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Teoría de Campos
electromagnéticos
Problemas
Propuestos
Vol. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA
Wiliams Rodrigo Rodriguez De la Cruz
Régulo A. Sabrera Alvarado
Problemas propuestos
de Teoría de Campos
Electromagnéticos
Colección
Tesla
Wiliams Rodrigo
Rodriguez De la Cruz
Régulo A. Sabrera
Alvarado
Catedrático de Física,
Matemática Computación y
SocioFísica
Edición
"A los incansables académicos y
amantes del saber científico, cuya
dedicación y búsqueda constante
de conocimiento en el campo de la
física iluminan el camino hacia
nuevas fronteras del
entendimiento, en beneficio de la
humanidad."
Dedicatoria
En el vasto y fascinante mundo de la física, los campos
electromagnéticos desempeñan un papel fundamental. Desde la
teoría clásica de Maxwell hasta las aplicaciones modernas en la
tecnología y la ingeniería, comprender y dominar los conceptos
relacionados con los campos electromagnéticos es esencial para
aquellos que desean explorar las maravillas y desafíos de esta
disciplina.
Este libro de ejercicios de campos electromagnéticos se presenta como
una valiosa herramienta para aquellos estudiantes y profesionales
que buscan fortalecer su comprensión y habilidades prácticas en este
campo. A través de una cuidadosa selección de ejercicios, se abordan
temas clave que sientan las bases para un conocimiento sólido de los
campos electromagnéticos.
Comienza con el análisis vectorial, donde los lectores se
familiarizarán con las operaciones vectoriales y su aplicación en el
contexto de los campos electromagnéticos. Luego, se profundiza en la
fuerza eléctrica, explorando cómo calcular y analizarla en diversas
situaciones. El campo eléctrico es otro tema central, desafiando a los
lectores a calcular y visualizarlo en diferentes distribuciones de
carga. Por último, se explora el potencial eléctrico, permitiendo a los
lectores comprender la energía asociada a las cargas y analizar su
interacción en diversas configuraciones.
A lo largo de este libro de ejercicios, se fomenta la resolución de
problemas de manera metódica y rigurosa, guiando a los lectores a
través de una variedad de situaciones y aplicaciones prácticas.
Prólogo
PROBLEMAS DE
ANÁLISIS VECTORIAL
CAPÍTULO I
De la Página 5 al 111
PROBLEMAS DE
CAMPO ELÉCTRICO
CAPÍTULO III
De la Página 215 al 314
PROBLEMAS DE
FUERZA ELÉCTRICA
CAPÍTULO II
De la Página 112 al 214
PROBLEMAS DE
POTENCIAL ELÉCTRICO
CAPÍTULO IV
De la Página 315 al 457
ÍNDICE
APÉNDICE
Página 458
ANÁLISIS VECTORIAL
"El análisis vectorial: una brújula matemática que nos guía por los intrincados
senderos de los campos electromagnéticos. Con sus operaciones y conceptos, revela
la estructura física subyacente de las leyes naturales. Como dijo Josiah Willard
Gibbs, el análisis vectorial no solo simplifica el trabajo matemático, sino que
también destaca la conexión entre la geometría y la física. En este capítulo,
adentrémonos en este fascinante terreno, explorando cómo los vectores nos
permiten describir, analizar y resolver problemas en el vasto universo de los
campos electromagnéticos".
Página 6 - Análisis Vectorial
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Las coordenadas polares de un punto P son: r=5,50 m y =240
o
. Hallar las coordena
das cartesianas de este punto P.
a) (2,75; 4,76) b) (2,75; -4,76) c) (-2,75; 4,76) d) (-2,75; -4,76) e) (2,75; 4,76)
02. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares P(2,50 m, 30,0
o
) y Q(3,80 m,
120,0
o
).
I) Hallar las coordenadas cartesianas de estos puntos.
II) Hallar la distancia entre estos puntos.
03. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared
se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimen
siones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2,00, 1,00) m.
I) ¿Qué tan lejos está la mosca de la esquina del cuarto?
a) 2,04 m b) 2,24 m c) 2,44 m d) 2,64 m e) 2,84 m
II) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?
a) (2,04 m; 20,6
o
) b) (2,64 m; 24,6
o
) c) (2,44 m; 22,6
o
)
d) (2,84 m; 28,6
o
) e) (2,24 m; 26,6
o
)
04. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas P(2,00, -4,00) m y Q(3,00,
3,00) m.
I) Hallar la distancia entre estos puntos P y Q.
a) 8,4 m b) 8,5 m c) 8,6 m d) 8,7 m e) 8,8 m
II) Hallar las coordenadas polares de estos puntos P y Q.
05. Si las coordenadas rectangulares de un punto P están dadas por (2, y) y sus coordena
das polares son (r, 30
o
). Hallar y y r.
a)1,45 m; 2,41 m b) 1,35 m; 2,21 m c) 1,05 m; 2,11 m
d) 1,25 m; 2,31 m e) 1,15 m; 2,31 m
06. Si las coordenadas polares del punto (x, y) son (r, ), hallar las coordenadas polares
para los puntos (-x, y), (-2x, -2y), y (3x, -3y).
07. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto
son: x=1 u, y=2 u, z=3 u. Hallar las coordenadas cilíndricas de este punto.
08. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto
son: x=2 u, y=2 u, z=2 u. Hallar las coordenadas esféricas de este punto.
Página 7 - Análisis Vectorial
09. Las coordenadas cilíndricas de un punto P son: =2 u, =30
o
, z=3 u. Hallar los vecto
res unitarios ̂ , y ̂ .
10. Hallar la expresión de los vectores unitarios i , ĵ , k̂ que definen las coordenadas carte
sianas, en función de los vectores unitarios ̂ , ̂ y k̂ que definen las coordenadas cilín
dricas.
11. Las coordenadas esféricas de un punto P son: r=4 u, =37
o
, y =53
o
. Hallar los vecto
res unitarios r̂ , ̂ y ̂ .
12. Hallar la expresión de los vectores unitarios i , ĵ , k̂ que definen las coordenadas carte
sianas, en función de los vectores unitarios r̂ , ̂ y ̂ que definen las coordenadas esfé
ricas.
13. Las coordenadas parabólicas planas (f; h) en función de las rectangulares (x; y) vienen
dadas por: x = f – h, y = 2(f.h)
1/2
donde f>0, h>0.
I) Expresar f y h en función de x e y.
II) Si f y ĥ son vectores unitarios, que definen el sistema de coordenadas parabólico,
demostrar que f y ĥ son perpendiculares entre si.
III) Demostrar que f y ĥ son funciones de f y h y hallar sus derivadas respecto de f y h.
IV) Probar que el vector de posición de una partícula en el sistema de coordenadas para
bólico, viene dado por : 1/2 1/2 1/2 1/2ˆ ˆr f (f h) f h (f h) h .
14. En la Fig01, una topógrafa mide la distancia a través de un río recto con el siguiente
método. Partiendo directamente a través de un árbol en la orilla opuesta, camina d=100
m a lo largo del margen del río para establecer una línea base. Luego observa hacia el
árbol. El ángulo de su línea base al árbol es de =35,0
o
. Hallar el ancho del río.
a) 65 m b) 70 m c) 75 m d) 80 m e) 85 m
15. En la Fig02, la fuerza 1F de magnitud F1=6,0 N actúa sobre el cuerpo en el origen en
la dirección de =30,0
o
sobre el eje-x positivo. La segunda fuerza 2F de magnitud
F2=5,0 N actúa sobre el cuerpo en la dirección del eje-y positivo. Hallar gráficamente
la magnitud y dirección de la fuerza resultante 1 2F F F .
a) 9,14 N, 59
o
b) 9,34 N, 55
o
c) 9,34 N, 51
o
d) 9,74 N, 53
o
e) 9,54 N, 57
o
16. El vector A tiene una magnitud de A=29 u y puntos en la dirección del eje-y positivo.
Cuando el vector B se suma al vector A , el vector A B apunta en dirección del eje-
y negativo con una magnitud de 14 u. Hallar la magnitud y dirección de B .
a) -41 ĵ b) -43 ĵ c) -45 ĵ d) -47 ĵ e) -49 ĵ
17. Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular de radio R=5,00 m. Si
Página 8 - Análisis Vectorial
avanza por inercia alrededor de la mitad del círculo.
I) Hallar la magnitud del vector de desplazamiento.
a) 8,0 b) 8,5 mc) 9,0 m d) 9,5 m e) 10,0 m
II) Hallar la distancia que patino.
a) 15,1 m b) 15,3 m c) 15,5 m d) 15,7 m e) 15,9 m
III) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si el patina alrededor de todo el círculo?
Fig01 Fig02
18. Tres desplazamientos son: A =150 m a 30,0
o
al Sur, B =250 m al Oeste y C =150 a
30,0
o
al Noreste.
I) Construya un diagrama separado para cada una de las siguientes posibles formas de
sumar estos vectores 1R A B C , 2R B C A , 3R C B A .
II) Explique que puede concluir al comparar los diagramas.
19. Un carro de montaña rusa se mueve 200 m horizontalmente y luego se eleva 135 m a
un ángulo de 30,0
o
sobre la horizontal. A continuación viaja 135 m a un ángulo de
40,0
o
hacia abajo.
I) Usando técnicas gráficas, hallar el desplazamiento desde su punto de partida.
a) 420,77 m b) 422,77 m c) 424,77 m d) 426,77 m e) 428,77 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento d .
a) 2,63
o
b) -2,63
o
c) 3,63
o
d) -3,63
o
e) 4,63
o
20. Un avión vuela desde el campo base al lago A, a 280 km de distancia en la dirección
20,0
o
al noreste. Después de soltar suministros vuela al lago B, que está a 190 km a
30,0
o
al noreste del lago A.
I) Hallar gráficamente la distancia recorrida.
a) 305,9 km b) 306,9 km c) 307,9 km d) 308,9 km e) 309,9 km
II) Hallar la dirección desde el lago B al campo base.
a) 55,14
o
b) 56,14
o
c) 57,14
o
d) 58,14
o
e) 59,14
o
d
v
F1
F2
Página 9 - Análisis Vectorial
21. Indicar cuáles de las magnitudes físicas son escalares o vectoriales: peso (W), calor
(Q), calor especifico (ce), ímpetu (I), densidad (), energía (E), volumen (V), potencia.
Serway
22. Las componentes de un vector A en las direcciones de los x e y son Ax=-25 u y
Ay=40,0 u. Hallar la magnitud y dirección de este vector.
a) 48,2 u; 122
o
b) 46,2 u; 121
o
c) 45,2 u; 123
o
d) 49,2 u; 125
o
e) 47,2 u; 122
o
23. El vector A de magnitud A=35,0 u está en la dirección de 325
o
en sentido antihorario
medido desde el eje-x positivo. Hallar las componentes x e y de este vector.
a) 25,67 u; -22,08 u b) 25,67 u; -24,08 u c) 25,67 u; -23,08 u
d) 25,67 u; -21,08 u e) 28,67 u; -20,08 u
24. Una persona camina 25,0
o
al noreste recorriendo 3,10 km. ¿Qué distancia tendría que
caminar hacia el Norte y hacia el Este para llegar a la misma posición?
a) 1,11 km; 2,51 km b) 1,51 km; 2,71 km c) 1,41 km; 2,61 km
d) 1,21 km; 2,91 km e) 1,31 km; 2,81 km
25. Obtenga expresiones en forma de componentes para los vectores de posición de coor
denadas polares: (12,8 m, 150
o
), (3,30 cm, 60,0
o
).
26. Un canillita para entregar un periódico recorre 3,00 cuadras al Oeste, 4,00 cuadras al
Norte y luego 6,00 cuadras al Este.
I) Hallar su desplazamiento resultante.
a) 4 cuadras b) 5 cuadras c) 6 cuadras d) 7 cuadras e) 8 cuadras
II) Hallar la distancia total que recorre el canillita.
a) 10 cuadras b) 11 cuadras c) 12 cuadras d) 13 cuadras e) 14 cuadras
27. Un explorador se mueve 75,0 m al Norte, 250 m al Este, 125 m a un ángulo de 30,0
o
al
noreste y 150 m al Sur. Hallar la magnitud de su desplazamiento resultante.
a) 312,55 m b) 314,55 m c) 316,55 m d) 318,55 m e) 320,55 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante.
a) 6,07
o
b) 6,27
o
c) 6,47
o
d) 6,67
o
e) 6,87
o
28. Dados los vectores ˆ ˆA 3i 2 j y ˆ ˆB i 4 j . Hallar A B , A B , A B , A B , y
las direcciones de A B y A B .
29. Un perro que corre en el parque, experimenta desplazamientos sucesivos de 3,50 m al
Sur, 8,20 a 30
o
al noreste, y 15,0 m al Oeste.
Página 10 - Análisis Vectorial
I) Hallar la magnitud del desplazamiento resultante.
a) 7,12 m b) 7,32 m c) 7,52 m d) 7,72 m e) 7,92 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante.
a) 171,7
o
b) 173,7
o
c) 175,7
o
d) 177,7
o
e) 179,7
o
30. Dados los vectores ˆ ˆA 2,00i 6,00 j y ˆ ˆB 3,00i 2,00 j .
I) Dibuje la suma vectorial C A B y la diferencia vectorial D A B .
II) Calcule C y D en términos de vectores unitarios.
III) Calcule C y D en términos de coordenadas polares, con ángulos medidos respecto del
eje-x positivo.
31. En la Fig03, cuando el esquiador se desliza por la pista de ángulo de inclinación =
30
o
, un trozo de hielo se proyecta a una posición máxima de 1,50 m a =16,0
o
de la
vertical.
I) Hallar la componente de su posición máxima paralela a la pista.
a) 1,17 m b) 1,37 m c) 1,57 m d) 1,77 m e) 1,97 m
II) Hallar la componente de su posición máxima perpendicular a la pista.
a) 0,54 m b) 0,64 m c) 0,74 m d) 0,84 m e) 0,94 m
32. En la Fig04, sobre la caja que reposa en el piso se aplican fuerzas 1F de magnitud F1=
120 N en la dirección 1= 60,0
o
, y 2F de magnitud F2=80,0 N en la dirección 2= 75,0
o
.
I) Hallar la fuerza resultante de la suma de estas fuerzas.
a) 181,4 N b) 183,4 N c) 185,4 N d) 187,4 N e) 189,4 N
II) Hallar la dirección del vector resultante de la suma de las fuerzas.
a) 71,8
o
b) 73,8
o
c) 75,8
o
d) 77,8
o
e) 79,8
o
III) Hallar la magnitud de la fuerza 2F , para que, la fuerza resultante sea nula.
a) 110 N b) 115 N c) 120 N d) 125 N e) 130 N
Fig03 Fig04
g
F1
F2
x
y
1 2
Página 11 - Análisis Vectorial
33. Dados los tres vectores de desplazamiento ˆ ˆA (3i 3 j)m , ˆ ˆB (i 4 j)m , y C
ˆ ˆ( 2i 5 j)m
I) Hallar la magnitud y dirección del vector D A B C .
a) 2,53 m; -41
o
b) 2,63 m; -42
o
c) 2,63 m; -43
o
d) 2,73 m; -44
o
e) 2,83 m; -45
o
II) Hallar la magnitud y dirección del vector E A B C .
34. Dados los vectores A ( 8,70;15,0)cm y B (13,2; 6,60)cm . Si A B 3C 0 .
Hallar el vector C .
a) (7,3 i +7,2 ĵ) cm b) (7,3 i -7,2 ĵ) cm c) (-7,3 i +7,2 ĵ) cm
d) (-7,3 i -7,2 ĵ) cm e) (7,5 i +7,8 ĵ) cm
35. Las componentes x, y, z del vector A son: 8,00 u, 12,0 u y -4,00 u, respectivamente.
I) Exprese el vector A en notaciones de vectores unitarios.
II) Exprese en vectores unitarios el vector B , cuya magnitud es un cuarto la de A , y que
está en la misma dirección.
III) Exprese en vectores unitarios el vector C , cuya magnitud es tres veces la de A , y que
esta en dirección opuesta.
36. Las componentes x, y, z del vector B son: 4,00 u, 6,00 u y 3,00 u, respectivamente.
I) Hallar la magnitud del vector B
a) 7,51 u b) 7,61 u c) 7,71 u d) 7,81 u e) 7,91 u
II) Hallar los ángulos que forma B con ejes x, y, z.
a) 55,19
o
; 36,80
o
, 65,41
o
b) 58,19
o
; 38,80
o
, 69,41
o
c) 56,19
o
; 35,80
o
, 66,41
o
d) 57,19
o
; 37,80
o
, 68,41
o
e) 59,19
o
; 39,80
o
, 67,41
o
37. El vector A tiene una componente x negativa de 3,00 u de magnitud y un componente
y positiva de 2,00 u de magnitud.
I) Hallar una expresión para A en notación de vectores unitarios.
a) 3 i +2 ĵ b) -3 i +2 ĵ c) 3 i -2 ĵ d) -3 i -2 ĵ e) 2 i +3 ĵ
II) Hallar la magnitud y dirección de A .
a) 3,01 u; 140,31
o
b) 3,21 u; 142,31
o
c) 3,41 u; 144,31
o
c) 3,61 u; 146,31
o
e) 3,81 u; 148,31
o
Página 12 - Análisis Vectorial
III) Hallar un vector B , tal que, al sumarse a A da como resultante un vector con compo
nente nula en x y componente y negativa de 4,00 u de magnitud.
a) 3 i +6 ĵ b) -3 i +6 ĵ c) 3 i -6 ĵd) -3 i -6 ĵ e) 6 i +3 ĵ
38. Dados ˆ ˆA (6,00i 8,00 j)u , ˆ ˆB ( 8,00i 3,00 j)u , y ˆ ˆC (26,0i 19,0 j)u .
I) Hallar "a" y "b" tal que a A +b B +C =0.
a) 3; 4 b) 4; 3 c) 7; 5 d) 5; 7 e) 5; 8
II) Un estudiante aprendió que una sola ecuación no se puede resolver para determinar
valores para más de una incógnita en ella. ¿Como podría explicarle que tanto "a" como
"b" se pueden determinar a partir de la ecuación que se usó en el inciso I).
39. Un jardinero que empuja una podadora experimenta dos desplazamientos. El primero
de magnitud 150 cm formando un ángulo de 120
o
con el eje-x positivo. Si el desplaza
miento resultante tiene magnitud de 140 cm y dirección de 35,0
o
respecto del eje-x po
sitivo, hallar el segundo desplazamiento.
a) 190 cm b) 192 cm c) 194 cm d) 196 cm e) 198 cm
40. Exprese en notación de vectores unitarios los siguientes vectores.
I) El vector E de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0
o
contra las manecillas del reloj, desde
el eje x positivo.
a) 15,15 i +7,72 ĵ b) -15,15 i +7,72 ĵ c) 15,15 i -7,72 ĵ
d) -15,15 i -7,72 ĵ e) 13,15 i +5,72 ĵ
II) El vector Fde magnitud 17,0 cm se dirige 27,0
o
contra las manecillas del reloj, desde
el eje y positivo.
a) 7,72 i +15,15 ĵ b) -7,72 i +15,15 ĵ c) 7,72 i -15,15 ĵ
d) -7,72 i -15,15 ĵ e) 5,72 i +13,15 ĵ
III) El vector G de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0
o
en sentido de las manecillas del reloj,
desde el eje y negativo.
a) 7,72 i +15,15 ĵ b) -7,72 i +15,15 ĵ c) 7,72 i -15,15 ĵ
d) -7,72 i -15,15 ĵ e) 5,72 i +13,15 ĵ
41. Una estación de radar ubica un barco hundido en un intervalo de 17,3 km y orientación
de 136
o
en sentido de las manecillas del reloj desde el Norte. Desde la misma estación,
un avión de rescate está en un intervalo horizontal de 19,6 km, 153
o
en sentido de las
manecillas del reloj desde el Norte, con elevación de 2,20 km.
Página 13 - Análisis Vectorial
I) Escriba el vector de posición para el barco en relación con el avión con i que represen
ta el Este , ĵ el Norte, y k̂ hacia arriba .
a) 3,13 i +5,02 ĵ+2,20 k̂ b) -3,13 i +5,02 ĵ+2,20 k̂ c) 3,13 i +5,02 ĵ-2,20 k̂
d) 3,13 i -5,02 ĵ-2,20 k̂ e) -3,13 i -5,02 ĵ+2,20 k̂
II) Hallar la distancia de separación entre el barco y el avión.
a) 6,11 km b) 6,31 km c) 6,51 km d) 6,71 km e) 6,91 km
42. El ojo de un huracán se mueve en dirección 60,0
o
al noreste con una rapidez de 41,0
km/h.
I) Hallar la expresión en vector unitario del vector velocidad (en km/h) del huracán.
a) 35,5 i +20,50 ĵ b) 35,5 i -20,50 ĵ c) -35,5 i +20,50 ĵ
d) -35,5 i -20,50 ĵ e) 31,5 i +24,50 ĵ
II) Se mantiene esta velocidad por 3,00 h, después el curso del huracán cambia súbitamen
te al Norte y su rapidez baja a 25,0 km/h. Esta nueva velocidad se mantiene durante
1,50 h. Hallar la expresión en vector unitario de la nueva velocidad (km/h)del huracán.
a) 21 ĵ b) 22 ĵ c) 23 ĵ d) 24 ĵ e) 25 ĵ
III) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du
rante las primeras 3,00 h.
a) 106,5 i +61,50 ĵ b) -106,5 i +61,50 ĵ c) 106,5 i -61,50 ĵ
d) -106,5 i -61,50 ĵ e) 108,5 i +63,50 ĵ
IV) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du
rante las últimas 1,50 h.
a) 35,5 ĵ b) 36,5 ĵ c) 37,5 ĵ d) 38,5 ĵ e) 39,5 ĵ
V) ¿A qué distancia del punto de observación está el ojo del huracán, después que pasa so
bre este?
a) 141,4 km b) 142,4 km c) 143,4 km d) 144,4 km e) 145,4 km
43. En la Fig05, Qoqi está sobre el suelo en el origen de un sistema de coordenadas. El
dron vuela con velocidad constante en la dirección del eje-x a una altura de h=7,60 km.
En el instante t=0 el dron esta sobre Qiqo el vector de posición es oP =7,60 ĵ km. En
el instante t=30,0 s, el vector de posición es 30P =(8,04 i +7,60 ĵ) km. Hallar la magni
tud y dirección del vector de posición del dron en el instante t=45,0 s.
Página 14 - Análisis Vectorial
a) 13,4 km; 30,2
o
b) 13,8 km; 34,2
o
c) 14,0 km; 31,2
o
d) 12,4 km; 33,2
o
e) 14,3 km; 32,2
o
44. En la Fig06, se muestra la trayectoria de una persona que sale a caminar, la cual, cons
ta de cuatro trayectorias en línea recta. Hallar el desplazamiento resultante de la perso
na, medido desde el punto de partida 0.
a) 220 m b) 225 m c) 230 m d) 235 m e) 240 m
Fig05 Fig06
45. Un controlador de tráfico aéreo observa dos aeronaves en la pantalla de su radar. La
primera está a una altitud de 800 m, 19,2 km de distancia horizontal y 25,0
o
al suroes
te. La segunda está a una altitud de 1100 m, 17,6 km de distancia horizontal y 20,0
o
al
suroeste. Hallar la distancia entre estas aeronaves.
a) 2,19 km b) 2,29 km c) 2,39 km d) 2,49 km e) 2,59 km
46. En la Fig07, la araña esta descansando después de haber construido su red. La fuerza
de gravedad sobre la araña es de 0,150 N en el punto de unión 0 de los tres hilos de se
da. La unión soporta diferentes fuerzas en los dos hilos por encima de ella de manera
que la fuerza resultante sobre la unión es cero. La tensión Tx es de 0,127 N.
I) Hallar el ángulo que forma el eje-x con la horizontal.
a) 55,9
o
b) 56,9
o
c) 57,9
o
d) 58,9
o
e) 59,9
o
II) Hallar la tensión Ty.
a) 75,8 mN b) 76,8 mN c) 77,8 mN d) 78,8 mN e) 79,8 mN
III) Hallar el ángulo que forma el eje-y con la horizontal.
a) 30,1
o
b) 31,1
o
c) 32,1
o
d) 33,1
o
e) 34,1
o
47. En la Fig08, el rectángulo mostrado tiene lados paralelos a los ejes x e y. Los vectores
de posición de las dos esquinas son: A =10,0 m a 50
o
y B =12,0 m a 30,0
o
.
I) Hallar el perímetro del rectángulo.
Po P30
x
y
0
y
x
300m
100m
150m
200m
60
o
30
o
Página 15 - Análisis Vectorial
a) 10,4 b) 10,6 m c) 10,8 m d) 11,0 m e) 11,2 m
II) Hallar la magnitud y dirección del vector desde el origen de la esquina superior dere
cha del rectángulo.
a) 12,1 m; 33,4
o
b) 12,3 m; 35,4
o
c) 12,5 m; 34,4
o
d) 12,7 m; 37,4
o
e) 12,9 m; 36,4
o
Fig07 Fig08
48. Se tiene dos vectores A y B de iguales magnitudes. Para que la magnitud de A +B
sea cien veces mayor que la magnitud de A -B . ¿Cuál debe ser el ángulo entre ellos?
a) 1,15
o
b) 1,35
o
c) 1,55
o
d) 1,75
o
e) 1,95
o
49. Los vectores A y B tienen iguales magnitudes de 5,00 u. La suma de A y B es el vec
tor 6,00 ĵ . Hallar el ángulo entre los vectores A y B .
a) 102,3
o
b) 104,3
o
c) 106,3
o
d) 108,3
o
e) 110,3
o
50. Checho camina 2,5 km hacia el norte y luego 1,5 km en una dirección 30
o
al este del
norte. Jacinta camina directamente entre los mismos puntos inicial y final. ¿Qué distan
cia camina Jacinta y en qué dirección?
a) 3,07 km; 76,73
o
b) 3,47 km; 75,73
o
c) 3,27 km; 79,73
o
d) 3,67 km; 77,73
o
e) 3,87 km; 78,73
o
51. Una lancha viaja 14 km en dirección 60
o
al sur del este. Una segunda lancha tiene el
mismo desplazamiento, pero viaja al este y luego al sur. ¿Qué distancia viajó la segun
da lancha al este? ¿Qué distancia lo hizo al sur?
a) 7,4 km; 12,9 km b) 7,2 km; 12,3 km c) 7,6 km; 12,5 km
d) 7,8 km; 12,7 km e) 7,0 km; 12,1 km
52. La resultante de dos vectores de desplazamiento tiene una magnitud de 5,0 m y una
direcciónnorte. Uno de los vectores de desplazamiento tiene magnitud de 2,2 m y una
dirección de 35
o
al este del norte. ¿Cuál es el otro vector desplazamiento?
0
y
x
A
B
0
x
y
Tx
Ty
Página 16 - Análisis Vectorial
a) 1,26 i +3,20 ĵ b) -1,26 i +3,20 ĵ c) 1,26 i -3,20 ĵ
d) -1,26 i -3,20 ĵ e) 1,46 i +3,60 ĵ
53. Tanto Singapur como Quito están (aproximadamente) sobre el ecuador de la Tierra. La
longitud de Singapur es 104
o
este y la de Quito es 78
o
oeste.
I) ¿Cuál es la magnitud del vector de desplazamiento (en metros) entre estas ciudades?
a) 12 702 km b) 12 722 km c) 12 742 km d) 12 762 km e) 12 782 km
II) ¿Cuál es la distancia entre ellas medida a lo largo del ecuador?
a) 19 713 km b) 19 733 km c) 19 753 km d) 19 773 km e) 19 793 km
54. El operador de radar de un barco guardacostas estacionario observa que a las 10
h
30
m
hay un barco no identificado a una distancia de 9,5 km con un rumbo de 60
o
al este de
norte, y a las 11
h
10
m
el barco no identificado está a una distancia de 4,2 km en un
rumbo de 33
o
al este del norte. Medido desde su posición a las 10
h
10
m
.
I) ¿Cuál es el vector de desplazamiento del barco no identificado a las 11
h
10
m
?
a) 6,07 km; 78,3
o
S-O b) 6,07 km; 78,3
o
O-S c) 6,27 km; 76,3
o
S-O
d) 6,27 km; 76,3
o
O-S e) 6,47 km; 72,3
o
S-O
II) Suponiendo que el barco no identificado continúan en el mismo curso a la misma velo
cidad ¿Cuál será su vector de desplazamiento a las 11
h
30
m
.
a) 9,10 km; 78,3
o
S-O b) 9,10 km; 78,3
o
O-S c) 9,30 km; 76,3
o
S-O
d) 9,30 km; 76,3
o
O-S e) 9,60 km; 72,3
o
S-O
III) ¿Cuál será su distancia y su rumbo desde el barco?
a) 3,0 km; 12,3
o
N-O b) 3,0 km; 12,3
o
O-N c) 3,2 km; 14,3
o
S-O
d) 3,2 km; 14,3
o
O-S e) 3,4 km; 16,3
o
S-O
55. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 12,0 km en la dirección de 40
o
al
oeste del norte. Hallar las componentes norte y sur de este vector.
a) 9,19 km; 7,71 km b) 9,59 km; 7,11 km c) 9,39 km; 7,91 km
d) 9,99 km; 7,51 km e) 9,79 km; 7,31 km
56. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 4,0 m y una dirección vertical hacia a
bajo. ¿Cuál es la componente de este vector a lo largo de una línea con pendiente ascen
dente de 25
o
?
a) -1,3 i (m) b) 1,3 i (m) c) -1,5 i (m) d) 1,5 i (m) e) -1,7 i (m)
57. Considere dos desplazamientos, la primera de magnitud 3 m y la segunda de magnitud
4 m. Muestre como pueden combinarse estos vectores de desplazamiento para obtener
Página 17 - Análisis Vectorial
un desplazamiento resultante de magnitud I) 7 m, II) 1 m, III) 5 m.
58. ¿Cuáles son las propiedades de dos vectores a y b tales que: I) a b c y a+b=c; II)
a b a b ; III) a b c y a
2
+b
2
=c
2
?
59. Sonia camina 250 m en dirección 35
o
NE, y luego 170 m hacia el este.
I) Usando métodos gráficos, halle su desplazamiento final a partir del punto de partida.
II) Compare la magnitud de su desplazamiento con la distancia recorrida.
60. Una persona camina con el siguiente esquema: 3,1 km norte, luego 2,4 km oeste, y fi
nalmente 5,2 km sur.
I) Construya el diagrama vectorial que representa a este desplazamiento.
II) ¿Qué tan lejos y en qué dirección volaría un pájaro en línea recta para llegar al mismo
punto final?
a) 3,19 m; 41,19
o
O-S b) 3,19 m; 41,19
o
S-O c) 3,39 m; 43,19
o
O-S
d) 3,39 m; 43,19
o
S-O e) 3,59 m; 45,19
o
O-S
61. Se suman dos vectores a y b . Muestre gráficamente con diagramas vectoriales que la
magnitud de la resultante no puede ser mayor que a+b ni menor que Ia-bI, donde las ba
rras verticales significan un valor absoluto.
62. Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 54 km, luego al norte 32 km y lue
go en dirección 28
o
NE durante 27 km. Dibuje el diagrama vectorial y determine el vec
tor desplazamiento total del automóvil desde el punto de partida.
a) 80,2 km; 13,94
o
N-E b) 80,2 km; 13,94
o
E-N c) 81,2 km; 11,94
o
N-E
d) 81,2 km; 11,94
o
E-N e) 83,2 km; 14,94
o
N-E
63. El vector a tiene una magnitud de 5,2 u y está dirigido hacia el este. El vector b tiene
una magnitud de 4,3 u y está dirigido 35
o
NO. Construyendo los diagramas vectoriales,
halle las magnitudes y direcciones de I) a b , y II) a b .
I) Hallar la magnitud y dirección del vector a b .
a) 4,25 u; 50,2
o
E-N b) 4,25 u; 50,2
o
N-E c) 4,45 u; 52,2
o
E-N
d) 4,45 u; 52,2
o
N-E e) 4,65 u; 54,2
o
E-N
II) Hallar la magnitud y dirección del vector a b .
a) 8,24 u; 22,65
o
S-E b) 8,24 u; 22,65
o
E-S c) 8,44 u; 24,65
o
S-E
d) 8,44 u; 24,65
o
E-S e) 8,64 u; 64,65
o
S-E
64. Un golfista ejecuta tres golpes para meter la bola en el hoyo cuando 3,6 m N, el segun
do 1,8 m SE, y el tercero 0,9 m SO. ¿Qué desplazamiento se necesitaría para meter la
bola en el hoyo al primer golpe? Trace el diagrama vectorial.
Página 18 - Análisis Vectorial
a) 2,15 m; 72,66
o
E-N b) 2,15 m; 72,66
o
N-E c) 2,35 m; 74,66
o
E-N
d) 2,35 m; 74,66
o
N-E e) 2,55 m; 76,66
o
E-N
65. I) ¿Cuáles son las componentes de un vector A en el plano xy si su dirección es 252
o
a antihorario del eje-x positivo y su magnitud es de 7,34 u?
a) 2,27 u; 6,98 u b) -2,27 u; 6,98 u c) 2,27 u; -6,98 u
d) -2,27 u; -6,98 u e) 2,47 u; 6,78 u
II) La componente x de cierto vector es de -25 u y la componente y es de +43 u. ¿Cuál es
la magnitud del vector y el ángulo entre su dirección y el eje x positivo?
a) 49,14 m; 120,77
o
b) 49,74 m; 120,17
o
c) 49,54 m; 120,37
o
d) 49,34 m; 120,97
o
e) 49,94 m; 120,57
o
66. En la Fig09, la pieza pesada se arrastra hacia arriba d=13 m sobre el plano inclinado
=22
o
, respecto de la horizontal.
I) ¿A qué altura de su posición inicial es levantada?
a) 4,07 m b) 4,27 m c) 4,47 m d) 4,67 m e) 4,87 m
II) ¿A qué distancia se movió horizontalmente?
a) 12,05 m b) 12,25 m c) 12,45 m d) 12,65 m e) 12,85 m
67. En la Fig10, la manecilla minutera de un reloj tiene una longitud de 11,3 cm del eje a
la punta.
I) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, desde un cuarto de hora hasta la media
hora?
a) 15,18 cm; 45
o
O-S b) 15,18 cm; 45
o
S-O c) 15,58 cm; 45
o
O-S
d) 15,58 cm; 45
o
S-O e) 15,98 cm; 45
o
O-S
II) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente media hora?
a) 22,6 cm; 180
o
x
+
b) 22,6 cm; 180
o
x
-
c) 24,6 cm; 180
o
x
+
d) 24,6 cm; 180
o
x
-
e) 26,6 cm; 180
o
x
+
III) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente hora?
a) 0 cm; 0
o
x
+
b) 0 cm; 0
o
x
-
c) 2 cm; 0
o
x
+
d) 2 cm; 0
o
x
-
e) 4 cm; 0
o
x
+
68. Una persona desea llegar a un punto que está a 3,42 km de su ubicación actual y en u
na dirección de 35,0
o
NE. Sin embargo, debe caminar a lo largo de calles que van ya
sea de norte a sur o de este a oeste. ¿Cuál es la distancia mínima que podría caminar pa
ra llegar a su destino?
a) 4,16 km b) 4,36 km c) 4,56 km d) 4,76 km e) 4,96 km
Página 19 - Análisis Vectorial
Fig09 Fig10
69. Un barco se dispone a zarpar hacia un punto situado a 124 km al norte. Una tormenta i
nesperada empuja al barco hasta un punto a 72,6 km al norte y 31,4 km al este de su
punto de partida. ¿Qué distancia, y en qué dirección, debe ahora navegar para llegar a
su destino original?
a) 60,23 km; 31,42
o
N-O b) 60,23 km; 31,42
o
O-N c) 62,23 km; 33,42
o
N-Od) 62,23 km; 33,42
o
O-N e) 64,23 km; 35,42
o
N-O
70. En la Fig11, las fallas de las rocas son roturas a lo largo de las cuales se han movido
las caras opuestas de la masa rocosa, paralelas a la superficie de fractura. Este movimi
ento está a menudo acompañado de terremotos. En la Figura los puntos A y B coinci
dian antes de la falla. La componente del desplazamiento neto AB paralela a una línea
horizontal en la superficie de la falla se llama salto de la dislocación (AC). La compo
nente del desplazamiento neto a lo largo de la línea con mayor pendiente del plano de
la falla es la brecha de la dislocación (AD).
I) ¿Cuál es la desviación neta si el salto de la dislocación es de 22 m y la brecha de la dis
locación es de 17 m?
a) 25 m b) 26 m c) 27 m d) 28 m e) 29 m
II) Si el plano de la falla está inclinado a 52
o
de la horizontal, ¿Cuál es el desplazamiento
vertical neto de B como resultado de la falla en I)?
a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m
Fig11 Fig12
A
C
B
D
52
o
R R
P
P
En t1 En t2
g
13m
22
o
v
Página 20 - Análisis Vectorial
71. En la Fig12, una rueda de radio R=45 cm gira sin arrastre a lo largo de un piso hori
zontal, P es un punto pintado sobre la llanta de la rueda. En el instante t1, P está en el
punto de contacto entre la rueda y el piso. En el instante t2 posterior, la rueda ha roda
do a la mitad de una vuelta. ¿Cuál es el desplazamiento de P durante el intervalo de
tiempo t2-t1.
a) 1,61 m; 31
o
E-N b) 1,51 m; 37
o
N-E c) 1,41 m; 32
o
N-S
d) 1,87 m; 37
o
N-S e) 1,67 m; 33
o
E-N
72. Una habitación tienen las dimensiones de 3 m x 3,6 m x 4,2 m. Una mosca que sale de
una esquina termina su vuelo en la esquina diametralmente superior opuesta.
I) Hallar el vector de desplazamiento (en metros) en un marco con los ejes de coordena
das paralelos a las aristas de la habitación.
a) 3,0 i +3,6 ĵ+4,2 k̂ b) 3,2 i +3,8 ĵ+4,0 k̂ c) 3,8 i +3,2 ĵ+4,6 k̂
d) 3,6 i +3,0 ĵ+4,4 k̂ e) 3,0 i +3,4 ĵ+4,8 k̂
II) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento?
a) 6,09 m b) 6,29 m c) 6,49 m d) 6,69 m e) 6,89 m
III) ¿Podría la longitud de la trayectoria recorrida por la mosca ser menor que esta distan
cia?¿Mayor que esta distancia?¿Igual a esta distancia?
IV) Si la mosca caminara en lugar de volar, ¿Cuál sería la longitud de la trayectoria más
corta que puede recorrer?
a) 7,02 m b) 7,22 m c) 7,42 m d) 7,62 m e) 7,82 m
73. Dados los vectores ˆ ˆa 4i 3 j y ˆ ˆb 6i 8 j .
I) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a .
a) 3,0; 353
o
b) 3,5; 313
o
c) 4,0; 343
o
d) 4,5; 333
o
e) 5,0; 323
o
II) Hallar la magnitud y dirección con el eje +x del vector b .
a) 7,0; 35,9
o
b) 6,0; 38,9
o
c) 9,0; 37,9
o
d) 8,0; 39,9
o
e) 10,0; 36,9
o
III) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a b .
a) 7,2; 25,6
o
b) 10,2; 27,6
o
c) 9,2; 28,6
o
d) 8,2; 29,6
o
e) 11,2; 26,6
o
IV) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector b a .
a) 7,2; 75,7
o
b) 10,2; 76,7
o
c) 9,2; 78,7
o
d) 8,2; 77,7
o
e) 11,2; 79,7
o
V) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a b .
a) 7,2; 262
o
b) 10,2; 266
o
c) 9,2; 264
o
d) 8,2; 268
o
e) 11,2; 260
o
Página 21 - Análisis Vectorial
74. Un hombre sale de la puerta frontal, camina 1 400 m E, 2 100 m N, y luego saca una
moneda de su bolsillo y lo suelta desde un acantilado de 48 m de altura. En un sistema
de coordenadas en el cual los ejes x, y y z positivos apunten al este, al norte, y hacia a
rriba, estando el origen en la ubicación de la moneda según el hombre sale de su puerta
frontal.
I) Escriba una expresión, usando vectores unitarios, para el desplazamiento (en metros)
de la moneda.
a) -44 k̂ b) +44 k̂ c) -42 k̂ d) +42 k̂ e) -48 k̂
II) El hombre regresa a su puerta frontal, siguiendo una trayectoria diferente en el viaje de
regreso. ¿Cuál es su desplazamiento (en metros) resultante para el viaje completo?
a) 0 k̂ b) 1 k̂ c) 2 k̂ d) 3 k̂ e) 4 k̂
75. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue:
4,13 m SO, 5,26 m E, y 5,94 m en una dirección de 64,0
o
NE. Elija el eje x apuntando
al este y el eje y apuntando hacia el norte.
I) Halle las componentes de cada desplazamiento.
II) Halle las componentes del desplazamiento resultante.
III) Halle la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante.
IV) Halle el desplazamiento que se requeriría para traer de nuevo a la partícula hasta el pun
to de partida.
76. En la Fig13, dos vectores a y b tienen magnitudes iguales a 12,7 u. Están orientados
como se muestra en la Figura, y su vector suma es r .
I) Halle las componentes x e y del vector r .
a) 2,54 i +15,29 ĵ b) 2,14 i +15,19 ĵ c) 2,34 i +15,39 ĵ
d) 2,24 i +15,39 ĵ e) 2,44 i +15,59 ĵ
II) Halle la magnitud del vector r .
a) 15,1 b) 15,3 c) 15,5 d) 15,7 e) 15,9
III) Halle el ángulo que forma el vector r con ele eje +x.
a) 80,6
o
b) 81,6
o
c) 82,6
o
d) 83,6
o
e) 84,6
o
77. En la Fig14, una estación de radar detecta a un cohete que se aproxima desde el este.
En el primer contacto, la distancia al cohete es de 3 600 m a 40,0
o
sobre el horizonte.
El cohete es rastreado durante otros 123
o
en el plano este-oeste, siendo la distancia del
contacto final de 7 740 m. Halle el desplazamiento (en metros) del cohete durante el pe
riodo de contacto del radar.
a) -10159,55 i -51,08 ĵ b) -10259,55 i -52,08 ĵ c) -10359,55 i -53,08 ĵ
d) -10459,55 i -56,08 ĵ e) -10559,55 i -55,08 ĵ
Página 22 - Análisis Vectorial
Fig13 Fig14
78. Dos vectores de magnitudes "a" y "b" forman un ángulo "" entre si cuando son situa
dos cola con cola. Pruebe, tomando componentes a lo largo de dos ejes perpendicula
res, que la magnitud de su suma es r=[a
2
+b
2
+2abcos]
1/2
.
79. Pruebe que dos vectores deben tener magnitudes iguales si su suma es perpendicular a
su diferencia.
80. I) Usando vectores unitarios a lo largo de tres aristas de un cubo, expresé las diago
nales (las líneas de una esquina a otra a través del centro del cubo) de un cubo en tér
minos de sus aristas, las cuales tienen longitud "a".
II) Determine los ángulos formados por las diagonales con las aristas adyacentes.
III) Determine la longitud de las diagonales.
81. Un cohete enciende dos motores simultáneamente. Uno produce un empuje de 725 N
directamente hacia delante; en tanto el otro da un empuje de 513 N 32,4
o
arriba de la
dirección hacia delante. Hallar la magnitud y la dirección (relativa a la dirección hacia
delante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete.
a) 1190 N; 13,4
o
b) 1150 N; 11,4
o
c) 1170 N; 15,4
o
d) 1180 N; 12,4
o
e) 1160 N; 14,4
o
82. En la Fig15, para los vectores mostrados A y B de magnitudes A=8,0 m y B=15,0 m,
=30
o
, use el método de componentes para obtener la magnitud y la dirección.
I) De la resultante de la suma vectorial A +B .
a) -0,5 i +12,9 ĵ b) 0,5 i -12,9 ĵ c) +0,5 i +12,9 ĵ
d) -0,5 i -12,9 ĵ e) -0,3 i +10,9 ĵ
II) De la resultante de la suma vectorial B +A .
a) -0,5 i +12,9 ĵ b) 0,5 i -12,9 ĵ c) +0,5 i +12,9 ĵ
d) -0,5 i -12,9 ĵ e) -0,3 i +10,9 ĵ
b
a
105
o
28,2
o
y
x
0
O E
40
o
123
o
3600m 7740m
Página 23 - AnálisisVectorial
III) De la resultante de la diferencia vectorial A -B .
a) -15,5 i +12,9 ĵ b) 15,5 i -12,9 ĵ c) +15,5 i +12,9 ĵ
d) -15,5 i -12,9 ĵ e) -13,3 i +10,9 ĵ
IV) De la resultante de la diferencia vectorial B -A .
a) -15,5 i +12,9 ĵ b) 15,5 i -12,9 ĵ c) +15,5 i +12,9 ĵ
d) -15,5 i -12,9 ĵ e) -13,3 i +10,9 ĵ
83. En la Fig16, escriba cada uno de los vectores mostrados, en términos de vectores
unitarios i y ĵ , si A=3,60 m, B=2,4 m, =20
o
, y =30
o
.
II) Utilice vectores unitarios para expresar el vector C 3,00A 4,00B .
III) Hallar la magnitud y dirección del vector C .
Fig15 Fig16
84. I) ¿El vector ( ˆ ˆ ˆi j k ) es unitario? Justifique su respuesta.
II) Un vector unitario puede tener una componente con magnitud mayor a la unidad? ¿Pue
de tener alguna componente negativa? En cada caso, justifique su respuesta.
III) Si el vector ˆ ˆA a(3,0i 4,0 j) , donde "a" es una constante, hallar el valor de "a" que
convierte a A en un vector unitario.
Fig17 Fig18
a
a
a b
c
d
e
A
B
C
E D
0
a
b
c
d
e
53
0
A
B
y
x 0
A
B
y
x 0
Página 24 - Análisis Vectorial
85. En la Fig17, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si c =3/5 u.
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u
86. En la Fig18, en la circunferencia de radio R=1 u, hallar el módulo de la resultante de
los vectores mostrados.
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u
87. En la Fig19, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a 4u ,
c 8u , b 8u y b 4u .
a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u
88. En la Fig20, en el triángulo equilátero, expresar x en función de a y b .
a)
2b a
4
b)
2b a
4
c)
2b a
2
d)
2b a
4
e)
b 2a
4
Fig19 Fig20
89. En la Fig21, en la circunferencia de radio 7 u , hallar el módulo de la resultante de
los vectores mostrados.
a) 3 u b) 5 u c) 7 u d) 9 u e) 11 u
90. En la Fig22, en el triángulo equilátero de lado a=2 u, hallar el módulo de la resultante
de los vectores mostrados.
a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u
Fig21 Fig22
a
c b 60
0
A
B
C
a
b
x
d
M
N
a
b
c
d
0
60
0
e
A
B
C
0
Página 25 - Análisis Vectorial
91. En la Fig23, en el tetraedro de lado a= 6 u. Hallar el módulo de la resultante de los
vectores mostrados.
a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u
92. En la Fig24, en el tetraedro de lado a= 10 /2u. Hallar el módulo de la resultante de
los vectores mostrados.
a) 1 u b) 3 u c) 5 u d) 7 u e) 9 u
93. En la Fig25, hallar el módulo de la resultante de los vectores contenidos en los cuadra
dos de lados 5 u, y que son perpendiculares entre sí.
a) 1 u b) 3 u c) 5 u d) 7 u e) 9 u
Fig23 Fig24
94. En la Fig26, en el rectángulo de lados 6 u y 8 u, M es punto medio de la diagonal,
hallar x en función de a y b .
a) 0,28 b 0,50 a b)1,3b 0,5a c) 0,5b 1,3a d) 10,5b 1,3a e) 1,2b 0,6a
Fig25 Fig26
95. En la Fig27, en la semicircunferencia de radio 4 u, los puntos ABCD dividen en par
tes iguales a la semicircunferencia. Hallar x en función de a y b .
a)
4a 3b
6
b)
4a 3b
6
c)
3a 4b
6
d)
3a 4b
6
e)
6a 3b
6
A
B
C
D
B
D
C
A
a
b
x
A
B C
D
M
Página 26 - Análisis Vectorial
Fig27 Fig28
96. En la Fig28, el tronco de cono regular de arista a= 3 /2 u tiene bases cuadradas cuya
diferencia de sus lados es 6 /4 u. Hallar el módulo de la resultante de los vectores
mostrados.
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u
97. En la Fig29, en el triángulo equilátero ABC de lado 4 u y baricentro O, hallar el módu
lo de la resultante de los vectores mostrados.
a) 0 u b) 1 u c) 2 u d) 3 u e) 4 u
98. En un triángulo ABC el vector AB m y el vector AC n . Construir los siguientes
vectores.
I)
m n
2
II)
m n
2
III)
n m
2
99. Tomando como base los vectores AB b y AC c que coinciden con los lados del
triángulo ABC, determinar la descomposición de los vectores que coinciden con sus
medianas si éstos están aplicados en los vértices del triángulo.
Fig29 Fig30
100. En la Fig30, en el paralelepípedo ABCDA'B'C'D' se dan los vectores que coinciden
con sus aristas: AB m , AD n y AA ' p . Construir los vectores siguientes:
D' C'
A' B'
D
A B
C
m
n
p
A
B
C
D
x
a
b 0
A
B
C
D
F
G
H
E
0
A
B
C
Página 27 - Análisis Vectorial
I) m n p II)
1
m n p
2
III)
1 1
m n p
2 2
IV) m n p V)
1
m n p
2
101. En la Fig31, en el hexágono regular de lado 5 cm, hallar el módulo del vector resultan
te.
a) 30 u b) 35 u c) 40 u d) 45 u e) 50 u
102. En la Fig32, en el hexágono regular, expresar x en función de a y b .
a)
a b
2
b)
a b
2
c)
a b
4
d)
a b
4
e)
b a
4
103. En la Fig33, hallar el módulo de la resultante de los infinitos vectores. Si AB = 1 u y
BC= 3 u.
a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u d) 6,6 u e) 6,8 u
Fig31 Fig32
104. En la Fig34, en el cuadrado M y N son puntos medios., hallar x en función de a y b .
a)
a b
2
b)
a b
2
c)
a b
4
d)
a b
4
e)
b a
2
Fig33 Fig34
b x
A D
F E
0
B C
a
b x
A D
F E
0
B C
A1
A2
A3
B1 B2 B3
B
A
C
60
0
N
M
a
A
C
D
B
x
b
Página 28 - Análisis Vectorial
105. Probar que la suma de vectores posee la propiedad conmutativa; esto es: a b b a .
106. Un avión se mueve con velocidad de 250 km/h en dirección 37
o
de norte a oeste res
pecto de la Tierra, en presencia de un viento que se desplaza con velocidad de 50 km/h
en dirección este a oeste, respecto a Tierra. Hallar el ángulo de desviación que experi
menta la velocidad del avión.
a) 7,21
b) 7,51
o
c) 7,81
o
d) 8,11
o
e) 8,41
o
107. Probar que la suma de vectores posee la propiedad asociativa: a (b c) (a b) +c .
108. Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores 1r =
ˆ ˆ ˆ2i 4 j 5k y 2
ˆ ˆ ˆr i 2 j 3k .
109. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.110. Determinar los ángulos , y que el vector de posición ˆ ˆ ˆr x i y j zk forma con
los ejes de coordenadas x, y z positivos, además probar que cos
2
+cos
2
+cos
2
=1.
111. Dados los vectores 1
ˆ ˆ ˆr 2i j k , 2
ˆ ˆ ˆr i 3 j 2k , 3
ˆ ˆ ˆr 2i j 3k y 4
ˆ ˆr 3i 2 j
ˆ5k . Hallar S=(a
2
+b
2
+c
2
)
1/2
, donde a, b y c satisfacen la ecuación, 4 1 2 3r a r b r c r .
a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94
112. Sean a y b son dos vectores de distinta dirección con A (x 4y)a (2x y 1)b y
B (y 2x 2)a (2x 3y 1)b . Si se cumple la relación, 3A 2B , hallar P=x.y.
a) 1,5 b) -1,5 c) 2 d) -2 e) 3
113. Sobre un punto P de un sólido actúan las fuerzas 1
ˆ ˆ ˆF 2i 3 j 5k , 2
ˆ ˆ ˆF 5i j 3k ,
3
ˆ ˆ ˆF i 2 j 4k medidos en newtons.
I) Hallar la fuerza resultante sobre el sólido.
II) Hallar la magnitud de la fuerza resultante.
114. Hallar el ángulo agudo entre las diagonales de un cuadrilátero de vértices (0, 0), (3, 2),
(4, 6) y (1, 3).
a) 82
o
41' 30" b) 82
o
45' 30" c) 82
o
49' 30" d) 82
o
53' 30" e) 82
o
57' 30"
115. Hallar un vector b de magnitud 2 u, y que tenga la misma dirección que el vector
ˆ ˆ ˆa (3i 6 j 2k) (u).
116. Hallar el producto escalar o punto de los vectores ˆ ˆ ˆa 5i 2 j k y ˆ ˆb 2i k .
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Página 29 - Análisis Vectorial
117. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa 2i j 2k , y ˆ ˆ ˆb 3i 6 j 2k .
I) Hallar la razón de las magnitudes de los vectores a y b .
a) 0,33 b) 0,43 c) 0,53 d) 0,63 e) 0,73
II) Hallar el ángulo entre los vectores a y b .
a) 110
o
23' 34" b) 110
o
23' 34" c) 110
o
23' 34" d) 110
o
23' 34" e) 110
o
23' 34"
118. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa 4i 3 j 2k y ˆ ˆ ˆb i 2 j k . Hallar la razón r= axb / a b .
a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94
119. El producto punto de dos vectores a y b , y la magnitud de su producto vectorial son
iguales. Hallar el ángulo entre los vectores a y b .
a) 30
o
b) 37
o
c) 45
o
d) 53
o
e) 60
o
120. El vector desplazamiento a tiene una longitud de 50 m y una dirección 30
o
al este del
norte; el vector de desplazamiento b tiene una longitud de 35 m y una dirección 70
o
al
oeste del norte.
I) Hallar la magnitud y dirección del producto vectorial a x b .
II) Hallar la magnitud y dirección del producto vectorial bxa .
121. Hallar el producto vectorial o cruz de los vectores ˆ ˆ ˆa 2i 5 j 3k y ˆ ˆb i 2k .
122. Suponga que, ˆ ˆa cos t i sen t j , donde "" es una constante. Hallar d a /dt, y pro
bar que da /dt es perpendicular al vector a .
123. El vector de desplazamiento a tiene una magnitud de 30 m y una dirección de 20
o
al
sur del este . El vector de desplazamiento b tiene una magnitud de 40 m y una direc
ción 20
o
al oeste del norte. Hallar la componente de a a lo largo de b .
a) 19,08 b) -19,08 c) 19,28 d) -19,28 e) 19,48
124. El producto vectorial de ˆ ˆ ˆA 5,0i 2,0 j 3,0k y x z
ˆ ˆ ˆB B i 3,0 j B k es igual al vec
tor z
ˆ ˆC 2,0 j C k . Hallar la expresión, E=Bx.Cz/Bz.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
125. I) Los vectores a y b están sobre el plano-xy. Demostrar que la tangente del ángulo
"" entre estos vectores, está dada por: tg=(axby-aybx)/(axbx+ayby).
II) Evaluar la expresión para tg , cuando ˆ ˆa 4i 3 j y ˆ ˆb 3i 4 j .
Página 30 - Análisis Vectorial
a) 16,06
o
b) 16,26
o
c) 16,46
o
d) 16,66
o
e) 16,86
o
126. Hallar un vector unitario que bisecte el ángulo entre los vectores ˆ ˆa j 2k y b
ˆ ˆ ˆ3i j k
a) ˆ ˆ ˆ0,97i 0,16 j 0,22k b) ˆ ˆ ˆ0,91i 0,18 j 0,26k c) ˆ ˆ ˆ0,99i 0,10 j 0,24k
d) ˆ ˆ ˆ0,93i 0,12 j 0,28k e) ˆ ˆ ˆ0,95i 0,14 j 0,20k
127. Hallar el ángulo entre la diagonal principal de un cubo de lados "a", y la diagonal de
una cara adyacente.
a) 35
o
15' 12" b) 35
o
15' 32" c) 35
o
15' 52" d) 35
o
15' 72" e) 35
o
15' 92"
128. El producto escalar de dos vectores a y b de magnitudes a=4 u y b=6 u es cero. Hallar
la magnitud del producto vectorial de a y b .
a) 20 u
2
b) 22 u
2
c) 24 u
2
d) 26 u
2
e) 28 u
2
129. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa 2i 3 j 2k y ˆ ˆb 3i 4k . Hallar la expresión E=(cx.cz)/cy,
donde cx, cy, cz son las magnitudes de las componentes de c a x b .
a) 7,1 b) 7,3 c) 7,5 d) 7,7 e) 7,9
130. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa (3i 2 j 2k)u , ˆb 4k u , y ˆ ˆc (2i 3 j) u . Hallar las expre
siónes siguientes: I) a (b c) , II) a x(b c) , III) a (bx c) , IV) a (bx c) .
131. Hallar un vector perpendicular tanto a ˆ ˆa 4i 3 j como a ˆ ˆ ˆb i 3 j 2k .
132. Demuestre la relación vectorial: a x(bxc) b(a c) c(a b) .
133. Las expresiones de cuatro vectores que van del origen de coordenadas a los puntos A,
B, C y D, son: ˆ ˆ ˆa i j k , ˆ ˆb 2i 3 j , ˆ ˆ ˆc 3i 5 j 2k y ˆ ˆd k j . Probar que el
vector AB es paralelo al vector CD .
134. Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadrados de las diagonales de un parale
logramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.
135. Hallar el área del triángulo de vértices A=(1, 1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1).
a) 4,04 u
2
b) 4,24 u
2
c) 4,44 u
2
d) 4,64 u
2
e) 4,84 u
2
136. Dados los vectores a y b , probar que, se cumple: a b a b y a b a b .
137. Exprese el vector ˆ ˆ ˆa i 2 j 3k como una combinación lineal de ˆ ˆb i k , ˆ ˆc i j ,
Página 31 - Análisis Vectorial
y ˆ ˆ ˆd j k .
a) b 2d b) 2b d c) b 2c d) c d e) 2c d
138. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa i 2 j 3k , ˆ ˆ ˆb 2i 2 j k y ˆ ˆc 2i j 4k , hallar la expre
sión: E=(dx.dy.dz)/(ex.ey.ez) donde dx, dy, dz, ex, ey, ez son las magnitudes de las compo
nentes de los productos d a x b y e bxc , respectivamente.
a) 4,40 b) 4,44 c) 4,48 d) 4,52 e) 4,56
139. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa i 2 j 3k , ˆ ˆ ˆb 2i 2 j k y ˆ ˆc 2i j 4k , hallar el ángulo
entre los vectores d a x b y e bxc .
a) o140 34'14" b) o142 34'14" c) o144 34'14"
d) o146 34'14" e) o148 34'14"
140. Hallar el volumen del paralelepípedo conformado por los vectores ˆ ˆ ˆa (i 2 j 3k)m ,
ˆ ˆ ˆb ( 3i j 4k)m , y ˆ ˆ ˆc (i 2 j k) m .
a) 12 m
3
b) 14 m
3
c) 16 m
3
d) 18 m
3
e) 20 m
3
141. Dados los vectores ˆ ˆa 2i k j y ˆ ˆb 3i 2 j , hallar la expresión E=kIIk, donde kII y
k, son el k para el cual a b , y a b , respectivamente.
a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 6
142. En la Fig35, demuestre que a (bx c) es igual en magnitud al volumen del paralelepí
pedo formado sobre los tres vectores a , b y c .
143. En la Fig36, los tres vectores mostrados tienen magnitudes a=3, b=4 y c=10.
I) Calcule las componentes x e y de estos vectores.
II) Hallar los números "p" y "q" tal que c pa qb .
Fig35 Fig36
a
c
b
30
o
x
y
0
i
j
a
b
c
Página 32 - Análisis Vectorial
144. En la Fig37, un vector a de magnitud 17 m está dirigido 56
o
en sentido antihorario
del eje +x.
I) ¿Cuáles son las componentes ax y ay de este vector?
II) Un segundo sistema de coordenadas está inclinada 18
o
con respecto al primero. ¿Cuá
les son las componentes xa ' y ya ' en este sistema primado de coordenadas?
III) Hallar el valor de la expresión, E= x y x y(a ' a ' ) / (a a )
145. En la Fig38, semuestra dos vectores a y b y dos sistemas de coordenadas que difie
ren en que los ejes x y x' y los ejes y y y' forman cada uno un ángulo "" con el otro.
Pruebe analíticamente que a b tiene la misma magnitud y dirección sin importar que
sistema se haya usado para llevar a cabo el análisis.
Fig37 Fig38
146. Dado un vector ˆ ˆ ˆa i 2 j 2k en coordenadas cartesianas.
I) Hallar la magnitud del vector a .
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
II) Hallar el vector unitario aû en la dirección del vector a .
a) -(1/3) i +(2/3) ĵ-(2/3) k̂ b) -(1/3) i +(2/3) ĵ+(2/3) k̂ c) -(1/3) i -(2/3) ĵ-(2/3) k̂
d) +(1/3) i +(2/3) ĵ-(2/3) k̂ e) +(1/3) i +(2/3) ĵ-(2/3) k̂
III) Hallar el ángulo que forma el vector a con el eje z positivo.
a) 131,8
o
b) 133,8
o
c) 135,8
o
d) 137,8
o
e) 139,8
o
147. Dados los vectores ˆ ˆ ˆa 5i 2 j k y ˆ ˆb 3i 4k en coordenadas cartesianas.
I) Hallar el producto escalar de a por b .
a) +11 b) -11 c) +13 d) -13 e) +15
II) Hallar el producto vectorial de a por b .
0 ax
ay
a'y
a'x
x
x'
y'
y
a=17m
56
o
18
o
18
o
0 x
x'
y'
y
a
b
v
Página 33 - Análisis Vectorial
a) ˆ ˆ ˆ8i 23j 6k b) ˆ ˆ ˆ8i 23j 6k c) ˆ ˆ ˆ8i 23j 6k
d) ˆ ˆ ˆ8i 23j 6k e) ˆ ˆ ˆ8i 23j 6k
III) Hallar el ángulo entre los vectores a y b .
a) 111,7
o
b) 113,7
o
c) 115,7
o
d) 117,7
o
e) 119,7
o
148. I) Escriba la expresión del vector que va desde el punto P1(1, 3, 2) hasta el punto
P2(3,-2, 4) en coordenadas cartesianas.
a) ˆ ˆ ˆ2i 5j 2k b) ˆ ˆ ˆ2i 5j 2k c) ˆ ˆ ˆ2i 5j 2k d) ˆ ˆ ˆ2i 5j 2k e) ˆ ˆ ˆ2i 5j 2k
II) Hallar la longitud del segmento de línea 1 2P P .
a) 5,14 b) 5,34 c) 5,54 d) 5,74 e) 5,94
III) Hallar la distancia perpendicular desde el origen hasta esta línea.
a) 3,00 b) 3,20 c) 3,40 d) 3,60 e) 3,80
149. Dado el vector ˆ ˆ ˆb 2i 6 j 3k en coordenadas cartesianas.
I) Hallar la magnitud del vector b .
a) 5,0 b) 5,5 c) 6,0 d) 6,5 e) 7,0
II) Hallar la expresión del vector unitario
b
û .
III) Hallar los ángulos que forma el vector b con los ejes x, y, z, respectivamente, y cal
cular la suma de los cuadrados de las tangentes de estos ángulos.
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
150. Asumiendo que existe un campo vectorial en el espacio
3
, dado por: ˆA (3cos )r -
ˆˆ2r zk .
I) ¿Cuál es el campo vectorial en el punto P(4, 60
o
, 5)?
II) Exprese el campo A en coordenadas cartesianas.
III) Determine la ubicación del punto P en coordenadas cartesianas.
151. Exprese el vector 0Q desde el origen 0 hasta el punto Q(3, 4, 5) en coordenadas cilín
dricas.
a) ˆ ˆ3i 4j b) ˆ ˆ4i 3j c) ˆ ˆ4i 4k d) ˆ ˆ5i 5k e) ˆ ˆ5i 5k
152. Hallar la relación de transformación en forma matricial para las componentes de un
vector A , expresadas en los sistemas de coordenadas cartesianas y cilíndricas.
Página 34 - Análisis Vectorial
153. Las coordenadas cilíndricas de dos puntos P1 y P2 son: P1(4, 60
o
, 1) y P2(3, 180
o
,-1).
Hallar la distancia entre estos dos puntos.
a) 6,0 b) 6,2 c) 6,4 d) 6,6 e) 6,8
154. Exprese el vector unitario k̂ en términos de los vectores r̂ y ̂ del sistema de coorde
nadas esférico.
a) ˆˆcos r sen b) ˆˆcos r sen c) ˆˆsen r cos
d) ˆˆsen r cos e) ˆˆcos r sen
155. Una nube de electrones que está confinada en una región en forma de cascarón esféri
co de radios interno r1=2 cm y externo r2=5 cm, tiene una densidad de carga volumé
trica homogénea de =(-310
-8
)cos
2
/r
4
C/m
3
. Hallar la carga contenida en esta región.
a) -1,0 C b) -1,2 C c) -1,4 C d) -1,6 C e) -1,8 C
156. Hallar la fórmula para el área de la superficie de una esfera de radio "R", integrando el
área superficial diferencial en coordenadas esféricas.
157. Hallar la relación de transformación en forma matricial para las componentes de un
vector A , expresadas en los sistemas de coordenadas cartesianas y esféricas.
158. Las coordenadas cartesianas de un punto son: P(4,-6, 12). Hallar las coordenadas esfé
ricas de este punto.
a) (12, 33
o
, 301,7
o
) b) (11, 32
o
, 302,7
o
) c) (14, 31
o
, 303,7
o
)
d) (15, 30
o
, 304,7
o
) e) (13, 34
o
, 305,7
o
)
159. En cierta región del espacio
3
el potencial eléctrico está dada por: V=Voe
-x
sen(y/4)
donde Vo=2 voltios, y x e y están en metros. Hallar la magnitud del campo eléctrico en
el punto P(1, 1, 0) m.
a) 0,50 V/m b) 0,54 V/m c) 0,58 V/m d) 0,62 V/m e) 0,66 V/m
160. Dado un campo vectorial ˆˆE r r zk (V/m) en coordenadas cilíndricas. Hallar el flujo
de salida total a través de un cilindro circular de radio R=2 m y h=4 m centrado en el
origen. El eje del cilindro es el eje z.
a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49
161. En cierta región del espacio
3
existe un campo, dado por: 2 ˆˆ ˆE r r rcos zk . Ha
llar el valor de la expresión P=Ey.Ez/Ex, donde Ex, Ey, Ez son las componentes del cam
po en el punto P(4, 60
o
, 1).
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
Página 35 - Análisis Vectorial
162. Hallar la circulación del campo F xyi 2x j en sentido antihorario, a lo largo de un
cuarto de circunferencia de radio R=3, inscrita en el primer cuadrante, y centro en 0.
a) -21,1 b) +21,1 c) -23,1 d) +23,1 e) -25,1
163. Hallar la circulación del campo F xyi 2x j en sentido horario, a lo largo un cuadra
do de lados 4 u, con centro en el origen 0, y lados paralelos a los ejes x e y.
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
164. I) Dado el campo ˆA (k / r) en coordenadas cilíndricas con "k" constante. Demos
trar que x A .
II) Dado el campo ˆA f (r)r en coordenadas esféricas, donde f es función de la distancia
radial "r". Demostrar que x A .
165. Dado un campo ˆ ˆF xyi 2x j en una región
3
, verifique el teorema de Stokes sobre
un cuadrante de círculo de radio R=3, situado en el primer cuadrante, con centro en 0.
166. Hallar la circulación del campo ˆ ˆF sen r 3cos en sentido antihorario, a lo largo
del cuadrante de circunferencia de radio R=3, inscrita en el primer cuadrante, y centro
en el origen 0.
a) 4,0 b) 4,5 c) 5,0 d) 5,5 e) 6,0
167. Dado el campo ˆ ˆF sen r 3cos en la región
3
, hallar la magnitud del rotacional
de F en r=0,3, =53
o
, y verificar el teorema de Stokes, sobre el cuadrante de circunfe
rencia de radio R=3, en el primer cuadrante, con centro en el origen 0.
a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0
168. Dado el campo radial A =kr r̂ en coordenadas esféricas, determine si el teorema de la
divergencia es válido para la capa encerrada por las superficies esféricas r=R1, y r=R2
(R2>R1) con centro común en el origen.
169. Demostrar la identidad vectorial, x A , donde A es un campo vectorial en
3
.
170. Demostrar la identidad vectorial, x A 0 , donde A r es el vector de posición.
171. Demostrar la identidad vectorial r r /r, donde r es el vector de posición.
172. La ecuación A (BxC) B (CxA) C (AxB) describe los productos escalares triples
de tres vectores A , B y C . Hay otro tipo importante de producto de tres vectores: el
producto vectorial triple, Ax(BxC) . Demuestre la siguiente relación desarrollando en
Página 36 - Análisis Vectorial
coordenadas cartesianas: Ax(BxC) B(A C) C(A B) .
173. Hallar la componente del vectorˆ ˆA zi x j en el punto P1(-1, 0,-2) que esté dirigida
hacia el punto P2( 3 , 150
o
, 1).
a) 1,205 b) 1,225 c) 1,245 d) 1,265 e) 1,285
174. Calcule los resultados de los siguientes productos de vectores unitarios. I) ˆˆ i , II) ˆr̂ j ,
III) ˆ ˆk r , IV) ˆˆ x i , V) ˆ ˆx r , VI) ˆˆ x k .
175. Exprese la componente , A de un vector A en (1, 1, z1).
I) En función de Ax y Ay en coordenadas cartesianas.
II) En función de Ar y A en coordenadas esféricas.
176. Exprese la componente , E de un vector E en (r1, 1, 1).
I) En función de Ex, Ey y Ez en coordenadas cartesianas.
II) En función de Er y Ez en coordenadas esféricas.
177. Dado un campo vectorial ˆ ˆE yi x j , calcule la integral E d desde P1(2, 1,-1)
hasta P2(8, 2,-1). A lo largo de una línea recta que une los dos puntos.
178. Denote con r el vector de posición de un punto P(x, y, z). Hallar (1/r).
I) En coordenadas cartesianas.
II) En coordenadas esféricas.
179. Dado el campo escalar V=2xy-yz+xz.
I) Hallar el vector que representa la dirección y la magnitud de la razón de incremento
máxima de V en el punto P(2,-1, 0).
II) Hallar la razón de incremento de V en el punto P en la dirección hacia el punto Q(0, 2,
6).
180. En un sistema de coordenadas curvilínea, la diferenciación de un vector base puede
producir un nuevo vector en otra dirección.
I) Hallar r̂ / y ̂ / en coordenadas cilíndricas.
II) Use los resultados obtenidos en I) para encontrar la fórmula de A en coordenadas ci
líndricas, usando las ecuaciones =(
1 2 3
u 1 1 u 2 2 u 3 3ˆ ˆ ˆu / h u u / h u u / h u ) y A =
r z
ˆˆˆA r A A k .
181. Calcule la divergencia de los siguientes campos radiales: I) f1(r)=r
n
r̂ , I) f2(r)=(k(r
2
)
r̂ , donde k es una constante.
182. Dado un campo vectorial ˆ ˆ ˆF xyi yz j zxk .
I) Hallar el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad en el primer
Página 37 - Análisis Vectorial
octante con un vértice en el origen.
II) Hallar F y verifique el teorema de la divergencia.
183. Para una función vectorial 2 ˆˆA r r 2zk , verifique el teorema de la divergencia para
la región cilíndrica circular encerrada por r=5, z=0 y z=4.
184. Para una función vectorial dada por: ˆA zk .
I) Hallar A dS sobre la superficie de una región semiesférica que es la mitad superior
de una esfera de radio R=3 centrada en el origen, con la base plana coincidente con el
plano xy.
II) Hallar la divergencia de A , A .
III) Verifique el teorema de la divergencia.
185. Un campo vectorial A =(cos
2
)/r
3
r̂ existe en la región comprendida entre dos capas es
féricas definidas por R1=2 y R2=3.
I) Calcule el flujo de A a través de la superficie S ,
S
A dS .
II) Calcule la integral de la divergencia de A en el volumen V,
V
( A)dV .
186. Para una función escalar f y una función vectorial A , demuestre que la identidad
A (fA) f A A f , en coordenadas cartesianas.
Fig39 Fig40
187. En la Fig39, suponga un campo vectorial 2 2 2ˆ ˆA (2x y )i (xy y ) j .
I) Hallar A d a lo largo del contorno triangular mostrado en la Figura.
II) Hallar (Axd ) dS sobre el área triangular.
III) ¿Puede expresarse A como el gradiente de un escalar? Explique.
188. En la Fig40, suponga una unción vectorial 2 ˆˆF 5rsen r r cos .
x
y
0 2
2
y
x 0 D A
B
C
R2
R1
Página 38 - Análisis Vectorial
I) Hallar F d a lo largo del contorno ABCDA en la dirección indicada en la Figura.
II) Hallar el rotacional de F , esto es x F .
III) Hallar ( x F) dS sobre el área sombreada y compare el resultado con el que obtuvo
en el inciso I).
189. Dada una función vectorial ˆA 3sen( / 2) , verifique el teorema de Stokes sobre la
superficie de una semiesfera de radio R=4 y su borde circular.
190. Para una función escalar f y una función vectorial A , demuestre que se cumple la
identidad: x(f A) f ( xA) ( f )xA , en coordenadas cartesianas.
191. Dada la función vectorial 1 2 3 4
ˆ ˆ ˆF (x 3y c z)i (c x 5z) j (2x c y c z)k .
I) Hallar c1, c2 y c3, si F es irrotacional.
II) Hallar c4 si F también es solenoidal.
192. Un campo eléctrico está dado por: E =25(x i +y j )/(x
2
+y
2
) (N/C). (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar en el punto P(3; 4;-2) m, un vector unitario en la dirección del campo E .
a) 0,2 i +0,4 j b) 0,6 i +0,8 j c) 0,4 i +0,6 j d) 0,8 i +0,2 j e) 0,3 i +0,4 j
II) Hallar el ángulo entre el campo eléctrico E y el eje-x en el punto P(3; 4;-2).
a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º
III) Hallar en el plano y=7, el valor de la siguiente integral doble:
4 2
0 0
E jdzdx .
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
193. Dado el vector campo E =4zy
2
cos(2x) i +2zysen(2x) j +y
2
sen(2x) k para la región IxI,
IyI y IzI es menor que 2, hallar: I) Las superficies en las que Ey=0, II) La región R en
las que Ey=Ez, III) La región R en las que E =0.
194. Expresar el vector campo eléctrico uniforme E =5 i (N/C) en, I) Coordenadas cilíndri
cas. II) Coordenadas esféricas.
195.Expresar el vector campo eléctrico E =8sen ̂ (N/C) en, I) Coordenadas rectangula
res, II) Coordenadas cilíndricas.
196.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión vectorial,
viene dado por: E =2xz
2
i +2z(x
2
+1) k (N/C)
I) Determinar la ecuación de la línea que pasa por el punto P(1; 3;-1) m.
a) x
2
=z
2
+2ln(z) b) x2=z2-2ln(z) c) z2=x2+2ln(x) d) z2=x2-2ln(x) e) z2=x2-4ln(x)
Página 39 - Análisis Vectorial
II) El punto Q(2; z) m pertenece a una línea de campo, hallar el valor de "z".
a) 2,12 m b) 2,32 m c) 2,52 m d) 2,72 m e) 2,92 m
197.En cierta región R del espacio existe un campo eléctrico, dado por la expresión: E =
20e
-5y
(cos(5x) i -sen(5x) j ). En el punto P(/6; 0,1; 2):
I) Hallar el módulo de E .
II) Hallar un vector unitario en la dirección de E .
III) Hallar la ecuación de la línea de campo que pasa por el punto P.
198.En una región R dada del espacio existe un campo eléctrico, dado por: E =(4x-2y) i -
(2x+4y) j (N/C). Hallar la ecuación de las línea de campo que pasa a través del punto
P(2; 3;-4) m.
a) y
2
=x
2
-4xy+19 b) y
2
=x
2
+4xy+19 c) y
2
=x
2
+4xy-19 d) y
2
=x
2
-4xy-19 e) y
2
=x
2
-xy+19
199.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x2 i +y2 j
(V/m). Hallar la circulación del campo E , a lo largo de la curva C: y=x2 de (0; 0) a (1;
1) m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 0,47 V b) 0,57 V c) 0,67 V d) 0,77 V e) 0,87 V
200.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =2xy i +(x2-
z
2
) j -3xz
2
k (N/C). Hallar el trabajo que hace el campo al trasladarse una carga unitaria
q=1 C de A(0; 0; 0) a B(2; 1; 3) m a lo largo de:
I) El segmento (0; 0; 0)(0; 1; 0) (2; 1; 0) (2; 1; 3).
a) +50 J b) -50 J c) +70 J d) -70 J e) +90 J
II) La línea recta (0; 0; 0) a (2; 1; 3).
a) -36,5 J b) +36,5 J c) -39,5 J d) +39,5 J e) -42,5
201.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = (x-
y) i +(x
2
+ zy) j +5yz k (N/C). Hallar el trabajo realizado por el campo, al trasladarse u
na carga unitaria q=1 C a lo largo de la trayectorias rectas (1;0;0) (0;0;0) (0;0;1)
(0;2;0).
a) 1,0 J b) 1,5 J c) 2,0 J d) 2,5 J e) 3,0 J
202.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x2y i -y j
(N/C). (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la circulación CE a lo largo de los segmentos rectos (0;0) (0;1) (2;0)
(0;0)
a) 5/6 b) 7/6 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5
Página 40 - Análisis VectorialII) Hallar:
S
( xE) dS , siendo "S" el área encerrada por la curva C, del inciso I)
a) 2/5 b) 4/5 c) 7/6 d) 5/6 e) 3/4
III) ¿Se cumple el teorema de Stokes?
203.En una región R del espacio libre, existe una densidad de flujo, dado por: D =
2z
2
̂ +cos
2
k . En la región definida por: 05 m, -1 m<z<1 m, 0<<2. Calcular
el flujo =
S
D dS de la densidad D .
a) 170 C b) 172 C c) 174 C d) 176 C e) 178 C
204.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en
coorde nadas cilíndricas es: E =cos /r
2
r̂ +z cos ̂ +z k̂ (N/C). Hallar el flujo del
rotacional del campo a través del hemisferio, definido por: r=4 m, z0.
205.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en
coorde nadas rectangulares es: E = (x
2
+y
2
+z
2
)
1/2
[(x-y) i +(x+y) j ]/(x
2
+y
2
)
1/2
. Calcular
las sigui entes integrales:
I) CE=
L
E d , donde L es el borde circular del volumen en forma de cono para helados
de arista a=2 m, y ángulo de vértice =60º.
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
II) =
1
S
( xE) dS , donde S1 es la superficie superior del cono compacto.
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
III) =
2
S
( xE) dS , donde S2 es la superficie lateral del cono compacto.
a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e)
206.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por la expresión:
E = sen ̂+
2
̂
I) Hallar la circulación del campo CE a lo largo del contorno de la Fig41.
a) 10,17 V b) 10,37 V c) 10,57 V d) 10,77 V e) 10,97 V
II) Hallar la circulación del campo CE a lo largo del contorno de la Fig42.
a) 4 V b) 5 V c) 6 V d) 7 V e) 8 V
207.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coor
denadas cilíndricas es: E =
2
sen ̂+zcos ̂ +z k̂ . Hallar el flujo de campo total (en
Página 41 - Análisis Vectorial
Nm /C) hacia fuera a través del cilindro hueco definido por: 2 m 3 m, 0 z 5 m.
a) 191 b) 193 c) 195 d) 197 e) 199
Fig41 Fig42
208.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coor
denadas rectangulares es: E =(16xy-z) i +8x
2
ĵ-x k̂ (N/C)
I) Indicar si el campo E es irrotacional (o conservativo).
II) Hallar el flujo neto del campo E sobre el cubo definido por: 0 < x, y, z < 1 m.
a) 5 Nm
2
/C b) 6 Nm
2
/C c) 7 Nm
2
/C d) 8 Nm
2
/C e) 9 Nm
2
/C
III) Hallar la circulación de E alrededor del borde del cuadrado: z=0, 0<x, y<1 m, (Tómese
el sentido de circulación en el sentido de la manecillas del reloj)
a) 0 J/C b) 1 J/C c) 2 J/C d) 3 J/C e) 4 J/C
209.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en
coorde nadas rectangulares es: E (xy-z
3
) i +(3x
2
-z) j +(3xz
2
-y) k (N/C).
I) Determinar la expresión K= + + , sabiendo que el campo E es irrotacional.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
II) Hallar la divergencia de E , y evaluar en el punto de coordenadas (2;-1; 0) m.
a) -1 N/mC b) +1 N/mC c) -2 N/mC d) +2 N/mC e) -3 N/mC
210.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = i +z2 j +
2yz k (V/m). Hallar el trabajo realizado al desplazar una carga de q=5 C desde el punto
P(1; 2;-4) m hasta el punto R(3;-5; 6) m.
a) 1010 J b) 1020 J c) 1030 J d) 1040 J e) 1050 J
211.En coordenadas cilíndricas, la densidad de carga, viene dado por: v=12 nC/m
3
, para
1m<<2 m, y =0 para 0<<1 m, >2 m. Hallar la densidad de flujo D en cualquier
0
y
x 2 1 1 2
2
1
y
x 0 2
2
Página 42 - Análisis Vectorial
punto del espacio, y evaluar en =1,4 m. (n=10
-9
)
a) 4,18n ̂ b) 4,38n ̂ c) 4,58n ̂ d) 4,78n ̂ e) 4,98n ̂
212. Dados el punto P(-2; 6; 3), y el vector ˆ ˆA yi (x z) j en coordenadas cartesianas.
I) Hallar el punto P en coordenadas cilíndricas.
a) (6,32; 108,43
o
; 3) b) (6,12; 102,43
o
; 3) c) (6,52; 104,43
o
; 3)
d) (6,92, 100,43
o
; 3) e) (6,72; 106,43
o
; 3)
II) Hallar el punto P en coordenadas esféricas.
a) (7; 64,62
o
; 108,43
o
) b) (5; 60,62
o
; 100,43
o
) c) (8; 68,62
o
; 104,43
o
)
d) (4; 62,62
o
; 102,43
o
) e) (6; 66,62
o
; 106,43
o
)
III) Hallar el vector A en el punto P en coordenadas cilíndricas.
a) -0,95 ̂ -6,00 ̂ b) -0,95 ̂+6,00 ̂ c) +0,95 ̂ -6,00 ̂
d) +0,95 ̂+6,00 ̂ e) -0,91 ̂ -6,40 ̂
IV) Hallar el vector A en el punto P en coordenadas esféricas.
a) -0,86 r̂ -0,41 ̂ -6,01 ̂ b) -0,76 r̂ -0,31 ̂ -5,01 ̂ c) -0,56 r̂ -0,51 ̂ -8,01 ̂
d) -0,66 r̂ -0,61 ̂ -4,01 ̂ e) -0,46 r̂ -0,71 ̂ -5,01 ̂
213. Dado el vector ˆ ˆˆB (10 / r)r rcos en coordenadas esféricas.
I) Expresar el vector B en coordenadas cartesianas en el punto P(-3; 4; 0).
a) 2 i - ĵ b) -2 i - ĵ c) -2 i + ĵ d) 2 i + ĵ e) i -2 ĵ
II) Expresar el vector B en coordenadas cilíndricas en el punto P(5; /2; -2).
a) 2,47 ̂+ ̂ +1,17 k̂ b) 2,37 ̂+ ̂ +1,27 k̂ c) 2,57 ̂+ ̂ +1,37 k̂
d) 2,67 ̂+ ̂ +1,47 k̂ e) 2,77 ̂+ ̂ +1,57 k̂
214. Dados los campos vectoriales en el espacio R3: ˆˆˆE 5 10 3k , y ˆF ˆ2 -6 k̂
I) Hallar la magnitud del producto vectorial E x F .
a) 70,06 b) 71,06 c) 72,06 d) 73,06 e) 74,06
II) Hallar la componente vectorial de E en el punto P(5; /2; 3) paralela a la línea x=2,
z=3.
a) -3 ̂ b) -4 ̂ c) -5 ̂ d) 3 ̂ e) 4 ̂
III) Hallar el ángulo que forma E con la superficie z=3 en el punto P.
Página 43 - Análisis Vectorial
a) 15,02
o
b) 15,22
o
c) 15,42
o
d) 15,62
o
e) 15,82
o
215.Hallar la circulación del campo 2 2 2ˆ ˆ ˆA x i y j z k a lo largo de la parábola y
2
=x
definida en el plano xy, desde el origen O(0; 0; 0) hasta el punto P(2; 2 ; 0).
a) 3,01 b) 3,21 c) 3,41 d) 3,61 e) 3,81
216. I) Dado el campo ˆˆˆA zsen 3 cos cos sen k en coordenadas cilíndricas,
exprese este campo en coordenadas cartesianas.
II) Dado el campo 2 ˆˆB r r sen en coordenadas esféricas, exprese este campo en coor
denadas cartesianas.
217. Dado el campo vectorial 2 ˆˆˆH zcos sen k
2
en coordenadas cilíndricas.
I) Hallar ˆH i en el punto P(1; /3, 0).
a) -0,413 b) -0,433 c) -0,453 d) -0,473 e) -0,493
II) Hallar ˆH x i en el punto P(1; /3, 0).
a) -0,3 ̂ b) -0,5 ̂ c) -0,3 ̂ d) -0,5 ̂ e) ˆ0,4k
III) Hallar la componente vectorial de H normal a la superficie =1.
a) 0 ̂ b) 0 ̂ c) ˆ2 d) ˆ2 e) ˆ5k
IV) Hallar la componente escalar de H tangencial al plano z=0.
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
218. Dado un campo vectorial, 2ˆˆD rsen r (1/ r)sen cos r en el espacio R3.
I) Evaluar el campo vectorial D en el punto P(10; 150
o
, 330
o
).
a) -5 r̂ +0,043 ̂+100 ̂ b) -5 r̂ +0,033 ̂ +100 ̂ c) -5 r̂ +0,053 ̂ +100 ̂
d) -5 r̂ +0,023 ̂+100 ̂ e) -5 r̂ +0,063 ̂ +100 ̂
II) Hallar la componente de D tangencial a la superficie esférica r=10 en el punto P.
a) 0,043 ̂+100 ̂ b) 0,013 ̂ +100 ̂ c) 0,053 ̂ +100 ̂
d) 0,033 ̂+100 ̂ e) 0,023 ̂ +100 ̂
III) Hallar un vector unitario en P perpendicular a D y tangencial al cono =150
o
.
Página 44 - Análisis Vectorial
a) -1,00 r̂ -0,05 ̂ b) -1,00 r̂ +0,05 ̂ c) +1,00 r̂ -0,05 ̂
d) +1,00r̂ +0,05 ̂ e) -2,00 r̂ -0,08 ̂
219. Dado los campos vectoriales, ˆ ˆˆA 3r 2 6 y ˆˆB 4r 3 en el espacio R3.
I) Hallar el producto escalar A B .
a) -4,0 b) -4,5 c) -5,0 d) -5,5 e) -6,0
II) Hallar la magnitud del producto vectorial A x B .
a) 30,48 b) 32,48 c) 34,48 d) 36,48 e) 38,48
III) Hallar la componente vectorial de A a lo largo de k̂ en el punto P(1; /3; 5/4).
a) -0,116 r̂ +0,201 ̂ b) 0,116 r̂ -0,201 ̂ c) -0,136 r̂ +0,241 ̂
d) 0,136 r̂ -0,241 ̂ e) 0,176 r̂ -0,281 ̂
220. Demostrar la identidad vectorial,
C S
ˆdr xB (n x )x BdS , donde C es el contorno
que limita a la superficie S.
221. En la Fig43, calcular
C
(y sen x)dx cosxdy , siendo C el triángulo mostrado.
a) -1,12 b) -1,22 c) 1,32 d) -1,42 e) -1,52
222. En la Fig44, calcular 2 2
C
(xy y )dx x dy , siendo C la curva cerrada que limita la
región definida por y=x e y=x
2
.
a) -1/10 b) +1/10 c) -1/20 d) +1/20 e) -1/30
223. Dada la función derivable f(r) en su dominio, hallar x( r f(r)).
Fig43 Fig44
224. Dados, 1 2 3
ˆ ˆ ˆA A i A j A k , y ˆ ˆ ˆr x i y j zk , hallar (Ax r) , si xA =0.
y
B
0
A x
(/2;1)
(/2;0)
y
x 0
y=x
2
y=x
(1;1)
Página 45 - Análisis Vectorial
225. Sabiendo que, v x r , demostrar que (1/ 2) x v , siendo =cte.
226. Dado el campo 2 ˆ ˆ ˆA x yi 2xz j 2yzk , hallar x x A en el punto P(1; 1; 1).
a) 3 i b) 3 ĵ c) 4 i d) 4 ĵ e) 3 k̂
227. Dado el campo 3 2 4ˆ ˆ ˆA xz i 2x yz j 2yz k , hallar x A en el punto P(1;-1; 1).
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
228. Dado el campo escalar 3 2 42x y z , hallar en el punto P(1; 1; 1).
a) 40 b) 42 c) 44 d) 46 e) 48
229. Hallar la derivada direccional del campo escalar =x
2
yz+4xz
2
en el punto P(1;-2;-1), y
en la dirección y sentido del vector ˆ ˆ ˆa 2i j 2k .
a) 10,33 b) 11,33 c) 12,33 d) 13,33 e) 14,33
230. Dados los campos vectoriales ˆ ˆ ˆA senu i cosu j uk , ˆ ˆ ˆB cosu i sen u j 3k , y
ˆ ˆ ˆC 2i 3 j k , hallar
u 0
dAx(BxC) / du
evaluando en u=0.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
231. Dados los campos vectoriales 2 2ˆ ˆ ˆA(t) 3t i (t 4) j (t 2t)k y ˆB(t) sen t i +3e
-t
ĵ-
3 cos t k̂ , hallar 2 2
t 0
d (Ax B) / dt
evaluado en t=0.
a) 35,7 b) 36,7 c) 37,7 d) 38,7 e) 39,7
232. Sabiendo que, d
2
A /dt
2
=6t i -24t
2
ĵ+4sent k̂ , además ˆ ˆA 2i j , y d A /dt=- i -3 k̂ en t=0.
Hallar A en t=/3.
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
233. Dados los campos vectoriales A =x
2
yz i -2xz
3
ĵ+xz
2
k̂ y B =2z i +y j-x
2
k̂ , hallar la mag
nitud de
2
( A x B )/xy, evaluado en el punto P(1; 0; -2).
a) 8,1 b) 8,3 c) 8,5 d) 8,7 e) 8,9
234. Dada la curva C de ecuación paramétrica x=t-t
3
/3, y=t
2
, z=t+t
3
/3.
I) Hallar el vector unitario tangente T̂ a la curva C en el punto P(2/3; 1; 4/3).
a) 0,71( i + ĵ) b) 0,71( i + k̂ ) c) 0,71( ĵ+ k̂ ) d) 0,71( i - k̂ ) e) 0,71 k̂
Página 46 - Análisis Vectorial
II) Hallar la curvatura "" de la curva C en el punto P(2/3; 1; 4/3).
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2 d) 1/4 e) 3/4
III) Hallar el vector unitario normal N̂ a la curva C para el punto P en el que t=1/2.
a) -0,8 i +0,6 ĵ b) 0,8 i -0,6 ĵ c) 0,8 i +0,6 ĵ d) -0,8 i -0,6 ĵ e) 0,2 i
IV) Hallar el radio de curvatura "" de la curva C en un punto en el que t=1/2.
a) 1,16 b) 1,36 c) 1,56 d) 1,76 e) 1,96
V) Hallar el vector binormal " B̂ " a la curva C en un punto en el que t=2.
a) 0,42 i -0,57 ĵ+0,71 k̂ b) 0,42 i +0,57 ĵ+0,71 k̂ c) -0,42 i +0,57 ĵ+0,71 k̂
d) 0,42 i +0,57 ĵ-0,71 k̂ e) 0,42 i -0,57 ĵ-0,71 k̂
VI) Hallar la torsión "" de la curva C en un punto en el que t=1/2.
a) 1,13 b) 1,23 c) 1,33 d) 1,43 e) 1,53
235. Una curva C del espacio R3, viene dada en función de la longitud de arco "s" , por
las ecuaciones paramétricas: x=tg
-1
(s), y=(1/2) 2 ln(s
2
+1), z=s-tg
-1
(s).
I) Hallar el vector unitario tangente T̂ a la curva C para s= 2 .
a) ˆ ˆ ˆ(1/ 3)i j (2 / 3)k b) ˆ ˆ ˆi (1/ 3) j (2 / 3)k c) ˆ ˆ ˆ(2 / 3)i j (1/ 3)k
d) ˆ ˆ ˆi (2 / 3) j (1/ 3)k e) ˆ ˆ ˆ(2 / 3)i (1/ 3) j (2 / 3)k
II) Hallar la curvatura "" en la curva C para s= 2 .
a) 0,27 b) 0,37 c) 0,47 d) 0,57 e) 0,67
III) Hallar el vector unitario normal N̂ a la curva C para s= 2 .
a) ˆ ˆ ˆ2 / 3i 1/ 3 j 2 / 3k b) ˆ ˆ ˆ2 / 3i 1/ 3 j 2 / 3k c) ˆ ˆ ˆ2 / 3i 1/ 3 j 2 / 3k
d) ˆ ˆ ˆ1/ 3i 2 / 3 j 1/ 3k e) ˆ ˆ ˆ2 / 3i 1/ 3 j 2 / 3k
IV) Hallar el radio de curvatura en un punto de la curva C para s= 2 .
a) 1,32 b) 1,72 c) 2,12 d) 2,52 e) 2,92
V) Hallar la binormal B̂ a la curva C para s= 2 .
a) 2/3 i -2/3 ĵ+1/3 k̂ b) 2/3 i -2/3 ĵ-1/3 k̂ c) -2/3 i -2/3 ĵ+1/3 k̂
d) -2/3 i +2/3 ĵ+1/3 k̂ e) -2/3 i +2/3 ĵ-1/3 k̂
Página 47 - Análisis Vectorial
VI) Hallar la torsión "" en un punto de la curva C para s= 2 .
a) 0,27 b) 0,37 c) 0,47 d) 0,57 e) 0,67
236. La ecuación paramétrica de una curva C en el espacio R3, está dada por: x=t, y=t2,
z=t
3
I) Hallar la curvatura "" de esta curva C en un punto en el que t=1.
a) 0,13 b) 0,17 c) 0,21 d) 0,25 e) 0,29
II) Hallar el vector unitario normal N̂ a la curva C en un punto en el que t=1.
a) -0,67 i +0,49 ĵ+0,55 k̂ b) -0,67 i +0,49 ĵ-0,55 k̂ c) -0,67 i -0,49 ĵ+0,55 k̂
d) 0,67 i +0,49 ĵ+0,55 k̂ e) 0,67 i +0,49 ĵ-0,55 k̂
237. I) Demostrar que el radio de curvatura "" de una curva plana de ecuaciones y=f(x),
z=0, es decir, una curva C situada en el plano xy, viene dada por: =[1+(y')2]3/2/ y" .
II) Hallar el radio de curvatura "" en un punto de la curva C, si y=f(x)=3x3, y x=0,5.
a) 1,06 b) 1,26 c) 1,46 d) 1,66 e) 186
238. Demostrar que la curvatura "" de la curva C del espacio R3, definida por r = r(t) ,
viene dada por: = r x r /
3
r , en la que los puntos indican derivadas con respecto al
tiempo t.
239. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie del paraboloide z=x
2
+y
2
en el pun
to P(1;-1; 2).
a) 2x+y-2z=2 b) 2x-2y+z=2 c) 2x-y-2z=2 d) 2x-2y-z=2 e) x-2y+z=2
240. Dado un campo vectorial A en el espacio R3, demuestre explícitamente que
x A = 0; es decir, la divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial es
cero.
241. Con relación a un campo escalar , demuestre que x=0; esto es, el rotacional del
gradiente de todo campo escalar es cero.
242. Calcular el laplaciano de los siguientes campos escalares: I) V=e
-z
sen 2x cosh y, I) U=
2
z cos 2, III) W=10r sen2 cos .
243. Calcular el laplaciano de los siguientes campos escalares: I) U=x
2
y+xyz, II) V=z
sen + z
2
cos
2
+
2
, III) f=cos sen ln(r) +r
2
.
244. Demuestre que el campo vectorial E =(y+z cos xz) i +x ĵ+x cos xz k̂ es conservativo.
245. Indicar cuáles de los siguientes enunciado son correctos (C) e incorrectos (I).
Página 48 - Análisis Vectorial
I) A B+2 A , II) A B+5=2 A , III) A(A B) +2=0, IV) A A +B B =0.
a) CICI b) CCII c) IICI d) ICIC e) IIIC
246. Dados los campos vectoriales, ˆ ˆ ˆF 2i 6j 10k , y y
ˆ ˆ ˆG i G j 5k . Si F y G tienen
el mismo vector unitario. Hallar la componente "Gy" del campo G .
a) 6 b) -3 c) 0 d) 6 e) 4
247. Dados los campos vectoriales,ˆ ˆ ˆA i j k y ˆ ˆ ˆB i j k . Si A y B son normales
entre si. Hallar el coeficiente "".
a) -2 b) -1/2 c) 0 d) 1 e) 2
248. Hallar la componente del vector ˆ ˆ ˆa 6i 2j 3k a lo largo del vector ˆ ˆb 3i 4j .
a) -12 i -9 ĵ-3 k̂ b) 30 i -40 ĵ c) 10/7 d) 2 e) 10
249. Hallar la proyección del vector ˆ ˆ ˆA 6i 3j 2k a lo largo del vector unitario ĵ .
a) -12 ĵ b) -4 i c) 3 ĵ d) 7 i e) 12 k̂
250. Hallar la componente del vector ˆ ˆ ˆA 10i 4 j 6k a lo largo del vector unitario ĵ .
a) 2 b) -3 c) -4 d) 5 e) 3
251. Un río corre al sureste a 10 km/h y una lancha flota en él con la proa hacia la dirección
del desplazamiento. Un hombre camina en la cubierta a 2 km/h en una dirección a la
derecha y perpendicular a la del movimiento de la lancha. hallar la velocidad del hom
bre respecto a la tierra.
a) 10,2 km/h; 52,3 SE b) 10,2 km/h; 50,3 NS c) 10,2 km/h; 58,3 SO
d) 10,2 km/h; 56,3 SE e) 10,2 km/h; 54,3 NS
252. Dados los vectores: ˆ ˆ ˆA 5i 3j 2k , ˆ ˆ ˆB i 4j 6k , y ˆ ˆC 8i 2j , hallar los valores
de y tales que A +B +C sea paralela al eje y.
a) 13/7; 5/7 b) -13/7; -5/7 c) -12/7; -4/7 d) 12/7; 4/7 e) 3/5; 2/5
253. Dados los vectores ˆ ˆ ˆA i j 4k , ˆ ˆ ˆB 3i j 6k , y ˆ ˆ ˆC 5i 2j k , mutuamente
ortogonales, hallar la expresión: E=(-)/.
a) 4 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
254. I) Demuestre la relación vectorial, 2 2 2(A B) (AxB (AB) .
Página 49 - Análisis Vectorial
II) Probar las relaciones entre los vectores unitarios de base i , ĵ , k̂ : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi (jxk) / i jxk ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆj (k x i) / i jxk , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk i x j / i jx k .
255. Dados los vectores: A =5t
2
i +t ĵ+t
3
k̂ y B =sen t i -cos t ĵ . I) Hallar d( A B )/dt, II) Ha
llar d( AxB )/dt, III) Hallar d( A A )/dt.
256. Demostrar que A y d A /dt son perpendiculares entre si, sabiendo que A =cte., y ade
más dA / dt 0.
257. Demostrar que d( A BxC)/du= A Bx (dC /du)+ A (d B /du)xC +(d A /du) BxC .
258. Calcular la expresión 2 2E d[v (dv / dt)x(d v / dt )] / dt .
259. Una partícula se desplaza de modo que su vector de posición en cualquier instante "t",
está dada por: ˆ ˆr cos t i sen t j , siendo "" una constante.
I) Demostrar que la velocidad " v " es perpendicular al vector de posición " r ".
II) Demostrar que la aceleración " a " está dirigida hacia el origen, y su módulo es
2
r.
III) Demostrar que el producto vectorial, r x v es un vector constante.
260. Dados los campos escalares F=x
3
z+e
y/x
, y G=2z
2
y-xy
2
, en el espacio R3.
I) Hallar (F+G) y evaluar en el punto (1; 0; -2).
II) Hallar (FG) y evaluar en el punto (1; 0; -2).
261. Calcular r
3
, y evaluar para r=4/3.
a) 3 r b) 4 r c) 5 r d) 2 r e) 6 r
262. Demostrar que f(r)=f'(r) r /r, donde f es una función continua y derivable en r.
263. Calcular la expresión siguiente F=(3r
2
-4 r +6/ 3 r ) y evaluar para r=1,5.
a) 3,17 r b) 3,27 r c) 3,37 r d) 3,47 r e) 3,57 r
264. Sabiendo que, U=2r
4
r , hallar la función escalar U en r=3, si U=20 en r=2.
a) 251,67 b) 253,67 c) 255,67 d) 257,67 e) 259,67
265. Hallar (r) en r=1,2, sabiendo que = r /r
5
y (1)=0.
a) 0,10 b) 0,14 c) 0,18 d) 0,22 e) 0,26
266. Calcular , sabiendo que =(x
2
+y
2
+z
2
)
2 2 2x y z
e
, y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 0,037 r b) 0,047 r c) 0,057 r d) 0,067 r e) 0,077 r
Página 50 - Análisis Vectorial
267.Dado que, =2xyz
3
i +x
2
z
3
ĵ+3x
2
yz
2
k̂ , hallar (1; 2; 3) sabiendo que (1;-2; 2)=4.
a) 70 b) 72 c) 74 d) 76 e) 78
268. Dado =(y
2
-2xyz
3
) i +(3+2xy-x
2
y
3
) ĵ+(6z
3
-3x
2
yz
2
) k̂ , hallar (2; 2; 2) sabiendo que la
constante de integración es C=10.
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
269. Siendo U una función derivable de x, y, y z, demostrar que Ud r =dU.
270. Siendo F una función derivable de x, y, y z, funciones derivables de t, demostrar que
dF/dt=F/t+Ud r /dt.
271. Demostrar que (F/G)=(GF-FG)/G
2
, siendo G0.
272. Hallar el vector unitario perpendicular externo a la superficie del paraboloide de
revolu ción z=x
2
+y
2
en el punto P(1; 2; 5).
a) 0,44 i +0,87 ĵ-0,22 k̂ b) 0,44 i -0,87 ĵ-0,22 k̂ c) -0,44 i +0,87 ĵ-0,22 k̂
d) 0,44 i -0,87 ĵ+0,22 k̂ e) -0,44 i -0,87 ĵ+0,22 k̂
273.Hallar el vector unitario normal a la superficie (x-1)
2
+y
2
+(z+2)
2
=9 en el punto (3; 1;-4)
a) -0,67 i +0,33 ĵ-0,67 k̂ b) 0,67 i -0,33 ĵ+0,67 k̂ c) 0,67 i -0,33 ĵ-0,67 k̂
d) -0,67 i -0,33 ĵ+0,67 k̂ e) 0,67 i +0,33 ĵ-0,67 k̂
274. Hallar el ángulo que forman las superficies S1: x
2
+y
2
+z
2
=9 y S2: z=x
2
+y
2
-3 en el punto
(2;-1; 2).
a) 50,35
o
b) 52,35
o
c) 54,35
o
d) 56,35
o
e) 58,35
o
275. Hallar la derivada de =4xz
3
-3x
2
y
2
z en el punto (2;-1; 2) en la dirección 2 i -3 ĵ+6 k̂ .
a) 51,7 b) 53,7 c) 55,7 d) 57,7 e) 59,7
276. Hallar la derivada de la función P=4e
-2x-y+z
en el punto (1; 1;-1) en dirección hacia el
punto (-3; 5; 6).
a) -2,02 b) 2,02 c) -2,22 d) 2,22 e) -2,42
277. Hallar la dirección según la cual la derrivada de la función =2xz-y
2
en el punto (1; 3;
2) es máxima. ¿Cuál es el módulo de este valor máximo?
a) 7,08 b) 7,28 c) 7,48 d) 7,68 e) 7,88
278. Hallar los valores de las constantes "a", "b", "c" de forma que la derivada de la función
Página 51 - Análisis Vectorial
=axy +byz+cz x en el punto (1; 2;-1) tenga un máximo de módulo 64 en la dirección
del eje z.
a) 6, 20, -8 b) 6, 28, -8 c) 6, 22, -8 d) 6, 26, -8 e) 6, 24, -8
279. Hallar el ángulo agudo formado por las superficies S1: xy
2
z=3x+z
2
, y S2: 3x
2
-y
2
+2z=1
en el punto (1;-2; 1).
a) 71,92
o
b) 73,92
o
c) 75,92
o
d) 77,92
o
e) 79,92
o
280. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie xz
2
+x
2
y=z-1 en el punto (1;-3; 2).
a) 4x-2y-z=5 b) 4x+2y-z=5 c) -4x+2y-z=5 d) 4x-2y+z=5 e) -4x+2y+z=5
281. Hallar las constantes "a" y "b" de forma que la superficie S1: ax
2
-byz=(a+2)x sea orto
gonal a la superficie S2: 4x
2
y+z
3
=4, en el punto (1;-1; 2).
a) 3/2, 1/2 b) 2/3, 2 c) 3/4, 1 d) 4/3, 3 e) 5/2, 1
282. Dados el campo vectorial A =3xyz
2
i +2xy
3
ĵ-x
2
yz k̂ y el campo escalar =3x
2
-yz.
I) Calcular A en el punto (1;-1; 1).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
II) Calcular A en el punto (1;-1; 1).
a) -12 b) -13 c) -14 d) -15 e) -16
III) Calcular ( A) en el punto (1;-1; 1).
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
IV) Calcular ( ) en el punto (1;-1; 1).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
283. Dado el campo vectorial A =2x
2
z i -xy
2
z ĵ+3yz
2
k̂ , hallar A en el punto (1;1;1).
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
284. Dado el campo escalar =3x
2
z-y
2
z
3
+4x
3
y+2x-3y-5 en el espacio R3, hallar 2 en el
punto P(1;-1; 1).
a) -20 b) 20 c) -22 d) 22 e) -24
285. La ecuación paramétrica de una curva C en R3, viene dada por: x=(2t+1)/(t-1),
y=t
2
/(t-1), z=t+2.
I) Hallar la curvatura "" de la curva C, para t=2,1.
Página 52 - Análisis Vectorial
a) 0,015 b) 0,025 c) 0,035 d) 0,045 e) 0,055
II) Hallar la torsión "" de la curva , para t=2,1.
a) 0,000 b) 0,023 c) 0,043 d) 0,063 e) 0,083
286. Siendo, r =a cos u i +b sen u ĵ el vector de posición de los puntos de la curva C, y "a"
y "b" constantes positivas.I) Hallar la curvatura "" de la curva, y evaluar para a=8, b=6 y u=/3.
a) 0,111 b) 0,131 c) 0,151 d) 0,171 e) 0,191
II) Interpretar el caso en el que a=b.
287. La ecuación paramétrica de una curva C en R3, viene dada por: x=-sen , y=1-cos ,
z=4sen(/2).
I) Hallar la curvatura "" de la curva C, para =53o.
a) 0,17 b) 0,27 c) 0,37 d) 0,47 e) 0,57
II) Hallar la torsión "" de la curva C, para =53o.
a) 0,019 b) 0,039 c) 0,059 d) 0,079 e) 0,099
288. Calcular
2
(ln r) en el punto r=0,5.
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
289. Dado el campo vectorial F=(3x
2
y-z) i +(xz
3
+y
4
) ĵ-2x
3
z
2
k̂ en el espacio R3, hallar
(F ) en el punto P(2;-1; 0).
a) -6 i +24 ĵ-32 k̂ b) 6 i -24 ĵ-32 k̂ c) -6 i -24 ĵ+32 k̂
d) -6 i +24 ĵ+32 k̂ e) 6 i +24 ĵ+32 k̂
290. Suponga que la velocidad angular es un vector constante y que la velocidad lineal
es v x r . Demuestre que v =0.
291. Demuestre la siguiente identidad vectorial
2
()=
2
+2+
2
.
292. Dadas las funciones escalares U=3x
2
y y V=xz
2
-2y, en el espacio R3. Hallar la expre
sión [UV] en el punto P(1;-1; 1).
a) -18 i +6 ĵ-12 k̂ b) 18 i -6 ĵ-12 k̂ c) 18 i +6 ĵ+12 k̂
d) -18 i -6 ĵ-12 k̂ e) -18 i -6 ĵ+12 k̂
292. Calcular (r
3
r ) y evaluar para r=1,5.
a) 20,00 b) 20,25 c) 20,50 d) 20,75 e) 21,00
Página 53 - Análisis Vectorial
293. Calcular [r(1/r
3
)], y evaluar para r=1,25.
a) 1,02 b) 1,22 c) 1,42 d) 1,62 e) 1,82
294. Calcular
2
[( r /r
2
)], y evaluar para r=1,25.
a) 0,22 b) 0,42 c) 0,62 d) 0,82 e) 1,02
295. Dado el campo vectorial A = r /r, en el espacio R3, calcular (A ) en r=0,25.
a) -120 r b) -122 r c) -124 r d) -126 r e) -128 r
296. Sea f(r) una función derivable y continua, demostrar que
2
f(r)=d
2
f/dr
2
+(2/r)df/dr.
297. Demostrar que el campo vectorial 4 2 3 2 2 2ˆ ˆ ˆA 3y z i 4x z j 3x y k es solenoidal.
298. Demostrar que el campo vectorial 2 2 3 2 2 2ˆ ˆ ˆA (2x 8xy z)i 4x z j 3x y k) no es sole
noidal, y el campo vectorial 2B xyz A si es solenoidal.
299. Asumiendo que U y V son campos escalares diferenciables . Demostrar que UxV
es solenoidal.
300. Dado el campo vectorial V =(-x i -y ĵ)/(x
2
+y
2
)
1/2
en el espacio R3. Demostrar que el
campo V es un "campo sumidero".
301. Dado el campo vectorial 2 3ˆ ˆ ˆA 2xz i yz j 3xz k y el campo escalar 2x yz .
I) Hallar x A en el punto (1; 1; 1).
a) ĵ+ k̂ b) i + k̂ c) i + ĵ+ k̂ d) i - k̂ e) i + ĵ
II) Hallar rot( A) en el punto (1; 1; 1).
a) 5 i -3 ĵ-4 k̂ b) 5 i +3 ĵ-4 k̂ c) 5 i -3 ĵ+4 k̂ d) 5 i +3 ĵ+4 k̂ e) 5 i -3 ĵ
III) Hallar x( xA) en el punto (1; 1; 1).
a) 5 i +3 k̂ b) 3 i +5 k̂ c) 5 i -3 k̂ d) 3 i -5 k̂ e) -5 i -3 k̂
IV) Hallar [A xA] en el punto (1; 1; 1).
a) -2 i + ĵ+8 k̂ b) 2 i - ĵ+8 k̂ c) 2 i + ĵ-8 k̂ d) 2 i + ĵ+8 k̂ e) 2 i + ĵ
V) Hallar x ( A) en el punto (1; 1; 1).
a) 0 b) 2 i +5 k̂ c) 3 i -2 ĵ-4 k̂ d) 3 ĵ-4 k̂ e) 3 i -2 ĵ
Página 54 - Análisis Vectorial
302. Dados los campos escalares F=x yz, y G=xy-3z en el espacio R .
I) Hallar [( F) ( G)] en el punto (1; 1; 1).
a) -7 i +2 ĵ-3 k̂ b) -7 i -2 ĵ+3 k̂ c) +7 i -2 ĵ-3 k̂ d) -7 i -2 ĵ-3 k̂ e) -7 i +3 k̂
II) Hallar [( F)x( G)] en el punto (1; 1; 1).
a) 0 b) -7 i -3 ĵ c) -8 i +2 ĵ d) 4 i -2 ĵ+2 k̂ e) -3 ĵ+6 k̂
III) Hallar x[( F)x( G)] en el punto (1; 1; 1).
a) -23 i +14 ĵ+15 k̂ b) 23 i -14 ĵ+15 k̂ c) -23 i -14 ĵ-15 k̂
d) +23 i +14 ĵ+15 k̂ e) -23 i -14 ĵ+15 k̂
303. Calcular x(r /r), y evaluar para r=0,5.
a) 0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
304. ¿Para qué valor de la constante "a" el vector 3 2 2ˆ ˆ ˆA (axy z )i (a 2)x j (1 a)xz k
tendrá su rotacional igual a cero?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
305. Dado una función escalar "" continua y derivable en R3. Probar que rot(grad)=0 .
306. La ecuación paramétrica de una curva C en el espacio R3 es, x=t, y=t2, z=(2/3)t3.
I) Hallar la curvatura "" de la curva C en el punto P para el cual t=0,5.
a) 0,59 b) 0,69 c) 0,79 d) 0,89 e) 0,99
II) Hallar la torsión "" de la curva C en el punto P para el cual t=0,5.
a) 0,59 b) 0,69 c) 0,79 d) 0,89 e) 0,99
307. Dados los campos vectoriales 2 3ˆ ˆ ˆA x zi yz j 3xyk , 2ˆ ˆ ˆB y i yz j 2x k , y el cam
po escalar =2x
2
+yz.
I) Calcular A ( ) y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
II) Calcular (A ) y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
III) Calcular (A )B y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 2 i -2 ĵ -2 k̂ b) 2 i +2 ĵ -2 k̂ c) 2 i -2 ĵ +2 k̂ d) 2 i +2 ĵ +2 k̂ e) 2 i +2 ĵ
Página 55 - Análisis Vectorial
IV) Calcular B(A ) y evaluar en el punto (1; 1; 1).
V) Calcular ( A)B y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 2 i -3 ĵ +2 k̂ b) 2 i +3 ĵ +2 k̂ c) 2 i -3 ĵ -2 k̂ d) 2 i +3 ĵ +2 k̂ e) 2 i +2 k̂
308. Dados los campos vectoriales 2 2ˆ ˆ ˆA yz i 3xz j 2xyzk , ˆ ˆ ˆB 3x i 4z j xyk , y el
campo escalar =xyz.
I) Calcular Ax( ) y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 5 i - ĵ+4 k̂ b) -5 i + ĵ-4 k̂ c) -5 i - ĵ+4 k̂ d) -5 i + ĵ+4 k̂ e) 3 i -4 k̂
II) Calcular (Ax ) y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 5 i - ĵ+4 k̂ b) -5 i + ĵ-4 k̂ c) -5 i - ĵ+4 k̂ d) -5 i + ĵ+4 k̂ e) 3 i -4 k̂
III) Calcular ( xA)xB y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 16 i +4 ĵ+32 k̂ b) 16 i -4 ĵ-32 k̂ c) 16 i +4 ĵ-32 k̂ d) 16 i -4 ĵ+32 k̂ e)12 ĵ+8 k̂
IV) Calcular B xA y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
309. Dados los campos vectoriales 2ˆ ˆ ˆA xz i 2y j 3xzk y 2ˆ ˆ ˆB 3xzi 2yz j z k en el es
pacio R3.
I) Hallar Ax( xB) en el punto P(1;-1; 2).
a) 16 i +12 ĵ+16 k̂ b) -16 i -12 ĵ+16 k̂ c) 16 i -12 ĵ-16 k̂
d) 16 i +12 ĵ-16 k̂ e) 16 i -12 ĵ+16 k̂
II) Hallar (Ax )xB en el punto P(1;-1; 2).
a) 4 ĵ+76 k̂ b) 4 ĵ-76 k̂ c) -4 ĵ+76 k̂ d) -4 ĵ-76 k̂ e) 4 i -76 k̂
310. Demostrar que: 2
1
(v )v v vx( x v)
2
, donde v es la velocidad en R3.
311. Demostrar que: (AxB) B ( xA) A ( xB) .
312. Demuestre que el campo A conservativo si A posee una de estas dos propiedades:
I) La integral de línea del componente tangencial de A a lo largo de una trayectoria que
se extiende de un punto P a un punto Q es independiente de la trayectoria.
Página 56 - Análisis Vectorial
II) La integral de línea de la componente tangencial de A alrededor de cualquier trayecto
ria cerrada es igual a cero.
313. En base a la definición del diferencial de longitud dl, hallar la longitud de cada una de
las siguientes curvas:
I) =3, 0<z<5, /4<</2, z=constante.
a) 2,156 b) 2,356 c) 2,556 d) 2,756 e) 2,956
II) r=1, =30
o
, 0<<60
o
.
a) 0,504 b) 0,524 c) 0,544 d) 0,564 e) 0,584
III) r=4, 30
o
<<90
o
, =constante.
a) 4,189 b) 4,389 c) 4,589 d) 4,789 e) 4,989
314. Calcule las áreas de las superficies siguientes con base en el diferencial de área dS.
I) =2, 0<z<5, /3<</2.
a) 5,036 b) 5,236 c) 5,436 d) 5,636 e) 5,836
II) z=1, 1,<<3, 0<</4.
a) 3,142 b) 3,342 c) 3,542 d) 3,742 e) 3,942
III) r=10, /4<<2/3,0<<2.
a) 7,184 b) 7,384 c) 7,584 d) 7,784 e) 7,984
IV) 0<r<4, 60
o
<<90
o
, =constante.
a) 4,189 b) 4,389 c) 4,589 d) 4,789 e) 4,989
315. Usando la definición del diferencial de volumen dV determine el volumen de las regio
nes siguientes.
I) 0<x<1, 1<y<2, -3<z<3.
a) 4,0 b) 5,0 c) 6,0 d) 7,0 e) 8,0
II) 2<<5, /3<<, -1<z<4.
a) 100 b) 105 c) 110 d) 115 e) 120
III) 1<r<3, /2<<2/3, /6<</2.
a) 4,138 b) 4,338 c) 4,538 d) 4,738 e) 4,938
316. Dado que, s=x
2
+xy calcule sS
dS sobre la región S dada por: yx
2
, 0<x<1.
Página 57 - Análisis Vectorial
a) 0,203 b) 0,223 c) 0,243 d) 0,263 e) 0,283
317. Dado que, H =x
2
i +y
2
ĵ calcule
L
H d , donde L es a lo largo de la curva y=x
2
desde
A(0; 0) hasta B(1; 1).
a) 0,61 b) 0,63 c) 0,65 d) 0,67 e) 0,69
318. Hallar el volumen cortado a partir del radio de curvatura de la esfera r=a por el cono
=. Evaluar para =/3, y =/2.
I) El volumen para =/3.
a) 1,05a
3
b) 1,25 a
3
c) 1,45 a
3
d) 1,65 a
3
e) 1,85 a
3
II) El volumen para =2/3.
a) 2,09 a
3
b) 2,29 a
3
c) 2,29 a
3
d) 2,29 a
3
e) 2,29 a
3
319. Si la integral
B
A
F d se considera como el trabajo realizado para mover una partícula
de A a B, hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza F=2xy i +(x
2
-z
2
) ĵ-3xz
2
k̂
sobre una partícula que se traslada desde A(0; 0; 0) hasta B(2; 1; 3).
I) A lo largo de los segmentos de recta (0; 0; 0)(0; 1; 0) (2; 1; 0) (2; 1; 3).
a) -46 b) -48 c) -50 d) -52 e) -54
II) A lo largo de la línea recta (0; 0; 0) a (2; 1; 3)
a) -37,5 b) +37,5 c) -38,5 d) +38,5 e) -39,5
320. En la Fig45, dado el campo vectorial H =(x-y) i +(x
2
+zy) ĵ+5yz k̂ calcular la integral
H d a lo largo del contorno mostrado.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,5
321. En la Fig46, dado el campo vectorial E =x
2
y i -y ĵ .
I) Calcular
L
E d a lo largo de la trayectoria L mostrada en la Figura.
a) 5/6 b) 7/6 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5
II) Calcular
S
( xE) dS , donde S es el área encerrada por L.
a) 2/5 b) 4/5 c) 7/6 d) 5/6 e) 3/4
III) ¿Se cumple el teorema de Stokes?
Página 58 - Análisis Vectorial
Fig45 Fig46
322. Dado el campo escalar V=(x+y)z, calcular
S
VdS , donde S es la superficie de la cuña
cilíndrica definida por 0<</2, 0<z<2 y dS es normal a su superficie.
a) 4 ̂+1,33 k̂ b) 4 ̂+1,33 ̂ c) 1,33 ̂+4 k̂ d) 4 ̂+1,33 k̂ e) 2,45 ̂
323. Dado el campo vectorial, A =2xy i +xz ĵ-y k̂ . Calcular la integral AdV , donde V:
I) Es una región rectangular, definida por: 0x2, 0y2, 0z2.
a) 16 i +8 ĵ+8 k̂ b) -6 i +8 ĵ-8 k̂ c) 16 i -8 ĵ-8 k̂ d) 16 i +8 ĵ-8 k̂ e) 16 i -8 k̂
II) Es una región cilíndrica, definida por: 3, 0z5.
a) 50,25 ̂ b) 52,25 ̂ c) 54,25 ̂ d) 56,25 ̂ e) 58,25 ̂
III) Es una región esférica, definida por: r4.
a) 21,6
2
r̂ b) 23,6
2
r̂ c) 25,6
2
r̂ d) 27,6
2
r̂ e) 29,6
2
r̂
324. Dado el campo vectorial A 3x
2
yz i +x
3
z ĵ +(x
3
y-2z) k̂ , puede decirse que A es:
a) Armónico b) Sin divergencia c) Solenoidal d) Rotacional e) Conservativo
325. Si un campo vectorial Q es solenoidal, ¿Cuál de las expresiones siguientes es cierta?
a)
L
Q d 0 b) SQ dS 0 c) xQ 0 d) xQ 0 e)
2Q 0
326. Indique cuál de las siguientes operaciones no está definida.
a) grad div b) div rot c) rot grad d) rot div e) div rot
327. Si, r =x i +y ĵ+z k̂ , es el vector de posición del punto (x; y; z) en el espacio R3 y r= r
¿Cuál de las siguientes expresiones es incorrecta?
x
y
z
0
2
1
1
i
k
j
y
x
1
1 0 2
j
i
L
S
Página 59 - Análisis Vectorial
a) r r / r b) r 1 c) 2(r r) 4 d) xr 0
328. La aceleración de una partícula está dada por 2ˆa 2,4k (m s ) . En el instante t=0 s la
posición de la partícula es r (0;0;0) , en tanto, su velocidad es ˆ ˆv 2i 5k (ms
-1
)
I) Hallar el modulo de la posición de la partícula en el instante t=1 s.
a) 5,0 m b) 5,5 m c) 6,0 m d) 6,5 m e) 7,0 m
II) Hallar el modulo de la velocidad de la partícula en el instante t=2 s.
a) 8,0 m/s b) 8,5 m/s c) 9,0 m/s d) 9,5 m/s e) 10,0m/s
329. Dados los campos escalares U=4xz
2
+3yz, T=2(z
2
+1)cos , H=r
2
cos cos , hallar la
expresión E=
1
U T H
evaluando U en el punto (1; 1; 1), T en el punto (1; /3;
1), y H en el punto (1; /3; /6).
a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58
330. I) Dado el campo escalar (2x 3y)V e cos5z , hallar V en el punto P(0,1;-0,2; 0,4).
a) -0,558 i +0,837 ĵ-3,047 k̂ b) -0,558 i -0,837 ĵ+3,047 k̂ c) 0,558 i -0,837 ĵ-3,047 k̂
d) 0,558 i +0,837 ĵ-3,047 k̂ e) -0,558 i -0,837 ĵ-3,047 k̂
II) Dado el campo escalar 2zT 5 sen , hallar T en el punto Q(2; /3, 0).
a) 2,5 ̂ -2,5 ̂ -17,32 k̂ b) -2,5 ̂+2,5 ̂ -17,32 k̂ c) -2,5 ̂ -2,5 ̂ -17,32 k̂
d) 2,5 ̂ -2,5 ̂ +17,32 k̂ e) 2,5 ̂+2,5 ̂ -17,32 k̂
III) Dado el campo escalar 2Q sen sen / r , hallar Q en el punto S(1; /6; /2).
a) - r̂ +0,867 ̂ b) r̂ +0,867 ̂ c) - r̂ -0,867 ̂ d) - r̂ +0,867 ̂ e) 0,12 ̂
331. Hallar el vector unitario normal a S(x; y; z)=x
2
+y
2
-z en el punto P(1; 3; 0).
a) 0,31 i -0,94 ĵ -0,16 k̂ b) 0,31 i +0,94 ĵ +0,16 k̂ c) 0,31 i -0,94 ĵ +0,16 k̂
d) -0,31 i +0,94 ĵ -0,16 k̂ e) 0,31 i +0,94 ĵ -0,16 k̂
332. La temperatura en un auditorio está dada por T=x
2
+y
2
-z. Un mosquito ubicado en el
punto (1; 1; 2) en el auditorio desea volar en la dirección que le permita calentarse lo
más pronto posible. ¿En qué dirección debe volar el mosquito?
a) -2 i +2 ĵ+ k̂ b) 2 i -2 ĵ+ k̂ c) 2 i -2 ĵ- k̂ d) 2 i +2 ĵ- k̂ e) 2 i +2 ĵ
333. I) Dado el campo xy 2ˆ ˆ ˆA e i sen xy j cos xzk ,hallar A / xA , en el punto (1;1;1)
Página 60 - Análisis Vectorial
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
II) Dado el campo 2 2 ˆˆB z cos zsen k , hallar B / xB , en el punto (1; /3;1)
a) -1,11 b) +1,11 c) -1,31 d) +1,31 e) -1,51
III) Dado el campo 1 2ˆ ˆˆC rcos r r sen 2r sen , hallar xC /C , en el punto (1;
/3; /6).
a) 10,22 b) 11,22 c) 13,22 d) 14,22 e) 15,22
334. I) Dado el campo 2 2ˆ ˆ ˆA x yi y z j 2xzk , hallar xA / xA en el punto (1;1; 1).
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
II) Dado el campo 2 3 2 ˆˆˆA z 3 z k , hallar xA / xA en el punto (1; /3; 1).
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
III) Dado el campo 2 2 ˆˆA r sen r r cos , hallar xA / xA en el punto (1; /3).
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
IV) En el inciso III), calcular xA y evaluar en el punto P(1,2; 45
o
; 60
o
).
a) 0,29 r̂ -0,12 ̂ b) 0,29 r̂ +0,12 ̂ c) 0,29 r̂ -0,12 ̂ d) 0,29 r̂ +0,12 ̂ e) 3,2 ̂
335. Dado el vector de flujo de calor H k T , donde "T" es la temperatura y "k" es la con
ductividad térmica, demuestre que dado: T 50sen( x / 2)cosh( y / 2) , entonces, se
cumple que: H 0 .
336. I) Compruebe que: (VA) V A A V , donde "V" es un campo escalar y A un
campo vectorial.
II) Dados los campos ˆ ˆ ˆA 2xi 3y j 4zk y V=xyz, evalúe (VA) en el punto de coor
denadas x=1,5; y=1,2; z=1,8.
a) 6,08 b)6,28 c) 6,48 d) 6,68 e) 6,88
337. I) Compruebe que: x(VA) V( xA) VxA , donde "V" y " A " son campos esca
lar y vectorial, respectivamente.
II) Calcular x(V A ) cuando V=1/r
2
y A =r cos r̂ +r sen ̂ +sen cos ̂ , y evaluar para
r=1,2, =30
o
, =60
o
.
Página 61 - Análisis Vectorial
a) 0,50 r̂ -0,14 ̂+0,35 ̂ b) 0,50 r̂ +0,14 ̂ -0,35 ̂ c) -0,50 r̂ +0,14 ̂ +0,35 ̂
d) 0,50 r̂ -0,14 ̂ -0,35 ̂ e) 0,50 r̂ +0,14 ̂ +0,35 ̂
338. Dado el campo escalar U=xz-x
2
y+y
2
z
2
, evalúe div grad U en el punto P(1; 2; 3).
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
339. Demuestre la relación, ˆn x k .
340. Demuestre la relación, x(r / sen ) .
341. I) Dado el campo V=3x
2
y+xz, evalué V x V / V en el punto (1; 1; 1).
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
II) Dado el campo V=zcos , evalué V x V / V en el punto (1; /3; 1).
a) b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
III) Dado el campo V=4r
2
cos sen , evalué V x V / V en el punto (1; /3; /6)
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
342. Dado el vector de posición ˆ ˆ ˆr x i y j zk , y el campo T=2zy i +xy
2
ĵ+ x
2
yz k̂ .
I) Hallar ( r)T en el punto x=1; y=1; z=1.
a) 3 i +6 ĵ+6 k̂ b) 3 i +6 ĵ+3 k̂ c) 3 i +3 ĵ+6 k̂ d) 6 i +3 ĵ+3 k̂ e) 6 i +3 k̂
II) Hallar (r )T en el punto x=1; y=1; z=1.
a) 4 i +4 ĵ+3 k̂ b) 3 i +4 ĵ+4 k̂ c) 4 i +3 ĵ+3 k̂ d) 4 i +3 ĵ+4 k̂ e) 3 ĵ+4 k̂
III) Hallar r(r T) en el punto x=1; y=1; z=1.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
IV) Hallar 2(r )r en el punto x=1; y=1; z=1.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
343. Dado el vector de posición ˆ ˆ ˆr x i y j zk , r r y "n" un número entero.
I) Hallar nr r para n=2, y r=1,5.
a) 10,25 b) 11,25 c) 12,25 d) 13,25 e) 14,25
Página 62 - Análisis Vectorial
II) Hallar nx r r para n=3, y r=2.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
III) Hallar
2
r
n
para n=2 y r=1,5.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
344. Dado el vector de posición ˆ ˆ ˆr x i y j zk , r r y "n" un número entero.
I) Hallar ( n r) para r=0,5.
a) r b) 2 r c) 0,25 r d) ̂ e) 2 k̂
II) Hallar 2( n r) para r=0,5
a) 2 b) 4 c) 8 d) 0,25 e) 6
345. Demostrar la relación vectorial, A( ) ( A / ) .
346. I) Calcular
2
V1 para V1=x
3
+y
3
+z
3
, y evaluar en x=1,y=1, z=1.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
II) Calcular
2
V2 para V2=z
2
sen 2, y evaluar en =1,5, =30
o
, z=1,2.
a) -0,53 b) -0,63 c) -0,73 d) -0,83 e) -0,93
III) Calcular
2
V3 para V3=r
2
(1+cos sen ), y evaluar en r=1,5, =30
o
, =60
o
.
a) 4,0 b) 4,5 c) 5,0 d) 5,5 e) 6,0
347. Calcular el laplaciano del campo escalar U=x
3
y
2
e
xz
, y evaluar en (1;-1; 1).
a) 41,49 b) 43,49 c) 45,49 d) 47,49 e) 49,49
II) Calcular el laplaciano del campo escalar V=
2
z(cos +sen), y evaluar en (5; /6;-2).
a) -5,19 b) -6,19 c) -7,19 d) -8,19 e) -9,19
III) Calcular el laplaciano del campo escalar W=e
-r
sen cos , y evaluar en (1; /3; /6).
a) -0,53 b) -0,63 c) -0,73 d) -0,83 e) -0,93
348. Dado el campo escalar 2 2 2V x y z y 2 3 2 2ˆ ˆ ˆA x yi xz j y z k
I) Calcular 2V y evaluar en el punto P(1; 1; 1).
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
II) Calcular 2A y evaluar en el punto P(1; 1; 1).
Página 63 - Análisis Vectorial
a) 2 i -6 ĵ+4 k̂ b) -2 i +6 ĵ-4 k̂ c) 2 i -6 ĵ-4 k̂ d) 2 i +6 ĵ-4 k̂ e) 2 i -4 k̂
III) Calcular grad div A y evaluar en el punto P(1; 1; 1).
a) -2 i +2 ĵ-2 k̂ b) -2 i -2 ĵ+2 k̂ c) 2 i +2 ĵ-2 k̂ d) 2 i -2 ĵ-2 k̂ e) 2 i +2 k̂
IV) Calcular rot rot A y evaluar en el punto P(1; 1; 1).
a) -8 i +2 k̂ b) +8 ĵ-2 k̂ c) -8 ĵ-2 k̂ d) -8 ĵ+2 k̂ e) 8 i -2 k̂
349. Dado el campo vectorial 2 2 ˆˆD 2 z cos k , en la región definida por: 0 5, -
1z1, 0<<2.
I) Calcular
S
D dS .
a) 170 b) 172 c) 174 d) 176 e) 178
II) Calcular
V
DdV .
a) 170 b) 172 c) 174 d) 176 e) 178
350. Dado el campo vectorial 2 2 2ˆ ˆ ˆF x i y j (z 1)k , calcular
S
F dS , donde S está defi
nida por la superficie del cilindro =2, 0<z<2, 02.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
351. Compruebe el teorema de la divergencia
S V
A dS AdV , para cada uno de los si
guientes casos:
I) 2 3 2ˆ ˆ ˆA xy i y j y zk es la superficie del cuboide definido por 0<x<1, 0<y<1, 0<z<1
II) ˆˆˆA 2 z 3zsen 4 cos k y S es la superficie de la cuña 0<<2, 0<<45
o
,
0<z<5.
III) 2 ˆˆA r r rsen cos y S es la superficie de un cuarto de una esfera definida por
0<r<3, 0<</2, 0<</2.
352. El momento de inercia alrededor del eje z de un cuerpo rígido es proporcional a la inte
gral 2 2
V
(x y )dxdydz . Exprese esto como flujo de un campo vectorial A .
353. Calcular el flujo total hacia fuera del vector 2 ˆˆˆF sen zcos zk a través del
cilindro hueco definido por 23, 0z5.
a) 191 b) 193 c) 195 d) 197 e) 199
Página 64 - Análisis Vectorial
354. Probar el teorema de Stokes
C S
A d xAdS ,siendo
2 2ˆ ˆ ˆA (2x y)i yz j y zk ,
"S" la superficie de la unidad superior de la esfera x
2
+y
2
+z
2
=1 y C su contorno límite.
a) /4 b) /4 c) 3/4 d) e) 2/3
355.Calcule el flujo del rotacional del campo 2 ˆ ˆˆT r cos r rsen cos cos a tra
vés del hemisferio esférico r=4, z0.
a) 0 b) c) 3/4 d) /2 e) 2/3
356.Un campo vectorial está dado por: 2 2 2 2 2ˆ ˆQ x y z [(x y)i (x y) j] / x y .
I) Calcule la integral
L
Q d , donde L es el borde circular del volumen en forma de co
no para helado que se presenta en la Fig.00
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 8
II) Calcular
1
S
( xQ) dS , donde S1 es la superficie superior del volumen del cono.
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 8
III) Calcular
2
S
( xQ) dS , donde S2 es la superficie inclinada del volumen del cono.
a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 8
357. Sean U y V campos escalares. Demuestre que
L L
U V d V U d .
358. Demuestre que, n nr dV 1/ (n 3) r r dS , donde r , r y n son como se definió en un
problema anterior.
359. Dado el campo vectorial 2ˆ ˆ ˆG (16xy z)i 8x j xk .
I) Indicar si el campo G es irrotacional o conservativo.
II) Calcular el flujo neto del campo G sobre el cubo 0<x, y, z<1.
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
III) Calcular la circulación del campo G alrededor del borde del cuadrado z=0, 0<x, y <1.
Suponga la dirección contraria a las manecillas del reloj.
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
360. I) Si el campo vectorial, 3 2 2ˆ ˆ ˆT ( xy z )i (3x z) j (3xz y)k es irrotacional,
hallar "", "" y ""
Página 65 - Análisis Vectorial
a) =6; =1; =1 b) =1; =6; =1 c) =1; =1; =6
d) =-6; =1; =1 e) =1; =-6; =1
II) Calcular T en el punto x=2, y=-1, z=0.
a) -3 b) -4 c) -5 d) -6 e) -8
361. Calcular la integral de Green, 2 2
C
(3x 8y )dx (4y 6xy)dy , donde C es el contor
no definido y= x y y=x
2
.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
362. Calcular la integral de Green, 2 2
C
(3x 8y )dx (4y 6xy)dy , donde C es el contor
no definido x=0, y=0, x+y=1.a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 5/3
363. Calcular la integral de Green,
C
(3x 4y)dx (2x 3y)dy , donde C es una circunfe
rencia de radio dos con centro en el origen del plano xy y que se recorre en sentido
positivo (giro en sentido contrario al de las manecillas del reloj).
a) -4 b) +4 c) -6 d) +6 e) -8
364. Resolver el problema anterior para la integral 2 2 2
C
(x y )dx 3xy dy .
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
365. Calcular ( x
2
-2xy)dx+(x
2
y+3)dy alrededor de la frontera de la región definida por
y
2
=8x, x=2, y y=0.
a) 21,6 b) 23,6 c) 25,6 d) 27,6 e) 29,6
366. Calcule
2 1
0 0
( 10x
4
-2xy
3
)dx-3x
2
y
2
dy a lo largo de la trayectoria x
4
-6xy
3
=4y
2
.
a) 54 b) 56 c) 58 d) 60 e) 62
367. Dado el campo vectorial F=y i +(x-2xz) ĵ-xy k̂ , calcular la integral
S
( xF) dS , don
de "S" es la superficie de la esfera x
2
+y
2
+z
2
=a
2
por encima del plano xy.
a) 0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
368. Dados los campos, ˆ ˆ ˆA ti 3j 2t k , ˆ ˆ ˆB i 2 j 2k , y ˆ ˆ ˆC 3i t j k .
Página 66 - Análisis Vectorial
I) Calcular
2
1
A BxCdt .
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
II) Calcular
2
1
AxBxCdt .
a) -87/2 i +44/3 ĵ+15/2 k̂ b) 87/2 i -44/3 ĵ+15/2 k̂ c) -87/2 i -44/3 ĵ-15/2 k̂
d) -87/2 i +44/3 ĵ-15/2 k̂ e) -87/2 i -44/3 ĵ+15/2 k̂
369. Dado, 2 ˆ ˆ ˆR(t) (3t t) i (2 6t) j 4t k , calcular
4
2
R(t)dt .
a) -50 i -32 ĵ+24 k̂ b) -50 i +32 ĵ-24 k̂ c) 50 i +32 ĵ-24 k̂
d) 50 i -32 ĵ+24 k̂ e) 50 i -32 ĵ-24 k̂
370. Calcular la integral
/2
0
ˆ ˆ(3sen u i 2cosu j)dt
.
a) 3 i -2 ĵ b) 3 i +2 ĵ c) -3 i -2 ĵ d) -3 i +2 ĵ e) 2 i -3 ĵ
371. Dado el campo 2ˆ ˆ ˆA(t) t i t j (t 1)k y 2ˆ ˆB(t) 2t i 6t k
I) Calcular
2
0
A Bdt .
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
II) Calcular
2
0
AxBdt .
a) -24 i -40/3 ĵ-64/5 k̂ b) -24 i -40/3 ĵ-64/5 k̂ c) 24 i -40/3 ĵ+64/5 k̂
d) -24 i +40/3 ĵ+64/5 k̂ e) -24 i -40/3 ĵ+64/5 k̂
372. Hallar el volumen de la región limitada por la intersección de los cilindros x
2
+y
2
=a
2
y
x
2
+z
2
=a
2
, para a=1,5 .
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
373. Dado el campo 2ˆ ˆ ˆF 4xzi y j yzk , hallar el flujo
E S
F dS donde S es la super
ficie del cubo limitado por x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1.
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
374. Dado el campo ˆ ˆ ˆA 18zi 12 j 3yk , calcular el flujo
S
ˆA ndS , donde S es la región
Página 67 - Análisis Vectorial
del plano 2x+3y+6z=12, situado en el primer octante del sistema de coordenadas.
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
375. Verificar el teorema de la divergencia
S V
ˆa ndS adV , donde a =4x i -2y
2
ĵ+z
2
k̂
es un campo, y S la superficie de la región limitada por el cilindro x
2
+y
2
=4, z=0 y z=3.
a) 80 b) 82 c) 84 d) 86 e) 88
376. Calcular (y sen x)dx cosxdy , siendo C el contorno del triángulo de vértices en
(0; 0), (/2, 0), y (/2, 1), y verificar el teorema de Green.
a) -1,02 b) -1,22 c) -1,42 d) -1,62 e) -1,82
377. Dado el campo 2ˆ ˆ ˆF 2xzi x j y k , calcular
V
FdV donde V es la región limitada
por las superficies x=0, y=0, y=6, z=x
2
, z=4.
a) 128 i -24 ĵ-384 k̂ b) 128 i +24 ĵ+384 k̂ c) -128 i -24 ĵ+384 k̂
d) 128 i +24 ĵ-384 k̂ e) 128 i -24 ĵ+384 k̂
378. Hallar
2 2 2
0 0
(6xy y )dx (3x 2xy)dy
a lo largo de la cilcloide x=-sen, y=1-cos
a) 42,65 b) 43,65 c) 44,65 d) 45,65 e) 46,65
379. Hallar 2
C
(3x 2y)dx (x 3cos y)dy a lo largo del paralelogramo de vértices (0; 0),
(2; 0), (3; 1) y (1; 1). (Recorrido en sentido positivo)
a) -4 b) +4 c) -6 d) +6 e) -8
380. Hallar el área limitada por las funciones f(x)=x
3
y g(x)=x definidas en el plano xy.
a) 1/2 b) 1/4 c) 2/3 d) 3/4 e) 4/5
381. Hallar el área comprendida entre la parábola x=4-y
2
y el eje y.
a) 31,88 b) 32,88 c) 33,88 d) 34,88 e) 35,88
382. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola x=4-y
2
y el eje y.
a) 10,67 b) 11,67 c) 12,67 d) 13,67 e) 14,67
383. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola semicubica y=x
3
y la parábola
y=2x-x
2
.
a) 3,08 b) 3,28 c) 3,48 d) 3,68 e) 3,88
Página 68 - Análisis Vectorial
384. Hallar el trabajo realizado por el campo, F=(2x-y+z) i +(x+y-z
2
) ĵ+(3x-2y+4z) k̂ al des
plazar una partícula una vuelta sobre una circunferencia de radio r=3 contenida en el
plano xy, y centro en el origen.
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
385. Hallar el trabajo total realizado para desplazar una partícula en un campo de fuerzas
dado por, ˆ ˆ ˆF 3xyi 5z j 10xk a lo largo de la curva x=t
2
+1, y=2t
2
, z=t
2
, desde t=1
hasta t=2.
a) 301 b) 303 c) 305 d) 307 e) 309
386. Dado el campo de fuerzas 2ˆ ˆF 3xyi y j, hallar
C
F dr a lo largo de la curva C del
plano xy de ecuación y=2x
2
, desde el punto (0; 0) hasta el punto (1; 2).
a) -3/2 b) -5/3 c) -8/5 d) -6/5 e) -7/6
387. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y
2
=4x y su "latus rectum".
a) 4/3 b) 5/3 c) 7/3 d) 8/3 e) 9/5
388. Hallar el área de la superficie comprendida entre las gráficas de las funciones y=3x-x
2
y y=3x
2
-x
3
.
a) 3,08 b) 3,28 c) 3,48 d) 3,68 e) 3,88
389. Hallar el área de la superficie comprendida entre las gráficas de las funciones xy=1 y
y(x
2
+1)=x a la derecha de la recta x=1.
a) 0,15 b) 0,35 c) 0,55 d) 0,75 e) 0,95
390. Hallar el área de la superficie comprendida por debajo de la gráfica de la función
f(x)=e
x
y por encima de la gráfica de la función g(x)=1/(x
2
+1).
a) 0,53 b) 0,63 c) 0,63 d) 0,73 e) 0,83
391. Hallar el área de la superficie limitada por las rectas f1=y=-x+2, f2=y=x, y la parábola
f3=y=(x-1)
2
.
a) 0,308 b) 0,328 c) 0,348 d) 0,368 e) 0,388
392. Hallar el área de la superficie limitada entre la cisoide de Diocles x
3
=y
2
(1/2p-x) y su
asíntota y su asíntota x=2p.
a) 0,39p
-2
b) 0,49p
-2
c) 0,59p
-2
d) 0,69p
-2
e) 0,79p
-2
393. Hallar el área de la superficie comprendida entre las curvas y=x
2
y y=2/(x
2
+1).
Página 69 - Análisis Vectorial
a) 2,07 b) 2,27 c) 2,47 d) 2,67 e) 2,87
394. Hallar el área de la superficie limitada por el eje x y la curva de ecuación y=e
-ax
sen bx
(a>0) para x entre 0 y , con a=1,2 y b=3,6.
a) 0,48 b) 0,52 c) 0,56 d) 0,60 e) 0,64
395. Hallar el área de la superficie menor limitada por la parábola y=x
2
/2, y la circunferen
cia x
2
+y
2
=8.
a) 4,62 b) 5,62 c) 6,62 d) 7,62 e) 8,62
396. Hallar el área de la superficie encerrada por la recta x-y=1 y la parábola de ecuación
y
2
= 2x+1.
a) 11/3 b) 12/5 c) 13/4 d) 14/7 e) 16/3
397. Hallar el área de la superficie encerrada por la curva de ecuación y
2
=(1-x
2
)
3
.
a) 2/3 b) 3/8 c) 2/5 d) 4/5 e) 3/4
398. Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y=ln(x)/4x y y=xln(x).
a) 0,02 b) 0,04 c) 0,06 d) 0,08 e) 0,10
399. Hallar el área de la superficie comprendida entre la curva de Agnesi y=a
3
/(x
2
+a
2
) y el
eje x.
a) a
2
/2 b) a
2
/4 c) 3a
2
/2 d) a
2
e) 2a2
400. Hallar el área de la superficie encerrada por las parábolas y=x
2
, y=x
2
/2, y la recta
y=2x.
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
401. Hallar el área de la superficie encerrada por las curvas y=e
x
, y=e
-x
y el eje x.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
402. Hallar el área de la superficie encerrada por las curvas y=e
x
, y=e
-x
y la recta x=1.
a) 1,02 b) 1,22 c) 1,42 d) 1,62 e) 1,82
403. Hallar el área de la superficie encerrada por la función y=sen x y el eje x, para la mitad
de un periodo.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
404. Hallar área de la superficie encerrada por la catenaria y=a cosh(x/a), las rectas x=a, y
el eje x.
Página 70 - Análisis Vectorial
a) 2,15a
2
b) 2,35a
2
c) 2,55a
2
d) 2,75a
2
e) 2,95a
2
405. Hallar el área limitada por el cerdioide de ecuación, r=2(1-cos ), para 02.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3/4
406. Hallar el área de la superficie encerrada por el astroide de ecuación x
2/3
+y
2/3
=a
2/3
.
a) 1,16a
2
b) 1,36a
2
c) 1,56a
2
d) 1,76a
2
e) 1,96a
2
407. Hallar el área de la superficie encerrada por la involuta del círculo de ecuación dada
por: x=a cos +a sen , y=a sen -a cos , y el eje x.
a) 6,14a
2
b) 6,34a
2
c) 6,54a
2
d) 6,74a
2
e) 6,94a
2
408. Hallar el área de la superficie encerrada por la parábola y=x
2
y la recta -x+y=2.
a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0 e) 4,5
409. Hallar el área de la superficie menor encerrada por la elipse x
2
/a
2
+y
2
/b
2
y la parábola
y=x
2
, para a=3, y b=2.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
410. Hallar el área de la superficie encerrada por la catenaria y=a cosh(x/a), el eje y y la rec
ta y=a(e
2
+1)/2e.
a) a
2
/e b) a
2
/2e c) 2a
2
/e d) 3a
2
/e e) a
2
/3e
411. Hallar el área de la superficie limitada por la hipérbola x
2
-y
2
=9, el eje x, y la recta para
lela al eje x que pasa por el punto (5; 4).
a) 21,6 b) 22,6 c) 23,6 d) 24,6 e) 25,6
412. Hallar el área de la superficie limitada por el eje polar y la primera vuelta de la espiral
de Arquímedes r=a.
a) 41,34 b) 42,34 c) 43,34 d) 44,34 e) 45,34
413. Hallar el área de la superficie limitada por una hoja del grafo polar r= 4sen 2 .
a) /4 b) /2 c) 3/4 d) e) 2
414. Hallar el área de la superficie limitada por la curva r=sen(/2).
a) 2,17 b) 2,37 c) 2,57 d) 2,77 e) 2,97
415. Hallar el área de la superficie encerrada por las curvas r=4/(1-cos ) y r=4/(1+cos ).
Página 71 - Análisis Vectorial
a) 20,3 b) 21,3 c) 22,3 d) 23,3 e) 24,3
416. Hallar el área de la superficie encerrada en el interior del círculo r=cos y por fuera de
la cardioide r=1-cos .
a) 0,38 b) 0,48 c) 0,58 d) 0,68 e) 0,78
417. Dado el campo 2ˆ ˆ ˆF 2xyi yz j xzk , calcular
S
F dS donde "S" es la superficie
del paralelepípedo definido por x=0, x=2, y=0, y=1, z=0, z=3, además verificar el teore
ma de la divergencia.
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
418. Hallar aproximadamente el área de la superficie encerrada por la parábola y
2
=4-x, y la
función logaritmo natural y=ln(x).
a) 6,02 b) 6,22 c) 6,42 d) 6,62 e) 6,82
419. Demostrar la relación dada por: 2 2
V S
ˆ ˆr dV (r n)r dS .
420. Siendo "S" una superficie cerrada que limita un volumen "V" y A =ax i +b ĵ+c k̂ , de
mostrar que,
S
A dS (a b c)V .
421. Siendo n̂ el vector unitario normal exterior a una superficie cerrada de área S, demos
trar que se cumple que:
V
ˆdivndV S .
422. Hallar la longitud de la curva correspondiente a la lemniscata de Bernoulli, de ecua
ción: r=(cos 2)
1/2
.
a) 5,04 b) 5,24 c) 5,44 d) 5,64 e) 5,84
423. Hallar la longitud de la curva correspondiente a la cardioide de ecuación: r=asen
3
(/3).
a) 4,11 b) 4,31 c) 4,51 d) 4,71 e) 4,91
424. Hallar la longitud de la curva dada por: =(1/2)(r+1/r) para "r" variando entre 1 y 3.
a) 2,15 b) 2,35 c) 2,55 d) 2,75 e) 2,95
425. Hallar el área de la superficie limitada por el caracol de Pascal, dada por: r=2+cos.
a) 3,0 v) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0
426. Hallar el área de la superficie generada por la rotación del cardioide r=a(1+cos) alre
dedor del eje polar.
Página 72 - Análisis Vectorial
a) 20,1 b) 22,1 c) 24,1 d) 26,1 e) 28,1
427. Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva r
2
=cos 2, alrededor
del eje polar.
a) 3,08 b) 3,28 c) 3,48 d) 3,68 e) 3,88
428. Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva r=acos , alrededor
del eje y.
a) 9,07a
2
b) 9,27a
2
c) 9,47a
2
d) 9,67a
2
e) 9,87a
2
429. Hallar el volumen de un cono recto circular de altura h=2 y diámetro de la base D=4.
a) 8,18 b) 8,38 c) 8,58 d) 8,78 e) 8,98
430. Hallar el volumen V del sólido de revolución que resulta de girar el arco de parábola
y=x
2
, con x[0; 1], alrededor de la recta x=1.
a) /2 b) /4 c) /6 d) /8 e) 3/2
431. Hallar el volumen del toro generado al hacer girar un disco de radio "r" alrededor de
una recta a una distancia "a" (a>r) del centro del círculo.
a) /2 b) /4 c) /6 d) /8 e) 3/2
432. Hallar el volumen del sólido generado al rotar la superficie formada por la parábola
y=x
2
+1 y las rectas x=1, x=3 alrededor del eje x.
a) 61,73 b) 63,73 c) 65,73 d) 67,73 e) 69,73
433. Hallar el volumen del sólido generado al rotar la curva y=x
2
+1 alrededor del eje y des
de y=1 hasta y=5.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
434. Hallar el volumen del esferoide generado por la rotación de la elipse x
2
/a
2
+y
2
/b
2
=1
(a>b) alrededor del eje x.
a) 4ab
2
/3 b) 4a
2
b/3 c) 2ab
2
/3 d) 2a
2
b/3 e) 3a
2
b/4
435. Hallar el volumen de un segmento de esfera de radio "a" y altura "h", y evaluar para
a=8 y h=4.
a) 331 b) 333 c) 335 d) 337 e) 339
436. Se genera una superficie mediante una recta que siempre se desplaza paralela al plano
xz y tiene puntos en común con la recta y+z=a, x=0, y la recta x=b, z=0. Hallar el volu
men en el primer octante que forma esta superficie.
Página 73 - Análisis Vectorial
a) ab
2
/2 b) a
2
b/2 c) ab
2
/3 d) a
2
b/3 e) a
2
b/4
437. Hallar el volumen resultante de hacer girar la curva y=8a
3
/(x
2
+4a
2
) alrededor del eje x.
a) 2a
3
b) 4a
3
c) 2
2
a
3
d) 4
2
a
3
e) 8
2
a
3
438. A una esfera compacta de radio "a" se le hace un hueco esférico de radio "h" que pasa
por su centro. Hallar la expresión del volumen "V" restante, y evaluar para a=2 y h=3.
a) 8/3 b) 10/3 c) 11/3 d) 13/3 e) 14/3
439. Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor del eje x un arco de la
cicloide x=a(-sen ), y=a(1-cos ).
a) 2
2
a
3
b) 3
2
a
3
c) 4
2
a
3
d) 5
2
a
3
e) 6
2
a
3
440. Hallar el volumen del sólido que resulta de hacer girar alrededor del eje x, la superficie
limitada por las parábolas y=-x
2
+4, y=x
2
, y el eje y.
a) 43,4 b) 44,4 c) 45,4 d) 46,4 e) 47,4
441. Hallar el volumen del sólido de revolución que resulta de hacer girar alrededor del eje
x, la superficie limitada por las parábolas y
2
=ax, y x
2
=by, evaluar para a=4 y b=5.
a) 80,22 b) 81,22 c) 82,22 d) 83,22 e) 84,22442. Hallar la fórmula del volumen de una cuña formada a partir de un cilindro recto circu
lar de radio "r", pasando un plano por el diámetro de la base y a "" con la misma, eva
luar para r=9 y =45
o
.
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
443. Hallar el volumen de revolución generado al girar la curva y=3x/(x
2
+3) alrededor del
eje x.
a) 21,6 b) 23,6 c) 25,6 d) 27,6 e) 29,6
444. Demostrar que el volumen de una esfera de radio "R", viene dada por: V=4R
3
/3,
evaluar para R=3.
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
445. Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar el cisoide de Diocles
x
2
=y
2
(x-a) alrededor del eje x.
a) 5,12 b) 5,32 c) 5,52 d) 5,72 e) 5,92
446. Se tiene un cilindro truncado circular de radio R=4, alturas h1=6, h2=8.
Página 74 - Análisis Vectorial
I) Hallar el área de la superficie lateral de este cilindro truncado.
a) 170 b) 172 c) 174 d) 176 e) 178
II) Hallar el área de la superficie total de este cilindro truncado.
a) 270 b) 272 c) 274 d) 276 e) 278
III) Hallar el volumen de este cilindro truncado.
a) 351,9 b) 353,9 c) 355,9 d) 357,9 e) 359,9
447. Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la pará
bola semi cubica: y
2
=x
3
, alrededor del eje.
a) b) /2 c) /3 d) /4 e) 3/4
448. Dado el campo 2 ˆ ˆF (5xy 6x )i (2y 4x) j , hallar
C
F dr a lo largo de la curva C
del plano xy, y=x
3
desde el punto (1; 1) hasta el punto (2; 8).
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35
450. A un sólido en forma de tonel parábolico de diámetros d=6, D=8, y altura h=12, se le
practica en el centro un agujero esférico de radio R=3. Hallar el cambio porcentual que
experimenta el volumen del sólido.
a)-20,17 % b) 20,17 % c) -22,17 % d) 22,17 % e) 24,17%
451. Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x, la catenaria dada
por y=acosh(x/a), y las rectas x=a.
a) 9,05a
3
b) 9,25a
3
c) 9,45a
3
d) 9,65a
3
e) 9,85a
3
452. Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar alrededor de la recta
y=-p la figura limitada por la parábola y
2
=2px y por la recta x=p/2.
a) 2p
3
/3 b) 4p
3
/3 c) 3p
3
/4 d) p
3
/4 e) p
3
/3
453. Hallr el volumen del sólido generado al girar la cisoide y2=x3/(2a-x) alrededor de su
asíntota x=2a.
a) a
3
b) 2a
3
c) 4a
3
d)
2
a
3
e) 2
2
a
3
454. Un sólido tiene una bse circular de radio "r". hallar el volumen del sólido sabiendo que
toda sección perpendicular a su base es un triángulo equilátero. Evaluar para r= 3 .
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 2/3
Página 75 - Análisis Vectorial
455. Hallar la integral
3
2
(A dA / dt)dt , si ˆ ˆ ˆA(2) 2i j 2k , ˆ ˆ ˆA(3) 4i 2 j 3k .
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
456. La aceleración de una partícula en función del tiempo para t0, viene dada por a =
tˆ ˆ ˆe i 6(t 1) j 3sen t k (m/s
2
), si v(0) 0 , y r(0) 0 , hallar la velocidad v y el des
plazamiento r en función del tiempo.
I) Evaluar la magnitud de la velocidad instántanea v en el instante t=1 s.
a) 9,13 m/s b) 9,33 m/s c) 9,53 m/s d) 9,73 m/s e) 9,93 m/s
II) Evaluar la magnitud del desplazamiento r en el instante t=1 s.
a) 4,15 m b) 4,35 m c) 4,55 m d) 4,75 m e) 4,95 m
457. Hallar la velocidad aerolar de una partícula que se desplaza a lo largo de la trayectoria
r =acos t i +bsen t ĵ , siendo "a", "b", "" constantes y "t" el tiempo.
a) ab i b) ab ĵ c) ab i /2 d) ab ĵ /2 e) ab k̂ /2
458. Demostrar que si una partícula se desplaza en un campo de fuerza central, entonces su
trayectoria debe estar contenida en una plano.
459. Demostrar que el momento angular L de una partícula que se desplaza en un campo
de fuerza central se conserva.
460. Expresar las ecuaciones de movimiento de una partícula de masa "m" en un campo de
fuerza central " F(r) ".
461. Demostrar que para el movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza cen
tral, 2r h cte. , donde "r" es la distancia radial y "" el ángulo polar.
462. Demostrar que para el movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza cen
tral, 2r 2A 2dA /dt, donde es la rapidez de crecimiento del área de berrido del vec
tor de posición r .
463. Demostrar que una partícula en movimiento bajo la acción de una fuerza central, tiene
una velocidad aerolar constante.
464. Haciendo la sustitución, r=u
-1
, demostrar que la ecuación diferencial que describe el
movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central, puede expresarse así:
d
2
u/d
2
+u=-f(u)/mh
2
u
2
, donde "m" es la masa de la partícula, "h" es una constante.
465. I) Probar que un campo de fuerza central es conservativo.
II) Hallar la correspondiente energía potencial de una partícula en dicho campo central.
Página 76 - Análisis Vectorial
466. Expresar la ecuación correspondiente al principio de conservación de la energía, para
una partícula de masa "m" que se mueve en un campo de fuerza central.
467. Demostrar que la ecuación diferencial que describe el movimiento de una partícula de
masa "m" en un campo de fuerza central puede expresarse así: (mh
2
/2r
4
)[(dr/d)
2
+
2r ] F(r)dr E , donde "h" es una constante, y "E" es la energía total de la partícula.
468. I) Para una partícula de masa "m" que se mueve en un campo de fuerza central, demos
trar que, v
2
= 2 2 2r r =h
2
[(du/d)
2
+u
2
].
II) Usar el resultado del iniso I), para probar que la ecuación de conservación de la ener
gía se reduce a: (du/d)
2
+u
2
=2(E-V)/mh
2
, donde "E" es la energía total, "V" es el poten
cial asociado a la fuerza conservativa.
469.Expresar la velocidad y aceleración del movimiento libre de una partícula en coorde
nadas polares planas (r; ).
470.Expresar la velocidad y aceleración del movimiento libre de una partícula en coorde
nadas cilindricas (; ; z).
471.Expresar la velocidad y aceleración del movimiento libre de una partícula en coorde
nadas esféricas (r; ; ).
472.Probar que la aceleración a de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en
el espacio con una velocidad v , viene dado por: a =(dv/dt) Tû +(v
2
/) Nû , siendo () el
radio de curvatura y Tû , Nû vectores unitarios en las direcciones de la tangente y la
nor mal a la curva.
474. Demostrar que en coordenadas rectangulares de la magnitud de la velocidad aerolar,
viene dada por: (1/2)( x y yx ).
475. Demostrar por métodos vectoriales que la trayectoria de un planeta alrededor del Sol
es una elipse, con el Sol en uno de sus focos.
476.Probar que: k=1/= (x y x y) / 2 2(x y )
3/2
es la expresión de la curvatura de una
curva plana en un punto P, " " el radio de curvatura, y (x; y) las coordenadas del
punto P.
477.En la Fig13, en el sistema de poleas, hallar la velocidad y la aceleración del bloque 2.
sabiendo que las rapideces y aceleraciones de los bloques 1 y 3 son: v1= 6 m/s, a1=2
m/s
2
, v3=3 m/s y a3=4 m/s
2
. Despreciar todo tipo de fricción.
a) -11 m/s ; 4 m/s
2
b) -15 m/s ; 8 m/s
2
c) -17 m/s ; 6 m/s
2
d) -11 m/s ; 2 m/s
2
e) -13 m/s ; 10 m/s
2
478.En la Fig14, una partícula describe una trayectoria parabólica dada por : y=4x
2
con
Página 77 - Análisis Vectorial
velocidad constante v=4 m/s, donde x, y están dadas en metros. Hallar el módulo de la
componente normal (aN) de la aceleración, en el instante en que x=0,376 m.
a) 1 m/s
2
b) 2 m/s
2
c) 3 m/s
2
d) 4 m/s
2
e) 5 m/s
2Fig13 Fig14
479.Una partícula se mueve en el espacio a lo largo de una trayectoria curva con una velo
cidad ( v ) y una aceleración ( a ). Demostrar que el radio de curvatura instantáneo, vie
ne dado por: =v
3
/ vxa .
480.En la Fig47, el extremo derecho B de la barra de longitud l=2,5 m se mueve con rapi
dez de v0=6 m/s, y el otro extremo A se desliza sobre la pared vertical. Hallar la rapi
dez con que se mueve el punto medio de la barra, cuando el extremo B está a una dis
tancia de d=2 m de la pared.
a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s e) 7 m/s
Fig47 Fig48
481.En la Fig48, se muestra el mecanismo biela-manivela para una posición cualquiera de
la manivela R. Si la longitud de la biela es l=0,8 m y la manivela de radio R=2 cm gira
con una velocidad angular constante de =4 rad/s. Hallar:
I) La velocidad instantánea de la cruceta C, cuando 30
0
l
B
C
D A
R
h
eje
liso
g
A
B
l
1
2
3
A
g
v
m
0
i
j
x
y
y=4x
2
Página 78 - Análisis Vectorial
a) 2,1 cm/s b) 3,1 cm/s c) 4,1 cm/s d) 5,1 cm/s e)6,1 cm/s
II) La aceleración instantánea de la cruceta C, cuando 30
0
a) 24,1 cm/s
2
b) 25,1 cm/s
2
c) 26,1 cm/s
2
d) 27,1 cm/s
2
e) 28,1 cm/s
2
482. Demostrar que el tiempo entre dos posiciones diferentes para una partícula de masa
"m" que se mueve en una fuerza de campo central, viene dada por:
o
r 1/2
r
t [G(r)] dr ,
donde G(r)=2E/m+(2/m) F(r)dr -h
2
/2m
2
r
2
.
483. Demostrar que la trayectoria que describe una partícula bajo la acción de una fuerza
central atractiva del tipo F(r)=-k/r
2
, k>0, es una cónica (parabola, elipse o hiperbola).
484. Deducir la ecuación de una cónica r=p/(1+cos), donde "" es la excentricidad de la
cónica que puede ser parabola (=0), elipse (<0) o hiperbola (>0).
485. La trayectoria que describe un cuerpo de masa "m", bajo la acción de una fuerza cen
tral es una elipse de semiejes "a" y "b".
I) Demostrar que la ecuación de la elipse, viene dada por: r=a(1-
2
)/(1+cos ), donde
"" es la excentricidad de la órbita eliptica.
II) Demostrar que la distancia del foco O al vértice de la elipse es: OV=a(1-).
III) Demostrar que la distancia del foco O al punto más lejano de la órbita es: OU=a(1+).
IV) Demostrar que la distancia del foco O al centro C de la elipse es: c=a.
V) Demostrar que la distancia del foco O al centro C de la elipse es: c=(a
2
-b
2
)
1/2
.
VI) Demostrar que el semieje "b" de la órbita eliptica, viene dada por: b=a(1-
2
)
1/2
.
486. Demostrar que los cuadrados de los periodos "" de los planetas en su movimiento al
rededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores "a" de sus tra
yectorias elipticas (tercera ley de Kepler).
487.En la Fig49, de A sale un auto y se dirige a B situado una distancia de 40 m de la ca
rretera, su rapidez en la carretera y fuera de ella es de 5 m/s y 3 m/s.¿ A qué distancia
del punto D debe abandonar el auto la carretera, para que el tiempo de viaje sea el me
nor posible?
a) 10 m b) 20 m c) 30 m d) 40 m e) 50 m
488.En la Fig50, ¿Con qué rapidez mínima debe lanzarse el cuerpo por la mesa horizon
tal, para que este al llegar a la parte redondeada en forma de semicircunferencia de ra
dio R=2,5 m, describa una trayectoria parabólica? (g=10 m/s
2
)
a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 4 m/s e) 5 m/s
489.Desde el origen de coordenadas, se dispara un cohete, hacia un satélite que se mueve
en una órbita circular de radio R=6000 m. Si el cohete siempre se encuentra en la recta
Página 79 - Análisis Vectorial
que une el origen con el satélite, y las magnitudes de las velocidades de ambos en todo
instante es de 50 m/s, hallar el tiempo que demora el cohete en impactar con el satéli
te.
a) 1 min b) 2 min c) 3 min d) 4 min e) 5 min
Fig49 Fig50
490.De un cañón se disparan dos proyectiles seguidos con la misma rapidez v0=300 m/s y
con ángulos de disparo 1 =53
0
y 2 =37
0
. ¿Para qué intervalo de tiempo entre los dispa
ros, los proyectiles colisionan entre sí? (g=10 m/s
2
)
a) 11,0 s b) 11,4 s c) 11,8 s d) 12,2 s e) 12,6 s
491. Dado el campo ˆ ˆ ˆF (2y 3)i xz j (yz x)k (N) , hallar
C
F dr a lo largo de curva
de ecuación paramétrica: x=2t
2
, y=t, z=t
3
desde t=0 hasta t=1.
a) 8,03 J b) 8,23 J c) 8,43 J d) 8,63 J e) 8,83 J
492. Dada la fuerza ˆ ˆF (2x y)i (3y x) j (N), hallar
C
F dr a lo largo de la curva C
del plano xy que une los puntos (0; 0) (m), (2; 0) (m) y (3; 2) (m).
a) 10 J b) 11 J c) 12 J d) 13 J e) 14 J
493. Hallar el trabajo realizado al desplazar una partícula en el campo de fuerza 2ˆF 3x i
ˆ ˆ(2xz y) j zk (N) a lo largo de la curva C definida por x
2
=4y, 3x
3
=8z, desde x=0
(m) hasta x=2 (m).
a) 10 J b) 12 J c) 14 J d) 16 J e) 18 J
494. Dado el vector ˆ ˆA (y 2x)i (3x 2y) j , hallar la circulación de A alrededor de la
circunferencia C del plano xy con centro en el origen y radio R=2, sabiendo que C se
recorre en sentido positivo (antihorario).
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
A
B
D
C
o
x=?
40m
v
R
0
Página 80 - Análisis Vectorial
495. En la Fig51, dado la fuerza F=(2x+y
2
) i +(3y-4x) ĵ , hallar la integral
C
F dr alrede
dor del triángulo, en el sentido indicado.
a) -11/3 b) +11/3 c) -13/3 d) +13/3 e) -14/3
Fig51 Fig52
496. En la Fig52, en los extremos de la barra de peso despreciable y longitud l=50 cm es
tán sujetadas las bolas de masas m1=0,4 kg, m2=0,6 kg. Las velocidades de las bolas
están en un mismo plano y sus módulos son, v1=4 m/s, v2=2 m/s. Hallar:
I) Las distancias de las bolas "1" y "2" al centro de masa (c.m) del sistema.
a) 15 cm ; 35 cm b) 35 cm ; 15 cm c) 20 cm ; 30 cm
d) 30 cm ; 20 cm e) 25 cm ; 25 cm
II) El módulo de la velocidad del centro de masa (c.m) del sistema.
a) 0,1 m/s b) 0,2 m/s c) 0,3 m/s d) 0,4 m/s e) 0,5 m/s
III) La dirección de la velocidad del centro de masa (c.m) del sistema.
a) b) c) d) e)
IV) El módulo de la velocidad angular con la que rota la barra, respecto de su centro de ma
sa (eje instantáneo de rotación).
a) 10 rad/s b) 12 rad/s c) 14 rad/s d) 16 rad/s e) 18 rad/s
497. I) Dado el vector A =(4xy-3x
2
z
2
) i +2x
2
) ĵ-2x
3
z k̂ , demostrar que la circulación A es
independiente de la trayectoria C que pasa por dos puntos de la misma.
II) Demostrar que existe una función derivable "V" de forma que A =V, y evaluar esta
función "V" en x=0,5, y=1,5, z=2,5, tomando la constante de integración C=0.
a) 0,14 b) 0,24 c) 0,34 d) 0,44 e) 0,54
498. Verificar el teorema de la Divergencia de Gauss para A =4x i +2y
2
ĵ+z
2
k̂ extendida a
la región limitada por el cilindro x
2
+y
2
=4, y los planos z=0, z=3.
a) 80 b) 82 c) 84 d) 86 e) 88
(2;1)
0
i
j
x
y
(2;0)
v2
v1
m1
m2
l
Página 81 - Análisis Vectorial
499. I) Demostrar que el campo de fuerzas F=(y
2
cos x+z
3
) i +(2ysen x-4) ĵ+(3xz
2
+2) k̂ (N)
es conservativo.
II) Hallar el potencial escalar asociado a la fuerza F , y evaluar en x=0,5, y=0,5, z=0,5, to
mando la constantede integración C=0, y la masa unitaria m=1 kg.
a) 1,02 J/kg b) 1,22 J/kg c) 1,42 J/kg d) 1,62 J/kg e) 1,82 J/kg
III) Hallar el trabajo realiazado al desplazar un cuerpo de masa unitaria en este campo des
desde el punto A(0; 1;-1) m hasta el punto B(/2;-1; 2) m
a) 21,6 J b) 23,6 J c) 25,6 J d) 27,6 J e) 29,6 J
500. En la Fig53, sobre la tabla de masa M=50 kg, ubicada sobre el piso liso, está el cuer
po de masa m=10 kg. El coeficiente de fricción entre el cuerpo y la tabla es =1/2.
¿Con qué aceleración se moverá el cuerpo de masa "m" si sobre el actúa la fuerza F0
=80 N?
a) 1
2
m
s
b) 2
2
m
s
c) 3
2
m
s
d) 4
2
m
s
e) 5
2
m
s
501. En la Fig54, hallar la fuerza que ejercen las pesas en movimiento sobre la pared verti
cal en el instante en que el eje de las pesas forma con la horizontal el ángulo =53
0
.
Las pesas inician su movimiento de la posición vertical sin rapidez inicial. La masa de
cada bola de las pesas es m=5 kg. (g=10 m/s
2
)
a) 10 N b) 12 N c) 14 N d) 16 N e) 18 N
502. Demostrar que el campo de fuerzas F=r
2
r es conservativo y hallar el potencial escalar
asociado a este campo de fuerzas.
503. Determinar si el campo de fuerzas F=2xz i +(x
2
-y) ĵ+(2z-x
2
) k̂ es conservarivo.
504. Demostrar que el trabajo realizado sobre una partícula de masa "m" para desplazarla
desde A hasta B, es igual, a la variación de la energía cinética en dichos puntos, tanto
si el campo de fuerzas sea conservatio o no.
Fig53 Fig54
505. Hallar la circulación CA del vector A =(yz+2x) i +xz ĵ+(xy+2z) k̂ a lo largo de la curva
g
M
m
F0
g
l
Página 82 - Análisis Vectorial
x
2
+y
2
=1, z=1, en el sentido positivo, desde el punto (0; 1; 1) hasta el punto (1; 0; 1).
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
506. I) Dado el campo de fuerzas E r r , indicar si este campo es conservativo o no.
II) En caso que el campo E sea conservativo, hallar su función potencial "V".
III) Calcular la circulación del campo E a lo largo de cualquier curva C cerrada simple.
507. Demostrar que (2x cos y+z sen y) dx+(xz cos y-x
2
sen y) dy+x sen y dz es una diferen
cial exacta. Como consecuencia resolver esta ecuación dada.
508. Dada la función escalar (x; y; z)=2xy
2
z+x
2
y, calcular
C
dr , siendo C la curva defi
nida por: x=t, y=t
2
, z=t
3
desde t=0 hasta t=1.
a) (19/45) i +(11/15) ĵ+(75/77) k̂ b) (11/45) i +(21/15) ĵ+(71/77) k̂
c) (17/45) i +(23/15) ĵ+(75/77) k̂ d) (13/45) i +(13/15) ĵ+(81/77) k̂
e) (17/45) i +(19/15) ĵ+(79/77) k̂
509. Dado el vector F=2y i -z ĵ+x k̂ , calcular la integral
C
Fxdr , a lo largo de la curva defi
nida por: x=cos t, y=sen t, z=2 cos t, para "t" variando desde t=0 hasta t=/2.
a) 1,81 i +2,04 ĵ b) 1,01 i +2,44 ĵ c) 1,41 i +2,84 ĵ d) 1,21 i +2,64 ĵ e) 2 i +2,8 ĵ
Fig55 Fig56
510.En la Fig55, los móviles A y B parten simultáneamente de P y Q moviéndose en di
recciones perpendiculares con rapideces de v=4 m/s y u=2 m/s, en el instante inicial
d1=40 m y d2=10 m, respectivamente.
I) Después de que tiempo de iniciado el movimiento la distancia entre los móviles A y B
es mínima.
a) 1 s b) 3 s c) 5 s d) 7 s e) 9 s
II) Hallar la distancia mínima entre los móviles A y B.
0
d1
d2
v
u
P
Q
x(m) 0
v
t=1s
s
P
y(m)
i
j
Página 83 - Análisis Vectorial
a) 2 2 m b) 3 2 m c) 4 2 m d) 3 3 m e) 4 3 m
511.En la Fig56, la partícula se mueve a lo largo de la parábola y=2x
3/2
, la longitud de la
curva recorrida es s=t
3
. Si en t0=0 s, x0=y0=s0= 0 m. Hallar el valor del ángulo " " en
el instante t=1 s.
a) o61 47 22 b) o62 47 22 c) o63 47 22 d) o64 47 22 e) o65 47 22
512. Dado el vector A =(3x+y) i -x ĵ+(y-2) k̂ y B =2 i -3 ĵ+ k̂ , hallar
C
(Ax B)xdr alrede
dor de la circunferencia del plano xy, de centro en el origen y radio R=2, recorrida en
el sentido positivo (antihorario).
a) 81,9 i +31,7 ĵ b) 83,9 i +33,7 ĵ c) 85,9 i +35,7 ĵ d) 87,9 i +37,7 ĵ e) 89 i +39,7 ĵ
513. Dado el vector A =y i +2x ĵ-z k̂ , hallar
S
ˆA ndS , donde "S" es la superficie del plano
2x+y=6 situada en el primer octante y limitado por los planos z=0 y z=4.
a) 100 b) 102 c) 104 d) 106 e) 108
514. Dado el vector A =(x+y2) i -2x ĵ+2yz k̂ , hallar
S
ˆA ndS , donde "S" es la superficie
del plano 2x+y+2z=6 situada en el primer octante.
a) 160 b) 162 c) 164 d) 166 e) 168
Fig57 Fig58
515.En la Fig57, el móvil describe la trayectoria elíptica de semiejes a=4 m, b=2 m con
velocidad lineal constante de v=2 m/s. Un foco luminoso ubicado en el centro de la cur
va le sigue. Para, =30
0
, hallar:
I) La velocidad angular del foco luminoso para que el móvil este constantemente ilumina
do.
a) 3,3 rad/s b) 4,3 rad/s c) 5,3 rad/s d) 6,3 rad/s e) 7,3 rad/s
II) La componente radial de la velocidad.
0
B
A a
b
x
y
r
v
P
'
d
r
r
G
Página 84 - Análisis Vectorial
a) 11,3 m/s b) 12,3 m/s c) 13,3 m/s d) 14,3 m/s e) 15,3 m/s
516.En la Fig58, el cono circular recto gira alrededor de su vértice sobre una superficie ru
gosa con una rapidez angular de =6 rad/s. Hallar la rapidez angular ( ' ) con la que gi
ra el cono alrededor de su eje si el ángulo que hace la generatriz (G) con éste es de
=37
o
.
a) 6 rad/s b) 8 rad/s c) 10 rad/s d) 11 rad/s e) 14 rad/s
517.En la Fig59, un peatón que se mueve en línea recta a la rapidez de v=4 m/s, ilumi
nado por un haz de luz horizontal de un foco situado en el infinito; proyecta su sombra
sobre un muro circular de radio R=3 m. Hallar la rapidez de la sombra para el instante
t= 5 /2 s y cuando =30
o
. (El tiempo se cuenta desde el instante en que el peatón esta
alineado con el foco y el muro).
a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 4 m/s e) 5 m/s
Fig59 Fig60
518. En la Fig60, un chorro de aceite que cae sobre la superficie del agua se extiende for
mando una mancha circular de grosor "h", ¿Cómo depende del tiempo la rapidez del
movimiento de los extremos de la mancha si en unidad de tiempo ingresa el volumen
de aceite "q"?
a) 1/2
q
( )
4 ht
b) 1/2
q
( )
3 ht
c) 1/2
q
( )
2 ht
d) 1/2
2q
( )
ht
e) 1/2
q
( )
ht
519. Dado el vector F=2y i -z ĵ+x
2
k̂ calcular la integral
S
ˆA ndS , donde "S" es la super
ficie y
2
=8x situada en el primer octante y limitada por los planos y=4 y z=6.
a) 124 b) 126 c) 128 d) 130 e) 132
520. Dado el vector A =6z i +(2x+y) ĵ-x k̂ , calcular la integral
S
ˆA ndS , donde "S" es la
superficie limitado por el cilindro x
2
+z
2
=9, x=0, y=0, z=0 e y=8.
P
Rayo de
luz
s
Q
R
g aceite
Página 85 - Análisis Vectorial
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
521. I) Hallar la integral
S
ˆA ndS extendida a la superficie del cubo de volumen V=1, li
mitado por los planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1.
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
II) Hallar la integral
S
ˆA ndS extendida a la superficie de una esfera de radio "a" con
centro en el origen de coordenadas (0; 0).
a) 2a3
b) 3a
3
c) 4a
3
d) 6a
3
e) 8a
3
522.En la Fig61, el sólido homogéneo está formado por el cilindro de radio "a" y altura
H=15 2 cm y la semiesfera de radio "a". ¿Para qué valor mínimo de "a", el sólido es
tá en equilibrio estable?
a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm
523.En la Fig62, las mitades del cilindro circular compacto de radio R=8 cm y peso total
100 N se apoyan mutuamente, la superficie de contacto entre los cilindros es rugosa, el
piso es liso y =37
0
.
I) Hallar el módulo de la reacción en B.
a) 50 N b) 60 N c) 70 N d) 80 N e) 90 N
II) Hallar el módulo de la reacción en A.
a) 10 N b) 20 N c) 30 N d) 40 N e) 50 N
III) Hallar el módulo de la componente normal de la reacción entre las superficies de con
tacto de los semicilindros.
a) 22 N b) 24 N c) 26 N d) 28 N e) 30 N
IV) Hallar el módulo de la reacción entre las superficies de contacto de los semicilindros
a) 22 N b) 24 N c) 26 N d) 28 N e) 30 N
V) ¿A qué distancia del punto A actúa la componente normal de la reacción entre las su-
perficies?
a) 6 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 9 cm e) 10 cm
524. Dado el vector A =4xz i +xyz
2
ĵ+3z k̂ , calcular la integral
S
ˆA ndS sobre toda la su
Página 86 - Análisis Vectorial
perficie de la región por arriba del plano xy acotada por el cono z =x +y y el plano
z=4.
a) 300 b) 310 c) 320 d) 330 e) 340
Fig61 Fig62
525. Hallar el área del plano x+2y+2z=12 limitado por los planos x=0, y=0, x=1, y=1.
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
526. Hallar el área del plano x+2y+2z=12 limitado por los planos x=0, y=0, y el cilindro
x
2
+y
2
=16.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
527. Hallar el área de la superficie limitada por la intersección de los cilindros x
2
+y
2
=a
2
y
x
2
+z
2
=a
2
.
a) 10a
2
b) 12a
2
c) 14a
2
d) 16a
2
e) 18a
2
528. Calcular la integral A= 2
S
xy dS , donde "S" es la región comprendida entre la parábo
la y=x
2
y la recta y=2x.
a) 6,0 b) 6,2 c) 6,4 d) 6,6 e) 6,8
529. Calcular la integral 2
S
A sen dS , donde "S" es la región correspondiente a la su
perficie del círculo =3cos .
a) 1,0 b) 1,2 c) 1,4 d) 1,6 e) 1,8
530. Calcular la integral 2 2
V
I (y z )dV , donde "V" es la pirámide limitada por los
planos de coordenadas y por el plano x+y+z=1.
a) 1/15 b) 1/20 c) 1/25 d) 1/30 e) 1/35
a
H
g
R
g
B A
R
R
Página 87 - Análisis Vectorial
531. Calcular la integral
V
V dV , donde "V" es el volumen del cuerpo limitado por los
planos xOy y xOz, el cilindro x
2
+y
2
=ax y la esfera x
2
+y
2
+z
2
=a
2
.
a) 0,1a
3
b) 0,2a
3
c) 0,3a
3
d) 0,4a
3
e) 0,5a
3
532. En la Fig63, calcular la integral 2
V
I r cos dV , donde "V" es el volumen del co
no de altura h=5, ángulo de vértice 2=60
o
, y que está situado con respecto al siste ma
de coordenadas mostrada.
a) 4,01 b) 4,21 c) 4,41 d) 4,61 e) 4,81
533.En la Fig64, el tanque cilíndrico de radio R=10 cm, y altura H=1,20 m que contiene a
gua de densidad =1000 kg/m
3
, hasta una altura de h=1 m, se hace girar a una veloci
dad angular constante de o=10 rad/s, sin que el agua se derrame. Hallar el cambio en
el nivel del agua para el punto más alto de la superficie libre del agua, cuando la ve
locidad angular se duplica. (g=10 m/s
2
)
a) 2,5 cm b) 5,0 cm c) 7,5 cm d) 10,5 cm e) 12,5 cm
534. Dado el vector F=(x+2y) i -3z ĵ+x k̂ , hallar la integral
S
ˆ( xF) ndS donde S es la su
perficie 2x+y+2z=6 limitada por x=0, x=1, y=0 e y=2.
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
535. Dado la función escalar =4x+3y-2z, hallar la integral
S
n̂ dS donde S es la superfi
cie 2x+y+2z=6 limitada por x=0, x=1, y=0 e y=2.
a) 2 i - ĵ-2 k̂ b) 2 i + ĵ-2 k̂ c) 2 i - ĵ+2 k̂ d) 2 i + ĵ+2 k̂ e) 2 i +2 k̂
Fig63 Fig64
x
0
y
h
z
r2=h/cos
h
R
H
Página 88 - Análisis Vectorial
536. Hallar la integral 2 2 1/2
R
(x y ) dxdy extendida a la región R del plano xy limitada
por x
2
+y
2
=36.
a) 140 b) 142 c) 144 d) 146 e) 148
537. Hallar la integral
V
(2x y)dV , donde "V" es el volumen limitado por el cilindro
z=4-x
2
y los planos x=0, y=0, y=2 y z=0.
a) 72/3 b) 74/3 c) 76/3 d) 78/3 e) 80/3
538. Hallar la integral
V
FdV , donde "V" es el volumen limitado por los planos x=0,
y=0, z=0 y 2x+2y+z=4.
a) 2/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3
539. Hallar la integral
V
xFdV , donde "V" es el volumen limitado por los planos x=0,
y=0, z=0 y 2x+2y+z=4.
a) 8( i - k̂ )/3 b) 8(- ĵ+ k̂ )/3 c) 8( i - ĵ)/3 d) 8( ĵ+ k̂ )/3 e) 8( ĵ- k̂ )/3
540.En la Fig65, el cuerpo de masa m=1 kg se mueve en un plano horizontal describiendo
la espiral, cuya ecuación en coordenadas polares es: r=b , siendo b=0,147 m una
constante y =d/dt=4 rad/s la velocidad angular constante. Hallar:
I) El módulo de la fuerza total ejercida sobre el cuerpo, en el instante en que =/2.
a) 1 N b) 2 N c) 4 N d) 6 N e) 8 N
II) El módulo de la fuerza de Coriolis, en el instante en que =/2.
a) 4,1 N b) 4,3 N c) 4,5 N d) 4,7 N e) 4,9 N
III) La razón (Fr/F) entre los módulos de las fuerza radial (Fr) y tangencial (F), en el ins
tante en que =4 rad.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
541.En la Fig66, el cuerpo de masa m=1 kg se mueve por la espiral cuya ecuación en coor
denadas polares es: r=e
b
, siendo b=2 una constante y =d/dt=4 rad/s la velocidad
angular constante. Hallar:
I) El módulo de la fuerza ejercida sobre el cuerpo, debida a su aceleración, en el instante
en que =/4.
a) 380,8 N b) 382,8 N c) 384,8 N d) 386,8 N e) 388,8 N
II) El módulo de la fuerza de Coriolis, en el instante en que =/4.
Página 89 - Análisis Vectorial
a) 301,9 N b) 303,9 N c) 305,9 N d) 307,9 N e) 309,9 N
III) La razón (Fr/F) entre los módulos de las fuerza radial (Fr) y tangencial (F), en el ins
tante en que =4 rad.
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 3/2 e) 4/3
Fig65 Fig66
542. Dados los vectores M =-10 i +4 ĵ-8 k̂ y N =8 i +7 ĵ-2 k̂ .
I) Hallar un vector unitario en la dirección del vector M 2N .
II) Hallar la magnitud del vector ˆ5i N 3M .
III) Hallar el vector dada por: M 2N (M N) .
543. Los tres vértices de un triángulo están ubicados en los puntos A(1; 2; 5), B(-4;-2;-3), y
C(1; 3;-2).
I) Hallar la longitud del perímetro del triángulo ABC.
a) 21,9 b) 22,9 c) 23,9 d) 24,9 e) 25,9
II) Hallar el valor de la expresión N=uxuz/uy, donde ux, uy, uz son las componentes del vec
tor unitario û que esta dirigido desde el punto medio del lado AB al punto medio del
lado BC.
a) 1,43 b) 1,83 c) 2,23 d) 2,63 e) 3,03
III) Mostrar que este vector unitario û multiplicado por un escalar es igual al vector de A
hacia C y que el vector unitario es por lo tanto paralelo a AC.
544. El vector del origen al punto A está dado por (6;-2;-4), y el vector unitario dirigido
desde el origen hacia el punto B es (2;-2; 1). Si la separación de los puntos A y B es de
10 unidades, hallar las coordenadas del punto B.
a) -7,83 i +7,83 ĵ-3,92 k̂ b) 7,83 i +7,83 ĵ+3,92 k̂c) 7,83 i -7,83 ĵ-3,92 k̂
d) 7,83 i +7,83 ĵ-3,92 k̂ e) 7,83 i -7,83 ĵ+3,92 k̂
m
v
0
0
m
v
Página 90 - Análisis Vectorial
545. Un círculo con centro en el origen de radio R=2 unidades, se ubica en el plano xy.
Hallar el vector unitario en componentes rectangulares ubicado en el plano xy, que es
tangente al círculo en el punto ( 3 ; 1; 0), y esta en la dirección de y aumentando su
valor.
a) (- i - ˆ3j)/2 b) ( i + ˆ3j)/2 c) (- i + ˆ3j)/2 d) ( 3 i + ĵ)/2 e) ( i + ˆ3j)
546. En la Fig67, la barra homogénea de peso "W" está en equilibrio, y el coeficiente de
fricción de la barra con la superficie es =1/4. Hallar el ángulo mínimo " " .
a) o31 07 30 b) o33 07 30 c) o35 07 30 d) o37 07 30 e) o39 07 30
547. En la Fig68, dados dos sistemas de referencia S(XYZ) y S'(X'Y'Z'), probar que las re
laciones para los momentos de inercia de un cuerpo de masa "m" , en ambos sistemas
de referencia, vienen dados por:
I) 'x x y x y xy
1 1
I (I I ) (I I )cos2 I sen 2
2 2
II) 'y x y x y xy
1 1
I (I I ) (I I )cos2 I sen 2
2 2
III) xy x y xy
1
I (I I )sen 2 I cos2
2
IV) Probar que el ángulo " " , para el cual el sistema de ejes X'Y' es principal, viene dado
por: 1 xy x y
1
tg [ 2I / (I I )]
2
.
V) Probar que el valor máximo del momento de inercia del cuerpo, respecto de los ejes
X'Y', viene dado por: ' 2 2 1/2max x y x y xyI (I I ) [(I I ) 4I ] / 2
VI) Probar que el valor mínimo del momento de inercia del cuerpo, respecto de los ejes
X'Y', viene dado por: ' 2 2 1/2min x y x y xyI (I I ) [(I I ) 4I ] / 2
Fig67 Fig68
548. Un campo vectorial está dado por: 2 2ˆ ˆ ˆG 24xyi 12(x 2)j 18z k . Dado dos puntos,
A(1; 2; 1) y Q(-2; 1; 3).
g
R
X'
Y'
X
Y
0
Página 91 - Análisis Vectorial
I) Hallar G en el punto P(1; 2;-1).
a) (46; 38; 10) b) (42; 30; 16) c) (44; 34; 14) d) (40; 32; 12) e) (48; 36; 18)
II) Hallar un vector unitario en la dirección de G en el punto Q(-2; 1; 3).
a) (,26; 0,39; 0,88) b) a) (-0,26; -0,39; 0,88) c) a) (0,26; -0,39; 0,88)
d) a) (0,26; 0,39; -0,88) e) a) (-0,26; 0,39; 0,88)
III) Hallar un vector unitario dirigido de Q hacia P.
a) (0,59; 0,20; -0,78) b) (-0,59; 0,20; 0,78) c) (0,59; -0,20; 0,78)
d) (0,59; -0,20; -0,78) e) (-0,59; 0,20; -0,78)
IV) Hallar la ecuación de la superficie sobre la cual G =60.
549. Si a es un vector unitario en una dirección dada, B es una constante escalar, y r =x i +
y ĵ+z k̂ , describa la superficie r a =B. ¿Cuál es la relación entre el vector unitario a y
el escalar B en esta superficie? [Sugerencia: Considere primero un ejemplo sencillo
con xa a y B=1, y luego considere cualquier a y B.]
550. Dado el campo vectorial E =4zy
2
cos 2x i +2zy sen 2x ĵ+y
2
sen 2x k̂ en la región x ,
y , y z menores que 2.
I) Hallar las superficies para la cual Ey=0.
II) Hallar la región para la cual Ey=Ez.
III) Hallar la región para la cual E =0.
551. Demostrar la ambigüedad que resulta cuando el producto vectorial es utilizado para
hallar el ángulo dos vectores, hallar el ángulo entre A =3 i -2 ĵ+4 k̂ y B =2 i + ĵ-2 k̂ ¿E
xiste esta ambigüedad cuando el producto escalar es utilizada?
552. Un campo vectorial esta dada por: G =25(x i +y ĵ)/(x
2
+y
2
), en el espacio 3 .
I) Hallar un vector unitario en la dirección de G en el punto P(3; 4;-2).
II) Hallar el ángulo entre G y i en el punto P(3; 4;-2).
a) 30
o
b) 37
o
c) 45
o
d) 53
o
e) 60
o
III) Hallar el valor de la siguiente doble integral sobre el plano y=7:
4 2
0 0
ˆG jdzdx .
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
553. Expresando las diagonales como vectores y usando la definición del producto escalar
o punto, hallar el ángulo menor entre dos diagonales cualesquiera de un cubo, donde
Página 92 - Análisis Vectorial
cada diagonal conecta vértices diametralmente opuestas y pasan a través del centro del
cubo.
a) 64,53
o
b) 66,53
o
c) 68,53
o
d) 70,53
o
e) 72,53
o
554. Dados los puntos M(0,1; -0,2; -0,1), N(-0,2; 0,1; 0;3) y P(0,4; 0; 0,1).
I) Hallar el vector MNR .
II) Hallar el producto escalar (punto) MN MPR R .
III) Hallar la proyección escalar de MNR sobre MPR .
a) 0,10 b) 0,12 c) 0,14 s) 0,16 e) 0,18
IV) Hallar el ángulo entre MNR y MPR .
a) 70
o
b) 72
o
c) 74
o
d) 76
o
e) 78
o
555. Mostrar que los campos vectoriales A = cos ̂+ sen ̂ + k̂ y B = cos ̂+
sen ̂ - k̂ son perpendiculares entre si, en cualquier caso.
556. I) Hallar la componente vectorial de F=(10; -6; 5) que es paralela a G =(0,1: 0,2; 0,3)
II) Hallar la componente vectorial de F que es perpendicular a G .
III) Hallar la componente vectorial de G que es perpendicular a F .
557. Mostrar que los campos vectoriales A =(sen 2)/r
2
r̂ +2sen/r
2
̂ y B =r cos r̂ +r ̂ son
en cualquier caso paralelos uno a otro.
558. Tres vectores partiendo del origen están dados por: 1r =(7; 3; -2), 2r =(-1; 7; -3), y 3r =
(0; 2; 3).
I) Hallar un vector unitario perpendicular a ambos vectores 1r y 2r .
II) Hallar un vector unitario perpendicular a los vectores 1r - 2r y 2r - 3r .
III) Hallar el área del triángulo definido por 1r y 2r .
a) 30,3 b) 31,3 c) 32,3 d) 33,3 e) 34,3
IV) Hallar el área del triángulo definido por los extremos de los vectores 1r , 2r y 3r .
a) 26 b) 28 c) 30 d) 32 e) 34
559. El campo vectorial E =(B/) ̂ , donde B es una constante, debe ser desplazada tal que
sus orígenes se sitúen en la línea, x=2, y=0. Escribir la forma desplazada de E en com
ponentes rectangulares, y evaluar la magnitud de E en x=2,5, y=1,5.
a) 0,47B b) 0,51B c) 0,55B d) 0,59B e) 0,63B
560. El punto A(-4; 2; 5) y los dos vectores, AMR =(20; 18); -10) y ANR =(-10; 8; 15),
Página 93 - Análisis Vectorial
definen un triángulo.
I) Hallar un vector unitario perpendicular al triángulo.
II) Hallar un vector unitario en el plano del triángulo y perpendicular a ANR .
III) Hallar un vector unitario en el plano del triángulo que bisecte el ángulo interior en A.
561. Transformar el campo vectorial H =(A/) ̂ , donde A es una constante, de
coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas.
a) Asen /r ̂ b) Acos /r ̂ c) A/r sen ̂ d) A/r cos ̂ e) A/r
2
k̂
562. I) Expresar el campo vectorial D =(x
2
+y
2
+z
2
)
-1
(x i +y ĵ) en componentes cilíndricas y
variables cilíndricas.
II) Evaluar D en el punto donde =2, =0,2, y z=5, expresando el resultado en coordena
das cartesianas y cilíndricas.
563. Un cilindro de radio "a", centrado en el eje z, rota alrededor del eje z con una veloci
dad angular rad/s. La dirección de rotación es en el sentido antihorario mirando en
la dirección del eje z positivo.
I) Usando componentes cilíndricas, escribir una expresión para el campo de velocidades,
v , que genera la velocidad tangencial en cualquier punto al interior del cilindro.
II) Convertir el resultado obtenido en I) a componentes esféricas.
III) Convertir a componentes rectangulares.
564.En la Fig69, la partícula bajo la acción de una fuerza central se mueve según la cir
cunferencia de diámetro o"r " que pasa por el centro de fuerzas 0. Si en el punto A su
velocidad es o"v " , hallar el módulo de su velocidad, cuando 45
0
.
a) v0 b) 2 v0 c) 3v0 d) 4v0 e) 5v0
Fig69 Fig70
565.En la Fig70, el tubo cilíndrico delgado y hueco OAestá inclinado un ángulo =37
0
res
pecto de la horizontal y gira alrededor de la vertical con una velocidad angular constan
te de =5 rad/s. Si una partícula que está obligada a moverse al interior del tubo está
r
ro
F
m
0
A
0
m
g
a
o
Página 94 - Análisis Vectorial
inicialmente en reposo a una distancia de a=10 cm de 0. ¿A qué distancia de 0 se en
contrará la partícula, luego de t=0,5 s de iniciado su movimiento? (g=10 m/s
2
)
a) 31,6 cm b) 33,6 cm c) 35,6 cm d) 37,6 cm e) 39,6 cm
566. Expresar en componentes cilíndricas.
I) El vector que va de C(3; 2; -7) a D(-1; -4; 2).
II) Un vector unitario en D dirigido hacia C.
III) Un vector unitario en D dirigido hacia el origen.
567. Una esfera de radio "a", centrado en el origen, rota alrededor del eje z a una velocidad
angular de rad/s. La dirección de rotación es en sentido horario cuando se observa
en la dirección del eje z positivo.
I) Usando componentes esféricas, escribir una expresión para el campo de velocidades
v , la cual genera la velocidad tangencial en todo punto interior a la esfera.
II) Convertir a componentes rectangulares.
568. Las superficies =3, =5, =100
o
, = 130
o
, z=3, y z=4,5 definen una superficie cerra
da.
I) Hallar el volumen limitado por esta superficie.
a) 6,08 b) 6,28 c) 6,48 d) 6,68 e) 6,88
II) Hallar el área total de la superficie que encierra el volumen.
a) 14,7 b) 16,7 c) 18,7 d) 20,7 e) 22,7
III) Hallar la longitud total de los doce bordes de las superficies.
a) 20,4 b) 22,4 c) 24,4 d) 26,4 e) 28,4
IV) Hallar la longitud de la línea recta más larga que se sitúa enteramente dentro del volu
men.
a) 3,01 b) 3,11 c) 3,21 d) 3,31 e) 3,41
569. Dado el campo vectorial E =A/r
2
r̂ .
I) Expresar este campo E en componentes rectangulares.
II) Expresar este campo E en componentes cilíndricas.
570. Dado el punto P cuyas coordenadas esféricas son, r=0,8, =30
o
, =45
o
, y el campo vec
torial E =(cos r̂ +sen/sen ̂ )/r
2
.
I) Hallar el campo E en el punto P.
II) Hallar la magnitud del campo E en el punto P.
III) Hallar un vector unitario en la dirección de E en el punto P.
571. I) Expresar el campo vectorial uniforme, F=5 i en componentes cilíndricas.
Página 95 - Análisis Vectorial
II) Expresar el campo vectorial uniforme, F=5 i en componentes esféricas.
572. Las superficies r=2 y r=4, =30
o
y =50
o
, y =20
o
y =60
o
definen una superficie
cerrada.
I) Hallar el volumen encerrado por esta superficie.
a) 2,11 b) 2,31 c) 2,51 d) 2,71 e) 2,91
II) Hallar el área total de la superficie cerrada.
a) 12,01 b) 12,21 c) 12,41 d) 12,61 e) 12,81
III) Hallar la longitud total de los doce bordes de la superficie.
a) 17,09 b) 17,29 c) 17,49 d) 17,69 e) 17,89
IV) Hallar la longitud de la línea recta más larga que cae enteramente al interior de la super
ficie.
a) 2,13 b) 2,33 c) 2,53 d) 2,73 e) 2,93
573. I) Expresar el campo vectorial, G =8 sen ̂ en componentes rectangulares.
II) Expresar el campo vectorial, G =8 sen ̂ en componentes cilíndricas.
574. I) Expresar el vector unitario i en componentes esféricas en el punto r=2, =1 rad,
=0,8 rad.
II) Expresar el vector unitario i en componentes esféricas en el punto x=3, y=2, z=-1.
III) Expresar el vector unitario i en componentes esféricas en el punto =2,5, =0,7 rad,
z=1,5.
575. En el punto B(5; 120
o
; 75
o
) un campo vectorial tiene el valor A =-12 r̂ -5 ̂ +15 ̂
I) Hallar la componente vectorial de A normal a la superficie r=5.
II) Hallar la componente vectorial de A tangente a la superficie r=5.
III) Hallar la componente vectorial de A tangente al cono =120
o
.
IV) Hallar un vector unitario que sea perpendicular a A y tangente al cono =120
o
.
576. Dados los vectores ˆ ˆA i j , y ˆ ˆB j k en el espacio 3 .
I) Hallar la magnitud de la resultante A B .
2,05 b) 2,25 c) 2,45 d) 2,65 e) 2,85
II) Hallar el vector 3A 2B .
a) 3 i + ĵ-2 k̂ b) 3 i - ĵ+2 k̂ c) 3 i + ĵ+2 k̂ d) 3 i - ĵ-2 k̂ e) 3 i + ĵ
III) Hallar el producto escalar de A por B .
Página 96 - Análisis Vectorial
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
IV) Hallar el producto vectorial de A por B .
a) i - ĵ+ k̂ b) i + ĵ- k̂ c) i - ĵ- k̂ d) i + ĵ+ k̂ e) - i - ĵ+ k̂
577. Dados los vectores ˆ ˆA 2i j , ˆ ˆB i k , y ˆC 4j en el espacio 3 .
I) Hallar la expresión E=[[A (B C)] / [(A B) C)] .
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
II) Hallar la expresión R=[A (BxC)][(AxB) C)]
a) 60 b) 62 c) 64 d) 66 e) 68
III) Hallar el triple producto vectorial, Ax(BxC) .
a) 4 i +8 ĵ+4 k̂ b) 4 i -8 ĵ-4 k̂ c) 4 i +8 ĵ-4 k̂ d) 4 i -8 ĵ+4 k̂ e) 4 i +4 k̂
IV) Hallar el triple producto vectorial, (AxB)xC .
a) 4 i +8 ĵ+4 k̂ b) 4 i -8 ĵ-4 k̂ c) 4 i +8 ĵ-4 k̂ d) 4 i -8 ĵ+4 k̂ e) 4 i +4 k̂
578. Dados los vectores ˆ ˆA a i 2 j , y ˆ ˆ ˆB a i 2a j 3a k , hallar el menor ángulo entre es
tos dos vectores.
a) 30
o
b) 37
o
c) 45
o
d) 53
o
e) 60
o
579. En términos del grupo de base estándar { i , ĵ , k̂ }, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa 2i j 2k, b 3i 4k y ˆc i
ˆ ˆ5j 3k .
I) Hallar 3a 2b 4c y
2
a b .
II) Hallar a , b y a b . Deducir el ángulo entre a y b .
III) Hallar la componente de c en la dirección de a y en la dirección de b .
IV) Hallar a x b , b x c y (axb)x(bxc).
V) Hallar a (bx c) y (a xb) c y verificar que estas son iguales. Indicar en que sentido
izquierdo o derecho está el grupo { a, b, c} .
VI) Evaluando cada lado de la ecuación, verificar la identidad a x(bxc) (a c)b (a b)c .
580. Hallar el ángulo entre las dos diagonales principales de un cubo.
a) 64,5
o
b) 66,5
o
c) 68,5
o
d) 70,5
o
e) 72,5
o
Página 97 - Análisis Vectorial
581. Las proyecciones sobre los ejes de coordenadas de las fuerzas P , Q y F son las sigui
entes: Px=6 N, Py=3 N, Pz=12 N, Qx=3 N, Qy=-7 N, Qz=1 N, Fx=5 N, Fy=2 N, Fz=-8 N.
I) Hallar la magnitud de la resultante de la suma de estas fuerzas.
a) 11 N b) 13 N c) 15 N d) 17 N e) 19 N
II) Hallar la expresión, E=cos cos /cos , donde "", "" y "" son los ángulos que for
ma el vector resultante con los ejes x, y, z.
a) -3/4 b) -5/6 c) -3/5 d) -7/3 e) -8/5
582. En la Fig71, ABCDEF es un hexágono regular con centro 0 la cual, es también el ori
gen de los vectores de posición. Hallar los vectores de posición de los vértices C, D, E,
F en términos de los vectores de posición a, b de A y B.
583. En la Fig72, ABCD es un cuadrilátero, en el cual, P, Q, R, S son los puntos medios de
los lados AB, BC, CD, DA respectivamente. Mostrar que PQRS es un paralelogramo.
584. En un tetraedro regular, se trazan líneas que conectan los puntos medios de cada lado
con los puntos medios de los lados opuestos. Mostrar que estas tres líneas se reúnen en
un punto que biseca cada una de estas.
585. Sea ABCD un tetraedro regular y P, Q, R, S los centros medios de las caras opuestas a
los vértices opuestos a los vértices A, B, C, D respectivamente. Mostrar que las líneas
AP, BQ, CR, DS todas se reúnen en un punto (llamado el centroide del tetraedro),la
cual divide cada línea en la razón 3 : 1.
Fig71 Fig72
586. Un número de partículas de masa m1, m2, m3,...están situadas en los puntos con vecto
res de posición 1r , 2r , 3r ,...relativo a un origen O. El centro de masa G de las partícu
las está definida serel punto del espacio con vector de posición: R =(m1 1r +m2 2r +
m3 3r ,...)/(m1+m2+m3+...). Mostrar que si un origen diferente O' fuese usado, esta defini
b
B
O a
C
D A
E F
A
P
B
C
D
Q
R
S
Página 98 - Análisis Vectorial
ción para G debería estar en la mismo punto del espacio.
587. Probar que las tres perpendiculares a los lados de un triángulo son concurrentes.
588. Si, 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆa i j k , 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆa i j k , 3 3 3 3
ˆ ˆ ˆa i j k donde ˆ ˆ ˆ{i, j,k} es
una base estándar, mostrar que:
1 1 1
1 2 3 2 2 2
3 3 3
a (a xa )
Deducir que la rotación cíclica de los vectores en un triple producto escalar nos da el
valor del producto intercambiado.
589. Expresando los vectores a , b , c en términos de una bases estándar apropiada, probar
que la identidad a x(bxc) (a c)b (a b)c .
590. Probar las siguientes identidades: I) (a xb) (cxd) (a c)(b d) (a d)(b c) , II)
(a xb) x (cxd) [a, b, d]c [a, b, c]d , III) a x(bxc) cx(a xb) bx(cxa) 0 .
591. Sea {a,b,c} cualquier grupo de base. Entonces la correspondiente base recíproca
* * *{a ,b ,c }está definida por: *a bxc / [a,b,c] , *b cxa / [a,b,c] , *c a x b / [a,b,c] .
I) Si ˆ ˆ ˆ{i, j,k} es una base estándar, mostrar que * * *ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ{i , j ,k } {i, j,k} .
II) Mostrar que * * *[a ,b ,c ] 1/ [a,b,c] . Deducir que si {a,b,c} es un grupo definido en
sentido derecho, entonces, también * * *{a ,b ,c } lo es.
III) Mostrar que * * * * * *{(a ) ,(b ) ,(c ) } {a,b,c}.
IV) Si un vector v es expandida en términos del grupo bases {a,b,c} en la forma v a
+ b c , mostrar que los coeficientes "", "", "" están dadas por *v a ,
*v b , *v c .
592.En las ecuaciones de Lame. La dirección en la que los rayos-X son fuertemente disper
sados en un cristal están determinadas por las soluciones "x" de las ecuaciones de La
me, es decir: x a L, x b M, x c N , donde {a,b,c} son los vectores de base de
los lados del cristal, y L, M, N son enteros cualesquiera. Mostrar que las soluciones de
las ecuaciones de Lame son: * * *x La Mb Nc , donde * * *{a ,b ,c }es la base recí
proca de la base {a,b,c} .
593. Si 2 3ˆ ˆ ˆr(t) (3t 4)i t j (t 3)k , donde ˆ ˆ ˆ{i, j, k}es una base estándar constante,
hallar r y r . Deducir la derivada temporal de r x r .
Página 99 - Análisis Vectorial
594. Los puntos A y B tienen vectores de posición a y b relativo al origen O. Hallar el vec
tor de posición x del punto X que divide la línea AB en la razón : (es decir
AX/XB=/).
595.En la Fig73, la barra homogénea doblada de peso despreciable, que tiene unida en su
extremo inferior una bola de masa m=0,5 kg, gira con velocidad angular constante de
=5 rad/s. (g=10 m/s
2
, =53
o
, 0,5 m).
I) Hallar la tensión en la barra, en los puntos de unión con la bola.
a) 5 N b) 6 N c) 7 N d) 8 N e) 9 N
II) Hallar la reacción normal sobre la bola.
a) 1 N b) 2 N c) 3 N d) 4 N e) 5 N
III) Hallar la fuerza total que ejerce la barra sobre la bola.
a) 7,1 N b) 7,3 N c) 7,5 N d) 7,7 N e) 7,9 N
IV) ¿En cuántas veces aumenta la fuerza total ejercida por la barra sobre la bola, cuando
la velocidad angular se duplica?
a) 1,9 b) 2,9 c) 3,9 d) 4,9 e) 5,9
V) ¿La tensión es la misma a lo largo de la parte oblicua de la barra?
a) 1/3 s b) 2/3 s c) 3/4 s d) 4/5 s e) 5/6 s
596.En la Fig74, la cadena homogénea de longitud 2 m, que está sobre la superficie li
sa de los planos inclinados, cuyo vértice es redondeado, se suelta en la posición mostra
da. El ángulo de inclinación es =53
0
y a=2 /3. (g=10 m/s
2
)
I) Hallar la velocidad de la cadena, en el instante en que su extremo izquierdo pasa por el
vértice 0.
a) 4/3 m/s b) 5/3 m/s c) 7/3 m/s d) 8/3 m/s e) 7/4 m/s
II) ¿En qué tiempo llega el extremo izquierdo de la cadena al vértice 0?
a) 0,22 s b) 0,42 s c) 0,62 s d) 0,82 s e) 1,02 s
III) Hallar la velocidad de la cadena, en el instante en que su extremo izquierdo pasa por el
vértice y el ángulo de inclinación de los planos es o90 .
a) 2,18 m/s b) 2,38 m/s c) 2,58 m/s d) 2,78 m/s e) 2,98 m/s
IV) ¿En qué tiempo llega el extremo izquierdo de la cadena al vértice 0, si el ángulo de in-
clinación de los planos es o90 ?
a) 0,36 s b) 0,46 s c) 0,56 s d) 0,66 s e) 0,76 s
Página 100 - Análisis Vectorial
V) ¿Qué valor mínimo debe tener "a", para que le cadena al soltarse, inicie su movimien
to, si el coeficiente de fricción entre la superficie y la cadena es =1/2.
a) 1,18 m b) 1,28 m c) 1,38 m d) 1,48 m e) 1,58 m
Fig73 Fig74
597. I) En la Fig75, cuatro esferitas, cada una de masa m=2 kg, están situadas en los vérti
ces de un tetraedro regular de lado a=1,4 m. Hallar la fuerza gravitacional ejercida so
bre una cualquiera de las esferitas por las otras partículas. (G constante gravitacional)
a) 2G b) 3G c) 4G d) 5G e) 6G
II) Tres esferas rígidas uniformes de masas M=3 kg y radio a=0,5 m están ubicadas sobre
una mesa horizontal y están presionadas juntas tal que sus centros están en los vértices
de un triángulo. Una cuarta esfera rígida uniforme de masa "M" y radio "a" está ubica
da sobre las otras tres tal que todas las cuatro esferas están en contacto uno con la otra.
Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre la esfera superior por las otras tres inferio
res.
a) 20G b) 22G c) 24G d) 26G e) 28G
Fig75 Fig76
m
g l
a
m
m
m
m
a
a
a
a
a m
a
a
m
m m
m
m
m
m
g
0
a
Página 101 - Análisis Vectorial
598. I) En la Fig76, ocho partículas de masas "m", están situadas en los vértices de un cu
bo de lado "a". Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre cualquiera de las partículas
por las otras siete partículas.
II) Deducir la fuerza gravitacional ejercida sobre las cuatro partículas ubicadas en cuatro
caras del cubo por las cuatro partículas ubicadas sobre las caras opuestas.
599. I) Una barra uniforme de masa "M" y longitud "2a" está situado a lo largo del eje x en
el intervalo [-a, +a], y una partícula de masa "m" (M=18m) está situada en el punto
x=d. Hallar la fuerza ejercida por la barra sobre la partícula.
a) 3m
2
G/a
2
b) 4m
2
G/a
2
c) 5m
2
G/a
2
d) 6m
2
G/a
2
e) 7m
2
G/a
2
II) Dos barras uniformes de masas "M" y longitudes "2a", están situadas a lo largo de los
intervalos [-a, +a] y [b-a, b+a] del eje x, de modo que, sus centros están separadas por
una distancia "b" (b=4a)). Hallar cuantas veces es la fuerza gravitacional que ejerce u
na barra sobre la otra barra, respecto de M
2
G/a
2
. (G=constante gravitacional)
a) ln( 1/2
3
)
4
b) ln( 1/2
4
)
3
c) ln( 1/4
3
)
4
d) ln( 1/4
4
)
3
e) ln( 1/2
3
)
2
600. Un disco rígido uniforme tiene masa "M" y radio "a", y una barra rígida uniforme
tiene masa "m" y longitud "b". La barra es ubicada a lo largo del eje de simetría verti
cal del disco con un extremo en contacto con el disco. Hallar la fuerza necesaria para
separar la barra del disco. La barras se encuentra sobre el disco.
601. Mostrar que la fuerza gravitacional ejercida sobre una partícula al interior de una esfe
ra hueca simétrica es cero. [Sugerencia: El procedimiento es la misma que la una par
tícula situada fuera de una esfera simétrica, excepto en un detalle.]
602. Un hueco estrecho es perforado alrededor del centro de una esfera uniforme de masa
"M" y radio "a". Hallarla fuerza gravitacional ejercida sobre una partícula de masa
"m" que se encuentra al interior del hueco a una distancia "r" del centro.
603. Una esfera simétrica, de radio "a" y masa "M", tiene su centro a una distancia "b"
(b>a) de un plano infinito que contiene una distribución de masa "" por unidad de á
rea. Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre la esfera.
604. Dos semiesferas rígidas uniformes, cada una de masa "M" y radios "a" están ubicadas
en contacto uno con otra formando una esfera completa. Hallar la fuerza necesaria para
separar las semiesferas.
605. Dos bloques idénticos cada una de masa "M" están conectadas por una cuerda inexten
sible delgada y pueden moverse sobre la superficie de una tabla horizontal rugosa. Los
bloque están siendo jalados a velocidad constante en una línea recta por una cuerda co
nectada a una de ellas. La tensión en la cuerda de remolque es "To".
I) ¿Cuál es la tensión en la cuerda que une los bloques?
Página 102 - Análisis Vectorial
II) La tensión en la cuerda de remolque es súbitamente incrementada a "4To". ¿Cuál es loa
aceleración instantánea de los bloques y cuál es la tensión instantánea en la cuerda que
los conecta?
606. Un cuerpo de masa "M" está suspendida de un punto fijo O mediante una cuerda uni
forme inextensible de masa "m" y longitud "b".
I) Hallar la tensión en la cuerda a una distancia "z" debajo de O.
II) El punto de soporta empieza a elevarse con una aceleración "2g". ¿Ahora, cuál es la
tensión en la cuerda?
607. Dos esferas uniformes cada una de masas m=5 000 kg y radios R=47 cm. Son libera
das desde el reposo con sus centros separadas d=1 m y moviéndose bajo la acción de
sus fuerzas gravitacionales. Mostrar que estas esferas colisionan en menos de 425 s.
[G=6,6710
-11
Nm
2
kg
-2
.]
608. Un bloque está deslizándose hacia abajo sobre la superficie inclinada de una cuña fija.
La fuerza de fricción ejercida sobre el bloque está dada por f=N, donde "N" es la
reacción normal y "" es una constante positiva. Hallar la aceleración del bloque.
¿Como difieren los casos <tg y >tg ?
609. Un avión jet, que inicialmente se mueve a 480 km/h hacia el Este, súbitamente ingresa
a una región donde el viento sopla a 160 km/h en dirección 30,0
o
al noreste. Hallar la
nueva rapidez y dirección del avión respecto al nivel de la tierra.
610. Consideremos los dos vectores A = x̂ +j ŷ y B = x̂ +j ŷ . (Estos son realmente el mismo
vector). Encontramos que AxB =0 y que A B=0. Son los dos vectores paralelo a cada
uno de los otros o perpendicular a cada uno de os otros?
611. Sean a=8+2j y b=-3+j. Calcular (a) a+b, (b) a-b, (c) ab, y (d) a/b. Dar la respuesta en
sus partes real e imaginaria.
612.En el problema anterior, repetir (d), con la respuesta dada en forma de fasor.
613. Hallar la parte real, la parte imaginaria, y la magnitud de e
jt
, donde y t son núme
ros reales.
614. Sea c un número complejo. Indicar si las siguientes declaraciones son siempre verda
deras. (a) (c+c*) es real, (b) (c-c*) es imaginario, (c) c/c* tiene una magnitud 1.
615. Considere la ecuación z
2
=1+j. Hallar dos valores de z que satisfacen esta ecuación.
616.Sea a be un número real, y sea a 1 . Mostrar que la raíz cuadrada de (1+ja) es apro
ximadamente igual a (1 ja / 2).
617. Sa a be un número real positivo, y sea a>>1. Mostrar que la raíz cuadrada de (1+ja) es
aproximadamente a
1/2(1 j)(a / 2) .
Página 103 - Análisis Vectorial
618.Obtener la notación fasorial de las siguientes funciones armónicas en el tiempo. (a)
V(t)=6cos(t+/4), (b) I(t)=-8sen( t), (c) 6cos(120t-/2), (e) D(t)=1-cos(t), (f)
U(t)=sen(t+/3)sen(t+/6).
619. Obtener C/t) en términos de de los siguientes fasores: (a) C=1+j, (b) C=4exp(j0,8), y
(c) C=3exp(j/2)+4exp(j0,8).
620. Mostrar que, si V=r+jx y U=g+jy, entonces V(t)U(t)Re{VUejwt]. Hallar la expresión
correcta para V(t)U(t) en términos de r, x, g, y, y .
621.Sea ˆ ˆ ˆA 8x 9y z y ˆ ˆ ˆB 2x 4y 3z . hallar (a) A B , (b) A B , (c) A B , y (d)
AxB .
622. Hallar el ángulo entre A y B dado en el problema anterior.
623. Mostrar que para V(t)=Vocos(t+)-Re{Ve
jt
}, V(t)/tjV.
624. Hallar un vector C que sea perpendicular a ˆ ˆ ˆA 8x 9y z , que no tenga componen
te en ẑ , y su magnitud sea igual a 1.
625. Hallar el vector C que sea paralelo a ˆ ˆ ˆa 5x 8y 2z , y tenga una magnitud igual a 1.
626.Hallar un vector unitario n̂ que apunte en la misma dirección que un vector trazado
desde A hasta B donde las coordenadas rectangulares de A y B son: A(1,0,2) y B(-1,3-
2), respectivamente.
627. Mostrar que las dos definiciones del producto escalar V U dadas en la teoría son equi
valentes. Para simplificar el algebra, Ud. podría escoger las coordenadas, tal que, el eje
x este a lo largo de V y el eje z sea perpendicular a ambos a V y U . En otras pala
bras, sea ˆV ax y ˆ ˆU bx cy .
628.Probar la ecuación A (B C) A B A C . usando la aproximación sugerida en el
texto de teoría.
629.Hallar la notación fasorial de los siguientes vectores armónicos en el tiempo. (a) V (t)=
3cos(t) x̂ +4sen(t) ŷ +cos(t+/2) ẑ , (b) E (t)=[3cos(t)+4sen(t)] x̂ +8[cos(t)-
sen(t)] ẑ , (c) H (t)=0,5cos(kz-t) x̂ .
630. De los siguientes vectores complejos, hallar C (t) en términos de t: (a) C = x̂ -j ŷ , (b)
C =j( ˆ ˆx jy ), y (c) C =exp(-jkz) x̂ +yexp(jkz) ŷ .
631. Sea ˆ ˆ ˆA x jy (1 j2)z , y sea ˆ ˆ ˆB x (1 j2)y jz . Hallar (a) A B , (b) A B ,
(c) A B , y (d) A x B .
Página 104 - Análisis Vectorial
632. Hallar A A* y Re{ AxB*} para los valores de A y B , dados en el problema anterior.
633. Dibujar el trazo de la punta del vector A(t) , donde (a) ˆ ˆA x jy y donde (b) A
ˆ ˆ4x j3y .
634. Calcular A B , dado ˆ ˆA x j2y y ˆ ˆB 2x jy . Son A(t) y B(t) perpendicular en to
do caso.
635.Dado el campo vectorial, 3ˆ ˆ ˆA 5x 6yz y x z , hallar (a) x A , (b) xA .
636.Dado el campo escalar =xyz u ; hallar (a) , (b) .
637.Sean: 1 2 3ˆ ˆ ˆa a x a y a z , y 1 2 3ˆ ˆ ˆa b x b y b z . Demostrar las identidades vectoriales
(a) x(xa )=( a )-
2
a , (b) (axb) =b xa -a xb .
638.Demostrar las identidades vectoriales, (a) x(a b )= xa + xb , y (b) (a b )=
a +b .
639. Demostrar las identidades vectoriales (a) (12)=12+21, (b) (A )=
+ A A .
640.Demostrar que si ê es el vector unitario de la dirección del vector E , entonces, se
cumple la relación:
2
ˆ ˆexde ExdE / E .
641.Hallar la trayectoria del movimiento para el cual el radio vector r (t) del punto que se
mueve satisface la condición d r /dt=a x r , donde a es un vector constante. La derivada
d r /dt de la función vectorial r (t) del argumento escalar, es la función vectorial del
mismo argumento. Si existe derivada de d r /dt, ella se llama derivada de segundo or
den y se indica d
2
r /dt
2
.
642.Demostrar que si r =a e
t
+ b e
-t
, donde a y b son los vectores constantes, entonces
d
2
r /dt
2
-
2
r =0.
643.Hallar el radio de curvatura de las líneas dadas (a) r =ln cos t i +ln sen t ĵ+ 2t k̂ , (b)
r = t
2
i +2t
3
ĵ , (c) r =3t
2
i +(3t-t
3
) ĵ+2 k̂ , para t=1.
644.Hallar la derivada del campo escalar u=xyz en el punto Po(1,-1,1) en dirección del pun
to Po hacia el punto P1(2,3,1).
a) 0,43 b) 0,53 c) 0,63 d) 0,73 e) 0,83
645. Hallar la derivada del campo escalar u=arctg(xy) en el punto Po(1,1) que pertenece a
la parabóla y=x
2
respecto a la dirección de esta curva (en dirección del incremento de
la abscisa).
Página 105 - Análisis Vectorial
a) 0,27 b) 0,37 c) 0,47 d) 0,57 e) 0,67
646. Hallar la derivada del campo escalar u=xz
2
+2yz en elpunto Po(1,0,2) a lo largo de la
circunferencia: x=1+cos(t), y=sen(t)-1, z=2.
a) -3 b) +3 c) -4 d) +4 e) -5
647.Hallar la derivada del campo escalar u=(x
2
+y
2
+z
2
)
1/2
en el punto Po(1,1,1) en dirección
del punto Po hacia el punto P1(3,2,1).
a) 0,57 b) 0,67 c) 0,77 d) 0,87 e) 0,97
648.Hallar la derivada del campo escalar u=x
2
y+xz
2
-2 en el punto Po(1,1,-1) en dirección
del punto Po hacia el punto P1(2,-1,3).
a) -1,33 b) -1,33 c) -1,53 d) 1,53 e) -1,73
649.Hallar la derivada del campo escalar u=xe
y
+ye
x
-z
2
en el punto Po(3,0,2) en dirección
del punto Po hacia el punto P1(4,1,3).
a) 10,6 b) 11,6 c) 12,6 d) 13,6 e) 14,6
650.Hallar la derivada del campo escalar u=(x/y)-(y/x) en el punto Po(1,1) en dirección del
punto Po hacia el punto P1(4,5).
a) -2/3 b) 2/3 c) -3/4 d) 3/4 e) -2/5
651.Hallar la derivada del campo escalar u=ln(x2+y2) en el punto Po(1,2) de la parabóla
y
2
=4x en dirección de esta curva.
a) 0,55 b) 0,65 c) 0,75 d) 0,85 e) 0,95
652.Hallar la derivada del campo escalar u=arctg(y/x) en el punto Po(2,-2) de la circunfe
rencia x
2
+y
2
-4x=0 a lo largo de esta circunferencia.
a) 1/2 b) 3/2 c) 2/3 d) 3/4 e) 1/4
653.Hallar la derivada del campo escalar u=x
2
+y
2
en el punto Po(xo,yo) de la circunferencia
x
2
+y
2
=R
2
, respecto a la dirección de esta circunferencia.
a) 0 b) xo c) yo d) xo+yo e) xo-yo
654.Hallar la derivada del campo escalar u=2xy+y
2
en el punto Po( 2 ,1) de la elipse
x
2
/4+y
2
/2=1 respecto a la dirección de una normal exterior a la elipse en este punto.
a) 3,1 b) 4,1 c) 5,1 d) 6,1 e) 7,1
655.Hallar la derivada del campo escalar u=x
2
-y
2
en el punto Po(5,4) de la hipérbola x
2
-
y
2
=9, respecto a la dirección de esta curva.
Página 106 - Análisis Vectorial
a) 0 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 4/5
656.Hallar la derivada del campo escalar u=ln(xy+yz+xz) en el punto Po(0,1,1) respecto a
la dirección de la circunferencia x=cos t, y=sen t, z=1.
a) -1 b) +1 c) -2 d) +2 e) -3
657.Hallar la derivada del campo escalar u=x
2
+y
2
+z
2
en el punto Po que corresponde al va
lor del parámetro t=/2 respecto a la dirección de la línea helicoidal x=R cos t, y=R
sen t, z=at.
a) 0,43 b) 0,53 c) 0,63 d) 0,73 e) 0,83
658.Expresar la ecuación del plano osculador en el punto t=2 de la curva r =t i -t ĵ+(1/2)t
2
k̂
a) x-y=0 b) x+y=0 c) 2x-y=0 d) 2x+y=0 e) x-2y=0
659.Expresar la ecuación del plano osculador en el punto t=0 de la curva, dada por: r =
e
t
i +e
-t
ĵ+ 2 t k̂ .
a) x+y+ 2 z=0 b) x-y+ 2 z=0 c) x-y- 2 z=0 d) y+ 2 z=0 e) x+ 2 z=0
660.Hallar la torsión en un punto cualquiera t de la curva: r =a ch(t) i +a sh(t) ĵ+at k̂ para
a=2, y t=0,4.
a) 0,11 b) 0,21 c) 0,31 d) 0,41 e) 0,51
661.Hallar el radio de curvatura de la curva: r =a ch(t) i +a sh(t) ĵ+at k̂ , para a=2, y t=0,4.
a) 4,07 b) 4,27 c) 4,47 d) 4,67 e) 4,87
662.Hallar la magnitud del gradiente del campo escalar u=x-2y+3z, en el punto Po(1,1,1).
a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94
663.Hallar la curvatura máxima (velocidad) del incremento de la superficie u=xy en el
punto Po(2,2,4).
a) 4,07 b) 4,27 c) 4,47 d) 4,67 e) 4,87
664.Hallar el ángulo "" entre los gradientes de las funciones escalares u=(x
3
++y
3
)
1/2
, y
v=x+y+2 xy , evaluado en el punto Po(1,1).
a) 0
o
b) 30
o
c) 45
o
d) 37
o
e) 60
o
665.Hallar la derivada respecto a la dirección del radio vector r para la función escalar
u=sen r, donde r r .
Página 107 - Análisis Vectorial
a) sen r b) cos r c) sen r+cos r d) tg r e) sec r
666.Hallar el gradiente del campo escalar u=ln(x2+y2+z2) evaluado en el punto Po(1,1,-1).
a)
2
3
( i + ĵ+ k̂ ) b)
2
3
( i - ĵ+ k̂ ) c)
2
3
( i + ĵ- k̂ ) d)
2
3
(- i + ĵ+ k̂ ) e)
2
3
( i + k̂ )
667. Hallar el gradiente del campo escalar u=z
2 2 2x y ze evaluado en el punto Po(0,0,0).
a) i b) ĵ c) k̂ d) î e) ˆ ˆi j
668.Hallar el ángulo entre los gradientes de la función u=arctg(x/y) en los puntos P1(1,1),
y P2(-1,-1).
a) 0 b) /2 c) /3 d) e) /6
669.Hallar el ángulo entre los gradientes de la función u=(x+y)e
x+y
en los puntos P1(0,0),
y P2(1,1).
a) 0 b) /2 c) /3 d) e) /6
670.Hallar el ángulo entre los gradientes de las funciones u=(x
2
+y
2
+z
2
)
1/2
y v=
ln(x2+y2+z2) en el punto P1(0,0,1).
a) 0 b) /2 c) /3 d) e) /6
671.Hallar los puntos, en los cuales el gradiente del campo escalar u=sen(x+y) es igual a
i + ĵ .
a) y=x+2n b) y=-x+2n c) y=x+n d) y=-x+n e) y=x+n/2
672.Hallar los puntos, en los cuales el módulo del gradientes del campo escalar u=
(x
2
+y
2
+z
2
)
1/2
es igual a la unidad.
a) x+y+z=1 b) x
2
+y
2
+z
2
=1 c) x-y+z=1 d) x+y-z=1 e) y=x+y
673.Hallar la derivada de la función u=(x/a)
2
+(y/b)
2
+(z/c)
2
en un punto arbitrario P(x,y,z)
en dirección del radio vector r de este punto.
a) u/r b) 2u/r c) 3u/r d) u/r
2
e) 2u/r
2
674. Hallar la derivada de la función u=1/r, donde r= r , en dirección del vector s =
cos i +cos ĵ+cos k̂ . ¿Para qué condición esta derivada es igual a cero?
a) cos( r s )/r
2
; para r s b) cos( r s )/r
2
; para r s c) -cos( r s )/r
2
; para r s
d) -cos( r s )/r
2
; para r s e) cos( r s )/r; para r s
675.Hallar la derivada de la función u=1/r, donde r= r en dicrección de su gradiente eva-
Página 108 - Análisis Vectorial
luado en el punto P(0,1; 0,2; 0,3)
a) 7,1 b) 7,3 c) 7,5 d) 7,7 e) 7,9
676.Hallar la derivada de la función escalar u=yze
x
en el punto P1(0,0,1), por la dirección
de su gradiente.
a) 1,0 b) 1,2 c) 1,4 d) 1,6 e) 1,8
677.Hallar la dirección y la magnitud de la máxima variación de campos escalar
u=x
2
y+y
2
z+z
2
x, en el punto P1(1,0,0).
a) 1 ( i ) b) 1 ( ĵ) c) 1 ( k̂ ) d) 2 ( i ) e) 2 ( ĵ)
678.Hallar la dirección y la magnitud de la máxima variación de campos escalar u=xyz, en
el punto P1(2,1,-1).
a) 1 (a ) b) 2 (a ) c) 3 (a ) d) 4 (a ) e) 5 (a )
donde a =- i -2 ĵ+2 k̂ .
679.Hallar la línea vectorial del campo a =-y i +x ĵ+b k̂ que pasa por el punto (1,0,0).
a) x=ytg(z/b) b) y=xtg(z/b) c) x=ysen(z/b) d) y=xcos(z/b) e) x=y+bz
680.Hallar la línea vectorial del campo a =x
2
i -y
3
ĵ+z
2
k̂ que pasa por el punto (1/2,-1/2,1).
a) 1/x+1/z=1, 1/x-1/2y
2
=4 b) 1/x+1/z=1, 1/x+1/2y
2
=4 c) 1/x-1/z=1, 1/x+1/2y
2
=4
d) 1/x+1/z=2, 1/x-1/2y
2
=1 e) 1/x-1/z=1, 1/x+1/2y
2
=4
681.Hallar el flujo del campo vectorial a = r de r es el radio vector a través del cilindro
circular recto de altura h=0,6, radio de base R=0,8, y con eje situado en el eje oZ.
a) 3,02 b) 3,22 c) 3,42 d) 3,62 e) 3,82
682. Hallar el flujo del campo vectorial a = r /
3
r a través de la esfera de radio R=0,65
con el centro en el origen de coordenadas O.
a) 5,11 b) 5,31 c) 5,51 d) 5,71 e) 5,91
683.Hallar el flujo del campo vectorial a =3 ĵ a través del área de la superficie que tiene la
forma del triángulo con los vértices en los puntos P1(1,2,0), P2(0,2,0), P3(0,2,2), en di
rección donde se encuentra el origen de coordenadas.
a) -1 b) +1 c) -2 d) +2 e) -3
684. Hallar el flujo del campo vectorial a = i + ĵ+k̂ , donde , , son constantes a tra
Página 109 - Análisis Vectorial
vés del área de la superficie perpendicular al eje oZ y que tiene la forma del círculo de
radio "R" en dirección positiva del eje oZ.
a) R
2
b) R
2
c) R
2
d) 2R
2
e) 2R
2
685.Hallar el flujo del vector a r a través de la superficie exterior del cono circular, el
vértice del cual está en el origen de coordenadas, el radio de la base es 0,84 y la altura
0,46 (el eje del cono está en el eje oZ.)
a) 1,02 b) 1,22 c) 1,42 d) 1,62 e) 1,82
686.Hallar el flujo del campo vectorial a =f( r ) r a través de la esfera de radio R=0,64 con
centro en el origen de coordenadas.
a) 3,09f(r) b) 3,29f(r) c) 3,49f(r) d) 3,69f(r) e) 3,89f(r)
687.Demostrar que el flujo del rotor (rotacional) a través de la superficie no cerrada que es
tá tendida sobre el contorno dado no depende de la forma de la superficie.
688.Hallar la circulación del campo vectorial a =z i +x ĵ+y k̂ directamente por el contorno
L: x
2
+y
2
=4, z=0, en dirección correspondiente al recorrido, en sentido antihorario, de
la proyección L en el plano xOy, y luego por el teorema de Stokes.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
689.Hallar la circulación del campo vectorial a =y i -x ĵ+z k̂ directamente por el contorno
L: x
2
+y
2
+z
2
=4, x
2
+y
2
=z
2
=0, z0, en dirección correspondiente al recorrido, en sentido
antihorario, de la proyección L en el plano xOy, y luego por el teorema de Stokes.
a) -2 b) +2 c) -3 d) +3 e) -4
690.Hallar la circulación del campo vectorial a =2xz i -y ĵ+z k̂ directamente por el contorno
formado mediante la intersección del plano x+y+2z=2 con los planos de coordenadas.
a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 3/4 e) 4/3
691.Hallar la circulación del campo vectorial a =-y
3
i +x
3
ĵ a lo largo de la elipse de ecua
ción L: (x/a)
2
+(y/b)
2
=1, con a=0,8, b=0,7 en dirección contraria a las agujas del reloj.
a) 1,09 b) 1,29 c) 1,49 d) 1,69 e) 1,89
692.En la Fig77, hallar la circulación del campo vectorial a =ye
xy
i +xe
xy
ĵ+xyz k̂ a lo largo
de la línea L obtenida por la intersección del cono x
2
+y
2
=(z-1)
2
con los planos de
coordenadas en la dirección indicada.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
693.En la Fig78, hallar el flujo del campo vectorial a =y
2
ĵ+z k̂ a través del segmento de la
Página 110 - Análisis Vectorial
superficie z=x +y , cortado por el plano z=2. Se toma la normal exterior respecto al es
pacio limitado por el paraboloide.
a) - b) + c) -2 d) +2 e) -3
Fig77 Fig78
694.Hallar el flujo del campo vectorial a =y i +z ĵ+x k̂ a través del lado superior del triángu
lo limitado por los planos x+y+z=a, x=0, y=0, z=0.
a) a
3
b) a
3
/2 c) 2a
3
/3 d) a
2
e) 3a
2
/2
695.Hallar el flujo del campo vectorial a =xz i a través de la superficie exterior del para
boloide z=1-x
2
-y
2
limitado por el plano z=0 (z0).
a) b) 2 c) /2 d) /4 e) /6
696.Hallar el flujo del campo vectorial a =x i +z k̂ a través de la superficie lateral del cilin
dro circular y=(R
2
-x
2
)
1/2
limitada por los planos z=0, z=h (h>0). (R=0,8, h=0,6)
a) -0,2 b) +0,2 c) -0,4 d) +0,4 e) -0,6
697.Hallar el flujo del campo vectorial a =x i +y ĵ+z k̂ a través de la parte superior del cír
culo que corta el cono z=(x
2
+y
2
)
1/2
en el plano z=h (h>0). (h=0,85)
a) 1,13 b) 1,33 c) 1,53 d) 1,73 e) 1,93
698.Hallar el flujo del campo vectorial a =3x i -y ĵ-z k̂ a través de la superficie exterior del
paraboloide x
2
+y
2
=9-z, que se encuentra en el primer octante.
a) -31,8 b) +31,8 c) -33,8 d) +33,8 e) -35,8
699.Hallar el flujo del campo vectorial a =(x
2
+y
2
) i +(y
2
+z
2
) ĵ+(z
2
+x
2
) k̂ a través de un seg
mento del plano z=0 limitado por la circunferencia x
2
+y
2
=1 en dirección de k̂ .
a) /2 b) /3 c) /4 d) 2/3 e) 2/4
C
z
B O
x
y
A
C
z
O
x
y
A
z=2
z=0
Página 111 - Análisis Vectorial
FUERZA ELÉCTRICA
"La fuerza eléctrica, ese misterio invisible que surge de la interacción entre las
cargas eléctricas. En este capítulo de ejercicios, nos adentraremos en el
apasionante mundo de la fuerza eléctrica y su aplicación práctica. A través de una
variedad de situaciones y configuraciones, pondremos a prueba nuestros
conocimientos y habilidades para calcular y analizar la fuerza eléctrica en diversos
escenarios. Recordando las palabras de Coulomb, quien afirmó que 'la ley de la
fuerza eléctrica es la ley fundamental del universo', descubriremos los secretos
detrás de esta poderosa fuerza y cómo influye en nuestro entorno. ¡Prepárate para
desafiar tu mente y explorar el poder de la fuerza eléctrica en estos ejercicios
emocionantes!"
Página 112 - Fuerza Eléctrica
Robótica y Cibernética
195
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Dos esferas del mismo tamaño de cargas Q1=+110
-7
C y Q2=-310
-7
C, se ponen en con
tacto y se separan. ¿Cuál es la carga que adquiere cada una de las esferas? (n=10
-9
)
a) +100 nC b) -100 nC c) +200 nC d) -200 nC e) +300 nC
02. ¿Cuántos electrones es necesario quitar de una bola de boliche, que al principio es neutra,
para suministrarle una carga eléctrica positiva de Q=1 C. (e=-1,6.10
-19
C, =10
-6
)
a) 3,2510
12
se
b) 4,2510
12
se
c) 5,2510
12
se
d) 6,2510
12
se
e) 7,2510
12
se
03. Se tiene una moneda de cobre de 4 g. El número atómico del cobre es Z=29 y su masa ató
mica es M=63,5 g/mol. Hallar el valor de la carga total negativa de la moneda. (NA=
6,0210
23
átomos/mol, e=-1,610
-19
C, k=10
3
)
a) 175 kC b) 200 kC c) 225 kC d) 250 kC e) 275 kC
04. Un grano de polvo metálico esta constituido de 200 protones y 100 electrones. Hallar la
carga eléctrica neta del grano de polvo. (e=-1,610
-19
C)
a) 1,610
-17
C b) 2,610
-17
C c) 3,610
-17
C d) 4,610
-17
C e) 5,610
-17
C
05. Una carga igual a la de un número de Avogadro (NA=6,0210
23
) de protones se llama fara
day. Hallar el número de culombios que existe en un faraday. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, e=
1,610
-19
C, k=10
3
)
a) 90,3 kC b) 92,3 kC c) 94,3 kC d) 96,3 kC e) 98,3 kC
06. ¿Cuántos culombios de carga positiva existen en 1 kg de carbono? Doce gramos de carbo
no contienen el número de Avogadro de átomos y cada átomo posee seis protones y seis e
lectrones. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, NA=6,0210
23
átomos/mol, e=-1,610
-19
C, M=10
6
)
a) 40,2 MC b) 42,2 MC c) 44,2 MC d) 46,2 MC e) 48,2 MC
07. I) Calcule el número de electrones que hay en un pequeño alfiler de plata, eléctricamente
neutro, de masa m=10 g. La plata tiene 47 electrones por átomo, y su masa molar es de
107,87 g/mol.
a) 2,0210
24
b) 2,2210
24
c) 2,4210
24
d) 2,6210
24
e) 2,8210
24
II) Se añaden electrones al alfiler hasta que la carga negativa neta sea de q=1 mC. ¿Cuántos
electrones se añaden por cada 10
9
electrones ya presentes?
a) 2,18 b) 2,38 c) 2,58 d) 2,78 e) 2,98
Página 113 - Fuerza Eléctrica
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Fuerza eléctrica
196
08. Supóngase que durante una tormenta, la descarga de corona de un pararrayos disipa al
aire que le rodea 1,010
-4
C de carga positiva por segundo. Si esa descarga procede en for
ma más o menos continua durante una hora. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, e=-1,610
-19
C)
I) ¿Cuánta carga eléctrica sale del pararrayos, en cada hora?
a) 0,30C/h b) 0,32 C/h c) 0,34 C/h d) 0,36 C/h e) 0,38 C/h
II) Cuántos electrones pasan al pararrayos desde el aire que lo rodea?
a) 1,310
18
se
b) 2,310
18
se
c) 3,310
18
se
d) 4,310
18
se
e) 5,310
18
se
09. En la reacción siguiente: Ni
2+
+ 4H2O Ni
2
4O
+ 8H
+
+ se
, ¿Cuántos electrones se libe
ran?
a) 1 se
b) 2 se
c) 3 se
d) 4 se
e) 5 se
10. Con frecuencia los iones de litio se disuelven electrolitos. Las reacciones en una batería re
cargable de litio cobalto (Li-Co) se pueden representar por: Li Li
+
+ 1 se
en la placa de
litio, productora de electrones, y Co
4+
+ N se
Co
3+
en la placa que absorbe electrones,
hecha a base de cobalto. Utilice un balance de cargas para determinar la cantidad "N" de
electrones absorbidos por átomos de cobalto, durante la reacción.
a) 1 se
b) 2 se
c) 3 se
d) 4 se
e) 5 se
11. Un cascarón esférico tiene carga neta sólo en sus superficies interior y exterior. La carga
total, de todo el cascarón, es Qtotal=-10 nC. La carga en la superficie interior es Qinterior=
+20 nC. ¿Qué carga hay en la superficie externa del cascarón?
a) +20 nC b) -20 nC c) +30 nC d) -30 nC e) +40 nC
12. Se puede platear un objeto metálico, como una cuchara, sumergiéndolo con una barra de
plata (Ag) en una solución de nitrato de plata (AgNO3). Si a continuación se conectan la
cuchara y la barra de plata a un generador eléctrico, y se hace pasar una corriente de una a
otra, en las superficies sumergidas se efectuarán las reacciones siguientes:
Ag
+
+ se
Agmetal y Agmetal Ag
+
+ se
Por la primera reacción se deposita plata sobre la cuchara, y por la segunda reacción se sa
ca plata de la barra de plata. ¿Cuántos electrones deben hacerse pasar, de la barra de plata
a la cuchara de plata, para depositar 1,0 g de plata sobre la cuchara?
a) 1,610
21
se
b) 2,610
21
se
c) 3,610
21
se
d) 4,610
21
se
e) 5,610
21
se
13. ¿Cuántos electrones existen en un clip sujeta papel de hierro, de masa m=0,3 g?. Cada áto
mo de hierro contribuye con 26 electrones. (M=55,8 g/mol, NA=6,02210
23
átomos/mol)
a) 7,610
22
b) 8,010
22
c) 8,410
22
d) 8,810
22
e) 9,210
22
Página 114 - Fuerza Eléctrica
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Robótica y Cibernética
197
14. Supóngase que se quitan todos los electrones de una moneda de cobre, cuya masa es 2,7
g, y que son colocadas a una distancia de 2 m de los núcleos de cobre que quedan. ¿Cuál
es la magnitud de la fuerza de atracción eléctrica sobre los electrones? En cada átomo de
cobre hay 29 electrones. (M=63,5 g/mol, NA=6,02210
23
átomos/mol)
a) 2,810
19
N b) 3,210
19
N c) 3,610
19
N d) 4,010
19
N e) 4,410
19
N
15. I) ¿Cuántos electrones y protones existen en un organismo humano de masa m=73 kg. La
composición aproximada del cuerpo humano es 70 % de oxigeno, 20 % de carbono y 10
% de hidrógeno, masas moleculares 16 g/mol, 12 g/mol, 1,01 g/mol, número de Avogadro
NA=6,02210
23
átomos/mol, carga electrón e=-1,610
-19
C.
a) 1,4110
28
b) 2,4110
28
c) 3,4110
28
d) 4,4110
28
e) 5,4110
28
II) Hallar el valor de la carga negativa y positiva que existe en un organismo humano de ma
sa m=73 kg. (G=10
9
)
a) 1,86 GC b) 2,86 GC c) 3,86 GC d) 4,86 GC e) 5,86 GC
16. Se pueden disolver 36 g de cloruro de sodio (sal de mesa) en 100 g de agua. ¿Qué factor
interviene en que haya mayor cantidad de electrones (o de protones) en la solución, que la
hay en el agua simple?
a) 1,1 b) 1,3 c) 1,5 d) 1,7 e) 1,9
17. En un lugar directamente debajo de una nube de tormenta, la carga eléctrica inducida so
bre la superficie de la Tierra es +110
-7
C/m
2
de superficie. (e=-1,610
-19
C)
I) ¿Cuántos iones con carga positiva simple y por metro cuadrado representa lo anterior? La
cantidad característica de átomos sobre la superficie de un sólido es 210
19
por metro cua
drado
a) 2,310
11
b) 3,310
11
c) 4,310
11
d) 5,310
11
e) 6,310
11
II) ¿Qué fracción de esos átomos debe ionizarse para producirse la carga eléctrica menciona
da?
a) 1,210
-8
b) 3,210
-8
c) 5,210
-8
d) 7,210
-8
e) 9,210
-8
18. A una esfera pequeña de plomo de masa m=8 g se suministran electrones, de modo que su
carga neta es de Q=-3,2010
-9
C. El número atómico del plomo es z=82 y su masa atómica
es de M=207 g/mol. (e=-1,60210
-19
C, NA=6,02310
23
átomos/mol). Hallar:
I) El número de electrones excedentes en la esfera.
a) 110
10
Se
b) 210
10
Se
c) 310
10
Se
d) 410
10
Se
e) 510
10
Se
II) ¿Cuántos electrones excedentes hay por átomo de plomo?
a) 1,5810
-13
b) 2,5810
-13
c) 4,5810
-13
d) 6,5810
-13
e) 8,5810
-13
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Fuerza eléctrica
198
19. Los relámpagos ocurren cuando hay un flujo de carga eléctrica entre el suelo y los cumulo
nimbos (nubes de tormenta). La tasa máxima de flujo de carga en un relámpago es de alre
dedor de 20000 C/s. esto dura 100 s o menos. ¿Cuánta carga fluye entre el suelo y la nu
be en este tiempo? (=10
-6
)
a) 1 C b) 2 C c) 3 C d) 4 C e) 5 C
20. Se tiene un anillo delgado de oro de masa m=17,7 g, masa atómica M=197 g/mol y nú
mero atómico de z=79. El anillo esta descargado. (e=-1,60210
-19
C, NA=6,02310
23
áto
mos/mol)
I) ¿Cuántos protones hay en el anillo?
a) 1,2710
24
b) 2,2710
24
c) 3,2710
24
d) 4,2710
24
e) 5,2710
24
II) ¿Cuál es la carga positiva del anillo?
a) 185 kC b) 2,28 kC c) 4,85 kC d) 685 kC e) 885 kC
III) Si el anillo no tiene carga neta, ¿Cuántos electrones hay en el anillo?
a) -185 kC b) -2,28 kC c) -4,85 kC d) -685 kC e) -885 kC
21. Se tiene un vaso cilíndrico de radio R=4 cm, altura h=10 cm, lleno con agua de densidad
=1 g/cm
3
. (M=10
6
, e=-1,60210
-19
C, NA=6,02310
23
átomos/mol)
I) Hallar la carga positiva contenida en el vaso con agua.
a) 16,9 MC b) 26,9 MC c) 36,9 MC d) 46,9 MC e) 56,9 MC
II) Hallar la carga negativa contenida en el vaso con agua.
a) -16,9 MC b) -26,9 MC c) -36,9 MC d) -46,9 MC e) -56,9 MC
III) Hallar el número de electrones contenidos en el vaso con agua.
a) 1,6810
26
b) 2,6810
26
c) 3,6810
26
d) 4,6810
26
e) 5,6810
26
22. Los protones de los rayos cósmicos llegan a la atmósfera superior de la Tierra a razón de
I=0,15 protones/cm
2
.s, promediando toda la superficie. ¿Qué cantidad total de corriente re
cibe la Tierra desde la atmósfera en forma de protones de radiación cósmica incidente? El
radio medio de la Tierra es de R=6,3710
6
m, e=1,60210
-19
C)
a) 103 mA b) 123 mA c) 143 mA d) 163 mA e) 183 mA
23. Se tienen tres cilindros de plástico sólidos de radios R=2,50 cm y longitud l=6 cm, el pri
mero con densidad de carga superficial uniforme de 1=20 nC/m
2
en sus bases, el segun
do con densidad de carga superficial uniforme de 2=15 nC/m
2
en su superficie lateral cur
va, y el tercero con densidad de carga volumétrica de 3=500 nC/m
3
en su volumen. Ha
llar la relación correcta para las cargas de cada uno de los cilindros.
a) Q1<Q2<Q3 b) Q3<Q1<Q2 c) Q1<Q3<Q2 d) Q3<Q2<Q1 e) Q2<Q1<Q3
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Robótica y Cibernética
199
24. Se tiene una varilla delgada de longitud l=60 cm, y densidad de carga lineal no uniforme,
dada por: =o(x/l)
2
, donde o" " es una constante, y "x" se mide a partir del extremo iz
quierdo de la varilla. Hallar la carga total de la varilla.
a) 0,1o b) 0,2o c) 0,3od) 0,4o e) 0,5o
25. Se tiene un disco muy delgado de radio R=20 cm con densidad de carga superficial no uni
forme, dada por: =o(r/R)
2
sen
4
, siendo o" " una constante y " " el ángulo polar. Ha
llar la carga total del disco.
a) 0,013o b) 0,023o c) 0,033o d) 0,043o e) 0,053o
26. Se tiene una esfera compacta de radio "R", y densidad de carga volumétrica no uniforme,
dada por: =o para 0rR/2 y =2o para R/2 r R, siendo o" " una constante. Hallar
la densidad media de carga volumétrica de la esfera.
a) 1,575o b) 1,675o c) 1,775o d) 1,875o e) 1,975o
27. La densidad de carga volumétrica no uniforme de una esfera compacta de radio R=10 cm,
viene dado por: =o(r/R)
3
, siendo o" " una constante. Hallar la carga total de la esfera.
a) 1,0910
-3
o b) 2,0910
-3
o c) 3,0910
-3
o d) 4,0910
-3
o e) 5,0910
-3
o
28. Se tiene una esfera metálica compacta de radio R=20 cm, y carga eléctrica de Q=8 nC.
Hallar la densidad de carga de esta esfera. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
a) 15,1 nC/m
2
b) 15,3 nC/m
2
c) 15,5 nC/m
2
d) 15,7 nC/m
2
e) 15,9 nC/m
2
29. Se tiene una esfera compacta de plástico de radio R=20 cm, y densidad de carga volumé
trica no uniforme, dada por: = or
2
cos
2
, siendo o=9 nC/m
3
una constante. Hallar la car
ga total de la esfera. (p=10
-12
)
a) 2,14 pC b) 2,34 pC c) 2,54 pC d) 2,74 pC e) 2,94 pC
30. Se tiene una lámina muy delgada de densidad de carga superficial de carga no uniforme
dada por: =ox
2
y
2
/a
2
b
2
, para –a x +a y –b y +b, siendo o=9 nC/m
2
una constan
te. Hallar la carga total de la lámina. (a=10 cm, b=5 cm, p=10
-12
, n=10
-9
)
a) 10 pC b) 15 pC c) 20 pC d) 25 pC e) 30 pC
31. Una anillo muy delgado de cobre de radio R=20 cm, densidad de carga lineal o" " , coefi
ciente de dilatación lineal o=16,810
-6
o
C
-1
se calienta en T=50
o
C. Hallar el cambio por
centual que experimenta la densidad lineal de carga, asumiendo que la carga eléctrica se
conserva.
a) 0,014 % b) 0,024 % c) 0,044 % d) 0,064 % e) 0,084 %
32. El peso medio de un ser humano es de alrededor de W=650 N. Si dos personas comunes
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Fuerza eléctrica
200
tienen, cada una, una carga excedente de 1,0 C, una positiva y la otra negativa, ¿Qué tan
lejos tendrían que estar para que la atracción eléctrica entre ellas fuera igual a su peso de
W=650 N (k=910
9
Nm
2
/C
2
)?
a) 3,32 km b) 3,42 km c) 3,52 km d) 3,62 km e) 3,72 km
33. Dos esferas pequeñas separadas por una distancia de d=20 cm tienen cargas iguales,
¿Cuántos electrones excedentes debe haber en cada esfera, si la magnitud de la fuerza de
repulsión entre ellas es de F=4,5710
-21
N ? (e=-1,60210
-19
C, NA=6,02310
23
átomos/mol,
k= 910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 859 Se
b) 869 Se
c) 879 Se
d) 889 Se
e) 899 Se
34. La magnitud de la fuerza eléctricas entre dos esferas de plástico cargadas positivamente,
separadas por una distancia de d=15 cm es de F=0,22 N. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) ¿Cuál es la carga de cada esfera, si las dos cargas son iguales?
a) 0,54 C b) 0,64 C c) 0,74 C d) 0,84 C e) 0,94 C
II) ¿Cuál es la menor carga de las esferas, si una esfera tiene cuatro veces la carga de la otra
esfera?
a) 1,55 C b) 1,65 C c) 1,75 C d) 1,85 C e) 1,95 C
35. Se tienen dos esferas pequeñas de aluminio de masas m=25 g, separadas por una distancia
de d=80 cm. La masa atómica del aluminio es M=26,982 g/mol, y su número atómico es
z=13. (e=-1,60210
-19
C, NA=6,02310
23
g/mol, k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) ¿Cuántos electrones contiene cada esfera?
a) 1,2510
24
b) 3,2510
24
c) 5,2510
24
d) 7,2510
24
e) 9,2510
24
II) ¿Cuántos electrones tendrían que retirarse de una esfera y agregarse a la otra, para que la
magnitud de la fuerza de atracción entre ellas sea de F=10
4
N. (P=10
15
)?
a) 1,26 P Se
b) 2,26 P Se
c) 3,26 P Se
d) 4,26 P Se
e) 5,26 P Se
36. Dos esferas muy pequeñas de masas m=8,55 g, separadas por una distancia de d=15 cm,
se cargan con igual cantidad de electrones. ¿Cuántos electrones habría que agregar a cada
una de las esferas, para que adquieran una aceleración de a=25g, al ser liberadas. (g=9,8
m/s
2
, T=10
12
, e=-1,60210
-19
C, k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 11,28 T Se
b) 12,28 T Se
c) 13,28 T Se
d) 14,28 T Se
e)15,28T Se
37. Se libera un protón a una distancia de d=2,5 mm de un protón fijo. (q=1,60210
-19
C,
mP=1,6710
-27
kg, k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la aceleración (en m/s
2
) inicial del protón, luego de ser liberado.
a) 1,2110
4
b) 2,2110
4
c) 3,2110
4
d) 4,2110
4
e) 5,2110
4
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201
II) Represente las gráficas de la aceleración en función del tiempo, y de la velocidad en fun
ción del tiempo, correspondiente al movimiento del protón.
38. Una partícula de carga Q1=-0,55 C ejerce una fuerza hacia arriba de magnitud F=0,2 N,
sobre una partícula de carga desconocida 2"Q " que está a una distancia de d=0,3 m direc
tamente por e debajo de ella. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la carga desconocida 2"Q ".
a) 1,64 C b) 3,64 C c) 5,64 C d) 7,64 C e) 9,64 C
II) Hallar la magnitud y la dirección de la fuerza que la carga 2"Q " ejerce sobre 1"Q ".
39. Tres cargas puntuales se ubican sobre el eje X. La carga Q3=+5 nC está en el origen 0. La
carga Q2=-3 nC se encuentra en x=+4 cm. La carga 1"Q " está en x=+2 cm. Hallar la carga
1"Q ", si la fuerza resultante sobre la carga 3"Q " es nulo.
a) 0,25 nC b) 0,50 nC c) 0,75 nC d) 1,00 nC e) 1,25 nC
40. Dos cargas puntuales Q1=+2 C, Q2=-2 C se ubican sobre el eje Y, en y1=0,3 m, y2=-0,3
m. Una tercera carga puntual Q3=+4 C se ubica en el eje X en x=0,4 m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga puntual 3"Q " .
a) 0,146 N b) 0,346 N c) 0,546 N d) 0,746 N e) 0, 946 N
II) Hallar la dirección de la fuerza que actúa sobre 3"Q " .
a) 90º b) 180º c) 270º d) 106º e) 233
o
41. Tres cargas puntuales están alineadas a lo largo del eje X, la carga Q1=+3 C está en el o
rigen, y la carga Q2=-5 C se encuentra en x=0,2 m. ¿Donde está situada la carga Q3=-8
C, si la magnitud de la fuerza resultante sobre 1"Q " es F=7 N en la dirección negativa
del eje X? (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) -11,43 cm b) +13,43 cm c) -10,43 cm d) +9,43 cm e) -14,43 cm
42. Dos cargas puntuales se ubican sobre el eje Y: la carga Q1=-1,5 nC en y=-0,6 m y la carga
Q2=+3,2 nC en el origen y=0. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante ejercida por es
tas dos cargas sobre una tercera Q3=+5,0 nC situada en y=-0,4 m? (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 2,09 N b) 2,39 N c) 2,59 N d) 2,79 N e) 2,99 N
43. Dos cargas puntuales están situadas sobre el eje X: Q1=+4,0 nC en x=0,2 m, Q2=+5,0 nC
en x=-0,3 m. Hallar la fuerza resultante ejercida por las cargas 1"Q " y 2"Q " sobre una car
ga puntual Q3=-6,0 nC, situada en el origen? (n=10
-9
, k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 2,0 N î b) -2,0 N î c) 2,4 N î d) -2,4 N î e) 3,0 N î
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Fuerza eléctrica
202
44. Una cierta cantidad de carga "Q" se distribuye entre dos esferitas muy pequeñas, tal que,
la fuerza de interacción máxima entre las esferitas separadas por una distancia constante
d=0,4 mm es F=0,2 N. Hallar el valor de la carga "Q" . (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
a) 3,17 nC b) 3,37 nC c) 3,57 nC d)3,77 nC e) 3,97 nC
45. Dos cargas puntuales Q1=2,5 C y Q2=-3,50 C se ubican sobre el eje X en las posiciones
x1=0 m y x2=0,6 m. ¿En qué posición sobre el eje X, debe ubicarse una tercera carga pun
tual "q" , tal que, la fuerza resultante sobre ella sea nula?
a) +1,27 m b) -1,27 m c) +3,27 m d) -3,27 m e) +2,53 m
46. En la Fig01, las bolas idénticas de masas "m" , cargas eléctricas "q" , están suspendidas
de hilos de seda de longitud " " . (g=9,8 m/s
2
, k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Demostrar que para " " muy pequeño, la distancia entre las bolas, viene dado por la ex
presión: x= (q
2l/2omg)
1/3
.
II) Hallar la carga "q" de las bolas, para l=120 cm, m=10 g y x=5 cm. (n=10-9)
a) 20 nC b) 22 nC c) 24 nC d) 26 nC e) 28 nC
47. En la Fig02, en los vértices del cuadrado de lados a=20 cm, se ubican cuatro cargas pun
tuales Q1=+5 C, Q2=-2 C, Q3=+5 C y Q4=+2C. Hallar el vector fuerza eléctrica sobre la
carga puntual q=-1 C, situada en el centro del cuadrado. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, T=10
12
).
a) 1,07( î + ĵ) TN b) 1,07( î - ĵ) TN c) 1,27( î + ĵ) TN
d) 1,27( î - ĵ) TN e) 1,47( î + ĵ) TN
Fig01 Fig02
48. En la Fig03, en los vértices del cuadrado de lado a=10 mm se encuentran cuatro cargas
puntuales. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga puntual q=+1 nC, situada en el punto medio
de uno de los lados del cuadrado.
a) 0,209 mN b) 0,229 mN c) 0,249 mN d) 0,269 mN e) 0,289 mN
II) Hallar el ángulo que forma la fuerza F sobre "q" , con respecto al eje X.
a) 160º 4' 12" b) 162º 4' 12" c) 164º 4' 12" d) 166º 4' 12" e) 168º 4' 12"
x
l
q q
l
y
+Q1
-Q2
+Q4
+Q3
a
a
a
-q
x
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203
49. En la Fig04, en los vértices y el centro del cuadrado de lado a=0,2 mm se encuentran esfe
ritas en equilibrio, conectadas mediante hilos no tensados. El cuadrado se encuentra en un
plano horizontal. Si a cada una de las esferitas se suministra cargas de q=+4 nC. Hallar la
tensión del hilo que une dos esferitas situadas en un mismo lado. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 9,16 N b) 9,36 N c) 9,56 N d) 9,76 N e) 9,96 N
Fig03 Fig04
50. En los vértices opuestos de un cuadrado de lado "a", se ubican cargas "Q" y "q" , respec
tivamente. ¿Para que razón Q/q=?, la fuerza resultante sobre cualquiera de las cargas "Q"
es nula?
a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 2 /2 e) 2 /4
51. En la Fig05, a las bolas conectada entre si mediante un resorte dieléctrico de longitud nor
mal lo=4 cm y constante elástica k=80 N/m, se les suministra carga eléctrica de Q=400
nC. Hallar la longitud que se deforma el resorte. (=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 7,0 mm b) 7,2 mm c) 7,4 mm d) 7,6 mm e) 7,8 mm
52. En la Fig06, a 4 cm por debajo de la esferita de carga qA=+5 nC y masa m=210
-6
kg que
está suspendida del resorte de constante elástica k=10
-3
N/m, hay otra esferita de carga
qB=-4 nC. Hallar la deformación que experimenta la longitud del resorte (g=10 m/s
2
)
a) 13,25 cm b) 31,28 cm c) 25,36 cm d) 64,24 cm e) 45,21 cm
Fig05 Fig06
q
q
q
a
a
a
q
q
a
a
a
2nC -3nC
4nC 5nC q
Q Q
k
R.SABRERA
+qA
- qB
4cm
k
g
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204
53. ¿Cuál debe ser la distancia "d" de separación entre dos protones, para que la fuerza eléc
trica de repulsión, sea igual, al peso del protón? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, e=1,60210
-19
C,
g=9,8 m/s
2
, m=1,6710
-27
kg, n=10
-9
)
a) 11,08 cm b) 11,28 cm c) 11,48 cm d) 11,68 cm e) 11,88 cm
54. I) ¿Qué cargas iguales positivas debieran colocarse en la Tierra y en la Luna de masas
M=5,9610
24
kg, m=7,310
22
kg, para anular la atracción gravitacional? (k=910
9
Nm
2
/C
2
,
G=6,6710
-11
Nm
2
/kg
2
.
a) 5,0710
13
C b) 5,2710
13
C c) 5,4710
13
C d) 5,6710
13
C e) 5,8710
13
C
II) ¿Cuántos kilogramos de hidrógeno se necesitarían para proporcionar la carga positiva
calculada en I)? (z=1, e=1,60210
-19
C, NA=6,02310
23
átomos/mol)
a) 5,0710
5
kg b) 5,2710
5
kg c) 5,4710
5
kg d) 5,6710
5
kg e) 5,8710
5
kg
55. Una esferita descargada de radio R1=4 cm, moviéndose sobre una superficie horizontal
dieléctrica totalmente lisa, colisiona con otra esferita fija de radio R2=6 cm y carga Q=8
nC. Hallar la fuerza entre las esferitas, cuando la distancia de separación entre ellas es de
d=12 cm. Asumir que la colisión es totalmente elástica. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
a) 9,0 N b) 9,2 N c) 9,4 N d) 9,6 N e) 9,8 N
56. Una esferita "A" de carga q=800 pC, masa=210
-16
kg se lanza con una rapidez de vo=
210
5
m/s, hacia otra esferita "B" fija de carga q=800 pC, que se encuentra a la distancia
de xo=10 cm. Ambas esferitas se encuentran sobre una superficie dieléctrica horizontal.
¿A qué distancia de la esferita "B" , la rapidez de la esferita "A" es nula? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
a) 5,1 cm b) 5,3 cm c) 5,5 cm d) 5,7 cm e) 5,9 cm
57. Desde el origen de coordenadas, empiezan a moverse simultáneamente del reposo, dos
partículas de cargas q=4 pC, a lo largo de los ejes X e Y con rapideces constantes de vx=
0,1 cm/s y vy=0,2 cm/s. ¿Con que rapidez cambia la fuerza, para el instante t=2 s, de ini
ciado el movimiento? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
a) 70 N/s b) 72 N/s c) 74 N/s d) 76 N/s e) 78 N/s
58. Una bolita de masa m=910
-23
kg y carga eléctrica q=810
-10
C que está suspendido verti
calmente de un hilo, se encuentra a la distancia de h=2 cm de una lámina metálica infi
nita. Hallar la longitud " " del hilo, si el período de las pequeñas oscilaciones que realiza
la bolita es, T=410
-9
s, al sacarse de su posición de equilibrio.
a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 18 cm
59. En la Fig.07, la bolita de carga eléctrica qo=-4 nC, que esta suspendido del hilo metálico
de diámetro D=2 mm, módulo de Young E=11,910
10
Pa, se encuentra a una distancia de
d=10 cm de la lámina conductora cuadrada de lados a=20 cm y densidad de carga unifor
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205
me =60 nC/m
2
. Hallar la deformación unitaria que experimenta la longitud del hilo. (k=
910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
, p=10
-12
)
a) 12,2 pm b) 32,2 pm c) 52,2 pm d) 72,2 pm e) 92,2 pm
60. En la Fig08, la carga puntual qo=8 nC se encuentra en equilibrio, a la distancia d=2 mm
de la carga fija Q=6 nC. Hallar el periodo de las pequeñas oscilaciones de la carga o"q " ,
cuando se desplaza una pequeña distancia vertical, y se libera. (g=10 m/s
2
)
a) /10 s b) /20 s c) /30 s d) /40 s e) /50 s
Fig07 Fig08
61. En la Fig09, la esfera A de peso W=15 N y carga eléctrica q=10 C, está en equilibrio.
Hallar la carga eléctrica de la esfera B, si las tensiones en las cuerdas (1) y (2) son igua
les. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, =10
-6
)
a) -3 C b) 3 C c) -5 C d) 5 C e) 9 C
62. En la Fig10, en el sistema en equilibrio las esferitas son de peso despreciable y tienen car
gas eléctricas de Q=2 C. Hallar el peso de la barra homogénea AB. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 20 N b) 40 N c) 80 N d) 60 Ne) 10 N
Fig09 Fig10
63. En la Fig11, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=1 nC, sa
biendo que Q=12510
-10
C y AO =5 cm. (k=910
9
N/m
2
/C
2
, n=10
-9
)
a) 72 nN b) 24 nN c) 48 nN d) 12 nN e) 36 nN
g d
qo, m
Q
l
d
a
a
(1)
(2)
A B
53
0
10cm
+Q
-Q
3cm
N
A B
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206
64. En la Fig12, hallar el valor de la carga que se debe ubicar en la posición "B" para que la
dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=1 nC sea horizontal, sabiendo que
la carga en la posición "A" es de magnitud QA=64C. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, =10
-6
)
a) 15 C b) 20 C c) 27 C d) 32 C e) 45 C
Fig11 Fig12
65. La magnitud de la fuerza de interacción entre dos esferitas, separadas por una distancia de
d=2 m, y cuya suma de sus cargas positivas es Q=50 C es de F=1 N. Hallar la razón en
tre las cargas mayor y menor de las esferitas. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, =10
-6
)
a) 3,18 b) 3,38 c) 3,58 d) 3,78 e) 3,98
66. Un electrón de carga q=-1,610
-19
C y de masa m=9,110
-31
kg se mueve en una trayecto
ria circular de radio R=2 m, alrededor de un protón de carga q=+1,610
-19
C. Hallar la ra
pidez con la que se mueve el electrón. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, =10
-6
)
a) 11,21 km/s b) 11,23 km/s c) 11,25 k
m/s d) 11,27 km/s e) 11,29 km/s
67. En la Fig13, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga eléctrica puntual
qo=5 nC, ejercido por el filamento fino de longitud l=8 cm, de densidad de carga lineal
unifor me de =810
-11
C/m, y sabiendo que a=2 cm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
a) 140 nF b) 142 nN c) 144 nF d) 146 nN e) 148 nN
68. En la Fig14, la carga puntual qo=1 nC se encuentra situado a la distancia de d=5 cm del
punto medio del filamento fino de longitud l=15 cm y densidad de carga lineal uniforme
de =8 nC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga o"q ".
a) 0,1 N b) 0,3 N c) 0,5 N d) 0,7 N e) 0,9 N
69. En la Fig15, si el filamento fino de longitud l=2a, y densidad de carga lineal uniforme de
=8 nC/m gira =90
0
respecto de su punto medio M. ¿En qué porcentaje aumenta (A) o
disminuye (D) la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual qo=1 nC? (k=
910
9
Nm
2
/C
2
)
a) D, 20,4 % b) A, 20,4 % c) D, 25,4 % d) A, 25,4 % e) D, 30,4 %
Q
Q
A B
C D
74
0
q
37
0
53
0
F
A B
q
QA
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207
Fig.13 Fig.14
70. En la Fig16, la carga puntual o" q " se encuentra a una distancia "r" del centro 0 del di
polo eléctrico de cargas " q" , " q" , separadas por una distancia "d" (d<<r), siendo " "
el ángulo polar, y k=1/4o la constante eléctrica.
I) Demostrar que la componente radial r"F " de la fuerza resultante sobre o"q ", viene dado
por: Fr=2kqoqd cos /r
3
.
II) Demostrar que la componente tangencial "F " de la fuerza resultante sobre o"q ", viene
dado por: F=kqoqd sen /r
3
.
III) Demostrar que la magnitud de la fuerza resultante sobre la carga puntual o"q ", viene dado
por: F=kqoqd
23cos 1 /r
3
.
Fig15 Fig16
71. En la Fig17, cuatro cargas de valor q=4 nC están ubicada en los vértices del cuadrado de
lado a=3 mm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga situada en el vértice inferior izquierdo.
a) 10,63 mN b) 12,63 mN c) 14,63 mN d) 16,63 mN e) 18,63 mN
II) Hallar la magnitud de la fuerza sobre una carga puntual qo=5 pC, situada en el punto de
uno de los lados del cuadrado.
a) 0,105 mN b) 0,125 mN c) 0,145 mN d) 0,165 mN e) 0,185 mN
72. Dos cargas puntuales 1"Q " y 2"Q " situadas en el eje X, están separadas por una distancia
" " . (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) ¿Para qué valor mayor de Q1/Q2=?, la fuerza eléctrica sobre una carga o"q ", situada en el
eje X a la distancia "D" de la carga 1"Q ", es nula?
+q -q
qo
r
d
0
qo
a
l
l
0
d
qo
l M
2a
qo
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Fuerza eléctrica
208
a) 1,50 b) 1,75 c) 2,00 d) 2,25 e) 2,50
II) ¿Para qué valor menor de Q1/Q2=?, la fuerza sobre una carga o"q ", situada en el eje X a la
distancia "D" de la carga 1"Q ", es nula?
a) 0,24 b) 0,28 c) 0,32 d) 0,36 e) 0,40
III) Hallar el valor de la expresión: k= (s1.s2)
1/2
, donde 1"s " y 2"s " son la soluciones mayor y
menor para Q1/Q2, dadas en I) y II).
a) 0,5 b) 0,6 c) 0,7 d) 0,8 e) 0,9
73. En la Fig18, el anillo muy delgado de radio R=10 cm, tiene una densidad de carga lineal
uniforme de =400 pC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual
de carga qo=5 pC, situada a la distancia de d=10 cm del centro del anillo. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
, p=10
-12
)
a) 0,1 nN b) 0,2 nN c) 0,3 nN d) 0,4 nN e) 0,5 nN
Fig17 Fig18
74. En la Fig18, el anillo muy delgado tiene una densidad de carga lineal uniforme de =8
nC/m. A la distancia "d" del centro 0 del anillo se libera una partícula de masa m=90 pg,
y carga qo=-4 pC. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
I) ¿Con qué rapidez pasa la partícula por el centro del anillo, para d= 3 R?
a) 141,8 m/s b) 143,8 m/s c) 145,8 m/s d) 147,8 m/s e) 149,8 m/s
II) ¿A qué distancia del centro del anillo, la magnitud de la aceleración de la partícula es má
xima, para un radio de R=2 2 cm?
a) 1,0 cm b) 1,5 cm c) 2,0 cm d) 2,5 cm e) 3,0 cm
III) ¿Cuál es el valor máximo que adquiere la aceleración (en 10
6
m/s
2
) de la partícula, para
un radio igual a R=2 2 cm?
a) 9,07 b) 9,27 c) 9,47 d) 9,67 e) 9,87
75. En la Fig19, los anillos muy delgados de radios "R", densidades de carga lineal unidor
+q
a
a
a
-q
-q -q
qo d
R
0
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209
mes de " " , se encuentran en planos paralelos separados por una distancia pequeña " " .
Demostrar que la fuerza ejercida por los anillos, sobre la carga o" q " , situada en el eje co
mún, a una distancia "d" de 0, para d<<R, es: F=qo (9d
2
-2R
2
)/4oR
4
.
76. En la Fig20, el alambre muy delgado en forma de semicircunferencia de radio R=40 cm,
tiene una densidad de carga lineal uniforme de =2.10
-7
C/m. Hallar la magnitud de la
fuerza sobre la carga de prueba qo= 6 C. (k =910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
)
a) 12 mN b) 24 mN c) 36 mN d) 54 mN e) 60 mN
Fig19 Fig20
77. En la Fig.21, las tres espiras circulares tienen la misma densidad de carga lineal de =8
nC/m, y están en planos paralelos separados por la misma distancia. Hallar la magnitud de
la fuerza sobre la carga de prueba qo=4 pC. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, R1=3 cm, p=10
-12
, n=10
-9
)
a) 32 nN b) 42 nN c) 52 nN d) 62 nN e) 72 nN
Fig21 Fig22
78. En la Fig22, las mitades del anillo de radio R=20 cm, tienen densidades de carga lineal
de =8 nC/m. Hallar la magnitudde la fuerza sobre la carga de prueba qo=5 pC, situada
en el plano del anillo a una distancia de d=40 cm del centro del anillo. (k=910
9
Nm
2
/C
2
,
p=10
-12
, n=10
-9
)
a) 1,0 nN b) 1,2 nN c) 1,4 nN d) 1,6 nN e) 1,8 nN
79. En la Fig23, la distancia entre los planos conductores paralelos, puestos a tierra es "D" .
Una carga puntual "q" se ubica a una distancia "a" del plano "1". Hallar la fuerza que e
jercen los planos sobre la carga "q" . (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
d
+ -
qo
0
R
qo
2cm
2cm
2cm
R2
R3
R1
d
R
R R
qo
R
d
R
+
-
0 qo
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210
80. En la Fig24, las bolas de jebe de masas "m" , "2m" y cargas "q" , están suspendidas de
hi los de seda de longitud " " .
I) Demostrar que para 1" " , 2" " muy pequeños la distancia de separación "d" entre las bo
las, viene dado por: d= (3kq
2l/2mg)1/3.
II) Evaluar la distancia, para: m=8 mg, q=0,4 nC, l=20 cm, k=9109 Nm2/C2, g=10 m/s2.
a) 2,00 cm b) 2,25 cm c) 2,50 cm d) 2,75 cm e) 3,00 cm
Fig23 Fig24
81. Si todos los electrones y protones contenidos en un gramo de hidrógeno de número atómi
co z=1, masa molecular M=1 g/mol, pudieran concentrarse en los polos Norte y Sur de la
Tierra de radio medio R=6357 km. Hallar la fuerza de interacción entre los electrones y
protones. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, NA=6,02310
23
átomos/mol)
a) 518 kN b) 528 kN c) 538 kN d) 548 kN e) 558 kN
82. Una pequeña carga de q=+1 C, masa m=10 g se encuentra en reposo, a la distancia de
ro=1 cm de una carga fija q=-1 C. ¿Qué velocidad se debe suministrar a la carga q" ,
tal que escape del campo de la carga " q" , y no retorne? (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 13,01 m/s b) 13,21 m/s c) 13,41 m/s d) 13,61 m/s e) 13,81 m/s
83. Desde muy lejos, se lanza con una velocidad 1"v " una partícula de masa "m" , carga
1" q " hacia el centro de un núcleo de carga 2" q " . Demostrar que la distancia mínima
de aproximación, viene dado por: D=2kq1q2/mv
2
, siendo "k" la constante eléctrica.
84. En la Fig25, las bolitas de cargas q=80 nC, masas m=50 g, cuelgan de hilos de longitud
l=20 cm, y cuyos puntos de suspensión distan d=8 mm. Considerando una aproximación
de primer orden, hallar el mayor valor de " " , para el cual el sistema esta en equilibrio,
(k=910
9
Nm
2
/C
2
, g=10 m/s
2
)
a)
o1 06'25" b)
o1 10'25" c)
o1 14'25" d)
o1 18'25" e)
o1 22'25"
85. En la Fig26, las canicas muy pequeñas de masas m=120 g, cargas q=800 nC, están a u
na distancia 2Ro (Ro=5 cm), sobre la varilla aislante de masa despreciable, la cual, gira
con una velocidad angular de o" " . Las canicas pueden deslizarse sin fricción, sobre la
D
a
1
2
q
l
l
2m
m
1
2 g
d
q
q
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211
varilla. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
)
I) Hallar el cambio que experimenta la fuerza eléctrica, al disminuir la velocidad angular a
o" / 4" .
a) 412 mN b) 432 mN c) 452 mN d) 472 mN e) 492 mN
II) Hallar la velocidad angular o" " , con la que inicialmente giraba la varilla.
a) 9,0 rad/s b) 9,2 rad/s c) 9,4 rad/s d) 9,6 rad/s e) 9,8 rad/s
Fig25 Fig26
86. En la Fig27, los extremos de los alambres muy delgados en forma de semicircunferen
cias de radios R=20 cm, y densidades de cargas " " , "2 " , "3 " , están unidos mediante
un aislante en su diámetro común. Los planos de los semianillos forman entre si 120º.
Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga de prueba o"q ", situada en su centro
común. (k= 910
9
Nm
2
/C
2
, =8 pC/m, p=10
-12
)
a) 1,0 qo b) 1,2 qo c) 1,4 qo d) 1,6 qo e) 1,8 qo
87. En la Fig28, el disco de plástico muy delgado de radio "R" , tiene una densidad de carga
superficial uniforme " " . (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
I) Demostrar que la fuerza sobre la carga de prueba o"q ", situada a una distancia "d" del
centro del disco, viene dado por: F= (qo/2o)[1-d/
2 2d R ].
II) Evaluar la fuerza "F" sobre la carga o"q ", para: R=20 cm, =80 pC/m
2
, y R= 3 d.
a) 2,06qo b) 2,26qo c) 2,46qo d) 2,66qo e) 2,86qo
88. Se tiene un anillo de plástico muy delgado de radios interior "a", exterior "b" (b=4a), y
densidad de carga superficial uniforme de =80 pC/m
2
. Hallar la fuerza que ejerce el ani
llo sobre una carga de prueba o"q " situada en su centro de curvatura. (Utilizar: ln(x), k=
910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
a) qo b) 2qo c) 3qo d) 4qo e) 5qo
89. Se tiene una lámina muy delgada infinita de densidad de carga superficial uniforme " " .
I) Demostrar que la fuerza que ejerce la lámina sobre una carga de prueba o"q ", situado a la
distancia "d" , viene dado por: F=qo/2o.
l l
m m
g
q q
d
m m
-q +q
Ro Ro
o
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212
II) Evaluar la fuerza sobre la carga o"q ", para: =80 pC/m
2
, d=4 cm y k=910
9
Nm
2
/C
2
a) 4,12qo b) 4,32qo c) 4,52qo d) 4,72qo e) 4,92qo
Fig27 Fig28
90. Desde una lamina horizontal muy delgada y grande de densidad de carga superficial uni
forme de =4 pC/m
2
, se lanza un electrón con una velocidad de vo=4.10
3
m/s, formando
un ángulo de =30º, por encima de la lámina. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, e=-1,60210
-19
C, me=
9,110
-31
kg, p=10
-12
)
I) Hallar el tiempo que tarda el electrón en retornar al plano.
a) 0,1 s b) 0,2 s c) 0,3 s d) 0,4 s e) 0,5 s
II) Hallar la altura máxima que alcanza el electrón.
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm
III) Hallar la distancia entre los puntos de lanzamiento e impacto.
a) 30,8 cm b) 32,8 cm c) 34,8 cm d) 36,8 cm e) 38,8 cm
91. Una esferita muy pequeña de masa m=50 g y carga qo=8 nC esta suspendida verticalmen
te, mediante un hilo de seda de una lámina horizontal muy grande de densidad de carga su
perficial uniforme de =80 C/m
2
. ¿Qué porcentaje representa la fuerza eléctrica sobre la
esferita, respecto de la tensión en la cuerda? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, g=10 m/s
2
)
a) 6,15 % b) 6,35 % 6,55 % d) 6,75 % e) 6,95 %
92. Se tiene una esfera hueca de paredes muy delgadas de radio "R" , y densidad de carga
superficial uniforme " " . (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
12
)
I) Demostrar que la fuerza que ejerce la esfera, sobre una carga de prueba o"q ", ubicada a
una distancia "r" (r<R) del centro de la esfera es nula.
II) Demostrar que la fuerza que ejerce la esfera, sobre una carga de prueba o"q ", situada a
una distancia "r" (r>R) del centro de la esfera es: F=qoR
2
/or
2
.
III) Evaluar la fuerza sobre o"q " para: R=20 cm, r=22 cm, =50 pC/m
2
.
a) 4,07qo b) 4,27qo c) 4,47qo d) 4,67qo e) 4,87qo
3
2
R
R
qo
R
d
qo
0
R.SABRERA
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213
93. En la Fig29, la partícula de masa m=410
-14
kg, carga qo=-8 pC, se libera del reposo a u
na distancia de d=20 cm de la superficie de la esfera hueca fija de radio R=20 cm, densi
dad de carga superficial uniforme =+50 pC/m
2
. ¿Qué tiempo tarda la partícula en atrave
zar la esfera, a través de los agujeros que presenta? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
, m=10
-3
)
a) 20,6 ms b) 22,6 ms c) 24,6 ms d) 26,6 ms e) 28,6 ms
94.En la Fig30, ¿Cuántas esferas huecas muy delgadas de radios R, R/2, R/3,…y densidades
de carga superficiales de =+50 pC, deben ubicarse concentricamente, tal que, la fuerza
sobre una carga de prueba o" q " , ubicada a una distancia de d=5/4R de la superficie de
la esfera mayor, sea F=6,51qo? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
Fig29 Fig30
95. En la Fig31, un electrón de masa m=9,110
-31
kg, carga e=-1,60210
-19
C, se libera del re
poso, a una distancia d=5 cm del centro del anillo fijo de radios externo a=20 cm, interno
b=10 cm, y densidad de carga superficial uniforme de =+50 pC/m
2
. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) ¿Con que rapidez pasa el electrón por el centro del anillo?
a) 55 km/s b) 60 km/s c) 65 km/s d) 70 km/s e) 75 km/s
II) Hallar el periodo de las pequeñas oscilaciones que realiza el electrón, para d<<b.
a) 1,06 s b) 1,26 s c) 1,46 s d) 1,66 s e) 1,86 s
96. En la Fig32, una carga de prueba o" q " , primero se ubica en A y luego en B, en presen
cia de los cascarones esféricos de radios a=20 cm, b=10 cm y densidades de carga superfi
ciales de =+50 pC/m
2
. Los puntos A y B se encuentran a las distancias de 5 cm de los
cascarones A y B, respectivamente. Hallar el cambio que experimenta la magnitud de la
fuerza sobre la carga de prueba. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 2,01 qo b) 2,21 qo c) 2,41 qo d) 2,61 qo e) 2,81 qo
97. Se tiene una esfera compacta de plástico de radio R=20 cm, densidad de carga volumétri
ca uniforme de =500 pC/m
3
. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
I) Demostrar que la fuerza sobre una carga de prueba o"q ", situada a la distancia "r" .
(r<R) del centro de la esfera es: F=qo.r/3o.
-qo
R
0
d
qo
1 2 3
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214
II) Demostrar que la fuerza sobre una carga de prueba o"q " situada a la distancia "r" (r>R)
del centro de la esfera es: F=qoR
3
/3or
2
.
III) Demostrar que la fuerza que ejerce la esfera sobre la carga de prueba, para r>R, es equiva
lente al de una carga puntual, de carga igual al de la esfera, situada en su centro.
IV) Representar la gráfica de la fuerza "F" en función de la distancia radial "r" .
V) Evaluar la expresión de la fuerza sobre la carga de prueba o"q ", para r=10 cm.
a) 1,08qo b) 1,28qo c) 1,48qo d) 1,68qo e) 1,88qo
VI) Evaluar la expresión de la fuerza sobre la carga de prueba o"q ", para r=22 cm.
a) 3,11qo b) 3,31 qo c) 3,51qo d) 3,71 qo e) 3,91qo
Fig31 Fig32
98. En la Fig33, la esfera compacta de radio R=20 cm, que presenta una cavidad esférica de
radio r=5 cm, tiene una densidad de carga volumétrica uniforme de =500 pC/m
3
. La dis
tancia del centro de la cavidad al centro de la esfera es a=10 cm. Hallar la fuerza sobre la
carga de prueba o" q " , situada a la distancia de D=22 cm del centro de la esfera. (k=
910
9
Nm
2
/C
2
, =60º, p=10
-12
)
a) 2,0qo b) 2,5qo c) 3,0qo d) 3,5qo e) 4,0qo
Fig33 Fig34
99. En la Fig34, la esfera hueca de plástico de radio R=20 cm flota en agua de densidad de
masa =1 g/cm
3
. Si ubicamos dos cargas puntuales "q" , la primera en el centro de la esfe
ra unida a esta mediante una varilla de plástico, y la otra a una distancia d=R/4 por enci
ma de la esfera, esta se hunde hasta la mitad de su volumen en el agua. Hallar el valor de
d -e
m
a
b
a
b A B
R g
0
R/4
qo
D
a
r R
0
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215
la carga "q" . (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 20,6 C b) 22,6 C c) 24,6 C d) 26,6 C e) 28,6 C
100.En la Fig35, la varilla de peso despreciable, longitud l=30 cm, densidad de carga lineal
uniforme " " , en cuyos extremos se encuentran fijas y aisladas dos cargas puntuales de
q=+6 nC, se encuentra frente a la esfera hueca de radio R=15 cm, densidad de carga super
ficial uniforme =410
-8
C/m
2
, a una distancia d=30 cm de su centro. ¿Para qué valor de la
densidad de carga lineal " " , la fuerza resultante sobre la varilla es nula? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
a) 10 nC/m b) 20 nC/m c) 30 nC/m d) 40 nC/m e) 50 nC/m
101.En la Fig36, las cinco cargas situadas en los vértices de la pirámide regular de base cua
drada y aristas 2a=4 cm, tienen valor de Q=410
-7
C. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga situada en el vértice P.
a) 6,4 N b) 6,8 N c) 7,2 N d) 7,6 N e) 8,0 N
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga situada en P, respecto de la perpen
dicular a la base de la pirámide.
a) 115
o
b) 120
o
c) 125º d) 130º e) 135º
Fig35 Fig36
102.En la Fig37, las esferas idénticas A y B inicialmente descargadas y conectadas a las pa
redes mediante resortes de constantes elásticas kA=5 dina/cm, kB=2 dina/cm, están separa
das por una distancia de d=5 cm. Si una esfera C de igual tamaño de carga Q=+6,672 nC
se pone en contacto primero con la esfera A y luego con B, hallar la nueva distancia de se
paración entre las esferas A y B. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
, 1 dina=10
-5
N)
a) 6,0 cm b) 6,2 cm c) 6,4 cm d) 6,6 cm e) 6,8 cm
103.En la Fig38, las cargas puntuales de valor Q=4 C que se encuentran sobre los arcos de
circunferencia de radio R=20 cm, equidistan de los ejes x e y. Hallar el vector fuerza eléc
trica que ejerce la carga –Q sobre la carga +Q. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
d l
q q
R
Q
Q
Q Q
2a
2a
2a
2a
P
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216
a) -6,4 ( ˆ ˆi j ) b) 6,4 (ˆ ˆi j ) c) -7,4 ( ˆ ˆi j ) d) 7,4 (ˆ ˆi j ) e) -8,4 ( ˆ ˆi j )
Fig37 Fig38
104.En el cobre existe aproximadamente un electrón libre por cada átomo. Una moneda de
cobre tiene una masa de m=3 g. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, NA= 6,0210
23
mol
-1
, e=-1,610
-19
C,
M=63,5 g/mol)
I) ¿Qué porcentaje de la carga libre debería extraerse de la moneda para que ésta adquiriese
una carga de q=15 C?
a) 2,6910
-7
% b) 2,9910
-7
% c) 3,2910
-7
% d) 3,5910
-7
% e) 3,8910
-7
%
II) ¿Cuál sería la fuerza de repulsión entre dos monedas que tienen esta carga, si estuvieran
separadas una distancia de d=25 cm? (Asumir la moneda como carga puntual)
a) 30,4 N b) 32,4 N c) 34,4 N d) 36,4 N e) 38,4 N
105.Una carga puntual de Q1=-5 C esta localizada en x1=4 m, y1=-2 m. Una segunda carga
puntual de Q2=12 C está localizada en x2=1 m, y2=2 m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, e=-1,610
-19
C, =10
-6
, f=10
-15
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre un electrón situado en x=-1 m, y=0.
a) 1,67 fN b) 1,87 fN c) 2,07 fN d) 2,27 fN e) 2,47 fN
II) Hallar la dirección de la fuerza resultante que actúa sobre el electrón.
a) 51,3º b) 53,3º c) 55,3º d) 57,3º e) 59,3º
106.Una carga puntual de Q1=5 C está ubicada en x1=1 m, y1=3 m y otra carga de Q2=-4 C
está ubicada en x2=2 m, y2=-2 m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, e=1,610
-19
C, =10
-6
, f=10
-15
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre un protón situado en x=-3 m, y=1 m
a) 0,305 fN b) 0,325 fN c) 0,345 fN d) 0,365 fN e) 0,385 fN
II) Hallar la dirección de la fuerza resultante que actúa sobre el protón.
a) 230,5º b) 232,5º c) 234,5º d) 236,5º e) 238,5º
d
kA kB
A B
y
x 0R
R
Q
Q
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217
107.Una carga puntual de Q1=-2,5 C esta ubicada en el origen. Una segunda carga puntual
de Q2=6 C se encuentra en x2=1 m, y2=0,5 m. Hallar las coordenadas "x" e "y" de la
posi ción en la cual un electrón estaría en equilibrio. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) (-1,82 ;-0,909) m b) (1,36 ; 0,802) m c) (-1,14 : -0,456) m
d) (-1,26 ; -0,782) m e) (1,45 ; 2,142) m
108.En la Fig39, cuatro cargas q=6 nC del mismo valor están fijas en los vértices del cuadra
do de lados l=2 mm. Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga situada en el
vértice inferior izquierdo, debida a las otras cargas. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
, n=10
-9
)
a) 70 mN b) 72 mN c) 74 mN d) 76 mN e) 78 mN
109.En la Fig40, las cinco cargas iguales a Q=4 nC están igualmente espaciadas en una semi
circunferencia de radio R=3 cm. Hallar la magnitud de la fuerza que se ejerce sobre la car
ga "Q" ubicada en el centro del diámetro de la semicircunferencia. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 0,306 mN b) 0,326 mN c) 0,346 mN d) 0,386 mN e) 0,406 mN
Fig39 Fig40
110.Una carga puntual q1=4 C está en el origen y otra carga puntual q2=6 C está en el eje-
x en el punto x2=3 m, y2=0. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga. 2"q ".
a) -22 mN î b) +22 mN î c) -24 mN î d) +24 mN î e) -26 mN î
II) Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga 1"q " .
a) -22 mN î b) +22 mN î c) -24 mN î d) +24 mN î e) -26 mN î
III) Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga. 2"q ", para 2"q " negativa.
a) -22 mN î b) +22 mN î c) -24 mN î d) +24 mN î e) -26 mN î
IV) Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga 1"q " , para 2"q " negativa.
+q
l
l
l
-q
+q -q
l
Q
Q
Q
Q
Q
Q
y
x
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Fuerza eléctrica
218
a) -22 mN î b) +22 mN î c) -24 mN î d) +24 mN î e) -26 mN î
111.Tres cargas puntuales están en el eje-x: q1=-6C está en x1=-3 m, q2=4 C está en el ori
gen y q3=-6 C está en x3=3 m. Hallar la fuerza ejercida sobre 1"q " . (k=910
9
N.m
2
/C
2
)
a) 11 mN î b) 13 mN î c) 15 mN î d) 17 mN î e) 19 mN î
112.Dos cargas iguales de 3 C están en el eje-y, una en el origen y la otra en y=6 m. Una ter
cera carga q3=2 C está en el eje-x en x=8 m. Hallar la fuerza ejercida sobre 3"q " .
a) 1,12 mN b) 1,32 mN c) 1,52 mN d) 1,72 mN e) 1,72 mN
113.Tres cargas, cada una de magnitud q=3 nC están en los vértices de un cuadrado de lado
a=5 cm. Las dos cargas en los vértices opuestos son positivas y la otra negativa. Hallar la
fuerza ejercida por estas cargas sobre una cuarta carga de Q=+3 nC situada en el vértice
restante. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, =10
-6
)
a) 2,16 N b) 2,36 N c) 2,56 N d) 2,76 N e) 2,96 N
114.Una carga q1=5 C se encuentra sobre el eje-y en y1=3 cm y una segunda carga q2=-5 C
está sobre el eje-y en y2=-3 cm. Hallar la fuerza ejercida sobre una carga q3=2 C situada
en el eje-x en x3=8 cm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) -8,22 N ( ĵ) b) 8,22 N ( ĵ) c) -8,66 N ( ĵ) d) 8,66 N ( ĵ) e) -7,55 N ( ĵ)
115.Dos cargas puntuales 1"q " , 2"q " cuando se unen dan una carga total de 6 C. Cuando es
tán separadas 3 m la magnitud de la fuerza entre ellas es de F=8 mN. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar el valor de la expresión M= 1 2q q si 1"q " y 2"q " son positivas, de modo que se re
pelen entre sí.
a) 2,53 C b) 2,63 C c) 2,73 C d) 2,83 C e) 2,93 C
II) Hallar el valor de la expresión R=q1/ 2q , si 1"q " es positiva y 2"q " es negativa, de modo
que se atraen entre sí.
a) 6,16 b) 6,36 c) 6,56 d) 6,76 e) 6,96
116.En la Fig41, las pequeñas esferas de masa "m" y cargas "q" están suspendidas del pun
to común mediante cuerdas de longitud " " , que forman cada una de ellas un ángulo de
" " con la vertical.
I) Demostrar que la carga "q" , viene dado por: q=2lsen (mg tg /k)1/2, siendo "k" la cons
tante eléctrica
II) Evaluar la fórmula de "q" para: m=10 g, l=50 cm, =10º, k=9109 Nm2/C2, n=10-9.
a) 213 nC b) 223 nC c) 233 nC d) 243 nC e) 253 nC
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219
117.En la Fig42, las esferas idénticas de radio "R" tienen cargas " Q" , y están unidas me
diante un cable aislante de esfuerzo de rotura r=5,2.10
8
Pa, área de sección transversal
A=1,510
-4
m
2
. La distancia entre los centros de las esferas es l=1 m. Hallar la carga de las
esferas correspondiente a r" " . (k=910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
)
a) 2,15 mC b) 2,35 mC c) 2,55 mC d) 2,75 mC e) 2,95 mC
Fig41 Fig42
118.Dos personas de masas iguales a m=70 kg que están paradas a una distancia de un brazo
una de otra tienen cada una 1 % más de electrones que de protones. Demostrar que la fuer
za eléctrica de repulsión entre ellas, es suficiente para elevar un peso igual al de la Tierra
de masa M=610
24
kg. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, NA=6,0210
23
mol
-1
, e=1,610
-19
C, g=9,8 m/s
2
)
119.I) Dos protones es una molécula están separados por una distancia d=3,810
-10
m. Hallar
la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre los protones. (k=910
9
Nm
2
/C
2
,
g=6,6710
-11
Nm
2
/kg
2
, e=1,610
-19
C, m=1,6710
-27
kg, n=10
-9
, p=10
-12
)
a) 1,19 nN b) 1,39 nN c) 1,59 nN d) 1,79 nN e) 1,99 nN
II) ¿Cómo se compara la magnitud de esta fuerza eléctrica con la magnitud de la fuerza gravi
tacional entre los protones?
a) 1,0410
36
b) 1,2410
36
c) 1,4410
36
d) 1,6410
36
e) 1,8410
36
III) ¿Cuál debe ser la relación carga a masa de una partícula si la magnitud de la fuerza gravi
tacional entre dos de estas partículas es igual a la magnitud de la fuerza eléctrica entre e
llas?
a) 80,1 pC/kg b) 82,1 pC/kg c) 84,1 pC/kg d) 86,1 pC/kg e) 88,1 pC/kg
120.Dos pequeñas esferas de plata, cada una con masa de m=10 g, están separadas por d=1
m. hallar la fracción de los electrones en una esfera que se deben transferir a la otra para
producir una fuerza atractiva de F=1,010
4
N entre las esferas. El número de electrones
por átomo de plata es 47, y el número de átomos por gramo es el número de Avogadro di
vidido entre la masa molar de la plata 107,87 g/mol. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
q q
m m
l l
l
+Q -Q
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220
a) 2,1110
-9
b) 2,3110
-9
c) 2,5110
-9
d) 2,7110
-9
e) 2,9110
-9
121.Una partícula cargada A ejerce una fuerza de 2,62 N sobre una partícula cargada B ubi
cada a la derecha, cuando las partículas están separadas por una distancia de 13,7 mm. La
partícula B se mueve rectilíneamente alejándose de A hasta alcanzar la distancia entre e
llas de 17,7 mm. Hallar la magnitud de la fuerza que se ejerce sobre la partícula A.
a) 1,17 N b) 1,37 N c) 1,57 N d) 1,77 N e) 1,97 N
122.Dos bolas metálicas idénticas muy pequeñas portan cargas de q1=+3 nC y q2=-12 nC y es
tán separadas por una distancia de d=3 cm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza de atracción entre las bolas.
a) 0,16 mN b) 0,26 mN c) 0,36 mN d) 0,46 mN e) 0,56 mN
II) Hallar la magnitud de la fuerza entre las bolas, luego que estas se ponen en contacto, y seseparan una distancia de d=3 cm.
a) 0,1025 mN b) 0,2025 mN c) 0,3025 mN d) 0,4025 mN e) 0,5025 mN
III) Hallar el cambio que experimenta la magnitud de la fuerza entre las bolas.
a) +0,1575 mN b) -0,1575 mN c) +0,2575 mN d) -0,2575 mN e) +0,305 mN
123.Dos pequeñas esferas conductoras idénticas de cargas q1=12 nC y q2=-18 nC se colocan
con sus centros separados una distancia d=0,3 m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, =10
-6
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza de interacción entre las esferas. (k=910
9
Nm
2
/C
2
,
a) 20,6 N b) 21,6 N c) 22,6 N d) 23,6 N e) 24,6 N
II) Las esferas se conectan por un alambre conductor. Hallar la fuerza de interacción eléctrica
entre las esferas, después que se alcanza el equilibrio eléctrico.
a) 0,1 N b) 0,3 N c) 0,5 N d) 0,7 N e) 0,9 N
124.En la Fig43, tres cargas puntuales q1=2 C, q2=7 C, q3=-4 C, se colocan en los vérti
ces del triángulo equilátero de lados a=0,5 m, Hallar el vector fuerza eléctrica sobre la car
ga puntual 2"q ". (k=910
9
N
2
/C
2
)
a) 0,57 N b) 0,67 N c) 0,77 N d) 0,87 N e) 0,97 N
125.En la Fig44, dos pequeñas cuentas que tienen cargas positivas "3q" y "q" están fijas en
los extremos opuestos de una barra aislante horizontal que se extiende desde el origen al
punto x=d. Una tercera cuenta pequeña cargada es libre de deslizarse sobre la barra, ¿Pue
de estar en equilibrio estable?
126.Un cristal de NaCl (sal común) se compone de un ordenamiento regular de iones Na
+
y
Cl
-
.La distancia entre un ión a su vecino es 2,8210
10
m, ¿Cuál es la magnitud de la fuerza
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221
eléctrica de atracción entre los dos iones? Considere los iones como cargas puntuales.
a) 2,1 nN b) 2,3 nN c) 2,5 nN d) 2,7 nN e) 2,9 nN
Fig43 Fig44
127.En la Fig45, dos cargas puntuales idénticas, cada una con una carga +q, están fijas en el
espacio y separadas por una distancia "d" . Una tercera carga puntual –Q de masa "m"
puede moverse con libertad y se encuentra inicialmente en reposo sobre el eje-x, a una dis
tancia "x" .
I) Demostrar que para "x" muy pequeña (x<<d), el movimiento de –Q es armónico simple a
lo largo del eje-x. Hallar el periodo de las pequeñas oscilaciones.
II) ¿Qué tan rápido se moverá la carga –Q cuando éste en el punto intermedio entre las dos
cargas fijas " q" , si inicialmente se libera a una distancia a<<d del punto medio?
128.En la Fig46, dentro de una típica nube de tormenta, hay cargas eléctricas de -40 C y +40
C, separadas por una distancia vertical de 5 km. Debe considerarse que esas cargas son
puntuales y calcular la magnitud de la fuerza eléctrica de atracción entre ellas.
a) 550 kN b) 560 kN c) 570 kN d) 580 kN e) 590 kN
Fig45 Fig46
129.Supóngase que se quitan todos los electrones de una moneda de cobre, cuya masa es 2,7
g, y que son colocadas a una distancia de 2 m de los núcleos de cobre que quedan. ¿Cuál
es la magnitud de la fuerza de atracción eléctrica sobre los electrones? En cada átomo de
cobre hay 29 electrones. (M=55,8 g/mol, NA=6,02210
23
átomos/mol)
60
o
+q1 -q3
+q2 y
x 0
d
+3q
+q
y
x
+q
0
+q
d/2
d/2
-Q
x
+40C
-40C
5km
nube
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222
a) 2,810
19
N b) 3,210
19
N c) 3,610
19
N d) 4,010
19
N e) 4,410
19
N
130.Desde muy lejos, cualquier distribución de cargas que tenga una carga neta se comporta
más o menos como una carga puntual. Hay dos discos delgados, cada uno de radio R=1
cm, y densidad de carga superficial uniforme de =2,510
-8
C/m
2
. ¿Cuál es la magnitud de
la fuerza de interacción eléctrica entre los discos, cuando están separados por una distan
cia de d=2 m? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
a) 0,14 pN b) 0,24 pN c) 0,34 pN d) 0,44 pN e) 0,54 pN
131.Al principio, una molécula orgánica lineal y larga tiene una longitud de lo=1,9 m. En ca
da extremo de ella hay un átomo simplemente ionizado; en total, la molécula es neutra.
Las dos ionizaciones producen un cambio de longitud de l=-0,012lo, ¿Cuál es la constan
te efectiva de resorte para esta molécula? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, e=-1,610
-19
C, n=10
-9
)
a) 1,87 nN/m b) 2,87 nN/m c) 3,87 nN/m d) 4,87 nN/m e) 5,87 nN/m
132.Deimos es una pequeña luna de Marte, con 2.10
15
kg de masa. Supóngase que un elec
trón está a 100 km de Deimos. Considérese en los cálculos las masas como puntos mate
riales y las cargas puntuales. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, e=-1,610
-19
C, me=9,1110
-31
kg, G=
6,6710
-11
Nm
2
/kg
2
)
I) ¿Cuál es la fuerza de atracción gravitacional que ejerce Deimos sobre el electrón?
a) 1,210
-35
N b) 3,210
-35
N c) 5,210
-35
N d) 7,210
-35
N e) 9,210
-35
N
II) ¿Qué carga eléctrica negativa se debe colocar en Deimos para equilibrar esta atracción
gravitacional?
a) 4,410
-17
C b) 5,40
-17
C c) 6,410
-17
C d) 7,410
-17
C e) 8,410
-17
C
III) ¿A cuántas cargas electrónicas equivale?
a) 1,2510
2
se
b) 3,2510
2
se
c) 5,2510
2
se
d) 7,2510
2
se
e) 9,2510
2
se
133.En la Fig.47, la carga puntual q1=-20 nC esta en el punto x=2 m, y=0, del eje-x. Hay una
segunda carga puntual q2=-3 C en el punto x=0, y=-3 m del eje-y. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) ¿Cuál es la fuerza eléctrica que ejerce la primera carga sobre la segunda?
a) (-23,04 ;-34,56) N b) (-22,04 ;-35,56) N c) (-21,04 ;-36,56) N
d) (-20,04 ;-34,56) N e) (-24,04 ;-32,56) N
II) ¿Cuál es la fuerza que ejerce la segunda carga sobre la primera?
a) (23,04 ; 34,56) N b) (22,04 ; 35,56) N c) (21,04 ; 36,56) N
d) (20,04 ; 34,56) N e) (24,04 ; 34,56) N
134.En la Fig.48, un protón está en el origen de coordenadas. Un electrón está en el punto
x=410
-11
m, y=210
-11
m, del plano x-y. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, e=1,610
-19
C)
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223
I) Hallar la fuerza que ejerce el protón sobre el electrón.
a) (101 ; 52,5) nF b) (103 ; 51,5) nF c) (102 ; 53,5) nF
d) (104 ; 54,5) nF e) (105 ; 55,5) nF
II) Hallar la fuerza que ejerce el electrón sobre el protón.
a) (-101 ;-52,5) nF b) (-103 ;-51,5) nF c) (-102 ;-53,5) nF
d) (-104 ;-54,5) nF e) (-105 ;-55,5) nF
Fig47 Fig48
135.Dos trozos diminutos de plástico, cuyas masas son m=5.10
-5
g, están a la distancia de
d=1 mm. Supóngase que tienen cargas electrostáticas iguales y opuestas, ¿Cuál debe ser
la magnitud de la carga para que la atracción eléctrica entre ellas sea igual a su peso? (g=
9,81 m/s
2
, k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
a) 6,6 pC b) 7,0 pC c) 7,4 pC d) 7,8 pC e) 8,2 pC
136.Hallar el valor de la expresión: K= T LN N , en la que T"N " y L"N " son la cantidad de
electrones adicionales que se añaden a la Tierra y la Luna, a fin de, anular la fuerza de a
tracción gravitacional? Supóngase que las cantidades de electrones adicionales en la Tie
rra y la Luna guarden la misma proporción que las dimensiones radiales de estos cuerpos
(6,38/1,74) (k=910
9
Nm
2
/C
2
, G=6,60
-11
Nm
2
/kg
2
, ML=7,3510
22
kg, MT=5,9810
24
kg,
e=-1,610
-19
C)
a) 1,3510
32
se
b) 2,3510
32
se
c) 3,3510
32
se
d) 4,3510
32
se
e) 5,3510
32
se
137.En la Fig49, la distribución de las cargas eléctricas en unanube de tormenta puede apro
ximarse mediante varias cargas puntuales colocadas a alturas diferentes. Supóngase que
hay una nube de tormenta con cargas eléctricas de +10 C, -40 C y +40 C a alturas de 2
km, 5 km y 10 km, respectivamente. Considérese que esas cargas son puntuales, y calcúle
se la fuerza eléctrica neta que ejercen las dos cargas de 40 C sobre la carga +10 C.
(k=10
3
)
a) 314 kN b) 324 kN c) 334 kN d) 344 kN e) 354 kN
138.En la Fig50, se muestra la distribución de cargas nucleares (positivas) en una molécula
-q1
-q2
2
3
0
y(m)
x(m)
+e
4.10
-11
0
y(m)
x(m)
2.10
-11
-e
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224
de HCl. Las magnitudes de estas cargas nucleares de H y de Cl son "e" y "17e" , respecti
vamente, y la distancia entre ellas es 1,2810
-10
m. ¿Cuál es la fuerza eléctrica neta que e
jercen esas cargas sobre un electrón que está a 5,010
-11
m arriba del núcleo de H? (k=
910
9
Nm
2
/C
2
, e=-1,610
-19
C, n=10
-9
)
a) 251,6 nN b) 253,6 nN c) 255,6 nN d) 257,6 nN e) 259,6 nN
Fig49 Fig50
139.En los cinco vértices de un pentágono regular de lados "a" se encuentran cinco cargas i
dénticas +Q, y una carga puntual " q" en el centro del pentágono. ¿Cuál es la magnitud
de la fuerza, sobre la carga "q"?
a) 0 b) 5kqQ/a
2
c) 3kqQ/2 2a d) 3kqQ/4 2a e) 2kqQ/3 2a
140.En la Fig51, las esferas idénticas de masas m=2,510
-4
kg cada una, portan cargas igua
les, y están suspendidas de hilos idénticos de longitud l=10 cm, separados por una distan
cia d=25 cm. Si el ángulo que forman los hilos con la vertical es =20º, hallar la carga de
cada esfera. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, g=9,8 m/s
2
, n=10
-9
)
a) 100 nC b) 110 nC c) 120 nC d) 130 nC e) 140 nC
Fig51 Fig52
141.En la Fig52, las cargas puntuales de +Q y -2Q están separadas por una distancia d=20
cm La carga puntual "q" es equidistante a las dos anteriores, a una distancia x=20 cm de
+40C
-40C
5km
2km
10km
+10C
x(m)
Cl H
y(m)
e
5.10
-11
1,28.10
-10
x
+Q
+q
x
d
-2Q
y
l l
m m
g
q q
d
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225
su punto medio. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga "q" .
a) 21,3 kqQ b) 23,3 kqQ c) 25,3 kqQ d) 27,3 kqQ e) 29,3 kqQ
142.En la Fig53, tres cargas puntuales positivas +Q se colocan en tres vértices del cuadrado
de lados "L", y una cuarta carga puntual negativa –Q se coloca en el cuarto vértice. Ha
llar la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga negativa. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, Q=40 nC,
L=0,5 cm)
a) 1,1 N b) 1,3 N c) 1,5 N d) 1,7 N e) 1,9 N
143.En la Fig54, se distribuyen cuatro cargas puntuales de Q=4 C en los vértices del cua
drado de lados L=2 cm. ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=80 nC coloca
da en el centro del cuadrado. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, =10
-6
, n=10
-9
)
a) 4,1 N b) 4,3 N c) 4,5 N d) 4,7 N e) 4,9 N
Fig53 Fig54
144.Aunque los mejores datos experimentales de que se dispone concuerdan con la ley de
Coulomb, también coinciden con la ley modificada de Coulomb: F=kq1q2e
-r/ro
/r
2
en la que
o"r " es una constante con dimensiones de longitud, y con valor numérico que se sabe no
es menor que 10
9
m, y probablemente sea mucho mayor. Aquí, "e" es la base de los loga
ritmos naturales. Suponiendo que ro=1,010
9
m, ¿Cuál es la desviación fraccionaria entre
la ley de Coulomb y la ley modificada de Coulomb, para r=10 m? ¿Y para r=1,010
4
m?
145.En la Fig55, en los vértices del triángulo se encuentran fijas tres cargas puntuales +q, +q
y –q, de magnitudes iguales. Hallar la magnitud de la fuerza total sobre una de las cargas
positivas, debidas a las otras dos. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) kq
2
/a
2
b) 2kq
2
/a
2
c) kq
2
/2a
2
d) kq
2
/3a
2
e) 2kq
2
/3a
2
146.En la Fig56, las esferas de cargas q1=+200 nC y q2=+60 nC están suspendidas de hilos i
dénticos de longitud l=10 cm. Los hilos forman el mismo ángulo de equilibrio de =25º
con la vertical. Hallar la masa de cada esfera. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
, g=9,8 m/s
2
)
a) 3,13 g b) 3,31 g c) 3,51 g d) 3,71 g e) 3,91 g
147.En la Fig57, hay dos cargas iguales de +Q en dos vértices de un triángulo equilátero de
+Q
+Q
-Q
L
L
L
q
-Q
L
+Q
+Q
-Q
L
L
L
q
+Q
L
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Fuerza eléctrica
226
lado "a"; una tercera carga de " q" está en el otro vértice. A una distancia de "a / 2" fue
ra del triángulo y sobre la mediatriz de las cargas de " Q" está una carga o"q ", sobre la
cual la fuerza neta es cero. Hallar el valor de la relación q/Q.
a) 5,08 b) 5,28 c) 5,48 d) 5,68 e) 5,88
Fig55 Fig56
148.En la Fig58, dos cargas puntuales +Q y –Q, separadas por una distancia "d" (dipolo
eléc trico) están en el eje-x, en x=+d/2 y x=-d/2, respectivamente. Hallar fuerza resultante
so bre una tercera carga +q, situada en el eje-x en x>d/2. Simplifíquese el resultado y
obten ga la forma de la fuerza resultante aproximada para x>>d. (k=1/4o)
a) Qd/4ox
2
b) Qd/2ox
2
c) Qd/4ox
3
d) Qd/2ox
3
e) Qd/ox
2
Fig57 Fig58
149.En la Fig59, cuatro cargas puntuales iguales de q=+210
-7
C están en los vértices del te
traedro regular de lados a=2 cm. Hallar la fuerza que ejercen tres cargas sobre la cuarta
carga. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 2,0 N k̂ b) 2,2 N k̂ c) 2,4 N k̂ d) 2,6 N k̂ e) 2,8 N k̂
150.En la Fig60, las barras delgadas de longitudes " " tienen densidades de carga lineal de
" " , distribuidas uniformemente en sus longitudes. La distancia entre los extremos de las
barras es "d" . (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
, usar ln(x))
I) Hallar la expresión para la magnitud de la fuerza de repulsión entre las barras.
l
q q
l
a
+q -q
+q
a a
+qo
a
a
-q
+Q
+Q
a/2
a/2
a/2
q +Q
d/2
x
-Q
d/2
0
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227
II) Evaluar la fuerza de repulsión para: =4 nC/m, l=20 cm, d=4 cm.
a) 130,7 nN b) 140,7 nN c) 150,7 nN d) 160,7 nN e) 170,7 nN
III) Evaluar la fuerza de repulsión para: =4 nC/m, y l=d.
a) 41,4 nN b) 43,4 nN c) 45,4 nN d) 47,4 nN e) 49,4 nN
Fig59 Fig60
151.En la Fig61, dos cargas puntuales de Q=+8 C, están separadas por la distancia d=20
cm. Equidistante a estas cargas hay una tercera carga puntual q=-4 nC, a una distancia
"x" de su punto medio. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
, =10
-6
, n=10
-9
)
I) Hallar el valor de "x" , para el cual, el valor de la fuerza sobre " q" es máximo.
a) 7,07 cm b) 7,17 cm c) 7,27 cm d) 7,37 cm e) 7,47 cm
II) Hallar la magnitud de la fuerza máxima sobre la carga " q" .
a) 20,2 mN b) 21,2 mN c) 22,2 mN d) 23,2 mN e) 24,2 mN
Fig61 Fig. 62
152.En la Fig62, tres cargas puntuales positivas idénticas de +Q, +2Q, +3Q están en los vér
tices deltriángulo equilátero. En el centro de triángulo está una carga puntual de prueba
q
q q
q
a
a
a
a a
a
4
z
x
y
d
l l
-q
+Q
-Q
d
x
Q
2Q 3Q
qo
a a
a
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Fuerza eléctrica
228
negativa –qo. Las cuatro cargas están en equilibrio. La fuerza de atracción entre las cargas
+Q y –qo es "F". (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza resultante sobre la carga o" q " .
a) 2F b) 3F c) 2F / 2 d) 3F / 2 e) 5F
II) Hallar la dirección de la fuerza resultante sobre la carga o" q " .
a) 210º b) 240º c) 270º d) 300º e) 330º
153.Dos pequeñas esferas de plástico tienen cargas iguales de signos contrarios y magnitudes
desconocidas. Cuando la distancia entre los centros de las esferas es d=18 cm, la fuerza de
atracción entre ellas es de F=0,3 N, ¿Cuál es el exceso de electrones en una esfera y el dé
ficit de electrones en la otra? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, T=10
12
)
a) 2,25 T se
b) 3,25 T se
c) 4,25 T se
d) 5,25 T se
e) 6,25 T se
154.Las gotas de agua en las nubes de tormenta tienen cargas eléctricas. Supóngase que dos
de esas gotas caen, de lado a lado, separadas por una distancia horizontal de d=1 cm. Ca
da gota tiene radio R=0,5 mm, y carga Q=20 pC. Hallar la magnitud de la aceleración hori
zontal instantánea de cada una. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, =1000 kg/m
3
, p=10
-12
)
a) 64,7 mm/s
2
b) 65,7 mm/s
2
c) 66,7 mm/s
2
d) 67,7 mm/s
2
e) 68,7 mm/s
2
155.En la Fig63, en una versión diferente del electroscopio, se utiliza una esfera de corcho fi
ja y otra suspendida. La masa de la esfera suspendida es m=1,510
-4
kg, y la longitud del
hilo de suspensión es l=10 cm. La esfera fija está a d=10 cm directamente debajo del pun
to de suspensión de la esfera suspendida. Supóngase que cuando se suministran cargas e
léctricas iguales a las dos esferas, la fuerza de repulsión eléctrica empuja la esfera suspen
dida, ascendiendo esta hasta que su hilo forma un ángulo de =45º con la vertical. Hallar
la carga eléctrica de las esferas. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, g=9,8 m/s
2
, n=10
-9
)
a) 21,2 nC b) 23,2 nC c) 25,2 nC d) 27,2 nC e) 29,2 nC
Fig63 Fig64
d
l
m
45
o
Q
Q
g
Q
Q
Q Q
Q a
a
a
P
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229
156.En la Fig64, las cinco cargas puntuales situadas en los vértices del cubo de lados "a" tie
nen valor "Q" .
I) Hallar el vector fuerza eléctrica ejercida sobre la carga situada en el vértice P.
a) ˆ ˆ ˆ4,18i 0,68 j 4,28k b) ˆ ˆ ˆ4,28i 0,58 j 4,18k c) ˆ ˆ ˆ4,08i 0,38 j 4,38k
d) ˆ ˆ ˆ4,38i 0,48 j 4,08k e) ˆ ˆ ˆ4,48i 0,18 j 4,48k
II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga situada en el vértice P.
a) 4 N b) 5 N c) 6 N d) 7 N e) 8 N
157.En la Fig65, las cinco cargas puntuales situados en el triángulo rectángulo isósceles de
catetos l=21 cm tienen valor q=4 C. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica que experi
menta la carga situada en el vértice recto. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 15,17 N b) 15,37 N c) 15,57 N d) 15,77 N e) 15,97 N
158.En la Fig66, las cargas puntuales de valor q=6 C están situados en los puntos de inter
sección del cuarto de circunferencia de radio a=20 cm y mitad de circunferencia de diáme
tro a=20 cm. Hallar la fuerza eléctrica que ejerce la carga –q sobre la carga +q. (k=910
9
Nm
2
/C
2
a) 4,13 î - 9,46 ĵ b) 4,33 î - 9,26 ĵ c) 4,53 î - 9,06 ĵ d) 4,73 î - 9,66 ĵ e) 4,93 î - 9,86 ĵ
Fig65 Fig66
159.En el centro de un anillo de alambre delgado de carga q=+210
-8
C distribuida uniforme
mente en su longitud, se encuentra una carga puntual de Q=+810
-5
C. Si la magnitud de
la fuerza con la que se ensancha el anillo es T=(8/) N, hallar el radio del anillo.
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm
160.Demostrar que la fuerza de interacción eléctrica por unidad de área entre dos planos para
lelos muy grandes con densidades de carga superficiales uniformes 1" " y 2" " , separa
dos una distancia "d" , viene dado por: F/A=12/2o, siendo o" " una constante.
l
q
q
q
q
q
l
q
q
x
y
a
a 0
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230
161.En la Fig67, se lanza una partícula de carga "q" y masa "m" en una trayectoria perpen
dicular y dirigida hacia el centro O de la línea que une las partículas de cargas "Q" y ma
sas 0"m " (m0 >>m) separadas una distancia d=4 2 m. ¿A qué distancia de O la fuerza
sobre "q" es máxima?
a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m
162.En la Fig68, el anillo de radio R=30 cm, masa m=4 g y densidad lineal de carga unifor
me de =410
-8
C/m, esta en equilibrio en un plano horizontal, en la presencia de la esferi
ta cargada que se halla a una distancia d=40 cm del centro del anillo. Hallar el valor de la
carga eléctrica de la esferita. (k=910
9
Nm
2
/ C
2
, =10
-6
)
a) 18,0C b) 18,2C c) 18,4C d) 18,6C e) 18,8C
Fig67 Fig68
163.En la Fig69, hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre los filamentos
metálicos muy finos de longitudes a=10 cm y 2a=20 cm, y densidades de carga lineal uni
formes =210
-5
C/m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, usar log(x))
a) 1,20 N b) 1,25 N c) 1,30 N d) 1,35 N e) 1,40
Fig69 Fig70
164.En la Fig70, en el tubo horizontal de longitud l=25 cm se halla una bola con carga de
Q=+6C, y en sus extremos esferitas fijas de cargas q1=+9C, q2=+4C. Hallar la posi
ción de equilibrio de la bola.
m, q
0
+Q
+Q
22
d
Q
g
-
2a
a
a
l
q1 q2 Q x=?
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231
a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 18 cm
165.En la Fig71, la esferilla de masa m=90g y carga eléctrica "q" se encuentra en equilibrio
en la posición mostrada. La otra esferilla de carga "3q" se encuentra fijo, el radio del cas
quete, dieléctrico y liso, es R=10 cm. Hallar el valor de la carga "q". (g=10 m/s
2
)
a) 1C b) 2C c) 3C d) 4C e) 5C
166.En la Fig72, las mitades del anillo muy delgado de radio R=20 cm, tienen densidades de
carga lineal de =2 nC/m. Hallar la fuerza que ejerce el anillo sobre la carga de prueba
qo=8 pC, ubicada en su centro. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
, p=10
-12
)
a) 1,04 ĵ nN b) 1,24 î nN c) 1,44 ĵ nN d) 1,64 î nN e) 1,84 k̂ nN
Fig71 Fig72
167.Un cubo de arista a=3 cm tiene una carga q=2 C, en cada uno de sus vértices. Hallar la
magnitud de la fuerza eléctrica resultante en cualquiera de uno de sus vértices. k= 910
9
Nm
2
/C
2
.
a) 131,2 N b) 131,4 N c) 131,6 N d) 131,8 N e) 132,0 N
168.Dos bolas de igual carga y con masas de m=180 g, se suspenden de un mismo punto por
medio de hilos de longitud l=20 cm, separándose y formando entre los hilos un ángulo
recto. Hallar el valor de la carga de las bolas. (g=10 m/s
2
, k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 1 C b) 2 C c) 3 C d) 4 C e) 5 C
169.En la Fig73, las cargas iguales a q=+210
-10
C están unidaspor ligas de longitud normal
L=10 cm, constante de elasticidad k= 900 N/m y sabiendo que d<<L. Hallar la distancia
de separación "d" . (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 0,1 cm b) 0,2 cm c) 0,3 cm d) 0,4 cm e) 0,5 cm
170.En la Fig74, siete cargas idénticas q=+4 C están unidas mediante iguales hilos elásti
cos Después de dejar las cargas libres, las longitudes de los hilos son de l=30 cm. Hallar la
tensión de cada hilo. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, e=-1,60210
-19
C)
a) 4,22 N b) 4,32 N c) 4,42 N d) 4,52 N e) 4,62 N
FIJO
m ; q
300
3q
R 0
z
x
y
qo
+
-
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232
Fig73 Fig74
171.En la Fig75, la esferita cargada de masa m=5 g gira en un plano horizontal suspendido
de un hilo dentro de un ascensor que sube con aceleración de a=2 m/s
2
. El radio de giro de
la trayectoria es R= 0,02 m y su velocidad angular =20 rad/s. Hallar la carga "q" si:
=45
0
g=10 m/s
2
, k=910
9
Nm
2
/C
2
y n=10
-9
a) 29,2 nC b) 29,4 nC c) 29,6 nC d) 29,8 nC e) 30,2 nC
172.En el eje de un anillo de alambre muy fino de radio R=30 cm y carga Q=+310
-10
C distri
buida uniformemente, se ubica un electrón a una distancia "x" de su centro (x<<R). Ha
llar el período de las pequeñas oscilaciones del electrón. (e=-1,610
-19
C, me= 9,110
-31
kg
k=910
9
Nm
2
/C
2
y =10
-6
)
a) 1,3 s b) 1,5 s c) 1,7 s d) 1,9 s e) 2,1 s
Fig75 Fig76
173.En la Fig76, cuatro cargas positivas q, Q, q, Q están unidas mediante cinco hilos de
longitud l de la forma mostrada (Q>q). Hallar la tensión del hilo que une las cargas Q.
(q=3 C, Q=8 C, l=30 cm y k=9109 Nm2/C2)
a) 6,21 N b) 6,23 N c) 6,25 N d) 6,27 N e) 6,29 N
174.En los vértices de un tetraedro regular de arista a=30 cm se ubican cuatro cargas iguales
a q=+410
-7
C. Hallar la fuerza eléctrica sobre una carga q0 =+210
-7
C ubicada en el cen
tro de la base del tetraedro. (k=910
9
Nm
2
/ C
2
y m=10
-3
)
q
q
q
q
q
q
q
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
g
q, m
q
a
R
q q
Q
Q
l l
l
l l
2l
q
q
d
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Robótica y Cibernética
233
a) 10 mN b) 12 mN c) 14 mN d) 16 mN e) 18 mN
175.Tres esferitas idénticas de masas m=360 g y cargas "q" están suspendidas de un mismo
punto mediante hilos de longitudes l=2 cm, formando una pirámide cuya base es un trián
gulo equilátero de lados igual a a= 3 cm. Hallar la carga eléctrica de cada esferita. (k=
910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
a) 500 nC b) 400 nC c) 300 nC d) 200 nC e) 100 nC
176.En la Fig77, las posiciones de las cargas q1 = +4 C y q2 = +9 C vienen dadas por los
radios vectores 1r y 2r . Hallar el valor de una tercera carga negativa 3"q " , tal que la fuer
za eléctrica sobre cada una de estas cargas sea nula.
a) 1,40 C b) 1,42 C c) 1,44 C d) 1,46 C e) 1,48 C
177.En la Fig78, las cuatro cargas positivas Q, q, Q, q se unen entre sí mediante cuatro hilos
de longitudes l=10 cm. Hallar aproximadamente el valor del ángulo "", si Q=16 C, q=
2 C , y k=910
9
Nm
2
/C
2
.
a) 20
0
b) 22
0
c) 24
0
d) 26
0
e) 28
0
Fig77 Fig78
178.Dos esferitas cargadas, de igual radio y peso, suspendidas de hilos de igual longitud, se
sumergen en un dieléctrico de densidad 1=1200 kg/m
3
y de constante dieléctrica k=3. Ha
llar la densidad "" del material de las esferas para que los ángulos de separación de los
hilos en el aire y en el dieléctrico sean iguales. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 900 kg/m
3
b) 1800 kg/m
3
c) 1500 kg/m
3
d) 700 kg/m
3
e) 1200 kg/m
3
179.Hallar la fuerza por unidad de área (presión), con que se repelen dos planos infinitos con
densidades de carga superficial uniformes de =210
-5
C/m
2
. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 7,2 Pa b) 6,4 Pa c) 3,2 Pa d) 1,2 Pa e) 2,4 Pa
180.Se tienen cuatro cargas "q" fijas en los vértices de un cuadrado horizontal de lado igual
a l=10 2 cm. Una carga eléctrica q=-1,610-19 C de masa m=9,110-31 kg se desplaza des
de el centro del cuadrado hacia arriba una pequeña distancia "x" y se libera. Hallar el pe
r1
r2
Z
X
Y
q1
q2
Q
q
q
l
l
l
l
Q
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Fuerza eléctrica
234
ríodo de sus oscilaciones. (Despreciar la gravedad sobre " q" , además 10 2 x y k=
910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
)
a) 6,20 ms b) 6,11ms c) 6,24 ms d) 6,26 ms e) 6,28 ms
181.En el centro de un anillo de alambre fino, de radio R=3 cm, y carga eléctrica q=+210
-8
C
se encuentra otra carga Q=+810
-5
C (siendo Q>>q). Hallar la fuerza con la que el anillo
se ensancha.
a) (2/) N b) (4/) N c) (6/) N d) (8/) N e) (10/) N
182.Dos partículas de cargas Q=+410
-9
C están fijas y separadas por una distancia a=1 cm.
Una tercera partícula de carga q=-810
-10
C y masa m=910
-22
kg, se ubica a una distancia
"x" del centro de la recta que une las cargas "Q"(x<<d), y se libera. Hallar el período de
las pequeñas oscilaciones de la partícula de carga "q" . (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
a) 88,0 ps b) 88,2 ps c) 88,4 ps d) 88,6 ps e) 88,8 ps
183.Un cuerpo de masa m= 910
-23
kg y carga eléctrica q= 810
-10
C está suspendido de un hi
lo de longitud l=4 cm. A una distancia h=2 cm debajo del mismo, se halla una lámina me
tálica infinita. Hallar el período de las oscilaciones libres de éste cuerpo. (n=10
-9
)
a) 1 ns b) 2 ns c) 3 ns d) 4 ns e) 5 ns
184.En la Fig79, la posición de las cargas eléctricas q1=4 C y q2=9 C, vienen dados por
los radios vectores 1r y 2r . Hallar el radio vector 3r que define la posición de una tercera
carga negativa 3"q " , tal que, la fuerza que actué sobre cada una de éstas cargas sea nula.
a) 1 2
2 3
r r
5 5
b) 1 2
3 2
r r
5 5
c) 1 2
1 2
r r
3 3
d) 1 2
2 1
r r
3 3
e) 1 2
3 1
r r
4 4
185.En la Fig80, las esferitas de cargas eléctricas q1=0,2 C q2=4 C y q3=6 C se unen en
línea recta mediante hilos de longitudes iguales a l=3 cm. Hallar la tensión del hilo que
une las esferitas de cargas 1"q " y 2"q " . (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 11 N b) 13 N c) 15 N d) 17 N e) 19 N
Fig79 Fig80
r1
r2
Z
X
Y
q1
q2
l
q1 q2 q3
l
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235
186.Tres cargas positivas iguales a q=2 C están ubicadas en los vértices de un tetraedro,
formado por triángulos equiláteros de lados a=3 cm. Hallar la fuerza ejercida sobre cual
quiera de una de las cargas ubicadas en los vértices del tetraedro. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 20 3 N b) 25 2 N c) 40 6 N d) 60 5 N e) 45 3 N
187.En la Fig81, estímese la densidad superficial de carga uniforme " " en las placas del e
lectroscopio que se separan un ángulo de =1,8º, ( <<1). La masa de la unidad de área
de las placas es =1,44 kg/m
2
. (k=910
9
Nm2
/ C
2
y g=10 m/s
2
)
a) 1 C/m
2
b) 2 C/m
2
c) 3 C/m
2
d) 4 C/m
2
e) 5 C/m
2
188.En la Fig82, en los vértices del hexágono regular de lado "a" se ubican cargas eléctricas
iguales a "+q". ¿Para qué valor de la carga "Q" , situada en el centro del hexágono, el siste
ma de cargas permanece en equilibrio. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 1,81 q b) 1,83 q c) 1,85 q d) 1,87 q e) 1,89 q
Fig81 Fig82
189.En la Fig83, hallar la tensión del hilo que une las bolas idénticas de radio r=3 cm, en cu
yo centro se encuentran cargas iguales a Q=810
-7
C. Una de las bolas flota en la superfi
cie del agua de densidad =10
3
kg/m
3
y la segunda bola tiene una masa m=1 kg y está
suspendida del hilo permaneciendo dentro del agua. La distancia entre los centros de las
bolas es l=8 cm. (k = 9109 Nm2/C2, g=10 m/s2)
a) 9,99 N b) 9,77 N c) 9,55 N d) 9,33 N e) 9,11 N
190.En la Fig84, ¿Con qué fuerza actúa sobre las caras del tetraedro la carga puntual de va
lor q=610
-6
C ubicada en su centro? La densidad superficial de carga uniforme en las
caras es =810
-9
C/m
2
. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
)
a) 1,30 mN b) 1,32 mN c) 1,34 mN d) 1,36 mN e) 1,38 mN
191.En la Fig85, hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre el anillo de a
lambre fino de radio R=10 cm y carga eléctrica q=410
-6
C y el hilo metálico muy largo
de densidad lineal de carga uniforme =210
-10
C/m, que pasa por el centro del anillo.
g
q q
q q
q q
Q
a a
a
a
a a
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236
a) 12 N b) 24 N c) 36 N d) 48 N e) 72 N
Fig83 Fig84
192.En la Fig86, ¿Qué carga puede suministrarse a la gota de radio R=0,5 cm, si el coefi
ciente de tensión superficial es igual a =0,5 N/m? (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 14,7 nC b) 16,7 nC c) 18,7 nC d) 20,7 nC e) 22,7 nC
Fig85 Fig86
193.Una esfera conductora de radio R=30 cm se corta en dos hemisferios, conectados a tierra
y colocados en un campo uniforme de magnitud E0=40 N/C con el corte normal al campo
eléctrico. Hallar la magnitud de la fuerza que tiende a separar los hemisferios. (n=10
-9
)
a) 1 nN b) 3 nN c) 6 nN d) 9 nN e) 12 nN
194.En la Fig87, dos planos conductores infinitos, al cortarse bajo un ángulo recto, dividen
el espacio en cuatro zonas. En la zona I se encuentra la carga q=410
-7
C a una misma dis
tancia a=30 cm de los dos planos. Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga.
a) 3,66 mN b) 3,60 mN c) 3,68 mN d) 3,64 mN e) 3,62 mN
195.En la Fig88, hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga q=810
-6
C, situada en el cen
tro de la envoltura esférica metálica aislada sin carga de radio R=1 m, si en ella hay un pe
queño orificio de radio r=10 mm (r<<R). El grosor de la envoltura es h=0,1 mm (h<<r).
a) 2,80 nN b) 2,82 nN c) 2,84 nN d) 2,86 nN e) 2,88 nN
¿Q?
R
g
q
A B
C
D
q
R
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237
Fig87 Fig88
196.Un anillo metálico de radio R=10 cm, posee una carga Q=2 C, distribuida uniformemen
te sobre su longitud. Este anillo se rompe bajo la acción de las fuerzas coulombianas,
cuando la carga es "Q", se hace otro anillo nuevo idéntico al anterior, pero de un material
cuya resistencia mecánica es 10 veces mayor, ¿Qué carga romperá el nuevo anillo?
a) 6,30 C b) 6,32 C c) 6,34 C d) 6,36 C e) 6,38 C
197.Un anillo metálico de radio "R", posee una carga "Q" , distribuida uniformemente en to
da su longitud. ¿Qué carga "q" romperá un anillo nuevo fabricado del mismo material, si
las dimensiones de este anillo nuevo son tres veces mayor que los del anillo inicial?
a) Q b) 3Q c) 6Q d) 9Q e) 12Q
198.En la Fig89, cuatro electrones, situados en los vértices de un cuadrado de lado a=1 mm,
giran describiendo una órbita circular alrededor del protón. Este se encuentra en el centro
de dicho cuadrado. Hallar la velocidad angular (en red/s) del movimiento de los electro
nes por la órbita. (m= 9,110
-31
kg, k=910
9
Nm
2
/ C
2
)
a) 1,7010
5
b) 1,7210
5
c) 1,7410
5
d) 1,7610
5
e) 1,7810
5
199.Una moneda de cobre eléctricamente neutra tiene una masa de m=128 g, Número atómi
co=29 y Peso atómico= 64, ¿Cuál es el valor de la carga positiva total de sus átomos?
a) 5,51 MC b) 5,53 MC c) 5,55 MC d) 5,57 MC e) 5,59 MC
200.Un disco muy delgado de radio a=30 cm, posee una densidad superficial de carga que va
ría con "r" según la relación, =o (r /a), siendo o=210
-8
C/m
2
una constante. Hallar la
carga total del disco. (n=10
-9
)
a) 3,71 nC b) 3,73 nC c) 3,75 nC d) 3,77 nC e) 3,79 nC
201.La expresión: or / r 2 2o o(r, ) e cos /(r / r )
es una densidad de carga volumétrica en
coordenadas esféricas, siendo el ángulo formado por la proyección de "r" sobre el pla
no XY con el eje X. Hallar la cantidad de carga en el volumen esférico encerrado por
r=5r0. (0=210
-10
C/m
3
, r0 =20 cm , p=10
-12
)
a) 9,11 pC b) 9,33 pC c) 9,55 pC d) 9,77 pC e) 9,99 pC
q
R
h
r
a
a
IV
III
I
II
q
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238
202.Un anillo metálico de radio R=10 cm, posee una carga de Q=810
-6
C, distribuida unifor
memente en toda su longitud. Hallar la magnitud de la fuerza resultante sobre el anillo, de
bido a las fuerzas coulombianas. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 1,42 N b) 1,44 N c) 1,46 N d) 1,48 N e) 1,50 N
203.En la Fig90, las bolas pequeñas con cargas iguales y masas m=400 g se cuelgan de hilos
de seda de longitud l=20 cm a un mismo punto. La distancia entre ellas es x<< . Hallar la
velocidad de fuga de las cargas dq/dt de cada una de bolas, si la velocidad de su aproxima
ción varía según la ley v a / x , siendo a=20 una constante. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 1 mC/s b) 2 mC/s c) 3 mC/s d) 4 mC/s e) 5 mC/s
Fig89 Fig90
204.En la Fig91, la partícula de carga eléctrica q0=210
-9
C y masa m=810
-8
kg está en
equilibrio en el centro de la base circular del cono hueco regular de altura h=10 cm y
ángulo del vértice 2=/2. ¿Cuál es la densidad de carga superficial uniforme del cono?
a) 1,7 nC/m
2
b) 3,7 nC/m
2
c) 5,7 nC/m
2
d) 7,7 nC/m
2
e) 9,7 nC/m
2
205.En la Fig92, la partícula de carga eléctrica q0=210
-21
C y masa m=310
-20
kg, situada en
el centro de la base del hemisferio hueco de radio R=10 cm está en equilibrio. Hallar la
densidad superficial de carga uniforme " " (en nC/m
2
) del hemisferio. (k=910
9
Nm
2
/C
2
,
n=10
-9
)
a) 1,65 b) 2,65 c) 4,65 d) 6,65 e) 8,65
Fig91 Fig92
H
q
g
R
m
g
a
a
a
a
-e -e
-e -e
q q
x
l l
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239
206.Se tienen dos partículasde cargas eléctricas q1 =5 C y q2= 6 C, ubicados en los puntos
(-1, 1, -3) m y (3, 1, 0) m respectivamente. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica que e
jerce 2"q " sobre 1"q " . (k=90
9
Nm
2
/C
2
, =10
-6
, m=10
-3
)
a) 10,0 mN b) 10,2 mN c) 10,4 mN d) 10,6 mN e) 10,8 mN
207.En la Fig93, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica ejercida por el alambre muy delga
do de forma semicircular de radio R=20 cm con densidad de carga lineal uniforme
410
-9
C/m sobre la partícula de carga q0=210
-8
C. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 12 N b) 24 N c) 36 N d) 48 N e) 72 N
208.Hallar la aceleración instantánea (en Tm/s
2
) que adquiere una partícula de carga q0=
1,610
-19
C y masa m=9,110
-31
kg, al ser ubicada en un punto del eje de un anillo a una
distancia d=10 cm de su centro, el anillo tiene radio R=10 cm y densidad lineal de carga u
niforme =210
-10
C/m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, T=10
12
)
a) 7,01 b) 7,03 c) 7,05 d) 7,07 e) 7,09
209.En la Fig94, la esfera de paredes delgadas, no conductora de radio R=50 cm, carga eléc
trica Q=610
-5
C, y masa M=1 kg presenta dos orificios pequeños diametralmente opues
tos. En el instante inicial la esfera está en reposo. Por la recta que une los orificios se mue
ve del infinito con rapidez de 210
4
m/s una bolita de masa m=10 g y carga q=410
-9
C.
Hallar el tiempo que demora la bolilla en recorrer la esfera a través del agujero. (=10
-6
)
a) 100 s b) 110 s c) 120 s d) 130 s e) 140 s
Fig93 Fig94
210.En la Fig95, el extremo izquierdo del filamento rectilíneo de longitud l=40 cm se en
cuentra a una distancia de d=20 cm de la carga puntual o"q ", situada en el centro del fila
mento en forma de semicircunferencia de radio R=20 cm. ¿Para que razón de las densida
des de carga 2/1=?, la fuerza sobre la carga de prueba o"q " es nula? (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 2 b) 3 c) 4 d) 0,5 e) 0,25
211.En la Fig96, la lámina rectangular de lados a=20 cm, b=30 cm y grosor c= 0,1 mm tiene
una carga eléctrica q=12 C distribuida uniformemente sobre su superficie. Hallar la fuer
R
R
q0
v
d R
Q, M
q
v0=0
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Fuerza eléctrica
240
za sobre la carga eléctrica puntual Q= 410
-8
C, ubicada a una distancia d=4 mm de la lá
mina. (=10
-6
)
a) 0,223 N b) 0,225 N c) 0,227 N d) 0,221 N e) 0,229 N
Fig95 Fig96
212.En la Fig97, la esfera de radio R=20 cm y carga Q=8.10
-6
C distribuida uniformemente
se corta en dos partes por un plano que dista h=10 cm del centro de esta. ¿Qué carga mí
nima "q" debe ubicarse en el centro de la esfera para que las partes de ésta no se recha
cen?
a) 1 C b) 2 C c) 4 C d) 6 C e) 8 C
213.En la Fig97, la esfera cargada uniformemente de radio R=20 cm se corta en dos partes
por un plano que dista h=10 cm del centro de esta, la carga total de la esfera es Q=410
-7
C. Hallar la fuerza con que se rechazan mutuamente las partes de la esfera.
a) 3,371 mN b) 3,373 mN c) 3,375 mN d) 3,377 mN e) 3,379 mN
214.En la Fig98, hallar la variación de la fuerza de interacción eléctrica entre la esfera
metáli ca de radio R=10 cm, carga eléctrica QS= 6C y la carga puntual q=40 nC ubicada
a una distancia d=20 cm del centro de la esfera, si la carga de este aumenta en Q=2 C.
a) 12 mN b) 14 mN c) 16 mN d) 18 mN e) 20 mN
Fig97 Fig98
215.Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica entre una carga puntual q=210
-7
C y una esfera
conductora descargada de radio R=10 cm. La carga puntual está ubicada a una distancia
d=20 cm del centro de la esfera. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
d
q
R
QS
R
h
R.SABRERA
R
R q0
1
2
d l
d
b
a
c
Q
q
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241
a) 3,1 mN b) 3,3 mN c) 3,5 mN d) 3,7 mN e) 3,9 mN
216.En la Fig99, el dipolo eléctrico, de momento dipolar p=1210
-9
Cm, se halla a una dis
tancia d=3 cm del plano infinito conectado a tierra. Hallar la fuerza eléctrica ejercida por
el dipolo sobre este plano, en una aproximación hasta el 2do orden. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 0,2 N b) 0,4 N c) 0,6 N d) 0,8 N e) 1,0 N
217.En la Fig100, cada uno de los cinco alambres rectilíneos delgados paralelos separados
por una distancia d=2 mm, tienen longitudes infinitas y densidades de carga lineal unifor
me de =810
-7
C/m. Hallar la fuerza de interacción eléctrica por unidad de longitud en el
alambre (1). (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 8 N/m b) 9 N/m c) 10 N/m d) 11 N/m e) 12 N/m
Fig99 Fig100
218.Se tiene un cono regular compacto de radio de la base circular "R" , altura H=50 cm y
carga eléctrica Q=610
-6
C, distribuida uniformemente en su volumen. Hallar la magnitud
de la fuerza eléctrica que ejerce el cono sobre una partícula de carga q=210
-8
C, situada
en su vértice (R= 3 H, k=910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
)
a) 1,56 mN b) 1,76 mN c) 1,96 mN d) 2,16 mN e) 2,36 mN
219.Se tiene un disco de radio R=20 cm, y densidad de carga superficial no uniforme dada
por - para 0 < r < a, y + para a < r < b. ¿Para qué valor de "a", la fuerza sobre una car
ga de prueba o"q ", situada en el eje del disco a la distancia "a" de su centro, es nulo? (k=
910
9
Nm
2
/C
2
, b=20 cm)
a) 0,83 cm b) 1,23 cm c) 1,63 cm d) 2,03 cm e) 2,43 cm
220.En la Fig101, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba o"q "si
tuada en el centro común de las semicircunferencias de radios r=10 cm y R=20 cm, for
madas por un alambre delgado de densidad de carga lineal uniforme de =200 pC/m.
(k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
)
a) 10qo b) 12qo c) 14qo d) 16qo e) 18qo
1
2
5
d
p
-q +q d
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242
221.En la Fig102, hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre el disco delga
do de plástico de radio R=20 cm y densidad de carga superficial uniforme =4 nC/m
2
y
el alambre metálico fino muy largo de densidad lineal de carga uniforme de =2 nC/m,
ubicado en el eje del disco. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
a) 51 nN b) 53 nN c) 55 nN d) 57 nN e) 59 nN
Fig101 Fig102
222.Una carga de prueba o"q " se encuentra sobre el eje de simetría de un disco de plástico de
radio R=10 cm, y densidad de carga superficial =800 pC/m
2
, a la distancia d=10 cm de
su centro. ¿En que porcentaje debe aumentar o disminuir el radio del disco, manteniendo
constante la distancia y la densidad, para que la fuerza sobre o"q " aumente en un 50 %?
a) 41,69 % b) 43,69 % c) 45,69 % d) 47,69 % e) 49,69 %
223.Dos filamentos muy delgados en forma de segmentos rectilíneos y cuadrante de circunfe
rencia tienen una densidad de carga lineal uniforme de =8 nC/m, y están en un mismo
plano separados por una distancia de =0,4 mm. Hallar la magnitud de la fuerza sobre la
carga de prueba qo=5 pC. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, R=20 cm, n=10
-9
, p=10
-12
)
a) 5,1 pN b) 5,3 pN c) 5,5 pN d) 5,7 pN e) 5,9 pN
224.Un cilindro compacto de radio R=20 cm, estadividido en dos partes, la primera tiene u
na longitud 1" " y una densidad de carga volumétrica uniforme 1" " , y la segunda una
longitud 2" " y una densidad de carga volumétrica uniforme 2" " . ¿Para que longitud
2" ", la fuerza sobre una carga de prueba o"q ", situada en el centro de la superficie de in
terfase es nula? (k=910
9
Nm
2
/C
2
, 2=21, l1=40 cm, R=20 cm)
a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 18 cm
225.En la Fig103, se ilustra el sistema de desviación electrostática de un osciloscopio de ra
yos catódicos. Los electrones de un cátodo calentado (C) adquieren una velocidad inicial
u = o
ˆu k de un ánodo cargado positivamente. Los electrones ingresan en z=0 en una región
de placas de desviación (D) donde se mantiene un campo eléctrico uniforme d d
ˆE E j en
un ancho "w". Hallar la desviación vertical de los electrones en la pantalla fluorescente
(P) en z=L. Ignórese los efectos gravitatorios.
qo
R
r
R
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243
226.En la Fig103, el osciloscopio de rayos catódicos (ORC) se usa para medir el voltaje apli
cado a las placas de desviación paralelas.
I) Asumiendo que no hay rupturas en el aislamiento, ¿Cuál es el voltaje máximo que puede
medirse si la distancia de separación entre las placas es "h"?
a) o
u hm
( )
e w
b) 2o
u hm
( )
e w
c) o
u he
( )
m w
d) o
u wm
( )
e h
e) 2o
u wm
( )
e h
II) ¿Cuál es la restricción de "L" si el diámetro de la pantalla es "D"?
III) ¿Qué puede hacerse con una geometría fija para duplicar el voltaje máximo que puede me
dir el ORC?
227.En la Fig104, tres cargas puntuales de q1=q2=q3=2 C están situadas en el aire, en los
vérices de un triángulo equilátero de a=10 cm de lado. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza experimentada por cada carga.
a) 6,04 N b) 6,24 N c) 6,44 N d) 6,64 N e) 6,84 N
II) Hallar la dirección de la fuerza que experimenta la carga "2", respecto del eje x.
a) 30
o
b) 37
o
c) 45
o
d) 53
o
e) 90
o
Fig103 Fig104
228.Dos cargas puntuales "Q1", "Q2" están situadas en (0,-5,-1) y (0,-2,6) respectivamente.
I) Hallar la razón Q1/Q2 para que la fuerza total ejercida sobre una carga de prueba en el pun
to P(0, 2, 3) no tenga componente en y.
a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 4/5
II) Hallar la razón Q1/Q2 para que la fuerza total ejercida sobre una carga de prueba en el pun
to P(0, 2, 3) no tenga componente en z.
a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 4/5
229.Tres cargas puntuales Q1=-9 C, Q2=4 C y Q3=-36 C se disponen en una línea recta.
La distancia entre Q1 y Q3 es d=9 cm. Se sabe que se puede seleccionar una posición para
Q2 de forma que todas las cargas experimenten una fuerza nula. Hallar esta posición para
L
z
y
w
uo
d1
Ed
C
D
P
d
60
o
+q1 +q3
+q2 y
x 0
a a
a
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244
la carga Q2.
a) 1,0 cm b) 1,5 cm c) 2,0 cm d) 2,5 cm e) 3,0 cm
230.Calcular la relación entre las fuerzas de interacción electrostática y gravitacional.
I) Para dos electrones.
a) 410
40
b) 410
41
c) 410
42
d) 410
43
e) 410
44
II) Para dos protones.
a) 110
32
b) 110
33
c) 110
34
d) 110
35
e) 110
36
III) ¿Con qué valor de la carga especifica "q/m" (en C/kg) de una partícula estas fuerzas resul
tarían iguales en modulo en caso de interacción de partículas idénticas?
a) 0,8610
-10
b) 0,8610
-11
c) 0,8610
-12
d) 0,8610
-13
e) 0,8610
-14
231.¿Con qué fuerza interaccionarían dos bolas de cobre, de 1 g de masa cada una, encontrán
dose a 1 m de distancia una de otra, si la carga total de todos los electrones en ellas se dife
renciara en un 1 % de la carga total de todos los núcleos? (z=29, M=63,54 g/mol, NA=
6,02310
23
átomos/mol, e=-1,610
-19
C, k=910
9
Nm
2
/C
2
, P=10
15
)
a) 1,14 PN b) 1,34 PN c) 1,54 PN d) 1,74 PN e) 1,94 PN
232.Cargas puntuales de Q1=1 mC y Q2=-2 mC se ubican en los puntos de coordenadas A(3,
2,-1) y B(-1,-1, 4), respectivamente. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre una carga q=10 nC ubicada en el punto
C(0, 3, 1).
a) 10,2 N/C b) 10,4 N/C c) 10,6 N/C d) 10,8 N/C e) 11,0 N/C
II) Hallar la magnitud de la intensidad del campo eléctrico (en kV/m) en el punto C.
a) 1054 b) 1064 c) 1074 d) 1084 e) 1094
233.En la Fig105, dos cargas puntuales de igual masa "m" y carga "Q" están suspendidas de
un punto común O por dos hilos de masa despreciable y longitud "l".
I) Demuestre que en equilibrio, el ángulo de inclinación "" de cada hilo respecto de la verti
cal está dado por: Q
2
=16omgl
2
sen
2
tg .
II) Probar que para "" mínimo la expresión anterior se reduce a: =[Q
2
/16omgl
2
]
1/3
.
234.En la Fig106, la separación electrostática de sólidos es una aplicación práctica de la elec
trostática. El mineral de fosfato de Florida, consistente en pequeñas partículas de cuarzo y
roca fosfata, por ejemplo, puede separarse en sus componentes aplicando un campo eléc
trico uniforme E=500 kV/m. Si se supone una velocidad y un desplazamiento iniciales de
cero, hallar la separación entre las partículas tras caer 80 cm. Sea Q/m=9 C/kg para partí
culas de carga tanto positiva como negativa. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
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Robótica y Cibernética
245
a) 70,47 cm b) 71,47 cm c) 72,47 cm d) 73,47 cm e) 74,47 cm
Fig105 Fig106
235.Tres pequeñas esferitas idénticas de masa "m" están suspendidas de un punto común por
hilos de masa despreciable de longitudes "l". Una carga "Q" se divide en tres partes igua
les entre las esferas, las cuáles alcanzan el equilibrio formando un triángulo equilátero
horizontal de lados "a". Demostrar que Q
2
=12omga
3
[l2-a2/3]-1/2, donde "g" es la acelera
ción debida a la gravedad.
236.Una lámina finita definida por, 0 x1 (m), 0 y1 (m) en el plano z=0 tiene una densi
dad de carga superficial dada por, S=xy(x
2
+y
2
+25)
3/2
nC/m
2
. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la cantidad de carga eléctrica contenida en la lámina.
a) 30,15 nC b) 31,15 nC c) 32,15 nC d) 33,15 nC e) 34,15 nC
II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P de coordenadas (0, 0, 5) m.
a) 11,05 V/m b) 11,25 V/m c) 11,45 V/m d) 11,65 V/m e) 11,85 V/m
III) Hallar la dirección del campo eléctrico, medido respecto del eje x.
a) 95,53
o
b) 96,53
o
c) 97,53
o
d) 98,53
o
e) 99,53
o
IV) Hallar la fuerza que experimenta una carga puntual de -1 mC colocado en el punto P.
a) 11,05 mN b) 11,25 mN c) 11,45 mN d) 11,65 mN e) 11,85 mN
237.Una placa cuadrada definida por: -2 x2 (m), -2y2 (m), z=0, tiene una densidad de
carga superficial dada por: =12 y mC/m
2
.
I) Hallar la cantidad de carga eléctrica contenida en la lámina.
a) 190 mC b) 192 mC c) 194 mC d) 196 mC e) 198 mC
II) Hallar la magnitud del campo eléctrico (en MV/m) en el punto P(0, 0, 10) m.
a) 16,02 b) 16,22 c) 16,42 d) 17,62 e) 16,82
q,m
l
O
l
g
q,m
E
d
h
cuarzo fosfato
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Fuerza eléctrica
246
238.Los planos x=2 y y=-3 tienen densidades de carga superficial de 1=10 nC/m
2
y 2=15
nC/m
2
, respectivamente. Si la línea x=0, z=2 tiene una densidad de carga lineal de =10
nC/m.Hallar la magnitud del campo eléctrico resultante en el punto P(1, 1,-1).
a) 1000 V/m b) 1004 V/m c) 1008 V/m d) 1012 V/m e) 1016 V/m
239.La densidad de flujo en cierta región del espacio está dada por: D =zcos
2
k̂ C/m
2
.
I) Hallar la densidad de carga eléctrica en el punto P(1, /4, 3).
a) 0,3 C/m
3
b) 0,4 C/m
3
c) 0,5 C/m
3
d) 0,6 C/m
3
e) 0,7 C/m
3
II) Hallar la carga eléctrica total encerrada en el cilindro de radio 1 m con -2z2 m.
a) 2/3 C b) 4/3 C c) 3/2 C d) 3/4 C e) 3/5 C
240.La densidad de flujo en cierta región del espacio está dada por: D =(2y
2
+z) î +4xy ĵ+x k̂
C/m
2
.
I) Hallar la densidad de carga eléctrica en el punto P(-1, 0, 3).
a) -2,0 C/m
3
b) 2,0 C/m
3
c) 3,0 C/m
3
d) -3,0 C/m
3
e) -4,0 C/m
3
II) Hallar la carga eléctrica total encerrada por el cubo 0x1, 0y1, 0z1.
a) 1 C b) 2 C c) 3 C d) 4 C e) 5 C
241.Las cargas puntuales Q1=5 C y Q2=-4 C se sitúan en los puntos A(3, 2, 1) y B(-4, 0, 0)
respectivamente.
I) Hallar la magnitud de la fuerza (en 10
-3
V/m) sobre la carga Q1.
a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94
II) Hallar el ángulo que forma el campo eléctrico con el eje x positivo.
a) 160,2
o
b) 162,2
o
c) 164,2
o
d) 166,2
o
e) 168,2
o
242.Cinco cargas puntuales idénticas de Q=15 C se localizan en el centro y vértices de un
cuadrado definido por -1x, y<1, z=0.
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga puntual de q=10 C en el punto P(0, 0, 2).
a) 1,012 N b) 1,032 N c) 1,052 N d) 1,072 N e) 1,092 N
II) Hallar la magnitud de la intensidad del campo eléctrico (en kV/m) en el punto P(0, 0, 2).
a) 101,2 b) 103,2 c) 105,2 d) 107,2 e) 109,2
243.Las cargas puntuales Q1 y Q2 se localizan en los puntos A(4, 0,-3) y B(2, 0, 1), respec
tivamente. Si Q2=4 nC. Hallar Q1:
I) De modo que, el campo eléctrico en el punto C(5, 0, 6) no tenga componente en z.
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247
a) -8,12 nC b) -8,32 nC c) -8,52 nC d) -8,72 nC e) -8,92 nC
II) De modo que, la fuerza sobre una carga de prueba en C(5, 0, 6) no tenga componente en x
a) -41,95 nC b) -42,95 nC c) -43,95 nC d) -44,95 nC e) -45,95 nC
244.Las cargas eléctricas puntuales +Q y +3Q están separadas por una distancia de 2 m. Una
tercera carga puntual está ubicada de tal forma que el sistema electrostático se halla en e
quilibrio. Hallar la posición y el valor de la tercera carga en términos de Q.
245.I) Se tiene una densidad de carga lineal =12x
2
mC/m. Hallar la carga eléctrica total con
tenida en el filamento definido por 0<x<5.
a) 0,1 C b) 0,2 C c) 0,3 C d) 0,4 C e) 0,5 C
II) Se tiene una densidad de carga superficial, dada por: =oz
2
nC/m
2
. Hallar la carga eléctri
ca total contenida en el cilindro =3,0 m, 0<z<4 m.
a) 1,01 C b) 1,21 C c) 1,41 C d) 1,61 C e) 1,81 C
III) Se tiene una densidad de carga volumétrica, dada por: =10/(r sen ) C/m
3
. Hallar la car
ga eléctrica total contenida en la esfera de radio r=4 m.
a) 1559 C b) 1569 C c) 1579 C d) 1589 C e) 1599 C
246.I) En el eje-x se tiene un filamento definido por: -5mx4m, y densidad de carga lineal:
=2 mC/m. Hallar la carga eléctrica total contenida en el filamento.
a) 15 mC b) 16 mC c) 17 mC d) 18 mC e) 19 mC
II) En el plano x-y se tiene una placa circular definida por: 0x4 m, 0x4 m y densidad
de carga superficial: =5 mC/m
2
. Hallar la carga eléctrica total contenida en la placa.
a) 18 mC b) 19 mC c) 20 mC d) 21 mC e) 22 mC
III) Se tiene un paralelepípedo definido por: 0x-2 m, 0y4 m , 0z3 m, y densidad de
carga volumétrica =1 mC/m
3
. Hallar la carga eléctrica total contenida en el paralelepípe
do.
a) 21 mC b) 22 mC c) 23 mC d) 24 mC e) 25 mC
247.El filamento recto definido por: x=3 m, z=-1 m, tiene una densidad de carga lineal =20
nC/m, y la placa muy grande situado en x=-2 m, tiene una densidad de carga superficial
=4 nC/m
2
. Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga puntual q=-5 mC situada en el
origen de coordenadas.
a) 0,618 N b) 0,638 N c) 0,658 N d) 0,678 N e) 0,698 N
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248
248.En cierta región en el vació la densidad de flujo es, D =2y
2
î +4xy ĵ - k̂ mC/m
2
. Hallar la
carga eléctrica total almacenada en la región, 1 m<x<2 m, 1 m<y<2 m, -1 m<z<4 m.
a) 32 mC b) 34 mC c) 36 mC d) 38 mC e) 40 mC
249.En cierta región del espacio, la densidad de flujo es, D =2(z+1)cos ̂ -(z+1)sen ̂ +
2
cos k̂ C/m
2
.
I) Hallar la densidad de carga en dicha región del espacio.
II) Hallar la carga eléctrica total encerrada en el volumen 0<< m, 0<</2, 0<z<4 m.
III) Confirme la ley de Gauss hallando el flujo neto a través de la superficie del volumen
descrito en el inciso II).
250.El modelo del átomo de hidrógeno de Thomson es una esfera de carga positiva con un e
lectrón (una carga puntual) como su centro. La carga total positiva equivale a la carga e
lectrónica "e". Probar que cuando el electrón se encuentra a la distancia "r" del centro de
una esfera de carga positiva es atraído con una fuerza F=e
2
r/4oR
3
, donde "R" es el ra
dio de la esfera.
251.Cuatro cargas positivas de Q=10 nC están ubicadas en el plano z=0 en las esquinas de un
cuadrado de lado a=8 cm. Una quinta carga positiva q=10 nC está ubicada en un punto dis
tante d=8 cm de las otras cargas. Hallar la magnitud de la fuerza total sobre esta quinta
carga en el vació. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 0,2 mN b) 0,3 mN c) 0,4 mN d) 0,5 mN e) 0,6 mN
252.Dos cargas puntuales iguales a Q1 están ubicadas en los puntos (0, 1, 1) y (0, 0,-1).
I) Hallar el lugar de las posibles posiciones de una tercera carga Q2, la cual, puede ser po
sitiva o negativa, tal que, la fuerza sobre una tercera carga "q" positiva ubicada en el pun
to (0, 1, 0) sea nulo.
II) ¿Cuál es el lugar si las dos cargas originales son +Q1 y -Q1?
253.Cargas puntuales de Q=50 nC están ubicadas en los puntos A(1, 0, 0), B(-1, 0, 0), C(0, 1,
0), y D(0,-1, 0) en el espacio libre. Hallar la fuerza total sobre la carga ubicada en A.
a) 21,5 î b) 21,5 ĵ c) 21,5 k̂ d) 23,5 î e) 23,5 k̂
254.Se tienen cuatro cargas puntuales idénticas de Q=3 nC situadas en los puntos A(1, 1, 0),
B(-1, 1, 0), C(-1,-1, 0) y D(1,-1, 0). Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica (en N) ejerci
da por estas cargas sobre una carga "q" ubicada en el punto E(1, 1, 1). (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 30,2q b) 32,2q c) 34,2q d) 36,2q e) 38,2q
255.En el espacio libre, se tiene una densidad de carga volumétrica, dada por: =o
510 gze
C/m
2
, donde o=-510
-6
. Hallar la carga total contenida en el cilindro de eje z, definido
por: 01 cm, 2 cmz4 cm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, f=10
-15
)
a) 70,5 fC b) 72,5 fC c) 74,5 fC d) 76,5 fC e) 78,5 fC
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249
256.I) En el espacio libre, la densidad de carga volumétrica es, V=1/(x
3
y
3
z
3
) C/m
3
, hallar la
carga contenida en el volumen, 0,1 mIxI, IyI , IzI 0,2 m.
a) 3,32 MC b) 3,34 MC c) 3,36 MC d) 3,38 MC e) 0
II) En el espacio libre, la densidad de carga volumétrica es, V=
2
z
2
sen 0,6 C/m
3
, hallar la
carga contenida en el volumen, 0 0,1 m, 0 , 2 m z 4 m.
a) 1,018 mC b) 1,028 mC c) 1,038 mC d) 1,048 mC e) 1,058 mC
III) En el espacio libre, la densidad de carga volumétrica es, V=e
-2r
/r
2
C/m
3
, hallar la carga
contenida en el universo.
a) 6,08 C b) 6,28 Cc) 6,48 C d) 6,68 C e) 6,88 C
257.En el espacio libre, a lo largo de los ejes x e y (positivo y negativo) se encuentran fila
mentos de carga uniforme e infinitas de densidad de carga =5 nC/m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la fuerza (en N) ejercida sobre una carga unitaria ubicada en el punto P(0, 0, 4) m.
a) 41 k̂ b) 43 k̂ c) 45 k̂ d) 47 k̂ e) 49 k̂
II) Hallar la fuerza (en N) ejercida sobre una carga unitaria ubicada en el punto P(0, 3, 4) m.
a) 10,2 ĵ+34,9 k̂ b) 10,6 ĵ+32,9 k̂ c) 11,2 ĵ+32,9 k̂ d) 10,8 ĵ+36,9 k̂ e) 12 ĵ+30,9 k̂
258.En el espacio libre, ocho cargas puntuales idénticas a q=8 nC se ubican en los vértices de
un cubo de arista a=4 cm, con una carga en el origen de coordenadas y las tres cargas más
cercanas en (a, 0, 0), (0, a, 0) y (0, 0, a). Hallar la magnitud de la fuerza total sobre la
carga ubicada en el punto P(a, a, a). (k=910
9
Nm
2
/C
2
, m=10
-3
, n=10
-9
)
a) 1,18 mN b) 1,38 mN c) 1,58 mN d) 1,78 mN e) 1,98 mN
259.En el espacio libre, las densidades de carga uniformes y las posiciones de tres láminas in
finitas son: 1=3 nC/m
2
en z=-4 m, 2=6 nC/m
2
en z=1 m, y 3=-8 nC/m
2
en z=4 m. Ha
llar la fuerza (en N) ejercida por estas láminas sobre una carga unitaria ubicada en el pun
to P(1, 5, -5) m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) -54,5 k̂ b) +54,5 k̂ c) -56,5 k̂ d) +56,5 k̂ e) -58,5 k̂
260.En el espacio libre, una carga puntual Q1=25 nC está en el punto P1(4,-2, 7) m y una car
ga Q2=60 nC está en P2(-3, 4,-2) m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre una carga unitaria ubicada en el punto P3(1, 2, 3) m.
a) 7,17 N b) 7,37 N c) 7,57 N d) 7,77 N e) 7,97 N
II) Hallar la posición más cercana del origen, a la que debe ubicarse sobre el eje y, la carga u
nitaria, tal que la componente-x de la fuerza sea nula.
a) -6,29 m b) +6,29 m c) -6,89 m d) +6,89 m e) -7,24 m
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250
261.En el espacio libre, tres cargas puntuales iguales a Q=5 nC están sobre el eje x en las po
siciones x1=-1 m, x2=0, x3=1 m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la fuerza sobre una carga unitaria "q" ubicada en x=5 m.
a) 5,0 î b) 5,2 î c) 5,4 î d) 5,6 î e) 5,8 î
II) Hallar el valor y ubicación de una única carga puntual equivalente que producirá la mis
ma fuerza sobre "q" a grandes distancias.
a) 11 nC, 1 m b) 19 nC, 3 m c) 17 nC, 4 m d) 13 nC, 2 m e) 15 nC, 0 m
III) Hallar la fuerza eléctrica en x=5 m, utilizando la aproximación obtenida en II).
a) 5,0 î b) 5,2 î c) 5,4 î d) 5,6 î e) 5,8 î
IV) Hallar el error porcentual cometido en el resultado III) respecto del obtenido en I).
a) 3 % b) 4 % c) 5 % d) 6 % e) 7 %
262.En el espacio libre, se ubican una carga puntual Q=2 C en A(4, 3, 5 ) m, y otra carga u
nitaria "q" en el punto B(8, 12, 2) m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la componente F de la fuerza eléctrica sobre la carga unitaria "q".
a) 155,7 N b) 156,7 N c) 157,7 N d) 158,7 N e) 159,7 N
II) Hallar la componente F de la fuerza eléctrica sobre la carga unitaria "q".
a) 25,4 N b) 26,4 N c) 27,4 N d) 28,4 N e) 29,4 N
III) Hallar la componente Fz de la fuerza eléctrica sobre la carga unitaria "q".
a) -45,4 N b) -46,4 N c) -47,4 N d) -48,4 N e) -49,4 N
263.Un dispositivo para medir cargas consiste de dos pequeñas esferas aisladas de radio "a",
una de las cuales está fija. La otra se puede desplazar a lo largo del eje x y está sujeta a u
na fuerza restrictiva kx, donde "k" es la constante del resorte. Las esferas tienen su centro
en x=0, y x=d; la última está fija.
I) Si las esferas tienen cargas iguales y opuestas de "Q" coulombios, obtener la expresión pa
ra obtener "Q" en función de "x".
II) Hallar la máxima carga que puede medirse en términos de o, k y d.
III) Obtener la distancia de separación de las esferas. ¿Qué pasa si se aplica una carga mayor?
264.En el espacio libre, se ubica una carga puntual Q=100 nC en el punto A(-1, 1, 3) m.
I) Hallar las ubicaciones P(x, y, z) que puede tener una carga unitaria en la que la compo
nente x de la fuerza eléctrica es Fx=500 N
II) Hallar la coordenada y1 menor si la ubicación de la carga unitaria es P(-2, y1, 3) m.
a) 31 cm b) 33 cm c) 35 cm d) 37 cm e) 39 cm
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251
265.Una carga de prueba positiva se utiliza para obtener el campo que produce una carga pun
tual positiva "Q" ubicada en P(a, b, c). Si la carga de prueba se coloca en el origen, la fuer
za sobre esta tiene la dirección 0,5 î -0,5 ˆ3 j, y cuando la carga de prueba se ubica en (1,
0, 0), la fuerza está en la dirección 0,6 î -0,8 ĵ . Hallar a, b y c, correspondiente a la menor
distancia de P al origen.
a) (3,34, 5,79, 0,124) b) (0,415, -0,733, 0,144) c) (-3,34, -0,75, 0,104)
d) (-3,34, 5,79, 0) e) (0,445, -0,75, 0)
266.La fuerza que ejerce una carga Qo ubicada en el origen sobre una carga unitaria "q" ubica
da en P(-2, 1,-1) m es Fz=1 kN. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la carga fuente "Qo".
a) -1,23 C b) +1,23 C c) -1,43 C d) +1,43 C e) -1,63 C
II) Hallar la fuerza sobre la carga "q" ubicada en M(1, 6, 5) m, en coordenadas rectangulares.
a) -30,11 î -180,63 ĵ-150,53 k̂ b) 30,11 î +180,63 ĵ+150,53 k̂
c) -32,11 î -184,63 ĵ-156,53 k̂ d) 32,11 î +184,63 ĵ+156,53 k̂
e) -34,11 î -182,63 ĵ-154,53 k̂
III) Hallar la fuerza sobre la carga "q" ubicada en M(1, 6, 5) m, en coordenadas cilíndricas.
a) -181,12 ̂ -152,53 k̂ b) -187,12 ̂ -154,53 k̂ c) -185,12 ̂ -158,53 k̂
d) -185,12 ̂ -156,53 k̂ e) -183,12 ̂ -150,53 k̂
IV) Hallar la fuerza sobre la carga "q" ubicada en M(1, 6, 5) m, en coordenadas esféricas.
a) -231 r̂ b) -233 r̂ c) -235 r̂ d) -237 r̂ e) -239 r̂
267.En una determinada región del espacio hay electrones moviéndose aleatoriamente. En
cualquier intervalo de tiempo de 1 s, la probabilidad de encontrar un electrón en una sub
región de volumen V=10
-15
m
3
es de 0,27. ¿Qué densidad de carga volumétrica debe asig
nársele a esa sub-región para dicho intervalo?.
a) -41,3 C/m
3
b) -42,3 C/m
3
c) -43,3 C/m
3
d) -44,3 C/m
3
e)-45,3 C/m
3
268.Una densidad de carga volumétrica de V=0,12 C/m
3
está en un cascarón esférico entre
r=3 cm y r=5 cm. Si V=0 en cualquier otra parte.
I) Hallar la carga total contenida en el cascarón esférico.
a) 80,1 pC b) 82,1 pC c) 84,1 pC c) 86,1 pC e) 88,1 pC
II) Hallar el valor de "r1" si la mitad de la carga total está en región 3 cm < r < r1.
a) 4,04 cm b) 4,24 cm c) 4,44 cm c) 4,64 cm e) 4,84 cm
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Fuerza eléctrica
252
269.En un sistema de coordenadas cilíndricas la densidad de carga varía en función del radio
"" de acuerdo con: V=o/(
2
+a
2
)
2
C/m
3
. ¿A qué distancia del eje "z" se encuentra la
cuarta parte de la carga total.
a) 0,50a b) 0,52 a c) 0,54a d) 0,56a e) 0,58a
270.Un volumen esférico de radio R=2 m, tiene una densidad de carga volumétrica de V=
10
15
C/m
3
. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la carga total encerrada en el volumen esférico.
a) 31,5 mC b) 32,5 mC c) 33,5 mC d) 34,5 mC e) 35,5 mC
II) Suponer que una región de gran tamaño contiene una de estas pequeñas esferas en cada
esquina de un enrejado cúbico de a=3 mm de lado y que no hay cargas entre las esferas.
Hallar la densidad de carga volumétrica (en MC/m
3
) en dicha región.
a) 1,04 b) 1,24 c) 1,44 d)1,64 e) 1,84
271.En el espacio libre, está dada una densidad de carga volumétrica por V=or/a donde "o"
y "a" son constantes. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, p=10
-12
, f=10
-15
)
I) Hallar la carga total al interior de la esfera ra.
a) 1,31 pC b) 1,41 pC c) 1,51 pC d) 1,61 pC e) 1,71 pC
II) Hallar la carga total contenida en el cono ra, 00,1.
a) 35,6 fC b) 36,6 fC c) 37,6 fC d) 38,6 fC e) 39,6 fC
III) Hallar la carga total contenida en la región, ra, 00,1, 00,2.
a) 3,56 fC b) 3,66 fC c) 3,76 fC d) 3,86 fC e) 3,96 fC
272.En el espacio libre, una densidad de carga lineal, dada por =16 nC/m, se ubica a lo lar
go de la línea definida por y=-2, z=5. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
I) Hallar la fuerza (en N) sobre una carga unitaria "q" ubicada en el punto P(1, 2, 3) m.
a) 55,5 ĵ -26,8 k̂ b) 59,5 ĵ -29,8 k̂ c) 56,5 ĵ -27,8 k̂
d) 58,5 ĵ -25,8 k̂ e) 57,5 ĵ -28,8 k̂
II) Hallar la fuerza (en N) sobre la carga unitaria "a" en este punto sobre el plano z=0 donde
la dirección de la fuerza está dada por (1/3) ĵ -(2/3) k̂ .
a) 21 ĵ-48 k̂ b) 25 ĵ-49 k̂ c) 24 ĵ-45 k̂ d) 23 ĵ-47 k̂ e) 23 ĵ-46 k̂
273.En el espacio, una densidad de carga lineal e infinita =2 nC/m se ubica a lo largo del
eje x, a la vez que cargas puntuales de Q=8 nC se ubican en (0, 0, 1) m y (0, 0,-1) m.
I) Hallar la fuerza (en N) sobre una carga unitaria "q" ubicada en el punto P(2, 3,-4) m.
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Robótica y Cibernética
253
a) 2,2 î +7,5 ĵ-9,0 k̂ b) 2,8 î +7,1 ĵ-9,8 k̂ c) 2,6 î +7,7 ĵ-9,6 k̂
d) 2,4 î +7,9 ĵ-9,2 k̂ e) 2,0 î +7,3 ĵ-9,4 k̂
II) ¿Para que densidad "" (en nC/m), la fuerza ejercida sobre "q" en P(0, 0, 3) m es nulo?
a) -3,15 b) -3,35 c) -3,55 d) -3,75 e) -3,95
274.En el espacio libre, una densidad de carga lineal =2 C/m está sobre ele eje z. Hallar la
fuerza (en kN) ejercida sobre una carga unitaria "q" ubicada en P(1, 2, 3) m.
I) Si la densidad de carga lineal está entre -<z<.
a) 7,0 î +14,8 ĵ b) 7,8 î +14,2 ĵ c) 7,4 î +14,0 ĵ d) 7,6 î +14,6 ĵ e) 7,2 î +14,4 ĵ
II) Si la densidad de carga lineal está entre -4 m<z<4 m.
a) 4,3 î +9,0 ĵ+4,3 k̂ b) 4,7 î +9,6 ĵ+4,5 k̂ c) 4,5 î +9,4 ĵ+4,1 k̂
d) 4,1 î +9,2 ĵ+4,7 k̂ e) 4,9 î +9,8 ĵ+4,9 k̂
275.La región del eje z para la cual IzI<2 tiene una densidad de carga lineal no uniforme de
=10IzI nC/m y =0 en cualquier otro lugar. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la fuerza ejercida sobre una carga unitaria "q" ubicada en (0, 0, 4) m.
a) 31 k̂ N b) 32 k̂ N c) 33 k̂ N d) 34 k̂ N e) 35 k̂ N
I) Hallar la fuerza ejercida sobre una carga unitaria "q" ubicada en (0, 4, 0) m.
a) 15,98 ĵ N b) 16,98 ĵ N c) 17,98 ĵ N d) 18,98 ĵ N e) 19,98 ĵ N
276.En el espacio libre, dos densidades de carga lineales iguales a =75 nC/m se ubican en
x=0, y=0,4 m. ¿Qué fuerza por unidad de longitud (en N/m) ejerce cada una de las den
sidades lineales sobre la otra? . (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 125 b) 126 c) 127 d) 128 e) 129
277.En el espacio libre, se tiene dos láminas paralelas muy grandes con densidades de carga
superficiales iguales a =100 nC/m
2
, situados en z=0,4 m. Hallar la fuerza por unidad de
área (en N/m
2
) que ejerce la lámina superior sobre la inferior. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
a) -550 k̂ b) +550 k̂ c) -560 k̂ d) +560 k̂ e) -570 k̂
278.Dada la densidad de carga superficial =2 C/m
2
, en la región <0,2 m, z=0, y tiene el
valor de cero en cualquier otro punto.
I) Hallar la fuerza sobre una carga unitaria ubicada en el punto P(=0, z=0,5) m.
a) 8,1 k̂ kN b) -8,1 k̂ kN c) 8,3 k̂ kN d) -8,3 k̂ kN e) 8,5 k̂ kN
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Fuerza eléctrica
254
II) Hallar la fuerza sobre una carga unitaria ubicada en el punto P(=0, z=-0,5) m.
a) 8,1 k̂ kN b) -8,1 k̂ kN c) 8,3 k̂ kN d) -8,3 k̂ kN e) 8,5 k̂ kN
279.Para el caso del disco cargado del problema anterior.
I) Demostrar que el campo a lo largo del eje z se reduce al correspondiente de una lámina de
carga infinita para valores pequeños de z.
II) Demostrar que el campo en el eje z se reduce al correspondiente de una carga puntual pa
ra valores grandes de z.
280.En el espacio libre, se encuentran una carga puntual Q=12 nC en P(2, 0, 6) m, un filamen
to de densidad de carga lineal =3 nC/m, en x=-2 m, y=3 m; y una lámina muy grande de
densidad de carga superficial =0,2 nC/m
2
en x=2 m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, n=10
-9
)
a) 3,9 î +2,5 ĵ+2,5 k̂ b) -3,9 î +2,5 ĵ+2,5 k̂ c) 3,9 î +2,5 ĵ-2,5 k̂
d) 3,9 î -2,5 ĵ-2,5 k̂ e) -3,9 î -2,5 ĵ-2,5 k̂
281.Un dipolo consta de dos cargas puntuales de la misma magnitud pero de signos opuestos
Q a una distancia "d" entre si. Cuando las cargas se encuentran sobre el eje z en los pun
tos z=d/2 (estando la carga positiva en la posición positiva z), el campo eléctrico en coor
denadas esféricas está dada por: E(r, ) =[Qd/(4or
3
)][2cos r̂ +sen ˆ ] , donde r>>d.
Hallar las expresiones de la fuerza vectorial en un punto de carga unitaria "q".
I) Cuando la carga unitaria se encuentra en el punto P(0, 0, z) m.
II) Cuando la carga unitaria se encuentra en el punto P(0, y, 0) m.
282.Dado el campo eléctrico E =(4x-2y) î -(2x+4y) ĵ (V/m) en el espacio libre, hallar:
I) La ecuación de la línea que pase por el punto P(2, 3,-4) m.
a) x
2
-y
2
=2xy-15 b) y
2
-x
2
=2xy-15 c) x
2
-y
2
=4xy-19 d) y
2
-x
2
=4xy-19 e) x
2
-y
2
=xy-9
II) Un vector unitario que especifique la dirección de E en el punto Q(3,-2, 5) m.
a) 0,91 î +0,10 ĵ b) 0,97 î +0,16 ĵ c) 0,95 î +0,18 ĵ d) 0,93 î +0,14 ĵ e) 0,99 î +0,12 ĵ
283.En el espacio libre, un campo eléctrico está dada por: E =2xz
2
î +2z(x
2
+1) k̂ (V/m). Hallar
la ecuación de la línea que pasa por el punto P(1, 3,-1) m.
a) x
2
=z
2
+4ln x b) z2=x2+4ln x c) x2=z2+2ln x d) z2=x2+2ln x e) x2=z2-4ln x
284.Dado el campo eléctrico, E =20e
-5y
(cos 5x î -sen 5x ĵ) en el espacio libre.
I) Hallar el módulo de E en el punto P(/6, 0,1, 2) m.
a) 12,0 V/m b) 12,2 V/m c) 12,4 V/m d) 12,6 V/m e) 12,8 V/m
II) Hallar el vector unitario que establece la dirección de E en el punto P(/6, 0,1, 2) m.
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Robótica y Cibernética
255
a) 0,87 î +0,50 ĵ b) -0,87 î +0,50 ĵ c) 0,87 î -0,50 ĵ
d) -0,87 î -0,50 ĵ e) 0,83 î +0,57 ĵ
III) Hallar la ecuación de la línea que pasa por el punto P(/6, 0,1, 2) m.
a) y=(1/3)ln cos 5x+0,15 b) y=(1/5)ln cos 5x+0,15 c) y=(1/3)ln cos 5x+0,13
d) y=(1/5)ln cos 5x+0,19 e) y=(1/5)ln cos 5x+0,13
285.Para campos eléctricos que no cambian con respecto a z en coordenadas cilíndricas, las
ecuaciones de las líneas se obtienen resolviendo la ecuación diferencial E/E=d((d).
Hallar la ecuación de la línea que pasa por el punto (2, 30
o
, 0), siendo el campo eléctrico
E = cos 2 ̂ - sen 2 ̂ .
a)
2
=3 2 /sen2 b)
2
=2 3 /sen2 c)
2
=3 2 /cos2
d)
2
=2 3 /cos2 e)
2
=3 2 /sen4
286.Se tiene un disco delgado de radio "R" y densidad de carga superficial "". ¿A que dis
tancia del centro del disco, debe ubicarse una carga unitaria, tal que, la fuerza del disco
sea el de una carga puntual? El error no debe ser mayor que el 1 %.
a) 8,06R b) 8,26R c) 8,46R d) 8,66R e) 8,86R
287.Un filamento muy delgado en forma de semicírcunferencia de radio R=8 mm y densidad
de carga lineal =4 nC/m esta en la mitad superior delplano xy. Hallar la fuerza sobre
una carga unitaria "q" ubicada en el centro de la semicircunferencia. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) -5 ĵ N b) 5 ĵ N c) -7 ĵ N d) 7 ĵ N e) -9 ĵ N
288.Una distribución de carga =o[1-(r
2
/b
2
)] existe en la región 0rb. Esta distribución de
carga está rodeada concéntricamente por una capa conductora de radio interior Ri(>b) y
exterior Re. Hallar la fuerza ejercida sobre una carga unitaria colocada en todos los pun
tos.
289.Dos superficies cilíndricas coaxiales de longitud infinita, r=a, r=b (b>a), tienen densida
des superficiales de carga a, y b, respectivamente.
I) Hallar el campo eléctrico en todas las regiones.
II) ¿Cuál debe ser la razón entre "b" y "a" para que E se anule para r>b?
a) a/b b) -a/b c) b/a d) -b/a e) a/2b
290.Hallar el trabajo realizado para trasladar una carga puntual q=+5 C en el campo eléctri
co E y ˆ ˆi x j desde el punto P1(1, 2,-4) m hasta el punto P2(-2, 8,-4) m.
I) A lo largo de la parábola y=2x
2
.
a) 82 J b) 84 J c) 86 J d) 88 J e) 90 J
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Fuerza eléctrica
256
II) A lo largo de la línea recta que une los puntos P1 y P2.
a) 82 J b) 84 J c) 86 J d) 88 J e) 90 J
291.Hallar el trabajo realizado para trasladar una carga puntual q=+5 C en el campo eléctri
co E y ˆ ˆi x j desde el punto P1(1, 2,-4) m hasta el punto P2(-2, 8,-4) m.
I) A lo largo de la parábola y=2x
2
.
a) -40 J b) +40 J c) -30 J d) +30 J e) -20 J
II) A lo largo de la línea recta que une los puntos P1 y P2.
a) -50 J b) +50 J c) -40 J d) +40 J e) +60 J
292.Se tiene un filamento muy delgado de longitud "L", densidad de carga lineal "" situado
sobre el eje x, con su centro ubicado en el origen de coordenadas.
I) Hallar la fuerza ejercida sobre una carga puntual "q" situada en el eje y a la distancia "d"
del centro del filamento.
II) Evaluar la expresión obtenida en I) para, q=1 C, =8 pC/m, k=910
9
Nm
2
/C
2
, L=10 cm y
d=5 cm.
a) 2,04 ĵ N b) 2,24 ĵ N c) 2,44 ĵ N d) 2,64 ĵ N e) 2,84 ĵ N
293.Se tiene una carga puntual Q=-5 mC ubicada en el punto P(4, 0, 0) m y un filamento
rectilíneo muy largo de densidad de carga =3 mC/m ubicado a lo largo del eje y. Hallar
la fuerza en (mN) sobre una carga q=1 nC ubicada en el punto Q(4, 0, 3). (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 27,14 î +4,64 k̂ b) 27,34 î +4,04 k̂ c) 27,54 î +4,24 k̂
d) 27,74 î +4,44 k̂ d) 27,94 î +4,84 k̂
294.Una carga unitaria "q" se ubica a una distancia "d" del centro de un filamento de longi
tud "L" (L=4d) y densidad de carga =8 nC/m. Si en ambos extremos del filamento se
retira un 2 % de su longitud, ¿En que porcentaje varia la fuerza sobre la carga unitaria?
a) 0,54 % b) 0,64 % c) 0,74 % d) 0,84 % e) 0,94 %
295.Un anillo de radio R=10 cm, densidad de carga lineal "" y un disco de radio R=10 cm,
densidad de carga superficial "" se encuentran en planos paralelos separados por una dis
tancia d=20 cm. Una carga de prueba "q" se ubica en el eje común equidistante del anillo
y del disco. ¿Para que razón de las densidades /, la fuerza sobre "q" es nula?
a) 12,1 m
-1
b) 12,3 m
-1
c) 12,5 m
-1
d) 12,7 m
-1
e) 12,9 m
-1
296.Dos anillos muy delgados concéntricos de radios "R+", "R" (<<1), densidades de car
ga "+", "-", respectivamente, se encuentran en un mismo plano.
I) Hallar aproximadamente la magnitud de la fuerza sobre una carga de prueba "q" situado
en el eje de simetría común a la distancia "d" del centro común.
II) ¿A que distancia del centro común, la fuerza sobre la carga de prueba "q" es nula?
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257
a) 2,1R b) 2,3R c) 2,5R d) 2,7R e) 2,9R
297.En la Fig107, la distancia de los puntos A y B al filamento muy delgado de longitud "l"
cm, y densidad de carga lineal "" es "d". (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la razón de las magnitudes de la fuerzas (FA/FB) sobre una carga q=4 nC ubicado
en las posiciones A y B, para l=20 cm, d=4 cm, y =8 nC/m.
a) 2,03 b) 2,23 c) 2,43 d) 2,63 e) 2,83
II) Hallar la razón de las magnitudes de la fuerzas (FA/FB) sobre una carga q=4 nC ubicado
en las posiciones A y B, para =8 nC/m y l=d.
a) 1,59 b) 1,69 c) 1,79 d) 1,89 e) 1,99
III) Hallar la razón de las magnitudes de la fuerzas (FA/FB) sobre una carga q=4 nC ubicado
en las posiciones A y B, para =8 nC/m, y l>>d.
a) 1,2 b) 1,4 c) 1,6 d) 1,8 e) 2,0
Fig107 Fig108
298.En la Fig108, la distancia entre los centros de las esferas hueca y compacta de radios
R1=10 cm, R2, y densidades de carga =4 pC/m
2
, =8 nC/m
3
es d=4 cm. Hallar el radio
R2 si la fuerza sobre la carga puntual q=2 nC equidistante de los centros de las esferas es
nula. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 1,04 cm b) 1,24 cm c) 1,44 cm d) 1,64 cm e) 1,84 cm
299.En cierta región del espacio el campo eléctrico es, E =(3x
2
+y) î +x ĵ kV/m . Hallar el tra
bajo realizado al desplazar una carga de q=-2 C desde (0, 5, 0) m hasta (2,-1, 0) m.
I) Siguiendo la trayectoria (0, 5, 0)(2, 5, 0)(2,-1, 0).
a) 10 J b) 11 J c) 12 J d) 13 J e) 14 J
II) Siguiendo la trayectoria de la recta y=5-3x.
a) 1 J b) 2 J c) 3 J d) 4 J e) 5 J
300.Una carga unitaria "q" se encuentra a la distancia d=l/2 del centro de un filamento muy
delgado de longitud l=20 cm, densidad de carga =40 pC/m, que se encuentra a lo largo
d
0 B
d
l/2 l/2
A q
q
d/2 d/2
R1
R2
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Fuerza eléctrica
258
del eje x con su centro en el origen 0. Hallar el cambio que experimenta la fuerza eléctrica
sobre la carga "q", si se dobla el filamento en dos partes iguales, manteniendo el centro
del filamento resultante en el origen 0 y a lo largo del eje x. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 1,15 ĵ N b) 1,25 ĵ N c) 1,35 ĵ N d) 1,45 ĵ N e) 1,55 ĵ N
301.Una carga puntual q=4 pC se encuentra a la distancia r=22 cm del centro de una esfera
compacta de radio R=20 cm, densidad de carga =8 nC/m
3
. Hallar el radio del agujero
concéntrico que se debe hacer a la esfera compacta para que la fuerza eléctrica sobre "q"
disminuya a la cuarta parte de la inicial. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 18,17 cm b) 18,37 cm c) 18,57 cm d) 18,77 cm e) 18,97 cm
302.En la Fig109, hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre los dipolos
D1, D2 paralelos de cargas Q=8 nC, separados por la distancia d=2 mm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 45,24 mN b) 46,24 mN c) 47,24 mN d) 48,24 mN e) 49,24 mN
303.En la Fig110, la distancia de separación entre los centros del anillo de radio R=10 cm,
densidad de carga =8 nC/m, y el dipolo eléctrico de cargas Q=4 pC, d=2 mm es a=10
cm.
I) Hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre el anillo y el dipolo, hasta
una aproximación de primer orden. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 91,5 pN b) 93,5 pN c) 95,5 pN d) 97,5 pN e) 99,5 pN
II) Hallar el cambio que experimenta la fuerza eléctrica, cuando el dipolo se gira en 180
0
alre
dedor de su centro 0.
a) 30,2 pN b) 32,2 pN c) 34,2 pN d) 36,2 pN e) 38,2 pN
Fig109 Fig110
304.En la Fig111, el alambre delgado en forma de tres cuartos de circunferencia de radio
R=10 cm, tiene una densidad de carga =8 nC/m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
2d
d
+Q
+Q
-Q
-Q
d
D1
D2
a
0 d
+Q
R
-Q
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259
I) Hallar la fuerza eléctrica (en N) sobre la carga puntual q=4 nC ubicado en 0.
a) 1,19 î +1,19 ĵ b) -1,19 î -1,19 ĵ c) 1,19 î -1,19 ĵ d) -1,19 î +1,19 ĵ e) 1,19 ĵ
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual "q", respecto del eje x.
a) 45
o
b) 90
o
c) 135
o
d) 225
o
e) 315
o
305.En la Fig112, el alambre delgado en formar de triángulo isósceles de lados a=2 cm tiene
una densidad de carga =8 nC/m. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=0,4
nC ubicada en el vértice opuesto al origen 0. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 4,12 N b) 4,32 N c) 4,52 N d) 4,72 N e) 4,92 N
Fig111 Fig112
306.En la Fig113, hallar la magnitud de la fuerza de interacción entre el filamento de longi
tud l=20 cm, densidad de carga =8 nC/m, y el dipolo eléctrico de cargas Q=60 nC, se
paradas por la distancia d=2 mm, y cuyo centro 0 esta a la distancia a=4 cm del extremo
derecho del filamento. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 4,50 N b) 4,75 N c) 5,00 N d) 5,25 N e) 5,50 N
307.En la Fig114, la esferita de masa m=50 g se encuentra en el centro de la esfera de radio
R=20 cm que contiene al casquete esférico de altura h=10 cm, y densidad de carga super
ficial =80 pC/m
2
. Hallar la tensión en la cuerda que sostiene a la esferita. (g=9,8 m/s
2
,
k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 2,19 N b) 2,39 N c) 2,59 N d) 2,79 N e) 2,99 N
308.En la Fig115, la carga puntual q=0,4 nC se encuentra a la distancia d=4 cm del centro
de la espira cuadrada de lados 2a=20 cm, densidad de carga = 8nC/m. ¿Cuál debe ser el
radio "R" de la espira circular de la misma densidad, que al reemplazar a la espira cuadra
da, la fuerza sobre la carga puntual "q" situada a la misma distancia, sea la misma?
a) 21,4 cm b) 22,4 cm c) 23,4 cm d) 24,4 cm e) 25,4 cm
x
y
q
R
R
a
q
a 0 x
y
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260
Fig113 Fig114
309.En la Fig116, las cuatro partes del anillo de radio R=20 cm, tienen densidades de carga
, 2, 3, 4, con =8 nC/m, respectivamente. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga
puntual q=4 nC, ubicada en el centro del anillo. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 5,16 ĵ (N) b) 5,36 ĵ (N) c) 5,56 ĵ (N) d) 5,76 ĵ (N) e) 5,96 ĵ (N)
Fig115 Fig116
310.Se tiene un disco metálico muy delgado de radio R=20 cm, densidad de carga superficial
=8 nC/m
2
, que al calentarse aumenta su radio en un 1 %. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
I) Hallar el cambio porcentual que experimenta la densidad de carga superficial del disco.
a) -1,57 % b) ) -1,67 % c) ) -1,77 % d) ) -1,87 % e) ) -1,97 %
II) Hallar el cambio porcentual que experimenta la fuerza eléctrica sobre una carga de prueba
"qo", situado en el eje de simetría del disco, a la distancia "R/2" de su centro.
a) -1,16 % b) -1,36 % c) -1,56 % d) -1,76 % e) -1,96 %
311.En la Fig117, el disco metálico muy delgado de radio R=20 cm, tiene densidad de carga
no uniforme . Si la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo" ubica
-Q
d
a
+Q
l
x 0
Q
h
g
r
2a
d
2a
q
x q
R
y
2
3
4
R
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261
da a la distancia d=20 cm es nula, hallar el ancho "s" del disco cargado positivamente.
a) 7,0 cm b) 7,2 cm c) 7,4 cm d) 7,6 cm e) 7,8 cm
312.En la Fig118, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica que ejercen los filamentos idénti
cos de longitudes l=20 cm, y densidades de carga lineal =8 nC/m, sobre la carga puntual
q=6 nC, ubicada a la distancia d=20 cm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 1,06 N b) 1,26 N c) 1,46 N d) 1,66 N e) 1,86 N
Fig117 Fig118
313.Un alambre delgado en forma de V tiene longitud L=40 cm, y densidad de carga lineal
=8 nC/m. Una carga "qo" esta en el punto medio de la linea que une sus extremos.
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual qo=6 nC.
a) 8,04 N b) 8,24 N c) 8,44 N d) 8,64 N e) 8,84 N
II) Donde y a que distancia debe ubicarse otra carga puntual q=6 nC, para anular la fuerza
eléctrica que ejerce el anillo sobre la carga puntual inicial "q".
a) 5,52 cm b) 5,72 cm c) 5,92 cm d) 6,12 cm e) 6,32 cm
314.En la Fig119, las mitades de los anillos delgados concéntricos de radios R=25 cm y r=
12,5 cm cm, tienen densidades de carga lineal de = 8 nC/m. Hallar la fuerza eléctrica
(en N) sobre la carga puntual q=4 nC, ubicada en el centro común. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 4,01 ĵ b) 4,21 ĵ c) 4,41 ĵ d) 4,61 ĵ e) 4,81 ĵ
315.En la Fig120, el diapasón metálico de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal
de =8 nC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=4 nC, ubi
cado en el centro del diapasón. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 3,0 N b) 3,2 N c) 3,4 N d) 3,6 N e) 3,8 N
316.En la Fig121, las mitades del filamento delgado tienen longitud l=50 cm, y densidades
de carga lineal =0,4 nC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de
d
q
r
R
0
-
F=0
s
l
0
q
d
l l
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262
prueba qo, situado a la distancia d=50 cm del filamento. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 4,0qo b) 4,2qo c) 4,4qo d) 4,6qo e) 4,8qo
Fig119 Fig120
317.En la Fig122, el alambre delgado en forma de L tiene una longitud de l=40 cm, y una
densidad de carga lineal de =0,4 nC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la
carga de prueba qo, equidistante del alambre. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, a=10 cm).
a) 70qo b) 72qo c) 74qo d) 76qo e) 78qo
Fig121 Fig122
318.En la Fig123, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", ejer
cida por el alambre delgado de radio R=25 cm, densidad de carga lineal =80 pC/m.
a) 4,07qo b) 4,27qo c) 4,47qo d) 4,67qo e) 4,87qo
319.En la Fig124, hallar la magnitud de la tensión en la cuerda que sostiene a la esferita muy
pequeña de carga "qo", que se encuentra a d=5 cm de la base superior del cilindro de pare
des muy delgadas, de radio R=5 cm, altura h=20 cm, y densidad de carga superficial =
80 pC/m
2
. Despreciar el peso de la esferita. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 1,17qo b) 1,37qo c) 1,57qo d) 1,77qo e) 1,97qo
+
R
q
+
-
-
r
q
R
R
+ -
d
qo
2l
l/2
a
a
qo
l/2
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Fig123 Fig124
320.En la Fig125, la carga de prueba "qo" se encuentra en el centro del cascarón esférico de
radio R=20cm, densidad de carga superficial =8 nC/m
2
. Hallar el cambio que experimen
ta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo", cuando se le quita al cascarón un segmen
to esférico de altura h=2,5 cm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 51qo b) 53qo c) 55qo d) 57qo e) 59qo
321.En la Fig126, hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerzaeléc
trica sobre la carga de prueba "qo", cuando este se acerca al filamento cargado de gran lon
gitud y densidad de carga =80 pC/m, desde la posición inicial r1=1,0 hasta la posición fi
nal r2=0,5 m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 50 % b) 75 % c) 100 % d) 125 % e) 25 %
Fig125 Fig126
322.En la Fig127, el alambre delgado en forma de triángulo equilátero de arista a=30 cm,
densidad de carga lineal =80 pC/m, se encuentra en la base del tetraedro. Hallar la mag
nitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo". (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 7,04qo b) 7,24qo c) 7,44qo d) 7,64qo e) 7,84qo
323.En la Fig128, los lados de longitud a=25 cm del alambre delgado en forma de cuadrado,
tienen densidades de carga , 2, 3, 4 (=80 pC/m). Hallar la magnitud de la fuerza e
x
+
qo
R
y
R
-
h
qo
R
d
h
qo
R
0
r2
qo r1
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léctrica sobre la carga de prueba "qo", ubicada en el centro. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 21qo b) 23qo c) 25qo d) 27qo e) 29qo
Fig127 Fig128
324.En la Fig129, la esfera compacta de radio R=10 cm, densidad de carga volumétrica =8
nC/m
3
, presenta una cavidad esférica de radio r=4 cm. La distancia entre los centros de la
esfera y la cavidad es a=6 cm, y =60
o
. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", ubicada a la distan
cia d=12 cm del centro de la esfera. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 15,62qo b) 16,62qo c) 17,62qo d) 18,62qo e) 19,62qo
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo.
a) 8
o
11" 9,7" b) 8
o
31" 9,7" c) 8
o
51" 9,7" d) 8
o
71" 9,7" e) 8
o
91" 9,7"
Fig129 Fig130
325.En la Fig130, la placa delgada en forma de cuadrante de círculo tiene radio R=20 cm, y
densidad de carga superficial =0,8 nC/m
2
. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre
la carga de prueba "qo", ubicada a la distancia d=20 cm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 3,15qo b) 3,35qo c) 3,55qo d) 3,75qo e) 3,95qo
qo
2
3
4
qo
a
a a
a a
d
0
a
qo
qo
0
R
R d
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326.En la Fig131, el sistema de cinco cargas puntuales Q=4 pC se ubican en el eje-x a la
misma distancia a=5 cm entre ellas. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba
"qo", ubicada a la distancia a=5 cm del eje-x. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 6,0qo b) 6,2qo c) 6,4qo d) 6,6qo e) 6,8qo
327.En la Fig132, en el centro del anillo delgado de radio R=1 cm, y carga eléctrica Q=-4
C, se encuentra una carga puntual Q=+4 C. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica
sobre la carga de prueba "qo", ubicada a la distancia x=100 cm del centro del anillo.
a) 5,0qo b) 5,2qo c) 5,4qo d) 5,6qo e) 5,8qo
Fig131 Fig132
328.En la Fig133, el alambre delgado en forma de semicircunferencia de radio R=20 cm, tie
ne una densidad de carga lineal de =80 pC/m. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga de
prueba "qo", ubicada en a la distancia d=20 cm del centro 0 del alambre. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) -8,06qo ĵ b) -8,26qo ĵ c) -8,46qo ĵ d) -8,66qo ĵ (N) e) -8,86qo ĵ
Fig133 Fig134
329.En la Fig134, en el alambre delgado de densidad de carga =80 pC/m, la parte curva en
forma de semicircunferencia tiene radio R=20 cm y la parte recta longitud l=40 cm.
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo".
P
Q Q Q Q Q
a
a a a a X
Y
qo
qo
+Q
-Q x
R
d
R
R
0
j
i
qo
R qo
l
x
R
l
y
R
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a) -11,18qo ĵ (N) b) -11,38qo ĵ (N) c) -11,58qo ĵ (N)
d) -11,78qo ĵ (N) e) -11,98qo ĵ (N)
II) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre qo,
al retirar el alambre situado a la derecha.
a) -12,08 % b) -12,28 % c) -12,48 % d) -12,68 % e) -12,88 %
III) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo", después de girar el alambre curvo en
90
o
, respecto de los alambre rectilíneos.
a) 8,03qo b) 8,23qo c) 8,43qo d) 8,63qo e) 8,83qo
330.En la Fig135, en tres vértices del cuadrado de lados a=20 cm, se encuentran cargas pun
tuales de Q1=2 nC, Q2=3 nC y Q4=4 nC. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo".
a) 13,11qo b) 13,31qo c) 13,51qo d) 13,71qo e) 13,91qo
II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre qo, correspondiente a la permutación de
dos cargas que generan la mayor fuerza eléctrica sobre qo.
a) 13,08qo b) 13,28qo c) 13,48qo d) 13,68qo e) 13,88qo
III) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre
"qo", en esta permutación de dos cargas.
a) 1,08 % b) 1,28 % c) 1,48 % d) 1,68 % e) 1,88 %
Fig135 Fig136
331.En la Fig136, la esferita de peso despreciable y carga muy pequeña "qo" se encuentra en
el centro de la base superior del cilindro, suspendida de la cuerda. El cilindro hueco de
radio R=10 cm, longitud l=20 cm, tiene densidad de carga superficial =80 pC/m2.
I) Hallar la tensión en la cuerda que sostiene a la esferita de carga qo.
Q1
a
qo
a
Q2 Q3
qo
l
R
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a) 2,1qo b) 2,3qo c) 2,5qo d) 2,7qo e) 2,9qo
II) Hallar la tensión en la cuerda, después de quitar la mitad inferior del cilindro, mantenién
dose igual la densidad de carga superficial "".
a) 1,13qo b) 1,33qo c) 1,53qo d) 1,73qo e) 1,93qo
332.En la Fig137, la carga de prueba "qo" se encuentra a la distancia d=2 cm del filamento
me tálico muy delgado de longitud l=10 cm. ¿En cuánto debe aumentar (A) o disminuir
(D), la temperatura del filamento, para que el cambio porcentual de la magnitud de la
fuerza eléctrica sobre "qo" sea del 0,02 %. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 11,8
o
C (A) b) 11,8
o
C (D) c) 13,8
o
C (A) d) 13,8
o
C (D) e) 15,8
o
C (A)
333.En la Fig138, la carga de prueba "qo" inicialmente se encontraba en el centro 0 del disco
delgado de radio R=9 3 cm, y densidad de carga superficial =80 pC/m
2
. Hallar la distan
cia "d", si la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo" disminuye a la mitad de la inicial.
(k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) 7,0 cm b) 7,5 cm c) 8,0 cm d) 8,5 cm e) 9,0 cm
Fig137 Fig138
334.En la Fig139, las densidades de carga lineal de las partes rectas y curva del alambre,
son: =+80 pC/m, y =-80 pC/m. Hallar la magnitud de la fuerza que ejerce el alambre
sobre la carga de prueba qo. (R=20 cm, k=910
9
Nm
2
/C
2
).
a) -12,8qo ĵ b) -13,2qo ĵ c) -13,6qo ĵ d) -14,0qo ĵ e) -14,4qo ĵ
335.En la Fig140, el alambre delgado en forma de cuadrante de circunferencia de radio R=
20 cm, y densidad de carga lineal =80 pC/m, se encuentra en el plano xy. Hallar la mag
nitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo". (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 5,92qob) 6,22qo c) 6,52qo d) 6,82qo e) 7,12qo
336.En la Fig141, en el alambre delgado en forma de triángulo equilátero de lados a=20 cm,
qo
d
l/2 l/2
d
qo
R
0
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las aristas laterales tienen densidades de carga =-8 pC/m, y la base =+8 pC/m. Hallar la
magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", ubicado en el ortocentro del
triángulo. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 4,12qo b) 4,32qo c) 4,52qo d) 4,72qo e) 4,92qo
Fig139 Fig140
337.En la Fig142, el alambre delgado de densidad de carga lineal =810
-11
C/m, formado
por dos cuadrantes de circunferencia esta inscrito en el cuadrado de lados R=20 cm.
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo".
a) 20,08qo b) 21,08qo c) 22,08qo d) 23,08qo e) 24,08qo
II) ¿Qué porcentaje representa la magnitud de la fuerza eléctrica creada por el cuadrante in
ferior, respecto de la magnitud de la fuerza total sobre "qo".
a) 71,85 % b) 72,85 % c) 73,85 % d) 74,85 % e) 75,85 %
Fig141 Fig142
338.En la Fig143, el alambre delgado en forma de segmento de circunferencia tiene radio
R=20 cm, y densidad de carga lineal =810
-11
C/m, siendo =30
o
. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo, ubicado en la posi
ción mostrada.
-
qo
R
R
R +
x
y
R
0
qo
R
R
x
y z
-
qo
-
+
qo
R
R
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a) 17,19qo b) 17,39qo c) 17,59qo d) 17,79qo e) 17,99qo
II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo, ubicado en el origen
0 de coordenadas.
a) 6,04qo b) 6,24qo c) 6,44qo d) 6,64qo e) 6,84qo
III) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre qo.
a) -64,13 % b) -64,33 % c) -64,53 % d) -64,73 % e) -64,93 %
Fig143 Fig144
339.En la Fig144, hallar la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", debido a los tres a
lambres idénticos en forma de arco de circunferencia de radio R=20 cm, densidad de car
ga lineal =80 pC/m, y sabiendo que =36
o
. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) -9,02qo ĵ b) -9,22qo ĵ c) -9,42qo ĵ d) -9,62qo ĵ e) -9,82qo ĵ
340.En la Fig145, el alambre delgado en forma de semi circunferencia de radio R=20 cm, tie
ne una densidad de carga lineal de =810
-11
C/m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo, ubicado en el plano
que contiene al alambre, en la posición mostrada.
a) 5,17qo b) 5,37qo c) 5,57qo d) 5,77qo e) 5,97qo
II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo, ubicado en el origen
0 de coordenadas.
a) 7,00qo b) 7,20qo c) 7,40qo d) 7,60qo e) 7,80qo
III) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre qo.
a) 25,26 % b) 26,26 % c) 27,26 % d) 28,26 % e) 29,26 %
341.En la Fig146, la esferita muy pequeña de carga "qo", masa "m" esta a la distancia "a/2",
sobre la perpendicular que pasa por el centro 0 de la placa muy delgada cuadrada de lados
0 x
y
qo
R
0
x
y
qo
R
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Fuerza eléctrica
270
"a", y densidad de carga superficial =80 pC/m
2
, sostenida por la cuerda delgada (g=9,81
m/s
2
, k=910
9
Nm
2
/C
2
).
I) Hallar la tensión "T" en la cuerda que sostiene a la esferita.
a) 2,13qo b) 2,33qo c) 2,53qo d) 2,73qo e) 2,93qo
II) Hallar la masa "m" de la esferita de carga eléctrica "qo".
a) 0,114qo b) 0,134qo c) 0,154qo d) 0,174qo e) 0,194qo
Fig145 Fig146
342.En la Fig147, el alambre delgado en forma de semi circunferencia de radio R=20 cm, tie
ne densidad de carga lineal =80 pC/m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", situada a la distan
cia d=40 cm.
a) 3,12qo b) 3,32qo c) 3,52qo d) 3,72qo e) 3,92qo
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", respecto de la hori
zontal (eje-x).
a) 301
o
11' 11" b) 321
o
11' 11" c) 341
o
11' 11" d) 361
o
11' 11" e) 381
o
11' 11"
343.En la Fig148, las cargas puntuales "Q" se encuentran en los centros de las esferas idénti
cas aislantes, separados por la distancia d=20 mm. Las esferas están unidas mediante un a
lambre delgado de diámetro de sección D=8 m, y de esfuerzo de rotura r=0,3 GN/m
2
.
Hallar la magnitud de las cargas puntuales "Q". (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 21,9 nC b) 23,9 nC c) 25,9 nC d) 27,9 nC e) 29,9 nC
344.En la Fig149, en el alambre delgado de densidad de carga lineal =80 pC/m, el radio de
la semicircunferencia mayor es R=20 cm . (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo".
a) 21,02qo b) 22,02qo c) 23,02qo d) 24,02qo e) 25,02qo
0
j
i
qo
R
R
R
a
qo
g
a
a/2
0
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271
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo".
a) 265
o
51' 8,7" b) 266
o
51' 8,7" c) 267
o
51' 8,7" d) 268
o
51' 8,7" e) 269
o
51' 8,7"
Fig147 Fig148
345.En la Fig150, el alambre delgado de densidad de carga lineal =80 pC/m, está formado
por dos alambres en forma de semicircunferencias de radio R=20 cm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
).
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo".
a) 6,16qo b) 6,36qo c) 6,56qo d) 6,76qo e) 6,96qo
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga "qo", medida respecto del eje x.
a) 300
o
21' b) 302
o
21' c) 304
o
21' d) 306
o
21' e) 308
o
21'
346.En la Fig151, en el centro del alambre delgado en forma de semicircunferencia de radio
R=20 cm, densidad de carga lineal =80 pC/m, se encuentra una carga de prueba "qo".
Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la
carga "qo", cuando el alambre se dobla por la mitad, girando alrededor del eje y, en 90
o
.
a) 21,5 % b) 22,5 % c) 23,5 % d) 24,5 % e) 25,5 %
Fig149 Fig150
347.En la Fig152, en el alambre delgado de densidad de carga lineal =80 pC/m, las partes
rectas tienen longitud de l=20 cm, y la parte curva un radio de R=20 cm. Hallar la magni
tud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo". (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 7,04qo b) 7,24qo c) 7,44qo d) 7,64qo e) 7,84qo
Q Q
d
0 qo R
R qo
R
y
x
0
y
qo
R
d R
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272
348.En la Fig153, el alambre delgado en forma de "H" tiene una densidad de carga lineal =
80 pC/m, y a=20 cm. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", situado so
bre el eje y. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 14,13qo ĵ b) 14,33qo ĵ c) 14,53qo ĵ d) 14,73qo ĵ e) 14,93qo ĵ
Fig151 Fig152
349.En la Fig154, la raqueta metálica de tenis esta formado por un anillo de radioR=20 cm,
y un mango de longitud l=20 cm, ambos con una densidad de carga lineal de =80 pC/m.
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo".
a) 8,11qo b) 8,31qo c) 8,51qo d) 8,71qo e) 8,91qo
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga "qo", medida respecto del eje x po
sitivo.
a) 92
o
11' b) 93
o
11' c) 94
o
11' d) 95
o
11' e) 96
o
11'
350.En la Fig155, el alambre delgado esta formado por cuadrantes de circunferencia de ra
dio R=20 cm. La mitades superior e inferior tienen densidades de carga de =80 pC/m.
Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo". (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) -42,23qo ĵ b) -43,23qo ĵ c) -44,23qo ĵ d) -45,23qo ĵ e) -46,23qo ĵ
Fig153 Fig154
0
qo
R x
y
90
o
qo
R
R
(1)
(1)
(2)
(1)
(3)
(1)
x
y
a
0
y
x
a
(3)
qo
a
R
0
R
qo
R
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351.En la Fig156, el alambre delgado formado por tres cuadrantes de circunferencia de radio
R=20 cm, y densidad de carga lineal =80 pC/m, esta contenida en los planos XY, XZ y
YZ, respectivamente. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba
"qo". (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 12,07qo b) 12,27qo c) 12,47qo d) 12,67qo e) 12,87qo
352.En la Fig157, el alambre delgado en forma de triángulo equilátero de lados l=20 2 cm,
tiene una densidad de carga lineal =80 pC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica so
bre la carga de prueba "qo", ubicada en el origen de coordenadas 0. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 17,03qo b) 17,23qo c) 17,43qo d) 17,63qo e) 17,83qo
Fig155 Fig156
353.En la Fig158, el cucharón metálico esta formado por una taza semiesférica de radio
R=10 cm, densidad de carga superficial =80 P/m
2
, y un mango recto de longitud l=30
cm y densidad de carga lineal =80 pC/m.
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", situada en el cen
tro de la taza.
a) 5,05qo b) 5,25qo c) 5,45qo d) 5,65qo e) 5,85qo
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica, sobre la carga "qo", medida respecto del eje x
positivo.
a) 155
o
17' b) 156
o
17' c) 157
o
17' d) 158
o
17' e) 159
o
17'
354.En la Fig159, las láminas delgadas muy grandes de densidades de carga superficiales
=200 pC/m
2
, se cortan formando un ángulo de =60
o
, y dividiendo el espacio en cuatro
zonas. Hallar la razón r=F1/F2 de las magnitudes de la fuerza eléctrica, sobre la carga de
prueba "qo", ubicada primero en la zona "1" y luego en la zona "2".
a) 5,17 b) 5,37 c) 5,57 d) 5,77 e) 5,97
355.En la Fig160, la superficie metálica delgada en forma de octante de esfera de radio R=
qo
+
-
R
R
R R
x
z
qo
y
R
R
R
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20 cm, tiene una densidad de carga superficial =80 pC/m
2
. Hallar la magnitud de la fuer
za eléctrica, sobre la carga de prueba "qo", ubicada en el origen 0 de coordenadas.
a) 9,0qo b) 9,2qo c) 9,4qo d) 9,6qo e) 9,8qo
Fig157 Fig158
356.En la Fig161, en el alambre delgado mostrado de densidad de carga lineal =80 pC/m,
las partes rectas tienen longitudes de 40 cm y 20 cm, en tanto, el radio de la parte curva es
de R=20 cm. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo".
a) 9,1qo b) 9,3qo c) 9,6qo d) 9,5qo e) 9,9qo
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga "qo", medida respecto del eje x po
sitivo.
a) 275
o
47,1' b) 276
o
47,1' c) 277
o
47,1' d) 278
o
47,1' e) 279
o
47,1'
Fig159 Fig160
357.En la Fig162, el disco metálico delgado de radio R=20 cm, que presenta un agujero de
forma cuadrada, tiene una densidad de carga superficial de =8 nC/m
2
. Hallar la magni
tud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo", situada a la distancia a=10 2
cm, del centro 0 del disco. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 40,4qo b) 41,4qo c) 42,4qo d) 43,4qo e) 44,4qo
x
z
qo
y
l
l
l
30cm
qo
10cm
x
y
+ -
qo
I
II
y
z
x
R
R
R
qo
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358.En la Fig163, la superficie del cono hueco de radio de base R=20 cm, altura H=20 cm,
tiene una densidad de carga superficial de =80 pC/m
2
. Hallar la magnitud de la fuerza e
léctrica, sobre la carga de prueba "qo", situada en el centro de la base. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 2,01qo b) 2,21qo c) 2,41qo d) 2,61qo e) 2,81qo
Fig161 Fig162
359.En la Fig164, el alambre delgado en forma de semicircunferencia de radio R=20 cm, tie
ne una densidad de carga lineal de =80 pC/m. Una carga de prueba "qo" se coloca prime
ro en A y luego en B. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo" en la posición A.
a) -12,44qo ĵ b) +12,44qo ĵ c) -12,66qo ĵ d) +12,66qo ĵ e) -12,88qo ĵ
II) Hallar la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo" en la posición B.
a) 13,16qo ĵ b) 13,36qo ĵ c) 13,56qo ĵ d) 13,76qo ĵ e) 13,96qo ĵ
III) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la
carga de prueba "qo", cuando pasa de A hacia B.
a) 8,09 % b) 8,29 % c) 8,49 % d) 8,69 % e) 8,89 %
360.En la Fig165, la placa rectangular delgada de lados b=40 cm, a=20 cm, tiene una densi
dad de carga superficial de =800 pC/m
2
. Una carga de prueba "qo" se encuentra sobre el
eje z, a la distancia z=10 cm del centro de la placa. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo".
a) 2,02qo b) 2,22qo c) 2,42qo d) 2,62qo e) 2,82qo
II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo", cuando b.
a) 27,09qo b) 27,29qo c) 27,49qo d) 27,69qo e) 27,89qo
III) Hallar el aumento que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de
prueba "qo", respecto de su valor inicial.
qo
40cm
R R 20cm
y
x
qo
R
0
a
R
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276
a) 10,5 veces b) 11,5 veces c) 12,5 veces d) 13,5 veces e) 14,5 veces
Fig163 Fig164
361.En la Fig166, el alambre delgado en forma de parábola de ecuación y=x
2
, tiene una den
sidad de carga lineal de =80 pC/m. Hallar la componente en la dirección del eje y, de la
fuerza eléctrica ejercida sobre la carga de prueba "qo". (k=910
9
Nm
2
/C
2
, a=10 cm)
a) -8,04qo ĵ b) -8,24qo ĵ c) -8,44qo ĵ d) -8,64qo ĵ e) -8,84qo ĵ
Fig165 Fig166
362.En la Fig167, el anillo delgado de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal no
uniforme, dada por: =o(5sen
2
-4cos
3
), donde o=80 pC/m La carga de prueba "qo" se
encuentra en el eje z a la distancia z=20 cm del centro del anillo. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo".
a) 21,3qo b) 22,3qo c) 23,3qo d) 24,3qo e) 25,3qo
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", medida respecto
del eje x positivo.a) 55
o
2,3' b) 56
o
2,3' c) 57
o
2,3' d) 58
o
2,3' e) 59
o
2,3'
III) Hallar la carga eléctrica total del anillo.
R
qo
H
0
qo
R
x
y
R/2
R/2
A
B
z
qo
0
b
a
x 0
qo
y
a
a
2
y=x
2
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a) 0,15 nC b) 0,20 nC c) 0,25 nC d) 0,30 nC e) 0,35 nC
IV) Hallar la densidad de carga lineal media del anillo.
a) 200 pC/m b) 210 pC/m c) 220 pC/m d) 230 pC/m e) 240 pC/m
V) Hallar magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga "qo", debida a la densidad media
"m" del anillo.
a) 19,19qo b) 19,39qo c) 19,59qo d) 19,79qo e) 19,99qo
VI) Hallar el cambio porcentual que representa la fuerza eléctrica sobre "qo", debida a la densi
dad de carga media "m", respecto de la fuerza inicial.
a) -12,24 % b) -13,24 % c) -14,24 % d) -15,24 % e) -16,24 %
363.En la Fig168, la superficie del cono hueco truncado de radios de base a=40 cm, b=20
cm, altura H=20 cm, tiene una densidad de carga superficial de =80 nC/m
2
. Hallar la
magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba ubicada en el centro de la base
mayor. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 1,12qo b) 1,32qo c) 1,52qo d) 1,72qo e) 1,92qo
Fig167 Fig168
364.En la Fig169, en el alambre formado por tres cuadrantes de circunferencia, el radio de
los cuadrantes menores es de R=20 cm, y la densidad del alambre es de =80 pC/m.
(k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo".
a) 10,11qo b) 10,31qo c) 10,51qo d) 10,71qo e) 10,91qo
II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", medida respecto
del eje x positivo.
a) 351
o
43' 43" b) 352
o
43' 43" c) 353
o
43' 43" d) 354
o
43' 43" e) 355
o
43' 43"
0
z
qo
R
z
y
x
b
a
H
qo
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278
365.En la Fig170, a la esfera compacta de radio R=20 cm, y densidad de carga volumétrica
de =800 pC/m
3
, se le ha practicado en la parte superior una cavidad semiesférica de
radio r=1 cm. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo",
ubicada en el centro de la base de la cavidad. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 5,18qo b) 5,38qo c) 5,58qo d) 5,78qo e) 5,98qo
Fig169 Fig170
366.En la Fig171, los tres filamentos rectilíneos paralelos y espaciados igualmente, tienen
longitudes de l=40 cm, y densidades de carga lineal de =80 pC/m. ¿Para qué distancia
de separación entre los filamentos cargados negativamente, la fuerza neta sobre la carga
de prueba "qo", situada a la distancia d=10 cm del centro del filamento positivo, es nula?
a) 18,04 cm b) 18,24 cm c) 18,44 cm d) 18,64 cm e) 18,84 cm
367.En la Fig172, las placas cuadradas delgadas de lados a=40 cm, y densidades de carga su
perficial =80 pC/m
2
, se encuentran en los planos XY, XZ, YZ. Hallar la magnitud de la
fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo", equidistante de las placas d=20 cm.
a) 2,01qo b) 2,21qo c) 2,41qo d) 2,61qo e) 2,81qo
Fig171 Fig172
R qo
R
0
qo
R
-
0
qo
-
D
-
+
d
l
x
qo
0
y
z
a
a
a
a
a
a
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368.En la Fig173, la placa delgada cuadrada de lados 2a=40 cm, tiene una densidad de carga
superficial =800 pC/m
2
. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prue
ba "qo", ubicada a la distancia a=20 cm de la placa, y en el plano que lo contiene.
a) 4,14qo b) 4,34qo c) 4,54qo d) 4,74qo e) 4,94qo
369.En la Fig174, con dos alambre idénticos de la misma longitud l=40 cm, se hace un
anillo y una espira cuadrada, y se les suministra la misma densidad de carga lineal =80
pC/m. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre una carga de prueba "qo", ubicada en el eje
de simetría perpendicular al plano del anillo, a una distancia d=40 cm de su centro.
a) 675,63qo b) 676,63qo c) 677,63qo d) 678,63qo e) 679,63qo
II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre una carga de prueba "qo", ubicada en el eje
de simetría perpendicular al plano de la espira, a una distancia d=40 cm de su centro.
a) 31,59qo b) 32,59qo c) 33,59qo d) 34,59qo e) 35,59qo
III) Hallar la razón r= Fa/Fc, de las magnitudes de las fuerzas ejercidas por el anillo (Fa) y la
espira cuadrada (Fc).
a) 15,6 b) 16,6 c) 17,6 d) 18,6 e) 19,6
Fig173 Fig174
370.En la Fig175, el anillo de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal de =80
pC/m. Una carga de prueba "qo", se encuentra en el eje de simetría del anillo a la distancia
z=10 cm de su centro. Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuer
za eléctrica sobre "qo", cuando el anillo gira 90
o
alrededor del eje y.
a) -3,18 % b) -3,38 % c) -3,58 % d) -3,78 % e) -3,98 %
371.En la Fig176, la placa delgada cuadrada de lados "2a" tiene densidad de carga superfi
cial de =810
-10
C/m
2
. (k=910
9
Nm
2
/C
2
, 2a=40 cm)
I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", ubicada a la distan
cia d=20 cm del centro de la placa.
a
0
2a
2a
qo
x
y
0
z
qo
R
z
y
x
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Fuerza eléctrica
280
a) 15,07qo b) 15,27qo c) 15,47qo d) 15,67qo e) 15,87qo
II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo", después de haberle
practicado un agujero circular concéntrico de radio r=5 cm.
a) 13,12qo b) 13,32qo c) 13,52qo d) 13,72qo e) 13,92qo
III) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la
carga de prueba "qo".
a) -8,16 % b) -8,36 % c) -8,56 % d) -8,76 % e) -8,96 %
Fig175 Fig176
372.En la Fig177, la placa metálica delgada en forma de triángulo rectángulo de catetos a=
20 cm, tiene una densidad de carga superficial de 800 pC/m
2
. Hallar la magnitud de la
fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo", ubicada en el punto P. (k=910
9
Nm
2
/C
2
,
d= 2 a/2, M punto medio de la hipotenusa)
a) 3,12qo b) 3,42qo c) 3,72qo d) 4,02qo e) 4,32qo
373.La ecuación de una superficie plana muy grande es –x + 3y – 6z = 6 m, y tiene una densi
dad de carga superficial de =0,53 nC/m
2
. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre
una carga de prueba "qo", ubicada en el origen 0 de coordenadas. (k=910
9
Nm
2
/C
2
)
a) 30qo b) 32qo c) 34qo d) 36qo e) 38qo
Fig177 Fig178
d
2a
qo
2a 0
0
z
qo
R
z
y
x
M
qo
a
a
d
P
x
qo R
y
R
Página 198 - Fuerza Eléctrica
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Robótica y Cibernética
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374.En la Fig178, el alambre delgado formado por dos cuadrantes de circunferencia y una se
micircunferencia de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal de =80 pC/m. Ha
llar la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo", ubicada en el origen 0.
a) -13,4qo ĵ b) +13,4qo ĵ c) -15,4qo ĵ d) +15,4qo ĵ e) -17,4qo ĵ
375.En la Fig179, el alambre delgado formado por dos cuadrantes de circunferencias