Problemario de circuitos electricos II - Elvio Candelaria Cruz

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PROBLEMARIO DE CIRCUITOS 
ELÉCTRICOS II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.fullengineeringbook.net
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Directorio 
 
DR. JOSÉ ENRIQUE VILLA RIVERA 
Director General 
 
DR. EFRÉN PARADA ARIAS 
Secretario General 
 
DRA. YOLOXÓCHITL BUSTAMANTE DÍEZ 
Secretaria Académica 
 
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Secretario de Apoyo Académico 
 
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Secretario de Extensión y Difusión 
 
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DR. JORGE VERDEJA LÓPEZ 
Secretario Técnico 
 
DR. LUIS ZEDILLO PONCE DE LEÓN 
Secretario Ejecutivo de la Comisión de Operación 
y Fomento de Actividades Académicas 
 
ING. JESÚS ORTIZ GUTIÉRREZ 
Secretario Ejecutivo del Patronato 
de Obras e Instalaciones 
 
LIC. ARTURO SALCIDO BELTRÁN 
Director de Publicaciones 
 
 
 
 
 
 
 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA 
MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
UNIDAD ZACATENCO 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMARIO DE CIRCUITOS 
ELÉCTRICOS II 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
—México— 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemario de circuitos eléctricos II 
 
Primera edición: 2004 
 
D.R. © 2004 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
Dirección de Publicaciones 
Tresguerras 27, 06040, México, DF 
 
ISBN 970-36-0205-3 
 
Impreso en México / Printed in Mexico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al 
 
M. en C. Arturo Cepeda Salinas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.fullengineeringbook.net
 
CONTENIDO 
 
 
PRÓLOGO ------------------------------------------------------------------------------------ 11 
 
 
CAPÍTULO I. ESTRUCTURAS PASIVAS DE DOS TERMINALES ------------ 13 
 
- Cálculo de impedancias 
- Cálculo de admitancias 
- Reducciones serie-paralelo 
- Problemas complementarios 
 
 
CAPÍTULO II. TEOREMAS DE REDES --------------------------------------------- 53 
 
- Divisor de voltaje 
- Divisor de corriente 
- Teorema de Thévenin 
- Teorema de Norton 
- Teorema del intercambio de fuentes 
- Teorema de superposición 
- Dualidad 
- Problemas complementarios 
 
 
CAPÍTULO III. VALORES MEDIOS Y POTENCIA ------------------------------ 103 
 
- Valores medios de 1° y 2° orden 
- Potencia compleja, aparente, activa y reactiva 
- Factor de potencia 
- Teorema de la máxima transferencia de potencia media 
- Problemas complementarios 
 
 
CAPÍTULO IV. RESONANCIA -------------------------------------------------------- 131 
 
- Dependencia de la frecuencia 
- Resonancia y antirresonancia 
- Resonancia de un circuito RLC 
- Factor de calidad, ancho de banda y selectividad de un circuito resonante 
- Resonancia de circuitos de dos ramas 
- Problemas complementarios 
 
 
 
 
9 
 
 
CAPÍTULO V. REDES CON MULTIFRECUENCIAS --------------------------- 181 
 
- Redes con fuentes senoidales de distintas frecuencias 
- Redes con fuentes periódicas no senoidales. Series de Fourier 
- Red auxiliar de C.D. 
- Red auxiliar de C.A. 
- Valores efectivos de corriente, voltaje y potencia media 
- Problemas complementarios 
 
 
CAPÍTULO VI. REDES DE DOS PUERTOS --------------------------------------- 219 
 
- Ecuaciones y representaciones con parámetros Z 
- Ecuaciones y representaciones con parámetros Y 
- Ecuaciones con parámetros de transmisión directos e inversos 
- El transformador ideal 
- Ecuaciones y representaciones con parámetros híbridos directos e inversos 
- Equivalencias entre parámetros 
- Conexiones fundamentales entre redes de dos puertos 
- Problemas complementarios 
 
 
BIBLIOGRAFÍA --------------------------------------------------------------------------- 299 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
PRÓLOGO 
 
 
 Este trabajo es producto del Programa Académico de Año Sabático otorgado al autor 
durante el periodo 2001-2002. Externo mi agradecimiento al licenciado Francisco 
Ramírez Rodríguez, Coordinador General de Programas Académicos Especiales de la 
Secretaría Académica del Instituto Politécnico Nacional y al licenciado Alfredo 
Villafuerte Iturbide, responsable del Programa Año Sabático, por las atenciones que se 
sirvieron brindar al suscrito para hacer posible la realización de este trabajo. 
 
 
 El presente Problemario de circuitos eléctricos II está destinado a estudiantes de 
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica y carreras afines; tiene como finalidad 
servir de apoyo en su preparación profesional para el estudio de la Teoría de los 
Circuitos Eléctricos en los tópicos que se tratan. 
 
 
 Se ha pretendido facilitar la comprensión de los temas mediante el planteamiento, 
desarrollo y solución metódicos de problemas ilustrativos que permitan al estudiante 
ejercitar sus conocimientos teóricos y prácticos. 
 
 
 Para la resolución paso a paso de problemas de este trabajo se utilizaron, en gran 
parte, las técnicas de análisis de los métodos de mallas y nodos desarrollados por el 
doctor Enrique Bustamante Llaca en su importante obra Modern Analysis of Alternating 
Current Networks, por lo que se recomienda al estudiante conocer previamente estos 
métodos. Cabe mencionar que en dichos análisis se emplean letras minúsculas para 
denotar impedancias de mallas o admitancias de nodos y con letras mayúsculas las 
impedancias o admitancias de elementos. Asimismo gran parte de la simbología usada 
en este problemario es la misma de la obra citada. 
 
 
 Es mi convencimiento de que solamente el esfuerzo propio del estudiante hará de 
este trabajo un recurso didáctico provechoso. 
 
 
 Finalmente deseo expresar mi agradecimiento a José Juan Carbajal Hernández, 
pasante de la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica por su apoyo e 
iniciativa en la captura del material de esta obra. 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz. 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO I 
 
 
ESTRUCTURAS PASIVAS 
DE DOS TERMINALES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 1 
 
Calcule la impedancia equivalente entre las terminales a y b de la red mostrada: 
 
 
Solución: 
 
 1. Se hace una simplificación del circuito: 
 Se conecta una fuente de voltaje E y se asignan sentidos arbitrarios a elementos y a 
las corrientes de mallas; la fuente se conecta a las terminales de interés. La malla 
formada con la fuente de voltaje debe ser la malla 1: 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 15 
 
2. Se calculan las impedancias propias y mutuas de mallas (aplicar las reglas del método 
de mallas): 
 
i
i
i
i
i
2--2
0
34
37
26
=
=
+=
+=
+=
+=
z
z
z
z
z
z
23
13
12
33
22
11
 36
 
 
 
3. Aplicando la fórmula general: 
 
Ω0.93i--
43.224i36 
--
--
--
--
024113134
733243
6205178
733
620517863167
3722
2226
37220
222634
03436
11
3332
2322
333231
232221
131211
11
.º..
º..
º..
º.cof
º..i
ii
ii
ii
iii
ii
cof
Z
Z
ab
r,m
r,m
ab
===
=+=
=+=
+
+
+
++
++
===
z
z
zz
zz
zzz
zzz
zzz
z
z
det
det
 
 
 Este resultado significa que la red origin equivalente a: 
 
 Se sugiere al estudiante resolver este problema usando el método de reducción serie-
 
 
16 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
al es
 
 
paralelo. 
 
 
PROBLEMA 2 
 
 Encuentre la impedancia equ ales a y b en la red dada, a la 
frecuencia angular ω=1rad/seg. 
 
 
ta una fuente E entre las terminales a y b, con la cual se forma la malla 1. Se 
l signo de la inductancia mutua entre las bobinas k y l. Se asignan sentidos a 
 
 
2. Se obtienen las im
ivalente entre las termin
 
Solución: 
 
1. Se conec
determina e
elementos y a corrientes de malla. 
 
Lk,l < 0 
L= -0.5Hy k,l
pedancias propias y mutuas de mallas. 
 
i).)((i))((i
i).)((i)(i))((i
i).)((i)(i))((i 8501212318 - +=++++=z11
45012231
665012
1
102316
3
----
--
=+=
=+++=
z
z
12
22
+
 
 
 
 
3. Se aplica la fórmula general: 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 17 
i
i-
i-
i det
i
ii
ii
cof
 det
Z
ZZ
eq
m,r
abeq
33.233.9
66
4270
42-70
6-6
6-64-
4-8
+==
=
+
===
z
z
z
rm,
11
 
 
 
 Esta impedancia se puede representar con elementos de circuito como se muestra: 
 
 
 
 Es posible resolver este problema pasando del circuito original al circuito 
 
 
transformado, donde se indican las impedancias de elementos y aplicar así el método de 
mallas. El circuito transformado sería el que se muestra a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
P 3 
 
ROBLEMA
En la red mostrada calcule: 
a la frecuencia angular ω=103 rad/seg. 
 
bservación: Una configuración con bobinas acopladas como se muestra en este 
 
O también ver Bustam vol. I, ed. Limusa-
a) La impedancia total Z , T
b) El valor del inductor equivalente. 
O
circuito, no necesariamente debe tener acoplamiento entre todas ellas. Ver, por ej. Hayt 
William H.- Kemmerly Jack E. Análisis de Circuitos en Ingeniería problema 9, página 
472, cuarta ed. – McGRAW HILL “Es posible disponer físicamente tres bobinas de 
tal manera que haya un acoplamiento mutuo entre las bobinas A y B y entre B y C, 
pero no entre A y C. Un arreglo así se muestra en la figura dada. Obténgase v(t)”. 
ante Llaca E. Alternating Current Networks,
Wiley, ej. 2, página 233 o Jiménez Garza Ramos Fernando Problemas de Teoría de los 
Circuitos, vol. 1, ed. Limusa, problema 1, página 72, entre otros ejemplos. 
 
 
 
 Solución: Habiendo conectado la fuente de voltaje E, la impedancia entre las 
terminales a y b (Z ) se calcula como en los problemas anteriores. T
 
Elvio Candelaria Cruz 19 
 De acuerdo con las marcas de polaridad en las bobinas: 
 
L12 = -4x10-3 Hy 
L13 = 3x10-3 Hy 
 
[ ]
ii
i
ii
i
cof
det
ixiixxi
i
xixi
i
xi
xxi
xixi
m,r
TZ 97.488.968
338672
28
2854
5410
5-4)103(10)-4x10(10-10210--4
2-8
25010
10
20010
1010)52(1044
10)104-(102
1050010
1)102(10)108(1046
3-33-33-3
3
6
3
6
3-3
3-3
6-3
3-33-3
+=
+
=
−
−+−
+−
==
+=+=
=+++++=
=+++++=
z
z
z
z
z
11
12
22
11
 
 
 
 
 
 
 El valor de la bobina puede calcularse a partir de su impedancia: 
 
ZL = iωL = i(103)L =4.97i ∴ L = 4.97/103 = 4.97 mHy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 4 
 
Encuentre la resistencia total RT indicada que presenta el circuito mostrado cuando: 
a) a y b están en circuito abierto; use reducción serie-paralelo. 
b) a y b están en corto circuito; use reducción serie-paralelo. 
 
 
 
 
Solución: 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 21 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 5 
 
 En el siguiente circuito calcule Rab . 
 
 
 
Solución: En este problema es fácil ver que un extremo del resistor de 5Ω es el punto b, 
por lo que el circuito puede dibujarse como: 
 
 
este circuito se puede reducir a: 
 
donde 10/7 es el paralelo de 
los resistores de 5Ω y 2Ω: 
5||2=10/7
 
 
 
quedando 8Ω en serie con (10/7)Ω: 
 
8+(10/7) = 56/7 + 10/7 = 66/7 
el resistor equivalente es: 
Rab = 66/7 || 10 = 4.85 Ω 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 
23 
 
PROBLEMA 6 
 
 Calcule Rab en el siguiente circuito. 
 
olución: Para resolver este tipo de problemas podemos auxiliarnos de un punto o 
 
 
 
S
puntos exteriores y rehacer el circuito observando qué elementos se encuentran 
conectados entre los puntos de referencia: 
 
 
 
 
 
Ω=
+
+
+
= 75.15
155
)15)(5(
3020
)30)(20(Rab 
 
 
 
24 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 7 
 
 Calcule Req entre las terminal
 
 
Solución: 
es a y b. 
 
= 28
11z
Ω=
−
−
==
=
=
−=
=
=
50.15
5012
1237
501218
123710
181028
12
18
10
50
37
11
23
13
12
33
22
z
z
z
z
z
z
cof
det
m,r
eqR
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 25 
z
 
 
 
 
 
 
 
E
 
PROBLEMA 8 
 En el siguiente circuito calcul : 
 
Solución: ir de 4 mallas, sin embargo las dos 
resistencias de la periferia están en 
 
o si se desea darle la form
 
 
e Zab
Este problema puede resolverse a part
paralelo y pueden reducirse a una sola: 
 
a siguiente: 
 
21 JJ
EZ = ab +
 
 Aplicando el método de mallas para encontrar J1 y J2: 
 
05
2333
1322
1211
==
==
zz
zz
 
 
26 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
29 −== zz 
47
 
Ω
Δ 199490 ==
23
199
23
199
39
199
23
199
702
40
25
199
39
199
740
49
20
742
205
0742
490
205
21
2
1
321
321
321
.EE
EE
E
E
E
E
E
E
E
E
JJZ
J
J
JJJ
JJJ
JJJ
ab
=
+
=
+
=
=
−
−
=
=
−
=
−
−
=++
=++
=−+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 27 
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
 
PROBLEMA 9 
 
 Calcule la impedancia total entre las terminales a y b del siguiente circuito: 
Solución: Este circuito puede configurarse de la forma que se muestra tomando los 
puntos a, b, c y d como referencia: 
 
 d 
 
= 9
22
11
z
Ω==
−
−
−−
−−
−−
==
−=
−=
−=
=
=
2.3
62
199
71
19
712
193
235
1
2
3
7
5
11
,
23
13
12
33
z
z
z
z
z
z
cof
det
rm
abZ
 
 
 
 
28 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
z
 
PROBLEMA 10 
 
 Encuentre la impedancia equivalente entre las terminales a y b de la red dada, a la 
frecuencia ω=103 rad/seg. 
 
 
 
Solución: Obtendremos L12 y L13 de la ecuación para el coeficiente de acoplamiento 
entre dos bobinas: 
 
LLL
LL
L
lkkl
lk
kl kk =∴= 
 
 De acuerdo con las marcas de polaridad: 
L12>0 
 
 
L13<0 
 
Hyx1013.1
10
3−
ixixi
ix
xxi
i
i
x
i
xxi
ixi
i
xxi 3()109)(10(9
3
33 ++= −z
xxx
Hyxxx
L
L
54.04)1013.1(10)1041.1(10
10
103)1010(4
14
10
109
10
103)1013)(10(14
82.89)1041.1)(10(2
10
)10
1041082.0
41.1101085.0
3333
3
3
33
12
3
3
3
3
33
22
33
311
33
13
333
12
−−=−+−−−−=
+=+++=
+=+
−=−=
==
−−−
−
−
−−
−−−
z
z
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 29 
 
Ω+=
+
+
=
+
+−−
−−+
== i
i
i
i
ii
ii
cof
det
m,r
eqZ 92.744.814
34.11929.110
14
1454.04
54.0482.89
11z
z
 
 
 El circuito original queda reducido a la siguiente forma:30 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 11 
 
 Calcule la impedancia equivalente entre las terminales a y b: 
 
 
olución: Los sentidos de las bobinas fueron asignados de forma tal que fueran 
ongruentes con el signo positivo de cada una de las impedancias mutuas. Una 
pedancia mutua positiva conlleva una inductancia mutua positiva. 
S
c
im
 
Ω−=
+
+
=
+
+−
−−
==
−=+−+−=
+=++−=
−=−+−=
i
i
i
i
ii
ii
cof
det
iiiii
iiii
iiii
m,r
eqZ 02.107.8512
28102
512
512
8
23
51227412
82658
11
12
22
11
z
z
 
a impedancia equivalente es: 
Elvio Candelaria Cruz 31 
z
z
z
 
 
L
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 12 
 
pias y mutuas de mallas, qu Calcule las impedancias pro e permitan encontrar la Zeq de 
6
 
13 < 0 = -3x10 Hy 
L23 > 0 = 2x10-4 Hy 
 
 
la red mostrada, a una frecuencia angular de 10 rad/seg. 
 
 
Solución: 
 
L12 < 0 = -10-4 Hy 
-4 L
ixixiixi
ix
x
ixxixxi
ix
xx
ixixxi
ix
xx
100)103)(10()102)(10()10)(10()102)(10(
10
103
104900)102)(10)((2)108102)(10(
10
107103900
103900)10)(10)((2)102106)(10(
10
103106900
46464646
6
8
12
246446
6
88
22
246446
6
88
11
=−++−−−−=
−=−++
+
+=
−=−+++
+
+=
−−−−
−−−
−−−
z
z
z
 
uito transformado, de acuerdo con los sentidos asignados 
arbitrariamente a los elementos, las impedancias mutuas entre elementos son: 
 
Z12 = i106(-10-4) = -100i 
Z13 = i106(-3x10-4) = -300i 
Z23 = i106(2x10-4) = 200i 
 
y las impedancias de mallas se obtienen com es de arriba lo indican. 
 
2 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 Si se prefiere obtener el circ
o las ecuacion
 
 
3
 
PROBLEMA 13 
permitan calcular la admitancia minales a y b, a la frecuencia 
ω=103 rad/seg. 
 
 
 
 
 
Solución: Se . Se tendrá la 
terminal “a ponente. Se 
positiva, por lo que el sentido de los elementos es el que se muestra. 
 aplica es: 
 
 Encuentre las admitancias propias y mutuas de nodos de la red mostrada que 
 equivalente entre las ter
 
 conecta una fuente de corriente Ifc entre las terminales a y b
” conectada al nodo 1 y la terminal “b” a la base de la com
observa que por tener una invertancia mutua negativa la inductancia mutua ha de ser 
 
 
 La fórmula que se
 
y
yy
yy
y
y
22
2221
1211
11
==
cof
det
n,p
abY 
 
 
 Cálculo de las admitancias de nodos: 
 
ixx
i
x 312 10310210
102 −−=⎟
⎠
⎜
⎝
−−=y
 
ixxi
i
xx
ixxx
i
333
3363
3
33
22
333
3
3
11
3
10106)102)(10(
10
1102104
102103102
10
210
−−−
−−−−−
−−−−
⎞⎛ −
+=+++=
−=++=
y
y
 
n Yab. 
Elvio Candelaria Cruz 33 
 
 Se sustituyen valores e
 
 
 
 
 
PROBLEMA 14 
 
 Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito mostrado, 
a la frecuencia ω=103 rad/seg. 
 
 
 
Solución: La terminal “a” deberá ser el nodo 1, donde se conecte la fuente de corriente. 
 
yy
y
yy
y
y
1211
22
2221
11
==
cof
det
n,p
abY 
 
 
i
i
i
i
i
i
xi
xi
i
xixi
xixi
i
xi
xixi
Y ab 04.443.85.07
5.3257
5.07
5.072
249
2
)102.0)(10(
1)105000)(10(2
5.07
)104.0)(10(
1
)102.0)(10(
1)103000)(10()105000)(10(25
49
)102.0)(10(
1)105000)(10()104000)(10(27
33
63
12
3333
6363
22
33
6363
+=
+
+
=
+
+−
−+
=
−=−−−=
+=+++++=
+=++++=
−
−
−−
−−
−
−−
y
y
y
 
 
 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
11
 
 
34 
 
Este resultado significa que la red original es equivalente a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 15 
 
 Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b, a la frecuencia ω=2 
rad/seg. 
 
 
Solución: 
HyL 6
1
12 −= 
 
yy
yy
yyy
yyy
232221
yyy
y
y
3332
2322
333231
131211
11
==
cof
n,p
abY 
 
 Calcularemos las admitancias propias y mutuas de nodos: 
 
 
det
( )
C
CC
CG
i
i
i
i
i
i
i
323
13
12
12
4
4333
2
3222
1
11
0
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−=
=
=
++=
++=
=
Γ
Γ
Γ
Γ
y
y
y
y
y
y
 
 
 
 
36 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 Se requiere conocer el valor de Γ1, Γ2, Γ4 y Γ12. Procederemos a calcular el valor de 
stas invertancias mediante la siguiente fórmula: e
Yrnehs
Yrnehs
Yrnehs
cof
det
cof
LL
LL
L
L
L
L kl
kl
kl
kl
48
1152
4
6
1
72
1152
4
4
1
36
36
1
32
1
8
1
8
1
6
1
6
1
4
1
8
1
12
22
2221
1211
22
11
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−
=
==
=
−
=
−
−
==
Δ
==Γ
Γ
Γ
Γ
 
 Al sustituir valores: 
i
i
i
ii
ii
ii
iii
ii
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
Y ab 073.1.034
3618
351
0
351
02418
2
1)2(
0
24
2
48
222
)
351
2
72
2
1)2(1
18
2
3,2
13
12
22
11
−=
−−
+−
=
−−
−−
−−
−−
−−
=
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
=
−==
−=+⎟
⎠
⎜
⎝
+
−=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
−==
y
y
y
y
y
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 37 
36
i
i 10312(
33
⎞⎛=y
24−
497
 
PROBLEMA 16 
 
 Encuentre la admitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito 
mostrado, a la frecuencia ω=10 rad/seg. 
 
 
 
 
 
 
Solución: Se asignan sentidos arbitrarios a las dos bobinas acopladas para determinar 
L12 = + 0.2Hy. Calcularemos primeramente las invertancias propias y mutua de las dos 
bobinas acopladas 1 y 2 ya que dichas invertancias se necesitarán para poder calcular las 
admitancias. 
 
 
 
cof
Yrneh
cof
Yrnehs
cof
Yrnehs
cof L 24.04.01111 ====Γ
L
L
L
1
2.0
2.0
3
2.0
6.0
2.0
4.02.0
2.06.0
12
12
22
22
−=
−
=
Δ
=
==
Δ
=
Δ
Γ
Γ
 
 
 
 Las admitancias propias de los elementos son: 
 
 
 
 
38 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
kl
kl Δ
=Γ
 
i
i
x
i
i
xi
i
i
xi
i
ii
i
ii
Y
Y
Y
Y
Y
26
10
1050
1
6
1010
10
105.12
1
)8.1)(10(10
810
10
1025
1
)2.1)(10(28
3.0
)10(
3
2.0
)10(
2
3
5
3
4
3
3
22
2
11
1
−=+=
+=++=
+=+++=
−===
−===
−
−
−
Γ
Γ
ω
ω
 
 
 La admitancia mutua entre el elemento 1 y el elemento 2 se calcula mediante 
 
i
ii
i
Y
Y klkl = Γ
1.0
10
112
12 =
−
== Γ
ω
ω 
 
 Obsérvese que la invertancia Γ12 es de signo contrario a la inductancia L12. 
 
 Podemos representar el circuito original mediante admitancias, obteniendo: 
 
 Las admitancias de nodos son: 
 
iiii
iiii
iiiiii
YYY
YYY
YYYYY
4.261.026)3.0(
7.7162610103.0
3.516)1.0(2268103.02.0
125212
54222
12532111 2
+−=++−−−=+−−=
+=−+++−=++=
+=−−+++−−=−+++=
y
y
y
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 39 
 
 Aplicando la fórmula general: 
 
y
y
ab
det
Y pn,= 
11
cof
 
i
i
i
i
ii
ii
Y ab 5.716.15º31.2692.1669.2575.17
5246.300
7.716
8.23695.184
7.716
7.7164.26
4.263.516
+==
°
°
=
+
+
=
+
++−
+−+
=
 
 
 
 Lo que significa que la admitancia total equivale al siguiente elemento paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 Problemario de CircuitosEléctricos II 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 17 
 
 Calcule Yab en el circuito mostrado. 
 
 
 
 
olución: De acuerdo con las marcas de polaridad, los sentidos de los elementos 
 mutua 
ositiva y, consecuentemente, una admitancia mutua negativa: 
recordar que 
S
acoplados que se muestran cumplen con L < 0, lo que origina una invertanciakl 
p
( )
i
i
klkl
klY ωω
ΓΓ −== . 
 
iiiiii 188)3(2102012308
22
+=−−−++=y
i
i
i
i
ii
ii
cof
det
iiii
iiii
n,p
abY 84.1551.2188
172265
188
188138
1382510
138)3(20308
251020301582
11
11
+=
+
+−
=
+
+−−
−−+
==
−−=−++−−=
−
+=−+++=
y
y
y
y
 
 
 
 El circuito original queda reducido a la siguiente forma: 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 41 
12
 
 
 
 
PROBLEMA 18 
 
 Encuentre las admitancias de nodos de la red mostrada que permitan calcular la 
admitancia equivalente entre las terminales a y b. 
Solución: Podemo zando reducción serie-paralelo entre 
conductancias y capacitores.
 En este circuito no es posible aplicar reducción serie-paralelo, por lo que 
aplicaríamos la fórmula general ya conocida
 
s reducir el circuito utili
 
: 
 
13
11
10
1128
52351310 −=−+=y
1110
23
13
33
22
−=
−=
+=
+=
y
y
y
11
y
12
−=y
i
i
i
 
 
 
42 
ii
yy
yyy
3332
232211
cofab
yyy
yyy
yyy
y
333231
232221
131211
==
det
pn, 
 
 
Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Y
 
 
 
 
PROBLEMA 19 
 
a) Por reducción serie-paralelo
) Aplicando la fórmula gener
Solución: 
 
a) 
 
 
 Puede observarse que la admitancia de 3-2i está en serie con la de 4-3i. 
 
 
 Encuentre la admitancia Yab del circuito mostrado: 
. 
al. b
 
iii
i
i
iii
 
ii
YY
YYYY
YY
Y
YYY
ab 2.371.32.171.122
2.171.1
573423
32
32
1
32
32
32
−=−+−=
+
+=
−=
−
=
−+−
=
+
+=
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 43 
YY
YY ab
176)34)(23(
32
1
−−−
+
 
b) 
 
i
i
i
i
ii
ii
cof
det
i
i
i
n,p
abY 20.371.357
4110
57
5723
2345
23
57
45
11
12
22
11
−=
−
−
=
−
−+−
+−−
==
+−=
−=
−=
y
y
y
y
y
 
 
 
 El circuito original queda reducido a la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
PROBLEMA 20 
 
 Calcule las admitancias propias y mutuas de nodos, que permitan encontrar la Yab en 
 
Solución: Las adm arcas de polaridad 
entidos que se asignan a las bobinas acopladas cumplen con lo siguiente: si 
 > 0 se tendrá una Lkl < 0 y viceversa. 
el circuito dado. 
 
itancias propias y mutuas son datos. Según las m
dadas, los s
Γkl
 
 
ωω
i
i
klkl
klY
)(ΓΓ −== Recordar que: 
 
 Se puede observar que las dos conductancias laterales pueden 
+−=−+−+−−−−=
−=−−−−++=
−=+−−+=
y
y 
La Yab se obtendría aplicando la fórmula general: 
ser reducidas a una: 
 
iiiii
iiiii
iiiii
195)()3()2()25(5
3947)3(2253010425
265)2(22520155
12
22
11
y
y
y
11
,
det
cof
pn
abY = 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS 
COMPLEMENTARIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 1 
 
 Calcule la impedancia equivalente entre las terminales a y b de la red mostrada: 
PROBLEMA 2 
 
 En la red mostrada calcule: 
a) La impedancia total ZT a la frecuencia angular ω=103 rad/seg. 
b) El valor del inductor o capacitor equivalente. 
 
 
PROBLEMA 3 
 
En el siguiente circuito calcule Rab. 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 49 
PROBLEMA 4 
 
 En el siguiente circuito calcule Rab. 
 
 
PROBLEMA 5 
 
 Calcule la impedancia equivalente entre las terminales a y b. 
 
 
 
PROBLEMA 6 
 
 Encuentre la impedancia equivalente entre las terminales a y b en la red mostrada a la frecuencia 
ω=103 rad/seg. 
 
 
50 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 7 
 
 Encuentre las admitancias propias y mutuas de nodos de la red mostrada que permitan calcular la 
admitancia equivalente entre las terminales a y b a la frecuencia ω=103 rad/seg. 
 
PROBLEMA 8 
 
 Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito mostrado a la frecuencia 
ω=103 rad/seg. 
PROBLEMA 9 
 
 Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b a la frecuencia ω=2 rad/seg. 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 51 
PROBLEMA 10 
 
 Calcule las admitancias propias y mutuas de nodos que permitan encontrar la Yeq en el circuito 
mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II 
 
 
TEOREMAS DE REDES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 1 
 
 Usando dos veces divisor de voltaje calcule V. 
 
 
Solución: 
 
 
 
 Para calcular el voltaje en la resistencia de 7.5Ω aplicaremos la siguiente fórmula: 
 
( )( )
Volts
R
V
R
VV
ab
T
fv
R
45
10
)5.7)(60(
==
=
 
 
 
 
 La siguiente figura muestra el circuito original con la resistencia de 20Ω a la 
izquierda de a y b, teniendo entre estos puntos la tensión de 45V (fuente aparente). 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 55 
 
 Al aplicar divisor de voltaje en la sección de la derecha se tendrá: 
 
 
 
voltsV 3048
)45(8
=
+
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 2 
 En el siguiente circuito calcu de voltaje. 
 
 
 
olución: Podemos establecer por L. K. V. (ley de Kirchhoff para voltajes): 
 
o bien usando el siguiente diagrama: 
 
le Vab empleando divisor 
S
 
)1(.....................0 −=∴=−+ 
1331 VVVVVV abab
VVV
VVV
ab
ab
13
31
−=∴
=+
 
 
 Para calcular V3 pasemos primeramente la rama que contiene a las resistencias de 3Ω 
 5Ω a la izquierda de la fuente de alimentación, lo anterior con objeto de facilitar la 
Elvio Candelaria Cruz 57 
y
visualización del divisor de voltaje. 
 
 
 
 
11.11)20(10
18
 
3 ==V 
 
 Para calcular V1 pasemos ahora la rama que contiene a las resistencias de 10Ω y de 
Ω a la izquierda de la fuente: 
 
 
 
8
 
voltsV 5.78
)20(3
1 == 
 
 Sustituyendo en (1): 
 
voltsV ab 61.35.711.11 =−= 
 
 Se sugiere al estudiante comprobar este resultado empleando la trayectoria que 
V2 y V4. 
 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
involucre a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
P 3 
 
 
 
 
 
olución: 1 3 ab mediante el siguiente 
iagrama, se tendrá: 
 
ROBLEMA
 En el siguientecircuito encuentre Vab empleando divisor de voltaje. 
S Representando las caídas de voltaje V , V y V
d
 
 
VVab 13 −=
voltsiii
voltsi
i
i
ii
i
voltsi
i
i
ii
i
V
V
V
V
VVVV
ab
ab
ab
º2.8577.177.1147.0101.1561.0669.0708.0
:endoSustituyen
669.0708.0
16
1012
61056
2)56(
101.1561.0
58
610
8335
2)35(
3
1
31
−=−=−−−=
−=
+
−
=
++−
−
=
+=
−
+
=
−++
+
=
∴=+
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 59 
PROBLEMA 4 
 Empleando divisor de corriente calcule las corrientes en las ramas 2 y 3. Verifique la 
ley de Kirchhoff para corrientes en el nodo A. 
 
 
 
 
 
Solución: La corriente de 5|0º Amp. proveniente de la fuente, se bifurca por las ramas 2 
y 3. 
 
 Así: 
 
.929.013.2
10602540
5)2540(
.929.086.2
15100
503005)1060(3 i
10602540
32
2
3
32
2
ampi
ii
i
ampi
i
i
ii
ZZ
IZI
ZZ
IZI
fc −=
++−
−
==
+=
−
=
++−
==
+
+ 
 
 
 Aplicando la ley de Kirchhoff al nodo A: 
 
321
321
fc ++
0
.5929.013.2929.086.21 ampii
III
III
+=
=−++=
∴
I
=++−
 
 
 
 
 
 
 
 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
60 
PROBLEMA 5 
 Usando reducción serie-paralelo y divisor de corriente encuentre IX. 
 
 
 
 
 
Solución: Reduciendo resistencias en paralelo entre los puntos A, B y C, D: 
 
 En el circuito de la figura 3 podemos calcular la corriente total IT. 
 
mA
kI T 5.2215
5.337
== 
 
 
 Regresando al circuito de la figura 2, tenemos que la corriente IT se distribuye por la 
resistencia de 20kΩ y por la rama que nos interesa (10kΩ en serie con 20kΩ). 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 61 
 En la misma figura 2, aplicando divisor de corriente para calcular I1: 
 
mA
kkk
xkI 9202010
)105.22)(20( 3
1 =++
=
−
 
 
 En la figura 4 observamos que la I1 se distribuye como se muestra: 
 
 
 Aplicando nuevamente divisor de corriente se obtiene Ix. 
 
 
 
mA
k
xk 6)109)(60(
3
==
−
 I x 90
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 ario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Problem
PROBLEMA 6 
 
 Dadas las admitancias de los elementos del circuito mostrado calcule I2. 
 
olución: 
 
 
 
S Por divisor de corriente para impedancias sabemos que: 
 
IZ
ZI fc
k
T
k = 
 Como nos dan admitancias, podemos sustituir en la fórmula anterior a Z por 
 
 
Y
1 con 
s respectivos índices: 
ustituyendo
su
 
 
Y
Z 1= S
 
 
donde Yk = 3i y YT = 3+3
 = 9-9
i-2i+6+8i (por estar en paralelo) 
i 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 63 
IYI Y
Y
 
.135º0.94
9012
0º43 ampi =
°
=⎟⎞⎜⎛=I 4512.72992 i °−⎠⎝ −
 
 
 
 
 
YI k
k
T ==
1
fc
T
fck 1
PROBLEMA 7 
 
 Aplicando el teorema h n n co e 
 
 de T éveni encue tre la rrient Ix. 
. Se separa la parte pasiva (resistor de 6Ω) y se calcula Vab. 
 
 
 
 
Solución: 
 
1
 
 Recordar que por ley de ohm (V=ZI) el voltaje en la resistencia de 2Ω y en la bobina 
de 5i es cero debido a que por ell no circula corrienas te. 
( ) Thévenin.6556.23
º1520
voltsi
V
devoltajeelesqueº19.15568.7º19.
.º19.6556.2
º19.5081.7651
amp
i
º1520
ZJ
=
−
=
−
==
V ab
T
==
 
 
 
2. Para calcular la impedancia de Thévenin se pacifica la red. 
 
 Pacificar una red significa anular sus fuentes de alimentación. Si es una fuente de 
voltaje se sustituye por un corto circuito y si es una fuente de corriente por un circuito 
bierto. Así, el circuito pacificado es: 
 
64 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
a
 
 
 
 
Ω+=++
−
−
== ii
iZZ Theq 88.873.25265 
 
ii )3)(95(
3. Se dibuja el circuito equivalente de Th Ω. 
 
 
évenin y se conecta el resistor de 6
 
.109.7º0.618.888.73
155.19º7.68
xI += ampi = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 8 
 
 Aplicando el teorema de Thévenin, calcule la corriente en el resistor de 5kΩ. 
olución: Separando el resistor de 5kΩ y aplicando el método de mallas para calcular el 
oltaje de Thévenin entre las terminales a y b, tendremos que: 
54000
3
32
321
321
321
Ampx
D
JJ
JJJ
−=+
+−=++
 
 
 De la ecuación (4) tenemos: 
 
J3 = 100x10-3 - J2 
 
 
66 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
S
v
 
VTH = (2.7K)(J2) 
 
 
 
)4(...............................10100
)3(..................................560000 DJJJ =++
 
)2(
)1(
.......................200
.................................20004700 JJJ =++
 De la ecuación (2) tenemos: 
 
5400J2 = -20 + D ⇒ D = 5400 J2 + 20 ......................... (A) 
 
 De la ecuación (3) tenemos: 
5600[100x10-3 - J2] = D 
 560 - 5600 J2 = D...................................(B) 
 
 Igualando las ecuaciones (A) y (B) tenemos: 
 5400 J2 + 20 = 560 - 5600 J2
 
 ∴ 
 
 
 
 11000 J2 = 560 – 20 
 
amp0.04900
0 .J 110
54
2 == 
 
VTh = J2(2700) = (0.049)(2700) = 132.3 volts 
 
 Pacificamos la red, a fin de calcular RTh.
 
Ω=
+
= 2037
27008300
27008300xRTh 
 
 Thévenin se le conecta el resistor de 5kAl circuito equivalente de Ω: 
 
mAI x 8.187037
3.132
== 
 
Elvio Candelaria Cruz 67 
 
 
 
PROBLEMA 9 
 
 
 
 Encuentre el circuito equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. 
 
Solución: 
 
i
i
i
i J )º86.365()3 1=+JVV abTh
22
37
26
4(
12
22
11
1
−−=
+=
+=
==
z
z 
 
 Estableciendo las ecuaciones de mallas: 
z
ii JJ 0)3(7)22( 21
21
=++−−
 
volts
amp.
i
i
ii
ii
i
i
ii
J
JJ
Th
26.35º1.76)36.86º)(510.51º(0.352
10.51º0.352
2436
614
3722
2226
370
222
2)22()2(6
1
=−=
−=
+
+=
+−−
−−+
+
−−
=
=−−++
 
 
68 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
V
 
 
 
 La impedancia de Thévenin se calcula del circuito siguiente: 
 
 
+= i37
33z
Ω−=
°−=
°
°
=
+
+
=
+−−
−−+
+−−
−−++
++
==
−−=
=
+=
+=
+=
i
i
ii
ii
ii
cof
det
i
i
i
i
Z
eq
rm
eq
93.002.4
1.1313.4
7.332.43
6.205.178
2436
63167
3722
2226
37220
03436
22
0
34
26
36
11
,
23
13
12
22
11
z
z
z
z
z
z
z
 
 
 El circuito equivalente de Thévenin es: 
iii 222634
i
ii
Z
 
Elvio Candelaria Cruz 69 
PROBLEMA 10 
 
 Utilizando el teorema de Thévenin encuentre la corriente que circula por el resistor 
de 8Ω. 
 
olución: Habiendo separado el resistor de 8Ω, se tendrá la malla 2. Habremos de 
calcular Vab = VTh. 
 Aplicando el método de ma
S
llas para encontrar J1 y J2: 
.491.5 amp=
173
950
1913
1318
190
1350
01913
501318
13
19
18
1
21
21
12
22
J
JJ
JJ
=
−
−
−
=
=+−
=−
−=
=
=
z
z
z11
 
 
 
 
 
70 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
amp.
amp.
amp.
JI
JJI
B
A3.757
1.7343.7575.491
5018
2
21
==
=−=−= 
 
 Representando las caídas de voltaje mediante el siguiente diagrama: 
J 3.757173
650
173
013
2
==
−
=
 
 
volts
volts
V
V
VVV
VVV
B
A
ABab
BabA
514.7)2)(757.3(
202.5)3)(734.1(
==
==
−=∴
=+
 
 
 
 
 Se sugiere al estudiante calcular este voltaje empleando dos veces el divisor de 
voltaje. 
 
 Para calcular la resistencia de Thévenin pueden verse los problemas 6, 8 o 9 del 
Capítulo I (Estructuras pasivas de dos terminales). 
 
 Al pacificar la red: 
lvio Candelaria Cruz 71 
 Por lo que el voltaje de Thévenin resulta: 
voltsVV Thab 31.2202.5514.7 =−== 
 
E
E = RI ∴ R = E/I 
 
 
JJI 21+= (corrientes diferentes de las anteriores) 
 
 
 Empleando el método de mallas: 
 
Ω==
+
==
=
=
− 18103
−
−
=
=+−
=−+
=++
−=
=
=
=
=
66.3
173
634
634
51
634
122
634
634
122
1014
18100
30
018103
10140
305
10
3
0
18
5
2
1
321
321
321
23
13
12
33
22
EE
E
I
ER
E
E
E
E
J
JJJ
JJJ
JJJ
z
z
z
z
 
 
 
72 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
= 14
11
z
−1014E
J
0
305
51E
z
 Al conectar al circuito equivalente de Thévenin el resistor de 8Ω: 
 
 
Ix = 2.31 = 198 mA 
 11.66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 73 E
PROBLEMA 11 
 
 En la red mostrada en to equivalente de Norton entre las terminales a 
y b. 
 
Solución: Se cortocircuitan las term b y se orientan elementos y mallas: 
 
 
Z12 -4i 
 Aplicando el método de mallas: 
 
 
 Sustituyendo impedancias de mallas: 
 
cuentre el circui
 
inales a y
=
 
i
i
i
JJ
JJ
4
104
22
0
10
12
22
11
222121
212111
−=
+=
+=
=+
=+
z
z
z
zz
zz
 
0)104()4(
10)4()22(
21
21
=++−
=−++
JJ
JJ
ii
ii
 
 
 La corriente que circula por las terminal rtocircuitadas es la corriente de Norton, 
en este caso J2. 
 
 
 
 
74 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
es co
 
i 1022 +
amp
i
i 8.14º1.4144
28
0 =
amp.
.
ii
i
I
J
N 8.14º1.4144
4
4
422
04
2
=
+
=
−+
−
=
 
 
 
 Calculemos ahora la impedancia vista entre las terminales a y b, para esto 
necesitamos pacificar la estructura activa original y conectar la fuente E: 
 
ii 1044 +−
 
Ω+=
+
+
=
+
+
+
==
=
+=
+=
i
i
i
i
ii
ii
cof
det
i
i
i
rm
abZ 6822
284
22
224
4104
4
22
104
11
,
12
22
11
z
z
z
z
 
 
 
 Representando esta impedancia con elementos de circuito tendremos el circuito 
equivalente de Norton como sigue: 
lvio Candelaria Cruz 75 
z
 
 
 
E
 O bien, en función de la admitancia: 
 
i
iZY
06.008.011 −=== 
ab
ab 68 +
 
 
 Obteniéndose: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 oblemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
 
 Pr
PROBLEMA 12 
 
Solución: 
 
1. Separamos la adm b, y cortocircuitamos estas 
terminales. 
 
. Aplicamos divisor de corriente con admitancias para calcular la IN: 
 
orton entre las terminales a y b. Encuentre el circuito equivalente de N
 
itancia entre las terminales a y 
 
2
 
amp.
ii
iI
IY
Y
N
fc
T
k
k
10.62º0.030(0.05)
3362
)6(2
−=
−+−
−
=
=
 
. Calculamos la admitancia de Norton. Pacificamos el circuito abriendo la fuente de 
orriente: 
lvio Candelaria Cruz 77 
I
 
3
c
 
 
 
E
i
ii
iiY N 15.247.13362
)33)(62(
−=
−+−
−−
= 
 
 
 El circuito equivalente de No
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
rton entre a y b es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 13 
 
a de Norton calcule la corrient Aplicando el teorem e en la carga de 3+4i. 
. Separamos la carga y cortocircuitamos las terminales a y b: 
. Aplicamos divisor de corriente: 
 
 
Solución: 
 
1
 
 
2
amp.iI N 90º4(10)5
)2(
−=
−
= 
 
3. La admitancia de Norton se calcula de: 
 Puede observarse que por efecto del circuito abierto la impedancia de 5+3i queda 
nulada. 
ndelaria Cruz 79 
 
 
 
a
 
 
 
 
 
Elvio Ca
Ω== 5
5
1 ZY NN ó 
 
 
. Conectamos la carga al circuito equivalente de Norton y aplicamos divisor de 
orriente con impedancias. 
 
 
 
4
c
 
º56.11623.2
56.2694.8
9020
435
)º904(5
−=
°
°−
=
++
−
=
iI LZ amp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 14 
 
 Obtenga el circuito equivalente de Norton entre los puntos a y b de la siguiente red. 
 
olución: Separamos la carga de 3+4i y cortocircuitamos las terminales a y b. 
étodo de mallas para encontrar IN: 
−+
=
=
+−=
−=
+=
+=
JJ
JJJ
JJJ
J
Di
Dii
i
i
i
i
i
z
z
z
z
 
lvio Candelaria Cruz 81 
 
S
 
 
 Aplicando el m
)4(.......................3
)3(.....................)45(00
)2(......................0)1020()1020(
)1(.......................20)1020()1030(
0
0
)1020(
45
1020
1030
23
321
321
321
23
13
12
33
22
11
=−
=−++
−=++++
z
z
=++ JJi
−
 
E
 Sumando las ecuaciones (2) y (3): 
:)1(e
)...(............................................................3)1()1(
:)4(e
).......(....................0)45()1020()1020(
321
321
321
Cii
B
Aiii
 
J J J
)(........................................20)1020()1030(
D
0
D
JJJ
JJJ
=++−+
=+−
=−++++
 
 Observamos en nuestro circuito que J3 es la corriente de Norton. Así: 
−
 
 
 
 
amp.i
i
ii
iii
i
ii
IJ N 22.16º1.820.69011.694130390
2)10(201030
110
451020)10(20
0
01020)10(20
=+=
+
=
+−+
−
−++−
++−
==
 
31−
ii
320640
2)10(201030
+
+−+
3
 
 
 Calculando la impedancia de Norton: 
 
 
Ω+=
+
+
=
++
+
= i
i
i
i
iZ A 71030
100200
102010
)1020(10 
 
 
82 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 El circuito equivalente de Norton queda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 83 
PROBLEMA 15 
 
 Empleando reducción serie-paralelo e intercambio de fuentes calcule Vab en el 
circuito mostrado. 
olución: Del lado izquierdo: 
 
 
S
IRV
V 12)2)(6( ==
=
volts
 
 
 Del lado derecho en el
 
 
 
 circuito original, tendremos: 
V 12)6)(2( == volts
 
 
84 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 Haciendo las sustituciones correspondientes: 
 
 
 
voltsRI
amp.I
I
III
V
VVVVVV
ab
RRR
202)(10)(
2
03618
01261036212
03610221
−=−==
−=∴
=+
=+++++−
=+++++−Elvio Candelar 85 
 Empleando IL que se 
indica en el circu
 
 
olución: 
 
 
 
ia Cruz 
PROBLEMA 16 
 
el teorema del intercambio de fuentes encuentre la corriente 
ito mostrado. 
S
amp.
iI L 2.58º1.7569.4417.08
66.863066.86º30 °
166
−=
°
=
+
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 itos Eléctricos II 
 Por intercambio sucesi le la corriente que 
ircula por la resistencia de 8.5Ω. 
olución: En las figuras siguientes se ilustra el intercambio de fuentes y resistencias 
ntre a y b: 
 Problemario de Circu
PROBLEMA 17 
 
vo de fuentes entre los puntos a y b, calcu
c
 
 
S
e
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 87 
 
 
 
 
 
 
 
 
amp.I ab 156
56
8.5
6
5
6
56
==
+
=
 
 
88 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 En el siguien empleando el teorema de 
superposición. 
 
 
Solución: 
 
 
PROBLEMA 18 
te circuito encuentre la corriente Ix
 
1. Hacemos actuar la fuente de corriente y anulamos la fuente de voltaje 
cortocircuitándola. 
Ω+=
++
+
= i
i
iZ A 7102010
)1020(10 
 
 
 Por divisor de corriente: 
 
i
i
i
i
I 312
321
312
)º03)(7(
1 −
+
=
−
+
= 
 
 
2. Hacemos actuar ahora la fuente de voltaje y anulamos la fuente de corriente 
abriéndola. 
 89 
 Aplicando el método de mallas: 
 
Elvio Candelaria Cruz 
0)625()1020(
2)1020()1030(
)1020(
625
1030
21
21
12
22
11
=+++−
=+−+
+−=
+=
+=
JJ
JJ
ii
ii
i
i
i
z
z
 
 
 Se observa que la J2 = I2. Así: 
z
i
i
ii
ii
i
i
I 339
24
625)1020(
)1020(1030
0)1020(
21030
2 +
+
=
++−
+−+
+−
+
= 
 
 La corriente total I será la suma de las respuestas parciales I1 e I2: x
i
i
i
iI
III
x
x
339
24
312
321
21
+
+
+
−
+
=
+=
 
 
 Haciendo operaciones algebraicas podem I1 e I2 a sus formas cartesianas 
 sumarlas, obteniendo un resultado aceptable; sin embargo, a fin de llegar a un 
sultado más exacto multiplicaremos el numerador y denominador de I por el factor 
(3+i inador que I2: 
 
os convertir 
y
re 1
) y así obtener el mismo denom
amp.i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
ii
I
I
x °=+=+
+=
+
++
+
+=
+
+=
+−
++
=
22.161.820.69011.6941
339
3264
339
24
339
3060
339
3060
))(33(12
))(33(21
1
 
Puede verificarse este resultado con el del problema No. 14 de este mismo capítulo. 
 
 
 
90 oblemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 Em
 
 
Solución: 
 
1. Hacemo la. El 
circuito queda: 
 
 
 Pr
PROBLEMA 19 
pleando el teorema de superposición encuentre Ix. 
s actuar la fuente de voltaje y anulamos la fuente de corriente abriéndo
 
amp.I 6
3
3
3
4
14
1 =
+
= 
 
 
 
2. Ahora hacemos actuar la fuente de corriente y anulamos la fuente de voltaje 
cortocircuitándola. El circuito queda: 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 91 
 
 Resolviendo por el m
 
)2...(..............................036
)1......(..............................23
321
321
321
D
D
étodo de mallas: 
J )3...(..............................63J J2
JJJ
JJJ
=++
=++−
=+−
 
 
 Restando la ecuación (3) de (1): 
36
).(..............................7
:Además
).......(..........044
321
31
321
C
B
A
 
).....(..........0
:(2)dey
JJJ
JJ
JJ
=++
=+
=−−
−
 
321
321
=++−
=++
J
 
 
 Ordenando coeficientes de estas tres ecuaciones: 
 
044 321 =−− JJJ
036
70 JJJ 
J J J
 
 
 
 
 
92 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
amp.
041 −
J 114
14
361
101
441
701
3
=
−
−=
−
−−
= 
 
 Se observa en el circuito que a total es Ix = I1+I2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
061−
I2 = -J3. Así, la respuest
Ix = 6 + (-J3) = 6+(-1) =5 amp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 93 
PROBLEMA 20 
 Obtenga la red dual de la red dada empleando dualidad especial y verifique la 
correspondencia entr
 
 
 
Solución: 
 
rocedimiento 
a (líneas gruesas), orientando las mallas en sentido 
contrario al de las manecillas del reloj. 
 
 
2. Se asigna a cada malla (ventana) un punto que será un nodo de la red dual y cuyo 
número será el de la malla de la red dada que lo encierre. 
 
 
3. Se trazan líneas de un nodo a otro que pasen por un solo elemento (líneas delgadas), 
con lo cual se formarán mallas de la red dual. Estas mallas se designarán con el 
número del nodo de la red dada que quede encerrado por la malla formada. 
 
 
4. Se orientan las mallas de la red dual en el sentido de las manecillas del reloj. 
modo que coincida el número de 
isma red dada y 
el número de incidencia del elemento dual con respecto a malla de la red dual. 
 
 
E
 
 
e sus ecuaciones. 
P
 
. Se dibuja la gráfica de la red dad1
 
 
5. Los elementos de la red dual se orientan de 
incidencia del elemento de la red dada con respecto a nodo de la m
 
 
6. Se extrae la gráfica dual y se sustituyen los elementos básicos correspondientes en 
cada elemento general de dicha gráfica. 
 
 
4 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
En la red original se tiene: 
λ = número total de elementos de la red dada = 5. 
 
9
υ -c = número de nodos independientes de la red dada = 2. 
μ = número de mallas independientes de la red dada = 3. 
Gráfica de la red dual. 
 En la red dual se tiene que: 
λ = 5 elementos. 
υ -c = 3 nodos independientes. 
μ = 2 mallas independientes. 
 
 
 Al aplicar la correspondencia entre elementos dada por el principio de dualidad 
especial se obtiene la red dual siguiente: 
 
Elvio Candelaria Cruz 95 
 Correspondencia entre ecuaciones: 
 
 
 
 Red dada Red dual 
ILiV
IRV
Ii
SV
Ii
SRV
EIRV
555
444
3
3
3
2
2
22
1111
ω
ω
ω
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
−=
↔
↔
↔
↔
↔
VCiI
VGI
ViI
ViGI
IVGI fc
555
444
3
3
3
2
2
22
1111
ω
ω
ω
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
+=
Γ
Γ
 
 
odo I) malla 1) ↔ 0431 =−− VVV 0431 =−− IIIn
Inodo II) − 05432 =−++ I I I ↔ malla 2) 
l
05432 =−++− VVVV 
 
 
ma la 1) 0321 =−−− VVV ↔ nodo 1) 0321 =−−− III 
la 2) 043 =−VV mal ↔ nodo 2) 043 =− II 
malla 3) 052 =−VV ↔ nodo 3) 052 =− II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 itos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
 Problemario de Circu
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS 
COMPLEMENTARIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 1 
 
 Usando dos veces el divisor de voltaje encuentre Vab. 
PROBLEMA 2 
 
 En la siguiente red calcule Vab empleando divisor de voltaje. 
 
 
 
PROBLEMA 3 
 
 Usando reducción serie-paralelo y divisor de corriente encuentrela corriente Ix. 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 99 
PROBLEMA 4 
 Aplicando intercambio de fuentes y el teorema de Thévenin encuentre la corriente 
en la carga de 50+20i. 
PROBLEMA 5 
 
 Empleando el teorema de Thévenin encuentre la corriente en la carga de 3Ω. 
PROBLEMA 6 
 
 Encuentre el circuito equivalente de Norton entre las terminales a y b. 
 
 
 
100 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 7 
 
 Encuentre el circuito equivalente de Norton entre las terminales a y b. 
 
 
 
PROBLEMA 8 
 
 Empleando intercambio de fuentes encuentre la tensión entre los puntos a y b del 
circuito mostrado. 
 
 
PROBLEMA 9 
 
 En el siguiente circuito encuentre Ix empleando el teorema de superposición. 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 101 
PROBLEMA 10 
 
uito mostrado y verifique Obtenga la red dual del circ la correspondencia entre sus 
 
 
 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
ecuaciones (emplee dualidad especial). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO III 
 
 
VALORES MEDIOS 
Y 
 POTENCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 1 
 
 Dada la función i(t) = I0sen(ωt) representada en la gráfica, encontrar: 
 
a) El valor medio Im. 
b) El valor eficaz Ief. 
 
Solución: 
 
 
a) El valor medio de la función i(t) = I0sen(ωt) con ωt como variable independiente y 
periodo T=2π es: 
 
[ ] [ ]
01]1[2
cos(0))cos(22)cos(2)()sen(2
1)(1
0
2 
0 
0
2
0
0
00 
=+−=
+−=−=== ∫∫
π
ππωtπωtdωtπdtti T
II
IIII
m
π
π
T 
m
 
 
 
 
b) El valor eficaz o r.m.s. de la función dada es: 
 
[ ]
2
02
2
2)sen(24
1
22
)()(sen 2)()sen(2
11
0
2
0
2
0
2
0
2 
0 
2
2
0
2 
0 
2 
00 
2
IIII
III
π
πωt
ωt
π
ωtdωtπωtdωtπdti T
π
ef
ππT 
ef
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−=−=
== ∫∫∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 105 
PROBLEMA 2 
 
 Calcule la potencia activa, reactiva, aparente y el factor de potencia en la rama 2 del 
circuito dado. Dibuje el triángulo de potencias de esta rama. 
 Solución: 
 
IZP
2
= 
 La corriente en la rama 2 es J2 , luego: 
 
JZP 2
2
= 
 
 Aplicando el método de mallas: 
 
0)1555()5030(
12)5030()4045(
5030
1555
4045
21
21
12
22
11
=++−−
=−−++
−−=
+=
+=
JJ
JJ
ii
ii
i
i
i
z
z
z
 
 
 
 
106 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
resolviendo para J2: 
 
amp.
i
i
ii
ii
i
i
J °=°−
°
=
−
+
=
++−
+−+
+−
+
= 61.10.201
2.063447.24
59699.71
1253475
)512(30
1555)50(30
)50(304045
0)50(30
124045
2 
 
l sustituir valores en: 
 
a
 
VAiiZP I °=+=+== 19.5472.14.101.1)201.0)(3525( 2
2
 
 
e la expresión: 
 = P + iP obtenemos: 
activa= 1.01 Watts 
= 1.4 VAR´S 
aparente= 1.72 VA 
p.= cos(54.19°) = 0.58+ (adelantado) 
riángulo de potencias en la rama 2: 
 
D
 
P a r
 
P
 
Preactiva
 
P
 
f.
 
 
T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 107 E
PROBLEMA 3 
 
otencia activa, reactiva, a En la red dada encuentre la p parente y el factor de potencia 
 
Solución: 
de la carga total. Posteriormente calcule las mismas potencias P1 y P2 empleando divisor 
de corriente y compruebe que PT = P1 + P2 e igual a la potencia de la fuente de 
alimentación. 
 
 
i
amp.
i
i
i
ii
IZP
Z
V
I
Z
Z
T
T
T
T
27.9690.4617.18º94.69(1.90)17.18º26.23
1.90
26.23
50
Ω17.18º26.23
Ω17.18º26.23
12.52º46.09
29.7º1209.3
1045
6001050
1045
)30)(1520
2
2
+====
===
=
−=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
 
 
 
 De donde podemos ver que: 
’S 
 
 
(30 +
 
 
Pactiva= 90.46 watts 
 
Preactiva= 27.96 VAR
 
Paparente= |P| = 94.69 VA
 
 
 El ángulo de la potencia es el mismo que el de la impedancia conjugada ZT
delantado). 
08 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
. 
El factor de potencia vale: 
 
f.p. = cos(17.18º) = 0.95+ (a
 
 
1
Cálculo de la potencia en la rama 1: 
)(0.8)33.7ºcos(
68.6
'38
57.3
33.7º68.63857.3)(1.38)20(301
30.32º1.3830.32º
46.09
63.72
1045
)17.18º)(1.9030(15
:corriente dedivisor Por 
17.18º1.90VI ===
17.18º26.23
2
2
1
1
atrasadof.p.
VA
SVAR
watts
ii
amp.
i
i
amp.
Z
P
P
P
IZP
I
ap
r
a
−=−=
=
=
=
−=−=−==
==
−
−
=
−
 
 
 Cálculo de la potencia en la rama 2: 
0º50
I = 1.90|17.18º amp. 
 
 Por divisor de corriente: 
( )
)(0.44
73.4
'66
33
º63.4373.466633)(1.48)30(152
63.39º1.48
12.52º46.09
50.87º68.49
1045
17.18º1.90)20(30
2
i
I
+
=
2
2
22
adelantadof.p.
VA
SVAR
watts
ii
amp.
i
P
P
P
IZP
ap
r
a
+=
=
=
=
=+=+==
=
−
=
−
 
 
 Comprobación de la conservación de la potencia. La potencia total debe ser la suma 
e las potencias de cada rama. 
 
esultado coincidente con el obtenido al calcular PT inicialmente). 
d
PT = P1 + P2 
P1 
P
= 57.3 – 38i 
2 = 33 + 66i
PT = 90.3+28i (r
 
 Cálculo de la potencia en la fuente de alimentación: 
°=°== 18.1795)8.1790.1)(50(IVP f 
 
lvio Candelaria Cruz 109 
 
E
PROBLEMA 4 
 
a, reactiva y el factor Encuentre la potencia activ de potencia total del circuito 
mostrado cuando la potencia reactiva en rama 2 es de 2000 VAR’S. Dibuje el 
 
Solución: 
 en la rama 2 es: 
la
triángulo de potencias. 
 
 
La potencia
iii IIP 2502)2050(2 =+= II 2000250220
2222
+=+ 
 
Igualando partes imaginarias: 
 
 
 Este resultado se pudo obtener también sabiendo que la potencia reactiva en la rama 
amp.I 102
100
20
0
22
=
=ii II 200200020
22
=∴=
 
2 es debida al capacitor, así: 
 
( )( )
( )
( ) i
i
i
i
i
i
ii
ii
amp.ii II 20
22
===
Z
V
Z
VPPP
IZV
VV
IZ
T
cc
383.511355.4538.5
10460
18(538.5)
502300
590
502300
)154020(50538.5
2050
(538.5)
1540
(538.5)
538.5102050
102200022
22
2
22
2
2
2
1
2
1
21
22
222
21
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
−
=
=
−
++−
=
−
+
+
=+=+=
=+==
=
=∴
 
 
P
 
 
110 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
r
a
−=−=
= 
 
 
riángulo de potencias: 
 
 
Obteniéndose: 
 
)(0.99)1.93ºcos(
'383.5
11355.4
atrasadof.p.
SVAR
watts
P
P =
T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 111 
 
 Obtenga el triángulo de poten otencia del circuito dado, si la 
otencia reactiva consumida es de 1000 VAR’S (capacitivos o adelantados) 
 
 
olución: 
PROBLEMA 5 
cias total y el factor de p
p
 
 
S
 
Ω=
Ω−=
−
−
=
−
−
=
−
−−
=
5(
º7.2779.3
º7.2779.3
º2555.16
º7.5280.62
715
5038
715
)410)(3Z
Z T
T i
i
i
ii
 
 
 Como el ángulo de la impedancia conjugada es el mismo que el de la potencia 
⎟
⎠
⎜
⎝
= IZP , podemos calcular por funciones trigonométricas la potencia activa y la 
ente. 
 
⎞2
potencia apar
 
 
 
⎛
wattsP
P
a
a
1901
0.5259
1000
1000)(27.7
==
tg
∴
=°Potencia aparente = |P|: 
 
 
 
 
112 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
)(88.0)º74.27cos(..
2148
465460.0
)74.27sen( VAP
P
==∴=°
 
10001000
adelantadopf +==
 
con lo cual, el triángulo de potencias queda: 
 
Otro método: 
 
 
 
 
 
Conocida la Ω+== iZ T 7664.13576.3º74.27793.3 
odemos aplicar 
 
p :
2
IZP = 
 
iP II
2
7664.13576.3 += 
 
Sabemos que Pr = +1000 VAR’S (capacitivos o adelantados) por lo que: 
2
 
VAP
iiP
II 1231.566100010007664.
22
==∴=
214810001901
10001901)1231.566(76.1)1231.566(35.3
7664.1
22 =+=
+=+=
 
 
 
ue son los mismos resultados obtenidos anteriormente. 
 
1
q
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 113 
 
 La potencia reactiva consumi 1 = 5|45º
PROBLEMA 6 
da por dos impedancias Z Ω y Z2 = 10|30º Ω en 
serie es 1920 VAR’S en retraso otencia activa Pa y la potencia 
aparente |P|, así como el factor de potencia. Obtenga el triángulo de potencias. 
 
olución: 
 
 (inductivos). Hallar la p
Potencia reactiva = 1920 VAR’S (inductivos) 
 
S
IIIZIZP
PPP
z
z1
66.8 +=
iii
i
i
T
222
2
2
1T
21
2
)53.819.12()566.853.353.3(
5
53.353.3
−=−+−=+=
+=
+=
 
 
igualando partes imaginarias: 
 
Triángulo de potencias: 
)(0.81)35ºcos(
3350
'1920
2744
:que Así
35º335019202744
225.08
8.53
1920
atrasadof.p
V.A.
SVAR
watts
i
P
P
P
P
I
T
r
a
T
−=−=
=
=
=
−=−=
==
19208.53
2
2
ii I
∴
−=−
 
 
114 ario de Circuitos Eléctricos II 
 Encuentre la potencia compleja del circuito mostrado, así como el factor de potencia 
 
Solución: 
 
 Problem
PROBLEMA 7 
 
 
sabiendo que la potencia activa total consumida es de 1500 watts. 
 
)1(..............................
45
)63()
2
i
13
32(
6332
222
2
2
1
2
21
i
ii
PPP
VVV
Z
V
Z
V
−
+
−
=
+
+
+
+=+=
 
 
 
la parte real de la suma de los dos últimos términos de la ecuación (1) es la potencia real 
o activa total, entonces: 
 
 
V
=P
6802
129
)585)(1500(
1500
585
129
1500
45
32
1500
4513
2
13
3
2
2
22
==
2
∴
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎜
⎝
V
V
VV
 
 
 
 
 
=
⎞⎛
+
=+
V
 
 
Elvio Candelaria Cruz 115 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(518.0)º8.58cos(.. atrasadop
2895
'2477
1500
º8.5828952477150090746.4537.156946.1046
90746.453
45
)63)(6802(
7.156946.1046
13
)32)(6802(
:(1) de términocadaen 6802 dosustituyen
21
2
1
2
VA
SVAR
Watts
iii
ii
ii
PPP
P
P
V
r
a
−=−=
=
=
=
−=−=−+−=+=
−=
−
=
−=
−
=
=
P
P
P
f
 
 
 
116 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 8 
 
 En el circuito mostrado la potencia en el resistor de 10Ω es de 1000 watts y en el 
ircuito total es de 5000 VA con un factor de potencia de 0.90 adelantado. Hallar Z. 
olución: Método 1 
 
c
S
Ω1.572.1436.392.66
58.1940.35
21.8107.70
58.1940.3534.3021.271034.3031.271047.6446.42
1047.6446.42
47.6446.42
21.8107.70
25.845000
I =
°
=∴
25.845000
21.8107.70
)104(10
10
101000
25.84cos(0.90)
11
1
1
1
1
21
2
2
21
2
2
i
ii
IV
i
amp.
Z
ZI
V
I
VZ
I
I
III
V
VV
I
I
IVIVI
amp.
amp.
volts
−=°−=
=
°
°
===
°=+=−+=−°=∴
+=°
+=
°
°−
°=
°=
+==
=
=
°=
+=
 
 
 
V
ang
2ramalaenactivapotencia
22 2IRP a ==
2
100
2
2I =∴
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 117 
Método 2. 
iZ
iZ
iZ
iZ
voltsi
amp.
ang
Z
Z
Z
Z
V
P
V
V
IZVV
II
I
IR
T
T
T
T
T
watts
410
)4(10
25.84
410
)4(10
Ω25.842.32
25.845000
11600
1160025.845000
11600
21.8107.70)104(10
10
100
10
1000
1000
1000 2 rama laen activa Pot.
25.84cos(0.90)
Asimismo
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
++
+
=°−
++
+
=
°−=
°
=∴
=°
=
=
°=+=
==
==
==∴
=
=
°=
 
 = 2.14 - 1.57i Ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.32
 
haciendo operaciones algebraicas para despejar a Z, obtenemos: 
 
Z
 
 
 
 
118 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Método 3. 
)1.........(..............................
410
84.25)90.0cos(
222
i
ang
V
Z
V
Z
V
P
T
T +
+==
°=
 
 
La parte real o potencia activa en la rama 2 vale 1000 watts 
 
Ω−=
°−=°−=
+= i
Z
257935001600
+
=∴
−+=+
°−+=+
+
+=°
=∴=
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
i
i
Z
i
Z
i
iZ
i
V
V
V
Re
57.114.2
38.36668.238.36
5.4347
11600
40010001160021794500
8.2110771160021794500
410
116001160084.255000
:(1)ecuación laen valoresdoSustituyen
116001000
116
10
1000
410
2
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
1
i
Z
25793500
11600
Z
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 119 
PROBLEMA 9 
 En la red de C.D. dada halle el valor de RL para el cual se tendrá una máxima 
transferencia de potencia. Calcule la potencia máxima. 
 
 
Solución: 
 
1. Por intercambio de fuentes simplificamos la red. 
 
 
2. Se deberá hallar el circuito equivalente de hévenin. 
 
 
 
 T
JJ
JJ
10204
8410
21
21
=+−
=−
amp.J
JV Th
0.7173
184
132
204
410
104
810
11
2
2
==
−
−
−
=
=
 
 
 
 
20 Problemario de Circuitos Eléctricos II 1
V voltsTh 7.89.7173) = 
 La resistencia de Thévenin se calcula de: 
 
 
RTh = 4.42 Ω 
 
 
3. Se calcula la potencia máxima en RL. 
 
11(0=
 
 
 
 
 
 El valor de RL debe ser igual al de RTh para que se transfiera la máxima potencia. 
 
 
watts
amp.I
IRLmax )4.42(0.892 2
2
==
 
PROBLEMA 10 
Pot 3.51
0.892
8.84
7.89
=
==
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 121 
 
 En el circuito mostrado encuentre el valor de la impedancia de carga ZL que dé lugar 
a la transferencia de potencia máxima y calcule dicha potencia. 
 
 
V
Solución: 
 
1. Hallemos el circuito equivalente de Thévenin, obteniendo Th de: 
 
 
 
 
voltsiiiiIiI
amp.iI
i
iii
V Th °=+=−=+=
−=
−
+=+++=
10.952.759.98451.8)3.70(0.713214410
3.700.7132
2600500100
25)2(41085
11z
 
 
 Cálculo de la impedancia de Thévenin: 
122 Circuitos Eléctricos II 
 
I = 100
11z
i6
i
IIi =
+
=∴=+
701265
100)26(5
 
 
 
 
 
 
 
 
 Problemario de
ii
i
i
i
ii
ii
iii
iiii
i
Z Th 73.24.1701
1914980
265
5064
265
26514
1410
14410
265)4(21085
10
12
22
11
+=
+
=
+
+−
=
+
+
=
=+=
+=+++=
=
z
z
z
 
 
 
El circuito equivalente de Thévenin es: 
 
 
2. La máxima transferencia de ZZ ThL = potencia tiene lugar cuando 
 
 
 La impedancia total del circuito es: 
 
ZT = 1.4 + 2.73i + 1.4 - 2.73i = 2.8Ω 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 123 
3. Calculemos I1 Ω, porque la bobina y el 
condensador se anulan). 
 
 
 
 
 
 (nótese que la carga se reduce a 1.4 
watts
amp.V
Pot
IRPot
max
Lmax
T
 496
1.4(18.83)1
:es da transferimáxima potencia lay 
10.952.75
2
2
=
==
°
 
 
 
 
 
ZI
10.918.83
2.81
°===
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS 
COMPLEMENTARIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 1 
 
 El circuito serie mostrado consume 64 watts con un factor de potencia de 0.8 en 
retraso. Hallar la impedancia Z y el triángulo de potencias. 
 
 
PROBLEMA 2 
 
 Encuentre la potencia compleja y el factor de potencia en cada rama de la red dada. 
Compruebe la conservación de la potencia compleja. 
 
 
 
PROBLEMA 3 
 
 Empleando divisor de corriente encuentre la potencia en cada rama del circuito dado 
y compruebe que Pfc = P1 + P2. 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 127 
PROBLEMA 4 
 
étricas obtenga la potenc Mediante funciones trigonom ia reactiva, aparente y el factor 
 
 
PROBLEMA 5 
 En la siguiente configuración nte, activa, reactiva y el factor 
de potencia en Z . Obtenga el triángulo de potencias en dicha impedancia. 
 
 
=20|0°
de potencia del circuito dado, sabiendo que la potencia activa consumida es de 2000 
watts. Dibuje el triángulo de potencias. 
 
 
 
calcule la potencia apare
5
 
 
E volts 
2 = 2+2i 
 
 i 
28 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
Z1 = 3 
Z
Z3 = 2i
Z4 = 1 + i 
Z5 = 4 +
Z6 = 1 + 2i 
 
 
 
1
PROBLEMA 6 
1 
 
 La potencia reactiva consumida por dos impedancias Z = 8|-15° Ω y Z = 20|-45°2 Ω 
en serie es de 800 VAR’S adela activa, aparente y el factor de 
potencia. 
 
 
 
 Calcule la potencia compleja en cada rama del circuito dado, cuando la potencia 
reactiva en la rama 3 es de 500 V
 
 En el circuito mostrado determine el valor de RL al cual se le transfiera la máxima 
potencia y calcule dicha potencia
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 129 
ntados. Hallar la potencia
 
PROBLEMA 7 
 
 
AR’S. 
 
PROBLEMA 8 
 
. 
 
PROBLEMA 9 
 
 En el circuito dado determine el valor de RL que dé lugar a la máxima transferencia 
de potencia. Calcule la potencia máxima suministrada a la carga. 
 
 
 
P 10 
ZL que dé lugar 
tencia máxima y calcule dicha potencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
130 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
ROBLEMA
 
 En el circuito mostrado encuentre el valor de la impedancia de carga 
a la transferencia de po
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS 
COMPLEMENTARIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 1 
 
 
 Diseñe un circuito RLC serie resonante para la corriente con una tensión de entrada 
de 5|0° volts que tenga las siguientes especificaciones: 
 
a) Una corriente pico de 10 mA. 
b) Un ancho de banda de 120 Hz. 
c) Una frecuencia de resonancia de 3x103 Hz. 
 
 Encuentre R, L y C y las frecuencias de corte. 
 
 
PROBLEMA 2 
 
 Un circuito RLC serie con R=20 Ω y L=2 mHy operando a una frecuencia de 500 
Hz tiene un ángulo de fase de 45° en adelanto. Hallar la frecuencia de resonancia para la 
corriente del circuito. 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 3 
 
 
 La tensión aplicada a un circuito serie RLC con C=16 μF es de 
)301000cos(2120)( °−= ttv volts y la corriente que circula es tti 1000sen23)( = 
amp. Encuentre los valores de R y de L ¿cuál será la frecuencia de resonancia ω0 para la 
corriente? 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 177 
PROBLEMA 4 
 
 
 Se tiene un circuito RLC serie con una frecuencia de resonancia para la corriente 
PROBLEMA 5 
 En la red dada: 
a) Calcule la Q0 de la red. 
 para la resonancia en V. 
banda es de 5000 Hz. 
PROBLEMA 6 
 Calcule el valor de C para que el circuito mostrado entre en resonancia para V a una 
 
 
78 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
de f0 = 300 Hz y un ancho de banda AB = 100 Hz. Encuentre la Q0 del circuito y las 
frecuencias de corte f1 y f2. 
 
 
 
 
 
 
b) Encuentre el valor de XC
c) Determine la frecuencia de resonancia f0 si el ancho de 
d) Calcule el máximo valor de la tensión VC. 
e) Calcule las frecuencias de corte f y f . 1 2
 
 
 
 
frecuencia angular ω0 = 25000 rad/seg. 
 
 
1
PROBLEMA 7 
a) Encuentre la frecuencia 
b) Calcule las reactan
c) Encuentre ZT
d) Si E=200|0°
 
 En el circuito dado: 
ω0 que haga mínima la corriente I. 
cias XL y XC a esta frecuencia. 
 a la frecuencia ω0. 
 volts encuentre I, I e I . 
LEMA 8 
 En el circuito RLC paralelo que se muestra: 
 
a) Encuentre po para la corriente en el 
er problema 
núm. 7 resuelto). 
) Verifique los resultados anteriores haciendo el desarrollo completo del método. 
P 9 
 
 Deduzca la expresión para calcular la frecuencia de resonancia para V en el circuito 
paralelo de dos ramas mostrado.
 
Elvio Candelaria Cruz 179 
L C
 
PROB
 
r dualidad la frecuencia de resonancia ω0
capacitor y la expresión para el módulo máximo de dicha corriente (v
b
 
ROBLEMA
 
 
PROBLEMA 10 
 
 En el circuito paralelo de do ncuentre el valor de L y de C 
para que la red entre en resonancia para V a cualquier frecuencia. Exprese la condición 
que relacione a R , R , L y C. 
 
 
 
80 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
s ramas que se muestra, e
L C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO V 
 
 
REDES CON 
MULTIFRECUENCIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 1 
 
 En el circuito dado ifc(t) = 5 + 10sen1000t + 15sen(2000t + 30°) amp. Calcule el 
voltaje instantáneo en la bobina y en el resistor en serie con la fuente. 
 
Solución: 
 
 Se observa que la fuente posee término constante y términos senoidales, por lo que 
habrá que resolver la red auxiliar de C.D. y la red auxiliar de C.A. Calcularemos 
primeramente el voltaje en la bobina en cada red auxiliar. 
 
Red auxiliar de C.D. 
 En corriente directa la bobina se comporta como corto circuito. 
Ω=== 0)0( LiLiZ L ω 
Por tanto v0 = 0 volts 
 
Red auxiliar de C.A. 
 La red auxiliar de C.A. es el circuito original con corrientes y voltajes complejos. 
 
 Elvio Candelaria Cruz 183 
 En el análisis de problemas con fuentes senoidales de diferentes frecuencias se 
aplica el teorema de superposición, es decir, haremos actuar por separado cada término 
de la fuente para obtener una respuesta parcial y la suma de estas respuestas parciales 
será la respuesta total. 
 
 El voltaje en la bobina está dado por: 
 =
Consideremos primeramente el término 
 
VL ZeqI 
 
 
volts
xix
xix
amp.seg
radω
tt
V
IZV
Z
I
i
eq
eq
fc
°=
°°==
°=
°
°
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
°==
°↔=
−
−
88.4879.9
)0)(1088.48(7.99
Ω88.487.99
1.52300.1
902400
)10)(810(300
)10)(810(300)(
010,1000para
01010sen1000)(
'
'''
'
'
'
33
33
 
 
Este complejo corresponde a la senoide 
Ahora consideremos el segundo término senoidal de la fuente. 
voltsttv )48.881000sen(9.79)(' °+= 
 
volts
i
ix
xxi
xxi
amp.seg
radω
t
IZV
Z
I
ti
eqeq
°=°°==
°=
°
°
=
+
=
+
=
°==
°↔°+=
−
−
116.95239.55)30)(1586.95(15.97
Ω86.9515.97
3.05300.42
904800
16300
16300
)10)(810(2300
)10)(810)(2(300)(
3015,2000para
3015)3015sen(2000
''''''
''
''
)(''
33
33 
 
uya senoide correspondiente es: 
 
 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
C
voltsttv )95.1162000sen(55.239)('' °+= 
 
 
 
 
184 
Por lo que el voltaje instantáneo en la bobina es: 
 
voltstttv
tvtvvtv
L
L
)95.1162000sen(55.239)48.881000sen(9.79)(
)('')(')( 0
°++°+=
++=
 
 
El voltaje instantáneo en el resistor de 500 Ω
 
 
 es: 
( ) voltstt
voltsfc
tv
titv
R
R
°+++=
=
302000sen75001000sen50002500
500
)(
)()(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 185 
PROBLEMA 2 
 
 Calcule el voltaje instantáneo en el capacitor del circuito mostrado, cuando la fuente 
6
 
 
r de C.D.
es E(t) = 10 + 5sen(10 t +60°) volts. 
Solución:
 
Red auxilia 
ino constante de E(t). En corriente directa el capacitor se Consideremos el térm
comporta como circuito abierto. 
Ω∞===
CiCiZ c )0(
11
ω
 
Por divisor de voltaje: 
)(66.6
66.6
150
10
10050
)10(100
100v ==+=
3
00 vvv cvolts
volts
==
 
Red auxiliar de C.A.
 
 
 
186 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Consideremos ahora el término senoidal de E(t). 
 
Ω50.254.980.24987.144.994
2.86100.125
90500
5100
)5100(
C.A.) deauxiliar red laen (indicada
como designamos lacapacitor ely 100Ω deresistor del paraleloen impedancia laA 
Ω5
10
1051051
605',10para
605)605sen(10)(' 6tt °°+=
.
 
6
66
6
ii
i
i
i
ix
ω
ix
iω
Esegradω
Z
Z
Z
Z
Z
eq
eq
eq
C
C
−≅−=°−=
°−
°−
=
−
−=
−=
−=−==
°==
↔
C
 
Aplicando divisor de voltaje para hallar el voltaje en el capacitor, tendremos: 
E
 
 
( ) ( )( )
volts
iiZ
V C
eq
C
°−=
°−
=
−
=
−+
=
+
=
46.21495.0
68.55.50525.50525.05050
'
'
 
 
El voltaje instantáneo en el capacitor es la suma de las respuestas parciales de los 
rminos de la fuente E(t). 
C
CC
°−+=
+=
46.2110sen495.066.6 6
0
)(
)(')(
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 187 
EZeq °−°−°°− 14.272514.272560514.87994.4'V
té
 
( ) voltsttv
tvvtv
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 3 
 Obtenga la serie trigonométri “diente de sierra” dada. 
 
Solución: 
 En la figura 
drá términos senos (todas las constantes 
ROBLEMA
 
 
ca de Fourier de la onda 
 se puede observar lo siguiente: 
 
1. El valor medio de la función es cero. 
. La función es impar, por lo tanto sólo conten2
an serán cero). 
 
 La serie trigonométrica de Fourier de f(t) está dada por: 
( )∑
∞
=
++=
++++++=
2121
2sensen...2coscos
2
)( tttt bbaa ωωω
1
0
0
sencos
2
)(
:compacta formaEn 
...
n
nn
tntntf
t
baa ωω
ω
 
 
Los coeficientes de Fourier se calculan de: 
af
( )
∫
∫
∫
∫ == n
+
+
+
+
=
=
=
==
Tt
t
dttf
T
Tt
t
dtttf
T
nTt
t
tdtntf
T
Tt
t
a
a
a
a
bn
0
0
0
0
0
0
0
)(1
2
0cos)(2
: en 0n sustituir Al
.
2
 de Cálculo
,...3,2,1sen)(2
,...2,2
0
0
n
0
ω
ω
 
 
 
188 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
tdtntf
Tan 0 1,0cos)( ω
 En nuestro caso elegiremos 
2
T
−= . 
0t
∫− 2
T
 
 Pudimos tomar 0=0, pero esto implicaría integrar dos intervalos de la función (de 
<t<T/2 y de T/2<t<T). Así que tomando t0=–T/2 el único intervalo a integrar es 
= 20 )(1
2 T
dttf
T
a 
t
0
T/2<t<T/2. 
 
0
222
2121 2
2222
0 = ∫
T
T
a
2 2 2
2
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
T
T
TT
T
Vt
T
V
T
tdt
T
V
T
 
Cálculo de an. 
 
∫ ∫∫−=
22 T
Tn
f
Ta − −==
2
2
2
2
2
2
.cos4cos22cos)(
T
T
T
T
tdtnt
T
Vtdtnt
T
V
T
tdtnt ωωω 
 
Integrando por partes: 
 
u
∫ ∫−=
=∴=
=∴= dtdut
1
vduuvudv
tn
n
vtdtnv ω
ω
ω sencos 
 
sustituyendo expresiones: 
d
 
[ ] 0)(coscos14
2
2cos1
2
2cos14
cos1
0
2
2sen
22
2sen
2
4
sen1sen4
2
⎢
⎡
−= ωtntV
T
222
22222
2
2
222
2
2
2
2
=−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎣
−
−
−
∫
ππ
ω
π
ω
π
ω
ω
ω
π
ω
π
ω
ω
ωω
nn
nT
V
T
T
n
n
T
T
n
nT
V
tn
n
T
T
n
n
TT
T
n
n
T
T
V
tdtn
nnT
T
T
T
T
T
n
44444444 344444444 21 
 
 
lvio Candelaria Cruz 189 
a
 
 
 
E
Cálculo de bn. 
 
∫−=
2 (
Tn
tf
Tb ∫∫ −− ==2 222 sensensen) TT tdtntTtdtntTTtdtn ωωω 
 
22 4222 T TT VV
Integrando por partes: 
vduuvudv −=∫ ∫
tn
n
vtdtndv
dtdutu
ω
ω
ω cos1sen −=∴=
=∴= 
( )[ ]
( )[ ]
...3,2,1cos2
0sensen1
2
2sen
2
2sen1sen1
cos2
coscos
2
2cos
2
2cos
4
4
2
cos
42
cos
4
4
cos1cos4
22
22
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
=−=+=
=−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
−=
−−−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−−=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
−
−−
∫
nn
n
V
nn
n
T
T
nT
T
n
n
tn
n
n
n
V
nn
n
VT
T
nT
T
n
n
T
T
V
Tn
n
TTn
n
T
T
V
ttdn
n
tn
n
t
T
V
b
b
n
T
T
T
T
T
T
n
π
π
ππ
ω
ππ
ω
ω
ω
π
π
ππ
π
ππ
π
ω
π
ω
π
ω
ω
ω
ω
BA
B
B
A
A
A
BA
44 344 2144 344 21
 
 
 La función cos nπ es positiva para n par y negativa para n impar, con lo que el signo 
la serie trigonométrica de Fourier es: de los coeficientes se alterna. Así, 
( )( )
∑
∑
∞
=
+
∞
=
−=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ +−+−= ...4sen
4
13sen
3
12sen
2
1sen2)( ttttVtf ωωωω
π
1
1
1
sen2)1()(
sencos2)(
:compacta formaEn 
n
n
n
tn
n
Vtf
tnn
n
Vtf
ω
π
ωπ
π
 
 
 
190 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 4 
rectangular que se muestra. 
 
 
Solución: 
 De la form
ón es par, por lo tanto la serie sólo contendrá términos cosenos (todas las 
 
 Obtenga la serie trigonométrica de Fourier para la corriente i(t) dada por el pulso 
 a de onda dada se puede observar lo siguiente: 
 
1. La funci
constantes bn serán cero) más una constante 2
0a . 
2. La función es susceptible de tener simetría de media onda, por lo que la serie 
contendrá solamente términos impares cosenos má
2
0as la constante . 
 
 L
3. El valor medio de i(t) es 3: 
a serie trigonométrica de Fourier de f(t) está dada por: 
( )∑
∞
=
++=
++++++= 0 coscos)( ttf aaa ω
1
0
2121
sencos
2
)(
...2sensen...2
2
n
nn tntntf
ttt
baa
bb
ωω
ωωω
 
 
Cálculo de 
:compacta formaEn 
2
0a . 
tes integración de la función f(t) en un ciclo pueden tomarse en diversos 
 ejemplo si tomamos t0=0 debemos realizar tres integrales, en los 
guientes intervalos: 
 
 
 Los lími de
intervalos, por
si
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 191 
⎧
<<
<<
436
106
t
t
Si t0=-1, únicamente tenemos que realizar dos integrales: 
⎧ <<− 116 t
 
En la figura se ve que T=4 seg. por lo que 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨ <<= 310)( ttf 
⎪
⎪
⎨
<<
=
310
)(
t
tf 
⎩
⎪
 
[ ]
( )
( ) ( )[ ]
0
2
cos
2
cos6
2
;1cos1cos3
cos30sen
4
26sen
4
2
de Cálculo
2
sen12
2
sen
2
sen6
2
sen
2
sen6
2
sen23
2
cos30cos
4
26cos
4
2
de Cálculo
311
4
6
4
60 6 1
2
:1Eligiendo
.
24T
=== 22
1
1
3 
1 
1 
1
1 
1
11
3 
1 
1 
1
1
1
3 
1 
1 
1
0
0
 
. 
 
. 
=−−−=
=−−−=
−=+=
=+=−−=
==+=
=+==+=
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
−
−
−
−−
∫∫
∫∫∫
∫∫
πnπn
nπ
πωnωnω
nω
nω
nω
nωnω
πn
nπ
πnπn
nπ
πnπn
nπ
tπn
nπ
tdtπnnωnω
tdtdt
T
t
πω π π
b
b
b
b
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
ttdttdt
tdttdt
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
192 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 De la expresión calculada para 
2
sen12 π
π
n
nan = se ve que para n=2,4,6,… y 0=an 
para n impar los signos se alternan, por lo que la serie sólo contiene cosenos impares 
más una constante 
2
0 . Así, la serie trigo de Fourier e
 
a nométrica s: 
∑
∞
=
+=
⎟
⎠
⎜
⎝
+−++= ...
2
cos
72
cos
52
cos
32
cos3)(ti
π
⎞⎛ −
1n 2
cos
2
sen123
:compacta forman 
71513112
tnn
n
i(t)
tttt
ππ
π
ππππ
 
 
 
 
E
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 193 
PROBLEMA 5 
 
 Exprese mediante su serie tri la señal senoidal rectificada de 
media onda que se muestra en la
Solución: 
 
 Se observa que la función no presenta ningún tipo de simetría, por lo que no es par ni 
impar y la serie contendrá términos senos y cosenos. 
 La serie de Fouri
 
gonométrica de Fourier 
 figura. 
 
 er tiene la forma: 
 
( )∑
∞
=
++= sencos)( nn tntntv ba ωω 
 
Cálculo de a0. 
 
Nótese que en este problema la variable es ωt. 
12 n
0a
 
[ ] [ ]
[ ]
ππ
π
π
ω
π
ωωω
π
ππ t
tv
⎪
⎨
<<
=
20
)(
πω
π
π π
π
VV
VtVt
t
tdttdVdttf
T
ttV
a
a T
=−−−=
−−=−=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +==
⎩
⎪ <<
∫ ∫ ∫
+
11
22
0coscos
2
cos
2
)(0)(sen
2
1)(1
2
0sen
0
0
0
20 0
0
 
 
 
 
⎧
 
 
 
 
 
 
194 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
aCálculo de n
)( cossen )(0 )( cossen 2
2
2 que observa Se
20
0sen ωV⎪⎧)(
 
0 
2 
0 
0
ωtnωωtπ
VωtdωtnωωtV π
πT
πtπ
πtttf
π π
π 
π 
na tdtd ∫∫∫ =+=
=
<<
<<=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎨
 
 Auxiliándonos en tablas de integrales la función a integrar tiene la forma: 
 
)( )cos(2 0t 
t 
ωtnωtfT
T
na td∫=
+
c
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
)2(1
cos0
)2(1
cos0
)2(1
)cos(
)2(1
)cos(
)2(1
)0(1cos
)2(1
)0(1cos
)2(1
)(1cos
)2(1
)(1cos
)2(1
)(1cos
)2(1
)(1cos)( cossen 
:essoluciónuya
,1, cossen 
0
0 
0 
nnn
nππ
n
nππ
n
n
n
n
n
πn
n
πn
n
ωtn
n
ωtnωtnω ωt
ωtxnnmdondenxdx mx
π
π 
π 
−+++−
−−+
+−=
−
−++
++−
−−+
+−=
=−
−−+
+−=
===
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∫
∫
td
 
 
Haciendo uso de las identidades trigonométricas siguientes: 
 
)(1
1
)2(1
)(1)(1cos
)2(1
2
)2(1
cos
)2(1
cos
)2(1
cos0
)2(1
cos0
)2(1
sensencoscos
)2(1
sensencoscos-
:obtenemos
sensencoscos)cos( bababa +=−
ysensencoscos)os(
222 nn
nnnπ
nn
nπ
n
nπ
nnn
nππnππ
n
nππnππ
bababa
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
++−
=
−
+
−
+
+
=
−
+
+
+
−
+
−
+
−
=
−=+
 
 
 
 
 
c
 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 195 E
( )
3,5,7,...para0y
2,4,6,...para
)(1
2
1 cos
)(11
1 cos + ⎤⎡ V)( cossen 
1
1 cos
1
1
1
 cos
)(1
1
)2(1
2 cos
 
2
220 
22222
=
=
−
+
−−
−
+
−−−−
=
=
=⎥
⎦
⎢
⎣
==
=+=+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
n
n
nπ
V
nπ
nπn
=
pero
n
π
ωtdnω ωt
π
n
nπ
nn
nπ
nn
nπ
a
a
a
n
n
n
t 
Cuando n=1 la expresión para 
πVV π
( )1cos
)1( 2
+
−
= π
π
n
n
Van se indetermina, por lo que 
habrá que evaluarla por separado para n=1. 
∫= ωωω
π
π 01
)(cossen ttdtVa 
Haciendo uso de la identidad trigonométrica
1
 xxx 2sen
2
1cossen = , obtenemos: 
[ ]
0
0
=
⎦⎣
a
0cos2cos
4
2cos
4
1)(2sen
2
1
1
01
−−=⎥
⎤
⎢−== ∫a
VtVttdV π
π
ω
π
ωω
π
π
π
 
por lo que, finalmente 
 
Cálculo de bn. 
⎡
.1,3,5,7,..para0 == nan 
 
[ ] [ ]
ωtxnnm
c
nm
xnm
nm
xnmnxdxmx
ωtdnωωt
π
VωtdωtdnωωtV
π
πT
πtπ
πtωt Vtv
ωtt dnωtf
π π π
π n
T
b
===
+
−
−+
+
+=
=+=
=
<<
<<
=
=
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
∫
∫∫ ∫
∫
+
y1,donde
)2(
)(sen
)2(
)(sensen sen 
:integrales de Por tablas
)(sen sen )(0 )(sen sen 
2
2
2
20
0sen )(
)()sen (2
0 0 
2 
0
 tt
t
 
 
b t Tn
⎧
0
 
 
 
 
 
196 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
)1(2
)sen(
)1(2
)sen(
)1(2
0)1(sen
)1(2
0)1(sen
)1(2
)1(sen
)1(2
)1(sen
)1(2
)1(sen
)1(2
)1(sen)(sensen
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
tn
n
tnttdnt
−
−
+
+
+
−=
∗
−
−
−
+
+
+
−
−
+
+
+
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
+
+
+
−=∫
ππππ
ππ
ωωωωω
π
π
 
 
Haciendo uso de las identidades trigonométricas siguientes: 
10
)2(1
0
)(sen sen pero
10)(sen sen 
10
)2(1
0
)2(1
sen cos cossen 
.0
)2(1)2(1 −
+
+
=
nn
sen cos cossen sen cos cossen 
sen cos cossen )en(
ysen cos cossen )en(
 
0 
 
 
y
≠∀=
−
=
≠∀=
≠∀=
−
=
−
−=
∀=
−+
−=−
+=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= ∫
n
nπ
V
ωtdnω ωt
π
V
nωtdnω ωt
n
nn
nπ πnπ π
n
nπ πnπ πnπ πnπ π
b ab aba
b ab aba
b
b
n
π
n
π
t
t
B
A
BA
444444 3444444 21444444 3444444 21
 
con n=1 la expresión para bn se indetermina, por lo que b1 deberá evaluarse por 
separado. 
 
s
s
0 ∫
∫ ∫ ==−=== ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡π 
ππ Vπ
π
Vωtωt
π
Vωtωtdπ
Vωtωtd ωtVπb 0 00 
2
1 224
sen2
2)(sen )(sen sen 
1 
 
Sustituyendo valores en la serie de Fourier dada por: 
...2sensen...2coscos
2
)(
2121
0 ++++++= tttttv bbaaa ωωωω 
* Puede verse que la integral buscada vale cero para toda n≠1, sin embargo se hace un desarrollo similar al que se usó 
para el cálculo de an con el fin de clarificar el resultado. 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 197 
obtenemos 
 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−−−+=
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +++−=
++
−
+
−
+
−
+=
...6cos
35
24cos
15
22cos
3
2sen
2
1)(
sen
2
...
35
6cos
15
4cos
3
2cos2)(
sen
2
...6cos
)361(
24cos
)161(
22cos
)41(
2)(
ttttVtv
tVtttVVtv
tVtVtVtVVtv
ωωωωπ
π
ωωωω
ππ
ωω
π
ω
π
ω
ππ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
198 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 6 
 Se aplica la señal de la gráfica al circuito mostrado. Encuentre la corriente 
stantánea i(t). Considere ω=103 rad/seg. 
olución: 
 La señal en diente de sierra de la figura ha sido analizada en el problema núm. 3, 
abiéndose obtenido la serie de Fourier siguiente: 
 
 
in
 
S
 
 
h
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−+−= ...4sen
4
13sen
3
12sen
2
1sen2)( ttttVtv ωωωωπ 
ustituyendo valores y con una aproximación de los tres primeros armónicos de la serie, 
ndremos 
 
S
te
E …−+−= t.t.t. t 3000sen4882000sen73121000sen4625)( 
 Analizaremos ahora la red dada como una red con multifrecuencias. 
 
 
 
Red auxiliar de C.A. 
 
Empleando superposición tendremos: 
Primer armónico de la serie o término fundamental 
 
=↔= 1000sen46.25 ')(' E 046.25tE t
Elvio Candelaria Cruz 
° 
 
 
 
 199 
amp.tx
amp.x
ixi
segradω
t
amp.tx
amp.xx
ixi
segradω
t
amp.tx
amp.x
ii
segradω
ti
Z
EI
Z
EtE
ti
Z
EI
Z
EtE
ti
Z
EI
Z
T
T
T
T
T
T
)85.23sen(30001014.08
85.231014.08
85.23602
08.48
Ω85.2360260050)(0.2)10(350
es red la de impedancia la 3000Para
08.4808.48sen300
armónicoTercer 
)97.13sen(20001031.57
97.131031.57262.871031.57
82.87403.11
18012.73
Ω82.87403.1140050)(0.2)10(250
2000Paravolts18012.730012.73sen20
armónico Segundo
)75.96sen(100010123.5
es ientecorrespond senoidalfunción la que loPor 
75.9610123.5
75.96206.15
025.46
Ω75.96206.1520050)(.2)(1050
es red la de impedancia la 1000Para
3
3
3
3
33
3
3
3
3
)('''
'''
''''''
'''
''')('''
)(''
''
''''
''
'')(''
)('
'
''
'
°−=
°−=
°
°
=
°=+=+=
=
°=↔=
°+=
°=°−=
°
°−
=
°=+=+=
=
°−=↔−=
°−=
°−=
°
°
=
°=+=+=
=
−
−
−
−−
−
−
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
200 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
La suma de las corrientes parciales halladas es la corriente instantánea del circuito. 
 
amp.tx
txtxti
titititi
)85.23sen(30001014.08
)97.13sen(20001031.57)75.96sen(100010123.5
3
33)(
)(''')('')(')(
°−+
°++°−=
++=
−
−− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 201 
PROBLEMA 7 
 
 Encuentre la corriente instantánea que circula por la bobina de la red mostrada 
cuando E(t) está dado por la señal rectificada de media onda mostrada en la gráfica. 
Considere ω=377 rad/seg. 
 
Solución: 
 
 La señal rectificada de media onda ha sido analizada en el problema número 5, 
habiéndose obtenido la serie de Fourier siguiente: 
 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−−−+= ...6cos
35
24cos
15
22cos
3
2sen
2
1)( ttttVtv ωωωωππ 
Sustituyendo valores y con una aproximación de los tres primeros términos de la serie, 
tendremos: 
...)90754sen(44.42377sen10066.63
...754cos
3
2377sen
2
1200
)(
)(
−°+−+=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−+=
tt
tt
tE
tE ππ 
 
Analizaremos ahora la red dada como una red con multifrecuencias. 
 
Red auxiliar de C.D. 
 
 En corriente directa la bobina se comporta como corto circuito y el capacitor como 
circuito abierto, por lo que el circuito resultante es: 
amp.x
xi
3
30
1042.44
101.5
63.66 −== 
 
202 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Red auxiliar de C.A. 
 
Consideremos el primer término senoidal o primer armónico. 
( )
0).765(5)(2.65
1)(2.65)2.65-(10
areducen seéstas
0).765(510)(2.6510
100)(2.6510)2.65(1010
método del ecuaciones lasen mallas de simpedancia las doSustituyen
265)265(
76.5500188.5265500
2651000
0
0100
:mallas de método el Aplicando
188.5
2
1377
265
377
10
: valenreactivos elementos los de simpedancia las 377Para
0100E'100sen377
21
21
2
2
1
2
2
2
1
2
12
22
11
222121
212111
L
5
C
Z
Z
)('
=−+
=+
=−+
=+−
=−−=
−=+−=
−=
=+
°=+
==
−=−=
=
°=↔=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
tE
ii
ii
ii
ii
ii
iii
i
ii
ii
segradω
t
z
z
z
zz
zz
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 203 
0)2.44(51.32
0.421.32)1.32-(10
:areducen se que
0)244.37(500132.62
42.44132.62)132.62-(1000
:son ecuaciones nuevas Las
132.62)132.62(
244.37500377132.62500
132.621000
:mallas de método el nuevamente Aplicando
377(754)(0.5)
132.62
754
i10
ahora valen reactivos elementos los de simpedancia las754 Para
9042.44)90754-42.44sen(
armónico segundo el ahora osConsiderem
)69.27.045sen(37
es ientecorrespond senoidalfunción La
69.2.045
20.858.83
902.65
20.955
2.65
0.76552.65
2.652.6510
02.65
12.6510−
21
21
21
21
21
22
11
5
2
'')(''
)('
'
 
=++
−=+
=++
−=+
=−−=
+=+−=
−=
==
−=−=
=
°−=↔°+=
°−=
−=
°−
°−
=
−
−=
−
−
==
J J
JJ
JJ
JJ
Z
Z
EtE
ti
JI
ii
iii
ii
iii
ii
iii
i
ii
i
segradω
t
amp.t
amp.
i
i
ii
ii
i
L
C
z
z
z
 
 
 
i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
204 Problemario de Circuitos Eléctricos II
amp.txtx
amp.x
i
ii
ii
i
ii
ti
JI
)197.94sen(754109.6)17.94sen(754109.6
17.94109.6
17.9457.77
0.554
17.854.96
0.554
2.4451.32
1.321.3210
01.32
0.421.3210
33
3
2
)(''
''
°−=°−−=
°−−=
°
−=
+
−=
+
−
−−
==
−−
−
 
 Finalmente, la corriente instantánea que circula por la bobina es la suma de las 
 
 
 
 
corrientes parciales halladas, esto es: 
 
amp.txtxti
titiiti
L
L
)197.94sen(754109.6)69.2770.045sen(31042.44 33
0
)(
)('')(')(
°−+°−+=
++=
−−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 205
P 8 ROBLEMA
 
 En el circuito mostrado calcule la tensión y la intensidad de corriente eficaces en el 
ωt + 2sen(3ωt + 90°) amp. 
 
Solución: 
 Las expresiones para calcular la tensión y la intensidad de corriente eficaces son: 
capacitor cuando la fuente proporciona una señal de la forma 
 
i(t) = 15 + 5cos
 
 
∑
∑
=
=
+=
+=
N
n
nef
N
22 1
n
nef
III
VVV
1
22
0
1
0
2
1
2
 
 
álculo de la corriente eficaz en el capacitorC 
ed auxiliar de C.D.
 
R 
 
 En C.D. no circula corriente por el capacitor, por comportarse como circuito abierto. 
= 0 
 
206 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
I0 
 
 
 
 
 
Red auxiliar de C.A. 
( ) amp.
amp.t
amp.
i
i
iiω
t
segradω
amp.t
amp.
i
i
iiω
tt
segrad
I 905)905sen(1000) ' °=↔°+=
ω
N
n
nef
ef
C
C
C
C
C
C
III
I
ti
I
Z
Iti
ti
I
Z
ti
2.561.843.125
2
1
2
1
encontrar para fórmula la Aplicando
)112.6001.84sen(30
112.61.84
22.68.66
9016
3.338
)(8)90(2
3.33
))(10)(10(3)(10
11
902)902sen(3000
3000Para
)141.340003.125sen(1
141.343.125
51.3412.80
9040
108
)(8)90(5
10
))(10)(10(10
11
5cos(1000
1000Para
22
1
22
0
623
623
 
)(''
''
'')(''
)('
'
)('
=+=+=
°+=
°=
°−
°
=
−
°
=
−==
°=↔°+=
=
°+=
°=
°−
°
=
−
°
=
−===
=
=
∑
=
−
−
=
C
C
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 207 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
Cálculo de la tensión eficaz en el capacitor 
 
Red auxiliar de C.D. 
voltsV 120)8)(15(0 == 
 
Red auxiliar de C.A. 
 
( ) volts
voltst
volts
segradω
voltst
volts
segradω 1000ara =P
N
n
nef
ef
C
CCC
C
CCC
VVV
V
tv
IZV
tv
IZV
1226.1231.25
2
1120
2
1
encontrar para fórmula la Aplicando
)22.6006.12sen(30
22.66.12)112.6)(1.8490(3.33
3000Para
)51.3400031.25sen(1
51.3431.25)141.34)(3.12590(10
222
1
22
0
 
)(''
''''''
)('
'''
=++=+=
°+=
°=°°−==
=
°+=
°=°°−==
∑
=
 
 
 
208 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 9 
 Se aplica una tensión tv ωω sen10)753)( +°+= 
 las terminales de un circuito pasivo, siendo la intensidad que resulta 
°
 
 voltstttω sen(8)60cos(4025 −°−+
a
)105cos(5.03cos2)30sen(35)( ++°−+= tti ttωω ω − amp. Calcule la potencia media
nciones dadas en términos de s
amptttti °++°++°−+= ωωω
 
 La fórmula para calcular la potencia media es: 
 
del circuito. 
 
 Expresando las fu enos de amplitud positiva: 
 
5sen10)1053sen(8)30sen(4025) voltstttvt +°−+°++= ωωω
 
.)805sen(5.0)903sen(2)30sen(35)(
 
∑ −+=
N
nnnnm IVIVP 00 )cos(2
1 βα 
=n 1
 
 Donde V0 e I0 son los términos de C.D. y Vn e In son las amplitudes de cada término 
e C.A. Así d
 
[ ]
( ) watts
xxx
P
P
IIII
VVVV 10840250 ====
m
m
70.147868.045.1560
2
1125
)80cos(5.010)195cos(2860cos340
2
1)5)(25(
: valoresdoSustituyen
80800
19590105
60)30(30
5.0235
33
22
11
3210
321
=+−+=
=°−+°−+°+=
°−=°−°=−
°−=°−°−=−
°=°−−°=−
====
βα
βα
βα
 
 
 
lvio Candelaria Cruz209 
 
 
 
 
E
PROBLEMA 10 
 En el circuito mostrado cal potencia media (activa) si se 
aplica una tensión 
Solución: 
 
 
cule la corriente eficaz y la
.3000sen752000sen1001000sen15015)( voltsttttE +++=
amp.
amp.t
amp.
ii
voltst
segradω
amp.t
amp.
i
i
i
voltst
segradω
ti
Z
EI
Z
EtE
ti
Z
EI
Z
EtE
IV
T
T
T
T
20sen2000
020
5
0100
Ω510105
0100100sen2000
2000Para
)71.56009.48sen(10
71.569.48
71.5615.81
0150
Ω71.5615.81155
))(50)(10(10
155
0150150sen1000
1000Para
0volts;15
)(''
''''
'')(''
)('
''
')('
63
00
=
°=
°
==
=−+=
°=↔=
=
°+=
°=
°−
°
==
°−=−=++=
°=↔=
=
==
−
 
 
 
 
10 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
2
( ) ( )
[ ]
watts
xxx
amp.
amp.ttt
amp.t
amp.
iii
segradω
voltst
P
P
P
βαIVIVP
I
II
ti
tititiIti
ti
Z
EI
Z
m
m
m
N
n
nnnnm
ef
N
n
nef
T
T
1374
298)2000(450
2
1
)597.71cos(075)20cos(0100)71.569.48cos(0150
2
1
cos
2
1
fórmula la mediante calcula se activa o media potencia La
16.57
274.6559.4440089.87
2
17.71209.48
2
1
2
1
aplicamos eficaz corriente lacalcular Para
)59007.71sen(3020sen2000)71.56009.48sen(10
es circuito del ainstantáne corriente la que loPor 
)59007.71sen(30
597.71
599.72
075
Ω599.728.3456.66155
3000ara
1
00
222
1
22
0
0
I
)(
)(''')('')(')(
)('''
''''''
=
++=
°+°+°+°−°=
+=
=
=++=+++=+=
°−++°+=
+++=
°−=
°−=
°
°
==
°=+=−+=
=
∑
∑
=
=
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 211 
EtE 07575sen3000 ''')(''' °=↔=
p
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS 
COMPLEMENTARIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 1 
 
 Calcule el voltaje instantáneo en el capacitor cuando la fuente de corriente es 
.)30500sen(3020)( amptti fc °++= 
 
PROBLEMA 2 
 
 Obtenga la serie trigonométrica de Fourier de la señal “diente de sierra” dada. 
 
PROBLEMA 3 
 
 Determine la serie trigonométrica de Fourier para la onda cuadrada de la figura. 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 215 
PROBLEMA 4 
 
 Obtenga la serie trigonométrica de Fourier de la onda mostrada en la figura. 
 
 
 
PROBLEMA 5 
 
 Se aplica la señal de la gráfica al circuito mostrado. Encuentre el voltaje instantáneo 
en el capacitor. Considere ω=10 rad/seg. 
 
 
PROBLEMA 6 
 
 Dado E(t) = 20sen500t + 50sen(100t + 30°) volts, calcule la corriente instantánea que 
se indica en el circuito mostrado. 
 
 
 
216 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 7 
 
la corriente instan R Ω de la red 
 Calcule el voltaje y la corrien otencia media en el resistor de 
tánea i (t) que circula por el resistor de 10 Encuentre 
mostrada cuando i(t) está dada por la señal de la gráfica. Considere ω = 200 rad/seg. 
 
PROBLEMA 8 
 
te eficaces, así como la p
15Ω cuando la fuente es .)303sen(5)602sen(3sen25)( amptttti °−+°+++= ωωω 
Considere .1000 seg
rad=ω 
PROBLEMA 9 
 
 Si E(t) está dado por la s dia onda de la gráfica como eñal rectificada de me
E ...4cos0424.02cos212.0sen5.0318.0)( −−−+= tVtVtVVt ω ω ω (utilice solamente 
que circula por el circuito mostrado, así como la corriente eficaz 
 
 217 
los tres primeros términos para representar E(t)), encuentre la corriente instantánea i(t) 
y la potencia activa 
total consumida por el circuito. Considere ω = 377 rad/seg. 
Elvio Candelaria Cruz 
PROBLEMA 10 
 
 Se aplica una tensión tv )50)( °+= a las terminales 
e un circuito pasivo, siendo la 
potencia media consumida por el 
circuito. 
218 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
voltstt 2sen(80sen2060 ++ ωω
intensidad que resulta d
.)202sen(3)60sen(52)( ampttti °−+°++= ωω 
 
 Calcule la tensión y corriente eficaces, así como la 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO VI 
 
 
REDES DE 
DOS PUERTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 1 
 
 Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de circuito abierto. 
 
Solución: 
 
 Los parámetros de circuito abierto son los parámetros Z. Las ecuaciones con estos 
parámetros para una red activa son: 
 
VIZIZV
VIZIZV
0
22221212
0
12121111
++=
++=
 
 
 
 Calculemos primeramente V y V que son los voltajes debidos a la fuente interna 
con las terminales del cuadripolo abiertas, como se muestra: 
0
1
0
2
 
 Por divisor de corriente: 
.105
6
1033
.
6
10
6
1010
24
)105(2
3
2
0
1
233
voltsx
ampxx
IV
I
k
k
−
−
−−−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
==
+
=
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 221 
.10
3
210
3
1022
.10
3
10)105(4 33x −−
6
230
2
voltsxx
ampx
IV
I
L
L
−− =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
==
 
 
 Para calcular los parámetros 
 
Z lk , debemos pacificar el cuadripolo (anular fuentes 
rresp
 
reales) y excitar las terminales co ondientes según las condiciones requeridas. 
 
ZZ 2111 y de Cálculo 
 
→=
=01
1
11
2II
VZ Impedancia de entrada [Ω]. 
 
→=
=01
2
21
2II
VZ Impedancia de transferencia directa [Ω]. 
 
 En ambos parámetros se tiene la condición de que I = 0, por lo que la configuración 
 
 
 
 
 2
correspondiente es: 
 
 
 
( )
01
2
21
01
1
11
2
2
5.1
6
9
33
)3(3
=
=
=
Ω==
+
==
I
I
I
VZ
I
ZIZ eq
 
 
 
 
 
 
222 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
La corriente que pasa por el resistor de 2Ω es: 
 
y(1)
2
12Por tanto
233
3
112
11
2Ω
 voltIV
amp.
I
III
==
=
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
 
 
 Cálculo de
Ω==
=
1
)1(
01
1
21
2II
IZ
 
 
 ZZ 2212 y 
 
→=
=02
1
12
1II
VZ Impedancia de transferencia inversa [Ω]. 
 
→=
=02
2
22
1II
VZ Impedancia de salida [Ω]. 
 
 En ambos parámetros se tiene la condición de que I1 = 0, por lo que la configuración 
 
 
correspondiente es: 
 
 
Ω=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
==
=
1
24
2
3
2
2
02
1
12
1
I
I
I
VZ
I
 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 223 E
 Se comprueba que en una red puramente pasiva (no contiene en su interior fuentes de 
ningún tipo) .1221 ZZ = 
 
 
Ω=
+
===
=
3
4
24
)2)(4(
2
2
02
2
22
'
1
I
IZ
I
VZ eq
I
 
 
 
 Con los resultados obtenidos podemos establecer las ecuaciones que caracterizan a la 
d. 
 
re
 
 
voltsx
voltsx
IIV
IIV
2
212
3
211
10
3
2
3
4)1(
105)1(5.1
−
−
++=
++=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
224 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 Caracterice el siguiente cir metros de circuito abierto y 
obtenga sus circuitos equivalentes en V y en . 
 
PROBLEMA 2 
 
cuito mediante sus pará
 T
 
 
 
 
olución: 
 Las ecuaciones que caracterizan a una red activa con parámetros de circuito abierto o 
parámetros Z son: 
S
 
 
 
VIZIZV
VIZIZV
0
22221212
0
12121111
++=
++=
 
 
 
 Cálculo de .- es la caída de voltaje que se tienede la terminal 1 a su terminal V 01 V 01
de referencia, debida a la fuente interna, con las terminales del cuadripolo abiertas. 
 
 
 
 
.º13506.175.075.0
4
3)1(
143
6)1()1(01 voltsiiii
iIiV −=−−=⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++−
+−=+−=
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 225 
. Esta caída es la que se tiene de la terminal 2 a su terminal de 
E
V 0 Cálculo de 2
referencia, con las terminales del cuadripolo abiertas. 
 
.3
4
30 =⎞⎛== 442 voltsI ⎟⎠
⎜
⎝
 
 
 Para el cálculo de los parámetros Zk,l deberá pacificarse la red y excitar las 
rminales correspondientes de acuerdo con las condiciones impuestas. 
V
te
 
 Cálculo de Z11 y Z21. El circuito correspondiente es: 
 
 
 
 
( )
01
2
21
1
1
01
1
11
2
2
75.01
17
)1)(7(
=
=
=
+=
++−
+−
===
I
i
ii
ii
I
I
VZ
I
IZ
I
VZ eq
 
 
 
 La corriente que circula por el resistor de 4Ω, por divisor de corriente es: 
 
 
ii
i
I
i
i
I
I
I
VZ
IV
II
5.05.0
2
18
)1(
4
8
)1(
4
 tantolopor ,
8
)1(
1
1
01
2
21
1
2
1
4
2
+=
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
=
+
=
=
Ω
 
 
 
 
 
226 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 Cálculo de Z12 y Z22. El circuito correspondiente es: 
 
 
 
 
 Puesto que se tiene un cuadripolo puramente pasivo (en su interior no existen fuentes 
ingún tipo) se debe cumplir que Z = Z (red recíproca). 
 Comprobación 
 
de n 21 12 
 
 
 
 
 
( )
Ω=
+
===
Ω+=
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
==
=
=
2
8
)13(4
5.05.0
8
448
4
)1(
2
2
02
2
22
2
2
02
1
12
'
1
1
I
IZ
I
VZ
I
I
I
VZ
eq
I
ii
i
I 
 
 
 La representación de la red mediante su circuito equivalente en V es: 
 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 227 E
 
Cuadripolo activo 
 
 La representación de la red m quivalente en T es: ediante su circuito e
 
 
 
 
 
En donde: 
ii
iii
 
 
Ω−=−−=−
Ω+=−−+=−
ZZ
Z 1211Z
5.05.15.05.02
25.05.05.05.075.01
1222
 
 
 
Cuadripolo activo. 
 
 
 
 
 
228 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 Calcule los parámetros Z de la siguiente red y obtenga la representación de su 
PROBLEMA 3 
 
 
circuito equivalente en V, a la frecuencia ω=2 rad/seg. 
 
 
 
 
olución: 
 
S
 
Ω=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
Ω−===
iiLi
i
ii
s
Z L
C
2
1)2(
2
2
4
ω
ω 
 
ado es: 
 
Z
 El circuito transform
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 229 E
Cálculo de Z y Z 21 . La red correspondiente es: 11
 
 
 
Ω−=−=
+−
=
−
−
===
=
iiii
i
i
I I
ZI
I
VZ eq 8.04.05
4
5
2
5
)2(2
2
)(2
1
1
01
1
11
2
 
 
 Con el mismo circuito calculamos 
 
 Z 21 , aplicando divisor de corriente para obtener 
V2. 
 
 
Ω=+−=+−=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
==
=
º5.116894.08.04.0
5
4
5
2
2
22
2
1
1
01
2
21
2
ii
i
ii
i
I I
I
I
VZ 
 
 Cálculo de 
 
 
Z 12 y Z 22 . El circuito correspondiente es: 
 
 
 
 Al tener una red puramente pasiva 
 
ZZ 2112 = . 
 
 
 
230 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Ω+=
+
+=
+−
−
+===
Ω+−= i
=
i
i
ii
ii
I
Z
I
IZ
I
VZ eq
2.13
5
626.2
22
)22(6.2
8.04.0
22
2
2
02
2
22
)'(
1
 
 
 
 La representación de la red por su circuito equivalente en V es: 
Z 12
 
 
 
 
Cuadripolo pasivo (contiene fuentes aparentes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 231 
PROBLEMA 4 
 Calcule los parámetros Z de l
 
 
 
a red mostrada. 
 
 
 
 Solución: 
 
Z 11 Cálculo de . El circuito correspondiente es: 
 
 
 
 
 Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes (L. K. I.) al nodo A se cumple que: 
 
)1..(..............................01 =−+− III fck 
 
Además se observa que V2 = -100V1 ya que I2 =0. 
2fc
 
 Ifc en (1). 
 
 
 
Por lo tanto ).100(1010 55 VVI −== −− 1
Sustituyendo
 
 
232 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
VIVII
VII
k
k
1111
1
5
1
10)100(10
0)100(10−
−=−= 35 −−∴
=−−+
 
 
or ley de ohm se tiene que: 
−
 
P
 
( )
Ω==
=
−=−=
−
==
−=−== −101010 31
33
1 VIIV k
=
500
2
10
102
1010
10
10
3
11
3
11
11
3
1
13
1
11
3
01
1
11
11
3
1
2
Z
Z
ZI
V
I
VI
I
VZ
VI
I 
 
 
 Cálculo de Z 21 
 
[ ]
Ω−=+−=+−=
+−=
+−=
+−
=
−−
=
−
==
=
5000010510)500(10010
10010
10010
100101010012 00
455
21
11
5
21
1
15
1
11
5
1
11
3
1
1
01
21
2
x
I
Z
ZZ
I
V
I
VI
I
VI
I
V
I
 
 
 Cálculo de 
VZ
Z 12 . En la red que estamos analizando existen fuentes aparentes por lo 
ue la red no es recíproca, es decir Z12 es diferente de Z21 y habrá que calcular Z12 
ien
q
mediante el sigu te circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 233 E
Ω=∴
=
−=
−=
−
=
−=
=== −10 222112
−
−
=
50
102
10
10
)10010(10
10010
12
2
12
12
2
12
2
12
2
12
42
12
12
4
2
22
35
02
1
)10)(10(
Z
Z
ZZ
I
V
I
VIZ
VIV
I
V
I
V
I
V
pero
I
 
 
 
 Cálculo de 
Z
Z 22 
 
Ω=
=
−=−=
−
=
−
==
−
=
5000
102
1010
)10(10010100104
22
4
22
22
4
2
24
2
2
2
2
4
2
12
02
2
22
1
Z
Z
ZI
V
I
VI
I
VI
I I
 
 
 
VZ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 5 
 Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de corto circuito. 
 
 
 
2
PROBLEMA
 
 
 
 
 Solución: 
 Los parámetros de corto circuito son los parámetros Y. Las ecuaciones con estos 
arámetros para una red activa son: 
 
 
 
p
 
IVYVYI
IVYVYI 1 =
0
22221212
0
1212111
++=
++
 
 
 
 Calculemos primeramente II 0201 e que son las corrientes debidas a la fuente interna 
lo en corto circucon las terminales del cuadripo ito, como se muestra: 
 
 
 
Obteniéndose: 
 
 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 235 
30
2 ampx
E
.001 amp
.105I
I = 
−−=
 Para calcular los parámetros Yk,l debemos pacificar la red (anular fuentes reales), a la 
 Cálculo de 
vez que cortocircuitar las terminales del puerto correspondiente y excitar con una fuente 
real el otro puerto, según las condiciones requeridas. 
 
 
 YY 2111 y 
 
→=
=01
1
11
2VV
IY Admitancia de entrada [mhos]. 
 
→=
=01
2
21
2VV
IY Admitancia de transferencia directa [mhos]. 
 En ambos parám 2 el circuito etros se tiene la condición de que V = 0, por lo que
resultante es: 
 
 
 
( )
mhos
V
mhos
V
V
V
V
IY
V
VY
V
IY eq
1
)1(
3
4
3
11
1
1
01
2
21
1
1
01
1
11
2
2
−=
−
==
=+===
=
=
 
 
 Cálculo de YY y 2212 
 
→=
=02
1
12
1VV
IY Admitancia de transferencia inversa [mhos]. 
 
 
 
236 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
→=
=02
2
22
1VV
IY Admitancia de salida [mhos]. 
 
 Con la condición de V1 = 0, obtenemos: 
 
 
 
 
 
( )
mhos
V V
V
V
IY 1
1)(
2
2
01
21
12
−=
−
==
=
 
 
 
 Cumpliéndose que en una red puramente pasiva (no contiene en su interior fuentes 
de ningún tipo) Y12 = Y21. 
 
mhos
V V
VY
V
IY eq 2
3
2
11
2
2
01
2
2
22
' =+===
=
 
 
 
 Con lo resultados obtenidos, las ecuaciones que caracterizan a la red son: 
 
3
212
211
1055.1)1(
)1(
3
4
−−+−=
−+=
xVVI
VVI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 237 
PROBLEMA 6 
 
Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de corto circuito y 
obtenga sus circuitos equivalentes en V y en π. 
 
 
 
 
Solución: 
 
 Al cortocircuitar las terminales de los dos puertos de la red dada obtenemos: 
 
.0
.º03
0
2
0
1
amp
amp
I
I
=
−=
 
 
 Cálculo de . Al pacificar la red dada, cortocircuitar el puerto de salida y 
excitar el puerto de entrada obtenemos: 
YY y 2111
 
 
 
 
 
 
 
238 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
mhosi
ii
V
mhosi
i
iii
V
V
V
V
IY
Y
V
V
V
IY
−=
+−−
==
+=
+=
−++
==
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
1
01
2
21
11
1
1
01
1
11
)2(
20.5
2
2
1
2
2
1
2
2
 
 
 
 Cálculo de . Para el cálculo de estos parámetros cortocircuitamos el 
puerto de entrada y excitamos con una fuente de voltaje el puerto de salida. La red 
resultante es: 
YY y 2212
 
 
 
 
 
i
ii
V V
V
V
IY −=
+−−
==
= 2
2
02
1
12
)2(
1
 
 
 
 En una red recíproca este parámetro no es necesario calcularlo, ya que es igual a Y21. 
 
mhosiiii
VV
IY 22
12
2
13
01
2
2
22
−=−++−==
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 239 
 Representación de la red en V 
 
 
 
 
 
 
Representación en π 
 
 
 
 
iii
iii
YY
YY
3
2
12
2
1
2
12
2
1
1222
1211
−=−−=+
+=−+=+
 
 
 
 
 
 
 
240 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 241 
PROBLEMA 7 
 
 En la red mostrada, que contiene una fuente de corriente controlada por corriente, 
calcule los parámetros de corto circuito. 
 
 
 
 
 Solución: 
 
 Cálculo de YY y 2111 . Con la condición V2 = 0 el circuito resultante es: 
 
 
 
 
 
01
2
21
1
1
01
1
11
2
2
2
32
11
=
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
==
V
mhos
V
V
IY
V
V
V
IY
 
 
 Las siguientes consideraciones permitirán calcular I2. 
 
 Al aplicar la ley de Kirchhoff para corrientes (L. K. I.) al nodo A: 
 
 
 
242 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
)1(..............................03 12 =−+− III k 
 
 Para calcular Ik aplicamos la ley de Kirchhoff para voltajes (L. K. V.) a la malla M: 
 
( )
2
132
3
2
3
0
2
3
:(1)endoSustituyen
2
002
1
1
1
1
1
02
1
2
21
1
12
1
12
1
221
−=
−
==
−=
=−+−
=
==++−
=
∴
V
I
V
VI
V
IY
VII
VII
I
VI
VVIV
V
k
k
k
 
 
Con la misma condición (V2 = 0) sabemos que: 
mhos
mhos
Y
Y
YV
I
4
2
1
2
9
2
1
2
33
:queasí,
2
3
21
21
11
1
1
=
−=−=
==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 
 
También se pudo haber obtenido Ik por divisor de corriente: 
321
)1( 11 III k =+= 
 
Sustituyendo en (1): 
 
mhos
V V
I
V
IY
IIII
III
4
2
3
3
83
8
3
8
3
3
0
3
3
1
1
02
1
2
21
1
1
12
1
12
====
=−=
=−+−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 243 
 Cálculo de YY y 2212 . En la red dada se tiene una fuente aparente, por lo que la 
red no es recíproca y habrá que calcular Y12. Al aplicar la condición V1=0 el circuito 
resultante es: 
 
 
02
2
22
2
2
02
1
12
1
1
2
12
1
=
=
=
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
==
V
mhos
V
V
IY
V
V
V
IY
 
 
 Las siguientes consideraciones permitirán calcular I2. 
 
VI 21 2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−= 
 
 Aplicando la ley de Kirchhoff para corrientes (L. K. I.) al nodo A de la figura, 
resulta: 
 
)1.....(....................03
2 21
2
1 =−++− IIVI 
 
Sustituyendo I1 en (1): 
 
mhos
V V
V
V
IY
VI
VVI
IVVV
2
12
1
2
1
2
3
0
2
13
22
1
2
2
01
2
2
22
22
222
22
2
2
−=
−
==
−=
−=
=−−++
=
∴
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
 
 
 
 
244 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 8 
 
 Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de transmisión 
directos: 
 
 
 
 Solución: 
 
 Las ecuaciones que caracterizan a la red dada, con parámetros de transmisión 
directos A, B, C y D son: 
 
( )
( )IVI
IVV
DC
BA
−+=
−+=
221
221 
 
 
→
−
=
=02
1
2I
A
V
V
 
 
Relación de voltaje de entrada a voltaje de salida, con salida abierta 
[sin unidades] 
→=
=− 02
1
2I
C
V
I Admitancia de transferencia inversa, con salida abierta [mhos] 
 
 Cálculo de A y C. La siguiente configuración permite calcular A y C. 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 245 
Con –I2 = 0 no circula corriente por la terminal 2, por lo que V1 = V2. 
 
mhosi
ii
I
C
I
A
i
I
I
V
I
V
V
VIV
34
53
53
1
)53(
1
)53(
1
1
02
1
02
1
211
2
2
−
=
+
=
+
==
==
=+=
=−
=−
 
 
 Cálculo de B y D. La siguiente configuración permite calcular B y D. 
 
 
 
→
−
=
=02
1
2V
B
I
V Impedancia de transferencia inversa, con salida en corto circuito [Ω]. 
 
→=
=− 02
1
2V
D
I
I 
 
Relación de corriente de entrada a corriente de salida, con salida 
en corto circuito [sin unidades]. 
 
Por divisor de corriente: 
34
7424
53
313
313
53
810
313
53
313
)53)(810(
313
)53)(810(
313
53
1
1
02
1
1
1
02
1
11
12
2
2
i
i
i
i
i
V
D
i
i
i
i
ii
V
B
i
ii
i
i
I
I
I
I
I
I
I
V
IV
II
−
=
+
−
=
−
+
=
−
=
Ω−=
−
+
−
+−
=
−
=
−
+−
=
−
+
=−
=
=
 
 
 
 
 
246 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 Como la red es puramente pasiva (en su interior no contiene fuentes de ningún tipo) 
se debe cumplir que AD – BC = 1, pudiéndose obtener también el parámetro D de la 
ecuación anterior. 
 
i
i
i
iD
BC
A
BCD
53
313
53
1)810(1
11
+
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−+=
+=
+
=
 
 
 
Finalmente, en forma matricial: 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
I
V
I
V
I
V
I
V
ii
i
DC
BA
2
2
1
1
2
2
1
1
34
7424
34
53
8101
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 247 
PROBLEMA 9 
 
 En la red de celosía simétrica dada, calcule los parámetros de transmisión directos. 
 
 
 
 
 Solución: 
 
 Para una más clara visualización de esta red, ubiquemos sus nodos nuevamente, 
conectando los elementos que existen entre dichos nodos y obtener la siguiente 
configuración: 
 
 
 
 Se observa que las ramas tienen impedancias iguales. 
 
IIIV
V
V
i
ii
iiii
I
A
1111
02
1
4
4
4
)3)(3(
2
=−=
−−
=
=
=− 
 
 La corriente que circula por cada rama esI 12
1 por ser impedancias iguales, 
pudiéndose aplicar la ley de Kirchhoff para voltajes en el triángulo superior de la figura: 
 
 
 
248 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
.
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
3
0
2
1)(
2
13
1
1
02
1
1
1
02
1
1112
121
2
2
mhosi
ii
I
C
i
i
I
A
iii
ii
I
I
V
I
I
I
V
V
IIIV
IVI
=−=
−
==
−=
−
==
−=−−=∴
=−−+
=−
=−
 
 
 Cálculo de B y D. La siguiente configuración permite calcular B y D (se 
cortocircuitan las terminales 2 y O’). 
 
 
 
 Al aplicar la ley de Kirchhoff para corrientes al nodo 2: 
 
)1.(..............................
0
2
2
III
III
lk
lk
−=−
=−+−
 
 
 
 En la figura se observa que las impedancias del triángulo superior están en paralelo y 
son del mismo valor que las del triángulo inferior, por lo que: 
 
i
i
V
I
V
I
l
k
−
=
=
2
e
3
2
1
1
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 249 
Sustituyendo Ik e Il en (1): 
 
2
1
6
3
3
2
3
2
3
3
2
3
2
2
1
6
1
26
1
1
1
1
2
1
02
1
1
1
02
1
111
11
2
2
2
−=
−
=
−
−=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−=−−=
−
−=−
=
=
V
V
V
V
I
Z
V
I
I
V
V
I
V
VVVVVI
i
i
V
D
i
iV
B
iii
ii
T
 
 
 
 Se cumple que AD – BC = 1 por ser la red recíproca y también que A = D por ser 
simétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
250 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 10 
 
 
 En la red dada calcule los parámetros de transmisión inversos. 
 
 
 
 
 
 Solución: 
 
 Las ecuaciones que caracterizan a la red dada, con parámetros de transmisión 
inversos A’, B’, C’ y D’ son: 
 
( )
( )IVI
IVV
DC
BA
112
112
''
''
−+=
−+=
 
 
 
donde 
 
→=
=− 01
2
1
'
I
A
V
V Ganancia en voltaje, con entrada abierta [sin unidades]. 
 
→=
=− 01
2
1
'
I
C
V
I Admitancia de transferencia directa, con entrada abierta [mhos]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 251 
 Cálculo de A’ y C’. Con la condición –I1=0 se obtiene el siguiente circuito: 
 
 
 
 
 Se observa que el resistor de 5Ω está en serie con el de 10Ω de la rama superior, 
quedando en paralelo un resistor de 15Ω con otro de 10Ω. 
 
IIV
IV
IZV
k
eq
x
21
22
22
165
16
1015
1015
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
=
=
 
 
 
 Para calcular Ik observamos que el resistor de 15Ω (resultante de la suma en serie de 
5Ω y de 10Ω) está en paralelo con el otro resistor de 10Ω y la corriente de entrada es I2. 
 
 
 Por divisor de corriente: 
 
mhos
I
C
I
A
I
I
II
I
V
I
II
I
II
I
V
V
II
k
k
18
1
16)(2165
'
18
22
162
22
16
25
105
16)(6
'
25
10
2
2
2
2
01
1
2
22
2
22
2
01
1
2
2
=
+
=
+
=
−
=
=
+
=
+
+
=
−
=
=
=
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
 
 
 
 
 
 
252 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 Cálculo de B’ y D’.- 
 
→
−
=
=01
2
1
'
V
B
I
V Impedancia de transferencia directa, con entrada en corto circuito [Ω]. 
 
→
−
=
=01
2
1
'
V
D
I
I Ganancia en corriente, con entrada en corto circuito [sin unidades]. 
 
 
 La red correspondiente es: 
 
 
 
 
JI 11 =− . 
 
Calculando J1 por el método de mallas: 
 
10
5
16
25
26
21
23
13
12
33
22
11
=
=
−=
=
=
=
z
z
z
z
z
z
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 253 
2900
450
25105
102616
51621
25100
1026
5160
2
2
1
V
V
J =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
= 
 
IZV
V
I
I
I
V
V
I
V
eq
V
D
V
B
22
2
2
01
2
2
2
01
2
'
290
45'
45
290
290
45
'
1
1
=
=
−
=
==
−
=
=
=
 
 
 
 En la figura 2 se observa que el resistor de 16Ω está en paralelo con el de 5Ω, por lo 
que al reducir la red se obtiene una 
5
29' =Z eq 
 
Así, IV 22 5
29
= 
 
9
10
5
29
290
45
290
45'
2
2
2
2
01
2
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
−
=
= I
I
V
I
I
I
V
D 
 
 
 Se cumple que A’D’ – B’C’ = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
254 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 11 
 
 
 Calcule los parámetros híbridos directos de la red mostrada y obtenga su circuito 
equivalente. 
 
 
 
 
 Solución: 
 
 Los parámetros híbridos directos son los parámetros h. Las ecuaciones con estos 
parámetros para la red dada son: 
 
 
VhIhI
VhIhV
2221212
2121111
+=
+=
 
 
 
 Cálculo de hh y 2111
 
→=
=01
1
11
2VI
Vh Impedancia de entrada, con salida en corto circuito [Ω]. 
 
→=
=01
2
21
2VI
Ih 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 
Ganancia en corriente o factor de amplificación (α21), 
con salida en corto circuito [sin unidades]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 255 
 Con la condición V2 = 0 la red correspondiente es: 
 
 
 
 
01
2
21
1
1
11
1
1
01
1
11
2
2
3
4
3
4
4
3
4
3
4
11
=
=
=
Ω=−=
−
=
−=−=
==
V
i
ii
i
ii
V
I
Ih
V
Vh
Y
VY
V
I
Vh
 
 
 
 Por divisor de corriente calculamos I2: 
 
3
13
1
3
1
4
1
1
01
2
21
1
1
2
2
===
=
+−
−=
= I
I
I
Ih
III
V
ii
i
 
 
 Cálculo de hh y 2212
→=
=02
1
12
1IV
Vh
 
 
 
 
 
 
256 
Relación inversa de la ganancia en voltaje, con entrada abierta [sin 
unidades]. 
 
 
 
 
 
 
 
 Problemario de Circuitos Eléctricos II
→=
=02
2
22
1IV
Ih Admitancia de salida, con entrada abierta [mhos]. 
 Con la condición I1 = 0 se tiene el siguiente circuito: 
 
 
 
.
3
1
10
1
900
30090
30
103
103
30
3
1
30
10
103
30
103
10
103
30
104
3
1010
103
10
104
10
22
2
2
02
2
22
2
2
2
2
02
1
12
22
2
22
1
1
1
mhosì
i
i
i
i
i
I
i
i
i
i
i
i
I
i
i
ii
i
i
i
ii
ii
h
I
I
V
Ih
I
I
I
I
V
Vh
IIIV
IIIV
l
k
+=
+
=
−
+−
=
+−
−
==
−=
−
=
+−
−
+−==
+−
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
−
==
+−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
==
=
=
 
 
 Se observa que por tener una red puramente pasiva (recíproca) h12 = - h21. El circuito 
equivalente viene a ser: 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 257 
 Al sustituir valores de parámetros, obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
258 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 12 
 
 En el circuito equivalente de un transistor con parámetros híbridos directos que se 
muestra, determine la ganancia en corriente ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
2
I
I , la ganancia en voltaje ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
2
V
V
 y la 
impedancia de entrada ( )entZ . 
 
 
 
Transistor. 
 
 Valores típicos son: 
 
mhos
x
k
h
h
h
h
μ25
50
103
1
22
21
4
12
11
=
=
=
Ω=
−
 
 
 Solución: 
 
 
 Cálculo de la ganancia en corriente. Al aplicar la ley de Kirchhoff para corrientes al 
nodo A: 
 
 
IV
VhIhI
IVhIh
xpero 2
3
2
2221212
2222121
1010
)1...(....................
0
−=
+=∴
=−+
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 259 
Sustituyendo valoresen (1): 
 
( )
40
25.1
50
10251
50
50)10251(
1025501010102550
2
1
2
1
2
2
2
2
12
36
12
==
+
=
=+
−=−+=
−
−
−−
x
x
xxx
I
I
II
IIIII
 
 
 Obsérvese que I2 pudo obtenerse también directamente del circuito de salida por 
divisor de corriente: 
 
Zh
Ih
Zh
IhhI
L
L
22
121
22
121
22
2 11
1
+
=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= 
 
y la ganancia en corriente queda como: 
 
40
1
22
21
1
2 =
+
=
Zh
h
I
I
L
 
 
 
 Cálculo de la ganancia en voltaje. Al aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff a la 
malla de entrada: 
 
3
2121
1
12121
3
10
010
VhVI
VVhI
−
=∴
=−+
 
 
Sustituyendo I1 en (1): 
 
)2......(..........
10 2223
2121
212 VhVhVhI +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
= 
 
pero ya hemos establecido que 
 
4
2
2
2
3
2
10
1010
VI
IV x
−=∴
−=
 
 
 
 
260 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Sustituyendo I2 en (2): 
 
VhVhVhV 2223 21212142 1010 +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=− 
 
Al sustituir los valores de los parámetros h: 
 
( )
54.454
1.1
105
105)1.1(
105101
10105
10251015105
1025
10
103
50
10
2
1
2
1
2
2
1
21
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
6
3
2
4
1
4
2
−=
−
=∴
=−
=−−
+=−
+−=−
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=−
−
−
−−
−
−
x
x
x
x
xxx
x
x
V
V
VV
VV
VVV
VVVV
VVVV
 
 
 
 Cálculo de la impedancia de entrada. Hemos obtenido al calcular la ganancia en 
voltaje que 
 
3
2121
1 10
VhVI
−
= 
 
y también que 
1.1
105 2
1
2
−
=
x
V
V 
,
1.1
105 1
2
2 −
=∴ VV
x
 así que sustituyendo este valor de V2 en I1: 
 
Ω=
+
==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
− 880
1.1
)105)(103(1
10
10
1.1
1051
10
1.1
105
24
3
1
1
3
2
121
3
1
2
121
1
xx
xx
I
VZ
hVVhV
I
ent
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 261 
PROBLEMA 13 
 
 Calcule los parámetros híbridos inversos de la red dada y obtenga su circuito 
equivalente. 
 
 
 
 
 
 Solución: 
 
 
 Las ecuaciones que caracterizan a una red puramente pasiva con parámetros híbridos 
inversos o parámetros “g” son: 
 
IgVgV
IgVgI
2221212
2121111
+=
+=
 
 
 Cálculo de g11 y g21
 
→=
=01
1
11
2IV
Ig Admitancia de entrada, con salida abierta [mhos]. 
→=
=01
2
21
2IV
Vg Ganancia en voltaje, con salida abierta [sin unidades]. 
 
 
 La siguiente configuración corresponde a la condición I2 = 0. 
 
 
 
 
 
262 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
10
9
20
18
1816
25
510
25
5
205
5
:corriente dedivisor Por 
1610
20
1
20
2016
25
52016520
1
1
01
2
21
1112
1
1
12
1
1
01
1
11
2
2
===
=+=
=
+
=
+=
===
=+=+=
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
I
I
V
Vg
IIIV
III
IIV
I
I
V
Ig
Z
I
mhos
I
x
k
k
eq
 
 
 
 Cálculo de g12 y g22 
 
→=
=02
1
12
1VI
Ig Ganancia en corriente, con entrada en corto [sin unidades]. 
→=
=02
2
22
1VI
Vg Impedancia de salida, con entrada en corto [Ω]. 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 263 
 Con la condición V1 = 0 se tiene el circuito siguiente: 
 
 
 
JI 11 −= 
 
 Calculando J1 por el método de mallas: 
 
2900
450
25105
102616
51621
25100
1026
5160
10
5
16
25
26
21
2
2
1
23
13
12
33
22
11
V
V
J =
−
−
−
=
=
=
−=
=
=
=
z
z
z
z
z
z
 
 
Por lo que VI 21 290
45−
= 
 
 
 
264 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Para obtener I2 calculamos Z’eq: 
( )
Ω
5
29
29
5
10
9
50
45
2905
2945
29
5
290
45
en doSustituyen
29
5
5
291010516
2
2
02
2
22
2
2
02
1
12
12
22
1
1
 
'
===
−=−=−=
−
==
=
=+=
=
=
V
V
I
Vg
V
V
I
Ig
g
VI
Z
V
x
x
V
eq
 
 
 Se cumple que g21 = -g12 (red puramente pasiva). 
 
 
 El circuito equivalente de la red dada es: 
 
 
Red pasiva (contiene fuentes aparentes). 
 
 Las ecuaciones en su forma matricial son: 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
I
V
V
I
2
1
2
1
8.59.0
9.0
20
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 265 
PROBLEMA 14 
 
 En el circuito mostrado, que contiene un transformador ideal, encuentre: 
 
a) La relación de transformación N. 
b) La impedancia de entrada Ze. 
c) La corriente de salida I2. 
d) La corriente de entrada I1. 
e) La potencia de entrada P1 y la potencia de salida P2. 
 
 
 
 Solución: 
a) 
vueltas.60
60
12
1206
1
2
12
1
1
2
1
2
=
==== ∴
n
V
Vnnn
n
V
V x
 
 
y la relación de transformación vale 
10
6
60
2
1N === n
n 
 
 La relación de transformación en un transformador se denota como se muestra: 
 
 
 
 
 
266 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 Esto indica, en nuestro caso, que por cada 10 vueltas en el primario, en el secundario 
se tendrá una vuelta (transformador reductor o de bajada). 
 
 
b) La impedancia de entrada se calcula de 
 
Ω==
=
kx
ZN s
200)102()10( 32e
2
e
Z
Z
 
 
 
c) La corriente de salida I2 es 
 
mAI 66x102000
12 3
2
=== − 
 
 
d) La corriente de entrada es 
 
( )
mA
x
I
In
nIn
n
I
I
6.0
106
60
6
1
3
2
1
2
1
2
1
1
2
=
==∴= −
 
 
 
 En este problema no hemos incluido el signo negativo en la ecuación de corrientes 
IN 21
1I −= del transformador, ya que I2 aparece en sentido contrario al del símbolo 
convenido para el transformador. 
 
 
 Nótese que la corriente de entrada I1 también pudo calcularse por la ley de Ohm en el 
circuito primario como 
 
mAx
kZ
V
e
6.0106.0
200
120 31
1I ==Ω==
− 
 
 
 por lo que I1 depende de la impedancia reflejada en el primario del transformador. 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 267 
 Asimismo, se observa que si el voltaje se redujo 10 veces (N=10) en el secundario del 
transformador, la corriente de salida aumentó en la misma proporción y la potencia de 
entrada es igual a la potencia de salida. 
 
 
e) 
( )( )
( )
PP
IVP
IVP
mWx
mWx
21
3
222
3
111
y
72106(12)
72100.6120
=
===
===
−
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
268 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 15 
 
 En el circuito dado, encuentre la relación de transformación N que debe tener el 
transformador para suministrar la máxima potencia al altavoz y determine dicha 
potencia si su impedancia es de 8Ω. 
 
 
 
 Solución: 
 
 Por el teorema de la máxima transferencia de potencia, ésta se tendrá cuando la 
resistencia reflejada en el primario del transformador (carga) sea igual a la resistencia de 
Thévenin, en este caso de 72Ω. 
 
 En el transformador ideal se tiene que 
 
9
8
72
872Así
siendo
2
2
2
12
eZ
==
=
=
∴
=
N
n
nNZN
xN
s
 
 
y la relación de transformación es 3=N . 
 
La corriente I1 valdrá: 
 
amp.I 144
20
1
= 
 
El voltaje V1 (voltaje en el primario del transformador) es, por tanto: 
 
voltsIV 10
144
207272 11 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛== 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 269 
De la relación de voltajes del transformador ideal dada porNn
n
V
V 1
1
2
1
2 == 
 
obtenemos volts
N
V
3
101
2V == 
 
La corriente I2 valdrá: 
 
144
25
12
5
8
3
10
8
2
22
2I
=
====
I
V
Z
V amp.
s 
 
y la potencia máxima transferida al altavoz es 
 
wattsP
IRP
max
max
1.38
144
200
144
258
2
=
=== ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
 
 
 
Se observa que la fuente entrega una potencia 
 
wattsIVP f 77.2144
20201 =⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛== 
 
de los cuales 1.38 watts se disipan en la resistencia interna de la fuente y 1.38 watts se 
entregan a la carga, que es la potencia que se transfiere a la bocina, como ya se había 
calculado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
270 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 16 
 
 En el circuito mostrado obtenga la expresión para calcular V2 en función de las 
impedancias Zg y ZL para una Vg dada. 
 
 
 
 
Solución: 
 
Método 1. Las ecuaciones del transformador son: 
 
)2...(..........1
)1(....................
1221
1
221
INIINI
N
VVVNV
−=∴−=
=∴=
 
 
De la malla I: 
 
)3..(..........
0
11
11
VIZV
VVIZ
gg
gg
+=∴
=−+
 
 
De la malla II: 
 
)4........(..........
0
22
22
ZIV
ZIV
L
L
−=∴
=+
 
 
Sustituyendo (1) y (2) en (4) obtenemos 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 271 
( )
ZINV
ZINZIN
V
L
LL
o 1
2
1
12
1
=
−−=−=
 
 
y sustituyendo esta expresión en (3): 
 
( )IZNZZINIZV LgLgg 12121 +=+= 
 
La impedancia vista desde la fuente Vg es: 
 
ZNZI
V
Lg
g 2
1
+= 
 
 El término NZ L 2 es la “impedancia reflejada” en el primario del transformador (Ze). 
 
De la ecuación anterior, 
 
( )
IZNV
IZIZV
ZNZ
VI
L
LL
Lg
g
N
ydeAsí
12
122
21
:)2()4(,
)5.(..............................
=
−−=−=
+
=
 
 
y sustituyendo (5) en esta última ecuación: 
 
VZNZ
ZNV g
Lg
L
22 +
= 
 
 
Método 2. 
 
Malla I: )1.........(..........11 VVIZ gg =+
 
Malla II: )2..(....................022 =+VIZ L 
 
 
 
 
272 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Ecuaciones del transformador: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
)4.....(....................1
)3......(....................
21
21
INI
VNV
 
 
Sustituyendo (3) y (4) en (1): 
 
)........(........................................0
)....(....................1
22
22
B
A
VIZ
VVNINZ
L
gg
=+
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
 
 
resolviendo (A) y (B) para V2 por determinantes: 
 
VZNZ
ZNV
N
ZNZ
VZ
ZNN
Z
VZ
Z
NN
Z
Z
VN
Z
V
g
Lg
L
Lg
gL
L
g
gL
L
g
L
g
g
22
22
1
0
+
=
−−
−
=
−−
−=
−
−
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 273 
PROBLEMA 17 
 
 A partir de las ecuaciones de un cuadripolo con parámetros Z deduzca las 
expresiones que permitan calcular: 
 
a) Los parámetros Y en función de los parámetros Z. 
b) Los parámetros Z en función de los parámetros h. 
 
Solución: 
 
a) 
)2........(..........
)1.........(..........
2221212
2121111
IZIZV
IZIZV
+=
+=
 
 
 En las ecuaciones anteriores despejamos a I1 e I2: 
 
Δ
−
Δ
==
Δ
−
Δ
==
VZVZ
ZZ
ZZ
VZ
VZ
I
VZVZ
ZZ
ZZ
ZV
ZV
I
121211
2221
1211
221
111
2
212122
2221
1211
222
121
1
 
 
 Las ecuaciones para un cuadripolo con parámetros Y son: 
 
)4.....(..........
)3......(..........
2221212
2121111
VYVYI
VYVYI
+=
+=
 
 
 Comparando la I1 calculada, con la ecuación (3) se obtiene 
 
Δ
= ZY 2211 
 
 
 
 
274 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Δ
−= ZY 1212 
 
 Comparando la I2 calculada, con la ecuación (4) se obtiene 
 
( )
Δ
=
=
Δ
−=
ZY
ZZZY
11
22
1221
21
21
 
 
 
 Con los resultados anteriores se da respuesta al inciso a); sin embargo, podemos 
obtener una expresión general para el propósito buscado haciendo las siguientes 
consideraciones. 
 
 
 Del determinante general de Z vemos que y ZZZZ cofcof 12121122 , =−=
ZZ cof 2211 = . Sustituyendo estos parámetros en YYY y 221211, se obtiene: 
 
 
Δ
=
Δ
=
Δ
=
Δ
−=
Δ
=
Δ
=
ZZY
ZZY
ZZY
cof
cof
cof
2211
22
1212
12
1122
11
 
 
 
 Las expresiones anteriores permiten establecer que 
 
( )Zcof Z
Z
np
pn
ZY === ΔΔΔ
,
, 
 
b) Las ecuaciones para un cuadripolo con parámetros híbridos son: 
 
)6.......(..........
)5.......(..........
2221212
2121111
VhIhI
VhIhV
+=
+=
 
 
De las ecuaciones anteriores despejamos a I1: 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 275 
Ih
hIhV
IhIVh
IhVh
hh
hh
hI
hV
I
i
h
hh
hh
o
y
2
22
12
22
1
212
1
122
212122
2221
1211
222
121
1
+=
+=
−==
Δ
ΔΔ
ΔΔ
 
 
 
 Comparando la V1 calculada, con la ecuación (1) dada por 
 
IZIZV 2121111 += 
 
se obtiene 
 
h
hZ
hZ
h
22
12
12
22
11
=
= Δ
 
 
 De las ecuaciones (5) y (6) despejamos a V2: 
 
 
ΔΔ
−==
hh
VhIh
hh
hh
Ih
Vh
V 121211
2221
1211
221
111
2
 
 
 
 Sustituyendo V1 en la ecuación anterior: 
 
 
 
 
276 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Ih
hIh
hhhhV
Ih
hIh
hhhIh
hIh
hIhV
h
hh
h
hh
1
22
21
2
22
12212211
2
1
22
21
2
22
122111
2
22
12
1
22
21211
2
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
Δ
ΔΔ
Δ
ΔΔ 
 
pero , así que Δ=− hhhhh 12212211
 
Ih
hIhV
Ih
hIhV h
h
1
22
21
2
22
2
1
22
21
2
22
2
1
−=
−=
Δ
Δ
 
 
Comparando la V2 calculada, con la ecuación (2) dada por 
 
IZIZV 2221212 += 
 
se obtiene 
 
( )
hZ
hhh
hZ
22
22
2112
22
21
21
1
=
−=−=
 
 
 Hemos expresado los parámetros Y en términos de los parámetros Z y éstos, a su vez, 
en términos de los parámetros h; es posible la conversión de un tipo de parámetros en 
otro cualquiera, existiendo tablas elaboradas que facilitan dicha conversión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 277 
PROBLEMA 18 
 
 Caracterice cada una de las siguientes redes por sus ecuaciones con parámetros de 
circuito abierto, conéctelas en serie y escriba las ecuaciones del cuadripolo resultante. 
 RED “A” RED “B” 
 
Solución: 
 
 Las ecuaciones del cuadripolo resultante o equivalente pueden obtenerse al conocer 
los parámetros individuales de cada red, razón por la que caracterizaremos cada una de 
ellas. 
 
 Las ecuaciones con parámetros de circuito abierto son: 
 
IZIZV
IZIZV 2121111 += 
2221212
+=
RED “A”
 Con I2=0: 
 
 
 
278 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Por reducción serie-paralelo: 
 
IV
I
I
I
VZ
k
x
I
10
4520
520
2
1
1
01
1
11
2
=
Ω=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+==
=
 
 
Para calcular Ik emplearemos divisor de corriente. 
Ω=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
===
=
2
25
5
10
10
1
1
101
2
21
2
I
I
I
I
I
VZ k
I
 
Por ser red recíproca Z21 = Z12 = 2Ω. 
 
Para calcular Z22 nos apoyaremos en la red correspondiente: 
 
Por reducción serie-paralelo: 
 
Ω===
=
625
1015
2
2
02
2
22
1
I
I
I
VZ
x
I
 
 
Así, para la RED “A” 
 
212
211
62
24
IIV
IIV
+=
+=
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 279 
 RED “B” 
 Con I2=0: 
 
 
ZI
I
I
VZ
I
I
I
VZ
I
I
12
1
1
01
2
21
1
1
011
11
16
16
16
16
2
2
=Ω===
Ω===
=
=
 
 
 Siendo la red simétrica se tiene que Z22 = Z11 = 16Ω. 
 
 
Así, para la RED “B” 
 
212
211
1616
1616
IIV
IIV
+=
+=
 
 
 La conexión de dos cuadripolos en SERIE se ilustra en la siguiente figura: 
 
 
 
 La prueba de validez de Otto Brune debe satisfacerse para que ambas redes puedan 
conectarse directamente sin necesidad de un transformador de relación 1:1. En las 
siguientes figuras la terminal común se visualiza con línea gruesa, cumpliéndose en 
ambos casos la condición V = 0 que se requiere. 
 
 
 
 
 
280 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 Por lo que la conexión en SERIE de ambas redes es: 
 
 
 De los resultados obtenidos anteriormente establecemos: 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 281 
RED “A”: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
I
I
V
V
2
1
2
1
62
24
 
RED “B”: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
I
I
V
V
2
1
2
1
1616
1616
 
 
 La matriz general de impedancia para circuitos de dos puertos conectados en SERIE 
es la suma de sus matrices de impedancia individuales. 
 
Por lo tanto 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
I
I
V
V
s
e
s
e
166162
162164
 
 
 
y las ecuaciones del cuadripolo resultante son: 
 
IIV
IIV
ses
see
2218
1820
+=
+=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
282 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
PROBLEMA 19 
 
 En cada una de las siguientes estructuras de dos puertos calcule los parámetros de 
corto circuito, conecte ambas estructuras en paralelo y escriba las ecuaciones del 
cuadripolo resultante. 
 
RED “A” RED “B” 
 
 Solución: 
 
 Las ecuaciones con parámetros de corto circuito son: 
 
VYVYI
VYVYI
2221212
2121111
+=
+=
 
 
RED “A”. El circuito correspondiente para V2 = 0 es: 
 
 
 
mhos
V
mhos
V
VV
IY
ZV
VZ
V
IY
00
1
1
101
2
21
11
1
1
01
1
11
2
2
===
===
=
= 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 283 
 Para la condición V1 = 0 se tendrá el siguiente circuito: 
 
 
 
mhos
V VV
IY 00
202
1
12
1
===
=
 
 
Cumpliéndose que Y21 = Y12
 
mhos
V VV
IY 00
202
2
22
1
===
=
 
 
RED “B”. Con V2 = 0: 
 
 
 
ZV
VZ
V
IY
ZV
VZ
V
IY
V
mhos
V
21
1
2
01
2
21
21
1
2
01
1
11
1
1
1
1
2
2
−=
−
==
===
=
=
 
 
 
 
284 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
Con V1 = 0: 
 
 
 
mhos
V ZV
VZ
V
IY
22
2
2
02
1
12
1
1
1
−=
−
==
=
 
 
or ser recíproca la red se ve que Y21 = Y12. 
 
P
 
 
ZZ
ZZ
V
VZZ
ZZ
V
IY
V 32
32
2
2
32
32
02
2
22
1
+
=
+
==
=
 
 
 La conexión de dos cuadripolos en paralelo se ilustra en la siguiente figura: 
 
 
conectar en paralelo las dos redes dadas se satisface la prueba de validez de Brune, 
 
 
 
 
 
 Al 
según se muestra: 
 
 
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 285 E
 
 
 Lo anterior permite conectar directamente las redes sin necesidad de un 
ansformador ideal, como sigue: 
 
 
 Esta conexión es la misma que se muestra en la siguiente figura: 
 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
 
 
tr
 
 
 
 
 
286 
 
 
 De los resultados obtenidos anteriormente establecemos: 
ED “A”: 
 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤⎡⎤⎡⎤⎡ VI 1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎣ V
Z
I 2
1
1
2
1
00
0
 R
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
V
V
ZZ
ZZ
Z
ZZ
I
I
2
1
32
32
2
22
2
1
1
11
 RED “B”: 
 
 La matriz general de admitancia para circuitos de dos puertos conectados en 
la sumaparalelo es de sus matrices de admitancia individuales. 
 
 Por lo tanto 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡ +⎥
⎤
⎢
⎡I e 1
⎣
+
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣ V
V
ZZ
ZZ
Z
ZZZ
I s
e
s 32
32
2
221
1
11
 
 
 Finalmente, las ecuaciones del cuadripolo resultante son: 
⎢
 
VZZ
ZZVZI
VVI see ⎟⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
−+⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
+=
111
ZZZ
ses ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎠⎝⎠⎝
32
32
2
221
1
 
 
 
lvio Candelaria Cruz 287 
 
E
PROBLEMA 20 
 Conecte en cascada las do obtenga las ecuaciones con 
parámetros de transmisión directos del cuad olo resultante. 
 
Solución: 
 
 Dos cuadripolos se conectan en cascada cuando el puerto de salida de uno se une 
te al puerto de entrada del otro. 
 
 
 erse al conocer 
s parámetros individuales de cada red, razón por la que caracterizaremos cada una de 
llas. 
 
 
s redes que se muestran y
rip
 RED “A” RED “B” 
 
 
 
directamen
 
 En nuestro caso, la red resultante es: 
 
 
Las ecuaciones del cuadripolo resultante o equivalente pueden obten
lo
e
 
 Las ecuaciones con parámetros de transmisión directos son: 
( )IBVAV
( )IDVCI −
−+= 221 
+= 221
 
 
288 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
RED “A”
 
 Con la condición –I2 = 0 se tiene: 
 
( )
mhosii
V
i
I
I
VV
I
VVV
VA
34
53
53
153
1
1
2
2
02
1
21
02
1
2
2
−
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+==
===
=−
=−
 
 
 Para la condición V2 = 0 el circuito es: 
 
 
 
 Se observa que –
 
C
I2 = I1 = ∞ . 
1
2
1 =
−
=
ID
0
0
1
02
1
2
2
=
∞
=
−
=
=
=
V
V
I
V
I
VB
 
 
 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 289 
RED “B”
 
 Con la condición –I2 = 0: 
 
 
02
1
02
1
2
2
=
=
=−
=−
V
IC
V
VA
00
1
2
==
=
VI
I
 Para la condición V2 = 0 el circuito es: 
 
 
 Se observa que 
 
 
 
I1 = - I2
810
))(810(
1
02
−
=VI
1
2
2
02
1
2
2
==
Ω−=
−
−−
=
−
=
=
i
I
Ii
V
I
I
VB
 
 Las ecuaciones matriciales para cada red son: 
 
 
 
 
 
290 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
D
 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧ ⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 01
RED “A” 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣−⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣ I
V
I
V
A
A
A
A
i
2
2
1
1
1
34
53
 
RED “B” ⎨
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣ II B
B
B
B
2
2
1
1
10
 
 
 La matriz de transmisión general para dos cuadripolos conectados en cascada es el 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎧
⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡ −⎥
⎤
⎢
⎡
VV i8101
producto matricial de sus matrices individuales de transmisión, multiplicadas en el 
orden natural, esto es, el primer factor es el cuadripolo de entrada. Por lo tanto 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
⎣
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎡
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎡ −
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎡
⎥
⎥
⎤⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎣−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎣⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎣
⎢
⎢
I
V
I
V
VV
s
s
e
e
seii
i
i
34
7424
34
53
8101
810101
 
 
 
 Las ecuaciones del cuadripolo resultante son: 
 
II se
i 101
34
53
( )
( )IVI
IVV
sse
sse
ii
i
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
−−+=
34
7424
34
53
)810()1(
 
 
 
 Si se desea calcular los parámetros directamente de la red resultante, se obtendrán los 
ismos resultados (ver problema núm. 8 de este capítulo). 
 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 291 
m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS 
COMPLEMENTARIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
PROBLEMA 1 
 
 Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de circuito abierto y 
obtenga sus circuitos equivalentes en V y en T. 
 
 
 
PROBLEMA 2 
 
 En la red mostrada, que contiene una fuente de corriente controlada por corriente, 
calcule los parámetros de circuito abierto. 
 
 
PROBLEMA 3 
 
 Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de corto circuito. 
 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 295 
 
. 
 
P 4 
 
ROBLEMA
 En el circuito equivalente de un transistor con parámetros híbridos directos que se 
muestra, determine la ganancia en corriente ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ I⎜
1
2
I
, la ganancia en voltaje ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛V⎜
1
2
V
 y la 
impedancia de entrada (Zent). 
Transistor 
Datos: 
Ω 
h12 = 2.5x10-4
h21 = 40 
h22 = 50 μmhos 
 
 
 Calcule los parámetros híbridos directos de la red mostrada y obtenga su circuito 
 
 
 
h11 = 1 k
PROBLEMA 5 
equivalente, a la frecuencia ω=10 rad/seg. 
 
 
. 
 
296 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 A partir de las ecuaciones de un cuadripolo con parámetros de transmisión directos y 
PROBLEMA 7 
 En el circuito que se muestra, ZL = 100–50i. Calcule la potencia media o activa 
) 
PROBLEMA 6 
 
considerando las características físicas que definen al transformador ideal deduzca las 
ecuaciones de este dispositivo, cuyo símbolo se muestra en la figura. 
 
 
 
 
 
entregada a ZL si 
 
a .6032 ampI °= 
b) voltsV °= 30802 
c) .2021 ampI °= 
d) voltsV f °= 01000 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
Elvio Candelaria Cruz 297 
PROBLEMA 8 
 
 A partir de las ecuaciones de un cuadripolo con parámetros Y deduzca las 
) Los parámetros Z en función de los parámetros Y. 
 En cada una de las siguientes estructuras de dos puertos calcule los parámetros de 
 
 Conecte en cascada las redes dadas y escriba las ecuaciones con parámetros de 
 
expresiones que permitan calcular: 
 
a
b) Los parámetros Y en función de los parámetros h. 
 
 
PROBLEMA 9 
 
circuito abierto, conecte ambas estructuras en serie y obtenga las ecuaciones del 
cuadripolo resultante. 
 
 RED “A” RED “B” 
 
 
PROBLEMA 10 
 
transmisión directos del cuadripolo resultante. 
 
 
 
. 
 
 
298 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
 
ustamante Llaca, Enrique, Modern Analysis of Alternating Current Networks, vol. I y II, 
 
iménez Garza Ramos, Fernando, Problemas de Teoría de los Circuitos, vol. I y II, Limusa-
 
iménez Garza Ramos, Fernando, Análisis de Circuitos Eléctricos, Limusa-Noriega Editores, S.A. 
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heng, David K., Analysis of Linear Systems, Addison-Wesley. 
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arcía Talavera, Guillermo, Problemas y Soluciones de Técnicas de Telecomunicaciones, 
 
ogdanov, E. I., Problemas de Circuitos Eléctricos de Corriente Alterna, Limusa-Noriega 
 
orf, Richard C., Circuitos Eléctricos-Introducción al Análisis y Diseño, Alfaomega, S.A., de 
 
ubert, Charles I., Circuitos Eléctricos CA/CC Enfoque Integrado, McGraw-Hill. 
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H
 
T
 
 
. 
 
 
2
 
Impreso en los Talleres Gráficos de la 
Tresgu co, DF 
 F
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99 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dirección de Publicaciones del 
Instituto Politécnico Nacional 
erras 27, Centro Histórico, Méxi
Noviembre de 2004. Edición: 1 000 ejemplares 
 
ORMACIÓN Armando Acosta Alavez : 
 DISEÑO DE PORTADA: Gerardo López Padilla 
 CORRECCIÓN Y SUPERVISIÓN: Manuel Toral Azuela 
pe PROCESOS EDITORIALES: Manuel Gutiérrez Oro
 PRODUCCIÓN: Martha Varela Michel 
 DIVISIÓN EDITORIAL: Jesús Espinosa Morales
 DIRECTOR: Arturo Salcido Beltrán 
 
 
 
. 
	Preliminares - Problemario.pdf
	Contenido - Problemario.pdf
	Cap 01 - Problemario.pdf
	 
	CAPÍTULO I 
	Problema 2 
	 
	Problema 3 
	Problema 4 
	Problema 5 
	Problema 6 
	Problema 7 
	 
	Problema 8 
	Problema 9 
	Problema 10 
	Problema 11 
	Problema 12 
	Problema 14 
	Problema 15 
	Problema 16 
	Problema 17 
	Problema 18 
	 Encuentre la admitancia Yab del circuito mostrado: 
	Problema 20 
	Cap 01 - Prob. complementarios.pdf
	Problema 2 
	Problema 3 
	Problema 4 
	Problema 5 
	Problema 6 
	Problema 7 
	Problema 8 
	Problema 9 
	Problema 10 
	Cap 02 - Problemario.pdf
	CAPÍTULO II 
	Problema 9 
	Problema 10 
	Problema 11 
	Problema 12 
	Problema 13 
	Problema 14 
	Problema 15 
	Problema 16 
	Problema 17 
	Problema 18 
	Problema 19 
	Problema 20 
	Procedimiento 
	Cap 02 - Prob. complementarios.pdf
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	Problema 1 
	Problema 2 
	Problema 3 
	Problema 4 
	 Aplicando intercambio de fuentes y el teorema de Thévenin encuentre la corriente en la carga de 50+20i. 
	Problema 5 
	Problema 6 
	Problema 7 
	Problema 8 
	Problema 9 
	Problema 10 
	Cap 03 - Problemario.pdf
	CAPÍTULO III 
	Y 
	Problema 3 
	Problema 5 
	Problema 6 
	Problema 7 
	Cap 03 - Prob. complementarios.pdf
	Problema 2 
	Problema 3 
	Problema 4 
	Problema 5 
	Problema 6 
	Problema 7 
	Problema 8 
	Problema 9 
	Problema 10 
	Cap 04 - Prob. complementarios.pdf
	Problema 2 
	 Un circuito RLC serie con R=20 ( y L=2 mHy operando a una frecuencia de 500 Hz tiene un ángulo de fase de 45° en adelanto. Hallar la frecuencia de resonancia para la corriente del circuito. 
	Problema 3 
	Problema 4 
	Problema 5 
	Problema 6 
	Problema 7 
	Problema 8 
	Problema 9 
	Problema 10 
	Cap 05 - Problemario.pdf
	CAPÍTULO V 
	Problema 5 
	Problema 6 
	Primer armónico de la serie o término fundamental 
	 
	Problema 7 
	Cálculo de la corriente eficaz en el capacitor 
	Problema 9 
	 Se aplica una tensión a las terminales de un circuito pasivo, siendo la intensidad que resulta amp. Calcule la potencia media del circuito.Problema 10 
	 En el circuito mostrado calcule la corriente eficaz y la potencia media (activa) si se aplica una tensión 
	Cap 05 - Prob. complementarios.pdf
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	Problema 1 
	 Calcule el voltaje instantáneo en el capacitor cuando la fuente de corriente es 
	Problema 2 
	Problema 3 
	Problema 4 
	Problema 5 
	Problema 6 
	Problema 7 
	 
	Problema 8 
	Problema 9 
	Problema 10 
	Cap 06 - Problemario.pdf
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	CAPÍTULO VI 
	 Las ecuaciones que caracterizan a una red activa con parámetros de circuito abierto o parámetros Z son: 
	 Comprobación 
	Problema 3 
	Problema 4 
	 Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de corto circuito. 
	Problema 6 
	Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de corto circuito y obtenga sus circuitos equivalentes en V y en (. 
	 Al cortocircuitar las terminales de los dos puertos de la red dada obtenemos: 
	Problema 7 
	Problema 8 
	Problema 9 
	 
	 Al sustituir valores de parámetros, obtenemos: 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	258 Problemario de Circuitos Eléctricos II 
	Problema 12 
	 Cálculo de la ganancia en voltaje. Al aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff a la malla de entrada: 
	Problema 13 
	Problema 15 
	Problema 16 
	Método 2. 
	 
	 
	 
	 
	 
	Problema 18 
	 RED “A” RED “B” 
	RED “A” 
	 Con I2=0: 
	 
	 Por lo que la conexión en SERIE de ambas redes es: 
	Por lo tanto 
	Problema 19 
	RED “A” RED “B” 
	Cumpliéndose que Y21 = Y12 
	 Por lo tanto 
	 RED “A” RED “B” 
	Cap 06 - Prob. complementarios.pdf