
senoidalmente en el tiempo. Tomemos su expresión aproximada como: 
 
tzBB ωcosˆ0=
�
 
 
a) Se sitúa en el seno de ese campo una espira conductora circular, de radio a, y resistencia R 
cuyo plano es perpendicular al campo magnético. ¿Cuál será el valor de la corriente 
inducida en la espira? 
b) Independientemente de que coloquemos o no la espira para comprobar el fenómeno de 
inducción electromagnética, lo cierto es que por el mero hecho de existir un campo 
magnético variable en el tiempo debe aparecer un campo eléctrico en el espacio: 
precisamente el campo que hace circular a los electrones en la espira del apartado anterior. 
Calcúlelo a partir de la ley de Maxwell-Faraday. 
 
 
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4 Incidencia de ondas planas 23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Ondas planas 
 
El estudio de la naturaleza y las propiedades básicas de las ondas electromagnéticas es el objetivo 
fundamental en este curso. Éste es el primer tema que hace referencia directa a la ecuación de onda y 
a sus soluciones. Dentro de la diversidad enorme de formas que pueden adoptar las ondas, en las 
diferentes situaciones que pueden considerarse, se comienza por el estudio de ondas planas en medios 
ilimitados, esto es, sin condiciones de contorno debidas a cambios de medio. Las ondas planas 
uniformes constituyen el tipo de solución más sencillo de la ecuación de onda, pero gran parte de las 
propiedades interesantes de cualquier onda se encuentran ya en ellas. En este capítulo hemos hecho 
especial hincapié en las cuestiones relacionadas con la polarización de las ondas planas y se presentan 
problemas en los que intervienen elementos de control de la polarización, tales como polarizadores y 
láminas de retardo. Casi todos los problemas se plantean y se resuelven en forma fasorial, como la 
más conveniente al régimen senoidal, sin embargo se incluyen algunos problemas en los que deberá 
trabajarse con las expresiones instantáneas de los campos. 
 
 
23. Una onda plana uniforme que viaja en el aire en la dirección del eje Z tiene asociado un vector de 
intensidad de campo magnético de amplitud H0 = 1/π A/m, dirigido en la dirección dada por el vector 
���
x y+ . La frecuencia de la onda es de 100 MHz. 
 
a) Escriba la expresión del campo magnético instantáneo. 
b) Halle el fasor campo eléctrico. 
c) ¿Qué densidad media de potencia transporta la onda? 
 
 
24. Una onda plana propagándose en el vacío tiene como fasor campo eléctrico: 
)2,0(exp)̂ˆ()31()( zjyxjErE O π−−+=
�
�
. Considérese EO real. 
 
a) ¿Cuál es el tipo de polarización? 
b) ¿Cuál es su frecuencia? 
c) Calcule el vector de Poynting medio. 
d) Escriba la expresión del campo instantáneo. 
 
 
25. Calcule las longitudes de onda en el aire para ondas planas de las siguientes frecuencias: 
 
a) f = 270 KHz, (LW) c) f = 440 MHz, (UHF) 
b) f = 92,5 MHz, (FM) d) f = 2,5 GHz. (microondas) 
 
 
26. Describa el tipo de polarización y el sentido de giro en su caso de las siguientes ondas planas: 
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24 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 
a) [ ]� �E r E j x y e jk z( ) ( )( ��� )= + − −0 1 0 , 
b) ,̂)cos(ˆ)cos(),( 0000
2
yzktExzktEtr −−+−= πωω
�
E 
c) [ ]� �E r E x jy j x jy e jk z( ) ( � � ) ( � � ) ,= − − + −0 0 
d) 
�
�
E r E x y x y e
j jk z( ) (
���
) (
� � �
) ,= − − +



− +
0
1
2
0 
e) 
�
�
E r E x y z e x z e
j j x y z( ) (
��� �
) (
� � �
) ( )= + − − +






− −
0
3 3 22 2
π
π . 
 
 
27. Determine el tipo de polarización y, en su caso, el sentido de giro, de las ondas planas siguientes: 
 
a) jkzj eyxjyxeErE −−−+= ))ˆˆ(ˆˆ()( 0
π�
�
 
b) 


 −−−++−−+= )4)(2
1
cos(ˆ)
4
)(
2
1
cos()̂ˆ( πωπω yxktzyxktyxA,t)r(
�
�
E 
c) 


 −−−+−−−+= )4)(2
1
(ˆ)
4
)(
2
1
cos(
2
)̂ˆ( πωπω yxktsenzyxkt
yx
A,t)r(
�
�
E 
d) jkyezxjHrH )̂3ˆ()1(
2
1
)( 0 −+=
�
�
 
 
 
28. Una onda plana que se propaga en el vacío según la dirección dada por ϕ = 30º y θ = 60º tiene 
polarización elíptica a derechas. Su frecuencia es de 880 MHz, transporta una densidad media de 
potencia de 0,5/π W/m2 y el valor mínimo del campo, que se alcanza en la dirección horizontal, es de 
5 V/m. 
 
a) Escriba la expresión fasorial del campo eléctrico de dicha onda. 
b) ¿Está unívocamente definida la onda con aquellos datos? 
c) La onda atraviesa normalmente un polarizador y pierde la mitad de la potencia. ¿En qué 
dirección se orienta el eje del polarizador? ¿Hay más de una solución a esta pregunta? 
 
 
29. Una onda plana uniforme se propaga por un medio no magnético de índice n = 2, con una 
frecuencia f = 36 KHz. El fasor de campo eléctrico es: 
 
 ( ) ))3(exp()̂ˆ3(ˆ)( zyjzyAxjErE O +−−+= α�� 
 
donde A es un número complejo (A = a + j b ) y mVOE π30= . La onda transporta una densidad 
de potencia 215 m
W
mP π= . Calcular: 
a) α 
b) A 
c) polarización y sentido de giro de la onda en los dos casos siguientes: 
 
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4 Incidencia de ondas planas 25
 c.i) b = 0 , a > 0 
 c.ii) 0)0,0( === trE
�
�
 
 
 
30. Un polarizador es un elemento que deja pasar, de las ondas que inciden sobre él, únicamente la 
componente de campo eléctrico paralela a su propio eje, y que absorbe o refleja la componente 
perpendicular a ese eje. 
Una onda plana viaja en la dirección positiva del eje Z e incide normalmentesobre un polarizador. Su 
fasor campo eléctrico es: 
 
 [ ]
�
�
E r E x y j x y ein
jkz( ) (
���
) (
�� �
)= − − + −0 
 
a) ¿Cuál es la expresión del campo eléctrico a la salida del polarizador? 
b) Se desea añadir un segundo polarizador para que la potencia de la onda resultante final 
quede reducida a la cuarta parte de la inicial. ¿Cuál deberá ser el ángulo entre los ejes de 
los dos polarizadores? 
 
 
31. Una onda plana uniforme con polarización elíptica y frecuencia f = 300 MHz, que se propaga en 
el vacío, atraviesa un polarizador y pierde cuatro quintas partes de su potencia original. A 
continuación atraviesa una lamina de grosor d = 1 cm de un dieléctrico no magnético con perdidas, 
con permitividad relativa εr = 1. A la salida de la lámina, la potencia de la onda queda reducida otra 
vez a un quinto de la incidente. El fasor de campo eléctrico de la onda resultante al final es 
 
jkzexrE −= ˆ50)( π�
�
 
 
a) Calcule la expresión del campo eléctrico de la onda original. 
b) En la hipótesis de que el material es un buen conductor, calcule su conductividad. 
c) Con el resultado del apartado anterior, determine si la hipótesis de buen conductor es 
correcta o no. 
 
 
32. Una lámina de retardo consiste en una lámina plano-paralela de un material anisótropo, que 
presenta diferente índice de refracción para las ondas en función de la orientación del campo eléctrico 
de las mismas. Más concretamente: la lámina fuerza la descomposición del campo eléctrico incidente 
en dos componentes lineales y ortogonales, paralelas a los ejes propios de la lámina, y asigna un 
índice diferente a cada una de esas dos nuevas ondas. Durante el trayecto por la lámina, que tiene un 
cierto grosor d, las dos ondas van acumulando un desfase diferente debido a esa diferencia de índices. 
La amplitud de cada onda se determina en la descomposición inicial y depende de cómo incide la 
onda respecto a los ejes de la lámina. 
 
a) Con la información anterior calcule el campo final a la salida de una lámina de retardo de 
acuerdo con los datos de la figura 7. 
 
b) Modifique los cálculos anteriores para el caso en que ψ = -45º. ¿Cuál es la diferencia en el 
campo final? 
 
 
 
 
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26 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 
 
 
 
�
�
E r E x jy ein
jkz( ) (
� �
)= + −0 
 
 nO = 1,43 
 
 nE = 1,45 
 
 d = 9,75 µm 
 
 λ = 0,78 µm 
 
 ψ = 45º 
 
Z
X
YE i
ψ
n E
n O
e jes de la lámina
 
 
Fig. 7 Una lamina de retardo sólo admite propagación de ondas planas en su interior con 
polarización lineal y paralela a alguno de sus dos ejes propios 
 
 
 
33. La lámina de retardo del problema anterior se denomina lámina de lambda cuartos. El nombre 
proviene del hecho de que provoca un desfase entre las dos componentes paralelas a sus ejes, de valor 
π/2, que es la cuarta parte de un ciclo de fase completo (2π). Las láminas de lambda cuartos se 
utilizan para convertir una polarización lineal en circular, para lo que sólo hay que incidir con el 
ángulo adecuado (45º) respecto a sus ejes, a fin de igualar las amplitudes. También sirve, 
recíprocamente, para convertir una polarización circular en lineal, como se ha visto en el problema 
anterior. Sin embargo un polarizador también convierte una polarización circular en lineal. ¿Cuál es la 
ventaja de la lámina frente al polarizador? 
 
 
34. Junto a las láminas de lambda cuartos, el otro tipo más popular son las láminas de lambda 
medios. Éstas tienen un comportamiento del todo similar a las anteriores, pero ahora el desfase que 
provocan entre las componentes paralelas a sus ejes es de π. La cuestión es: 
a) ¿Cómo afecta a una onda con polarización lineal el paso a través de una lámina de lambda 
medios? Suponga que la onda incide con su campo eléctrico formando un determinado 
ángulo ψ respecto a uno de los ejes de la lámina. 
b) ¿Cómo afecta a una onda con polarización circular? 
 
 
35. Un investigador ha encontrado en el cajón de una mesa del laboratorio dos elementos ópticos, y 
no sabe si son polarizadores o láminas de retardo. Para averiguarlo dispone de un láser de He-Ne, 
cuyo tipo de polarización no recuerda, y de un detector de luz. Alinea el láser con el detector e 
intercala en el trayecto del haz el primer elemento óptico. La potencia recibida cae a la mitad al 
intercalar el elemento, pero no varía si lo hace girar. Quita esa lámina e intercala la segunda. Ahora la 
potencia recibida tampoco es sensible al giro de esa segunda lámina y esta vez ni siquiera varía 
significativamente por el hecho de que la lámina esté o no. El investigador saca varias consecuencias 
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4 Incidencia de ondas planas 27
de estos hechos, entre ellos que uno de los elementos ópticos es una lámina de retardo. Ahora le falta 
saber si es de lambda medios o de lambda cuartos. 
Explique qué es lo que ha deducido y por qué y qué otro experimento puede hacer con esos cuatro 
elementos para averiguar el tipo de lámina de retardo. 
 
 
36. Cualquier onda plana puede descomponerse en la suma de dos ondas planas con polarización 
circular y sentido de giro distintos. 
 
 a ) Realice la deducción general a partir de la expresión 
 
 [ ]E e e A e je B e je e e k e e kjk r jk r0 1 2 1 2 1 2� ( � � ) ( � � ) , ( �
�
� �
�
)− ⋅ − ⋅= + + − × =⊥
�
�
�
�
con y 
 
para una onda con polarización lineal, encontrando los valores de A y de B (∈ /C ). 
 
b) Repita lo anterior para el caso de una onda polarizada elípticamente a partir de la expresión 
adecuada para ese caso. 
 
 
 
37. Una onda plana con polarización lineal que viaja en la dirección Z+ alcanza su valor máximo de 
campo instantáneo en z = 0 y t = 0, y lo alcanza de nuevo en ese mismo punto en el instante t = 25 ns. 
Otra onda plana con polarización lineal y ortogonal a la anterior, que también viaja en la dirección Z+, 
alcanza su máximo en z = 3,75 m y t = 25 ns. Si ambas ondas tienen la misma frecuencia ¿cuál será el 
tipo de polarización de la onda conjunta, formada por la suma de las dos? 
 
 
 
38. Una onda plana uniforme se propaga en el vacío. Se sabe que su frecuencia está comprendida 
entre los 10 MHz y los 30 MHz. La polarización de la onda tiene sentido de giro a izquierdas. El fasor 
campo eléctrico es 
 
mVrkjzyjxjrE )̂exp()̂3ˆ3ˆ()1(
2
5
)( ⋅−++−=
�
�
�
 
 
Se ha medido la componente Ey del campo eléctrico instantáneo simultáneamente en dos puntos, 
separados entre sí 80 m en la dirección de propagación de la onda, y se ha comprobado que las dos 
señales obtenidas en esas condiciones están en fase. Después se ha medido la misma componente en 
otros dos puntos, separados entre sí 60 m, y en ese caso las dos señales medidas están en contrafase. 
 
a) ¿Cuál es el vector k̂ de la onda? ¿Está unívocamente definido? 
b) ¿Qué tipo de polarización tiene la onda? 
c) Escriba la expresión del campo eléctrico instantáneo. 
d) ¿Cuál es la frecuencia de la onda? 
 
 
 
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28 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
39. Un conductor cilíndrico muy largo, de radio R y orientado en la dirección del eje Z, está 
recorrido por una densidad de corriente constante zJJ ˆ0=
�
. El conductor es un material no magnético 
de conductividad σ. 
 
a) Calcule el campo magnético dentro y fuera del conductor y el campo eléctrico en el 
interior del conductor. 
 
b) ¿Será nulo el campo eléctrico en el exterior del conductor? ¿Por qué? 
 
El mismo conductor del apartado anterior está ahora recorrido por una intensidad de corriente que 
varía senoidalmente en el tiempo. A bajas frecuencias,tales que la longitud de onda es mucho mayor 
que la longitud considerada de hilo conductor, la corriente puede escribirse como 
 
tItI ωcos)( 0≅ 
 
sin necesidad de añadir un término de fase dependiente de z. 
Se comprueba que la densidad de corriente ya no sé distribuye de forma homogénea en el interior del 
hilo. En estas nuevas condiciones responda a las siguientes cuestiones: 
 
c) Si no es homogénea ¿de qué variables, en coordenadas cilíndricas, podrá depender ahora la 
densidad de corriente? 
 
d) De acuerdo con la respuesta obtenida en el apartado c), ¿puede existir densidad de carga 
en el interior del conductor? 
 
e) ¿Qué componente o componentes vectoriales, en coordenadas cilíndricas, tendrá el fasor 
de campo eléctrico en el interior del conductor? ¿de qué variables coordenadas puede 
depender? 
 
f) Supongamos que, como en el caso estático, el fasor de campo magnético sólo tiene una 
componente vectorial que, a su vez, sólo depende de una coordenada espacial. Razone por 
qué no puede variar con las otras variables espaciales (en coordenadas cilíndricas). 
 
g) Suponiendo que el material es un buen conductor a bajas frecuencias, obtenga la ecuación 
diferencial que satisface el campo eléctrico en su interior. 
 
 
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4 Incidencia de ondas planas 29
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 Incidencia de ondas planas 
 
Después de familiarizarse con el comportamiento de las ondas planas propagadas en el espacio libre 
llega el turno a los dos fenómenos básicos de reflexión y refracción de ondas sobre la superficie de 
separación con otros medios, sean dieléctricos o conductores. Se proponen problemas básicos para la 
correcta descripción matemática de las ondas reflejadas y transmitidas, según las leyes de Snell y las 
fórmulas de Fresnel. También hay problemas referentes a los casos particulares de incidencia, como 
son incidencia normal, incidencia según el ángulo de Brewster e incidencia por encima del ángulo 
crítico de reflexión total. Al final se presentan varios problemas de multicapas o incidencia múltiple. 
 
 
40. Una onda plana con polarización lineal incide oblicuamente sobre un plano conductor en la forma 
en que se muestra en la figura. 
 
 
1n = 1
E i
 
 
 
 
a) Calcule las densidades superficiales 
de carga y de corriente que se 
inducen en el conductor. 
 
b) Repita el apartado anterior para una 
onda plana con polarización lineal 
ortogonal. 
 
c) ¿Qué observa en cuanto a la 
dirección en que circula la corriente 
inducida? 
 
 
 
 
 Fig. 8 Incidencia sobre un conductor perfecto 
 
 
 
41. Una onda plana con polarización circular a izquierdas incide sobre un plano conductor inclinado 
45º respecto a los ejes coordenados, tal como se muestra en la figura 9. 
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30 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 
n 1 = 1
E i
X
Y Z
k i
θι
θi = 45
o
 
 
 
a) Obtenga la expresión del 
campo eléctrico asociado a la 
onda reflejada 
b) ¿de qué tipo es la 
polarización de esa onda? 
c) La polarización de la onda 
reflejada ¿depende del ángulo 
de incidencia? 
 
Fig. 9 Incidencia de una onda con polarización circular sobre un conductor perfecto 
 
 
42. Una onda plana con polarización lineal incide normalmente desde el aire sobre un dieléctrico de 
índice de refracción n2. La onda transmitida conserva tan sólo el 75 % de la potencia incidente. ¿Cuál 
es el valor de n2? 
 
 
43. Una onda plana atraviesa normalmente una ventana de doble vidrio (dos hojas separadas por una 
cámara de aire). El índice del vidrio es 1,48. Calcule la fracción de potencia transmitida al otro lado 
de la ventana (no es necesario que considere dobles reflexiones). Repita el cálculo anterior con nV = 
1,78. 
 
 
44. Se desea utilizar un prisma rectangular como retrorreflector (blanco cooperativo) de un medidor 
de distancias láser, de manera que devuelva la práctica totalidad de la potencia incidente en la misma 
dirección en que la recibe. El índice de refracción del material que forma el prisma es 1,50. 
¿En qué margen de ángulos, respecto a la normal a la cara de entrada, podrá utilizarse con ese 
propósito? Ignórense las situaciones de incidencia en el corner interno del prisma. 
 
 
t 1
i2
i1
α
i 3
 
 
Fig. 10 Prisma rectangular utilizado como retrorreflector de radiación óptica 
 
 
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4 Incidencia de ondas planas 31
45. Una onda electromagnética de frecuencia f = 300 MHz se propaga en un medio dieléctrico con 
índice de refracción n1 2= , e incide oblicuamente sobre un medio de índice n2 2= . El fasor 
campo eléctrico de la onda incidente es: 
 
�
�
�
�
E r E y z j x ei
jk ri( ) ( (
���
) ( )
�
)= − + − − ⋅0 6 3 3 
 
n 1
n 2
i
Z
YX
 
 
 
 
 
Hallar: 
a) El fasor campo eléctrico 
transmitido. 
b) El fasor campo eléctrico 
reflejado. 
 
 
Fig. 11 Cambio de medio y orientaciones de las componentes paralela y perpendicular 
al plano de incidencia de las tres ondas: incidente, reflejada y transmitida 
 
 
 
46. Una onda plana uniforme de frecuencia f = 150 MHz tiene asociado un campo eléctrico cuyo 
fasor puede escribirse como 
 
)exp(ˆ)̂ˆ()(
2
55
220 rkjxjyzErE ii
�
�
�
�
⋅−





+−= 
 
según la misma referencia de coordenadas del problema anterior (véase la Fig. 11) 
La onda incide desde un medio dieléctrico no magnético de índice de refracción n1 = 2 sobre la 
superficie de separación con el aire (n2 = 1). 
 
a) Obtenga el valor de los ángulos de incidencia (θ i) y de refracción (θ t) . 
b) Escriba las expresiones de los vectores de onda de las tres ondas: incidente, reflejada y 
transmitida. 
c) Identifique el tipo de polarización de la onda incidente. 
d) ¿Cuál es el valor del ángulo de Brewster para una onda plana que incide desde el 
dieléctrico sobre el aire? 
e) Obtenga el valor de los coeficientes de reflexión y transmisión correspondientes a ondas 
con polarización paralela y perpendicular al plano de incidencia. 
f) ¿Cuál es el valor del ángulo crítico para esa interficie? 
g) Escriba la expresión de la misma onda incidente cuando incide sobre la superficie de 
separación del dieléctrico con un ángulo de 60º respecto a la normal. 
 
 
 
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32 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
47. Una onda plana polarizada elípticamente, cuyo campo eléctrico es: 
 
( ) )exp(ˆˆ)( 0 rkjeeeErE ii j ���� ⋅−+= ∆−⊥ ϕ 
 
con ∆ϕ = 37º , incide desde un medio dieléctrico sobre la superficie de separación con el aire, tal 
como se muestra en la figura 12. 
 
a) Escriba la expresión completa de )(rEi
�
�
, 
en función del ángulo θi y de las 
características del medio. 
b) Si el ángulo de incidencia es tal que 
3
2
sen =iθ , ¿cómo será la polarización 
de la onda reflejada? 
c) Para un ángulo iCi θθ < ¿sería posible 
obtener una polarización de la onda 
reflejada como la obtenida en el apartado 
b). Justifique la respuesta. 
d) Escriba la expresión de la componente de 
campo eléctrico transmitido al aire 
perpendicular al plano de incidencia para 
la situación descrita en b). 
X
Y
Z
µ0 , 3ε0
k i
k r
k t
µ0 , ε0
e i
e i
θ i
 
 
Fig. 12 
 
 
 
 
48. Una onda plana incide con un cierto ángulo θi sobre la superficie de separación de dos medios 
dieléctricos. Como resultado aparecen dos ondas, reflejada y transmitida, con las direcciones que se 
muestran en la figura 13. 
 
n 1 n 2
θ ι
 
 
Fig. 13 Incidencia sobre la superficie de separación con otro dieléctrico. La información que da la 
figura es que el ángulo de transmisiónes menor que el de incidencia 
 
 
Indique si las afirmaciones que siguen son ciertas o no, y razónelo brevemente: 
 
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4 Incidencia de ondas planas 33
a) n1 es mayor que n2; 
b) si la onda incidente tiene polarización lineal, la onda transmitida también tendrá 
polarización lineal; 
c) si la onda incidente tiene polarización circular, la onda reflejada también será circular; 
d) para algún ángulo de incidencia deberá ser posible cancelar la onda reflejada si la 
incidente tiene polarización lineal; 
e) podría conseguirse cualquier dirección de propagación para la onda transmitida hacia el 
segundo medio (en el plano de incidencia, al menos) eligiendo adecuadamente el ángulo 
de incidencia; 
f) si el ángulo de incidencia aumenta, también lo hará la potencia reflejada; 
g) existe un ángulo de incidencia tal que si la polarización de la onda incidente es circular 
también es circular la polarización de las ondas reflejada y transmitida; 
h) el ángulo de Brewster en este caso es menor de 45º; 
i) la reflexión total sólo se lograría incidiendo desde el otro lado de la superficie de 
separación. 
 
 
 
49. Una onda plana con polarización lineal y frecuencia 150 MHz que viaja por un medio con índice 
de refracción n1 = 1,5 incide sobre la superficie de separación con el aire. La polarización de la onda 
es perpendicular al plano de incidencia. El ángulo de incidencia es superior al ángulo crítico y se 
produce reflexión total. 
 
a) Obtenga las expresiones de los campos eléctrico y magnético transmitidos hacia el aire. 
b) Calcule la expresión del vector de Poynting de la onda transmitida. 
c) Se comprueba que la densidad de potencia de la onda transmitida medida a una distancia 
de 1 m de la superficie de separación es un 1% de la misma densidad de potencia medida 
justo sobre la superficie del dieléctrico. ¿Cuál es el valor del ángulo de incidencia? 
 
 
X
Y
Z
n 1 = 1 ,5
k i
k r
k t
n 2 = 1 ,0
E i
 
NOTA: Fórmulas de Fresnel: 
 
it
i
ti
i
it
it
ti
ti
nn
n
nn
n
nn
nn
nn
nn
θθ
θτ
θθ
θτ
θθ
θθρ
θθ
θθρ
coscos
cos2
coscos
cos2
coscos
coscos
coscos
coscos
21
1
||
21
1
21
21
||
21
21
+
=
+
=
+
−
=
+
−
=
⊥
⊥
 
 
 Fig. 14 Incidencia por encima del ángulo crítico 
 
 
 
 
 
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34 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
50. Una onda plana con polarización circular que viaja por un medio dieléctrico de índice de 
refracción n1 incide con un cierto ángulo sobre la superficie de separación con otro medio de índice de 
refracción n2 y ocurre que la onda reflejada tiene polarización lineal. 
 
a) Explique en qué dos casos particulares podría darse ese cambio de polarización. 
b) Si n1 < n2 sólo es posible uno de los dos casos mencionados en el apartado a). Escriba la 
relación lineal que surge entre ti θθ coscos y para esa situación. 
c) Consideremos que el primer medio es el aire y que la onda incide sobre un dieléctrico de 
índice de refracción n. La onda reflejada tiene polarización lineal y la transmitida 
polarización elíptica. Se comprueba que la potencia transportada por la componente 
paralela al plano de incidencia de la onda transmitida es tres veces superior a la potencia 
transportada por su componente perpendicular. Con esa información, obtenga el índice de 
refracción n del dieléctrico. 
 
 
51. Una onda plana con polarización lineal incide normalmente sobre un plano conductor real, con 
una conductividad elevada pero finita. La densidad de corriente inducida en el conductor dejará de ser 
estrictamente superficial y penetrará en alguna medida en el conductor. 
 
a) ¿Es nulo el campo eléctrico en el conductor? 
b) ¿Qué valor toma la impedancia de onda en el conductor? Utilice los siguientes datos: µ = 
µ0 = 4π x 10-7 H/m, σ = 5,0 x 105 1/Ωm, y haga el cálculo para f = 90 MHz y para f = 10 
GHz. 
c) ¿Cuánto vale el coeficiente de transmisión τ para cada uno de los dos valores de 
frecuencia? 
d) ¿Cuál es la profundidad de penetración en el conductor? 
e) Escriba las expresiones del campo eléctrico y de la densidad de corriente en el interior del 
conductor. Utilice como amplitud de la onda incidente E0i = 10 V/m. 
f) Integre la densidad anterior para determinar la corriente total que circula por unidad de 
longitud en el conductor. 
g) ¿Cuál será la potencia disipada por cm2 en el conductor? 
 
Z
X
E in
 
 
Fig. 15 Incidencia normal sobre un buen conductor 
 
 
52. Una onda polarizada linealmente de longitud de onda λ incide sobre una lámina plano-paralela de 
grosor d de un material isótropo de índice de refracción n2. La lámina está situada en el aire. 
 
a) ¿Para qué grosores de la lámina se conseguirá una reflexión global nula? 
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4 Incidencia de ondas planas 35
b) ¿Para cuáles tendremos, por el contrario, máxima reflexión? Deben considerarse 
reflexiones múltiples. 
 
 
53. Se desea añadir un recubrimiento antirreflectante a un elemento óptico de índice de refracción n3, 
que trabajará en el aire. Para ello se añade un capa de un material transparente de índice n2 y grosor d 
(véase la Fig. 16). Calcular los valores apropiados de d y n2 en función de los índices del aire n1 y del 
elemento óptico n3 y de la longitud de onda λ cuya reflexión se desea evitar. 
 
 
n 3n 1= 1 n 2
d
E i
 
 
Fig. 16 Incidencia múltiple, donde deben tenerse en cuenta las dobles reflexiones de las ondas 
 
 
 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
5 Guías de onda 37
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 Guías de onda 
 
Las guías de onda representan una de las aplicaciones tecnológicas más importantes de la Teoría 
Electromagnética en la actualidad. En este capítulo se incluyen problemas básicos de guías de onda de 
paredes conductoras, planas y rectangulares. También hay alguno con guías dieléctricas. Se omiten 
las fibras ópticas por la dificultad que entraña su tratamiento matemático. Se pretende familiarizar al 
lector con los conceptos más importantes referentes a los modos propios de propagación de cada 
estructura. 
 
 
54. Considérese una guía plana de paredes conductoras como la representada en la Fig. 17. (La 
dimensión transversal de la guía en la dirección del eje Y resulta ser mucho mayor que la separación d 
entre las placas, e ignoramos las variaciones de los campos en esa dirección.) 
 
 
d
Z
µ, ε
X
Y
 
 
 
 
 ∂ ∂ y = 0 
 
 
Fig. 17 Guía plana de paredes conductoras. 
 Se considera que ni la estructura ni los campos varían según la coordenada transversal Y 
 
 
a) Escriba la ecuación de onda vectorial para el campo eléctrico en el interior de la guía (0 < 
x < d ). 
a) Escriba la ecuación de onda escalar en coordenadas cartesianas para cada componente del 
campo eléctrico. 
b) Se considera un modo tipo TE ( 0=zE ), cuya expresión general podría ser: 
 
)exp()cossen(),(
)exp()cossen(),(
zjxkDxkCzxE
zjxkBxkAzxE
xxy
xxx
β
β
−+=
−+=
 
 
Compruebe que satisface la ecuación de onda y establezca la relación entre las constantes 
kx y β. 
 
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38 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
d) Compruebe que la condición de contorno aplicable al campo eléctrico obliga a anular la 
constante D. 
e) ¿Qué se deduce del hecho de que no haya carga en el interior de la guía para las constantes 
A y B? 
 
 
55. Una guía de ondas rectangular de paredes conductoras cuyo interior es aire tiene como 
dimensiones a = 2,28 cm y b = 1,01 cm.a) A la frecuencia de 8,5 GHz ¿cuál es el valor de la constante de propagación β para el 
modo TE10? 
b) ¿Cuál es la longitud de onda en la guía para ese modo? 
c) ¿Son posibles otros modos a esa frecuencia? 
d) ¿Cuál es la mínima frecuencia a la que es posible propagar algún modo? 
 
 
X
Y
Z
a
b
 
 
Fig. 18 Guía de ondas rectangular de paredes conductoras 
 
 
56. Teniendo en cuenta la relación de dispersión de la guía de ondas rectangular de paredes 
conductoras, determine las condiciones que deben satisfacer las dimensiones a y b de una guía (en las 
direcciones X e Y respectivamente) para que se cumplan las especificaciones siguientes: 
 
a) Que el modo fundamental sea el TE10 ( y no el TE01). 
b) Que el siguiente modo posible sea el TE01. 
 
Definimos la región de trabajo como el margen de frecuencias tal que su límite inferior sea un 30% 
mayor que la frecuencia de corte del modo fundamental y el límite superior sea un 30% menor que la 
frecuencia de corte del modo siguiente (TE01). 
 
c) Independientemente de los apartados anteriores, determinar la condición de existencia de 
ese margen de trabajo. 
d) Calcule el margen de valores de b en el que las tres condiciones anteriores pueden 
satisfacerse simultáneamente. 
e) Si se desea que la frecuencia central en la región de trabajo sea 10 GHz ¿cuál será el 
margen de valores posibles para a de acuerdo con los requisitos anteriores? 
 
 
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5 Guías de onda 39
57. Se desea diseñar una guía de onda rectangular de paredes conductoras que cumpla los siguientes 
requisitos: 
i) que solamente permita la propagación del modo fundamental, TE10, entre, al menos, las 
frecuencias de 2,3 GHz y 2,5 GHz; 
ii) que no propague ningún modo por debajo de 2,2 GHz; 
iii) que el siguiente modo en propagarse sea el TE01 . 
 
a) Escriba la expresión de la constante de propagación β en función de las dimensiones de la 
guía y de la frecuencia. 
b) Escriba las expresiones genéricas de las frecuencias de corte de los modos implicados en 
el diseño. 
c) Obtenga los valores mínimos de las dimensiones a y b de la guía que permitan cumplir las 
especificaciones anteriores. 
 
 
58. Se intenta comprobar si en la guía de paredes conductoras de la figura 19 puede propagarse un 
modo cuyo campo eléctrico viene dado por: 
 





=
−=
−=
0)(
)exp(cossen)(
)exp(sencos)(
0
0
rE
zjykxkErE
zjykxkErE
Z
YXYY
YXXX
�
�
�
β
β
 
X
Y
Z
0,666 b
0,333 b
0,333 a 0,333 a0,333 a
µ0 , ε0
 
 
 Fig. 19 Guía de onda de paredes conductoras en un formato no habitual 
 
 
a) Examine si el campo descrito puede satisfacer la ecuación de onda y las condiciones de 
contorno. 
b) ¿Cuál será el modo fundamental si a > b ? 
c) Si a = 6,00 cm ¿qué valor máximo puede tener b para que la guía sea monomodo hasta la 
frecuencia f = 9,00 GHz? 
 
 
59. Una guía rectangular de paredes conductoras se utiliza para transmitir una señal de elevada 
potencia hacia la antena emisora de un radar. La guía es monomodo (con el modo TE10) entre, al 
menos, las frecuencias de 8,0 GHz y 9,0 GHz, que constituyen el margen de trabajo. 
 
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40 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
a) De los cuatro límites amín , amáx , bmín y bmáx. que deben imponerse en el diseño de la guía, 
tres quedan ya definidos con las condiciones anteriores. Calcúlelos. 
b) Modifique los resultados obtenidos en el apartado anterior añadiendo a cada uno un 
margen de seguridad del 10%, que garantice aquellas condiciones de guiado. 
 
Se precisa que la guía sea capaz de transmitir una potencia elevada hacia la antena, en todo el margen 
de frecuencias dado, pero sin que el campo eléctrico de la onda sobrepase el valor de ruptura del aire, 
estimado en 3,0 x 106 V/m en condiciones normales, ya que eso provocaría la ionización del aire 
dentro de la guía con el consiguiente corte de la transmisión. 
 
c) Calcule la expresión de la potencia transmitida por la guía para el modo TE10. 
d) ¿Cuál es la potencia máxima que podría propagar la guía a 8,5 GHz si tuviera las 
dimensiones amáx y bmáx ? Utilice los resultados del apartado b). 
e) ¿Qué alternativas hay para que la guía pudiera transportar una potencia mayor que la 
calculada en el apartado anterior? 
 
 
60. En una guía rectangular de paredes conductoras hacemos propagar un único modo TM. La 
distribución de las tres componentes de campo eléctrico según las direcciones transversales, X e Y, se 
muestra en la figura 20. 
 
a) Razone qué componente del campo eléctrico (Ex, Ey, Ez) corresponde a cada una de las 
curvas que se muestran en la figura (E1, E2, E3). 
b) ¿De qué modo se trata? (valores de m y n). Escriba la dependencia explícita de cada 
componente con x, y, z. 
c) Obtenga la expresión de las amplitudes de Ex y Ey (E0x y E0y) en función de la de Ez (E0z) 
para este modo (en la figura no se han escalado de forma proporcional a sus valores reales 
de amplitud). 
d) Si a = 1 cm y b = 1,5 cm ¿a partir de qué frecuencia existe el modo descrito? 
 
 
E 1
E 2
E 3
E 1
E 2
E 3
x y
a b
x
x
y
y
 
 
Fig. 20 Forma de variación de un modo de una guía rectangular 
según las direcciones transversales 
 
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5 Guías de onda 41
 
61. Una guía de onda dieléctrica plana está formada por una lámina de grosor 2d e índice de 
refracción n2, limitada en el sentido transversal por dos medios semi-infinitos de índice de refracción 
n1, tal como se muestra en la figura 21. 
 
El campo eléctrico de un modo que se propaga a lo largo de la guía es: 
 
E x z
E k d e e x d
E k x e d x d
E k d e e x d
y
x
x d j z
x
j z
x
x d j z
( , )
cos( ) ( )
cos( ) ( )
cos( ) ( )
( )
( )
=
>
− < <
< −





− − −
−
+ −
0
0
0
γ β
β
γ β
 
 
 
donde se está asumiendo que no hay variación de los campos ni de la guía en la dirección del eje Y, y 
con las otras dos componentes del campo eléctrico nulas. 
 
2 d
X
Y
n
2
n
1
Z
n
1
 
 
Fig. 21 Guía dieléctrica plana. No se consideran variaciones en la dirección del eje Y 
 
 
 
a) Compruebe que el campo eléctrico cumple las condiciones de contorno exigibles. 
b) ¿Qué componentes tiene el campo magnético? ¿De qué tipo de modo se trata? 
Calcule la componente tangencial de campo magnético en los tres medios. 
c) Obtenga las tres relaciones que deben existir entre kx , γ y β, en función de los parámetros 
propios de la guía (n1, n2 y d) y de la longitud de onda (o de k0) para que se satisfagan 
todas las condiciones necesarias. 
 
 
62. La guía de ondas mostrada en la figura 22, de sección rectangular y paredes conductoras perfectas, 
está rellena parcialmente de un material dieléctrico de permitividad relativa εr1. El fasor de campo 
eléctrico de la onda que se propaga por su interior responde a la expresión: 
 
 
( )
( )



<<−+
<<−+
=
axazjxDsenxCy
axzjxBsenxAy
rE
2)exp(cos
ˆ
20)exp(cos
ˆ
)(
00
11
βαα
βαα
�
�
 
 
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42 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
b
0,5 a 0,5 a
µ0 , ε0µ0 , ε1
X
Y
 
 
Fig. 22 Sección de una guía conductora parcialmente rellena de un dieléctrico 
distinto del aire 
 
a) Escriba las relaciones que deben satisfacerse entre α0 , α1 y β para que el campo dado 
arriba corresponda a una onda posible. 
b) Halle el campo magnético asociado a la onda. 
c) A partir de las expresiones de los campos eléctrico y magnético,obtenga las relaciones 
entre las constantes A , B , C y D. 
d) Obtener la ecuación de dispersión. 
e) Tomando el caso particular en que 01 3αα = encuentre el valor mínimo (no trivial) de la 
constante α0 . 
f) Obtenga el valor que debe tomar la permitividad relativa del dieléctrico para que la solución 
del apartado anterior se dé para una frecuencia de 30 GHz. tomando a = 1,0 cm. 
g) Dibuje la forma del campo eléctrico en su dependencia con x para la relación dada en el 
apartado e). 
 
NOTA: 
xtg
xtgtgx
xtg
tgxtgy
tgytgx
yxtg
2
3
31
3
)3(
1
)(
−
−
=
±
=± � 
 
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6 Radiación de antenas elementales 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 Radiación de antenas elementales 
 
La solución de la ecuación de onda en presencia de las fuentes que producen los campos es el tema 
que trata este último capítulo. Esas fuentes son las distribuciones de carga y corriente del que, en cada 
caso, sea el sistema radiante o antena. Se presentan problemas de radiación de dipolos eléctricos 
elementales y de algunas agrupaciones sencillas de dipolos. Otros tipos de antenas con distribuciones 
de corrientes distintas de la homogénea, que es la propia del dipolo elemental, se verán en cursos más 
avanzados. Se hace hincapié en la superposición de los campos creados por los diferentes elementos 
radiantes y en la obtención y representación de los diagramas de radiación de tales agrupaciones. 
 
 
63. Dos dipolos eléctricos cortos ( l << λ, donde l es la longitud del dipolo) e idénticos, alimentados 
por corrientes cuyos fasores son I1 e I2 respectivamente, están orientados según la dirección del eje Z 
y separados una distancia 2d a lo largo del eje Y. 
 
d
d
X
Y
Z
I1
I2
 
 
Fig. 23 Agrupación de dos dipolos eléctricos elementales 
 
 
Sabiendo que el campo eléctrico radiado a grandes distancias por un único dipolo situado en el origen 
de coordenadas es 
 
),()( ˆ λ
θ θ lr
r
sen
jCrE jkrrad e >>≅
−�
�
 
 
a) Comprobar que, si las corrientes son iguales en módulo y fase, el campo radiado por el 
sistema de la figura es: 
 
),()cos(2)( ˆ λϕθ
θ θ drsensenkd
r
sen
jCrE jkrrad e >>≅
−�
�
 
 
Supóngase en adelante que I2 = -I1. 
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44 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 
b) Calcule el campo total radiado en este caso por el sistema. 
c) Obtenga el campo magnético total radiado y la densidad de potencia media. 
d) Dibuje las secciones del diagrama de radiación según los tres planos cartesianos X-Y, X-Z 
e Y-Z tomando 2
π=kd . 
e) Se dispone de un sistema con d = 2 cm diseñado para aplicaciones en la llamada banda X 
(el intervalo de frecuencias 8,2-12,4 GHz). Obtenga el valor de la frecuencia de esa banda 
para la que la radiación es máxima en la dirección del eje Y. 
 
 
64. El campo radiado por una determinada antena viene dado por 
�
E j
I
r
e jkr= −
η
π
θ
θ
θ
π
0 0 2
2
cos( cos )
sen
�
. 
a) Calcule el fasor campo magnético. 
b) Calcule la densidad de potencia media radiada. 
c) Dibuje una sección vertical del diagrama de radiación de forma aproximada. 
 
 
65. El potencial vector creado a grandes distancias del origen por un dipolo eléctrico elemental de 
longitud l se puede escribir como: 
 
�
� �
A r
I l
r
e jkr r ujkr( ) exp(
�
)
�
≅ ⋅−
µ
π
0
04
 
 
donde 
�
r0 señala la posición del dipolo y 
�
u es el vector unitario que indica su orientación. Utilice esa 
expresión en la situación que se describe a continuación. 
 
Sean dos dipolos eléctricos elementales idénticos, situados sobre el eje Z y separados una distancia 
2d. Por ambos dipolos circulan corrientes de igual frecuencia, cuyos fasores respectivos son I1 e I2. 
Los dipolos están orientados en la dirección del mismo eje Z. 
 
a) Calcule el campo total radiado por el conjunto de los dipolos. 
b) Obtenga el campo magnético. 
c) Si las corrientes tienen igual amplitud y d = λ, ¿cuál debe ser el desfase entre las corrientes 
para que se produzca un nulo de radiación en el plano z = 0. 
 
 
66. Se disponen cuatro dipolos idénticos simétricamente respecto al origen de coordenadas, en los 
lados de un cuadrado de lado 2d en el plano XZ (Fig. 24). Las corrientes que los recorren son de igual 
amplitud y fase. 
 
a) Obtenga la expresión del potencial vector creado por el sistema a grandes distancias. 
Puede utilizar la fórmula general del potencial a grandes distancias que se dio en el 
problema anterior. 
b) Calcule el campo eléctrico total de acuerdo con la aproximación: 
( )θϕω θϕ ˆˆ)( AAjrE +−≅�
�
 
c) Obtenga el vector de Poynting del conjunto, tomando λ25,0=d . ¿En qué dirección o 
direcciones se radia el máximo de potencia?. 
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6 Radiación de antenas elementales 45 
d) A partir del resultado del apartado c) represente el diagrama de radiación mediante sus 
secciones en los planos XY, YZ y XZ. 
e) ¿Cómo modificaría las fases de las corrientes de los dipolos para girar 90º el máximo del 
diagrama de radiación en el plano horizontal? 
 
 
Z
X
Y
r
2d
 
 
Fig. 24 Agrupación de dipolos en forma de matriz bidimensional 
 
 
67. Tenemos dos dipolos orientados en la dirección del eje Z y situados en las coordenadas (d,0,0) y 
(-d,0,0), tal como se muestra en la figura 25. 
 
a) Obtenga el potencial total creado por el sistema. Ambos tienen igual longitud h, pero 
distinto valor de corriente, I2 = 2I1. 
b) Obtenga la expresión del campo eléctrico total radiado. Puede utilizar la expresión 
aproximada para grandes distancias dada en el problema anterior. 
c) Calcule la expresión del diagrama de radiación en el plano XY para un valor d = λ/2. 
Dibújelo. ¿Aparecen ceros de radiación? ¿Por qué? 
d) Se desea añadir un tercer dipolo en el origen de coordenadas de modo que se cancele la 
radiación emitida en la dirección del eje X en campo lejano. Asumiendo que tendrá la 
misma longitud y orientación que los anteriores, calcule el módulo y la fase de la corriente 
que deberá circular por ese dipolo para conseguir aquello. 
 
 
d
d
X
Y
Z
I1
I2
( I2= 2 I1 )
 
Fig. 25 
 
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46 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
68. Dos dipolos radiantes elementales están situados sobre el eje Z, con su centro separado del origen 
una distancia d y orientados en el plano YZ, tal como muestra la figura 26. Se sabe que el potencial 
vector que produce a grandes distancias un dipolo radiante, orientado en la dirección û y situado en 
un punto 0r
�
 respecto al origen, puede escribirse en la forma: 
 
urrjk
r
re
IhrA
jk
ˆ)ˆexp(
4
)( 0
0 ���
⋅+=
−
π
µ
 
 
 
d
d
X
Y
Z
I1
I2
α
α
 
 
Fig. 26 
 
 
a) Si se toman los valores 4
πα = , 4
λ=d y ψjeII 12 = , probar que el potencial vector 
producido por ambos dipolos a grandes distancias tiene como componentes: 
 
))cos(cos(
))cos((
2
1
0
2
1
0
ψθπ
ψθπ
−=
−=
Zz
Yy
AA
senAA
 
 
Escriba explícitamente el valor de A0Y y de A0Z. 
b) Calcule el campo eléctrico radiado por el conjunto de ambos dipolos. 
c) Averigüe el tipo de polarización, en función del desfase ψ, que adquieren las ondas que 
viajan en la dirección del eje X. 
d) Hallar la densidad de potencia media radiada para el caso particular ψ = π. 
e) Dibuje las secciones del diagrama de radiación para los planos XY,YZ y XZ para el caso 
anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Indicaciones y sugerencias 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
Indicaciones y sugerencias 
 
Talcomo comentamos en la presentación del libro, no creemos que tenga utilidad real el explicar paso 
a paso la resolución de los problemas. Probablemente ni siquiera sea conveniente, en general, 
describir las etapas que deben seguirse para llegar al resultado final. Parece preferible estimular al 
lector a que sea él quien halle la forma de hacerlo. 
 
Se dan a continuación pistas y sugerencias que deben ser suficientes para resolver los problemas de la 
primera parte. En algún caso, las explicaciones son bastante largas, y se incluyen esquemas y 
fórmulas porque el problema lo merece. En otros, se dan apenas unas pocas indicaciones. De 
cualquier manera será interesante que el estudiante deje de leer las pistas tan pronto piense que ha 
captado el núcleo de la situación planteada. En atención a esta posibilidad, en muchas ocasiones las 
indicaciones tienen un esquema piramidal o progresivo, yendo de lo más general a lo más concreto. 
Las primeras frases son ciertas, pero vagas y, poco a poco, se concreta más en torno al problema 
particular. 
 
Rogamos al estudiante que, desde luego, haga un esfuerzo previo para solucionar cada problema sin 
mirar ni siquiera estas indicaciones. Un par de minutos de reflexión son suficientes para comprobar si 
al menos se tiene alguna idea de cuál debe ser el enfoque correcto para la resolución de cada 
problema. 
 
 
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Indicaciones y sugerencias 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas 
 
 
1. a) No es preciso efectuar ningún cálculo para encontrar el flujo a través de la semiesfera. Se 
deduce inmediatamente de la ley de Gauss. 
b) El flujo del campo eléctrico a través del plano puede resolverse analíticamente, para ello se 
evalúa la integral de flujo a través del plano y = d . El integrando es 
 
ydzdx
r
rq
sdrE ˆ
4
)(
3
0
⋅=⋅
�
��
�
επ
 
 
donde el producto escalar que aparece, particularizado en los puntos del plano, es dyr =⋅ ˆ
�
. El 
denominador ( 3−r ) debe escribirse en coordenadas cartesianas, particularizándose también para 
los puntos del plano. 
Para resolver la integral, la expresión en coordenadas cartesianas no es la mejor: resulta más 
sencillo en la práctica utilizar las coordenadas polares del propio plano de integración, que 
podemos denominar ρ′ y ϕ′ . Obsérvese entonces que las sustituciones que haríamos serían: 
 



′=+
=′′′=
222
)(
ρ
ϕρρ
zx
dsdddzdx
 
 
y los márgenes de integración serán ),( +∞−∞ para ρ′ y )2,0( π para ϕ′ . Dibuje un esquema 
de la situación para comprobar que todo lo anterior es coherente. 
 
Una vez resuelto el apartado b) de forma analítica, observe sin embargo que el resultado era 
previsible sin necesidad de cálculos, por simple inspección de la situación planteada y de acuerdo 
con la ley de Gauss. 
 
 
2. El caso más general que podemos considerar es el representado en la figura 27, donde hemos 
trazado una superficie gaussiana S genérica que engloba parcialmente a un medio dieléctrico 
polarizado. 
 Nos piden que evaluemos la expresión ∫ ⋅S sdD
�
�
 a través de esa superficie y que comprobemos 
que el resultado es nulo. 
 
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50 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
S
P
super f i c i e
g a u s s i a n a
m e d i o
d i e l é c t r i c o
 
 
Fig. 27 Una superficie gaussiana arbitraria que engloba 
parcialmente a un dieléctrico polarizado 
 
 
El primer paso del desarrollo sería: 
 
( ) ∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅+=⋅ SSSS sdPsdEsdPEsdD
�
�
�
�
�
��
�
�
00 εε 
 
 La integral de flujo del campo eléctrico es igual a la carga total, sea libre o ligada, contenida en 
el interior del volumen delimitado por S (dividida por 0ε ), por lo que el problema es el cálculo 
de la última integral. 
 
∫∫ ⋅+=⋅ STBS sdPQsdD
�
�
�
�
 
 
donde TBQ es la carga total ligada presente en el interior de la superficie S. El enunciado nos 
dice que no hay carga libre 
 El vector polarización es nulo fuera del dieléctrico y sólo atraviesa una parte de la superficie 
gaussiana. En la siguiente figura se señalan las superficies que deberán tenerse en cuenta 
independientemente. 
 
V I
S a
S bn a
n b
 
 
Fig. 28 
 
 
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Indicaciones y sugerencias 51 
 En la figura 28 el volumen dieléctrico contenido en la superficie gaussiana está representado por 
VI . La superficie cerrada que lo limita puede denominarse SI , que a su vez está formada por dos 
superficies, Sa y Sb. 
 Se comprueba inmediatamente que pueden escribirse las igualdades: 
 
∫∫∫∫ ⋅−⋅=⋅=⋅ Sb bSI ISa aS SdPSdPSdPsdP
������
�
�
 
 
 y las dos últimas integrales pueden expresarse en función de las cargas ligadas, volúmica y 
superficial. 
 
 
3. La geometría del problema, incluyendo la forma de la distribución de carga, tiene simetría 
esférica. En esas condiciones la ecuación de Poisson se reduce a: 
 
( )
0
2
2
2 )(1
ε
ρφφ r
dr
d
r
dr
d
r
r
�
�
−=




=∇ 
 
 El resultado de esta ecuación es: 
 
( )
( ) ar
r
C
r
arC
r
C
r
a
r
r
≥−=
≤+−



+−=
si
si
6
3
ext
2
12
3
0
0
int
�
�
φ
ε
ρφ
 
 
 donde se tuvo ya en cuenta que el potencial debe anularse en el infinito, al tratarse de una 
situación donde la carga eléctrica está limitada espacialmente. 
 
 Observará, sin embargo, que las constantes no pueden determinarse completamente por 
aplicación de las condiciones de contorno, por lo que es necesario utilizar la ley integral de 
Gauss para terminar el problema. 
 
 
5. Las líneas señaladas como a y b en la figura 29 no son posibles. 
 
A
B
a
b
 
 
Fig. 29 
 
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52 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
6. a) Debe expresarse el radiovector r
�
 en coordenadas cartesianas, al igual que los vectores que 
indican la posición de la cargas. 
 
 b) A grandes distancias ocurre que las coordenadas más adecuadas son las esféricas, debido 
precisamente a que el dipolo se ve como un punto si nos situamos muy lejos de éste: 
 
szyxr >>++= 222 
 
 La aproximación anterior permite escribir las contribuciones, salvo constantes, de cada una de las 
cargas al potencial total en la forma: 
 





≅




 ±
θ
θ
cos1
cos1
2
11
2
1 r
s
r
r
s
r
�
 
 
 donde se ha aproximado tomando únicamente los dos primeros términos de la descomposición de 
Taylor, según: 
 
xx
2
1
11 2
1
)( �=±
−
 si x << 1 
 
 
7. a) La relación de la componente Ex, la única que debemos considerar, con la distribución de 
carga es una relación integral. 
 b) La relación entre el potencial eléctrico y el campo es también integral. 
 
 
8. a) La densidad de corriente se obtiene de la ley de Ohm una vez conocido el campo eléctrico. 
 b) La intensidad de corriente es el flujo de la densidad de corriente a través de la sección del 
medio por el que circulan los portadores. 
 c) La velocidad media de los portadores de carga está relacionada con la densidad de corriente, 
con la concentración de portadores y con su carga unitaria. Si no recuerda la expresión, trate de 
hallarla por simple análisis dimensional. 
 d) La fuerza magnética se obtiene de la expresión de Lorentz. Hay motivos para pensar que debe 
cambiar la densidad de corriente, pero probablemente no la intensidad de corriente. 
 
 
9. Debe ser aplicable la fórmula de la capacidad de un condensador plano infinito. Si no está seguro 
de cuál es la forma exacta de esa fórmula, utilice el análisis dimensional para deducirla, sabiendo 
que la capacidad dependerá de la permitividad del medio, de la superficie entre las armaduras y 
de su separación. 
 
 
10. a) Se supone que el hilo conductor tiene sección circular. La densidadde corriente no es 
uniforme en la sección del hilo, por lo que no es posible multiplicar simplemente la densidad de 
corriente por el área. (Por otra parte el resultado obtenido de esa forma en este caso sería una 
intensidad de corriente dependiente de la coordenada radial, lo cual tiene difícil interpretación.) 
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Indicaciones y sugerencias 53 
 b) Los valores dados son realistas, por lo que el valor de la densidad de corriente que se obtiene 
es también un valor típico, aunque pueda parecer elevado si se expresa en A/m2. 
 c) Ley de Ampère. 
 
 
11. Puede resolverse mediante aplicación de la ley integral de Ampére para cada hoja de corriente 
por separado y después superponiendo los campos. La aplicación de este método –al igual que 
cuando se aplica la ley integral de Gauss en problemas electrostáticos– exige conocer a priori 
cuál será la dirección del campo, y de qué coordenadas puede depender y de cuáles no. A este 
respecto considere las láminas de corriente como si fueran de tamaño ilimitado. Conociendo la 
dirección del campo, uno sabrá cómo trazar la trayectoria cerrada más adecuada para la 
aplicación de la ley, dentro de la que el campo se ha de mantener constante. 
 Si imagina cada lámina de corriente como una superposición de hilos de corriente paralelos y 
utiliza la regla de la mano derecha, sabrá cómo se orienta el campo magnético en esta situación. 
 
 
12. a) La tensión obtenida se debe al fenómeno conocido como inducción electromagnética, cuya 
primera formulación es la debida a Faraday. La frecuencia es la misma que aquella con la que 
gira el arrollamiento. 
 c) Tanto la sección del arrollamiento como el número de espiras representan valores pequeños 
como para poder producir una tensión elevada, por lo que no debe sorprender que el resultado 
obtenido sea de milivoltios. 
 
 
13. Debe utilizarse la ley de Ohm. Se sobreentiende que se está calculando la resistencia que ofrece 
el cable a bajas frecuencias, que es el caso en que puede considerarse la corriente distribuida de 
forma homogénea en la sección del conductor. A frecuencias medias (digamos entre unos 2 y 15 
MHz, según el grosor del cable), la corriente comienza a concentrarse en las paredes del 
conductor y la resistencia efectiva varía. A frecuencias superiores, el efecto es ya claramente 
apreciable. En el problema 39 se plantea ese caso. 
A bajas frecuencias, y con una densidad de corriente homogénea, la aplicación de la ley de Ohm 
es suficiente. Para obtener la expresión de la resistencia (Ω) en función de la conductividad, la 
sección del cable y su longitud, basta razonar qué papel juegan cada una de esas magnitudes y 
comprobar que la expresión que se va a utilizar es dimensionalmente coherente. 
 
 
14. La capacidad de un condensador responde a la expresión general: 
 
V
Q
C = 
 
 donde Q es la carga (libre y en valor absoluto) que hay en una cualquiera de las placas del 
condensador. (Se puede demostrar que en un sistema de dos conductores tal que uno de ellos 
encierra físicamente al otro, se induce la misma carga total Q en uno y en otro, aunque con 
signos cambiados.) V es la tensión aplicada o diferencia de potencial entre las placas. 
 Un proceso de cálculo usual consiste en expresar el campo eléctrico que se establece entre las 
placas en función de la densidad de carga de una de ellas. Después puede expresarse el campo 
eléctrico en función de V y la carga total almacenada en la placa en función de aquella densidad 
de carga. Con todo ello se habrá obtenido la relación buscada entre Q y V. 
 En el problema que se propone puede utilizarse inicialmente la ley integral de Gauss. 
 
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Indicaciones y sugerencias 55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas 
 
 
15. Efectivamente, los buenos conductores no pueden contener una densidad volúmica de carga neta. 
Si así sucediera, la divergencia del campo eléctrico no sería nula y, por tanto, tampoco el campo 
eléctrico. Como la nube de electrones está libre en el conductor, se movería continuamente 
arrastrado por ese campo, sin llegar nunca al equilibrio, lo cual no sucede. Ahora bien, si por 
algún procedimiento físico, como un bombardeo iónico, introducimos carga en el conductor, 
habremos contradecido momentáneamente ese principio de no existencia de carga neta. Lo que 
ocurre entonces es que el conductor reacciona y se libera del exceso de carga, intercambiándolo 
con la superficie. La ecuación diferencial que describe el comportamiento de la carga libre desde 
el instante inicial en que fue introducida es: 
 
ρ
τ
ρ 1−=
∂
∂
t
 
 
 donde la constante de tiempo τ –al igual que la propia ecuación– puede deducirse de las 
ecuaciones que se mencionan en el enunciado del problema. 
 
 
16. a) Debe evaluarse la corriente de portadores libres (ley de Ohm) y la de desplazamiento (el 
último término de la ecuación de Àmpere-Maxwell). Esta última en su forma en régimen 
senoidal permanente, puesto que nos dan la información de la frecuencia de la señal. Ambas 
quedarán en función del campo eléctrico, cuya magnitud se desconoce. No obstante, pueden 
compararse y se observa que la corriente de conducción es mucho mayor. 
b) Observe que la ecuación que debemos verificar tiene cierta similitud con la que sería la 
ecuación de onda para el vector campo magnético. En ella aparece la laplaciana de ese vector, 
que incluye derivadas espaciales de segundo orden. Una operación típica de la que surge la 
laplaciana es: 
 
( ) ( ) AAAA �������� ∀∇−⋅∇∇=×∇×∇ 2 
 
 Este apartado debe resolverse en las condiciones de variación temporal arbitraria, sin embargo 
asumimos que las componentes significativas de mayor frecuencia no excederán el valor del 
GHz, de modo que el resultado anterior sigue siendo válido. 
 c) Basta sustituir la expresión que nos dan en la ecuación diferencial anterior y operar. El valor 
de la constante D se obtiene como función de σ y µ. 
 d) La relación entre HE
��
y se obtiene de la ecuación de Àmpere-Maxwell o de la de 
Maxwell-Faraday. Utilice la que resulte más cómoda en este caso. Si se decide por la primera, 
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56 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
recuerde qué forma particular adopta en el medio que estamos considerando (véase el primer 
apartado). 
 e) Comprobará que el campo se extingue rápidamente a medida que penetra en el medio. 
 
 
17. a) La ecuación de continuidad en forma diferencial y con densidades de corriente y carga 
volúmicas es: 
 
( )
t
tr
J
∂
∂−=⋅∇
,
�
�� ρ
 
 
 Cuando tratamos con densidades limitadas a una superficie la ecuación es idéntica: 
 
( )
t
tr
J S ∂
∂−=⋅∇
,
�
�� σ
 
 
 Este resultado puede probarse con un procedimiento similar al que se emplea para deducir la 
primera expresión. 
 b) Las suposiciones de partida son que no hay carga inicialmente en el condensador, es decir, 
para t = 0, y que el campo eléctrico sólo tiene componente perpendicular a las placas (esta 
última suposición es, en definitiva, la de condensador plano infinito). 
 c) Si trata de hallar el campo magnético mediante la ecuación de Maxwell-Faraday, en forma 
diferencial, aprovechando que ya tiene el campo eléctrico (obtenido en el apartado anterior) se 
encontrará con la dificultad de que queda una constante indefinida. No obstante, la idea era 
lógica y en otras situaciones es el procedimiento más razonable. Para solventar esa dificultad es 
más útil, en este caso particular, la ecuación de Ampère-Maxwell en forma integral. Debe 
aplicarla para cada una de las placas, con sus respectivas densidades de corriente, y superponer 
(sumar) los campos obtenidos. 
 d) Existen dos caminos para obtener la expresión de la energía almacenada. Uno es utilizar la 
expresiónconocida de Teoría de Circuitos en función de la tensión y de la capacidad del 
condensador. El otro consiste en integrar, en el volumen del condensador, la densidad de energía 
eléctrica: 
 
∫ ⋅= ve dvEDU
��
2
1
 
 
 e) Hay más de una manera de resolver este apartado, pero la más sencilla puede ser utilizar las 
dos expresiones de cálculo de la energía que se propusieron antes e igualar los resultados que se 
obtengan. De allí sale el valor de J0 . 
 
 
18. a) La expresión del fasor es la habitual: Amplitud exp(+j fase). 
 b) La distribución de la carga se obtiene a partir de la densidad de corriente mediante la ecuación 
de continuidad. 
 c) La respuesta que uno está tentado a dar inmediatamente es que la densidad de corriente se 
extingue progresivamente a medida que se propaga en la dirección del eje Z, y eso no es propio 
de un conductor perfecto. Sin embargo, esa respuesta es más intuitiva que razonada. Trate de 
buscar una explicación más acorde con las características específicas de los conductores 
perfectos. 
 d) La intensidad de corriente se obtiene fácilmente a partir de la densidad de corriente. 
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Indicaciones y sugerencias 57 
 
19. Una de las propiedades de la transformada de Fourier dice que la transformada de la derivada 
temporal de una función es igual a la transformada de la función multiplicada por jω. Algo 
similar puede aplicarse a cada una de las componentes del campo y a sus transformadas de 
Fourier espaciales. (Efectivamente, al igual que existe una transformada de Fourier que nos lleva 
de la dependencia temporal al dominio frecuencial, existe también la transformada de Fourier 
entre las variables espaciales y las componentes espectrales de variación espacial. De todos 
modos, esta variante no la usaremos explícitamente todavía en este curso.) 
 
 
20. Debe decir si las afirmaciones están de acuerdo o no con las ecuaciones que sean aplicables en 
cada caso, que son las siguientes: 
a) La ecuación que relaciona la corriente con el campo magnético es la de Ampère-Maxwell. 
 b) La misma que antes 
 c) Ley de Ohm (si bien las placas son conductores perfectos). 
 d) Ley de Ampère-Maxwell de nuevo. 
 e) Se aplicaría superposición de los campos creados por cada placa. 
 f) Ley de Maxwell-Faraday. 
 g) Aquí hay dos cuestiones: por un lado la relación que pueda establecerse entre la densidad de 
corriente y el campo eléctrico o el campo magnético entre las placas y, por otro lado, la ecuación 
de onda, para el campo eléctrico o para el campo magnético. En definitiva, se trata de ver lo 
siguiente: ¿fuerza la ecuación de onda a una dependencia espacio-temporal del tipo cos(ωt-kz) 
para los campos, en el caso de régimen senoidal permanente?, y entonces, ¿será obligada la 
misma dependencia para la corriente? 
 h) De nuevo estamos viendo la relación entre densidad de corriente y campo magnético. 
 i) Ley de Maxwell-Faraday. 
 
 
21. a) Escriba la expresión del operador nabla a escala real (∇
�
) en función de las variables zyx ,, y 
la expresión del operador a escala de laboratorio (∇′
�
), en función de zyx ′′′ ,, . Ahora trate de 
ver la relación entre uno y otro transformando las derivadas. Tenga en cuenta que los vectores 
unitarios en uno y otro caso son los mismos. 
 La relación entre las derivadas temporales es casi inmediata (regla de la cadena). 
 b) y c) Las ecuaciones de Maxwell deben tener la misma forma a una u otra escala, y con unas u 
otras variables. Parta de cada una de las ecuaciones expresadas a escala de laboratorio y sustituya 
operadores y variables para llegar a las ecuaciones a escala real. Llegará entonces por simple 
comparación a deducir el valor de los diferentes parámetros. 
 d) El proceso es el mismo que para el apartado anterior. Ahora deberá utilizar otras ecuaciones 
que relacionen el potencial y la intensidad de corriente con las magnitudes cuya regla de 
transformación ya ha averiguado. 
 
22. a) Basta con calcular la variación del flujo de campo magnético a través de la espira, de acuerdo 
con la ley de Faraday. 
 b) El campo eléctrico está relacionado con la variación temporal del campo magnético mediante 
la ley de Maxwell-Faraday. Deberá integrar esa ecuación para extraer el valor del campo 
eléctrico. Utilice coordenadas cilíndricas. Considere que el campo eléctrico sólo tiene componen-
te azimutal, alrededor del eje Z. 
Como se comenta en el enunciado, el campo magnético es aproximado. Existe una pequeña 
variación espacial, pero no se considera explícitamente. 
 
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Indicaciones y sugerencias 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ondas planas 
 
 
23. a) La expresión genérica para el campo magnético instantáneo asociado a una onda plana, con 
polarización lineal, es: 
 
)cos(ˆ),( 0 rkthHtr
�
�
�
�
⋅−= ωH 
 
donde el vector de onda es: kkk ˆ=
�
. El número de onda k es función de la frecuencia y de la 
velocidad característica del medio. 
Los vectores kh
�
yˆ han de ser perpendiculares en una onda plana. 
b) El campo eléctrico se deduce inmediatamente si se conoce el campo magnético y el vector de 
onda. 
c) Se calcula en la forma general, mediante los fasores HE
��
y , o a través de la fórmula 
específica para ondas planas uniformes. 
 
 
24. a) Siempre que busque el tipo de polarización de una onda, lo primero es averiguar qué desfase 
existe entre las dos componentes perpendiculares que constituyen el vector. Si ocurriera que el 
campo no estuviese expresado como una suma de dos componentes perpendiculares, entonces 
puede ocurrir que sólo haya una componente, por lo que la polarización será forzosamente lineal. 
O también puede ocurrir que en la expresión no están claramente separadas las componentes 
perpendiculares. En esos casos debe elegirse una base 21 ˆyˆ ee (ambos perpendiculares entre sí 
y perpendiculares al vector de onda) y expresar el vector de campo en función de esa base. 
 
 
26. y 27. Le servirán las consideraciones del problema 24. A la hora de elegir una base de vectores 
unitarios y ortogonales 21 ˆyˆ ee tiene total libertad, puesto que una onda es la misma 
independientemente de los vectores que elija para representarla. Sin embargo, conviene que lo 
piense un poco antes de decidirse por alguna, para simplificar el trabajo. Una vez elegido un 
vector ,̂1e el otro debería obtenerse como 12 ˆˆˆ eke ×= para que ambos sean perpendiculares y 
tengan la orientación correcta que permita utilizar los criterios habituales de sentido de giro. 
 
 
28. a) Debe escribir la expresión general para una onda plana con polarización arbitraria. Después ha 
de ir sustituyendo los parámetros genéricos por valores particulares de acuerdo con los datos que 
se proporcionan. 
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60 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 Se informa de la dirección de propagación de la onda (vector k̂ ) a través de los ángulos 
esféricos, ϕ y θ. El ángulo ϕ es el que forma con el eje X la proyección del vector sobre el 
plano XY, mientras que el ángulo θ es el que forma el vector con el eje Z. Cualquier dirección 
del espacio a partir del origen puede seleccionarse a través de los valores adecuados de ϕ y θ . 
 
ϕ
θ
X
Y
Z
 
 
Fig. 30 Los dos ángulos esféricos definen una dirección particular del espacio 
 
 
b) Para determinar unívocamente una onda plana deben conocerse los siguientes datos: amplitud 
(o densidad de potencia), dirección de propagación, tipo de polarización y, en su caso, sentido de 
giro, relación axial y orientación de la elipse de polarización. No obstante, los cuatro últimos 
pueden deducirse de la relación entre las amplitudes complejas de las dos componentes 
ortogonales en que se expresa el campo. 
 c) Forzosamente habrá dos soluciones posibles en este apartado.29. a) Mediante el índice de refracción del medio y el valor de la frecuencia se puede determinar 
completamente el número de onda, que aparece en la exponencial compleja de la onda. 
 b) Se dispone del valor de la densidad de potencia total y del término común de amplitud. 
 c) i) Sustituyendo en la expresión del campo tendremos suficiente información. 
 ii) Sólo un tipo de polarización permite que el campo instantáneo sea nulo en algún instante. 
 
 
30. a) No nos dan la dirección concreta en que está orientado el eje del polarizador, por lo que 
podemos denominarla ŝ y dejar los resultados indicados. 
 A la salida del primer polarizador el campo forzosamente tendrá polarización lineal en la 
dirección dada por ŝ ; se trata por tanto de calcular la amplitud de la onda. La expresión general 
es: 
ssEE inout ˆ)̂( ⋅=
��
 
 
donde se ha omitido el desfase que pueda sufrir esta única componente al atravesar el 
polarizador. 
Deberá ser capaz de expresar el vector ŝ en función de los vectores unitarios cartesianos 
yx ˆeˆ y del ángulo que el eje del polarizador forma con uno de los ejes cartesianos. 
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Indicaciones y sugerencias 61 
 b) El campo que emergió del primer polarizador vuelve a atravesar otro, y de nuevo con 
orientación desconocida. Para obtener el campo final deberá entonces seguir los pasos del primer 
apartado una vez más. Dele el nombre de s ′̂ al vector unitario en la dirección del eje de ese 
segundo polarizador. La relación entre la densidad de potencia de la onda inicial y la densidad de 
potencia de la onda final dependerá del ángulo existente entre los ejes de los polarizadores. 
 
 
31. a) Tenemos dos elementos ópticos: el polarizador y la lámina dieléctrica con pérdidas. Podemos 
considerar la onda en tres momentos diferentes: 
 
 ,inE
�
 la onda original, antes de atravesar el polarizador; 
 ,1outE
�
 a la salida del polarizador, antes de atravesar la lámina; 
 ,2outE
�
 a la salida de la lámina con pérdidas (la que nos dan en el enunciado). 
 
 Con la consideración de que la última lámina no puede modificar la polarización de la onda y 
que sólo afecta a su amplitud, puede hallarse 1outE
�
 en función de 2outE
�
 gracias a la 
información que nos dan sobre la pérdida de potencia sufrida en la lámina. 
 Conocida la onda a la salida del polarizador, se tratará ahora de encontrar inE
�
, que sabemos 
tiene polarización elíptica. Se deduce que la onda original ha perdido una componente ortogonal 
de campo al atravesar el polarizador. De nuevo con la información de la potencia pérdida, puede 
hallarse la amplitud de esa componente que se perdió. No obstante no parece haber suficiente 
información para estimar el desfase entre las componentes de la onda original. 
 b) En el apartado anterior hemos podido calcular el coeficiente de atenuación, α. Existe una 
relación sencilla entre ese coeficiente α y la conductividad del medio σ cuando se trata de 
buenos conductores. 
 c) Conocida la conductividad, la frecuencia y la permitividad es inmediato comprobar la 
hipótesis de buen conductor. 
 
 
32. a) El procedimiento a seguir es el general en este tipo de situaciones y similar al que se emplea 
con los polarizadores. En un polarizador debemos descomponer el campo de la onda incidente en 
dos componentes ortogonales, con una de ellas paralela al eje del polarizador. Lo que ocurre es 
que en el polarizador la otra componente es irrelevante porque se atenúa hasta extinguirse. Con 
una lámina de retardo, sin embargo, las dos componentes son importantes, puesto que lo 
característico de la lámina es el retardo (o el desfase) que introduce entre ellas. 
 Sean 21 ˆyˆ ss los ejes propios y ortogonales de la lámina de retardo. Entonces el campo 
incidente se expresa en la forma: 
 
2211 ˆ)ˆ(ˆ)ˆ( ssEssEE ininin ⋅+⋅=
���
 
 
 lo que en el fondo no es sino un cambio de base vectorial. 
 
 Para obtener el campo a la salida basta con explicitar el desfase que sufre cada componente: 
 
21
2211 ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(
φφ j
in
j
inout essEessEE ⋅+⋅=
���
 
 
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62 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 donde φ1 y φ2 serán función del trayecto recorrido en el interior de la lámina, del índice de 
refracción asociado a cada eje y de la longitud de onda. 
 
 b) Los pasos a seguir son exactamente los mismos que en el apartado a). Se comprueba que la 
onda emergente es similar a la obtenida antes, pero con una orientación de la polarización 
diferente. 
 
 
33. Aunque el resultado es cualitativamente el mismo, la forma en que ambos elementos lo 
consiguen es bastante diferente. 
 
 
34. En las figura 31 se esquematiza el campo incidente y los ejes de la lámina. Tras atravesarla, las 
componentes de campo proyectadas sobre los ejes quedan desfasadas. ¿Qué campo final darán a 
la salida cuando vuelvan a sumarse? 
 
 
ψ
s
2
s 1
E in
a)
s2
s 1
b)
e
2
e
1
e
2'
e
1'
 
 
Fig. 31 Esquemas de la descomposición de un campo incidente sobre una 
 lámina anisótropa. a) Incidencia de una onda con polarización lineal; 
 b) incidencia de una onda con polarización circular 
 
 
 En el caso b), en el que la onda incidente es circular, observe que, independientemente de cuál 
sea la base de vectores en que venga expresada – 21 ˆˆ y ee –, siempre podríamos cambiarla a otra 
más conveniente: 21 ˆˆ y ee ′′ . 
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Indicaciones y sugerencias 63 
 
35. Una lámina de retardo tan sólo desfasa una componente de campo respecto de otra, pero no 
modifica la potencia de la onda. Por lo tanto, el primer elemento no puede ser una lámina de 
retardo: será un polarizador. El segundo sí es una lámina. Por otra parte, el hecho de que la onda 
emitida por el láser sea insensible al giro del polarizador nos indica qué tipo de polarización 
tiene. 
 Para distinguir de qué tipo de lámina se trata, lo más lógico es colocar primero la lámina de 
retardo y después el polarizador e interpretar lo que ocurra al girar el polarizador. 
 
 
36. a) Se trata de despejar A y B, que serán las amplitudes complejas que debemos asignar a cada una 
de las ondas circulares para que su suma sea igual a una onda con polarización lineal. Observe 
que se obtiene un resultado general aplicable a cualquier onda polarizada linealmente. 
 Para despejar cada constante compleja debe multiplicar en cada caso por el complejo conjugado 
del término complejo que quiera cancelar. 
 b) El procedimiento es el mismo aunque ahora la expresión de partida es diferente. Debe probar 
que una onda con polarización elíptica siempre se puede expresar como suma de dos circulares, 
con sentidos de giro distintos. Entonces debe hallar las amplitudes A y B que satisfacen en 
general: 
 
 
[ ]
)̂ˆˆyˆˆˆcon(
)ˆˆ()ˆˆ()̂ˆ(
21
21210
keekee
eejeBejeAeeepeE rkjrkjj
=×=′×
−++=′+ ⋅−⋅−∆
����
ϕ
 
 
 
37. Escriba la expresión general del campo instantáneo de una onda con polarización lineal, con 
amplitud, fase inicial y frecuencia desconocidas. Particularícela a los puntos e instantes para los 
que se nos da información. Haga lo mismo con la segunda onda. Podrá obtener de esa forma cuál 
es la frecuencia de las ondas (nos dicen que es la misma) y también obtendrá qué desfase existe 
entre ambas. 
 
 
38. a) .̂ˆˆ 21 kee ±=× No conocemos el vector de onda, pero si hemos elegido los vectores 21 ˆˆ y ee , y 
sabemos el sentido de giro de la polarización, entonces el signo también queda explicitado. 
 d) La condición de las fases instantáneas quedan así, según los datos que nos dan: 
 
πmtkrtr yy 2),̂80(),( 00 ++=
���� EE 
π)1(2),̂60(),( 11 −++= ntkrtr yy
���� EE 
 
 De allí se obtienen dos ecuaciones, en función del número de onda y de los enteros m y n, que 
sólo tendrán una solución posible dentro del margende frecuencias que se indica. 
 
 
39. a) El cálculo del campo magnético, tanto dentro como fuera del hilo, se hace típicamente por 
aplicación de la ley integral de Ampère. 
El campo eléctrico se relaciona directamente con la densidad de corriente mediante la ley de 
Ohm. 
 
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64 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
b) Una de las condiciones de contorno conocidas parece indicar que el campo eléctrico del 
interior del conductor no podrá desaparecer bruscamente fuera de él. 
 
En los apartados siguientes la situación es bastante distinta debido a la variación temporal. Se 
comprueba experimentalmente que, como efecto secundario, pero unido inevitablemente a la 
variación en el tiempo, la densidad de corriente tiende a concentrarse en las paredes del 
conductor. 
Para la resolución de los apartados c) y siguientes, debe asumirse que el vector de densidad de 
corriente mantiene la misma dirección que en el caso estático, según el eje del conductor. 
 
c) Atendiendo a las consideraciones de simetría, la densidad de corriente sólo podrá depender de 
la distancia al eje del conductor. 
d) Compruebe si la corriente sigue siendo de tipo estacionario. Si lo es, no se puede producir 
acumulación de carga en ningún punto del conductor, ni de forma transitoria ni permanente. 
e) Ley de Ohm. 
f) De nuevo es una cuestión relacionada con la simetría de la situación. 
g) La ecuación se obtiene por el mismo procedimiento que la ecuación de onda, combinando las 
leyes de Faraday y de Ampère-Maxwell en forma diferencial, y teniendo en cuenta que la 
densidad de corriente obedece a la ley de Ohm y que se cumple la condición ωεσ << , 
correspondiente a un buen conductor. Utilizando la expresión del rotacional en coordenadas 
cilíndricas, se obtiene una ecuación diferencial unidimensional de segundo orden para el campo 
eléctrico. 
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Indicaciones y sugerencias 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
Incidencia de ondas planas 
 
 
40. a) y b) Las densidades de carga y de corriente superficiales se obtienen por aplicación de las 
condiciones de contorno en las que intervienen. Al ser uno de los medios un conductor perfecto, 
sabemos que el campo eléctrico en su interior deberá ser nulo. Por otra parte, un campo 
magnético constante, sin variación temporal, sí podría existir, pero no un campo magnético 
variable como el de una onda plana. Todo lo anterior obliga a obtener la onda reflejada en primer 
lugar para conocer cuáles son los campos eléctrico y magnético totales en el aire. 
c) Este apartado puede responderse a la vista de los resultados obtenidos antes; sin embargo, 
también puede contestarse a priori por simple consideración de la naturaleza del problema. 
 
 
41. a) La complicación del problema puede provenir del simple hecho de que nuestros ejes de 
referencia están girados respecto a la superficie de incidencia; sin embargo, eso no debería 
suponer un serio obstáculo. Considere que la reflexión mantiene la polarización paralela o 
perpendicular al plano de incidencia (el plano XZ en este caso). Por otra parte, el coeficiente de 
reflexión para un conductor perfecto toma el valor –1 para cualquiera de ambas polarizaciones. 
 c) Considere simplemente qué varía y qué no varía al cambiar el ángulo con el que incide la 
onda. 
 
 
42. Recuerde que el índice de refracción de cualquier medio es siempre mayor o igual a la unidad. 
Debe calcular la potencia transmitida en función de la incidente o, alternativamente, la potencia 
reflejada en función de la incidente, puesto que la reflejada más la transmitida representan la 
potencia original de la onda. Cualquiera de esas potencias son función de los coeficientes 
respectivos al cuadrado. Observe que en algún momento deberá elegir el signo adecuado. 
 
 
43. Tanto en este problema como en el anterior se pretende que tenga una idea de la potencia que 
pierde una onda electromagnética, debido a las reflexiones, al atravesar medios dieléctricos 
usuales. Puede obtener, mediante aplicación sucesiva de los coeficientes de transmisión 
correspondientes, la amplitud de la onda final en función de la amplitud de la onda original. No 
se consideran ondas reflejadas que, con una segunda reflexión, pueden volver a propagarse en la 
dirección original, sumándose a la primera onda. Eso es lo significa ignorar las dobles 
reflexiones. 
 
 
44. Los prismas rectos o los diedros metálicos pueden utilizarse como retrorreflectores porque 
presentan la propiedad de que la onda reflejada emerge en la misma dirección en la que llegó la 
onda incidente, tal como se pone de manifiesto en la figura del enunciado, y conservando además 
la práctica totalidad de la potencia original. Sin embargo, en el caso de un prisma dieléctrico, una 
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66 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
retrorreflexión eficiente estará condicionada por el hecho previo de que se produzca reflexión 
total en las caras internas del prisma. Deberá buscar los llamados ángulos críticos del prisma: el 
ángulo máximo con el que puede incidir sobre la cara de entrada (digamos la cara de la 
hipotenusa) medido respecto a su normal, de modo que se produzca reflexión total en la cara 
interna de las otras dos superficies. 
 
 
45. a) y b) Se trata tan sólo de expresar correctamente el campo incidente en función de los vectores 
unitarios adecuados, paralelo y perpendicular al plano de incidencia, y de hacer lo mismo para 
las ondas reflejada y transmitida. Por último, las amplitudes reflejada y transmitida se expresarán 
en función de la amplitud incidente y de los coeficientes de reflexión y de transmisión. Sin 
embargo, el primer cálculo que debe hacerse es el del ángulo de incidencia. La información 
necesaria está en la propia expresión que se da para la onda incidente. 
 
 
46. a) Al igual que en el problema anterior, debe calcular el ángulo de incidencia, sabiendo que el 
campo eléctrico oscilará siempre en un plano perpendicular a la dirección de propagación. Esto 
no es cierto para cualquier onda, pero sí para ondas planas uniformes como las que hasta ahora 
venimos tratando. Conociendo el campo eléctrico, podrá calcular el vector de onda y del vector 
de onda puede deducir el ángulo buscado. 
 b) El vector ik
�
 ya lo habrá obtenido en el apartado anterior. Los vectores de onda tr kk
��
y se 
obtienen a partir de los ángulos de reflexión y transmisión. 
 c), d), e) y f) Por simple aplicación de las expresiones teóricas. 
 g) La misma onda significa una onda que tenga la misma polarización, igual frecuencia y 
transmita la misma potencia que la anterior. No obstante, al hacerla incidir con otro ángulo 
cambiará la expresión matemática y, en concreto, la dirección del vector de onda (no su módulo) 
y al menos uno de los vectores unitarios con que se expresa el campo. 
 
 
47. a) En función del ángulo de incidencia puede escribirse el vector de onda, si bien no se conoce la 
frecuencia de la onda, y también los vectores unitarios en función de los que se expresará el 
campo, de acuerdo con la figura 12. 
 b) Independientemente del ángulo de incidencia deberemos calcular los coeficientes de reflexión 
para las dos componentes de la onda, utilizando las fórmulas de Fresnel. En este caso sucede que 
tales coeficientes son complejos porque estamos en zona de reflexión total. Esa posibilidad había 
que considerarla, puesto que el índice de refracción del medio 1 es mayor que el del medio 2. Al 
tratarse de coeficientes complejos se produce un desfase relativo de una componente respecto a 
la otra, por lo que la polarización puede variar de tipo. 
 c) En el caso de reflexión subcrítica los coeficientes de Fresnelse mantienen reales y no puede 
alterarse el desfase relativo entre las componentes. 
 
 
48. a) De la figura 13 se observa que el ángulo de transmisión es menor que el ángulo de incidencia, 
por lo que la ley de Snell nos dirá qué medio tiene mayor índice de refracción. 
 b) El apartado anterior deja claro que no podrá producirse en ningún caso reflexión total, y por lo 
tanto los coeficientes de Fresnel serán reales (se consideran los dos medios dieléctrico ideales sin 
pérdidas). De ese modo no puede producirse un desfase adicional entre las componentes de la 
onda. Es interesante que se plantee también la siguiente cuestión: si la onda incidente tiene 
polarización lineal en una dirección arbitraria ¿serán paralelas a ella en general las polarizaciones 
de las ondas reflejada y transmitida? 
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Indicaciones y sugerencias 67 
 c) La polarización circular se da bajo dos condiciones: una referente al desfase entre las dos 
componentes perpendiculares y otra para sus amplitudes. Debe verse si las dos se deben 
mantener en la reflexión. 
 d) Sólo hay un caso particular de incidencia sobre una superficie plana en que no haya onda 
reflejada. 
 e) Existen direcciones de la onda transmitida que, de hecho, no se obtendrán nunca en este caso 
particular (en el mismo plano de la figura). Piense el porqué. 
 f) No se puede afirmar que se cumpla siempre esa relación entre ángulo de incidencia y potencia 
reflejada, aunque en algún caso sí es cierto. Trate de encontrar un caso en el que sea cierto y otro 
en el que no. 
 g) Se plantea de nuevo el apartado c), si bien incluyendo la onda transmitida y para un ángulo de 
incidencia particular. 
 h) Basta con observar la fórmula del ángulo de Brewster y la información que se tiene de los 
índices de refracción. 
 i) Parece que sí. 
 
 
49. a) Los campos han de escribirse en función de la amplitud de la onda incidente y del coeficiente 
adecuado de Fresnel. En cuanto al término de propagación, ocurre que parte de él se convierte en 
un término de atenuación, en la dirección transversal a la superficie del medio dando lugar a una 
onda evanescente. El procedimiento general para escribir correctamente los exponentes consiste 
en partir de la expresión habitual del vector de onda y particularizarlo para el caso de reflexión 
total: 
 
( ) γjttztynkkt −=+= cosconcosˆsenˆ20
�
 
 
b) Tenga cuidado con la expresión que emplea para obtener el vector de Poynting. Al ser 
evanescente, ya no se trata de una onda plana uniforme (la amplitud varía dentro de los planos 
de fase constante). 
c) Del dato que nos dan sale inmediatamente el valor de γ. 
 
 
50. a) Podría ocurrir que una de las componentes desapareciera en la reflexión, o podría ocurrir 
también que tras la reflexión el desfase existente entre las componentes de la onda circular se 
cancelase. 
b) La segunda posibilidad mencionada antes ya no será posible. 
c) Nos dan implícitamente una relación entre los coeficientes de transmisión paralelo y 
perpendicular. 
 
 
51. a) En un conductor perfecto el campo eléctrico en el interior es nulo. 
b) La impedancia de onda de una onda plana uniforme puede expresarse siempre de la misma 
forma: 
 
ε
µη = 
 
sin embargo no siempre la permitividad será un número real. 
c) También las expresiones generales de los coeficientes de reflexión y transmisión son iguales 
tanto en el caso de que se consideren pérdidas o no. No obstante, los índices de refracción (o las 
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68 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
impedancias de onda, según cómo se expresen aquellos coeficientes) serán reales si no hay 
pérdidas y complejos si se consideran. 
d) Se obtiene por aplicación directa de una fórmula. 
e) Ambas expresiones tendrán un término de atenuación en la dirección hacia el interior del 
conductor. Se trata de una onda plana en un medio con pérdidas. 
f) La intensidad de corriente es una magnitud escalar que se obtiene mediante la integral de flujo 
de la densidad de corriente en la superficie adecuada. En este caso la densidad de corriente es 
básicamente superficial, pero penetra en alguna medida en el conductor. Desde un punto de vista 
práctico, puede afirmarse que la densidad de corriente es apreciable, al igual que el campo 
eléctrico, hasta un distancia de la superficie del orden de la profundidad de penetración. No 
obstante, a la hora de hacer la integral es más exacto e incluso más cómodo suponer que la 
densidad de corriente penetra infinitamente en el conductor, si bien con valores 
exponencialmente decrecientes. 
g) La potencia disipada térmicamente en el conductor tiene como expresión general: 
 
∫ ⋅= vdis dvJEP
��
 
 
En nuestro caso, ese volumen tendrá dimensiones 1x1 cm2 en la superficie del conductor y 
profundidad supuestamente infinita en la dirección de penetración hacia el interior del conductor. 
A pesar de hacer esa suposición de infinitud el campo y la corriente decrecen demasiado rápido 
como para que el resultado total pudiera divergir. 
 
X
Z
c o n d u c t o r r e a l
Y
 
 
Fig. 32 Penetración del campo eléctrico y la densidad de corriente en un buen conductor 
 
 
52. Éste es un problema de los denominados de multicapa o de incidencia múltiple. En ellos se 
consideran dobles, triples y en general, n-ésimas reflexiones de las ondas entre las diferentes 
superficies de separación entre los medios. Existen dos formas de resolver este tipo de 
problemas: 
• Una de ellas es la de generar las series de ondas producidas después de cierto número de 
reflexiones y transmisiones de la onda original y proceder después a sumar las series 
matemáticas que se obtienen, en particular las que dan lugar a la onda transmitida global 
y a la onda reflejada global. En este procedimiento se utilizan los coeficientes usuales de 
Fresnel para cada reflexión o transmisión que se considera. 
• El otro método, y que formalmente es preferible, trata únicamente con las ondas finales 
que deberán establecerse en los diferentes medios, una vez alcanzado el régimen 
estacionario. Este procedimiento no utiliza los resultados conocidos de Fresnel en la 
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Indicaciones y sugerencias 69 
mayor parte de las superficies de separación entre medios, ya que la situación en general 
es diferente a la supuesta por Fresnel, que sólo consideraba una onda incidente por uno 
de los lados de la superficie de separación (véase la Fig. 33, en la que se ha representado 
un caso con cuatro medios y tres superficies de separación.) 
 
 
E E E
E
EEE 1
i
r
t
1 2
2
++
- -
 
 
Fig. 33 Ondas estacionarias finales con las que se pueden 
plantear en general los problemas de multicapas 
 
 Una vez escritas las expresiones de los campos, correspondientes a cada una de las ondas que 
intervienen, deben plantearse y resolverse las ecuaciones debidas a las condiciones de contorno, 
tanto para los campos eléctricos: 
 
( ) ( )
1tang111tang SSri
EEEE −+ +=+
����
 
( ) ( )
2tang222tang11 SS
EEEE −+−+ +=+
����
 
( ) ( )
3tang3tang22 StS
EEE
���
=+ −+ 
 
 como las correspondientes para los campos magnéticos. 
 
 
 a) La reflexión global nula es posible, debido a que la onda reflejada se construye a partir de 
múltiples contribuciones generadas en las diferentes superficies de separación. La clave es que 
esas contribuciones se cancelen aprovechando que llevarán entre sí ciertos desfases relativos. 
Para resolver el problema, sin embargo, basta con suponer que la onda reflejada es nula y buscar 
después el valor del grosor que permita satisfacer las diferentes condiciones de contorno 
exigibles en el problema con aquella condición. 
 b) A partir del resultado obtenido del apartado anterior, puede razonarse en qué forma se 
conseguirá un refuerzo máximo de las diferentescontribuciones a la onda reflejada. Obsérvese 
además que en este caso la onda transmitida será mínima. 
 
 
53. De nuevo se trata de suponer que la onda reflejada se cancela. Entonces deberá buscar los valores 
del grosor d y del índice n2 que permite satisfacer las condiciones de contorno bajo aquella 
suposición. 
No se desanime: tanto este problema como el anterior llevan tiempo y papel para llegar a la 
solución. 
 
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Indicaciones y sugerencias 71 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guías de onda 
 
 
54. a) y b) La ecuación de onda para el vector campo eléctrico tiene la forma usual. En coordenadas 
cartesianas las ecuaciones escalares para cada componente son iguales. Observe que se indica 
que los campos no variarán en la dirección del eje Y, pero eso no tiene que ver con que exista o 
no la componente y del campo. 
 c) Sustituyendo en la ecuación de onda escalar por la expresión dada para la componente 
correspondiente del campo, sale inmediatamente la relación pedida. 
 d) Se trata de la condición usual en cuanto a la componente tangencial a la superficie de la pared 
conductora. 
 e) La no existencia de carga libre en el interior de la guía determina la forma de la divergencia 
del campo eléctrico. Ésta es una condición habitual para guías de onda. 
 
 
55. a) El valor de la constante de propagación queda determinado para cada modo a partir de la 
ecuación de dispersión. De esa ecuación se conocen para este caso la frecuencia, las dimensiones 
de la guía y los valores enteros m y n. 
 b) La longitud de onda en la guía es la separación entre frentes de onda consecutivos con igual 
fase en el interior de la guía de ondas. Es una característica de cada modo y no coincide con la 
longitud de onda en el vacío. 
 c) Debe examinarse si son posibles otros modos guiados a la frecuencia que se indica. Los dos 
modos que tienen más posibilidades de mantener real su constante de propagación son los de 
menor orden, por lo que debería comenzar por evaluar esa constante para los modos TE01 y TE20. 
Si éstos ya estuvieran en corte, todos los demás lo estarán necesariamente. 
 d) La mínima frecuencia a la que es posible propagar algún modo es la frecuencia de corte del 
modo fundamental. Por debajo de ésta ya no pueden existir modos guiados en la guía. 
 
 
56. a) El modo fundamental es el que tiene el valor más alto de la constante de propagación, y está, 
por tanto, más lejos del corte. De la ecuación de dispersión se deduce que los dos modos que, a 
priori, pueden tener la constante de propagación mayor son el TE10 y el TE01. La relación entre el 
ancho y el alto de la guía es la que determina cuál de los dos será el fundamental. 
b) Una vez determinado el modo fundamental (el TE10 en este caso) no es inmediato deducir cuál 
será el siguiente en aparecer en el caso en que fuéramos aumentando la frecuencia. No es 
necesario que el siguiente sea el TE01, sino que de nuevo hay dos posibilidades y de nuevo 
depende de la relación entre las dimensiones a y b de la guía. 
c) La condición de existencia de ese margen se traduce en que sea un margen real de frecuencias 
y no un margen nulo o negativo. Expresándolo matemáticamente: 
 
minmax ff > 
 
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72 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 
57. Este problema tiene mucha similitud con el anterior. Se desea diseñar una guía de onda de 
paredes conductoras a la que se imponen una serie de condiciones. La primera de ellas – la i) – 
es que la guía sea monomodo en un margen de frecuencias dado. Esa condición atañe a la 
frecuencia de corte de los modos que puedan estar inmediatamente por encima del fundamental. 
Junto con la condición ii), quedará especificado también el margen posible de la frecuencia de 
corte del propio modo fundamental. Por último se nos exige que el siguiente modo en propagarse 
–por encima del margen de frecuencias en que la guía ha de ser monomodo– sea el TE01 y no 
otro. A partir de la ecuación de dispersión, todas esas condiciones se traducirán en márgenes de 
valores posibles para las dimensiones de la guía. 
 
 
58. a) Observe que se está buscando una expresión matemática válida como solución para todo el 
interior de la guía. Por lo tanto esa expresión debe satisfacer la ecuación de onda y todas las 
posibles condiciones de contorno. A priori, un método alternativo sería dividir el interior de la 
guía en dos zonas y proponer expresiones diferentes para cada una. Esta segunda opción es la 
que se muestra en la figura. 
 
 
E ,H1 1
E ,H2 2
y = 0
y=2/3 b
 
 
Fig. 34 Planteamiento alternativo del problema 58 para la búsqueda de los modos 
 
 
 En este segundo supuesto ambos campos deberían satisfacer la misma ecuación de onda, porque 
el medio es el mismo, pero podrían probarse constantes diferentes en una y otra zona. Además a 
cada expresión se le aplicarían diferentes condiciones de contorno. No obstante, no es probable 
que en este caso particular se obtengan más modos con este segundo planteamiento. 
 b) y c) El método a seguir es el mismo que en las guías rectangulares. 
 
 
59. a) Al decirnos que la guía debe ser monomodo en un margen de frecuencias, nos están dando 
implícitamente los límites de las frecuencias de corte de tres modos. De allí saldrán los límites 
pedidos para las dimensiones de la guía. 
 b) Piense que añadir un margen de seguridad no significa necesariamente incrementar todos los 
límites obtenidos antes. En algún caso el margen de seguridad se obtiene decrementándolo. 
 c) y d) La potencia transmitida por un modo se obtiene integrando el vector de Poynting en la 
sección de la guía. Después deberá sustituir los valores por los que se indican para realizar el 
cálculo. 
 e) Ni incrementando la frecuencia hasta 9,0 GHz ni disminuyéndola hasta cerca de 8,0 GHz es 
probable que varíe apreciablemente la potencia transmitida, ya que las variaciones de la 
constante de propagación tenderán a compensar en el numerador las variaciones del 
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Indicaciones y sugerencias 73 
denominador. Es más factible rellenar la guía de algún medio dieléctrico distinto del aire. ¿Qué 
podríamos ganar con eso? 
 
 
60. a) Es un problema de condiciones de contorno. Observe en qué paredes de la guía se cancelan las 
componentes y determine de esa forma cuál es cada una de ellas. Sólo hay una asignación 
correcta. 
 b) El orden del modo aparece implícitamente en el dibujo. Fíjese en que las tres componentes 
tienen el mismo número de semiondas en cada dimensión. 
 c) A partir de los resultado anteriores puede escribir la expresión matemática para cada una de 
las tres componentes de campo eléctrico. A partir de allí podría calcular la forma del campo 
magnético. La relación entre las amplitudes de cada componente se obtienen fácilmente a partir 
de dos condiciones: la primera es que se trata de un modo de tipo TM; la segunda es que no hay 
carga libre en el interior de la guía. 
 d) Debe encontrar la frecuencia de corte del modo. 
 
 
61. a) El campo eléctrico, en cualquiera de los tres medios, sólo tiene componente en la dirección del 
eje Y. Esa componente es tangencial a las superficies de separación entre los medios, por lo que 
debe comprobar la condición de contorno correspondiente en las superficies x = -d y x = d. 
 b) El campo magnético se obtiene fácilmente mediante la ecuación de Maxwell-Faraday. Cuando 
se conocen cuáles son las componentes de campo eléctrico y magnético, es inmediato deducir si 
se trata de un onda TEM, TE o TM. 
 c) Se piden las tres relaciones que existen entre las constantes. Dos de ellas se obtienen forzando 
a que las expresiones de los campos cumplan la ecuación de onda. La última condición proviene 
de la última condición de contorno que falta por aplicar. Es unacondición relativa al campo 
magnético. 
 
 
62. En este problema la guia de onda tiene un configuracion poco usual, con lo cual se debe ir con 
especial cuidado al aplicar los conocimientos sobre guías de onda metálicas rectangulares. La 
base fundamental siempre será aplicable, pero no así los resultados finales vistos en teoría para 
guías con un único dieléctrico. 
a) La primera diferencia con la teoría aparece en la necesidad de dos expresiones para el campo 
eléctrico, dependiendo de si estamos en el dieléctrico o en el aire. Esto es así porque las 
propiedades eléctricas en los medios son diferentes y es de esperar que los campos también lo 
sean. La diferencia está en la dependencia transversal de la amplitud, porque es en esta dirección 
donde se produce el cambio de medio. El conjunto de ambas expresiones forman un único campo 
y por lo tanto el termino de propagación ( )exp( zjβ− ) debe ser el mismo. Si fuera diferente 
implicaría que la onda se propaga a diferente velocidad dependiendo de si está en el dieléctrico o 
en el aire. Esto no puede ocurrir debido a las condiciones de contorno en la superficie de 
separación de ambos dieléctricos 
Las dos expresiones de momento son simples expresiones matemáticas. Piénsese en qué 
condiciones debe cumplir para ser un campo electromagnético o de dónde se obtiene la solución 
de las ondas electromagnéticas. Su comprobación nos dará la relación deseada entre las 
constantes. 
b) Para hallar el campo magnético, primero debe pensarse qué tipo de onda es y, después, cuál de 
las expresiones que nos relacionan campo eléctrico y magnético es aplicable en este caso 
particular. Recuerde que hay expresiones que son fundamentales y por tanto más generales que 
otras. En caso de duda, cuanto más general sea, más garantías de éxito. 
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74 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
c) Aquí ya no se pueden utilizar los resultados finales vistos en teoría, pero el razonamiento usual 
sigue siendo válido: los campos en la superficie de separación deben cumplir determinadas 
condiciones. 
d) La relación de dispersión relaciona la constante de propagación β con la frecuencia, las 
dimensiones, geometría de la guía y las características electromagnéticas del medio material. 
Debe obtenerse ésta a partir de las relaciones encontradas en el apartado c). Para obtener una 
relación compacta, debe utilizar la expresión de )tan( yx ± dada en el enunciado y dejar escrita 
la relación en función de α0 y α1. Para obtener la relación explicita en función de β, debe 
substituirse α0 y α1 por las relaciones encontradas en el apartado a). 
e) Al imponer una determinada relación entre α0 y α1 indirectamente estamos seleccionando 
cómo serán las soluciones de nuestro problema. La solución trivial es α0 = 0, que básicamente 
indica que no hay onda propagada. La primera solución no trivial corresponde al modo 
fundamental. Las siguientes soluciones nos darán los modos que soporta la guía. En este 
apartado debe utilizarse la expresión tan(3x). 
f) Al imponer α1 = 3α0 , como ya se ha comentado, estamos determinando la solución del 
problema, es decir, estamos imponiendo condiciones sobre la constante de propagación β, pero 
también sobre el numero de onda k1, o lo que es lo mismo, sobre el índice de refracción una vez 
fijada la frecuencia. 
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Indicaciones y sugerencias 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Radiación de antenas elementales 
 
 
63. a) Los campos radiados por ambos dipolos se superpondrán en todo el espacio. La solución que 
nos da el enunciado – tanto para el dipolo único como para el conjunto de los dos – corresponde 
al caso de grandes distancias. La superposición en este caso puede realizarse haciendo algunas 
simplificaciones, como por ejemplo que el ángulo que forman los radiovectores de posición 
desde cada dipolo con el eje Z son aproximadamente iguales, o que la distancia entre cada dipolo 
y el punto de medida del campo son iguales (en lo que respecta al denominador de la expresión 
de los campos, no en cuanto a su influencia en las fases). También los campos producidos por 
cada dipolo a grandes distancias pueden considerarse prácticamente paralelos. A todo ello hace 
referencia la siguiente figura, en la que se ve que realmente se trata de aproximaciones que no 
podrían hacerse a distancias pequeñas de los dipolos. 
 
 
r 1 r 2
θ
2
θ 1
E 1
E 2
 
 
Fig. 35 Superposición de dos campos que se hacen prácticamente 
 paralelos a grandes distancias 
 
 
La función coseno que aparece en la solución se debe al desfase relativo con que llegan las ondas 
al punto de medida, procedentes de uno y otro dipolo. 
 b) Es igual al caso anterior, pero con las contribuciones de los campos individuales inicialmente 
en contrafase. 
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76 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 c) El campo magnético puede hallarse en la forma general: a partir del campo eléctrico mediante 
la ley de Maxwell-Faraday. Sin embargo, sabiendo que se trata de un campo radiado a grandes 
distancias, existe una aproximación mucho más rápida. 
 d) Para dibujar el diagrama de radiación de un sistema radiante, los pasos son siempre los 
mismos: 
i) Calcular el vector de Poynting. 
ii) Buscar la dirección en que el vector de Poynting es máximo y calcular dicho 
valor máximo. 
iii) Normalizar el módulo del vector de Poynting a la unidad, dividiéndolo por aquel 
valor máximo, con lo que resultará una función de los ángulos esféricos que es 
precisamente el diagrama de radiación: t(θ,ϕ). 
iv) Para representarlo gráficamente, sea todo el diagrama en el espacio o bien una 
sección del mismo, se procede como es usual en representaciones esféricas, en 
las que los puntos del diagrama responden a la expresión r = t(θ,ϕ). 
v) Suele ser conveniente buscar en primer lugar los ceros del diagrama de 
radiación. De esta forma puede obtenerse una representación del diagrama 
bastante aproximada sin necesidad de calcular muchos puntos. 
Para la representación de las diferentes secciones del diagrama de radiación, deben fijarse los 
valores de los ángulos esféricos que definen cada plano. 
e) Debe buscarse el valor kd que maximiza la radiación a lo largo del eje Y, es decir, en el caso 
ϕ = π/2. Otra forma, más intuitiva, de resolver este apartado es buscar la longitud de onda en 
función de la separación entre los dipolos. La condición para que haya un máximo en el eje Y es 
que los dipolos estén separados una distancia igual a media longitud de onda (sabiendo que 
radian en contrafase). Piense por qué es así. 
 
 
64. a) El campo que proporciona el enunciado corresponde al producido a grandes distancias por un 
dipolo largo, de longitud λ/2. En este caso, la corriente que circula por la antena ya no puede 
suponerse espacialmente uniforme, porque se sabe que realmente se distribuye de forma senoidal 
a lo largo de la longitud del dipolo. En cualquier caso, todo ello no afecta al tratamiento 
matemático de los campos a grandes distancias, que seguirán siendo ondas localmente planas. 
 b) De nuevo puede utilizarse la aproximación de onda plana. 
 c) Siga las indicaciones dadas en el problema anterior. Debido a la simetría cilíndrica de la 
antena, todas las secciones verticales son equivalentes. 
 
 
65. En este problema se nos proporciona una expresión aproximada para el potencial vector 
magnético a grandes distancias que resulta de gran utilidad. El término exponencial añadido a la 
expresión habitual – )ˆexp( 0rrjk
�
⋅ – se encarga de modificar la fase del potencial en puntos 
lejanos debido al desplazamiento del dipolo respecto al origen. 
a) Obtenga los vectores de posición 0201 y rr
��
 para cadadipolo y obtenga el potencial vector que 
crea cada uno a grandes distancias. Para escribir adecuadamente el término de fase debido al 
desplazamiento del dipolo, debe expresar los vectores unitarios cartesianos que aparecen en 
0201 y rr
��
 en coordenadas esféricas, en función de los ángulos θ y ϕ. 
El principio de superposición se aplica también a los potenciales. 
b) Aproximación de onda localmente plana. 
c) Si hasta ahora no lo ha hecho, dibuje un esquema de la situación planteada. Trate de contestar 
a este apartado por simple inspección de la geometría del sistema. 
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Indicaciones y sugerencias 77 
Para resolverlo de forma sistemática obtenga el vector de Poynting y el diagrama de radiación. 
Después busque la condición que debe cumplirse entre las fases de las corrientes para cancelar el 
diagrama en el caso de ϕ = π/2. 
 
 
66. a) El problema es similar al anterior, aunque con un sistema radiante algo más complicado. 
Escriba correctamente los vectores de posición ir0
�
 para cada uno de los cuatro dipolos y 
sustitúyalos en la expresión del potencial vector para cada uno de ellos. Aplique superposición. 
 b) Se nos proporciona una expresión aproximada para el campo radiado a grandes distancias a 
partir del potencial vector. Es una expresión general que puede utilizarse en cualquier situación. 
 c), d) y e) Similares a los problemas anteriores. El apartado e) debe tratar de resolverlo por 
inspección de la situación y después confirmarlo mediante un cálculo sistemático. 
 
 
67. a) y b) Igual que los anteriores. 
 c) Se mencionan los posibles ceros de radiación del sistema, que, como se explicó en las 
indicaciones al problema 63, son útiles para dibujar correcta y eficientemente el diagrama de 
radiación. En este caso, las corrientes radian en fase pero su módulo es diferente, así que es más 
difícil adivinar donde estarán los ceros, si es que los hay. 
 d) Al añadir un dipolo más aparecerá otro término en el diagrama de radiación. No obstante, se 
trata de un dipolo en el origen, por lo que no viene afectado de ningún desfase de desplazamiento 
respecto al origen. Con la nueva expresión del diagrama de radiación establezca la condición de 
cancelación a lo largo del eje X (es decir, con ϕ = 0 ). 
 
 
68. a) Tenga en cuenta que, a diferencia de los otros problemas, en este caso los dipolos están 
orientados en distintas direcciones. Aplique el principio de superposición utilizando base 
cartesiana y coordenadas esféricas. 
b) Utilice la expresión dada en el problema 66 para el cálculo del campo radiado. 
c) Examinando los problemas anteriores se ve que el campo eléctrico siempre está orientado en 
la dirección de las corrientes. En este caso, tenemos que las corrientes de los dipolos están 
orientadas en distinta dirección; el resultado inmediato es que el campo tendrá dos componentes 
y, en consecuencia, la polarización no tiene por qué ser lineal. Aquí deben aplicarse los criterios 
para determinar la polarización vistos en el capitulo de ondas planas uniformes teniendo en 
cuenta que r̂ˆˆ =×ϕθ . 
d) Utilícese la aproximación de onda plana. 
e) Proceda como en los problemas anteriores. Tenga en cuenta que en este caso hay lóbulos del 
diagrama de radiación que son mucho menores que los principales. Calcule algún punto para 
saber cuáles son y dibuje el diagrama de manera que quede patente qué lóbulos son menores (no 
es necesario realizarlo a escala) 
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Soluciones a los problemas 79 
 
 
 
 
 
 
Soluciones a los problemas 
 
Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas 
 
1. a) 
02ε
q b) 
02ε
q 
 
3. ( ) 









 +−=
a
r
rar 17
6
22
0
0
ε
ρ
φ
�
 
 
4. r
r
R
rErrrE ext ˆ3
)(ˆ
3
)(
2
3
0
0
0
0
int ε
ρ
ε
ρ
==
��
 
 
5. Las líneas de campo eléctrico son siempre perpendiculares en la superficie de los conductores 
perfectos. Por otra parte, una línea de campo electrostático no puede nacer y morir en el 
mismo conductor, puesto que violaría su carácter de campo conservativo: esto es, la 
circulación del campo a través de esa trayectoria no sería nula. 
 
6. a) 








+++
−
−++
=Φ
222222
0 )2/(
1
)2/(
1
4
)(
szyxszyx
q
r
πε
�
 
 
b) 
2
0
cos
4
)(
r
sq
r
θ
πε
=Φ
�
 
 
 
 
 
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80 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
7. 
ρ(x)
 
Εx(x) 
 
Φ(x) 
 
A partir de la ecuación de Gauss en forma 
diferencial, se deduce que el campo eléctrico se 
obtiene de la integral de la distribución de carga. 
Será máximo (en la dirección X+) justo en la unión, 
y decrecerá hacia los extremos debido a un efecto de 
cancelación mutua de las cargas positivas y 
negativas. La función potencial debe ser, en general, 
positiva donde la carga es positiva y negativa 
cuando es negativa. El potencial se obtiene como la 
circulación del campo eléctrico. La constante de 
integración de la integral indefinida es la que sirve 
para establecer la referencia de potencial nulo que se 
elija. 
 
Si se quiere relacionar la función potencial obtenida con los diagramas de energía típicos de 
las uniones p-n, basta multiplicar la función potencial por la carga del electrón. Tanto los 
niveles energéticos de la banda de valencia como los de conducción tendrán la forma del 
potencial, pero, debido a la carga negativa del electrón, estarán invertidos. 
 
8. a) 2
4
0 1024,6 m
AJ ⋅= b) AI 312,0= c) s
mmv 24,6= 
d) 
C
N
mF
31024,6 −⋅= . 
Variará la distribución espacial de los portadores y, por tanto, la densidad de corriente, pero 
no hay motivo para suponer que varíe apreciablemente la corriente total. 
 
 
9. C=10.78 nF. Observe que es una capacidad discreta para el tamaño del condensador. 
 
 
10. a) 20 5,0 aJI π= b) J0 = 70.7· 106 A/m2 c) B (ρ = 0.01) = 20 µT 
 
 
11. xJB ˆ00µ−=
�
 entre las láminas de corriente y nulo (aproximadamente) en el exterior. 
 
 
12. c) f = 33.3 Hz ; V0=65.6 mV 
 
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Soluciones a los problemas 81 
 
13. R = 3 Ω 
 
 
14. C = 85.6 pF 
 
 
 
Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas 
 
15. La densidad de carga neta desaparece rápidamente según la expresión: 
 
 σ
εττρρ =−= donde)exp()(),( 0
trtr
��
 
 
16. a) despcond JJ
7105 ⋅= 
c) 1)( −= σµD 
d) y
tD
z
tD
A
tD
z
tzE ˆ)
4
exp(
2
),(
2
−−=
πσ
�
 
 
17. a) tJttJt 00 )(;)( −==
−+ σσ 
b) t
J
E z
0
0
ε
= 
c) Hy = Jx =J0 (a-x) 
d) Energía eléctrica instantánea: 22
0
2
0
2
1
2
1
CVt
abd
JU e == ε
 
e) 
d
KJ 00
ε
= 
 
18. a) zzjz
a
JrJ ˆ)exp()exp()exp(1)( 0 βα
ρ
−−−= 



��
 
© L o s a u t o r e s , 2 0 0 1 ; © E d i c i o n s U P C , 2 0 0 1 .
82 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
b) )exp()exp()exp(1)( 0 zjz
a
J
j
r βα
ρ
ω
αβ
ρ −−−
−
= 



�
 
c) Porque hay carga neta en su interior, y existirá también un campo eléctrico, lo cual no 
puede ocurrir en conductores perfectos 
d) )cos()exp(20 ztzaJI βωαπ −−−= 
 
 
20. a) Sí hay campo, pero no por esa razón. 
b) Sí 
c) No, son conductores perfectos. 
d) Sí 
e) No, tienden a reforzarse entre las placas. 
f) Sí 
g) Sí 
h) No 
i) Sí 
 
21. b) rr lh
e µτµ ′= rr le
h ετε ′= σσ ′=
le
h
 
 c) BB
e
l
τ
=′ DD
h
l
τ
=′ 
 d) VelV ′= IhlI ′= 
 
 
22. a) tsena
R
B
I ωπ
ω 20= 
 b) tsenBE ωωρϕ 0
2
1= 
 
 
 
 
 
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Soluciones a los problemas 83 
 
Ondas planas 
 
23. a) mAyxzttr /)̂ˆ)(
3
2
102cos(
2
1
),( 8 +−⋅=
π
π
π
�
�
H 
b) mVyxrE
zj
e /)̂ˆ(
2
120
)( 3
2
π−
−=
�
�
 
c) 2/ˆ
60
mWzP
π
=
�
 
 
24. a) Polarización lineal 
b) f = 30 MHz 
c) 2
2
0
30 m
WEPm π
=d) )
3
2,02cos()̂ˆ(),( 0
π
ππ +−−= ztfEyxtr
�
�
E 
 
25. a) λ = 1111 m 
b) λ = 3.24 m 
c) λ = 0.68 m 
d) λ = 0.12 m 
 
26. a) lineal 
b) circular a derechas 
c) lineal 
d) elíptica derechas 
e) elíptica izquierdas 
 
 
27. a) circular a izquierdas 
b) elíptica a derechas 
c) circular a derechas 
d) lineal 
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84 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 
28. a) Los parámetros que definen la onda son: 
( ) 187,5ˆ2ˆ3ˆ325,0ˆ −=++= mkzyxk π 
( ) ( )zyxeyxe ˆ32ˆˆ3
4
1
ˆˆ3ˆ
2
1
ˆ 12 +−−=−= 
m
VEE OO 595 21 == 
2
π
ϕ −=∆ 
b) Sí, está unívocamente definida. 
c) Los ángulos posibles del eje del polarizador con 1̂e son 
�
45±=ψ . 
 
 
29. a) 151024 −−= mπα b) 5,0=A c) c1) circular a derechas c2) lineal 
 
30. Denominamos α al ángulo que forma el polarizador con el eje de las X. 
a) [ ] [ ] jkzout eysenxsenjjErE −+⋅+−−= ˆˆcos)1(cos)1()( 0 αααα
�
�
 
b) El primer polarizador puede estar en cualquier posición. El segundo polarizador debe 
estar girado 45º respecto el primero. 
 
 
31. a) ( ) jkzjin eyexrE −∆+= ˆ2ˆ)( 8,111 ϕπ�
�
 No hay información acerca de la fase de la onda 
inicial. 
b) 1)(5,5 −Ω= mσ 
c) Sí, es correcta. 
 
 
32. a) xeeeErE zjkjdnjkout o ˆ)( 00
4/
02
−−−= π
�
�
 
b) yeeeEjrE zjkjdnjkout E ˆ)( 00
4/
02
−−−= π
�
�
 
Ambas expresiones corresponden a una polarización lineal. Comparándolas, vemos que se 
produce un cambio en la orientación de la polarización: mientras que para ψ = 45º el campo 
oscila según el eje X, para ψ = 135º lo hace según el eje Y. 
 
 
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Soluciones a los problemas 85 
33. El polarizador elimina una de las componentes y pierde consecuentemente la mitad de la 
potencia de la onda (3 dB). La lámina, sin embargo, conserva toda la potencia de la onda. 
 
 
34. a) La dirección de polarización se mantiene lineal, pero girada un ángulo 2ψ respecto a la 
original. 
b) La polarización de la onda a la salida se mantiene circular, pero se invierte el sentido de 
giro. 
 
 
35. El primer elemento debe ser un polarizador, puesto que una lámina no absorbe potencia. El 
hecho de que la onda sea insensible al giro del polarizador y que la potencia a la salida sea la 
mitad de la incidente indica que el láser tiene polarización circular. Eventualmente podría 
ocurrir que el láser tuviera polarización arbitraria, variable en el tiempo, pero no considerare-
mos esa posibilidad. 
 Para determinar cómo es la lámina, se sitúa en primer lugar ante la salida del láser. Después 
se pone el polarizador. Si la lámina es de lambda cuartos, convertirá la polarización circular 
del láser en lineal, independientemente de cómo la orientemos. Entonces, al girar el 
polarizador, observaremos que la potencia recibida por el detector aumenta y disminuye 
consecuentemente. Si, por el contrario, la lámina es de lambda medios, entonces la 
polarización a su salida seguirá siendo circular y el giro del polarizador situado a continuación 
no tendrá efecto. 
 
36. a) )ˆˆ(̂;)ˆˆ(̂ 21
0
21
0
22
ejeeBejeeA
EE +=−= 
b) El campo de la onda con polarización elíptica es jkzj eeepeErE −∆ ′+′= )ˆˆ( 210)(
ϕ�
�
: 
)ˆˆ()ˆˆ(;)ˆˆ()ˆˆ( 2121
0
2121
0
22
eepeejeBeepeejeA jj
EE ′+′⋅+=′+′⋅−= ∆∆ ϕϕ 
 
 
37. Polarización lineal 
 
38. a) 
2
ˆ3ˆˆ xzk
−= 
 b) Elíptica 
 c) )(senˆ)cos(ˆ
44
21
2
15
2
10
),
ππ ωω −⋅−−−⋅−= rkterktetr
�
�
�
�
�
�
(E 
 d) f = 22,5 MHz 
 
 
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86 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
39. a) ϕ
ρ
ϕ
ρσ
ˆ
2
)(;̂
2
)(;̂)( 0int
2
00 JrH
RJ
rHz
J
rE ext ===
�
�
�
�
�
�
 
 
b) Como las componentes de campo eléctrico tangenciales a las paredes del hilo conductor, a un 
lado y otro de la superficie, deben ser iguales, entonces debe haber campo eléctrico en el 
exterior. Quien lo produce no es ninguna acumulación de carga en el hilo, sino la misma batería 
que alimenta la corriente, y que es quien produce también el campo interior. 
 
 c) La densidad de corriente será de la forma zJrJ z ˆ)()( ρ=
�
�
 
 
d) No existirá densidad neta de carga, porque efectivamente la divergencia de la densidad de 
corriente es nula y, por tanto, sigue siendo una corriente estacionaria. Este resultado es debido a 
la aproximación acerca de la forma de la corriente, donde no se consideró término de variación 
espacial de la fase. 
 
 e) zErE z ˆ)()( ρ=
�
�
 
 
f) No es posible que ninguna componente del campo magnético dependa de z o de ϕ. A la vez, 
sólo puede haber componente acimutal por la simetría radial de la densidad de corriente. 
 
g) 
ω
σεεµω
ρρρ
jE
d
dE
d
Ed
z
zz −==++ ~0~1 donde0
2
2
2
 
 Es una variante compleja de la ecuación de Bessel. 
 
 
 
Incidencia de ondas planas 
 
40. a) xe
E
J isenkzi
ic
SS ˆcos;0 2
θθ
η
σ −==
�
 
 b) ze
E
JesenE ii jkzsenicS
jkysen
iicS ˆ; 22 0
θθ
η
θεσ −− ==
�
 
c) Tiene la misma dirección que la componente tangencial de campo eléctrico de la onda. 
 
 
41. a) jkxcr ezjyjErE
−−−= )̂ˆ()(
�
�
 
b) Polarización circular a derechas (la onda incidente es a izquierdas). 
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Soluciones a los problemas 87 
b) No, ya que el coeficiente de reflexión es constante (ρ = -1) y, por lo tanto, no hay ningún 
tipo de dependencia de la onda reflejada respecto del ángulo de incidencia. 
 
 
42. n2 = 3 
 
43. Fracción de potencia transmitida: 0.85 y 0.72 respectivamente 
 
44. )45(con79.4
��
=±= αθ i 
 
45. a) ))(2exp(ˆ
31
31
)33()̂ˆ(
23
32
6)( 0 yzjxjzyErrE −−
+
−
−++
+
−
= 





π
�
�
 
b) ))3(2exp(ˆ
31
)33(2
)̂3ˆ(
23
12
)( 0 zyjx
j
zyErtE +−+
−
+−
+
= 





π
�
�
 
 
46. a) 
��
43.63;56.26 == ti θθ 
b) )̂ˆ2(
5
2
zyki +=
π�
 ; )̂ˆ2(
5
2
zykr +−=
π�
 ; )̂2ˆ(
5
zykt +=
π�
 
c) Elíptica izquierdas 
d) 
�
56.26=Biθ 
e) 0
5
3
||; ==⊥ ρρ ; 2
5
8
||; ==⊥ ττ 
f) 
�
30=icθ 
g) )3(ˆ
2
55
)̂3ˆ(5)( zyjo exjyzEriE
+−






+−= π
�
�
 
 
47. a) [ ] )cos(30)exp(ˆ)ˆcosˆ()( ii zysenjkiioi ejxsenzyErE θθϕθθ +−∆−+−=
�
�
 
b) Casi circular (
�
86,89=∆ϕ ) 
c) No. No hay posibilidad de alterar las fases. 
 d) ( ) xezkeErE yjkj ˆ)exp( 20180
38
0
02 −
−
⊥
−=
π
�
�
 
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88 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 
48. a) No. A partir del dibujo se ve que 1
sen
sen
1
2
2
1 <=
θ
θ
n
n
 
b) Sí. Los coeficientes de transmisión en este caso son magnitudes reales, con lo cual no puede 
aparecer un desfase entre componentes. 
c) No. Los coeficientes de reflexión para las componentes paralelas y perpendicular en 
general son distintas, con lo cual, la relación entre componentes p de la onda reflejada no 
será la unidad, y por lo tanto no puede ser circular. 
d) Depende. Si la onda incidente tiene polarización lineal paralela al plano de incidencia, la 
onda reflejada será nula para el ángulo de Brewster. Para cualquier otra orientación, siempre 
tendremos componente perpendicular reflejada. 
e) No. No pueden obtenerse ángulos de transmisión mayores de )/arcsen( 21 nnt <θ 
f) Si la onda tiene componentes perpendicular y paralela, en general, NO se cumple. Puede 
suceder que la potencia decrezca hasta alcanzar el ángulo de Brewster. A partir de este 
punto sí que aumenta la potencia reflejada con el ángulo. Sin embargo, para una onda con 
sólo la componente perpendicular sí que sería cierto. 
g) 0=iθ 
h) No. El ángulo de Brewster cumple tiB θπθ −= 2/ , y del dibujo vemos que el ángulo de 
incidencia siempre es mayor que el de transmisión. 
i) Sí, ya que n2 > n1 
 
 
49. a) )exp()exp(ˆ)( 20200 ynjkznkxErE xt βγτ −−= ⊥
�
�
 
 )exp()exp()̂ˆ()( 20200ynjkznkzyjErH x βγβγη
τ
−−+−= ⊥
�
�
 
 con i
n
n θβ sin
2
1= , 12 −= βγ y 
γθ
θτ
21
1
cos
cos2
jnn
n
i
i
−
=⊥
 
 
 b) yzkErP x ˆ)exp()( 0
2
0 2
2
γτ
η
β −= ⊥
�
�
 
 
 c) 
�
75.55=iθ 
 
 d) p = 1, 4/πφ −≈∆ , Polarización elíptica a derechas 
 
 
50. a) Incidencia supercrítica e incidencia para el ángulo de Brewster. 
b) it nn θθ coscos 21 = 
c) n = 3.14 
 
 
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Soluciones a los problemas 89 
51. a) No, puesto que σ es finita. 
 b) para f=10 GHz Ω⋅= 43974,0
π
η
j
cond e 
 para f=90 MHz Ω⋅= 40377,0
π
η
j
cond e 
 c) para f=10 GHz 431011,2
π
τ
j
e⋅= −⋅ 
 para f=90 MH 44102
π
τ
j
e⋅= −⋅ 
 
 d) para f=10 GHz mp µδ 12,7= 
 para f=90 MH mp µδ 75= 
 e) xeErE
z
j
ˆ)(
1
0
δτ
+−
=
�
�
 xeErJ
z
j
ˆ)(
1
0
δστ
+−
=
�
�
 
 
 f) para f=10 GHz I = 53,1 mA 
 
 para f=90 MHz I = 53 mA 
 
 g) para f=10 GHz Pdis = 39 nW 
 
 para f=90 MHz Pdis = 3.75 nW
 
 
 
52. a) ,...3,2,1
2 2
0 == m
n
md
λ
 b) 
2
0
4
)12(
n
md
λ
−= 
 
53. ;312 nnn = 
2
0
4
)12(
n
md
λ
−= 
 
 
 
 
 
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90 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
Guías de onda 
 
54. a) 0)()( 22 =+∇ rEkrE
�
�
�
�
 
b) zyxiEk
zyx
i ,,0
2
2
2
2
2
2
2
==





+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
 
c) Se satisface la ecuación de onda siempre que 22 xkk −=β 
 e) A y B deben ser nulas para que se cumpla 0=⋅∇ E
�
 
 
55. a) 17.35 −= mπβ 
 b) cmg 57.5=λ 
 c) No 
 d) GHz
a
c
ff c 58.62
≈=> 
 
56. a) a > b 
b) a < 2b 
c) a > 1.86 b 
d) 
86.12
a
b
a
<< 
e) 1,95 cm < a < 2,025 cm 
 
 
57. a) 
222
2












 −−=
b
n
a
m
c
f πππ
β 
 b) 200110 y, CCC fff 
 c) 
50
3
88
3
44
3
46
3
<<<< ba 
 
 
58. a) 3demúltiplosnymcony
b
n
k
a
m
k yx
ππ == 
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Soluciones a los problemas 91 
 b) TE30 
 c) b < 5 cm 
 
 
59. a) 66,13,3875,1 maxmaxmin === baa 
 b) 5,132 maxmaxmin =′=′=′ baa 
 c) WE
ab
Pm
2
0
04 µ
β
ω
= 
 d) MWMAXmP 34,4= 
e) Lo más práctico sería rellenar la guía con un dieléctrico que tenga un campo de ruptura más 
alto que el aire. De no encontrar ningún dieléctrico adecuado deberíamos probar con otra 
geometría de guía de ondas. 
 
 
60. a) E1 = Ex ; E2 = Ey ; E3 = Ez 
 b) TE12 
jbz
yxxx eykxkEE
−= sencos0 
 jbzyxyy eykxkEE
−= cossen0 con 
b
k
a
k yx
ππ 2
y == 
 jbzyxzz eykxkEE
−= sensen0 
 c) z
yx
x
x E
kk
k
jE 0220 +
−= β ; z
yx
y
y E
kk
k
jE 0220 +
−= β 
 d) f > 25 GHz 
 
 
 
 
61. b) 
 









−<−
<<−−
>−
=
−+
−
−−−
)()cos(
)()cos(
)()cos(
)(
)(
0
0
)(
0
dxeedkE
dxdexkE
dxeedkE
rH
zjdx
x
zj
x
zjdx
x
x
βγ
β
βγ
ωµ
β
ωµ
β
ωµ
β
�
 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
92 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
 
 
 









−<
<<−−
>−
=
−+
−
−−−
)()cos(
)()(sen
)()cos(
)(
)(
0
0
)(
0
dxeedkE
j
dxdexkE
jk
dxeedkE
j
rH
zjdx
x
zj
x
x
zjdx
x
z
βγ
β
βγ
ωµ
γ
ωµ
ωµ
γ
�
 
 
 Es un modo tipo TE. 
 
 c) 220
2
1 γβ += kn ; 
22
0
2
2 xkkn +=β ; 
x
x k
dtgk
γ= 
 
 
62. a) 20
2
0 αβ −= k 
2
1
2
0
2
1 αβ −= kn 
 
 
 b) 
[ ]
[ ]






<<−−++
−
<<−−++
−
=
axazjzxDxCjxxDxC
axzjzxBxAjxxBxA
rH
2)exp(
ˆ)cossin(ˆ)sincos(
1
20)exp(
ˆ)cossin(ˆ)sincos(
1
)(
00000
11111
βαααααβ
µω
βαααααβ
µω�� 
 
 c) A = 0 
 
 
2
sin
2
cos
2
sin
sincos
001
00
a
D
a
C
a
B
aDaC
ααα
αα
+=
−=
 
2
cos
2
sin
2
cos 001
0
1 aD
a
C
a
B ααα
α
α
−=− 
 d) 
2
tan
2
tan 01
1
0 aa αα
α
α
−= 
 e) 
a
3181.1
0 =α 
 f) 352,11 =rε 
 
 
© L o s a u t o r e s , 2 0 0 1 ; © E d i c i o n s U P C , 2 0 0 1 .
Soluciones a los problemas 93 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Radiación de antenas elementales 
 
63. b) θϕθθ ˆ)sensen(sensen2)( jkrrad ekdr
CrE −=
�
�
 
c) ϕϕθ
η
θ ˆ)sensen(sensen)( 2 jkrrad ekdr
CrH −=
�
�
 
 rkd
r
CrPrad ˆ)sensen(sen
sen
)( 2
2
2
22 ϕθ
η
θ=
�
�
 
d) 
X Y
Y
Z
 
 
 
 En el plano X-Z no hay radiación. 
 
e) f = 11.25 GHz 
 
64. a) θ
θ
θ
π
η π ˆ
sen
)coscos(
2
)( 200 jkrrad er
I
jrH −=
�
�
 
b) r
r
I
rP ˆ
sen
)cos(cos
8
)( 2
2
2
22
2
00
θ
θ
π
η π
=
�
�
 
 
Z
0.397a a/2 a 
0.907 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
94 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos 
c) 
 
 
 
 
65. a) [ ] θθ
π
µω θθ ˆsen
4
)( cos2
cos
1
0 jkzjkdjkd
rad eeIeIr
l
jrE −−+=
�
�
 
b) [ ] ϕθ
ηπ
µω θθ ˆsen
4
)( cos2
cos
1
0
0 jkzjkdjkd
rad eeIeIr
l
jrH −−+=
�
�
 
c) 112 IeII
j −== π 
66. a) [ ] [ ]θϕθ
π
µ coscoscossencosˆ
4
4 00 kdkdz
r
ehI
A
jkr
total
−
=
�
 
c) r
r
hI
rPm ˆcos2
coscossen
2
cos
sen
4
8)( 222
22
0
0
0











= θπϕθπθ
πη
ωµ
�
�
. El máximo de 
radiación está en la dirección del eje Y. 
d) plano XY: dos lóbulos en +Y y –Y; plano XZ, cuatro pequeños lóbulos en forma de cruz 
a 45º de los ejes; plano YZ: dos lóbulos en +Y y –Y. 
e) Deberían invertirse las corrientes de los dos dipolos de una misma vertical respecto a las 
corrientes de los otros dos. 
 
67. c) rkd
r
hI
rPm ˆ)cossencos81(
sen
42
)( 2
2
22
10
0
2
ϕθθ
π
µ
η
ω +



=
�
�
 
 )cossencos81(
9
sen
),( 2
2
ϕθθϕθ kdt += 
No aparecen ceros de radiación. Físicamente, se debe a que los dipolos radian con diferente 
potencia y sus campos no se cancelan en ninguna dirección. 
 
 d) El dipolo del origen debe tener una corriente 13 3II = 
 
68. a) 2/1
0
0
2/
1
0
0
88
ψψ
π
µ
π
µ jjkr
z
j
jkr
y er
e
I
h
Ae
r
e
I
h
jA == 
 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
Soluciones a los problemas 95 
b) 
[
]θθψθπ
ϕϕθϕθψθπ
π
ωµ ψ
ˆcos)cos(cos
)̂cosˆsin)(coscos(sin
8
)(
2
1
2
12/
1
0
−+
++−=
j
e
r
e
IrE j
jkr
�
�
 
 
c) Eje X: el campo es de la forma 









−= ϕψθ ˆ
2
tanˆ)()( jrCrE
��
�
 
• 0=ψ lineal dirección ẑ 
• 2/πψ = circular a derechas 
• πψ = lineal dirección ŷ 
• 2/πψ −= circular izquierdas 
• El resto de casos polarización elíptica. A derechas para πψ <<0 y a izquierdas 
para πψπ 2<< . 
 
 
d) 
[
]r
r
I
rP
ˆcos))cos((cos
)cossin))(coscos((sin
16
)(
2
2
12
222
2
12
2
1
2
2
0
2
θψθπ
ϕϕθψθπ
ηπ
µω
−+
++−=
�
�
 
 
 
e) 
 
X
Y Z Z
X Y
 
 
 
 
 
 
 
 
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.