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UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO 
FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES EDUCACIÓN 
COMERCIAL Y DERECHO 
CARRERA DE ECONOMIA 
METODOS DE INTEGRACIÓN: Sustitución, Por parte, 
Trigonométricas y Funciones parciales 
AUTOR: 
ALEXANDRA MARIBEL ORTIZ SALAZAR 
ANA MILENA MARTILLO HUACON 
CINDY ELIZABETH GUEVARA ZAMBRANO 
KIMBERLY JENNIFFER GÓMEZ HERRERA 
WILFRIDO JOEL ANGULO VELASCO 
ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL 
DOCENTE: ROBERTO BASURTO QUILLIGANA 
PERÍODO: 
Mayo 2021 a septiembre 2021 
MILAGRO – ECUADOR 
 
https://pregradovirtual.unemi.edu.ec/course/view.php?id=611
 
 
 
 
METODOS DE INTEGRACIÓN: 
Sustitución, Por parte, Trigonométricas y Funciones parciales 
Metodología 
La presente investigación, basa de manera general su análisis en las diferencias y características 
de los métodos de integración, para llegar a la misma se usaron fuentes bibliográficas que 
refuerzan el conocimiento impartido por el catedrático. Toda vez que se recopiló la información 
de fuentes confiables, como libros y artículos científicos. 
Es así que la metodología aplicada permite tener en claro los procedimientos, las técnicas y 
herramientas utilizadas para la obtención de resultados, representan operaciones realizadas donde 
intervienen varias reglas y principios de integración, los cuales dependen del tipo de integral, 
sean estas, definidas, indefinidas, propias e impropias. 
Los procesos, información y cálculos realizados en base a este tema, los vamos a trabajar a 
continuación. 
 
 
 
 Introducción 
El cálculo integral originó en la antigüedad por Arquímedes (287-212 a. C.), que fue un 
matemático griego, que tuvo segmentos parabólicos. Luego se presentaron estudios Isaac 
Newton, Gottfried Leibniz y Louis Cauchy, y a más tardar se fomentó métodos más rápidos en 
cuanto el aprendizaje y compresión de la integral, en cuál se desarrollaron problemas relativos en 
distintas ingenierías. Por lo cual se manifestó los métodos de integración con conceptos 
fundamentales, en cuanto las operaciones básicas, y sus distintas aplicaciones. Pero al estudiar la 
integral, hay que hablar sobre la integral conocida, lo que si tenemos una integral de la tabla la 
podemos reducirla a más simple. 
Entonces el teorema fundamental de cálculo, nos permiten encontrar integrales indefinidas, 
que comprende diferentes técnicas (combinada). Por ellos podemos calcular las derivadas y 
antiderivada de una función donde podemos encontrar los métodos de integración esto puede ser 
ejemplo típico y sencillo. La integración Tratará Funciones algebraica y trascendente tiene 
relación con las funciones circular. El problema de resolver una integral indefinida de operación 
puede llegar de muy complejas por los que se han facilitado diversos procedimientos que se 
llaman métodos que son cuatro muy importante. 
1. Integración por sustitución algebraica: método apoyado en la regla de la cadena. 
2. Integración por sustitución trigonométrica: método de integración de funciones 
algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas. 
3. Integración por partes: método que refiere de la diferenciación de un producto. 
4. Integración por fracciones parciales: método que refiere al cociente de 
polinomios. 
Los métodos de integración se presentan ejercicios simples pero ilustrativos que nos permiten 
llegar de manera continua hasta los que tienen incluso el mayor grado de dificultad. 
 
 
 
Desarrollo 
Las operaciones de integración de funciones pueden ser muy complejas. Se han introducido 
varios procedimientos generales para facilitarlos. 
Método de Sustitución 
El método consiste en sustituir el integrando o parte de este por otra función para que la 
expresión resultante sea más fácil de integrar. Si elegimos un cambio de variable de modo que al 
aplicarlo se obtiene en el integrando una función multiplicada por su derivada, la integral será 
inmediata. Pero en ocasiones un cambio mal escogido puede complicar más la integral 
(Granados, 2019). 
En la siguiente tabla se recopilan diferentes cambios de variable que suelen funcionar en la 
mayoría de las integrales que nos encontraremos 
Integral Cambio recomendable 
∫(𝑎𝑥)𝑑𝑥 𝑧 = 𝑎
𝑥 
∫(𝑒𝑥)𝑑𝑥 𝑧 = 𝑒
𝑥 
∫(𝑥, ln 𝑥)𝑑𝑥 𝑧 = ln 𝑥 
∫(𝑥, 𝑎𝑟𝑐 … )𝑑𝑥 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐 … 
∫(𝑠𝑖𝑛𝑚𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑛) 
z= cos x si m impar 
z=sin x si n impar 
z= tan x si m, n pares 
∫ (𝑥, √𝑎2 − 𝑏2𝑥2) 𝑑𝑥 𝑥 =
𝑎
𝑏
sin 𝑡 
∫ (𝑥, √𝑎2 + 𝑏2𝑥2) 𝑑𝑥 𝑥 =
𝑎
𝑏
tan 𝑡 
∫ (𝑥, √𝑏2𝑥2 − 𝑎2) 𝑑𝑥 𝑥 =
𝑎
𝑏
sec 𝑡 
 
 
Ejemplo 1: 
∫(𝑥 − 3)√𝑥 + 4 𝑑𝑥 
Sustituimos: 
𝑎 = 𝑥 + 4 
𝑑𝑎
𝑑𝑥
= 1 
𝑑𝑎 = 𝑑𝑥 
Entonces: 
∫(𝑥 − 3)√𝑎 𝑑𝑎 
Despejamos x en 𝑎 = 𝑥 + 4 : 
𝑥 = 𝑎 − 4 
Reemplazamos x en: 
∫(𝑎 − 4 − 3)√𝑎 𝑑𝑎 
∫(𝑎 − 7)𝑎
1
2⁄ 𝑑𝑎 
∫ (𝑎
3
2⁄ − 7𝑎
1
2⁄ ) 𝑑𝑎 
∫ 𝑎
3
2⁄ − ∫ 7𝑎
1
2⁄ 𝑑𝑎 
𝑎
5
2⁄
5
2
− 7
𝑎
3
2⁄
3
2
+ 𝐶 
2𝑎
5
2⁄
5
−
14𝑎
3
2⁄
3
+ 𝐶 
Reemplazamos a y tenemos la respuesta:∫(𝑥 − 3)√𝑥 + 4 𝑑𝑥 =
2(𝑥+4)
5
2⁄
5
−
14(𝑥+4)
3
2⁄
3
+ 𝐶 
 
 
Ejemplo 2: 
∫
𝑥2 − 1
√𝑥3 − 3𝑥 + 16
3 𝑑𝑥 
Sustituimos: 
𝑎 = 𝑥3 − 3𝑥 + 16 
𝑑𝑎
𝑑𝑥
= 3𝑥2 − 3 
𝑑𝑎 = 3(𝑥2 − 1)𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑎
3(𝑥2 − 1)
 
Entonces reconstruimos: 
∫
𝑥2 − 1
√𝑎
3 ∗
𝑑𝑎
3(𝑥2 − 1)
 
 
1
3
∫
𝑑𝑎
√𝑎
3 
 
1
3
∫ 𝑎
−1
3⁄ 𝑑𝑎 
 
1
3
∗
𝑎
2
3⁄
2
3
+ 𝐶 
 
1
3
∗
3𝑎
2
3⁄
2
+ 𝐶 
 
√𝑎2
3
2
+ 𝐶 
Reemplazamos a y tenemos la respuesta:∫
𝑥2−1
√𝑥3−3𝑥+16
3 𝑑𝑥 =
√(𝑥3−3𝑥+16)2
3
2
+ 𝐶 
Método Por partes 
Este método de integración parte del producto de dos funciones se identifica a u= u (x); v = 
(x). Si recordamos la derivada del producto de dos funciones (primera función por la derivada de 
la segunda función más la segunda función por la derivada de la primera): 
 
𝒅 (𝒖 𝒗 ) = 𝒖 𝒗´ + 𝒗 𝒖´ 
Se integra ambos miembros de la igualdad: 
∫ 𝒅 ( 𝒖 𝒗) = ∫ 𝒖 𝒗´ + 𝒗 𝒖´ 
∫ 𝒅 ( 𝒖 𝒗) = ∫ 𝒖 𝒗´ + ∫ 𝒗 𝒖´ 
Entonces se tiene que: 
(𝒖)(𝒗) = ∫ 𝒖 𝒗´ + ∫ 𝒗 𝒖´ 
(𝒖)(𝒗) − ∫ 𝒗 𝒖´ = ∫ 𝒖 𝒗´ 
Reemplazando con respecto al diferencial de x, tenemos lo siguiente: 
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = (𝒖)(𝒗) − ∫ 𝒗 𝒅𝒖 Integración por partes 
Esto quiere decir que para poder integrar por partes se necesita identificar la función u con su 
respectivo diferencial du y el diferencial dv con su respectiva función v (Escandón, 2017). 
Ejemplo 1: 
∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 
Definimos nuestras variables u y dv, aplicando el razonamiento ILATE, derivamos e integramos 
respectivamente: 
𝑢 = 𝐿𝑛𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥
 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 
𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑣 =
𝑥3
3
 
 
Planteamos la integral: 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 𝑥 (
𝑥3
3
) − ∫
𝑥3
3
(
1
𝑥
𝑑𝑥) 
∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 
1
3
𝑥3𝐿𝑛 𝑥 −
1
3
∫ 𝑥2𝑑𝑥 
∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 
1
3
𝑥3𝐿𝑛 𝑥 −
1
3
∫
𝑥3
3
𝑑𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 
1
3
𝑥3𝐿𝑛 𝑥 −
1
3
(
𝑥3
3
) + 𝐶 
∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 
1
3
𝑥3𝐿𝑛 𝑥 −
1
9
𝑥3 + 𝐶 
Ejemplo 2: 
∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 = 
Definimos nuestras variables u y dv, aplicando el razonamiento ILATE, derivamos e integramos 
respectivamente: 
𝑢 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
1 + 𝑥2
 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑢 =
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 𝑣 =
𝑥2
2
 
Aplicamos la fórmula de integración por partes y planteamos: 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 (
𝑥2
2
) − ∫
𝑥2
2
∗
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2𝑡𝑎𝑛−1𝑥
2
−
1
2
∫
𝑥2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
 
Resolvemos la integral ∫
𝑥2
1+𝑥2
𝑑𝑥 
∫
𝑥2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
𝑥2 + 1 − 1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
∫
𝑥2 + 1 − 1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ (
𝑥2 + 1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 −
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥) 
∫ (1 𝑑𝑥 −
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥)= ∫ 1 𝑑𝑥 − ∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
∫ 1 𝑑𝑥 − ∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 + 𝐶 
Reemplazamos el resultado en: 
∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2𝑡𝑎𝑛−1𝑥
2
−
1
2
∫
𝑥2
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2𝑡𝑎𝑛−1𝑥
2
−
1
2
(𝑥 − 𝑡𝑎𝑛−1𝑥) + 𝐶 
∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
(𝑥2𝑡𝑎𝑛−1𝑥 − 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛−1𝑥) + 𝐶 
Método de Sustitución Trigonométricas 
Es el proceso que se puede aplicar a aquellas integrales en cuyo integrado aparezca algunas de 
las siguientes expresiones: 
√𝑎2 − 𝑥2 √𝑥2 − 𝑎2 √𝑎2 + 𝑥2 
La mejor forma de realizar la integración por sustitución trigonométricas es eliminando el 
radical. Este método se basa en la utilización de triángulos rectángulos, el Teorema de Pitágoras 
e identidades trigonométricas. 
 Tener en cuenta los siguientes puntos: (EcuRed, 2011) 
 Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones 
trigonométricas. 
 Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un 
http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas
http://www.aaamatematicas.com/fra66hx2.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
 
cuadrado o una sustitución trigonométrica. 
 Reducir una fracción impropia. 
 Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la 
fracción. 
 Multiplicar por una forma unitaria 
𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥)
 que al multiplicar por el integrando 𝑓(𝑥) 
permita modificar adecuadamente
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]
𝑔(𝑥)
. 
 Probar sustituir 𝑓(𝑥) por 
1
(
1
𝑓(𝑥)
)
. 
Ejemplo 1: 
∫
𝑥3
√16 − 𝑥2
 𝑑𝑥 = 
 
Entonces tenemos que: 
𝑎2 = 16 𝑢2 = 𝑥2 
√𝑎2 = √16 √𝑢2 = √𝑥2 
𝑎 = 4 𝑢 = 𝑥 
Por lo tanto: 
𝑢 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃 
𝑥 = 4 𝑠𝑖𝑛𝜃 
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= 4 𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑑𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 
Sustituimos en: 
 
∫
𝑥3
√16 − 𝑥2
 𝑑𝑥 = ∫
(4 𝑠𝑖𝑛𝜃)3
√16 − (4 𝑠𝑖𝑛𝜃)2
 (4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃) 
∫
64 𝑠𝑖𝑛3𝜃
√16 − 16 𝑠𝑖𝑛2𝜃
 (4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃) = ∫
64 𝑠𝑖𝑛3𝜃
√16(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃)
 (4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃) 
∫
64 𝑠𝑖𝑛3𝜃
4𝑐𝑜𝑠2𝜃
 4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 64 𝑠𝑖𝑛3𝜃 𝑑𝜃 
64 ∫ 𝑠𝑖𝑛3𝜃 𝑑𝜃 = 64 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 
64 ∫( 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = 
Resolvemos la integral aplicando los métodos ya conocidos: 
𝑢 = cos 𝜃 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 
−64 ∫( 1 − 𝑢2)𝑑𝑢 = −64 ∫ 1𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 
−64 ∫ 1𝑑𝑢 + ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = −64 (𝑢 −
𝑢3
3
) + 𝐶 
Reemplazamos los valores de u: 
64 ∫( 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = − 64 (cos 𝜃 −
𝑐𝑜𝑠3 𝜃
3
) + 𝐶 
Reemplazamos los valores de las funciones y obtenemos el resultado: 
∫
𝑥3
√16 − 𝑥2
 𝑑𝑥 = − 64 (cos 𝜃 −
𝑐𝑜𝑠3 𝜃
3
) + 𝐶 
∫
𝑥3
√16 − 𝑥2
 𝑑𝑥 = − 64 (
√16 − 𝑥2
4
−
1
3
(
√16 − 𝑥2
4
)
3
 ) + 𝐶 
∫
𝑥3
√16 − 𝑥2
 𝑑𝑥 = − 64
√16 − 𝑥2
4
+
64
3
(
√16 − 𝑥2
4
)
3
+ 𝐶 
∫
𝑥3
√16 − 𝑥2
 𝑑𝑥 = − 16√16 − 𝑥2 +
64
3
(
(16 − 𝑥2)
3
2⁄
64
) + 𝐶 
 
∫
𝑥3
√16 − 𝑥2
 𝑑𝑥 =
1
3
(16 − 𝑥2)
3
2⁄ − 16√16 − 𝑥2 + 𝐶 
Ejemplo 2: 
∫
1
𝑥2√𝑥2 + 4
 𝑑𝑥 = 
 
Entonces tenemos que: 
𝑎2 = 4 𝑢2 = 𝑥2 
√𝑎2 = √4 √𝑢2 = √𝑥2 
𝑎 = 2 𝑢 = 𝑥 
Por lo tanto: 
𝑢 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃 
𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛𝜃 
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= 2 𝑡𝑎𝑛𝜃 
𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 
Sustituimos en: 
∫
1
𝑥2√𝑥2 + 4
 𝑑𝑥 = ∫
1
(2 𝑡𝑎𝑛𝜃)2√(2 𝑡𝑎𝑛𝜃)2 + 4
 ( 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃) = 
∫
1
4𝑡𝑎𝑛2𝜃√4𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 4
 ( 2 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃) = ∫
1
4𝑡𝑎𝑛2𝜃√4(𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 1)
 ( 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃) = 
∫
1
4𝑡𝑎𝑛2𝜃√4𝑠𝑒𝑐2𝜃
 ( 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃𝑑𝜃) = ∫
1
4𝑡𝑎𝑛2𝜃 (2 sec 𝜃)
 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 = 
∫
𝑠𝑒𝑐 𝜃
4𝑡𝑎𝑛2𝜃 
 𝑑𝜃 =
1
4
∫
1
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑐𝑜𝑠2𝜃
 
 𝑑𝜃 = 
 
1
4
∫
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
 𝑑𝜃 = 
Resolvemos la integral aplicando los métodos ya conocidos: 
𝑢 = sen 𝜃 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑑𝜃 
1
4
∫
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
 𝑑𝜃 =
1
4
∫
𝑑𝑢
𝑢2
 = 
1
4
∫
𝑑𝑢
𝑢2
 =
1
4
∫ 𝑢−2𝑑𝑢 = 
1
4
(
𝑢−1
−1
) + 𝐶 = −
1
4𝑢
+ 𝐶 
Reemplazamos los valores de u: 
1
4
∫
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
 𝑑𝜃 = −
1
4𝑢
+ 𝐶 
1
4
∫
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
 𝑑𝜃 = −
1
4𝑠𝑒𝑛𝜃
+ 𝐶 
Reemplazamos los valores de las funciones y obtenemos el resultado: 
∫
1
𝑥2√𝑥2 + 4
 𝑑𝑥 = −
1
4𝑠𝑒𝑛𝜃
+ 𝐶 
∫
1
𝑥2√𝑥2 + 4
 𝑑𝑥 = −
1
4 (
𝑥
√𝑥2 + 4
)
+ 𝐶 
∫
1
𝑥2√𝑥2 + 4
 𝑑𝑥 = −
√𝑥2 + 4
4𝑥
+ 𝐶 
Método Fracciones Parciales 
Es el proceso de descomponer una fracción en otras más simples, recibe el nombre de 
“descomposición en fracciones parciales” (Gómez Lozano, 2015). 
Este método permite obtener de forma más inmediata una integral o una transformada de 
Laplace Inversa. Se define como fracciones parciales a la función 𝑓(𝑥), en la cual la función 
depende de un numerador y un denominador. Se divide en dos tipos de fracciones: 
1. Fracciones impropias: Se refiere cuando el grado del polinomio del numerador es 
 
mayor o igual que el grado del polinomio del denominador. 
2. Fracciones propias: Se refiere cuando el grado del polinomio del numerador es menor 
que el grado del polinomio del denominador. 
Tener en cuenta los siguientes puntos para obtener la descomposición en fracciones parciales 
de 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑋) 
 : (Morales , Muñoz , Ramos , & Yucra , 2018) 
 Si el grado de 𝑃(𝑥) no es menor que el de 𝑄(𝑥) se deben dividir los polinomios para 
obtener la forma apropiada. 
 Expresar 𝑄(𝑥) como un producto de factores lineales a𝑖x + b o formas cuadráticas 
irreducibles 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 y agrupar los factores repetidos para que 𝑄(𝑥) quede 
expresado por un producto de factores distintos de la forma (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑚 o bien (𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 con 𝑚 𝑦 𝑛 enteros no negativos. 
Ejemplo 1: 
∫
7𝑥 + 3
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
𝑑𝑥 = 
7𝑥 + 3
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
=
𝐴
𝑥 + 4
+
𝐵
𝑥 − 1
 
7𝑥 + 3
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
=
𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 4)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
= 
7𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 4) 
7𝑥 + 3 = 𝐴𝑥 − 𝐴 + 𝐵𝑥 + 4𝐵 
7𝑥 + 3 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 4𝐵 − 𝐴 
7𝑥 + 3 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 + (4𝐵 − 𝐴) 
Establecemos un sistema de ecuaciones y resolvemos: 
{
 𝐴 + 𝐵 = 7
−𝐴 + 4𝐵 = 3
 
 5𝐵 = 10 
 
 𝐵 = 2 
𝐴 + 2 = 7 
𝐴 = 5 
Ahora sustituimos los valores de A y B en: 
7𝑥 + 3
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
=
5
𝑥 + 4
+
2
𝑥 − 1
 
∫
5
𝑥 + 4
+
2
𝑥 − 1
𝑑𝑥 = ∫
5
𝑥 + 4
𝑑𝑥 + ∫
2
𝑥 − 1
𝑑𝑥 
5 ∫
1
𝑥 + 4
𝑑𝑥 + 2 ∫
1
𝑥 − 1
𝑑𝑥 = 5𝑙𝑛|𝑥 + 4| + 2𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶 
∫
7𝑥 + 3
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
𝑑𝑥 = 5𝑙𝑛|𝑥 + 4| + 2𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶 
Ejemplo 2: 
∫
2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8
(𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4)
𝑑𝑥 = ∫
2𝑥𝟐 − 4𝑥 − 8
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4)
𝑑𝑥 
2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4)
= 
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 1
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 4
 
2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4)
=
𝐴(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) + 𝐵𝑥(𝑥2 + 4) + 𝑥(𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4)
 
2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 = 𝐴(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) + 𝐵𝑥(𝑥2 + 4) + 𝑥(𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 − 1) 
Reemplazamos con x=1 en toda la expresión para eliminar elementos lineales: 
2 − 4 − 8 = 𝐴(1 − 1)(12 + 4) + 1𝐵(12 + 4) + 1(1𝐶 + 𝐷)(1 − 1) 
−10 = 𝐴(0)(5) + 𝐵(5) + (𝐶 + 𝐷)(0) 
−10 = 5𝐵 
−2 = 𝐵 
Reemplazamos valor de B y eliminamos segundo elemento lineal con x=0: 
0 − 0 − 8 = 𝐴(0 − 1)(02 + 4) + 0 ∗ −2(02 + 4) + 0 ∗ (0 ∗ 𝐶 + 𝐷)(0 − 1) 
 
−8 = 𝐴(−1)(4) + 0 + 0 
−8 = −4𝐴 
2 = 𝐴 
Reemplazamos valores de A y B: 
2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 = 2(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) − 2𝑥(𝑥2 + 4) + 𝑥(𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 − 1) 
2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 = 2𝑥3 − 2𝑥2 + 8𝑥 − 8 − 2𝑥3 − 8𝑥 + 𝐶𝑥3 − 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥2 − 𝐷𝑥 
Igualamos la parte que multiplica a cada variable: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥𝟑 = 
2 = 2 − 2 + 𝐶 
2 = 𝐶 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥2 = 
0 = −2 − 𝐶 + 𝐷 
𝐶 + 2 = 𝐷 𝑆𝑖 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐶 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐷 = 4 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 
−4 = 8 − 8 − 𝐷 
4 = 𝐷 
Por lo tanto: 
∫
2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8
(𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4)
𝑑𝑥 =
2
𝑥
+
−2
𝑥 − 1
+
2𝑥 + 4
𝑥2 + 4
 
∫
2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8
(𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 = ∫
2
𝑥
+
−2
𝑥 − 1
+
2𝑥 + 4
𝑥2 + 4
𝑑𝑥 
∫
2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8
(𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4)
𝑑𝑥 = 2 ∫
𝑑𝑥
𝑥
− 2 ∫
𝑑𝑥
𝑥 − 1
+ 2 ∫
𝑥
𝑥2 + 4
𝑑𝑥 + 4 ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 4
 
∫
2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8
(𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4)
𝑑𝑥 = 2𝐿𝑛(𝑥) − 2𝐿𝑛(𝑥 − 1) + 𝐿𝑛(𝑥2 + 4) + 2𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑥
2
) + 𝐶 
 
Conclusión 
Finalmente, podemos exponer que los métodos de integración tienen un gran valor para la 
aplicación de la Economía, con sus diferencias y características muy propias, es así que es 
fundamental conocerlos. 
Para los despejes y obtención de resultados se usaron diferentes métodos, como el de 
sustitución, integración de trigonometría ya que apoya al desarrollo de las soluciones 
matemáticas, también se utilizan entidades trigonométricas y el método de fracciones parciales, 
los cuales permiten llegar a los resultados de manera idónea. 
En síntesis todos estos ejercicios forman parte importante del conocimiento básico y aplicable 
en la carrera de economía, y para la construcción de otros recursos más analíticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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