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TU INGRESO ES DIRECTO GEOMETRÍA IDO ON eii le ANOS hs +, 4 a (<A > EAN Mal ele Ma a autorización A CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 02 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Par LLE al CE PRE UNALM TU INGRESO ES DIRECTO GEOMETRÍA Josué Alata Rey Sandro Alencastre Calderón Antonio Gutiérrez Curl Carlos Gutiérrez Curi Zelideth Pérez Torres Dandy Rueda Castillo Angel Salazar Minaya Ll Roni Roca Meneses - == — — 03 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO y all LA E da STATE CE ” A Universidad Nacional Agraria La Molina Rector Dr. ENRIQUE FLORES MARIAZZA Vicerrector Académico Dr. JorcGeE ALARCÓN Novoa Vicerrectora de Investigación Dra. CARMEN VELEZMORO SÁNCHEZ CE PRE UNALM TU INGRESO ES DIRECTO Centro de Estudios Preuniversitarios Director I | Ma. Víctor TrEJO CADILLO | | Jefe de la Unidad Académica | M6. TEÓFILO CHIRE MURILLO Jefe de la Unidad Administrativa IG. MiGuUEL DELGADO GARCÍA Edición 2019 GEOMETRÍA Soxta revisión: Sandro Alencastre Calderón Universidad Nacional Agraria La Molina Impreso por : GRÁFICA BRACAMONTE Centro de Estudios Preuniversitarios Gustavo Adolfo Bracamonte Heredia Jr, Almirante Guisse 939 - Jesús María Calle Eloy Ureta N* 076 ] Teléfono: 433-5131 / 330-7010 / 330-8434 Urb. El Mercurio - San Luis - Lima e-mail: prelamolinaíMlamolina.edu.pe Telf.: 326-5361 / Lima 30 - Perú ventas/Dbracamonte.com.pe Novena reimpresión, diciembre de 2019 Tiraje; 1000 ejemplaros impreso en 6l Perú / Printed in Peru : Derechos reservados. Prohibida su reproducción 1otal o parcial sin permiso del editor. ISBN: 978-612-45966-4-3 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N”: 2019.13412 04 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM. Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO ÍNDICE Presentación 3 Introducción 10 UNIDAD 1 CONCEPTOS Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Qué es la geometria? 12 Términos no definidos en geometria: Punto, recta y plano 12 Algunos postulados 13 Algunas definiciones iniciales 13 Angulos 15 Resumen 20 Ejercicios resueltos 21 Ejercicios propuestos 130 UNIDAD 2 EL TRIÁNGULO Triángulos 36 Teoremas básicos del triángulo 38 Lineas y puntos notables del triángulo 41 Casos particulares 44 Ángulos formados por lineas notables 44 Resumen Y7 Ejercicios resueltos 48 Ejercicios propuestos 57 UNIDAD 3 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Congruencia de triángulos 69 Postulados de congruencia de triángulos 69 Teoremas de la congruencia de triángulos 70 Resumen 73 Ejercicios resueltos 74 Ejercicios propuestos 83 UNIDAD 4 POLÍGONOS - Conjuntos convexos y no convexos 89 - Poligonos 89 Clasificación de los poligonos 90 Fórmulas para polígonos convexos 92 O5 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Resumen 94 Ejercicios resueltos 95 Ejercicios propuestos 100 UNIDAD 5 CUADRILÁTEROS Cuadriláteros 106 Clasificación 106 Resumen 110 Ejercicios resueltos 111 Ejercicios propuestos 117 UNIDAD 6 LA CIRCUNFERENCIA La Circunferencia 123 Angulos en la Circunferencia 124 Posiciones Relativas de dos Circunferencias 126 Propiedades de la Circunferencia 128 Teoremas de la Circunferencia 130 Resumen 132 Ejercicios resueltos 133 Ejercicios propuestos 138 UNIDAD 7 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Proporcionalidad 150 Semejanza de triángulos 152 Resumen 155 Ejercicios resueltos 156 Ejercicios propuestos 162 UNIDAD 8 RELACIONES MÉTRICAS Relación métrica 168 Proyacciones 168 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo 169 Aplicación en la semicircunferencia 170 Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo 171 Identificación del tipo de triángulo mediante conceptos de relaciones métricas 173 Relaciones métricas en la circunferencia 173 Resumen 174 - Ejercicios resueltos 174 Ejercicios propuestos 181 06 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyriaht CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 9 SUPERFICIE PLANA Superfifie y área 193 Área de la región triangular 193 Area de la región cuadrangular 199 Area de la región circular 202 Resumen 204 Ejercicios resueltos 205 Ejercicios propuestos 210 UNIDAD 10 GEOMETRÍA DEL ESPACIO Geometría del Espacio 222 Rectas y planos en el espacio 22 Sólidos geométricos 225 Poliedros regulares 225 Prisma 227 Cilindro de revolución 228 Pirámide 228 Cono de revolución 230 Esfera 231 Resumen 232 Ejercicios resueltos 233 Ejercicios propuestos 239 UNIDAD 11 TRONCO DE SÓLIDOS Intersección de una pirámide por un plano paralelo a su base 257 Tronco de pirámide de bases paralelas 259 Tronco de cono de bases paralelas 261 Tronco de prisma 263 Tronco de cilindro 265 Resumen 266 Ejercicios resueltos 267 Ejercicios propuestos 274 BIBLIOGRAFÍA 281 CLAVES DE EJERCICIOS PROPUESTOS 282 07 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO INTRODUCCIÓN Desde sus inicios, la Geometria ha sido un curso determinante para el aprendizaje y dominio de las matemáticas, puesto que su estudio se basa en: conceptos, demostraciones, análisis, construcción de figuras y/o trazos auxiliares, El objetivo principal de este libro es de ayudar a los estudiantes a incrementar su capacidad de análisis en las matemáticas, de tal manera que durante su vida universitaria estén familiarizados con la investigación y resolución de los diversos problemas que se les presente. Este libro consta de un marco teórico, un resumen, problemas resueltos y problemas propuestos, de tal manera que el estudiante pueda ir avanzando en forma progresiva los once capítulos que contiene este libro. Finalmente, quisiera expresar mi profundo agradecimiento a todos los profesores del curso que han contribuido en la elaboración y/o corrección de este libro, que estoy seguro será de mucha utilidad para nuestros estudiantes del Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional Agraria La Molina. 08 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO PRESENTACIÓN El Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional Agraria La Molina (CEPRE-UNALM), con mucho entusiasmo, reestructuró y relanzó las publicaciones propias, con la finalidad de mantener la mejora continua de sus servicios, dirigidos fundamentalmente para el beneficio académico de nuestros estudiantes. Te presentamos estos nuevos ejemplares de nuestra colección de 9 libros (Álgebra, Aritmética, Geometría, Trigonometría, Biología, Física, Química, Razonamiento Matemático y Razonamiento Verbal), revisada y corregida con dedicación por los Coordinadores y Profesores de cada uno de los cursos que se imparten a nuestros estudiantes en su preparación preuniversitaria. Cada libro se viene desarrollando de acuerdo a los contenidos que hoy exige la Universidad Nacional Agraria La Molina —- UNALM y en diversas instituciones de preparación superior, considerado un valioso material académico, que contribuirá a consolidar el conocimiento y lograr un mejor aprendizaje.Las unidades de cada libro, han sido estructuradas con contenidos teóricos y ejemplos que facilitan $u comprensión, con un conjunto de problemas resueltos con diferentes grados de dificultad a manera de guía práctica, y un conjunto de problemas propuestos también con diferentes grados de dificultad con sus respuestas respectivas, con el objetivo de lograr en los estudiantes un auto aprendizaje significativo. A ustedes jóvenes estudiantes dejo en sus manos esta colección de libros que es el trabajo comprometido de la institución para brindarles una formación académica de calidad, que sea la base del desarrollo del éxito de su carrera universitaria; por eso el CEPRE-UNALM te prepara para tus éxitos del futuro, y que estos estarán en función de la avidez, empeño y dedicación que determines para alcanzar tus metas y objetivos. Finalmente quiero expresar mi sincero agradecimiento a cada uno de los Coordinadores y su plana Docente por el gran trabajo realizado en forma permanente para la mejora de los libros y lograr esta nueva reimpresión. Ma. Sc. VÍCTOR TREJO CADILLO Director del CEPRE-UNALM 09 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 1 CONCEPTOS Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 10 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVOS: Al finalizar la unidad, el alunno debe ser capaz de; + Identificar segmentos congruentes. Nombrar e identificar las partes de un ángulo. Identificar áneulos congruentes. Clasificar y graficar ángulos. Identificar la bisectriz de un ángulo. Identificar ángulos adyacentes, ángulos complementarios y suplementarios, Resolver problemas relacionados con ángulos. CONTENIDO: 11 QUÉES LA GEOMETRÍA? 1.2 TÉRMINOS NO DEFINIDOS EN GEOMETRÍA: PUNTO, RECTA Y PLANO 1.3 ALGUNOS POSTULADOS 14 ALGUNAS DEFINICIONES INICIALES 1.5 Ángulos RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONOCIMIENTOS PREVIOS A parte de las operaciones aritméticas usuales, ningún otro conocimiento previo es requerido. Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 11 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.1 QUÉ ES LA GEOMETRÍA? La Geometria es una de las ramas más antiguas de la matemática que tiene por objeto el estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio. —Etimológicamente, Geometria significa “medida de la tierra” del griego geos (tierra) y metrón (medida), El historiador griego Heródoto (Siglo Quinto A.C) sustenta que los origenes de la Geometría datan de los antiguos egipcios, sin embargo estudios recientes muestran que los conocimientos matemáticos de los Babilonios eran más avanzados, inclusive en Geometría. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras realmente no fue descubierto por Pitágoras o sus seguidores, pues ya los Babilonios y mucho antes que ellos, los Sumerianos, conocían com mucha precisión este resultado. Euclides o Eucleides - como fue su verdadero nombre — fue un matemático griego que vivió en Alejandría por los años 300 A.C. que tuvo la brillante idea de coleccionar y sistematizar los conocimientos matemáticos de aquellos tiempos, en su gran mayoría de Geometría, En su obra los Elementos de Enclides, Libro L se presentó la base axiomática para la Geometria. Uno de esos resultados fue el polémico Quinto postulado de Enclídes que trajo como consecuencia la aparición de llamadas geometrías no euclidianas. Precisamente este postulado distingue la Geometria euclidiana de las que no lo son y que abordaremos en este libro. 1,2 TÉRMINOS NO DEFINIDOS EN GEOMETRÍA: PUNTO, RECTA Y PLANO Los términos PUNTO, RECTA y PLANO son aceptados en Geometría sin definición y servirán para definir cualquier otro ente geométrico. 5e pueden hacer descripciones para darles significado, como se verá a continuación, pero de ninguna manera debe verse como un intento de definirlos. Punto. Un punto puede representarse si se hace una marca en un papel con la punta de un lápiz o por un pequeño circulo. Sin embargo, un punto no tiene tamaño, sólo tiene posición. Para hacer referencia a un punto, se usarán letras mayúsculas. ».Á «B «mM .E Fig. 1.1 Representación de los puntos A, B, My K. Recta. Una recta puede imaginarse como conjunto de puntos que se disponen de manera continua en una misma dirección, o mejor como una linea que se prolonga indefinidamente en direcciones opuestas, Al dibujar una recta es usual hacerlo con puntas de flecha en los extremos para indicar el hecho que la recta no termina, como se muestra en la figura Fig 1,2 Recta Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 12 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Para hacer referencia a una recta se eligen dos puntos A y B y se escribe AB. para indicar la recta que pasa por A y B. Sin embargo, también puede usarse una letra minúscula o mayúscula para designarla, A » : » A Fig. 1.3 Representaciones de la recta Plano. Un plano puede imaginarse como tuna superficie plana que se extiende indefinidamente. Por ejemplo, una plancha de vidrio nos da la idea de un plano, Como en el caso de la recta, un plano puede considerarse como un conjunto de puntos. Una recta divide al plano en dos semplanos. Para designar un plano se usa cualquier letra mayúscula. Gráficamente, un plano se representa como sigue Fig. 1.4 Plano P 1,3 ALGUNOS POSTULADOS P1. Postulado de existencia a) En una recta e fuera de ella hay infinitos puntos. b) En ro plano o fuera de el hay infinitos puntos. P2, Postulado de determinación de una recta Dados dos puntos distintos existe una única recta que pasa por dichos puntos, P3. Postulado de la distancia Entre dos puntos existe una única distancia. Pa. Postulado del plano Tres puntos no colineales determinan un plano que pasa por ellos. P3. Postulado de inclusión Situna recta pasa por dos puntos de un plano, entonces dicha recta está contenida en el plano. 14 ALGUNAS DEFINICIONES INICIALES Definición 1.1 Un conjunto de puntos se dice que son colineales si están en la misma recta. Definición 1.2 Un conjunto de puntos se dice que son coplanares si están en un mismo plano. Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 13 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Defiuición 1.3 Una figura geométrica es cualquier conjunto de puntos. Las figuras geométricas son llamadas planas, si sus puntos están en un mismo plano, Definición 1.4 Dados dos puntos distintos A y B, el conjunto formado por los puntos comprendidos entre ellos, incluvendo a A y B, es llamado segmento de recta y se denotará por AB. Definición 1.5 La longitud de un segmento es la distancia entre sus extrentos. Las expresiones: m AB, AB ó6BA denotarán la medida del segmento AB. Definición 1.6 Dados dos puntos distintos A y B, la reunión del segmento AB y los puntos X tales que B está entre A y X es llamado rayo o semirrecia. Un rayo o semirrecta será denotado por: AB. A B Xx Fig:1.5 Rayo AB Definición 1.7 Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Para denotar la congruencia de dos segmentos 4B y CE seusará el simbolo = como sigue: AB =CE es decir: AB =CE equivale a AB=CE Definición 1.8 Dos rectas son concurrentes si ellas Henen tn único punto en comtn. La figura muestra dos rectas concurrentes en el punto P Fig 1.6 Rectas concurrentes Definición1.9 Dos rectas son paralelas cuando están contenidas en un mismo plano y no tienen ningún punto en común. Para denotar que las rectas L y M. son paralelas se escribirá: L.// M. Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 14 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO En la figura se muestra las rectas paralelas L y M contenidas en el plano P Fig. 1.7 Rectas paralelas 1.5 ÁNGULO Definición 1.10 En ángulo es la reunión de dos ravos no colineales que tienen el mismo origen o extremo. Los des rayos se llaman lados del ángulo y el extremo comin se llama vértice. La figura muestra al ángulo definido por los rayos AB y AC. Ángulo BAC = ABU AC B Elementos: e EXTERIOR Lados: AB y AC, INTERIOR Vértice: A A Región interior. A : Región exterior. EXTERIOR Notación: 4¿BACó ZCABÓ ZAó Zu Fig. 18 Ángulo BAC 1.5.1 Medida de un ángulo La medida de un ángulo depende de la extensión a la que debe ser rotado uno de sus lados para que coincida con el otro lado del ángulo. La medida de un ángulo puede hacerse haciendo uso de las unidades de medida angular tales como los grados sexagesimales, radianes, etc. El valor de la medida del ángulo se considerará en el rango: 0<0 < 180%. La medida de un ángulo ABC será denotado por: m 4 ABC 1.5.2 Congruencia de ángulos Definición 1.11 Dos omás ángulos son congruentes si tienen la misma medida. A c Para establecer que dos ángulos . ABC y DEF son congruentes, se escribirá: p Z ABC = Z DEF A B E F Fig. 1.0 Ángulos congruentes Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 15 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.53 Clasificación de los ángulos A) Por su medida: + Ángulo agudo —: Es el ángulo cuya medida es mayor que 0? y menor que 90", = Ángulo recto; Esel ángulo cuya medida es igual a 90*, = Ángulo obtuso : Es el ángulo cuya medida es mayor que 90* y menor que 180", LC 490 oa 90<04< 180 En (b) (e) Fig, 1.10 Clasificación de los ángulos por su medida B) Por la relación de sus medidas: + Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 90%. Cada ángulo es el complemento del otro. Fig. 1.11-a. = Ángulos suplementarios: Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 180%, Cada ángulo es el suplemento del otro. Fig. 1.11-b. VAN de Complemento (01) = 90 —« a+p=180% | Suplemento (a) = 180 -—a (a) (b) Fig. 1.11 Ángulos complementarios y suplementarios C) Por relación de lados: = Ángulos adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, pero no tienen puntos interiores comunes. En la figura 1,12, los ángulos AOB y BOC son adyacentes. A E A B B E a 180*—a Cc o c A ñn O e (b) Angulos adyacentes (2) Angulos adyacentes (a) Ángulos adyacentes comal a sun) o Figura 1.12 Ángulos adyacentes Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 16 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO A los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC de la Fig. 1.12 —c también se les denomina par lineal. + Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos. Dos rectas secantes generan cuatro ángulos en dos pares de ángulos opuestos por el vértice que es el punto común. Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida por lo que son congruentes. La figura 1.13 muestra a las rectas secantes, AC con BD ,dondeel ¿AOB y el ¿COD son opuestos por el vértice; lo mismo que los ángulos BOC con Z¿AOD. Definición 1.12 Si un ángulo es congruente a su adyacente suplementario, las rectas que contienen sus lados se dicen perpendiculares u ortogonales En la Fig. 1.14 los ángulos AOB y su adyacente suplementario BOC son congruentes, por tanto las rectas que contienen a sus lados son rectas perpendiculares. Notación: Y ¡4 iy, Fis. 114 Rectas perpendiculares Teorema 1,1 La suma de las medidas de los ángulos que tienen su vértice en un punto de una recta y se ubican en unmismo semiplano (porción del planeo a un lado de la recta) es igual a 180% a+p+y+06=180* Teorema 1.2 La suma de las medidas de los ángulos con vértice común y cuyos rayos son coplanares es 3609 ] Respecto a la figura 1.15, el teorema 1.2 establece que; a. ++ +0=360", Fig. 1.16 Ángulos coplanares Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 17 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.5.4 Bisectriz de un ángulo Se llama bisectriz de un ángulo al rayo que parte del vértice, se ubica en la región interior y determina con los otros lados del ángulo, dos ángulos adyacentes congruentes. En la figura, OF es la bisectriz del 4 AOB, por tanto, mm AOF =m ¿FOB= a ó equivalentemente: ¿£AOF= Z¿FOB Teorema 1.3 Fig..1.17 Bisectriz del £ ACB Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo recto. Demostración: Hipótesis: Los ángulos AOB y BOC son suplementarios siendo sus bisectrices OM y OF, respectivamente. Tesis:m 4 MOF =90* De la figura, y por hipótesis, los ángulos AOB y BOC son suplementarios, entonces: Fig. 1.183 Bisectrices de ángulos adyacentes la +2P =180" + «a +P=90> enpiemenacios pero m 4 MOF = a +$ Por lo tanto, m 4 MOF = 909 Postulado 6 (Quinto postulado de Enclides) Por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela. 1.5.5 Ángulos formados por dos paralelas y una secante La figura 1.19 muestra a las paralelas L, y Ls cortadas por la transversal secante Ly. Ly a/sb Li EXT L; Fiz. 1.19 Rectas paralelas cortadas por una secante Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 18 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Los ángulos determinados por L;. Lo y L; se llamarán: Ángulos correspondientes: son ángulos congruentes con vértices diferentes, ubicados a un mismo lado de la secante: y, uno es interior y el otro exterior: aye: byfdyh;cyg. Ángulos alternos: son ángulos congruentes, situados en lados opuestos de la secante y con vértices diferentes; unos s0n internos y otros externos; e Internos: cyf eyd * Externos: a y h; g y b. Ángulos conjugados: son ángulos suplementarios, situados a un mismo lado de la secante, con vértices diferentes y unos son internos y otros externos: Internos: cye dy L e Externos ayg: byh. Postulado 8 Si dos rectas paralelas son concurrentes con una tercera, entonces, los ángulos alternos (o ángulos correspondientes) son congruentes. Teorema 1.4 Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos son congruentes o suplementarios. La figura muestra ángulos cuyos lados son paralelos, donde OA / 0C y 080“ 00D Cc A ; a . - A € Q e i 30% ¿ p PE e S a c o E . q B a =p a=B a+ A =180* Fig. 1,20 Ángulos de lados paralelos Teorema 1.5 Dos ángulos cuyos Agonos son respectivamente perpendiculares son congruentes o suplementarios. a=P a+p= 1807 Fig. 1,20 Ángulos de lados perpendiculares Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 19 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN Un conjunto de puntos se dice que son: colineales si están en la misma recta y coplanares si están en wn misno plano. Una figura peométricaes cualquier conjunto de puntos. Las figuras geométricas son llamadas planas, si sus puntos están en un mismo plano, Dados dos puntos distintos A y B, el conjunto formado por los puntos comprendidos entre ellos, incluyendo a A y B, es llamado segmento de recta. La longitud de un segmento es la distancia entre sus extremos. Dados dos puntos distintos A y B, la reunión del segmento AB y los puntos X tales que B está entre A y Xes llamado rayo o semirrecta. Dos segmentos son congruentes sí tienen la mismo longitud. Dos rectas son: Y concurrentes si ellas tienen un único punto en común, Y paralelas cuando están contenidas en un mismo plano y no tienen ningún punto en común. Y coincidentes si 5e trata de la misma recta. Un angulo es la reunión de dos rayos no colineales que tienen el mismo origen o extremo. Los dos rayos se laman lados del angulo y el extremo común se llama vértice, Dos o más ángulos son congritentes si tienen la misma medida. Si un ángulo es congruente a su adyacente suplementario, las rectas que contienen a sus lados se dicen perpendiculares 1 ortogonales Los ángulos se clasifican en: Por su medida Por la relación de sus medidas Por la relación de sus lados | agudos complementarios adyacentes rectos suplementarios opuestos por el vértice obtusos La bisectriz de un ángulo es un rayo que parte del vértice, se ubica en la región interior y determina con los otros lados del ángulo, dos ángulos advacentes congruentes Dn par lineal está formado por dos ángulos advacentes suplementarios, Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces: Y Los ángulos correspondientes y alternos son congruentes Y Los ángulos conjugados son suplementarios, Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 20 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.1 13 13 EJERCICIOS RESUELTOS La suma de las medidas de dos ángulos es 70? y el complemento de la medida del primero es el doble de la medida del segundo. Calcule la diferencia de dichos ángulos. Solución: Sean a y f las medidas de los ángulos nombrados en el problema, planteamos las ecuaciones: a+p=Wicccicccccc: (8) Mea iii (8) Resolviendo (a) y (b): a= 50", fi =20* Por lo tanto: x= - f =50* -20* =30* Si a mo de dos ángulos suplementarios se le disminuye 15% y al otro 259, este último resulta ser igual a los cuatro tercios de lo que queda del anterior. Halle el suplemento del complemento de la diferencia de dichos ángulos, Solución: Sea a y (1807 — a) los ángulos suplementarios, planteamos la ecuación: (180 -0)-25= L (0-15 3 Resolviendo se tiene: a =75" Por lo tanto: x = 180* — [90* - (105% — 759)] =120" El triple del complemento de un ángulo, más el doble del suplemento del mismo es 250%. Halle la medida de dicho ángulo, Solución: Sea x el ángulo geométrico, planteamos la ecuación: 390% — x) + 2(180* — x) = 250P Resolviendo se tiene: x= 76" Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 21 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.4 El complemento de la medida de un ángulo excede en 6? a los dos quintos del suplemento de la medida del mismo ángulo, Calcule la medida de dicho ángulo, Solución: Consideremos a x como la medida del ángulo cuya medida se va a determinar. El complemento de x es: 90% —x El suplemento de xes: 180% - x Por condición del problema se establece la relación: 2 90% —x = — (180 * - x)+ 6” 5 resolviendo la ecuación se obtiene: x = 20% 1.5 Enla figura, si e— PB =40%, halle la m 4 BOC. B B A c NN LA Mi úL Solución: Consideremos x = m 4 BOC Como los ángulos ADB y BOC forman un par lineal, entonces, x es suplemento de [): x=180*-B... (1) Por condición del problema: a-B=40"... (2) Solucionando el sistema de ecuaciones se Hene;: x= 65%, 16 Losángulos AOB y BOC son suplementarios. Si m 4 AOB >m 4 BOC; y los ángulos BOC con COD son complementarios, halle la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB con COD, Solución: Con las condiciones del problema se grafica la figura, en la cual OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, respectivamente; y m 4 MON =x Por ser suplementarios: Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 22 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.7 1.8 mm AOM+m 4 MON = 180% E AN por ser complementarios: m / BON + im 4 NOD = 909 SS A resolviendo (1) y (2) se tiene: x = 135% En la figura, OM es bisectriz del ZBOC. Si m Z EOB—m Z MOD = 702, calcule la medida del ángulo COD. Solución: Sea x=m / COD Como Om es bisectriz: m Z BOM =m 4 MOC= f Del dato: m 4 EOB — m 4 MOD = 70? 900+x -(B+x)=70" e P=20" De la figura: x +2 = 90? Por tanto, x= 50", Los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son adyacentes, de modo que la bisectriz OM, del ángulo AOB, forma un ángulo recto con la bisectriz OD del ángulo BOE. Si el ángulo MOE mide 150", calcule la m 4 MOB. Solución: Con las condiciones del problema se tiene la figura adjunta, donde :m 4 MOB =x A AR - Resolviendo el sistema se tiene: x = 30% Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 23 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.9 Enla figura, L, // La. "A se Demuestre que x= a+( + Li Solución: Porel vértice del 4 x se traza L; paralela a L, y Lo. y Ly con las secantes forman los ángulos 0 y vo, ld como se muestra, resultando 0 +0=x Por ser alternos internos: a=w y P=0 Por lo que: x= a + $. 1.10 Enla figura, L; // Lo. Sia + PB =286", la dE calcule el valor de x. +* Li Solución: En la figura se ubican los ángulos adyacentes suplementarios de a y P:iy Sa por el ejemplo 9, la suma de éstos es x: p 180%-= “ha x =(1802—a)+(180%-[) S 0 104 180 p por tanto, x= 742. JAN Lo 1.11 Enla figura, L, // Lo; y Ly // La. La . Calcule el valor de x. _ 62 / Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 24 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Solución: En la figura se identifican los ángulos a y como se muestra. Por ser ángulos correspondientes se ene: a=62* y P=46* Por ser ángulos adyacentes en un mismo semiplano: a+ px =180* con lo que: x= 180% — (629 +46% )=72* 1,12 Enla figura, L, (/ Ls y 08 1 DF. Calcule el valor de cr, Solución: En lá figura, por opuestos por el vértice: mX¿LDE=a >—m2<FDL;=0-a Por ángulos de lados paralelos: Z¿BOL;¡= £¿FDLs =m £ BOL, =9-a Entonces, m ¿AOB=0-(0-a) m ¿AOB=0u Los ángulos AOB con AOC son adyacentes suplementarios: a. + 50 = 180% Resultando: (1 = 30%, 1.13 Respecto a la figura, calcule x. Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 25 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.14 1.15 Solución: Considerando los ángulos opuestos por el vértice generados por las rectas Ly, La se tiene: 8 + (90* - 28) = 60* de donde 0 =30f, Por ángulos suplementarios; (30% + 90%) +x = 180% Por lo tanto: x= 60P. Se tienen los ángulos consecutivos: AOB. BOC, COD y DOE: tal que los rayos OA y OE se oponen. Si OB es bisectriz del ángulo AOD, OC es bisectriz del ángulo BOE y la mé DOE = 28”, calcule la m.4COD. Solución: Dibujamos los ángulosy colocando sus Cc valores de acuerdo al enunciado: Sumamos las medidas de los ángulos: 28% + x + (28% + x) + (28% +2x) = 180" de donde x= 24. Se tienen los ángulos consecutivos: AOB, BOC, COD y DOE: de tal manera que: mkADOC +m2<BOD +1mC0E = 2201, Sim<BOD = — 2 nZADE. calcule m¿AOE. 3 Solución: Dibujamos los ángulos y colocamos un valor referencial a la medida de cada ángulo: Nuestra incógnita será: x = 0+P+0+0 Del enunciado planteamos: (0+B) + (B+0) + (B+co) = 2207 AM Pero sabemos también que: p+0= S (0+P+0+0) PUE ccoo 0) Reemplazando (b) en (a): x+ . x = 220 o setiene x= 140%. Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 26 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros UNALM TU INGRESO ES DIRECTO 1.16 1,17 En la figura, L, || Lo. Halle el valor de a. Solución: Trazamos tres rectas paralelas a L,, tal como se muestra en la figura. Por ángulos correspondientes y alternos internos. agregamos los ángulos que aparecen en negnita: Por lo tanto: 20.+ 20 = 64" de donde a = 16, 64? En la figura, L, || Lo. : Calcule el valor de x. 63" 53 Solución: Trazamos tres rectas paralelas a L;. tal como se muestra en la figura. Por ángulos alternos internos y complementarios, calculamos los ángulos que aparecen en negrita: Por lo tanto: x = 25* + 35* = 60P, Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 27 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.18 En la figura, L;, Ls y Li son rectas paralelas. Calcule B. L; Solución: Trazamos las rectas L, y Ls paralelas a L,, tal como se muestra en la figura: De las rectas L, y L4. y por ángulos alternos internos calculamos el ángulo de 80* Por consiguiente: 2a. = 30", de donde a = 40". De las rectas L; y Ls. y por ángulos alternos internos trasladamos el ángulo de 90* Por lo tanto: P = 90" + 40" = 130, 1.19 Enla figura, las rectas L; y Lo son paralelas, Si 0+8 = 1501, calcule el valor de 6. 28 + + Ly 130 a B 30 + + Ls Solución: Trazamos la recta L; paralela a L, como se muestra en la figura: Considerando las rectas paralelas L; y L, y la secante ij La, por ángulos correspondientes, trasladamos el ángulo de 30, Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 28 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.20 11) Ls, por ángulos correspondientes trasladamos el ángulo de 6. Usando el dato: q + 8 =150" y el resultado obtenido en el problema resuelto 9 se tiene: 20 +30 = 360* — 1509 por tanto, 0 =42* y a =108*, Respecto a la figura, calcule 4 + PB +0. 3 pa Por el punto de intersección de Ls y Ls tracemos una paralela a L, como se muestra en la figura. Solución: Teniendo en cuenta que los ángulos opuestos por el vértice y correspondientes son congruentes se tiene 0+P+0=1800 Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 29 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.2 1.3 1.4 EJERCICIOS PROPUESTOS Determine la medida de un ángulo, si la suma del suplemento y el complemento de dicho ángulo es igual a 1608. A) 55* B)75* C)95* D) 1059 E) 125* Considere los ángulos adyacentes complementarios ¿AOB y ¿BOC. 5i méAOB - méBOC = 12”, Calcule la m.¿BOC., A) 24? B) 399 Cy 449 D) 69* E) 840 ¿Cuánto le falta al complemento de un ángulo para ser equivalente al suplemento del complemento de dicha medida? A) la mitad B) el doble 0) el triple Dj) lo mismo E) Nada Encuentre la medida de un ángulo, sabiendo que su suplemento excede al complemento del complemento de su medida en el triple de dicha medida, A) 189 B) 20* 0225" D) 36* E) 30* Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 30 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.5 1.6 1.7 18 Si la suma de las medidas de los suplementos de dos ángulos es 230"; y la diferencia entre ambos es 50%; encuentre el complemento del menor. A) 40% B) 30" 0) 50* D) 62%30' E) 60* Considere los ángulos consecutivos ¿AOB y 4BOC, tal que m¿A0C = 130%, Encuentre la medida del ángulo formado por las bisectrices del ZADB y 4¿BOC. A) 65* B) 13* C) 18" D) 26* E) 52* La diferencia entre las medidas de dos ángulos consecutivos 4AOB y ¿BOC es 30%. Encuentre la medida del ángulo que forman OB y la bisectriz del 4AOC. A) 5" B) 10" C) 15" D) 20* E) 35 Considere los ángulos consecutivos: ¿AOB, ¿BOC y ¿C0D. Se trazan las bisectrices OP y OQ de los ángulos ZAOB y ZCOD. Si mZAOC + mZBOD = 156”, calcule la mZPOQ. A) 66" B) 88* C) 116* D) 78" E) 96" Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 31 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1,9 Considere los ángulos consecutivos: Z¿AOB, ¿BOC y 4COD: tal que, los ángulos AOC y BOD son suplementarios. Determine el ángulo formado por las bisectrices de ¿AOB y ¿COD. Si méBOC =42* y méAOB = 21mC0D A) 60% B) 90" 045 D) 68* E) 86" En la figura, L, // L,. Calcule x. E 4 A) 16? 36* | 20 B) 32* C) 249 D) 18* E) 20" En la figura, L, / L,. Calcule x. A) 50" B) 100* C) 110* noo > D) 55% E) 635" A Ly L; En la figura, L; (/ La, Calcule x. A) 60" B) 36* 0) 15* D) 30" E) 18 Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 32 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.13 Enla figura, L, // L;. Calcule x. A) 66* 5 B) 116* x L, Cc) 26" 30 1004 D)96* E) 80* 1.14 En la figura, L;. Ls y Lz son paralelas, Calcule x. A) 50* L; B) 30" qe 0) 600 a, La D) 80* pe E) 70* > 1.15 Enla figura, L, // Ls. Calcule x, A) 100? B) 60" C) 120* D) 150" E) 135 1.16 Enla figura, L, /' L;. Calcule x. L; A) 20" E 0+x B) 40" 1009 C) 60* D) 80* 0 E E) 100? Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 33 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1.17 1.18 1.19 1.20 En la figura, L, “L;. Calcule x. A) 120" B) 60* C) 80* D) 40" E) 20* En la figura, L, (f L,. Calcule x, A) 40” B) 80" C) 120* D) 100% E) 130" En la figura, Li (Ls. Calcule x. A) 36 B)35" 0) 435" D) 120* E) 10% En la figura, calcule la medida del ángulo agudo que deben formar L, y Ls de modo que las rectas La y Ly sean paralelas. A) 20* B) 22% C) 289 D) 18* E) 24* Unidad 1 - Conceptos y Principios Fundamentales 34 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 2 EL TRIÁNGULO 34 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyriaht CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVOS: Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: * Definir un triángulo e indicar cuáles son sus elementos. + Reconocer y ser capaz de graficar los diferentes tipos de triángulos que existen. * Utilizar las principales propiedades generales del triángulo. eIdentificar y graficar las líneas y puntos notables. * Resolver problemas sobre las propiedades generales del triángulo. CONTENIDO: 2.1 TRIÁNGULOS 2.1,2 Definición y elementos 2.1.2 Clasificación 2.1,3 Triángulos rectángulos notables 2.2 TEOREMAS BÁSICOS DEL TRIÁNGULO 2.3 LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 2.4 CASOS PARTICULARES 2.5 ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: * Operaciones numéricas y algebraicas básicas. e Procedimientos de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de ler y 2do grado. * Unidad 1 del libro: Angulo Geométrico. Unidad 2 - El triángulo 35 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.1 EL TRIÁNGULO: 2.1.1 Definición: Es la figura geométrica resultado de la reunión de los segmentos que unen tres puntos no colineales, Asi, siA, By Cson tres puntos ho colineales, entonces la reunión de los segmentos AB, AC y BC es el triángulo ABC, denotado por A ABC. Simbólicamente: AABC= AB uw AC ou BC (Ae BC La figura 2.1 muestra al triángulo ABC, donde se tiene: B A) ELEMENTOS: p - Vértices: Los puntos A, By C. EXTERIOR EXTERIOR - Lados: los segmentos AB, AC y BC - Ángulos: 4BAC, ZABC y ZACB; o también, INTERIOR considerando a los vértices: ZA, Z<By €; y a Je Me considerando a las medidas: Za, ¿By 6. Estos ángulos son los internos o interiores. CO Ángulo exterior: es el ángulo adyacente suplemen- Fig. 2.1: El triángulo ABC tario de un interior. Las figura 2.2 muestran los ángulos exteriores del triángulo. B B A », NS y PE Cc c Fig. 2.2: ángulo exterior del inióngnlo ABC Un triángulo tiene 6 ángulos exteriores en tres pares opuestos por el vértice. Así, en la fig. 2.2, los ángulos 1, 2 y 3 son los exteriores y los 4, 5 y 6 son los respectivos opuestos por el vértice, B) PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO: Es la suma de las longitudes de los lados del triángulo; se designa por 2.p; y €n la fig. 2.3, 2p =mab +m AC +mBc =AB+AC+BC. Semiperimetro: —p= ABE TAE usualmente, se dispone: AB=C; BC=a y AC =b; por lo 3 a+b+ce que: p== de b Í ] A Fig. 2.3 perímetro del triangulo Unidad 2 - El triángulo 36 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.1.2 Clasificación: A) Por la longitud de sus lados; Triángulo escaleno : Ningún par de lados son congruentes. Fig. 2.4 a Triángulo isósceles : Dos de sus lados son congruentes. Fig. 2.4 b * Triángulo equilátero : Los tres lados son congruentes. Fig. 2.4 € Nx Acs /A (b) (e) Fig. 24 Clasificación por lados BE) Por la medida de sus ángulos: + Triángulo acutángulo —: Los tres ángulos son agudos. Fig. 2.5 a. * Triángulo rectángulo —: Uno de los ángulos es recto (907). El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros lados, catetos. Fig. 2.5 b. * Triángulo obtuisáneulo : Uno de sus ángulos es obiuso. Fig 2.5 e. * Triángulo equiángulo —: Los tres ángulos son congruentes y miden 607. Fig. 2.5 d. B 60- a 8 60s 609 (a) (b) (<) (d) Fig. 25: clasificación por ángilos 2.13 Triángulos rectángulos notables: En el manejo de las ciencias matemáticas básicas, se hacen, comúnmente, uso de triángulos rectángulos, cuyas relaciones de sus elementos es conocida. Asi se tienen los siguientes triángulos rectángulos: e Escaleno: ángulos agudos de 30* y 609; lados proporcionales a: k,2k yk 3.Fig.2.64 e Isósceles: ángulos agudos de 45*; lados proporcionales a;k,k yk 2 .Fig.2.6b * Escaleno: ángulos agudos de 377 y 53%, lados proporcionales a: 3k, 4k y 5k. Fig. 2.6c d $ La AA k k 4k k 300 60* 45 439 2k ED Sk (a) (b) (e) Fig. 2.6: triángulos rectángulos notables Además existen otros: 18.5? y 71.5%; 26.5* y 63.5? ; etc. Unidad 2 - El triángulo 37 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.2 TEOREMAS BÁSICOS DEL TRIÁNGULO: Teorema 2.1 (de los angulos internos) En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos internos es 180%. Hipótesis: Sea el A ABC, con medidas de ángulos interiores; a, Py. Tesis: a+p+0= 180% Demostración: Ml La recta L pasa por el vértice B y es paralela a AC . Por altemos internos se tiene los ángulos A adyacentes de vértice B, como se muestra en la figura. Estos ángulos están en un mismo a semiplano, por lo que: a+ p+6= 180% Teorema 2.2 (de los ángulos exteriores) En todo triángulo, la suma de los ángulos exteriores, sin considerar los apuestos por el vértice, es 360”. Hipótesis: Sea el A ABC, con medidas de ángulos interiores: a, b y 6: y cuyos ángulos exteriores adyacentes m respectivos, som (p, 0) y O. “a. B Tesis: p p+o+0o= 3608 Demostración: Por definición de ángulo exterior: a o p=180* «a A ==.====b 9 =180*- f pr c o =180*-8 s Fig. 2.8: teorema N*2.2 Efectuando la suma de las relaciones: r p+0+0= 540" -(a+B+0) Por el teorema anterior al + [+ 6 = 1809 Entonces, | p+0+0=360* Unidad 2 - El triángulo 38 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE 5 PRE e Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Teorema 23 (dela medida del ángulo exterior) La medida del ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no advacentes ol ángulo exterior. Hipótesis: Sea el A ABC. El ¿BCE es el ángulo exterior relativo al vértice C, La méBCE =D, Los ángulos interiores relativos a los vértices A y B miden a y [, respectivamente. Tesis: D=0+p B Demostración: En el A ABC: a+pemdc=180% ...... Teorema anterior, méC0+ 0 = 180% ..... Del. Zextenor. Operando el sistema de relaciones: a+ +mC0=m<C+ q D resultando: A TE b=a+p Fig. 2.9: teorema NL 3 Corolarlo: En todo triangulo la medido de un angulo exterior es mayor que cualquiera de las medidas de los angulos interiores no advacentes. De la figura anterior se establece: Db> ay D>p Teorema 2.4 (de la desigualdad co un mismo triángulo) Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces, los ángulos opuestos a estos lados no som congruentes y el dugulo mayor es el opuesto al lado mayor, Hipótesis: Sea el A ABC, donde BC> AB Tesis: mA >méC Demostración: A Sobre el lado ec seubica E tal que bc z=BE . Se traza AE . Fig. 2.10: teorema N" 2 4 A ABE: es isósceles + me<BAE = meAEB Pero má AEB>=m<0 cnnococoos por E exterior del A AEC méBAE >m2ZC momen (1) mZA > mZBAE .......... (2), porser AE interior al ZA Sumando las relaciones 1 com 2 meékBAE + mA > mé 0 +mXBAE Resultando: méáaA > méC Unidad 2 - El triángulo 39 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO El recíproco al teorema dice: sí dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces, los lados opuestos a estos angulos no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al ángulo mayor. Teorema 2.5 (de la desigualdad triángular) En todo triangulo, la longitud de un lodo cualquiera es mavor que la diferencia de las longitudes de los otros dos lados, pero menor que la sima de las mismos longitudes. Hipótesis: Sea el A ABC Tesis: AB-BC=< AC < AB+ BC Demostración: Sobre el lado añ se ubica el punto E de manera que Fig 241 BE = BC. Se traza CE, entonces: m¿BEC =m¿ECB = 0 DO is (1) por exterior A EBC asB nnniuiin (2) por exterior A EBC Sumando las relaciones 1 con 2: B+a <+B8 a <0 En el A ACE se tiene: AE< AC Pero EB = BC Sumando AE+EB<AC+BC Luego AB<AC+BC 0... (3)También AC<AB+ BC ....... (4) De la relación 3: AB-=BO=SAC uuu. (5) De 4 con 5 se concluye: AB-BC< AC < AB+ BC Teorema 2.6 La suma de los longitudes de los segmentos que unen un punto del interior del triángulo con los extremos de un lado, es menor que la suma de los longitudes de los otros dos lados del triangulo. á . B Hipótesis: Enel A ABC, O es punto interior, ca y oc sonlos segmentos que unen el punto O con los extremos Ay €. Tesis: 0A+0C< AB +BC Demostración: Se prolonga AD hasta E en el lado ec. Fig 2.12 Enel AABE: AE< AB+BE ........... (leorema) A AN En el A OEC se tiene: OC<DE+ EC arcieiccmccinans (2) Sumado las desigualdades 1 con 2 AD+OE+0C=< AB+ OE +BE+EC Resultando: DA+OC<AB+BC Unidad 2 - El triángulo 40 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.3 LINEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: Son lineas rectas que se relacionan con el triángulo cumpliendo una condición especifica, Se tiene a: A) La Altura: Es el segmento que se traza desde un vértice y es perpendicular a la recta del lado apuesto a dicho vértice, Fig, 2,13 B B B A H co" um A c “Ta € Fig. 2.13: altura a , elativa al lado AC del hiáugulo ABC La figura muestra la altura del triángulo ABC (acutángulo, obtusángulo y rectángulo), relativa al vértice B o, relativa al lado ac y esel segmento BH, en los dos primeros y Ba en el triángulo rectángulo; Observe que en el triángulo rectángulo, la altura relativa a un cateto es el otro cateto. Todo triángulo tiene tres alturas. Las rectas que contienen a las alturas concurren en un mismo punto llamado ortocentro, el cual se ubica en la región interior, cuando el triángulo es acutángulo, en el vértice del lado recto, cuando es triángulo rectángulo, y en la región exterior, cuando es obtusángulo. Figura 2,14 -ñ al % . h " Fig 21M Ortocéntro del triingulo ABC B) La Mediona: Es el segmento que se traza desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Fig. 2.15 La figura 2.15 muestra la mediana BM del | tariceutro | tnángulo ABC, relativa ál lado ac, donde M es el punto medio del lado ac . IPS A a A B » 2? Fig. 2.13: Mediana y baricentro del 4 ABC Unidad 2 - El triángulo 41 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Todo triángulo tiene tres medianas. Las medianas cónctren en un mismo punto llamado baricentro, el cual se ubica en la región interior del triángulo. El baricentro está a dos tercios de la distancia de cada vértice y a un tercio del punto medio del lado opuesto. Al baricentro también se le denomina centro de gravedad de la región tnangular o gravicentro, a La Mediatriz: Es lá recta que interseca perpendicularmente, por su punto medio al lado del triángulo. Fig. 27 B La fig. 2.16 muestra a la mediatriz del triángulo ABC, É relativa al lado 4e , donde M es el punto medio del lado 4. Todo triángulo tiene tres mediatrices, las cuales son relativas a cada lado; y éstas son concurrentes en Un mismo punto llamado circuncentro. El cireuncentro de un triángulo se ubica en el interior, siel 4 na E triángulo es acutángulo; en el punto medio de la hipotenusa, | si el triángulo es rectángulo; y en el exterior, si el triángulo es obtusángulo, como se muestra en la fig. 2.17, Fíg. 2.16: Mediatriz relativa al lado Ac del iringulo ABC B: B B PA mA A A c A c A 2 Fig. 2.17 Ubicación del CIRCUNCENTRO Q, en el triángulo ABC D) LaBisectriz: Es el segmento de bisectriz de un ángulo del triángulo, comprendido entre el vértice y el punto de intersección con el lado opuesto. Bisectriz interior: Es la bisectriz del ángulo interior, la fig. 2.18 muestra la bisectriz ñE , relativa al lado ac oal vértice B del A ABC. Todo triángulo tiene tres bisectrices interiores, las cuales son relativas a cada lado o vértice; y éstas son concurrentes en un mismo punto llamado incentro, ubicado en la región interior del triángulo. La fig. 2.19 muestra el incentro I del triángulo ABC. B B E Fig. 2.18 Bisechi: BE del d ABC Fie. 2,19 Dicentro del a ABC Unidad 2 - El triángulo 42 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Bisectriz exterior: Es la bisectriz del ángulo exterior y comprende desde el vértice hasta el punto de intersección con la prolongación del lado opuesto. La fig. 2.20 muestra la bisectriz exterior BE , relativa al lado ac o0al vértice B del A ABC. En todo triángulo tiene tres bisectrices exteriores. Dos bisectrices exteriores y la bisectriz interior del tercer vértice concurren en un mismo punto llamado excentro, el cual es relativo al lado opuesto al tercer vértice, por lo que, todo triángulo tiene tres excentros. La fig. 2.21 muestra el excentro E, relativo al lado BP del A ABC. aL € E € Fig. 2.20: Bisectriz exterior BE. Fig. 2.21: Excentro E del 4 ABC E) La ceviana: Se denomina de esa forma al segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o prolongación de éste, en el triángulo. Fig. 2.22. p F Fig 2222: Cevianas BD. BF y AR del 4 ABC En todo triángulo acutángulo, la bisectriz interior, la altura y la mediana son cevianas interiores: y la bisectriz exterior es ceviana externa, En la fig. 2.23 se observa que la bisectriz, altura, mediana y mediatriz, son elementos diferentes para un triángulo en general. Fig. 2.23: Lineas Notables Unidad 2 - El triángulo 43 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.4 CASOS PARTICULARES: En todo triángulo isósceles, las lineas notables relativas al lado desigual coinciden y los puntos notables se encuentran alineados. Fig. 2.24. B L Altura Mediana Circuncentro Mediatriz Báricentro Bisectriz Inceutro Ortoceniro A ES Ac Fig. 2,24: Lineas y puntos notables en el triángulo isósceles En el triángulo equilátero, las lineas notables relativas a cualquiera de sus lados coinciden y los puntos notables también coinciden en un mismo punto, Fig, 2,25. Ortocentro Fig. 2,25: Lineas y puntos notables en el triángulo equilátero. 215 — ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES: A) Por dos bisectrices interiores: La medida del ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos interiores, es igual a 90% más la mitad de la medida del tercer ángulo. E ES 2 AAIC có +a+pPS 180% incio nióciconcianana 1 ÍA AABC :2a+méB+2B= 180% o... 2 ALO ÉS € Resolviendo 1 y 2 en: Fig. 2.26: Ángulo formado por dos 0 = 90% +mB/2 bisectrices intertores Unidad 2 - El triángulo 44 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO B) Por dos bisectrices exteriores: Las bisectrices exteriores relativas a dos vértices de un triángulo, forman un ángulo cuya medida es el complemento de la mitad de la medida del ángulo interno del tercer vértice. Demostración: E ABEC :5+a+pP=180% cccconcciononmso 1 A Y, AABC :2P =m2ZA + 180? -2a ...(Z ext.) £ > a+ =(180+m24A4)/2...... 2 Fig. 2.27 Angulo formado por dos Resolviendo 1 y 2: bisectrices exteriores ó=90* -mé¿A/2 C) Por una bisectriz interior y una exterior: B La medida del ángulo formando por una bisectriz A E interna con una externa, trazadas desde dos vértices de un triángulo, es igual a la mitad de la medida del ángulo del tercer vértice. Demostración: AAECIO+O SB cnc [Lex] =:p- a A =E p-a A 6 AABC: 2P=20+mé4B incorrorrnrororonor 2 Fig. 2,28: Angulo formado por una! bisectrE interior y una bisectre exterior Resolviendo 1 y 2en 0: 6 =mB/ D) Por una altura y una bisectriz interior: La medida del ángulo formado por una altura y una bisectriz interior, trazadas de un mismo vértice, es igual a la semidiferencia de las medidas de los ángulos de los otros dos vértices. Demostración: DO BHO :8+a4+ mZC0=90 cnc. 1 Mb AHB :mA+m2ZABH=90" — MmáA+a-D= 0 nnniniinn 2 Resolviendo 1 y 2: Fig. 2.29: Angulo formado por una altura y una bisectriz intertor |O=(mZA-m2C)/2 Unidad 2 - El triángulo 45 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO E) Por dos alturas: La medida del ángulo formado por dos alturas relativas a dos vértices de un triángulo, es igual al suplemento de la medida del ángulo en el tercer vértice, Demostración: DL AHO :mZAOH=m2%B ...( lados) En vértice O: 8+m4B = 180% Entonces, 8 = 130” - m<B Fig. 2.30: Angulo formado por dos alturas E) Por dos mediatrices: La medida del ángulo formado por las mediatrices de dos lados de un triángulo, es igual al suplemento de la medida del ángulo formado por dichos lados, Demostración: Se traza os y se forman los tnángulos rectángulos OPB y OQB La suma de ángulos del triángulo OPB con el del triángulo OQB es 360?, esto es: 8 + 1m.¿B +1m£P +m.40 =360* Pero méP +m240 = 180* Entonces, Fig. 2.31: Angulo formado por dos mediatrices 0 = 180" - méB Unidad 2 - El triángulo 46 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN Clasificación de los triángulos: POR LONGITUDES DE LADOS: POR MEDIDA DE LOS ANGULOS: e Triángulo escaleno + Triángulo acutángulo e Triángulo isósceles *« — Triángulo rectángulo e Triángulo equilátero e Triángulo obtusángulo e. Triángulo equiángulo Teoremas Básicos: Teorema 2.1 — En todo triángulo, la suma de las medidas de los angulos internos es 1807, Teorema 2.2 En todo triángulo, la suma de los ángulos exteriores, sín considerar los opuestos por el vértice, es 3609. Teorema 2.3 La medida del ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes al angulo exterior, Teorema 2.4 Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces, los ángulos opuestos a estos lados no son congruentes v el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor. Teorema 2.5 — En todo triangulo, la longitud de un lado cualquiera es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos lados, pero menor que la suma de las mismas longitudes, Teorema2.6 — La suma de las longitudes de las segmentos que unen un punto del interior del triángulo con los extremos de un lado, es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados del triángalo. Lineas y Puntos Notables: * Altura: Ortocentro * Mediana: —Baricentro * Mediatrizz Circuncetro * Bisectriz: Incentro y Excentro Ángulo formado: * Por dos biseciírices interiores: w =90* + m¿B/2 * Por dos bisectrices exteriores: 5 =390* - méA/2 + Poruna bisectriz interior y una exterior: — 4=mZB2 + Poruna altura y una bisectriz interior: 8 = (méA —-mZ0)/2 + Pordos alturas: 8 = 180% -m.<B e Por dos mediatrices: 0=180* - m.<B Unidad 2 - El triángulo 47 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO EJERCICIOS RESUELTOS 21 Enla figura, EF=EC=BC; mé¿A=25% ymé¿AFE=35*. Halle la m<¿FOB. B F Solución: Se ubica en la figura los datos del problema. Por 4 exterior del A AFE: meéFEC=25* +35" méFEC= 60% Al unir F con €, el A EFC es equilátero donde EF =EC=FC y, méóEFC=m<ECF = 60* En el vértice FE; 35% 4:60” + m24CFB = 180? mZCFB = 85* A FEC es isósceles + mZ<CFB = mZFBC, y méFCB = 1809 - (85% +85% = 109 x= 10% 22 Enla figura, halle el valor de x. Solución: En A ABC: mC = 180?- (90? + qt + 201) mZC = 90? - 3a Por Zexterior de A AED, en D: E A A A | Similamente en A ABD, en D: 30 = 45430 + 0-a= 413 ca. 2 Relación 2 en l:x=2 (15%) x=30* Unidad 2 - El triángulo 48 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.3 Enla figura si las rectas m y n son paralelas, el triángulo ABC es equilátero, halle el valor de a. Solución: Por dato m.¿C = 60% Por correspondientes: m4DEN = a En A EDF: m¿F = a - 90% En A FGC, por teorema de suma de ángulos: a - 90 + a + 607 = 180% Resolviendo a = 105% 2.4. Enla figura, halle x, si las rectas L1 y L2 son paralelas; y a =22*. L, Solución: Por los conceptos: ángulos alternos internos, suma de ángulos y ángulo exterior, se completa la información de la figura. L, L; da=6:+0 => 0=30 -6* sus Y B=90.-2a+x —1=20+b-90" 0... 2 Relación 1 en 2: x= 50-90 Por dato, a =22*, sail E end x=14* Unidad 2 - El triángulo 49 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 25 — Enuntriángulo los lados miden 4, 3 y Ax *- 2, Calcule el rango de variación del valor de x. Solución: Por el teorema de la desigualdad triangular: 4-3 <dx?-2 <4+43 1 <Ax Pa <7 Analizando por partes: pasta > AE EX cion 1 De Jit-2<7 3 x<aó .. 2 Entonces, Aa <x< far 26 —Enuntriángulo ABC, el <A es el de mayor medida, los lados miden: AB=4 y BC=6. Halle la longitud de ac , siendo AC el mayor número entero. Solución: Por el teorema de desigualdad eu el triángulo: ñ A AS 5 Por teorema de la existencia: 4 Cc 6-4<x<6+4 x A 2<x<l0 —$ A Analizando 1 y 2 resulta: x<6, luego, x=5 2.7 Exteriormente aun triángulo ABC, se construye el triángulo equilátero BDC. Si AB =4, AC=7; y el ángulo ABC es el mayor, halle el mayor valor entero que puede tomar el perímetro del triángulo BDC. Solución: Se efectúa la figura que representa al problema. E: AAA Unidad 2 - El triángulo 50 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros Enel A ABC: xR=7T y 7-4<ox<T+4 k<7Yy3EXx<0un analizando, resulta: xXx <7 ui 2 2enl: 3x<21 entonces, perimetro del A BDC =20 28 — Enun triángulo ABC, ce es bisectriz exterior y m.B = 3(m4A). Si AC = BE, calcule la méA. Solución: Se efectúa la figura que representa al problema, donde: mZA=a=> meé<B=3a En A ABC: m Zext. en € =4a EnA AEC:m ext. enC=2a => m2ZE=a, con lo que: ABCE y AACE son isósceles, entonces, la méEBC = la. En el punto B, por suplementarios: ja +20 = 180" a =36* méA = 36 29 — Enuntriángulo ABC, la altura BH determina sobre el lado ac dos segmentos: AH y HC que miden 2 m y 71m, respectivamente. Si mA = 2 (m.£C), calcule AB. Solución: Se efectúa la figura que representa al problema Efectuando un análisis de los ángulos internos se traza la ceviana Bo de forma que el A ABD es isósceles con m<D =2a A - Por caso especial en A isósceles AH =HD=2, y IP 1DG=7-2=35 Unidad 2 - El triángulo 51 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.10 2.11 Por £ extdel A BDC en D: m4B=20-a=a — ABDC: isósceles, donde: BD=DC=5. Entonces, en A ABD: AB=BD=5 AB=5m En la figura, calcule la DOC. Solución: Considerando a m¿DOC = a. Analizando los ángulos exteriores en los vértices B y D, resulta, respectivamente: 64? y 66*; lo queverifica a C exceñtro, BC y DC bisectrices exteriores; y a AD, bisectriz interior del A ABC, Por 4 formados por bisectrices: méACB=52*/2=26* En A BOC por teorema del .£ exterior en O o =64* + 26* o=88* méDOC = 88” En un triángulo ABC se trazan las perpendiculares, BH y BP, alas bisectrices de los ángulos A y C, respectivamente, Halle la m¿HBP, si m.éB = 20%. Solución: Se dibuja el A ABC del problema Sea 0 el £ formado por las bisectrices interiores de A y C: 6 = 90? + (20%/2) = 100 El incentro, P, B y H forman dos triángulos rectángulos donde se cumple: mZHBP + 0 = 180? +m.HBP = 80? Unidad 2 - El triángulo 52 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.12. Enla figura, “0” es el ortocentro e *T” es el incentro del tnángulo ABC. Halle el valor de 6. Solución: En la figura, por concepto de incentro y ortocentro, se completa las alturas AH y cr; y los ángulos de valor Q: Por £ de lados .L: mZPCB=mZ<HAB = 0 Por bisectriz: m.ZTIAC = 29 En APC: 48 +60 =907 Resolviendo 6 =18* 2.13 Enun triángulo ABC se ubica el punto M en BC tal que AB = MC. 5: m¿BAC = 28%, calcule el menor valor entero que le corresponde a la medida del ángulo ABC. Solución: Como BC > AB, entonces: 28% > 152% - X Por lo tanto: X > 124% 28 152%x Entonces: Xara = 1259 A e 2.14 Enla figura, calcule: m 4 BMA +1m 4 ADB-m ¿BCA, Solución: De la figura: mm ¿4 BMA+2a+ z =180* m ¿ADB +4 +2z=180* sumando ambas ecuaciones: m BMA +m £ ADB +3(a+z) = 360? ....(1) además en A ABC: m Z BCA + 3(a +2) = 1809 .....(2) ()-(): mm ZBMA +m 4 ADB-m ¿BCA= 180* Unidad 2 - El triángulo 53 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 215 En un triángulo isósceles ABC, AB = AC, se ubica en su interior el punto M de forma tal que los ángulos ABM y CAM son congruentes y en el triángulo ABM, el ángulo exterior en M mide 40*. Calcule la medida del ángulo BCA. Solución: En A ABC:m <ABCO=m-<ACB (dato) Entonces: a+ m Z¿MBD=z, luego: m 4¿MBD =z-a En a ADC: m ZADB=a+z (propiedad del ángulo exterior) En A MBD:7+4+z-a+ 40% = 1809 Por lo tanto: 2 = 70* 2.16 En un triángulo equilátero ABC, el perímetro es 72 y Mes el punto medio AB. PorM se traza ME perpendicular a BC y luego RDperpendiculara AC. Calcule AD. Solución: B Como el perímetro del triángulo ABC es 72, entonces cada lado mide 24 entonces: AM = MB = 12 A MEB (30*; 60%): MB = 12, entonces BR = 6, por lo tanto: RC =24-6=18 á RDC (30; 60%) RC = 13, entonces CD=%9 c por lo tanto: AD=24-9=15 2.17 En un triángulo ABC, ADes bisectriz interior. El punto M esta en la prolongación de ADy el E la prolongación de AC. situados de forma tal que: CD=CE; y, m ¿ABC=2m 4 MODE. Calcule la medida del ángulo MDE, Solución: ADCE:m¿DCA=a+a=2a — (propd, del ángulo exterior) A ABC: 2x+22+ 24 = 180"... (1) (suma de ángulos internos) AADE:2+4=%......... (2) (propd. del ángulo exterior) Reemplazando (2) en (1): 2x +2x =180* A » Luego: x =45* E Unidad 2 - El triángulo 54 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.18 2.19 2.20 En un triángulo equilátero ABC, AM es una ceviana interior y en su prolongación se ubica el punto D de forma que: m 4 BCD=390* y CD= AB. Calcule la medida del ángulo AMB, Solución: 4 ACD: 27 +60? + 90% = 1809 entonces: z= 15 A AMC: x=60+2=75% (propiedad del ángulo exterior) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, BR es altura. Se ubican los puntos M y D en BRy RC, respectivamente, de forma tal que BC y MD son paralelas. Halle la relación en que están los ángulos MBD y MAR. F Solución: Como BC y MD son paralelas, entonces M es el ortocentro del A ABD A por lo tanto x= ya que tienen el mismo complemento luego: +1 En un triangulo ABC, méBAC=48* y mé£ACB = 12% Si M es el incentro y R es el circuncentro, calcule m¿MAR. Solución: Á ABC: a + 48* + 12? = 180", de donde: a= 120* luego: m 4 ARC = 120* (propiedad del circuncentro) A ARC: 224 120% = 180* por lo tanto z = 30? A de la figura: x= 24% +2 =54% Unidad 2 - El triángulo 55 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.21 En un triangulo isósceles ABC (AB=BC) se traza la ceviana interior BR y se prolonga hasta un punto M tal que m 4 MCA =30* y m 4 MBC =3(m 4 ABM). Calcule la medida del ángulo AMB. Solución: A ABC: se traza BD1 AC, entonces: AJ =JC por lo tanto 4 ADC es isósceles ya que DJ es altura y mediana En Á DIC:a+ m ZJDC=3%90", pero por dato a=30" entonces: m 4 JDC =60* =m ¿JDA porque el a ADC esisósceles, esto significa que m 4 ADM = 60? por lo tanto M es excentro del a ABD entonces: q. 24%. 5p+ (propiedad del excentro) z 2.22 Enun triángulo ABC, m Z ABC =16%, m ZACB=37", BC =20; y BM es bisectriz interior. Calcule AM. Solución: Se traza BR perpendicular a la prolongación de CA En Á CRB (377; 53%: BC = 20, entonces BR = 12 En A MRB (45"; 45"): BR=MR=12 En Á CRB: 37% +16%+m ¿ABR = 90? luego m 4 ABR =37* En A ARB (37%: 53%): BR = 12, entonces: a=9 de la figura: ME =x +a=12 luego: x=3 Unidad 2 - El triángulo 56 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.1 EJERCICIOS PROPUESTOS En un triángulo se cumple que uno de sus ángulos internos mide 20% más que el segundo y 35% menos que el tercero. Indique, ¿cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? L El triángulo es isósceles, IL El triángulo es obtusángulo. TIL. El triángulo es rectángulo. A) SololI B) IyI C) Solo I D) Iy In E) Solo MM 22 En un triángulo ABC, AB = 12, BC=(2k+5) y AC =k-2. Calcule el perimetro de dicho triángulo, si k es un número entero. A) 24 B) 18 C) 27 D) 22 E) 25 2.3. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en A, en la región exterior y relativa al lado BC se ubica el punto F de forma tal que el ángulo BCF es obtuso. 51 AB =5, BF= 13 y BC = (2k-6), calcule la suma de los valores enteros que puede tomar k. A) 36 B) 30 C) 24 D) 28 E) 32 24 Exterior a un tnángulo ABC y relativo al lado BC se encuentra el punto F de modo que AF =5 y BF = 4. Halle el mayor valor entero de CF, si la suma de las longitudes de los lados AB y BCes 11. A) 14 B) 15 O 12 D) 13 E) 16 Unidad 2 - El triángulo 57 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.5 Enlos lados BC y AC de un triángulo isósceles ABC (AB = BC) estan los puntos M y E, respectivamente, ubicados de forme tal que BM= BR. Sim 4 ABR = 36*, calcule la medida del ángulo MRE, A) 12* B) 15* C) 189 D) 24* E) 30* 2.6 Enun triángulo rectángulo ABC, recto en B, la m 4 BCA = 40% AM es una ceviana interior que cumple con BC+BM=AC. Calcule la medida del ángulo MAC. A) 259 B) 30* Cc) 209 D) 35* E) 409 2.7 Enla figura, AB=BC,m £ APD=90" y m Z ABC =40*. Calcule x. A) 50" B) 30* 0) 60 A D) 25* E) 35* p 2.8 Enun triangulo isósceles ABC (AB = BC), la bisectriz exterior del ángulo € interseca en M a la prolongación de la bisectriz interior AR. Calcule la medida del ángulo RMC, si AR=AC. A) 272 B) 300 C) 18* D) 36" E) 20” Unidad 2 - El triángulo 58 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESOES DIRECTO 2.9 2.10 2.11 2,12 En un triangulo equilátero ABC se traza la ceviana interior CR y se prolonga hasta un punto M tal que AM = BC. Calcule la medida del ángulo BMC. A) 2? B) 37 C) 15 D) 25 E) 30* En un triángulo ABC, M es el excentro relativo al lado BC. En el interior del triángulo BMC está el punto O que equidista de B, M y C. Calcule la suma de las medidas de los ángulos BAC y BOC. A) 90? B) 120* C) 150* D) 160* E) 180* En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD. Si AB = 8, BD = 5 y m ¿CAB m ¿ CBD a ZACD + + calcule la medida del ángulo BCA. A) 15% B) 30% C) 18,52 D) 26,5% E) 22,5 En un triángulo equilátero ABC, F, M y G son los puntos medios de AB, BC y AC, respectivamente. Si la distancia del ortocentro O del inángulo FMG a FM es 2, calcule OA. a 4 B) 6 Cc) 10 D) 8 E) 12 Unidad 2 - El triángulo 59 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.13 Enun triángulo acutángulo ABC, la ceviana BM pasa por el circuncentro O de dicho triángulo. Si se cumple que m 4 ABM = 22* y m 4 MAO = 35*, calcule la medida del ángulo BMC. A) 69 B) 65* C) 799 D) 66? E) 88* 2.14 En wn triángulo ABC, BHes altura y en dicha altura se ubica el punto M de modo que: mé¿ABM =m ¿MCA=x; y m ¿MCB=m £ MAC = 2x. Calcule x. A) 189 B) 152 C) 20* D) 30* E) 24* 2,15 En un tnángulo ABC, m £ ABC =40 y m 4 BAC = 60, Se trazan las cevianas interiores AF y CG tal que m 4GAF= 10%", AG=CF y FC=6. Calcule CG. A) 5 B) 4 06 D) 8 E) 9 2.16 Enel interior de un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B, se establece el punto F tal que se cumple AF=BC ym ¿BAF=m ¿ACF. Calcule la medida del ángulo BAF. A) 18,59 B) 30* C) 45* D) 53" E) 26,5" Unidad 2 - El triángulo 60 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.17 Enun triángulo ABC se toma el punto M en BC y se traza MH perpendicular a AC. En AB se torna el punto E tal que BR = 2.AH, m 4¿BRM=m ¿BCA=B y m ¿BAC =2 P. Halle fi, A) 309 B) 37 C) 459 D) 60* E) 53* 2.18 Se tiene el triángulo obtusángulo ABC, obruso en A, en el cual AC=12 y 3AB=2EC. Si BH es altura, calcule el máximo valor entero de AH. A) 18 B) 22 C) 20 D) 24 E) 23 2.19 Enun triángulo ABC, m 4 ABC = 1007, se toma el punto M exterior y relativo al lado Ac tal que AB= AM, m 4 AMC = 160% y m 4 BAM = 60*. Calcule la medida del ángulo MAC. A) 20% B) 12* Cc) 107 D) 119 E) 15% 2.20 En un triángulo ABC, M es un punto interior tal que m BAM =m ¿MAC =3w, CM = BC, m ¿BOM=2w y m ACM =w, Calcule w, A) 10% B) 8* C) 7,59 D) 122 E) 6? Unidad 2 - El triángulo 61 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.21 En un inángulo ABC, AB =BC, la altura BH y la mediana AM se intersecan en P. Calcule BH. si PM=>/2 y mZBPM=45". A) B) 2) D) E) e 3 5 == 0 2.22 En un triángulo ABC, se trazan la altura BH y la bisectriz interior BF; luego se trazan las bisecirices de los ángulos BHF y BFC que se intersecan en el punto E. 51 m.¿BAF es mayor que la m4BCA en 407, determine la medida del ángulo HEF. A) 5 B) 10* C) 15 D) 20* E) 30" 2.23 En un triángulo ABC, la medida del ángulo A excede a la medida del ángulo C en 28*; se traza CM perpendicular a la prolongación de la bisectriz interior BN, Determine mZACM. A) 10 B) 12* C) 14 D) 16 E) 28* 2.24 En un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro “O”, la altura AH se prolonga hasta un punto F de modo que el triángulo OCF es rectángulo (recto en C), Si mABC = 65%, calcule la méOFC. A) 322 B) 65 C) 45" D) 25* E) 30” Unidad 2 - El triángulo 62 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.25 2.26 2.27 2.28 En un triángulo ABC se prolonga la bisectriz interior AE hasta un punto F de modo que EC = CF. Si el ángulo ABC nude 70?, calcule la medida del ángulo ACF. A) 35 B) 60 C) 65 D) 70 E) 140 En un triángulo acutángulo ABC, se ubica su circuncentro “O”, tal que la mZíOCA = 102, méOCB =20* y OC = 12, Halle la distancia del punto “O” al lado AB. A) 6 B) 8 Cc) 9 D) 64% E) 44% En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), m2ABC = 36", CF es una ceviana interior y “O” es el circuncentro del triángulo AFC. Calcule la m¿OCF. A) 9 B) 18* Cc) 27 D) 36* E) 30* En un triángulo acutángulo ABC, H es el ortocentro, 1 es el incentro y O el circuncentro. Además, méAHC = mZA0OC., Calcule la m¿AIC. A) 135 B) 75 C) 90* D) 105* E) 120" Unidad 2 - El triángulo 63 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.29 En un triángulo ABC, de ortocentro O, m¿0AC = 35% y m£0CA = 25%. Halle la m¿ABC. A) B) O) D) E) s0* 33" 60* 65* Or 2.30 En un triángulo ABC se traza la altura BM, y se cumple con que m ¿ACB =2m4ABM. Calcule AC. sí BC=10. A) B) a) Dj E) E 9 10 12 15 2.31 En la figura, halle 0+P, si méABC = 48* A) B) Cc) D) E) 36 2 42 18 30* á c 232 Enun triángulo ABC, AB=6cm y AC= l4cm, calcule el mayor valor entero que puede tomar la mediana AM. A) 6cm B) c) 8cm Tem Dj 10cm E) Sc Unidad 2 - El triángulo 64 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.33 Enla figura, L1, L2 y L3 son paralelos. Si en el triángulo ABC la altura relativa a AC mide 7cm y en el triángulo AFC la altura relativa a AC mide 3 cm, calcule MY, A) 5cm . e EA B) Tcm C) 8cm D) 10cm E) 20cm t NY = + m . L; F Y 2,34 En un triángulo ABC, AB=3 y BC=5, ¿Cuántos valores enteros puede tomar el segmento AC? A) B) C) D) E) A 2,35 — En un triángulo ABC, “E” es el excentro relativo a BC ,“H" el ortocentro y mZBEC = 50F, Calcule la m.¿ABH. A) 5 B) 10* Cc) 15 D) 20* E) 25 2.36 En un triángulo acutángulo ABC se trazan, las alturas AM y BN; y las bisectrices de los ángulos MBN y MAN que se intersecan en T. Halle la m¿ATB. A) 135 B) 75* C) 90 D) 105* E) 150" Unidad 2 - El triángulo 65 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.37 Enun triángulo POR, lam Q =22*. Si la mediatriz de la bisectriz interior del ángulo P corta a la prolongación del lado QR en S, calcule el la medida del ángulo SPR. A) 35% B) 20* C) 33" D) 11? E) 27 2.38 En un triángulo ABC se traza la bisectriz BF (F sobre AC) y la mediatriz de BF que corta a la prolongación del lado CA. en el punto R. Si Mes punto medio de BF y mZA -m2ZC = 32, calcule m.¿MRF. A) 32 B) 12 C) 240 D) 18 E) 16* 2.39 Enun triángulo acutángulo ABC se trazan la bisectriz BD (D en AC) y la mediatriz de AB, las cuales se cortan en F, Si m<¿BDA = 80" y BF=AD, calcule la m¿BCA. A) 40* B) 50" CO) 30 D) 37 E) 53 2.40 Las medidas de los lados de un triángulo escaleno, en metros, son números enteros. Si el perímetro es menor que 13m, ¿cuántos triángulos existen? A) B) Cc) D) E) La SS a b d Á Unidad 2 - El triángulo 66 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 2.41 En un triángulo ABC, mZA = 2mC. Si la altura relativa a AC y la bisectriz del ZABC forman un ángulo de 10”, halle m.<C, A) 30" B)16? C) 25 D) 20* E) 18* 2.42 En un triángulo equilátero la distancia del ortocentro a un lado es 4. Halle la distancia del incentro a un vértice. A) 12 B) 8 as D) 2v43 E) 4 Unidad 2 - El triángulo Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, 67 CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 53 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 67 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVO Al finalizar esta unidad, el alumno será capaz de: * Identificar la congruencia de dos triángulos. * Aplicar los teoremas derivados de la congruencia de triángulos. * Resolver los problemas relativos a la congruencia de triángulos. CONTENIDO: 3.1 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 3.1,1 Concepto 3.1.2 Definición 3.2 POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 3.3 TEOREMAS DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: + Segmento, ángulo y triángulo. e Lineas y puntos notables. Unidad 3 - Congruencia de triángulos 68 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.1 CONGRUENCIA DE TRIANGULOS: 31.1 Concepto Dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño, pudiendo estar en distinta posición en el plano o en el espacio. Así por ejemplo, en la figura 3.1 se muestran los triángulos ABC y EFD; éstos son congruentes y para verificar, se superponen para analizar el tamaño y la forma, coincidiendo cuando se establece la siguiente correspondencia de vértices: 4 ——— D t BE EA E Otra correspondencia distinta no logra la B coincidencia deseada. Esa correspondencia de vértices también se establece por ABC *—+DEF ñ u H A a C Fig. 3d MABCvA DEF congruentes 312 Definición 5ea ABC « DEF una cormespondencia entre los vértices de dos triángulos. $1 los pares de lados correspondientes son congruentes y los pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces, la correspondencia ABC + DEF se lama una congruencia entre los dos triángulos y se denota comúnmente por: A ABC = A DEF. Se establece lo siguiente: AB =DE 0 AB=DE AC=DE 0 AC =DF BC = EF 0 BC =EF ZA= £D o méA =m<D ¿B= LE o méB=m.éE ¿£C= ZF o m ¿C=m<F 3.2 POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Los siguientes postulados verifican la congmiencia de dos triángulos: Postulado LAL (lado, ángulo, lado) Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, son respectivamente congruentes a dos lados y al ángulo comprendido entre los mismos de otro triángulo; entonces, ambos triángulos son congruentes. Fig. 3.2. 4 E Si AB =DE, AC 5 DF y 5 ¿As £D. > Entonces, e é > E > A AABC= ADEF Fig. 3.2 Postulado LAL: A ABC = A DEF Unidad 3 - Congruencia de triángulos 69 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Postulado ALA (ángulo, lado, ángulo) Si dos ángulos de un triángulo y el lado adyacente a dichos ángulos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado adyacente a los mismos de otro triángulo; entonces, los dos triángulos son congruentes, Fig. 3.3, En la figura 3.3, si ¿A= ZD; £¿£Cz£F y AC = DF; entonces, A ABC= A DEF A E 1 A 0 Pisco »pÁz n F Fig. 3.3 Postulado ALA: AABC Ss ADEF Postulado LLL (ado, lado, lado) Si los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces, ambos triángulos son congruentes. Fig. 3.4. Si AB = DE, B E AC = DF y z BC = EF = Entonces, A Cc D F AABC= A DEF Fig. 3,4 Postulado LLL: AABCOz ADEF 33 TEOREMAS DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Teoremas relevantes basados en la congruencia de triángulos: Teorema 3.1 (de la bisectriz de un ángulo) Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo, equidista de los lados del ángulo. Hipótesis: Sea el ZAOB. OZes la bisectriz, F pertenece a la bisectriz, FE 1 OA y FM 1 OB. Tesis: FEzFM 0 FE = FM. a Fiz 13 deorema 3d Demostración: En la figura, ¿OFE = ZOFM (complemento de at) Entonces, A OFE = A OMF (postulado ALA) Por lo tanto: FE s FM o FE = FM. Unidad 3 - Congruencia de triángulos 70 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Teorema 3,2 (de la mediatriz de un segmento) Todo punto que pertenece a la mediatriz de in segmento, equidista de los extremos del segmento. Hipótesis: L Sea L la mediatriz de AB, F pertenece a L Tesis: F FA=FB 0 FA - Demostración: A e £ B A AMF = A BMF (postulado LAL) E | Á AFB: es isóceles Fig. 3.6: Teorema 3.2 Entonces: ma FAs FB o FA="FB Teorema 3,3 (de los puntos medios del triángulo) Si por el punto medio de un lado dem triángulo se traza una paralela a uno de los otros lados, ésta paralela divide al tercer lado en dos segmentos congruentes, B Hipótesis: Sea el AABC, M € AB tal que, AM s MB eE E te L//ACy LnmBC=(N) Tesis: A, AÁ c BN = NC Fig. 3,7: Teorema 3,3 Demostración: Se traza NF // AB-> AMNF: paralelogramo ó AM=NF y MN=AF B Por correspondientes: máBMN =m¿NEC = «a MM N mZMBN =m2ZFNC =P B luego, AMBN=AFNC tulado ALA da sees z ) A a a Cc F entonces: MN a FC Fig. 38 Teorema 3.3 luego, BN = NC Unidad 3 - Congruencia de triángulos 71 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Teorema 3.4 (de la base media del triangulo) El segmento que une los puntos medios de los lados de un trióngulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longimd. el Hipótesis: Sea el A ABC, M punto medio de AB” y N punto medio de BC. l M WN Tesis: MN + AC MN « 2€ 2 Á t Demostración: Fi. 3.9 Tourema 34 Se traza CF 1 AB .F e prolongación de MN BN=NCy NA AZ (teorema anterior) » méABC =meéBCF (L entre //) pl máMNB =m<CNF (ángulos opuestos por el vértice) . luego. AMBN=AFCN (postulado ALA) _L M A a entonces: MN 2 NF MÍN = MF/ 2 AMEC: paralelogramo, MF =AC Concluyendo: A MN. 22 2 Teorema 3.5 (de la mediana relativa a la bipotenusa) La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa de un triangulo rectángulo, es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa, Hipótesis: B Seael E ABC, mZABC = 900 BM : mediana Tesis: BM= 2 » ? mu + c 7 Fig. 3.10 Teorema 3.3 Demostración: Se traza MN Y AB. B Luego: BN 2 NC (teorema ptos. medios) y m2MNC = méABC = 90? a con lo que: ABNM=A MNC (postulado LAL) entonces, BM = Mc ,0 BM=MC A ¿ ¿ c finalmente: E M ”* BM=24£ 2 Unidad 3 - Congruencia de triángulos 72 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN La congruencia entre dos triángulos se denota por: AABC= A DEF, y se verifica: AB O=DE 0 AB=DE AC ZDFE O 0 AC=DF BC =EF o BC =EF ZAs £D o méA =m<D ZB= ZE o mZB = mZE ¿Es LF o m 40 =m<F Postulados de la congruencia de triángulos; Postulado LAL Postulado ALA Postulado LLL Teorema de la congruencia de triángulos: Teorema 3.1 (de la bisectriz de un ángulo) Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo, equidista de los lados del angulo. Teorema 3.2 (de la mediatriz de un segmento) Todo punto que pertenece a la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos del segmento. Teorema 3.3. (de los puntos medios del triángulo) Si por el punto mediode un lado de xn triángulo se traza una paralela a uno de los otros lados, ésta paralela divide al tercer lado en dos segmentos congruentes. Teorema 3.4 (de la base media del inangulo) El segmento que une los puntos medios de los lados de un trióngulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitid. Teorema 3.5 (mediana relativa a la hipotenusa) La longitud de la mediano relativa a la hipotentsa de un triángulo rectángulo, es igual a la mitad de la longitud de la hipotemusa. Unidad 3 - Congruencia de triángulos 73 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.1 EJERCICIOS RESUELTOS En la figura el triángulo ABC es equilátero, BE 2 CF, AB / CF y lamZEAC = 40", Halle la medida del ángulo FBE. a Solución: A e B 60 E De M Por condición del problema: meéBAE = 60? - 40% = 20% Por ángulos alternos internos m.¿ABE = m<4BCF = 60% AB =BC , por equilátero y condición del problema: BE = CF, se concluye en AABE=ABCF (postulado LAL) resultando m<BAE = m<CBF = 20*, finalmente, m¿FBE = 209. 32 Enla figura, BM=AC. Calcule 8 > Solución: s 40 28 Se En la figura, analizando el A AMC y teniendo en cuenta el dato BM = AC. En A AMC, por / exterior: mZAMB = 30, entonces, se traza MH y MD trisecando 30, como se muestra. MH es/fa Ac, por alternos internos Á AMD: isósceles por caso especial de lin. Not, => AM = MD, con lo que: AAMC=AMDB => mZDBM=20, SC enA BAC: 260 +26 =90* resultando: 0=22,5* Unidad 3 - Congruencia de triángulos 74 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3,3 3.4 En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcule el valor de x. Solución: En la figura: me*BFC = m¿FCD = 80 (ángulos alternos internos) Además, puesto que: ZADB=ZBDC y AD =DC: Entonces A ADM = Á CDM (postulado LAL) Por lo tanto, x= mZMAD = m2MCD = 80* x=80* Demuestre que la medida del ángulo cuyo vértice es el circuncentro y sus lados pasan por dos vértices de un triángulo, es igual al doble de la medida del ángulo interior en el tercer vértice. Demostración: B La figura indica lo que hay que demostar B= 2(mB) Se traza 08 : Por ser O el circuncentro, intersección de las mediatrices, y por el teorema de la mediatriz, OA = OB =0C, los triángulos AOC, COB y AOB son isósceles En el vértice O: 180*- 20 + 180* - 28 +0 =360* B= 2 (0 + PB) méB= 4 + Entonces, 9= 2(m2B) Unidad 3 - Congruencia de triángulos 75 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3,5 Demuestre que en todo triángulo rectángulo, la medida del ángulo formado por la mediana y la altura relativas a la hipotenusa, es igual a la diferencia de las medidas de los ángulos agudos. Demostración: En. BHM: y = 900 -mZAMB onnnrariacianicss E) BM= MC = AM (teorema mediana) A BMC: isósceles; m.¿C = 8 miAMB=20 a Y mé¿ABH =mxXACB=8 (lados 1) Enbs, AHB: 90% =m2ZA +m4ABH ...G) En la relación 1: y=mA+0-20 =m2ZA -0 Remplazando: y=mZA - meéC 3.6 — Enla figura calcule PQ, sí AB= 13m y AH=7m. B Ma Aloe c H Solución: Analizando la figura y los datos, se traza PR dx perpendicular a AC . A ABP=A AR?P ....por teorema de la bisectriz — SS p AB=AR=13 LA HOPE: es un rectángulo + HR = PQ Pero HR = AR — AH Aa a c HR =13-7=6 Entonces, PQ =6 Unidad 3 - Congruencia de triángulos 76 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.7 3.8 En un triángulo ABC, obtuso en A, las mediatrices de AB y AC se cortan en O. Si la medida del ángulo exterior en A es el doble de la medida del ángulo OBC, calcule la medida de dicho ángulo, Solución: La figura representa las condiciones del problema. Considere la mé40BC=x, méABC =P y laméACB <=. o+f=2x ......(por 4 exterior)... O OA=0OB=0C (por teorema de mediatriz) En los triángulos isósceles: A BOC: m40BC=mXBCO=x AADOC: méáO0AC=a+x AAOB: meéBAO=pP+x En el vértice A: 2x +P+x+0+x= 180% E A Resolviendo el sistema 1 con 2: x=30* En un triángulo ABC, AC= lóm, BC = 14m: y, BF es perpendicular en F a la bisectriz exterior del ángulo C. Si M es punto medio de Am , calcule el valor de MF. Solución: La figura representa las condiciones del problema, Se prolonga ar hasta cortar a la prolon- gación del lado ac enE. El A BCE es isósceles por ser cr bisectriz y altura. BC=CE= 14; y BF=FE En el A ABE: por el teorema de ptos. medios se tiene: 18 +14 m 2 AE ME ==> MF = 16m. Unidad 3 - Congruencia de triángulos 24 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.9 En un triángulo isósceles ABC, AB = BC, Az es bisectriz; el punto F se ubica en la prolongación del lado Ac de manera que la medida del ángulo AEF es 90%. Si AF = 18m, calcule EC, Solución: La figura representa las condiciones del problema meéBAC =m2ZACB = La (A isósc.) En SABF se traza la mediana em ; luego, por el teorema de la mediana, se tiene: AM = MF = EM =9 Enel A AME: meéAEM = meé¿EAM = a; mé¿EMC =2a Á MEC: isósceles, ——>EC=EM luego, EC =59m 3.10. Enla figura, 9 =P. Si BC=CG=3, AC=(2x-9), CD=5 y DG=(3y+7), Calcule (x + y). Solución: De la figura del enunciado, AABC=A DGC (ALA) Luego: 2x-9=35 > x=7 d=-3y+7 = y= Por lo tanto: x+y=8 Unidad 3 - Congruencia de triángulos 78 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.11 En un triángulo ABC, la mediatriz de Ap. cortaen Da ac . Calcule el máximo valor entero que puede tomar AC, sí BC=10 y AD=7. Solución: Del gráfico adjunto Tenemos AD = BD = 7 (Teorema de la mediatriz) Luego: DC =3 AADC:x<7+3 x<10 Xu = 9 3.12 Enla figura, BF = BC =FC, AM = MC. Halle a B mi Solución: En la figura trazamos BM Luego: AM = MC = BM (Teorema de la mediana en el triángulo rectángulo) En el triángulo equilátero FBC. FM será bisectriz, mediatriz, etc. Entonces a = 30* Unidad 3 - Congruencia de triángulos 79 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.13 Con referencia a la figura, calcule el número de pares de triángulos congruentes, si OA=0D y OB=0C B Solución: De la figura tenemos, AAODB =A DOC A ABD=ADCA A ABC=ADCB Tres pares de triángulos congruentes 3.14 Enla figura AC = 2, Calcule CD. Solución: De la figura tenemos, m<D =45* y m<CAD = 60* Trazamos CH 1 AD A AHC:CH= 6 A CHD: CH=HD= $ Luego: CD= «fe T T 5 e Unidad 3 - Congruencia de triángulos 80 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.15 Enla figura, PQ = QR y AC = 3CR. Calcule PB, si AP = 12. Solución: En la figura adjunta, Trazamos: MO / AR Á APR: AM= MP =6 Y MO = 2a (Teorema de los puntos medios) Luego trazamos: PD CR Entonces A PDQ =A RCQ (ALA) PD=CR=a AMBD: PB=6 3.16 Enla figura BP=7, Calcule AC. 30 Solución: En el A ABC trazamos la mediana BM, B mzéMBC =m4C = 40% PBM: 1.¿BPM = m.¿PMB = 80" > BP=BM=7 Pero: AM = MC =BM =7 => AC= 14 + 7 Unidad 3 - Congruencia de triángulos 81Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.17 3.18 3.19 En un triángulo ABC. AB=2 y BC=8. Bm es mediana y su longitud es un valor entero. Calcule ese valor. Solución: La figura representa al problema, Se traza MN//AB y por el teorema de pios medios, á BN=NC=4 y MN =1 ABNM: 4-1 <x <4+1 <ox<ó > x=8 En la figura, el triángulo ABC es equilátero. AB =4 y AF = FC. Calcule GF. B Solución: F c En la figura prolongamos CG hasta M tal que CG = GM > méGBM = 15* y BC =BM=4 > mZABM=90" y AM=4v2 => AACM:x=2v2 En un triángulo rectángulo isósceles ABC (recto en B), se ubica el punto exterior P relativo al lado Ac, tal que mZAPC = 90%, se traza BL perpendicular a pc en L; si PL=8 y LC=3, calcule AP. Solución: En la figura trazamos: AM 1 BL A AMB =A BLC (ALA) > ÁM=BL=838 DD x+3=8 D x=5 Unidad 3 - Congruencia de triángulos 82 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.1 32 33 3.4 EJERCICIOS PROPUESTOS En un triángulo ABC las prolongaciones de las medianas BN y CM imtersecan a la paralela a BC trazada por A" en los puntos “P” y “Q”, respectivamente, Si PQ = 10m, calcule BC, A) 5m Bj 6m C)2.5m D) 4m E) 7.5m En un triángulo ABC, AB=6m y AC=8m, se traza BP perpendicular a la bisectriz interior del ángulo A, (P en la bisectriz); luego por “P” se traza la paralela a ac que corta a pc en “Q”, Calcule PO. A) 2m B) 0.5m C) Im D) 1.5m E) 12m En la figura OC = 2AB. Calcule el valor de x. A A) 16? B) 24? 0)32* D)66* E) 64? B c Sobre los lados AB y Bc de un triángulo escaleno ABC se construyen exteriormente los triángulos equiláteros ABP y BOC. Halle el mayor ángulo que forman Aq con cr. A) 60? B)75* C)90* D) 120* E) 150* Unidad 3 - Congruencia de triángulos 83 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3,5 3.6 3.7 3.8 En tn triángulo ABC la mediatriz de Am pasa por D, pie de la bisectriz interior BD y forma 10% con la prolongación de ac . Calcule la medida del ángulo C. A) 302 B) 45* C) 60" D)75* E) 53* En la figura PQ = -/3. Halle PR, E 3) 213 0)3 D)4 E) 43 En un triángulo ABC se cumple que méA + méC = 36%; y además. las mediatrices de AB y Bc intersecan en P yQa AC, respectivamente. Calcule la m./ PBQ. A) 949 B) 95" C) 98? D) 1047 E) 108? En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB=3 y BC=5; se construye exteriormente el cuadrado ACDE. Calcule la distancia del punto “D” a la prolongación de BA . A)6 B)7 C0)8 D) 10 E) 11 Unidad 3 - Congruencia de triángulos 84 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.9 — En un triángulo ABC, mm es mediana. Si BC =2BM; m2ABM =3a y mZMBC= a, calcule el valor de a. A) 22930" B) 1330" C) 2630" D) 152 E) 102 3.10 Enla figura, AQ = QC = CR y BP = PO. Halle el valor de x. A) 159 B) 12% € C)17* D) 18? Q E) 22%30* R 3.11 Enla figura AE=1;EB=3 y AC =CD. Calcule x. A) 300 A B) 459 N C) 539 DD) 37 E) 601 3.12 Enla figura, AB =20 y BM = MC. Calcule MF. A) 10 B)5 C)15 D) 18 E) 16 Unidad 3 - Congruencia de triángulos 85 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.13 3.14 3.15 3.16 En la figura, BC =CD y AC=BD. Calcule el valor de x. A) 10* B) 25" C)30* D) 530 E) 60* En la figura, AP=PD, ADC es equilátero y AC = 2. Calcule BP, si méBCA = 15? B A)1 B)2 0) 2 D)24 A c EJ4. 2 D En un triángulo rectángulo ABC. recto en B, la m4C=20". Calcule la medida del menor ángulo que forma la mediana Bm con la bisectriz interior AF . A) 40? B) 45" C) 60" D) 65* E) 752 Si la bisectriz interior de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es perpendicular á la mediana relativa a la hipotenusa, ¿cuánto mide el menor ángulo del triángulo? A) 300 B) 45" 0) 22730" D) 159 E) 16* Unidad 3 - Congruencia de triángulos 86 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17 3.18 3.19 3.20 En un triángulo ABC, am es mediana: mp es mediana del triángulo ABM. La prolongación de Ep corta en“Q”a ac .Si 50 =8, calcule PQ. A)J4 B)1 C)2 D)3 E)6 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se construye exteriormente el triángulo equilátero BCP. Si AP= 12m, calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de BP y Ac. A) 4m B) 3m C)6m D) 38m E) 10m En la figura, AC=BC, BD=DC, méBAC= (60%a) y m2ACD= a. Calcule x. A) 152 B) 20" Cc) 22*30* D) 26%30" E) 30" En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, un ángulo agudo mide 15? y la hipotenusa mide 28m. Calcule la medida del lado del cuadrado inscrito en el triángulo de forma que uno de sus lados esta en la hipotenusa. A) dm B) 6.4m C) 5.6m D) Em E) 6.9m Unidad 3 - Congruencia de triángulos 87 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 4 POLÍGONOS 87 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVOS: Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: * Clasificar los poligonos y precisar sus elementos. * Graficar los diferentes tipos de polígonos. e Utilizar las fórmulas para polígonos convexos. * Resolver problemas sobre poligonos. CONTENIDO: 4.1 CONJUNTOS CONVEXOS Y NO CONVEXOS 4.2 POLÍGONOS 4.2.1 Definición 4.22 Elementos 4.3 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS 4,4 FÓRMULAS PARA POLÍGONOS CONVEXOS RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: + Recta, segmento, ángulo y triángulo. + — Congruencia de triángulos. Unidad 4 - Polígonos 88 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 4.1 REGIONES CONVEXAS Y NO CONVEXAS: Las figura 4.1, muestra tres regiones del plano que representan a conjuntos CONVexos. DAY Fig. 4.1: conjuntos Convexos Cada uno de éstos conjuntos es una región completa del plano, no simplemente la frontera como comúnmente puede considerarse, En cada uno de ellos, siempre se puede pasar, de in punto P cualquiera a otro punto Q cualquiera, moviéndose a lo largo de una recta, sin salir del conjunto. Definición a Una región A se llama convexa, si para cada dos puntos P y Q de la región, todo el segmento PO está en Á. L Una región convexa puede ser muy extensa, por ejemplo, el plano es una región convexa; y una recta del plano divide a la misma en dos regiones que también son convexas, las cuales se extienden indefinidamente. En la figura 4.2, la recta L divide al plano en dos regiones, H, y Ha, llamados semiplanos o lados de la recia L, y a L se le llama la arista o borde de cada uno de los semiplanos. Fig. 4.2: Semiplanos Una región será no convexa cuando existan puntos P y Q que no puedan unirse mediante segmentos situados en dicha región, Fig. 4.3, XX dS S Fig, 4.3: conjuntos O Pepiones 1O CONVexas 4.2 POLÍGONOS Se considera como poligono a la figura formada por la reunión de varios segmentos de manera que no se corten y sólo se unannos 4 contimiación de otros, por los extremos. AC MEA LIA li Fig. 44: Figuras que son polígonos (Iaquierda) Figuras que no son poligonos (derecha) Unidad 4 - Polígonos 89 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 4.1 Definición Sean P,, Pa, Py...., P,; una sucesión de puntos distintos de un plano, con n >3. Silos n segmentos PP, PP, Pp, PP tienen las siguientes propiedades: Py, FLPj, PP PP, mm t 1. Ningún par de segmentos se intersecan, salvo en sus puntos extremos. 2. Ningún par de segmentos con un extremo común son colineales. Entonces, la reunión de los n segmentos se llama poligono. Los puntos P,. P;, P;...., P,, son los vértices del polígono; y los segmentos P,P,,P,P,,P,P,,-.. P_.,P,,P_P,. Son los lados; los pares de lados que se intersecan se llaman lados consecutivos. La suma de las longitudes de los lados se llama perímetro. Los ángulos del poligono son los formados por lados consecutivos y se pueden denotar por los vértices: <P, ZP ZPj..., ¿Pa Ps P, Exterior P, La figura 4.5, muestra al poligono donde Ear n=5, Se aprecia que el poligono separa los puntos del plano en tres conjuntos: el propio poligono, el interior del poligono y el exterior del poligono. Polígono Pa Fig. 4.5: Poligono en el plano 4.2.2 Elementos: e Vértice: extremos de los segmentos; en la Fig. 4.6: A, B,C, DyE. * Lado: segmentos que lo forman; en la Fig. 4.6: AB,BC,CD,DE y EA , + Ángulo interior: formado por dos lados consecutivos; en la Fig4.6: ZA, LB, £C, ZDy ZE. + Ángulo exterior: ángulo adyacente suplementario a un ángulo interior; en la Fig. 46: Zo, 4P, 5, Z0 y Zo. + Diagonal: segmento de recta que une dos vértices no consecutivos; en la Fig.4.6: AC, AD,BD,BE y CE. Fig. 4.6: Elementos del poligono 4.3 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS A) Por su forma: e Polígono convexo.- Es aquel en el cual, la recta que contiene a cualquiera de sus lados, establece que los otros lados se ubicarán en sólo uno de los semiplanos determinados por la recta. Fig, 4.7. El poligono es convexo porque la reunión del poligono con su interior forma una región convexa; asi, se le identifica también, cuando una recta secante al poligono, sólo puede cortarlo en dos puntos. a [a Fig. 4.7: Poligono convexo Unidad 4 - Polígonos 390 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO * Polígono no convexo.- Es aquel en el cual, la recta que contiene a cualquiera de sus lados, establece que los otros lados se ubicarán en los dos: semiplanos deteninados por la recta. El poligono y la región del plano encerrada fonman una región no convexa; por lo que también se identifica que el poligono es no convexo, cuando una recta cualquiera secante al poligono. lo corta en más de dos puntos, Fig.4.8. a Fig. 4.8: Poligonos 00 convexos E) Porelnúmero de lados: e Triángulo ¿3 lados s Cuadrilátero ¿4 lados e Pentágono :5 lados * Hexdgono 6 lados e Heplágono 37 lados e Octógono : 8 lados * Nondgono e Encágoro — :9 lados e Decágono ¿10 lados e Endecagono 211 lados s Dodecágoneo +12 lados se Pentadecágono +15 lados e feoságono 220 lados * Los poligonos restantes no lienen denominación especifica y se les nombran por el número de lados que tiene. Por ejemplo: poligono de 14 lados, poligono de 25 lados, etc. C) Por sus lados y ángulos: * Equilátero.- Los lados del poligono son congruentes. Fig. 4.9 (a). * Equiángulo.- Los ángulos del polígono son congruentes. Fig. 4.9 (b). (a) Fig. 4.9; Poligonos exquilátero y equiángulo. Unidad 4 - Polígonos 91 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO * Regular,- Cumple con ser equiángulo y equilátero a la vez, En este polígono en la región interior se encuentra un punto que equidista de los vértices: y también equidista de los lados del poligono. A este punto se le llama centro del poligono y es el vértice del ángulo central establecido al unir dos vértices consecutivos con el centro del poligono. o + TU LL] Fira Di Pulga regalarnos Apotema: distancia del centro a un lado del poligono (Ap.) + Trregular.- No cumple con las condiciones del poligono regular. Fig. 4.11 Fig. 4.11: Poligonós irregulares 4.4 FÓRMULAS PARA POLIGONOS CONVEXOS * Suma de ángulos interiores de un poligono La suma de las medidas de los ángulos de un poligono de mn lados es: 5, = 180%, (n-2) En la Fig. 4,12 (a), que corresponde a un poligono convexo de m lados, si se unen los vértices del poligono con un punto P cualquiera situado en el interior del polígono, éste queda descompuesto en a triángulos; la suma de los ángulos de todos los triángulos menos la suma de los ángulos que tienen el vértice común P, es la suma de los ángulos del triángulo; esto es: 180%. (n) - 360 = 180*. (n 2) En ha Fig. 4.12 (b), que corresponde a un polígono no convexo de n lados, si se trazan diagonales tales que se forman triángulos con lados no secantes, se lograrán establecer (n - 2): entonces, la suma de ángulos de éstos será también la suma de ángulos del polígono; esto es: 1807 (1 -2). Unidad 4 - Polígonos 92 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Corolarlo: En un poligono equiángulo de n lados, la medida de cada uno de los ángulos, Zi, es igual a la suma de los ángulos dividido entre el número, n, de ángulos: — 180 "(n - 2) m 41 s Suma de los ángulos exteriores de un poligono convexo La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un poligono convexo de n lados es 360%; esto es: Se= 360 La figura 4,13 muestra a un poligono de n lados, en el cual se aprecia en cada vértice tun par de ángulos suplementarios, el interior y el exterior. La suma de los ángulos internos con los externos es 180*(m): si a ésta cantidad se le resta la suma de los ángulos interiores, resulta, entonces, la suma de las medidas de los ángulos externos del poligono, esto es: 8,337 Polk den lados S¿= 180%(m) — 180%(n - 2) ee EE S.= 360", Corolario: Eb un poligono equiángulo de n lados, la medida de cada uno de los ángulos exteriores, Ze, es igual a la suma de ángulos exteriores dividido entre el número, n, de ángulos exteriores: Le= 0? B = Ángulo central del poligono regular En la Fig. 4.12 (a), si el poligono es regular y el punto P equidista de los vértices, entonces, P es el centro del polígono; los triángulos formados son isósceles y congruentes, la altura de los triángulos relativa al vértice común equidista del lado del poligono y se denomina apotema del poligono regular, los ángulos en el vértice P son los n ángulos centrales, e, siendo la medida de cada umo de ellos; 360 - ==, A Corolarlo: En un poligono regular, los ángulos exteriores y los ángulos centrales son congruentes. = Diagouales de un poligono convexo El número total de diagonales que parten de un vértice de un poligono de n lados es (n—3), ya que de un vértice se pueden trazar diagonales a los m vértices menos a sí mismo ni a los dos vértices consecutivos 0 adyacentes, El número total de diagonales, D, que partirán de los n vértices será n(n — 3); pero como cada diagonal une dos vértices, ésta habrá sido trazada dos veces, entonces, el número total de diagonales del poligono es la mitad de n(n-3), p=.1-3 Unidad 4 - Polígonos 93 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN Clasificación de los poligonos;A) Porsu forma: Poligono convexo Poligono no convexo B) Porelmimero de lodos: Triángulo :3 lados Cuadrilátero — :4 lados Pentágono ¿5 lados Hexágono ¿6 lados Hepiágono 7 lados Octógono :3 lados Nonágono o Eneágono — :9 lados Decágono +10 lados Endecágono ¿11 lados Dodecágono —: 12 lados Pentadecágono ¿15 lados Icoságono :20 lados CO) Porsus lados y ángulos: Equilátero Equiángulo Regular Irregular Fórmulas para poligonos convexos " Suma de ángulos interiores de un poligono: S, = 1807. (n—-2) " Suma de los ángulos exteriores de un poligono convexo: —5.=360* . Ángulo central del poligono regular: de= 30 = — Diagonales de un poligono convexo: pata 2 Unidad 4 - Polígonos 94 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO EJERCICIOS RESUELTOS 4.1 Si el número de diagonales de un poligono excede al múmero de lados en 63, halle la suma de los ángulos interiores. Solución: Sea n el número de lados del polígono D=12+63. ...... por condición del problema Luego: a (n 3) =0+63 e n -5n-126=0 0+9%(n-149=0 ComoneZ y n>3, entonces, n= 14 Finalmente: 5, = 180 (14-23) => S, =2160* 4,2 — En un poligono regular, los (5/2) de la medida del ángulo interior es igual al cuadrado de la medida del ángulo exterior, Halle el número de lados del poligono. Solución: Sea n el número de lados del poligono Por dato: 5 180 *(n- 2) _ 5 N 3 r o + E e Resolviendo, se tiene: n=18 43 Siel número de lados de un polígono aumenta en 2, su número de diagonales arunenta en 13. Halle el número de lados, Solución: Sea n el número de lados del poligono inicial y N, el número de lados del poligono modificado por la condición del problema; entonces: N = n+2 p=* e». py= LD 1480035 D; +13 =D» por el problema n (n-3) ¿y= 2 Reta Resolviendo: n=7 Unidad 4 - Polígonos 95 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 44 — ABCDEF... es un poligono regular. Si la medida del ángulo ACE es 150%, halle el número de diagonales del poligono. Solución: La figura representa las condiciones del problema, Se considera n al número de lados, _n(n-3) Da 2 - (1) De la figura: A ABC = A CDE 35 mXéBAC =mACB =m«DCE=a luego, e = £ exterior en B del A ABC y del poligono, entonces, e= 20. A Al En el vértice C: a+ 150%+ a +e= 1808 ....... (5) Resolviendo el sistema (2) con (3) se tiene a=7,5% y, e=13* Por L exterior e= 22 = 15 => n=24 Reemplazando en (1), => Day =252 4.5 Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un poligono regular cuyo lado mide 5, siel número de diagonales es numéricamente igual a cuatro veces su perímetro. Solución: (n)(a - 312 = 4n(5) n.(n-3) = 40 8.(5) =40 => n=8 5 = 180(n - 2) = 180(8 - 2) = 1080* 46 Al aumentar en tres el número de lados de un poligono, las diagonales se triplican. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos. Solución: u——= (1)(0-3/2 , 1+3—— (n+3K0)/2 Del dato: (0+3K0)/2 = 3(0)(n-3)y/2 n+3=3n-9 => n=6 Luego: S = 180*.(6-2) = 7208 Unidad 4 - Polígonos 96 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 427 Sia un ángulo interior de un poligono regular se le disminuye en 9%, el número de lados se reduce en 2. Calcule el número de diagonales del poligono, Solución: nlados —— i=180(n-2)'n (1-2) lados. —— i=180(n-2-2)(n-2) Luego: [180(0-2/n] -9=180(n-4V(n-2) y -20-8=0 — ns10 D=n(n-3)2=10(10-3)/2= 35 48 — Enun poligono regular ABCDE.... la mZ<ACE = 120*, Calcule el número de diagonales medias. Diagonal media es el segmento que une los puntos medios de los lados del poligono Solución: D Por poligono regular: Á m¿ABC=m.¿BCD=120%2a Luego por AABC: 20+120%20=180" => 4a=60" —> a=159 Entonces: 1.¿BCD=150%180(n-2)1m => 1+>12 Finalmente: N” Diagonales Medias = 1.(n-1/2 = 12.(12-1//2 = 66 diagonales medias 4.9 Se tiene un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide 4, si el segmento AC” intercepta al segmento BE en el punto P. Calcule la distancia de P al punto medio de FE . Solución: Del A PHM (Pitágoras): x= (348 + U x= 247 Unidad 4 - Polígonos 97 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 4.10 Respecto a la figura, si ABCDEF............ es un poligono equiángulo, calcule la suma de los ángulos internos del poligono. Solución: 30-20 BPOC: 4=180-0+1244320-20 — 40=624 => 1=1560 a-140* Luego: 156”=180*.(n-2)n =>m=15 5=180".(15-2)-23408 4.11 En un pentágono ABCDE, los lados AB y Bc son paralelos a los lados cb y ED. respectivamente, además, los ángulos BCD y AED son suplementarios, Si, CD=7m y AE-2m, calcule AB. Solución: En la figura: m4C = meéP=a Á PAE es isósceles: PA=EA=2 Luego: x =PB-PA=7-2=5 4.12 En un poligono, desde cinco puntos medios consecutivos se han trazado 110 diagonales medias, Calcule el número de diagonales que se pueden trazar desde tres vértices consecutivos, Solución: l=m-] 2—=>0u-1-1 3=n.-1-2 4 = 1-1-3 5 — n-1-4 Sumando: $n-5-10=110 —+n=25 D,=(25-3)H25-3)+25-3-1)= 65 Unidad 4 - Polígonos 98 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 4.13 Las medidas de los ángulos interiores de un pentágono convexo están en progresión aritmética. Calcule el mayor valor entero de la razón. Solución: Si = 180(5-2) = 540 =50 > 108 =u a+ 2r< 180 => 108 +21 < 180 >r<36* a-2r>(0 r<54% Luego: 1 < 36” + Mayor Entero: 35* 4.14 En un octógono equiángulo ABCDEFGH, AB-=4, BC=3 4/2, CD=6, AH-=3, FE-2 y HG= 8. Calcule el perimetro del octógono. Solución: m.=180*.(8-2//8=135%, m/e=450 Se emplea ángulos de 45* Perimetro= 26+8 ./7 Unidad 4 - Polígonos 99 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1. Calcule el número de diagonales de un polígono regular cuyo ángulo central mide 40?. A) 20 B) 27 Cc) 35 D) 44 E) 54 4.2 Calcule la suma de los ángulos internos de un poligono, si de 4 vértices consecutivos el número máximo de diagonales que se puede trazar equivale a tres veces el número de vértices. A) 2520 B) 2340" C) 2160" D) 1980" E) 1800" 43 La suma de las medidas de cuatro ángulos interiores consecutivos de un hbexágono convexo es 500”. Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices interiores de los otros dos ángulos, A) 70 B) 80* C) 60* D) 75" E) 90* 4.4 Siel número de lados de un poligono aumenta en 3, el número de sus diagonales aumenta en 15, determine el poligono en mención. A) Triángulo B) Pentágono C) Hexágono D) Enecágono E) Heptágono Unidad 4 - Polígonos 100 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 4.5 — Calcule el número de diagonales de un poligono regular en el cual la medida del ángulo interior es 8 veces la medida de su ángulo central. A) 209 B) 180 O) 135 D) 90 E) 104 4.6 — En un poligono, el cuadruplo del número de diagonales es igual al cuadrado de la cantidad de vértices. Calcule el número de diagonales que puede trazarse desde un vértice, A) B) Cc) D) E) EA de l a 00 O 4.7 El doble del perímetro de un poligono regular es muméricamente igual a su cantidad de diagonales, Si el lado mide 1.75cm. calcule el númerode lados del polígono. A) 7 B) 8 0) 9 D) 10 E) 12 48 Se tienen los poligonos equiángulos ABCDE...y MNCDP.... de n y (n-2) lados, respectivamente, Si la m¿BCN= 9, calcule el valor de m, A) 18 B) 15 Cc) 14 D) 12 E) 10 Unidad 4 - Polígonos 101 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 459 Enel hexágono regular ABCDEF, se construye exteriormente el cuadrado ABMN. Calcule la m<BCM. A) 45 B) 36 C) 30" D) 15 E) Faltan datos 4.10 El número de lados de un poligono es igual a la mitad del número de diagonales. Calcule el número de segmentos trazados desde un lado hacia el punto medio de los demás lados de dicho poligono. A) B) C) D) E) had de L A C h - 4.11 Identifique el poligono en el cual al triplicar el número de lados, la suma de ángulos internos se quintuplica. A) Hexágono B) Decágono C) Octágono D) Dodecágono E) Cuadnlátero 4.12 El octógono equiáneulo ABCDEFGH esta inscrito en la circunferencia de radio 6 y centro O. Calcule la distancia de O al segmento CE . A) 3 B) 2 O E D) 2.4% E) 342 Unidad 4 - Polígonos 102 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 4,13 AB, BC, CD Y DE son cuatro lados consecutivos de un icoságono regular. Calcule la medida del ángulo formado por las prolongaciones de ap Y ED - A) B) C) D) E) 116" 124 125" 1342 118 4.14 La diferencia del número de diagonales de dos poligonos equiángulos es 11, las medidas de sus ángulos exteriores se encuentran en la relación de 3 es a 4. Calcule la suma de la cantidad de lados de los dos poligonos. A) B) o D) E) 12 13 14 15 16 4.15 En un poligono equiángulo ABCD..... la suma de las medidas de los ángulos internos es igual al triple de la suma de sus ángulos exteriores. Si AB=6-f2 y BC=2, calcule AC. A) B) 2) D) E) 10 12 104% 8 842 4.16 Respecto al poligono regular ABCDEF....., de n lados, calcule, en función de n, la medida del ángulo que forman las diagonales Ac y BD al intersecarse. A) B) c) D) E) 180%n 180n-2)'n 180%/(n-2) 180(0+2n 90%0-2'n Unidad 4 - Polígonos 103 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 4.17 Enel hexágono equiángulo ABCDEF, AB=8, BC=6 y DE=5. Calcule EF. A) 10 B) 6 O 8 D) 7 9 E) 4.18 Los ángulos internos de un nonágono convexo están en progresión aritmética, Calcule el máximo valor interno de la razón. A) 10 B) 9 O 8 D) 11 E) 34 4.19 El menor ángulo interno de un poligono convexo es 120*, Si los ángulos internos se disponen en progresión aritmética de razón 5, calcule el número de diagonales que tendrá dicho poligono. A) 35 B) 27 C) 65 D) 90 E) 54 4,20 Sobre el lado ap de un hexágono regular ABCDEF se construye interiormente el cuadrado ABGH y se ubica el punto medio M de EH. Calcule la m¿AMPF, A) 20* B) 60* O) 37 D) 30" E) 45% Unidad 4 - Polígonos 104 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 5 CUADRILÁTEROS Unidad 5 - Cuadriláteros 104 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVOS Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: e Clasificar los cuadriláteros convexos y precisar sus elementos. + Graficar los diferentes tipos de cuadriláteros convexos. e Aplicar las propiedades de cada uno de los cuadriláteros convexos. + Resolver problemas sobre poligonos y cuadriláteros. CONTENIDO 5.1 CUADRILÁTEROS 5.2 CLASIFICACIÓN 5.2.1 Paralelogramo 5.2.2 Trapecio 5.2.3 Trapezoide RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONOCIMIENTOS PREVIOS + Triángulo. e Congmuencia. +. Poligono. Unidad 5 - Cuadriláteros 105 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5.1 CUADRILATEROS Cuadrilátero es el polígono de cuatro lados, pueden ser convexos y no convexos. Ver Fig, 5.1 qe (34) (b) Fig. 5.1: Cuadriláteros, convexo fa) y no convexo (b) En todo cuadrilátero convexo la suma de los ángulos internos es 3609. 5.2 CLASIFICACIÓN Considerando la relación de paralelismo de sus lados se tiene: 5.2.1 Paralelogramo Es el cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos y congruentes. Fig. 5.2 B E AB //CD y AB =CD BC //AD y BC =AD A D Fig. 3.2: Paralelogramo ABCD Propiedades En todo paralelogramo se cumple lo siguiente: * Los lados opuestos y ángulos opuestos son congruentes. Demostración: B E Sea el paralelogramo ABCD como la figura. Se traza la diagonal BD y por Z entre //: ZABD= ¿BDC — por alter. Inter A D Z¿ADB= ¿DBC por alter. Inter E : AABD=A CDB (ALA) Fig. 3.3: Fropiedades en el paralelogramo - Porloque: AbB=cbD y ZA=2ZC Unidad 5 - Cuadriláteros 106 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO * Dos ángulos consecutivos son suplementarios; esto es, la suma de sus medidas es 1809. Demostración: En la figura 5.3, los lados paralelos, ap con Bc , son cortados por el lado AB , entonces, por ángulos entre paralelas cortadas por secante, el ZA con el 4B son conjugados por lo tanto son suplementarios. Esto es: méA + m.4B = 180% e Las diagonales se bisecan, esto es, se cortan por su punto medio. Demostración: Sea el paralelogramo ABCD, como la figura, cuyas diagonales se cortan en O. Por ¿entre f/ con secante se tiene: Z¿CAD= XACB por alter. internos. B E ZADB == ¿DBC por alter. internos. ¿a o AO Por lo tanto: A AOD = A COB (ALA) ; A A E - 3,4: Propiedad ralelo Finalmente, ao =0C Y BO =0D Ems pits q Clasificación Los paralelogramos se clasifican en: = Rectángulo.- Es el paralelogramo que tiene sus B c cuatro ángulos internos rectos y, además, sus diagonales son congruentes entre si, Fig. 5.5, o De la Figura 5,5 las diagonales son iguales, D AC=BD A Fig. 5.5: Rectángulo = Rombo.- Es el paralelogramo que tiene sus lados congruentes. Sus diagonales son perpendiculares entre si y además son bisectrices de los ángulos, Fig. 5.6. Fig. 3.6: Rombo Unidad 5 - Cuadriláteros 107 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO = Cuadrado.- Es el rectángulo que tiene todos sus e lados congruentes. Sus diagonales son congmientes, 7 se cortan perpendiculanmente y además. son bisectrices de los ángulos, Fig. 5.7 De la Figura 5,7 las diagonales son congruentes, AC=BD dl b Fig. 3,7: Cuódrado Se llana romboide al paralelogramo que tiene los lados consecutivos de diferente longitud y los ángulos consecutivos de distinta medida. 522 Trapecio Es el cuadrilátero convexo que tiene sólo 40 par de lados opuestos paralelos a los cuales se les llaman bases. La distancia entre las bases es la altura del trapecio y se materializa por el segmento de recta perpendicular a las bases, Fig. 5.8. B e : base menor 18 18 ] : base mayor A BH altura Fig. 3.9: Trapecio ABCD El segmento de recta que une los puntos medios de los tados no paralelos se llama Mediana del trapecio o, también, base media; es paralelo a las bases y mide la semisuma de las longitudes de ellas; además, interseca a las diagonalesen $us puntos medios. La longitud del segmento que une dichos puntos medios es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases, Fig. 5.9. PQ: Segmento que we dos puntos medios de las disgonales — AD - BC AD + BC0 PQ = 3 2 FM= Fig. 3.0: Lo mediana del trapecio ABCD Unidad 5 - Cuadriláteros 108 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Clasificación B c Los trapecios se clasifican en: = Trapecio Escaleno.- Es el trapecio que tiene los ABD lados no paralelos de diferente longitud, Fig. 5.10. A 6 Fig. 3.10: Trapecio escaleno ABCD * Trapecio Rectángulo.- Es el trapecio escaleno en el 3 E que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases; dicho lado, es la altura del trapecio, Fig. 5.11, En la figura, AB: Altura A D Fig. 3.11: Trapecto rectángulo ARCD = Trapecio Isósceles.- Es el trapecio que tiene los B € lados no paralelos congruentes: esto es, tienen la misma longitud. Las diagonales también son A congruentes, Fig. 5.12, ¡ES ¡E Fig. 5.12: Trapecio isósceles ABCD 523 Trapezoide Es el cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos, Fig, 5.13. c B A D Fig. 5.13: Traperooide ABOD Si eo un trapezoide una diagonal es la mediatriz de la otra, entonces, éste trapezoide se llama trapezoide simétrico o bisósceles, Fig. 5.14, Fig. 3.4: Trapezoide simétrico ABCD Unidad 5 - Cuadriláteros 109 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN A) Paralelogramo: Es el cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos y congruentes. Propiedades: s Lados opuestos y ángulos opuestos son congruentes, * Dos ángulos consecutivos son suplementarios, * Las diagonales se bisecan. Clasificación de los paralelogramos: * Rectángulo: equiángulo de valor 90*. * Rombo: equilátero, y diagonales perpendiculares. s Cuadrado: equiángulo y equilátero. B) Trapecio: Es el cuadrilátero que tiene sólo un par de lados opuestos paralelos a los cuales se les llaman bases. Clasificación de los trapecios: = Escaleno: lados de diferente longitud, * Rectángulo: un lado no paralelo es perpendicular a las bases, * Isósceles: los lados no paralelos son congruentes. O Trapezoide: Es el cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos. Unidad 5 - Cuadriláteros 10 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO EJERCICIOS RESUELTOS 5.1 ABCD es un rectángulo cuyas diagonales se cortan en O, El A AOM es equilátero y om secante con AD . SimZAOD =25*, calcule la medida del ángulo AMB. Solución: La figtra representa las condiciones del problema. Se traza Bm. En el rectángulo ABCD, por propiedad: B c AD=0B =0C =0D ' mZOAD=mZADO = 25? A se Z¿AOB es £ exterior del A ADD —> A 2S mZAOB = 50%, X En el A equilátero AOM: m¿0AM = 609 E En A BMO: isósceles —+ M mé¿BMO = 901 - (60% + 50%) /2=35% Luego, en M: x +35* = 601 A=25" 5.2 — Enunrombo ABCD, exteriormente se construye el triángulo equilátero BEC. Calcule la medida del ángulo AED, Solución: La figura representa las condiciones del problema Se trazan az y De —>A ABE y A DCE; isósceles méAED = a+ PB .......... (1) se prolonga Em hasta Fm ZBFD = 60% (¿entre //) en Á ABE: méABF =2a (exterior en Á ABF: m¿BAF= 60*- 20 (.£ exterior) Por rombo: mA =m.¿C =60*- 2a En A DCE: 60* -B= 30'+a Efecmando: a+p=30* Unidad 5 - Cuadriláteros 1 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 53 Enun paralelopramo ABCD, mA = 80%; las mediatrices de AB y BC se cortan en el punto O ubicado en el interior del paralelogramo. Si la m¿0AD = 209, halle la mODC. Solución: Se realiza la figora que representa al problema, Por teorema de la mediatriz: AO = OB =0C y máBAO =m<ABO =60* Á ABO: equilátero; en el paralelogramo se tiene: meéBAC = mé¿BCD = 80? méABC = 100 y AB=CD luego, m¿0BC = m¿BCO =40* y méí0CD =40* por paralelogramo, AB= CD, luego OC = CD en Á OCD: isósceles, resulta: x+x+40* =180* x= 708 5.4 Si las bases de un trapecio están en la relación de 1 a 4, ¿en qué relación están, el segmento que ne los puntos medios de sus diagonales con la mediana del trapecio? Solución: Las bases son: BC =b y AD=4b MN : mediana y PQ: segmento que une los puntos medios de las diagonales, luego, E Unidad 5 - Cuadriláteros 12 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5.5 Enuntrapecio ABCD, ap // pc. AB= 10m, BC = 81m, CD=6m y AD= 18m; las bisectrices de los ángulos A y B se intersecan en el punto M y las de los ángulos C y D en el punto N. Calcule la longitud del segmento MN . Solución: Grafiquemos considerando los datos del problema A BAE: isósceles, AB= AE =10 y BM=ME A CDF: isósceles, CD=FD= 6 y CN=NF en el trapecio BEFC: A E VO E 2 5.6 En un paralelogramo ABCD se traza una recta paralela a BD la cual interseca enPyQa BC y CD respectivamente; y en M y Ra las prolongaciones de AB y AD , respectivamente. Halle la longitud de PR, si MQ =12, Solución: Como BMOD es un paralelogramo, entonces: BD = MQ = 12 Como BPRD es un paralelogramo, entonces PR = BD =12 5.7 En un rectángulo ABCD, la mediatriz de pp interseca en M, F y Rasnc, Ab yal prolongación de BA , respectivamente, tal que MF = FR. Calcule la m 4 MDC. Solución: Teorema de la mediatriz: BM = MD = BF =FD En A RBM: BF = FM = FR =2a Como BMODF es un rombo: MP =PF=a en A BPF:BF=2a y PF=a, luego 2 =30" de la figura: x + 22 =90* entonces ; x=30* Unidad 5 - Cuadriláteros 13 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 58 59 5.10 En un paralelogramo ABCD (BC > AB) se traza una recta que pasa por € y es perpendicular en Ma la bisectriz del ángulo BAD: y además interseca en Ra la prolongación de ap . Halle la distancia de Da am , si CM=4 y CR= 20. Solución: Por lados paralelos: m < CDR =m BAD=2z Se traza DP 1 AM , entonces: m ¿ CDP=m <PDR=z entonces: A CDR es isósceles, porlo tanto CP = PR =10 entonces: x=CM+0CP=4+10= 14 En un cuadrado ABCD, se identifican los puntos P, Q y Men BD. CD yen la prolongación de AD , respectivamente, de forma tál que el cuadrilátero APQM es un trapecio isósceles de base menor PQ; y además, DQ=3C0Q. Calcule la medida del ángulo PMD. Solución: Por dato si CO =Z, entonces: DQ =3z y AD =4z Entonces: AM = MB = 12 Ro En el trapecio isósceles APQM: AR = EM (propiedad) e 4 por lo tanto; a ARM es isósceles il F a luego: m -« RAM=m - EMA=x en AQDA, rectoenD: QD=3z y AD=4z, x=37P En un trapezoide AÁBCD, AB = 12 y CD = 16. Calcule el perimetro del cuadrilátero que se forma cuando se unen los puntos medios de BC, AC. AD y ED. Solución: De la figura: ME = PQ - 2. = 6 (base media) MQ =RP 1 (base media) Luego: x = 6+8+6+8 = 28 Unidad 5 - Cuadriláteros 14 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5.11 En un romboide ABCD, la bisectriz del ángulo BCD interseca en Ma ao, de forma tal que m/4ABD=2m4CBD. Si AB=w y BC = k, calcule la longitud de MD en función de w y k. Solución: Se prolonga BD y se traza CP=BC=k luego: m 4 CBP= m <CPB=a entonces: A CDP es isósceles Por lo que:DP = CD = w de la figura: A CPM es isósceles: entonces: MP = PC = k luego: MP = MID +w =k, de donde: MD = k- w 5.12 En un paralelogramo ABCD, AB = 5, BC = 7 y m4BCD = 53". Se ubica el punto M en el interior de dicho paralelogramo de forma tal que MD = AB y m¿MDC = 907. Calcule la medida del ángulo BAM. Solución: De la figura: MD = AB =CD=5 por propiedad: m 4 MDA + 90% + 537 = 180? entonces: m 4 MDA =37* A MPD (37*; 53%): MD =5 por lo tanto: MP =3 y PD=4 luego: AP=7-4=3 en A MPA rectángulo e isósceles; a = 45% luego: x= 537 - 45% = 8? 5.13 En un triangulo ABC, AF es mediana cuyo punto medio es M. Una recta exterior pasa por el vértice € de modo que las distancias de los vértices A y B a la recta mencionada miden 4 y 12, respectivamente. Calcule la distancia de M a la recta. Solución: Se traza FE LCD en trapecio ADEF: MR =* 5 .«. (1) (mediana del trapecio) O ds enA BQC: FE = a (base media) Remplazando en (1) tenemos MR = (4+6)/2 = 5 Unidad 5 - Cuadriláteros 115 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5.14 En un romboide ABCD se traza sr siendo R el punto medio de co . Por D se traza una perpendicular a AD la cual interseca en Ma Br. Calcule la longitud de AM si BM=8 y MR=2 Solución: Se traza AF // BR, entonces: ABRF es un paralelogramo, por tanto: AF = BR = 10 dela figura se observa que por tener sus lados paralelos: m ¿CBR=m <DAF entonces: Á CBR s Á DAF(LAL) por lo tanto: DF = DR =z en A ADM: DE = AE = EM =a (mediana relativa a la hipotenusa) luego: AM =2a....(1) 10 +2 enel trapecio AMRF: a = -6 (mediana) remplazando en (1) AM= 12 5.15 En un paralelogramo ABCD, las rectas que son perpendiculares a AB— y pc enlos vértices A y C se intersecan en M. Halle la medida del ángulo DMC si el ángulo ACB mide 36*, Solución: En Á AMC: D es el ortocentro Luego, por tener sus lados perpendiculares: x = 36" Unidad 5 - Cuadriláteros 16 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5,1 5.2 53 5,4 EJERCICIOS PROPUESTOS En un trapezoide ABCD, m 4 ABC =2x, m 4 BCD= 90* y el ángulo agudo que forman las bisectrices de los ángulos BAD y ADC al intersecarse es x. Calcule el valor de x. A) 37 B) 60* C) 6730" D) 45% E) 759 En un trapecio ABCD, las bases miden BC=5 y AD=13; y Mes punto medio de AB . Por M pasa un segmento de recta que interseca en Ra la prolongación de Dc de manera tal que me¿MEC=m CDA. Calcule MR. A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 12 Halle la longitud de la base menor de un trapecio, si la diferencia de las longitudes de su mediana con la del segmento que une los puntos medios de sus diagonales es 24. A) 16 B) 18 C) 24 D) 20 E) 12 Exterior a un paralelogramo ABCD se construye el cuadrado ABRP cuyo centro es M. Si el segmento que une los puntos medios de MC y BD mide 4, halle CD. A) 64 B) 8 Cc) 6 D) 8.2 E) 44 Unidad 5 - Cuadriláteros 117 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5.5 5.6 5.7 5.8 En un trapezoide, la suma de las longitudes de sus diagonales es 36. Halle el perimetro del cuadrilátero que se forma al unir consecutivamente los puntos medios de todos los lados del trapezoide. A) 20 B) 18 C) 36 D) 24 E) 30 En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B, AB= 16 y CD= 20. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de dicho trapecio. A) 5 B) 6 O 4 D) 8 E) 9 En los lados AM,MR y AR deun triángulo rectángulo AMR. recto en M, se ubican los puntos B, € y D, respectivamente, de forma tal que ABCD resulta ser un trapecio isósceles con base menor BC . Si la medida de los ángulos BCM y DCR son 4w y 2w, respectivamente, calcule el valor de w. A) 9 B) 10* C) 12 D) 18 E) 16 En un trapecio isósceles ABCD, la base menor es pc, m Z DAC=37" y AC = 10. Calcule la longitud de la mediana de dicho trapecio. A) 10 B) 12 0) 8 D) 6 E) 9 Unidad 5 - Cuadriláteros “18 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5.9 5.10 5.11 5.12 En un trapezoide ABCD (AB = BC) se sabe que m Z BAD = 90%, mZéABC = 60", méBCD = 135% y méADC =75*. Calcule la medida del ángulo BDC. A) 20% B) 37 C) 15 D) 25 E) 30 En un cuadrado ABCD, el centro es O y AB = 12. Calcule la distancia del punto medio de on. al lado eb. A) 8 B) 10 c)5 D) 6 E) 9 En un rombo ABCD, el ángulo en A es obtuso, cm es perpendicular a pc, ubicándose M en la región exterior al rombo de modo que AB = CM, Si m 4¿AMC=x y m Z ABC=Ax, calcule el valor de x. A) 189 B) 20* O) 15 D) 24? E) 16? En un triángulo, la soma de las distancias de todos sus vértices a una recta exterior es 54. Calcule la suma de las distancias de los puntos medios de los lados del triángulo a la misma recta, A) 48 B) 27 C) 30 D) 54 E) 40 Unidad 5 - Cuadriláteros 19 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5.13 3.15 5.16 Enun rombo ABCD el punto M se ubica en la diagonal Ac" de forma tal que AM=5, CM=11 y BD=8. Calcule la medida del ángulo ADM, A) 53* B) 18,32 C) 26,59 D) 37? E) 30* En un cuadrado ABCD, CD=34/2; M y R son los puntos medios de AB y AD, respectivamente. Si CM y CR intersecan a BD en P y Q, respectivamente, calcule PO, A) 2 B) 1 C) 2,5 D) 3 E) 1,5 En un paralelogramo ABCD, M y R son los puntos medios de An y ab .En cp seubica el punto Q de manera tal que CD = 4(DQ), Calcule RO, si CM =12, A) 5 B) 4 C) 6 D) 3 E) 7 En un romboide ABCD la bisectriz del ángulo ABC interseca en Ma AD yen R ala prolongación de Cb; y co es perpendicular a BM en G. Si las distancias de R a AD y AB miden 3 y 10, respectivamente, halle la distancia de Ga AD. Unidad 5 - Cuadriláteros 120 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5.17 En un trapezoide ABCD, BD = 24, Calcule la distancia entre los baricentros de los triángulos ABC y ACD. A) 10 B) 6 0 D) 9 E) 4 5.18 En un cuadrilátero ABCD, m2BAD= mZBCD = 90" y M es el punto medio de nc . Si se cumple que AB = BM =MC y méAMD = 909, calcule la medida del ángulo MDC. A) 302 B) 53* C) 60% D) 37* E) 45" 5.19 En un trapecio rectángulo, halle la medida del menor ángulo interior, si se sabe que la semidiferencia de las longitudes de las bases es igual a 2/3 de la longitud de su altura, A) 45* B) 36" 0) 37" D) 539 E) 602 5.20 Enun trapecio ABCD se establece el punto M en 2D tal que m4BAM = mZMAD = mZBMC y mZAMD= 90”. Halle MD, si BM=4 y BC =3. A) 9 B) 8 Os D) 4 E) 6 Unidad 5 - Cuadriláteros 121 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 6 LA CIRCUNFERENCIA 121 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVOS: Al finalizar esta unidad, el alumno será capaz de: * Reconocer la circunferencia y cada uno de sus elementos. * Diferenciar la circunferencia del círculo. e Resolver problemas, utilizando las fórmulas de ángulos en la circunferencia. * Utilizar los teoremas relacionados a la circunferencia, en la solución de problemas. CONTENIDO:6.1 LA CIRCUNFERENCIA 6.1.1 Definición 6.1,2 Elementos 6.2 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 6.2.1 Medida de ángulos y arcos subtendidos en la circunferencia 6.3 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 6.4 PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA 6.5 TEOREMAS DE LA CIRCUNFERENCIA RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: + Ángulo, triángulo, poligono. + Congruencia y cuadrilátero. Unidad 6 - La Circunferencia 122 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6. LA CIRCUNFERENCIA 6.1 Definición Es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto específico de dicho plano. A este punto se le llama centro y a la distancia longitud del radio, Fig, 6.1. y 3 Así, sea O el punto especifico y r un número positivo, el conjunto de los puntos A del plano, cuya distancia hacia O es r As unidades de medida, es la circunferencia de centro O y radio r. A la circunferencia se le designa por la letra que identifica al centro. A Ma La figura 6.1 muestra a la circunferencia O, donde se cumple: DA¡= 04,=04,=0A,=1 Fig. 6.1: La cireimperencia O 6.1.2 Elementos e a Los elementos de la circunferencia son: E N 5 Centro.- Es el punto del plano, del cual equidistan todos los puntos contenidos en la circunferencia. En la figura 6.2, el centro es el punto O. A : B Radio.- Es el segmento que une el centro tm punto 5 _ cualquiera de la circunferencia. En la figura 6.2: Radio OE P Cuerda.- Segmento de recia que une dos puntos de la " T circunferencia. En la figura 6.2: Cuerda cb Fé 6.2; Circinfermicia O Diámetro.- Es la cuerda que contiene al centro; es, también, la máxima cuerda de la circunferencia. El diámetro mide el doble de la longitud del radio. En la figura 6.2: Diámetro añ Arco.- Es una parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos, los cuales son los extremos del arco, En la figura 6.2, por ejemplo: cs Arco AE=AE, Arco CMD = CMD Tangente.- Es la recta contenida en el plano de la circunferencia, que tiene sólo un punto común con la circunferencia. A dicho punto común de contacto, se le llama punto de tangencia. En la figura 6.2: recta tangente TT*, punto de tangencia P. Secante.- Es una recta del plano que interseca, o corta, a la circunferencia en dos puntos. Toda secante a la circunferencia contiene a una cuerda de esta. En la figura: secante ss Flecha o sagita.- Es el segmento que une el punto medio de una cuerda, con el punto medio de su respectivo arco. Toda flecha es perpendicular a su cuerda. En la figura 6.2: Flecha MN Círculo.- Es la región plana limitada por una circunferencia, incluyéndola, Unidad 6 - La Circunferencia 123 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.2 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 6.2.1 Medida de ángulos y arcos que subtienden los ángulos en la circunferencia Ángulo Central.- El vértice del ángulo es el centro de la circunferencia y los lados contienen a dos radios, Fig. 6.3. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco S comprendido entre los lados o arco que subtiende. ISS A B Por ejemplo, en la figura 6,3, la mZAOB=a; y la mÁB=0. Fig. 6.3: ángulo central AOB Ángulo Inscrito.- El vértice del ángulo es un punto de la B circunferencia y los lados contienen a dos cuerdas, Fig. 6.4. La medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco comprendido entre los lados o arco que subtiende. Demostración: En la figura se traza los radios oa , om y oc ,con loque se forman los triángulos isósceles AOB y BOC: en el cuadrilátero 2 $ no convexo ÁBCO se tiene: Fig. 6.4: ángulo inscrito ABC mZAOC =28 + 2) sureserenicrcc (1 máADC =m AC pe: Z central) entonces, 20+ 28 =mAC_ B+ P=mAC/2 mé¿ABC=0Ó=06+ p e m AC > a Fie. 6.5: demostración Ángulo Seminscrito.- El vértice del ángulo es un punto de la T circunferencia y sus lados son tina secante, que contiene a una cuerda, y una tangente. Ver Fig. 6.6 B La medida del ángulo seminscrito es la mitad de la medida del arco comprendido entre la secante y la tangente, o arco que subtiende. e ¿e m TA A 2 Fig. 6.6: ángulo seninscrito aTB Ángulo Exinscrito.- El vértice es un punto de la circunferencia E y sus lados son dos secantes, una que contiene a un cuerda y la B otra exterior a la circunferencia, como lo muestra la fig. 6.7. 5 h La medida del ángulo exinscrito es ignal a la mitad del arco comprendido en el semiplano que contiene al ángulo, queesel A arco que subtiende. = _m_ABC e ? 2 Fig. 6.7: dngulo ex inscrito CBF Unidad 6 - La Circunferencia 124 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros Ángulo Interior.- Es el formado por dos secantes que se cortan en el interior de la circunferencia; el vértice es el punto de corte y los lados contienen a cuerdas secantes, La medida del ángulo interior es igual a la mitad de la suma de las medidas de los arcos comprendidos en la región interior del ángulo y del ángulo opuesto, Fig. 6.8. PO g- scales, Fig. 6.8: angulo interior AMD A Ángulo Exterior.- Es el formado por dos secantes, o por una secante y una tangente, o por dos tangentes, las cuales se cortan en el exterior de la circunferencia. El vértice es un punto exterior a la circunferencia, Fig. 6.9. 0) Fig. 6.9: Tipos de ángulos exteriores a la cirennferencia ES, La medida del ángulo exterior es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos comprendidos en la región interior del ángulo, o que subtiende. Por ejemplo. referido a la fig. 6.9, se tiene: -—, e, m BT =m AT 2 Consecuencias especiales * La medida del ángulo exterior. formado por dos tangentes. y la medida del menor de los arcos que subtiende suman 1807, Fig. 6.10, En la figura: Ps mePAB +m AB = 180* Ó + a = 180 ; Fig 6.10: Coso especial Unidad 6 - La Circunferencia Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, 125 Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO A * La medida de cualquier ángulo inscrito en una semicircunferencia es 90%, Fig, 6.11, En la figura, O es centro, ac es diámetro y el ángulo BAC está inscrito en la semicircunferencia BC. m<BAC = 90* Fig. 6.11: C aso especial * Los ángulos formados por una cuerda y las tangentes en los extremos, tienen igual medida; como lo muestra la figura 6.12: Fig. 6.12: Caso especial 6.3 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES Dos cireunferencias de centros O y O”, de radios R yr, respectivamente: y de distancia d, entre centros, pueden situarse en el plano de acuerdo a las siguientes posiciones que las relacionan: Circunferencias exteriores.- Son cuando los puntos de cada una de ellas, son puntos exteriores de la otra, Fig. 6.13. d>R+r Tangente común exterior Fig. 6.13: Cirenmferencias exteriores Circunferencias tangentes exteriores.- Son aquellas que tienen sólo un punto común y los demás puntos de cada una son exteriores a la otra, Fig. 6.14, kTingente combis interior El segmento que une los centros pasa por el punto de tangencia. La recta tangente común interior a ambas es Tangente perpendicular al segmento que une sus centros. común La distancia entre sus centros es igual a la suma exterior de las longitudes de sus radios. d=RK=>+r Fig. 6.14: Cireunferencias Tangentes exteriores Unidad 6 - La Circunferencia 126 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM,Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Circunferencias tangentes interiores.- Son aquellas que tienen sólo un punto común y los demás puntos de cada una son interiores a la otra, Fig. 6,15. ' Tangente común La recta que pasa por los centros. también pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente común, El segmento que une los centros, mide igual que la diferencia de las medidas de sus radios. d=R-r " Fig. 6.13: circunferencias tangentes inferiores Circunferencias secantes.- Son aquellas que tienen dos puntos comunes, Fig. 6.16. La cuerda común AB es perpendicular al segmento que une los centros. La distancia entre sus centros es menor que la suma de las medidas de sus radios. R=r< d <E+r Circunferencias ortogonales.- Son circunferencias Flg. 6.16: Circunferencias secantes. secantes, donde los radios trazados a un punto de intersección, forman un ángulo recto, Fig. 6.17. d=r+r Fig. 6.17: Cireunferencias ortogonales Circunferencias interiores.- resulta cuando todos los puntos de una de ellas, son interiores a la otra, Fig. 6.18 AS La distancia entre centros es igual a la diferencia de radios d<R-r Fig. 6.18: Circunferencias interiores Unidad 6 - La Circunferencia 127 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Circunferencias Concéntricas.- resulta cuando sus centros coinciden, Fig. 6.19. La distancia entre centros es nula d=0 Fig. 6.19; Circunferencias concéntricos 6.4 PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA En la circunferencia se cumple: = Toda recta tangente a la circunferencia es per- pendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia, en dicho punto, Fig. 6.20. En la figura, m/0TX =90* = De un punto exterior se trazan las dos tangentes a una circunferencia. Los segmentos de las tangentes, determinados por dicho punto y los puntos de tangencia, son congruentes, Fig. 6.21. En la figura: PA=PB = En una circunferencia o en circunferencias con- gmientes, los arcos correspondientes a ángulos centrales de igual medida son congruentes. Fig. 6.22 En la figura: Si: a=p o, ms Entonces: m AB =m CD x T Xx O Fig. 6.20 A P B Fig. 6.21 D A A A Cc B Fig. 6.22 Unidad 6 - La Circunferencia 128 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros UNALM TU INGRESO ES DIRECTO = En una circunferencia o en circunferencias con- gruentes, las cuerdas congruentes, subtienden arcos también congruentes, Fig. 6.23. En la figura: Si: AB = CD Entonces: m AB = m CD = En una circunferencia, los arcos comprendidos entre dos cuerdas paralelas son congruentes. Fig. 6.24 En la figura: Si: AB||CD, a? Pa Entonces: mAC = mBD = En una circunferencia, todo radio perpendicular a una cuerda, divide a ésta y al arco que subtiende, en partes respectivamente congruentes, Fig. 6.25. En la figura OM L AB AN = NB y m ÁM = m MB = En una circunferencia, si una tangente es paralela a una cuerda, el punto de tangencia divide al arco que subtiende la cuerda, en partes que son congruentes, Fig. 6.26. En la figura, XI" ON AB Ps | Entonces: m AT =mTB Fig. 6.23 Fig. 6.26 Unidad 6 - La Circunferencia 129 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.5 TEOREMAS DE LA CIRCUNFERENCIA Los teoremas que se enunciarán más adelante, necesitan precisar los siguientes conceptos referidos a la circunferencia y a poligonos. Circunferencia inscrita.- Se dice que una circunferencia está inscrita en un poligono, sí se encuentra en el interior de éste y sus lados son tangentes a dicha circunferencia. A su centro se llama incentro y asu radio irradio. Se comprueba la condición del punto notable incentro, que es la intersección de las bisectrices, el mismo que equidista de los lados. Fig. 6.27. Circunferencia circunscrita.- Es aquella circunferencia que pasa por todos los vértices de un poligono, También se dice que el poligono está inscrito en la circunferencia. Su centro es el circoncentro y al radio se le llama circunradio, Se comprueba la condición del punto notable circuncentro, que es la intersección de las mediatrices, el mismo que equidista de los vértices del poligono, Fig. 6.28, Poligono inscrito y circunscrito en la circunferencia,- Un poligono está inscrito en una circunferencia cuando sus vértices están en la circunferencia, Fig. 6.28; y estará circunscrito a la circunferencia, cuando sus lados son tangentes a la circunferencia, Fig. 6.27. Fig. 6.27: ciremferencia inscrita en el triángulo Fig. 6.28 circunferencia elremmscrita ol pentágono Teorema 6.1 (Teorema de Poncelet) En todo triángulo rectánenlo, la suma de las medidas de los cotetos es iguol a la suma de las medidas de la hipotenisa y del diámetro de la r circunferencia inscrita, Fig. 6,29. c En la figura: — AB+BC=AC+2r a Teorema 6.2 (Teorema de Pitot) e Si un cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia, las sumas de las medidas de sus lados opuestos son iguales. Fig. 6.30, En la figura: AB + CD = BC + AD= Semiperimetro A D Fig. 6.30 Unidad 6 - La Circunferencia 130 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Teorema 6.3 (del cuadrilátero inscrito) Un cuadrilátero es inscriprible, si en él se verifica cualquiera de las siguientes propiedades del cuadrilátero inscrito: - En un enadrilátero inscrito, la suma de las medidas de los ángulos interlores opuestos es 180%; esto es, dichos ángulos opuestos son suplementarios. Fig. 6.31 B A, € Q Xx—>2 Fig. 6.31 - En un cuadrilátero inscrito, las diagonales con los lados opuestos forman ángulos congruentes. Fig. 6.32. Cuadrilátero inscriptible.- Es aquel cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia; esto es, por sus cuatro vértices pasa una única circonferencia. Unidad 6 - La Circunferencia 131 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN Ángulos en la circunferencia: Angulo Central: mide igual que la medida del arco que subtiende. Angulo Inscrito: mide igual que la mitad de la medida del arco que subtiende. Angulo Seminscrito: mide igual que la mitad de la medida del arco que subtiende. Angulo Exinscrito: mide igual que la semisumna de las medidas de arcos que subtiende, Angulo Interior: mide igual que la semisuma de las medidas de arcos que subtiende. Angulo Exterior: mide igual que la semidiferencia de medidas de los arcos que subtiende. Posiciones relativas de dos circunferencias coplanares: Circunferencias exteriores. Circunferencias tangentes exteriores, Circunferencias tangentes interiores, Circunferencias secantes. Circunferencias ortogonales. Circunferencias interiores. Circunferencias concéntricas, Propiedades de la circunferencia: A) El radio es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia. B) Los segmentos de las tangentes trazadas desde un punto exterior, determinados por dicho punto y los puntos de tangencia, son congruentes. C) Los arcos correspondientes a ángulos centrales de igual medida son congruentes. D) Las cuerdas congruentes, subtienden arcos también congruentes. E) Los arcos comprendidos entre dos cuerdas paralelas son congruentes. F) El radio perpendicular a una cuerda, divide a ésta y al arco que subtiende la cuerda, en partes, respectivamente, congruentes. G) El puntode tangencia de la tangente paralela a una cuerda divide al arco que subtiende la cuerda, en partes que $0n congruentes. Teoremas de la circunferencia: Teorema 6.] (Teorema de Poncelet) En todo triángulo rectángulo, la suma de las medidas de los catetos es igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y del doble del inradio. Teorema 6.2 (Teorema de Pito1) En el cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de las medidas de los lados opuestos son iguales. Teorema 6.3 feuadrilátero inscriprible) Un cuadrilátero es inscriptible cuando: - la suma de las medidas de los ángulos interiores opuestos es 180%; o, - las diagonales con los lados opuestos forman ángulos congruentes. Unidad 6 - La Circunferencia 132 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.1 6.2 6.3 EJERCICIOS RESUELTOS En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, oc esel radio perpendiculara AB. Otra circunferencia con centro en P, ubicado en el arco AC, y radio PO interseca al arco BC en E. Halle la medida del arco CE. Solución: De la figura, los triángulos APO, POE y OEB pz AT E son equiláteros, entonces: a = 30? S e e a como a es ángulo central, su medida es igual a la del arco CE e e Ja ie A entonces la medida del arco CE es 309. nn uz po 4 , En una circunferencia de centro O, añ es una cuerda y C el punto de tangencia de una tangente que es paralela a An . Si el arco AC mide 50*, calcule la medida del ángulo BAO. Solución: Por propiedad, los arcos AC y CB son congruentes entonces: a = 50% de la figura: 2a + z = 1807, por lo tanto z = 80% por ángulo inscrito: x = Ea 40* Por el punto P, exterior a una circunferencia, pasan la tangente Pc y la secante PAB (Ces punto de tangencia y Acon B puntos de corte en la circunferencia). Si mCPA=40" y el arco AB mide 100? , calcule la medida del ángulo CBA. solución: De la figura, el arco BC mide: 360% - 100% - 2x = 260? - 2x (260 *-2x)- Zx entonces, por ángulo exterior: 40 *= E enfonces: x=44% Unidad 6 - La Circunferencia 133 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 64 Enla figura, las dos circunferencias estan inscritas en los triángulos ABM y BMC; y las cuerdas de los ángulos inscritos parten del punto de tangencia. Calcule el valor de a, B DM. Por ángulo inscrito, los arcos PD y LQ miden 4a y 2a entonces, por ángulo exterior: mÁáDMEP =180* -4a y Por lo tanto: móLMO = 180* - (180 -4a) = da Por propiedad del ángulo exterior cuyos lados son dos tangentes: mÁLMOQ + 2a = 180" porlotanto: —4a+2a= 180", luego: a =30* 6.5 En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita de centro Ó, es tangente en M y F a los lados BC y AC ,tespectivamente. Si m20FM=x y mZFMC = 5x, calcule el valor de x. Solución: De la figura; 5x +x =90? por lo tanto: x =18* 6.6 En un triángulo ABC, la circunferencia exinscrita relativa al lado Bc es tangente a dicho lado en el punto M. Halle el perimetro del triángulo AMC, si el perimetro del triángulo ABM es 12. Solución: Dela figura: X=k>+a+b ....(1) Por dato: 12=c+24+b Por propiedad de las tangentes iguales: AP= AF Por lo que: c+z=k+3 Reemplazando en (1): X=c+2+b=12 Unidad 6 - La Circunferencia 134 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.7 Dos circunferencias són tangentes interiores en A. La menor de ellas pasa por el centro “O” de la mayor. La cuerda AB de la mayor interseca en C a la menor. La prolongación de oc. interseca en M al menor arco AB. Si el arco OC mide 50, calcule la medida del ángulo ABM. Solución: Por ángulo inscrito: m¿0AC = =— = 25* por lo tanto: m¿COA = 90* - 25% = 65? por ángulo central: m ¿C0A =w por ángulo inscrito: Xx « a 2.5 6.8 Setienen dos circunferencias secantes en A y P. cpm es una secante a ambas circunferencias cortando en € y Pa la primera y en Py M a la segunda. mee es otra secante a ambas, de modo que el corte B se ubica en la primera y los cortes E con M en la segunda, 51 m2ABM=30* y m<CBM = $0*, calcule la m¿AEM. Solución: por enadrlátero inscrito m ¿APM = 80% por ángulo inscrito: 90 *= 5 por ángulo inscrito: 1 = E=80* 6.9 Enel triángulo obtusángulo ABC, obtuso en C, el perimetro es 54: y la circunferencia exinscrita relativa al lado BC es tangente en Pa la prolongación de Ac . Por el punto R de BC pasa RE. tangente en D a la circunferencia y secante en E a cr . Por el punto L de RE pasa Lo que es también tangente a la circunferencia y secante en G a Ep . Si el perímetro del triángulo GLE es 18, calcule AC. Solución: Dela figura: AC = AP -CE —EP ...- (1) AB + BCO + AC EnA ABC, por propiedad: AP= 2299 E Ena LEP: EP= EE Reemplazando en (1): AC=27- 6-9=12 A C E G P Unidad 6 - La Circunferencia 135 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.10 En un triángulo rectángulo, el perímetro es 60 y el inradio mide 5. Calcule la longitud del circunradio. Solución: De la figura: m¿4ABC = 90* entonces el arco AC mide 180*, luego Ac es diámetro por lo tanto: AC =2R En A ABC: Por el teorema de Poncelet AB+BC=AC+2(5) =2R +10 entonces: AB + BC +2R =2R + 10+ 2R luego: 60 =10+4R, de donde: R=12,5 6.11 Un triángulo equilátero, cuyo lado mide $, está inscrito en una circunferencia. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las flechas correspondientes a las cuerdas AB y BC. Solución: Nos piden calcular MR = x en el trapecio PDGQ:x = Y +P2_ ... (1) (mediana) ena ABC: DG=*%2 - 4 (base media) como los arcos PQ y AC son congruentes, entonces: PQ = AC =8, reemplazando en (1): x= 6 6.12 Enun triángulo rectángulo ABC, recto en B, la circunferencia inscrita es tangente en M, P yRa los lados AB, BC y AC, respectivamente, La prolongación de mr interseca en O a la recta perpendicular en C al lado Bc . Si CR=12, calcule PQ. Solución: Por tangentes iguales: AM = AR, luego: mí AMR =m2 ARM =a Por alternos internos entre paralelas: m1. AMR = m2 MOC =a luego el ARCO es isósceles, entonces: CQ = RO =12.... (1) pero por tangentes iguales: CP = CR = 12 entonces el A PCO es rectángulo e isósceles luego, si BP =CQ = 12, entonces: PQ = 12 (2 Unidad 6 - La Circunferencia 136 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.13 En un paralelogramo ABCD, CD = 12, Mes un punto de pc ubicado de forma tal que meéMDC =meéBAD. Si se cumple que el trapecio ABMOD circunscribe a una circunferencia, calcule BM. Solución: Por propiedad del paralelogramo: m4 BAD = mé COM = a B xo oM z entonces el Á CMD es isósceles, por lo tanto: CM = DM =z En el paralelogramo ABCD: AD=BC=x +2 AB =CD=12 En el trapecio ABMD por el teorema de Pitot: x+x+z=12+2z, de donde: x=6 x+z 6.14 Se tiene el trapezoide ABCD, Calcule la méíADC si meé<BAC=40%, meéBDC=80", m¿ACB=24* y m¿DBCO=52*, Solución: EnA DEC: 80* + 52% + 24% + m«ACD= 1809 de donde: mé ACD = 24? se determina el incentro 1 del triángulo DEC, entonces: a=26* y z=40* por lo tanto: mé BLA = w=24* + 26? = 50? además el cuadrilátero ABID es inseriptible entonces por propiedad: x=m.Z BIA =50* 6.15 En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B, la base menor es BC, la circunferencia inscrita, de radio RR, es tangente en M al lado AD . Si MF es perpendicular a cp en P de modo que CP = PM; y el inradio r del triángulo MPD, relacionado con E. cumplecom R+2r=12, calcule BC. Solución: Dato: R+2r= 12 Bo 5 dela figura: AB=2R y AM=R e z En A MPD: Teorema de Poncelet . P z + w= MD + 2r, de donde: MD = 2 +w — 21 ys S pr En el trapecio ABCD: Teorema de Pito! Á 37 D BC+(R +24 w-21)=2R +(2+w) Por lo tanto: BC = 12 Unidad 6 - La Circunferencia 137 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.1 6.2 6.3 6.4 EJERCICIOS PROPUESTOS En la figura, O es el centro de la circunferencia y A es punto de tangencia, Calcule la medida del arco AFC si mé¿OCA =18*, Cc A) 288? B) 260* F Cy) 216* D) 245" E) 268* En la figura M, E y Q son puntos de tangencia. Calcule la m¿ADC, si AM=3 y QD=4. A) 642 B) 56" B C) 82* D) 74? M E) 60* En una circunferencia de centro O, se trazan las cuerdas AB y Bc se ubican de forma tal que m £ ABC = 1007. Halle la medida del ángulo OCA. A) 6? B) 182 C) 109 D) 20 E) 15* En la figura B y E 50n puntos de tangencia. Si la diferencia de las medidas de los arcos AM y CO es x, calcule el valor de x. A) 60% B) 542 C) 642 D) 740 E) 72* Unidad 6 - La Circunferencia 138 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.5 6.6 67 6.8 Por un punto P exterior a una circunferencia pasan la tangente pa y la secante PAM (Bes punto de tangencia y A con M puntos de corte en la circunferencia). Si la tangente Ac es perpendicular en C con pa y Mc pasa por el centro de la circunferencia, calcule la medida del ángulo APB. A) 20* B) 36* C) 22,5 D) 30* E) 26,5% El trapezoide ABCD esta inscrito en una circunferencia. BM es perpendicular a AD en M. Si mZ<ABMeaa y el arco BAD mide 120, calcule la meé¿BCD, A) 118? B) 98? C) 1089 D) 1122 E) 96? En una circunferencia se inscribe el hexágono ABCDEF. Si las diagonales BD y AC son perpendiculares entre sí, al igual que las diagonales CE y br; y las diagonales CE con BD Son secantes en M, halle la suma de las medidas de los ángulos ABD, DME y CEF. A) 2009 B) 160" Cc) 120" D) 180* E) 210 En una semicircunferencia de diámetro ag se inscribe el pentágono ABCDE, Si la m2ABC es 130", halle la m<CDE. A) 1409 B) 1209 C) 130* D) 150* E) 100% Unidad 6 - La Circunferencia 139 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.9 6.10 6.11 6.12 En la figura las circunferencias son congruentes, Ab es diámetro, M es punto de tangencia: los arcos CDQ y QM son congruentes así como los arcos AC con BO, que miden 40% cada uno. Calcule el valor de x. A) 209 B) 379 C) 45" D) 25 E) 30* Respecto a la información de la figura, halle el valor dex”. A) 31 B) 48* C) s1* D) 63* E) 70* En la figura, M y N son puntos de tangencia y se cumple que mBC + níiAD = 260*. Calcule el valor de x+ y, A) 105 B) 110* Cc) 115 D) 120* E) 125* En la figura, las circunferencias son secantes en C y D; AC y BD se cortan en L. 3 > 5 ' n— — o si: MAPB _ mDLC_mCOD calcule la máED. 3 A) 240* B) 2002 C) 1800 D) 150* E) 120* Unidad 6 - La Circunferencia 140 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.13 6.14 6.15 6.16 En un triángulo acutángulo ABC, mA = 64", Si 0 es el centro de la circunferencia circunscrita, calcule la mé¿OBC. A) 32 B) 16 Cc) 26* D) 13 E) 16 En la figura, B y € son puntos de tangencia, Sim ¿BAC = 70, calcule (0+[). A) 135* B B) 105* 0) 155 D) 145" E) 125* q EA A En la figura, O es centro, mBE = z mAEB. mCF = y mcFD ym ¿AEB = 140?. Calcule méCFD. PEA B A) 1200 B) 130* C) 135" A c D) 140" E) 145" En la figura, M es punto de tangencia. Halle el valor de x. A) 30* B) 259 C) 15 D) 20* E) 35" Unidad 6 - La Circunferencia 141 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros 6.17 — Enla figura, B y € son puntos de tangencia, M O es el centro de la circunferencia y me DBM = 504, » ka A) 20% B) 25* E) 40? D) 60" C E) 30" 6.18 — La figura muestra un cuadrante intersecado con una circunferencia y los ángulos w y z. Calcule el valor de (z + w). A) 450 B) 759 Cc) 60* D) 309 E) 90% 6.19 — Enla figura, C y D son puntos de tangencia; FA es tangente a la circunferencia de centro O”, BA y BE son tangentes a la circunferencia de centro O. Si la mZFAB = 114”, calcule la me<ECD. A) 66 B) 33* C) 57* D) 28* E) 37 nn, 6.20 Enreferencia a la fignra, calcule el valor dex, sim ABCOD=240" y, AB=BC=CD, A) 48% B) 42" E Lx A, NY E) 647 Unidad 6 - La Circunferencia 142 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.21 6.22 6.23 6.24 En una semicircunferencia de diámetro ac” se inscribe el ángulo ABC tal que el arco BC mide 74?. Calcule la longitud del inrradio del triángulo ABC, si su perimetro es 24, A) 15 B) 1 Cc) 2 D) 2,5 E) 3 En la figura, O es centro y los arcos AB y BC son congruentes, $ m¿OCD=1589 y el arco MC mide 587, calcule el valor de x. A) 73% B) 60? Cc) 759 D) 84% E) 86* Un trapecio rectángulo esta circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide 2. Si uno de sus lados no paralelos mide 5, calcule la longitud de la base menor. A) 4,5 B) 2.5 0) 3 D) 4 E) 3,5 La relación de los radios de dos cireunferencias concéntricas es de l a3. En la circunferencia mayor, ac es diámetro y Bc una cuerda tangente a la circunferencia menor. Si AB = 8, calcule la longitud del radio de la circunferencia mayor. A) 8 B) 9 C) 10 D) 14 E) 12 Unidad 6 - La Circunferencia 143 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.25 6.26 6.27 6.23 Se tienen dos circunferencias tangentes exteriores en B. Una recta secante que pasa por B interseca a las circunferencias en los puntos A y €. Halle la medida del menor arco BC, si el menor arco AB mide 120%, A) 1209 B) 110? C) 1009 D) 60? E) 80* En tuna circunferencia, el radio mide 13, la cuerda AB mide 24. Calcule la longitud de la flecha correspondiente a dicha cuerda. A) $ B) 4 0) 6 D) 7 E) 8 Respecto a la información de la figura, calcule la medida del ángulo ABC. A) 1189 B) 108? C) 827 D) 1122 E) 72? E En la figura, A y B son puntos de tangencia en cada semicircunferencia, Si la suma de las medidas de los arcos AC y BM es 264", calcule el valor de x. A) 106? Z B) 96* 2 C) 86" D) 98* x E) 108* Unidad 6 - La Circunferencia 144 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.29 En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita es tangente en Pa Bc ;y la circunferencia exinscrita relativa al lado Bc , es tangente en Q a dicho lado. Si los lados miden: AB=9, BC= 8 y AC=11, calcule PQ. A) 3 B) 5 a 2 D) 2,5 E) 1,5 6.30 En un cuadrante AOB, el punto O es centro, el radio mide 8; la semicircunferencia de diámetro Ao esta ubicada en el interior, la cuerda Am del cuadrante, interseca en F a la semicircunferencia; y por B pasa BL, paralela a am y secante en L a la semicircunferencia, 51 4M = BL, calcule FL. A) 242 B) 2 C) 44% D) 342 E) 4 6.31 En la figura, A, B, D y E son puntos de tangencia, D esta en Ec y AB es paralelacon DC. Halle la medida del arco BMC. A) 90? B) 1200 Cc) 100 D) 110* E) 130* 6.32 — Calcule la relación entre el inradio y el circunradio del inángulo rectángulo isósceles, A) 2-1 B) [2 +1 O 431 Dj 3 +1 E) 1/2 Unidad 6 - La Circunferencia 145 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.33 6.34 6.35 6.36 Si el radio de la circunferencia exinscrita relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 36, halle el perimetro de dicho triángulo. A) 72 B) 9 C) 18 D) 24 E) 36 En la figura. ABCD es un rectángulo, 1, y 1, són inradios: BD =(BE+EC) y AB=15m Calcule la surna de las longitudes de los inradios. E A) 5m B) 6m ta C) 65m B c D) 7m E) 7,5m Halle el perimetro de un triángulo rectángulo, si los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita miden 4 cm y 13 cm, respectivamente. A) 40 cm B) 50 cm CO 70cm D) 45 cm E) 60 cm En un triángulo rectángulo el inradio y el circunradio están en la razón de la 3. Siel perimetro del triángulo es 42m, calcule la longitud del inradio. A) 6m B) 2m O 3m D) 242 m E) 342 m Unidad 6 - La Circunferencia 146 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.37 6.38 6.39 6.40 Si ABC es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden: AB = 30m y BC = 40m, halle la suma de la distancia del incentro a la altura BH con la distancia del incetro al lado bc. Ay 10m B) 14m 0 12m D) ¿m Ej 23m En la figura, MILD es un trapecio y el arco MIL mide 160*. Halle la medida del ángulo ILD. A) 1109 1 L B) 120" O 130 D) 140* E) 160* Las bases de un trapecio inscrito en una circunferencia determinan en ella dos arcos cuya diferencia de medidas es 150%. Calcule la medida del menor ángulo del trapecio, A) 52030" B) 45" C) sor D) 4530" E) 60* En la figura, O es centro de la circunferencia, CE es tangente en E; y OC=AB. Calcule la medida del ZODE. A) 45 B) 30 0) 15 D) 37 E) 26%30" Unidad 6 - La Circunferencia 147 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 6.41 Enla figura, sí mZBAF = 80", halle la m/¿BCF. A) 40* B e B) 60* C) 80* D) 509 E) 30* . Á UY D 642 — Enla figura, ABCD es un cuadrado de centro O, Si m4ADE =65*, calcule la m4DOE. A) 25* B c B) 30" C) 35 D) 45* E) 15 ñ Unidad 6 - La Circunferencia 148 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 7 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 148 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyriaht CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVOS: Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: * Utilizar razones y proporciones para resolver problemas. e Identificar y usar la relación entre partes proporcionales de los triángulos. * Identificar triángulos semejantes. * Identificar y usar la relación de proporcionalidad entre triángulos semejantes. CONTENIDO: 7.1 PROPORCIONALIDAD 7.1.1 Razón de dos segmentos 7.12 Proporcionalidad de segmentos 7.2 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 7.2.1 Concepto de semejanza 7.2.2 Teoremas fundamentales de la semejanza de triángulos CONOCIMIENTOS PREVIOS: + Rectas paralelas y secantes. * — Triángulos, propiedades y lineas notables. + Razones. Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 149 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.1 PROPORCIONALIDAD 7.1.1 Razón de dos segmentos. Es el cociente de sus longitudes expresadas en una misma unidad de medida. Por ejemplo, la razón de los segmentos AB con cp es el número = ] 7.1.2 Proporcionalidad de segmentos, Se dice que dos segmentos son proporcionales a otros dos, cuando la razón de los dos primeros es igual a la razón de los otros dos. Por ejemplo, si los segmentos AB y cb son proporcionales a los segmentos KL y PQ, entonces, se cumple la relación de proporcionalidad y - E Teorema 7.1 (Proporcionalidad en rectas equiparalelas) Si tres rectos paralelas determinan segmentos congruentes en una secante, determinan tambien, segmentos congritentes en cualquier otra secante. Demostración: Hipótesis P D Sean L;, La y L; tres rectas paralelas cortadas por E xo la secante PQ en los puntos A, B y C, de tal Q E » modo que AB = Bc. Sea us otra secante que + ; corta a las paralelas en los puntos D, E y F. Es B a E A e M ' Tesis: DE = EF A ' AU UI La € ta NNF Por D y Ese traza DM y EL aro: k ZDME= EKF (ángulos de lados //) Q Ma ¿£ MDE= KEF (ángulos correspondientes) ABMD y BCKE son paralelogramos Fig. 7.] Rectas equiparafelas + AB=DM Y BC =EK luego. ADME=AEKF — (P.ALA) finalmente, DE = EF. Teorema 7.2 (Teorema de Thales) Tres o más paralelas determinan en dos secontes cualesquiera, segmentos proporcionales, Aj xD SE , $ se de SEL, ML" Ls al e Entonces; ¿2,2 / Ñ * ER BCO EF c F La / N Fig. 2 Rectas paralelas y secontes Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 150 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Corolario Sí una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados en puntos distintos, determina sobre ellos segmentos proporcionales. Si EF YAC Entonces: BE. BE EA FC También: BE. PE E AB BC A € Fig. 23 Recta paralelo al lodo AC Teorema 7.3 (Dela bisectriz interior en el triángulo) La bisectriz interior de un triángulo determina en el lado opuesto dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los otros des lados del triángulo. == A F En la figura, mE es bisectriz, cF // En A A CBF: isósceles BC =BF ¿S por el Teorema de Thales, en el ACAF: LE. EE e B. ; 0 dl ¿ Entonces: E A 4 ns ; A € Fig. 74 Trazos amaillares en el triángulo ABC bisectriz interior, Teorema 7.4 (De la bisectriz exterior) Si la bisectriz de un angulo exterior de un triángulo intercepta a la recta que contiene al lado opuesto, entonces esta divide al lado opuesto externamente en segmentos proporcionales a los lados adyacentes. En la figura, BE es bisectriz exterior, ¿AE A Enlonces : E BC Fig. 7.5 Trazos auxiliares en el hrióngulo ABC y bisectriz exterior Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 151 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.2 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 7.2.1 Concepto de semejanza. Dos figuras geométricas son semejantes, si tienen exactamente la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño; por ejemplo, dos cireunferencias cualesquiera son semejantes, dos cuadrados cualesquiera son semejantes, dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes, etc, Fig. 7.6 O A Flg. 7.6 Figuras semejantes Definición 7.1 Dos triángulos son semejantes, si y solamente si, sus tres ángulos son ordenadamente congruentes y sus lados homólogos son proporcionales. Dados dos triángulos ABC y DEF, si se establece la correspondencia ABC « DEF entre los dos triángulos, de la siguiente manera: ¿£A =£ D B B = zE ¿E E £¿oF AB BC AC D Fig. 7.7 Triángulos ABC y DEF. semejantes Por la definición anterior. la correspondencia ABC «» DEF establece la semejanza delos triángulos ABC y DEF. Notación: ABC - DEF. Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 152 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.2.2 Teoremas fundamentales de la semejanza de triángulos Teorema 7.5 (AÁ : ángulo, ángulo) Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos, son, respectivamente, congruentes a dos ángulos del otro. B Si ZA Z¿ D ; Z¿B E Entonces: Á ABC - A DEF e SN A m pA + Fig. 28 Criterio Ad M e i Teorema 7.6 (LAL: lado, ángulo, lado) Dos triángulos son semejantes si tienen un par de ángulos congruentes y los lados que forman dicho par de ángulos son proporcionales. B Si: a oy E : DE DF Si ke o ¡SN entonces: Á ABC - A DEF D : F A c kb Fig. 7.9 Criterio LAL Teorema 7.7 (LLL: lado, lado, lado) Dos triángulos son semejantes si sus tres pares de lados correspondientes u homólogos son proporcionales. B SE e DE EF DF E entonces: A ABC + A DEF / a > $ D b F A E c Etre. 7.10 Criterio LLL Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 153 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Corolarios: l. Sí ma recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, se determina un triangulo semejante al triángulo dado. Si er fac Entonces, A EBF = A ABC | ; A e 2. Sí dos triángulos son semejantes, también son proporcionales sus perímetros, alturas homólogas, medianas homólogas, etc. Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 154 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN Proporcionalidad . Si tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes en tina secante, determinan también, segmentos congruentes en cualquier otra secante. . Tres o más paralelas determinan en dos secantes cualesquiera, segmentos proporcionales. . La bisectriz interior de un triángulo determina en el lado opuesto dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los otros dos lados del triángulo. . Silla bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo intercepta a la recta que contiene al lado opuesto, entonces esta divide al lado opuesto externamente en segmentos proporcionales a los lados adyacentes, Semejanza . Definición Dos triángulos son semejantes, si y solamente si, sus tres ángulos son ordenadamente congruentes y sus lados homologos son proporcionales, e AA Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos, son, respectivamente, congruentes a dos ángulos del otro. . LAL Dos tridngulos son semejantes sí tienen un par de ángulos congruentes y los lados que forman dicho par de ángulos son proporcionales. . LLL Dos triángulos son semejantes si sus tres pares de lados correspondientes u homólogos son proporcionales. . c-1 S$tuna recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros des lados, se determina un triimgulo semejante al triángulo dado, . ez Si dos triángulos son semejantes, también son proporcionales sus perimetros, alturas homologas, medianas homologas, ete, Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 155 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO EJERCICIOS RESUELTOS TI En la figura, CF. BE y Ab son paralelos; £ E además, los segmentos AF y EG también son paralelos, Sí AB/BC = 5/4 y GD = lOm, B E calcule AG. LA A X Solución: Usando dos veces el Teorema de Thales: AB DE o .k (1 enel AFDA: (40/0010 —1=8 7.2 Enel triángulo ABC, AD es bisectriz interior. pe es bisectriz interior del triángulo ADC. Si AB= 15m, AD = 61m, DC =4m y AE=3m, calcule BD. Solución: AADC (Teorema de Bisectriz) 634 = y=2 AABC (Teorema de Bisectriz) 15/x=(3+2/4 + x= 12 ñ 7.3 Enla figura, ABCD es un cuadrado. E Si BP = 2m y PC =6m, halle MN. " N Solución: % di A O + c ABCQ (Thales) 2 BM/MQ-=2/6-2k/6k Xx AABQ - AMQN . x/8=6k/8k > x=6 N A AÑ D Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 156 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 14 7.5 7.6 En la figura, A y E son puntos de tangencia; BC =8m, CD = 15m y DE= 9m. Calcule AB. B Solución: Se traza el segmento BP paralelo a AE El trapecio ABPE debe ser isósceles: AB=PE=x A BPD = A CDE: 9/=15/8 —= 1=4,8 En un triángulo ABC, AC = 16m, BC = 10m, cb es bisectriz interior y Mes un punto de Bc de modo pm es paralelo a ac . Calcule DM. Solución: Por alternos internos: m¿MDC= m¿DCA=0 A DMC es isósceles: DM=MC=x A DEM - A ABC x/16=(10-x)/10 => x= 80/13 En un triángulo ABC, az y co son bisectrices que se intersecan en P. si AD =2m, BD= 3m y BE = 4, calcule AC. Solución: AE = Bisectiiz interior: S5id=/y — y=4x/5 CD => Bisectriz interior: (y+4/G=10/2 — (3x-8y2 Luego: 4/5=(3x-8//2 —+>x=40/7 Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 157 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.7 73 719 En la figura, AB. PF y QE son paralelos; B BE=4my EF= 3m. Halle FC. Solución: A PBF (Thales) BE/EF=BQ/QP > 4/3=BQ/QP=4k/3k A PBF - A PBF AB/PF=4k5k-405n A ABC - A PFC ILWAn= AT) — 3x+21=4x > 1=2] En la figura, AB = Sem, BC = 12cm y AC = 13cmn; Bi £ ABM un cuadrante y APM una semnicircun- ferencia. Halle PQ. Solución: mn A APM «<A ADC $ y/12=5/13 + y=60/13 Luego: x=5 - 60/13=3/13 A il Op 5 M Desde un punto A, exterior a una circunferencia, se trazan la tangente ar y la secante ABC (T punto de tangencia; B y C puntos de la circunferencia): luego se traza la cuerda TD paralela al segmento AC. Si (AC.TD) = 25, calcule TC. Solución: T_ D Por paralelas: Arco DC=Arco TB Luego ¿<DTC=4TCA=0, £TDC=ZATC Fu ( d Xx ATDC=AATC: A a TD = AC/x >x2=TD.AC =>x2=25 +x=5 E, c Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 158 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.10 Enun triángulo ABC, AB=10 y BC=6; BP es bisectriz exterior, con P en la prolongación de Ac .Si“M"es punto medio del segmento BP y AM intersecaa BC en N, calcule BN. Solución: Dato: BO=6 A ABC (BP == Bisectriz exterior) 10/AP=6/CP —=> AP=10k, CP=6k Se traza ON paralelo a AM: dl'6k=MN/NP —=> MN=4n, NP=6n BM=MP=10n A CBN(Thales): BN/INC=BM/MN —BN/NC=10p44p BC=6=14p + p=6/14 x=10p=10(6/14=307 7.11 Enun trapecio ABCD, las bases miden: BC =4cm. AD= 10cm: sobre AB y cp se ubican los puntos P y Q, respectivamente, tal que pQ // Be // ab .Si 3QD=5C0, halle PO. Solución: Se traza ce paralelo al lado BA BC=PF=AE-4, ED=6, FO=x4 A CED = A FCQ: (x-4V6=3k/8k =x=6,25 7.12 En la figura, la circunferencia esta inscrita en ABCD; AD/WEC, AM=6m, NC=8m y PC=10m. Calcule AP, B Solución: Por £ Semi-inscrito: meé¿AMP= me<PNB=p A NCE —> Isósceles NC=CE=8 A MAP - A PEC x3'10=6/8 > x=7,5 Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 159 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.13 En la figura, “TI” es incentro del triángulo ABC, mZAID= 90%, IC = 6cm y CD = 3cm. Calcule BC. Solución: Por ángulos: m4AIC=90+ (m.¿B2=90+f Luego: m¿DIC=0 Á BIC A IDC: A e x/6=6/3 > x=17 D7.14 En un triángulo ABC, los lados miden: AB= 27, BC=36 y AC= 12; el punto P se ubica en el interior de modo que: PC=9 y AP=4, 5i m¿PAC- m¿ABC= e, calcule m¿PCOB. Solución: Á ABC es semejante al A APC (LLL): (010-=270)(36/12)=3 Por lo tanto los ángulos que se oponen a los lados proporcionales son congruentes: mX4ABC= meéPCD-d, mé¿BCA= meéPAC=x+d méBAC= m<APC=0+d+x Del dato: mZPAC-mZABC= a. (dex) -(d) = a x= «e 7.15 En el triángulo ABC, AB= 3, BC= 10,8; mE es una ceviana tal que, AE= 1 y EC= 8. Calcule BE. Solucion: A ABC es semejante al A ABE (LAL): A Tienen el ángulo común A y además, los lados: %W%= 3/lI= 3, son 10.8 proporcionales, 3 Por lo tanto: (10,8) x= 3 e x=356 ATT E E 5 Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 160 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.16 En el triángulo acutángulo y escaleno ABC, AE y cr son alturas y Pes el ortocentro. Si AC=12m. EF= 8m y BP= 10m, calcule la longitud del circunradio del triangulo ABC. Solución: El cuadrilátero AFEC es inscriptible por lo tanto pasa una circunf. por sus vértices, cunmpliéndose que: méóBAC= méBEF=a, mBCA= méBFE=<c, El FBEP es inscriptible; siendo BP el diámetro y el radio mide 5 Luego el A ABC es semejante al A FBE: 8/12=5/r5 r=7,5 Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 161 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.1 2 3 7.A TS EJERCICIOS PROPUESTOS En la figura, las rectas: m, n, 1, s, son paralelas, BC= 2AB, BC= 40M y DE= 2cm. Calcule EN A) l|cm B) 1/4cm CO) 32cm Dj 2cm Ej 12 cm En la figura, los segmentos AB y BP son paralelos a los segmentos 1D y DQ. respectivamente, Calcule PQ/ QC, si. AL=2cm y LC= 4cm. A) 12 B B) 13 C) 1/4 D D) 3/4 E) 2/3 c A L PQ En el triangulo ABC, pb es bisectriz interior. Si AB=CD, BC= 9 y AD= 4, calcule el perimetro del triángulo. A) 25 B) 26 O 27 D) 28 E) 29 En un triángulo ABC, AB=4 y BC=3. Si 6D es la bisectriz exterior y m2CBD= 45”. Calcule CD. A) 18 B) 16 Cc) 15 D) 13 E) 1 En el triangulo rectángulo ABE recto en B, C es un punto de az y D esta en BE de forma que cb es perpendicular a AE . Si AB=AC=2 DC y DE= Sem, calcule DC. A) 2,5cm. B) 3,.Ocm CE) 3,5cm Dj) 4.0cm E) 4.5cm. Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 162 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.6 Enel triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD que es interceptada por la ceviana interior AF en el punto E. Si: ED= 3BE, BF= 2cm y FC= 10cm, calcule AB. Aj) 15cm B) 18cm C) 14cm D) 2lcm E) 24cn 7.7 En la figura el segmento PQ es paralelo al lado ac, 4AD= 6AB, BQ= 3QC y MQ= 2cm. Calcule MD. AJ dcm P B) 6cm Q C) Icm D) 12cm M € Ej 3cm 7.3 Enel triángulo rectángulo ABC se inscribe el cuadrado AMNQ encontrándose M en AB. Calcule AM, si AB=4 y AC=5, AY 52 B) 20/9 C) Ss D) 20/11 E) 20/7 79 Enel cuadrado ABCD de lado 12m, M está en el lado ec, la diagonal BD interseca en E a AM . Si MC= 2BM, calcule la medida de la distancia de Ea pc . AJ 25m B) 3m C) 3,5m D) 4m E) 4,5m 7.10. En el triángulo ABC la prolongación de la bisectriz BE interseca en D a la circunferencia circunscrita . Calcule la medida del segmento AD . si BE= 12m y ED= 4m. A) 65m Bj 7,0m C) 7,5m Dj) 8,0m E) 55m Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 163 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.11. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se consideran los puntos E y F en ac yen la prolongación de Ca, respectivamente, de modo que: mZFBE= 2 mZFBA; FA=5m y AE=3m. Calcule EC. A) 12m B) l3m C) 14m D) 15m E) 16m 7.12 Enel triángulo ABC, la mediatriz de ac interseca en F al lado mc y en Gala prolongación del lado AB . Calcule (FC/FB), si AB= 5m y BG = 2m. A) 2.5m B) 2,8m Cc) 3.2m Dj) 3,5m E) 4.0m 7.13 Enel triángulo ABC, AB=7m, BC= 5m y AC= 6m; la circunferencia inscrita es tangente al lado ac enDy ne es bisectriz exterior. Calcule DE. A) 15m B) 16m C) 17m D) 18m E) 19m 7,14 Calcule la longitud del lado del rombo BCDF inscrito en el triángulo ACE, de tal manera que D, F y B se encuentran en CE , AE Y AC, respectivamente, AC= 21m y CE= 28m. Aj |l2m B) lim C) 14m Dj 15m E) 16m Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 164 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.15 7.17 7.19 7.19 En la figura, AB y Bc son paralelos a CD y DE , respectivamente. Calcule CE, si OA= 12m, y OE = 48m. D Aj) 10m B) lóm B O 24m D) 36m . E) 12m O A c E En un triángulo ABC, AB = 6cm, BC = 4cm y CA = 5cm; M es un punto del lado ab y Res un punto del lado pc ubicados de forma tal que ma paralelo al lado Ac . Si el perimetro del triángulo MBR es igual al perimetro del trapecio AMREC, calcule BR. Aj 0,5 cm Bj 1cm C) 4em D) 0,75 cm E) 3cm En la figura, BC =12m y %-- > Calcule BA. AJ 44m B) 6m O 7m D) 8m E) 9m En tuna circunferencia de centro O; el triángulo acutángulo ABC esta inscrito de forma tal que en esuna altura, méABH =mZ<HBO, AH=1 y HB =4, Calcule HC. A) 30/17 B) 32/17 C) 31/15 D) 32/15 E) 31/17 En un triángulo ABC, sn es altura, mZABH =53% mZHBC E, Ñp perpendicular al lado pc en P y PQ perpendicular al lado AB en Q; PQ y BH Son secantes en L. Si PL= 2, calcule AH. A) 3 B) 4 Os D) 2,5 E) 3,5 Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 165 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 7.20 Enel cuadrilátero convexo ABCD, méA = m0 =m2D; AB=% BC=6y CD=11, Calcule AD, A) 8 B) 9 O 1 D) 10 E) 11 Unidad 7 - Proporcionalidad y Semejanza 166 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 8 RELACIONES MÉTRICAS 166 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyriaht CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVOS: Al finalizar esta unidad el ahunno será capaz de: + Proyectarun segmento sobre otro. e Aplicar las fórmulas de las relaciones métricas en el triángulo rectángulo. * Aplicar las fórmulas de las relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos. + Determinar el tipo de triángulo en base a las medidas de sus lados. Resolver problemas de relaciones métricas en tnángulos. CONTENIDO: 8.1 RELACIÓN MÉTRICA 3,2 PROYECCIONES 8.2.1 Proyección ortogonal de un punto sobre una recta 8.2.2 Proyección ortogonal de un segmento sobre una recta 8.3 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 8.4 APLICACIÓN EN LA SEMICIRCUNFERENCIA 8.5 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 8.6 IDENTIFICACIÓN DEL TIPO DE TRIÁNGULO MEDIANTE CONCEPTOS DE RELACIONES MÉTRICAS 8.7 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: . Proporcionalidad y Semejanza. Unidad 8 - Relaciones Métricas 167 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.1 RELACIÓN MÉTRICA La relación métrica entre varias longitudes, es la relación existente entre los números que expresan dichas longitudesreferidas a la misma unidad de medida, 8,2 PROYECCIONES 8,21 Proyección ortogonal de un punto sobre una recta Es el punto de la recta resultado de la intersección con la perpendicular trazada desde el punto hacia la recta, La perpendicular se llama proyectante; y la recta eje de proyección, En la Fig. 38,1, se muestra la proyección del punto P sobre la recta 1 p E X es la proyección del punto P sobre la : recta L.. ¿ B PX es la distancia del punto P a la recta 1; €s también, la minima distancia del ! punto a la recta, e x Fig.5.1 Proyección de P sobre L 8.2.2 Proyección ortogonal de un segmento sobre una recta Para proyectar un segmento sobre una recta, se proyectan sus puntos extremos, siendo la proyección el segmento que une las proyecciones de dichos puntos extremos. Fig. 8.2 y 8,3, B ! A A ah Cc G E Fig. 8.2 06 esla proyección de an sobre la recta RR B EJ A G A Fie. 8.3 AG esla provección de AB sobre la recta R. Unidad 8 - Relaciones Métricas 168 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.3 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Teorema 8.1 (Longitud del cateto en función de su proyección sobre la hipotenusa) La longitud de un cateto elevado al cuadrado, es igual al producto de las longitudes, de la hipotenusa con la de la provección de dicho cateto sobre la lripotennsa. Fig. 8.A 7 I = Un] e Fig. 8,4. Cálculo del cateto en función de su proyección sobre la hipotenusa, Teorema 8.2 (La altura en función de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa) La longitud de la altura relativa a la hipotenusa, elevada al cuadrado, es igual al producto de las longitudes de las provecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Fig. 8.5. »=p.q A + L Pp q Fig. 8.53. Cálculo de la altura relativa a la hipotemesa Teorema 8.3 (Catetos en función de la altura y la hipotenusa) El producto de las longitdes de los cotetos es igual al producto de las longitdes de la hipotemisa y de la altra relativa a la hipotenisa. Fig. 8.6. a.c=b.h h b 1 Fig. 8.6 Relación de los catetos con la altura y da hipotenusa Unidad 8 - Relaciones Métricas 169 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Teorema 8.4 (Teorema de Pitágoras) El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Fig. 8.7. Pear b Fig. 8.7. Teorema de Pitágoras Teorema 8.5 (La altura en función de los catetos) La suma de las inversas de los cuadrados de los longitudes de los catetos es ienal a la inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusoa. Fig. 8.8. B A Fig. 8.8 8.4 APLICACIÓN EN LA SEMICIRCUNFERENCIA. La figura 8.9 nuestra a dos semicircunferencias, donde AB es diámetro: AC= fo Fig. 8.9 Aplicación del triángulo rectángulo en la circunferencia Unidad 8 - Relaciones Métricas 170 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.5 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO Teorema 8.6 (Proyecciones de dos lados sobre el tercero) En todo triángulo, la diferencia de los cuadrados de las longitudes de dos lados, es lgnol a la diferencia de los cuadrados de sus provecciones sobre el tercer lado. Fig. 8.10. Fig. 8,10 Teorema de las provecciones de los lados. Teorema 38.7 (Teorema de Euclides) Relaciona la longitud de un lado de un triángulo en función de los otros dos y de la proyección de uno de ellos sobre el otro. Como el triángulo oblicuángulo puede ser acutángulo u obtusángulo, se tienen dos casos: Primer caso En todo triángulo, el cuadrado de la longitid de un lado opuesto a un éngulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de la longitud de uno de esos des por la proyección del otro sobre ese lado. Fig. 8.11. B a <90 a a=Y+0-2bp c Cc A p A e A Fig. 8.11. Teorema de Euclides, primer caso En la figura 8.11, p es la proyección de AB_ sobre AC y se calcula transponiendo términos en la relación de Euclides: bl +re e 2b Unidad 8 - Relaciones Métricas 171 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Segundo caso En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado opuesto a un ángulo obtuso, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados restantes, más el doble del producto de la longitud de uno de esos dos por la provección del otro sobre ese lado. Fig. 8.12. a > 90 a=b'+c0+2bp Fig. 8.12. Teorema de Enclides, segundo caso Teorema 8,8 (de la mediana) En todo triángulo oblicuángulo, la sima de los cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble del cuadrado de la longitud de la mediana relativa al tercer lado más la mitad del cuadrado de la longitud de dicho lado, Fig. 8,13. m: mediana relativa a AC 2+et=2 (my EL Fig. 8.13, Teorema de la mediano Teorema 8,9 (de Herón) Relaciona la altura de un triángulo en función de los lados y el semiperimetro (p): En todo triángulo oblicuángulo, la longitud de la altura relativa a un lado es igual al doble de la inversa de dicho lado multiplicado por la raíz cuadrada del producto del semiperimetro del triángulo por las diferencias del semiperimetro con cada lado. Fig, 8.14. p: seniperimetro A c a Fig. 8.14. Teorema de Herón, relativo a la altura Unidad 8 - Relaciones Métricas 172 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.6 IDENTIFICACIÓN DEL TIPO DE TRIÁNGULO MEDIANTE CONCEPTOS DE RELACIONES MÉTRICAS. Si a, b y e son las longitudes de los lados de un triángulo, y “a” es la que corresponde al lado IAyor,; y, si a =b+e, entonces, el triángulo es rectángulo, si aA<bi+e?, entonces, el triángulo es acutángulo, si: al>bi+e?, entonces, el triángulo es obtusángulo, 8.7 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Teorema 8.10 ( de las cuerdas) Si dos curdas de una circunferencia son secantes, entonces, el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es ignal al producio de las longitudes de los segmentos de la otra cuerda. Fig. 8.15. AExEB=CExED Fig. 8.15 Teorema 8.11 (de las secantes) Sidesde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, entonces, el producto de la longitud de uma secante por la longitud de su segmento externo, es jenal al producto de la longitud de la otra secante por la longitud de su respectivo segmento exterior. Fig. 8.16, B A _ P | PBxPA=PDxPC Cc D Fig.8.16. Teorema 8.12 (de la secante y tangente) Si poram punto:exterior a una circunferencia se trazan ina tangente y una secante, entonces, la longitud de la tengente es la media proporcional entre la secante con la longitud de su segmento externo; esto es, la longitud al cuadrado de la tangente es igual al producto de la longitud de la secante por la longitud de su segmento externo. Fig. 8.17. : PA PA PA PC PB c B uh PA? =PB x PC Fie. 8.17 Unidad 8 - Relaciones Métricas 173 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN Relaciones métricas en el triángulorectángulo =b.p bl=at+ e E h Aa a=b.q ac=bh id E Hp q k=p.q E 1 b 1 Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo Teorema de Euclides a=b+0-2bp : a <p asb+4+2bp; a>90- . by — Teorema de la mediana | a+ =2(m*+ (32: m: mediana relativa a AC 2 Teorema de Herón (e - a) ip - b)(p - e) ; pp: semiperimetro e 1 Relaciones métricas en la circunferencia AE xED=BExEC PAx PB=PCx PD PO! = PAx PB Unidad 8 - Relaciones Métricas Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, 174 Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO EJERCICIOS RESUELTOS 8.1 Enun triángulo rectángulo ABC, recto en B, BH es altura. Si CH = 3 (AH), calcule la medida del ángulo ACB, Solución: La figura representa al problema, En AABC: E? = (aka) entonces: h= ah En A BHC: BH=a.f y HC=3a x Por lo tanto: x = 30% a H 3a 8.2 En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, se ubica el punto F enOa y se construye el cuadrado AFDC cuyo lado cp interseca en M al arco AB. Si BF=7yMD=2MC, calcule la longitud del lado del cuadrado. Solución: La figura representa al problema. De la figura: x = 3a, de donde a = = 3 En a AMB: a? - (222.2) entonces: x=3 8.3 Enun cuadrante AOB de centro O, se ubica M en el arco ÁB de forma tal que la circunferencia de diámetro BM interseca en Ha 08 ; y se cumple que: (OA)X(BH) = 50. Calcule la longitud del radio de dicha circunferencia. Solución: La figura representa al problema Por propiedad: m .- FMB =90* Por dato: (OAXBH) =r (BH) =50 En A FMB: 09? -2 mm =250) Por ló tanto: x=5 Unidad 8 - Relaciones Métricas 175 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.4 8.5 8.6 Se tiene el pentágono ABCDE y una recta secante que interseca a los lados AB y DE. Las distancias de los vértices B y € a dicha recta nuden 6 y 10, respectivamente. Calcule la longitud de BC, si la proyección ortogonal de Bc sobre la recta mencionada mide 7, Solución: La figura representa al problema Por el teorema de Pitágoras. A entonces: BO= alós Los lados de un triángulo miden 4, 5 y 6, Calcule la longitud de la proyección del lado menor sobre el lado mayor. Solución: La figura representa al problema Por el Teorema de Euclides $ =4 +6 -(2)(6)x 4 Luego: En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza la altura CH . La semicircunferencia de diámetro AB interseca a CH en M.Si AC=12, calcule AM, Solución: La figura representa al problema a Por ángulo inscrito: m £ AMB = 90% Ená ABC: AB=BC=c E EnA AMB: x* =cexaño -.- (1) Ená ABC: Teorema de Euclides; SOS dni ME HAM) a === E Por lo tanto: (IAH) = 72 Reemplazando en (1) x= se Unidad 8 - Relaciones Métricas 176 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.7 8.8 89 En el cuadrante circunferencia AOB de centro O, € es un punto del arco AB y F es punto de DA , ubicado de forma tal que CF=2yBC=6y m £ FCB=90* Calcule la distancia de O al punto medio de CF . Solución: La figura representa al problema, Por Pitágoras: E A por el teorema de la mediana: VA 2 entonces: x = M9 En el imtenor de un paralelogramo ABCD se ubica el punto P tal que la distancia a los vértices son AP=1,BP=2,CP=5yDP=4. Calcule el valor de: ac *-pD?, Solución: La figura representa al problema En el paralelogramo ABCD: AC= BD=k Por el teorema de la mediana: EnA APC: 2(p6 y” o ¿“0 EnA BPD: 2(p0 3 + 2. 244? ....(2) Restando (1) — (2): aci-m?a12 En un paralelogramo ABCD, cuyos lados AB y BC miden 5 y 8, respectivamente, se traza la bisectriz del ángulo ABD, la misma que interseca en Ma AD . Si MC = 6, ealcule la distancia deBaaDb. Solución: La figura representa al problema. Por alternos internos entre paralelas: m CBM=:m £ BMA =0 entonces: A BAM es isósceles Inego: AB=AM=5 y MD=8-5=3 En 4 MCD: Teorema de Heron .. SO INT NT 6) a a es m E Aa di Ee se re mr mo s Unidad 8 - Relaciones Métricas 177 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.10 Los lados del triángulo ABC miden: AB = 13, BC = 15 y AC= 14. Calcule la longitud de la proyección de la mediana relativa a BC sobre AC . Solución: La figura representa al problema. EnaA ABC: Por el teorema de Heron: BL = TE - 1321-1421 -14) =12 Ena BLC: MH es base media, luego: LH = HC = w A EnA BLA por Pitágoras: an *+12* =13*, por lo tanto: AH = 5 entonces: HC =2w= 14—5=39, por lo tanto w= 4,5 luego: x=35+4,5=9,5 8.11 En la semicireunferencia de diámetro AB y centro O se ubica la semicircunferencia de diámetro Ao . Se traza la cuerda BM que es tangente en C a la semicircunferencia menor. Si BC=8 y CM =2, calcule la longitud de la cuerda AC. Solución: La figura representa al problema. por ángulo inscrito: m/ ACO= 90 entonces: AC=0G=x por el teorema de cuerdas: (xx) = (BCKCM) = 16 entonces: x=4 8.12 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, G es el circuncentro; O es punto medio de CG . Con centro en O y radio 0C , se traza una semicircunferencia que interseca a pc en D; y por B se traza BF tangente ala semicircunferencia en F. Si AB=3 y AC = 5, calcule BF. Solución: La figura representa al problema. En 4 ABC: AC=35 y AB= 3, entonces BC = 4 Además: GD es base media, luego BD = DC =2 Entonces, por el teorema de la tangente: al - 02) Por lo tanto: Br = 2/2 Unidad 8 - Relaciones Métricas 178 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.13 En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BP, también se traza una circunferencia que 8.14 8.15 pasa por B, es tangente a AC en P, e interseca en La AB. Si AL=4, LB=12 y BC =32, calcule PC, Solución: a La figura representa al problema. PS Por el teorema de la tangente: ria (16164) = 64 entonces: 1 =8 por el teorema de bisectriz interior: L 2.2 POS ZO e 16 A T P Xx c de donde: x=16 En un triángulo ABC, de ortocentro O, las prolongaciones de las alturas trazadas por A y B intersecan a la circunferencia circunscrita en los puntos M y G, respectivamente, si AG=a y BM = b, halle la relación en que están OM y OG, en función de a y b. Solución: La figura representa al problema. Por ángulos de lados perpendiculares: mé CBG=m2 MAC= w entonces: El 4 MBO es isósceles y OB = BM =b ElA GAO es isósceles y AD=AG=a por el teorema de las cuerdas: (AO10M) = (BOX(0G) par lo tanto: (aX.OM) = (b)(0G) de donde: M ,? 06 A El triángulo ABC esta inscrito en una circunferencia. M es punto medio del arco AC. BM y ACC se intersecan en D. Si el producto de las longitudes de los segmentos AD y CD es 24, calcule AM * - MD ? Solución: La figura representa al problema, Por el teorema de las cuerdas: (AD)(CD) = (BDXDM) = 24...01) A BAM- A ADM: DM AM AM AM BM BD +DM Luego: (pm aby + DM 7 am De donde: Am * -— 14? e (AD DM y (2) Reemplazando (1) en (2): am? 0? 24 M Unidad 8 - Relaciones Métricas 179 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.16 A es un punto exterior a una circunferencia de centro O. La secante ABC y la tangente AG son perpendiculares y AB=1. Si M se ubica en la cuerda pc deforma que BM=2 y CM =4A, calcule OM. Solución: La figurarepresenta al problema, A LO MAB De la figura: BC=2+4=6 lA No Se traza OL 1 BC entonces: CL=LB=3, 6 Por lo tanto: LM =3-2= 1 Por el teorema de la tangente: 2? = (AC XAB)=7 Por lo tanto: e = 4/7 Por el teorema de Pitágoras en A OLM: ca Y Entonces, x= 2. Unidad 8 - Relaciones Métricas 180 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 EJERCICIOS PROPUESTOS Demuestre, usando conceptos de proporcionalidad y semejanza, los teoremas: T8.1; 18.2; 18.3; T18.4;T8.6,T18.7,18.8,T8.10;T8.11 yT8.12. Los lados de un triángulo miden 2, 3 y «/5 . Calcule la longitud de la menor altura del triángulo. A) B) Cc) D) alé n fé el Pl ón E) En un triángulo rectángulo la altura relativa a la Íipotenusa nude 12 y divide a ella en dos segmentos que están en la relación de 9 a 16. Calcule el perímetro de dicho triángulo. A) 60 B) 50 C) 36 D) 48 E) 7 En el paralelopramo ABCD, la m 4 ABD = 907, BH es altura y la bisectriz del ángulo BCD interseca a HD enF, tal que FH= 10. 5: CD=6, calcule AH. A) 1 B) 15 o 2 D) 2,5 E) 3 En el cuadrante AOB, de centro O, se identifican los puntos M, F y Len AO, OB yelarco AB, respectivamente, tal que OMLF es un rectángulo. Si AM= 1 y BF=2, calcule OB. an A ue pj de L A La Unidad 8 - Relaciones Métricas 181 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.6 8.7 8.8 8.9 8,10 En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa la divide en dos segmentos que se encuentran en la relación de l a 3. Calcule la medida del menor ángulo interno agudo, A) 37 B) 45" C) 30* D) 15* E) 242 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, BC=8, AC=2 Mm y Am es mediana. Calcule la distancia de Ba AM . A) 249 B) 40 4/29 79 C) Ja D) 20 q E) 2d e] En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, por un punto M de as se traza una paralela a ac la cual interseca en Na BC. Si AM=3, MN =5 y NC =4, calcule AC. A) 12 B) 9 Cc) 10 D) 14 E) 15 En un triángulo rectángulo la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la raiz cuadrada del doble del producto de sus catetos. La medida de uno de los ángulos agudos internos de dicho triángulo es: A) 75* B) 36? C) 45" D) 60* E) 532 En un trapecio rectángulo la base menor mide 8 y la altura 10, Si la diagonal menor es perpendicular al mayor lado no paralelo, calcule la longitud de la base mayor A) 16 B) 18,5 €) 20,5 D) 24,5 9] Unidad 8 - Relaciones Métricas 182 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.11 En la figura, DC es diámetro de la semicircunferencia, Si DM =8 y ME=2, calcule BP. A) 2,8 y B) 3 M O 42 D) 3,6 E) 3,2 D c 8.12 Enla figura AEFG y ABCD son cuadrados. 51 AG = 21m y GB = 3m, halle DF. A) 6m B) Jem CO) 35m B Dj 10m E) ¿Jam 8.13 Halle la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo, si se sabe que dos de sus medianas son perpendiculares. y E B) se di C) y 3 D) e 1 EL Unidad 8 - Relaciones Métricas 183 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.14 8.15 8.16 8.17 E) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, BH es altura. En la prolongación de HB seubica el punto M y se construye el cuadrado HMLC, Sí AH=4 y BM=3, calcule CL, A) 10 B) 7 C) 5 D) 12 E) 9 En la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6. Calcule la longitud de MN que es tangente a la semicircunferencia de diámetro AB y al arco de centro D, A) 345 a E B) 5W2 O 8 D) 6,5 E) 3v48 A M D En la figura, O es centro de la circunferencia; € y D son puntos de tangencia, AC= 6m y BD=4m. Calcule AB. A A) 5m B) 245 m O 44% m D) 34% m E) 5 m En un rectángulo ABCOD, empleando como diámetros AD y CD se trazan semicircunferencias interiores al rectángulo que se intersecan en Q, Si CQ =4 y AQ=39, calcule BQ. A) ds B) ler O de D) «/6s [55 Unidad 8 - Relaciones Métricas 184 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.18 8.19 8.20 8.21 En la figura, AB es diámetro de la semicireunferencia. Si AM= 21(BD) =4 y los ángulos PFA y MFD son congruentes con medida de 459, calcule GD. A) B) 0) D) E) 2,5 Lh l a l a En el interior de un rectángulo ABCD se establece el punto F tal que AP = 4, BP =2 y CP =6. Calcule DP. A) 4 B) 245 O 34% D) 4v/2 E) 243 Los lados del tnángulo ABC miden: AB=5, BC =44f2 y AC=7. Calcule la longitud de la menor altura. A) 4 B) 3 a) 2 D) 25 E) 3,5 En un cuadrado ABCD, cuyo lado mide 4, tomando como centro D y radio DC se traza el arco de circunferencia AC que interseca en M a la circunferencia inserta en el cuadrado de tal manera que el arco AM es mayor que el arco MC. Calcule la distancia del centro del cuadrado al punto medio del radio DM. A) B) C) D) E) dq olé t n e l én ” Unidad 8 - Relaciones Métricas 185 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 38m 8.23 8.24 8.25 Los lados del triángulo ABC miden: AB=c,BC=a y AC =b. Calcule la medida del mayor ángulo interno, si se cumple que: e? =6 +2 +3. A) 150? B) 120* C) 135" D) 60* E) 30* En el triángulo acutángulo ABC, Am y Bu son alturas y O es el ortocentro. Si OB= 6, OH =4 y apt+ac?120+w*, calcule AC en función de w. A) 2w A) ¿2 Cc) D) E) E g o En un triángulo ABC cuyos lados AB_ y ac miden 6 y 10, respectivamente; y la mediana Bm mide -/1 . Halle la distancia de M al punto medio de AB . A) 1 B) 2 O 3 D) 2,5 E) 3,5 En un cuadrado ABCD, cuyo lado mide 2, tomando como centro B y como radio Ba y se traza el arco AC que interseca en M y Ga la circunferencia inserita en el cuadrado. Calcule la distancia de M a la diagonal AD. Unidad 8 - Relaciones Métricas 186 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.26 Enun triángulo ABC, AB=9 y BC=13; y la mediana BM es congniente con AC. Calcule la distancia del baricentro a AC . ay E 5 B) 3 zm 0) 414 E » 14 D) = “ E) 2-14 8.27 Enla figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 2, la circunferencia de centro O esta inscrita en el cuadrado; y A es el centro del arco BD. Calcule la distancia de O a EF. y E 5 a % a p) 2 3 A E E 8.28 En un rombo ABCD, AB=6, M es punto medio de BC y AM=8. Calcule DM. A) Jas B) 4 O 6 Unidad 8 - Relaciones Métricas 187 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.29 38.30 8.31 8.32 Los radios de dos circunferencias secantes miden 3 y 7; y la distancia entre los centros 6, Calenle la medida de la cuerda común. 17 A) ad) Bn cs Dy 66 EJ ale En la figura, AB y AC son diámetros; AB =2m y AC = Em; M, E y F son puntos de tangencia. Calcule el radio de la circunferencia. A) La 25 Bj =m CE) —m Dj] —m M EJ. 6 A + + c En el triángulo ABC, AB = 15, BC = 13 y AC=14. BH es perpendicular a la bisectriz del ángulo ACB. Calcule AH. A) A) 6 B) 6,5 O 8 D) 9 E) 10 Unidad 8 - Relaciones Métricas 188Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8,33 8.34 8.35 8.36 Se fienen dos circunferencias tangentes interiores en F. El radio de la circunferencia mayor es el diámetro de la circunferencia menor. Por un punto A de la circunferencia mayor se traza la cuerda AC tangente en B a la otra circunferencia, de modo que AB = 2 y BC = 8. Calcule BF. A) 3 B) 4 C) 3,5 D) 2 E) 2,5 En la figura, A y B son puntos de tangencia, BC=2, CD=1 y CF = 16, Calcule CM. A) 9 B) Cc) 4 F D) 12 E) 8 En un triángulo ABC se traza una circunferencia que pasa por C, es tangente a AB _enBe intersecaenMa ac tal que BC=8, BM=6 y MC=7, Calcule AB. A) 12 B) 11 Cc) 10 D) 9 E) 8 Se tiene una semicireunferencia de diámetro AB y centro O. Tomando como centro B y radio BO se traza una semicircunferencia secante a la anterior, que interseca en F a la prolongación de AB , Por B se traza al radio BM perpendicular a AB . El segmento AM interseca en C al arco OF y en D al arco AB. Si BC =5, calcule CD. A) 24 B) e C) 45 D) 24 D Unidad 8 - Relaciones Métricas 189 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.37 Dos cireunferencias de distinto radio son secantes en B y F, de forma tal que al trazar, por un puwito M de la mayor la secante MEA se verifica que MF = 16 y AF =9; y luego la cuerda AB cuya prolongación interseca en C a la otra circunferencia de modo que los segmentos AB y sc están en la relación de 4 a 3. Calcule CG, siendo G el punto de tangencia de CG en el arco AFB. y =e 1 B) 12.5 2 144 a D) se E) 155 : | 8.38 Enla figura, G es punto de tangencia, ED=5, AB=2 y AG=CD=4, Calcule EF A) 15 B) 3 C) 25 D) 3,5 E) 4 8.39 Enla figura, AB y ac son diámetros. Si AF « FD = 64, calcule FM. A 6 B) 4 Cc) 8 DD 5 E) 9 Unidad 8 - Relaciones Métricas 190 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 8.40 8.41 8,42 En la figura, CG es diámetro de la semicircunferencia y M es punto de tangencia. Calcule GM, si FL=2W43 y CL=6. A) 4 F B) 3 : 6 D) 3WV2 E) 5 . En la figura, O es el centro de la circunferencia, A es punto de tangencia, m 4 NBA =90*, CN=6 y ND= a4/2 . Calcule BC. A) 3,5 BA B) 4 Cc) 2 A D D) 5 45 o E) 2,5 En la figura, O es centro de la circunferencia cuyo radio mide 2, CM = MB. Calcule la longitud de la tangente 56 . A) 342 BY O 2 D) 4.2 E) Si Unidad 8 - Relaciones Métricas 191 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 9 SUPERFICIE PLANA 191 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyriaht CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVOS Al finalizar la unidad el alumno será capaz de: * Tdentificar el área de la región triangular, cuadrangular y circular, * Aplicar diferentes fórmulas para encontrar el área de la región triangular, cuadrangular y circular, * Encontrar las relaciones entre las áreas de diferentes regiones planas. «Resolver problemas sobre áreas relacionadas al triángulo, al cuadrilátero y al circulo. CONTENIDO 9.1 SUPERFICIE Y ÁREA 9.2 ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR 9.2.1 Fórmulas, para el cálculo de áreas 9,2,2 Relaciones de áreas en los triángulos 9.3 ÁREA DE LA REGIÓN CUADRANGULAR 9,31. Fórmulas para el cálculo del área de la región cuadrangular 9.3.2. Relaciones de áreas triangulares que conforman una región cuadrangular 9.4 ÁREA DE LA REGIÓN CIRCULAR 9.4.1 Fórmulas para el cálculo del área de la región circular RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: * Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. « Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo, * Relaciones métricas en la circunferencia, Unidad 9 - Superficie Plana 192 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.1 SUPERFICIE Y ÁREA No se puede dar una definición formal de superficie pues excede largamente el nivel del curso, sin embargo una superficie es un conjunto de puntos que podria pensarse en algunos casos como la deformación de un plano. También, una definición bastante intuitiva es la dada por Euclides: Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura. Existen varios tipos de superficies, siendo las más comunes: la plana, la cilíndrica, la cónica, la esférica, la parabólica, la elíptica, la alabeada, etc. Las figuras geométricas estudiadas hasta el momento son aquellas establecidas en la superficie plana. La superficie plana es aquella definida en dos dimensiones longitudinales: largo y ancho o base y altura o longitud y latitud. Definición 9.1 (de área) El área de una superficie limitada es un mimero real positivo único asociado a la superficie tal que: - El área de la unión de dos superficies disjuntas es la suma de las hreas de las superficies, - Siuna superficie está contenida en otra, entonces su área es menor o igual a la de la otra. Convendremos en tomar como unidad de área un cuadrado cuyos lados miden una unidad de longitud. El será llamado cuadrado unitario. Para determinar la medida de una región plana, ésta se compara con la unidad de área; siendo el resultado de esa comparación un número que representará la cantidad de veces que la región contiene a la unidad de área. El valor del área de una región será representado mediante la letra S. 9,2 ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR 9.2.1 Fórmaolas para el cálculo del área de la región triangular: Fórmula General ms En el triángulo ABC, Fig. 9.1(a), considerando a AB como base, con medida b, y la altura relativa a la base que mide h, por B y C se trazan paralelas a AC y AB, respectivamente, las cuales se intersecan en M. ABMC es un paralelogramo y BC es su diagonal. Los triángulos ABC con CMB son congruentes. R T 5 En el paralelogramo ABMC, por A y M se trazan las perpendiculares a AC y BM respectivamente, las mismas que intersecan a la recta MB y ACenÑ y D, respectivamente, determinando al rectángulo ANMD. Considerando a AD = a y MD = h, para , " calcular el área del rectángulo, se realiza a partir del rectángulo, la siguiente construcción: los cuadrados MPOD y NRSM; y el rectángulo MSTP, resultando el cuadrado ARTO cuya área es (a + h)! El área del 5 A: na y h P cuadrado MPQD es kh? y el del cuadrado m b , NRSM es a”, los rectángulos ANMD y MSTP son congruentes por lo que tienen la misma área, entonces por comparación: E Saxro Suesm + Surgo + Saro + Suerr b ce D e Santo = Sursm + Suroo + 250000 (a+ hb) =23 +1 +28 000 San = 8h. de ca hd Fig. 9.360) Unidad 9 - Superficie Plana 193 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO El área del paralelogramo ABMC se determina a partir del área del rectángulo ANMD, En el rectángulo, AD = (b + m); esto es, a= (b+m) Los triángulos ANB y MDC son congruentes; y realizando una traslación del triángulo AMB, haciendo coincidir A con C y B con M se tiene un rectángulo de área (m h); entonces, el área del rectángulo ANMD, por comparación es: (a h) = Sama + mh, — pero a=b+m, entonces: Samiec= bh. En el paralelogramo ABMC, los triángulos ABC con MCB son congruentes por lo que Same = 25 mc» esto es, (b h) = 25 mc-bb Luego, Samc =$ ca . Entonces, el área de la región triangular es el semiproducto de la longitud de uno de los lados del triángulo, identificado como la base, por la longitud de la altura relativa a ese lado. Comúnmente se expresa como el producto de la base por la altura sobre dos, Fig. 9.1(b). B bxh 5 = área de la región triangular ABC c ú .S b = base . h = altura A Fig. 2.1(b) Area del triángulo — Fórmula general Fórmula de Herón. Relaciona el área con la longitud de los lados del triángulo. El área del triángulo es la raiz cuadrada de los siguientes cuatro factores: el semiperimetro, el semiperimetro menos la longitud del primer lado, el semiperímetro menos la longitud del segundo lado; y el semiperimetro menos la longitud del tercer lado. Fig. 9.2. B 5= /e tp) (pb) ( p-e) p =semiperimetro é a pare 2 A Cc b Fig. 9.2 Área del triángulo — Fórmula de Herón. Unidad 9 - Superficie Plana 194 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Fórmula en función del inradio. El área del triángulo es el producto del semiperimeto por la longitud del radio de la circunferencia inscrita en dicho triángulo. B S=p.r r= radio de la circunferencia inscrita (Inradio) p = semiperimetro Fig. 93 Fórmula en función del circunradio. El área del triángulo es el cociente del producto de las longitudes de los tres lados sobre el cuádruple de la longitud del radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. B R = radio de la circunferencia circunscrita (circunradio) Fig. 9.4 Fórmula en función del exradio, El área del triángulo es el producto de la longitud del radio de la circunferencia exinscrita en dicho triángulo relativa a uno de sus lados, por la diferencia entre el semiperimeto con la longitud del lado al cual la circunferencia es relativa . S= 5 (p-a) r= radio de la circunferencia exinserita relativa al lado a (exradio). Fig. 9.5 Unidad 9 - Superficie Plana 195 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Fórmula trigonométrica. Relaciona el área con dos lados y la función trigonométrica del ángulo que forman dichos lados, El área del triángulo es el semiproducto de las longitudes de dos lados por el valor de la función seno del ángulo interior que forman dichos lados, Fig. 10.6. A c Fig 9.6 Fórmula del triángulo equilátero (en función del lado) El área del iniángulo equilátero es el cociente del producto del cuadrado de la longitud de su lado por la raiz cuadrada de tres sobre cuatro, Fig. 9.7. Fig. 9.7 Área del triángulo equilátero Fórmula del triángulo rectángulo (en función de los catetos) El área del triángulo rectángulo es semiproducto de las longitudes de dos catetos. Fig. 9.8. A 5 = Sto AB x Citeto BC 2 B E Fig. 10.8. Area del triángulo rectángulo ABC Unidad 9 - Superficie Plana 196 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.2.2 Relaciones de áreas en el triángulo. Teorema 9.1 (de la mediana 1) Toda mediana de un triángulo divide B a éste en dos triangulos equivalentes, Recordando, se llaman figuras equivalentes, a aquellas cuyas áreas son iguales. Fig. 9.9. Pero: Saa = Same AABM + ABMC A e Fig. 9.9 Teorema 9.2 ( de la mediana 2) Las tres medianas del triangulo forman en €l, seis triangulos parciales equivalentes; fienen diferente forma, pero igual área. Fig. 9.10 (a). Teorema 9.3 (de la mediana 3) El baricentro unido con los vértices, forma tres triángulos parciales que son, también, equivalentes. Fig. 9.10 (b) baricentro (b) Teorema 9.4 (de la bisectriz) En todo triángulo, la bisectriz interior de un ángulo determina en el triángulo, dos triangulos parciales, cuyas áreas son proporcionales a las medidas de los lados que forman dicho ángulo. Fig. 9.11. Unidad 9 - Superficie Plana 197 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Teorema 9.5 (de la ceviana) La ceviana interna trazada desde un vértice del triángulo, divide a éste en dos triángulos parciales cuyas áreas son proporcionales a las medidas de los segmentos que la ceviana determina en el lado opuesto. Fig. 9.12, B A _ E 5, Si S2 A c Fig. 9.12 Teorema 9.6 (de los puntos medios) Al unir los puntos medios de los tres lados de un triángulo se determinan cuatro triángulos equivalentes, Fig. 9.13. Á a Á c Fig. 9.13 Teorema 9.7 (de la semejanza) Las áreas de dos triángulos semejantes son proporcionales a los cuadrados, de las medidas de sus lados homólogos, o cualquier elemento rectilineo homólogo como: altura, mediana, ete. Fig.9.14. Unidad 9 - Superficie Plana 198 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.3 ÁREA DE LA REGIÓN CUADRANGULAR Las áreas de las regiones cuadrangulares motivo de cálculo, corresponden principalmente a los cuadriláteros estudiados en la unidad 4 unidos a sus regiones interiores, 9.3.1 Fórmulas para el cálculo del área de la región cuadrangular: Los teoremas se enunciarán como fórmulas y se omitirá la palabra región en la designación del área, sólo por conveniencia práctica; asi por ejemplo, el área de la región donde interviene el trapecio como elemento de contorno se enuncia “área del trapecio” en vez de “área de la región trapezoidal”. Fórmula del área del cuadrado Un cuadrado cuyo lado mide un número entero n puede ser descompuesto mediante paralelas a sus lados en n* cuadrados congruentes, cada mo con lado unitario y área 1, por lo tanto el área del cuadrado inicial será m?. Asi mismo, si el lado del cuadrado tiene por medida l/n, con n entero, entonces el cuadrado unitario se descompone mediante paralelas a sus lados en n* congruentes con el cuadrado original. Estos n cuadrados congruentes componen el cuadrado de área 1. por lo que el área del cuadrado original se calcula de: (n*)S= 1, entonces, S=(1/9Y*. También, si el lado del cuadrado mide a, siendo a un número positivo entero, fraccionario, racional o irracional, entonces el área del cuadrado es, S=a?, En conclusión, el área del cuadrado es el producto de sus dos dimensiones ortogonales: largo por ancho o 6 base por altura; pero como éstas corresponden a sus + lados y éstos son congruentes, entonces el área es el L D S=L producto de dos de sus lados, o sea, el lado al p' cuadrado. Fig.9.15. E h 2 L En función de la diagonal D, es la longitud de la diagonal al cuadrado sobre dos, Fig. 9,15 Fig. 9.15. Fórmula del área del rectángulo Es el producto de sus dos dimensiones: largo por ancho o base por altura. Fig. 9,16. b Fig. 9.16. Area del Rectángulo Unidad 9 - Superficie Plana 199 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Fórmula del área del paralelogramo Es el producto de la base, que es la longitud de uno de sus lados, por la longitud de la altura relativa a ese lado. Fig. 9.17. En función de dos lados consecutivos; Y es el producto de las longitudes de esos S=b.h ñ lados por el valor del seno del ángulo que forman. Fig. 9.17. S=a.b. sen a A — y Fig. 9.17: drea del Parolelogramo. Fórmula del área del rombo Es el semiproducto de las longitudesde las diagonales. Fig. 9.18. También, es el producto de la longitud de un lado por la altura. D.4 D: diagonal mayor S= == d: diagonal menor S=LK L: longitud del lado h: altura Fig. 9.18. Área del Rombo. Fórmula del área del trapecio Es el producto de la semisuma de las longitudes de las bases (mediana) por la altura. Fig. 9.19, — ll — a ABRA z h S=m.kb mm: mediana ñ 1 Ú H Í A i 1 H á Fig. 9.19. Area del Trapecio. Fórmula del área de cuadrilátero (fórmula general en función de las diagonales) Es el semiproducto de las longitudes de las diagonales por el valor del seno del ángulo formado por éstas. Fig, 9,20, c AC x BD xao ” A Fig. 9.20. Area de un cuadrilátero. Unidad 9 - Superficie Plana 200 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Fórmula del área del cuadrilátero circunscrito Es el producto del semiperimetro por la longitud del radio de la circunferencia inscrita. Fig. 9.21. ro Inradio Fig. 92] 9.3.2 Relaciones de áreas triangulares que conforman una región cuadrangular. Teorema 9.8 ( paralelogramo 1) Las diagonales del paralelogramo forman cuatro triángulos equivalentes. Fig.9.22 (a). Teorema 9.9 ( paralelogramo 2) El área de la región del triángulo formado por un lado del paralelogramo y la unión de los vertices de ese lado con un punto cualquiera del lado opuesto, es la mitad del área del paralelogramo. Fig. 9.22 (b). papada, EE S 8 S=S, (a) Ñ Fig. 9.27 Teorema 9.10 (trapecio 1) El área del triángulo formado por el punto medio de un lado no paralelo con los vértices del otro lado opuesto, es la mitad del área del trapecio. Fig. 9.23 (a). Teorema 9.11 (trapecio 2) Las diagonales del trapecio forman en el trapecio, cuatro triángulos, de los cuales, aquellos que tienen por lado a los lados no paralelos del trapecio, son equivalentes, siendo el cuadrado del área de uno de ellos igual al producto de las áreas de los otros dos triángulos que tienen por lado a las bases del trapecio. Fig. 9.23 (b). (b) Fig. 9.23 Unidad 9 - Superficie Plana 201 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Teorema 9.12 (cuadrilátero) Los diagonales del cuadrilátero forman cuatro triángulos. El producto de las áreas de los triángulos que tienen como lados a los lados opuestos del cuadrilátero, es igual al producto de las areas de los otros dos. Fig. 9.24, B 51:15:15 S3 xS4 Fig. 9.24 9,4 ÁREA DE REGIONES CIRCULARES La región circular está representada por el circulo o por parte de éste. El circulo es la unión de la circunferencia con su región interior. También, se puede entender al circulo como la región poligonal regular de infinitos lados, 9.4.1 Fórmulas para el cálculo del área de la región circular. Fórmula del área del circulo Es el producto de la longitud del radio de la cireunferencia al cuadrado por el parámetro TT, que es el número irracional cuyo valor aproximado es 3.1416... Fig, 9.25. y 3 S5=1R L,=2nR Fig. 9.25 Fórmula del área del sector circular Sector circular es la parte del círculo determinada por un ángulo central y el arco que subtiende. El área del sector circular se calcula mediante la aplicación de la regla de tres simple; así, si el ángulo del sector circular es 0*, entonces, la parte de área que corresponde a o? del todo que es el circulo de 360*, es el área del círculo por e? sobre 360". Fig. 9.26. A = 4 $= Ro. A pn de B Longitud dearoAB= 27KR = Fig. 9.26 Unidad 9 - Superficie Plana 202 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Fórmula del área del segmento circular Segmento circular es la parte del circulo determinada por una cuerda y el arco que subtiende, El área del segmento circular se calcula por diferencia del área del sector circular que contiene a la cuerda del segmento menos el área del triángulo isósceles formado por los radios del ángulo o* del sector circular y la cuerda. Fig. 9.27. y E R* -——50nd 360* 2 S5=.R Fig. 9.37 Fórmula del área de la corona circular Corona circular es la parte del circulo comprendida entre la circunferencia del circulo y la circunferencia concéntrica de menor radio. El área de la corona circular se calcula por diferencia entre el área del circulo de mayor radio (R) con el área del circulo concéntrico de menor radio (r). Fig. 9.28. Si en la corona circular se identifica una cuerda del circulo mayor que es tangente al círculo menor, entonces, el área de la corona circular es el producto del parámetro x por la mitad de la longitud de la cuerda al cuadrado, Fig. 9.28 Fig. 9.28 Unidad 9 - Superficie Plana 203 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN Área de la región triangular Formula General: S = ta 2 Fórmula de Herón: S= ale (p-a)íp-b)(p-0) Fórmula en función del inradio: S =p x abe 4 E Fórmula en función del circunradio: S = Fórmula en función del exradio: S= T, (p-a) e : . JUE ax Fórmula trigonométrica: S= sena 2 1 Del triángulo equilátero: S = L E Área de la región cuadrangular Área del cuadrado: $ =12 Area del rectángulo: S=a .b Área del paralelogramo: S=b.h; S=a.b sena Area del rombo: S= e Área del trapecio: s= pz AC zx Bea a Fórmula general del cuadrilátero en función de las diagonales: $ = , Área del cuadrilátero circunscrito: S =p .1 Área de regiones circulares Área del circulo: S = 1 R? Área del sector circular: 5 «ur? e Área del segmento circular: sn a wm. 2 Área de la corona circular: S =x (RÍ—1) Unidad 9 - Superficie Plana 204 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.1 9,2 EJERCICIOS RESUELTOS Exterior a un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se constuye el cuadrado ACMI Se traza la altura BL , cuya prolongación interseca en Da im .Si AB = 6, calcule el área de la región rectangular ALDI B Solución: y La figura representa al problema, alí h 6 Ent, ABC: 6*=(w)iz) (relaciones métricas) ts Se pide: Same = (w)(z) = 36 w 1 M D En la altura AH del triángulo ABC, se ubica el punto R. Las prolongaciones de los segmentos AR y CR intersecan en M y Q a BC y AB, respectivamente. Los segmentos QI y ML son perpendiculares a pa en L e L respectivamente, Si (ACXLI) = 36, calcule la diferencia entre las áreas de las regiones triangulares MEC y AQR. Solución: a La figura representa al problema. Sanc = San + Sure = EE o. (1) L Q 1 Sagc=Sarc+ Sar = EZ pa - (1-0) Á c Sac=Sa= 25.24 H 2 9.3. En un triángulo ABC los puntos M y R pertenecen a los lados Bc y Ac respectivamente. Si BM=3,MC=35 y CR=6 y el triángulo MRC con el cuadrilátero ABMR son equivalentes, calcule AR. Solución: La figura representa al problema. (6 + 108) 5 28 S sen 1 $. PA, d e > de donde: x = 3/2 Unidad 9 - Superficie Plana 205 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.4 En una semicircunferencia de centro Q y radio 6, se inscriben las circunferencias de centros M y L, las mismas que son tangentes exteriores entre si y tangentes al diámetro de la semicircunferencia. Calcule el área del triánguloQML, si su inradio mide 1,5. Solución: La figura representa al problema. En A QML: 2p=6-T+6-2+1+Z entonces: p =6 Se sabe que en función del inradio el área es: Soya = P(1.5) = 6(1,5) luego: Sua = 9 9.5 Enlasemicircunferencia de centro Q y de diámetro Ab . el radio QM es perpendicular a AB. El segmento BP es tangente a la semicircunferencia, PQ interseca en D al arco BM y la longitud del arco BM es igual a la de mp . Si el área del sector circular MOD es 6x , calcule el área del triángulo mixtiliíneo BPD. Solución: La figura representa al problema. y Sea E el radio de la semicircunferencia, entonces: nr? M (1) D 4 Ss, AR HR 5 E (Ex e? luego: S:+5,= ———». cd A B ego: S¿+S, z z (2) a de (1) y (2): S, =S¡=6x 5 + S,= por dato: BP= 96 En un trapecio ABCD, de base menor Be, M y R son los puntos medios de AB yCD, respectivamente, Calcule el área de la región triangular MCR, si el área del trapecio ABCD es 24, Solución: La figura representa al problema, Por propiedad del trapecio: Sam= Sama c(D > pero como MA es mediana del triángulo CMD, entonces: Soga = Sou. = $; por lo que: Som = 2 S, reemplazando en (1): 25,= entonces: 5, = 6 12 E S Unidad 9 - Superficie Plana 206 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.7 9.3 9.9 En un triángulo ABC se identifica el punto R en ac tal que BC = 4 BR. El punto M está en la ceviana interior ar de modo que AM =3 MR. Si el área de la región triangular AMC es 12, calcule el área de la región triangular BAR. Solución: La figura representa al problema. Por relación de áreas: 51 _— 4 por propiedad: —=—= 1 + 5, 3r de donde: S, = Lcd 3 En una circunferencia las cuerdas AE y ME se intersecan en P de modo que PB=2 y PM=3. Si el área de la región triangular BPR es 5, halle le área de la región triangular AMP en función de S. Solución: La figura representa al problema, a AMP-aA BPR entonces por propiedad de la semejanza de áreas: 5 y aa y 5 q? luego: — 95 += En un romboide ABCD, M y R son los puntos medios de los lados AD y CD. respectivamente; P es el punto de intersección de AR y CM . Si el área de la región triangular DPR es 2, calcule el área de la región del romboide. Solución: La figura representa al problema. B € Sea S, el área buscada, / entonces: S, = 2 Sanc .--(1) en A ADC: P es el baricentro FRA) luego por propiedad de las medianas: A D Sanc=6 (2) =12 Reemplazando en (1): S,=2(12)=24 Unidad 9 - Superficie Plana 207 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 3.10 En una circunferencia de radio 2, los puntos consecutivos A, B y € se ubican en ella, tal que los arcos AB y BC miden 60* cada uno. Calcule el área de la región limitada por: las cuerdas AB, ac yelarco BC (triángulo mixtilíneo CAB). Solución: La figura representa al problema. Sea P el punto de intersección del radio Qu y la cuerda AC y Sea 5, el área buscada, entonces: S, =8/ +8... (1) luego, por ángulo central: m ./ BQC =60* Como A ABQ es equilátero, m « BQA =60* Por lo tanto: AB // Qe Entonces en el rombo ABCQ: S¡=$Sy 20) 60 *) _ 2 3 Reemplazando en (1): S, =S3,+ 5, = 9.11 En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, el punto M está en la semicircunferencia y C está en on de modo que CM =4 y es perpendicular al diámetro. Tomando como centro C y radio cM se traza un arco de circunferencia que interseca en O a AB. Calcule el área de la región limitada por los arcos AM y OM y el radio OA . Solución: La figura representa al problema. En Á4MCO (45%45%): CM =0C =4 Entonces: OM =0A =44/2 De la figura: 5. = $ sector ao — 51 Entonces: 8, = 2442059 Paco? xo] , 360 * [4 2] Por lo tanto: S, = 8 (1 +1) 9.12 En un triángulo ABC se toman los puntos M y P en AB (AM > AP) y por ellos se trazan paralelas a ac que intersecan a BC enR yO. respectivamente, y resulta que estas paralelas dividen al triángulo en tres regiones equivalentes. Si AC = 6, calcule MR. Solución: La figura representa al problema. A ABC —Aa MBR Ss Me 35 a de donde MR =2-/3 Unidad 9 - Superficie Plana 208 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.13 9.14 9.15 Un octógono regular y un dodecágono regular se encuentran inscritos en una misma circunferencia. Halle la relación en que están sus áreas. Solución: La figura representa al problema. (e). r) sendas” EA Ml $ 3 - 2f SNA nie ipan 10 (1). risen30" 3 - 2 - En un paralelogramo ABCD cuya área es 24, los puntos M y R estánen ap de modo que AM = MR = RD. Si L es punto medio de mm , calcule el área de la región pentagonal RABCL. Solución: É é La figura representa al problema. | _ 7) En el trapecio BMDC: Sep = 50 (propiedad) la Entonces: San =251 +8, A De la figura: Saarp=65,+25,= 24 Entonces: 3 S, +5, 12 De la figura: Span = 3 S1 + 8:=12 En una corona circular de centro Q, la prolongación del diámetro (AB del círculo menor interseca en C a la circunferencia mayor. Por B se traza una perpendicular a ab y en ella se ubica el punto M, interior a la corona, tal que m 4 AMC = 90%, Si MC =44/ , calcule el área de la corona, Solución: La figura representa al problema. S=: (BP) ...(1) End AMC: (44/2 Y =(R+1) (R=-1) Luego: (R+1)(R=-=R?-1r?*=32 Reemplazando en (1): s=32 Unidad 9 - Superficie Plana 209 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.1 9.2 9.3 9.4 EJERCICIOS PROPUESTOS Exterior a un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se construye el triángulo equilátero BMC. Calcule el área de la región triangular ABM, si AB=5 y AC = 13. A) 1 B) 20 C) 15 D) 18 E) 16 Se tiene un hexágono regular que se encuentra inscrito en una circunferencia de radio 4. Calcule el área de dicha región hexagonal. A) 164% B) 184% C) 2445 D) 20465 E) 1245 Calcule el área de la región triangular correspondiente a un triángulo equilátero, si el área de la región circular inscrita en dicho triángulo es 4... A) 64h B) 84% C) 104% D) 12.4% E) 44 Los radios de dos circunferencias tangentes exteriores miden 1 y 3. Calcule el área del triángulo isósceles circunscrito a las dos circunferencias. A) 50 B) ” a C) 40 D) 27 E) 21. Unidad 9 - Superficie Plana 210 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.5 96 9.7 9.8 En la figura, AR= BR y Al= 6. Halle el área de la región hangular sombreada. B A) 12 B) 18 Cc) 15 MM D) 16 E) 20 A O c 1 R En un triángulo rectángulo ABC los exradios relativos a los catetos miden 3 y 4. Calcule el área de la región ABC. A 6 B) 8 Le D) 10 E) 12 En un cuadrado ABCD, tomando como diámetro a cb se construye exteriormente ula semicircunferencia. Si M es un punto de la semicircanferencia en donde DM = 12cm, halle el área de la región triangular AMD, A) 48cm! B) 54 cm O a D) 60 cm? E) 66 cm En un triángulo ABC, la altura y la mediana relativa al lado AC trisecan al ángulo ABC. Calcule el área de la región triangular ABC, si AC = 12, A) 12.4% B) 18 Cc) 1845 D) 15 E) 154% Unidad 9 - Superficie Plana 21 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.9 — Las medianas de un triángulo ABC miden9, 12 y 15. Calcule el área de la región tniangular ABC. A) 60 B) 66 O nm D) 78 E) 84 5.10 En la figura, B es punto medio del arco AC; AC= 16 y el radio de la circunferencia mide 10. Calcule el área de la región triangular ABC. A) 16 B B) 32 0) 64 D) 18 E) 30 Ed 9.11 En un triángulo rectángulo ABC el inradio mide 4 y el exradio relativo a la hipotenusa mide 10. Calcule el área de la región ABC. A) 20 B) 30 C) 40 D) 60 E) 80 9.12 Enun triángulo ABC, m Z ABC = 90%, la circunferencia inscrita es tangente en Ma Ac . Si AM =4 y CM =9, calcule el área de la región triangular ABC. AJ 45 B) 30 C) 36 D) 40 E) 60 Unidad 9 - Superficie Plana 212 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.13 Exteriormentea un triángulo ABC se construyen los cuadrados ABPO y BMNC. Si el área de la región triangular ABC es 36, calcule el área de la región triangular PBM. A) B) C) D) E) 30 18 36 27 24 9.14 Se tiene el triángulo ABC en el cual m 4 BAC =37* y m 4 BCA =45". En el lado Bc se ubica el punto M tal que CM = 2 BM. Calcule el área de la región triangular ABM, si AB = 10. A) B) C) D) E) 10 12 14 16 13 5.15 En un romboide ABCD, M, I y L son los puntos medios de BC, AM y DM, respectivamente. 51 G es el baricentro del triángulo AMD, calcule el área de la región triangular IGL, si el área de la región cuadrangular ABCD es 96. A) B) C) D) E) 10 Lh 0 0 ww 9.16 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura 6H y luego 5€ trazan HM y HN perpendiculares a los catetos AB y BC respectivamente. Calcule el área del triángulo ABC, si las áreas de las regiones triangulares AMH y HNC son 4 y 9, respectivamente. A) B) C) D) E) 25 16 36 24 20 Unidad 9 - Superficie Plana 213 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.17 9.18 9.19 9.20 En un cuadrado ABCD, el circulo inscrito es tangente en M a AD . En la prolongación de pc se toma el punto R. Halle la relación en que están el área del circulo y de la región triangular MKD. A) 1 B) 2 O a D 22 E) 2:83 En ima circunferencia de centro O se trazan los diámetros perpendiculares AB y FG ysetoma L, punto medio de la cuerda AG . Los segmentos AO Y FL se intersecan en M. Calcule la relación en que están las ¿áreas de la región triangular AMIL. y de la región limitada por el cuadrilátero GLMIO. Ay 1/5 B) 33 O 12 D) 3/4 E) 1/4 En un triángulo ABC se ubica un punto Den BC. DEVAC (E en AB), DFYBA (F en AC), Si las áreas de las regiones BDE y CDF miden 25 y 36, calcule el área de la región ABC. A) 115 B) 116 Cc) 118 D 11 E) 144 Dos medianas de un triángulo miden 2lcm y 24cm, las mismas se intersecan perpendiculanmente. Calcule el área de la región triangular. A) 336cwP B) 352 cm? C) 254cmP D) 324 cm* E) 278cm* Unidad 9 - Superficie Plana 214 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.21 9.27 9,13 9.24 C I C En la figura, A y B son centros, las circunferencias son tangentes y co esla tangente común exterior. Si el área del triángulo CED es 6, entonces, el área de la región triangular AEB (sombreada) serd: A) B) C) D) E) MD b h A - 3 6 0 0 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, Res un punto de ac . Por R se trazan RF y RM perpendiculares a AB y BC, respectivamente, Calcule el área de la región rectangular FBMR. si AF=4 y CM=10. A) 30 B) 40 O 80 D) 60 E) 50 Calcule el área de la región limitada por un trapecio en el cual las diagonales miden 6 y 3 y son perpendiculares entre si. A) 18 B) 20 oO 32 D) 24 E) 30 En un triángulo ABC, m <ABC = 45% — Tomando como diámetro AC se traza una semicircunferencia que interseca en M y R a los lados AB y BC, respectivamente, Si el área de la región triangular ABC es 48, calcule el área de la región cuadrangular AMRC. 24 32 28 30 36 Unidad 9 - Superficie Plana 215 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.25 Enun trapecio ABCD (BC//AD). BE/CD, CEBA (E y F están en AD). BE y CF se cortan en O. Si las áreas de las regiones triangulares BOC y EOF son 9 y 4 respectivamente, calcule el área de la región ABCD. A) 25 B) 42 O) 50 D) 55 E) 59 9.26 En la figura, ABCD es un paralelogramo; AB / MR y BCN FG. Si el área de la región cuadrangular AFLR es 48, halle el área de la región sombreada. B M A) B) 2) 24 32 48 D) 16 A D E) 30 mer 9.27 En un triángulo rectángulo ABC, sobre la hipotenusa AC se construye exteriormente el cuadrado ACDE con centro en O. Si BO =4, calcule el área del cuadrilátero ABCO. A) B) 2) D) E 12 0 3) Q i a 9.28 Enla figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide “a”. Si AE= BF =CG=DH = a/3, calcule el área de la región sombreada en función de a, Ay” i B F Cc BB ” ay * m >” E El E Unidad 9 - Superficie Plana 216 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.29 9.30 9.31 9.32 En la figura, ABCD es un trapecio, BC =6, AD = 12 y BH = 4. Si MG es la mediana del trapecio, calcule el área de la región sombreada. A) 3 B B) 10 0) 6 M D 12 E) 9 A En la figura, ABCD es un paralelogramo y las áreas de las regiones sombreadas 51. S: y S, miden 3, 5 y 6, respectivamente. Calcule el área de S. Ñ PS=4om Is [7 E) 16 Se tiene el trapezoide ABCD en el cual AB=2, BC =3, CD=8 y AD=7. Las bisectrices de los ángulos ABC y BCD se intersecan en M y la distancia de Ma (AD es w. Calcule el área de la región limitada por el trapezoide en función de w. A) 9w Bj) Sw E) 10w Dj) Sw E) 6w Por un punto M exterior a una círculo de centro O, se trazan las tangentes MA y MB . SiMA=9 y m < AMB = 60", halle el área del sector circular de centro O y cuyo arco, es el menor arco AB. Aj 122 B) 181 C) 9 D) 241 E) 6n Unidad 9 - Superficie Plana 217 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9,33 En un rectángulo ABCD, tomando como diámetro pc se traza una semicireunferencia que es tangente en L a AD y tomando como centro B y como radio AB se traza un arco de circunferencia que interseca en F a la semicircunferencia y en Ma Bc , Calcule el área del segmento circular cuya cuerda es ME si la longitud del arco CF es 4x. A) 3Qx-34h) B) 22-34 C) 2x- fa D) 2n- A E) 3Qx-34/5) 9.34 En un rombo, las longitudes de las diagonales están en la relación de 2 a 3 y el área es 48. Calcule el área del círculo que está inscrito en dicho rombo. 14 n 13 14 zx 13 C) 144 13 144 1 13 14 A) B) D) E) 9.35 En una semicircunferencia de diámetro AB = 12, (AL es una cuerda cuyo punto medio es M. Calcule el área de la región limitada por el triángulo mixtilíneo BML sim BAL= 182, A) 4n B) 121 /5 C) 151 /4 D) 161 /3 E) 181 /5 9.36 Se tiene un semicirculo de diámetro Am y de centro O. Por O se traza el radio 00 perpendicular a AB, siendo C el punto medio de la cuerda BG. La prolongación de Ac interseca en M a la semicircunferencia de forma que CM = 2. Calcule el área de la región limitada por el arco AQ y los segmentos AC y CQ. A) 8n B) 121 C) 145 D) 16n E) 101 Unidad 9 - Superficie Plana 218 Prohibida su reproduccióntotal o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 59.37 Siel área de un sector circular de 60* es 5, calcule el área del círculo inscrito en función de $. A) s:3 B) S/2 O) 28/3 D) 38/4 E) 58/9 9.38 En la figura, las circunferencias tangentes son congruentes de radio 3. Calcule el área de la región sombreada, A) 36-3m B) 36-61 C) 9-3n D) 36-9n E) 12-3x 9.39 En la figura, AOB es un sector circular de 60* y radio 6. Si OC es bisectriz del ángulo AOB, calcule el área de la región sombreada. Aj T B) 2n C) 3n D) 41-3 34503 2 o B Unidad 9 - Superficie Plana 219 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9.40 En la figura, las circunferencias son concéntricas, con centro en O; la cuerda AB es tangente a la menor circunferencia. Si los radios miden 1m y 21m, respectivamente, calcule el área de la región sombreada. A) Sn+liam? Cc) La fm? D) 2 + bm he pu r E) 3n+af3m? 9.41 En la figura, A y B son los centros de las circunferencias y el radio mide 2. Calcule el área de la región sombreada. A) m-2 Cc B) x-1 CO +1 m = Unidad 9 - Superficie Plana 220 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 10 GEOMETRÍA DEL ESPACIO Unidad 10 - Geometría del Espacio 220 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVOS: Al finalizar la unidad el alumno será capaz de: Tener un concepto mas claro de la figura geométrica en el espacio. Entender qué es un sólido geométrico. Explicar qué es un poliedro regular. Calcular las áreas laterales, totales y volúmenes del prisma, cilindro, pirámide y cono. Calcular el área y el volumen de una esfera, Resolver problemas sobre sólidos geométricos. CONTENIDO: 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 GEOMETRÍA DEL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 11.21 Determinación del plano 11.22 Posiciones relativas en el espacio SÓLIDOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS REGULARES PRISMA CILINDRO DE REVOLUCIÓN PIRÁMIDE CONO DE REVOLUCIÓN ESFERA RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: Conceptos de geometría plana, Unidad 10 - Geometría del Espacio 221 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.1 GEOMETRÍA DEL ESPACIO La geometria del espacio. llamada también estereometría o geometria de las tres dimensiones, tiene por objeto el estudio de las propiedades de las figuras sólidas o del espacio, es decir, de las figuras cuyos puntos pertenecen al espacio tridimensional, como por ejemplo, el cubo, el cilindro, la esfera, etc. Siendo la geometría del espacio una extensión o generalización de la geometría plana, sus propiedades resultan ser una consecuencia lógica de los postulados y teoremas de la geometria plana y de nuevos postulados necesarios, 10.2 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO El espacio esta compuesto por infinitos puntos, o infinitas rectas o infinitos planos, Por dos puntos del espacio pasa únicamente una sola recta. Por un punto pasan infinitas rectas y, también, infinitos planos. Todo plano divide al espacio en dos regiones denominadas semiespacios y los puntos del plano pertenecen a cada semiespacio. Dos puntos que no pertenecen al plano pero se ubican, cada no en semiespacios distintos, determinan un segmento de recta que interseca al plano. Determinación del plano Un plano queda perfectamente definido cuando se cumple cualquiera de las siguientes situaciones: Mediante tres puntos no colineales, Fig, 10.1, Por una recta y un punto exterior a ella. Fig. 10.2. Por dos rectas secantes. Fig. 10,3. | | Por dos rectas paralelas, Fig. 10.4. 0 Unidad 10 - Geometría del Espacio 222 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.2.1 Posiciones relativas en el espacio 10.2.1.1 Dos planos Paralelos. Son cuando no tienen ningún punto en común, Establecen dos espacios, uno interior que es aquel entre los planos y otro exterior. Secantes. Son cuando tienen una recta común, a la cual se le denomina traza. Dos planos secantes fonnan el ángulo diedro (ángulo sólido) compuesto por la traza y los dos semiplanos correspondientes a cada plano. La medida del ángulo diedro es la medida del ángulo plano formado por un plano perpendicular a los dos planos (diedros) del ángulo diedro. Fig, 10.5 Traza DS NAT Fig. 10.5 10,2.1,2 Recta y plano Paralelos. Son cuando no tienen algún punto común. Si la recta es paralela a una recta del plano, entonces, es también paralela al plano. Secantes. Son cuando tienen sólo un punto común, denominado de perforación o de corte. Se define como el ángulo que forma una recta con un plano, al ángulo donde el vértice es el punto de perforación y sus lados es la recta y la traza del plano que contiene a la recia y es perpendicular al plano. Fig. 10.6 Fig. 10.6 10,2.1.3 Recta contenida en el plano Se dice que una recta está contenida o pertenece a un plano, si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: - pasa por dos puntos del plano - pasa por un punto del plano y es paralela a una recta del plano Un plano esta compuesto por infinitas rectas, las cuales pueden ser paralelas, secantes en un punto del plano (formando un haz de rectas) o ser intersecantes en diferentes puntos del plano, Unidad 10 - Geometría del Espacio 223 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10,2.1.4 Dos rectas Paralelas. Son cuando no se intersecan y pertenecen a un mismo plano. Secantes. Son cuando pertenecen a un plano y tienen sólo un punto común. Cruzadas o alabeadas. Son cuando no cumplen la condición de paralelas o secantes. Pertenecen a distintos planos y no tienen algún punto común. Fig. 10.7. hL, E L,e plano ABB'A” A > £ L,e plano DCC'D' Bl 8 | p Fig. 10.7, Rectas cruzadas 10.2,1.5 Recta y plano perpendiculares Son recta y plano secantes; con la condición de que la E recta es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de perforación. A éste punto de ¿O A A perforación se llama pie de la perpendicular, Fig. 10,8 10.2.1.6 Proyección de un punto sobre un plano : La proyección ortogonal de un punto exterior a un ] plano, sobre ese plano es el punto de perforación de una recta que pasa por el punto y es perpendicular al n= >». Y plano, con el mismo plano. Fig. 10.9 10.2,1,7 Proyección de un segmento sobre un plano E" La proyección ortogonal de un segmento sobre un Da ' plano es el segmento que une las proyecciones de los ; ; extremos del segmento en el plano. Fig. 10.10 LX Y Fig. 10.10 Teorema 10.1 (de las tres perpendiculares) Si desde el pie de la perpendicular de una recta a un plano, setraza ¡ma recta perpendicular a una recta contenida en el plano, entonces, toda recta que pasa por un punto cualquiera de la recta inicial (perpendicular al plano) y por el punto de intersección de las des últimas, es también perpendicular a la recta del plano, Fig. 10.11. En la fig. 10.11: L l plano P, O es pie de la L. s EP. yom L s luego, Am L s , A TML $ y cualquier punto de L unido con Mserá Ls. ” $ 2 2 2 = = Fig. 10.11 Unidad 10 - Geometríadel Espacio 224 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.3 10.4 SÓLIDO GEOMÉTRICO Se llama sólido geométrico a la figura que encierra cierta región del espacio mediante superficies. Estudiaremos dos tipos de sólidos: poliedros y sólidos de revolución. POLIEDROS: Se llama POLIEDRO al sólido formado por la intersección de cuatro o más poligonos planos no coplanares (que no están en un mismo plano) a los cuales se les llama caras, Los lados de estos poligonos reciben el nombre de aristas del poliedro. 10.3.1 Clasificación 10.3.1.1 Porsu número de caras: De4 caras : TETRAEDRO De lO caras : DECAEDRO Des5 caras: PENTAEDRO De 12 caras: DODECAEDRO Deó caras: HEXAEDRO De 15 caras: PENTADECAEDRO De7 caras : HEPTAEDRO De 20 caras : ICOSAEDRO De$ caras : OCTAEDRO POLIEDRO DE n CARAS. De9caras : NONAEDRO Siendo 1 N* de caras del poliedro. 10.3.1.2 Por su forma: 11.3.1.2.1 Poliedro convexo Cuando una recta secante intercepta a su superficie en sólo dos puntos. Fig. 10.12 En este tipo de poliedros se cumple el Teorema de Euler, que dice: Teorema 10.2 : El número de caras ( E) más el múmero de vértices (V) es igual al número de aristas (A) más 2. C+V=A+2 11.3.1.2,2 Poliedro no convexo: Cuando una recta secante interseca a la superficie del poliedro en más de dos puntos, POLIEDROS REGULARES Son aquellos poliedros cuyas caras son regiones poligonales regulares y congruentes, y CUyos ángulos sólidos también son congruentes. De acuerdo a esto, sólo existen 5 poliedros regulares que son: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, de los cuales, describiremos en especial a los tres primeros, Unidad 10 - Geometría del Espacio 225 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros UNALM TU INGRESO ES DIRECTO 10.4,1 Tetracdro regular Esta formado por cuatro triángulos equiláteros. C=4 V=4 A4A=6 Sia es la longitud de su arista, entonces: Altura; Area Lateral Area Total: Volumen: «de 3 h= 10.4.2 Hexaedro regular o cubo Está formado por seis cuadrados. C=6 V =8 Si aes la longitud de su arista, entonces: Diagonal: Area Total: Volumen: D=a 5 Sr =64 10.4.3 Octaedro regular Está formado por ocho triángulos equiláteros. A =12 C=8 Si a esla longitud de su arista, entonces: Diagonal: Area Total: Volumen: V=6 D= ah Sr =24 «fa ya E 3 D Unidad 10 - Geometría del Espacio 226 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.4.4 Dodecaedro e icosacdro regulares AD Bs 2 10.5 PRISMA Es el poliedro que tiene 2 caras llamadas bases, que son regiones limitadas por poligonos paralelos y congruentes: las otras caras del prisma son regiones limitadas por paralelogramos y se les llama caras laterales. Estas caras laterales se intersecan unas con otras en segmentos paralelos y congruentes entre sí, a los cuales se les llama aristas laterales. La altura del prisma es la distancia entre las bases, en el caso del prisma recto la longitud de la arista lateral es la altura del prisma. Los prismas se clasifican: por el poligono de la base; en triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal: etc. También en regular o irregular, atendiendo a la clase de polígono de la base; y finalmente en recto, cuando las aristas laterales son perpendiculares a las bases y oblicuo cuando las aristas laterales no son perpendiculares a las bases. 10.5.1 Prisma recto: Fórmulas P»= perímetro de la base Altura Area Total: 9os B =área de la base Volumen: WV=Bxh Fig I04P 10.5.2 Paralelepipedo Es el prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas, se clasifican en: Paralelepipedo rectangular, Se llama también ortoedro o rectoedro, es el paralelepipedo cuyas caras son rectángulos. B c a $3 2 | : Diagonal: D=sSrbre | A 5 le Area Total: — |S,=2 (ab+bc+ac) ' D A Volumen: V=abc a o : E a H Fig. 10.18 Unidad 10 - Geometría del Espacio 227 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Cubo. Es el Paralelepipedo cuyas caras son cuadrados. Romboedro. Es el paralelepipedo cuyas caras son rombos. 10.6 CILINDRO DE REVOLUCIÓN Es el sólido geométrico, obtenido al hacer girar 360% un rectángulo, alrededor de uno de sus lados, el cual es considerado como eje de giro; el lado opuesto, que es el que gira, se denomina generatriz (g). Sus bases son un par de circulos y el desarrollo de su superficie lateral es una región rectangular que ' tiene como uno de sus lados a la generatriz del Cb cilindro mientras que el otro tiene por longitud, la longitud de la circunferencia de la base del E cilindro. a La altura del cilindro de revolución es la distancia di que hay entre sus bases y es de igual longitud que Ñ su generatriz. E E Altura Desarrollo de la superficie lateral E Fig, 10.19 “10 Área lateral | S=2n18 Donde: S. : superficie lateral Sr : superficie total FÓRMULAS | Áreatotal | Sp=2mr(r+g) r : radio de la base E: generatriz Volumen V=anf"h bh : altura 10.7 PIRÁMIDE Es el poliedro que tiene como base, un poligono y cuyas caras laterales son triángulos que tienen un vértice común, el cual es considerado el vértice de la pirámide. Se llama altura de la pirámide, a la distancia del vértice al plano que contiene a la base, El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura, Se clasifica según el número de lados de la base en: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc., según ésta sea respectivamente, triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.: y, según la forma del poligono base en regulares e irregulares. Unidad 10 - Geometría del Espacio 228 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.7.1 Pirámide regular Es aquella que tiene como base un polígono regular mientras que sus caras laterales son triángulos isósceles congruentes, razón por la cual, todas sus aristas laterales tienen igual longitud. Se llama apotema de la pirámide regular, a la distancia del vértice a cualquiera de las aristas de la base (arista básica), La aliura de la pirámide regular es perpendicular a la base en el centro de gravedad de ésta. O Fig. 10.20 Área lateral | S¡=p.a, p = semiperimetro de la base FORMULAS | Áreatotal | Sr=p(ap)+B y SS ii Volumen y=Í2 B = área de la base 10.7.2 Pirámides semejantes Cuando una pirámide es intersecada por un plano paralelo a su base, se forma en la parte superior, una pirámide pequeña llamada deficiente, la cual es semejante a la original, Entre ambas pirámides se cumplen las siguientes propiedades de semejanza. Fig. 11.20: Las aristas laterales, básicas y alturas correspondientes, respectivamente, son proporcionales. Las áreas totales, las laterales y las de las caras son entre si, como el cuadrado de la relación en que están los elementos homólogos. Los: volúmenes son entre sí como el cubo de la relación en que están los elementos homólogos. Bn, br um Va , ——» k Vr . Fig, 10.31 Unidad 10 - Geometría del Espacio 229 Prohibida su reproducción total o parcialsin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.8 CONO DE REVOLUCIÓN Es el sólido obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo una vuelta completa, alrededor de un eje que contiene a uno de los catetos. Este cateto es considerado la altura (h) del cono. La base es un círculo, cuyo radio (r) es el otro cateto que giró 360%. La hipotenusa al girar genera una superficie denominada superficie lateral del cono; por eso, a la hipotenusa se le lama generatriz (g) del cono y es también, el segmento que une el vértice con un punto de la circunferencia de la base, de QQ Fig.10.22 Área lateral = Ei r = radio de la base Áreatotal | Sr=rur(r+ £ = generatriz FORMULAS r=nr(r+g) A Volumen V=2arh 10.8.1 Desarrollo de la superficie lateral. El desarrollo de la superficie lateral, que significa cortar la superficie lateral por una generatriz y extenderla (desarrollarla) sobre un plano, es un sector circular que tiene como radio la generatriz del cono y como arco la longitud de la circunferencia de la base del cono, Si =x:1= we. a Es 7 o 2 Fig, 10.23 Unidad 10 - Geometría del Espacio 230 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.9 ESFERA Es el sólido obtenido al girar 360% un semicirculo en torno a un eje que contiene a su diámetro. El radio y el diámetro del circulo lo son también de la esfera: y, el arco de la semi- circunferencia al girar forma una superficie llamada superficie de la esfera, cuya medida es el A DD ss AS Je Circunferencia menor Circunferencia mayor área total. á 7 € Semicirculo generalriz Fig. 10.24 Área total S=41R?* FORMULAS 4 Volumen Y= a] n E R =radio de la esfera Unidad 10 - Geometría del Espacio 231 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN Teorema de Ender: TC + V=A38%+2 id 3 Tetracdro regular: ==; 5. = mio Ss=-=Y*..fB; y. Hexaedro regular: D=a 3; Si=44*; S=6%; —V= e 3 Octaedro regular: D=a 4/2; Si =24 3; V=2 da 3 Prisma: 5. =p Xxa, $7 = 85,+2B; V=Bxh Paralelepipedo: — Di=a44 + be: S.=2(ab+bc+aci; V=abc Cilindro: S._=208: Sr=2ar(r+g); V=nfh menea B.h Pirámide: S. =p. S=p(a,)+B; MS Cono: S.=1g, Sj=nr5(r+g) V= ar h Esfera: S=41R?; V==aR?. Unidad 10 - Geometría del Espacio 232 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.1 10.2 10.3 10.4 EJERCICIOS RESUELTOS Se tiene un segmento AB que mide 6 m, y las distancias de sus extremos a un plano, se diferencian en 4m. Calcule la longitud de la proyección del segmento sobre el plano. Solución: La figura representa al problema. En A AMB, por Pitágoras: x*=8 4? x= 2/5 Se tiene un cuadrado ABCD y un triángulo rectángulo isósceles AFB (AF = FB), contenidos en planos perpendiculares. Si: AB = 12, calcule la distancia entre el centro del cuadrado y el centro del triángulo, Solución: La figura representa al problema. Enel h AFB: AM= MB = FM =6 FG =2GM GM=2 BGMO: x*=2+ 6 X=2,/10 Se tiene un rectángulo ABCD; exteriormente al plano del rectángulo se toma el punto “0” tal que; OB= 6m, OC = (51 m, OD=8m. Calcule OA. Solución: La figura representa al problema. Por T. de la mediana: 1 En AAOC: x+51=2m*+ — mp? 2 En ABOD:64+8*=2m' + Solucionando el sistema AC=BD— x%+51=6! +8? x=? Identifique el nombre del poliedro convexo que tiene 30 aristas y 12 vértices. Solución: Datos: [A=30 V=12 Por Teorema de Euler C+V=A>3+2 ¿0+12=30 +2 Luego: =20 Entonces se trata de un ICOSAEDRO. Unidad 10 - Geometría del Espacio 233 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros 10.5 10.6 10.7 TU INGRESO ES DIRECTO Sila altura de un tetraedro regular mide 4m, calcule área total. Solución: S=2a4 3 :h= e 4= an —¿= + en Sí : S1=24.f3 En un tetraedro, cuya arista es “a”, calcule la distancia del centro de una de sus caras a cualquiera de las otras tres caras. Solución: La figura representa al problema, Bb. GFM -s AHM ESE == ms E na 3 Pero: h = 74 A 41 (2) Entonces; x = 76 Si el volumen del hexaedro mostrado en la figura es 64 m?, calcule el área del triángulo AMN, siendo A un vértice y M con N, puntos medios de las aristas. Á Solución: Volumen: V= a? Por dato al =64— a=4 En a MGN: MQ=0QG= +/2 > EG = 4.2 + EQ=3./2 : En [1 AEQ por T.Pitágoras: ' AQ? <a (3/2) 4 AQ= hs ce F : 1 ar Ju Entonces, Sus = ; Sao + 207 Unidad 10 - Geometría del Espacio 234 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10,8 El volumen de un cubo es igual a la diagonal del sólido multiplicado por una cantidad. Calcule esa cantidad. Solución: Vol e acciones (1) Diagonal: D=a.f3 — 1=—ah En(1): v- (25) ze v- (56) La cantidad es : ge 10.9 Al unir los puntos medios de todas las aristas de un tetraedro regular se forma un poliedro. Si la añista del tetraedro mide “a”, calcule el área del poliedro formado en función de “a”. Solución: La figura representa al problema. El poliedro que se forma es el octaedro regular. 2 Entonces, s; = (5) > 10.10 Calcule la suma de los ángulos formados en las caras que concurren en uno de los vértices de un octaedro regular Solución: En un vértice de un tetraedro regular concurren 4 regiones triangulares equiláteras. Luego: 4x 60 = 240* 10.11 Las longitudes de las aristas de un paralelepipedo rectangular que determinan su dimensión son entre sí como 3; 4 y 12; además, la diagonal mide 6.5 m. Calcule su superficie total. Solución: Aristas: a= 3x7 b=4x y c=12x Diagonal: D=6,5 —= D== ¡ Entonces, (5) (2 «4 (122) A aa Superficie total: S, = 3x4 +3x-12x +4x.12x) Ss =192x Con (1): 5,208 m? Unidad 10 - Geometría del Espacio 235 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.12 En un cubo de longitud de arista igual a “a”, se circunscribe un cilindro recto. Calcule el volumen del cilindro en función de “a”. Solución: La figura representa al problema. (Gr -21 R= haa Yo a 5/2 y. (a) Vo 10.13 En una pirámide regular hexagonal, su área lateral es el doble del área de la base. Si la arista de la base mide 41m, calcule el volumen de dicha pirámide. Solución: La figura representa al problema. S.= 2 Suase por dato. EE 0 HM= 246 En DoHM: 1? - (4.5) - (215) h=6 1. entonces, Valxéx! A V= as fm 10.14 Se tiene una pirámide triangular O-ABC cuyo volumen es 72m. M, E y P son puntos medios de las aristas DA, OB y OC, respectivamente, Calcule el volumen de la pirámide de vértice “E” y base. el trapecio AMPC. Solución: La figura representa al problema. WMe-amc=-Vo asc Vo-mer= VE - ABC: 001.0... (1) 3 Por semejanza: Yo _ E Vo. (2h) - Wo.ssc JB ) pl - E. (a) 3 — Y 5 O-MEF Ve -anc= 5Sasc-h; pero Vo-anc= =Sasc (2 D) V Ve-a5c == 36 En (1): Ve-aurc= 72-9 —36 Wear 27m Unidad 10 - Geometría del Espacio 236 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.15 Calcule el volumen de un “cono equilátero”, si la generatriz mide 2m. Solución: La figurarepresenta al problema, A 3 vd, 3 10.165Si el área lateral de un cono recto de revolución es el doble del área de la base, calcule el ángulo que forma una generatriz con la altura, Solución: La figura representa al problema. SL” 2 Spase == nrg=2rnfÉ g=2r entonces, la medida del ángulo es 30* 10.17 Considerando a un tetracdro regular, cuya arista mide “a”, como una pirámide y un cono que cumple con que su vértice coincide con el del tetracdro ; y su base está circunscrita a la base del tetraedro. Halle el volumen del cono en función de “a”. Solución: La figura representa al problema. Vo=paras a=raf; h= =-/6 Luego: Y = 75 )5 6 2 17 10.18 Dos esferas de 12 y 3 cm de radio, respectivamente, son tangentes exteriormente y se ubican en sobre un plano horizontal. Calcule la distancia entre los puntos de apoyo. Solución: La figura representa al problema. sn .15* -9? x=12 Unidad 10 - Geometría del Espacio 237 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.19 Una esfera se proyecta ortogonalmente sobre un plano. Si el área de proyección es 3,16m*, halle el área de superficie esférica. Solución: La proyección ortogonal de una esfera sobre un plano es un circulo máximo de la esfera. Por lo tanto: Sesrera =4 és Sorculo miro HT Sesrera= 4 (3.16) Sesrera= 12,64m? 10.20 La superficie de una esfera tiene 676 rm' de área. Si se corta a la esfera con un plano distante 5m. del centro, calcule el área de la sección. Solución: La figura representa al problema, Sesrera = 4 1 R= 676 mí ....dato. = R=l3 Seco=x= 8 De la figura, por Pitágoras: Tr =13-5=144 por lo tanto: Ssección= 144 7 10.21 Un triángulo equilátero cuyo lado mide “a”, gira una vuelta completa alrededor de un eje que contiene a uno de sus lados. Calcule el volwnen del sólido generado en función de “a”. Solución: Al girar se generan dos conos como la figura: Unidad 10 - Geometría del Espacio 238 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO EJERCICIOS PROPUESTOS 10.1 Enla figura L, y L; son rectas cruzadas, Si AB=2,BC=5 y CD=24/5 , calcule BD. C Ar B) ln O) lia D) M7 E) Jn 10.2 Enla figura, los rectángulos ABCD y ADFG forman un diedro de 120* de medida. S:AB=AG= 2 y FG=6, halle CG. Ay20% B)34/3 2 F 04% A D) 5 L3 E) 6/3 c 10.3 Un triángulo ABC de área 100u* forma con su proyección A”BC sobre un plano P un diedro de 60. Halle el área del triángulo A"BC, Ay 100 B) 804? 0) s0.% D) 6048 w E) 50? 10,4 Un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABE están contenidos en planos perpendiculares. Si AB = 6, calcule la distancia entre los centros de estos poligonos. AJ20 B) 45 034% D)3 EJ3 Unidad 10 - Geometría del Espacio 239 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.5 Las longitudes de los lados de un triángulo ABC som AB=9, BC=7 y AC=8, Si por B se levanta BD perpendicular al plano ABC y BD = 3/5, halle la medida del ángulo diedro que forman los planos ADC con ABC, A) 30 Bj) 45 CO) 60 D) 53 E) 37 10.6 Por el vértice A de un inángulo equilátero ABC, se levanta la perpendicular Ap al plano que contiene a dicho triángulo, Si AB=6, AP= V22 y Mes punto medio de ac , halle el área de la región triangular PMB. A) e B Y 3 'D E C) D) . m | ws | 13 | e E) Ea E es | e 10.7 Un poliedro está formado por 12 regiones triangulares, 6 regiones cuadrangulares y 4 regiones pentagonales. El número de aristas que tiene es: A) 40 B) 45 0 35 D) 30 E) 48 10,8 Calcule el área total de un poliedro regular que tiene 6 vértices, si la longitud de la arista es igual a la longitud de la arista de un tetraedro regular que tiene por área total a 33. A) 36W3 B) 24v3 C) 643 D) 1643 E) 30v3 Unidad 10 - Geometría del Espacio 240 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.9 La razón entre las áreas de dos tetraedros regulares, donde la altura de uno de ellos equivale a la mitad de la arista del otro es: A Y B) Y O A D Y E Y 10.10 La altura de un tetraedro regular mide “h'” entonces su volumen en función de “bh”, es: 2 a = fa B) = 2.5 E D) mo ó E) Pa 10.11 En la figura, ABCD es un tetraedro regular de altura pH; si Mes punto medio de DH y AM= 6cm, calcule el área total del tetraedro, A) 72 cm? B) 3643 cm! C) 7243 em! D) 36 cm? E) 36W2 cm? Unidad 10 - Geometría del Espacio 241 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.12 En un cubo de lm de arista. la distancia del centro de una cara cualquiera a los vértices de la cara opuesta mide: A) 45 Bj) 1 c) D) Vs E) e 10.13 En la figura se muestra un hexaedro regular sobre el plano P, siendo EF el segmento en común. Si el ángulo diedro formado por el plano ABFE y el plano P mide 53? y la arista del cubo mide 5m, calcule el área de la región poligonal que resulta de proyectar el hexaedro sobre el plano P. A) 32mé B) 24m C) 35m D) 18m E) 25m* 10.14 En la figura, O es centro del cuadrado ABCD; si el área de la región triangular sombreada es 2 «(3 em, calcule el volumen del cubo. H A) 8cm Co B) 16 cm? SY Cc) 842 ent Lo b D) *1642 cm? A e - E) 32 cm? 10.15 En un cubo ABCD — A'B'"C'"D", la arista mide 2. Calcule el área de la sección determinada por un plano perpendicular a la diagonal BD del cubo en su punto medio O, al intersecar al cubo, tal como se muestra en la figura, D" c A) 6 Br 24 Cc) 345 D) 44h E), 44% Unidad 10 - Geometría del Espacio 242 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.16 La diagonal de un cubo mide igual que la diagonal de un octaedro regular. Halle la relación entre sus volúmenes. ay *l By dl O D) e E) bl 10,17 Calcule la diagonal de un octaedro regular que tiene 32 3 mí de área total. A) 442 B) 342 C) 64h D) 84% E) 242 a » . Q O B 10,18 En un octacdro regular la arista mide 3, Calcule la distancia entre los centros de dos caras opuestas. A) 6 B) «le 0) 3 D) 342 E) 2 10,19 Calcule la distancia entre los baricentros de dos caras adyacentes de un octaedro regular cuya arista mide 3 2 cm. A) 2cm B) 3cm CO 1com D) 2.5 cm E) 1,5cm Unidad 10 - Geometría del Espacio 243 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.20 En un dodecaedro regular, el área de una de sus caras es 12cm? y el área total es igual al área lateral de un hexaedro regular. Calcule la longitud de la diagonal del hexaedro. A) 643 cm B) 443 cm C) 943 cm D) 843 cm E) Sy3 cm 10.21 En un prisma triangular recto de 6m de altura, el desarrollo de la superficie lateral tiene la forma de un rectángulo cuya diagonal mide 10m. Si el perímetro de la base del prisma es igual al perimetro de la cara de un cubo, entonces, el volumen del cubo es: A) 4m? B) 10 C) gm D) 6 E) 12m 10.22 En la figura, ABCA"B"C” es un prisma triangular, AA"= 12m, BD =5m y CE=7m. Calcule la distancia entre los baricentros de los triángulos ABC y A"DE. A) 6m A c B) Tm y Cy) Em E D Sm Ej) 10m A e B 10.23 Se tiene unprisma triangular recto, Si el área de una de sus caras laterales es 20 m? y la arista opuesta dista Óm, de esa cara; entonces, el volumen del prisma es: A) 30mé B) 50m C) 60m' D) 80m E) 120m? Unidad 10 - Geometría del Espacio 244 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10,24 En un paralelepipedo rectangular, la suma de todas las aristas es 96 y la suma de los cuadrados de las tres dimensiones es 200. Calcule el área total del paralelepípedo. A) 376 B) 386 C) 396 D) 410 E) 421 10.25 En un prisma recto cuyas bases son hexágonos regulares, lá distancia del centro de la base inferior a uno de sus lados es 3 cm. Si la arista lateral mide 10cm., halle el volumen del prisma. A) 3045 co B) 135.5 cm? C) 52045 em? D) 9004 cm? E) 5404/53 em' 10.26 Se tiene una hoja rectangular de 5cm de ancho y 60m de largo. Con la hoja se construye una caja abierta cortando en las esquinas cuadrados de lcm de lado, Halle el área total de dicha caja, A) 16cmé B) 20 cm? C) 24cnP D) 26cm? E) 38 cm? 10.27 Sobre un rectángulo, cuyos lados miden 3 K y 4 K, se construye un rectoedro. Calcule el vohumen de dicho rectoedro, en función de K, si su diagonal mide 13 K. A) 48K? B) 96K?' C) 108 K* D) 136K? E) 144K” Unidad 10 - Geometría del Espacio 245 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.28 En la figura se muestra un rectoedro que está dividido en dos partes por el plano KLM (sombreado). Si el volumen de la parte menor es 4 m', calcule el volumen del rectoedro. A) 16m B) 30m ñ Y C) 240 di Pr, D) 12m Y E L E) 36m? 10.29 Si el volumen de un prisma triangular regular es 12, calcule el volumen del cilindro de revolución inscrito. A) hada B) Edi o í, D) os E) Tai 10.30 En un prisma cuadrangular regular de 4m de arista básica, se inscribe un cilindro (las bases del cilindro coinciden con las bases del prisma en el mismo plano). Halle la relación en que se encuentran las áreas laterales, del prisma y del cilindro. A) B) 2 cc) — D 2 Ey z Unidad 10 - Geometría del Espacio Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, 246 Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.31 Un cilindro recto esta circunscrito a un cubo de arista “a”, Calcule el volumen del cilindro en función de “a”, 231 3 A) y 10.32 Calcule el volumen de un cilindro recto, sabiendo que la altura mide 8:m y el desarrollo del área lateral es un rectángulo donde la diagonal mide 10m. a Bm Em o nm D ua E) — m 10.33 En la figura, el tetraedro regular GABC está inscrito en el cilindro. Halle la relación de volúmenes del tetraedro y del cilindro. 5 a = y E e” O a o + p E AR z A p E ; Unidad 10 - Geometría del Espacio 247 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.34 La relación numérica entre el volumen y el área lateral de un cilindro de revolución es e Calcule la altura, si el área de la base es igual a los z del área lateral, A) B) 0) D) E) y A == 1 0 ha 10,35 En la figura se muestra un cuadrado de lado igual a 4cm, al cual se le ha quitado en sus 4 vértices cuadrados de 1cm de lado. Calcule el volumen del sólido que resulta de girar la región sombreada mostrada alrededor de la recta L, A) 501 em' B) 751 cm? C) 301 cm D) 251 cm? E) 48x co 10.36 En la figura, el cuadrado ABCD va a girar 360% alrededor de la recta L. Si el área del circulo inscrito en el cuadrado es 5, calcule el área lateral en función de 5, 0el sólido que se genera en el giro. 4 A) 65 B SE B) 125 nn C) 8s 7 D) 95 ¿$ E) 45 A ds Y 10.37 En la figura, en el cilindro de altura h está inscrito el octaedro regular. Calcule el volumen del octaedto en función de h. A) y B) E Er cs Cc) aj o, .] D) 1 E E) el Unidad 10 - Geometría del Espacio 248 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.38 En la figura, ABCD es un tetraedro regular de arista igual a 6m, el cual se encuentra inserto en el cilindro de revolución, Calcule el vohunen del cilindro. Aj 401 m0 B) 45: m 5 C) Min ni 4 D) 801 m' E) 75: m0 10,39 En la figura, los cilindros de revolución tiene tina generatriz común. 51 E = 1 , talcule la razón entre los volúmenes de los dos cilindros. A) 9/16 B) 27/64 C) 9/28 D) 9/49 E) 27/256 10.40 Halle el volumen del sólido mostrado en la figura, si O y O” son centros de las semicircunferencias y ABCDEFGH es un hexaedro regular cuya arista mide 6cm. A) 27(16-1) cm? _ sl E] mel ja 3 ñ n h - o B) 27(8-1) cm! a ez C) 13(8-2) cn . mm is a "+ . D) 20(16-1) cm' A a E A E) 916-1) cm? H Unidad 10 - Geometría del Espacio 249 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.41 La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos rectángulos isósceles, si las aristas laterales miden 4m, el área total de la pirámide será: (considerar ¿f3 =1.73) A) 24.60 B) 37.84 C) 34.60 D) 26.84 E) 25.84 10.42 Una pirámide de 6m de altura es intersecada por un plano paralelo a la base. A qué distancia del vértice pasa el plano para que la pirámide deficiente (lo que queda sobre el plano), sea la octava parte de la pirámide total, A) im B) 4m C) 2m Dj lm E) 6m 10.43 En una pirámide OABC, las aristas OA. OB y oc son perpendiculares entre sí y miden 4, 5 y 6, respectivamente. Calcule el volumen. A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 30 10.44 En la figura se tiene un cubo y una pirámide inscrita en el cubo, Si M es un punto de m3 y el volumen del cubo es 90, halle el volumen de la pirámide. Aj 15 B M B) 45 C) 30 D) 25 y; E) 20 E Unidad 10 - Geometría del Espacio 250 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.45 Calcule el volumen de tina pirámide cuadrangular regular, 51 $u arista básica mide 6; y además, se sabe que el área lateral es el quintuplo del área de la base. A) 108/26 B) 45.4% O) 72.4 D) 72/16 E) 8246 10.46 En la figura se muestra ima pirámide regular de base hexagonal cuyo lado mide 6m. Si las áreas de los triángulos sombreados (AGO: CGO y BGO) suman 90m*. ¿Cuál es el volumen de la pirámide O-ABC? A) 300m' B) 250.5 m' C) 9045 m' Dj) 280m* E) 425m? 10.47 La base de una pirámide regular es una región triangular equilátera de lado 6cm. Si la altura de la pirámide es 12 cm, calcule la longitud de la arista lateral, A) 20cm Bj) 18cm C) 1542 cm D) 24/59 cm E) 3415 cm 10.48 En la figura se muestra una pirámide regular desdoblada en un plano que contiene a la base (desarrollo de la superficie). Si la diagonal de la base mide 10 y la arista lateral 13, calcule el volumen. A) 650 B) 325 C) 300 D) 265 E) 200 Unidad 10 - Geometría del Espacio 251 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.49 Se construye una superficie cónica con una cartulina que tiene la forma de un sector circular de 144* de ángulo central y radio R. Calcule el área de la superficiecónica en función de R. A) Pp Bj) —x D) —*r E) En? 10.50 En un cono recto de 12m de altura, a qué distancia del vértice se debe trazar un plano paralelo a la base, para que el volumen del cono parcial (deficiente) que se forma, sea al volumen total, como les 227, A) 5 B) 8 O 4 D) 6 E) 3 10.51 51 el desarrollo de la superficie lateral de un cono recto es un sector circular de 120* de ángulo central y radio R, calcule el volumen del cono en función de R. A) sz , B) £xk” o 29f2 3 D xr! E) so R* Unidad 10 - Geometría del Espacio 252 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.52 Un reloj de arena malogrado de lOcm de altura está construido con dos conos rectos congruentes de l2cm de diámetro de base, conectados por los vértices y con sus bases paralelas, como se muestra en la figura. Si la cantidad de arena ocupa el volumen de un cono, y el traslado de arena del cono superior al inferior es a razón de 1,5 ci de arena por segundo. ¿Cuánto tiempo tarda en pasar la arena de un cono al otro? Considere el valor de = = 3, A) 100 segundos B) 140 segundos C) 120 segundos D) 30 segundos E) 60 segundos 10.53 En la figura, A, B, C y D son puntos de tangencia. El área lateral del cubo mostrado, es 16 cm?. Calcule el volumen del cono sombreado. A) = em B) 2xcm! C) nen D lem E) = au? 10.54 Calcule el volumen total del sólido mostrado en la figura, en función de r, radio de la semiesfera, Aj 1 r? B) £er* 2r C) —u5! D) 2x5 a E E) 3x1 Unidad 10 - Geometría del Espacio 253 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.55 Si el valor numérico del área de la superficie de una esfera es igual al valor numérico que representa su volumen, entonces, ¿Cuánto mide el radio de la esfera? Ay) 3 B) = o 1 D) 1? E) 25 10.56 Halle la diferencia entre los volúmenes de las esferas circunscrita e inscrita a un cubo de arista “a” en función de “a”. 1 A 2 Ja ) 3 dns? B ) 3 C) dns! DD Eh -0m 6 E Yo 10.57 Dos bolas metálicas de molino de radios 4cm y 9cm, están en contacto y se encuentran en un piso horizontal. Calcule la distancia entre los puntos de apoyo en el piso. A) 543 cm B) I0cm CO llcm D) 12cm E) l3cm 10.53 Cuatro esferas congruentes son tangentes entre sí. Si el radio mide 3 y los centros son A, B, €, y D; calcule la distancia de A al plano BCD. A) 24f3 B) 348 C) 2W6 D) 30f8 E 6 Unidad 10 - Geometría del Espacio 254 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 10.59 El área de un circulo menor de una esfera es l6x y su distancia al centro de la esfera es 3, Calcule el volumen de la esfera. a a B) 160 C) 14a m ==, E E, 10,60 En la figura, la pirámide regular está inscrita en la semiesfera de radio R. Calcule el volumen de la pirámide en función de E. A) e! B) .- o. D) 2? E) 2 10.61 En la figura se muestra una semiesfera de radio R y un cono recto cuya base es el circulo máximo de la semiesfera. Si los sólidos son equivalentes, calcule la altura del cono en función de R. A) 2R B) 3R C) AR D) =R E) ER Unidad 10 - Geometría del Espacio 255 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO UNIDAD 11 TRONCO DE SÓLIDOS Unidad 11 - Tronco de Sólidos 255 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO OBJETIVOS: Al finalizar la unidad el alumno será capaz de: * Tener un concepto más claro de los troncos de sólidos. * Entender qué es un tronco de pirámide. + Entender qué es un tronco de cono. + Entender qué es un tronco de prisma. e Entender qué es un tronco de cilindro. * Resolver problemas sobre troncos de sólidos geométricos. CONTENIDO: 11.1 INTERSECCIÓN DE UNA PIRÁMIDE POR UN PLANO PARALELO A SU BASE 11.2 TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS 11,3 TRONCO DE CONO DE BASES PARALELAS 114 TRONCO DE PRISMA 11.5 TRONCO DE CILINDRO RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: + Operaciones numéricas y algebraicas básicas. * Unidades 10: geometria del espacio. Unidad 11 - Tronco de Sólidos 256 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1111 INTERSECCION DE UNA PIRAMIDE POR UN PLANO PARALELO A SU BASE: Si en una pirámide. trazamos un plano paralelo a la base. logramos separar dicha pirámide en dos sólidos: Y” Un primer sólido que contiene al vértice de la pirámide inicial, a la que denominaremos pirámide deficiente, y Y Un segundo sólido que contiene a la base de la pirámide inicial, a la que denominaremos tronco de pirámide de bases paralelas. o Put: Tronco de prámida de bases paralelas B Fig Por lo tanto, la piramide inicial y la pirámide deficiente som semejantes; es decir los ángulos correspondientes son congruentes y los elementos lineales homólogos (aristas de las bases, aristas laterales, alturas, etc.) son proporcionales. Razón de semejanza: En el cociente entre dos elementos lineales homologos, representado por “k" Unidad 11 - Tronco de Sólidos 257 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Propiedades: Considerando dos pirámides semejantes tenemos: Fig. 11,3 1) La razón entre las áreas de las bases es igual al cuadrado de la razón de semejanza. b A B 2) La razón entre las áreas laterales es igual al cuadrado de la razón semejanza. 2 b =P Alorral a y? Aloteral sE (5) B A arenal A careral H 3) La razón entre las áreas totales es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Ant úl E? Aro Tail 4) La razón entre los volúmenes es igual al cubo de la razón de semejanza. h b Tenemos: —= K e. —.k” H B Hallando la razón entre los volúmenes: 1 —b.h v 3 v b Ho? v 3 —a ? => e lr les =>» —= LK" Kk e to v BJLH] Y 3 > — 5 K? dl También debemos notar que: Y Y v b Jb. 3 3 —T=K' m> —=K KK =>—= F Fr y BW (B Unidad 11 - Tronco de Sólidos Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, 258 Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11.2 TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS: Volumen: 2 [2+ das +] Sea “B” el área de la base mayor h Sea “b" el área de la base menor Sea “b” la altura del tronco Demostración: Sea: Ho la altura de la pirámide original H; la altura de la pirámide nueva Va el volumen de la pirámide original y W¡ el volumen de la pirámide nueva We Y H,=H +h ) 1 - == | B, -b). aERE > Y >[84+(B JH, ]....(1) Cálculo de H, en la ecuación dada: BO UH,V Hm, JB Hen vB hb ==. ¡| => ===> = —B=> H, = =—3>...42) O A Va - lo Unidad 11 - Tronco de Sólidos 259 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Sustituyendo (2) en (1): 1! halo p TÍ de 1 Feo-=|Bh+(B=b Ea B+(B=b 5 IÓ O 0 Considerando que: B-b=(V/3) - (va) = (Va + Vo ).(Va - db) sustiniyendo (B-b), tenemos: y [a+ (Va «db )o]- Am. Va.b + o] y [20 /2b +») ate:á tal: Atseri= $uma de las áreas de las caras laterales (trapecios) Asotl = Átateral + B +b TRONCO DE UN PIRÁMIDE REGULAR: En el tronco de la pirámide regular se cumple: a) Las aristas laterales son congruentes entre si. b) Las bases son poligonos regulares senejantes. €) Las caras laterales son trapecios isósceles, congruentes entre si. Además: La altura de uno de los trapecios se llama apotema del tronco. Área lateral y área total de un tronco de pirámide regular de “n” lados: Perimetro de la base mayor : 2,P Perimetro de la base menor: 2p <A Apotema de la base mayor: M I Apotema de la base menor: m Apotema del tronco: m' L l Sea Lado de la base mayor: Lado de la base menor: Fig. 11.6 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 260 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Área lateral: fL mE” ¿Quim Aral e A paria => A = 2 Arca =Pm'+ pm => A, =(P + pm Aero NP. + pj Área total: As Amiens Bd en que Bu P.M ¿5 pan Luego: An FTP pi A PE.M + pon 113 TRONCO DE CONO DE BASES PARALELAS: Volumen: EL [rerrer”] CS Sea “R” el radio de la base mayor Sea “Tr” el radio de la base menor Donde: Sea “bh” la altura Fig. 11.7 Demostración: 1 , 1 5 F=YP-F, =—RE CHF 3 3 -> H,=H,+h) Y -= [a *h)=r 4, ]=> Y = [a +(2 7 ?).4,].....(0 Cálculo de H, en función de los datos: H, RE H,+h R har AS == —=>H, . o H, r z H, F Ea K-—r a) Sustityendo (2) en (1): AT, 5 rn, Hr 7] la Y Fr 7 Y om —, -h - — + K —- | D.. + (2 fo , qa (A+r)L ÉS | Unidad 11 - Tronco de Sólidos 261 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO A Fig 11.8 Área lateral y Área total de un cono: Sea Radio de la base mayor: R Radio de la base menor: r Generatriz del cono inicial: G Generatriz del cono primitivo: G; Generatriz del tronco: E Area lateral del cono inicial: Ar Area lateral del cono primitivo: Ar Área Lateral del Tronco: Astral Aoi Ap Ay E ER, AA, =>. R(G,+8)- 95.6, =*.[R.g+(R-"r)G,] Calculo de G;: o Aso = Are A E S => 6,= de EC FC g R-=r R Sustituyendo (2) en (1), tenemos: F, r 81 Aaa 7 7 | 408 +(R a EEE da =.(R+r).e Vi o (1) Unidad 11 - Tronco de Sólidos 262 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO Corolario: La superficie lateral de un tronco de cono recto de radios: R y r, y generatriz g; es equivalente a un trapecio de bases: 2. 1.R y 2.15, y altura p, A 2 Tareral Arras = E AR +) E Área total: A mA +BrberíkR+r]jg+rmnRk ams? fúdad dtérad Array m.[R(g +Rje*rdg +r)] Fig. 11.10 114 —TRONCO DE PRISMA: A) Tronco de prisma triangular con una base perpendicular a las aristas laterales: Sea: 5: area de la base a, b, e: las aristas laterales — B1 Con la descomposición indicada en la figura, tenemos: Volumen del tronco = Volumen del prisma + Volumen de la pirámide Unidad 11 - Tronco de Sólidos 263 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1 F=5.0+>,B,.h, 3 Siendo: [e-a)+(b-a) B, = Area del trapecio = ————————h [enemos; a Ll (e-al+[b-a 3 2 . hh Consideramos que 5=— sean: 2 1 ho, 1 [ar+rb+e? Fs Sa+r— (b+re-20)——= 0 +—. (b+ro-2l0)5+=8. === 3 E 3 ( 3 a Ps ——— 3 B) Tronco de cualquier prisma triangular: El plano de una sección recta (de área $) divide en dos sólidos al prisma, por lo tanto: v =P +1, e Pas AAA y MN 14 3 3 ya e (arbrey PTAS a+ + Fons, E 3 1x2 z2 ya o Fig. 11.12 Conclusión: El volumen de un tronco de prisma triangular es el producto del área de la sección recta por la media aritmética de las aristas laterales. Unidad 11 - Tronco de Sólidos 264 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 115 TRONCO DE CILINDRO: As A) Condiciones necesarias: A A Requisitos: EASY Y” Un cilindro circular ilimitado. ¿7 -T> "=.] gaceión recta _ 17 0 2 Aereo) Y Dos planos no paralelos secantes a ese cilindro, pp | Por lo tanto, el sólido conprendido entre los dos planos secantes => PS a y el cilindro ilimitado es llamado tronco de cilindro circular. me : E qu. 0,0, : Segmento que une los centros de las secciones extremas, Fig. 11.13 B) Volúmen y área lateral: Dado un tronco de cilindro circular de radio básico “r” y generatrices “gy” y “pa”, de acuerdo a la figura 11.14, tenemos: Donde, la generatriz media será: E + E, E nda a 2 Por lo tanto: : E eranes=aibtadre EP E media A laveral=iraara=rilimdra — rr E mudra Fig 11.14 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 265 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO RESUMEN Tronco de pirámide de bases paralelas: h Y = [5 +18. +»] Aral Aia? Bb En el tronco de la pirámide regular se cumple: a) Las aristas laterales son congruentes entre si, b) Las bases son poligonos regulares semejantes. c) Las caras laterales son trapecios isósceles, congruentes entre sí. Tronco de cono de bases paralelas; mr. h Fo —.[2* + RSF r?] 3 AAA > Z A =m.(R+r).g Pareral al hareral a Aroa "Reg +R)j+r. gs r)) Tronco de prisma triangular: fa+b+ce? y = se E) Corolaria: El volumen de un tronco de prisma triangular es el producto del área de la sección recta por la media aritmética de las aristas laterales. Tronco de cilindro: E moi == 2 A A tensl=irmaiis ETE dra Unidad 11 - Tronco de Sólidos 266 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros EJERCICIOS RESUELTOS TU INGRESO ES DIRECTO 11,1. ¿A qué distancia del vértice debe pasar un plano paralelo a la base de una pirámide triángular para que la razón entre las áreas de sus bases de la nueva pirámide y la pirámide inicial sea de 9/16? Considere la altura de la piramide inicial igual a 8. Solución: Sea H=38, y Ep B, 16 EN 8, (1) A A H B, hs 4 [31 > imp ¡26 la] B2 B1 112 El volumen de una pirámide regular de base triangular es “Y” y la altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcule el volumen de la porción central. Solución: Aplicando la semejanza de pirámides: Fr h F — 2 ME my y, . — ani ia Y, ln) 27 J y, +V 2.h By A (=) => F + Y, . — r, 3.h 27 Remplazando (1) en (2): y 8.v e A Fr, - pati 27 ET 7 “TE Y. a 37 17 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 267 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11.3 — Calcule el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular si las aristas básicas miden 3y5, y su altura 6. Solución: Aplicando la formula del volumen tenemos: F om E + VB. b + 5] 3 Donde B=5'=25, b=3"=9, h=6, luego: Y - =[2 + ¿2s.c9) +9] Y =98 11.4 Se tiene un tronco de pirámide en el cual las áreas de las bases miden 9 y 25. Calcule el área de la sección determinada en el tronco por un plano paralelo a las bases y que pasa por la mitad de la altura, Solución: Aplicando la semejanza de pirámides: 9 A, 25 ==” m a ta + hy ta+ 2.) Sacamos raiz cuadrada y cambiando de orden:3 5 yA, a (a+24h) (a+) Aplicamos proporciones: 45 Ja, a+ta+2.H) (a+h) Wa 2(a+h) (a+h) 4, =16 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 268 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11.5 Se tiene un tronco de pirámide triangular cuyo producto de las áreas de sus bases es 225 y cuya altura es 12, Calcule el volumen de dicho tronco si el plano que pasa por el punto medio de la altura es paralelo a las bases y determina un área igual a 16. Solución: Del dato: (7 A Partimos de: Js 6 Je dió la ENT Elevando al cuadrado: (do + (By = (sy b+B+2xbBo=64 b+B+2a 225 =6% ha (2) Reemplazando (1) y (2) en (3) tenemos: 12 y,» [9 + v225] FP, =4.[34+15] Y, =196 116 Calcule el volumen del tronco de cono de revolución, sabiendo que los radios de sus bases miden | y 3; y su altura mide 6. Solución: Sea V, el volumen pedido, sabemos: A y, = E2 pe? + Rr+ r*] 3 Donde: h=6,R=3,r= |, reemplazando: r, «EL aer] O > r, - 2 413] P, =26x Unidad 11 - Tronco de Sólidos 269 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11.7 11.38 Un tronco de cono de revolución y un cilindro de revolución tienen la misma altura, siendo el volumen del tronco los 5/3 del volumen del cilindro, Si el radio de la base mayor del tronco mide 2 y el radio de la base del cilindro mide 1. Calcule el radio de la base menor del tronco de cono. Solución: Del dato: 5 ; == Y == rara erimdra m.h 5 —.2* + RF r*] = A. h 3 3 h 5 — [2 + Xx + x*] = lara 3 3 A ditris as ?erziz-1=0 Resolviendo la ecuación: S-fi1 Se tiene un tronco de prisma triangular, donde el área de la base mide 10 y las aristas laterales miden 4, 5 y 6, Si la base es perpendicular a las aristas laterales. Calcule el volumen del tronco de prisma. Solución: Aplicando la formula del volumen tenemos: a+b+e F=os, 3 Donde 5=10, a=4, b=6, c=5, luego: d+ 546 Y =10. 3 Fr =3530 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 270 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 119 — Se tiene un tronco de prisma ABC-DEF, de modo que la base inferior ABC es un triángulo equilátero de lado 4. La cara lateral ADFC es un rectángulo. Si el volumen mide 24.13; calcule el área lateral. Solución: Graficamos el tronco de prisma y ubicamos los datos correspondientes: Sea AD=FC=h, y BE=H El volumen “Y” del tronco está dado por: +) Y =f: a Remplazando e igualando al dato: sa GA 4 l 3 lB=s Zhao (1 El área lateral esta dado por la suma de las áreas de las caras laterales: AL" Asorc + Asvora + Acera he H h+ HOY A, =4hk+ de A 2 2 ) A, =4h+(h+H)4 A =4hb+4h+4.5 A = ALA A Hccccicacconos (2) Sustituyendo (1) en (2) AL=4.(18)=72 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 271 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11.10 En un tronco de cilindro recto, su radio básico mide 2 siendo su generatriz mayor 8 y generatriz menor 4, calcule su volumen, Solución: + Fr, = gr tE) E) 3 1 4 (8+4) py. — 2 PF, =24.x re P,=A 11.11 En un tronco de cilindro recto, sus generatrices miden 12 y £. Calcule su volumen si sus bases formas un diedro de 45". Solución: Elaboramos el gráfico, en donde trazamos DE LAB: he Luego: BE=CD=8 > AE=4 En el triangulo rectangulo AED de 45”: AE =ED=2.15=4 > r=2 Luego. el volunen del tronco de cilindro será: mr E E) +83) 2 Pai 2 y, . My =. x Y, = 40.7 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 272 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11.12 Se tiene un tronco de cilindro de revolución cuyas generatrices mínima y máxima miden 3 y 6, que está circunscrita a una esfera. Calcule el volumen del cilindro. Solución: Sea *r” el radio de la base del tronco de cilindro: En el trapecio ABCD, aplicamos el teorema de Pitot: AB+CD=BC+AD 3+6=BC+2r BC=9-2r1 Trazamos BE LCD SBE=21ryCE=3 En el triángulo rectángulo BEC: (9-20? = (2.10) +31 Resolviendo: r=2 El volumen del tronco de cilindro está dado por: y mr? AB EB) o 2 T Y. a Y, =18.5 La s Unidad 11 - Tronco de Sólidos 273 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11,2 11,3 11.4 EJERCICIOS PROPUESTOS En un tronco de pirámide cuadrangular regular, las aristas básicas miden 2 y 4, y su altura 3. Calcule el área lateral. A) 12410 B) 9410 C) 610 D) 310 E) 2410 En un tronco de pirámide regular cuyas bases son cuadrados, las aristas laterales están inclinadas 53* respecto a la base mayor: si los lados de las bases miden 2 y 8. Calcule su volumen, A) 56v2 B) 11242 Cy 10642 D) 12112 E) 14442 Se tiene un foco a 12 m. de altura ¿A qué distancia del suelo (en m.) se tiene que colocar una plancha rectangular de 8 cm por 4 cm para que proyecte una sombra de 288 cm? A) 8 B) 6 O 4 D) $ E) 2 Calcule el volumen de un tronco de pirámide regular de bases cuadradas y paralelas de 6 de altra, sabiendo que los perimetros de las bases miden 24 y 16 respectivamente, A) 152 B) 144 C) 136 D) 128 E) 110 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 274 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11,5 El volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 74; si su altura mide 6 y el área de una de sus bases 16. Halle el área de la otra base. Aj 4 B) 9 C) 16 D) 25 E) 36 11.6 Calcule el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular de áreas básicas 16 y 64 circunscrita a una esfera. A) 4484213 B) 2624 12 0) 172% 13 D) 32445 12 E) 56842 13 11.7 En un tronco de cono de revolución, los radios de sus bases miden 2 y 8: por el centro de la esfera inscrita en el tronco se traza un plano paralelo a las bases. Calcule el área de la sección determinada por dicho plano en el tronco de cono. A) 9.m B) 16.2 C) 25.1 D) 36.x E) 49.1 11.8 Con los datos del problema 7, calcule el radio de la esfera inscrita en el tronco de cono de revolución. Unidad 11 - Tronco de Sólidos 275 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11.9 11.10 11.11 11.12 Con los datos del problema 7, calcule el volumen del tronco de cono formado por el plano trazado y el plano de la base menor. A) 721 B) 64.71 C) 60.7 D) 56.1 E) 52x En un tronco de cono recto cuyas bases tienen por radios a y b respectivamente (a>b), si la sumna de las áreas de las bases es igual al área lateral del tronco de cono. Calcule la longitud de la altura del tronco. A) a.b/(atb) B) 3.a.b/(a+b) C) 2.a.b/(a+b) D) va .ab/(a+b) E) E abi(atb) En un tronco de cono recto, la generatriz forma con la base mayor un ángulo de 53*, si el radio de la base menor mide 2; la generatriz tiene igual longitud que el radio de la base mayor y el área de la superficie lateral mide 35,17, calcule su volumen. A) 36.7 B) 39.7 Cc xa D) 54.1% E) 52.71 ¿A qué distancia del vértice debe cortarse un cono de 10 cm de altura y 4 cm de radio básico por um plano paralelo a la base para que resulten dos sólidos equivalentes? Considere * * Ya A) 4z B) 3.z 0) Sz DD 2z E) 6.zUnidad 11 - Tronco de Sólidos 276 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11.13 La generatriz “a” de un tronco de cono forma 60* con la base inferior y es perpendicular a la recta que une su extremo superior con el extremo inferior de la generatriz opuesta. Calcule su área lateral. A) 31.0 B) La C) 2.ma* D) 3.ma?/2 E) na/2 1114 En un tronco de prisma recto ABCD-PQRS donde ABCD es un cuadrado y PORS es un romboide, se ubica el punto medio “M” de la arista PR. Si el área de la región triangular AMC es 6 v/2 . Calcule el área de la superficie lateral del tronco de prisma. Ay) 12 B) 48 C) 24 D) 36 E) 30 11.15 Calcule el volumen de un tronco de prisma recto cuya base es un triángulo equilátero de perimetro 12 y las aristas laterales suman 18. A) 1245 B) 24 o 184 D) 36 E) 244 11.16 Se tiene un tronco de prisma recto cuyas aristas laterales en forma consecutiva miden 6, 8, 12 y “a”: la base es un cuadrado de lado 4. Calcule el valor de “a”. A) 16 B) 14 C) 10 D) 13 E) 9 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 277 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11.17 11.18 11.19 11.20 Del problema anterior, calcule el volumen del tronco de prisma. A) 169 B) 144 Cc) 121 D) 100 E) 81 Calcule el volumen de un tronco de prisma recto, cuyas bases son un triángulo equilátero FED y un triangulo rectángulo isósceles ABC. Una cara lateral es un rectángulo de lados 3v2 y 6 (siendo los mayores lados las aristas laterales). A) 40.5 B) 36 C) 27.5 D) 33 E) 31,5 En un tronco de prisma cuya base es un triángulo equilátero, su volumen es 72 y sus aristas laterales miden 343, 643 y 943. Calcule la arista básica. A) 16 B) 12 Cc) 10 D) 8 E) 4 En un tronco de cilindrico el área de su base mide 36.11, si la generatriz media es igual al diámetro de la base. Calcule el área lateral del tronco de cilindro, A) 144.1 B) llSx C) 100.7: D) 88.1 E) 721 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 278 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11.21 Se tiene un tronco de cilíndrico, si sus generatrices miden 10 y 8 (mayor y menor) y el área lateral es de 54.11; calcule la medida del radio de la base. A) 2 B) 3 0) 4 D) 5 E) 6 11.22 Se tiene un tronco de cilíndrico, si su generatriz máxima mide 13 y generatriz minima mide 7; y el área lateral es de 20.1; calcule el volumen del tronco de cilindro. A) 507 B) 40.7 C) 30.x D) 20.x E) 10.7 11.23 En un tronco de cilindrico el área de su base mide 9.1; si la generatriz media es igual al triple del radio de la base, Calcule el volumen del tronco de cilindro. A) 98.7 B) 81x oO 72 D) 64.1 E) 56x 11.24 Un tronco de cilindro circular recto está circunscrito a una esfera; si la generatriz máxima mide 6 y la generatriz mínima mide 3, Calcule el área de la superficie lateral del tronco. A) 24.r B) 26.7 C) 27.1 D) 18.71 E) 36.1 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 279 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 11,25 Un vaso cilindrico de 5 m. de diámetro y 10 m. de altura, tiene 505 tres cuartas partes con agua y desde su posición normal se inclina el vaso hasta que el agua esté a punto de caer por el borde. Halle el ángulo de inclinación en ese instante. A) 30 B) 37 C) 45% D) 53" E) 60" 11.26 En un tronco de cilindro el área de su base mide 41. si la generatriz media es igual al triple del radio de la base, Calcule el vohunen del tronco de cilindro, A) 281 B) 241 C) 221 D) 301 E) 361 Unidad 11 - Tronco de Sólidos 280 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO BIBLIOGRAFIA 1. OSVALDO DOLCE, JOSÉ NICOLAU POMPEO. Fundamentos de Matemática Elementar 9. Geometria Plana. 7* edigáo. ATUAL EDITORA LTDA., Sao Paulo, 1997, ISEN. 85 - 7056 - 268 -3 2. OSVALDO DOLCE, JOSÉ NICOLAU POMPEO. Fundamentos de Matemática Elementarl0. Geometria Espacial. Posiqdo y métrica . Y edigáo, ATUAL EDITORA LTDA., Sao Paulo, 1997. 3 | — CLEMENS. etal Geomerría. Addison Wesley. Longman de México, S.A. de C.V. 1998, 4 —RAY €, JUEGENSEN, RICHARDG. BROWN Y JHON W. JURGENSEN. Geometry, MeDougal, Littell Inc, U.S.A, —- 2000, 5 — DAVID HILBERT, PH.D, The Foundations ef Geomery. The open court publishing company 1902. 6. —BENJAMIN BOLD. Famons Problems of Geometry and How to solve Them. Dover publications, Inc. New York. 1969, Unidad 11 - Tronco de Sólidos 281 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO CLAVES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS Unidad 11 - Tronco de Sólidos 282 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, GUÍA DE HS) EJERCICIOS GEOMETRIA CICLO F (I1J0UWY: 3 TITO — EE A 5 E E FR E UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA UNALM 5) LA MOLINA TU INGRESO ES DIRECTO ao CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 1 ÁNGULOS UNIDAD 1 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. Sila diferencia entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es 9 veces la medida del ángulo, entonces, el suplemento del complemento de dicho ángulo es: A) 10" B) 80” C) 100* D) 120* E) 150* 2. Calcule la medida de un ángulo, si al restarle la mitad de su complemento más 10”, resulta 11”, A) 28* B) 36* C) 38* D) 26" E) 44" 3. Halle la medida de un ángulo, si el suplemento de su complemento es igual a los 3/2 de la diferencia entre su suplemento y su complemento. A) 18* B) 20* C) 60* D) 45” E) 30* 4. Tres ángulos consecutivos se ubican a un lado de una recta. Si sus medidas están en progresión aritmética y la relación entre el menor con el mayor es de 4 a 8, calcule la medida del mayor ángulo. A) 20" B) 30* C) 40" D) 60* E) B0* UNIDAD 1 - Ángulos 01 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. Los ángulos consecutivos AOB y BOC se diferencian en 48”, Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB. A) 6? B) 12” C) 18* D) 24” E) 48* 6. Enla figura los ángulos POG, GOR y ROT son consecutivos. Calcule la suma de los ángulos POR con QOT, si el ángulo que forman las bisectrices (mostradas) de los ángulos POQ y ROT es 90”. P a A) 160* B) 180* C) 150* D) 200” E) 210* 7. Los ángulos AOB y BOC son adyacentes. La m4A0B = 60”. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOC. A) 10* B) 15 Cc) 30* D) 20* E) 25" 8. Elángulo AOB mide 12”, referido a él, se trazan los rayos OC y OQ, interior y exterior a dicho ángulo, respectivamente, de forma que m.A0Q = 2m4B0OO. Halle la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y COQ. A) 48* B) 24” Cc) 18? D) 6 Er és UNIDAD 1 - Ángulos 02 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO9. Enla figura, m4AOC + m2BOD + mzCOE = 200”, Si m2BOD = 2/3m<A0E, calcule m<AOE. 5 c A) 100* A ? B) 120* C) 150* y D) 160* E) 144? + 10. Respecto a la información de la figura, halle el máximo valor entero de *y”: A) 45" B) 50* C) 59* D) 60* . Xx E) 89* Ñ 11. En la figura L; es paralela con l;. Calcule el valor de x. A) 20* -2y dy + + Li B) 30* E C) 40* D) 50* x E) 60" = E + ol? 12. En la figura, L, es paralela a Lo y L3 es paralela a La. Calcule el valor numérico de: (5x - 8). A) 18* B) 30* ÓN / Z » Li C) 40* D) 42* Ej 457 + > AS fi Lo du UN La L UNIDAD 1 - Ángulos 03 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13. En la figura m / /n. Calcule (x + y) A 0 ae A) 80* e B) 90* A y» Cc) 100* D) 110* aw sorl> E) 120* A) x+y= 180* «+ B) x+2y=90* C) 2y=x D) x+y=920" E) x=3y A 15. En la figura, Ls // La. Si (a + b)= 228*, calcule x. Le A) 5 S B) 8* C) 10* D) 12* b E) 15* e HE Li Y 16. En la figura, las rectas L, y La son paralelas. Si (a+p)= 210*, calcule el valor de cx. So la Li Y A) 25" B) 35" C) 20* D) 45* E) so" » da UNIDAD 1 - Ángulos 04 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. 18. 19. 20. En la figura, L1// Lo. Halle el valor de a. A) 10" a Ls B) 15" C) 30* D) 45" 75 E) 50* L En la figura, L4/ La! La. Calcule el valor de 6. A) 1409 La B) 1702 C) 130" D) 1200 E) 150% En la figura, Li// Lal! La. Si mBAC = m2<BCA =78*, el valor de verdad (verdadero (V) o falso (F)) de cada una de las siguientes proposiciones, en el sentido establecido es: (_) 0-a=105 ( ) 0-P=45* ( ) f-a=30* A) VVWV B) FVW C) FFV D) VVF E) VEV Referente a la figura, si L//Lz, calcule el valor de "x”. A) 24* B) 40* C) 16* $ D) 60* ] 130" Xx 172_ La de 60" w o dd UNIDAD 1 - Ángulos 05 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 2 TRIÁNGULOS UNIDAD 2 O5 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMNALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. Si las medidas de los ángulos internos de un triángulo miden: k+12", 3k-42” y 3k; entonces el triángulo es: A) Equiángulo B) Isósceles C) Equilátero D) Rectángulo E) Obtusángulo 2. — Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo son proporcionales a los números 4, 6 y 8. Calcule la diferencia entre las medidas del mayor y el menor de los ángulos exteriores del triángulo. A) 20* B) 40* C)30* Dy50* E) 60* 3. — Enun triángulo ABC las medidas de los ángulos exteriores forman una progresión aritmética y la diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulo externo es 60*, Calcule la medida del menor ángulo externo. A) 70" B) 80* C) 90* D) 110* E) 120* 4. — Eltriángulo ABC es isósceles (AB = BC), En AC se ubica el punto "P” y en BC el punto “Q" de forma que m¿ABP = 2m4QPC. Determine la relación entre los segmentos BP y PQ. A) 0,25 B) 0,50 C) 0,75 D) 1,00 E) 1,25 UNIDAD 2 - Triángulos 06 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. Enlafigura, EF = EH. Calcule el valor de x. F A) 29" S 98" B) 16 : 60"x Ñ Cc) 19" x D) 26* 131" E) $ H 6. — Respecto a la figura, calcule el valorde "«" A) 30* B B) 27* C)30* D) 36" lA E) 24* 60 ds Á e D 7. — En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), sobre los lados AB y BG se ubican los puntos P y Q respectivamente, de modo que AP = PQ = QB. Si el ángulo € mide 62”; entonces, la medida del angulo BAG es: A) 22” B) 44” C) 28* D) 33* E) 31* 8. — Respecto la información de la figura, calcule x, en función de 6. A) 90*-8/2 B) 45"-8 C) 150"-8 D) 6-90" E) 26-90" UNIDAD 2 - Triángulos 07 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. —Enla figura, m¿CBP = m.<PBA y AB = BP = CP. Calcule el valor de 6. A) 30* B B) 36* C) 39* D) 42* ó E) 45* £ > A 10. En un triángulo POR, mZP = 44%, mZR = 22”. Exterior y relativo a OR se ubica un punto *T" de manera que PQ = RT y m4QRT = 38”. Calcule m.<TOR. A) 15* B) 20" C) 25” D) 30* E) 35" 11. Enun triángulo PQR, se cumple PR = 2PQ y mo<PQR = 3mzQRP. Calcule m<QPR. A) 45" B) 37* C) 53" D) 60* E) 90* 12. Enlafigura, ED=EB=DC, m.CDE = 80* y me<BED = 60”. Determine el valor de x. A) 20” B) 30* C C)40* D) 35* Xx E) 45* B UNIDAD 2 - Triángulos 08 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13. Enun triángulo isósceles ABC, m¿ABC = 120*, en la prolongación de AB se ubica el punto P; y en AC el punto Q tal que AB = BP = QC. Calcula la m<BPQ. A) 25* B) 20" C) 15" D) 10* E) 5* 14. Enuntriángulo ABC (AB = BC), en AC se ubica el punto “E”; en la región exterior y relativo a BC el punto "D” de modo que se cumple: BD = DE = DC. Si mA = 70*, calcule la m<BDE. A) 140* 8) 135 C) 130* D) 120" E) 115* 15. Enun triángulo ABC, en AC se ubica un punto “E”. si míBEC = mZEBC = B, calcule: (m<BAC + m¿ABC), A) 8 B) 28 C) 30 D) 48 E) 58 16. Enun triángulo POR, mzP = 2m.R y QR = 16, Calcule el minimo valor entero de PQ. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 UNIDAD 2 - Triángulos 09 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. Enun triángulo isósceles la base mide 5. Calcule el mínimo valor entero que puede tornar el perimetro del triángulo. A)10 B) 11 C)12 D) 13 E) 14 18. Respecto la información de la figura, identifique el segmento de mayor longitud, A) PR B) PQ C) QT D) TR E) QR as 19. Enun triángulo ABC, AB=3 y AC = 6. Halle el menor valor entero de BC. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 20. Los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 8. ¿Cuál de las alternativas es el minimo valor entero que puede ser el perimetro? A) 48 B) 49 C) 50 D) 51 E) 52 UNIDAD 2 - Triángulos 10 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 3 LINEAS Y PUNTOS NOTABLES UNIDAD 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. — Enun triángulo rectángulo POR (recto en Q), en PR se ubica el punto "T” de forma que PQ = PT y la bisectriz interior del ángulo de vértice “R” interseca a QT en el punto *S”. Calcule m.<0OSR, A) 120* B) 125" C) 130* D) 135" E) 140* 2. Enun triángulo rectángulo ABC (recto en B), la altura BH y la bisectriz interior AT (T en BC) se intersecan en O. Si OT= 8, calcule el minimo valor entero de BQ, A) 4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8 3. — Enun triángulo acutángulo POR se trazan las alturas PM y ON y también, las bisectrices de los ángulos MQN y MPN, que se intersecan en T. Halle m¿PTO. A) 135 Bj) 75 C) 90” D) 105* E) 150* 4. — Enuntriángulo ABC,mA = 2m.C. Sila altura relativa a AC y la bisectriz de ABC forman un ángulo de 15*, halle m.¿C. A) 10* B) 15" C) 20* D) 30" E) 45" UNIDAD 2 - Líneas y Puntos Notables 11 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. — Enla figura, D es el excentro del triángulo ABC (relativo al lado BC) y FE es bisectriz del ángulo CFD, Calcula el valor de x, A) 30* B) 40* C) 60* D) 50” E) 45” 6. — Respecto la información de la figura, calcule: (x + y) A) 145* B) 140" Cc) 130" D) 120" E) 110* 7. Respecto la información de la figura, calcule el valor de x. A) 108* B) 110* C) 115* D) 117" E) 120* 8. Enel triángulo rectángulo POR (OR>PQ), recto en Q, la bisectriz del ángulo Q con la mediatriz de PR forman un ángulo que mide 35*. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo R con el cateto OR. A) S B) 10* 015 D) 20" E) 25* UNIDAD 2 - Líneas y Puntos Notables 12 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. Enla figura, GT y RT son bisectrices de los ángulos PQS y PRS, respectivamente. Halle x. 10. 11. 12. A) 110" B) 150* C)120* D) 100? E) 140" En un triángulo KLM, “E” es el excentro relativo a LM, “H” el ortocentro y m¿LEM = 66”. Calcule la mKLH, A) 12" B) 21” C) 24” D) 42* E) 66” En un triángulo ABC, las bisectrices interiores AE, BD y CG se intersecan en |. Si m<AID = 66” y mZDIC = 70", calcule: (me<BCA - m24BAC). Aj 8" B) 16" C) 24* D) 32" E) 40* En un triángulo POR, E es el excentiro relativo a OR, m2PER=35" y m2PEO = 25”, Si PE y OR se cortan en F, calcule la m4PFR. A) 100* B) 110* C) 120* D) 130* E) 115" UNIDAD 2 - Líneas y Puntos Notables 13 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM CE PRE con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13, 14, Ta, 16. En un triángulo equilátero la distancia del baricentro al excentro es 16. Calcule la distancia del ortocentro a un vértice. A) 16 Bj) 8 C) 12 D) 4 E) 24 En un triángulo acutángulo POR (PQ = QR, PR< PQ), el punto | es el incentro | y el H es el ortocentro. Si mZIRH = m.<POIl, calcule la m.¿POR. A) 18* B) 30* C) 36” D) 45" E) 72* En un triángulo rectángulo, la distancia del incentro a un cateto mide 4-2, Halle la distancia del ortocentro al incentro, A) 2-2 B) 4 C) 4.2 D) 8 E) 8 2 En un triángulo PAR (PQ >PR), la m0 = 34”, Sila mediatriz de la bisectriz interior del ángulo P corta a la prolongación del lado UR en $, calcule el ángulo SPR. A) 68* B) 56* C) 34” D) 17? E) 22 UNIDAD 2 - Líneas y Puntos Notables 14 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. Enla figura, G es baricentro del triángulo PQR. Halle TG, si RS=15. A) 3 B) 5 C) 6 D) 9 E) 10 18. En un triángulo acutángulo ABC, O es el ortocentro y N es el circuncentro. Si m¿A0C = mo<ANG, calcule la m<ABC, A) 15* B) 30* C) 45" D) 60* E) 90* 19, Enun triángulo ABC, mA = 2m.<C., La bisectriz interior del ángulo B interseca, a AC en *D" y en “E”, ala bisectriz exterior trazada del vértica *C”. Si DE=B, calcule EC. A) 4 B) 8 C) 5 D) 10 E) 12 20. En un triángulo ABC, se ubican los puntos M y Ren AB y BC, respectivamente, de forma que BM = CR. Las mediatrices de MR y BC se intersecan en O y la prolongación de BO interseca en L a AC. ¿Qué línea notable del triángulo ABC es BL? A) Mediana B) Mediatriz C) Bisectriz interior D) Altura E) Una ceviana cualquiera UNIDAD 2 - Líneas y Puntos Notables 15 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyriaht CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 4 CONGRUENCIA DE TRIANGULOS UNIDAD 3 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. Enel triángulo isósceles ABC en el cual, m/¿ABC = 110”, los puntos P, Q y R se ubican en los lados AB, BC y AC, respectivamente, de modo que CQ = AR y RC = AP. Calcule m2PRO. A) 40? B)35* C)50* D)25* E) 45" 2. Enuntriángulo ABC, m¿BAC = 2 mACB; BD es bisectriz interior y se cumple que AB = CD. Calcule la medida del ángulo CBD. A) 30” B) 24* C)36* D)45” E) 32” 3. Enlafigura, AB= MC, m4BAM = m2MCA; me<ABM=2m2MCA y mx AMC = 5 m.-¿BAM. Calcule AC, si AM = 12, A) 16 B B)20 C)24 D)18 E) 22 A 4. Enla figura; AB = BC y m 4 AEF = m 4 ABC = m 4 EFC = 90”. Si EM = CF + AE, calcule la medida del ángulo FMA. A) 30* , c B) 37? l C0)24* E F D)60* E)45* M UNIDAD 3 - Congruencia de Triángulos 16 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. En la región interior de un triángulo equilátero ABC se ubica el punto R de forma tal que la mxARB = 90" y en la región exterior y relativa a AC se ubica el punto M de forma que el triángulo AMR es equilátero. Calcule la medida del ángulo RMC. A) 30* B)24* C)45" D)60* E) 15" 6. Enla figura, m4ACB = mFEB = 45”. Calcule m.¿CME. A) 75 c B) 80" E C)90* D)60* E) 120* E 7. Enla figura BM =6, MF = 10, FC = 6 y m4ABC = 90*. Calcule AM. A) 18 A B) 15 C) 14 F D) 12 E) 16 B C B. Enla figura: mo<BAC = 45” y BE = 3(MC). Calcule m<AFB, si mó4BC = m.<áAMC = 90*. A) 37" B B) 30" C)45" M D)60* E E) 53" A e UNIDAD 3 - Congruencia de Triángulos 17 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyriaht CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. Enun triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bisectriz interior AM cumple con: CM = 5 y BM = 3. Halle la medida del ángulo ACB. A) 60* B) 37* C) 30" D)45* E) 53* 10. Enla figura m4BEC = 90* y AE = 6. Calcule ED. A)7 B)9 C)y6 D) 10 E)8 11. En un triángulo ABC, mZABC = 80”, BMes altura y la mediatriz de BM interseca en Ra BC. Si m2BRM = 80", halle la medida del ángulo BAC. A) 60* B)70* c)80* D)40* E) 50" 12. Enla figura, ED = 4, AF = 10 y m2DFC = 90*. Calcule AB. Cc A) 4 B)6 D 03 DS E)2 2 w B UNIDAD 3 - Congruencia de Triángulos 18 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13, En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa y la bisectriz interior de uno de sus ángulos agudos se intersecan perpendicularmente. Halle la medida de uno de los ángulos agudos de dicho triángulo. A) 30* B) 45" C)53" D)82" E) 40" 14. En un triángulo ABC, la ceviana interior BP interseca perpendicularmente a la bisectriz interior del ángulo ACB en el punto P. Si la distancia de P a BC es k y AB= 4k, halle m.BAC. A) 60* B) 37" C)45" D)30* E) 53" 15. En un cuadrilátero ABCD, AB = 5, AD= 3, CD=4 y la mediatriz de BC pasa por D. Halle la distancia de D al punto medio de AB. A) 1,5 B)2,0 C)2,5 D)3,0 E)3,5 16. En un triángulo ABC, m4ACB = 45” y la altura BH biseca a la mediana AM. Calcule la medida del ángulo ABH. A) 18,5" B) 30* C)45* D)53* E) 26,5” UNIDAD 3 - Congruencia de Triángulos 19 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CEPRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. En un triángulo ABC, m 4 BCA = 31” y la mediatriz de AC interseca en N a BC, de forma tal que AB = CN. Halle la medida del ángulo BAC. A) 88” B)82" C)68* D)86* E) 87* 18. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la ceviana interior BDestablece que AD=13,CD=3 y mZ BDC = 4(mzBAC). Halle mBAC. A) 18,5* B)22,5* C)37* D)26,5* EJ53” 19. En un cuadrilátero APRB, m 4 APR = 90” y AR es la bisectriz del ángulo PAB. Si AB = AP + PR Calcule m<RBA. A) 30" B) 53* C)45* D) 60? E) 37* 20. En un triángulo ABC, m ¿BAC = 60” y AM es bisectriz interior. Si AC = (AB + BM) y m ¿ACB = (307 + 2k), halle k. A) 10* B) 8* Cc) D) 12? E) 6* UNIDAD 3 - Congruencia de Triángulos 20 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 5 POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS UNIDAD 5 Y 6 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. En un poligono equiángulo, la relación en que están las medidas del ángulo interior con el ánaulo exterior es de 5 a 1. Calcule el número de diagonales de dicho poligono. A) 44 B) 65 C)54 D)90 E) 77 2. Enun poligono convexo, la relación en que están la suma de sus ángulos internos y la suma de sus ángulos externos es 8. Calcule el número de diagonales que se pueden trazar de cuatro vértices consecutivos. A) 67 B) 57 C) 63 D) 72 E) 54 3, El lado de un hexágono regular ABCDEF cuyo mide 3, Calcule la distancia entre los baricentros de los triángulos ABF y CDE. A) 5 B)6 04 D)4,5 E) 5,5 4. Calcule la suma de los ángulos internos de un polígono convexo, si el cociente entre el número de triángulos formados al unir un punto de su interior con todos los vértices; y el número de diagonales que se pueden trazar de un vértice es 3/2. A) 1 620* B) 1440" Cc) 800” D)1 800* E) 1 260" UNIDADES 4 Y 5 - Polígonos y Cuadriláteros 21 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. Los ángulos internos de dos poligonos regulares miden z y w, respectivamente. Si z + w= 210", calcule la suma de las medidas de un ángulo externo de uno de ellos con un ángulo externo del otro. A) 120" B) 140" C)150* D) 130* E) 160* 6. Los números de lados de dos polígonos regulares son dos números consecutivos y la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales es 12”, Calcule el número de lados del poligono que tiene mayor ángulo exterior. A)J5 B)6 C)4 D)8 E) 9 7. En la figura se representa al poligono equiángulo ABCDEFSG........; AL y LZ son segmentos, mBLC = 90* y m4DCZ = 10”. Calcule el número de diagonales de dicho poligono. A) 54 B)35 a C)27 D)44 E)77 8. Un octógono regular ABCDEFGH está inscrito en una circunferencia de radio 4, Halle la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales AC y AG. A) 5,0 B) 4,0 C0)3,0 D)4,5 E135 UNIDADES 4 Y 5 - Polígonos y Cuadriláteros 22 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM CE PRE con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. 10. 11. 12. Si el número de lados de un poligono convexo disminuye en 1, el nuevo polígono tiene 14 diagonales menos. Calcule el número minimo de ángulos internos obtusos que puede tener el primer poligono. A) 16 B) 14 Cc) 12 D)10 E) 13 El lado del hexágono regular ABCDEF mide R. En la región interior del polígono se construye el cuadrado BCGH, Calcule la longitud de HF en términos de R. A)2R V3 -R B)3R 43 - 2R O)R 43-R D) 2R - RyY3 E) 3R - Ry3 En un trapecio ABCD, la base mayor es AD, Mes punto medio de AB y N se ubica en AD de forma que CN interseca a DM en su punto medio R. Si CR = 6, calcule RN, A) 2 B)2,5 C)4 D)5 E)3 En el octógono regular ABCDEFGH, de centro O, M se ubica en la región de modo que AMH es un triángulo equilátero. Halle la m.¿OAM. A) 16,57 B) 7,5” C) 6,5* D) 17,5" E) 20* UNIDADES 4 Y 5 - Polígonos y Cuadriláteros 23 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13, En un remboide ABCO, las diagonales se intersecan en O. Por O pasa una recta que interseca en 14, 15. 16. F y Ga AB y CD, respectivamente. El punto H se ubica en AD de modo que mZFHG = 90* y mZ0OGH = 20”. Si HRes perpendicular a FG, calcule la m2RHO. A) 40* B) 30* C) 45* D) 60* E) 50” En la figura 1, M y Q son puntos medios de los lados del triángulo. Si ML = 2 y ID = 3, calcule GR. A) 6 e B) 4 C) 5 D) 3 E) 7 En la figura G es el baricentro del triángulo ABC, los ángulos AHM y BGM son rectos, AH = 1, BG =4yCG = 5. Halle m.¿CGM. A) 30* B B) 45" C) 37" M D) 60* H E) 53* En un trapecio ABCD (BC//AD), la mA = (2mD) = 60”, AB=5 y BC=4. Calcule la longitud de la mediana del trapecio. A) 9 By 9v3 0) 5 D) 543 E) 8 UNIDADES 4 Y 5 - Polígonos y Cuadriláteros 24 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM CE PRE con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. 18. 19. 20. Exteriormente a un rombo ABCD está el cuadrado BCEF. Halle la medida del ángulo que forman al intersecarse las rectas AC y ED. A) 30* B) 45" C) 37" D) 60” E) 53* En un paralelogramo ABCD el punto F se ubica en AD de modo que BF y AC se intersecan perpendicularmente en M. Si BF = 18, Calcule la distancia del punto medio de FD a la diagonal AC. A) 12 B) 10 C) 9 D) 14 E) 8 En un trapecio ABCO, las bases AD y BC miden 10 y 4, respectivamente. Si los ángulos A y D son complementarios, determine la distancia entre los puntos medios de las bases. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 SY En la figura, ABCD es un paralelogramo y los triángulos ABF y BMC son equiláteros. Calcule la medida del ángulo FDM. A) 90* E a o DAI C) 60* A D) 53* E) 75* UNIDADES 4 Y 5 - Polígonos y Cuadriláteros 25 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 6 CIRCUNFERENCIA | UNIDAD 6 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. Enla figura, P y G son puntos de tangencia, m24PSOQ = 2m4ABC, AC = 6 y PC = 2. Halle PQ. Ay4 - B)5 E C)8 D)6 E)9 A c P 2. Enla figura, M y R son puntos de tangencia. Calcule la mL. A) 90* B) 70* Cc) 100" D) 110” E) 80* R 3, Enla figura, B y T son puntos de tangencia y el diámetro CT mide 12, Calcule la longitud de la cuerda TB, si AB = PT. e A)4 B)3 c)8 D)6 B E)5 A P T 4. Enla figura, m ÁEC = 250" y los arcos ED y BC miden 50* y 30*, respectivamente. Calcule (z —w). A) 110* B) 100* D C) 105* 8 D) 120* E) 115* A UNIDAD 5 - Aplicaciones de las Leyes de Newton 26 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. Enla figura, M y R son puntos de tangencia. Calcule la medida de w. A) 70* B) 100* Cc) 80* D) 60* E) 120* 6. Enla figura, M es el circuncentro del triángulo ABC; y A con M son puntos de tangencia. Si mAM=72", calcule la mMCA, B A) 30* B) 24" C) 36* D) 18* A e E) 12* 7. Enun trapezoide ABCD,la circunferencia inscrita en el triángulo ACD es tangente en P, Oy R alos lados AC,CD y AD, respectivamente. Si m4BAC = 2 m4CAD, AB = AC = 5 y BC = 6, calcule la mZPOR A) 37,5 B)71,5" C)67,5* D)72,5* E)81,5* 8. Enuna semicircunferencia de centro O, el radio OB es perpendicular al diámetro AD. La cuerda AC interseca en E al radio OB, de forma que BC// ED. Calcule la mBC. A) 30* B)45* C)60* D) 53* E) 75" UNIDAD 5 - Aplicaciones de las Leyes de Newton 27 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. Enuntriángulo ABC, O es el centro de la circunferencia ex-inscrita relativa al lado BC. Los segmentos BO y CO intersecan a dicha circunferencia en los puntos D y E, respectivamente. En el mayor arco DE se ubica el punto F, de manera que m¿BAC = m.<DFE. Halle m<BAC. A) 25? B) 30* C)36* D) 24? E) 32* 10. En una semicircunferencia de diámetro AB se ubican los puntos D y C de manera que mCD = 90” y que las distancias al diámetro AB miden 4 y 3, respectivamente. Calcule la medida del menor ángulo que se forma por las prolongaciones de las cuerdas DC y AB, A) 6* B) 8* C) 4? D) 12" E) 5* 11. En un cuadrado AÁBCD, los arcos BD y AC, que tienen por centros los puntos A y D se intersecan en el punto interior P, El arco AC con centro B y radio BA interseca en O al arco BD. Calcule la suma de las medidas de los ángulos PAQ y PCO. A) 60? B) 45” C)90* D) 80” E) 70" 12. En una circunferencia AB y CD son cuerdas, M y N son puntos medios de los arcos AB y CD, respectivamente. Si AB = CD y la diferencia de medidas de los arcos AD y BC es 2w, calcule, en función de w, la medida del ángulo formado por la intersección de las cuerdas MN y AB. A) 90” - (w/2) B) 100? - (w/2) C) 120" - (w/2) D) 80”- (w/2) E) 110* - (w/2) UNIDAD 5 - Aplicaciones de las Leyes de Newton 28 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13. En la figura, O es el centro de la circunferencia, OF = Fl, M es punto de tangencia y m.ZOFL = 37”. ai Calcule la mGL. —_M A) 16* B) 24" O c)18* F D) 14* E) 16* G L 14. Un lado de un triángulo mide 12 y el ángulo opuesto a él mide 30”. ¿Cuál de las alternativas es la longitud del diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo? A) 20 B) 15 C)20 D) 24 E) 18 15. La circunferencia ex-inscrita relativa al lado BC de un triángulo ABC, es tangente en N a dicho lado, y en M y Pa las prolongaciones de AB y AC, respectivamente, Si la suma de las medidas de los ángulos ABC y ACB es 140”, calcule la m.<¿MNP. A) 120* B) 140" C)110* D) 130* E) 100* 16. En la figura, PB yPC son tangentes, m./E = 26* y m.ZF = 25”. Calcule el valor de x. A) 51* B) 68* Gh: T2" D) 94? E) 102* UNIDAD 5 - Aplicaciones de las Leyes de Newton 29 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. Enla figura, las circunferencias son ortogonales. Si P y Q son puntos de tangencia, calcule x. A) 60* B)75* c) 90? Dy 80? E) 70* 18. Enla figura, FR = RG, m4FRG = 5x, m2RGD = 3x y mZFOD = x. Calcule el valor de x, A) 30* R B) 20* c)15* D) 25? G E) 35” 19. Dos circunferencias son tangentes interiores en Q. En la circunferencia mayor se traza la cuerda AC de la circunferencia mayor, es tangente a la otra en el punto P. La prolongación de OP interseca en Ba la circunferencia mayor. Si BC =4, calcule AB. AJA B)3 C)2 D)6 EJ5 20. Dos circunferencias son tangentes exteriores en B. La prolongación del diámetro CF de una de ellas es tangente en Á a la otra. Calcule la medida del ángulo ABC. A) 100* B) 135* Cc) 110" D) 120* E) 130* UNIDAD 5 - Aplicaciones de las Leyes de Newton 30 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 7 CIRCUNFERENCIA ll UNIDAD 6 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UNALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. Calcule la longitud de los radios de dos circunferencias tangentes interiores, sabiendo que la distancia entre sus centros es 4 cm y la suma de radios es 10 cm. A) 3 cm; 8 cm B) 4 cm; 6 cm CE) 5 cm; 5 cm D) 2 em; 8 cm E) 3 cm; 7 cm 2. Los lados de un triángulo miden 8 cm, 12 cm y 16 cm. Determine la medida de los radios de las lres circunferencias que tienen por centros los vérlices del triángulo y son, entre sí, tangentes exteriores dos a dos, A) 2 cm, 6 cm, 10 cm. B) 3 cm, 5 cm, 10 cm. C) 3 cm, 7 cm, 9 cm. D) 2 em, 8 cm, 9 cm E) 4 cm, 6 cm, 8 cm 3. Enun triángulo rectángulo ABC recto en B; la circunferencia inscrita de centro “O” es tangente a AB y AC en los puntos M y N, respectivamente y la prolongación de CO corta a MN en *F”. Calcule la medida del ángulo NFO. A) 30 B) 37” C)45* D)53* E) 60? 4. Enla figura las rectas son tangentes a las circunferencias. SiR = 6 y r = 2, calcule PQ. A) 8 P B) 10 C) 9 D) 12 E) 6v2 : UNIDAD 6 - Trabajo y Energía 31 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. Respecto a un triángulo rectángulo isósceles, calcule la relación entre el inradio y un cateto. A) (2-42 1/2 B)2+ 4/2 0) (3-42 2 D) (2+ 4/2 1/2 E) (5-42 y/2 6. Un trapecio isósceles está circunscrito a una circunferencia de radio R. Si uno de sus ángulos mide 60*, halle la mediana del trapecio en función de R, A)44/3R B) 443 R/3 0) 243 R/3 C)4R E)2/3R 7. Enla figura, la circunferencia está inscrita en ABC y la flecha MN mide 3. Calcule la medida del inradio Ar A) 43 Sm > > C) 43 -1 a D) 2(v3 -1) 30% E) 3(V3-1) A c 8. En la figura, las circunferencias están inscritas, Si AB — MN = 2, BM = NC y AC = 28M, calcule la medida del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. A) 0,5 mM B) 1,0 pe C).1,5 D) 2.0 E) 2,5 UNIDAD 6 - Trabajo y Energía SE Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM CE PRE con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. 10. ER. 12, La figura muestra un rectángulo y dos circunferencias interiores. Halle la relación entre los radios de las circunferencias inscritas. A)1/2 a % B)1/3 C)1/4 ñ D)2/3 e Z EJ2/5 Por los puntos medios de los tres lados de un triángulo rectángulo pasa una circunferencia. Si los arcos exteriores a los catetos miden 100* y 80”, respectivamente, halle la medida del arco exterior a la hipotenusa. A) 30" B) 20* 0) 175* D) 40* E) 90* En un triángulo acutángulo ABC el ortocentro es *O”; la prolongación de la altura BH corta a la circunferencia circunscrita al triángulo en F. Si BO = 5 m y OH = 2 m; halle BF. Aj) 9m B) 10m C) 8m D)12m E) 7m En un triángulo ABC recto en B, BM es una ceviana. Las circunferencias inscritas en los triángulos ABM y MBC son tangentes a BM en los puntos P y CL Si BP — QM = L, entonces la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo ABC, en función de L, es: A) US 8) 2115 c)L3 D) L/2 EJ UNIDAD 6 - Trabajo y Energía 33 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13. En la figura las circunferencias son inscrita y ex-inscrita altriángulo ABC, AB= 9, BC = 8 y AC = 11. Halle (TF - PS). A) 4,0 B)4,5 C)5,0 D)5,5 E) 6,0 A T ESE 14. Dos circunferencias ortogonales de centros O, y Oz se intersecan en los puntos B y P. Si AC es la tangente común más distante de B que de P, entonces la m¿ABC es: A) 30* B)45* C) 50* D)60* E)71* 15. Enla figura, A, B, P y M son puntos de la circunferencia. Si: MA = MB y AH = 5, halle (HP + PB). A) 3,0 B)3,5 C)4,0 D)4,5 E) 5,0 B Pp 16. El triángulo ABC está inscrito en una circunferencia cuyo radio mide / unidades. Las alturas BF y CQ se intersecan en el punto H. Halle la longitud del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo AHC en función de 1. UNIDAD 6 - Trabajo y Energía 34 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. Un trapecio isósceles está circunscrito a una circunferencia de radio 2; el menor ángulo interno del trapecio mide 30”. Calcule el perímetro de dicho trapecio. A) 24 B) 18 C) 16 D) 30 E) 32 18. En la figura, AB = BC. Calcule x. B A)10* B)20* C)30* D)40* E)50* 19. Enla figura se muestra una semicircunferencia de centro O. Si la mAT = 40", calcule x. A)40* 7 P B)20* c)10* D)30* E)45* 4 — , 20. Enla figura AB=AD, m.< BAC = 3mZDAC y m2DBC = m.zACD. Calcule la m4ACD. A) 15* B B) 18* C) 22"30' D) 30* A E) 45* UNIDAD 6 - Trabajo y Energía 35 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 8 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA UNIDAD 7 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 221 CF=2x+1 y FD=5x-5. Halle CF. 1. Enlafigura, BC //EF / AD; AE=7, BE = > AJ9 - S B)8 E F c)7 D) 12 A D E) 10 2. Los lados de un triángulo miden 54 m, 36 m y 70 m. Calcule la longitud de los segmentos determinados en el lado mayor por la bisectriz del ángulo opuesto. A) 28 m y 42 m B) 32 m y 38 m C) 30 m y 40 m D) 26 m y 44 m E) 34 m y 36 m 3. Lacircunferencia, de centro |, está inscrita en el triángulo ABC y es tangente en P al lado BC y AQ es bisectriz del triángulo ABC. Si AB= 13, BC = 14 y AC = 15, calcule PQ. A) 1/6 B) 1/5 C) 1/4 D) 1/3 E) 1/2 4. En un triángulo ABC, BM es mediana. En los triángulos ABM y BMC, AD y CE son bisectricas (D y E están en BM). SiBD=3,EM=2 y a = S , calcule ED, A) 1/5 B) 1/4 C) 1/3 D) 1/2 E) 1/1 UNIDAD 7 - Proporcionalidad y Semejanza 36 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. — En un triángulo isósceles ABC, m./B = 120”, AB = 2 y la bisectriz del ángulo exterior en el vértice C corta a la prolongación de AB en *"F”, Halle BF. A) 43 -1 B) 43 +1 C) 4 D) /3 E) 3 43 6. ABCD y DEFG son cuadrados. Los puntos A, D y G pertenecen a la recta L. La prolongación de BE interseca a FG en Py ala recta Len O. SiBE = 5 y EP =2, entonces la longitud de PO es: A) 215 B) 5/7 C) 4/3 D) 3 E) 4 7. — Enun triángulo ABC la mA = 2m4C€, la mediatriz de AC corta a BC en el punto F. SiBF=8 y FC = 10, halle AB. A) 9 B) 13 C) 11 D) 16 E) 12 8. — Enla figura *G” es el baricentro del triángulo ABC; el perimetro del triángulo es 36. Si: GE // AB, GF //BC y GL //AC, calcule: (GE + GF + GL). A)18 o B) 12 C) 24 D) 18/2 EN2J2 c UNIDAD 7 - Proporcionalidad y Semejanza 37 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE | PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. Enla figura el triángulo ABC es equilátero; AE = BE = 3 m y CF = 1 m. Calcule MC, 10. 11. 12. A) 1/2 m A B) 4/5 m C) 2/3 m E D) 1m M E) 9/4 m F En un trapecio rectángulo ABCD las bases BC y AD miden 8 y 18 respectivamente. Si la altura AB mide 12, halle la distancia del punto de intersección de las diagonales al lado BC. A) 17/14 B) 15/4 C) 13/4 D) 36/11 E) 48/13 En la figura, MP / NQ /(1BC; NQ-MP=2; BC=8 y AC = 12, Calcule (AP+QC). A) 8 8 B) 7 N C) 9 M D) 10 E) 6 Pp a En un paralelogramo ABCOD las diagonales se cortan en "O". Si el perimetro del paralelogramo es 30 y las distancias del punto "O" a BC y CD miden 2 y 3, respectivamente, calcule AB, A)5 B)6 c)8 D)7 E)7,5 UNIDAD 7 - Proporcionalidad y Semejanza 38 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13. Sila distancia del baricentro a la base media relativa al lado AC de un triángulo ABC mide 5, calcule la altura relativa al vértice B. A) 20 B) 25 C) 15 D) 35 E) 30 14. Enla figura, CP = 2PD; 540 = 30D y AB = 85. Calcule MN. A) 25 B c B) 35 mM C) 40 D) 45 P o O E) 55 A AQ N E 15. Enla figura “O” es centro de la semicircunferencia, AB=6 y CD =4. Calcule AD. A) 10 B B) 12 Cc) 246 D) 446 E) 11 la ] O - 16. Enla figura, O es centro de la circunferencia. Si AF =4 y FC = 5, calcule AD. A) 2/5 a B) 542 C)4 D)6 Ej8 e UNIDAD 7 - Proporcionalidad y Semejanza 39 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. En un triángulo ABC recto en B, BH es altura, M y N son los puntos medios BC y BH, respectivamente. Si AM=24AN, entonces la m4BCA es: A)15 B) 20 C)24 D) 30 E) 35 18. En un paralelogramo ABCOD, la secante que pasa por el vértice D s interseca a: AC en R, a BC en A y a la prolongación de AB en P. Si QR =3 y RD = 4, entonces la longitud de PQ es: A) 1/3 B) 2/3 C) 4/3 D) 5/3 E) 7/3 19. Enla figura, BE es la mediana del triángulo ABC. Si MN=B y m¿BCA=m.<BMQA, entonces la longitud de NQ es: A)6 B)7 C)8 D) 9 E) 16 20. En un paralelogramo ABCD (AB <BC) Q «AC, ON LAD,QMLAB. SIQM=4, QN=3yBC=8, halle la longitud de AB. A) 4,0 B)5,0 C) 5,5 D) 6,0 E) 7,0 UNIDAD 7 - Proporcionalidad y Semejanza 40 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 9 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO UNIDAD 8 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. El perimetro de un triángulo rectángulo es 120 cm y la altura correspondiente a la hipotenusa mide 24 cm. Calcule la medida de los catetos. A) 30 cm y 40 em D') 40 cm y 25 cm B) 25 cm y 35 cm E) 27 cm y 36 cm C) 24 cm y 25 cm 2. — Enunrectánguio las perpendiculares trazadas de dos vértices opuestos a la diagonal determinan en élla tres segmentos congruentes de longitud 10 em. ¿Cuál de las alternativas son las dimensiones del rectángulo? A) 15 tem y 13 cm B) 20 cm y 10/45 C) 8 /2 cmy 124/2 cm D) 1042 y 1047 E) 1043 cm y 104/86 cm 3. Una circunferencia de radio R es tangente a dos rectas perpendiculares. Calcule, en función de R, el radio de la mayor circunferencia tangente a la circunferencia mencionada y lambién a las dos rectas. AJ(3+2 42)R D) (2+42) R B) Y3R E) (3+/2]R C)R 4. Enla figura, O es el centro de la circunferencia y H es punto medio de OC. Si OD = 6m, calcule la longitud de OH. B L A)3 m B)6 m 0)343 m D)4 m E)2V43 m UNIDAD 8 - Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo 41 Prohibidasu reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. — Enla figura AH = 4; HC = 6 y BH = 2. Calcule el radio de la circunferencia. A) 643 B B) 542 C) 446 A D) 347 E) 2/10 D 6. La distancia entre los centros de dos circunferencias es 25 y sus radios miden 5 y 12. Calcule la longitud de la tangente común exterior. A) 12m B) 24 m C) 16m D) 10m E) 18m 7. Calcule la relación que existe entre los catetos de un triángulo rectángulo, si la mediana relativa al cateto mayor y la mediana relativa a la hipotenusa son perpendiculares. A) 112 B)W42/2 C)/2/3 D) 46 /3 E) 2/3 8. En un rombo se inscribe una circunferencia. Si las diagonales del rombo miden 20 y 15, calcule el radio de la circunferencia. A) 3 B) 4 C)5 D)6 E)8 UNIDAD 8 - Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo 42 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8, Calcule la distancia del incentro al circuncentro. A) 45 B) 2/3 c)2 D) 5/2 E) 22 10. Los diámetros de dos circunferencias secantes miden 15 y 13. Calcula el máximo valor entero del radio de la mayor circunferencia tangente interiormente a las dos primeras. A)8 m B)5m C)9m D)7 m E) 6 m 11. Enla figura se muestra una semicircunferencia de diámetro AC. Si BP = 2 y OH = 1, calcule PO. A) 2 E B) 1 C) v2 p D) 3/2 E) 43 Q A H c 12. En un rombo, la suma de las longitudes de las diagonales es 70 y la longitud del radio de la circunferencia inscrita al rombo es 12, Calcule el perimetro del rombo. A) 80 B) 100 C)120 D) 160 E) 180 UNIDAD 8 - Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo 43 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13. En un triángulo ABC recto en B, las distancias del incentro | del triángulo, a los vértices A y € miden 14, 15. 16. 413 y 4104, respectivamente. Halle la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo ABC. A) 2,0 B)2,5 C)3,0 D) 3.5 E) 4,0 En un trapecio isósceles ABCD lec / /AD ), CH es la altura del trapecio, BC = 2HD, mZHCA = 60* y AB = 8. Calcule la longitud de la altura del trapecio. A) 342 B) 243 C) 4/3 D) 543 E) 343 En un triángulo ABC recto en B, en las prolongaciones de los lados BA y BC. se ubican los puntos E y D, respectivamente, de manera que AE = 20 y CD = 10, Halle la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y ED. A) 2/5 B) 542 Cc) 345 D) 545 E) 543 En un cuadrante MON de centro O, se inscribe el cuadrado RSTU con S y Ten MN, Re OM y Ue ON. Si OM =r, entonces el perimetro del cuadrado en función de r es: A) a r JÁ0r 2 3,/10r o Pe B) 2 UNIDAD 8 - Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo 44 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza UNALM CE PRE con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. En un cuadrado ABCOD el lado mide L unidades, el arco BD tiene el centro en el vértice C y CD es el radio. La semicircunferencia de diámetro AD interseca al arco BD en el punto P. Calcule en función de L, la distancia del punto P al lado BC. A) 2LI5 B) 3L/5 C) 4/5 D) 2143 E) 3L/4 18. En un cuadrilátero convexo ABCD, AB = BC = CD = 1 y m<4BC=m.<ACD=90". Calcule la distancia del vértice B al lado AD. Y2 A) —=(1+42 ) (1442) 43 B) a (2+ 43) v2 C) AÑ +42) 3 D) 7 (2+ 42) 4/2 E) > (3 + /2) 19. Enla figura, ABCGD es un cuadrado, m¿FAE = 45", BM = 4 y DN = 3. Calcule MN. AJ 5 B F E B) 542 C) 543 M D 7 E) 10 N E A D 20. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, BH es altura y Des su punto medio. El punto E se ubica en HC de manera que el ángulo ADE sea recto. Si HE = 2, calcule EC. A) 2 B) 4 Cc) 6 D) 8 E) 3 UNIDAD 8 - Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo 45 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 10 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO Y CIRCUNFERENCIA UNIDAD 8 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO E En un triángulo acutángulo ABC, BC =10, AC = 8 y la proyección de AC sobre AB mide la cuarta parte de AB. Calcule AB. A) 442 B) 842 C) 742 D) 642 E) 542 En el triángulo obtusángulo ABC, BC =8, AC=-2 y AB=5- 2. Calcule m.BAC, A) 150* B) 143” C) 135" D) 120* E) 127" pa a cuál de las alternativas corresponde al tipo de triángulo de aquél cuyos lados miden: 5; 13 y 14, A) Acutángulo B) Obtusángulo C) Rectángulo D) Oblicuángulo E) No se puede determinar - En el triángulo ABC, AB=-5,BC=. 7 y AC=.8. Calcule la medida de la altura relativa al lado AC. A) Y15/4 B) 43178 Cc) 2 D) 43378 E) V1714 UNIDAD 8 - Relaciones Métricas en el Triángulo Oblicuángulo y Circunferencia 46 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UNALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. En un triángulo ABC, AB=5, BC =7y AC = 6. Calcule la distancia del punto medio del lado BC al lado AC. A) /2 8) 43 C) 4/5 D) y/6 E) Y7 6. En un trapecio las bases miden 4 y 16 y sus lados no paralelos miden 6 y 8. Calcule la medida del segmento que uno los puntos medios de las bases. A) 415 B) 414 C) 413 D) 243 E) 411 7. En el romboide ABCD la diagonal AC mide 9 y se cumple que (Bey -(ABY =36. Calcule la proyección de BD sobre AC. A) 2 B) 3 0)4 D) 5 E)6 8. En un hexágono regular ABCODEF, inscrito en la circunferencia de centro “O”, se considera un punto interior *P”, de manera que: (PA)? +(PB)” +(PCY +(PD)” +(PE)" +([PF)” =30 . Si AB = 2, calcule OP. A) 0,5 B) 0,8 C)1,0 D) 1,2 E) 1,5 UNIDAD 8 - Relaciones Métricas en el Triángulo Oblicuángulo y Circunferencia 47 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UNALM, Tu futuro empieza UNALM CE PRE con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. 10. 11. 12. En la figura se muestra al cuadrante AOB; AQ = 4, PQ=2 y AT es mediatriz de PQ . Calcule OT. A) v5 8 B) 4/14 C) v7 D) 6 a E) 2/2 o P B En la figura A, E y T son puntos de tangencia. Si (BC)? - (AB)? =8, calcule CT. sa A) 2 Ba _A= C) 242 f ON N / D) 4/2 A E) 6 Y E ] - N PA T A * En la figura, AB=6, BC =4, DE=3 y EF = 2. Calcula GF. A) 8 A Be ¿O B) 9 > Cc) 10 y N D) 11 a E) 12 En una circunferencia de centro "O", el punto "B" se ubica en la cuerda AC de modo que AB=2, BC=5. Si el radio de la circunferencia mide 6, calcule OB. A) 423 B) 246 C)5 D) 426 E) 343 UNIDAD 8 - Relaciones Métricas en el Triángulo Oblicuángulo y Circunferencia 48 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UNALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13. Dos circunferencias son secantes en D y C. La prolongación de DC corta a la tangente común exterior 14. 15. 16. AB en P verificando que: PC = CD. Calcule A ; A) 2 B) 43 C) 243 D) 2 E) 2/2 En la figura "O" es el centro de las circunferencias, DE =2 y EF = 3. Calcule AB. A) 343 BOTS 8) y5 E > C) 2.45 [_ a NS B SS | D) 415 E, Sd: ¿A VOI EJE E) 24/15 Ñ hy —” En la figura las circunferencias son secantes, Dy E son puntos de tangencia, AB = 10, AE = 6 y CD = 8. Calcule 8C. ñ A, A) 6/2 >” B) 842 Ez Xx e. Cc) 1042 , A | A D) 6/6 ¿0 HA E) 8/3 XS TÍ Un trapecio ABCD de bases BC y AD (BC < AD) está inscrito en una circunferencia. La cuerda CO es paralela al lado BA y corta a AD en “E”. La cuerda BP pasa por E. Si BE = 8 y BD = 12, calcule EP. AJ5 B) 4 .0)6 DJ3 EJ7 UNIDAD 8 - Relaciones Métricas en el Triángulo Oblicuángulo y Circunferencia 49 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UNALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. Interiormente a una semicircunferencia de diámetro AB y centro “O”, se ubica la semicircunferencia de diámetro OB. La cuerda AE de la primera semicircunferencia corta a la otra semicircunferencia en Cy D (Cen AD). Si CD = 4 y DE= 1, calcule BC. A) 4/2 B) 433 C) 434 D) 435 E) 6 18. En la figura las circunferencias son tangentes interiores en B; E es punto de tangencia, m2ZBEA = 60”, BE =8 y EC = 24. Calcule AE. B)5 c)6 AS ys D) 4,5 E) 55 a _— Ó 19. La circunferencia inscrita en el triángulo ABC es tangente a los lados BC y AC en M yP, respectivamente. El punto () se ubica en PC de modo que es punto medio de AC y QM corta a la circunferencia en N. Calcule QN, si AB = 8, BC = 12 y MQ = 4 A) 0,5 B) 0,8 Cc) 1.0 D) 1,2 EJ 1,4 20. Calcule el circunradio del triángulo ABC, si la altura BH mide 10 y se cumple que (AB](BC) = 195. A) 9,75 B) 9,5 C) 9,25 D) 9,0 -E)8,75 UNIDAD 8 - Relaciones Métricas en el Triángulo Oblicuángulo y Circunferencia 50 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UNALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 11 ÁREA D REGIÓN TRIANGULAR UNIDAD 9 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. Enun triángulo dos de sus lados miden 8 y 12, Calcule el tercer lado, si el área de la región triangular es máxima. A) 20 B) 12 c)4 413 D) 19 E) 213 2. En la figura AOB es un cuadrante, “B" es el centro de la semicircunferencia, AT es tangente, TC=3 y CA = 5. Calcule el área de la región triangular AOT sombreada. Ay11 B) 15 C)22 D) 24 E) 26 3. Enel triángulo ABC *l' es el incentro, AB = 13, BC = 15 y AC = 14. Calcule el área de la región del triángulo lAC. A) 14 B) 28 C)42 D) 21 E) 35 4. En un triángulo ABC el exradio relativo al lado BC mide 6 y la circunferencia exinscrita correspondiente es tangente al lado BCen *P”, Si CP = 2 y PB = 8, calcule el área de la región triangular ABC. A) 40 B) 44 C)46 D)48 E) 50 UNIDAD 9 - Área de la Región Triangular 51 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. Enel triángulo ABC, AB = 8, BC = 12 y BS es bisectriz. Si el área de la región triangular ABC es 46, calcule el área de la región del triángulo ABS. A) 18,0 B) 18,2 C) 18,4 D) 18,5 E) 18,8 6. En el triángulo acutángulo ABC, el punto “O” es el ortocentro; se cumple que: AB = 6a, BC = 8b, OC = 5a y OA = 2b, Si el área de la región triangular AOC es 5, calcule el área de la región del cuadrilátero ABCO en función de "S”. a Ls 5 B)455S 21 Cc) =s ) 5 os Y 24 E) =s ) 5 7. En el triángulo escaleno ABC, AC = 12, se ubican "M" en AB y "N” en BC de manera que MN es paralela a AC y además, el triángulo queda dividido en 2 partes equivalentes. Calcule MN. A) 6 B)8 C)64/2 D)64/3 E) 243 8. Enun triángulo rectángulo isósceles el semiperimetro es *p”. Calcule el área de la región triangular en función de "p". A) p* (342 +1) B) 2p(3+24/2) C) p*(3-242) D) p*(3+242) Eat (a=a0) UNIDAD 9 - Área de la Región Triangular 52 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 92. Enel triángulo escaleno ABC, la ceviana interior BD coria a la mediana AF en el punto medio “E”, Si el área de la región ABC es 48, calcule el área de la región triangular AED. A) 3 B)4 C)5 D)6 E)8 10. Enla figura, AB // DE, AB= DC, AC = DE y BC = 5. Calcule el área de la región del triángulo BEC. A) 10 B) 12 c)16 D) 20 E) 28 11. En un triángulo rectángulo, el inradio mide 2 y el circunradio mide 7. Calcule el área de la región triangular. A) 26 B) 28 C)30 D) 32 E) 36 12. En la figura, EC = 4BE y AD = DC. Si y el área de la región del triángulo ABC es 60, calcule el área de la región triangular BPE. Ay 1 B)2 o ds D)4 E)5 y o o UNIDAD 9 - Área de la Región Triangular 53 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13. En la figura las circunferencias están inscritas en los tmángulos rectángulos. Si, AE =2, EF =3 y FC = 4, calcule el área de la región del cuadrilátero ABCD, A) 32 B B) 34 C) 36 D) 38 E) 40 D 14. En la figura, las áreas de las regiones de los triángulos ABD y ADC son 10 y 12, respectivamente. Calcule el área de la región del triángulo AFC. E A) 13,2 B) 13.4 c 0)13.8 D) 14,4 A E) 16,9 A a 15. En el triángulo ABC, BM es mediana y se cumple que mzBMA= 45" y (BC) - (AB)? =20. Calcule el área de la región triangular ABC. A) 5,0 B)7,5 C) 10,0 D) 12,5 E) 15,0 16. En el triángulo escaleno ABC, AB = 10, BC = 12 y m.B = 53”. Se construye exteriormente los cuadrados ABMN y BCPO. Calcule el área de la región del hexágono NMOPCA. A) 310 B) 320 C) 330 D) 340 E) 350 UNIDAD 9 - Área de la Región Triangular 54 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17. En la figura, ABCD es un rectángulo, BM = MC y CN = ND, Si el área de la región ABCD es 48, 18, 19. 20. calcule el área de la región del cuadrilátero EMTF. M Ay4 Be . ,C B)5 C)6 N D)7 EjJ8 A D En el cuadrilátero ABCD, AC = CD, m4BDC = 30%, m/ACD = 23? y mo/CBD = 2 mBDA. Si el área de la región del triángulo BCD es 8, calcule el área de la región del triángulo ABC. A) 4 B)7 c)3 D)5 Ej6 En la figura, "O" es el centro de la semicircunferencia, m ÁB =m BC. Calcule la razón entre las áreas de las regiones AGO y OFE. C z Y Y 8 2 En la figura, DAD es un cuadrante de centro "O" y CO = 6. Calcule el área de la región del triángulo ABO. A) 18 B)9 C) 13,5 D)21 UNIDAD 9 - Área de la Región Triangular 55 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 12 ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES Y CIRCULARES UNIDAD 9 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. peo el área de la región de un trapecio isósceles, si la diagonal mide 17 y la suma de las bases es 30. A) 100 B)110 C) 120 D) 130 E) 140 2. Un cuadrado está inscrito en un semicirculo de diámetro *d”. Calcule, en función de *d", el área de la región del cuadrado. di 10 di 8 A) B) 3. Enun trapecio escaleno ABCO (EC//AD), AD =48BG, las diagonales se cortan en “O” y el área de la región del triángulo BCO es *S”. Calcule, en función de *S”, el área de la región ABCD. A) 165 B) 205 C) 24S D) 258 E) 285 4. Enel paralelogramo ABCD el punto “E” se ubica en BC, de forma que cuandoAE y BD se cortan en F, las áreas de las regiones de los triángulos BFE y EDC son 4 y 12, respectivamente. Calcule el área de la región del paralelogramo. A) 46 B) 48 C) 52 D) 54 E) 56 UNIDAD 9 - Área de Regiones Cuadrangulares y Circulares 56 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5, Enel trapecio escaleno ABCD lecnaD), CD = 10 y las distancias de A y B a la recta que pasa por CD miden 9 y 3, respectivamente. Calcule el área de la región trapezoidal ABCD. A) 45 B) 60 C)72 D) 84 E) 90 6. Sielárea de la región de un cuadrado inscrito en una circunferencia es K, calcule, en función de K, el área de la región del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia. A) K.2 B) K.3 0)2K 3 D )¿K E)3K 7. Siel área de la región de un hexágono regular ABCDEF es 24 -.3, calcule el área de la región del triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados AB, CD y EF. A) 543 B) 12.3 C) 643 D) 93 E) 843 B. Enel trapezoide ABCD, en BD se ubica el punto “P” de manera que 2BP = 3PD y el área de la región del triángulo ABC es 20. Si el área de la región ABCD es 70, calcule el área de la región del triángulo APC. A) 18 B) 20 Cc) 22 D) 24 E) 26 UNIDAD 9 - Área de Regiones Cuadrangulares y Circulares 57 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. Enla figura ABCD es un cuadrado, P, R y 5 son puntos de tangencia de la circunferencia inscrita. Si el área de la región del cuadrado es 20, calcule el área de la región del cuadrilátero PORS. C A) 11 E B) 9 0) 6 R D) 12 E) 15 A í D 10. En la figura ABCD es un trapecio y PBCD es un romboide. Si el área de la región del triángulo ABO es 4 y el área de la región del cuadrilátero POCD es 10, calcule el área de la región del triángulo AOP, A) 4 B)6 C)8 D) 10 E) 12 A P p 11. E el área del círculo inscrito en un sector circular cuyo radio mide 32 y el ángulo central mide A) 1007 B)121x C)144x D) 169 rx E) 196x 12. En la figura se muestra al cuadrado ABCD, las semicircunferencias de diámetros: AD, DC y BC: y el cuadrante BAD. Si el área de la región del cuadrado ABCOD es 40, calcule el área de la región sombreada, A) 10 8) 12 C)15 D) 18 Ej) 8 UNIDAD 9 - Área de Regiones Cuadrangulares y Circulares 58 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 13. En la figura circunferencias son concéntricas en “0”, T es punto de tangencia y BC = a. Calcule el área de la corona circular en función de “a”. A) 2xa? B) ra? bo ENN. DD) NA 2 ná 3 14. Enla figura AOB es un cuadrante AOB, OB= 6, el arco FE mide 50* y el arco EB mide 20”, Calcule el área de la región sombreada. Aj4x Bj5x C)6x D)8x Ej)9x 15. Calcule el área de la región limitada por 2 circunferencias congruentes de radio 6 y secantes, de modo que el centro de una de ellas se ubica en la otra circunferencia. A) 36-43) B) 6(41-343) C) 3(4x 343) D) 4(42-343) E) 3(41-4/3) 16. Enla figura O es centro de la semicircunferencia, el punto B es el centro del arco AC, m¿CBA = 45* y AB = 4. Calcule el área de la región sombreada. Cc A) (1-3) B) (2-1) C) 2(x-1) D) (2x1) E) (n-2 (1-2 LL ) UNIDAD 9 - Área de Regiones Cuadrangulares y Circulares 59 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 17 18. 19. 20. Tres circunferencias son tangentes exteriores de modo que cada una es tangente a las otras dos. Si los radios miden:1; 2 y 3, respectivamente, calcule el área de la región limitada por ellas, 31 A) dan m6 12, F2 Cc) 6-Ffx 127 DI 8-77" E)6-—= ) gn. En la figura las clrcunferencias son secantes, ABC es un triángulo equilátero, “B" es punto de tangencia y BE = 6. Calcule el área de la región sombreada, A) 41-43 B) 41-343 C) 22-43 D) 1-3 E) 41-243 En la figura se muestran tres círculos indicados. Si las áreas de los circulos 2; 3 y 1 son 38; 6 y 30, respectivamente, calcule el área de la región sombreada. A) 54 B) 56 C) 58 D) 60 E) 62 Si el número que representa al doble del perimetro de un círculo es también el área, halle dicha área. Aj 4 B) 9x C) Bx D)16x E) 12nx UNIDAD 9 - Área de Regiones Cuadrangulares y Circulares 60 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO SEMANA 153 EL PLANO Y POLIEDROS REGULARES UNIDAD 10 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 1. Un plano que contiene al triángulo equilátero ABC. Por el baricentro G del triángulo se levanta la perpendicular GE al plano. Si GE = 16 m y AE = 20 m, halle la menor altura del triángulo AGB. A) 6m B) 12m C) 94m D) 8m E) 10m 2. Los puntos A y B situados en una de las regiones espaciales de un plano y distan de dicho plano 8 my 2 m, respectivamente. Si la proyección de AB sobre el plano es 8 m, halle AB. Aj 12m B) 8m Cc) 10m Dj) 39m E) 14m 3. Los triángulos ABC y ABD son equiláteros. AB = 4m. Si el diedro C-AB-D es recto, halle el área de la región del triángulo ACD. A) 245m B) 5/2m C) 247 m D) 543 m E) 2415 m 4. En un plano P se sitúa una circunferencia de diámetro AB = 2a. Si por A se levanta AF=2a perpendicular al plano P y M es punto medio del arco AB, halle, en términos de a, el área de la región del triángulo FMB, A) a?y/2 B) a? C)a?y2/2 D) a? /3 E) at 13 UNIDAD 10 - El Plano y Poliedros Regulares 61 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, Tu futuro empieza con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 5. En la figura, los rectángulos ABCD y BCEF forman un ángulo diedro recto, BC = B cm y BF = 6 cm. Halle la longitud del segmento que une los puntos medios de FD y AB. A) 4 cm E B) 6cm F C) 5cm D) 3 cm 6 C E) 7 cm A B 6. Enla figura ABC es un triángulo rectángulo, AB = 15 cm y BC = 20 em; PO es perpendicular en O al plano ABC. Si PO = 12 cm y los ángulos diedros P-AB-0, P-BC-0 y P-AC-0, son congruentes, halle la distancia del punto P al lado AC. A) 12 cm " B) 13 cm C) 14 cm D) 15 cm E) 10 cm Á 7. En un hexaedro regular la distancia del punto de intersección de sus diagonales a una de sus caras es /3 m. Halle el volumen del cubo. A) 1545 m? B) yJ3m C) 14 /7 m* D) 22 4/3 m* E) 24 46 m* 8. Halle la relación entre las áreas totales de dos hexaedros regulares, si se sabe que la arista de uno de ellos es igual a la diagonal de una de las cara del otro. A)3:2 B)2:1 C)4:1 D) 3:43 E) 4/6 :1 UNIDAD 10 - El Plano y Poliedros Regulares Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright CEPRE-UMALM, 62 CE PRE Tu futuro empieza UNALM con nosotros TU INGRESO ES DIRECTO 9. En un hexaedro regular la arista mide 6 m. Calcule la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta, sumado con la distancia de un vérlice a la diagonal del cubo que no contenga a este vértice. A) 346 m B) 2/6 m C)646 m D) 546 m E) 4/6 m 10. En la figura el hexaedro es regular, la arista mide 4 m y se muestran diagonales de las caras. Halle el área de la región cuadrilátera sombreada. A) 12m? B) 6/2 m? C)10 4/2 m? D) 843 m? E) 8/2 m? 11.
