Vista previa del material en texto
I l
I
�
.. OtlQ:O " f
/
/ ,
CEA
-
com�
español de
auméllca
Sergio Domínguez
Pascual Campoy
José María Sebastián
Agustín Jiménez
www.FreeLibros.org
Control en el espacio de estado
www.FreeLibros.org
CONSULTORES EDITORIALES
Prof Dr PEDRO ALBERTO S PÉREZ
Catedrático de Ingemería de SIstemas y AutomátIca
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA
Prof Dr lA VIER ARACIL SANTONlA
Catedrático de Ingemería de SIstemas y AutomátIca
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
Prof Dr SEBASTIÁN DORMIDO BENCOMO
CatedrátIco de Ingemería de SIstemas y AutomátIca
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
www.FreeLibros.org
Control en el espacio de estado
Segunda edición
Sergio Domínguez
Pascual Campoy
José María Sebastián
Agustín Jiménez
Departamento de Automática, Ingeniería Electrónica e Informática Industrial
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales
Universidad Politécnica de Madrid
PEARSON
, Prentice
Hall
Madrid e México e Santa Fe de Bogotá e Buenos Aires e Caracas e Lima e Montevideo
San Juan e San José e Santiago e Sao Paulo e White Plains
www.FreeLibros.org
datos de catalogación bibliográfica
CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO
Domínguez, S.; Campoy, P.; Sebastián, J.M.; Jiménez, A.
Pearson Educación S.A., Madrid, 2006
ISBN 10: 84-8322-297-3
ISBN 13: 978-84-8322-297-3
Materia: Ingenieria de Control Automático, 681.5
Formato: 170 x 240 mm. Páginas: 440
Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción,
distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización
los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser
constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal).
DERECHOS RE SERVADOS
© 2006 por PEARSON EDUCACIÓN S.A..
Ribera del Loira, 28
28042 Madrid
CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO
Domínguez, S.; Campoy, P.; Sebastián, J.M.; Jiménez, A.
ISBN 10: 84-8322-297-3
ISBN 13: 978-84-8322-297-3
Deposito Legal: M-24794-2006
PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN S A
Equipo editorial
Editor: Miguel Martín-Romo
Técnico editorial: MaÍta Caicoya
Equipo de producción:
Director: 'José A. Ciares
Técnico: María Alvear
Diseño de cubierta: Equipo de diseño de Pearson Educación S.A.
Impreso por: Rigorma Grafic S.L.
IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos
www.FreeLibros.org
ín dice gen era l
Indice de figuras
Presentación
Prefacio
Prólogo
Prólogo a la 2a edición
1 Sistemas continuos
1. Modelo de estado
1 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 2 . Concepto de estado . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 2 . 1 . Propiedades de las variables de estado
1 .3 . Ecuaciones del modelo de estado . . .
1 .3 . 1 . Sistemas dinámicos lineales . .
1 .3 .2 . Sistemas dinámicos invariantes
1 .4 . Transformaciones lineales . . . . . . .
1 . 5 . Representación gráfica de sistemas lineales .
1 .6 . Función de transferencia y modelo de estado .
1 . 7. Métodos de obtención del modelo de estado .
1 .7 . 1 . Variables de estado como magnitudes físicas .
1 .7 .2 . Variables de estado como salida de los integradores .
1 .7 .3 . Variables de estado de fase
1 .7.4. Variables de Jordan . .
1 .7 .5 . Estructuras compuestas
1 .8 . Ejemplos adicionales
1 .9 . Ejercicios resueltos . . . . . . .
v
XI
XIII
XV
XVII
XXI
1
3
3
4
7
9
12
13
14
15
17
19
20
22
27
28
30
33
45 www.FreeLibros.org
VI ÍNDICE GENERAL
1 . 10 . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Solución de la ecuación de estado de sistemas lineales
2 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 .2 . Solución de la ecuación homogénea. Matriz de transición .
2 .2 . 1 . Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 .2 .2 . Casos particulares de la matriz de transición
2.3 . Propiedades de la matriz de transición
2.4 . Solución de la ecuación completa . .
2 .5 . Cálculo de la matriz de transición . .
2 .5 . 1 . Método de Cayley-Hamilton .
2 .5 .2 . Método de Jordan . . . . . .
2 .5 .3 . Mediante la transformada inversa de Laplace
2.6 . Ejemplos adicionales
2 .7 . Ejercicios resueltos
3. Controlabilidad
3 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . .
3 .2 . Definiciones . . . . . . . . . . . . . .
3.3 . Controlabilidad en sistemas lineales .
3.3 . 1 . Cálculo de la entrada en sistemas lineales
3.4. Controlabilidad en sistemas lineales invariantes .
3.4. 1 . Invarianza de la controlabilidad ante cambio de base
3.5 . /:" Interpretación geométrica de la controlabilidad .
3.6 . Subespacio controlable . . . . . . . . .
3.6 . 1 . Base del subespacio controlable
3.6 .2 . Estados alcanzables . . . . . .
3 .7. Separación del subsistema controlable
3.8 . Controlabilidad de la salida
3.9 . Ejemplos adicionales
3 .10 . Ejercicios resueltos .
3. 1 1 . Ejercicios propuestos
4. Observabilidad
4. 1 . Introducción .
4 .2 . Definiciones . . . . . . . . . . . . .
4.3 . Observabilidad en sistemas lineales
4.3 . 1 . Planteamiento . . . . . . .
4 .3 .2 . Teorema . . . . . . . . . . .
4.3 .3 . Determinación del estado inicial en sistemas observables
4.3 .4 . Estados no-observables . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 . Sistemas lineales invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 . 1 . Invarianza de la observabilidad ante cambio de base
61
63
63
64
64
65
68
70
72
72
75
78
79
89
109
109
1 12
1 13
1 16
122
125
125
128
130
130
131
134
137
152
171
175
175
177
177
177
178
181
183
185
187 www.FreeLibros.org
ÍNDICE GENERAL
4.5 . /::,. Interpretación geométrica de la observabilidad
4.6. Subespacio no-observable . . . . . . . . .
4.6 . 1 . Base del sub espacio no-observable . . . .
4.7 . Separación del subsistema no-observable . . . . .
4.8 . Separación de los subsistemas controlable y observable
4.8 . 1 . Cálculo de la matriz de cambio de base . . . .
VII
188
189
190
191
194
197
4.9 . /::,. Reducción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4 .9 . 1 . Valores singulares de Hankel y realizaciones equilibradas . 199
4 .9 .2 . Transformación a la realización internamente equilibrada 201
4.9 .3 . Reducción del modelo 204
4 .10 . Ejemplos adicionales 209
4. 1 1 . Ejercicios resueltos . . . . . . 214
5. Control por realimentación del estado 231
5 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . 231
5.2. Realimentación del estado . . . . . . . 233
5.3 . Control de sistemas monovariables . . 234
5.3 . 1 . Diseño del bucle de realimentación 234
5.3 .2 . Obtención de la matriz de transformación a variables de fase 238
5.3 .3 . El problema de la ganancia . . 239
5.3 .4 . Diseño de servosistemas . . . . . . 243
5.4. /::,. Control de sistemas multivariables . . . 249
5.4. 1 . Diseño del bucle de realimentación 249
5.4 .2 . Obtención de la matriz de transformación a variables de fase 253
5 .5 . Ejemplos adicionales 255
5.6. Ejercicios resueltos . 274
5 .7. Ejercicios propuestos 284
6. Observadores del estado 287
6 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6 .2 . Definición de observadores . . . . . . . . . . . . . . 288
6.3. Comportamiento del conjunto sistema-observador . 291
6 .3 . 1 . Sin realimentación del estado . . . . . . . . 291
6.3 .2 . Con realimentación del estado . . . . . . . . 293
6.4. Cálculo del observador en sistemas monovariables . 295
6.4. 1 . Cálculo de la matriz de transformación . . . 299
6.5 . /::,. Cálculo del observador en sistemas multivariables 300
6 .5 . 1 . Cálculo de la matriz de transformación . 305
6.6. Observadores de orden reducido . 308
6.7 . Ejemplos adicionales 312
6 .8 . Ejercicios resueltos . 325
6.9. Ejercicios propuestos 338 www.FreeLibros.org
VIII ÍNDICE GENERAL
JI Sistemas discretos
7.Modelo Discreto de Estado
7. 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 . Definición de estado para sistemas discretos
7.3. Sistemas dinámicos discretos . . . . . . . .
7.4. Obtención de modelos discretos de estado .
7.4. 1 . Modelo de estado en variables de fase
7.4.2 . Modelo de estado en variables de Jordan .
7.4.3. Transformaciones lineales . . . . . . . . .
7. 5 . Obtención de la representación externa a partir del estado
7.6. Sistemas muestreados . . . . . . . . . . . . . .
7.6. 1 . Sistema discreto invariante equivalente .
7.6.2 . Sistemas variantes . . . . . . . .
7.6.3. Sistemas híbridos . . . . . . . . .
7.6.4. Sistemas híbridos realimentados .
7.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . .
8. Solución de la ecuación discreta de estado
8 . 1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 .2 . Solución de la ecuación homogénea. Matriz de transición .
8.3. Propiedades de la matriz de transición
8.4. Cálculo de la matriz de transición . . . . . . . . . . . .
8.4. 1 . Método iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 .4 .2 . Método de la matriz fundamental de soluciones
8.4.3. Método de diagonalización de Jordan
8.4.4. Método de Cayley-Hamilton . .
8 .4 .5 . Método de la matriz resolvente
8.5 . Solución de la ecuación completa
8.6 . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . .
9. Control discreto por realimentación del estado
9. 1 . Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 . Controlabilidad en sistemas discretos lineales . . . . . . .
9.3. Controlabilidad en sistemas discretos lineales invariantes .
9.4. Controlabilidad de la salida . . . . . . . . . .
9 .5 . Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 . Observabilidad en sistemas discretos lineales . . . . . . .
9.7 . Observabilidad en sistemas discretos lineales invariantes
9.8 . Controlabilidad y observabilidad en sistemas muestreados
9.9 . Control de sistemas discretos por realimentación del estado
9 .10 . Sistemas muestreados de control
9. 1 1 . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
343
343
344
344
346
347
348
350
351
352
352
354
355
356
357
365
365
365
366
367
367
368
370
370
372
374
375
379
379
380
382
384
385
386
388
390
392
393
397 www.FreeLibros.org
ÍNDICE GENERAL
III Apéndices
A. Valores y vectores propios
A.l. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 . Diagonalización de una matriz en cajas de Jordan .
A.3. Cálculo del vector propio asociado a un valor propio
Indice de materias
Bibliografia
IX
403
405
405
406
407
410
413
www.FreeLibros.org
www.FreeLibros.org
í n d ice de figu ras
1 . 1 . Evolución temporal de las variables de estado . . . . . . .
1 . 2 . Trayectoria del vector de estado en el espacio de estado.
1 .3 . Transitividad de estado . . . . . .
1 .4 . Bloque integrador. . . . . . . . .
1 . 5 . Multiplicación por una matriz.
1 .6 . Bloque sumador . . . . . . . . .
1 .7. Representación gráfica del modelo de estado.
1 .8 . Representación gráfica vectorial del modelo de estado.
1 .9 . Sistemas en serie . . . . . . . . . . . . .
1 . 10 . Sistemas en paralelo . . . . . . . . . . .
1 . 1 1 . Realimentación constante de la salida.
1 . 12 . Realimentación del estado . .
8
8
9
15
16
16
17
18
31
31
32
33
3 . 1 . Sistema no controlable. 1 10
3.2 . Puntos alcanzables desde (0,0) . 1 10
3 .3 . Transición del estado entre dos puntos, de forma directa (línea continua)
y con un punto de paso intermedio (línea discontinua) . . . . . . . 1 18
3.4. Superposición de la evolución libre con el subespacio controlable . 131
3 .5 . Representación gráfica del subsistema controlable . 133
4 . 1 . Concepto de observabilidad. . . . . . . . . . . . . . 175
4.2 . Sistema lineal con el conjunto de entradas de test . 188
4.3. Separación de la parte no-observable . . . . . . . . . 193
4.4. Separación simultánea de los subsistemas controlable y observable. 196
4.5. Separación detallada de los subsistemas controlable y observable. 197
5. 1 . Sistema con realimentación de estado. . . . . . . .
5 .2 . Transformación de la matriz de realimentación K.
5.3 . Adición del parámetro Kü. . . . . . . . . .
5.4 . Realimentación en sistema de tipo uno. .
5 .5 . Control proporcional del sistema anterior.
XI
233
240
241
244
245 www.FreeLibros.org
XII ÍNDICE DE FIGURAS
5.6 . Conversión a sistema de tipo uno . . 246
6 . 1 . Concepto de observador. . . . . . . 287
6.2. Sistema con observador y realimentación. 288
6.3. Esquema del sistema con observador. . . . 292
6.4. Sistema con observador y realimentación del estado. 293
6.5 . Esquema des sistema con observador en la forma canónica observable . 297
6.6. Sistema con observador y matriz de transformación. . . . . . . . . . . 300
6.7 . Esquema des sistema con observador y realimentación en espacio de estado
transformado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.8 . Sistema con observador de orden reducido. . 310
7. 1 . Sistema continuo multivariable . . . . . . . .
7 .2 . Sistema discreto equivalente. . . . . . . . .
7.3. Sistema con parte discreta y parte continua. .
7.4. Sistema híbrido realimentado.
9. 1 . Sistema muestreado . . . . . .
9 .2 . Sistema discreto con realimentación del estado.
9.3 . Sistema muestreado con realimentación del estado.
9.4. Sistema muestreado con tiempo de cálculo nulo. . .
9 .5 . Sistema muestreado con tiempo de cálculo no nulo.
9.6 . Sistema con retardo no múltiplo entero del tiempo de muestreo . .
352
353
355
357
390
392
393
394
395
396
www.FreeLibros.org
Presen ta ción
En apenas cincuenta años el Control Automático ha irrumpido como una disciplina
pujante y de gran interés no sólo científico y tecnológico, sino también económico. Los
sistemas de control automático, que tienen sus orígenes en la más remota antigüedad, han
sustentado sus raíces en las matemáticas aplicadas y se están convirtiendo, de manera
cada vez más creciente, en componentes esenciales y críticos de cualquier sistema dinámi
co. El Control Automático es una de las pocas disciplinas que trasciende las fronteras de
los campos tradicionales de la ingeniería (mecánica, eléctrica, química, nuclear, etc . ) .
El Comité Español de Automática de IFAC (CEA-IFAC) , es una asociación sin ánimo
de lucro que tiene como objetivo básico servir de foro y ofrecer un marco para el desarrollo
en nuestro país de la Automática. Es, asimismo, el miembro nacional de la Federación
Internacional de Control Automático (IFAC) y canaliza las relaciones internacionales de
nuestros técnicos y científicos con esta prestigiosa asociación.
Esta asociación está abierta a todas aquellas personas e instituciones interesadas en
los temas teóricos y prácticos propios de la automatización, el control de procesos y todas
las nuevas tecnologías que permiten la realización de los modernos sistemas de control
automático.
Los fines del CEA-IFAC son, entre otros :
• promover el estudio, aplicación y mejora de las técnicas de la Automática;
• promover la colaboración entre socios , entidades, universidades y empresas, y aso
ciaciones internacionales , en el área de la Automática:
• organizar y desarrollar cursos , conferencias , congresos, comisiones de trabajo y de
elaboración de normas ;
• editar y divulgar publicaciones , informes , normas y monografías en el campo de la
Automática.
De acuerdo con estos objetivos y en colaboración con el Grupo Pearson se ha iniciado
una nueva serie de monografías sobre «Control Automático e Informática Industrial» cuya
finalidad es doble: de una parte servir como textos de referencia para nuestros estudiantes ,
y, de otra, tratar de llenar un hueco, que creemos que existe, con una colección de libros
XIII
www.FreeLibros.org
en español dedicados también al profesional que trabaja en estatemática y que necesita
de un reciclaje de conceptos , técnicas y procedimientos que demandasn las cada vez
más exigentes especificaciones de la automatización de procesos . La colección de libros
«Control Automático e Informática Industrial» se plantea, pues, como un vehículo de
comunicación de doble sentido entre la comunidad académica y el mundo industrial que
está trabajando en el área del Control Automático.
Esta colección de libros se ha estructurado en tres direcciones que tratan de abor
dar los diferentes aspectos que configuran, en un sentido amplio, la automatización de
procesos . Estas tres series son:
• Fundamentos
• Instrumentación y
• Robótica
Este primer libro con el que se inicia la colección pertenece a la serie de ÍlFunda
mentosz y trata sobre «Control en el Espacio de Estado». Está escrito por un grupo
de profesores, con una amplia experiencia docente, de la Escuela Superior de Ingenieros
Industriales de la Universidad Politécnica de Madrid . En los meses sucesivos irán apare
ciendo nuevos títulos que tratarán de ir perfilando el alcance y el sentido de esta colección,
que inicia su andadura con el mejor de los deseos de ser útil al lector interesado por este
apasionante mundo del Control Automático.
Madrid, octubre de 2001
Consultores editoriales
Profesores Pedro Albertos
Javier Aracil
Sebastián Dormido
XIV www.FreeLibros.org
Prefa cio
A finales del siglo XIX H. Poincaré, con su trabajo pionero sobre los Nuevos Métodos
de la Mecánica Celeste, intuyó la significación profunda de formular una teoría general
de los sistemas dinámicos en función de conjuntos de ecuaciones diferenciales de primer
orden, e introdujo la ahora familiar idea de considerar el conjunto relevante de variables
del sistema como la trayectoria de un punto en un espacio n-dimensional .
El enfoque de Poincaré al estudio de problemas dinámicos rápidamente se popularizó
y se vino a conocer como método del espacio de estado. Así, el concepto de estado se
hace dominante en el estudio de los sistemas dinámicos . Lo que es fundamental es que
su conducta actual está influenciada por su historia previa y que su comportamiento
no puede por lo tanto especificarse simplemente como una relación ñinstantáneaZ entre
conjuntos de variables de entrada y salida. Se necesita un conjunto extra de variables
cuyo objetivo es tomar en cuenta la historia pasada del sistema; estas variables son las
variables de estado. Las variables de estado representan pues la mínima cantidad de infor
mación que nos resume todo el pasado dinámico del sistema y es todo lo que necesitamos
conocer para poder predecir su evolución futura frente a cualquier señal de entrada que le
apliquemos. La utilización del tratamiento del espacio de estados condujo rápidamente a
una compensación más profunda de los problemas científicos y matemáticos del Control
Automático y se puede considerar que su introducción marca la emergencia de éste como
una disciplina científicamente madura.
Hacia mediados de los años 50 los trabajos de Pontryagin y Bellman, entre otros ,
dejaron claro la gran utilidad del concepto de estado en la formulación y solución de
muchos problemas de decisión y control .
La importancia creciente de los métodos del espacio de estados lleva a R.E. Kalman
a investigar la relación entre las representaciones en el espacio de estado (representación
interna) y la función de transferencia (representación externa) lo que motivó la introduc
ción de dos conceptos estructurales fundamentales para la compensación de los sistemas
dinámicos: controlabilidad y observabilidad. La incorporación de todos estos métodos del
dominio temporal tuvo un efecto profundo sobre el problema del control y dio lugar a
contribuciones importantes para resolver los problemas de guiado del programa espacial
que se había iniciado a comienzo de los años 60.
xv
www.FreeLibros.org
A partir de estas consideraciones el estudio de los sistemas lineales invariantes en el
tiempo, tanto continuos como discretos , es sin lugar a dudas uno de los recursos que
cualquier especialista en Control Automático debe estudiar y por supuesto conocer. Este
libro con el que se inicia la serie «Fundamentos» de la colección «Control Automático e
Informática Industrial» tendrá, estamos seguros, una muy buena acogida entre la amplia
comunidad de personas que se dedica de una u otra forma a trabajar en este apasionante
campo del Control Automático.
El texto está escrito en un estilo muy directo cuya lectura resultará de indudable valor
de una parte a nuestros estudiantes y de otra al profesional que se dedica al ejercicio
práctico de la Automática para reforzar y mejorar su formación en toda esta temática.
La significación real de la introducción de los métodos del espacio de estado supone el
comienzo de un nuevo, más general , más riguroso y profundo enfoque de nuestro campo.
Ahora estamos empezando a ver que el Control Automático es una disciplina muy vasta
y que se requieren esfuerzos redoblados para ir enmarcando sus fundamentos técnicos .
Madrid, octubre de 2001
Consultores editoriales
Profesores Pedro Albertos
Javier Aracil
Sebastián Dormido
XVI
www.FreeLibros.org
Prólogo
Si «la información es poder» y nuestro objetivo es poder controlar el comportamiento
de un sistema, ¿qué mejor que tener la máxima información posible sobre dicho sistema,
para ser utilizada en su control? Esta es la idea básica del Control en el Espacio de
Estado. Es decir , contar con la máxima información posible del sistema con
objeto de utilizarla para controlarlo mejor.
Con esta idea básica como objetivo principal , el libro se halla dividido en distintos
capítulos que abordan las diferentes fases hasta la consecución del control de un sistema
partiendo de la máxima información posible de éste, información que viene representada
por el denominado "estado del sistema". Así cada capítulo aborda y resuelve cada una
de las importantes cuestiones planteadas, que son:
1 . ¿Cuál es la máxima información que determina e l comportamiento de
un sistema? En el Capítulo 1 se explicita que dicha información esta formada por
un conjunto mínimo de variables que constituyen el denominado estado del sistema
que, junto con la evolución de las entradas al mismo, determinan el comportamiento
de cualquiera de sus variables . La evolución temporal del estado obedece a unas
ecuaciones que, junto con la relación entre sus variables y el resto del sistema,
forman el denominado modelo de estado del sistema.
2. ¿Cuál es la evolución temporal del sistema si conocemos las leyes de
variación de las entradas y la información de su estado en el instante
inicial? La resolución de esta pregunta, abordada en el Capítulo 2, es crucial para
relacionar las entradas con la evolución del sistema y ésta con sus salidas medibles .
Estos resultados son explotados en los dos capítulos posteriores para contestar a
las preguntas fundamentales que a continuación se enumeran.
3 . ¿Qué parte del sistema puede controlarse con las entradas disponibles?
Esta pregunta se resuelve en el Capítulo 3, en el que se separan claramente las
variables que pueden controlarse con las entradas del sistema, que constituyen el
denominado subsistema controlable, de aquellas variables cuya evolución tempo
ral es independiente de las entradas y está solamente relacionada con sus valores
iniciales y la propia dinámica interna del sistema.
XVII
www.FreeLibros.org
4. Si las variables que constituyen el estado del sistema tienen toda la información
necesaria de esté en un instante dado ¿cómo se puede conocer su valor? O dicho de
forma más precisa, ¿cuáles son las variables que forman parte del estado
del sistema, cuyo valor puede obtenerse a partir de las manifestaciones
exteriores del comportamiento de éste (es decir, sus salidas y entradas)?
Esta cuestión se resuelve en el Capítulo 4, en el que se especifica que dicho conjunto
de variables de estadoconstituye el denominado subsistema observable, puesto que
su valor puede calcularse a partir de las salidas y las entradas del sistema, si se
lo separa del resto de las variables de estado, cuya evolución temporal no tiene
ninguna repercusión sobre el comportamiento de las salidas del sistema.
Llegado a este punto y al final de este capítulo, se obtiene un subsistema deno
minado controlable y observable , constituido por un subconjunto de variables
formadas por combinación lineal de las variables de estado del sistema original , tal
que la información de su estado puede conocerse con mediciones externas de sus
salidas y entradas y cuya evolución temporal puede controlarse con el conjunto de
entradas disponibles . Éste es, por tanto, el subsistema que puede y va a ser utilizado
en los capítulos subsiguientes para efectuar el denominado Control en el Espacio
de Estado o control por realimentación del estado del sistema.
5 . Si un sistema, o subsistema, puede ser controlado con sus entradas: ¿cómo deben
calcularse estas entradas en función del estado del sistema, para modi
ficar su dinámica? Esta cuestión es abordada y resuelta en el Capítulo 5, en
el que se ve que en los sistemas controlables , no sólo puede fijarse su evolución
temporal con una entrada adecuada, sino que su dinámica puede modificarse de
forma sustancial (fijación de sus polos) mediante una realimentación del esta
do del sistema. En este capítulo se aborda y resuelve igualmente el problema del
servoposicionador, en el que se consigue controlar el valor en régimen permanente
de la salida de un sistema, modificando adicionalmente su dinámica mediante la
realimentación de sus estados .
6. Si el capítulo anterior resuelve la modificación potestativa de la dinámica del sis
tema a partir del conocimiento de su estado, surge de forma inmediata la importante
cuestión: ¿cómo es posible conocer el estado del sistema a partir de sus
manifestaciones exteriores (es decir, sus entradas y salidas) para que
pueda ser utilizado en la modificación de la dinámica del sistema? Esta
cuestión es resuelta en el Capítulo 6 para el subsistema observable, mediante el
diseño de los sistemas denominados observadores del estado del sistema. La reali
zación práctica de estos sistemas observadores impide que sus cálculos se efectúen
mediante operaciones matemáticas derivativas , difícilmente realizables en la prác
tica, obligando por tanto a que estos observadores constituyan un sistema con su
propia dinámica intrínseca en el cálculo de su salida (es decir , variables de estado
estimadas del sistema original) y en función de sus entradas (es decir , entradas y
salidas del sistema original) . En este capítulo se resuelve el diseño de estos sistemas
XVIII
www.FreeLibros.org
observadores del estado, imponiéndoles consecuentemente una dinámica mucho más
rápida que la de la evolución de las propias variables de estado que se estiman.
Este capítulo supone la culminación de la estructura completa de Control por Reali
mentación del Estado en sistemas continuos y como tal es abordada en los apartados
correspondientes de dicho capítulo.
7. Si el control del sistema se efectúa mediante un dispositivo digital , en el que la in
teracción entre ambos se realiza en instantes de tiempo determinados y periódicos :
¿cuál es el estado considerado éste desde el punto de vista del sistema
digital de control? ¿Y cuál es el modelo que determina el comportamien
to del sistema en los instantes de tiempo de interacción con él? Estas
cuestiones son resueltas en el Capítulo 7 mediante la obtención de un modelo dis
creto de comportamiento de los sistemas , tanto en el caso en el que vienen descritos
por ecuaciones en diferencias , como en el caso de los sistemas muestreados , en los
que se dispone inicialmente de unas ecuaciones diferenciales de su comportamiento,
pero sobre los que se interacciona desde fuera sólo en instantes concretos de tiempo
y de forma periódica.
8 . Una vez obtenido el modelo del comportamiento dinámico de los sistemas discretos
(al menos desde el punto de vista del sistema de control) ¿cuál es la evolución
temporal del sistema a partir del instante en el que se conoce su estado
y conocida la ley de variación de las entradas? Esta cuestión es resuelta en el
Capítulo 8, obteniéndose unas ecuaciones de evolución del sistema completamente
análogas a las obtenidas en el Capítulo 2 para modelos continuos , pero con un
cálculo más sencillo a partir del modelo discreto, debido a la simplificación que
introduce en su resolución la importante limitación temporal de interacción sobre
el sistema.
9 . Una vez vista la analogía entre las ecuaciones de los modelos discretos y continuos,
surgen las mismas preguntas que las abordadas anteriormente para éstos últimos:
¿es posible controlar el estado de un sistema?, ¿es posible calcular su
estado a partir de la información de las entradas suministradas y de las
salidas medidas? La respuesta a ambas preguntas lleva a los mismos conceptos
de controlabilidad y observabilidad de sistemas continuos , pero con la característica
diferenciadora de que en los sistemas discretos es importante determinar el número
de valores de entrada o de salida que son necesarios tanto para controlar el sis
tema como para observarlo, hecho diferenciador debido claramente a la importante
limitación temporal de interacción con ellos .
La determinación de la controlabilidad y observabilidad del sistema lleva a la obten
ción del subsistema que es simultáneamente controlable y observable, y por tanto
adecuado para efectuar su control por realimentación del estado. Este control se
realiza mediante una estructura análoga a la vista en sistemas continuos , que in
cluye un sistema observador del estado y una realimentación hacia la entrada del
XIX www.FreeLibros.org
estado calculado por el observador.
Todas las cuestiones anteriormente planteadas y su resolución son abordadas de for
ma progresiva en los distintos capítulos de este libro. Para ello, en cada uno se avanza
en la resolución teórica de las interrogantes planteadas, intercalando ejemplos que ilus
tran su aplicación en casos prácticos y de forma progresiva hasta cubrir los objetivos
inicialmente planteados. Al final de cada capítulo se recogen una serie de problemas
resueltos , que ilustran la aplicación de los nuevos avances expuestos, entremezclados con
conocimientos adquiridos en capítulos anteriores y aumentando en consecuencia la co
herencia del conjunto. Por último el alumno dispone en cada capítulo de una serie de
problemas planteados y no resueltos , que pueden ser utilizados para la autoevaluación
de sus conocimientos y su aplicación a la resolución de problemas prácticos.
Madrid, octubre de 2001
Los autores
Profesores Sergio Domínguez
Pascual Campoy
José María Sebastián
Agustín Jiménez
xx
www.FreeLibros.org
Prólogo a la 2a edición
Han pasado cinco años desde la publicación de la primera edición de este libro, tiempo
suficiente para que su utilización en clase haya puesto de manifiesto posibles vías para
la actualización del texto. De entre todas ellas , finalmente se ha considerado atacar
el problema de su mejora fundamentalmente a través de dos caminos: la revisión y la
ampliación.
El texto de la primera edición se ha revisado profundamente, dando lugar a la reorde
nación de algunos conceptos para mejorar la claridad de la presentación y la comprensión
global de la materia. A la vez, se han incluido también multitud de nuevos ejemplos cuya
intención es ir más allá del uso de una determinada fórmula; en su mayoría, siguen una
idea de profundización en los conceptos teóricos a través de su aplicación práctica. El
resultado es una serie de casos en los que se hace uso extensivo de la teoría, revisando
metódicamente sus posibilidades, peculiaridades y, sobre todo, los aspectos más rele
vantes de su utilización en situaciones reales . Dada la considerable extensión de algunosde ellos , se ha considerado como mejor solución agruparlos en una sección aparte de cada
capítulo, con la intención de mejorar la legibilidad de la parte teórica, evitando prolon
gadas interrupciones . Así, bajo el nombre de Ejemplos adicionales, el lector encontrará
estos casos de uso extendidos; a diferencia de los ejercicios , tanto resueltos como pro
puestos, que se incluyen en cada capítulo y cuyo objetivo es facilitar la práctica de los
conocimientos adquiridos , estos ejemplos se incorporan como una herramienta didáctica
de apoyo a la explicación teórica mediante la aplicación y el análisis de los resultados
obtenidos con las técnicas presentadas.
El contenido del libro ha sido asimismo ampliado mediante la inclusión de nuevos
conceptos teóricos; todos ellos se fundamentan en las técnicas presentes en la primera
edición, pero representan una lectura avanzada. Estos nuevos contenidos atañen funda
mentalmente a controlabilidad y observabilidad, profundizando en su estudio teórico y
en los aspectos de su aplicación en la práctica, y llegando, como consecuencia, a plantear
la reducción del modelo. En este sentido, el resultado de esta segunda edición es un texto
que se puede entender como estructurado en dos niveles : uno básico y otro avanzado,
como ya se ha dicho. El básico constituye el contenido apropiado para un curso de ini
ciación a los conceptos y técnicas del control mediante variables de estado, mientras que
el avanzado incluye los contenidos accesibles para lectores familiarizados con lo anterior .
XXI
www.FreeLibros.org
Como en el caso de los ejemplos extendidos , se ha intentado que la inclusión de estos
nuevos contenidos no interfiera con la lectura por parte de quienes toman contacto con el
control con variables de estado por primera vez, de forma que se ha optado por marcar
estos conceptos avanzados con el signo 6, visible tanto en el cuerpo del texto como en el
Índice general . De esta forma, al comenzar una sección cuya temática se considera fuera
del temario básico, la presencia de este símbolo avisa al lector novel de que su contenido
está orientado hacia personas con más experiencia.
Los autores deseamos aprovechar la oportunidad que ahora se nos presenta para
mostrar nuestro agradecimiento a todas las personas que han hecho posible la apari
ción de esta segunda edición; comenzando por todos aquellos que con sus comentarios y
aportaciones han permitido la mejora del texto, siguiendo por los Consultores Editoriales
de la colección de "Automática y Robótica" y terminando, no por ello con menor efusión,
por el Equipo Editorial de Prentice-Hall .
Madrid, mayo de 2006
Los autores
Profesores Sergio Domínguez
Pascual Campoy
José María Sebastián
Agustín Jiménez
XXII www.FreeLibros.org
Parte 1
Sistemas continuos
1
www.FreeLibros.org
www.FreeLibros.org
1 Modelo de esta do
1 . 1 . Introducción
La teoría moderna de control está basada en el conocimiento del comportamiento
interno de los sistemas , reflejado en las variables que influyen en su dinámica. Estas
variables constituyen el concepto de estado del sistema, que será definido en este primer
capítulo, y establecen la piedra angular de dicha teoría. El conocimiento de la evolución
de todas las variables que influyen en la dinámica del sistema permite efectuar un control
más potente de ésta y abordar el control de sistemas más complejos.
La teoría moderna de control se desarrolla para solventar algunos de los problemas
en los que presenta fuertes limitaciones la denominada teoría clásica, basada en el mode
lado de la relación entre una entrada y una salida de los sistemas dinámicos lineales de
parámetros constantes . Las ventajas de la teoría moderna de control , en contraposición
a la teoría clásica, son fundamentalmente las siguientes:
• Es aplicable a sistemas multivariables en los que existe un elevado grado de interac
ción entre las variables del sistema, no pudiendo establecerse bucles de control entre
una salida y una entrada concreta que se puedan ajustar de forma independiente
según se aborda en la teoría clásica.
• Es aplicable a sistemas con relaciones no-lineales entre las variables involucradas
en su dinámica y cuyo comportamiento no puede ser aproximado por un modelo
lineal , dentro del rango de valores que van a tomar sus variables .
• Es aplicable a sistemas cuyos parámetros varían en el tiempo a velocidades com
parables con la evolución de sus variables, para los que no se puede obtener, en
consecuencia, un modelo de parámetros constantes válido en el rango temporal
necesario para efectuar el control .
3
www.FreeLibros.org
4 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
• Es aplicable a sistemas complejos de control , con un gran número de variables
internas que condicionan el comportamiento futuro de la salida. La utilización de la
realimentación sólo de la salida, según el modelo clásico, empobrece la información
disponible por el regulador para controlar la planta, lo que llega a impedir un
control de la salida del sistema con mejores prestaciones .
• Es aplicable a la optimización del comportamiento de sistemas , entendida ésta como
la minimización de una función objetivo que describe un índice de costo que a su
vez refleja la calidad en la consecución de los objetivos de control .
Las mencionadas ventajas diferenciadoras de la teoría son abordadas por distintas
ramas del control , denominadas respectivamente: control multivariable, control no-lineal ,
control adaptativo, control por asignación de polos y control óptimo. Aunque cada una
de estas ramas del control automático utiliza técnicas que le son propias, todas ellas
confluyen en la necesidad de un modelo del comportamiento de sistemas dinámicos que
incluya la evolución de sus variables internas , que pueda aplicarse a sistemas multivaria
bles y que pueda ser no-lineal y/o de parámetros no constantes. Este modelo del sistema
es el denominado modelo de estado del sistema, que se presenta y estudia en el presente
libro.
Si los sistemas multivariables a los que se aplica la teoría moderna de control presentan
un comportamiento dinámico que puede aproximarse por modelos lineales de parámetros
constantes, se simplifica mucho su análisis y el diseño de los reguladores multivariables .
El estudio de estos sistemas lineales e invariantes es abordado en los apartados correspon
dientes de cada uno de los capítulos de este libro, estudiándose en los últimos capítulos
el diseño de reguladores para la asignación directa de los polos del sistema multivariable,
que fijan su comportamiento dinámico en cadena cerrada.
1 . 2 . Concepto de estado
La teoría moderna de control se basa en la representación matemática de los sistemas
dinámicos por medio del concepto de estado, en contraposición con la teoría clásica de
control, que utiliza únicamente la relación entre su entrada y su salida.
Se define estado de un sistema como la mínima cantidad de información nece
saria en un instante para que, conociendo la entrada a partir de ese instante, se
pueda determinar cualquier variable del sistema en cualquier instante posterior.
Es común emplear la nomenclatura de representación interna, cuando se utiliza el es
tado para representar un sistema, y representación externa, cuando se emplea la relación
entrada-salida. Se diferencia entre ambas nomenclaturas para recalcar los distintos enfo
ques. El Ejemplo 1 . 1 que se describe a continuación pone de manifiesto las diferencias .
www.FreeLibros.org
1 .2 . CONCEPTO DE ESTADO
Ejemplo 1.1
El depósito de la figu ra recibe u n ca uda l q(t) que mod ifica el vol umen de
l íqu ido que contiene, según la expresión :
q(t) = V(t) = Ah(t)
h(t)
Entrada Salida
J SISTEMA L • -..... Ji Estado h�t� .� _1III1t:-
q(t) - h(t)
Suponiendo constante la sección A del depósito, la evolución de la a ltura se
puede ca lcu lar i ntegrando la a nterior expresión :
¡t 1 h(t) = -00 ¡¡q(T)dT
Para determinar la altura en cua lq uier instante de tiempo, es necesario cono
cer la evolución del cauda l desde el comienzo de los tiempos, lo que evidente
mente obl iga a u n conocim iento de las cond iciones q ue han actuado sobre el
sistema , norma lmente fuera de a lca nce. En la teoría clásica de control se rea l iza-
5
www.FreeLibros.org
6 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
ban a lgunas s imp l ificaciones, como considerar que las cond iciones i n ic ia les era n
nu las.
U na a lternativa a estos p lanteamientos , sobre la q ue se basa la teoría moderna
de contro l , es considerar la información que resuma todo lo acontecido en el
s istema hasta ese momento . Esta i nformación , q ue si es la mín ima se denomina
estado, podría ser en el presente ejemplo la a ltura en u n determi nado instante
to : h(to ) ; de esta forma la evol ución de la a ltura del depósito sería :
l.t 1 h(to ) + A q(r)dr to
h(t) lJ!(t , to , h(to ) , q(r) ) , t o < r ::; t
Donde se aprecia que la a ltura en un determ i nado instante de tiempo sólo
depende de los instantes i n ic ia l y f ina l , de la entrada ap l icada entre ambos y
de la a ltura en el i nsta nte i n ic ia l (no i nfluye la evol ución hasta entonces , sólo el
valor en ese instante) . La a ltura del depósito representa el estado en el ejemplo
considerado y, debido a su senc i l lez, coi ncide con la sa l ida del s istema . Esta
situación no es en absol uto genera l izable a otros sistemas, en los cua les la sa l ida
y el estado no só lo no tienen por qué coi ncid i r , s ino que n i s iqu iera han de poseer
la misma d imensión .
La cantidad mínima de información que define el estado viene representada por un
conjunto de variables Xi (t) cuyos valores dependen del instante t considerado, denomi
nadas variables de estado del sistema. Este conjunto de variables, x(t) , recibe el nombre
de vector de estado. En la gran mayoría de los sistemas físicos reales se podrá obtener un
modelo suficientemente aproximado donde el vector de estado sea de dimensión finita, n,
siendo éste el único caso estudiado a lo largo de todo este texto.
Si además se representa el conjunto de variables de entrada mediante el vector u(t) ,
la anterior definición puede expresarse de forma matemática como:
x(t) = lJ!(t, to , x(to ) , u(r) ) , to < r ::; t ( 1 . 1 )
Si bien el modelo de estado tal como se formula es válido para establecer la repre
sentación de sistemas tanto lineales como no lineales, en el presente texto el estudio se
va a centrar en los primeros, atendiendo, en primer lugar, a los sistemas lineales contin
uos y, en la segunda parte del libro, a los discretos. El hecho de que no se profundice
igualmente en el estudio de los sistemas no lineales viene dado por la falta de generalidad
www.FreeLibros.org
1 .2 . CONCEPTO DE ESTADO 7
en su tratamiento; no existe un procedimiento universal para la solución de ecuaciones
diferenciales no lineales (y un modelo de estado de un sistema no lineal es precisamente
eso) , por lo que no se puede establecer una metodología genérica para su análisis . En aras
pues de avanzar en la introducción de los conceptos fundamentales de la teoría moderna
de control , se orienta por tanto el estudio hacia los sistemas lineales .
En principio, para la formulación del modelo de estado de la Ecuación 1 . 1 se van
a establecer dos hipótesis ya conocidas, y que también aparecen en la teoría clásica de
control ; en primer lugar, el estudio se centra en los sistemas físicos , sistemas que por
propia naturaleza cumplen con el principio de causalidad, por lo que siempre se parte del
supuesto de que se ha de cumplir con esta propiedad. Dentro de los sistemas causales, el
análisis se centra en los sistemas deterministas, para los que dada una entrada se puede
encontrar una salida de forma unívoca; en contraposición a los sistemas estocásticos, para
los que la salida ante una determinada entrada se modeliza como una cierta función de
densidad de probabilidad.
El vector de estado se define sobre el denominado espacio de estado:
Espacio de estado es el espacio vectorial en el cual el vector de estado toma
valores, teniendo por tanto la misma dimensión que el número de elementos de
dicho vector.
Al ser el espacio de estado un espacio vectorial , admite infinitas bases , relacionadas
entre sí mediante transformaciones lineales . La representación del estado depende de la
base elegida, por lo que también existen infinitas posibilidades, igualmente relacionadas
entre sí por transformaciones lineales . Esta dependencia no afecta a cualquier variable
externa, como las entradas y las salidas, que no modifican su expresión sea cual sea la
representación del estado elegida.
El valor del estado en distintos instantes varía en función de las condiciones iniciales
con las que empieza a evolucionar el proceso y de la entrada que recibe el sistema, según
se refleja en la Ecuación 1 . 1 . El comportamiento descrito por esta ecuación se traduce
en que cada una de las variables de estado modifica su valor a lo largo del tiempo, tal
como se observa en la Figura 1 . 1 para el caso de un modelo con tres variables de estado;
la combinación de estas evoluciones , por eliminación del tiempo entre todas ellas , se
concreta en una trayectoria que el vector de estado sigue dentro del espacio de estado,
como puede verse en la Figura 1 .2 .
1.2.1. Propiedades de las variables de estado
Las trayectorias que describe el vector de estado de un sistema causal y determin
ista dentro del espacio de estado están sujetas a las siguientes condiciones ligadas a la
definición de estado del sistema:
1. Unicidad
't/t � to, Xo = x(to ) , U(T) to < T � t =} x(t) es única.
www.FreeLibros.org
8
X,
1.5
X,
1
X,
0.5
0.25
-0.25
-0.5
-0.75
-1
CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADC
Figura 1 . 1 : Evolución temporal de las variables de estado.
¡- ----
/ \ ----/ ----
----
¡1
/ I
X3 / / I
---- I
/ ----
-1 I
0.5
o
o
I -0.5X,
Xl
-1
2
Figura 1 . 2: Trayectoria del vector de estado en el espacio de estado. www.FreeLibros.org
1.3 . ECUACIONES DEL MODELO DE ESTADO
2. Continuidad
Las trayectorias en el espacio de estado son funciones continuas:
lím x(t) = x(to )
t---+to
3. Transitividad o propiedad de transición
Vt, to
9
(1 . 2)
Si se considera en una trayectoria en el espacio de estado tres tiempos, to , tl Y
t2 , tal como se muestra en la Figura 1 .3 , el valor del estado en estos tiempos está
relacionado por esta propiedad de transición:
siendo:
2 x(to) �/:, -'---........ JI."
x(td
Figura 1 .3: 'fransitividad de estado
X(t2 ) = W(t2, to, x(to ), U(T) ) con to < T ::; t2
X(t2 ) = W(t2, tl ,x(h), U(T) ) con h < T ::; t2
x(td = w(tl , to, x(to ), U(T)) con to < T ::; h
Esto significa que para conocer el estado en el instante t2 da lo mismo:
• Conocer el estado en to Y la entrada entre to Y t2·
• Conocer el estado en h y la entrada entre tl y t2·
1 . 3 . Ecuaciones del modelo de estado
Como se ha establecido con anterioridad, la teoría de estado representa un formalismo
para el tratamiento y resolución de sistemas dinámicos deterministas . Una definición
amplia de dichos sistemas es la siguiente:
www.FreeLibros.org
10 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
Un modelo de sistema dinámico determinista es una relación matemática entre
dos conjuntos de variables, las de entrada y las de salida:
u(t) � y(t)
donde u(t) es un vector de dimensión m e y(t) es un vector de dimensión p.
En la teoría moderna se añade, como ya se ha explicado, otro conjunto de variables,
a las que se llama estados. Entradas y estados se encuentran relacionados como ya se vio
en la Ecuación 1 . 1 . De otra parte, como el estado recoge toda la información del sistema
en un determinado instante, es posible definir una relación de la salida con éste y con la
entrada. Dicha relación se establece mediante una ecuación de la forma:
y(t) = r¡(t , x(t) , u(t) ) ( 1.3)
donde se puede observar que la salida en el instante t sólo depende del tiempo, del estado
y de la entrada en ese instante, no del estado y de la entrada en instantes anteriores .
Esto se debe a que toda esta información, por propia definición, ya está recogida en el
estado.
Los sistemas dinámicos diferenciales se caracterizan porque pueden ser representados
por una ecuación que incluya información del estado de la forma:
x(t) = ¡(t, x(t) , u(t) )
y(t) = r¡(t, x(t) , u(t) )
( 1 .4)
( 1 .5)
donde a la Ecuación 1 .4 se le llama ecuación de estado, que representa la dinámica de la
evolución del estado del sistema, y a la Ecuación 1 .5 se le llama ecuación de salida. La
resolución de dicha Ecuación 1 .4 con unas determinadas condiciones iniciales da lugar a
la Ecuación 1 . 1 , que describe la trayectoria seguida por el estado dentro del espacio de
estado.
A la representación de estado descrita en las Ecuaciones 1 .4 y 1 .5 se le llama realización
en el espacio de estado del sistema. Asimismo, se llama orden del modelo al número de
variables de estado con el que se construye.
De estas ecuaciones se intuye la continuidad de las trayectorias descritas por las
variables de estado, que la dimensión del vector de estado coincide con el número mínimo
de condiciones iniciales necesarias para resolver la ecuación de estado y que pueden
considerarse como variables de estado las salidas de los integradores .
Como el estado es la representación suficiente del sistema, para determinar su dinámi
ca también basta el conocimiento de las variables de estado y de la ecuación de estado.
De esta forma, aspectos como la estabilidad del sistema y sus posibles estados de equi
librio, entendiendo por tales valores del estado en los que el sistema funciona por tiempo
www.FreeLibros.org
1 .3. ECUACIONES DEL MODELO DE ESTADO 1 1
indefinido sin que se produzca variación alguna, se estudian a partir de la Ecuación 1 .4;
el estudio de estabilidad requerirá de métodos específicos según la naturaleza lineal o no
lineal de esta ecuación, mientras que la determinación de los estados de equilibrio se lleva
a cabo encontrando las soluciones de la ecuación:
J(t, x(t) , u(t) ) = O ( 1 .6)
Ejemplo 1.2
11 Obtener el modelo de estado que define la evolución del desplazamiento y (t) ,
de una masa M con constante elástica K y con coeficiente viscoso J, ante u na
fuerza de desplazam iento F(t) :
111 y(t)
f
F(t) = Ky(t) + Jdy(t) + Md
2y(t)
dt dt2
Al ser u n sistema de segundo orden , se necesitarán dos varia bles de estado.
Se e l igen:
Xl (t) = y (t)
X2 (t) = y(t)
Teniendo en cuenta que u(t) = F(t) , las ecuaciones del modelo de estado serán :
:i;¡ (t)
:h (t)
y(t) = X2 (t)
1
jj(t) = M [u(t) - Ky(t) - Jy(t) ] =
1
M [u(t) - KX1 (t) - JX2 (t) ]
www.FreeLibros.org
12 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
La ecuación de sa l ida será s imp lemente :
y (t) = Xl (t)
1.3.1. Sistemas dinámicos lineales
En primer lugar, es necesario conocer si un sistema dinámico dado es o no lineal . Para
ello se le aplica el test de superposición:
Se tiene un sistema que partiendo de un estado inicial cualquiera Xl (to ) , con una
entrada cualquiera Ul (r) , to < r ::; t, responde con una salida Yl (t) , y a partir de
cualquier otro estado inicial X2 (tO ) con cualquier otra entrada u2 (r) , to < r :S t,
responde con otra salida Y2 (t) . Se dice que dicho sistema es lineal si para todo a
y b reales, partiendo del estado inicial X3 (tO ) = aXl (tO )+ bX2 (tO ) con una entrada
u3 (r) = aUl (r) + bU2 (r) , to < r ::; t, la salida es Y3 (t) = aYl (t) + bY2 (t) .
Esta propiedad de linealidad en sistemas diferenciales se traduce en que las funciones
f y r¡ son lineales con respecto a x y a u:
f (t , aXl (t) + ,BX2 (t) , aul (t) + ,Bu2 (t) ) =
= af(t , xl (t) , Ul (t) ) + ,Bf(t , X2 (t) , U2 (t) )
r¡ (t , aXl (t) + ,BX2 (t) , aUl (t) + ,Bu2 (t) ) =
= ar¡(t , xl (t) , Ul (t) ) + ,Br¡(t , X2 (t) , U2 (t) )
( 1 . 7)
( 1 .8)
donde f y r¡ son funciones vectoriales , por lo que la propiedad de linealidad se verifica
si y sólo si las ecuaciones del modelo de estado se pueden expresar en forma matricial
como:
x(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t)
y (t) = C(t)x(t) + D (t)u(t)
( 1 .9)
( 1 . 10)
Ésta es la forma en la que se representa el modelo de estado de un sistema dinámico
lineal , donde:
x(t) es el vector de estado, de dimensión n.
u( t) es el vector de entradas, de dimensión m.
y(t) es el vector de salida, de dimensión p.
A(t) es la matriz del sistema, de dimensiones n x n.
B(t) es la matriz de entradas, de dimensiones n x m.
C(t) es la matriz de salida, de dimensiones p x n.
D(t) tiene dimensiones p x n (en la mayoría de los sistemas es nula) .
Las expresiones de las matrices A(t) , B (t) y C(t) dependen de la representación del
estado elegida, como se detalla en la Sección 1 .4 .
www.FreeLibros.org
11 .3. ECUACIONES DEL MODELO DE ESTADO
Ejemplo 1.3
Para la evol ución del desp lazam iento y (t) , el modelo de estado en forma
matric ia l se ca lcu la a part i r de las ecuaciones dadas.
Tomando:
el modelo de estado queda como:
f
Xl (t) = y (t)
X2 (t) = iJ(t)
1
_ 1-M
.. y(t)
y (t) [ 1 O ] [ �� ] + [O]u(t)
1.3.2. Sistemas dinámicos invariantes
1 ] u(t)
Un sistema, con un estado inicial dado por Xo = x ( to ) , sometido a una entrada
uI (r) , to < r � t, Y que produce como salida la señal YI (t) , se dice que es
invariante si VT, partiendo del mismo estado Xo , pero en el instante to + T,
excitado con una entrada u2 (r + T) = UI (T) , to < T � t, responde con una
salida que es Y2 (t + T) = YI (t) .
13
Esta propiedad de invarianza significa que, en los sistemas lineales , las matrices A,
B, e y D tienen sus elementos constantes , no son funciones del tiempo.
www.FreeLibros.org
14 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO
1 . 4 . Transformaciones lineales
Se parte de una representación cualquiera de estado x(t) :
x(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t)
y (t) = C(t)x(t) + D (t)u(t)
y se define una Tnxn (t) con la particularidad de que no sea singular y de que exista la
derivada de su inversa. Se define un nuevo vector de estado a partir de x(t) mediante la
expresión:
x(t) = T(t)5é(t)
5é(t) = T-1 (t)x (t)
derivando la expresión de 5é(t) se tiene:
j¿(t) = (T�l ) (t)x(t) + T-1 (t)x(t)
como se cumple que:
{ x(t) = T(t)5é(t)
x(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t)
entonces se puede sustituir, quedando:
j¿(t) (T�l ) (t )T(t)5é (t) + T- 1 (t) [A(t)T(t)5é(t) + B (t)u(t) ] = [ (T�l ) (t )T(t) + T- 1 (t)A(t)T(t)] 5é(t) + T- 1 (t)B (t)u(t)
que junto con la ecuación:
y(t) = C(t)T(t)5é (t) + D (t)u(t)
supone una nueva representación del estado, equivalente a la inicial .
( 1 . 1 1)
( 1 . 12)
( 1 . 13)
Esta nueva representación del estado, mediante el vector de estado 5é(t) y obtenida
mediante una transformación lineal que en general depende de t , da lugar a nuevas
matrices del modelo:
A(t) = [ (T�l ) (t)T(t) + T- 1 (t)A(t)T(t)]
B(t) = T- 1 (t)B (t)
C (t) = C(t)T(t)
D(t) = D(t)
( 1 . 14)
Partiendo de un modelo de estado cualquiera y conociendo la matriz de transfor
mación T(t) , se puede obtener una nueva representación de estado. Esto es lo que se
denomina una transformación lineal en el espacio de estado.
www.FreeLibros.org
(]H5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS LINEALES 15
Lo que se está haciendo es un cambio de base por lo que e l vector de estado x(t) viene
definido por distintas componentes, pero sigue siendo el mismo. La matriz de transfor
mación T(t) es tal que sus columnas representan las coordenadas de los vectores que
constituyen la nueva base expresados en la base antigua.
La situación más común es que la matriz de transformación T sea invariante , es decir,
que no dependa del tiempo, lo que simplifica la expresión de las matrices del modelo de
estado en la nueva base:
A(t) = T-l A(t)T
B(t) = T- 1 B (t)
C (t) = C(t)T
D(t) = D(t)
1 . 5 . Representación gráfica de sistemaslineales
( 1 . 15)
¡ i El modelo de estado de un sistema lineal admite una forma gráfica por bloques similar
a la de los sistemas representados por su función de transferencia. Hay tres tipos básicos
de elementos:
1 . Bloque integrador, representado en l a Figura 1 .4 .
Figura 1 .4 : Bloque integrador.
y(t) = jt u(r)dr = y(to ) + (t u(r)dr
-00 ita
2. Multiplicación por una matriz , representada en la Figura 1 .5 .
u(t) �y(t)
.... · .. 0 ·
Figura 1 .5 : Multiplicación por una matriz .
y(t) = R(t)u(t)
( 1 . 16)
( 1 . 1 7) www.FreeLibros.org
16 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
3. Bloque sumador 1 , representado en la Figura 1 .6 .
u(t) y (t)
v (t)
Figura 1 .6 : Bloque sumador.
y(t) = u(t) + v(t)
Ejemplo 1.4
Ha l la r la representación gráfica del sistema :
jj(t) + aiJ(t) + by (t) = u(t) => jj(t) = -aiJ(t) - by (t) + u(t)
( 1 . 18)
El Ejemplo 1 .4 suministra un primer método para obtener el modelo de estado a
partir de la representación gráfica: tomar como variables de estado las salidas de los
integradores y considerar las condiciones iniciales en el instante to como estado inicial .
Hay que recordar que un mismo sistema admite distintas representaciones de estado, lo
que hará que el mismo sistema pueda estar representado por distintas matrices A, B , -C
y D. Así para el siguiente sistema:
( 1 . 19)
1 En adelante, si no se indica lo contrario, se suponen siempre positivas las entradas a todos los bloques
sumadores.
www.FreeLibros.org
1 .6 . FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y MODELO DE ESTADO 1 7
( 1 .20)
La representación de este sistema con los anteriores tipos de bloque será la represen
tada en la Figura 1 . 7 .
Figura 1 .7: Representación gráfica del modelo de estado.
En lugar de operar con escalares es más útil operar con vectores , como puede verse
en la Figura 1 .8 .
u(t)
Figura 1 .8 : Representación gráfica vectorial del modelo de estado.
1 . 6 . Función de transferencia y modelo de estado
El problema que se aborda en este apartado es obtener, a partir de la representación
del estado de un sistema lineal e invariante, la función de transferencia. Si el sistema no
www.FreeLibros.org
18 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO
cumple con estas dos condiciones, linealidad e invarianza, no es posible establecer esta
relación, puesto que el modelo de la teoría clásica requiere que el sistema cumpla con
estas condiciones .
La expresión de un sistema lineal e invariante es:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
( 1 .2 1 )
( 1 .22)
Para aproximar el modelo al de la función de transferencia se toman transformadas
de Laplace y se establece una relación entre la entrada y la salida. En principio, todas
las variables son vectores :
sX(s) - x(O) = AX(s) + BU(s)
donde x(O) es el vector de condiciones iniciales . Si es x(O) = 0, entonces:
[sI - Al X(s) = BU(s)
X(s) = [sI - Ar1 BU(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s) = C [sI - Ar1 BU(s) + DU(s)
Y(s) = [c [sI - Ar1 B + D] U(s) =>
=> G(s) = C [sI - Al - 1 B + D
( 1 . 23)
donde G(s) es una matriz de funciones de transferencia de dimensión p x m . Esta matriz
consiste, para todos sus elementos, en cocientes de polinomios.
Ya se tiene, de esta manera, una relación entre la función de transferencia de la teoría
clásica y el sistema de estado de la teoría moderna.
Como ya se ha visto en este capítulo, un mismo sistema admite infinitas representa
ciones de estado, pudiendo obtenerse una cualquiera a partir de una dada mediante la
aplicación de una transformación lineal .
Si T es una transformación invariante, la función de transferencia del correspondiente
sistema es, aplicando la Ecuación 1 . 15 :
O(s) e [sI - Á r 1 B + f> =
CT [sI - T- 1 AT] - 1 T- 1B + D =
CTT-1 [sI - Al - 1 TT- 1B + D =
C [sI - Ar1 B + D = O(s) ( 1 . 24)
Es decir , coincidiendo con la teoría clásica, la función de transferencia que rige la
relación entrada salida es única, sea cual sea el modelo de estado del sistema.
Teniendo en cuenta además que en 1 .24:
[sI - Al - 1 = det [s� _ Al Adj [sI - AlT ( 1 .25) www.FreeLibros.org
1 .7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 19
se concluye que el polinomio característico del sistema es :
p(s) = det [sI - Al ( 1 .26)
por lo que los polos del sistema coinciden con los valores propios de la matriz A.
Polos = Valores propios de A
Se ve asimismo que, como el polinomio característico sólo depende de A, también ha
4e ser así con la estabilidad del sistema. La posición de los ceros del sistema viene dada
por las matrices A, B , C y D.
1. 7 . Métodos de obtención del modelo de estado
Como se ha venido mencionando en distintas secciones de este capítulo, la represen
tación del estado de un sistema no es única, sino que pueden encontrarse infinitas, todas
ellas equivalentes entre sí, e igualmente válidas para la descripción del sistema. En esta
sección se van a explicar diferentes técnicas para obtener una representación del estado,
de forma que dado un sistema cada una de ellas es diferente, pudiendo obtenerse una a
partir de otra mediante transformaciones lineales .
Observando las ecuaciones de estado y de salida del sistema:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y (t) = Cx(t) + Du(t)
se pueden deducir las siguientes condiciones que habrá que tener en cuenta cuando se
elige un modelo de estado:
1 . En la ecuación de estado sólo pueden estar relacionadas las variables de estado, sus
primeras derivadas y las entradas .
2 . En la ecuación de salida sólo pueden estar relacionadas las variables de estado, las
entradas y las salidas.
3. Las variables de estado no pueden presentar discontinuidades , aunque la entrada al
sistema sí que las tenga, pues en tal caso la derivada de la variable de estado que
aparece en la Ecuación 1 .4 no estaría definida.
4. Se admiten discontinuidades en la entrada (por ejemplo, entrada en escalón) , por
lo que en ningún caso pueden elegirse las entradas como variables de estado del
sistema.
Existen distintas posibilidades de elección de las variables de estado de un sistema,
para cada una de las cuales las ecuaciones que definen su comportamiento, 1 .4 y 1 .5 ,
tienen distinta expresión. En los siguientes subapartados se explican diversas metodologías
para elegir variables de estado de un sistema y, por tanto, para representarlo mediante
su modelo de estado:
www.FreeLibros.org
20 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO
1 . Variables de estado como magnitudes físicas del sistema.
2 . Variables de estado como salida de los integradores del sistema.
3. Variables de estado de fase.
4. Variables de estado de Jordan.
Estas metodologías se presentan ordenadas de manera que las variables de estado
elegidas en cada una de ellas presentan un orden decreciente en su significado físico y un
orden creciente en cuanto a la simplicidad del modelo matemático resultante. Según este
criterio de ordenación, la primera metodología puede considerarse como la más intuitiva,
desde el punto de vista físico, y las dos últimas como las que presentan una mayor
elaboración matemática que repercute en la simplicidad de las ecuaciones del modelo de
estado resultante. La segunda, basada en la salida de los integradores, puede considerarse
con unas características intermedias , en las que las variables de estado elegidas pueden
tener una interpretación física y adicionalmente se puede sistematizar su elección para la
obtención del modelo de estado sencillo.
Según se verá en las subsecciones siguientes , las dos últimas metodologías expuestas
son aplicables solamente a sistemas lineales , mientras que la primera es la más genérica y
menos sistematizada, pudiéndose aplicar a cualquier tipo de sistemas dinámicos lineales
o no-lineales . La segunda puede aplicarse también a todo tipo de sistemas , si bien en
el caso de sistemas lineales se puede predecir la forma del modelo de estado resultante,
según se muestra en el Subapartado 1 . 7 . 2 .
1 . 7. 1 . Variables de estado como magnitudesfísicas
La idea básica es escoger como variables de estado los elementos que acumulan ener
gía, lo que impide que las variables de estado presenten discontinuidades. Al hablar de
elementos que acumulan energía, se hace referencia tanto a elementos que acumulan
energía potencial (un condensador , una masa suspendida a una cierta cota o el agua
dentro de un depósito hasta una cierta altura) , como a aquellos que acumulan energía
cinética (intensidades en bobinas, una masa desplazándose a una cierta velocidad o un
objeto girando a una cierta frecuencia) . Cuando uno de estos elementos acumuladores
de energía son puestos en contacto con un entorno con un nivel energético distinto,
se produce una transmisión de energía hasta producir un equilibrio energético, con la
característica de que dicha transmisión no es instantánea en ningún caso: el condensador
tiene una función de descarga, la masa suspendida cae con una cierta aceleración finita,
el móvil giratorio se decelera con una cierta aceleración angular, etc. Por tanto, las
variables que pueden elegirse como variables de estado son aquellas que caracterizan esta
transmisión de energía entre un objeto y el medio, y que al representar esa dinámica no
podrán sufrir variaciones bruscas :
• En sistemas eléctricos: las tensiones en los condensadores y las intensidades en las
bobinas.
www.FreeLibros.org
1 . 7. MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 21
• En sistemas mecánicos: las posiciones (energía potencial) y las velocidades (energía
cinética) .
• En sistemas hidráulicos : altura de fluido en los depósitos (energía potencial) .
• En sistemas térmicos : temperatura (energía térmica) .
Ejemplo 1.5
Elegi r u n conj u nto posib le de variables de estado para el sistema de la figu ra :
14 15
l/2
+ R R R
L
U e e
uc1 uc2 L/2 e e
Según se ha dicho, se deben elegi r como variables de estado aquel las que repre
sentan el "estado"de cada u no de los elementos acumu ladores de energía , que en
un ci rcuito electrón ico son las tensiones en los condensadores y las i ntensidades
en las bobinas . Por ta nto, las tensiones Uc1 Y Uc2 son varia bles de estado del
sistema que representan la tensión en condensadores d iferentes . Dichas tensiones
tienen en genera l va lores d isti ntos q ue dependen de sus condiciones i n icia les .
El m ismo razonamiento es ap l icable para concl u i r que las i ntensidades i4 e
i5 son ambas varia bles de estado y representan variab les d isti ntas que tendrán
en genera l valores d isti ntos , que son necesarios para determinar el estado del
sistema en cada insta nte.
Las tensiones Uc3 Y Uc4 no representan d isti ntas var iables físicas y son idén
ticamente igua les para cua lesqu iera cond iciones i n ic ia les y cua lq uier evol ución
de la d inám ica del sistema , representando en rea l idad la misma tensión física de
un m ismo condensador. Por tanto, deben ser designadas con el mismo símbolo
y ser elegidas sólo como una n ueva var iable de estado.
Un razonamiento aná logo a l del a partado a nterior l leva a la concl usión de
que la i ntensidad q ue pasa por la ú lt ima rama es la misma que pasa , s imu ltánea
mente , por los dos devanados contiguos q ue constituyen la ún ica bobina de esta
rama , y por tanto d icha i ntensidad debe considerarse como la ún ica variable de
estado asociada a d icha rama del c i rcu ito .
www.FreeLibros.org
22 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
Se concl uye , por consigu iente, q ue una adecuada elección de las variables de
estado l igada a los elementos físicos q ue componen el sistema es : Uc1 , Uc2 , Uc3 ,
i4 e is .
Ejemplos adicionales de obtención de modelos de estado basándose en este criterio se
pueden encontrar en la sección dedicada a tal efecto al final del capítulo, en concreto los
1 . 7 y 1 .8 .
1.7.2. Variables de estado como salida de los integradores
Una opción clara para elegir variables de estado de acuerdo con su definición da
da en la Sección 1 . 2 , es elegir éstas como las variables que representan las condiciones
iniciales de las ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento dinámico del sis
tema. Esta elección es equivalente a expresar dichas ecuaciones diferenciales en forma
de integraciones sucesivas y elegir como variables de estado la salida de cada uno de los
integradores, que por tanto no presentan discontinuidades en sus valores ante discon
tinuidades de la entrada.
Este procedimiento puede aplicarse de forma genérica tanto a sistemas lineales como a
sistemas no-lineales . Sin embargo, a continuación se expone dicho procedimiento aplicado,
de forma sistemática, a sistemas lineales con objeto de obtener una forma genérica del
modelo de estado para dichos sistemas, simplificando con ello la notación empleada. Un
ejemplo de aplicación a sistemas no-lineales de esta metodología de elección de variables
de estado puede verse en el Ejercicio 3 al final de este capítulo.
Variables de estado como salida de integradores en sistemas monovariables
Para estudiar esta metodología se va a considerar, en primer lugar, la obtención de
variables de estado de sistemas monovariables representados por una ecuación genérica
del tipo:
( 1 . 27)
donde por comodidad se ha omitido la dependencia del tiempo de las variables u(t) e
y(t) , como se hará en adelante con las Xi (t) .
Primeramente se reordena y se saca como factor común el operador derivada en dicha
ecuación genérica, resultando:
( 1 .28)
donde el término entre corchetes se obtiene mediante la integración del término de la
derecha de la ecuación y, por tanto, puede ser elegido como variable de estado, Xl ,
descomponiéndose entonces la anterior ecuación en las dos siguientes :
bou - aoy
(sn- l + an_ 1 Sn-2 + . . . + at )y - (bnsn- 1 + . . . + b1 )u
( 1 .29)
( 1 .30)
www.FreeLibros.org
1 . 7. MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 23
que son, respectivamente, la ecuación de salida del integrador y la ecuación que describe
la variable de estado.
Procediendo de forma análoga con la segunda de estas últimas ecuaciones se obtiene:
en la que de nuevo se elige el término entre corchetes como la siguiente variable de estado,
resultando:
xI + blu - aIY
(Sn-2 + an_ I Sn-3 + . . . + a2 )Y - (bnSn-2 + . . . + b2 )u
( 1 .32)
( 1 .33)
Procediendo reiteradamente de la misma forma, se van obteniendo ecuaciones con la
siguiente expresión genérica:
hasta obtener las dos últimas ecuaciones:
Xn- l + bn- Iu - an- I Y
y - bnu
( 1 .34)
( 1 .35)
( 1 .36)
la última de estas ecuaciones es la ecuación de salida del sistema monovariable, que puede
reescribirse como:
( 1 .37)
e introduciendo este valor de y en las ecuaciones anteriores de salida de los integradores
representadas por su expresión genérica 1 .34, se obtiene:
Xl = - aaXn + (ba - bnaa )u, para i = 1
Xi =Xi- l - ai- I Xn + (bi_ l - ai- I bn )U, para 1 < i ::; n
que, expresado en forma matricial , da lugar al siguiente modelo de estado:
Xl O O O -aa Xl ba - bnaa
X2 1 O O -al X2 bl - bnal
X3 O 1 O -a2 X3 + b2 - bna2
Xn O O 1 -an- l Xn bn- l - bnan- l
Y = [ O O 1 ] x + bnu
u
( 1 .38)
( 1 .39)
( 1 .40)
( 1 .41 ) www.FreeLibros.org
24 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO
Ejemplo 1.6
Ha l la r un modelo de estado del sistema descrito por :
u(t) K(s + e) y (t)
, S2 + as + b
Siendo el denomi nador no factorizable en �
se defi nen :
con lo que:
K(s + c)u = (S2 + as + b)y ::::}
::::} s2y + s (ay - Ku) + by - cKu = O ::::}
::::} s (sy + ay - Ku) + by - cKu = O
Xl = sy + ay - K u = iJ + ay - K u
sy = Xl - ay + K u ::::} X2 = Y
Xl + bX2 - cK u = O ::::} Xl = -bX2 + cK U
X2 + aX2 - K u - Xl = O ::::} X2 = Xl - aX2 + K u
y las ecuaciones de estado son :
-bX2 + cKu
-ax2 + XI + Ku
X2
Variables de estado como salida de integradores en sistemas multivariables
El procedimiento anterior se puede generalizar para sistemas lineales multivariables ,
representados por un conjuntode ecuaciones diferenciales y algébricas lineales. Denomi
nando Ui , (i = 1 , . . . , m) a las distintas entradas del sistema y Wi , (i = 1 , . . . , q) al resto
de las variables involucradas en las ecuaciones del sistema entre las que se encuentran las
variables de salida consideradas, para que el sistema esté bien definido existirán q ecua
ciones linealmente independientes , cada una de las cuales va a relacionar un conjunto Uj
de entradas con un conjunto Wj de variables intermedias y de salida: www.FreeLibros.org
1 .7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 25
= L (bji nj snj + . . . + bji l S + bji O )Ui para j = 1 , . . . , q ( 1 .42)
i EU,
verificándose que al menos uno de los coeficientes aji nj es no nulo y siendo nj = O en las
ecuaciones algébricas.
En cada una de las ecuaciones diferenciales se van eligiendo variables de estado de
manera análoga al procedimiento descrito para sistemas monovariables . En primer lugar
se reordena y se saca factor común al operador derivada:
= L bji OUi - L aji OWi ( 1 .43)
i EUj iEWj
Se elige entonces como variable de estado el término entre corchetes, descomponién
dose la ecuación anterior en las dos siguientes :
Xjl = L (aji nj Snj - l + . . . + aji l )Wi - L (bji nj Snj - l + . . . + bji ¡ )Ui }
i EW, iEUj
Xjl = L bji OUi - L aji OWi
iEUj iEWj
( 1 .44)
Al igual que en sistemas monovariables el procedimiento se reitera con la primera de
las anteriores ecuaciones , obteniéndose un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer
orden de la forma:
Xj k = Xj k- l + L bji k- l Ui - L aji k_ lWi para k = 2 , . . . , nj
i EUj i EWj
junto con la ecuación algébrica:
Xj nj = L aji nj Wi - L bji njUi
i EWj iEUj
( 1 .45)
( 1 .46)
La aplicación de este procedimiento a todas las ecuaciones diferenciales dará entonces
como resultado un conjunto de n ecuaciones diferenciales de primer orden, siendo:
( 1 .47) www.FreeLibros.org
26 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO
que se pueden agrupar de forma matricial , dando como resultado una expresión de la
forma:
( 1 .48)
También se obtienen q ecuaciones algébricas que se pueden agrupar de forma matricial:
( 1 .49)
donde, si las q ecuaciones iniciales son linealmente independientes, la matriz A2 , de
dimensiones q x q, será no singular pudiéndose despejar, por tanto, las variables w:
w = -A2l (E2x + B2u)
Sustituyendo ahora en 1 .48 se obtiene la ecuación de sistema:
( 1 . 50)
x = Elx + Bl U - AlA2 l (E2X + B2u) = (El - AlA2 lE2) x + (Bl - AlA2 lB2 )u
( 1 .51 )
Obsérvese que, al ser las variables de salida Yi un subconjunto de las variables Wi , el
vector de salida y se obtiene directamente del vector w mediante una matriz de selección
S, de modo que:
( 1 . 52)
En la sección dedicada al desarrollo de ejemplos se puede encontrar un caso de obten
ción del modelo de estado para un sistema multivariable por este método en el Ejemplo
1 .9.
Variables de estado como salida de sistemas de orden reducido
El procedimiento descrito es un método sistemático, en el que las ecuaciones diferen
ciales del sistema se han descompuesto en integraciones sucesivas de distintos términos,
que han sido elegidos como variables de estado del sistema, puesto que representan la
información del sistema en cada instante y no pueden presentar discontinuidades en sus
valores ante discontinuidades de la entrada.
Para elegir variables de estado no es necesario descomponer las ecuaciones diferen
ciales del sistema hasta obtener integradores puros, pudiéndose elegir alternativamente
como variables de estado la salida de una ecuación diferencial de primer orden simple,
o bien la salida y la derivada de ésta en una de segundo orden simple2 • En estos casos
se descompone el sistema original en bloques con funciones de transferencia de orden
reducido, en los que pueden elegirse sus salidas y las derivadas de sus salidas como varia
bles de estado sin necesidad de una descomposición más pormenorizada en integradores
puros , como la detallada anteriormente.
Varios casos de obtención de modelos de estado según este método se pueden encontrar
en los ejemplos agrupados en el Ejemplo 1 . 10 al final del capítulo.
2 Como norma general , se puede elegir como variable de estado la salida del bloque si el grado del
denominador supera en uno al del numerador; la derivada de la salida si el grado del denominador supera
en dos al del numerador, y así sucesivamente para las derivadas de orden superior de la salida.
www.FreeLibros.org
1 . 7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO
1 . 7. 3 . Variables d e estado d e fase
La expresión genérica de un sistema monovariable:
27
( 1 . 53)
puede reescribirse de la siguiente forma como cociente de dos polinomios en el operador
derivada s :
bmsm + . . . + bI S + bo ( 1 . 54) y = n n- l U S + an- l S + . . . + al S + ao
El procedimiento de elección de variable de estado de fase consiste en elegir como
primera variable de estado Xl :
( 1 . 55)
lo que quiere decir que Xl es una solución de la ecuación diferencial del primer término
igualada a u.
Se eligen las restantes variables por sucesiva derivación:
Xn = Xn- l
Con este criterio ya se pueden escribir las ecuaciones de estado:
Xn
SnXl = -an_ l Sn- lXl - an_2Sn-2Xl - . . . - al SXl - aOXl + u
-an- lXn - an-2Xn- l - . . . - al X2 - aOXl + u
( 1 .56)
( 1 . 57)
Con lo que ya puede construirse la ecuación de estado, que puesta en forma matricial
resultará:
o 1 O O O O
O O 1 O O O
O O O 1 O O
x = x + u ( 1 . 58)
O O O O 1 O
-ao -al -a2 -a3 -an- l 1
La ecuación de salida queda:
y = (bmsm + . . . + bI S + bo ) Xl ( 1 . 59)
www.FreeLibros.org
28 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
pasando esta expresión a notación matricial se obtiene:
y = [ bo b1 b2 . . . bm O . . . O ] x ( 1 .60)
Cuando n = m, en los casos en los que en la función de transferencia se cumple que
gr(num) = gr(den) , entonces al ser snX1 = xn se sustituye xn por la Ecuación 1 .57:
y (bnsn + . . . + b1 s + bo ) Xl =
bn [-aOX1 - a1X2 - . . . - an- 1Xn + u] +
+bn- 1xn + . . . + b1X2 + bOX1
En este caso, la ecuación de salida sería de la forma:
que podría ponerse en forma matricial como:
y = Cx + Du
( 1 .6 1 )
( 1 .62)
La matriz D sólo aparece si el grado del numerador es igual al del denominador, lo
que indica la matriz D es la acción directa de la entrada sobre la salida a la que se
superpone una respuesta dinámica.
1 . 7.4. Variables de Jordan
Partiendo de la Ecuación 1 .54, la representación del sistema en variables de Jordan
admite las siguientes opciones :
1 . Se suponen todos los polos simples y se descompone en fracciones simples , de la
forma:
y = (bn + � + � + " ' + �) u s - Al S - A2 S - An
Se le asigna una variable a cada uno de estos operadores :
1 Xl = --u S - Al
1 X2 = --u S - A2
1 X3 = -- u S - A3
1
xn = --u s - An
( 1 .63)
( 1 .64) www.FreeLibros.org
1 .7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO
con lo que la ecuación viene representada por:
x = [ �l �2 : : :
O O
La ecuación de salida se obtiene como:
y = [ PI P2 . . . Pn ] X + bn u
29
( 1 .65)
( 1 .66)
2. Suponiendo que uno de los polos tiene multiplicidad r, la descomposición se reali
zará como:
y (b + PI + . . . + Pr- l + �+ n (s - Adr (s - Ad2 S - Al
+ Pr+l + . . . + �) U S - Ar+l s - An
El método de asignación de variables de estado será:
1 1 Xl = u = --X2 ::::} (S - Al ) r S - Al
1 1 X2 = (s _ Adr- l u = s _ Al x3 ::::}
1 1 Xr- l = ( \ ) 2 U = --\-xr ::::} S - Al S - Al
1 Xr = --u ::::} S - Al
1 Xn = --u ::::} xn = AnXn + u s - An
Con esto, la ecuación de estado queda de la forma:
Al 1 O O O O O O Al O O O O O
x = O O Al 1 O O O O O O Al O O x +
O O O O Ar+l O 1
O O O O O An 1
( 1 .67)
( 1 .68)
u ( 1 .69)
www.FreeLibros.org
30 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
y la ecuación de salida toma la forma:
y = [ PI P2 Pr- l Pr Pr+l Pn ] x + bnu ( 1 . 70)
Cuando hay raíces múltiples,la matriz deja de ser diagonal y pasa a ser diagonal
por cajas de Jordan; lo que aparece es un bloque de dimensión r x r, en el cual la
diagonal principal tiene el valor del polo múltiple y la superior todo unos, con un
vector B de ceros con un uno en el último elemento.
La representación gráfica llevaría integradores en serie en el bloque de raíz múltiple
e integradores en paralelo en el de raíces simples .
De todo esto se concluye que de un sistema descrito mediante ecuaciones diferencia
les se pueden extraer de forma sencilla cuatro representaciones de estado diferentes, que
darán lugar a cuatro bloques de matrices que representan lo mismo.
1 . 7 . 5 . Estructuras compuestas
Los sistemas multivariables pueden considerarse compuestos por varios subsistemas
más sencillos conectados entre sí, de manera que las salidas de unos subsistemas actúan
como entradas de otros de forma directa o mediante sencillas operaciones algebraicas. Las
variables de estado del sistema global están formadas de manera natural por la unión de
las variables de estado de cada uno de los subsistemas que lo componen.
La obtención de las ecuaciones de estado del sistema global se puede realizar a partir
de las ecuaciones de estado de cada subsistema, eliminando las variables intermedias
que son salida de unos subsistemas y entradas de otros mediante la operación con las
ecuaciones de estado de dichos subsistemas . A continuación se presentan los casos de
conexión de sistemas más habituales .
1 . Dos sistemas disjuntos en serie, como los representados en la Figura 1 .9, donde
cada uno de ellos cumple:
{ Xl = AlXl + BlUl Yl = ClXl + DlUl
{ X2 = A2X2 + B2U2 Y2 = C2X2 + D2U2
Figura 1 .9 : Sistemas en serie. www.FreeLibros.org
1 .7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 31
La entrada del sistema conjunto es u = Ul , Y la salida y = Y2 ; por construcción se
cumple que U2 = Yl .
El estado del sistema conjunto será la unión de los dos subsistemas:
x = [ :� ]
De forma que sustituyendo U2 por Yl : { Xl = AlXl + BlUl
X2 = A2X2 + B2 (ClXl + DI ud
Y2 = C2X2 + D2 (ClXl + DI ud
=?
{ X = [ B�bl 12 ] X + [ B�bl ] U
Y = [ D2Cl C2 ] X + [D2Dl l u
2 . Dos sistemas disjuntos en paralelo, como los representados en la Figura 1 . 10:
u
Figura 1 . 10: Sistemas en paralelo.
Para este sistema se cumplen las siguientes relaciones :
u = Ul = U2
y = Yl + Y2
El estado del sistema vendrá dado por:
x = [ :� ]
Por lo que las ecuaciones de estado en forma matricial quedan:
www.FreeLibros.org
32 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
3. Sistema con realimentación constante de la salida:
r y
w
K
Figura 1 . 1 1 : Realimentación constante de la salida.
Las ecuaciones del sistema sin realimentar son:
Al realimentar se cumplirá que:
{ x = Ax + Bu
y = Cx + Du
w Ky
u r - w
con lo que la nueva entrada es r, la salida continúa siendo y y se sigue representando
el estado con el vector x. De todo lo anterior , se deducen las siguientes ecuaciones:
y = Cx + D(r - w) = Cx + Dr - DKy =} [1 + DK]y = Cx + Dr
y = [1 + DK] - l CX + [1 + DK] -lDr
x = Ax + B(r - Ky) = Ax + Br - BK[I + DK] - lCx - BK[I + DKtlDr
x = [A - BK[I + DK] - l C] x + [B - BK[I + DK] - lD] r
En el caso más habitual , que la matriz D se anule, la expresión anterior queda
como:
x = [A - BKC]x + Br
4. En un sistema con realimentación de estado como el que aparece en la Figura 1 . 12 ,
las ecuaciones del sistema sin realimentar son:
Al realimentar se cumplirá que:
{ x = Ax + Bu
y = Cx + Du
w = Kx
www.FreeLibros.org
1 .8 . EJEMPLOS ADICIONALES 33
. � � � � � � � � � � � � � � � � � �
' ... -----114 ,
t
r
w
Figura 1 . 12 : Realimentación del estado.
u = r - w
con lo que la nueva entrada es r, la salida continúa siendo y y el estado sigue repre
sentado por el vector x. De todo lo anterior, se cumplirán las siguientes ecuaciones :
x = Ax + B(r - Kx) = [A - BK]x + Br
y = ex + D(r - Kx) = [e - DK]x + Dr
( 1 .71)
( 1 . 72)
Como en el caso anterior, es frecuente que la matriz D se anule, con lo que la
Ecuación 1. 72 queda de la forma:
y = ex ( 1 . 73)
1 . 8 . Ejemplos adicionales
Modelo de estado de un sistema de depósitos
Ejemplo 1.7
La figura representa dos depósitos de áreas respectivas Al y A2 que está n
comun icados entre sí media nte una tubería en sus bases , de sección eficaz S I .
En el pr imer depósito entra u n fl ujo F1 , que representa una variab le de entrada
man ipu lada , y el segundo depósito tiene un orificio de sa l ida l i bre de cauda l ,
cuya sección eficaz S 2 puede var iar y considerarse, por ta nto , como una entrada
www.FreeLibros.org
34 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
de perturbación a l sistema .
'c 7 1
Las ecuaciones de comportam iento de este sistema h idrá u l ico son :
A1 h1 F1 - 81 y'2g(h1 - h2 )
A2h2 81 y'2g (h1 - h2 ) - 82 y'2gh2
Éste es u n sistema de dos ecuaciones d iferencia les de primer orden , por lo
que su estado viene representado por dos variables, pud iendo elegi rse las a lturas
en ambos depósitos h1 y h2 , con lo q ue las ecuaciones a nteriores representan
d i rectamente las ecuaciones del modelo de estado no l i nea l del sistema . Las
expresiones a nteriores son sólo vá l idas m ientras h1 � h2 ; en caso contrario es
necesario cambiar el signo dela nte de ambas raíces, obten iéndose una expresión
a lternativa vá l ida en e l rango de valores h2 > h1 . Obsérvese que, a unq ue las
condic iones i n icia les del s istema podría n dar l ugar a q ue h2 > h1 . en los primeros
instantes de tiempo, el sistema tiende l uego a su punto de equ i l i brio en el q ue
se cumple h1 > h2
Si se desea obtener un modelo de estado l i nea l del sistema que aproxime
su comportam iento en las cercanías de u n punto de funcionamiento , se deriva n
las ecuaciones a nteriores y se toman va lores incrementa les respecto a l punto de
funcionam iento , q uedando:
www.FreeLibros.org
1 .8 . EJEMPLOS ADICIONALES
S imp l ificando la notación en las ecuaciones anteriores, se obtiene el siguiente
modelo de estado del sistema l i nea l izado:
donde los va lores de las matrices están l igados a los parámetros físicos del sis
tema , debiendo cumpl i rse que a3 > a2 .
El modelo de estado anterior puede particu larizase para cada sistema . En
concreto si se supone que los parámetros físicos del sistema va len 8 1 = 0,3 ,
82 = 0,25 , Al = 2 Y A2 = 1 ,5 Y tomando como punto de l i nea l ización el estado
de equ i l i brio determ inado por el fl ujo de entrada FlO = 1, de las ecuaciones
no l i nea les del sistema se obtienen los va lores de las a lturas en punto de equi
l i brio, que va len hlO = 1 ,38 Y h20 = 0 ,816 . I ntroduciendo estos va lores en las
ecuaciones anteriores , se obtiene el sigu iente modelo de estado para el sistema
l i nea l izado planteado:
Modelo de estado de un péndulo invertido
Ejemplo 1.8
35
www.FreeLibros.org
36 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
En la figura se representa el esquema de un péndulo i nvertido. Este sistema
mecánico tiene como ún ica variab le de entrada la fuerza u que se ap l ica al carro
de masa M, dando l ugar a su desplazamiento horizonta l x. Sobre d icho carro se
ha l la una barra rígida , que gira l i bremente sobre su punto de apoyo un á ngulo ()
y cuya masa m se puede suponer concentrada en un punto situado a d istancia
l de su base sobre el carro .
Este sistema de l péndu lo i nvertido presenta unas ecuaciones aná logas a las de
un cohete propu lsado en vertica l , en el que su empuje latera l se efectúa desde las
toberas situadas por debajo de su centro de gravedad . Las ecuaciones del sistema
se obtienen ap l icando la ley de Newton sobre ambas masas, y proyectando sobre
ambos ejes :
d2 (x + l sin ())
m
dt2
d2 (l eos ())
m
dt2
Mx
T sin ()
T eos () - mg
u - T sin ()
siendo la variable T la fuerza que ejercen recíprocamente entre sí el carro y la
barra .
E l iminando dicha variable i ntermed iaT, se obtienen las sigu ientes ecuaciones
del sistema :
u - Mx
u eos () - Mx eos () - mg sin ()
Derivando las expresiones ind icadas se obtiene:
mx - ml sin ()iP + ml eos ()O
-ml sin () eos ()02 - ml sin2 ()O
u - Mx
u eos () - Mx eos () - mg sin ()
Éstas son dos ecuaciones de segundo grado, por lo que el sistema tiene cuatro
variab les de estado, pud iendo elegirse las posiciones y velocidades de ambas
masas, esto es () , O , x y x . El im inando entre las dos ecuaciones anteriores O y x ,
respectivamente , se obtienen las sigu ientes dos ecuaciones de comportamiento
del sistema :
(M + m sin2 ())x
l (M + m sin2 ())O
ml sin ()02 - mg sin () eos () + u
(M + m) 9 sin () - eos ()u - ml sin () eos ()02 www.FreeLibros.org
1 .8. EJEMPLOS ADICIONALES
En las que defi n iendo las siguientes varia bles de estado: Xl = X, X2 = X ,
X3 = () y X4 = iJ se obtienen las siguientes ecuaciones que representan el modelo
de estado no l i nea l :
X2
ml sin X3X� - mg sin X3 cos X3 + u
M + m sin2 X3
= X4
(M + m)g sin X3 - COS X3U - ml sin x3 COS X3X�
lM + lm sin2 X3
S i suponemos que se rea l iza una estructura de control que logra mantener
a l sistema funcionando en torno al estado defin ido por Xl = X2 = X3 = X4 = O,
las anteriores ecuaciones pueden l i nea l izarse en torno a dicho punto de fun
cionamiento , obteniéndose el sigu iente modelo l i nea l del sistema :
O
_ !!.!1l M
O (M+m)g 1M
S i las variables de sa l ida de l sistema son (}(t) y x (t) , se puede escr ib ir la
ecuación de sa l ida de l modelo como:
[ � O O O 1
Modelo de estado de un sistema de masas múltiples
Ejemplo 1 .9
Se pretende obtener u n modelo de estado para el sistema de la figu ra formado
por dos muel les de coeficientes de elasticidad Kl y K2 respectivamente, y dos
masas ml Y m2 , que presentan una fricción viscosa de coeficientes {3l y {32 . La
entrada es una fuerza F apl icada a la masa m2 Y las sa l idas son las d istancias
Yl e Y2 de las masas respecto a sus puntos de equ i l i brio. Se considera además
la variable i ntermed ia T correspond iente a la tensión ejercida por el muelle K2 .
37
www.FreeLibros.org
38 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
F
Las ecuaciones que determinan el comportamiento del sistema son :
T
T
F
mlih + f3d¡l + KIYI
K2 (Y2 - Yd
m2ih + f32Y2 + T
( 1 . 74)
( 1 . 75)
Es deci r, dos ecuaciones d iferencia les y una ecuación a lgébrica . Apl icando el
proced im iento descrito a 1 .74 se obtiene:
s { (ml S + f3dYI } = T - KIYI
------.....-.-Xl
Xl = (mI S + f3dYI
Xl T - KIYI
operando ahora con 1 . 76 :
A partir de 1 .75:
s (mlyd = Xl - f3IYI
-...-X2
X2 mlYI
X2 Xl - f3IYI
( 1 . 76)
www.FreeLibros.org
1 .8. EJEMPLOS ADICIONALES
s { (m2S + ,82 )Y2 } = F - T '-.....--"
X3
y fina lmente a part ir de 1 .77:
s(m2Y2 ) = X3 - ,82Y2
'-v--' X4
X4 m2Y2
X4 X3 - ,82Y2
( 1 . 77)
Resumiendo, se han obtenido cuatro ecuaciones diferencia les de primer orden :
y tres ecuaciones a lgébricas:
Xl = T - KIYI
X2 = Xl - ,8IYI
X3 = F - T
X4 = X3 - ,82Y2
( 1 . 78)
( 1 . 79)
De estas ú lt imas se pueden despejar las variables de sa l ida e intermed ias:
1
Y2 = -X4 m2
K2 K2 T = -X4 - -X2 m2 mI
y sustituyendo en 1 .78 se obtienen , fi na lmente , las ecuaciones del sistema :
K2 K2 KI -X4 - -X2 - -X2 = m2 mI mI
KI + K2 K2 --- X2 + -X4 mI m2
39
www.FreeLibros.org
40
{JI Xl - -X2 mI
CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
k2 K2 F - -X4 + - X2 = m2 mI
K2 K2 -X2 - -X4 + F mI m2
{J2 X3 - -X4 m2
Aunque es evidente que en este caso la resolución d i recta presentada es
la más senci l la y adecuada , habrá otros casos más complejos donde la forma
matric ia l resu lte conven iente, ya que es más sistemática . La forma matricia l del
sistema de ecuaciones 1 .78 es:
y el sistema 1 .79 queda :
o
O
O
-{J2
( 1 . 81 )
A part ir de 1 .81 se despejan l a s variab les de sa l ida e i ntermedias i nvi rtiendo
la correspondiente matriz:
[ ; 1 - [ K2 -K2 -mI O O -m2
O 1 O mI
O O O
O K2 O mI
� r [ �
O
r �� 1 1 m2 K2
m2
O
1
O
O O X2 =
O O J [ x , 1 O 1 X3 X4
( 1 .82)
www.FreeLibros.org
1 .8 . EJEMPLOS ADICIONALES
y sustituyendo en 1 .80 se obtiene:
o KI + K2 O
K2
mI m2
[ �¡ 1 1 f3I O O [ �n + [ ! 1 F mI O K2 O K2 mI m2
O O 1 f32 m2
La ecuación de sa l ida se obtiene ahora a part ir de 1 .82, mediante la selección
de las varia bles correspond ientes :
1 O
O O
Modelos de estado de sistemas de orden reducido
Ejemplo 1.10
u(t)
Si la d inámica del sistema se puede representar med iante la ecuación d ife-
41
www.FreeLibros.org
42 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO
rencia l :
Ku = :Í:! + aXI
el sistema posee una ún ica variable de estado, a l ser de grado uno , que puede
ser la sa l ida del bloque. La ecuación de estado es , por tanto:
u(t)
::h = -aXI + Ku
K
"" s2 + as + b ""
La d inámica del sistema de la figura viene dada por la ecuación diferencia l :
por l o que e l modelo de estado exige l a presencia d e dos variables de estado.
Como primera puede tomarse la sa l ida del bloque, m ientras que la segunda puede
ser la derivada de la sa l ida :
X2 = Xl
Xl = X2 = K u - aXI - bXI
Las ecuaciones de estado son :
u (t) K(s + e)
'l1li ( s + a) (s + b)
Entre otros métodos, se puede rea l izar descompon iendo el sistema en dos
bloques , uno que contiene un polo y otro que contiene un par polo cero, ten iendo
en cuenta que el bloque que contiene un polo debe preceder a l del par polo cero www.FreeLibros.org
1 .8 . EJEMPLOS ADICIONALES
para garantizar la derivab i l idad de ambas variables de estado:
u(t) K . X2 (t) s + c Xl (t)
"" -- .. s + b "" s + a 1
Se el ige como segunda varia ble la representada entre los dos bloques.
El sistema se comporta como:
K u = X2 + aX2 =? X2 = -aX2 + K u
X2 + CX2 = Xl + bXI =? Xl = -bXI + CX2 + X2 = -bXI + (e - a)X2 + Ku
Las ecuaciones de estado son :
{ xI = -bxI + (c - a)X2 + Ku
X2 = -aX2 + Ku
Otra sol ución a este mismo problema se puede encontrar descomponiendo el
sistema en :
u(t)
K(s + c) =� +� (s + a) (s + b) s + a s + b
Se el ige como segunda variable de estado la sa l ida de uno de los dos bloques ,
además de la sa l ida globa l de l sistema :
Bu = (s + b) (Xl - X2 ) = Xl - X2 + bXI - bX2 = Xl + bXI + (a - b)X2 - Au
Las ecuaciones de estado quedan :
{ Xl -bXI + (b - a)X2 + (A + B)u
X2 -aX2 + Au
y Xl
43
www.FreeLibros.org
44 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
_u_(t_) 'IIiI K(s + a) r-y_
(t)
....
� s + b ....
En sistemas con igua l grado en el denom inador y en el numerador, no es
posible que la sa l ida del sistema sea una variable de estado, pues una variación
brusca de la entrada impl icaría una variación brusca del estado. En estos sistemas
es necesario rea l izar una descomposición del mismo, a fi n de obtener un bloque
en el que el grado del denom inador sea mayor que el del numerador. Es necesario
descomponerlo en :
u(t) y (t)
K(a - b) x¡ (t)
s + b
Ks + a = K + K s + a - s - b = K + Ka - b s + b s + b s + b
El igiendo como nueva variable de estado la sa l ida del nuevo bloque:
K(a - b)u = :h + bXI
Las ecuaciones de estado quedan :
{ :i;¡ = -bXI + K(a - b)u
y = Xl + Ku
Diagramas más complejos pueden ser resueltos descompon iéndolos en los an
teriores o de forma s im i lar . Nótese que en estos casos las condiciones i n icia les del
estado no se corresponderán con las sa l idas de los i ntegradores puros , debiendo
ser ca lcu lados a part ir de el los. www.FreeLibros.org
1 .9. EJERCICIOS RESUELTOS
Cuando se obtiene el modelo de estado a parti r de un diagrama de bloques
no se pueden rea l izar cancelaciones, ya que para modelar el comportamiento del
sistema es necesario conocer todas las variables i nvol ucradas, con sus condiciones
i n icia les correspondientes . Además, y como se vio en la teoría clásica , puede
enmascarar posi b les i nestab i l idades . Por ejemplo,el sistema de la figura posee
dos variab les de estado, Xl y X2 .
u(t) 1 X2 (t) s + a
---""Iii --- � !t . s + a s + b
u = X2 + aX2
X2 + aX2 = Xl + bXl
=} X2 = -aX2 + u
=} Xl = -bXl + aX2 + X2 =
Xl (t)
•
= -bXl + aX2 - aX2 + u = -bXl + U
Las ecuaciones de estado quedan : { Xl -bXl + U
X2 -aX2 + u
y Xl
1 . 9 . Ejercicios resueltos
45
1 . Hallar un modelo de estado del sistema de l a figura, sabiendo que h a de incluir el
mayor número posible de las variables representadas.
u(t)
www.FreeLibros.org
46 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
Observando la figura, se aprecia que X2 Y X3 pueden ser variables de estado, ya que
no van a sufrir discontinuidades ante cambios bruscos en las entradas del sistema.
No sucede lo mismo con Xl , pues una variación brusca en la entrada u originaría
la aparición de una variación brusca en esta variable . Para este bloque, se precisa
obtener dos variables de estado:
, [S iX' -¿ + X3l. +2x, - 4u + 4X3] � 3 (u - X3 ) - 4x,
, ;
X5
Se eligen como variables de estado X4 Y X5 , dado que cumplen con las condiciones
de derivabilidad necesarias :
resultando:
X4 = Xl - U + X3
X5 = X4 + 2XI - 4u + 4X3
X4 =X5 + 4u - 4X3 - 2X4 - 2u + 2X3 =
=X5 - 2X4 - 2X3 + 2u
X5 =3 (u - X3 ) - 4XI =
=3u - 3X3 - 4X4 - 4u + 4X3 =
= - 4X4 + X3 - U
X2 = - X2 + Xl + V =
= - X2 + X4 + U - X3 + V
X3 = - 3X3 + X2
Si se expresa todo el conjunto de ecuaciones en forma matricial :
www.FreeLibros.org
1 .9 . EJERCICIOS RESUELTOS 47
2 . Para el sistema de la figura, indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son váli
das:
1 1
14 12 U1� C 13 C=r.U2 C .U3 +
L
Ug R
a) Iz puede ser variable de estado.
b) h puede ser variable de estado .
c) la puede ser variable de estado.
d) l4 puede ser variable de estado.
e) l6 puede ser variable de estado .
C U4•
16
R
f) U2 , l4 y Ua pueden ser variables de estado a la vez.
g) U4 y U5 pueden ser variables de estado a la vez.
h) U4 y U5 pueden ser, cualquiera de las dos, variables de estado.
i) U2 y Ua pueden ser variables de estado a la vez.
j) h e ls pueden ser variables de estado a la vez.
k) h e 19 pueden ser variables de estado a la vez.
L
a) l2 no puede ser variable de estado, puesto que cambia bruscamente ante dis
continuidades en la tensión de entrada Ug • Estas discontinuidades en Ug se
repiten en bornes de la primera rama (y de todas las demás) , por lo que la
tensión en bornes de alguno de sus componentes colocados en serie debe tam
bién variar bruscamente, y puesto que la tensión en bornes de un condensador
nunca puede hacerlo, es la tensión en bornes de la resistencia de esta primera
rama la que absorbe la discontinuidad de la entrada, variando por tanto la
intensidad que pasa por ella l2 también de forma brusca (según la ley de Ohm
U = Rl) . www.FreeLibros.org
48 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
b) h no puede ser variable de estado puesto que, ante cambios bruscos en la
tensión de entrada Ug , la intensidad h varía bruscamente (según el apartado
a) , y al ser h una componente de la intensidad 11 , ésta también presentará
una discontinuidad ante dichos cambios bruscos de la entrada.
e) la sí que puede ser variable de estado, puesto que es la intensidad que pasa por
una bobina y ésta nunca puede variar de forma brusca (las discontinuidades
en la tensión de entrada provocan saltos en la derivada de la intensidad la) .
d) 14 también puede ser variable de estado por los mismos motivos que los expli
cados en c) .
e) 16 no puede ser variable de estado, por los mismos motivos que los explicados
en a) .
f) U2 , 14 y Ua sí que pueden ser variables de estado a la vez, puesto que ninguna
de ellas varía bruscamente ante discontinuidades de la entrada y además no
son linealmente dependientes entre sí. Desde un punto de vista físico, esta
tercera rama está compuesta de tres subsistemas de primer orden, y cada uno
de ellos lleva asociada una variable de estado, que es la magnitud física que
no puede variar bruscamente: la tensión en los condensadores y la intensidad
en la bobina.
g) U4 y U5 no pueden ser a la vez variables de estado. Los dos condensadores están
conectados en paralelo, de manera que actúan como un único condensador
(de capacitancia 20) , siendo forzosamente la tensión en sus bornes siempre
la misma, que es por tanto la única variable de estado asociada a estos dos
condensadores que se comportan como uno solo.
h) U4 y U5 sí que pueden ser, cualesquiera de las dos por sí solas , variables
de estado, puesto que las dos son la misma tensión y ésta no puede variar
bruscamente ante cambios bruscos de la entrada.
i ) U2 y Ua sí que pueden ser a la vez variables de estado, puesto que ninguna de
ellas varía bruscamente ante cambios bruscos de la entrada y, además , no son
linealmente dependientes entre sí. Podría parecer que, al ser la intensidad que
circula por ambos condensadores la misma (por estar conectados en serie) , las
tensiones de ambos condensadores estarán ligadas linealmente entre sí (esto
es, actúan como un único condensador de capacidad f) y por tanto estas dos
tensiones no podrían ser a la vez variables de estado. El razonamiento an
terior es válido para unas tensiones iniciales dadas en ambos condensadores ,
pero nada impide que estas tensiones iniciales puedan tener valores arbitrarios
cualesquiera en cada condensador, correspondiendo por tanto a variables de es
tado independientes, asociadas a condensadores físicamente distintos , aunque
su evolución temporal está ligada a partir de unas tensiones iniciales dadas.
j ) h e 18 no pueden ser variables de estado a la vez, debido a un razonamiento
similar al que se ha hecho en el apartado g) con los condensadores de tensiones www.FreeLibros.org
.1 .9 . EJERCICIOS RESUELTOS 49
U2 y U3 • En el presente caso, la intensidad que circula por los devanados
de cada una de las bobinas es siempre la misma, independientemente de las
condiciones iniciales y de la evolución de la entrada, por lo que sólo se tiene
una única variable de estado.
k) h e 19 sí que pueden ser variables de estado a la vez , por un razonamiento aná
logo al del apartado i) . En el presente caso, debido a la conexión en paralelo de
las dos ramas con la misma impedancia, cualquier entrada dará lugar a que los
incrementos de intensidades sobre los valores iniciales sean siempre los mismos
en ambas ramas, pero los valores absolutos de las intensidades que circulan
por cada una de ellas pueden ser completamente distintos , dependiendo de las
condiciones iniciales . Por tanto, las intensidades que pasan por ambas ramas
son variables físicas distintas sin ligazón lineal entre sí y que, al no variar
bruscamente ante cambios bruscos de la entrada, pueden ser consideradas
ambas a la vez como variables de estado.
3. Las ecuaciones de la trayectoria circular de una nave espacial en ingravidez son:
donde:
Variable
P
w
O
u
w - aw + Kwp cos O u
mi) _pw2 + Kp sin O u
Descripción
Radio de giro de la trayectoria de la nave.
Velocidad angular de la nave.
Ángulo de la tobera de propulsión.
Consumo de combustible de propulsión.
Siendo a, m, Kw , Kp constantes del sistema, que valen respectivamente a = 1 , m =
1 , Kw = 0 ,01 , Kp = 1 .
a) Obtener un modelo de estado del sistema no lineal original.
b ) Obtener un modelo de estado del sistema linealizado en torno a la trayectoria
de referencia definida por Wo = 0 ,01 radj s y Po = 100 m.
a ) Utilizando e l operador derivada, las ecuaciones del sistema se pueden escribir
como:
-aw + Kwp cos O U
_pw2 + Kp sin O u www.FreeLibros.org
50 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
Eligiendo como variables de estado la salida de los integradores en ambas
ecuaciones , se obtiene:
Con lo que las ecuaciones de estado quedan:
Xl -aXI + KwX3 cos 8 u
. 1 2 K . 8 X2 - -x3XI + p sm u m
X3 X2
b) Calculando los valores de funcionamiento de las entradas para la trayectoria
de referencia se obtiene: 80 = 7f / 4Y Ua = 0 ,0 1 y'2, con lo que las ecuaciones
linealizadas del sistema en torno a estos valores de referencia son:
w(t) 1 -w(t) + O ,OOOlp(t) + y'2u(t) - O ,OIB(t)
p(t) 1 -O,OOOlp(t) - 2w (t) + y'2u(t) + 0 ,0l8 (t)
Eligiendo las mismas variables de estado, se obtiene el siguiente modelo de
estado lineal del sistema en torno a la trayectoria de referencia:
1 -Xl + 0 ,0001x3 + y'2 U - 0,018
1 -2XI - 0 ,0001x3 + y'2u + 0 ,018
X2
4. Se dispone de dos depósitos de agua de sección constante Al y A2 , respectivamente.
Ambos están alimentados por un caudal qe . En cada depósito el caudal de salida es
proporcional con una constante B a la altura del líquido, h, y ambos vierten a una
misma tubería. Hallar un modelo de estado:
www.FreeLibros.org
1 .9 . EJERCICIOS RESUELTOS
a) A partir del sistema físico.
b) A partir del diagrama de bloques.
c) Usando variables de fase.
d) Usando variables de Jordan.
Las ecuaciones físicas del sistema son:
qe - qSi = Aih } b d ó ' en am os ep SItoS
qSi = Bhi
qs = qS l + qS2
5 1
De aquí en adelante, para mayor claridad en e l desarrollo, s e omite la dependencia
del tiempo de las variables .
a) Se eligen como variables de estado:
y sustituyendo en las ecuaciones físicas:
. B 1 ::::} Xl = --Xl + - qe Al Al
. B 1 ::::} X2 = --X2 + - qe A2 A2 www.FreeLibros.org
52 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO
escrito en forma matricial :
o
B
- A2
Si en lugar de haber elegido estas variables de estado se hubiesen elegido los
caudales de salida:
entonces el desarrollo hubiera sido:
. Al .
qe = Alhl + XI = EXI + XI
. A2 .
qe = A2h2 + X2 = EX2 + X2
que escrito en forma matricial resulta:
b) A partir del diagrama de bloques:
o
B
- A2
Tomando transformadas de Laplace en las ecuaciones del sistema: www.FreeLibros.org
1 .9 . EJERCICIOS RESUELTOS
B -,--_B __ = Ai AiS + B s + JI.. Ai
para cada depósito
Eligiendo como variables de estado, por ejemplo :
Xl = qs = Y
X2 = qS l
con lo que quedarían las ecuaciones:
. B B X2 + Al X2
= Al qe
(X l - X2 ) + �2 (Xl - X2 ) = �2 qe
y expresado en forma matricial:
[ -!2
53
e) Para utilizar las variables de fase, primero hay que hallar la función de trans
ferencia del sistema:
A partir de esta función de transferencia, es posible obtener directamente las
variables de fase , mediante el proceso:
2 ( B B ) B2 ( B B ) 2B s qs + Al + A2 sqs + AIA2 qs = Al + A2 sqe + AIA2
www.FreeLibros.org
54 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
Con lo que la expresión del modelo en forma matricial queda:
o 1
y = [
d) Para utilizar variables de Jordan, nuevamente se parte de la función de trans
ferencia: ( B B )
A, A2 qs = --B- + --B- qe S + A , S + A2
A partir de esta función de transferencia se extraen las variables de Jordan:
B B
y = -Xl + -x2 Al A2
y poniendo todas las ecuaciones en forma matricial :
[ :� ] [ -!, _! ] [ �� ] + [ � ] qe
y = [ :, :2 J [ �� ]
5. Dado el sistema de la figura, escribir su representación mediante ecuaciones de
estado.
www.FreeLibros.org
1 .9 . EJERCICIOS RESUELTOS 55
El sistema precisa de cuatro variables de estado para su representación, dos para
el primer bloque, de segundo orden, y una por cada uno de los bloques de primer
orden. En el diagrama aparecen tres variables , las de salida de cada uno de los blo
ques, que pueden ser tomadas como variables de estado; dadas estas tres variables ,
es necesario encontrar otra asociada al bloque de segundo orden. Esta variable se
obtiene como:
con lo que las ecuaciones quedan:
Xl -Xl + X2 - 3X3 - 3X4 + U
X2 -Xl - 3X3 - 3X4 + U
X3 Xl - X3
X4 2XI - X4
y 3X3 + 3X4
que expresado en forma matricial es:
6 . Dado e l sistema de la figura, elegir un modelo de estado que contenga como variables
de estado el máximo número posible del conjunto de variables [Xl > X2 ] .
www.FreeLibros.org
56 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO
De las dos variables propuestas para ser incluidas en el modelo de estado, Xl podría
utilizarse, pero X2 no, puesto que puede presentar discontinuidades ante variaciones
bruscas de la entrada.
Se necesitan cuatro variables de estado para representar el sistema y se dispone
solo de una Xl , por lo que será necesario incluir otras tres . Una de ellas puede ser
la salida del bloque de realimentación, que se denotará por X3 Y que en ningún caso
sufrirá variaciones bruscas , por ser la salida de un bloque con una diferencia de un
grado entre el denominador y el numerador. Del primer bloque, de segundo orden:
5 (u - X3 ) = (82 + 28 + 3)XI
5 (u - X3 ) = 8 (8 + 2)XI + 3XI
5 (u - X3 ) - 3XI = 8 (Xl + 2XI )
"-v--"
X5
de donde se obtienen las dos ecuaciones :
X5 = Xl + 2XI =} Xl = -2XI + X5
X5 = 5u - 5X3 - 3XI
Nótese que sería igualmente válido, en este caso, tomar como X5 = Xl , pues la
diferencia de grados entre el denominador y el numerador en el bloque considerado
es de dos órdenes, por lo que se garantiza continuidad en la variable de salida y en
su derivada. Del bloque asociado a la entrada v :
(8 + 2)v = (8 + 3)X4
donde X4 representa la salida de dicho bloque, que no puede ser variable de estado:
2v -; 3X4 = S (X4 - v)
'-v--'
de donde se obtiene:
Finalmente, del bloque de realimentación:
5 (X4 + x ¡ )
5 (X6 + V + x ¡ )
de donde se obtiene la ecuación:
X6
www.FreeLibros.org
1 .9 . EJERCICIOS RESUELTOS 57
Por último, falta calcular la ecuación de la salida en función de las variables de
estado:
y = X2 = 5 (X4 + X¡ ) = 5X6 + 5v + 5Xl
Expresando el conjunto de ecuaciones en forma matricial :
[ �� 1 [
Y = [ 5 O
-2 O 5 - 1
-3 -5
O O
1
O
O
O i 1 p: 1 + [ � i 1 [ � 1 -3 X6 0 - 1
O 5 l [ �n + [ o 5 l [ � l
7. En el sistema de la figura, deducir las ecuaciones de estado, tomando como variables
de estado el volumen y la concentración de salida, y como salidas el flujo y la
concentración, para el sistema linealizado.
h('lI
F, C
Se plantean las ecuaciones físicas de comportamiento del sistema:
donde:
Balance de caudal : �� = Fl + F2 - F
Flujo de salida: F = kv'h = k� www.FreeLibros.org
58 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO
• V representa el volumen de fluido en el depósito.
• H y F2 representan los caudales de entrada.
• F representa el caudal de salida.
• Cl y C2 representan las concentraciones de entrada, que se suponen constantes.
• C representa la concentración de salida.
• h representa la altura de fluido en el depósito.
• S representa la superficie del depósito , que supone constante.
En el punto de equilibrio se cumplirá que:
Fa = FlO + F2a
ClFlO + C2F2a = CFa
Fa = KfYi
Linealizando en torno a este punto de equilibrio:
V = Fl + F2 - F
év + cv = ClFl + C2F2 - CF '*
�é + �V = �H + �� - �F - �C
F = _k _ _ l_V = Fa V 2VS y17Q 2Va
Teniendo en cuenta que:
Xl = V Yl = F Ul = Fl
X2 = C Y2 = C U2 = F2
se vuelve a las ecuaciones linealizadas para formular el modelo de estado:
. Fa V = H + F2 - F = Ul + U2 - Yl = Ul + U2 - -V 2Va
. Cl C2 Ca Fa Ca . C = - U l + -U2 - -F - -C - -V Va Va Ca Va Va
. Cl C2 Ca Fa Ca Ca Ca Fa C - -Ul + -U2 - -F - -C - -Ul - -U2 + --V - Va � Ca Va Va Va 2Va2
Ecuaciones que expresadas en forma matricial quedan:
[ � ] [ -r _ o�� 1 [ � ] + [
[ � ] = [ ío � ] [ � ]
1
C1 - CO
-----v,;----
1
C2 -CO
-----v,;----www.FreeLibros.org
1 .9 . EJERCICIOS RESUELTOS 59
8. Obtener el modelo de estado linealizado del sistema representado por la siguiente
ecuación diferencial:
d2y (t) ( dy (t) ) 2
= ( )
dt2
+
dt
u t
Linealizarlo en torno a las trayectorias descritas por las variables de estado ante
una entrada u(t) :
u(t) = 2 + 4t2
sabiendo que en este caso se obtiene una salida de y = t2 •
En primer lugar, se deben elegir las variables de estado, en este caso dos, por ser
la ecuación de segundo orden:
Xl = y
X2 = Y
Se linealiza en torno a la trayectoria propuesta:
jj + 2yoY = u
según la trayectoria dada:
X20 = Yo = 2t
por lo que se puede escribir la ecuación como:
Por lo que escribiendolas ecuaciones en forma matricial queda:
[ �� ]
[ � -4� ] [ �� ] + [ � ] u
y = [ 1 O ] [ �� ]
9 . Hallar un modelo de estado del siguiente sistema:
Se trata de un sistema no lineal en el que la salida no presenta discontinuidades
ante discontinuidades en la entrada y, consecuentemente, puede ser elegida como
variable de estado. No sucede lo mismo con la derivada de la salida, y, que presenta
las mismas discontinuidades que la entrada y, por tanto, no puede elegirse como
variable de estado del sistema.
www.FreeLibros.org
60 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO
Para la elección de variables de estado, se va a utilizar la metodología de elegir la
salida de los integradores . La ecuación propuesta puede escribirse como:
s (iJ - u) = yu2 - iJ2
donde el término entre paréntesis puede obtenerse como integración del término de
la derecha y, por tanto, elegirlo como variable de estado:
Xl = iJ + u
que, introducido en la ecuación inicial , da como resultado la definición de su dinámi
ca:
. · 2 Xl = yu - y
En la ecuación de definición de la variable Xl , se elige de nuevo como variable de
estado la salida del integrador, esto es :
X2 = y
que es la ecuación de salida del sistema.
Introduciendo este valor de y en la definición de Xl se obtiene:
X2 = Xl - U
e introduciendo los valores de y e iJ dados por las dos últimas ecuaciones en la
ecuación de la dinámica de Xl , se obtiene la siguiente ecuación del modelo de
estado:
. 2 ( ) 2 Xl = X2U - Xl - U
que, junto con la ecuación de la dinámica de X2 Y la de salida, la definición de X2 ,
forman las ecuaciones del modelo de estado no lineal del sistema.
1 . 1 0 . Ejercicios propuestos
1 . Dado e l circuito eléctrico de l a figura:
www.FreeLibros.org
1 . 10 . EJERCICIOS PROPUESTOS 61
15 R
'-----.------,
+ e
L L L
R
Tomando como entrada Ug , elegir un modelo de estado que contenga el mayor
número posible de variables de estado entre l¡ , h , h , 14 , 15 .
2 . Obtener la matriz de funciones de transferencia corrrespondiente a l sistema repre
sentado por el siguiente modelo de estado:
[ - 1 O ] [ Xl ]
+
[ O 1 ] [ UI ] O -2 X2 1 1 U2
y [ O 1 ] [ �� ] + [ O 1 ] [ �� ]
3. Obtener el modelo de estado linealizado respecto al punto de equilibrio del sistema
representado por las ecuaciones:
Lrj; = 9 sin <p - jj cos <p
Mjj + FiJ = u
4. Obtener el modelo de estado del sistema representado por el siguiente diagrama de
bloques, tomando Xl y X2 como variables de estado.
www.FreeLibros.org
62 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO
u(t) 8 + 1
82 + 8 + 1
X l 1
8 + 1
v (t)
5 . Obtener e l modelo de estado del sistema representado por el siguiente diagrama de
bloques tomando Xl , X2 , X3 , X4 como variables de estado.
u(t)
6. H altar un modelo de estado no lineal del siguiente sistema:
www.FreeLibros.org
2
2 . 1 .
Solu ci ón de la ecu a ci ón de
esta d o de si stem a s li n ea les
Introducción
En el capítulo anterior se ha establecido la forma de representar el comportamiento
de un sistema mediante la ecuación de estado; tal como se encuentra formulada toma
la forma de ecuación diferencial de primer orden. En principio, dada la diversidad en
la naturaleza y comportamiento de los sistemas que pueden ser representados con esta
metodología, no existe ninguna restricción en la forma de dicha ecuación, salvo los ya
conocidos de causalidad y determinismo.
Como ecuación diferencial que es, la ecuación de estado describe completamente el
comportamiento del sistema al que representa y, sin embargo, es necesario resolver esta
ecuación diferencial para tener un conocimiento explícito de la evolución de dicho sistema,
lo que nos permitiría extraer conclusiones detalladas sobre su régimen de funcionamiento,
tanto dinámico como estático .
La solución de la ecuación en su forma más genérica, incluyendo la posibilidad de
aparición de no linealidades arbitrarias , no puede abordarse de forma general ; como en
la mayoría de los casos de ecuaciones diferenciales no lineales, su tratamiento se ha de
abordar de forma particularizada y, muchas veces, sin la posibilidad de obtener una
solución analítica. Obviamente el problema es aún abordable haciendo uso de métodos
numéricos de solución, pero estas técnicas quedan fuera del ámbito de estudio del presente
texto. Es por este motivo que en este capítulo el desarrollo se va a ceñir a ecuaciones
diferenciales lineales , dejando claro el hecho de que no se trata de una limitación propia
de la utilización de variables de estado en la descripción del sistema, sino en la posibilidad
práctica de resolución analítica del problema matemático subyacente.
63
www.FreeLibros.org
64 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
El objetivo en este capítulo es, por consiguiente, resolver la ecuación de estado de un
sistema lineal en el caso más general , es decir :
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) (2 . 1 )
La solución de esta ecuación se plantea, a semejanza con las ecuaciones diferenciales
usuales , en dos fases : resolución de la ecuación homogénea y resolución de la ecuación
completa. Cabe recordar que se conoce como ecuación homogénea aquella para la cual
la entrada al sistema se anula, es decir , que dicho sistema no recibe estímulo externo
alguno, por lo que la respuesta de éste vendrá dada por su evolución libre . Por contra,
la ecuación completa contempla tanto esta evolución libre como la respuesta del sistema
ante el estímulo externo mencionado.
2 . 2 . Solución de la ecuación homogénea. Matriz de tran
sición
En la ecuación homogénea se supone que la entrada u(t) es nula, por lo que la ecuación
a resolver es :
x(t) = A(t)x(t) (2 .2)
con condiciones iniciales x(to ) = Xo .
2.2. 1. Caso general
Para encontrar la solución de la ecuación homogénea se puede utilizar el método de
integración por aproximaciones sucesivas de Peano-Baker , que dice que dada una ecuación
diferencial de la forma:
x(t) = f(x(t) , u(t) , t) (2 .3)
con condiciones iniciales x( to ) = Xo , se puede obtener la solución de dicha ecuación
construyendo una secuencia de funciones del tipo:
'Po = Xo
'Pk (t) = 'Po + t f ('Pk- l (T) , U(T) , T) dT ita
en la que la solución de la ecuación diferencial se obtiene como:
x(t) = lím 'Pk (t) k--+oo
(2.4)
(2.5)
En el caso de una ecuación diferencial de la forma propuesta en la Ecuación 2 .2 se
obtiene la sucesión:
(2 .6) www.FreeLibros.org
2.2 . SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN HOMOGÉNEA. MATRIZ DE TRANSICIÓN
<p2 (t) = <PO + l: A(T) [xo + 1: A(TddTIXO] dT =
= Xo + t A(T)dTXo + t A(T) r A(Tl )dTl dTXO = ho ho ho
= [1 + t A(T)dT + t A(T) r A(TddT1 dT] Xo Jto Jto Jto
65
(2 .7)
A medida que progresa la construcción de los sucesivos términos de la serie, se com
prueba que en todos ellos va apareciendo un término Xo que se puede extraer por la
derecha; después de la extracción de este factor común la expresión a la que se tiende es:
X(t) = cp (t , to )xo (2.8)
donde cp(t , to ) es la llamada matriz de transición , mediante la que se construye la solución
de la ecuación diferencial , y cuya expresión es :
(2 .9)
El vector x(t) obtenido es solución de la ecuación homogénea con condiciones iniciales
x(to ) = Xo . Se puede demostrar además que esta solución es única.
2.2.2. Casos particulares de la matriz de transición
La Ecuación 2.2 tiene una solución sencilla mediante el método de integración por
aproximaciones sucesivas de Peano-Baker , cuando el producto de A(t) y Jt: A(T)dT es
conmutativo. En este caso la matriz de transición viene dada por:
(2 . 10)
Teniendo en cuenta que:
Al entrar con este resultado en el término general de la solución de Peano-Baker:
www.FreeLibros.org
66 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
¡t A( T) . . . rk-3 A( Tk-2 ) rk-2 � -d
d [ rk- l A( Tk )dTk ]
2
dTk- l dTk-2 . . . dT = ita ita ita 2 Tk- l ita , "
v � [1:k- 2 A(Tk )dTk r
= 1: A(T)· · · 1:k-3 A(Tk-2 ) [� [1:k- 2 A(Tk )dTk] 2] dTk-2dTk-3 · · · dT
" ' v � -d d [ rk-3 A(Tk )dTk] 3 3 . Tk-2 ita
y si se continúa con las sustituciones , sucesivamente se llega a que el término general de
la serie de Peano-Baker es igual a:
con lo que la suma de la serie se convierte en:
<I>(t , to ) = 1 + ¡
t
A(T)dT + � [ ¡t A(T)dT] 2 + . . . + �, [ ¡t A(T)dT] k + . . . ita 2 . ita . ita
que, por ser el desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial, se puede expresar
como:
<I> (t , to ) = eJ,� A(r)dr (2 . 1 1 )
Existe una serie de casos en los que se cumple la restricción de que el producto de
la matriz A(t) y su integral es conmutativo, por lo que en dichas situaciones se podrá
hallar la matriz de transición de forma directa aplicando la expresión 2 . 1 1 :
La matriz A(t) e s diagonal: en este caso, e s claro que ambas matrices conmutan, por
lo que se puede aplicar la fórmula general , resultando: r [ aU {Tl O 1 d, <I> (t , to ) eJ,'o A(r)dr = e 'o � ann (T)
J t a't ldT O ftto ann (T )dT
r J,' a l l (r)dr O 1 e o (2 . 12) O eJ,'o ann (r)dr www.FreeLibros.org
2.2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN HOMOGÉNEA. MATRIZ DE TRANSICIÓN 67
La matriz A(t) se puede factorizar: si a la matriz A se le puede extraer como fac
tor común de todos sus términos una función del tiempo, de forma que se pueda
expresar como el producto de una matriz invariante por dicha función, entonces se
cumple el producto conmutativo del supuesto. Es decir , si:
A(t) = Ma(t)
donde M es una matriz invariante y a(t) es un escalar . Entonces:
"'(t t ) - Jtt A(T)dT _ J; Ma(T)dT _ M J; a(T)dT 'l' , o - e a - e a - e a
(2 . 13)
(2 . 14)
La matriz A es invariante : en este caso, la matriz conmuta con su integral , de forma
que se puede aplicar la expresión general :
"'(t t ) - J; AdT _ A J; dT _ A(t-ta ) 'l' , o - e a - e a - e (2 . 1 5)
En este caso, al depender la expresión de la matriz de transición q>(t, to ) sólo de la
diferencia entre el instante inicial y el final , se suele utilizar la notación q>(t - to ) .
La matriz A(t) es un escalar: en este caso, es evidente que la matriz y su integral
conmutan, puesto que en ambos casos se trata de escalares para los que siempre se
da la propiedad de conmutación en el producto, por lo que la matriz de transición
toma la forma:
Ejemplo 2 .1
q>(t , to ) = eJ;a a(T)dT (2 . 16)
Ca lcular la evol ución del estado ante entrada nu la para el sistema:
o
-2
O � 1 x - 1
sabiendo que to = 1 Y Xo
diagona l entonces es:
[1 - 1 2V. Como la matriz del sistema es
q>(t, to ) = eA(t-ta ) =
[ et-� ta O
e-2(t-ta )
O
con lo que la evol ución l i bre del estado es :
x(t) � "(t, l )x, � [ O e-2(t- l )
O
O
O
e- (t- l )
et- 1 1
_e-2 (t- l )
2e- (t- l ) www.FreeLibros.org
68 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
Un caso más desarrollado de cálculo de la evolución libre del estado de un sistema se
puede ver en el Ejemplo 2 .6 al final de este capítulo.
2 . 3 . Propiedades de la matriz de transición
1 . Derivación respecto al tiempo
Si se deriva la expresión genérica de la matriz de transición, se tiene:
diJ>(t to) ¡t
d
'
= A(t) + A(t) A(T)dT + . . . = A(t)iJ> (t , to ) t ta (2 . 17)
Como se observa, la derivación cancela el primer integrando de todos los sumandos,
por lo que la matriz A(t) puede ser extraída de todos los términos como factor
común por la izquierda; después de esta extracción, lo que queda vuelve a ser
la suma infinita que define a la matriz de transición, como queda reflejado en la
expresión.
Además , puede observarse que la matriz iJ>(t , to ) cumple con la misma ecuación
diferencial que el estado (Ecuación 2.2) , por lo que puede extraerse la conclusión
de que cada uno de los vectores columna de la matriz de transición cumple con dicha
ecuación diferencial homogénea. Se puede demostrar además que estas n columnas
forman un sistema generador del espacio de soluciones de la Ecuación 2 .2 , lo que
significa que cualquier solución que se obtenga, dadas unas condiciones iniciales, se
puede expresar como una combinación lineal de dichos vectores columna.
2 . Valor de la matriz de transición en to
El valor de la variable x(t) para el instante t = to coincide con el �pecificado
como condición inicial , es decir xo , por lo que al particularizar la sohición para
este instante inicial , y teniendo en cuenta que la ecuación se cumple para cualquier
estado inicial , se deduce que :
x(to ) = iJ>(to , to )x(to ) :::} iJ>(to , to ) = 1 (2 . 18)
es decir , que la particularización de la matriz de transición para el instante inicial
debe dar como resultado la matriz identidad de la misma dimensión.
A esta conclusión se llega igualmente haciendo t = to en la expresión de iJ>(t , to )
mediante la serie de Peano-Baker (Ecuación 2.8) , por lo que todas las integrales se
anulan permaneciendo únicamente la matriz identidad.
3. Transitividad de la solución de la ecuación homogénea
Si se calcula la solución de la ecuación homogénea para cualquier instante t2 , se
obtiene: www.FreeLibros.org
2.3. PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN 69
Si se hace lo mismo para otro instante t i , se tiene:
x(td = <I>(h , to)x(to )
Como la solución de la ecuación de estado es única, se debe alcanzar el mismo estado
para un instante determinado si se parte de las mismas condiciones iniciales , por
lo que también se cumple:
por tanto, al ser válido para cualquier estado inicial , se deduce:
(2 . 19)
Para el caso de sistemas invariantes, dado un instante t y un intervalo de tiempo
T, la solución de la ecuación homogénea particularizada para el instante t + T es :
(2 .20)
4. Inversión de tiempos
Si en la ecuación de transitividad se hace la suposición de que t2 = to , se obtiene:
lo que, como consecuencia, permite afirmar que la matriz de transición ha de ser
no singular.
Para el caso de matriz A invariante, esta propiedad se reduce a:
5 . Cambio de representación del estado
(2 . 21 )
Para cualquier cambio de representación del estado, x(t) = T(t)x(t) con la condi
ción de existencia de T-i (t) se verifica:
<1>(t , to ) = T- i (t)<I> (t , to )T(to ) (2 .22)
En efecto , si en la solución de la ecuación homogénea se sustituye x( t) por su valor:
x(t) = <I>(t , to )x(to ) =} T(t)x(t) = <I>(t , to )T(to )x(to)
Despejando de esta ecuación el valor de x(t) :
x(t) = T-i (t)<I> (t , to )T(to )x(to) =}
=} <1>( t , to ) = T-i (t)<I> ( t, to )T( to ) www.FreeLibros.org
70 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
2 . 4 . Solución de la ecuación completa
El objetivo de este apartado es la resolución de la ecuación completa, es decir , cuando
existen condiciones iniciales no nulas y entrada:
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) (2 .23)
Para calcular la solución de esta ecuación se utiliza el método de variación de las
constantes, según el cual se va a suponer que existe una z (t) , tal que la solución de la
ecuación completa se puede expresar de la forma:
x(t) = cI>(t, to )z (t) (2 .24)
hipótesis que se verificará a continuación, calculando la z (t) que lo cumple.
Si la hipótesis formulada es correcta, entonces esta expresión de x(t) debe verificar la
ecuación completa, por lo que sustituyendo en la Ecuación 2 .23 queda:
<Í>(t, to )z (t) + cI>(t, to )z (t) = A(t)cI> (t , to )z (t) + B(t)u(t)
cI>(t , to )z (t) + [<Í>(t, to ) - A(t)cI> (t , to ) ] z(t) = B(t)u(t)
, .1 v
o
(2 .25)
(2 .26)
donde el término entre corchetes se anula por la primera propiedad vista para la matriz
de transición y, como cI>(t, to ) es no singular , se puede despejar z (t) como:
z (t) = cI>- l (t , to )B (t)u(t) (2 .27)
que mediante integración se resuelve , demostrando que existe la z (t) que cumple con la
hipótesis formulada en principio:
z(t) = z(to ) + (t cI>-l (T, to )B (T)U(T)dT ita (2 .28)
donde al aplicar la propiedad de inversión de tiempos a la matriz cI>(t, to ) , y teniendo en
cuentaque z (to ) = x(to ) a partir de la ecuación 2 .28 , se obtiene:
z (t) = x(to ) + (t cI>(to , T )B(T)U(T)dT ita
Si se sustituye esta expresión en la Ecuación 2 .24 se obtiene:
x(t) = cI>(t, to )xo + cI>(t , to ) (
t
cI>(to , T)B (T)U(T)dT ita
(2 . 29)
(2 .30)
En el segundo término aparece cI>(t, to ) fuera de la integral , pero como no depende de la
variable de integración puede introducirse dentro de la misma, y al producto entre ésta
www.FreeLibros.org
2.4. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN COMPLETA 71
y <I>(to , T) aplicarle la propiedad de transitividad para reducirlo, de forma que al final
queda la siguiente expresión de la solución de la ecuación completa:
x(t) = <I>(t , to )xo + (t <I>(t , T)B (T)U(T)dT ita (2 .3 1 )
Se observa que la solución completa de la ecuación de estado es una suma de dos
términos:
• El primero representa la evolución libre del sistema propiciada por la situación
inicial de las variables de estado o, dicho de otro modo, debida a las condiciones
iniciales cuando la entrada es nula. Como puede verse, este término existe si y sólo
si existen condiciones iniciales no nulas .
• El segundo representa la evolución forzada del sistema, debida a la acción producida
por la entrada del sistema.
Ejemplo 2.2
Determinar la evol ución de l estado ante entrada esca lón para el sistema
defin ido por:
sabiendo que to = 1 Y Xo = [ 1
o
-2
O
- 1
� l x + [ � l u - 1 - 1
2]T . Del Ejemplo 2 . 1 se sabe que: [ t-ta
<I>(t , to ) = eA(t-ta l =
e � O e-2(t-ta l
O
así como la evol ución l i bre del sistema partiendo de las condiciones in icia les
dadas, por lo que, ap l icando superposición , la evolución del estado ante entrada
esca lón es :
www.FreeLibros.org
72 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
Otro caso de cálculo de la evolución forzada del estado de un sistema se puede en
contrar en el Ejemplo 2 .6 al final del capítulo.
2 . 5 . Cálculo de la matriz de transición
Por lo expresado en el apartado anterior , el cálculo de la matriz de transición de un
sistema es equivalente al cálculo de la exponencial de una matriz :
<I>(t , to ) = eJ,'o A(r)dr
Se van a estudiar tres métodos para la obtención del resultado de esta expresión.
2.5. 1. Método de Cayley-Hamilton
Para los casos en que la matriz A(t) sea factorizable según la Ecuación 2 . 13 , que
incluye el caso invariante, la matriz de transición se puede expresar mediante su desarrollo
en serie , que no es sino un polinomio infinito que depende de M y de t :
00
eM J,'o a(r)dr = L ak (t)Mk = Q(M, t) (2 .32)
k=O
donde:
(2 .33)
Para el caso de matriz A invariante el planteamiento sería el mismo, salvo por el
hecho de que la función a(t) es igual a uno.
Como se verá a continuación, por el teorema de Cayley-Hamilton este polinomio
infinito particularizado en A(t) puede calcularse mediante un polinomio R(M, t) , de
grado finito y menor que n.
Llamando P(>') al polinomio característico de la matriz M, cuyo grado coincide con
el número de variables de estado n, se forma el cociente entre el desarrollo en serie de la
matriz de transición y éste, obteniéndose la expresión:
Q(>., t) = C(>', t)P(>.) + R(>', t) (2 .34)
donde C(>', t) es el polinomio cociente y R(>', t) es un polinomio de grado n - 1 , resto de
la división entre el polinomio infinito y el polinomio característico:
n- l
R(>' , t) = L hj (t)>.j
j=O
Por el teorema de Cayley-Hamilton:
P(M) = O
(2 .35)
(2 .36)
www.FreeLibros.org
2.5 . CÁLCULO DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN 73
es decir , que el polinomio característico de M se anula particularizado para sí misma,
por lo que, sustituyendo en la Ecuación 2 .34 A = M, se puede deducir que:
Q (M, t) = R(M, t) (2 .37)
Esta expresión presenta la ventaja de haber reducido el problema de obtener un
polinomio de grado infinito al problema de obtener un polinomio de grado finito.
Para obtener los coeficientes del polinomio R(M, t) se hace uso de la propiedad de
que los valores propios anulan el polinomio característico:
donde los Ai son los valores propios de la matriz M, por lo que:
con lo que se obtiene un sistema de n ecuaciones:
n- 1 eAi J:o Q{r)dr = R (Ai , t) = L hj (t)A{
j=a
que permitiría obtener las n incógnitas hj (t ) .
Ejemplo 2.3
Ca lcular la matriz de transición de l sistema defi nido por la matriz:
A = [ -2 1 ] 2 - 3
(2 .38)
(2 .39)
(2 .40)
En primer l ugar se ca lcu lan sus autova lores , comprobándose que sus va lores son
Al = - 1 , A2 = -4 . A conti nuación , se plantea la ecuación asociada a cada uno
de el los, sustituyendo en la Ecuación 2 .40. con lo que resu lta :
{ e- (t-to ) = ha - h1 e-4( t-to ) = ha - 4h1
y despejando este sistema resu lta :
ha = � (4e- (t-to ) - e-4(t-to ) ) , h1 = � (e- (t-to ) _ e-4(t-to ) )
por lo que la matriz de transición resulta :
[ � (2e- (t-to ) + e-4(t-to ) ) <I> (t , ta ) = ha I+h1 A = � (e- (t-to ) _ e-4( t-to ) ) � (
e- (t-to ) _ e-4(t-to ) ) ]
� (e- (t-to ) + 2e-4(t-to ) ) www.FreeLibros.org
74 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
Otro caso de obtención de la matriz de transición haciendo uso de este método para
un sistema no invariante puede verse en el Ejemplo 2 .7 al final de este capítulo.
En el caso de que la matriz M presente algún valor propio múltiple, para obtener
t�tas ecuaciones distintas como incógnitas, se deben utilizar las derivadas de la Ecuación
2.34 hasta un orden inferior en una unidad a la multiplicidad del valor propio. Dado un
valor propio Ai con multiplicidad mi , el polinomio característico es de la forma:
con lo que la expresión del cociente entre polinomios queda:
Si se deriva esta expresión respecto a A, resulta:
dQ(A, t)
dA
dC�� , t) Pi (A) (A _ Ai )mi + C(A, t) d�y) (A _ Ai )mi
+ C(A, t )Pi (A)mi (A _ Ai )mi - l +
dR�� , t)
(2 .41)
(2 .42)
(2 .43)
expresión en la que todos los términos se anulan al particularizar para Ai salvo el último,
quedando:
dQ(A , t)
I =
dR(A, t)
I dA A=� dA A=� (2 .44)
Esta igualdad entre la derivada de Q (A, t) Y la del polinomio R( A, t) se seguirá cumpliendo
hasta la derivada de orden mi - 1 inclusive. A partir de este orden aparecen sumandos
que no dependen de (A - Ai ) y que, por lo tanto, no se anularán cuando se particularice
la derivada de orden superior de Q(A, t) en Ai .
Ejemplo 2.4
Obtener la matriz de transición del sistema defin ido por:
A = [ 2 1 ] - 1 O
sabiendo que to = o .
En primer l ugar se determinan los va lores propios de la matriz dada , com
probándose que ambos coi nciden en Al ,2 = 1 , es deci r , un va lor propio doble.
Se cumple que: www.FreeLibros.org
2.5. CÁLCULO DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN
y, al ser el va lor propio doble, se ha de cumpl i r también que:
dQ(>. , t) _ dR(>', t) At _ h d>' - d>' =} t
e - 1
De donde, sustituyendo >. por su valor, se tiene el sistema de ecuaciones:
et = ho + h1
tet = h1 =} ho = ( 1 - t) et
Sustituyendo en el pol inomio resto queda :
2.5.2. Método de J ordan
tet ]
( 1 - t)é
75
Al igual que para el método de Cayley-Hamilton, se parte de una forma de la matriz
A(t) que permita su factorización de la forma que se expresa en la Ecuación 2 . 13 , con lo
que la matriz de transición del sistema toma la forma:
El método de Jordan consiste en realizar una transformación:
(2 .45)
que transforma a la matriz del sistema en:
A(t) = Ma(t) = T-1 A(t)T = T-1MTa(t) (2 .46)
de manera que sea diagonal en cajas de Jordan, conocida como forma canónica de Jordan.
Tal como se vio en el teorema de cambio de representación de estado, si se consigue
encontrar la matriz de transición para el sistema en el nuevo sistema de referencia, �(t , to ) ,
es posible obtener la del sistema original mediante la transformación:
<l>(t , to ) = T�(t , to )T- 1 (2 .47)
Para el cálculo de la matriz T se sabe que, en el caso de que todos los autovalores
sean distintos , ésta se compone, porcolumnas, de los vectores propios asociados a los
valores propios de la matriz M.
La ventaja de esta transformación es que la exponencial de una matriz diagonal en
cajas de Jordan se calcula de forma muy sencilla; la exponencial de una matriz en cajas www.FreeLibros.org
76 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
de Jordan es una matriz en la que cada bloque de la diagonal es la exponencial de una
caja:
<I>(t , to ) = exp
MI O
O M2
O O
- t
eM" Ito" u(r)dr
O
O
O
Mi
¡h
to
O - t
eM2 Ito" u(r)dr
a(T)dT
O
O
O O
- t
eMi Ito" u(r)dr
donde Mia(t) son cajas de JordanI de la matriz Á(t) .
La exponencial de algunas cajas de Jordan es la siguiente:
(2 .48)
Exponencial de una caja con valores propios distintos: si la matriz es :
la exponencial es:
Valor propio múltiple : si la matriz es :
). 1
O ).
Ái (t) = Mia(t) = O O
O O
O
O
1
).
O
O
O
O a (t)
).
O
O
eAk 1:; u(r)dr
(2 .49)
1 En el Apéndice A de este libro, Sección A.2, se muestra un método para la obtención de la matriz
diagonal en cajas de Jordan
www.FreeLibros.org
2.5. CÁLCULO DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN
la exponencial es:
1' 1 - - t i e to Ai (r )dr = eMi fto a(r)dr =
1 Jt: a(T)dT
O 1
Ut: a(T)dT)
2
2 !
Jt: a(T)dau
Ut: a(T)dT)
n- l
(n - 1 ) !
Ut: a(T)dT)n-
2
77
= eA f:� a(r)dr (n - 2 ) ! Utto a(T)dT)n-3 (2 .50) O O 1 (n - 3) !
O O O 1
De esta forma, según el método de Jordan, el cálculo de la exponencial de una matriz
se realiza en los siguientes pasos:
• Cálculo de la matriz diagonal en cajas de Jordan, mediante el cálculo previo de las
matrices T y T-l .
• Cálculo de la exponencial de la matriz diagonal en cajas de Jordan, �(t , to ) .
• Multiplicación de esta matriz por las matrices de transformación para devolver el
sistema a su expresión original, <p(t, to ) .
Ejemplo 2.5
Ca lcular la matriz de transición de l sistema defi n ido por la matriz:
A =
[ -2 1 ]
2 -3
De l Ejemplo 2 .3 sabemos que los autova lores de esta matriz son Al = -1 ,
A2 = - 4 . A conti nuación se ca lcu lan los vectores propios asociados, con los que
se construye la matriz de d iagonal ización del sistema :
Con lo que se tiene:
- [ -1 A = O O ]
[ e- (t
2
-to )
--> � (t , to) =
-4 www.FreeLibros.org
78 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
En el Ejemplo 2.8 , al final del capítulo, puede encontrarse un caso de cómputo de
la matriz de transferencia haciendo uso tanto del método de Cayley-Hamilton como del
de Jordan, mientras que en el Ejercicio 3 se puede ver un caso de aplicación de estas
metodologías para un caso no invariante.
2.5.3. Mediante la transformada inversa de Laplace
Si el sistema es invariante, la ecuación de estado se puede resolver mediante la trans
formada de Laplace. Se parte de la ecuación:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
Tomando la transformada de Laplace:
sX(s) - Xo = AX(s) + BU(s) =}
=} (sI - A)X(s) = Xo + BU(s) =}
=} X(s) = (sI - A) - lXO + (sI - A) - lBU(s)
y tomando antitransformada de Laplace:
x(t) = .:¿-
l
[ (sI _ A)- l ] Xo + .:¿-
l
[(sI - A) - lBU(s)]
(2 .51 )
(2 .52)
Esta expresión permite obtener la evolución del estado en función de las matrices de
las ecuaciones de estado y del estado inicial .
Como puede observarse en la Ecuación 2 .52 , si la entrada al sistema es nula, el segundo
sumando se anula. Por otro lado, la situación de entrada nula es la que se plantea para la
ecuación homogénea, por lo que se propone un método alternativo para hallar su solución
como:
x(t) = .:¿-
l
[(sI - A) - l ] Xo (2 .53)
Por tanto, se puede establecer una correspondencia entre la expresión de la solución
completa, mediante la transformada de Laplace, y la expresión general hallada en la
sección anterior . De esta forma, identificando el primer término, como se acaba de hacer,
se observa que la matriz de transición se puede hallar como :
(2 .54)
En cuanto al segundo sumando, se comprueba, por las propiedades de la transformada
de Laplace, que:
.:¿-
l
[(sI _ A)- lBU(s)] = cI>(t) * Bu(t) (2 .55)
que se corresponde con una integral de convolución en el dominio del tiempo, convolución
que aparece como segundo sumando de la solución general de la Ecuación completa 2 .52 .
www.FreeLibros.org
2.6. EJEMPLOS ADICIONALES
2 . 6 . Ejemplos adicionales
Determinación de la evolución del estado
Ejemplo 2.6
Ca lcu lar la evol ución de l estado de l sistema dado por:
[ �l ] = [ - 1 O ] [ Xl ] + [ 1 ] u(t) , X2 O -2 X2 -3
a . Ante entrada nu l a .
b . Cuando la entrada es un esca lón un itario.
c . Cuando la entrada es u(t) = sin(t) .
to = O x(to ) = Xo = [ 2 ] -4
En primer l ugar se ha de ca lcu lar la matriz de transición del sistema , cá lculo
que resu lta trivia l en este caso a l ser la matriz A diagona l .
A part i r de este resu ltado se p lantea la sol ución a cada uno de los casos que
se exponen en el ejemplo .
a . Ante entrada nu l a , el estado evol uciona según la expresión :
. [ e-t O ] [ 2 ] [ 2e-t ] x(t) = <p(t, O)xo = O e-2t -4 = -4e-2t
La representación gráfica de la evol ución de cada una de las variables de
estado es la representada en la sigu iente figura :
Xl
2
0 . 5
+--�--�2--�3==�4��S t
+---:-----:==---...,,---:4;----;c-s t
- 4
Lo que defi ne una trayectoria en el espacio de estado que se representa en
la sigu iente figura :
79
www.FreeLibros.org
80 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
1 . 5
- 1
- 2
- 3
- 4
b . Ante entrada esca lón u n itario, la evol ución de l estado se ca lcu la haciendo
uso de la expresión que proporciona la sol ución de la ecuación completa :
x(t) = <I>(t , O)xo + t <I>(t , T)B (T)U (T)dT = Jto
= [ 2e-t ] ¡ t [ e- (t-r) _4e-2t + O to O e-2(t-r) [ 1 + e-t ] = _4e-2t + � (e-2t - 1 )
Esta evol ución tempora l se representa gráficamente en las figuras que a pare
cen a conti nuación :
Xl X2
2 1 3 4 5
t
1 . 5 - 1
1 -2
0 . 5 -3
4
5 t
- 4
En la s iguiente gráfica se m uestra la trayectoria dentro del espacio de estado
marcada por estos com portam ientos .
0 . 5 1 1 . 5
- 1
- 2
- 3
- 4 www.FreeLibros.org
2.6. EJEMPLOS ADICIONALES
c. En el tercer caso p lanteado, la entrada al s istema es una senoide, por lo que
la evol ución del estado se ca lcu la nuevamente haciendo uso de la expresión
obtenida para la ecuación completa .
x(t) = !I>(t , O)xQ + t !I>(t , r)B (r)u(r)dr = Jta
o ] + f
ta
t
[ e-
(
o
t-T)
Jt , e-2 (t-T)
] [ !3 ] sin(r)dr =
= [
2e-t + 1. (e-t - cos(t) + sin(t) ) _4e-2t - j (e-2t - cos(t) + 2 sin(t)) ]
En las gráficas q ue se m uestran a cont inuación puede observarse la evolu
ción de las dos varia bles de estado, a lo la rgo del tiempo, cuando la entrada
es una senoide:
X, X2
1
2 o
t
- 1
- 2
- 3
- 4
E l im inando el t iempo de estas expresiones, se obtiene la trayectoria en el
espacio de estado q ue se representa a conti nuación :
1
- 2
- 3
- 4
1 . 5 2 Xl
81
www.FreeLibros.org
82 CAPÍTULO 2 . SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
Evolución del estado de un sistema no invariante
Ejemplo 2.7
Ca lcu lar la evol ución l i bre de l sistema dado por el modelo de estado:
[ Xl ] = [ - Sin(t) X2 4 sin(t)
2 sin(t) ] [ Xl ]
-3 sin(t) X2
partiendo del estado i n icia l Xo = [ _� ] en to = O
En primer l ugar, se com prueba q ue la matriz A(t) del sistema es ta l q ue
admite una factorización como la expresada en la Ecuación 2 . 13 , por lo que
es susceptib le de uti l i zarse el método de Cayley-Ham i lton . Dicha factorización
q ueda como:
A(t) = [ - s.in(t) 4 sm(t) 2 sin(t) ] = [ - 1 -3 sin(t) 4 2 ]
{ M = [ -1 2 ]
-3 sin(t) =} 4 -3 a(t) = sin(t)
U na vez identificados los factores , e l s iguiente paso es el cá lcu lo de los va lores
propios de la matriz M, q ue posteriormente servirán para p lantear las ecuacionesmed iante las que se despejan los coeficientes del pol inomio resto .
det [.U - M] = A2 + 4A - 5 = (A - l ) (A + 5)
con lo que los a utova lores son Al = 1 , A2 = -5 .
El sigu iente paso e s plantear l a s ecuaciones que igua lan l a s exponencia les de
los va lores propios con la particu larización del pol i nomio resto para los m ismos:
que, ap l icada sobre los va lores propios, origi na el s istema de ecuaciones :
Ai = 1 =} e ( 1 -cos(t ) ) = ho + h1
Ai = -5 =} e-5 ( 1 -cos(t ) ) = ho - 5h1
que despejando dej a :
ho � (e-5 ( 1 -COS(t ) ) + 5e ( 1-COS(t) ) )
h1 � ( _e-5 ( 1 -cos(t ) ) + 5e ( 1 -COS(t) ) ) www.F reeL ib ros .o rg
2,6. EJEMPLOS ADICIONALES
La matriz de tra nsición se encuentra sustituyendo estos coeficientes en la
expresión del pol inomio resto y particu larizándolo para la matriz M:
1 [ e-5C(t) + 2eC(t) cp (t , to ) = hoI + h1M = :3 _2e-5C(t) + 2eC(t)
_e-5C(t) + eC(t) ]
2e-5C(t) + eC(t)
donde C(t) = (1 - cos(t) ) .
Conocida l a matriz cp(t , to ) , ya es posib le ca lcu lar l a evolución del sistema a
part i r del estado i nc ia l proporcionado y, dado que la entrada es nu la a l ped i rse
la evol ución l i bre :
1 [ 4eC(t) + 5e-5C(t) ]
x(t) = cp(t , O)xo = :3 4eC(t) _ lOe-5C(t)
que, representado en función del t iempo y en el espacio de estado, queda :
X,
1 0
x,
1 0
8
4
2
- 2
4
X,
1 0
/
2 /
:\ / \
/ \
(\ I +/+--;c-----:--�v,--+· --;:;--;";;1 0 t
-2
8 1 0 Xl
Evolución temporal de un sistema de depósitos comunicados
Ejemplo 2.8
En el sistema de depósitos comun ica ntes de l Ejemplo 1 .7 se desea ver la
evol ución de ambas a lturas cuando el fl ujo de entrada es constante de valor
F, siendo su modelo de estado l i nea l izado el calcu lado anteriormente en d icho
83
www.FreeLibros.org
84 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
ejemplo :
donde los va lores de estas matrices dependen de los parámetros físicos del sistema
concreto y de su punto de l i nea l ización .
Para ha l lar la evol ución tem pora l de las a lturas es necesario ca lcu lar previa
mente la matriz de transición , q ue se va a resolver pr imero media nte el método
de Cayley-Ham i lton y después med iante el método de Jordan . En ambos méto
dos se ca lcu la en primer l ugar el pol i nomio característico del sistema y sus va lores
propios (es deci r , polos del sistema ) .
P(A) = det [AI - A] = det [ A + al -a2
Resolviendo este pol inomio característico se obtienen los dos polos rea les del
sistema que denominamos Al y A2 .
Matriz de transición por el método de Cayley-Hamilton
Particu larizando el pol i nom io eAt = hoI + hlA para am bos va lores propios
se tiene:
e)l1 t = ho + hl Al
eA2 t = ho + hl A2
y resolviendo ambas ecuaciones en ho y hl :
ho A2e
A 1 t - Al eA2 t
A2 - Al
eA1 t _ eA2 t
Sustituyendo estos va lores en el pol inomio que determ ina la matriz de tra n
sición se obtiene:
<I>(t , O) = eAt = hoI + hlA =
_ 1 [ (A2 + adeA1 t - (Al + adeA2 t - A2 - Al -a2eA1 t + a2eA2 t
Al m ismo resu ltado se l lega resolviendo la matriz de transición por el segundo
método propuesto. www.FreeLibros.org
2.6. EJEMPLOS ADICIONALES
Matriz de transición por el método de Jordan
La matriz T de cambio de base que d iagona l iza la matriz A de la d inámica
del sistema está formada por los vectores propios VI y V2 correspond ientes a los
dos valores propios Al y A2 , que se ca lcu lan a conti n uación :
[A.I - Al [ �:� ] [ � ] i = 1 , 2
donde sustituyendo el va lor de A:
i = 1 , 2
Suprim iendo la segunda ecuación por ser combinación l i nea l de la primera
(puesto q ue Ai es un va lor propio) , q ueda la s iguiente ecuación ap l icable a cada
va lor propio:
i = 1 , 2
Haciendo por ejemplo Vi l = al , se obtiene Vi2 = al + Ai , por lo tanto la
matriz de cambio de base d iagona l izante , formada por ambos vectores propios,
queda :
T = [
y ca lcu lando su matriz inversa :
con lo q ue la matriz de tra nsición en la base origi na l del sistema resu lta :
<I>(t , O) = eAt = TeÁtT- l =
al (A2
1
- Ad [ al � Al al � '\2 ] [
e
�
¡ t
e�2 t ] [ ��l
+
_
A
�l ��l ] =
[
al (A2 + al )e),¡ t - al (Al + ade),2 t -aie), ¡ t + aie),2 t
(al + Al ) (A2 + ad (e), ¡ t - e),2 t ) -al (Al + ade),¡ t + al (A2 + al )e),2 t
si en los térmi nos de la segunda f i la de esta matriz se tienen en cuenta las
sigu ientes relaciones entre los parámetros ai Y los polos Ai , deducidas de los
coeficientes del pol i nomio característico:
85
www.FreeLibros.org
86 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
se obtiene la siguiente expresión de la matriz transición :
coincidente con la calculada anteriormente.
Evolución temporal
La evol ución tempora l de las a lturas se resuelve a part i r de la matriz de
transición a nteriormente ca lcu lada med iante:
donde Fl (T) es la evol ución del fl ujo de entrada entre el i nstante i n ic ia l que se
toma como origen de tiempos (nótese que es un sistema i nvariante) y el i nstante
genérico posterior t . En nuestro caso estamos interesados en ver la evolución
cuando el fl ujo es constante Fl (t) = F, pudiendo va ler O en el caso de que no
exista cauda l de entrada . Por tanto, sustituyendo el valor de eAt y efectuando
la i ntegra l a nterior se obtiene:
donde el primer sumando representa la evol ución l i bre del sistema , es deci r , la
evol ución de las a lturas desde sus cond iciones i n icia les en a usencia de cauda l de
entrada , y el segundo térm ino representa la evol ución de las a lturas cuando las
condiciones i n ic ia les son nu las (es decir , va lores i ncrementa les n u los respecto a l
punto de l i nea l ización) y se i ntroduce u n fl ujo constante de va lor F .
Obsérvese q ue este sistema ha podido resolverse ana l íticamente med iante l a
matriz de tra nsición , porque e l sistema h a sido previa mente l i nea l izado en torno
a un punto de funcionamiento. Esta resol ución ana l ítica med iante la matriz de
tra nsición no es posib le , sin embargo, si se ut i l izan las ecuaciones no l i nea les
origi na les del sistema , en cuyo caso la resol ución de la evolución de las a lturas
debe efectuarse de forma genérica med iante un programa de s imu lación . www.FreeLibros.org
2.6. EJEMPLOS ADICIONALES 87
S i se considera el s istema concreto del Ejem plo 1 .7 , cuyas ecuaciones son :
[ �1 ] = [ -0,441 0 ,441 ] [ h1 ] + [ 0 ,5 ] F1 h2 0 , 588 -0,996 h2 O
de donde se tienen los siguientes polos del sistema : ).1 = -0 , 139 Y ).2 = - 1 ,3 ,
con lo que la matriz de transición resu ltante es:
[ O 7394e-0 , 139t + O 2606e- 1 ,3t <p(t , O) = 0 '506ge-0 , 139t _ 0 '506ge- 1 ,3t , , 0 ,3802
e-0 , 139t - 0,3802e- 1 ,3t ]
0,2606e-0 , 1 39t + 0,7394e- 1 ,3t
y la evol ución de las a lturas resu lta :
[ hl (t) ] _
h2 (t) -
[ 0 ,7394e-0 , 139t + 0 ,2606e- 1 ,3t 0 ,3802e-0 , 139t - 0 ,3802e- 1 ,3t ] [ hlO ] + 0, 506ge-0 , 139t - 0 ,506ge- 1 ,3t 0 ,2606e-0 , 139t + 0 ,7394e- 1 ,3t h20
[ -2 6661 (e-0 , 139t - 1 ) - 1 8278(e- 1 ,3t - 1 ) ] + F -0 ; 1003 (e-0 , 139t _ 1 ) + 0 ; 1952 (e- 1 ,3t - 1 )
donde poniendo como condiciones i n ic ia les d e las a lturas e n ambos depósitos
[hlO h20 ]T = [0 ,5 0 ,5f e i ntroduciendo u na entrada constante de va lor F =
1 , siendo todos estos valores i ncrementa les sobre el p unto de l i nea l ización , se
obtiene la evol ución de las a lturas representada en la sigu iente figura :
2 5r-----�----�----�----�----__,
2
E
S 1 .5
��
§.
0 ��----�2 ----�4----�6�----8�--�1 0 tiempo (5 )
1 2
S 0 8
N �
0 6
O \�----�2 ----�4----�6------8�--�1 0 tiempo (5 ) www.FreeLibros.org
88 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
En la s iguiente figura se representa la trayectoria de esta evol ución de las
a lturas en el espacio de estado, siendo ésta una cu rva para métrica en función
del tiempo, que por tanto nofigu ra de forma expl ícita . En d icha figura puede
observarse la evol ución l i bre de los incrementos de las a lturas (es deci r , ante
entrada i ncrementa l n u la ) , la evol ución desde cond iciones i n icia les nu las y con
entrada incrementa l y, por ú lt imo, la evo lución fi na l de los i ncrementos de las
a lturas cuando existen cond iciones i n ic ia les y entrada , como suma de las dos
trayectorias a nteriores .
1 4r---------�--�----�--_,
1 2
.s ° B
E"' 0 6 �
0 4
0 2 evolucion l ibre - - - desde e i nula - -- evolucion total
%��-�-�0�5--�1���1 =5 ==�2==�2 5 h1 (t) (m )
Las evoluciones a nteriores de las a lturas se han ca lcu lado de forma ana l ítica
a part i r del sistema l i nea l izado en torno a un punto de funcionamiento , lo que
perm ite u n aná l isis matemático de esta evol ución encam i nado a l cá lcu lo de una
estructura de control por rea l imentación del estado, según se verá en capítu los
posteriores . La resol ución ana l ítica del modelo de estado no l i nea l no es posi ble
de forma genera l , por lo que su evol ución sólo puede obtenerse media nte un
programa de s imu lación n umérica que resuelva d ichas ecuaciones no l i nea les
de forma iterativa . En la s iguiente figura pueden observarse las d iferencias de
la evol ución de los i ncrementos de a ltura entre el sistema rea l no l i nea l y la
aproximación l i nea l en torno a l pu nto FlO = 1 , hlO = 1 ,38 Y h20 = 0 , 8 16 .
0 0 0
5
0 0
0 g 4 : ,//,/O
O O
�
________ ---i
s 3 5
� ..... 3 "
2 o - - modelo no lineal - modelo linealizad
1 ��--�10��2�O��30�==4�O==�50· tiempo (s )
3 5r---�--------------�
3 0
0 0
0 0 0
///'/'�-------l
- - - modelo no lineal
-modelo linealizad
10�--�10��2�O�=7.30�==4�O==�50 tiempo (s ) www.FreeLibros.org
2 .7 . EJERCICIOS RESUELTOS
Obsérvese que en las proxim idades del punto de l i nea l izaci6n , esto es , para
[hlO h20V = [O oV , el com portam iento del modelo l i nea l es s im i la r a l del sistema
no l i nea l , haciéndose notable la d iferencia cuando los va lores i ncrementa les de
la a ltura se a lejan de las cond iciones i n ic ia les n u las . En el ejemplo propuesto
esta d iferencia se hace m uy notable en régimen permanente, porque la entrada
i ncrementa l i ntroducida F = 1 supone un 100 % de a umento sobre el punto de
l i nea l ización defin ido por FlO = 1 , con lo q ue las a lturas se desvían mucho de sus
respectivos va lores de l i nea l ización hlO = 1 ,38 Y h20 = 0 , 8 16 . Estas d iferencias
entre ambos modelos serán , sin embargo , mín imas cuando exista un sistema de
control que garantice pequeñas variaciones de las a lturas respecto a su punto de
l i nea l izaci6n , lo que será objeto de estudio en capítu los posteriores .
2 . 7. Ejercicios resueltos
1 . Hallar la matriz de transición del siguiente sistema:
89
El primer paso para hallar la expresión de la matriz de transición es el cálculo de
los autovalores de la matriz A, que como ya se sabe coinciden con los polos del
sistema. Para ello , se ha de resolver el polinomio característico:
det (AI - A)
A + 3 - 1 O
- 1 A + 3 O = (A + 3)3 _ (A + 3) =
O O A + 3
(A + 3) [ (A + 3) 2 - 1 ] = (A + 3) (A + 2) (A + 4)
Por lo que se tiene que los valores propios son:
Al = -2
A2 = -3
A3 = -4
A partir del conocimiento de estos valores propios, los polos del sistema� existen dos
posibilidades para calcular la matriz de transición: utilizar el método de Cayley
Hamilton o el de Jordan.
• Método de Cayley-Hamilton
Se plantea el sistema de ecuaciones correspondientes a la particularización
www.FreeLibros.org
90 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
del polinomio eAt = hol + h1A + h2A 2 para cada uno de los valores propios
calculados:
e-2t = ho - 2h1 + 4h2 )
e-3t = ho - 3h1 + 9h2
e-4t = ho - 4h1 + 16h2
de donde despejando los coeficientes (ho , h1 , h2 ) se obtiene el resultado:
ho = 6e-2t - 8e-3t + 3e-4t
h - 1 -2t -3t + 1 -4t 2 - 2e - e 2 e
Con estos coeficientes se plantea la ecuación mediante la que se obtiene la
matriz de transición:
• Método de Jordan
1 ( -2t -4t ) - e - e 2
� (e-2t + e-4t ) 2
O
Conocidos los valores propios, se sabe que existe una base del sistema para la
cual la matriz del sistema es diagonal , y en dicha base de referencia la matriz
de transición toma la forma: [ e-2t O O 1
4>(t) = O e-3t O
O O e-4t
Basándose en la transformación que pasa la matriz A a forma diagonal, se
puede calcular la matriz de transición del sistema para el sistema original
a partir de la matriz 4>. Como ya se sabe, la matriz que diagonaliza A es
la formada por columnas, por sus vectores propios, por lo que el cálculo de
la matriz de transformación T se reduce al cálculo de los vectores propios
asociados a los valores propios calculados. Particularizando la expresión (Al
A) = O para los distintos valores propios se obtiene:
A � -2 , => [ -� -� n [ �:: 1 [ � 1
www.FreeLibros.org
2.7 . EJERCICIOS RESUELTOS
Vll = V12
V13 = O
[ -� - 1 A = -3, =} O O
V22 = O
V21 = O
[ - 1 - 1 A = -4, =} - 1 - 1 O O
V31 = -V32
V33 = O
=} V, � [ i l
� 1 [ v" 1 V22 V23
=} V2 = [ n
O ] [ v"' 1 O V32 1 V33
[ n
[ � 1
=} v3 � [ -l l
de donde se obtiene que la matriz de transformación T y su inversa valen:
91
Aplicando la transformación dada por T a la matriz <1>, s e obtiene la expresión
de la matriz de transición en el sistema de referencia inicial : [ � (e-2t + e-4t )
ll (t) = T<1>T-1 = � -2t -4t - (e - e ) 2
O
1 ( -2t -4t ) 1 "2 e - e O
1 _ (e-2t + e-4t ) O 2
O e-3t
2 . Obtener e l modelo de estado y l a evolución de las variables de estado del sistema
representado mediante la siguiente ecuación diferencial:
y + 7fj + 14y + 8y = O
con las siguientes condiciones de contorno:
to = O y (to ) = 2 y (to) = - 1 fj(to ) = 1
www.FreeLibros.org
92 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
En primer lugar se han de elegir las variables de estado; en este caso, dado que la
ecuación es de tercer orden, serán necesarias tres, siendo una posible elección :
Xl = y
X2 = iJ
X3 = fj
:h = X2
X2 = X3
X3 = -7X3 - 14x2 - 8Xl
con lo que el modelo de estado expresado en forma matricial queda:
o
O
-8
1
O
- 14
A partir de esta expresión se calcula la matriz de transición por el procedimiento
habitual; en primer lugar , se extraen los valores propios, que identifican a los polos
del sistema y, por lo tanto, su dinámica:
det (AI - A)
A - 1 O
O A - 1 = A2 (A + 7) + 8 + 14A =
8 14 A + 7
A3 + 7).2 + 14>. + 8 = (A + 4) (A + 2) (A + 1 )
Una vez conocidos los valores propios de l a matriz A, se calculan los vectores
propios para hallar la transformación que la diagonaliza (método de Jordan) :
A = - l , =}
V1 1 = -V12
A = -2 , =}
-2V21 = V22
-2V22 = V23
A = -4, =}
www.FreeLibros.org
2.7 . EJERCICIOS RESUELTOS 93
Con lo que la matriz de transformación es:
8 1
- 2 -
T � [ 3 3 1 1 -¡ ] 5 1 - 1 -2 T- 1 = -2 1 4 16 2 2 1 1 1
- - -
3 2 6
De esta forma, transformando la matriz de transición de la expresión diagonalizada
de la matriz A, se obtiene la matriz <I> del sistema en su referencia original :
- 1
O
O
O
-2
O J ]
8 -t 2 -2t + 1 -4t 3 e - e 3 e
8 -t 2 -2 + 16 -4t 3 e - e T e
<I>(t) = T1>(t)T- 1 =
2 -t 5 -2t + 1 -4t e - 2 e 2 e
},, ]
1 -t 1 -2t + 1 -4t 1 3 e - 2 e (l e
1 -t + -2t 2 -4t - 3 e e - 3 e
1 -t 2 -2t + 8 -4t 3 e - e 3 e
3 . Obtener la evolución del estado del siguiente sistema, supuestos conocidos Xl (to ) Y
X2 (tO ) :
Como se ha visto en este capítulo, éste es uno de los casos en los que es factible
encontrar una solución sencilla para la ecuación de estado, puesto que se trata de
una matriz A(t) que puede descomponerse en el producto de una función del tiempo
por una matriz constante. Como se vio entonces , la forma de hallar la solución de
esta ecuación de estado es resolviendo:
[1 2 ] ( t2 _ t� )
"'(t t ) _ I; A(T)dT _ M I; a(T )dT _ 3 2
2
'I' , o - e o - e o - e
El cálculo de la exponencial de la matriz se puede realizar según los dos métodos
explicados, bien por diagonalización o bien por Cayley-Hamilton:
• Método de J ardan
En primer lugar se calculan los valores propios de la matriz M:
det (AI - M) = I A�/ >. __ 22 1 = (A - l ) (A - 2) - 6 = (>' + l ) (A - 4) www.FreeLibros.org
94 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
En el sistema de referencia diagonalizado, la matriz de transición del sistema
sería: [ - 1 O ] � 2 2
<I> (t , to) = e O 4
2 = [ e 'Q� '
A partir de esta expresión de la matriz de transición y mediante la matriz de
transformación correspondiente , es posible hallar la matriz llI(t , to ) en el sis
tema de referencia inicial . Dicha matriz de transformación, como ya es sabido,
se construye por columnas con los vectores propios de la matriz A:
). = - 1 =} [ -2 -3 -2 ] [ Vl l ] -3 V12 [ � ]
=} Vll = -V12 Vl = [ -�
]
). = 4 =} [
-; -� ] [ V21 ] [ � ] V22
=} 3V21 = 2V22 V2 = [ � ]
Por lo que la matriz de transformación queda como:
Con lo que la matriz de transición en el sistema de referencia inicial queda
como:
llI(t, to ) = T<I>T-1 =
• Método de Cayley-Hamilton
Se componen las ecuaciones correspondientes a cada uno de los valores propios
calculados anteriormente:
_ ,2 - '5 e 2 = ho - h1
e2(t2 -t� ) = ho + 4h1
de donde se despejan los valores de ho (t) y h1 (t) : www.FreeLibros.org
2.7 . EJERCICIOS RESUELTOS 95
sustituyendo estos valores en la anterior ecuación y sustituyendo en A, se
obtiene finalmente:
_ � 2e2(t - ta l + 3e- 2
[ 2 2 �
<I>(t , to ) - 2 2 ,2 - '5 5 3e2(t -ta l - 3e- 2
resultado que, lógicamente, coincide con el anterior .
Conocido entonces el valor de la matriz de transición por cualquiera de los dos
métodos, la evolución del estado viene dada por:
4. Dado el sistema descrito por la ecuación:
y partiendo del estado inicial nulo en el instante to = O, determinar la evolución
del estado cuando la entrada es: { O t < O
2 0 < t < 1 u (t) = 1 1 � t < 2
O t ? 2
En primer lugar se calcula la matriz de transición. Por conveniencia se utiliza la vía
de la diagonalización del sistema y la definición de las pertinentes matrices de trans
formación. Esto es así porque, dado que posteriormente se han de realizar cálculos
de respuesta ante determinadas entradas , resulta mucho más cómodo hacerlos para
el sistema diagonalizado y luego devolver los resultados a la representación original ,
que realizarlos directamente en ésta.
Primero se calculan los autovalores de la matriz A:
p(>.) = det [>'I - Al = >.2 + 8>' + 12 = (>' + 6 ) (>' + 2)
y, a partir de ellos , se calcula la matriz de transformación a la forma diagonal
construida con los vectores propios:
>. = -6 [ -3 - 1 -3 - 1 www . F r e e L i b r o s . o r g
96 CAPíTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
de donde:
T = [ !1 � ] * T- I = � [ �
con lo que las matrices transformadas quedan:
Á =T- I AT = [ -6 O ] O -2
B =T-I B = [ � 1 ]
A continuación se calcula la evolución del sistema en esta representación, para
posteriormente devolver el resultado a la representación original .
• t < O
El estado inicial es nulo y, como no se indica lo contrario, se puede suponer
que proviene de esta situación desde un tiempo indefinido, por lo que el valor
del estado anterior a la aplicación de la entrada se puede suponer nulo.
• O � t < 1 , u(t) = 2
Para este intervalo el valor inicial del estado es nulo, por lo que no existe
término correspondiente a la evolución libre al calcular su valor:
¡t ¡t [ -6(t-r) xa (t) = Jo <J>(t , r)B (r)u(r)dr = Jo
e
O
= [ - � ( 1 � e-6t ) ]
que devuelto a la representación original del sistema queda:
• 1 � t < 2, u (t) = 1
Para este intervalo hay que tener en cuenta que va a existir un valor inicial
del estado distinto del nulo, que es el valor de la expresión calculada para el
intervalo anterior cuando t = 1 :
- _ - ( 1 ) _ [ - � ( 1 - e-6 ) ] XbO - Xa - O
Esto produce la existencia de evolución libre, por el valor de dicho estado
inicial , y de evolución forzada, por la existencia de una entrada:
[ 1 ( 1 -6 ) ] ¡t [ -6(t-r) Xb (t) =<J>(t , 1 ) - 3 � e + JI e O O _e2(t-r) www.FreeLibros.org
2.7 . EJERCICIOS RESUELTOS
que en la representación original del sistema equivale a:
[ i (- 1 - e-6(t- 1 ) + 2e-6t) ] Xb (t) = TXb (t) = - i ( - 1 _ e-6(t- 1 ) + 2e-6t)
• t ;::: 2 , u(t) = O
97
En este intervalo existe un valor inicial , fijado por la evolución del estado al
final del intervalo anterior:
y lo que no existe es término debido a la evolución forzada, puesto que la
entrada se anula, por lo que la variación del estado se debe exclusivamente a
su evolución libre:
[ 1 ( 1 -6 + 2 - 12 ) ] [ _ -61 (-2e-6t + e-6(t- 1 ) + e-6(t-2) ) ] Xb (t) = cI> (t , 2) 6 - - e O
e
= O
que en su representación original es :
x t - Tx t - 6
e e e [ _ 1 (-2 -6t + -6(t- 1 ) + -6(t-2) ) ] b ( ) - b ( ) - i ( -2e-6t + e-6(t- 1 ) + e-6(t-2) )
5 . En e l sistema de la figura, determinar la evolución de la tensión en cada conden
sador, así como la diferencia entre ambas, a partir del instante to = O, en los
siguientes casos:
1 1 12
+ R1 R2
Ug
Uc1 • Uc2 •
C1 C2
www.FreeLibros.org
98 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
Considerar dos posibles valores de G 1 :
a) G1 = 10-6 F .
b) G1 = 2 x 1O-6F.
Para cada valor de G1 , considerar tres posibles entradas:
1) Permanece nula.
2) Un escalón unitario a partir de to o
3) Un escalón unitario a partir de to , hasta un tiempo t t = 0,58, y posteriormente
cero .
Datos: R1 = 100K R2 = 200K G2 = 10-6 F
Tensiones iniciales en los condensadores: Uc, = 2V UC2 = - 1 V
Las ecuaciones del sistema son las siguientes :
Ug (t) = R1 lt (t) + Uc, (t) con
con
Sustituyendo las intensidades se obtiene:
Ug (t) = R1GdJc, (t) + Uc, (t)
Ug (t) = R2G2UC2 (t) + UC2 (t)
Se eligen las siguientes variables de estado:
siendo la entrada y la salida:
Xl (t) = Uc,
X2 (t) = UC2
u (t) = Ug (t)
y (t) = Uc, (t) - UC2 (t)
por lo que las ecuaciones de estado quedan:
Xl = - R}, X1 (t) + R,lC, u (t)
X2 = - R2�2 X2 (t) + R2
1C2 u (t) www.FreeLibros.org
2.7. EJERCICIOS RESUELTOS
En forma matricial se expresan como:
1
R1 Gl 1
R2 G2
99
] U(t)
La evolución del estado es la solución de la ecuación completa, cuya expresión es:
x(t) = 4> (t, tO )X (tO ) + ¡
t
4>(t, r)B (r)u (r)dr i
to
donde se aprecia el término debido a la evolución libre y el término debido a la
entrada. Para calcular la evolución del estado es necesario obtener previamente la
matriz de transición. Como A es invariante , se puede expresar como:
4>(t, tO ) = eA(t-to )
Al ser la matriz A diagonal , la expresión de la matriz de transición es sencilla de
calcular, sin necesidad de aplicar los métodos de Caley-Hamilton o Jordan.
[ 1
- R1 Gl
4>(t , to) = eA(t-to ) = e O
O 1
- R2 G2
Las entradas consideradas son las siguientes:
Entrada u a
o 5
O 2 O 4 O 6 O B
-O 5
- 1
a) Si el = 10-6 F.
u. Entrada Ub
1 5
1 t
O 5
O 2 O 4 O 6
] (t- to ) [ _.!.=!o.. e Rl el
O
u, Entrada u.,
O B
O 6
O 4
O 2
O B 1 t O 2 O 4 O 6 O B 1 t
1 ) Si la entrada es nula, en la evolución del estado sólo influye el término
debido a la evolución libre:
x (t) = 4> (t , to )x (to ) = [ e-���Ol
La salida es : www.FreeLibros.org
100 CAPÍTULO 2 . SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
Dando valores a las constantes:
[ 2e- lOt ] x(t) = e-St y (t) = 2e- lOt + e-St
La representación gráfica del estado y de la salida es la siguiente :
Evo lu c i ón d e l e s tado . Ent rada ua . xo = [ 2 _ l ] T
2
E s tado 0 . 5
- 0 . 5
- l � __ ���� __ ������ O 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
t
Evo l u c i ón de la s a l i da . Ent rada ua . xo = [ 2 _ l ] T
3
2
Sa l i da 1 . 51
0 . 5
O���������� O 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
t
2) Si la entrada es un escalón, la evolución del estado será:
x(t) = <I? (t, to )x (to ) + {
t
<I?(t, T)B (T)U (T)dT lta
www.FreeLibros.org
2.7. EJERCICIOS RESUELTOS
Sustituyendo:
x(t)
+
x(t)
La salida será:
[ - � e RI CI O
�
l - e- RICI
t - to 1 - e- R2C2
1
RI CI 1
R2 C2
1 [
Dando valores, se obtiene:
[ 1 + e- lOt ] x(t) = 1 _ 2e-5t =} y(t) = e- 10t + 2e-5t
La representación gráfica del estado y de la salida es la siguiente:
Evo luc i ón de l e s tado . Entrada ub . xo = [ 2 _ l J T
2
1 . 5
1
Es tado 0 . 5
O �--�----------------------�
- 0 . 5
- l � ____ �� __ �� __ �� __ �� ____ � O 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
t
101
www.FreeLibros.org
102 CAPÍTULO 2 . SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
Evo lución de la s a l ida . Entrada ub . xo = [ 2 _ l ] T
o���������==� O 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
t
3) Si la entrada es un rectángulo de altura unidad, entre [to , t I ] , la evolución
del estado será:
x(t) = <p (t , to )x (to ) + t <p(t, r)B (r)u(r)dr ita
Donde hay que distinguir dos casos:
• Primer caso: si t < t I , será igual que el apartado anterior .
• Segundo caso: si t � t I , entonces, sustituyendo:
x(t)
+
x(t)
www.FreeLibros.org
2.7 . EJERCICIOS RESUELTOS
Mientras que la salida será:
Dando valores, se obtiene:
[ e- lOt + e- 1O(t-O ,5) ]
X(t) = -2e-5t + e-5 (t-O ,5)
=> y (t) = e- lOt + e- 1O(t-O ,5) + 2e-5t _ e-5 (t-O ,5)
La representación gráfica del estado y de la salida será:
Evoluc1ón del e s tado . Entrada uc . xo = [ 2 _ l ] T
1
E s t ado 0 . 5
0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
t
Evo luc i ón de la s a l 1 da . Entrada ub . xo = [ 2 _ l ] T
S a l 1 da 1 . 5
1
0 . 5
O
�������� O 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8
t
103
www.FreeLibros.org
104 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
b) Si el = 2 x 1O-6F.
1 ) Entrada nula. Sustituyendo en las ecuaciones obtenidas en a. l :
Se obtiene:
x(t)
y (t)
x (t)
y (t)
[ 2e-5t ]
_e-5t
3e-5t
La representación gráfica del estado y de la salida es la siguiente:
Evoluc i ón del es tado . Entrada ua . xo = [ 2 _ l ] T
2
Estado 0 . 5
- 0 . 5
- 1 �
0---0�.�2��0�. 4��0
�
.�6--
�
0
�. 8�
�
1
t
Evo luclón de la sal ida Entrada ua . xo = [ 2 _ l ] T
0 . 5
o���������� O 0 . 2 0 . 4 O 6 0 . 8
t www.FreeLibros.org
2.7. EJERCICIOS RESUELTOS
2) Entrada escalón. Sustituyendo en las ecuaciones obtenidas en a.2 :
x(t)
y (t)
Se obtiene:
x(t) =
y (t) =
[ � 1 1 + e- Rl Cl
�
1 - 2e- R2c2
-
�
-
�
e Rl Cl + 2e R2C2
[ 1 + e-5t
1 - 2e-5t ]
3e-5t
La representación gráfica del estado y de la salida es la siguiente:
Evo lución del e s t ado . Entrada ub . xo = [ 2 _ l ] T
2
1 . 5
1
E s t ado 0 . 5
0 �--�-----------------------1
0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
t
Evo luc i ón de l a s a l l da . Entrada ub . xo = [ 2 _ l ] T
1
0 . 5
O������;=��� O 0 . 2 0 . 4 0 6 0 . 8 1
t
105
www.FreeLibros.org
106 CAPÍTULO 2 . SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES
3) La entrada es un rectángulo de altura unidad, entre [to , t ¡ J . Se distinguen
dos casos:
• Primer caso: si t < tl , será igual que el apartado b . í
• Segundo caso: s i t ;::: t l , entonces, sustituyendo en las ecuaciones
obtenidas en a. 3 :
x(t)
y (t)
Se obtiene:
_ .!.=!lL _ .!::!L _ .!.=!lL _ t - t 1 e R1 Cl + e R 1Cl + 2e R2C2 - e R2C2
[ e-5t + e-5 (t-O,5) ] x(t) -2ét + e-5 (t-O ,5)
y (t) 3e-5t
La representación gráfica del estado y de la salida será:
Evo luC16n del e s t ado . Entrada uc . xo = [ 2 _ 1 ] T
2
1 . 5
1
E s t ado 0 . 5
0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
t www.FreeLibros.org
2.7 . EJERCICIOS RESUELTOS 107
Evo luc�ón de la s a l � da . Entrada ub . xo = [ 2 _ l ] T
0 . 5
O � __ �����;=======� O 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
t
Se observa que con cualquiera de las tres entradas, para el segundo
valor del condensador el , la salida es la misma. Como dicha salida
es la diferencia de las dos variables de estado, esto significa que el
sistema impone una restricción a las variables de estado: dadas unas
condiciones iniciales determinadas , se puede conseguir por separado
cualquier valor del estado; pero en cambio no es posible obtener los dos
a la vez , pues su diferencia ya está fijada. Esta limitación, achacable
al ' sistema, será profundamente tratada en el siguiente capítulo. Está
motivada por la coincidencia en la dinámica de las dos variables de
estado, por lo que los incrementos en su evolución serán los mismos.
La dinámica del sistema se aprecia en la ecuación de estado, una vez
particularizados los datos:
y (t)
www.FreeLibros.org
www.FreeLibros.org
3 Con trola bi I id a d
3. 1 . Introducción
En el Capítulo 1 se ha establecido la metodología para la descripción del compor
tamiento de un sistema mediante variables de estado, expresado mediante la ecuación de
estado. Más precisamente, se ha estudiado cómo dicha ecuación en general viene descrita
en función del vector de estado, su derivada primera, la entrada y el tiempo. A continua
ción, en el Capítulo 2 , se ha resuelto dicha ecuación de estado, estableciendo de forma
explícita la relación que existe entre la evolución del estado, el valor inicial del mismo y
el valor de la entrada en cada instante.
A la vista de la relación existente entre entrada y estado, cabe abordar el estudio
de cómo se puede influir en el valor del estado a través de la entrada: así, es pertinente
preguntarse si dada una trayectoria arbitraria definida en el espacio de estado, es posible
encontrar la entrada que haga que el vector de estados la siga o si, por el contrario, existe
alguna restricción en las posibles trayectorias que se puede inducir en el vector de estado
mediante la elección de las entradas apropiadas.
El estudio de la controlabilidad de un sistema determina los puntos del espacio de
estado que pueden ser alcanzados por un sistema actuando sobre las entradas de éste;
puntos que determinan los denominados estados controlables. Este estudio abarca dos
cuestiones a tener en cuenta:
1 . Considerando un sistema, un estado inicial y un estado final, se desea determinar
la existencia de una entrada que lleve al sistema entre ambos en un tiempo finito.
Esto no es posible en todos los casos , como se puede observar en el sistema de la
Figura 3. 1 .
En este caso, desde un determinado estado inicial sólo podrían ser alcanzados de
terminados puntos del espacio de estado, porque los valores de las dos variables
109
www.FreeLibros.org
110 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
1 Xl (t)
8 + 2
u(t)
2 X2 (t)
8 + 2
Figura 3 . 1 : Sistema no controlable.
de estado están ligadas, al estar sometidas ambas a la misma dinámica; este he
cho queda patente por el estudio de los bloques con cuyas salidas se corresponden
dichas variables . Entonces se dice que el sistema no es controlable, porque no puede
alcanzar cualquier estado deseado a partir de un estado inicial dado.
2 . Si un sistema no es controlable, la siguiente cuestión que surge es determinar los
puntos del espacio de estado que pueden ser alcanzados partiendo de un estado
inicial dado.
x,
Figura 3 .2 : Puntos alcanzables desde (0,0) .
El lugar geométrico de los puntos que pueden ser alcanzados por las variables de
estado dadas para el sistema de la Figura 3 . 1 , partiendo de condiciones iniciales
nulas , es el representado en la Figura 3 .2 . Como puede verse, la restricción de que la
dinámica de ambas variables de estado es la misma en todos los casos se traduce en
que, partiendo de condiciones iniciales nulas como se ha dicho, en cualquier instante
el valor de la variable X2 es dos veces el valor de la variable Xl .
www.FreeLibros.org
13.1 . INTRODUCCIÓN
Ejemplo 3 .1
La figu ra representa u n ci rcu ito eléctrico formado por dos ramas RC enpara le lo, a l imentadas por una ún ica fuente de tensión com ún a ambas ramas
(véase el Ejercicio 5 del Capítulo 2) .
u
Si las constantes de tiempo de ambas ramas son d isti ntas , R1Cl =f. R2C2 ,
cada condensador se carga a d istinta velocidad , de manera que las tensiones
i ncrementa les en ambos condensadores será n d iferentes entre sí, dependiendo
la evol ución de cada u na de el las de la ley de variación de la entrada u(t)
uti l i zada . En este caso cabe pregu ntarse si existe o no u na u(t) que consiga que
cada una de las tensiones tome u n va lor predeterm i nado en u n tiempo también
predeterm inado.
En el caso de que las constantes de tiempo de carga de ambos condensadores
sean idénticas , Rl Cl = R2C2 , ambos condensadores se cargan con la m isma
tensión i ncrementa l (a part i r de cua lqu ier situación i n icia l de equ i l i brio) , sea
cua l sea la ley de variación de la tension de entrada u(t) uti l izada . Si la situación
i n ic ia l no fuera de equ i l i brio, las tensiones en am bos condensadores tendería n a
igualarse , dependiendo su va lor fi na l y su evol ución tempora l de la ley de variación
de la tensión de entrada u(t) . Por ta nto q ueda claro que en este caso no son
contro lab les todas las combinaciones de tensiones en ambos condensadores (es
deci r , pu ntos del espacio de estado) . En este caso cabe preguntarse , pues, cuá les
son estos puntos controla bles en un tiempo determinado, q ue dependen de las
tensiones i n icia les de ambos condensadores .
En ambos casos p lanteados y una vez resuelta la pregunta de cuá les son las
com binaciones de las tensiones en ambos condensadores q ue son controlab les en
un determinado tiempo y desde u nas determ i nados va lores i n icia les de aquél las ,
cabe preguntarse cómo es posib le encontrar una entrada o conj u nto de entradas
que consiguen controlar d ichos puntos . Igua lmente es i mporta nte conocer las
impl icaciones q ue tiene la uti l ización de una ley de variación de la entrada con
creta sobre la variación tem pora l de las tensiones de los condensadores , así como
las propiedades de d icha entrada uti l izada .
Las cuestiones pla nteadas en este ejemplo son objeto de estudio del presente
1 1 1
www .F r eeL i b r o s . o r g
1 12 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
capítu lo , y será n resueltas de forma teórica y después ap l icadas en éste y otros
casos prácticos .
3 . 2 . Definiciones
La controlabilidad del estado en un intervalo de tiempo partiendo de un estado inicial
se define :
Se dice que un punto del espacio de estado de un sistema, Xl , es controlable
desde el estado Xo en [to , t I ] si existe una entrada u definida en el intervalo
[to , tI ] , tal que transfiera el estado del sistema desde Xo en to hasta Xl en t I .
En la anterior definición se han impuesto restricciones tanto en el tiempo como en
el estado inicial desde el que se comienza a aplicar la entrada; resulta un concepto de
controlabilidad condicionado en el aspecto temporal y en los estados inicial y final . Estas
restricciones se pueden eliminar una por una o ambas a la vez, resultando un concepto
de controlabilidad extendido a cualquier intervalo de tiempo y partiendo de cualquier
estado inicial .
Se dice que un punto Xl del espacio de estado de un sistema es controlable
desde Xo si y sólo si para todo to existe un t I finito, tal que Xl es controlable
desde Xo en [to , tI ] .
Se dice que un punto Xl del espacio de estado de un sistema es controlable en
[to , tI ] si y sólo si para todo xo , Xl es controlable desde Xo en [to , t ¡ ] .
La controlabilidad del estado para cualquier instante y para cualquier estado inicial
se define como:
Se dice que un punto Xl del espacio de estado de un sistema es controlable si,
para todo estado inicial, xo , y para todo to , existe un t¡ finito, tal que Xl es
controlable desde Xo en [to , t I ] .
La diferencia entre las definiciones de controlabilidad primera y tercera respecto a la
segunda y cuarta estriba en la forma de considerar la variable tiempo. En el primer caso
se considera únicamente un intervalo de tiempo [to , tI ] determinado, mientras que en el
segundo se exige que para todo to exista un t¡ , que puede ser arbitrario aunque finito.
Ninguna de las dos restricciones incluye a la otra:
• Un punto Xl puede ser controlable desde Xo en [to , tI ] , pero puede no serlo para
cualquier instante inicial .
• Por contra, un punto puede ser controlable partiendo desde cualquier instante inicial
to , pero no en un intervalo predeterminado [to , t ¡ ] .
www . F r e e L i b r o s . o r g
3.3 . CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES 1 13
Obsérvese que la controlabilidad de un punto no implica que éste sea un estado
de equilibrio, sino que es posible encontrar una entrada tal que el estado describa una
trayectoria que incluya al punto controlable; dicho de otra forma, la controlabilidad de
un punto implica que la trayectoria en el espacio de estado pasa por él, pero no que se
detenga en él , como ocurriría con un punto de equilibrio .
El concepto de controlabilidad de un punto del espacio de estado de un sistema se
amplía al concepto de controlabilidad de un sistema, definido como:
Un sistema se dice controlable si todos los puntos de su espacio de estado son
controlables .
Obsérvese que, en la definición de controlabilidad de un sistema, la referencia a posi
bles restricciones en el estado inicial y en el intervalo se obtienen cuando se invoca a
la controlabilidad de los puntos de su espacio de estado; de esta forma, un sistema es
controlable bajo las mismas restricciones que lo son dichos puntos . Dicho de otra forma,
se pueden extender las cuatro definiciones de controlabilidad de un punto a la contro
labilidad de un sistema cuando todo el espacio de estado cumpla con las condiciones
formuladas en cada una.
Las ideas expuestas en esta sección se generalizan a la controlabilidad de la salida en
lugar del estado, aspecto que se estudiará en secciones posteriores de este capítulo.
3 . 3 . Controlabilidad en sistemas lineales
Dada la expresión de la solución completa de la ecuación del estado para sistemas
lineales :
(3 . 1 )
s i en esta expresión se fija x ( t I ) Y x ( to) , ¿existe una entrada u( T) que soluciona esta
ecuación? El estudio de controlabilidad determina si existe una entrada u(t) que haga
que se cumpla la igualdad. Estudiar si existe esta entrada es equivalente a plantear si
existe una entrada capaz de llevar el sistema desde el estado inicial cero hasta el estado:
(3 .2)
de forma que puede reducirse la Ecuación 3 .2 a:
(3.3)
La controlabilidad de un sistema lineal depende de las matrices 4>(t, to) y B(t) , in
dependientemente del valor de Xo , y puesto que 4>(t, to ) es función propia de A(t) , la
controlabilidad depende exclusivamente de A(t) y B(t) , utilizándose entonces la expre
sión par (A(t) , B (t ) ) para referirse a la controlabilidad de los sistemas. El estudio de la
controlabilidad de un sistema se basa en el siguiente teorema:
www.FreeLibros.org
1 14 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
Un sistema con una ecuación de estado:
X{t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
es controlable en [to , tl ] si y sólo si su gramiano de controlabilidad, W(tl , to ) ,
definido como:
(3.4)
es no singular.
Demostración
• Condición suficiente
Se intenta comprobar que existe una entrada que lleva el estado desde cualquier
x(to ) = Xo hasta cualquier X(tl ) = Xl o, lo que es lo mismo, según la Ecuación 3.3 ,
desde el estado inicial nulo hasta el estado Xl . Para ello se considera como entrada:
(3.5)
Sustituyendo:
(3.6)
W-l (tl , to ) puede salir fuera de la integral , y lo mismo sucede con Xl , quedando:
(3 .7)
Si W(h , to ) es no singular, se puede encontrar al menos una entrada que transfiere
el estado desde el origen hasta cualquier estado xl , siendo esta entrada la expresada
por la Ecuación 3 .5 .
• Condición necesariaSi se supone W(tl , to) singular, se demuestra que existen puntos del espacio de
estado que no son controlables .
Se parte de que W(tl , to) es singular, por lo que:
det [W(tl , to ) ] = O (3.8)
El determinante coincide con el producto de los valores propios de la matriz, por
lo que W(t, to ) tiene al menos un valor propio cero.
Si se considera el vector propio, v , correspondiente a ese valor propio nulo se veri
ficará que:
(3.9)
www.FreeLibros.org
3 .3 . CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES 1 15
Esto supone que s i se multiplica por la izquierda por yT :
(3 . 10)
y entonces , sustituyendo el valor de W(tl , to ) :
(3 . 1 1 )
(3 . 12)
integral de una función siempre positiva que tiene que ser igual a cero. Para que
esto se verifique se tiene que cumplir que � (r) = O , to ::::; r ::::; h:
(3 .13)
Formando el producto por u ( r) e integrando se obtiene:
lh yT cI>(tl , r)B (r)u(r)dr = O to
yTX(tI ) = 0 (3 . 14)
siendo x(tI ) el estado del sistema en el instante h, partiendo del origen y ante la
entrada genérica u(r) .
La Ecuación 3 . 14 significa que , desde el estado inicial nulo, cualquiera que sea la
señal de entrada con la que se excite al sistema, se va a tener un estado que al ser
multiplicado por el vector yT va a resultar cero, por lo que es un vector de estado
ortogonal a éste. Por tanto, no se puede alcanzar cualquier punto del espacio de
estado, sino sólo aquellos que se encuentren sobre un vector ortogonal al vector
propio yT . Sólo se alcanzarán puntos que verifiquen la condición: vT x ( t I ) = O . Por
consiguiente, el sistema no es controlable en [to , t I ] . D
Ejemplo 3.2
Determ i nar la controlab i l idad de l sistema defi n ido por:
partiendo del i nsta nte i n ic ia l to = O y para cua lqu ier i nsta nte t .
Para ana l izar la controlab i l idad med iante el estudio del com portam iento del
www.FreeLibros.org
1 16 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
gram iano, el pr imer paso es ca lcu lar la matriz de tra nsición :
2 e - e 3 ( -t -3t ) ]
e-3t
U na vez que se d ispone de la matriz de tra nsición 1>(t , O) , se puede abordar el
cá lcu lo del gram ia no de controlab i l idad ap l ica ndo la fórmu l a :
Para poder afi rmar q ue u n sistema es controlab le según su gram iano, es
necesario comprobar q ue éste es invert ib le , es deci r , q ue su determinante es
d isti nto de cero . Por lo tanto, se puede estudiar la controlab i l idad del sistema
verifica ndo los va lores de t para los que el determ i nante de W(t, O) es d isti nto
de cero . Para e l lo se ca lcu la pr imero d icho determinante :
1 1 1 1 1 det [W(t O) ] = - + _ e-8t _ _ e-6t + _ e-4t _ _ e-2t , 192 192 48 32 48
Es fác i l deduc i r q ue se ha de anu la r para t = O, puesto que en ese caso
los l ím ites de la integra l que define W(t, O) coinciden . Para sucesivos instantes
de tiempo, se comprueba que el va lor tota l del determ inante va a umentando,
hasta que, transcu rrido u n tiempo suficiente, todos los sumandos exponencia les
tienen un valor despreciab le , permaneciendo solamente el primero. A part i r de
este i nstante, el va lor del determinante permanece prácticamente constante .
Por lo tanto, se puede afi rmar que el sistema propuesto es controlable en
cua lqu ier i nterva lo de tiempo q ue com ience en t = O , sa lvo cuando éste sea
también el fi na l de d icho interva lo.
3.3. 1 . Cálculo de la entrada e n sistemas lineales
En la Ecuación 3 .5 se describe un procedimiento mediante el que se puede calcular
una entrada que lleve al sistema desde el estado inicial Xo en to al estado final objetivo
Xl en h:
siendo:
x(td = x(td - 1> (h , to )x(to )
como se describe en l a Ecuación 3 .2 .
www.FreeLibros.org
3.3. CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES 1 1 7
La particularidad específica esta entrada e s que e s l a señal de mínima energía l que
consigue llevar el estado desde el valor inicial hasta el final en el tiempo dado, entendiendo
energía como:
(3. 15)
Además, de forma inmediata se puede deducir que la entrada obtenida por este método
no es sino una de las infinitas entradas posibles que consiguen realizar esta transición en
el valor del vector de estado: basta con elegir cualquier estado Xa y fijarse como objetivo
alcanzarlo en cualquier instante ta intermedio entre to y t I ; a continuación, se calcula una
entrada que lleve al sistema desde este estado intermedio Xa en ta al estado final Xl en
tI . Yuxtaponiendo ambas entradas en el tiempo se obtiene una nueva entrada que lleva
al sistema desde Xo en to a Xl en t ¡ , pasando por un punto arbitrario Xa en el instante
intermedio ta o Como tanto Xa como ta pueden tomar valores cualesquiera arbitrariamente
elegidos , se concluye que existe una variedad infinita de entradas para llevar al sistema
desde Xo en to a Xl en t I '
Caso 1 : 'Iransición directa
(3. 16)
donde:
Caso 2: 'Iransición con punto de paso intermedio
BT (t)<flT (ta , t)W-I (ta , to )xa , to � t < ta
BT (t)<flT (t¡ , t)W-I (t l , ta )XI , ta � t < t ¡
donde:
Xa =Xa - <fl(ta , to )Xo
Xl =XI - <fl (tl , ta)Xa
según se ve en la Ecuación 3 .2 .
(3. 17)
En la Figura 3.3 se puede observar gráficamente este procedimiento de generación de
nuevas entradas por elección de un punto de paso .
1 Véase el artículo de B . C . Moore referenciado en la Bibliografía
www.FreeLibros.org
118
U2 , t < ta
/
I
\
\
-8
\
-6 -4 -2
CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
x,
2 25
2 � Xa
I
U2 , t > ta
Xl
2
Figura 3.3 : Transición del estado entre dos puntos, de forma directa (línea continua) y
con un punto de paso intermedio (línea discontinua) .
Ejemplo 3.3
1 1
Dado el s istema controlable defi n ido por la ecuación de estado:
. [ - 1 O ] [ 1 ]
x = - 1 -2 x + O u
ca lcu lar u na entrada necesaria para rea l izar la tra nsferencia del estado:
Dado que el enu nciado ya formu la q ue el sistema es controlable , no es nece
sario rea l izar la correspond iente comprobación . Por lo tanto es posi ble pasar
d i rectamente al cá lcu lo de la evol ución l i bre del sistema , puesto que para ca lcu
lar la entrada que rea l iza la tra nsición propuesta hay que tener en cuenta cuá l
es el efecto de d icha evol ución . Como paso previo es necesario ca lcu lar el va lor
de la matriz de tra nsición del sistema por cua lqu iera de los métodos expl icados
www.FreeLibros.org
3.3. CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES
en el Capítu lo 2 de este l i bro , resu lta ndo:
[ e-t O ] <P(t , O) = -2t -t -2t e - e e
[ -t
=} x(0 ,5) = <P(t , 0) l t=0 ,5 xo = e-2; _ e-t ] [ 1 ] [ 0 ,6065 ] t=0 ,5 1 - 0 , 1292
La entrada necesaria para l levar a l estado a l va lor propuesto, partiendo de
este estado i n ic ia l , es la m isma q ue la que lo l levaría desde el estado i n icia l nu lo
a :
X l = [ � ] - [ �:���� ] = [ �:;��� ]
De las i nfi n itas entradas posibles, se ca lcu la la de mín ima energía , que se obtiene
de la Ecuación 3 .5 , por lo que es necesario ca lcu lar el gramiano para el i nterva lo
propuesto:
1 19
[0 ,5 T T [ 0 ,3160 W(0 ,5 , O) = Jo <P (0 , 5 , T)B (T)B (T)<P (0 , 5 , T)dT = -0 ,0571
-0 ,0571 ] 0 ,0143
por lo que , ap l icando la Ecuación 3 .5 , la entrada que consigue rea l izar la tran
sición propuesta para el estado con el mín imo coste energético es:
siendo d icho coste:
Otro método para el cálculo de una entrada que transfiera el estado entre dos valores
prefijados es la composición de escalones. De forma resumida, consiste en:
• Fijar el número de escalones que se utilizarán: en general , para ajustar el valor de
n variables de estado será necesaria la utilización de una secuencia de n escalones
cuyas alturas deberán ser calculadas para cumplir con el objetivo.
• Fijar el intervalo en el que se aplicará cada uno de estos escalones : esta longitud
se fija arbitrariamente, utilizándose como método general la división del tiempo
disponible para realizar latransición en n subintervalos de igual longitud.
Nótese que una secuencia de n escalones como la descrita genera un sistema con
2n - 1 grados de libertad, n alturas y n - 1 longitudes de subintervalo, supuesta fija la
longitud del intervalo total . Una posibilidad de ajuste consiste en prefijar la longitud de
estos subintervalos para conseguir reducir el problema a otro con n grados de libertad,
www.FreeLibros.org
120 CAPíTULO 3 . CONTROLABILIDAD
resultando, por tanto, un sistema determinado en el que se utilizan n parámetros (alturas
de los n escalones) para el ajuste de n variables (las n componentes del vector de estado) .
También se puede ajustar la secuencia de escalones prefijando una combinación de n - 1
parámetros (alturas y/o subintervalos) , procediendo luego al ajuste de la entrada con los
n grados de libertad restantes . Al final del capítulo, en el Ejemplo 3.8 , se ha incluido la
solución del mismo planteamiento del Ejemplo 3.3 por dos métdos de ajuste de un par
de escalones secuenciados .
En conclusión, existen infinitas entradas capaces de transferir el estado entre dos
valores cualesquiera para un sistema controlable, como ya se ha referido anteriormente.
La forma elegida dependerá, por lo general , de algún criterio de minimización de una
función de coste, problema que en su resolución implicaría la utilización de técnicas de
Control Óptimo.
Energía de la señal de entrada
Si se considera una transformación del estado mediante una matriz T no singular:
de forma que:
x(t) = Tx(t)
Á = T- lAT
B = T- lB
<l> (t, to ) = T-l<P (t , to )T
entonces esta transformación modifica el valor del gramiano de controlabilidad según:
W(tl , to ) = ¡t l T-l <P (tl ' T)TT-lB (T)BT (T)T-TTT <P (tl , tfT-T = ito = T-lW(tl , to )T-T (3.18)
es decir, que aunque los autovalores de la matriz A son invariantes ante transformación
lineal , los autovalores del gramiano de controlabilidad no lo son, por lo que el gramiano
no ofrece una información concluyente sobre la facilidad de controlar el estado para un
sistema concreto.
Sin embargo, como ya se ha comentado, la entrada sí que es invariante ante trans
formación lineal , y en concreto también la de mínima energía, por lo que dicha energía
mínima puede tomarse como un indicador de controlabilidad, mediante la comparación
del desplazamiento inducido en el valor del estado y la energía en la entrada para con
seguirlo.
Se pueden formular unos indicadores generales que van a ocasionar un incremento en
dicha energía para un mismo desplazamiento del estado, como pueden ser:
www.FreeLibros.org
3.3 . CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES 121
• A menor longitud de intervalo [ta , t 1 l mayor es la energía necesaria, como puede
deducirse fácilmente. El EjemI?lo ?? contiene un estudio de este comportamiento.
• Cuanto más rápida es la dinámica del sistema, se tiende a necesitar más energía,
como queda patente en el Ejemplo 3 . 10 .
• Dependiendo de la dirección de avance del estado, en general se modifica la energía
necesaria para una misma distancia desplazada. Un indicador de la diferencia de
coste según la dirección es el número de condición del gramiano2 , como se demuestra
en la Sección 3 .5 .
Ejemplo 3.4
Anal izar la controlab i l idad del sistema defi n ido por:
x(t) = [ �1 �
2
] x(t) + [
1
��3 ] u(t)
Calcu lando el gram iano y sus va lores s ingu lares para t = 1 se obtiene un n úmero
de condición de 3 ,23 1013 , lo que en pri ncip io i nd ica muy diferente controlab i l i
dad según la d i rección de desplazam iento elegida para el estado. S in embargo ,
med iante una senc i l l a operación de esca lado:
el problema se transforma en :
Al repeti r e l m ismo cá lcu lo se obtiene un n úmero de condición de 77,44 , lo que
ind ica u n mejor equ i l i brio entre las d i recciones de desplazamiento del estado.
En este segundo caso se comprueba además cómo evol uciona la an isotropía
del espacio de estado, a medida q ue el tiempo se hace mayor. En la sigu iente
gráfica se puede observar el conj u nto de estados a lcanzab les consumiendo u na
un idad de energía cuando t = 0 ,5 , t = 1 Y t = 2 , que tienen como número de
cond ición de W(h , O) , respectivamente , 222,27 , 77 ,44 y 43 ,29. En d icha figu ra
l l aman la atención dos características:
• El l ugar geométrico de los puntos que se pueden a lca nzar consumiendo u na
cantidad fija de energía es una e l i pse (una e l i psoide en el caso genera l con
n variables de estado) . La aparición de esta forma se justifica en la Sección
2 Número de condición de una matriz: la razón entre el mayor y el menor valor singular en la descomo
posición en valores singulares de una matriz .
www.FreeLibros.org
122 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
3 .5 .
• A med ida q ue el n úmero de cond ición baja . la e l i pse de estados a lca nza
bles va siendo más redondeada . lo q ue ind ica un mejor equ i l i brio entre las
posi bles d i recciones de evol ución del estado.
3 . 4 . Controlabilidad en sistemas lineales invariantes
En el caso de sistemas lineales invariantes , existe un método alternativo a la aplicación
del gramiano para el estudio de la controlabilidad, cuya aplicación es más sencilla, y que
se formula mediante el siguiente teorema:
El sistema de dimensión n con ecuación de estado:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
es controlable si y sólo si la matriz de controlabilidad Q, definida de la siguiente
forma:
es de rango máximo, es decir, n.
En este caso, y dado que el sistema es invariante, ya no se tiene en cuenta la variable
tiempo, y se habla sencillamente de controlabilidad . Esto significa que, ' si un punto es
controlable, siempre se puede transferir el estado inicial a cualquier otro en cualquier
tiempo finito.
La matriz Q se compone como se muestra en la fórmula, de modo que tiene n x m
columnas, n bloques de m columnas cada uno. Se puede descomponer en m submatri
ces , siendo la i-ésima la multiplicación de la matriz A y sus potencias con la columna
i-ésima de la matriz B. El rango de cada una de estas matrices Qi define si el sistema es
controlable utilizando sólo la entrada i-ésima.
www.FreeLibros.org
3.4. CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES INVARIANTES 123
Demostración
• Condición necesaria
Si el sistema es controlable, es necesario que existan n columnas de la matriz Q
linealmente independientes. La solución de la ecuación de estado, si se parte de un
estado inicial nulo, es:
Aplicando entonces el método de Cayley-Hamilton:
eA(t , -T) = 1 + A(tl - T) + 2.-A2 (tl - T)2 + . . . = 2 !
= ho (T)I + h1 (T)A + . . . + hn- 1 (T)A n- l
y sustituyendo en la Ecuación 3. 19 se obtiene:
(3 . 19)
(3 .20)
(3 .21 )
El estado x(tI ) que se puede alcanzar desde el origen es combinación lineal de las
columnas de la matriz Q. Por lo tanto, para que x(tI ) pueda ser cualquier punto
del espacio de estado, es necesario que de todas las columnas que aparecen haya n
linealmente independientes.
• Condición suficiente
Se supone que el sistema no es controlable y se verá que no existen n columnas de
la matriz Q linealmente independientes .
Si el sistema no es controlable, la matriz W es singular, por lo tanto su determinante
es nulo y tiene un valor propio nulo, cuyo vector propio correspondiente verifica la
Ecuación 3. 13 :
vT<I>(tl , T)B (T) = O
Este resultado aplicado al caso de sistemas invariantes se puede poner de la forma:
(3.22)
Si se deriva esta ecuación n - 1 veces respecto al tiempo:
(3 .23) www.FreeLibros.org
124 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
Hay un vector que aparece en todos los términos y que es ortogonal a los productos
AB. Cuando existe un vector ortogonal a todas las columnas de la matriz Q, es que
no abarcan la totalidad del espacio de estado, es decir , que el resto de los vectores
no son base de un espacio de n dimensiones, son linealmente dependientes . D
Ejemplo 3.5
Dado el s istema : [ 2 0
x(t) = O 1
4 O
su matriz decontro lab i l idad será : [ 1 O
Q = O 2 O 5 2 O O 17 4 15
El ra ngo es tres , con las primeras col umnas, luego es controlab le . Siempre se
encontrará n las entradas para l levar el s istema desde cero a cua lqu ier valor.
Con estas dos entradas se puede l levar el estado entre dos va lores cua lesqu iera
del espacio de estado, lo que no se sabe es q ué ocu rri ría si se usara una sola
entrada . Sería equ iva lente a dec i r que la matriz B tiene u na sola col umna .
Entonces se puede comprobar s i sería controla b le: [ 1 2 4 ]
Ql = O O 12 O 4 20 rango(Q l ) = 3 '* Es controlable .
Uti l izando sólo la primera entrada , se puede hacer que el sistema ocupe cua lqu ier
punto del espacio de estado, igua l que con las dos. En caso de uti l izar la segunda : [ O O O ]
Q2 = 2 17 62
5 1 5 45
rango(Q2 ) = 2 '* No es controlable .
No se puede hacer que el estado evol ucione del origen hasta cua lqu ier punto del
espacio de estado. www.FreeLibros.org
3.5 . 6 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA CONTROLABILIDAD
3.4. 1. Invarianza de la controlabilidad ante cambio de base
125
La controlabilidad de un sistema es independiente de la representación de estado que
se maneje. Para probarlo lo único que se necesita es construir la representación de estado
realizando el cambio:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
x(t) = Tx(t)
Con esto se consigue una nueva representación de estado:
:i(t) = T- I ATx(t) + T- IBu(t)
La matriz de controlabilidad de la nueva representación será:
Puesto que la matriz T es no singular, el rango de Q coincidirá con el de Q, por lo tanto,
si el sistema es controlable con Q también lo será con Q.
3 . 5 . L:, Interpretación geométrica de la controlabilidad
El número de condición del gramiano de controlabilidad es, como se ha mencionado
anteriormente en este capítulo, un indicador de la anisotropía del espacio de estado
en términos del coste de desplazar el valor del estado dependiendo de la dirección de
dicho desplazamiento. El concepto que subyace se puede explicar , para sistemas lineales
e invariantes, en términos de respuesta del sistema ante un determinado conjunto de
s eñales, como se explica a continuación. Partiendo de la definición del gramiano de
controlabilidad, dada en la Ecuación 3.4:
se puede entender el término F(t - T) = 1>(t - T)B como una aplicación F : lR --+ lRnx m .
Así, F(t) representa la aplicación de un conjunto de m señales vectoriales influyendo
sobre n variables de estado, con lo que cada columna supondría el efecto de cada entrada
sobre el conjunto de variables .
Por propia definición, el gramiano de controlabilidad es una matriz semidefinida po
sitiva, con un conjunto de valores propios reales af � a� � . . . � a; � O y el correspon-
diente conjunto de autovectores ortonormales VI , V2 , . . . , Vn .
.
El gramiano de controlabilidad se puede interpretar en términos de energía trans
mitida desde la entrada a las variables de estado en la siguiente forma. La integral
Jt:' I I F (T) I I ; dT representa la energía total del conjunto de señales en el intervalo [ta , h ] ,
www.FreeLibros.org
126 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
reflejando los autovalores y sus correspondientes autovectores la distribución espacial de
esta energía.
Considérese el conjunto de posibles entradas al sistema u(t) E IRm , y sea n la clase de
todas las funciones de entrada continuas a trozos en [to , t I ] que satisfacen la restricción
en su norma: 1 (1:1 I l u(T) I I � dT) 2 � 1 (3.24)
La imagen de la convolución:
{x E IRn : x = 1: F(t - T)U(T)dT, t � t I , U(T) E PCffi [to , td } (3 .25)
donde Pcm [to , h ] representa el conjunto de vectores de entrada de dimensión m continuos
a trozos en el intervalo [to , h ] , es el sub espacio generado por los vectores propios , Vi ,
correspondientes a los autovalores distintos de cero. El conjunto contenido en este sub-
espacio:
s = {x E IRn : x = 1: F(t - T)U(T)dT, t � t I U(T) E n} (3.26)
aporta información sobre la estructura de dicho subespacio. Se puede demostrar que S
es una región en IRn cuya superficie es una elipsoide definida por los autovalores y los
autovectores de F(t) en [to , t d , como ya se adelantó en el Ejemplo 3 .5 .
Sean ai Y Vi , i = 1 , . . . , n las raíces cuadradas de los autovalores del gramiano de
controlabilidad y los vectores propios asociados en [to , t I ] , Y sean E, V E IRn x n :
(3.27)
(3.28)
Sea el conjunto:
s = {x E IRn : x = VEp, I lp l l = 1 } (3. 29)
es decir , un elipsoide con semiejes aiVi , i = 1 , 2 , . . . , n. Entonces se demuestra que el
conjunto S se puede caracterizar como:
S = {x E IRn : x = ax con x E S Y O � a � 1 } (3.30)
es decir, que S es la superficie de S.
El conjunto S de de estados que resultan de la convolución de
F(t - T) = <I>( (t - T)B con una entrada de norma unitaria coincide con la su
perficie de un elipsoide cuyos semiejes son ai Vi , i = 1 , 2 , . . . , n, siendo ai las
raíces cuadradas de los valores propios del gramiano de controlabilidad y Vi los
vectores propios asociados.
www.FreeLibros.org
3.5. 6. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA CONTROLABILlDAD 127
Este resultado indica que al aplicar una entrada con una cierta energía, los estados que
se pueden alcanzar se encuentran sobre un elipsoide cuyas proporciones son las indicadas
por los autovalores y autovectores del gramiano de controlabilidad, como aparece en la
figura del Ejemplo 3.4 .
Demostración
Suponiendo O'n > O (sistema controlable) , para todo x E S existe un vector p, I lp l l =
1 que satisface que x = VEp. Por su propia definición se sabe que:
(3 .31)
lo que significa que, si se define q = VE- Ip, se cumple que x = W(h , to )q ; lo que
supone que la entrada u(t) = F(h - t)q conduce al estado x(t) al valor x en el
instante t I . A partir de esta definición de entrada se obtiene que:
¡t 1 uT (r)u(r)dr = ¡t 1 qTF (tI _ r)FT (tI _ r)qdr =
to to
= pTE-TVT [1:1 F (tI - r)FT (tI .:.- r)dr] VE-Ip =
, ", ...
W(t ¡ , to )
= pTE-TVTVE2VTVE-Ip = 1 (3.32)
lo que significa que u(t) E n y que x E S.
Para completar la demostración es suficiente probar que la entrada u(t) referida
en el párrafo anterior es la entrada con mínima norma (energía) que conduce al
sistema al estado x en el instante t I . De la definición de dicha entrada se tiene:
q
= BT<I>T (h , t)VE- I � = BT<I>T (tl , t)W-I (t l , t)x (3 .33)
p
que es , según la Ecuación 3 .5 la entrada de mínima energía que transfiere el estado
desde el origen hasta x. O
Este resultado facilita la interpretación de la información que suministra el gramiano
de controlabilidad para un sistema lineal e invariante:
• El gramiano y la matriz Q establecen la controlabilidad teórica de un sistema, en
términos de si es matemáticamente posible encontrar una entrada que produzca
una determinada transición del estado desde un valor inicial a un valor final dado.
www.FreeLibros.org
128 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
• La estructura de los valores y vectores propios del gramiano de controlabilidad
determina la facilidad relativa con la que se puede recorrer el espacio de estado
según la dirección elegida, siendo mayor el coste cuanto menor sea el valor propio
asociado a la dirección elegida.
• Dado que dicho gramiano no es invariante, este estudio es concluyente en tanto en
cuanto se utilice una representación del estado en la que sus variables tengan un
significado físico claro.
• En la circunstancia de utilizar una representación con correspondencia física, la
estructura del gramiano de controlabilidad revela las posibilidades prácticas de
realizar transiciones en el espacio de estado, así como su coste energético relativo
dependiendo de la dirección elegida para la transición. En el Ejemplo 3 . 1 1 , al final
de este capítulo, se puede observar un caso claro de cómo una transición matemáti
camente posible se revela inviable en la práctica.
3 . 6 . Subespacio controlable
Según se ha detallado en los anteriores apartados, en un sistema lineal e invarian
te que sea controlable se va a poder alcanzar un estado determinado, partiendo desde
cualquier estado inicial , eligiendo la entrada adecuada. Sin embargo, si no es controlable,
no se va a poder alcanzar cualquier estado. No obstante parece interesante, en estos
casos , caracterizar aquellos puntos que van a ser controlables , es decir, que se van a
poder alcanzar.
La descripción se va a realizar en dos etapas : primero se detallan los puntos que se
pueden alcanzar a partir de un estado inicial nulo , para posteriormente generalizarlo para
cualquier estado inicial .
Dado un sistema lineal invariante:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
el conjunto de puntos del espacio de estado alcanzables partiendo del estado
inicial nulo forman un subespacio vectorial, al que se denomina subespacio con
trolable, Xc , generado por los vectores columna de Q .
Estos puntos forman un espacio vectorial , pues el origen pertenece a él y además
cumplen la condición de linealidad: si partiendo de un estado inicial nulo, ante una
entrada UI , se alcanza el estado Xl y, ante una entrada U2 , se alcanza el estado X2 ;
entonces para cualquier combinación lineal :
se alcanzará el estado:
aUI + f3u2 , a, f3 E lR. www.FreeLibros.org
3.6. SUBESPACIO CONTROLABLE 129
Se puede plantear la definición del subespacio controlable, Xc , en función de la res
puesta de las variables de estado del sistema, partiendo del estado inicial nulo, a un
conjunto de señales de test presentadas en su entrada.
El subespacio controlable, Xc , es el subespacio de menor dimensión que contiene
a la imagen de la transformación definida por Xt (t) , para todo t E [ta , t I ] , siendo:
Xt (t) = [ xi (t) x� (t) . . . xr' (t) ] (3.34)
donde x� (t) representa la evolución del estado ante la entrada de test ui (t) ,
definida como:
o
i = l , . . . , m (3.35)
o
Demostración
Si se se define el conjunto de entradas de test :
o
i = l , . . . , m (3.36)
o
donde 8(t) representa el impulso de Dirac, entonces es :
= <I>(t, ta )bi (3 .37)
con lo que, repitiendo para todas las ui (t) queda:
(3 .38)
es decir, la respuesta impulsional del sistema. Dado que se trata de un sistema
lineal , las regiones del espacio de estado para los que dicha respuesta es cero tendrán
respuesta nula para cualquier otra entrada, con lo que la imagen del mapa dado
por 3.38 se corresponde con el sub espacio controlable. O www.FreeLibros.org
130 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
3.6.1. Base del sub espacio controlable
Según se deduce de la demostración de la Sección 3.4, los vectores columna de Q
generan el espacio controlable; por lo tanto una posible base de este espacio vectorial son
las columnas linealmente independientes de la matriz Q, siendo la dimensión del mismo
su rango rQ .
Para el cálculo de una base del sub espacio controlable basta observar que si en la
matriz:
la columna Aibj es linealmente dependiente de sus anteriores columnas :
Aibj AOl b1 + A02b2 + . . . + Aombm +
+ Al l Ab1 + . . . + AlmAbm + . . .
AilAibl + Ai2Aib2 + . . . + Ai ,j_ 1 Aibj_ 1 (3.39)
entonces Ai+kbj , con k > O, también será linealmente dependiente de sus dos anteriores
columnas, ya que multiplicando la Ecuación 3 .39 por la izquierda por A k se obtiene que:
Ai+k bj AOI Akb1 + A02Akb2 + . . . + AomAkbm +
+ Al lAl+kb1 + . . . + AlmAl+kbm + . . .
+k +k +k Ai r A' b1 + Ai2A' b2 + . . . + Ai ,j- 1A' bj- 1 (3.40)
El método consiste entonces en ir seleccionando columnas de izquierda a derecha y,
cuando una de ellas, Aibj , sea linealmente dependiente de las anteriores , entonces se
descartan ésta y todas las Ai+kbj posteriores .
El proceso termina cuando todas las columnas de un grupo AiB sean linealmente
dependientes , ya que a partir de entonces los restantes grupos A i+kB también lo serán.
3.6.2. Estados alcanzables
La relación de los estados controlables , a partir de un estado inicial nulo (x(t ) ) con
los estados alcanzables desde cualquier estado inicial (x(t)) , viene dada por la cuación
3.2 , de donde:
x(t) = x(t) + <I> (t , to )x(to ) (3 .41 )
De esta forma, los puntos alcanzables en el espacio de estado están definidos por una
variedad lineal tal que:
• La componente debida a la entrada es el sub espacio controlable, Xc , que constituye
el subespacio director de la variedad.
• La componente que depende del sistema y de las condiciones iniciales representa la
evolución libre del sistema ante entrada nula.
www.FreeLibros.org
3.7. SEPARACIÓN DEL SUBSISTEMA CONTROLABLE
t - - - -1 .... , ' ....
A X(t)
----�----------��------________ � X1
I
I
,' lo , A X(t1 )
Figura 3.4: Superposición de la evolución libre con el subespacio controlable .
131
En la Figura 3.4 puede verse un espacio de estado de dimensión dos en el que se ha
representado:
• Una recta que representa el subespacio controlable, de dimensión uno .
• Una línea discontinua que representa la evolución libre del sistema.
Sobre ambas curvas se han resaltado los valores del estado para los instantes tQ , t I Y
t2 . Como puede verse, el estado para cada uno de estos instantes se obtiene mediante la
superposición de ambos valores, como describe la Ecuación 3 .40.
3 . 7 . Separación del subsistema controlable
Dado el sistema lineal invariante con dimensión del subespacio controlable, dim (Xc ) =
rQ < n:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
existe una matriz de transformación T, tal que si se efectúa dicho cambio de base:
x(t) = Tx(t)
la ecuación de estado en el nuevo sistema de referencia puede ser escrita como:
(3.42)
verificándose que el subsistema formado por las variables xa , cuya dinánlica viene re
presentada por las matrices (Aaa , Ba ) , coincide con el sub espacio controlable, siendo su www.FreeLibros.org
132 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
dimensión rQ ; por tanto la dimensión del subsistema formado por las variables Xb es
n - rQ . Adicionalmente, y según se deduce de la Ecuación 3.42, este subsistema está
caracterizado por las matrices (Abb , O) , Y tiene un comportamiento independiente de la
entrada.
La ecuación de estado de orden reducido de los estados controlables :
(3 .43)
representa el comportamiento del subsistema controlable y define la misma función de
transferencia que la ecuación de estado en su forma original y la expresada en la forma
reflejada en la Ecuación 3 .42; en otras palabras , son distintas realizaciones del mismo
sistema, es decir, que ante la misma entrada todas generan la misma salida.
La matriz T que realiza esta transformación se construye:
(3.44)
donde Ta se forma con una base cualquiera del subespacio controlable, y Tb está formado
por n - rQ vectores cualesquiera que sean linealmente independientes entre sí y con los
de la matriz T a '
El sistema original se descompone en dos subsistemas según el gráfico de la Figura 3 .5 ,
donde Si es un subsistema controlable y S2 está totalmente separado de u, evoluciona
de forma independiente a la señal de entrada, por lo que no es controlable. Se consigue,
pues, dividir el sistema en dos : uno controlable y otro que presenta un comportamiento
independiente de la entrada.
Si en un espacio total de dimensión tres se supone que el sub espacio controlable es
de dimensión uno, lo que se está haciendo es girar los ejes de coordenadas de manera
que uno de ellos se sitúe sobre la recta controlable. Así se tiene una variable de estado
totalmente controlable, la que está sobre la recta (subespacio controlable) , y las otras
dos evolucionan de forma independiente de la entrada.
Si el sub espacio controlable fuese un plano, la dimensión de Si sería dos , por lo que
se podrían separar dos valores de estado que se podrían llevar a cualquier valor .
Ejemplo 3.6
Dado el s istema :
o
1
O www.FreeLibros.org
13.7. SEPARACIÓN DEL SUBSISTEMA CONTROLABLE
Figura 3 .5 : Representación gráfica del subsistema controlable.
su matriz de controla bi l idad es: [ 37 1 5 ]
Q = - 1 -5 -13
1 2 4
Rango(Q) = 2 < 3 => Sistema no controlab le .
La base del subespacio controlable será :
133
www.FreeLibros.org
134 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
con lo que las matrices transformadas quedan :
Á = T- 1AT = [ 0°1 -�2 O� 1
y la matriz de controlab i l idad , una vez separada la parte controlab le :
Rango(Q ) = 2
con lo que se comprueba la existencia de u n subsistema de d imensión dos que
es controlab le .
El subsistema controlable está formado por Xl y X2 , que , expresados en la
base i n icia l , son :
3 . 8 . Controlabilidad de la salida
Se define la controlabilidad de la salida en un intervalo de tiempo:
Se dice que un punto del espacio de salida de un sistema, Yl , es controlable en
[to , td si existe una entrada u definida en el intervalo [to , t l ] , tal que para todo
punto de origen en to consiga que la salida valga Yl en tl .
Para cualquier instante y para cualquier estado inicial se define como:
Se dice que un punto del espacio de salida de un sistema Yl es controlable si
para todo punto origen y para todo instante inicial to , existe una entrada u en
el intervalo [to , t l ] , con tl finito, que lleve la salida al valor Yl en t l ·
Estos conceptos de controlabilidad de un punto en el espacio de salida se pueden
extender a la controlabilidad de todo el espacio de salida, de forma similar a como se
hizo en la Sección 3 .3 .
Los teoremas de controlabilidad del estado se pueden generalizar de forma sencilla a
los siguientes teoremas de controlabilidad de la salida. Así, para determinar la controla
bilidad de la salida de un sistema lineal se utiliza el siguiente teorema:
www.FreeLibros.org
3.8 . CONTROLABILIDAD DE LA SALIDA
Dado el sistema:
x(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t)
y (t) = C(t)X(t)
135
la salida es controlable en [to , h l si y sólo si la matriz denominada gramiano de
controlabilidad de la salida y definida por:
es no singular.
Se comprueba además que, de forma similar a lo visto al estudiar la controlabilidad
del estado, a partir de la definición del gramiano de controlabilidad de la salida, se puede
calcular la entrada de mínima energía que desplaza el valor de la salida a un punto dado,
Yl , en un intervalo [to , td :
(3.45)
donde :
YI = Yl - C(t¡ )<I> (to , tl )XO (3 .46)
Además, como también ocurre en el caso de controlabilidad del estado, el rango del
gramiano de controlabilidad de la salida indica la dimensión del subespacio de salida
controlable.
Para sistemas en los que además de la condición de linealidad se cumpla la de invari
anza, se puede aplicar el siguiente teorema, basado en unos cálculos más sencillos que el
anterior :
Dado el sistema lineal e invariante:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
la salida y(t) es controlable si y sólo si la matriz definida por:
es de rango p (nótese que Qc = CQ).
Se comprueba además , que los vectores linealmente independientes de la matriz Qc
generan el subespacio de salida controlable . www.FreeLibros.org
136 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
Ejemplo 3.7
Determ inar la controlab i l idad de las sa l idas del sistema defi n ido por las ecua
ciones:
�8 �7 l x + [ �4 l u
-10 - 1 1 9 �1 -;1 ] x
partiendo del i nstante to = O Y para u n i nstante genérico t .
El problema se puede resolver por dos vías , bien uti l izando el gram iano de
contro lab i l idad de la sa l ida o bien uti l iza ndo la matriz de controlab i l idad de la
sa l ida . A conti n uación se p la ntean ambas soluciones.
• Mediante el gramiano de controlabilidad de la salida
En este caso se pla ntea la i ntegra l media nte la q ue se ca lcu la el gram ia no
correspond iente:
Wc(t, O) = fot C (T)ct> (t , T)B (T)BT (7")1I>T (t , T)CT (T)dT =
=
[ � ( 1 -
0
e-2t ) � ]
matriz que , como puede fác i lmente comprobarse , es de rango uno, por lo
que se concluye que la d imensión del espacio de sa l ida controla b le es uno.
• Mediante la matriz de controlabilidad de la salida
En este caso se construye la matriz de controlab i l idad de la sa l ida como se
especifica en su defi n ición :
Qc = [ CB ¡ CAB ¡ CA2B ] = [ � �1 � ]
de donde se concl uye i nmediatamente q ue el ra ngo de esta matriz es uno y,
por lo tanto , que el subespacio de sa l ida controlable es de d imensión uno ,
y que la base de d icho espacio es:
www.FreeLibros.org
3.9. EJEMPLOS ADICIONALES 137
Un caso de cómo se puede calcular la entrada necesaria para llevar el vector de salida
a un determinado valor a partir del gramiano de controlabilidad de la salida se puede
encontrar en el Ejemplo 3 . 12 .
3 . 9 . Ejemplos adicionales
Transición de estado mediante una secuencia de escalones
Ejemplo 3.8
Se trata de resolver el m ismo caso propuesto en el Ejemplo 3 .3 , uti l izando
ahora un tren de esca lones en l ugar de la entrada de mín ima energía . Para el
sistema :
. [ - 1 0 ] [ 1 ] x = - 1 -2 x + ° u
ca lcu lar la entrada necesaria para rea l izar la transferencia del estado:
De esta forma , la entrada que se va a ap l icar es de la forma :
u(t) = { �: 0 < t � 0,25 0 ,25 < t � 0 ,5
Dada esta entrada , se p la ntea la ecuación q ue ca lcu la la evol ución de l estado:
¡0,25 ¡0,5
x(0,5) = <1>(0,5 , O)xo + <1> (0 ,5 , T)Bn:dT + <1> (0,5 , T)Bf3dT =
° 0 ,25
= [ 0 ,606 + 0 , 172n: + 0 ,221f3 ] 0 , 129 - 0,0529n: - 0,024f3
Y, a conti n uación , se rea l iza el aj uste para q ue el estado fi na l sea el propuesto :
[ 0 ,606 + 0 , 172n: + 0 ,221f3 ] = [ 1 ] { n: = -26 ,976 0 , 129 - 0,0529n: - 0,024f3 1 * f3 = 22 ,788
La evol ución de la entrada resu ltante se puede aprecia r en la siguiente figu ra : www.FreeLibros.org
138
u ( t )
2 0
1 0
- 1 0
- 2 0
0 . 1 0 . 2 0 . 3
CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
0 . 4 0 . 5 t
Esta entrada comporta un consumo energético:
10,5 1°,
2
5 1°,5 Eu(t) = u2 (r)dr = a2dr + f32dr = 31 1 ,767
° ° 0
,2
5 que , como cabe esperar , es u n consumo superior a l de la entrada de mín ima
energía . Esta entrada ap l icada a l s istema origi na una evol ución de l estado que
se corresponde con la representada en la sigu iente figu ra , q ue , como puede
apreciarse, pasa por el estado fi na l marcado por el enunciado de este ejemplo
cuando t = 0,5 s (en l ínea conti nua Xl y en d iscont inua X2 ) .
Es tado
1 - _ _ _ _ _ _ _ _
0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 t
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Otra pos ib le sol ución a l tren de esca lones es fijar la amp l itud del primero,
deja ndo como parámetros de aj uste el primer sub i nterva lo y la amp l itud del
segundo esca lón . De esta forma , la entrada es:
u(t) _ { -20 - f3
si
si
0 < t � a
a < t ::; 0,5
Con esta entrada , la evol ución del estado es :
t' 1°,5 x(0 ,5) = <1>(0,5 , O)xo + Jo <1> (0 ,5 , r)B ( -20)dr + a <1>(0,5 , r)Bf3dr = www.FreeLibros.org
3.9. EJEMPLOS ADICIONALES
[ 1 2 ,7371 - 12 , 1306ea + ( 1 - 0 ,6065ea),B ] = 0 , 1 29 - 3 ,678 ( -2 ,297 + ea ) ( - 1 + ea ) + (-0 ,5 + 0 ,606ea - 0 , 184e2a),B
e igua lando este va lor a l estado fi na l objetivo se despeja . obteniéndose :
{ a = 0 ,3209
,B = 30 ,394
La entrada que se obtiene está representada en la sigu iente figura :
u ( t )
3 0
2 0
1 0
- 1 0
0 . 1 0 . 2 O . 0 . 4 0 . 5
t
- 2 0 �----------------�
siendo su consumo energético :
Mientras que la evol ución de l estado q ue produce se muestra a contin uación :
Estado
1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - -
- - - - - - -
t
0 . 2 0 . 3 0 . 4 o 5
- 1
-2
-3
-4
139
www.FreeLibros.org
140 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
Controlabilidad y longitud del intervalo
Ejemplo 3.9
Dado el s istema : [ - 1 x(t) = � o -2 O
estudiar la energía de la entrada necesaria para que el estado rea l ice la transición :
Se com ienza por rea l izar el estudio de controlab i l idad para comprobar que es
pos ib le a lcanzar el va lor fi na l propuesto para el estado a part i r de su va lor i n icia l .
Dado queel sistema es l i nea l e i nvariante , para rea l izar este estudio bastaría con
comprobar el ra ngo de la matriz Q .
Q = [ B AB A 2B ] = [ 211 -::::�1 �1 1
cuyo determinante vale 4 lo que permite concl u i r , por u n lado, que el sistema
es cua l itativamente controla ble y, por otro , que la controlab i l idad del sistema es
relativamente buena , a l ser éste u n va lor lo suficientemente elevado como para
asum i r que no hay pel igro de que el s istema se vuelva no controla ble por la
deriva de algún parámetro del m ismo. Según este resu ltado, es posi ble rea l izar
la transición propuesta en cua lqu ier i nterva lo de tiempo. Dado que el enunciado
no fija la longitud de dicho interva lo , se va a rea l izar un estudio de facti b i l idad
de la controla b i l idad en función del tiempo empleado en rea l izar la transición del
estado.
Para e l lo se com ienza por determ i nar el va lor del gram ia no de controla bi l idad ,
deja ndo variab le la longitud del i nterva lo:
www.FreeLibros.org
3.9. EJEMPLOS ADICIONALES 141
matriz cuyo determ i nante va le:
det (W(t , O)) =
1 e- 12t e- 10t 2e-9t 7e-8t 2e-7t 2e-5t 7e-4t 2e-3t e-2t = 10800 - 1O800 + 300 - � + 240 - �+� - 240 +� - 300
Si se representa gráficamente el va lor de este determinante para d isti ntos
va lores de t, se obtiene la gráfica :
Det [ W ]
0 . 0 0 0 0 8
0 . 0 0 0 0 6
0 . 0 0 0 0 4
0 . 0 0 0 0 2
�-L��----�4----�6�----�8----�10 t l
Como se ve , para va lores muy cortos del i nterva lo (h muy pequeños) el
va lor del determ i nante es extremadamente bajo, lo q ue hace prever va lores de la
entrada muy a ltos ; a medida q ue el i nterva lo se a larga , el valor del determ inante
crece , provocando en consecuencia que la entrada necesaria d ism in uya de rango.
Para com pletar el estudio , uti l izando la energía consum ida en la entrada como
i nd icador cuantitativo de la controla b i l idad , se muestra la sigu iente gráfica , en
la que se representa la evol ución d icha energía , a med ida q ue el la longitud del
i nterva lo empleado para rea l izar la tra nsición del estado varía .
E [ u ( t ) 1
3 0 0 0 0
2 5 0 0 0
2 0 0 0 0
1 5 0 0 0
1 0 0 0 0
5 0 0 0
4 5
t,
www.FreeLibros.org
142 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
Como puede verse en la figu ra , existe un i nterva lo de tiempo ('" 3 s) a parti r
del cua l no se d ism i nuye sign ificativamente la energía necesaria para consegu i r
la transición de l estado, a u nque obviamente se consigue d ism inu i r la potencia
requerida , a l a umentar e l tiempo en que se entrega dicha energía .
Controlabilidad y dinámica del sistema
Ejemplo 3.10
Dados los sistemas l i nea les e i nvariantes caracterizados por l as matrices :
A, � [ - 1 O �3 l [ t ] O -2 B¡ = O O
A, � [ -6 O q , [ : ] O -7 B2 = O O -8
determ i na r el consumo de energía en la seña l de entrada si se desea rea l izar la
transferencia del estado dada por:
En primer l ugar , como no se p lantea cuá l debe ser el i nstante fi na l , lo que se
va a rea l izar es u n estudio energético en función de cómo se fije esta longitud
del i nterva lo empleado para rea l izar la tra nsición del estado, es deci r , todos los
cálcu los queda rá n en función de tI .
Como primer paso, se m uestra la evol ución en el va lor del determ i nante del
gram iano a med ida que e l i nterva lo para rea l izar la transición crece . Se muestra
en un d iagrama sem i logarítm ico, donde, con trazo continuo , a parece para el
sistema defin ido por Al y, en d isconti nuo , para el defi n ido por A2 . www.FreeLibros.org
3 .9 . EJEMPLOS ADICIONALES
de t ( W )
2 4 6 8 1 0 t
- 1 0 ,
,.. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
I
- 1 2
Según este resu ltado, e s fác i l comprobar que el sistema defi n ido por la matriz
A2 , caracterizado por la presencia de variables de estado que presentan una
d inám ica más rápida , tiene u n determ inante varios órdenes de magn itud inferior;
por lo q ue la energía de la entrada q ue se use será varios órdenes de magnitud
superior. Para confi rmar esta a preciación , se ca lcu lan d ichas energías , dejando
como parámetro var iable el instante fi na l del i nterva lo . El resu ltado se muestra
en la sigu iente gráfica , donde n uevamente se representa con l ínea d isconti n ua la
curva correspondiente al sistema más rápido.
E u ( t l )
I
1 2 0 0 0 0 I I
1 0 0 0 0 0 :
8 0 0 0 0 :
\
6 0 0 0 0 , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 4 6 8 1 0 t l
En esta gráfica se puede comprobar cómo, en igualdad de cond iciones, el
hecho de ser un sistema con variables de estado q ue tengan una d inám ica más
rápida i ncrementa la energía necesaria para rea l izar una transición entre dos
estados. F ina lmente, se da el dato de la energía consum ida cuando el t iempo tI
tiende a i nfi n ito , mín imo teórico para cada caso :
lím EUl (td =1248
t ¡ -HX)
que confi rma n uméricamente las a preciaciones rea l izadas.
143
www.FreeLibros.org
144 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
Controlabilidad y energía de la señal de entrada
Ejemplo 3 .11
Se considera el m ismo caso de l Ejemplo 3 . 1 de la i ntroducción de este capí
tu lo , sus ecuaciones de estado son :
que se pueden reescri b i r d e forma s imp l ificada uti l izando l a notación Al =
1 j (RlCl ) y A2 = 1 j (RlCd , q ue representan las inversas de las constantes
de tiempo de ambas ramas, como:
Debido a que se trata de un sistema l i nea l , puede estudiarse su contro lab i l idad
en u n i nterva lo dado [O, t ] media nte la matriz W(t, O) (obsérvese que por tratarse
de un sistema i nvaria nte se puede estudiar la controlab i l idad a parti r de cua lqu ier
instante arbitrar io , por ejemplo t = O) , q ue depende del tiem po t considerado
para su control , así como de los parámetros concretos del s istema , ca lcu lá ndose
d icho gramiano como:
W(t, O) = lt <P(t, T)B (T)BT (T)<pT (t, T)dT = [ 0,5Al ( 1 - e - 2A 1 t ) =
A 1 A2 ( 1 - e - P ' 1 + Á2 ) t )
A 1 +A2
A conti n uación se va a estudiar la controlab i l idad de este sistema para varios
va lores de las constantes de tiempo, Rl Cl y R2C2 , del sistema y para varias
longitudes del i nterva lo, [O, t] . Igua lmente se va a proceder al cá lcu lo de la entrada
de mín ima energía que , en cada caso, l leva a l sistema desde cond iciones i n icia les
nu las al va lor de las tensiones en los condensadores :
Constantes de tiempo iguales
Primeramente se va estudiar el caso en que la d i námica de ambas ramas
es la m isma Al = A2 , coi ncidiendo por ta nto las constantes de tiempo de
carga de ambos condensadores RlCl = R2C2 . El gram iano va le en este www.FreeLibros.org
3.9. EJEMPLOS ADICIONALES
caso:
[ 0 ,5>\1 ( 1 - e-2A1 t ) 0 ,5A1 ( 1 - e-2A1 t ) ] W(t, O) = 0 ,5A1 ( 1 _ e-2A1 t ) 0 ,5A1 ( 1 - e-2A1 t )
con lo que su determinante vale cero para cua lqu ier valor de t y por el lo
el sistema no es controlab le en n i ngún interva lo . Esta m isma concl usión se
a lca nzó en el Ejemplo 3 . 1 de forma i ntu itiva .
Constantes de tiempo distintas
A conti nuación se va a estud iar el caso más genera l en el q ue la d i námica de
ambas ramas son muy d isti ntas entre sí, por ejemplo Al = 1 Y A2 = 0,5 ,
siendo, por tanto , la constante de tiempo de la segunda rama el doble
q ue la de la primera R1 C1 = 1 Y R2C2 = 2 . En este caso el gramiano
ca lculado a nteriormente particu larizado para estos va lores de los parámetros
del sistema queda :
dependiendo el estudio de la controlab i l idad como se sabe del tiempo t
considerado, el igiéndose por ahora el t iempo t = 1 , q ue es del m ismo orden
que las constantes de tiem po i nvol ucradas en el sistema . Por lo que el
gram iano eva l uado en d icho i nterva lo [0 , 1 ] va le:
n (l - e- 1 ,5 ) 1 = [ 0 ,4323 0 ,2590 ] 0,25 ( 1 - e- 1 ) 0 ,2590 0 , 1 580
cuyo determ i nante va le det [W(l , O) ] = 0,0013-1 O y, por tanto, se puede
afi rmar que este sistema es controlable en el i nterva lo [0 , 1 ] .
A conti nuación se ca lcu la la ley de variación de una entrada que con
sigue l levar al sistema desde cond iciones i n icia les nu las hasta el va lor fi na l
propuesto , uti l iza ndo para e l lo la entrada de mín ima energía dada por la
Ecuación 3 .5 :
u(t) = BT<I>T ( 1 , t)W- 1 ( 1 , 0) [ � ] =
[ e- Ht O ] [ 0,4323 0 , 2590 ] - 1 [ 2 ] = [ 1 0 ,5 ] O e-O,5+t 0 ,2590 0 , 1 580 1
= 45 ,2 et- 1 - 33 ,88 eO ,5t-O ,5
En la Figu ra 1 se representa la evol ución tempora l de d icha entrada u(t)
en el i nterva lo considerado [0 , 1 ] , así como la evol ución de ambas varia bles
de estado [Uc1 (t) Uc2 (t) ]T , observándose que éstas parten de condiciones
145
www.FreeLibros.org
146 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
i n ic ia les n u las y a lcanzan el punto predetermi nado [2 l ]T en el t iempo
también predeterm inado t = 1 :
1 21F=�T....,.......---r-�---"---;;=';::;::�'--l . 1 u(t) I I Elu(t)l_ 23 V2 I 1 : . 1 = �:
-2
-40 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 t
(a ) Evol ución tem pora l de la entrada y de las tensiones de los conden
sadores .
1 2rF=�=r�-��-�-;;::;::;:;�1 . 1 u(t) I I Elu(t)l_ 23 V2 I 1 : . 1 = �:
°l�-��_� _ _ =_� _ _ �_� _ _ �_� _ _ �_� _ _ �_� _ _ �_�� __ -�-- - - - - - - - - - - - - -
-2
-40 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 t
(b) Evolución en el espacio de estado de las tensiones en los condensadores .
Figura 1 : Evol ución de las tensiones de entrada y de las de los conden
sadores en el caso R1 C1 = 1 Y R2C2 = 2 Y uti l izando la entrada de
mín ima energía para pasar de condiciones i n ic ia les n u las a las tensiones
[2 l ]T en u n segundo.
La energía de la entrada necesaria para rea l izar la mencionada operación
de contro lab i l idad del estado es :
Eu(t) = 1 1 U2 (T)dT = 23 , 16 www.FreeLibros.org
3.9 . EJEMPLOS ADICIONALES
Constantes de tiempo distintas e intervalo reducido
Si en este m ismo ci rcu ito eléctrico el i nterva lo de controlab i l idad se hace
mucho más pequeño, por ejemplo [O, 0 , 1 ] , el gram iano ca lcu lado anterior
mente particu larizado para este va lor de t = 0 , 1 va le :
147
[ 0 5 ( 1 - e-O,2 ) M (1 - e-O, 1 5 ) 1 [ O 0906 0 0464 ] W(O, I , O) = � ( 1 _ e-O , 15 ) � ;�5 ( 1 _ C0, 1 ) = 0 :0464 0 :0238
con lo que su determ inante va le det [W(O , I , O) ] = 4 ,48 10-7 . Este va lor
del determinante d isti nto de cero i nd ica que el sistema es controlable en
d icho i nterva lo [O , 0 , 1 ] y, por lo tanto, existe u na i nfi n idad de entradas que
pueden l levar al sistema desde cua lqu ier estado i n icia l a cua lqu ier estado
fi na l en d icho i nterva lo. Debe notarse que el valor del determ inante del
gramiano ha d ism inu ido notablemente respecto al caso a nterior, en el que
se estud iaba la controlab i l idad en el i nterva lo mayor [O , 1 ] del m ismo orden
de las constantes de tiempo del sistema considerado, acercándose en este
caso a l va lor nu lo que hace que el s istema no sea controlable . Este hecho
imp l ica en la práctica q ue , a u nque el sistema es teóricamente controlable ,
la energía de la entrada necesaria para e l lo crece enormemente , pud iendo
l legar a hacer i nviable su controlab i l idad en la práctica .
A conti nuación se ca lcu la la entrada de mín ima energía que consigue l levar a
este sistema en el i nterva lo considerado [O, 0 , 1 ] desde condiciones i n icia les
n u las al m ismo va lor de tensiones propuesto en este ejemplo:
u(t) = BT�T ( I , t)W- l ( I , O) [ � ] =
[ e- 1+t O ] [ 0 ,0906 0 ,0464 ] - 1 [ 2 ] = [ 1 0 ,5 ] O e-O,5+t 0 ,0464 0 ,0238 1 =
= 2564 et- l - 2481 eO ,5t-O ,5
que comporta u n consumo energético:
rO , l
Eu(t) = J
o u2 (r)dr = 168 ,68
va lor muy superior a la energía ca lcu lada anteriormente de 23 , 16 , necesaria
para controlar e l sistema entre los dos mismos estados i n ic ia les y fi na les ,
pero forzando a hora a rea l izarlo en u n tiempo 10 veces menor que a ntes y
menor igua lmente que las constantes de tiempo i nvolucradas en el sistema .
En la Figu ra 2 se puede ver la evol ución de la entrada ca lcu lada , así como las
tensiones en ambos condensadores hasta l legar a su estado fina l deseado
en t = 0 , 1 s . Obsérvese q ue ahora la evolución de la entrada ha tenido www.FreeLibros.org
148 CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD
que representarse en un gráfico a parte por ser de mayor magnitud que la
evolución de las tensiones en los condensadores :
1 00
80 I Elu(tl]== 168 V2 I
60
40
%
20
-20
-400 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 09 0 1
1
(a) Evol ución tem pora l de la tensión de entrada u(t) .
� 2 �
1 5
0 5
o . .
-0 5
-10 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 09 0 1
1
(b) Evol ución tempora l de las tensiones en los condensadores , UC1 (t) Y
UC2 (t) .
0 8
0 6
0 2
-0 2
-O�.,L �:""_o:':cs---7---:':o s'--�-----;";-s ---;'---::2 5
( c ) Evol ución en el espacio de estado de l a s tensiones en los condensadores .
F igura 2: Evol ución de las tensiones de entrada y de las de los conden
sadores en el caso R1 C1 = 1 Y R2C2 = 2 Y uti l izando la entrada de
mín ima energía para pasar de condiciones i n icia les n u las a las tensiones
[2 I]T en el i nterva lo [O, 0 , 1 ] . www.FreeLibros.org
3.9. EJEMPLOS ADICIONALES
Constantes de tiempo muy parecidas
Hasta ahora se ha estudiado la controlab i l idad del ci rcu ito eléctrico i n i
c ia l para va lores idénticos de las constantes de tiempo de ambas ramas
( no controlable) y para va lores d ispares de d ichas constantes (controlable) .
habiéndose también estudiado. en este ú lt imo caso. la i nf luencia del i nter
va lo de tiempo en la controlab i l idad del sistema . Ahora se qu iere ana l izar
cómo los va lores de dichas constantes de tiempo del sistema i nfl uyen en su
contro lab i l idad y como ésta se hace más d ifíc i l a medida que las d inám icas
de ambas ramas se asemejan más entre sí. Para ello se va a estud iar el caso
en el q ue Rl Cl = 1 Y R2C2 = 1 , 1 y por tanto Al = 1 Y A2 = 0 ,909 1 . con
lo que el gram iano ca lculado a nteriormente de forma genérica va le ahora :
[ 0 ,5 ( 1 - e-2t ) 0 ,4762 (1 _ e- l ,909l t ) ] W(t , O) = 0 ,4762 ( 1 _ C l .909l t ) 0 ,4545 ( 1 _ e- l ,818t )
Ana l iza ndo la contro lab i l idad para el m ismo i nterva lo de tiempo [O , 1 ]
uti l izado a nteriormente. se obtiene:
[ 0 ,5 ( 1 - e-2 )
W(l , O) = 0 ,4762 ( 1 _ e- l ,909l )
= [ 0 ,4323 0 ,4056 ] 0 ,4056 0,3808
0 ,4762 ( 1 - e- l ,909l ) ] _
0 ,4545 ( 1 - e- l ,818 ) -
cuyo determinante vale det [W(O, l , O ) ] = 9 , 53 10-5 . Obsérvese que en
este caso el sistema es teóricamente controlable . pero. según se ha d iscutido
a nteriormente el pequeño va lor del determ ina nte del gram iano ind ica que
se precisa una entrada de muy elevada energía que d ificu lta el control en
la práctica . pud iendo l legar a hacerlo i nviable . Se ca lcu la a cont inuación la
ley de variación de la entrada u(t) necesaria para l levar a l sistema desde
condiciones i n ic ia les n u las al m ismo va lor a nterior de las tensiones en los
condensadores :
149
[ - l+t = [ 1 0 ,9091 ] e ° ° e-O.909l ( l - t) ] [ 0 ,4323 0 ,4056 ]
- 1 [ 2 ]
0 ,4056 0 ,3808 1
= 3733 et- l - 3613 eO ,909l (t- l )
con u n consumo energético de: www.FreeLibros.org
150 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
I E[u(tH" 953290 V2 I
1 00
50
-50
-1000 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9
1
(a) Evolución tempora l de la tensión de entrada u(t) .
-5
- 1 0
-1 5 . '
-20
-250 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9
1
(b) Evolución tem pora l de las tensiones en los condensadores , UC1 (t) Y
UC2 (t) .
-5
�� - 1 0
- 1 5
-20
_�;LS ----_2�0----_�l S ----_�10----_�S ----�--�
""
(e) Evol ución en el espacio de estado de las tensiones en los condensadores .
Figura 3: Evol ución de las tensiones deentrada y de las de los conden
sadores en el caso Rl Cl = 1 Y R2C2 = 1 , 1 Y uti l izando la entrada de
mín ima energía para pasar de condiciones i n ic ia les nu las a las tensiones
[2 IV en el i nterva lo [0 , 1 ] . www.FreeLibros.org
3.9. EJEMPLOS ADICIONALES
Este va lor de la energía es muy superior al necesitado anteriormente cuando
las constantes de tiempo de ambas ramas eran una el doble de la otra . En
la Figura 3 se representa la evol ución de l a tensión de entrada y de ambos
condensadores para este caso en el q ue las d inámicas de ambas ramas
son muy parecidas, pero no igua les, por lo que el sistema es controlab le
teóricamente uti l izando una entrada con suficiente energía :
Obsérvese que en este caso la d ificu ltad práctica de la contro lab i l idad del
s istema se debe a la parecida d i námica de ambas ramas y no al i nterva lo
de contro lab i l idad uti l izado, que fue estudiado a nteriormente, concl uyendo
que cuando éste era suficientemente pequeño com parado con la d inámica
del sistema tam bién se d ificultaba la controlab i l idad práctica de éste.
En este ejemplo se ha podido ver cómo el determ inante del gramiano cuantifica
la controlabi l idad de un sistema l i nea l representado en u na base dada y en un
i nterva lo de tiempos dado, siendo necesario en la práctica que su valor sea signi
ficativamente mayor q ue cero , lo que depende de la d isparidad de las d inámicas
de las variab les controladas con una m isma entrada y del i nterva lo de tiempo
considerado.
Entrada para modificar el vector de salida
Ejemplo 3 .12
Dado e l sistema defi n ido por l a s ecuaciones:
Determi nar la entrada que l leve el vector de sa l ida al va lor:
cuando el estado parte de condiciones i n ic ia les n u las .
En primer l ugar se com prueba la controlab i l idad de las sa l idas mediante el
cá lcu lo del gram iano:
T T T 0 ,49 5 ,57 1
2
[ ] W 0 (2 , O) = o C<JI(2 , r)BB <JI (t , r)C dr = 5 ,37 63 ,38
151
www.FreeLibros.org
152 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
matriz cuyo rango es dos, por lo q ue se com prueba q ue la transición de los va lores
de la sa l ida que se propone es fact ib le . A part i r de este resu ltado se ca lcu la la
entrada necesaria ap l icando la Ecuación 3 .45:
donde se ha uti l izado YI d i rectamente a l coinc id i r su va lor con el dado por la
Ecuación 3.46, a l ser el estado i n icia l n u lo .
Comprobándose que:
y(t = 2) = e 12 <.P(2 , T)Bu(T)dT = [ � ]
3 . 1 0 . Ejercicios resueltos
1 . Calcular la dimensión del subespacio controlable del sistema de la figura, en función
de los parámetros al , . . . , an .
y (t ) ,.
Es un sistema de dimensión n, siendo las variables de salida de cada uno de los
bloques un conjunto adecuado de variables de estado del sistema que se denominan
Xl , X2 , . . . , Xn , respectivamente. La ecuación de estado del sistema es:
O O O
o O
O O
O O
con lo que la matriz de controlabilidad queda:
Q = [ B AB . . . . . . ]
con rango(Q ) = n; por tanto el espacio total de estado es controlable, pudiendo de
este modo llevarse el estado del sistema desde condiciones iniciales nulas a cualquier
estado final , mediante la elección adecuada de la entrada.
www.FreeLibros.org
l3 . 10 . EJERCICIOS RESUELTOS 153
; .
NOTA: obsérvese que el resultado obtenido es análogo para el sistema:
u(t) y (t)
2 . Calcular la dimensión del subespacio controlable del sistema de la figura en función
de los parámetros al , ' " , an .
1
"! s + al '""
1
u
s + a2 . ... (t)
1 ,
"'tI S + an '111'
De la misma forma que en el ejercicio anterior, se plantean las ecuaciones de estado
de este sistema de orden n:
l I ] l o o o
con lo que la matriz de controlabilidad queda:
(-at )n- l ]
( -a2 )n- l
( -an )n- l
Como puede verse, las filas de la matriz Q serán distintas en tanto que lo sean las
constantes ai . Por lo tanto, el rango de la matriz y, por consiguiente, la dimensi?n
www.FreeLibros.org
154 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
del subespacio controlable será igual al número de constantes ai distintas. Como
consecuencia de lo dicho, a partir de condiciones iniciales nulas , pueden llevarse las
variables de salida de todos los bloques que posean distinto valor de ai a cualquier
valor final predeterminado, mediante la elección adecuada de la entrada.
Por otro lado, los valores temporales de las variables de salida de los bloques que
posean el mismo ai serán idénticos, no pudiendo alcanzarse valores independientes
de las variables de estado. Esta conclusión es lógica, puesto que la ecuación diferen
cial que determina la evolución temporal de estas variables respecto de la entrada
es la misma en todos estos bloques, y se parte de las mismas condiciones iniciales
(nulas) en todos ellos .
NOTA: obsérvese que se obtiene un resultado análogo para el sistema:
Al
� S + al ...
A2
u
s + a2 ... (t)
An
� s + an . ..
3 . En el esquema de la figura, deteminar un conjunto mínimo de entradas que permita
conseguir que el sistema sea controlable. Razonar la respuesta.
Es un sistema de cuarto grado, constituyendo las variables de salida de cada bloque
un conjunto adecuado de variables de estado del sistema.
www.FreeLibros.org
3 .10 . EJERCICIOS RESUELTOS 155
La entrada U4 no afecta a ninguna variable de estado, luego no afecta a la controla
bilidad del sistema. La entrada U3 afecta a las variables de estado correspondientes
a los últimos bloques, pero, como las variables de salida de los dos primeros bloques
son controladas por las entradas UI y/o U2 , entonces la variable de entrada al tercer
bloque también está controlada con independencia de U3 . Por lo que la entrada U3
no es necesaria para la controlabilidad de los dos últimos bloques colocados en serie.
Para ver si la entrada UI es suficiente para garantizar la controlabilidad de los dos
primeros bloques (y por tanto del sistema) , habrá que ver si ambos bloques tienen
el mismo comportamiento dinámico. Reduciendo el sistema realimentado resulta:
Para controlar Xl es necesaria la entrada UI , puesto que U2 no le afecta.
Para controlar simultáneamente Xl y X2 no basta con UI , pues al tener ambos blo
ques el mismo comportamiento dinámico, partiendo de condiciones iniciales nulas,
el valor de Xl será siempre doble que el de X2 . Por tanto, el conjunto mínimo de
entradas necesarias para controlar el sistema son UI Y U2 .
Otra forma de llegar a la misma conclusión es realizar el estudio de las matrices de
controlabilidad. Las ecuaciones del sistema completo con todas las entradas son:
o
-4
1
O
O
O
-4
2
Puede observarse que la última columna de la matriz B es toda de ceros (la U4 no
influye en el estado del sistema) , por lo que se puede suprimir dicha columna. Con
ello la matriz de controlabilidad queda:
Q � U O O -8 O O 32 O O - 128 O -6q 1 O -4 -4 O 1 6 16 O -64 -64 O 1 3 1 -4 -24 -8 16 144 48 O O O O 2 5 2 -10 -54 - 18 42
donde rango(Q) = 4, por lo que el sistema es controlable con las entradas Ul , U2 Y
U3 ·
www.FreeLibros.org
156 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
Para analizar el número de entradas que garantizan la controlabilidad del sistema,
se verá primeramente si éste puede ser controlado mediante una única entrada. Para
ello se verá si las matrices de controlabilidad Qi (correspondientes a un sistema que
sólo tuviera la entrada i-ésima) tienen el rango máximo del sistema.
Para calcular cada Qi , se utilizan las columnas de Q correspondientes a la i-ésima
entrada. Para el caso de Ql :
-8 32
-4 16
3 -24
O 5
-128 ]
-64
144
-54
La primera fila es el doble que la segunda3 , quedando rango( Qd = 3 , con lo que
el sistema no es controlable utilizando únicamente Ul .
Utilizando sólo la entrada U2 , la matriz de controlabilidad resultante es :
O
-4
1
O
O
16
-8
2
-6� ]
48
- 18
donde la primera fila es de ceros (la variable Xl no puede ser controlada) , quedando
rango(Q2 ) = 3, con lo queel sistema no es controlable con U2 .
Para la entrada U3 queda:
Q3 � r ! O O �6q O O -4 16 2 - 10 42
Las dos primeras filas de Q3 son de ceros (no se pueden controlar las variables Xl
y xz ) , con lo que el rango(Q3 ) = 2 y, por tanto, el sistema no es controlable sólo
con U3 .
Dado que con ninguna entrada en solitario se puede controlar el sistema, se prueba
ahora con las combinaciones de dos de ellas :
Q"
� r ¡ O -8 O 32 O -128 �6� ] 1 -4 -4 16 16 -64 O 3 1 -24 -8 144 48 O O O 5 2 -54 -18
Ahora el rango(Q12 ) = 4, por l o que el sistema es controlable con el conjunto
mínimo de entradas Ul Y Uz ·
3Nótese que, partiendo de condiciones iniciales nulas y utilizando sólo la entrada U I , la variable X l
vale siempre el doble que la X2 .
www.FreeLibros.org
3 .10 . EJERCICIOS RESUELTOS
4 . Dado el sistema de la figura, donde u(t) es la tensión de entrada:
1 KO 5000 5000
U(t) +
1 mF 2mF 1 mF
157
a) Calcular, utilizando la solución de la ecuación de estado, las tensiones en los
condensadores al cabo de 1 s, partiendo de las tensiones iniciales Ul = O,
U2 = 10 V y U3 = 10 V, y aplicando durante todo el intervalo de tiempo una
tensión de entrada constante u(t) = 1 V.
b) Partiendo de tensiones iniciales nulas en todos los condensadores:
1 ) ¿Pueden alcanzarse en 1s las tensiones Ul = 1 V, U2 = 1 V y U3 = 1 V?
2) ¿Pueden alcanzarse en 2s las tensiones Ul = O, U2 = 1 V y U3 = 1 V?
c) Partiendo de las tensiones iniciales del apartado a) :
1 ) ¿Pueden alcanzarse mediante una entrada adecuada las tensiones Ul = 1
V, U2 = 1 V y U3 = 1 V en los condensadores en tiempo finito ?
2) ¿Pueden alcanzarse mediante una entrada adecuada las tensiones Ul = O,
U2 = 1 V y U3 = 1 V en los condensadores en tiempo finito ?
a) Las ecuaciones del sistema son:
u = R1 i 1 + Ul
i 1 = CI Ul
eliminando las intensidades:
u = R2i2 + U2
i2 = C2U2
u = R3i3 + U3
i3 = C3U3
u = R1 cI Ul + Ul U = R2C2U2 + U2 U = R3C3U3 + U3
y sustituyendo los valores de las constantes:
Con lo que el modelo de estado en forma matricial queda:
1 [ - 1 O O O - 1 O www.FreeLibros.org
158 CAPíTULO 3. CONTROLABILIDAD
Partiendo del conocimiento del modelo, el siguiente paso es encontrar la expre
sión de la matriz de transición del sistema. Dado que la matriz A es diagonal,
dicho problema es trivial , siendo: [ -t O O 1
q>(t) = eAt =
e
O e-t O
O O e-2t
Conociendo la matriz de transición ya se puede abordar la solución tanto de la
ecuación homogénea del sistema (debida al estado inicial) como de la completa
(debida a la entrada que se introduce al sistema) :
x(t) = q>(t , to )x(to ) + t q>(t, T )B(T)U(T)dT lto (
• Solución de la ecuación homogénea: [ e-t O O
XH = q>(t , to )x(t) = O e-t O
O O e-2t
10 -t [ O 1 1O:-2t
• Solución de la ecuación completa:
xc (t) t q>(t, T)B (T)U(T)dT = lto
f
to
t [ e- (�t-r) O lt, e- (t-r) O
t � e- (t-r ) - (t-r ) 10 :-2(t-r)
Con lo que la solución de la ecuación de estado, teniendo en cuenta condiciones
iniciales y entrada, es : [ O 1 [ 1 -t 1 [ 1 -t 1
x(t) = lOe-t + 1 :::: :-t 1 '; ;e-t
lOe-2t 1 - e-2t 1 + ge-2t
que se particulariza para t = 1 para calcular la respuesta solicitada en este
apartado del ejercicio .
La representación gráfica del estado del sistema ante la entrada dada es:
www.FreeLibros.org
3.10. EJERCICIOS RESUELTOS
E s t ado
1 0
\ \ 6 . \ \
\
'\ \
4 . \
2
\ \ ,
159
,
2 4 6 8 1 0
t
En la siguiente figura aparece ampliada la evolución durante el primer segundo:
E s t ado
1 0
8
,
6
4
2
, ,
0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
t
b) Este apartado hace referencia a la controlabilidad del sistema, puesto que se
pregunta sobre un estado que presuntamente debe alcanzarse gracias a alguna
entrada, al dar el dato de que las tensiones iniciales son nulas . El estudio de
la controlabilidad en sistemas lineales invariantes, como el presente, pasa por
el cómputo de la matriz Q, como se ha explicado en este capítulo:
Como se observa en la expresión de la matriz Q, las dos primeras filas son
iguales , por lo que será rango(Q) = 2. Para saber si los estados que se propo
nen son alcanzables con alguna entrada, es necesario calcular la base del sub
espacio controlable, para ver si los puntos correspondientes están contenidos
en dicho espacio. Como se ha visto en este capítulo, una posible base del sub
espacio controlable la constituyen las columnas linealmente independientes de www.FreeLibros.org
160 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
la matriz Q. Por tanto, la base del subespacio controlable es:
que da lugar a la expresión más sencilla de la misma base:
que definen el plano controlable Ul = U2 .
1 ) El punto [1 1 IV está dentro del subespacio controlable, luego puede al
canzarse en cualquier tiempo finito a partir de condiciones iniciales nulas .
2) El punto [O 1 IV no está dentro del subespacio controlable, luego no puede
alcanzarse a partir de condiciones iniciales nulas.
Se puede calcular la entrada que permita alcanzar el estado planteado en el
apartado (b . 1 ) . Partiendo de que la evolución del estado se puede calcular
como:
x(t) = <I>(t , to )x(to ) + ¡
t
<I>(t , T)B (T)U(T)dT ita
se propone usar una entrada con la forma:
de forma que, sustituyendo en la expresión de la evolución del estado, queda: [ e-t O O
x(t) O e-t O
O O e-2t
[ e-t O O O e-t O O O e-2t [ 1 - eUd) 1
+c 1 - e(t , - t)
1 - e2(t l -t)
1 l e(H) 1 x(to ) + ¡ e(T-t) u(T)dT = ta e2 (T-t)
] [ ,Ud) - eU,-') . x(to ) + b e(t l -t) - e(ta -t) . e2 (t l -t) _ e2(ta -t) 1 +
Dado que lo que se pretende es que la entrada lleve al estado desde el origen
hasta el punto [1 1 IV, entre los instantes to = O y t = 1 , se plantea la
www.FreeLibros.org
.3 . 10 . EJERCICIOS RESUELTOS
igualdad: [ 1 1 [ e (t l -1 ) - e - l 1 [ 1 - e(t l -t ) 1
1 = b e(t ¡ - l ) - e - l + e 1 - e (t ¡ - t)
1 e2(t l - 1 ) _ e - 2 1 _ e2(t ¡ - t)
161
Como puede observarse, la primera y la segunda ecuaciones son iguales , por
lo que sólo hay dos ecuaciones linealmente independientes con tres incógnitas.
Esto permite dar un valor arbitrario a cualquiera de ellas para fijar las otras
dos; en este caso, se fija tI = 0 ,58 :
{
1 = b(e - O ,5 - e- l ) + c ( l .e-O,5 )
::::} 1 = b(e - l - e - 2 ) + c ( l - e l )
::::} {
1 = 0 ,2386b + 0 ,3934c
::::} 1 = 0 ,2325b + 0 ,632 1c
::::} {
b = 4 ,0206
e = 0 , 1029
En la gráfica puede observarse la evolución del estado ante esta entrada:
E s t ado
2 . 5 .... " . .... ,
2
/ ,
/ " .... "
1 . 5 .... ....
1 I
0 . 5
0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
t
e) El conjunto de estados alcanzables, cuando se tiene en cuenta tanto el estado
inicial como la acción de la entrada, se obtiene por la superposición de un
vector perteneciente al subespacio controlable más el vector de estado definido
por la solución de la evolución libre del sistema, que se obtuvo en el apartado
a) . Dicha solución da lugar a que el estado describa una trayectoria dentro
del espacio de estado como la que se refleja en la figura. El origen del plano
controlable se va desplazando según esa trayectoria:
www.FreeLibros.org
162 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
1 ) Como puede verse en la figura, e l punto [ 1 1 l jT nunca puede alcanzarse
como composición de un vector de la evolución libre del sistema con un
vector del subespacio controlable, excepto para un tiempo infinito.
2) El punto [O 1 1 jT sí se puede alcanzar en un tiempo finito. Para ello
basta con que la entrada u(t) sea tal que lleve al estado del sistema desde
condiciones iniciales nulas hasta el punto X2 - Xl , justo en el tiempo que
emplea el sistema en pasar desde las condiciones iniciales Xo hasta el punto
Xl , por la evolución libre del sistema.
Numéricamente debe cumplirse: [ � 1 [ lO�-t 1 + a [ � 1 + (3 [ � 1 1 10e-2t O 1
Ecuación que resuelta da
a
= O, (3 = 0 ,9 y t = 2 ,3025.
Dado que se ha demostrado que es posible alcanzar el estado propuesto,
se puedecalcular la entrada que lo permita. Probando nuevamente con
una entrada de la forma:
u(r) � {
la evolución del estado queda: [ e� ' O O
x(t) e-t O
O e-2t [ e� ' O O
e-t O
O e-2t
b to ::; T ::; t I
e t I < T ::; t
1 ' [ e(H) 1 x(to ) + ¡ e(r-t) u(T)dT =
to e2(r-t) 1 [ e(' ' -<) - e(" -') 1
x(to ) + b e(t ¡ -t) - e(to -t) +
e2(t l -t) _ e2(to -t)
www.FreeLibros.org
3.10. EJERCICIOS RESUELTOS
1 - e(t l -t ) 1
1 - e(t l - t)
1 - e2(t l - t)
163
Lo que se pretende es que la entrada lleve el estado desde el valor inicial
[O 10 10jT en to = O hasta [O 1 1 jT en cualquier tiempo finito, de forma
que se puede plantear la ecuación: [ O 1 [ ° 1 [ e(t 1 -t) - e-t 1 [ 1 - e(t l -t) 1
1 = lOe-t + b e(t l -t) - e-t + e 1 _ e (t l - t)
1 10e-2t e2(t l - t) _ e-2t 1 _ e2 (t l - t)
Para que las dos primeras ecuaciones se cumplan debe ser cierta la igual
dad:
1 = 10e-t =} e-t = 0,1 =} t = 2 ,3025
De esta forma, las dos ecuaciones son la misma, por lo que quedarán sólo
dos ecuaciones linealmente independientes con tres incógnitas. Esto hace
que se pueda dar un valor arbitrario a cualquiera de ellas. En este caso se
hace h = 18 , con lo que:
e (t l -t) = e- 1 ,3025 = 0 ,2718
y sustituyendo:
{
0 = 0 , 1 718b + 0 ,7281c =} 0 ,9 = 0 ,0638b + 0 ,9261c
=} {
b = -5 ,8197
e = 1 ,3733
En la figura puede observarse la representación gráfica de la evolución del
estado ante esta entrada:
E s t ado
1 0
. \
8 \ .\
6
4
2
- 2
- 4
\ , , , \ ,
,
,
,
,
, .... ....
---- -=- .."... - -
t www.FreeLibros.org
164 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
5. Dado el sistema:
se desea llevarlo de x = [ 1 IV en t = 0, a x = [ 1 I ]T en t = 28. Obtener la ley de
control u(t) .
En primer lugar, se ha de comprobar que el sistema sea controlable para poder
asegurar que existe una ley de control que permita llevar el estado del sistema
desde su valor inicial hasta su valor final :
matriz cuyo rango es dos, por lo que el sistema es controlable.
Para conocer la evolución del sistema y calcular la ley de control , es necesario
calcular la matriz de transición del sistema.
Se comienza por calcular los valores propios de la matriz A:
det (AI - A) = [ � A �\ ] = A(A + 5) + 6 = A2 + 5A + 6 = (A + 2) (A + 3 )
A continuación, la matriz T de transformación del sistema, desde su expresión
actual a la forma diagonalizada; para ello se calculan los vectores propios :
A = -2 ::::}
::::}
A = -3 ::::}
::::}
[ -� - 1 ] [ Vu ]
3 V12
2vu = -V12 , Vl =
[ � ]
[ -� ]
[ -� -� ] [ ��� ] = [ � ]
3V21 = -V22 , V2 = [ _� ]
Con lo que la expresión de la matriz de transformación queda:
T-1 = [ 3 1 ] -2 - 1
Gracias a esta transformación se puede conseguir una expresión diagonal de la
matriz A y, por tanto, de la matriz de transición , que resulta mucho más sencilla
de manejar para realizar los cálculos , por lo que se va a obtener la solución del pro
blema en esta base. Para poder trabajar en este sistema de referencia es necesario
www.FreeLibros.org
' 3 . 10 . EJERCICIOS RESUELTOS 165
transformar todas las matrices implicadas en la resolución del problema, es decir ,
A, B , Xo y Xl .
Á
Xo
La entrada necesaria para que el estado inicial coincida con el final es la que com
pense exactamente el efecto de la evolución libre del sistema; por lo que, como
primer paso, es necesario calcular dicha evolución libre.
Una vez que se conoce la solución de la ecuación homogénea, se acude a la expresión
de la solución de la ecuación completa para evaluar el efecto que ha de tener la
acción de la entrada sobre el sistema:
de donde:
Según se ha visto en este capítulo, dado que el sistema es controlable, la matriz
W es invertible ; por lo tanto se puede encontrar la entrada que lleve el estado del
sistema desde condiciones iniciales nulas a i:
= 12 [ 3e-2(2-T) _2e-3(2-T)
= 12 [ ge-4(2-T) _6e-5 (2-T)
] [ 3e-2 (2-T) 6 - 2e-3(2-T) 1 dT =
-6e-'('-') 1 - [ 4e-6(2-T) dT - g e-4(2-T) 4 6 -5 (2-T) - r; e
o
e-3(2-T)
6 -5 (2-T) - r; e
2 -6(2-T) - :le 1 : w w w . F r e e L i b r o s . o r g
166 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
Una vez calculado el valor de la matriz W, se puede calcular la entrada necesaria
para cumplir con las especificaciones del problema:
� ( 1 - e- 12 )
1 1 , 1822
20, 1 271
20, 1 271 ] [ 3 ,9267 ]
37,7274 -2 ,9926
= -48 ,9696e-2(2-t) + 67,739ge-3(2-t)
Como resulta evidente, la expresión de la entrada no depende del sistema de refe
rencia elegido para representar el estado del sistema; el estado no es más que un
modelo, por lo que no tiene sentido que influya en la forma de la entrada que recibe
el sistema que, por tanto, es independiente de la representación del sistema. En
resumen, la expresión de la entrada hallada es la buscada, independientemente de
que los cálculos se hayan realizado en un sistema de referencia distinto al inicial .
En la figura puede verse la representación gráfica de la entrada y del estado en el
intervalo de 2 segundos propuesto:
Ent rada
1 5
1 0
5
1 . 5 2
t
www.FreeLibros.org
�:uo. EJERCICIOS RESUELTOS
E s t ado
2
1
/
/
\ ,
- 1
- 2
/
/
1
/
/
/
/
/ /
1 . 5
,
\
\
\
167
Esta entrada cumple la propiedad de ser la que posee menor energía de todas las
entradas que transfieren el estado del sistema desde el valor inicial al final:
E = {
t l
(U(T) ) 2 dT = ita ¡t l ( ) 2 -48 ,9696e-2 (2-t) + 67,739ge-3(2-t) =
ta
(h (2397,72e-4(2-t) + 4588,08e-6(2-t) _ 6333 ,54e-5(2-t)) dT = ita (599,43e-2(2-t) + 764 ,68-6(t-2) - 1326 ,71e-5(2-t) ) :: =
37,26
Otra posible entrada que consigue llevar el estado del sistema entre los valores
deseados es una compuesta por dos escalones desplazados:
La forma de fijar estos escalones es elegir un valor determinado para t2 y dejar
como incógnitas U A Y U B . Si se sustituye entonces en la expresión de la evolución
del estado:
[ _� ] [ e
-�t l
[ -� ]
x(t) = <T>x(to ) + r <T>(tl , T)B (T)u(T)dT ita
° ] [ 4 ]
¡t l [ e-2 (t l -T) e-3t l -3 + ° ta www.FreeLibros.org
168 CAPíTULO 3. CONTROLABILIDAD
[ 4( 1 -
e-2t l ) ]
-3( 1 - e-3t l )
Dando valores a los instantes :
se obtiene:
to = O t2 = 18 tI = 28
por lo que la entrada resultante para todo el intervalo de tiempo es: { -19 ,8307 O :S T < 1
U2 (T) =
5 ,71 14 1 :S T :S 2
Dada esta entrada, se puede calcular su energía para compararla con la de la
primera:
E {
t l
(U (T) ) 2 dT = Jto
{t2 (UA) 2 dT + {
t¡ (UB )2 dT =
Jto Jt2 (UA )2 (t2 - to ) + (UB )2 (t l - t2 ) =
425 ,87
La principal desventaja de esta entrada, frente a la primera, es su mayor energía, que
suele ocasionar que el estado alcance valores mayores . Por contra, es más sencilla
de calcular y admite (aumentando los grados de libertad con la composición de más
escalones) la inclusión de nuevas restricciones en el comportamiento de la entrada
y del estado, como podría ser el forzar a que las variables de estado se encuentren
siempre dentro de un rango de funcionamiento.
Dada esta segunda entrada, se puede representar la evolución tanto de ella misma
como de las variables de estado:
www.FreeLibros.org
3 .10 . EJERCICIOS RESUELTOS
Entrada
5
0 . 5
- 5
- 1 0
- 1 5
- 2 0 �------------�
E s t ado
1 0
5
- 5
- 1 0
... ...
...
...
...
...
0 . 5 1
"
1 . 5
"
"
"
1 . 5
" "
2
2
t
t
Si se elige como tiempo intermedio t2 = 1 ,58 , la entrada que se obtiene es:
-6 ,0852 o � T < 1 , 5
7,5064 1 , 5 � T � 2
169
Para la que se obtiene una energía de E = 83,71 . La evolución de la entrada y de
las variables de estado en este caso es : www.FreeLibros.org
170
Entrada
6
4
2
- 2
- 4
0 . 5
CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
1 1 5 2
t
- 6 �--------------------�
E s tado
4
2
" " "
.....
,
,
,
,
,
,
,
t
Por último, si se elige como tiempo intermedio t2 = 0,58 , la entrada que se obtiene
es:
-73 , 1467 O ::; T < 0,5
5, 1 776 O . ::; T ::; 2
cuya energía es E = 5377,24. La evolución de la entrada y de las variables de estado
para este caso es :
www.FreeLibros.org
6'. 1 1 . EJERCICIOS PROPUESTOS
Entrada
- 2 0
- 4 0
- 6 0
E s t ado
3 0
2 0
1 0
,;
,;
,;
o 5
,;
,;
,;
/
.- .....
3. 1 1 . Ejercicios propuestos
171
1 1 . 5 2
t
..... ..... ..... .....
..... .....
2 t
1 . Determinar la controlabilidad del sistema de la figura tomando como entrada la
tensión U .
C=1
u
www.FreeLibros.org
172 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD
2. Determinar el mínimo número de fuentes variables de tensión que hay que conectar
a uno o varios de los puntos (a, b, c) para que las tensiones de los condensadores
pasen:
20K 1 0-6
a V' I
5K 4· 1 0-6
b V' I
2K 1 0-6
e V' I
a) De O a 10 V, 10 V, 15 V respectivamente en 10 ms.
b) De O a 10 V, 15 V, 15 V respectivamente en 5 ms.
3. En el sistema de la figura:
y(t)
www.FreeLibros.org
3.1 1 . EJERCICIOS PROPUESTOS 173
indicar, de entre las variables o pares de variables representadas entre paréntesis,
cuáles cumplen la afirmación de cada apartado.
a) Pueden ser por separado variables de estado
b) Pueden ser a la vez variables de estado el conjunto
(X2 , X3 , X5 , X6) .
e) Son controlables con la entrada u los pares de variables
( (Xl , X2 ) , (Xl , X3 ) , (Xl , X4 ) ) .
d) Son controlables con las entradas u y v los pares de variables
( (XI , X2 ) , (XI , X5 ) , (X2 , X5 ) ) .
www.FreeLibros.org
www.FreeLibros.org
4 O bserva b i l i d ad
4. 1 . Introducción
Como se estudió en el Capítulo 1, el modelo de estado refleja las relaciones entre los
tres actores que describen el comportamiento de un sistema: entrada, estado y salida.
En el Capítulo 3 se ha estudiado la forma en la que entrada repercute sobre la evolución
del estado, así como las posibilidades de obtener un determinado valor para éste en un
instante dado, mediante la elección adecuada de dicha entrada.
En el presente capítulo se estudia la forma en la que las variaciones en el valor del
estado se manifiestan sobre la salida, con lo que se cubre la segunda etapa de la interacción
descrita por el modelo de estado y se completa el análisis del comportamiento del sistema
completo.
Figura 4. 1 : Concepto de observabilidad.
La idea de observabilidad se relaciona con la posibilidad de conocer el valor del estado
de un sistema, a partir del conocimiento de la evolución de la entrada y de la salida que
genera. U na vez conocido el estado en un instante inicial, se puede determinar el estado
175
www.FreeLibros.org
176 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
en cualquier otro instante posterior utilizando la solución de la ecuación de estado.
La observabilidad se presenta conceptualmente como una idea complementaria a la
de controlabilidadj si la controlabilidad estudia la relación entrada-estado, ahora se va a
ver la relación estado-salida.
Primero, se verá en qué sistemas es posible conocer el estado y, en segundo lugar, qué
variables de estado se pueden conocer, en el caso de que no sea posible conocerlas todas.
Por último, se estudiará la selección de las salidas que contieneñ la máxima información
sobre el estado del sistema.
Ejemplo 4.1
Supóngase el sistema de la figura :
Si se tiene un sistema con una función de transferencia como la de la figura
se pueden elegi r como variab les de estado la sa l ida y su derivada , por lo que
se tendrán todos los estados conocidos a partir de la sa l ida y por tanto será
observable.
� .. -----a.
u(t) " X l
s + l ......
y(t)
.... s + 2 ...
Por el contrario, el sistema de esta figura no es observable , puesto que tiene
como variables de estado las sa l idas de los b loques. Si se i ntenta obtener su
función de transferencia será :
3 (1 1 ) _ 3 8 + 1 _ 3
s + 1
-
s + 2 - s + l s + 2
-
8 + 2
Este sistema , desde el punto de vista de su función de transferencia entrada
sa l ida , se comporta como un sistema de primer orden y, conociendo u(t) e y(t) ,
sólo se podrá detectar una variable de estado, l uego el sistema no es observable.
www.FreeLibros.org
4.2. DEFINICIONES
Como se ve, se impide la observabi l idad con una cancelación de un polo con un
cero.
177
Los conceptos de controlabilidad y observabilidad son claramente distintos y, sin
embargo como se verá en este capítulo, en lo que se refiere a cálculos son duales.
4 . 2 . Definiciones
Observabilidad:
Se dice que un punto Xo del espacio de estado es observable en [to , t¡ ] si, siendo
éste el estado inicial en el instante to, Xo = x(to ) , el conocimiento de la entrada
u(t) en el intervalo [to , t¡ J Y de la salida y(t) en el mismo intervalo permite
determinar que el estado inicial del sistema en el instante to es Xo .
La observabilidad para un punto y para cualquier instante se define:
Se dice que un punto del espacio de estado, Xo , es observable si, siendo éste
el estado inicial para un instante inicial to cualquiera, existe un intervalo de
tiempo finito [to , tI ] , tal que el conocimiento de la entrada u(t) en el intervalo
[to , tI ] Y de la salida y(t) en dicho intervalo permite determinar que el estado
inicial es Xo .
Las definiciones, similares a las dadas para controlabilidad, se asocian al concepto de
sistemas observables.
Observabilidad de un sistema:
Un sistema es observable en [to , t I ] cuando todos los puntos del espacio de
estado son observables en [to , t ¡ ] .
y de igual forma se define sistema observable como:
Un sistema es observable si todos los puntos del espacio de estado son observa
bles.
4.3 . Observabilidad en sistemas lineales
4. 3 . 1 . Planteamiento
El objetivo es determinar bajo qué condiciones se puede obtener el estado inicial
Xo = x(to ) , conociendo u(r) e y(r) con to < r ::; t. Si fuera conocido x(to) y u(r) , se
podría obtener x( t) con la expresión:
x(t) = cp(t , to )x(to) + lt cp(t, r)B(r)u(r)dr
to
(4. 1 ) www.FreeLibros.org
178 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
y teniendo en cuenta la ecuación de salida:
y(t) = C(t)X(t) + D(t)u(t)
y sustituyendo en esta ecuación la solución de la ecuación de estado:
y(t) = C(t)<P (t, tO )X(tO ) + t C(t)<P(t, r)B(r)u(r)dr + D(t)u(t) (4.2) ito
Agrupando los términos que dependen de la entrada y la salida, que se suponen
conocidas, se obtiene:
y(t) = y(t) - t C(t)<P(t, r)B(r)u(r)dr - D(t)u(t) = C(t)<P(t, to)x(to ) (4.3) ito
donde y(t) representa la componente de salida debida sólo a la existencia de condiciones
iniciales no nulas; es decir , la aportación a la salida dada por la evolución libre del sistema
o, lo que es lo mismo, la salida del sistema ante entrada nula.
De esta forma se observa que la posibilidad de conocer el estado a partir de la salida
y la entrada depende de C(t) y <P(t, to ) , que a su vez depende únicamente de A(t) .
En el caso particular de que la matriz C(t) sea cuadrada e invertible, se puede despejar
x(to ) de la ecuación anterior:
(4.4)
o lo que es lo mismo:
<P(t, to)x(to ) = x(t) = C-1y(t) (4.5)
Obsérvese que en este caso la salida representa un cambio de base de las variables
de estado mediante la matriz e y, por tanto, basta conocer la salida en un solo instante
para conocer el estado del sistema.
4.3.2. Teorema
En general es necesario conocer la evolución de la salida en un intervalo de tiempo
para poder calcular el estado del sistema. Este problema de la observabilidad se resuelve
mediante el siguiente teorema:
www.FreeLibros.org
4.3. OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES
Dado un sistema definido por las ecuaciones,:
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
y(t) = C(t)X(t) + D(t)u(t)
179
es observable en [to , td si y s610 si la matriz V(t¡ , to ) , conocida como gramiano
de observabilidad y definida como: \
(4.6)
es no singular.
La matriz V(t¡ , to) tiene una forma dual a la W(t¡ , to ) empleada para el estudio de
controlabilidad.
Demostración
• Condición suficienteSi V(t¡ , to ) no es singular, existe un algoritmo que nos permite despejar Xo de la
expresión:
(4.7)
y despejando:
(4.8)
Por lo tanto, se puede obtener el estado del sistema en función de la salida ante
entrada nula.
• Condición necesaria
El razonamiento es similar al realizado en la demostración del teorema dual de
controlabilidad. Si V es singular (det(V(t¡ , to ) ) = O) , existe algún valor propio
nulo, y se fuerza a que el estado inicial Xo coincida con su vector propio asociado,
que por otro lado debé ser distinto del vector nulo. Se cumplirá entonces que:
(4.9)
www.FreeLibros.org
180 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
sustituyendo V(t¡ , to ) por su valor:
Para que se cumpla esta expresión es necesario que e(T) = O, VT, por lo que:
C(t)�(t , to )xo = y(t) = O, Xo =/:. O
(4. 10)
(4. 1 1)
(4. 12)
La conclusión que se deduce es que, tanto para este estado Xo como para el estado
nulo, la salida ante entrada nula va a ser la misma, Y (T) = O, por lo que no va a
ser posible distinguirlos. Por lo tanto, el sistema no es observable. O
Ejemplo 4.2
Dado el sistema defin ido por el modelo de estado:
x = O -2 O x + -1 u
[ - 1 O O 1 [ 1 1
O O -3 1
y = [ l 2 3 ] x
determinar el estado in icia l desde el que comenzó a evolucionar en to = O,
sabiendo que la entrada esca lón un itario produce la sa l ida :
y (t) = _4e-3t + 3e-2t + 2e-t + 1
hasta el instante t = 2 .
En primer l ugar se calcula el gram ia no de observabi l idad , para verificar que
el sistema es efectivamente observable:
cuyo determ inante es: www.FreeLibros.org
4.3. OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES 181
det [V(t, O)] =
1 e- 12t 3e-lOt 2e-9t 21e-8t 6e-7t 6e-5t 21e-4t 2e-3t 3e-2t
1200 - 1200 +--¡()()-�+---so-�+�----so+�- 100
Se puede comprobar fáci lmente que e l determinante no se anu la sa lvo para t = O,
por lo que se puede afi rmar que el sistema es controlable para cua lqu ier va lor de
t fi na l del i nterva lo y, en concreto, para t = 2 .
Dada la observabi l idad del sistema , es posible ca lcular el estado in icia l desde
el que evoluciona , ap l icando la Ecuación 4.8 . Para el lo el paso previo es ca lcular
y(t) , ta l como se especifica en la Ecuación 4.3:
y(t) = y(t) - lt Cq,(t, r)B(r)u(r)dr = _3e-3t + 2e-2t + 3e-t
De hecho, como este resu ltado se ha de repetir sea cual sea la duración del
interva lo, puesto que el sistema es observable para todo va lor de t , se cumple
que:
Xo � V-1 (t, Q) l' .¡;T (7, Q)cT (7)y (7)d7 � [ J1 1
resu ltado que , como se puede observar, es i ndependiente del tiempo, como cabía
esperar .
4.3.3 . Determinación del estado inicial en sistemas observables
La importancia de la determinación del estado inicial a partir del que evoluciona
un determiado sistema, objeto de la definición de observabilidad, radica en que a partir
del conocimiento de dicho estado inicial es posible establecer cuál ha sido la evolución
posterior del vector de estado hasta llegar al conocimiento de cuál es su valor actual.
En la Ecuación 4.8 se describe la forma en la que se puede calcular el estado inicial
en un sistema observable conocido el valor del gramiano de observabilidad. Además, este
resultado, en principio, no se ve influido por el valor concreto del gramiano, por lo que
no cabría la discusión sobre la mejor o peor observabilidad de un sistema como sucedía
con la controlabilidad.
El estudio de la observabilidad podría entonces realizarse sin tener en cuenta el condi
cionamiento del gramiano correspondiente. Sin embargo, esta afirmación sólo es cierta
en caso de que se disponga de un conocimiento perfecto del modelo, sin errores en la
determinación de sus parámetros ni en la medida de la salida, situación posible en teoría
pero muy poco realista en la práctica, por lo que hay que contar con esta incertidumbre.
y es en presencia de estos errores en la medida cuando el condicionamiento del gramiano
toma importancia, pudiendo manifestarse entonces esta baja observabilidad en forma de
error al determinar el estado inicial como se pone de manifiesto en el Ejemplo 4.9 al final
www.FreeLibros.org
182 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
de este capítulo, error que, dependiendo del condicionamiento del problema, repercutirá
en mayor o menor medida a la hora de estimar el estado actual.
Para estudiar el condicionamiento del problema de observabilidad, hay que tener en
cuenta, como ocurría con el estudio de la controlabilidad, que el valor del gramiano no
es invariante ante transformación lineal. Si se considera una transformación del estado
mediante la matriz invertible T:
entonces:
x(t) = Tx(t)
A = T-1AT
C = CT
�(t, to) = T-1<I>(t , to )T
y el valor del gramiano de observabilidad queda modificado según:
(4. 13)
por lo que el valor del gramiano de observabilidad sólo da información efectiva respecto
a la dificultad de determinación del valor del estado inicial cuando existen errores en la
medida de los parámetros del modelo y de la salida y cuando se trabaja expresando el
sistema en una base con significado físico.
Como en el caso del gramiano de controlabilidad, entre los motivos por los que el
problema de observabilidad puede encontrarse mal condicionado se encuentran:
• Intervalos muy cortos de medida de entrada y salida tienden a dificultar la ob
servabilidad, como puede verse de forma inmediata de la disminución del valor del
gramiano.
• La presencia de dinámicas muy rápidas en el sistema también tiende a aumentar
la incertidumbre de la estimación del estado.
• No todos los estados iniciales son igualmente observables desde la salida, como ya
explicó también en el caso de la controlabilidad. Un indicador de estas diferencias la
da el número de condición de la matriz V(tl , to) , como se demuestra en la Sección
4.5 .
Ejemplo 4.3
Ana l izar la observab i l idad de l sistema defin ido por:
x(t) = [ �1 �2 ] x(t) + [ 1�O�3 ] u(t) www.FreeLibros.org
4.3. OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES
y(t) = [ 10-3 103 ] X(t)
Calculando el gram iano de observabi l idad y sus va lores singu lares para t = 1
se obtiene un número de condición de 1 ,041 1013 , lo que en principio ind ica
muy diferente observabi l idad según la d i rección dentro del espacio de estado.
Sin embargo, mediante cambio de escala en las variables de estado:
el problema se transforma en:
5é:(t) = [ �1
y(t) = [ 1
�2 ] x(t) + [ � ] u(t)
1 ] x(t)
Al repetir el m ismo cá lculo se obtiene un número de condición de 77,44, lo
que ind ica un mejor equ i l ibrio entre las d irecciones de observación del estado.
4.3 .4. Estados no-observables
183
El hecho de que exista un valor del estado inicial Xo =f. O, tal que:
y(t) = C(t)éP(to , t)xo = yo (t) = O, Vt > to (4. 14)
hace que el sistema no sea observable, como se demuestra fácilmente; si se tiene otro
estado inicial Xl , tal que:
y(t) = C(t)éP(to , t)Xl = Yl (t) =f. O (4. 15)
entonces, por linealidad, si el estado inicial es la suma de los dos anteriores:
y(t) = C(t)éP(to , t) (xo + x¡ ) = yo (t) + Yl (t) = Yl (t) (4. 16)
por lo que observando la salida del sistema no se puede determinar si el estado inicial es
Xl Ó Xo + Xl . Se concluye que desde la salida no se puede distinguir cuándo el sistema
evoluciona desde un punto como Xl , o desde la suma de éste con un punto como Xo .
Por tanto, si el sistema no es observable, existen dos clases de puntos:
• Puntos como Xo , que, ante entrada nula, generan salida idénticamente nula cuando
se toman como estado inicial, que se denominan no-observables .
• Puntos como X¡ , que, ante entrada nula, no dan la salida nula al ser tomados como
estado inicial, pero que no son observables, puesto que la misma salida se puede
haber generado por la superposición con un punto no-observable.
Según el razonamiento anterior, la existencia de puntos no-observables da lugar a que
ningún punto del espacio sea observable y, por tanto a que el sistema no sea observable.
www.FreeLibros.org
184 CAPÍTULO4. OBSERVABILIDAD
Ejemplo 4.4
Estudiar la observabi l idad del sistema defin ido por las matrices :
A �
[ � ! � l
C = [ O 1 2 ]
Como se ha visto en apartados anteriores , para estudiar la observabi l idad de
este sistema se recurre al gramiano de observabi l idad , que en este caso va le:
V(t, to ) = t <I>T (T, tO )CT (T)C(T)<I> (T, to )dT = ito
= - O - 1 + 4e6(t-to ) - 6é(t-to ) + 3e2(t-to ) 1 [ O O 6 O - 1 + 4e6(t-to ) _ 3é(t-to )
matriz cuyo rango es dos, i nferior a l máximo, por lo que no es i nvertible; se
concluye que el sistema no es observable.
Se comprueba a continuación el comportam iento de representantes de puntos
no-observables y de puntos que no son observables : 1 . Estado in icia l no-observable:
x,
�
[ � 1 '* y(t)
�
Cif>(t, t, )x,
�
O
2 . Estado in icia l fuera de l conjunto no-observable:
3. Superposición de ambos estados i n icia les:
Las sa l idas en los casos 2 y 3 son idénticas, por lo que resu lta imposible
disti ngu ir cuál es el estado in icia l a part i r del cual el sistema evoluciona . Por
www.FreeLibros.org
4.4. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES 185
4 . 4 .
tanto , los estados in icia les d e l a forma Xl son no-observables, m ientras que los
puntos con la forma de Xa (caso que incluye a X2) no pueden ser observados.
Sistemas lineales invariantes
Dado un sistema de dimensi6n n definido por las ecuaciones:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
es observable si y s610 si la matriz de observabilidad P definida por:
p
=
[ �:, 1
(4. 17)
CAn-l
es de rango máximo, es decir, n .
Demostración
• Condición necesaria
A partir de la expresión de la salida del sistema ante entrada nula evolucionan
do desde un estado inicial genérico, Xo , y por aplicación del método de Cayley
Hamilton:
y(t) CeA(t-to )xo = C [1 + A(t - to ) + �; (t - tO )2 + . . . ] Xo =
[ao (t)C + al (t)CA + . . . + an_l (t)CA n-l ] Xo (4.18)
Si en la matriz P no existen n filas que son linealmente independientes, sino que
sólo hay r p < n, esto significa que dentro del espacio de dimensión n existe algún
vector que es ortogonal a todas las filas de la matriz P. Si a este vector se le llama
Xo , se verificará que:
(4.19)
es decir, que el sistema evoluciona con salida nula a partir del estado Xo.
• Condición suficiente
Se supone que existe un vector Xo que, considerado como estado inicial, es tal que www.FreeLibros.org
186 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
la salida del sistema ante entrada nula es cero:
y(t) = CeA(t-to )XO = O, 'it
Derivando sucesivas veces respecto al tiempo se obtiene:
CeA(t-to)Xo = O )
CAeA(t-to )XO = O
CA 2eA(t-to )xo � .� =? PeA(t-to )xo = O
CA n-l eA(t-to )xo = O
(4.20)
(4.21)
Esto significa que eA (t-to )xo es ortogonal a todas las filas de la matriz P, lo que
significa que no cubre todo el espacio, por lo que el rango de la matriz P será menor
� � O
Si la matriz C es de dimensión p x n y la matriz A es de dimensión n x n, la matriz
P será de dimensión pn x n, teniendo pues pn filas. Es posible agrupar las filas según
provengan de cada una de las p salidas o de sus posibles conjuntos, analizando la obser
vabilidad debida a esas salidas.
Ejemplo 4.5
Estudiar la estabi l idad del sistema cuyas matrices A y C son las siguientes :
Se obtiene l a matriz de observabil idad P, cuya expresión es:
2 O O
O 1 2
P = 6 O 4 O 5 6
18 8 24
O 17 18
El rango de P es tres , por l o que e l sistema es observable uti l izando las dos
sa l idas disponib les. Podría comprobarse también si lo es uti lizando una ún ica
www.FreeLibros.org
4.4. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES
1 1
4.4. 1 .
sa l ida ., Sé empieza .probando con l á primera :'
el = [ 2 o O ] :::} �l = [ � � , ¡ � ] ,
; , 18 . ' 8 ; 24
El rango es tres , por lo que uti l izando la p,rimera sa l idfl.�1 sistema también es
observable. Se comprueba ahora si también es observable , uti l izando la segunda
sa l ida [ O 1 2 ]
e2 = [ O 1 2 ] :::} P2 = O 5 6
O 17 18
El rango de la matriz P2 es menor que tres (dos) , por lo que el sistema no
es observable uti l izando la segunda sa l ida .
Invarianza de la observabilidad ante cambio de base
187
Es importante destacar que la propiedad de observabilidad de un sistema (A, B,
e, D) es independiente de la representación del estado, por lo que, si se realiza un cambio
x = Tx, el rango de la nueva matriz P es idéntico al de la matriz P. Para demostrarlo
se parte de la representación del estado realizando el cambio de base:
x = Ax(t) + Bu(t)
y = ex(t) + Du(t)
x(t) = Tx(t)
con lo que después del cambio de base se tiene:
x(t) = T-l ATx(t) + T-1Bu(t)
y(t) = eTx(t) + Du(t)
Por lo que la matriz de observabilidad en la nueva base es:
(4.22)
y puesto que la matriz T no es singular, el rango de P coincide con el de P, por lo que,
si el sistema resulta observable con P, también lo hará con P. www.FreeLibros.org
188 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
4 . 5 . 6. Interpretación geométrica d e la observabilidad
Como ya se ha referido en este capítulo, el número de condición de la matriz que
define el gramiano de observabilidad es un indicador de la anisotropía del espacio de
estado, en cuanto a la dificultad de observar un determinado valor inicial dependiendo
de la posición en la que se encuentre. Al igual que sucedía con el estudio geométrico de
la controlabilidad, este hecho se puede explicar haciendo uso de la respuesta del sistema
ante un determinado conjunto de señales.
Sea el sistema lineal e invariane representado en la Figura 4.2, en el que a la estructura
usual se ha añadido un vector de entradas adicionales, d(t) , por lo que el modelo del
sistema toma la forma:
x(t) = Ax(t) + Bu(t) + d(t)
y = Cx(t)
(4.23)
(4.24)
Este vector d(t) se añade para el estudio de observabilidad y no está relacionado con la
posible realidad física del sistema.
y(t)
Figura 4.2: Sistema lineal con el conjunto de entradas de test
Supuesto el estado inicial nulo, anulando la entrada del sistema, y manteniendo el
vector d(t) como entradaal sistema, se tiene que la salida del sistema es:
y(t) = (
t
CiP(t, T)d(T)dT ita
(4.25)
con lo que se puede definir FT (t - T) = CiP(t - T) como una aplicación FT : IR ---+ IRP x n .
Esta aplicación representa la aplicación de un conjunto de n variables de estado que
influyen en p salidas, representando cada columna el efecto de una variable de estado
sobre el conjunto de las salidas.
A partir de esta definición, se sigue una demostración similar a la que aparece en la
Sección 3.51 , para llegar a la conclusión de que el gramiano de observabilidad describe la
1 En este caso se demuestra que, para generar una salida con energía unitaria, se realiza una aportación
desde las variables de estado que describe un elipsoide en el espacio de estado.
www.FreeLibros.org
4.6. SUBESPACIO NO-OBSERVABLE 189
forma en la que se transmite energía desde el estado hacia la salida. Dicha transmisión se
realizaría una vez más según un patrón elipsoidal, en el que .la longitud de cada semieje
indica la proporción del acoplamiento estado-salida en esa dirección. Así, un semieje de
longitud cero (valor propio nulo en el gramiano de observabilidad) indicaría la presencia
de una dirección dentro del espacio de estado desde la que nó se transmite energía a la
salida.
4 . 6 . Subespacio no-observable
Dado un sistema lineal invariante definido por las ecuaciones:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
el conjunto de puntos del espacio de estado tales que tomados como estado inicial
ante entrada nula, la salida del sistema es permanentemente nula y denominados
no-observables, forman un subespacio vectorial que se denomina subespacio no
observable.
Estos puntos forman un espacio vectorial puesto que, ante entrada nula:
• si se toma el origen como estado inicial, la salida generada es idénticamente nula .
• si se encuentran dos puntos Xl y X2 , tales que tomados como estado inicialambos
generen salida idénticamente nula, entonces, por linealidad, si se toma como estado
inicial cualquier combinación lineal de la forma:
genera igualmente una salida idénticamente nula.
Al igual que al abordar el estudio del subespacio controlable, se puede analizar el
subespacio no-observable, Xo , mediante el conjunto de señales de test representado en la
Figura 4.2 . www.FreeLibros.org
190 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
El subespacio no-observable, Xó, es el subespacio de mayor dimensión que está
contenido dentro del núcleo de la transformación definida por Yt (t) , para todo t E [to , tI ] , siendo:
Yt (t) = [ yl (t) y� (t) . . . yf (t) ] (4.26)
donde yH t) representa la evolución de la salida ante la entrada de test di , defini
da como: o
i = 1 , . . . , n (4.27)
o
La demostración es igual a la que se incluye en la Sección 3.6 al enunciar la definición
de subespacio controlable.
4.6. 1 . Base del sub espacio no-observable
Para determinar la base del subespacio no-observable se va a partir de la Ecuación
4.21 :
o = PeA(t-to)xo , Vt
Particularizando esta ecuación para t = to , que resulta O = PXo , ecuación más sencilla.
Esta ecuación establece una aplicación entre el espacio de estado y el espacio de salida,
y el sub espacio no-observable constituye el núcleo de dicha aplicación.
Si rango(P) = r p y la dimensión del espacio de estado es n, la dimensión del núcleo de
esta aplicación es n-rp. Para determinar una base de ese sub espacio no-observable lo que
se debe determinar son n - r p vectores linealmente independientes que sean ortogonales
a las filas de la matriz P. La base se construye encontrando n - r p vectores que verifiquen
esta ecuación y que sean linealmente independientes.
Para obtener estos vectores, se puede utilizar un método semejante al estudiado en
controlabilidad. Basta observar que si en la matriz P la fila cjAi es linealmente de
pendiente de sus anteriores filas, entonces cjAi+k , con k > O, también será linealmente
dependiente de sus anteriores filas. El método consiste entonces en ir seleccionando filas
de arriba abajo y, cuando cjAi sea linealmente dependiente de las anteriores , entonces
se descartan ésta y todas las cjAi+k posteriores.
Este proceso termina cuando todas las columnas de un grupo CA i sean linealmente
dependientes ya que a partir de entonces los restantes grupos CA i+k también lo serán.
Una vez obtenida esta matriz Pr , se pueden obtener los n-rp vectores de la base mediante
la resolución directa de:
Prx = O (4.28) www.FreeLibros.org
4.7. SEPARACIÓN DEL SUBSISTEMA NO-OBSERVABLE
Ejemplo 4.6
4.7 .
Ca lcular u n a base del subespacio no-observable para e l sistema determi nado
por las siguientes matrices:
h U ! � l
C = [ O 1 2 ]
Se comienza por ca lcu lar la matriz de observabi l idad del sistema : [ O 1 2 ]
P = O 5 6
O 17 18 rango(P) = 2 < 3 =} No es observable
Para el cá lculo de la base del subespacio no-observable se sabe que su d i
mensión es 3 - 2 = 1 . Se necesita u n vector que verifique que P rXO = O para
conocer la base. En primer l ugar se el igen dos fi las l i nea lmente independ ientes.
por ejemplo las dos primeras:
[ 00 ] = [ 00 1 2 ] [ VI 1 V2 = V3 = O 5 6 �: VI cua lquier va lor
Así que el vector será :
base del subespacio no-observable.
Separación del subsistema no-observable
Dado el sistema lineal invariante definido por las ecuaciones:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
191
con un sub espacio no-observable de dimensión n - rp , siendo rango(P) = rp < n, existe
una matriz de cambio de base T no singular con la que se puede hacer la transformación
www.FreeLibros.org
192 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
del vector de estado según la ecuación:
x(t) = Tx(t)
de modo que el modelo de estado en el nuevo sistema de referencia es :
[ �: ] = [ 1:: lb ] [ �: ] + [ :: ] u(t) (4.29)
y(t) = [ Ca O J [ �: ] (4.30)
verificándose que:
• El subsistema formado por las variables Xa , caracterizado por las matrices (Aaa , Ca) ,
es observable y de dimensión rp .
• Adicionalmente el subsistema formado por las variables Xb , caracterizado por las
matrices (Abb , O) , presenta una evolución del estado desacoplado de la salida del
sistema, según se puede deducir de la Ecuación 4.30.
El modelo de estado que describe el comportamiento de los estados observables:
5ca = Aaaxa + Bau(t)
y(t) = CaXa
(4.31)
(4.32)
describe el comportamiento del subsistema observable y genera la misma función de trans
ferencia que la ecuación de estado en su forma original y la expresada en las Ecuaciones
4.29 y 4.30; en otras palabras, las Ecuaciones 4.31 y 4.32 representan otra realización del
mismo sistema, es decir, que ante la misma entrada ambos generan la misma salida.
La matriz de cambio de base que consigue esta separación en los subsistemas men
cionados se construye como:
(4.33)
donde Tb está formada por una base del sub espacio no-observable y T a está formada
por r p vectores cualesquiera que sean linealmente independientes entre sí y con los de la
matriz Tb . Igualmente se puede construir otra matriz T a partir de:
(4.34)
estando Va formado por r p filas linealmente independientes de P y Vb por n - r p filas
linealmente independientes entre sí y con las de Vb .
Gráficamente el sistema original se descompone en dos subsistemas según la Figura
4.3. Lo que se consigue es desconectar la salida y(t) de las variables de estado contenidas
en Xb . www.FreeLibros.org
4.7. SEPARACIÓN DEL SUBSISTEMA NO-OBSERVABLE 193
Figura 4.3: Separación de la parte no-observable.
Se han separado, dentro de la imposibilidad de observar el estado del sistema, las
variables de estado en dos grupos,. unas observables y otras que no lo son. La dimensión
de 82 es n - Tp Y la de 81 es Tp .
Con este cambio de base lo que se consigue es cambiar el sistema de referencia con
respecto al cual se definen los vectores, desplazándolo para que tantos de ellos como sea
necesario coincidan con la base del subespacio no-observable.
Ejemplo 4.7
Dado un sistema defin ido por las siguientes matrices :
A = [ � o O 1 1 O
-3 5 www.FreeLibros.org
194 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
C = [ 4 -2 2 ]
separar el sistema en la parte observable y no-observable.
Para comenzar se construye la matriz P:
P = [ 1� =� 120 ] rango(P) = 2 40 -38 50
Dado que e l sistema no es observable, como demuestra el hecho de que e l
rango de la matriz P sea menor que tres, se puede proceder a la separación
del sistema en sus partes observable y no-observable. Para e l lo se construye la
matriz de cambio el igiendo fi las l i nea lmente i ndependientes de la matriz P:
=} T-1 = 10 -8 10 =} T = [ 4 -2 2 ] O O 1
Con lo que las matrices transformadas resu ltan :
Á = T-1 AT = [ -�
-0,5
e = CT = [ 1 O O ]
[ 1 =t n
! �1 ] 0,5
4 . 8 . Separación d e los subsistemas controlable y obser
vable
El objetivo de este apartado es .separar simultáneamente la parte observable de la
no-observable y la parte controlable de la no controlable de un sistema lineal invariante.
Dada la expresión del sistema:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
existe una matriz T no singular con la que se puede hacer un cambio de base x(t) = Tx(t) ,
de modo que el sistema referido a las nuevas variables de estado x queda definido por las
www.FreeLibros.org
4.8. SEPARACIÓN DE LOS SUBSISTEMAS CONTROLABLE y OBSERVABLE
matrices:
[ Ha ']
B � T- 1B � � • .
o
Á:lib
' . 0
O
C = CT = [ ea o Ce o ]
y además se verifica que:
Áae
Ábe
Áee
Áde
1 . El subsistema formado por las '\'ariábles xa y caracterizado por las matrices:
es un subsistema controlable y observable.
195
(4.35)
(4.36)
(4.37)
2 . El subsistema formado por las variables (xa , Xb) y caracterizado por las matrices:
[ [ 1:: lbb ] , [ :: ] , [ Ca o ] ]
es un subsistema controlable, formando el resto de las variables (xc , Xd) un subsis
tema con comportamiento desacoplado de lasentradas.
3. El subsistema formado por las variables (xa , xc) y caracterizado por las matrices:
es un subsistema observable, formando el resto de las variables (Xb , Xd) un subsis
tema con comportamiento desacoplado de las salidas.
Los tres subsistemas descritos en la anterior enumeración tienen la particularidad de
generar la misma función de transferencia, lo que significa que los tres son realizaciones
diferentes de un mismo sistema en términos de entrada-salida. En concreto, el segundo ya
se ha estudiado como subsistema controlable, y el tercero como subsistema observable. En
cuanto al primero, presenta alguna particularidad que se pasa a comentar: este subsistema
es el de mínima dimensión que puede modelar la relación entre la entrada y la salida del
sistema, por lo que se le conoce como realización mínima del sistema. Al orden de dicha
realización mínima se le conoce también como grado de McMillan de dicho sistema.
Existe un teorema, debido a Kalman, que caracteriza la realización mínima de un
sistema en términos de controlabmdad y observabilidad:
www.FreeLibros.org
196 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
Una realización dada por (A, B, e, D) es mínima si y sólo si es controlable y
observable.
En general, y como ya se ha comentado en otras ocasiones, un sistema lineal e in
variante no posee una única realización en el espacio de estado. Sin embargo, las repre
sentaciones mínimas son únicas salvo por un cambio de base; en otras palabras, cualquier
par de realizaciones mínimas están relacionadas por una transformación lineal.
u(t) y(t)
Observable
Figura 4.4: Separación simultánea de los subsistemas controlable y observable.
Gráficamente la separación en subsistemas se puede representar de la forma mostrada
en detalle en la Figura 4.5 y de forma reducida en la Figura 4.4, donde cada subsistema
se compone de un grupo de variables de estado. Analizándolos se tiene que:
• Existe un subsistema que es controlable y observable (subíndice a) , que describe la
realización mínima del sistema.
• Existe un subsistema que junto con el anterior forma un subsistema controlable,
pero separado del anterior porque éste es no-observable. Esto no supone que este
subsistema sea controlable aisladamente (subíndice b) .
• Existe un subsistema que, junto al primero, es observable, está desconectado de
la entrada y, en consecuencia, no es controlable. Esto no quiere decir que este
subsistema sea observable aisladamente (subíndice c) .
• Finalmente, existe un subsistema que no pertenece a la parte observable y tam
poco a la parte controlable, así que no es ninguna de las dos cosas, ya que está
desconectado de la entrada y de la salida (subíndice d) . www.FreeLibros.org
4.8. SEPARACIÓN DE LOS SUBSISTEMAS CONTROLABLE y OBSERVABLE 197
Figura 4.5 : Separación detallada de los subsistemas controlable y observable.
Con esta transformación se consigue algo parecido a lo que se hacía al realizar las
separaciones entre controlable y no controlable, y entre observable y no-observable, unos
cambios de ejes para que coincidan con la base del sub espacio controlable y observable.
4.8. 1 . Cálculo de la matriz de cambio de base
Se trata de obtener la matriz de cambio de base que realiza la separación en subsis
temas descrita en la sección anterior. Dicha matriz de cambio dé base está formada por
cuatro submatrices:
T = [ Ta Tb Te T4 ]
Llamando Be a la base del subespacio controlable y Bó a la base del subespacio
no-observable, se determina que las cajas que componen la matriz de transformación
cumplen que:
• Ta , Tb separan el subespacio controlable, así que en conjunto los vectores columna
de Ta y de Tb serán una base del subespacio controlable, según la Sección 3.5 .
Ta U Tb == Be (4.38) www.FreeLibros.org
198 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
• Ta , Te separan el subsistema observable, así que, según la Sección 4.5, los vectores
columna de Tb, T d deben ser base del subespacio no-observable.
(4.39)
• Por tanto, según las Ecuaciones 4.38 y 4.39, Tb es una base de la intersección del
subespacio controlable y del subespacio no-observable.
(4.40)
Desde el punto de vista práctico, las distintas submatrices que componen la matriz
T se calculan en el siguiente orden:
• Tb : base del subespacio de intersección entre el subsistema no-observable y el sub-
sistema controlable.
'
• Ta : conjunto de vectores columna tales que conjuntamente con Tb forman una base
del subespacio controlable.
• Td : conjunto de vectores columna tales que conjuntamente con Tb forman una base
del subespacio no-observable.
• Te : conjunto de vectores columna tales que conjuntamente con Ta , Tb y Td forman
una base del espacio de estado.
Por lo que resulta evidente que la dimensión del subsistema controlable y observable coin
cide con el número de vectores columna de Ta , la dimensión del subsistema controlable,
rQ , coincide con el número de vectores columna de Ta junto con Tb , y la dimensión del
subsistema observable, rp , coincide con el núm�ro de vectores columna de Ta junto con
Te.
En el Ejemplo 4.10 de este capítulo se puede ver .un caso de separación de un modelo
de estado en sus distintos subsistemas.
4 . 9 . !::::. Reducción del modelo
En la sección anteriori se ha introducido el concepto de realización mínima de un de
terminado sistema, como el modelo de estado con menor número de variables que explica
la relación entre la entrada y la salida del mismo. Sin embargo, existe la posibilidad de
que exista un modelo de un orden inferior al grado de McMillan que genere, aproxi
madamente, la misma respuesta impulsional que dicha realización mínima; al problema
de encontrar dicho modelo de orden inferior se le conoce como problema de la reducción
del modelo.
www.FreeLibros.org
4.9. � REDUCCIÓN DEL MODELO 199
4.9. 1 . Valores singulares de Hankel y realizaciones equilibradas
Como ya se ha mencionado en este texto, tanto el gramiano de controlabilidad como
el de observabilidad no presentan invarianza ant� cambios de base, por lo que es nece
sario relativizar la información que nos ofrecen al sistema de referencia en el que viene
expresado el modelo.
Sin embargo, los autovalores del producto entre ambos gramianos sí son invariantes
ante transformación, como puede comprob�e fácilmente. Dado un sistema estable, se
plantea el valor de este producto cuando se considera tl = 00:
W(oo, to )V(oo, to) = T-lW(oo, tO )T-TTTV(OO, to )T = T-1W(00, to )V(oo, to )T
(4.41 )
Se llaman modos de segundo orden del sistema o valores singulares de Hankel
a la raíz cuadrada positiva de los valores propios del producto de los gramianos
de controlabilidad y observabilidad.
Dada una realización mínima de un sistema (A, B, e, D) con grado de McMillan n,
los valores singulares de Hankel del sistema son:
i = 1 , . . . , n (4.42)
Estos valores reflejan las propiedades de entrada-salida del sistema y juegan un pa
pel central en la reducción de modelos. Son de especial interés ciertas transformaciones
lineales que ponen este hecho de manifiesto, las llamadas transformaciones contragre
dientes :
Una transformación T que produce que W(oo, to) y V(oo, to ) sean ambas di
agonales se conoce como transformación contragrediente.
Son particularmente interesantes tres transformaciones contrag¡;edientes. Asumiendo
que se parte de la realización mínima del sistema, por lo tanto controlable y observ
able, se tiene que ambos gramianos, de controlabilidad y de observabilidad, son matrices
definidas positivas y simétricas; entonces existe una matriz ortogonal Va (compuesta
por los vectores propios ortonormales) , tal que:
V�W(oo, to)Va = Ea (4.43)
donde Ea es diagonal y positiva. Además, existe una matriz ortogonal U y otra diagonal
y positiva E, tal que:
(4.44)
Si ahora se considera la familia de transformaciones:
(4.45)
www.FreeLibros.org
200 CAPíTULO 4 . OBSERVABILIDAD
se comprueba que dichas transformaciones son contragredientes,siendo:
T;lW(OO, to)T;T = E2k
T[V(oo, tO )Tk = E2-2k
(4.46)
(4.47)
De todos los posibles valores de k, tres son de particular interés, k = O, k = 1/2 Y
k = 1 , que se corresponden respectivamente con:
k = o: Una realización se llama equilibrada a la entrada o normalizada a la
entrada si W(oo, to ) = 1 y V(oo, to ) = E2
k = 1/2: Una realización se llama internamente equilibrada si W(oo, to ) =
V(oo, to ) = E
k = 1 : Una realización se llama equilibrada a la salida o normalizada a la salida
si W(oo, to) = E2 Y V(oo, to ) = 1
con E = diagGi , Gk+l ::; Gk , para k > 1 , siendo Gi , i = 1 , . . . , n los valores
singulares de Hankel.
La propiedad más importante de las realizaciones equilibradas a la entrada y a la
salida es que los elipsoides asociados a controlabilidad y observabilidad, descritos en las
Secciones 3.5 y 4.5 respectivamente, se convierten en esferas, indicando:
• En el caso de la realización equilibrada a la entrada, que el sistema de representación
elegido es tal que la entrada reparte su energía a partes iguales entre todas las
variables de estado del modelo.
• En el caso de la realización equilibrada a la salida, que todas las variables de estado
aportan energía a la salida en igual cuantía.
Una propiedad interesante de la realización internamente equilibrada es que ambos
elipsoides de controlabilidad y observabilidad del sistema coinciden y se encuentran alin
eados con los ejes de coordenadas en el espacio de estado. Sus semiejes son iguales a
las raíces cuadradas de los valores singulares de Hankel . Por tanto, valores pequeños en
un modo de segundo orden se corresponden a estados que son débilmente controlables y
débilmente observables. Estos estados contribuyen muy débilmente al acoplamiento entre
la entrada y la salida del sistema, propiedad de la que se hace uso a la hora de establecer
la reducción del modelo. Es por tanto esta realización en la que se centra el estudio que
sigue a continuación.
www.FreeLibros.org
4.9. l::. REDUCCIÓN DEL MODELO 201
4.9.2 . Transformación a la realización internamente equilibrada
El algoritmo comienza por calcular la descomposición de Cholesky (véase t en esta
sección) de los gramianos de controlabilidad y observabilidad:
W(oo, to) = LeL&
V(oo, to ) = LoLb
(4.48)
(4.49)
donde Le y Lo representan los factores triangulares inferiores de Cholesky de los gra
mianos de controlabilidad y observabilidad, respectivamente. A continuación, se calcula
la descomposición en valores singulares (véase :1: en esta sección) del producto de los
factores de Cholesky:
(4.50)
y a partir de ella se construye la transformación a la realización internamente equilibrada:
(4.51 )
Nótese que:
(4.52)
Nótese también que en el paso descrito en la Ecuación 4.50 se podría haber realizado
la descomposición de L&Lo = VEUT , lo que simplemente hubiera intercambiado los
papeles de U y V.
Un ejemplo de cálculo de una transformación contragrediente se puede ver en el
Ejemplo 4.8.
t Descomposición de Cholesky
Sea M una matriz de elementos reales, simétrica y definida positiva; entonces
dicha matriz se puede descomponer como:
(4.53)
siendo L una matriz triangular inferior, con los elementos en la diagonal posi
tivos.
Existen varios métodos para el cálculo de la factorización de Cholesky, siendo los
más conocidos:
Método de Cholesky
Se trata de un algoritmo recursivo que comienza con i = 1 y:
(4.54)
www.FreeLibros.org
202 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
En el paso i-ésimo, la matriz Mi tiene la forma: . [ Ii- l
m' = O
O
donde li-l denota la matriz identidad de dimensión i - 1 .
S i ahora s e define la matriz Li como:
entonces se puede escribir:
donde:
O y'mii
_1_b · .¡m:¡; 'l
(4.55)
(4.56)
(4.57)
(4.58)
Repitiendo esta operación para i = 1 , . . . , n, tras n pasos, se obtiene Mn+ l = l.
Entonces la matriz triangular inferior L que se está buscando se calcula como:
Métodos de Cholesky-Banachiewicz y de Cholesky-Crout
Escribiendo la ecuación completa de la descomposición M = LLT : [ mn m12 . . .
m21 m22 . . .
mnl mn2
m," ] [ In
m2n l21
· .
· .
· .
mnn lnl
O � ] [ Ig
h2
ln2 lnn O
se obtiene la expresión general para los elementos de L:
i-l lii = mii - L l�k
k=1
para i > j
l21
l22
O
(4.59)
In' 1
ln2
lnn
(4.60)
(4.61)
(4.62)
siendo la raíz cuadrada de la Ecuación 4.62 siempre positiva si M es real y
definida positiva.
www.FreeLibros.org
4.9. /:::,. REDUCCIÓN DEL MODELO 203
De esta forma se puede calcular el elemento lij conocidos los elementos a
su izquierda y arriba. El cálculo se ordena entonces en cualquiera de las dos
formas siguientes:
. .
• El algoritmo de Cholesky-Banachiewiez comienza por la esquina superior
izquierda de la matriz L y �rosigue .fila por fila.
• El algoritmo de Cholesky-Grout comienza ·por el 'elemento de la esquina
superior izquierda y prosigUe columna por columna.
:j: Descomposición en valores singulares (SVD)
Cualquier matriz real M de dimensiones m x n puede ser descompuesta como:
M = USVT (4.63)
donde U es una matriz ortogonal de dimensiones m x m , V es una matriz
ortogonal de dimensiones n x n y S es una matriz diagonal única de dimensiones
m x n con elementos reales y no negativos en orden descendente:
CTl � CT2 � • • • � CTmín(m,n) � O (4.64)
Los CTi son los valores singulares de M, las columnas de U se definen como los
vectores singulares por la izquierda de M, las columnas de V se definen como los
vectores singulares por la derecha de M. La matriz S tiene la forma:
[ � ] si m � n, y [ E O ] si m < n
donde E representa una matriz diagonal con los elementos CT i ordenados como ya
se refiere en la Ecuación 4.64.
Si se supone que m � n y rango(M) = r < n, entonces:
(4.65)
y además S se convierte en una matriz de dimensiones r x r, disminuyendo su
dimensión en consecuencia las matrices U y V.
Calcular la descomposición en valores singulares consiste en calcular los valores
y vectores propios de MMT y de MTM. Los autovectores de MMT constituyen
las columnas de V, mientras que los de M™ son las columnas de la matriz U.
Los valores singulares de S son las raíces cuadradas de los autovalores de MMT o
MTM.
www.FreeLibros.org
204 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
4.9.3. Reducción del modelo
En la determinación de un modelo reducido equivalente, como en cualquier algoritmo
de aproximación, se debe siempre alcanzar un compromiso entre simplicidad y precisión.
El grado de simplificación del modelo no se puede precisar a priori, sino que vendrá
fijado por las necesidades de exactitud con la que se deba reflejar el comportamiento real
del sistema. Por lo tanto, no se puede especificar un criterio general de reducción, sino
enunciar las guías para proceder con esta simplificación.
La idea básica en la que se basa la reducción del modelo es la siguiente: supóngase
un sistema exprsesado en su realización internamente equilibrada. En el caso en que los
valores singulares de Hankel del dicho sistema sean tales que (T� :» (T�+l ' entonces el
subespacio:
Xl = 1m [ � ] (4.66)
donde Ik es la matriz identidad de dimensión k, se comportaría aproximadamente como
Xc y X3 a la vez, dada la realización que se está manejando. Si el teorema de realización
mínima de Kalman, enunciado en la Sección 4.8, se aplica al modelo internamente equili
brado para el que Xl se toma como una buena aproximación a XCQ , el modelo resultante
de orden reducido se comportaría aproximadamente igual al original, conservando las
propiedades de estabilidad y equilibrio interno. El motivo que justifica esta aproximación
es que los modos de segundo orden despreciados se asocian a variables de estado que en
la realización internamente equilibrada poseen una controlabilidad y una observabilidad
significativamente bajas. Esto tiene dos consecuencias claras:
• En primer lugar, son variables difíciles de controlar y de observar, lo que significa,
respectivamente,que las entradas repercuten débilmente en su valor y que sus
variaciones no afectan significativamente a la salida.
• En segundo lugar, y dada la característica anterior, son variables que contribuyen
muy débilmente al acoplamiento entrada-salida del sistema, por lo que si se tratara
de un modelo de caja negra, podrían ser despreciadas.
Por lo tanto, el procedimiento de reducción es el siguiente. Dado un sistema definido
por las matrices (A, B, e, D) :
1 . Se transforma a su realización internamente equilibrada (A, B, e, D) .
2. Se toman los valores singulares de Hankel y se descartan los que sean significativa
mente inferiores a los demás.
3. Se eliminan las variables de estado asociadas a los modos de segundo orden descar
tados
4. Si se han eliminado n - k variables, se reducen las matrices del sistema de la
siguiente forma:
www.FreeLibros.org
4.9. /::, REDUCCIÓN DEL MODELO 205
• Se eliminan las n - k últimas filas y n - k últimas columnas de la matriz A.
• Se eliminan las n - k últimas filas de la matriz B.
• Se eliminan las n - k últimas columnas de la matriz C.
El modelo resultante de la aplicación de estos cuatro pasos es un modelo de orden
reducido del mismo sistema que posee aproximadamente la misma relación entrada-salida
que el sistema original.
Ejemplo 4.8
Dado el sistema descrito por la rea l ización mín ima :
x(t) = [ � � �
-�84 -�OO -�40
y(t) = [ 3 1 O O ] x(t)
� 1 x(t) + [ � 1 u (t)
-20 1
plantear los posibles modelos de orden reducido.
En primer l ugar se ca lculan los gram ianos de controlabi l idad y observabi l idad : [ �5t O 1 O 1 - 80640 1 0 - 4132 W(oo, O) = 80640 O 1 O 80640 4032 O 1 O 151 - 4032 5040
[ =, 2693 1697 3 1 560 1344 6720 256 2693 1 1543 305 673 V(oo, O) = ���i 1 1520 2304 107520 305 37 61 6720 2304 1920 64512 3 673 61 61 256 107520 64512 1290240
A parti r de los va lores de los gramianos se plantea la descomposición de ambos
en los factores de Cholesky: [ 19iV7
Le = _ _ 1 _ 60V7
O
O 1 48V35
O
_ Y1 12
O
O 1 40\1'3
O ,t I
w w w . F r e e L i b r o s . o r g
206 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
Lo =
y' 229 1
35 4
293�
48
1697
48"'80185
o
2231 20360928014
64009
o O
O O
..n!N!i O 6348 1 1 48
2209 1 3y'2��1 64 32"'305413920210 24"'14919962933 32"'23503
Dados los factores de Cholesky de los gramianos de controlab i l idad y de obser
vab i l idad , se procede a la descomposición en va lores singulares del producto:
resultando:
LbLc = UEVT [ -0,997
U = -0,073 0,001
0 ,0005 [ -0,646
V = -0,632 -0,380
-0,195 [ 0,00488
E = O °
O
0,0724
-0,992
-0,099
-0,014
0,561
-0,018
-0,680
-0,471
O
0 ,00109
O
O
-0,008
0,0986
-0,946
-0,308
-0,397
0 ,533
0 , 163
-0,729
O
O
0,0001
O
-0,001 ]
0,018
-0,308
0,951
-0,332 ]
0,562
-0,604
0,456
6,JIO-' ]
y a partir de estos va lores se genera la matriz de transformación a la rea l ización
i nternamente equ i l i brada del s istema : [ -0,018 0,033
-0,032 -0,002
-0,020 -0,404
0 , 195 -2 ,214
-0,776 -o,248 ]
0, 186 0,751
0,483 -2 ,516
- 15 , 198 12 ,307
Apl icando esta transformación , las matrices del sistema resu ltan : [ -0,763
- _ -2 ,238 A
- -0,803
0 , 134
2 ,238
-4,434
-4,612
0 ,690
-0,803
4,612
- 10,647
3 ,264
0 ,134 ]
-0,690
3 ,264
-4 , 156 www.FreeLibros.org
4.9. b. REDUCCIÓN DEL MODELO
- = -0,098
[ -0,086 ]
B -0,046 C = [ -0,086 0 ,098 -0,046 0 ,008 ]
0 ,008
siendo los gramianos matrices diagona les con los va lores singulares de Hankel
del sistema ordenados de forma descendente: [ 0,00488 O O O ]
- - O 0,00109 O O W(oo, O) = V(oo, O) = E = O O 0,0001 O
O O O 6 ,954 10-6
A la vista de la matriz E es fáci l darse cuenta de que el tercer va lor singular
de Hankel es del orden de d iez veces menor que su predecesor, por lo que se
puede plantear un modelo reducido de orden dos. Se plantean dos alternativas,
el modelo de orden tres, el im inando la cuarta variable de estado de la rea l ización
i nternamente equ i l i brada , y el de orden dos, e l im inando la tercera y la cuarta .
• El iminando la cuarta variable de estado se obtiene el modelo de orden tres : [ -0,763 2 ,238 -0,803 ]
Al = -2,238 -4,434 4,612
-0,803 -4,612 - 10 ,647 [ -0,086 ]
Ih = -0,098
-0,046
Cl = [ -0,086 0 ,098 -0,046 ]
cuya respuesta impu lsiona l es la que se representa en la sigu iente figura :
Yl ( t )
:,"\ ..
0 . 0 0 8 ! \
! \ ¡ \
0 . 0 0 6 ¡ \
0 . 0 0 4
: \ ¡ \
:! \. , , ¡ \.
0 . 00 2 ! \"
! \\ ....... ¡
.................... .............. _- - -- - ..
207
www.FreeLibros.org
208 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
• El iminando la tercera y cuarta variables de estado se el modelo:
Á2 = [
-0,763 2 ,238
] -2,238 -4,434
132 = [
-0,086
] -0,098
C2 = -0,086 0,098 ]
cuya respuesta impu lsiona l es la que se muestra en la siguiente figura :
y, ( t )
0 . 0 0 8
o 0 0 6
0 . 004
l'
I \
I \
I \
I \
I \
I \
I \
I \
I \
I \
I \ 0 . 002 I '
I "
- o 0 0 2
I ' , _
Para poder eva l uar la ca l idad de ambas aproximaciones, a continuación se
muestra la comparación entre la sa l ida del sistema origina l (trazo conti nuo) , el
de orden tres ( l ínea d iscontinua corta) y el de orden dos ( l ínea discontinua larga) .
y ( t )
o 002
-o 002 www.FreeLibros.org
4.10. EJEMPLOS ADICIONALES
pudiendo conc lu i rse que ambas aproximaciones son suficientemente buenas (de
hecho la respuesta del sistema origina l y la del sistema de tercer orden práctica
mente coinciden) .
4. 1 0 . Ejemplos adicionales
Determinación del estado inicial en presencia de ruido a la salida
Ejemplo 4.9
Se va a suponer que se desea determinar el estado i n icia l a parti r del que
evoluciona un sistema determi nado por las matrices: [ -1
A = � o O 1 -2 O ,
O -3
C = [ l 2 3 ]
cuando la sa l ida ante esca lón medida es la sa l ida rea l corrompida con un ruido.
Para simp l ificar , se supondrá que el ruido es una senoide, con lo que d icha sa l ida
medida es :
Ymedida (t) = 1 - 4e-3t + 3e-2t + 2e-t + 0,01 sin( lOOt)
Para ca lcular el estado i n icia l , se descuenta de la sa l ida medida la parte corres
pondiente a la excitación producida por la entrada , para dejar únicamente la
porción debida a la evolución l i bre desde el estado in icia l :
A continuación , y para poder determi nar el estado i n icia l , se ha de ca lcu lar
el gramiano de observab i l idad del sistema (ya ca lcu lado en el Ejemplo 4.2) :
y, a part ir del conocimiento del gramiano de observabi l idad , se puede despejar
la est imación del estado i n icia l . En este caso se hace s in especificar el tiempo de
observación de la sal ida , por lo que el estado i n icia l depende de t , en el sentido
de que se obtendrá un va lor distinto al cambiar el periodo sobre el que se rea l iza
la eva luación . Esta dependencia sólo ocurre en el caso de que haya errores en
209
www.FreeLibros.org
210 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
el modelo o en la medición . En caso de que las med idas sean perfectas , no se
produce, como se vio en un ejemplo anterior. Particularizando la Ecuación 4.8 :
En las siguientes gráficas se representa la evolución de l va lor de la esti
mación , a med ida que se aumenta el i nterva lo de la sa l ida uti l izado para su
cómputo (co lumna de la izquierda) y el error cometido respecto al va lor i n icia l
rea l (col umna de la derecha) para cada variable de estado:
XOl e
- 5
1 0
- 1 5
X02 e
2 0
1 5
1 0
5
X03 e
- 2
- 4
- 6
- 8
0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 t
0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 t
XOl e -XOI
2 0
1 5
1 0
5
- 5
- 1 0
- 1 5
- 2 0
X03 e -X03
6
4
2
O .
0 . 2
0 . 3 0 . 4 0 . 5 t
0 . 3 0 . 4 0 . 5
. 3 0 . 4 0 . 5 t
Como se puede apreciar en las figu ras , los errores en la medida de la sa l ida ,
modelados en este caso como una senoide de a lta frecuencia superpuesta sobrela sa l ida rea l , provocan un error en la estimación del estado in icia l , tanto mayor
cuanto menor es el i nterva lo uti l izado, lo que matemáticamente se refleja en
va lores pequeños para el determinante del gram iano de observab i l idad . A medida
que el i nterva lo se amplía , los errores tienden asintótica mente a desaparecer. www.FreeLibros.org
4.10. EJEMPLOS ADICIONALES
Separación en subsistemas
Ejemplo 4.10
Separar en sus partes controlable y -observable el sistema dado por las ma
trices:
[ 2 3
-3 -2
A = -3 O
-3 -3
3 3
B �
UJ
-4
4
2
4
-4
O
T I
O
O
- 1
O -2
e = [ -3 3 2 O 5 ]
En primer l ugar es necesario conocer las d imensiones de los subespacios
controlable y observable del sistema , para lo que se uti liza' tel estudió mediante
las matrices de controlabi l idad y observabi l idad :
-
O
3 -4 6 - 10 18
3 -3
9 - 15 1 2 -2 2 -2 2 2' '-5 5 - 1 1 17 -2 5 -5 1 1 -17
El rango de la matriz Q es 3 , por lo que ésa es la d imensión de l subespacio
controlab lé ' del SIstema . PaFa obtener su basE!, se extraen tres vectores col umna
l i nea lmente i ndepend ientes de dicha matriz, en este caso los tres primeros:
211
www.FreeLibros.org
212 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
En cuanto a l estudio de controlabi l idad:
[ e 1 [
-
3 3
CA -6 o
P = CA2 = -12 6
CA3 -24 -6
CA4 -48 18
2 o
1
�
4
1
8 o
8 o
32 o 26
32 o 50
siendo el rango de la matriz P también 3, por lo que la d imensión del subespacio
no-observable es 2. Para ca lcular la base de dicho subespacio se recu rre a obtener
el n úc leo de la transformación l i nea l defin ida por la matriz de observabi l idad:
[
Vl l Vl2
O 3 -3 9
-
15 V2l V22 [ 3 -4 6 - 10 18 ] V3l V32 2 -2 2 -2 2 V4l V42
V5l V52
� [ H ]
y despejando se obtiene que la base del subespacio no-observable es:
Para ca lcular la matriz de separación de parte observable y controlable
es necesario ca lcular la intersección entre los subespacios controlable y no
observable, por lo que primero se ca lcula la d imensión de dicha intersección :
y, sabiendo que la d imensión de la intersección es 1 , se plantea la ecuación :
www.FreeLibros.org
4.10. EJEMPLOS ADICIONALES
que despejando resu lta a = � . {J = -� . 'Y = - � y /1 = - l . por lo que la base
del espacio i ntersección entre la parte controlable y la parte no-observable es:
Con toda esta i nformación ya se pueden identificar las d isti ntas submatrices
que componen la matriz de transformación que rea l iza la ' separación :
• I nte<SeCdón del ,ube,pocio contmlable y no-ob .. "'able, T, � [ 1 1
• Junto a Tb . base del subespacio controlable : T a = [ � ;�
1
2 -5
-2 5
O
- 1
• Junto a Tb. base del subespacio no-observable : Td = -1
O
1
• Resto de la ba .. del e'pado de e""do' T e �
[
� 1
Lo que da como resu ltado la matriz de transformación :
O 3 O 1 O
1 [ �
1 1
T � [ � -4 1 O - 1 O -13 -2 1 O - 1 =} T- 1 = -2 � 3 -5 1 O O O - 1
- 2 5 - 1 O 1 O O
O �
1
1
O
1
O
1
213
www.FreeLibros.org
214 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
Con esta matriz se rea l iza la separación en los d istintos subsistemas. quedando:
[ � 2 O O O - 1 O O O A =T-1 AT = -4 -1 -3 O O O 2 O O O O -1
B =T- 1 B = � 1
e =CT = [ 3 O o -3 O ]
A la vista de este resu ltado es posible comprobar también cómo la rea l ización
mínima del sistema y la rea l ización origina l ( i ncluyendo las partes no controlable
y no-observab le) generan la m isma función de transferencia . Tomando:
-1 3(s + 1 ) Ceo (s) = Ca (sI - Aaa ) Ba = ( ) ( ) s + 2 s - 1
mientras que si se toma la rea l ización completa origina l :
3 ( 8 + 1 ) C(s) = C (sI _ A) - 1 B = 3(s + 1 ) (s - 2) (s + 1 )
2
(s + 2 ) (s - 1 ) (s + 1 )2 (s - 2) (8 + 2) (8 - 1 )
4. 1 1 . Ejercicios resueltos
1 . Para el sistema siguiente:
Determinar:
[ !: J [ -� -! j ] [ :: J + [ � ] "
y � [ 1 1 O J [ :: 1
a) La observabilidad del sistema.
www.FreeLibros.org
4. 1 1 . EJERCICIOS RESUELTOS
b) La base del subespacio no-observable, si existe.
c) Determinar si son observables los siguientes puntos:
215
d) Obtener la salida del sistema ante entrada nula, cuando se parte en el in
stante to = O de cada uno de los estados iniCiales 'dei apartado anterior. ¿ Qué
conclusiones se pueden obtener analizando las respectivas salidas ?
e) Obtener la salida del sistema ante entrada esca16n unitario, cuando se parte
en el instante to = O de cada uno de los estados iniciales del apartado e) .
¿ Qué conclusiones se pueden obtener analizando las respectivas salidas ?
a) La observabilidad del sistema se estudia a través de la matriz P:
P = [ C� 1 = [ -; -� � 1 rango(P) = 2
CA2 4 1 O
Luego el sistema no es observable.
b) Dado que el sistema no es observable existe un sub espacio no-observable cuya
dimensión es 3 - 2 = 1 . Una base de este subespacio se puede hallar tomando
las filas linealmente independientes de la matriz P (en este caso 2) y hallando
los vectores fila ortogonales a todas ellas:
[
_
;
_ � � ] [ �� 1 = [ � ] ::::} { VI + V2 = O
V3 -2VI - V2 = O
por lo que cualquier vector que cumpla con la condición de ortogonalidad es
de la forma:
y, por lo tanto, una posible base del subespacio no-observable es :
e) Al no ser observable el sistema, no existe ningún punto que sea observable.
Además, los puntos propuestos son tales que:
x. � [ � 1 E BN-O => Luego es no-obs ... vable. www.FreeLibros.org
216 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
Xb __ [ 1� ] i BN-O => Luego no es observable.
xC --
[
3
1
1 ] i BN-o => Luego no es observable.
d) La evolución de la salida es:
y(t) = Cx(t) = C«p(t, to )x(to ) + C ¡
t
«p(t, r)Bu (r)dr ito
Para calcular la evolución de la salida es necesario obtener previamente la
matriz de transición. Como A es invariante y diagonal, la expresión de la
matriz de transición es fácil de calcular:
«p(t, to ) = eA(t-to } =
e O e-t O [ -2t O O ] O O e-t
Al ser la entrada nula, la salida se obtiene como:
y(t) = C«p(t - to )x(to ) =
[ 1 1 O ] [ e�2t e� t � ] x(to ) = O O e-t
= [ e-2t e-t O ] x(to )
Sustituyendo en esta expresión x(to ) por los estados iniciales propuestos:
x(to ) = Xa = [ � 1 => Ya (t) = O
x(to ) = Xb = U ] => Yb (t) = e-2t + e-t
x(to ) = Xc = [ i ] => Yc (t) = e-2t + e-t
El análisis de las salidas confirma lo expresado en el tercer apartado. El punto
Xa es no-observable, pues produce salida nula cuando se toma como estado
inicial y cuando la entrada es asimismo nula. Dada la existencia de un subespa
cio no-observable, se comprueba que no es posible distinguir el estado inicial
observando las salidas Yb (t) e Yc (t) . www.FreeLibros.org
4 . 1 1 . EJERCICIOS RESUELTOS 217
e) Si la entrada es un escalón, habrá que sumarle a la salida el término debido a
la evolución forzada, que es independiente del estado inicial:
jj(t) = c l
t
�(t , T)BU(T)dT =
to
= e l
t [ e�2t e�t � 1 [ � 1 dT = to o o e-t o
=
[ 1 1 o
1 f.: [ e�" 1 dr �
[ 1 1
[ 1-2f2< ] 1 _ 2e-2t o ] o = ---
o 2
Por lo que la salida para cada uno de los estados iniciales propuestos es:
1 - 2e-2t
=> Ya (t) = 2
( ) -2t -t 1 - 2e
-2t 1 + 2e-2t -t => Yb t = e + e + 2 = 2 + e
1 - 2e-2t 1 + 2e-2t
=> yc (t) = e-2t + e-t + = + e-t 2 2
Analizando las salidas se ve que no es posible distinguir cuál es el estado
inicial observando Yb (t) e, Yc(t) , lo que confirma que, cuando el sistema no
es observable, no existe ningún punto observable, independientemente de la
entrada que actúe.
www.FreeLibros.org
218 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
2. Dado el sistema de la figura:
Ul (t) , Xl
�--__ s + a ..... s + b "-.IIIA-"
a) Calcular para a = 1 , b = 2 , e = 3 la evolución temporal de las salidas Yl e Y2 ,
a partir de condiciones iniciales Xl = X2 = X3 = 1 Y ambas entradas nulas.
b) ¿ Qué condiciones deben cumplir los parámetros a, b, e para que cualquier es
tado del sistema pueda ser observado:
1) leyendo sólo la salida Yl ?
2) leyendo ambassalidas ?
c) ¿ Qué condiciones deben cumplir los parámetros a, b, c para que el estado Xl = 1,
X2 = 2, X3 = 1 pueda ser observado leyendo sólo la salida Yl ?
d) Utilizando las entradas Ul Y U2 , ¿ qué condiciones deben cumplir los paráme
tros a, b, c para que pueda alcanzarse el estado Xl = 1 , X2 = 1 , X3 = 2, a partir
de condiciones iniciales nulas ?
e) Utilizando como única entrada Ul , ¿ qué condiciones deben cumplir los pará
metros a, b, c para ' que puedan alzanzarse los siguientes estados a partir de
condiciones iniciales nulas ?
1) Xl = 1 , X2 = 2, X3 = 1
2) Xl = 1 , X2 = 1 , X3 = 2
En primer lugar se plantean las ecuaciones del sistema:
Xl = aXl + Ul + U2
X2 = bX2 + Xl
X3 = CX3 + Ul
Yl = X2
Y2 = X2 + X3 www.FreeLibros.org
4 . 1 1 . EJERCICIOS RESUELTOS 219
que, expresadas en forma matricial, quedan:
[ YI ] = [ O 1 O ] Y2 O 1 1
Una vez que se dispone del modelo del sistema, se puede abordar la resolución de
las distintas cuestiones que plantea el ejercicio.
a) Dados los valores de las constantes (a, b, e) , hallar la evolución temporal del
sistema implica el cálculo de la matriz de transición. Para ello se seguirá el
procedimiento habitual de hallar la transformación de diagonalización para
resolver en el sistema diagonalizado: [ Xl 1 [ -1 O O 1 [ Xl 1 [ 1 1 1 [ ] �2 1 -2 O X2 + O O �� X3 O O -3 X3 1 O
Dado este sistema, donde ya se han sustituido los valores de las constantes, se
calculan los valores propios de la matriz A: [ >' + 1 O O 1
det (>'I - A) = -1 >. + 2 O = (>' + 1 ) (>' + 2 ) (>' + 3) O O >. + 3
Conocidos los valores propios, se calculan sus vectores propios asociados:
[ -� O >' = -1 => 1 O Vu = Vl2 Vl3 = O
[ -1 O >. = -2 => -1 O O O V21 = O V23 = O
0 ] [ Vn 1 O Vl2 2 Vl3 VI = [ i ] O ] [ �' 1 O V22 1 V23
VF [ ! l
=
[ n
[ � 1
www.FreeLibros.org
220 CAPÍTULO 4 . OBSERVABILIDAD
A �
-3
=>
[ =� -! � ] [ ::: l [ n V31 = O V3 = [ �1 ] V32 = O
con lo que la matriz de cambio de base queda: o O ]
1 O O 1
Así, la matriz Á que define el comportamiento del sistema en la nueva base
es:
Á = T-1AT = [ -01 _02 00 ] O 0 -3
La matriz de transición correspondiente es : [ e-t O '¡'(t) = eÁt = O e-2t O O
El estado inicial expresado en la nueva base es:
),, ]
Por lo que la evolución libre del sistema en la nueva base es: [ e-t O O ] [ 1 ] [ e-t ] x(t) = '¡'(t)x(O) = O e-2t O O O O O e-3t 1 e-3t
Evolución que expresada en la base inicial del sistema sería: [ 1 O O ] x(t) = Tx(t) = 1 1 O O O 1 [ :�:, ] [ :�;, ]
Luego el vector de salida del sistema es:
www.FreeLibros.org
4 . 1 1 . EJERCICIOS RESUELTOS 221
b) 1 ) La nueva matriz de salida C 1 es :
Cl = [ O 1 O ]
Por lo que la matriz Pl de observabilidad es:
Pl = [ � -� � 1 -a - b b2 O
con rango(Pl ) = 2 < 3, luego el sistema no será nunca observable uti
lizando sólo esta salida, independientemente de los valores de (a, b, e) .
2) La matriz P de observabilidad es:
O
O
P = 1 1
-a - b
-a - b
1 O
1 1
-b O
-b -e
b2 O
b2 c2
con rango(P) = 3, por lo que el sistema es observable para cualquier
combinación de valores de (a, b, e) .
e) Como se indica en el apartado b, l . , el sistema no es observable para ninguna
combinación de valores de (a , b, e) , luego ningún estado del sistema puede ser
observado.
d) La matriz Q de controlabilidad es:
Q � [ � 1 -a -a a2 a' 1 O 1 1 -a - b -ao- b O -e O c2
con rango(Q) = 3, luego el sistema es controlable y, por tanto, cualquier
estado del sistema puede ser alcanzado desde condiciones iniciales nulas.
e) 1 ) La matriz de controlabilidad Ql correspondiente a la entrada Ul es:
Para que un estado del sistema pueda ser alcanzado a partir de condiciones
iniciales nulas, ha de poder expresarse como combinación lineal de los
vectores de la base del sub espacio controlable (que podría ser todo el
espacio) y, por tanto, como combinación lineal de los vectores columna de
Ql .
Las distintas posibilidades que existen son:
www.FreeLibros.org
222 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
• Sistema controlable: [ 1 -a det (Q¡ ) = det O 1 -a - b = c2 + ab - ac - bc = (a - c) (b - c) a2 1
1 - e c2
Si a =1- e y b =1- e, el sistema es controlable; por lo tanto puede alcan
zarse el estado propuesto.
• Si a = e:
Q¡ = [ � -� -:� b 1 1 -a a2
por lo que la base del subespacio controlable es:
y como:
det [ � -� � 1 = O 1 -a 1
el punto [1 2 IV pertenece al subespacio controlable y es alcanzable.
• Si b = e:
Q¡ = [ � �a _:� b 1 1 -b b2
por lo que la base del subespacio controlable es :
y como: [ 1 -a 1 1 det O 1 2 = 1 - 2a - 1 + 2b = 2(b - a)
1 -b 1
el punto [1 2 IV pertenece al subespacio controlable y es alcanzable.
Si a = b = e, puede alcanzarse el estado propuesto; en caso contrario
no será posible.
2) Aplicando los mismos razonamientos que en en el apartado anterior:
• Si a =1- b y b =1- e, [1 1 2V es alcanzable. www.FreeLibros.org
4 . 1 1 . EJERCICIOS RESUELTOS
• Si a = c
1 -a 1
O 1 1 :f 0
1 -a 2
luego no es alcanzable .
• Si b = c
1 -a 1
O 1 1 = 2 - a - 1 - b = 1 - a - b
1 -b 2
luego, si a + b = 1 , es alcanzable, y no lo es en caso contrario.
3. Dado el sistema de la figura:
X3 Yl (t)
223
a) Elegir un conjunto de variables de estado que contengan el máximo número
posible de entre las salidas de cada bloque y expresar, en esa base del espacio
de estado las, ecuaciones de estado que definen el comportamiento del sistema.
b) ¿Se pueden llevar simultáneamente los valores de las salidas YI e Y2 a cualquier
par de valores prefijados, desde condiciones iniciales nulas de las variables de
estado, en la base elegida en el apartado anterior y mediante una entrada
adecuada ? Razonar si existe otra base del espacio de estado que cambiase
dicho resultado.
c) Indicar si es posible la construcción de un observador de todas las variables
de estado del sistema. Si fuera posible, indicar el mínimo número de salidas
necesarias para construirlo.
d) Indicar si existe alguna representación del estado del sistema, tal que sus va
riables sean controlables y/o observables.
a) En primer lugar hay que elegir las variables de estado con las que construir el
modelo. En el primer bloque hacen falta dos variables de estado:
S (SXI + x¡ ) = -Xl + U
donde definiendo:
X5 = SXI + Xl
www.FreeLibros.org
224
se tiene que:
CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
Xl = -X l + X5
X5 = - Xl + U
Por otra parte, la X2 del enunciado no puede ser variable de estado junto con
la Xl . Del tercer bloque se tiene:
y finalmente del último bloque:
Con lo que el modelo en forma matricial queda:
. - 1 x =
2
1 O O
[ - 1
1 - 1
y _ [ O O 1
- 1 O O
b) La matriz de controlabilidad es: [ 0 1
Q = 1 O O O O - 1
O O
- 1 O
O X5 + 1 u
0 ] [ X' ] [ O ]
-� �: �
n [ �1 J
-1
- 1
2
2
-! ] -2 rango(Q) = 3
por lo que el estado no es controlable. De otra parte, la matriz de controlabil
idad de la salida es:
CQ = [ O O 2 -4 ] O O 1 -2
donde rango(CQ) = 1 ; por lo tanto la salida no es controlable, por lo que no
será posible llevarla a cualquier par de valores arbitrarios desde condiciones
iniciales nulas como propone el enunciado.
Un cambio de base no afectaría para nada a este resultado, puesto que no
repercute en modo alguno sobre la controlabilidad del sistema.
www.FreeLibros.org
4 . 1 1 . EJERCICIOS RESUELTOS
c) La matriz de observabilidad del sistema con las dos salidas es:
o O 1 O
1 O O 1
2 O - 1 O
P = O O O - 1 -4 2 1 O
- 1 1 O 1
4 -4 - 1 O
1 -2 O - 1
225
donde rango(P) = 4, por lo que el sistema es observable y sí se podría construir
el observador.
Utilizando sólo la salida Yl , la matriz de observabilidad reducida sería: [ O O 1 0 ]
2 O - 1 O Pl = -4 2 1 O
4 -4 - 1 O
donde rango(P ¡ ) = 3, por lo que no sería posible construir el observador.
Utilizando sólo la salida Y2 : [ 1 O O 1 ]
O O O - 1 P2 = - 1 1 O 1
1 -2 O - 1
con rango(P2 ) = 3, por lo que usando la segunda salida tampoco sería posibleconstruir el observador; hacen falta las dos salidas para poder hacerlo.
d) Como el sistema es observable, serán observables cualesquiera variables de
estado en las que se exprese. Del mismo modo, y dado que el sistema no es
controlable, no lo será cualesquiera que sean las variables de estado elegidas
para su representación.
4. El sistema de la figura representa la función de transferencia de un motor, donde
u es la tensión en bornes de entrada, X2 es la velocidad angular y Xl es el ángulo
girado.
www.FreeLibros.org
226 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
a) Calcular la matriz de transición eP, de controlabilidad Q y de observabilidad
P, en la base formada por las variables de estado Xl y X2 . Calcular igualmente
una matriz de cambio de base Tk , que separe al sistema en sus distintos sub
sistemas.
b) Si se conocen dos entradas Ul (t) Y U2 (t) , que llevan respectivamente al sistema
desde condiciones iniciales nulas a los estados [ 1 oV y [O IV en dos segundos,
¿, qué entrada conseguirá que, partiendo del estado inicial [ 1 1 V, el sistema esté
en ese mismo estado al cabo de 2 segundos ?
Como siempre, el paso previo es el cálculo del modelo de estado que represente al
sistema. En este caso dicho modelo es :
Xl = X2
. 1 K X2 = --X2 + -T T
modelo que, expresado en forma matricial, queda:
. [ O x = O
y = [ 1
a) • Matriz de transición
_1� ] x + [ ¡ ] u
O ] x
Se calcula primero el polinomio característico para hallar los polos del
sistema:
I
>. -1
I
1 det (>'I - A) = O >. + � = >'(>' + f)
Para los valores propios hallados se calculan los vectores propios, que cons
tituyen, por columnas, la matriz de transformación a la forma diagonal
de la matriz A:
>' = 0 => [ O -;.1 ] [ Vu ] = [ O ] O T Vl2 O
Vl2 = O, v} = [ � ]
[ -i � 1 ] [ �:� ] = [ � ]
V2l = -TV22 , V2 = [ !'1 ]
De esta forma, la matriz de transformación queda:
T-l = [ 1 T ] O -1 www.FreeLibros.org
4. 1 1 . EJERCICIOS RESUELTOS 227
Con lo que en el sistema diagonalizado la matriz de transición es:
- [ 1 O ]
<I>(t) = . O e- .f,
y en el sistema original:
• Matriz de controlabilidad
Q = [ B AB J = [ 2
T
• Matriz de observabilidad
• Matriz de transformación
Como se puede comprobar por la definición de las matrices Q y P, el
rango de ambas es máximo, por lo que la matriz de separación de los
distintos subsistemas se reduce a la matriz identidad.
b) Del enunciado se comprueba que cualquier estado puede ser alcanzado al cabo
de dos segundos, con la conveniente combinación lineal de las dos entradas
propuestas. Por lo tanto, se podrá alcanzar el estado propuesto contrarrestan
do la evolución libre del sistema con la entrada adecuada. Se comienza, por
consiguiente, calculando cuál es esta evolución libre:
por lo que, para alcanzar el estado inicial de [1 IV, la entrada que habrá que
aplicar será:
[ � ] = [ l + T��¡ e- t ) ] + x(2)
donde x(2) representa la componente de la evolución del estado debida a la
acción de la entrada. Dicha acción, según queda reflejado en la ecuación, debe
ser tal que contrarreste el efecto de la evolución libre del sistema, devolviendo
el estado a su valor inicial. De esta forma: www.FreeLibros.org
228 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD
Aplicando linealidad sobre las dos entradas que propone el enunciado, es posi
ble conseguir dicho efecto mediante la combinación lineal de UI Y U2 :
u = -T ( I - e- -f. )uI + ( 1 - e- -f. )u2
5. Dado el sistema definido por las siguientes ecuaciones de estado:
a) Descomponerlo en sus distintos subsistemas.
b) Partiendo de condiciones iniciales nulas:
1) ¿Existe alguna entrada que consiga que Xl = 1 a los 5 s ?
2) ¿Existe alguna entrada que consiga que X2 = 2 a los 5 s ?
3) ¿Existe alguna entrada que consiga que Xl = 1 Y X2 = 2 a los 5 s ?
c) ¿Puede ser observado el estado del sistema Xl = 1 , X2 = 2, X3 = 1 ? Si la
salida del sistema es nula, ¿ qué conclusiones se pueden sacar sobre los valores
de Xl , X2 Y X3 ?
a) Se trata de realizar la descomposición en los distintos subsistemas. Para ello
se comienza por ver la controlabilidad:
[ 1 1 1 1 Q = [ B AB A 2B ] = 1 1 1 O O O
matriz que cumple rango(Q)
controlable es:
1 , de manera que la base del sub espacio
A continuación se hace el estudio de observabilidad:
P = [ c� 1 = [ � -� ¿ 1 CA2 1 - 1 1
matriz que tiene rango(P) = 2 , con lo que la base del subespacio no-observable
es el núcleo de la aplicación definida por la matriz P:
U l w w w . F r e e L i b r o s . o r g
4 . 1 1 . EJERCICIOS RESUELTOS 229
Con esta información ya se puede calcular la matriz de cambio T:
donde:
• Tb es la intersección del subespacio controlable con el no-observable.
• Ta forma junto con Tb la base del subespacio controlable.
• T d forma junto con Tb la base del subespacio no-observable.
• Te completa la base del espacio de estado.
Por lo que en este caso:
Ta y Td no existen. De esta forma, la matriz de transformación es :
Aplicando esta transformación, las matrices del sistema quedan como:
A = T-1AT =
[ -�1 - 1� -011 1
�
�
T-1B � [ � 1
e = CT = [ o o 1 ]
Con lo que los distintos subsistemas quedan definidos como:
• Controlable y observable: no existe.
• Controlable:
[- 1] [1] [O]
• No controlable:
[ � � ] [ � ] [ O 1 ]
• No-observable:
[- 1] [1 ] [O] www.FreeLibros.org
230 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD
• Observable:
[ � � ] [ � ] [ O 1 ]
b) 1 ) Sí, pues
pertenece al subespacio controlable.
2) Sí, pues
pertenece al subespacio controlable.
3) No, pues
no pertenece al subespacio controlable.
e) Al existir un subsistema no-observable dentro del dado, no existe ningún punto
del mismo que pueda ser observado y, por tanto, tampoco lo es en el estado
[1 2 1] .
Si la salida del sistema es nula, el punto [Xl X2 X3V debe pertenecer al subes
pacio no observable; por lo que se verifica Xl = X2 .
www.FreeLibros.org
5
5 . 1 .
Contro l por
rea l i mentac ión de l estado
Introducción
En este capítulo se va a estudiar el control de un sistema mediante la realimentación de
sus variables de estado, poniendo de manifiesto la potencia de esta estructura de control
para fijar las características del comportamiento dinámico de un sistema. Primeramente
se realiza un análisis de la dinámica del sistema cuando se efectúa la realimentación de
sus variables de estado, mediante una matriz constante, para actuar sobre las variables
de entrada del sistema según el esquema de la Figura 5. 1 . A. continuación, se aborda el
diseño de la matriz de realimentación del estado con objeto de fijar el comportamiento
dinámico del sistema, justificándose la asignación directa de todos los polos de la parte
controlable del sistema, tanto en el caso de sistemas monovariables como multivariables.
Para proceder a la aplicación de un control por realimentación del estado, se parte
en este capítulo del conocimiento de las variables de estado del sistema, que se suponen
directamente medibles . En el capítulo siguiente se aborda el hecho de que las varia
bles de estado no sean directamente medibles, en cuyo caso se 4iseñan unas estructuras
denominadas observadores , que permiten. estimar el verdadero 'valor de las variables de
estado de la parte observable, a partir del conocimiento de la evolución de las variables
de entrada y de salida del sistema, que constituyen la información accesible de éste.
Como se vio en el capítulo anterior, un sistema puede descomponerse en varios subsis
temas atendiendo a sus características de cóntrolabilidad y observabilidad, existiendo un
subsistema que es a la vez controlable y observable, conocido como realización mínima del
sistema . La parte no controlable del sistema total tiene un comportamiento independi
ente de las entradas y, por tanto, no puede modificarse mediante ninguna realimentación
231
www.FreeLibros.org
232 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
del estado que actúe sobre ellas. Por otro lado, el valor de las variables queconstituyen
la parte no-observable del sistema total no pueden conocerse mediante la observación de
la entrada y la salida, y por tanto no pueden utilizarse para su realimentación. Conse
cuentemente, sólo la realización mínima de un sistema puede utilizarse en una estructura
de realimentación del estado, por lo que en todo este capítulo se supone que se está tra
bajando con esta parte del sistema total. Se debe tener en cuenta que las variables que
forman la parte controlable y observable quedan fijadas en la fase de diseño del sistema,
en la que se determinan las variables que son entradas y salidas del sistema.
El Ejemplo 5. 1 da una idea de la potencia del control de un sistema cuando se conoce
el comportamiento de sus variables internas, comparándolo con el control del mismo
sistema cuando se realimenta sólo la salida de éste.
Ejemplo 5.1
Se desea controlar la posición angular de l motor representado en la figu ra .
En esta figura se representa una estructura clásica de control con un regulador
proporciona l , con el que consigue un compromiso entre el error en velocidad y
la d inámica del sistema .
k
J-_II KR ...... Ts + 1 .... ... _ ..
Con objeto de mejorar dicho contro l , se puede med i r adiciona lmente la derivada
del ángulo que se desea controlar, que representa la tendencia de su evolución
tempora l , y uti l izar d icha i nformación adicional sobre la d inámica del sistema en
la estructu ra de rea l imentación , según se ind ica en la siguiente figura .
k 1
Ts + 1 s
www.FreeLibros.org
5.2. REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
Este esquema de control es equiva lente al representado en la siguiente figura ,
mediante unas pocas operaciones del diagrama de bloques. Se observa que este
esquema representa una estructura clásica de control con un regulador de tipo
PO, pero en la que se ha suprim ido el cero de cadena abierta i ntroducido por el
m ismo.
La ventaja del control por rea l imentación de las variables de estado del sis
tema respecto a l sistema de control equivalente que se obtiene usando la teoría
clásica reside en que el primero uti l iza , de forma natura l , la evolución de las
variables del sistema , m ientras que en la estructura clásica es necesaria la con
strucción de derivadores puros de difíc i l rea l ización física . Esta idea será gener
a l izada para sistemas más complejos en los que la rea l imentación del estado del
sistema puede rea l izar un control más potente que el que rea l iza un regulador
P IO , actuando solamente sobre la seña l de error de la sa l ida .
"
5 . 2 . Realimentación del estado
233
Dada la realización mínima de un sistema, representada en la Figura 5 . 1 : se cumple:
Figura 5 . 1 : Sistema con realimentación de estado.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
(5 . 1 )
(5 .2)
www.FreeLibros.org
234 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
ecuaciones ya conocidas para un sistema lineal invariante. Sin embargo, la inclusión del
lazo de realimentación, a través de la matriz constante K, hace que se cumplan también
las relaciones:
u(t) = v(t) + Kx(t) (5.3)
x(t) = Ax(t) + Bv(t) + BKx(t) = [A + BK] x(t) + Bv(t) (5.4)
Con lo que la dinámica del sistema viene ahora expresada por la matriz:
Ar = A + BK (5.5) 1
Se puede cambiar la matriz Ar que representa la dinámica del sistema realimentado
mediante la libre elección de la matriz K, por lo tanto se pueden cambiar las propiedades
del sistema, en particular sus polos, eligiendo adecuadamente Ar y despejando K de la
Ecuación 5.5.
A raíz de la afirmación anterior, surge la pregunta de si se puede elegir cualquier
matriz Ar y si siempre se puede despejar la matriz K que verifique la Ecuación 5.5 . La
respuesta es negativa, porque dicha expresión representa n x n ecuaciones (dimensión de
A) con m x n incógnitas (dimensión de K) ; dado que normalmente va a haber menos
entradas m que variables de estado n, no va a ser posible ajustar los n x n elementos de
la matriz Ar de forma arbitraria, puesto que no se cuenta con los suficientes grados de
libertad en la matriz K para ello. Si así se intentara, resultaría un sistema incompatible,
en el que el número de ecuaciones superaría al número de incógnitas. La solución a este
primer problema pasa, como se verá en este capítulo, por manejar expresiones de las
matrices Ar y A en sistemas de referencia que permiten reducir el número de ecuaciones
a resolver a sólo m x n; de forma que el sistema se torna compatible, quedando reducidas
las restantes ecuaciones a identidades independientes de los valores de los elementos de
K.
5 . 3 . Control d e sistemas monovariables
5 . 3 . 1 . Diseño del bucle de realimentación
Sea la ecuación diferencial que define la relación entre la entrada y la salida de un
sistema:
dny dn- 1y dy dnu dn- 1y du - + a - 1 -- + . . . + a1 - + aoy = b - + b - 1 -- + . . . + b1 - + bou (5.6) dtn n dtn- 1 dt n dtn n dtn- 1 dt
siendo ésta su expresión más general, con el máximo orden de derivación de la entrada
igual al de la salida. No obstante, podría darse el caso en que no fuese así, siendo:
:3 r < n, V i > r bi = O (5.7) www.FreeLibros.org
5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES 235
es decir, que puede haber casos en los que el mayor orden de derivación de la entrada sea
inferior a n.
Transformando por Laplace:
(sn + an_ l Sn- l + . . . + al S + ao) y = (bnsn + bn_ l sn- l + . . . + bl S + bo) u (5 .8)
de donde se puede extraer la función de transferencia:
G (s) = bns
n + bn_ l sn- l + . . . + bl S + bo
sn + an_ l Sn- l + . . . + al s + ao (5 .9)
Este sistema puede ser representado mediante variables de estado. Entre las infinitas
posibles representaciones que admite, se elige la de variables de fase:
o 1 O O O
O O 1 O O
x(t) = x(t) + u(t) (5 . 10)
O O O 1 O
-ao -al -a2 -an- l 1
y(t) = [ bo - bnao bl - bnal . . . bn-2 - bnan-2 bn- l - bnan-l ] x(t) (5 . 1 1 )
Si se realimenta como se ha indicado, el sistema resultante tendría una matriz Ar de
la forma:
Ar = (A + BK) =
O 1 O O O
O O 1 O O
+ [ kl k2 k3 . . . kn ] =
O O O 1 O
-.ao -al -a2 -an- l 1
O 1 O O
O O 1 O
(5 . 12)
O O O 1
kl - ao k2 - al k3 - a2 kn - an- l
y la matriz e de salida permanece sin cambios.
Denominando al polinomio característico del sistema en cadena cerrada que se desea
obtener con la realimentación del estado (y cuya expresión vendrá originada al traducir
las especificaciones formuladas para el sistema realimentado en las posiciones que deben
ocupar sus polos) :
( ) n n- l Pr S = S + an- l S + . . . + al S + ao (5 . 13)
www.FreeLibros.org
236 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
los valores de los coeficientes de la matriz K de realimentación se obtienen despejando
de la última fila de la matriz que resulta en la Ecuación 5. 12 :
ki = ai- l - O!i- l , i = 1 , . . . , n (5. 14)
Falta por determinar la forma de las matrices Cr y Dr , que forman la ecuación de
salida del sistema tras la realimentación, sabiendo que la matriz B va a permanecer
sin modificaciones al estar representado el sistema realimentado en su forma canónica
controlable. De la forma de estas dos matrices depende la posición que tomen los ceros
del sistema realimentado. Para calcularlas, se toma la Ecuación 5.3 y se introduce en la
ecuación de salida del sistema sin realimentar:
y(t) = Cx(t) + D (v (t) + Kx(t) ) = (C + DK)x(t) + Dv(t) (5. 15)
con lo quel Dr = D = bn , mientras que:
Cr = C + DK =
= [ bo - bnao . . . bn- l - bnan- l ] + bn [ ao - O!o . . • an- l - O!n- l ] =
= [ bo - bnao + bnao - bnO!o . . . bn- l - bnan- l + bnan - 1 - bnO!n- l ] =
= [ bo - bnO!o . . . bn- l - bnO!n- l ] (5. 16)
con lo que se comprueba que, aunque se produce un cambio en la ecuación de salida
del sistema al pasar de C a Cr, los coeficientes del numerador de la función de trans
ferencia siguen siendo los mismos que para el sistema sin realimentar; por tanto, los
ceros del sistema no se modificanal realizar una realimentación del estado en un sistema
monovariable. La función de transferencia del sistema realimentado queda entonces:
Ejemplo 5.2
M(s) = bns
n + bn_ l sn- l + . . . + bI S + bo
sn + (an- l - kn )sn- l + . . . + (al - k2 )s + (ao - kl )
Sea la función de transferencia :
(5 . 17)
Se desea d iseñar un control por rea l imentación del estado ta l que sitúe los polos
del sistema en cadena cerrada en Sl ,2 = - 1 ± j Y S3 = -10.
En primer l ugar, se ca lcula el pol i nomio característico del sistema ya rea l i-
lVéase Sección 1 .7.3 www.FreeLibros.org
5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES
mentado, para poder generar la matriz Ar :
Sl ,2 = - 1 ± j }
S3 = - 10 pes) = (s + 10) (s
2 + 2s + 2) = s3 + 12s2 + 22s + 20
de donde se obtiene la matriz:
Ar =
[ �
-20
1
O
-22
A contin uación se obtiene el modelo de estado de l sistema en cadena abierta .
Dado que se puede elegi r la representación en la que se va a generar, se opta
por la forma canón ica controlable (variables de fase) , puesto que los cá lculos se
rea l izarán posteriormente en esta representación .
x =
[ � � � ] x + [ � ] u
-1 -7 -3 1
y = [ 6 3 0 ] x
A parti r del conocimiento de las matrices del sistema antes y después de
la rea l imentación , se plantea la ecuación que permite despejar el va lor de las
constantes inc lu idas en la matriz K:
O O
Ar =A + BK [ O 1
-20 -22 -t ] - Ul i7 J3 ] + [ n ( k,
con lo que el vector de rea l imentación queda :
20 = 1 - k1 }
22 = 7 - k2
12 = 3 - k3
K = [ - 19 -15 -9 ]
El comportamiento del sistema después de la rea l imentación viene descrito
por el modelo de estado:
x =
[ �
-20
y = [ 6 3
1
O
-22
O ] x
� ] x + [ � ] u
- 12 1
237
www.FreeLibros.org
238 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
que se corresponde con la función de transferencia :
G 8 _ 38 + 6 ( ) - 83 + 1282 + 228 + 20
Como puede comprobarse, este algoritmo tiene una probada eficacia en el ajuste
de la dinámica del sistema, puesto que es capaz de fijar simultáneamente todos sus
polos, añadiendo a esto su extrema sencillez. Sin embargo, no es posible modificar el
comportamiento en régimen permanente a voluntad, sino simplemente como consecuencia
del cambio en la posición de dichos polos. Esto es así porque no es posible alterar la
posición de los ceros del sistema mediante la realimentación del estado, el numerador
permanece inalterado.
Por otro lado, a la hora de implementar el diseño de la realimentación calculado
mediante este algoritmo, hay que tener en cuenta que se ha realizado sobre la repre
sentación del estado en variables de fase; normalmente este conjunto de variables no se
corresponde con ninguna magnitud física, por lo que será necesario introducir una trans
formación del estado para hacer posible la construcción de los lazos de realimentación.
Esta transformación se estudia en la siguiente sección de este mismo capítulo.
5.3.2 . Obtención de la matriz de transformación a variables de
fase
En este apartado se va a ver cómo se obtiene la matriz de cambio de una representación
de estado cualquiera a la representación del estado en variables de fase.
Partiendo de la matriz de controlabilidad de un sistema monovariable:
Q = [ B AB (5 . 18)
se supone que el sistema es controlable, así que rango(Q) = n. Por tanto, la matriz Q
es invertible, por lo que existirá Q-l :
[
e
¡ 1
Q-'
� :t (5 . 19)
a partir de la última fila, e;: , se construye una matriz que se denominará Tel , y que es
la inversa de la matriz de transformación, de la siguiente manera:
T-1 -e - (5 .20) www.FreeLibros.org
5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES 239
La matriz de cambio es Te, la inversa de ésta (se demuestra que Te? es invertible) . Si
con esta matriz se hace una transformación de estado, se obtiene el estado representado
en variables de fase a partir de cualquier otra representación.
- - 1 A = Te ATe =
x(t) = Tex(t)
o
O
1
O
O
1
O O O
O
O - - 1 B = Te B =
O
1
o
O
1
(5 .21 )
(5 .22)
(5 .23)
Con la matriz Te se pasa de la representación mediante las variables de estado
elegidas inicialmente a la representación mediante variables de fase, caracterizada por las
matrices Á y :B. Si se aplica a estas matrices el procedimiento descrito en el apartado
anterior, se obtiene una matriz de realimentación K, correspondiente a las variables de
fase, que se han de convertir a las variables accesibles del sistema, según se muestra en
la Figura 5 .2 :
u(t) = v(t) + Kx(t) = v(t) + KTc1x(t) '* K = KTc1 (5 .24)
5 . 3 . 3 . El problema de la ganancia
Tal como se ha indicado, el control por realimentación del estado permite la locali
zación de los polos del sistema en los puntos que se desee, mediante la modificación de
los parámetros del polinomio característico. En cambio, el polinomio numerador y, por
tanto, los ceros del sistema permanecen invariantes.
La consecuencia de este hecho es que la ganancia del sistema en cadena cerrada:
M(O) = bo ao - k1
puede tomar cualquier valor arbitrario, posiblemente no deseado.
(5 .25)
Una primera solución a este problema es sacrificar el posicionamiento de un polo, que
queda libre, para fijar el término independiente del polinomio característico. Éste será
un proceso de prueba y error, ya que a su vez, al fijar la ganancia y el resto de los polos,
el polo libre se puede posicionar en un punto no deseado.
www.FreeLibros.org
240 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
v(t) y(t)
e
._-_._ - - -
Figura 5 .2 : Transformación de la matriz de realimentación K.
Ejemplo 5.3
Sea el sistema de función de transferencia :
G 8 _ 38 + 6 ( ) - 83 + 382 + 78 + 1
Se desea posicionar los polos dominantes en lazo cerrado en :
81 ,2
= -1 ± j
1 . Con ganancia un itaria .
2. Manten iendo la misma ganancia que en lazo abierto.
La factib i l idad o no de la solución en este problema pasa por que la posición
del tercer polo, el que se usa para rea l izar el ajuste de la ganancia , sea ta l que
se pueda mantener la h i pótesis de dominancia de los polos cuya posición ha sido
asignada d i rectamente.
1 . En el caso de que se qu iera obtener ganancia un itaria en cadena cerrada ,
el pol inomio característico es de la forma :
y para cumpl i r con l a cond ición impuesta se toma ao = 6 , por l o que el
tercer polo toma va lor a = -3. Este valor podría ser aceptable, si bien su
i nfluencia sobre el comportamiento del sistema no va a ser despreciable. En
www.FreeLibros.org
5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES
cua lqu ier caso, dado que se acepta como esta posición para el tercer polo,
se continuaría obten iendo la matriz K. -
2 . En el caso de que se quiera mantener la misma ganancia que se tiene en lazo
cerrado, la posición del tercer polo cambia , siendo ao = 1 y, por tanto, a =
-0,5 . En esta situación este tercer polo es dominante frente a los otros dos,
los preasignados, de ta l forma que no se respeta la h ipótesis de dominancia .
No es posible cumpl i r con todas las especificaciones impuestas: si se respeta
la de régimen permanente, no se puede cumpl i r con la de régimen d inámico,
y viceversa . Debería acudi rse entonces a a lgún planteamiento alternativo.
241
Una segunda opción consiste en añadir al esquema anterior un parámetro adicional,
Ko, para fijar la ganancia, tal como se indica en la Figura 5 .3.
v(t) _--.. y(t)
Figura 5 .3: Adición del parámetro Ko .
Obsérvese que, si el sistema está expresado en variables de fase, la función de trans
ferencia del sistema realimentado será:
(5 .26)
es decir, se pueden elegir la ganancia y los polos arbitrariamente.
Ejemplo 5.4
Sea la función de transferencia : www.FreeLibros.org
242 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
se desea d iseñar un control por rea l imentación del estado que sitúe los polos en :
81 ,2 = -1 ± j y 83 = -10
siendo un itaria l a ganancia estática en cadena cerrada .
En este caso se están imponiendo cuatro condiciones en la formulación de las
especificaciones (posición de tres polos y va lor de la ganancia en lazo cerrado) .
cuando aparentemente sólo se d ispone de tres grados de l ibertad para conseguirlo
( los va lores de las tres constantes de la matriz de rea l imentación) ; por lo que
supuestamente el problema estaría i ndetermi nado y no podría resolverse. Esta
situación se resuelve med iante la adición de una cuarta constante en cadena
ab ierta . mu lt ip l icando al conj unto. cuyo valor se va a ajustar du rante el proceso
de d iseño del lazo de rea l imentación .
Para resolver este caso se comienza por plantear el modelo de l sistema prop
uesto en variables de fase :
x = [ � � � l X + [ �l l U -1 -7 -3 y = [ 6 3 O ] x
A continuación . se genera el pol i nomio característico del sistema rea l imen
tado a part ir de la posición impuesta a los polos:
p(8) = (8 + 1 )2 (8 + 10) = 83 + 1282 + 228 + 20
por lo que la matriz del sistema tras la rea l imentación es : Ar = [ � -20 1 O -22
Con esto se cumple con las especificaciones relativas a posiciones de los
polos. pero no con la que hace referencia a l va lor de la ganancia estática del
sistema rea l imentado. Para ello se añade una constante . como se muestra en la
Figu ra 5 .3 . cuyo va lor se ca lcula a continuación: 6 10 Gr (O) = Ko- = 1 '* Ko = -20 3
Conocidos todos los datos. ya se puede plantear la resol ución de la rea l i
mentación . es decir . el cá lculo de la matriz K: Ar =A + KoBK www.FreeLibros.org
5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES
Uo 1 o -22 O ] [ O 1 - O - 12 - 1
=>K = [
1
O
-7
57 - 10
� ] + [ � 1 -3 Ko 45 27 - 10 - 10 [ *1 k2 k3 ]
Es importante tener en cuenta en este planteam iento que no hay necesidad
de rea l izar la va l idación de la h ipótesis de polos dominantes , puesto que no hay
n inguno con una posición II flotantel l que pueda interferi r en el comportamiento
esperado del sistema : todos los polos tienen su l ugar asignado como resu ltado
de las especificaciones, y la m isi6n del sistema de control que se va a d iseñar es
conseguir situar los polos en cadena cerrada en esos l ugares.
243
El inconveniente de ambas soluciones es que el control de ganancia se efectúa en
cadena abierta, por lo que los sistemas resultantes son sensibles a las perturbaciones e
inexactitudes del modelo, no efectuando un verdadero control en cadena cerrada sobre
la ganancia del sistema, es decir, sobre su valor en régimen permanente.
5 . 3 .4. Diseño de servosistemas
En el caso de ser crítica la ganancia y necesitar que el sistema no sea sensible a las
perturbaciones e inexactitudes del modelo, como se desea en los servosistemas, la única
solución fiable es incrementar el tipo del sistema, de modo que la función de transferencia
en cadena abierta sea del tipo adecuado para luego realimentar la salida.
En este apartado se va a estudiar cómo compatibilizar el control por realimentación
del estado con la realimentación de la salida, para tener un sistema con los polos en las
posiciones deseadas y error de posición nulo.
Se va a suponer, en primer lugar, que el sistema es ya de tipo 1 . La función de
transferencia es entonces de la forma:
G(s) = bn_ l s
n- l + bn_2Sn-2 + . . . + bI S + bo (5.27) sn + an_ l Sn- l + . . . + al S
lo que corresponde a unas variables de fase:
O 1 O O O
O O 1 O O
A = B = (5.28)
O O O 1 O
O -al -a2 -an- l 1
e = [ bo b1 b2 bn- 1
La idea es realizar primero una realimentación del estado que conserve el tipo del
sistema para luego añadir una realimentación de la salida, de modo que globalmente se
sitúen los polos en los lugares deseados, como se muestra en la Figura 5.4. www.FreeLibros.org
244 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
,r------.. y ( t )
Figura 5 .4: Realimentación en sistema de tipo uno.
Si se realimenta entonces el sistema con una matriz:
se obtiene como nueva matriz del sistema:
o 1 O
O O 1
Á = A + BK =
O O O
O k2 - al k3 - a2
es decir, un sistema de tipo 1 con todos los polos modificados.
O
O
(5.29)
(5.30)
Si sobre este sistema se realiza una realimentación de la salida con un control pro
porcional Ko, se obtiene el sistema de la Figura 5.5:
u = Ko (r - y) = Kor - KoCx
x = Áx + Bu = Áx + KoBr - KoBCx = (Á - KoBC) x + KoBr
Se obtiene, por tanto, un sistema realimentado con matriz de sistema:
Ar = A + BK - KoBC =
O 1 O O
O O 1 O
O O O O
O O O 1
-Kobo k2 - al - Kobl k3 - a2 - Kob2 kn - an- l - Kobn- l
(5.31)
(5 .32)
(5 .33) www.FreeLibros.org
5.3 . CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIAB:tES 245
Figura 5.5 : Control proporcional del sistema anterior.
por lo que basta con que bo 1=- O para que todos los polos del sistema se puedan fijar a
voluntad. Obsérvese además que, por ser un sistema de tipo 1 en cadena abierta, tendrá
un error de posición nulo en cadena cerrada.
Ejemplo 5.5
Diseñar un sistema de control que haga que el sistema dado por:
G 8 _ 38 + 6 ( ) - 83 + 382 + 78
tenga sus polos en 81 ,2 = - 1 ± j y 8 = - 10 , siendo además ep = o.
Para consegui r cumpl i r con todas las especificaciones, y dado que el sistema
es de ti po 1 en cadena abierta , se rea l iza una doble rea l imentación como la
expl icada : en un lazo i nterno; el estado, respetando el t ipo del sistema , y en otro
externo la sa l ida .
El modelo de estado del sistema es:
x = [ � � � l x + [ � l u
O -7 -3 1
y = [ 6 3 0 ] x w w w . F r e e L i b r o s . o r g
246 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
Y el pol i nomio característico del sistema rea l imentado:
p(8) = (8 + 1 )2 (8 + 10) = 83 + 1282 + 228 + 20 por lo que la matriz del sistema tras la rea l imentación es:
Ar = [ � � � l -20 -22 - 1 2
Con todo esto se resuelve e l sistema dado por l a ecuación :
resultando:
1
O
-22
Ar =A + BK - KoBC
� l = [ � � � l + [ � l -12 O -7 -3 1
-Ko [ � 1 [ 6 3 O 1
Ko = lO
3
K = [ O -5 -9 ]
En el caso de ser un sistema de tipo O, se puede incrementar el tipo del sistema
añadiendo un integrador en el controlador, obteniéndose la estructura de la Figura 5.6.
Figura 5.6: Conversión a sistema de tipo uno. www.FreeLibros.org
5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES
Las ecuaciones del sistema quedan en este caso:
es decir:
=
=
Xo = r - y = r - Cx
x Ax + Bu
u Koxo + Kx = [ Ko K ] [ � ]
247
(5.34)
(5.35)
(5.36)
(5.37)
Si en la expresión anterior se efectúa el cambio x = T:ié para pasar a variables de fase,
queda la siguiente expresión:
[ Xo ] [ O -
CT ] [ xo ] [
1 ] jc = T-1BKo T-1 (A + BK)T :ié + O
r =
o -bo -b1 -b2 -bn-l
O O 1 O O
O O O 1 O =
O O O O 1
Ko kl - ao k2 - al k3 - a2 kn - an- l
y = [ O CT 1 [ :0 ] = [ O bo bl b2 . . . bn- l ]
Xo 1
Xl O
X2 O
X3 + r
O
Xn O
(5.38)
(5 .39)
Si se desea fijar la dinámica de este sistema de manera que su polinomio característico
sea Pr (S) , se debe cumplir:
det(sI - Ár) = Pr (S) (5.40)
donde Ár es la matriz de la dinámica del sistema realimentado expresada en la ecuación
5.38.
www.FreeLibros.org
248 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
Igualando los coeficientes de la anterior ecuación, se obtienen n + 1 ecuaciones con las n + 1 incógnitas (Ka , k1 , . • • , kn ) , que tiene solución única con tal de que ba =1 O. Una vez resuelto este sistema de ecuaciones, los valores del vector K de realimentación se
obtienen deshaciendo el cambio de variable:
k- ] T- 1 n (5 .41)
Ejemplo 5.6
Diseñar un control por rea l imentación de l estado, para que el sistema dado
por:
38 + 6 83 + 382 + 78 + 1 pase a tener sus polos en 81 ,2 = -1 ± j y 83 = -10, garantizando además que
ep = o.
En primer l ugar se ca lcula el modelo de estado, en este caso en variab les de
fase:
x = [ �
- 1
y = [ 6 3
� � l x + [ � l u -7 -3 1
O ] x
Dado que se trata de d iseñar un servo y el sistema es de tipo cero, se procede
añadiendo un i ntegrador y rea l izandouna doble rea l imentación , como se ha
planteado. La ad ición del i ntegrador supone la i nclusión en el modelo de una
nueva variable de estado, lo que fuerza a inclu ir también una nueva especificación
para su posición en cadena cerrada . Puesto que, según formula el problema , el
objetivo es la dominancia de los polos complejos conjugados, se sitúa este nuevo
polo en cadena cerrada en 84 = -10.
El pol i nomio característico del sistema después de la inclusión de la nueva
variable y de la doble rea l imentación es :
Pr (8) = ( (8 + 1 )2 + 1 ) (8 + 10)2 = 84 + 2283 + 14282 + 2408 + 200
mientras que la matriz del sistema después de las dos rea l imentaciones (la del
estado, para fijar la posición de los polos, y la de la sa l ida , para cumpl i r con las
www.FreeLibros.org
5.4. !:;,. CONTROL DE SISTEMAS MULTIVARIABLES
especificaciones de régimen permanente) queda : [ O -6
O O Ar = O O
Ko k1 - aO
-6 -3
O 1
O O
k1 - 1 k2 - 7
Dado que en este caso, por la forma de la pr imera fi la de esta matriz, no
se puede recurrir a la estrategia de igua lar elementos con los de la matriz del
sistema rea l imentado, lo que se hace es plantear la igualdad de ambos pol inomios
caractarísticos, resultando:
det [8I - Arl = 84 + (3 - k3) 83 + (7 - k2 )82 + (1 - k1 + 3Ko)8 + 6Ko =
= 84 + 2283 + 14282 + 2408 + 200
con lo que se forma el siguiente sistema de ecuaciones, del que se despejan los
parámetros de la rea l imentación :
6Ko = 200 } { 100
1 - k1 + 3Ko = 240 =} Ko = 3
7 - k2 = 142
3 - k3 = 22 K = [ - 139 - 135 - 19 ]
249
Casos adicionales de control de sistemas garantizando, o bien un valor de la ganancia
en cadena cerrada, o bien el seguimiento de la variable de referencia pueden ser encon
trados al final de este capítulo en los Ejemplos 5 .7 y 5.8.
5 . 4 . 6. Control d e sistemas multivariables
5.4. 1 . Diseño del bucle de realimentación
Los razonamientos expuestos al tratar el diseño del lazo de realimentación para sis
temas monovariables pueden ser extendidos a un sistema lineal, invariante y multivaria
ble, con n variables de estado, m entradas y p salidas.
Si alguna de las variables de entrada no se utilizase en la realimentación del estado,
por tratarse de perturbaciones del sistema o por no ser necesarias para su control, según
criterios que se explican en el subapartado siguiente, dedicado al cálculo de la matriz
Te; las entradas del sistema pueden dividirse en dos grupos: las que se utilizan en la
realimentación del estado, Un Y las perturbaciones externas que no se utilizan para
controlar el sistema, up . La matriz B queda descompuesta consecuentemente en dos
matrices, y las ecuaciones de estado se expresan de la siguiente forma:
(5.42)
www.FreeLibros.org
250 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
Efectuando la realimentación del estado mencionada:
Ur (t) = v(t) + Kx(t) (5.43)
la ecuación que expresa la dinámica del sistema realimentado queda:
(5.44)
donde puede observarse que la matriz que determina la dinámica del sistema es:
(5 .45)
coincidente con la Ecuación 5.5 , pero utilizando la matriz de entrada correspondiente sólo
a las variables de estado utilizadas en la realimentación Br. Obsérvese que las entradas
de perturbación, up, intervienen en la evolución del sistema mediante la matriz Bp, pero
dicha matriz no interviene en el cambio de la dinámica interna fijado por Ar .
Con objeto de facilitar la notación en este apartado de sistemas multivariables, la
matriz Br se denomina simplemente como B, y a su dimensión, coincidente con el número
de entradas utilizadas en la realimentación, se le denomina con la letra m.
Para plantear el diseño del lazo de realimentación, se parte, como en el caso monova
riable, de la representación del sistema en su forma canónica controlable, que se obtiene
mediante el cambio de base adecuado, dado por la matriz Te según se describe en el
siguiente apartado. Las matrices del modelo de estado del sistema en dicha base toman
la siguiente expresión: [ Au A12 A'm 1 A2I A22 A2m A = AmI Am2 Amm (5.46)
B = [ �� 1 (5.47)
donde las submatrices que aparecen en 5.46 y en 5.47 tienen las siguientes expresiones:
• Matrices Aii :
Aii =
O
O
1
O
O
1
o O O
O
O
1
(5.48) www.FreeLibros.org
5.4. f::" CONTROL DE SISTEMAS MULTIVARIABLES 251
de dimensiones ni x ni , siendo ni la dimensión del subespacio controlado por la
variable de entrada i-ésima y cuyo valor se decide a partir de las columnas de la
matriz de controlabilidad Q relacionadas con la entrada i-ésima que se utilizan para
formar la matriz de cambio de base Te , según se expone con detalle en el siguiente
subapartado. Los valores de (Ti se calculan como:
(5.49)
que representan la dimensión de los subespacios controlados por todas las variables
de entrada hasta la entrada i-ésima.
Obsérvese que, con la nomenclatura de subíndices utilizada, dichos subíndices re
presentan la fila y la columna del elemento considerado; es decir , que el elemento
Qij está situado siempre en la fila i-ésima y en la columna j-ésima.
• Por otro lado, cada una de las matrices Aij , con i f=. j, fuera de la diagonal principal
son de la forma:
o O O O
O O O O
Aij = (5 .50)
O O O O
- a17i I7j -nj+l - a17i I7j -nj+2 - a17i I7j -nj +3 - aUi 0';
cuyas dimensiones son ni x nj , cuyo significado ha sido comentado anteriormente.
La nomenclatura de subíndices empleada sigue garantizando que éstos indican la
illa y columna del elemento considerado .
• En cuanto a cada una de las submatrices que componen la matriz B, tienen la
siguiente forma en la base canónica utilizada:
B, � [ � O O
O O
1 bu; i+l
(5 .51 )
cuyas dimensiones son n i x m, donde igualmente los subíndices indican la fila y
columna que ocupa un elemento.
Si se efectúa una realimentación del estado del sistema expresado en esta forma
canónica controlable, mediante una matriz K, de dimensiones (m x n) , de expresión
genérica:
(5 .52) www.FreeLibros.org
252 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
se obtiene que la matriz de la dinámica del sistema realimentado, dada por la Ecuación
5.5 , tiene como expresión genérica de su columna j-ésima:
(A + BK) ( ,j) = (A) ( ,j) +
+
o
k1j + bU1 2k2j + bU1 3k3j + . . . + bUlmkmj
O
k2j + bU23k3j + . . . + bU2mkmj
+- n1 = 0"1
+- n1 + n2 + . . . + nd = O"n = n
(5 .53)
donde se observa que, mediante la realimentación del estado efectuada sobre las variables
de estado de la forma controlable, la matriz que representa la dinámica del sistema
realimentado A + BK se diferencia s610 en las filas 0"1 , 0"2 , · · · , O"n respecto a la matriz
original del sistema sin realimentar A. Por lo tanto, puede probarse la obtención de la
siguiente matriz Ar como objetivo de la realimentación del estado realizada:
o 1 O O
O O 1 O
Ar = (5.54)
O O O 1
-Qo -Q1 -Q2 -Qn- 1
que se diferencia de A sólo en los elementos de las filas O"i y cuyos elementos se obtienen,
de forma inmediata, a partir del polinomio característico deseado en cadena cerrada:
(5 .55)
Igualando las columnas j-ésimas de las Ecuaciones 5.53 y 5.54 según se indica en la
Ecuación 5.5, se obtienen las siguientes expresiones que permiten despejar los elementos
de la columna j-ésima de la matriz de realimentación K:
Óud = -aud + k1j + bU1 2k2j + bU13k3j + . . . + bUlmkmj
óU2Í = -au2j + k2j + bU23k3j + . . . + bu2mkmj
donde el valor de Óij es O ó 1 dependiendo de la fila y la columna considerada, según la
www.FreeLibros.org
5.4. /:::,. CONTROL DE SISTEMAS MULTIVARIABLES
expresión: { 1 para ai = j - 1
8<7;j =
O para ai f:. j - 1
253
(5.56)
Obsérvese que para cada columna de la Ecuación 5.5 , se obtiene un sistema com
patible y determinado de m ecuaciones con m incógnitas, cuya resolución es inmediata
comenzando por despejar el valor de kmj de la últiina ecuación e ir subiendo de ecuación
para despejar los elementos sucesivos de la 'columna j-ésima de la matriz K.Para cada columna de la Ecuación 5.5 se obtiene un sistema distinto de m ecuaciones
con las m nuevas incógnitas pertenecientes a cada nueva columna de la matriz K. En total
se obtienen n sistemas independientes de m ecuaciones cada uno de ellos, que permiten
resolver los m x n elementos de la matriz buscada K, que consigue el objetivo de control:
que la matriz de realimentación Ar tenga la expresión dada en 5.54.
Cabe destacar el hecho de que, al contrario que sucede en el caso de control de sistemas
monovariables, para los sistemas multivariables el control por realimentación del estado
modifica la posición de los ceros del sistema. Por este motivo, en general, cabe esperar
modificaciones al comportamiento previsto del sistema por la posición que puedan tomar
estos ceros. En el caso de tener que ajustar también sus posiciones, sería necesario acudir
a técnicas alternativas de control, que escapan al ámbito de este texto.
5.4.2. Obtención de la matriz de transformación a variables de
fase
En esta sección se tratará la forma de calcular la matriz Te para sistemas multivaria
bles , es decir , aquellos en los que existe más de una variable de entrada y/o más de una
variable de salida. El objetivo es obtener la forma canónica controlable para un sistema
de estas características.
Para obtener la matriz Te de transformación que representa el estado según la forma
canónica controlable en sistemas multivariables, a partir de cualquier otra representación,
se supone que el sistema es controlable. En caso contrario será necesario realizar una
separación de la parte controlable, trabajando sólo con ésta, como ya se ha supuesto
anteriormente en este mismo capítulo para el caso monovariable. Una vez que se tiene la
seguridad de trabajar sólo con el subsistema controlable, se forma la matriz de controla
bilidad Q:
Q
Al ser, por hipótesis, el sistema controlable, rango(Q) = n, existiendo en general
varios conjuntos de n vectores columna linealmente independientes de Q . Para el cálculo
de la matriz de cambio de base Te se procede de la forma explicada a continuación.
Primeramente se eligen n columnas linealmente independientes de Q, eligiendo siem
pre para cada entrada las primeras columnas asociadas a dicha entrada bi , Abi , . . .
www.FreeLibros.org
254 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
Ani-1bi . Esta elección de columnas es de gran importancia en el control que se está
diseñando, puesto que el número de columnas asociadas a cada entrada indica el número
de variables de estado que van a ser controladas con dicha entrada. Si una entrada tiene
asociado comparativamente un número elevado de columnas, significa que esa entrada
servirá para controlar muchas variables de estado, forzando a que su comportamiento
pueda tener que tomar valores muy extremos para conseguirlo. Por el contrario, si no se
eligen columnas asociadas a una entrada concreta, ésta no se utilizará en la realimentación
del estado que se está diseñando, desaprovechando sus posibilidades de control. Por tan
to, en general es conveniente elegir un número equilibrado de columnas asociado a cada
entrada. Así, una buena alternativa es elegir las primeras columnas linealmente indepen
dientes de Q, tal como se ha descrito en el capítulo dedicado a la controlabilidad, aunque
dependiendo de un estudio del significado físico de las variables de entrada, se pueden
elegir otras opciones.
A continuación se ordenan las columnas, agrupándose según su asociación a cada
entrada, formando la matriz L:
L = [ b1 Ab1 (5.58)
donde m representa el número de entradas involucradas en la realimentación. La entrada
i-ésima ejerce su influencia, por tanto, sobre ni columnas de de la matriz L.
Para calcular la matriz de transformación a la forma canónica, se calcula la inversa
de la matriz L:
+- 1
L-1 = (5 .59)
De esta matriz, se extraen las filas existentes en las posiciones finales de cada bloque,
en! , . . . , en! + .+n"" a partir de las cuales se forma la inversa de la matriz buscada Te?
www.FreeLibros.org
5.5. EJEMPLOS ADICIONALES
de la siguiente forma:
+- 1
+- 2
255
T-I -e - (5.60)
+- nI + n2 + . . . + nm- I + 1
+- nI + n2 + . . . + nm = n
Mediante la matriz Te , inversa de la dada, se puede transformar cualquier estado
x(t) en la representación del estado correspondiente a la forma canónica controlable vista
en el apartado anterior, x(t) :
x(t) = Tcx(t)
Al igual que en sistemas monovariables, a partir de las matrices Á y B obtenidas con
esta transformación, se calcula la correspondiente matriz K mediante lo descrito en el
apartado anterior, obteniéndose como matriz de realimentación para las variables x(t)
accesibles:
(5 .61 )
Un ejemplo completo de diseño de un sistema de control en e l caso multivariable se
puede ver en el Ejemplo 5.9 al final de este capítulo.
5 . 5 . Ejemplos adicionales
Control de la dinámica de un péndulo invertido
Ejemplo 5.7
Se desea controlar el péndulo i nvertido (cuyo modelo de estado y funciones
de transferencia se han ca lculado en el Ejemplo 1 .8 del Capítulo 1) cambiando
la d inámica inestable del sistema por una d inámica estable y uti l izando para e l lo
una estructura de rea l imentación de las cuatro variab les de estado del sistema .
según se ind ica en l a Figu ra L b a continuación . www.FreeLibros.org
256 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
t.::::::J-�x = [ � 1
L...-__ ....
(a) Sistema del péndulo i nvertido . (b) Estructu ra de control por rea l i
mentación del estado.
Figura 1: Péndu lo i nvertido y su estructura de control por rea l imentación
del estado.
Para el cá lculo de la rea l imentación del estado, se particulariza el modelo del
sistema para los siguientes va lores de los parámetros : 9 = 10 mi 82 , M = m =
1 K Y l = 1 m, con lo que el modelo de estado resu ltante es :
siendo:
[ ;: 1 [ H + � 1 [ �: 1 + [ � 1 U X4 O O 20 O X4 -2
Este sistema en cadena abierta presenta u n cero y un polo en el semip lano
rea l positivo , lo que d ificu lta su estabi l ización mediante un sistema de contro l .
Para ca lcular la matriz de rea l imentación de l estado K de la figura , es nece
sario ca lcular la matriz de rea l imentación de la variables de fase K, a partir de
las especificaciones de la d inámica deseada del sistema en cadena cerrada , y
postmu lt ip l icarla por la i nversa de la matriz de cambio de base a las variables
de fase , según la ecuación K = KTC/ .
Para el cá lculo de la matriz K se parte de la situación deseada de los polos
del sistema en cadena cerrada , que se va a suponer que es 81 ,2 ,3,4 = -1 para
todos el los, quedando por tanto en siguiente poli nomio característico para el www.FreeLibros.org
5.5. EJEMPLOS ADICIONALES
sistema rea l imentado:
Pr (8) = (8 + 1 )4 = é + 483 + 682 + 48 + 1
teniendo en cuenta que el pol inomio característico del sistema en cadena abierta
es:
p(8) = det [8I - Al = 84 - 2082
La matriz K se ca lcula construyendo las correspondientes matrices del sis
tema antes y después de rea l imentar a parti r de los coefi�ientes de ambos pol i
nomios característicos, según:
resultando:
K = [ - 1 -4 -26 -4 ]
Esta matriz K constituye la real imentación de las variables de fase del sistema ,
siendo ahora necesario ca lcular la matriz Te1 , que obtiene estas variables de
fase a part ir de las variab les físicas origina les del sistema , para lo que se calcula
en primer l ugar la matriz de controlabi l idad Q:
Q -
[ � -
O
-2
2
O
-2
O
O 20 1
20 O
O -40
-40 O
siendo su matriz inversa :
20
O
-1
O
O
10
O
-1 �O 1 -1 O
la matriz inversa de cambio de base a las variables de fase se ca lcula a parti r
de la última fi la de la matriz anterior, resultando:
- 1 1 � -1 [ 1 0 Te = 20 � � -1 O -10
O
257
www.FreeLibros.org
258 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
Una vez calculada esta matriz, se comprueba :
La matriz de real imentación de las variables de estado origi na les se obtiene
ahora como:
K = KTc/ = [ 0 , 05 0 ,2 13 , 05 2 , 2 ]
Uti l izando la matriz K ca lculada para la rea l imentación del estado del modelo
l i nea l izado del péndu lo i nvertido y supon iendo que las condiciones i n icia les del
vector de estados son :
se obtiene l a evolución de las varibles x y (J representadas e n la Figura 2 .
2
1 5
.§. 1 �
2 4 6
1iempo (8 )
8
(a ) Evolución de la posición x.
1 0
e
s
CI>
2 4 6
tiempo (8 )
(b) Evolución del ángulo (J .
8
Figura 2: Evolución de la posición y el ángulo en el sistema l i nea l rea l i
mentado.
1 0
Obsérvese que ahora el sistema rea l imentado es estable con todos los polos
en - 1 y, por tanto, si se parte de un estado i n icia l d istinto del origen , las varia
b les de estado tienden a cero con una d inámica defin ida pri ncipalmente por los
mencionados polos, aunque también i nfluida por los ceros del sistema en cadena
cerrada , que son los mismos que en cadena ab ierta .
Ahora cabe preguntarse cómo se comporta dicha rea l imentación del estado
del sistema cuando se uti l iza para controlar el sistema rea l no l inea l , en vez del www.FreeLibros.org
5.5. EJEMPLOS ADICIONALES
sistema l i nea l izado con e l que se han efectuado los cá lculos de la matriz K. En la
Figura 3 se ve que la evolución de las variables de estado rea les es muy parecida
a la de las del sistema I i nea l izado, puesto que toman va lores cercanos al punto
de l i nea l ización , que es el origen de coordenadas. "
,
�
-0 5
-1
-1 5
-�--�2��4�--6�--�8��l'O
bempo (8 )
(a) Evolución de la posición x.
-5 O���--4��6��8��10
tiempo (8 )
(b) Evolución del ángulo O.
Figura 3: Comparativa de la evolución de la posición y el ángulo en el
sistema rea l no l i nea l y en el sistema l i nea l izado, partiendo de un ángulo
in icia l 0(0) = 10°.
Si se el ige un estado i n icia l más alejado del origen , como:
las variables de estado toman va lores más apartados de su pU,nto de l i nea l ización ,
pudiendo observarse en la siguiente Figu ra 4 una mayor diferencia entre el com
portamiento del sistema rea l no l i nea l y del sistema l i nea l izado, Si se sigue aumen
tando el ángulo i n icia l 00 , puede l legar a obtenerse un comportamiento estable
en el sistema l i neal izado (siempre lo será puesto que sus polos se han forzado
a la posición -1 ) , mientras que el sistema origina l no J i nea l rea1 imentado sea
rea lmente inestable (obteniéndose este efecto, por ejemplo ; . para 00 = 45°) .
I nteresa ahora ver cuál es el comportamiento del sistema rea l imentado ante
una fuerza de perturbación latera l que se le aplica continuamente en la base del
péndu lo invertido up (t) . En la sigu iente Figura 5 puede observarse la evolución
del ángulo y de la posición , en el caso en que la perturbación va lga up (t) =
O, 1 N w y se parta además de un estado i n icia l del ángulo d isti nto de cero
0(0) = 10°.
259
www.FreeLibros.org
260 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
5r---�--�-'====�==�
4
3
-5
-1 -1 0
-20�--2�--74 -----:-6--�--=:O· -150!:---"!---�4:----6�-""!"8--710'
tiempo (s ) tiempo (s )
(a) Evolución de la posición x. (b) Evolución del ángulo (J.
Figura 4: Comparativa de la evolución de la posición y el ángulo en el
sistema rea l no l i nea l y en el sistema l i nea l izado, partiendo de un ángulo
i n icia l (J(O) = 25° .
2 4 6
tiempo (s )
8
(a) Evolución de la posición x.
1 0
-5 0!:--"!--�4:---6�-""!"8--710
tiempo (s )
(b) Evolución del ángulo (J .
Figura 5: Evolución de la posición y el ángulo en el sistema rea l no l i nea l
partiendo de un ángulo in icia l (J(O) = 10° y una fuerza latera l de
pertu rbación up (t) = 0, 1 Nw.
En la Figura 5 se puede observar que el sistema rea l no l i nea l es estable con
el control por rea l imentación del estado efectuado, estab i l izándose el ángulo en
la vertica l , aunque la posición de la base se desplaza 2 m respecto a la posición
i n icia l , debido a la mencionada perturbación . Este desplazamiento de la posición
no puede evitarse si no se uti l iza una nueva estructura de control que i ncluya
una i ntegración de la señal de error de posición , ta l como se verá en el Ejemplo
5 .8 .
Puesto que la rea l imentación de l estado de l sistema perm ite, a l menos
teóricamente, situar l i bremente los polos del sistema en cadena cerrada , cabe www.FreeLibros.org
5.5. EJEMPLOS ADICIONALES
plantearse el cá lculo de una nueva matriz de rea l imentación K, que sitúe todos
los polos del sistema en cadena cerrada en una posición que haga al sistema re
a l imentado mucho más rápido, como por ejemplo Pr = (s + 10)4 . Repitiendo los
cá lcu los efectuados al principio de este ejemplo a part ir de este n uevo pol inomio
característico en cadena cerrada , se obtiene la siguiente matriz de rea l imentación
del estado:
K = [ 500 200 810 220 ]
El comportamiento del sistema rea l imentado con esta nueva matriz puede
observarse en la Figura 6, en la que se ha mantenido la misma esca la de tiempos
que en las gráficas anteriores , con objeto de apreciar claramente la mayor rapidez
del sistema . 0 5 0 4 0 3 0 2 � 0 1
o V -o 1 -0 20 2 4 6 8
liempo (s )
(a) Evolución de la posición x.
1 0
10 5 \ O
� -5 -10 -15 -200 2 4 6
tiempo (s )
(b) Evolución del ángulo (j.
8
Figura 6: Evolución de la posición y el ángulo en el sistema rea l no l i nea l ,
uti l izando la matriz de rea l imentación que sitúa los polos en -10, partien
do de un ángulo i n icia l (j(0) = 10° y una fuerza latera l de perturbación
up (t) = 0, 1 Nw.
1 0
Esta d inám ica más rápida de l sistema es posible gracias a la uti l ización de
una matriz de rea l imentación de l estado en la que sus términos son sign ifica
tivamente mayores que los de la matriz uti l izada anteriormente, obten iéndose
en consecuencia una entrada a l sistema mucho mayor. En la Figura 7 puede
observarse la evolución de la entrada del sistema uti l izando ambas matrices de
rea l imentación , ante los mismos va lores de la perturbación y de las condiciones
i n icia les (obsérvense las diferentes esca las de ambas subfiguras , tanto tempora l
como en va lor de la fuerza de entrada) .
Obsérvese e n l a Figura 7 que l a energía uti l izada para controlar e l sistema , en
el caso en el que se d iseña la posición de los polos en -10, es mucho mayor que
cuando la d inámica del sistema es más lenta con los polos en -1 , siendo esta
d iferencia de energía de 473, 6 Nw2 frente a 3, 14 Nw2 . Según el razonamiento
anterior, es importante cuando se d iseña un control por rea l imentación del estado
261
www.FreeLibros.org
262 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
tener en cuenta la magnitud de la entrada que va a tener el sistema , que será
mayor cuanto más rápido se quiera hacer el sistema en cadena cerrada , siendo
éste un factor l im itativo práctico importante a la hora de fijar la situación de los
polos deseados en cadena cerrada .
2 5r���---;:::======;-]
2
-1 50�-2�-""'4 ----76-�8----Jl 0
tiempo (s )
(a) Evolución de la entrada cuando
los polos en cadena cerrada se sitúan
en - 1 .
1�1r--�---;======;, I E[u(t)]=473.6 N1
1 00
l 50
-500 0 2 0 4 0 6 0 8
tiempo (s )
(b) Evolución de la entrada cuando
los polos en cadena cerrada se sitúan
en - 10 .
Figura 7 : Comparativa de la evolución de la entrada uti l izando la matriz
de rea l imentación que sitúa los polos en - 1 y la que los sitúa en
- 10 , partiendo de un ángulo in icia l 0(0) = 100 Y una fuerza latera l de
perturbación up (t) = 0 , 1 Nw.
Obsérvese , en las figuras anteriores , que el va lor fi na l de la posición x(t) es
mucho más cercano a cero en el caso en que los polos están en - 10 , debido a
que la matriz de rea l imentación es muy elevada y con el lo se disminuye de forma
muy notable el error de posición(prácticamente nu lo) , que, sin embargo, es de
-2 en el caso in icia l en el que se uti l iza una matriz de rea l imentación moderada
con los polos en - 1 . Como se ha comentado, la anu lación de este error es sólo
posible con el sistema servoposicionador del Ejemplo 5 .8 .
Control de posición de la base de un péndulo invertido
Ejemplo 5.8
Se desea controlar no sólo la d inámica del péndulo i nvertido, sino también
la posición de la base x(t) , de manera que ésta tenga un error nulo en régimen
permanente ante perturbaciones en la fuerza latera l Up = (t) . Supon iendo que el
modelo del péndulo i nvertido uti l izado es una simp l ificación del despegue de un
cohete , esta nueva especificación del sistema de control garantiza un despegue en
www.FreeLibros.org
5.5. EJEMPLOS ADICIONALES
la misma vertica l ante fuerzas de vientos Il:Itera les, Esta especificación de control
no se puede conseguir mediante una simple rea l imentación del estado (según
se vio en el Ejemplo 5.7) , siendo necesaria la uti l ización de una estructura de
control como la mostrada en la Figu ra 1, que i ncluye una i ntegración de la señal
de error de la variable controlada x(t) .
Péndulo invertido ...... [ x 1
x
= �
"-------.1 ... _.
x
Figura 1 : Estructura de control por rea l imentación del estado i ncluyendo
un servoposicionador de la variable x( t) .
Para ca lcular el va lor de Ko y de la matriz K de rea l imentación del estado,
se parte del pol i nomio deseado del sistema en cadena cerrada , que ahora es de
qu into grado, al haber i ntroducido una nueva variable de estado mediante el
i ntegrador de la señal de error. Este pol inomio deseado en cadena cerrada puede
ser:
Pr (S) = (s + 1 )4 (s + 3) = s5 + 7s4 + 18s3 + 22s2 + 13s + 3
que tiene cuatro polos en -1 con la misma d inám ica que en el anterior ejemplo de
control del péndu lo i nvertido, más un polo adicional menos sign ificativo situado
en -3 con objeto de mantener dicha d inámica .
La matriz Ar , d inámica del sistema rea l imentado en variables de fase , es :
o
1
O
O
-20
O
1
O
O
O
O
1
263
www.FreeLibros.org
264 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
con lo que el pol inomio característico en cadena cerrada va le:
igua lando la expresión anterior con el pol i nomio característico deseado en cadena
cerrada , se obtienen los siguientes va lores de Ko y de los elementos de K:
Ko = -0, 15 K = [ -13 -25 -38 -7 ]
La matriz K de rea l imentación de las variables origina les se obtiene mediante:
K = KTc1 = [ 0 , 65 1 , 25 19 , 65 4, 75 ]
I ntroduciendo los va lores ca lculados de Ko y de la matriz K en la estructura
de control propuesta , se obtiene una evolución de las variables x(t) y O (t) co
mo las mostradas en la Figu ra 2 cuando existe una perturbación constante de
up(t) = 0 , 1 Nw y se parte de un estado i nic ia l de 0(0) = 10° .
1 0'r------------�----...,
� ��----�5�----�10�----�15
tiempo (8 )
(a) Evolución de la posición x.
5
� o
5 10
tiempo (8 )
(b) Evolución del ángulo O.
Figura 2 : Evolución de la posición y el ángulo partiendo de un ángulo
in icial 0(0) = 10° Y con perturbación constante de up (t) = 0,1 Nw.
1 5
Obsérvese que se consigue tener un error nu lo en la posición x(t) del péndulo
i nvertido, a l mismo t iempo que se ha fijado la d inámica del sistema en cadena
cerrada determi nada por la situación de los cuatro polos dominantes en -1 .
S i e n l a estructu ra d e control propuesta se cambia l a referencia d e l a posición www.FreeLibros.org
5.5. EJEMPLOS ADICIONALES
a xref = -1 , se obtiene el comportamiento mostrado en la Figura 3, en la que
se observa igualmente el adecuado seguimiento de los cambios de referencia de
posición .
1 01r---�------...,
5
�
-0 5
-1I-_"';::::::::::::;:==:=::J. o 5 1 0 1 5
tiempo (8 )
-1oo!----�5---1"=:0-----J1 5
tiempo (8 )
(a) Evolución de la posición x. (b) Evolución del ángulo (J.
Figu ra 3: Evolución de la posición y el ángulo con cambio de referencia
xref = -1 , partiendo de un ángulo in icia l (J(O) = 10° y con perturbación
constante de up (t) = 0 , 1 Nw.
Si en l ugar de cambiar la referencia a xref -1 se mueve a xref 1 , el
comportamiento es el mostrado en la Figura 4.
1 4
1 2
5 1 0
tiempo (8 )
(a) Evolución de la posición x.
1 5
1 0
5
e
�
o
5 1 0
tiempo (8 )
(b) Evolución del ángulo (J.
Figura 4: Evolución de la posición y el ángulo con cambio de referencia
xref = 1, partiendo de un ángulo in icial 0(0) = 10° Y con perturbación
constante de up (t) = 0 , 1 Nw.
1 5
265
www.FreeLibros.org
266 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
Realimentación del estado en sistema multivariable
Ejemplo 5.9
Dado el sistema defin ido por las matrices:
A =
B =
O
O
-3
O
O
o
O
O
-4
O � 1 -5
diseñar un control por rea l imentación de l estado que sitúe todos los polos del
sistema en - 1 .
En primer l ugar, se comprueba la controlab i l idad del sistema , lo que nos
perm ite asegurar que el objetivo de control que se plantea es abordable . Para
el lo, dado que el sistema es l i nea l e i nvariante, se construye la matriz Q y se
comprueba su rango:
[ 1 o 1 - 1 o - 1 1 o 1 - 1 o - 1 1 o 1 Q = - 2 1 o 4 - 2 o - 8 4 o 16 - 8 o - 32 16 o 2 2 1 -6 -6 - 3 1 8 18 9 - 54 - 54 -27 162 1 62 8 1 1 o o -4 o o 16 o o -64 o o 256 o o o 2 2 o - 10 - 10 O 50 50 O - 250 - 250 O 1250 1250
siendo rango(Q) = 5. De modo que el sistema es controlab le y se puede con
seguir el objetivo planteado.
Para resolver el problema , es necesario rea l izar la transformación de la repre
sentación del sistema a variables de fase (forma canón ica controlable) , paso que
puede l levarse a cabo considerando las tres entradas presentes en el sistema o
a lgún subconjunto de éstas . Rea l izando un aná l isis pormenorizado de controla
b i l idad , se comprueba que los pares de entradas Ul , U2 Y Ul , U3 también permiten
rea l izar el control del sistema , por lo que se estudiarán dos casos representativos:
rea l izar el control uti l izando las tres entradas y uno de los pares propuestos, en
concreto u 1 , U2 .
Utilizando las tres entradas
• Transformación a la forma canónica controlable multivariable
Se seleccionan cinco columnas l i nea lmente independientes de la matriz Q.
1
www.FreeLibros.org
5.5. EJEMPLOS ADICIONALES
El primer tanteo se hace con las cinco primeras columnas: 1 1 O 1 -1 O ]
-2 1 O 4 , -2
Qr = ' 2 2 1 -6 -6
1 (j O -4 O
O 2 2 O -10
comprobándose que e l rango de esta matriz es también cinco. La elección de
las c inco primeras columnas hace que la asignación de variables de estado
a las distintas entradas sea de dos a la primera (columnas 1 y 4) , dos a la
segunda (co lumnas 2 y 5) y una a la tercera (columna 3) .
A part i r de esta selección de col umnas de la matriz Q se construye, por reor
denación de columnas, la matriz L; el orden de colocación de las columnas
de Q en L es 1 , 4, 2, 5, 3.
[ 1
-2
L � � - 1 O 4 1 -6 2
-4 O
O 2
O
-2
-6
O
- 10 t ]
de donde se define su matriz i nversa , de la que se obtienen los vectores fi la
que generan la matriz de transformación a la forma canónica controlable
mu ltivariable :
[ -S -32 24 -66 -S ] el
-2 -8 6 -26 -2 �
L-l = � 16 26 28 -20 -22 e3 38 12 10 2 4 -7 �
44 24 -18 40 6 �
De esta matriz inversa se seleccionan las fi las 2 , 4 ,y, 5 p�ra constru i r las
sucesivas fi las de la i nversa de la matriz de transformac;ió" , debido a la
asignación hecha para el control de las d isti ntas variables de estado con las
entradas d ispon i bles: 2 con la primera (segunda fi la) , dos con la segunda
(cuarta fi la) y una con la tercera (qui nta fi la) . El resto de las fi las se
267
www.FreeLibros.org
268 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
construyen por postmu lt ip l icación por la matriz A.
T- 1 -e -
de donde:
[ � ] [ -2
e2A 1 2 e4