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Superficie Esférica Es el lugar geométrico de los puntos 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 ℎ, 𝑘, 𝑙 . La distancia constante se llama radio y el punto fijo centro En su forma general está dado por:𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 con centro en el punto ℎ, 𝑘, 𝑙 𝐸𝑗𝑒𝑚. : Hallar la ecuación de la esfera que está en los planos paralelos 𝜋1 = 6𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 − 35 = 0 y 𝜋2 = 6𝑥 −3𝑦 − 2𝑧 + 63 = 0. sabiendo que el punto 𝑃(5,−1,−1) es el punto de contacto entre ellos.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ 𝐸𝑗𝑒𝑚. : Hallar la ecuación de la esfera de 𝑅 = 3 y que es tangente al plano 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = −3 en el punto 𝑃(1,1, −3).𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ 𝑅𝑡𝑎: 𝜀 = 𝑥2 + (𝑦 + 1)2+(𝑧 + 5)2= 9 Superficie Cilíndrica Es aquella superficie generada por una recta que se mueve de tal manera que se mantiene siempre paralela a una recta fija y pasa siempre por una curva fija dada. La recta móvil se llama generatriz y la curca fija directriz. 𝐸𝑗𝑒𝑚. : Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica cuya directriz es la curva 𝑥2 = 4𝑦 ,𝑧 = 0 contenida en el plano 𝑥𝑦 cuyas generatrices son paralelos al vector (1, 1, 3).𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ Superficie Cónica Es aquella superficie generada por una recta 𝐴𝐵 que se mueve de tal manera que pasa siempre por una curva fija dada 𝐶 y un punto fijo 𝑉 no contenida en el plano de la curva. La recta móvil se llama generatriz, curva fija dada 𝐶 se llama directriz y el punto fijo 𝑉, vértice de la superficie cónica. 𝐸𝑗𝑒𝑚. : Dada la ecuación de la directriz C: 𝑥2 + 𝑦2 = 4 ; 𝑧 =2 y el vértice V 0, 0, 0 . Hallar la ecuación de la superficie cónica.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ 𝐸𝑗𝑒𝑚. : El eje OZ es el eje de un cono circular recto que tiene el vértice en el origen de coordenadas, el puntoM 3, 4,7 está situado en su superficie. Hallar la ecuación de esta superficie cónica.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ Superficie de revolución Es aquella superficie engendrada por la rotación de una curva plana 𝐶 en torno a una recta fija 𝐿 contenida en el plano de la curva. La curva plana se llama generatriz y la recta fija eje de revolución. Las superficies de revolución más conocidas son la esfera, el cilindro circular recto y el cono circular recto. 𝐸𝑗𝑒𝑚. : Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la hipérbola 𝑦2 − 𝑧2 = 4 ;𝑥 = 0 en torno al eje ´ y ´.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ COORDENADAS CILINDRICAS (𝑟, 𝜃, 𝑧) La ecuación rectangular de un cilindro recto de radio 𝑟, de eje, en el eje 𝑧 es: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2. Del gráfico adjunto se puede sacar las relaciones:𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝑧 = 𝑧 Estas relaciones nos permiten localizar cualquier punto de la superficie cuando se conocen los valores de 𝑟, 𝜃, 𝑧. Por tal razón, la terna (𝑟, 𝜃, 𝑧 ) se llaman coordenadas cilíndricas en el punto P(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ; −∞ < 𝑧 < ∞ ;𝑟 ≥ 0 𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑒 𝑦 ≥ 0𝜋 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 < 02𝜋 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑒 𝑦 < 0 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1: hallar las coordenadas cilíndricas de 6, 6, 8 luego graficarlas.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 2: Si un punto tiene coordenadas cilíndricas 8, 2𝜋3 , −3 , cuales son sus coordenadas cartesianas?. Dibujarlas.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 1: Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas cilíndricas son: a. 𝑃 3, 𝜋6 , −3 b. 𝑄 2,−45°,−3𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ a. 𝑃 2.59, 1.5,−3 𝑏. 𝑄 2,− 2,−3𝑅𝑡𝑎𝑠: COORDENADAS ESFERICAS (𝜌, 𝜃,ϕ) Un punto de 𝑅3, puede ser denotado también como un vector que inicia en el origen con: ✓ Magnitud 𝜌 ✓ Angulo 𝜃, que forma su proyección 𝜌 en el plano 𝑥𝑦 con respecto a la dirección positivo del eje 𝑥. ✓ Angulo ϕ con respecto a la dirección positiva de eje z 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ; 0 < ϕ < 𝜋 ; 𝜌 ≥ 0 𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛ϕ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛ϕ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑧 = 𝜌cosϕ 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠:𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2ϕ = 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠( 𝑧𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦𝑥 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1: La ecuación rectangular de una superficie esférica es 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4𝑦 . Hallar la ecuación en coordenadas esféricas𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝜌2 ∧ 4𝑦 = 4𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙 .𝑠𝑒𝑛𝜃 Entonces: 𝜌2 = 4𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙 .𝑠𝑒𝑛𝜃𝜌 = 4𝑠𝑒𝑛𝜙 .𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 2: Expresar la superficie x𝑧 = 1 y la superficie 𝑥2 +𝑦2 − 𝑧2 = 1 en coordenadas esféricas.𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ a) 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 = 1𝜌22𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝜌2𝑠𝑒𝑛2𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 b) 𝑥2+ 𝑦2 − 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2− 2𝑧2= 𝜌2 − 2𝜌2𝑐𝑜𝑠𝜙2𝜌2 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝜙2 = 1−𝜌2𝑐𝑜𝑠2𝜙 = 1 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 1: Encuentre las coordenadas esféricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son: a. 𝑃 1,−2,3 b. 𝑄 −3, 2,0𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________ a. 𝑃 14,296.56 °, 36,70° 𝑏. 𝑄 13, 146.31°, 90°𝑅𝑡𝑎𝑠:
