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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS ESTADO DE MÉXICO.
BIBLIOTECA
CONTROL DISCRETO DE SISTEMAS LINEALES DE
2-ENTRADAS 2-SALIDAS EMPLEANDO
DISEÑO DE CANAL INDIVIDUAL.
TESIS QUE PARA OPTAR EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS EN SISTEMAS DE MANUFACTURA
PRESENTA
MOISÉS MANZANO HERRERA
Asesor: Dr. JESÚS U. LICEAGA CASTRO
Comité de tesis: Dr. ALEJANDRO VEGA SALINAS
Dr. MARCO IV ÁN RAMÍREZ SOSA
Jurado: Dr. ALEJANDRO VEGA SALINAS, Presidente
Dr. MARCO IVÁN RAMÍREZ SOSA, Secretario
Dr. JESÚS U. LICEAGA CASTRO, Vocal
Atiz.apán de Zaragoz.a, Edo. Méx., Diciembre del 2000.
2
RESUMEN. 12 f[B. 2oot
Las bases para la aplicación del Diseño de Canal Individual (DCI) en sistemas lineales de
2-entradas 2-salidas, se presentan en esta investigación. Se ha demostrado que por medio del
DCI es posible resolver diversos problemas de control multivariable de una manera clara,
sencilla y adecuada al contexto ingenieril, empleando técnicas clásicas de análisis frecuencial
basadas en las gráficas de Nyquist y Bode. Debido a las crecientes ventajas que el control
digital presenta sobre el control analógico, y a que el DCI ha demostrado ser una herramienta
útil para el ingeniero de diseño de sistemas de control, resulta importante el llevar el DCI al
campo del control digital.
Se emplea como caso de estudio el disefto del controlador de profundidad para un submarino,
caso analizado desde el punto de vista analógico del DCI por E. Liceaga C. y J. Liceaga C. [6].
Con el que se logra establecer resultados importantes para el DCI digital. Concluyendo que es
posible emplear los resultados para el análisis y métodos de diseño del DCI continuo, como
herramientas para el DCI en su versión discreta.
3
ÍNDICE.
l.
2.
3.
4.
INTRODUCCIÓN.
1. 1 CONTROL DIGITAL.
1.2 EL PROBLEMA EN EL CONTROL MULTIVARIABLE.
1 .3 OBJETIVO.
DISEÑO DE CANAL INDIVIDUAL.
7
7
8
8
9
2.1 PRELIMINARES. 9
2.2 EXISTENCIA DE CONTROLADORES. 15
2.3 CONTROLADORES NO DIAGONALES. 16
2.3.1 ASIGNACIÓN ENTRADAS-SALIDAS. 16
2.3.2 PRECOMPENSACIÓN NO DIAGONAL 18
2.3.3 RELACIÓN DE INDETERMINACIONES DE SISTEMAS
PRECOMPENSADOSYSJSTEMASCOMPENSADOi 20
1?, ' { 3 e¡ O
EJEMPLO DE ESTUDIO, CASO DISCRETO. 23
3.1 ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN DE ESTRUCTURA MULTIVARIABLE 23
3.2 DISEÑO DEL CONTROLADOR 25
3.3 DISEÑO DEL PREFILTRO 34
CONTROL DIGITAL.
4.1 GRÁFICA DE GH(Z).
4.2 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST.
4.3 DIAGRAMA DE BODE.
4.4 FUNCIÓN DE ESTRUCTURA MULTIVARIABLE.
38
38
40
44
45
5. CASO DE ESTUDIO; CONTROL DE PROFUNDIDAD DE UN SUBMARINO. 47
5.1 CASO DE ESTUDIO~ CONTROL DE PROFUNDIDAD DE UN
SUBMARINO. 47
5.2 ESPECIFICACIONES DE DISEÑO. 48
5.3 DISCRETIZACIÓN DEL MODELO 48
5.4 ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN DE ESTRUCTURA MULTIVARIABLE 49
5.5 DISEÑO DE CONTROL. 52
6. CONCLUSIONES. 59
4
LISTA DE FIGURAS.
Fig. 2.1 Descripción matricial del problema de control multivariable. 12
Fig. 2.2 Control multivariable 2-entradas 2-salidas con retroalimentación diagonal. 12
Fig. 2.3 Canales individuales. 12
Fig. 2.4 Control retroalimentado precompensado y control retroalimentado
postcompensado. 13
Fig. 3.1 Descripción de la planta. 12
Fig. 3.2 Gráfica de Nyquist de la función gama. 14
Fig. 3.3 Gráfica de Bode de la función gama. 15
Fig. 3.4 Gráfica de Nyquist para yh2. 16
Fig. 3.5 Gráfica de Nyquist para yh1. 17
Fig. 3.6 Gráfica de Bode de la función yh2. 18
Fig. 3.7 Gráfica de Bode de la función yh,. 19
Fig. 3.8 Gráfica de Bode para gi2 k2. 25
Fig. 3.9 Márgenes de fase y ganancia para el Canal C 1. 25
Fig. 3.10 Márgenes de fase y ganancia para el Canal C2. 58
Fig. 3.11 Gráfica de Bode de (g1v'gi2)h2. 55
Fig. 3.12 Gráfica de Bode de (gi1/g11)h1. 58
Fig. 3.13 Respuesta Canal C, . 67
Fig. 3.14 Respuesta de referencia cruzada Y2/R1 . 78
Fig. 3.15 Respuesta Canal C2. 12
Fig. 3.16 Respuesta de referencia cruzada Y 1/R2. 78
Fig. 3.17 Respuesta del Canal C1 al emplear el prefiltro. 58
Fig. 3.18 Respuesta de referencia cruzada Y 2/ R1 al emplear el prefiltro. 58
Fig. 3.19 Respuesta del Canal C2 al emplear el prefiltro. 58
Fig. 3.20 Respuesta de referencia cruzada Y1/ R2 al emplear el prefiltro. 58
Fig. 3.21 Respuesta del Canal C, al emplear el precompensador. 58
Fig. 3.22 Respuesta del Canal C2 al emplear el precompensador. 98
Fig. 4.1 Interpretación gráfica de la fase y magnitud de GH( e1wr ). 89
Fig. 4.2 Gráfica de GH(z). 45
Fig. 4.3 Trayectorias de Nyquist en el plano z. 58
Fig. 4.4 Gráfica de Bode de la función GH(z). 58
Fig. 4.5 Descripción del problema multivariable para el caso digital. 77
Fig. 4.6 Problema de control multivariable digital. 89
Fig. 5.1 Gráfica de Nyquist de la función y(z). 89
Fig. 5.2 Diagrama de Bode de y(z). 89
Fig. 5.3 Gráficas de Nyquist para yh, y yh2. 25
Fig. 5.4 Gráfica de Bode para yh1. 25
Fig. 5.5 Gráfica de Bode para yh2. 58
Fig. 5.6 Gráfica de Bode de k2 822- 89
Fig. 5.7 Gráfica de Bode para k1 g11. 85
Fig. 5.8
Fig. 5.9
Fig.5.10
Fig. 5.11.
Fig. 5.12
Fig. 5.13
Fig. 5.14
Gráfica de Bode para d1(z).
Gráfica de Bode para d2(z).
Respuesta del canal C 1.
Respuesta del Canal C2.
Respuesta de referencia cruzada, R~ 1•
Gráfica de Bode del Canal C,.
Gráfica de Bode del Canal C2.
5
89
78
75
78
79
85
78
LISTA DE TABLAS.
Tabla 2. 1
Tabla 2.2
Polos y ceros de canal individual en lazo abierto.
Conjunto de márgenes de fase y ganancia para el anal C 1.
6
78
78
7
l. INTRODUCCIÓN.
1.1 CONTROL DIGITAL.
Tradicionalmente el control analógico se ha empleado en variados procesos de manera exitosa,
pero en la actualidad los sistemas de control han extendido su aplicación a medida de que los
avances tecnológicos han dado lugar a modernos dispositivos, que por su costo y tamaño han
permitido emplear controladores digitales en una amplia gama de aplicaciones. Actualmente el
control digital es de uso común en controladores de robots, sistemas de navegación de
aeronaves y buques, pilotos automáticos de aeronaves, sistemas de control de procesos
químicos, sistemas de automatización para variadas aplicaciones y máquinas de uso doméstico.
Los dispositivos empleados para el control digital, procesadores digitales de señales y
microprocesadores, ven incrementadas sus principales ventajas de aplicación a razón de que la
escala de integración aumenta. La tecnología de fabricación de circuitos integrados ha pasado
desde la integración de unos cuantos transistores en Pequeña Escala de Integración, hasta
integrar a más de un millón de transistores en Escala de Integración Muy Grande (VLSI, por
sus siglas en inglés). Esto ha permitido obtener circuitos integrados más confiables, rápidos y
baratos.
Con el empleo del control digital, se obtienen ventajas importantes sobre el control analógico.
Los sistemas de control digital en comparación con los analógicos, presentan menor
susceptibilidad al envejecimiento y a los cambios ambientales, son más ligeros, más pequeños,
proporcionan mayor confiabilidad, permiten realizar cambios en su programación lo que
representa amplia flexibilidad en el diseño y tienen costo bajo con tendencia a disminuir a
medida que se presentan avances en la tecnología de integración.
8
Muchos de los sistemas en los que se involucra el control digital, presentan comúnmente el
problema de controlar múltiples variables interdependientes. Este es el caso en sistemas de
control de vuelo en aeronaves [5, 7],submarinos [6], sistemas de combustión [8], entre otros.
1.2 EL PROBLEMA EN EL CONTROL MUL TIV ARIA BLE
El problema de control multivariable retroalimentado, es un caso interactivo con relación a que
el diseñador interactúa con las características variables del modelo de la planta, el desempeño
de la plata especificado por el cliente y el mismo proceso del diseño de control multivariable
reatroalimentado.
La técnica del Diseño del Canal Individual (DCI), emplea una metodología tal, que mediante
una etapa de análisis(previa al diseño) se pueden determinar, y posiblemente eliminar, las
condiciones que impiden o limitan el diseño de un sistema de control que cumpla con las
características de robustez y desempefto requeridas para un proceso específico. Además trata de
resolver el problema del control multivariable de una manera transparente, flexible, confiable y
adecuada al contexto ingenieril
El DCI [l, 2, 3, 4] emplea técnicas clásicas para el análisis en frecuencia de sistemas de control
(técnicas tales como Bode y Nyquist), como herramientas principales para formalizar las
condiciones de existencia de controladores, las condiciones para diseño y la generalización de
éstas a sistemas ro-entradas m-sal idas.
1.3 OBJETIVO.
En la actualidad resulta poco práctico implementar controladores mediante dispositivos
analógicos por su largo tiempo de elaboración y alto costo de mantenimiento, si se compara con
aquellos implementados mediante sistemas digitales programables. En la actualidad el DCI se
limita a sistemas de control analógicos por lo que es importante extender la aplicación de esta
técnica de diseño, que ha mostrado ser útil en la solución de variados problemas de control
multivariable lineal [5, 6, 7, 8], al campo del control digital.
La presente investigación, estudia la aplicación del Diseño de Canal Individual en sistemas de
control discretos de 2-entradas 2-salidas, sentando las bases para el análisis posterior de
sistemas m-entradas m-salidas. Con este fin se toma como caso de estudio el control de
profundidad de un submarino, previamente analizado en la versión analógica del DCI [6], para
ser abordado desde un punto de vista discreto del DCI.
9
2. DISEÑO DE CANAL INDIVIDUAL.
Con el objetivo de sentar las bases para el análisis de la versión discreta del DCI, se presenta
en este capítulo un extracto del DCI analógico.
2.1 PRELIMINARES
Con la premisa de que el diseño de control retroalimentado es un problema interactivo en
relación a la interacción de las características de la planta, las especificaciones del cliente y el
proceso de diseño por sí mismo [1]. El problema de diseño en m-entradas m-salidas (Fig. 2.1)
es más claramente establecido en términos de canales; esto es, cada salida de la planta se
relaciona con una referencia de entrada. Cada canal tiene sus propios especificaciones de
desempeño una vez que los requerimientos del cliente son establecidos en términos de
respuesta dinámica de una salida a su entrada asociada. El DCI pretende resolver el problema
de diseño multivariable directamente de una forma transparente y sencilla, pero sobre todo
adecuada al contexto ingenieril.
Matriz de Matriz de
Vector de Controlador la planta Vector
referencia Diagonal de salida
r K(s) G(s) y
Fig. 2. 1 Descripción matricial del problema de control multivariable.
10
Cada canal individual contiene un lazo retroalimentado con un compensador, el cual debe ser
diseñado para satisfacer las especificaciones del canal. En este caso se considerará el problema
de diseño de sistemas de 2-entradas 2-salidas con un controlador diagonal K(s), como el que se
muestra en la Figura 2.2. Este problema puede ser descompuesto en dos sistemas equivalentes
de una entrada y una salida como se muestra en la Fig. 2.3, si se considera que la interacción de
un canal sobre el otro es una seftal de perturbación.
Entrada
Fig. 2.2
Referencia
+
r1
y(s) = K12K21
K11g22
CONTROLADOR
821
CONTROLADOR
PLANTA
812
........... ...................... ..1
Salida
YI
Salida
Control multivariable 2-entradas 2-salidas con retroalimentación diagonal.
. '
Controlador
Fig. 2.3 (a)
+
+
Salida
y¡
Referencia
y(s) = K12K21
g11K22
+
................................ ························································-·······
i
k2 ~- 822(l-yh1)
:
i
...... Controlador ...................................................................................... ....!
Fig. 2.3 (b)
r1
Salida
Y2
11
Fig. 2.3(a) Canal individual C1con señal de perturbación de referencia cruzada y unidad
negativa de retroalimentación; (b) Canal individual C2 con señal de perturbación
de referencia cruzada y unidad negativa de retroalimentación.
De la Figura 2.3, las funciones de transferencia de los canales individuales se definen como:
y
Donde la función y (s), función de estructura multivariable, está definida por:
y(s) = g12K21
g •• g22
Las funciones h1 y h2 se definen de la siguiente manera:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
12
La interacción de acoplamiento entre los canales, puede ser evaluada por funciones de
transferencia. La influencia que el canal 2 ejerce sobre el Canal I es:
d
1
(s) = g12 h
2
r2(s) (2.6)
g22
De la misma forma, la influencia del canal 1 sobre el canal 2 es:
(2.7)
De las ecuaciones (2.1) y (2.2) se puede ver que la magnitud de r (s), puede ser interpretada
como una medida de acoplamiento entre los canales. Un sistema cuya función de estructura
multivariable que presenta una magnitud mucho menor a uno para todas las frecuencias, tiene
un bajo grado de acoplamiento.
El hecho de que la función r (s) sea conocida como la función de estructura multivariable,
radica en que por medio de esta función se puede determinar la estructura dinámica del sistema.
Ciertamente, los ceros de transmisión de la matriz G(s) de la representación matricial, son los
ceros de ( 1-y ( s) ). Si el sistema no presenta cancelaciones polos y ceros, los ceros de
transmisión del sistema son los ceros de (1-y (s)). De aquí que la estructura de polos y ceros de
los canales se describan en términos de r (s) como se presenta en la Tabla 2.1.
Tabla 2.1 Polos y ceros de canal individual en lazo abierto.
Ceros Polos
Canal 1 Ceros de Polos de
(1-y (s)h2(s)) 811, g12, gi1,h2
Cana12 Ceros de Polos de
(1-y (s)h1(s)) g22, g,2, gi,,h,
La respuesta en lazo cerrado del Canal l de la Figura 2.3 (a) es descrita por:
y,(s) =T,(s) r1(s) + S1(s) r2(s) (2.8)
donde:
(2.9)
y
13
(2.10)
Si k1 es un controlador estabilizador para el Canal C1 y las señales de referencia r1(s) y r2(s) son
estables, entonces las contribuciones de ambas señales a y1(s), T1 y S1 r2 respectivamente, son
estables. De aquí que, d1(s) en la Figura 2.3 (a) pueda ser tratada como una perturbación normal
actuando en el Canal 1.
De la misma manera, la respuesta del lazo cerrado del Canal C2 de la Figura 2.3 (b ), puede ser
descrito como:
y2(s) =T2(s) r2(s) + S2(s) r1(s) (2. 11)
donde:
1' ( ') _ k2K220 -;h,)
2 s -
1 + k2g22(1-~)
(2.12)
y
S2 (s) =
g21h1
(2.13)
gil (1 + k2g22 (1-yh, ))
El conjunto de polos de lazo cerrado del canal C1 son los ceros de ( l-h1 r 1) y el conjunto de
polos del lazo cerrado para el canal C2 son los ceros de (l-h2r2), donde r1=rh2 y ri= rh,.
Cuando el ancho de banda del Canal C1 y la estructura es significativamente menor que el
ancho de banda del canal C2 y la estructura de r h2 es igual que la estructura de r, los ceros en
el semiplano derecho de la función de lazo abierto para el Canal C2 son esencialmente los polos
en el plano derecho de la función de transferencia en lazo cerrado del Canal C 1.
El desempeño dinámico posible del lazo cerrado de los canales individuales es afectado de
manera adversa por la presencia de ceros en el plano derecho del canal y se relaciona con el
comportamiento de las funciones de estructura multivariable r y y¡(s), i = 1,2. De la Tabla 2.1,
el número de ceros en el semiplano derecho del Canal C¡ es el número de ceros en el semiplano
derecho de (l-y¡) y se determinan como a continuación se presenta.
Si la gráfica de Nyquist de la función de estructura multivariable y¡(s), rodea al punto (1,0) N
veces más en dirección horaria que en sentido antihorario, entonces, el número de ceros en el
semiplano derecho de (l-y¡), es detenninado por:
N=Z-P (2.14)
donde Pes el número de polos en el semiplano derecho de y¡(s).
14
Cualquier restricciónen desempeño debido al comportamiento de fase no mínima del Canal C¡
puede ser determinada de la traza de Nyquist de y¡(s). En suma, cualquier restricción potencial
en desempeño debido a los ceros de transmisión en el semiplano derecho puede ser determinada
de la gráfica de Nyquist de y(s). Cuando se requieren controladores de alto desempeño, las
funciones de transferencia del subsistema h¡ son cercanas a uno, sobre el rango de frecuencias
que incluye todas las dinámicas significativas, y ambas r1(s) y r2(s) son esencialmente y(s).
De esta forma la función y(s) es entonces, un buen indicador del desempeño posible.
Para un sistema de 2-entradas 2-salidas, es necesario para robustez de la estabilidad del sistema
en lazo cerrado que la gráfica de Nyquist de las funciones de estructura multivariable yhj(s) no
se encuentre cerca del punto (1,0) en frecuencias cercanas o menores al cruce de frecuencia del
canal en lazo abierto.
Si el sistema en lazo cerrado es estable y el número de polos en el semiplano derecho de y(s) es
fijo. Entonces la incertidumbre en la planta puede introducir inestabilidad del sistema en lazo
cerrado por cambiar el número de rodeos al punto (1, O) en la gráfica de Nyquist de yh1h2(s) o
por cambiar el número de polos en el semiplano derecho de h1(s) o h2(s). Cuando la función de
estructura multivariable yh1h2(s) se encuentra alejada del punto ( 1, O), la inestabilidad en lazo
cerrado sólo puede ser introducida por la incertidumbre en el número de polos en el semiplano
derecho de las funciones de transferencia del subsistema h1(s) y h2(s). Los márgenes de fase y
ganancia en las transmitancias del sistema, k1g11 (i=l , 2), son medidas de robustez contra esta
eventualidad.
Como medidas de robustez se establece un conjunto de márgenes de fase y ganancia como se
muestra para el Canal C1 en la Tabla 2.2.
Tabla 2 2 Conjunto de margenes de fase y ganancia para el Canal C1.
Como medida de: Se verifica:
Sensibilidad estructural Márgenes de fase de yh2 cuando lrh2I = l ;
márgenes de yh2 cuando arg(yh2) = 0°
Sensibilidad de fase
Robustez en la estructura de h2
Robustez en el Canal C1
Márgenes de fase y ganancia de y h2 cuando
lk1g11(1 - rh2)I = t;
márgenes de fase y ganancia de r h2 cuando
arg(k1 g11(1-rh2)) = -180º
Margen de fase de k2 g22 cuando lk2gi2I = 1;
márgenes de ganancia de k2g22(s) cuando
arg(k2g22) = -180º
Margen de fase de k1g11(l - yh2) cuando
lk1g11(1 - rh2)I = 1;
margen de ganancia de k1g11(l - yh2)
cuando arg(k1g11(l - yh2)) = -180°
15
2.2 EXISTECIA DE CONTROLADORES.
Considerando el problema con de. control multivariable de 2-entradas 2-salidas con
retroalimentación diagonal. Se analizan las condiciones para la existencia de un controlador
diagonal para una planta invariante en el tiempo.
Sea una planta [gij(s)] que no posee ceros de transmisión puramente imaginarios o en el lado
derecho del plano imaginario y con funciones de transferencia individual 811(s) y 822(s) que no
presentan ceros puramente imaginarios. Supóngase además que el límite de y(s), cuando s
tiende a infinito positivo, no es igual a uno. Entonces existen controladores k1(s) y k2(s) estables
de fase mínima para el lazo cerrado siempre que:
Además, es posible obtener alto ancho de banda en lazo cerrado y baja sensibilidad.
Si el límite de y(s), cuando s tiende a infinito positivo, es menor que uno, las funciones h1(s) y h
2(s) del subsistema tienen el mismo número de polos en el semiplano derecho que los ceros en
el semiplano derecho de las funciones de transferencia individual de la planta g 11 (s) y g 22(s),
respectivamente. Si el límite de y(s), cuando s tiende a infinito positivo es mayor que uno, los
anchos de banda del canal deben presentar una significativa separación de ancho de banda.
Si se elige que el canal con el menor ancho de banda sea el Canal C1. La función de
transferencia, h1(s), tendrá un polo en el semiplano derecho más que los ceros en el semiplano
derecho de la función de transferencia individual de la planta, g11(s) y la función de
transferencia del subsistema, h2(s), tendrá el mismo número de polos en el plano derecho que
los ceros de la función de transferencia individual, g22(s). El Canal C2 será fase mínima pero el
canal C, presentará un cero en el semiplano derecho de alta frecuencia.
Los requerimientos estructurales del diseño del control son cubiertos automáticamente cuando
se lleva a cabo el sig. procedimiento. Se elige uno de los dos canales para que presente menor
ancho de banda, por ejemplo el Canal C1. El controlador k1(s) es diseñado primero para
estabilizar el canal Ci. En el canal C1, la separación del ancho de banda de la función de
transferencia del subsistema h2(s) puede ser reemplazado por uno, pero en el canal C2 la función
de transferencia h1(s), debe ser conservada para mantener el número requerido de polos en el
semiplano derecho y el comportamiento de la ganancia de Y2(s), cuando el controlador k2 (s) es
subsecuentemente diseñado, dado que g22 y g22( l-y2) pueden no tener la misma estructura.
Las condiciones para la existencia de un controlador diagonal para una planta invariante en el
tiempo, se presentan a continuación.
Existe un controlador fijo k1(s) y k2(s) para una familia de plantas de dos-entradas dos-salidas
{G(s)}, siempre que:
16
(i) cada planta G(s) = [gij] no presente ceros de transmisión puramente imaginarios o en el
semiplano derecho y las funciones de transferencia individual g11 y 822 no tengan ceros
en una vecindad cercana a el eje imaginario;
(ii)
(iii)
el límite de y(s) cuando s tiende a infinito positivo no se encuentre en una vecindad
cercana a uno para cada planta G( s );
/imit jG(s~ ~ qs-m para q de signo fijo y algún entero m (q y m pueden ser ,_..,
diferentes para cada planta), y que
/imit g22 ~ q2s-mz para q2 de signo fijo y algún entero m2 (q2 y m2 pueden ser J-lo<I)
diferentes para cada planta) (para lo cual es necesario que el ancho de banda del canal
C I sea elegido menor que el ancho de banda del cana C2),
o
limit g 11 ~ q1s-m
1 para q1 de signo fijo y un entero m1 (q1 y m1 puede ser
S-lo<I)
diferentes para cada planta) (lo cual requiere que el ancho de banda de canal C2 sea
elegido menor que el ancho de banda de canal C1).
Además, las ganancias del controlador k1 y k2, son estables y de fase mínima; es posible un
ancho de banda amplio; y si las plantas no presentan ceros de transmisión en alguna vecindad
del eje imaginario, es posible una baja sensibilidad. [1, 2, 3, 7]
2.3 CONTROLADORES NO DIAGONALES
2.3.1 ASIGNACIÓN ENTRADAS-SALIDAS.
Un controlador diagonal 2 x 2 presenta una matriz de la forma:
Para el caso analizado, se emplea una matriz de control que presenta los dos elementos fuera de
la diagonal con ganancia diferente de cero, pero con los dos elementos en la diagonal con
ganancia cero; esto es, una matriz del controlador de forma no diagonal :
Este controlador es equivalente al controlador diagonal con la diferencia que la asignación de
las entradas de control a las salidas de la planta se ha intercambiado. Esta reasignación de
17
entradas de control a las salidas de la planta afecta la estructura del sistema en varias formas.
Primero, puede cambiar el número de polos en el plano derecho de los canales en lazo abierto.
La elección de la asignación de entradas a las salidas determina los polos en el plano derecho de
h¡(s). Segundo, la gráfica de Nyquist de la función de estructura multivariable y(s), cuando
aproxima al punto (1,0) puede cruzar al lado opuesto del punto (1,0). La elección en la
asignación de entradas a salidas, afecta el número de rodeos al punto (1,0) de la gráfica de
Nyquist de la función y(s). Tercero, el comportamiento asintótico de g¡¡(s), puede diferir del
comportamiento asintótico de Sü(s), i ~ j. La elección de la asignación de entradas a salidas
determina así el comportamiento asintótico de Sü(s).
El ancho de banda del canal C1 debeser significativamente menor que el ancho de banda del
canal C2. De esta manera, para integridad de sistema las funciones de transferencia g11(s) y
g22(s), deben ser de fase mínima, además, el límite de y(s) cuando s tiende a infinito positivo
debe ser menor a uno. Si g11(s) y g22(s) no cumplen con estas condiciones, pero g12(s) y g21(s) lo
hacen, entonces el intercambio de la asignación de entradas a salidas puede ayudar a obtener la
integridad del sistema.
Suponiendo que el ancho de banda de cada canal es mayor que la frecuencia de todos los polos
en el plano derecho del eje imaginario y los ceros en el plano derecho del eje imaginario, del
canal y de suficiente alta frecuencia que la función y(s), presente un comportamiento
asintótico. Entonces el controlador se puede considerar de alto desempeño. Este controlador
puede ser obtenido si el sistema de lazo abierto no presenta ceros en el plano derecho o ceros
puramente imaginarios, dado que ( 1-y(s)) no presentará ceros en el plano derecho o puramente
imaginarios y se obtiene haciendo las ganancias de los controladores k1(s) y k2(s)
suficientemente altas, sobre el rango de frecuencias en la cual todas las dinámicas significativas
ocurren, de tal forma que (1-y(s) h¡)es esencialmente (1-y(s)) y de esta forma no se tienen ceros
significativos en el plano derecho. Con el intercambio de la asignación de entradas-salidas, la
nueva función de estructura multivariable es: y'(s)= 1 / y(s). Dado que 1-y' = -(1-y) / y los ceros
de (1-y') son los ceros de (1-y) y (1-y') no tiene ceros puramente imaginarios o en el semiplano
derecho: por lo que, el nuevo sistema en lazo abierto construido de la planta original por el
intercambio en la asignación de entradas a salidas, no tiene polos en el semiplano derecho o
puramente imaginarios. En consecuencia, el control de alto desempeño es posible.
En algunos casos el control de alto desempeño no puede ser posible por la presencia de ceros de
transmisión en el plano derecho o ceros puramente imaginarios. Esto ocasiona que las
funciones de transferencia del canal en lazo abierto sean de fase no mínima y su presencia
pueda ser detectada de las gráficas de Nyquist de las funciones y(s), yh1(s) y yhi(s). Como el
cambio de asignación de entradas-salidas puede provocar que el número de rodeos del punto
(1,0) de la gráfica de Nyquist cambie, la mejora del desempeño puede mejorarse con la elección
de una asignación en lugar de otra.
Para sistemas multivariables 2-entradas 2-salidas, la elección en la asignación de entradas-
salidas puede mejorar la estructura del sistema contribuyendo a:
(a) la obtención de integridad del sistema en lazo cerrado;
(b) mejoramiento de desempeño cuando no se requiere alto rendimiento.
( c) la existencia de controladores estables para plantas con estructura inestable.
18
2.3.2 PRECOMPENSACIÓN NO DIAGONAL.
La forma general para control retroalimentado con precompensación y postcompensación se
ilustra en la Figura 2.4 (a) y 2.4 (b) respectivamente.
Referencia
r1 ---1 ..
Referencia
+
Referencia
r¡ +
Referencia
+
Fig. 2.4
.................................... , _____ , ................. i
Salida
YI
.--------, i
Precompensación
no diagonal P( s)
Planta
G(s)
j
1--+-T-___ Salida
I ,..__---... -.... -....... -...... -....... -' ................................ ............ -...... -..... -..... -..... -..... -..... -...... -' ......... ! Y2
G'(s) = G(s) P(s)
Fig. 2.4 (a)
.................. _____ .................................................................................. .
Plata G(s) PostC9mpensación
no diagonal Q( s)
G'(s) = Q(s) G(s)
Fig. 2.4 (b)
l Salida
y,
1----r-..--.~Salida
Y2
(a) Control retroalimentado precompensado; (b) Control retroalimentado
postcompensado.
La planta precompensada se define por G'(s) = G(s) P(s) y su desempeño puede ser evaluado
con respecto a las funciones de transferencia individual g' ij, definidas por:
19
y la función de estructura multivariable y' = (g' 12 g' 21) / (g' 11g' 22).
La obtención de alto desempeño por el control retroalimentado es restringido por la presencia
de ceros de transmisión en el plano derecho (ceros en el plano derecho de (1-y)) los cuales
manifiestan por si mismos como los ceros en el plano derecho del canal puesto que las
funciones de transferencia h¡(s) son cercanos a uno. Sin embargo, los ceros de transmisión en el
plano derecho de la planta sin compensación G(s) son los ceros de transmisión en el plano
derecho de la planta G'(s) precompensada dado que
Det G'(s) = det G(s) · det P(s)
Por lo tanto, el uso de precompensación no ayuda en la obtención de control retroalimentado de
alto desempeño.
Una característica estructural en la obtención y mejoramiento de la integridad cuando no se
requiere control de alto desempefto se presenta, si el lado en el cual la función de estructura
multivariable, y(s), cruza el punto (1,0) es alterado por el precompensador. Cuando la obtención
de alto desempeño por control retroalimentado no es necesario, el mejoramiento de desempeño
puede ser facilitado por la exploración de las propiedades de las funciones de transferencia del
subsistema h¡(s}, para adecuar parcialmente la pobre estructura del sistema. En este caso, sólo es
necesario hacer que la gráfica de Nyquist de la función y(s) intersecte el eje real antes o después
del punto (1,0) según se requiera. Si esto no lo hace la planta original y y(s) no queda
completamente en el plano izquierdo, esto lo hace la planta G(s) corregida con el
precompensador
P(s)=[~ ~]
Sin embargo, esta precompensación es equivalente a intercambiar la asignación de entradas-
salidas. Por lo tanto la precompensación no diagonal no puede mejorar el desempeño, en
comparación con el intercambio de asignación simple de entradas-salidas, cuando la estructura
es de tal forma que la función estructural cruza el punto ( 1,0).
La segunda característica es si las funciones de transferencia gij(s) son de fase mínima. Aún que
esto ocasiona restricciones en el desempeño, la precompensación de la planta puede ayudar a
mejorar el desempeño cuando este es el caso.
La existencia de un controlador estable, k1 (s) y k2(s) para una familia de plantas de dos
entradas dos salidas,{G(s)}, suministradas por un precompensador, P(s}, relacionando cada
miembro de la familia de plantas precompensadas {G'(s}}, a un miembro de la familia original
de plantas por G'(s) = G(s) P(s) existe y
(i) Para cada planta G'(s) = [g'ij(s)] no posee ceros de transmisión en el plano derecho o
puramente imaginarios y las funciones individuales de transferencia g' 11(s) y g' 22(s) no
poseen ceros en alguna vecindad del eje imaginario;
(ii)
(iii)
20
(ii) et límite de y'(s), cuando s tiende a más infinito, no está en la vecindad de uno para
cat dt·ª ~tandta G( ',(s)g; ' g' g' ) cuando s tiente a infinito es qs'm para q de señal estable y
e 1m1te e g 11 22- 12 21 . ,
algún entero m (q y m talvez diferentes para cada planta G (s)) Y
lims-+o:i g'22(s)~q2s-m2 para q2 de señal estable y algún entero m2 (q2 y m2 pueden ser
diferentes para cada planta)(lo cual requiere un ancho de banda del canal C, menor al
ancho de banda del canal C2),
o
limH«> g' 11(s)~q1s'm1 para ql de señal estable y algún entero m1 (q1 y m1 pueden ser
diferentes para cada planta)(lo cual requiere un ancho de banda del canal C2 menor al
ancho de banda del canal C, ),
Además, las ganancias del controlador k1(s) y k2(s) son estables, fase mínima, ancho de banda
alto arbitrario y si las plantas no tienen ceros de transmisión en algún vecindario del eje
imaginario, es posible una sensibilidad pequeña.
2.3.3 RELACIÓN DE INDETERMINACIONES DE SISTEMAS PRECOMPENSADOS
Y SISTEMAS COMPENSADOS.
Para una planta descrita por la matriz defunción de transferencia G(s) el sistema
precompensado es
G'(s) = G(s) P(s)
Donde P(s) es la matriz del precompensador. Considerando que la tarea del controlretroalimentado es conocer las características de desempeño en la región de indetenninación de
la planta. Es por lo tanto, necesario detenninar el efecto del precompensador P(s) en la planta
G(s). Asumiendo que G'(s) = G(s) P(s) describe la relación entre las plantas precompensadas y
compensadas, entonces 13 J./ J 9 O
P(s) = G 1(s) G'(s)
Pero la planta actual es descrita por
G' + óG' = (G + óG)P = (G+óG)G-1 G' = G' +óGG1 G'
Por lo tanto, la indeterminación e la planta actual es descrita por
Para las funciones de transferencia individual en la ecuación anterior, la relación entre
indeterminaciones en la planta con precompensación y la indeterminaciones de la planta sin
compensar, óg'u y ógu (1, j = 1,2), es
' ·,\
De aquí que,
donde
6g'11 = -
1
-[A1.dK11 + B1.&g12]
(1-r)
6g\2 = l [A26g12 + B2&g11]
(1-r)
L\g\1 =
1
[A1¿\g21 + B1&g22]
(1-r)
óK'i2 = l [A2óK22 +B2óK21]
(1-r)
A1= (g' 11/g11- yg' 21 / 821);
A2= (g' 22 / 822- yg' 12 / 812);
B1= (g21 / S22)(g'21 / 821 - g'u / 811)
B2= (g12 / g11)(g' 12 / 812 - g' 22 / 822)
21
Se debe notar que P(s) tiende a 1, i.e. a la no precompensación, A1 y A2 tiende a ( 1-y) y B1 y B2
tienden a cero las indeterminaciones permanecen sin cambio; esto es, óg'¡j = Ó¡j. Segundo,
cuando la función de estructura multivariable del sistema sin compensación y(s) es cercana a
uno, las indeterminaciones del sistema precompensado son incrementadas por (1-y)"1 .
Tercero, indeterminaciones en cualquier elemento del sistema precompensado, G'(s), es una
combinación lineal de las indeterminaciones en los dos elementos del sistema precompensado,
G(s). De esta forma, las indeterminaciones óg\(s) (i, j = 1,2) en las funciones de transferencia
individual para el sistema precompensado es en general mayor que las indeterminaciones
óg¡j(s) en las funciones de transferencia individual para el sistema sin compensación ..
Sin embargo, en lugar de los errores absolutos de óg\(s), los errores relativos de las funciones
de transferencia individual son la mejor indicación de la importancia de la indeterminación del
sistema. De los errores absolutos de óg\(s), la indeterminación relativa óg'¡j /g' ij( i, j = 1,2)
de los elementos de la matriz G(s) de la función de transferencia de la planta precompensada es
relacionada a la indeterminación relativa Ógij / g¡j de los elementos de la matriz de la función
de transferencia sin compensación G(s) de la sig. manera:
donde
22
1
-A _ K12K 22.
1 - ' ' g 12 K22
En general, el precompensador P(s), induce la correlación entre las indeterminaciones de las
funciones de transferencia individual. Por lo tanto, aunque las indeterminaciones del sistema
precompensado tal vez más grandes que las correspondientes a indeterminaciones del sistema
sin compensación, el efecto de su combinación en un canal posiblemente resulten
indeterminaciones menores.
Considerando un sistema multivariable de 2-entradas 2-salidas con control retroalimetado,
presenta sensibilidad excesiva de fase o sensibilidad estructural excesiva.
(i) continuará presentando sensibilidad excesiva de fase o sensibilidad estructural excesiva
cuando la asignación de entradas a salidas es intercambiada dotando la obtención del
control retroalimentado el mismo desempeño de lazo cerrado.
(ii) Continuará presentando falta de robustez de estabilidad presentada por el
precompensador no diagonal, obteniéndose el mismo desempeño de lazo cerrado.
La importancia del resultado anterior, es que si el sistema presenta problemas estructurales
debido a que la gráfica de Nyquist de las funciones de estructura multivariable yh¡(s), es muy
cercana al punto (1,0) en algunas frecuencias menores o cercanas a las frecuencias de cruce del
canal, entonces estos problemas no pueden ser librados empleando la precompensación no
diagonal. [3, 4]
23
3. EJEMPLO DE ESTUDIO, CASO CONTINUO.
El presente capítulo tiene como objetivo estudiar la aplicación de los conceptos que conforman
el DCI en el caso continuo. Con este fin se presenta el de diseño del control de una planta, en la
que por sus características inherentes, es necesario analizar la conveniencia de emplear un
prefiltro o un precompensador.
3.1 ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN DE ESTRUCTURA MULTIVARIABLE.
Considérese la planta mostrada en la Figura 3. 1, donde las funciones de transferencia
individuales están dadas por:
1
g 11 = -s2_+_s_+_l
lOs+ 1
K~, =---
~ s 2 + s + 1
&11
16
K12 = 2
s +s+ 1
s 2 + 5s + 4
K 22 =
s 2 +s + l
+
+
Fig. 3. l Descripción de la planta.
24
Entonces, la función de estructura multivariable, y(s), de la función (2.3) será particularmente:
r(s) = _16_0(_s_+o_._1)
(s + 4)(s + 1)
(3.1)
De la gráfica de Nyquist de la función (3.1), se puede ver que el punto (1,0) es rodeado una vez
en sentido horario y como y(s) no presenta polos en el semiplano derecho, se puede determinar
por medio de la función (2.14), que (1-r (s)) presenta un cero en el semiplano derecho del eje
. . .
1magmano.
o 5
Nyquist Diagrams
10 15
Real Axis
20 25
Fig. 3.2 Gráfica de Nyquist de la función gama.
30
Para medir la estabilidad estructural, se emplean las gráficas de Nyquist (Fig. 3.2) y Bode
(Fig.3.3), por medio de éstas se verifican los márgenes de fase y ganancia con respecto al punto
(1,0). Para el caso de la Función 3.1, se tiene un margen de ganancia de 11 .8 dB y un margen de
fase de 88.5 grados.
25
gama
30
20
- 10 m
"O - o Q)
"O
:::,
:t:: -1 O
B>
IV
-- -
' / -------i ~
1 __., / "' " '
"' " ~ ,;.:;.
C) 50 Q)
"O -Q)
1 o .t:
ll.
-50
/ '\ / ~
'\
" !"--_
..
10"
Frequency (rad/sec)
Fig. 3.3 Gráfica de Bode de la función gama.
3.2 DISEÑO DEL CONTROLADOR.
Dentro de las especificaciones de diseílo, se tiene que para ambos canales se requiere un
margen de ganancia mayor o igual a 12dB y un margen de ganancia de por lo menos 45°.
Además -se especifica que uno de los canales debe tener un ancho de banda de 5 a 6 rad/s y el
canal restante de 2 a 3 rad/s.
Para cumplir las especificaciones requeridas se diseña el controlador diagonal definido por:
k, = 240(s + l)(s + 1)
s(s +50)
k = -1. 7(s + l)(s + 0.1)
2 s(s + 100)(1 + 0.1)
26
Con el controlador obtenido, se analiza la sensibilidad estructural, la sensibilidad de fase y la
robustez par cada uno de los canales.
Como se puede ver en la Tabla 2.2, para determinar la sensibilidad estructural, es necesario
analizar los márgenes de fase y ganancia de yh2 para el canal C, y yh, para el canal C2. Para
este fin se verifican las gráficas de Nyquist de las Figuras 3.4 y 3.5, así como las gráficas de
Bode para las mismas funciones Fig. 3.6 y 3.7, respectivamente.
15
10
5
o
-5
-10
-15
-20
-5
15
10
5
o
-5
-10
-15
-20
-25
-30
gama h2 y gama
~ ------~ /
/ '\ \
v~ ---~ \
\ ' \ V I
" ' V _/ --- -
o 5 10 15 20 25 30 35
Fig. 3.4 Gráfica de Nyquist para yh2.
- gama h1 y gama
,/ ~ ~ ' r ~~,
I ~ L
V
T
\
I \ j
( \ V ,I
\ ' V // "- ./ - ~ V
~ /
"-- /
~ _,/
-10 -5 o 5 10 15 20 25 :1) 35
Fig. 3.5 Gráfica de Nyquist para yh1.
o
-20 -m
~
Q)
-g
-40
~ -60 e
i
~ -l 150
CD
11)
l'O 100 .e
o..
50
20
o
m -20
~ -40
-8 -60 :,
:t::
e -80 i
~
ª G) ~ o
Q) ,,,
a,
.e
o.. -100
-200
h2*gama
.
"-...
...............
...............
~
I',...
Frequency (rad/sec)
Fig. 3.6 ürátíca de Bode de la función yh2.
gamaºh1
---- ---- i"'-.
"'-..
.......
' "'
-----
---...... .....
~
"' ~
............... ...___
10
1
Frequency (rad/sec)
Fig. 3.7 Gráfica de Bode de la ti.mción yh1.
~
"' '-
27
7
"
28
De las gráficas anteriores (Fig. 3.2, 3.3, 3.4 y 3.5), se deduce que el sistema presenta baja
sensibilidad estructural y sensibilidad de fase aceptable.
Para fin de comprobar la robustez en la estructura de h2 y h, se examina el margen de fase y de
ganancia para k2 gi2 y k1 g,,Figuras 3.8 y 3.9 respectivamente.
20o
-20
-40
~
g22*k2
~~
"---
"---
~
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Fig. 3. 8 Gráfica de Bode para g22 k2.
La consecuencia de que el sistema sea de fase no mínima, consiste en una limitación en ancho
de banda y desempeño (9]. La limitación del ancho de banda se puede explicar considerando el
sistema en lazo abierto de fase no mínima siguiente:
k(a-s)
(s +b)
Si se considera que a = b y k = 1, el factor de ganancia permanecerá con una magnitud de uno
para todas las frecuencias, pero la fase cambiará de cero grados a baja frecuencia hasta un valor
de 180° en alta frecuencia. En un sistema práctico en lazo abierto, el factor de ganancia se ve
atenuado o experimenta una caída en algún valor de frecuencia determinado. Por lo que en los
sistemas de fase no mínima, cada cero en el semiplano derecho, a, tendrá un polo asociado, b,
con el fin de contrarrestar el aumento de ganancia en alta frecuencia. En caso de que no se
presente ninguna acción que contrarreste el corrimiento de -180º y si la ganancia es
suficientemente alta, cada cero de fase no mínima provocará un rodeo en sentido horario del
punto de prueba de la gráfica de Nyquist, lo cual implica un polo en el semiplano derecho del
sistema en lazo cerrado. Por lo que, para evitar la inestabilidad en lazo cerrado, el ancho de
29
banda debe ser menor a la frecuencia del cero de fase no mínima, con el fin de que la caída de
ganancia tome lugar antes de que el deterioro de fase de -180° pueda influir.
Por otro lado, la limitación en desempeño debido a la presencia de ceros de fase no mínima,
afecta de manera particular la estabilidad del sistema en lazo cerrado, en caso de que se
presente una falla en uno de los lazos de retroalimentación. Para garantizar la integridad del
sistema en caso de esta falla, se debe cumplir con las siguientes dos condiciones:
i) Que todas las funciones individuales g¡j(s}, i, j = 1,2 de la planta sean estables;
ii) Que las funciones de transferencia del subsistema
y
sean estables.
Estas condiciones permiten al diseñador determinar la integridad de diseño posible.
El sistema estudiado es de fase no mínima, por lo que es necesario analizar los ceros de
transmisión, (3.2), para verificar la integridad del sistema.
Ceros de transmisión:
(3.2)
Para el caso particular los ceros de transmisión son:
(s - 155.0774)(s + 0.0774) = O (3.3)
Dado que el cero de fase no mínima es lejano al eje imaginario, se puede concluir que en el
diseño se cuenta con la integridad del sistema.
Como medida de robustez, se analiza el margen de fase y de ganancia para cada uno de los
canales. Este análisis se hace mediante las gráficas de Bode, mostradas en la Figura 3. 9 para el
Canal C 1 y en la Figura 3. 1 O para el Canal C2.
Finalmente se analizan las funciones de acoplamiento cruzado. Para determinar la influencia del
Canal C2 sobre el Canal C1 se examina la gráfica de Bode de la Función (2.6), Figura 2.11 . De
la misma manera se gráfica el Bode de la Función (2. 7) para determinar la influencia del Canal
C1 sobre el Canal C2, Fig. 2.12.
Canal 1
Gm=-48.674 dB (at 0.060966 rad/sec), Pm=45.206 deg. (at 5.458 rad/sec)
50
-m o~------+------~"'C"----------, ::g.
Q)
-g
~ -50
i
~
i -100
......
Q)
~ -150
~
(l.
-200
-250
Frequency (rad/sec)
Fig. 3. 9 Márgenes de fase y ganancia para el Canal C 1 .
Canal2
Gm=16.68 dB (at 10.1 rad/sec), Pm=54.544 deg. (at 3.0578 rad/sec)
40
20
o~------------"'t~--t----------i
-20
-40
-50
-100
-150
-2001
-250 ~
'------'------'-----'------'----'------'------'
. 1
10
,
10
Frequency (rad/sec)
Fig. 3.10 Márgenes de fase y ganancia para el Canal C2.
30
o
-50
m -100
:!:?.
,8 -150
:e
¡> -200
:E
l 50
GI
t8
.s::
CL o
-50
r
1
10
m
"O -
30
20
10
o
-10
31
(g12/g22)h2
-~
~
~
~ ....
_.,___, ____ _.__ _____ ..,__ ___ .= .. -==. ====:!
,.,
10· 10· 1 o~
Frequency (radlsec)
Fig. 3.11 Gráfica de Bode de (g12/g22)h2.
(g21/g11)h1
./ .........
i/ ....,"
/ "" _/ "" "' "'
10º
Frequency (rad/sec)
Fig. 3 .12 Gráfica de Bode de (g2i/g11)h1.
32
Como se puede ver en la Figura 3.12, la influencia del Canal C1 sobre el Canal C2 es amplia.
Por lo que la respuesta de referencia cruzada Y 2/R1, no presentará una respuesta aceptable. Caso
contrario a la respuesta de Y 2/R2, que presenta un bajo grado de acoplamiento. En las Figuras
3. 13 a 3. 16, se presentan las respuestas de cada canal a entrada tipo escalón de magnitud 1 y de
la respuesta cruzada con la misma señal de referencia.
Respuesta Canal 1
1.4
1.2 .
~
1
o.e~
o.e .
0,4
0.2
o
o 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Fig. 3.13 Respuesta Canal C1.
Respuesta Canal 2
2500r----.---.----.---,----,---,-----.---
2000
1500
1000
500
º/
-500 '-----'---'-----'---"------'----"------'---__J
O 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Fig. 3.14 Respuesta de referencia cruzada Y2/R,.
33
Respuesta Canal 2
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
o
-0.2
o 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Fig. 3.15 Respuesta Canal C2.
Respuesta Canal 1
-0.002
-0.004
-0.006
-0.008
-0.01
-0.012
-0.014 .__ _______ __._ _____________ __._ _ ____,._____.
o 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Fig. 3.16 Respuesta de referencia cruzada Y1/R2.
34
Como se puede observar en la Figura 3. 12 este acoplamiento se debe a que aún con el
controlador k1, que contribuye por medio de h1 con -20d8 por década en frecuencias de 0.1
red/s a 1 rad/s, no ~s suficiente para contrarrestar el efecto de g21. Por lo que es necesario el
diseño de un prefiltro o un precompensador, que reduzca la ganancia de g21 entre 0.1 rad/s y 1
rad/s.
3.3 DISEÑO DEL PREFIL TRO.
La función de transferencia del prefiltro está descrita por las funciones de transferencia:
PH11 = 1 PF12=0
PFi = -(1Ss4 +3016s3 +3316s2 +3301s+300)
2
0.02s' + 2s4 + 160s3 + 4093s2 + 37496s + 2892
Con el prefiltro se obtiene un menor acoplamiento, pero no logra contrarrestar las dinámicas
atribuibles al cero de fase no mínima. Las respuestas para cada cada uno de los canales y de
referencia cruzada se muestran en las Figuras 3.17 a 3.20.
Respuesta Canal 1
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
o
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fig. 3 .17 Respuesta del Canal C1 al emplear el prefiltro.
35
40
30
20
10
o
-10
-20 .__ _ _.__ _ _.__ _ __,_ _ ____. __ ~ _ _.___ ......... _ __,_ _ ____. _ ___,
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l'tg. J. l ts Kespuesta de reterenc1a cruzada Y 2/ K1 al emplear et pret11tro.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
o
-0.2 .___ _ _.___ ......... _ _,__ _ __,_ __ ....___....__ _ _.__ _ _,__ _ ___., _ ___,
o 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Fig. 3.19 Respuesta del Canal C2 al emplear el prefiltro.
36
o
--0.002
-0.004
--0.006
--0.008
-0.01
--0.012
-0.014
-0.016
o 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
i'tg. J.:w K.espuesta de reterenc1a cruzada Y 1/ K2 al emplear el pret11tro.
3.4 DISEÑO DEL PRECOMPENSADOR.
Tanto para el caso del precompensador, es necesario que la función de estructura multivariable
y(s) de la función 3.1, en la gráfica de Nyquist Fig. 3.2, no se encuentre cerca del punto (1,0).
Esta condición, como se vio en la sección 3.1, se cumple, por lo que es posible diseñar el
prefiltro y el precompensador. En este caso se diseña un precompensador, con el fin de eliminar
o disminuir el acoplamiento, objetivo no cumplido satisfactoriamente con el empleo del
prefiltro.
El precompensador obtenido está definido por las funciones de transferencia siguientes:
P.
_ - (s 2 + 5s + 4)
11 -
s 2 + 155s + 12
P
_ 10s + l
21 - 1
r+l55s+l2
P.
_ 16s2 +80s+64
12 -
s 2 +155s+12
P
_ -(s 2 +5s+4)
22 -
s 2 + 155s+ 12
37
Con el empleo del precompensador se obtiene una respuesta aceptable para cada uno de los
canales. Las respuestas para cada uno de los canales se presentan en las Figuras 3.22 y 3.23, la
respuesta de referencia cruzada es cero para ambos casos.
1.4----~-~-~---------~-~1.2
o.a
0.6
0.4
0.2
o
-0.2
o 0.5 1.5 2 25 3 as 4 4.5 5
Fig. 3.21 Respuesta del Canal C1 al emplear el precompensador.
1.2 ,------,----,-----.-----r--~-.....---..-----~-~
o.a
0.6
0.4
0.2
o
-0.2
o 0.5 1.5 2 25 3 ~5 4 ~5 5
Fig. 3.22 Respuesta del Canal C2 al emplear el precompensador.
38
4. CONTROL DIGITAL.
El DCI emplea técnicas de análisis frecuencial tradicionales, como Bode y Nyquist. Por lo que
es importante analizar tales técnicas en el caso del control digital, para establecer las bases del
DCI digital. Por otro lado, como se vio en los capítulos anteriores, la función de estructura
multivariable y, juega un papel vital en el diseño. De tal forma que el presente capítulo resulta
un preámbulo indispensable para analizar el DCI en el caso discreto.
4.1 GRÁFICA DE GH(z).
Considerando la función de transferencia de lazo abierto GH(z) de un sistema digital de lazo
cerrado, la gráfica de GH(z) se obtiene mediante la relación:
Z = ejwT (4.1)
cuando w varía de cero a infinito. Esto corresponde a mapear los puntos del círculo unitario
lzi=l del plano z, sobre el plano GH(z). Considérese el ejemplo siguiente (ejemplo 8-1 de KUO
[ 1 O]):
Sea la función de transferencia en lazo abierto:
G(s)H(s) = l.S?
s(s + 1)
(4.2)
con una frecuencia de· muestreo ws= 4 rad/s; lo que implica un período de muestreo T, de rr./2.
La transformada z de la función (4.2) es:
GH(z) = l.243z
(z - l)(z - 0.208)
(4.3)
39
Empleando la relación (4.1) en la función (4.3) se obtiene:
GH ( JwT) = 1.243e1"'T
e (e¡wr )(e¡wr -0.208)
(4.4)
Dado que GH(e1w1 ) es una cantidad compleja, puede escribirse:
GH(efwT) =1 GH(efwT) 1 L.GH(ejwT)
= Re[GH(efwT )]+ jlm[GH(ejwT )] (4.5)
Tornando en consideración la figura 4 .1, donde se presenta la interpretación gráfica de la fase y
magnitud de GH( e1wr ) en el plano z, cuando z toma un valor cualquiera z1 = jw1 T sobre el
círculo unitario; se tiene:
1 GH(e1wr) 1= 1.243A
B-C
(4.6)
Donde A es la longitud del fasor dibujado desde el cero en z = O hasta z1, mientras que B y C
son las longitudes de los fasores dibujados desde los polos en z = 0.208 y z =1,
respectivamente, hasta z1.
jlm
PWIOGH(z)
O 0.208
Fig. 4. I Interpretación gráfica de la fase y magnitud de GH( efwr ).
El ángulo de GH( efw1 ) está dado por:
(4.7)
donde 0 A, 08 y 0c son los ángulos de los tres fasores mencionados.
40
Debido a que el círculo unitario se recorre una vez para toda w = n Ws. donde n =J, 2, .. . ,/a
gráfica de GH(z) se repite sobre el mismo intervalo de frecuencia. En la figura 4.2 se presenta
la gráfica de GH(z) cuando z toma valores sobre el círculo unitario. En el caso del ejemplo, la
gráfica de GH(z) se repite cada w = w, = 4 rad/s, por lo que en la gráfica sólo figura la parte
entre w = O y w = 4 rad/s. Como la parte del círculo unitario que va desde w = O hasta
w = wJ2 es simétrica respecto a la que va de w = w.12 hasta Ws, las partes correspondientes de
la gráfica de GH(z) también son simétricas. [10)
jlm
w,• 4
t
w
Fig. 4.2 Gráfica polar de GH(z).
4.2 CITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST.
El criterio de estabilidad de Nyquist es un método gráfico para determinar la estabilidad de un
sistema de lazo cerrado mediante la gráfica polar de la función de transferencia en lazo abierto
GH(z).
La función de transferencia, en lazo cerrado, de un sistema de control digital de una entrada
una salida se define por:
M(z) = C(z) = G(z)
R(z) l+GH(z)
(4.8)
La estabilidad de un sistema se obtiene al investigar los ceros de la función 1 + GH(z), o las
raíces de la ecuación característica:
1 + GH(z) = O (4.9)
Para que el sistema de la función (4.8) sea estable, todas las raíces de la ecuación característica
41
deben encontrarse dentro del círculo unitario izl = I del plano z.
De la misma manera que el criterio de estabilidad de Nyquist para sistemas continuos, el
criterio de Nyquist para sistemas discretos, requiere:
(i) Definir la trayectoria de Nyquist en el plano z que contiene el exterior del círculo
unitario.
(ii) Mapear la trayectoria de Nyquist en el plano z sobre el plano GH(z) con la función
GH(z). Con esto se obtiene la gráfica de Nyquist de GH(z).
(iii) La condición de estabilidad del sistema de lazo cerrado se obtiene investigando el
comportamiento de la gráfica de Nyquist de GH(z) con respecto al punto crítico (-1 jO)
del plano GH(z).
En las figuras 4.2 (a) y 4.2 (b), se presentan la definición de las dos trayectorias de Nyquist.
Suponiendo que la función GH(z) tiene polos sobre el círculo unitario, los cuales aparecen
indicados por x en las figuras, la trayectoria de Nyquist fz1 de la figura 4.2 (a) contiene el
exterior del círculo unitario, excluyendo los polos de GH(z) que se encuentran sobre éste. La
trayectoria de Nyquist r z2 de la figura 4.2 (b) contiene el exterior del círculo unitario,
incluyendo los polos de GH(z). La definición usual de la región encerrada es la zona que está a
la izquierda de la trayectoria que la define.
Fig. 4.3
jlm z Plmoz j lm z Plai,oz
(a) (b)
Trayectorias de Nyquist en el plano z. (a) fz1 no contiene los polos de GH(z)
ubicados sobre el círculo unitario. (b) r z2 contiene los polos que se encuentran
sobre el círculo unitario.
Para el criterio de Nyquist es necesario definir lo siguiente respecto a GH(z):
Z_1 número de ceros de 1 + GH(z) que se encuentran fuera del círculo unitario en el
plano z.
p_, número de polos de 1 + GH(z) que se hallan fuera del círculo unitario del plano
z.
42
Pw número de polos de GH(z) (igual al número de polos de 1 + GH(z)) sobre el
círculo unitario del plano z.
N1 cantidad de veces que el punto (-1, jO) de GH(z) es rodeado por la gráfica de
Nyquist que corresponde a Ízt.
N2 número de veces que el punto (-1, jO) de GH(z) es rodeado por la gráfica de
Nyquist GH(z) que corresponde ar z2.
Haciendo referencia a las trayectorias de la figura 4.3 y de acuerdo con el principio del
argumento d la teoría de la variable compleja [ 11 ],
y
Sean:
Ni =Z.1 -P.1 (4.10)
(4.11)
<1>1 el ángulo trazado por el fasor dibujado desde el punto (-1, jO) hasta la gráfica de
GH(z) que corresponde a la trayectoria de Nyquist fz1.
<1>2 el ángulo trazado por el fasor dibujado desde el punto (-1, jO) hasta la gráfica de
GH(z) que corresponde a la trayectoria de Nyquist fz2.
<1>1 y <1>2 también pueden definirse, en ténninos de N1, N2, Z.1, P.1 y Pw como
<1>1 = N, x 360º = (Z.1 - P.1) 360º
<1>2 = N2 X 360º = (Z.1 - P.1 - Pw) 360°
(4.12)
(4.13)
Los ángulos <1>1 y <1>2 son positivos si el ángulo trazado por le fasor tiene sentido contrario al del
giro de la manecillas del reloj, en caso contrario, son negativos.
Considérese que cada una de las trayectorias de Nyquist en el plano z está compuesta por tres
secc10nes:
1. La sección que está a lo largo de un círculo de radio infinito.
2. La sección sobre el círculo unitario, con la exclusión de pequeñas regiones alrededor de
los polos de GH(z).
3. Todas las regiones pequeñas excluidas del círculo unitario y que rodean a los polos de
GH(z).
Como las trayectorias de Nyquist son simétricas con respecto al eje real del plano z, los ángulos
recorridos por las gráficas de Nyquist que corresponden a dichas trayectorias son los mismos
para valores positivos y negativos de z, <1>1 y <1>2 se pueden expresar como:
donde:
<1>1 = 2<1>12 + <1>12 + <1>12
43
(4.14)
(4.15)
<1> 11 es el ángulo recorrido por el fasor dibujado desde el punto (- 1, jO) hasta la gráfica
de GH(z) que corresponde a la mitad positiva, desde w = ws/2 hasta Ws, sobre el
círculo unitario de fz1 o fz2, sin incluir las regiones pequeñas que rodean a los
polos de GH(z) sobre el círculo unitario.
<1>12 es el ángulo recorrido por el fasor dibujado desde el punto (-1, jO) hasta la gráfica
de GH(z) correspondiente a las regiones pequeñas que rodean a los polos de
GH(z) localizadas sobre el círculo unitario en la trayectoria fz1. Puestoque las
direcciones de estas regiones pequeñas sobre r z2 con respecto a los polos que
están sobre el círculo unitario tienen direcciones opuestas a las de íz1, el signo de
<1>12 en la ecuación (4. 15) es negativo.
<1>12 es el ángulo recorrido por el fasor dibujado desde el punto (-1, jO) hasta a gráfica
de GH(z) que corresponde a un círculo de radio infinito sobre las trayectorias r21
yfz2.
Para las funciones de transferencia fisicamente realizables, GH(z) no puede tener más ceros que
polos. Esto significa que la gráfica de Nyquist de GH(z) que corresponde al círculo con radio
infinito ha de ser un punto sobre el eje real o una trayectoria alrededor del origen del plano
GH(z)~ por lo tanto, el ángulo <l>13 siempre es cero.
Al sumar las ecuaciones (4.14) y (4.15) se obtiene:
(4.16)
De la ecuación (4.16):
<1>11 = (Z-1 - P_1 - 0.5Pw) 180º (4.17)
Esta expresión ( 4. 17) constituye el criterio de estabilidad de Nyquist, el cual puede establecerse
de la siguiente manera.
El ángulo total recorrido por el fasor dibujado desde el punto (-1, jO) hasts la gráfica de Nyquist
de GH(z), que corresponde a la mitad superior del círculo unitario del plano z y que abarca
desde w = wJ2 hasta w = O, sin incluir las pequeñas regiones que rodean a los polos de GH(z)
sobre el círculo unitario, si es que los hay, es igual a:
44
[número de ceros de 1 + GH(z) fuera del círculo unitario -0.5 x (número de polos de
GH(z) sobre el círculo unitario)- número de polos de GH(z) fuera del círculo unitario] x
180°.
En consecuencia, el criterio de estabilidad de Nyquist para sistemas de control digital lineales
se aplica sólo a la gráfica de Nyquist de GH(z) que corresponde a la parte que va desde
w = wJ2 hasta w = O, sin incluir las regiones pequeñas que rodean los polos de GH(z) sobre el
círculo unitario, si existen; por otro lado, si el sistema de lazo cerrado es inestable (Z.1 *O), y
con el conocimiento de los valores de <1>11 , Pw y P.1, la ecuación (4.17) proporciona el valor de
Z.1 que es el número de raíces de la ecuación característica que están fuera del círculo unitario
del plano z.
La condición de estabilidad para un sistema en lazo cerrado, radica en que Z.1 debe ser cero.
Por lo que el criterio de estabilidad de Nyquist para un sistema en lazo cerrado es:
<I>11 = -( Pw + P.1) 180° (4.18)
Para que el sistema de lazo cerrado sea estable, Z.1, el ángulo trazado por el fasor que va desde
el punto (-1, jO) hasta la gráfica de Nyquist de GH(z) a medida que w vería desde wJ2 hasta O,
no puede ser negativo. [ 10]
4.3 DIAGRAMA DE BODE.
Para una función de transferencia G(z) en z, los diagramas de Bode consisten en una gráfica de
magnitud y otra de fase. La gráfica de magnitud se obtiene graficando 20log10IG(eiw1 )1 contra w.
Para la gráfica de fase se obtiene de la traza de L( G(eiw1)) en grados contra w.
Bode Diagral'Tl6
-----11
JO i -···-·-·· .. . ············--·-· ·-· ····--·----·- -······ ··-·-·-·-·-··-- ··· _..,
20 f ··- -·-··· ·---·- - - -- ----,- --·--·-- ·--fl-1
10 ¡--· ---···--··--·
o;-------+--------------+--+<
' '-----------'- ----- -'---'=------=::....____:,
-2001--------+--------+------"<- -+--~
1
' -250 t ____ _.._ _____ ~
10·2 10'
Fn,quency (rad'sec)
Fig 4.4. Gráfica de Bode de la función: GH(z) = 1.i43z
(z - l)(z -0.208)
45
Como se indicó en la sección 4. 1, la respuesta en el dominio de la frecuencia de G( eiwT) se
repite cada w1, además la gráfica polar es simétrica con respecto al eje real, por lo que la
magnitud en el diagrama de Bode será idéntica para nws, donde n =1 , 2, ... . En la Figura 4.4, se
puede ver que la magnitud de GH(eÍwT) se repite cada w, y se puede observar también, que en el
caso de la fase sucede algo similar, la gráfica de fase se repite cada nws. Las gráficas de Nyquist
y del lugar de las raíces, indican que la estabilidad absoluta y relativa del sistema en lazo
cerrado están gobernadas por la gráfica de Bode en el intervalo de w = O hasta w = wJ2; por lo
tanto, basta realizar el análisis de las gráficas de Bode en dicho intervalo de frecuencia. [ 10].
4.4 FUNCIÓN DE ESTRUCTURA MULTIVARIABLE.
Considerando un sistema de control digital multivariable como el mostrado en la Figura 4. 5.
Matriz de Matriz de
Vector de Controlador la planta Vector
referencia Diagonal de salida
r K(z) G(z) y
Fig. 4.5 Descripción del problema multivariable para el caso digital.
Si se limita al análisis de un sistema 2-entradas 2-salidas, entonces se puede describir dicho
problema como se muestra en la Figura 4.6.
Entrada
r2
CONTROLADOR PLANTA
........................................ ·------ ·····················;_¡
k 1 1-------.-~--.i g11
821 812
CONTROLADOR
Fig. 4.6 Problema de control multivariable digital.
Salida
YI
Salida
Y2
46
De la descripción de la Figura 4.6, se puede observar que la definición de los canales
individuales se puede obtener de la misma manera que en el caso continuo, por lo que las
funciones de transferencia de los canales individuales se pueden definir como:
y
Donde la función de estructura multivariable se definirá como:
y(z) = K12K21
K11K22
(4.19)
(4.20)
(4.21)
De lo que se puede concluir que la función de estructura multivariable, y (z), cumplirá con la
misma función que en el caso continuo.
47
5. CASO DE EXTUDIO; CONTROL DE PROFUNDIDAD
DE UN SUBMARINO.
Para determinar que tan factible es emplear el DCI en el control discreto de sistemas lineales
multivariables de 2-entradas 2-salidas, se presenta en este capítulo como caso de estudio el
control de profundidad de un submarino británico estándar de 80 metros, llevado a cabo
mediante el DCI en su caso discreto. El caso aquí presentado ha sido abordado desde el punto
de vista continuo del DCI por E. Liceaga Castro. y J. Liceaga Castro. [6].
5.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA.
En el presente caso de estudio se analiza el modelo del submarino para el diseño del piloto
automático de profundidad, cuando sólo se dispone del ángulo de inclinación y de la
profundidad, como variables de retroalimentación.
El modelo continuo del submarino estándar de 80 metros es:
[
z(s)] = G(s)[ó8 (s)]
0 ós(s)
(5.1)
donde z es la profundidad del submarino, (} es el ángulo de inclinación, Oe es el ángulo de proa
del hidroplano, Be es el ángulo de proa del hidroplano y G(s) está dada por:
G(s) = s(s + 0.0629Xs +0.0336 + 0.0412iXs + 0.0336-0.0472i)
s0.00 J 7(s + 0.0306)
r --0.0076(s+ 0.546 !Xs+ 0.0494)
s(s + 0.0629Xs + 0.0336 + 0.0472iXs + 0.0336-0.0472i)
- s0.0022(.s- + 0.0556)
s(s + 0.0629Xs + 0.0336 + 0.0472iXs +0.0336- 0.0472i) s(s + 0.0629Xs + 0.0336 +0.0472iXs + 0.0336-0.0472i)
--0.0229(,. o.0604x, -0.1 s 1 si 1
(5 .2)
48
La asignación de entradas-salidas de los canales individuales, se pueden seleccionar de dos
formas distintas. En el presente capítulo se realiza el análisis con la asignación de los canales
individuales de la manera siguiente:
Ángulo de proa del hidroplano - profundidad.
Ángulo de popa del hidroplano - ángulo de inclinación.
5.2 ESPECIFICACIONES DE DISEÑO.
El problema de control a resolver, consiste en mantener el submarino que es sujeto a
perturbaciones de oleaje, en una profundidad constante relativa a una superficie en calma,
manteniendo un ángulo de inclinación de cero.
Se puede considerar que las perturbaciones debidas al oleaje, están constituidas por
componentes regulares e irregulares.
Las fuerzas de oleaje regulares y momentos generados por olas pequeñas son anuladas a lo
largo del casco debido a que el submarino sigue el contorno de las olas más grandes. Como el
hidroplano no puede generar fuerzas de control lo suficientemente grandes para contrarrestar
este fenómeno, el controlador debe hacer caso omiso de estos efectos.
De tal forma que la función principal del controlador es compensar el componente irregular del
oleaje, el cual produce una fuerza neta ascensional. Esta fuerza ocasiona un problema al tratar
demantener la profundidad, por lo que debe ser contrarrestada. Esta fuerza se traduce en una
serie de impulsos violentos en vez de una fuerza constante.
Se sabe que para evitar una saturación indeseable y movimiento nulo de los hidroplanos,
provocado por los efectos del oleaje, el ancho de banda del canal que corresponde a B debe ser
menor a 0.5 rad/s, y el ancho de banda de z debe ser una década menor que el de B.
5.3 DISCRETIZACIÓN DEL MODELO.
Para traducir el modelo continuo al caso discreto es necesario, seleccionar la frecuencia de
muestreo adecuada. Esta frecuencia debe ser tal que todas las dinámicas importantes del sistema
puedan ser reconstruidas con una fidelidad aceptable. De seleccionar una frecuencia de
muestreo demasiado baja se ignorarían parcial o totalmente algunas de las dinámicas
importantes del sistema, en el caso contrario, se considerarían dinámicas de muy alta frecuencia
ajenas al sistema, incrementando las perturbaciones de manera innecesaria.
Considerando lo anterior, se determina el ancho de banda para cada una de las funciones de
transferencia individual g¡j del (5.2):
WBgll= 0.166
Wsg21= 0.078}
WBg12= 0.1816
Weg22= 0.0512
49
En este caso se selecciona el ancho de banda we812, por presentar un ancho de banda tal que
contiene las dinámicas del resto de las funciones 8ij,
La frecuencia de muestreo wm, se determina mediante el criterio siguiente:
wm= [ 5 we, 20wa] (5.3)
(Golten y Andy Vermer) [12].
Para el caso específico:
wm= 1 rad/s.
T = 21t / w = 21t = 6.28 ~ 6 s.
Con el período de muestreo T calculado se obtiene la versión discreta de G(s) del modelo
continuo.
G(•)- (z - IXz - 0.6856 Xz - 0 .7849 + 0.2284 iXz - 0.7849-0.22841) (z - IXz - 0.6856 Xz-0.7849 + 0 .2284 IXz - 0.7849 - 0.2284 i)
[
- 0.248 (z + 1.8025 X z - 0. 7435 Xz + 0.0113) - 0.2223 (z - 3.0081 Xz - 0.6960 X z + 0.6269 )
• - 0.025 (z - IXz - 0.8323 Xz + 0.8195} - 0.0340 (z - IXz - o 7163 X z + 0.8614)
(z - l)(z - 0.6856 Xz - 0 .7849 + 0.2284 iXz - 0.7849 - 0.2284 i) (z - IXz - 0.6856 Xz- 0.7849 + 0 .2284 iXz - 0.7849 - 0.2284 i)
(5.4)
5.4 ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN DE ESTRUCTURA MULTIVARIABLE.
Con las funciones de transferencia individual de la función (5.4) y mediante la definición
(4.21) se obtiene y(z):
( )
--0.6595(z -3.008 l)(z -0.8323)(z - 0.6960)(z + 0.8 l 95)(z + 0.6269)
r z =
(z-0.7435)(z -0.7163)(z + l.8025)(z + 0.8614)(z + 0.0113) (5.5)
En la función (5.5) se puede ver que y(z) contiene un polo fuera del círculo unitario del plano z.
Para determinar si el desempeño dinámico del sistema se verá afectado por la presencia de
ceros de fase no mínima, se analiza la gráfica de la función y(z), presentada en la Figura 5.1,
mediante el criterio de estabilidad de Nyquist para sistemas de datos discretos, criterio
presentado en el capítulo anterior.
50
Como y(z) presenta un polo fuera del círculo unitario del plano z, el valor de <J>, 1 para que
(1-y(z)) no contenga ceros de fase no mínima se calcula por medio de:
donde:
<1>11 = -(0.5Pw + P_1)I 8O°
<1>11 ángulo recorrido por el fasor dibujado desde el punto critico hasta la gráfica de
y(z).
Pw número de polos sobre el círculo unitario del plano z.
P _ 1 número de polos fuera del círculo unitario del plano z.
De tal forma se obtiene:
lm
ag1
na
ry
Axi
s
<1>1 I = -(0.5(0)+ 1)180° = -180°
·1 ............................ ...... ¡ .............. .
0.5 ............. ........... .
I] . ......... ......... ........ .. .... .
-0 .5 · ......... ......... ....... .
Ny~ist Diagrams
1_:;arn a Discreto
~~.· ....... -- -~ ............... ~--r
. . . .. . : ;··· ·~
........ '!.~o. w=i I
0.5206 ..... V ........ "i:fii
<t>11=' -180º
1
/ //'
: / /
-·1 ......... .. ·····A ;,/' · ························ ·· · ········ · · ~;, ·· ··········
-1 -0.5 o 0.5
Real Axis
1
Fig. 5.1 Gráfica de Nyquist de la función y(z).
1.5
51
Como el ángulo <1>11 para el punto ( l ,0j) es = -180°, se tiene que el número de ceros fuera del
círculo unitario es:
<I>
Z 1=-__l_!_+1~1+0.5Pw=-1+1+0=0 - 180°
De lo que se concluye que en este caso no existen ceros de transmisión de fase no mínima.
Por otro lado, con el fin de analizar la robustez estructural, se calcula el margen de fase y el
margen de ganancia con ayuda de las gráficas de Nyquist (5.1) y Bode (5.2) de la función de
estructura multivariable.
-(D
u -Q)
u
~ -·e
C> a,
~ -C>
Q)
u -Q)
in
a,
.c.
a.
5
o
-5
-10
50
o
-50
-100
10-4
Bode Diagrams
~
10-2
Frequency (rad/sec)
~
Fig. 5.2 Diagrama de Bode de r(z).
/
v
~ ."0
De aquí que el margen de fase resulta ser 55.87° y el margen de ganancia 4.43 dB, márgenes
similares a los obtenidos en el caso continuo [6]. A pesar que el margen de ganancia parece
pequeño, si el nivel de incertidumbre a bajas frecuencias es pequeño, como es común en la
práctica, estos márgenes son aceptables.
52
5.5 DISEÑO DEL CONTROL.
Para cumplir con las especificaciones de diseño, el controlador diagonal resulta ser:
k, = -0.01403 (5.6)
k
_ - l. 72(z -0.9)2
2 -
(z - 0.98)(z -1)
(5.7)
De las gráficas de Nyquist Fig. 5.3, se verifica la sensibilidad estructural. Como se presenta en
la tabla 2.2 para el Canal C1 y se deduce para el Canal C2, se presentará sensibilidad estructural
si las funciones yh1 y yh2, en su gráfica de Nyquist, pasan cerca del punto ( 1,0). Para este caso,
como se puede ver en las gráficas de Nyquist (Fig. 5.3) y verificar en las gráficas de Bode (Fig.
5.4 y 5.5), se tienen márgenes de fase y ganancia aceptables para estas funciones, por lo que el
sistema no presentará sensibilidad estructural.
-1 -0.5
Nyquist Diagrams
o 0.5
Real Axis
1
Fig. 5.3 Gráficas de Nyquist para yh1 y yh2.
1.5
en
~
(1)
u
:::, .... ·e
ll
~
C)
(1)
~
(1)
u,
(O
.e
a..
!
1
-20 ~
1
40
-60
-10
-20
-30
-40
-50
o
-100
-200
-300
53
Bode Diagrams
Gm = O dB, Pm = O (unstable closed loop)
Frequency (rad/sec)
Fig. 5.4 Gráfica de Bode para yh1.
Bode Diagrams
Gm = O dB, Pm = O (unstable closed loop)
Frequency (rad/sec)
Fig. 5.5 Gráfica de Bode para yh2.
54
Con el fin de analizar la robustez en la estructura de h, y h2, se analizan los diagramas de Bode
para k2g22 (Fig. 5.6) y k1g11(Fig. 5.7). Donde se observa que los márgenes de ganancia se
encuentran arriba de los l 5dB y los márgenes de fase mayores a 60º, lo que garantiza robustez
en la estructura de h1 y h2.
Bode Diagrams
Gm=15.381 dB (at 0.09922 rad/sec), Pm=60.702 deg. (at 0.026848 rad/sec)
50
-50
Frequency (rad/sec)
Fig. 5.6 Gráfica de Bode de k2 822
Bode Diagrams
Gm=19.853 dB (at 0.058459 rad/sec), Pm=83.712 deg. (al 0.0062139 rad/sec)
al -20
~
~ -40
:::,
:~ 60
CII
(11
~
.:-:;
i -100 F======¡:==:!::===---7,-.----7
~
CII
"' (11
[ -200
-300
1
Frequency (rad/sec)
Fig. 5. 7 Gráfica de Bode para k1 g, 1.
55
Finalmente se analiza la interacción de acoplamiento entre los canales empleando la versión
discreta de las funciones (2.6) y (2.7). La gráfica de Bode para d1(z) en la figura 5.8, presenta
un alto grado de influencia del Canal C2 sobre el Canal C1 , por poseer una ganancia muy grande
que no es posible disminuir adecuadamente con el controlador diseñado. Por otro lado en la
figura 5.9, se puede ver que la influencia del Canal C1 sobre el Canal C2, es prácticamente nula.
(g12/g22)*h2
Gm = O dB, Pm = O (unstable closed loop)
100 •·-·---·-••-•-,--·-- ,--,. T ,-, - • ---.. -·-,--•r• ·..--,--~•r•··----.--- •-••- , ---,-,-, 'T'¡ - -----•- · ----
50 : ----- - -------------·----------
----.. ------.. .....
............
o
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10"' 10·2 10·1
Frequency (rad/sec)
Fig. 5.8 Gráfica de Bode para d1(z).
(g21 /911 )*h1
Gm = O dB, Prn = O (unstable closed loop)
-40 ¡--- ·-- ........ ·-- · - -,· .--,-·--- . ~· ----.,,---~~~~-- ,·-·---, ....... , .. ,--·¡
-60 l .-------'" 1 1 //---- ..... , 1
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10·'
Frequency (rad/sec)
Fig. 5.9 Gráfica de Bode para d2(z).
El prefiltro obtenido es descrito por:
F. _ 70.4577(z - 0.9)2 (z -0.696)(z - 0.6836)(z + 0.6269)(z2 - l . l 919z + 0.9225)
12
- (z-0.l)(z-0.038)(z2 -l.919z+0.9225)(z2 -l.569z+0.6684)
Empleando el prefiltro se obtienen las respuestas para cada uno de los canales y de referencia
cruzada siguientes:
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Fig. 5.10 Respuesta del canal C1.
56
1.2
1
o.e
0.6
0.4
0.2
º.,___ _ _._ __ .__ _ __._ __ ...___ _ ___._ __ ......_ _ ___._ __ ....._ _ ___,
o 100 200 300 400 500 600 700 800 900
t<tg. :,, 11 . Kespuesta del canal C2.
1 .------.---..------.---..------.---~-----.---.......------,
0.5
o
--0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5------------~--....._-~-----
o 100 200 300 400 500 600 700 800 900
t<1g. :,, l :L Kespuesta de reterenc1a cruzada, K2/ Y 1.
57
58
En las figuras 5.13 y 5.14, se muestran las gráficas de Bode de los canales C, y C2. Donde se
observa que se cumple con la separación de los anchos de banda, de las especificaciones de
diseño y se obtienen márgenes de fase y ganancia adecuados.
C1
Gm= 13.182 dB (al 0.074351 rad/sec), Pm=91.579 deg. (al 0.0061174 rad/sec)
20
o
m -20 :!:!.,
~
,a -40
·2
-60 CI) .,,
~
1 -100
GI
111
cu
,s;:,
Q. -200 ·
-300
Frequency (rad/sec)
Fig. 5.13 Gráfica de Bode del Canal C1.
C2
Gm=13.162 dB (al 0.12614 rad/sec), Pm=46.257 deg. (at 0.06114 radlsec)
al
:!:!., o
~
3
·2
C) -50 cu
~
-a
GI
:!:!. -100
GI
111 .,,
,s;:,
Q. -150
1
¡
-200
10 10
- 1
10
Frequency (rad/sec)
Fig. 5.14 Gráfica de Bode del Canal C2.
59
6. CONCLUSIONES.
El DCI ha demostrado ser una herramienta útil para el diseño ingenieril de sistemas de control,
por resolver el problema del control multivariable de una manera clara, sencilla y adecuada para
el ingeniero de diseño. Por lo que el DCI en su versión discreta permitirá extender la aplicación
de éste al campo al control digital, campo que presenta ciertas ventajas sobre el control
continuo.
Las funciones de estructura multivariable, y, yh1 y yh2, son indicadores importantes para
determinar las características de desempeño del sistema, con éstas funciones, se puede
establecer una medida para sensibilidad estructural, sensi'-ilidad de fase y robustez estrucural.
La selección de una asignación de entradas-salidas, afecta la estructura del sistema. Por lo que
la correcta asignación de entrada-salidas en una tarea importante en el proceso de diseño de
sistemas de control multivariable 2-entradas 2-salidas.
El empleo de precompensadores y prefiltros constituyen un medio para lograr el
descoplamiento de canales, pero el uso de éstos no implica alguna mejora en la robustez de la
planta.
El empleo del control digital, por el hecho de trabajar con señales muestreadas, implica una
limitante en el ancho de banda de los canales y del sistema en general. Esta limitante es
directamente relacionada con la frecuencia de muestreo.
Es posible emplear los resultados de la versión continua del DCI en sistemas discretos, con las
consideraciones propias de los sistemas de control, prácticamente sin modificaciones.
En el caso de estudio presentado se empleó una única frecuencia de muestreo con la que se
obtienen los resultados descritos. Para una investigación a futuro se puede estudiar el caso
empleando un sistema en el que se utilicen diferentes frecuencias de muestreo, según convenga,
para cada una de las partes que integran el sistema.
Los resultados aquí obtenidos se limitan a sistemas 2-entradas 2-salidas, por lo se propone que
para futuras investigaciones se analice el caso para m-entradas m-salidas.
60
BIBLIOGRAFÍA
[1] O'REILLY, J; LEITHEAD, W. E .. Multivariable control by individual channel design.
Int. Joumal ofControl., 1991, vol. 54, p.1-46.
[2] LEITHEAD, W. E.; O'REILLY, J. M-Jnput m-outputfeedback control by individual
chane/ design. Part l. Stn,ctural issues. Int. Joumal ofControl., 1992, vol. 56, NO. 6,
p. 1347-1397.
[3] LEITHEAD, W. E.; O'REILLY, J. Performance issues in the individual channel design
of 2-input 2-output systems. Par/ 2.Robustness issues. Int. Joumal of Control., 1992,
vol. 55, NO. 1, p.3-47.
[4] LEITHEAD, W. E.; O'REILLY, J. Performance issues in the individual channel design
of 2-input 2-output systems. Part 3. Non-diagonal control and related issues. Int.
Journal ofControl., 1992, vol. 55, NO. 2, p.265-312.
[5] E. LICEAGA CASTRO y J. LICEAGA CASTRO, Submarine Depth Control by
Individual Channel Design. Departamento de Matemáticas, Glasgow Celedonian
University, Escocia. [6] LICEAGA, E.;.LICEAGA J. Submarine depht control by
individual channel design. 37th IEEE Conference on Decision & Control., 1998, p.
3183-3188
[7] LICEAGA. J. et al. Helicopter flight control using individual channel design. IEE Proc.
Control Theory Appl., Vol. 142, No. 1, Enero 1995.
[8] KOCIJAN, Jus; O'REILLY, John. An example of multivariable combustion control
design within individual channel designframework.IEEE 1994. p. 741-746.
[9] OGAT A, K. Sistemas de control en tiempo discreto. México: Prentice-Hall, 1996.
[10] KUO. B. Sistemas de control digital. México. CECSA, 1997.
[11] KUO. B. Sistemas de control automático. México. Prentice-Hall, 1996.
[12] JACK GOLTEN y ANDY VERWER, Control system design and Simulation. Ed. Me.
Graw Hill, 1991.