1.55 Encuentre un vector W en R5 ortogonal a los tres vectores (1, 2, 0, 0, 2), (2, 1, 2, 0, 0), (0, 2, 1, 0, 2).

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1.55. Encuentre un vector W en R5 ortogonal a los tres vectores
(1, 2, 0, 0,−2), (−2, 1, 2, 0, 0), (0,−2, 1, 0, 2).
Sabemos que el producto punto entre dos vectores ortogonales es cero, entonces, sea W = (w1, w2, w3,W4),
tenemos que:
(1, 2, 0, 0,−2) · (w1, w2, w3, w4, w5) = 0
w1 + 2w2 + 0w3 + 0w4 − 2w5 = 0
(−2, 1, 2, 0, 0) · (w1, w2, w3, w4, w5) = 0
−2w1 + w2 + 2w3 + 0w4 + 0w5 = 0
(0,−2, 1, 0, 2) · (w1, w2, w3, w4, w5) = 0
0w1 − 2w2 + w3 + 0w4 + 2w5 = 0
Entonces tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: w1 + 2w2 + 0w3 + 0w4 − 2w5 = 0−2w1 + w2 + 2w3 + 0w4 + 0w5 = 0
0w1 − 2w2 + w3 + 0w4 + 2w5 = 0
El cual podemos simplificarlo a:  w1 + 2w2 − 2w5 = 0−2w1 + w2 + 2w3 = 0−2w2 + w3 + 2w5 = 0
Resolviendo el sistema obtenemos que w1 =
4
7w5, w2 =
5
7w5, w3 =
3
7w5, w4 = w4, w5 = w5, podemos ob-
servar que w1, w2 y w3 dependen de w5, para encontrar un vector ortogonal a los tres vectores asignemos
cualquier valor a w5 y w4, sea w5 = 0 y w4 = 2, entonces un vector ortogonal a los tres vectores es (0, 0, 0, 2, 0).
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