Producto escalar de dos vectores

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Producto escalar de dos 
vectores
Byron Albuja, MBA ME
Producto escalar de dos vectores
 El producto escalar de dos vectores P y Q se define como el 
producto de las magnitudes de P y Q y el coseno del ángulo θ
formado por P y Q. El producto escalar de P y Q se denota 
mediante P Q. Entonces, se escribe
Advierta que la expresión recién definida no es un vector sino un 
escalar, lo cual explica el nombre de producto escalar; en virtud de 
la notación utilizada, P Q también se conoce como el producto 
punto de los vectores P y Q.
A partir de su propia definición, se concluye que el producto 
escalar de dos vectores es conmutativo, esto es, que
El producto escalar también es distributivo
La propiedad asociativa se debe señalar que no es aplicable a los productos escalares.
De hecho (P . Q) . S no tiene ningún significado puesto que P.Q no es un vector sino un escalar.
Producto escalar de dos vectores
 El producto escalar de dos vectores P y Q puede expresarse en 
términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. 
Descomponiendo a P y a Q en sus componentes se escribe primero
De la definición del producto escalar se concluye que los productos 
escalares de los vectores unitarios son iguales a cero o a uno.
Por tanto, la expresión obtenida para P . Q se reduce a
Producto escalar de dos vectores
 Aplicaciones
 1. Ángulo formado por dos vectores dados. Considérese que los dos 
vectores están dados en términos de sus componentes:
Para determinar el ángulo formado por estos dos vectores
Producto escalar de dos vectores
 Proyección de un vector sobre un eje dado. Considérese un vector 
P que forma un ángulo θ con un eje, o línea dirigida, OL. La 
proyección de P sobre el eje OL se define como el escalar
Se observa que la proyección POL es igual en valor 
absoluto al valor de la longitud del segmento OA; ésta 
será positiva si OA tiene el mismo sentido que el eje OL, 
esto es, si es agudo, y negativa en caso contrario. Si P y 
OL forman un ángulo recto, la proyección de P sobre OL 
es cero.
Producto escalar de dos vectores
 Considere ahora un vector Q dirigido a lo largo de OL con 
el mismo sentido que OL. El producto escalar de P y Q 
puede expresarse como
Producto escalar de dos vectores
 Al descomponer P y λ en sus componentes rectangulares y 
recordar, que las componentes de λ a lo largo de los ejes 
coordenados son iguales, respectivamente, a los cosenos 
directores de OL, la proyección de P sobre OL se expresa como
Producto triple mixto de tres vectores
 Se define al producto triple escalar o producto triple mixto de tres 
vectores S, P y Q como la expresión escalar
la cual se obtiene formando el producto escalar 
de S con el producto vectorial de P y Q.
Interpretación geométrica: El producto triple escalar es 
igual en valor absoluto al volumen del paralelepípedo que 
tiene por lados a los vectores S, P y Q
Producto triple mixto de tres vectores
 El producto triple escalar de S, P y Q se puede definir tan bien con 
S.(P x Q) como con (S x P).Q.
 El producto triple escalar de los vectores S, P y Q puede ser 
expresado en términos de las componentes rectangulares de estos 
vectores. Denotando a P x Q con V y con la fórmula para expresar 
el producto escalar de S y V, se escribe
Problemas
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