Geometria Analitica- A

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 A
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lítica
VÁZQUEZ
•
DE
SANTIAGO
Es muy importante que los libros usados en el proceso de enseñanza-aprendizaje 
hayan sido escritos por profesores con amplia experiencia en la impartición de la 
materia, ya que ello garantiza el conocimiento de los problemas y las necesidades 
de los estudiantes, así como la generación de estrategias didácticas para la 
solución de tales situaciones. 
 En este libro se exponen los conceptos de manera clara y sencilla sin dejar 
de usar el lenguaje matemático preciso.
En esta obra el estudiante encontrará lo siguiente:
 • Un bosquejo histórico del desarrollo de la geometría analítica.
 • Una gran variedad de ejemplos resueltos, demostraciones y 
 aplicaciones varias.
 • Gráficas de apoyo para facilitar la comprensión de los conceptos.
 • Actividades para realizar en equipo y uso de la tecnología.
 • Ejercicios integradores donde intervienen la aplicación y la relación entre 
 los conceptos.
 • Una cantidad abundante de ejercicios propuestos, un formulario y un 
 examen de práctica, al final de cada capítulo.
 • Una serie de recursos digitales e impresos que ayudarán a la comprensión 
 de cada tema.
Si se aprenden bien los conceptos incluidos en esta obra y se realizan los 
ejercicios propuestos en tiempo y forma adecuados, con seguridad los alumnos 
lograrán los objetivos de aprendizaje de la materia.
Visítenos en:
www.pearsoneducacion.net
G E O M E T R Í A
A N A L Í T I C A
Agustín Vázquez Sánchez
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Estado de México
Juan De Santiago Castillo
Director del Departamento de Ciencias y Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus San Luis Potosí
REVISIÓN TÉCNICA
Erika Cepeda Arvizu
Bachillerato UPAEP
Plantel Santiago 2
G E O M E T R Í A
A N A L Í T I C A
Datos de catalogación bibliográfica
VÁZQUEZ SÁNCHEZ, AGUSTÍN y
DE SANTIAGO CASTILLO, JUAN 
Geometría analítica. Primera edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2007
 ISBN: 978-970-26-0938-4
 Área: Bachillerato
 
Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 408
Editor: Enrique Quintanar Duarte
e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.com 
Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco
Supervisora de producción: Adriana Rida Montes
PRIMERA EDICIÓN, 2007
D.R. © 2007 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco No. 500-5° piso
Col. Industrial Atoto
53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031.
Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. 
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un
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magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de
sus representantes.
ISBN 10: 970-26-0938-0
ISBN 13: 978-970-26-0938-4
Impreso en México. Printed in Mexico
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07
Dedicatoria
En honor a la resurrección de Jesucristo y al espíritu
de poder y amor que se me ha dado.
Para mi amada esposa Analia y mis hijas Paulina y Fernanda,
musas inigualables.
Con aprecio para mis camaradas:
Rechy, Ernesto, Alfonso y Rubén.
Agustín Vázquez Sánchez
A mi esposa y compañera:
Rosa María, por su amor y comprensión
A mis hijos:
Alejandra y Diego, por ser el motivo de mi vida
Juan De Santiago Castillo
Agradecimientos y reconocimientos:
Ing. Javier Gurrión García Mier 
Ing. Francisco Javier Rojas Ramos
Por todo el apoyo aportado: académico, moral y económico.
Ing. Carlos Lozano Sousa
Dr. Pedro Grasa Soler
Ing. Óscar Lacayo Torres
Dr. Carlos Martínez Reyes
Por el apoyo académico y voto de confianza a mi persona.
Ing. Óscar García,† Universidad Iberoamericana 
Ing. Blanca Arroyo Ventura, UNAM-CU
Fís. Xóchitl Díaz, UNAM-CU
Ing. Álvaro Valdez, UNAM-FESC4
Fís. Juan Enrique Hoyos García, IPN, ITESM-CEM
Profa. Ester Almaraz, CCH-VALLEJO UNAM
Ing. Francisco Sevilla Díaz, UNAM, ITESM-CEM
Ing. María Del Carmen Uribe Flores, ITESM-CEM
Ing. Erika Cepeda Arvizu, UPAEP
Lic. Víctor Quintero Enriquez, IPN, ITESM-CEM
Ing. Carlos Duarte Parada, ITESM-CEM
Ing. Adriana Beltrán, ITESM-SLP
Mat. Ramón Félix Llanes, ITESM-SLP
Mat. Francisco Javier Rojas Espinosa, UNAM-FESC4
Ing. Alonso Madera, UNAM-FESC4
Ing. Emiliano Fones, UNAM-FESC4
Ing. José Perdomo, IPN
Ing. Alfredo Cortés, ITESM-CEM
Ing. Javier Sandoval
Dr. Francisco Javier Delgado Cepeda ITESM-CEM
Por los comentarios y sugerencias en el desarrollo del libro 
Profesor Agustín Anfossi, Facultad de Ciencias, UNAM.
Como un homenaje, por la excelente recopilación histórica de la geometría analítica.
ix
Contenido
1.1. Sistemas dimensionales 2
1.1.1. Sistema coordenado tetradimensional 2
1.1.2. Sistema coordenado tridimensional o 53 2
1.1.3. Sistema bidimensional 7
1.1.4. Sistema coordenado unidimensional 10
1.2. Conceptos básicos 11
1.2.1. Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional 11
1.2.2. Distancia entre dos puntos en un plano cartesiano (bidimensional) 13
1.2.3. División de un segmento en una razón dada y el punto medio 15
1.2.4. División de un segmento en una razón dada 17
1.2.5. Punto medio de un segmento de recta 20
1.2.6. Teorema de Vazgar 23
1.2.7. Pendiente de un segmento de recta 26
Resumen 36
Problemas 37
Autoevaluación 40
2.1 Lugares geométricos 44
2.2 Función, una breve introducción 49
2.2.1. Operaciones con funciones 54
2.3 Discusión o análisis de una ecuación 60
2.3.1. Intersección con los ejes 60
2.3.2. Simetría con los ejes y el origen 61
2.3.3. Intersección de una curva con los ejes 61
2.3.4. El intervalo o campo de variación de una ecuación 61
2.4 Intersección de gráficas 65
Resumen 78
Problemas 78
Autoevaluación 80
SISTEMAS COORDENADOS (DÓNDE ESTAMOS) 11
LUGARES GEOMÉTRICOS. FUNCIÓN Y ANÁLISIS DE UNA ECUACIÓN
(¿QUÉ TENGO? ¿QUÉ QUIERO?) 43
2
x Contenido
3.1 Pendiente de una línea recta 84
3.2 Ecuaciones de una línea recta 87
3.2.1. Ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente m 87
3.2.2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 88
3.2.3. Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen 90
3.2.4. Ecuación de la recta en forma simétrica 92
3.2.5. Ecuación general de la recta 93
3.2.6. Ecuación normal de la recta 97
3.3. Ángulo entre dos rectas (utilizando sus pendientes) 99
3.3.1. Condición de perpendicularidad entre dos rectas 102
3.3.2. Condición de paralelismo entre dos rectas 103
3.4 Ángulo entre dos rectas a partir de sus ecuaciones generales 105
3.5 Distancia mínima de un punto a una recta 107
3.6 Distancia mínima de un punto a una recta (otro análisis) 111
3.7 Rectas y puntos notables de un triángulo 112
3.7.1. Mediana 112
3.7.2. Mediatriz 113
3.7.3. Altura 114
3.7.4. Bisectriz 115
3.7.5. Recta de Euler 117
3.7.6. Circunferencia de Euler 117
Resumen 137
Problemas 139
Autoevaluación 142
4.1 Traslación de ejes 146
4.2 Rotación de ejes 149
Ecuaciones de rotación en forma trigonométrica 150
4.3 Eliminación de los términos lineales 152
4.4 Método para eliminar el término xy 154
Otro método para eliminar el término xy 156
Resumen 165
Problemas 166
Autoevaluación 167
5.1 Cónicas 170
5.2 Ecuación de la circunferencia en su forma canónica (con centro en el origen) 171
5.3 Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria 173
5.4 Ecuación general de la circunferencia 176
ECUACIONES DE LA RECTA (ESCALEMOS EL TERCER PELDAÑO). 
(FORMAS Y CASOS) 83
3
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES (DOS PEQUEÑOS MOVIMIENTOS) 
Y UNA ECUACIÓN FLEXIBLE 145
4
LA CIRCUNFERENCIA (VAMOS A DAR UNA VUELTA) 1695
Contenido xi
5.5 Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos 182
5.6 Tangente y normal a una circunferencia 186
Resumen 200
Problemas 202
Autoevaluación 2066.1 La parábola 208
6.2 Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje x 208
6.3 Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x y con vértice fuera 
del origen 215
6.4 Ecuación general de la parábola 221
6.5 Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos 227
Resumen 240
Problemas 242
Autoevaluación 244
7.1 Definición de elipse 246
7.2 Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje x 247
7.2.1 Excentricidad de la elipse 248
7.2.2 El lado recto de la elipse 249
7.2.3 Recta directriz de la elipse 250
7.3 Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje y 251
7.4 Ecuación ordinaria de la elipse 255
7.4.1 Con eje focal paralelo al eje x 255
7.4.2 Con eje focal paralelo al eje y 256
7.5 Ecuación general de la elipse 260
Resumen 275
Problemas 276
Autoevaluación 282
8.1 Definición de hipérbola 284
8.2 Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal paralelo al eje x 285
8.3 Propiedades de la hipérbola 287
8.4 Interpretación geométrica de “a, b y c” 288
8.5 Excentricidad de la hipérbola 288
8.6 Asíntotas de la hipérbola 288
8.7 Lado recto o ancho focal (latus rectum) 290
PARÁBOLA (AHÍ, DONDE SE CONCENTRAN LAS COSAS) 2076
LA ELIPSE (UN INSTANTE LEJOS, OTRO CERCA, PERO SIEMPRE LA MISMA
DISTANCIA) 245
7
LA HIPÉRBOLA (UN ÚLTIMO PELDAÑO… Y PARECE QUE ESTOY VIÉNDOME 
EN UN ESPEJO) 283
8
xii Contenido
8.8 Recta directriz de la hipérbola 291
8.9 Ecuación canónica de la hipérbola con centro en el origen y eje focal 
paralelo al eje y 292
8.10 Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal
paralelo al eje x 294
8.11 Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal
paralelo al eje y 295
8.12 Ecuación general de la hipérbola 296
Resumen 313
Problemas 315
Autoevaluación 319
9.1 Resolución de la ecuación Ax21Cy21Dx1Ey1F50 322
9.1.1. Análisis de la ecuación general de segundo grado sin término xy 323
9.2 La ecuación general de segundo grado y las cónicas 325
9.3 Resolución de la ecuación general de segundo grado 
(Ax21Bxy1Cy21Dx1Ey1F50) 331
9.4 Análisis de las cónicas como funciones 337
9.4.1. El criterio de la recta vertical 337
Resumen 348
Problemas 348
Autoevaluación 349
10.1 Sistemas coordenados 352
10.1.1. Sistemas coordenado polar 352
10.1.2. Transformación de coordenadas polares a rectangulares 354
10.2 Simetría en coordenadas polares 355
10.2.1. Distancia entre dos puntos en el plano polar 355
10.3 Ecuaciones polares de la línea recta 356
10.4 Ecuaciones polares de las cónicas 357
10.4.1. Ecuación polar de la circunferencia 357
10.4.2. Ecuaciones polares de las cónicas: parábola, elipse e hipérbola 360
10.5 Sistema coordenado rectangular en tres dimensiones 368
10.5.1. Distancia entre dos puntos en el sistema rectangular tridimensional 369
10.5.2. Ángulos y cosenos directores 370
10.5.3. División de un segmento en una razón dada 373
10.6 Coordenadas cilíndricas 373
10.7 Coordenadas esféricas 374
Resumen 375
Problemas 376
Autoevaluación 378
ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO Y LAS CÓNICAS 
COMO FUNCIÓN (UNA ECUACIÓN FLEXIBLE Y RELACIONES PELIGROSAS) 321
9
SISTEMAS COORDENADOS (QUE NO ES IGUAL, PERO SE PARECE 
CASI TODO) 351
10
Prólogo
Aprender es cuestión de juego. Experimentar y enfrentar diversas problemáticas con
herramientas teóricas no es más que un juego, en el que tratamos de entender cosas
que al verlas por primera vez nos resultan complejas, pero que al adquirir el conoci-
miento del lenguaje que utilizan nos permiten entender que el mundo es mucho más
sencillo de lo que parece. 
Esta publicación pretende enseñarte un nuevo lenguaje. El lenguaje de los pun-
tos, las rectas, los planos y toda una amplia gama de variaciones denominadas geo-
metría. Esta ciencia, sin duda te permitirá entender cómo se equilibra el espacio donde
te desenvuelves, a partir del uso de figuras y cálculos que le han dado vida a los obje-
tos físicos que te rodean. Desde la fabricación de artesanías y diseños visuales, hasta
la creación de instrumentos de medición como el compás, ello ha sido posible gracias
a los conocimientos que la geometría como ciencia brindó a la humanidad.
Te invito a aprender un poco más sobre este lenguaje matemático y buscarle una
aplicación práctica a los conceptos básicos que se te proporcionen. Sé curioso y ob-
servador. Analiza y cuestiona los ejercicios y problemas prácticos que el libro te brin-
da. Esto te ayudará a relacionar tu mundo con el mundo de la geometría y su lenguaje
de expresión.
La línea recta, la hipérbola, la parábola, la elipse y la circunferencia serán tus com-
pañeras en este recorrido de formas, que si bien han creado tu entorno, muchas veces
han pasado desapercibidas ante nuestros ojos, por lo cual nos olvidamos de la verda-
dera importancia de la geometría como ciencia en la creación de nuestro mundo. 
Disfruta de esta publicación creada por tus profesores. Ellos son personas cono-
cedoras que depositaron su conocimiento en los capítulos que verás a continuación, y
te brindan una herramienta que facilitará tu aprendizaje mientras juegas a aprender.
DR. PEDRO LUIS GRASA SOLER 
Director General del Campus Estado de México
Breve bosquejo histórico de la geometría analítica xv
En el año de 1637 publicó René Descartes (1596-1650) su Géométrie, dividida en
tres libros, de los cuales dedica el segundo a lo que se ha llamado Geometría Analí-
tica, obra fundamental para toda la Matemática, y de la cual se ha dicho, con toda
exactitud, que ha hecho época. En ella establece el enlace entre el número y el espa-
cio, y aunque su importancia sólo se evidenció años más tarde, su publicación influ-
yó en forma decisiva en el desarrollo del todas las ramas de las ciencias exactas, es-
pecialmente con la nueva simbólica que preconiza.
Es opinión generalmente admitida entre los matemáticos que la Geometría Analítica
brotó completamente elaborada, adulta, de la cabeza de Descartes. Sin embargo, hay
discrepancias entre los sabios a este respecto. “Algunos autores han escrito, dice Ch.
Bossut (1730-1814), otros lo han repetido y se repite constantemente, que Descartes
es el inventor de la aplicación del Algebra a la Geometría. Esto no es exacto. Se atri-
buye a Descartes más de lo que pudiera pretender”. A pesar del mérito indiscutible de
este matemático, no puede aceptarse lo que de la Géométrie dice M. Chasles (1793-
1880) al llamarla criatura generada sin madre (proles sine matre creata), pues con tal
afirmación se olvidan demasiado los derechos de sus antecesores, y de F. Viète (1540-
1603) en particular, en cuyas obras hay aplicaciones del Algebra a la Geometría.
* * *
Si se atiende al uso de coordenadas para localizar un punto, los albores de la Geome-
tría Analítica se remontan a Arquímedes (287-212 a. de J.C.) y a Apolonio de Perga
(siglo II a. de J.C.) y, cerca de 18 siglos después, a J. Képler (1571-1630), pues para
el estudio de las cónicas se valían ya, sustancialmente, de las coordenadas (cartesia-
nas) refiriéndose, empero, a ejes intrínsecamente conectados con la curva estudiada.
Algo mejor relacionado con el concepto moderno de las coordenadas se encuentra en
un dibujo del siglo X u XI, de autor desconocido, al hacer el estudio de las trayec-
torias de los planetas, en el cual representa la latitud y la longitud, respectivamente,
como ordenada y abscisa. Este método de representación, que fue adoptado en As-
tronomía y que aún se usaba en el siglo XIV, dio lugar a una obra, notablemente para
aquella época, de N. Oresme (1323-1382), obispo de Lisieux, intitulada Tractatus de
latitudinibus formarum, escrita en 1361. En este trabajo se reconoce, en realidad, la
verdadera aparición de la Geometría Analítica, a la vez que un primer germen del
concepto de función y hasta de derivada. Allí se halla la idea de la representación grá-
fica por medio de coordenadas rectangulares, de las funciones, que Oresme en latín
denomina formæ. Considera dos magnitudes, llamadas longitudo y latitudo: la pri-
merala considera como variable independiente, y la segunda como variable que de-
pende de la primera. La latitudo puede se uniformis o difformis: en el primer caso la
gráfica correspondiente es una recta paralela al eje escogido, o sea la latitudo es cons-
tante; es difformis en el caso contrario. Cuando la latitudo es difformis, puede tener-
se una latitudo secundum se totam difformis, si la gráfica consta de una línea única,
o bien latitudo secundum partem difformis, si consta de porciones distintas, algunas
de las cuales son rectas al eje.
La actitud de Oresme no es, precisamente, la de un creador de las ideas que expone,
pues parece atribuirlas a autores antiguos, para nosotros completamente desconocidos.
* * *
BREVE
BOSQUEJO
HISTÓRICO DE
LA GEOMETRÍA
ANALÍTICA*
* Reproducido con autorización de Editorial Progreso, Geometría Analítica, © 1958, Agustín Anfossi.
Si en la Geometría Analítica se considera el estudio particularizado de las tres gran-
des curvas: parábola, elipse e hipérbola, debería hacerse remontar esta ciencia a Me-
naícmo (siglo IV a. de J.C), a quien se atribuye la invención de dichas curvas —de la
parábola e hipérbola equilátera por lo menos—, que constituyen lo que se ha deno-
minado la triáde de Menaícmo.
En realidad, los nombres con que se designan las tres curvas citadas, ya existían, y
habían sido creados por los pitagóricos. Estos al resolver el problema que denomina-
ron aplicación de las superficies planas, introdujeron las palabras parábola, elipse e
hipérbola según que en la aplicación de dichas superficies hubiese, respectivamente,
igualdad, deficiencia y exceso.
Posteriormente a Menaícmo, Arquímedes amplió el campo del estudio de esas tres
curvas; Apolonio de Perga, por su parte, concibió las secciones cónicas, determina-
das no ya únicamente, según se presume lo había hecho Menaícmo, en un cono rec-
to rectangular, o cono cuyas generatrices opuestas se cortan en un ángulo recto, sino
como resultantes de la intersección de un plano con un cono circular cualquiera, ya
sea rectangular o no.
En la obra de Apolonio, que él denominó Secciones Cónicas, se encuentra la afirma-
ción de que, en el plano, el lugar de un punto (móvil) cuyas distancias a dos puntos
fijos dan una suma o una diferencia constante, es una elipse o una hipérbola, que tie-
ne como focos esos puntos fijos.
El mismo Apolonio aclara que una tangente a la elipse deja los dos focos de un mis-
mo lado de dicha tangente, y que en la hipérbola quedan uno de un lado y el otro del
otro lado.
La amplitud con que, tanto Arquímedes como Apolonio, estudiaron las propiedades
de las curvas nombradas es tal que, en muchos puntos, a su trabajo nada nuevo se aña-
dió en los siglos posteriores, motivo por el cual escribió Leibniz: “El que entiende a
Arquímedes y a Apolonio, admira menos lo que los esclarecidos hombres recientes,
han inventado”. Por su parte, J. Wallis (1616-1703) en su admiración por Arquíme-
des, exclama: “Hombre de estupenda sagacidad, que echó los cimientos de casi todo
lo que nuestra edad se gloría de haber promovido”.
La primera propiedad notable relativa a las cónicas, enunciada por Apolonio y que se
acaba de citar, fue tomada por F. de la Hire (1640-1718) como definición de las curvas
que tienen centro, y de la segunda se ideó la manera de describir la elipse por trazo con-
tinuo. Esta construcción la indicó por primera vez el bizantino Antemio (siglo VI).
Otro gran matemático, P. de Fermat (1601-1665), contemporáneo de Descartes y por
éste admirado, había ideado, a su vez, la Geometría Analítica. Sus trabajos relacionados
con ella se remontan al año 1629, es decir, precedieron la publicación de la Géométrie.
El pensamiento de Fermat, tal como se ve expuesto en una publicación póstuma,
titulada Ad locos planos et solidos isagoge —introducción al estudio de los lugares
planos y sólidos—, se aproxima a la actual Geometría Analítica casi más que el de
Descartes. Así se expresa Fermat: “Siempre que en una ecuación final figuran dos
cantidades (segmentos) incógnitas (variables), la extremidad de una de ellas descri-
be una recta o una curva”.
xvi Geometría analítica
La obra geométrica de Fermat, que sólo fue publicada en 1679, es de gran importan-
cia, pues enseña a interpretar ecuaciones sencillas con dos variables, considerando
rectas, elipses, parábolas e hipérbolas.
* * *
Volviendo a Descartes y a su obra, justo es hacer notar que su punto de vista y su téc-
nica, relativamente a la Geometría Analítica, son incomparablemente más adelanta-
dos que los de Fermat. Con respecto a la Géométrie, observaba J.E. Montuela (1725-
1799) que “Descartes no ha pretendido componer un trabajo didáctico; se limita a
trazar a los matemáticos un camino que han de recorrer, y en su libro no hay ni orden
ni desarrollos: sólo son ideas de un hombre de genio, que no sigue la marcha de los
espíritus ordinarios”. Y no solamente no resultó el libro de Descartes un tratado di-
dáctico y completo, sino que, según el propio autor nos informa, omitió, con delibe-
rada intención, muchas cosas que hubiera podido hacer figurar en ella; aun más: él
mismo confiesa, en alguna parte, que fue intencionalmente oscuro.
Pero, aunque en la Géométrie sólo se contenga un primer ensayo de la Geometría
Analítica, corresponde al gran Cartesio el mérito de haber abierto el camino a nuevos
métodos, por lo cual ha sido mirado siempre como un obra que ha hecho época y co-
mo un instrumento de investigación incomparablemente más poderoso que la geome-
tría de los antiguos.
Refiriéndose a la creación de Descartes, escribe el matemático P. Boutruox (1845-
1922) que su importancia estriba en “hacer ver cómo en la aplicación sistemática de
coordenadas había un método de un poderío y una universalidad desconocidos hasta
entonces en la Matemática; un método destinado a anular, por la superación, a todos
los anteriores; un método que, en colaboración con el concepto de función, debía re-
volucionar y regenerar todas las ciencias que se hallaban relacionadas con los con-
ceptos de espacio y tiempo”.
Descartes no habla de ejes, ni de abscisa, ni de ordenada, ni de coordenadas. Para la
representación de las cuervas, escoge una recta, en posición horizontal, que a veces
llama diámetro y, para comenzar el cálculo, señala en ella un punto fijo (origen); lue-
go toma puntos en el diámetro, y a cada punto asocia otro u otros, según la línea que
estudia; en otras palabras: dada la ecuación de una línea y elegida una recta como eje
y en ella un punto fijo, a cada distancia (abscisa) contada desde el origen correspon-
de a otra distancia (ordenada) en una dirección perpendicular al eje; el extremo del
segundo segmento u ordenada, determina un punto de la línea, es decir, el punto de
la línea queda localizado cuando es conocido el punto tomado en el eje.
Descartes no introduce formalmente el otro eje, el vertical.
Las coordenadas x,y las llama cantidades indeterminadas y, contrariamente a lo que
se hace en la actualidad, toma las abscisas en el sentido vertical y las ordenadas en el
horizontal.
“Obsérvese en Descartes que adopta como principio que la ecuación de un lugar geo-
métrico únicamente es válida para el cuadrante para el cual fue establecida. La gene-
ralización de sus propiedades a los demás cuadrantes fue asunto que sólo a la larga
llegó a considerarse, y no puede atribuirse a ningún geómetra en particular”, según
afirma P. Tannery (1843-1901).
Breve bosquejo histórico de la geometría analítica xvii
G. F. de L´Hospital (1661-1704), que publicó el más importante texto de Geometría
Analítica a fines del siglo XVII, fue quien introdujo realmente los dos ejes, no forzo-
samente perpendiculares, y atribuyó signos a las coordenadas, según las convencio-
nes aún hoy día en uso, aunque advierte al lector que se limitará a describir los fenó-
menos que se verifican dentro del ángulo (cuadrante) de las direcciones positivas de
los ejes.
Con respecto a los signos de las coordenadas, merece particular mención I. Newton
(1642-1727) porser el primer matemático que, en realidad, sacó grandes ventajas de
la consideración de dichos signos, merced a lo cual logró grandes simplificaciones.
Con el mismo Newton comienza, propiamente, a considerarse la hipérbola como una
curva de dos ramas, cosa que no se había hecho antes, pues Apolonio no considera-
ba ambas ramas como pertenecientes a una misma curva.
Justo es advertir, empero, que el considerar de una manera sistemática el signo de los
segmentos, así como el de los ángulos, de las áreas, etc., sólo se hizo en época poste-
rior, por A. F. Möbius (1790-1868).
En cuanto a los sucesores inmediatos de Descartes, y a los que siguieron de cerca a
Newton, poco impulso dieron a la Geometría Analítica, y únicamente se esmeraron
en aclarar las ideas de esos maestros. Entre los continuadores de la obra Cartesio, ade-
más del marqués de L´Hospital, debe mencionarse al ya citado F. de La Hire. Un ade-
lanto importante se tiene con este matemático, pues enseña que, con respecto a las
coordenadas de un punto, puede tomarse indistintamente una de ellas como variable
independiente y la otra como dependiente de la primera, y viceversa. Para entender
su expresión, necesita tenerse presente que llama origen del lugar al origen; que las
coordenadas de un punto arbitrario las designa con los nombres de tallo y ramas; que
entiende por nudo el pie de la ordenada del punto considerado y que por lugar entien-
de toda línea o superficie cuyos puntos todos tienen una misma relación con determi-
nados elementos fijos. Su manera de expresar la indicada propiedad es: Pueden cam-
biarse las partes del Tallo en Ramas y las Ramas en partes del Tallo, sin cambiar el
lugar, el origen ni el ángulo comprendido entre el Tallo y las Ramas.
* * *
Descartes termina el segundo libro de su obra observando que el concepto fundamen-
tal de su método puede extenderse del plano al espacio, es decir, mencionó la Geo-
metría Analítica de tres dimensiones, pero nada se escribió acerca de ella. F. van
Schooten el joven (1615-1660), traductor y comentador de Descartes, fue él quien su-
girió, en 1657, el uso de las coordenadas en el espacio tridimensional.
En realidad, el que echó los cimientos de la Geometría Analítica de tres dimensiones,
fue A. Parent (1666-1716). Enseñó por primera vez a representar una superficie, la
de una esfera y otros sólidos, por medio de una ecuación cartesiana, que él llama
équation superficielle; pero, aunque habla de un punto como origen o punto de refe-
rencia, no menciona ni ejes ni planos coordenados.
El que indicó la consideración de los tres ejes coordenados de un sistema cartesiano,
es J. E. Hermann (1678-1733). Con él la Geometría Analítica del espacio, entonces
incipiente, recibió notable impulso. Considera tres ejes de referencia, y hace obser-
xviii Geometría analítica
var que un punto cualquiera de cada eje tiene dos de sus coordenadas nulas. Demues-
tra que toda ecuación de primer grado con tres variables, ax 1 by 1 cz 2 d 5 0, re-
presenta un plano; partiendo de ella, deduce las coordenadas de la intersección del
plano con cada uno de los ejes cartesianos.
La obra de Hermann fue posteriormente ampliada con los trabajos de A. C. Clairaut
(1713-1765), que constituyen un verdadero tratado de Geometría Analítica del espa-
cio, pues, además de determinar tangentes y normales a las curvas alabeadas, hace fi-
gurar ecuaciones de planos, ecuaciones de las superficies de la esfera, del paraboloide
y , en general, las ecuaciones de las superficies de los sólidos de revolución.
Las obras de Hermann y de Clairaut tuvieron como complemento los trabajos de L.
Euler (1707-1783), quien establece los fundamentos de la Geometría Analítica del
espacio. Estudia las superficies representadas por las ecuaciones de segundo grado, y
hace la reducción de ellas a cinco tipos.
* * *
Por lo que se refiere a las coordenadas polares en el plano, en Arquímedes se halla
una primera alusión a ellas; empero, con toda propiedad, debe decirse que dichas
coordenadas fueron inventadas en 1691 por Jacobo Bernoulli (1654-1705), pues an-
tes se habían usado para el estudio de las espirales solamente.
La extensión de las coordenadas polares a la Geometría Analítica del espacio, de las
que hay un indicio en A. Clairaut, se debe a J. L. Lagrange (1736-1813), y a L. I.
Magnus (1790-1861) la introducción a las coordenadas cilíndricas.
El estudio sistemático de las curvas dadas por ecuaciones en coordenadas polares, se
encuentra en una obra de Gourief, publicada por el año de 1794. Su notación es mo-
derna; usa z para representar el radio del vector y v para el ángulo vectorial o argu-
mento, como se ve en las ecuaciones siguientes:
x5acosv, y5zsenv
* * *
El apelativo Analítica es posterior a Descartes. Aparece en la edición de obras de New-
ton que hizo S. Horsley en 1779, con el nombre Geometría Analytica, sive specimina
artis analyticæ, es decir, Geometría analítica, o especimenes del arte analítico.
En el sentido actual, la denominación de Geometría Analítica figura en el prefacio es-
crito para el Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de S. F. Lacroix, publi-
cado por los años 1787-1790. Como título de un libro, se encuentra, por primera vez,
en J. C. Garnier: Eléments de géométrie analytique, que vieron la luz en 1808.
Débase al marqués de L´Hospital la introducción de la palabra origen, y son de G. G.
Leibniz (1646-1716) las palabras abscisa y ordenada (en el sentido que se les da ac-
tualmente) y coordenadas. La palabra parámetro, aplicada a ecuaciones paramétri-
cas, fue usada por este mismo autor.
Arquímedes ya usaba las palabras eje, vértice y diámetro. Con esta última palabra in-
dicaba los ejes de simetría de la elipse y el de la parábola, como rectas que contienen
Breve bosquejo histórico de la geometría analítica xix
los puntos medios de cuerdas paralelas a una recta dada. El mismo Arquímedes usa-
ba también la expresión diámetros conjugados, pero la teoría relacionada con ellos
es, tal vez, de fecha anterior.
La palabra asíntota aparece usada por Autolico (cerca del año 320 a. de J.C.), pero
sólo llega a ser un término propiamente técnico con Apolonio, el cual la considera-
ba como una recta cuya distancia a la curva disminuye constantemente. El primero
que consideró las asíntotas como rectas tangentes cuyo punto de tangencia se halla
en el infinito, fue G. Désargues (1593-1661).
Por último, débase a Képler el haber introducido la palabra foco que, en el caso de la
elipse, le fue sugerida por la observación de que los rayos luminosos o caloríficos que
parten de uno de los focos de esa curva, son reflejados por ella en tal forma que pa-
san por el otro foco.
Los geómetras antiguos, Apolonio inclusive, conocían los dos focos de las cónicas
que tienen centro; parece que Papo (fines del siglo III) fue el primero que consideró
el foco de la parábola, y definió esta curva como el lugar de los puntos del plano que
equidistan de una recta fija y de un punto fijo, exterior a esa recta. Partiendo de esta
definición, ideó un dispositivo sencillo para describir la parábola con trazo continuo.
Como es fácil comprenderlo, resulta casi imposible citar los nombres de todos los
matemáticos que han contribuido a complementar la estructura de esta ciencia, y para
terminar este bosquejo, únicamente se hace mención de los siguientes matemáticos:
Proclo (412-485), el cual refiere que los antiguos griegos ya sabían que un punto fijo
de un segmento cuyos extremos se deslizan sobre dos rectas perpendiculares, descri-
be una elipse; J. R. Biot (1774-1862), a quien se debe la ecuación de una recta apo-
yada en dos puntos; A. Cayley (1821-1895), que fue el primero que describió, por
medio de un determinante nulo, la ecuación de dicha recta que se apoya en dos pun-
tos; L. N. M. Carnot (1753-1823), que expresa el área de la superficie de un polígo-
no de n lados por medio de la fórmula:
A x y x y x y x y x y x y
n n
= −( )+ −( )+ + −( )1
2 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1
...⎡⎡⎣ ⎤⎦
xx Geometría analítica
1
CAP Í T U L O
1
Sistemas 
coordenados
(dónde 
estamos)
Seis veces hasta ahora he visto la Muerte cara a cara, y otras tantas ella ha
desviado la mirada y me ha dejado pasar. Algún día, desde luego, me re-
clamará, como hace con cada uno de nosotros. Es sólo cuestión de cuán-
do y de cómo. He aprendido mucho de nuestras confrontaciones, sobre
todo acerca de la belleza y la dulce acrimonia de la vida, del valor de los
amigos y la familia y del poder transformador del amor. De hecho, estar
casi a punto de morir es una experiencia tan positiva y fortalecedora del
carácter que yo la recomendaría a cualquiera, si no fuese por el obvio ele-
mento, esencial e irreductible, de riesgo.
Carl Sagan
Reseña histórica
Sin duda alguna, desde la Antigüedad y gracias a la observación, el hombre concibió formas de figuras o cuerpos
y reflexionó sobre el beneficio que podría obtener de ellos. Fue así, por ejemplo, como se inventó la rueda. Es evi-
dente que, para nuestros antepasados, las características geométricas de las formas de aquellos cuerpos no eran
de interés, sino solamente su aplicación.
Tiempo después, personajes como Pitágoras, Tales de Mileto y Euclides hicieron los primeros estudios de esas
formas y forjaron las bases de la geometría. Más adelante, en el siglo XVI, los franceses Pierre de Fermat (1601-
1655) y René Descartes (1596-1650) establecieron las bases de la geometría analítica. Fermat, en principio, no
mostró interés por publicar sus logros, sino hasta 1636, cuando dio a conocer las ecuaciones de la recta, la circun-
ferencia, la parábola, la elipse, la hipérbola y el método de la tangente de la curva. En 1637, Descartes publicó La
geometría, naturaleza y propiedades de las líneas curvas, donde presentaba ya la combinación de la geometría pla-
na con el álgebra (geometría algebraica). Es interesante señalar que Descartes no usó dos ejes para el análisis de
las curvas y que sólo utilizó coordenadas positivas; Newton fue el primero en emplear coordenadas negativas, y
Leibniz fue quien aplicó por primera vez el término coordenada.
A partir de entonces, la geometría tomó auge entre los matemáticos de la época, al grado de que se desarrolló en
diferentes áreas específicas, como la geometría plana, del espacio, descriptiva, esférica y diferencial, por mencionar al-
gunas; además, se empleó para el desarrollo del cálculo diferencial e integral, el análisis algebraico y el vectorial.
Descartes, Fermat y Euler, fundadores de la geometría
analítica.
2 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
A la geometría se le considera un sistema científico. Fetisov afirma que ésta “no es una
colección al azar de verdades que describen las propiedades espaciales de los cuerpos,
sino un sistema científico, basado en leyes estrictas”.1 Cada teorema se enlaza lógica-
mente con proposiciones establecidas previamente, y es esta relación la que se descu-
bre mediante demostraciones. Cada teorema geométrico está vinculado a través de una
cadena completa de deducciones con teoremas previamente demostrados.
Fetisov hace hincapié en que nunca se debe pensar que lo que se dice resulta ob-
vio para los demás, pues esto podría tener graves consecuencias al querer comprobar
algo. Para estudiar el presente libro, el alumno debe comprender los siguientes concep-
tos: axioma, teorema, ley y regla, entre otros. Algunos de éstos se usan a lo largo del
texto, tomándolos como verdaderos, sin entrar en casos particulares, a menos que sea
necesario y que aporten conocimiento para la comprensión de los temas expuestos.
Además, es necesario contar con conocimientos básicos de álgebra y trigonometría.
Por otro lado, en el libro se trata sólo con números reales, es decir, {a, b, c… x,
y, z ∈ ℜ}. Los elementos x, y y z tienen dos usos: uno, como dupla o terna de coor-
denadas, y otro, como variables de una ecuación propuesta. Cerca de 60% del texto
es álgebra y trigonometría y el resto, análisis (es decir, geometría analítica); de ahí la
necesidad de que el lector haya tomado los cursos previos. No obstante, a lo largo de
esta obra se hacen las observaciones y explicaciones necesarias para que resulte com-
prensible; también hay que advertir que no sólo se trata con números enteros, pues en
los ejemplos y ejercicios se incluyen números fraccionarios o decimales y potencias
de la misma índole. 
Al principio se mencionó que la geometría es un sistema científico. En matemáticas
comúnmente se emplean cuatro sistemas de referencia y coordenados, que se expli-
can a continuación.
1.1.1. Sistema coordenado tetradimensional
Se estudia partiendo de los elementos espacio-tiempo y volumen. El concepto de es-
pacio-tiempo se define como una serie de sucesos ordenados hacia delante. Quizás
por el momento no comprendas del todo esta definición, pero seguramente te habrás
dado cuenta de que no existe ningún evento que no ocupe un espacio y que a la vez
no transcurra en el tiempo. Para ilustrar lo anterior de forma sencilla, baste un ejem-
plo: cuando leíste esta explicación ocupaste un espacio y transcurrió un tiempo. En-
tonces, cualquier punto P tendrá coordenadas (x, y, z, t).
1.1.2. Sistema coordenado tridimensional o ℜ3
Si quitamos del sistema tetradimensional el elemento espacio-tiempo tendríamos só-
lo el volumen que, en sí mismo, es el sistema tridimensional o ℜ3 (se lee r tres). Lo
podemos representar y estudiar utilizando más de un sistema coordenado, como el
rectangular tridimensional, el cilíndrico y el esférico, entre otros.
En las ilustraciones de la figura 1.1 se observan las coordenadas de cualquier
punto P para cada sistema coordenado. Es sencillo obtener las relaciones entre aqué-
SISTEMAS
DIMENSIONALES
1.1
INTRODUCCIÓN
1 Fetisov, A.I., Proof in Geometry, Universidad de Chicago, 1963.
llas a partir de las coordenadas rectangulares (x, y, z) y de trigonometría de triángu-
los rectángulos.
rectangulares � cilíndricas rectangulares � esféricas 
x � r cos u [1] x � r sen f cos u [4]
y � r sen u [2] y � r sen f sen u [5]
z � z [3] z � r cos u [6]
Relación de las coordenadas rectangulares y esféricas
1.1 ■ Sistemas dimensionales 3
o
R Q
S
T
o
r
Sistema coordenado
rectangular tridimensional
Sistema coordenado
cilíndrico
Sistema coordenado
esférico
z
z
x
y
x
R
Q
u
S
x
y
y
III II
IV I
VII VI
VIII V
P(x,y,z)
P(r,u,z)
•
•
•
••
o
R
Q
S
T
z
y
P(r,u,f)
f
r
u
•
•
•
•
•
Figura 1.1. Sistemas coordenados en R3.
O
R
Q
S
l
T
z
x
P(x,y,z)
P(r,u,f)
u
f
u
r
y
• •
•
•
•
Figura 1.2. Relación entre los sistemas rectangular y esférico.
En la figura 1.2 observamos los triángulos rectángulos OQR, OQS, OPQ y OPT y dos
ángulos u y f.
Apoyados en el triángulo determinamos l:
l � r sen f
Para obtener las coordenadas en los ejes por trigonometría, se tiene:
x � l cos u, y � l sen u, z � r cos f
al sustituir l en las expresiones anteriores, obtenemos:
x � r sen f cos u y � r sen f sen u, z � r cos f
que son las coordenadas rectangulares en función de las variables esféricas; es común
utilizar r (ro) para denotar el radio r.
No se pretende que el lector domine de inmediato estas relaciones, sino que se
familiarice con los diferentes sistemas coordenados.
Ejemplo 1.1
Determina las coordenadas rectangulares tridimensionales de un punto P, a partir de
sus coordenadas cilíndricas.
Solución:
Empezamos por considerar las relaciones x � r cos u, y � r sen u y z � z, utilizando 
el apéndice B, de donde obtenemos que: y 
Por lo tanto, los correspondientes valores para x, y y z son:
z � 6
La tercia de valores del punto dado tendrá coordenadas rectangulares .
Ejemplo 1.2
Determina las coordenadas rectangulares tridimensionales de un punto dado, conoci-
das sus coordenadas esféricas P(4,30°,60°).
Solución: 
Utilizando las relaciones x � r sen f cos u, y � r sen f sen u y z � r cos f, y em-
pleando el apéndice B, identificamos que u � 30° y f � 60°, por lo cual:
y 
Por lo tanto, los correspondientes valores para x, y y z son:
, ,
La terna de valores del punto dadotendrá coordenadas rectangulares P 3 3 2, , .( )
z = ⋅ =4 1
2
2y = ⋅ ⋅ =4 3
2
1
2
3x = ⋅ ⋅ =4 3
2
3
2
3
sen 60
3
2
° =cos 60 1
2
° =sen ,30 1
2
° =cos ,30
3
2
° =
P 2 2 3 6, ,( )
y = ⋅ =4 3
2
2 3,x = ⋅ =4 1
2
2,
sen 60
3
2
° =cos 60 1
2
° =
4 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
Para entender mejor el sistema coordenado rectangular tridimensional, observa el li-
bro que estás leyendo. Nota que tiene una altura, un ancho y un largo. Estos tres elemen-
tos son dimensiones diferentes. Desde el punto de vista matemático, en la geometría
descriptiva un sistema coordenado tridimensional se construye a partir de la intersección
de tres planos que dan origen a ocho octantes, como se ilustra en la figura 1.3.
1.1 ■ Sistemas dimensionales 5
Si utilizamos letras para representar la dirección de cada dimensión, como se mues-
tra en la figura 1.4, notaremos que la altura está en dirección z (cota), el largo se re-
presenta en y (ordenadas), y el ancho en x (abscisas). 
Observa tu salón de clases desde una esquina. Verás que te rodean figuras seme-
jantes a las de tu libro, es decir, paredes o planos a tu izquierda y enfrente, con una
determinada altura, además de que estás parado entre dos de ellos.
Esto es el sistema tridimensional. Todo lo que dé la sensación de volumen, in-
cluido tu cuerpo, está constituido de esta manera.
Para representar un punto en este sistema, se necesita una terna de coordenadas,
las cuales se denominan
I
III II
IV
VIII
VII
V
VI
Figura 1.3. Sistema coordenado rectangular tridimensional.
z
x
y
Geometríaanalítica
Figura 1.4. Coordenadas (x, y, z).
abscisas, ordenadas y cotas, (x,y,z) respectivamente. En seguida se describe un pro-
cedimiento que facilita la localización de un punto en ℜ3:
• Localiza las coordenadas x,y y z en sus respectivos ejes.
• A partir de la coordenada x, traza un segmento de recta paralelo al eje y. 
• De la misma forma, a partir de la coordenada y, traza un segmento de recta
paralelo al eje x.
• Lo anterior origina un punto en la intersección de las rectas en el plano xy.
Del punto de intersección traza una recta paralela al eje z y restríngela al va-
lor de la coordenada de esta última.
En forma gráfica obtendrás una figura semejante a la 1.5.
6 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
x
y
O
z
(x,y,z)•
Figura 1.5. Un punto en el espacio.
Ejemplo 1.3
Localiza la terna de coordenadas de los puntos P(3,4,6), Q(3,�4,�5) y R(�4,5,3).
Figura 1.6. Puntos en el espacio.
x
O
Q(3,–4,–5)
P(3,4,6)
R(–4,5,3)
–y
–z
y
z
1.1.3. Sistema bidimensional
A través de un sistema bidimensional estudiamos todo lo que dé sensación de área.
Si al sistema tridimensional le quitamos uno de sus componentes, por ejemplo la al-
tura (z, cota) de nuestro libro, sólo quedaría la carátula. Únicamente tendríamos lar-
go y ancho, como se observa en la figura 1.7.
1.1 ■ Sistemas dimensionales 7
Ejercítate Resuelve en cada caso lo que se pide:
a) Determina las coordenadas cilíndricas de cierto punto a partir de sus
coordenadas rectangulares P(5,8,10).
b) Determina las coordenadas esféricas de cierto punto a partir de sus coor-
denadas rectangulares P(4,�4,8).
c) Determina las coordenadas esféricas de cierto punto a partir de sus coor-
denadas rectangulares P(�6,5,�6).
d) Determina las coordenadas cilíndricas de cierto punto a partir de sus
coordenadas rectangulares P(�5,�6,�4).
e) Determina las coordenadas rectangulares en ℜ3 de cierto punto a partir
de sus coordenadas cilíndricas P(7,75°,�8).
Figura 1.7. El Plano xy.
y
x
y
–y
x–x
II I
IVIII
Geometría
analítica
Entonces, sólo tratamos con un plano xy, bisecado por dos rectas perpendiculares en-
tre sí, el cual queda dividido en cuatro partes, llamadas cuadrantes. El punto de in-
tersección se llama origen y tiene coordenadas (0,0). En este plano se observan
direcciones negativas y positivas, por lo que cualquier punto P será localizado por
parejas o duplas ordenadas (x, y). Este sistema se utiliza continuamente en la geo-
metría analítica y se le conoce como plano cartesiano, en honor a René Descartes,
o bien, ℜ2 (se lee: r dos). 
Otro sistema bidimensional usado comúnmente es el plano polar, el cual se com-
pone de un polo (origen) y un eje polar. Cualquier punto P se localiza a partir de la
longitud del segmento de recta que existe entre éste y el polo, además del ángulo que
se forma entre el eje polar y el segmento de recta, como se observa en la figura 1.8.
Si el plano polar se sobrepone en el plano cartesiano, haciendo coincidir el polo con
el origen, como muestra la figura 1.9, por trigonometría de triángulos rectángulos se
obtienen las siguientes relaciones:
x = r cos u [7]
y = r sen u [8]
[9]
[10]θ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−tan 1
y
x
8 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
Plano cartesiano Plano polar
Origen Polo Eje polar
P(x,y)
P(r,u)
u
r
Figura 1.8. El plano polar.
x
y
r
P(x,y)
P(r,u)
u
Polo
Origen Eje polar
Figura 1.9. Coincidencia entre el plano rectangular y el plano polar.
r x y= +2 2
Ejemplo 1.4
Determina las coordenadas rectangulares del punto P(4,30°) dado en coordenadas
polares.
Solución:
De las relaciones x � r cos u, y � r sen u, además de saber que y
se tiene que los valores para x y y son:
por lo que las coordenadas rectangulares son: P 2 3 2, .( )
y = ⋅ =4 1
2
2,x = ⋅ =4
3
2
2 3;
sen ,30
1
2
° =
cos 30
3
2
° =
René Descartes es reconocido como el padre de la geometría analítica, pues fue el pri-
mero en hacer públicos sus trabajos en el libro La Géométrie. Fermat lo hizo tiempo
después. El plano cartesiano está formado por duplas2 de coordenadas (x,y), a las que
se les asocia una relación biunívoca, porque para cada punto se tiene una dupla de
coordenadas. La letra x representa a las abscisas (en el eje horizontal), mientras que
y representa a las ordenadas (en el eje vertical). Es importante saber que la letra o el
nombre que recibirán el eje de las abscisas y el de las ordenadas depende de nosotros
o de la situación que se estudie; se recomienda al lector que ocasionalmente invierta
o cambie las literales de los ejes y analice los resultados.
Para encontrar el lugar de un punto en un plano cartesiano, debe localizarse el
valor de la abscisa, después el de la ordenada y luego trazar dos rectas —vertical y
horizontal, respectivamente—, hasta llegar al punto de intersección.
1.1 ■ Sistemas dimensionales 9
2 El término formal es dupla, pero por convención se usa pareja o par. A lo largo del libro se utilizarán los
tres términos de manera indistinta.
Figura 1.10. Punto en el plano cartesiano.
y
xo
Punto de
intersección
P(x,y)
Ejemplo 1.5
Localiza en un plano cartesiano los puntos cuyas duplas de coordenadas son: A(�2,1),
B(3,3), C(1,�5) y D(�4,�3).
Solución:
Primero identifica los datos de las duplas, después señala la abscisa y la ordenada en
cada caso, trazando sus respectivas rectas, y finalmente encuentra el punto.
Figura 1.1. Localización de puntos en el plano cartesiano.
A(–2,1)
D(–4,–3)
B(3,3)
C(1,–5)
y
xo
1.1.4. Sistema coordenado unidimensional
Si al plano cartesiano le quitamos el largo o el ancho, obtenemos una línea recta, co-
mo indica la figura 1.12.
10 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
Figura 1.12. Sistema coordenado unidimensional.
xo
A esta recta la podemos dividir en segmentos y colocar un punto de referencia, “ori-
gen, 0”, y de ahí tomar la dirección positiva y negativa (derecha e izquierda, conven-
cionalmente). Aquí sólo se podrán encontrar o trazar puntos continuos o discontinuos
y sólo tendremos la sensación de longitud.
Ejemplo 1.6
Localiza en el sistema coordenado unidimensional los puntos A � 4 y B � �3.
Solución:
Trazamos un segmento de recta y elegimos una escala adecuada para poder locali-
zarlos.
Figura 1.13. Localización de puntos en el sistema coordenado unidimensional.
o
A = 4B = –3
Una línea se define como una sucesión de puntos infinita; si es recta, diremos, ade-
más, que los puntos conservanuna misma inclinación o dirección. Si la línea se le li-
mita por dos puntos cualesquiera que se encuentran en ella, se obtendrá un segmento
de recta, en el cual se puede establecer una dirección positiva o negativa, según sea
pertinente, además de una magnitud. 
Considera la siguiente figura:
Figura 1.14. Segmento de recta.
A B
Si se toma como positivo el sentido de izquierda a derecha y viceversa negativo, se
dice que el segmento de recta es positivo y el segmento negativo. La dis-
tancia entre estos dos puntos es la misma, pero su sentido es diferente. Este sencillo
concepto debe ser bien comprendido, pues será de gran utilidad en todo el estudio de
la geometría analítica y otros temas.
BA,AB
Imaginar que se pueden analizar situaciones prácticas (de cosas cotidianas) suena
maravilloso e interesante, y aun más porque es posible hacerlo en términos matemá-
ticos, como se verá a lo largo de este libro.
1.2.1. Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional
El término distancia se define como la magnitud de la longitud entre dos puntos
cualesquiera. La magnitud debe entenderse como el valor absoluto, ya que no exis-
ten distancias negativas, pero sí desplazamientos negativos. De aquí la importancia
de que se establezca siempre un criterio en cuanto a direcciones, a partir de un siste-
ma de referencia. Nunca decimos: “Caminé menos diez metros”.
El valor absoluto. Se define como aquel que sirve para conocer la distancia en-
tre dos puntos de una recta. Por ejemplo a, cuya representación es , de un
valor determinado, cumple las siguientes condiciones:
Donde el valor de � está dado por la distancia que existe entre éste y un punto de
referencia, comúnmente denotado como O y llamado origen, el cual será si se
encuentra a la derecha y si está situado a la izquierda. Por lo tanto, el valor ab-
soluto se utiliza para conocer la distancia que existe entre dos puntos de una recta. 
Demostración:
Considera un segmento de línea recta limitado por dos puntos P1 y P2 cualesquiera,
en el cual se localice un origen o punto de referencia3, O, como se muestra en la si-
guiente figura:
α < 0
α ≥ 0
α
1.2 ■ Conceptos básicos 11
CONCEPTOS 
BÁSICOS
1.2
α
α
α
=
−
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
α
α
≥
<
0
0
o
P2P1
x1 x2
Dividimos en segmentos, de forma que donde: y 
además de que es la magnitud de la distancia entre los puntos x1 y x2, la cual de-
notamos con la letra d. Al sustituir las relaciones y tomando en cuenta el criterio es-
tablecido, obtenemos:
�x1 � x2 � d
o bien:
d � x2 � x1
P P
1 2
OP x
2 2
= ,PO x
1 1
=PO OP P P1 2 1 2+ = ;
si
si
3 En lo sucesivo, se tomarán como positivos los desplazamientos hacia la derecha, y como negativos los
que se realizan en sentido contrario.
Pero como no existen distancias negativas, obtenemos el valor absoluto de la expre-
sión anterior:
[ 11 ]
Obtenemos así la fórmula matemática para determinar la distancia entre dos puntos en
un sistema unidimensional. Como recomendación, siempre debes respetar los signos
propios de cada fórmula, pues es común confundirlos con los de los valores dados.
Ejemplo 1.7
Calcula la distancia entre los puntos A y B, donde A54 y B58.
Solución: 
Paso 1. Traza un segmento de recta donde puedan representarse los puntos dados y
márcalos.
d x x
1 2 2 1,
= −
12 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
77 88 99 1100
–2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10o
A
B
dx1 x2
Figura 1.15. Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional.
Paso 2. Toma uno de los puntos como final y otro como inicial (aquí se muestra de A
hacia B, y en forma inversa).
Paso 3. Aplica la fórmula matemática:
tomando como punto final a B:
o bien, si el punto A es el final:
Como se mencionó, la distancia siempre es positiva.
d
BA
= − = − =4 8 4 4
d
AB
= − =8 4 4
d x x
1 2 2 1,
= −
Ejercítate Determina la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos dados
y grafica en cada caso.
a) A = 22 y B = 4
b) A = 25 y B = 9
c) P = 26 y Q = 26
d) x1 = 2 y x2 = 8
e) x1 = 7 y x2 = 1
1.2.2. Distancia entre dos puntos en un plano cartesiano 
(bidimensional)
En el apartado anterior se habló de la distancia entre dos puntos en un plano unidi-
mensional. Aquí se tratará este concepto en el plano cartesiano o ℜ2, el cual tiene un
análisis ligeramente más complicado.
Demostración:
Sean y dos puntos cualesquiera, cuyas duplas de coordenadas se
encuentran en un plano cartesiano, como se ilustra en la figura 1.16.
B x y
2 2
,( )A x y1 1,( )
1.2 ■ Conceptos básicos 13
y
A C
B
o x
x2 – x1
y2 – y1
y2
y1
x1 x2
Figura 1.16. Distancia entre dos puntos en un plano bidimensional.
En la figura 1.16 se observa un punto C de coordenadas (x2, y1). Al fragmentar la rec-
ta por los puntos dados se tiene además, la distancia
que se busca es la comprendida por el segmento El punto C servirá de refe-
rencia para construir un triángulo rectángulo ACB, de donde se establece a partir del
teorema de Pitágoras (c2 5 a2 1 b2):
Se reconoce que los segmentos y son los catetos del triángulo y la hipo-
tenusa; sustituyendo, se tiene:
Como interesa saber la distancia, se toma la raíz cuadrada de ambos miembros, para
eliminar los cuadrados:
[12]d x x y yAB = −( ) + −( )2 1 2 2 1 2
d x x y y
AB
2
2 1
2
2 1
= − + −
CB y y= −| |
2 1
AC x x= −| |
2 1
ABCBAC
AC CB AB
2 2 2
+ =
AB d
AB
= .
CB y y= −| |;
2 1AC x x= −| |,2 1
Una raíz cuadrada tiene dos posibles valores, pero como se mencionó, no existen dis-
tancias negativas y además estamos tratando con valores absolutos.
Una vez comprendida la fórmula matemática, describiremos un procedimiento
sencillo para determinar la distancia entre dos puntos:
Procedimiento para calcular la distancia entre dos puntos
1. Traza un plano cartesiano y elige una escala (unidad de medida), donde se
puedan representar los puntos dados.
2. Localiza cada uno de los puntos y únelos con un segmento de recta (esto te
permitirá visualizar la distancia que vas a encontrar).
3. Si tomas (x1, y1) como punto inicial, tendrás a (x2, y2) como punto final.
4. Aplica la fórmula respetando en todo momen-
to los signos, lo que evitará que cometas errores.
Ejemplo 1.8
Calcula la distancia entre los puntos A y B, cuyas duplas de coordenadas son (3,2) y
(23,21), respectivamente.
Solución:
Paso 1. Traza un plano cartesiano.
Paso 2. Coloca en él los puntos dados y únelos, para visualizar la distancia a calcular.
Paso 3. Se designa al punto A como inicial y se aplica la fórmula dada.
d x x y y
AB
= −( ) + −( )2 1 2 2 1 2
14 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
O
y
x
A(3,2)
B(–3,–1) •
•
Figura 1.17. Distancia entre dos puntos.
Paso 4:
o bien:
d
BA
= 45
d
BA
= +(-3-3 ) (-1-2 )2 2
d
AB
= 45
d
AB
= +(3-(-3)) (2 -(-1))2 2
Como se observa, la distancia es la misma. No pueden obtenerse resultados diferen-
tes. Recuerda respetar los signos negativos de la fórmula, así como los valores de ca-
da par de coordenadas, lo que evitará que cometas errores.
1.2.3. División de un segmento en una razón dada 
y el punto medio
Razón. Una razón es el resultado de comparar dos cantidades entre sí o el cocien-
te de dividir cada término entre el que le precede. 
Cuando decimos que un vehículo viaja a una velocidad de existe una razón
entre km y hr; que se denota como un cociente y 25 es un valor que se obtiene
de esa relación.
Ejemplo 1.9
Si se tiene que recorrer una distancia de metros en un tiempo de 10 segundos, la ra-
zón que se tiene es de distancia y tiempo (en física, sabemos que esto es rapidez), la
cual se expresa como 
Ejemplo 1.10 
Si en una frase se nos dice que existe una razón de tres cuartos, esto se representa ma-
temáticamente como
En general, sean a y b dos valores cualesquiera que pertenecen a los números rea-
les. La razón de a a b se expresa como o como a : b.
Proporción. Una proporción se describe como la igualdad de dos razones, o co-
mo la correspondencia entre las partes de un objeto con su todo:
o, usando un producto cruzado:
ad bc=
a
b
c
d
=
a
b
r = 3
4.
r = =100
10
10 .
m
s
m
s
km
hr
,
25 ,
km
hr
1.2 ■ Conceptos básicos 15
Determina la distancia que existe entre cada una de las duplas de coordenadas
y grafica en cada caso.
a) A(6,4) y B(3,5) b) P(–5,–3) y Q(–2,–4)
c) F(–4,1) y V(–1,2) d) C(7,–8) y D(9,–5)
e) R(3,–5) y S(–3,0) f ) A(1,–10) y B(1,–10) 
Ejercítate
Ejemplo 1.11
Un análisis muy peculiar para obtener la fórmula del área de una elipse lo concibió
el físico Kepler y más tarde Emma Castelnuovo4, quien se apoyó en un material uni-
formemente elástico y en los conceptos de razón y proporción para obtener el área de
una elipse, como se expone a continuación:
En un material uniformemente elástico se traza un cuadrado y en éste, una cir-
cunferencia, como muestra la figura 1.18.
16 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
r
2r
Figura 1.18. Circunferencia inscrita en el cuadrado.
Luego se aplica una fuerza uniforme en ambos lados (izquierdo y derecho) de ese ma-
terial. El cuadrado se transformará en un rectángulo y la circunferencia en una elip-
se, como se muestra a continuación:
a
2a
b
2b
Fuerza
uniformemente
aplicada en
ambos extremos
Figura 1.19. Elipse inscrita en un rectángulo.
Observando ambas figuras, se establece la siguiente relación:
Por geometría plana, se saben directamente las fórmulas que definen el área del cua-
drado, del rectángulo y la circunferencia, por lo que el área a determinarse es la de la
elipse. Sustituyendo valores, se tiene:
A
A
A
A
CUADRADO
CIRCUNFERENCIA
RECTÁNGULO
ELIPSE
=
4 García, Jesús y Celestí Bertrán, Geometría y experiencias, Addison Wesley, Madrid,1990.
División de un segmento en una razón dada
Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de recta, al cual se
pretende dividir en una fracción o razón dada r (en partes iguales), y además
C(x, y) es un punto tal que , entonces es posible determinar las
coordenadas del punto C en términos de C1 y C2 como sigue:
x 5 x1 1 r (x2 2 x1) , y 5 y1 1 r(y2 2 y1)
r C C C C=
1 1 2
/
que corresponde a la fórmula que define el área de una elipse.
En matemáticas, dos cantidades pueden compararse de dos maneras: por diferen-
cia o por cociente. Los términos de cualquiera de los casos de la razón se lla-
man antecedente y consecuente.
Ejemplo 1.12
Dada la razón por diferencia 321, identifica cuál valor es el antecedente y cuál el con-
secuente.
Solución:
3 5 antecedente; 1 5 consecuente.
Ejemplo 1.13
Dada la razón por cociente distingue cuál valor representa al antecedente y cuál
al consecuente.
Solución:
4 5 antecedente; 3 5 consecuente.
1.2.4. División de un segmento en una razón dada
4
3
,
A
ab r
r
A ab
elipse
elipse
=
∴ =
4
4
2
2
π
π
4 42
2
r
r
ab
A
elipseπ
=
1.2 ■ Conceptos básicos 17
Teorema
Demostración: 
Considera la siguiente figura:
18 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
y
xo
C1(x1,y1)
C2(x2,y2)
C(x,y)
Figura 1.20. División de un segmento.
De acuerdo con las coordenadas de los puntos dados, tenemos:
Al despejar x, se obtiene:
x 5 x1 1 r (x2 2 x1) [ 13 ]
En forma semejante, para y se tiene:
y 5 y1 1 r(y2 2 y1) [ 13 ]
Observa que si debe entenderse que el punto C se localiza a de la distancia
comprendida entre C1 y C2, es decir, dividimos al segmento de recta en cuatro partes
iguales. Si C está a cinco octavas partes de la distancia que existe entre C1 y C2, es
porque r = 5
8
.
1
4
r = 1
4
,
⇒ =
−
−
r
x x
x x
1
2 1
C C
C C
r1
1 2
=
Ejercítate Punto de división de un segmento de recta
Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de recta y además
C(x, y) es un punto tal que permite dividir al segmento en una relación dada
como , es posible determinar las coordenadas del punto C en tér-
minos de C1 y C2 como sigue:
Donde r es negativa si el punto de división está en la prolongación del segmen-
to en cualquiera de sus dos sentidos.
∀ ≠ −r 1y
y ry
r
=
+
+
1 2
1
;x
x rx
r
=
+
+
1 2
1
,
r C C CC=
1 2
/
Demostración:
Considera la siguiente figura:
1.2 ■ Conceptos básicos 19
y
xo
C1(x1,y1)
C(x,y)
C2(x2,y2)
••
••
••
Figura 1.21. Punto de división de un segmento.
Por geometría plana de triángulos semejantes:
Al despejar x:
rx2 2 rx 5 x 2 x1
Factorizando:
x(1 1 r) 5 x1 1 rx2
Finalmente se tiene 
[14]
De forma análoga, para y
[14]
Observa que aquí se compara cierta parte del segmento contra su magnitud.
Ejemplo 1.14 
Encuentra la dupla de coordenadas de un punto A, que divide al segmento determina-
do por E(21,6) y F(3,23) en la razón 
La coordenada x, según será:
análogamente, para la coordenada y: y =
+ ( ) −
+
=
6 3
4
3
1 3
4
15
7
( )
x =
− + ( )
+
=
1 3
4
3
1 3
4
5
7
( )
x
x rx
r
=
+
+
1 2
1
,
r = 3
4
.
y
y ry
r
=
+
+
1 2
1
x
x rx
r
=
+
+
1 2
1
⇒ =
−
−
r
x x
x x
1
2
C C
CC
r1
2
=
Las coordenadas del punto A serán 5
7
15
7
, .( )
20 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
F
E
O
A
y
x
•
•
•
Figura 1.22. Punto que divide a un segmento en una razón dada.
1.2.5. Punto medio de un segmento de recta
Un caso particular que se obtiene es cuando r 5 1. La ecuación [14] se reduce a lo si-
guiente:
; [15]
y se le conoce como punto medio.
También se puede obtener a partir de [13], haciendo es decir, dividiendo
al segmento en dos partes.
Ejemplo 1.15
Determina las coordenadas del punto medio del segmento comprendido por los pun-
tos C(3,6) y D(24,22).
Solución:
Al identificar al punto C como punto inicial, se tiene:
Por tanto, las coordenadas del punto medio son A −( )12 2, .
y = − =6 2
2
2x =
− = −3 4
2
1
2
,
r = 1
2
,
y
y y
=
+
1 2
2
x
x x
=
+
1 2
2
Ejemplo 1.16
Un herrero requiere fabricar una escalera de 3.0 metros de largo y desea colocarle
nueve peldaños. ¿Cómo determinarías a qué distancia debe poner cada uno, si el tra-
mo de material está en posición horizontal, como se muestra en la figura? 
Solución:
Si nos apoyamos en la expresión y tomamos como origen x1 y x2 5 3
Al sustituir valores: metros.
Para determinar la distancia, lo que se hace es restar de la longitud total del material
el valor obtenido de x.
3.0 2 2.7 5 0.3 metros.
Por lo tanto, cada peldaño se debe colocar a 0.3 metros de separación.
x = + ⋅
+
= =0 9 3 0
1 9
27
10
2 7
.
.
x
x x r
r
=
+
+
1 2
1
1.2 ■ Conceptos básicos 21
D
C
O
A
y
x
•
•
•
Figura 1.23. Punto medio de un segmento de recta dado.
3 m
1
0.30 m
Figura 1.24. Escalera con 9 peldaños.
Otra solución es observar que el número de partes que se tendrán son 10, por lo cual,
, es decir:
Y obtenemos el mismo resultado.
Ejemplo 1.17
Un albañil se dispone a trazar y construir una escalera de seis escalones en un espa-
cio como el que se muestra en la figura siguiente. ¿Cómo lo ayudarías a determinar
las dimensiones de la plantilla y su altura?
x
x
= + −
=
0 0
1
10
3 0 0 0
0 3
. ( . . )
.
r = 1
10
22 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
x
y
O
2.5 m
1.5 m
Plantilla Altura
Figura 1.25. Escalera con seis peldaños.
Solución:
La forma más práctica es aplicar el concepto de división de un segmento en una ra-
zón dada. De acuerdo con lo observado en la figura, tiene la siguiente forma.
Para obtener el valor de la plantilla:
De manera semejante, para determinar la altura:
a través de los productos siguientes se comprueba que las medidas obtenidas son las
correctas:
y 3
12
6
3
2
1 5* .= = m
5
12
6
5
2
2 5* .= = m
⇒ − = =3
2
15
12
3
12
0 25. my
y ry
r
=
+
+
=
+ ( )
+
=1 2
1
0 5 3
2
1 5
15
12
⇒ − = =5
2
25
12
5
12
0 416. mx
x rx
r
=
+
+
=
+ ( )
+
=1 2
1
0 5 5
2
1 5
25
12
Otra posible solución es tomar con lo que se obtiene:
Y para y:
Como se observa, se llega a los mismos resultados.
1.2.6. Teorema de Vazgar5
A partir del caso en el que, dadas las duplas de coordenadas de los vértices de un
triángulo, se calculan los puntos medios de cada uno de sus lados, el teorema de Vaz-
gar plantea el caso contrario: dadas las coordenadas de los puntos medios de los la-dos de un triángulo (al que llamaremos triángulo primitivo), se calculan los vértices
que los generaron; y todo esto sin plantear sistemas de ecuaciones o procedimientos
extensos. Al triángulo formado por los puntos medios lo llamaremos precisamente
triángulo de puntos medios. 
Demostración:
Sean los puntos: D(x3, y3), E(x4, y4) y F(x5, y5) los vértices de un triángulo de puntos
medios y A(x0, y0), y B(x1, y1), C(x2, y2) los vértices del triángulo primitivo, es decir,
los que generan los puntos medios localizados en un plano cartesiano, como se mues-
tra en la figura 1.26.
y
y
= + −
=
0 0
1
6
1 5 0 0
0 25
. ( . . )
.
x
x
= + −
=
0 0
1
6
2 5 0 0
0 416
. ( . . )
.
r = 1
6
,
1.2 ■ Conceptos básicos 23
1. Divide el segmento de recta dado en la razón indicada para cada caso. 
a) A(1,2) y B(3,4), b) P(–3,–5) y Q(1,4),
c) A(0,0) y B(5,–6), r 5 4 d) P(–4,7) y Q(–4,–2), r 5 8
e) A(2,–9) y B(5,3), f) P(0,–3) y Q(–5,0),
2. El punto medio de un segmento de recta es P(0,–2) y uno de los puntos de
sus extremos es O(–2,1). Determina las coordenadas del otro extremo.
r = 1
5
r = 2
5
r = 1
4
r = 1
3
Ejercítate
5 Teorema desarrollado por el autor del presente libro, y dedicado a Alberto García, cuya creatividad no
fue reconocida.
A partir de las ecuaciones de punto medio para cada segmento de recta:
y
La figura permite determinar para cada dupla de coordenadas los puntos medios:
y (i)
y (ii)
y (iii)
De las coordenadas de los puntos medios se obtienen las del triángulo ABC. Si pro-
cedemos algebraicamente, de las ecuaciones (i), (ii) y (iii) se obtendrán las coorde-
nadas de A(x0, y0), B(x1, y1), C(x2, y2). De (i) y (ii) se despejan, x2 y y2, para igualarlas.
Los pasos se pueden hacer al mismo tiempo para ambas coordenadas:
2x3 2 x0 5 2x4 2 x1 y 2y3 2 y0 5 2y4 2 y1 (iv)
Si se despeja x1 y y1, para llevarlas a la ecuación (iii):
y (v)y
y y y
5
4 3 0
2 2 2
2
=
− +
x
x x x
5
4 3 0
2 2 2
2
=
− +
y
y y
5
0 1
2
=
+
x
x x
5
0 1
2
=
+
y
y y
4
1 2
2
=
+
x
x x
4
1 2
2
=
+
y
y y
3
0 2
2
=
+
x
x x
3
0 2
2
=
+
Pm
y y
y
=
+
1 2
2
Pm
x x
x
=
+
1 2
2
24 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
x
y
O
A(x0,y0)
F(x5,y5)
B(x1,y1)
E(x4,y4)
C(x2,y2)
D(x3,y3)
•
•
•
•
•
•
Figura 1.26. Puntos medios de los lados de un triángulo.
Al despejar x0 y y0, respectivamente, se encuentran la dupla de coordenadas para el
vértice A
x0 5 x5 1 x3 2 x4 y y0 5 y5 1 y3 2 y4 (vi)
De manera semejante se encuentran las coordenadas de los vértices restantes:
Para: B
x1 5 x5 1 x4 2 x3 y y1 5 y5 1 y4 2 y3 (vii)
Finalmente: C
x2 5 x4 1 x3 2 x5 y y2 5 y4 1 y3 2 y5 (viii)
Como las ecuaciones (vi), (vii) y (viii) corresponden al valor de los vértices buscados,
es posible hacer un pequeño arreglo que permita determinar los valores de cada uno,
a partir de los puntos medios, como se muestra a continuación:
A(x0, y0) ⇔ (x0 5 x5 1 x3 2 x4, y0 5 y5 1 y3 2 y4) [16]
B(x1, y1) ⇔ (x1 5 x5 1 x4 2 x3, y1 5 y5 1 y4 2 y3) [17]
C(x2, y2) ⇔ (x2 5 x4 1 x3 2 x5, y2 5 y4 1 y3 2 y5) [18]
Observa que las operaciones deben hacerse en forma aritmética y homogénea. 
Ejemplo 1.18
Calcula los vértices de un triángulo primitivo aplicando el teorema de Vazgar, cuyos
puntos medios son D(1,2), E(5,1) y F(2,–2). Traza la gráfica correspondiente.
Solución:
Al aplicar el teorema de Vazgar, para determinar los vértices, se tiene:
A(x0, y0) ⇔ x0 5 1 1 5 2 2 5 4, y0 5 2 1 1 2(22) 5 5 ⇒ (4,5)
B(x1, y1) ⇔ x1 5 2 1 5 2 1 5 6, y1 5 1 2 2 22 5 23 ⇒ (6,23)
C(x2, y2) ⇔ x2 5 2 1 1 2 5 5 22, y2 5 2 2 1 2 2 1 5 21 ⇒ (22,21)
1.2 ■ Conceptos básicos 25
 
 
O
y
x
A(4,5)
E(5,1)
D(1,2)
C(–2,–1)
F(2,–2)
B(6,–3)
•
•
•
•
•
•
Figura 1.27. Vértices de un triángulo, conocidos los puntos medios de sus lados.
1.2.7. Pendiente de un segmento de recta
El concepto de pendiente se relaciona con la inclinación que posee un cuerpo respec-
to de un plano de referencia, es decir, al ángulo que se forma entre ellos.
26 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
1. Calcula los puntos medios de los siguientes segmentos de recta que forman
un triángulo, cuyos vértices son P(22,5), Q(1,22) y R(4,2), después aplica
el teorema de Vazgar y comprueba los resultados.
Ejercítate
u
Figura 1.28. Pendiente de un segmento de recta.
Para un segmento de recta comprendido entre dos puntos en un plano xy se puede pre-
sentar alguna de las cuatro situaciones siguientes:
m
D
D
== utan
x
y
u
u u
Dx
Dy
u
0
= ∞, no definidaDy
Dx = 0
y
Dx
Dy
Dx
x
y
m
D
D
== utan
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
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+
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+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
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+
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+
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+
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+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +
(x1,y1)
(x1,y1)
(x1,y1)
(x1,y1)
(x2,y2)
(x2,y2)
(x2,y2)
u < 90° u > 90° u = 90° o 270° u = 0° o 180°
m = tanu =
Dx
= 0 no tiene0m = tanu =
•
•
•
•
•
•
• •
Pendiente positiva Pendiente negativa
Dy=0
(x2,y2)
Figura 1.29. Diferentes situaciones para la pendiente de una recta.
Donde6 Dx 5 x2 2 x1 y Dy 5 y2 2 y1, es decir, la pendiente del segmento de recta se
define como:
[19]
Este concepto se estudiará con más detalle en el capítulo 3.
Ejemplo 1.19
Dados los puntos A(2,5) y B(1,1), determina la pendiente de la recta que pasa por és-
tos e indica si es positiva o negativa.
m
y y
x x
= =
−
−
tan θ 2 1
2 1
6 D es la letra griega delta y denota un cambio (incremento) en la variable que la acompaña.
Solución:
La pendiente de una recta se determina mediante la expresión Toman-
do los valores de A como coordenadas finales, se tiene:
por el signo, se concluye que la pendiente es positiva. 
Ejemplo 1.20 
La gráfica mostrada en la figura 1.30 representa las ventas (en miles de pesos) de cier-
to producto (en centenas) en los siete meses que se indican desde el día de su lanza-
miento. A partir del concepto de pendiente di cuántas veces las ventas han sido
positivas, cuántas negativas y cuántas no han sufrido cambios. 
Solución:
m
BA
= −
−
= −
−
=1 5
1 2
4
1
4
m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
.
1.2 ■ Conceptos básicos 27
E F M A M J J A
1
2
3
4
5
6
7
8
1 3 4 5 6 7 82
Ventas
(pesos)
Producto
(centenas)
•
•
• •
•
•
•
Figura 1.30. Ventas de un producto.
La pendiente se define como una diferencia de ordenadas (ventas) entre una diferen-
cia de abscisas (producto). Teniendo en consideración lo anterior, se calculan las pen-
dientes correspondientes entre cada mes, a partir de su lanzamiento al mercado.
La pendiente entre enero y febrero
febrero y marzo
marzo y abril
no presenta cambios, no existe pendiente m
MA
= −
−
= =7 7
4 3
0
1
0
m
FM
= −
−
= = +7 6
3 2
1
1
1 ( )
m
EF
= −
−
= = +6 1
2 1
5
1
5 ( )
abril y mayo
mayo y junio
finalmente, entre junio y julio
Una vez hechos los cálculos, vemos que las pendientes han sidotres veces positivas,
dos negativas y en una sola ocasión no se presentaron cambios. 
Miscelánea de ejemplos
1. Dada la terna de coordenadas rectangulares tridimensionales de un punto
Q(2,24,6), halla sus coordenadas cilíndricas y esféricas.
Solución:
Las coordenadas cilíndricas se obtienen a partir de x 5 r cos u, y 5 rsen u y z 5 z
z 5 6, es decir,
Las respectivas coordenadas esféricas las obtenemos de x 5 r sen f cos u, y 5
r sen u y z 5 r cos f
θ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − °− −tan tan .1 1 4
2
63 4
y
x
o 296..6°
r x y z= + + = + − + =2 2 2 2 2 22 4 6 56( ) ( ) ( ) ,
Q( , . , ).20 296 6 6°
θ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − °− −tan o 2961 1 4
2
63 4
y
x
tan . ..6°r x y= + = + − =2 2 2 22 4 20( ) ( ) ,
m
AM
= −
−
= − = −5 6
7 6
1
1
1 (–)
m
MJ
= −
−
= = +6 4
6 5
2
1
2 ( )
m
AM
= −
−
= − = −4 7
5 4
3
1
3 (–)
28 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
1. Dados los siguientes pares de puntos, traza el segmento de recta que forman
y determina la pendiente en cada caso.
a) A(5,–9) y B(–2,3) b) P(–6,7) y Q(4,–4)
c) R(7,–8) y S(7,3) d) E(8,9) y P(6,–1)
e) C(–26,–12) y D(–10,–14) f) E(–6,7) y F(15,7)
2. Determina el ángulo de inclinación de cada segmento de recta, comprendi-
do en los siguientes pares de puntos.
a) (3,3) y (–1,2) b) (–2,5) y (4,–1)
c) (–1,8) y (4,8) d) (–2,4) y (–2,7)
3. Demuestra de tres maneras diferentes que los siguientes puntos A(1,3),
B(2,5) y C(–3,–5) pertenecen a una misma recta.
Ejercítate
por lo cual
2. Determina las coordenadas rectangulares del punto P(6,60°) localizado en coor-
denadas polares.
Solución:
De las relaciones x 5 r cos u, y 5 r sen u y utilizando el apéndice B, se tiene:
x 5 6 cos 60° 5 3 Sus coordenadas rectangulares son:
3. Un punto se localiza a la misma distancia de x1 5 6 y de x2 5 28. Determina el
punto x que satisface tal condición. 
Solución:
Para facilitarla, se propone un punto x cualquiera y se traza una gráfica, como se
muestra en la figura 1.31; además, recordemos que no existen distancias negativas.
P( , ).3 3 3y = ⋅ =6 3
2
3 3.
Q( , . , . ).56 296 6 36 7° °φ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = °
− −cos cos . ,1 1
6
56
36 7
z
r
1.2 ■ Conceptos básicos 29
O x1 = 6x2 =–8
x8 – x
Figura 1.31. Punto medio.
En la figura se muestra la distancia entre cada punto y se observa que x , 0.
Al igualar distancias de cada punto conocido con el punto x se tiene:
82x 5 6 1 x ⇒ 2 5 2x
x 5 1
con lo que se satisface la igualdad establecida:
7 5 7
Pero por la segunda propiedad del valor absoluto, 2a si a , 0, se concluye que x
se localiza en:
x 521
4. Dadas las coordenadas de los puntos P(2,2), Q(26,0) y R(23,23), encuentra las
coordenadas de un punto equidistante a ellos.
Solución:
Sea T(x, y) el punto buscado. Por las condiciones del problema y utilizando la
ecuación de distancia entre dos puntos en un plano cartesiano, tenemos:
PT 5 QT y QT 5 RT
Es decir:
(i)
(ii)x y x y−( ) + −( ) = +( ) + −( )2 2 6 02 2 2 2
x y x y−( ) + −( ) = +( ) + −( )2 2 6 02 2 2 2
Para resolver el sistema de ecuaciones, se eleva al cuadrado cada miembro y se
desarrollan los binomios indicados, de donde se obtiene:
216x 24y 5 28 (i)
6x 2 6y 5 218 (ii)
Simplificando por cualquier método de ecuaciones simultáneas, se tiene que x 5
22 y y 5 1. Por lo cual, las coordenadas del punto buscado son: T(22,1)
30 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
Q(–6,0)
R(–3,–3)
T(–2,–1)
P(2,2)
•
•
•
•
y
x
Figura 1.32. Coordenadas de un punto equidistante.
5. Los siguientes puntos P(28,4), Q(2,–2) y R(–2,–6) son los vértices de un trián-
gulo. Determina de qué tipo de triángulo se trata y justifica tu respuesta.
Solución:
Una característica que permite identificar un triángulo es la longitud de sus la-
dos. De acuerdo con esto, se tiene:
Como se identifica que el triángulo es isósceles.
6. Si ya conoces el tema de determinantes, te será sencillo utilizar la expresión que
se muestra para calcular el área de un triángulo a partir de las coordenadas de sus
vértices. Aplícala para calcular el área del triángulo del ejemplo anterior.
Solución:
Primero recordamos que no existen áreas negativas, entonces, si el resultado del
determinante da un valor negativo tomaremos, el valor absoluto. Podemos desig-
nar arbitrariamente las coordenadas:
A
x y
x y
x y
x y y y x x= = − − − +1
2
1
1
1
1
2
1 1
2 2
3 3
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) (xx y x y
2 3 3 2
−⎡⎣ ⎤⎦)
PQ PR= ,
QR = − − + − + =( ) ( )2 2 6 2 322 2
PR = − + + − − =( ) ( )2 8 6 4 1362 2
PQ = + + − − =( ) ( )2 8 2 4 1362 2
Es decir, A 5 32
7. Un segmento de recta comprendido por los puntos A(21,2) y B(6,6) se pretende
dividir en tres partes iguales. Determina las coordenadas de los puntos P y Q,
donde se trisecta ese segmento.
Solución:
Para localizar P, se tiene que a partir de x 5 x1 1 r(x2 2 x1) y y 5 y1 1
r(y2 2 y1) se obtiene con 
es decir,
Para obtener las coordenadas de Q,
las coordenadas son: Q
11
3
14
3
,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y = + − =2 2
3
6 2
14
3
( ) ,x = − + + =1 2
3
6 1
11
3
( )
r = 2
3
.
P
4
3
10
3
, .
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y = + − =2 1
3
6 2
10
3
( ) ,x = − + + =1 1
3
6 1
4
3
( ) ,
r = 1
3
A =
−
−
− −
= − − + − + + − −1
2
8 4 1
2 2 1
2 6 1
1
2
8 2 6 4 2 2 1 12 4( ) ( ) ( ))⎡⎣ ⎤⎦ = −32
1.2 ■ Conceptos básicos 31
A
B
Q
P
x
y
•
•
•
•
Figura 1.33. Coordenadas de los puntos que trisectan un segmento de recta dado.
8. Se sabe que un segmento de recta contiene al punto (3,2) y que tiene una pen-
diente . Traza la gráfica correspondiente y determina un segundo punto.
Solución:
Utilizamos la definición de pendiente y consideramos un corrimiento hacia la iz-
quierda en las abscisas.
Al trazar la pendiente, encontramos el segundo punto buscado (22,5):
m = − 3
5
9. Comprueba que en la figura mostrada, el segmento se localiza a la mitad de
los segmentos y . Prueba también que es la mitad del segmento y
que son paralelos.
BCACAB
DE
32 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
x
y
(3, 2)
3
–5
5
3−=m
(–2,5)
•
• •
Figura 1.34. Punto que pertenece a un segmento de recta.
x
y
D(3.5,1.5)
B(5,4)
C(7,1)
E(4.5,0)
A(2,–1)
•
••
•
•
Figura 1.35. Segmentos paralelos.
Solución:
Para comprobar que el segmento se localiza a la mitad de los segmentos 
y , bastará con mostrar que corresponden a los puntos medios.
Para D se tiene: y para E:
De esta manera se comprueba que las coordenadas correspondientes son: D(3.5,
1.5) y E(4.5,0). Ahora se verifican las longitudes de y BCDE
x
y
E
E
= + =
= − =
7 2
2
4 5
1 1
2
0
.x
y
D
D
= + =
= − =
5 2
2
3 5
4 1
2
1 5
.
.
AC
ABDE
Y se comprueba que es la mitad . Finalmente, se muestra que son para-
lelos a través de sus pendientes
Como mDE 5 mBC, se concluye que son paralelos.
10. Ejemplo de aplicación. Dos estudiantes quieren saber en cuánto tiempo y en qué
punto chocan dos pelotas lanzadas al mismo tiempo, una hacia arriba con veloci-
dad inicial de 15 m/s y la otra de que parte del reposo desde una altura de 20m.
Ambas van en la misma dirección, pero en sentido contrario, como se aprecia en
la figura. También saben que las ecuaciones que rigen su movimiento son: yf 5
y1 1 viyt 2 4.9t
2 y yf 5 y2 2 4.9t
2, respectivamente. ¿Qué valor de yf encontra-
rán los estudiantes?
m
m
DE
BC
= −
−
= −
= −
−
= −
0 1 5
4 5 3 5
1 5
1 4
7 5
1 5
.
. .
.
.
BCDE
DE
BC
= − + − =
= − + − =
( . . ) ( . )
( ) ( )
4 5 3 5 0 1 5 13
2
7 5 1 4
2 2
2 2 113
1.2 ■ Conceptos básicos 33
y
x
y2 = 20 m
yf = ?
y1 = 0 m
•
•
Figura 1.36. Movimiento vertical.
Solución:
Para encontrar el valor de yf se sustituyen los valores dados en las ecuaciones res-
pectivas y se igualan, es decir, de: yf 5 y1 1 viyt 2 4.9t
2 y yf 5 y2 2 4.9t
2
se obtiene:
0 1 15t 2 4.9t2 5 20 2 4.9t2
Al simplificar, se halla que t 5 1.33. Al sustituir en ambas ecuaciones se encuen-
tra que:
yf 5 15(1.33) 2 4.9(1.33)
2 5 11.3 m y yf 5 20 2 4.9(1.33)
2 5 11.3 m
11. Un diseñador requiere localizar, en un plano cartesiano, las coordenadas deun
punto P(x, y) que dista en tres unidades de un punto Q(23,22), de tal forma que
al unirlos se tenga una pendiente de m 5 3. ¿Cuáles son estas coordenadas?
Solución:
Por la primera condición del problema se tiene:
Al simplificar,
9 5 x2 1 6x 1 9 1 y2 1 4y 1 4
x2 1 y2 1 6x 1 4y 1 4 5 0 (i)
Luego,
Por simplificación se obtiene:
y 1 2 5 3x 1 9
y 2 3x 5 7 (ii)
Para resolver el sistema de ecuaciones, de (ii) se despeja y y se sustituye en (i),
de donde se obtiene:
x2 1 (3x 1 7)2 1 6x 1 4(3x 1 7)14 5 0
10x2 1 60x 1 81 5 0
Resolviendo por fórmula general y utilizando tres cifras significativas obtenemos:
x1 5 22.05 y1 5 0.847
lo cual conduce a
x2 5 23.95 y2 5 24.84
Es decir, se tienen dos posibles puntos que satisfacen las condiciones dadas
(22.05,0.847) y (23.948,24.84).
NOTA: Este problema puedes resolverlo con un poco de observación y análisis,
evitando cualquier labor algebraica. Inténtalo.
12. Si los puntos medios de los lados de un triángulo son D(22,1), E(1,2) y F(3,22),
utiliza el teorema de Vazgar y calcula los vértices respectivos.
Solución:
C x y C( , ) ( , )
2 2
1 3 2 2 2 1 6= + + = − − ⇒ –1
B x y B( , ) ( , )
1 1
2 3 1 1 2 2 0= − + − = − − ⇒ –3
A x y A( , ) ( , )
0 0
2 1 3 1 2 2 4= − + − = + + ⇒ − 5
y
x
+
+
=2
3
3
3 3 22 2= + + +( ) ( )x y
34 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
De manera gráfica:
1.2 ■ Conceptos básicos 35
–4
−2
2 4 6
−4
−2
2
4
x
y
–2
•
•
•
•
•
Figura 1.37. Vértices de un triángulo, dados los puntos medios de sus lados.
13. Un campesino desea saber qué área ocupa su terreno. Marca un punto de referen-
cia y localiza los siguientes puntos: (3,24), (24,27), (54,21) y (48,0), en metros,
como lo muestra la figura. Ayuda al campesino a determinar el área que desea co-
nocer.
27
24
21
(3,24)
(24,27)
(54,21)
(48,0)
(0,0) 3
3
24 48 54
Figura 1.38. Área de un terreno.
Solución:
Mediante propiedades geométricas y algebraicas es posible demostrar que para
obtener el área de un polígono, en general, se utiliza el siguiente arreglo:
Para la resolución de problema se tiene:
Es decir, A 5 1228.5 m2.
Se sabe de antemano que no existen áreas negativas. Para obtener un resultado
positivo bastará con tomar los puntos en sentido contrario a las manecillas del re-
loj (movimiento antihorario); además, se ha incluido el origen por ser un punto
del polígono y se han puesto ceros para que se entienda mejor el proceso de so-
lución.
14. Si en un segmento de recta comprendido entre P(1,21) y R(5,6) se establece que
la relación es ¿cuáles son las coordenadas del punto Q? 
Solución:
Por división de un segmento en una razón dada
Las coordenadas son:
RESUMEN
✓ Existe más de un sistema coordenado. Éstos se encuentran relacionados entre sí y nos per-
miten localizar uno o más puntos, así como analizar propiedades geométricas de cuerpos y
elementos de la misma índole.
Q
13
5
9
5
,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y
Q
= − + + =1 2
5
6 1
9
5
( )xQ = + − =1
2
5
5 1
13
5
( )
PQ
PR
= 2
5
A = = + + + + − −1
2
0 0
3 24
24 27
54 21
48 0
0 0
1
2
0 81 504 0 0 0 576 −− − −⎡⎣ ⎤⎦ = −1458 1008 0 1228 5. m
2
36 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
11
44
33
22
11
2
1
yx
yx
yx
yx
yx
A
��
=
+
+
+
+
+
–
–
–
–
Algunas de las relaciones son:
rectangulares-cilíndricas en ℜ3 rectangulares-esféricas en ℜ3
x 5 r cos u x 5 r sen f
y 5 r sen u y 5 r sen f sen u
z 5 z z 5 r cos f
rectangulares – polares en ℜ2 
x 5 r cos u y 5 r sen u
✓ Un segmento de línea recta se define como una sucesión de puntos infinita; tales puntos
conservan una misma inclinación, llamada pendiente. Su sentido depende de los puntos ini-
cial y final.
✓ Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional:
Se define como la magnitud de la longitud entre dos puntos cualesquiera. Al mencionar mag-
nitud se entiende que se toma su valor absoluto, ya que no existen distancias negativas.
✓ Distancia entre dos puntos en un plano cartesiano (bidimensional). Es indistinto el pun-
to que se quiera tomar como inicial y final.
División de un segmento en una razón dada:
x 5 x1 1 r(x2 2 x1) , y 5 y1 1 r(y2 2 y1)
Punto de división de un segmento en una razón dada:
, ;
✓ Punto medio de un segmento de recta comprendido entre dos puntos:
;
✓ Teorema de Vazgar:
✓ Pendiente de un segmento de recta:
Conocidos dos puntos que delimitan un segmento de recta, la pendiente del segmento se
define como:
PROBLEMAS
Realiza los siguientes ejercicios.
m
y y
x x
= =
−
−
tanθ 2 1
2 1
C x y x x x x y y y y
2 2 2 5 4 3 2 5 4 3
, ( , )( ) ⇔ = + − = + −
B x y x x x x y y y y
1 1 1 4 3 5 1 4 3 5
, ( , )( ) ⇔ = + − = + −
A x y x x x x y y y y
0 0 0 5 3 4 0 5 3 4
, ( , )( ) ⇔ = + − = + −
y
y y
=
+
1 2
2
x
x x
=
+
1 2
2
∀ ≠ −r 1y
y ry
r
=
+
+
1 2
1
x
x rx
r
=
+
+
1 2
1
d x x y y
AB
= −( ) + −( )2 1 2 2 1 2
d x x
1 2 2 1,
= −
θ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−tan 1
y
x
r x y= +2 2
Problemas 37
1. Transforma a coordenadas polares las siguientes coordenadas rectangulares:
Respuestas
a) (5.0,27.0)
b) (23.0,24.0)
c) (4.0,6.0)
d) (28.0,2.0)
e) (1.0,29.0)
2. Transforma a coordenadas rectangulares las siguientes coordenadas polares:
Respuestas
a) (4.0,25°)
b) (6.0,180°) (26.0,0.0)
c) (8.0,290°)
d) (5.0,135°) (23.5,3.5)
e) (2.0,340°)
3. Localiza los siguientes pares de puntos en un segmento de recta y determina la distancia
que existe entre ellos.
Respuestas
a) x1 5 21, x2 5 2 d 5 3
b) x1 5 3, x2 5 26
c) x1 5 7, x2 5 1 d 5 6
d) x1 5 1, x2 5 24
e) x1 5 210, x2 5 1 d 5 11
f) x1 5 22, x2 5 2
g) x1 5 0, x2 5 28 d 5 8
h) x1 5 27, x2 5 25
4. Localiza las duplas de coordenadas de los puntos que a continuación se dan: A(2,0), B(0,2),
C(22,0), D(0,22), E(26,0), F(2,22), G(6,0), H(0,6), I(2,2), J(22,2), K(26,0), y L(22,22);
una vez localizados, únelos con segmentos de recta continuos, en orden alfabético.
5. Determina la distancia que existe entre los siguientes pares de duplas de coordenadas y
localízalos en un plano cartesiano.
Respuestas
a) A(2,3) y B(4,2)
b) A(21,2) y B(3,27)
c) A(0,0) y B(1,2)
d) A(0,21) y B(21,0)
e) A(23,2) y B(4,21)
f) A(1/5,
3/4) y B(
1/5,
3/4)
g) A(8,3) y B(2,2)
h) A(1,23) y B(21/2,4)
d = 37
d = 58
d = 5
d = 5
82,276°( )
2 13,56.3°( )
74,306°( )
38 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
Problemas 39
6. Realiza en cada caso lo que se pide.
a) Determina las coordenadas del punto que está a partes de la distancia de P(25,24)
a R(3,3).
Respuesta:
b) Si el punto A se localiza en (0,2), otro B(3,6) y además la relación determi-
na las coordenadas de C.
c) Si P(3,24) y R(9,3), ¿cuáles son las coordenadas de Q?
Respuesta:
7. Determina el punto de división del segmento de recta comprendido entre cada par de pun-
tos indicados en la razón dada para cada caso. 
Respuestas
a) A(1,2) y B(2,1)
b) A(21,2) y B(23,2) r 5 3
c) A(3,7) y B(0,0) r 5 2
d) A11/2,
3N42 y B13,
3N42 r 5
2N3
e) A(24,3) y B(5,7) r 5 4
f) A(4,4) y B(1N4,22) r 5
1N5
g) A(6,25) y B(26,21) r 5 2N5
h) A(27,9) y B(7,9) r 5 5N6
i) A(1,0) y B(3,24) r 5 1N3
8. Determina el punto medio del segmento de recta dado.
Respuestas
a) A(2,3) y B(5,2) Pm 5 17N2,
5N22
b) A(4,5) y B(3,4)
c) A(22,1) y B(3,7) Pm 5 11N2,42
d) A(3,21) y B(4,5)
e) A(5,2) y B(21,22) Pm 5 12,02
f) A(2,1) y B(3,24)
−( )7 11 9,
27
8 3,( )
3
2
3
4,( )
−( )5 2 2,
r =1 2
Q
21
4
,
–11
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
PQ
QR
= 3
5
,
AB
AC
= 1
6
,
Q 1,
5
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
4
9. Dados los puntos medios de los segmentos que conforman un triángulo, determina sus
vértices por dos métodos diferentes y traza su gráfica.
Respuestas
a) D(1,1), E(22,0), F(21,2)
b) D(3y2,22), E(2
5y2,2
1y2), F(1,
1y2) A15,212, B123,22, C122,232
10. Comprueba de dos formas que el triángulo formado por los puntos A(4,2), B(7,24) y
C(22,21) es un triángulo rectángulo.
11. Localiza las coordenadas de un punto P(x, y) que se encuentra a cinco unidades del punto
A(21,21), de tal forma que al unirlos con un segmento de recta éste tenga una pendiente de 
12. Determina elárea del paralelogramo cuyos vértices son (2,2), (21,21), (3,25) y
(6,22). 
Respuesta: 24 unidades cuadradas
13 . Demuestra de tres maneras diferentes que los puntos A(1,3), B(2,5) y C(23,25) pertene-
cen a una misma recta. (Sugerencia: Una forma podría ser utilizando el concepto de pen-
diente.)
Actividad en equipo. Uso de tecnología
14. Dadas las coordenadas de los puntos A(2,4), B(-4,2) y C(6,-3):
a) Obtengan las coordenadas del punto que es equidistante a los puntos A, B y C.
b) Del punto obtenido en a) y considerando los puntos A, B y C trace la figura que se ob-
tiene.
c) Verifiquen los resultados por medio de algún software.
Respuestas:
a) b) Una circunferencia
AUTOEVALUACIÓN
Contesta y practica en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios:
1. ¿Qué entiendes por valor absoluto? Da un ejemplo.
2. Determina el perímetro de la siguiente figura:
3. Dados los puntos A(3,2) y B(23,3), determina las coordenadas de C, si AB
BC
= 1
3
.
1
2
3
2
,−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
4
.
40 Capítulo 1 ■ Sistemas coordenados (dónde estamos)
x
y
C(–6,2)
D(–7,–4)
B(2,3)
A(5,1)
E(4,–6)
•
•
•
•
•
Figura 1.39. Perímetro del polígono.
4. Explica qué pasa si la razón fuese negativa y ejemplifica.
5. Dados un punto extremo (0,23) y el punto medio (2,1) de un segmento de recta, determi-
na las coordenadas del otro extremo.
6. Determina los puntos de trisección del segmento de recta, cuyos extremos son los puntos
A(21,26) y B(0,3). 
7. Si A(x0, y0), B(x1, y1) y C(x2, y2) son los vértices de un triángulo, haz una propuesta de arre-
glo matemático que permita determinar su área. (Sugerencia: Parte de )
8. ¿Servirá el arreglo anterior para determinar si tres puntos son colineales? Si es así, expli-
ca por qué. 
9. Define qué es una pendiente con tus propias palabras y da un ejemplo.
10. Dada la terna de coordenadas rectangulares de un Q(3,6,8), determina sus correspondien-
tes coordenadas cilíndricas y esféricas.
11. Si un punto tiene coordenadas cartesianas (23,4), ¿cuáles serán sus coordenadas polares?
A
bh=
2
.
Autoevaluación 41
43
CAPÍTULO
2
Lugares
geométricos.
Función y
análisis de
una ecuación
(¿Qué tengo?
¿Qué quiero?)
La soga que tenía preso mi cuello se ha roto y con ella, el fin… gracias…
por hacer que tu tiempo invadiera mi tiempo, porque ya viví, porque nadie
sabrá lo que es estar excluido detrás de tu mirada, atravesar al otro lado,
sentir la caída y el perfil de tu silueta, la confusión con tu nombre inter-
puesto y porque sueñes que hay días en que vivo…
E. Aguilar
44 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
El lugar geométrico se define como un conjunto de puntos que satisfacen una condi-
ción dada.
La geometría analítica presenta dos problemas fundamentales, a saber:
• Conocidas las características, propiedades o la descripción de un lugar geo-
métrico, determinar su ecuación.
• Conocida una ecuación, determinar el lugar geométrico que representa.
En muchas ocasiones encontrarás, ya sea en este texto o en el lenguaje de tu profe-
sor, la expresión “el lugar geométrico”, en relación con una gráfica o una definición. En
geometría analítica, la frase “determina o encuentra el lugar geométrico” (primer
problema) se refiere a determinar la curva, cuerpo o superficie que genera o describe
una ecuación. Un segundo problema parte de las propiedades o características de un
planteamiento, generalmente un punto que se mueve con respecto a otro(s), satisfa-
ciendo ciertas condiciones que permiten determinar su ecuación, aunque también se
podría partir de un conglomerado de puntos.
A través de procedimientos matemáticos es posible mostrar y probar la recipro-
cidad de los dos problemas fundamentales. 
Ejemplo 2.1
Determina el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en forma equi-
distante de tres unidades, alrededor de un punto fijo de coordenadas (2,1).
Solución:
Sea P(x, y) el punto móvil que equidista del punto fijo (2,1) en tres unidades.
Aplicando la definición de distancia entre dos puntos 6:
se tiene:
o elevando al cuadrado:
9 5 (x 2 2)2 1 (y 2 1)2
9 5 x2 2 4x 1 4 1 y2 2 2y 1 1
Al simplificar,
x2 1 y2 2 4x 2 2y 2 4 5 0
Por la descripción del lugar geométrico se observa que se trata de una circunferencia,
la cual se analizará con más detalle en el capítulo 5.
Ejemplo 2.2
Determina el lugar geométrico de los puntos que distan de la recta 8x 2 6y 1 4 5 0
en dos unidades.
Solución:
Al analizar la descripción del enunciado, se sabe que se trata de un par de rectas pa-
ralelas. Para comprobarlo, se considera un punto P(x,y) cualquiera que pertenezca al
lugar geométrico.
3 2 1
2 2
= −( ) + −( )x y
r x x y y= −( ) + −( )1 2 1 2
LUGARES
GEOMÉTRICOS
2.1
x
y
•
•••
Utilizando la ecuación de distancia de un punto a una recta*, se tiene:
De donde se consiguen dos posibles resultados:
2(10) 5 8x 2 6y 1 4 ⇒ 8x 2 6y 2 16 5 0
o bien: 2(210) 5 8x 2 6y 1 4 ⇒ 8x 2 6y 1 24 5 0
Comprobamos así lo que se espera tener, un par de rectas paralelas con y.
2
8 6 4
64 36
= ± − +
+
x y
2.1 ■ Lugares geométricos 45
–4 –3 –2 –1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y
1 2 3 4 5
Figura 2.1. Rectas paralelas. 
Ejemplo 2.3
Determina la ecuación del lugar geométrico que describe un punto al moverse en el
plano xy tal que su distancia a un punto fijo de coordenadas (23,21) y a la recta y 5
22 sea la misma.
Solución:
Sea P(x, y) el punto que satisface ambas condiciones. Utilizando la fórmula de dis-
tancia entre dos puntos y la de distancia de punto a una recta se tiene:
Al elevar al cuadrado en ambos miembros y simplificando:
(x 1 3)2 1 (y 1 1)2 5 (y 1 2)2
x2 1 6x 2 2y 1 8 5 0
Se trata de la ecuación del lugar geométrico llamado parábola, que se estudiará más
adelante.
( ) ( )x y
y+ + + = +3 1 2
1
2 2
* ± + +
+
=Ax By C
A B
d
2 2
, capítulo 3.
Ejemplo 2.4 
Dada la siguiente tabla de valores, localiza cada par ordenado en un plano xy y men-
ciona qué lugar geométrico representan en conjunto.
46 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
Solución:
Al localizar y unir los puntos dados (figura 2.2) se traza el lugar geométrico denomi-
nado elipse.
Ejemplo 2.5
Dada la ecuación x2 1 y2 5 16, determina el lugar geométrico que representa. 
Solución:
Para determinar el lugar geométrico que describe la ecuación dada se procede a re-
solverla para y, es decir:
Se debe tener presente que en el campo de los números reales no tiene lugar la raíz
cuadrada de un número negativo, y que una raíz cuadrada tiene dos posibles resulta-
dos. Esto nos lleva a un breve análisis que permita saber qué valores de x producen
valores reales de y.
Primero se iguala a 0 el radicando:
16 2 x2 5 0
Al despejar x:
x2 5 16 ⇒ x 5 64
y x= ± −16 2
x y
–3.00 0.00
–2.50 61.17
–2.00 61.58
–1.50 61.84
–1.00 62.00
–0.50 62.09
0.00 62.12
0.50 62.09
1.00 62.00
1.50 61.84
2.00 61.58
2.50 61.17
3.00 0.00
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y
•
• • •
•
•
•
•••
•
•
Figura 2.2. Elipse.Tabla 2.1
lo que nos indica que el intervalo de valores de x que satisfacen lo anterior es de 24
a 4, es decir, de manera que la raíz exista en el campo de los números reales. Con ba-
se en lo anterior podemos valernos de una tabla y obtener duplas de coordenadas que
permitan trazar el lugar geométrico. 
2.1 ■ Lugares geométricos 47
Después de localizar cada dupla de coordenadas y unir los puntos, se observa que se
trata de una circunferencia.
Ejemplo 2.6
Determina el lugar geométrico que describe un punto cuya diferencia de distancias a
los puntos (2,24) y (2,6) es igual a 6.
Solución:
Sea P(x, y) el punto que satisface tal condición. Al considerar la ecuación de distan-
cia entre dos puntos y la condición dada se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )y x y x+ + − − − + − =4 2 6 2 62 2 2 2
Operación
x
y
–4 0
–3
–2
–1
0 64
1
2
3
4 0
16 4
2
− ( )
± 716 3
2
− ( )
± 1216 2
2
− ( )
± 1516 1
2
− ( )
16 0
2
− ( )
± 1516 1
2
− −( )
± 1216 2
2
− −( )
± 716 3
2
− −( )
16 4
2
−−( )
16 2− x
–5 –4 –3 –2 –1
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
y
1 2 3 4 5 6
Figura 2.3. Circunferencia.Tabla 2.2
Al ordenar:
Al elevar al cuadrado:
Simplificamos y elevamos una vez más al cuadrado:
de donde se obtiene el lugar geométrico llamado hipérbola:
16y2 2 9x2 2 32y 1 36x 2 164 5 0
cuya gráfica es:
20 56 12 6 2
20 56 12 6
2 2
2 2
y y x
y y
− = − + −
− = − +
( ) ( )
( ) ( ( ) (xx − 2 2 2) )
y y x x y x y2 2 2 2 28 16 4 4 36 12 6 2 6+ + + − + = + − + − + − +( ) ( ) ( ) (( )
( ) ( )
x
y y x x y x
−
+ + + − + = + − + − +
2
8 16 4 4 36 12 6 2
2
2 2 2 2 yy y x x2 212 36 4 4− + + − +
( ) ( ) ( ) ( )y x y x+ + − = ( + − + − )4 2 6 6 22 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )y x y x+ + − = + − + −4 2 6 6 22 2 2 2
48 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
–6 –4 –2
–8
–6
–4
–2
2
4
6
x
y
2 4 6 8
Figura 2.4. Hipérbola.
Ejemplo 2.7
Determina el lugar geométrico de un punto (x, y) que al moverse y unirlo con los pun-
tos fijos (23,22) y (1,21) tiene un producto de pendientes negativo igual a 23.
Solución:
Al utilizar la definición de pendiente y considerado las condiciones dadas se obtiene:
y
x
y
x
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −2
3
1
1
3
Al simplificar y ordenar:
(y 1 2)(y 1 1) 5 23(x 1 3)(x 2 1)
y2 1 3y 1 2 5 23(x2 1 2x 2 3)
y2 1 3x2 1 3y 1 6x 2 7 5 0
Se obtiene el lugar geométrico llamado elipse.
2.2 ■ Función, una breve introducción 49
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 2.5. Elipse.
Existe una buena cantidad de lugares geométricos, entre los que destacan las cónicas
(parábola, elipse e hipérbola), que se estudiarán en capítulos posteriores y que se des-
criben con un punto que se mueve de forma que la razón de sus distancias a un punto
fijo y a una recta fija es constante. El punto fijo se llama foco y la recta, directriz; la ra-
zón se denomina excentricidad. El valor de la excentricidad, e, determina al mismo.
La idea de estudiar el concepto de función tiene como fin ampliar las herramientas
matemáticas del lector, pues el tema es bastante amplio y existen varios libros al res-
pecto.
Producto cartesiano: Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano de A con B
se denota por A 3 B y se define como el conjunto de todos los pares ordenados (a,b),
donde a pertenece a A y b pertenece a B, es decir: A 3 B 5 {(a,b)/a ∈ A y b ∈ B. El
producto cartesiano no es conmutativo, a menos que A y B sean iguales.
Ejemplo 2.8
A menudo te encuentras en situaciones donde intervienen dos o más variables rela-
cionadas entre sí; por ejemplo, cuando eliges la ropa que usarás durante la semana o
en una ocasión especial. Si cuentas con un determinado número de pantalones y ca-
misas, puedes hacer una variedad de combinaciones que indicarán qué zapatos y cal-
cetines elegir, también el saco o suéter que te pondrás, etcétera. Esto podría analizarse
como un producto cartesiano entre conjuntos, o bien, como una función.
Sean los conjuntos Pantalones 5 {azul, negro, café} y Camisas 5 {blanca, roja,
morada}
FUNCIÓN,
UNA BREVE 
INTRODUCCIÓN
2.2
Si comienzas por la elección del pantalón, tendrías las siguientes maneras de
hacerlo:
P 3 C 5 {(a,b), (a,r), (a,m), (n,b), (n,r), (n,m), (c,b), (c,r), (c,m)}. Es decir, el pro-
ducto cartesiano de P y C.
La idea es que habría una relación uno a uno de un conjunto con otro, que estaría res-
tringida sólo por tus gustos personales.
Relación: Es cualquier subconjunto del producto cartesiano de A y B, es decir, R ( A 3
B. Si en el ejemplo anterior usaras únicamente el pantalón azul, habría la siguiente rela-
ción: R1 5 {(a,b), (a,r), (a,m)} o si deseas ponerte sólo la camisa roja, tendrías la si-
guiente relación: R2 5 {(a,r), (n,r), (c,r)}. Como se observa, habrá varias relaciones.
Función: Es un tipo especial de relación en la que no hay dos pares ordenados con el
mismo primer elemento. En el ejemplo anterior, R 5 {(a,b), (n,r), (c,m)} representa
una función. Es importante observar que todas las funciones son relaciones, pero no
todas las relaciones son funciones. La variable predilecta o de mayor importancia (va-
riable independiente) se llama dominio (primeros elementos en el producto cartesiano;
en el ejemplo anterior, los pantalones) y la consecuente (variable dependiente) se lla-
ma contradominio o imagen (segundos elementos del producto cartesiano; en el
ejemplo, las camisas). Observa que estas variables pueden invertirse.
Ejemplo 2.9
El cálculo del área de un círculo también permite identificar los conceptos de varia-
ble independiente, variable dependiente y, en consecuencia, el de función. 
Para ello, se toma la expresión A 5 p r2. Para cada posible valor de r se obtiene
uno en A.
Si r 5 5, el área es:
A 5 p r2 ⇒ A 5 p(5)2 5 25p 5 78.539u2
Pero si r53, el valor del área será
A 5 p(3)2 5 9p 5 28.274u2
A partir de lo anterior, podemos enunciar que él área de un círculo depende de su ra-
dio. También se dice que el área de un círculo está en función de su radio y se deno-
ta como A 5 f (r), es decir, la expresión:
A 5 p r2 es equivalente a A 5 f (r) 5 p r2
En forma esquemática se tendría:
50 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
r
2r
3r
4r
1A
2A
3A
4A
Radios Áreas
Para cada radio existe
un área diferente
1
Figura 2.6. Concepto de función.
En este caso, el conjunto de radios es el dominio (valores de la variable independien-
te) y el conjunto de las áreas, la imagen (es decir, los valores obtenidos para la varia-
ble dependiente).
Poner una variable en función de otra depende en buena parte de las circunstan-
cias. Es totalmente válido invertir los papeles:
Y decir que el radio es una función del área.
En la geometría analítica comúnmente se acostumbra poner a las ordenadas co-
mo función de las abscisas, es decir, las abscisas representan el dominio y las orde-
nadas la imagen.
Ejemplo 2.10
Dada la ecuación 2x 2 4y 1 8 5 0, determina el lugar geométrico que genera.
Solución:
Se empieza por poner la ecuación como una función1 de una sola variable (la inde-
pendiente) para que a partir de ésta se determine el dominio (intervalo o rango de va-
lores para el cual existe una imagen) y el contradominio, que representa los valores
de la variable dependiente. 
Si en la ecuación anterior se despeja y:
4y 5 2x 1 8
Se observa que el rango puede abarcar todos los reales, pues para cualquier valor de
x existe uno para y. Y se sabe que y es la variable dependiente, y x es la variable
independiente, es decir, es función de x. Esto se expresa como:
Para conocer los valores de y se toman valores arbitrarios para x y se evalúa la fun-
ción, como se muestra en la tabla 2.3.
Observa que el lugar geométrico descrito por la ecuación dada es una línea rec-
ta. También nota que x toma valores de entre 2` hasta ` (que se lee: de menos infi-
nito hasta infinito) y que siempre existirá uno para y. 
Sabemos que para trazar una línea recta se necesitan sólo dos puntos y para ello
basta con igualar a cero una de las dos variables. Es decir, si x 5 0, la ecuación toma-
ría la forma 2(0) 1 8 5 4y y se tiene que y 5 2, o la dupla de coordenadas (0,2). Por
otro lado, si y 5 0, 2x 1 8 5 4(0), es decir, x 5 24 y la dupla de coordenadas será
(24, 0).
y f x
f x x
=
= +
( )
( )
1
2
2
y x= +1
2
2
r f A
A= =( )
π
2.2 ■ Función, una breve introducción 51
1 Se dice que y es una función de x en un intervalo, cuando a todo valor de x de ese intervalo corresponde,
de alguna manera, un valor para y. Agustín Anfossi, Curso de cálculo diferencial e integral, editorial Pro-
greso, México, 1962.
Al localizar los pares de coordenadas obtenidas en un plano cartesiano, se obtiene la
gráfica de la figura 2.7. 
52 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
Operación Par
Variable Variable coordenado
dependiente obtenidoindependiente
x y 5 f (x) (x, y)
–10 –3 (–10, –3)
–4 0 (–4, 0)
–2 1 (–2, 1)
0 –4 (0, 2)
2 3 (2, 3)
4 4 (4, 4)1
2
4 2( )+
1
2
2 2( )+
1
20 2( )+
1
2
2 2( )− +
1
2
4 2( )− +
1
2
10 2( )− +
1
2
2x +
Tabla 2.3.
Una representación en esquema de una relación que no es función se presenta en la
figura 2.8.
1 2 3 4 5–1–2–3–4–5– 6
1
2
3
4
x
y
•
•
Figura 2.7. Línea recta.
a
b
c
d
1
–2
6
–4
3
10
Dominio
Imagen
Figura 2.8. Concepto de
relación.
En este caso, no existe una relación uno a uno, es decir, para cada valor del dominio
hay más de un valor en la imagen o no existe un valor en la imagen.
Una función se define como la correspondencia entre dos conjuntos, llamados
dominio e imagen, de forma que para cada valor del dominio corresponde uno, y só-
lo uno, de la imagen. 
En general, se dice que y (imagen) es función de x (dominio), si para cada valor
de la variable x, le corresponde un valor de la variable y. Esto se expresa simbólica-
mente como:
y 5 f (x)
donde x es la variable independiente y y, la variable dependiente.
Es importante señalar que se trata de una relación uno a uno, biunívoca. Con las
funciones es posible realizar diferentes operaciones: suma, resta, multiplicación, di-
visión, composición de funciones, etcétera.
Ejemplo 2.11
Las expresiones y x21y255 también se pueden escribir como
y En el segundo caso se debe omitir alguno de los signos del radi-
cal; de lo contrario, no sería una función.
Cuando la función está restringida por un radical, es necesario igualar el radicando
a cero para determinar los posibles valores que puede tomar la variable independien-
te y obtener valores reales para la dependiente, es decir, un intervalo del conjunto de
los reales donde exista la correspondencia entre el dominio y la imagen (la variable
dependiente).
Ejemplo 2.12
Para obtén el dominio y la imagen.
Solución:
Para obtener el dominio es necesario igualar a cero el radical y resolver para x:
36 2 x2 5 0
Es decir, el dominio de la función está limitado de 26 a 6. Para obtener la imagen
bastaría con sustituir el valor más grande y el más pequeño del dominio en la función,
es decir, el 6 y el 0:
La imagen tiene valores entre 0 y 26, como se observa en la figura 2.9.
f ( )0 36 0 6= − − = −
f ( )6 36 36 0= − − =
x
x
= ±
= ±
36
6
f x x( ) ,= − −36 2
f x x( ) .= ± −5 2
f x x( ) = +1
2
2y x= +1
2
2
2.2 ■ Función, una breve introducción 53
2.2.1. Operaciones con funciones
Ejemplo 2.13
Sean f(x) 5 2x2 2 3x 1 4 y g(x) 5 5x 2 6 funciones en el campo de los reales. Las
operaciones elementales se realizan en forma semejante a la de dos polinomios.
La suma:
La resta:
El producto:
La división:
Como se observa, el resultado de cualquier operación entre funciones es una nueva
función. También se ve que es posible expresar una ecuación en función de sus varia-
bles; esta práctica es común, pues facilita el análisis. Es importante notar que las fun-
ciones suma, resta, producto y cociente tienen como dominio la intersección de las
funciones particulares y que en la función cociente también es necesario quitar los va-
lores que conviertan en cero el denominador.
( )( )f g x
x x
x
x
x
÷ = − +
−
= − +
−
2 3 4
5 6
2
5
27
25
262
25
5 6
2
( )( ) ( )( )f g x x x x x x x⋅ = − + − = − + +2 3 4 5 6 10 3 2 242 3 2
( )( ) ( ) ( )f g x x x x x x− = − + − − = − +2 3 4 5 6 2 8 102 2
( )( ) ( ) ( )f g x x x x x x+ = − + + − = + −2 3 4 5 6 2 2 22 2
54 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
x
y
6 7
Figura 2.9. Parte inferior de la circunferencia.
Ejemplo 2.14
Sean f(x) 5 x2 1 x 2 12 y g(x) 5 x 1 4 funciones en el campo de los reales. Reali-
za cada operación básica y construye el gráfico correspondiente.
2.2 ■ Función, una breve introducción 55
–12 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
14
f(x) = x2 + x – 12
g(x) = x + 4
Figura 2.10. Gráfica de las funciones.
Solución:
Si las operaciones elementales se realizan de forma semejante a la de dos polinomios,
los resultados son los siguientes.
La suma:
(f 1 g)(x) 5 (x2 1 x 2 12) 1 (x 1 4) 5 x2 1 2x 2 8
–12 –10 –8 –6 –4 2 4 6 8 10
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
12
x
y
12 14–2
(f+g)(x)=x2+2x–8
Figura 2.11. Gráfica de la función suma.
La resta:
(f 2 g)(x) 5 (x2 1 x 2 12) 2 (x 1 4) 5 x2 2 16
56 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
–16 –14–12–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 16
-18
–16
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
(f–g)(x)=x2–16
Figura 2.12. Gráfica de la función diferencia.
El producto:
(f ? g)(x) 5 (x2 1 x 2 12)(x 1 4) 5 x3 1 5x2 2 8x 2 48
–20
20
–40
–20
x
y
f(x) = x2 + x – 12
(f . g)(x) = x3 + 5x + 5x2 – 8x – 48
g(x) = (x + 4)
Figura 2.13. Gráfica de la función producto.
La división:
( )( ) ,f g x
x x
x
x x÷ = + −
+
= − ≠ −
2 12
4
3 4para
2.2 ■ Función, una breve introducción 57
–12–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
12
x
y
(f ÷ g)(x) = x – 3
•
14
Figura 2.14. Gráfica de la función cociente.
Si observas mejor las gráficas, verás que es posible efectuar cualquier operación di-
rectamente con ellas; sólo se necesita saber el valor de su imagen para los mismos
puntos del dominio.
Un ejemplo más del concepto función se encuentra en la economía, en la rela-
ción entre oferta y demanda.
La demanda se define como el conjunto de los bienes y servicios que consume
una economía a diferentes precios (esta variable se denota comúnmente con las lite-
rales D o p), mientras que la oferta se define como todos los bienes y servicios que
se producen en una economía a diferentes precios (la cual se denota con las literales
O o q).
La intersección de ambas da origen a lo que se conoce como punto de equili-
brio, que se define como el lugar donde los ingresos totales son iguales a los costos
totales; es decir, el punto donde no hay pérdidas pero tampoco ganancias.
Ejemplo 2.15
Considera las siguientes expresiones que definen la oferta y la demanda de cierto pro-
ducto y encuentra el punto de equilibrio. 
p 5 q 1 2 y 
En ambas expresiones la demanda es la variable independiente, pero lo que se busca
es encontrar el punto de equilibro. Para ello, se igualan ambas expresiones:
q 1 2
q
= 35
p
q
= 35
Al realizar el producto cruzado y al ordenar los términos:
q2 1 2q 2 35 5 0
Se resuelve a través de factorización:
(q 1 7)(q 2 5) 5 0
Las raíces serán q 5 27 y q 5 5, pero dentro de la economía los números negativos
carecen de sentido, así que se toma el valor positivo.
Para determinar el valor de la oferta se sustituye q en cualquiera de las dos ex-
presiones; ese valor tiene que satisfacer ambas:
p 5 q 1 2 ⇒ p 5 5 1 2 5 7;
El resultado nos indica el punto de equilibrio PE(5,7).
El hecho de que la oferta esté en función de la demanda se debe a que ésta de-
pende de los consumidores del producto, en tanto que la oferta la define quien elabo-
ra el producto, con base en la demanda.
Esto se representa gráficamente en la figura 2.15. 
p
q
p= ⇒ = =35 35
5
7
58 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
–12 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 1414
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
 
Oferta (p)
Punto de
equilibrio
(5,7)
Demanda
(q)
–7
7
5
Figura 2.15. La oferta y la demanda.
A partir de la gráfica se establecen dos casos:
• A mayor demanda, menor oferta.
• A menor demanda, mayor oferta.
Ejemplo 2.16
En una oficina de contadores se han determinado las expresiones de oferta y deman-
da de cierto producto como p 5 q 1 3 y Determina el punto de equilibrio
y realiza un gráfico representativo de ambas.
Solución:
Se igualan ambas expresiones:
Se simplifica:
q2 1 3q 5 3 2 q
q2 1 4q 2 3 2 5 0
Al desarrollar, sus raíces son:
q1 5 24.64, q2 5 0.64
El valor negativo de q se descarta, pues no se puede tener un punto de equilibrio cuan-
do existen pérdidas. Para determinar las coordenadas del punto de equilibrio, se sus-
tituye el valor positivoen la ecuación
p 5 q 1 3 ⇒ p 5 0.64 1 3 5 3.64, o bien 
Las coordenadas son: (0.64,3.64). 
La representación gráfica se presenta en la figura 2.16.
p
q
p= − ⇒ =3 1 3 64.
q
q
+ = −3 3 1
p
q
= −3 1.
2.2 ■ Función, una breve introducción 59
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
y
 
 
 
 
Oferta (p)
Demanda
(q)
Punto de 
equilibrio
(0.64,3.64)
p = q + 3
p = 3/q – 1
Figura 2.16. Punto de equilibrio.
Por lo que se observa en la gráfica, se concluye que este producto no es rentable, pues
existe un gran riesgo si aumenta la demanda.
Ahora se sabe que toda ecuación tiene una representación gráfica, a la cual común-
mente se le denomina curva, sin importar que se trate de una perfecta línea recta. Pre-
tendemos generalizar cualquier ecuación, independientemente de su grado; recuerda
que el grado de la ecuación lo da su máximo exponente.
3x 1 4y 2 7 5 0 Primer grado
5x2 1 4x 2 y 1 5 5 0 Segundo grado
5x3 1 4x 1 4y2 2 4 5 0 Tercer grado
2.3.1. Intersección con los ejes
Se dice que una ecuación interseca al eje x cuando y 5 0, es decir, se satisface la ecua-
ción pues el valor de x en ese punto es una solución o raíz de ésta. Una ecuación ten-
drá tantas raíces o ceros de acuerdo con su grado. Por otro lado, la ecuación interseca
el eje y cuando x 5 0. 
Ejemplo 2.17
Determina los puntos donde la gráfica de la ecuación 3x2 1 2y 5 12 corta los ejes.
Solución:
Para conocer el o los puntos donde corta el eje x se hace y 5 0:
De manera análoga, para conocer dónde corta el eje y se escribe x 5 0:
Por tanto, la ecuación corta al eje x en dos puntos (22 y 2) y al eje y en uno (6), co-
mo muestra la figura 2.17.
3 0 2 12
12
2
6
2( ) + =
= =
y
y
3 2 0 12
12
3
4
2
2
2
x
x
x
+ =
= =
= ±
( )
60 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
DISCUSIÓN O
ANÁLISIS DE
UNA ECUACIÓN
2.3
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
x
y
Figura 2.17. Intersecciones 
con el eje x.
2.3.2. Simetría con los ejes y el origen
Una ecuación es simétrica al eje y, si al sustituir x por 2x no se altera. Por ejem-
plo, la ecuación 3x2 1 2y 5 12 es simétrica al eje de las ordenadas, pues al reempla-
zar x por 2x no se modifica, lo cual se verifica también en la gráfica anterior.
3(2x)2 1 2y 5 12
3x2 1 2y 5 12
Una ecuación es simétrica al eje x, si al sustituir y por 2y no se altera. Por ejem-
plo, la ecuación 3x2 1 2y 5 12 no es simétrica al eje de las abscisas, ya que al reem-
plazar y por 2y la ecuación se modifica, lo cual se observa también en la gráfica
referida.
3x2 1 2(2y) 5 12
3x2 2 2y 5 12
Una ecuación es simétrica al origen si al sustituir al x por 2x y y por 2y no se
altera. Por ejemplo, la ecuación x2 1 y2 5 9 es simétrica al origen
(2x)2 1 (2y)2 5 9
x2 1 y2 5 9
La ecuación 4x2 1 2xy 2 6y3 5 0 no es simétrica al origen, pues al hacer las respec-
tivas sustituciones se modifica la ecuación.
4(2x)3 1 2(2x)(2y)26(2y)3 5 0
24x3 1 2xy 1 6y3 5 0
2.3.3. Intersección de una curva con los ejes 
Para determinar la intersección de la curva con el eje x, se escribe y 5 0 y se obten-
drán uno o más puntos de la forma (x,0). De manera análoga, para conocer la inter-
sección con el eje y, se hará x 5 0, obteniendo un punto o más de coordenadas (0,y).
2.3.4. El intervalo o campo de variación de una ecuación 
Se define como todos los valores para los cuales la ecuación existe o tiene una ima-
gen. Las restricciones se encuentran al poner la ecuación en función2 de una sola va-
riable; los casos típicos que requieren un mayor análisis ocurren cuando la variable
independiente aparece en el denominador o como radicando.
El intervalo es analizable para ambos ejes, es decir, si algún valor de las abscisas
produce un valor imaginario en las ordenadas o no se puede representar en un plano
real o cartesiano. Se dice que el valor de la abscisa no está dentro del intervalo solu-
ción y que en ese punto existe una asíntota vertical. De manera análoga, si algún va-
lor de las ordenadas produce un valor imaginario en las abscisas, se dice que en tal
punto existe una asíntota horizontal. Las asíntotas se representan con rectas. 
2.3 ■ Discusión o análisis de una ecuación 61
2 Es común expresar una ecuación como una función para facilitar su análisis, pero recuerda que una fun-
ción es una relación uno a uno, entonces no se le puede tratar siempre como ecuación.
Ejemplo 2.18
Dada la ecuación y(x 2 2) 5 x 1 4, obtén su intervalo de variación, en x y y.
Solución:
Al resolver para y, se busca el intervalo de variación en x, así como la(s) asíntota(s)
vertical(es):
Aquí se observa que la ecuación tiene un campo de variación para cualquier valor de
x, excepto para x 5 2, pues en ese punto ésta se indetermina. A tal circunstancia se le
llama asíntota vertical. 
Si se resuelve para x, se tendrá el campo de variación de y y las posibles asínto-
tas horizontales, es decir:
yx 2 2y 5 x 1 4
yx 2 x 5 4 1 2y
x(y 2 1) 5 4 1 2y
Por lo que:
Y se concluye que el intervalo solución en y son todos los reales excepto y 5 1, pues
al indeterminarse la ecuación se dice que existe una asíntota horizontal.
En forma gráfica, esto se representa en la figura 2.18. 
x
y
y
= +
−
4 2
1
y
x
x
= +
−
4
2
62 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
y
Asíntota horizontal
Asíntota vertical
Figura 2.18. Asíntota vertical.
Ejemplo 2.19
Dada la ecuación 9y2 1 2x2 5 32, obtén su campo de variación.
Solución:
Para determinar los valores de x que producen una imagen en y, se aísla esta última y
se tiene que:
Sin olvidar que toda raíz cuadrada tiene dos posibles respuestas, el radical en esta úl-
tima expresión definirá el intervalo de valores donde la ecuación existe; para cono-
cerlos, se iguala a cero y se resuelve para x.
Es decir, el campo de variación de la ecuación está limitado a valores en 24 y 4, co-
mo se observa en la figura 2.19.
32 2 0
32
2
16
4
2
2
− =
= =
= ±
x
x
x
y
x= −32 2
3
2
2.3 ■ Discusión o análisis de una ecuación 63
–6 –4 –2 2 4 6
–6
–4
–2
2
4
6
x
y
Figura 2.19. Campo de variación de la ecuación 9y212x2532.
Tal vez ya tengas una idea de cómo graficar una ecuación o por lo menos sabes que
la tarea es fácil cuando se tienen dos variables, aunque en ocasiones esto resulta te-
dioso. Por lo general, esto se resuelve utilizando una tabla de valores que se obtiene
despejando una variable de la ecuación, para después asignarle valores a la otra; una
segunda opción es seguir sus patrones o propiedades conocidas. Lo más fácil es uti-
lizar una calculadora, con las funciones para PLOT; finalmente, también —o mejor
aún— con un software como MATLAB, MAPLE o WINPLOT. 
Lo más recomendable es que empieces utilizando una tabla de valores, con tus
conocimientos de álgebra y trigonometría, pues esto te dejará ver patrones de la ecua-
ción que después te permitirán extrapolar para otras ecuaciones y ahorrar tiempo al
graficarlas. Esto te dará mayor capacidad de análisis por observación y, sin duda, te
permitirá saber lo que obtendrás antes de efectuar las operaciones. Una vez que do-
mines esta técnica se recomienda el uso de la tecnología.
Ejemplo 2.20
Analiza la ecuación y2(x 2 2) 5 1 y traza su gráfico.
Solución:
Simetría con el eje y:
y2((2x) 2 2) 5 1 La ecuación no es simétrica al eje y.
y2(2x 2 2) 5 1
Simetría con el eje x:
(2y2)(x 2 2) 5 1 La ecuación es simétrica al eje x.
y2(x 2 2) 5 1
Simetría con el origen:
(2y2)((2x)2 2) 5 1 La ecuación no es simétrica al origen.
y2(2x 2 2) 5 1
Intersección con los ejes:
Con el eje x, se escribe y 5 0
El valor de x es indeterminado.
Con el eje y, se escribe x 5 0
No existe intersección con el eje y, pues su valor es imaginario.
Intervalo de variación en el eje x:
Al despejar y se obtiene
Se observa que la ecuación tiene una imagen para cualquier valor de x mayor a 2, es
decir, en x 5 2 se tiene una asíntota vertical.
Intervalo de variación en el eje y:
Al despejar x seobtiene
x
y
x
y
− =
= +
2
1
2
1
2
2
y
x
y
x
2 1
2
1
2
=
−
= ±
−
y
y
y
y i
2
2
2
0 2 1
2 1
1
2
1
2
1
2
( )
( )
− =
− =
=
−
= ±
−
= ±
( ) ( )
( )
0 2 1
2
1
0
2 x
x
− =
− =
64 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
Esta expresión indica que y toma valores desde (2`, `) exceptuando al 0. Es decir,
en y 5 0 se tiene una asíntota horizontal.
x (x, y)
2 indeterminado
2.1 610 (2.1, 610)
3 61 (3, 61)
4 60.707 (4, 60.707)
5 60.577 (5, 60.577)
6 60.500 (6, 60.500)
10 60.353 (10, 60.353)
Tabla 2.4.
En la tabla 2.4 se han colocado valores cercanos a las asíntotas para comprender el
comportamiento de la gráfica cuando éstas se encuentran en ella.
y
x
=
−
1
2
2.4 ■ Intersección de gráficas 65
1 2 3 4 5 6 7 8 9
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y
x = 2
y = 0
2
1
–
±=
x
y
Figura 2.20. Comportamiento asintótico.
Otro problema común relacionado con dos o más ecuaciones o gráficas es determi-
nar el o los puntos de intersección entre ellas. Esos puntos deben satisfacer las ecua-
ciones dadas y para calcularlos se debe resolver un sistema de ecuaciones formado
por ellas o tener los gráficos perfectamente definidos en escalas adecuadas que per-
mitan ver los puntos de intersección.
Ejemplo 2.21
Dadas las ecuaciones 3x 2 2y 5 25 y 6x 1 3y 5 18, determina el o los puntos de in-
tersección y traza un gráfico de ambas.
INTERSECCIÓN
DE GRÁFICAS
2.4
Solución:
Se plantea el sistema de ecuaciones
3x 2 2y 5 25
6x 1 3y 5 18
Al resolver, se obtiene que x 5 1 y y 5 4.
El gráfico es:
66 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
Ejemplo 2.22 
Encuentra los puntos donde se cortan las gráficas de las ecuaciones x2 1 y2 5 12 y
y 2 3x 5 4, después traza ambas gráficas e indica los puntos de intersección.
Solución:
Por la naturaleza de las ecuaciones se observa que es mejor utilizar el método de sus-
titución.
x2 1 y2 5 12 (i)
y 2 3x 5 4 (ii)
En (ii) se tiene y 5 3x 1 4. Al sustituir en (i), se obtiene:
x2 1 (3x 1 4)2 5 12
x2 1 9x2 1 24x 1 16 5 12
5x2112x1250
Al ordenar y resolver por fórmula general:
x = − ± −12 12 4 5 2
2 5
2( ) ( )( )
( )
–3 –2 –1 1 2 3
1
2
3
4
5
x
y
523 –=– yx
1836 =+ yx
(1,4)
Figura 2.21. Intersección de dos rectas, un punto.
de donde se obtiene:
x 5 20.180, sustituyendo en (i): y 5 3(20.180) 1 4 5 3.46
x 5 22.219, de la misma forma: y 5 3(22.219) 1 4 5 2.657
Es decir, los puntos donde se cortan las gráficas son:
P(20.180,3.46)
Q(22.219,22.657)
Esto se muestra gráficamente en la figura 2.22.
2.4 ■ Intersección de gráficas 67
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y
)3.46 ,180.0( –P
)2.657– ,219.2(–Q
–5
Figura 2.22. Intersección de una recta con una circunferencia.
Ejemplo 2.23
Determina los puntos de intersección de las gráficas generadas por las ecuaciones
y x2 2 4y 5 6, después traza ambas gráficas y señala los puntos de inter-
sección.
Solución:
Se plantea el sistema de ecuaciones
(i)
x2 2 4y 5 6 (ii)
De (i) 9x2 1 4y2 5 36 y de (ii) x2 5 4y 1 6. Al sustituir se tiene:
9(4y 1 6) 1 4y2 5 36
Al ordenar y resolver para y:
4y2 1 36y 1 18 5 0
2y2 1 18y 1 9 5 0
x y2 2
4 9
1+ =
x y2 2
4 9
1+ =
Por fórmula general:
Se obtiene:
y 5 20.531
y 5 28.468
Se sustituyen estos valores en (ii) para obtener los valores correspondientes de x.
Para:
y 5 20.531
x2 5 4y 1 6
x 5 61.968
y 5 28.468
Se tiene un par de raíces reales y conjugadas para los valores de x, es decir, no exis-
ten en el plano real. Por lo tanto, los puntos son:
P(21.968,20.531)
Q(1.968,20.531
Su gráfico es el siguiente:
y = − ± −18 18 4 2 9
2 2
2( ) ( )( )
( )
68 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
4
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y
9x2 + 4y2 = 36
(–1.968,–0.531) (1.968,–0.531)
x2 = 4y + 6
Figura 2.23. Intersección de una elipse con una parábola.
Miscelánea de ejemplos
1. Determina la ecuación y el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal for-
ma que los segmentos de recta que lo unen con los puntos (3,0) y (23,0) son per-
pendiculares.
Solución:
Comenzamos por trazar un gráfico de la situación:
2.4 ■ Intersección de gráficas 69
y
x
(x,y)
(–3,0) (3,0)
Figura 2.24. Ecuación del lugar geométrico.
Por condición de perpendicularidad entre rectas m1m2 5 21, se tiene:
es decir,
Al simplificar:
Se trata de una circunferencia de radio igual a 3, cuya gráfica es:
y x
x y
2 2
2 2
9
9
= − −
+ =
( )
y
x
2
2 9
1
−
= −
y
x
y
x
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −0
3
0
3
1
m
y
x2
0
3
= −
−
m
y
x1
0
3
= −
+
,
–3 –2 –1 1 2 3 4
–3
–2
–1
1
2
x
y
3
x2 + y2 = 9
r = 3
Figura 2.25. Gráfica de la circunferencia.
2. Determina el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano
ab de forma que su distancia con la recta a 5 2 es igual a su distancia con el pun-
to (4,0).
Solución:
Sea P(a, b) ese punto. Utilizando la ecuación de distancia de un punto a una rec-
ta y la de distancia entre dos puntos, se tiene:
Al elevar al cuadrado ambos miembros:
Se simplifica:
b2 2 4a 1 12 5 0
Se trata de una parábola, como se muestra en la figura 2.26.
( )a a b
a a a a b
− = −( ) +
− + = − + +
2 4
4 4 8 16
2 2 2
2 2 2
a
a b
a a b
− = −( ) + −
− = −( ) +
2
1
4 0
2 4
2 2
2 2
( )
70 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
–1 1 2 3 4 5 6 7 8
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
a=z
b
P(a,b)
Figura 2.26. Gráfica de la parábola.
3. Analiza la siguiente ecuación 4x2 1 16y2 2 6x 1 y 2 12 5 0 y traza su gráfico.
Solución:
Simetría con el eje y:
4(2x)2 1 16y2 2 6(2x) 1 y 2 12 5 0
4x2 1 16y2 1 6x 1 y 2 12 5 0 La ecuación se altera, por lo que no
es simétrica al eje y.
Simetría con el eje x:
4x2 1 16(2y)2 2 6x 1 (2y) 2 12 5 0
4x2 1 16y2 2 6x 2 y 2 12 5 0 La ecuación se altera, por lo que no
es simétrica al eje x.
Simetría con el origen:
4x2 1 16y2 2 6x 2 y 2 12 5 0 La ecuación se altera, por lo que
tampoco es simétrica al origen.
Intersección con los ejes:
Con el eje x, se escribe y 5 0
4x2 1 16(0)2 2 6x 1 (0) 2 12 5 0
4x2 2 6x 2 12 5 0
Por fórmula general, se obtienen los puntos de intersección con el eje x
x1 5 2.63
x2 5 21.13
Con el eje y, se escribe x 5 0
4(0)2 1 16y2 2 6(0) 1 y 2 12 5 0
16y2 1 y 2 12 5 0
de donde:
El intervalo de variación para x se determina resolviendo la ecuación para y:
Se completa cuadrado para y:
Raíz cuadrada de ambos miembros:
y x x
y x x
+ = ± + −
= ± + − −
1
32
767
1024
3
8
1
4
767
1024
3
8
1
4
2
2 11
32
y y x x
y y
2 2
2
2
1
16
3
4
3
8
1
4
1
16
1
16
2
+ = + −
+ +
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
= 33
4
3
8
1
4
1
16
2
1
32
76
2
2
2
+ − −
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x x
y
77
1024
3
8
1
4
2+ −x x
4 16 6 12 0
16 12 6 4
2 2
2 2
x y x y
y y x x
+ − + − =
+ = + −
y
y
y
= − ± − −
= − ±
=
1 1 4 16 12
2 16
1 27 73
2
0 83
2
1
( ) ( )( )
( )
.
. 55
0 897
2
y = − .
2.4 ■ Intersección de gráficas 71
La condición para obtener raíces reales es 21.136 , x , 2.636, que correspon-
den a los puntos por donde se corta al eje x. La gráfica de la ecuación es:
72 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
–1 1 2
–2
–1
1
2
x
y
3
0.835
2.63
–0.897
–1.13
Figura 2.27. Gráfica de una elipse.
4. Analiza la siguiente ecuación x4 1 y4 1 2x2y2 5 32(x2 2 y2) y traza su gráfico.
Solución:
Simetría con el eje y:
(2x)4 1 y4 1 2(2x)2y2 5 32((2x)2 2 y2)
x4 1 y4 1 2x2y2 5 32(x2 2 y2) La ecuación es simétrica al eje y.
Simetría con el eje x:
x4 1 (2y)4 1 2x2(2y)2 5 32(x2 2 (2y)2)
x4 1 y4 1 2x2y2 5 32(x2 2 y2) La ecuación es simétrica al eje x.
Simetría con el origen:
(2x)4 1 (2y)4 1 2(2x)2(2y)2 5 32((2x)2 2 (2y)2)
x4 1 y4 1 2x2y2 5 32(x2 2 y2) La ecuación es simétrica al origen.
Intersección con los ejes:
Con el eje x, se escribe y 5 0
x4 1 (0)4 1 2x2(0)2 5 32(x2 2 (0)2)
x4 5 32x2
x4 2 32x2 5 0
x2(x2 2 32) 5 0
de donde se obtienen cuatro puntos de intersección (raíceso ceros) que son:
x1 5 x2 5 0
x
x
3
4
32
32
=
= −
Con el eje y, se escribe x 5 0:
Se obtienen valores imaginarios para y (no hay una imagen en el campo de los
números reales), es decir, no corta al eje real de las ordenadas.
Intervalo de variación en el eje x:
Lo que se pretende es aislar a y y poner la ecuación como una función de x.
Al ordenar la ecuación se tiene:
Para resolver para y, se expresa como una ecuación de segundo grado:
(y2)2 1 y2(32 1 2x2) 1 (x4 2 32x2) 5 0
y se identifica que
a 5 1, b 5 32 1 2x2 y c 5 x4 2 32x2
Al utilizar la fórmula general para solución de ecuaciones de segundo grado se
obtiene:
Se simplifica:
Por raíz cuadrada se tiene:
Se desecha el signo negativo del radicando, pues al considerarlo se tendrán un
par de raíces complejas y conjugadas. Con el signo positivo, se iguala a cero pa-
ra obtener los valores de x que dan los reales correspondientes en y:
8 4 16 0
8 4 16
2 2
2 2
x x
x x
+ − − =
+ = +
y x x= ± + − −8 4 162 2
y
x x
x x2
2 2
2 232 2 16 4
2
16 8 4= − + ± + = − + ± +( ) ( ) ( ) ( )
y
x x x x2
2 2 2 232 2 1024 256
2
32 2 256= − + ± + = − + ± +( ) ) ( ) ( 44
2
)
y
x x x x x2
2 2 4 4 232 2 1024 128 4 4 128
2
= − + ± + + − +( ) )
y
x x x x2
2 2 2 4 232 2 32 2 4 1 32
2 1
= − + ± + − −( ) ( ) ( )( )
( )
y y x y x x
y y x x
4 2 2 2 4 2
4 2 2 4
32 2 32 0
32 2 32
+ + + − =
+ + + −( ) ( xx2 0) =
( ) ( ) (( ) )0 2 0 32 0
32
32
4 4 2 2 2 2
4 2
2
+ + = −
= −
= −
=
y y y
y y
y
y ±± 32i
2.4 ■ Intersección de gráficas 73
Al elevar al cuadrado:
Es decir, el radical anterior sólo es válido entre y lo cual concuer-
da con los pasos anteriores.
Con ello se forma la tabla 2.5.
x (x, y)
0
25 61.44 (25, 61.44)
24 61.93 (24, 61.93)
23 61.96 (23, 61.96)
22 61.62 (22, 61.62)
21 60.88 (21, 60.88)
0 0 (0, 0)
1 60.88 (1, 60.88)
2 61.62 (2, 61.62)
3 61.96 (3, 61.96)
4 61.93 (4, 61.93)
5 61.44 (5, 61.44)
0
Tabla 2.5.
Se localizan las duplas de coordenadas y se obtiene la siguiente gráfica:
( , )32 0±32
(– , )32 0±− 32
y x x= ± + − −8 4 162 2
32,− 32
8 4 16
64 4 256 32
32
2
2
2 2
2 2 4
2
x x
x x x
x
x
+( ) = +
+ = + +
=
( )
( )
== ± 32
74 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
–6 –5 –4 –3 –2 –1 11 22 33 44 55 66 77
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
x
y
Figura 2.28. Gráfica de la Lemniscata de Bernoulli.
Esta gráfica se conoce como la lemniscata de Bernoulli.
5. Determina y muestra en un gráfico la intersección de las gráficas generadas por
las ecuaciones 4x2 2 3y2 5 24 y xy 5 6.
Solución:
Primero se forma el sistema de ecuaciones
4x2 2 3y2 5 24 (i)
xy 5 6 (ii)
A partir de (ii) se tiene y al sustituir en (i):
4x4 2 108 5 24x2
x4 2 6x2 227 5 0
Al ordenar y reducir la ecuación de grados se tiene:
(x2)2 2 6x2 2 27 5 0
Se resuelve por fórmula general:
Se simplifica:
de donde se obtienen las cuatro raíces:
Se obtienen dos raíces reales:
Ahora existen dos raíces complejas y conjugadas, las cuales se descartan.
Se sustituye x 5 63 en para obtener las coordenadas de los puntos
de intersección:
que son (3,2) y (23,22).
y =
−
= −6
3
2y = =6
3
2
y
x
= 6
x
x
2 3 6 3
3
= − = −
= ± −
x
x
2 3 6 9
3
= + = ±
= ±
x2
6 144
2
6 12
2
3 6= ± = ± = ±
x2
26 6 4 1 27
2 1
= − − ± − − −( ) ( ) ( )( )
( )
4
108
242
2
x
x
− =
4 3
6
242
2
x
x
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
y
x
= 6
2.4 ■ Intersección de gráficas 75
Las gráficas se obtienen utilizando tablas como las siguientes.
4x2 2 3y2 5 24
Para 
Tabla 2.6.
xy 5 6
Para x Z 0
Tabla 2.7.
En la tabla se ven los puntos donde se cortan. Sus gráficos son:
y
x
= 6
x x≤ − ≥6 6y
y x= −4
3
82
76 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
x y (x, y)
25 65.83 (25,65.83)
24 63.65 (24,63.65)
23 62 (23,62)
2
0
0
3 12 (3,2)
4 63.65 (4,63.65)
5 65.83 (5,65.83)
( , )6 06
( , )− 6 06
x y (x, y)
24 21.5 (24, 21.5)
23 22 (23, 22)
22 23 (22, 23)
21 26 (21, 26)
20.1 260 (20.1, 260)
0.1 60 (0.1, 60)
1 6 (1, 6)
2 3 (2, 3)
3 2 (3, 2)
4 1.5 (4, 1.5)
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
(–3,–2)
(3,2)
Figura 2.29. Gráficas de hipérbolas.
6. Determina los puntos donde se cortan las gráficas generadas por las ecuaciones:
2x2 2 6y 2 3 5 0 y 2x2 1 6y 2 6 5 0.
Solución:
El sistema de ecuaciones es:
2x2 2 6y 5 3 (i)
2x2 1 6y 5 6 (ii)
Se resuelve por suma y resta:
Por lo que Los puntos de intersección son: y como
muestra la gráfica:
3
2
1
4
, ,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
2
1
4
,y = 1
4
.
4 9
9
4
9
4
3
2
2
2
x
x
x
x
=
=
= ±
= ±
2.4 ■ Intersección de gráficas 77
–4 –3 –2 –1 1 2 3 5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y
4
• •
Figura 2.30. Parábolas que se intersecan.
78 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
–3 –2 –1 1 2 3
–3
–2
–1
1
2
3
x
y
Figura 2.31. Elipse.
RESUMEN
✓ Lugar geométrico se refiere a la gráfica de una ecuación o a un punto que se mueve en el
plano satisfaciendo ciertas condiciones dadas.
✓ Los problemas fundamentales de la geometría analítica son:
a) Conocidas las características de un lugar geométrico, determinar su ecuación.
b) Conocida una ecuación, determinar el lugar geométrico que representa.
✓ Se dice que una variable (y) es función de otra (x) cuando ambas están relacionadas de for-
ma que para cada valor de la segunda (x) existe uno y sólo un valor correspondiente para la
primera (y).
✓ La discusión o análisis de una ecuación consiste en determinar su simetría, su intersección
con los ejes, determinar si tiene o no asíntotas, establecer su intervalo de variación y cons-
truir su gráfica.
✓ El o los puntos de intersección entre dos o más gráficas deben satisfacer sus ecuaciones.
PROBLEMAS
1. Determina la ecuación del lugar geométrico generado por un punto que al moverse con-
serva la misma pendiente que la recta 4y 2 6x 5 8 y pasa por el punto (23,22). 
Respuesta: 3x 2 2y 1 7 5 0
2. ¿Cuál es la ecuación y el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en forma
equidistante igual a cuatro unidades de longitud al punto (5,23)?
Respuesta: (x 2 5)2 1 (y 1 3)2 5 16 o x2 1 y2 2 10x 1 6y 1 18 5 0. Circunferencia
3. Determina el lugar geométrico que describe el producto de las pendientes de dos segmen-
tos de recta formados desde un punto en el plano xy a los puntos (22,3) y (2,23), el cual
es 1/4.
Respuesta: x 2 2y 1 4 5 0
4. Determina el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano xy de forma que la
diferencia de sus distancias a los puntos (23,0) y (3,0) es igual a 10. 
Respuesta: No existe lugar geométrico.
16x2 1 25y2 5 2400
5. Determina la gráfica en un plano xy del lugar geométrico que se obtiene al sumar tres ve-
ces la abscisa al cuadrado más nueve veces la ordenada al cuadrado y el resultado sea igual
a 27.
Respuesta: 3x2 1 9y2 5 27 
6. En cada uno de los siguientes problemas, determina el lugar geométrico que describen.
Respuestas
a) 2x 1 4y 2 12 5 0 Una línea recta
b) x2 1 y2 5 9
c) x2 2 2 5 y Una parábola
d)
e) x3 5 y Una curva de la familia de las parábolas
f) 3y2 2 5x2 5 15
7. Expresa cada uno de los siguientes ejercicios como una función de x.
Respuestas
a) 2x2 2 3y 1 2x 2 1 5 0
b) 3x3 2 2y2 1 x 2 1 5 0
c) Ax 1 By 1 C 5 0
d) Ax2 1 Cx 2 Dy 1 F 5 0
e) x2 1 y2 5 r2
8. Expresa cada uno de los siguientes ejercicios como una función de y. 
Respuestas
a) Ax 2 By 2 C 5 0
b) x2 2 y2 5 r2
c) Ay2 2 Cx 1 Dy 1 F 5 0
d)
e)
9. En la casa de la familia X, las labores de mantenimiento y comida se distribuyen por la
mañana de la siguiente manera: la preparación del desayuno, d, depende de la señora s;
lavar trastos, t, del hijo h; limpiar los muebles, m, de la hija i; y barrer, b, del señor r. Ex-
presa cada una de estas labores como una función y explícalas.
x f y
y= = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟( ) 2 1 9
2
x y2 2
4 9
1− =
x y2 2
2 4
1+ =
x y
Ay Dy F
C
= = + +( )
2
x f y
By C
A
= = +( )
y f x r x= = −( ) 2 2
y f x
Ax C
B
= = − −( )
y f x
x x= = + −( )2 2 1
3
2
x y2 2
9 4
1+ =
Problemas 79
80 Capítulo 2 ■ Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación
10. Enuncia cinco ejemplos de funciones, con base en aplicaciones prácticas que realices co-
tidianamente. 
11. Dadas las funciones f(x) 5 x3 1 3x2 2 10x 2 24 y g(x) 5 x2 1 x 2 2, obtén lo siguiente:
Respuestas
a) ( f 1 g)(x) x3 1 4x2 2 9x 2 26
b) ( f 2 g)(x)
c) ( f 4 g)(x) x5 1 4x4 2 9x3 2 40x2 2 24x 1 48
d) ( f 4 g)(x)
e) Utiliza un software y grafica en un mismo plano: f(x), g(x), ( f 1 g)(x), ( f 2 g)(x),
( f . g)(x) ( f4g)(x)
12. Traza la gráfica de las siguientes funciones:
a) f(t) 5 2t3 2 t 1 12
b) g(x) 5 4x2 2 3x 2 4
c) h(x) 5 x4 2 x3 2 7x2 1 x 1 6
13. Analiza las siguientes ecuaciones y traza su gráfico. (Utiliza una hoja electrónica para
construir la tabla de valores y algún software para graficar.)
a) x2 2 16y 5 0
b) x2(y2 2 4) 5 9
c) x3 1 3y2 5 6
d) (x 2 5)2 1 (y 2 4)2 5 4
14. Determina los puntos de intersección, cuando existan, entre cada par de ecuaciones dadas.
Respuestas
a) 6x 1 2y 5 6 y 3x 2 5y 5 23
b) x 2 3y 5 18 y x 2 3y 5 2 21
c) y2 2 2x 1 3y 5 22 y 3x 2 6y 5 6 (0, 21) y (6, 2)
d) x4 2 3y 14 5 0 y 2x2 2 3y 5 24
e) 3(x 2 1)2 2 6y2 5 4 y 3x2 2 6y2 2 6x 2 1 5 0 Una infinidad de puntos.
AUTOEVALUACIÓN
Contesta y practica en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios:
1. Explica cuáles son los problemas fundamentales de la geometría analítica.
2. Si es la fórmula para calcular el área de un triángulo, discute y establece de quién
es función el área y por qué.
3. Determina el lugar geométrico del conglomerado de puntos que es equidistante a las rec-
tas 2x 2 5y 1 10 5 0 y 7x 2 5y 2 15 5 0
4. Dadas las funciones f(t) 5 3t2 1 6t 2 24 y g(t) 5 t 2 2, obtén:
A
bh=
2
2
3
, 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
a) suma
b) resta
c) producto
d) división 
5. Discute y traza la ecuación x2 2 y2 5 9.
6. Determina el o los puntos de intersección entre las siguientes ecuaciones:
(x 2 2)2 1 (y 1 3)2 5 8
x2 1 y2 2 4x 1 6y 1 5 5 0
Autoevaluación 81
83
CAPÍTULO
3
Ecuaciones de
la recta
(escalemos
el tercer
peldaño).
(Formas
y casos.)
…Muy distinto es cuando nuestra veneración y cariño son ajenos a todo
hábito y corresponden a una pura inclinación personal, cuando de todo
corazón hemos sido el amigo o el discípulo. En estos casos es un instante
amargo y terrible aquel en que vislumbramos, de súbito, que la corriente
dominante en nosotros quiere apartarnos de la persona querida. Cada uno
de los pensamientos que rechazan al amigo o al maestro se vuelve en-
tonces, con aguijón envenenado, contra nuestro propio corazón y cada
golpe asestado nos hiere, de retorno, en el rostro. A quien creía actuar
según una moral válida, se le aparecen las palabras “infidelidad” e “in-
gratitud” como vergonzosos reproches y estigmas. El corazón aterrado
huye, temeroso, a refugiarse en los amados valles de las virtudes infan-
tiles…
Hermann Hesse (Demián)
No soy un pesimista. Percibir el mal allí donde existe es, en mi opinión,
una forma de optimismo.
Roberto Rossellini
Torre de Pisa. A la inclinación de un cuerpo
respecto de un plano de referencia se le 
denomina Pendiente.
84 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
La línea recta se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en el pla-
no de forma que al localizarlo en dos posiciones cualesquiera su pendiente m resulta
ser la misma.
El concepto pendiente, m, de una línea recta se define como una razón de cambio en-
tre ordenadas y abscisas. Considera la figura 3.1:PENDIENTE DE
UNA LÍNEA
RECTA
3.1
DEFINICIÓN
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
y l
x
Dx
Dy
u
u
u
Q
T
P
R
S
•
• •
•
•(x,y)
(x1,y1)
(x2,y2)
(x1,y2)
Figura 3.1. Pendiente de una recta.
Por simple observación, se verifica que existe una cantidad infinita de puntos perte-
necientes a la línea recta l. Además, es fácil comprobar que y con-
cluir que la pendiente también se define como la tangente del ángulo de inclinación
que posee esa recta con respecto de un plano de referencia.
La pendiente de una línea recta se define como una diferencia de ordenadas en-
tre una diferencia de abscisas, es decir:
[1]
Si la letra griega D (delta) se utiliza para denotar cambios, entonces la pendiente tam-
bién se expresa como:
Atendiendo a la figura del triángulo SRQ,
pero: y 
por tanto: tan .θ =
−
−
y y
x x
2 1
2 1
RQ x x= −
2 1
,SR y y= −
2 1
tan ,θ = SR
RQ
m = =cambio vertical
cambio horizontal
cambio enn
cambio en
desnivel
desplazamiento
beny
x
= = eeficio
inversión
, etcétera
m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
m
y
x
= =tan ,θ ∆
∆
Lo anterior permite verificar que:
tan u 5 m [2]
y además se deduce que: u 5 tan–1(m).1
Si se considera cualquier punto P, se generaliza la expresión de la pendiente co-
mo: .
Cuatro consideraciones acerca de la pendiente de una recta:
1. Cuando m es positiva:
0 , u , 90°, puesto que y2 2 y1 . 0 y x2 2 x1 . 0
2. Cuando m es negativa:
90° , u , 180°, puesto que y2 2 y1 . 0 y x2 2 x1 , 0
3. Si u 5 0° 5 180° 5 360°, se dice que esa recta no tiene pendiente, m 5 0, pues se
trata de una recta horizontal. También se afirma que su pendiente es nula; matemá-
ticamente: y2 2 y1 5 0 , ∴ m 5 0.
4. Si u 5 90° 5 270°, se dice que la pendiente está indeterminada (no existe), pues
se está tratando con una recta vertical, ya que se tiene que x2 2 x1 5 0 y, por tanto, el
cociente está indeterminado (lo que puede verificarse por propiedades
de los números reales o en la calculadora). 
Ejemplo 3.1
Obtén la pendiente de una línea recta que contiene los puntos (23,5) y (3,1) y traza
su gráfica.
Solución:
Por definición de pendiente
Observa que no importa qué punto se tome como inicial o final, el resul-
tado será el mismo.
Para trazar la gráfica, utiliza un plano cartesiano y localiza las du-
plas de coordenadas de cada punto, después une esos puntos y prolon-
ga la recta en ambos sentidos, como se muestra en la figura 3.2.
m = −
− −
= −
− −
= − = −1 5
3 3
5 1
3 3
4
6
2
3( )
m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
m
y y
x x
=
−
−
1
1
3.1. ■ Pendiente de una línea recta 85
–6 –4 –2 2 4
–6
–4
–2
2
4
6
x
y
6
•
•
Figura 3.2. Pendiente negativa.
1 tan-1 se lee: “arco tangente o ángulo cuya tangente es”.
Ejemplo 3.2
A partir de la siguiente tabla, traza el lugar geométrico denominado línea recta y
obtén su pendiente.
Solución:
Utilizando el plano rectangular para localizar los pares de coordenadas se tiene:
86 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
x 23 21 0 2 4
y 25 21 1 5 9
–6 –4 –2
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
x
y
2 4 6 8
•
•
•
•
•
Figura 3.3. Pendiente positiva.
Después, la pendiente se obtiene utilizando dos puntos cualesquiera dados, es decir:
Ejemplo 3.3
Determina el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que cualquier dupla de
ellos conserve una misma pendiente.
Solución:
Sean P(x,y) y Q(x1,y1) dos puntos cualesquiera de un conjunto de puntos y m la pen-
diente constante.
Por definición de pendiente:
Simplificando:
m x x y y
y mx x y
( )− = −
− + − =
1 1
1 1
0
m
y y
x x
=
−
−
1
1
m = − −
− −
= + =9 5
4 3
9 5
7
2
( )
( )
O bien, si b5y12x1:
y 5 mx 1 b
que se reconoce como la ecuación de una línea recta en forma simplificada.
Teorema
Toda ecuación de primer grado de una o dos variables representa una línea recta. No
olvides que una ecuación es de primer grado porque su mayor exponente es 1.
Ejemplos de ecuaciones de primer grado son:
a) y 5 x; b) x 5 23; c) 3y 1 2x 1 4 5 0; d ) 2x 1 1 5 0; e) 3y 1 2 50
3.2.1. Ecuación de la recta que pasa por un punto
con pendiente m
Considera la figura 3.4
3.2. ■ Ecuaciones de una línea recta 87
ECUACIONES
DE UNA LÍNEA
RECTA
3.2
–4 –2 2 4 6
–4
–2
2
4
6
x
y
 
l
A(x1,y1)
P(x,y)
tan u = m
u
Figura 3.4. Recta que pasa por un punto.
Lo que se muestra en la figura es una recta l que pasa por un punto A(x1,y1), con pen-
diente m. A continuación se determinará una ecuación que relacione al punto A con
la pendiente m. Sea P(x,y) un punto cualquiera que pertenece a la misma recta; su
pendiente se obtiene como:
Al despejar:
m(x 2 x1) 5 (y 2 y1)
O bien,
(y 2 y1) 5 m(x 2 x1) [3]
A esta ecuación de la recta también se le llama forma punto-pendiente. Las coor-
denadas (x1,y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a esa recta (el punto
pendiente); la pendiente ya está dada.
m
y y
x x
=
−
−
1
1
Ejemplo 3.4
Sean y A(22,24) la pendiente y un punto cualquiera de una recta. Determi-
na su ecuación en su forma punto pendiente y ordénala. 
Solución:
Sustituyendo los valores en (y 2 y1) 5 m(x 2 x1)
se obtiene:
Al multiplicar por 5 y ordenar los términos:
5y 2 x 1 18 5 0
3.2.2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Considera dos puntos conocidos, A y B, por los cuales pasa una recta, como se mues-
tra en la figura:
y x+ = +4 1
5
2
5
y x− − = − −( )( ) ( )4 1
5
2
m = 1
5
88 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
1. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(23,9) y tiene pen-
diente m 5 22.
2. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,23) y tiene pen-
diente m 5 4.
Ejercítate
–2 2 4 6
–4
–2
2
4
6
x
y
A(x1,y1)
B(x2,y2)
P(x,y)
•
•
•
Figura 3.5. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
A partir de la definición de pendiente, y de la ecuación de la recta en for-
ma punto-pendiente, (y 2 y1) 5 m(x 2 x1), se obtiene cualquiera de las siguientes
ecuaciones.
Si se consideran las coordenadas del punto A como las del punto pendiente:
[4]
o si el punto pendiente es B: [4]
Ambas son la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, como se observa es
indistinto el punto que se sustituya; el resultado será el mismo y representarán a la
misma recta.
Ejemplo 3.5
Sean A(21,3) y B(3,24) dos puntos que pertenecen a una misma recta. Obtén su
ecuación y corrobora que es indistinto el punto que se tome como punto pendiente,
es decir, (x1,y1) o (x2,y2), y simplifica.
Solución:
Considera la ecuación 
Si A es el punto pendiente:
Al multiplicar por 4 y simplificar:
4y 1 7x 2 5 5 0
Al sustituir el punto B se obtiene:
Al multiplicar por 4 y ordenar:
4y 1 7x 2 5 5 0
y x+ = − −( )4 7
4
3
y x− −( )= − −− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ −( )( ) ( )4 3 41 3 3
y x−( )= − +( )3 7
4
1
y x−( )= − −− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − −( )3 4 33 1 1( ) ( )
y y
y y
x x
x x−( )= −−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−( )1 2 1
2 1
1
.
y y
y y
x x
x x−( )= −−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−( )1 2 1
2 1
1
y y
y y
x x
x x−( )= −−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−( )1 2 1
2 1
1
m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
,
3.2. ■ Ecuaciones de una línea recta 89
1. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos Q(26,3) y P(4,21).
2. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,3) y P(2,23).
Ejercítate
3.2.3. Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada
al origen2
Considera una recta que pase por dos puntos: A(x,y) y B(0,b), como se ilustra en la fi-
gura 3.6.
90 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
x
y
 
l
 
A(x,y)
B(0,b)•
•
Figura 3.6. Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen.
Al calcular la pendiente:
Al ordenar y despejar y:
y 5 mx 1 b [5]
donde b se define como la ordenada al origen y es el punto donde la recta corta al eje
y. Esta ecuación también suele llamarse ecuación de la recta en forma simplificada.
Ejemplo 3.6
Dados b 5 5 y determina la ecuación de la recta en la forma ordenada al ori-
gen con pendiente dada.
Solución:
De la ecuación y 5 mx 1 b y sustituyendo los valores dados:
y x= +1
2
5
m = 1
2
,
m
b y
x
= −
−0
2 Ecuación de la recta en su forma simplificada.
Ejemplo 3.7
Las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son y q 5 2p 1 2,
respectivamente. Traza el gráfico de cada una y encuentra el punto de equilibrio del
producto.
NOTA: Se define como punto de equilibrio aquel que iguala los ingresos totales
con los costos totales, es decir, donde no hay pérdidas pero tampoco hay ganancias.
Solución:
De la ecuación de demanda se despeja la oferta, p y se igualan las ecuaciones.
q 5 2(p 1 1)
que se iguala con la ecuación de la oferta:
Ahora es posible determinar la demanda, q. Ordenando y simplificando:
Se sustituye el valor de q en cualquiera de las ecuaciones de oferta para determinar
su valor
Por tanto, el punto de equilibrio del producto se logra cuando se tiene la dupla
y el gráfico correspondiente es:42
5
16
5
,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
p = =16
5
3 2.p =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+1
7
42
5
2
⇒ = =q 42
5
8 4.
5
14
3q =
1
2
1
7
3−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=q
p q= −1
2
1
p q= −1
2
1
p q= +1
7
2
3.2. ■ Ecuaciones de una línea recta 91
p
q
Punto de
equilibrioDemanda
oferta
•
•
•
•
Oferta
1
8 9
2
3
4
Figura 3.7. Punto de equilibrio.
3.2.4. Ecuación de la recta en forma simétrica
La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b). 
92 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
1. Determina la ecuación de la recta en forma simplificada, a partir de 2x 2 6y
2 4 5 0.
2. Si m 5 23 y b 5 22, ¿cuál es la ecuación en forma simplificada?
Ejercítate
x
y
 
l
 
B(0,b)
A(a,0)
•
•
Figura 3.8. Ecuación de la recta en forma simétrica.
Al calcular la pendiente, obtenemos y al sustituir m en la ecua-
ción de la recta en su forma simplificada y 5 mx 1 b:
Multiplicando por a:
ay 5 2bx 1 ab
Al multiplicar por y ordenando los miembros de la expresión, se tiene:
[6]
que corresponde a la ecuación simétrica de la recta. 
Donde a se define como la abscisa al origen, y b la ordenada al origen, puntos
donde la recta corta cada uno de los ejes coordenados.
x
a
y
b
+ =1
1
ab
y
b
a
x b= − +
m
b
a
m
b
a
= −
−
⇒ = −0
0
,
Ejemplo 3.8
Sean a 5 22 y b 5 3, la abscisa y la ordenada, respectivamente, de una recta. Deter-
mina la ecuación de la recta que las contiene en su forma simétrica.
Solución:
A partir de la expresión se determina fácilmente, sustituyendo los datos
conocidos, como se muestra:
3.2.5. Ecuación general de la recta
La ecuación general de la recta tiene la siguiente forma:
Ax 1 By 1 C 5 0 [7]
expresión que obtuvimos al simplificar las anteriores, donde A, B y C son números
reales. A partir de la ecuación anterior, podemos hacer el proceso inverso:
a) Ecuación simplificada de una recta 
Si A Z 0, B Z 0 y C Z 0, se obtiene la ecuación de la recta en su forma pendiente dada
y ordenada al origen donde y la ordenada al origen,
que se representa como se muestra:
b
C
B
= −m A
B
= −y Ax
B
C
B
= − − ,
− + =x y
2 3
1
x
a
y
b
+ =1
3.2. ■ Ecuaciones de una línea recta 93
1. Dada la ecuación y 5 23x 1 2, obtén la ecuación de la recta en su forma si-
métrica.
2. Dada la ecuación y 5 23x 1 2, di cuál es el valor de la ordenada y de la abs-
cisa al origen.
Ejercítate
 
 
y
x
m=–A/B
b=–C/B
0
Figura 3.9. Ecuación de la recta en forma simplificada, y A
B
x
C
B
= − − .
b) Recta paralela al eje x
Definición. Una recta es paralela al eje x si, y sólo si, todos los puntos que la forman
se encuentran a una misma distancia del eje x. 
Si A 5 0, B Z 0 y C Z 0, la ecuación se reduce a: By 1 C 5 0, de la cual se ob-
tiene que representa una recta paralela al eje x y se expresa en general como:
y 5 a [8]
Un gráfico representativo es:
y
C
B
= − ,
94 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
y
y=a
o x
Figura 3.10. Ecuación de la recta paralela el eje x.
c) Recta paralela al eje y
Definición. Una recta es paralelaal eje y si, y sólo si, todos los puntos que la forman
se encuentran a una misma distancia del eje y.
Si A Z 0, B 5 0 y C Z 0, la ecuación se reduciría a: Ax 1 C 5 0, de la cual se ob-
tiene que representa una recta paralela al eje y; en general se expresa como:
x 5 a [9]
Su gráfico tiene la forma:
x
C
A
= − ,
y
x
x=a
o
Figura 3.11. Ecuación de la recta paralela al eje y.
d) Ecuación de una recta que pasa por el origen
Caso 1
Si A 5 61, B 5 1 y C 5 0, la ecuación se simplifica en y 5 x o y 5 2x o por pro-
piedades del valor absoluto
y 5 ZxZ [10]
la cual representa una línea recta con pendiente de 45° que pasa por el origen, como
lo muestra la figura 3.12.
3.2. ■ Ecuaciones de una línea recta 95
y=–x
y=x
y
x
tan(–45°)=m tan(45°)=m
Figura 3.12. Ecuación de la recta que pasa por el origen.
Ejemplo 3.9
A partir de la ecuación 3x 1 2y 24 5 0, di cuál es su pendiente, su ordenada y abs-
cisa al origen y traza su gráfica.
Solución:
Al despejar y se determina su pendiente, así como la ordenada al origen:
2y 5 23x 1 4
se identifica que: y b 5 2
Para determinar su abscisa al origen se iguala y 5 0, con lo que la
ecuación adopta la forma:
Su gráfica se muestra a la izquierda.
Ejemplo 3.10
Un ingeniero civil desea saber la cantidad de material utilizado en la construcción de
cierto puente y necesita tu ayuda. Determina la pendiente y la ecuación de cada una de las
vigas que sostienen la estructura, así como la longitud total de las vigas verticales.
− + = ⇒ =
=
3
2
2 0 2
3
2
4
3
x x
x
m = − 3
2
⇒ = − +y x3
2
2,
–2 –1 1 2
–3
–2
–1
1
2
3
y
x
B(0,2)
A(4/3,0)
3
•
•
Figura 3.13. Gráfica de 3x12y2450.
Solución:
Se determinan las pendientes de las vigas 1 y 2:
Una vez calculadas, es necesario encontrar las coordenadas de los puntos medios de
las vigas 1 y 2.
Para la viga 1:
De forma análoga, para la viga 2:
Las ecuaciones respectivas son:
Ahora, se obtienen las longitudes:
V
8
2
0 12 12= −( ) =
V
5
2 2
6 6 0 5 5= −( ) + +( ) =
V V
4 6
2 2
3 3 0 13
2
13
2
= = −( ) + +( ) =
V V
3 7
2 2
0 0 0 8 8= = −( ) + +( ) =
V V
1 2
2 2
6 0 5 8 45= = −( ) + − +( ) =
y x y x+( )= − −( ) ⇒ + + =8 1
2
12 2 4 0
y x y x+( )= +( ) ⇒ − + =8 1
2
0 2 16 0
Pm
y2
5 8
2
13
2
= − − = −Pm
x 2
12 6
2
9= + =
Pm
y1
5 8
2
13
2
= − − = −Pm
x1
0 6
2
3= + = ,
m
2
5 8
6 12
3
6
1
2
= − +
−
= − = −m1
5 8
6 0
3
6
1
2
= − +
−
= = ,
96 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
x
y
3 5 7
1
4 6
8
(6,–5)
(0,–8)
(12,0)
2
•
•
•
Figura 3.14. Diseño de un puente.
Para determinar la cantidad de material usado en el puente, se suman todas las longi-
tudes de las vigas:
Ejemplo 3.11
Traza la gráfica de las siguientes ecuaciones: a) x 5 23; b) y 5 2; c) 
Solución: 
y = − 3
2
.
V
T
= + ⋅ + ⋅ + + =2 45 2 8 2 13
2
5 12 59 41. .m
3.2. ■ Ecuaciones de una línea recta 97
x
y
 
x
y
 
 
x
y
 
x = –3
y = –3/2
y = 2
(a) (b) (c)
Figura 3.15. Gráficas de ecuaciones.
3.2.6. Ecuación normal de la recta 
Considera la figura 3.16:
1. Dada la ecuación y 5 4x 2 1, obtén la ecuación de la recta en su forma ge-
neral.
2. Traza la gráfica de la ecuación y 5 23x 1 2. 
3. Dada la ecuación 3x 2 2y 1 6 5 0:
a) si x 5 0, ¿cuál es su gráfica?
b) si y 5 0, ¿qué gráfica se obtiene?
Ejercítate
y
0 x
l
r
P(x,y)
Q(x1,y1)
w
Figura 3.16. Ecuación de la recta en su forma normal.
La figura muestra una recta que es perpendicular al segmento de recta am-
bos se cortan en P(x,y). El segmento forma un ángulo w con respecto del eje x;
además, sobre la recta l existe un punto Q(x1,y1).
Por condición de perpendicularidad entre dos rectas, se cumple que:
mOP . mPQ 5 21 (I)
Donde: (II)
y además:
(III)
Por otro lado, sabemos que:
y 5 r sen w (i)
x 5 r cos w (ii)
(iii)
(iv)
al sustituir (i) y (ii) en las ecuaciones (II) y (III), se tiene:
(IV)
(V)
Al sustituir (IV) y (V) en (I) :
(VI)
Por simplificación (VI):
r sen2 w2y1 sen w 5 x1 cos w 2 r cos
2 w
Al ordenar los términos y utilizar la identidad trigonométrica sen2 w 1 cos2 w 5 1, la
ecuación se reduce a: r 5 x1 cos w 1 y1 sen w, que al generalizar para cualquier pun-
to coordenado da:
r 5 x cos w 1 y sen w
x cos w 1 y sen w2r 5 0 [11]
Esta última expresión es la ecuación normal de la recta.
Ejemplo 3.12
Si r 5 7 y w 5 30°, ¿cuál es la ecuación de la recta en su forma normal? Conviérte-
la a la forma general.
sen rsenϕ
ϕ
ϕ
ϕcos cos
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= −
y
r x
1
1
11
m
r y
r xPQ
=
−
−cos
sen ϕ
ϕ
1
1
m
r
rOP
= = =
cos cos
tan
sen senϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−tan 1
y
x
r x y= +2 2
m
y y
x xPQ
=
−
−
1
1
m
y
xOP
=
OP
OP r= ;
98 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
Solución:
La ecuación en forma normal es:
7 5 x cos 30° 1 y sen 30°
Por trigonometría se sabe que:
,
Por tanto, la ecuación se transforma:
Al multiplicar por 2:
A continuación mostramos el análisis trigonométrico para obtener el ángulo que se
forma entre dos rectas cuando se localizan en un mismo plano; además, usamos el
concepto de pendiente y ofrecemos otra solución.
Considera la figura 3.17:
3 14 0x y+ − = .
1
2
3
1
2
7x y+ =
sen 30
1
2
° =cos 30 1
2
3° =
3.3. ■ Ángulo entre dos rectas (utilizando sus pendientes) 99
ÁNGULO ENTRE
DOS RECTAS
(UTILIZANDO
SUS PENDIENTES)
3.3
δ
β
l2
l1
x
y
γ α
γ
δ
α
O
Figura 3.17. Ángulo entre dos rectas.
A través de un análisis trigonométrico sabemos que la suma de los ángulos internos
de un triángulo como el de la figura 3.17 es igual a 180°.
a 1 b 1 g 5 180° (i)
d 1 a 5 180° (ii), que corresponde a un ángulo llano. 
Al despejar de (i) y (ii) a a
a 5 180° 2 b 2 g (iii)
a 5 180° 2 d (iv)
y al igualar (iii) y (iv) y despejar a b
180°2b2g5180°2d
b5d2g
Si en ambos miembros se aplica la función tangente:
tan b 5 tan (d 2 g)
Al utilizar la identidad trigonométrica de se tiene y
por diferencia de senos y cosenos:
Para reducir lo anterior se multiplican el numerador y denominador por 
y retomando 
La expresión se reduce a [12]
luego, la tangente es la pendiente de la recta, m 5 tan u, es decir:
[12]
Por lo tanto, el ángulo entre dos rectas estará dado por:
*
Ejemplo 3.13
Dos rectas l1 y l2 contienen los puntos A(22,5), B(26,22) y C(24,4), D(21,22),
respectivamente. Encuentra sus pendientes y determina el ángulo que forman al
cortarse.
Al determinar la pendiente de l1,
De manera similar, para l2,
Para determinar el ángulo formado por ambas rectas en su intersección, aplicamos en
forma directa la fórmula Sustituyendo valores, tenemos:β =
−
+ ⋅
−tan .1 2 1
1 2
1
m m
m m
m
CD
= − −
− − −
= − = −2 4
1 4
6
3
2
( )
m
AB
= − −
− − −
= −
−
=2 5
6 2
7
4
7
4( )
β =
−
+ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−tan 1 2 1
1 2
1
m m
m m
tanβ =
−
+ ⋅
m m
m m
2 1
1 2
1
tan
tan tan
tan tan
β δ γ
γ δ
= −
+ ⋅1
1
1
cos cos
cos cos
δ γ
δ γ
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
tan
cos cos
cos cos
β δ γ δ γ
δ γ δ
= −
+
sen sen
sen ssen γ
tan
cos
θ θ
θ
= sen
1
cos cosδ γ
tan
cos cos
cos cos
β δ γ δ γ
δ γ
= −
+
sen sen
sen δδ γsen
tan
( )
cos( )
β δ γ
δ γ
= −
−
sen
tan
cos
θ θ
θ
= sen
100 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
* Antes de dar por terminado el problema analice si obtuvo el ángulo deseado o el suplementario, a1b5180°.
Ejemplo 3.14
Se coloca un poste para la distribución de luz eléctrica que está sujeto por dos cables,
como se muestra en la figura. Determina el ángulo u y la longitud total, en metros,
del cable usado. 
3.3. ■ Ángulo entre dos rectas (utilizando sus pendientes) 101
C
A
O x
y
B D
b
•
•
••
Figura 3.18. Ángulo entre las rectas l1 y l2.
β β=
− −
+ ⋅−
⇒ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= °− −tan tan . .1 1
2 7
4
1 7
4
2
3
2
56 3
(0,12)
(–10,0) (43/3,0)0
40°b
f
Figura 3.19. Poste sujeto por dos cables.
Solución:
Para determinar el ángulo f, mostrado en la figura, se parte del concepto de ángulo
entredos rectas dadas sus pendientes:
102 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
1. Si tan u 5 0.7 y m2 5 1.6, encuentra el valor de m1 y determina el ángulo u.
2. Halla el ángulo entre dos rectas cuyas pendientes son m1 5 5 y m2 5 7.
Ejercítate
Teorema
Dos rectas son perpendiculares si, y sólo si,3 sus pendientes son recíprocas y de
signo contrario. 
3 La expresión “si, y sólo si,” también se identifica como “sys”.
Figura 3.20. Condición de 
perpendicularidad.
Para determinar el ángulo b
b 5 180° 2 89.86° 2 40° 5 50.14°
Para determinar la longitud total de los cables se utiliza la ecuación de distancia en-
tre dos puntos:
Por consiguiente, la longitud total del cable es L 1 L1 5 34.31 m.
3.3.1. Condición de perpendicularidad 
entre dos rectas
Podemos definir que dos rectas son perpendiculares si, y sólo si, el ángulo
formado entre éstas es igual a 90°.
Considera la figura 3.20. A partir de ella, se establece:
c 1 f 1 90° 5 180° (i)
c 1 90° 2 f (ii)
De (i) c 5 180° 2 w (iii)
Al igualar (ii) y (iii)
180° 2 w 5 90° 2 f
L
1
2 243
3
0 0 12
3145
9
18 69= −( ) + −( ) = = .
L = +( ) + −( ) = =0 10 12 0 244 15 622 2 .
φ =
− −
+ ⋅−
= =− −tan tan ( ) .1 1
36
43
6
5
1
6
5
36
43
438 89 86
m
2
12 0
0 43
3
36
43
= −
−
= −m
1
12 0
0 10
6
5
= −
+
= ,
ϕ
l1
l2
x
y
φ ψ
0
90°
Al despejar w
w 5 f 1 90°
Si en ambos miembros se aplica la función tangente:
tan f 5 tan (f190°)
por la identidad trigonométrica 2ctg f 5 tan (f190°
se tiene: tan w 5 2ctg f.
Además de la identidad trigonométrica obtenemos:
De la definición de pendiente:
tan f 5 m2
tan f 5 m1
Por lo tanto, la condición de perpendicularidad entre dos rectas será:
es decir,
m2 . m1 5 21 [13]
Ejemplo 3.15
Una recta l1 tiene pendiente Encuentra la pendiente de una recta que sea
perpendicular a aquélla.
Solución:
De la condición de perpendicularidad entre dos rectas m2m1 5 21, se sustituye la
pendiente dada.
3.3.2. Condición de paralelismo entre dos rectas 
De manera gráfica:
− ⋅ = − ⇒ =5
3
1
3
52 2
m m .
m
1
5
3
= − .
m
m2
1
1= − ,
tan
tan
ϕ
φ
= − 1
ctg
tan
,φ
φ
= 1
3.3. ■ Ángulo entre dos rectas (utilizando sus pendientes) 103
Teorema
Dos rectas son paralelas si, y sólo si, sus pendientes son iguales, m1 5 m2. O son
colineales.4
4 También suele decirse que son coincidentes.
Ejemplo 3.16
Se tiene un segmento de recta l1 que contiene al punto A(0,2) con pendiente 
Comprueba que la recta l2 que contiene a los puntos B(0,23) y C(3,1) es paralela a l1.
Solución:
Para comprobar si las rectas son paralelas, se debe cumplir la condición m1 5 m2. Pa-
ra ello, calculamos la pendiente de la recta l2.
como m1 5 m2, se comprueba que las rectas son paralelas.
Ejemplo 3.17
Dados tres puntos A(22,2), B(2,4) y C(4,5) comprueba si pertenecen a la recta 2y
2 x 2 6 5 0 y si son colineales.
Solución: 
Bastará sustituir cada punto en la ecuación de la recta dada; si la satisfacen se cum-
ple la igualdad. De acuerdo con el teorema establecido,
al sustituir el punto A(22,2) 2(2)2(22)2650
0 5 0
Por lo tanto, pertenece a la recta.
De manera análoga, para B(2,4) 2(4)2(2)2650
0 5 0 satisface la ecuación y pertenece a la recta.
m
2
1 3
3 0
4
3
= − −
−
=( )
m = 4
3
.
104 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
uf
l1 l2
x
y
0
Figura 3.21. Condición de paralelismo.
Teorema
Dos o más puntos son colineales si, y sólo si, pertenecen a una misma recta.
ml1 5 ml2; tan f 5 tan u [14]
Finalmente C(4,5): 2(5)2(4)2650
0 5 0 también pertenece a la recta.
Como los tres puntos pertenecen a la recta, concluimos que sí son colineales.
Sean Ax 1 By 5 C y Dx 1 Ey 5 F dos rectas que se cortan en un punto y forman un
ángulo b, como lo muestra la figura 3.22.
3.4. ■ Ángulo entre dos rectas a partir de sus ecuaciones generales 105
1. A partir de la condición de perpendicularidad entre dos rectas, determina el
valor de la pendiente m2, si m1 5 0.25.
2. Si los puntos P(3,24) y Q(23,y2) son colineales y se encuentran en una rec-
ta cuya pendiente es m 5 22, encuentra el valor de la coordenada y2.
Ejercítate
ÁNGULO ENTRE
DOS RECTAS A
PARTIR DE SUS
ECUACIONES
GENERALES
3.4
E
F
b =2
1b
B
C
=
D
F
a –=2
A
C
a –=1
x
y
b
a
a
g
g
CByAx =+
FEyDx =+
••
••
••
••
Figura 3.22. Ángulo entre dos rectas.
Se debe determinar el ángulo b. Por trigonometría del triángulo rectángulo se obtiene:
y
y
Por diferencia de ángulos b 5 g 2 a, por lo cual es posible establecer:
cos b 5 cos (g 2 a)
sen γ =
+
=
+
F
E
F
D
F
E
D
D E2
2
2
2
2 2
sen α =
+
=
+
C
B
C
A
C
B
A
A B2
2
2
2
2 2
cosγ =
−
+
= −
+
F
D
F
D
F
E
E
D E2
2
2
2
2 2
cosα =
−
+
= −
+
C
A
C
A
C
B
B
A B2
2
2
2
2 2
Por diferencia de cosenos:
cos (g 2 a) 5 cos gcos a 1 sen g sen a
al sustituir
cos b 5 cos g cos a1 sen g sen a
Con lo anterior y de las relaciones obtenidas:
Al simplificar y ordenar, encontramos b:
[15]
Ejemplo 3.18
a) Calcula el ángulo formado entre las rectas 2x 2 3y 1 4 5 0 y x 1 4y 2 5 5 0.
b) Determina el punto donde se intersecan dichas rectas.
c) Traza un gráfico representativo.
Solución:
a) Al identificar coeficientes y aplicar directamente [10], se tiene:
b 5 132°
Al corroborar con con y se obtiene:
b 5 248° o 132°, por el cuadrante en el que se encuentra m2.*
b) El punto donde se cortan las rectas se obtiene resolviendo el sistema de ecua-
ciones que ambas forman:
2x 2 3y 5 24 (i)
x 1 4y 5 5 (ii)
Por suma y resta:
2x 2 3y 5 24 (i)
(ii)
y = 14
11
− − = −2 8 10x y
β =
− −
+ −( )( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−tan 1
1
4
2
3
1 1
4
2
3
m
2
1
4
= −m
1
2
3
=β =
−
+ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−tan ,1 2 1
1 2
1
m m
m m
β = ⋅ + − ⋅
+ − +
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−cos
( )
( )
1
2 2 2 2
2 1 3 4
2 3 1 4
cos
cos
β
β
= +
+ +
= +
+ +
⎛
−
AD BE
A B D E
AD BE
A B D E
2 2 2 2
1
2 2 2 2⎝⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cosβ =
+ +
+
+ +
BE
A B D E
AD
A B D E2 2 2 2 2 2 2 2
106 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
* a1b5180°.
Al sustituir y en (ii):
El punto buscado es:
c) La gráfica es:
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
11
14
11
, .
x = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −55
11
4
14
11
1
11
3.5. ■ Distancia mínima de un punto a una recta 107
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y 0432 =+– yx
054 =–+ yx
b = -48°
b = 132°
b = –48°
(–0.09,1.27)••
Figura 3.23. Ángulo formado entre dos rectas.
Se observa la utilidad de ambas ecuaciones para calcular el ángulo entre dos rectas.
Considera un punto Q de coordenadas (x1,y1) localizado sobre una recta l9 y un pun-
to P que pertenece a una recta l, como se ilustra en la figura 3.24.
1. Dada la ecuación y 5 23x 1 2, obtén la ecuación de la recta en su forma
normal.
2. a) Obtén los ángulos formados entre las rectas 4x 1 8y 2 6 5 0 y 23x 1 y
1 2 5 0; b) traza la gráfica; c) determina el punto donde se intersecan.
3. Define el punto de intersección para cada par de rectas dadas.
a) x 2 4y 2 3 5 0 y 2x 1 y 1 2 5 0 b) 3y 2 9x 2 5 5 0 y x 2 y 5 21
Ejercítate
DISTANCIA 
MÍNIMA DE UN
PUNTO A UNA
RECTA
3.5
A continuación se obtendrá la distancia entre el punto Q(x1,y1) y la recta l.
Se traza una recta perpendicular L a las rectas l y l9 que contenga a los puntos P
y Q. Las ecuaciones generales de las rectas l, l9 y L son, respectivamente:
Ax 1 By 1 C 5 0 (VII)
Ax 1 By 1 C9 5 0 (VIII)
Bx 2 Ay 5 0 (IX)
Observa que las ecuaciones (VII) y (VIII) son muy semejantes y sólo se diferencian
por el término independiente. Esto se debe a que son paralelas. La recta L, por ser per-
pendicular a las rectas l y l9, tiene coeficientes A y B contrarios a los de éstas. 
Será necesario conocer las coordenadas del punto P, para después calcular la dis-
tancia d entre P y Q, que es la que se está buscando.
Al resolver simultáneamente por sustitución las ecuaciones (VII) y (IX) se tiene:
Ax 1 By 5 2C (VII)
Bx 2 Ay 5 0 (IX)
De (IX) despejamos x
(X)
Sustituimos x en (VII)Resolviendo para y
Sustituyendo en (X) 
(XI)x
AC
A B
= −
+2 2
y
A
B
B C
y
BC
A B
2
2 2
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
= −
+
A
A
B
y By C
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ = −
x
A
B
y=
108 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
x
y
w
l9
 0
l
P
L
d
Q(x1,y1)
Figura 3.24. Distancia mínima de un punto a una recta.
Por lo tanto, P tiene como dupla de coordenadas 
De manera análoga se resuelven (VIII) y (IX) para conocer las coordenadas del
punto Q en términos de las ecuaciones de las rectas dadas, como se hizo para P; al lo-
calizar la intersección de L y l9 , se obtiene:
(XII) (XIII)
Una vez conocidas las coordenadas de P y Q se aplica la fórmula de distancia entre
dos puntos en su forma pitagórica c2 5 a2 1 b2, tomando las coordenadas de P como
iniciales:
Al resolver la expresión y ordenar los términos:
Al obtener la raíz cuadrada en ambos miembros:
(XIV)
De (VIII )
C' 5 2 Ax 2 By (XV)
Sustituyendo (XV) en (XIV):
[16]
Aunque es cierto que no existen las distancias negativas, la distancia obtenida se ex-
presa como:
[16]
Ésta es la fórmula para calcular la distancia mínima de un punto a una recta, donde
(x,y) son los valores de las coordenadas del punto dado y A, B y C, los coeficientes
de la recta de la que se quiere calcular esa distancia. Al aplicar esta fórmula, es de su-
ma importancia tener la ecuación de la recta en su forma general.
Para calcular la distancia de un punto a una recta, existen dos criterios para la
elección del signo del radical, que son los siguientes:
Criterio 1
• Se toma el signo del radical positivo si al trazar la recta queda entre el origen
y el punto dado.
d
Ax By C
A B
=
+ +
+2 2
d
C Ax By
A B
Ax By C
A B
=
− − −( )
± +
= + +
± +2 2 2 2
d
C C
A B
= − ′
± +2 2
d
A C C
A B
B C C
A B
2
2 2
2
2 2
=
− ′( )
+
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ +
− ′( )
+
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
+( ) − ′( )
+( )
=
− ′( )
+(
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2 2
A B C C
A B
d
C C
A B ))
d
AC
A B
AC
A B
BC
A B
2
2 2 2 2
2
2
= − ′
+
− −
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + −
′
+ 22 2 2
2
− −
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
BC
A B
y
BC
A B1 2 2
= − ′
+
x
AC
A B1 2 2
= − ′
+
y
BC
A B
= −
+2 2
x
AC
A B
= −
+2 2
,
3.5. ■ Distancia mínima de un punto a una recta 109
• Se toma el signo del radical negativo si el origen y el punto dado están a un
mismo lado de la recta.
Criterio 2
• Si C 2 0, el radical será de signo contrario al de C.
• Si C 5 0 y B 2 0, el radical y B tendrán el mismo signo.
• Si C 5 B 5 0, el radical y A tendrán el mismo signo.
Estos criterios nos ayudarán en análisis posteriores, como en el cálculo de las ecua-
ciones de las bisectrices entre dos rectas. 
Ejemplo 3.19
Calcula la distancia mínima que existe entre el punto A(4,4) y la recta 3x 1 2y 26 5 0
Solución: 
Al aplicar directamente la fórmula,
se tiene:
Ejemplo 3.20
Determina la ecuación de la recta que contiene al punto R(4,4), sabiendo que existe
una distancia mínima entre éste y el punto Q(1,1).
Solución: 
Primero se calcula la distancia entre R y Q:
Después se determina la pendiente entre tales puntos, pues el segmento de recta 
y la recta buscada son perpendiculares.
Por condición de perpendicularidad entre rectas m2 5 21, y utilizando la ecuación
de la recta en su forma punto pendiente y el punto R, se tiene:
(y 2 4) 5 2(x 2 4)
x 1 y 2 8 5 0
Esta última es la recta buscada, que podemos comprobar al determinar la distancia
entre ésta y el punto Q.
d = ⋅ + ⋅ −
+
= = =1 1 1 1 8
1 1
6
2
6 2
2 2
3 2
m = −
−
=4 1
4 1
1
QR
d
QR
= − + − = = ⋅ =( ) ( )4 1 4 1 18 9 2 3 22 2
d = ⋅ + ⋅ −
+ +
=3 4 2 4 6
9 4
14
13
d
Ax By C
A B
= + +
± +2 2
110 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
Otra forma de obtener la ecuación de distancia de un punto a una recta es a través de
la observación de que el segmento de recta que resulta de unir el punto P con la rec-
ta l es perpendicular, como se muestra en la figura. Esto permite utilizar funciones tri-
gonométricas para determinar la distancia mínima entre ellos. 
Considera la siguiente figura:
3.6. ■ Distancia mínima de un punto a una recta 111
1. Halla la distancia entre cada recta y los puntos dados.
a) 3x 2 7y 2 2 5 0 y (4,5) b) 7y 2 2x 1 4 5 0 y (22,27) y
c) 22x 2 y 5 0 y (3,22) 
Ejercítate
DISTANCIA 
MÍNIMA DE UN
PUNTO A UNA
RECTA (OTRO
ANÁLISIS)
3.6
b
b
P(x1,y1)
R(x1,y2)
l: Ax + By + C = 0y
x
b
d
T S
Q
90°
•
•
•
•
•
•
Figura 3.25. Distancia de un punto a una recta.
Se observa fácilmente que la distancia buscada está dada por 
(i)
Para relacionar las coordenadas de P con l, partimos de que R(x1, y2) satisface la ecua-
ción dada por pertenecer a ésta, es decir,
Ax1 1 By2 1 C 5 0
de donde:
Pero, por tanto, (ii)
De Ax1By1C50 se determinan la ordenada y abscisa al origen, lo que permite estable-
cer que Como es el cateto adyacente, entonces: (iii).
Al sustituir (ii) y (iii) en (i)
d y
Ax C
B
B
A B
= +
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
± +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
2 2
cos .β =
± +
B
A B2 2
tan .β = A
B
RP y
Ax C
B
y
Ax C
B
= −
− −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
+
1
1
1
1RP y y= −
1 2
,
y
Ax C
B2
1=
− −
d RP= cosβ
Al simplificar:
[16]
Por lo tanto, si P está por encima de la recta l, d es positiva y viceversa.
Un triángulo contiene rectas y puntos notables. Para trazarlos, se emplean sus vérti-
ces y los puntos medios de cada lado. Estos elementos de la geometría son útiles en
aplicaciones enfocadas al diseño de elementos de máquinas, así como en la física y
la mecánica automotriz e industrial, entre otras. Las propiedades del triángulo ame-
ritan estudiarse en detalle.
3.7.1. Mediana
Esta recta es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado
opuesto. Existen tres medianas, una para cada lado. El punto de intersección de las
tres medianas se llama baricentro (gravicentro o centroide) y se le representa por me-
dio de las literales B o G.
Para la construcción analítica de las medianas, considera tres puntos: A(x0,y0),
B(x1,y1) y C(x2,y2), que son los vértices de un triángulo cualquiera, como se muestra
en la figura 3.26.
d
Ax By C
A B
=
+ +
± +
1 1
2 2
112 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
RECTAS Y 
PUNTOS 
NOTABLES DE
UN TRIÁNGULO
3.7
y
x
G
 
O
F(x5,y5)
E(x4,y4)
B(x1,y1)
A(x0,y0)
D(x3,y3)
(x2,y2)C
l3
l2
l1
Figura 3.26. Medianas de un triángulo.
Para obtener las ecuaciones que describan a las medianas aplicamos su definición. Se
calculan los puntos medios de cada lado, con las fórmulas de punto medio:
Punto medio del segmento de recta 
por tanto: D(x3,y3)y
y y
3
0 1
2
=
+
,x
x x
3
0 1
2
=
+
AB,
Pm
x x
x
=
+
1 2
2
Pm
x x
x
=
+
1 2
2
Punto medio del segmento de recta 
por tanto: E(x4, y4)
Finalmente, el punto medio del segmento de recta es:
por tanto: F(x5, y5)
Una vez conocidos los puntos medios, se traza cada una de las medianas, las cuales
denominaremos l1, l2 y l3, respectivamente.
Ahora se calculan cada una de sus ecuaciones.
Para l1:
donde es la pendiente m1.
Por tanto:
(y 2y3) 5 m1(x2x3) ⇒ m1x2y2m1x31y3, si hacemos b1 5 2m1x31y3
se obtiene la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen m1x2y 1 b1 5 0.
De igual manera conseguimos:
l2, m2x2y1b2 5 0 y
l3, m3x2y1b3 5 0
Para encontrar el punto de intersección de las medianas se resuelve el siguiente sis-
tema de ecuaciones por el método de ecuaciones simultáneas. 
m1x2y1b1 5 0 (i)
m2x2y1b2 5 0 (ii)
m3x2y1b3 5 0 (iii)
O bien, usando el siguiente teorema:
;
B(x,y).
3.7.2. Mediatriz 
Es la recta perpendicular trazada en el punto medio de cada lado; en consecuencia,
existen tres mediatrices. Su punto de concurrencia se llama circuncentro y se repre-
senta con la literal K.
Considera la figura 3.27, que ilustra la definición de mediatriz.
y
y y y
=
+ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1 2 3
3
x
x x x
=
+ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1 2 3
3
y y
x x
3 2
3 2
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟y y
y y
x x
x x−( )= −− −( )3
3 2
3 2
3
,
y
y y
5
2 0
2
=
+,x
x x
5
2 0
2
=
+
CA
y
y y
4
1 2
2
=
+
,x
x x
4
1 2
2
=
+
BC,
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 113
Teorema
Las tres medianas de un triángulo se intersecan en el punto cuya abscisa es un ter-
cio de la suma de las abscisas de los vértices del triángulo y cuya ordenada es un
tercio de la suma de las ordenadas de los vértices. 
Ya sabes cómo calcular el punto medio de una recta. El problema ahora reside en
obtener las pendientes de cada segmento que forma el triángulo; una vez que lo has
conseguido sólo se aplicará la condición de perpendicularidad, m1m2 5 21, para encon-
trar cada mediatriz.
Se determina cada pendiente:
y
Una vez conocidas las pendientes y los puntos medios, aplicamos la condición de per-
pendicularidad, la cual se denota como ⊥, después empleamos la ecuación de la rec-
ta que pasa por un punto y una pendiente dada para encontrar las mediatrices.
Para la recta l1 utilizamos el punto medio D y la pendiente inversa del segmento
con signo contrario, la cual se denota como m ⊥AB. Obtenemos así una ecuación
de la forma:
y2y3 5 m ⊥AB(x2x3) (iv)
De manera similar, para la recta l2 y l3:
y2y4 5 m ⊥BC(x2x4) (v)
y2y5 5 m ⊥CA(x2x5) (vi)
El circuncentro se encuentra por medio de ecuaciones simultáneas, y después traza-
mos la circunferencia circunscrita en el triángulo, de acuerdo con la figura 3.27.
3.7.3. Altura 
Es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolonga-
ción. Existen tres alturas, una por cada lado. El punto donde se interceptan se llama
ortocentro y se denota por medio de la literal O.
Considera la siguiente figura:
AB,
m
y y
x xCA
=
−
−
0 2
0 2
m
y y
x xBC
=
−
−
2 1
2 1
m
y y
x xAB
=
−
−
1 0
1 0
,
114 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
y
x
K
 
 O
A(x0,y0)
D(x3,y3)
B(x1,y1)
E(x4,y4)
F(x5,y5)
C(x2,y2)
l3
l1
l2
Figura 3.27. Mediatrices de un triángulo.
Para encontrar las ecuaciones de las alturas se procede a calcular las pendientes de
cada uno de los segmentos de recta que conforman el triángulo.
y
Una vez conocidas, utilizamos la definición de altura y las coordenadas de cada vér-
tice y procedemos a encontrar las ecuaciones de l1, l2 y l3, utilizando la ecuación de
la recta que pasa por un punto con pendiente dada.
Si aplicamos el mismo criterio usado para las mediatrices, obtenemos:
l1, y2y2 5 m⊥AB(x2x2) (vii)
l2, y2y0 5 m⊥BC(x2x0) (viii)
l3, y2y1 5 m⊥CA(x2x1) (ix)
El ortocentro se determina por medio de ecuaciones simultáneas, utilizando (vii),
(viii) y (ix).
3.7.4. Bisectriz
Es la recta que corta exactamente a la mitad un ángulo interior del triángulo. Así, hay
tres bisectrices; una para cada ángulo interior. El punto donde concurren se llama in-
centro y se representa por la literal I.
Considera la figura 3.29.
m
y y
x xCA
=
−
−
0 2
0 2
m
y y
x xBC
=
−
−
2 1
2 1
m
y y
x xAB
=
−
−
1 0
1 0
,
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 115
y
x
O
O
l2
l3
l1
A(x0,y0)
B(x1,y1)
C(x2,y2)
Figura 3.28. Alturas de un triángulo.
La figura muestra las tres rectas que conforman al triángulo l, l9 y l0, además las rec-
tas de cada bisectriz l1, l2 y l3.
Por definición de bisectriz y sabiendo que las distancias que existen del punto de
intersección, incentro, cada una de las rectas que lo conforman son iguales, por ejem-
plo, l9 y l0, lo que se demuestra a partir de la ecuación de la distancia de un punto a
una recta.
Si las ecuaciones respectivas de las rectas que conforman el triángulo l, l9 y l0 es-
tán dadas por:
Ax 1 By 1 C 5 0 (I)
A9x 1 B9y 1 C 5 0 (II)
A0x 1 B0y 1 C 5 0 (III)
éstas se utilizarán para determinar las ecuaciones de las rectas bisectrices y después
el punto de intersección (incentro) de las rectas bisectrices.
Por tanto, para determinar l2, que biseca al ángulo g, se utilizan l y l'
(i)
El resultado de esta expresión, será la ecuación de la recta l2.
5
Ax By C
A B
A x B y C
A B
+ +
± +
= ′ + ′ +
± ′ + ′2 2 2 2
116 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
y
x
w
l3
l2
l1
l
l9
l0
o
u
g
I
A(x0,y0)
B(x1,y1)
C(x2,y2)
Figura 3.29. Bisectriz de un ángulo.
5 Si no se aplica correctamente el criterio para la elección del signo del radical, se obtiene la recta bisec-
triz del ángulo complementario, que sería perpendicular a l2, característica que también es útil para sim-
plificar análisis y cálculos. 
En forma semejante, para l1 que corta u, se utilizan l0 y l9:
(ii)
Y finalmente para l3, la cual biseca w, a través de l y l0:
(iii)
De las ecuaciones correspondientes a l1, l2 y l3, por medio de ecuaciones simultáneas se
calculan las coordenadas del incentro I, con el cual, a su vez, se determina la ecuación
de circunferencia inscrita, a través de la fórmula de distancia de un punto a una recta.
3.7.5. Recta de Euler6
La recta de Euler se construye a partir de los puntos notables llamados ortocentro, gra-
vicentro y circuncentro, que son colineales, y si nos apoyamos en sólo dos de ellos,
es posible determinar su ecuación.
Ax By C
A B
A x B y C
A B
+ +
± +
= ′′ + ′′ +
± ′′ + ′′2 2 2 2
′′ + ′′ +
± ′′ + ′′
= ′ + ′ +
± ′ + ′
A x B y C
A B
A x B y C
A B2 2 2 2
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 117
G
K
O
Recta de
Euler
Figura 3.30. Recta de Euler.
3.7.6. Circunferencia de Euler
La circunferencia que pasa por los tres pies de las alturas, los tres puntos medios de
los lados y los tres puntos medios de los trazos que unen a cada vértice con el orto-
centro se conoce como circunferencia de los nueve puntos o circunferencia de Euler. 
6 Leonhard Euler, 1707-1783.
Circunferencia
de Euler
Figura 3.31. Circunferencia de Euler.
Si alguno de los puntos citados en cada apartado anterior no está contenido en la rec-
ta o la circunferencia respectiva existe un error. 
Ejemplo 3.21
NOTA: En las siguientes líneas se ejemplifican algunas de las semejanzas y cualida-
des que encontramos en el triángulo.
El presente ejemplo es un caso general donde se observa que los resultados ob-
tenidos se cumplen para todo triángulo.
Se conocen los puntos medios de un triángulo que están dados por los puntos
D(0,5/2), E(3,22) y F(6,
3/2). Se desea conocer: a) los vértices, b) las longitudes y los
ángulos de cada triángulo, c) las rectas y los puntos notables del triángulo primitivo,
d ) la circunferencia inscrita y circunscrita, y e) la recta y circunferencia de Euler. 
Solución:
Se tomarán en cuenta todos los detalles posibles, a fin de ver las singularidades del
triángulo.
Se grafican los puntos medios y se unen entre sí, como se observa en la figura
3.32, para construir el triángulo de los puntos medios. 
118 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
O x
y
 D(0,
5/2)
F(6,3/2)
E(3,–2)
Figura 3.32. Vértices de un triángulo.
a) Para determinar los vértices del triángulo se utiliza el teorema de Vazgar.
Para el vértice:
Se tiene que la dupla de coordenadas es A(3,6).
y y y y
0 5 3 4
5
2
3
2
2 6= + −( )⇒ + − −( )⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x x x x
0 5 3 4
0 6 3 3= + −( )⇒ + −( )=
Análogamente, se aplica para encontrar el vértice B(x1,y1) 
es decir, la dupla de coordenadas es B(9,23).
Por último, las coordenadas del vértice C:
C tendrá la dupla de coordenadas C(23,21).
Al trazar ambos triángulos:
y y y y
2 5 4 3
5
2
2
3
2
1= + −( )⇒ − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
x x x x
2 5 4 3
0 3 6 3= + −( )⇒ + −( )= −
y y y y
1 4 3 5
2
3
2
5
2
3= + −( )⇒ − + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
x x x x
1 4 3 5
3 6 0 9= + −( )⇒ + −( )=
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 119
O
y
x
A(3,6)
C(–3,–1)
E(3,–2)
B(9,–3)
F(6,3/2)
D(0,5/2)
Figura 3.33. Coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo.
b) Longitudes y ángulos de ambos triángulos
Al aplicar la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos,
se obtendrán las distancias de los segmentos de recta en el
triángulo ABC.
AC AB CB, ,y y+ −( )2 1 2 ,
d x x= −( )2 1 2u.l.7
u.l.
u.l.
En forma análoga, para el triángulo DEF
u.l.
u.l.
u.l.
Como se ve, las longitudes de los lados paralelos del triángulo DEF al triángulo ABC
son exactamente la mitad de los mismos.
Así, podemos denotar que: , y 
Para el cálculo de los ángulos internos de ambos triángulos se utiliza la expre-
sión de ángulo entre dos rectas. Por ello, primero se determinará cada una de las pen-
dientes
Como se mencionó, las pendientes de cada lado del triángulo DEF tienen una para-
lela en el triángulo ABC, es decir:
, y 
Los ángulos internos del triángulo ABC son:
β β=
− −( )
+ −( )( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇒ =− −tan tan1
7
6
1
6
1 1
6
7
6
11 48
29
58 86
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= °.
α α=
− −
+( ) −( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇒ =− −tan tan1 1
3
2
7
6
1 7
6
3
2
322
9
74 29
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= °.
m m
AB DE
=m m
BC DF
=m m
AC EF
=
m
DE
= − −
−
= −2 5 2
3 0
3
2
m
DF
= −
−
= −3 2 5 2
6 0
1
6
,mEF =
− −( )
−
=
3 2 2
6 3
7
6
,
m
AC
= − −
−
= −3 6
9 3
3
2
m
BC
=
− − −( )
− −( ) = −
3 1
9 3
1
6
,m
AC
= − −
− −
=1 6
3 3
7
6
,
d d
CB FD
= 2d d
AB DE
= 2d d
AC EF
= 2
d
FD
= −( ) + −( ) = =0 6 5 2 3 2 37 6 082 2 .
d
DE
= −( ) + − −( ) = =3 0 2 5 2 117 4 5 402 2 .
d
EF
= −( ) + − −( )( ) = =6 3 3 2 2 85 4 4 612 2 .
d
CB
= − −( )( ) + − − −( )( ) = =9 3 3 1 148 12 22 2 .
d
AB
= −( ) + − −( ) = =9 3 3 6 117 10 82 2 .
d
AC
= − −( ) + − −( ) = =3 3 1 6 85 9 222 2 .
120 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
7 Unidades de longitud o unidades lineales.
Y del triángulo DEF:
los cuales se muestran en la siguiente figura:
′ =
− − −( )
+ −( ) −( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇒ ′ =−γ γtan 1
1
6
3
2
1 3
2
1
6
ttan .−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= °1 16
15
46 84
′ =
− −( )
+ −( )( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇒ ′ =−β βtan ta1
7
6
1
6
1 1
6
7
6
nn .−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= °1 48
29
58 86
′ =
− −
+( ) −( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇒ ′ =− −α αtan tan1
3
2
7
6
1 7
6
3
2
11 32
9
74 29
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= °.
γ γ=
− − −( )
+ −( ) −( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇒ =−tan ta1
1
6
3
2
1 3
2
1
6
nn .−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= °1 16
15
46 84
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 121
O
A(3,6)
B(9,–3)
E(3,–2)
C(–3,–1)
D(0,5/2)
F(6,3/2)
y
x
a
a9
b
g9
b9
g
Figura 3.34. Ángulos internos de un triángulo.
Otra forma de obtener los ángulos internos es por medio de las leyes de senos y co-
senos que se estudiaron en trigonometría.
Ley de senos:
Ley de cosenos:
a2 b2 1 c2 2 2ac cos a, o bien,
Aplicándolas al triángulo ABC, donde las distancias entre cada vértice son
y
b 5 180° 2 74.29° 2 55.13° 5 58.86°
En forma análoga, para el triángulo DEF:
g9 5 180° 2 74.29° 2 58.86° 5 46.84°
Como se observa, los ángulos internos de cada triángulo son iguales, como era de es-
perarse, ya que las rectas que los conforman son paralelas. 
c) Rectas y puntos notables
Ecuaciones de las medianas del triángulo ABC. Por definición, sabemos que las me-
dianas parten desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Por tanto, los
puntos que definen a las medianas se encuentran usando los vértices del triángulo y
sus puntos medios, que son los vértices del triángulo de puntos medios. 
Al aplicar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos 
y y
y y
x x
x x−( )= −−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−( )2 2 1
2 1
2
.
β ' sen
.
.=
( )( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= °−1
74 29 117 4
37
58 86
sen
α ' cos .=
( ) + ( ) − ( )
= °−1
2 2 2
117 4 85 4 37
2 117 4 85 4
74 29
γ =
( )( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= °−sen
.
.1
74 29 85
148
46 84
sen
α =
( ) + ( ) − ( )
= °−cos .1
2 2 2
85 117 148
2 85 117
74 29
c = 117,b = 85a = 148,
α = + −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−cos 1
2 2 2
2
b c a
bc
a b c
sen sen senα β γ
= =
122 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
Para determinar la mediana AE:
(1)
Análogamente, para la mediana BF:
simplificando 
28y218x2141 5 0 (2)
Finalmente, para CD:
al simplificar 
18y211x245 5 0 (3)
Para hallar el baricentro se utilizan ecuaciones simultáneas o el teorema de intersec-
ción de las medianas, es decir,
Por tanto, las coordenadas del gravicentro o baricentro son 
La representación gráfica de las medianas y el baricentro se muestra en la figura 3.35.
G 3
2
3
, .
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y
y y y
=
+ +( )
=
− −( )
=1 2 3
3
6 1 3
3
2
3
x
x x x
=
+ +( )
=
− +( )
=1 2 3
3
3 3 9
3
3;
l y x
CD,
−( )= − −( )−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−( ) ⇒5 2 5 2 3
0 9
0 y x− = −5
2
11
18
,
l y x
BF
, −( )= − −( )
− −( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−( ) ⇒6 3 2 3
6 1
3 2 y x− = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
6
9
14
3
2
,
l y x
AE
, −( )= −( )
−( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
− −( )( ) ⇒3 3 3
6 2
2 y = 3
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 123
D
F
E
A
B
C
O
x
y
G o B
Figura 3.35. Medianas de un triángulo.
Ecuaciones de las alturas del triángulo ABC.
Para determinar las ecuaciones de las rectas que representan las alturas del trián-
gulo ABC, se utiliza la fórmula de la recta en su forma punto pendiente y2y1 5
m(x2x1).
Dado que las alturas son rectas perpendiculares, que van desde cada vértice hasta su
respectivo lado opuesto, se procede a encontrar las pendientes, para después determi-
nar su respectiva pendiente perpendicular.
Las pendientes de cada lado son:
Por tanto, las pendientes perpendiculares a cada lado serán:
Para determinar las correspondientes ecuaciones de las alturas:
Una recta se obtendrá con el vértice A y la pendiente m⊥AB 5 6
(y26)56(x23), simplificando y26x112 5 0 (1)
De manera análoga, para el vértice C y la pendiente 
de donde se obtiene 3y22x23 5 0 (2)
De igual forma, el vértice B y la pendiente 
simplificando 7y16x175 5 0 (3)
Como ya se mencionó, el ortocentro es el punto donde se intersecan las alturas del
triángulo. Así, al resolver las ecuaciones (1) y (2) en forma simultánea, se tiene:
y26x112 5 0 (1)
3y22x23 5 0 (2)
Por suma y resta, se multiplica la ecuación (2) por 23 y reduciendo:
Al sustituir en la ecuación (1) se obtiene:
Por tanto, la dupla de coordenadas del ortocentro es 
Ecuaciones de las mediatrices del triángulo ABC.
Por definición, las mediatrices son rectas perpendiculares que parten
desde los puntos medios de los lados del triángulo. Se conocen ya cada una
de las pendientes de los lados, así como las coordenadas de los puntos me-
dios de las rectas l1, l2 y l3, que son:
E(3,22), m
l3
3
2
= −m
l 2
1
6
= −m
l1
7
6
=F 6
3
2
, ;
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
D 0
5
2
, ,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
O
117
48
21
8
, .
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x = =117
48
2 4375.
y = =21
8
2 625.
y x− −( )( )= − −( )3 6
7
9 ,
m
AC
⊥ = − 6
7
y x− −( )( )= − −( )( )1 2
3
3 ,
m
AB
⊥ = 2
3
m
AB
⊥ = 2
3
m
CB
⊥ = 6,m
AC
⊥ = − 6
7
,
m
AB
= − 3
2
m
CB
= − 1
6
,m
AC
= 7
6
,
124 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
D
O
O
x
y
A
C
E B
F
Figura 3.36. Alturas de un triángulo.
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 125
D
F
E
A
B
C
O
K
x
y
r
Figura 3.37. Circunferencia circunscrita al triángulo.
Las pendientes perpendiculares son:
Para la mediatriz que parte del punto D,
es decir, 14y112x135 5 0 (1)
De manera análoga, para la mediana del punto E,
Al simplificar, y26x120 5 0 (2)
En forma semejante, la mediatriz del punto F es:
y simplificando: 6y24x115 5 0 (3)
Las coordenadas del circuncentro se obtienen resolviendo simultáneamente (2) y (3):
y26x 5 220 (2)
6y24x 5 215 (3)
De donde se obtiene que y por tanto, las coor-
denadas del circuncentro son:
De aquí podemos trazar, además de las mediatrices, la circunferencia circunscrita en
el triángulo. Por ahora, no explicaremos cómo obtener su ecuación, sólo la expondre-
mos y graficaremos (en el capítulo 5 se estudian diversos métodos para obtenerla).
d ) La ecuación de la circunferencia circunscrita es:
o bien,
La gráfica es:
x y−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=105
32
10
32
33205
1024
2 2
x y x y2 2
315
48
30
48
1395
48
0+ − + − =
K
105
32
10
32
,−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y = − = −10
32
0 3125. ,x = =10532
3 2812.
y x y x−( )= −( ) ⇒ − = −3 2 2
3
6 3 9 2 2 12,
y x y x− −( )( )= −( ) ⇒ + = −2 6 3 2 6 18.
y x y x−( )= − −( ) ⇒ − = −5 2 6
7
0 7
35
2
6 ,
m
l3
2
3
=m l⊥ =2 6,m l⊥ = −1
6
7
,
Ecuaciones de las bisectrices del triángulo ABC.
De acuerdo con la convención para denominar los ángulos, en la figura 3.38 se
observa que:
126 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
A
B
C O
x
y
a
b
g
l1
l3
l2
Figura 3.38. Bisectrices de los ángulos.
a es opuesto al segmento de recta l2 (ángulo formado por las rectas l3, l1).
b es opuesto al segmento de recta l3 (ángulo formado por las rectas l2, l1).
g es opuesto al segmento de recta l1 (ángulo formado por las rectas l3, l2). 
Para encontrar las coordenadas de los puntos que bisecan cada uno de los ángulos que
dan origen a cada bisectriz y encontrar el punto de intersección de las tres bisectrices
del triángulo, primero se procede a encontrar las ecuaciones de cada recta que con-
forman el triángulo, expresándolas en su forma general.
Las ecuaciones son:
6y27x 5 15 (1)
6y1x 5 29 (2)
2y13x 5 21 (3)
Una vez que las rectas se calcularon, se toman dos rectas y se calcula la distancia ha-
cia un punto medio entre ellas aplicando la fórmula de distancia de un punto a una
recta. 
Como la distancia debe ser la misma, para encontrar la bisectriz del ángulo a se
utilizan las rectas l1, l3.
Simplificando términos, se obtiene la ecuación de la recta bisectriz L1 que biseca al
ángulo a
6 7 15
85
2 3 21
13
y x y x− − = + −
l y x
3
6
3
2
3, ,−( )= − −( )
l y x
2
3
1
6
9, ,− −( )( )= − −( )
l y x
1
1
7
6
3, ,− −( )( )= − −( )( )
O bien,
34y 2 573x 1 1515 5 0 (1)
De forma similar, para el ángulo b, la ecuación de la recta bisectriz L2 tendrá la forma:
Al simplificar se obtiene:
O bien,
498y 2 181x 2 45 5 0 (29)
Por último, para el ángulo g, de recta bisectriz L3,
Se simplifica:
O bien,
554y 1 359x 2 1569 5 0 (39)
Una forma de comprobar rápidamente si la ecuación que obtuvimos es la correspon-
diente al ángulo bisecado es sustituyendo el valor de las coordenadas del vértice en
la ecuación; si la satisface, entonces será correcta.
Para encontrar las coordenadas del incentro es necesario resolver, por medio de
ecuaciones simultáneas, el sistema de las rectas L1, L2, L3 como se mostró antes. 
Al resolverlo, se obtiene que las coordenadas son:
Finalmente, la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángu-
lo es:
La gráfica de cada una de las bisectrices, así como la circunferen-
cia inscrita será:
x y−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
( )27
10
53
50
18 3
50
37
2 2
2
I 2
7
10
1
3
50
,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
27
50
3
59
100
15
69
100
y x+ − = 00
6 9
37
2 3 21
13
y x y x+ +
−
= + −
9
24
25
3
31
50
9
10
0y x− − =
6 7 15
85
6 9
37
y x y x− − = + +
−
17
50
5
73
100
15
3
20
0y x− + =
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 127
D
F
E
A
B
C
O
I
x
y
r
L1
L3
Figura 3.39. Circunferencia circunscrita a un triángulo.
Recta de Euler
A partir de los tres puntos dados es fácil determinar la ecuación de la recta de Euler, que
es una manera de comprobar que los resultados obtenidos son los correctos, en razón
de que estos tres puntos deben ser colineales. Si no resultan de esta forma, los resulta-
dos serían erróneos. La ecuación de esta recta se obtiene a partir de que se conocen, por
lo menos, dos puntos que pertenecen a ésta; en su forma general, la ecuación es:
27y194x2300 5 0
La recta tiene pendiente:
Otra forma de comprobar los resultados es calculando las pendientes entre los tres
puntos que pertenecen a la recta; se espera que ésta sea la misma para las tres posi-
bles combinaciones:
Por los resultados obtenidos se confirma que la solución es la correcta.
La gráfica es:
m
OK
=
− −
−
= −
10
32
21
8
105
32
117
48
3
13
27
m
GK
=
− −
−
= −
10
32
2
3
105
32
3
3
13
27
m
GO
=
−
−
= −
21
8
2
3
117
48
3
3
13
27
m = −313
27
128 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
D
F
E
A
B
C
O
O
x
y
K
G
Figura 3.40. Recta de Euler.
Circunferencia de Euler
A partir de la definición de la circunferencia de Euler se obtiene su ecuación por cual-
quier método o forma que se elija, ya que se conocen nueve puntos. La ecuación es:
Su gráfica es:
x y x y2 2 5
23
32
2
5
16
15
32
0+ − − − =
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 129
D
F
E
A
B
C
O x
y
O
Figura 3.41. Circunferencia de Euler.
Miscelánea de ejemplos
1. Grafica las rectas: a) b) c) d ) y 5
23x25, e) y f ) y 5 2x
Solución:
En todas se identifican m y b. Para ello se considera que la pendiente se define como
sabiendo que su signo, positivo o negativo, se debe a la naturaleza del cam-
bio (corrimiento a derecha o izquierda) en las abscisas; es decir, si m es negativa es
porque Dx es negativo, por lo cual Dy siempre es positivo (el corrimiento es hacia arri-
ba). Esto nos permite trazar la gráfica en cuatro sencillos pasos.
Primer paso: se localiza a la ordenada al origen, b, y se obtiene el punto (0,b). 
m
y
x
= ∆
∆
,
y x= − −1
2
5
2
y x= − +4
3
2,y x= +3
2
4,y
y
x
x b= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+∆
∆
;
Segundo paso: se recorre a la derecha o izquierda la magnitud de Dx, obtenién-
dose el punto (Dx,b). 
Tercer paso: a partir del punto anterior se traza la magnitud de Dy y el movimien-
to conduce al punto (Dx,Dy). Cuarto paso: al unir los puntos (0,b) y (Dx,Dy) se obtie-
ne el gráfico buscado.
130 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
y
x
1
2
3 4
y
x
4
2
3
+= xy
y
x
2
3
4
+−= xy
y
x
2
5
2
1
−−= xy
y
x
xy −=
a ) b ) c)
e ) f)
y
x
53 ––= xy
d )
(0,b)
(Dx,Dy)
(–Dx,b)
Dy
Dx
Figura 3.42. Gráficas de rectas.
2. En una práctica de laboratorio se quiere determinar la velocidad de un objeto que
parte del reposo, para ello, un grupo de alumnos obtiene los siguientes datos:
x(m)
t(s)
0.000
0.000
0.007
0.100
0.032
0.300
0.051
0.400
0.098
0.600
0.194
0.900
0.234
1.000
0.324
1.200
0.374
1.300
0.485
1.500
0.609
1.700
0.676
1.800
0.821
2.000
0.900
2.100
0.981
2.200
Si en la velocidad media, v
_
, se define un cambio de posición, Dx, en un intervalo de
tiempo, Dt, en forma matemática se expresa:
la cual, como se ve, es positiva, negativa o nula.
En forma análoga, la aceleración media, –a, se define como un cambio de veloci-
dad, Dv, en un intervalo de tiempo, Dt, es decir:
m
s2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥a
v
t
v v
t t
f i
f i
= =
−
−
∆
∆
m
s
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥v
x
t
x x
t t
f i
f i
= =
−
−
∆
∆
Su comportamiento es análogo al de la velocidad.
a) Determina la velocidad media del objeto cuando t 5 0.300s.
b) Determina la velocidad media del objeto durante todo su recorrido.
c) Obtén un modelo lineal que permita estimar la posición del objeto en cual-
quier tiempo de su recorrido.
d ) Calcula la aceleración media del recorrido.
e) Si la velocidad media fuese nula en un intervalo de tiempo, ¿cómo sería la
gráfica?
f ) Si la aceleración media fuese negativa, ¿qué comentarías acerca de la velo-
cidad?
Solución:
a)
b)
c) Utilizando la ecuación de la recta que pasa por un punto y pendiente dados,
(y2y1) 5 m(x2x1) y según los datos obtenidos y P(2.200,
0.981), se tiene:
Se simplifica:
x 5 0.446t
d ) Para determinar la aceleración media del recorrido se utiliza el cambio de ve-
locidad desde el punto de partida hasta el último registro. Es decir, –vf 5 0.446
ms–1, tf 5 2.200s y –vi 5 0.000 ms
–1, ti 5 0.000 s
e) Si la velocidad fuese nula, su gráfica sería un segmento de recta paralelo al
eje t (abscisas).
f ) Si la aceleración media fuese negativa, el objeto estaría disminuyendo su ve-
locidad y tendría pendiente negativa.
3. Una recta es tangente (toca en un solo punto) a una circunferencia, cuyo centro
se localiza en (21,4). Si la ecuación de la recta es 6x28y12 5 0, a) calcula el
radio de la circunferencia y b) determina su área.
Solución:
a) El radiode la circunferencia es la distancia entre su centro y la recta, por lo cual:
b) El área se determina con A 5 p . r2. Al sustituir:
A 5 p . (3.6)2 5 40.7 unidades cuadradas
6 1 8 4 2
6 8
36
10
3 6
2 2
( ) ( )
( ) ( )
.
− − +
+ −
= =
−
unidades liineales
a
v
t
= = −
−
= −∆
∆
0 446 0 000
2 200 0 000
0 203 2
. .
. .
. ms
m v= = 0 446. m
s
v = −
−
=0 981 0 000
2 200 0 000
0 446
. .
. .
.
m
s
v = −
−
=0 032 0 000
0 300 0 000
0 107
. .
. .
.
m
s
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 131
4. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (22,3) y la intersección
de las rectas y22x 5 0 y 4x 1 2y21 5 0.
Solución:
Primero se determina la intersección de las rectas a través de un sistema de ecuaciones.
22x 1 y 5 0
4x 1 2y 5 1
Al resolver, se encuentra que x 5 21/8 y y 5
1/4. Luego, mediante la ecuación de la
recta que pasa por dos puntos se tiene:
Al simplificar:
22x115y21 5 0
5. Halla la ecuación de la recta que contiene al punto (5,3) y es perpendicular a la
recta 3x15y 5 12.
Solución:
Se obtiene la pendiente de la recta dada es decir,
Luego, por condición de perpendicularidad m1m2 5 21, se determina que la
pendiente de la recta buscada es:
Finalmente, utilizando la ecuación de la recta que pasa por un punto y pen-
diente dados:
Al simplificar, se encuentra la ecuación:
3y25x116 5 0
6. Determina la distancia entre las rectas paralelas l: 6x24y 5 5 y l9: 6y29x 5 2.
Solución:
Si en l9 se iguala x 5 0, entonces y 5 1/3, y se obtiene un punto de ellas (0,
1/3). Pa-
ra determinar la distancia entre las rectas se aplica la ecuación de distancia de un pun-
to a una recta.
7. Es posible mostrar que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos también
se expresa como un determinante; el arreglo utilizado para ello es:
x y
x y
x y
1
1
1
0
1 1
2 2
=
6 0 4 1
3
5
6 42 2
( )
( ) ( )
− +
+ −
=
( )
−
0.508 unidades lineaales
y x− = −3 5
3
5( )
m = 5
3
.
m = − 3
5
.y x= − +
3
5
12
5
,
y x−( )=
−
− +
+( )3
3 1
4
2 1
8
2
132 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
Es decir
x(y12y2)2y(x12x2)1(x1y22x2y1)50
Si una recta pasa por los puntos (3,22) y (22,25), encuentra su ecuación utilizando
dos métodos.
Solución:
Método de solución 1: A través del determinante propuesto se tiene:
Se simplifica: 3x25y219 5 0.
Método de solución 2: utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
Al reducir, se obtiene:
3x25y219 5 0.
8. Las ecuaciones y 5 yi 1 vi sen u.t20.5gt2 y x5xi1vi cos u.t describen la posi-
ción de un proyectil con movimiento parabólico. En ellas, vi es la velocidad ini-
cial; u el ángulo de salida; g 5 9.8 m/s2 es la aceleración de la gravedad, y t es
tiempo. Si un proyectil sale de (yi, xi) 5 (0.0, 0.0)m con una velocidad inicial de
25 m/s y un ángulo de 45°: a) ¿Cuál será su posición vertical y horizontal, des-
pués de 3.0 s? b) Si se ignorara el valor de g, ¿cuáles serían sus coordenadas en
el mismo tiempo? c) Traza un gráfico representativo y muestra ambos resultados.
Solución:
a) Sus posiciones son:
Vertical 
Horizontal
b) Si g 5 0.0 m/s2
Vertical
Horizontal
x
x
= + °
=
0 0 25 45 3 0
53
. ( cos )( .m m/s)( s)
m
y
y
= + °
=
0 0 25 45 3 0
53
. ( )( . )m m/s)(sen s
m
x
x
= + °
=
0 0 25 45 3 0
53
. ( cos )( .m m/s)( s)
m
y = + ° −0 0 25 45 3 0 0 5 9 8. ( )( . ) ( . )( .m m/s)(sen s m//s s
m
2 )( . )
.
3 0
8 9
2
y =
y x+ = − +
+
−( )2 2 5
3 2
3
x y
x y
1
3 2 1
2 5 1
2 5 3 2 15 4 0−
− −
= − + − + + − − =( ) ( ) ( )
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 133
c) Gráfico:
134 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
10 20 30 40 50 60 70
45°
 
 
60
50
40
30
20
10
d = 44.1 m = 0.5 . g . t2
y[m]
x[m]
(53,53)
(53,8.9)
vi sen u
vi cos u
Figura 3.43. Tiro parabólico.
9. Un navegante utiliza un mapa polar para determinar la posición y dirección de
su barco respecto del punto de partida. Si determina una distancia recorrida de
130 km en línea recta con dirección 30° NE (noreste), ¿qué ecuación cartesiana
describe el modelo de su trayectoria? 
Solución:
Las coordenadas cartesianas de su ubicación son:
x 5 r cos u y 5 r sen u
x 5 150 cos 30° 5 130 km x 5 150 sen 30° 5 75 km
Luego, la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos sirve como modelo pa-
ra la trayectoria:
Al simplificar:
75x2130y 5 0
15x226y 5 0
10. Dadas las ecuaciones de las rectas l: 3x22y23 5 0 y l9: 2x23y13 5 0, halla las
rectas bisectrices que bisecan cada uno de los ángulos que forman al intersecarse.
Solución:
Por definición de bisectriz, se sabe que uno de los puntos que pertenecen a tales rec-
tas es de intersección y el otro es equidistante a ambas rectas, por lo cual es necesa-
y x− = −
−
−75 75 0 0
130 0 0
130
.
.
( )
rio utilizar la ecuación de distancia de un punto a una recta, así como los criterios de
la aplicación de ésta.
Sea un punto P(x,y) que equidista de ambas rectas:
El signo del radical se obtiene utilizando el criterio 2 de distancia de un punto a una
recta.
Se simplifica y se ordena:
3x22y23 5 22x13y13
5x25y 5 0
O:
x2y 5 0, llamada L.
Para obtener la bisectriz que pasa por Q, se puede aprovechar la condición de perpen-
dicularidad entre dos rectas bisectrices generada por dos rectas que se cortan.
La pendiente de L es m 5 1; por tanto, la pendiente de L9 será m 5 21. El pun-
to de intersección de l y l9 se obtiene al resolver simultáneamente:
3x22y 5 3
2x23y 5 23
lo que da por resultado (3,3), aplicando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos
y23 5 21(x23)
O bien,
x1y16 5 0
Su gráfica es:
3 2 3
13
2 3 3
13
x y x y− − = − +
−
3.7. ■ Rectas y puntos notables de un triángulo 135
P(x,y)
O x
y
0323 : =–– yxl
0332 :' =+– yxl
0=–yx06=–+yx
90°
Q
Figura 3.44. Rectas bisectrices.
11. Dados los vértices (21,4), (1,24) y (26,21) de cierto triángulo, determina los
ángulos interiores del mismo. Utiliza sólo dos cifras significativas.
Solución:
Se procede a trazar un gráfico representativo y a determinar las pendientes de cada
lado del triángulo, como se muestra en la figura 3.45.
A continuación se determina el valor de cada ángulo:
Para hacer la comprobación, basta recordar que la suma de los ángulos internos de un
triángulo es igual a 180°, es decir: 59°153°168° 5 180°.
12. En una práctica de tiro se lanza un trozo de madera hacia arriba en línea recta,
utilizando un pequeño cañón y un instante después se le dispara una bala con un
rifle, también en línea recta. Si sus ecuaciones son 5x22y 5 10 y 10x29y 5 230
respectivamente, a) ¿cuál es el ángulo que forman ambas trayectorias al impac-
tarse?, b) si después del impacto, la madera desciende 30° en trayectoria recta
por un instante, ¿cuál es su ecuación después del impacto? NOTA: En ángulos,
utiliza dos cifras significativas.
Solución:
a) El ángulo en el momento del impacto está determinado por:
b) Un gráfico ayuda a entender la situación:
Luego, utilizando la ecuación de la recta en su forma punto pendiente, se tiene:
y210 5 tan18°(x26)
Se simplifica:
y20.33x28.0 5 0
θ = + − −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≈ °
−cos
( )( ) ( )( )1 5 10 2 9
29 181
20
tan
( )( )
tanα α=
−
+
= − −
+ −
⇒ = −
−
⎛−m m
m m
2 1
2 1
1
1
4 1
1 4 1
5
3⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟
= °
=
−
+
=
− +
+ − −
59
1
3
7
4
1 3
7
4
3 2
3 2
tan
( )( )
γ
m m
m m
⇒⇒ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= °
=
−
+
=
+
−γ
β
tan
tan
1
1 3
1 3
25
19
53
1
1 3m m
m m
77
1 1 3
7
5
2
681
+ −
⇒ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= °−
( )( )
tanβ
136 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
x
y
a
b
g
 
(–1,4)
(–6,–1)
(1,–4)
m1 = 1
m2 = –4
m3 = –3/7
Figura 3.45. Ángulos interiores.
20°
50°
68°48°
18°
x
y
(6,10)
Figura 3.46. Ángulo de impacto.
13. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4) y forma un ángulo
de 30° con el eje x.
Solución:
Como se ha visto, para trazar una recta son necesarios al menos dos puntos. Sea P(x,y)
un punto quetambién pertenece a la recta.
Por definición de pendiente, se tiene y además se sabe que tan u 5 m.
Utilizaremos el apéndice B para obtener la tan(30°); igualando las expresiones ante-
riores se tiene:
Simplificando, se obtiene la ecuación buscada:
RESUMEN
✓ La pendiente de una recta es una razón de cambio (ordenadas entre abscisas)
✓ Toda ecuación de primer grado representa una línea recta.
✓ Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente
✓ Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
✓ Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen (ecuación de la recta en for-
ma simplificada)
y 5 mx1b
✓ Ecuación de la recta en forma simétrica
✓ Ecuación general de la recta
Ax1By1C 5 0
✓ Teorema. Una recta es paralela al eje x si, y sólo si, todos los puntos que la forman se en-
cuentran a una misma distancia del eje x.
y 5 a
✓ Teorema. Una recta es paralela al eje y si, y sólo si, todos los puntos que la forman se en-
cuentran a una misma distancia del eje y.
x
a
y
b
+ =1
y y
y y
x x
x x−( ) = −−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−( )1 2 1
2 1
1
y y m x x−( ) = −( )1 1
m
y y
x x
=
−
−
=1
1
tanθ
3 3 2 6 3 0x y− + − =( )
y
x
−
−
=4
2
3
3
m
y
x
= −
−
4
2
Resumen 137
✓ Condición de perpendicularidad entre dos rectas
m1 . m2 5 21
✓ Condición de paralelismo entre dos rectas
m1 5 m2
✓ Dos o más puntos son colineales si, y sólo si, pertenecen a una misma recta.
✓ Ecuación de una recta que pasa por el origen
y 5 mx, y 5 ⎢x⎢, con pendiente de 45°.
✓ Ecuación normal de la recta
r 5 x cos w1y sen w
✓ Ángulo entre dos rectas
Dadas sus pendientes 
Conocidas sus ecuaciones 
✓ Distancia de un punto a una recta
o bien,
Criterio 1
• Se toma el signo del radical positivo si al trazar la recta queda entre el origen y el pun-
to dado.
• Se toma el signo del radical negativo si el origen y el punto dado están a un mismo la-
do de la recta.
Criterio 2
• Si C ≠ 0, el radical será de signo contrario al de C.
• Si C 5 0 y B ≠ 0, el radical y B tendrán el mismo signo.
• Si C 5 B 5 0, el radical y A tendrán el mismo signo.
✓ Rectas y puntos notables del triángulo
❑ Mediana. Se define como el segmento trazado desde un vértice hasta el punto me-
dio del lado opuesto. Existen tres medianas, una correspondiente a cada lado. El pun-
to de intersección de las tres medianas se llama baricentro y también se le conoce
como gravicentro o centroide; se le representa por medio de las literales B o G.
Teorema. Las tres medianas de un triángulo se intersecan en el punto cuya abscisa es un ter-
cio de la suma de las abscisas de los vértices y cuya ordenada es un tercio de la suma de las or-
denadas de los vértices.
y
y y y
=
+ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1 2 3
3
x
x x x
=
+ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1 2 3
3
;
d
Ax By C
A B
=
+ +
+2 2
d
Ax By C
A B
= + +
± +2 2
,
cosβ = +
+ +
AD BE
A B D E2 2 2 2
tan β =
−
+ ⋅
m m
m m
2 1
1 2
1
138 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
❑ Mediatriz. Es la perpendicular trazada en el punto medio de cada lado; en conse-
cuencia, hay tres mediatrices. El punto de concurrencia se llama circuncentro y se
representa con la literal K.
❑ Altura. La altura es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su
prolongación. Hay tres alturas, una por cada lado. El punto donde se interceptan se
llama ortocentro y se denota por medio de la literal O.
❑ Bisectriz. Es una recta que corta exactamente a un ángulo interior del triángulo a
la mitad. En consecuencia, hay tres bisectrices, una para cada ángulo interior. El
punto donde concurren se llama incentro y se representa por la literal I.
❑ Recta de Euler. Se construye a partir de los puntos notables llamados ortocentro,
gravicentro y circuncentro. Estos puntos son colineales y si nos apoyamos en só-
lo dos se puede determinar su ecuación.
❑ Circunferencia de Euler. Es la que pasa por los pies de las alturas, los puntos me-
dios de los lados y los puntos medios de los trazos que unen a cada vértice con el
ortocentro; también se le conoce como circunferencia de los nueve puntos. 
PROBLEMAS
Practica los siguientes ejercicios:
1. Determina la ecuación de recta en su forma punto-pendiente y traza sus gráficas.
Respuestas
a) A(1,2) m 5 4/5
b) A(1,1) m 5 3
c) A(0,0) m 5 2 (y20)52(x20)
d) A(22,1) m 5 22/3
e) A(22,21) m 5 21 (y11)521(x12)
2. Dados dos puntos que pertenecen a una recta, indica su ecuación y traza su gráfica. 
Respuestas
a) A(1,2) y B(22,3) x13y27 5 0
b) A(3,4) y B(21,5)
c) A(3,22) y B(7,28) 3x12y25 5 0
d ) A(6,1) y B(7,9)
e) A(1,4) y B(28,2) 2x19y134 5 0
3. Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen.
a) A partir de las siguientes expresiones, reduce a la forma simplificada e identifica m y b.
Respuestas
i. 4y18x216 5 0 y52x14 m5 22, b54
ii. 10y15x25 5 0
iii. 7y23x11 5 0 b = −
1
7
m = 3
7
,y x= −3
7
1
7
y x−( ) = −( )2 4
5
1
Problemas 139
b) Dada la pendiente y la ordenada al origen, traza y determina la ecuación de la recta en
su forma simplificada:
Respuestas
i. m52, b51 y52x11
ii. m524, b50
iii. b522
4. Dadas las siguientes ecuaciones de línea recta, exprésalas en su forma simétrica e identi-
fica la ordenada y abscisa al origen.
Respuestas
a) 2x16y 5 5
b) 3x25y 5 22
c) x27y 5 4
5. Dada la siguiente ecuación 3x28y522, determina y traza las ecuaciones de la recta que
se tendrían si:
Respuestas
a) el término independiente fuese cero
b) el coeficiente de x fuera igual a cero
c) el coeficiente de y fuera igual a cero
6. Halla la ecuación de la línea recta que contiene al punto (21,3) y forma un ángulo de 135°
con el eje x.
7. En los siguientes ejercicios se dan los valores de r y w. Expresa las ecuaciones de la rec-
ta en su forma normal y general.
Respuestas
a) r56, w515° y sen 15°1x cos 15°56,
b) r54, w545°
c) r59, w575° y sen 75°1x cos 75°59,
d ) r50, w530°
e) r51, w590° y sen 90°1x cos 90°51, y51
8. En un puerto marítimo están por llegar tres barcos con las siguientes coordenadas: Stoa
120.41∠41.63°, Beck 101.98∠78.69° y Dante 56.56∠45°. Determina los ángulos inter-
nos del triángulo que se forma en esta posición. Sugerencia: Consulta en el capítulo ocho
las coordenadas polares y redondea a cero los decimales.
Respuesta: 54.60°, 55.61° y 69.77°
y x6 2 6 2 36+( )+ −( ) =
y x6 2 6 2 24+( )+ −( ) =
x = − 2
3
y x= 8
3
a b= = −4 4
7
;x y
4
7
4
1− =
5
2
3
2
1y x− =
a b= =5
2
5
6
;
2
5
6
5
1x y+ =
y x= −6
5
2m = 6
5
,
140 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
9. Di si los siguientes puntos son colineales. (Utiliza un método diferente de verificación pa-
ra cada inciso.)
Respuestas
a) A(22,1), B(2,1), C(4,23) No
b) A(2,4), B(1/2,2
1/2), C(3,26)
c) A(0,0), B(3,3/2), C(22,21) Sí
10. Dos rectas l1 y l2 contienen los puntos (21,1) y (6,21) respectivamente. Si las rectas se
intersecan en el punto (3,4), ¿qué ángulo se forma entre ellas?
Respuesta: 84°
11. Determina la distancia que existe entre los puntos y las rectas dadas.
Respuestas
a) (2,3) y 2x24y12 5 0
b) (21,2) y x13y25 5 0
c) (5,26) y 22x23y12 5 0
d) (4,7) y 24x15y112 5 0
e) (3,22) y 4x2y27 5 0
12. Dados los vértices de un triángulo (21,2), (3,3), (2,23), determina las ecuaciones de sus
medianas y el gravicentro de éste.
13. Dados los vértices de un triángulo A(1,3), B(21,23), C(23,2) determina las rectas y en-
cuentra las coordenadas de los puntos notables, así como la recta de Euler. Elabora un grá-
fico señalando cada uno de ellos.
Respuestas
Medianas: x11 5 0, 6y27x211 5 0, 3y12x13 5 0, G(21,2/3)
Mediatrices: 3y1x 5 0, 10y24x23 5 0, 2y18x13 5 0, K(29/22,
3/22)
Alturas: 5y12x213 5 0, y14x17 5 0, 3y1x23 5 0, O(224/11,
19/11)
Bisectrices:
I(21.118,1.038)
Ecuación de la recta de Euler: 117y1105x127 5 0
14. Si los puntos A(1,1) y B(5,3) son dos vértices de un triángulo equilátero, determina las
coordenadas del tercer vértice.
Respuesta
Existen dos soluciones: C(4.732,21.464) y C(1.268,5.464)
y x68 464 425 29 2057 3509 0+( )+−( )+ − = ,
y x17 160 153 10 1210 0+( )− +( )− = ,
y x40 29 250 261 1210 0−( )+ +( )+ = ,
d = 7
17
d = 10
13
d = 6
2 5
Problemas 141
15. Determina la ecuación de la recta bisectriz que se forma entre los ejes coordenados.
16. Un niño sujeta un papalote con una cuerda de un metro de altura. El papalote está a una
distancia de 98 metros y a una altura de 50 metros; su hermano se localiza a una distan-
cia de 15 metros del niño y cuando alza las manos alcanza una altura máxima de 1.5 me-
tros. Considera recta la cuerda con la que se sujeta al papalote y di cuál es la distancia que
existe entre las manos del hermano y la cuerda. Toma como punto de referencia los pies
del niño que sujeta el papalote.
Respuesta: metros
17. Determina el área del triángulo formado por las rectas 2x23y14 5 0, 2x1y12 5 0 y el eje x.
18. Determina la ecuación de la recta que pasa por el origen y el punto de intersección de las
rectas 3x2y526 y x1y52. (Verifica tus resultados con algún software y construye la
gráfica respectiva.)
19. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de la rectas x22y
1550 y x1y2750 y que sea paralela al eje x.
20. Determina la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 2x1y2950 y que pa-
sa por el punto de intersección de las rectas x2y1250 y x1y50. (Verifica tus resultados
con algún software y construye la gráfica respectiva.)
Actividad en equipo. (Utilicen algún software para corroborar 
tus respuestas.)
1. Dado el triángulo cuyos vértices son los puntos A(8,24), B(21,5) y C(9,1):
a) Calculen el perímetro del triángulo.
b) Identifiquen el tipo de triángulo: rectángulo, isósceles, equilátero o escaleno.
c) Calculen el área del triángulo.
d ) Calculen los ángulos internos del triángulo.
e) Determinen las ecuaciones de las mediatrices.
f ) Calculen las coordenadas del circuncentro.
g) Dibujen la circunferencia circunscrita al triángulo (opcional).
h) Calculen las ecuaciones de las medianas.
i) Hallen las coordenadas del baricentro.
j) Determinen las ecuaciones de las alturas.
k) Calculen las coordenadas del ortocentro.
l) Verifiquen si el circuncentro, el baricentro y el ortocentro están alineados.
m) Determinen las ecuaciones de las bisectrices.
n) Calculen las coordenadas del incentro.
o) Dibujen la circunferencia inscrita al triángulo (opcional).
AUTOEVALUACIÓN
En tu cuaderno, contesta y practica las siguientes preguntas y ejercicios. 
1. Dados los puntos medios de un triángulo (2,3), (23,21) y (3,23), obtén la recta y cir-
cunferencia de Euler y construye la gráfica.
2. Obtén la mínima distancia que existe entre el punto (4,21) y la recta y53.
3. Halla los ángulos formados entre las rectas 4x15y23 5 0 y y25x12 5 0.
d = 14
5
142 Capítulo 3 ■ Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)
4. Si y son las pendientes de dos rectas, di cuál es el ángulo que forman
cuando se cortan.
5. ¿Cuál es la condición necesaria para que dos rectas sean paralelas?
6. ¿Cuál es la condición necesaria para que dos rectas sean perpendiculares?
7. Dos autos que se impactan seguían las trayectorias: y54/3x12 y y5
5/4x. Un testigo se
localiza en el punto T(7,3), ¿a qué distancia de éste fue el impacto?, ¿cuál es la ecuación
de la recta que se podría trazar desde el impacto al testigo? 
m = 1
5
m = − 1
3
Problemas 143
145
CAPÍTULO
4
Traslación y
rotación de
ejes (dos
pequeños
movimientos)
y una
ecuación
flexible
Tu deleite llega con el fin, y ahora te revelas anticipadamente, mas este
cuerpo sufre por la vida mientras vive. Esto es, Alma mía, el desconcierto.
Presurosa, huyes hacia la Eternidad, mas este cuerpo fluye lento ha-
cia el fin. Tú no lo esperas, y él no puede apresurarse. Esto es, Alma mía,
la tristeza.
Te elevas raudamente, por el mandato de los cielos, mas este cuerpo
se desploma por la ley de la gravedad. No lo consuelas y él no te quiere.
Esto es, Alma mía, la desdicha.
Eres rica en sabiduría, mas este cuerpo es pobre en comprensión. Tú
no te arriesgas y él no puede obedecer. Esto es, Alma mía, el límite de la
desesperación.
Khalil Gibrán (Lágrimas y sonrisas, 1914)
“Amor, Devoción, Sentimiento, Emoción.”
Enigma
Dentro de la geometría analítica comúnmente se presentan problemas que requieren la
construcción auxiliar de ejes de referencia dentro del plano cartesiano para facilitar su
análisis. Estos ejes pueden aparecer trasladados o bien con cierto ángulo de rotación
respecto de los ejes coordenados, a los cuales se les llamará ejes primitivos (x,y).
A continuación se presenta un desarrollo para la construcción de un sistema de
ejes trasladados.
Se define como ox y oy a los ejes primitivos y como o'x' y o'y' a los nuevos ejes,
paralelos a los anteriores, respectivamente. Por convención, se denomina (h,k) a las
coordenadas del nuevo origen o'. 
146 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
TRASLACIÓN
DE EJES
4.1
x
y
o
x9
y9
R
R9
Q9
Q
k
h x9
y9
y
x
P(x9,y9)
P(x,y)
o9(h,k)
Figura 4.1. Traslación de ejes.
La figura 4.1 muestra un punto aleatorio P de coordenadas (x,y) o (x',y'), según los
ejes que se tomen de referencia. Para determinar las coordenadas (x,y) en función de
x',y', h' y k' se establecen las siguientes relaciones:
o bien, x'5x2h [1]
o bien, y'5y2k [2]
De esta forma se relacionan las coordenadas del nuevo sistema de ejes con las de los
ejes primitivos. La traslación tendrá aplicación en varios casos que se presentarán
posteriormente.
Ejemplo 4.1
Dados los puntos P(5,6), Q(22,24), R(23,7) y S(5,22) en el plano xy, encuentra sus
nuevas coordenadas si el origen del plano x9y9 se localiza en (23,22).
y QP QQ Q P y k y= = + ⇒ = +' ' ',
x RP RR R P x h x= = + ⇒ = +' ' ',
Solución:
Para determinar las duplas de coordenadas se hace uso de x'5x2h y y'5y2k, identi-
ficando a h523 y k522.
Haciendo las sustituciones pertinentes:
P'5(52(23),62(22))5(8,8)
Q'5(222(23),242(22))5(1,22)
R'5(232(23),72(22))5(0,9)
S'5(52(23),22(22))5(8,0)
En forma gráfica:
4.1 ■ Traslación de ejes 147
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x9
y’
(-3, -2)
 
 
 
R(–3,7)
R9(0,9)
P9(8,8)
P(5,6)
Q9(1,–2)
Q(–2,–4) S9(8,0)
S(5,–2)
•
•
•
•
Figura 4.2. Coordenadas de puntos en el plano xy y x'y'.
Ejemplo 4.2
Dada la ecuación x21y2 5 9 del lugar geométrico llamado circunferencia, determina
su nueva ecuación si el origen del sistema x'y' se localiza en (22,21).
Solución:
Utilizamos las ecuaciones de traslación x5x'1h y y5y'1k. Se observa que h522 y
k521. Al sustituir éstas en la ecuación dada:
(x'22)2 1 (y'21)2 5 9
Desarrollando los binomios cuadrados y simplificando:
x y x y' ' ' '2 2 4 2 4+ − − =
x x y y' ' ' '2 24 4 2 1 9− + + − + =
Ejemplo 4.3
Encuentra la nueva ecuación que se obtiene a partir de la traslación de
la siguiente ecuación 7x229y2 5 63, que corresponde al lugar geomé-
trico llamado hipérbola, cuando el nuevo origen es el punto (21,2).
Solución:
Utilizando las ecuaciones de traslación x5x'1h, y5y'1k, se observa que
h521 y k52.
Sustituyéndolas en la ecuación dada:
7(x'21)229(y'12)2 5 63
Al desarrollar y reducir,
Ejemplo 4.4
Dada la ecuación 2x218x15y224 5 0, exprésala en términos de x' y y' y traza un grá-
fico representativo. 
Solución:
Para expresarlas en términos de x' y y' es necesario considerar las relaciones x'5x2h
y y'5y2k, para lo que será necesario factorizar:
2(x214x)15(y222y) 5 4
7 9 14 36 922 2x y x y' ' ' '− − − =
7 14 7 9 36 36 632 2x x y y' ' ' '− + − − − =
148 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
–4 –3 –2 –1 1 2 3
4
5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y
x'
y
4
(–2,–1)
Figura 4.3. Traslación de la circunferencia.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
x
y
x9
y9
Figura 4.4. Traslación de la hipérbola.
y completar cuadrados en ambas variables:
Simplificando:
Se identifica que h522 y k51
Es decir, la ecuaciónen las variables x' y y' es:
2x'215y'2 5 17
Su gráfico se presenta en la figura 4.5. 
2 2 5 1 17
2 2
x y− −( ) + −( ) =( ) ( )
2 2 5 1 17
2 2
x y+( ) + −( ) =
2 2 5 1 4 8 5
2 2
x y+( ) + −( ) = + +
2 4
4
2
5 2
2
2
2
2
2
2
x x y y+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
+ − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4 2
4
2
5
2
2
2 2
4.2 ■ Rotación de ejes 149
–5 –4 –3 –2 –1 1 2
–4
–3
–2
–1
1
2
3
y
x'
y'
(–2,1)
x
Figura 4.5. Traslación de la elipse.
Un caso más acerca de la construcción de
nuevos ejes es la rotación (en el caso de la
traslación, el origen del nuevo plano se en-
cuentra en cualquier cuadrante del plano
cartesiano) para el cual el origen es el mis-
mo en ambos ejes.
Considera la figura 4.6.
El eje x' tiene una pendiente positiva m
y su ecuación se puede escribir en la forma
y5mx (i)
De manera análoga, la pendiente de y' es
negativa (m.90°) y tiene por ecuación:
o bien, x52my. (ii)y
m
x= − 1 ,
ROTACIÓN
DE EJES
4.2
y
y
x
x
y'
y'
x'
x'
o
u
P(x,y)
P(x',y')
Figura 4.6. Construcción de nuevos ejes.
Lo que puede verificarse por condición de perpendicularidad, m1m2 5 21.
Como en el caso de la traslación, las coordenadas (x',y') se escriben en función
de (x,y) para trabajar en los nuevos ejes. Para lo anterior se utiliza la ecuación de dis-
tancia de un punto a una recta, en la figura se observa que el valor
de la coordenada x' será la distancia del punto P(x,y) al eje y'; de igual manera, el va-
lor de la coordenada y' será la distancia que existe del punto P(x,y) al eje x'.
Con la recta x 5 2my se calcula x':
(iii)
De manera semejante, para determinar a y9 se emplea y 5 mx
(iv)
Despejando x y y, de las expresiones (iii) y (iv), respectivamente, se tiene:
(v)
(vi)
Sustituimos (vi) en (v) y, para determinar x:
Resolviendo para x, basta con factorizar en el segundo miembro:
Simplificando:
[3]
En forma análoga, para y:
[4]
Se han determinado los valores de las nuevas coordenadas en función de las coorde-
nadas primitivas y de su pendiente, conocidas como ecuaciones de rotación; sin em-
bargo, existe una forma más para determinarlas, a través de un análisis trigonométri-
co o considerando que la pendiente se define como m 5 tan u.
Ecuaciones de rotación en forma trigonométrica 
Si sustituimos el valor de la pendiente en las ecuaciones [3] y [4], tenemos:
y
y mx
m
= +
+
' '
1 2
x
x my
m
= −
+
' '
1 2
x
x my m
m
= − +
+
( ' ') 1
1
2
2
1 2+ m
x x m m y m mx
x m x m my m
= + − + +( )
+( )= + − +
' '
' '
1 1
1 1 1
2 2
2 2 2
y y m mx= + +' 1 2
x x m my= + −' 1 2
y
y mx
m
' = −
+1 2
x
x my
m
' = +
+1 2
d
Ax By C
A B
= + +
+2 2
;
150 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
Utilizando las identidades trigonométricas y las ex-
presiones anteriores toman la forma:
Por lo tanto:
[5]
[6]
con lo que obtenemos las ecuaciones de rotación en su forma trigonométrica.
También es posible hacer este último análisis a partir de la figura 4.7.
y x y= +' 'cossen θ θ
x x y= −'cos 'θ θsen
y
y x y x
=
+ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+ ⋅' '
cos
cos
' '
c
sen senθ
θ
θ
θ
1
2
oos
cos
'cos '
θ
θ
θ θ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⇒ = +
1
y y x sen
x
x y x y
=
− ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
− ⋅' '
cos
cos
' '
c
sen senθ
θ
θ
θ
1
2
oos
cos
'cos '
θ
θ
θ θ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⇒ = −
1
x x y sen
tan
cos
;θ θ
θ
= sen1
12
2
+ =tan
cos
θ
θ
y
y x= + ⋅
+
' tan '
tan
θ
θ1 2
x
x y= − ⋅
+
' tan '
tan
,
θ
θ1 2
4.2 ■ Rotación de ejes 151
•y'
y
y
x'
Q9
R'
QRo
x'
x
x
y'
P(x,y)
P(x',y') 
u
u
u
Figura 4.7. Rotación de ejes.
La figura muestra ambos ejes (x,y) y (x',y'). Se observa un triángulo rectángulo con
un ángulo u que corresponde a la rotación. De la figura se deduce:
Por trigonometría del triángulo rectángulo, al prolongar cada uno de los segmentos
hacia su correspondiente eje de rotación:
[5]
[6]
De esta forma, también se encuentran las ecuaciones de rotación. Es muy importan-
te saber que es indistinta la forma de las ecuaciones que se quiera usar, pues el resul-
tado será el mismo. Es decir, las ecuaciones [3], [4], [5] y [6] son equivalentes.
Los casos de traslación y rotación se pueden presentar al mismo tiempo en situa-
ciones no muy comunes. Para desarrollarlas, primero se procede a realizar la trasla-
ción y después la rotación, a menos que se indique lo contrario. 
Cuando se trabaja con la traslación o rotación de ejes es posible eliminar o hacer ce-
ro los coeficientes de los términos lineales con el fin de facilitar la ecuación. Para ello
se procede a hacer la sustitución x5x'1h y y5y'1k; después se desarrollan los ex-
presiones indicadas. Al terminar este procedimiento se factorizan los términos comu-
nes x' y y', respectivamente, y se igualan a cero. Esta simplificación puede dar lugar
a un planteamiento de ecuaciones simultáneas o a dos ecuaciones lineales con una so-
la variable que dará los valores de las variables h y k, los cuales se sustituyen en la
ecuación previamente desarrollada. Después se hará la eliminación correspondiente.
Ejemplo 4.5
Dada la ecuación 2x215y228x215y589, elimina los términos lineales y determina
la nueva ecuación.
Solución:
Realizamos la sustitución x5x'1h y y5y'1k:
(i)
Desarrollamos los binomios, así como los productos indicados:
(ii)
Factorizamos x' y y' e igualamos a cero, para determinar los valores de h y k:
Sustituimos h y k en la ecuación (ii) y obtenemos:
y k k'( )10 15 0 3
2
− = ⇒ =
x h h'( )4 8 0 2− = ⇒ =
2 4 2 5 10 5 8 8 15 152 2 2 2x x h h y y k k x h y' ' ' ' ' '+ + + + + − − − − kk = 89
2 5 8 15 892 2( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' )x h y k x h y k+ + + − + − + =
y x y= +' 'cossen θ θ
x x y= −'cos 'θ θsen
y RP RR R P= = +' '
x OR OQ RQ= = −
152 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
ELIMINACIÓN
DE LOS 
TÉRMINOS
LINEALES
4.3
Simplificando para obtener la nueva ecuación:
que corresponde a la ecuación de una elipse; sus gráficos se presentan en la figura 4.8.
2 5
433
4
108 252 2x y' ' .+ = =
2 5 4 2 2 2 10 3
2
5 3
2
82 2 2
2
x y x y x' ' ( ) ' ( ) ' '+ + + + ( ) + ( ) − − 88 2 15 15 32 89( ) '− − ( )=y
4.3 ■ Eliminación de los términos lineales 153
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x'
y'
2x2 + 5y2 – 8x – 15y = 89 2x92 + 5y92 = 108.25
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
Ecuación original Ecuación sin términos lineales
(trasladada a un plano x9y9)
Figura 4.8. Eliminación de términos lineales en la ecuación de la elipse.
Ejemplo 4.6
Dada la ecuación x223y224x25y560, halla su nueva ecuación al eliminar los térmi-
nos lineales y traza su gráfico.
Solución:
Se sustituyen las igualdades x5x'1h y y5y'1k en la ecuación dada:
Al desarrollar binomios y productos se tiene:
Se agrupan x' y y' y se iguala a cero para determinar los valores de h y k:
Se sustituye h y k en la ecuación desarrollada:
x y x y x' ' ( ) ' ( ) ' '2 2 2
2
3 2 2 2 6 5
6
3 5
6
4 4− + + − −( ) − −( ) − − (( ) '2 5 5 56 60− − −( )=y
− + = ⇒ = −y k k'( )6 5 0 5
6
x h h'( )2 4 0 2− = ⇒ =
x x h h y y k k x h y k' ' ' ' ' '2 2 2 22 3 6 3 4 4 5 5 60+ + − − − − − − − =
( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' )x h y k x h y k+ − + − + − + =2 23 4 5 60
Se simplifica para hallar la nueva ecuación, que corresponde a una hipérbola:
NOTA: Si al realizar el procedimiento indicado no se eliminan los términos lineales,
el desarrollo fue incorrecto.
Una vez determinadas las ecuaciones de rotación es posible tratar con cualquier lu-
gar geométrico que esté representado por la ecuación general de segundo grado:
[7]
Sólo hace falta determinar el ángulo u que deben girar los ejes con el fin de eliminar
el término xy. Para lograrlo, se sustituye el valor de x y y o las ecuaciones de rotación
conocidas, las cuales se suplen en la ecuación general, y al desarrollar y simplificar
se consigue el resultado buscado, como se demuestra:
Considera la ecuación:y las expresiones:
Al sustituir en la ecuación general se tiene:
Al desarrollar binomios y los productos indicados, la expresión se transforma en:
Se agrupan términos semejantes:
1
1 1
1 F50
Al igualar:
(iii)
(iv)
(v)C A B C' cos cos= − + ⋅⎡⎣ ⎤⎦sen sen
2 2θ θ θ θ
B C A B' cos cos= −( ) + −( )⎡⎣ ⎤⎦2 2 2sen senθ θ θ θ
A A B C' cos cos= + +⎡⎣ ⎤⎦
2 2θ θ θ θsen sen
y E D' cosθ θ−⎡⎣ ⎤⎦senx D E' cosθ θ+⎡⎣ ⎤⎦seny A B C' cos cos
2 2 2sen senθ θ θ θ− + ⋅⎡⎣ ⎤⎦
x y C A B' ' cos cos2 2 2−( ) + −( )⎡⎣ ⎤⎦sen senθ θ θ θx A B C' cos cos2 2 2θ θ θ θ+ +⎡⎣ ⎤⎦sen sen
Ax Ax y Ay Bx' cos ' ' cos ' '2 2 2 2 22θ θ θ θ θ− + +sen sen sen ccos ' 'cos
' ' ' cos
θ θ
θ θ θ
+
− − +
Bx y
Bx y By Cx
2
2 2sen sen '' ' ' cos ' cos
'cos
2 2 2 22sen senθ θ θ θ
θ
+ +
+ −
Cx y Cy
Dx Dyy s Ex Ey F ii' ' 'cossen sen ( )θ θ θ+ + + = 0
A x y B x y x y'cos ' 'cos ' ' 'θ θ θ θ θ−( ) + −( ) +sen sen sen2 cos ' 'cos
'cos '
θ θ θ
θ θ
( )+ +( )
+ −
C x y
D x y
sen
sen
2
(( )+ +( )+ =E x y F i' 'cossen ( )θ θ 0
y x y= +' 'cossen θ θ
x x y= −'cos 'θ θsen
Ax Bxy Cy Dx Ey F2 2 0+ + + + + =
Ax Bxy Cy Dx Ey F2 2 0+ + + + + =
x y' '2 23
743
12
− =
154 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
MÉTODO PARA
ELIMINAR EL
TÉRMINO XY
4.4
(vi)
(vii)
F5F9 (viii)
se obtiene la nueva ecuación general de segundo grado:
[79]
De las igualaciones anteriores se obtiene nueva información de la ecuación general
de segundo grado.
Para eliminar el término xy se iguala B'50, lo que permite determinar el ángulo
de rotación.
De (iv)
Por trigonometría, se sabe que sen2u 5 2senucosu y cos2u2sen2u5cos2u; al susti-
tuir en la ecuación se tiene:
Se ordenan para senu y cosu, con el fin de obtener u:
Pero de trigonométrica por lo cual:
[8]
A partir de esta ecuación obtenemos el valor de u:
[89]
En el caso de que A5C, la ecuación (C2A)sen2u1Bcos2u50 es de la forma:
Bcos2u 5 0
Al despejar el ángulo u:
cos2u50
2u5cos–1(0)
2u590°
u545°
θ =
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−tan 1
2
B
A C
∀ ≠A Ctan ;2θ =
−
B
A C
tan
cos
,θ θ
θ
= sen
sen2
2
θ
θcos
=
−
B
A C
C A B−( ) = −sen2 2θ θcos
C A sen B−( ) + =2 2 0θ θcos
[ ( ) cos (cos )]2 02 2C A B− + − =sen senθ θ θ θ
A x B x y C y D x E y F' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '2 2 0+ + + + + =
E E D' cos= −⎡⎣ ⎤⎦θ θsen
D D E' cos= +⎡⎣ ⎤⎦θ θsen
4.4 ■ Método para eliminar el término 155
Otro método para eliminar el término xy
Existe una forma adicional para eliminar el término xy, haciendo la sustitución de las
primeras ecuaciones de rotación en la ecuación general
de segundo grado, de donde resulta:
Desarrollando los binomios y agrupando respecto de los ejes x' y y' se tiene:
Si se iguala:
Nuevamente,
[79]
Para eliminar el término x'y' se hace B'50, que da como resultado una ecuación de
segundo grado en términos de m:
Es decir,
Como m siempre es positiva, se obtiene:
[9]m
C A
B
C A
B
= − + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
2
1
m
C A
B
C A
B
C A
B
C A
B
= − ±
−( )
+ = − ± −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
2
2
2
1 1
m
C A C A B B
B
C A C A
=
− − ± −( ) − −
−
=
− − ± −2 2 2 4
2
2 2
2
( ) ( )( ) ( ) (( ) +
−
2 2
2
B
B
− + − + =Bm m C A B2 2 2 0( )
A x B x y C y D x E y F' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '2 2 0+ + + + + =
A
A Bm Cm
m
B
B Bm m C A
' '
(= + +
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
− + −2
2
2
1
2 ))
'
'
1 12
2
2+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
− +
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
m
C
Am Bm C
m
D == +
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
D Em
m
E
E Dm
m1 12 2
' y F F' =
x
A Bm Cm
m
x y
B Bm m C A
m
' ' '
( )2
2
2
2
21
2
1
+ +
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
− + −
+
⎛⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
− +
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ +
+
⎛
⎝
⎜
y
Am Bm C
m
x
D Em
m
'
'
2
2
2
2
1
1
⎞⎞
⎠
⎟ +
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + =y
E Dm
m
F'
1
0
2
A
x my
m
B
x my
m
y mx' ' ' ' ' '−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
1 1 12
2
2 ++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ −
+
⎛
⎝
m
C
y mx
m
D
x my
m
2 2
2
2
1
1
' '
' '
⎜⎜
⎞
⎠
⎟ +
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + =E
y mx
m
F
' '
1
0
2
y
y mx
m
= +
+
' '
1 2
x
x my
m
= −
+
' '
,
1 2
156 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
Este último resultado se compara con el obtenido en el primer método
Para ello se parte de que m5tanu:
Se elevan al cuadrado y se simplifica:
O bien,
Por trigonometría:
Es decir,
Finalmente,
que resulta ser la misma expresión.
Si se conoce la pendiente de uno de los ejes, la búsqueda de la nueva ecuación se
simplifica. Es decir, si para un punto (x1,y1) sobre el eje x' y el origen, se tie-
ne la cual se sustituye en A' y D' reduciéndose a:
y 
D
D E
y
x
y
x
Dx Ey
x y
' =
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
+
+
1
1
1
1
2
1 1
1
2
1
2
1
A
A B
y
x
C
y
x
y
x
Ax B
' =
+ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
+
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
xx y Cy
x y
1 1 1
2
1
2
1
2
+
+
m
y
x
= 1
1
,
m
y
x
= ∆
∆
,
tan2θ =
−
B
A C
A C
B
− = 1
2tan θ
tan
tan
tan
2
2
1 2
θ θ
θ
=
−
− − = −
− = −
A C
B
A C
B
tan
tan
tan
tan
2
2
1
2
1
2
θ
θ
θ
θ
C A
B
− = −tan
tan
2 1
2
θ
θ
tan
tan
θ
θ
= − + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
− − = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
C A
B
C A
B
C A
B
C A
B
2
1
22
1+
tan .2θ =
−
B
A C
4.4 ■ Método para eliminar el término 157
Luego, por condición de perpendicularidad entre rectas, para un punto (x2,y2) sobre
el eje y' y el origen se tiene que permite deducir los valores de C' y E':
y 
Una vez eliminado el término xy, se podrá trabajar convencionalmente en los nuevos
ejes, también conocidos como ejes oblicuos. 
Ejemplo 4.7
Dada la ecuación x213xy14y2513, exprésala en términos de x' y y', si se giran los
ejes a una pendiente de
Solución:
Como entonces (3,2) es un punto que se localiza sobre x'; luego, por condi-
ción de perpendicularidad, por lo cual el punto está sobre y'. Lo anterior
permite aplicar directamente:
y 
donde (3,2)5(x1,y1) y (22,3)5(x2,y2), por lo cual:
y
La nueva ecuación es:
O bien,
43x92122y92 5 169
Ejemplo 4.8
Determina la nueva ecuación que se obtiene a partir de 3x223xy13y212x24y1150,
al girar los ejes en un ángulo de 45°.
Solución:
Utilizando las ecuaciones de rotación x5x'cosu2y'senu, y5x'senu1y'cosu y conside-
rando que las ecuaciones de rotación tomarán la forma:cos ,45 45
1
2
° = ° =sen
43
13
22
13
132 2x y' '+ =
C '
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
= − + − +
− +
=1 2 3 2 3 4 3
2 3
22
13
2 2
2 2
A '
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
= + +
+
=1 3 3 3 2 4 2
3 2
43
13
2 2
2 2
C
Ax Bx y Cy
x y
' =
+ +
+
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
A
Ax Bx y Cy
x y
' =
+ +
+
1
2
1 1 1
2
1
2
1
2
m
2
3
2
= −
m
1
2
3
= ,
m = 2
3
.
E
Dx Ey
x y
' =
+
+
2 2
2
2
2
2
C
Ax Bx y Cy
x y
' =
+ +
+
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
m
x
y
= − 2
2
,
158 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
Se sustituye en la ecuación dada:
Se desarrollan los binomios:
Se racionalizan las raíces y se simplifica:
Se multiplica por 2:
La ecuación anterior corresponde a una diminuta elipse, como se muestra en la figu-
ra 4.9. 
3 9 2 2 6 2 2 02 2x y x y' ' ' '+ − − + =
3
2
9
2
2 3 2 1 02 2x y x y' ' ' '+ − − + =
3
2
2
3
2
3
2 2 2 2 2x x y y x y x' ' ' ' ' ' '− +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
+ 22
2
2
2
2
2
4
2
4
2
1 0
2x y y
x y x y
' ' '
' ' ' '
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ − − − + =
3
2
3
2 2
3
2
x y x y x y x' ' ' ' ' '−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
'' ' ' ' ' '+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
y x y x y
2
2
2
4
2
1
2
== 0
y x y
x y= ° + ° = +' 'cos ' 'sen45 45
2
x x y
x y= ° − ° = −'cos ' ' '45 45
2
sen
4.4 ■ Método para eliminar el término 159
–1 1
1
x
y
 
y9
x9
u = 45°
Figura 4.9. Rotación de la elipse.
Ejemplo 4.9 
Por medio de una traslación y rotación de ejes, expresa la siguiente ecuación 2x21
3xy12y22x1y2150, en términos de x2 y y2.
Solución:
Es necesario eliminar los términos lineales, para lo que se utilizan las ecuaciones de
traslación x5x'1h y y5y'1k, que al sustituirse en laecuación dada:
(i)
Se desarrollan los binomios y los productos indicados:
(ii)
Se ordena:
(iii)
De acuerdo con el proceso que se expuso para la eliminación de términos lineales,
los valores de h y k se calculan al resolver en forma simultánea las ecuaciones que los
contienen:
4h13k2150
3h14k1150
Esto da como resultado que h51 y k521. Al sustituir estos valores en la ecuación
(iii) se reduce a:
2x'213x'y'12y'2 5 2 (iv)
Realizado lo anterior, eliminamos el término xy, pero se observa que A5C, por lo que
se emplea la ecuación Bcos2u 5 0:
3cos2u 5 0
u 5 45°
Por tanto, las ecuaciones de rotación serán de la forma:
Se sustituye en la ecuación (iv):
Se desarrollan los binomios cuadrados y se simplifica:
7x''21y''254
De nuevo, resulta ser la ecuación de una elipse.
Observa que para resolver este ejercicio, primero trasladamos la ecuación y des-
pués giramos los ejes, como se recomendó.
Miscelánea de ejemplos
1. Dada la ecuación x222x14y 5 5, encuéntrala en términos de x' y y' y traza su
gráfico. 
2
2
2
3
2
2 2 2 2x x y y x y'' '' '' '' '' ''− +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ++
+ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =2
2
2
2
2 2x x y y'' '' '' ''
2
2
3
2 2
2
x y x y x y'' '' '' '' '' ''−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+⎛
⎝
⎜
⎞⎞
⎠
⎟ +
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =2
2
2
2
x y'' ''
y x y
x y= °+ ° = +'' ''cos '' ''sen45 45
2
x x y
x y= °− ° = −''cos '' '' ''45 45
2
sen
2 3 2 4 3 1 3 4 1
2
2 2
2
x x y y x h k y h k
h
' ' ' ' ' '+ + + + −( )+ + +( )
+ ++ + − + − =2 3 1 02k hk h k
2 4 2 3 3 3 3 2
4
2 2 2x x h h x y x k hy hk y
y k
' ' ' ' ' ' '
'
+ + + + + + +
+ ++ − − + + − =2 1 02k x h y k' '
2 3 2
2 2
x h x h y k y k x h y k' ' ' ' ' '+( ) + +( ) +( )+ +( ) − +( )+ +(( )− =1 0
160 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
–2 –1 1 2 3
–3
–2
–1
1
2
x
y
y9
x9
(h,k)
45°
Figura 4.10. Traslación y rotación
de la elipse.
Solución:
Ordenamos y completamos cuadrados para x:
Al factorizar:
En la ecuación se identifica que h51 y luego de x'5x2h y y'5y2k,
x92524y9
Su gráfico se presenta en la figura 4.11.
k = 3
2
,
x y−( ) = − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 4
3
2
2
x x y2
2 2
2
2
2
5 4
2
2
− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4.4 ■ Método para eliminar el término 161
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
x
y
Figura 4.11. Traslación de la parábola.
2. Un estudiante pretende eliminar los términos lineales de la siguiente ecuación
3y224x2212y18x 5 5. ¿Qué resultado obtiene?
Solución:
Con el fin de eliminarlos, recurre a las expresiones x5x'1h y y5y'1k para sustituir-
las en la ecuación:
(i)
Desarrolla los binomios y productos indicados:
(ii)
Después ordena:
(iii)3 4 6 12 8 8 3 4 12 82 2 2 2y x y k x h k h k h' ' '( ) '( )− + − − − + − − + −− =5 0
3 6 3 4 8 4 12 12 8 82 2 2 2y y k k x x h h y k x h' ' ' ' ' '+ + − − − − − + + −− =5 0
3 4 12 8 5 0
2 2
y k x h y k x h' ' ' '+( ) − +( ) − +( )+ +( )− =
Luego determina los valores de h y k, a través del sistema de ecuaciones simultáneas:
6k212 5 0
8h28 5 0
y obtiene h51 y k52; al sustituirlos en (iii) obtiene la ecuación:
3y9224x92 5 13
Otra posible respuesta es considerar el ejemplo 4.4, donde se sabe que x'5x2h y
y'5y2k. Es decir, primero se ordena la ecuación:
3(y224y)24(x222x)55
Después se completan cuadrados:
Se factorizan los trinomios cuadrados perfectos:
3(y22)224(x21)513
donde se identifica que k52 y h51, y finalmente se obtendrá la misma solución:
3y9224x92513
3. Dada la ecuación 3x2218xy127y258, elimina el término xy y obtén la nueva
ecuación, traza el gráfico de esta última.
Solución: 
Primero se determina el ángulo necesario para eliminar 26xy, para lo que se recurre a:
Es decir,
Entonces , y el punto (3,1) se localiza sobre x'; luego, por condición de per-
pendicularidad, m2523; por lo tanto el punto (21,3) está sobre y'. Lo anterior per-
mite aplicar directamente:
y
donde (3,1)5(x1,y1) y (21,3)5(x2,y2), por lo cual:
C '
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
= − − − +
− +
=3 1 18 1 3 27 3
1 3
300
1
2 2
2 2 00
30=A ' ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
= − +
+
= =3 3 18 3 1 27 1
3 1
0
10
0
2 2
2 2
C
Ax Bx y Cy
x y
' =
+ +
+
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
A
Ax Bx y Cy
x y
' =
+ +
+
1
2
1 1 1
2
1
2
1
2
m
1
1
3
=
m = −
−
+ −
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ = − + =27 3
18
27 3
18
1
4
3
5
3
1
3
2
m
C A
B
C A
B
= − + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
2
1
3 4
4
2
4 2
2
2
2
2
2
2
y y x x− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
− − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5 3
4
2
4
2
2
2 2
162 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
Con lo anterior, la ecuación toma la forma:
30y92 5 8
O bien,
Es decir, un par de rectas, como se observa en la figura 4.12.
y = ± 2
15
4.4 ■ Método para eliminar el término 163
–2 –1 1 2
–2
–1
1
2
x
y
??
–2 –1 1 2
–2
–1
1
2
x
y
Antes Después
Figura 4.12. Rotación de un par de rectas paralelas.
4. Dada la ecuación 3x2218xy127y228x232y 5 8, elimina el término xy y expre-
sa la nueva ecuación x9 y y9.
Solución:
Se trata de la ecuación del ejemplo 3, pero con términos lineales, por lo cual se to-
man los valores obtenidos para A'50 y C'530 y sólo faltan por determinar:
Como (3,1)5(x1,y1) y (21,3)5(x2,y2), entonces:
y
Al reducir la ecuación a:
E '
( ) ( )
( ) ( )
= − − −
− +
= −8 1 32 3
1 3
88
102 2
D '
( ) ( )
( ) ( )
= − −
+
= −8 3 32 1
3 1
56
102 2
E
Dx Ey
x y
' =
+
+
2 2
2
2
2
2
D
Dx Ey
x y
' =
+
+
1 1
1
2
1
2
Simplificando:
que representa una parábola, como lo muestran las siguientes gráficas.
y x' '−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
22
15 10
28
15 10
271 10
1050
2
30
88
10
56
10
82y y x' ' '− − =
164 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
–3 –2 –1 1 2 3
–3
–2
–1
1
2
3
x
y
4–3 –2 –1 1 2 3
–3
–4
–2
–1
1
2
3
x'
y'
Figura 4.13. Rotación de una parábola.
Los ejemplos anteriores muestran los cambios bruscos que se tienen cuando se alte-
ra una ecuación o cuando, por error, no se consideran todos los términos de una ecua-
ción. 
5. Reduce la ecuación 10x2212xy15y2220x110y 5 12 a través de una traslación
y rotación de ejes. NOTA: Trabaja con cuatro cifras decimales y expresa el re-
sultado con dos cifras significativas.
Solución:
De x5x'1h y y5y'1k
(i)
Desarrollando y ordenando:
(ii)
Se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas:
x h k
y h k
'( )
'( )
20 12 20 0
12 10 10 0
− − =
− − − =
10 12 5 20 12 20 12 102 2x x y y x h k y h k' ' ' ' '( ) '(− + + − − − − −− + −
+ − + =
10 10 12
5 20 10 12
2
2
) h hk
k h k
10 12 5 202 2( ' ) ( ' )( ' ) ( ' ) ( ' )x h x h y k y k x h+ − + + + + − + +110 12( ' )y k+ =
y se obtiene:
h51.4285 y k50.7142
Se sustituye en (ii):
10x92212x9y915y92 5 40.4693 (iii)
Una vez eliminados los términos lineales, se procede a hacer lo mismo con el térmi-
no xy, para lo que se calculan senu y cosu:
de donde u5233.6901; es decir, la rotación es en sentido contrario a las manecillas
del reloj, por lo cual:
senu520.5547
cosu50.8320
Se sustituye en las ecuaciones de rotación:
x950.8320x010.5547y0
y520.5547x010.8320y0
Por lo tanto, (iii) toma la forma:
Se simplifica y se redondea a dos cifras significativas:
RESUMEN
✓ Traslación de ejes
x5h1x', o bien, x'5x2h
y5k1y', o bien, y'5y2k
✓ Rotación de ejes
y5x'senu1y'cosu
x5x'cosu2y'senu
✓ Método para eliminar el término xy. Para determinar el ángulo u se deben girar los ejes
con el fin de eliminar el término de la ecuación Ax21Bxy1Cy21Dx1Ey1F 5 0 
En el caso de que A5C, la ecuación es de la forma Bcos 2u50; por tanto:
u 5 45°
tan ;2θ =
−
∀ ≠B
A C
A C
14 1 0 402 2x y+ =.
13 9987 0 9999 40 46932 2. '' . '' .x y+ =
10 0 8320 0 5547 12 0 8320 0 5542( . '' . '') ( . '' .x y x+ − + 77 0 5547 0 8320
5 0 5547 0
y x y
x
'')( . '' . '')
( . ''
− +
+ − + .. '') .8320 40 4693y =
tan2
12
10 5
12
5
θ =
−
= −
−
= −B
A C
Resumen 165
Otro método para eliminar el término xy
para(x1,y1) localizado sobre el eje y para (x2,y2) sobre el eje 
lo que se prueba por perpendicularidad entre rectas. De lo anterior,
y 
PROBLEMAS
Realiza los siguientes ejercicios.
1. Elimina los términos lineales e indica la nueva ecuación:
Respuestas
a) 3y222x219y18x224 5 0 3y'222x'2 5 22 3/4
b) x213x225x112y13 5 0
c) x219x28y121 5 0 x'2 5 8y'9
d ) 2x223x23y216x19y21 5 0
e) x225xy1y212x12y27 5 0 x'225x'y'1y'2 5 52/3
f ) 7x222xy17y2224x224 5 0
2. En las siguientes ecuaciones elimina el término xy:
Respuestas
a) 4x2210xy14y2216 5 0 9y22x2 5 16
b) 5x226xy15y2 5 0
c) 4y223xy28x 5 4
3. Por medio de una traslación y rotación de ejes, simplifica las siguientes ecuaciones:
Respuestas
a) 6x214xy1y2112x124y232 5 0 x''212y'v2 5 10
b) x225xy1y2215x25y24 5 0
c) x215xy1y218x2y 5 0 3y''227y''2 5 10
d) 3x216xy13y226x15y24 5 0 (Sugerencia: Primero hay que hacer la rotación.)
e) 6x214xy1y2112x124y232 5 0
6
11
2
2x y'' = −
11 8 2 82y x− =
E
Dx Ey
x y
' =
+
+
2 2
2
2
2
2
D
Dx Ey
x y
' =
+
+
1 1
1
2
1
2
C
Ax Bx y Cy
x y
' ,=
+ +
+
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
A
Ax Bx y Cy
x y
' ,=
+ +
+
1
2
1 1 1
2
1
2
1
2
y m
x
y
' ,
2
2
2
= −x m
y
x
', ,
1
1
1
=m
y
x
= ∆
∆
;
y
y mx
m
= +
+
' '
1 2
x
x my
m
= −
+
' '
,
1 2
m
C A
B
C A
B
= − + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
2
1
166 Capítulo 4 ■ Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible
4. Comprueba, a partir de y con ayuda de un triángulo rectángulo, cómo se
obtienen las relaciones y 
AUTOEVALUACIÓN
Contesta y practica en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios.
1. Dada la ecuación x213y252, determina la nueva ecuación y si el origen se traslada al
punto (2,3).
2. Dada la ecuación 4x219y216x23y112 5 0, elimina los términos lineales y di cuál es
la nueva ecuación.
3. Identifica el ángulo de rotación respecto de x y si el nuevo eje corresponde a la recta
3y29x 5 0.
4. Simplifica la ecuación 4x212xy14y223x14y23 5 0, a través de una rotación y tras-
lación de ejes.
cos
cos
.θ θ= +1 2
2
senθ θ= −1 2
2
cos
tan2θ =
−
B
A C
Problemas 167
169
CAPÍTULO
5
La
circunferencia
(vamos a dar
una vuelta)
Es la hora de reconocer que toda la historia de la humanidad es la historia del suicidio de la materia viva, a la que la casualidad
cósmica le otorgó la capacidad de razonar; que no supo qué hacer con esta capacidad casual y fatal. Y no le halló mejor uso que
la creación de los medios más eficaces para cometer el suicidio total… ¡Qué asombroso progreso! ¡El florecimiento de la ra-
zón!… Es la hora de admitir que fracasamos vergonzosamente, sin utilizar ni la centésima parte de lo que nos había dado la na-
turaleza. Y si en el cosmos existe la razón universal, ésta nos debe de mirar con repugnancia. ¡Macacos desaforados!, ¡eso es lo
que somos!…
Hoy quiero hablar con ustedes de muerto a muerto, es decir, con franqueza… Nuestro fatal y maravilloso destino consistió
en que pretendimos alcanzar lo inalcanzable, en querer ser mejores de los que nos hizo la naturaleza… Hallábamos fuerzas pa-
ra ser compasivos, contrariamente a las leyes de la subsistencia, para sentirnos dignos de nosotros mismos, si bien fuimos piso-
teados; para crear obras de arte, conscientes de que eran inútiles y efímeras. Hallábamos fuerzas para amar. ¡Señor mío, lo que
nos costó todo esto! Pues el tiempo implacable destruía cuerpos, ideas y sentimientos. ¡Pero el hombre continuaba amando! Y
el amor creó el arte que plasmó nuestra nostalgia supraterrestre por un ideal, nuestra infinita desesperación y clamor de horror,
un lamento de seres pensantes y solitarios, en ese gélido e indiferente desierto del cosmos… Cada uno tiene su propio salto de
conciencia… Para mí todo habrá terminado y la muerte no es tan terrible cuando ya nada existe.
Konstantin Lopushanski y Viacheslav Rybakov 
(Cartas de un hombre muerto, URSS, 1986)
Plaza de San Marcos,Venecia. El uso de figuras geométricas
en la arquitectura no ha sido sólo por vanidad, sino por su 
utilidad. ¿Cuántos medios círculos puedes contar?
170 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
CÓNICAS5.1
Se llaman secciones cónicas a los diferentes lugares geométricos cuya relación de
distancias entre un punto y una recta fijos es constante. El punto fijo se define como
foco de la cónica; la recta fija se llama recta directriz de la cónica, y la relación
constante existente entre ellos se conoce como excentricidad, que de modo conven-
cional se representa por la literal e. Formalmente existen tres tipos de secciones có-
nicas, según la forma de su lugar geométrico y propiedades intrínsecas, las cuales se
establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e.
Si e 5 1, la cónica se llama parábola. 
Si e , 1, la cónica se llama elipse. 
Si e . 1, la cónica se llama hipérbola 
Si e 5 0, la cónica se llama circunferencia.
Las cónicas tienen su origen dentro de un cono circular, como se muestra a continua-
ción:
❑ Parábola. La parábola se obtiene cortando el cono con un plano paralelo a
una recta que une el vértice con cualquier otro punto de ese cuerpo.
❑ Elipse. Esta cónica se obtiene cuando un plano corta el cono en forma oblicua.
❑ Hipérbola. Se obtiene cuando el plano corta al cono en forma vertical, es de-
cir, a sus dos ramas.
❑ Circunferencia. También se considera una cónica y se obtiene cuando se cor-
ta el cono en forma paralela a sus tapas. 
Parábola
Hipérbola
Elipse
Circunferencia
Figura 5.1. Las secciones cónicas.
La circunferencia. Se define como circunferencia el lugar geométrico de todos
los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro de la circunferencia; a
la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se le llama radio, r.
Para el estudio de la circunferencia se consideran tres casos:
1. Ecuación de la circunferencia en su forma canónica (con centro en el origen).
2. Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria (con centro fuera del
origen).
3. Ecuación general de la circunferencia (y sus casos).
Para empezar el estudio de la circunferencia se deben tener bien comprendidos los
conceptos básicos expuestos en capítulos anteriores.
Considera una circunferencia cuyo centro está en el origen C(0,0) y de radio r, como
se muestra en la figura 5.3.
En forma gráfica:
5.2 ■ Ecuación de la circunferencia en su forma canónica 171
r
C
x
y
O
Figura 5.2. La circunferencia.
ECUACIÓN 
DE LA
CIRCUNFERENCIA
EN SU FORMA
CANÓNICA
(CON CENTRO 
EN EL ORIGEN)
5.2
x
y
 
r
C(0,0)
P(x,y)
Figura 5.3. Circunferencia con centro en el origen.
Por definición de la circunferencia se debe cumplir que la distancia de su radio r,
sea la misma desde cualquier punto P a su centro C.
Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos
se tiene:
[1]
Al elevar al cuadrado ambos miembros:
r25x21y2
que es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen, también conocida
como canónica. 
r x y= −( ) + −( )0 02 2
d x x y y= −( ) + −( )2 1 2 2 1 2 ,
CP,
Ejemplo 5.1
Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a
Traza su gráfico.
Solución:
La ecuación es de la forma x21y25r2, donde se identifica que Al sustituir en
ella, se obtiene:
Gráfica:
x y
x y
2 2 2
2 2
6
6
+ =
+ =
( )
r = 6.
6.
172 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y
6=r
622 =+ yx
Figura 5.4. Circunferencia con centro en el origen y radio 6.
Ejemplo 5.2
Determina la ecuación de la circunferencia que contiene al punto A(3,25) y tiene su
centro en el origen. 
Solución: 
Por la condición dada, primero se debe calcular la magnitud del radio a través de la
ecuación de distancia entre dos puntos:
Al sustituir en la ecuación canónica de la circunferencia x21y25r2:
x21y2534
x y2 2
2
34+ = ( )
r = + =9 25 34
d r
OA
= = − + − −( ) ( )3 0 5 02 2
Su gráfico se presenta en la figura 5.5. 
5.3 ■ Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria 173
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7
–7
–6–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
A(3,–5)
Figura 5.5. Circunferencia con centro en el origen y radio 34.
Considera la siguiente figura:
1. Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio
igual a 4.
2. Si el radio de una circunferencia es ¿cuál es su ecuación en forma
canónica?
3. Traza la gráfica de la ecuación 3x213y2524.
r = 18,
Ejercítate
ECUACIÓN
DE LA
CIRCUNFERENCIA
EN SU FORMA
ORDINARIA
5.3
x
y
h
k
r
P(x,y)
C(h,k)
°
Figura 5.6. Circunferencia con centro fuera del origen.
En ella se muestra una circunferencia con centro en C(h,k), de radio Con los te-
mas estudiados anteriormente también se la puede estudiar con los ejes trasladados.
Para obtener su ecuación, basta calcular r, utilizando la ecuación de distancia en-
tre dos puntos, es decir,
Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical, se obtiene:
r25(x2h)21(y2k)2 [2]
que corresponde a la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen, la cual
recibe el nombre de ordinaria.
Ejemplo 5.3
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en (21,23) y que además pasa
por el punto (1,22)?
Solución:
Es necesario conocer su radio:
Después se identifica que h521 y k523. Conocidos su radio y centro, se aplica la
ecuación ordinaria de la circunferencia:
La gráfica se presenta en la figura 5.7.
Ejemplo 5.4
Una partícula localizada en un plano coordenado tiene su origen en B(23,22) y la lon-
gitud de su radio es de seis unidades. Determina la ecuación de la circunferencia que
se genera cuando gira en círculo y da una vuelta completa en sentido horario,1 a una
velocidad angular de una revolución por minuto (rpm).
Solución:
Se conocen las coordenadas del centro (origen) de la circunferencia y de su radio;
además, las coordenadas del centro indican que se encuentra fuera del origen. Por lo
anterior se recurre a:
(x2h)21(y2k)25r2
x y
x y
− −( ) + − −( ) =
+( ) + +( ) =
( ) ( )1 3 8
1 3 8
2 2
2 2
x h y k r−( ) + −( ) =2 2 2
r
r
r
= − −( ) + − − −( ) = +
=
=
1 1 1 3 4 4
8
8
2 2
2
( ) ( )
r x h y k= −( ) + −( )2 2
CP r= .
174 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
x
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
 C(–1,–3)
Figura 5.7. Circunferencia con
centro (21,-3) y r = 8.
1 También suele decirse “en el sentido de las manecillas del reloj”.
Se sustituyen los datos conocidos:
[x2(23)]21[y2(22)]25(6)2
Se simplifica:
(x13)21(y12)2536
5.3 ■ Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria 175
x
y
–10 –8 –6 –4 –2
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
 
 
v
r=6
C(–3,–2)
2 4
Figura 5.8. Circunferencia con centro (23,22) y r56.
Ejemplo 5.4.1
Si ahora se gira el radio en sentido antihorario,2 a una velocidad de 60 rpm, ¿cambia-
ría la ecuación de la circunferencia?
Solución:
No, porque el radio estaría trazando los mismos puntos, además el número de vuel-
tas que se den no afecta a la ecuación. 
2 De igual modo suele decirse “en sentido contrario a las manecillas del reloj”.
1. Determina la ecuación de la circunferencia con centro en (3,22) y radio
igual a 16.
2. El radio de una circunferencia es r51, si h52 y k52h. ¿Cuál es su ecua-
ción en forma ordinaria?
3. Traza la gráfica de la ecuación (x21)21y2520.
4. Determina la ecuación de la circunferencia con centro en (24,23) y tan-
gente al eje x. 
Ejercítate
Para obtener la ecuación general de la circunferencia se parte de su ecuación ordinaria.
r25(x2h)21(y2k)2
En ella se identifican dos binomios al cuadrado que, desarrollados, transforman la
ecuación en:
(i)
donde:
es decir,
x21y21Dx1Ey1F50 [3]
que corresponde a la ecuación general de la circunferencia.
A partir de (i) se pueden analizar tres casos en relación al valor de r22h22k2, si
escribimos la ecuación como x21y21Dx1Ey5r22h22k2
Caso 1 
Si r2,h21k2, se tiene que el radio al cuadrado es un valor negativo; por lo tanto, no
existe el lugar geométrico llamado circunferencia, por ser un valor imaginario. En con-
secuencia, no se puede representar en un plano real, aunque sí en uno imaginario.
Si
Caso 2 
Si r25h21k2, lo que se tiene es una circunferencia de radio cero o se dice que se tie-
ne un punto en el plano cartesiano. El único punto que cumple con la ecuación de la
circunferencia es el centro.
Caso 3 
Si r2.h21k2, se tiene el lugar geométrico llamado circunferencia y es posible repre-
sentarlo en un plano cartesiano.
Si la ecuación general de la circunferencia está sujeta a considerarse en los tres ca-
sos anteriores, es posible analizarla llevándola a su forma ordinaria y verificar los casos
desde otro punto de vista. Es decir, de x21y21Dx1Ey5F* se determinará su forma
ordinaria, como se muestra a continuación.
Primero se ordena y después se procede a completar cuadrados en ambas variables:
x Dx
D
y Ey
E
F
D2
2
2
2 2
2 2 2
+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
++
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
E
2
2
x Dx y Ey F2 2+( )+ +( )=
r r> ⇒ ∈ℜ0
r r< ⇒ ∉ℜ0
F h k r
D h
E k
= + −
= −
= −
2 2 2
2
2
x xh h y yk k r
x y xh yk h k r
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
− + + − + =
+ − − + + − 22 0=
176 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
ECUACIÓN 
GENERAL DE LA
CIRCUNFERENCIA
5.4
* Ésta es la forma de escribir la ecuación general de la circunferencia.
Simplificando en el primer miembro y resolviendo las operaciones indicadas en el
segundo:
Se reduce a la ecuación ordinaria de la circunferencia, donde se identifica que el cen-
tro y el radio están dados respectivamente por:
lo que permite hacer el análisis anterior en relación con su radio.
Caso 1
Si no existe el lugar geométrico llamado circunferencia.
Caso 2
Si es un punto en el plano. 
Caso 3
Por lo tanto, la ecuación anterior es la de una circunferencia si y sólo si3
Finalmente: y 
Ejemplo 5.5
Dada la ecuación (x12)21(y22)259 de la circunferencia en forma ordinaria, a) obtén
su ecuación en forma general, b) comprueba que y 
y c) traza su gráfico.
Solución:
a) Para obtener la ecuación general se desarrollan los binomios:
x214x141y224x1459
Y se ordena:
x21y214x24x51
Para probar que y primero se identifican en la
ecuación ordinaria, considerando que (x2h)21(y2k)25r2, entonces:
r
F D E2
2 24
4
= + +k E= −
2
h
D= −
2
,
r
F D E2
2 24
4
= + +k E= −
2
h
D= −
2
,
r
F D E2
2 24
4
= + +k
E= −
2
h
D= −
2
,
4
4
0
2 2F D E+ + >
4
4
0
2 2F D E+ + = ,
4
4
0
2 2F D E+ + < ,
r
F D E= + +4
2
2 2
C
D E− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2 2
, ,
x
D
y
E F D E+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + +
2 2
4
4
2 2 2 2
5.4 ■ Ecuación general de la circunferencia 177
3 Recuerda que esta expresión también se identifica como “sys”.
y
Se obtienen los mismos valores, que dan veracidad a la comprobación pedida.
c) Para trazar el gráfico se considera la ecuación ordinaria, donde las coordena-
das del centro y el radio son:
C(h,k)5(22,2)
r259⇒r53
Después, en un plano cartesiano se localizan las coordenadas del centro y a partir de él
se marcan cuatro puntos a una distancia igual a la magnitud del radio en cuatro direc-
ciones; para finalizar, se unen estos últimos cuatro puntos en una trayectoria circular.
r 2
2 24 1 4 4
4
9= + + − =( ) ( ) ( )k = − − =4
2
2h = − = −4
2
2,
178 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
 
x
y
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
y
x
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
y
r
r r
r
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
 
x
y
r
 
 
 
Localiza el centro de la circunferencia
en un punto cartesiano.
Marca cuatro puntos a partir del
centro a una distancia igual a r.
Une los cuatro puntos con una
trayectoria circular.
Así obtendrás la gráfica de la circunferencia,
sin necesidad de una tabla de valores.
C(–2,2)C(–2,2)
C(–2,2) C(–2,2)
Figura 5.10. Circunferencia con centro en (22,2) y r53.
Figura 5.9. Procedimiento para trazar la circunferencia.
El procedimiento anterior, aunque a primera vista parece laborioso, con la práctica se
vuelvemuy sencillo y eficaz para trazar circunferencias en forma rápida.
Ejemplo 5.6
Determina los elementos básicos de la circunferencia a partir de la ecuación 3x21
3y2212x118y527 y después determina la ecuación ordinaria correspondiente.
Solución:
Al dividir toda la ecuación entre 3 se tiene:
x21y224x16y59
Sus elementos básicos son el centro y el radio, es decir,
Su ecuación ordinaria es:
(x22)21(y13)2522
Ejemplo 5.7
Un diseñador tiene que adecuar un engrane que dará transmisión a otros dos y que es-
tará montado sobre un tensor. Para ello ha trazado un plano cartesiano; los puntos de
contacto que pertenecen al diámetro primitivo son A(24,1) y B(1,6); la ecuación del
tensor ha adoptado la forma y5x, y la profundidad total debe ser 0.2500 y el paso dia-
metral es de 8.
Determina la ecuación de la circunferencia que genera el diámetro primitivo, el
exterior y el de fondo, también el adendum, dedendum, espesor de los dientes y el nú-
mero de éstos que tendrá el engrane. Por último, traza la gráfica correspondiente.
Solución:
Antes de resolver el ejercicio es necesario tener en cuenta las siguientes definiciones:
• Diámetro primitivo (DP). Es el diámetro donde se producirá la fuerza mayor
de transmisión; también es la distancia media entre el diámetro exterior y el
diámetro de fondo.
• Paso diametral (PD). Se define mediante la relación 
• Paso circular (PC). Es la distancia que existe entre un diente y otro.
• Adendum (A). Es inversamente proporcional al paso diametral (cabeza del
diente).
• Dedendum (B). También conocido como base del diente, se determina a par-
tir de la relación 
1 157.
.
PD
π
PC
.
r = + − + = = =4 9 4 6
2
88
2
2 22
2
22
2 2( ) ( ) ( )
C
D E− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − − −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −( )
2 2
4
2
6
2
2 3, , ,
5.4 ■ Ecuación general de la circunferencia 179
• Espesor del diente (E). Distancia media del paso circular.
• Número de dientes (N). Se determina a través del producto del diámetro de
paso y el paso diametral.
Definido lo anterior, se procede a determinar las coordenadas del centro. Para ello es
necesario determinar el punto medio de la cuerda formada por los puntos A y B, y a
partir de éste se debe encontrar y trazar la ecuación de una recta bisectriz y perpen-
dicular a la cuerda, la cual se interseca con la línea generada por el tensor (el punto
de intersección es el centro de la circunferencia).
Las coordenadas del punto medio son:
La pendiente entre los puntos A y B:
Con estos datos se puede determinar la ecuación de la recta bisectriz:
Las coordenadas del centro se determinan resolviendo simultáneamente las ecuaciones:
2y12x54 (i)
y2x50 (ii)
Multiplicando por 2 la ecuación (ii) y utilizando el método de suma y resta:
2y12x54 (i)
2y22x50 (ii)
Se simplifica:
4y54 ⇒y51
Se sustituye el valor de y (ii):
x51
Las coordenadas del centro son:
C(1,1)
Conocido el centro de la circunferencia, sólo hace falta determinar su radio que, en
consecuencia, permitirá determinar el diámetro primitivo. Empleando la ecuación de
distancia entre dos puntos, para el caso C y A:
Ahora, a partir de la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria,
(x21)21(y21)2525
d r
AC
= = − −( ) + −( ) = + = =1 4 1 1 25 0 25 52 2( )
y x−( )= − − −( )( )7 2 32
⇒⊥ = −m
AB
1m
AB
= −
− −
=6 1
1 4
1
( )
Pm
y
= + =1 6
2
7
2
Pm
x
= − + = −4 1
2
3
2
,
180 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
se determinan:
el diámetro primitivo o de paso: (DP)5100
el diámetro exterior: 5
el diámetro de fondo: 5
el paso circular:
el adendum:
el dedendum o base:
el espesor del diente:
el número de dientes:
Y, finalmente, se construye su gráfica:
N DP PD= ( )⋅( )= ⋅ =10 8 80
E
PC= = =
2
0 392
2
0 196
. "
. "
B
PD
= = =1 157 1 157
8
0 144
. .
. "
A
PD
= = =1 1
8
0 125. "
PC
PD
= = =π π
8
0 392. "
10
0 250
2
9 875"
. "
. "− =
10
0 250
2
10 125"
. "
. "+ =
5.4 ■ Ecuación general de la circunferencia 181
B(1,6)
A(–4,1)
C(1,1)
Diámetro
de fondo
Diámetro
exterior
Diámetro
primitivo
x
y
B
A
PC
Figura 5.11. Diseño de un engrane.
Considera una circunferencia que pasa por los puntos A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) co-
mo se ilustra en la figura 5.11.
182 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
1. Determina la ecuación general de la circunferencia con centro en (21,23)
y radio igual a 4.
2. Obtén r, h, k, a partir de x21y228x110y57.
3. Grafica x21y226y514.
Ejercítate
ECUACIÓN 
DE LA 
CIRCUNFERENCIA
QUE PASA POR
TRES 
PUNTOS
5.5
x
r
y
C(x3,y3)
B(x2,y2)
A(x1,y1)
Figura 5.12. Circunferencia que pasa por tres puntos.
Para encontrar la ecuación de esta circunferencia se parte de su ecuación general.
x21y21Dx1Ey1F50
Los puntos A, B y C deben satisfacerla ya que pertenecen a ella; por tanto, al sustituir
el punto A la ecuación se transforma en:
x211y
2
11Dx11Ey11F50
De manera análoga, para B y C:
x221y
2
21Dx21Ey21F50
x231y
2
31Dx31Ey31F50
De las ecuaciones anteriores podemos igualar los términos cuadráticos a variables,
como se muestra a continuación:
x211y
2
15 b ⇒ b1Dx11Ey11F50 (I.4)
x221y
2
25 c ⇒ c1Dx21Ey21F50 (II.4)
x231y
2
35 d ⇒ d1Dx31Ey31F50 (III.4)
Una vez establecido lo anterior podemos resolver el sistema de ecuaciones, aplican-
do la regla de Cramer, combinada con el método de CHIO4 y el de menores cofacto-
res, para reducir los determinantes.
Regla de Cramer
Las ecuaciones obtenidas finalmente serán:
Dx11Ey11F52b
Dx21Ey21F52c
Dx31Ey31F52d
Se procede algebraicamente para encontrar el valor de las variables D, E y F:
Al aplicar CHIO para reducir el determinante y encontrar D:
Para determinar DD:
De forma análoga, para DE y DF:
Finalmente, por regla de Cramer, los valores de D, E, F son:
Otra forma de obtener la ecuación es plantear y resolver un determinante, como se
muestra a continuación:
F
F= ∆
∆
E
E= ∆
∆
,D
D= ∆
∆
,
∆F b x y x y c x y x y d x y x y= −( )+ −( )+ −( )3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2
∆E b x x c x x d x x= −( )+ −( )+ −( )2 3 3 1 1 2
∆D b y y c y y d y y= −( )+ −( )+ −( )3 2 1 3 2 1
∆D
b
by cy b c
by dy b d
=
−
− +( ) − +( )
− +( ) − +( )
1 2 1
3 1
∆D
b y
c y
d y
=
−
−
−
⇒
1
2
3
1
1
1
∆ = −( )+ −( )+ −( )x y y x y y x y y1 2 3 2 3 1 3 1 2
∆ =
− −
− −
1
1
1 2 2 1 1 2
1 3 1 1 1 3
x
x y x y x x
x y x y x x
∆ =
x y
x y
x y
1 1
2 2
3 3
1
1
1
5.5 ■ Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos 183
4 Véase el apéndice acerca del método de CHIO.
Como en el caso anterior, igualamos los términos cuadráticos a variables, como se in-
dica:
x21y25a
x211y
2
15b
x221y
2
25c
x231y
2
35d
El arreglo toma la forma:
Aplicando el método de CHIO para reducir el orden del determinante se tiene:
Se simplifica:
donde:
Es decir,
x21y21Dx1Ey1F50
F
x cy dy x dy by x by cy
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 3 2 2 1 3 3 2 1
E
x d c x b d x c b
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 3
D
y c d y d b y b c
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 3
A x y y x y y x y y= −( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 3 2 3 1 3 1 2
a x y y x y y x y y x y c d
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦ + −( )++ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦
+ −( )+ −( )+ −
y d b y b c
y x d c x b d x c
2 3
1 2 3
bb x cy dy x dy by x by cy( )⎡⎣ ⎤⎦ + −( )+ −( )+ −(1 3 2 2 1 3 3 2 1 ))= 0
1
2
1 1
2 2a
ax bx ay by a b
ax cx ay cy a c
−( ) −( ) −( )
−( ) −( ) −(( )
−( ) −( ) −( )
=
ax dx ay dy a d
3 3
0
a x y
b x y
c x y
d x y
1
1
1
1
01 1
2 2
3 3
=
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
2 2
1
2
1
2
1 1
2
2
2
2
2 2
3
2
3
2
3 3
1
1
1
+
+
+
+ 11
0=
184 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
que corresponde a la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos.
Se han mostrado dos métodos para encontrar la ecuación de la circunferencia,
pero se hace hincapié en que existen otras formas o métodos para hacerlo. 
Ejemplo 5.8
Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(23,3), B(3,1)
y C(24,23), utilizando los dos métodos anteriores.
Método 1
Se sustituyen los valores en la ecuación de la circunferencia:
Método2
E
x d c x b d x c b
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 3
D =
−( )+ −( )− −( )
−
=
3 10 25 1 25 18 3 18 10
38
31
19
D
y c d y d b y b c
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 3
A = − +( )+ − −( )− −( )= −3 1 3 3 3 3 4 3 1 38
A x y y x y y x y y= −( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 3 2 3 1 3 1 2
x y x y2 2
31
19
17
19
300
19
0+ + + − =
⇒ = −F 300
19
∆F = − +( )+ +( )+ +( )=18 4 9 10 9 12 25 9 3 600
∆F b x y x y c x y x y d x y x y= −( )+ −( )+ −( )3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2
⇒ =E 17
19
∆E = +( )+ − +( )+ − −( )= −18 3 4 10 4 3 25 3 3 34
∆E b x x c x x d x x= −( )+ −( )+ −( )2 3 3 1 1 2
⇒ =D 31
19
∆D = − −( )+ +( )+ −( )= −18 3 1 10 3 3 25 1 3 62
∆D b y y c y y d y y= −( )+ −( )+ −( )3 2 1 3 2 1
∆ = − +( )+ − −( )− −( )= −3 1 3 3 3 3 4 3 1 38
∆ = −( )+ −( )+ −( )x y y x y y x y y1 2 3 2 3 1 3 1 2
b c d= = =18 10 25, ,
5.5 ■ Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos 185
Se sustituyen los valores en la ecuación general:
Como se observa, la ecuación que resulta es la misma por ambos métodos.
Ejemplo 5.9
Proponga un método utilizando la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria
para obtener la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos (x1,y1), (x2,y2) y
(x3,y3).
Solución:
La ecuación que se utilizará como modelo es (x2h)21(y2k)25r2, en la cual se sus-
tituirán las coordenadas de los puntos dados y se resolverá el sistema de ecuaciones
simultáneas. 
No es objetivo del presente texto profundizar acerca de las rectas tangentes y normales
a una curva en general. Este tema se comprende y analiza mejor utilizando la definición
de derivada pendiente de la recta tangente a la curva, que es primordial en el estudio del
cálculo diferencial e integral. Sin embargo, el análisis de la tangente a una circunferen-
cia resulta accesible y comprensible con los elementos que hemos analizado hasta aho-
ra; no obstante, sólo se describirá el proceso para conseguir las ecuaciones de la recta
tangente y normal a cierta circunferencia. Este análisis considera dos casos.
Caso 1
Cuando se tiene la ecuación de una circunferencia en su forma x21y21Dx1Ey1F50
y un punto P(x1,y1), que es donde se pide determinar si existe o no la tangente a la cir-
cunferencia. Este punto pertenece a una recta, cuya ecuación se determina con la for-
ma y2y15m(x2x1), en la cual se calcula su pendiente.
En la ecuación de la recta se despeja la variable y, luego se sustituye en la ecua-
ción de la circunferencia; al reducirla se encuentran los valores de m, pues esta susti-
tución se reduce a una expresión de la forma Ax21Bx1C50, donde, aplicando la
condición del discriminante B224AC50, resulta sencillo determinar si es o no tan-
gente. Una vez obtenida la pendiente, se le sustituye en la ecuación de la recta tangen-
te; con la condición de perpendicularidad de dos rectas se obtiene la pendiente de la
recta normal. 
Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.
x y x y2 2
31
19
17
19
300
19
0+ + + − =
F =
− − −( )+ +( )− −( )
−
= −
3 30 25 3 75 54 4 18 30
38
300
19
F
x cy dy x dy by x by cy
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 3 2 2 1 3 3 2 1
E =
− −( )+ −( )− −( )
−
=
3 25 10 3 18 25 4 10 18
38
17
19
186 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
TANGENTE Y
NORMAL A UNA
CIRCUNFERENCIA
5.6
Ejemplo 5.10
Determina si existe o no una recta tangente a la circunferencia x21y214x22y2450
en el punto P(1,1). En caso de que sí exista, ¿cuál es su ecuación?
Solución:
Para determinar la posible tangencia en ese punto se parte de la ecuación de la recta
en su forma punto pendiente y se sustituye el punto dado:
Se sustituye en la ecuación de la circunferencia dada:
Se desarrolla:
Se factoriza:
La ecuación es la de un trinomio cuadrado de la forma ax21bx1x50; por lo tanto,
para determinar la pendiente se emplea la condición b224ac50 
Simplificando, se encuentra que no está determinada en este punto; es decir, m5tanu
y u590°, pero sí existe una recta tangente. Lo que se tiene es una recta paralela al eje
que pasa por el punto (1,1). Para visualizarlo se trazan ambos gráficos en uno solo.
La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es (x12)21(y21)259 y se
identifica que su centro está localizado en c(22,1) y que su radio es r53.
4 16 16 4 20 4 20 04 2 2 4 2m m m m m− + − + − + =
− +( ) − +( ) −( )=2 4 4 1 5 02 2 2 2m m m
x m x m m2 2 2 21 2 4 5 0+( )+ − +( )+ − =
x m x m m x mx m x mx m2 2 2 2 21 2 2 2 4 2 2 2 4 0+ + + − + − + − + − − =
x mx m x mx m2
2
1 4 2 1 4 0+ − +( ) + − − +( )− =
⇒ = − +y mx m 1y m x−( )= −( )1 1
5.6 ■ Tangente y normal a una circunferencia 187
y
x
 
O
r=3
T(1,1)
c(–2,1)
Figura 5.13. Recta tangente a la circunferencia.
Como se ve en la figura, la recta obtenida es tangente en el punto T(1,1) a la circun-
ferencia dada. La ecuación de la recta es x51.
Caso 2
Se presenta cuando se conoce la ecuación de la circunferencia en su forma x21y21
Dx1Ey1F50 y la pendiente m de una recta tangente a ella. Determina la ecuación
de la recta tangente a la circunferencia. Para solucionarlo, consideramos las condi-
ciones dadas; conviene tomar la ecuación de la recta en su forma y5mx1b, donde la
incógnita es la ordenada al origen b. El procedimiento para el análisis es semejante
al del caso 1, sólo que de la ecuación ax21bx 1c50 se obtendrán los posibles valo-
res de b; es decir, habrá dos posibles soluciones.
Ejemplo 5.11
Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia que tiene por
ecuación x21y212x14y21550, con la pendiente m52.
Solución: 
Como se conoce la pendiente, se usa la ecuación de la recta en su forma simplifica-
da, y5mx1b, la cual adopta la forma y52x1b. Al sustituir el valor de y en la ecua-
ción de la circunferencia se tiene:
Se desarrolla el binomio y el producto indicado:
Reduciendo para llevar la ecuación a la forma ax21bx1c50:
A partir de la relación b224ac50:
Se simplifica y se multiplican por 
b228b28450
donde obtenemos los posibles valores de b:
(b214)(b16)50
Por lo tanto:
b514, b 526
Al sustituir los valores de b en la ecuación de la recta obtenemos dos ecuaciones
y52x114
y52x26
− 1
4
16 48 36 20 80 300 02 2b b b b− + − + + =
4 6 4 5 4 15 0
2 2b b b−( ) − ⋅ − −( )=
5 4 6 4 15 02 2x x b b b+ −( )+ − − =
x x xb b x x b2 2 24 4 2 8 4 15 0+ + + + − − − =
x x b x x b2
2
2 2 4 2 15 0+ +( ) + − +( )− =
188 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
que son las ecuaciones de dos rectas tangentes a la circunferencia dada con pendien-
te m52.
5.6 ■ Tangente y normal a una circunferencia 189
y
x
 
O
y=2x+14
y=2x–6
r=4.47
T=(1,1)
c(–1,2)
Figura 5.14. Rectas paralelas tangentes a la circunferencia.
Miscelánea de ejemplos 
1. El espejo primario del telescopio Hubble tiene un diámetro de 2.4 m. Si se con-
sidera su centro geométrico en el origen de un sistema coordenado, ¿cuál es la
ecuación de la circunferencia que los describe?
Solución:
El radio del espejo es r51.2 m, por lo cual su ecuación es:
x21y251.44
Figura 5.15. Telescopio Hubbe.
2. Según la teoría atómica de Bohr, basada en un átomo de hidrógeno, un electrón se
mueve en una órbita circular de radio 52.9×10–12 m. Determina la ecuación de la
órbita del electrón, si el núcleo del átomo es el origen del sistema de referencia.
Solución:
Por las condiciones dadas y utilizando la ecuación canónica de la circunferencia se
tiene:
x y
x y
2 2 12 2
2 2 21
52 9 10
2 80 10
+ = ×
+ = ×
−
−
( . )
.
190 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
Figura 5.16. Representación típica de un átomo.
3. Un ama de casa tiene un jardín como el que se representa en la figura siguiente, el
cual riega con un aspersor, cuyo alcance se indica. Si la toma de agua fuera el ori-
gen y el aspersor se coloca en el centro geométrico del jardín: a) halla la ecuación
de la circunferencia que se cubre de agua, si es tangente en los dos puntos mostra-
dos, b) ¿cuál es el área que no cubre el aspersor?, c) ¿qué porcentaje del total del
terreno no alcanza a regarse? y d) escribe las ecuaciones de las rectas tangentes.Solución:
y
x
6.0 m
8.0 m
• A
sp
er
so
r
Figura 5.17. Área del jardín.
a) Por los datos mostrados en la figura y las condiciones, el aspersor cubre un
radio r53; por tanto, la ecuación de la circunferencia es:
x21y259
b) El área que cubre el aspersor está dada por: A5pr2,
A5p(3)259p m2
c) El área total del jardín es de (6 m)(8 m)548 m2. El porcentaje del terreno que
no se cubre es el área total menos la que moja el aspersor, entre el área total
por cien por ciento, es decir:
d) Las ecuaciones de las rectas tangentes son:
y563
4. a) Halla los puntos de intersección en la circunferencia x21y223x18y56 y la
recta y22x1350 y b) traza un gráfico que muestre lo anterior. NOTA: Re-
dondea a dos cifras significativas.
Solución:
Se plantea y se resuelve por sustitución el sistema de ecua-
ciones.
x21y223x18y56
y52x23
Es decir,
x21(2x23)223x18(2x23)56
Se simplifica:
5x21x22150
de donde x151.9518 y x2522.1518, al sustituir en (ii)
y52(1.9518)2350.9036
y52(22.1518)23527.3036
Por tanto, los puntos donde se cortan las ecuaciones dadas son
(2.0,0.90) y (22.2,27.3), como se observa en la figura 5.17. 
5. Las mediatrices de dos cuerdas no paralelas de un círculo
se cortan en el centro. Si los puntos A(28,27), B(26,29),
y C(2,27) son los extremos de dos cuerdas, determina su
ecuación y traza un gráfico que muestre lo anterior.
Solución:
Se trazan los puntos en un plano y se unen:
48 9
48
100 41
m m
m
2 2
2
− × =π % %
5.6 ■ Tangente y normal a una circunferencia 191
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8
–11
–10
–9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
x
y
(–2.2,–7.3)
(2,0,0.90)
Figura 5.18. Intersecciones de la recta con la circunferencia.
Por definición de mediatriz, del segmento se obtiene su pendiente y su punto me-
dio m1521 y (27,28), respectivamente. Y, en forma análoga, para y
(22,28) Luego se obtienen sus ecuaciones, utilizando la de la recta que pasa por un
punto y la pendiente dada.
Para , ⊥ m151:
(y18)5(x17)
x2y51 (i)
Para , ⊥ m2524:
(y18)524(x12)
4x1y5216 (ii)
Al resolver simultáneamente (i) y (ii) se tiene x523 y y524, que corresponden a las
coordenadas del centro, es decir, (23,24).
Por último, se determina su radio utilizando la ecuación de distancia entre dos
puntos, con las coordenadas del punto C(2,27) y las del centro (23,24).
r2534
La ecuación en forma canónica es:
Y en forma general:
x21y216x18y59
Su gráfico se presenta en la figura 5.20.
x y+( ) + + =3 4 342 2( )
r = − − + − + =( ) ( )3 2 4 7 342 2
BC
AB
m
2
1
4
=BC
AB
192 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
–8 –6 –4 –2 2
–10
–8
–6
–4
–2
2
x
y
A
B
C
Figura 5.19. Dos cuerdas de una circunferencia.
6. Determina y traza los puntos de intersección entre las siguientes circunferencias
x21y216x24y510 y x21y258. Expresa el resultado con dos cifras significativas.
Solución:
Se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas:
x21y216x24y510 (i)
x21y258 (ii)
Se multiplica (ii) por (21) y luego se suman con (i) y se obtiene la ecuación de una
recta a la que se le denomina el eje radical.
6x24y52
Despejando y:
(iii)
Se sustituye (iii) en (ii):
Se simplifica y se resuelve para x, se tiene x151.7921 y x
2521.3306 
Al sustituir en (iii):
Es decir, en (1.8, 2.2) y (21.3,22.5) se intersecan las circunferencias, como se ob-
serva en la figura 5.20.
y
2
3
2
1 3306 0 5 2 4959=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − = −( . ) . .
y
1
3
2
1 7921 0 5 2 1881=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− =( . ) . .
x x2
2
3
2
1
2
8+ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
y x= −3
2
1
2
5.6 ■ Tangente y normal a una circunferencia 193
–8 –6 –4 –2 2 4
–10
–8
–6
–4
–2
2
x
y
A
B
C
4x+y=–16 x–y=1
(–3,–4)
Figura 5.20. Las mediatrices de las cuerdas.
7. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (4,6) (6,4) y
(6,0).
Solución:
Se sustituyen los puntos en la ecuación x21y21Dx1Ey1F50, para después formar
un sistema de ecuaciones:
Para (4,6):
(i)
luego (6,4):
(ii)
Finalmente (6,0):
(iii)
De (iii):
F523626D
se sustituye F en (ii):
Por último, se sustituye F y E en (i):
4 6 4 36 6 52
2 8 4
D D
D D
+ − + − − = −
− = ⇒ = −
( )
6 4 36 6 52
4 16 4
D E D
E E
+ − − = −
= − ⇒ = −
( ) ( ) ( ) ( )6 0 6 0 0
6 36
2 2+ + + + =
+ = −
D E F
D F
( ) ( ) ( ) ( )6 4 6 4 0
6 4 52
2 2+ + + + =
+ + = −
D E F
D E F
( ) ( ) ( ) ( )4 6 4 6 0
4 6 52
2 2+ + + + =
+ + = −
D E F
D E F
194 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
x
y
(–1.3,–2.5)
(1.8,2.2)
Figura 5.21. Intersecciones de las circunferencias.
Por lo cual:
Es decir, la ecuación buscada es:
x21y224x24y21250
8. a) Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0,3), (2,21),
y (4,5) y b) traza el gráfico de la ecuación.
Solución:
Una forma alternativa de resolver este tipo de problemas es
sustituyendo los puntos en la ecuación (x2h)21(y2k)25r2,
para después resolver el sistema de ecuaciones por igualación,
como se muestra.
Según los puntos dados:
(02h)21(32k)25r2 (i)
(22h)21(212k)25r2 (ii)
(42h)21(52k)25r2 (iii)
Se iguala (i) con (ii), pues r2 es el mismo:
(02h)21(32k)25(22h)21(212k)2
Se simplifica:
22h14k52 (iv)
Luego, se igualan (i) y (iii):
(02h)21(32k)25(42h)21(52k)2
Se reduce a:
2h1k58 (v)
Al resolver (iv) y (v), se obtienen las coordenadas del centro:
h53
k52
Para conocer el radio se sustituye (h,k) en cualquiera de las primeras tres ecuaciones
y se obtiene:
r2510
Por lo que la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos dados es:
(x23)21(y22)2510
Su gráfico se observa en la figura 5.21.
9. Dadas las ecuaciones de las rectas 2x23y1650, 5x22y21050 y 3x12y1650,
a) halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo que se forma con
los puntos donde éstas se intersecan y b) traza el gráfico de los cuatro lugares
geométricos implicados.
F
F
= − − −
= −
36 6 4
12
( )
5.6 ■ Tangente y normal a una circunferencia 195
–1 1 2 3 4 5 6 7
–2
–1
1
2
4
5
6
x
y
(2,–1)
3(0,3)
(4,5)
Figura 5.22. Circunferencia que pasa por tres puntos.
Solución:
a) Para determinar la circunferencia inscrita, es necesario localizar el incentro
del triángulo que la contiene utilizando el punto de concurrencia de las bisec-
trices. Para ello bastará con obtener las ecuaciones de dos rectas bisectrices.
Considera la definición de bisectriz y un punto (h,k) equidistante a ambas rectas.
Utilizando 2x23y1650 y 5x22y21050:
Se simplifica con cuatro cifras significativas y se obtiene la primera recta bisectriz:
7.987h26.480k51.038 (i)
Luego de 2x23y1650 y 3x12y1650:
se reduce a :
h15k50 (ii)
Para encontrar el punto de intersección, que corresponde al in-
centro del triángulo o al centro de la circunferencia buscada, se
resuelven (i) y (ii) en forma simultánea y se obtiene:
h50.1118
k520.0223
El radio de la circunferencia es:
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia inscrita es:
(x20.1118)21(y10.0223)253.044
b) Gráfica:
10. Obtén la ecuación de la circunferencia que pasa por el
punto (2,22) y que es tangente a la recta 3x24y54 en
el punto (4,2).
Solución:
Se tienen dos puntos de la circunferencia, con los cuales se puede trazar una cuerda
y después obtener la ecuación de la recta mediatriz. El punto medio de la cuerda es
(3,0) y su pendiente m52, es decir, la mediatriz tiene por ecuación:
x12y2350 (i)
y x= − −1
2
3( )
r = − − +
−
=2 0 1118 3 0 0223 6
13
1 744
( . ) ( . )
.
2 3 6
13
3 2 6
13
h k h k− +
−
= + +
−
2 3 6
13
5 2 10
29
h k h k− +
−
= − −
196 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
–4 –2 2 4 6
–4
–2
2
4
6
x
y
Figura 5.23. Circunferencia inscrita en un triángulo.
5.6 ■ Tangente y normal a una circunferencia 197
Luego, se obtiene una recta normal (perpendicular) a la recta tangente 3x24y54, pa-
ra lo cual es necesario conocer su pendiente.
Despejando y:
La ecuación de la recta normal será:
4x13y22250 (ii)
A partir de (i) y (ii) se obtiene:
x57 y y522
que corresponden a las coordenadas del centro de la circunferenciabuscada. Para ob-
tener el radio, usamos estas coordenadas y cualquiera de los puntos dados. Si se uti-
liza (2,22):
La ecuación buscada es:
(x27)21(y12)2525
De manera gráfica:
r
r
= − + − + =
=
( ) ( )7 2 2 2 5
25
2 2
2
y x− = − −2 4
3
4( )
y x= −3
4
1
2 4 6 8 10 12
–8
–6
–4
–2
2
4
x
y
 
(7,–2)(2,–2)
(4,2)
r = 5
Figura 5.24. Circunferencia que pasa por un punto y que es tangente a una recta.
11. En r3, en un sistema rectangular tridimensional, se puede obtener un lugar geomé-
trico análogo a la circunferencia llamado esfera, cuya ecuación es x21y21z25r2
si su centro se localiza en el origen y (x2h)21(y2k)21(z2l)25r2, si el centro de
la misma está fuera del origen. Una muestra es: x21y21z259 y (x24)21(y23)2
1(z25)254. 
12. Para los siguientes pares de ecuaciones de circunferencia, determina: a) el eje ra-
dical,5 b) los puntos de intersección y c) muestra en una gráfica todos los elemen-
tos implicados.
Primer par:
x21y216x24y52350 (A)
x21y222x14y2450 (B)
Segundo par:
x21y214x18y1250 (C)
x21y226x28y11350 (D)
Solución al primer par:
a) Para obtener el eje radical de (A) y (B), simplemente se resta A2B:
x21y216x24y232(x21y222x14y24)58x28y1150, es decir, la ecuación
del eje radical en forma simplificada es:
b) Para obtener los puntos de intersección sustituimos la ecuación del eje radi-
cal en cualquiera de las dos ecuaciones. Si se elige x21y216x24y2350, se
tendrá:
Se simplifica:
Se resuelve la ecuación para obtener los valores de x y se encuentra que:
Se sustituye en para hallar los valores de y:
y
y
1
2
0 997
1 872
=
= −
.
.
y x= + 1
8
x
x
1
2
0 872
1 997
=
= −
.
.
2
9
4
223
64
02x x+ − =
x x x x2
2
1
8
6 4
1
8
3 0+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− =
y x= + 1
8
198 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
5 Se le llama así a una recta real común a dos circunferencias (excepto si éstas son concéntricas). El eje
puede ser una cuerda de ambas o una tangente común. Si C1 y C2 son las ecuaciones de las circunferen-
cias, la ecuación del eje radical se obtiene a partir de C12C2. 
Es decir, los puntos de intersección son:
c) La gráfica es:
Q
R
= ( )
= − −( )
0 872 0 997
1 997 0 1 872
. , .
. , . .
5.6 ■ Tangente y normal a una circunferencia 199
–6 –4 –2 2 4
–4
–2
2
4
6
x
y
8
1
+= xy
Q
R
x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0
x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0
(–3,2)
(1,–2)
Figura 5.25. Ecuación del eje radical del primer par.
Solución al segundo par: 
a) En forma análoga, el eje radical de (C) y (D) se obtiene al restar C2D:
Es decir, la ecuación del eje radical es:
b) Los puntos de intersección se obtienen sustituyendo la ecuación del eje radi-
cal en cualquiera de las dos ecuaciones. A partir de x21y214x18y1250 se
obtiene:
Se simplifica:
89 119
2041
4
02x x− − =
x x x x2
2
5
8
11
16
4 8
5
8
11
16
2 0+ − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ + − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ =
y x= − +5
8
11
16
x y x y x y x y x y2 2 2 24 8 2 6 8 13 10 16 11 0+ + + + − + − − +( )= + − =
Al resolver la ecuación para x se encuentran valores imaginarios y, por tanto, se con-
cluye que las circunferencias no se intersecan.
c) La gráfica es:
200 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
–8
–6
–4
–2
2
4
6
x
y
16
11
8
5
+–= xy
x2 + y2 – 6x – 8y + 13 = 0
x2 + y2 +4x + 8y + 2 = 0
Figura 5.26. Ecuación del eje radical del segundo par.
En ambos casos es posible comprobar que el eje radical y el segmento de recta que
une los centros de cada circunferencia son perpendiculares.
RESUMEN
✓ Cónicas. Se definen como secciones cónicas los diferentes lugares geométricos, cuya rela-
ción de distancias entre punto y recta fijos es constante. El punto fijo se define como foco
de la cónica, la recta fija se llama recta directriz de la cónica y la relación constante exis-
tente entre ellos se conoce como excentricidad, que convencionalmente se representa por la
literal e. Existen tres tipos de secciones cónicas, según la forma de su lugar geométrico y
propiedades intrínsecas, que se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e.
Si e , 1, la cónica se llama elipse. 
Si e 5 1, la cónica se llama parábola. 
Si e . 1, la cónica se llama hipérbola. 
Si e 5 0, la cónica se llama circunferencia. 
✓ La circunferencia. Se define así al lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de
un punto fijo llamado centro de la circunferencia; la distancia de cualquier punto de la cir-
cunferencia al centro se llama radio r.
✓ Los elementos básicos de una circunferencia son el radio y el centro. Conocer sus valo-
res permite trazarla o enunciar si se trata o no del lugar llamado circunferencia.
✓ Ecuación de la circunferencia en su forma canónica con centro en el origen
r25x21y2
✓ Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria con centro fuera del origen
✓ Ecuación general de la circunferencia
Elementos básicos: centro y radio
Si no existe el lugar geométrico llamado circunferencia.
Si es un punto en el plano. 
Si existe el lugar geométrico llamado circunferencia.
✓ Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados P1(x1, y1), P2(x2, y2) y
P3(x3, y3)
Existe más de un método para determinar la ecuación a la que pertenecen tales puntos; el
que aquí se presenta es el que se obtuvo al desarrollar el determinante
Donde:
x21y25a, x211y
2
15b, x
2
21y
2
25c y x
2
31y
2
35d
x21y21Dx1Ey1F50
F
x cy dy x dy by x by cy
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 3 2 2 1 3 3 2 1
E
x d c x b d x c b
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 3
D
y c d y d b y b c
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 3
A x y y x y y x y y= −( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 2 3 2 3 1 3 1 2
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
2 2
1
2
1
2
1 1
2
2
2
2
2 2
3
2
3
2
3 3
1
1
1
+
+
+
+ 11
0=
4
4
0
2 2F D E+ + > ,
4
4
0
2 2F D E+ + = ,
4
4
0
2 2F D E+ + <
r
F D E= + +4
2
2 2
C
D E− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2 2
, ;
x
D
y
E F D E+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + +
2 2
4
4
2 2 2 2
x y Dx Ey F2 2 0+ + + + =
r x h y k2
2 2
= −( ) + −( )
Resumen 201
PROBLEMAS
Resuelve los siguientes problemas. 
1. El Sol, al igual que la Tierra, tiene diferentes capas en su atmósfera y cada una tiene sus
propias características. Considera el centro geométrico del Sol como el origen y determi-
na las ecuaciones de circunferencia para cada región mostrada.
Estructura solar (los valores son aproximados)
Tabla 5.1. Capas de la atmósfera solar.
2. Grafica y obtén la ecuación de cada una de las circunferencias:
Respuestas
a) C(0,0), r51 x21y251
b) C(26,28), r54
c) C(1,0), (x21)21y255
d) C(4,2),
3. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia si los puntos A(2,4) y B(4,8) son los extremos
de un diámetro? 
Respuesta: (x23)21(y26)255
4. Indica si las siguientes ecuaciones corresponden al lugar geométrico llamado circunferencia.
Respuestas
a) (x210)21(y16)2520 Sí
b) (x22)21(y14)211650
c) (x13)21(y235)250 No, se trata de un punto
d) x21y215y512
e) x21y226x12y528 Sí
f) x21y2110x16y13450
5. Reduce las siguientes ecuaciones de circunferencia a su forma ordinaria:
Respuestas
a) x21y215y512
b) x21y225x15y2550
c) 40x2140y2150x2100y13050 x y+( ) + −( ) =58 54 7764
2 2
x y2 5
2
73
4
+ +( ) =
r = 7
r = 5
202 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
Región Radio (km) Temperatura (K)
Corazón 200 000 15 000 000
Zona de radiación 500 000 7 000 000
Zona de convección 696 000 2 000 000
Fotosfera 696 500 5 800
Cromosfera 698 000 4 500
Zona de transición 706 500 8 000
Corona solar 10 000 000 1 000 000
Viento solar 2 000 000
d) x21y22x2y1150
e) 2x212y2116x14y2350
f) x21y2224x212y14850
6. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos y traza el gráfico co-
rrespondiente. Sugerencia: Resuelve por diferentes métodos:
Respuestas
a) A(2,1), B(1,3), C(4,1)
b) A(4,2), B(23,7), C(6,22)
c) A(5,26), B(23,24), C(5,22)
d) A(3,1), B(24,4), C(3,6)
e) A(4,2), B(1,27), C(22,2) x21y222x14y22050
x y x y2 2
5
2
8
1
2
0+ − + − =
x y x y2 2 6
11
2
25
2
0+ − − + =
x y+( ) + +( ) =4 1 37
2
2 2
Problemas203
51 2 3 4 6
–1
1
2
3
4
5
x
y
•
• •
–6 –4 –2 642
–10
–8
–6
–4
–2
2
x
y
•
•
•
f) A(21,2), B(5,3), C(2,2)
g) A(5,2), B(21,3), C(1,22) x y x y
2 2 25
7
17
7
44
7
0+ − − − =
204 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
–4
–4 42 6 8
–10
–8
–6
–2
–2
2
x
y
• •
•
–4 –2 42 6
–2
2
4
6
x
y
•
•
•
7. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y tangente a la recta
3y25x1450 y traza su gráfico.
Respuesta: 
8. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(5,2) y tangente a la recta
3y22x21250 y traza su gráfico.
9. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(21,1) y tangente al eje x. ¿Será
tangente también al eje y?
Respuestas
a) (x11)21(y21)251
b) Sí
10. Describe la ecuación de la circunferencia circunscrita en un triángulo de vértices (22,3),
(2,5) y (4,22); además determina el baricentro del triángulo.
x y2 2
8
17
+ =
Problemas 205
–4 –2 42 6 8
–6
–4
–2
2
4
5
x
y
•
•
•
•
•
Figura 5.27. El eje radical.
Respuesta:
11. Si los vértices de un triángulo son A(1,3), B(21,23) y C(23,2), determina las ecuacio-
nes de la circunferencia circunscrita e inscrita a éste.
12. Una circunferencia tiene su radio en la recta y1x22; un punto genérico de ésta posee
coordenadas (4,3). Determina la ecuación de la circunferencia. Si en sus intersecciones con
la recta dada se encuentran los centros de dos circunferencias más de igual radio, ¿cuáles
serán sus ecuaciones? Realiza una gráfica de las tres circunferencias.
Respuestas
13. Comprueba que la recta 2x1y525 y la circunferencia x21y228x52 no se cortan.
14. Dadas las ecuaciones de circunferencia (x23)21(y22)2525 y (x11)21(y13)2512, de-
termina: a) la ecuación del eje radical, b) los puntos de intersección, c) la distancia entre
los puntos de intersección y d) traza la gráfica de todos los elementos.
Respuesta: a) 4x15y1550, b) (21.73,0.386) y (2.46,22.97, c) d55.37
d) la gráfica:
x y−( ) + +( ) =4 2 25
2
2 2
x y+( ) + −( ) =1 3 25
2
2 2
x y−( ) + −( ) =32 12 252
2 2
B( , )4
3
2x y x y2 2
47
16
34
16
25
2
0+ − − − = ,
15. Los centros de un tren de engranes se localizan sobre una recta que pasa por el origen y
tiene pendiente m51/2. Si sus radios son r2155, r
2
25
45/4,y r
2
3520, respectivamente, y el
primer engrane tiene centro en el origen, ¿cuáles son las ecuaciones que los representan,
sabiendo que son tangentes entre sí?
Actividad en equipo 
1. Hallen las ecuaciones de las circunferencias que pasan por los puntos (2,3) y (3/5,16/5) y
que son tangentes a la recta 3x 2 4y 1 1 5 0 (Verifiquen sus resultados con algún soft-
ware y construyan la gráfica del problema.)
2. Un accidente en una planta nuclear provoca una radiación en forma de círculos concén-
tricos que se expande a una velocidad de 15.0 m/s.
a) Obtengan la ecuación de la circunferencia del área de radiación a los 10 minutos y a
los 30 minutos de haber ocurrido el accidente.
b) Si se desea rescatar a unas personas que se encuentran a 25 km al norte del centro de
la radiación desde un punto que se encuentra a 28 km al oeste de ese centro, ¿cruza-
rán la zona de peligro? (Verifiquen sus resultados con algún software y construyan la
gráfica del problema.)
AUTOEVALUACIÓN
Contesta y practica en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios.
1. Define, con tus propias palabras, qué es una cónica. 
2. Explica qué es circunferencia y escribe su ecuación general.
3. ¿Cuáles son los elementos básicos de una circunferencia?
4. Si los puntos (3,2) y (23,4) son los extremos de una cuerda diametral de cierta circunfe-
rencia, di cuál es su ecuación y en dónde se localiza su centro.
5. Determina la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (2,2), (23,0) y
(0,24).
6. Determina el valor de la coordenada x, si la magnitud de su diámetro es de 10 u.l. y su
centro se localiza en el punto (2,23). Considera un punto (x,1) perteneciente a ella. 
206 Capítulo 5 ■ La circunferencia (vamos a dar una vuelta)
207
CAPÍTULO
6
Parábola
(ahí, donde se
concentran
las cosas)
La comprensión humana no es simple luz, sino que recibe infusión de la voluntad y los afectos; de ella proceden ciencias que
pueden llamarse “a discreción”. El hombre cree con más disposición lo que preferiría que fuera cierto. Por ello rechaza cosas di-
fíciles por impaciencia en la investigación; cosas silenciosas, porque reducen las esperanzas en lo más profundo de la naturale-
za, por superstición; la luz de la experiencia, por arrogancia y orgullo; cosas no creídas comúnmente, por deferencia a la opinión
del vulgo. Son, pues, innumerables los caminos, y a veces imperceptibles, en que los efectos colorean e infectan la comprensión.
Francis Bacon (Novum Organon, 1620)
Fuentes Bailarinas, Barcelona.
Las trayectorias que sigue el
agua son parabólicas.
Catedral de Florencia. Por su
gran resistencia, los arcos
parabólicos se han usado 
en la construcción de cúpulas
enormes, como la que se 
muestra, diseñada por
Brunelleschi.
208 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
LA PARÁBOLA6.1
Se define como parábola el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en
un plano de forma que la distancia entre éste y una recta fija es igual a la distancia
del mismo hacia un punto fijo. La recta fija se llama recta directriz y el punto fijo,
foco de la parábola.
En la figura 6.1 se ilustra una parábola.
•
•
• •
•
R
F
L
V
RD
Q
Figura 6.1. La parábola.
A partir de la figura 6.1 identificamos lo siguiente:
• F se define como foco de la parábola.
• V se define como el vértice de la parábola.
•
—
RD se define como recta directriz.
•
—
LR se define como lado recto (latus rectum).
•
—
QF se define como el eje focal de la parábola.
•
––
QV5
—
VF se define como la distancia focal.
Características de los componentes de una parábola:
1. El segmento 
—
QF, llamado eje focal, es perpendicular a la recta directriz (RD) y al
segmento
—
LR, llamado lado recto.
2. El punto medio del eje de la parábola recibe el nombre de vértice.
3. El lado recto, además de ser una cuerda perpendicular al eje de la parábola, es un
segmento que da la abertura de la misma, LR54p.
ECUACIÓN DE
LA PARÁBOLA
CON VÉRTICE 
EN EL ORIGEN 
Y EJE FOCAL 
PARALELO 
AL EJE X
6.2
Considera la siguiente figura:
6.2 ■ Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje x 209
x
y
p p
p
p
p
p
 
 
x
y
La distancia entre cualquier
punto de la parábola y la
recta fija RD es igual a la
distancia entre el mismo
punto y el foco F.
RD, x = –p
LR x = 4p
A(x,y)
F(p,0)V(0,0)
y2 = 4px
Figura 6.2. Parábola con vértice en el origen, de eje focal horizontal y que abre hacia la derecha.
Considera las coordenadas de un punto A(x,y) que pertenece a la parábola y las del
foco F(p,0).2 Por definición de parábola y considerando la ecuación para el cálculo
de distancia entre dos puntos, se tiene:
Además, la distancia de la recta directriz x1p50 y el punto A(x,y) se puede calcular
mediante la ecuación de distancia de un punto a una recta:
Se sustituye:
Lo anterior cumple con la definición de la parábola, pues al igualar los valores de 
—
AF:
Al elevar al cuadrado:
x p p x y+( ) = −( ) +2 2 2
x p p x y+ = −( ) + −( )2 20
x p
x p AF
+ ⇒ + =
1
Ax By C
A B
+ +
+2 2
AF p x y= −( ) + −( )2 20
2 Si el valor de p es negativo, la parábola abre hacia la izquierda.
Se desarrollan los binomios y se reduce:
y254px [1]
Esto corresponde a la ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje focal
paralelo al eje x, la cual abre hacia la derecha. Si fuese de la forma y2524px, la pa-
rábola abriría hacia la izquierda.
En forma semejante, se puede encontrar la ecuación de la parábola con vértice
en el origen y eje focal paralelo al eje y, que tiene la forma: y254py [2]
x px p p px x y2 2 2 2 22 2+ + = − + +
210 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
Si la ecuación fuera x2524py, la parábola abriría hacia abajo, pues el valor dep se-
ría negativo.
Ejemplo 6.1
Traza la parábola x2516y e indica sus elementos.
Solución:
Se identifica que se trata de una parábola de la forma x254py, donde:
4p516
p54
x
y
p
p
 
F(0,p)
y = –p
V(0,0)
A(x,y)
Figura 6.3. Parábola con vértice en el origen, de eje focal vertical y que abre hacia arriba.
Su vértice se localiza en el origen:
V(0,0)
El foco tiene por coordenadas F(0,p), es decir, F(0,4).
La recta directriz tiene por ecuación y52p, o bien, y524.
El lado recto es la magnitud de 4p, para el caso
Trazando los elementos de la parábola se obtiene la gráfica de la figura 6.4.
LR
LR
=
=
16
16
LR p= 4 ,
6.2 ■ Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje x 211
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
12
x
y
V
 y = –4
F(0,4)
Figura 6.4. Gráfica de la parábola x2516y.
Ejemplo 6.2
Una persona sube a lo más alto de una torre de 42 m de altura; desde ahí lanza una
piedra hacia su derecha y otra hacia su izquierda, en un movimiento horizontal con
una velocidad inicial de 12 m/s. Determina la ecuación de la trayectoria parabólica
descrita por las piedras; considera los brazos de la persona como el origen.
Solución:
La ecuación del movimiento corresponde a un modelo del tipo x254py, pues es una
parábola con eje focal paralelo al eje y que abre hacia abajo. Por tanto, es necesario
determinar x (el alcance) y y (el cambio de posición vertical, y5yf2yi).
Para determinar el alcance de la piedra, por cinemática.
En un tiro horizontal la velocidad inicial de un cuerpo es vi5vx, la cual se mantiene
constante durante toda la trayectoria. Por otro lado, viy50, es decir, la velocidad ini-
cial vertical es cero. Además yi542 m, yf50 y g59.8 m/s
2.
v
x
tx
=y y v t gt
f i iy
= + − 1
2
2 ,
Como no se conoce el tiempo que tardan en caer las piedras, a partir de
se obtiene t.
De :
Luego, y5yf2yi:
Ahora es posible determinar el valor de la distancia focal y del
lado recto (latus rectum).
(35.13)254p(242)
p527.346
Por lo que el lado recto será:
La ecuación buscada es:
x2524py
x25229.4y
cuyos elementos son:
Vértice (0,0)
Foco F(0,2p), o bien, F(0,27.35)
Recta directriz y5p, es decir, y57.35
La gráfica se presenta en la figura 6.5. 
Ejemplo 6.3
Halla la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y pasa por el punto
(3,7), que abre hacia la derecha.
Solución:
La ecuación buscada es de la forma y254px. Sustituyendo las coordenadas del punto
dado se tiene:
(7)254p(3)
p54.08
LR p
LR
= = −
=
4 4 7 346
29 38
( )( . )
.
y
y
= −
= −
0 42
42
x v t
x
x
= =
=
( )( . )
.
12 2 297
35 13 m
v
x
tx
=
t
t
=
=
2 42
9 8
2 927
( )
.
. s
0 42 0
1
2
9 8 2= + −( ) ( . )t t
y y v t gt
f i iy
= + − 1
2
2 ,
212 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
–15 –12 –9 –6 –3 3 6 9 12 15
–24
–21
–18
–15
–12
–9
–6
–3
3
6
9
x
y
 
F(0,–7.35)
y = 7.35
Figura 6.5. Gráfica de la trayectoria parabólica.
El lado recto es:
Por tanto, la ecuación buscada es:
y2516.3x
Su foco se localiza en:
F5(4.08,0)
La ecuación de su recta directriz: x52p
x524.08
El gráfico se observa en la figura 6.6.
LR p= =4 16 3.
6.2 ■ Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje x 213
–3 3 6 9 12 15
–9
–6
–3
3
6
9
x
y
V
 x = –4.08
F(4.08,0)
(3,7)
Figura 6.6. Parábola con vértice en el origen, de eje focal horizontal y que pasa por el
punto (3,7).
Ejemplo 6.4
Dada la ecuación y25212x, halla el valor de a) p y b) las coordenadas del foco; c)
traza una gráfica.
Solución:
a) El valor de p se obtiene a partir de la igualación 4p5212, es decir, p523.
Por tanto, la parábola abre hacia la izquierda.
b) El foco tiene coordenadas F(p,0), o bien, F(23,0).
c) La gráfica es:
214 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
–10 –8 –6 –4 –2 62 4
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
y
Figura 6.7. Gráfica de la parábola y25212x.
Ejemplo 6.5
Encuentra la ecuación de la parábola cuyo foco se localiza en el punto F(3,0) y su rec-
ta directriz es x523; además di cuál es la longitud de su lado recto y traza su gráfica.
Solución:
A partir de la definición de parábola y con los datos conocidos:
Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando los binomios cuadrados:
x226x191y25x216x19
Al simplificar se obtiene la ecuación:
y2512x
Por tanto, la longitud de su lado recto es:
La gráfica se presenta en la figura 6.8.
LR p= =4 12
x y x−( ) + −( ) = +3 0 32 2
1. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen, el eje focal
paralelo al eje x y que además contenga al punto(3,22).
2. Dibuja la gráfica de la parábola x256y.
3. Determina la ecuación de una parábola que tiene su vértice en el origen, una
magnitud de lado recto igual a 4 y que abre hacia la izquierda.
4. La distancia focal de cierta parábola es de 3/2, su vértice se localiza en el ori-
gen del plano cartesiano y su foco sobre el eje y negativo, ¿cuál es su ecuación?
Ejercítate
–4 –2 2 4 6 8 10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
y
V x = –3 F(3,0)
Figura 6.8. Gráfica de la pará-
bola y2512x.
Considera la siguiente figura:
6.3 ■ Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x y con vértice fuera del origen 215
ECUACIÓN DE
LA PARÁBOLA
CON EJE FOCAL
PARALELO AL
EJE X Y CON
VÉRTICE FUERA
DEL ORIGEN
6.3
x
y
pp
y9 = y+k
RD, x = h–p
x9 = x+hF(h+p,k)V(h,k)
Figura 6.9. Parábola con vértice fuera del origen, de eje focal horizontal y que abre 
hacia la derecha.
En forma análoga a la demostración anterior, pero considerando una traslación de ejes
(las abscisas representadas con h y las ordenadas con k), se observa que el vértice tie-
ne coordenadas V(h,k) y el foco F(h1p,k); la recta directriz tendrá la ecuación x5h2p.
Luego, por definición de parábola, si un punto A(x,y) pertenece a la curva, la distan-
cia de éste al foco será igual a la distancia que exista de ese punto a la recta directriz.
La distancia del punto al foco
—
AF es:
(i)
Y la distancia entre el punto y la recta directriz:
(ii)
Al igualar (i) y (ii):
Se eleva al cuadrado y se ordena:
Se simplifica:
[3]y k p x h−( ) = −( )2 4
y k x h p x h p x h p x h p−( ) = −( ) + −( )+ − −( ) + −( )−2 2 2 2 22 2
y k x h p x h p−( ) = − +( ) − − −( )2 2 2
x h p y k x h p− −( ) + −( ) = − +( )2 2
AF x h p= − +( )AF x h p= + + − + ⇒0
1
( )
AF x h p y k= − +( ) + −( )2 2
Esta ecuación pertenece a una parábola con eje focal paralelo al eje x y vértice fuera
del origen. Las coordenadas de cada elemento que la constituyen son:
De manera semejante se obtiene la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al
eje y y vértice fuera del origen:
[4]x h p y k−( ) = −( )2 4
V h k
LR p
RD x h p
F h p k
,
,
,
( )
=
= −
+( )
4
216 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
x
y
F
V
RD
p
A
C
B D
 
Por definición de parábola se
cumplen las siguientes relaciones:
Observa que A y C son dos
puntos cualesquiera que
pertenecen a la curva; B y D son
dos puntos sobre la recta directriz.
AB = AF
CD = CF
Figura 6.10. Parábola con vértice fuera del origen, de eje focal vertical y que abre hacia arriba.
Sus elementos son:
Ejemplo 6.6 
Dada la ecuación (x22)2 526(y13) que pertenece a cierta parábola, halla: a) sus ele-
mentos, b) traza su gráfico.
Solución:
Al observar la ecuación se advierte que el vértice tiene coordenadas (h,k), es decir,
V(2,23). El valor de p se obtiene al igualar
V h k
LR p
RD y k p
F k p h
,
,
,
( )
=
= −
+( )
4
4p526
Las coordenadas del foco son:
F(k1p,h)
La ecuación de la recta directriz es:
Finalmente, su lado recto es:
Su gráfica se observa en la figura 6.11.
LR p
LR
= = −
=
4 6
6
y k p
y
= −
= − − −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −3 3
2
3
2
F F− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⇒ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
3
2
9
2
, ,2 2
p = − 3
2
6.3 ■ Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x y con vértice fuera del origen 217
–6 –4 –2 2 4 6 8 10
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
xy
 y = –1.5 V(2,–1.5)
F(2,–4.5)
Figura 6.11. Gráfica de laparábola (x22)2526(y13).
Ejemplo 6.7
Dos frentes de onda de forma parabólica chocan frontalmente; sus puntos de interfe-
rencia destructiva son A(4,6) y B(4,24), que a su vez limitan la longitud de sus latus
rectum. Determina las ecuaciones de estas ondas.
Solución:
Se calcula la longitud del lado recto mediante la ecuación de distancia entre dos puntos:
LR = −( ) + − −( ) =4 4 4 6 102 2
Por las coordenadas del latus rectum se trata de parábolas que abren hacia la derecha
e izquierda, por tanto se trabajará con la ecuación de la parábola con eje focal para-
lelo al eje x:
Para determinar las dos duplas de coordenadas (h,k)se sustituyen los valores (x,y) co-
nocidos, pues pertenecen a las curvas en la ecuación anterior, lo que plantea dos ecua-
ciones:
y
Se resuelven simultáneamente:
(i)
(ii)
Se multiplica por (21) a (ii) y se reduce el sistema:
20220k50⇒k51
Es evidente que los valores de k son iguales, pues están sobre el mismo eje focal. Se
sustituye el valor de k en la primera ecuación para encontrar el primer valor de h:
De manera semejante, para el segundo valor de h:
Las duplas de coordenadas encontradas pertenecen a los vértices de cada onda:
y
Sustituyendo en (y2k)2564a(x2h), se tiene que
las ecuaciones son:
y 
El foco para ambas parábolas es F(4,1). En la fi-
gura 6.12 se presenta la gráfica de ambas ecua-
ciones.
y x−( ) = − −( )1 10 1322
y x−( ) = −( )1 10 322
13
2
1,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
2
1,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
h = 13
2
− = − + − +
=
10 40 36 12 1
3
2
h
h
16 8 10 42+ + = ± −( )k k h
36 12 10 42− + = ± −( )k k h
− −( ) = ± −( )4 10 42k h6 1 42−( ) = ± −( )k h
y k a x h−( ) = ± −( )2 4
218 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
–2 2 4 6 8 10 12
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
y
 (1.5,1)V
F(4,1)
V(6.5,1)
(y–1)2 = –10(x–13 2)
(y–1)2 = 10(x–3 2)
Figura 6.12. Dos frentes de onda de forma parabólica.
Ejemplo 6.8
Una parábola, cuyo lado recto es igual a 8, tiene su vértice con coordenadas en V(4,0).
Halla su ecuación y traza su gráfico señalando sus elementos. Si en el foco de esa pa-
rábola se encuentra la intersección de dos parábolas cuyo lado recto es la mitad de la
del primero y cada una es tangente en un punto respecto de la primera, determina sus
ecuaciones si uno de los focos tiene coordenadas F(6,2), además de que abren hacia
arriba. Traza un gráfico donde se muestren las tres parábolas.
Solución: 
Por la descripción del enunciado se considera que las tres parábolas abren hacia arri-
ba. Además, se sabe que:
LR54p, 854p ⇒ p52
Se tienen las coordenadas del vértice V(h,k)5(4,0). El foco está determinado por las
coordenadas F(h,k1p); por tanto:
F(4,012)⇒(4,2)
La ecuación de la recta directriz está dada por: y5k2p, es decir,
y522
Por tanto, la ecuación buscada es:
(x24)258y
El gráfico de la primera parábola se presenta en la figura 6.13.
6.3 ■ Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x y con vértice fuera del origen 219
2 4 6 8 10
2
4
6
x
y
–2
(x–4)2 = 8y
F(4,2)
V(4,0)
Figura 6.13. Gráfica de la parábola (x24)2 5 8y.
Si el lado recto de cada una de las parábolas es la mitad de la primera, o sea 4, el va-
lor de p para éstas se obtiene de la siguiente relación:
4p54
p51
También se conocen las coordenadas de uno de los focos, F(6,2), y se sabe de la con-
dición de tangencia entre ellas. Para esta parábola a partir de F(h,k1p), se determina
el valor de k:
Con estos datos se encuentran las coordenadas de su vértice V(h,k)5(6,1). Para en-
contrar la ecuación de la recta directriz:
Es decir, el eje x es la recta directriz. Finalmente su ecuación es (x26)254(y21).
Para la tercera parábola, al observar la figura y por la condición dada, se tiene que
k5422⇒k52 y en consecuencia h52. El valor de la distancia focal será el mismo p51.
El foco tendrá coordenadas F(h,k1p), es decir, F(2,2), y el vértice V(2,1). 
La recta directriz será la misma que la de la segunda parábola, o sea, y50. Con
todos sus elementos definidos se puede determinar su ecuación (x22)254(y21).
El gráfico de las tres parábolas se observa en la figura 6.14.
y k p y
y
= − ⇒ = −
=
1 1
0
2 2
2 1
1
= + ⇒ = −
= −
=
k p k p
k
k
220 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
–2 2 4 6 8 10
–2
2
4
6
8
10
x
y
F(2,2 ) F(6,2 )
V(2,1) (6,1)V
( ) )1(46 2 –=– yx ( ) )1(42
2 –=– yx
Figura 6.14. Gráfica de las parábolas.
1. Halla los elementos de la parábola (x26)252(y22).
2. Traza el gráfico de la parábola (y24)256(x22).
3. Las coordenadas del foco de cierta parábola son (23,2) y p522. Si la pa-
rábola abre hacia abajo, ¿cuál es su ecuación?
Ejercítate
Para su estudio se considera una ecuación de segundo grado con variables x,y donde
el producto xy50.
• Si A50, C Z 0, D Z 0, E,F�R,se tiene la ecuación de la parábola con eje pa-
ralelo al eje x.
[5]
• Si A Z 0, C50, E Z 0, D,F�R, se obtiene la ecuación de la parábola con eje
paralelo al eje y.
[6]
A continuación se obtendrá la forma ordinaria de la ecuación de la parábola, a partir
de [5].
Multiplicando por
(i)
Se acomodan miembros y se completan cuadrados:
Se simplifica:
De esta ecuación se identifican las coordenadas del vértice y el foco (parábola con
eje focal paralelo al eje x):
Además, la ecuación de la recta directriz está dada por:
x
p E CF
C
= − + −
2 4
4
4 p
D
C
= −F E CF D
CD
E
C
2 24 4
4 2
− ± −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, ;V
E CF
CD
E
C
2 4
4 2
− −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, ;
y
E
C
D
C
x
E CF
CD
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − − −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
4
4
2 2
y
E
C
D
C
x
E CF
C
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − + −
2
4
4
2 2
2
y
E
C
y
E
C D
C
x
F
C
E
C2
2
2 2
+ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= − − +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
22
y
Dx
C
Ey
C
F
C
2 0+ + + =
1
02
C
Cy Dx Ey F+ + + =⎡⎣ ⎤⎦
1
C
:
Ax Dx Ey F2 0+ + + =
Cy Dx Ey F2 0+ + + =
Ax Bxy Cy Dx Ey F2 2 0+ + + + + =
6.4 ■ Ecuación general de la parábola 221
ECUACIÓN 
GENERAL DE LA
PARÁBOLA
6.4
De manera análoga, para la ecuación [5] que representa una parábola con eje focal
paralelo al eje y. Una vez dividida entre el coeficiente del término cuadrático:
(ii)
Sus elementos son:
Recta directriz:
Las ecuaciones [1], [2], [3], [4], [5] y [6] son posibles casos de la parábola con ejes
simétricos a los coordenados; sin embargo, como se vio en el capítulo 4, existen ca-
sos donde el producto es xy Z 0, es decir, donde sus ejes son oblicuos. Un ejemplo se
ilustra a continuación.
Ejemplo 6.9
Determina la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto F(3,2) y cuya recta
directriz está dada por: x1y1250.
Solución:
Por definición de cónica y la condición de excentricidad de la parábola se establece que:
Se simplifica y se elevan al cuadrado ambos miembros:
Desarrollando:
Se reducen términos semejantes:
x xy y x y2 22 16 12 22 0− + − − + =
2 12 18 2 8 8 4 2 4 42 2 2 2x x y y x y xy x y− + + − + = + + + + +
2 3 2 22 2
2
⋅ − + −⎡⎣ ⎤⎦ = + +( )( ) ( )x y x y
2 3 2
2
1
2 2
2
2
⋅ − + −( )
+ +( )
=
( ) ( )x y
x y
x y
x y
−( ) + −( )
+ +
=
3 2
2
2
1
2 2
y
p D AF
A
= − + −
2 4
4
4 p
E
C
= −F D
A
D AF E
AE
− − ±⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2
4 4
4
2 2
, ;V
D
A
D AF
AE
− −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟2
4
4
2
, ;
x
D
A
x
E
A
y
F
A
2 0+ + + =
222 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
Para comprobar que tal ecuación corresponde a la de una parábola basta con aplicar
el discriminante B224AC50:
(2)224(1)(1)50
Por tanto, se concluye que se trata de una parábola de ejes oblicuos. Para poder tra-
zar su gráfica se aplica:
Pero como A5C⇒R50. Además, se sabe que la pendiente es la tangente del ángulo
m5tan u
Sustituyendo valores y despejando el ángulo se obtiene:
u545°
Los ejes de la parábola están girados o inclinados respecto de los coordenados o pri-
mitivos 45°.
Otra manera de conseguir este resultado consiste en utilizar
y como A5C, la ecuación es de la forma: Bcos2u50, despejando al ángulo u
cos2u50
2u5cos–1(0)
2u590°
u545°
Como se observa, el resultado es el mismo.
En la figura 6.15 se muestran las respectivas coordenadas de sus elementos, tan-to en los ejes coordenados primitivos como en ejes primos.
∀ ≠A Ctan ;2θ =
−
B
A C
1 11= ⇒ = −tan tan ( )θ θ
R
C A
B
= −m R R= + +
2 1,
6.4 ■ Ecuación general de la parábola 223
–4 –2 2 4 8 12 1410
–4
–2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
6
x9 = –2.47, y = –x–2
y9
x9
V9(0,0) V(1.25,0.25)
F9(2.47,0) F(3,2)
Figura 6.15. Parábola con vértice fuera del origen y de eje focal oblicuo.
Ejemplo 6.10
a) De x222xy1y2216x212y12250 elimina el término xy y traza la nueva grá-
fica, b) elimina los términos lineales y vuelve a graficar.
Solución:
a) Se sabe que u545° y que m5tan45°51, es decir, por tanto (1,1) es
un punto localizado sobre x9, luego por condición de perpendicularidad
y el punto (21,1) se localiza sobre y9.
Luego, de:
Se sustituye:
y x y' ' '2 14 2 2 2 22 0− + + =
E
Dx Ey
x y
'
( ) ( )=
+
+
= − − −
+
= =2 2
2
2
2
2
16 1 12 1
1 1
4
2
2 2
D
Dx Ey
x y
'
( ) ( )=
+
+
= − −
+
= − = −1 1
1
2
1
2
16 1 12 1
1 1
28
2
14 2
C
Ax Bx y Cy
x y
'
( ) ( )( ) (=
+ +
+
= − − − +2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
1 1 2 1 1 1 11
1 1
1
)
+
=
A
Ax Bx y Cy
x y
'
( ) ( ) ( )=
+ +
+
= − +
+
1
2
1 1 1
2
1
2
1
2
1 1 2 1 1 1
1 1
== 0
m
2
1
1
= − ,
m
1
1
1
= ;
224 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
1
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
y
–4 –2 2 4 6 8 10 12 14 16
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
y
y0
x0
Después de la rotación Después de la rotación
–4 –2 2 4 6 8 10 12 14 16
022'22'214'
2
=++− yxy '214'' 2 xy =
Figura 6.16. Parábola a la que se le aplicó una rotación y una traslación.
O bien,
b) La eliminación de los términos lineales se facilita, pues se sabe que el vértice
de la parábola ya girada se localiza en las coordenadas y de
acuerdo con el capítulo 4, se tiene para este caso que:
x05x92h y y05y92k
Por lo cual, la ecuación se reduce a:
Las gráficas respectivas se presentan en la figura 6.16.
Ejemplo 6.11
Un estudiante se ha propuesto determinar la ecuación que describe a una antena pa-
rabólica. Después de tomar como punto de referencia (origen) su base, determinó que
la ecuación de su recta directriz es y22x2650 y que su foco se localiza en las coor-
denadas F(4,8) m. ¿Qué ecuación obtuvo y cómo podría comprobar que la ecuación
obtenida represente una parábola y no otro lugar geométrico?
NOTA: Considera un punto genérico con las mismas coordenadas Q(u,v).
Solución: 
Si Q(u,v) es un punto de la antena, aplicando la definición de parábola se tiene:
Además, por definición de parábola, la distancia que existe entre el punto Q y la rec-
ta directriz y22x2650 es también FQ; en caso contrario, existe un error.
Se iguala:
Se elevan al cuadrado ambos miembros:
Desarrollando:
5 16 8 64 16 4 36 4 12 242 2 2 2( )− + + − + = + + − − +u u v v v u uv v u
4 8
2 6
5
2 2
2 2
2
−( ) + −( )⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
− −( )
( )
u v
v u
v u− −2 6
5
4 8
2 2
−( ) + −( ) =u v
FQ
v u= − −2 6
5
FQ u v= −( ) + −( )4 82 2
y x'' '2 14 2=
5 2
7
2, ,−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
y x' '+( ) = −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟2 14 2
5 2
7
2
6.4 ■ Ecuación general de la parábola 225
Figura 6.17. Antena parabólica.
Se simplifica:
Para comprobar que se trata de una parábola, aplicamos la condición del discriminan-
te b224ac50. Se sustituyen valores:
Por el resultado obtenido se comprueba que se trata de una parábola.
Ejemplo 6.12 
La recta directriz de cierta parábola está dada por la ecuación y12x1250 y su foco
tiene por coordenadas F(4,0). Determina la ecuación de esa parábola y analiza el re-
sultado. 
Solución:
De la definición de parábola,
Se eleva al cuadrado para eliminar el radical del segundo miembro y se desarrollan
sus binomios, así como el trinomio cuadrado que se forma en el primer miembro:
Se simplifica:
Se aplica la relación b224ac50 a la ecuación encontrada:
La ecuación obtenida no corresponde a una parábola, sino a una hipérbola de ejes
oblicuos.
4 4 3 0 0
16 0
2 − ⋅ ⋅ ≠
≠
3 4 16 4 12 02x xy x y+ + + − =
y x xy x y x x y2 2 2 24 4 4 8 4 16 8+ + + + + = − + +
y x x y+ +( )= −( ) + −( )2 2 4 02 2
4 4 1 4 0
16 16 0
2 − ⋅ ⋅ =
− =
u uv v u v2 24 4 64 68 364 0+ + − − + =
226 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
1. Dadas las siguientes ecuaciones de parábola, obtén su forma ordinaria y tra-
za su gráfica mostrando todos sus elementos.
a) x225x13y2750 b) y217x2250
c) x223y2150 d) y222x24y2350
2. Determina la ecuación de la parábola para cada una de las condiciones dadas:
a) V(4,6), p53 y eje focal paralelo al eje y.
b) F(23,2), y eje focal paralelo al eje x.
c) F(21,0) y recta directriz x522.
d) V(3,21), contiene al punto (5,7) y su eje focal es paralelo al eje y.
p = 3
2
Ejercítate
Es posible obtener la ecuación de una parábola que pasa por tres puntos apoyándose
en las ecuaciones analizadas hasta el momento. Si P(x1,y1), Q(x2,y2) y R(x3,y3) son tres
puntos de una parábola con eje focal paralelo al eje x, se puede utilizar [5] para de-
terminar su ecuación general por medio de un determinante, como se muestra a con-
tinuación:
Una posible solución es:
Lo anterior permite obtener directamente la ecuación:
Cy21Dx1Ey1F50
Si la parábola tiene eje focal paralelo al eje y, el arreglo del determinante es de la forma:
De manera análoga,
Y se obtiene directamente la ecuación:
Ay21Dx1Ey1F50
Si el método anterior no te convence, puedes utilizar alguna de las ecuaciones de la
parábola en forma ordinaria y de ahí determinar la ecuación que satisface las condi-
ciones dadas. En el siguiente ejemplo se dan dos alternativas para resolver este tipo
de problemas.
F
x x y x y y x y x y y x y x
=
−( )+ −( )+ −1 22 3 32 2 2 32 1 12 3 3 12 2 222 1y
A
( )⎡⎣ ⎤⎦
E
x x x x x x x x x
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 32 22 2 12 32 3 22 12
D
y x x y x x y x x
A
=
−( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦1 22 32 2 32 12 3 12 22
A x y y x y y x y y= −( )+ −( )+ −( )1 2 3 2 3 1 3 1 2
x x y
x x y
x x y
x x y
2
1
2
1 1
2
2
2 2
3
2
3 3
1
1
1
1
0=
F x y y y y y y y y y y y y y= −( )+ −( )+ −1 22 3 32 2 2 32 1 12 3 3 12 2 222 1y( )
E x y y x y y x y y= −( )+ −( )+ −( )1 32 22 2 12 32 3 22 12
D y y y y y y y y y= −( )+ −( )+ −( )1 22 32 2 32 12 3 12 22
C x y y x y y x y y= −( )+ −( )+ −( )1 2 3 2 3 1 3 1 2
y x y
y x y
y x y
y x y
2
1
2
1 1
2
2
2 2
3
2
3 3
1
1
1
1
0=
6.5 ■ Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos 227
ECUACIÓN DE
LA PARÁBOLA
QUE PASA POR
TRES PUNTOS
6.5
Ejemplo 6.13 
a) Halla la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje x, y pasa por
los puntos A(0,0), B(8,24), C(3,1) y b) di cuál es su forma ordinaria e indica
en una gráfica sus elementos.
Solución 1:
a) Si se utilizan ecuaciones simultáneas, tomando como modelo a
Cy21Dx1Ey1F50 (la parábola tiene su eje focal paralelo al eje x):
Primero se despeja al término cuadrático:
Se sustituyen los puntos dados:
Para el punto A(0,0):
(i)
Se sustituyen el punto B(8,24):
(ii)
Por último, el punto C(3,1):
(iii)
Resolviendo por ecuaciones simultáneas el sistema formado por (i), (ii) y (iii) se tie-
ne que:
Se sustituyen estos valores en la ecuación general:
Solución 2:
Se aplica el método propuesto del determinante (utilizando el método de CHIO y me-
nores cofactores):
y x y
y x y
2
2
1 2 0 0
2 0
+ − + + =
− + =
( )
F
C
D
C
E
C
= = − =0 1 2, ,
3 1
D
C
E
C
F
C
+ + = −
( ) ( ) ( )1 3 1 02 + + + =D
C
E
C
F
C
8 4 16
D
C
E
C
F
C
− + = −
( ) ( ) ( )− + + − + =4 8 4 02 D
C
E
C
F
C
( ) ( ) ( )0 0 0 0
0
2 + + + =
⇒ =
D
C
E
C
F
C
F
C
y
D
C
x
E
C
y
F
C
2 0+ + + =
228 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
La ecuación es:
20y2220x140y50
O bien,
y22x12y50
que es la misma ecuación obtenida con el primer método.
b) Su ecuación en forma ordinaria es:
(y11)25x11
Su vértice y foco tendrán de coordenadas:
La ecuación de su recta directriz es:
La gráfica de la parábola se presenta en la figura 6.18.:
x h p
LR
= − ⇒ − − = −
=
1 1
4
5
4
1
V
p
p
F
− −( )
=
=
− −
1 1
4 1
1
4
3
4
1
,
( , )
A
D
= − −( )+ −( )+ +( )=
= −( )− −( )+0 4 1 8 1 0 3 0 4 20
0 16 1 4 1 0 11 0 16 20
0 1 16 8 0 1 3 16 0
−( )⎡⎣ ⎤⎦ = −
= −( )+ −( )+ −( )⎡⎣ ⎤E ⎦⎦ =
= ⋅ − ⋅−( )+ ⋅ − ⋅( )+ ⋅− − ⋅( )
40
0 16 1 1 4 8 1 0 0 1 3 0 4 16 0F ⎡⎡⎣ ⎤⎦ = 0
6.5 ■ Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos 229
–2 2 4
–4
–2
2
x
y
(y+1)2 = x+1
•
••
•
Figura 6.18. Parábola que pasa por tres puntos.
Miscelánea de ejemplos
1. En el siguiente ejemplo se consideran la ecuación x254px y diferentes coorde-
nadas del foco. Se muestran los respectivos valores de p y la ecuación de la pa-
rábola en cada caso; al final se muestran en una sola gráfica todas las ecuacio-
nes. Analiza e identifica por observación los datos mostrados.
230 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
y
xy
4
12=
xy
2
12 =
xy =2
xy 32=
y2 = 4x
y2 = 8x
y2 = 2x
Figura 6.19. Gráfica de las parábolas.Tabla 6.1. Datos de diferentes parábolas.
F p
1
16
0
1
16
,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
,
y x
F
2 1
4
1
8
0
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,
p y x
F
= =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
8
1
2
1
4
0
2
p y= 1
4
2 ==
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x
F p
1
2
0
1
2
,
,
y x
F
2 2
3
4
0
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( , )
p y x
F
= =3
4
3
1 0
2
p =1
( , )
y x
F p
2 4
2 0 2
=
= y x2 8=
Coordenadas Distancia
del foco focal, p Ecuación
2. Un cantante de trova se presenta a tocar en un escenario con forma parabólica,
como el que se ilustra en la figura 6.20. Si sólo cuenta con una bocina, ¿dónde
deberá colocarla para que el sonido llegue de manera uniforme al público?
(10,6) m
•
Figura 6.20. Escenario de forma parabólica.
Solución:
El escenario obedece a una ecuación de la parábola de la forma y254px; además, se
conoce un punto (10,6). El lugar que se pide encontrar es el foco.
Al sustituir el punto en la ecuación:
(6)254p(10)
y se obtiene:
Si el foco se localiza en (p,0), entonces la bocina debe colocarse en (0.9,0).
Su ecuación es:
y253.6x
3. Un alpinista quiere llegar a la cima de una montaña, pero su ruta se encuentra
bloqueada por una avalancha. Ahora tiene dos opciones. La primera consiste en
descender y ascender más de 1 600 metros y la segunda es dar un salto horizon-
tal de 6.0 metros y asegurarse en un risco, con un descenso de 8.0 metros. Si se
decide por la segunda posibilidad, ¿cuál será la ecuación de su trayectoria?
Solución:
Si se toma como origen el punto de partida, se tiene que el punto donde se impacta es
(6,28). Luego, el modelo de la ecuación que describe la trayectoria es:
x254py
Se sustituye el valor de las coordenadas:
(6)254p(28)
de donde:
p521.125
Por tanto, la ecuación buscada es:
x2524.5y
La figura 6.21 muestra una gráfica de la trayectoria.
p = =9
10
0 9.
6.5 ■ Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos 231
2 4 6 8
–8
–6
–4
–2
x
y
Figura 6.21. Trayectoria parabólica del alpinista.
4. En física, dentro del tema dinámica de fluidos, una demostración común consiste
en estudiar un cilindro sin tapa con varios orificios con sello a diferentes alturas.
El cilindro se llena con agua y se mantiene a una altura constante, con alimenta-
ción externa. Después, se quitan los sellos y el agua brota, describiendo medias
parábolas, como se muestra en la figura siguiente. De acuerdo con los datos, deter-
mina: a) la velocidad de salida en cada orificio y b) la ecuación de cada trayectoria.
NOTA: Utiliza el principio de Bernoulli, Igno-
ra las diferencias de presión que implican los pequeños cambios de altura y considera
la velocidad inicial v150. En un tiro horizontal viy50, vix5vi, y es constante, el tiem-
po de caída libre es g59.8 m/s2.
Solución:
a) Para calcular la velocidad de salida, a partir de la ecuación que describe el
principio de Bernoulli y de acuerdo con las condiciones dadas P15P2, v150,
la densidad del fluido es constante; por lo tanto:
Para el primer orificio de arriba hacia abajo:
Para el segundo:
Para el tercero:
Para el cuarto:
b) La ecuación de cada trayectoria será de la forma (x2h)2524p(y2k). El va-
lor por determinar es el de 4p, pero es necesario calcular primero el de x.
La velocidad horizontal es constante, de es decir, el alcance de cada
chorro será igual al producto de su velocidad de salida por el tiempo que tarde en to-
car la superficie, x v
y
gs
= 2
v
x
t
x vt= ⇒ = ,
v g
s2
2 0 9 0 5 2 80= − =( . . ) . m/s
v g
s3
2 0 9 0 6 2 42= − =( . . ) . m/s
v g
s2
2 0 9 0 7 1 97= − =( . . ) . m/s
v g
s1
2 0 9 0 8 1 40= − =( . . ) . m/s
v g y y
2 1 2
2= −( )
t
y
g
= 2 ,
P v gh P v gh
1 1
2
1 2 2
2
2
1
2
1
2
+ + = + +ρ ρ ρ ρ .
232 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
90 cm
80 cm
70 cm
60 cm
50 cm
Figura 6.22. Cilindro sin tapa
y con nivel de agua constante.
Superficie del agua
0.9 m
0.8 m
0.7 m
0.6 m
0.5 m
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
–0.6
–0.5
–0.4
–0.3
–0.2
–0.1
El alcance del primer chorro es:
El del segundo:
El del tercero:
Y finalmente, el del cuarto:
Ahora sólo falta calcular para cada caso:
Para el primer chorro de agua se tiene el vértice en (0,20.1)
La ecuación del segundo orificio tiene su vértice en (0,20.2)
En el tercer orificio, el vértice se localiza en (0,20.3)
Y por último, para el cuarto orificio (0,20.4)
La gráfica se observa en la figura 6.23. 
5. En un partido de futbol, un jugador golpea la pelota y ésta describe una trayec-
toria parabólica que puede analizarse mediante la ecuación 2x22 88x1120y50.
Toma como origen el punto de partida, las unidades en metros y determina: a) el
vértice de la parábola, b) el valor de p y c) la altura y alcance máximos.
Solución:
a) Para determinar el vértice se lleva la ecuación de la parábola a la forma
ordinaria:
2x2288x1120y50 (i)
Se ordena:
(x2244x)5260y (ii)
4
0 894 0
0 5 0 4
0 888
2
p = −
− +
= −( . )
( . . )
. . ( . )x y2 0 888 0 4= − +
4
0 846 0
0 6 0 3
0 795
2
p = −
− +
= −( . )
( . . )
. . ( . )x y2 0 795 0 3= − +
4
0 744 0
0 7 0 2
0 615
2
p = −
− +
= −( . )
( . . )
. . ( . )x y2 0 615 0 2= − +
4
0 565 0
0 8 0 1
0 354
2
p = −
− +
= −( . )
( . . )
. . ( . )x y2 0 354 0 1= − +
4
2
p
x h
y k
= −
− −
( )
( )
x = =2 80 2 0 5
9 8
0 894.
( . )
.
. m
x = =2 42 2 0 6
9 8
0 846.
( . )
.
. m
x = =1 97 2 0 7
9 8
0 744.
( . )
.
. m
x = =1 40 2 0 8
9 8
0 565.
( . )
.
. m
6.5 ■ Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos 233
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
–0.6
–0.5
–0.4
–0.3
–0.2
–0.1
Figura 6.23. Trayectorias de 
medias parábolas.
Se completa al cuadrado y se factoriza:
De aquí se puede establecer que el vértice es:
b) El valor de p se obtiene al considerar la ecuación (x2h)254p(y2k), es decir,
c) La altura máxima se localiza en la coordenada k del vértice:
Para obtener el alcance máximo, considera el sistema de referencia dado, es
decir, donde tanto la posición inicial como final es cero. Por tanto, de (ii):
O por simetría de la parábola, si el vértice tiene coordenada en h522, el
otro extremo se localiza al doble de esta distancia, es decir en x544. La
gráfica de la ecuación permite una mejor comprensión, como se muestra
en la figura 6.24.
6. Determina los puntos de intersección de las parábolas y2510x y y22
6x13y2550. Después, traza la gráfica correspondiente.
Solución:
Se forma un sistema de ecuaciones con las ecuaciones dadas
y2510x (i)
y226x13y2550 (ii)
De (i) se despeja x y se sustituye en (ii):
Se ordena para obtener:
2y2115y22550
2
5
3 5 02y y+ − =
y
y
y2
2
6
10
3 5 0−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ − =
( )
( ) ( )
x x y
x x
x
2
2
44 60
44 60 0
44
− = −
− = −
=
k = ≈121
15
8 0. m
4 60
15
p
p
= −
= −
V 22
121
15
,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x x y
x
2
2 2
2
44
44
2
120
44
2
22
− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−( ) = −660 121
15
y −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
234 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
10 20 30 40
10
20
30
40
x
y
alcance
V(22,8.0)
Figura 6.24. Alcance máximo.
cuyas soluciones son:
y51.403
y528.903
Los valores de x son:
x50.196
x528.903
como se muestra en la figura 6.25.
6.5 ■ Ecuación de la parábola que pasa por trespuntos 235
–3 63 9
–9
–6
–3
3
x
y
•
•
Figura 6.25. Intersecciones de parábolas.
7. Una de las aplicaciones comunes de la parábola se encuentra en la construcción
de puentes. En la figura 6.26, determina la ecuación de la parábola que describe
la catenaria o arco, de acuerdo con los datos mostrados.
400 m
100 m
Figura 6.26. Construcción de puentes.
Solución:
Para facilitar la obtención de la ecuación, el origen se coloca en el vértice del siste-
ma de referencia.
De esta manera, la ecuación buscada es de la forma x254py. En estas condiciones la
torre de la derecha en la parte más alta tendrá coordenadas (200,100).
Sustituyendo en el modelo propuesto se tiene:
(200)254p(100)
4p5400
Es decir, la ecuación que describe la catenaria es:
x25400y
8. El radiotelescopio de Effelsberg tiene un diámetro de reflector de 100 metros y
su distancia focal es de 30 metros (al foco primario). a) Con estos datos, deter-
mina su ancho focal y la ecuación que describe su forma parabólica. b) Si el ra-
diotelescopio tiene un ángulo de elevación de 30°, ¿cuál será la ecuación que des-
cribe su posición?
236 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
Figura 6.27. El telescopio Effelsberg. 
(http://www.mpifr-bonn.mpg.)
Solución:
a) Conviene poner la antena de forma que el eje focal quede sobre el eje x y el
vértice en el origen, como se aprecia en la figura 6.28.
Aunque entró en funcionamiento en 1972,
con 100 metros de diámetro, el telescopio
de Effelsberg es uno de los mayores radio-
telescopios móviles del mundo. Puede sin-
tonizarse para recibir ondas de radio con
longitudes desde 90 cm hasta 3.5 mm. Las
observaciones a pequeñas longitudes son
posibles y, gracias a su diseño especial, las
deformaciones elásticas de la superficie de
acero no se alejan de una superficie pa-
rabólica ideal en más de 0.5 mm. El des-
plazamiento de la posición del foco —por
las deformaciones que provoca la inclina-
ción variable de la superficie parabólica—
se compensa electrónicamente.
–20 4020 60 80 100 120
–60
–40
–20
20
40
60
x
y
Figura 6.28. Parábola con vértice en el
origen y de eje focal horizontal.
El ancho focal es igual al lado recto. Luego se conoce la distancia focal, p530, por
tanto, 4p5120. Por lo que la ecuación buscada es y25120x.
b) Lo que se tiene que plantear es una rotación de la ecuación anterior; para ello
es necesario recordar que:
x5x9cosu2y9senu
y5x9senu2y9cosu
Además de que y es decir,
y Sustituyendo en la ecuación y25120x se tiene:
Se simplifica:
cuya gráfica es:
x x y y x y' . ' ' ' . ' '2 23 464 3 415 69 240 0+ + − + =
1
2
3
2
120
3
2
1
2
2
x y x y' '+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
y x y= +1
2
3
2
' '.x x y= −3
2
1
2
' '
sen30
1
2
° = ,cos30 3
2
° =
6.5 ■ Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos 237
–30 6030 90 120 150 180
–60
–30
30
60
90
120
150
x
y
Figura 6.29. Parábola de eje focal oblicuo.
9. Determina los puntos de intersección entre la recta 3x24y21650 y la parábola
(x24)2510(y13). Después traza un gráfico.
Solución:
Se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:
Al sustituir (ii) en (i) se obtiene:
( )
,
x x
x x
− = − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− + =
4 10
3
4
4 3
2 31 52 0
2
2
(i)
(ii)
( ) ( )x y
y x
− = +
= −
4 10 3
3
4
4
2
cuyas soluciones son:
Al sustituir en (ii), se obtienen los puntos de intersección:
como se indica en la figura 6.30.
( . , . )
( . , . )
13 586 6 189
1 913 2 565−
x
x
=
=
13 586
1 913
.
.
238 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
–3 3 6 9 12 15
–6
–3
3
6
9
12
x
y
Figura 6.30. Intersecciones de la recta y la parábola.
10. Se pretende diseñar un faro para automóvil de forma parabólica de 8 cm de pro-
fundidad y 20 cm de diámetro. ¿Dónde se debe colocar la fuente luminosa para
generar un haz de rayos paralelos?
Solución:
Para determinar el lugar exacto se puede utilizar la ecuación y254px, y despejar p,
pues corresponde a la distancia focal. De esta manera se podrá ubicar el foco de la
parábola.
Si se hace coincidir el vértice en el origen del sistema se puede localizar el pun-
to (8,610). Al sustituir en la ecuación dada se obtiene:
Por tanto, la fuente luminosa debe colocarse a 3.125 cm del vértice, como muestra la
figura 6.31.
( ) ( )
.
10 4 8
3 125
2 =
=
p
p
11. Es posible demostrar que la ecuación de una línea recta tangente a una parábola
está dada por cualquiera de las siguientes expresiones:
cuando la parábola es horizontal
O bien, si la parábola es vertical.
Pero antes de aplicar tales expresiones, verifica que el punto dado pertenezca a la pa-
rábola, sustituyéndolo en la ecuación. Si no se cumple la igualdad, no hagas caso de
las expresiones anteriores y concluye. 
Determina la ecuación de la recta tangente a la parábola (x24)258(y13) en los
puntos: a) (23,3) y b) (0,21).
Solución:
a) Primero se comprueba que el punto dado pertenezca a la parábola, para lo que
se sustituye en la ecuación:
Como no se satisface la igualdad, se concluye que no existe una línea recta tangente
a la parábola en ese punto. Si aplicas la expresión dada para determinar la posible
ecuación sin verificar, obtendrías:
12x17y11550
Como se observa, aun cuando el punto dado no pertenece a la parábola, la expresión
ofrece una ecuación de una recta, pero no es tangente a la parábola.
( ) ( )− − = +
≠
3 4 8 3 3
49 48
2
y y
y k
x h
x x− =
−
−
−
1
1
1
1
2( )
( ),
y y
y k
x h
x x− =
−
−
−
1
1
1
12( )
( ),
6.5 ■ Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos 239
Figura 6.31. Diseño de un faro de automóvil.
b) De nuevo, comprueba que el punto dado satisfaga a la ecuación de la parábola:
Como la satisface, se procede a aplicar la expresión para
obtener la ecuación de la recta tangente; h54, k523:
Lo anterior se ilustra en la figura 6.32. 
y x
y x
x y
− − = − − −
−
−
+ = −
+ + =
( )
( ( ))
( )1
2 1 3
0 4
0
1
1 0
y y
y k
x h
x x− =
−
−
−
1
1
1
1
2( )
( )
( ) ( )0 4 8 1 3
16 16
2− = − +
=
240 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
1
2
3
4
x
–1 1 2
–3
–2
–1
x
y
–3 –2 –1 1 2 3 4
–4
–3
–2
–1
1
2
3
x
y
No es tangente
Sí es tangente
12x + 7y + 15 = 0
x + y + 1 = 0
y
•
•
•
•
Figura 6.32. Tangente a la parábola.
RESUMEN
✓ Parábola. Se define como parábola el lugar geométrico que recorre un punto que
se mueve en un plano, de forma que la distancia de este punto a una recta fija es
igual a la distancia entre aquél y un punto fijo. La recta fija se llama recta direc-
triz y el punto fijo se define como foco de la parábola.
Descripción
o datos Recta El signo de p y la abertura
conocidos Vértice Foco directriz Ecuación de la parábola.
Eje focal (de V(0,0) F(6p,0) x6p50 y2564px i) Si p.0, (1) abre hacia
simetría) V(h,k) F(h6p,k) x6p2h50 (y2k)2564p(x2h) la derecha.
paralelo al ii) Si p,0, (2) abre hacia
eje x la izquierda.
Eje focal (de V(0,0) F(06p) y6p50 x2564py i) Si p.0, (1) abre hacia
simetría) V(h,k) F(h,k6p) y6p2k50 (x2h)2564p(y2k) arriba.
paralelo al ii) Si p,0, (2) abre hacia
eje y abajo.
Problemas 241
Descripción o datos
conocidos Ecuación o definición
El valor de p p, es la distancia que existe entre el 
vértice y el foco. La distancia focal.
El lado recto (latus rectum)
o ancho focal
Ecuación general Recta directriz Recta directriz
de la parábola
y
p D AF
A
p
E
C
V
D AF
AE
= − + − = −
− −
2
2
4
4
4
4
4
,
,Vértice
DD
A
F
D
A
D AF E
AE
2
2
4 4
4
2 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − ±⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,Foco
x
p E CF
C
p
D
C
V
E CF
CD
= − + − = −
− −
2
2
4
4
4
4
4
,
,Vértice
EE
C
F
E CF D
CD
E
C
2
4 4
4 2
2 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ± −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,Foco
x Dx Ey F
h D k
F h
p
p
E
Ax Dx Ey
2
2
2
0
2 4 4
+ + + =
= − = − = −
+ +
; ;
++ = = −F p E
A
0
4
;
L L p
y Dx Ey F
k E h
F k
p
p
D
Cy
1 2
2
2
4
0
2 4 4
=
+ + + =
= − = − = −; ;
22 0
4
+ + + = = −Dx Ey F p D
C
;
PROBLEMAS
Resuelve los siguientes problemas.
1. Traza en un mismo plano las gráficas de las siguientesparábolas:
a) x254y b) x2524y c) y254x d) y2524x
2. Una antena parabólica con diámetro de 2.0 metros y 0.8 metros de profundidad
tiene en su colector de señal el foco. ¿Cuáles son las coordenadas de éste? NOTA:
Considera que la antena está en posición horizontal y que el vértice se localiza
en el origen.
Respuesta: F(0.3125,0)
3. Encuentra el vértice, el foco y la recta directriz de las parábolas definidas con las
siguientes ecuaciones:
Respuestas
4. Encuentra la intersección de la recta x1y2650
y la parábola x258y y traza sus gráficas.
Respuesta: (4,2) y (212,18)
5. Determina los puntos de intersección de la cir-
cunferencia x21(y23)2512 y de la parábola
y226y1 5x1150 y muéstralos en una gráfica.
6. Para cada uno de los siguientes ejercicios, deter-
mina la ecuación de la parábola que satisfaga las
condiciones dadas.
Respuestas:
a) Foco (4,0), Recta directriz x1450
y2516x
b) Foco (26,24), Recta directriz y2850
(x16)25224(y22)
7. Halla la ecuación de la parábola cuyos extremos de su lado recto son los puntos
(22,4) y (22,24) y considera que su foco está a la izquierda del vértice.
8. En los siguientes ejercicios halla los puntos de intersección de las ecuaciones da-
das. Se sugiere trazar sus gráficas primero.
Respuestas:
9. Una antena está diseñada de manera que la sección transversal que pasa por su
eje es una parábola con foco en el receptor de la señal. La antena mide 5 pies de
ancho en la abertura y 0.8 pies de profundidad. Localiza su foco.
10. La sección vertical de un recipiente es una porción de parábola que tiene 6 metros
de abertura y 3 metros de flecha (profundidad). Encuentra la ecuación de la curva.
Respuesta: x253y
a y y x y y x) ,3 12 6 24 0 4 16 8 128 02 2− − + = − + − = 110 6 10 2
2 16 35 0 222 2
, , ,
) ,
( ) −( )
− − + = − +b y y x x x 112 145 0 5 5 11 2 18 58 6 7y + = ( ) ( ), , , , . , . 99
82 2
( )
= = −c x y x y) , , , ,4 2 4 2( ) −( )
a x x y V) ,5 2 50 0 1
5
249
5
2 + + + = − −(( ) − −( ) = −
+ + + =
, , ,
)
F y
b x x y
1
5
997
20
199
4
3 6 3 122 00
2 4 14 02)c x x y+ + + = , , , ,
)
V F y
d x
− −( ) − −( ) = −1 12 1 978 958
5 2 ++ + + =
+ − + =
40 20 101
5
0
3 6 36 39 02
x y
e x x y) , , , ,
)
V F y
f y y x
−( ) −( ) = −
− −
1 1 1 4 2
2 8 202 ++ =28 0
242 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
–12 –9 –6 –3 63 9
–3
3
6
9
12
15
18
x
y
•
•
Prob. 4.
11. El tramo de un puente colgante está distribuido de manera uniforme entre dos to-
rres gemelas separadas por 180 metros y tienen una altura de 45 metros sobre el
viaducto. El cable que pende de ellas adopta una forma parabólica, cuyo punto
más bajo está a 5 metros del camino.
a) Obtén la ecuación de la parábola.
b) Si para sostener el puente se utilizan nueve cables verticales igualmente sepa-
rados y fijos al que une las torres, di cuál es la longitud total de los soportes. 
12. Se coloca un reflector con forma parabólica a una altura de 10 metros, cuya aber-
tura es de 30 cm y su profundidad es de 25 cm. Encuentra el foco y determina
qué longitud aproximada iluminará a esa altura.
Respuesta: aproximadamente 1,89 m.
13. Al pie de una colina se dispara un cohete que sigue una trayectoria dada por
Si la inclinación de la colina está descrita por la ecuación
encuentra el punto en el que caerá el cohete (punto de intersección), la
altura máxima que alcanzará y cuál será la distancia de su trayectoria.
14. A partir de las siguientes ecuaciones de parábola, encuentra su forma ordinaria
y determina la dupla de coordenadas del centro.
Respuestas
15. Las ecuaciones de dos parábolas son y53x224x23 y y52x223x15. Calcula los
puntos en los cuales se cortan. Traza su gráfica.
16. La recta directriz de una parábola es 2y23x14 y su foco tiene la dupla de coor-
denadas (21,2). Determina la ecuación de la parábola.
Respuesta: 5x2212xy216x124y2450
Actividad en equipo 
1. Investiguen otras formas de construir una parábola. Sugerencia: Apóyense en li-
bros de dibujo técnico o en Internet.
2. Hallen los puntos de intersección de las parábolas (x22)2528(y23) y (x21)25
16(y21) (Verifiquen sus resultados con algún software y construyan la gráfica
del problema.)
a y x y y x C
b
) , ,2 4 10 30 0 5
2
2 5 5 5
2
2
2
+ + + = +( ) = − −( ) −( )
))
)
x x y
c y x y y
2
2
4 4 5 0
4 2 0
− + + =
− − − = − 22 6 0 2
3 18 21 41 0
8
2
2
2
( ) = + ( )
+ + + =
−
x C
d x x y
e x
,
)
) xx y x x C+ + = −( ) = − +( ) −( )12 17 0 4 12 112 4 1122 , ,
y x= 1
5
,
y x x= − −1
10
202( ).
F 0 9
4
, ,−( )
Problemas 243
–6 –4 –2 42 6
–6
–4
–2
2
4
6
x
y
Figura 6.33. Intersecciones de
parábolas. Prob. 15.
AUTOEVALUACIÓN
Contesta y practica en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios.
1. ¿Cómo defines el concepto de parábola?
2. Di cuáles son los elementos de una parábola.
3. Cuánto vale la excentricidad de una parábola.
4. Si el vértice de una parábola se localiza en el punto (22,3) y p52, determina su
ecuación, si abre hacia arriba.
5. ¿Qué condiciones debe presentar la ecuación Ax21Bxy1Cy21Dx1Ey1F50
para que corresponda a una parábola con eje focal paralelo al eje x?
244 Capítulo 6 ■ Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)
245
CAPÍTULO
7
La elipse
(un instante
lejos, otro
cerca, pero
siempre la
misma
distancia)
A saber, la forma de todo el universo es de lo más perfecto y, de hecho, diseñada por el creador más sabio. Nada ocurrirá en el
mundo sin que destaque, de alguna manera, la presencia de alguna regla máxima o mínima.
Euler
¡Avanzamos, avanzamos, avanzamos!… Vosotros vivís rodeados de calor, luz y molicie. Nosotros avanzamos a través de la he-
lada, de la tormenta, de la nieve profunda… No conocemos el descanso ni la alegría… Llevamos sobre nuestros hombros el peso
de la vida, la nuestra y la vuestra… Avanzamos, avanzamos, avanzamos…
Anton Chéjov
Si deseas encontrar la verdad, la pura verdad, no te preocupes por lo correcto o incorrecto. El conflicto entre lo uno y lo otro es
una enfermedad de la mente.
Yen-Men
Cuando se tienen dos puntos colineales y otro moviéndose alrededor de ellos, el cual conserva una distancia mayor a la que exis-
te entre los dos primeros, se describe una elipse.
Uno de los grandes logros de Johannes Kepler y de Isaac Newton fue la descripción del movimiento de los planetas, pues
por largo tiempo se pensó que giraban alrededor de la Tierra; incluso se pensaba que el Sol giraba en torno a ella. Posteriormen-
te, se pensó que los planetas giraban en círculo alrededor del Sol. Finalmente, estos pensadores observaron, describieron y de-
mostraron que los planetas giraban, pero en forma elíptica. Incluso, Halley describió de esta forma la órbita del cometa que hoy
lleva su nombre. Logros como éste y otros más en la construcción y mecanismos, por citar algunos, son claras muestras de las
aplicaciones de la elipse.
Florencia. Una de las aplicaciones
de la elipse la encontramos en la
construcción de puentes.
París. Hermosa panorámica desde la
base de la torre Eiffel, construida con
un arco semielíptico.
246 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
DEFINICIÓN DE
ELIPSE
7.1
La elipse se define como el lugar geométrico formado por todos los puntos cuya su-
ma de distancia a dos puntos fijos es constante. Estos puntos fijos se llaman focos de
la elipse.
Considera la figura 7.1:
1 Este término comúnmente se utiliza en física para denotar un punto que se mueve en el plano. 
P
FF'
•
• •F'
l'
l
F
P
Figura 7.1. La elipse.
F y F9 son los focos de la elipse, el segmento se llama eje focal, mientras que l
y l9 son los radio vectores.1
La suma de los segmentos y es igual a una constante que llamaremos 2a, es decir,
(i)
La distancia focal se conoce como 2c:
(ii)
Puesto que
2a.2c
o bien, a.c (iii)
En forma gráfica:
PF PF F F' ' :+ >
FF c' = 2
PF PF a
l l a
'
'
+ =
+ =
2
2
PFPF '
FF '
P(x,y)
F9(c,0) F(c,0)
a
b
c
•
••
Figura 7.2. La relación entre a, b y c.
Por trigonometría:
a25b21c2(iv)
Esta relación es básica y de gran ayuda para determinar las ecuaciones de la elipse,
hacer aplicaciones y resolver problemas en general. 
Considera la siguiente figura:
7.2 ■ Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje x 247
ECUACIÓN 
ORDINARIA DE
LA ELIPSE CON
EJE FOCAL 
PARALELO 
AL EJE x
7.2
x
y
c
b
O
P(x,y)
V9(–a,0)
F9(–c,0) F(c,0)
V(a,0)
a
B
Figura 7.3. Elipse horizontal.
Se trata de una elipse localizada en un plano cartesiano. Para determinar su ecuación
es necesario recurrir a su concepto, es decir,
Al determinar la longitud de los segmentos con la ecuación de distancia entre dos
puntos se tiene:
(i)
Ordenando:
(ii)
Al elevar al cuadrado ambos miembros y al desarrollar los binomios se transforma en:
4 4 42
2 2xc a a x c y= − −( ) +
x xc c y a a x c y x xc c y2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 2+ + + = − − + + − + +( )
x c y a x c y+( ) +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= − −( ) +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2 2
2
2 2
2
2
x c y a x c y+( ) + = − −( ) +2 2 2 22
x c y x c y a− −( )( ) + −( ) + −( ) + −( ) =2 2 2 20 0 2
PF PF a' + = 2
Se simplifica:
(iii)
Se eleva al cuadrado una vez más para eliminar la raíz y al factorizar por términos se-
mejantes se reduce a:
(iv)
Utilizamos la relación:
Se sustituye el valor de c2 en la expresión (iv):
Multiplicando por se reduce a:
[1]
que corresponde a la ecuación ordinaria (centro en el origen) de la elipse con eje fo-
cal paralelo al eje x.
Observa que a es la distancia de cualquier vértice al centro (el semieje mayor)
c es la distancia entre el foco y el centro, y b es la distancia entre el
centro y los extremos (el semieje menor).
Características y elementos de la elipse con eje focal paralelo al eje x:
1. Es simétrica respecto de los ejes x y y. 
2. Las coordenadas de sus focos son F(c,0) y F(2c,0).
3. Las coordenadas de sus vértices V(a,0) y V9(2a,0) también se llaman extremos
del eje mayor.
4. Las coordenadas de los extremos de su eje menor o semieje son B(0,b) y B9(0,b).
5. El punto medio del eje focal o del eje mayor se conoce como centro de la elipse.
6. La distancia se conoce como eje mayor de la elipse. La distancia se
conoce como eje menor o semieje de la elipse, donde en
consecuencia a.b.
7.2.1. Excentricidad de la elipse
Se define como excentricidad e de la elipse a la relación que hay entre la distancia
del eje focal 2c y el eje focal 2a, es decir,
e
c
a
e
c
a
= ⇒ =2
2
VV a BB b' ' ;*= =2 2y
BB 'VV '
c FC=a VC= ,
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =
1
2 2a b
,
x a x a b a y a a a b
x b a y a
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2
− − + = − −
+ =
( ) ( )
22 2b
b c a
c a b
2 2 2
2 2 2
+ =
= −
x a x c a y a a c2 2 2 2 2 2 4 2 2− + = −
a x c y a xc−( ) + = −2 2 2
248 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
* Nota: También se denota como es decir, EE BB' '.=EE b' ,= 2
O de acuerdo con la relación c25a22b2:
Para la cual existen dos casos particulares:
Caso 1
Si c50⇒e50, los focos coinciden y la elipse se convierte en una circunferencia.
Caso 2
Si c5a, se tiene una línea recta.
En consecuencia, la excentricidad de una elipse estará entre 0 y 1, es decir,. 0,e,1.
7.2.2. El lado recto de la elipse
El lado recto o ancho focal (latus rectum) es la cuerda perpendicular al eje mayor que
pasa por cada foco (la elipse tiene dos latus rectum), y está dada por la relación:
LR
b
a
= 2
2
e
a b
a
b
a
= − = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 2 2
1
7.2 ■ Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje x 249
x
y
LR
P(x,y) o
P(c,y)
F9(c,0) F(c,0)
b
a
c
o
y
•• •
•
•
Figura 7.4. Lado recto de la elipse.
Para obtener la expresión anterior del lado recto, se considera que x5c, es decir, cuan-
do el punto P pasa a la altura de un foco, F. De la ecuación canónica de la elipse:
se sustituyen las coordenadas de P:
c
a
y
b
2
2
2
2
1+ =
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =
Se despeja y:
Además, por la relación a25b21c2:
pero este valor de y corresponde a la magnitud del segmento de recta y el lado
recto es dos veces esa magnitud, es decir, LR52y. Si se sustituye el valor de y, se tie-
ne que:
como se había denotado en primera instancia.
7.2.3. Recta directriz de la elipse 
Como la elipse tiene dos lados rectos, en consecuencia tendrá dos rectas directrices
que se definen mediante la ecuación:
si el eje mayor es paralelo al eje x.
Esa relación se obtiene de manera sencilla cuando el punto P corta al eje x. De ma-
nera gráfica:
x
a
e
a
c
= ± =
2
,
LR
b
a
= 2
2
FP
y
b
a
b c c
b
a
b y
b
a
= + − = ⇒ =2 2 2 2
2
y
b
a
a c= −2 2
250 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
x
y
O
RRecta
directriz
V9(–a,0) V(a,0)
P(x,y)
F9(–c,0) F(–c,0)
a-c
x-a5
Figura 7.5. Recta directriz de la elipse.
Por definición de cónica se establece, a partir de la figura:
e
FP
PR
a c
x a
e
c
a
= = −
−
=, pero además,
Se iguala:
de donde al despejar x, por ser la distancia que se desconoce y de interés porque co-
rresponde a la recta directriz:
Se considera que son dos rectas directrices y simétricas:
Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen, como se vera más adelante, por
traslación de ejes se tiene:
De manera análoga al caso anterior se obtiene la ecuación ordinaria de la elipse con
eje focal paralelo al eje y, cuya ecuación es de la forma:
[2]
y su gráfica es:
x
b
y
a
2
2
2
2
1+ =
x
a
c
h y
a
c
k= ± + = ± +
2 2
, o bien:
x
a
c
= ±
2
x
a
c
=
2
c
a
a c
x a
cx ac a ac= −
−
⇒ − = −2
7.3 ■ Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje y 251
ECUACIÓN 
ORDINARIA DE
LA ELIPSE CON
EJE FOCAL 
PARALELO 
AL EJE y
7.3
x
y
c
b
O
V(0,a)
V(0,–a)
F(0,c)
P(x,y)
E'(–b,0)
F'(0,–c)
E(b,0)
a
Figura 7.6. Elipse vertical.
Características y elementos de la elipse con eje focal paralelo al eje y:
1. Es simétrica respecto de los ejes x y y. 
2. Las coordenadas de sus focos son: F(0,c) y F9(0,2c).
3. Las coordenadas de sus vértices V(0,a) y V9(0,2a) también se conocen como ex-
tremos del eje mayor.
4. Las coordenadas de los extremos de su eje menor o semieje son E(b,0) y E9(2b,0).
Los demás datos son iguales a los estudiados en la sección 7.2:
Excentricidad:
Lado recto:
Rectas directrices:
Ejemplo 7.1
Halla la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F(2,0) y F9(22,0), y cuya
excentricidad es 
Solución:
Dado que la excentricidad se define mediante la relación por medio de la re-
lación a25b21c2 se puede determinar el valor de b, es decir,
Por lo que:
Por las coordenadas de los focos se determina que el eje focal es paralelo al eje x, y
su ecuación es de la forma:
Al sustituir los valores de a2 y b2, se tiene:
cuyo gráfico se presenta en la figura 7.7.
x y2 2
9 5
1+ =
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =
b a c
b
2 2 2
2 9 4 5
= −
= − =
c c
a a
= ⇒ =
= ⇒ =
2 4
3 9
2
2
e
c
a
= ,
e = 2
3
.
y
a
e
a
c
= ± = ±
2
LR
b
a
= 2
2
e
c
a
=
252 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
Observa los puntos necesarios para trazar una elipse, es decir, la ubicación de sus ele-
mentos.
Ejemplo 7.2 
Traza la gráfica de la elipse representada por la ecuación 
Solución:
Se trata de una elipse con eje focal paralelo al eje y, donde se identifica que a2512 y
b254, por tanto:
Luego de b21c25a2:
lo cual permite identificar sus focos
Las coordenadas de sus vértices
Finalmente, buscamos las coordenadas de los extremos del semieje
E b E±( ) ±( ), , , :0 2 0que son
V V0 0 2 3, , , .±( ) ±( )a esdecir,
F c F0 0 2 2, , .±( ) ±( )o
c a b
c
c
2 2 2
2 12 4 8
8 2 2
= −
= − =
= =
a b= = =12 2 3 2y
x y2 2
4 12
1+ = .
7.3 ■ Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje y 253
–3 –2 –1 1 2 3
–3
–2
–1
1
2
3
x
y
V' F' C F V
E
E'
Figura 7.7. Gráfica de la elipse 
x y2 2
9 25
1+ = .
La longitud de su lado recto es:
Al localizar las coordenadas obtenidas y trazar la gráfica en el mismo plano se tiene
LR
b
a
= = = ≈2 2 4
2 3
4
3
2 312 ( )
. .
254 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
–4 –3 –2 1 2 3 4 5
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y
V
F
•
•
•
•
•
•
Figura 7.8. Gráfica de la elipse 
x y2 2
4 12
1+ = .
Ejemplo 7.3
Determina la ecuación de la elipse que tiene su centro en el origen, e50.5 y un foco
en (5,0) y traza su gráfica.
Solución:
Por las condiciones dadas, se sabe que se trata de una ecuación de la forma
La distancia del centro a uno de sus focos corresponde a c55.
Por definición de excentricidad se establece que:
Utilizando la relación a25b21c2:
0 5
5 5
0 5
10
.
.
= ⇒ =
=
a
a
a
e
c
a
= ,
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ = .
Por lo tanto, la ecuación de la elipse es:
Su gráfica es:
x y2 2
100 75
1+ =
b a c
b
2 2 2
2 100 25 75
= −
= − =
7.3 ■ Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje y 255
–10 –8 –6 –4 –2 42 6 8 10 12
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
x
y
• •
Figura 7.9. Gráfica de la elipse 
x y2 2
100 75
1+ = .
1. Traza la gráfica de la ecuación 
2. Si la excentricidad de cierta elipse es e50.1, tiene un foco en (3,0) y su
centro en el origen, ¿cuál es su ecuación?
3. ¿Cuáles son las ecuaciones de las rectas directrices de la elipse 2x219y2518?
4. Determina la excentricidad y ecuaciones de las rectas directrices de la elip-
se .
x y2 2
8 6
1+ =
x y2 2
16 9
1+ = .
Ejercítate
7.4.1. Con eje focal paralelo al eje x
Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen y su eje focal es paralelo al eje
x, como muestra la figura 7.10, la ecuación de la elipse será:
ECUACIÓN 
ORDINARIA DE
LA ELIPSE
7.4
[3]
Y el gráfico correspondiente:
x h
a
y k
b
−( )
+
−( )
=
2
2
2
2
1
256 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
x
y
O
V'(h-a, k)
F(h+c, k)F'(h-c, k)
P(x,y)
C(h, k) V(h+a, k)
E'(h, k-b)
E(h, k+b)
Figura 7.10. Elipse horizontal con centro fuera del origen.
Sus elementos son:
Excentricidad:
Centro: C(h,k)
Vértices: V(h1a,k), V9(h2a,k)
Focos: F(h1c,k), F9(h2c,k)
Extremos: E(h,k1b), E9(h,k2b)
Lado recto:
Rectas directrices:
7.4.2. Con eje focal paralelo al eje y
Por otro lado, si el eje mayor es paralelo al eje y, su ecuación será:
[4]
Y su gráfico es:
x h
b
y k
a
−( )
+
−( )
=
2
2
2
2
1
x
a
e
a
c
x
a
e
a
c
h= ± = ± = ± = ± +
2 2
, o bien:
LR
b
a
= 2
2
e
c
a
=
Sus elementos son:
Excentricidad:
Centro: C(h,k)
Vértices: V(h,k1a), V9(h,k2a)
Focos: F(h,k1c), F9(h,k2c)
Extremos: E(h1b,k), E9(h2b,k)
Lado recto:
Rectas directrices:
Ejemplo 7.4 
La ecuación de cierta elipse es Determina todos sus elemen-
tos y traza su gráfico.
Solución:
A través de una simple observación se obtienen las coordenadas del centro C(h,k),
que son C(23,22), y se identifica que a2516 y b254, por lo que, c25a22b2512 ; en
consecuencia:
a
b
c
=
=
=
4
2
2 3
x y+( )
+
+( )
=
3
4
2
16
1
2 2
.
y
a
e
a
c
y
a
c
k= ± = ± = ± +
2 2
, o bien:
LR
b
a
= 2
2
e
c
a
=
7.4 ■ Ecuación ordinaria de la elipse 257
x
y
a
c
b
O
V(h,k+a)
V(h,k–a)
F'(h,k–c)
F(h,k+c)
c(h,k)
P
(x
,y
)
E(h–b,k) E(h+b,k)
Figura 7.11. Elipse vertical con centro fuera del origen.
Las coordenadas de los focos son F(h,k1c), F9(h,k2c), es decir,
Los vértices se localizan en V(h,k1a), V9(h,k2a)
Los extremos del semieje: E(h1b,k), E9(h2b,k)
Su lado recto:
Y sus respectivas rectas directrices,
Por último, su gráfico es:
y
y
= − ≈
= − − ≈ −
16
2 3
2 2 62
16
2 3
2 6 62
.
.
y
a
c
k= ± +
2
LR
b
a
= = =2 2 4
4
2
2 ( )
E E− −( ) − −( )1 2 5 2, , ' ,
V V−( ) − −( )3 2 3 6, , ' , ,y
F F− − +( ) − − −( )3 2 2 3 3 2 2 3, , ' , ,y
258 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
x
y
CE' E
V
F
F''
V'
RD, y=2.62
RD, y = –6.62
• • •
•
•
•
•
Figura 7.12. Gráfica de la elipse
x y+( )
+
+( )
=
3
4
2
16
1
2 2
.
Ejemplo 7.5
Encuentra las posibles ecuaciones de elipse que tienen por centro las coordenadas
C(4,5) y cumplen la relación 21531c2. Además, determina su excentricidad y traza
su gráfica.
Solución:
Por los datos que se tienen, se sabe que se trata de elipses con centro fuera del origen;
para ser más exactos, en el primer cuadrante, C(4,5). Luego, de 21531c2 se identi-
fica que:
Por tanto, las ecuaciones posibles son:
con eje focal paralelo al eje x
con eje focal paralelo al eje y
De los datos anteriores se obtiene su excentricidad:
Las gráficas son:
e = ≈18
21
0 925.
e
c
a
=
x y−( )
+
−( )
=
4
3
5
21
1
2 2
,
x y−( )
+
−( )
=
4
21
5
3
1
2 2
,
a a
b b
c c
2
2
2
21 21
3 3
18 18
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
7.4 ■ Ecuación ordinaria de la elipse 259
–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
1
321
=+
C(4,5)
e=0.925
(x–4)2 (y–5)2
1
213
=+
(x–4)2 (y–5)2 En este ejemplo se observa que:
a) Dos elipses pueden tener la 
misma excentricidad y el mismo 
centro; por alguna de estas 
similitudes pertenecen una 
misma familia.
b) La diferencia entre ellas es la 
posición de a2 y b2.
•
Figura 7.13. Gráficas de dos elipses con el mismo centro y misma excentricidad.
Considera la ecuación:
1. Para que la ecuación anterior corresponda a una elipse de ejes paralelos a las
coordenadas (x,y) es necesario que el producto sea cero:
xy50
Entonces, la ecuación general es:
[5]
2. Los coeficientes A y C deben ser diferentes y del mismo signo. En el caso de que
A5C, se tiene una circunferencia.
De la ecuación Ax21Cy21Dx1Ey1F50, al completar cuadrados:
Se simplifica:
Resultan tres casos diferentes en relación con el lugar geométrico que representa:
Caso 1
Si el lugar geométrico que representa es una elipse.CD AE ACF
AC
2 2 4
4
0
+ − > ,
A x
D
A
C y
E
C
CD AE ACF
AC
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + −
2 2
4
4
2 2 2 2
A x
D
A
C y
E
C
D
A
E
C
F+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + −
2 2 4 4
2 2 2 2
A x
D
A
x
D
A C y
E
C
x
E
C2
2
2 2
+ +
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+ + +
⎛⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
+
2 2
2 2
A
D
A C
E
C
⎛⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
−
2
F
Ax Cy Dx Ey F2 2 0+ + + + =
Ax Bxy Cy Dx Ey F2 2 0+ + + + + =
260 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
1. Traza la gráfica de la elipse que tiene por ecuación 
2. Determina todos los elementos que constituyen la elipse representada por
la ecuación 
3. Halla las posibles ecuaciones de la elipse que tiene su centro en (2,22),
excentricidad e50.3 y de la que uno de sus vértices es (8,2). 
x y−( )
+
−( )
=
2
25
3
16
1
2 2
.
x y2
2
9
4
7
1+
+( )
= .
Ejercítate
ECUACIÓN 
GENERAL 
DE LA ELIPSE
7.5
Caso 2
Si se tendrá un punto (el centro).
Caso 3
Si no representa el lugar geométrico llamado elipse. (A es-
te caso también se le conoce como elipse imaginaria o conjunto vacío.)
Ejemplo 7.6
A partir de la ecuación 9x2125y2118x250y219150, a) determina el lugar geomé-
trico que representa, b) define los elementos que la componen y c) traza su gráfica.
Solución:
a) Se ordenan los términos comunes:
Se completan cuadrados:
Se simplifica:
Se factoriza:
Se multiplica por 
La ecuación obtenida es de una elipse con eje mayor paralelo al eje x, puesto que el
número mayor, a, se encuentra en el denominador del binomio que contiene a x. La
elipse tiene su centro fuera del origen.
b) Sus elementos son:
a a
b b
c a b
e
c
a
2
2
2 2
25 5
9 3
25 9 4
4
5
1
= ⇒ =
= ⇒ =
= − = − =
= = <
x y+( )
+
−( )
=
1
25
1
9
1
2 2
1
225
:
9 1 25 1 225
2 2
x y+( ) + −( ) =
9 2 1 25 2 1 191 9 252 2x x y y+ +( )+ − +( )= + +
9 2
2
2
25 2
2
2
2
2
2
2
x x y y+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
+ − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
191 9
2
2
25
2
2
2 2
9 2 25 2 1912 2x x y y+( )+ −( )=
CD AE ACF
AC
2 2 4
4
0
+ − < ,
CD AE ACF
AC
2 2 4
4
0
+ − = ,
7.5 ■ Ecuación general de la elipse261
Las coordenadas del centro, los vértices, los focos y sus extremos son:
La magnitud de cualquiera de sus lados rectos es:
Las rectas directrices son:
Si se considera la traslación de ejes y se toma el centro de la elipse como el nuevo ori-
gen se tiene:
x9566.25
c) La gráfica del lugar geométrico que representa es:
x x
1 2
5 25 7 25= = −. .y
x
a
e
h
a
c
h
x
= ± + = +
= ± −
2
25
4
1
LR
b
a
= = ⋅ =2 2 3
5
18
5
2 2
C h k
V h a k
V h a
, ,
, , ,
' ,
( )= −( )
+( )= − +( )= ( )
−
1 1
1 5 1 4 1
kk
F h c k
( )= − −( )= −( )
+( )= − +( )= ( )
1 5 1 6 1
1 4 1 3 1
, ,
, , ,
′′ −( )= − −( )= −( )
+( )= − +( )
F h c k
E h k b
, , ,
, ,
1 4 1 5 1
1 1 3 == −( )
′ −( )= − −( )= − −( )
1 4
1 1 3 1 2
,
, , ,E h k b
262 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
x
y
O
R
D
2
R
D
1
L
R
1
L
R
2
V
'(
6
,1
)
V
(4
,1
)
E(–1,4)
E'(–1,–2)
F'(–5,1) F(3,1)
C(–1,1)
Figura 7.14. Gráfica de la elipse 9x2125y2118x250y219150.
Ejemplo 7.7
La trayectoria de una avioneta se muestra en la figura 7.15 y está descrita por la ecua-
ción 
a) Determina los dos puntos posibles de despegue (focos), b) la distancia entre
ellos, c) la excentricidad de la órbita elíptica que trazó y d) su ecuación general.
Solución:
a) La ecuación es de la forma por lo que se identifica:
de la relación las coordenadas de los dos
puntos posibles de despegue o focos:
b) La distancia entre los focos es:
c) La excentricidad es:
d) Finalmente, para obtener la ecuación general bastará con multiplicarla por el
producto de los denominadores:
Observa que no hay términos lineales, lo que indica la ausencia de traslación de ejes
y, por ende, que su centro se localiza en el origen.
Ejemplo 7.8
Un carpintero desea trazar una pequeña mesa de centro cuya forma es elíptica. Cuen-
ta con un pedazo de madera de dimensiones de 50 por 100 cm y quiere aprovechar al
máximo el material, teniendo como condición que la excentricidad de la misma sea
e50.8. a) ¿Cuáles serían las coordenadas de los focos y de los extremos?, ¿qué lon-
gitud tendría cada lado recto? Además, comprueba el valor de la excentricidad. b)
Calcula el área que tendrá la mesa y di si aprovechó al máximo el material.
( )( )16 8
16 8
1
8 16 128
2 2
2 2
x y
x y
+ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ =
e
c
a
= = =2 2
4
2
2
d
F F'
( ) ( ) ( )= − −( ) + − = =2 2 2 2 0 0 4 2 4 22 2 2
F F2 2 0 2 2 0, , ' ,( ) −( )
c a b c2 2 2 16 8 8 2 2= − ⇒ = − = ± = ±
a a
b b
2
2
16 4
8 8 2 2
= ⇒ = ±
= ⇒ = ± = ±
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ = ,
x y2 2
16 8
1+ = [km].
7.5 ■ Ecuación general de la elipse 263
FF'
Figura 7.15. Trayectoria elíptica.
El carpintero comenzó por trazar dos rectas perpendiculares en el centro de la made-
ra y colocó dos puntos de referencia, como se observa en la figura 7.16. 
Solución:
a) En la figura podemos identificar que uno de los puntos marcados es un foco
y el otro un extremo. También se trata de una elipse fuera del origen, por lo
que procedemos a determinar el valor de cada uno de sus elementos.
El centro ya lo ha trazado el carpintero y tiene la dupla de coordenadas:
C(h,k)5(50,25)
Por otra parte, uno de sus focos tiene coordenadas F(h2c,k)5(10,25) y de
aquí se puede determinar el valor de c:
Su otro foco tendrá coordenadas:
Como se ve en la figura, el carpintero trazó una línea recta del foco a uno de
los extremos de la elipse, por tanto:
Y el otro extremo tendrá coordenadas:
Conocidos los valores de c y b se puede determinar el valor de a, con la relación:
E h k b, , ,−( )= −( )= ( )50 25 25 50 0
E h k b b b E, , ,+( )= +( )→ = ⇒ ( )50 25 25 50 50
E h k b, , ,−( )= −( )= ( )50 25 25 50 0
h c c h h
c
− = ⇒ = − =
∴ = − =
10 10 50
50 10 40
, pero
264 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
y
xO
50 cm
100 cm
F(10,25) C(50,25)
•
••
Figura 7.16. Esquema de trabajo del carpintero.
Por lo que sus vértices tendrán coordenadas:
La magnitud de sus lados rectos es:
Se verifica el valor de la excentricidad mediante:
Y se comprueba que la condición de excentricidad es sólo aproximada.
b) Por último, se procede a hacer el cálculo del área de la mesa. Por trigonome-
tría plana se sabe que el área de la elipse se calcula con la fórmula A5pab.
Considerando las duplas de coordenadas de los vértices, se concluye que el material
no se aprovecha al máximo.
Ejemplo 7.9
Determina la ecuación de la elipse que tiene por focos las coordenadas (22,1) y (2,2),
cuya longitud de eje mayor es 7.
Solución:
Aplicando directamente la definición tenemos:
Se acomodan los miembros para poder determinar su ecuación:
Se elevan al cuadrado ambos miembros:
Se simplifica:
8 2 52 14 2 2
2 2
x y x y+ − = − −( ) + −( )
x x y y x y x x2 2
2 2 24 4 2 1 49 14 2 2 4 4+ + + − + = − −( ) + −( ) + − + + yy y2 4 4− +
x y x y+( ) + −( ) = − −( ) + −( )2 1 7 2 22 2 2 2
x y x y+( ) + −( ) + −( ) + −( ) =2 1 2 2 72 2 2 2
A ab= = =π π( )( . ) .25 47 16 3703 94 cm2
e
c
a
= = =40
47 16
0 847
.
.
LR
b
a
= = ≈2 2 25
2225
26 5
2 2( )
. cm
V h a k
V h a k
+( )= +( )= ( )
−( )=
, . , . ,
' ,
50 47 16 25 97 16 25
550 47 16 25 2 84 25−( )= ( ). , . ,
a b c a
a
2 2 2 2 225 40 2225
5 89 47 16
= + ⇒ = + = ±
= ± ≈
( ) ( )
.
7.5 ■ Ecuación general de la elipse 265
Se eleva una vez más al cuadrado y se desarrollan binomios:
Al ordenar:
se obtiene la ecuación de una elipse de ejes oblicuos con respecto a los ejes coorde-
nados (x,y) como se aprecia en la figura 7.17:
33 4 48 12 144 284 02 2x xy y x y− + + − − =
16 676 4 208 52 49 196 196 492 2 2 2x y xy x y x x y+ + + − − = − + + −− +196 196y
266 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
–2.0 2.0 4.0
–2.0
2.0
4.0
x
y
Figura 7.17. Elipse de ejes oblicuos.
Miscelánea de ejemplos
1. Traza las gráficas de la familia de elipses con centro en el origen y un foco en
(3,0) cuya excentricidad es: a) e50.1, b) e50.3, c) e50.5, d) e50.7 y e) e50.9.
Solución:
Se sabe que y además, que a.c. Para facilitar el trazo de las gráficas se pue-
de echar mano de la relación a25b21c2, así como tener presente la ecuación
a) 0 1
3
30 900 3 92 2. , , ,= = ⇒ = = ⇒ =
a
a a c cpor lo cual lluego
esdecir
,
,
b
x y
2
2 2
900 9 891
900 891
= − =
+ =11.
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ = .
e
c
a
=
b)
c)
d)
e)
El gráfico que muestra lo anterior es:
0 9
3
3 33 11 1 32 2. , . . ,= = ⇒ = = ⇒ =
a
a a c cpor lo cual 99 11 1 9
2 11
11 1
2
2
, .
. , ,
.
luego
es decir
b
x
= −
= + yy
2
2 11
1
.
.=
0 7
3
4 28 18 3 32 2. , . . ,= = ⇒ = = ⇒ =
a
a a c cpor lo cual 99 18 3 9
9 3
18 3
2
2
, .
. , ,
.
luego
es decir
b
x y
= −
= +
22
9 3
1
.
.=
0 5
3
6 0 36 3 92 2. , . , ,= = ⇒ = = ⇒ =
a
a a c cpor lo cual lluego
es decir
,
, .
b
x y
2
2 2
36 9 27
36 27
1
= − =
+ =
0 3
3
10 100 3 92 2. , , ,= = ⇒ = = ⇒ =
a
a a c cpor lo cual lluego
es decir, .
b
x y
2
2 2
100 9 9
100 91
1
= − =
+ =
7.5 ■ Ecuación general de la elipse 267
–9 –6 –3 3 6 9
–9
–6
–3
3
6
9
x
y
–20 –10 2010 30
–30
–20
–10
10
20
x
y
 
e=0.3
e=0.5
e=0.7
e=0.9
Observa cómo el valor de la
excentricidad hace que se
asemeje o diste de la forma de
una circunferencia, es decir,
si e se acerca a 0 o a 1.
• •
Figura 7.18. Familias de elipses.
2. Determina los puntos donde se intersecan las elipses y
traza dos gráficas que muestren tales puntos.
x y x y2 2 2 2
72 2
1
4 36
1+ = + =y
Solución:
De se obtiene x2136y2572 y de se tiene 9x21y2536, con
las cuales se puede plantear un sistema de ecuaciones:
Resolviendo para x, se obtiene que x561.95, lo cual implica que y561.38.
La gráfica se presenta en la figura 7.19.
x y
x y
2 2
2 2
36 72
9 36
+ =
+ =
x y2 2
4 36
1+ =x y
2 2
72 2
1+ = ,
268 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
–8 –6 –4 –2 42 6 8 10
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
8
x
y
6
• •
••
Figura 7.19. Interseccionesde dos elipses.
3. Una propiedad óptica de la elipse se observa en los lentes elípticos; si se proyec-
ta un rayo de luz desde uno de sus focos con un ángulo b, se reflejará con un án-
gulo a en otro ángulo, pues los ángulos de incidencia y reflexión son iguales,
b5a. Esta propiedad se puede demostrar en el salón de clase con un recipiente
elíptico con agua; al golpear el recipiente en forma certera en uno de sus focos
se producirán inmediatamente pequeñas ondas en el otro foco.
a
b
••
•
Figura 7.20. Propiedad óptica de la elipse.
4. Dada la ecuación de la elipse a) realiza una traslación de
ejes y elimina los términos h y k; b) obtén las coordenadas de los focos, vértices
y extremos en los dos sistemas de referencia; y c) traza una gráfica que muestre
ambos sistemas de referencia.
Solución:
a) La traslación de ejes es:
x95x21 y y95y25
Con lo cual la ecuación se expresa:
b) Se identifica que:
h51, k55, a259⇒a53, b254⇒b52 y 
Luego:
c) La gráfica correspondiente es:
E
E
' ( , )
( , )
= ±
= ±
0
1
2
5 2
V
V
' ( , )
( , )
= ±
= ± +
3 0
3 1 5
F
F
' ( , )
( , )
= ±
= ± +
5 0
5 1 5
c c2 9 4 5 5= − = ⇒ =
x y' '2 2
9 4
1+ =
( ) ( )
,
x y− + − =1
9
5
4
1
2 2
7.5 ■ Ecuación general de la elipse 269
–3 –2 –1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
x
y
y'
x'
•
• ••
•
••
Figura 7.21. Simplificación de la ecuación de la elipse.
270 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
5. Algunos cometas y asteroides, como el cometa Halley, tienen una trayectoria
elíptica, cuyas dimensiones son 17.857619 U.A. de semieje mayor y una excen-
tricidad de 0.967990. a) ¿Cuál es la longitud de su eje menor? Para determinar
los valores anteriores se tomó al Sol en el origen de un sistema de referencia, co-
mo uno de los focos de la elipse que describe su órbita. b) ¿Cuáles son las coor-
denadas del otro foco?, y c) ¿qué ecuación lo describe?
Solución:
a) Lo que se está buscando es 2b.
De acuerdo con los datos:
a517.857619 U.A.
e50.967990
Luego, por la definición de excentricidad se tiene 
por lo cual:
c517.285996 U.A.
Utilizando la relación a25b21c2, se obtiene
por lo que:
2b58.964123 U.A.
b) La localización del otro foco corresponde a la distancia 2c, es decir,
2c52(17.285996)
2c534.571992
Y el foco tendrá coordenadas F9(34.571992,0):
c) Se sabe que la elipse tiene su centro fuera del origen, por lo que es necesario deter-
minarlo, pero se facilita el cálculo, pues corresponde a la distancia c517.285996,
es decir, C5(17.285996,0).
Y la ecuación buscada será:
expresada en U.A.
Cuya gráfica es:
( . )
. .
x y− + =17 285996
318 895 20 0889
1
2 2
=217 285996 4 482061( . ) . ,
b a c= − = −2 2 217 857619( . )
0 967990
17 857619
.
.
,= c
e
c
a
= ,
9 18 27 36
–9
–6
–3
3
6
9
12
x
y
F F'
CSol Neptuno
Plutón
•• • • ••
Figura 7.22. Trayectoria elíptica del cometa Halley.
Observando las posiciones de Neptuno y Plutón, comprenderás por qué pasan largos
intervalos de tiempo para observar un cometa. El próximo avistamiento de este co-
meta será en 2061. Su posición, en 2005, era cercana a la órbita de Neptuno. La Tie-
rra es el punto que aparece cercano al Sol.
6. Si el lado recto de una elipse es igual a tres unidades y su eje mayor es paralelo
al eje x, encuentra su ecuación general y la que describe sus rectas directrices,
sabiendo que su ecuación ordinaria es:
Solución:
Al tener su eje mayor paralelo al eje de las abscisas se identifica en la ecuación canó-
nica que: a2516⇒a54. 
Como el lado recto está dado por se encuentra su
ecuación canónica:
Para obtener su ecuación general multiplicamos por 96:
6(x22)2116(y24)2596
Se desarrollan los binomios cuadrados y se realizan los productos indicados:
La elipse tiene rectas directrices de la forma por lo que se procede a de-
terminar c con la relación a25b21c2 y se identifica el valor de h:
Entonces, sus rectas directrices son:
Su gráfica se observa en la figura 7.23.
x = ± +16
10
2
c c
h
2 16 6 10 10
2
= − = ⇒ =
=
x
a
c
h= ± +
2
,
6 24 24 16 128 256 96
6 16 24 128
2 2
2 2
x x y y
x y x
− + + − + =
+ − − yy + =184 0
( ) ( )x y− + − =2
16
4
6
1
2 2
LR
b
a
b
b= ⇒ = ⇒ =2 3 2
4
6
2 2
2 ,
( ) ( )
.
x y
b
− + − =2
16
4
1
2 2
2
7.5 ■ Ecuación general de la elipse 271
–3 –2 –1 21 3 4 5 6 8
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
7
•
Figura 7.23. Gráfica de la elipse 6x2116y224x2128y118450.
7. La Luna también describe una elipse en su órbita alrededor de la Tierra. Su ex-
centricidad es de 0.055 y la longitud del eje mayor es de 768 000 km. ¿Cuál es
la ecuación que describe su movimiento, si la Tierra es uno de sus focos?
Solución:
Se sabe que el eje mayor es igual a 2a, por lo cual, a5384 000 km. Conocida su ex-
centricidad y el valor del semieje mayor, es posible determinar los valores de c y b,
es decir,
Si entonces de donde, c521 120. Después de a25b21c2,
se tiene que
Por lo que la ecuación buscada es:
Su gráfica:
( )
. .
x y−
×
+
×
=21120
147 456 10 147 009 10
1
2
9
2
9
b a c= − = − =2 2 2 2384 000 21120 383 418( ) ( )
0 055
384 000
. = ce c
a
= ,
272 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
–18 –9 9 18
–15
–12
–9
–6
–3
3
6
9
12
15
x
y
•
Figura 7.24. Gráfica de la elipse con excentricidad de 0.055.
Observa cómo esta elipse se asemeja a una circunferencia
8. De la ecuación de elipse obtén la expresión
Solución:
El problema consiste en reemplazar a b2. Para ello se puede partir de la relación
a25b21c2, de donde:
b25a22c2
x
a
y
a e
2
2
2
2 21
1+
−
=
( )
.
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ = ,
Luego de se tiene que c5ae⇒c25a2e2, si se reemplaza el valor de c2, se tiene:
Al sustituir esta expresión en la primera ecuación se obtiene la que se pide:
9. De acuerdo con la ecuación de la elipse en la forma del ejem-
plo anterior, prueba que si e tiende a 1, ésta se asemeja a una recta, y si tiende a
a 0, parecería una circunferencia.
Solución:
Por simple observación, cuando e se acerca al valor de 1, el término cuadrático de y
tiende a desaparecer, es decir, a indeterminarse, por lo que la expresión queda sólo con
una variable, x. Por lo tanto, se tiene una línea recta paralela al eje 
Luego, si e se acerca a 0, se tiene una expresión de la forma es decir, de
circunferencia de radio a, x21y25a2. 
Toma en cuenta que tiende a un valor, pero nunca lo toca; de lo contrario, suce-
dería lo que se muestra.
10. La elipse también tiene aplicaciones en la construcción de arcos para soportar
puentes, juegos, etcétera. Si el ancho de un arco semielíptico es de 6.00 m con
una altura de 1.50 m, a) ¿cuál es la ecuación que lo representa?, b) ¿qué excen-
tricidad tiene?, c) ¿cuál es el valor de 2c?
Solución:
a) Por las condiciones dadas, se establece que 2a56.00⇒a53.00 y b51.50. Si
se toma su centro en el origen, su ecuación es:
b) Para obtener el valor de c es necesario conocer su excentricidad Se uti-
liza la relación básica:
Por tanto,
c) El valor del eje focal 2c:
2c52(2.598)55.20
Su gráfica es la siguiente:
e = =2 598
3
0 866
.
.
b c a c a b
c
2 2 2 2 2
2 60
+ = ⇒ = −
= .
e
c
a
= .
x y2 2
9 00 2 25
1
. .
+ =
x
a
y
a
2
2
2
2
1+ = ,
y
x
a
x a, .
2
2
1= ⇒ =
x
a
y
a e
2
2
2
2 21
1+
−
=
( )
x
a
y
a e
2
2
2
2 21
1+
−
=
( )
b a a e
b a e
2 2 2 2
2 2 21
= −
= −( )
e
c
a
= ,
7.5 ■ Ecuación general de la elipse 273
11. Dada la ecuación de la elipse 3x21y215x24y2550, a) determina el valor de su
lado recto, b) las ecuaciones de sus rectas directrices y c) traza un gráfico.
Solución:
Partiendo de la expresión e identi-
ficando las constantes de la ecuación dada A53, C51, D55, E524, F525, al sus-
tituir se tiene:
Si se divide toda la ecuación entre 
Donde:
a) La magnitud de cada lado recto es:
b) Las ecuaciones de las rectas directrices son de la forma por lo cualy
a
c
k= ± +
2
,
LR
b
a
= = = = = ≈2
2
133
36
133
2 3
133 3
9 133
133 3
9
399
9
2 2
2
. 119
aa b b2 2
133
12
133
2 3
133
36
133
6
= ⇒ = = ⇒ =, y, en connsecuencia, c c2 266
36
266
6
= ⇒ =
x y+( )
+
−( )
=
5
6
133
36
2
133
12
1
2
2
133
12
3
5
2 3
1
4
2 1
1 5
2 2 2
x y+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +
( )
( )
( )
( )( ) (( )( ) ( )( )( )
( )( )
3 4 4 3 1 5
4 3 1
3
5
6
2
2
− − −
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ −x y 22 133
12
2( ) =
A x
D
A
C y
E
C
CD AE ACF
AC
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + −
2 2
4
4
2 2 2 2
274 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
y
x
Figura 7.25. Arco elíptico.
La gráfica es la siguiente:
y
y y
= ± + = ± +
≈ ≈ −
133
12
266
6
2
133
2 266
2
6 077 2
1 2
. ..077
Resumen 275
–4 –2 2 4
–2
2
4
6
x
y
•
•
•
Figura 7.26. Gráfica de la elipse 3x21y215x24y2550.
RESUMEN
✓ La elipse. Se define como el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancia
a dos puntos fijos es constante. Tales puntos fijos se denominan focos de la elipse.
Descripción o Recta
datos conocidos Centro Vértices Focos Extremos directriz Ecuación
C(0,0) V(6a,0) F(6c,0) E(0,6b)
Eje mayor o focal 
paralelo al eje x
C(h,k) V(h6a,k) F(h6c,k) E(h,k6b)
C(0,0) V(0,6a) F(0,6c) E(6b,0)
Eje mayor o focal 
paralelo al eje y
C(h,k) V(h,k6a) F(h,k6c) E(h6b,k)
x h
b
y k
a
2
2
2
2
1
−( )
+
−( )
=y a
c
k= ± ±
2
x
b
y
a
2
2
2
2
1+ =y
a
c
= ±
2
x h
a
y k
b
2
2
2
2
1
−( )
+
−( )
=x a
c
h= ± ±
2
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =x
a
c
= ±
2
PROBLEMAS 
Realiza los siguientes ejercicios.
1. Determina la distancia focal de cierta elipse, cuya longitud del eje mayor es 20 cm y la de
su eje menor es 16 cm.
Respuesta: 12 cm
2. A partir de las siguientes ecuaciones de elipse, traza sus gráficas e identifica sus focos.
a) Respuesta: F(62,0)
x y2 2
6 2
1+ =
276 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
Descripción o datos Con eje focal paralelo Con eje focal paralelo
conocidos al eje x al eje y
Ax21Cy21Dx1Ey1F50 Ax21Cy21Dx1Ey1F50
Los coeficientes A y C Los coeficientes A y C
deben ser diferentes y de deben ser diferentes y de 
signo positivo; A,C. signo positivo; A.C.
Ecuación general
de la elipse
Si el Si el
lugar geométrico que lugar geométrico que
representa es una elipse. representa es una elipse.
D
A
E
C
F
2 2
4 4
0+ − > ,D
A
E
C
F
2 2
4 4
0+ − > ,
a A b C
h D
b
k E
a
= =
= − = −
,
;
2 22 2
a C b A
h D
b
k E
a
= =
= − = −
,
;
2 22 2
Relaciones o conceptos 
importantes Relación o igualdad
Relación entre a, b, c
Lado recto (tiene dos) 
o ancho focal
Eje mayor
Eje menor
Distancia focal
Excentricidad
e
c
a
a b
a
e
= = −
< <
2 2
0 1
,
F F c
1 2
2=
E E b
1 2
2=
V V a
1 2
2=
LR
b
a
= 2
2
a b c a b2 2 2= + ∴ >,
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
x
y
FF' 2c
••
Figura 7.27. Elipse de eje ma-
yor 20 cm y eje menor 16 cm.
b)
x y2 2
4 25
1+ =
Problemas 277
–2 –1 2 31
–2
–1
1
2
x
y
• •
Figura 7.28. Elipse horizontal x y
2 2
6 2
1+ = .
–5 –4 –3 –2 –1 21 4 5 63
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
y
•
•
Figura 7.29. Gráfica de la elipse 
x y2 2
4 25
1+ = .
c) Respuesta: F( , )± 14 0
x y2 2
16 2
1+ =
–4 –3 –2 –1 21 3 54
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
y
• •
Figura 7.30. Gráfica de la elipse
x y2 2
16 2
1+ = .
d)
x y−( )
+
+( )
=
3
36
2
4
1
2 2
278 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
–2 42 6 8 10
–8
–6
–4
–2
2
4
x
y
• •
Figura 7.31. Gráfica de la elipse 
x y−( )
+
+( )
=
3
36
2
4
1
2 2
.
e) Respuesta: F( , )− ± +4 4 3
x y+( )
+
−( )
=
4
9
3
25
1
2 2
–8 –6 –4 –2 42
–2
2
4
6
8
x
y
•
• Figura 7.32. Gráfica de la elipse 
x y+( )
+
−( )
=
4
9
3
25
1
2 2
.
3. A partir de las siguientes ecuaciones de elipse, encuentra su forma ordinaria y determi-
na la dupla de coordenadas del centro. Después, traza su gráfica.
Respuestas
a)
b) 3 5 9 30 02 2x y x y+ + + =
x y
C
+( )
+
+( )
= − −( )1
4
2
8
1 1 2
2 2
, ,2 4 4 2 0
2 2x y x y+ + + − =
Respuestas
c)
d)
Respuestas
e)
f)
4. Halla la ecuación general de la elipse cuya recta directriz es x50; uno de sus focos tiene
coordenadas F(23,22) y su excentricidad . Traza la gráfica de la ecuación mos-
trando focos, vértices y la otra recta directriz. Sugerencia: Aplica el concepto de cónica.
Respuesta: 8x219y2154x136y111750
e = 1
3
x
y
C+( ) +
+( )
= − −( )4
5
2
25
4
1 4 5
2
2
2
, ,
100 16 800 80 1600 02 2x y x y+ + + + =
x y x y2 24 10 40 109 0+ − − + =
3 3
47
18 2
3
47
1 3 2
3
2
2
x y
C
−( )
+
−( )
= ( ), ,x y x y2 26 6 8 4 0+ − − − =
2 3 8 12 2 02 2x y x y+ − − + =
Problemas 279
2 4 6
–4
–2
2
4
x
y
•
–6 –4 –2
–6
–4
–2
x
y
•
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–5
–4
–3
–2
–1
x
y
C
 
3
1
==e
x=–6.75 x=0.0
V9
F9 F(–3,–2) V(–2.25,–2)
2.25
0.75
2.25
0.75
• • • • •
5. Determina la ecuación de la elipse sabiendo que tiene su centro en C(23,1); uno de sus
focos tiene coordenadas F(23,23) y pasa por el punto (25,1).
6. Determina la ecuación ordinaria de la elipse si su lado recto es 3 y sus vértices son:
V(23,1) y V9(5,1).
Respuesta:
7. Halla la ecuación ordinaria de la elipse que tiene excentricidad e50.2 y vértices en
V(21,23) y V9(21,2).
Respuesta:
8. Halla todos los elementos de la elipse generada por la ecuación 100x2116y21800x
180y1160050, y traza su gráfica.
Respuestas:
9. El latus rectum de cierta parábola es cuatro veces el radio de una circunferencia con cen-
tro en (2,4) y a su vez corresponde a la distancia focal de una elipse de eje paralelo al eje
x. Una recta de ecuación y53 es tangente a la circunferencia, a la elipse y también es la
recta directriz de la parábola. Determina la ecuación de la circunferencia, de la parábola
y de la elipse.
10. Halla la ecuación ordinaria de la elipse cuyo centro tiene coordenadas C(2,21); uno de
sus vértices posee coordenadas V(2,26) y uno de sus extremos está en E(4,21).
Respuesta:
11. Cierta estación espacial ha tomado una fotografía de la Tierra, sus coordenadas son
150 000 000∠60° [m] con respecto del Sol. En la imagen se observa la trayectoria orbi-
tal de un satélite cuando se encuentra en su punto más lejano de la Tierra; el punto más
cercano es de 1830 km. Nuestro planeta es un foco de la elíptica del satélite y su radio es
de aproximadamente 6370 km. El semieje mayor de la elipse es de 18 000 km. Determi-
na la ecuación de la trayectoria del satélite y la excentricidad de la trayectoria. ¿Cuál es
la distancia más cercana del satélite a los polos terrestres? Determina también la ecuación
de la Tierra en esa posición, tomando como referencia al Sol. Redondea a cero decimales. 
Respuestas:
d56.07 [km] de cualquiera de los dos
polos; (x275 000)21(y2130 000)25(6370)2 [km].
12. Determina la ecuación de la elipse, que tiene sus focos en las coordenadas (25,2) y (0,0)
y la longitud de su eje mayor es de 8.
Respuesta:
13. Encuentra la ecuación de la cónica cuya excentricidad es uno de sus focos se loca-
liza en el punto (4,4) y su recta directriz es y52x. 
e = 2
3
156 80 240 700 280 1225 02 2x xy y x y+ + + − − =
x y
e
−( )
+
−( )
=
85 000
324
130 000
224
1
2 2
[ ];km == 5
9
;
y x+( )
+
−( )
=
1
25
2
4
1
2 2
C F F V− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− −( ) − −( ) −4 5
2
4 1 4 4, , , , ' , , 44 0 4 5
16
5
3
5
2
, , ' , , ,
,
( ) − −( ) =
= = ±
V LR
e RD
55
6
5
2
4 2
5
2
− − ± −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, ,E
x y+( )
+
−( )
=
1
24
2
25
1
2 2
x y−( )
+
−( )
=
1
16
1
6
1
2 2
280 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
14. Investiga cómo se construye una elipse usando el método del jardinero. Sugerencia: Si no
encuentras información bibliográfica, visita el Museo Universum de la UNAM.
15. Dadas las ecuaciones 6x214(y12)2524 y x222y1450, determina los puntos don-
de se intersecan. 
16. Las ecuaciones x21(y22)254 y 16x219y5144 corresponden a una circunferencia y a
una elipse, respectivamente.Calcula los puntos donde se cortan sus gráficas. 
17. Un balón de futbol americano es lanzado por un jugador y describe cierta trayectoria, que
es grabada por un estudiante aficionado. Al llegar a casa, el estudiante reproduce la gra-
bación y hace cálculos respecto de la longitud del campo y algunas conversiones de uni-
dades para determinar los datos que se muestran a continuación. Imagina que la trayecto-
ria se aproxima a la descrita por una elipse. Determina las coordenadas de los focos,
vértices (uno es el origen), excentricidad y las coordenadas de uno de sus extremos.
Problemas 281
64 m
12 m
F F
O x
y
Figura 7.33. Trayectoria que se aproxima a una elipse.
Respuesta:
F(61.6,0) V(0,0)
F(2.33,0)
;
V(64,0)
; E5(0,12); e50.92
Actividades en equipo 
1. Investiguen otras formas de construir una elipse. Sugerencia: Consulten libros de dibujo
técnico o fuentes de Internet.
2. Obtengan las intersecciones de las elipses 2x21y214x14y2250 y 3x215y219x1
30y50. Verifiquen los resultados con algún software y construyan la gráfica correspon-
diente.
3. Uno de los enigmas que más tardó en explicarse fue el movimiento de los planetas. En un
principio se pensaba que éstos giraban en círculo alrededor de la Tierra (Ptolomeo); des-
pués, que giraban en círculo pero teniendo como centro al Sol (Copérnico). Finalmente,
después de muchas horas de trabajo y utilizando las observaciones de Ticho, Johannes Ke-
pler estableció que se movían en forma elíptica alrededor del Sol y elaboró tres leyes en
relación con tales movimientos. Más tarde, Isaac Newton comprobó estas reglas científi-
cas a través de su ley de la gravitación universal y de su nueva herramienta, el cálculo
diferencial.2 Actualmente se sabe mucho más del movimiento de los planetas, conoci-
mientos que ni siquiera Newton sospechó. Baste citar algunos ejemplos: la actividad titá-
nica o nula de algunos planetas, sus temperaturas, las dimensiones de sus diámetros y de
282 Capítulo 7 ■ La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)
2 No olvides que el cálculo también lo desarrolló Leibniz, casi al mismo tiempo que Newton, lo que pro-
vocó un problema entre ambos personajes y sus seguidores.
sus masas, así como las de sus satélites naturales. Si bien la actual tecnología permite co-
nocer o calcular más información de cada astro del Sistema Solar y más allá de él, deben
reconocerse los gigantescos pasos que se dieron en tiempos pasados, pues estos hombres
empezaron a dar la pauta en el orden y explicación de cada fenómeno que acontece en el
universo. 
Con base en los datos expuestos: a) Determinen la ecuación de las trayectorias de cada plane-
ta de nuestro Sistema Solar, tomando al Sol como uno de sus focos y el origen del sistema de
referencia; b) investiguen las leyes de Kepler e indiquen cuál sería el periodo de cada planeta;
c) construyan un modelo a escala del Sistema Solar; d ) construyan una representación del Sis-
tema Solar a través de un software, utilizando las ecuaciones obtenidas en el inciso a).
La unidad astronómica (U.A.) se define como la distancia media del Sol a la Tierra, cuyo
valor es 1 U.A.51.49631011 m. Se utiliza para realizar mediciones entre los diferentes astros
del universo, lo que facilita el manejo y cálculo de cantidades muy grandes.
Semieje mayor Excentricidad
Planeta en U.A. de la órbita e
Mercurio 0.387 0.206
Venus 0.723 0.007
Tierra 1.000 0.017
Marte 1.524 0.093
Júpiter 5.203 0.048
Saturno 9.537 0.054
Urano 19.19 0.047
Neptuno 30.07 0.009
Plutón 39.48 0.249
Fuente: Chaisson and McMillan, Astronomy Today (The Solar System), 5a. ed.,
Prentice Hall, New Jersey, EUA, 2005.
AUTOEVALUACIÓN
Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios.
1. Define, con tus propias palabras, qué es una elipse.
2. ¿Cómo se obtiene la excentricidad de una elipse?
3. La relación c25a21b2, ¿es aplicable a la elipse? Fundamenta tu respuesta con un gráfico. 
4. La excentricidad de una elipse es uno de sus focos se localiza en F(3,2) y su eje
focal es paralelo al eje y. Determina su ecuación y traza una gráfica que muestre sus ele-
mentos.
5. Dada la ecuación general de una elipse 4x219y218x218y2550, obtén su ecuación or-
dinaria y todos sus elementos. Traza su gráfica.
e = 3
5
,
283
CAPÍTULO
8
La hipérbola
(un último
peldaño…
y parece
que estoy
viéndome en
un espejo)
Cuando uno se sienta a mirar el interior de su irrisoria realidad; cuando las ideas se vuelven hacia uno y lo miran fijas a los ojos,
la mirada tiembla, se estremece —uno sabe que no soportará su reclamo. Cuando uno ha probado la amargura en las lágrimas y
las ha visto caer noche tras noche, entiende que todo puede ser y terminar en un suspiro. Cuando uno se ha atrevido a tocar las
puertas de su verdadero ser, el que conserva escondido en los rincones oscuros de los deseos reprimidos, entonces ha probado
el verdadero sentido de la existencia misma, se ha vuelto Caín.
Cuando uno ya no puede seguir empeñado en vivir falsedades y se asfixia cada vez que pretende engañarse mirando sólo
hacia un mismo polo, sabe que la oscura naturaleza de su existencia le hará regresar la mirada a las penumbras, porque cuando
se ha probado ese otro mundo, cuando la otra parte del universo se ha mostrado a los ojos de alguien, ya no se le puede ignorar,
es imposible: sería como quitarse la vida.
F. Rechy Carabeli (Inferno) 
La hipérbola tiene diversas aplicaciones interesantes, como en el sistema
LORAN, en la construcción de edificios o estructuras y en la elaboración de
lentes y espejos, entre otras. Esta cónica posee un par de elementos más
que el resto de las cónicas: dos rectas asíntotas.
284 Capítulo 8 ■ La hipérbola (un último peldaño… y parece que estoy viéndome en un espejo)
F 9 F
P
V 9 VF 9 F
P
V 9 V
Figura 8.1. La hipérbola.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de sus dis-
tancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se denominan focos de la hi-
pérbola.
Como te habrás dado cuenta, la definición de hipérbola es muy semejante a la de
elipse, sólo que aquí se considera la diferencia y no la suma. Si esto no se compren-
de desde el principio, podría incurrirse en errores de análisis. Considera la siguiente
figura:
DEFINICIÓN DE
HIPÉRBOLA
8.1
Por definición, la diferencia de las distancias PF9 y PF (también llamadas radio vec-
tores) es constante y está representada por 2a.
2 5 2a
El segmento 5 2c
Por trigonometría se sabe que en todo triángulo, la diferencia de dos de sus lados
es siempre menor que el lado restante.
En el triángulo F9PF, la diferencia de los lados y es menor que el la-
do , es decir, c . a. El segmento 5 2c se denomina eje o distancia focal,
y el segmento 5 2a es la distancia entre los vértices de la hipérbola, y se cum-
ple que:
2c . 2a
Debes observar que esta relación no se cumple en la elipse; de hecho, esta relación
básica cambia a c2 5 a2 1 b2, como se muestra en cada caso de la hipérbola. 
V V'
F F'F F'
PFPF '
F F'
PFPF '
8.2 ■ Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal paralelo al eje x 285
1 También se podría decir: “que coincide con el eje x”.
Considera la siguiente figura:
ECUACIÓN
CANÓNICA DE
LA HIPÉRBOLA
CON EJE FOCAL
PARALELO1
AL EJE x
8.2
Se trata de una hipérbola con centro en el origen. Observa, además, el triángulo so-
brepuesto que indica la relación c2 5 a2 1 b2. 
A continuación determinamos la ecuación que la describe a partir de la diferen-
cia 2 5 2a. Para calcular las magnitudes de los segmentos y ,
se emplea la fórmula de distancia entre dos puntos:
2 5 2a
Se ordenan los miembros y se elevan al cuadrado para eliminar los radicales:
5
Al desarrollar los binomios se tiene:
x2 1 2xc 1 c2 1 y2 5 4a2 1 4a 1 (x 2 c)2 1 y2
Se simplifica:
cx 2 a2 5 a
Una vez más se elevan al cuadrado los miembros de la ecuación, para eliminar el 
radical:
x2c2 2 x2a2 2 y2a2 5 a2c2 2 a4
Luego, c2 5 a2 1 b2, como se observa en la figura, al sustituir c:
x2b2 2 a2y2 5 a2b2
x c y−( ) +2 2
x c